FORSCHUNG

Konstruktionselemente aus Kunststoff

Neuartige 2K-Laufrollen undihre KontaktmechanikNeuartige 2K-Laufrollen haben einen Laufmantel hoher Steifigkeit und einen weichen Radkörper. Siezeichnen sich durch hohe Laufruhe und eine weiche Verformungscharakteristik bei gleichzeitig kleinemRollwiderstand und geringem Verschleiss aus. In einem aF+E-Projekt wurde das Kontaktverhalten solcher Kunststoffrollen untersucht, um Berechnungsformeln für die ingenieurmässige Auslegung zuerarbeiten.

Für Kunststoffrollen mit einem Lauf-mantel aus weichem Elastomer oderaus TPE typisch sind die hohe Lauf-ruhe und eine weiche Verformungs-charakteristik. Nachteilig sind jedochder hohe Rollwiderstand und der Ver-schleiss. Eine neuartige 2K-Lösungmit einem Laufmantel höherer Stei-figkeit und einem weichen Radkör-per (Abb. 1) vermeidet diese Nachteileweitgehend [1]. Der vergleichsweisesteife Laufmantel ermöglicht dankgeringer lokaler Verformungen einleichtes, reibungsarmes Abrollen,während der Radkörper mit seinergeringen Steifigkeit für die er-wünschte Dämpfung und die hoheNachgiebigkeit sorgt. Unbekannt warbisher, wie sich das Zusammenspielder beiden Komponenten auf die Kon-taktmechanik qualitativ und quanti-tativ auswirkt, das heisst Berech-nungsformeln standen bis dato nichtzur Verfügung.

Herstellbar sind solche Rollenvorzugsweise im 2K-Spritzgiessver-fahren. Von Bedeutung hierbei istnicht nur ein einwandfreier Stoff-

schluss zwischen Nabe und Weich-komponente, sondern auch zwi-schen den beiden Kunststoffen, umein Ablösen des Laufmantels vomRadkörper zu vermeiden. Alternativdazu wäre hier allenfalls auch einFormschluss denkbar, der abernicht ganz einfach zu realisieren ist.

ProblemstellungDas Kontaktverhalten derartiger 2K-Rollen wurde in einem aF+E-Projektuntersucht mit dem Ziel, Berech-nungsgrundlagen für die ingenieur-mässige Auslegung zu gewinnen [2,3]. In der Kontaktmechanik der Lauf-mantelrollen, die auf die HertzscheTheorie der Kontaktprobleme [4, 5]aufbaut, sind die generell bestim-menden Grössen nebst der Belastungdie mechanischen Werkstoffeigen-schaften und die Geometrie von Rol-le und Unterlage (Abb. 2), insbesonde-re die resultierenden Krümmungs-

verhältnisse in der Kontaktzone. Pri-mär interessieren der Kontaktdruckzwischen Rolle und Unterlage unddie Rollenabplattung bzw. Achsver-schiebung als kontaktmechanischeGrössen (Abb. 3) sowie die Vergleichs-spannungen und die maximalen

Prof. Dipl.-Ing. JohannesKunz, Institut für Werk-stofftechnik und Kunst-stoffverarbeitung (IWK) ander HSR Hochschule fürTechnik Rapperswil, Do-zent für Berechnen undGestalten von Kunststoff-teilen im MAS-StudiengangKunststofftechnik an derHochschule für Technik derFH Nordwestschweiz

Dipl.-Ing. Mario Studer,ETH Zürich, vormals wis-senschaftlicher Mitarbeiteram IWK Rapperswil

Abb.1: Zylindrische 2K-Laufrollen unterschiedlicher Laufmanteldicke (IWKRapperswil; Kundert AG, Jona).

Abb. 2: Geometrie der 2K-Laufrollen. 1: Laufmantel aus steifemKunststoff. 2: Radkörper aus weichem Kunststoff. 3: Nabe ausMetall. 4: Unterlage (Laufbahn). dR: Rollendurchmesser [mm].dG: Grenzdurchmesser [mm]. dN: Nabendurchmesser [mm].l: Rollenbreite [mm].

Abb.3: Kontaktmechanische Grössen.a,b: Halbe Länge der Kontaktflächein Umfangsrichtung [mm]. p0: Maxi-maler Kontaktdruck [N/mm2]. w: Ab-plattung bzw. Achsverschiebung un-ter Belastung [mm].

Dehnungswerte beider Komponen-ten. Zum weiteren Themenkreis zähltaber auch der Rollwiderstand, dervon den geometrischen und werk-stofflichen Parametern massgeblichmitbestimmt ist.

VorgehenDie angewendete Methodik verbindetin bewährter Weise theoretisch-analy-tische Betrachtungen, gezielte Ver-suche und rechnerisch-numerischeParameterstudien mittels der FiniteElemente Methode (FEM). Bei der Aus-wertung der Resultate werden die ge-fundenen Gesetzmässigkeiten quali-tativ herausgearbeitet und anschlies-send mathematisch beschrieben, umdaraus geeignete Berechnungsfor-meln abzuleiten. Hierbei steht nebstder Erzielung realistischer Ergebnissederen praktische Handhabbarkeit imVordergrund. Deshalb werden da unddort zugunsten der Einfachheit gewis-se Abstriche an der Genauigkeit hin-genommen. Wie die bisherigen Erfah-rungen zeigen, genügen die entwi-ckelten Berechnungsformeln diesenKriterien.

Voraussetzungen und IdealisierungenDie Überlegungen gehen von folgen-den Voraussetzungen und Idealisie-rungen aus:

a) das Profil des Laufmantels istzylindrisch (Abb. 2);

b) Laufmantel, Radkörper undNabe sind von gleicher Länge (Rol-lenbreite);

c) zwischen Nabe und Radkör-per bzw. zwischen Radkörper undLaufmantel besteht ein Stoffschluss;

d) die Kunststoffe von Laufman-tel und Radkörper verhalten sich li-near viskoelastisch, das heisst diezeitabhängigen Werkstoffsteifigkei-ten, beschrieben durch die Kriech-moduln, sind keine Funktion derLast, und damit gilt das Boltzmann-sche Zeit-Verformungs-Superposi-tionsprinzip;

e) die Nabe besteht aus einemWerkstoff vergleichsweise hoherSteifigkeit, zum Beispiel Stahl odereine Alu-Legierung, sodass ihre Ver-formung vernachlässigt werdenkann;

f) die Belastung besteht aus ei-ner statischen bzw. quasistatischenRadiallast im Zentrum der Nabe;

g) die Rolle wirkt als reine Lauf-rolle ohne Tangentialkräfte in derBerührungsfläche;

h) die Unterlage ist eben undwird als linear elastischer bzw. li-near viskoelastischer Halbraum be-trachtet;

i) die Rollenachse liegt parallelzur Unterlage, das heisst Verkantenwird ausgeschlossen.

UntersuchungenDie erforderlichen Parametervariatio-nen an den 2K-Rollen wurden in be-währter Weise mittels FEM-Rechnun-gen durchgeführt. Deren Verlässlich-keit kann aufgrund der Erfahrungenaus bisherigen Untersuchungen alsgegeben gelten. Dies rechtfertigt dieBeschränkung auf einige wenige Mes-sungen zur Absicherung der FEM-Resultate anhand ausgewählter Geo-metrien mittels Videoextensometrie(Abb. 4) von Zwick GmbH, D-Ulm. Ex-perimentell untersucht wurden Rol-len mit einem zylindrischen Lauf-mantel aus dem Guss-Polyamid TecastT natur und einem Radkörper ausweichem Polyurethan PUR UK-KA/85ShA, beides Werkstoffe der KundertAG, Jona, wo auch die Rollen durchVergiessen hergestellt wurden. AlsWerkstoff für die Nabe wurde eineAlulegierung verwendet. Die Rollen-geometrie wurde durch den Rollen-durchmesser dR = 100 mm und dieBreite l = 30 mm bestimmt. Variiertwurden der Nabendurchmesser dN

von 40 bis 60 mm und der Übergangs-durchmesser dG zwischen den beidenKunststoff-Komponenten von 60 bis

80 mm. Als Unterlage wurde Stahl ver-wendet, der in der Auswertung alspraktisch starr betrachtet werdenkonnte. Pro Rollengeometrie wurdendrei Messungen durchgeführt. Dabeiwurde jeweils innert 20 Sekunden dieBelastung von 0 auf 2000 N aufge-bracht und anschliessend während 10 Minuten konstant gehalten.

Die für die numerischen Berech-nungen erforderlichen Kriechmo-duln als Steifigkeitswerte von Lauf-mantel und Radkörper wurden imDruckversuch unter denselben Be-dingungen bestimmt wie die Verfor-mungen der Rollen. Ermittelt wur-den E1 = 2150 N/mm2 für Guss-PAund E2 = 21,6 N/mm2 für das PUR. Für die Poissonzahl des Laufmantelswurde �1 = 0,35 eingesetzt, währendzur Erfassung des Querkontrak-tionsverhaltens des PUR-Radkörpersdessen Inkompressibilität zu be-rücksichtigen war. Mit dem Wert �2

= 0,499 anstelle des theoretischenWertes 0,5 liessen sich Singularitä-ten bei den FEM-Rechnungen ver-meiden.

Die Brauchbarkeit der Formeln,herausgearbeitet aus den FEM-rech-nerisch und experimentell gefunde-nen Gesetzmässigkeiten, wurde an-hand weiterer FEM-Berechnungenmit variierten Geometrie- und Steifigkeitsverhältnissen überprüft.Dies mit dem Ziel, ein möglichstbreit anwendbares Rechenmodellzu erhalten. Mittels FEM wurdeschliesslich auch die Möglichkeitder Ausweitung auf andere als zylin-drische Laufmantelprofile unter-sucht.

ErgebnisseDie wichtigsten Erkenntnisse aus denUntersuchungen sind:

1. Die Verschiebung der Rollen-achse lässt sich mit einer Formel be-schreiben, die in Anbetracht derVielfalt an Parametern vergleichs-weise einfach ist und mit den Wer-ten aus Messung und FEM-Analysesehr gut korreliert (Abb. 5). Siedrückt die Tatsache aus, dass zwi-schen den Achsverschiebungen ei-ner reinen 1K-Laufmantelrolle undder hier untersuchten 2K-Rolle eindirekter Zusammenhang besteht.

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Abb. 4: Verformungs-messungen mittels Videoextensometrievon Zwick GmbH & Co.KG, D-Ulm.

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2. Die Achsverschiebung einer2K-Laufmantelrolle setzt sich ausder Abplattung der entsprechenden1K-Rolle und einem Beitrag zusam-men, der den Einfluss des weichenRadkörpers erfasst.

3. Die Formel für die Achsver-schiebung kann so umgeformt wer-den, dass sie auch für 2K-Laufrollenmit dachartigem oder mit balligemProfil verwendbar ist.

4. Für den maximalen Kontakt-druck und die maximale Vergleichs-spannung im steifen Laufmantelkönnen mit guter Genauigkeit dieFormeln aus der Hertzschen Theoriebeigezogen werden.

5. Die maximale Vergleichsspan-nung im weichen Radkörper tritt imLochleibungsbereich zwischen Na-be und Radkörper auf. Sie ist mass-gebend vom Rollendurchmesserund dem Verhältnis der Elastizitäts-moduln abhängig.

6. Die maximalen Dehnungentreten im weichen Radkörper auf,sind aber von unkritischer Grösse,und zwar für vernetzte und unver-netzte Elastomere.

7. Abweichungen von der einge-setzten Poissonzahl �1 = 0,35 desLaufmantels sind von vernachlässig-bar geringem Einfluss.

8. Die Resultate bestätigen dieTatsache, dass der neuartige Rollen-aufbau zu einem vergleichsweiseweichen Verformungsverhalten beigleichzeitig sehr geringem Roll-widerstand führt.

Die nachstehenden Berech-nungsformeln gelten in den Berei-chen 0,4 ≤ dG /dR ≤ 0,8; 0,2 ≤ dN /dR ≤0,6; 0,25 ≤ dN /dG ≤ 0,83 bzw. 0,17 ≤ (1 – dN /dG) ≤ 0,75; 0,15 ≤ l /dR ≤ 0,6; 1,0≤ E1/E2 ≤ 200.

■ Achsverschiebung für zylindrische LaufmantelprofileDie Verschiebung der Rollenachse, bei1K-Rollen als Abplattung bezeichnet,unter der radialen Last F kann für zy-lindrische Laufmantelprofile anhandder Beziehung

berechnet werden, worin

die Abplattung der entsprechenden1K-Rolle bedeutet [6]. Mit (1) und (2)werden die Resultate aller untersuch-ten zylindrischen 2K-Rollen mit einerStandardabweichung von 14,2% er-fasst. In (2) ist

der Vergleichs-Elastizitätsmodul fürden Kontakt zwischen Kunststoff-Laufmantel (E1: Kriechmodul des Laufmantels in Abhängigkeit der sta-tischen Belastungsdauer) und Lauf-bahn bzw. Unterlage (EL: Elastizitäts-modul der Laufbahn).

■ Achsverschiebung für andereLaufmantelprofileUnter der Voraussetzung einer relativhohen Steifigkeit der Unterlage gilt EC << EL, und damit folgt aus (3) EV ≈ 2 · E1. Zwecks Separation der Verfor-mungsanteile von Laufmantel undRadkörper lässt sich dann Beziehung(1) umformen zu

Darin ist der erste Summand wK die lokale Verformung des Laufmantelsin der Kontaktzone. Der zweite Sum-mand erfasst den weichen Radkörper

mit seinem Verformungsbeitrag, dermit E1 = E2 verschwindet. Beziehung(4) ist zugleich auch eine Verallgemei-nerung von (1) für andere als rein zy-lindrische Laufmantelprofile. Da dieAbplattung kompakter Laufmantel-rollen zur Hauptsache von der loka-len Verformung in der Kontaktzonebestimmt wird, kann bei solchen fürwK in guter Näherung die jeweils gel-tende Abplattungsformel eingesetztwerden, so namentlich für zylindri-sche Laufmantelrollen mit partiellerAbstützung [7] sowie für Rollen mitdachartigem [8] oder mit balligem [9]Profil. Die Resultate aller untersuch-ten Varianten weisen je nach Profilund Abmessungsverhältnissen mit (4)

Standardabweichungen von 6,5 bismaximal 11,7% auf. Dies darf für diePraxis als gut brauchbar bezeichnetwerden.

Abb. 5: Achsverschiebungverschiedener Rollen (dR = 100 mm, l = 30 mm)unter Belastung im Vergleich von Messung,FEM-Analyse und Berechnungsformel [2].A:dG = 60 mm, dN = 40 mm.B: dG = 80 mm, dN = 40 mm.C: dG = 80 mm, dN = 60 mm.

DankDie vorliegende Arbeit entstand

im Rahmen des Forschungspro-

jekts «Grundlagen für die Aus-

legung von Kunststoffkonstruk-

tionen». Für dessen Förderung

danken die Verfasser dem For-

schungsfonds der HSR Hoch-

schule für Technik Rapperswil

und der Gebert Rüf Stiftung,

Basel. Der Kundert AG, Jona, sei

für die kostenlose Bereitstellung

der 2K-Rollen gedankt.

(1)

(2)

(3)

(4)

■ Maximaler Kontaktdruck und VergleichsspannungenDer maximale Kontaktdruck im zylin-drischen Laufmantel kann mit der be-kannten Formel aus der HertzschenTheorie [4, 5] berechnet werden, diezugleich auch der maximalen Ver-gleichsspannung nach der Gestaltän-derungsenergiehypothese (GEH, vonMises) entspricht gemäss

(5)

Für andere als zylindrische Laufman-telprofile sind die jeweils geltendenBeziehungen zu verwenden, wobei zu beachten ist, dass der maximaleKontaktdruck und die maximale Vergleichsspannung unterschiedlichgross sind.Im weichen Radkörper tritt die maxi-male Vergleichsspannung im Lochlei-bungsbereich zwischen Nabe undRadkörper auf, hängt aber nicht ent-scheidend vom Nabendurchmesserab, sondern vom Rollendurchmesserund dem Verhältnis der Elastizitäts-moduln, nach der GEH in der Form

(6)

■ Maximale DehnungenDie grössten positiven Dehnungen,die für die Abgrenzung gegenüberdem Versagenskriterium Rissbildungmassgebend sind, treten im weichenRadkörper auf, und zwar infolge dervergleichsweise grossen Schubverfor-mung des weichen Radkörpers an derGrenzfläche zwischen den beidenstoffschlüssig verbundenen Kompo-nenten (Abb. 6). Ihre Grössenordnungvon rund 1 bis 2% ist aber angesichtsder hohen schädigungsfreien Ver-formbarkeit von vernetzten und un-vernetzten Elastomeren absolut un-kritisch. Im Laufmantel gelten für dieDehnungen im Wesentlichen die Be-ziehungen, wie sie früher für kom-pakte Laufmantelrollen entwickeltworden sind.

■ RollwiderstandObwohl die Bestimmung des Roll-widerstands nicht Gegenstand derUntersuchung war, wurde in einerFEM-Studie mit viskoelastischemWerkstoffgesetz der Rollwiderstandeiner 2K-Rolle mit steifem Laufmantelund weichem Radkörper demjenigenvon je einer kompakten Rolle aus stei-fem und aus weichem Kunststoff,aber mit sonst gleichen Abmessungengegenübergestellt. Dabei zeigte sich,dass die 2K-Rolle einen nur unwesent-lich grösseren Rollwiderstand auf-weist als die kompakte Rolle hoherSteifigkeit, und dies trotz vergleichs-weise weichem und damit abstands-tolerantem Verformungsverhalten(Abb. 7). Dies bestätigt grundsätzlichdie Vorstellung, dass der Rollwider-stand zur Hauptsache von der lokalen

Verformung im Laufmantel abhängt.Genauere Angaben zur Bestimmungdes Rollwiderstands bedürfen einerspezifischen Untersuchung mit Ein-bezug praktischer Versuche.

Interessante PerspektivenDie dargelegten Gedanken stellen dieneuartig aufgebaute 2K-Rolle mit ih-rer günstigen Eigenschaftskombina-tion – weiches Verformungsverhal-ten, geringer Rollwiderstand – vor. Sieist damit ein ebenso einfaches wieüberzeugendes Beispiel für die inte-ressanten Perspektiven, die sich mitAnwendung der 2K-Technik als Kons-truktionsprinzip bieten. Für die Aus-legung solcher Rollen wird eine kon-taktmechanische Beziehung präsen-tiert, die von der zylindrischen Lauf-mantelgeometrie ausgeht, sich aberin guter Näherung für die Erfassungvon Anfasungen und partielle Abstüt-zungen sowie auf dachartige und bal-lige Profile verallgemeinern lässt. Die-se Erkenntnisse zu nutzen, ist die Her-ausforderung von Konstruktionspra-xis und Verarbeitungstechnik.

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Abb.6: Typisches FEM-Verformungsbild einer Rollenhälfte mitgrosser achsialer Querdehnung im weichen Radkörper (linkssei-tig; rechts liegt die unverformte Symmetrieebene).

Abb.7: Abplattung bzw. Achsverschiebung und Rollwiderstandder 2K-Rolle im Vergleich zur Massivrolle mit steifem (POM)bzw. weichem (TPU) Radkörper [2].

(5)

(6)

Literatur[1] Ehrig, F., Henne, M., Kunz, J.: Wenn ungleiche Partner sich binden. Plastverar-beiter 57(2006)12, S. 62–63.[2] Kunz, J., Studer, M.: ForschungsprojektAuslegung von Kunststoff-Laufrollen. Diverse interne, unveröffentlichte Doku-mente. HSR Hochschule für Technik Rapperswil, 2006/07.[3] Föllmi, M.: Untersuchung des Kontakt-verhaltens von Kunststofflaufrollen inZwei-Komponenten-Technik. StudienarbeitHSR Hochschule für Technik Rapperswil,2004.[4] Grothe, K.-H., Feldhusen, J. (Hrsg.): Dubbel – Taschenbuch für den Maschinen-bau. Springer Verlag Berlin, 21. Aufl., 2005.[5] Czichos, H., Hennecke, M. (Hrsg.): Hütte – Das Ingenieurwissen. Springer Verlag Berlin, 32. Aufl., 2004.[6] Kunz, J.: Kontaktmechanik zylindrischerKunststoff-Laufmantelrollen. Kunststoffe-Synthetics 52(2005)6, S. 19–22.[7] Kunz, J., Studer, M.: Zylindrische Lauf-mantelrolle mit partieller Abstützung.Kunststoffe-Synthetics 53(2006)1, S. 18–21.[8] Kunz, J., Holzinger, M.: Kunststoffrol-len mit dachartigem Laufmantelprofil.Kunststoffe-Synthetics 53(2006)11, S. 24–27.[9] Kunz, J., Bürzle, W., Studer, M.: Kontakt-mechanik balliger Kunststoff-Laufmantel-rollen. SwissPlastics 29(2007)6, S. 31–34.

Separatdruck aus SwissPlastics 3/2008, S. 17–20 Vogt-Schild Medien AG, CH-4501 Solothurn