Netzwerke berechnen mit der Ersatzspannungsquelle · 2016. 10. 18. · Berechnungsverfahren...
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Netzwerke berechnen mit der Ersatzspannungsquelle
von
Wolfgang Bengfort – ET-Tutorials.de
Elektrotechnik verstehen durch VIDEO-Tutorials
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werden.
Texte und Bilder Copyright ©2014
Vorwort
Schüler und Studenten der Elektrotechnik werden zur Beginn der Ausbildung mit verschiedenen
Berechnungsverfahren linearer Netzwerke konfrontiert. Ein wichtiges Berechnungsverfahren, das
häufig auch Gegenstand der Prüfung im Fach Grundlagen der Elektrotechnik ist, ist die Berechnung
von Netzwerken mit Hilfe einer Ersatzspannungsquelle.
In diesem Buch wird das Konzept der Ersatzspannungsquelle anschaulich erklärt. Ziel des Buches ist
es, dem Studierenden bei der Anwendung der Ersatzspannungsquelle punktgenau zu unterstützen –
ohne Ballast. Der sichere Umgang mit der Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen wird
dabei in diesem Buch bewusst vorausgesetzt.
Mit Hilfe von einfachen Beispielschaltungen wird zunächst das Prinzip der Ersatzspannungsquelle
erläutert und anschließend mit komplizierteren Schaltungen vertieft. Einzelne Aspekte der
Beispielschaltungen werden in speziellen Online-Videos für die Leser dieses Buches veranschaulicht.
Münster Wolfgang Bengfort
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
Was ist eine Ersatzspannungsquelle
Ein einfaches Beispiel
Aufbau einer Ersatzspannungsquelle
Leerlaufspannung U0
Innenwiderstand
Umwandlung einer Schaltung in eine Ersatzspannungsquelle
Prinzipielles Vorgehen
Ein einfaches Beispiel
Erster Schritt: Entfernen der Last aus der Schaltung
Zweiter Schritt: Berechnung der Leerlaufspannung U0
Dritter Schritt: Bestimmung des Innenwiderstandes Ri
Berechnung der Ersatzschaltung aus Ersatzspannungsquelle und Last
Zweites Beispiel: Belastete Brückenschaltung
Bestimmung der Leerlaufspannung U0
Bestimmen des Innenwiderstands Ri
Berechnung der Klemmenspannung mit Hilfe der Ersatzspannungsquelle
Netzwerk mit mehreren Spannungsquellen
Bestimmung der Leerlaufspannung U0
Bestimmung des Innenwiderstandes Ri
Berechnung der Ersatzschaltung aus Ersatzspannungsquelle und Last
Ein komplizierteres Beispiel
Bestimmung der Leerlaufspannung U0
Bestimmung des Innenwiderstandes Ri
Berechnung der Ersatzschaltung aus Ersatzspannungsquelle und Last
Zusammenfassung
Was ist eine Ersatzspannungsquelle Häufig trifft man bei der Analyse von Netzwerkschaltungen auf Schaltungen, die sich nicht auf
direktem Weg oder nur mit sehr großem Aufwand berechnen lassen.
Schaltungen mit linearen Bauteilen, wie beispielsweise ohmschen Widerständen, lassen sich jedoch
in eine einfache äquivalente Ersatzschaltung umwandeln. Diese Ersatzschaltung ist zur
Originalschaltung äquivalent. Das bedeutet, sie verhält sich genau wie die Originalschaltung.
Die äquivalente Schaltung besteht nur noch aus einer einzigen Spannungsquelle U0 und einem
Widerstand Ri.
Diese reale Spannungsquelle wird als Ersatzspannungsquelle bezeichnet.
Ein einfaches Beispiel Das folgende einfache Beispiel stellt das Konzept der Ersatzspannungsquelle vor.
Die beiden Schaltungen in folgender Abbildung sind äquivalent. Der Spannungsteiler auf der linken
Seite verhält sich bei jeder Belastung zwischen den Klemmen A und B wie die Ersatzspannungsquelle
auf der rechten Seite.
Das lässt sich beispielhaft überprüfen, indem die Spannung an und die Stromstärke durch
verschiedene Lastwiderstände für beide Fälle berechnet wird.
Beispielhaft werden im folgenden drei Belastungsfälle für beide Schaltungen berechnet.
1. Kurzschlussfall (RL = 0)
Die Ausgangsspannung beträgt im Kurzschlussfall UAB=0V.
Die Stromstärke durch den Lastwiderstand mit RL=0 beträgt
in der Originalschaltung AV
R
UI B
L 2,110
12
1
in der Ersatzschaltung AV
R
UI
i
L 2,15
60
2. Unbelastet (RL = ∞)
Die Stromstärke durch den unendlich hohen Lastwiderstand beträgt in beiden Fällen IL=0.
Die Ausgangsspannung beträgt bei RL = ∞
in der Originalschaltung VVRR
RUU BL 6
1010
1012
21
2
in der Ersatzschaltung VUUL 60 , da am Innenwiderstand Ri keine Spannung abfällt.
(Da kein Strom fließt ist VAIRU iRi 005 und somit 0UUL
3. Belastung mit RL = 10Ω
Zur Berechnung der Ausgangsspannung der Originalschaltung wird zunächst der
Ersatzwiderstand der Parallelschaltung aus R2 und RL berechnet.
5
1010
1010
1
22
L
LL
RR
RRR
Die Ausgangsspannung ergibt sich aus
VVRR
RUU
L
LBL 4
510
512
21
2
Die Stromstärke durch RL=10Ω beträgt somit AV
R
UI
L
LL 4,0
10
4
Die Ausgangsspannung der Ersatzspannungsquelle errechnet sich über den Spannungsteiler:
VVRR
RUU
Li
LL 4
105
106
2
0
Die Stromstärke durch RL=10Ω beträgt somit auch hier AV
R
UI
L
LL 4,0
10
4
In der folgenden Tabelle sind die Ergebnisse für weitere Lastwiderstände aufgelistet.
RL 0 5Ω 10Ω 20Ω 25Ω ∞
UAB(Originalschaltung) 0 3 V 4 V 4,8 V 5 V 6 V
IL(Originalschaltung) 1,2 A 0,6 A 0,4 A 0,24 A 0,2 A 0
UAB(Ersatzspannungsquelle) 0 3 V 4 V 4,8 V 5 V 6 V
IL(Ersatzspannungsquelle) 1,2 A 0,6 A 0,4 A 0,24 A 0,2 A 0
Beim Nachrechnen der Ergebnisse fällt auf, dass die Berechnung der Werte mit Hilfe der
Ersatzspannungsquelle schon bei diesem einfachen Beispiel erheblich einfacher ist als die
Berechnung der Originalschaltung auf der linken Seite.
Bei komplizierteren Schaltungen ist der Unterschied noch größer.
Aufbau einer Ersatzspannungsquelle
Wie im Beispiel gezeigt, besteht eine Ersatzspannungsquelle aus einer idealen Spannungsquelle U0
(der Leerlaufspannung) und einem Innenwiderstand Ri.
Leerlaufspannung U0 Wird die Ersatzspannungsquelle im Leerlauf, also ohne Lastwiderstand, betrieben, fließt über den
Innenwiderstand Ri kein Strom. Es fällt an Ri dann keine Spannung ab.
Die Klemmenspannung zwischen Klemme A und Klemme B ist dann also gleich der Spannung U0. Die
Spannung U0 wird daher auch als Leerlaufspannung bezeichnet.
Innenwiderstand Wird die Ersatzspannungsquelle belastet fließt ein Strom durch den Innenwiderstand Ri. Folglich fällt
an diesem Innenwiderstand eine Spannung ab. Die Klemmenspannung UAB sinkt also und ist um den
Betrag der Spannung URi am Widerstand Ri kleiner als die Leerlaufspannung U0.
RiAB UUU 0
Der Innenwiderstand Ri ist gleich dem Widerstand zwischen den Klemmen A und B, denn die ideale
Spannungsquelle hat den Widerstandswert 0.
Die Ersatzspannungsquelle soll sich wie die Originalschaltung verhalten. Somit muss auch der
Widerstand zwischen den Klemmen A und B gleich sein.
Zur Bestimmung des Innenwiderstands Ri muss also der Widerstand zwischen den Klemmen A und B
in der Originalschaltung bestimmt werden.
Umwandlung einer Schaltung in eine Ersatzspannungsquelle
Das Konzept bei der Umwandlung einer komplexeren Schaltung in eine Ersatzspannungsquelle
funktioniert nun in folgenden Schritten.
Prinzipielles Vorgehen
Man entfernt zuerst den Lastwiderstand aus der Ursprungsschaltung.
Die nun offene Schaltung mit den Klemmen A und B wird anschließend in eine Ersatzspannungsquelle
umgewandelt.
Hierzu wird die Leerlaufspannung und der Innenwiderstand der Originalschaltung bestimmt.
Dabei werden zwei Übereinstimmungen betrachtet.
1. Die Leerlaufspannung der Ersatzspannungsquelle entspricht der Leerlaufspannung der
Originalschaltung.
2. Der Innenwiderstand der Ersatzspannungsquelle entspricht dem Widerstand zwischen den
Klemmen A und B der Originalschaltung.
Der Lastwiderstand, den man gedanklich im ersten Schritt aus der Originalschaltung entfernt hat,
wird nach der Umwandlung gedanklich an die Ersatzspannungsquelle angeschlossen.
Diese Schaltung besteht dann aus einer Reihenschaltung aus Innenwiderstand Ri und Lastwiderstand
RL, angeschlossen an die Leerlaufspannung U0.
Die Berechnung der Originalschaltung ist so auf eine einfache Reihenschaltung zurückgeführt.
Ein einfaches Beispiel
Die Umwandlung einer Schaltung wird zunächst anhand des einfachen Beispiels von oben
durchgeführt.
Die Originalschaltung auf der linken Seite soll also in die äquivalente Ersatzspannungsquelle (rechts)
überführt werden.
Erster Schritt: Entfernen der Last aus der Schaltung
Im ersten Schritt wird der Lastwiderstand aus der Schaltung genommen. Es ergibt sich eine
Reihenschaltung aus zwei Widerständen mit den Klemmen A und B.
Zweiter Schritt: Berechnung der Leerlaufspannung U0
Im nächsten Schritt wird die Leerlaufspannung zwischen den Klemmen A und B rechnerisch ermittelt.
Die Spannung lässt sich beispielsweise mit der Formel für den unbelasteten Spannungsteiler
21
2
RR
RUU BAB
berechnen.
In unserem Beispiel ist das. VVU 61010
10122
Die Spannung zwischen den Klemmen U2 beträgt also 6V. Dies ist die Leerlaufspannung der
Ersatzspannungsquelle.
VU 60
Dritter Schritt: Bestimmung des Innenwiderstandes Ri
Zur Bestimmung des Innenwiderstands Ri der Ersatzspannungsquelle werden lediglich die
Widerstandswerte der Originalschaltung betrachtet.
Da der Widerstandswert der Spannungsquelle UB gleich Null ist, sieht die Schaltung nun
folgendermaßen aus:
Zur Bestimmung des Innenwiderstands Ri muss der Widerstand zwischen den Klemmen A und B
bestimmt werden.
Den Widerstand zwischen den Klemmen A und B erkennt man am leichtesten, wenn man den
Widerstand R1 über die Leitung nach links „schiebt“.
Man erkennt die Parallelschaltung aus R1 und R2.
Der Widerstand zwischen den Klemmen A und B und somit auch der Innenwiderstand der
Ersatzspannungsquelle ergibt sich somit aus
5
1010
1010
21
21
RR
RRRi
Berechnung der Ersatzschaltung aus Ersatzspannungsquelle und Last
Mit den errechneten Werten setzt man nun die Ersatzspannungsquelle zusammen und schließt den
Lastwiderstand (hier beispielhaft für RL=25Ω) zwischen die Klemmen A und B an.
Für die Klemmenspannung mit angeschlossenem Lastwiderstand ergibt sich somit:
VVRR
RUU
Li
LAB 5
255
2560
Das Ergebnis lässt sich durch die Berechnung der Originalschaltung, also dem belasteten
Spannungsteiler überprüfen (siehe oben).
Die Berechnung der Ersatzspannungsquelle für dieses Beispiel und die Lösung der Aufgabe wird in
diesem Video noch einmal gezeigt:
Dieses erste, einfache Beispiel dient der Erläuterung des Konzeptes einer Ersatzspannungsquelle. Das
Beispiel des belasteten Spannungsteilers lässt sich wie gezeigt mit etwas Mehraufwand auch ohne
die Verwendung einer Ersatzspannungsquelle berechnen.
Wie sieht es aber bei komplizierteren Schaltungen aus, die sich nicht durch das Zusammenfassen
von Widerständen berechnen lassen?
Um diese Frage geht es im zweiten Beispiel, der belasteten Brückenschaltung.
Zweites Beispiel: Belastete Brückenschaltung
Im nächsten Beispiel wird es schon ein wenig komplizierter. Es handelt es sich um eine belastete
Brückenschaltung, die nicht durch das einfache Zusammenfassen von Widerständen lösbar ist.
Die belastete Brückenschaltung lässt sich nicht weiter vereinfachen, denn es gibt keine Widerstände,
die in Reihe oder parallel zu einander geschaltet sind.
Gesucht ist die Spannung am Lastwiderstand RL.
Auch hier hilft wieder die Ersatzspannungsquelle.
Bestimmung der Leerlaufspannung U0
Nachdem der Lastwiderstand RL entfernt worden ist, erhält man eine Brückenschaltung, also eine
Parallelschaltung von zwei Reihenschaltungen.
Die Leerlaufspannung berechnet sich aus dem Potential am Punkt A (das ist die Spannung an R2)
minus dem Potential an Punkt B (das ist die Spannung an R4).
Mit VVRR
RUU B 16
63
624
21
22
und
VVRR
RUU B 8
63
324
43
44
ergibt sich für VVVUUU AB 881642
Bestimmen des Innenwiderstands Ri
Zur Bestimmung des Innenwiderstandes betrachtet man den Widerstand zwischen den Klemmen A
und B. Die (ideale) Spannungsquelle UB hat den Widerstandswert 0, wirkt also zur
Widerstandsberechnung kurzgeschlossen
Es ergibt sich folgende Schaltung:
Der Knoten oberhalb von R1 und R3 und der Knoten unterhalb von R2 und R4 sind also miteinander
verbunden.
Der Widerstand zwischen Klemme A und Klemme B lässt sich wie folgt bestimmen.
Beginnend von Klemme A sieht ist zu erkennen, dass R1 und R2 mit Klemme A einen gemeinsamen
Anschluss haben. Über den Kurzschluss links haben die Widerstände R1 und R2 einen zweiten
gemeinsamen Anschluss.
R1 liegt also parallel zu R2.
Mit diesem Knoten ist sowohl R3 als auch R4 verbunden. Die Widerstände R3 und R4 haben also diesen
gemeinsamen Anschluss.
Weiterhin haben R3 und R4 einen gemeinsamen Anschluss gemeinsam mit Klemme B.
R3 liegt also parallel zu R4.
Von Klemme A gelangt man über die Parallelschaltung von R1 und R2 und anschließend (dazu in
Reihe) über die Parallelschaltung von R3 und R4 zu Klemme B.
Es ergibt sich also folgendes Schaltbild:
Der Widerstand zwischen den Klemmen A und B, der ebenfalls der Innenwiderstand Ri ist berechnet
sich also aus:
4
36
36
63
63
43
43
21
21
RR
RR
RR
RRRi
Folgendes Video erläutert noch einmal die Berechnung des Innenwiderstandes in der
Brückenschaltung.
Berechnung der Klemmenspannung mit Hilfe der Ersatzspannungsquelle
Zur Berechnung der Gesamtschaltung wird nun der Lastwiderstand RL an die Ersatzspannungsquelle
angeschlossen.
Es ergibt sich also folgende Ersatzspannungsquelle:
Für die Klemmenspannung mit angeschlossenem Lastwiderstand ergibt sich somit:
VVRR
RUU
Li
LL 4
44
480
An diesem Beispiel lässt sich erkennen, dass auch kompliziertere Schaltungen durch die Umwandlung
in eine Ersatzspannungsquelle berechnet werden können.
Aber wie sieht es aus, wenn die Originalschaltung aus mehreren Spannungsquellen besteht?
Um diese Frage geht es im nächsten Beispiel.
Netzwerk mit mehreren Spannungsquellen
Mit Hilfe der Ersatzspannungsquelle lassen sich nur Netzwerke mit einer Spannungsquelle
berechnen, wie das nächste Beispiel zeigt.
Bestimmung der Leerlaufspannung U0
Nachdem der Lastwiderstand RL entfernt worden ist, erhält man einen Stromkreis, in dem zwei
Spannungsquellen vorhanden sind.
Der Strom in diesem Stromkreis lässt sich über einen Spannungsumlauf berechnen. Es gilt:
AVV
IUURIRI 122
81201221
Die Spannung ABU , die gleichzeitig die Leerlaufspannung 0U ist, berechnet sich aus:
VAVIRUU 10128220
( bzw. VAVIRUU 101212110 )
Folgendes Video erläutert noch einmal die Berechnung der Leerlaufspannung für diese Schaltung.
Bestimmung des Innenwiderstandes Ri
Da die Widerstände der idealen Spannungsquellen gleich Null sind, errechnet sich der
Innenwiderstand, zwischen den Klemmen A und B aus der Parallelschaltung der Widerstände R1 und
R2.
1
22
22
21
21
RR
RRRi
Berechnung der Ersatzschaltung aus Ersatzspannungsquelle und Last
Für die Klemmenspannung mit angeschlossenem Lastwiderstand ergibt sich somit:
VVRR
RUU
Li
LL 5
11
1100
Ein komplizierteres Beispiel
Auch für kompliziertere Netzwerke lässt das Verfahren der Ersatzspannungsquelle anwenden, wie
eine Erweiterung des vorherigen Beispiels zeigt.
Bestimmung der Leerlaufspannung U0
Nachdem der Lastwiderstand R3 entfernt worden ist, erhält man folgende Schaltung, in der drei
Spannungsquellen vorhanden sind.
Die Spannung an den Klemmen A und B lässt sich nun in zwei Schritten berechnen.
Da im oberen Zweig kein Strom fließt - der Zweig ist ja auf rechten Seite offen - entspricht der erste
Schritt der Berechnung aus der vorherigen Aufgabe.
Man erhält wie oben: VU X 10
Die Spannung zwischen denn Klemmen A und B, also 0U , setzt sich aus der Spannung UX, der
Spannung am Widerstand 3R und der Spannungsquelle 3U zusammen.
033 UUUU RX
also 330 UUUU RX
Da die Klemmen A – B offen sind, fließt durch den Widerstand 3R kein Strom. Es fällt am Widerstand
folglich auch keine Spannung ab. Es gilt also: 03 U .
Und somit:
VVVUUU x 641030
Bestimmung des Innenwiderstandes Ri
Entfernt man die Spannungsquellen erhält man folgendes Schaltbild:
Der Widerstand zwischen den Klemmen A und B ist also eine Reihenschaltung aus R3 und der
Parallelschaltung von R1 und R2.
2
22
221
21
213
RR
RRRRi
Berechnung der Ersatzschaltung aus Ersatzspannungsquelle und Last
Für die Klemmenspannung mit angeschlossenem Lastwiderstand ergibt sich somit:
VVRR
RUU
Li
LL 3
22
260
In diesem Video wird die Berechnung dieses Beispiels weiter erläutert:
Zusammenfassung
Mit Hilfe einer Ersatzspannungsquelle lassen sich auch komplizierte Schaltung aus linearen Bauteilen
in eine einfache Reihenschaltung überführen. Die Berechnung dieser Reihenschaltung lässt sich
problemlos durchführen.
Die Umwandlung der Originalschaltung in die gewünschte Ersatzschaltung erfolgt durch folgende
Schritte.
-Entfernen des Lastwiderstandes aus der Originalschaltung
-Bestimmung der Leerlaufspannung an den nun offenen Klemmen
-Bestimmung des Innenwiderstandes zwischen den offenen Klemmen
-Einbau des Lastwiderstandes in die ermittelte Ersatzspannungsquelle
-Berechnung der Klemmenspannung mit Hilfe der Ersatzspannungsquelle
