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Algebraische Theorie LinearerDifferentialgleichungssysteme

Werner M. Seiler

Institut fur Mathematik

Werner M. Seiler (Kassel) Algebraische Theorie Linearer DGS 1 / 20

Worum geht’s?

Kann man (manche) Fragen, die Analytiker zu Systemen linearerDifferentialgleichungen haben, mit algebraischen Methoden beantworten(oder zumindest so tun als ob)?

• Formale Analyse allgemeiner Systeme linearer Differentialgleichungen(d.h. inklusive unter- und uberbestimmter Systeme)

”lineare (partielle) Algebrodifferentialgleichungen“

• Heute zwei Themen:• Konstruktion formal korrekt gestellter Anfangswertprobleme• Indexkonzepte auch fur partielle Differentialgleichungen

• Wesentliches Hilfsmittel• Grobner-Basen


Worum geht’s?

Kann man (manche) Fragen, die Analytiker zu Systemen linearerDifferentialgleichungen haben, mit algebraischen Methoden beantworten(oder zumindest so tun als ob)?

W.M. Seiler, E. Zerz: Algebraic Theory of Linear Systems: A Survey.In: Surveys in Differential-Algebraic Equations II, A. Ilchmann, T. Reis(Hrsg.), Differential-Algebraic Equations Forum, Springer-Verlag 2015,S. 287–333


(Homoge) Lineare Gleichungssysteme

a11x1 + · · ·+ a1nxn = 0...

...am1x1 + · · ·+ amnxn = 0

(1)

• Unterliegende algebraische Strukturen:• Losungsraum Untervektorraum des Rn

• Betrachte alle linearen Gleichungen, die von Losungen von (1) erfulltwerden Untervektorraum U des Dualraums

αi =n∑

j=1

aije∗j U = 〈α1, . . . , αm〉R =

m∑i=1

ciαi | ci ∈ R

• Rechnerische Behandlung mit Gauß-Algorithmus• bestimmt

”gutes“ Erzeugendensystem von U

• erlaubt qualitative Aussagen wie Dimension des Losungsraums ohnedessen explizite Berechnung


Polynomiale Gleichungssysteme

f1(x1, . . . , xn) = 0...

...fm(x1 . . . , xn) = 0

(2)

mit f1, . . . , fm ∈ P = k[x1, . . . , xn]

• Unterliegende algebraische (und geometrische) Strukturen:• Losungsmenge Varietat V ⊆ kn

• Menge aller Polynome, die auf V verschwinden Ideal I in P

I = 〈f1, . . . , fm〉P =

m∑i=1

hi fi | hi ∈ P


Polynomiale Gleichungssysteme

f1(x1, . . . , xn) = 0...

...fm(x1 . . . , xn) = 0

(2)

mit f1, . . . , fm ∈ P = k[x1, . . . , xn]

• Rechnerische Behandlung mit Grobner-Basen• erlauben qualitative Aussagen wie Dimension der Varietat• falls V endlich, kann V explizit berechnet werden• verallgemeinern Konzept einer Dreiecksform


Lineare Differentialgleichungssysteme

• Einfaches Beispiel (uberbestimmtes System)

uxx − au − y = 0 , uxy = 0 (a ∈ R)

• Offensichtliche Fragen:• System losbar?• Dimension des Losungsraums?•

”Anfangsbedingungen“ fur eindeutige Losung



• Einfaches Beispiel (uberbestimmtes System)

uxx − au − y = 0 , uxy = 0 (a ∈ R)

• Problem: Existenz von Integrabilitatsbedingungen

∂x(uxy )− ∂y (uxx − au − y) = auy + 1 = 0

• a = 0 Gleichung 1 = 0, also System unlosbar• a 6= 0 zusatzliche Gleichung erster Ordnung uy + 1/a = 0

Stort Konstruktion von Potenzreihenlosungen:• Im Ausgangssystem nicht erkennbar, daß es Bedingung an

Koeffizienten erster Ordnung gibt• Bedingung wird erst sichtbar, wenn in dritter Ordnung gearbeitet wird• Wann sind alle versteckten Bedingungen bekannt?



Algebraische Formulierung

Schreibe homogenen Anteil als lineare Differentialoperatoren

L1u = (∂2x − a)u = y , L2u = ∂x∂yu = 0

L1, L2 Elemente eines (evtl. nicht-kommutativen) PolynomringsD = k[∂x , ∂y ] mit k = R fur konstante Koeffizienten und (z.B.)k = R(x , y) fur variable Koeffizienten

Hier: ausschließlich k = R — Methoden konnen aber unverandert fur beliebige

Funktionenkorper angewandt werden

Analog zu den anderen Typen von Gleichungen:

• betrachte Ideal I = 〈L1, L2〉D ⊆ D(Untermodul U ⊆ Dm im Fall mehrerer unbekannter Funktionen)

• suche”gutes“ Erzeugendensystem Grobner-Basen


Was ist”

gut“?

• Problem: gegeben polynomiales Ideal I = 〈f1, . . . , fm〉 ⊆ P,finde

”besseres“ Erzeugendensystem von I:

• entscheidet Idealmitgliedschaft: liegt weiteres Polynom h ∈ P in I?• erlaubt effektive Arithmetik in Faktorring P/I• liefert Syzygien: h1, . . . , hm ∈ P so daß

∑mi=1 hi fi = 0

(erlaubt Losen von LGS uber dem Ring P)

• Erinnerung: Polynomdivision in k[x ]• Zu gegebenen Polynomen f , g ∈ k[x ] \ 0 existieren eindeutige

Polynome q, r ∈ k[x ] so daß f = qg + r und deg r < deg g• Fur Berechnung mussen Terme in f und g nach Grad geordnet seien!

• Idee: benutze multivariate Verallgemeinerung


Termordnungen

Definition

Termordnung Totalordnung ≺ auf Menge T der Terme xµ mit

(i) ∀ r , s, t ∈ T : s ≺ t ⇒ rs ≺ rt

(ii) ∀ t ∈ T : 1 t

≺ Totalgradordnung zusatzlich

(iii) ∀ s, t ∈ T : deg s < deg t ⇒ s ≺ t


Termordnungen

Definition


(i) ∀ r , s, t ∈ T : s ≺ t ⇒ rs ≺ rt

(ii) ∀ t ∈ T : 1 t



Beispiele

• n = 1 ordne nach Grad (einzige Moglichkeit)

• Lexikographische Ordnung: xµ ≺lex xν ⇐⇒ erster von Nullverschiedener Eintrag in µ− ν negativ

• Lexikographische Totalgradordnung: xµ ≺deglex xν ⇐⇒deg xµ < deg xν oder (deg xµ = deg xν und xµ ≺lex xν)


Termordnungen

Definition


(i) ∀ r , s, t ∈ T : s ≺ t ⇒ rs ≺ rt

(ii) ∀ t ∈ T : 1 t



Definition

Gegeben Polynom 0 6= f =∑

t∈T ctt mit ct ∈ k und Termordnung ≺• Leitterm lt f = max≺ t ∈ T | ct 6= 0• Leitkoeffizient lc f = clt f

Gegeben Ideal I ⊆ P• Leitideal lt I = 〈lt f | f ∈ I \ 0〉


Multivariate Division mit Rest

Satz

Zu gegebenen Polynomen f , g1, . . . , gm ∈ P \ 0 und einer beliebigenTermordnung ≺ existieren immer Polynome q1, . . . , qm, r ∈ P so daßf =

∑mj=1 qjgj + r mit lt (qjgj) lt f und lt r lt f .

Achtung Fallen:

• Weder r noch q1, . . . , qm eindeutig bestimmt:• hangen von Details der Berechnung haben• Rest r kann nicht als Normalform verwendet werden

• I = 〈g1, . . . , gm〉 6⇒ lt I = 〈lt g1, . . . , lt gm〉


Grobner-Basen

Definition

Grobner-Basis von I fur Termordnung ≺ endliche Menge G ⊂ I mit lt I = 〈lt g | g ∈ G〉


Grobner-Basen

Definition


Theorem

Fur ein Ideal I und eine Termordnung ≺ sind aquivalent

• G ist eine Grobner-Basis von I fur ≺.

• Der Rest bei einer Division durch G ist eindeutig.

• Jedes Idealelement f ∈ I liefert bei Division durch G den Rest h = 0.

• Jedes Idealelement f ∈ I besitzt Standarddarstellung: f =∑

g∈G hggmit lt (hgg) lt f .


Grobner-Basen

Definition


• Grobner-Basis existiert fur jede Termordnung

• Grobner-Basis berechenbar mit Buchberger-Algorithmus• reduziert fur lineare Polynome zu Gauß-Algorithmus• reduziert fur univariate Polynome zu Euklidischem Algorithmus

• Komplexitat potentiell sehr hoch (doppelt exponentiell!)

• Reduzierte Grobner-Basen eindeutig

• Fundamentales Werkzeug fur alle Arten polynomialer Berechnungenin Kommutativer Algebra und Algebraischer Geometrie


Korrekt Gestellte Probleme

”Definition“ (Hadamard)

Differentialgleichungsproblem korrekt gestellt

(i) Losung existiert fur beliebige Daten

(ii) Losung eindeutig

(iii) Losung hangt stetig von Daten ab

• Keine strenge Definition erfordert Angabe von Funktionenraume und Topologien

• (iii) schwierigster Punkt

• Fur elliptische Systeme Anfangswertprobleme nicht korrekt gestellt

• Fur hyperbolische Systeme Randwertprobleme nicht korrekt gestellt


Formal Korrekt Gestellte Probleme

Definition

Problem formal korrekt gestellt eindeutige formalePotenzreihenlosung existiert fur beliebige formale Potenzreihen als Daten

Ziel: algorithmische Konstruktion formal korrekt gestellter Probleme

Algebraische Formulierung:

•”Polynomring“ D = k[D] = k[∂1, . . . , ∂n]

(k eventuell Funktionenkorper)

•”Terme“ D = ∂µ | µ ∈ Nn

0• Lineares Differentialgleichungssystem fur eine unbekannte Funktion Ideal I ⊆ D

• Termordnung disjunkte Zerlegung: D = lt I ] Π(I)


Formal Korrekt Gestellte Probleme

Definition

Problem formal korrekt gestellt eindeutige formalePotenzreihenlosung existiert fur beliebige formale Potenzreihen als Daten

Ziel: algorithmische Konstruktion formal korrekt gestellter Probleme

Interpretation:

• Ableitungen ! Taylor-Koeffizienten

• Termordnung bestimmt fur jede (prolongierte) Gleichung, nachwelcher Ableitung sie aufgelost wird

• ∂µ Hauptableitung ⇔ ∂µ ∈ lt I, sonst parametrische Ableitung

• Divisionsalgorithmus ermoglicht, jede Hauptableitung als Funktion derparametrischen Ableitungen auszudrucken

• Daten mussen parametrische Koeffizienten eindeutig bestimmen


Komplementare Zerlegungen

Definition

Komplementare Zerlegung von I

〈Π(I)〉k =⊕t∈T

k[Dt ] · t

T ⊂ D endlich, Dt ⊆ D multiplikative Ableitungen zu t

• gehen zuruck auf Riquier (1910) und Janet (1920)

• existieren immer, sind aber nicht eindeutig

• algorithmisch berechenbar involutive Basen

• Rees-Zerlegung alle Mengen Dt von der Form ∂1, ∂2, . . . , ∂`t(`t Klasse von t)


Zugehoriges Anfangswertproblem

• Wahle Entwicklungspunkt x = (x1, . . . , xn)

• Betrachte jeden einzelnen Kegel (t,Dt) =(∂µ, ∂i1 , . . . , ∂ik) in

beliebiger komplementarer Zerlegung von Π(I):• It = i1, . . . , ik, It = 1, . . . , n \ It• Koordinatenraum Ht = ∀ i ∈ It : xi = xi• Anfangsbedingung mit beliebiger Funktion gt

∂µu|Ht = gt(xi | i ∈ It)

Satz

Konstruktion liefert formal korrekt gestelltes Anfangswertproblem.


Ein Einfaches Beispiel

I = 〈∂23 + · · · , ∂2

2∂3 + · · · , ∂1∂2∂3 + · · · 〉 (Grobner-Basis!)

∂2

∂1

∂3

1

∂3

∂2∂3

∂22∂3

∂23

∂1∂2∂3

u(x1, x2, x3) = g1(x1, x2), ∂3u(x1, x2, x3) = g2(x1), ∂2∂3u(x1, x2, x3) = g3


Bemerkungen

• Satz von Riquier: alle Anfangsdaten gt analytisch =⇒eindeutige formale Potenzreihenlosung analytisch(starke Verallgemeinerung des Satzes von Cauchy-Kovalevskaya)

• “Klassisches” Anfangswertproblem nur fur Rees-Zerlegung

• Verallgemeinerung des Eindeutigkeitssatzes von Holmgren furC 1-Losungen fur allgemeine lineare Systeme moglich

• Fur monomiale Systeme kann Losung explizit in Integralformangegeben werden


Der Index

• Grundlegender Begriff in Theorie und Numerik von (gewohnlichen)Algebrodifferentialgleichungen

• Maß fur”Schwierigkeiten“, die bei der numerischen Integration zu

erwarten sind

• Viele ahnliche, aber inaquivalente Definitionen

• Differentiationsindizes: Anzahl der benotigten Prolongationen bisSystem gewisse Eigenschaft zeigt

• Storungsindex: hochste Ordnung der Ableitungen der Storung, die inAbschatzungen der Differenz zwischen Losungen desAusgangssystems und einer gestorten Form auftreten


Erweiterung auf partielle Differentialgleichungen

• Alle numerischen Zugange basieren auf Reduktion auf gewohnlichenFall: Integraltransformationen, Semidiskretisierungen etc Resultate abhangig von Reduktionsmethode, nicht intrinsisch furAusgangssystem

• Le Vey (1994), Tuomela (1993) verknupften Indexbegriffe mitformaler Theorie gewohnlicher Differentialgleichungen WMS (1999) intrinsische Erweiterung auf beliebige nichtlineareSysteme partieller Differentialgleichungen

• Hier: einfache algorithmische Realisierung dieser Ideen fur lineareSysteme via Grobner-Basen


Grobner-Indizes

• Homogenes System Lu = 0fuhre fur jede Gleichung neue Hilfsunbekannte δi ein inhomogenes System Lu = δ

• Naturliche Termordnung: TOP-Lift einer Totalgradordnungberechne Grobner-Basis des Zeilenmoduls von L

Lu = Fδ , 0 = Gδ

• F”fuhrt Buch“ uber zur Konstruktion von L benotigte Operationen

• G liefert Erzeugendensystem des Syzygienmoduls von L(G wichtig fur Existenz- und Regularitatstheorie,beschreibt Drift in Numerik)


Grobner-Indizes

• Homogenes System Lu = 0fuhre fur jede Gleichung neue Hilfsunbekannte δi ein inhomogenes System Lu = δ

• Naturliche Termordnung: TOP-Lift einer Totalgradordnungberechne Grobner-Basis des Zeilenmoduls von L

Lu = Fδ , 0 = Gδ

Definition

Erster Grobner-Index γ1 deg FZweiter Grobner-Index γ2 degG

Achtung: fur partielle Differentialgleichungen hangen Werte vongewahlter Termordnung ab Interpretation nicht so offensichtlich


Storungsindex – ODEs

Definition

v(x) Losung von Lu = 0, v(x) von Lu = δ, beide definiert auf [0,M]

System hat Storungsindex ν entlang v(x) ν kleinste Zahl, fur die furjedes x ∈ [0,M] Abschatzung existiert der Form

‖v(x)− v(x)‖ ≤ C(‖v(0)− v(0)‖+ ‖δ‖ν−1

)(wann immer rechte Seite hinreichend klein)

‖f ‖k Sobolev-Norm∑k

i=0 ‖f (i)‖ zu unterliegender Norm

• Storungsindex zahlt Ordnung der Ableitungen der Storung inAbschatzung

• verschiedene Werte fur verschiedene Losungen v(x) moglich

• ν > 1 numerische Integration problematisch


Storungsindex – ODEs

Satz

Fur jede Losung v(x) von Lu = 0 gilt: ν ≤ γ1 + 1

Beweis.

• Schreibe um als System erster Ordnung

• Schreibe um als Integralgleichung

• Wende Gronwall-Lemma an

• Integration”erschlagt“ eine Ableitung

• “+1” wegen eventuell vorhandener algebraische Gleichungen, dieeinmal abgeleitet werden mussen


Storungsindex – PDEs

• Ω ⊆ Rn Gebiet (mit Ω kompakt)Ω′ ⊂ Ω Gebiet (niedrigerer Dimension)Anfangs/Randbedingungen: (Ku)|Ω′ = 0mit K linearen Differentialoperatoren vom Grad k

• ‖ · ‖` Sobolev-Norm uber Ω‖ · ‖′` Sobolev-Norm uber Ω′

Definition

v(x) Losung von Lu = 0, v(x) von Lu = δ, beide definiert auf Ω

System hat Storungsindex ν entlang v(x) ν kleinste Zahl, fur die furalle x ∈ Ω Abschatzung existiert der Form

‖v(x)− v(x)‖ ≤ C(‖v|Ω′ − v|Ω′‖′k + ‖δ‖ν−1

)(wann immer rechte Seite hinreichend klein)



• Keine allgemeine Behandlung sinnvoll/moglich

• Strukturelle Annahmen fur eine behandelbare Situation:• System mit evolutionarem Charakter Variablen x = (y, t)• Anfangsbedingungen gegeben auf (Teilmenge von) t = 0• Hyperebene t = 0 nicht charakteristisch• System nicht unterbestimmt

• Wahle Termordnung, die t Vorrang uber den anderen Variablen gibt;schreibe wieder Grobner-Basis Lu = Fδ als System erster Ordnung

• (Eventuell nur nach Prolongation der algebraischen Gleichungen)Teilsystem ∂tu−Mu = Fδ wobei Operator M nur von ∂y

abhangt unterliegende Gleichung in Cauchy-Kovalevskaya-Form

• M erzeuge stark stetige Halbgruppe



Satz

Fur jede Losung v(x) von Lu = 0 gilt: ν ≤ γ1 + 2

Beweis.

• Analog zum ODE-Fall (mit Halbgruppentheorie)

• “+2”, da Integration nicht mehr unbedingt eine Differentiation

”erschlagt“

• Wieder “+1”, falls System keine algebraischen Gleichungenenthalt

(Korrektheit des Beweises nur fur Pommaret-Basen garantiert!)


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