Ordnungsreduktion linearer und nichtlinearer Systeme Order ......Ordnungsreduktion linearer und...
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Ordnungsreduktion linearer und nichtlinearer Systeme
Order Reduction of Linear and Nonlinear Systems
Boris Lohmann, TU München
with R. Eid, H. Panzer, R. Castañé, T. Wolf
Elgersburg Workshop, 3. März 2010
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2Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Motivation
techn. System
ODEs PDEs
Modellbildung
Diskretisierung
Reduz. Modell (ODEs)
Ordnungsreduktion
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3Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Teil 1:Ordnungsreduktion linearer Modelle
-
4Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
u
b
b
bu
n
q
n
q
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
=+= −−
M
M
O
O
&
11
11
z
bVAVzVz
λ
λ
λ
Lineare Modellreduktion durch Projektion
Originalmodell: ,
Beispiel: Modale Reduktion:
ubAxx +=& xcTy =
[ ]zVzc nqT cccy LL1==
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5Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Modale Darstellung
Pfad entfernen, falls klein ist
ii cb ⋅
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6Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
u
b
b
bu
n
q
n
q
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
=+= −−
M
M
O
O
&
11
11
z
bVAVzVz
λ
λ
λ
Modellreduktion durch Projektion
Originalmodell: ,
Beispiel: Modale Reduktion:
ubAxx +=& xcTy =
[ ]zVzc nqT cccy LL1==
urr
obenrlinksobenr 32143421&
bA
bVxAVVx 11 −− +=
rlinksT
Tr
y xVcc321
=
Reduziertes Modell
Weitere Beispiele: Balancieren und Abschneiden, Krylov-Unterraumverfahren
A VTW
Projektion
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7Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Verfahren des “Balancieren und Abschneiden”
Input outputSystem (states)
I/O response
I/S response S/O response
Balancieren: Zustandstransformieren derart, dass(energieorientierte) Steuer- und Beobachtbarkeitsmaße, die Gramschen, sich gleichen.
Abschneiden: Zustandsvariablen mit geringemenergetischem Anteil am Ein-Ausgangsverhalten werdenentfernt (=abgeschnitten). Durchführung mit Projektion. (Aktuelle Arbeiten: P. Benner)
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8Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Reduktion mittels Krylov-Unterraummethoden
Originalmodell: ubxxE +=& xcTy =
Projektionsmatrix V = beliebige Basis des sog. Krylov-Unterraums
{ }bEbEEbbbE 12 ,...,,,),( −= qq spanK
Projektionsmatrix W = beliebige Basis des Krylov-Unterraums
{ }cEcEccE 1)(,...,,),( −= qTTTq spanK
Reduziertes Modell: uTr
Tr
T bWVxWxEVW +=& rTy Vxc=
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9Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Übereinstimmende Momente
bIEc 1)()( −−= ssg T
Taylorreihe um s=0
...... iiTTT ss bEcEbcbc −−−−= {10 mmm i
321321
Momente
Übertragungsfunktion des Originalmodells:
Es werden 2q Momente zur Übereinstimmung gebracht.
Beweis für :0m
...
)(
)(
00
1
10
deqm
m
TT
TTT
TTTr
===
==
==−
−
bcVrc
VrWVWVc
bWVWVc
0
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10Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Vergleich
Sehr große lineare Modelle bis 1.000.000, (auch parametrischeModelle und in Sequenz mit B&A)
Systeme bis Ordnung 1000, Näherungen werden derzeit vorangetrieben bis 100.000
Mechanik, bis Ordnung 10.000
Anwendung
Numerisch sehr ro-bust, Interpretier-barkeit der Momen-te.Keine Stabilitäts-garantie (außer Sonderfälle)
Stabilitätserhaltend,Hohe Approxi-mationsgüte. Fehlerschranke existiert.
Stabilitätserhal-tend, transparent.
Güte unklar
Eigenschaften
Krylov-Unterraum-verfahren
Balancieren und Abschneiden
Modale ReduktionVerfahren
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11Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Ein neuer Zugang zur parametrischen Reduktion linearerModelle
A New Approach to the Parametric Reduction of linear models
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12Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Existing Methods
Multivariate moment matching approach (Weile et al. 99, Daniel et al. 04)+ Moment matching about the Laplace variable s and the parameter p.
- Affine parameter dependency is required
- Curse of dimensionality (reduced order grows rapidly even for small numbers of parameters)
Common projection approach (Leung et al. 05, Li et al. 05, Peng et al. 05)+ Common projection matrix calculated from several local models
+ Moment matching property for each of the local models
- Reduced order depends on the number of local models considered
- Affine parameter dependency is required to obtain a parametric reduced model
TBR-Interpolation-based approach (Baur et al. 08, 09)+ Interpolation between TFs of locally reduced systems obtained by TBR
+ Benefits from error bounds and stability of TBRs.
- Reduced order depends on the number of the local models considered
- Lightly damped modes can cause problems
Can a new approach avoid some of the disadvantages?
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13Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Starting PointSystem:
xcbxAx )(,)()( pyupp T=+=&Matrices A,b,c only available at discrete values p1,p2,… of p:
A(p1)=A1 , A(p2)=A2 ,…b(p1)=b1 , b(p2)=b2 ,…c(p1)=c1 , c(p2)=c2 ,…
?
p p1 p2
Interpolation
System 2
System 1
p3
System 3
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14Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Interpolation of system matrices
)(1 pω )(2 pω
Linear Interpolation of coefficients (system matrices):
xcybxAx ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= ∑∑∑
===
s
i
Tii
s
iii
s
iii pupp
111)(,)()( ωωω&
1)(!=∑ piω
= exact description if p affine: A=A0+A1p, b=b0+b1p, c=c0+c1p
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15Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Interpolation of system matrices
Linear Interpolation of coefficients (system matrices):
xcybxAx ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= ∑∑∑
===
s
i
Tii
s
iii
s
iii pupp
111)(,)()( ωωω&
1)(!=∑ piω
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-
16Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Interpolation of system matrices
Nonlin. Interpolation of coefficients (system matrices):
xcybxAx ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= ∑∑∑
===
s
i
Tii
s
iii
s
iii pupp
111)(,)()( ωωω&
1)(!=∑ piω
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17Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Traditional Reduction
Traditionally: apply one common projector pair V,W:
xcybxAx ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= ∑∑∑
===
s
i
Tii
s
iii
s
iii pupp
111)(,)()( ωωω&
VWT VWT V
WT
Problem: V (and W) need many columns to well approxi-mate all s local models! large reduced order.
(For instance, to match 2q moments of each of the s local models, the reduced model’s order will be sq , instead of q in non-parametric reduction)
VWT A = A’
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18Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
New: Reduction by Local ProjectorsApply separate projectors Vi, Wi to all local models:
r
s
ii
Tii
s
ii
Tiir
s
iii
Tiir
s
iii
Tii u
xVcy
bWxVAWxVEW
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
∑
∑∑∑
=
===
1
111
,
ω
ωωω &
+ Almost no additional numerical effort,+ Much smaller reduced models (factor s when matching
same number of moments).Question: are we allowed to sum up physically different
reduced vectors x ? Answer:
Not at once, but after giving the local reduced models a common physical interpretation of state variables(by applying transformations Ti, Mi)
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19Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
(1) Choice of Ti: Define a linear combination of q “important” state variables and transform all local reduced models, to represent these state variables:
Interpolation of Transformed models (1)
321ix
rediiT
i
ˆ
,* xVRx =
{ xRx),(
*
nq
T=
{ rediiii
T
,* xTx
VR
=⇒
r
s
iii
Tii
s
ii
Tiiir
s
iiii
Tiiir
s
iiii
Tiii u
xTVcy
bWMxTVAWMxTVEWM
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
∑
∑∑∑
=
−
==
−
=
−
1
1
11
1
1
1 ,
ω
ωωω &
(2) (1)
with [ ]sqnsvd VVR ...1×=[H. Panzer et. al 2010]
for instance
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20Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
(2) Choice of Mi:
Interpolation of Transformed models (2)
1)( −= RWM Tii
r
s
iii
Tii
s
ii
Tiiir
s
iiii
Tiiir
s
iiii
Tiii u
xTVcy
bWMxTVAWMxTVEWM
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
∑
∑∑∑
=
−
==
−
=
−
1
1
11
1
1
1 ,
ω
ωωω &
(2) (1)
because then ...)()(
1
11 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∑=
−−r
s
ii
Tii
Ti
Tii xVRVEWRW &ω
RRT RRT44 344 21
Projector onto R44 344 21
Projector onto Vi
[H. Panzer et. al 2010]
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21Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Types of Weighting Functions / Interpolations
Explicit weights Implicit interpolation
Linear interpolation
Nonlinearinterpolation
Matrices of the local reduced-order models
Splineinterpolation
Hermiteinterpolation
RBF interpolation
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22Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
The Beam Model
Parameter: Length LThickness and width: 10 mmYoung Modulus: 2.105 Pa.Damping: Proportional/Rayleigh
Order of the original system: 720Order of the reduced system: 54 local models; Weights: Lagrange Int. s0: ICOP (Eid2009);
Force
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23Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
The solar panel model
Order of the original system: 5892
Order of the reduced system: 602 local models; Weights: linear Interpolation
Parameter: Thickness t of the panel(varies between 0.25 and 0.5 mm)
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24Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
(Asymptotic stability)
(Stability)
For stable system, there exist infinite W.
Outlook I: Stability using matrix measure m
Stability can be defined by the existence of a change of basissuch that:
Stability:
Pole-placement region :
Error bounds:
Parametric MOR:
Finding this W has clear advantages:
Implies stability and it is preserved for any one-sided projection.
We can compute the region in the complex plane wherethe eigenvalues of the reduced system will be.
Upper bounds for the norm of the error system can be computed.
For certain classes of systems finding a W is trivial ! [Castané 2009]
This approach offers also advantages for stability preserving pMOR.
Several algorithms! (Matrix balancing,Approx. Lyapunov, etc.)
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25Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Port Hamiltonian Systems are stable, and passive with output
A new structure preserving reduction scheme:
ugQxRJx +−= )(&
The reduced model ,
with
and with V being a basis of the Krylov subspace
matches q moments around s=s0 (Loh. et al 2009, Wolf et al 2009).
QgVgQVVQ
QRQVVRQJQVVJ
Tr
Tr
Tr
Tr
=
=
=
=
−1)(
( ) ( ){ }gIQRJgIQRJ qq ssspanK −− −−−−= 010 )(,...,)(
Outlook II: MOR of PCHD Models
QxgTy =
urrrr gxQRJx +−= )(&xQg r
Try =
-
26Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
References1. Lohmann, B. and Eid, R.: Efficient Order Reduction of Parametric and Nonlinear Models by Superposition of Locally Reduced
Models. In Lohmann, B. und Roppenecker, G. (Hrsg.): Methoden und Anwendungen der Regelungstechnik. Shaker Verlag, Aachen, 2009.
2. Lohmann, B. and Eid, R.: Challenges in Model Order Reduction. In Oberwolfach Reports and presented at the Oberwolfach Conference "Control Theory: On the Way to New Application Areas", 22.-27.02.2009.
3. Panzer, H., Mohring, J., Eid, R., Lohmann, B.: Parametric Model Order Reduction by Matrix Interpolation. Submitted to Automatisierungstechnik, at, February 2010.
4. Rewienski and J. White, A Trajectory Piecewise-linear Approach to Model Order Reduction and Fast Simulation of Nonlinear Circuits and Micromachined Devices, IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, 22, (2003), 155–170.
5. U. Baur, P. Benner: Modellreduktion für parametrisierte Systeme durch balanciertes Abschneiden und Interpolation. Automatisierungstechnik (at) 08/2009, S.411-419.
6. A. C. Antoulas, Approximation of Large-Scale Dynamical Systems, SIAM, 2005.7. R. W. Freund, Model reduction methods based on Krylov subspaces. Acta Numerica, 12, (2003), 267–319.8. L. Daniel, C. S. Ong, S. C. Low, K. H. Lee, and J. K. White. A multiparameter moment matching model reduction approach for
generating geometrically parameterized interconnect performance models. IEEE Trans. on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, 23(5), (2004), 678–693.
9. K. Wulf: Quadratic and Non-Quadratic Stability Criteria for Switched Linear Systems, Ph.D Thesis, Hamilton Institute, NUI Maynooth, Ireland, 2005.
10. Eid, R.: Time Domain Model Reduction by Moment Matching. Dissertation, TU München 2009.11. Lohmann, B., Wolf, T., Eid, R. and Kotyczka, P.: Passivity Preserving Order Reduction of Linear Port-Hamiltonian Systems by
Moment Matching. Tech. Report TRAC-4/2009, No. 1, www.rt.mw.tum.de12. Wolf, T., Lohmann, B., Eid, R. and Kotyczka, P.: Passivity and Structure Preserving Order Reduction of Linear Port-Hamiltonian
Systems using Krylov subspaces. In print at European Journal of Control 2010. 13. Castañé, R., Eid, R., Lohmann, B.: Stability Preservation in Krylov-based Model Order Reduction. Workshop des GMA-
Fachausschusses 1.30, Salzburg 2009. 14. L. Peng, F. Liu, L. T. Pileggi, and S. R. Nassif. Modeling interconnect variabilityusing e±cient parametric model order reduction.
In Proc. of the Design, Automationand Test In Europe Conference and Exhibition, Munich, Germany, 958-963 2005.15. A. T. Leung and R. Khazaka. Parametric model order reduction technique for design optimization. Proc. Intl. Symp. Circuits
Syst., pages 1290-1293, 2005.16. X. Li, L. Peng, and L. T. Pileggi. Parameterized interconnect order reduction with explicit-and-implicit multi-parameter moment
matching for inter/intra-die variations. In International Conference on Computer Aided Design, San Jose, USA, 806-812, 2005.17. D. S. Weile, E. Michielssen, E. Grimme, and K. Gallivan. A method for generating rational interpolant reduced order models of
two-parameters linear systems. Appl. math. Letters, 12:93-102, 1999.
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27Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Teil 2:Ordnungsreduktion nichtlinearer Modelle
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28Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Nichtlineare Reduktion: Modelle
CxyuxFgBuAx
uxfx
=++=
=),(
),(&u(t) y(t)
Hohe Ordnung n
)(tx
Reduktion
u(t)
Niedrige Ordnung q < n
)(txr
)(ˆ tx
)(ˆ ty
R
RRRRR
WxxxCy
uxgFuBxAx
==
++=
ˆˆˆ
),ˆ(&
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29Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
“Proper Orthogonal Decomposition”System:
1. Take Snapshots of State Trajectory:
2. Perform SVD of X , for low-rank approx.:
Dominant subspace and Approximation of x
3. Reduced Model:
),( uxfx =&
[ ])()()( 21),( NNn ttt xxxX L=
),(),(),(),(),(),(),(),(),( Nnnq
Tq
qnq
Nq
Tq
qqq
qnqNn
T
nnnnXUUVUVUX =Σ≈Σ=
xUx Tqdom = domq xUx =ˆ
),( uxUfUx rqTqr =&
tt1 t2 t3 t4 …
x1
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30Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Trajectory Piecewise Linear (TPWL) - 1
Idea: Representation of the original nonlinear model as a sum of piecewise-linear systems and then reducing each of the systems with a Krylov projection.
Original nonlinear model: Order N
Weighted Sum of slinearized models:
Order N
Weighted sum of s reduced linearized models:
Order q
Linearization around soperating points
Projection
State-dependent weights with unity sum
Jacobian of
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31Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
TPWL - 2X2
X0 X1
X1
X2
X3
Version 1 (full sim.)1. Linearized model about x02. Simulation of the nonlin. sys. while
current state is close enough to lin. pt.3. Until end of trajectory, define a new lin. pt.
and linearize about it, then go to step 2. 4. Reduce the different resulting lin. sys.5. Choose the weightings according to the
current state
Given:
Version 2 (approx. trajectory)1. Linearized model about x02. Reduction using moment matching3. Approximation of the full state
vector4. Until end of trajectory, define a
new lin. pt. and go to step 2.5. Choose the weightings according
to the current state
• Training Input• Initial state• number of models to be
generatedX1’
X2’
X3’
-
32Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Nonlinear parametric reduction by interpolation of locally reduced linear models
Given
Reduced system:
),( pxfx =&
Locally linear parametric representation (like in TPWL):
( )∑=
−+=s
iiiii p
1)(),( xxAfxx ω&
( )∑=
−+⋅=s
iiriii
Triir tptt
1))(()),(()( xxVAfWxVx ω&
ii pi
iii p
,|/),(
xxfAxff∂∂=
=
Outlook III
1=∑ ii ωω have to normalize
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33Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Reduktion durch Optimierung entlang Trajektorien
)1,(),()1,(
),(
nnqqdo xRx
uxFgBuAxx=
++=&
x& x
AF
Bu
),( uxg
rx&rx
rArF
rBu
),ˆ( uxg Wx̂
r
rrrrrr
WxxuWxgFuBxAx
=++=
ˆ),(&
Gesucht:
so dassxRxxx && ≈≈ randˆ
],,[, rrr FBAW⇓⇓
R
R
--+
e1e2-
+
dor xx ≈ , alsodox
Gegeben:
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34Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Diskussion
Alle drei Verfahren erfordern Simulationen des Originalmodells (außer erweitertes TPWL). Keine Stabilitätsgarantie, keine Fehlerschranken.
Proper Orthogonal Decomposition:☺ Reduziertes Modell durch SVD der Snapshotmatrix.
Mäßige Appriximationsgüte/Modellordnung.Trajectory Piecewise Linear:☺ Reduziertes Modell gültig in größeren Bereichen des Zustandsraums.
Kompliziertes reduziertes Modell, viele Parameter im Reduktionsvorgang.
Optimierung entlang Trajektorien:☺ Reduziertes Modell kann über geschlossene Formeln berechnet werden
(quadratisch optimale Matrizen).☺ Transparentes zuverlässiges Vorgehen, physikalische Interpretierbarkeit.
Günstige Wahl dominanter Zustandsgrößen unklar; nur geeignet für Systeme mit wenigen Nichtlinearitäten.
Reduzierte Modelle intern stark verkoppelt (Matrizen enthalten kaum Nullelemente). Lösung: durch Strukturvereinfachung mittels Genetischer Algorithmen
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35Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Genetischer Algorithmus zur Strukturvereinfachung
Reduziertes Modell einfacher Strukturberechnen (optimale Wahl von AR, BR, FR, W, die Nebenbedingungen berücksichtigend)
Reduz. Modell
Wandeln in HiNebenbedingungen
Erzeugung einerneuen Population
Individuum (Binärwort)
Fitness des reduz. Modells
Alte PopulationGA
SMO
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36Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Active Hydropneumatic Vehicle Suspension
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37Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Originalmodell der Ordnung 10
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38Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Blockschaltbild
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39Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Reduziertes Modell ohne Strukturvereinfachung
Gute Approximationsgüte aber hohe innereVerkopplung/Komplexität
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40Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Reduziertes Modell mit Strukturvereinfachung
Durch zeilenweise Optimierung schrumpft der Suchraum auf 114.63x103 Elemente, was 18.1x10-23 mal kleiner ist, als derursprüngliche vollständige Suchraum. 86 Elemente (von 98) sind Null, also 84% Nullen!
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41Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Wichtigste Methodenzweige und Entwicklungspotenzial
Krylov
- für große lineareSysteme
- Moment-Matching um verschiedene Entwick-lungspunkte
- Arnoldi/Lanczos -Alg.
?
SVD
Lin. Systeme: Balancieren und Abschneiden
Nichtlin. Systeme: POD
Sonstige
Lin. Systeme: ModaleVerfahren, Frequenz-bereichsverfahren
Nichtlin. Systeme: (lineare) Näherungenentlang Trajektorien
?z.B. Parametrische Reduktion, Kopplung von Teilsystemen, Numerik, Performanz.
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42Lohmann: Ordnungsreduktion, 03.03.2010
Vielen Dank!