Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultaumlt I

Institut fuumlr Physik Physikalisches Grundpraktikum

Physikalisches Grundpraktikum

Einfuumlhrungspraktikum 2007

VORBEMERKUNG

Ein physikalisches Experiment besteht im Wesentlichen aus der Messung physikalischer Groumlszligen sowie der Auswertung und Bewertung der erhaltenen Messergebnisse Jede Durchfuumlhrung eines Experiments setzt anwendungsbereite praktische Grundkenntnisse und -faumlhigkeiten wie

bull Planung und Konzeption von Versuchen bull sachgerechter Umgang mit Messgeraumlten bull geschulte Beobachtungsgabe bull experimentelles Geschick bull gewissenhafte Protokollfuumlhrung und bull kritische Ergebnisbeurteilung bzw -diskussion

voraus die aber nur in der experimentellen Praxis erlernt und geuumlbt werden koumlnnen Als Leh-rende haben wir in den letzten Jahren zunehmend die Erfahrung gemacht dass diese im Stu-dienverlauf benoumltigten Faumlhigkeiten in der vorhergehenden schulischen naturwissenschaftli-chen Ausbildung kaum ausreichend oder oft auch gar nicht entwickelt worden sind Gerade fuumlr Studienanfaumlnger die physikalische Praktika im Rahmen der (klassischen) Experi-mentalphysik absolvieren muumlssen ergeben sich daraus sehr groszlige Schwierigkeiten deren Uumlberwindung nur durch einen unverhaumlltnismaumlszligig hohen (vor allem zeitlichen) Arbeitsauf-wand moumlglich ist Mit der erfolgten Umstellung auf den konsekutiven Bachelor-Master-Studiengang der Physik sind diese Probleme noch weiter verschaumlrft worden Der hier vorliegende Teil der Anleitungen zum Physikalischen Grundpraktikum enthaumllt Versuchsbeschreibungen und Arbeitsanleitungen fuumlr absichtlich moumlglichst einfache experi-mentelle Uumlbungen Uumlberwiegend sind die physikalischen Inhalte so gehalten dass sie aus schulischen Kenntnissen heraus zu erschlieszligen sind und vergleichsweise geringen Aufwand beim Selbststudium zu ihrer Vorbereitung benoumltigen Im Vordergrund stehen physikalische Mess- und Auswertemethoden sowie die Diskussion der auftretenden Messunsicherheiten und deren Auswirkung auf Versuchsergebnisse die aus direkt gemessenen Groumlszligen berechnet wer-den In Zusammenhang damit wollen wir schrittweise die Faumlhigkeit zur (selbst)kritischen Ergebniseinschaumltzung physikalischer Experimente (weiter)entwickeln Mit Blick auf die nachfolgenden experimentellen Praktika sollen ebenso schritt- und elementweise die Arbeits-techniken und Methoden einer wissenschaftlich anspruchsvollen Versuchsdokumentation bzw ndashprotokollierung erlernt werden Zur notwendigen inhaltlichen Ergaumlnzung und als staumlndiges Arbeitsmittel wird ausdruumlcklich auf das Praktikumsskript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstellung experi-menteller Ergebnisse in der Physikldquo verwiesen das (wie alle anderen notwendigen Informati-onen) selbstverstaumlndlich auch auf unserer Website httpgprphysikhu-berlinde verfuumlgbar ist Als staumlndige persoumlnliche Arbeitsmittel der Studierenden sind fuumlr die vorgesehenen experi-mentellen Uumlbungen jeweils stets mitzubringen

bull Kugelschreiber dokumentenechter Faserschreiber Bleistift LinealDreieck bull Taschenrechner bull Arbeitsheft im Format A4 mit karierter Lineatur (feste Bindung) bull Block mit Millimeterpapier

Saumlmtliche vollzogene Arbeiten einschlieszliglich der Versuchsauswertungen sollen im og A4-Heft dokumentiert werden grafische Darstellungen Ausdrucke etc sind darin fest einzukle-ben Eine bdquoZettelwirtschaftldquo moumlchten wir aus sicher leicht verstaumlndlichen Gruumlnden vermei-den das selbst erstellte Arbeitsheft wird gemeinsam mit den Skripten jederjedem Studieren-den bei den spaumlteren Praktika mit Sicherheit von Nutzen sein Verbesserungsvorschlaumlge Hinweise und Kritiken zu diesem Ihnen vorliegenden Skript sind uns sehr willkommen Berlin im November 2007 Uwe Muumlller

Die Natur ist unerbittlich und unveraumlnderlich und es ist ihr gleichguumlltig ob die verborgenen Gruumlnde und Arten ihres Handelns dem Menschen verstaumlndlich sind oder nicht

Galileo Galilei

1564 - 1642

INHALTSVERZEICHNIS

Motivation und Ziele I

Ordnung und Sicherheit II

Literatur IV

Kurzbezeichnung Thema Seite

F1 Fehlerverteilung 1

F2 Volumenmessung 3

F3 Fadenpendel 6

F4 Bestimmung von Federkonstanten 9

F5 Dichte fester Koumlrper 12

T1 Waumlrmekapazitaumlt eines Kalorimeters 15

O1 Duumlnne Linsen 19

O2 Mikroskop 23

O9 Reflexion und Brechung 28

O5 Polarimetrie 36

E6 Wechselspannungsmessungen 39

E8 Reale Gleichspannungsquellen 44

F0 Auswertung und Praumlsentation von Messdaten 48

Die Kurzbezeichnungen der Versuche sind historisch und willkuumlrlich entstanden

MOTIVATION UND ZIELE

Das Hauptziel der Lehrveranstaltung ist die zielgerichtete Einfuumlhrung in experimentelle Arbeitsweisen dh in praktisch-experimentelle und quantitative Arbeitsmethoden der Physik bull Als Studierende werden Sie sich den praktischen Umgang mit Messtechnik -verfahren und

-methodik aneignen und erlernen Ihre Versuchsaufzeichnungen stets so zu fuumlhren dass sie dem Anspruch einer Messdokumentation genuumlgen Auf der Grundlage dieser Aufzeichnun-gen muss ein durchgefuumlhrtes Experiment vollstaumlndig ausgewertet und gegebenenfalls repro-duziert werden koumlnnen

bull Sie eignen sich die Faumlhigkeit an die von Ihnen gewonnenen empirischen experimentellen Daten unter strikter Beachtung der Messgenauigkeiten bzw ndashunsicherheiten dh des Naumlhe-rungs- oder Schaumltzcharakters der Messungen sachgerecht auszuwerten und ihre Aussage-kraft einzuschaumltzen Das erfordert eine zielgerichtete Anwendung und Uumlbung besonderer mathematisch-statistischer und praktischer Methoden

Im Praktikum werden wir uns selbstverstaumlndlich nicht mit dem Erlernen rein technischer Fauml-higkeiten begnuumlgen wie sie z B von qualifizierten Laboranten bzw technischen Assistenten verlangt werden Das zweite wesentliche Ziel des Praktikums besteht deshalb in der Heran-fuumlhrung an wissenschaftlich-analytisches Denken bull Auf der Grundlage der von Ihnen selbst vorgenommenen Beobachtungen und der bei ihrer

Auswertung erzielten quantitativen Ergebnisse sollen Sie (bezogen auf den physikalischen Hintergrund des Experiments) schluumlssige Antworten auf eingangs gestellte Fragen ableiten und kritisch begruumlnden koumlnnen

bull Ihre gewonnenen Ergebnisse und daraus gezogene Schlussfolgerungen sind in den Rahmen der bisherigen Erkenntnisse einzuordnen Dabei sind beispielsweise Hypothesen durch Ver-gleich mit den experimentellen Resultaten kritisch zu uumlberpruumlfen und Versuche hinsichtlich ihrer Aussagekraft und Qualitaumlt zu bewerten

bull Anhand eigener Experimente werden Sie sich anwendungsbezogen und vertiefend mit ausgewaumlhlten Themen der Physik beschaumlftigen Gerade die Anwendung von Kenntnissen erweist sich stets als besonders empfindlicher Indikator fuumlr physikalisches Verstaumlndnis auch in Details

bull Haumlufig muumlssen Sie sich auch mit Problemstellungen beschaumlftigen fuumlr die Sie noch keinen hinreichenden inhaltlichen Vorlauf aus anderen Lehrveranstaltungen besitzen Das erscheint einerseits (auf den ersten Blick) etwas fragwuumlrdig entspricht aber andererseits einer typi-schen Situation wissenschaftlicher Arbeitspraxis Oft sind Themen zu bearbeiten fuumlr die nur ein Grundwissen vorhanden ist und die eine tiefere Einarbeitung erfordern

bull Nicht zuletzt sollen Sie schrittweise erlernen Ihre eigene praktische Arbeit in wissenschaft-lich angemessener Weise auch schriftlich darzustellen und erzielte Ergebnisse aussagekraumlf-tig praumlsentieren zu koumlnnen

Moderne Wissenschaft zeichnet sich durch weitgehend kollektive Arbeitsweise aus trotz oder gerade wegen der hochgradigen Spezialisierung und Arbeitsteilung in Arbeitsgruppen Des-halb ist die Aneignung und Uumlbung kollegialer wissenschaftlicher Arbeits- und Umgangsfor-men eine weitere wichtige Zielsetzung bull Experimentelle Aufgaben werden arbeitsteilig bearbeitet ihre Auswertung erfordert regel-

maumlszligig einen kritischen Meinungsaustausch in Gruppen bull Bei Vorgespraumlchen und Diskussionen werden verbale Darstellungsformen und sachlich-

kritische Auseinandersetzungen praktiziert und trainiert Diese notwendigen Grundformen wissenschaftlicher Arbeit kehren in spaumlteren Studienabschnitten und in der Berufstaumltigkeit wieder

I

ORDNUNG UND SICHERHEIT

Wie fuumlr andere Bereiche sind auch im Physikalischen Grundpraktikum einige grundsaumltzliche Festlegungen fuumlr den laufenden Lehrbetrieb in unseren Raumlumlichkeiten zu treffen die fuumlr ausnahmslos alle teilnehmenden Studierenden gelten Teilnahmeberechtigung Grundvoraussetzung ist der Besuch der rechtzeitig durch Aushaumlnge im Internet (Webseite des Instituts fuumlr Physik) und im Institut bekannt gegebenen Einfuumlhrungsveranstaltung bull Waumlhrend dieser Veranstaltung erfolgen die Einschreibung zum Kurs und die Einteilung in

Gruppen bull Es werden Hinweise zum Praktikumsablauf sowie zur Protokollierung und Auswertung von

Versuchen gegeben bull Kursplaumlne und Skripten werden ausgeteilt bull Es erfolgt eine Arbeitschutzbelehrung deren Kenntnisnahme aus ersichtlichen rechtlichen

Gruumlnden unbedingte Voraussetzung fuumlr die Teilnahme an den Versuchen ist und deshalb mit eigenhaumlndiger Unterschrift bei der Einschreibung bestaumltigt werden muss

Generelle Vorbedingung fuumlr die Durchfuumlhrung eines jeden einzelnen Versuches ist eine sach-gerechte Vorbereitung gestuumltzt auf die Versuchsanleitung und gegebenenfalls Zusatzliteratur Eine ungenuumlgende Vorbereitung hat grundsaumltzlich den Ausschluss vom laufenden Versuch zur Folge der in einem Folgesemester zu wiederholen ist Allgemeine Verhaltensregeln bull Jeder hat sich grundsaumltzlich so zu verhalten dass weder Personen gefaumlhrdet noch

Einrichtungen Geraumlte und Versuchsaufbauten beschaumldigt werden koumlnnen bull Das Praktikumspersonal (Leiter und Mechaniker) und die Versuchsbetreuer sind in den

Praktikumsraumlumen ohne Einschraumlnkung weisungsbefugt ihre Anweisungen sind zu befol-gen Bei Verstoumlszligen erfolgen ein Verweis aus den Raumlumlichkeiten und der Ausschluss vom Versuch

bull Die von den betreuenden Assistenten vom Praktikumspersonal sowie die in den Versuchsanleitungen gegebenen Hinweise zur Handhabung der Geraumlte und Versuchsanord-nungen sind strikt zu beachten

bull Bei der Belegung des Arbeitsplatzes ist seine Vollstaumlndigkeit und Ordnung zu uumlberpruumlfen Auftretende Stoumlrungen und Unregelmaumlszligigkeiten bei der Durchfuumlhrung der Versuche Beschaumldigungen und Funktionsstoumlrungen an Geraumlten und Einrichtungen sind sofort dem Betreuer zu melden Eigene Reparaturversuche sind grundsaumltzlich unzulaumlssig

bull Fuumlr fahrlaumlssig verursachte Schaumlden an Geraumlten und Arbeitsmaterialien koumlnnen die Studierenden zur Verantwortung gezogen werden (Haftpflicht)

bull Es steht jeweils nur die unmittelbar am Arbeitsplatz befindliche Ausruumlstung zur Verfuumlgung Es ist kategorisch untersagt Geraumlte und sonstige Arbeitsmittel von fremden Arbeitsplaumltzen zu benutzen Uumlber Ausnahmen kann nur der Betreuer in Absprache mit dem Praktikumsper-sonal entscheiden

bull Nach Beendigung des Versuches ist jeder Arbeitsplatz stets aufgeraumlumt und sauber zu verlassen die urspruumlngliche Ordnung ist wieder herzustellen

bull Haben Sie einen PC im PC-Pool benutzt so muumlssen Sie sich an diesem wieder abmelden Bei Stoumlrungen jeglicher Art (Papierstau im Drucker usw) im PC-Pool ist das Prakti-kumspersonal unverzuumlglich zu informieren eigene Behebungsversuche haben zu unterblei-ben Die Entnahme von Papier aus den Druckerfaumlchern zur Verwendung als bdquoSchmierpa-pierldquo o auml ist untersagt

bull Die Benutzung von Mobil-Telefonen MP3-Playern usw ist in den Laborraumlumen insbeson-dere waumlhrend des laufenden Lehrbetriebs grundsaumltzlich nicht gestattet

bull Das Essen und Trinken ist aus hygienischen Gruumlnden und wegen des notwendigen Arbeits- und Gesundheitsschutzes nur auszligerhalb der Laborraumlume moumlglich

II

ORDNUNG UND SICHERHEIT

bull Eigene Notebooks koumlnnen in den Laboren selbstverstaumlndlich verwendet werden Netzteile duumlrfen aber nur dann an das 230V-Netz angeschlossen werden wenn sie in technisch ein-wandfreien Zustand sind

bull Das Praktikum beginnt puumlnktlich zur im bekannt gegebenen Kursplan genannten Uhrzeit ohne akademisches Viertel Verspaumltungen werden nur in absolut triftig begruumlndeten Faumlllen durch den Betreuer akzeptiert wobei mehr als 15 Minuten Verspaumltung grundsaumltzlich zum Ausschluss vom Versuch fuumlhren

bull Fuumlr die Ausfuumlhrung eines Versuches steht nur die im Kursplan ausgewiesene Zeit zur Verfuumlgung Alle Arbeiten sind puumlnktlich abzuschlieszligen da nur fuumlr die geplanten Versuchs-zeiten eine Betreuung und Aufsicht gewaumlhrleistet werden kann Eine Zeituumlberschreitung ist deshalb nicht zulaumlssig

bull Fuumlr einen erfolgreichen Abschluss muumlssen Sie alle Versuche gemaumlszlig dem Kursplan absolvie-ren Bei wirklich begruumlndeten Ausfaumlllen wie z B durch Erkrankung (Vorlage eines Kran-kenscheins erforderlich) entscheidet der Praktikumsleiter uumlber eine eventuelle Nachhol-moumlglichkeit

Arbeiten mit elektrischen Schaltungen bull Der Auf- und Abbau elektrischer Schaltungen hat stets im spannungslosen Zustand (Strom-

versorgungsgeraumlte aus Batterien und Steckernetzteile nicht angeschlossen) und uumlbersicht-lich zu erfolgen

bull Bei elektrischen Messgeraumlten ist auf richtige Polung Einstellung des richtigen Messberei-ches und Verwendung der richtigen Messeingaumlnge zu achten

bull Elektrische Schaltungen muumlssen vor der Inbetriebnahme vom zustaumlndigen Versuchsbetreuer uumlberpruumlft und unter Spannung stehende Anlagen staumlndig uumlberwacht werden

bull Spannungsfuumlhrende Teile duumlrfen nicht beruumlhrt werden Gefaumlhrliche Spannungen sind in jedem Fall durch Schutzvorrichtungen vor Beruumlhrung gesichert Es ist untersagt solche Schutzvorrichtungen auszliger Betrieb zu setzen

bull Bei Unfaumlllen ist die Spannung sofort abzuschalten (Notausschalter rote Tastschalter neben der Tuumlr) und unter Beachtung der Eigensicherung Ersthilfe zu leisten Jeder Unfall muss unverzuumlglich gemeldet werden

Brandschutz bull Das Rauchen ist im gesamten Praktikum (auch im Flur vor den Praktikumsraumlumen sowie im

gesamten Gebaumlude) untersagt bull Bunsenbrenner und elektrische Heizgeraumlte sind so aufzustellen dass sich keine benachbar-

ten Gegenstaumlnde entzuumlnden koumlnnen Offene Flammen und eingeschaltete Heizgeraumlte muumlssen staumlndig beaufsichtigt werden

bull Abgebrannte Streichhoumllzer gehoumlren nicht in Papierkoumlrbe noch glimmende Streichhoumllzer duumlrfen nicht weggeworfen werden

bull Brennbare Fluumlssigkeiten (wie zB Ethanol) sind von offenen Flammen fernzuhalten bull Wird ein Brand bemerkt so ist das sofort zu melden und es sind nach Moumlglichkeit Loumlsch-

maszlignahmen einzuleiten Nassloumlschung ist wegen der elektrischen Anlagen nicht zulaumlssig bull Jede(r) hat sich uumlber die Lage und Funktionsweise der Handfeuerloumlscher zu informieren Fluchtwege und Evakuierung bull Bei notwendig werdender Evakuierung (akustische Signalisierung oder Anweisung durch

Praktikumspersonal bzw Versuchsbetreuer) ist unter Mitnahme der persoumlnlichen Wert-sachen und unbedingt notwendiger Oberbekleidung (Menschenleben gehen vor) uumlber den Gang und die Treppenhaumluser (Auf keinen Fall mit dem Lift) das Gebaumlude geordnet und ohne Panik zu verlassen

bull Sammelpunkt ist die Wiese vor dem Gebaumlude zwischen Schilfbeet und Fahrradstaumlnder jede(r) meldet sich sofort beim zustaumlndigen Versuchsbetreuer

III

LITERATUR

Aus der sehr groszligen Anzahl von guten Lehr- und Fachbuumlchern die fuumlr den Gebrauch im Physikalischen Grundpraktikum (und auch daruumlber hinaus) geeignet sind ist hier eine kleine Auswahl ohne Anspruch auf Vollstaumlndigkeit und auch ohne jede Wertung aufgelistet Aus eigener Erfahrung heraus kann man Studierenden die nachfolgenden Saumltze nicht oft genug ans Herz legen Es gibt niemals das eine und einzige Lehr- bzw Fachbuch Buumlcher sind fuumlr einzelne Teil-gebiete der Physik unterschiedlich geeignet meistens muss doch in verschiedenen Buumlchern nachgeschlagen werden Jeder nimmt individuell auf seine Weise auf dieselben Inhalte werden unterschiedlich wahrgenommen Auch die Art der Gestaltung zB mit Grafiken Uumlbersichten usw spielt (je nach bevorzugter Wahrnehmungsweise) eine groszlige Rolle Es ist deshalb ganz sicher eine kluge Entscheidung sich verschiedene Lehr- und Fachbuumlcher in Bibliotheken anzusehen und sie auf ihre Eignung fuumlr den individuellen Gebrauch zu testen Es musskann nicht jedes Buch gekauft werden auch wenn es sehr attraktiv erscheint Das gilt ebenso fuumlr Taschenbuumlcher bzw Nachschlagewerke Buumlcher zum physikalischen Grund- oder Anfaumlngerpraktikum W Walcher Praktikum der Physik B G Teubner (Stuttgart Leipzig) H-J Eichler H-D Kronfeldt J Sahm Das Neue Physikalische Grundpraktikum Springer (Berlin Heidelberg New York) W Ilberg M Kroumltzsch D Geschke Physikalisches Praktikum B G Teubner (Stuttgart Leipzig) J Becker H-J Jodl Physikalisches Praktikum fuumlr Naturwissenschaftler und Ingenieure VDI-Verlag (Duumlsseldorf) H-J Kunze Physikalische Messmethoden (Teubner Studienbuumlcher) B G Teubner (Stuttgart Leipzig) Buumlcher zur Physik bzw Experimentalphysik D W Preston E R Dietz The Art of Experimental Physics John Wiley amp Sons (New York) D Halliday R Resnick J Walker Physik Wiley-VCH (Berlin) PA Tipler G Mosca Physik fuumlr Wissenschaftler und Ingenieure Spektrum Akademischer Verlag (Heidelberg) D Meschede Gerthsen Physik Springer (Berlin Heidelberg New York) K Dransfeld P Kienle G M Kalvius H-J Koumlrner W Zinth Physik 1-4 Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) BergmannSchaefer Lehrbuch der Experimentalphysik (8 Baumlnde) Walter de Gruyter (Berlin New York) D Halliday R Resnick J Walker Fundamentals of Physics John Wiley amp Sons (New York) H Stroppe Physik fuumlr Studenten der Natur- und Ingenieurwissenschaften Hanser Fachbuch-verlag (Muumlnchen Leipzig) H J Paus Physik in Experimenten und Beispielen Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Haumlnsel W Neumann Physik (4 Baumlnde) Spektrum Akademischer Verlag (Heidelberg) H Pfeifer H Schmiedel Grundwissen Experimentalphysik B G Teubner (Stuttgart Leipzig) A M Portis H D Young Physik und Experiment (Band 6 des Berkeley Kurses Physik) F Vieweg und Sohn (Braunschweig) J Orear Physik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) D C Giancoli Physik Pearson Education Deutschland GmbH (Muumlnchen)

IV

LITERATUR

R P Feynman R B Leighton M Sands Feynman Vorlesungen uumlber Physik (3 Baumlnde) Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) Taschenbuumlcher und Nachschlagewerke fuumlr Formeln und Daten H Stoumlcker Taschenbuch der Physik Verlag Harri Deutsch (Frankfurt a M) D Mende G Simon Physik - Gleichungen und Tabellen Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Kuchling Taschenbuch der Physik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Ebert Physikalisches Taschenbuch F Vieweg amp Sohn (Braunschweig) H Heinemann H Kraumlmer H Zimmer Kleine Formelsammlung Physik Hanser Fachbuch-verlag (Muumlnchen Leipzig) F Kohlrausch V Kose S Wagner Praktische Physik (3 Baumlnde) B G Teubner (Stuttgart Leipzig) Buumlcher zur Messtechnik P Profos T Pfeifer (Hrsg) Grundlagen der Messtechnik Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) G Heyne Elektronische Messtechnik - Eine Einfuumlhrung fuumlr angehende Wissenschaftler Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) J Hoffmann Taschenbuch der Messtechnik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) J Niebuhr G Lindner Physikalische Messtechnik mit Sensoren Oldenbourg Industrieverlag (Muumlnchen) D Benda Wie misst man mit dem Oszilloskop Franzis Verlag GmbH (Poing) R Lerch Elektrische Messtechnik Analoge digitale und computergestuumltzte Verfahren Springer (Berlin Heidelberg New York) W Pfeiffer Digitale Messtechnik Springer (Berlin Heidelberg New York)

V

F1 FEHLERVERTEILUNG

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Systematische und zufaumlllige Messabweichungen Messunsicherhei-ten Standardabweichung Vertrauensbereich absolute und relative Haumlufigkeit Gauszligsche Normalverteilung Summenhaumlufigkeit Wahrscheinlichkeitsnetz Stichprobe Grundgesamtheit Alle Messungen physikalischer Groumlszligen sind unvermeidlich mit Messabweichungen bzw -unsicherheiten behaftet Sind systematische Abweichungen ausgeschlossen dann streuen die Messwerte (i = 1 n) aufgrund zufaumllliger Abweichungen symmetrisch um den Mittel- bzw Erwartungswert

ixx Berechnet man die scheinbaren Abweichungen

xxv minus= ii (1)einer Messreihe und stellt die absolute bzw die relative Haumlufigkeit also bzw )(k iv

( ) ( ) nkh ii vv = grafisch als Funktion der Abweichungen vi dar dann erhaumllt man eine treppenfoumlrmige Verteilungs-kurve (s Abb 1) Dazu werden die Ab-weichungen vi in gleichgroszligen Inter-vallen ∆v (Klasseneinteilung) zusam-mengefasst Im Grenzfall mit infinrarrn und Intervallbreite genuumlgen die Abweichungen v meist einer Normal-verteilung (Gauszlig-Verteilung)

0rarr∆v

Abb 1 Histogramm einer Normalverteilung ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus= 2

2

2exp

21

σσπϕ vv (2)

Diese Verteilung (ausgezogene Kurve in Abb 1) zeigt folgende Eigenschaften 1 Die Normalverteilung hat fuumlr v ein Maximum ist symmetrisch bezuumlglich dieses Maxi-

mums und strebt mit wachsendem v asymptotisch gegen Null = 0

2 Die Normalverteilung hat Wendepunkte bei σplusmn=v (σ ist die Standardabweichung) 3 Der Parameter σ bestimmt die Breite der Normalverteilung Bei kleinem σ entsteht eine

bdquoschlankeldquo Kurve mit geringer Streuung der Messergebnisse (svw wie groszlige bdquoGenauig-keitldquo der Messmethode) Ein groszliges σ bedeutet entsprechend das Gegenteil

Die Uumlberpruumlfung ob eine Messreihe (Stichprobe) einer Normalverteilung genuumlgt ist mit Hilfe bestimmter statistischer Verfahren moumlglich von denen einige in diesem Versuch ange-wandt werden Die statistische Analyse einer Messreihe setzt aber eine bdquohinreichendldquo groszlige Zahl von Messwerten voraus VERSUCHSDURCHFUumlHRUNG Im Regelfall wird der Versuch im Houmlrsaal mit allen Studierenden gemeinsam durchgefuumlhrt Uumlber einen Projektor (Beamer) wird eine Skale mit einer Marke (Zeiger) gezeigt Die Lage dieser Marke schaumltzt jeder Student fuumlr sich auf 001 Skalenteile genau und notiert sich im Messprotokoll seinen Mess- bzw Schaumltzwert Der wahre Wert wurde noch vor der Anzeige als Zufallszahl erzeugt und ist daher bekannt Dieser Wert wird unmittelbar nach erfolgter individueller Schaumltzung angesagt bzw gezeigt und im Messprotokoll ebenfalls notiert Insgesamt sind in diesem Versuch 100 Schaumltzungen auszufuumlhren

ix iwx

Diese Vorgehensweise erfordert eine hohe Konzentrationsfaumlhigkeit und Disziplin

1

F1 FEHLERVERTEILUNG

AUFGABEN 1 Ermittlung der Stichprobe 100 Schaumltzwerte xi der Stellung einer Marke und die zugehoumlri-

gen Werte xwi werden notiert Fuumlr die Datentabelle empfiehlt sich hier folgendes Schema vii xi xwi + 0 -

1 (176) (175) (001) 2 Berechnung der scheinbaren Abweichungen wiii xxv minus= 3 Vorzeichentest Man bestimme die Zahl n+ der positiven und die Zahl n- der negativen Ab-

weichungen vi Da die Abweichungen vi bei Annahme einer Normalverteilung symmet-risch zum Wert vi = 0 liegen sollten die Zahlen n+ und n- annaumlhernd gleich groszlig sein Wenn n die Zahl aller Messwerte ist muss fuumlr den positiven Ausgang des Vorzeichentests

nnn leminus minus+ erfuumlllt sein nplusmn ist die zu erwartende statistische Schwankung beim Stichprobenumfang n

4 Fuumlr die weitere Auswertung der Ergebnisse empfiehlt sich eine Tabelle in der die schein-baren Abweichungen ihrer Groumlszlige nach geordnet werden nach folgendem Schema

vj vj2 Strichliste k(vj) k(vj)middot vj

2 h(vj) H(vj) (min vj)

(max vj) 1000

Kontrollen 100 22 )( jji vvkv sdot= sumsum 1000

In diese Tabelle werden die Messwerte von Aufgabe 1 uumlbertragen indem man sie der Reihe nach durchgeht und bei dem entsprechenden in der Spalte bdquoStrichlisteldquo durch einen Strich markiert Die Zahl der Striche ergibt dann die absolute Haumlufigkeit

jv)(vk j

5 Mit 22 )(11jji vvk

nv

ns sdotplusmn=plusmn= sumsum wird aus den Abweichungen vi die empirische

Standardabweichung berechnet die eine Naumlherung fuumlr die Standardabweichung σ der Normalverteilung nach Gleichung (2) darstellt Im Nenner tritt hier n anstelle von n-1 auf weil bei diesem Versuch (ausnahmsweise) der wahre Wert der Messgroumlszlige bekannt ist

6 Die ermittelten relativen Haumlufigkeiten nvkvh jj )()( = der Abweichungen vj werden grafisch als Funktion von vj dargestellt (Histogramm Balkendiagramm) Durch das Histogramm versuche man nach Augenmaszlig eine Normalverteilungskurve zu legen

7 Mit den relativen Haumlufigkeiten aus Aufgabe 6 berechne man die Summenhaumlufigkeit und stelle diese Summenhaumlufigkeit H(vsum

le

=jk vv

kj vhvH )()( j) grafisch als Funktion von vj in

Form eines Histogramms (Balkendiagramm) dar 8 Test mit Wahrscheinlichkeitspapier Die Wertepaare der Summenhaumlufigkeitskurve (s

Aufgabe 7) uumlbertrage man auf ein Wahrscheinlichkeitsnetz und lege durch die Punkte im mittleren Bereich eine ausgleichende Gerade

9 Man entnehme der Darstellung auf dem Wahrscheinlichkeitsnetz (Aufgabe 8) bei H(vrsquo) = 016 (bzw 16) und H(vrsquorsquo) = 084 (bzw 84) die zugehoumlrigen Werte vrsquo und vrsquorsquo und vergleiche (vrsquorsquo-vrsquo)2 mit dem Wert der empirischen Standardabweichung (Aufgabe 5)

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr die Auswertung und das Verstaumlndnis des Versuches wird unbedingt die Lektuumlre der ent-sprechenden Abschnitte des Praktikumsskripts bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstellung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo empfohlen Die Druckvorlage fuumlr ein Wahrscheinlichkeitsnetz ist auf der Webseite des Grundpraktikums zu finden

2

F2 VOLUMENMESSUNG

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Auftriebskraft In diesem einfachen Versuch werden drei Methoden unterschiedlicher Genauigkeit zur Bestimmung des Volumens eines Probekoumlrpers verwendet und miteinander verglichen hin-sichtlich der jeweiligen Messunsicherheit 1 Methode (Uumlberlaufgefaumlszlig) Ein mit einem Uumlberlauf versehener Glasbehaumllter wird bis zum Uumlberlaufen mit Wasser gefuumlllt Durch Eintauchen des Probekoumlrpers dessen Volumen V1 bestimmt werden soll wird Wasser verdraumlngt das in einen Messzylinder flieszligt 2 Methode (Geometrie des Koumlrpers) Der Probekoumlrper ist ein Zylinder sein Volumen kann aus dem Durchmesser d und der Houmlhe h nach

hdV 22 4

π= (1)

berechnet werden 3 Methode (Auftriebsmessung) Der Probekoumlrper vom Volumen V3 wird mit einer Labor-waage mit symmetrischem Waagebalken in Luft gewogen Man benoumltigt fuumlr das Gleich-gewicht die Massennormale zur Kompensation der Gewichtskraft des Probekoumlrpers Taucht man ihn in Wasser (Dichte ρw ) dann erfaumlhrt er eine Auftriebskraft

1m gmF 1G =

3wA gVF ρ= (g = Fallbeschleunigung) Um die Waage wieder ins Gleichgewicht zu bringen benoumltigt man die Massennormale zur Kompensation der um die Auftriebskraft verminderten Gewichtskraft FG d h

2m AF

3w12 gV-gmgm ρ= Daraus folgt

w

213 ρ

mmV

minus= (2)

Die zur Bestimmung der Massenwerte und verwendete Laborwaage traumlgt in der Mitte des Waagebalkens einen Zeiger der uumlber einer Skale schwingt An seiner Stellung ist das Gleich-gewicht der Waage ablesbar Verschiebt sich durch eine einseitig wirkende Zusatz-masse ∆mrsquo die Zeigerstellung um ∆a dann bezeichnet man den Quotienten

1m 2m

maEprime∆

∆= (3)

als Empfindlichkeit der Waage sie ist ein Maszlig fuumlr ihre Guumlte und gestattet die Abschaumltzung der Messunsicherheit Systematische Messabweichungen der drei Methoden 1 Uumlberlaufgefaumlszlig Der sog Geraumltefehler ∆V des Messzylinders betraumlgt bei einem Nenninhalt von VN = 50 ml und einer Nenntemperatur von tN = 20 degC bis zu ∆V = plusmn 05 ml (4) Die Richtung und die Groumlszlige dieses Geraumltefehlers ∆V fuumlr voneinander abweichende Mess-temperatur und Nenntemperatur des Messzylinders wird mit Hilfe des thermischen Ausdehnungskoeffizienten des Glases abgeschaumltzt Ist das Nennvolumen des als Glasrohr betrachteten Messzylinders VN dann ist bei der Messtemperatur sein Volumen

Mt Nt

Mt ))(1( NMNM ttVV minus+= γ

mit als sog kubischem thermischem Ausdehnungskoeffizienten des Glases Daraus ergibt sich

-15 K1072 minussdot=γ

3

F2 VOLUMENMESSUNG

( )NM tt minus=∆ γVV (5) 2 Geometrie des Koumlrpers Die sog Fehlergrenzen ∆I beider Messgeraumlte sind wenn I die gemessene Laumlnge ist von folgender Groumlszlige Messschieber ∆l = plusmn (5sdot10-5 m + 1sdot10-4 l) (6) Buumlgelmessschraube ∆l = plusmn (5sdot10-6 m + 1sdot10-5 l) (7) 3 Auftriebsmessung Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Probekoumlrpers und der Massennormale (Dichte

) bei der Waumlgung in Luft (Dichte ) liefert 33N mkg1084 sdot=ρ 3

L mkg12=ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+minusasymp

minus

minussdot

minus=prime

w

L

N

L3

wL

NL

w

213 1

11

ρρ

ρρ

ρρρρ

ρVV mm (8)

Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Aufhaumlngedrahtes von dem das Volumen ∆V im Wasser eintaucht ergibt VVV ∆minusprime=primeprime 33 (9) AUFGABEN 1 Ermittelung der einzelnen Messgroumlszligen fuumlr jede der drei Methoden und Berechnung der

Volumenwerte Vi 2 Berechnung bzw Abschaumltzung der zufaumllligen Messabweichungen fuumlr alle Messgroumlszligen 3 Groumlszligenordnungsmaumlszligige Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen aller drei

Methoden Soweit moumlglich und sinnvoll Korrektur systematischer Abweichungen Betrachtung systematischer Restfehler

4 Uumlbersichtliche Zusammenstellung der Messergebnisse der zufaumllligen und der systemati-schen Abweichungen sowie der Messunsicherheiten fuumlr die einzelnen Messgroumlszligen

5 Berechnung der Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr die mittelbar bestimmten Volumenwerte nach dem Fortpflanzungsgesetz

6 Berechnung des gewogenen Mittelwertes einschlieszliglich seiner Unsicherheit sofern moumlg-lich und sinnvoll

VERSUCHSHINWEISE Methode 1 Der Messzylinder wird vor dem Eintauchen des Probekoumlrpers mit etwas Wasser gefuumlllt und dieser Fuumlllstand VA als Bezugsgroumlszlige gewaumlhlt Nach dem Einlaufen des verdraumlng-ten Wassers liest man den Fuumlllstand VE am Messzylinder ab so dass sich als Volumen des Probekoumlrpers AE1 VVV minus= (10) ergibt Die Messungen werden sechsmal durchgefuumlhrt und Bruchteile der Skalenteile geschaumltzt Methode 2 Die Houmlhe des Zylinders h wird sechsmal mit einem Messschieber und sein Durchmesser d wird sechsmal an verschiedenen Stellen mit einer Buumlgelmessschraube gemes-sen Methode 3 Jede Waumlgung wird zweimal ausgefuumlhrt und der Groumlszligtfehler aus der Empfindlich-keit der Waage nach Gl (3) abgeschaumltzt Als Groumlszligtfehler wird die Zusatzmasse ∆m angege-ben die einen Zeigerausschlag ∆a = 1 Skalenteil bewirkt Die Dichte des Wassers ist tempe-raturabhaumlngig und wird einer grafischen Darstellung am Versuchsplatz entnommen

4

F2 VOLUMENMESSUNG

In Aufgabe 1 werden die einzelnen Messgroumlszligen sowie die drei Volumenwerte Vi und in Auf-gabe 2 die zufaumllligen Abweichungen der einzelnen Messgroumlszligen ermittelt In Aufgabe 3 sind die systematischen Abweichungen zu diskutieren wobei zwischen den Korrekturen und den systematischen Restfehlern zu unterscheiden ist Fuumlr Aufgabe 4 muumlssen die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen verglichen und in Aufgabe 5 die Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr alle drei Methoden festgelegt werden Uumlberlappen sich die Bereiche der Messunsicherheiten ∆Vi nicht dann liegen entweder grobe Messfehler vor oder es existieren noch weitere bisher nicht erfasste systematische Abwei-chungen Uumlberlappen sich dagegen die Bereiche der Messunsicherheiten dann kann der gewogene Mittelwert und die zugehoumlrige Messunsicherheit berechnet werden (Aufgabe 6)

5

F3 FADENPENDEL

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Massenpunktmodell mathematisches und physikali-sches Pendel Bewegungsgleichung Schwerkraft Newtonsche Axiome Schwingungsdifferen-tialgleichung Ein an einem Faden aufgehaumlngter Koumlrper stellt aufgrund der auf ihn wirkenden Schwerkraft und seiner Traumlgheit ein schwingungsfaumlhiges System dar Betrachtet man (idealisiert) einen punktfoumlrmigen Koumlrper der Masse m der an einem Faden der Laumlnge l haumlngt und lenkt ihn um einen Winkel φ (Abb 1) aus der Senkrechten aus dann fuumlhrt der Koumlrper nach dem Loslassen Schwingungen um die Senkrechte aus

Abbildung 1 Fadenpendel

Bei Vernachlaumlssigung der Masse des Fadens und der Luftreibung wirkt auf den Koumlrper in jedem Punkt der Bahn senkrecht nach unten die Gewichtskraft

gmFG sdot= (1)wobei g die Fallbeschleunigung ist Die Normalkomponente (normal zur Bahn des Koumlrpers)

ϕcossdotsdot= gmFn dieser Kraft findet ihre Gegenkraft in der in der Aufhaumlngung auftretenden Kraft und beeinflusst die Bewegung des Koumlrpers nicht Dagegen erzeugt die Tangentialkom-ponente ϕsinsdotsdot= gmFt der Gewichtskraft entsprechend der Newtonschen Bewegungs-gleichung

ϕsin2

2

sdotsdotminus=sdot=sdot gmsmdt

sdm (2)

eine Beschleunigung des Koumlrpers laumlngs der kreisfoumlrmigen Bahnkurve Zwischen dem Aus-lenkwinkel φ und der Bahnkurvenkoordinate s auf der Bahnkurve besteht die Beziehung

ϕsdot= ls Bei (zeitlich) konstanter Fadenlaumlnge l folgt daraus unmittelbar

dtdl

dtds ϕ

sdot= und 2

2

2

2

dtdl

dtsd ϕ

sdot= (3)

Fuumlr kleine Auslenkwinkel φ gilt die bekannte Naumlherung ϕϕ asympsin die ebenso wie (3) in die Bewegungsgleichung (2) eingesetzt werden kann Daraus erhaumllt man die Newtonsche Bewe-gungsgleichung fuumlr das mathematische Pendel mit

02

2

=sdot+sdot ϕϕ gdtdl (4)

Diese Schwingungsdifferentialgleichung einfachster Form kann mit dem Ansatz

6

F3 FADENPENDEL

)sin(0 ψωϕϕ +sdotsdot= t mit lg

=ω (5)

geloumlst werden Die hier zunaumlchst willkuumlrlich erscheinenden Konstanten heiszligen Amplitude φ0

bzw Phasenkonstante ψ und sind durch die konkreten Anfangsbedingungen fuumlr t = 0 festge-legt Das mathematische Pendel vollfuumlhrt demnach bei Auslenkung um kleine Winkel harmo-nische Schwingungen mit der Kreisfrequenz ω und der Periodendauer

glT π

ωπ 22== (6)

die unabhaumlngig von der Masse m und der Amplitude φ0 ist Die Beziehung (6) erlaubt prinzipiell bei bekannter Pendellaumlnge l durch Messung der Perio-dendauer T eine Bestimmung der Fallbeschleunigung g Allerdings ist die Pendellaumlnge l nur sehr ungenau zu bestimmen Deshalb bedient man sich hier zweckmaumlszligig eines einfachen Tricks Die Laumlnge l kann um genau einstellbare Betraumlge li veraumlndert werden und setzt sich gemaumlszlig zusammen Damit wird aus (6) durch entsprechende Umformung illl += 0

( )ii llgg

lT +sdot== 0

222 44 ππ (7)

Misst man nun die Periodendauern Ti fuumlr die entsprechenden li und stellt die Abhaumlngigkeit

Ti2(li) dar so ergibt sich eine Gerade mit dem Anstieg

g

24π und dem Achsenabschnitt

0

24 lg

sdotπ Damit werden die Groumlszligen g und l0 bestimmbar

Die oben vorgenommenen Vereinfachungen die zur Herleitung der Beziehung (6) verwendet wurden beduumlrfen noch einer weiteren Diskussion Betrachtung beliebiger Winkel Ohne die obige Beschraumlnkung auf kleine Winkel φ liefert die Loumlsung der sog elliptischen Differentialgleichung (2) fuumlr die Periodendauer das (exak-tere) Ergebnis

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdotsdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛sdot+sdot=

2sin

2sin1 042

43

21022

21 ϕϕ

ϕ TT (8)

wobei T durch die Beziehung (6) gegeben ist Beruumlcksichtigung des Auftriebs in Luft Der Massekoumlrper aus Blei mit der Dichte von ρK = 11340 kgm-3 und dem Volumen VK erfaumlhrt in Luft der Dichte ρL asymp 12 kgm-3 eine Auftriebskraft gVF KLA sdotsdot= ρ die der Gewichtskraft gVgmF KKG sdotsdot=sdot= ρ entgegen-gerichtet ist Unter Beruumlcksichtigung dieses Auftriebs in Luft erhaumllt man schlieszliglich fuumlr die Periodendauer

LK

KA TT

ρρρminus

sdot= (9)

Betrachtung fuumlr ausgedehnten Massekoumlrper Die Ausdehnung des schwingenden Koumlrpers kann man beruumlcksichtigen wenn man von der Bewegungsgleichung des sog physikalischen Pendels (vgl Versuch bdquoM9 Reversionspendelldquo) ausgeht Die genaue Betrachtung bzw Herleitung wird hier bewusst nicht angegeben sondern nur das Ergebnis Mit bekannten Abmessungen des Bleizylinders (Radius R und Houmlhe h) am Faden der Laumlnge l bestimmt sich die Periodendauer zu

2

22

1231

lhRTTs sdot

++sdot= (10)

7

F3 FADENPENDEL

Der Einfluss des Fadens wurde auch bei diesen Betrachtungen aber ebenso vernachlaumlssigt wie die auftretende Reibung Es ist sicherlich empirisch einsichtig dass schwache Reibung zu einer gedaumlmpften Schwingung fuumlhren wird Die Schwingungsamplitude klingt dann

exponentiell mit sehr groszliger Zeitkonstante τ wie τt

eminus

ab AUFGABEN 1 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine feste Fadenlaumlnge Die Zeitmessung erfolgt fuumlr 10

Schwingungen jeweils zehnmal an einem Umkehrpunkt und beim Nulldurchgang des Pendels Berechnung von Mittelwerte Standardabweichung und Vertrauensbereich der Periodendauer und Diskussion der Unterschiede zwischen beiden Verfahren

2 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine Schwingung beim Nulldurchgang mit zehnfacher Messung Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung anschlieszligend Vergleich mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe 1 und Diskussion der Unterschiede

3 Bestimmung der Periodendauer fuumlr 10 verschiedene Fadenlaumlngen li Aus jeweils 2 Messungen fuumlr 10 Schwingungen sind die Mittelwerte fuumlr die Periodendauern Ti(li) zu berechnen

4 Grafische Darstellung der Ergebnisse der 3 Aufgabe in der Form Ti2(li) in einem

Diagramm Verwendung von Gleichung (7) zur Bestimmung von Fallbeschleunigung g und Anfangslaumlnge des Pendels l0 sowohl durch grafischen Geradenausgleich als auch numerische lineare Regression mit Ermittlung der zugehoumlrigen Unsicherheiten

5 Aus den Ergebnissen der 4 Aufgabe fuumlr l0 und g ist gemaumlszlig Gleichung (6) die Periodendauer T einschlieszliglich ihrer Unsicherheit zu berechnen und mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe zu vergleichen

6 Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen fuumlr die Periodendauer gemaumlszlig der og drei Gleichungen (8-10) und ihres Einflusses auf die g-Bestimmung Diskussion der Relevanz entsprechender Korrekturen

VERSUCHSHINWEISE Ein gegossener Bleizylinder (Radius R asymp 23 mm Houmlhe h asymp 23 mm Masse m asymp 08 kg) haumlngt an einem duumlnnen Stahldraht Die Pendellaumlnge laumlsst sich durch einen Schieber in dessen Fuumlhrung der Draht laumluft veraumlndern Die Laumlngenaumlnderung kann mit Hilfe von Ringmarken deren Abstand 2 cm betraumlgt eingestellt werden Bei Auslenkung des Pendels aus seiner Ruhelage fuumlhrt es Schwingungen aus deren Periodendauer mit einer von Hand ausgeloumlsten Stoppuhr bestimmt wird Fuumlr die ersten beiden Aufgaben ist zweckmaumlszligig (warum) eine moumlglichst groszlige Fadenlaumlnge zu waumlhlen Die zugehoumlrige Stellung des Schiebers ist unbedingt zu notieren da sie spaumlter benoumltigt wird Fuumlr die 3 Aufgabe wird die Anfangsfadenlaumlnge l0 um die Werte li (i = 110) in Schritten von 4 cm verringert Fuumlr die mit der 4 Aufgabe erforderliche Auswertung sind grafische Mittel (Anstiegsdreieck grafische Extrapolation auf den Achsenabschnitt) und ein rechentechnisches Verfahren (lineare Regression) einzusetzen Fuumlr Aufgabe 5 ist das bei Aufgabe 4 bestimmte Ergebnis fuumlr die Anfangslaumlnge l0 zu verwenden Bei Aufgabe 6 muss ermittelt werden wie sich die Korrekturen der Schwingungsdauer gemaumlszlig (8-10) auf die Fallbeschleunigung g auswirken Beachten Sie hier dass g aus dem Anstieg der Geraden gemaumlszlig der 4 Aufgabe nach Gleichung (7) bestimmt wird Uumlberlegen Sie welche zufaumllligen und welche systematischen Abweichungen die Messunsicherheit der Fallbeschleunigung g wesentlich bestimmen

8

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Traumlgheitsgesetz Grundgesetz der Dynamik Feder-konstante Federkraft harmonische Schwingung Frequenz Periodendauer Amplitude In diesem Versuch soll die Federkonstante einer Schraubenfeder mit drei verschiedenen Methoden bestimmt werden Bei der Auswertung der Ergebnisse sind Grundbegriffe und Methoden der Fehlerrechnung und ndashanalyse gezielt anzuwenden und zu uumlben 1 Statische Messung der Federkonstanten Wird eine am oberen Ende eingespannte Schraubenfeder am unteren Ende durch Anhaumlngen einer Masse m belastet so wird die Feder gedehnt und es stellt sich eine neue Ruhelage ein (Abb 1 statischer Fall) Die Gewichtskraft

gmFG sdot= und die durch die elastische Verformung entstehende Federkraft (mit k als Federkonstante) stehen im Gleichgewicht (Newtonsches Traumlgheitsgesetz)

xkFF sdotminus=

0=+ FG FF (1)

Abbildung 1 Statische und dynamische Belastung einer Schraubenfeder

Durch Einsetzen der Beziehungen fuumlr beide Kraumlfte und einfache Umstellung ergibt sich daraus

kgmx sdot

= (2)

Die statische Auslenkung x der Schraubenfeder muss demnach linear von der Belastung m abhaumlngig sein Durch die experimentelle Untersuchung der Abhaumlngigkeit x(m) kann sowohl die Linearitaumlt des Federkraftgesetzes xkFF sdotminus= uumlberpruumlft als auch die Federkonstante k bestimmt werden 2 Dynamische Messung der Federkonstanten Lenkt man eine mit der Masse m belastete Feder aus ihrer Ruhelage aus (Abb 1 dynamischer Fall) dann wirkt eine ruumlcktreibende

Federkraft und die Masse m erfaumlhrt eine Beschleunigung xkFF sdotminus=mFx

dtxda F=== 2

2

nach

dem Newtonschen Grundgesetz der Dynamik Fuumlr die weiteren Betrachtungen sollen jegliche Reibungskraumlfte vernachlaumlssigt werden daher ergibt sich aus der Newtonschen Bewegungs-gleichung hier die einfachste Form einer Schwingungsdifferentialgleichung mit

02

2

=sdot+sdot xkdt

xdm (3)

9

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

die eine freie ungedaumlmpfte Schwingung beschreibt Mit den willkuumlrlich ausgewaumlhlten Anfangsbedingungen (Anfangslage) und 0)0( xtx == 0)0( 0 === vtx (Anfangsgeschwin-digkeit) lautet ihre Loumlsung

)cos()( 0 txtx sdotsdot= ω (4)wobei physikalisch x0 als Amplitude und mk=ω als Kreisfrequenz der freien ungedaumlmpf-ten Federschwingung bezeichnet werden Der Koumlrper der Masse m schwingt nach Auslen-kung (aus der Gleichgewichts- bzw Ruhelage um x0) in Form einer harmonischen Schwin-gung mit der Periodendauer

kmT π

ωπ 22== (5)

die experimentell direkt gemessen werden kann Aus (5) ist bei bekannter Masse m die Feder-konstante k bestimmbar 3 Berechnung der Federkonstanten aus der Geometrie und den Materialeigenschaften der Schraubenfeder Durch eine Auslenkung aus der Ruhelage wird die Schraubenfeder gedehnt und damit der gesamte Federdraht auf sog Torsion (svw bdquoVerdrehungldquo oder bdquoVerdrillungldquo) beansprucht Ohne weitere Herleitung sei hier eine Beziehung angegeben die es gestattet aus dem sog Torsionsmodul G (als Materialkonstante des Federdrahtes) und den geometrischen Daten der Schraubenfeder (Drahtlaumlnge l Drahtdurchmesser d und Wickel-radius r) die Federkonstante k zu berechnen

2

4

32 rldGksdotsdot

sdot=π (6)

AUFGABEN 1 Aus dem statischen Verhalten einer Schraubenfeder ist deren Federkonstante experimentell

zu bestimmen Dazu ist gemaumlszlig Beziehung (2) die statische Auslenkung x in Abhaumlngigkeit von der Belastung m mit verschiedenen Massestuumlcken zu messen Die Daten sind in der Form x = x(m) als Diagramm grafisch darzustellen und daraus die Federkonstante k zu er-mitteln Fuumlr die zu erwartende lineare Abhaumlngigkeit ist sowohl mit einfacher grafischer Methode (bdquoSteigungsdreieckldquo) als auch numerisch (Geradenausgleichsrechnung lineare Regression) der Anstieg von x = x(m) und daraus die Federkonstante (jeweils auch ein-schlieszliglich der Messunsicherheit) zu bestimmen

2 Mithilfe des dynamischen Verhaltens des Federschwingers ist fuumlr dieselbe Feder die Federkonstante aus der experimentell beobachteten Periodendauer der Schwingung zu bestimmen (jeweils auch einschlieszliglich der Messunsicherheit) Dazu ist Formel (5) bei be-kannter und sinnvoll gewaumlhlter Masse m zu nutzen

3 Mithilfe von Formel (6) ist aus den Daten der Schraubenfeder die am Versuchsplatz angegeben sind die Federkonstante k einschlieszliglich ihrer resultierenden Unsicherheit zu berechnen

4 Die Obergrenzen fuumlr systematische Messabweichungen bei den ersten beiden Aufgaben (statische und dynamische Messung der Federkonstanten) sind abzuschaumltzen (Groumlszligenord-nungen) Es ist zu analysieren welche dieser systematischen Abweichungen korrigierbar sind und welche dann tatsaumlchlich in die Messunsicherheit des Endergebnisses eingehen

5 Fuumlr alle drei Methoden (Aufgaben 1-3) sind die Ergebnisse (einschlieszliglich Messunsicher-heit) fuumlr die Federkonstante uumlbersichtlich darzustellen miteinander zu vergleichen und zu diskutieren Sofern moumlglich ist ein gewichteter Mittelwert zu ermitteln

10

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

VERSUCHSHINWEISE Die Schraubenfeder ist mit einem Ende an einem Stativ befestigt Zur Messung der Auslen-kung der Feder aus der Ruhelage wird die Stellung der an der Feder befindlichen Marke M (Abb 1) auf einer Spiegelskale abgelesen (Welchen Vorteil bietet eine Spiegelskale gegen-uumlber einer einfachen Skale) Die sog Verkehrsfehlergrenze der Massennormale ist fuumlr die Masse m = 50 g mit ∆m = plusmn 01 g festgelegt Bei Messung einer Laumlnge l mit der Spiegelskale ist die Messunsi-cherheit ∆l = plusmn (02 mm + 5middot10-4middotl) Fuumlr die Fallbeschleunigung ist (lt Festlegung der Eichbe-houmlrden der Laumlnder fuumlr Waagen) ein Wert von g = (98130 plusmn 00001) mmiddots-2 zu verwenden Fuumlr die 1 Aufgabe wird die Feder schrittweise bis 400 g mit Massestuumlcken von 50 g belastet und mit Hilfe einer Spiegelskale an der Marke M die Auslenkung x gemessen (erste Mess-reihe) Nach Erreichen der Houmlchstbelastung von 400 g ist dann die Feder wieder schrittweise zu entlasten (zweite Messreihe) a) Aus der grafischen Darstellung x = x(m) ist mithilfe des bdquoSteigungsdreiecksldquo der Anstieg

gk grafisch zu ermitteln und seine Unsicherheit entsprechend abzuschaumltzen (vgl Einfuumlh-rungsskript) Daraus sind dann die Federkonstante k als mittelbar bestimmter Groumlszlige und ihre Unsicherheit ∆k zu berechnen

b) Durch lineare Regression ist mithilfe geeigneter Software (s Einfuumlhrungsskript und Vorle-sung) der Anstieg und seine Unsicherheit numerisch zu ermitteln daraus ebenfalls wieder die Federkonstante und deren Unsicherheit

Fuumlr die 2 Aufgabe wird die Feder mit einer Gesamtmasse von 400 g belastet und 10mal die Zeit fuumlr jeweils 20 Schwingungen mithilfe einer Stoppuhr gemessen Daraus ist der Mittel-wert der Periodendauer T und ihr Vertrauensbereich sT zu berechnen und mittelbar damit die Federkonstante k uumlber Gleichung (5) mit ihrer Messunsicherheit a) Zur Genauigkeit der Messung mit Stoppuhren sind im Einfuumlhrungsskript ausfuumlhrliche Hin-

weise enthalten Entsprechend den dort enthaltenen Angaben sind die systematischen Messabweichungen mit ihrer Auswirkung auf die Periodendauer und die Federkonstante realistisch abzuschaumltzen

b) Bezuumlglich der Massen ist bereits ein Hinweis bei Aufgabe 1 gegeben worden Zusaumltzlich muumlsste noch der Einfluss der Eigenmasse der Feder von mF asymp 5 g auf die Periodendauer beruumlcksichtigt werden Die Teile der Feder nehmen unterschiedlich an der Bewegung teil es kann als zu beruumlcksichtigende Zusatzmasse macute= mF3 gesetzt werden Somit ergibt sich

fuumlr die Periodendauer m

mTk

mmT F

312acute +=

+= π

c) Auch bei sehr sorgfaumlltiger Anfangsauslenkung fuumlhrt der Federschwinger nach einigen Schwingungen unvermeidlich seitliche Schwingungen aus Wie beeinflusst diese Bewe-gung die gemessene Periodendauer Man uumlberlege sich auch welche Auswirkungen die in der Betrachtung vernachlaumlssigte aber unvermeidlich auftretende Reibung auf das Ergebnis dieses Verfahrens hat

Fuumlr die 3 Aufgabe sind am jeweiligen Versuchsplatz die Messunsicherheiten der einzelnen Groumlszligen mit angegeben Eine Unterscheidung von zufaumllligen und systematischen Komponen-ten ist hier allerdings nicht moumlglich Fuumlr Aufgabe 5 ist eine tabellarische Darstellungsweise vorzuziehen In Zusammenhang mit dem gewogenen Mittelwert ist zu analysieren unter welchen Bedingungen er uumlberhaupt sinn-voll gebildet werden kann

11

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Dichte Auftriebskraft Analy-senwaage Pyknometer Ein sog Pyknometer ist ein Geraumlt zur Bestimmung der Dichte fester Koumlrper Es besteht aus einem Glasgefaumlszlig mit eingeschliffenem Stopfen der eine kapillare Bohrung hat Das Pykno-meter kann reproduzierbar mit groszliger Genauigkeit mit Wasser gefuumlllt werden Zur Dichtebe-stimmung mit dem Pyknometer sind drei Waumlgungen mit einer Analysenwaage noumltig wobei der Auftrieb der zu waumlgenden Koumlrper (Probe bzw Pyknometer) in Luft (Dichte ρL) zu beruumlck-sichtigen ist 1 Waumlgung der Probe in Luft Fuumlr eine Probe (Masse m1 Volumen V1) wird die Gewichts-kraft durch die ihr entgegengesetzt gerichtete Auftriebskraft gmF sdot= 11 gVF LA sdotsdot= ρ11 vermindert so dass im Gleichgewicht die Waage den Wert m1rsquo anzeigt Die Gleichgewichts-bedingung liefert

111 mVm L =sdotminus ρ (1)2 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers Das vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllte Pykno-meter (Volumen VP) hat die Gesamtmasse m2 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m2rsquo an so dass gilt

22 mVm LP =sdotminus ρ (2)3 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers mit Probe Das mit Wasser und der Probe gefuumlllte Pyknometer hat die Gesamtmasse m3 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m3rsquo an so dass gilt

33 mVm LP =sdotminus ρ (3)Zwischen den Massen m1 m2 und m3 besteht der Zusammenhang

232311 mmmmVm W minus=minus=sdotminus ρ (4)wobei ρW die Dichte des Wassers ist Zur Bestimmung der Dichte ρ1 der Probe kann man aus den Gleichungen (1) und (4) die Unbekannten m1 und V1 ermitteln Man erhaumllt

)()(

231

231

1

11 mmm

mmmVm LW

minusminussdotminusminussdot

==ρρρ (5)

AUFGABEN 1 Bestimmung der Masse m1rsquo fuumlr zwei verschiedene Metallproben (Al und Cu) durch

Waumlgung in Luft Fuumlr jede Probe erfolgt die Waumlgung sechsmal wobei die Probe immer neu auf die Waage zu legen ist Bestimmung der zugehoumlrigen Mittelwerte

2 Bestimmung der Masse m2rsquo des vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllten Pyknometers durch Waumlgung Die jeweils erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt sechsmal Bestimmung des Mittelwertes

3 Bestimmung der Masse m3rsquo des mit Wasser und jeweiliger Metallprobe gefuumlllten Pykno-meters durch Waumlgung Die erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt fuumlr jede Probe sechsmal Bestimmung der Mittelwerte

4 Berechnung der Dichte der beiden Metallproben nach Gleichung (5) 5 Bestimmung der jeweiligen Messunsicherheiten fuumlr die unmittelbar gemessenen Groumlszligen

m1rsquo m2rsquo und m3rsquo fuumlr beide Proben 6 Abschaumltzung bzw Berechnung (Fortpflanzung) der resultierenden Messunsicherheiten der

mit (5) mittelbar bestimmten beiden Dichten Vergleich der Ergebnisse fuumlr die beiden Dichten mit Referenzwerten

12

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

VERSUCHSHINWEISE Die Waumlgungen werden mit einer elektronischen Analysenwaage durchgefuumlhrt bei der die auf-gelegte Last (Abb 1 oberer Pfeil) durch eine elektromagnetische Kraft kompensiert wird Mit einer optoelektronischen Abtastung (1) wird die Stellung der Waagschale (2) gemessen und mit diesem Signal der Kompensationsstrom in der Spule (3) gesteuert Der Kompensations-strom erzeugt zwischen Permanentmagnet (4) und Spule eine Kraft so dass die Waagschale in die Null-Lage zuruumlckgefuumlhrt wird der Strom ist der Last proportional Zur Durchfuumlhrung der Waumlgungen beachte man unbedingt die Hinweise des Versuchsbetreuers und die Platz-anleitung

Abb1 Messprinzip der eAnalysenwaage

lektronischen

Fuumlr Aufgabe 2 wird das Pyknometer bis zum Rand mit destilliertem Wasser gefuumlllt wobei die Bildung von Luftblaumlschen zu vermeiden ist Verschlieszligt man das Pyknometer mit dem ange-schliffenen Stopfen so laumluft Wasser uumlber das sehr sorgfaumlltig mit Filterpapier abzuwischen ist Das Anfassen des Pyknometers muss aumluszligerst vorsichtig erfolgen um seine Erwaumlrmung zu vermeiden (warum) Nach dem Abwischen wird mit Filterpapier der auf der Kapillare stehende Tropfen abgenommen so dass die Kapillare bis oben mit Wasser gefuumlllt ist Fuumlr die durchzufuumlhrenden Waumlgungen ist das Pyknometer stets erneut zu befuumlllen Fuumlr Aufgabe 3 wird der Probekoumlrper in das Pyknometer gebracht und dann mit destilliertem Wasser aufgefuumlllt weiter ist sinngemaumlszlig wie bei Aufgabe 2 zu verfahren Fuumlr Aufgabe 4 sind zusaumltzlich zu den Werten m1rsquo m2rsquo und m3rsquo auch der Luftdruck p sowie die Zimmer- und Wassertemperatur zu bestimmen Die Temperaturen koumlnnen als gleich vor-ausgesetzt werden da das destillierte Wasser sich bereits sehr lange im Versuchsraum befin-det Die temperaturabhaumlngige (s Abb 2) Dichte ρW von reinem (luftfreiem) Wasser laumlsst sich im Temperaturintervall 0degC lt θ lt 40degC naumlherungsweise berechnen mit

4-73-52323 1046657-10772108768-1066299984)( θθθθρ sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot+=sdot minusminusminusmkgw

wobei die Temperatur θ in degC einzusetzen ist (Fehler der Naumlherung ) Diese Naumlhrung gilt bei sog Normaldruck (p

3210 minusminus sdotlt∆ mkgWρN = 1013 kPa) Warum kann die Druckabhaumlngig-

keit hier vernachlaumlssigt werden Die Druckabhaumlngigkeit muss aber bei der Luftdichte unbedingt beruumlcksichtigt werden ebenso wie die Luftfeuchtigkeit (warum) Man verwendet die Beziehung

TRp

fL sdot=ρ

13

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

wobei p der Luftdruck (in Pa) T die Lufttemperatur (in K) und Rf die Gaskonstante feuchter Luft ist Diese Gaskonstante Rf berechnet sich wiederum aus

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdotminus

=

d

ld

lf

RR

pp

RR11 ϕ

0 10 20 30 40992

993

994

995

996

997

998

999

1000

Dic

hte ρ w

(kg

m3 )

Temperatur θ (degC)

-10 0 10 20 3011

12

13

Dic

hte ρ L (k

gm

3 )Temperatur θ (degC)

Abb 2 Temperaturabhaumlngigkeit der Dichte fuumlr (reines) Wasser und (trockene) Luft

Hier ist Rl = 28705 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante trockener Luft Rd = 461 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante von Wasserdampf und φ die relative Luftfeuchtigkeit Die Groumlszlige pd ist der Saumlt-tigungsdampfdruck von Wasser in Luft der sich empirisch mit der sog Magnus-Formel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+degsdot

sdot=θθ

CPapd 2241

504317exp213611)( im Intervall CC degleledegminus 7030 θ

berechnen laumlsst wobei θ wieder die Temperatur (in degC) ist Fuumlr Aufgabe 5 sind die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen der Waumlgungen zu ermitteln Die Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo werden alle mit der gleichen Analysenwaage ermittelt fuumlr die vom Hersteller eine Garantiefehlergrenze (systematischer Restfehler) von 02 mg angegeben wird Diese Garantiefehlergrenze ist fuumlr alle drei Massenwerte als geraumlte-bedingte systematische Abweichung zu beruumlcksichtigen Fuumlr die Messwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo haumlngt es von der sorgfaumlltigen Versuchsdurchfuumlhrung (Abtupfen des Wassers ) ab ob die zufaumlllige undoder die systematische Abweichung die Messunsicherheit bestimmt Fuumlr Aufgabe 6 ist nur die Messunsicherheit der Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo zu beruumlcksich-tigen Die berechneten Werte fuumlr die Dichten von Luft und Wasser koumlnnen als praktisch fehlerfrei angenommen werden

14

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Erster Hauptsatz der Thermodynamik Waumlrmemenge Waumlrmekapazitaumlt Richmannsche Mischungsregel Arbeit von Gleich- und Wechselstrom Waumlrmeaustauschkorrektur (s Skript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstel-lung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo) Waumlrme ist eine Energieform die zwischen Koumlrpern ausgetauscht wird oder in andere Energie-formen umgewandelt werden kann Fuumlhrt man einem Koumlrper der Masse m die Waumlrmemenge dQ zu dann ist die sich einstellende Temperaturerhoumlhung dT proportional zur zugefuumlhrten Waumlrmemenge

dTcmdQ sdotsdot= (1)wobei der Proportionalitaumltsfaktor c als spezifische Waumlrmekapazitaumlt mit der SI-Einheit Jmiddotkg-1middotK-1 bezeichnet wird und eine Stoffkonstante ist Aus (1) ergibt sich

dTdQ

mc sdot=

1 (2)

Das Produkt cmC sdot= (3)

mit der SI-Einheit JmiddotK-1 nennt man Waumlrmekapazitaumlt des Koumlrpers Zur Bestimmung von Waumlrmemengen benutzt man sog Kalorimeter wobei anisotherme Aus-fuumlhrungen mit sehr gut waumlrmeisolierten Gefaumlszligen am haumlufigsten verwendet werden Fuumlhrt man einem mit Wasser der Masse mW (teilweise) gefuumlllten Kalorimeter eine Waumlrmemenge ∆Q zu dann werden auszliger dem Wasser auch alle Teile des Kalorimeters wie zB Gefaumlszligwandung Thermometer und Ruumlhrer erwaumlrmt Die gesamte Waumlrmekapazitaumlt der Versuchsanordnung setzt sich also aus der des Wassers (mWmiddotcW) und der des Kalorimeters (CK) zusammen

( ) TCcmQ KWW ∆sdot+sdot=∆ (4)Die spezifische Waumlrmekapazitaumlt von Wasser hat als Stoffkonstante den Wert cW = 41813 kJmiddotkg-1middotK-1 (bei 25degC) Die Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorime-ters ist rechnerisch nur naumlherungsweise moumlglich deshalb wird sie ia experimentell ermittelt 1 Elektrische Methode Flieszligt durch einen Ohmschen Leiter (Heizspirale) an dem die Spannung U anliegt der Strom I dann entsteht im Zeitintervall ∆t in ihm eine der elektri-schen Energie aumlquivalente Waumlrmemenge

tIUQ ∆sdotsdot=∆ (5)Uumlbertraumlgt man diese Waumlrmemenge an das Wasser (Masse mW) und das Kalorimeter (Waumlrme-kapazitaumlt CK) dann steigt die Wassertemperatur gemaumlszlig (4) Bei verlustloser Waumlrmeuumlbertra-gung sind beide Waumlrmemengen gleich (Energieerhaltungssatz) und es gilt

( ) TCcmtIU KWW ∆sdot+sdot=∆sdotsdot (6)so dass CK bestimmt werden kann 2 Mischungsmethode Fuumlgt man kaltem Wasser der Masse m1 und Temperatur T1 in einem Kalorimeter warmes Wasser der Masse m2 und Temperatur T2 hinzu so findet ein Waumlrmeaus-tausch statt bis das gesamte Wasser die Mischungstemperatur Tm angenommen hat Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dass die vom warmen Wasser abgegebene Waumlrmeenergie

gleich der vom kalten Wasser und dem Kalorimeter aufgenommenen Waumlrmeenergie

)( 222 mW TTcmQ minussdotsdot=∆( ) )( 111 TTCcmQ mKW minussdot+sdot=∆ sein muss Der Energieerhaltungssatz in dieser

speziellen Form des Austausches von Waumlrmemenge heiszligt Richmannsche Mischungsregel und ergibt die Gleichung

( ) )()( 2211 mWmKW TTcmTTCcm minussdotsdot=minussdot+sdot (7)zur Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorimeters

15

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

AUFGABEN 1 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der elektrischen Methode gemaumlszlig (6) 2 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 1 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 3 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der Mischungsmethode mit (7) 4 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 3 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 5 Fuumlr beide Methoden fuumlhre man eine Bestimmung der Messunsicherheit der Waumlrmekapazi-

taumlt durch und vergleiche die Endergebnisse miteinander VERSUCHSHINWEISE Das Verfahren zur Waumlrmeaustauschkorrektur Bei kalorimetrischen Messungen ist ein Waumlrmeaustausch mit der Umgebung unvermeidlich (offenes thermodynamisches System) und meist stoumlrend Aus dem gemessenen zeitlichen Temperaturverlauf ist er aber abzulesen (s Abb 1)

DE

Abbildung 1 Zeitlicher Verlauf der Temperatur im Kalorimeter

In der Vorperiode erhaumllt man den ansteigenden Kurvenabschnitt ArarrB in der Nachperiode den abfallenden Kurvenabschnitt ErarrF Das liegt daran dass das Kalorimeter eben nicht adia-batisch bzw isentrop ist Die Temperatur der Kalorimeterfluumlssigkeit im Innern gleicht sich in beiden Abschnitten jeweils (asymptotisch) an die Umgebungstemperatur TU an wobei der Waumlrmefluss proportional zur Temperaturdifferenz ist Es laumlsst sich zeigen dass der Gleichge-wichtszustand zeitlich exponentiell angenommen wird Im vorliegenden Fall ist aber die ent-sprechende Zeitkonstante sehr groszlig im Vergleich zur Messzeit so dass die beiden Abschnitte ArarrB und ErarrF naumlherungsweise jeweils durch eine Gerade beschrieben werden duumlrfen Die-ser Sachverhalt gestattet es auszligerdem in diesen Abschnitten die Messwerte in groumlszligerer zeitli-cher Schrittweite aufzunehmen Aufgrund des real zeitlich ausgedehnten Waumlrmeaustausches mit der Umgebung beobachtet man einen stetigen und differenzierbaren Verlauf der Kurve im Abschnitt BrarrE Nur wenn die im Experiment zugefuumlhrte Waumlrme sofort verteilt wuumlrde waumlre die Temperaturkurve eine Sprungfunktion Das System braucht eine gewisse Zeit bis sich ein neues Gleichgewicht ein-stellen kann Es verhaumllt sich so als ob es uumlber ein ganzes Zeitintervall bdquoverschmiertldquo waumlre Es gilt also die Endzeit der Waumlrmezufuhr zu finden Sie liegt im Wendepunkt der Temperaturkurve weil sich dort die Richtung der Kruumlmmung aumlndert also Waumlrmezufuhr in Waumlrmeverlust uumlbergeht Nun laumlsst sich aber im Abschnitt BrarrE die Kurve T(t) nicht beliebig

F

Tem

pera

tur

T

∆T S

TU

A B C

Zeit

16

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

17

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

18

O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

23

O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

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O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

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O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

27

O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

28

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

29

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

32

O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

34

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

46

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

VORBEMERKUNG

Ein physikalisches Experiment besteht im Wesentlichen aus der Messung physikalischer Groumlszligen sowie der Auswertung und Bewertung der erhaltenen Messergebnisse Jede Durchfuumlhrung eines Experiments setzt anwendungsbereite praktische Grundkenntnisse und -faumlhigkeiten wie

bull Planung und Konzeption von Versuchen bull sachgerechter Umgang mit Messgeraumlten bull geschulte Beobachtungsgabe bull experimentelles Geschick bull gewissenhafte Protokollfuumlhrung und bull kritische Ergebnisbeurteilung bzw -diskussion

voraus die aber nur in der experimentellen Praxis erlernt und geuumlbt werden koumlnnen Als Leh-rende haben wir in den letzten Jahren zunehmend die Erfahrung gemacht dass diese im Stu-dienverlauf benoumltigten Faumlhigkeiten in der vorhergehenden schulischen naturwissenschaftli-chen Ausbildung kaum ausreichend oder oft auch gar nicht entwickelt worden sind Gerade fuumlr Studienanfaumlnger die physikalische Praktika im Rahmen der (klassischen) Experi-mentalphysik absolvieren muumlssen ergeben sich daraus sehr groszlige Schwierigkeiten deren Uumlberwindung nur durch einen unverhaumlltnismaumlszligig hohen (vor allem zeitlichen) Arbeitsauf-wand moumlglich ist Mit der erfolgten Umstellung auf den konsekutiven Bachelor-Master-Studiengang der Physik sind diese Probleme noch weiter verschaumlrft worden Der hier vorliegende Teil der Anleitungen zum Physikalischen Grundpraktikum enthaumllt Versuchsbeschreibungen und Arbeitsanleitungen fuumlr absichtlich moumlglichst einfache experi-mentelle Uumlbungen Uumlberwiegend sind die physikalischen Inhalte so gehalten dass sie aus schulischen Kenntnissen heraus zu erschlieszligen sind und vergleichsweise geringen Aufwand beim Selbststudium zu ihrer Vorbereitung benoumltigen Im Vordergrund stehen physikalische Mess- und Auswertemethoden sowie die Diskussion der auftretenden Messunsicherheiten und deren Auswirkung auf Versuchsergebnisse die aus direkt gemessenen Groumlszligen berechnet wer-den In Zusammenhang damit wollen wir schrittweise die Faumlhigkeit zur (selbst)kritischen Ergebniseinschaumltzung physikalischer Experimente (weiter)entwickeln Mit Blick auf die nachfolgenden experimentellen Praktika sollen ebenso schritt- und elementweise die Arbeits-techniken und Methoden einer wissenschaftlich anspruchsvollen Versuchsdokumentation bzw ndashprotokollierung erlernt werden Zur notwendigen inhaltlichen Ergaumlnzung und als staumlndiges Arbeitsmittel wird ausdruumlcklich auf das Praktikumsskript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstellung experi-menteller Ergebnisse in der Physikldquo verwiesen das (wie alle anderen notwendigen Informati-onen) selbstverstaumlndlich auch auf unserer Website httpgprphysikhu-berlinde verfuumlgbar ist Als staumlndige persoumlnliche Arbeitsmittel der Studierenden sind fuumlr die vorgesehenen experi-mentellen Uumlbungen jeweils stets mitzubringen

bull Kugelschreiber dokumentenechter Faserschreiber Bleistift LinealDreieck bull Taschenrechner bull Arbeitsheft im Format A4 mit karierter Lineatur (feste Bindung) bull Block mit Millimeterpapier

Saumlmtliche vollzogene Arbeiten einschlieszliglich der Versuchsauswertungen sollen im og A4-Heft dokumentiert werden grafische Darstellungen Ausdrucke etc sind darin fest einzukle-ben Eine bdquoZettelwirtschaftldquo moumlchten wir aus sicher leicht verstaumlndlichen Gruumlnden vermei-den das selbst erstellte Arbeitsheft wird gemeinsam mit den Skripten jederjedem Studieren-den bei den spaumlteren Praktika mit Sicherheit von Nutzen sein Verbesserungsvorschlaumlge Hinweise und Kritiken zu diesem Ihnen vorliegenden Skript sind uns sehr willkommen Berlin im November 2007 Uwe Muumlller

Die Natur ist unerbittlich und unveraumlnderlich und es ist ihr gleichguumlltig ob die verborgenen Gruumlnde und Arten ihres Handelns dem Menschen verstaumlndlich sind oder nicht

Galileo Galilei

1564 - 1642

INHALTSVERZEICHNIS

Motivation und Ziele I

Ordnung und Sicherheit II

Literatur IV

Kurzbezeichnung Thema Seite

F1 Fehlerverteilung 1

F2 Volumenmessung 3

F3 Fadenpendel 6

F4 Bestimmung von Federkonstanten 9

F5 Dichte fester Koumlrper 12

T1 Waumlrmekapazitaumlt eines Kalorimeters 15

O1 Duumlnne Linsen 19

O2 Mikroskop 23

O9 Reflexion und Brechung 28

O5 Polarimetrie 36

E6 Wechselspannungsmessungen 39

E8 Reale Gleichspannungsquellen 44

F0 Auswertung und Praumlsentation von Messdaten 48

Die Kurzbezeichnungen der Versuche sind historisch und willkuumlrlich entstanden

MOTIVATION UND ZIELE

Das Hauptziel der Lehrveranstaltung ist die zielgerichtete Einfuumlhrung in experimentelle Arbeitsweisen dh in praktisch-experimentelle und quantitative Arbeitsmethoden der Physik bull Als Studierende werden Sie sich den praktischen Umgang mit Messtechnik -verfahren und

-methodik aneignen und erlernen Ihre Versuchsaufzeichnungen stets so zu fuumlhren dass sie dem Anspruch einer Messdokumentation genuumlgen Auf der Grundlage dieser Aufzeichnun-gen muss ein durchgefuumlhrtes Experiment vollstaumlndig ausgewertet und gegebenenfalls repro-duziert werden koumlnnen

bull Sie eignen sich die Faumlhigkeit an die von Ihnen gewonnenen empirischen experimentellen Daten unter strikter Beachtung der Messgenauigkeiten bzw ndashunsicherheiten dh des Naumlhe-rungs- oder Schaumltzcharakters der Messungen sachgerecht auszuwerten und ihre Aussage-kraft einzuschaumltzen Das erfordert eine zielgerichtete Anwendung und Uumlbung besonderer mathematisch-statistischer und praktischer Methoden

Im Praktikum werden wir uns selbstverstaumlndlich nicht mit dem Erlernen rein technischer Fauml-higkeiten begnuumlgen wie sie z B von qualifizierten Laboranten bzw technischen Assistenten verlangt werden Das zweite wesentliche Ziel des Praktikums besteht deshalb in der Heran-fuumlhrung an wissenschaftlich-analytisches Denken bull Auf der Grundlage der von Ihnen selbst vorgenommenen Beobachtungen und der bei ihrer

Auswertung erzielten quantitativen Ergebnisse sollen Sie (bezogen auf den physikalischen Hintergrund des Experiments) schluumlssige Antworten auf eingangs gestellte Fragen ableiten und kritisch begruumlnden koumlnnen

bull Ihre gewonnenen Ergebnisse und daraus gezogene Schlussfolgerungen sind in den Rahmen der bisherigen Erkenntnisse einzuordnen Dabei sind beispielsweise Hypothesen durch Ver-gleich mit den experimentellen Resultaten kritisch zu uumlberpruumlfen und Versuche hinsichtlich ihrer Aussagekraft und Qualitaumlt zu bewerten

bull Anhand eigener Experimente werden Sie sich anwendungsbezogen und vertiefend mit ausgewaumlhlten Themen der Physik beschaumlftigen Gerade die Anwendung von Kenntnissen erweist sich stets als besonders empfindlicher Indikator fuumlr physikalisches Verstaumlndnis auch in Details

bull Haumlufig muumlssen Sie sich auch mit Problemstellungen beschaumlftigen fuumlr die Sie noch keinen hinreichenden inhaltlichen Vorlauf aus anderen Lehrveranstaltungen besitzen Das erscheint einerseits (auf den ersten Blick) etwas fragwuumlrdig entspricht aber andererseits einer typi-schen Situation wissenschaftlicher Arbeitspraxis Oft sind Themen zu bearbeiten fuumlr die nur ein Grundwissen vorhanden ist und die eine tiefere Einarbeitung erfordern

bull Nicht zuletzt sollen Sie schrittweise erlernen Ihre eigene praktische Arbeit in wissenschaft-lich angemessener Weise auch schriftlich darzustellen und erzielte Ergebnisse aussagekraumlf-tig praumlsentieren zu koumlnnen

Moderne Wissenschaft zeichnet sich durch weitgehend kollektive Arbeitsweise aus trotz oder gerade wegen der hochgradigen Spezialisierung und Arbeitsteilung in Arbeitsgruppen Des-halb ist die Aneignung und Uumlbung kollegialer wissenschaftlicher Arbeits- und Umgangsfor-men eine weitere wichtige Zielsetzung bull Experimentelle Aufgaben werden arbeitsteilig bearbeitet ihre Auswertung erfordert regel-

maumlszligig einen kritischen Meinungsaustausch in Gruppen bull Bei Vorgespraumlchen und Diskussionen werden verbale Darstellungsformen und sachlich-

kritische Auseinandersetzungen praktiziert und trainiert Diese notwendigen Grundformen wissenschaftlicher Arbeit kehren in spaumlteren Studienabschnitten und in der Berufstaumltigkeit wieder

I

ORDNUNG UND SICHERHEIT

Wie fuumlr andere Bereiche sind auch im Physikalischen Grundpraktikum einige grundsaumltzliche Festlegungen fuumlr den laufenden Lehrbetrieb in unseren Raumlumlichkeiten zu treffen die fuumlr ausnahmslos alle teilnehmenden Studierenden gelten Teilnahmeberechtigung Grundvoraussetzung ist der Besuch der rechtzeitig durch Aushaumlnge im Internet (Webseite des Instituts fuumlr Physik) und im Institut bekannt gegebenen Einfuumlhrungsveranstaltung bull Waumlhrend dieser Veranstaltung erfolgen die Einschreibung zum Kurs und die Einteilung in

Gruppen bull Es werden Hinweise zum Praktikumsablauf sowie zur Protokollierung und Auswertung von

Versuchen gegeben bull Kursplaumlne und Skripten werden ausgeteilt bull Es erfolgt eine Arbeitschutzbelehrung deren Kenntnisnahme aus ersichtlichen rechtlichen

Gruumlnden unbedingte Voraussetzung fuumlr die Teilnahme an den Versuchen ist und deshalb mit eigenhaumlndiger Unterschrift bei der Einschreibung bestaumltigt werden muss

Generelle Vorbedingung fuumlr die Durchfuumlhrung eines jeden einzelnen Versuches ist eine sach-gerechte Vorbereitung gestuumltzt auf die Versuchsanleitung und gegebenenfalls Zusatzliteratur Eine ungenuumlgende Vorbereitung hat grundsaumltzlich den Ausschluss vom laufenden Versuch zur Folge der in einem Folgesemester zu wiederholen ist Allgemeine Verhaltensregeln bull Jeder hat sich grundsaumltzlich so zu verhalten dass weder Personen gefaumlhrdet noch

Einrichtungen Geraumlte und Versuchsaufbauten beschaumldigt werden koumlnnen bull Das Praktikumspersonal (Leiter und Mechaniker) und die Versuchsbetreuer sind in den

Praktikumsraumlumen ohne Einschraumlnkung weisungsbefugt ihre Anweisungen sind zu befol-gen Bei Verstoumlszligen erfolgen ein Verweis aus den Raumlumlichkeiten und der Ausschluss vom Versuch

bull Die von den betreuenden Assistenten vom Praktikumspersonal sowie die in den Versuchsanleitungen gegebenen Hinweise zur Handhabung der Geraumlte und Versuchsanord-nungen sind strikt zu beachten

bull Bei der Belegung des Arbeitsplatzes ist seine Vollstaumlndigkeit und Ordnung zu uumlberpruumlfen Auftretende Stoumlrungen und Unregelmaumlszligigkeiten bei der Durchfuumlhrung der Versuche Beschaumldigungen und Funktionsstoumlrungen an Geraumlten und Einrichtungen sind sofort dem Betreuer zu melden Eigene Reparaturversuche sind grundsaumltzlich unzulaumlssig

bull Fuumlr fahrlaumlssig verursachte Schaumlden an Geraumlten und Arbeitsmaterialien koumlnnen die Studierenden zur Verantwortung gezogen werden (Haftpflicht)

bull Es steht jeweils nur die unmittelbar am Arbeitsplatz befindliche Ausruumlstung zur Verfuumlgung Es ist kategorisch untersagt Geraumlte und sonstige Arbeitsmittel von fremden Arbeitsplaumltzen zu benutzen Uumlber Ausnahmen kann nur der Betreuer in Absprache mit dem Praktikumsper-sonal entscheiden

bull Nach Beendigung des Versuches ist jeder Arbeitsplatz stets aufgeraumlumt und sauber zu verlassen die urspruumlngliche Ordnung ist wieder herzustellen

bull Haben Sie einen PC im PC-Pool benutzt so muumlssen Sie sich an diesem wieder abmelden Bei Stoumlrungen jeglicher Art (Papierstau im Drucker usw) im PC-Pool ist das Prakti-kumspersonal unverzuumlglich zu informieren eigene Behebungsversuche haben zu unterblei-ben Die Entnahme von Papier aus den Druckerfaumlchern zur Verwendung als bdquoSchmierpa-pierldquo o auml ist untersagt

bull Die Benutzung von Mobil-Telefonen MP3-Playern usw ist in den Laborraumlumen insbeson-dere waumlhrend des laufenden Lehrbetriebs grundsaumltzlich nicht gestattet

bull Das Essen und Trinken ist aus hygienischen Gruumlnden und wegen des notwendigen Arbeits- und Gesundheitsschutzes nur auszligerhalb der Laborraumlume moumlglich

II

ORDNUNG UND SICHERHEIT

bull Eigene Notebooks koumlnnen in den Laboren selbstverstaumlndlich verwendet werden Netzteile duumlrfen aber nur dann an das 230V-Netz angeschlossen werden wenn sie in technisch ein-wandfreien Zustand sind

bull Das Praktikum beginnt puumlnktlich zur im bekannt gegebenen Kursplan genannten Uhrzeit ohne akademisches Viertel Verspaumltungen werden nur in absolut triftig begruumlndeten Faumlllen durch den Betreuer akzeptiert wobei mehr als 15 Minuten Verspaumltung grundsaumltzlich zum Ausschluss vom Versuch fuumlhren

bull Fuumlr die Ausfuumlhrung eines Versuches steht nur die im Kursplan ausgewiesene Zeit zur Verfuumlgung Alle Arbeiten sind puumlnktlich abzuschlieszligen da nur fuumlr die geplanten Versuchs-zeiten eine Betreuung und Aufsicht gewaumlhrleistet werden kann Eine Zeituumlberschreitung ist deshalb nicht zulaumlssig

bull Fuumlr einen erfolgreichen Abschluss muumlssen Sie alle Versuche gemaumlszlig dem Kursplan absolvie-ren Bei wirklich begruumlndeten Ausfaumlllen wie z B durch Erkrankung (Vorlage eines Kran-kenscheins erforderlich) entscheidet der Praktikumsleiter uumlber eine eventuelle Nachhol-moumlglichkeit

Arbeiten mit elektrischen Schaltungen bull Der Auf- und Abbau elektrischer Schaltungen hat stets im spannungslosen Zustand (Strom-

versorgungsgeraumlte aus Batterien und Steckernetzteile nicht angeschlossen) und uumlbersicht-lich zu erfolgen

bull Bei elektrischen Messgeraumlten ist auf richtige Polung Einstellung des richtigen Messberei-ches und Verwendung der richtigen Messeingaumlnge zu achten

bull Elektrische Schaltungen muumlssen vor der Inbetriebnahme vom zustaumlndigen Versuchsbetreuer uumlberpruumlft und unter Spannung stehende Anlagen staumlndig uumlberwacht werden

bull Spannungsfuumlhrende Teile duumlrfen nicht beruumlhrt werden Gefaumlhrliche Spannungen sind in jedem Fall durch Schutzvorrichtungen vor Beruumlhrung gesichert Es ist untersagt solche Schutzvorrichtungen auszliger Betrieb zu setzen

bull Bei Unfaumlllen ist die Spannung sofort abzuschalten (Notausschalter rote Tastschalter neben der Tuumlr) und unter Beachtung der Eigensicherung Ersthilfe zu leisten Jeder Unfall muss unverzuumlglich gemeldet werden

Brandschutz bull Das Rauchen ist im gesamten Praktikum (auch im Flur vor den Praktikumsraumlumen sowie im

gesamten Gebaumlude) untersagt bull Bunsenbrenner und elektrische Heizgeraumlte sind so aufzustellen dass sich keine benachbar-

ten Gegenstaumlnde entzuumlnden koumlnnen Offene Flammen und eingeschaltete Heizgeraumlte muumlssen staumlndig beaufsichtigt werden

bull Abgebrannte Streichhoumllzer gehoumlren nicht in Papierkoumlrbe noch glimmende Streichhoumllzer duumlrfen nicht weggeworfen werden

bull Brennbare Fluumlssigkeiten (wie zB Ethanol) sind von offenen Flammen fernzuhalten bull Wird ein Brand bemerkt so ist das sofort zu melden und es sind nach Moumlglichkeit Loumlsch-

maszlignahmen einzuleiten Nassloumlschung ist wegen der elektrischen Anlagen nicht zulaumlssig bull Jede(r) hat sich uumlber die Lage und Funktionsweise der Handfeuerloumlscher zu informieren Fluchtwege und Evakuierung bull Bei notwendig werdender Evakuierung (akustische Signalisierung oder Anweisung durch

Praktikumspersonal bzw Versuchsbetreuer) ist unter Mitnahme der persoumlnlichen Wert-sachen und unbedingt notwendiger Oberbekleidung (Menschenleben gehen vor) uumlber den Gang und die Treppenhaumluser (Auf keinen Fall mit dem Lift) das Gebaumlude geordnet und ohne Panik zu verlassen

bull Sammelpunkt ist die Wiese vor dem Gebaumlude zwischen Schilfbeet und Fahrradstaumlnder jede(r) meldet sich sofort beim zustaumlndigen Versuchsbetreuer

III

LITERATUR

Aus der sehr groszligen Anzahl von guten Lehr- und Fachbuumlchern die fuumlr den Gebrauch im Physikalischen Grundpraktikum (und auch daruumlber hinaus) geeignet sind ist hier eine kleine Auswahl ohne Anspruch auf Vollstaumlndigkeit und auch ohne jede Wertung aufgelistet Aus eigener Erfahrung heraus kann man Studierenden die nachfolgenden Saumltze nicht oft genug ans Herz legen Es gibt niemals das eine und einzige Lehr- bzw Fachbuch Buumlcher sind fuumlr einzelne Teil-gebiete der Physik unterschiedlich geeignet meistens muss doch in verschiedenen Buumlchern nachgeschlagen werden Jeder nimmt individuell auf seine Weise auf dieselben Inhalte werden unterschiedlich wahrgenommen Auch die Art der Gestaltung zB mit Grafiken Uumlbersichten usw spielt (je nach bevorzugter Wahrnehmungsweise) eine groszlige Rolle Es ist deshalb ganz sicher eine kluge Entscheidung sich verschiedene Lehr- und Fachbuumlcher in Bibliotheken anzusehen und sie auf ihre Eignung fuumlr den individuellen Gebrauch zu testen Es musskann nicht jedes Buch gekauft werden auch wenn es sehr attraktiv erscheint Das gilt ebenso fuumlr Taschenbuumlcher bzw Nachschlagewerke Buumlcher zum physikalischen Grund- oder Anfaumlngerpraktikum W Walcher Praktikum der Physik B G Teubner (Stuttgart Leipzig) H-J Eichler H-D Kronfeldt J Sahm Das Neue Physikalische Grundpraktikum Springer (Berlin Heidelberg New York) W Ilberg M Kroumltzsch D Geschke Physikalisches Praktikum B G Teubner (Stuttgart Leipzig) J Becker H-J Jodl Physikalisches Praktikum fuumlr Naturwissenschaftler und Ingenieure VDI-Verlag (Duumlsseldorf) H-J Kunze Physikalische Messmethoden (Teubner Studienbuumlcher) B G Teubner (Stuttgart Leipzig) Buumlcher zur Physik bzw Experimentalphysik D W Preston E R Dietz The Art of Experimental Physics John Wiley amp Sons (New York) D Halliday R Resnick J Walker Physik Wiley-VCH (Berlin) PA Tipler G Mosca Physik fuumlr Wissenschaftler und Ingenieure Spektrum Akademischer Verlag (Heidelberg) D Meschede Gerthsen Physik Springer (Berlin Heidelberg New York) K Dransfeld P Kienle G M Kalvius H-J Koumlrner W Zinth Physik 1-4 Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) BergmannSchaefer Lehrbuch der Experimentalphysik (8 Baumlnde) Walter de Gruyter (Berlin New York) D Halliday R Resnick J Walker Fundamentals of Physics John Wiley amp Sons (New York) H Stroppe Physik fuumlr Studenten der Natur- und Ingenieurwissenschaften Hanser Fachbuch-verlag (Muumlnchen Leipzig) H J Paus Physik in Experimenten und Beispielen Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Haumlnsel W Neumann Physik (4 Baumlnde) Spektrum Akademischer Verlag (Heidelberg) H Pfeifer H Schmiedel Grundwissen Experimentalphysik B G Teubner (Stuttgart Leipzig) A M Portis H D Young Physik und Experiment (Band 6 des Berkeley Kurses Physik) F Vieweg und Sohn (Braunschweig) J Orear Physik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) D C Giancoli Physik Pearson Education Deutschland GmbH (Muumlnchen)

IV

LITERATUR

R P Feynman R B Leighton M Sands Feynman Vorlesungen uumlber Physik (3 Baumlnde) Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) Taschenbuumlcher und Nachschlagewerke fuumlr Formeln und Daten H Stoumlcker Taschenbuch der Physik Verlag Harri Deutsch (Frankfurt a M) D Mende G Simon Physik - Gleichungen und Tabellen Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Kuchling Taschenbuch der Physik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Ebert Physikalisches Taschenbuch F Vieweg amp Sohn (Braunschweig) H Heinemann H Kraumlmer H Zimmer Kleine Formelsammlung Physik Hanser Fachbuch-verlag (Muumlnchen Leipzig) F Kohlrausch V Kose S Wagner Praktische Physik (3 Baumlnde) B G Teubner (Stuttgart Leipzig) Buumlcher zur Messtechnik P Profos T Pfeifer (Hrsg) Grundlagen der Messtechnik Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) G Heyne Elektronische Messtechnik - Eine Einfuumlhrung fuumlr angehende Wissenschaftler Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) J Hoffmann Taschenbuch der Messtechnik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) J Niebuhr G Lindner Physikalische Messtechnik mit Sensoren Oldenbourg Industrieverlag (Muumlnchen) D Benda Wie misst man mit dem Oszilloskop Franzis Verlag GmbH (Poing) R Lerch Elektrische Messtechnik Analoge digitale und computergestuumltzte Verfahren Springer (Berlin Heidelberg New York) W Pfeiffer Digitale Messtechnik Springer (Berlin Heidelberg New York)

V

F1 FEHLERVERTEILUNG

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Systematische und zufaumlllige Messabweichungen Messunsicherhei-ten Standardabweichung Vertrauensbereich absolute und relative Haumlufigkeit Gauszligsche Normalverteilung Summenhaumlufigkeit Wahrscheinlichkeitsnetz Stichprobe Grundgesamtheit Alle Messungen physikalischer Groumlszligen sind unvermeidlich mit Messabweichungen bzw -unsicherheiten behaftet Sind systematische Abweichungen ausgeschlossen dann streuen die Messwerte (i = 1 n) aufgrund zufaumllliger Abweichungen symmetrisch um den Mittel- bzw Erwartungswert

ixx Berechnet man die scheinbaren Abweichungen

xxv minus= ii (1)einer Messreihe und stellt die absolute bzw die relative Haumlufigkeit also bzw )(k iv

( ) ( ) nkh ii vv = grafisch als Funktion der Abweichungen vi dar dann erhaumllt man eine treppenfoumlrmige Verteilungs-kurve (s Abb 1) Dazu werden die Ab-weichungen vi in gleichgroszligen Inter-vallen ∆v (Klasseneinteilung) zusam-mengefasst Im Grenzfall mit infinrarrn und Intervallbreite genuumlgen die Abweichungen v meist einer Normal-verteilung (Gauszlig-Verteilung)

0rarr∆v

Abb 1 Histogramm einer Normalverteilung ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus= 2

2

2exp

21

σσπϕ vv (2)

Diese Verteilung (ausgezogene Kurve in Abb 1) zeigt folgende Eigenschaften 1 Die Normalverteilung hat fuumlr v ein Maximum ist symmetrisch bezuumlglich dieses Maxi-

mums und strebt mit wachsendem v asymptotisch gegen Null = 0

2 Die Normalverteilung hat Wendepunkte bei σplusmn=v (σ ist die Standardabweichung) 3 Der Parameter σ bestimmt die Breite der Normalverteilung Bei kleinem σ entsteht eine

bdquoschlankeldquo Kurve mit geringer Streuung der Messergebnisse (svw wie groszlige bdquoGenauig-keitldquo der Messmethode) Ein groszliges σ bedeutet entsprechend das Gegenteil

Die Uumlberpruumlfung ob eine Messreihe (Stichprobe) einer Normalverteilung genuumlgt ist mit Hilfe bestimmter statistischer Verfahren moumlglich von denen einige in diesem Versuch ange-wandt werden Die statistische Analyse einer Messreihe setzt aber eine bdquohinreichendldquo groszlige Zahl von Messwerten voraus VERSUCHSDURCHFUumlHRUNG Im Regelfall wird der Versuch im Houmlrsaal mit allen Studierenden gemeinsam durchgefuumlhrt Uumlber einen Projektor (Beamer) wird eine Skale mit einer Marke (Zeiger) gezeigt Die Lage dieser Marke schaumltzt jeder Student fuumlr sich auf 001 Skalenteile genau und notiert sich im Messprotokoll seinen Mess- bzw Schaumltzwert Der wahre Wert wurde noch vor der Anzeige als Zufallszahl erzeugt und ist daher bekannt Dieser Wert wird unmittelbar nach erfolgter individueller Schaumltzung angesagt bzw gezeigt und im Messprotokoll ebenfalls notiert Insgesamt sind in diesem Versuch 100 Schaumltzungen auszufuumlhren

ix iwx

Diese Vorgehensweise erfordert eine hohe Konzentrationsfaumlhigkeit und Disziplin

1

F1 FEHLERVERTEILUNG

AUFGABEN 1 Ermittlung der Stichprobe 100 Schaumltzwerte xi der Stellung einer Marke und die zugehoumlri-

gen Werte xwi werden notiert Fuumlr die Datentabelle empfiehlt sich hier folgendes Schema vii xi xwi + 0 -

1 (176) (175) (001) 2 Berechnung der scheinbaren Abweichungen wiii xxv minus= 3 Vorzeichentest Man bestimme die Zahl n+ der positiven und die Zahl n- der negativen Ab-

weichungen vi Da die Abweichungen vi bei Annahme einer Normalverteilung symmet-risch zum Wert vi = 0 liegen sollten die Zahlen n+ und n- annaumlhernd gleich groszlig sein Wenn n die Zahl aller Messwerte ist muss fuumlr den positiven Ausgang des Vorzeichentests

nnn leminus minus+ erfuumlllt sein nplusmn ist die zu erwartende statistische Schwankung beim Stichprobenumfang n

4 Fuumlr die weitere Auswertung der Ergebnisse empfiehlt sich eine Tabelle in der die schein-baren Abweichungen ihrer Groumlszlige nach geordnet werden nach folgendem Schema

vj vj2 Strichliste k(vj) k(vj)middot vj

2 h(vj) H(vj) (min vj)

(max vj) 1000

Kontrollen 100 22 )( jji vvkv sdot= sumsum 1000

In diese Tabelle werden die Messwerte von Aufgabe 1 uumlbertragen indem man sie der Reihe nach durchgeht und bei dem entsprechenden in der Spalte bdquoStrichlisteldquo durch einen Strich markiert Die Zahl der Striche ergibt dann die absolute Haumlufigkeit

jv)(vk j

5 Mit 22 )(11jji vvk

nv

ns sdotplusmn=plusmn= sumsum wird aus den Abweichungen vi die empirische

Standardabweichung berechnet die eine Naumlherung fuumlr die Standardabweichung σ der Normalverteilung nach Gleichung (2) darstellt Im Nenner tritt hier n anstelle von n-1 auf weil bei diesem Versuch (ausnahmsweise) der wahre Wert der Messgroumlszlige bekannt ist

6 Die ermittelten relativen Haumlufigkeiten nvkvh jj )()( = der Abweichungen vj werden grafisch als Funktion von vj dargestellt (Histogramm Balkendiagramm) Durch das Histogramm versuche man nach Augenmaszlig eine Normalverteilungskurve zu legen

7 Mit den relativen Haumlufigkeiten aus Aufgabe 6 berechne man die Summenhaumlufigkeit und stelle diese Summenhaumlufigkeit H(vsum

le

=jk vv

kj vhvH )()( j) grafisch als Funktion von vj in

Form eines Histogramms (Balkendiagramm) dar 8 Test mit Wahrscheinlichkeitspapier Die Wertepaare der Summenhaumlufigkeitskurve (s

Aufgabe 7) uumlbertrage man auf ein Wahrscheinlichkeitsnetz und lege durch die Punkte im mittleren Bereich eine ausgleichende Gerade

9 Man entnehme der Darstellung auf dem Wahrscheinlichkeitsnetz (Aufgabe 8) bei H(vrsquo) = 016 (bzw 16) und H(vrsquorsquo) = 084 (bzw 84) die zugehoumlrigen Werte vrsquo und vrsquorsquo und vergleiche (vrsquorsquo-vrsquo)2 mit dem Wert der empirischen Standardabweichung (Aufgabe 5)

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr die Auswertung und das Verstaumlndnis des Versuches wird unbedingt die Lektuumlre der ent-sprechenden Abschnitte des Praktikumsskripts bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstellung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo empfohlen Die Druckvorlage fuumlr ein Wahrscheinlichkeitsnetz ist auf der Webseite des Grundpraktikums zu finden

2

F2 VOLUMENMESSUNG

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Auftriebskraft In diesem einfachen Versuch werden drei Methoden unterschiedlicher Genauigkeit zur Bestimmung des Volumens eines Probekoumlrpers verwendet und miteinander verglichen hin-sichtlich der jeweiligen Messunsicherheit 1 Methode (Uumlberlaufgefaumlszlig) Ein mit einem Uumlberlauf versehener Glasbehaumllter wird bis zum Uumlberlaufen mit Wasser gefuumlllt Durch Eintauchen des Probekoumlrpers dessen Volumen V1 bestimmt werden soll wird Wasser verdraumlngt das in einen Messzylinder flieszligt 2 Methode (Geometrie des Koumlrpers) Der Probekoumlrper ist ein Zylinder sein Volumen kann aus dem Durchmesser d und der Houmlhe h nach

hdV 22 4

π= (1)

berechnet werden 3 Methode (Auftriebsmessung) Der Probekoumlrper vom Volumen V3 wird mit einer Labor-waage mit symmetrischem Waagebalken in Luft gewogen Man benoumltigt fuumlr das Gleich-gewicht die Massennormale zur Kompensation der Gewichtskraft des Probekoumlrpers Taucht man ihn in Wasser (Dichte ρw ) dann erfaumlhrt er eine Auftriebskraft

1m gmF 1G =

3wA gVF ρ= (g = Fallbeschleunigung) Um die Waage wieder ins Gleichgewicht zu bringen benoumltigt man die Massennormale zur Kompensation der um die Auftriebskraft verminderten Gewichtskraft FG d h

2m AF

3w12 gV-gmgm ρ= Daraus folgt

w

213 ρ

mmV

minus= (2)

Die zur Bestimmung der Massenwerte und verwendete Laborwaage traumlgt in der Mitte des Waagebalkens einen Zeiger der uumlber einer Skale schwingt An seiner Stellung ist das Gleich-gewicht der Waage ablesbar Verschiebt sich durch eine einseitig wirkende Zusatz-masse ∆mrsquo die Zeigerstellung um ∆a dann bezeichnet man den Quotienten

1m 2m

maEprime∆

∆= (3)

als Empfindlichkeit der Waage sie ist ein Maszlig fuumlr ihre Guumlte und gestattet die Abschaumltzung der Messunsicherheit Systematische Messabweichungen der drei Methoden 1 Uumlberlaufgefaumlszlig Der sog Geraumltefehler ∆V des Messzylinders betraumlgt bei einem Nenninhalt von VN = 50 ml und einer Nenntemperatur von tN = 20 degC bis zu ∆V = plusmn 05 ml (4) Die Richtung und die Groumlszlige dieses Geraumltefehlers ∆V fuumlr voneinander abweichende Mess-temperatur und Nenntemperatur des Messzylinders wird mit Hilfe des thermischen Ausdehnungskoeffizienten des Glases abgeschaumltzt Ist das Nennvolumen des als Glasrohr betrachteten Messzylinders VN dann ist bei der Messtemperatur sein Volumen

Mt Nt

Mt ))(1( NMNM ttVV minus+= γ

mit als sog kubischem thermischem Ausdehnungskoeffizienten des Glases Daraus ergibt sich

-15 K1072 minussdot=γ

3

F2 VOLUMENMESSUNG

( )NM tt minus=∆ γVV (5) 2 Geometrie des Koumlrpers Die sog Fehlergrenzen ∆I beider Messgeraumlte sind wenn I die gemessene Laumlnge ist von folgender Groumlszlige Messschieber ∆l = plusmn (5sdot10-5 m + 1sdot10-4 l) (6) Buumlgelmessschraube ∆l = plusmn (5sdot10-6 m + 1sdot10-5 l) (7) 3 Auftriebsmessung Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Probekoumlrpers und der Massennormale (Dichte

) bei der Waumlgung in Luft (Dichte ) liefert 33N mkg1084 sdot=ρ 3

L mkg12=ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+minusasymp

minus

minussdot

minus=prime

w

L

N

L3

wL

NL

w

213 1

11

ρρ

ρρ

ρρρρ

ρVV mm (8)

Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Aufhaumlngedrahtes von dem das Volumen ∆V im Wasser eintaucht ergibt VVV ∆minusprime=primeprime 33 (9) AUFGABEN 1 Ermittelung der einzelnen Messgroumlszligen fuumlr jede der drei Methoden und Berechnung der

Volumenwerte Vi 2 Berechnung bzw Abschaumltzung der zufaumllligen Messabweichungen fuumlr alle Messgroumlszligen 3 Groumlszligenordnungsmaumlszligige Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen aller drei

Methoden Soweit moumlglich und sinnvoll Korrektur systematischer Abweichungen Betrachtung systematischer Restfehler

4 Uumlbersichtliche Zusammenstellung der Messergebnisse der zufaumllligen und der systemati-schen Abweichungen sowie der Messunsicherheiten fuumlr die einzelnen Messgroumlszligen

5 Berechnung der Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr die mittelbar bestimmten Volumenwerte nach dem Fortpflanzungsgesetz

6 Berechnung des gewogenen Mittelwertes einschlieszliglich seiner Unsicherheit sofern moumlg-lich und sinnvoll

VERSUCHSHINWEISE Methode 1 Der Messzylinder wird vor dem Eintauchen des Probekoumlrpers mit etwas Wasser gefuumlllt und dieser Fuumlllstand VA als Bezugsgroumlszlige gewaumlhlt Nach dem Einlaufen des verdraumlng-ten Wassers liest man den Fuumlllstand VE am Messzylinder ab so dass sich als Volumen des Probekoumlrpers AE1 VVV minus= (10) ergibt Die Messungen werden sechsmal durchgefuumlhrt und Bruchteile der Skalenteile geschaumltzt Methode 2 Die Houmlhe des Zylinders h wird sechsmal mit einem Messschieber und sein Durchmesser d wird sechsmal an verschiedenen Stellen mit einer Buumlgelmessschraube gemes-sen Methode 3 Jede Waumlgung wird zweimal ausgefuumlhrt und der Groumlszligtfehler aus der Empfindlich-keit der Waage nach Gl (3) abgeschaumltzt Als Groumlszligtfehler wird die Zusatzmasse ∆m angege-ben die einen Zeigerausschlag ∆a = 1 Skalenteil bewirkt Die Dichte des Wassers ist tempe-raturabhaumlngig und wird einer grafischen Darstellung am Versuchsplatz entnommen

4

F2 VOLUMENMESSUNG

In Aufgabe 1 werden die einzelnen Messgroumlszligen sowie die drei Volumenwerte Vi und in Auf-gabe 2 die zufaumllligen Abweichungen der einzelnen Messgroumlszligen ermittelt In Aufgabe 3 sind die systematischen Abweichungen zu diskutieren wobei zwischen den Korrekturen und den systematischen Restfehlern zu unterscheiden ist Fuumlr Aufgabe 4 muumlssen die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen verglichen und in Aufgabe 5 die Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr alle drei Methoden festgelegt werden Uumlberlappen sich die Bereiche der Messunsicherheiten ∆Vi nicht dann liegen entweder grobe Messfehler vor oder es existieren noch weitere bisher nicht erfasste systematische Abwei-chungen Uumlberlappen sich dagegen die Bereiche der Messunsicherheiten dann kann der gewogene Mittelwert und die zugehoumlrige Messunsicherheit berechnet werden (Aufgabe 6)

5

F3 FADENPENDEL

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Massenpunktmodell mathematisches und physikali-sches Pendel Bewegungsgleichung Schwerkraft Newtonsche Axiome Schwingungsdifferen-tialgleichung Ein an einem Faden aufgehaumlngter Koumlrper stellt aufgrund der auf ihn wirkenden Schwerkraft und seiner Traumlgheit ein schwingungsfaumlhiges System dar Betrachtet man (idealisiert) einen punktfoumlrmigen Koumlrper der Masse m der an einem Faden der Laumlnge l haumlngt und lenkt ihn um einen Winkel φ (Abb 1) aus der Senkrechten aus dann fuumlhrt der Koumlrper nach dem Loslassen Schwingungen um die Senkrechte aus

Abbildung 1 Fadenpendel

Bei Vernachlaumlssigung der Masse des Fadens und der Luftreibung wirkt auf den Koumlrper in jedem Punkt der Bahn senkrecht nach unten die Gewichtskraft

gmFG sdot= (1)wobei g die Fallbeschleunigung ist Die Normalkomponente (normal zur Bahn des Koumlrpers)

ϕcossdotsdot= gmFn dieser Kraft findet ihre Gegenkraft in der in der Aufhaumlngung auftretenden Kraft und beeinflusst die Bewegung des Koumlrpers nicht Dagegen erzeugt die Tangentialkom-ponente ϕsinsdotsdot= gmFt der Gewichtskraft entsprechend der Newtonschen Bewegungs-gleichung

ϕsin2

2

sdotsdotminus=sdot=sdot gmsmdt

sdm (2)

eine Beschleunigung des Koumlrpers laumlngs der kreisfoumlrmigen Bahnkurve Zwischen dem Aus-lenkwinkel φ und der Bahnkurvenkoordinate s auf der Bahnkurve besteht die Beziehung

ϕsdot= ls Bei (zeitlich) konstanter Fadenlaumlnge l folgt daraus unmittelbar

dtdl

dtds ϕ

sdot= und 2

2

2

2

dtdl

dtsd ϕ

sdot= (3)

Fuumlr kleine Auslenkwinkel φ gilt die bekannte Naumlherung ϕϕ asympsin die ebenso wie (3) in die Bewegungsgleichung (2) eingesetzt werden kann Daraus erhaumllt man die Newtonsche Bewe-gungsgleichung fuumlr das mathematische Pendel mit

02

2

=sdot+sdot ϕϕ gdtdl (4)

Diese Schwingungsdifferentialgleichung einfachster Form kann mit dem Ansatz

6

F3 FADENPENDEL

)sin(0 ψωϕϕ +sdotsdot= t mit lg

=ω (5)

geloumlst werden Die hier zunaumlchst willkuumlrlich erscheinenden Konstanten heiszligen Amplitude φ0

bzw Phasenkonstante ψ und sind durch die konkreten Anfangsbedingungen fuumlr t = 0 festge-legt Das mathematische Pendel vollfuumlhrt demnach bei Auslenkung um kleine Winkel harmo-nische Schwingungen mit der Kreisfrequenz ω und der Periodendauer

glT π

ωπ 22== (6)

die unabhaumlngig von der Masse m und der Amplitude φ0 ist Die Beziehung (6) erlaubt prinzipiell bei bekannter Pendellaumlnge l durch Messung der Perio-dendauer T eine Bestimmung der Fallbeschleunigung g Allerdings ist die Pendellaumlnge l nur sehr ungenau zu bestimmen Deshalb bedient man sich hier zweckmaumlszligig eines einfachen Tricks Die Laumlnge l kann um genau einstellbare Betraumlge li veraumlndert werden und setzt sich gemaumlszlig zusammen Damit wird aus (6) durch entsprechende Umformung illl += 0

( )ii llgg

lT +sdot== 0

222 44 ππ (7)

Misst man nun die Periodendauern Ti fuumlr die entsprechenden li und stellt die Abhaumlngigkeit

Ti2(li) dar so ergibt sich eine Gerade mit dem Anstieg

g

24π und dem Achsenabschnitt

0

24 lg

sdotπ Damit werden die Groumlszligen g und l0 bestimmbar

Die oben vorgenommenen Vereinfachungen die zur Herleitung der Beziehung (6) verwendet wurden beduumlrfen noch einer weiteren Diskussion Betrachtung beliebiger Winkel Ohne die obige Beschraumlnkung auf kleine Winkel φ liefert die Loumlsung der sog elliptischen Differentialgleichung (2) fuumlr die Periodendauer das (exak-tere) Ergebnis

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdotsdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛sdot+sdot=

2sin

2sin1 042

43

21022

21 ϕϕ

ϕ TT (8)

wobei T durch die Beziehung (6) gegeben ist Beruumlcksichtigung des Auftriebs in Luft Der Massekoumlrper aus Blei mit der Dichte von ρK = 11340 kgm-3 und dem Volumen VK erfaumlhrt in Luft der Dichte ρL asymp 12 kgm-3 eine Auftriebskraft gVF KLA sdotsdot= ρ die der Gewichtskraft gVgmF KKG sdotsdot=sdot= ρ entgegen-gerichtet ist Unter Beruumlcksichtigung dieses Auftriebs in Luft erhaumllt man schlieszliglich fuumlr die Periodendauer

LK

KA TT

ρρρminus

sdot= (9)

Betrachtung fuumlr ausgedehnten Massekoumlrper Die Ausdehnung des schwingenden Koumlrpers kann man beruumlcksichtigen wenn man von der Bewegungsgleichung des sog physikalischen Pendels (vgl Versuch bdquoM9 Reversionspendelldquo) ausgeht Die genaue Betrachtung bzw Herleitung wird hier bewusst nicht angegeben sondern nur das Ergebnis Mit bekannten Abmessungen des Bleizylinders (Radius R und Houmlhe h) am Faden der Laumlnge l bestimmt sich die Periodendauer zu

2

22

1231

lhRTTs sdot

++sdot= (10)

7

F3 FADENPENDEL

Der Einfluss des Fadens wurde auch bei diesen Betrachtungen aber ebenso vernachlaumlssigt wie die auftretende Reibung Es ist sicherlich empirisch einsichtig dass schwache Reibung zu einer gedaumlmpften Schwingung fuumlhren wird Die Schwingungsamplitude klingt dann

exponentiell mit sehr groszliger Zeitkonstante τ wie τt

eminus

ab AUFGABEN 1 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine feste Fadenlaumlnge Die Zeitmessung erfolgt fuumlr 10

Schwingungen jeweils zehnmal an einem Umkehrpunkt und beim Nulldurchgang des Pendels Berechnung von Mittelwerte Standardabweichung und Vertrauensbereich der Periodendauer und Diskussion der Unterschiede zwischen beiden Verfahren

2 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine Schwingung beim Nulldurchgang mit zehnfacher Messung Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung anschlieszligend Vergleich mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe 1 und Diskussion der Unterschiede

3 Bestimmung der Periodendauer fuumlr 10 verschiedene Fadenlaumlngen li Aus jeweils 2 Messungen fuumlr 10 Schwingungen sind die Mittelwerte fuumlr die Periodendauern Ti(li) zu berechnen

4 Grafische Darstellung der Ergebnisse der 3 Aufgabe in der Form Ti2(li) in einem

Diagramm Verwendung von Gleichung (7) zur Bestimmung von Fallbeschleunigung g und Anfangslaumlnge des Pendels l0 sowohl durch grafischen Geradenausgleich als auch numerische lineare Regression mit Ermittlung der zugehoumlrigen Unsicherheiten

5 Aus den Ergebnissen der 4 Aufgabe fuumlr l0 und g ist gemaumlszlig Gleichung (6) die Periodendauer T einschlieszliglich ihrer Unsicherheit zu berechnen und mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe zu vergleichen

6 Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen fuumlr die Periodendauer gemaumlszlig der og drei Gleichungen (8-10) und ihres Einflusses auf die g-Bestimmung Diskussion der Relevanz entsprechender Korrekturen

VERSUCHSHINWEISE Ein gegossener Bleizylinder (Radius R asymp 23 mm Houmlhe h asymp 23 mm Masse m asymp 08 kg) haumlngt an einem duumlnnen Stahldraht Die Pendellaumlnge laumlsst sich durch einen Schieber in dessen Fuumlhrung der Draht laumluft veraumlndern Die Laumlngenaumlnderung kann mit Hilfe von Ringmarken deren Abstand 2 cm betraumlgt eingestellt werden Bei Auslenkung des Pendels aus seiner Ruhelage fuumlhrt es Schwingungen aus deren Periodendauer mit einer von Hand ausgeloumlsten Stoppuhr bestimmt wird Fuumlr die ersten beiden Aufgaben ist zweckmaumlszligig (warum) eine moumlglichst groszlige Fadenlaumlnge zu waumlhlen Die zugehoumlrige Stellung des Schiebers ist unbedingt zu notieren da sie spaumlter benoumltigt wird Fuumlr die 3 Aufgabe wird die Anfangsfadenlaumlnge l0 um die Werte li (i = 110) in Schritten von 4 cm verringert Fuumlr die mit der 4 Aufgabe erforderliche Auswertung sind grafische Mittel (Anstiegsdreieck grafische Extrapolation auf den Achsenabschnitt) und ein rechentechnisches Verfahren (lineare Regression) einzusetzen Fuumlr Aufgabe 5 ist das bei Aufgabe 4 bestimmte Ergebnis fuumlr die Anfangslaumlnge l0 zu verwenden Bei Aufgabe 6 muss ermittelt werden wie sich die Korrekturen der Schwingungsdauer gemaumlszlig (8-10) auf die Fallbeschleunigung g auswirken Beachten Sie hier dass g aus dem Anstieg der Geraden gemaumlszlig der 4 Aufgabe nach Gleichung (7) bestimmt wird Uumlberlegen Sie welche zufaumllligen und welche systematischen Abweichungen die Messunsicherheit der Fallbeschleunigung g wesentlich bestimmen

8

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Traumlgheitsgesetz Grundgesetz der Dynamik Feder-konstante Federkraft harmonische Schwingung Frequenz Periodendauer Amplitude In diesem Versuch soll die Federkonstante einer Schraubenfeder mit drei verschiedenen Methoden bestimmt werden Bei der Auswertung der Ergebnisse sind Grundbegriffe und Methoden der Fehlerrechnung und ndashanalyse gezielt anzuwenden und zu uumlben 1 Statische Messung der Federkonstanten Wird eine am oberen Ende eingespannte Schraubenfeder am unteren Ende durch Anhaumlngen einer Masse m belastet so wird die Feder gedehnt und es stellt sich eine neue Ruhelage ein (Abb 1 statischer Fall) Die Gewichtskraft

gmFG sdot= und die durch die elastische Verformung entstehende Federkraft (mit k als Federkonstante) stehen im Gleichgewicht (Newtonsches Traumlgheitsgesetz)

xkFF sdotminus=

0=+ FG FF (1)

Abbildung 1 Statische und dynamische Belastung einer Schraubenfeder

Durch Einsetzen der Beziehungen fuumlr beide Kraumlfte und einfache Umstellung ergibt sich daraus

kgmx sdot

= (2)

Die statische Auslenkung x der Schraubenfeder muss demnach linear von der Belastung m abhaumlngig sein Durch die experimentelle Untersuchung der Abhaumlngigkeit x(m) kann sowohl die Linearitaumlt des Federkraftgesetzes xkFF sdotminus= uumlberpruumlft als auch die Federkonstante k bestimmt werden 2 Dynamische Messung der Federkonstanten Lenkt man eine mit der Masse m belastete Feder aus ihrer Ruhelage aus (Abb 1 dynamischer Fall) dann wirkt eine ruumlcktreibende

Federkraft und die Masse m erfaumlhrt eine Beschleunigung xkFF sdotminus=mFx

dtxda F=== 2

2

nach

dem Newtonschen Grundgesetz der Dynamik Fuumlr die weiteren Betrachtungen sollen jegliche Reibungskraumlfte vernachlaumlssigt werden daher ergibt sich aus der Newtonschen Bewegungs-gleichung hier die einfachste Form einer Schwingungsdifferentialgleichung mit

02

2

=sdot+sdot xkdt

xdm (3)

9

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

die eine freie ungedaumlmpfte Schwingung beschreibt Mit den willkuumlrlich ausgewaumlhlten Anfangsbedingungen (Anfangslage) und 0)0( xtx == 0)0( 0 === vtx (Anfangsgeschwin-digkeit) lautet ihre Loumlsung

)cos()( 0 txtx sdotsdot= ω (4)wobei physikalisch x0 als Amplitude und mk=ω als Kreisfrequenz der freien ungedaumlmpf-ten Federschwingung bezeichnet werden Der Koumlrper der Masse m schwingt nach Auslen-kung (aus der Gleichgewichts- bzw Ruhelage um x0) in Form einer harmonischen Schwin-gung mit der Periodendauer

kmT π

ωπ 22== (5)

die experimentell direkt gemessen werden kann Aus (5) ist bei bekannter Masse m die Feder-konstante k bestimmbar 3 Berechnung der Federkonstanten aus der Geometrie und den Materialeigenschaften der Schraubenfeder Durch eine Auslenkung aus der Ruhelage wird die Schraubenfeder gedehnt und damit der gesamte Federdraht auf sog Torsion (svw bdquoVerdrehungldquo oder bdquoVerdrillungldquo) beansprucht Ohne weitere Herleitung sei hier eine Beziehung angegeben die es gestattet aus dem sog Torsionsmodul G (als Materialkonstante des Federdrahtes) und den geometrischen Daten der Schraubenfeder (Drahtlaumlnge l Drahtdurchmesser d und Wickel-radius r) die Federkonstante k zu berechnen

2

4

32 rldGksdotsdot

sdot=π (6)

AUFGABEN 1 Aus dem statischen Verhalten einer Schraubenfeder ist deren Federkonstante experimentell

zu bestimmen Dazu ist gemaumlszlig Beziehung (2) die statische Auslenkung x in Abhaumlngigkeit von der Belastung m mit verschiedenen Massestuumlcken zu messen Die Daten sind in der Form x = x(m) als Diagramm grafisch darzustellen und daraus die Federkonstante k zu er-mitteln Fuumlr die zu erwartende lineare Abhaumlngigkeit ist sowohl mit einfacher grafischer Methode (bdquoSteigungsdreieckldquo) als auch numerisch (Geradenausgleichsrechnung lineare Regression) der Anstieg von x = x(m) und daraus die Federkonstante (jeweils auch ein-schlieszliglich der Messunsicherheit) zu bestimmen

2 Mithilfe des dynamischen Verhaltens des Federschwingers ist fuumlr dieselbe Feder die Federkonstante aus der experimentell beobachteten Periodendauer der Schwingung zu bestimmen (jeweils auch einschlieszliglich der Messunsicherheit) Dazu ist Formel (5) bei be-kannter und sinnvoll gewaumlhlter Masse m zu nutzen

3 Mithilfe von Formel (6) ist aus den Daten der Schraubenfeder die am Versuchsplatz angegeben sind die Federkonstante k einschlieszliglich ihrer resultierenden Unsicherheit zu berechnen

4 Die Obergrenzen fuumlr systematische Messabweichungen bei den ersten beiden Aufgaben (statische und dynamische Messung der Federkonstanten) sind abzuschaumltzen (Groumlszligenord-nungen) Es ist zu analysieren welche dieser systematischen Abweichungen korrigierbar sind und welche dann tatsaumlchlich in die Messunsicherheit des Endergebnisses eingehen

5 Fuumlr alle drei Methoden (Aufgaben 1-3) sind die Ergebnisse (einschlieszliglich Messunsicher-heit) fuumlr die Federkonstante uumlbersichtlich darzustellen miteinander zu vergleichen und zu diskutieren Sofern moumlglich ist ein gewichteter Mittelwert zu ermitteln

10

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

VERSUCHSHINWEISE Die Schraubenfeder ist mit einem Ende an einem Stativ befestigt Zur Messung der Auslen-kung der Feder aus der Ruhelage wird die Stellung der an der Feder befindlichen Marke M (Abb 1) auf einer Spiegelskale abgelesen (Welchen Vorteil bietet eine Spiegelskale gegen-uumlber einer einfachen Skale) Die sog Verkehrsfehlergrenze der Massennormale ist fuumlr die Masse m = 50 g mit ∆m = plusmn 01 g festgelegt Bei Messung einer Laumlnge l mit der Spiegelskale ist die Messunsi-cherheit ∆l = plusmn (02 mm + 5middot10-4middotl) Fuumlr die Fallbeschleunigung ist (lt Festlegung der Eichbe-houmlrden der Laumlnder fuumlr Waagen) ein Wert von g = (98130 plusmn 00001) mmiddots-2 zu verwenden Fuumlr die 1 Aufgabe wird die Feder schrittweise bis 400 g mit Massestuumlcken von 50 g belastet und mit Hilfe einer Spiegelskale an der Marke M die Auslenkung x gemessen (erste Mess-reihe) Nach Erreichen der Houmlchstbelastung von 400 g ist dann die Feder wieder schrittweise zu entlasten (zweite Messreihe) a) Aus der grafischen Darstellung x = x(m) ist mithilfe des bdquoSteigungsdreiecksldquo der Anstieg

gk grafisch zu ermitteln und seine Unsicherheit entsprechend abzuschaumltzen (vgl Einfuumlh-rungsskript) Daraus sind dann die Federkonstante k als mittelbar bestimmter Groumlszlige und ihre Unsicherheit ∆k zu berechnen

b) Durch lineare Regression ist mithilfe geeigneter Software (s Einfuumlhrungsskript und Vorle-sung) der Anstieg und seine Unsicherheit numerisch zu ermitteln daraus ebenfalls wieder die Federkonstante und deren Unsicherheit

Fuumlr die 2 Aufgabe wird die Feder mit einer Gesamtmasse von 400 g belastet und 10mal die Zeit fuumlr jeweils 20 Schwingungen mithilfe einer Stoppuhr gemessen Daraus ist der Mittel-wert der Periodendauer T und ihr Vertrauensbereich sT zu berechnen und mittelbar damit die Federkonstante k uumlber Gleichung (5) mit ihrer Messunsicherheit a) Zur Genauigkeit der Messung mit Stoppuhren sind im Einfuumlhrungsskript ausfuumlhrliche Hin-

weise enthalten Entsprechend den dort enthaltenen Angaben sind die systematischen Messabweichungen mit ihrer Auswirkung auf die Periodendauer und die Federkonstante realistisch abzuschaumltzen

b) Bezuumlglich der Massen ist bereits ein Hinweis bei Aufgabe 1 gegeben worden Zusaumltzlich muumlsste noch der Einfluss der Eigenmasse der Feder von mF asymp 5 g auf die Periodendauer beruumlcksichtigt werden Die Teile der Feder nehmen unterschiedlich an der Bewegung teil es kann als zu beruumlcksichtigende Zusatzmasse macute= mF3 gesetzt werden Somit ergibt sich

fuumlr die Periodendauer m

mTk

mmT F

312acute +=

+= π

c) Auch bei sehr sorgfaumlltiger Anfangsauslenkung fuumlhrt der Federschwinger nach einigen Schwingungen unvermeidlich seitliche Schwingungen aus Wie beeinflusst diese Bewe-gung die gemessene Periodendauer Man uumlberlege sich auch welche Auswirkungen die in der Betrachtung vernachlaumlssigte aber unvermeidlich auftretende Reibung auf das Ergebnis dieses Verfahrens hat

Fuumlr die 3 Aufgabe sind am jeweiligen Versuchsplatz die Messunsicherheiten der einzelnen Groumlszligen mit angegeben Eine Unterscheidung von zufaumllligen und systematischen Komponen-ten ist hier allerdings nicht moumlglich Fuumlr Aufgabe 5 ist eine tabellarische Darstellungsweise vorzuziehen In Zusammenhang mit dem gewogenen Mittelwert ist zu analysieren unter welchen Bedingungen er uumlberhaupt sinn-voll gebildet werden kann

11

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Dichte Auftriebskraft Analy-senwaage Pyknometer Ein sog Pyknometer ist ein Geraumlt zur Bestimmung der Dichte fester Koumlrper Es besteht aus einem Glasgefaumlszlig mit eingeschliffenem Stopfen der eine kapillare Bohrung hat Das Pykno-meter kann reproduzierbar mit groszliger Genauigkeit mit Wasser gefuumlllt werden Zur Dichtebe-stimmung mit dem Pyknometer sind drei Waumlgungen mit einer Analysenwaage noumltig wobei der Auftrieb der zu waumlgenden Koumlrper (Probe bzw Pyknometer) in Luft (Dichte ρL) zu beruumlck-sichtigen ist 1 Waumlgung der Probe in Luft Fuumlr eine Probe (Masse m1 Volumen V1) wird die Gewichts-kraft durch die ihr entgegengesetzt gerichtete Auftriebskraft gmF sdot= 11 gVF LA sdotsdot= ρ11 vermindert so dass im Gleichgewicht die Waage den Wert m1rsquo anzeigt Die Gleichgewichts-bedingung liefert

111 mVm L =sdotminus ρ (1)2 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers Das vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllte Pykno-meter (Volumen VP) hat die Gesamtmasse m2 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m2rsquo an so dass gilt

22 mVm LP =sdotminus ρ (2)3 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers mit Probe Das mit Wasser und der Probe gefuumlllte Pyknometer hat die Gesamtmasse m3 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m3rsquo an so dass gilt

33 mVm LP =sdotminus ρ (3)Zwischen den Massen m1 m2 und m3 besteht der Zusammenhang

232311 mmmmVm W minus=minus=sdotminus ρ (4)wobei ρW die Dichte des Wassers ist Zur Bestimmung der Dichte ρ1 der Probe kann man aus den Gleichungen (1) und (4) die Unbekannten m1 und V1 ermitteln Man erhaumllt

)()(

231

231

1

11 mmm

mmmVm LW

minusminussdotminusminussdot

==ρρρ (5)

AUFGABEN 1 Bestimmung der Masse m1rsquo fuumlr zwei verschiedene Metallproben (Al und Cu) durch

Waumlgung in Luft Fuumlr jede Probe erfolgt die Waumlgung sechsmal wobei die Probe immer neu auf die Waage zu legen ist Bestimmung der zugehoumlrigen Mittelwerte

2 Bestimmung der Masse m2rsquo des vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllten Pyknometers durch Waumlgung Die jeweils erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt sechsmal Bestimmung des Mittelwertes

3 Bestimmung der Masse m3rsquo des mit Wasser und jeweiliger Metallprobe gefuumlllten Pykno-meters durch Waumlgung Die erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt fuumlr jede Probe sechsmal Bestimmung der Mittelwerte

4 Berechnung der Dichte der beiden Metallproben nach Gleichung (5) 5 Bestimmung der jeweiligen Messunsicherheiten fuumlr die unmittelbar gemessenen Groumlszligen

m1rsquo m2rsquo und m3rsquo fuumlr beide Proben 6 Abschaumltzung bzw Berechnung (Fortpflanzung) der resultierenden Messunsicherheiten der

mit (5) mittelbar bestimmten beiden Dichten Vergleich der Ergebnisse fuumlr die beiden Dichten mit Referenzwerten

12

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

VERSUCHSHINWEISE Die Waumlgungen werden mit einer elektronischen Analysenwaage durchgefuumlhrt bei der die auf-gelegte Last (Abb 1 oberer Pfeil) durch eine elektromagnetische Kraft kompensiert wird Mit einer optoelektronischen Abtastung (1) wird die Stellung der Waagschale (2) gemessen und mit diesem Signal der Kompensationsstrom in der Spule (3) gesteuert Der Kompensations-strom erzeugt zwischen Permanentmagnet (4) und Spule eine Kraft so dass die Waagschale in die Null-Lage zuruumlckgefuumlhrt wird der Strom ist der Last proportional Zur Durchfuumlhrung der Waumlgungen beachte man unbedingt die Hinweise des Versuchsbetreuers und die Platz-anleitung

Abb1 Messprinzip der eAnalysenwaage

lektronischen

Fuumlr Aufgabe 2 wird das Pyknometer bis zum Rand mit destilliertem Wasser gefuumlllt wobei die Bildung von Luftblaumlschen zu vermeiden ist Verschlieszligt man das Pyknometer mit dem ange-schliffenen Stopfen so laumluft Wasser uumlber das sehr sorgfaumlltig mit Filterpapier abzuwischen ist Das Anfassen des Pyknometers muss aumluszligerst vorsichtig erfolgen um seine Erwaumlrmung zu vermeiden (warum) Nach dem Abwischen wird mit Filterpapier der auf der Kapillare stehende Tropfen abgenommen so dass die Kapillare bis oben mit Wasser gefuumlllt ist Fuumlr die durchzufuumlhrenden Waumlgungen ist das Pyknometer stets erneut zu befuumlllen Fuumlr Aufgabe 3 wird der Probekoumlrper in das Pyknometer gebracht und dann mit destilliertem Wasser aufgefuumlllt weiter ist sinngemaumlszlig wie bei Aufgabe 2 zu verfahren Fuumlr Aufgabe 4 sind zusaumltzlich zu den Werten m1rsquo m2rsquo und m3rsquo auch der Luftdruck p sowie die Zimmer- und Wassertemperatur zu bestimmen Die Temperaturen koumlnnen als gleich vor-ausgesetzt werden da das destillierte Wasser sich bereits sehr lange im Versuchsraum befin-det Die temperaturabhaumlngige (s Abb 2) Dichte ρW von reinem (luftfreiem) Wasser laumlsst sich im Temperaturintervall 0degC lt θ lt 40degC naumlherungsweise berechnen mit

4-73-52323 1046657-10772108768-1066299984)( θθθθρ sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot+=sdot minusminusminusmkgw

wobei die Temperatur θ in degC einzusetzen ist (Fehler der Naumlherung ) Diese Naumlhrung gilt bei sog Normaldruck (p

3210 minusminus sdotlt∆ mkgWρN = 1013 kPa) Warum kann die Druckabhaumlngig-

keit hier vernachlaumlssigt werden Die Druckabhaumlngigkeit muss aber bei der Luftdichte unbedingt beruumlcksichtigt werden ebenso wie die Luftfeuchtigkeit (warum) Man verwendet die Beziehung

TRp

fL sdot=ρ

13

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

wobei p der Luftdruck (in Pa) T die Lufttemperatur (in K) und Rf die Gaskonstante feuchter Luft ist Diese Gaskonstante Rf berechnet sich wiederum aus

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdotminus

=

d

ld

lf

RR

pp

RR11 ϕ

0 10 20 30 40992

993

994

995

996

997

998

999

1000

Dic

hte ρ w

(kg

m3 )

Temperatur θ (degC)

-10 0 10 20 3011

12

13

Dic

hte ρ L (k

gm

3 )Temperatur θ (degC)

Abb 2 Temperaturabhaumlngigkeit der Dichte fuumlr (reines) Wasser und (trockene) Luft

Hier ist Rl = 28705 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante trockener Luft Rd = 461 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante von Wasserdampf und φ die relative Luftfeuchtigkeit Die Groumlszlige pd ist der Saumlt-tigungsdampfdruck von Wasser in Luft der sich empirisch mit der sog Magnus-Formel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+degsdot

sdot=θθ

CPapd 2241

504317exp213611)( im Intervall CC degleledegminus 7030 θ

berechnen laumlsst wobei θ wieder die Temperatur (in degC) ist Fuumlr Aufgabe 5 sind die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen der Waumlgungen zu ermitteln Die Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo werden alle mit der gleichen Analysenwaage ermittelt fuumlr die vom Hersteller eine Garantiefehlergrenze (systematischer Restfehler) von 02 mg angegeben wird Diese Garantiefehlergrenze ist fuumlr alle drei Massenwerte als geraumlte-bedingte systematische Abweichung zu beruumlcksichtigen Fuumlr die Messwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo haumlngt es von der sorgfaumlltigen Versuchsdurchfuumlhrung (Abtupfen des Wassers ) ab ob die zufaumlllige undoder die systematische Abweichung die Messunsicherheit bestimmt Fuumlr Aufgabe 6 ist nur die Messunsicherheit der Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo zu beruumlcksich-tigen Die berechneten Werte fuumlr die Dichten von Luft und Wasser koumlnnen als praktisch fehlerfrei angenommen werden

14

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Erster Hauptsatz der Thermodynamik Waumlrmemenge Waumlrmekapazitaumlt Richmannsche Mischungsregel Arbeit von Gleich- und Wechselstrom Waumlrmeaustauschkorrektur (s Skript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstel-lung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo) Waumlrme ist eine Energieform die zwischen Koumlrpern ausgetauscht wird oder in andere Energie-formen umgewandelt werden kann Fuumlhrt man einem Koumlrper der Masse m die Waumlrmemenge dQ zu dann ist die sich einstellende Temperaturerhoumlhung dT proportional zur zugefuumlhrten Waumlrmemenge

dTcmdQ sdotsdot= (1)wobei der Proportionalitaumltsfaktor c als spezifische Waumlrmekapazitaumlt mit der SI-Einheit Jmiddotkg-1middotK-1 bezeichnet wird und eine Stoffkonstante ist Aus (1) ergibt sich

dTdQ

mc sdot=

1 (2)

Das Produkt cmC sdot= (3)

mit der SI-Einheit JmiddotK-1 nennt man Waumlrmekapazitaumlt des Koumlrpers Zur Bestimmung von Waumlrmemengen benutzt man sog Kalorimeter wobei anisotherme Aus-fuumlhrungen mit sehr gut waumlrmeisolierten Gefaumlszligen am haumlufigsten verwendet werden Fuumlhrt man einem mit Wasser der Masse mW (teilweise) gefuumlllten Kalorimeter eine Waumlrmemenge ∆Q zu dann werden auszliger dem Wasser auch alle Teile des Kalorimeters wie zB Gefaumlszligwandung Thermometer und Ruumlhrer erwaumlrmt Die gesamte Waumlrmekapazitaumlt der Versuchsanordnung setzt sich also aus der des Wassers (mWmiddotcW) und der des Kalorimeters (CK) zusammen

( ) TCcmQ KWW ∆sdot+sdot=∆ (4)Die spezifische Waumlrmekapazitaumlt von Wasser hat als Stoffkonstante den Wert cW = 41813 kJmiddotkg-1middotK-1 (bei 25degC) Die Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorime-ters ist rechnerisch nur naumlherungsweise moumlglich deshalb wird sie ia experimentell ermittelt 1 Elektrische Methode Flieszligt durch einen Ohmschen Leiter (Heizspirale) an dem die Spannung U anliegt der Strom I dann entsteht im Zeitintervall ∆t in ihm eine der elektri-schen Energie aumlquivalente Waumlrmemenge

tIUQ ∆sdotsdot=∆ (5)Uumlbertraumlgt man diese Waumlrmemenge an das Wasser (Masse mW) und das Kalorimeter (Waumlrme-kapazitaumlt CK) dann steigt die Wassertemperatur gemaumlszlig (4) Bei verlustloser Waumlrmeuumlbertra-gung sind beide Waumlrmemengen gleich (Energieerhaltungssatz) und es gilt

( ) TCcmtIU KWW ∆sdot+sdot=∆sdotsdot (6)so dass CK bestimmt werden kann 2 Mischungsmethode Fuumlgt man kaltem Wasser der Masse m1 und Temperatur T1 in einem Kalorimeter warmes Wasser der Masse m2 und Temperatur T2 hinzu so findet ein Waumlrmeaus-tausch statt bis das gesamte Wasser die Mischungstemperatur Tm angenommen hat Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dass die vom warmen Wasser abgegebene Waumlrmeenergie

gleich der vom kalten Wasser und dem Kalorimeter aufgenommenen Waumlrmeenergie

)( 222 mW TTcmQ minussdotsdot=∆( ) )( 111 TTCcmQ mKW minussdot+sdot=∆ sein muss Der Energieerhaltungssatz in dieser

speziellen Form des Austausches von Waumlrmemenge heiszligt Richmannsche Mischungsregel und ergibt die Gleichung

( ) )()( 2211 mWmKW TTcmTTCcm minussdotsdot=minussdot+sdot (7)zur Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorimeters

15

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

AUFGABEN 1 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der elektrischen Methode gemaumlszlig (6) 2 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 1 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 3 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der Mischungsmethode mit (7) 4 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 3 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 5 Fuumlr beide Methoden fuumlhre man eine Bestimmung der Messunsicherheit der Waumlrmekapazi-

taumlt durch und vergleiche die Endergebnisse miteinander VERSUCHSHINWEISE Das Verfahren zur Waumlrmeaustauschkorrektur Bei kalorimetrischen Messungen ist ein Waumlrmeaustausch mit der Umgebung unvermeidlich (offenes thermodynamisches System) und meist stoumlrend Aus dem gemessenen zeitlichen Temperaturverlauf ist er aber abzulesen (s Abb 1)

DE

Abbildung 1 Zeitlicher Verlauf der Temperatur im Kalorimeter

In der Vorperiode erhaumllt man den ansteigenden Kurvenabschnitt ArarrB in der Nachperiode den abfallenden Kurvenabschnitt ErarrF Das liegt daran dass das Kalorimeter eben nicht adia-batisch bzw isentrop ist Die Temperatur der Kalorimeterfluumlssigkeit im Innern gleicht sich in beiden Abschnitten jeweils (asymptotisch) an die Umgebungstemperatur TU an wobei der Waumlrmefluss proportional zur Temperaturdifferenz ist Es laumlsst sich zeigen dass der Gleichge-wichtszustand zeitlich exponentiell angenommen wird Im vorliegenden Fall ist aber die ent-sprechende Zeitkonstante sehr groszlig im Vergleich zur Messzeit so dass die beiden Abschnitte ArarrB und ErarrF naumlherungsweise jeweils durch eine Gerade beschrieben werden duumlrfen Die-ser Sachverhalt gestattet es auszligerdem in diesen Abschnitten die Messwerte in groumlszligerer zeitli-cher Schrittweite aufzunehmen Aufgrund des real zeitlich ausgedehnten Waumlrmeaustausches mit der Umgebung beobachtet man einen stetigen und differenzierbaren Verlauf der Kurve im Abschnitt BrarrE Nur wenn die im Experiment zugefuumlhrte Waumlrme sofort verteilt wuumlrde waumlre die Temperaturkurve eine Sprungfunktion Das System braucht eine gewisse Zeit bis sich ein neues Gleichgewicht ein-stellen kann Es verhaumllt sich so als ob es uumlber ein ganzes Zeitintervall bdquoverschmiertldquo waumlre Es gilt also die Endzeit der Waumlrmezufuhr zu finden Sie liegt im Wendepunkt der Temperaturkurve weil sich dort die Richtung der Kruumlmmung aumlndert also Waumlrmezufuhr in Waumlrmeverlust uumlbergeht Nun laumlsst sich aber im Abschnitt BrarrE die Kurve T(t) nicht beliebig

F

Tem

pera

tur

T

∆T S

TU

A B C

Zeit

16

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

17

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

18

O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

23

O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

25

O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

26

O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

27

O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

28

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

29

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

32

O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

34

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

35

O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

Die Natur ist unerbittlich und unveraumlnderlich und es ist ihr gleichguumlltig ob die verborgenen Gruumlnde und Arten ihres Handelns dem Menschen verstaumlndlich sind oder nicht

Galileo Galilei

1564 - 1642

INHALTSVERZEICHNIS

Motivation und Ziele I

Ordnung und Sicherheit II

Literatur IV

Kurzbezeichnung Thema Seite

F1 Fehlerverteilung 1

F2 Volumenmessung 3

F3 Fadenpendel 6

F4 Bestimmung von Federkonstanten 9

F5 Dichte fester Koumlrper 12

T1 Waumlrmekapazitaumlt eines Kalorimeters 15

O1 Duumlnne Linsen 19

O2 Mikroskop 23

O9 Reflexion und Brechung 28

O5 Polarimetrie 36

E6 Wechselspannungsmessungen 39

E8 Reale Gleichspannungsquellen 44

F0 Auswertung und Praumlsentation von Messdaten 48

Die Kurzbezeichnungen der Versuche sind historisch und willkuumlrlich entstanden

MOTIVATION UND ZIELE

Das Hauptziel der Lehrveranstaltung ist die zielgerichtete Einfuumlhrung in experimentelle Arbeitsweisen dh in praktisch-experimentelle und quantitative Arbeitsmethoden der Physik bull Als Studierende werden Sie sich den praktischen Umgang mit Messtechnik -verfahren und

-methodik aneignen und erlernen Ihre Versuchsaufzeichnungen stets so zu fuumlhren dass sie dem Anspruch einer Messdokumentation genuumlgen Auf der Grundlage dieser Aufzeichnun-gen muss ein durchgefuumlhrtes Experiment vollstaumlndig ausgewertet und gegebenenfalls repro-duziert werden koumlnnen

bull Sie eignen sich die Faumlhigkeit an die von Ihnen gewonnenen empirischen experimentellen Daten unter strikter Beachtung der Messgenauigkeiten bzw ndashunsicherheiten dh des Naumlhe-rungs- oder Schaumltzcharakters der Messungen sachgerecht auszuwerten und ihre Aussage-kraft einzuschaumltzen Das erfordert eine zielgerichtete Anwendung und Uumlbung besonderer mathematisch-statistischer und praktischer Methoden

Im Praktikum werden wir uns selbstverstaumlndlich nicht mit dem Erlernen rein technischer Fauml-higkeiten begnuumlgen wie sie z B von qualifizierten Laboranten bzw technischen Assistenten verlangt werden Das zweite wesentliche Ziel des Praktikums besteht deshalb in der Heran-fuumlhrung an wissenschaftlich-analytisches Denken bull Auf der Grundlage der von Ihnen selbst vorgenommenen Beobachtungen und der bei ihrer

Auswertung erzielten quantitativen Ergebnisse sollen Sie (bezogen auf den physikalischen Hintergrund des Experiments) schluumlssige Antworten auf eingangs gestellte Fragen ableiten und kritisch begruumlnden koumlnnen

bull Ihre gewonnenen Ergebnisse und daraus gezogene Schlussfolgerungen sind in den Rahmen der bisherigen Erkenntnisse einzuordnen Dabei sind beispielsweise Hypothesen durch Ver-gleich mit den experimentellen Resultaten kritisch zu uumlberpruumlfen und Versuche hinsichtlich ihrer Aussagekraft und Qualitaumlt zu bewerten

bull Anhand eigener Experimente werden Sie sich anwendungsbezogen und vertiefend mit ausgewaumlhlten Themen der Physik beschaumlftigen Gerade die Anwendung von Kenntnissen erweist sich stets als besonders empfindlicher Indikator fuumlr physikalisches Verstaumlndnis auch in Details

bull Haumlufig muumlssen Sie sich auch mit Problemstellungen beschaumlftigen fuumlr die Sie noch keinen hinreichenden inhaltlichen Vorlauf aus anderen Lehrveranstaltungen besitzen Das erscheint einerseits (auf den ersten Blick) etwas fragwuumlrdig entspricht aber andererseits einer typi-schen Situation wissenschaftlicher Arbeitspraxis Oft sind Themen zu bearbeiten fuumlr die nur ein Grundwissen vorhanden ist und die eine tiefere Einarbeitung erfordern

bull Nicht zuletzt sollen Sie schrittweise erlernen Ihre eigene praktische Arbeit in wissenschaft-lich angemessener Weise auch schriftlich darzustellen und erzielte Ergebnisse aussagekraumlf-tig praumlsentieren zu koumlnnen

Moderne Wissenschaft zeichnet sich durch weitgehend kollektive Arbeitsweise aus trotz oder gerade wegen der hochgradigen Spezialisierung und Arbeitsteilung in Arbeitsgruppen Des-halb ist die Aneignung und Uumlbung kollegialer wissenschaftlicher Arbeits- und Umgangsfor-men eine weitere wichtige Zielsetzung bull Experimentelle Aufgaben werden arbeitsteilig bearbeitet ihre Auswertung erfordert regel-

maumlszligig einen kritischen Meinungsaustausch in Gruppen bull Bei Vorgespraumlchen und Diskussionen werden verbale Darstellungsformen und sachlich-

kritische Auseinandersetzungen praktiziert und trainiert Diese notwendigen Grundformen wissenschaftlicher Arbeit kehren in spaumlteren Studienabschnitten und in der Berufstaumltigkeit wieder

I

ORDNUNG UND SICHERHEIT

Wie fuumlr andere Bereiche sind auch im Physikalischen Grundpraktikum einige grundsaumltzliche Festlegungen fuumlr den laufenden Lehrbetrieb in unseren Raumlumlichkeiten zu treffen die fuumlr ausnahmslos alle teilnehmenden Studierenden gelten Teilnahmeberechtigung Grundvoraussetzung ist der Besuch der rechtzeitig durch Aushaumlnge im Internet (Webseite des Instituts fuumlr Physik) und im Institut bekannt gegebenen Einfuumlhrungsveranstaltung bull Waumlhrend dieser Veranstaltung erfolgen die Einschreibung zum Kurs und die Einteilung in

Gruppen bull Es werden Hinweise zum Praktikumsablauf sowie zur Protokollierung und Auswertung von

Versuchen gegeben bull Kursplaumlne und Skripten werden ausgeteilt bull Es erfolgt eine Arbeitschutzbelehrung deren Kenntnisnahme aus ersichtlichen rechtlichen

Gruumlnden unbedingte Voraussetzung fuumlr die Teilnahme an den Versuchen ist und deshalb mit eigenhaumlndiger Unterschrift bei der Einschreibung bestaumltigt werden muss

Generelle Vorbedingung fuumlr die Durchfuumlhrung eines jeden einzelnen Versuches ist eine sach-gerechte Vorbereitung gestuumltzt auf die Versuchsanleitung und gegebenenfalls Zusatzliteratur Eine ungenuumlgende Vorbereitung hat grundsaumltzlich den Ausschluss vom laufenden Versuch zur Folge der in einem Folgesemester zu wiederholen ist Allgemeine Verhaltensregeln bull Jeder hat sich grundsaumltzlich so zu verhalten dass weder Personen gefaumlhrdet noch

Einrichtungen Geraumlte und Versuchsaufbauten beschaumldigt werden koumlnnen bull Das Praktikumspersonal (Leiter und Mechaniker) und die Versuchsbetreuer sind in den

Praktikumsraumlumen ohne Einschraumlnkung weisungsbefugt ihre Anweisungen sind zu befol-gen Bei Verstoumlszligen erfolgen ein Verweis aus den Raumlumlichkeiten und der Ausschluss vom Versuch

bull Die von den betreuenden Assistenten vom Praktikumspersonal sowie die in den Versuchsanleitungen gegebenen Hinweise zur Handhabung der Geraumlte und Versuchsanord-nungen sind strikt zu beachten

bull Bei der Belegung des Arbeitsplatzes ist seine Vollstaumlndigkeit und Ordnung zu uumlberpruumlfen Auftretende Stoumlrungen und Unregelmaumlszligigkeiten bei der Durchfuumlhrung der Versuche Beschaumldigungen und Funktionsstoumlrungen an Geraumlten und Einrichtungen sind sofort dem Betreuer zu melden Eigene Reparaturversuche sind grundsaumltzlich unzulaumlssig

bull Fuumlr fahrlaumlssig verursachte Schaumlden an Geraumlten und Arbeitsmaterialien koumlnnen die Studierenden zur Verantwortung gezogen werden (Haftpflicht)

bull Es steht jeweils nur die unmittelbar am Arbeitsplatz befindliche Ausruumlstung zur Verfuumlgung Es ist kategorisch untersagt Geraumlte und sonstige Arbeitsmittel von fremden Arbeitsplaumltzen zu benutzen Uumlber Ausnahmen kann nur der Betreuer in Absprache mit dem Praktikumsper-sonal entscheiden

bull Nach Beendigung des Versuches ist jeder Arbeitsplatz stets aufgeraumlumt und sauber zu verlassen die urspruumlngliche Ordnung ist wieder herzustellen

bull Haben Sie einen PC im PC-Pool benutzt so muumlssen Sie sich an diesem wieder abmelden Bei Stoumlrungen jeglicher Art (Papierstau im Drucker usw) im PC-Pool ist das Prakti-kumspersonal unverzuumlglich zu informieren eigene Behebungsversuche haben zu unterblei-ben Die Entnahme von Papier aus den Druckerfaumlchern zur Verwendung als bdquoSchmierpa-pierldquo o auml ist untersagt

bull Die Benutzung von Mobil-Telefonen MP3-Playern usw ist in den Laborraumlumen insbeson-dere waumlhrend des laufenden Lehrbetriebs grundsaumltzlich nicht gestattet

bull Das Essen und Trinken ist aus hygienischen Gruumlnden und wegen des notwendigen Arbeits- und Gesundheitsschutzes nur auszligerhalb der Laborraumlume moumlglich

II

ORDNUNG UND SICHERHEIT

bull Eigene Notebooks koumlnnen in den Laboren selbstverstaumlndlich verwendet werden Netzteile duumlrfen aber nur dann an das 230V-Netz angeschlossen werden wenn sie in technisch ein-wandfreien Zustand sind

bull Das Praktikum beginnt puumlnktlich zur im bekannt gegebenen Kursplan genannten Uhrzeit ohne akademisches Viertel Verspaumltungen werden nur in absolut triftig begruumlndeten Faumlllen durch den Betreuer akzeptiert wobei mehr als 15 Minuten Verspaumltung grundsaumltzlich zum Ausschluss vom Versuch fuumlhren

bull Fuumlr die Ausfuumlhrung eines Versuches steht nur die im Kursplan ausgewiesene Zeit zur Verfuumlgung Alle Arbeiten sind puumlnktlich abzuschlieszligen da nur fuumlr die geplanten Versuchs-zeiten eine Betreuung und Aufsicht gewaumlhrleistet werden kann Eine Zeituumlberschreitung ist deshalb nicht zulaumlssig

bull Fuumlr einen erfolgreichen Abschluss muumlssen Sie alle Versuche gemaumlszlig dem Kursplan absolvie-ren Bei wirklich begruumlndeten Ausfaumlllen wie z B durch Erkrankung (Vorlage eines Kran-kenscheins erforderlich) entscheidet der Praktikumsleiter uumlber eine eventuelle Nachhol-moumlglichkeit

Arbeiten mit elektrischen Schaltungen bull Der Auf- und Abbau elektrischer Schaltungen hat stets im spannungslosen Zustand (Strom-

versorgungsgeraumlte aus Batterien und Steckernetzteile nicht angeschlossen) und uumlbersicht-lich zu erfolgen

bull Bei elektrischen Messgeraumlten ist auf richtige Polung Einstellung des richtigen Messberei-ches und Verwendung der richtigen Messeingaumlnge zu achten

bull Elektrische Schaltungen muumlssen vor der Inbetriebnahme vom zustaumlndigen Versuchsbetreuer uumlberpruumlft und unter Spannung stehende Anlagen staumlndig uumlberwacht werden

bull Spannungsfuumlhrende Teile duumlrfen nicht beruumlhrt werden Gefaumlhrliche Spannungen sind in jedem Fall durch Schutzvorrichtungen vor Beruumlhrung gesichert Es ist untersagt solche Schutzvorrichtungen auszliger Betrieb zu setzen

bull Bei Unfaumlllen ist die Spannung sofort abzuschalten (Notausschalter rote Tastschalter neben der Tuumlr) und unter Beachtung der Eigensicherung Ersthilfe zu leisten Jeder Unfall muss unverzuumlglich gemeldet werden

Brandschutz bull Das Rauchen ist im gesamten Praktikum (auch im Flur vor den Praktikumsraumlumen sowie im

gesamten Gebaumlude) untersagt bull Bunsenbrenner und elektrische Heizgeraumlte sind so aufzustellen dass sich keine benachbar-

ten Gegenstaumlnde entzuumlnden koumlnnen Offene Flammen und eingeschaltete Heizgeraumlte muumlssen staumlndig beaufsichtigt werden

bull Abgebrannte Streichhoumllzer gehoumlren nicht in Papierkoumlrbe noch glimmende Streichhoumllzer duumlrfen nicht weggeworfen werden

bull Brennbare Fluumlssigkeiten (wie zB Ethanol) sind von offenen Flammen fernzuhalten bull Wird ein Brand bemerkt so ist das sofort zu melden und es sind nach Moumlglichkeit Loumlsch-

maszlignahmen einzuleiten Nassloumlschung ist wegen der elektrischen Anlagen nicht zulaumlssig bull Jede(r) hat sich uumlber die Lage und Funktionsweise der Handfeuerloumlscher zu informieren Fluchtwege und Evakuierung bull Bei notwendig werdender Evakuierung (akustische Signalisierung oder Anweisung durch

Praktikumspersonal bzw Versuchsbetreuer) ist unter Mitnahme der persoumlnlichen Wert-sachen und unbedingt notwendiger Oberbekleidung (Menschenleben gehen vor) uumlber den Gang und die Treppenhaumluser (Auf keinen Fall mit dem Lift) das Gebaumlude geordnet und ohne Panik zu verlassen

bull Sammelpunkt ist die Wiese vor dem Gebaumlude zwischen Schilfbeet und Fahrradstaumlnder jede(r) meldet sich sofort beim zustaumlndigen Versuchsbetreuer

III

LITERATUR

Aus der sehr groszligen Anzahl von guten Lehr- und Fachbuumlchern die fuumlr den Gebrauch im Physikalischen Grundpraktikum (und auch daruumlber hinaus) geeignet sind ist hier eine kleine Auswahl ohne Anspruch auf Vollstaumlndigkeit und auch ohne jede Wertung aufgelistet Aus eigener Erfahrung heraus kann man Studierenden die nachfolgenden Saumltze nicht oft genug ans Herz legen Es gibt niemals das eine und einzige Lehr- bzw Fachbuch Buumlcher sind fuumlr einzelne Teil-gebiete der Physik unterschiedlich geeignet meistens muss doch in verschiedenen Buumlchern nachgeschlagen werden Jeder nimmt individuell auf seine Weise auf dieselben Inhalte werden unterschiedlich wahrgenommen Auch die Art der Gestaltung zB mit Grafiken Uumlbersichten usw spielt (je nach bevorzugter Wahrnehmungsweise) eine groszlige Rolle Es ist deshalb ganz sicher eine kluge Entscheidung sich verschiedene Lehr- und Fachbuumlcher in Bibliotheken anzusehen und sie auf ihre Eignung fuumlr den individuellen Gebrauch zu testen Es musskann nicht jedes Buch gekauft werden auch wenn es sehr attraktiv erscheint Das gilt ebenso fuumlr Taschenbuumlcher bzw Nachschlagewerke Buumlcher zum physikalischen Grund- oder Anfaumlngerpraktikum W Walcher Praktikum der Physik B G Teubner (Stuttgart Leipzig) H-J Eichler H-D Kronfeldt J Sahm Das Neue Physikalische Grundpraktikum Springer (Berlin Heidelberg New York) W Ilberg M Kroumltzsch D Geschke Physikalisches Praktikum B G Teubner (Stuttgart Leipzig) J Becker H-J Jodl Physikalisches Praktikum fuumlr Naturwissenschaftler und Ingenieure VDI-Verlag (Duumlsseldorf) H-J Kunze Physikalische Messmethoden (Teubner Studienbuumlcher) B G Teubner (Stuttgart Leipzig) Buumlcher zur Physik bzw Experimentalphysik D W Preston E R Dietz The Art of Experimental Physics John Wiley amp Sons (New York) D Halliday R Resnick J Walker Physik Wiley-VCH (Berlin) PA Tipler G Mosca Physik fuumlr Wissenschaftler und Ingenieure Spektrum Akademischer Verlag (Heidelberg) D Meschede Gerthsen Physik Springer (Berlin Heidelberg New York) K Dransfeld P Kienle G M Kalvius H-J Koumlrner W Zinth Physik 1-4 Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) BergmannSchaefer Lehrbuch der Experimentalphysik (8 Baumlnde) Walter de Gruyter (Berlin New York) D Halliday R Resnick J Walker Fundamentals of Physics John Wiley amp Sons (New York) H Stroppe Physik fuumlr Studenten der Natur- und Ingenieurwissenschaften Hanser Fachbuch-verlag (Muumlnchen Leipzig) H J Paus Physik in Experimenten und Beispielen Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Haumlnsel W Neumann Physik (4 Baumlnde) Spektrum Akademischer Verlag (Heidelberg) H Pfeifer H Schmiedel Grundwissen Experimentalphysik B G Teubner (Stuttgart Leipzig) A M Portis H D Young Physik und Experiment (Band 6 des Berkeley Kurses Physik) F Vieweg und Sohn (Braunschweig) J Orear Physik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) D C Giancoli Physik Pearson Education Deutschland GmbH (Muumlnchen)

IV

LITERATUR

R P Feynman R B Leighton M Sands Feynman Vorlesungen uumlber Physik (3 Baumlnde) Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) Taschenbuumlcher und Nachschlagewerke fuumlr Formeln und Daten H Stoumlcker Taschenbuch der Physik Verlag Harri Deutsch (Frankfurt a M) D Mende G Simon Physik - Gleichungen und Tabellen Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Kuchling Taschenbuch der Physik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Ebert Physikalisches Taschenbuch F Vieweg amp Sohn (Braunschweig) H Heinemann H Kraumlmer H Zimmer Kleine Formelsammlung Physik Hanser Fachbuch-verlag (Muumlnchen Leipzig) F Kohlrausch V Kose S Wagner Praktische Physik (3 Baumlnde) B G Teubner (Stuttgart Leipzig) Buumlcher zur Messtechnik P Profos T Pfeifer (Hrsg) Grundlagen der Messtechnik Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) G Heyne Elektronische Messtechnik - Eine Einfuumlhrung fuumlr angehende Wissenschaftler Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) J Hoffmann Taschenbuch der Messtechnik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) J Niebuhr G Lindner Physikalische Messtechnik mit Sensoren Oldenbourg Industrieverlag (Muumlnchen) D Benda Wie misst man mit dem Oszilloskop Franzis Verlag GmbH (Poing) R Lerch Elektrische Messtechnik Analoge digitale und computergestuumltzte Verfahren Springer (Berlin Heidelberg New York) W Pfeiffer Digitale Messtechnik Springer (Berlin Heidelberg New York)

V

F1 FEHLERVERTEILUNG

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Systematische und zufaumlllige Messabweichungen Messunsicherhei-ten Standardabweichung Vertrauensbereich absolute und relative Haumlufigkeit Gauszligsche Normalverteilung Summenhaumlufigkeit Wahrscheinlichkeitsnetz Stichprobe Grundgesamtheit Alle Messungen physikalischer Groumlszligen sind unvermeidlich mit Messabweichungen bzw -unsicherheiten behaftet Sind systematische Abweichungen ausgeschlossen dann streuen die Messwerte (i = 1 n) aufgrund zufaumllliger Abweichungen symmetrisch um den Mittel- bzw Erwartungswert

ixx Berechnet man die scheinbaren Abweichungen

xxv minus= ii (1)einer Messreihe und stellt die absolute bzw die relative Haumlufigkeit also bzw )(k iv

( ) ( ) nkh ii vv = grafisch als Funktion der Abweichungen vi dar dann erhaumllt man eine treppenfoumlrmige Verteilungs-kurve (s Abb 1) Dazu werden die Ab-weichungen vi in gleichgroszligen Inter-vallen ∆v (Klasseneinteilung) zusam-mengefasst Im Grenzfall mit infinrarrn und Intervallbreite genuumlgen die Abweichungen v meist einer Normal-verteilung (Gauszlig-Verteilung)

0rarr∆v

Abb 1 Histogramm einer Normalverteilung ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus= 2

2

2exp

21

σσπϕ vv (2)

Diese Verteilung (ausgezogene Kurve in Abb 1) zeigt folgende Eigenschaften 1 Die Normalverteilung hat fuumlr v ein Maximum ist symmetrisch bezuumlglich dieses Maxi-

mums und strebt mit wachsendem v asymptotisch gegen Null = 0

2 Die Normalverteilung hat Wendepunkte bei σplusmn=v (σ ist die Standardabweichung) 3 Der Parameter σ bestimmt die Breite der Normalverteilung Bei kleinem σ entsteht eine

bdquoschlankeldquo Kurve mit geringer Streuung der Messergebnisse (svw wie groszlige bdquoGenauig-keitldquo der Messmethode) Ein groszliges σ bedeutet entsprechend das Gegenteil

Die Uumlberpruumlfung ob eine Messreihe (Stichprobe) einer Normalverteilung genuumlgt ist mit Hilfe bestimmter statistischer Verfahren moumlglich von denen einige in diesem Versuch ange-wandt werden Die statistische Analyse einer Messreihe setzt aber eine bdquohinreichendldquo groszlige Zahl von Messwerten voraus VERSUCHSDURCHFUumlHRUNG Im Regelfall wird der Versuch im Houmlrsaal mit allen Studierenden gemeinsam durchgefuumlhrt Uumlber einen Projektor (Beamer) wird eine Skale mit einer Marke (Zeiger) gezeigt Die Lage dieser Marke schaumltzt jeder Student fuumlr sich auf 001 Skalenteile genau und notiert sich im Messprotokoll seinen Mess- bzw Schaumltzwert Der wahre Wert wurde noch vor der Anzeige als Zufallszahl erzeugt und ist daher bekannt Dieser Wert wird unmittelbar nach erfolgter individueller Schaumltzung angesagt bzw gezeigt und im Messprotokoll ebenfalls notiert Insgesamt sind in diesem Versuch 100 Schaumltzungen auszufuumlhren

ix iwx

Diese Vorgehensweise erfordert eine hohe Konzentrationsfaumlhigkeit und Disziplin

1

F1 FEHLERVERTEILUNG

AUFGABEN 1 Ermittlung der Stichprobe 100 Schaumltzwerte xi der Stellung einer Marke und die zugehoumlri-

gen Werte xwi werden notiert Fuumlr die Datentabelle empfiehlt sich hier folgendes Schema vii xi xwi + 0 -

1 (176) (175) (001) 2 Berechnung der scheinbaren Abweichungen wiii xxv minus= 3 Vorzeichentest Man bestimme die Zahl n+ der positiven und die Zahl n- der negativen Ab-

weichungen vi Da die Abweichungen vi bei Annahme einer Normalverteilung symmet-risch zum Wert vi = 0 liegen sollten die Zahlen n+ und n- annaumlhernd gleich groszlig sein Wenn n die Zahl aller Messwerte ist muss fuumlr den positiven Ausgang des Vorzeichentests

nnn leminus minus+ erfuumlllt sein nplusmn ist die zu erwartende statistische Schwankung beim Stichprobenumfang n

4 Fuumlr die weitere Auswertung der Ergebnisse empfiehlt sich eine Tabelle in der die schein-baren Abweichungen ihrer Groumlszlige nach geordnet werden nach folgendem Schema

vj vj2 Strichliste k(vj) k(vj)middot vj

2 h(vj) H(vj) (min vj)

(max vj) 1000

Kontrollen 100 22 )( jji vvkv sdot= sumsum 1000

In diese Tabelle werden die Messwerte von Aufgabe 1 uumlbertragen indem man sie der Reihe nach durchgeht und bei dem entsprechenden in der Spalte bdquoStrichlisteldquo durch einen Strich markiert Die Zahl der Striche ergibt dann die absolute Haumlufigkeit

jv)(vk j

5 Mit 22 )(11jji vvk

nv

ns sdotplusmn=plusmn= sumsum wird aus den Abweichungen vi die empirische

Standardabweichung berechnet die eine Naumlherung fuumlr die Standardabweichung σ der Normalverteilung nach Gleichung (2) darstellt Im Nenner tritt hier n anstelle von n-1 auf weil bei diesem Versuch (ausnahmsweise) der wahre Wert der Messgroumlszlige bekannt ist

6 Die ermittelten relativen Haumlufigkeiten nvkvh jj )()( = der Abweichungen vj werden grafisch als Funktion von vj dargestellt (Histogramm Balkendiagramm) Durch das Histogramm versuche man nach Augenmaszlig eine Normalverteilungskurve zu legen

7 Mit den relativen Haumlufigkeiten aus Aufgabe 6 berechne man die Summenhaumlufigkeit und stelle diese Summenhaumlufigkeit H(vsum

le

=jk vv

kj vhvH )()( j) grafisch als Funktion von vj in

Form eines Histogramms (Balkendiagramm) dar 8 Test mit Wahrscheinlichkeitspapier Die Wertepaare der Summenhaumlufigkeitskurve (s

Aufgabe 7) uumlbertrage man auf ein Wahrscheinlichkeitsnetz und lege durch die Punkte im mittleren Bereich eine ausgleichende Gerade

9 Man entnehme der Darstellung auf dem Wahrscheinlichkeitsnetz (Aufgabe 8) bei H(vrsquo) = 016 (bzw 16) und H(vrsquorsquo) = 084 (bzw 84) die zugehoumlrigen Werte vrsquo und vrsquorsquo und vergleiche (vrsquorsquo-vrsquo)2 mit dem Wert der empirischen Standardabweichung (Aufgabe 5)

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr die Auswertung und das Verstaumlndnis des Versuches wird unbedingt die Lektuumlre der ent-sprechenden Abschnitte des Praktikumsskripts bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstellung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo empfohlen Die Druckvorlage fuumlr ein Wahrscheinlichkeitsnetz ist auf der Webseite des Grundpraktikums zu finden

2

F2 VOLUMENMESSUNG

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Auftriebskraft In diesem einfachen Versuch werden drei Methoden unterschiedlicher Genauigkeit zur Bestimmung des Volumens eines Probekoumlrpers verwendet und miteinander verglichen hin-sichtlich der jeweiligen Messunsicherheit 1 Methode (Uumlberlaufgefaumlszlig) Ein mit einem Uumlberlauf versehener Glasbehaumllter wird bis zum Uumlberlaufen mit Wasser gefuumlllt Durch Eintauchen des Probekoumlrpers dessen Volumen V1 bestimmt werden soll wird Wasser verdraumlngt das in einen Messzylinder flieszligt 2 Methode (Geometrie des Koumlrpers) Der Probekoumlrper ist ein Zylinder sein Volumen kann aus dem Durchmesser d und der Houmlhe h nach

hdV 22 4

π= (1)

berechnet werden 3 Methode (Auftriebsmessung) Der Probekoumlrper vom Volumen V3 wird mit einer Labor-waage mit symmetrischem Waagebalken in Luft gewogen Man benoumltigt fuumlr das Gleich-gewicht die Massennormale zur Kompensation der Gewichtskraft des Probekoumlrpers Taucht man ihn in Wasser (Dichte ρw ) dann erfaumlhrt er eine Auftriebskraft

1m gmF 1G =

3wA gVF ρ= (g = Fallbeschleunigung) Um die Waage wieder ins Gleichgewicht zu bringen benoumltigt man die Massennormale zur Kompensation der um die Auftriebskraft verminderten Gewichtskraft FG d h

2m AF

3w12 gV-gmgm ρ= Daraus folgt

w

213 ρ

mmV

minus= (2)

Die zur Bestimmung der Massenwerte und verwendete Laborwaage traumlgt in der Mitte des Waagebalkens einen Zeiger der uumlber einer Skale schwingt An seiner Stellung ist das Gleich-gewicht der Waage ablesbar Verschiebt sich durch eine einseitig wirkende Zusatz-masse ∆mrsquo die Zeigerstellung um ∆a dann bezeichnet man den Quotienten

1m 2m

maEprime∆

∆= (3)

als Empfindlichkeit der Waage sie ist ein Maszlig fuumlr ihre Guumlte und gestattet die Abschaumltzung der Messunsicherheit Systematische Messabweichungen der drei Methoden 1 Uumlberlaufgefaumlszlig Der sog Geraumltefehler ∆V des Messzylinders betraumlgt bei einem Nenninhalt von VN = 50 ml und einer Nenntemperatur von tN = 20 degC bis zu ∆V = plusmn 05 ml (4) Die Richtung und die Groumlszlige dieses Geraumltefehlers ∆V fuumlr voneinander abweichende Mess-temperatur und Nenntemperatur des Messzylinders wird mit Hilfe des thermischen Ausdehnungskoeffizienten des Glases abgeschaumltzt Ist das Nennvolumen des als Glasrohr betrachteten Messzylinders VN dann ist bei der Messtemperatur sein Volumen

Mt Nt

Mt ))(1( NMNM ttVV minus+= γ

mit als sog kubischem thermischem Ausdehnungskoeffizienten des Glases Daraus ergibt sich

-15 K1072 minussdot=γ

3

F2 VOLUMENMESSUNG

( )NM tt minus=∆ γVV (5) 2 Geometrie des Koumlrpers Die sog Fehlergrenzen ∆I beider Messgeraumlte sind wenn I die gemessene Laumlnge ist von folgender Groumlszlige Messschieber ∆l = plusmn (5sdot10-5 m + 1sdot10-4 l) (6) Buumlgelmessschraube ∆l = plusmn (5sdot10-6 m + 1sdot10-5 l) (7) 3 Auftriebsmessung Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Probekoumlrpers und der Massennormale (Dichte

) bei der Waumlgung in Luft (Dichte ) liefert 33N mkg1084 sdot=ρ 3

L mkg12=ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+minusasymp

minus

minussdot

minus=prime

w

L

N

L3

wL

NL

w

213 1

11

ρρ

ρρ

ρρρρ

ρVV mm (8)

Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Aufhaumlngedrahtes von dem das Volumen ∆V im Wasser eintaucht ergibt VVV ∆minusprime=primeprime 33 (9) AUFGABEN 1 Ermittelung der einzelnen Messgroumlszligen fuumlr jede der drei Methoden und Berechnung der

Volumenwerte Vi 2 Berechnung bzw Abschaumltzung der zufaumllligen Messabweichungen fuumlr alle Messgroumlszligen 3 Groumlszligenordnungsmaumlszligige Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen aller drei

Methoden Soweit moumlglich und sinnvoll Korrektur systematischer Abweichungen Betrachtung systematischer Restfehler

4 Uumlbersichtliche Zusammenstellung der Messergebnisse der zufaumllligen und der systemati-schen Abweichungen sowie der Messunsicherheiten fuumlr die einzelnen Messgroumlszligen

5 Berechnung der Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr die mittelbar bestimmten Volumenwerte nach dem Fortpflanzungsgesetz

6 Berechnung des gewogenen Mittelwertes einschlieszliglich seiner Unsicherheit sofern moumlg-lich und sinnvoll

VERSUCHSHINWEISE Methode 1 Der Messzylinder wird vor dem Eintauchen des Probekoumlrpers mit etwas Wasser gefuumlllt und dieser Fuumlllstand VA als Bezugsgroumlszlige gewaumlhlt Nach dem Einlaufen des verdraumlng-ten Wassers liest man den Fuumlllstand VE am Messzylinder ab so dass sich als Volumen des Probekoumlrpers AE1 VVV minus= (10) ergibt Die Messungen werden sechsmal durchgefuumlhrt und Bruchteile der Skalenteile geschaumltzt Methode 2 Die Houmlhe des Zylinders h wird sechsmal mit einem Messschieber und sein Durchmesser d wird sechsmal an verschiedenen Stellen mit einer Buumlgelmessschraube gemes-sen Methode 3 Jede Waumlgung wird zweimal ausgefuumlhrt und der Groumlszligtfehler aus der Empfindlich-keit der Waage nach Gl (3) abgeschaumltzt Als Groumlszligtfehler wird die Zusatzmasse ∆m angege-ben die einen Zeigerausschlag ∆a = 1 Skalenteil bewirkt Die Dichte des Wassers ist tempe-raturabhaumlngig und wird einer grafischen Darstellung am Versuchsplatz entnommen

4

F2 VOLUMENMESSUNG

In Aufgabe 1 werden die einzelnen Messgroumlszligen sowie die drei Volumenwerte Vi und in Auf-gabe 2 die zufaumllligen Abweichungen der einzelnen Messgroumlszligen ermittelt In Aufgabe 3 sind die systematischen Abweichungen zu diskutieren wobei zwischen den Korrekturen und den systematischen Restfehlern zu unterscheiden ist Fuumlr Aufgabe 4 muumlssen die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen verglichen und in Aufgabe 5 die Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr alle drei Methoden festgelegt werden Uumlberlappen sich die Bereiche der Messunsicherheiten ∆Vi nicht dann liegen entweder grobe Messfehler vor oder es existieren noch weitere bisher nicht erfasste systematische Abwei-chungen Uumlberlappen sich dagegen die Bereiche der Messunsicherheiten dann kann der gewogene Mittelwert und die zugehoumlrige Messunsicherheit berechnet werden (Aufgabe 6)

5

F3 FADENPENDEL

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Massenpunktmodell mathematisches und physikali-sches Pendel Bewegungsgleichung Schwerkraft Newtonsche Axiome Schwingungsdifferen-tialgleichung Ein an einem Faden aufgehaumlngter Koumlrper stellt aufgrund der auf ihn wirkenden Schwerkraft und seiner Traumlgheit ein schwingungsfaumlhiges System dar Betrachtet man (idealisiert) einen punktfoumlrmigen Koumlrper der Masse m der an einem Faden der Laumlnge l haumlngt und lenkt ihn um einen Winkel φ (Abb 1) aus der Senkrechten aus dann fuumlhrt der Koumlrper nach dem Loslassen Schwingungen um die Senkrechte aus

Abbildung 1 Fadenpendel

Bei Vernachlaumlssigung der Masse des Fadens und der Luftreibung wirkt auf den Koumlrper in jedem Punkt der Bahn senkrecht nach unten die Gewichtskraft

gmFG sdot= (1)wobei g die Fallbeschleunigung ist Die Normalkomponente (normal zur Bahn des Koumlrpers)

ϕcossdotsdot= gmFn dieser Kraft findet ihre Gegenkraft in der in der Aufhaumlngung auftretenden Kraft und beeinflusst die Bewegung des Koumlrpers nicht Dagegen erzeugt die Tangentialkom-ponente ϕsinsdotsdot= gmFt der Gewichtskraft entsprechend der Newtonschen Bewegungs-gleichung

ϕsin2

2

sdotsdotminus=sdot=sdot gmsmdt

sdm (2)

eine Beschleunigung des Koumlrpers laumlngs der kreisfoumlrmigen Bahnkurve Zwischen dem Aus-lenkwinkel φ und der Bahnkurvenkoordinate s auf der Bahnkurve besteht die Beziehung

ϕsdot= ls Bei (zeitlich) konstanter Fadenlaumlnge l folgt daraus unmittelbar

dtdl

dtds ϕ

sdot= und 2

2

2

2

dtdl

dtsd ϕ

sdot= (3)

Fuumlr kleine Auslenkwinkel φ gilt die bekannte Naumlherung ϕϕ asympsin die ebenso wie (3) in die Bewegungsgleichung (2) eingesetzt werden kann Daraus erhaumllt man die Newtonsche Bewe-gungsgleichung fuumlr das mathematische Pendel mit

02

2

=sdot+sdot ϕϕ gdtdl (4)

Diese Schwingungsdifferentialgleichung einfachster Form kann mit dem Ansatz

6

F3 FADENPENDEL

)sin(0 ψωϕϕ +sdotsdot= t mit lg

=ω (5)

geloumlst werden Die hier zunaumlchst willkuumlrlich erscheinenden Konstanten heiszligen Amplitude φ0

bzw Phasenkonstante ψ und sind durch die konkreten Anfangsbedingungen fuumlr t = 0 festge-legt Das mathematische Pendel vollfuumlhrt demnach bei Auslenkung um kleine Winkel harmo-nische Schwingungen mit der Kreisfrequenz ω und der Periodendauer

glT π

ωπ 22== (6)

die unabhaumlngig von der Masse m und der Amplitude φ0 ist Die Beziehung (6) erlaubt prinzipiell bei bekannter Pendellaumlnge l durch Messung der Perio-dendauer T eine Bestimmung der Fallbeschleunigung g Allerdings ist die Pendellaumlnge l nur sehr ungenau zu bestimmen Deshalb bedient man sich hier zweckmaumlszligig eines einfachen Tricks Die Laumlnge l kann um genau einstellbare Betraumlge li veraumlndert werden und setzt sich gemaumlszlig zusammen Damit wird aus (6) durch entsprechende Umformung illl += 0

( )ii llgg

lT +sdot== 0

222 44 ππ (7)

Misst man nun die Periodendauern Ti fuumlr die entsprechenden li und stellt die Abhaumlngigkeit

Ti2(li) dar so ergibt sich eine Gerade mit dem Anstieg

g

24π und dem Achsenabschnitt

0

24 lg

sdotπ Damit werden die Groumlszligen g und l0 bestimmbar

Die oben vorgenommenen Vereinfachungen die zur Herleitung der Beziehung (6) verwendet wurden beduumlrfen noch einer weiteren Diskussion Betrachtung beliebiger Winkel Ohne die obige Beschraumlnkung auf kleine Winkel φ liefert die Loumlsung der sog elliptischen Differentialgleichung (2) fuumlr die Periodendauer das (exak-tere) Ergebnis

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdotsdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛sdot+sdot=

2sin

2sin1 042

43

21022

21 ϕϕ

ϕ TT (8)

wobei T durch die Beziehung (6) gegeben ist Beruumlcksichtigung des Auftriebs in Luft Der Massekoumlrper aus Blei mit der Dichte von ρK = 11340 kgm-3 und dem Volumen VK erfaumlhrt in Luft der Dichte ρL asymp 12 kgm-3 eine Auftriebskraft gVF KLA sdotsdot= ρ die der Gewichtskraft gVgmF KKG sdotsdot=sdot= ρ entgegen-gerichtet ist Unter Beruumlcksichtigung dieses Auftriebs in Luft erhaumllt man schlieszliglich fuumlr die Periodendauer

LK

KA TT

ρρρminus

sdot= (9)

Betrachtung fuumlr ausgedehnten Massekoumlrper Die Ausdehnung des schwingenden Koumlrpers kann man beruumlcksichtigen wenn man von der Bewegungsgleichung des sog physikalischen Pendels (vgl Versuch bdquoM9 Reversionspendelldquo) ausgeht Die genaue Betrachtung bzw Herleitung wird hier bewusst nicht angegeben sondern nur das Ergebnis Mit bekannten Abmessungen des Bleizylinders (Radius R und Houmlhe h) am Faden der Laumlnge l bestimmt sich die Periodendauer zu

2

22

1231

lhRTTs sdot

++sdot= (10)

7

F3 FADENPENDEL

Der Einfluss des Fadens wurde auch bei diesen Betrachtungen aber ebenso vernachlaumlssigt wie die auftretende Reibung Es ist sicherlich empirisch einsichtig dass schwache Reibung zu einer gedaumlmpften Schwingung fuumlhren wird Die Schwingungsamplitude klingt dann

exponentiell mit sehr groszliger Zeitkonstante τ wie τt

eminus

ab AUFGABEN 1 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine feste Fadenlaumlnge Die Zeitmessung erfolgt fuumlr 10

Schwingungen jeweils zehnmal an einem Umkehrpunkt und beim Nulldurchgang des Pendels Berechnung von Mittelwerte Standardabweichung und Vertrauensbereich der Periodendauer und Diskussion der Unterschiede zwischen beiden Verfahren

2 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine Schwingung beim Nulldurchgang mit zehnfacher Messung Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung anschlieszligend Vergleich mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe 1 und Diskussion der Unterschiede

3 Bestimmung der Periodendauer fuumlr 10 verschiedene Fadenlaumlngen li Aus jeweils 2 Messungen fuumlr 10 Schwingungen sind die Mittelwerte fuumlr die Periodendauern Ti(li) zu berechnen

4 Grafische Darstellung der Ergebnisse der 3 Aufgabe in der Form Ti2(li) in einem

Diagramm Verwendung von Gleichung (7) zur Bestimmung von Fallbeschleunigung g und Anfangslaumlnge des Pendels l0 sowohl durch grafischen Geradenausgleich als auch numerische lineare Regression mit Ermittlung der zugehoumlrigen Unsicherheiten

5 Aus den Ergebnissen der 4 Aufgabe fuumlr l0 und g ist gemaumlszlig Gleichung (6) die Periodendauer T einschlieszliglich ihrer Unsicherheit zu berechnen und mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe zu vergleichen

6 Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen fuumlr die Periodendauer gemaumlszlig der og drei Gleichungen (8-10) und ihres Einflusses auf die g-Bestimmung Diskussion der Relevanz entsprechender Korrekturen

VERSUCHSHINWEISE Ein gegossener Bleizylinder (Radius R asymp 23 mm Houmlhe h asymp 23 mm Masse m asymp 08 kg) haumlngt an einem duumlnnen Stahldraht Die Pendellaumlnge laumlsst sich durch einen Schieber in dessen Fuumlhrung der Draht laumluft veraumlndern Die Laumlngenaumlnderung kann mit Hilfe von Ringmarken deren Abstand 2 cm betraumlgt eingestellt werden Bei Auslenkung des Pendels aus seiner Ruhelage fuumlhrt es Schwingungen aus deren Periodendauer mit einer von Hand ausgeloumlsten Stoppuhr bestimmt wird Fuumlr die ersten beiden Aufgaben ist zweckmaumlszligig (warum) eine moumlglichst groszlige Fadenlaumlnge zu waumlhlen Die zugehoumlrige Stellung des Schiebers ist unbedingt zu notieren da sie spaumlter benoumltigt wird Fuumlr die 3 Aufgabe wird die Anfangsfadenlaumlnge l0 um die Werte li (i = 110) in Schritten von 4 cm verringert Fuumlr die mit der 4 Aufgabe erforderliche Auswertung sind grafische Mittel (Anstiegsdreieck grafische Extrapolation auf den Achsenabschnitt) und ein rechentechnisches Verfahren (lineare Regression) einzusetzen Fuumlr Aufgabe 5 ist das bei Aufgabe 4 bestimmte Ergebnis fuumlr die Anfangslaumlnge l0 zu verwenden Bei Aufgabe 6 muss ermittelt werden wie sich die Korrekturen der Schwingungsdauer gemaumlszlig (8-10) auf die Fallbeschleunigung g auswirken Beachten Sie hier dass g aus dem Anstieg der Geraden gemaumlszlig der 4 Aufgabe nach Gleichung (7) bestimmt wird Uumlberlegen Sie welche zufaumllligen und welche systematischen Abweichungen die Messunsicherheit der Fallbeschleunigung g wesentlich bestimmen

8

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Traumlgheitsgesetz Grundgesetz der Dynamik Feder-konstante Federkraft harmonische Schwingung Frequenz Periodendauer Amplitude In diesem Versuch soll die Federkonstante einer Schraubenfeder mit drei verschiedenen Methoden bestimmt werden Bei der Auswertung der Ergebnisse sind Grundbegriffe und Methoden der Fehlerrechnung und ndashanalyse gezielt anzuwenden und zu uumlben 1 Statische Messung der Federkonstanten Wird eine am oberen Ende eingespannte Schraubenfeder am unteren Ende durch Anhaumlngen einer Masse m belastet so wird die Feder gedehnt und es stellt sich eine neue Ruhelage ein (Abb 1 statischer Fall) Die Gewichtskraft

gmFG sdot= und die durch die elastische Verformung entstehende Federkraft (mit k als Federkonstante) stehen im Gleichgewicht (Newtonsches Traumlgheitsgesetz)

xkFF sdotminus=

0=+ FG FF (1)

Abbildung 1 Statische und dynamische Belastung einer Schraubenfeder

Durch Einsetzen der Beziehungen fuumlr beide Kraumlfte und einfache Umstellung ergibt sich daraus

kgmx sdot

= (2)

Die statische Auslenkung x der Schraubenfeder muss demnach linear von der Belastung m abhaumlngig sein Durch die experimentelle Untersuchung der Abhaumlngigkeit x(m) kann sowohl die Linearitaumlt des Federkraftgesetzes xkFF sdotminus= uumlberpruumlft als auch die Federkonstante k bestimmt werden 2 Dynamische Messung der Federkonstanten Lenkt man eine mit der Masse m belastete Feder aus ihrer Ruhelage aus (Abb 1 dynamischer Fall) dann wirkt eine ruumlcktreibende

Federkraft und die Masse m erfaumlhrt eine Beschleunigung xkFF sdotminus=mFx

dtxda F=== 2

2

nach

dem Newtonschen Grundgesetz der Dynamik Fuumlr die weiteren Betrachtungen sollen jegliche Reibungskraumlfte vernachlaumlssigt werden daher ergibt sich aus der Newtonschen Bewegungs-gleichung hier die einfachste Form einer Schwingungsdifferentialgleichung mit

02

2

=sdot+sdot xkdt

xdm (3)

9

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

die eine freie ungedaumlmpfte Schwingung beschreibt Mit den willkuumlrlich ausgewaumlhlten Anfangsbedingungen (Anfangslage) und 0)0( xtx == 0)0( 0 === vtx (Anfangsgeschwin-digkeit) lautet ihre Loumlsung

)cos()( 0 txtx sdotsdot= ω (4)wobei physikalisch x0 als Amplitude und mk=ω als Kreisfrequenz der freien ungedaumlmpf-ten Federschwingung bezeichnet werden Der Koumlrper der Masse m schwingt nach Auslen-kung (aus der Gleichgewichts- bzw Ruhelage um x0) in Form einer harmonischen Schwin-gung mit der Periodendauer

kmT π

ωπ 22== (5)

die experimentell direkt gemessen werden kann Aus (5) ist bei bekannter Masse m die Feder-konstante k bestimmbar 3 Berechnung der Federkonstanten aus der Geometrie und den Materialeigenschaften der Schraubenfeder Durch eine Auslenkung aus der Ruhelage wird die Schraubenfeder gedehnt und damit der gesamte Federdraht auf sog Torsion (svw bdquoVerdrehungldquo oder bdquoVerdrillungldquo) beansprucht Ohne weitere Herleitung sei hier eine Beziehung angegeben die es gestattet aus dem sog Torsionsmodul G (als Materialkonstante des Federdrahtes) und den geometrischen Daten der Schraubenfeder (Drahtlaumlnge l Drahtdurchmesser d und Wickel-radius r) die Federkonstante k zu berechnen

2

4

32 rldGksdotsdot

sdot=π (6)

AUFGABEN 1 Aus dem statischen Verhalten einer Schraubenfeder ist deren Federkonstante experimentell

zu bestimmen Dazu ist gemaumlszlig Beziehung (2) die statische Auslenkung x in Abhaumlngigkeit von der Belastung m mit verschiedenen Massestuumlcken zu messen Die Daten sind in der Form x = x(m) als Diagramm grafisch darzustellen und daraus die Federkonstante k zu er-mitteln Fuumlr die zu erwartende lineare Abhaumlngigkeit ist sowohl mit einfacher grafischer Methode (bdquoSteigungsdreieckldquo) als auch numerisch (Geradenausgleichsrechnung lineare Regression) der Anstieg von x = x(m) und daraus die Federkonstante (jeweils auch ein-schlieszliglich der Messunsicherheit) zu bestimmen

2 Mithilfe des dynamischen Verhaltens des Federschwingers ist fuumlr dieselbe Feder die Federkonstante aus der experimentell beobachteten Periodendauer der Schwingung zu bestimmen (jeweils auch einschlieszliglich der Messunsicherheit) Dazu ist Formel (5) bei be-kannter und sinnvoll gewaumlhlter Masse m zu nutzen

3 Mithilfe von Formel (6) ist aus den Daten der Schraubenfeder die am Versuchsplatz angegeben sind die Federkonstante k einschlieszliglich ihrer resultierenden Unsicherheit zu berechnen

4 Die Obergrenzen fuumlr systematische Messabweichungen bei den ersten beiden Aufgaben (statische und dynamische Messung der Federkonstanten) sind abzuschaumltzen (Groumlszligenord-nungen) Es ist zu analysieren welche dieser systematischen Abweichungen korrigierbar sind und welche dann tatsaumlchlich in die Messunsicherheit des Endergebnisses eingehen

5 Fuumlr alle drei Methoden (Aufgaben 1-3) sind die Ergebnisse (einschlieszliglich Messunsicher-heit) fuumlr die Federkonstante uumlbersichtlich darzustellen miteinander zu vergleichen und zu diskutieren Sofern moumlglich ist ein gewichteter Mittelwert zu ermitteln

10

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

VERSUCHSHINWEISE Die Schraubenfeder ist mit einem Ende an einem Stativ befestigt Zur Messung der Auslen-kung der Feder aus der Ruhelage wird die Stellung der an der Feder befindlichen Marke M (Abb 1) auf einer Spiegelskale abgelesen (Welchen Vorteil bietet eine Spiegelskale gegen-uumlber einer einfachen Skale) Die sog Verkehrsfehlergrenze der Massennormale ist fuumlr die Masse m = 50 g mit ∆m = plusmn 01 g festgelegt Bei Messung einer Laumlnge l mit der Spiegelskale ist die Messunsi-cherheit ∆l = plusmn (02 mm + 5middot10-4middotl) Fuumlr die Fallbeschleunigung ist (lt Festlegung der Eichbe-houmlrden der Laumlnder fuumlr Waagen) ein Wert von g = (98130 plusmn 00001) mmiddots-2 zu verwenden Fuumlr die 1 Aufgabe wird die Feder schrittweise bis 400 g mit Massestuumlcken von 50 g belastet und mit Hilfe einer Spiegelskale an der Marke M die Auslenkung x gemessen (erste Mess-reihe) Nach Erreichen der Houmlchstbelastung von 400 g ist dann die Feder wieder schrittweise zu entlasten (zweite Messreihe) a) Aus der grafischen Darstellung x = x(m) ist mithilfe des bdquoSteigungsdreiecksldquo der Anstieg

gk grafisch zu ermitteln und seine Unsicherheit entsprechend abzuschaumltzen (vgl Einfuumlh-rungsskript) Daraus sind dann die Federkonstante k als mittelbar bestimmter Groumlszlige und ihre Unsicherheit ∆k zu berechnen

b) Durch lineare Regression ist mithilfe geeigneter Software (s Einfuumlhrungsskript und Vorle-sung) der Anstieg und seine Unsicherheit numerisch zu ermitteln daraus ebenfalls wieder die Federkonstante und deren Unsicherheit

Fuumlr die 2 Aufgabe wird die Feder mit einer Gesamtmasse von 400 g belastet und 10mal die Zeit fuumlr jeweils 20 Schwingungen mithilfe einer Stoppuhr gemessen Daraus ist der Mittel-wert der Periodendauer T und ihr Vertrauensbereich sT zu berechnen und mittelbar damit die Federkonstante k uumlber Gleichung (5) mit ihrer Messunsicherheit a) Zur Genauigkeit der Messung mit Stoppuhren sind im Einfuumlhrungsskript ausfuumlhrliche Hin-

weise enthalten Entsprechend den dort enthaltenen Angaben sind die systematischen Messabweichungen mit ihrer Auswirkung auf die Periodendauer und die Federkonstante realistisch abzuschaumltzen

b) Bezuumlglich der Massen ist bereits ein Hinweis bei Aufgabe 1 gegeben worden Zusaumltzlich muumlsste noch der Einfluss der Eigenmasse der Feder von mF asymp 5 g auf die Periodendauer beruumlcksichtigt werden Die Teile der Feder nehmen unterschiedlich an der Bewegung teil es kann als zu beruumlcksichtigende Zusatzmasse macute= mF3 gesetzt werden Somit ergibt sich

fuumlr die Periodendauer m

mTk

mmT F

312acute +=

+= π

c) Auch bei sehr sorgfaumlltiger Anfangsauslenkung fuumlhrt der Federschwinger nach einigen Schwingungen unvermeidlich seitliche Schwingungen aus Wie beeinflusst diese Bewe-gung die gemessene Periodendauer Man uumlberlege sich auch welche Auswirkungen die in der Betrachtung vernachlaumlssigte aber unvermeidlich auftretende Reibung auf das Ergebnis dieses Verfahrens hat

Fuumlr die 3 Aufgabe sind am jeweiligen Versuchsplatz die Messunsicherheiten der einzelnen Groumlszligen mit angegeben Eine Unterscheidung von zufaumllligen und systematischen Komponen-ten ist hier allerdings nicht moumlglich Fuumlr Aufgabe 5 ist eine tabellarische Darstellungsweise vorzuziehen In Zusammenhang mit dem gewogenen Mittelwert ist zu analysieren unter welchen Bedingungen er uumlberhaupt sinn-voll gebildet werden kann

11

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Dichte Auftriebskraft Analy-senwaage Pyknometer Ein sog Pyknometer ist ein Geraumlt zur Bestimmung der Dichte fester Koumlrper Es besteht aus einem Glasgefaumlszlig mit eingeschliffenem Stopfen der eine kapillare Bohrung hat Das Pykno-meter kann reproduzierbar mit groszliger Genauigkeit mit Wasser gefuumlllt werden Zur Dichtebe-stimmung mit dem Pyknometer sind drei Waumlgungen mit einer Analysenwaage noumltig wobei der Auftrieb der zu waumlgenden Koumlrper (Probe bzw Pyknometer) in Luft (Dichte ρL) zu beruumlck-sichtigen ist 1 Waumlgung der Probe in Luft Fuumlr eine Probe (Masse m1 Volumen V1) wird die Gewichts-kraft durch die ihr entgegengesetzt gerichtete Auftriebskraft gmF sdot= 11 gVF LA sdotsdot= ρ11 vermindert so dass im Gleichgewicht die Waage den Wert m1rsquo anzeigt Die Gleichgewichts-bedingung liefert

111 mVm L =sdotminus ρ (1)2 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers Das vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllte Pykno-meter (Volumen VP) hat die Gesamtmasse m2 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m2rsquo an so dass gilt

22 mVm LP =sdotminus ρ (2)3 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers mit Probe Das mit Wasser und der Probe gefuumlllte Pyknometer hat die Gesamtmasse m3 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m3rsquo an so dass gilt

33 mVm LP =sdotminus ρ (3)Zwischen den Massen m1 m2 und m3 besteht der Zusammenhang

232311 mmmmVm W minus=minus=sdotminus ρ (4)wobei ρW die Dichte des Wassers ist Zur Bestimmung der Dichte ρ1 der Probe kann man aus den Gleichungen (1) und (4) die Unbekannten m1 und V1 ermitteln Man erhaumllt

)()(

231

231

1

11 mmm

mmmVm LW

minusminussdotminusminussdot

==ρρρ (5)

AUFGABEN 1 Bestimmung der Masse m1rsquo fuumlr zwei verschiedene Metallproben (Al und Cu) durch

Waumlgung in Luft Fuumlr jede Probe erfolgt die Waumlgung sechsmal wobei die Probe immer neu auf die Waage zu legen ist Bestimmung der zugehoumlrigen Mittelwerte

2 Bestimmung der Masse m2rsquo des vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllten Pyknometers durch Waumlgung Die jeweils erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt sechsmal Bestimmung des Mittelwertes

3 Bestimmung der Masse m3rsquo des mit Wasser und jeweiliger Metallprobe gefuumlllten Pykno-meters durch Waumlgung Die erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt fuumlr jede Probe sechsmal Bestimmung der Mittelwerte

4 Berechnung der Dichte der beiden Metallproben nach Gleichung (5) 5 Bestimmung der jeweiligen Messunsicherheiten fuumlr die unmittelbar gemessenen Groumlszligen

m1rsquo m2rsquo und m3rsquo fuumlr beide Proben 6 Abschaumltzung bzw Berechnung (Fortpflanzung) der resultierenden Messunsicherheiten der

mit (5) mittelbar bestimmten beiden Dichten Vergleich der Ergebnisse fuumlr die beiden Dichten mit Referenzwerten

12

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

VERSUCHSHINWEISE Die Waumlgungen werden mit einer elektronischen Analysenwaage durchgefuumlhrt bei der die auf-gelegte Last (Abb 1 oberer Pfeil) durch eine elektromagnetische Kraft kompensiert wird Mit einer optoelektronischen Abtastung (1) wird die Stellung der Waagschale (2) gemessen und mit diesem Signal der Kompensationsstrom in der Spule (3) gesteuert Der Kompensations-strom erzeugt zwischen Permanentmagnet (4) und Spule eine Kraft so dass die Waagschale in die Null-Lage zuruumlckgefuumlhrt wird der Strom ist der Last proportional Zur Durchfuumlhrung der Waumlgungen beachte man unbedingt die Hinweise des Versuchsbetreuers und die Platz-anleitung

Abb1 Messprinzip der eAnalysenwaage

lektronischen

Fuumlr Aufgabe 2 wird das Pyknometer bis zum Rand mit destilliertem Wasser gefuumlllt wobei die Bildung von Luftblaumlschen zu vermeiden ist Verschlieszligt man das Pyknometer mit dem ange-schliffenen Stopfen so laumluft Wasser uumlber das sehr sorgfaumlltig mit Filterpapier abzuwischen ist Das Anfassen des Pyknometers muss aumluszligerst vorsichtig erfolgen um seine Erwaumlrmung zu vermeiden (warum) Nach dem Abwischen wird mit Filterpapier der auf der Kapillare stehende Tropfen abgenommen so dass die Kapillare bis oben mit Wasser gefuumlllt ist Fuumlr die durchzufuumlhrenden Waumlgungen ist das Pyknometer stets erneut zu befuumlllen Fuumlr Aufgabe 3 wird der Probekoumlrper in das Pyknometer gebracht und dann mit destilliertem Wasser aufgefuumlllt weiter ist sinngemaumlszlig wie bei Aufgabe 2 zu verfahren Fuumlr Aufgabe 4 sind zusaumltzlich zu den Werten m1rsquo m2rsquo und m3rsquo auch der Luftdruck p sowie die Zimmer- und Wassertemperatur zu bestimmen Die Temperaturen koumlnnen als gleich vor-ausgesetzt werden da das destillierte Wasser sich bereits sehr lange im Versuchsraum befin-det Die temperaturabhaumlngige (s Abb 2) Dichte ρW von reinem (luftfreiem) Wasser laumlsst sich im Temperaturintervall 0degC lt θ lt 40degC naumlherungsweise berechnen mit

4-73-52323 1046657-10772108768-1066299984)( θθθθρ sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot+=sdot minusminusminusmkgw

wobei die Temperatur θ in degC einzusetzen ist (Fehler der Naumlherung ) Diese Naumlhrung gilt bei sog Normaldruck (p

3210 minusminus sdotlt∆ mkgWρN = 1013 kPa) Warum kann die Druckabhaumlngig-

keit hier vernachlaumlssigt werden Die Druckabhaumlngigkeit muss aber bei der Luftdichte unbedingt beruumlcksichtigt werden ebenso wie die Luftfeuchtigkeit (warum) Man verwendet die Beziehung

TRp

fL sdot=ρ

13

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

wobei p der Luftdruck (in Pa) T die Lufttemperatur (in K) und Rf die Gaskonstante feuchter Luft ist Diese Gaskonstante Rf berechnet sich wiederum aus

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdotminus

=

d

ld

lf

RR

pp

RR11 ϕ

0 10 20 30 40992

993

994

995

996

997

998

999

1000

Dic

hte ρ w

(kg

m3 )

Temperatur θ (degC)

-10 0 10 20 3011

12

13

Dic

hte ρ L (k

gm

3 )Temperatur θ (degC)

Abb 2 Temperaturabhaumlngigkeit der Dichte fuumlr (reines) Wasser und (trockene) Luft

Hier ist Rl = 28705 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante trockener Luft Rd = 461 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante von Wasserdampf und φ die relative Luftfeuchtigkeit Die Groumlszlige pd ist der Saumlt-tigungsdampfdruck von Wasser in Luft der sich empirisch mit der sog Magnus-Formel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+degsdot

sdot=θθ

CPapd 2241

504317exp213611)( im Intervall CC degleledegminus 7030 θ

berechnen laumlsst wobei θ wieder die Temperatur (in degC) ist Fuumlr Aufgabe 5 sind die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen der Waumlgungen zu ermitteln Die Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo werden alle mit der gleichen Analysenwaage ermittelt fuumlr die vom Hersteller eine Garantiefehlergrenze (systematischer Restfehler) von 02 mg angegeben wird Diese Garantiefehlergrenze ist fuumlr alle drei Massenwerte als geraumlte-bedingte systematische Abweichung zu beruumlcksichtigen Fuumlr die Messwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo haumlngt es von der sorgfaumlltigen Versuchsdurchfuumlhrung (Abtupfen des Wassers ) ab ob die zufaumlllige undoder die systematische Abweichung die Messunsicherheit bestimmt Fuumlr Aufgabe 6 ist nur die Messunsicherheit der Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo zu beruumlcksich-tigen Die berechneten Werte fuumlr die Dichten von Luft und Wasser koumlnnen als praktisch fehlerfrei angenommen werden

14

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Erster Hauptsatz der Thermodynamik Waumlrmemenge Waumlrmekapazitaumlt Richmannsche Mischungsregel Arbeit von Gleich- und Wechselstrom Waumlrmeaustauschkorrektur (s Skript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstel-lung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo) Waumlrme ist eine Energieform die zwischen Koumlrpern ausgetauscht wird oder in andere Energie-formen umgewandelt werden kann Fuumlhrt man einem Koumlrper der Masse m die Waumlrmemenge dQ zu dann ist die sich einstellende Temperaturerhoumlhung dT proportional zur zugefuumlhrten Waumlrmemenge

dTcmdQ sdotsdot= (1)wobei der Proportionalitaumltsfaktor c als spezifische Waumlrmekapazitaumlt mit der SI-Einheit Jmiddotkg-1middotK-1 bezeichnet wird und eine Stoffkonstante ist Aus (1) ergibt sich

dTdQ

mc sdot=

1 (2)

Das Produkt cmC sdot= (3)

mit der SI-Einheit JmiddotK-1 nennt man Waumlrmekapazitaumlt des Koumlrpers Zur Bestimmung von Waumlrmemengen benutzt man sog Kalorimeter wobei anisotherme Aus-fuumlhrungen mit sehr gut waumlrmeisolierten Gefaumlszligen am haumlufigsten verwendet werden Fuumlhrt man einem mit Wasser der Masse mW (teilweise) gefuumlllten Kalorimeter eine Waumlrmemenge ∆Q zu dann werden auszliger dem Wasser auch alle Teile des Kalorimeters wie zB Gefaumlszligwandung Thermometer und Ruumlhrer erwaumlrmt Die gesamte Waumlrmekapazitaumlt der Versuchsanordnung setzt sich also aus der des Wassers (mWmiddotcW) und der des Kalorimeters (CK) zusammen

( ) TCcmQ KWW ∆sdot+sdot=∆ (4)Die spezifische Waumlrmekapazitaumlt von Wasser hat als Stoffkonstante den Wert cW = 41813 kJmiddotkg-1middotK-1 (bei 25degC) Die Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorime-ters ist rechnerisch nur naumlherungsweise moumlglich deshalb wird sie ia experimentell ermittelt 1 Elektrische Methode Flieszligt durch einen Ohmschen Leiter (Heizspirale) an dem die Spannung U anliegt der Strom I dann entsteht im Zeitintervall ∆t in ihm eine der elektri-schen Energie aumlquivalente Waumlrmemenge

tIUQ ∆sdotsdot=∆ (5)Uumlbertraumlgt man diese Waumlrmemenge an das Wasser (Masse mW) und das Kalorimeter (Waumlrme-kapazitaumlt CK) dann steigt die Wassertemperatur gemaumlszlig (4) Bei verlustloser Waumlrmeuumlbertra-gung sind beide Waumlrmemengen gleich (Energieerhaltungssatz) und es gilt

( ) TCcmtIU KWW ∆sdot+sdot=∆sdotsdot (6)so dass CK bestimmt werden kann 2 Mischungsmethode Fuumlgt man kaltem Wasser der Masse m1 und Temperatur T1 in einem Kalorimeter warmes Wasser der Masse m2 und Temperatur T2 hinzu so findet ein Waumlrmeaus-tausch statt bis das gesamte Wasser die Mischungstemperatur Tm angenommen hat Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dass die vom warmen Wasser abgegebene Waumlrmeenergie

gleich der vom kalten Wasser und dem Kalorimeter aufgenommenen Waumlrmeenergie

)( 222 mW TTcmQ minussdotsdot=∆( ) )( 111 TTCcmQ mKW minussdot+sdot=∆ sein muss Der Energieerhaltungssatz in dieser

speziellen Form des Austausches von Waumlrmemenge heiszligt Richmannsche Mischungsregel und ergibt die Gleichung

( ) )()( 2211 mWmKW TTcmTTCcm minussdotsdot=minussdot+sdot (7)zur Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorimeters

15

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

AUFGABEN 1 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der elektrischen Methode gemaumlszlig (6) 2 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 1 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 3 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der Mischungsmethode mit (7) 4 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 3 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 5 Fuumlr beide Methoden fuumlhre man eine Bestimmung der Messunsicherheit der Waumlrmekapazi-

taumlt durch und vergleiche die Endergebnisse miteinander VERSUCHSHINWEISE Das Verfahren zur Waumlrmeaustauschkorrektur Bei kalorimetrischen Messungen ist ein Waumlrmeaustausch mit der Umgebung unvermeidlich (offenes thermodynamisches System) und meist stoumlrend Aus dem gemessenen zeitlichen Temperaturverlauf ist er aber abzulesen (s Abb 1)

DE

Abbildung 1 Zeitlicher Verlauf der Temperatur im Kalorimeter

In der Vorperiode erhaumllt man den ansteigenden Kurvenabschnitt ArarrB in der Nachperiode den abfallenden Kurvenabschnitt ErarrF Das liegt daran dass das Kalorimeter eben nicht adia-batisch bzw isentrop ist Die Temperatur der Kalorimeterfluumlssigkeit im Innern gleicht sich in beiden Abschnitten jeweils (asymptotisch) an die Umgebungstemperatur TU an wobei der Waumlrmefluss proportional zur Temperaturdifferenz ist Es laumlsst sich zeigen dass der Gleichge-wichtszustand zeitlich exponentiell angenommen wird Im vorliegenden Fall ist aber die ent-sprechende Zeitkonstante sehr groszlig im Vergleich zur Messzeit so dass die beiden Abschnitte ArarrB und ErarrF naumlherungsweise jeweils durch eine Gerade beschrieben werden duumlrfen Die-ser Sachverhalt gestattet es auszligerdem in diesen Abschnitten die Messwerte in groumlszligerer zeitli-cher Schrittweite aufzunehmen Aufgrund des real zeitlich ausgedehnten Waumlrmeaustausches mit der Umgebung beobachtet man einen stetigen und differenzierbaren Verlauf der Kurve im Abschnitt BrarrE Nur wenn die im Experiment zugefuumlhrte Waumlrme sofort verteilt wuumlrde waumlre die Temperaturkurve eine Sprungfunktion Das System braucht eine gewisse Zeit bis sich ein neues Gleichgewicht ein-stellen kann Es verhaumllt sich so als ob es uumlber ein ganzes Zeitintervall bdquoverschmiertldquo waumlre Es gilt also die Endzeit der Waumlrmezufuhr zu finden Sie liegt im Wendepunkt der Temperaturkurve weil sich dort die Richtung der Kruumlmmung aumlndert also Waumlrmezufuhr in Waumlrmeverlust uumlbergeht Nun laumlsst sich aber im Abschnitt BrarrE die Kurve T(t) nicht beliebig

F

Tem

pera

tur

T

∆T S

TU

A B C

Zeit

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

17

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

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O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

23

O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

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O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

26

O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

27

O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

28

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

29

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

32

O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

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• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

INHALTSVERZEICHNIS

Motivation und Ziele I

Ordnung und Sicherheit II

Literatur IV

Kurzbezeichnung Thema Seite

F1 Fehlerverteilung 1

F2 Volumenmessung 3

F3 Fadenpendel 6

F4 Bestimmung von Federkonstanten 9

F5 Dichte fester Koumlrper 12

T1 Waumlrmekapazitaumlt eines Kalorimeters 15

O1 Duumlnne Linsen 19

O2 Mikroskop 23

O9 Reflexion und Brechung 28

O5 Polarimetrie 36

E6 Wechselspannungsmessungen 39

E8 Reale Gleichspannungsquellen 44

F0 Auswertung und Praumlsentation von Messdaten 48

Die Kurzbezeichnungen der Versuche sind historisch und willkuumlrlich entstanden

MOTIVATION UND ZIELE

Das Hauptziel der Lehrveranstaltung ist die zielgerichtete Einfuumlhrung in experimentelle Arbeitsweisen dh in praktisch-experimentelle und quantitative Arbeitsmethoden der Physik bull Als Studierende werden Sie sich den praktischen Umgang mit Messtechnik -verfahren und

-methodik aneignen und erlernen Ihre Versuchsaufzeichnungen stets so zu fuumlhren dass sie dem Anspruch einer Messdokumentation genuumlgen Auf der Grundlage dieser Aufzeichnun-gen muss ein durchgefuumlhrtes Experiment vollstaumlndig ausgewertet und gegebenenfalls repro-duziert werden koumlnnen

bull Sie eignen sich die Faumlhigkeit an die von Ihnen gewonnenen empirischen experimentellen Daten unter strikter Beachtung der Messgenauigkeiten bzw ndashunsicherheiten dh des Naumlhe-rungs- oder Schaumltzcharakters der Messungen sachgerecht auszuwerten und ihre Aussage-kraft einzuschaumltzen Das erfordert eine zielgerichtete Anwendung und Uumlbung besonderer mathematisch-statistischer und praktischer Methoden

Im Praktikum werden wir uns selbstverstaumlndlich nicht mit dem Erlernen rein technischer Fauml-higkeiten begnuumlgen wie sie z B von qualifizierten Laboranten bzw technischen Assistenten verlangt werden Das zweite wesentliche Ziel des Praktikums besteht deshalb in der Heran-fuumlhrung an wissenschaftlich-analytisches Denken bull Auf der Grundlage der von Ihnen selbst vorgenommenen Beobachtungen und der bei ihrer

Auswertung erzielten quantitativen Ergebnisse sollen Sie (bezogen auf den physikalischen Hintergrund des Experiments) schluumlssige Antworten auf eingangs gestellte Fragen ableiten und kritisch begruumlnden koumlnnen

bull Ihre gewonnenen Ergebnisse und daraus gezogene Schlussfolgerungen sind in den Rahmen der bisherigen Erkenntnisse einzuordnen Dabei sind beispielsweise Hypothesen durch Ver-gleich mit den experimentellen Resultaten kritisch zu uumlberpruumlfen und Versuche hinsichtlich ihrer Aussagekraft und Qualitaumlt zu bewerten

bull Anhand eigener Experimente werden Sie sich anwendungsbezogen und vertiefend mit ausgewaumlhlten Themen der Physik beschaumlftigen Gerade die Anwendung von Kenntnissen erweist sich stets als besonders empfindlicher Indikator fuumlr physikalisches Verstaumlndnis auch in Details

bull Haumlufig muumlssen Sie sich auch mit Problemstellungen beschaumlftigen fuumlr die Sie noch keinen hinreichenden inhaltlichen Vorlauf aus anderen Lehrveranstaltungen besitzen Das erscheint einerseits (auf den ersten Blick) etwas fragwuumlrdig entspricht aber andererseits einer typi-schen Situation wissenschaftlicher Arbeitspraxis Oft sind Themen zu bearbeiten fuumlr die nur ein Grundwissen vorhanden ist und die eine tiefere Einarbeitung erfordern

bull Nicht zuletzt sollen Sie schrittweise erlernen Ihre eigene praktische Arbeit in wissenschaft-lich angemessener Weise auch schriftlich darzustellen und erzielte Ergebnisse aussagekraumlf-tig praumlsentieren zu koumlnnen

Moderne Wissenschaft zeichnet sich durch weitgehend kollektive Arbeitsweise aus trotz oder gerade wegen der hochgradigen Spezialisierung und Arbeitsteilung in Arbeitsgruppen Des-halb ist die Aneignung und Uumlbung kollegialer wissenschaftlicher Arbeits- und Umgangsfor-men eine weitere wichtige Zielsetzung bull Experimentelle Aufgaben werden arbeitsteilig bearbeitet ihre Auswertung erfordert regel-

maumlszligig einen kritischen Meinungsaustausch in Gruppen bull Bei Vorgespraumlchen und Diskussionen werden verbale Darstellungsformen und sachlich-

kritische Auseinandersetzungen praktiziert und trainiert Diese notwendigen Grundformen wissenschaftlicher Arbeit kehren in spaumlteren Studienabschnitten und in der Berufstaumltigkeit wieder

I

ORDNUNG UND SICHERHEIT

Wie fuumlr andere Bereiche sind auch im Physikalischen Grundpraktikum einige grundsaumltzliche Festlegungen fuumlr den laufenden Lehrbetrieb in unseren Raumlumlichkeiten zu treffen die fuumlr ausnahmslos alle teilnehmenden Studierenden gelten Teilnahmeberechtigung Grundvoraussetzung ist der Besuch der rechtzeitig durch Aushaumlnge im Internet (Webseite des Instituts fuumlr Physik) und im Institut bekannt gegebenen Einfuumlhrungsveranstaltung bull Waumlhrend dieser Veranstaltung erfolgen die Einschreibung zum Kurs und die Einteilung in

Gruppen bull Es werden Hinweise zum Praktikumsablauf sowie zur Protokollierung und Auswertung von

Versuchen gegeben bull Kursplaumlne und Skripten werden ausgeteilt bull Es erfolgt eine Arbeitschutzbelehrung deren Kenntnisnahme aus ersichtlichen rechtlichen

Gruumlnden unbedingte Voraussetzung fuumlr die Teilnahme an den Versuchen ist und deshalb mit eigenhaumlndiger Unterschrift bei der Einschreibung bestaumltigt werden muss

Generelle Vorbedingung fuumlr die Durchfuumlhrung eines jeden einzelnen Versuches ist eine sach-gerechte Vorbereitung gestuumltzt auf die Versuchsanleitung und gegebenenfalls Zusatzliteratur Eine ungenuumlgende Vorbereitung hat grundsaumltzlich den Ausschluss vom laufenden Versuch zur Folge der in einem Folgesemester zu wiederholen ist Allgemeine Verhaltensregeln bull Jeder hat sich grundsaumltzlich so zu verhalten dass weder Personen gefaumlhrdet noch

Einrichtungen Geraumlte und Versuchsaufbauten beschaumldigt werden koumlnnen bull Das Praktikumspersonal (Leiter und Mechaniker) und die Versuchsbetreuer sind in den

Praktikumsraumlumen ohne Einschraumlnkung weisungsbefugt ihre Anweisungen sind zu befol-gen Bei Verstoumlszligen erfolgen ein Verweis aus den Raumlumlichkeiten und der Ausschluss vom Versuch

bull Die von den betreuenden Assistenten vom Praktikumspersonal sowie die in den Versuchsanleitungen gegebenen Hinweise zur Handhabung der Geraumlte und Versuchsanord-nungen sind strikt zu beachten

bull Bei der Belegung des Arbeitsplatzes ist seine Vollstaumlndigkeit und Ordnung zu uumlberpruumlfen Auftretende Stoumlrungen und Unregelmaumlszligigkeiten bei der Durchfuumlhrung der Versuche Beschaumldigungen und Funktionsstoumlrungen an Geraumlten und Einrichtungen sind sofort dem Betreuer zu melden Eigene Reparaturversuche sind grundsaumltzlich unzulaumlssig

bull Fuumlr fahrlaumlssig verursachte Schaumlden an Geraumlten und Arbeitsmaterialien koumlnnen die Studierenden zur Verantwortung gezogen werden (Haftpflicht)

bull Es steht jeweils nur die unmittelbar am Arbeitsplatz befindliche Ausruumlstung zur Verfuumlgung Es ist kategorisch untersagt Geraumlte und sonstige Arbeitsmittel von fremden Arbeitsplaumltzen zu benutzen Uumlber Ausnahmen kann nur der Betreuer in Absprache mit dem Praktikumsper-sonal entscheiden

bull Nach Beendigung des Versuches ist jeder Arbeitsplatz stets aufgeraumlumt und sauber zu verlassen die urspruumlngliche Ordnung ist wieder herzustellen

bull Haben Sie einen PC im PC-Pool benutzt so muumlssen Sie sich an diesem wieder abmelden Bei Stoumlrungen jeglicher Art (Papierstau im Drucker usw) im PC-Pool ist das Prakti-kumspersonal unverzuumlglich zu informieren eigene Behebungsversuche haben zu unterblei-ben Die Entnahme von Papier aus den Druckerfaumlchern zur Verwendung als bdquoSchmierpa-pierldquo o auml ist untersagt

bull Die Benutzung von Mobil-Telefonen MP3-Playern usw ist in den Laborraumlumen insbeson-dere waumlhrend des laufenden Lehrbetriebs grundsaumltzlich nicht gestattet

bull Das Essen und Trinken ist aus hygienischen Gruumlnden und wegen des notwendigen Arbeits- und Gesundheitsschutzes nur auszligerhalb der Laborraumlume moumlglich

II

ORDNUNG UND SICHERHEIT

bull Eigene Notebooks koumlnnen in den Laboren selbstverstaumlndlich verwendet werden Netzteile duumlrfen aber nur dann an das 230V-Netz angeschlossen werden wenn sie in technisch ein-wandfreien Zustand sind

bull Das Praktikum beginnt puumlnktlich zur im bekannt gegebenen Kursplan genannten Uhrzeit ohne akademisches Viertel Verspaumltungen werden nur in absolut triftig begruumlndeten Faumlllen durch den Betreuer akzeptiert wobei mehr als 15 Minuten Verspaumltung grundsaumltzlich zum Ausschluss vom Versuch fuumlhren

bull Fuumlr die Ausfuumlhrung eines Versuches steht nur die im Kursplan ausgewiesene Zeit zur Verfuumlgung Alle Arbeiten sind puumlnktlich abzuschlieszligen da nur fuumlr die geplanten Versuchs-zeiten eine Betreuung und Aufsicht gewaumlhrleistet werden kann Eine Zeituumlberschreitung ist deshalb nicht zulaumlssig

bull Fuumlr einen erfolgreichen Abschluss muumlssen Sie alle Versuche gemaumlszlig dem Kursplan absolvie-ren Bei wirklich begruumlndeten Ausfaumlllen wie z B durch Erkrankung (Vorlage eines Kran-kenscheins erforderlich) entscheidet der Praktikumsleiter uumlber eine eventuelle Nachhol-moumlglichkeit

Arbeiten mit elektrischen Schaltungen bull Der Auf- und Abbau elektrischer Schaltungen hat stets im spannungslosen Zustand (Strom-

versorgungsgeraumlte aus Batterien und Steckernetzteile nicht angeschlossen) und uumlbersicht-lich zu erfolgen

bull Bei elektrischen Messgeraumlten ist auf richtige Polung Einstellung des richtigen Messberei-ches und Verwendung der richtigen Messeingaumlnge zu achten

bull Elektrische Schaltungen muumlssen vor der Inbetriebnahme vom zustaumlndigen Versuchsbetreuer uumlberpruumlft und unter Spannung stehende Anlagen staumlndig uumlberwacht werden

bull Spannungsfuumlhrende Teile duumlrfen nicht beruumlhrt werden Gefaumlhrliche Spannungen sind in jedem Fall durch Schutzvorrichtungen vor Beruumlhrung gesichert Es ist untersagt solche Schutzvorrichtungen auszliger Betrieb zu setzen

bull Bei Unfaumlllen ist die Spannung sofort abzuschalten (Notausschalter rote Tastschalter neben der Tuumlr) und unter Beachtung der Eigensicherung Ersthilfe zu leisten Jeder Unfall muss unverzuumlglich gemeldet werden

Brandschutz bull Das Rauchen ist im gesamten Praktikum (auch im Flur vor den Praktikumsraumlumen sowie im

gesamten Gebaumlude) untersagt bull Bunsenbrenner und elektrische Heizgeraumlte sind so aufzustellen dass sich keine benachbar-

ten Gegenstaumlnde entzuumlnden koumlnnen Offene Flammen und eingeschaltete Heizgeraumlte muumlssen staumlndig beaufsichtigt werden

bull Abgebrannte Streichhoumllzer gehoumlren nicht in Papierkoumlrbe noch glimmende Streichhoumllzer duumlrfen nicht weggeworfen werden

bull Brennbare Fluumlssigkeiten (wie zB Ethanol) sind von offenen Flammen fernzuhalten bull Wird ein Brand bemerkt so ist das sofort zu melden und es sind nach Moumlglichkeit Loumlsch-

maszlignahmen einzuleiten Nassloumlschung ist wegen der elektrischen Anlagen nicht zulaumlssig bull Jede(r) hat sich uumlber die Lage und Funktionsweise der Handfeuerloumlscher zu informieren Fluchtwege und Evakuierung bull Bei notwendig werdender Evakuierung (akustische Signalisierung oder Anweisung durch

Praktikumspersonal bzw Versuchsbetreuer) ist unter Mitnahme der persoumlnlichen Wert-sachen und unbedingt notwendiger Oberbekleidung (Menschenleben gehen vor) uumlber den Gang und die Treppenhaumluser (Auf keinen Fall mit dem Lift) das Gebaumlude geordnet und ohne Panik zu verlassen

bull Sammelpunkt ist die Wiese vor dem Gebaumlude zwischen Schilfbeet und Fahrradstaumlnder jede(r) meldet sich sofort beim zustaumlndigen Versuchsbetreuer

III

LITERATUR

Aus der sehr groszligen Anzahl von guten Lehr- und Fachbuumlchern die fuumlr den Gebrauch im Physikalischen Grundpraktikum (und auch daruumlber hinaus) geeignet sind ist hier eine kleine Auswahl ohne Anspruch auf Vollstaumlndigkeit und auch ohne jede Wertung aufgelistet Aus eigener Erfahrung heraus kann man Studierenden die nachfolgenden Saumltze nicht oft genug ans Herz legen Es gibt niemals das eine und einzige Lehr- bzw Fachbuch Buumlcher sind fuumlr einzelne Teil-gebiete der Physik unterschiedlich geeignet meistens muss doch in verschiedenen Buumlchern nachgeschlagen werden Jeder nimmt individuell auf seine Weise auf dieselben Inhalte werden unterschiedlich wahrgenommen Auch die Art der Gestaltung zB mit Grafiken Uumlbersichten usw spielt (je nach bevorzugter Wahrnehmungsweise) eine groszlige Rolle Es ist deshalb ganz sicher eine kluge Entscheidung sich verschiedene Lehr- und Fachbuumlcher in Bibliotheken anzusehen und sie auf ihre Eignung fuumlr den individuellen Gebrauch zu testen Es musskann nicht jedes Buch gekauft werden auch wenn es sehr attraktiv erscheint Das gilt ebenso fuumlr Taschenbuumlcher bzw Nachschlagewerke Buumlcher zum physikalischen Grund- oder Anfaumlngerpraktikum W Walcher Praktikum der Physik B G Teubner (Stuttgart Leipzig) H-J Eichler H-D Kronfeldt J Sahm Das Neue Physikalische Grundpraktikum Springer (Berlin Heidelberg New York) W Ilberg M Kroumltzsch D Geschke Physikalisches Praktikum B G Teubner (Stuttgart Leipzig) J Becker H-J Jodl Physikalisches Praktikum fuumlr Naturwissenschaftler und Ingenieure VDI-Verlag (Duumlsseldorf) H-J Kunze Physikalische Messmethoden (Teubner Studienbuumlcher) B G Teubner (Stuttgart Leipzig) Buumlcher zur Physik bzw Experimentalphysik D W Preston E R Dietz The Art of Experimental Physics John Wiley amp Sons (New York) D Halliday R Resnick J Walker Physik Wiley-VCH (Berlin) PA Tipler G Mosca Physik fuumlr Wissenschaftler und Ingenieure Spektrum Akademischer Verlag (Heidelberg) D Meschede Gerthsen Physik Springer (Berlin Heidelberg New York) K Dransfeld P Kienle G M Kalvius H-J Koumlrner W Zinth Physik 1-4 Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) BergmannSchaefer Lehrbuch der Experimentalphysik (8 Baumlnde) Walter de Gruyter (Berlin New York) D Halliday R Resnick J Walker Fundamentals of Physics John Wiley amp Sons (New York) H Stroppe Physik fuumlr Studenten der Natur- und Ingenieurwissenschaften Hanser Fachbuch-verlag (Muumlnchen Leipzig) H J Paus Physik in Experimenten und Beispielen Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Haumlnsel W Neumann Physik (4 Baumlnde) Spektrum Akademischer Verlag (Heidelberg) H Pfeifer H Schmiedel Grundwissen Experimentalphysik B G Teubner (Stuttgart Leipzig) A M Portis H D Young Physik und Experiment (Band 6 des Berkeley Kurses Physik) F Vieweg und Sohn (Braunschweig) J Orear Physik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) D C Giancoli Physik Pearson Education Deutschland GmbH (Muumlnchen)

IV

LITERATUR

R P Feynman R B Leighton M Sands Feynman Vorlesungen uumlber Physik (3 Baumlnde) Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) Taschenbuumlcher und Nachschlagewerke fuumlr Formeln und Daten H Stoumlcker Taschenbuch der Physik Verlag Harri Deutsch (Frankfurt a M) D Mende G Simon Physik - Gleichungen und Tabellen Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Kuchling Taschenbuch der Physik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Ebert Physikalisches Taschenbuch F Vieweg amp Sohn (Braunschweig) H Heinemann H Kraumlmer H Zimmer Kleine Formelsammlung Physik Hanser Fachbuch-verlag (Muumlnchen Leipzig) F Kohlrausch V Kose S Wagner Praktische Physik (3 Baumlnde) B G Teubner (Stuttgart Leipzig) Buumlcher zur Messtechnik P Profos T Pfeifer (Hrsg) Grundlagen der Messtechnik Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) G Heyne Elektronische Messtechnik - Eine Einfuumlhrung fuumlr angehende Wissenschaftler Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) J Hoffmann Taschenbuch der Messtechnik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) J Niebuhr G Lindner Physikalische Messtechnik mit Sensoren Oldenbourg Industrieverlag (Muumlnchen) D Benda Wie misst man mit dem Oszilloskop Franzis Verlag GmbH (Poing) R Lerch Elektrische Messtechnik Analoge digitale und computergestuumltzte Verfahren Springer (Berlin Heidelberg New York) W Pfeiffer Digitale Messtechnik Springer (Berlin Heidelberg New York)

V

F1 FEHLERVERTEILUNG

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Systematische und zufaumlllige Messabweichungen Messunsicherhei-ten Standardabweichung Vertrauensbereich absolute und relative Haumlufigkeit Gauszligsche Normalverteilung Summenhaumlufigkeit Wahrscheinlichkeitsnetz Stichprobe Grundgesamtheit Alle Messungen physikalischer Groumlszligen sind unvermeidlich mit Messabweichungen bzw -unsicherheiten behaftet Sind systematische Abweichungen ausgeschlossen dann streuen die Messwerte (i = 1 n) aufgrund zufaumllliger Abweichungen symmetrisch um den Mittel- bzw Erwartungswert

ixx Berechnet man die scheinbaren Abweichungen

xxv minus= ii (1)einer Messreihe und stellt die absolute bzw die relative Haumlufigkeit also bzw )(k iv

( ) ( ) nkh ii vv = grafisch als Funktion der Abweichungen vi dar dann erhaumllt man eine treppenfoumlrmige Verteilungs-kurve (s Abb 1) Dazu werden die Ab-weichungen vi in gleichgroszligen Inter-vallen ∆v (Klasseneinteilung) zusam-mengefasst Im Grenzfall mit infinrarrn und Intervallbreite genuumlgen die Abweichungen v meist einer Normal-verteilung (Gauszlig-Verteilung)

0rarr∆v

Abb 1 Histogramm einer Normalverteilung ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus= 2

2

2exp

21

σσπϕ vv (2)

Diese Verteilung (ausgezogene Kurve in Abb 1) zeigt folgende Eigenschaften 1 Die Normalverteilung hat fuumlr v ein Maximum ist symmetrisch bezuumlglich dieses Maxi-

mums und strebt mit wachsendem v asymptotisch gegen Null = 0

2 Die Normalverteilung hat Wendepunkte bei σplusmn=v (σ ist die Standardabweichung) 3 Der Parameter σ bestimmt die Breite der Normalverteilung Bei kleinem σ entsteht eine

bdquoschlankeldquo Kurve mit geringer Streuung der Messergebnisse (svw wie groszlige bdquoGenauig-keitldquo der Messmethode) Ein groszliges σ bedeutet entsprechend das Gegenteil

Die Uumlberpruumlfung ob eine Messreihe (Stichprobe) einer Normalverteilung genuumlgt ist mit Hilfe bestimmter statistischer Verfahren moumlglich von denen einige in diesem Versuch ange-wandt werden Die statistische Analyse einer Messreihe setzt aber eine bdquohinreichendldquo groszlige Zahl von Messwerten voraus VERSUCHSDURCHFUumlHRUNG Im Regelfall wird der Versuch im Houmlrsaal mit allen Studierenden gemeinsam durchgefuumlhrt Uumlber einen Projektor (Beamer) wird eine Skale mit einer Marke (Zeiger) gezeigt Die Lage dieser Marke schaumltzt jeder Student fuumlr sich auf 001 Skalenteile genau und notiert sich im Messprotokoll seinen Mess- bzw Schaumltzwert Der wahre Wert wurde noch vor der Anzeige als Zufallszahl erzeugt und ist daher bekannt Dieser Wert wird unmittelbar nach erfolgter individueller Schaumltzung angesagt bzw gezeigt und im Messprotokoll ebenfalls notiert Insgesamt sind in diesem Versuch 100 Schaumltzungen auszufuumlhren

ix iwx

Diese Vorgehensweise erfordert eine hohe Konzentrationsfaumlhigkeit und Disziplin

1

F1 FEHLERVERTEILUNG

AUFGABEN 1 Ermittlung der Stichprobe 100 Schaumltzwerte xi der Stellung einer Marke und die zugehoumlri-

gen Werte xwi werden notiert Fuumlr die Datentabelle empfiehlt sich hier folgendes Schema vii xi xwi + 0 -

1 (176) (175) (001) 2 Berechnung der scheinbaren Abweichungen wiii xxv minus= 3 Vorzeichentest Man bestimme die Zahl n+ der positiven und die Zahl n- der negativen Ab-

weichungen vi Da die Abweichungen vi bei Annahme einer Normalverteilung symmet-risch zum Wert vi = 0 liegen sollten die Zahlen n+ und n- annaumlhernd gleich groszlig sein Wenn n die Zahl aller Messwerte ist muss fuumlr den positiven Ausgang des Vorzeichentests

nnn leminus minus+ erfuumlllt sein nplusmn ist die zu erwartende statistische Schwankung beim Stichprobenumfang n

4 Fuumlr die weitere Auswertung der Ergebnisse empfiehlt sich eine Tabelle in der die schein-baren Abweichungen ihrer Groumlszlige nach geordnet werden nach folgendem Schema

vj vj2 Strichliste k(vj) k(vj)middot vj

2 h(vj) H(vj) (min vj)

(max vj) 1000

Kontrollen 100 22 )( jji vvkv sdot= sumsum 1000

In diese Tabelle werden die Messwerte von Aufgabe 1 uumlbertragen indem man sie der Reihe nach durchgeht und bei dem entsprechenden in der Spalte bdquoStrichlisteldquo durch einen Strich markiert Die Zahl der Striche ergibt dann die absolute Haumlufigkeit

jv)(vk j

5 Mit 22 )(11jji vvk

nv

ns sdotplusmn=plusmn= sumsum wird aus den Abweichungen vi die empirische

Standardabweichung berechnet die eine Naumlherung fuumlr die Standardabweichung σ der Normalverteilung nach Gleichung (2) darstellt Im Nenner tritt hier n anstelle von n-1 auf weil bei diesem Versuch (ausnahmsweise) der wahre Wert der Messgroumlszlige bekannt ist

6 Die ermittelten relativen Haumlufigkeiten nvkvh jj )()( = der Abweichungen vj werden grafisch als Funktion von vj dargestellt (Histogramm Balkendiagramm) Durch das Histogramm versuche man nach Augenmaszlig eine Normalverteilungskurve zu legen

7 Mit den relativen Haumlufigkeiten aus Aufgabe 6 berechne man die Summenhaumlufigkeit und stelle diese Summenhaumlufigkeit H(vsum

le

=jk vv

kj vhvH )()( j) grafisch als Funktion von vj in

Form eines Histogramms (Balkendiagramm) dar 8 Test mit Wahrscheinlichkeitspapier Die Wertepaare der Summenhaumlufigkeitskurve (s

Aufgabe 7) uumlbertrage man auf ein Wahrscheinlichkeitsnetz und lege durch die Punkte im mittleren Bereich eine ausgleichende Gerade

9 Man entnehme der Darstellung auf dem Wahrscheinlichkeitsnetz (Aufgabe 8) bei H(vrsquo) = 016 (bzw 16) und H(vrsquorsquo) = 084 (bzw 84) die zugehoumlrigen Werte vrsquo und vrsquorsquo und vergleiche (vrsquorsquo-vrsquo)2 mit dem Wert der empirischen Standardabweichung (Aufgabe 5)

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr die Auswertung und das Verstaumlndnis des Versuches wird unbedingt die Lektuumlre der ent-sprechenden Abschnitte des Praktikumsskripts bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstellung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo empfohlen Die Druckvorlage fuumlr ein Wahrscheinlichkeitsnetz ist auf der Webseite des Grundpraktikums zu finden

2

F2 VOLUMENMESSUNG

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Auftriebskraft In diesem einfachen Versuch werden drei Methoden unterschiedlicher Genauigkeit zur Bestimmung des Volumens eines Probekoumlrpers verwendet und miteinander verglichen hin-sichtlich der jeweiligen Messunsicherheit 1 Methode (Uumlberlaufgefaumlszlig) Ein mit einem Uumlberlauf versehener Glasbehaumllter wird bis zum Uumlberlaufen mit Wasser gefuumlllt Durch Eintauchen des Probekoumlrpers dessen Volumen V1 bestimmt werden soll wird Wasser verdraumlngt das in einen Messzylinder flieszligt 2 Methode (Geometrie des Koumlrpers) Der Probekoumlrper ist ein Zylinder sein Volumen kann aus dem Durchmesser d und der Houmlhe h nach

hdV 22 4

π= (1)

berechnet werden 3 Methode (Auftriebsmessung) Der Probekoumlrper vom Volumen V3 wird mit einer Labor-waage mit symmetrischem Waagebalken in Luft gewogen Man benoumltigt fuumlr das Gleich-gewicht die Massennormale zur Kompensation der Gewichtskraft des Probekoumlrpers Taucht man ihn in Wasser (Dichte ρw ) dann erfaumlhrt er eine Auftriebskraft

1m gmF 1G =

3wA gVF ρ= (g = Fallbeschleunigung) Um die Waage wieder ins Gleichgewicht zu bringen benoumltigt man die Massennormale zur Kompensation der um die Auftriebskraft verminderten Gewichtskraft FG d h

2m AF

3w12 gV-gmgm ρ= Daraus folgt

w

213 ρ

mmV

minus= (2)

Die zur Bestimmung der Massenwerte und verwendete Laborwaage traumlgt in der Mitte des Waagebalkens einen Zeiger der uumlber einer Skale schwingt An seiner Stellung ist das Gleich-gewicht der Waage ablesbar Verschiebt sich durch eine einseitig wirkende Zusatz-masse ∆mrsquo die Zeigerstellung um ∆a dann bezeichnet man den Quotienten

1m 2m

maEprime∆

∆= (3)

als Empfindlichkeit der Waage sie ist ein Maszlig fuumlr ihre Guumlte und gestattet die Abschaumltzung der Messunsicherheit Systematische Messabweichungen der drei Methoden 1 Uumlberlaufgefaumlszlig Der sog Geraumltefehler ∆V des Messzylinders betraumlgt bei einem Nenninhalt von VN = 50 ml und einer Nenntemperatur von tN = 20 degC bis zu ∆V = plusmn 05 ml (4) Die Richtung und die Groumlszlige dieses Geraumltefehlers ∆V fuumlr voneinander abweichende Mess-temperatur und Nenntemperatur des Messzylinders wird mit Hilfe des thermischen Ausdehnungskoeffizienten des Glases abgeschaumltzt Ist das Nennvolumen des als Glasrohr betrachteten Messzylinders VN dann ist bei der Messtemperatur sein Volumen

Mt Nt

Mt ))(1( NMNM ttVV minus+= γ

mit als sog kubischem thermischem Ausdehnungskoeffizienten des Glases Daraus ergibt sich

-15 K1072 minussdot=γ

3

F2 VOLUMENMESSUNG

( )NM tt minus=∆ γVV (5) 2 Geometrie des Koumlrpers Die sog Fehlergrenzen ∆I beider Messgeraumlte sind wenn I die gemessene Laumlnge ist von folgender Groumlszlige Messschieber ∆l = plusmn (5sdot10-5 m + 1sdot10-4 l) (6) Buumlgelmessschraube ∆l = plusmn (5sdot10-6 m + 1sdot10-5 l) (7) 3 Auftriebsmessung Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Probekoumlrpers und der Massennormale (Dichte

) bei der Waumlgung in Luft (Dichte ) liefert 33N mkg1084 sdot=ρ 3

L mkg12=ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+minusasymp

minus

minussdot

minus=prime

w

L

N

L3

wL

NL

w

213 1

11

ρρ

ρρ

ρρρρ

ρVV mm (8)

Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Aufhaumlngedrahtes von dem das Volumen ∆V im Wasser eintaucht ergibt VVV ∆minusprime=primeprime 33 (9) AUFGABEN 1 Ermittelung der einzelnen Messgroumlszligen fuumlr jede der drei Methoden und Berechnung der

Volumenwerte Vi 2 Berechnung bzw Abschaumltzung der zufaumllligen Messabweichungen fuumlr alle Messgroumlszligen 3 Groumlszligenordnungsmaumlszligige Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen aller drei

Methoden Soweit moumlglich und sinnvoll Korrektur systematischer Abweichungen Betrachtung systematischer Restfehler

4 Uumlbersichtliche Zusammenstellung der Messergebnisse der zufaumllligen und der systemati-schen Abweichungen sowie der Messunsicherheiten fuumlr die einzelnen Messgroumlszligen

5 Berechnung der Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr die mittelbar bestimmten Volumenwerte nach dem Fortpflanzungsgesetz

6 Berechnung des gewogenen Mittelwertes einschlieszliglich seiner Unsicherheit sofern moumlg-lich und sinnvoll

VERSUCHSHINWEISE Methode 1 Der Messzylinder wird vor dem Eintauchen des Probekoumlrpers mit etwas Wasser gefuumlllt und dieser Fuumlllstand VA als Bezugsgroumlszlige gewaumlhlt Nach dem Einlaufen des verdraumlng-ten Wassers liest man den Fuumlllstand VE am Messzylinder ab so dass sich als Volumen des Probekoumlrpers AE1 VVV minus= (10) ergibt Die Messungen werden sechsmal durchgefuumlhrt und Bruchteile der Skalenteile geschaumltzt Methode 2 Die Houmlhe des Zylinders h wird sechsmal mit einem Messschieber und sein Durchmesser d wird sechsmal an verschiedenen Stellen mit einer Buumlgelmessschraube gemes-sen Methode 3 Jede Waumlgung wird zweimal ausgefuumlhrt und der Groumlszligtfehler aus der Empfindlich-keit der Waage nach Gl (3) abgeschaumltzt Als Groumlszligtfehler wird die Zusatzmasse ∆m angege-ben die einen Zeigerausschlag ∆a = 1 Skalenteil bewirkt Die Dichte des Wassers ist tempe-raturabhaumlngig und wird einer grafischen Darstellung am Versuchsplatz entnommen

4

F2 VOLUMENMESSUNG

In Aufgabe 1 werden die einzelnen Messgroumlszligen sowie die drei Volumenwerte Vi und in Auf-gabe 2 die zufaumllligen Abweichungen der einzelnen Messgroumlszligen ermittelt In Aufgabe 3 sind die systematischen Abweichungen zu diskutieren wobei zwischen den Korrekturen und den systematischen Restfehlern zu unterscheiden ist Fuumlr Aufgabe 4 muumlssen die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen verglichen und in Aufgabe 5 die Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr alle drei Methoden festgelegt werden Uumlberlappen sich die Bereiche der Messunsicherheiten ∆Vi nicht dann liegen entweder grobe Messfehler vor oder es existieren noch weitere bisher nicht erfasste systematische Abwei-chungen Uumlberlappen sich dagegen die Bereiche der Messunsicherheiten dann kann der gewogene Mittelwert und die zugehoumlrige Messunsicherheit berechnet werden (Aufgabe 6)

5

F3 FADENPENDEL

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Massenpunktmodell mathematisches und physikali-sches Pendel Bewegungsgleichung Schwerkraft Newtonsche Axiome Schwingungsdifferen-tialgleichung Ein an einem Faden aufgehaumlngter Koumlrper stellt aufgrund der auf ihn wirkenden Schwerkraft und seiner Traumlgheit ein schwingungsfaumlhiges System dar Betrachtet man (idealisiert) einen punktfoumlrmigen Koumlrper der Masse m der an einem Faden der Laumlnge l haumlngt und lenkt ihn um einen Winkel φ (Abb 1) aus der Senkrechten aus dann fuumlhrt der Koumlrper nach dem Loslassen Schwingungen um die Senkrechte aus

Abbildung 1 Fadenpendel

Bei Vernachlaumlssigung der Masse des Fadens und der Luftreibung wirkt auf den Koumlrper in jedem Punkt der Bahn senkrecht nach unten die Gewichtskraft

gmFG sdot= (1)wobei g die Fallbeschleunigung ist Die Normalkomponente (normal zur Bahn des Koumlrpers)

ϕcossdotsdot= gmFn dieser Kraft findet ihre Gegenkraft in der in der Aufhaumlngung auftretenden Kraft und beeinflusst die Bewegung des Koumlrpers nicht Dagegen erzeugt die Tangentialkom-ponente ϕsinsdotsdot= gmFt der Gewichtskraft entsprechend der Newtonschen Bewegungs-gleichung

ϕsin2

2

sdotsdotminus=sdot=sdot gmsmdt

sdm (2)

eine Beschleunigung des Koumlrpers laumlngs der kreisfoumlrmigen Bahnkurve Zwischen dem Aus-lenkwinkel φ und der Bahnkurvenkoordinate s auf der Bahnkurve besteht die Beziehung

ϕsdot= ls Bei (zeitlich) konstanter Fadenlaumlnge l folgt daraus unmittelbar

dtdl

dtds ϕ

sdot= und 2

2

2

2

dtdl

dtsd ϕ

sdot= (3)

Fuumlr kleine Auslenkwinkel φ gilt die bekannte Naumlherung ϕϕ asympsin die ebenso wie (3) in die Bewegungsgleichung (2) eingesetzt werden kann Daraus erhaumllt man die Newtonsche Bewe-gungsgleichung fuumlr das mathematische Pendel mit

02

2

=sdot+sdot ϕϕ gdtdl (4)

Diese Schwingungsdifferentialgleichung einfachster Form kann mit dem Ansatz

6

F3 FADENPENDEL

)sin(0 ψωϕϕ +sdotsdot= t mit lg

=ω (5)

geloumlst werden Die hier zunaumlchst willkuumlrlich erscheinenden Konstanten heiszligen Amplitude φ0

bzw Phasenkonstante ψ und sind durch die konkreten Anfangsbedingungen fuumlr t = 0 festge-legt Das mathematische Pendel vollfuumlhrt demnach bei Auslenkung um kleine Winkel harmo-nische Schwingungen mit der Kreisfrequenz ω und der Periodendauer

glT π

ωπ 22== (6)

die unabhaumlngig von der Masse m und der Amplitude φ0 ist Die Beziehung (6) erlaubt prinzipiell bei bekannter Pendellaumlnge l durch Messung der Perio-dendauer T eine Bestimmung der Fallbeschleunigung g Allerdings ist die Pendellaumlnge l nur sehr ungenau zu bestimmen Deshalb bedient man sich hier zweckmaumlszligig eines einfachen Tricks Die Laumlnge l kann um genau einstellbare Betraumlge li veraumlndert werden und setzt sich gemaumlszlig zusammen Damit wird aus (6) durch entsprechende Umformung illl += 0

( )ii llgg

lT +sdot== 0

222 44 ππ (7)

Misst man nun die Periodendauern Ti fuumlr die entsprechenden li und stellt die Abhaumlngigkeit

Ti2(li) dar so ergibt sich eine Gerade mit dem Anstieg

g

24π und dem Achsenabschnitt

0

24 lg

sdotπ Damit werden die Groumlszligen g und l0 bestimmbar

Die oben vorgenommenen Vereinfachungen die zur Herleitung der Beziehung (6) verwendet wurden beduumlrfen noch einer weiteren Diskussion Betrachtung beliebiger Winkel Ohne die obige Beschraumlnkung auf kleine Winkel φ liefert die Loumlsung der sog elliptischen Differentialgleichung (2) fuumlr die Periodendauer das (exak-tere) Ergebnis

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdotsdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛sdot+sdot=

2sin

2sin1 042

43

21022

21 ϕϕ

ϕ TT (8)

wobei T durch die Beziehung (6) gegeben ist Beruumlcksichtigung des Auftriebs in Luft Der Massekoumlrper aus Blei mit der Dichte von ρK = 11340 kgm-3 und dem Volumen VK erfaumlhrt in Luft der Dichte ρL asymp 12 kgm-3 eine Auftriebskraft gVF KLA sdotsdot= ρ die der Gewichtskraft gVgmF KKG sdotsdot=sdot= ρ entgegen-gerichtet ist Unter Beruumlcksichtigung dieses Auftriebs in Luft erhaumllt man schlieszliglich fuumlr die Periodendauer

LK

KA TT

ρρρminus

sdot= (9)

Betrachtung fuumlr ausgedehnten Massekoumlrper Die Ausdehnung des schwingenden Koumlrpers kann man beruumlcksichtigen wenn man von der Bewegungsgleichung des sog physikalischen Pendels (vgl Versuch bdquoM9 Reversionspendelldquo) ausgeht Die genaue Betrachtung bzw Herleitung wird hier bewusst nicht angegeben sondern nur das Ergebnis Mit bekannten Abmessungen des Bleizylinders (Radius R und Houmlhe h) am Faden der Laumlnge l bestimmt sich die Periodendauer zu

2

22

1231

lhRTTs sdot

++sdot= (10)

7

F3 FADENPENDEL

Der Einfluss des Fadens wurde auch bei diesen Betrachtungen aber ebenso vernachlaumlssigt wie die auftretende Reibung Es ist sicherlich empirisch einsichtig dass schwache Reibung zu einer gedaumlmpften Schwingung fuumlhren wird Die Schwingungsamplitude klingt dann

exponentiell mit sehr groszliger Zeitkonstante τ wie τt

eminus

ab AUFGABEN 1 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine feste Fadenlaumlnge Die Zeitmessung erfolgt fuumlr 10

Schwingungen jeweils zehnmal an einem Umkehrpunkt und beim Nulldurchgang des Pendels Berechnung von Mittelwerte Standardabweichung und Vertrauensbereich der Periodendauer und Diskussion der Unterschiede zwischen beiden Verfahren

2 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine Schwingung beim Nulldurchgang mit zehnfacher Messung Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung anschlieszligend Vergleich mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe 1 und Diskussion der Unterschiede

3 Bestimmung der Periodendauer fuumlr 10 verschiedene Fadenlaumlngen li Aus jeweils 2 Messungen fuumlr 10 Schwingungen sind die Mittelwerte fuumlr die Periodendauern Ti(li) zu berechnen

4 Grafische Darstellung der Ergebnisse der 3 Aufgabe in der Form Ti2(li) in einem

Diagramm Verwendung von Gleichung (7) zur Bestimmung von Fallbeschleunigung g und Anfangslaumlnge des Pendels l0 sowohl durch grafischen Geradenausgleich als auch numerische lineare Regression mit Ermittlung der zugehoumlrigen Unsicherheiten

5 Aus den Ergebnissen der 4 Aufgabe fuumlr l0 und g ist gemaumlszlig Gleichung (6) die Periodendauer T einschlieszliglich ihrer Unsicherheit zu berechnen und mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe zu vergleichen

6 Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen fuumlr die Periodendauer gemaumlszlig der og drei Gleichungen (8-10) und ihres Einflusses auf die g-Bestimmung Diskussion der Relevanz entsprechender Korrekturen

VERSUCHSHINWEISE Ein gegossener Bleizylinder (Radius R asymp 23 mm Houmlhe h asymp 23 mm Masse m asymp 08 kg) haumlngt an einem duumlnnen Stahldraht Die Pendellaumlnge laumlsst sich durch einen Schieber in dessen Fuumlhrung der Draht laumluft veraumlndern Die Laumlngenaumlnderung kann mit Hilfe von Ringmarken deren Abstand 2 cm betraumlgt eingestellt werden Bei Auslenkung des Pendels aus seiner Ruhelage fuumlhrt es Schwingungen aus deren Periodendauer mit einer von Hand ausgeloumlsten Stoppuhr bestimmt wird Fuumlr die ersten beiden Aufgaben ist zweckmaumlszligig (warum) eine moumlglichst groszlige Fadenlaumlnge zu waumlhlen Die zugehoumlrige Stellung des Schiebers ist unbedingt zu notieren da sie spaumlter benoumltigt wird Fuumlr die 3 Aufgabe wird die Anfangsfadenlaumlnge l0 um die Werte li (i = 110) in Schritten von 4 cm verringert Fuumlr die mit der 4 Aufgabe erforderliche Auswertung sind grafische Mittel (Anstiegsdreieck grafische Extrapolation auf den Achsenabschnitt) und ein rechentechnisches Verfahren (lineare Regression) einzusetzen Fuumlr Aufgabe 5 ist das bei Aufgabe 4 bestimmte Ergebnis fuumlr die Anfangslaumlnge l0 zu verwenden Bei Aufgabe 6 muss ermittelt werden wie sich die Korrekturen der Schwingungsdauer gemaumlszlig (8-10) auf die Fallbeschleunigung g auswirken Beachten Sie hier dass g aus dem Anstieg der Geraden gemaumlszlig der 4 Aufgabe nach Gleichung (7) bestimmt wird Uumlberlegen Sie welche zufaumllligen und welche systematischen Abweichungen die Messunsicherheit der Fallbeschleunigung g wesentlich bestimmen

8

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Traumlgheitsgesetz Grundgesetz der Dynamik Feder-konstante Federkraft harmonische Schwingung Frequenz Periodendauer Amplitude In diesem Versuch soll die Federkonstante einer Schraubenfeder mit drei verschiedenen Methoden bestimmt werden Bei der Auswertung der Ergebnisse sind Grundbegriffe und Methoden der Fehlerrechnung und ndashanalyse gezielt anzuwenden und zu uumlben 1 Statische Messung der Federkonstanten Wird eine am oberen Ende eingespannte Schraubenfeder am unteren Ende durch Anhaumlngen einer Masse m belastet so wird die Feder gedehnt und es stellt sich eine neue Ruhelage ein (Abb 1 statischer Fall) Die Gewichtskraft

gmFG sdot= und die durch die elastische Verformung entstehende Federkraft (mit k als Federkonstante) stehen im Gleichgewicht (Newtonsches Traumlgheitsgesetz)

xkFF sdotminus=

0=+ FG FF (1)

Abbildung 1 Statische und dynamische Belastung einer Schraubenfeder

Durch Einsetzen der Beziehungen fuumlr beide Kraumlfte und einfache Umstellung ergibt sich daraus

kgmx sdot

= (2)

Die statische Auslenkung x der Schraubenfeder muss demnach linear von der Belastung m abhaumlngig sein Durch die experimentelle Untersuchung der Abhaumlngigkeit x(m) kann sowohl die Linearitaumlt des Federkraftgesetzes xkFF sdotminus= uumlberpruumlft als auch die Federkonstante k bestimmt werden 2 Dynamische Messung der Federkonstanten Lenkt man eine mit der Masse m belastete Feder aus ihrer Ruhelage aus (Abb 1 dynamischer Fall) dann wirkt eine ruumlcktreibende

Federkraft und die Masse m erfaumlhrt eine Beschleunigung xkFF sdotminus=mFx

dtxda F=== 2

2

nach

dem Newtonschen Grundgesetz der Dynamik Fuumlr die weiteren Betrachtungen sollen jegliche Reibungskraumlfte vernachlaumlssigt werden daher ergibt sich aus der Newtonschen Bewegungs-gleichung hier die einfachste Form einer Schwingungsdifferentialgleichung mit

02

2

=sdot+sdot xkdt

xdm (3)

9

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

die eine freie ungedaumlmpfte Schwingung beschreibt Mit den willkuumlrlich ausgewaumlhlten Anfangsbedingungen (Anfangslage) und 0)0( xtx == 0)0( 0 === vtx (Anfangsgeschwin-digkeit) lautet ihre Loumlsung

)cos()( 0 txtx sdotsdot= ω (4)wobei physikalisch x0 als Amplitude und mk=ω als Kreisfrequenz der freien ungedaumlmpf-ten Federschwingung bezeichnet werden Der Koumlrper der Masse m schwingt nach Auslen-kung (aus der Gleichgewichts- bzw Ruhelage um x0) in Form einer harmonischen Schwin-gung mit der Periodendauer

kmT π

ωπ 22== (5)

die experimentell direkt gemessen werden kann Aus (5) ist bei bekannter Masse m die Feder-konstante k bestimmbar 3 Berechnung der Federkonstanten aus der Geometrie und den Materialeigenschaften der Schraubenfeder Durch eine Auslenkung aus der Ruhelage wird die Schraubenfeder gedehnt und damit der gesamte Federdraht auf sog Torsion (svw bdquoVerdrehungldquo oder bdquoVerdrillungldquo) beansprucht Ohne weitere Herleitung sei hier eine Beziehung angegeben die es gestattet aus dem sog Torsionsmodul G (als Materialkonstante des Federdrahtes) und den geometrischen Daten der Schraubenfeder (Drahtlaumlnge l Drahtdurchmesser d und Wickel-radius r) die Federkonstante k zu berechnen

2

4

32 rldGksdotsdot

sdot=π (6)

AUFGABEN 1 Aus dem statischen Verhalten einer Schraubenfeder ist deren Federkonstante experimentell

zu bestimmen Dazu ist gemaumlszlig Beziehung (2) die statische Auslenkung x in Abhaumlngigkeit von der Belastung m mit verschiedenen Massestuumlcken zu messen Die Daten sind in der Form x = x(m) als Diagramm grafisch darzustellen und daraus die Federkonstante k zu er-mitteln Fuumlr die zu erwartende lineare Abhaumlngigkeit ist sowohl mit einfacher grafischer Methode (bdquoSteigungsdreieckldquo) als auch numerisch (Geradenausgleichsrechnung lineare Regression) der Anstieg von x = x(m) und daraus die Federkonstante (jeweils auch ein-schlieszliglich der Messunsicherheit) zu bestimmen

2 Mithilfe des dynamischen Verhaltens des Federschwingers ist fuumlr dieselbe Feder die Federkonstante aus der experimentell beobachteten Periodendauer der Schwingung zu bestimmen (jeweils auch einschlieszliglich der Messunsicherheit) Dazu ist Formel (5) bei be-kannter und sinnvoll gewaumlhlter Masse m zu nutzen

3 Mithilfe von Formel (6) ist aus den Daten der Schraubenfeder die am Versuchsplatz angegeben sind die Federkonstante k einschlieszliglich ihrer resultierenden Unsicherheit zu berechnen

4 Die Obergrenzen fuumlr systematische Messabweichungen bei den ersten beiden Aufgaben (statische und dynamische Messung der Federkonstanten) sind abzuschaumltzen (Groumlszligenord-nungen) Es ist zu analysieren welche dieser systematischen Abweichungen korrigierbar sind und welche dann tatsaumlchlich in die Messunsicherheit des Endergebnisses eingehen

5 Fuumlr alle drei Methoden (Aufgaben 1-3) sind die Ergebnisse (einschlieszliglich Messunsicher-heit) fuumlr die Federkonstante uumlbersichtlich darzustellen miteinander zu vergleichen und zu diskutieren Sofern moumlglich ist ein gewichteter Mittelwert zu ermitteln

10

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

VERSUCHSHINWEISE Die Schraubenfeder ist mit einem Ende an einem Stativ befestigt Zur Messung der Auslen-kung der Feder aus der Ruhelage wird die Stellung der an der Feder befindlichen Marke M (Abb 1) auf einer Spiegelskale abgelesen (Welchen Vorteil bietet eine Spiegelskale gegen-uumlber einer einfachen Skale) Die sog Verkehrsfehlergrenze der Massennormale ist fuumlr die Masse m = 50 g mit ∆m = plusmn 01 g festgelegt Bei Messung einer Laumlnge l mit der Spiegelskale ist die Messunsi-cherheit ∆l = plusmn (02 mm + 5middot10-4middotl) Fuumlr die Fallbeschleunigung ist (lt Festlegung der Eichbe-houmlrden der Laumlnder fuumlr Waagen) ein Wert von g = (98130 plusmn 00001) mmiddots-2 zu verwenden Fuumlr die 1 Aufgabe wird die Feder schrittweise bis 400 g mit Massestuumlcken von 50 g belastet und mit Hilfe einer Spiegelskale an der Marke M die Auslenkung x gemessen (erste Mess-reihe) Nach Erreichen der Houmlchstbelastung von 400 g ist dann die Feder wieder schrittweise zu entlasten (zweite Messreihe) a) Aus der grafischen Darstellung x = x(m) ist mithilfe des bdquoSteigungsdreiecksldquo der Anstieg

gk grafisch zu ermitteln und seine Unsicherheit entsprechend abzuschaumltzen (vgl Einfuumlh-rungsskript) Daraus sind dann die Federkonstante k als mittelbar bestimmter Groumlszlige und ihre Unsicherheit ∆k zu berechnen

b) Durch lineare Regression ist mithilfe geeigneter Software (s Einfuumlhrungsskript und Vorle-sung) der Anstieg und seine Unsicherheit numerisch zu ermitteln daraus ebenfalls wieder die Federkonstante und deren Unsicherheit

Fuumlr die 2 Aufgabe wird die Feder mit einer Gesamtmasse von 400 g belastet und 10mal die Zeit fuumlr jeweils 20 Schwingungen mithilfe einer Stoppuhr gemessen Daraus ist der Mittel-wert der Periodendauer T und ihr Vertrauensbereich sT zu berechnen und mittelbar damit die Federkonstante k uumlber Gleichung (5) mit ihrer Messunsicherheit a) Zur Genauigkeit der Messung mit Stoppuhren sind im Einfuumlhrungsskript ausfuumlhrliche Hin-

weise enthalten Entsprechend den dort enthaltenen Angaben sind die systematischen Messabweichungen mit ihrer Auswirkung auf die Periodendauer und die Federkonstante realistisch abzuschaumltzen

b) Bezuumlglich der Massen ist bereits ein Hinweis bei Aufgabe 1 gegeben worden Zusaumltzlich muumlsste noch der Einfluss der Eigenmasse der Feder von mF asymp 5 g auf die Periodendauer beruumlcksichtigt werden Die Teile der Feder nehmen unterschiedlich an der Bewegung teil es kann als zu beruumlcksichtigende Zusatzmasse macute= mF3 gesetzt werden Somit ergibt sich

fuumlr die Periodendauer m

mTk

mmT F

312acute +=

+= π

c) Auch bei sehr sorgfaumlltiger Anfangsauslenkung fuumlhrt der Federschwinger nach einigen Schwingungen unvermeidlich seitliche Schwingungen aus Wie beeinflusst diese Bewe-gung die gemessene Periodendauer Man uumlberlege sich auch welche Auswirkungen die in der Betrachtung vernachlaumlssigte aber unvermeidlich auftretende Reibung auf das Ergebnis dieses Verfahrens hat

Fuumlr die 3 Aufgabe sind am jeweiligen Versuchsplatz die Messunsicherheiten der einzelnen Groumlszligen mit angegeben Eine Unterscheidung von zufaumllligen und systematischen Komponen-ten ist hier allerdings nicht moumlglich Fuumlr Aufgabe 5 ist eine tabellarische Darstellungsweise vorzuziehen In Zusammenhang mit dem gewogenen Mittelwert ist zu analysieren unter welchen Bedingungen er uumlberhaupt sinn-voll gebildet werden kann

11

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Dichte Auftriebskraft Analy-senwaage Pyknometer Ein sog Pyknometer ist ein Geraumlt zur Bestimmung der Dichte fester Koumlrper Es besteht aus einem Glasgefaumlszlig mit eingeschliffenem Stopfen der eine kapillare Bohrung hat Das Pykno-meter kann reproduzierbar mit groszliger Genauigkeit mit Wasser gefuumlllt werden Zur Dichtebe-stimmung mit dem Pyknometer sind drei Waumlgungen mit einer Analysenwaage noumltig wobei der Auftrieb der zu waumlgenden Koumlrper (Probe bzw Pyknometer) in Luft (Dichte ρL) zu beruumlck-sichtigen ist 1 Waumlgung der Probe in Luft Fuumlr eine Probe (Masse m1 Volumen V1) wird die Gewichts-kraft durch die ihr entgegengesetzt gerichtete Auftriebskraft gmF sdot= 11 gVF LA sdotsdot= ρ11 vermindert so dass im Gleichgewicht die Waage den Wert m1rsquo anzeigt Die Gleichgewichts-bedingung liefert

111 mVm L =sdotminus ρ (1)2 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers Das vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllte Pykno-meter (Volumen VP) hat die Gesamtmasse m2 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m2rsquo an so dass gilt

22 mVm LP =sdotminus ρ (2)3 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers mit Probe Das mit Wasser und der Probe gefuumlllte Pyknometer hat die Gesamtmasse m3 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m3rsquo an so dass gilt

33 mVm LP =sdotminus ρ (3)Zwischen den Massen m1 m2 und m3 besteht der Zusammenhang

232311 mmmmVm W minus=minus=sdotminus ρ (4)wobei ρW die Dichte des Wassers ist Zur Bestimmung der Dichte ρ1 der Probe kann man aus den Gleichungen (1) und (4) die Unbekannten m1 und V1 ermitteln Man erhaumllt

)()(

231

231

1

11 mmm

mmmVm LW

minusminussdotminusminussdot

==ρρρ (5)

AUFGABEN 1 Bestimmung der Masse m1rsquo fuumlr zwei verschiedene Metallproben (Al und Cu) durch

Waumlgung in Luft Fuumlr jede Probe erfolgt die Waumlgung sechsmal wobei die Probe immer neu auf die Waage zu legen ist Bestimmung der zugehoumlrigen Mittelwerte

2 Bestimmung der Masse m2rsquo des vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllten Pyknometers durch Waumlgung Die jeweils erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt sechsmal Bestimmung des Mittelwertes

3 Bestimmung der Masse m3rsquo des mit Wasser und jeweiliger Metallprobe gefuumlllten Pykno-meters durch Waumlgung Die erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt fuumlr jede Probe sechsmal Bestimmung der Mittelwerte

4 Berechnung der Dichte der beiden Metallproben nach Gleichung (5) 5 Bestimmung der jeweiligen Messunsicherheiten fuumlr die unmittelbar gemessenen Groumlszligen

m1rsquo m2rsquo und m3rsquo fuumlr beide Proben 6 Abschaumltzung bzw Berechnung (Fortpflanzung) der resultierenden Messunsicherheiten der

mit (5) mittelbar bestimmten beiden Dichten Vergleich der Ergebnisse fuumlr die beiden Dichten mit Referenzwerten

12

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

VERSUCHSHINWEISE Die Waumlgungen werden mit einer elektronischen Analysenwaage durchgefuumlhrt bei der die auf-gelegte Last (Abb 1 oberer Pfeil) durch eine elektromagnetische Kraft kompensiert wird Mit einer optoelektronischen Abtastung (1) wird die Stellung der Waagschale (2) gemessen und mit diesem Signal der Kompensationsstrom in der Spule (3) gesteuert Der Kompensations-strom erzeugt zwischen Permanentmagnet (4) und Spule eine Kraft so dass die Waagschale in die Null-Lage zuruumlckgefuumlhrt wird der Strom ist der Last proportional Zur Durchfuumlhrung der Waumlgungen beachte man unbedingt die Hinweise des Versuchsbetreuers und die Platz-anleitung

Abb1 Messprinzip der eAnalysenwaage

lektronischen

Fuumlr Aufgabe 2 wird das Pyknometer bis zum Rand mit destilliertem Wasser gefuumlllt wobei die Bildung von Luftblaumlschen zu vermeiden ist Verschlieszligt man das Pyknometer mit dem ange-schliffenen Stopfen so laumluft Wasser uumlber das sehr sorgfaumlltig mit Filterpapier abzuwischen ist Das Anfassen des Pyknometers muss aumluszligerst vorsichtig erfolgen um seine Erwaumlrmung zu vermeiden (warum) Nach dem Abwischen wird mit Filterpapier der auf der Kapillare stehende Tropfen abgenommen so dass die Kapillare bis oben mit Wasser gefuumlllt ist Fuumlr die durchzufuumlhrenden Waumlgungen ist das Pyknometer stets erneut zu befuumlllen Fuumlr Aufgabe 3 wird der Probekoumlrper in das Pyknometer gebracht und dann mit destilliertem Wasser aufgefuumlllt weiter ist sinngemaumlszlig wie bei Aufgabe 2 zu verfahren Fuumlr Aufgabe 4 sind zusaumltzlich zu den Werten m1rsquo m2rsquo und m3rsquo auch der Luftdruck p sowie die Zimmer- und Wassertemperatur zu bestimmen Die Temperaturen koumlnnen als gleich vor-ausgesetzt werden da das destillierte Wasser sich bereits sehr lange im Versuchsraum befin-det Die temperaturabhaumlngige (s Abb 2) Dichte ρW von reinem (luftfreiem) Wasser laumlsst sich im Temperaturintervall 0degC lt θ lt 40degC naumlherungsweise berechnen mit

4-73-52323 1046657-10772108768-1066299984)( θθθθρ sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot+=sdot minusminusminusmkgw

wobei die Temperatur θ in degC einzusetzen ist (Fehler der Naumlherung ) Diese Naumlhrung gilt bei sog Normaldruck (p

3210 minusminus sdotlt∆ mkgWρN = 1013 kPa) Warum kann die Druckabhaumlngig-

keit hier vernachlaumlssigt werden Die Druckabhaumlngigkeit muss aber bei der Luftdichte unbedingt beruumlcksichtigt werden ebenso wie die Luftfeuchtigkeit (warum) Man verwendet die Beziehung

TRp

fL sdot=ρ

13

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

wobei p der Luftdruck (in Pa) T die Lufttemperatur (in K) und Rf die Gaskonstante feuchter Luft ist Diese Gaskonstante Rf berechnet sich wiederum aus

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdotminus

=

d

ld

lf

RR

pp

RR11 ϕ

0 10 20 30 40992

993

994

995

996

997

998

999

1000

Dic

hte ρ w

(kg

m3 )

Temperatur θ (degC)

-10 0 10 20 3011

12

13

Dic

hte ρ L (k

gm

3 )Temperatur θ (degC)

Abb 2 Temperaturabhaumlngigkeit der Dichte fuumlr (reines) Wasser und (trockene) Luft

Hier ist Rl = 28705 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante trockener Luft Rd = 461 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante von Wasserdampf und φ die relative Luftfeuchtigkeit Die Groumlszlige pd ist der Saumlt-tigungsdampfdruck von Wasser in Luft der sich empirisch mit der sog Magnus-Formel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+degsdot

sdot=θθ

CPapd 2241

504317exp213611)( im Intervall CC degleledegminus 7030 θ

berechnen laumlsst wobei θ wieder die Temperatur (in degC) ist Fuumlr Aufgabe 5 sind die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen der Waumlgungen zu ermitteln Die Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo werden alle mit der gleichen Analysenwaage ermittelt fuumlr die vom Hersteller eine Garantiefehlergrenze (systematischer Restfehler) von 02 mg angegeben wird Diese Garantiefehlergrenze ist fuumlr alle drei Massenwerte als geraumlte-bedingte systematische Abweichung zu beruumlcksichtigen Fuumlr die Messwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo haumlngt es von der sorgfaumlltigen Versuchsdurchfuumlhrung (Abtupfen des Wassers ) ab ob die zufaumlllige undoder die systematische Abweichung die Messunsicherheit bestimmt Fuumlr Aufgabe 6 ist nur die Messunsicherheit der Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo zu beruumlcksich-tigen Die berechneten Werte fuumlr die Dichten von Luft und Wasser koumlnnen als praktisch fehlerfrei angenommen werden

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Erster Hauptsatz der Thermodynamik Waumlrmemenge Waumlrmekapazitaumlt Richmannsche Mischungsregel Arbeit von Gleich- und Wechselstrom Waumlrmeaustauschkorrektur (s Skript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstel-lung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo) Waumlrme ist eine Energieform die zwischen Koumlrpern ausgetauscht wird oder in andere Energie-formen umgewandelt werden kann Fuumlhrt man einem Koumlrper der Masse m die Waumlrmemenge dQ zu dann ist die sich einstellende Temperaturerhoumlhung dT proportional zur zugefuumlhrten Waumlrmemenge

dTcmdQ sdotsdot= (1)wobei der Proportionalitaumltsfaktor c als spezifische Waumlrmekapazitaumlt mit der SI-Einheit Jmiddotkg-1middotK-1 bezeichnet wird und eine Stoffkonstante ist Aus (1) ergibt sich

dTdQ

mc sdot=

1 (2)

Das Produkt cmC sdot= (3)

mit der SI-Einheit JmiddotK-1 nennt man Waumlrmekapazitaumlt des Koumlrpers Zur Bestimmung von Waumlrmemengen benutzt man sog Kalorimeter wobei anisotherme Aus-fuumlhrungen mit sehr gut waumlrmeisolierten Gefaumlszligen am haumlufigsten verwendet werden Fuumlhrt man einem mit Wasser der Masse mW (teilweise) gefuumlllten Kalorimeter eine Waumlrmemenge ∆Q zu dann werden auszliger dem Wasser auch alle Teile des Kalorimeters wie zB Gefaumlszligwandung Thermometer und Ruumlhrer erwaumlrmt Die gesamte Waumlrmekapazitaumlt der Versuchsanordnung setzt sich also aus der des Wassers (mWmiddotcW) und der des Kalorimeters (CK) zusammen

( ) TCcmQ KWW ∆sdot+sdot=∆ (4)Die spezifische Waumlrmekapazitaumlt von Wasser hat als Stoffkonstante den Wert cW = 41813 kJmiddotkg-1middotK-1 (bei 25degC) Die Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorime-ters ist rechnerisch nur naumlherungsweise moumlglich deshalb wird sie ia experimentell ermittelt 1 Elektrische Methode Flieszligt durch einen Ohmschen Leiter (Heizspirale) an dem die Spannung U anliegt der Strom I dann entsteht im Zeitintervall ∆t in ihm eine der elektri-schen Energie aumlquivalente Waumlrmemenge

tIUQ ∆sdotsdot=∆ (5)Uumlbertraumlgt man diese Waumlrmemenge an das Wasser (Masse mW) und das Kalorimeter (Waumlrme-kapazitaumlt CK) dann steigt die Wassertemperatur gemaumlszlig (4) Bei verlustloser Waumlrmeuumlbertra-gung sind beide Waumlrmemengen gleich (Energieerhaltungssatz) und es gilt

( ) TCcmtIU KWW ∆sdot+sdot=∆sdotsdot (6)so dass CK bestimmt werden kann 2 Mischungsmethode Fuumlgt man kaltem Wasser der Masse m1 und Temperatur T1 in einem Kalorimeter warmes Wasser der Masse m2 und Temperatur T2 hinzu so findet ein Waumlrmeaus-tausch statt bis das gesamte Wasser die Mischungstemperatur Tm angenommen hat Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dass die vom warmen Wasser abgegebene Waumlrmeenergie

gleich der vom kalten Wasser und dem Kalorimeter aufgenommenen Waumlrmeenergie

)( 222 mW TTcmQ minussdotsdot=∆( ) )( 111 TTCcmQ mKW minussdot+sdot=∆ sein muss Der Energieerhaltungssatz in dieser

speziellen Form des Austausches von Waumlrmemenge heiszligt Richmannsche Mischungsregel und ergibt die Gleichung

( ) )()( 2211 mWmKW TTcmTTCcm minussdotsdot=minussdot+sdot (7)zur Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorimeters

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

AUFGABEN 1 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der elektrischen Methode gemaumlszlig (6) 2 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 1 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 3 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der Mischungsmethode mit (7) 4 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 3 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 5 Fuumlr beide Methoden fuumlhre man eine Bestimmung der Messunsicherheit der Waumlrmekapazi-

taumlt durch und vergleiche die Endergebnisse miteinander VERSUCHSHINWEISE Das Verfahren zur Waumlrmeaustauschkorrektur Bei kalorimetrischen Messungen ist ein Waumlrmeaustausch mit der Umgebung unvermeidlich (offenes thermodynamisches System) und meist stoumlrend Aus dem gemessenen zeitlichen Temperaturverlauf ist er aber abzulesen (s Abb 1)

DE

Abbildung 1 Zeitlicher Verlauf der Temperatur im Kalorimeter

In der Vorperiode erhaumllt man den ansteigenden Kurvenabschnitt ArarrB in der Nachperiode den abfallenden Kurvenabschnitt ErarrF Das liegt daran dass das Kalorimeter eben nicht adia-batisch bzw isentrop ist Die Temperatur der Kalorimeterfluumlssigkeit im Innern gleicht sich in beiden Abschnitten jeweils (asymptotisch) an die Umgebungstemperatur TU an wobei der Waumlrmefluss proportional zur Temperaturdifferenz ist Es laumlsst sich zeigen dass der Gleichge-wichtszustand zeitlich exponentiell angenommen wird Im vorliegenden Fall ist aber die ent-sprechende Zeitkonstante sehr groszlig im Vergleich zur Messzeit so dass die beiden Abschnitte ArarrB und ErarrF naumlherungsweise jeweils durch eine Gerade beschrieben werden duumlrfen Die-ser Sachverhalt gestattet es auszligerdem in diesen Abschnitten die Messwerte in groumlszligerer zeitli-cher Schrittweite aufzunehmen Aufgrund des real zeitlich ausgedehnten Waumlrmeaustausches mit der Umgebung beobachtet man einen stetigen und differenzierbaren Verlauf der Kurve im Abschnitt BrarrE Nur wenn die im Experiment zugefuumlhrte Waumlrme sofort verteilt wuumlrde waumlre die Temperaturkurve eine Sprungfunktion Das System braucht eine gewisse Zeit bis sich ein neues Gleichgewicht ein-stellen kann Es verhaumllt sich so als ob es uumlber ein ganzes Zeitintervall bdquoverschmiertldquo waumlre Es gilt also die Endzeit der Waumlrmezufuhr zu finden Sie liegt im Wendepunkt der Temperaturkurve weil sich dort die Richtung der Kruumlmmung aumlndert also Waumlrmezufuhr in Waumlrmeverlust uumlbergeht Nun laumlsst sich aber im Abschnitt BrarrE die Kurve T(t) nicht beliebig

F

Tem

pera

tur

T

∆T S

TU

A B C

Zeit

16

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

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O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

23

O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

25

O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

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O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

27

O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

29

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

32

O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

34

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

35

O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

46

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

MOTIVATION UND ZIELE

Das Hauptziel der Lehrveranstaltung ist die zielgerichtete Einfuumlhrung in experimentelle Arbeitsweisen dh in praktisch-experimentelle und quantitative Arbeitsmethoden der Physik bull Als Studierende werden Sie sich den praktischen Umgang mit Messtechnik -verfahren und

-methodik aneignen und erlernen Ihre Versuchsaufzeichnungen stets so zu fuumlhren dass sie dem Anspruch einer Messdokumentation genuumlgen Auf der Grundlage dieser Aufzeichnun-gen muss ein durchgefuumlhrtes Experiment vollstaumlndig ausgewertet und gegebenenfalls repro-duziert werden koumlnnen

bull Sie eignen sich die Faumlhigkeit an die von Ihnen gewonnenen empirischen experimentellen Daten unter strikter Beachtung der Messgenauigkeiten bzw ndashunsicherheiten dh des Naumlhe-rungs- oder Schaumltzcharakters der Messungen sachgerecht auszuwerten und ihre Aussage-kraft einzuschaumltzen Das erfordert eine zielgerichtete Anwendung und Uumlbung besonderer mathematisch-statistischer und praktischer Methoden

Im Praktikum werden wir uns selbstverstaumlndlich nicht mit dem Erlernen rein technischer Fauml-higkeiten begnuumlgen wie sie z B von qualifizierten Laboranten bzw technischen Assistenten verlangt werden Das zweite wesentliche Ziel des Praktikums besteht deshalb in der Heran-fuumlhrung an wissenschaftlich-analytisches Denken bull Auf der Grundlage der von Ihnen selbst vorgenommenen Beobachtungen und der bei ihrer

Auswertung erzielten quantitativen Ergebnisse sollen Sie (bezogen auf den physikalischen Hintergrund des Experiments) schluumlssige Antworten auf eingangs gestellte Fragen ableiten und kritisch begruumlnden koumlnnen

bull Ihre gewonnenen Ergebnisse und daraus gezogene Schlussfolgerungen sind in den Rahmen der bisherigen Erkenntnisse einzuordnen Dabei sind beispielsweise Hypothesen durch Ver-gleich mit den experimentellen Resultaten kritisch zu uumlberpruumlfen und Versuche hinsichtlich ihrer Aussagekraft und Qualitaumlt zu bewerten

bull Anhand eigener Experimente werden Sie sich anwendungsbezogen und vertiefend mit ausgewaumlhlten Themen der Physik beschaumlftigen Gerade die Anwendung von Kenntnissen erweist sich stets als besonders empfindlicher Indikator fuumlr physikalisches Verstaumlndnis auch in Details

bull Haumlufig muumlssen Sie sich auch mit Problemstellungen beschaumlftigen fuumlr die Sie noch keinen hinreichenden inhaltlichen Vorlauf aus anderen Lehrveranstaltungen besitzen Das erscheint einerseits (auf den ersten Blick) etwas fragwuumlrdig entspricht aber andererseits einer typi-schen Situation wissenschaftlicher Arbeitspraxis Oft sind Themen zu bearbeiten fuumlr die nur ein Grundwissen vorhanden ist und die eine tiefere Einarbeitung erfordern

bull Nicht zuletzt sollen Sie schrittweise erlernen Ihre eigene praktische Arbeit in wissenschaft-lich angemessener Weise auch schriftlich darzustellen und erzielte Ergebnisse aussagekraumlf-tig praumlsentieren zu koumlnnen

Moderne Wissenschaft zeichnet sich durch weitgehend kollektive Arbeitsweise aus trotz oder gerade wegen der hochgradigen Spezialisierung und Arbeitsteilung in Arbeitsgruppen Des-halb ist die Aneignung und Uumlbung kollegialer wissenschaftlicher Arbeits- und Umgangsfor-men eine weitere wichtige Zielsetzung bull Experimentelle Aufgaben werden arbeitsteilig bearbeitet ihre Auswertung erfordert regel-

maumlszligig einen kritischen Meinungsaustausch in Gruppen bull Bei Vorgespraumlchen und Diskussionen werden verbale Darstellungsformen und sachlich-

kritische Auseinandersetzungen praktiziert und trainiert Diese notwendigen Grundformen wissenschaftlicher Arbeit kehren in spaumlteren Studienabschnitten und in der Berufstaumltigkeit wieder

I

ORDNUNG UND SICHERHEIT

Wie fuumlr andere Bereiche sind auch im Physikalischen Grundpraktikum einige grundsaumltzliche Festlegungen fuumlr den laufenden Lehrbetrieb in unseren Raumlumlichkeiten zu treffen die fuumlr ausnahmslos alle teilnehmenden Studierenden gelten Teilnahmeberechtigung Grundvoraussetzung ist der Besuch der rechtzeitig durch Aushaumlnge im Internet (Webseite des Instituts fuumlr Physik) und im Institut bekannt gegebenen Einfuumlhrungsveranstaltung bull Waumlhrend dieser Veranstaltung erfolgen die Einschreibung zum Kurs und die Einteilung in

Gruppen bull Es werden Hinweise zum Praktikumsablauf sowie zur Protokollierung und Auswertung von

Versuchen gegeben bull Kursplaumlne und Skripten werden ausgeteilt bull Es erfolgt eine Arbeitschutzbelehrung deren Kenntnisnahme aus ersichtlichen rechtlichen

Gruumlnden unbedingte Voraussetzung fuumlr die Teilnahme an den Versuchen ist und deshalb mit eigenhaumlndiger Unterschrift bei der Einschreibung bestaumltigt werden muss

Generelle Vorbedingung fuumlr die Durchfuumlhrung eines jeden einzelnen Versuches ist eine sach-gerechte Vorbereitung gestuumltzt auf die Versuchsanleitung und gegebenenfalls Zusatzliteratur Eine ungenuumlgende Vorbereitung hat grundsaumltzlich den Ausschluss vom laufenden Versuch zur Folge der in einem Folgesemester zu wiederholen ist Allgemeine Verhaltensregeln bull Jeder hat sich grundsaumltzlich so zu verhalten dass weder Personen gefaumlhrdet noch

Einrichtungen Geraumlte und Versuchsaufbauten beschaumldigt werden koumlnnen bull Das Praktikumspersonal (Leiter und Mechaniker) und die Versuchsbetreuer sind in den

Praktikumsraumlumen ohne Einschraumlnkung weisungsbefugt ihre Anweisungen sind zu befol-gen Bei Verstoumlszligen erfolgen ein Verweis aus den Raumlumlichkeiten und der Ausschluss vom Versuch

bull Die von den betreuenden Assistenten vom Praktikumspersonal sowie die in den Versuchsanleitungen gegebenen Hinweise zur Handhabung der Geraumlte und Versuchsanord-nungen sind strikt zu beachten

bull Bei der Belegung des Arbeitsplatzes ist seine Vollstaumlndigkeit und Ordnung zu uumlberpruumlfen Auftretende Stoumlrungen und Unregelmaumlszligigkeiten bei der Durchfuumlhrung der Versuche Beschaumldigungen und Funktionsstoumlrungen an Geraumlten und Einrichtungen sind sofort dem Betreuer zu melden Eigene Reparaturversuche sind grundsaumltzlich unzulaumlssig

bull Fuumlr fahrlaumlssig verursachte Schaumlden an Geraumlten und Arbeitsmaterialien koumlnnen die Studierenden zur Verantwortung gezogen werden (Haftpflicht)

bull Es steht jeweils nur die unmittelbar am Arbeitsplatz befindliche Ausruumlstung zur Verfuumlgung Es ist kategorisch untersagt Geraumlte und sonstige Arbeitsmittel von fremden Arbeitsplaumltzen zu benutzen Uumlber Ausnahmen kann nur der Betreuer in Absprache mit dem Praktikumsper-sonal entscheiden

bull Nach Beendigung des Versuches ist jeder Arbeitsplatz stets aufgeraumlumt und sauber zu verlassen die urspruumlngliche Ordnung ist wieder herzustellen

bull Haben Sie einen PC im PC-Pool benutzt so muumlssen Sie sich an diesem wieder abmelden Bei Stoumlrungen jeglicher Art (Papierstau im Drucker usw) im PC-Pool ist das Prakti-kumspersonal unverzuumlglich zu informieren eigene Behebungsversuche haben zu unterblei-ben Die Entnahme von Papier aus den Druckerfaumlchern zur Verwendung als bdquoSchmierpa-pierldquo o auml ist untersagt

bull Die Benutzung von Mobil-Telefonen MP3-Playern usw ist in den Laborraumlumen insbeson-dere waumlhrend des laufenden Lehrbetriebs grundsaumltzlich nicht gestattet

bull Das Essen und Trinken ist aus hygienischen Gruumlnden und wegen des notwendigen Arbeits- und Gesundheitsschutzes nur auszligerhalb der Laborraumlume moumlglich

II

ORDNUNG UND SICHERHEIT

bull Eigene Notebooks koumlnnen in den Laboren selbstverstaumlndlich verwendet werden Netzteile duumlrfen aber nur dann an das 230V-Netz angeschlossen werden wenn sie in technisch ein-wandfreien Zustand sind

bull Das Praktikum beginnt puumlnktlich zur im bekannt gegebenen Kursplan genannten Uhrzeit ohne akademisches Viertel Verspaumltungen werden nur in absolut triftig begruumlndeten Faumlllen durch den Betreuer akzeptiert wobei mehr als 15 Minuten Verspaumltung grundsaumltzlich zum Ausschluss vom Versuch fuumlhren

bull Fuumlr die Ausfuumlhrung eines Versuches steht nur die im Kursplan ausgewiesene Zeit zur Verfuumlgung Alle Arbeiten sind puumlnktlich abzuschlieszligen da nur fuumlr die geplanten Versuchs-zeiten eine Betreuung und Aufsicht gewaumlhrleistet werden kann Eine Zeituumlberschreitung ist deshalb nicht zulaumlssig

bull Fuumlr einen erfolgreichen Abschluss muumlssen Sie alle Versuche gemaumlszlig dem Kursplan absolvie-ren Bei wirklich begruumlndeten Ausfaumlllen wie z B durch Erkrankung (Vorlage eines Kran-kenscheins erforderlich) entscheidet der Praktikumsleiter uumlber eine eventuelle Nachhol-moumlglichkeit

Arbeiten mit elektrischen Schaltungen bull Der Auf- und Abbau elektrischer Schaltungen hat stets im spannungslosen Zustand (Strom-

versorgungsgeraumlte aus Batterien und Steckernetzteile nicht angeschlossen) und uumlbersicht-lich zu erfolgen

bull Bei elektrischen Messgeraumlten ist auf richtige Polung Einstellung des richtigen Messberei-ches und Verwendung der richtigen Messeingaumlnge zu achten

bull Elektrische Schaltungen muumlssen vor der Inbetriebnahme vom zustaumlndigen Versuchsbetreuer uumlberpruumlft und unter Spannung stehende Anlagen staumlndig uumlberwacht werden

bull Spannungsfuumlhrende Teile duumlrfen nicht beruumlhrt werden Gefaumlhrliche Spannungen sind in jedem Fall durch Schutzvorrichtungen vor Beruumlhrung gesichert Es ist untersagt solche Schutzvorrichtungen auszliger Betrieb zu setzen

bull Bei Unfaumlllen ist die Spannung sofort abzuschalten (Notausschalter rote Tastschalter neben der Tuumlr) und unter Beachtung der Eigensicherung Ersthilfe zu leisten Jeder Unfall muss unverzuumlglich gemeldet werden

Brandschutz bull Das Rauchen ist im gesamten Praktikum (auch im Flur vor den Praktikumsraumlumen sowie im

gesamten Gebaumlude) untersagt bull Bunsenbrenner und elektrische Heizgeraumlte sind so aufzustellen dass sich keine benachbar-

ten Gegenstaumlnde entzuumlnden koumlnnen Offene Flammen und eingeschaltete Heizgeraumlte muumlssen staumlndig beaufsichtigt werden

bull Abgebrannte Streichhoumllzer gehoumlren nicht in Papierkoumlrbe noch glimmende Streichhoumllzer duumlrfen nicht weggeworfen werden

bull Brennbare Fluumlssigkeiten (wie zB Ethanol) sind von offenen Flammen fernzuhalten bull Wird ein Brand bemerkt so ist das sofort zu melden und es sind nach Moumlglichkeit Loumlsch-

maszlignahmen einzuleiten Nassloumlschung ist wegen der elektrischen Anlagen nicht zulaumlssig bull Jede(r) hat sich uumlber die Lage und Funktionsweise der Handfeuerloumlscher zu informieren Fluchtwege und Evakuierung bull Bei notwendig werdender Evakuierung (akustische Signalisierung oder Anweisung durch

Praktikumspersonal bzw Versuchsbetreuer) ist unter Mitnahme der persoumlnlichen Wert-sachen und unbedingt notwendiger Oberbekleidung (Menschenleben gehen vor) uumlber den Gang und die Treppenhaumluser (Auf keinen Fall mit dem Lift) das Gebaumlude geordnet und ohne Panik zu verlassen

bull Sammelpunkt ist die Wiese vor dem Gebaumlude zwischen Schilfbeet und Fahrradstaumlnder jede(r) meldet sich sofort beim zustaumlndigen Versuchsbetreuer

III

LITERATUR

Aus der sehr groszligen Anzahl von guten Lehr- und Fachbuumlchern die fuumlr den Gebrauch im Physikalischen Grundpraktikum (und auch daruumlber hinaus) geeignet sind ist hier eine kleine Auswahl ohne Anspruch auf Vollstaumlndigkeit und auch ohne jede Wertung aufgelistet Aus eigener Erfahrung heraus kann man Studierenden die nachfolgenden Saumltze nicht oft genug ans Herz legen Es gibt niemals das eine und einzige Lehr- bzw Fachbuch Buumlcher sind fuumlr einzelne Teil-gebiete der Physik unterschiedlich geeignet meistens muss doch in verschiedenen Buumlchern nachgeschlagen werden Jeder nimmt individuell auf seine Weise auf dieselben Inhalte werden unterschiedlich wahrgenommen Auch die Art der Gestaltung zB mit Grafiken Uumlbersichten usw spielt (je nach bevorzugter Wahrnehmungsweise) eine groszlige Rolle Es ist deshalb ganz sicher eine kluge Entscheidung sich verschiedene Lehr- und Fachbuumlcher in Bibliotheken anzusehen und sie auf ihre Eignung fuumlr den individuellen Gebrauch zu testen Es musskann nicht jedes Buch gekauft werden auch wenn es sehr attraktiv erscheint Das gilt ebenso fuumlr Taschenbuumlcher bzw Nachschlagewerke Buumlcher zum physikalischen Grund- oder Anfaumlngerpraktikum W Walcher Praktikum der Physik B G Teubner (Stuttgart Leipzig) H-J Eichler H-D Kronfeldt J Sahm Das Neue Physikalische Grundpraktikum Springer (Berlin Heidelberg New York) W Ilberg M Kroumltzsch D Geschke Physikalisches Praktikum B G Teubner (Stuttgart Leipzig) J Becker H-J Jodl Physikalisches Praktikum fuumlr Naturwissenschaftler und Ingenieure VDI-Verlag (Duumlsseldorf) H-J Kunze Physikalische Messmethoden (Teubner Studienbuumlcher) B G Teubner (Stuttgart Leipzig) Buumlcher zur Physik bzw Experimentalphysik D W Preston E R Dietz The Art of Experimental Physics John Wiley amp Sons (New York) D Halliday R Resnick J Walker Physik Wiley-VCH (Berlin) PA Tipler G Mosca Physik fuumlr Wissenschaftler und Ingenieure Spektrum Akademischer Verlag (Heidelberg) D Meschede Gerthsen Physik Springer (Berlin Heidelberg New York) K Dransfeld P Kienle G M Kalvius H-J Koumlrner W Zinth Physik 1-4 Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) BergmannSchaefer Lehrbuch der Experimentalphysik (8 Baumlnde) Walter de Gruyter (Berlin New York) D Halliday R Resnick J Walker Fundamentals of Physics John Wiley amp Sons (New York) H Stroppe Physik fuumlr Studenten der Natur- und Ingenieurwissenschaften Hanser Fachbuch-verlag (Muumlnchen Leipzig) H J Paus Physik in Experimenten und Beispielen Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Haumlnsel W Neumann Physik (4 Baumlnde) Spektrum Akademischer Verlag (Heidelberg) H Pfeifer H Schmiedel Grundwissen Experimentalphysik B G Teubner (Stuttgart Leipzig) A M Portis H D Young Physik und Experiment (Band 6 des Berkeley Kurses Physik) F Vieweg und Sohn (Braunschweig) J Orear Physik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) D C Giancoli Physik Pearson Education Deutschland GmbH (Muumlnchen)

IV

LITERATUR

R P Feynman R B Leighton M Sands Feynman Vorlesungen uumlber Physik (3 Baumlnde) Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) Taschenbuumlcher und Nachschlagewerke fuumlr Formeln und Daten H Stoumlcker Taschenbuch der Physik Verlag Harri Deutsch (Frankfurt a M) D Mende G Simon Physik - Gleichungen und Tabellen Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Kuchling Taschenbuch der Physik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Ebert Physikalisches Taschenbuch F Vieweg amp Sohn (Braunschweig) H Heinemann H Kraumlmer H Zimmer Kleine Formelsammlung Physik Hanser Fachbuch-verlag (Muumlnchen Leipzig) F Kohlrausch V Kose S Wagner Praktische Physik (3 Baumlnde) B G Teubner (Stuttgart Leipzig) Buumlcher zur Messtechnik P Profos T Pfeifer (Hrsg) Grundlagen der Messtechnik Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) G Heyne Elektronische Messtechnik - Eine Einfuumlhrung fuumlr angehende Wissenschaftler Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) J Hoffmann Taschenbuch der Messtechnik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) J Niebuhr G Lindner Physikalische Messtechnik mit Sensoren Oldenbourg Industrieverlag (Muumlnchen) D Benda Wie misst man mit dem Oszilloskop Franzis Verlag GmbH (Poing) R Lerch Elektrische Messtechnik Analoge digitale und computergestuumltzte Verfahren Springer (Berlin Heidelberg New York) W Pfeiffer Digitale Messtechnik Springer (Berlin Heidelberg New York)

V

F1 FEHLERVERTEILUNG

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Systematische und zufaumlllige Messabweichungen Messunsicherhei-ten Standardabweichung Vertrauensbereich absolute und relative Haumlufigkeit Gauszligsche Normalverteilung Summenhaumlufigkeit Wahrscheinlichkeitsnetz Stichprobe Grundgesamtheit Alle Messungen physikalischer Groumlszligen sind unvermeidlich mit Messabweichungen bzw -unsicherheiten behaftet Sind systematische Abweichungen ausgeschlossen dann streuen die Messwerte (i = 1 n) aufgrund zufaumllliger Abweichungen symmetrisch um den Mittel- bzw Erwartungswert

ixx Berechnet man die scheinbaren Abweichungen

xxv minus= ii (1)einer Messreihe und stellt die absolute bzw die relative Haumlufigkeit also bzw )(k iv

( ) ( ) nkh ii vv = grafisch als Funktion der Abweichungen vi dar dann erhaumllt man eine treppenfoumlrmige Verteilungs-kurve (s Abb 1) Dazu werden die Ab-weichungen vi in gleichgroszligen Inter-vallen ∆v (Klasseneinteilung) zusam-mengefasst Im Grenzfall mit infinrarrn und Intervallbreite genuumlgen die Abweichungen v meist einer Normal-verteilung (Gauszlig-Verteilung)

0rarr∆v

Abb 1 Histogramm einer Normalverteilung ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus= 2

2

2exp

21

σσπϕ vv (2)

Diese Verteilung (ausgezogene Kurve in Abb 1) zeigt folgende Eigenschaften 1 Die Normalverteilung hat fuumlr v ein Maximum ist symmetrisch bezuumlglich dieses Maxi-

mums und strebt mit wachsendem v asymptotisch gegen Null = 0

2 Die Normalverteilung hat Wendepunkte bei σplusmn=v (σ ist die Standardabweichung) 3 Der Parameter σ bestimmt die Breite der Normalverteilung Bei kleinem σ entsteht eine

bdquoschlankeldquo Kurve mit geringer Streuung der Messergebnisse (svw wie groszlige bdquoGenauig-keitldquo der Messmethode) Ein groszliges σ bedeutet entsprechend das Gegenteil

Die Uumlberpruumlfung ob eine Messreihe (Stichprobe) einer Normalverteilung genuumlgt ist mit Hilfe bestimmter statistischer Verfahren moumlglich von denen einige in diesem Versuch ange-wandt werden Die statistische Analyse einer Messreihe setzt aber eine bdquohinreichendldquo groszlige Zahl von Messwerten voraus VERSUCHSDURCHFUumlHRUNG Im Regelfall wird der Versuch im Houmlrsaal mit allen Studierenden gemeinsam durchgefuumlhrt Uumlber einen Projektor (Beamer) wird eine Skale mit einer Marke (Zeiger) gezeigt Die Lage dieser Marke schaumltzt jeder Student fuumlr sich auf 001 Skalenteile genau und notiert sich im Messprotokoll seinen Mess- bzw Schaumltzwert Der wahre Wert wurde noch vor der Anzeige als Zufallszahl erzeugt und ist daher bekannt Dieser Wert wird unmittelbar nach erfolgter individueller Schaumltzung angesagt bzw gezeigt und im Messprotokoll ebenfalls notiert Insgesamt sind in diesem Versuch 100 Schaumltzungen auszufuumlhren

ix iwx

Diese Vorgehensweise erfordert eine hohe Konzentrationsfaumlhigkeit und Disziplin

1

F1 FEHLERVERTEILUNG

AUFGABEN 1 Ermittlung der Stichprobe 100 Schaumltzwerte xi der Stellung einer Marke und die zugehoumlri-

gen Werte xwi werden notiert Fuumlr die Datentabelle empfiehlt sich hier folgendes Schema vii xi xwi + 0 -

1 (176) (175) (001) 2 Berechnung der scheinbaren Abweichungen wiii xxv minus= 3 Vorzeichentest Man bestimme die Zahl n+ der positiven und die Zahl n- der negativen Ab-

weichungen vi Da die Abweichungen vi bei Annahme einer Normalverteilung symmet-risch zum Wert vi = 0 liegen sollten die Zahlen n+ und n- annaumlhernd gleich groszlig sein Wenn n die Zahl aller Messwerte ist muss fuumlr den positiven Ausgang des Vorzeichentests

nnn leminus minus+ erfuumlllt sein nplusmn ist die zu erwartende statistische Schwankung beim Stichprobenumfang n

4 Fuumlr die weitere Auswertung der Ergebnisse empfiehlt sich eine Tabelle in der die schein-baren Abweichungen ihrer Groumlszlige nach geordnet werden nach folgendem Schema

vj vj2 Strichliste k(vj) k(vj)middot vj

2 h(vj) H(vj) (min vj)

(max vj) 1000

Kontrollen 100 22 )( jji vvkv sdot= sumsum 1000

In diese Tabelle werden die Messwerte von Aufgabe 1 uumlbertragen indem man sie der Reihe nach durchgeht und bei dem entsprechenden in der Spalte bdquoStrichlisteldquo durch einen Strich markiert Die Zahl der Striche ergibt dann die absolute Haumlufigkeit

jv)(vk j

5 Mit 22 )(11jji vvk

nv

ns sdotplusmn=plusmn= sumsum wird aus den Abweichungen vi die empirische

Standardabweichung berechnet die eine Naumlherung fuumlr die Standardabweichung σ der Normalverteilung nach Gleichung (2) darstellt Im Nenner tritt hier n anstelle von n-1 auf weil bei diesem Versuch (ausnahmsweise) der wahre Wert der Messgroumlszlige bekannt ist

6 Die ermittelten relativen Haumlufigkeiten nvkvh jj )()( = der Abweichungen vj werden grafisch als Funktion von vj dargestellt (Histogramm Balkendiagramm) Durch das Histogramm versuche man nach Augenmaszlig eine Normalverteilungskurve zu legen

7 Mit den relativen Haumlufigkeiten aus Aufgabe 6 berechne man die Summenhaumlufigkeit und stelle diese Summenhaumlufigkeit H(vsum

le

=jk vv

kj vhvH )()( j) grafisch als Funktion von vj in

Form eines Histogramms (Balkendiagramm) dar 8 Test mit Wahrscheinlichkeitspapier Die Wertepaare der Summenhaumlufigkeitskurve (s

Aufgabe 7) uumlbertrage man auf ein Wahrscheinlichkeitsnetz und lege durch die Punkte im mittleren Bereich eine ausgleichende Gerade

9 Man entnehme der Darstellung auf dem Wahrscheinlichkeitsnetz (Aufgabe 8) bei H(vrsquo) = 016 (bzw 16) und H(vrsquorsquo) = 084 (bzw 84) die zugehoumlrigen Werte vrsquo und vrsquorsquo und vergleiche (vrsquorsquo-vrsquo)2 mit dem Wert der empirischen Standardabweichung (Aufgabe 5)

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr die Auswertung und das Verstaumlndnis des Versuches wird unbedingt die Lektuumlre der ent-sprechenden Abschnitte des Praktikumsskripts bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstellung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo empfohlen Die Druckvorlage fuumlr ein Wahrscheinlichkeitsnetz ist auf der Webseite des Grundpraktikums zu finden

2

F2 VOLUMENMESSUNG

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Auftriebskraft In diesem einfachen Versuch werden drei Methoden unterschiedlicher Genauigkeit zur Bestimmung des Volumens eines Probekoumlrpers verwendet und miteinander verglichen hin-sichtlich der jeweiligen Messunsicherheit 1 Methode (Uumlberlaufgefaumlszlig) Ein mit einem Uumlberlauf versehener Glasbehaumllter wird bis zum Uumlberlaufen mit Wasser gefuumlllt Durch Eintauchen des Probekoumlrpers dessen Volumen V1 bestimmt werden soll wird Wasser verdraumlngt das in einen Messzylinder flieszligt 2 Methode (Geometrie des Koumlrpers) Der Probekoumlrper ist ein Zylinder sein Volumen kann aus dem Durchmesser d und der Houmlhe h nach

hdV 22 4

π= (1)

berechnet werden 3 Methode (Auftriebsmessung) Der Probekoumlrper vom Volumen V3 wird mit einer Labor-waage mit symmetrischem Waagebalken in Luft gewogen Man benoumltigt fuumlr das Gleich-gewicht die Massennormale zur Kompensation der Gewichtskraft des Probekoumlrpers Taucht man ihn in Wasser (Dichte ρw ) dann erfaumlhrt er eine Auftriebskraft

1m gmF 1G =

3wA gVF ρ= (g = Fallbeschleunigung) Um die Waage wieder ins Gleichgewicht zu bringen benoumltigt man die Massennormale zur Kompensation der um die Auftriebskraft verminderten Gewichtskraft FG d h

2m AF

3w12 gV-gmgm ρ= Daraus folgt

w

213 ρ

mmV

minus= (2)

Die zur Bestimmung der Massenwerte und verwendete Laborwaage traumlgt in der Mitte des Waagebalkens einen Zeiger der uumlber einer Skale schwingt An seiner Stellung ist das Gleich-gewicht der Waage ablesbar Verschiebt sich durch eine einseitig wirkende Zusatz-masse ∆mrsquo die Zeigerstellung um ∆a dann bezeichnet man den Quotienten

1m 2m

maEprime∆

∆= (3)

als Empfindlichkeit der Waage sie ist ein Maszlig fuumlr ihre Guumlte und gestattet die Abschaumltzung der Messunsicherheit Systematische Messabweichungen der drei Methoden 1 Uumlberlaufgefaumlszlig Der sog Geraumltefehler ∆V des Messzylinders betraumlgt bei einem Nenninhalt von VN = 50 ml und einer Nenntemperatur von tN = 20 degC bis zu ∆V = plusmn 05 ml (4) Die Richtung und die Groumlszlige dieses Geraumltefehlers ∆V fuumlr voneinander abweichende Mess-temperatur und Nenntemperatur des Messzylinders wird mit Hilfe des thermischen Ausdehnungskoeffizienten des Glases abgeschaumltzt Ist das Nennvolumen des als Glasrohr betrachteten Messzylinders VN dann ist bei der Messtemperatur sein Volumen

Mt Nt

Mt ))(1( NMNM ttVV minus+= γ

mit als sog kubischem thermischem Ausdehnungskoeffizienten des Glases Daraus ergibt sich

-15 K1072 minussdot=γ

3

F2 VOLUMENMESSUNG

( )NM tt minus=∆ γVV (5) 2 Geometrie des Koumlrpers Die sog Fehlergrenzen ∆I beider Messgeraumlte sind wenn I die gemessene Laumlnge ist von folgender Groumlszlige Messschieber ∆l = plusmn (5sdot10-5 m + 1sdot10-4 l) (6) Buumlgelmessschraube ∆l = plusmn (5sdot10-6 m + 1sdot10-5 l) (7) 3 Auftriebsmessung Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Probekoumlrpers und der Massennormale (Dichte

) bei der Waumlgung in Luft (Dichte ) liefert 33N mkg1084 sdot=ρ 3

L mkg12=ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+minusasymp

minus

minussdot

minus=prime

w

L

N

L3

wL

NL

w

213 1

11

ρρ

ρρ

ρρρρ

ρVV mm (8)

Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Aufhaumlngedrahtes von dem das Volumen ∆V im Wasser eintaucht ergibt VVV ∆minusprime=primeprime 33 (9) AUFGABEN 1 Ermittelung der einzelnen Messgroumlszligen fuumlr jede der drei Methoden und Berechnung der

Volumenwerte Vi 2 Berechnung bzw Abschaumltzung der zufaumllligen Messabweichungen fuumlr alle Messgroumlszligen 3 Groumlszligenordnungsmaumlszligige Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen aller drei

Methoden Soweit moumlglich und sinnvoll Korrektur systematischer Abweichungen Betrachtung systematischer Restfehler

4 Uumlbersichtliche Zusammenstellung der Messergebnisse der zufaumllligen und der systemati-schen Abweichungen sowie der Messunsicherheiten fuumlr die einzelnen Messgroumlszligen

5 Berechnung der Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr die mittelbar bestimmten Volumenwerte nach dem Fortpflanzungsgesetz

6 Berechnung des gewogenen Mittelwertes einschlieszliglich seiner Unsicherheit sofern moumlg-lich und sinnvoll

VERSUCHSHINWEISE Methode 1 Der Messzylinder wird vor dem Eintauchen des Probekoumlrpers mit etwas Wasser gefuumlllt und dieser Fuumlllstand VA als Bezugsgroumlszlige gewaumlhlt Nach dem Einlaufen des verdraumlng-ten Wassers liest man den Fuumlllstand VE am Messzylinder ab so dass sich als Volumen des Probekoumlrpers AE1 VVV minus= (10) ergibt Die Messungen werden sechsmal durchgefuumlhrt und Bruchteile der Skalenteile geschaumltzt Methode 2 Die Houmlhe des Zylinders h wird sechsmal mit einem Messschieber und sein Durchmesser d wird sechsmal an verschiedenen Stellen mit einer Buumlgelmessschraube gemes-sen Methode 3 Jede Waumlgung wird zweimal ausgefuumlhrt und der Groumlszligtfehler aus der Empfindlich-keit der Waage nach Gl (3) abgeschaumltzt Als Groumlszligtfehler wird die Zusatzmasse ∆m angege-ben die einen Zeigerausschlag ∆a = 1 Skalenteil bewirkt Die Dichte des Wassers ist tempe-raturabhaumlngig und wird einer grafischen Darstellung am Versuchsplatz entnommen

4

F2 VOLUMENMESSUNG

In Aufgabe 1 werden die einzelnen Messgroumlszligen sowie die drei Volumenwerte Vi und in Auf-gabe 2 die zufaumllligen Abweichungen der einzelnen Messgroumlszligen ermittelt In Aufgabe 3 sind die systematischen Abweichungen zu diskutieren wobei zwischen den Korrekturen und den systematischen Restfehlern zu unterscheiden ist Fuumlr Aufgabe 4 muumlssen die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen verglichen und in Aufgabe 5 die Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr alle drei Methoden festgelegt werden Uumlberlappen sich die Bereiche der Messunsicherheiten ∆Vi nicht dann liegen entweder grobe Messfehler vor oder es existieren noch weitere bisher nicht erfasste systematische Abwei-chungen Uumlberlappen sich dagegen die Bereiche der Messunsicherheiten dann kann der gewogene Mittelwert und die zugehoumlrige Messunsicherheit berechnet werden (Aufgabe 6)

5

F3 FADENPENDEL

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Massenpunktmodell mathematisches und physikali-sches Pendel Bewegungsgleichung Schwerkraft Newtonsche Axiome Schwingungsdifferen-tialgleichung Ein an einem Faden aufgehaumlngter Koumlrper stellt aufgrund der auf ihn wirkenden Schwerkraft und seiner Traumlgheit ein schwingungsfaumlhiges System dar Betrachtet man (idealisiert) einen punktfoumlrmigen Koumlrper der Masse m der an einem Faden der Laumlnge l haumlngt und lenkt ihn um einen Winkel φ (Abb 1) aus der Senkrechten aus dann fuumlhrt der Koumlrper nach dem Loslassen Schwingungen um die Senkrechte aus

Abbildung 1 Fadenpendel

Bei Vernachlaumlssigung der Masse des Fadens und der Luftreibung wirkt auf den Koumlrper in jedem Punkt der Bahn senkrecht nach unten die Gewichtskraft

gmFG sdot= (1)wobei g die Fallbeschleunigung ist Die Normalkomponente (normal zur Bahn des Koumlrpers)

ϕcossdotsdot= gmFn dieser Kraft findet ihre Gegenkraft in der in der Aufhaumlngung auftretenden Kraft und beeinflusst die Bewegung des Koumlrpers nicht Dagegen erzeugt die Tangentialkom-ponente ϕsinsdotsdot= gmFt der Gewichtskraft entsprechend der Newtonschen Bewegungs-gleichung

ϕsin2

2

sdotsdotminus=sdot=sdot gmsmdt

sdm (2)

eine Beschleunigung des Koumlrpers laumlngs der kreisfoumlrmigen Bahnkurve Zwischen dem Aus-lenkwinkel φ und der Bahnkurvenkoordinate s auf der Bahnkurve besteht die Beziehung

ϕsdot= ls Bei (zeitlich) konstanter Fadenlaumlnge l folgt daraus unmittelbar

dtdl

dtds ϕ

sdot= und 2

2

2

2

dtdl

dtsd ϕ

sdot= (3)

Fuumlr kleine Auslenkwinkel φ gilt die bekannte Naumlherung ϕϕ asympsin die ebenso wie (3) in die Bewegungsgleichung (2) eingesetzt werden kann Daraus erhaumllt man die Newtonsche Bewe-gungsgleichung fuumlr das mathematische Pendel mit

02

2

=sdot+sdot ϕϕ gdtdl (4)

Diese Schwingungsdifferentialgleichung einfachster Form kann mit dem Ansatz

6

F3 FADENPENDEL

)sin(0 ψωϕϕ +sdotsdot= t mit lg

=ω (5)

geloumlst werden Die hier zunaumlchst willkuumlrlich erscheinenden Konstanten heiszligen Amplitude φ0

bzw Phasenkonstante ψ und sind durch die konkreten Anfangsbedingungen fuumlr t = 0 festge-legt Das mathematische Pendel vollfuumlhrt demnach bei Auslenkung um kleine Winkel harmo-nische Schwingungen mit der Kreisfrequenz ω und der Periodendauer

glT π

ωπ 22== (6)

die unabhaumlngig von der Masse m und der Amplitude φ0 ist Die Beziehung (6) erlaubt prinzipiell bei bekannter Pendellaumlnge l durch Messung der Perio-dendauer T eine Bestimmung der Fallbeschleunigung g Allerdings ist die Pendellaumlnge l nur sehr ungenau zu bestimmen Deshalb bedient man sich hier zweckmaumlszligig eines einfachen Tricks Die Laumlnge l kann um genau einstellbare Betraumlge li veraumlndert werden und setzt sich gemaumlszlig zusammen Damit wird aus (6) durch entsprechende Umformung illl += 0

( )ii llgg

lT +sdot== 0

222 44 ππ (7)

Misst man nun die Periodendauern Ti fuumlr die entsprechenden li und stellt die Abhaumlngigkeit

Ti2(li) dar so ergibt sich eine Gerade mit dem Anstieg

g

24π und dem Achsenabschnitt

0

24 lg

sdotπ Damit werden die Groumlszligen g und l0 bestimmbar

Die oben vorgenommenen Vereinfachungen die zur Herleitung der Beziehung (6) verwendet wurden beduumlrfen noch einer weiteren Diskussion Betrachtung beliebiger Winkel Ohne die obige Beschraumlnkung auf kleine Winkel φ liefert die Loumlsung der sog elliptischen Differentialgleichung (2) fuumlr die Periodendauer das (exak-tere) Ergebnis

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdotsdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛sdot+sdot=

2sin

2sin1 042

43

21022

21 ϕϕ

ϕ TT (8)

wobei T durch die Beziehung (6) gegeben ist Beruumlcksichtigung des Auftriebs in Luft Der Massekoumlrper aus Blei mit der Dichte von ρK = 11340 kgm-3 und dem Volumen VK erfaumlhrt in Luft der Dichte ρL asymp 12 kgm-3 eine Auftriebskraft gVF KLA sdotsdot= ρ die der Gewichtskraft gVgmF KKG sdotsdot=sdot= ρ entgegen-gerichtet ist Unter Beruumlcksichtigung dieses Auftriebs in Luft erhaumllt man schlieszliglich fuumlr die Periodendauer

LK

KA TT

ρρρminus

sdot= (9)

Betrachtung fuumlr ausgedehnten Massekoumlrper Die Ausdehnung des schwingenden Koumlrpers kann man beruumlcksichtigen wenn man von der Bewegungsgleichung des sog physikalischen Pendels (vgl Versuch bdquoM9 Reversionspendelldquo) ausgeht Die genaue Betrachtung bzw Herleitung wird hier bewusst nicht angegeben sondern nur das Ergebnis Mit bekannten Abmessungen des Bleizylinders (Radius R und Houmlhe h) am Faden der Laumlnge l bestimmt sich die Periodendauer zu

2

22

1231

lhRTTs sdot

++sdot= (10)

7

F3 FADENPENDEL

Der Einfluss des Fadens wurde auch bei diesen Betrachtungen aber ebenso vernachlaumlssigt wie die auftretende Reibung Es ist sicherlich empirisch einsichtig dass schwache Reibung zu einer gedaumlmpften Schwingung fuumlhren wird Die Schwingungsamplitude klingt dann

exponentiell mit sehr groszliger Zeitkonstante τ wie τt

eminus

ab AUFGABEN 1 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine feste Fadenlaumlnge Die Zeitmessung erfolgt fuumlr 10

Schwingungen jeweils zehnmal an einem Umkehrpunkt und beim Nulldurchgang des Pendels Berechnung von Mittelwerte Standardabweichung und Vertrauensbereich der Periodendauer und Diskussion der Unterschiede zwischen beiden Verfahren

2 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine Schwingung beim Nulldurchgang mit zehnfacher Messung Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung anschlieszligend Vergleich mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe 1 und Diskussion der Unterschiede

3 Bestimmung der Periodendauer fuumlr 10 verschiedene Fadenlaumlngen li Aus jeweils 2 Messungen fuumlr 10 Schwingungen sind die Mittelwerte fuumlr die Periodendauern Ti(li) zu berechnen

4 Grafische Darstellung der Ergebnisse der 3 Aufgabe in der Form Ti2(li) in einem

Diagramm Verwendung von Gleichung (7) zur Bestimmung von Fallbeschleunigung g und Anfangslaumlnge des Pendels l0 sowohl durch grafischen Geradenausgleich als auch numerische lineare Regression mit Ermittlung der zugehoumlrigen Unsicherheiten

5 Aus den Ergebnissen der 4 Aufgabe fuumlr l0 und g ist gemaumlszlig Gleichung (6) die Periodendauer T einschlieszliglich ihrer Unsicherheit zu berechnen und mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe zu vergleichen

6 Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen fuumlr die Periodendauer gemaumlszlig der og drei Gleichungen (8-10) und ihres Einflusses auf die g-Bestimmung Diskussion der Relevanz entsprechender Korrekturen

VERSUCHSHINWEISE Ein gegossener Bleizylinder (Radius R asymp 23 mm Houmlhe h asymp 23 mm Masse m asymp 08 kg) haumlngt an einem duumlnnen Stahldraht Die Pendellaumlnge laumlsst sich durch einen Schieber in dessen Fuumlhrung der Draht laumluft veraumlndern Die Laumlngenaumlnderung kann mit Hilfe von Ringmarken deren Abstand 2 cm betraumlgt eingestellt werden Bei Auslenkung des Pendels aus seiner Ruhelage fuumlhrt es Schwingungen aus deren Periodendauer mit einer von Hand ausgeloumlsten Stoppuhr bestimmt wird Fuumlr die ersten beiden Aufgaben ist zweckmaumlszligig (warum) eine moumlglichst groszlige Fadenlaumlnge zu waumlhlen Die zugehoumlrige Stellung des Schiebers ist unbedingt zu notieren da sie spaumlter benoumltigt wird Fuumlr die 3 Aufgabe wird die Anfangsfadenlaumlnge l0 um die Werte li (i = 110) in Schritten von 4 cm verringert Fuumlr die mit der 4 Aufgabe erforderliche Auswertung sind grafische Mittel (Anstiegsdreieck grafische Extrapolation auf den Achsenabschnitt) und ein rechentechnisches Verfahren (lineare Regression) einzusetzen Fuumlr Aufgabe 5 ist das bei Aufgabe 4 bestimmte Ergebnis fuumlr die Anfangslaumlnge l0 zu verwenden Bei Aufgabe 6 muss ermittelt werden wie sich die Korrekturen der Schwingungsdauer gemaumlszlig (8-10) auf die Fallbeschleunigung g auswirken Beachten Sie hier dass g aus dem Anstieg der Geraden gemaumlszlig der 4 Aufgabe nach Gleichung (7) bestimmt wird Uumlberlegen Sie welche zufaumllligen und welche systematischen Abweichungen die Messunsicherheit der Fallbeschleunigung g wesentlich bestimmen

8

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Traumlgheitsgesetz Grundgesetz der Dynamik Feder-konstante Federkraft harmonische Schwingung Frequenz Periodendauer Amplitude In diesem Versuch soll die Federkonstante einer Schraubenfeder mit drei verschiedenen Methoden bestimmt werden Bei der Auswertung der Ergebnisse sind Grundbegriffe und Methoden der Fehlerrechnung und ndashanalyse gezielt anzuwenden und zu uumlben 1 Statische Messung der Federkonstanten Wird eine am oberen Ende eingespannte Schraubenfeder am unteren Ende durch Anhaumlngen einer Masse m belastet so wird die Feder gedehnt und es stellt sich eine neue Ruhelage ein (Abb 1 statischer Fall) Die Gewichtskraft

gmFG sdot= und die durch die elastische Verformung entstehende Federkraft (mit k als Federkonstante) stehen im Gleichgewicht (Newtonsches Traumlgheitsgesetz)

xkFF sdotminus=

0=+ FG FF (1)

Abbildung 1 Statische und dynamische Belastung einer Schraubenfeder

Durch Einsetzen der Beziehungen fuumlr beide Kraumlfte und einfache Umstellung ergibt sich daraus

kgmx sdot

= (2)

Die statische Auslenkung x der Schraubenfeder muss demnach linear von der Belastung m abhaumlngig sein Durch die experimentelle Untersuchung der Abhaumlngigkeit x(m) kann sowohl die Linearitaumlt des Federkraftgesetzes xkFF sdotminus= uumlberpruumlft als auch die Federkonstante k bestimmt werden 2 Dynamische Messung der Federkonstanten Lenkt man eine mit der Masse m belastete Feder aus ihrer Ruhelage aus (Abb 1 dynamischer Fall) dann wirkt eine ruumlcktreibende

Federkraft und die Masse m erfaumlhrt eine Beschleunigung xkFF sdotminus=mFx

dtxda F=== 2

2

nach

dem Newtonschen Grundgesetz der Dynamik Fuumlr die weiteren Betrachtungen sollen jegliche Reibungskraumlfte vernachlaumlssigt werden daher ergibt sich aus der Newtonschen Bewegungs-gleichung hier die einfachste Form einer Schwingungsdifferentialgleichung mit

02

2

=sdot+sdot xkdt

xdm (3)

9

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

die eine freie ungedaumlmpfte Schwingung beschreibt Mit den willkuumlrlich ausgewaumlhlten Anfangsbedingungen (Anfangslage) und 0)0( xtx == 0)0( 0 === vtx (Anfangsgeschwin-digkeit) lautet ihre Loumlsung

)cos()( 0 txtx sdotsdot= ω (4)wobei physikalisch x0 als Amplitude und mk=ω als Kreisfrequenz der freien ungedaumlmpf-ten Federschwingung bezeichnet werden Der Koumlrper der Masse m schwingt nach Auslen-kung (aus der Gleichgewichts- bzw Ruhelage um x0) in Form einer harmonischen Schwin-gung mit der Periodendauer

kmT π

ωπ 22== (5)

die experimentell direkt gemessen werden kann Aus (5) ist bei bekannter Masse m die Feder-konstante k bestimmbar 3 Berechnung der Federkonstanten aus der Geometrie und den Materialeigenschaften der Schraubenfeder Durch eine Auslenkung aus der Ruhelage wird die Schraubenfeder gedehnt und damit der gesamte Federdraht auf sog Torsion (svw bdquoVerdrehungldquo oder bdquoVerdrillungldquo) beansprucht Ohne weitere Herleitung sei hier eine Beziehung angegeben die es gestattet aus dem sog Torsionsmodul G (als Materialkonstante des Federdrahtes) und den geometrischen Daten der Schraubenfeder (Drahtlaumlnge l Drahtdurchmesser d und Wickel-radius r) die Federkonstante k zu berechnen

2

4

32 rldGksdotsdot

sdot=π (6)

AUFGABEN 1 Aus dem statischen Verhalten einer Schraubenfeder ist deren Federkonstante experimentell

zu bestimmen Dazu ist gemaumlszlig Beziehung (2) die statische Auslenkung x in Abhaumlngigkeit von der Belastung m mit verschiedenen Massestuumlcken zu messen Die Daten sind in der Form x = x(m) als Diagramm grafisch darzustellen und daraus die Federkonstante k zu er-mitteln Fuumlr die zu erwartende lineare Abhaumlngigkeit ist sowohl mit einfacher grafischer Methode (bdquoSteigungsdreieckldquo) als auch numerisch (Geradenausgleichsrechnung lineare Regression) der Anstieg von x = x(m) und daraus die Federkonstante (jeweils auch ein-schlieszliglich der Messunsicherheit) zu bestimmen

2 Mithilfe des dynamischen Verhaltens des Federschwingers ist fuumlr dieselbe Feder die Federkonstante aus der experimentell beobachteten Periodendauer der Schwingung zu bestimmen (jeweils auch einschlieszliglich der Messunsicherheit) Dazu ist Formel (5) bei be-kannter und sinnvoll gewaumlhlter Masse m zu nutzen

3 Mithilfe von Formel (6) ist aus den Daten der Schraubenfeder die am Versuchsplatz angegeben sind die Federkonstante k einschlieszliglich ihrer resultierenden Unsicherheit zu berechnen

4 Die Obergrenzen fuumlr systematische Messabweichungen bei den ersten beiden Aufgaben (statische und dynamische Messung der Federkonstanten) sind abzuschaumltzen (Groumlszligenord-nungen) Es ist zu analysieren welche dieser systematischen Abweichungen korrigierbar sind und welche dann tatsaumlchlich in die Messunsicherheit des Endergebnisses eingehen

5 Fuumlr alle drei Methoden (Aufgaben 1-3) sind die Ergebnisse (einschlieszliglich Messunsicher-heit) fuumlr die Federkonstante uumlbersichtlich darzustellen miteinander zu vergleichen und zu diskutieren Sofern moumlglich ist ein gewichteter Mittelwert zu ermitteln

10

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

VERSUCHSHINWEISE Die Schraubenfeder ist mit einem Ende an einem Stativ befestigt Zur Messung der Auslen-kung der Feder aus der Ruhelage wird die Stellung der an der Feder befindlichen Marke M (Abb 1) auf einer Spiegelskale abgelesen (Welchen Vorteil bietet eine Spiegelskale gegen-uumlber einer einfachen Skale) Die sog Verkehrsfehlergrenze der Massennormale ist fuumlr die Masse m = 50 g mit ∆m = plusmn 01 g festgelegt Bei Messung einer Laumlnge l mit der Spiegelskale ist die Messunsi-cherheit ∆l = plusmn (02 mm + 5middot10-4middotl) Fuumlr die Fallbeschleunigung ist (lt Festlegung der Eichbe-houmlrden der Laumlnder fuumlr Waagen) ein Wert von g = (98130 plusmn 00001) mmiddots-2 zu verwenden Fuumlr die 1 Aufgabe wird die Feder schrittweise bis 400 g mit Massestuumlcken von 50 g belastet und mit Hilfe einer Spiegelskale an der Marke M die Auslenkung x gemessen (erste Mess-reihe) Nach Erreichen der Houmlchstbelastung von 400 g ist dann die Feder wieder schrittweise zu entlasten (zweite Messreihe) a) Aus der grafischen Darstellung x = x(m) ist mithilfe des bdquoSteigungsdreiecksldquo der Anstieg

gk grafisch zu ermitteln und seine Unsicherheit entsprechend abzuschaumltzen (vgl Einfuumlh-rungsskript) Daraus sind dann die Federkonstante k als mittelbar bestimmter Groumlszlige und ihre Unsicherheit ∆k zu berechnen

b) Durch lineare Regression ist mithilfe geeigneter Software (s Einfuumlhrungsskript und Vorle-sung) der Anstieg und seine Unsicherheit numerisch zu ermitteln daraus ebenfalls wieder die Federkonstante und deren Unsicherheit

Fuumlr die 2 Aufgabe wird die Feder mit einer Gesamtmasse von 400 g belastet und 10mal die Zeit fuumlr jeweils 20 Schwingungen mithilfe einer Stoppuhr gemessen Daraus ist der Mittel-wert der Periodendauer T und ihr Vertrauensbereich sT zu berechnen und mittelbar damit die Federkonstante k uumlber Gleichung (5) mit ihrer Messunsicherheit a) Zur Genauigkeit der Messung mit Stoppuhren sind im Einfuumlhrungsskript ausfuumlhrliche Hin-

weise enthalten Entsprechend den dort enthaltenen Angaben sind die systematischen Messabweichungen mit ihrer Auswirkung auf die Periodendauer und die Federkonstante realistisch abzuschaumltzen

b) Bezuumlglich der Massen ist bereits ein Hinweis bei Aufgabe 1 gegeben worden Zusaumltzlich muumlsste noch der Einfluss der Eigenmasse der Feder von mF asymp 5 g auf die Periodendauer beruumlcksichtigt werden Die Teile der Feder nehmen unterschiedlich an der Bewegung teil es kann als zu beruumlcksichtigende Zusatzmasse macute= mF3 gesetzt werden Somit ergibt sich

fuumlr die Periodendauer m

mTk

mmT F

312acute +=

+= π

c) Auch bei sehr sorgfaumlltiger Anfangsauslenkung fuumlhrt der Federschwinger nach einigen Schwingungen unvermeidlich seitliche Schwingungen aus Wie beeinflusst diese Bewe-gung die gemessene Periodendauer Man uumlberlege sich auch welche Auswirkungen die in der Betrachtung vernachlaumlssigte aber unvermeidlich auftretende Reibung auf das Ergebnis dieses Verfahrens hat

Fuumlr die 3 Aufgabe sind am jeweiligen Versuchsplatz die Messunsicherheiten der einzelnen Groumlszligen mit angegeben Eine Unterscheidung von zufaumllligen und systematischen Komponen-ten ist hier allerdings nicht moumlglich Fuumlr Aufgabe 5 ist eine tabellarische Darstellungsweise vorzuziehen In Zusammenhang mit dem gewogenen Mittelwert ist zu analysieren unter welchen Bedingungen er uumlberhaupt sinn-voll gebildet werden kann

11

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Dichte Auftriebskraft Analy-senwaage Pyknometer Ein sog Pyknometer ist ein Geraumlt zur Bestimmung der Dichte fester Koumlrper Es besteht aus einem Glasgefaumlszlig mit eingeschliffenem Stopfen der eine kapillare Bohrung hat Das Pykno-meter kann reproduzierbar mit groszliger Genauigkeit mit Wasser gefuumlllt werden Zur Dichtebe-stimmung mit dem Pyknometer sind drei Waumlgungen mit einer Analysenwaage noumltig wobei der Auftrieb der zu waumlgenden Koumlrper (Probe bzw Pyknometer) in Luft (Dichte ρL) zu beruumlck-sichtigen ist 1 Waumlgung der Probe in Luft Fuumlr eine Probe (Masse m1 Volumen V1) wird die Gewichts-kraft durch die ihr entgegengesetzt gerichtete Auftriebskraft gmF sdot= 11 gVF LA sdotsdot= ρ11 vermindert so dass im Gleichgewicht die Waage den Wert m1rsquo anzeigt Die Gleichgewichts-bedingung liefert

111 mVm L =sdotminus ρ (1)2 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers Das vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllte Pykno-meter (Volumen VP) hat die Gesamtmasse m2 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m2rsquo an so dass gilt

22 mVm LP =sdotminus ρ (2)3 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers mit Probe Das mit Wasser und der Probe gefuumlllte Pyknometer hat die Gesamtmasse m3 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m3rsquo an so dass gilt

33 mVm LP =sdotminus ρ (3)Zwischen den Massen m1 m2 und m3 besteht der Zusammenhang

232311 mmmmVm W minus=minus=sdotminus ρ (4)wobei ρW die Dichte des Wassers ist Zur Bestimmung der Dichte ρ1 der Probe kann man aus den Gleichungen (1) und (4) die Unbekannten m1 und V1 ermitteln Man erhaumllt

)()(

231

231

1

11 mmm

mmmVm LW

minusminussdotminusminussdot

==ρρρ (5)

AUFGABEN 1 Bestimmung der Masse m1rsquo fuumlr zwei verschiedene Metallproben (Al und Cu) durch

Waumlgung in Luft Fuumlr jede Probe erfolgt die Waumlgung sechsmal wobei die Probe immer neu auf die Waage zu legen ist Bestimmung der zugehoumlrigen Mittelwerte

2 Bestimmung der Masse m2rsquo des vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllten Pyknometers durch Waumlgung Die jeweils erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt sechsmal Bestimmung des Mittelwertes

3 Bestimmung der Masse m3rsquo des mit Wasser und jeweiliger Metallprobe gefuumlllten Pykno-meters durch Waumlgung Die erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt fuumlr jede Probe sechsmal Bestimmung der Mittelwerte

4 Berechnung der Dichte der beiden Metallproben nach Gleichung (5) 5 Bestimmung der jeweiligen Messunsicherheiten fuumlr die unmittelbar gemessenen Groumlszligen

m1rsquo m2rsquo und m3rsquo fuumlr beide Proben 6 Abschaumltzung bzw Berechnung (Fortpflanzung) der resultierenden Messunsicherheiten der

mit (5) mittelbar bestimmten beiden Dichten Vergleich der Ergebnisse fuumlr die beiden Dichten mit Referenzwerten

12

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

VERSUCHSHINWEISE Die Waumlgungen werden mit einer elektronischen Analysenwaage durchgefuumlhrt bei der die auf-gelegte Last (Abb 1 oberer Pfeil) durch eine elektromagnetische Kraft kompensiert wird Mit einer optoelektronischen Abtastung (1) wird die Stellung der Waagschale (2) gemessen und mit diesem Signal der Kompensationsstrom in der Spule (3) gesteuert Der Kompensations-strom erzeugt zwischen Permanentmagnet (4) und Spule eine Kraft so dass die Waagschale in die Null-Lage zuruumlckgefuumlhrt wird der Strom ist der Last proportional Zur Durchfuumlhrung der Waumlgungen beachte man unbedingt die Hinweise des Versuchsbetreuers und die Platz-anleitung

Abb1 Messprinzip der eAnalysenwaage

lektronischen

Fuumlr Aufgabe 2 wird das Pyknometer bis zum Rand mit destilliertem Wasser gefuumlllt wobei die Bildung von Luftblaumlschen zu vermeiden ist Verschlieszligt man das Pyknometer mit dem ange-schliffenen Stopfen so laumluft Wasser uumlber das sehr sorgfaumlltig mit Filterpapier abzuwischen ist Das Anfassen des Pyknometers muss aumluszligerst vorsichtig erfolgen um seine Erwaumlrmung zu vermeiden (warum) Nach dem Abwischen wird mit Filterpapier der auf der Kapillare stehende Tropfen abgenommen so dass die Kapillare bis oben mit Wasser gefuumlllt ist Fuumlr die durchzufuumlhrenden Waumlgungen ist das Pyknometer stets erneut zu befuumlllen Fuumlr Aufgabe 3 wird der Probekoumlrper in das Pyknometer gebracht und dann mit destilliertem Wasser aufgefuumlllt weiter ist sinngemaumlszlig wie bei Aufgabe 2 zu verfahren Fuumlr Aufgabe 4 sind zusaumltzlich zu den Werten m1rsquo m2rsquo und m3rsquo auch der Luftdruck p sowie die Zimmer- und Wassertemperatur zu bestimmen Die Temperaturen koumlnnen als gleich vor-ausgesetzt werden da das destillierte Wasser sich bereits sehr lange im Versuchsraum befin-det Die temperaturabhaumlngige (s Abb 2) Dichte ρW von reinem (luftfreiem) Wasser laumlsst sich im Temperaturintervall 0degC lt θ lt 40degC naumlherungsweise berechnen mit

4-73-52323 1046657-10772108768-1066299984)( θθθθρ sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot+=sdot minusminusminusmkgw

wobei die Temperatur θ in degC einzusetzen ist (Fehler der Naumlherung ) Diese Naumlhrung gilt bei sog Normaldruck (p

3210 minusminus sdotlt∆ mkgWρN = 1013 kPa) Warum kann die Druckabhaumlngig-

keit hier vernachlaumlssigt werden Die Druckabhaumlngigkeit muss aber bei der Luftdichte unbedingt beruumlcksichtigt werden ebenso wie die Luftfeuchtigkeit (warum) Man verwendet die Beziehung

TRp

fL sdot=ρ

13

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

wobei p der Luftdruck (in Pa) T die Lufttemperatur (in K) und Rf die Gaskonstante feuchter Luft ist Diese Gaskonstante Rf berechnet sich wiederum aus

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdotminus

=

d

ld

lf

RR

pp

RR11 ϕ

0 10 20 30 40992

993

994

995

996

997

998

999

1000

Dic

hte ρ w

(kg

m3 )

Temperatur θ (degC)

-10 0 10 20 3011

12

13

Dic

hte ρ L (k

gm

3 )Temperatur θ (degC)

Abb 2 Temperaturabhaumlngigkeit der Dichte fuumlr (reines) Wasser und (trockene) Luft

Hier ist Rl = 28705 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante trockener Luft Rd = 461 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante von Wasserdampf und φ die relative Luftfeuchtigkeit Die Groumlszlige pd ist der Saumlt-tigungsdampfdruck von Wasser in Luft der sich empirisch mit der sog Magnus-Formel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+degsdot

sdot=θθ

CPapd 2241

504317exp213611)( im Intervall CC degleledegminus 7030 θ

berechnen laumlsst wobei θ wieder die Temperatur (in degC) ist Fuumlr Aufgabe 5 sind die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen der Waumlgungen zu ermitteln Die Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo werden alle mit der gleichen Analysenwaage ermittelt fuumlr die vom Hersteller eine Garantiefehlergrenze (systematischer Restfehler) von 02 mg angegeben wird Diese Garantiefehlergrenze ist fuumlr alle drei Massenwerte als geraumlte-bedingte systematische Abweichung zu beruumlcksichtigen Fuumlr die Messwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo haumlngt es von der sorgfaumlltigen Versuchsdurchfuumlhrung (Abtupfen des Wassers ) ab ob die zufaumlllige undoder die systematische Abweichung die Messunsicherheit bestimmt Fuumlr Aufgabe 6 ist nur die Messunsicherheit der Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo zu beruumlcksich-tigen Die berechneten Werte fuumlr die Dichten von Luft und Wasser koumlnnen als praktisch fehlerfrei angenommen werden

14

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Erster Hauptsatz der Thermodynamik Waumlrmemenge Waumlrmekapazitaumlt Richmannsche Mischungsregel Arbeit von Gleich- und Wechselstrom Waumlrmeaustauschkorrektur (s Skript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstel-lung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo) Waumlrme ist eine Energieform die zwischen Koumlrpern ausgetauscht wird oder in andere Energie-formen umgewandelt werden kann Fuumlhrt man einem Koumlrper der Masse m die Waumlrmemenge dQ zu dann ist die sich einstellende Temperaturerhoumlhung dT proportional zur zugefuumlhrten Waumlrmemenge

dTcmdQ sdotsdot= (1)wobei der Proportionalitaumltsfaktor c als spezifische Waumlrmekapazitaumlt mit der SI-Einheit Jmiddotkg-1middotK-1 bezeichnet wird und eine Stoffkonstante ist Aus (1) ergibt sich

dTdQ

mc sdot=

1 (2)

Das Produkt cmC sdot= (3)

mit der SI-Einheit JmiddotK-1 nennt man Waumlrmekapazitaumlt des Koumlrpers Zur Bestimmung von Waumlrmemengen benutzt man sog Kalorimeter wobei anisotherme Aus-fuumlhrungen mit sehr gut waumlrmeisolierten Gefaumlszligen am haumlufigsten verwendet werden Fuumlhrt man einem mit Wasser der Masse mW (teilweise) gefuumlllten Kalorimeter eine Waumlrmemenge ∆Q zu dann werden auszliger dem Wasser auch alle Teile des Kalorimeters wie zB Gefaumlszligwandung Thermometer und Ruumlhrer erwaumlrmt Die gesamte Waumlrmekapazitaumlt der Versuchsanordnung setzt sich also aus der des Wassers (mWmiddotcW) und der des Kalorimeters (CK) zusammen

( ) TCcmQ KWW ∆sdot+sdot=∆ (4)Die spezifische Waumlrmekapazitaumlt von Wasser hat als Stoffkonstante den Wert cW = 41813 kJmiddotkg-1middotK-1 (bei 25degC) Die Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorime-ters ist rechnerisch nur naumlherungsweise moumlglich deshalb wird sie ia experimentell ermittelt 1 Elektrische Methode Flieszligt durch einen Ohmschen Leiter (Heizspirale) an dem die Spannung U anliegt der Strom I dann entsteht im Zeitintervall ∆t in ihm eine der elektri-schen Energie aumlquivalente Waumlrmemenge

tIUQ ∆sdotsdot=∆ (5)Uumlbertraumlgt man diese Waumlrmemenge an das Wasser (Masse mW) und das Kalorimeter (Waumlrme-kapazitaumlt CK) dann steigt die Wassertemperatur gemaumlszlig (4) Bei verlustloser Waumlrmeuumlbertra-gung sind beide Waumlrmemengen gleich (Energieerhaltungssatz) und es gilt

( ) TCcmtIU KWW ∆sdot+sdot=∆sdotsdot (6)so dass CK bestimmt werden kann 2 Mischungsmethode Fuumlgt man kaltem Wasser der Masse m1 und Temperatur T1 in einem Kalorimeter warmes Wasser der Masse m2 und Temperatur T2 hinzu so findet ein Waumlrmeaus-tausch statt bis das gesamte Wasser die Mischungstemperatur Tm angenommen hat Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dass die vom warmen Wasser abgegebene Waumlrmeenergie

gleich der vom kalten Wasser und dem Kalorimeter aufgenommenen Waumlrmeenergie

)( 222 mW TTcmQ minussdotsdot=∆( ) )( 111 TTCcmQ mKW minussdot+sdot=∆ sein muss Der Energieerhaltungssatz in dieser

speziellen Form des Austausches von Waumlrmemenge heiszligt Richmannsche Mischungsregel und ergibt die Gleichung

( ) )()( 2211 mWmKW TTcmTTCcm minussdotsdot=minussdot+sdot (7)zur Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorimeters

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

AUFGABEN 1 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der elektrischen Methode gemaumlszlig (6) 2 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 1 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 3 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der Mischungsmethode mit (7) 4 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 3 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 5 Fuumlr beide Methoden fuumlhre man eine Bestimmung der Messunsicherheit der Waumlrmekapazi-

taumlt durch und vergleiche die Endergebnisse miteinander VERSUCHSHINWEISE Das Verfahren zur Waumlrmeaustauschkorrektur Bei kalorimetrischen Messungen ist ein Waumlrmeaustausch mit der Umgebung unvermeidlich (offenes thermodynamisches System) und meist stoumlrend Aus dem gemessenen zeitlichen Temperaturverlauf ist er aber abzulesen (s Abb 1)

DE

Abbildung 1 Zeitlicher Verlauf der Temperatur im Kalorimeter

In der Vorperiode erhaumllt man den ansteigenden Kurvenabschnitt ArarrB in der Nachperiode den abfallenden Kurvenabschnitt ErarrF Das liegt daran dass das Kalorimeter eben nicht adia-batisch bzw isentrop ist Die Temperatur der Kalorimeterfluumlssigkeit im Innern gleicht sich in beiden Abschnitten jeweils (asymptotisch) an die Umgebungstemperatur TU an wobei der Waumlrmefluss proportional zur Temperaturdifferenz ist Es laumlsst sich zeigen dass der Gleichge-wichtszustand zeitlich exponentiell angenommen wird Im vorliegenden Fall ist aber die ent-sprechende Zeitkonstante sehr groszlig im Vergleich zur Messzeit so dass die beiden Abschnitte ArarrB und ErarrF naumlherungsweise jeweils durch eine Gerade beschrieben werden duumlrfen Die-ser Sachverhalt gestattet es auszligerdem in diesen Abschnitten die Messwerte in groumlszligerer zeitli-cher Schrittweite aufzunehmen Aufgrund des real zeitlich ausgedehnten Waumlrmeaustausches mit der Umgebung beobachtet man einen stetigen und differenzierbaren Verlauf der Kurve im Abschnitt BrarrE Nur wenn die im Experiment zugefuumlhrte Waumlrme sofort verteilt wuumlrde waumlre die Temperaturkurve eine Sprungfunktion Das System braucht eine gewisse Zeit bis sich ein neues Gleichgewicht ein-stellen kann Es verhaumllt sich so als ob es uumlber ein ganzes Zeitintervall bdquoverschmiertldquo waumlre Es gilt also die Endzeit der Waumlrmezufuhr zu finden Sie liegt im Wendepunkt der Temperaturkurve weil sich dort die Richtung der Kruumlmmung aumlndert also Waumlrmezufuhr in Waumlrmeverlust uumlbergeht Nun laumlsst sich aber im Abschnitt BrarrE die Kurve T(t) nicht beliebig

F

Tem

pera

tur

T

∆T S

TU

A B C

Zeit

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

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O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

23

O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

25

O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

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O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

ORDNUNG UND SICHERHEIT

Wie fuumlr andere Bereiche sind auch im Physikalischen Grundpraktikum einige grundsaumltzliche Festlegungen fuumlr den laufenden Lehrbetrieb in unseren Raumlumlichkeiten zu treffen die fuumlr ausnahmslos alle teilnehmenden Studierenden gelten Teilnahmeberechtigung Grundvoraussetzung ist der Besuch der rechtzeitig durch Aushaumlnge im Internet (Webseite des Instituts fuumlr Physik) und im Institut bekannt gegebenen Einfuumlhrungsveranstaltung bull Waumlhrend dieser Veranstaltung erfolgen die Einschreibung zum Kurs und die Einteilung in

Gruppen bull Es werden Hinweise zum Praktikumsablauf sowie zur Protokollierung und Auswertung von

Versuchen gegeben bull Kursplaumlne und Skripten werden ausgeteilt bull Es erfolgt eine Arbeitschutzbelehrung deren Kenntnisnahme aus ersichtlichen rechtlichen

Gruumlnden unbedingte Voraussetzung fuumlr die Teilnahme an den Versuchen ist und deshalb mit eigenhaumlndiger Unterschrift bei der Einschreibung bestaumltigt werden muss

Generelle Vorbedingung fuumlr die Durchfuumlhrung eines jeden einzelnen Versuches ist eine sach-gerechte Vorbereitung gestuumltzt auf die Versuchsanleitung und gegebenenfalls Zusatzliteratur Eine ungenuumlgende Vorbereitung hat grundsaumltzlich den Ausschluss vom laufenden Versuch zur Folge der in einem Folgesemester zu wiederholen ist Allgemeine Verhaltensregeln bull Jeder hat sich grundsaumltzlich so zu verhalten dass weder Personen gefaumlhrdet noch

Einrichtungen Geraumlte und Versuchsaufbauten beschaumldigt werden koumlnnen bull Das Praktikumspersonal (Leiter und Mechaniker) und die Versuchsbetreuer sind in den

Praktikumsraumlumen ohne Einschraumlnkung weisungsbefugt ihre Anweisungen sind zu befol-gen Bei Verstoumlszligen erfolgen ein Verweis aus den Raumlumlichkeiten und der Ausschluss vom Versuch

bull Die von den betreuenden Assistenten vom Praktikumspersonal sowie die in den Versuchsanleitungen gegebenen Hinweise zur Handhabung der Geraumlte und Versuchsanord-nungen sind strikt zu beachten

bull Bei der Belegung des Arbeitsplatzes ist seine Vollstaumlndigkeit und Ordnung zu uumlberpruumlfen Auftretende Stoumlrungen und Unregelmaumlszligigkeiten bei der Durchfuumlhrung der Versuche Beschaumldigungen und Funktionsstoumlrungen an Geraumlten und Einrichtungen sind sofort dem Betreuer zu melden Eigene Reparaturversuche sind grundsaumltzlich unzulaumlssig

bull Fuumlr fahrlaumlssig verursachte Schaumlden an Geraumlten und Arbeitsmaterialien koumlnnen die Studierenden zur Verantwortung gezogen werden (Haftpflicht)

bull Es steht jeweils nur die unmittelbar am Arbeitsplatz befindliche Ausruumlstung zur Verfuumlgung Es ist kategorisch untersagt Geraumlte und sonstige Arbeitsmittel von fremden Arbeitsplaumltzen zu benutzen Uumlber Ausnahmen kann nur der Betreuer in Absprache mit dem Praktikumsper-sonal entscheiden

bull Nach Beendigung des Versuches ist jeder Arbeitsplatz stets aufgeraumlumt und sauber zu verlassen die urspruumlngliche Ordnung ist wieder herzustellen

bull Haben Sie einen PC im PC-Pool benutzt so muumlssen Sie sich an diesem wieder abmelden Bei Stoumlrungen jeglicher Art (Papierstau im Drucker usw) im PC-Pool ist das Prakti-kumspersonal unverzuumlglich zu informieren eigene Behebungsversuche haben zu unterblei-ben Die Entnahme von Papier aus den Druckerfaumlchern zur Verwendung als bdquoSchmierpa-pierldquo o auml ist untersagt

bull Die Benutzung von Mobil-Telefonen MP3-Playern usw ist in den Laborraumlumen insbeson-dere waumlhrend des laufenden Lehrbetriebs grundsaumltzlich nicht gestattet

bull Das Essen und Trinken ist aus hygienischen Gruumlnden und wegen des notwendigen Arbeits- und Gesundheitsschutzes nur auszligerhalb der Laborraumlume moumlglich

II

ORDNUNG UND SICHERHEIT

bull Eigene Notebooks koumlnnen in den Laboren selbstverstaumlndlich verwendet werden Netzteile duumlrfen aber nur dann an das 230V-Netz angeschlossen werden wenn sie in technisch ein-wandfreien Zustand sind

bull Das Praktikum beginnt puumlnktlich zur im bekannt gegebenen Kursplan genannten Uhrzeit ohne akademisches Viertel Verspaumltungen werden nur in absolut triftig begruumlndeten Faumlllen durch den Betreuer akzeptiert wobei mehr als 15 Minuten Verspaumltung grundsaumltzlich zum Ausschluss vom Versuch fuumlhren

bull Fuumlr die Ausfuumlhrung eines Versuches steht nur die im Kursplan ausgewiesene Zeit zur Verfuumlgung Alle Arbeiten sind puumlnktlich abzuschlieszligen da nur fuumlr die geplanten Versuchs-zeiten eine Betreuung und Aufsicht gewaumlhrleistet werden kann Eine Zeituumlberschreitung ist deshalb nicht zulaumlssig

bull Fuumlr einen erfolgreichen Abschluss muumlssen Sie alle Versuche gemaumlszlig dem Kursplan absolvie-ren Bei wirklich begruumlndeten Ausfaumlllen wie z B durch Erkrankung (Vorlage eines Kran-kenscheins erforderlich) entscheidet der Praktikumsleiter uumlber eine eventuelle Nachhol-moumlglichkeit

Arbeiten mit elektrischen Schaltungen bull Der Auf- und Abbau elektrischer Schaltungen hat stets im spannungslosen Zustand (Strom-

versorgungsgeraumlte aus Batterien und Steckernetzteile nicht angeschlossen) und uumlbersicht-lich zu erfolgen

bull Bei elektrischen Messgeraumlten ist auf richtige Polung Einstellung des richtigen Messberei-ches und Verwendung der richtigen Messeingaumlnge zu achten

bull Elektrische Schaltungen muumlssen vor der Inbetriebnahme vom zustaumlndigen Versuchsbetreuer uumlberpruumlft und unter Spannung stehende Anlagen staumlndig uumlberwacht werden

bull Spannungsfuumlhrende Teile duumlrfen nicht beruumlhrt werden Gefaumlhrliche Spannungen sind in jedem Fall durch Schutzvorrichtungen vor Beruumlhrung gesichert Es ist untersagt solche Schutzvorrichtungen auszliger Betrieb zu setzen

bull Bei Unfaumlllen ist die Spannung sofort abzuschalten (Notausschalter rote Tastschalter neben der Tuumlr) und unter Beachtung der Eigensicherung Ersthilfe zu leisten Jeder Unfall muss unverzuumlglich gemeldet werden

Brandschutz bull Das Rauchen ist im gesamten Praktikum (auch im Flur vor den Praktikumsraumlumen sowie im

gesamten Gebaumlude) untersagt bull Bunsenbrenner und elektrische Heizgeraumlte sind so aufzustellen dass sich keine benachbar-

ten Gegenstaumlnde entzuumlnden koumlnnen Offene Flammen und eingeschaltete Heizgeraumlte muumlssen staumlndig beaufsichtigt werden

bull Abgebrannte Streichhoumllzer gehoumlren nicht in Papierkoumlrbe noch glimmende Streichhoumllzer duumlrfen nicht weggeworfen werden

bull Brennbare Fluumlssigkeiten (wie zB Ethanol) sind von offenen Flammen fernzuhalten bull Wird ein Brand bemerkt so ist das sofort zu melden und es sind nach Moumlglichkeit Loumlsch-

maszlignahmen einzuleiten Nassloumlschung ist wegen der elektrischen Anlagen nicht zulaumlssig bull Jede(r) hat sich uumlber die Lage und Funktionsweise der Handfeuerloumlscher zu informieren Fluchtwege und Evakuierung bull Bei notwendig werdender Evakuierung (akustische Signalisierung oder Anweisung durch

Praktikumspersonal bzw Versuchsbetreuer) ist unter Mitnahme der persoumlnlichen Wert-sachen und unbedingt notwendiger Oberbekleidung (Menschenleben gehen vor) uumlber den Gang und die Treppenhaumluser (Auf keinen Fall mit dem Lift) das Gebaumlude geordnet und ohne Panik zu verlassen

bull Sammelpunkt ist die Wiese vor dem Gebaumlude zwischen Schilfbeet und Fahrradstaumlnder jede(r) meldet sich sofort beim zustaumlndigen Versuchsbetreuer

III

LITERATUR

Aus der sehr groszligen Anzahl von guten Lehr- und Fachbuumlchern die fuumlr den Gebrauch im Physikalischen Grundpraktikum (und auch daruumlber hinaus) geeignet sind ist hier eine kleine Auswahl ohne Anspruch auf Vollstaumlndigkeit und auch ohne jede Wertung aufgelistet Aus eigener Erfahrung heraus kann man Studierenden die nachfolgenden Saumltze nicht oft genug ans Herz legen Es gibt niemals das eine und einzige Lehr- bzw Fachbuch Buumlcher sind fuumlr einzelne Teil-gebiete der Physik unterschiedlich geeignet meistens muss doch in verschiedenen Buumlchern nachgeschlagen werden Jeder nimmt individuell auf seine Weise auf dieselben Inhalte werden unterschiedlich wahrgenommen Auch die Art der Gestaltung zB mit Grafiken Uumlbersichten usw spielt (je nach bevorzugter Wahrnehmungsweise) eine groszlige Rolle Es ist deshalb ganz sicher eine kluge Entscheidung sich verschiedene Lehr- und Fachbuumlcher in Bibliotheken anzusehen und sie auf ihre Eignung fuumlr den individuellen Gebrauch zu testen Es musskann nicht jedes Buch gekauft werden auch wenn es sehr attraktiv erscheint Das gilt ebenso fuumlr Taschenbuumlcher bzw Nachschlagewerke Buumlcher zum physikalischen Grund- oder Anfaumlngerpraktikum W Walcher Praktikum der Physik B G Teubner (Stuttgart Leipzig) H-J Eichler H-D Kronfeldt J Sahm Das Neue Physikalische Grundpraktikum Springer (Berlin Heidelberg New York) W Ilberg M Kroumltzsch D Geschke Physikalisches Praktikum B G Teubner (Stuttgart Leipzig) J Becker H-J Jodl Physikalisches Praktikum fuumlr Naturwissenschaftler und Ingenieure VDI-Verlag (Duumlsseldorf) H-J Kunze Physikalische Messmethoden (Teubner Studienbuumlcher) B G Teubner (Stuttgart Leipzig) Buumlcher zur Physik bzw Experimentalphysik D W Preston E R Dietz The Art of Experimental Physics John Wiley amp Sons (New York) D Halliday R Resnick J Walker Physik Wiley-VCH (Berlin) PA Tipler G Mosca Physik fuumlr Wissenschaftler und Ingenieure Spektrum Akademischer Verlag (Heidelberg) D Meschede Gerthsen Physik Springer (Berlin Heidelberg New York) K Dransfeld P Kienle G M Kalvius H-J Koumlrner W Zinth Physik 1-4 Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) BergmannSchaefer Lehrbuch der Experimentalphysik (8 Baumlnde) Walter de Gruyter (Berlin New York) D Halliday R Resnick J Walker Fundamentals of Physics John Wiley amp Sons (New York) H Stroppe Physik fuumlr Studenten der Natur- und Ingenieurwissenschaften Hanser Fachbuch-verlag (Muumlnchen Leipzig) H J Paus Physik in Experimenten und Beispielen Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Haumlnsel W Neumann Physik (4 Baumlnde) Spektrum Akademischer Verlag (Heidelberg) H Pfeifer H Schmiedel Grundwissen Experimentalphysik B G Teubner (Stuttgart Leipzig) A M Portis H D Young Physik und Experiment (Band 6 des Berkeley Kurses Physik) F Vieweg und Sohn (Braunschweig) J Orear Physik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) D C Giancoli Physik Pearson Education Deutschland GmbH (Muumlnchen)

IV

LITERATUR

R P Feynman R B Leighton M Sands Feynman Vorlesungen uumlber Physik (3 Baumlnde) Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) Taschenbuumlcher und Nachschlagewerke fuumlr Formeln und Daten H Stoumlcker Taschenbuch der Physik Verlag Harri Deutsch (Frankfurt a M) D Mende G Simon Physik - Gleichungen und Tabellen Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Kuchling Taschenbuch der Physik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Ebert Physikalisches Taschenbuch F Vieweg amp Sohn (Braunschweig) H Heinemann H Kraumlmer H Zimmer Kleine Formelsammlung Physik Hanser Fachbuch-verlag (Muumlnchen Leipzig) F Kohlrausch V Kose S Wagner Praktische Physik (3 Baumlnde) B G Teubner (Stuttgart Leipzig) Buumlcher zur Messtechnik P Profos T Pfeifer (Hrsg) Grundlagen der Messtechnik Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) G Heyne Elektronische Messtechnik - Eine Einfuumlhrung fuumlr angehende Wissenschaftler Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) J Hoffmann Taschenbuch der Messtechnik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) J Niebuhr G Lindner Physikalische Messtechnik mit Sensoren Oldenbourg Industrieverlag (Muumlnchen) D Benda Wie misst man mit dem Oszilloskop Franzis Verlag GmbH (Poing) R Lerch Elektrische Messtechnik Analoge digitale und computergestuumltzte Verfahren Springer (Berlin Heidelberg New York) W Pfeiffer Digitale Messtechnik Springer (Berlin Heidelberg New York)

V

F1 FEHLERVERTEILUNG

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Systematische und zufaumlllige Messabweichungen Messunsicherhei-ten Standardabweichung Vertrauensbereich absolute und relative Haumlufigkeit Gauszligsche Normalverteilung Summenhaumlufigkeit Wahrscheinlichkeitsnetz Stichprobe Grundgesamtheit Alle Messungen physikalischer Groumlszligen sind unvermeidlich mit Messabweichungen bzw -unsicherheiten behaftet Sind systematische Abweichungen ausgeschlossen dann streuen die Messwerte (i = 1 n) aufgrund zufaumllliger Abweichungen symmetrisch um den Mittel- bzw Erwartungswert

ixx Berechnet man die scheinbaren Abweichungen

xxv minus= ii (1)einer Messreihe und stellt die absolute bzw die relative Haumlufigkeit also bzw )(k iv

( ) ( ) nkh ii vv = grafisch als Funktion der Abweichungen vi dar dann erhaumllt man eine treppenfoumlrmige Verteilungs-kurve (s Abb 1) Dazu werden die Ab-weichungen vi in gleichgroszligen Inter-vallen ∆v (Klasseneinteilung) zusam-mengefasst Im Grenzfall mit infinrarrn und Intervallbreite genuumlgen die Abweichungen v meist einer Normal-verteilung (Gauszlig-Verteilung)

0rarr∆v

Abb 1 Histogramm einer Normalverteilung ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus= 2

2

2exp

21

σσπϕ vv (2)

Diese Verteilung (ausgezogene Kurve in Abb 1) zeigt folgende Eigenschaften 1 Die Normalverteilung hat fuumlr v ein Maximum ist symmetrisch bezuumlglich dieses Maxi-

mums und strebt mit wachsendem v asymptotisch gegen Null = 0

2 Die Normalverteilung hat Wendepunkte bei σplusmn=v (σ ist die Standardabweichung) 3 Der Parameter σ bestimmt die Breite der Normalverteilung Bei kleinem σ entsteht eine

bdquoschlankeldquo Kurve mit geringer Streuung der Messergebnisse (svw wie groszlige bdquoGenauig-keitldquo der Messmethode) Ein groszliges σ bedeutet entsprechend das Gegenteil

Die Uumlberpruumlfung ob eine Messreihe (Stichprobe) einer Normalverteilung genuumlgt ist mit Hilfe bestimmter statistischer Verfahren moumlglich von denen einige in diesem Versuch ange-wandt werden Die statistische Analyse einer Messreihe setzt aber eine bdquohinreichendldquo groszlige Zahl von Messwerten voraus VERSUCHSDURCHFUumlHRUNG Im Regelfall wird der Versuch im Houmlrsaal mit allen Studierenden gemeinsam durchgefuumlhrt Uumlber einen Projektor (Beamer) wird eine Skale mit einer Marke (Zeiger) gezeigt Die Lage dieser Marke schaumltzt jeder Student fuumlr sich auf 001 Skalenteile genau und notiert sich im Messprotokoll seinen Mess- bzw Schaumltzwert Der wahre Wert wurde noch vor der Anzeige als Zufallszahl erzeugt und ist daher bekannt Dieser Wert wird unmittelbar nach erfolgter individueller Schaumltzung angesagt bzw gezeigt und im Messprotokoll ebenfalls notiert Insgesamt sind in diesem Versuch 100 Schaumltzungen auszufuumlhren

ix iwx

Diese Vorgehensweise erfordert eine hohe Konzentrationsfaumlhigkeit und Disziplin

1

F1 FEHLERVERTEILUNG

AUFGABEN 1 Ermittlung der Stichprobe 100 Schaumltzwerte xi der Stellung einer Marke und die zugehoumlri-

gen Werte xwi werden notiert Fuumlr die Datentabelle empfiehlt sich hier folgendes Schema vii xi xwi + 0 -

1 (176) (175) (001) 2 Berechnung der scheinbaren Abweichungen wiii xxv minus= 3 Vorzeichentest Man bestimme die Zahl n+ der positiven und die Zahl n- der negativen Ab-

weichungen vi Da die Abweichungen vi bei Annahme einer Normalverteilung symmet-risch zum Wert vi = 0 liegen sollten die Zahlen n+ und n- annaumlhernd gleich groszlig sein Wenn n die Zahl aller Messwerte ist muss fuumlr den positiven Ausgang des Vorzeichentests

nnn leminus minus+ erfuumlllt sein nplusmn ist die zu erwartende statistische Schwankung beim Stichprobenumfang n

4 Fuumlr die weitere Auswertung der Ergebnisse empfiehlt sich eine Tabelle in der die schein-baren Abweichungen ihrer Groumlszlige nach geordnet werden nach folgendem Schema

vj vj2 Strichliste k(vj) k(vj)middot vj

2 h(vj) H(vj) (min vj)

(max vj) 1000

Kontrollen 100 22 )( jji vvkv sdot= sumsum 1000

In diese Tabelle werden die Messwerte von Aufgabe 1 uumlbertragen indem man sie der Reihe nach durchgeht und bei dem entsprechenden in der Spalte bdquoStrichlisteldquo durch einen Strich markiert Die Zahl der Striche ergibt dann die absolute Haumlufigkeit

jv)(vk j

5 Mit 22 )(11jji vvk

nv

ns sdotplusmn=plusmn= sumsum wird aus den Abweichungen vi die empirische

Standardabweichung berechnet die eine Naumlherung fuumlr die Standardabweichung σ der Normalverteilung nach Gleichung (2) darstellt Im Nenner tritt hier n anstelle von n-1 auf weil bei diesem Versuch (ausnahmsweise) der wahre Wert der Messgroumlszlige bekannt ist

6 Die ermittelten relativen Haumlufigkeiten nvkvh jj )()( = der Abweichungen vj werden grafisch als Funktion von vj dargestellt (Histogramm Balkendiagramm) Durch das Histogramm versuche man nach Augenmaszlig eine Normalverteilungskurve zu legen

7 Mit den relativen Haumlufigkeiten aus Aufgabe 6 berechne man die Summenhaumlufigkeit und stelle diese Summenhaumlufigkeit H(vsum

le

=jk vv

kj vhvH )()( j) grafisch als Funktion von vj in

Form eines Histogramms (Balkendiagramm) dar 8 Test mit Wahrscheinlichkeitspapier Die Wertepaare der Summenhaumlufigkeitskurve (s

Aufgabe 7) uumlbertrage man auf ein Wahrscheinlichkeitsnetz und lege durch die Punkte im mittleren Bereich eine ausgleichende Gerade

9 Man entnehme der Darstellung auf dem Wahrscheinlichkeitsnetz (Aufgabe 8) bei H(vrsquo) = 016 (bzw 16) und H(vrsquorsquo) = 084 (bzw 84) die zugehoumlrigen Werte vrsquo und vrsquorsquo und vergleiche (vrsquorsquo-vrsquo)2 mit dem Wert der empirischen Standardabweichung (Aufgabe 5)

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr die Auswertung und das Verstaumlndnis des Versuches wird unbedingt die Lektuumlre der ent-sprechenden Abschnitte des Praktikumsskripts bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstellung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo empfohlen Die Druckvorlage fuumlr ein Wahrscheinlichkeitsnetz ist auf der Webseite des Grundpraktikums zu finden

2

F2 VOLUMENMESSUNG

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Auftriebskraft In diesem einfachen Versuch werden drei Methoden unterschiedlicher Genauigkeit zur Bestimmung des Volumens eines Probekoumlrpers verwendet und miteinander verglichen hin-sichtlich der jeweiligen Messunsicherheit 1 Methode (Uumlberlaufgefaumlszlig) Ein mit einem Uumlberlauf versehener Glasbehaumllter wird bis zum Uumlberlaufen mit Wasser gefuumlllt Durch Eintauchen des Probekoumlrpers dessen Volumen V1 bestimmt werden soll wird Wasser verdraumlngt das in einen Messzylinder flieszligt 2 Methode (Geometrie des Koumlrpers) Der Probekoumlrper ist ein Zylinder sein Volumen kann aus dem Durchmesser d und der Houmlhe h nach

hdV 22 4

π= (1)

berechnet werden 3 Methode (Auftriebsmessung) Der Probekoumlrper vom Volumen V3 wird mit einer Labor-waage mit symmetrischem Waagebalken in Luft gewogen Man benoumltigt fuumlr das Gleich-gewicht die Massennormale zur Kompensation der Gewichtskraft des Probekoumlrpers Taucht man ihn in Wasser (Dichte ρw ) dann erfaumlhrt er eine Auftriebskraft

1m gmF 1G =

3wA gVF ρ= (g = Fallbeschleunigung) Um die Waage wieder ins Gleichgewicht zu bringen benoumltigt man die Massennormale zur Kompensation der um die Auftriebskraft verminderten Gewichtskraft FG d h

2m AF

3w12 gV-gmgm ρ= Daraus folgt

w

213 ρ

mmV

minus= (2)

Die zur Bestimmung der Massenwerte und verwendete Laborwaage traumlgt in der Mitte des Waagebalkens einen Zeiger der uumlber einer Skale schwingt An seiner Stellung ist das Gleich-gewicht der Waage ablesbar Verschiebt sich durch eine einseitig wirkende Zusatz-masse ∆mrsquo die Zeigerstellung um ∆a dann bezeichnet man den Quotienten

1m 2m

maEprime∆

∆= (3)

als Empfindlichkeit der Waage sie ist ein Maszlig fuumlr ihre Guumlte und gestattet die Abschaumltzung der Messunsicherheit Systematische Messabweichungen der drei Methoden 1 Uumlberlaufgefaumlszlig Der sog Geraumltefehler ∆V des Messzylinders betraumlgt bei einem Nenninhalt von VN = 50 ml und einer Nenntemperatur von tN = 20 degC bis zu ∆V = plusmn 05 ml (4) Die Richtung und die Groumlszlige dieses Geraumltefehlers ∆V fuumlr voneinander abweichende Mess-temperatur und Nenntemperatur des Messzylinders wird mit Hilfe des thermischen Ausdehnungskoeffizienten des Glases abgeschaumltzt Ist das Nennvolumen des als Glasrohr betrachteten Messzylinders VN dann ist bei der Messtemperatur sein Volumen

Mt Nt

Mt ))(1( NMNM ttVV minus+= γ

mit als sog kubischem thermischem Ausdehnungskoeffizienten des Glases Daraus ergibt sich

-15 K1072 minussdot=γ

3

F2 VOLUMENMESSUNG

( )NM tt minus=∆ γVV (5) 2 Geometrie des Koumlrpers Die sog Fehlergrenzen ∆I beider Messgeraumlte sind wenn I die gemessene Laumlnge ist von folgender Groumlszlige Messschieber ∆l = plusmn (5sdot10-5 m + 1sdot10-4 l) (6) Buumlgelmessschraube ∆l = plusmn (5sdot10-6 m + 1sdot10-5 l) (7) 3 Auftriebsmessung Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Probekoumlrpers und der Massennormale (Dichte

) bei der Waumlgung in Luft (Dichte ) liefert 33N mkg1084 sdot=ρ 3

L mkg12=ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+minusasymp

minus

minussdot

minus=prime

w

L

N

L3

wL

NL

w

213 1

11

ρρ

ρρ

ρρρρ

ρVV mm (8)

Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Aufhaumlngedrahtes von dem das Volumen ∆V im Wasser eintaucht ergibt VVV ∆minusprime=primeprime 33 (9) AUFGABEN 1 Ermittelung der einzelnen Messgroumlszligen fuumlr jede der drei Methoden und Berechnung der

Volumenwerte Vi 2 Berechnung bzw Abschaumltzung der zufaumllligen Messabweichungen fuumlr alle Messgroumlszligen 3 Groumlszligenordnungsmaumlszligige Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen aller drei

Methoden Soweit moumlglich und sinnvoll Korrektur systematischer Abweichungen Betrachtung systematischer Restfehler

4 Uumlbersichtliche Zusammenstellung der Messergebnisse der zufaumllligen und der systemati-schen Abweichungen sowie der Messunsicherheiten fuumlr die einzelnen Messgroumlszligen

5 Berechnung der Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr die mittelbar bestimmten Volumenwerte nach dem Fortpflanzungsgesetz

6 Berechnung des gewogenen Mittelwertes einschlieszliglich seiner Unsicherheit sofern moumlg-lich und sinnvoll

VERSUCHSHINWEISE Methode 1 Der Messzylinder wird vor dem Eintauchen des Probekoumlrpers mit etwas Wasser gefuumlllt und dieser Fuumlllstand VA als Bezugsgroumlszlige gewaumlhlt Nach dem Einlaufen des verdraumlng-ten Wassers liest man den Fuumlllstand VE am Messzylinder ab so dass sich als Volumen des Probekoumlrpers AE1 VVV minus= (10) ergibt Die Messungen werden sechsmal durchgefuumlhrt und Bruchteile der Skalenteile geschaumltzt Methode 2 Die Houmlhe des Zylinders h wird sechsmal mit einem Messschieber und sein Durchmesser d wird sechsmal an verschiedenen Stellen mit einer Buumlgelmessschraube gemes-sen Methode 3 Jede Waumlgung wird zweimal ausgefuumlhrt und der Groumlszligtfehler aus der Empfindlich-keit der Waage nach Gl (3) abgeschaumltzt Als Groumlszligtfehler wird die Zusatzmasse ∆m angege-ben die einen Zeigerausschlag ∆a = 1 Skalenteil bewirkt Die Dichte des Wassers ist tempe-raturabhaumlngig und wird einer grafischen Darstellung am Versuchsplatz entnommen

4

F2 VOLUMENMESSUNG

In Aufgabe 1 werden die einzelnen Messgroumlszligen sowie die drei Volumenwerte Vi und in Auf-gabe 2 die zufaumllligen Abweichungen der einzelnen Messgroumlszligen ermittelt In Aufgabe 3 sind die systematischen Abweichungen zu diskutieren wobei zwischen den Korrekturen und den systematischen Restfehlern zu unterscheiden ist Fuumlr Aufgabe 4 muumlssen die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen verglichen und in Aufgabe 5 die Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr alle drei Methoden festgelegt werden Uumlberlappen sich die Bereiche der Messunsicherheiten ∆Vi nicht dann liegen entweder grobe Messfehler vor oder es existieren noch weitere bisher nicht erfasste systematische Abwei-chungen Uumlberlappen sich dagegen die Bereiche der Messunsicherheiten dann kann der gewogene Mittelwert und die zugehoumlrige Messunsicherheit berechnet werden (Aufgabe 6)

5

F3 FADENPENDEL

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Massenpunktmodell mathematisches und physikali-sches Pendel Bewegungsgleichung Schwerkraft Newtonsche Axiome Schwingungsdifferen-tialgleichung Ein an einem Faden aufgehaumlngter Koumlrper stellt aufgrund der auf ihn wirkenden Schwerkraft und seiner Traumlgheit ein schwingungsfaumlhiges System dar Betrachtet man (idealisiert) einen punktfoumlrmigen Koumlrper der Masse m der an einem Faden der Laumlnge l haumlngt und lenkt ihn um einen Winkel φ (Abb 1) aus der Senkrechten aus dann fuumlhrt der Koumlrper nach dem Loslassen Schwingungen um die Senkrechte aus

Abbildung 1 Fadenpendel

Bei Vernachlaumlssigung der Masse des Fadens und der Luftreibung wirkt auf den Koumlrper in jedem Punkt der Bahn senkrecht nach unten die Gewichtskraft

gmFG sdot= (1)wobei g die Fallbeschleunigung ist Die Normalkomponente (normal zur Bahn des Koumlrpers)

ϕcossdotsdot= gmFn dieser Kraft findet ihre Gegenkraft in der in der Aufhaumlngung auftretenden Kraft und beeinflusst die Bewegung des Koumlrpers nicht Dagegen erzeugt die Tangentialkom-ponente ϕsinsdotsdot= gmFt der Gewichtskraft entsprechend der Newtonschen Bewegungs-gleichung

ϕsin2

2

sdotsdotminus=sdot=sdot gmsmdt

sdm (2)

eine Beschleunigung des Koumlrpers laumlngs der kreisfoumlrmigen Bahnkurve Zwischen dem Aus-lenkwinkel φ und der Bahnkurvenkoordinate s auf der Bahnkurve besteht die Beziehung

ϕsdot= ls Bei (zeitlich) konstanter Fadenlaumlnge l folgt daraus unmittelbar

dtdl

dtds ϕ

sdot= und 2

2

2

2

dtdl

dtsd ϕ

sdot= (3)

Fuumlr kleine Auslenkwinkel φ gilt die bekannte Naumlherung ϕϕ asympsin die ebenso wie (3) in die Bewegungsgleichung (2) eingesetzt werden kann Daraus erhaumllt man die Newtonsche Bewe-gungsgleichung fuumlr das mathematische Pendel mit

02

2

=sdot+sdot ϕϕ gdtdl (4)

Diese Schwingungsdifferentialgleichung einfachster Form kann mit dem Ansatz

6

F3 FADENPENDEL

)sin(0 ψωϕϕ +sdotsdot= t mit lg

=ω (5)

geloumlst werden Die hier zunaumlchst willkuumlrlich erscheinenden Konstanten heiszligen Amplitude φ0

bzw Phasenkonstante ψ und sind durch die konkreten Anfangsbedingungen fuumlr t = 0 festge-legt Das mathematische Pendel vollfuumlhrt demnach bei Auslenkung um kleine Winkel harmo-nische Schwingungen mit der Kreisfrequenz ω und der Periodendauer

glT π

ωπ 22== (6)

die unabhaumlngig von der Masse m und der Amplitude φ0 ist Die Beziehung (6) erlaubt prinzipiell bei bekannter Pendellaumlnge l durch Messung der Perio-dendauer T eine Bestimmung der Fallbeschleunigung g Allerdings ist die Pendellaumlnge l nur sehr ungenau zu bestimmen Deshalb bedient man sich hier zweckmaumlszligig eines einfachen Tricks Die Laumlnge l kann um genau einstellbare Betraumlge li veraumlndert werden und setzt sich gemaumlszlig zusammen Damit wird aus (6) durch entsprechende Umformung illl += 0

( )ii llgg

lT +sdot== 0

222 44 ππ (7)

Misst man nun die Periodendauern Ti fuumlr die entsprechenden li und stellt die Abhaumlngigkeit

Ti2(li) dar so ergibt sich eine Gerade mit dem Anstieg

g

24π und dem Achsenabschnitt

0

24 lg

sdotπ Damit werden die Groumlszligen g und l0 bestimmbar

Die oben vorgenommenen Vereinfachungen die zur Herleitung der Beziehung (6) verwendet wurden beduumlrfen noch einer weiteren Diskussion Betrachtung beliebiger Winkel Ohne die obige Beschraumlnkung auf kleine Winkel φ liefert die Loumlsung der sog elliptischen Differentialgleichung (2) fuumlr die Periodendauer das (exak-tere) Ergebnis

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdotsdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛sdot+sdot=

2sin

2sin1 042

43

21022

21 ϕϕ

ϕ TT (8)

wobei T durch die Beziehung (6) gegeben ist Beruumlcksichtigung des Auftriebs in Luft Der Massekoumlrper aus Blei mit der Dichte von ρK = 11340 kgm-3 und dem Volumen VK erfaumlhrt in Luft der Dichte ρL asymp 12 kgm-3 eine Auftriebskraft gVF KLA sdotsdot= ρ die der Gewichtskraft gVgmF KKG sdotsdot=sdot= ρ entgegen-gerichtet ist Unter Beruumlcksichtigung dieses Auftriebs in Luft erhaumllt man schlieszliglich fuumlr die Periodendauer

LK

KA TT

ρρρminus

sdot= (9)

Betrachtung fuumlr ausgedehnten Massekoumlrper Die Ausdehnung des schwingenden Koumlrpers kann man beruumlcksichtigen wenn man von der Bewegungsgleichung des sog physikalischen Pendels (vgl Versuch bdquoM9 Reversionspendelldquo) ausgeht Die genaue Betrachtung bzw Herleitung wird hier bewusst nicht angegeben sondern nur das Ergebnis Mit bekannten Abmessungen des Bleizylinders (Radius R und Houmlhe h) am Faden der Laumlnge l bestimmt sich die Periodendauer zu

2

22

1231

lhRTTs sdot

++sdot= (10)

7

F3 FADENPENDEL

Der Einfluss des Fadens wurde auch bei diesen Betrachtungen aber ebenso vernachlaumlssigt wie die auftretende Reibung Es ist sicherlich empirisch einsichtig dass schwache Reibung zu einer gedaumlmpften Schwingung fuumlhren wird Die Schwingungsamplitude klingt dann

exponentiell mit sehr groszliger Zeitkonstante τ wie τt

eminus

ab AUFGABEN 1 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine feste Fadenlaumlnge Die Zeitmessung erfolgt fuumlr 10

Schwingungen jeweils zehnmal an einem Umkehrpunkt und beim Nulldurchgang des Pendels Berechnung von Mittelwerte Standardabweichung und Vertrauensbereich der Periodendauer und Diskussion der Unterschiede zwischen beiden Verfahren

2 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine Schwingung beim Nulldurchgang mit zehnfacher Messung Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung anschlieszligend Vergleich mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe 1 und Diskussion der Unterschiede

3 Bestimmung der Periodendauer fuumlr 10 verschiedene Fadenlaumlngen li Aus jeweils 2 Messungen fuumlr 10 Schwingungen sind die Mittelwerte fuumlr die Periodendauern Ti(li) zu berechnen

4 Grafische Darstellung der Ergebnisse der 3 Aufgabe in der Form Ti2(li) in einem

Diagramm Verwendung von Gleichung (7) zur Bestimmung von Fallbeschleunigung g und Anfangslaumlnge des Pendels l0 sowohl durch grafischen Geradenausgleich als auch numerische lineare Regression mit Ermittlung der zugehoumlrigen Unsicherheiten

5 Aus den Ergebnissen der 4 Aufgabe fuumlr l0 und g ist gemaumlszlig Gleichung (6) die Periodendauer T einschlieszliglich ihrer Unsicherheit zu berechnen und mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe zu vergleichen

6 Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen fuumlr die Periodendauer gemaumlszlig der og drei Gleichungen (8-10) und ihres Einflusses auf die g-Bestimmung Diskussion der Relevanz entsprechender Korrekturen

VERSUCHSHINWEISE Ein gegossener Bleizylinder (Radius R asymp 23 mm Houmlhe h asymp 23 mm Masse m asymp 08 kg) haumlngt an einem duumlnnen Stahldraht Die Pendellaumlnge laumlsst sich durch einen Schieber in dessen Fuumlhrung der Draht laumluft veraumlndern Die Laumlngenaumlnderung kann mit Hilfe von Ringmarken deren Abstand 2 cm betraumlgt eingestellt werden Bei Auslenkung des Pendels aus seiner Ruhelage fuumlhrt es Schwingungen aus deren Periodendauer mit einer von Hand ausgeloumlsten Stoppuhr bestimmt wird Fuumlr die ersten beiden Aufgaben ist zweckmaumlszligig (warum) eine moumlglichst groszlige Fadenlaumlnge zu waumlhlen Die zugehoumlrige Stellung des Schiebers ist unbedingt zu notieren da sie spaumlter benoumltigt wird Fuumlr die 3 Aufgabe wird die Anfangsfadenlaumlnge l0 um die Werte li (i = 110) in Schritten von 4 cm verringert Fuumlr die mit der 4 Aufgabe erforderliche Auswertung sind grafische Mittel (Anstiegsdreieck grafische Extrapolation auf den Achsenabschnitt) und ein rechentechnisches Verfahren (lineare Regression) einzusetzen Fuumlr Aufgabe 5 ist das bei Aufgabe 4 bestimmte Ergebnis fuumlr die Anfangslaumlnge l0 zu verwenden Bei Aufgabe 6 muss ermittelt werden wie sich die Korrekturen der Schwingungsdauer gemaumlszlig (8-10) auf die Fallbeschleunigung g auswirken Beachten Sie hier dass g aus dem Anstieg der Geraden gemaumlszlig der 4 Aufgabe nach Gleichung (7) bestimmt wird Uumlberlegen Sie welche zufaumllligen und welche systematischen Abweichungen die Messunsicherheit der Fallbeschleunigung g wesentlich bestimmen

8

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Traumlgheitsgesetz Grundgesetz der Dynamik Feder-konstante Federkraft harmonische Schwingung Frequenz Periodendauer Amplitude In diesem Versuch soll die Federkonstante einer Schraubenfeder mit drei verschiedenen Methoden bestimmt werden Bei der Auswertung der Ergebnisse sind Grundbegriffe und Methoden der Fehlerrechnung und ndashanalyse gezielt anzuwenden und zu uumlben 1 Statische Messung der Federkonstanten Wird eine am oberen Ende eingespannte Schraubenfeder am unteren Ende durch Anhaumlngen einer Masse m belastet so wird die Feder gedehnt und es stellt sich eine neue Ruhelage ein (Abb 1 statischer Fall) Die Gewichtskraft

gmFG sdot= und die durch die elastische Verformung entstehende Federkraft (mit k als Federkonstante) stehen im Gleichgewicht (Newtonsches Traumlgheitsgesetz)

xkFF sdotminus=

0=+ FG FF (1)

Abbildung 1 Statische und dynamische Belastung einer Schraubenfeder

Durch Einsetzen der Beziehungen fuumlr beide Kraumlfte und einfache Umstellung ergibt sich daraus

kgmx sdot

= (2)

Die statische Auslenkung x der Schraubenfeder muss demnach linear von der Belastung m abhaumlngig sein Durch die experimentelle Untersuchung der Abhaumlngigkeit x(m) kann sowohl die Linearitaumlt des Federkraftgesetzes xkFF sdotminus= uumlberpruumlft als auch die Federkonstante k bestimmt werden 2 Dynamische Messung der Federkonstanten Lenkt man eine mit der Masse m belastete Feder aus ihrer Ruhelage aus (Abb 1 dynamischer Fall) dann wirkt eine ruumlcktreibende

Federkraft und die Masse m erfaumlhrt eine Beschleunigung xkFF sdotminus=mFx

dtxda F=== 2

2

nach

dem Newtonschen Grundgesetz der Dynamik Fuumlr die weiteren Betrachtungen sollen jegliche Reibungskraumlfte vernachlaumlssigt werden daher ergibt sich aus der Newtonschen Bewegungs-gleichung hier die einfachste Form einer Schwingungsdifferentialgleichung mit

02

2

=sdot+sdot xkdt

xdm (3)

9

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

die eine freie ungedaumlmpfte Schwingung beschreibt Mit den willkuumlrlich ausgewaumlhlten Anfangsbedingungen (Anfangslage) und 0)0( xtx == 0)0( 0 === vtx (Anfangsgeschwin-digkeit) lautet ihre Loumlsung

)cos()( 0 txtx sdotsdot= ω (4)wobei physikalisch x0 als Amplitude und mk=ω als Kreisfrequenz der freien ungedaumlmpf-ten Federschwingung bezeichnet werden Der Koumlrper der Masse m schwingt nach Auslen-kung (aus der Gleichgewichts- bzw Ruhelage um x0) in Form einer harmonischen Schwin-gung mit der Periodendauer

kmT π

ωπ 22== (5)

die experimentell direkt gemessen werden kann Aus (5) ist bei bekannter Masse m die Feder-konstante k bestimmbar 3 Berechnung der Federkonstanten aus der Geometrie und den Materialeigenschaften der Schraubenfeder Durch eine Auslenkung aus der Ruhelage wird die Schraubenfeder gedehnt und damit der gesamte Federdraht auf sog Torsion (svw bdquoVerdrehungldquo oder bdquoVerdrillungldquo) beansprucht Ohne weitere Herleitung sei hier eine Beziehung angegeben die es gestattet aus dem sog Torsionsmodul G (als Materialkonstante des Federdrahtes) und den geometrischen Daten der Schraubenfeder (Drahtlaumlnge l Drahtdurchmesser d und Wickel-radius r) die Federkonstante k zu berechnen

2

4

32 rldGksdotsdot

sdot=π (6)

AUFGABEN 1 Aus dem statischen Verhalten einer Schraubenfeder ist deren Federkonstante experimentell

zu bestimmen Dazu ist gemaumlszlig Beziehung (2) die statische Auslenkung x in Abhaumlngigkeit von der Belastung m mit verschiedenen Massestuumlcken zu messen Die Daten sind in der Form x = x(m) als Diagramm grafisch darzustellen und daraus die Federkonstante k zu er-mitteln Fuumlr die zu erwartende lineare Abhaumlngigkeit ist sowohl mit einfacher grafischer Methode (bdquoSteigungsdreieckldquo) als auch numerisch (Geradenausgleichsrechnung lineare Regression) der Anstieg von x = x(m) und daraus die Federkonstante (jeweils auch ein-schlieszliglich der Messunsicherheit) zu bestimmen

2 Mithilfe des dynamischen Verhaltens des Federschwingers ist fuumlr dieselbe Feder die Federkonstante aus der experimentell beobachteten Periodendauer der Schwingung zu bestimmen (jeweils auch einschlieszliglich der Messunsicherheit) Dazu ist Formel (5) bei be-kannter und sinnvoll gewaumlhlter Masse m zu nutzen

3 Mithilfe von Formel (6) ist aus den Daten der Schraubenfeder die am Versuchsplatz angegeben sind die Federkonstante k einschlieszliglich ihrer resultierenden Unsicherheit zu berechnen

4 Die Obergrenzen fuumlr systematische Messabweichungen bei den ersten beiden Aufgaben (statische und dynamische Messung der Federkonstanten) sind abzuschaumltzen (Groumlszligenord-nungen) Es ist zu analysieren welche dieser systematischen Abweichungen korrigierbar sind und welche dann tatsaumlchlich in die Messunsicherheit des Endergebnisses eingehen

5 Fuumlr alle drei Methoden (Aufgaben 1-3) sind die Ergebnisse (einschlieszliglich Messunsicher-heit) fuumlr die Federkonstante uumlbersichtlich darzustellen miteinander zu vergleichen und zu diskutieren Sofern moumlglich ist ein gewichteter Mittelwert zu ermitteln

10

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

VERSUCHSHINWEISE Die Schraubenfeder ist mit einem Ende an einem Stativ befestigt Zur Messung der Auslen-kung der Feder aus der Ruhelage wird die Stellung der an der Feder befindlichen Marke M (Abb 1) auf einer Spiegelskale abgelesen (Welchen Vorteil bietet eine Spiegelskale gegen-uumlber einer einfachen Skale) Die sog Verkehrsfehlergrenze der Massennormale ist fuumlr die Masse m = 50 g mit ∆m = plusmn 01 g festgelegt Bei Messung einer Laumlnge l mit der Spiegelskale ist die Messunsi-cherheit ∆l = plusmn (02 mm + 5middot10-4middotl) Fuumlr die Fallbeschleunigung ist (lt Festlegung der Eichbe-houmlrden der Laumlnder fuumlr Waagen) ein Wert von g = (98130 plusmn 00001) mmiddots-2 zu verwenden Fuumlr die 1 Aufgabe wird die Feder schrittweise bis 400 g mit Massestuumlcken von 50 g belastet und mit Hilfe einer Spiegelskale an der Marke M die Auslenkung x gemessen (erste Mess-reihe) Nach Erreichen der Houmlchstbelastung von 400 g ist dann die Feder wieder schrittweise zu entlasten (zweite Messreihe) a) Aus der grafischen Darstellung x = x(m) ist mithilfe des bdquoSteigungsdreiecksldquo der Anstieg

gk grafisch zu ermitteln und seine Unsicherheit entsprechend abzuschaumltzen (vgl Einfuumlh-rungsskript) Daraus sind dann die Federkonstante k als mittelbar bestimmter Groumlszlige und ihre Unsicherheit ∆k zu berechnen

b) Durch lineare Regression ist mithilfe geeigneter Software (s Einfuumlhrungsskript und Vorle-sung) der Anstieg und seine Unsicherheit numerisch zu ermitteln daraus ebenfalls wieder die Federkonstante und deren Unsicherheit

Fuumlr die 2 Aufgabe wird die Feder mit einer Gesamtmasse von 400 g belastet und 10mal die Zeit fuumlr jeweils 20 Schwingungen mithilfe einer Stoppuhr gemessen Daraus ist der Mittel-wert der Periodendauer T und ihr Vertrauensbereich sT zu berechnen und mittelbar damit die Federkonstante k uumlber Gleichung (5) mit ihrer Messunsicherheit a) Zur Genauigkeit der Messung mit Stoppuhren sind im Einfuumlhrungsskript ausfuumlhrliche Hin-

weise enthalten Entsprechend den dort enthaltenen Angaben sind die systematischen Messabweichungen mit ihrer Auswirkung auf die Periodendauer und die Federkonstante realistisch abzuschaumltzen

b) Bezuumlglich der Massen ist bereits ein Hinweis bei Aufgabe 1 gegeben worden Zusaumltzlich muumlsste noch der Einfluss der Eigenmasse der Feder von mF asymp 5 g auf die Periodendauer beruumlcksichtigt werden Die Teile der Feder nehmen unterschiedlich an der Bewegung teil es kann als zu beruumlcksichtigende Zusatzmasse macute= mF3 gesetzt werden Somit ergibt sich

fuumlr die Periodendauer m

mTk

mmT F

312acute +=

+= π

c) Auch bei sehr sorgfaumlltiger Anfangsauslenkung fuumlhrt der Federschwinger nach einigen Schwingungen unvermeidlich seitliche Schwingungen aus Wie beeinflusst diese Bewe-gung die gemessene Periodendauer Man uumlberlege sich auch welche Auswirkungen die in der Betrachtung vernachlaumlssigte aber unvermeidlich auftretende Reibung auf das Ergebnis dieses Verfahrens hat

Fuumlr die 3 Aufgabe sind am jeweiligen Versuchsplatz die Messunsicherheiten der einzelnen Groumlszligen mit angegeben Eine Unterscheidung von zufaumllligen und systematischen Komponen-ten ist hier allerdings nicht moumlglich Fuumlr Aufgabe 5 ist eine tabellarische Darstellungsweise vorzuziehen In Zusammenhang mit dem gewogenen Mittelwert ist zu analysieren unter welchen Bedingungen er uumlberhaupt sinn-voll gebildet werden kann

11

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Dichte Auftriebskraft Analy-senwaage Pyknometer Ein sog Pyknometer ist ein Geraumlt zur Bestimmung der Dichte fester Koumlrper Es besteht aus einem Glasgefaumlszlig mit eingeschliffenem Stopfen der eine kapillare Bohrung hat Das Pykno-meter kann reproduzierbar mit groszliger Genauigkeit mit Wasser gefuumlllt werden Zur Dichtebe-stimmung mit dem Pyknometer sind drei Waumlgungen mit einer Analysenwaage noumltig wobei der Auftrieb der zu waumlgenden Koumlrper (Probe bzw Pyknometer) in Luft (Dichte ρL) zu beruumlck-sichtigen ist 1 Waumlgung der Probe in Luft Fuumlr eine Probe (Masse m1 Volumen V1) wird die Gewichts-kraft durch die ihr entgegengesetzt gerichtete Auftriebskraft gmF sdot= 11 gVF LA sdotsdot= ρ11 vermindert so dass im Gleichgewicht die Waage den Wert m1rsquo anzeigt Die Gleichgewichts-bedingung liefert

111 mVm L =sdotminus ρ (1)2 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers Das vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllte Pykno-meter (Volumen VP) hat die Gesamtmasse m2 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m2rsquo an so dass gilt

22 mVm LP =sdotminus ρ (2)3 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers mit Probe Das mit Wasser und der Probe gefuumlllte Pyknometer hat die Gesamtmasse m3 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m3rsquo an so dass gilt

33 mVm LP =sdotminus ρ (3)Zwischen den Massen m1 m2 und m3 besteht der Zusammenhang

232311 mmmmVm W minus=minus=sdotminus ρ (4)wobei ρW die Dichte des Wassers ist Zur Bestimmung der Dichte ρ1 der Probe kann man aus den Gleichungen (1) und (4) die Unbekannten m1 und V1 ermitteln Man erhaumllt

)()(

231

231

1

11 mmm

mmmVm LW

minusminussdotminusminussdot

==ρρρ (5)

AUFGABEN 1 Bestimmung der Masse m1rsquo fuumlr zwei verschiedene Metallproben (Al und Cu) durch

Waumlgung in Luft Fuumlr jede Probe erfolgt die Waumlgung sechsmal wobei die Probe immer neu auf die Waage zu legen ist Bestimmung der zugehoumlrigen Mittelwerte

2 Bestimmung der Masse m2rsquo des vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllten Pyknometers durch Waumlgung Die jeweils erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt sechsmal Bestimmung des Mittelwertes

3 Bestimmung der Masse m3rsquo des mit Wasser und jeweiliger Metallprobe gefuumlllten Pykno-meters durch Waumlgung Die erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt fuumlr jede Probe sechsmal Bestimmung der Mittelwerte

4 Berechnung der Dichte der beiden Metallproben nach Gleichung (5) 5 Bestimmung der jeweiligen Messunsicherheiten fuumlr die unmittelbar gemessenen Groumlszligen

m1rsquo m2rsquo und m3rsquo fuumlr beide Proben 6 Abschaumltzung bzw Berechnung (Fortpflanzung) der resultierenden Messunsicherheiten der

mit (5) mittelbar bestimmten beiden Dichten Vergleich der Ergebnisse fuumlr die beiden Dichten mit Referenzwerten

12

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

VERSUCHSHINWEISE Die Waumlgungen werden mit einer elektronischen Analysenwaage durchgefuumlhrt bei der die auf-gelegte Last (Abb 1 oberer Pfeil) durch eine elektromagnetische Kraft kompensiert wird Mit einer optoelektronischen Abtastung (1) wird die Stellung der Waagschale (2) gemessen und mit diesem Signal der Kompensationsstrom in der Spule (3) gesteuert Der Kompensations-strom erzeugt zwischen Permanentmagnet (4) und Spule eine Kraft so dass die Waagschale in die Null-Lage zuruumlckgefuumlhrt wird der Strom ist der Last proportional Zur Durchfuumlhrung der Waumlgungen beachte man unbedingt die Hinweise des Versuchsbetreuers und die Platz-anleitung

Abb1 Messprinzip der eAnalysenwaage

lektronischen

Fuumlr Aufgabe 2 wird das Pyknometer bis zum Rand mit destilliertem Wasser gefuumlllt wobei die Bildung von Luftblaumlschen zu vermeiden ist Verschlieszligt man das Pyknometer mit dem ange-schliffenen Stopfen so laumluft Wasser uumlber das sehr sorgfaumlltig mit Filterpapier abzuwischen ist Das Anfassen des Pyknometers muss aumluszligerst vorsichtig erfolgen um seine Erwaumlrmung zu vermeiden (warum) Nach dem Abwischen wird mit Filterpapier der auf der Kapillare stehende Tropfen abgenommen so dass die Kapillare bis oben mit Wasser gefuumlllt ist Fuumlr die durchzufuumlhrenden Waumlgungen ist das Pyknometer stets erneut zu befuumlllen Fuumlr Aufgabe 3 wird der Probekoumlrper in das Pyknometer gebracht und dann mit destilliertem Wasser aufgefuumlllt weiter ist sinngemaumlszlig wie bei Aufgabe 2 zu verfahren Fuumlr Aufgabe 4 sind zusaumltzlich zu den Werten m1rsquo m2rsquo und m3rsquo auch der Luftdruck p sowie die Zimmer- und Wassertemperatur zu bestimmen Die Temperaturen koumlnnen als gleich vor-ausgesetzt werden da das destillierte Wasser sich bereits sehr lange im Versuchsraum befin-det Die temperaturabhaumlngige (s Abb 2) Dichte ρW von reinem (luftfreiem) Wasser laumlsst sich im Temperaturintervall 0degC lt θ lt 40degC naumlherungsweise berechnen mit

4-73-52323 1046657-10772108768-1066299984)( θθθθρ sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot+=sdot minusminusminusmkgw

wobei die Temperatur θ in degC einzusetzen ist (Fehler der Naumlherung ) Diese Naumlhrung gilt bei sog Normaldruck (p

3210 minusminus sdotlt∆ mkgWρN = 1013 kPa) Warum kann die Druckabhaumlngig-

keit hier vernachlaumlssigt werden Die Druckabhaumlngigkeit muss aber bei der Luftdichte unbedingt beruumlcksichtigt werden ebenso wie die Luftfeuchtigkeit (warum) Man verwendet die Beziehung

TRp

fL sdot=ρ

13

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

wobei p der Luftdruck (in Pa) T die Lufttemperatur (in K) und Rf die Gaskonstante feuchter Luft ist Diese Gaskonstante Rf berechnet sich wiederum aus

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdotminus

=

d

ld

lf

RR

pp

RR11 ϕ

0 10 20 30 40992

993

994

995

996

997

998

999

1000

Dic

hte ρ w

(kg

m3 )

Temperatur θ (degC)

-10 0 10 20 3011

12

13

Dic

hte ρ L (k

gm

3 )Temperatur θ (degC)

Abb 2 Temperaturabhaumlngigkeit der Dichte fuumlr (reines) Wasser und (trockene) Luft

Hier ist Rl = 28705 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante trockener Luft Rd = 461 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante von Wasserdampf und φ die relative Luftfeuchtigkeit Die Groumlszlige pd ist der Saumlt-tigungsdampfdruck von Wasser in Luft der sich empirisch mit der sog Magnus-Formel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+degsdot

sdot=θθ

CPapd 2241

504317exp213611)( im Intervall CC degleledegminus 7030 θ

berechnen laumlsst wobei θ wieder die Temperatur (in degC) ist Fuumlr Aufgabe 5 sind die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen der Waumlgungen zu ermitteln Die Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo werden alle mit der gleichen Analysenwaage ermittelt fuumlr die vom Hersteller eine Garantiefehlergrenze (systematischer Restfehler) von 02 mg angegeben wird Diese Garantiefehlergrenze ist fuumlr alle drei Massenwerte als geraumlte-bedingte systematische Abweichung zu beruumlcksichtigen Fuumlr die Messwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo haumlngt es von der sorgfaumlltigen Versuchsdurchfuumlhrung (Abtupfen des Wassers ) ab ob die zufaumlllige undoder die systematische Abweichung die Messunsicherheit bestimmt Fuumlr Aufgabe 6 ist nur die Messunsicherheit der Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo zu beruumlcksich-tigen Die berechneten Werte fuumlr die Dichten von Luft und Wasser koumlnnen als praktisch fehlerfrei angenommen werden

14

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Erster Hauptsatz der Thermodynamik Waumlrmemenge Waumlrmekapazitaumlt Richmannsche Mischungsregel Arbeit von Gleich- und Wechselstrom Waumlrmeaustauschkorrektur (s Skript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstel-lung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo) Waumlrme ist eine Energieform die zwischen Koumlrpern ausgetauscht wird oder in andere Energie-formen umgewandelt werden kann Fuumlhrt man einem Koumlrper der Masse m die Waumlrmemenge dQ zu dann ist die sich einstellende Temperaturerhoumlhung dT proportional zur zugefuumlhrten Waumlrmemenge

dTcmdQ sdotsdot= (1)wobei der Proportionalitaumltsfaktor c als spezifische Waumlrmekapazitaumlt mit der SI-Einheit Jmiddotkg-1middotK-1 bezeichnet wird und eine Stoffkonstante ist Aus (1) ergibt sich

dTdQ

mc sdot=

1 (2)

Das Produkt cmC sdot= (3)

mit der SI-Einheit JmiddotK-1 nennt man Waumlrmekapazitaumlt des Koumlrpers Zur Bestimmung von Waumlrmemengen benutzt man sog Kalorimeter wobei anisotherme Aus-fuumlhrungen mit sehr gut waumlrmeisolierten Gefaumlszligen am haumlufigsten verwendet werden Fuumlhrt man einem mit Wasser der Masse mW (teilweise) gefuumlllten Kalorimeter eine Waumlrmemenge ∆Q zu dann werden auszliger dem Wasser auch alle Teile des Kalorimeters wie zB Gefaumlszligwandung Thermometer und Ruumlhrer erwaumlrmt Die gesamte Waumlrmekapazitaumlt der Versuchsanordnung setzt sich also aus der des Wassers (mWmiddotcW) und der des Kalorimeters (CK) zusammen

( ) TCcmQ KWW ∆sdot+sdot=∆ (4)Die spezifische Waumlrmekapazitaumlt von Wasser hat als Stoffkonstante den Wert cW = 41813 kJmiddotkg-1middotK-1 (bei 25degC) Die Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorime-ters ist rechnerisch nur naumlherungsweise moumlglich deshalb wird sie ia experimentell ermittelt 1 Elektrische Methode Flieszligt durch einen Ohmschen Leiter (Heizspirale) an dem die Spannung U anliegt der Strom I dann entsteht im Zeitintervall ∆t in ihm eine der elektri-schen Energie aumlquivalente Waumlrmemenge

tIUQ ∆sdotsdot=∆ (5)Uumlbertraumlgt man diese Waumlrmemenge an das Wasser (Masse mW) und das Kalorimeter (Waumlrme-kapazitaumlt CK) dann steigt die Wassertemperatur gemaumlszlig (4) Bei verlustloser Waumlrmeuumlbertra-gung sind beide Waumlrmemengen gleich (Energieerhaltungssatz) und es gilt

( ) TCcmtIU KWW ∆sdot+sdot=∆sdotsdot (6)so dass CK bestimmt werden kann 2 Mischungsmethode Fuumlgt man kaltem Wasser der Masse m1 und Temperatur T1 in einem Kalorimeter warmes Wasser der Masse m2 und Temperatur T2 hinzu so findet ein Waumlrmeaus-tausch statt bis das gesamte Wasser die Mischungstemperatur Tm angenommen hat Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dass die vom warmen Wasser abgegebene Waumlrmeenergie

gleich der vom kalten Wasser und dem Kalorimeter aufgenommenen Waumlrmeenergie

)( 222 mW TTcmQ minussdotsdot=∆( ) )( 111 TTCcmQ mKW minussdot+sdot=∆ sein muss Der Energieerhaltungssatz in dieser

speziellen Form des Austausches von Waumlrmemenge heiszligt Richmannsche Mischungsregel und ergibt die Gleichung

( ) )()( 2211 mWmKW TTcmTTCcm minussdotsdot=minussdot+sdot (7)zur Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorimeters

15

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

AUFGABEN 1 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der elektrischen Methode gemaumlszlig (6) 2 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 1 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 3 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der Mischungsmethode mit (7) 4 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 3 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 5 Fuumlr beide Methoden fuumlhre man eine Bestimmung der Messunsicherheit der Waumlrmekapazi-

taumlt durch und vergleiche die Endergebnisse miteinander VERSUCHSHINWEISE Das Verfahren zur Waumlrmeaustauschkorrektur Bei kalorimetrischen Messungen ist ein Waumlrmeaustausch mit der Umgebung unvermeidlich (offenes thermodynamisches System) und meist stoumlrend Aus dem gemessenen zeitlichen Temperaturverlauf ist er aber abzulesen (s Abb 1)

DE

Abbildung 1 Zeitlicher Verlauf der Temperatur im Kalorimeter

In der Vorperiode erhaumllt man den ansteigenden Kurvenabschnitt ArarrB in der Nachperiode den abfallenden Kurvenabschnitt ErarrF Das liegt daran dass das Kalorimeter eben nicht adia-batisch bzw isentrop ist Die Temperatur der Kalorimeterfluumlssigkeit im Innern gleicht sich in beiden Abschnitten jeweils (asymptotisch) an die Umgebungstemperatur TU an wobei der Waumlrmefluss proportional zur Temperaturdifferenz ist Es laumlsst sich zeigen dass der Gleichge-wichtszustand zeitlich exponentiell angenommen wird Im vorliegenden Fall ist aber die ent-sprechende Zeitkonstante sehr groszlig im Vergleich zur Messzeit so dass die beiden Abschnitte ArarrB und ErarrF naumlherungsweise jeweils durch eine Gerade beschrieben werden duumlrfen Die-ser Sachverhalt gestattet es auszligerdem in diesen Abschnitten die Messwerte in groumlszligerer zeitli-cher Schrittweite aufzunehmen Aufgrund des real zeitlich ausgedehnten Waumlrmeaustausches mit der Umgebung beobachtet man einen stetigen und differenzierbaren Verlauf der Kurve im Abschnitt BrarrE Nur wenn die im Experiment zugefuumlhrte Waumlrme sofort verteilt wuumlrde waumlre die Temperaturkurve eine Sprungfunktion Das System braucht eine gewisse Zeit bis sich ein neues Gleichgewicht ein-stellen kann Es verhaumllt sich so als ob es uumlber ein ganzes Zeitintervall bdquoverschmiertldquo waumlre Es gilt also die Endzeit der Waumlrmezufuhr zu finden Sie liegt im Wendepunkt der Temperaturkurve weil sich dort die Richtung der Kruumlmmung aumlndert also Waumlrmezufuhr in Waumlrmeverlust uumlbergeht Nun laumlsst sich aber im Abschnitt BrarrE die Kurve T(t) nicht beliebig

F

Tem

pera

tur

T

∆T S

TU

A B C

Zeit

16

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

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O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

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O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

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O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

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O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

29

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

ORDNUNG UND SICHERHEIT

bull Eigene Notebooks koumlnnen in den Laboren selbstverstaumlndlich verwendet werden Netzteile duumlrfen aber nur dann an das 230V-Netz angeschlossen werden wenn sie in technisch ein-wandfreien Zustand sind

bull Das Praktikum beginnt puumlnktlich zur im bekannt gegebenen Kursplan genannten Uhrzeit ohne akademisches Viertel Verspaumltungen werden nur in absolut triftig begruumlndeten Faumlllen durch den Betreuer akzeptiert wobei mehr als 15 Minuten Verspaumltung grundsaumltzlich zum Ausschluss vom Versuch fuumlhren

bull Fuumlr die Ausfuumlhrung eines Versuches steht nur die im Kursplan ausgewiesene Zeit zur Verfuumlgung Alle Arbeiten sind puumlnktlich abzuschlieszligen da nur fuumlr die geplanten Versuchs-zeiten eine Betreuung und Aufsicht gewaumlhrleistet werden kann Eine Zeituumlberschreitung ist deshalb nicht zulaumlssig

bull Fuumlr einen erfolgreichen Abschluss muumlssen Sie alle Versuche gemaumlszlig dem Kursplan absolvie-ren Bei wirklich begruumlndeten Ausfaumlllen wie z B durch Erkrankung (Vorlage eines Kran-kenscheins erforderlich) entscheidet der Praktikumsleiter uumlber eine eventuelle Nachhol-moumlglichkeit

Arbeiten mit elektrischen Schaltungen bull Der Auf- und Abbau elektrischer Schaltungen hat stets im spannungslosen Zustand (Strom-

versorgungsgeraumlte aus Batterien und Steckernetzteile nicht angeschlossen) und uumlbersicht-lich zu erfolgen

bull Bei elektrischen Messgeraumlten ist auf richtige Polung Einstellung des richtigen Messberei-ches und Verwendung der richtigen Messeingaumlnge zu achten

bull Elektrische Schaltungen muumlssen vor der Inbetriebnahme vom zustaumlndigen Versuchsbetreuer uumlberpruumlft und unter Spannung stehende Anlagen staumlndig uumlberwacht werden

bull Spannungsfuumlhrende Teile duumlrfen nicht beruumlhrt werden Gefaumlhrliche Spannungen sind in jedem Fall durch Schutzvorrichtungen vor Beruumlhrung gesichert Es ist untersagt solche Schutzvorrichtungen auszliger Betrieb zu setzen

bull Bei Unfaumlllen ist die Spannung sofort abzuschalten (Notausschalter rote Tastschalter neben der Tuumlr) und unter Beachtung der Eigensicherung Ersthilfe zu leisten Jeder Unfall muss unverzuumlglich gemeldet werden

Brandschutz bull Das Rauchen ist im gesamten Praktikum (auch im Flur vor den Praktikumsraumlumen sowie im

gesamten Gebaumlude) untersagt bull Bunsenbrenner und elektrische Heizgeraumlte sind so aufzustellen dass sich keine benachbar-

ten Gegenstaumlnde entzuumlnden koumlnnen Offene Flammen und eingeschaltete Heizgeraumlte muumlssen staumlndig beaufsichtigt werden

bull Abgebrannte Streichhoumllzer gehoumlren nicht in Papierkoumlrbe noch glimmende Streichhoumllzer duumlrfen nicht weggeworfen werden

bull Brennbare Fluumlssigkeiten (wie zB Ethanol) sind von offenen Flammen fernzuhalten bull Wird ein Brand bemerkt so ist das sofort zu melden und es sind nach Moumlglichkeit Loumlsch-

maszlignahmen einzuleiten Nassloumlschung ist wegen der elektrischen Anlagen nicht zulaumlssig bull Jede(r) hat sich uumlber die Lage und Funktionsweise der Handfeuerloumlscher zu informieren Fluchtwege und Evakuierung bull Bei notwendig werdender Evakuierung (akustische Signalisierung oder Anweisung durch

Praktikumspersonal bzw Versuchsbetreuer) ist unter Mitnahme der persoumlnlichen Wert-sachen und unbedingt notwendiger Oberbekleidung (Menschenleben gehen vor) uumlber den Gang und die Treppenhaumluser (Auf keinen Fall mit dem Lift) das Gebaumlude geordnet und ohne Panik zu verlassen

bull Sammelpunkt ist die Wiese vor dem Gebaumlude zwischen Schilfbeet und Fahrradstaumlnder jede(r) meldet sich sofort beim zustaumlndigen Versuchsbetreuer

III

LITERATUR

Aus der sehr groszligen Anzahl von guten Lehr- und Fachbuumlchern die fuumlr den Gebrauch im Physikalischen Grundpraktikum (und auch daruumlber hinaus) geeignet sind ist hier eine kleine Auswahl ohne Anspruch auf Vollstaumlndigkeit und auch ohne jede Wertung aufgelistet Aus eigener Erfahrung heraus kann man Studierenden die nachfolgenden Saumltze nicht oft genug ans Herz legen Es gibt niemals das eine und einzige Lehr- bzw Fachbuch Buumlcher sind fuumlr einzelne Teil-gebiete der Physik unterschiedlich geeignet meistens muss doch in verschiedenen Buumlchern nachgeschlagen werden Jeder nimmt individuell auf seine Weise auf dieselben Inhalte werden unterschiedlich wahrgenommen Auch die Art der Gestaltung zB mit Grafiken Uumlbersichten usw spielt (je nach bevorzugter Wahrnehmungsweise) eine groszlige Rolle Es ist deshalb ganz sicher eine kluge Entscheidung sich verschiedene Lehr- und Fachbuumlcher in Bibliotheken anzusehen und sie auf ihre Eignung fuumlr den individuellen Gebrauch zu testen Es musskann nicht jedes Buch gekauft werden auch wenn es sehr attraktiv erscheint Das gilt ebenso fuumlr Taschenbuumlcher bzw Nachschlagewerke Buumlcher zum physikalischen Grund- oder Anfaumlngerpraktikum W Walcher Praktikum der Physik B G Teubner (Stuttgart Leipzig) H-J Eichler H-D Kronfeldt J Sahm Das Neue Physikalische Grundpraktikum Springer (Berlin Heidelberg New York) W Ilberg M Kroumltzsch D Geschke Physikalisches Praktikum B G Teubner (Stuttgart Leipzig) J Becker H-J Jodl Physikalisches Praktikum fuumlr Naturwissenschaftler und Ingenieure VDI-Verlag (Duumlsseldorf) H-J Kunze Physikalische Messmethoden (Teubner Studienbuumlcher) B G Teubner (Stuttgart Leipzig) Buumlcher zur Physik bzw Experimentalphysik D W Preston E R Dietz The Art of Experimental Physics John Wiley amp Sons (New York) D Halliday R Resnick J Walker Physik Wiley-VCH (Berlin) PA Tipler G Mosca Physik fuumlr Wissenschaftler und Ingenieure Spektrum Akademischer Verlag (Heidelberg) D Meschede Gerthsen Physik Springer (Berlin Heidelberg New York) K Dransfeld P Kienle G M Kalvius H-J Koumlrner W Zinth Physik 1-4 Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) BergmannSchaefer Lehrbuch der Experimentalphysik (8 Baumlnde) Walter de Gruyter (Berlin New York) D Halliday R Resnick J Walker Fundamentals of Physics John Wiley amp Sons (New York) H Stroppe Physik fuumlr Studenten der Natur- und Ingenieurwissenschaften Hanser Fachbuch-verlag (Muumlnchen Leipzig) H J Paus Physik in Experimenten und Beispielen Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Haumlnsel W Neumann Physik (4 Baumlnde) Spektrum Akademischer Verlag (Heidelberg) H Pfeifer H Schmiedel Grundwissen Experimentalphysik B G Teubner (Stuttgart Leipzig) A M Portis H D Young Physik und Experiment (Band 6 des Berkeley Kurses Physik) F Vieweg und Sohn (Braunschweig) J Orear Physik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) D C Giancoli Physik Pearson Education Deutschland GmbH (Muumlnchen)

IV

LITERATUR

R P Feynman R B Leighton M Sands Feynman Vorlesungen uumlber Physik (3 Baumlnde) Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) Taschenbuumlcher und Nachschlagewerke fuumlr Formeln und Daten H Stoumlcker Taschenbuch der Physik Verlag Harri Deutsch (Frankfurt a M) D Mende G Simon Physik - Gleichungen und Tabellen Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Kuchling Taschenbuch der Physik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Ebert Physikalisches Taschenbuch F Vieweg amp Sohn (Braunschweig) H Heinemann H Kraumlmer H Zimmer Kleine Formelsammlung Physik Hanser Fachbuch-verlag (Muumlnchen Leipzig) F Kohlrausch V Kose S Wagner Praktische Physik (3 Baumlnde) B G Teubner (Stuttgart Leipzig) Buumlcher zur Messtechnik P Profos T Pfeifer (Hrsg) Grundlagen der Messtechnik Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) G Heyne Elektronische Messtechnik - Eine Einfuumlhrung fuumlr angehende Wissenschaftler Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) J Hoffmann Taschenbuch der Messtechnik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) J Niebuhr G Lindner Physikalische Messtechnik mit Sensoren Oldenbourg Industrieverlag (Muumlnchen) D Benda Wie misst man mit dem Oszilloskop Franzis Verlag GmbH (Poing) R Lerch Elektrische Messtechnik Analoge digitale und computergestuumltzte Verfahren Springer (Berlin Heidelberg New York) W Pfeiffer Digitale Messtechnik Springer (Berlin Heidelberg New York)

V

F1 FEHLERVERTEILUNG

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Systematische und zufaumlllige Messabweichungen Messunsicherhei-ten Standardabweichung Vertrauensbereich absolute und relative Haumlufigkeit Gauszligsche Normalverteilung Summenhaumlufigkeit Wahrscheinlichkeitsnetz Stichprobe Grundgesamtheit Alle Messungen physikalischer Groumlszligen sind unvermeidlich mit Messabweichungen bzw -unsicherheiten behaftet Sind systematische Abweichungen ausgeschlossen dann streuen die Messwerte (i = 1 n) aufgrund zufaumllliger Abweichungen symmetrisch um den Mittel- bzw Erwartungswert

ixx Berechnet man die scheinbaren Abweichungen

xxv minus= ii (1)einer Messreihe und stellt die absolute bzw die relative Haumlufigkeit also bzw )(k iv

( ) ( ) nkh ii vv = grafisch als Funktion der Abweichungen vi dar dann erhaumllt man eine treppenfoumlrmige Verteilungs-kurve (s Abb 1) Dazu werden die Ab-weichungen vi in gleichgroszligen Inter-vallen ∆v (Klasseneinteilung) zusam-mengefasst Im Grenzfall mit infinrarrn und Intervallbreite genuumlgen die Abweichungen v meist einer Normal-verteilung (Gauszlig-Verteilung)

0rarr∆v

Abb 1 Histogramm einer Normalverteilung ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus= 2

2

2exp

21

σσπϕ vv (2)

Diese Verteilung (ausgezogene Kurve in Abb 1) zeigt folgende Eigenschaften 1 Die Normalverteilung hat fuumlr v ein Maximum ist symmetrisch bezuumlglich dieses Maxi-

mums und strebt mit wachsendem v asymptotisch gegen Null = 0

2 Die Normalverteilung hat Wendepunkte bei σplusmn=v (σ ist die Standardabweichung) 3 Der Parameter σ bestimmt die Breite der Normalverteilung Bei kleinem σ entsteht eine

bdquoschlankeldquo Kurve mit geringer Streuung der Messergebnisse (svw wie groszlige bdquoGenauig-keitldquo der Messmethode) Ein groszliges σ bedeutet entsprechend das Gegenteil

Die Uumlberpruumlfung ob eine Messreihe (Stichprobe) einer Normalverteilung genuumlgt ist mit Hilfe bestimmter statistischer Verfahren moumlglich von denen einige in diesem Versuch ange-wandt werden Die statistische Analyse einer Messreihe setzt aber eine bdquohinreichendldquo groszlige Zahl von Messwerten voraus VERSUCHSDURCHFUumlHRUNG Im Regelfall wird der Versuch im Houmlrsaal mit allen Studierenden gemeinsam durchgefuumlhrt Uumlber einen Projektor (Beamer) wird eine Skale mit einer Marke (Zeiger) gezeigt Die Lage dieser Marke schaumltzt jeder Student fuumlr sich auf 001 Skalenteile genau und notiert sich im Messprotokoll seinen Mess- bzw Schaumltzwert Der wahre Wert wurde noch vor der Anzeige als Zufallszahl erzeugt und ist daher bekannt Dieser Wert wird unmittelbar nach erfolgter individueller Schaumltzung angesagt bzw gezeigt und im Messprotokoll ebenfalls notiert Insgesamt sind in diesem Versuch 100 Schaumltzungen auszufuumlhren

ix iwx

Diese Vorgehensweise erfordert eine hohe Konzentrationsfaumlhigkeit und Disziplin

1

F1 FEHLERVERTEILUNG

AUFGABEN 1 Ermittlung der Stichprobe 100 Schaumltzwerte xi der Stellung einer Marke und die zugehoumlri-

gen Werte xwi werden notiert Fuumlr die Datentabelle empfiehlt sich hier folgendes Schema vii xi xwi + 0 -

1 (176) (175) (001) 2 Berechnung der scheinbaren Abweichungen wiii xxv minus= 3 Vorzeichentest Man bestimme die Zahl n+ der positiven und die Zahl n- der negativen Ab-

weichungen vi Da die Abweichungen vi bei Annahme einer Normalverteilung symmet-risch zum Wert vi = 0 liegen sollten die Zahlen n+ und n- annaumlhernd gleich groszlig sein Wenn n die Zahl aller Messwerte ist muss fuumlr den positiven Ausgang des Vorzeichentests

nnn leminus minus+ erfuumlllt sein nplusmn ist die zu erwartende statistische Schwankung beim Stichprobenumfang n

4 Fuumlr die weitere Auswertung der Ergebnisse empfiehlt sich eine Tabelle in der die schein-baren Abweichungen ihrer Groumlszlige nach geordnet werden nach folgendem Schema

vj vj2 Strichliste k(vj) k(vj)middot vj

2 h(vj) H(vj) (min vj)

(max vj) 1000

Kontrollen 100 22 )( jji vvkv sdot= sumsum 1000

In diese Tabelle werden die Messwerte von Aufgabe 1 uumlbertragen indem man sie der Reihe nach durchgeht und bei dem entsprechenden in der Spalte bdquoStrichlisteldquo durch einen Strich markiert Die Zahl der Striche ergibt dann die absolute Haumlufigkeit

jv)(vk j

5 Mit 22 )(11jji vvk

nv

ns sdotplusmn=plusmn= sumsum wird aus den Abweichungen vi die empirische

Standardabweichung berechnet die eine Naumlherung fuumlr die Standardabweichung σ der Normalverteilung nach Gleichung (2) darstellt Im Nenner tritt hier n anstelle von n-1 auf weil bei diesem Versuch (ausnahmsweise) der wahre Wert der Messgroumlszlige bekannt ist

6 Die ermittelten relativen Haumlufigkeiten nvkvh jj )()( = der Abweichungen vj werden grafisch als Funktion von vj dargestellt (Histogramm Balkendiagramm) Durch das Histogramm versuche man nach Augenmaszlig eine Normalverteilungskurve zu legen

7 Mit den relativen Haumlufigkeiten aus Aufgabe 6 berechne man die Summenhaumlufigkeit und stelle diese Summenhaumlufigkeit H(vsum

le

=jk vv

kj vhvH )()( j) grafisch als Funktion von vj in

Form eines Histogramms (Balkendiagramm) dar 8 Test mit Wahrscheinlichkeitspapier Die Wertepaare der Summenhaumlufigkeitskurve (s

Aufgabe 7) uumlbertrage man auf ein Wahrscheinlichkeitsnetz und lege durch die Punkte im mittleren Bereich eine ausgleichende Gerade

9 Man entnehme der Darstellung auf dem Wahrscheinlichkeitsnetz (Aufgabe 8) bei H(vrsquo) = 016 (bzw 16) und H(vrsquorsquo) = 084 (bzw 84) die zugehoumlrigen Werte vrsquo und vrsquorsquo und vergleiche (vrsquorsquo-vrsquo)2 mit dem Wert der empirischen Standardabweichung (Aufgabe 5)

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr die Auswertung und das Verstaumlndnis des Versuches wird unbedingt die Lektuumlre der ent-sprechenden Abschnitte des Praktikumsskripts bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstellung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo empfohlen Die Druckvorlage fuumlr ein Wahrscheinlichkeitsnetz ist auf der Webseite des Grundpraktikums zu finden

2

F2 VOLUMENMESSUNG

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Auftriebskraft In diesem einfachen Versuch werden drei Methoden unterschiedlicher Genauigkeit zur Bestimmung des Volumens eines Probekoumlrpers verwendet und miteinander verglichen hin-sichtlich der jeweiligen Messunsicherheit 1 Methode (Uumlberlaufgefaumlszlig) Ein mit einem Uumlberlauf versehener Glasbehaumllter wird bis zum Uumlberlaufen mit Wasser gefuumlllt Durch Eintauchen des Probekoumlrpers dessen Volumen V1 bestimmt werden soll wird Wasser verdraumlngt das in einen Messzylinder flieszligt 2 Methode (Geometrie des Koumlrpers) Der Probekoumlrper ist ein Zylinder sein Volumen kann aus dem Durchmesser d und der Houmlhe h nach

hdV 22 4

π= (1)

berechnet werden 3 Methode (Auftriebsmessung) Der Probekoumlrper vom Volumen V3 wird mit einer Labor-waage mit symmetrischem Waagebalken in Luft gewogen Man benoumltigt fuumlr das Gleich-gewicht die Massennormale zur Kompensation der Gewichtskraft des Probekoumlrpers Taucht man ihn in Wasser (Dichte ρw ) dann erfaumlhrt er eine Auftriebskraft

1m gmF 1G =

3wA gVF ρ= (g = Fallbeschleunigung) Um die Waage wieder ins Gleichgewicht zu bringen benoumltigt man die Massennormale zur Kompensation der um die Auftriebskraft verminderten Gewichtskraft FG d h

2m AF

3w12 gV-gmgm ρ= Daraus folgt

w

213 ρ

mmV

minus= (2)

Die zur Bestimmung der Massenwerte und verwendete Laborwaage traumlgt in der Mitte des Waagebalkens einen Zeiger der uumlber einer Skale schwingt An seiner Stellung ist das Gleich-gewicht der Waage ablesbar Verschiebt sich durch eine einseitig wirkende Zusatz-masse ∆mrsquo die Zeigerstellung um ∆a dann bezeichnet man den Quotienten

1m 2m

maEprime∆

∆= (3)

als Empfindlichkeit der Waage sie ist ein Maszlig fuumlr ihre Guumlte und gestattet die Abschaumltzung der Messunsicherheit Systematische Messabweichungen der drei Methoden 1 Uumlberlaufgefaumlszlig Der sog Geraumltefehler ∆V des Messzylinders betraumlgt bei einem Nenninhalt von VN = 50 ml und einer Nenntemperatur von tN = 20 degC bis zu ∆V = plusmn 05 ml (4) Die Richtung und die Groumlszlige dieses Geraumltefehlers ∆V fuumlr voneinander abweichende Mess-temperatur und Nenntemperatur des Messzylinders wird mit Hilfe des thermischen Ausdehnungskoeffizienten des Glases abgeschaumltzt Ist das Nennvolumen des als Glasrohr betrachteten Messzylinders VN dann ist bei der Messtemperatur sein Volumen

Mt Nt

Mt ))(1( NMNM ttVV minus+= γ

mit als sog kubischem thermischem Ausdehnungskoeffizienten des Glases Daraus ergibt sich

-15 K1072 minussdot=γ

3

F2 VOLUMENMESSUNG

( )NM tt minus=∆ γVV (5) 2 Geometrie des Koumlrpers Die sog Fehlergrenzen ∆I beider Messgeraumlte sind wenn I die gemessene Laumlnge ist von folgender Groumlszlige Messschieber ∆l = plusmn (5sdot10-5 m + 1sdot10-4 l) (6) Buumlgelmessschraube ∆l = plusmn (5sdot10-6 m + 1sdot10-5 l) (7) 3 Auftriebsmessung Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Probekoumlrpers und der Massennormale (Dichte

) bei der Waumlgung in Luft (Dichte ) liefert 33N mkg1084 sdot=ρ 3

L mkg12=ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+minusasymp

minus

minussdot

minus=prime

w

L

N

L3

wL

NL

w

213 1

11

ρρ

ρρ

ρρρρ

ρVV mm (8)

Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Aufhaumlngedrahtes von dem das Volumen ∆V im Wasser eintaucht ergibt VVV ∆minusprime=primeprime 33 (9) AUFGABEN 1 Ermittelung der einzelnen Messgroumlszligen fuumlr jede der drei Methoden und Berechnung der

Volumenwerte Vi 2 Berechnung bzw Abschaumltzung der zufaumllligen Messabweichungen fuumlr alle Messgroumlszligen 3 Groumlszligenordnungsmaumlszligige Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen aller drei

Methoden Soweit moumlglich und sinnvoll Korrektur systematischer Abweichungen Betrachtung systematischer Restfehler

4 Uumlbersichtliche Zusammenstellung der Messergebnisse der zufaumllligen und der systemati-schen Abweichungen sowie der Messunsicherheiten fuumlr die einzelnen Messgroumlszligen

5 Berechnung der Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr die mittelbar bestimmten Volumenwerte nach dem Fortpflanzungsgesetz

6 Berechnung des gewogenen Mittelwertes einschlieszliglich seiner Unsicherheit sofern moumlg-lich und sinnvoll

VERSUCHSHINWEISE Methode 1 Der Messzylinder wird vor dem Eintauchen des Probekoumlrpers mit etwas Wasser gefuumlllt und dieser Fuumlllstand VA als Bezugsgroumlszlige gewaumlhlt Nach dem Einlaufen des verdraumlng-ten Wassers liest man den Fuumlllstand VE am Messzylinder ab so dass sich als Volumen des Probekoumlrpers AE1 VVV minus= (10) ergibt Die Messungen werden sechsmal durchgefuumlhrt und Bruchteile der Skalenteile geschaumltzt Methode 2 Die Houmlhe des Zylinders h wird sechsmal mit einem Messschieber und sein Durchmesser d wird sechsmal an verschiedenen Stellen mit einer Buumlgelmessschraube gemes-sen Methode 3 Jede Waumlgung wird zweimal ausgefuumlhrt und der Groumlszligtfehler aus der Empfindlich-keit der Waage nach Gl (3) abgeschaumltzt Als Groumlszligtfehler wird die Zusatzmasse ∆m angege-ben die einen Zeigerausschlag ∆a = 1 Skalenteil bewirkt Die Dichte des Wassers ist tempe-raturabhaumlngig und wird einer grafischen Darstellung am Versuchsplatz entnommen

4

F2 VOLUMENMESSUNG

In Aufgabe 1 werden die einzelnen Messgroumlszligen sowie die drei Volumenwerte Vi und in Auf-gabe 2 die zufaumllligen Abweichungen der einzelnen Messgroumlszligen ermittelt In Aufgabe 3 sind die systematischen Abweichungen zu diskutieren wobei zwischen den Korrekturen und den systematischen Restfehlern zu unterscheiden ist Fuumlr Aufgabe 4 muumlssen die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen verglichen und in Aufgabe 5 die Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr alle drei Methoden festgelegt werden Uumlberlappen sich die Bereiche der Messunsicherheiten ∆Vi nicht dann liegen entweder grobe Messfehler vor oder es existieren noch weitere bisher nicht erfasste systematische Abwei-chungen Uumlberlappen sich dagegen die Bereiche der Messunsicherheiten dann kann der gewogene Mittelwert und die zugehoumlrige Messunsicherheit berechnet werden (Aufgabe 6)

5

F3 FADENPENDEL

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Massenpunktmodell mathematisches und physikali-sches Pendel Bewegungsgleichung Schwerkraft Newtonsche Axiome Schwingungsdifferen-tialgleichung Ein an einem Faden aufgehaumlngter Koumlrper stellt aufgrund der auf ihn wirkenden Schwerkraft und seiner Traumlgheit ein schwingungsfaumlhiges System dar Betrachtet man (idealisiert) einen punktfoumlrmigen Koumlrper der Masse m der an einem Faden der Laumlnge l haumlngt und lenkt ihn um einen Winkel φ (Abb 1) aus der Senkrechten aus dann fuumlhrt der Koumlrper nach dem Loslassen Schwingungen um die Senkrechte aus

Abbildung 1 Fadenpendel

Bei Vernachlaumlssigung der Masse des Fadens und der Luftreibung wirkt auf den Koumlrper in jedem Punkt der Bahn senkrecht nach unten die Gewichtskraft

gmFG sdot= (1)wobei g die Fallbeschleunigung ist Die Normalkomponente (normal zur Bahn des Koumlrpers)

ϕcossdotsdot= gmFn dieser Kraft findet ihre Gegenkraft in der in der Aufhaumlngung auftretenden Kraft und beeinflusst die Bewegung des Koumlrpers nicht Dagegen erzeugt die Tangentialkom-ponente ϕsinsdotsdot= gmFt der Gewichtskraft entsprechend der Newtonschen Bewegungs-gleichung

ϕsin2

2

sdotsdotminus=sdot=sdot gmsmdt

sdm (2)

eine Beschleunigung des Koumlrpers laumlngs der kreisfoumlrmigen Bahnkurve Zwischen dem Aus-lenkwinkel φ und der Bahnkurvenkoordinate s auf der Bahnkurve besteht die Beziehung

ϕsdot= ls Bei (zeitlich) konstanter Fadenlaumlnge l folgt daraus unmittelbar

dtdl

dtds ϕ

sdot= und 2

2

2

2

dtdl

dtsd ϕ

sdot= (3)

Fuumlr kleine Auslenkwinkel φ gilt die bekannte Naumlherung ϕϕ asympsin die ebenso wie (3) in die Bewegungsgleichung (2) eingesetzt werden kann Daraus erhaumllt man die Newtonsche Bewe-gungsgleichung fuumlr das mathematische Pendel mit

02

2

=sdot+sdot ϕϕ gdtdl (4)

Diese Schwingungsdifferentialgleichung einfachster Form kann mit dem Ansatz

6

F3 FADENPENDEL

)sin(0 ψωϕϕ +sdotsdot= t mit lg

=ω (5)

geloumlst werden Die hier zunaumlchst willkuumlrlich erscheinenden Konstanten heiszligen Amplitude φ0

bzw Phasenkonstante ψ und sind durch die konkreten Anfangsbedingungen fuumlr t = 0 festge-legt Das mathematische Pendel vollfuumlhrt demnach bei Auslenkung um kleine Winkel harmo-nische Schwingungen mit der Kreisfrequenz ω und der Periodendauer

glT π

ωπ 22== (6)

die unabhaumlngig von der Masse m und der Amplitude φ0 ist Die Beziehung (6) erlaubt prinzipiell bei bekannter Pendellaumlnge l durch Messung der Perio-dendauer T eine Bestimmung der Fallbeschleunigung g Allerdings ist die Pendellaumlnge l nur sehr ungenau zu bestimmen Deshalb bedient man sich hier zweckmaumlszligig eines einfachen Tricks Die Laumlnge l kann um genau einstellbare Betraumlge li veraumlndert werden und setzt sich gemaumlszlig zusammen Damit wird aus (6) durch entsprechende Umformung illl += 0

( )ii llgg

lT +sdot== 0

222 44 ππ (7)

Misst man nun die Periodendauern Ti fuumlr die entsprechenden li und stellt die Abhaumlngigkeit

Ti2(li) dar so ergibt sich eine Gerade mit dem Anstieg

g

24π und dem Achsenabschnitt

0

24 lg

sdotπ Damit werden die Groumlszligen g und l0 bestimmbar

Die oben vorgenommenen Vereinfachungen die zur Herleitung der Beziehung (6) verwendet wurden beduumlrfen noch einer weiteren Diskussion Betrachtung beliebiger Winkel Ohne die obige Beschraumlnkung auf kleine Winkel φ liefert die Loumlsung der sog elliptischen Differentialgleichung (2) fuumlr die Periodendauer das (exak-tere) Ergebnis

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdotsdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛sdot+sdot=

2sin

2sin1 042

43

21022

21 ϕϕ

ϕ TT (8)

wobei T durch die Beziehung (6) gegeben ist Beruumlcksichtigung des Auftriebs in Luft Der Massekoumlrper aus Blei mit der Dichte von ρK = 11340 kgm-3 und dem Volumen VK erfaumlhrt in Luft der Dichte ρL asymp 12 kgm-3 eine Auftriebskraft gVF KLA sdotsdot= ρ die der Gewichtskraft gVgmF KKG sdotsdot=sdot= ρ entgegen-gerichtet ist Unter Beruumlcksichtigung dieses Auftriebs in Luft erhaumllt man schlieszliglich fuumlr die Periodendauer

LK

KA TT

ρρρminus

sdot= (9)

Betrachtung fuumlr ausgedehnten Massekoumlrper Die Ausdehnung des schwingenden Koumlrpers kann man beruumlcksichtigen wenn man von der Bewegungsgleichung des sog physikalischen Pendels (vgl Versuch bdquoM9 Reversionspendelldquo) ausgeht Die genaue Betrachtung bzw Herleitung wird hier bewusst nicht angegeben sondern nur das Ergebnis Mit bekannten Abmessungen des Bleizylinders (Radius R und Houmlhe h) am Faden der Laumlnge l bestimmt sich die Periodendauer zu

2

22

1231

lhRTTs sdot

++sdot= (10)

7

F3 FADENPENDEL

Der Einfluss des Fadens wurde auch bei diesen Betrachtungen aber ebenso vernachlaumlssigt wie die auftretende Reibung Es ist sicherlich empirisch einsichtig dass schwache Reibung zu einer gedaumlmpften Schwingung fuumlhren wird Die Schwingungsamplitude klingt dann

exponentiell mit sehr groszliger Zeitkonstante τ wie τt

eminus

ab AUFGABEN 1 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine feste Fadenlaumlnge Die Zeitmessung erfolgt fuumlr 10

Schwingungen jeweils zehnmal an einem Umkehrpunkt und beim Nulldurchgang des Pendels Berechnung von Mittelwerte Standardabweichung und Vertrauensbereich der Periodendauer und Diskussion der Unterschiede zwischen beiden Verfahren

2 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine Schwingung beim Nulldurchgang mit zehnfacher Messung Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung anschlieszligend Vergleich mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe 1 und Diskussion der Unterschiede

3 Bestimmung der Periodendauer fuumlr 10 verschiedene Fadenlaumlngen li Aus jeweils 2 Messungen fuumlr 10 Schwingungen sind die Mittelwerte fuumlr die Periodendauern Ti(li) zu berechnen

4 Grafische Darstellung der Ergebnisse der 3 Aufgabe in der Form Ti2(li) in einem

Diagramm Verwendung von Gleichung (7) zur Bestimmung von Fallbeschleunigung g und Anfangslaumlnge des Pendels l0 sowohl durch grafischen Geradenausgleich als auch numerische lineare Regression mit Ermittlung der zugehoumlrigen Unsicherheiten

5 Aus den Ergebnissen der 4 Aufgabe fuumlr l0 und g ist gemaumlszlig Gleichung (6) die Periodendauer T einschlieszliglich ihrer Unsicherheit zu berechnen und mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe zu vergleichen

6 Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen fuumlr die Periodendauer gemaumlszlig der og drei Gleichungen (8-10) und ihres Einflusses auf die g-Bestimmung Diskussion der Relevanz entsprechender Korrekturen

VERSUCHSHINWEISE Ein gegossener Bleizylinder (Radius R asymp 23 mm Houmlhe h asymp 23 mm Masse m asymp 08 kg) haumlngt an einem duumlnnen Stahldraht Die Pendellaumlnge laumlsst sich durch einen Schieber in dessen Fuumlhrung der Draht laumluft veraumlndern Die Laumlngenaumlnderung kann mit Hilfe von Ringmarken deren Abstand 2 cm betraumlgt eingestellt werden Bei Auslenkung des Pendels aus seiner Ruhelage fuumlhrt es Schwingungen aus deren Periodendauer mit einer von Hand ausgeloumlsten Stoppuhr bestimmt wird Fuumlr die ersten beiden Aufgaben ist zweckmaumlszligig (warum) eine moumlglichst groszlige Fadenlaumlnge zu waumlhlen Die zugehoumlrige Stellung des Schiebers ist unbedingt zu notieren da sie spaumlter benoumltigt wird Fuumlr die 3 Aufgabe wird die Anfangsfadenlaumlnge l0 um die Werte li (i = 110) in Schritten von 4 cm verringert Fuumlr die mit der 4 Aufgabe erforderliche Auswertung sind grafische Mittel (Anstiegsdreieck grafische Extrapolation auf den Achsenabschnitt) und ein rechentechnisches Verfahren (lineare Regression) einzusetzen Fuumlr Aufgabe 5 ist das bei Aufgabe 4 bestimmte Ergebnis fuumlr die Anfangslaumlnge l0 zu verwenden Bei Aufgabe 6 muss ermittelt werden wie sich die Korrekturen der Schwingungsdauer gemaumlszlig (8-10) auf die Fallbeschleunigung g auswirken Beachten Sie hier dass g aus dem Anstieg der Geraden gemaumlszlig der 4 Aufgabe nach Gleichung (7) bestimmt wird Uumlberlegen Sie welche zufaumllligen und welche systematischen Abweichungen die Messunsicherheit der Fallbeschleunigung g wesentlich bestimmen

8

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Traumlgheitsgesetz Grundgesetz der Dynamik Feder-konstante Federkraft harmonische Schwingung Frequenz Periodendauer Amplitude In diesem Versuch soll die Federkonstante einer Schraubenfeder mit drei verschiedenen Methoden bestimmt werden Bei der Auswertung der Ergebnisse sind Grundbegriffe und Methoden der Fehlerrechnung und ndashanalyse gezielt anzuwenden und zu uumlben 1 Statische Messung der Federkonstanten Wird eine am oberen Ende eingespannte Schraubenfeder am unteren Ende durch Anhaumlngen einer Masse m belastet so wird die Feder gedehnt und es stellt sich eine neue Ruhelage ein (Abb 1 statischer Fall) Die Gewichtskraft

gmFG sdot= und die durch die elastische Verformung entstehende Federkraft (mit k als Federkonstante) stehen im Gleichgewicht (Newtonsches Traumlgheitsgesetz)

xkFF sdotminus=

0=+ FG FF (1)

Abbildung 1 Statische und dynamische Belastung einer Schraubenfeder

Durch Einsetzen der Beziehungen fuumlr beide Kraumlfte und einfache Umstellung ergibt sich daraus

kgmx sdot

= (2)

Die statische Auslenkung x der Schraubenfeder muss demnach linear von der Belastung m abhaumlngig sein Durch die experimentelle Untersuchung der Abhaumlngigkeit x(m) kann sowohl die Linearitaumlt des Federkraftgesetzes xkFF sdotminus= uumlberpruumlft als auch die Federkonstante k bestimmt werden 2 Dynamische Messung der Federkonstanten Lenkt man eine mit der Masse m belastete Feder aus ihrer Ruhelage aus (Abb 1 dynamischer Fall) dann wirkt eine ruumlcktreibende

Federkraft und die Masse m erfaumlhrt eine Beschleunigung xkFF sdotminus=mFx

dtxda F=== 2

2

nach

dem Newtonschen Grundgesetz der Dynamik Fuumlr die weiteren Betrachtungen sollen jegliche Reibungskraumlfte vernachlaumlssigt werden daher ergibt sich aus der Newtonschen Bewegungs-gleichung hier die einfachste Form einer Schwingungsdifferentialgleichung mit

02

2

=sdot+sdot xkdt

xdm (3)

9

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

die eine freie ungedaumlmpfte Schwingung beschreibt Mit den willkuumlrlich ausgewaumlhlten Anfangsbedingungen (Anfangslage) und 0)0( xtx == 0)0( 0 === vtx (Anfangsgeschwin-digkeit) lautet ihre Loumlsung

)cos()( 0 txtx sdotsdot= ω (4)wobei physikalisch x0 als Amplitude und mk=ω als Kreisfrequenz der freien ungedaumlmpf-ten Federschwingung bezeichnet werden Der Koumlrper der Masse m schwingt nach Auslen-kung (aus der Gleichgewichts- bzw Ruhelage um x0) in Form einer harmonischen Schwin-gung mit der Periodendauer

kmT π

ωπ 22== (5)

die experimentell direkt gemessen werden kann Aus (5) ist bei bekannter Masse m die Feder-konstante k bestimmbar 3 Berechnung der Federkonstanten aus der Geometrie und den Materialeigenschaften der Schraubenfeder Durch eine Auslenkung aus der Ruhelage wird die Schraubenfeder gedehnt und damit der gesamte Federdraht auf sog Torsion (svw bdquoVerdrehungldquo oder bdquoVerdrillungldquo) beansprucht Ohne weitere Herleitung sei hier eine Beziehung angegeben die es gestattet aus dem sog Torsionsmodul G (als Materialkonstante des Federdrahtes) und den geometrischen Daten der Schraubenfeder (Drahtlaumlnge l Drahtdurchmesser d und Wickel-radius r) die Federkonstante k zu berechnen

2

4

32 rldGksdotsdot

sdot=π (6)

AUFGABEN 1 Aus dem statischen Verhalten einer Schraubenfeder ist deren Federkonstante experimentell

zu bestimmen Dazu ist gemaumlszlig Beziehung (2) die statische Auslenkung x in Abhaumlngigkeit von der Belastung m mit verschiedenen Massestuumlcken zu messen Die Daten sind in der Form x = x(m) als Diagramm grafisch darzustellen und daraus die Federkonstante k zu er-mitteln Fuumlr die zu erwartende lineare Abhaumlngigkeit ist sowohl mit einfacher grafischer Methode (bdquoSteigungsdreieckldquo) als auch numerisch (Geradenausgleichsrechnung lineare Regression) der Anstieg von x = x(m) und daraus die Federkonstante (jeweils auch ein-schlieszliglich der Messunsicherheit) zu bestimmen

2 Mithilfe des dynamischen Verhaltens des Federschwingers ist fuumlr dieselbe Feder die Federkonstante aus der experimentell beobachteten Periodendauer der Schwingung zu bestimmen (jeweils auch einschlieszliglich der Messunsicherheit) Dazu ist Formel (5) bei be-kannter und sinnvoll gewaumlhlter Masse m zu nutzen

3 Mithilfe von Formel (6) ist aus den Daten der Schraubenfeder die am Versuchsplatz angegeben sind die Federkonstante k einschlieszliglich ihrer resultierenden Unsicherheit zu berechnen

4 Die Obergrenzen fuumlr systematische Messabweichungen bei den ersten beiden Aufgaben (statische und dynamische Messung der Federkonstanten) sind abzuschaumltzen (Groumlszligenord-nungen) Es ist zu analysieren welche dieser systematischen Abweichungen korrigierbar sind und welche dann tatsaumlchlich in die Messunsicherheit des Endergebnisses eingehen

5 Fuumlr alle drei Methoden (Aufgaben 1-3) sind die Ergebnisse (einschlieszliglich Messunsicher-heit) fuumlr die Federkonstante uumlbersichtlich darzustellen miteinander zu vergleichen und zu diskutieren Sofern moumlglich ist ein gewichteter Mittelwert zu ermitteln

10

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

VERSUCHSHINWEISE Die Schraubenfeder ist mit einem Ende an einem Stativ befestigt Zur Messung der Auslen-kung der Feder aus der Ruhelage wird die Stellung der an der Feder befindlichen Marke M (Abb 1) auf einer Spiegelskale abgelesen (Welchen Vorteil bietet eine Spiegelskale gegen-uumlber einer einfachen Skale) Die sog Verkehrsfehlergrenze der Massennormale ist fuumlr die Masse m = 50 g mit ∆m = plusmn 01 g festgelegt Bei Messung einer Laumlnge l mit der Spiegelskale ist die Messunsi-cherheit ∆l = plusmn (02 mm + 5middot10-4middotl) Fuumlr die Fallbeschleunigung ist (lt Festlegung der Eichbe-houmlrden der Laumlnder fuumlr Waagen) ein Wert von g = (98130 plusmn 00001) mmiddots-2 zu verwenden Fuumlr die 1 Aufgabe wird die Feder schrittweise bis 400 g mit Massestuumlcken von 50 g belastet und mit Hilfe einer Spiegelskale an der Marke M die Auslenkung x gemessen (erste Mess-reihe) Nach Erreichen der Houmlchstbelastung von 400 g ist dann die Feder wieder schrittweise zu entlasten (zweite Messreihe) a) Aus der grafischen Darstellung x = x(m) ist mithilfe des bdquoSteigungsdreiecksldquo der Anstieg

gk grafisch zu ermitteln und seine Unsicherheit entsprechend abzuschaumltzen (vgl Einfuumlh-rungsskript) Daraus sind dann die Federkonstante k als mittelbar bestimmter Groumlszlige und ihre Unsicherheit ∆k zu berechnen

b) Durch lineare Regression ist mithilfe geeigneter Software (s Einfuumlhrungsskript und Vorle-sung) der Anstieg und seine Unsicherheit numerisch zu ermitteln daraus ebenfalls wieder die Federkonstante und deren Unsicherheit

Fuumlr die 2 Aufgabe wird die Feder mit einer Gesamtmasse von 400 g belastet und 10mal die Zeit fuumlr jeweils 20 Schwingungen mithilfe einer Stoppuhr gemessen Daraus ist der Mittel-wert der Periodendauer T und ihr Vertrauensbereich sT zu berechnen und mittelbar damit die Federkonstante k uumlber Gleichung (5) mit ihrer Messunsicherheit a) Zur Genauigkeit der Messung mit Stoppuhren sind im Einfuumlhrungsskript ausfuumlhrliche Hin-

weise enthalten Entsprechend den dort enthaltenen Angaben sind die systematischen Messabweichungen mit ihrer Auswirkung auf die Periodendauer und die Federkonstante realistisch abzuschaumltzen

b) Bezuumlglich der Massen ist bereits ein Hinweis bei Aufgabe 1 gegeben worden Zusaumltzlich muumlsste noch der Einfluss der Eigenmasse der Feder von mF asymp 5 g auf die Periodendauer beruumlcksichtigt werden Die Teile der Feder nehmen unterschiedlich an der Bewegung teil es kann als zu beruumlcksichtigende Zusatzmasse macute= mF3 gesetzt werden Somit ergibt sich

fuumlr die Periodendauer m

mTk

mmT F

312acute +=

+= π

c) Auch bei sehr sorgfaumlltiger Anfangsauslenkung fuumlhrt der Federschwinger nach einigen Schwingungen unvermeidlich seitliche Schwingungen aus Wie beeinflusst diese Bewe-gung die gemessene Periodendauer Man uumlberlege sich auch welche Auswirkungen die in der Betrachtung vernachlaumlssigte aber unvermeidlich auftretende Reibung auf das Ergebnis dieses Verfahrens hat

Fuumlr die 3 Aufgabe sind am jeweiligen Versuchsplatz die Messunsicherheiten der einzelnen Groumlszligen mit angegeben Eine Unterscheidung von zufaumllligen und systematischen Komponen-ten ist hier allerdings nicht moumlglich Fuumlr Aufgabe 5 ist eine tabellarische Darstellungsweise vorzuziehen In Zusammenhang mit dem gewogenen Mittelwert ist zu analysieren unter welchen Bedingungen er uumlberhaupt sinn-voll gebildet werden kann

11

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Dichte Auftriebskraft Analy-senwaage Pyknometer Ein sog Pyknometer ist ein Geraumlt zur Bestimmung der Dichte fester Koumlrper Es besteht aus einem Glasgefaumlszlig mit eingeschliffenem Stopfen der eine kapillare Bohrung hat Das Pykno-meter kann reproduzierbar mit groszliger Genauigkeit mit Wasser gefuumlllt werden Zur Dichtebe-stimmung mit dem Pyknometer sind drei Waumlgungen mit einer Analysenwaage noumltig wobei der Auftrieb der zu waumlgenden Koumlrper (Probe bzw Pyknometer) in Luft (Dichte ρL) zu beruumlck-sichtigen ist 1 Waumlgung der Probe in Luft Fuumlr eine Probe (Masse m1 Volumen V1) wird die Gewichts-kraft durch die ihr entgegengesetzt gerichtete Auftriebskraft gmF sdot= 11 gVF LA sdotsdot= ρ11 vermindert so dass im Gleichgewicht die Waage den Wert m1rsquo anzeigt Die Gleichgewichts-bedingung liefert

111 mVm L =sdotminus ρ (1)2 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers Das vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllte Pykno-meter (Volumen VP) hat die Gesamtmasse m2 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m2rsquo an so dass gilt

22 mVm LP =sdotminus ρ (2)3 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers mit Probe Das mit Wasser und der Probe gefuumlllte Pyknometer hat die Gesamtmasse m3 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m3rsquo an so dass gilt

33 mVm LP =sdotminus ρ (3)Zwischen den Massen m1 m2 und m3 besteht der Zusammenhang

232311 mmmmVm W minus=minus=sdotminus ρ (4)wobei ρW die Dichte des Wassers ist Zur Bestimmung der Dichte ρ1 der Probe kann man aus den Gleichungen (1) und (4) die Unbekannten m1 und V1 ermitteln Man erhaumllt

)()(

231

231

1

11 mmm

mmmVm LW

minusminussdotminusminussdot

==ρρρ (5)

AUFGABEN 1 Bestimmung der Masse m1rsquo fuumlr zwei verschiedene Metallproben (Al und Cu) durch

Waumlgung in Luft Fuumlr jede Probe erfolgt die Waumlgung sechsmal wobei die Probe immer neu auf die Waage zu legen ist Bestimmung der zugehoumlrigen Mittelwerte

2 Bestimmung der Masse m2rsquo des vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllten Pyknometers durch Waumlgung Die jeweils erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt sechsmal Bestimmung des Mittelwertes

3 Bestimmung der Masse m3rsquo des mit Wasser und jeweiliger Metallprobe gefuumlllten Pykno-meters durch Waumlgung Die erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt fuumlr jede Probe sechsmal Bestimmung der Mittelwerte

4 Berechnung der Dichte der beiden Metallproben nach Gleichung (5) 5 Bestimmung der jeweiligen Messunsicherheiten fuumlr die unmittelbar gemessenen Groumlszligen

m1rsquo m2rsquo und m3rsquo fuumlr beide Proben 6 Abschaumltzung bzw Berechnung (Fortpflanzung) der resultierenden Messunsicherheiten der

mit (5) mittelbar bestimmten beiden Dichten Vergleich der Ergebnisse fuumlr die beiden Dichten mit Referenzwerten

12

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

VERSUCHSHINWEISE Die Waumlgungen werden mit einer elektronischen Analysenwaage durchgefuumlhrt bei der die auf-gelegte Last (Abb 1 oberer Pfeil) durch eine elektromagnetische Kraft kompensiert wird Mit einer optoelektronischen Abtastung (1) wird die Stellung der Waagschale (2) gemessen und mit diesem Signal der Kompensationsstrom in der Spule (3) gesteuert Der Kompensations-strom erzeugt zwischen Permanentmagnet (4) und Spule eine Kraft so dass die Waagschale in die Null-Lage zuruumlckgefuumlhrt wird der Strom ist der Last proportional Zur Durchfuumlhrung der Waumlgungen beachte man unbedingt die Hinweise des Versuchsbetreuers und die Platz-anleitung

Abb1 Messprinzip der eAnalysenwaage

lektronischen

Fuumlr Aufgabe 2 wird das Pyknometer bis zum Rand mit destilliertem Wasser gefuumlllt wobei die Bildung von Luftblaumlschen zu vermeiden ist Verschlieszligt man das Pyknometer mit dem ange-schliffenen Stopfen so laumluft Wasser uumlber das sehr sorgfaumlltig mit Filterpapier abzuwischen ist Das Anfassen des Pyknometers muss aumluszligerst vorsichtig erfolgen um seine Erwaumlrmung zu vermeiden (warum) Nach dem Abwischen wird mit Filterpapier der auf der Kapillare stehende Tropfen abgenommen so dass die Kapillare bis oben mit Wasser gefuumlllt ist Fuumlr die durchzufuumlhrenden Waumlgungen ist das Pyknometer stets erneut zu befuumlllen Fuumlr Aufgabe 3 wird der Probekoumlrper in das Pyknometer gebracht und dann mit destilliertem Wasser aufgefuumlllt weiter ist sinngemaumlszlig wie bei Aufgabe 2 zu verfahren Fuumlr Aufgabe 4 sind zusaumltzlich zu den Werten m1rsquo m2rsquo und m3rsquo auch der Luftdruck p sowie die Zimmer- und Wassertemperatur zu bestimmen Die Temperaturen koumlnnen als gleich vor-ausgesetzt werden da das destillierte Wasser sich bereits sehr lange im Versuchsraum befin-det Die temperaturabhaumlngige (s Abb 2) Dichte ρW von reinem (luftfreiem) Wasser laumlsst sich im Temperaturintervall 0degC lt θ lt 40degC naumlherungsweise berechnen mit

4-73-52323 1046657-10772108768-1066299984)( θθθθρ sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot+=sdot minusminusminusmkgw

wobei die Temperatur θ in degC einzusetzen ist (Fehler der Naumlherung ) Diese Naumlhrung gilt bei sog Normaldruck (p

3210 minusminus sdotlt∆ mkgWρN = 1013 kPa) Warum kann die Druckabhaumlngig-

keit hier vernachlaumlssigt werden Die Druckabhaumlngigkeit muss aber bei der Luftdichte unbedingt beruumlcksichtigt werden ebenso wie die Luftfeuchtigkeit (warum) Man verwendet die Beziehung

TRp

fL sdot=ρ

13

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

wobei p der Luftdruck (in Pa) T die Lufttemperatur (in K) und Rf die Gaskonstante feuchter Luft ist Diese Gaskonstante Rf berechnet sich wiederum aus

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdotminus

=

d

ld

lf

RR

pp

RR11 ϕ

0 10 20 30 40992

993

994

995

996

997

998

999

1000

Dic

hte ρ w

(kg

m3 )

Temperatur θ (degC)

-10 0 10 20 3011

12

13

Dic

hte ρ L (k

gm

3 )Temperatur θ (degC)

Abb 2 Temperaturabhaumlngigkeit der Dichte fuumlr (reines) Wasser und (trockene) Luft

Hier ist Rl = 28705 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante trockener Luft Rd = 461 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante von Wasserdampf und φ die relative Luftfeuchtigkeit Die Groumlszlige pd ist der Saumlt-tigungsdampfdruck von Wasser in Luft der sich empirisch mit der sog Magnus-Formel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+degsdot

sdot=θθ

CPapd 2241

504317exp213611)( im Intervall CC degleledegminus 7030 θ

berechnen laumlsst wobei θ wieder die Temperatur (in degC) ist Fuumlr Aufgabe 5 sind die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen der Waumlgungen zu ermitteln Die Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo werden alle mit der gleichen Analysenwaage ermittelt fuumlr die vom Hersteller eine Garantiefehlergrenze (systematischer Restfehler) von 02 mg angegeben wird Diese Garantiefehlergrenze ist fuumlr alle drei Massenwerte als geraumlte-bedingte systematische Abweichung zu beruumlcksichtigen Fuumlr die Messwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo haumlngt es von der sorgfaumlltigen Versuchsdurchfuumlhrung (Abtupfen des Wassers ) ab ob die zufaumlllige undoder die systematische Abweichung die Messunsicherheit bestimmt Fuumlr Aufgabe 6 ist nur die Messunsicherheit der Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo zu beruumlcksich-tigen Die berechneten Werte fuumlr die Dichten von Luft und Wasser koumlnnen als praktisch fehlerfrei angenommen werden

14

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Erster Hauptsatz der Thermodynamik Waumlrmemenge Waumlrmekapazitaumlt Richmannsche Mischungsregel Arbeit von Gleich- und Wechselstrom Waumlrmeaustauschkorrektur (s Skript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstel-lung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo) Waumlrme ist eine Energieform die zwischen Koumlrpern ausgetauscht wird oder in andere Energie-formen umgewandelt werden kann Fuumlhrt man einem Koumlrper der Masse m die Waumlrmemenge dQ zu dann ist die sich einstellende Temperaturerhoumlhung dT proportional zur zugefuumlhrten Waumlrmemenge

dTcmdQ sdotsdot= (1)wobei der Proportionalitaumltsfaktor c als spezifische Waumlrmekapazitaumlt mit der SI-Einheit Jmiddotkg-1middotK-1 bezeichnet wird und eine Stoffkonstante ist Aus (1) ergibt sich

dTdQ

mc sdot=

1 (2)

Das Produkt cmC sdot= (3)

mit der SI-Einheit JmiddotK-1 nennt man Waumlrmekapazitaumlt des Koumlrpers Zur Bestimmung von Waumlrmemengen benutzt man sog Kalorimeter wobei anisotherme Aus-fuumlhrungen mit sehr gut waumlrmeisolierten Gefaumlszligen am haumlufigsten verwendet werden Fuumlhrt man einem mit Wasser der Masse mW (teilweise) gefuumlllten Kalorimeter eine Waumlrmemenge ∆Q zu dann werden auszliger dem Wasser auch alle Teile des Kalorimeters wie zB Gefaumlszligwandung Thermometer und Ruumlhrer erwaumlrmt Die gesamte Waumlrmekapazitaumlt der Versuchsanordnung setzt sich also aus der des Wassers (mWmiddotcW) und der des Kalorimeters (CK) zusammen

( ) TCcmQ KWW ∆sdot+sdot=∆ (4)Die spezifische Waumlrmekapazitaumlt von Wasser hat als Stoffkonstante den Wert cW = 41813 kJmiddotkg-1middotK-1 (bei 25degC) Die Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorime-ters ist rechnerisch nur naumlherungsweise moumlglich deshalb wird sie ia experimentell ermittelt 1 Elektrische Methode Flieszligt durch einen Ohmschen Leiter (Heizspirale) an dem die Spannung U anliegt der Strom I dann entsteht im Zeitintervall ∆t in ihm eine der elektri-schen Energie aumlquivalente Waumlrmemenge

tIUQ ∆sdotsdot=∆ (5)Uumlbertraumlgt man diese Waumlrmemenge an das Wasser (Masse mW) und das Kalorimeter (Waumlrme-kapazitaumlt CK) dann steigt die Wassertemperatur gemaumlszlig (4) Bei verlustloser Waumlrmeuumlbertra-gung sind beide Waumlrmemengen gleich (Energieerhaltungssatz) und es gilt

( ) TCcmtIU KWW ∆sdot+sdot=∆sdotsdot (6)so dass CK bestimmt werden kann 2 Mischungsmethode Fuumlgt man kaltem Wasser der Masse m1 und Temperatur T1 in einem Kalorimeter warmes Wasser der Masse m2 und Temperatur T2 hinzu so findet ein Waumlrmeaus-tausch statt bis das gesamte Wasser die Mischungstemperatur Tm angenommen hat Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dass die vom warmen Wasser abgegebene Waumlrmeenergie

gleich der vom kalten Wasser und dem Kalorimeter aufgenommenen Waumlrmeenergie

)( 222 mW TTcmQ minussdotsdot=∆( ) )( 111 TTCcmQ mKW minussdot+sdot=∆ sein muss Der Energieerhaltungssatz in dieser

speziellen Form des Austausches von Waumlrmemenge heiszligt Richmannsche Mischungsregel und ergibt die Gleichung

( ) )()( 2211 mWmKW TTcmTTCcm minussdotsdot=minussdot+sdot (7)zur Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorimeters

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

AUFGABEN 1 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der elektrischen Methode gemaumlszlig (6) 2 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 1 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 3 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der Mischungsmethode mit (7) 4 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 3 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 5 Fuumlr beide Methoden fuumlhre man eine Bestimmung der Messunsicherheit der Waumlrmekapazi-

taumlt durch und vergleiche die Endergebnisse miteinander VERSUCHSHINWEISE Das Verfahren zur Waumlrmeaustauschkorrektur Bei kalorimetrischen Messungen ist ein Waumlrmeaustausch mit der Umgebung unvermeidlich (offenes thermodynamisches System) und meist stoumlrend Aus dem gemessenen zeitlichen Temperaturverlauf ist er aber abzulesen (s Abb 1)

DE

Abbildung 1 Zeitlicher Verlauf der Temperatur im Kalorimeter

In der Vorperiode erhaumllt man den ansteigenden Kurvenabschnitt ArarrB in der Nachperiode den abfallenden Kurvenabschnitt ErarrF Das liegt daran dass das Kalorimeter eben nicht adia-batisch bzw isentrop ist Die Temperatur der Kalorimeterfluumlssigkeit im Innern gleicht sich in beiden Abschnitten jeweils (asymptotisch) an die Umgebungstemperatur TU an wobei der Waumlrmefluss proportional zur Temperaturdifferenz ist Es laumlsst sich zeigen dass der Gleichge-wichtszustand zeitlich exponentiell angenommen wird Im vorliegenden Fall ist aber die ent-sprechende Zeitkonstante sehr groszlig im Vergleich zur Messzeit so dass die beiden Abschnitte ArarrB und ErarrF naumlherungsweise jeweils durch eine Gerade beschrieben werden duumlrfen Die-ser Sachverhalt gestattet es auszligerdem in diesen Abschnitten die Messwerte in groumlszligerer zeitli-cher Schrittweite aufzunehmen Aufgrund des real zeitlich ausgedehnten Waumlrmeaustausches mit der Umgebung beobachtet man einen stetigen und differenzierbaren Verlauf der Kurve im Abschnitt BrarrE Nur wenn die im Experiment zugefuumlhrte Waumlrme sofort verteilt wuumlrde waumlre die Temperaturkurve eine Sprungfunktion Das System braucht eine gewisse Zeit bis sich ein neues Gleichgewicht ein-stellen kann Es verhaumllt sich so als ob es uumlber ein ganzes Zeitintervall bdquoverschmiertldquo waumlre Es gilt also die Endzeit der Waumlrmezufuhr zu finden Sie liegt im Wendepunkt der Temperaturkurve weil sich dort die Richtung der Kruumlmmung aumlndert also Waumlrmezufuhr in Waumlrmeverlust uumlbergeht Nun laumlsst sich aber im Abschnitt BrarrE die Kurve T(t) nicht beliebig

F

Tem

pera

tur

T

∆T S

TU

A B C

Zeit

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

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O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

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O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

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O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

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O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

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O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

32

O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

LITERATUR

Aus der sehr groszligen Anzahl von guten Lehr- und Fachbuumlchern die fuumlr den Gebrauch im Physikalischen Grundpraktikum (und auch daruumlber hinaus) geeignet sind ist hier eine kleine Auswahl ohne Anspruch auf Vollstaumlndigkeit und auch ohne jede Wertung aufgelistet Aus eigener Erfahrung heraus kann man Studierenden die nachfolgenden Saumltze nicht oft genug ans Herz legen Es gibt niemals das eine und einzige Lehr- bzw Fachbuch Buumlcher sind fuumlr einzelne Teil-gebiete der Physik unterschiedlich geeignet meistens muss doch in verschiedenen Buumlchern nachgeschlagen werden Jeder nimmt individuell auf seine Weise auf dieselben Inhalte werden unterschiedlich wahrgenommen Auch die Art der Gestaltung zB mit Grafiken Uumlbersichten usw spielt (je nach bevorzugter Wahrnehmungsweise) eine groszlige Rolle Es ist deshalb ganz sicher eine kluge Entscheidung sich verschiedene Lehr- und Fachbuumlcher in Bibliotheken anzusehen und sie auf ihre Eignung fuumlr den individuellen Gebrauch zu testen Es musskann nicht jedes Buch gekauft werden auch wenn es sehr attraktiv erscheint Das gilt ebenso fuumlr Taschenbuumlcher bzw Nachschlagewerke Buumlcher zum physikalischen Grund- oder Anfaumlngerpraktikum W Walcher Praktikum der Physik B G Teubner (Stuttgart Leipzig) H-J Eichler H-D Kronfeldt J Sahm Das Neue Physikalische Grundpraktikum Springer (Berlin Heidelberg New York) W Ilberg M Kroumltzsch D Geschke Physikalisches Praktikum B G Teubner (Stuttgart Leipzig) J Becker H-J Jodl Physikalisches Praktikum fuumlr Naturwissenschaftler und Ingenieure VDI-Verlag (Duumlsseldorf) H-J Kunze Physikalische Messmethoden (Teubner Studienbuumlcher) B G Teubner (Stuttgart Leipzig) Buumlcher zur Physik bzw Experimentalphysik D W Preston E R Dietz The Art of Experimental Physics John Wiley amp Sons (New York) D Halliday R Resnick J Walker Physik Wiley-VCH (Berlin) PA Tipler G Mosca Physik fuumlr Wissenschaftler und Ingenieure Spektrum Akademischer Verlag (Heidelberg) D Meschede Gerthsen Physik Springer (Berlin Heidelberg New York) K Dransfeld P Kienle G M Kalvius H-J Koumlrner W Zinth Physik 1-4 Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) BergmannSchaefer Lehrbuch der Experimentalphysik (8 Baumlnde) Walter de Gruyter (Berlin New York) D Halliday R Resnick J Walker Fundamentals of Physics John Wiley amp Sons (New York) H Stroppe Physik fuumlr Studenten der Natur- und Ingenieurwissenschaften Hanser Fachbuch-verlag (Muumlnchen Leipzig) H J Paus Physik in Experimenten und Beispielen Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Haumlnsel W Neumann Physik (4 Baumlnde) Spektrum Akademischer Verlag (Heidelberg) H Pfeifer H Schmiedel Grundwissen Experimentalphysik B G Teubner (Stuttgart Leipzig) A M Portis H D Young Physik und Experiment (Band 6 des Berkeley Kurses Physik) F Vieweg und Sohn (Braunschweig) J Orear Physik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) D C Giancoli Physik Pearson Education Deutschland GmbH (Muumlnchen)

IV

LITERATUR

R P Feynman R B Leighton M Sands Feynman Vorlesungen uumlber Physik (3 Baumlnde) Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) Taschenbuumlcher und Nachschlagewerke fuumlr Formeln und Daten H Stoumlcker Taschenbuch der Physik Verlag Harri Deutsch (Frankfurt a M) D Mende G Simon Physik - Gleichungen und Tabellen Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Kuchling Taschenbuch der Physik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Ebert Physikalisches Taschenbuch F Vieweg amp Sohn (Braunschweig) H Heinemann H Kraumlmer H Zimmer Kleine Formelsammlung Physik Hanser Fachbuch-verlag (Muumlnchen Leipzig) F Kohlrausch V Kose S Wagner Praktische Physik (3 Baumlnde) B G Teubner (Stuttgart Leipzig) Buumlcher zur Messtechnik P Profos T Pfeifer (Hrsg) Grundlagen der Messtechnik Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) G Heyne Elektronische Messtechnik - Eine Einfuumlhrung fuumlr angehende Wissenschaftler Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) J Hoffmann Taschenbuch der Messtechnik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) J Niebuhr G Lindner Physikalische Messtechnik mit Sensoren Oldenbourg Industrieverlag (Muumlnchen) D Benda Wie misst man mit dem Oszilloskop Franzis Verlag GmbH (Poing) R Lerch Elektrische Messtechnik Analoge digitale und computergestuumltzte Verfahren Springer (Berlin Heidelberg New York) W Pfeiffer Digitale Messtechnik Springer (Berlin Heidelberg New York)

V

F1 FEHLERVERTEILUNG

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Systematische und zufaumlllige Messabweichungen Messunsicherhei-ten Standardabweichung Vertrauensbereich absolute und relative Haumlufigkeit Gauszligsche Normalverteilung Summenhaumlufigkeit Wahrscheinlichkeitsnetz Stichprobe Grundgesamtheit Alle Messungen physikalischer Groumlszligen sind unvermeidlich mit Messabweichungen bzw -unsicherheiten behaftet Sind systematische Abweichungen ausgeschlossen dann streuen die Messwerte (i = 1 n) aufgrund zufaumllliger Abweichungen symmetrisch um den Mittel- bzw Erwartungswert

ixx Berechnet man die scheinbaren Abweichungen

xxv minus= ii (1)einer Messreihe und stellt die absolute bzw die relative Haumlufigkeit also bzw )(k iv

( ) ( ) nkh ii vv = grafisch als Funktion der Abweichungen vi dar dann erhaumllt man eine treppenfoumlrmige Verteilungs-kurve (s Abb 1) Dazu werden die Ab-weichungen vi in gleichgroszligen Inter-vallen ∆v (Klasseneinteilung) zusam-mengefasst Im Grenzfall mit infinrarrn und Intervallbreite genuumlgen die Abweichungen v meist einer Normal-verteilung (Gauszlig-Verteilung)

0rarr∆v

Abb 1 Histogramm einer Normalverteilung ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus= 2

2

2exp

21

σσπϕ vv (2)

Diese Verteilung (ausgezogene Kurve in Abb 1) zeigt folgende Eigenschaften 1 Die Normalverteilung hat fuumlr v ein Maximum ist symmetrisch bezuumlglich dieses Maxi-

mums und strebt mit wachsendem v asymptotisch gegen Null = 0

2 Die Normalverteilung hat Wendepunkte bei σplusmn=v (σ ist die Standardabweichung) 3 Der Parameter σ bestimmt die Breite der Normalverteilung Bei kleinem σ entsteht eine

bdquoschlankeldquo Kurve mit geringer Streuung der Messergebnisse (svw wie groszlige bdquoGenauig-keitldquo der Messmethode) Ein groszliges σ bedeutet entsprechend das Gegenteil

Die Uumlberpruumlfung ob eine Messreihe (Stichprobe) einer Normalverteilung genuumlgt ist mit Hilfe bestimmter statistischer Verfahren moumlglich von denen einige in diesem Versuch ange-wandt werden Die statistische Analyse einer Messreihe setzt aber eine bdquohinreichendldquo groszlige Zahl von Messwerten voraus VERSUCHSDURCHFUumlHRUNG Im Regelfall wird der Versuch im Houmlrsaal mit allen Studierenden gemeinsam durchgefuumlhrt Uumlber einen Projektor (Beamer) wird eine Skale mit einer Marke (Zeiger) gezeigt Die Lage dieser Marke schaumltzt jeder Student fuumlr sich auf 001 Skalenteile genau und notiert sich im Messprotokoll seinen Mess- bzw Schaumltzwert Der wahre Wert wurde noch vor der Anzeige als Zufallszahl erzeugt und ist daher bekannt Dieser Wert wird unmittelbar nach erfolgter individueller Schaumltzung angesagt bzw gezeigt und im Messprotokoll ebenfalls notiert Insgesamt sind in diesem Versuch 100 Schaumltzungen auszufuumlhren

ix iwx

Diese Vorgehensweise erfordert eine hohe Konzentrationsfaumlhigkeit und Disziplin

1

F1 FEHLERVERTEILUNG

AUFGABEN 1 Ermittlung der Stichprobe 100 Schaumltzwerte xi der Stellung einer Marke und die zugehoumlri-

gen Werte xwi werden notiert Fuumlr die Datentabelle empfiehlt sich hier folgendes Schema vii xi xwi + 0 -

1 (176) (175) (001) 2 Berechnung der scheinbaren Abweichungen wiii xxv minus= 3 Vorzeichentest Man bestimme die Zahl n+ der positiven und die Zahl n- der negativen Ab-

weichungen vi Da die Abweichungen vi bei Annahme einer Normalverteilung symmet-risch zum Wert vi = 0 liegen sollten die Zahlen n+ und n- annaumlhernd gleich groszlig sein Wenn n die Zahl aller Messwerte ist muss fuumlr den positiven Ausgang des Vorzeichentests

nnn leminus minus+ erfuumlllt sein nplusmn ist die zu erwartende statistische Schwankung beim Stichprobenumfang n

4 Fuumlr die weitere Auswertung der Ergebnisse empfiehlt sich eine Tabelle in der die schein-baren Abweichungen ihrer Groumlszlige nach geordnet werden nach folgendem Schema

vj vj2 Strichliste k(vj) k(vj)middot vj

2 h(vj) H(vj) (min vj)

(max vj) 1000

Kontrollen 100 22 )( jji vvkv sdot= sumsum 1000

In diese Tabelle werden die Messwerte von Aufgabe 1 uumlbertragen indem man sie der Reihe nach durchgeht und bei dem entsprechenden in der Spalte bdquoStrichlisteldquo durch einen Strich markiert Die Zahl der Striche ergibt dann die absolute Haumlufigkeit

jv)(vk j

5 Mit 22 )(11jji vvk

nv

ns sdotplusmn=plusmn= sumsum wird aus den Abweichungen vi die empirische

Standardabweichung berechnet die eine Naumlherung fuumlr die Standardabweichung σ der Normalverteilung nach Gleichung (2) darstellt Im Nenner tritt hier n anstelle von n-1 auf weil bei diesem Versuch (ausnahmsweise) der wahre Wert der Messgroumlszlige bekannt ist

6 Die ermittelten relativen Haumlufigkeiten nvkvh jj )()( = der Abweichungen vj werden grafisch als Funktion von vj dargestellt (Histogramm Balkendiagramm) Durch das Histogramm versuche man nach Augenmaszlig eine Normalverteilungskurve zu legen

7 Mit den relativen Haumlufigkeiten aus Aufgabe 6 berechne man die Summenhaumlufigkeit und stelle diese Summenhaumlufigkeit H(vsum

le

=jk vv

kj vhvH )()( j) grafisch als Funktion von vj in

Form eines Histogramms (Balkendiagramm) dar 8 Test mit Wahrscheinlichkeitspapier Die Wertepaare der Summenhaumlufigkeitskurve (s

Aufgabe 7) uumlbertrage man auf ein Wahrscheinlichkeitsnetz und lege durch die Punkte im mittleren Bereich eine ausgleichende Gerade

9 Man entnehme der Darstellung auf dem Wahrscheinlichkeitsnetz (Aufgabe 8) bei H(vrsquo) = 016 (bzw 16) und H(vrsquorsquo) = 084 (bzw 84) die zugehoumlrigen Werte vrsquo und vrsquorsquo und vergleiche (vrsquorsquo-vrsquo)2 mit dem Wert der empirischen Standardabweichung (Aufgabe 5)

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr die Auswertung und das Verstaumlndnis des Versuches wird unbedingt die Lektuumlre der ent-sprechenden Abschnitte des Praktikumsskripts bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstellung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo empfohlen Die Druckvorlage fuumlr ein Wahrscheinlichkeitsnetz ist auf der Webseite des Grundpraktikums zu finden

2

F2 VOLUMENMESSUNG

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Auftriebskraft In diesem einfachen Versuch werden drei Methoden unterschiedlicher Genauigkeit zur Bestimmung des Volumens eines Probekoumlrpers verwendet und miteinander verglichen hin-sichtlich der jeweiligen Messunsicherheit 1 Methode (Uumlberlaufgefaumlszlig) Ein mit einem Uumlberlauf versehener Glasbehaumllter wird bis zum Uumlberlaufen mit Wasser gefuumlllt Durch Eintauchen des Probekoumlrpers dessen Volumen V1 bestimmt werden soll wird Wasser verdraumlngt das in einen Messzylinder flieszligt 2 Methode (Geometrie des Koumlrpers) Der Probekoumlrper ist ein Zylinder sein Volumen kann aus dem Durchmesser d und der Houmlhe h nach

hdV 22 4

π= (1)

berechnet werden 3 Methode (Auftriebsmessung) Der Probekoumlrper vom Volumen V3 wird mit einer Labor-waage mit symmetrischem Waagebalken in Luft gewogen Man benoumltigt fuumlr das Gleich-gewicht die Massennormale zur Kompensation der Gewichtskraft des Probekoumlrpers Taucht man ihn in Wasser (Dichte ρw ) dann erfaumlhrt er eine Auftriebskraft

1m gmF 1G =

3wA gVF ρ= (g = Fallbeschleunigung) Um die Waage wieder ins Gleichgewicht zu bringen benoumltigt man die Massennormale zur Kompensation der um die Auftriebskraft verminderten Gewichtskraft FG d h

2m AF

3w12 gV-gmgm ρ= Daraus folgt

w

213 ρ

mmV

minus= (2)

Die zur Bestimmung der Massenwerte und verwendete Laborwaage traumlgt in der Mitte des Waagebalkens einen Zeiger der uumlber einer Skale schwingt An seiner Stellung ist das Gleich-gewicht der Waage ablesbar Verschiebt sich durch eine einseitig wirkende Zusatz-masse ∆mrsquo die Zeigerstellung um ∆a dann bezeichnet man den Quotienten

1m 2m

maEprime∆

∆= (3)

als Empfindlichkeit der Waage sie ist ein Maszlig fuumlr ihre Guumlte und gestattet die Abschaumltzung der Messunsicherheit Systematische Messabweichungen der drei Methoden 1 Uumlberlaufgefaumlszlig Der sog Geraumltefehler ∆V des Messzylinders betraumlgt bei einem Nenninhalt von VN = 50 ml und einer Nenntemperatur von tN = 20 degC bis zu ∆V = plusmn 05 ml (4) Die Richtung und die Groumlszlige dieses Geraumltefehlers ∆V fuumlr voneinander abweichende Mess-temperatur und Nenntemperatur des Messzylinders wird mit Hilfe des thermischen Ausdehnungskoeffizienten des Glases abgeschaumltzt Ist das Nennvolumen des als Glasrohr betrachteten Messzylinders VN dann ist bei der Messtemperatur sein Volumen

Mt Nt

Mt ))(1( NMNM ttVV minus+= γ

mit als sog kubischem thermischem Ausdehnungskoeffizienten des Glases Daraus ergibt sich

-15 K1072 minussdot=γ

3

F2 VOLUMENMESSUNG

( )NM tt minus=∆ γVV (5) 2 Geometrie des Koumlrpers Die sog Fehlergrenzen ∆I beider Messgeraumlte sind wenn I die gemessene Laumlnge ist von folgender Groumlszlige Messschieber ∆l = plusmn (5sdot10-5 m + 1sdot10-4 l) (6) Buumlgelmessschraube ∆l = plusmn (5sdot10-6 m + 1sdot10-5 l) (7) 3 Auftriebsmessung Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Probekoumlrpers und der Massennormale (Dichte

) bei der Waumlgung in Luft (Dichte ) liefert 33N mkg1084 sdot=ρ 3

L mkg12=ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+minusasymp

minus

minussdot

minus=prime

w

L

N

L3

wL

NL

w

213 1

11

ρρ

ρρ

ρρρρ

ρVV mm (8)

Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Aufhaumlngedrahtes von dem das Volumen ∆V im Wasser eintaucht ergibt VVV ∆minusprime=primeprime 33 (9) AUFGABEN 1 Ermittelung der einzelnen Messgroumlszligen fuumlr jede der drei Methoden und Berechnung der

Volumenwerte Vi 2 Berechnung bzw Abschaumltzung der zufaumllligen Messabweichungen fuumlr alle Messgroumlszligen 3 Groumlszligenordnungsmaumlszligige Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen aller drei

Methoden Soweit moumlglich und sinnvoll Korrektur systematischer Abweichungen Betrachtung systematischer Restfehler

4 Uumlbersichtliche Zusammenstellung der Messergebnisse der zufaumllligen und der systemati-schen Abweichungen sowie der Messunsicherheiten fuumlr die einzelnen Messgroumlszligen

5 Berechnung der Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr die mittelbar bestimmten Volumenwerte nach dem Fortpflanzungsgesetz

6 Berechnung des gewogenen Mittelwertes einschlieszliglich seiner Unsicherheit sofern moumlg-lich und sinnvoll

VERSUCHSHINWEISE Methode 1 Der Messzylinder wird vor dem Eintauchen des Probekoumlrpers mit etwas Wasser gefuumlllt und dieser Fuumlllstand VA als Bezugsgroumlszlige gewaumlhlt Nach dem Einlaufen des verdraumlng-ten Wassers liest man den Fuumlllstand VE am Messzylinder ab so dass sich als Volumen des Probekoumlrpers AE1 VVV minus= (10) ergibt Die Messungen werden sechsmal durchgefuumlhrt und Bruchteile der Skalenteile geschaumltzt Methode 2 Die Houmlhe des Zylinders h wird sechsmal mit einem Messschieber und sein Durchmesser d wird sechsmal an verschiedenen Stellen mit einer Buumlgelmessschraube gemes-sen Methode 3 Jede Waumlgung wird zweimal ausgefuumlhrt und der Groumlszligtfehler aus der Empfindlich-keit der Waage nach Gl (3) abgeschaumltzt Als Groumlszligtfehler wird die Zusatzmasse ∆m angege-ben die einen Zeigerausschlag ∆a = 1 Skalenteil bewirkt Die Dichte des Wassers ist tempe-raturabhaumlngig und wird einer grafischen Darstellung am Versuchsplatz entnommen

4

F2 VOLUMENMESSUNG

In Aufgabe 1 werden die einzelnen Messgroumlszligen sowie die drei Volumenwerte Vi und in Auf-gabe 2 die zufaumllligen Abweichungen der einzelnen Messgroumlszligen ermittelt In Aufgabe 3 sind die systematischen Abweichungen zu diskutieren wobei zwischen den Korrekturen und den systematischen Restfehlern zu unterscheiden ist Fuumlr Aufgabe 4 muumlssen die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen verglichen und in Aufgabe 5 die Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr alle drei Methoden festgelegt werden Uumlberlappen sich die Bereiche der Messunsicherheiten ∆Vi nicht dann liegen entweder grobe Messfehler vor oder es existieren noch weitere bisher nicht erfasste systematische Abwei-chungen Uumlberlappen sich dagegen die Bereiche der Messunsicherheiten dann kann der gewogene Mittelwert und die zugehoumlrige Messunsicherheit berechnet werden (Aufgabe 6)

5

F3 FADENPENDEL

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Massenpunktmodell mathematisches und physikali-sches Pendel Bewegungsgleichung Schwerkraft Newtonsche Axiome Schwingungsdifferen-tialgleichung Ein an einem Faden aufgehaumlngter Koumlrper stellt aufgrund der auf ihn wirkenden Schwerkraft und seiner Traumlgheit ein schwingungsfaumlhiges System dar Betrachtet man (idealisiert) einen punktfoumlrmigen Koumlrper der Masse m der an einem Faden der Laumlnge l haumlngt und lenkt ihn um einen Winkel φ (Abb 1) aus der Senkrechten aus dann fuumlhrt der Koumlrper nach dem Loslassen Schwingungen um die Senkrechte aus

Abbildung 1 Fadenpendel

Bei Vernachlaumlssigung der Masse des Fadens und der Luftreibung wirkt auf den Koumlrper in jedem Punkt der Bahn senkrecht nach unten die Gewichtskraft

gmFG sdot= (1)wobei g die Fallbeschleunigung ist Die Normalkomponente (normal zur Bahn des Koumlrpers)

ϕcossdotsdot= gmFn dieser Kraft findet ihre Gegenkraft in der in der Aufhaumlngung auftretenden Kraft und beeinflusst die Bewegung des Koumlrpers nicht Dagegen erzeugt die Tangentialkom-ponente ϕsinsdotsdot= gmFt der Gewichtskraft entsprechend der Newtonschen Bewegungs-gleichung

ϕsin2

2

sdotsdotminus=sdot=sdot gmsmdt

sdm (2)

eine Beschleunigung des Koumlrpers laumlngs der kreisfoumlrmigen Bahnkurve Zwischen dem Aus-lenkwinkel φ und der Bahnkurvenkoordinate s auf der Bahnkurve besteht die Beziehung

ϕsdot= ls Bei (zeitlich) konstanter Fadenlaumlnge l folgt daraus unmittelbar

dtdl

dtds ϕ

sdot= und 2

2

2

2

dtdl

dtsd ϕ

sdot= (3)

Fuumlr kleine Auslenkwinkel φ gilt die bekannte Naumlherung ϕϕ asympsin die ebenso wie (3) in die Bewegungsgleichung (2) eingesetzt werden kann Daraus erhaumllt man die Newtonsche Bewe-gungsgleichung fuumlr das mathematische Pendel mit

02

2

=sdot+sdot ϕϕ gdtdl (4)

Diese Schwingungsdifferentialgleichung einfachster Form kann mit dem Ansatz

6

F3 FADENPENDEL

)sin(0 ψωϕϕ +sdotsdot= t mit lg

=ω (5)

geloumlst werden Die hier zunaumlchst willkuumlrlich erscheinenden Konstanten heiszligen Amplitude φ0

bzw Phasenkonstante ψ und sind durch die konkreten Anfangsbedingungen fuumlr t = 0 festge-legt Das mathematische Pendel vollfuumlhrt demnach bei Auslenkung um kleine Winkel harmo-nische Schwingungen mit der Kreisfrequenz ω und der Periodendauer

glT π

ωπ 22== (6)

die unabhaumlngig von der Masse m und der Amplitude φ0 ist Die Beziehung (6) erlaubt prinzipiell bei bekannter Pendellaumlnge l durch Messung der Perio-dendauer T eine Bestimmung der Fallbeschleunigung g Allerdings ist die Pendellaumlnge l nur sehr ungenau zu bestimmen Deshalb bedient man sich hier zweckmaumlszligig eines einfachen Tricks Die Laumlnge l kann um genau einstellbare Betraumlge li veraumlndert werden und setzt sich gemaumlszlig zusammen Damit wird aus (6) durch entsprechende Umformung illl += 0

( )ii llgg

lT +sdot== 0

222 44 ππ (7)

Misst man nun die Periodendauern Ti fuumlr die entsprechenden li und stellt die Abhaumlngigkeit

Ti2(li) dar so ergibt sich eine Gerade mit dem Anstieg

g

24π und dem Achsenabschnitt

0

24 lg

sdotπ Damit werden die Groumlszligen g und l0 bestimmbar

Die oben vorgenommenen Vereinfachungen die zur Herleitung der Beziehung (6) verwendet wurden beduumlrfen noch einer weiteren Diskussion Betrachtung beliebiger Winkel Ohne die obige Beschraumlnkung auf kleine Winkel φ liefert die Loumlsung der sog elliptischen Differentialgleichung (2) fuumlr die Periodendauer das (exak-tere) Ergebnis

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdotsdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛sdot+sdot=

2sin

2sin1 042

43

21022

21 ϕϕ

ϕ TT (8)

wobei T durch die Beziehung (6) gegeben ist Beruumlcksichtigung des Auftriebs in Luft Der Massekoumlrper aus Blei mit der Dichte von ρK = 11340 kgm-3 und dem Volumen VK erfaumlhrt in Luft der Dichte ρL asymp 12 kgm-3 eine Auftriebskraft gVF KLA sdotsdot= ρ die der Gewichtskraft gVgmF KKG sdotsdot=sdot= ρ entgegen-gerichtet ist Unter Beruumlcksichtigung dieses Auftriebs in Luft erhaumllt man schlieszliglich fuumlr die Periodendauer

LK

KA TT

ρρρminus

sdot= (9)

Betrachtung fuumlr ausgedehnten Massekoumlrper Die Ausdehnung des schwingenden Koumlrpers kann man beruumlcksichtigen wenn man von der Bewegungsgleichung des sog physikalischen Pendels (vgl Versuch bdquoM9 Reversionspendelldquo) ausgeht Die genaue Betrachtung bzw Herleitung wird hier bewusst nicht angegeben sondern nur das Ergebnis Mit bekannten Abmessungen des Bleizylinders (Radius R und Houmlhe h) am Faden der Laumlnge l bestimmt sich die Periodendauer zu

2

22

1231

lhRTTs sdot

++sdot= (10)

7

F3 FADENPENDEL

Der Einfluss des Fadens wurde auch bei diesen Betrachtungen aber ebenso vernachlaumlssigt wie die auftretende Reibung Es ist sicherlich empirisch einsichtig dass schwache Reibung zu einer gedaumlmpften Schwingung fuumlhren wird Die Schwingungsamplitude klingt dann

exponentiell mit sehr groszliger Zeitkonstante τ wie τt

eminus

ab AUFGABEN 1 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine feste Fadenlaumlnge Die Zeitmessung erfolgt fuumlr 10

Schwingungen jeweils zehnmal an einem Umkehrpunkt und beim Nulldurchgang des Pendels Berechnung von Mittelwerte Standardabweichung und Vertrauensbereich der Periodendauer und Diskussion der Unterschiede zwischen beiden Verfahren

2 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine Schwingung beim Nulldurchgang mit zehnfacher Messung Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung anschlieszligend Vergleich mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe 1 und Diskussion der Unterschiede

3 Bestimmung der Periodendauer fuumlr 10 verschiedene Fadenlaumlngen li Aus jeweils 2 Messungen fuumlr 10 Schwingungen sind die Mittelwerte fuumlr die Periodendauern Ti(li) zu berechnen

4 Grafische Darstellung der Ergebnisse der 3 Aufgabe in der Form Ti2(li) in einem

Diagramm Verwendung von Gleichung (7) zur Bestimmung von Fallbeschleunigung g und Anfangslaumlnge des Pendels l0 sowohl durch grafischen Geradenausgleich als auch numerische lineare Regression mit Ermittlung der zugehoumlrigen Unsicherheiten

5 Aus den Ergebnissen der 4 Aufgabe fuumlr l0 und g ist gemaumlszlig Gleichung (6) die Periodendauer T einschlieszliglich ihrer Unsicherheit zu berechnen und mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe zu vergleichen

6 Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen fuumlr die Periodendauer gemaumlszlig der og drei Gleichungen (8-10) und ihres Einflusses auf die g-Bestimmung Diskussion der Relevanz entsprechender Korrekturen

VERSUCHSHINWEISE Ein gegossener Bleizylinder (Radius R asymp 23 mm Houmlhe h asymp 23 mm Masse m asymp 08 kg) haumlngt an einem duumlnnen Stahldraht Die Pendellaumlnge laumlsst sich durch einen Schieber in dessen Fuumlhrung der Draht laumluft veraumlndern Die Laumlngenaumlnderung kann mit Hilfe von Ringmarken deren Abstand 2 cm betraumlgt eingestellt werden Bei Auslenkung des Pendels aus seiner Ruhelage fuumlhrt es Schwingungen aus deren Periodendauer mit einer von Hand ausgeloumlsten Stoppuhr bestimmt wird Fuumlr die ersten beiden Aufgaben ist zweckmaumlszligig (warum) eine moumlglichst groszlige Fadenlaumlnge zu waumlhlen Die zugehoumlrige Stellung des Schiebers ist unbedingt zu notieren da sie spaumlter benoumltigt wird Fuumlr die 3 Aufgabe wird die Anfangsfadenlaumlnge l0 um die Werte li (i = 110) in Schritten von 4 cm verringert Fuumlr die mit der 4 Aufgabe erforderliche Auswertung sind grafische Mittel (Anstiegsdreieck grafische Extrapolation auf den Achsenabschnitt) und ein rechentechnisches Verfahren (lineare Regression) einzusetzen Fuumlr Aufgabe 5 ist das bei Aufgabe 4 bestimmte Ergebnis fuumlr die Anfangslaumlnge l0 zu verwenden Bei Aufgabe 6 muss ermittelt werden wie sich die Korrekturen der Schwingungsdauer gemaumlszlig (8-10) auf die Fallbeschleunigung g auswirken Beachten Sie hier dass g aus dem Anstieg der Geraden gemaumlszlig der 4 Aufgabe nach Gleichung (7) bestimmt wird Uumlberlegen Sie welche zufaumllligen und welche systematischen Abweichungen die Messunsicherheit der Fallbeschleunigung g wesentlich bestimmen

8

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Traumlgheitsgesetz Grundgesetz der Dynamik Feder-konstante Federkraft harmonische Schwingung Frequenz Periodendauer Amplitude In diesem Versuch soll die Federkonstante einer Schraubenfeder mit drei verschiedenen Methoden bestimmt werden Bei der Auswertung der Ergebnisse sind Grundbegriffe und Methoden der Fehlerrechnung und ndashanalyse gezielt anzuwenden und zu uumlben 1 Statische Messung der Federkonstanten Wird eine am oberen Ende eingespannte Schraubenfeder am unteren Ende durch Anhaumlngen einer Masse m belastet so wird die Feder gedehnt und es stellt sich eine neue Ruhelage ein (Abb 1 statischer Fall) Die Gewichtskraft

gmFG sdot= und die durch die elastische Verformung entstehende Federkraft (mit k als Federkonstante) stehen im Gleichgewicht (Newtonsches Traumlgheitsgesetz)

xkFF sdotminus=

0=+ FG FF (1)

Abbildung 1 Statische und dynamische Belastung einer Schraubenfeder

Durch Einsetzen der Beziehungen fuumlr beide Kraumlfte und einfache Umstellung ergibt sich daraus

kgmx sdot

= (2)

Die statische Auslenkung x der Schraubenfeder muss demnach linear von der Belastung m abhaumlngig sein Durch die experimentelle Untersuchung der Abhaumlngigkeit x(m) kann sowohl die Linearitaumlt des Federkraftgesetzes xkFF sdotminus= uumlberpruumlft als auch die Federkonstante k bestimmt werden 2 Dynamische Messung der Federkonstanten Lenkt man eine mit der Masse m belastete Feder aus ihrer Ruhelage aus (Abb 1 dynamischer Fall) dann wirkt eine ruumlcktreibende

Federkraft und die Masse m erfaumlhrt eine Beschleunigung xkFF sdotminus=mFx

dtxda F=== 2

2

nach

dem Newtonschen Grundgesetz der Dynamik Fuumlr die weiteren Betrachtungen sollen jegliche Reibungskraumlfte vernachlaumlssigt werden daher ergibt sich aus der Newtonschen Bewegungs-gleichung hier die einfachste Form einer Schwingungsdifferentialgleichung mit

02

2

=sdot+sdot xkdt

xdm (3)

9

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

die eine freie ungedaumlmpfte Schwingung beschreibt Mit den willkuumlrlich ausgewaumlhlten Anfangsbedingungen (Anfangslage) und 0)0( xtx == 0)0( 0 === vtx (Anfangsgeschwin-digkeit) lautet ihre Loumlsung

)cos()( 0 txtx sdotsdot= ω (4)wobei physikalisch x0 als Amplitude und mk=ω als Kreisfrequenz der freien ungedaumlmpf-ten Federschwingung bezeichnet werden Der Koumlrper der Masse m schwingt nach Auslen-kung (aus der Gleichgewichts- bzw Ruhelage um x0) in Form einer harmonischen Schwin-gung mit der Periodendauer

kmT π

ωπ 22== (5)

die experimentell direkt gemessen werden kann Aus (5) ist bei bekannter Masse m die Feder-konstante k bestimmbar 3 Berechnung der Federkonstanten aus der Geometrie und den Materialeigenschaften der Schraubenfeder Durch eine Auslenkung aus der Ruhelage wird die Schraubenfeder gedehnt und damit der gesamte Federdraht auf sog Torsion (svw bdquoVerdrehungldquo oder bdquoVerdrillungldquo) beansprucht Ohne weitere Herleitung sei hier eine Beziehung angegeben die es gestattet aus dem sog Torsionsmodul G (als Materialkonstante des Federdrahtes) und den geometrischen Daten der Schraubenfeder (Drahtlaumlnge l Drahtdurchmesser d und Wickel-radius r) die Federkonstante k zu berechnen

2

4

32 rldGksdotsdot

sdot=π (6)

AUFGABEN 1 Aus dem statischen Verhalten einer Schraubenfeder ist deren Federkonstante experimentell

zu bestimmen Dazu ist gemaumlszlig Beziehung (2) die statische Auslenkung x in Abhaumlngigkeit von der Belastung m mit verschiedenen Massestuumlcken zu messen Die Daten sind in der Form x = x(m) als Diagramm grafisch darzustellen und daraus die Federkonstante k zu er-mitteln Fuumlr die zu erwartende lineare Abhaumlngigkeit ist sowohl mit einfacher grafischer Methode (bdquoSteigungsdreieckldquo) als auch numerisch (Geradenausgleichsrechnung lineare Regression) der Anstieg von x = x(m) und daraus die Federkonstante (jeweils auch ein-schlieszliglich der Messunsicherheit) zu bestimmen

2 Mithilfe des dynamischen Verhaltens des Federschwingers ist fuumlr dieselbe Feder die Federkonstante aus der experimentell beobachteten Periodendauer der Schwingung zu bestimmen (jeweils auch einschlieszliglich der Messunsicherheit) Dazu ist Formel (5) bei be-kannter und sinnvoll gewaumlhlter Masse m zu nutzen

3 Mithilfe von Formel (6) ist aus den Daten der Schraubenfeder die am Versuchsplatz angegeben sind die Federkonstante k einschlieszliglich ihrer resultierenden Unsicherheit zu berechnen

4 Die Obergrenzen fuumlr systematische Messabweichungen bei den ersten beiden Aufgaben (statische und dynamische Messung der Federkonstanten) sind abzuschaumltzen (Groumlszligenord-nungen) Es ist zu analysieren welche dieser systematischen Abweichungen korrigierbar sind und welche dann tatsaumlchlich in die Messunsicherheit des Endergebnisses eingehen

5 Fuumlr alle drei Methoden (Aufgaben 1-3) sind die Ergebnisse (einschlieszliglich Messunsicher-heit) fuumlr die Federkonstante uumlbersichtlich darzustellen miteinander zu vergleichen und zu diskutieren Sofern moumlglich ist ein gewichteter Mittelwert zu ermitteln

10

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

VERSUCHSHINWEISE Die Schraubenfeder ist mit einem Ende an einem Stativ befestigt Zur Messung der Auslen-kung der Feder aus der Ruhelage wird die Stellung der an der Feder befindlichen Marke M (Abb 1) auf einer Spiegelskale abgelesen (Welchen Vorteil bietet eine Spiegelskale gegen-uumlber einer einfachen Skale) Die sog Verkehrsfehlergrenze der Massennormale ist fuumlr die Masse m = 50 g mit ∆m = plusmn 01 g festgelegt Bei Messung einer Laumlnge l mit der Spiegelskale ist die Messunsi-cherheit ∆l = plusmn (02 mm + 5middot10-4middotl) Fuumlr die Fallbeschleunigung ist (lt Festlegung der Eichbe-houmlrden der Laumlnder fuumlr Waagen) ein Wert von g = (98130 plusmn 00001) mmiddots-2 zu verwenden Fuumlr die 1 Aufgabe wird die Feder schrittweise bis 400 g mit Massestuumlcken von 50 g belastet und mit Hilfe einer Spiegelskale an der Marke M die Auslenkung x gemessen (erste Mess-reihe) Nach Erreichen der Houmlchstbelastung von 400 g ist dann die Feder wieder schrittweise zu entlasten (zweite Messreihe) a) Aus der grafischen Darstellung x = x(m) ist mithilfe des bdquoSteigungsdreiecksldquo der Anstieg

gk grafisch zu ermitteln und seine Unsicherheit entsprechend abzuschaumltzen (vgl Einfuumlh-rungsskript) Daraus sind dann die Federkonstante k als mittelbar bestimmter Groumlszlige und ihre Unsicherheit ∆k zu berechnen

b) Durch lineare Regression ist mithilfe geeigneter Software (s Einfuumlhrungsskript und Vorle-sung) der Anstieg und seine Unsicherheit numerisch zu ermitteln daraus ebenfalls wieder die Federkonstante und deren Unsicherheit

Fuumlr die 2 Aufgabe wird die Feder mit einer Gesamtmasse von 400 g belastet und 10mal die Zeit fuumlr jeweils 20 Schwingungen mithilfe einer Stoppuhr gemessen Daraus ist der Mittel-wert der Periodendauer T und ihr Vertrauensbereich sT zu berechnen und mittelbar damit die Federkonstante k uumlber Gleichung (5) mit ihrer Messunsicherheit a) Zur Genauigkeit der Messung mit Stoppuhren sind im Einfuumlhrungsskript ausfuumlhrliche Hin-

weise enthalten Entsprechend den dort enthaltenen Angaben sind die systematischen Messabweichungen mit ihrer Auswirkung auf die Periodendauer und die Federkonstante realistisch abzuschaumltzen

b) Bezuumlglich der Massen ist bereits ein Hinweis bei Aufgabe 1 gegeben worden Zusaumltzlich muumlsste noch der Einfluss der Eigenmasse der Feder von mF asymp 5 g auf die Periodendauer beruumlcksichtigt werden Die Teile der Feder nehmen unterschiedlich an der Bewegung teil es kann als zu beruumlcksichtigende Zusatzmasse macute= mF3 gesetzt werden Somit ergibt sich

fuumlr die Periodendauer m

mTk

mmT F

312acute +=

+= π

c) Auch bei sehr sorgfaumlltiger Anfangsauslenkung fuumlhrt der Federschwinger nach einigen Schwingungen unvermeidlich seitliche Schwingungen aus Wie beeinflusst diese Bewe-gung die gemessene Periodendauer Man uumlberlege sich auch welche Auswirkungen die in der Betrachtung vernachlaumlssigte aber unvermeidlich auftretende Reibung auf das Ergebnis dieses Verfahrens hat

Fuumlr die 3 Aufgabe sind am jeweiligen Versuchsplatz die Messunsicherheiten der einzelnen Groumlszligen mit angegeben Eine Unterscheidung von zufaumllligen und systematischen Komponen-ten ist hier allerdings nicht moumlglich Fuumlr Aufgabe 5 ist eine tabellarische Darstellungsweise vorzuziehen In Zusammenhang mit dem gewogenen Mittelwert ist zu analysieren unter welchen Bedingungen er uumlberhaupt sinn-voll gebildet werden kann

11

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Dichte Auftriebskraft Analy-senwaage Pyknometer Ein sog Pyknometer ist ein Geraumlt zur Bestimmung der Dichte fester Koumlrper Es besteht aus einem Glasgefaumlszlig mit eingeschliffenem Stopfen der eine kapillare Bohrung hat Das Pykno-meter kann reproduzierbar mit groszliger Genauigkeit mit Wasser gefuumlllt werden Zur Dichtebe-stimmung mit dem Pyknometer sind drei Waumlgungen mit einer Analysenwaage noumltig wobei der Auftrieb der zu waumlgenden Koumlrper (Probe bzw Pyknometer) in Luft (Dichte ρL) zu beruumlck-sichtigen ist 1 Waumlgung der Probe in Luft Fuumlr eine Probe (Masse m1 Volumen V1) wird die Gewichts-kraft durch die ihr entgegengesetzt gerichtete Auftriebskraft gmF sdot= 11 gVF LA sdotsdot= ρ11 vermindert so dass im Gleichgewicht die Waage den Wert m1rsquo anzeigt Die Gleichgewichts-bedingung liefert

111 mVm L =sdotminus ρ (1)2 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers Das vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllte Pykno-meter (Volumen VP) hat die Gesamtmasse m2 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m2rsquo an so dass gilt

22 mVm LP =sdotminus ρ (2)3 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers mit Probe Das mit Wasser und der Probe gefuumlllte Pyknometer hat die Gesamtmasse m3 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m3rsquo an so dass gilt

33 mVm LP =sdotminus ρ (3)Zwischen den Massen m1 m2 und m3 besteht der Zusammenhang

232311 mmmmVm W minus=minus=sdotminus ρ (4)wobei ρW die Dichte des Wassers ist Zur Bestimmung der Dichte ρ1 der Probe kann man aus den Gleichungen (1) und (4) die Unbekannten m1 und V1 ermitteln Man erhaumllt

)()(

231

231

1

11 mmm

mmmVm LW

minusminussdotminusminussdot

==ρρρ (5)

AUFGABEN 1 Bestimmung der Masse m1rsquo fuumlr zwei verschiedene Metallproben (Al und Cu) durch

Waumlgung in Luft Fuumlr jede Probe erfolgt die Waumlgung sechsmal wobei die Probe immer neu auf die Waage zu legen ist Bestimmung der zugehoumlrigen Mittelwerte

2 Bestimmung der Masse m2rsquo des vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllten Pyknometers durch Waumlgung Die jeweils erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt sechsmal Bestimmung des Mittelwertes

3 Bestimmung der Masse m3rsquo des mit Wasser und jeweiliger Metallprobe gefuumlllten Pykno-meters durch Waumlgung Die erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt fuumlr jede Probe sechsmal Bestimmung der Mittelwerte

4 Berechnung der Dichte der beiden Metallproben nach Gleichung (5) 5 Bestimmung der jeweiligen Messunsicherheiten fuumlr die unmittelbar gemessenen Groumlszligen

m1rsquo m2rsquo und m3rsquo fuumlr beide Proben 6 Abschaumltzung bzw Berechnung (Fortpflanzung) der resultierenden Messunsicherheiten der

mit (5) mittelbar bestimmten beiden Dichten Vergleich der Ergebnisse fuumlr die beiden Dichten mit Referenzwerten

12

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

VERSUCHSHINWEISE Die Waumlgungen werden mit einer elektronischen Analysenwaage durchgefuumlhrt bei der die auf-gelegte Last (Abb 1 oberer Pfeil) durch eine elektromagnetische Kraft kompensiert wird Mit einer optoelektronischen Abtastung (1) wird die Stellung der Waagschale (2) gemessen und mit diesem Signal der Kompensationsstrom in der Spule (3) gesteuert Der Kompensations-strom erzeugt zwischen Permanentmagnet (4) und Spule eine Kraft so dass die Waagschale in die Null-Lage zuruumlckgefuumlhrt wird der Strom ist der Last proportional Zur Durchfuumlhrung der Waumlgungen beachte man unbedingt die Hinweise des Versuchsbetreuers und die Platz-anleitung

Abb1 Messprinzip der eAnalysenwaage

lektronischen

Fuumlr Aufgabe 2 wird das Pyknometer bis zum Rand mit destilliertem Wasser gefuumlllt wobei die Bildung von Luftblaumlschen zu vermeiden ist Verschlieszligt man das Pyknometer mit dem ange-schliffenen Stopfen so laumluft Wasser uumlber das sehr sorgfaumlltig mit Filterpapier abzuwischen ist Das Anfassen des Pyknometers muss aumluszligerst vorsichtig erfolgen um seine Erwaumlrmung zu vermeiden (warum) Nach dem Abwischen wird mit Filterpapier der auf der Kapillare stehende Tropfen abgenommen so dass die Kapillare bis oben mit Wasser gefuumlllt ist Fuumlr die durchzufuumlhrenden Waumlgungen ist das Pyknometer stets erneut zu befuumlllen Fuumlr Aufgabe 3 wird der Probekoumlrper in das Pyknometer gebracht und dann mit destilliertem Wasser aufgefuumlllt weiter ist sinngemaumlszlig wie bei Aufgabe 2 zu verfahren Fuumlr Aufgabe 4 sind zusaumltzlich zu den Werten m1rsquo m2rsquo und m3rsquo auch der Luftdruck p sowie die Zimmer- und Wassertemperatur zu bestimmen Die Temperaturen koumlnnen als gleich vor-ausgesetzt werden da das destillierte Wasser sich bereits sehr lange im Versuchsraum befin-det Die temperaturabhaumlngige (s Abb 2) Dichte ρW von reinem (luftfreiem) Wasser laumlsst sich im Temperaturintervall 0degC lt θ lt 40degC naumlherungsweise berechnen mit

4-73-52323 1046657-10772108768-1066299984)( θθθθρ sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot+=sdot minusminusminusmkgw

wobei die Temperatur θ in degC einzusetzen ist (Fehler der Naumlherung ) Diese Naumlhrung gilt bei sog Normaldruck (p

3210 minusminus sdotlt∆ mkgWρN = 1013 kPa) Warum kann die Druckabhaumlngig-

keit hier vernachlaumlssigt werden Die Druckabhaumlngigkeit muss aber bei der Luftdichte unbedingt beruumlcksichtigt werden ebenso wie die Luftfeuchtigkeit (warum) Man verwendet die Beziehung

TRp

fL sdot=ρ

13

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

wobei p der Luftdruck (in Pa) T die Lufttemperatur (in K) und Rf die Gaskonstante feuchter Luft ist Diese Gaskonstante Rf berechnet sich wiederum aus

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdotminus

=

d

ld

lf

RR

pp

RR11 ϕ

0 10 20 30 40992

993

994

995

996

997

998

999

1000

Dic

hte ρ w

(kg

m3 )

Temperatur θ (degC)

-10 0 10 20 3011

12

13

Dic

hte ρ L (k

gm

3 )Temperatur θ (degC)

Abb 2 Temperaturabhaumlngigkeit der Dichte fuumlr (reines) Wasser und (trockene) Luft

Hier ist Rl = 28705 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante trockener Luft Rd = 461 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante von Wasserdampf und φ die relative Luftfeuchtigkeit Die Groumlszlige pd ist der Saumlt-tigungsdampfdruck von Wasser in Luft der sich empirisch mit der sog Magnus-Formel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+degsdot

sdot=θθ

CPapd 2241

504317exp213611)( im Intervall CC degleledegminus 7030 θ

berechnen laumlsst wobei θ wieder die Temperatur (in degC) ist Fuumlr Aufgabe 5 sind die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen der Waumlgungen zu ermitteln Die Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo werden alle mit der gleichen Analysenwaage ermittelt fuumlr die vom Hersteller eine Garantiefehlergrenze (systematischer Restfehler) von 02 mg angegeben wird Diese Garantiefehlergrenze ist fuumlr alle drei Massenwerte als geraumlte-bedingte systematische Abweichung zu beruumlcksichtigen Fuumlr die Messwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo haumlngt es von der sorgfaumlltigen Versuchsdurchfuumlhrung (Abtupfen des Wassers ) ab ob die zufaumlllige undoder die systematische Abweichung die Messunsicherheit bestimmt Fuumlr Aufgabe 6 ist nur die Messunsicherheit der Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo zu beruumlcksich-tigen Die berechneten Werte fuumlr die Dichten von Luft und Wasser koumlnnen als praktisch fehlerfrei angenommen werden

14

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Erster Hauptsatz der Thermodynamik Waumlrmemenge Waumlrmekapazitaumlt Richmannsche Mischungsregel Arbeit von Gleich- und Wechselstrom Waumlrmeaustauschkorrektur (s Skript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstel-lung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo) Waumlrme ist eine Energieform die zwischen Koumlrpern ausgetauscht wird oder in andere Energie-formen umgewandelt werden kann Fuumlhrt man einem Koumlrper der Masse m die Waumlrmemenge dQ zu dann ist die sich einstellende Temperaturerhoumlhung dT proportional zur zugefuumlhrten Waumlrmemenge

dTcmdQ sdotsdot= (1)wobei der Proportionalitaumltsfaktor c als spezifische Waumlrmekapazitaumlt mit der SI-Einheit Jmiddotkg-1middotK-1 bezeichnet wird und eine Stoffkonstante ist Aus (1) ergibt sich

dTdQ

mc sdot=

1 (2)

Das Produkt cmC sdot= (3)

mit der SI-Einheit JmiddotK-1 nennt man Waumlrmekapazitaumlt des Koumlrpers Zur Bestimmung von Waumlrmemengen benutzt man sog Kalorimeter wobei anisotherme Aus-fuumlhrungen mit sehr gut waumlrmeisolierten Gefaumlszligen am haumlufigsten verwendet werden Fuumlhrt man einem mit Wasser der Masse mW (teilweise) gefuumlllten Kalorimeter eine Waumlrmemenge ∆Q zu dann werden auszliger dem Wasser auch alle Teile des Kalorimeters wie zB Gefaumlszligwandung Thermometer und Ruumlhrer erwaumlrmt Die gesamte Waumlrmekapazitaumlt der Versuchsanordnung setzt sich also aus der des Wassers (mWmiddotcW) und der des Kalorimeters (CK) zusammen

( ) TCcmQ KWW ∆sdot+sdot=∆ (4)Die spezifische Waumlrmekapazitaumlt von Wasser hat als Stoffkonstante den Wert cW = 41813 kJmiddotkg-1middotK-1 (bei 25degC) Die Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorime-ters ist rechnerisch nur naumlherungsweise moumlglich deshalb wird sie ia experimentell ermittelt 1 Elektrische Methode Flieszligt durch einen Ohmschen Leiter (Heizspirale) an dem die Spannung U anliegt der Strom I dann entsteht im Zeitintervall ∆t in ihm eine der elektri-schen Energie aumlquivalente Waumlrmemenge

tIUQ ∆sdotsdot=∆ (5)Uumlbertraumlgt man diese Waumlrmemenge an das Wasser (Masse mW) und das Kalorimeter (Waumlrme-kapazitaumlt CK) dann steigt die Wassertemperatur gemaumlszlig (4) Bei verlustloser Waumlrmeuumlbertra-gung sind beide Waumlrmemengen gleich (Energieerhaltungssatz) und es gilt

( ) TCcmtIU KWW ∆sdot+sdot=∆sdotsdot (6)so dass CK bestimmt werden kann 2 Mischungsmethode Fuumlgt man kaltem Wasser der Masse m1 und Temperatur T1 in einem Kalorimeter warmes Wasser der Masse m2 und Temperatur T2 hinzu so findet ein Waumlrmeaus-tausch statt bis das gesamte Wasser die Mischungstemperatur Tm angenommen hat Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dass die vom warmen Wasser abgegebene Waumlrmeenergie

gleich der vom kalten Wasser und dem Kalorimeter aufgenommenen Waumlrmeenergie

)( 222 mW TTcmQ minussdotsdot=∆( ) )( 111 TTCcmQ mKW minussdot+sdot=∆ sein muss Der Energieerhaltungssatz in dieser

speziellen Form des Austausches von Waumlrmemenge heiszligt Richmannsche Mischungsregel und ergibt die Gleichung

( ) )()( 2211 mWmKW TTcmTTCcm minussdotsdot=minussdot+sdot (7)zur Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorimeters

15

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

AUFGABEN 1 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der elektrischen Methode gemaumlszlig (6) 2 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 1 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 3 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der Mischungsmethode mit (7) 4 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 3 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 5 Fuumlr beide Methoden fuumlhre man eine Bestimmung der Messunsicherheit der Waumlrmekapazi-

taumlt durch und vergleiche die Endergebnisse miteinander VERSUCHSHINWEISE Das Verfahren zur Waumlrmeaustauschkorrektur Bei kalorimetrischen Messungen ist ein Waumlrmeaustausch mit der Umgebung unvermeidlich (offenes thermodynamisches System) und meist stoumlrend Aus dem gemessenen zeitlichen Temperaturverlauf ist er aber abzulesen (s Abb 1)

DE

Abbildung 1 Zeitlicher Verlauf der Temperatur im Kalorimeter

In der Vorperiode erhaumllt man den ansteigenden Kurvenabschnitt ArarrB in der Nachperiode den abfallenden Kurvenabschnitt ErarrF Das liegt daran dass das Kalorimeter eben nicht adia-batisch bzw isentrop ist Die Temperatur der Kalorimeterfluumlssigkeit im Innern gleicht sich in beiden Abschnitten jeweils (asymptotisch) an die Umgebungstemperatur TU an wobei der Waumlrmefluss proportional zur Temperaturdifferenz ist Es laumlsst sich zeigen dass der Gleichge-wichtszustand zeitlich exponentiell angenommen wird Im vorliegenden Fall ist aber die ent-sprechende Zeitkonstante sehr groszlig im Vergleich zur Messzeit so dass die beiden Abschnitte ArarrB und ErarrF naumlherungsweise jeweils durch eine Gerade beschrieben werden duumlrfen Die-ser Sachverhalt gestattet es auszligerdem in diesen Abschnitten die Messwerte in groumlszligerer zeitli-cher Schrittweite aufzunehmen Aufgrund des real zeitlich ausgedehnten Waumlrmeaustausches mit der Umgebung beobachtet man einen stetigen und differenzierbaren Verlauf der Kurve im Abschnitt BrarrE Nur wenn die im Experiment zugefuumlhrte Waumlrme sofort verteilt wuumlrde waumlre die Temperaturkurve eine Sprungfunktion Das System braucht eine gewisse Zeit bis sich ein neues Gleichgewicht ein-stellen kann Es verhaumllt sich so als ob es uumlber ein ganzes Zeitintervall bdquoverschmiertldquo waumlre Es gilt also die Endzeit der Waumlrmezufuhr zu finden Sie liegt im Wendepunkt der Temperaturkurve weil sich dort die Richtung der Kruumlmmung aumlndert also Waumlrmezufuhr in Waumlrmeverlust uumlbergeht Nun laumlsst sich aber im Abschnitt BrarrE die Kurve T(t) nicht beliebig

F

Tem

pera

tur

T

∆T S

TU

A B C

Zeit

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

17

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

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O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

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O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

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O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

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O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

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O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

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O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

46

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

LITERATUR

R P Feynman R B Leighton M Sands Feynman Vorlesungen uumlber Physik (3 Baumlnde) Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) Taschenbuumlcher und Nachschlagewerke fuumlr Formeln und Daten H Stoumlcker Taschenbuch der Physik Verlag Harri Deutsch (Frankfurt a M) D Mende G Simon Physik - Gleichungen und Tabellen Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Kuchling Taschenbuch der Physik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) H Ebert Physikalisches Taschenbuch F Vieweg amp Sohn (Braunschweig) H Heinemann H Kraumlmer H Zimmer Kleine Formelsammlung Physik Hanser Fachbuch-verlag (Muumlnchen Leipzig) F Kohlrausch V Kose S Wagner Praktische Physik (3 Baumlnde) B G Teubner (Stuttgart Leipzig) Buumlcher zur Messtechnik P Profos T Pfeifer (Hrsg) Grundlagen der Messtechnik Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) G Heyne Elektronische Messtechnik - Eine Einfuumlhrung fuumlr angehende Wissenschaftler Oldenbourg Wissenschaftsverlag (Muumlnchen) J Hoffmann Taschenbuch der Messtechnik Hanser Fachbuchverlag (Muumlnchen Leipzig) J Niebuhr G Lindner Physikalische Messtechnik mit Sensoren Oldenbourg Industrieverlag (Muumlnchen) D Benda Wie misst man mit dem Oszilloskop Franzis Verlag GmbH (Poing) R Lerch Elektrische Messtechnik Analoge digitale und computergestuumltzte Verfahren Springer (Berlin Heidelberg New York) W Pfeiffer Digitale Messtechnik Springer (Berlin Heidelberg New York)

V

F1 FEHLERVERTEILUNG

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Systematische und zufaumlllige Messabweichungen Messunsicherhei-ten Standardabweichung Vertrauensbereich absolute und relative Haumlufigkeit Gauszligsche Normalverteilung Summenhaumlufigkeit Wahrscheinlichkeitsnetz Stichprobe Grundgesamtheit Alle Messungen physikalischer Groumlszligen sind unvermeidlich mit Messabweichungen bzw -unsicherheiten behaftet Sind systematische Abweichungen ausgeschlossen dann streuen die Messwerte (i = 1 n) aufgrund zufaumllliger Abweichungen symmetrisch um den Mittel- bzw Erwartungswert

ixx Berechnet man die scheinbaren Abweichungen

xxv minus= ii (1)einer Messreihe und stellt die absolute bzw die relative Haumlufigkeit also bzw )(k iv

( ) ( ) nkh ii vv = grafisch als Funktion der Abweichungen vi dar dann erhaumllt man eine treppenfoumlrmige Verteilungs-kurve (s Abb 1) Dazu werden die Ab-weichungen vi in gleichgroszligen Inter-vallen ∆v (Klasseneinteilung) zusam-mengefasst Im Grenzfall mit infinrarrn und Intervallbreite genuumlgen die Abweichungen v meist einer Normal-verteilung (Gauszlig-Verteilung)

0rarr∆v

Abb 1 Histogramm einer Normalverteilung ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus= 2

2

2exp

21

σσπϕ vv (2)

Diese Verteilung (ausgezogene Kurve in Abb 1) zeigt folgende Eigenschaften 1 Die Normalverteilung hat fuumlr v ein Maximum ist symmetrisch bezuumlglich dieses Maxi-

mums und strebt mit wachsendem v asymptotisch gegen Null = 0

2 Die Normalverteilung hat Wendepunkte bei σplusmn=v (σ ist die Standardabweichung) 3 Der Parameter σ bestimmt die Breite der Normalverteilung Bei kleinem σ entsteht eine

bdquoschlankeldquo Kurve mit geringer Streuung der Messergebnisse (svw wie groszlige bdquoGenauig-keitldquo der Messmethode) Ein groszliges σ bedeutet entsprechend das Gegenteil

Die Uumlberpruumlfung ob eine Messreihe (Stichprobe) einer Normalverteilung genuumlgt ist mit Hilfe bestimmter statistischer Verfahren moumlglich von denen einige in diesem Versuch ange-wandt werden Die statistische Analyse einer Messreihe setzt aber eine bdquohinreichendldquo groszlige Zahl von Messwerten voraus VERSUCHSDURCHFUumlHRUNG Im Regelfall wird der Versuch im Houmlrsaal mit allen Studierenden gemeinsam durchgefuumlhrt Uumlber einen Projektor (Beamer) wird eine Skale mit einer Marke (Zeiger) gezeigt Die Lage dieser Marke schaumltzt jeder Student fuumlr sich auf 001 Skalenteile genau und notiert sich im Messprotokoll seinen Mess- bzw Schaumltzwert Der wahre Wert wurde noch vor der Anzeige als Zufallszahl erzeugt und ist daher bekannt Dieser Wert wird unmittelbar nach erfolgter individueller Schaumltzung angesagt bzw gezeigt und im Messprotokoll ebenfalls notiert Insgesamt sind in diesem Versuch 100 Schaumltzungen auszufuumlhren

ix iwx

Diese Vorgehensweise erfordert eine hohe Konzentrationsfaumlhigkeit und Disziplin

1

F1 FEHLERVERTEILUNG

AUFGABEN 1 Ermittlung der Stichprobe 100 Schaumltzwerte xi der Stellung einer Marke und die zugehoumlri-

gen Werte xwi werden notiert Fuumlr die Datentabelle empfiehlt sich hier folgendes Schema vii xi xwi + 0 -

1 (176) (175) (001) 2 Berechnung der scheinbaren Abweichungen wiii xxv minus= 3 Vorzeichentest Man bestimme die Zahl n+ der positiven und die Zahl n- der negativen Ab-

weichungen vi Da die Abweichungen vi bei Annahme einer Normalverteilung symmet-risch zum Wert vi = 0 liegen sollten die Zahlen n+ und n- annaumlhernd gleich groszlig sein Wenn n die Zahl aller Messwerte ist muss fuumlr den positiven Ausgang des Vorzeichentests

nnn leminus minus+ erfuumlllt sein nplusmn ist die zu erwartende statistische Schwankung beim Stichprobenumfang n

4 Fuumlr die weitere Auswertung der Ergebnisse empfiehlt sich eine Tabelle in der die schein-baren Abweichungen ihrer Groumlszlige nach geordnet werden nach folgendem Schema

vj vj2 Strichliste k(vj) k(vj)middot vj

2 h(vj) H(vj) (min vj)

(max vj) 1000

Kontrollen 100 22 )( jji vvkv sdot= sumsum 1000

In diese Tabelle werden die Messwerte von Aufgabe 1 uumlbertragen indem man sie der Reihe nach durchgeht und bei dem entsprechenden in der Spalte bdquoStrichlisteldquo durch einen Strich markiert Die Zahl der Striche ergibt dann die absolute Haumlufigkeit

jv)(vk j

5 Mit 22 )(11jji vvk

nv

ns sdotplusmn=plusmn= sumsum wird aus den Abweichungen vi die empirische

Standardabweichung berechnet die eine Naumlherung fuumlr die Standardabweichung σ der Normalverteilung nach Gleichung (2) darstellt Im Nenner tritt hier n anstelle von n-1 auf weil bei diesem Versuch (ausnahmsweise) der wahre Wert der Messgroumlszlige bekannt ist

6 Die ermittelten relativen Haumlufigkeiten nvkvh jj )()( = der Abweichungen vj werden grafisch als Funktion von vj dargestellt (Histogramm Balkendiagramm) Durch das Histogramm versuche man nach Augenmaszlig eine Normalverteilungskurve zu legen

7 Mit den relativen Haumlufigkeiten aus Aufgabe 6 berechne man die Summenhaumlufigkeit und stelle diese Summenhaumlufigkeit H(vsum

le

=jk vv

kj vhvH )()( j) grafisch als Funktion von vj in

Form eines Histogramms (Balkendiagramm) dar 8 Test mit Wahrscheinlichkeitspapier Die Wertepaare der Summenhaumlufigkeitskurve (s

Aufgabe 7) uumlbertrage man auf ein Wahrscheinlichkeitsnetz und lege durch die Punkte im mittleren Bereich eine ausgleichende Gerade

9 Man entnehme der Darstellung auf dem Wahrscheinlichkeitsnetz (Aufgabe 8) bei H(vrsquo) = 016 (bzw 16) und H(vrsquorsquo) = 084 (bzw 84) die zugehoumlrigen Werte vrsquo und vrsquorsquo und vergleiche (vrsquorsquo-vrsquo)2 mit dem Wert der empirischen Standardabweichung (Aufgabe 5)

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr die Auswertung und das Verstaumlndnis des Versuches wird unbedingt die Lektuumlre der ent-sprechenden Abschnitte des Praktikumsskripts bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstellung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo empfohlen Die Druckvorlage fuumlr ein Wahrscheinlichkeitsnetz ist auf der Webseite des Grundpraktikums zu finden

2

F2 VOLUMENMESSUNG

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Auftriebskraft In diesem einfachen Versuch werden drei Methoden unterschiedlicher Genauigkeit zur Bestimmung des Volumens eines Probekoumlrpers verwendet und miteinander verglichen hin-sichtlich der jeweiligen Messunsicherheit 1 Methode (Uumlberlaufgefaumlszlig) Ein mit einem Uumlberlauf versehener Glasbehaumllter wird bis zum Uumlberlaufen mit Wasser gefuumlllt Durch Eintauchen des Probekoumlrpers dessen Volumen V1 bestimmt werden soll wird Wasser verdraumlngt das in einen Messzylinder flieszligt 2 Methode (Geometrie des Koumlrpers) Der Probekoumlrper ist ein Zylinder sein Volumen kann aus dem Durchmesser d und der Houmlhe h nach

hdV 22 4

π= (1)

berechnet werden 3 Methode (Auftriebsmessung) Der Probekoumlrper vom Volumen V3 wird mit einer Labor-waage mit symmetrischem Waagebalken in Luft gewogen Man benoumltigt fuumlr das Gleich-gewicht die Massennormale zur Kompensation der Gewichtskraft des Probekoumlrpers Taucht man ihn in Wasser (Dichte ρw ) dann erfaumlhrt er eine Auftriebskraft

1m gmF 1G =

3wA gVF ρ= (g = Fallbeschleunigung) Um die Waage wieder ins Gleichgewicht zu bringen benoumltigt man die Massennormale zur Kompensation der um die Auftriebskraft verminderten Gewichtskraft FG d h

2m AF

3w12 gV-gmgm ρ= Daraus folgt

w

213 ρ

mmV

minus= (2)

Die zur Bestimmung der Massenwerte und verwendete Laborwaage traumlgt in der Mitte des Waagebalkens einen Zeiger der uumlber einer Skale schwingt An seiner Stellung ist das Gleich-gewicht der Waage ablesbar Verschiebt sich durch eine einseitig wirkende Zusatz-masse ∆mrsquo die Zeigerstellung um ∆a dann bezeichnet man den Quotienten

1m 2m

maEprime∆

∆= (3)

als Empfindlichkeit der Waage sie ist ein Maszlig fuumlr ihre Guumlte und gestattet die Abschaumltzung der Messunsicherheit Systematische Messabweichungen der drei Methoden 1 Uumlberlaufgefaumlszlig Der sog Geraumltefehler ∆V des Messzylinders betraumlgt bei einem Nenninhalt von VN = 50 ml und einer Nenntemperatur von tN = 20 degC bis zu ∆V = plusmn 05 ml (4) Die Richtung und die Groumlszlige dieses Geraumltefehlers ∆V fuumlr voneinander abweichende Mess-temperatur und Nenntemperatur des Messzylinders wird mit Hilfe des thermischen Ausdehnungskoeffizienten des Glases abgeschaumltzt Ist das Nennvolumen des als Glasrohr betrachteten Messzylinders VN dann ist bei der Messtemperatur sein Volumen

Mt Nt

Mt ))(1( NMNM ttVV minus+= γ

mit als sog kubischem thermischem Ausdehnungskoeffizienten des Glases Daraus ergibt sich

-15 K1072 minussdot=γ

3

F2 VOLUMENMESSUNG

( )NM tt minus=∆ γVV (5) 2 Geometrie des Koumlrpers Die sog Fehlergrenzen ∆I beider Messgeraumlte sind wenn I die gemessene Laumlnge ist von folgender Groumlszlige Messschieber ∆l = plusmn (5sdot10-5 m + 1sdot10-4 l) (6) Buumlgelmessschraube ∆l = plusmn (5sdot10-6 m + 1sdot10-5 l) (7) 3 Auftriebsmessung Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Probekoumlrpers und der Massennormale (Dichte

) bei der Waumlgung in Luft (Dichte ) liefert 33N mkg1084 sdot=ρ 3

L mkg12=ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+minusasymp

minus

minussdot

minus=prime

w

L

N

L3

wL

NL

w

213 1

11

ρρ

ρρ

ρρρρ

ρVV mm (8)

Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Aufhaumlngedrahtes von dem das Volumen ∆V im Wasser eintaucht ergibt VVV ∆minusprime=primeprime 33 (9) AUFGABEN 1 Ermittelung der einzelnen Messgroumlszligen fuumlr jede der drei Methoden und Berechnung der

Volumenwerte Vi 2 Berechnung bzw Abschaumltzung der zufaumllligen Messabweichungen fuumlr alle Messgroumlszligen 3 Groumlszligenordnungsmaumlszligige Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen aller drei

Methoden Soweit moumlglich und sinnvoll Korrektur systematischer Abweichungen Betrachtung systematischer Restfehler

4 Uumlbersichtliche Zusammenstellung der Messergebnisse der zufaumllligen und der systemati-schen Abweichungen sowie der Messunsicherheiten fuumlr die einzelnen Messgroumlszligen

5 Berechnung der Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr die mittelbar bestimmten Volumenwerte nach dem Fortpflanzungsgesetz

6 Berechnung des gewogenen Mittelwertes einschlieszliglich seiner Unsicherheit sofern moumlg-lich und sinnvoll

VERSUCHSHINWEISE Methode 1 Der Messzylinder wird vor dem Eintauchen des Probekoumlrpers mit etwas Wasser gefuumlllt und dieser Fuumlllstand VA als Bezugsgroumlszlige gewaumlhlt Nach dem Einlaufen des verdraumlng-ten Wassers liest man den Fuumlllstand VE am Messzylinder ab so dass sich als Volumen des Probekoumlrpers AE1 VVV minus= (10) ergibt Die Messungen werden sechsmal durchgefuumlhrt und Bruchteile der Skalenteile geschaumltzt Methode 2 Die Houmlhe des Zylinders h wird sechsmal mit einem Messschieber und sein Durchmesser d wird sechsmal an verschiedenen Stellen mit einer Buumlgelmessschraube gemes-sen Methode 3 Jede Waumlgung wird zweimal ausgefuumlhrt und der Groumlszligtfehler aus der Empfindlich-keit der Waage nach Gl (3) abgeschaumltzt Als Groumlszligtfehler wird die Zusatzmasse ∆m angege-ben die einen Zeigerausschlag ∆a = 1 Skalenteil bewirkt Die Dichte des Wassers ist tempe-raturabhaumlngig und wird einer grafischen Darstellung am Versuchsplatz entnommen

4

F2 VOLUMENMESSUNG

In Aufgabe 1 werden die einzelnen Messgroumlszligen sowie die drei Volumenwerte Vi und in Auf-gabe 2 die zufaumllligen Abweichungen der einzelnen Messgroumlszligen ermittelt In Aufgabe 3 sind die systematischen Abweichungen zu diskutieren wobei zwischen den Korrekturen und den systematischen Restfehlern zu unterscheiden ist Fuumlr Aufgabe 4 muumlssen die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen verglichen und in Aufgabe 5 die Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr alle drei Methoden festgelegt werden Uumlberlappen sich die Bereiche der Messunsicherheiten ∆Vi nicht dann liegen entweder grobe Messfehler vor oder es existieren noch weitere bisher nicht erfasste systematische Abwei-chungen Uumlberlappen sich dagegen die Bereiche der Messunsicherheiten dann kann der gewogene Mittelwert und die zugehoumlrige Messunsicherheit berechnet werden (Aufgabe 6)

5

F3 FADENPENDEL

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Massenpunktmodell mathematisches und physikali-sches Pendel Bewegungsgleichung Schwerkraft Newtonsche Axiome Schwingungsdifferen-tialgleichung Ein an einem Faden aufgehaumlngter Koumlrper stellt aufgrund der auf ihn wirkenden Schwerkraft und seiner Traumlgheit ein schwingungsfaumlhiges System dar Betrachtet man (idealisiert) einen punktfoumlrmigen Koumlrper der Masse m der an einem Faden der Laumlnge l haumlngt und lenkt ihn um einen Winkel φ (Abb 1) aus der Senkrechten aus dann fuumlhrt der Koumlrper nach dem Loslassen Schwingungen um die Senkrechte aus

Abbildung 1 Fadenpendel

Bei Vernachlaumlssigung der Masse des Fadens und der Luftreibung wirkt auf den Koumlrper in jedem Punkt der Bahn senkrecht nach unten die Gewichtskraft

gmFG sdot= (1)wobei g die Fallbeschleunigung ist Die Normalkomponente (normal zur Bahn des Koumlrpers)

ϕcossdotsdot= gmFn dieser Kraft findet ihre Gegenkraft in der in der Aufhaumlngung auftretenden Kraft und beeinflusst die Bewegung des Koumlrpers nicht Dagegen erzeugt die Tangentialkom-ponente ϕsinsdotsdot= gmFt der Gewichtskraft entsprechend der Newtonschen Bewegungs-gleichung

ϕsin2

2

sdotsdotminus=sdot=sdot gmsmdt

sdm (2)

eine Beschleunigung des Koumlrpers laumlngs der kreisfoumlrmigen Bahnkurve Zwischen dem Aus-lenkwinkel φ und der Bahnkurvenkoordinate s auf der Bahnkurve besteht die Beziehung

ϕsdot= ls Bei (zeitlich) konstanter Fadenlaumlnge l folgt daraus unmittelbar

dtdl

dtds ϕ

sdot= und 2

2

2

2

dtdl

dtsd ϕ

sdot= (3)

Fuumlr kleine Auslenkwinkel φ gilt die bekannte Naumlherung ϕϕ asympsin die ebenso wie (3) in die Bewegungsgleichung (2) eingesetzt werden kann Daraus erhaumllt man die Newtonsche Bewe-gungsgleichung fuumlr das mathematische Pendel mit

02

2

=sdot+sdot ϕϕ gdtdl (4)

Diese Schwingungsdifferentialgleichung einfachster Form kann mit dem Ansatz

6

F3 FADENPENDEL

)sin(0 ψωϕϕ +sdotsdot= t mit lg

=ω (5)

geloumlst werden Die hier zunaumlchst willkuumlrlich erscheinenden Konstanten heiszligen Amplitude φ0

bzw Phasenkonstante ψ und sind durch die konkreten Anfangsbedingungen fuumlr t = 0 festge-legt Das mathematische Pendel vollfuumlhrt demnach bei Auslenkung um kleine Winkel harmo-nische Schwingungen mit der Kreisfrequenz ω und der Periodendauer

glT π

ωπ 22== (6)

die unabhaumlngig von der Masse m und der Amplitude φ0 ist Die Beziehung (6) erlaubt prinzipiell bei bekannter Pendellaumlnge l durch Messung der Perio-dendauer T eine Bestimmung der Fallbeschleunigung g Allerdings ist die Pendellaumlnge l nur sehr ungenau zu bestimmen Deshalb bedient man sich hier zweckmaumlszligig eines einfachen Tricks Die Laumlnge l kann um genau einstellbare Betraumlge li veraumlndert werden und setzt sich gemaumlszlig zusammen Damit wird aus (6) durch entsprechende Umformung illl += 0

( )ii llgg

lT +sdot== 0

222 44 ππ (7)

Misst man nun die Periodendauern Ti fuumlr die entsprechenden li und stellt die Abhaumlngigkeit

Ti2(li) dar so ergibt sich eine Gerade mit dem Anstieg

g

24π und dem Achsenabschnitt

0

24 lg

sdotπ Damit werden die Groumlszligen g und l0 bestimmbar

Die oben vorgenommenen Vereinfachungen die zur Herleitung der Beziehung (6) verwendet wurden beduumlrfen noch einer weiteren Diskussion Betrachtung beliebiger Winkel Ohne die obige Beschraumlnkung auf kleine Winkel φ liefert die Loumlsung der sog elliptischen Differentialgleichung (2) fuumlr die Periodendauer das (exak-tere) Ergebnis

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdotsdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛sdot+sdot=

2sin

2sin1 042

43

21022

21 ϕϕ

ϕ TT (8)

wobei T durch die Beziehung (6) gegeben ist Beruumlcksichtigung des Auftriebs in Luft Der Massekoumlrper aus Blei mit der Dichte von ρK = 11340 kgm-3 und dem Volumen VK erfaumlhrt in Luft der Dichte ρL asymp 12 kgm-3 eine Auftriebskraft gVF KLA sdotsdot= ρ die der Gewichtskraft gVgmF KKG sdotsdot=sdot= ρ entgegen-gerichtet ist Unter Beruumlcksichtigung dieses Auftriebs in Luft erhaumllt man schlieszliglich fuumlr die Periodendauer

LK

KA TT

ρρρminus

sdot= (9)

Betrachtung fuumlr ausgedehnten Massekoumlrper Die Ausdehnung des schwingenden Koumlrpers kann man beruumlcksichtigen wenn man von der Bewegungsgleichung des sog physikalischen Pendels (vgl Versuch bdquoM9 Reversionspendelldquo) ausgeht Die genaue Betrachtung bzw Herleitung wird hier bewusst nicht angegeben sondern nur das Ergebnis Mit bekannten Abmessungen des Bleizylinders (Radius R und Houmlhe h) am Faden der Laumlnge l bestimmt sich die Periodendauer zu

2

22

1231

lhRTTs sdot

++sdot= (10)

7

F3 FADENPENDEL

Der Einfluss des Fadens wurde auch bei diesen Betrachtungen aber ebenso vernachlaumlssigt wie die auftretende Reibung Es ist sicherlich empirisch einsichtig dass schwache Reibung zu einer gedaumlmpften Schwingung fuumlhren wird Die Schwingungsamplitude klingt dann

exponentiell mit sehr groszliger Zeitkonstante τ wie τt

eminus

ab AUFGABEN 1 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine feste Fadenlaumlnge Die Zeitmessung erfolgt fuumlr 10

Schwingungen jeweils zehnmal an einem Umkehrpunkt und beim Nulldurchgang des Pendels Berechnung von Mittelwerte Standardabweichung und Vertrauensbereich der Periodendauer und Diskussion der Unterschiede zwischen beiden Verfahren

2 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine Schwingung beim Nulldurchgang mit zehnfacher Messung Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung anschlieszligend Vergleich mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe 1 und Diskussion der Unterschiede

3 Bestimmung der Periodendauer fuumlr 10 verschiedene Fadenlaumlngen li Aus jeweils 2 Messungen fuumlr 10 Schwingungen sind die Mittelwerte fuumlr die Periodendauern Ti(li) zu berechnen

4 Grafische Darstellung der Ergebnisse der 3 Aufgabe in der Form Ti2(li) in einem

Diagramm Verwendung von Gleichung (7) zur Bestimmung von Fallbeschleunigung g und Anfangslaumlnge des Pendels l0 sowohl durch grafischen Geradenausgleich als auch numerische lineare Regression mit Ermittlung der zugehoumlrigen Unsicherheiten

5 Aus den Ergebnissen der 4 Aufgabe fuumlr l0 und g ist gemaumlszlig Gleichung (6) die Periodendauer T einschlieszliglich ihrer Unsicherheit zu berechnen und mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe zu vergleichen

6 Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen fuumlr die Periodendauer gemaumlszlig der og drei Gleichungen (8-10) und ihres Einflusses auf die g-Bestimmung Diskussion der Relevanz entsprechender Korrekturen

VERSUCHSHINWEISE Ein gegossener Bleizylinder (Radius R asymp 23 mm Houmlhe h asymp 23 mm Masse m asymp 08 kg) haumlngt an einem duumlnnen Stahldraht Die Pendellaumlnge laumlsst sich durch einen Schieber in dessen Fuumlhrung der Draht laumluft veraumlndern Die Laumlngenaumlnderung kann mit Hilfe von Ringmarken deren Abstand 2 cm betraumlgt eingestellt werden Bei Auslenkung des Pendels aus seiner Ruhelage fuumlhrt es Schwingungen aus deren Periodendauer mit einer von Hand ausgeloumlsten Stoppuhr bestimmt wird Fuumlr die ersten beiden Aufgaben ist zweckmaumlszligig (warum) eine moumlglichst groszlige Fadenlaumlnge zu waumlhlen Die zugehoumlrige Stellung des Schiebers ist unbedingt zu notieren da sie spaumlter benoumltigt wird Fuumlr die 3 Aufgabe wird die Anfangsfadenlaumlnge l0 um die Werte li (i = 110) in Schritten von 4 cm verringert Fuumlr die mit der 4 Aufgabe erforderliche Auswertung sind grafische Mittel (Anstiegsdreieck grafische Extrapolation auf den Achsenabschnitt) und ein rechentechnisches Verfahren (lineare Regression) einzusetzen Fuumlr Aufgabe 5 ist das bei Aufgabe 4 bestimmte Ergebnis fuumlr die Anfangslaumlnge l0 zu verwenden Bei Aufgabe 6 muss ermittelt werden wie sich die Korrekturen der Schwingungsdauer gemaumlszlig (8-10) auf die Fallbeschleunigung g auswirken Beachten Sie hier dass g aus dem Anstieg der Geraden gemaumlszlig der 4 Aufgabe nach Gleichung (7) bestimmt wird Uumlberlegen Sie welche zufaumllligen und welche systematischen Abweichungen die Messunsicherheit der Fallbeschleunigung g wesentlich bestimmen

8

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Traumlgheitsgesetz Grundgesetz der Dynamik Feder-konstante Federkraft harmonische Schwingung Frequenz Periodendauer Amplitude In diesem Versuch soll die Federkonstante einer Schraubenfeder mit drei verschiedenen Methoden bestimmt werden Bei der Auswertung der Ergebnisse sind Grundbegriffe und Methoden der Fehlerrechnung und ndashanalyse gezielt anzuwenden und zu uumlben 1 Statische Messung der Federkonstanten Wird eine am oberen Ende eingespannte Schraubenfeder am unteren Ende durch Anhaumlngen einer Masse m belastet so wird die Feder gedehnt und es stellt sich eine neue Ruhelage ein (Abb 1 statischer Fall) Die Gewichtskraft

gmFG sdot= und die durch die elastische Verformung entstehende Federkraft (mit k als Federkonstante) stehen im Gleichgewicht (Newtonsches Traumlgheitsgesetz)

xkFF sdotminus=

0=+ FG FF (1)

Abbildung 1 Statische und dynamische Belastung einer Schraubenfeder

Durch Einsetzen der Beziehungen fuumlr beide Kraumlfte und einfache Umstellung ergibt sich daraus

kgmx sdot

= (2)

Die statische Auslenkung x der Schraubenfeder muss demnach linear von der Belastung m abhaumlngig sein Durch die experimentelle Untersuchung der Abhaumlngigkeit x(m) kann sowohl die Linearitaumlt des Federkraftgesetzes xkFF sdotminus= uumlberpruumlft als auch die Federkonstante k bestimmt werden 2 Dynamische Messung der Federkonstanten Lenkt man eine mit der Masse m belastete Feder aus ihrer Ruhelage aus (Abb 1 dynamischer Fall) dann wirkt eine ruumlcktreibende

Federkraft und die Masse m erfaumlhrt eine Beschleunigung xkFF sdotminus=mFx

dtxda F=== 2

2

nach

dem Newtonschen Grundgesetz der Dynamik Fuumlr die weiteren Betrachtungen sollen jegliche Reibungskraumlfte vernachlaumlssigt werden daher ergibt sich aus der Newtonschen Bewegungs-gleichung hier die einfachste Form einer Schwingungsdifferentialgleichung mit

02

2

=sdot+sdot xkdt

xdm (3)

9

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

die eine freie ungedaumlmpfte Schwingung beschreibt Mit den willkuumlrlich ausgewaumlhlten Anfangsbedingungen (Anfangslage) und 0)0( xtx == 0)0( 0 === vtx (Anfangsgeschwin-digkeit) lautet ihre Loumlsung

)cos()( 0 txtx sdotsdot= ω (4)wobei physikalisch x0 als Amplitude und mk=ω als Kreisfrequenz der freien ungedaumlmpf-ten Federschwingung bezeichnet werden Der Koumlrper der Masse m schwingt nach Auslen-kung (aus der Gleichgewichts- bzw Ruhelage um x0) in Form einer harmonischen Schwin-gung mit der Periodendauer

kmT π

ωπ 22== (5)

die experimentell direkt gemessen werden kann Aus (5) ist bei bekannter Masse m die Feder-konstante k bestimmbar 3 Berechnung der Federkonstanten aus der Geometrie und den Materialeigenschaften der Schraubenfeder Durch eine Auslenkung aus der Ruhelage wird die Schraubenfeder gedehnt und damit der gesamte Federdraht auf sog Torsion (svw bdquoVerdrehungldquo oder bdquoVerdrillungldquo) beansprucht Ohne weitere Herleitung sei hier eine Beziehung angegeben die es gestattet aus dem sog Torsionsmodul G (als Materialkonstante des Federdrahtes) und den geometrischen Daten der Schraubenfeder (Drahtlaumlnge l Drahtdurchmesser d und Wickel-radius r) die Federkonstante k zu berechnen

2

4

32 rldGksdotsdot

sdot=π (6)

AUFGABEN 1 Aus dem statischen Verhalten einer Schraubenfeder ist deren Federkonstante experimentell

zu bestimmen Dazu ist gemaumlszlig Beziehung (2) die statische Auslenkung x in Abhaumlngigkeit von der Belastung m mit verschiedenen Massestuumlcken zu messen Die Daten sind in der Form x = x(m) als Diagramm grafisch darzustellen und daraus die Federkonstante k zu er-mitteln Fuumlr die zu erwartende lineare Abhaumlngigkeit ist sowohl mit einfacher grafischer Methode (bdquoSteigungsdreieckldquo) als auch numerisch (Geradenausgleichsrechnung lineare Regression) der Anstieg von x = x(m) und daraus die Federkonstante (jeweils auch ein-schlieszliglich der Messunsicherheit) zu bestimmen

2 Mithilfe des dynamischen Verhaltens des Federschwingers ist fuumlr dieselbe Feder die Federkonstante aus der experimentell beobachteten Periodendauer der Schwingung zu bestimmen (jeweils auch einschlieszliglich der Messunsicherheit) Dazu ist Formel (5) bei be-kannter und sinnvoll gewaumlhlter Masse m zu nutzen

3 Mithilfe von Formel (6) ist aus den Daten der Schraubenfeder die am Versuchsplatz angegeben sind die Federkonstante k einschlieszliglich ihrer resultierenden Unsicherheit zu berechnen

4 Die Obergrenzen fuumlr systematische Messabweichungen bei den ersten beiden Aufgaben (statische und dynamische Messung der Federkonstanten) sind abzuschaumltzen (Groumlszligenord-nungen) Es ist zu analysieren welche dieser systematischen Abweichungen korrigierbar sind und welche dann tatsaumlchlich in die Messunsicherheit des Endergebnisses eingehen

5 Fuumlr alle drei Methoden (Aufgaben 1-3) sind die Ergebnisse (einschlieszliglich Messunsicher-heit) fuumlr die Federkonstante uumlbersichtlich darzustellen miteinander zu vergleichen und zu diskutieren Sofern moumlglich ist ein gewichteter Mittelwert zu ermitteln

10

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

VERSUCHSHINWEISE Die Schraubenfeder ist mit einem Ende an einem Stativ befestigt Zur Messung der Auslen-kung der Feder aus der Ruhelage wird die Stellung der an der Feder befindlichen Marke M (Abb 1) auf einer Spiegelskale abgelesen (Welchen Vorteil bietet eine Spiegelskale gegen-uumlber einer einfachen Skale) Die sog Verkehrsfehlergrenze der Massennormale ist fuumlr die Masse m = 50 g mit ∆m = plusmn 01 g festgelegt Bei Messung einer Laumlnge l mit der Spiegelskale ist die Messunsi-cherheit ∆l = plusmn (02 mm + 5middot10-4middotl) Fuumlr die Fallbeschleunigung ist (lt Festlegung der Eichbe-houmlrden der Laumlnder fuumlr Waagen) ein Wert von g = (98130 plusmn 00001) mmiddots-2 zu verwenden Fuumlr die 1 Aufgabe wird die Feder schrittweise bis 400 g mit Massestuumlcken von 50 g belastet und mit Hilfe einer Spiegelskale an der Marke M die Auslenkung x gemessen (erste Mess-reihe) Nach Erreichen der Houmlchstbelastung von 400 g ist dann die Feder wieder schrittweise zu entlasten (zweite Messreihe) a) Aus der grafischen Darstellung x = x(m) ist mithilfe des bdquoSteigungsdreiecksldquo der Anstieg

gk grafisch zu ermitteln und seine Unsicherheit entsprechend abzuschaumltzen (vgl Einfuumlh-rungsskript) Daraus sind dann die Federkonstante k als mittelbar bestimmter Groumlszlige und ihre Unsicherheit ∆k zu berechnen

b) Durch lineare Regression ist mithilfe geeigneter Software (s Einfuumlhrungsskript und Vorle-sung) der Anstieg und seine Unsicherheit numerisch zu ermitteln daraus ebenfalls wieder die Federkonstante und deren Unsicherheit

Fuumlr die 2 Aufgabe wird die Feder mit einer Gesamtmasse von 400 g belastet und 10mal die Zeit fuumlr jeweils 20 Schwingungen mithilfe einer Stoppuhr gemessen Daraus ist der Mittel-wert der Periodendauer T und ihr Vertrauensbereich sT zu berechnen und mittelbar damit die Federkonstante k uumlber Gleichung (5) mit ihrer Messunsicherheit a) Zur Genauigkeit der Messung mit Stoppuhren sind im Einfuumlhrungsskript ausfuumlhrliche Hin-

weise enthalten Entsprechend den dort enthaltenen Angaben sind die systematischen Messabweichungen mit ihrer Auswirkung auf die Periodendauer und die Federkonstante realistisch abzuschaumltzen

b) Bezuumlglich der Massen ist bereits ein Hinweis bei Aufgabe 1 gegeben worden Zusaumltzlich muumlsste noch der Einfluss der Eigenmasse der Feder von mF asymp 5 g auf die Periodendauer beruumlcksichtigt werden Die Teile der Feder nehmen unterschiedlich an der Bewegung teil es kann als zu beruumlcksichtigende Zusatzmasse macute= mF3 gesetzt werden Somit ergibt sich

fuumlr die Periodendauer m

mTk

mmT F

312acute +=

+= π

c) Auch bei sehr sorgfaumlltiger Anfangsauslenkung fuumlhrt der Federschwinger nach einigen Schwingungen unvermeidlich seitliche Schwingungen aus Wie beeinflusst diese Bewe-gung die gemessene Periodendauer Man uumlberlege sich auch welche Auswirkungen die in der Betrachtung vernachlaumlssigte aber unvermeidlich auftretende Reibung auf das Ergebnis dieses Verfahrens hat

Fuumlr die 3 Aufgabe sind am jeweiligen Versuchsplatz die Messunsicherheiten der einzelnen Groumlszligen mit angegeben Eine Unterscheidung von zufaumllligen und systematischen Komponen-ten ist hier allerdings nicht moumlglich Fuumlr Aufgabe 5 ist eine tabellarische Darstellungsweise vorzuziehen In Zusammenhang mit dem gewogenen Mittelwert ist zu analysieren unter welchen Bedingungen er uumlberhaupt sinn-voll gebildet werden kann

11

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Dichte Auftriebskraft Analy-senwaage Pyknometer Ein sog Pyknometer ist ein Geraumlt zur Bestimmung der Dichte fester Koumlrper Es besteht aus einem Glasgefaumlszlig mit eingeschliffenem Stopfen der eine kapillare Bohrung hat Das Pykno-meter kann reproduzierbar mit groszliger Genauigkeit mit Wasser gefuumlllt werden Zur Dichtebe-stimmung mit dem Pyknometer sind drei Waumlgungen mit einer Analysenwaage noumltig wobei der Auftrieb der zu waumlgenden Koumlrper (Probe bzw Pyknometer) in Luft (Dichte ρL) zu beruumlck-sichtigen ist 1 Waumlgung der Probe in Luft Fuumlr eine Probe (Masse m1 Volumen V1) wird die Gewichts-kraft durch die ihr entgegengesetzt gerichtete Auftriebskraft gmF sdot= 11 gVF LA sdotsdot= ρ11 vermindert so dass im Gleichgewicht die Waage den Wert m1rsquo anzeigt Die Gleichgewichts-bedingung liefert

111 mVm L =sdotminus ρ (1)2 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers Das vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllte Pykno-meter (Volumen VP) hat die Gesamtmasse m2 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m2rsquo an so dass gilt

22 mVm LP =sdotminus ρ (2)3 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers mit Probe Das mit Wasser und der Probe gefuumlllte Pyknometer hat die Gesamtmasse m3 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m3rsquo an so dass gilt

33 mVm LP =sdotminus ρ (3)Zwischen den Massen m1 m2 und m3 besteht der Zusammenhang

232311 mmmmVm W minus=minus=sdotminus ρ (4)wobei ρW die Dichte des Wassers ist Zur Bestimmung der Dichte ρ1 der Probe kann man aus den Gleichungen (1) und (4) die Unbekannten m1 und V1 ermitteln Man erhaumllt

)()(

231

231

1

11 mmm

mmmVm LW

minusminussdotminusminussdot

==ρρρ (5)

AUFGABEN 1 Bestimmung der Masse m1rsquo fuumlr zwei verschiedene Metallproben (Al und Cu) durch

Waumlgung in Luft Fuumlr jede Probe erfolgt die Waumlgung sechsmal wobei die Probe immer neu auf die Waage zu legen ist Bestimmung der zugehoumlrigen Mittelwerte

2 Bestimmung der Masse m2rsquo des vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllten Pyknometers durch Waumlgung Die jeweils erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt sechsmal Bestimmung des Mittelwertes

3 Bestimmung der Masse m3rsquo des mit Wasser und jeweiliger Metallprobe gefuumlllten Pykno-meters durch Waumlgung Die erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt fuumlr jede Probe sechsmal Bestimmung der Mittelwerte

4 Berechnung der Dichte der beiden Metallproben nach Gleichung (5) 5 Bestimmung der jeweiligen Messunsicherheiten fuumlr die unmittelbar gemessenen Groumlszligen

m1rsquo m2rsquo und m3rsquo fuumlr beide Proben 6 Abschaumltzung bzw Berechnung (Fortpflanzung) der resultierenden Messunsicherheiten der

mit (5) mittelbar bestimmten beiden Dichten Vergleich der Ergebnisse fuumlr die beiden Dichten mit Referenzwerten

12

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

VERSUCHSHINWEISE Die Waumlgungen werden mit einer elektronischen Analysenwaage durchgefuumlhrt bei der die auf-gelegte Last (Abb 1 oberer Pfeil) durch eine elektromagnetische Kraft kompensiert wird Mit einer optoelektronischen Abtastung (1) wird die Stellung der Waagschale (2) gemessen und mit diesem Signal der Kompensationsstrom in der Spule (3) gesteuert Der Kompensations-strom erzeugt zwischen Permanentmagnet (4) und Spule eine Kraft so dass die Waagschale in die Null-Lage zuruumlckgefuumlhrt wird der Strom ist der Last proportional Zur Durchfuumlhrung der Waumlgungen beachte man unbedingt die Hinweise des Versuchsbetreuers und die Platz-anleitung

Abb1 Messprinzip der eAnalysenwaage

lektronischen

Fuumlr Aufgabe 2 wird das Pyknometer bis zum Rand mit destilliertem Wasser gefuumlllt wobei die Bildung von Luftblaumlschen zu vermeiden ist Verschlieszligt man das Pyknometer mit dem ange-schliffenen Stopfen so laumluft Wasser uumlber das sehr sorgfaumlltig mit Filterpapier abzuwischen ist Das Anfassen des Pyknometers muss aumluszligerst vorsichtig erfolgen um seine Erwaumlrmung zu vermeiden (warum) Nach dem Abwischen wird mit Filterpapier der auf der Kapillare stehende Tropfen abgenommen so dass die Kapillare bis oben mit Wasser gefuumlllt ist Fuumlr die durchzufuumlhrenden Waumlgungen ist das Pyknometer stets erneut zu befuumlllen Fuumlr Aufgabe 3 wird der Probekoumlrper in das Pyknometer gebracht und dann mit destilliertem Wasser aufgefuumlllt weiter ist sinngemaumlszlig wie bei Aufgabe 2 zu verfahren Fuumlr Aufgabe 4 sind zusaumltzlich zu den Werten m1rsquo m2rsquo und m3rsquo auch der Luftdruck p sowie die Zimmer- und Wassertemperatur zu bestimmen Die Temperaturen koumlnnen als gleich vor-ausgesetzt werden da das destillierte Wasser sich bereits sehr lange im Versuchsraum befin-det Die temperaturabhaumlngige (s Abb 2) Dichte ρW von reinem (luftfreiem) Wasser laumlsst sich im Temperaturintervall 0degC lt θ lt 40degC naumlherungsweise berechnen mit

4-73-52323 1046657-10772108768-1066299984)( θθθθρ sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot+=sdot minusminusminusmkgw

wobei die Temperatur θ in degC einzusetzen ist (Fehler der Naumlherung ) Diese Naumlhrung gilt bei sog Normaldruck (p

3210 minusminus sdotlt∆ mkgWρN = 1013 kPa) Warum kann die Druckabhaumlngig-

keit hier vernachlaumlssigt werden Die Druckabhaumlngigkeit muss aber bei der Luftdichte unbedingt beruumlcksichtigt werden ebenso wie die Luftfeuchtigkeit (warum) Man verwendet die Beziehung

TRp

fL sdot=ρ

13

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

wobei p der Luftdruck (in Pa) T die Lufttemperatur (in K) und Rf die Gaskonstante feuchter Luft ist Diese Gaskonstante Rf berechnet sich wiederum aus

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdotminus

=

d

ld

lf

RR

pp

RR11 ϕ

0 10 20 30 40992

993

994

995

996

997

998

999

1000

Dic

hte ρ w

(kg

m3 )

Temperatur θ (degC)

-10 0 10 20 3011

12

13

Dic

hte ρ L (k

gm

3 )Temperatur θ (degC)

Abb 2 Temperaturabhaumlngigkeit der Dichte fuumlr (reines) Wasser und (trockene) Luft

Hier ist Rl = 28705 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante trockener Luft Rd = 461 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante von Wasserdampf und φ die relative Luftfeuchtigkeit Die Groumlszlige pd ist der Saumlt-tigungsdampfdruck von Wasser in Luft der sich empirisch mit der sog Magnus-Formel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+degsdot

sdot=θθ

CPapd 2241

504317exp213611)( im Intervall CC degleledegminus 7030 θ

berechnen laumlsst wobei θ wieder die Temperatur (in degC) ist Fuumlr Aufgabe 5 sind die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen der Waumlgungen zu ermitteln Die Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo werden alle mit der gleichen Analysenwaage ermittelt fuumlr die vom Hersteller eine Garantiefehlergrenze (systematischer Restfehler) von 02 mg angegeben wird Diese Garantiefehlergrenze ist fuumlr alle drei Massenwerte als geraumlte-bedingte systematische Abweichung zu beruumlcksichtigen Fuumlr die Messwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo haumlngt es von der sorgfaumlltigen Versuchsdurchfuumlhrung (Abtupfen des Wassers ) ab ob die zufaumlllige undoder die systematische Abweichung die Messunsicherheit bestimmt Fuumlr Aufgabe 6 ist nur die Messunsicherheit der Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo zu beruumlcksich-tigen Die berechneten Werte fuumlr die Dichten von Luft und Wasser koumlnnen als praktisch fehlerfrei angenommen werden

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Erster Hauptsatz der Thermodynamik Waumlrmemenge Waumlrmekapazitaumlt Richmannsche Mischungsregel Arbeit von Gleich- und Wechselstrom Waumlrmeaustauschkorrektur (s Skript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstel-lung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo) Waumlrme ist eine Energieform die zwischen Koumlrpern ausgetauscht wird oder in andere Energie-formen umgewandelt werden kann Fuumlhrt man einem Koumlrper der Masse m die Waumlrmemenge dQ zu dann ist die sich einstellende Temperaturerhoumlhung dT proportional zur zugefuumlhrten Waumlrmemenge

dTcmdQ sdotsdot= (1)wobei der Proportionalitaumltsfaktor c als spezifische Waumlrmekapazitaumlt mit der SI-Einheit Jmiddotkg-1middotK-1 bezeichnet wird und eine Stoffkonstante ist Aus (1) ergibt sich

dTdQ

mc sdot=

1 (2)

Das Produkt cmC sdot= (3)

mit der SI-Einheit JmiddotK-1 nennt man Waumlrmekapazitaumlt des Koumlrpers Zur Bestimmung von Waumlrmemengen benutzt man sog Kalorimeter wobei anisotherme Aus-fuumlhrungen mit sehr gut waumlrmeisolierten Gefaumlszligen am haumlufigsten verwendet werden Fuumlhrt man einem mit Wasser der Masse mW (teilweise) gefuumlllten Kalorimeter eine Waumlrmemenge ∆Q zu dann werden auszliger dem Wasser auch alle Teile des Kalorimeters wie zB Gefaumlszligwandung Thermometer und Ruumlhrer erwaumlrmt Die gesamte Waumlrmekapazitaumlt der Versuchsanordnung setzt sich also aus der des Wassers (mWmiddotcW) und der des Kalorimeters (CK) zusammen

( ) TCcmQ KWW ∆sdot+sdot=∆ (4)Die spezifische Waumlrmekapazitaumlt von Wasser hat als Stoffkonstante den Wert cW = 41813 kJmiddotkg-1middotK-1 (bei 25degC) Die Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorime-ters ist rechnerisch nur naumlherungsweise moumlglich deshalb wird sie ia experimentell ermittelt 1 Elektrische Methode Flieszligt durch einen Ohmschen Leiter (Heizspirale) an dem die Spannung U anliegt der Strom I dann entsteht im Zeitintervall ∆t in ihm eine der elektri-schen Energie aumlquivalente Waumlrmemenge

tIUQ ∆sdotsdot=∆ (5)Uumlbertraumlgt man diese Waumlrmemenge an das Wasser (Masse mW) und das Kalorimeter (Waumlrme-kapazitaumlt CK) dann steigt die Wassertemperatur gemaumlszlig (4) Bei verlustloser Waumlrmeuumlbertra-gung sind beide Waumlrmemengen gleich (Energieerhaltungssatz) und es gilt

( ) TCcmtIU KWW ∆sdot+sdot=∆sdotsdot (6)so dass CK bestimmt werden kann 2 Mischungsmethode Fuumlgt man kaltem Wasser der Masse m1 und Temperatur T1 in einem Kalorimeter warmes Wasser der Masse m2 und Temperatur T2 hinzu so findet ein Waumlrmeaus-tausch statt bis das gesamte Wasser die Mischungstemperatur Tm angenommen hat Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dass die vom warmen Wasser abgegebene Waumlrmeenergie

gleich der vom kalten Wasser und dem Kalorimeter aufgenommenen Waumlrmeenergie

)( 222 mW TTcmQ minussdotsdot=∆( ) )( 111 TTCcmQ mKW minussdot+sdot=∆ sein muss Der Energieerhaltungssatz in dieser

speziellen Form des Austausches von Waumlrmemenge heiszligt Richmannsche Mischungsregel und ergibt die Gleichung

( ) )()( 2211 mWmKW TTcmTTCcm minussdotsdot=minussdot+sdot (7)zur Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorimeters

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

AUFGABEN 1 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der elektrischen Methode gemaumlszlig (6) 2 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 1 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 3 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der Mischungsmethode mit (7) 4 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 3 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 5 Fuumlr beide Methoden fuumlhre man eine Bestimmung der Messunsicherheit der Waumlrmekapazi-

taumlt durch und vergleiche die Endergebnisse miteinander VERSUCHSHINWEISE Das Verfahren zur Waumlrmeaustauschkorrektur Bei kalorimetrischen Messungen ist ein Waumlrmeaustausch mit der Umgebung unvermeidlich (offenes thermodynamisches System) und meist stoumlrend Aus dem gemessenen zeitlichen Temperaturverlauf ist er aber abzulesen (s Abb 1)

DE

Abbildung 1 Zeitlicher Verlauf der Temperatur im Kalorimeter

In der Vorperiode erhaumllt man den ansteigenden Kurvenabschnitt ArarrB in der Nachperiode den abfallenden Kurvenabschnitt ErarrF Das liegt daran dass das Kalorimeter eben nicht adia-batisch bzw isentrop ist Die Temperatur der Kalorimeterfluumlssigkeit im Innern gleicht sich in beiden Abschnitten jeweils (asymptotisch) an die Umgebungstemperatur TU an wobei der Waumlrmefluss proportional zur Temperaturdifferenz ist Es laumlsst sich zeigen dass der Gleichge-wichtszustand zeitlich exponentiell angenommen wird Im vorliegenden Fall ist aber die ent-sprechende Zeitkonstante sehr groszlig im Vergleich zur Messzeit so dass die beiden Abschnitte ArarrB und ErarrF naumlherungsweise jeweils durch eine Gerade beschrieben werden duumlrfen Die-ser Sachverhalt gestattet es auszligerdem in diesen Abschnitten die Messwerte in groumlszligerer zeitli-cher Schrittweite aufzunehmen Aufgrund des real zeitlich ausgedehnten Waumlrmeaustausches mit der Umgebung beobachtet man einen stetigen und differenzierbaren Verlauf der Kurve im Abschnitt BrarrE Nur wenn die im Experiment zugefuumlhrte Waumlrme sofort verteilt wuumlrde waumlre die Temperaturkurve eine Sprungfunktion Das System braucht eine gewisse Zeit bis sich ein neues Gleichgewicht ein-stellen kann Es verhaumllt sich so als ob es uumlber ein ganzes Zeitintervall bdquoverschmiertldquo waumlre Es gilt also die Endzeit der Waumlrmezufuhr zu finden Sie liegt im Wendepunkt der Temperaturkurve weil sich dort die Richtung der Kruumlmmung aumlndert also Waumlrmezufuhr in Waumlrmeverlust uumlbergeht Nun laumlsst sich aber im Abschnitt BrarrE die Kurve T(t) nicht beliebig

F

Tem

pera

tur

T

∆T S

TU

A B C

Zeit

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

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O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

23

O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

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O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

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O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

27

O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

29

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

32

O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

34

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

35

O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

46

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

F1 FEHLERVERTEILUNG

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Systematische und zufaumlllige Messabweichungen Messunsicherhei-ten Standardabweichung Vertrauensbereich absolute und relative Haumlufigkeit Gauszligsche Normalverteilung Summenhaumlufigkeit Wahrscheinlichkeitsnetz Stichprobe Grundgesamtheit Alle Messungen physikalischer Groumlszligen sind unvermeidlich mit Messabweichungen bzw -unsicherheiten behaftet Sind systematische Abweichungen ausgeschlossen dann streuen die Messwerte (i = 1 n) aufgrund zufaumllliger Abweichungen symmetrisch um den Mittel- bzw Erwartungswert

ixx Berechnet man die scheinbaren Abweichungen

xxv minus= ii (1)einer Messreihe und stellt die absolute bzw die relative Haumlufigkeit also bzw )(k iv

( ) ( ) nkh ii vv = grafisch als Funktion der Abweichungen vi dar dann erhaumllt man eine treppenfoumlrmige Verteilungs-kurve (s Abb 1) Dazu werden die Ab-weichungen vi in gleichgroszligen Inter-vallen ∆v (Klasseneinteilung) zusam-mengefasst Im Grenzfall mit infinrarrn und Intervallbreite genuumlgen die Abweichungen v meist einer Normal-verteilung (Gauszlig-Verteilung)

0rarr∆v

Abb 1 Histogramm einer Normalverteilung ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minus= 2

2

2exp

21

σσπϕ vv (2)

Diese Verteilung (ausgezogene Kurve in Abb 1) zeigt folgende Eigenschaften 1 Die Normalverteilung hat fuumlr v ein Maximum ist symmetrisch bezuumlglich dieses Maxi-

mums und strebt mit wachsendem v asymptotisch gegen Null = 0

2 Die Normalverteilung hat Wendepunkte bei σplusmn=v (σ ist die Standardabweichung) 3 Der Parameter σ bestimmt die Breite der Normalverteilung Bei kleinem σ entsteht eine

bdquoschlankeldquo Kurve mit geringer Streuung der Messergebnisse (svw wie groszlige bdquoGenauig-keitldquo der Messmethode) Ein groszliges σ bedeutet entsprechend das Gegenteil

Die Uumlberpruumlfung ob eine Messreihe (Stichprobe) einer Normalverteilung genuumlgt ist mit Hilfe bestimmter statistischer Verfahren moumlglich von denen einige in diesem Versuch ange-wandt werden Die statistische Analyse einer Messreihe setzt aber eine bdquohinreichendldquo groszlige Zahl von Messwerten voraus VERSUCHSDURCHFUumlHRUNG Im Regelfall wird der Versuch im Houmlrsaal mit allen Studierenden gemeinsam durchgefuumlhrt Uumlber einen Projektor (Beamer) wird eine Skale mit einer Marke (Zeiger) gezeigt Die Lage dieser Marke schaumltzt jeder Student fuumlr sich auf 001 Skalenteile genau und notiert sich im Messprotokoll seinen Mess- bzw Schaumltzwert Der wahre Wert wurde noch vor der Anzeige als Zufallszahl erzeugt und ist daher bekannt Dieser Wert wird unmittelbar nach erfolgter individueller Schaumltzung angesagt bzw gezeigt und im Messprotokoll ebenfalls notiert Insgesamt sind in diesem Versuch 100 Schaumltzungen auszufuumlhren

ix iwx

Diese Vorgehensweise erfordert eine hohe Konzentrationsfaumlhigkeit und Disziplin

1

F1 FEHLERVERTEILUNG

AUFGABEN 1 Ermittlung der Stichprobe 100 Schaumltzwerte xi der Stellung einer Marke und die zugehoumlri-

gen Werte xwi werden notiert Fuumlr die Datentabelle empfiehlt sich hier folgendes Schema vii xi xwi + 0 -

1 (176) (175) (001) 2 Berechnung der scheinbaren Abweichungen wiii xxv minus= 3 Vorzeichentest Man bestimme die Zahl n+ der positiven und die Zahl n- der negativen Ab-

weichungen vi Da die Abweichungen vi bei Annahme einer Normalverteilung symmet-risch zum Wert vi = 0 liegen sollten die Zahlen n+ und n- annaumlhernd gleich groszlig sein Wenn n die Zahl aller Messwerte ist muss fuumlr den positiven Ausgang des Vorzeichentests

nnn leminus minus+ erfuumlllt sein nplusmn ist die zu erwartende statistische Schwankung beim Stichprobenumfang n

4 Fuumlr die weitere Auswertung der Ergebnisse empfiehlt sich eine Tabelle in der die schein-baren Abweichungen ihrer Groumlszlige nach geordnet werden nach folgendem Schema

vj vj2 Strichliste k(vj) k(vj)middot vj

2 h(vj) H(vj) (min vj)

(max vj) 1000

Kontrollen 100 22 )( jji vvkv sdot= sumsum 1000

In diese Tabelle werden die Messwerte von Aufgabe 1 uumlbertragen indem man sie der Reihe nach durchgeht und bei dem entsprechenden in der Spalte bdquoStrichlisteldquo durch einen Strich markiert Die Zahl der Striche ergibt dann die absolute Haumlufigkeit

jv)(vk j

5 Mit 22 )(11jji vvk

nv

ns sdotplusmn=plusmn= sumsum wird aus den Abweichungen vi die empirische

Standardabweichung berechnet die eine Naumlherung fuumlr die Standardabweichung σ der Normalverteilung nach Gleichung (2) darstellt Im Nenner tritt hier n anstelle von n-1 auf weil bei diesem Versuch (ausnahmsweise) der wahre Wert der Messgroumlszlige bekannt ist

6 Die ermittelten relativen Haumlufigkeiten nvkvh jj )()( = der Abweichungen vj werden grafisch als Funktion von vj dargestellt (Histogramm Balkendiagramm) Durch das Histogramm versuche man nach Augenmaszlig eine Normalverteilungskurve zu legen

7 Mit den relativen Haumlufigkeiten aus Aufgabe 6 berechne man die Summenhaumlufigkeit und stelle diese Summenhaumlufigkeit H(vsum

le

=jk vv

kj vhvH )()( j) grafisch als Funktion von vj in

Form eines Histogramms (Balkendiagramm) dar 8 Test mit Wahrscheinlichkeitspapier Die Wertepaare der Summenhaumlufigkeitskurve (s

Aufgabe 7) uumlbertrage man auf ein Wahrscheinlichkeitsnetz und lege durch die Punkte im mittleren Bereich eine ausgleichende Gerade

9 Man entnehme der Darstellung auf dem Wahrscheinlichkeitsnetz (Aufgabe 8) bei H(vrsquo) = 016 (bzw 16) und H(vrsquorsquo) = 084 (bzw 84) die zugehoumlrigen Werte vrsquo und vrsquorsquo und vergleiche (vrsquorsquo-vrsquo)2 mit dem Wert der empirischen Standardabweichung (Aufgabe 5)

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr die Auswertung und das Verstaumlndnis des Versuches wird unbedingt die Lektuumlre der ent-sprechenden Abschnitte des Praktikumsskripts bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstellung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo empfohlen Die Druckvorlage fuumlr ein Wahrscheinlichkeitsnetz ist auf der Webseite des Grundpraktikums zu finden

2

F2 VOLUMENMESSUNG

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Auftriebskraft In diesem einfachen Versuch werden drei Methoden unterschiedlicher Genauigkeit zur Bestimmung des Volumens eines Probekoumlrpers verwendet und miteinander verglichen hin-sichtlich der jeweiligen Messunsicherheit 1 Methode (Uumlberlaufgefaumlszlig) Ein mit einem Uumlberlauf versehener Glasbehaumllter wird bis zum Uumlberlaufen mit Wasser gefuumlllt Durch Eintauchen des Probekoumlrpers dessen Volumen V1 bestimmt werden soll wird Wasser verdraumlngt das in einen Messzylinder flieszligt 2 Methode (Geometrie des Koumlrpers) Der Probekoumlrper ist ein Zylinder sein Volumen kann aus dem Durchmesser d und der Houmlhe h nach

hdV 22 4

π= (1)

berechnet werden 3 Methode (Auftriebsmessung) Der Probekoumlrper vom Volumen V3 wird mit einer Labor-waage mit symmetrischem Waagebalken in Luft gewogen Man benoumltigt fuumlr das Gleich-gewicht die Massennormale zur Kompensation der Gewichtskraft des Probekoumlrpers Taucht man ihn in Wasser (Dichte ρw ) dann erfaumlhrt er eine Auftriebskraft

1m gmF 1G =

3wA gVF ρ= (g = Fallbeschleunigung) Um die Waage wieder ins Gleichgewicht zu bringen benoumltigt man die Massennormale zur Kompensation der um die Auftriebskraft verminderten Gewichtskraft FG d h

2m AF

3w12 gV-gmgm ρ= Daraus folgt

w

213 ρ

mmV

minus= (2)

Die zur Bestimmung der Massenwerte und verwendete Laborwaage traumlgt in der Mitte des Waagebalkens einen Zeiger der uumlber einer Skale schwingt An seiner Stellung ist das Gleich-gewicht der Waage ablesbar Verschiebt sich durch eine einseitig wirkende Zusatz-masse ∆mrsquo die Zeigerstellung um ∆a dann bezeichnet man den Quotienten

1m 2m

maEprime∆

∆= (3)

als Empfindlichkeit der Waage sie ist ein Maszlig fuumlr ihre Guumlte und gestattet die Abschaumltzung der Messunsicherheit Systematische Messabweichungen der drei Methoden 1 Uumlberlaufgefaumlszlig Der sog Geraumltefehler ∆V des Messzylinders betraumlgt bei einem Nenninhalt von VN = 50 ml und einer Nenntemperatur von tN = 20 degC bis zu ∆V = plusmn 05 ml (4) Die Richtung und die Groumlszlige dieses Geraumltefehlers ∆V fuumlr voneinander abweichende Mess-temperatur und Nenntemperatur des Messzylinders wird mit Hilfe des thermischen Ausdehnungskoeffizienten des Glases abgeschaumltzt Ist das Nennvolumen des als Glasrohr betrachteten Messzylinders VN dann ist bei der Messtemperatur sein Volumen

Mt Nt

Mt ))(1( NMNM ttVV minus+= γ

mit als sog kubischem thermischem Ausdehnungskoeffizienten des Glases Daraus ergibt sich

-15 K1072 minussdot=γ

3

F2 VOLUMENMESSUNG

( )NM tt minus=∆ γVV (5) 2 Geometrie des Koumlrpers Die sog Fehlergrenzen ∆I beider Messgeraumlte sind wenn I die gemessene Laumlnge ist von folgender Groumlszlige Messschieber ∆l = plusmn (5sdot10-5 m + 1sdot10-4 l) (6) Buumlgelmessschraube ∆l = plusmn (5sdot10-6 m + 1sdot10-5 l) (7) 3 Auftriebsmessung Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Probekoumlrpers und der Massennormale (Dichte

) bei der Waumlgung in Luft (Dichte ) liefert 33N mkg1084 sdot=ρ 3

L mkg12=ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+minusasymp

minus

minussdot

minus=prime

w

L

N

L3

wL

NL

w

213 1

11

ρρ

ρρ

ρρρρ

ρVV mm (8)

Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Aufhaumlngedrahtes von dem das Volumen ∆V im Wasser eintaucht ergibt VVV ∆minusprime=primeprime 33 (9) AUFGABEN 1 Ermittelung der einzelnen Messgroumlszligen fuumlr jede der drei Methoden und Berechnung der

Volumenwerte Vi 2 Berechnung bzw Abschaumltzung der zufaumllligen Messabweichungen fuumlr alle Messgroumlszligen 3 Groumlszligenordnungsmaumlszligige Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen aller drei

Methoden Soweit moumlglich und sinnvoll Korrektur systematischer Abweichungen Betrachtung systematischer Restfehler

4 Uumlbersichtliche Zusammenstellung der Messergebnisse der zufaumllligen und der systemati-schen Abweichungen sowie der Messunsicherheiten fuumlr die einzelnen Messgroumlszligen

5 Berechnung der Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr die mittelbar bestimmten Volumenwerte nach dem Fortpflanzungsgesetz

6 Berechnung des gewogenen Mittelwertes einschlieszliglich seiner Unsicherheit sofern moumlg-lich und sinnvoll

VERSUCHSHINWEISE Methode 1 Der Messzylinder wird vor dem Eintauchen des Probekoumlrpers mit etwas Wasser gefuumlllt und dieser Fuumlllstand VA als Bezugsgroumlszlige gewaumlhlt Nach dem Einlaufen des verdraumlng-ten Wassers liest man den Fuumlllstand VE am Messzylinder ab so dass sich als Volumen des Probekoumlrpers AE1 VVV minus= (10) ergibt Die Messungen werden sechsmal durchgefuumlhrt und Bruchteile der Skalenteile geschaumltzt Methode 2 Die Houmlhe des Zylinders h wird sechsmal mit einem Messschieber und sein Durchmesser d wird sechsmal an verschiedenen Stellen mit einer Buumlgelmessschraube gemes-sen Methode 3 Jede Waumlgung wird zweimal ausgefuumlhrt und der Groumlszligtfehler aus der Empfindlich-keit der Waage nach Gl (3) abgeschaumltzt Als Groumlszligtfehler wird die Zusatzmasse ∆m angege-ben die einen Zeigerausschlag ∆a = 1 Skalenteil bewirkt Die Dichte des Wassers ist tempe-raturabhaumlngig und wird einer grafischen Darstellung am Versuchsplatz entnommen

4

F2 VOLUMENMESSUNG

In Aufgabe 1 werden die einzelnen Messgroumlszligen sowie die drei Volumenwerte Vi und in Auf-gabe 2 die zufaumllligen Abweichungen der einzelnen Messgroumlszligen ermittelt In Aufgabe 3 sind die systematischen Abweichungen zu diskutieren wobei zwischen den Korrekturen und den systematischen Restfehlern zu unterscheiden ist Fuumlr Aufgabe 4 muumlssen die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen verglichen und in Aufgabe 5 die Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr alle drei Methoden festgelegt werden Uumlberlappen sich die Bereiche der Messunsicherheiten ∆Vi nicht dann liegen entweder grobe Messfehler vor oder es existieren noch weitere bisher nicht erfasste systematische Abwei-chungen Uumlberlappen sich dagegen die Bereiche der Messunsicherheiten dann kann der gewogene Mittelwert und die zugehoumlrige Messunsicherheit berechnet werden (Aufgabe 6)

5

F3 FADENPENDEL

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Massenpunktmodell mathematisches und physikali-sches Pendel Bewegungsgleichung Schwerkraft Newtonsche Axiome Schwingungsdifferen-tialgleichung Ein an einem Faden aufgehaumlngter Koumlrper stellt aufgrund der auf ihn wirkenden Schwerkraft und seiner Traumlgheit ein schwingungsfaumlhiges System dar Betrachtet man (idealisiert) einen punktfoumlrmigen Koumlrper der Masse m der an einem Faden der Laumlnge l haumlngt und lenkt ihn um einen Winkel φ (Abb 1) aus der Senkrechten aus dann fuumlhrt der Koumlrper nach dem Loslassen Schwingungen um die Senkrechte aus

Abbildung 1 Fadenpendel

Bei Vernachlaumlssigung der Masse des Fadens und der Luftreibung wirkt auf den Koumlrper in jedem Punkt der Bahn senkrecht nach unten die Gewichtskraft

gmFG sdot= (1)wobei g die Fallbeschleunigung ist Die Normalkomponente (normal zur Bahn des Koumlrpers)

ϕcossdotsdot= gmFn dieser Kraft findet ihre Gegenkraft in der in der Aufhaumlngung auftretenden Kraft und beeinflusst die Bewegung des Koumlrpers nicht Dagegen erzeugt die Tangentialkom-ponente ϕsinsdotsdot= gmFt der Gewichtskraft entsprechend der Newtonschen Bewegungs-gleichung

ϕsin2

2

sdotsdotminus=sdot=sdot gmsmdt

sdm (2)

eine Beschleunigung des Koumlrpers laumlngs der kreisfoumlrmigen Bahnkurve Zwischen dem Aus-lenkwinkel φ und der Bahnkurvenkoordinate s auf der Bahnkurve besteht die Beziehung

ϕsdot= ls Bei (zeitlich) konstanter Fadenlaumlnge l folgt daraus unmittelbar

dtdl

dtds ϕ

sdot= und 2

2

2

2

dtdl

dtsd ϕ

sdot= (3)

Fuumlr kleine Auslenkwinkel φ gilt die bekannte Naumlherung ϕϕ asympsin die ebenso wie (3) in die Bewegungsgleichung (2) eingesetzt werden kann Daraus erhaumllt man die Newtonsche Bewe-gungsgleichung fuumlr das mathematische Pendel mit

02

2

=sdot+sdot ϕϕ gdtdl (4)

Diese Schwingungsdifferentialgleichung einfachster Form kann mit dem Ansatz

6

F3 FADENPENDEL

)sin(0 ψωϕϕ +sdotsdot= t mit lg

=ω (5)

geloumlst werden Die hier zunaumlchst willkuumlrlich erscheinenden Konstanten heiszligen Amplitude φ0

bzw Phasenkonstante ψ und sind durch die konkreten Anfangsbedingungen fuumlr t = 0 festge-legt Das mathematische Pendel vollfuumlhrt demnach bei Auslenkung um kleine Winkel harmo-nische Schwingungen mit der Kreisfrequenz ω und der Periodendauer

glT π

ωπ 22== (6)

die unabhaumlngig von der Masse m und der Amplitude φ0 ist Die Beziehung (6) erlaubt prinzipiell bei bekannter Pendellaumlnge l durch Messung der Perio-dendauer T eine Bestimmung der Fallbeschleunigung g Allerdings ist die Pendellaumlnge l nur sehr ungenau zu bestimmen Deshalb bedient man sich hier zweckmaumlszligig eines einfachen Tricks Die Laumlnge l kann um genau einstellbare Betraumlge li veraumlndert werden und setzt sich gemaumlszlig zusammen Damit wird aus (6) durch entsprechende Umformung illl += 0

( )ii llgg

lT +sdot== 0

222 44 ππ (7)

Misst man nun die Periodendauern Ti fuumlr die entsprechenden li und stellt die Abhaumlngigkeit

Ti2(li) dar so ergibt sich eine Gerade mit dem Anstieg

g

24π und dem Achsenabschnitt

0

24 lg

sdotπ Damit werden die Groumlszligen g und l0 bestimmbar

Die oben vorgenommenen Vereinfachungen die zur Herleitung der Beziehung (6) verwendet wurden beduumlrfen noch einer weiteren Diskussion Betrachtung beliebiger Winkel Ohne die obige Beschraumlnkung auf kleine Winkel φ liefert die Loumlsung der sog elliptischen Differentialgleichung (2) fuumlr die Periodendauer das (exak-tere) Ergebnis

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdotsdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛sdot+sdot=

2sin

2sin1 042

43

21022

21 ϕϕ

ϕ TT (8)

wobei T durch die Beziehung (6) gegeben ist Beruumlcksichtigung des Auftriebs in Luft Der Massekoumlrper aus Blei mit der Dichte von ρK = 11340 kgm-3 und dem Volumen VK erfaumlhrt in Luft der Dichte ρL asymp 12 kgm-3 eine Auftriebskraft gVF KLA sdotsdot= ρ die der Gewichtskraft gVgmF KKG sdotsdot=sdot= ρ entgegen-gerichtet ist Unter Beruumlcksichtigung dieses Auftriebs in Luft erhaumllt man schlieszliglich fuumlr die Periodendauer

LK

KA TT

ρρρminus

sdot= (9)

Betrachtung fuumlr ausgedehnten Massekoumlrper Die Ausdehnung des schwingenden Koumlrpers kann man beruumlcksichtigen wenn man von der Bewegungsgleichung des sog physikalischen Pendels (vgl Versuch bdquoM9 Reversionspendelldquo) ausgeht Die genaue Betrachtung bzw Herleitung wird hier bewusst nicht angegeben sondern nur das Ergebnis Mit bekannten Abmessungen des Bleizylinders (Radius R und Houmlhe h) am Faden der Laumlnge l bestimmt sich die Periodendauer zu

2

22

1231

lhRTTs sdot

++sdot= (10)

7

F3 FADENPENDEL

Der Einfluss des Fadens wurde auch bei diesen Betrachtungen aber ebenso vernachlaumlssigt wie die auftretende Reibung Es ist sicherlich empirisch einsichtig dass schwache Reibung zu einer gedaumlmpften Schwingung fuumlhren wird Die Schwingungsamplitude klingt dann

exponentiell mit sehr groszliger Zeitkonstante τ wie τt

eminus

ab AUFGABEN 1 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine feste Fadenlaumlnge Die Zeitmessung erfolgt fuumlr 10

Schwingungen jeweils zehnmal an einem Umkehrpunkt und beim Nulldurchgang des Pendels Berechnung von Mittelwerte Standardabweichung und Vertrauensbereich der Periodendauer und Diskussion der Unterschiede zwischen beiden Verfahren

2 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine Schwingung beim Nulldurchgang mit zehnfacher Messung Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung anschlieszligend Vergleich mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe 1 und Diskussion der Unterschiede

3 Bestimmung der Periodendauer fuumlr 10 verschiedene Fadenlaumlngen li Aus jeweils 2 Messungen fuumlr 10 Schwingungen sind die Mittelwerte fuumlr die Periodendauern Ti(li) zu berechnen

4 Grafische Darstellung der Ergebnisse der 3 Aufgabe in der Form Ti2(li) in einem

Diagramm Verwendung von Gleichung (7) zur Bestimmung von Fallbeschleunigung g und Anfangslaumlnge des Pendels l0 sowohl durch grafischen Geradenausgleich als auch numerische lineare Regression mit Ermittlung der zugehoumlrigen Unsicherheiten

5 Aus den Ergebnissen der 4 Aufgabe fuumlr l0 und g ist gemaumlszlig Gleichung (6) die Periodendauer T einschlieszliglich ihrer Unsicherheit zu berechnen und mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe zu vergleichen

6 Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen fuumlr die Periodendauer gemaumlszlig der og drei Gleichungen (8-10) und ihres Einflusses auf die g-Bestimmung Diskussion der Relevanz entsprechender Korrekturen

VERSUCHSHINWEISE Ein gegossener Bleizylinder (Radius R asymp 23 mm Houmlhe h asymp 23 mm Masse m asymp 08 kg) haumlngt an einem duumlnnen Stahldraht Die Pendellaumlnge laumlsst sich durch einen Schieber in dessen Fuumlhrung der Draht laumluft veraumlndern Die Laumlngenaumlnderung kann mit Hilfe von Ringmarken deren Abstand 2 cm betraumlgt eingestellt werden Bei Auslenkung des Pendels aus seiner Ruhelage fuumlhrt es Schwingungen aus deren Periodendauer mit einer von Hand ausgeloumlsten Stoppuhr bestimmt wird Fuumlr die ersten beiden Aufgaben ist zweckmaumlszligig (warum) eine moumlglichst groszlige Fadenlaumlnge zu waumlhlen Die zugehoumlrige Stellung des Schiebers ist unbedingt zu notieren da sie spaumlter benoumltigt wird Fuumlr die 3 Aufgabe wird die Anfangsfadenlaumlnge l0 um die Werte li (i = 110) in Schritten von 4 cm verringert Fuumlr die mit der 4 Aufgabe erforderliche Auswertung sind grafische Mittel (Anstiegsdreieck grafische Extrapolation auf den Achsenabschnitt) und ein rechentechnisches Verfahren (lineare Regression) einzusetzen Fuumlr Aufgabe 5 ist das bei Aufgabe 4 bestimmte Ergebnis fuumlr die Anfangslaumlnge l0 zu verwenden Bei Aufgabe 6 muss ermittelt werden wie sich die Korrekturen der Schwingungsdauer gemaumlszlig (8-10) auf die Fallbeschleunigung g auswirken Beachten Sie hier dass g aus dem Anstieg der Geraden gemaumlszlig der 4 Aufgabe nach Gleichung (7) bestimmt wird Uumlberlegen Sie welche zufaumllligen und welche systematischen Abweichungen die Messunsicherheit der Fallbeschleunigung g wesentlich bestimmen

8

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Traumlgheitsgesetz Grundgesetz der Dynamik Feder-konstante Federkraft harmonische Schwingung Frequenz Periodendauer Amplitude In diesem Versuch soll die Federkonstante einer Schraubenfeder mit drei verschiedenen Methoden bestimmt werden Bei der Auswertung der Ergebnisse sind Grundbegriffe und Methoden der Fehlerrechnung und ndashanalyse gezielt anzuwenden und zu uumlben 1 Statische Messung der Federkonstanten Wird eine am oberen Ende eingespannte Schraubenfeder am unteren Ende durch Anhaumlngen einer Masse m belastet so wird die Feder gedehnt und es stellt sich eine neue Ruhelage ein (Abb 1 statischer Fall) Die Gewichtskraft

gmFG sdot= und die durch die elastische Verformung entstehende Federkraft (mit k als Federkonstante) stehen im Gleichgewicht (Newtonsches Traumlgheitsgesetz)

xkFF sdotminus=

0=+ FG FF (1)

Abbildung 1 Statische und dynamische Belastung einer Schraubenfeder

Durch Einsetzen der Beziehungen fuumlr beide Kraumlfte und einfache Umstellung ergibt sich daraus

kgmx sdot

= (2)

Die statische Auslenkung x der Schraubenfeder muss demnach linear von der Belastung m abhaumlngig sein Durch die experimentelle Untersuchung der Abhaumlngigkeit x(m) kann sowohl die Linearitaumlt des Federkraftgesetzes xkFF sdotminus= uumlberpruumlft als auch die Federkonstante k bestimmt werden 2 Dynamische Messung der Federkonstanten Lenkt man eine mit der Masse m belastete Feder aus ihrer Ruhelage aus (Abb 1 dynamischer Fall) dann wirkt eine ruumlcktreibende

Federkraft und die Masse m erfaumlhrt eine Beschleunigung xkFF sdotminus=mFx

dtxda F=== 2

2

nach

dem Newtonschen Grundgesetz der Dynamik Fuumlr die weiteren Betrachtungen sollen jegliche Reibungskraumlfte vernachlaumlssigt werden daher ergibt sich aus der Newtonschen Bewegungs-gleichung hier die einfachste Form einer Schwingungsdifferentialgleichung mit

02

2

=sdot+sdot xkdt

xdm (3)

9

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

die eine freie ungedaumlmpfte Schwingung beschreibt Mit den willkuumlrlich ausgewaumlhlten Anfangsbedingungen (Anfangslage) und 0)0( xtx == 0)0( 0 === vtx (Anfangsgeschwin-digkeit) lautet ihre Loumlsung

)cos()( 0 txtx sdotsdot= ω (4)wobei physikalisch x0 als Amplitude und mk=ω als Kreisfrequenz der freien ungedaumlmpf-ten Federschwingung bezeichnet werden Der Koumlrper der Masse m schwingt nach Auslen-kung (aus der Gleichgewichts- bzw Ruhelage um x0) in Form einer harmonischen Schwin-gung mit der Periodendauer

kmT π

ωπ 22== (5)

die experimentell direkt gemessen werden kann Aus (5) ist bei bekannter Masse m die Feder-konstante k bestimmbar 3 Berechnung der Federkonstanten aus der Geometrie und den Materialeigenschaften der Schraubenfeder Durch eine Auslenkung aus der Ruhelage wird die Schraubenfeder gedehnt und damit der gesamte Federdraht auf sog Torsion (svw bdquoVerdrehungldquo oder bdquoVerdrillungldquo) beansprucht Ohne weitere Herleitung sei hier eine Beziehung angegeben die es gestattet aus dem sog Torsionsmodul G (als Materialkonstante des Federdrahtes) und den geometrischen Daten der Schraubenfeder (Drahtlaumlnge l Drahtdurchmesser d und Wickel-radius r) die Federkonstante k zu berechnen

2

4

32 rldGksdotsdot

sdot=π (6)

AUFGABEN 1 Aus dem statischen Verhalten einer Schraubenfeder ist deren Federkonstante experimentell

zu bestimmen Dazu ist gemaumlszlig Beziehung (2) die statische Auslenkung x in Abhaumlngigkeit von der Belastung m mit verschiedenen Massestuumlcken zu messen Die Daten sind in der Form x = x(m) als Diagramm grafisch darzustellen und daraus die Federkonstante k zu er-mitteln Fuumlr die zu erwartende lineare Abhaumlngigkeit ist sowohl mit einfacher grafischer Methode (bdquoSteigungsdreieckldquo) als auch numerisch (Geradenausgleichsrechnung lineare Regression) der Anstieg von x = x(m) und daraus die Federkonstante (jeweils auch ein-schlieszliglich der Messunsicherheit) zu bestimmen

2 Mithilfe des dynamischen Verhaltens des Federschwingers ist fuumlr dieselbe Feder die Federkonstante aus der experimentell beobachteten Periodendauer der Schwingung zu bestimmen (jeweils auch einschlieszliglich der Messunsicherheit) Dazu ist Formel (5) bei be-kannter und sinnvoll gewaumlhlter Masse m zu nutzen

3 Mithilfe von Formel (6) ist aus den Daten der Schraubenfeder die am Versuchsplatz angegeben sind die Federkonstante k einschlieszliglich ihrer resultierenden Unsicherheit zu berechnen

4 Die Obergrenzen fuumlr systematische Messabweichungen bei den ersten beiden Aufgaben (statische und dynamische Messung der Federkonstanten) sind abzuschaumltzen (Groumlszligenord-nungen) Es ist zu analysieren welche dieser systematischen Abweichungen korrigierbar sind und welche dann tatsaumlchlich in die Messunsicherheit des Endergebnisses eingehen

5 Fuumlr alle drei Methoden (Aufgaben 1-3) sind die Ergebnisse (einschlieszliglich Messunsicher-heit) fuumlr die Federkonstante uumlbersichtlich darzustellen miteinander zu vergleichen und zu diskutieren Sofern moumlglich ist ein gewichteter Mittelwert zu ermitteln

10

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

VERSUCHSHINWEISE Die Schraubenfeder ist mit einem Ende an einem Stativ befestigt Zur Messung der Auslen-kung der Feder aus der Ruhelage wird die Stellung der an der Feder befindlichen Marke M (Abb 1) auf einer Spiegelskale abgelesen (Welchen Vorteil bietet eine Spiegelskale gegen-uumlber einer einfachen Skale) Die sog Verkehrsfehlergrenze der Massennormale ist fuumlr die Masse m = 50 g mit ∆m = plusmn 01 g festgelegt Bei Messung einer Laumlnge l mit der Spiegelskale ist die Messunsi-cherheit ∆l = plusmn (02 mm + 5middot10-4middotl) Fuumlr die Fallbeschleunigung ist (lt Festlegung der Eichbe-houmlrden der Laumlnder fuumlr Waagen) ein Wert von g = (98130 plusmn 00001) mmiddots-2 zu verwenden Fuumlr die 1 Aufgabe wird die Feder schrittweise bis 400 g mit Massestuumlcken von 50 g belastet und mit Hilfe einer Spiegelskale an der Marke M die Auslenkung x gemessen (erste Mess-reihe) Nach Erreichen der Houmlchstbelastung von 400 g ist dann die Feder wieder schrittweise zu entlasten (zweite Messreihe) a) Aus der grafischen Darstellung x = x(m) ist mithilfe des bdquoSteigungsdreiecksldquo der Anstieg

gk grafisch zu ermitteln und seine Unsicherheit entsprechend abzuschaumltzen (vgl Einfuumlh-rungsskript) Daraus sind dann die Federkonstante k als mittelbar bestimmter Groumlszlige und ihre Unsicherheit ∆k zu berechnen

b) Durch lineare Regression ist mithilfe geeigneter Software (s Einfuumlhrungsskript und Vorle-sung) der Anstieg und seine Unsicherheit numerisch zu ermitteln daraus ebenfalls wieder die Federkonstante und deren Unsicherheit

Fuumlr die 2 Aufgabe wird die Feder mit einer Gesamtmasse von 400 g belastet und 10mal die Zeit fuumlr jeweils 20 Schwingungen mithilfe einer Stoppuhr gemessen Daraus ist der Mittel-wert der Periodendauer T und ihr Vertrauensbereich sT zu berechnen und mittelbar damit die Federkonstante k uumlber Gleichung (5) mit ihrer Messunsicherheit a) Zur Genauigkeit der Messung mit Stoppuhren sind im Einfuumlhrungsskript ausfuumlhrliche Hin-

weise enthalten Entsprechend den dort enthaltenen Angaben sind die systematischen Messabweichungen mit ihrer Auswirkung auf die Periodendauer und die Federkonstante realistisch abzuschaumltzen

b) Bezuumlglich der Massen ist bereits ein Hinweis bei Aufgabe 1 gegeben worden Zusaumltzlich muumlsste noch der Einfluss der Eigenmasse der Feder von mF asymp 5 g auf die Periodendauer beruumlcksichtigt werden Die Teile der Feder nehmen unterschiedlich an der Bewegung teil es kann als zu beruumlcksichtigende Zusatzmasse macute= mF3 gesetzt werden Somit ergibt sich

fuumlr die Periodendauer m

mTk

mmT F

312acute +=

+= π

c) Auch bei sehr sorgfaumlltiger Anfangsauslenkung fuumlhrt der Federschwinger nach einigen Schwingungen unvermeidlich seitliche Schwingungen aus Wie beeinflusst diese Bewe-gung die gemessene Periodendauer Man uumlberlege sich auch welche Auswirkungen die in der Betrachtung vernachlaumlssigte aber unvermeidlich auftretende Reibung auf das Ergebnis dieses Verfahrens hat

Fuumlr die 3 Aufgabe sind am jeweiligen Versuchsplatz die Messunsicherheiten der einzelnen Groumlszligen mit angegeben Eine Unterscheidung von zufaumllligen und systematischen Komponen-ten ist hier allerdings nicht moumlglich Fuumlr Aufgabe 5 ist eine tabellarische Darstellungsweise vorzuziehen In Zusammenhang mit dem gewogenen Mittelwert ist zu analysieren unter welchen Bedingungen er uumlberhaupt sinn-voll gebildet werden kann

11

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Dichte Auftriebskraft Analy-senwaage Pyknometer Ein sog Pyknometer ist ein Geraumlt zur Bestimmung der Dichte fester Koumlrper Es besteht aus einem Glasgefaumlszlig mit eingeschliffenem Stopfen der eine kapillare Bohrung hat Das Pykno-meter kann reproduzierbar mit groszliger Genauigkeit mit Wasser gefuumlllt werden Zur Dichtebe-stimmung mit dem Pyknometer sind drei Waumlgungen mit einer Analysenwaage noumltig wobei der Auftrieb der zu waumlgenden Koumlrper (Probe bzw Pyknometer) in Luft (Dichte ρL) zu beruumlck-sichtigen ist 1 Waumlgung der Probe in Luft Fuumlr eine Probe (Masse m1 Volumen V1) wird die Gewichts-kraft durch die ihr entgegengesetzt gerichtete Auftriebskraft gmF sdot= 11 gVF LA sdotsdot= ρ11 vermindert so dass im Gleichgewicht die Waage den Wert m1rsquo anzeigt Die Gleichgewichts-bedingung liefert

111 mVm L =sdotminus ρ (1)2 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers Das vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllte Pykno-meter (Volumen VP) hat die Gesamtmasse m2 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m2rsquo an so dass gilt

22 mVm LP =sdotminus ρ (2)3 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers mit Probe Das mit Wasser und der Probe gefuumlllte Pyknometer hat die Gesamtmasse m3 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m3rsquo an so dass gilt

33 mVm LP =sdotminus ρ (3)Zwischen den Massen m1 m2 und m3 besteht der Zusammenhang

232311 mmmmVm W minus=minus=sdotminus ρ (4)wobei ρW die Dichte des Wassers ist Zur Bestimmung der Dichte ρ1 der Probe kann man aus den Gleichungen (1) und (4) die Unbekannten m1 und V1 ermitteln Man erhaumllt

)()(

231

231

1

11 mmm

mmmVm LW

minusminussdotminusminussdot

==ρρρ (5)

AUFGABEN 1 Bestimmung der Masse m1rsquo fuumlr zwei verschiedene Metallproben (Al und Cu) durch

Waumlgung in Luft Fuumlr jede Probe erfolgt die Waumlgung sechsmal wobei die Probe immer neu auf die Waage zu legen ist Bestimmung der zugehoumlrigen Mittelwerte

2 Bestimmung der Masse m2rsquo des vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllten Pyknometers durch Waumlgung Die jeweils erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt sechsmal Bestimmung des Mittelwertes

3 Bestimmung der Masse m3rsquo des mit Wasser und jeweiliger Metallprobe gefuumlllten Pykno-meters durch Waumlgung Die erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt fuumlr jede Probe sechsmal Bestimmung der Mittelwerte

4 Berechnung der Dichte der beiden Metallproben nach Gleichung (5) 5 Bestimmung der jeweiligen Messunsicherheiten fuumlr die unmittelbar gemessenen Groumlszligen

m1rsquo m2rsquo und m3rsquo fuumlr beide Proben 6 Abschaumltzung bzw Berechnung (Fortpflanzung) der resultierenden Messunsicherheiten der

mit (5) mittelbar bestimmten beiden Dichten Vergleich der Ergebnisse fuumlr die beiden Dichten mit Referenzwerten

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F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

VERSUCHSHINWEISE Die Waumlgungen werden mit einer elektronischen Analysenwaage durchgefuumlhrt bei der die auf-gelegte Last (Abb 1 oberer Pfeil) durch eine elektromagnetische Kraft kompensiert wird Mit einer optoelektronischen Abtastung (1) wird die Stellung der Waagschale (2) gemessen und mit diesem Signal der Kompensationsstrom in der Spule (3) gesteuert Der Kompensations-strom erzeugt zwischen Permanentmagnet (4) und Spule eine Kraft so dass die Waagschale in die Null-Lage zuruumlckgefuumlhrt wird der Strom ist der Last proportional Zur Durchfuumlhrung der Waumlgungen beachte man unbedingt die Hinweise des Versuchsbetreuers und die Platz-anleitung

Abb1 Messprinzip der eAnalysenwaage

lektronischen

Fuumlr Aufgabe 2 wird das Pyknometer bis zum Rand mit destilliertem Wasser gefuumlllt wobei die Bildung von Luftblaumlschen zu vermeiden ist Verschlieszligt man das Pyknometer mit dem ange-schliffenen Stopfen so laumluft Wasser uumlber das sehr sorgfaumlltig mit Filterpapier abzuwischen ist Das Anfassen des Pyknometers muss aumluszligerst vorsichtig erfolgen um seine Erwaumlrmung zu vermeiden (warum) Nach dem Abwischen wird mit Filterpapier der auf der Kapillare stehende Tropfen abgenommen so dass die Kapillare bis oben mit Wasser gefuumlllt ist Fuumlr die durchzufuumlhrenden Waumlgungen ist das Pyknometer stets erneut zu befuumlllen Fuumlr Aufgabe 3 wird der Probekoumlrper in das Pyknometer gebracht und dann mit destilliertem Wasser aufgefuumlllt weiter ist sinngemaumlszlig wie bei Aufgabe 2 zu verfahren Fuumlr Aufgabe 4 sind zusaumltzlich zu den Werten m1rsquo m2rsquo und m3rsquo auch der Luftdruck p sowie die Zimmer- und Wassertemperatur zu bestimmen Die Temperaturen koumlnnen als gleich vor-ausgesetzt werden da das destillierte Wasser sich bereits sehr lange im Versuchsraum befin-det Die temperaturabhaumlngige (s Abb 2) Dichte ρW von reinem (luftfreiem) Wasser laumlsst sich im Temperaturintervall 0degC lt θ lt 40degC naumlherungsweise berechnen mit

4-73-52323 1046657-10772108768-1066299984)( θθθθρ sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot+=sdot minusminusminusmkgw

wobei die Temperatur θ in degC einzusetzen ist (Fehler der Naumlherung ) Diese Naumlhrung gilt bei sog Normaldruck (p

3210 minusminus sdotlt∆ mkgWρN = 1013 kPa) Warum kann die Druckabhaumlngig-

keit hier vernachlaumlssigt werden Die Druckabhaumlngigkeit muss aber bei der Luftdichte unbedingt beruumlcksichtigt werden ebenso wie die Luftfeuchtigkeit (warum) Man verwendet die Beziehung

TRp

fL sdot=ρ

13

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

wobei p der Luftdruck (in Pa) T die Lufttemperatur (in K) und Rf die Gaskonstante feuchter Luft ist Diese Gaskonstante Rf berechnet sich wiederum aus

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdotminus

=

d

ld

lf

RR

pp

RR11 ϕ

0 10 20 30 40992

993

994

995

996

997

998

999

1000

Dic

hte ρ w

(kg

m3 )

Temperatur θ (degC)

-10 0 10 20 3011

12

13

Dic

hte ρ L (k

gm

3 )Temperatur θ (degC)

Abb 2 Temperaturabhaumlngigkeit der Dichte fuumlr (reines) Wasser und (trockene) Luft

Hier ist Rl = 28705 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante trockener Luft Rd = 461 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante von Wasserdampf und φ die relative Luftfeuchtigkeit Die Groumlszlige pd ist der Saumlt-tigungsdampfdruck von Wasser in Luft der sich empirisch mit der sog Magnus-Formel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+degsdot

sdot=θθ

CPapd 2241

504317exp213611)( im Intervall CC degleledegminus 7030 θ

berechnen laumlsst wobei θ wieder die Temperatur (in degC) ist Fuumlr Aufgabe 5 sind die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen der Waumlgungen zu ermitteln Die Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo werden alle mit der gleichen Analysenwaage ermittelt fuumlr die vom Hersteller eine Garantiefehlergrenze (systematischer Restfehler) von 02 mg angegeben wird Diese Garantiefehlergrenze ist fuumlr alle drei Massenwerte als geraumlte-bedingte systematische Abweichung zu beruumlcksichtigen Fuumlr die Messwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo haumlngt es von der sorgfaumlltigen Versuchsdurchfuumlhrung (Abtupfen des Wassers ) ab ob die zufaumlllige undoder die systematische Abweichung die Messunsicherheit bestimmt Fuumlr Aufgabe 6 ist nur die Messunsicherheit der Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo zu beruumlcksich-tigen Die berechneten Werte fuumlr die Dichten von Luft und Wasser koumlnnen als praktisch fehlerfrei angenommen werden

14

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Erster Hauptsatz der Thermodynamik Waumlrmemenge Waumlrmekapazitaumlt Richmannsche Mischungsregel Arbeit von Gleich- und Wechselstrom Waumlrmeaustauschkorrektur (s Skript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstel-lung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo) Waumlrme ist eine Energieform die zwischen Koumlrpern ausgetauscht wird oder in andere Energie-formen umgewandelt werden kann Fuumlhrt man einem Koumlrper der Masse m die Waumlrmemenge dQ zu dann ist die sich einstellende Temperaturerhoumlhung dT proportional zur zugefuumlhrten Waumlrmemenge

dTcmdQ sdotsdot= (1)wobei der Proportionalitaumltsfaktor c als spezifische Waumlrmekapazitaumlt mit der SI-Einheit Jmiddotkg-1middotK-1 bezeichnet wird und eine Stoffkonstante ist Aus (1) ergibt sich

dTdQ

mc sdot=

1 (2)

Das Produkt cmC sdot= (3)

mit der SI-Einheit JmiddotK-1 nennt man Waumlrmekapazitaumlt des Koumlrpers Zur Bestimmung von Waumlrmemengen benutzt man sog Kalorimeter wobei anisotherme Aus-fuumlhrungen mit sehr gut waumlrmeisolierten Gefaumlszligen am haumlufigsten verwendet werden Fuumlhrt man einem mit Wasser der Masse mW (teilweise) gefuumlllten Kalorimeter eine Waumlrmemenge ∆Q zu dann werden auszliger dem Wasser auch alle Teile des Kalorimeters wie zB Gefaumlszligwandung Thermometer und Ruumlhrer erwaumlrmt Die gesamte Waumlrmekapazitaumlt der Versuchsanordnung setzt sich also aus der des Wassers (mWmiddotcW) und der des Kalorimeters (CK) zusammen

( ) TCcmQ KWW ∆sdot+sdot=∆ (4)Die spezifische Waumlrmekapazitaumlt von Wasser hat als Stoffkonstante den Wert cW = 41813 kJmiddotkg-1middotK-1 (bei 25degC) Die Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorime-ters ist rechnerisch nur naumlherungsweise moumlglich deshalb wird sie ia experimentell ermittelt 1 Elektrische Methode Flieszligt durch einen Ohmschen Leiter (Heizspirale) an dem die Spannung U anliegt der Strom I dann entsteht im Zeitintervall ∆t in ihm eine der elektri-schen Energie aumlquivalente Waumlrmemenge

tIUQ ∆sdotsdot=∆ (5)Uumlbertraumlgt man diese Waumlrmemenge an das Wasser (Masse mW) und das Kalorimeter (Waumlrme-kapazitaumlt CK) dann steigt die Wassertemperatur gemaumlszlig (4) Bei verlustloser Waumlrmeuumlbertra-gung sind beide Waumlrmemengen gleich (Energieerhaltungssatz) und es gilt

( ) TCcmtIU KWW ∆sdot+sdot=∆sdotsdot (6)so dass CK bestimmt werden kann 2 Mischungsmethode Fuumlgt man kaltem Wasser der Masse m1 und Temperatur T1 in einem Kalorimeter warmes Wasser der Masse m2 und Temperatur T2 hinzu so findet ein Waumlrmeaus-tausch statt bis das gesamte Wasser die Mischungstemperatur Tm angenommen hat Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dass die vom warmen Wasser abgegebene Waumlrmeenergie

gleich der vom kalten Wasser und dem Kalorimeter aufgenommenen Waumlrmeenergie

)( 222 mW TTcmQ minussdotsdot=∆( ) )( 111 TTCcmQ mKW minussdot+sdot=∆ sein muss Der Energieerhaltungssatz in dieser

speziellen Form des Austausches von Waumlrmemenge heiszligt Richmannsche Mischungsregel und ergibt die Gleichung

( ) )()( 2211 mWmKW TTcmTTCcm minussdotsdot=minussdot+sdot (7)zur Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorimeters

15

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

AUFGABEN 1 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der elektrischen Methode gemaumlszlig (6) 2 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 1 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 3 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der Mischungsmethode mit (7) 4 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 3 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 5 Fuumlr beide Methoden fuumlhre man eine Bestimmung der Messunsicherheit der Waumlrmekapazi-

taumlt durch und vergleiche die Endergebnisse miteinander VERSUCHSHINWEISE Das Verfahren zur Waumlrmeaustauschkorrektur Bei kalorimetrischen Messungen ist ein Waumlrmeaustausch mit der Umgebung unvermeidlich (offenes thermodynamisches System) und meist stoumlrend Aus dem gemessenen zeitlichen Temperaturverlauf ist er aber abzulesen (s Abb 1)

DE

Abbildung 1 Zeitlicher Verlauf der Temperatur im Kalorimeter

In der Vorperiode erhaumllt man den ansteigenden Kurvenabschnitt ArarrB in der Nachperiode den abfallenden Kurvenabschnitt ErarrF Das liegt daran dass das Kalorimeter eben nicht adia-batisch bzw isentrop ist Die Temperatur der Kalorimeterfluumlssigkeit im Innern gleicht sich in beiden Abschnitten jeweils (asymptotisch) an die Umgebungstemperatur TU an wobei der Waumlrmefluss proportional zur Temperaturdifferenz ist Es laumlsst sich zeigen dass der Gleichge-wichtszustand zeitlich exponentiell angenommen wird Im vorliegenden Fall ist aber die ent-sprechende Zeitkonstante sehr groszlig im Vergleich zur Messzeit so dass die beiden Abschnitte ArarrB und ErarrF naumlherungsweise jeweils durch eine Gerade beschrieben werden duumlrfen Die-ser Sachverhalt gestattet es auszligerdem in diesen Abschnitten die Messwerte in groumlszligerer zeitli-cher Schrittweite aufzunehmen Aufgrund des real zeitlich ausgedehnten Waumlrmeaustausches mit der Umgebung beobachtet man einen stetigen und differenzierbaren Verlauf der Kurve im Abschnitt BrarrE Nur wenn die im Experiment zugefuumlhrte Waumlrme sofort verteilt wuumlrde waumlre die Temperaturkurve eine Sprungfunktion Das System braucht eine gewisse Zeit bis sich ein neues Gleichgewicht ein-stellen kann Es verhaumllt sich so als ob es uumlber ein ganzes Zeitintervall bdquoverschmiertldquo waumlre Es gilt also die Endzeit der Waumlrmezufuhr zu finden Sie liegt im Wendepunkt der Temperaturkurve weil sich dort die Richtung der Kruumlmmung aumlndert also Waumlrmezufuhr in Waumlrmeverlust uumlbergeht Nun laumlsst sich aber im Abschnitt BrarrE die Kurve T(t) nicht beliebig

F

Tem

pera

tur

T

∆T S

TU

A B C

Zeit

16

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

17

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

18

O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

23

O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

25

O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

26

O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

27

O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

28

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

29

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

32

O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

34

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

F1 FEHLERVERTEILUNG

AUFGABEN 1 Ermittlung der Stichprobe 100 Schaumltzwerte xi der Stellung einer Marke und die zugehoumlri-

gen Werte xwi werden notiert Fuumlr die Datentabelle empfiehlt sich hier folgendes Schema vii xi xwi + 0 -

1 (176) (175) (001) 2 Berechnung der scheinbaren Abweichungen wiii xxv minus= 3 Vorzeichentest Man bestimme die Zahl n+ der positiven und die Zahl n- der negativen Ab-

weichungen vi Da die Abweichungen vi bei Annahme einer Normalverteilung symmet-risch zum Wert vi = 0 liegen sollten die Zahlen n+ und n- annaumlhernd gleich groszlig sein Wenn n die Zahl aller Messwerte ist muss fuumlr den positiven Ausgang des Vorzeichentests

nnn leminus minus+ erfuumlllt sein nplusmn ist die zu erwartende statistische Schwankung beim Stichprobenumfang n

4 Fuumlr die weitere Auswertung der Ergebnisse empfiehlt sich eine Tabelle in der die schein-baren Abweichungen ihrer Groumlszlige nach geordnet werden nach folgendem Schema

vj vj2 Strichliste k(vj) k(vj)middot vj

2 h(vj) H(vj) (min vj)

(max vj) 1000

Kontrollen 100 22 )( jji vvkv sdot= sumsum 1000

In diese Tabelle werden die Messwerte von Aufgabe 1 uumlbertragen indem man sie der Reihe nach durchgeht und bei dem entsprechenden in der Spalte bdquoStrichlisteldquo durch einen Strich markiert Die Zahl der Striche ergibt dann die absolute Haumlufigkeit

jv)(vk j

5 Mit 22 )(11jji vvk

nv

ns sdotplusmn=plusmn= sumsum wird aus den Abweichungen vi die empirische

Standardabweichung berechnet die eine Naumlherung fuumlr die Standardabweichung σ der Normalverteilung nach Gleichung (2) darstellt Im Nenner tritt hier n anstelle von n-1 auf weil bei diesem Versuch (ausnahmsweise) der wahre Wert der Messgroumlszlige bekannt ist

6 Die ermittelten relativen Haumlufigkeiten nvkvh jj )()( = der Abweichungen vj werden grafisch als Funktion von vj dargestellt (Histogramm Balkendiagramm) Durch das Histogramm versuche man nach Augenmaszlig eine Normalverteilungskurve zu legen

7 Mit den relativen Haumlufigkeiten aus Aufgabe 6 berechne man die Summenhaumlufigkeit und stelle diese Summenhaumlufigkeit H(vsum

le

=jk vv

kj vhvH )()( j) grafisch als Funktion von vj in

Form eines Histogramms (Balkendiagramm) dar 8 Test mit Wahrscheinlichkeitspapier Die Wertepaare der Summenhaumlufigkeitskurve (s

Aufgabe 7) uumlbertrage man auf ein Wahrscheinlichkeitsnetz und lege durch die Punkte im mittleren Bereich eine ausgleichende Gerade

9 Man entnehme der Darstellung auf dem Wahrscheinlichkeitsnetz (Aufgabe 8) bei H(vrsquo) = 016 (bzw 16) und H(vrsquorsquo) = 084 (bzw 84) die zugehoumlrigen Werte vrsquo und vrsquorsquo und vergleiche (vrsquorsquo-vrsquo)2 mit dem Wert der empirischen Standardabweichung (Aufgabe 5)

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr die Auswertung und das Verstaumlndnis des Versuches wird unbedingt die Lektuumlre der ent-sprechenden Abschnitte des Praktikumsskripts bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstellung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo empfohlen Die Druckvorlage fuumlr ein Wahrscheinlichkeitsnetz ist auf der Webseite des Grundpraktikums zu finden

2

F2 VOLUMENMESSUNG

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Auftriebskraft In diesem einfachen Versuch werden drei Methoden unterschiedlicher Genauigkeit zur Bestimmung des Volumens eines Probekoumlrpers verwendet und miteinander verglichen hin-sichtlich der jeweiligen Messunsicherheit 1 Methode (Uumlberlaufgefaumlszlig) Ein mit einem Uumlberlauf versehener Glasbehaumllter wird bis zum Uumlberlaufen mit Wasser gefuumlllt Durch Eintauchen des Probekoumlrpers dessen Volumen V1 bestimmt werden soll wird Wasser verdraumlngt das in einen Messzylinder flieszligt 2 Methode (Geometrie des Koumlrpers) Der Probekoumlrper ist ein Zylinder sein Volumen kann aus dem Durchmesser d und der Houmlhe h nach

hdV 22 4

π= (1)

berechnet werden 3 Methode (Auftriebsmessung) Der Probekoumlrper vom Volumen V3 wird mit einer Labor-waage mit symmetrischem Waagebalken in Luft gewogen Man benoumltigt fuumlr das Gleich-gewicht die Massennormale zur Kompensation der Gewichtskraft des Probekoumlrpers Taucht man ihn in Wasser (Dichte ρw ) dann erfaumlhrt er eine Auftriebskraft

1m gmF 1G =

3wA gVF ρ= (g = Fallbeschleunigung) Um die Waage wieder ins Gleichgewicht zu bringen benoumltigt man die Massennormale zur Kompensation der um die Auftriebskraft verminderten Gewichtskraft FG d h

2m AF

3w12 gV-gmgm ρ= Daraus folgt

w

213 ρ

mmV

minus= (2)

Die zur Bestimmung der Massenwerte und verwendete Laborwaage traumlgt in der Mitte des Waagebalkens einen Zeiger der uumlber einer Skale schwingt An seiner Stellung ist das Gleich-gewicht der Waage ablesbar Verschiebt sich durch eine einseitig wirkende Zusatz-masse ∆mrsquo die Zeigerstellung um ∆a dann bezeichnet man den Quotienten

1m 2m

maEprime∆

∆= (3)

als Empfindlichkeit der Waage sie ist ein Maszlig fuumlr ihre Guumlte und gestattet die Abschaumltzung der Messunsicherheit Systematische Messabweichungen der drei Methoden 1 Uumlberlaufgefaumlszlig Der sog Geraumltefehler ∆V des Messzylinders betraumlgt bei einem Nenninhalt von VN = 50 ml und einer Nenntemperatur von tN = 20 degC bis zu ∆V = plusmn 05 ml (4) Die Richtung und die Groumlszlige dieses Geraumltefehlers ∆V fuumlr voneinander abweichende Mess-temperatur und Nenntemperatur des Messzylinders wird mit Hilfe des thermischen Ausdehnungskoeffizienten des Glases abgeschaumltzt Ist das Nennvolumen des als Glasrohr betrachteten Messzylinders VN dann ist bei der Messtemperatur sein Volumen

Mt Nt

Mt ))(1( NMNM ttVV minus+= γ

mit als sog kubischem thermischem Ausdehnungskoeffizienten des Glases Daraus ergibt sich

-15 K1072 minussdot=γ

3

F2 VOLUMENMESSUNG

( )NM tt minus=∆ γVV (5) 2 Geometrie des Koumlrpers Die sog Fehlergrenzen ∆I beider Messgeraumlte sind wenn I die gemessene Laumlnge ist von folgender Groumlszlige Messschieber ∆l = plusmn (5sdot10-5 m + 1sdot10-4 l) (6) Buumlgelmessschraube ∆l = plusmn (5sdot10-6 m + 1sdot10-5 l) (7) 3 Auftriebsmessung Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Probekoumlrpers und der Massennormale (Dichte

) bei der Waumlgung in Luft (Dichte ) liefert 33N mkg1084 sdot=ρ 3

L mkg12=ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+minusasymp

minus

minussdot

minus=prime

w

L

N

L3

wL

NL

w

213 1

11

ρρ

ρρ

ρρρρ

ρVV mm (8)

Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Aufhaumlngedrahtes von dem das Volumen ∆V im Wasser eintaucht ergibt VVV ∆minusprime=primeprime 33 (9) AUFGABEN 1 Ermittelung der einzelnen Messgroumlszligen fuumlr jede der drei Methoden und Berechnung der

Volumenwerte Vi 2 Berechnung bzw Abschaumltzung der zufaumllligen Messabweichungen fuumlr alle Messgroumlszligen 3 Groumlszligenordnungsmaumlszligige Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen aller drei

Methoden Soweit moumlglich und sinnvoll Korrektur systematischer Abweichungen Betrachtung systematischer Restfehler

4 Uumlbersichtliche Zusammenstellung der Messergebnisse der zufaumllligen und der systemati-schen Abweichungen sowie der Messunsicherheiten fuumlr die einzelnen Messgroumlszligen

5 Berechnung der Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr die mittelbar bestimmten Volumenwerte nach dem Fortpflanzungsgesetz

6 Berechnung des gewogenen Mittelwertes einschlieszliglich seiner Unsicherheit sofern moumlg-lich und sinnvoll

VERSUCHSHINWEISE Methode 1 Der Messzylinder wird vor dem Eintauchen des Probekoumlrpers mit etwas Wasser gefuumlllt und dieser Fuumlllstand VA als Bezugsgroumlszlige gewaumlhlt Nach dem Einlaufen des verdraumlng-ten Wassers liest man den Fuumlllstand VE am Messzylinder ab so dass sich als Volumen des Probekoumlrpers AE1 VVV minus= (10) ergibt Die Messungen werden sechsmal durchgefuumlhrt und Bruchteile der Skalenteile geschaumltzt Methode 2 Die Houmlhe des Zylinders h wird sechsmal mit einem Messschieber und sein Durchmesser d wird sechsmal an verschiedenen Stellen mit einer Buumlgelmessschraube gemes-sen Methode 3 Jede Waumlgung wird zweimal ausgefuumlhrt und der Groumlszligtfehler aus der Empfindlich-keit der Waage nach Gl (3) abgeschaumltzt Als Groumlszligtfehler wird die Zusatzmasse ∆m angege-ben die einen Zeigerausschlag ∆a = 1 Skalenteil bewirkt Die Dichte des Wassers ist tempe-raturabhaumlngig und wird einer grafischen Darstellung am Versuchsplatz entnommen

4

F2 VOLUMENMESSUNG

In Aufgabe 1 werden die einzelnen Messgroumlszligen sowie die drei Volumenwerte Vi und in Auf-gabe 2 die zufaumllligen Abweichungen der einzelnen Messgroumlszligen ermittelt In Aufgabe 3 sind die systematischen Abweichungen zu diskutieren wobei zwischen den Korrekturen und den systematischen Restfehlern zu unterscheiden ist Fuumlr Aufgabe 4 muumlssen die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen verglichen und in Aufgabe 5 die Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr alle drei Methoden festgelegt werden Uumlberlappen sich die Bereiche der Messunsicherheiten ∆Vi nicht dann liegen entweder grobe Messfehler vor oder es existieren noch weitere bisher nicht erfasste systematische Abwei-chungen Uumlberlappen sich dagegen die Bereiche der Messunsicherheiten dann kann der gewogene Mittelwert und die zugehoumlrige Messunsicherheit berechnet werden (Aufgabe 6)

5

F3 FADENPENDEL

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Massenpunktmodell mathematisches und physikali-sches Pendel Bewegungsgleichung Schwerkraft Newtonsche Axiome Schwingungsdifferen-tialgleichung Ein an einem Faden aufgehaumlngter Koumlrper stellt aufgrund der auf ihn wirkenden Schwerkraft und seiner Traumlgheit ein schwingungsfaumlhiges System dar Betrachtet man (idealisiert) einen punktfoumlrmigen Koumlrper der Masse m der an einem Faden der Laumlnge l haumlngt und lenkt ihn um einen Winkel φ (Abb 1) aus der Senkrechten aus dann fuumlhrt der Koumlrper nach dem Loslassen Schwingungen um die Senkrechte aus

Abbildung 1 Fadenpendel

Bei Vernachlaumlssigung der Masse des Fadens und der Luftreibung wirkt auf den Koumlrper in jedem Punkt der Bahn senkrecht nach unten die Gewichtskraft

gmFG sdot= (1)wobei g die Fallbeschleunigung ist Die Normalkomponente (normal zur Bahn des Koumlrpers)

ϕcossdotsdot= gmFn dieser Kraft findet ihre Gegenkraft in der in der Aufhaumlngung auftretenden Kraft und beeinflusst die Bewegung des Koumlrpers nicht Dagegen erzeugt die Tangentialkom-ponente ϕsinsdotsdot= gmFt der Gewichtskraft entsprechend der Newtonschen Bewegungs-gleichung

ϕsin2

2

sdotsdotminus=sdot=sdot gmsmdt

sdm (2)

eine Beschleunigung des Koumlrpers laumlngs der kreisfoumlrmigen Bahnkurve Zwischen dem Aus-lenkwinkel φ und der Bahnkurvenkoordinate s auf der Bahnkurve besteht die Beziehung

ϕsdot= ls Bei (zeitlich) konstanter Fadenlaumlnge l folgt daraus unmittelbar

dtdl

dtds ϕ

sdot= und 2

2

2

2

dtdl

dtsd ϕ

sdot= (3)

Fuumlr kleine Auslenkwinkel φ gilt die bekannte Naumlherung ϕϕ asympsin die ebenso wie (3) in die Bewegungsgleichung (2) eingesetzt werden kann Daraus erhaumllt man die Newtonsche Bewe-gungsgleichung fuumlr das mathematische Pendel mit

02

2

=sdot+sdot ϕϕ gdtdl (4)

Diese Schwingungsdifferentialgleichung einfachster Form kann mit dem Ansatz

6

F3 FADENPENDEL

)sin(0 ψωϕϕ +sdotsdot= t mit lg

=ω (5)

geloumlst werden Die hier zunaumlchst willkuumlrlich erscheinenden Konstanten heiszligen Amplitude φ0

bzw Phasenkonstante ψ und sind durch die konkreten Anfangsbedingungen fuumlr t = 0 festge-legt Das mathematische Pendel vollfuumlhrt demnach bei Auslenkung um kleine Winkel harmo-nische Schwingungen mit der Kreisfrequenz ω und der Periodendauer

glT π

ωπ 22== (6)

die unabhaumlngig von der Masse m und der Amplitude φ0 ist Die Beziehung (6) erlaubt prinzipiell bei bekannter Pendellaumlnge l durch Messung der Perio-dendauer T eine Bestimmung der Fallbeschleunigung g Allerdings ist die Pendellaumlnge l nur sehr ungenau zu bestimmen Deshalb bedient man sich hier zweckmaumlszligig eines einfachen Tricks Die Laumlnge l kann um genau einstellbare Betraumlge li veraumlndert werden und setzt sich gemaumlszlig zusammen Damit wird aus (6) durch entsprechende Umformung illl += 0

( )ii llgg

lT +sdot== 0

222 44 ππ (7)

Misst man nun die Periodendauern Ti fuumlr die entsprechenden li und stellt die Abhaumlngigkeit

Ti2(li) dar so ergibt sich eine Gerade mit dem Anstieg

g

24π und dem Achsenabschnitt

0

24 lg

sdotπ Damit werden die Groumlszligen g und l0 bestimmbar

Die oben vorgenommenen Vereinfachungen die zur Herleitung der Beziehung (6) verwendet wurden beduumlrfen noch einer weiteren Diskussion Betrachtung beliebiger Winkel Ohne die obige Beschraumlnkung auf kleine Winkel φ liefert die Loumlsung der sog elliptischen Differentialgleichung (2) fuumlr die Periodendauer das (exak-tere) Ergebnis

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdotsdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛sdot+sdot=

2sin

2sin1 042

43

21022

21 ϕϕ

ϕ TT (8)

wobei T durch die Beziehung (6) gegeben ist Beruumlcksichtigung des Auftriebs in Luft Der Massekoumlrper aus Blei mit der Dichte von ρK = 11340 kgm-3 und dem Volumen VK erfaumlhrt in Luft der Dichte ρL asymp 12 kgm-3 eine Auftriebskraft gVF KLA sdotsdot= ρ die der Gewichtskraft gVgmF KKG sdotsdot=sdot= ρ entgegen-gerichtet ist Unter Beruumlcksichtigung dieses Auftriebs in Luft erhaumllt man schlieszliglich fuumlr die Periodendauer

LK

KA TT

ρρρminus

sdot= (9)

Betrachtung fuumlr ausgedehnten Massekoumlrper Die Ausdehnung des schwingenden Koumlrpers kann man beruumlcksichtigen wenn man von der Bewegungsgleichung des sog physikalischen Pendels (vgl Versuch bdquoM9 Reversionspendelldquo) ausgeht Die genaue Betrachtung bzw Herleitung wird hier bewusst nicht angegeben sondern nur das Ergebnis Mit bekannten Abmessungen des Bleizylinders (Radius R und Houmlhe h) am Faden der Laumlnge l bestimmt sich die Periodendauer zu

2

22

1231

lhRTTs sdot

++sdot= (10)

7

F3 FADENPENDEL

Der Einfluss des Fadens wurde auch bei diesen Betrachtungen aber ebenso vernachlaumlssigt wie die auftretende Reibung Es ist sicherlich empirisch einsichtig dass schwache Reibung zu einer gedaumlmpften Schwingung fuumlhren wird Die Schwingungsamplitude klingt dann

exponentiell mit sehr groszliger Zeitkonstante τ wie τt

eminus

ab AUFGABEN 1 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine feste Fadenlaumlnge Die Zeitmessung erfolgt fuumlr 10

Schwingungen jeweils zehnmal an einem Umkehrpunkt und beim Nulldurchgang des Pendels Berechnung von Mittelwerte Standardabweichung und Vertrauensbereich der Periodendauer und Diskussion der Unterschiede zwischen beiden Verfahren

2 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine Schwingung beim Nulldurchgang mit zehnfacher Messung Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung anschlieszligend Vergleich mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe 1 und Diskussion der Unterschiede

3 Bestimmung der Periodendauer fuumlr 10 verschiedene Fadenlaumlngen li Aus jeweils 2 Messungen fuumlr 10 Schwingungen sind die Mittelwerte fuumlr die Periodendauern Ti(li) zu berechnen

4 Grafische Darstellung der Ergebnisse der 3 Aufgabe in der Form Ti2(li) in einem

Diagramm Verwendung von Gleichung (7) zur Bestimmung von Fallbeschleunigung g und Anfangslaumlnge des Pendels l0 sowohl durch grafischen Geradenausgleich als auch numerische lineare Regression mit Ermittlung der zugehoumlrigen Unsicherheiten

5 Aus den Ergebnissen der 4 Aufgabe fuumlr l0 und g ist gemaumlszlig Gleichung (6) die Periodendauer T einschlieszliglich ihrer Unsicherheit zu berechnen und mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe zu vergleichen

6 Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen fuumlr die Periodendauer gemaumlszlig der og drei Gleichungen (8-10) und ihres Einflusses auf die g-Bestimmung Diskussion der Relevanz entsprechender Korrekturen

VERSUCHSHINWEISE Ein gegossener Bleizylinder (Radius R asymp 23 mm Houmlhe h asymp 23 mm Masse m asymp 08 kg) haumlngt an einem duumlnnen Stahldraht Die Pendellaumlnge laumlsst sich durch einen Schieber in dessen Fuumlhrung der Draht laumluft veraumlndern Die Laumlngenaumlnderung kann mit Hilfe von Ringmarken deren Abstand 2 cm betraumlgt eingestellt werden Bei Auslenkung des Pendels aus seiner Ruhelage fuumlhrt es Schwingungen aus deren Periodendauer mit einer von Hand ausgeloumlsten Stoppuhr bestimmt wird Fuumlr die ersten beiden Aufgaben ist zweckmaumlszligig (warum) eine moumlglichst groszlige Fadenlaumlnge zu waumlhlen Die zugehoumlrige Stellung des Schiebers ist unbedingt zu notieren da sie spaumlter benoumltigt wird Fuumlr die 3 Aufgabe wird die Anfangsfadenlaumlnge l0 um die Werte li (i = 110) in Schritten von 4 cm verringert Fuumlr die mit der 4 Aufgabe erforderliche Auswertung sind grafische Mittel (Anstiegsdreieck grafische Extrapolation auf den Achsenabschnitt) und ein rechentechnisches Verfahren (lineare Regression) einzusetzen Fuumlr Aufgabe 5 ist das bei Aufgabe 4 bestimmte Ergebnis fuumlr die Anfangslaumlnge l0 zu verwenden Bei Aufgabe 6 muss ermittelt werden wie sich die Korrekturen der Schwingungsdauer gemaumlszlig (8-10) auf die Fallbeschleunigung g auswirken Beachten Sie hier dass g aus dem Anstieg der Geraden gemaumlszlig der 4 Aufgabe nach Gleichung (7) bestimmt wird Uumlberlegen Sie welche zufaumllligen und welche systematischen Abweichungen die Messunsicherheit der Fallbeschleunigung g wesentlich bestimmen

8

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Traumlgheitsgesetz Grundgesetz der Dynamik Feder-konstante Federkraft harmonische Schwingung Frequenz Periodendauer Amplitude In diesem Versuch soll die Federkonstante einer Schraubenfeder mit drei verschiedenen Methoden bestimmt werden Bei der Auswertung der Ergebnisse sind Grundbegriffe und Methoden der Fehlerrechnung und ndashanalyse gezielt anzuwenden und zu uumlben 1 Statische Messung der Federkonstanten Wird eine am oberen Ende eingespannte Schraubenfeder am unteren Ende durch Anhaumlngen einer Masse m belastet so wird die Feder gedehnt und es stellt sich eine neue Ruhelage ein (Abb 1 statischer Fall) Die Gewichtskraft

gmFG sdot= und die durch die elastische Verformung entstehende Federkraft (mit k als Federkonstante) stehen im Gleichgewicht (Newtonsches Traumlgheitsgesetz)

xkFF sdotminus=

0=+ FG FF (1)

Abbildung 1 Statische und dynamische Belastung einer Schraubenfeder

Durch Einsetzen der Beziehungen fuumlr beide Kraumlfte und einfache Umstellung ergibt sich daraus

kgmx sdot

= (2)

Die statische Auslenkung x der Schraubenfeder muss demnach linear von der Belastung m abhaumlngig sein Durch die experimentelle Untersuchung der Abhaumlngigkeit x(m) kann sowohl die Linearitaumlt des Federkraftgesetzes xkFF sdotminus= uumlberpruumlft als auch die Federkonstante k bestimmt werden 2 Dynamische Messung der Federkonstanten Lenkt man eine mit der Masse m belastete Feder aus ihrer Ruhelage aus (Abb 1 dynamischer Fall) dann wirkt eine ruumlcktreibende

Federkraft und die Masse m erfaumlhrt eine Beschleunigung xkFF sdotminus=mFx

dtxda F=== 2

2

nach

dem Newtonschen Grundgesetz der Dynamik Fuumlr die weiteren Betrachtungen sollen jegliche Reibungskraumlfte vernachlaumlssigt werden daher ergibt sich aus der Newtonschen Bewegungs-gleichung hier die einfachste Form einer Schwingungsdifferentialgleichung mit

02

2

=sdot+sdot xkdt

xdm (3)

9

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

die eine freie ungedaumlmpfte Schwingung beschreibt Mit den willkuumlrlich ausgewaumlhlten Anfangsbedingungen (Anfangslage) und 0)0( xtx == 0)0( 0 === vtx (Anfangsgeschwin-digkeit) lautet ihre Loumlsung

)cos()( 0 txtx sdotsdot= ω (4)wobei physikalisch x0 als Amplitude und mk=ω als Kreisfrequenz der freien ungedaumlmpf-ten Federschwingung bezeichnet werden Der Koumlrper der Masse m schwingt nach Auslen-kung (aus der Gleichgewichts- bzw Ruhelage um x0) in Form einer harmonischen Schwin-gung mit der Periodendauer

kmT π

ωπ 22== (5)

die experimentell direkt gemessen werden kann Aus (5) ist bei bekannter Masse m die Feder-konstante k bestimmbar 3 Berechnung der Federkonstanten aus der Geometrie und den Materialeigenschaften der Schraubenfeder Durch eine Auslenkung aus der Ruhelage wird die Schraubenfeder gedehnt und damit der gesamte Federdraht auf sog Torsion (svw bdquoVerdrehungldquo oder bdquoVerdrillungldquo) beansprucht Ohne weitere Herleitung sei hier eine Beziehung angegeben die es gestattet aus dem sog Torsionsmodul G (als Materialkonstante des Federdrahtes) und den geometrischen Daten der Schraubenfeder (Drahtlaumlnge l Drahtdurchmesser d und Wickel-radius r) die Federkonstante k zu berechnen

2

4

32 rldGksdotsdot

sdot=π (6)

AUFGABEN 1 Aus dem statischen Verhalten einer Schraubenfeder ist deren Federkonstante experimentell

zu bestimmen Dazu ist gemaumlszlig Beziehung (2) die statische Auslenkung x in Abhaumlngigkeit von der Belastung m mit verschiedenen Massestuumlcken zu messen Die Daten sind in der Form x = x(m) als Diagramm grafisch darzustellen und daraus die Federkonstante k zu er-mitteln Fuumlr die zu erwartende lineare Abhaumlngigkeit ist sowohl mit einfacher grafischer Methode (bdquoSteigungsdreieckldquo) als auch numerisch (Geradenausgleichsrechnung lineare Regression) der Anstieg von x = x(m) und daraus die Federkonstante (jeweils auch ein-schlieszliglich der Messunsicherheit) zu bestimmen

2 Mithilfe des dynamischen Verhaltens des Federschwingers ist fuumlr dieselbe Feder die Federkonstante aus der experimentell beobachteten Periodendauer der Schwingung zu bestimmen (jeweils auch einschlieszliglich der Messunsicherheit) Dazu ist Formel (5) bei be-kannter und sinnvoll gewaumlhlter Masse m zu nutzen

3 Mithilfe von Formel (6) ist aus den Daten der Schraubenfeder die am Versuchsplatz angegeben sind die Federkonstante k einschlieszliglich ihrer resultierenden Unsicherheit zu berechnen

4 Die Obergrenzen fuumlr systematische Messabweichungen bei den ersten beiden Aufgaben (statische und dynamische Messung der Federkonstanten) sind abzuschaumltzen (Groumlszligenord-nungen) Es ist zu analysieren welche dieser systematischen Abweichungen korrigierbar sind und welche dann tatsaumlchlich in die Messunsicherheit des Endergebnisses eingehen

5 Fuumlr alle drei Methoden (Aufgaben 1-3) sind die Ergebnisse (einschlieszliglich Messunsicher-heit) fuumlr die Federkonstante uumlbersichtlich darzustellen miteinander zu vergleichen und zu diskutieren Sofern moumlglich ist ein gewichteter Mittelwert zu ermitteln

10

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

VERSUCHSHINWEISE Die Schraubenfeder ist mit einem Ende an einem Stativ befestigt Zur Messung der Auslen-kung der Feder aus der Ruhelage wird die Stellung der an der Feder befindlichen Marke M (Abb 1) auf einer Spiegelskale abgelesen (Welchen Vorteil bietet eine Spiegelskale gegen-uumlber einer einfachen Skale) Die sog Verkehrsfehlergrenze der Massennormale ist fuumlr die Masse m = 50 g mit ∆m = plusmn 01 g festgelegt Bei Messung einer Laumlnge l mit der Spiegelskale ist die Messunsi-cherheit ∆l = plusmn (02 mm + 5middot10-4middotl) Fuumlr die Fallbeschleunigung ist (lt Festlegung der Eichbe-houmlrden der Laumlnder fuumlr Waagen) ein Wert von g = (98130 plusmn 00001) mmiddots-2 zu verwenden Fuumlr die 1 Aufgabe wird die Feder schrittweise bis 400 g mit Massestuumlcken von 50 g belastet und mit Hilfe einer Spiegelskale an der Marke M die Auslenkung x gemessen (erste Mess-reihe) Nach Erreichen der Houmlchstbelastung von 400 g ist dann die Feder wieder schrittweise zu entlasten (zweite Messreihe) a) Aus der grafischen Darstellung x = x(m) ist mithilfe des bdquoSteigungsdreiecksldquo der Anstieg

gk grafisch zu ermitteln und seine Unsicherheit entsprechend abzuschaumltzen (vgl Einfuumlh-rungsskript) Daraus sind dann die Federkonstante k als mittelbar bestimmter Groumlszlige und ihre Unsicherheit ∆k zu berechnen

b) Durch lineare Regression ist mithilfe geeigneter Software (s Einfuumlhrungsskript und Vorle-sung) der Anstieg und seine Unsicherheit numerisch zu ermitteln daraus ebenfalls wieder die Federkonstante und deren Unsicherheit

Fuumlr die 2 Aufgabe wird die Feder mit einer Gesamtmasse von 400 g belastet und 10mal die Zeit fuumlr jeweils 20 Schwingungen mithilfe einer Stoppuhr gemessen Daraus ist der Mittel-wert der Periodendauer T und ihr Vertrauensbereich sT zu berechnen und mittelbar damit die Federkonstante k uumlber Gleichung (5) mit ihrer Messunsicherheit a) Zur Genauigkeit der Messung mit Stoppuhren sind im Einfuumlhrungsskript ausfuumlhrliche Hin-

weise enthalten Entsprechend den dort enthaltenen Angaben sind die systematischen Messabweichungen mit ihrer Auswirkung auf die Periodendauer und die Federkonstante realistisch abzuschaumltzen

b) Bezuumlglich der Massen ist bereits ein Hinweis bei Aufgabe 1 gegeben worden Zusaumltzlich muumlsste noch der Einfluss der Eigenmasse der Feder von mF asymp 5 g auf die Periodendauer beruumlcksichtigt werden Die Teile der Feder nehmen unterschiedlich an der Bewegung teil es kann als zu beruumlcksichtigende Zusatzmasse macute= mF3 gesetzt werden Somit ergibt sich

fuumlr die Periodendauer m

mTk

mmT F

312acute +=

+= π

c) Auch bei sehr sorgfaumlltiger Anfangsauslenkung fuumlhrt der Federschwinger nach einigen Schwingungen unvermeidlich seitliche Schwingungen aus Wie beeinflusst diese Bewe-gung die gemessene Periodendauer Man uumlberlege sich auch welche Auswirkungen die in der Betrachtung vernachlaumlssigte aber unvermeidlich auftretende Reibung auf das Ergebnis dieses Verfahrens hat

Fuumlr die 3 Aufgabe sind am jeweiligen Versuchsplatz die Messunsicherheiten der einzelnen Groumlszligen mit angegeben Eine Unterscheidung von zufaumllligen und systematischen Komponen-ten ist hier allerdings nicht moumlglich Fuumlr Aufgabe 5 ist eine tabellarische Darstellungsweise vorzuziehen In Zusammenhang mit dem gewogenen Mittelwert ist zu analysieren unter welchen Bedingungen er uumlberhaupt sinn-voll gebildet werden kann

11

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Dichte Auftriebskraft Analy-senwaage Pyknometer Ein sog Pyknometer ist ein Geraumlt zur Bestimmung der Dichte fester Koumlrper Es besteht aus einem Glasgefaumlszlig mit eingeschliffenem Stopfen der eine kapillare Bohrung hat Das Pykno-meter kann reproduzierbar mit groszliger Genauigkeit mit Wasser gefuumlllt werden Zur Dichtebe-stimmung mit dem Pyknometer sind drei Waumlgungen mit einer Analysenwaage noumltig wobei der Auftrieb der zu waumlgenden Koumlrper (Probe bzw Pyknometer) in Luft (Dichte ρL) zu beruumlck-sichtigen ist 1 Waumlgung der Probe in Luft Fuumlr eine Probe (Masse m1 Volumen V1) wird die Gewichts-kraft durch die ihr entgegengesetzt gerichtete Auftriebskraft gmF sdot= 11 gVF LA sdotsdot= ρ11 vermindert so dass im Gleichgewicht die Waage den Wert m1rsquo anzeigt Die Gleichgewichts-bedingung liefert

111 mVm L =sdotminus ρ (1)2 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers Das vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllte Pykno-meter (Volumen VP) hat die Gesamtmasse m2 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m2rsquo an so dass gilt

22 mVm LP =sdotminus ρ (2)3 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers mit Probe Das mit Wasser und der Probe gefuumlllte Pyknometer hat die Gesamtmasse m3 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m3rsquo an so dass gilt

33 mVm LP =sdotminus ρ (3)Zwischen den Massen m1 m2 und m3 besteht der Zusammenhang

232311 mmmmVm W minus=minus=sdotminus ρ (4)wobei ρW die Dichte des Wassers ist Zur Bestimmung der Dichte ρ1 der Probe kann man aus den Gleichungen (1) und (4) die Unbekannten m1 und V1 ermitteln Man erhaumllt

)()(

231

231

1

11 mmm

mmmVm LW

minusminussdotminusminussdot

==ρρρ (5)

AUFGABEN 1 Bestimmung der Masse m1rsquo fuumlr zwei verschiedene Metallproben (Al und Cu) durch

Waumlgung in Luft Fuumlr jede Probe erfolgt die Waumlgung sechsmal wobei die Probe immer neu auf die Waage zu legen ist Bestimmung der zugehoumlrigen Mittelwerte

2 Bestimmung der Masse m2rsquo des vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllten Pyknometers durch Waumlgung Die jeweils erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt sechsmal Bestimmung des Mittelwertes

3 Bestimmung der Masse m3rsquo des mit Wasser und jeweiliger Metallprobe gefuumlllten Pykno-meters durch Waumlgung Die erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt fuumlr jede Probe sechsmal Bestimmung der Mittelwerte

4 Berechnung der Dichte der beiden Metallproben nach Gleichung (5) 5 Bestimmung der jeweiligen Messunsicherheiten fuumlr die unmittelbar gemessenen Groumlszligen

m1rsquo m2rsquo und m3rsquo fuumlr beide Proben 6 Abschaumltzung bzw Berechnung (Fortpflanzung) der resultierenden Messunsicherheiten der

mit (5) mittelbar bestimmten beiden Dichten Vergleich der Ergebnisse fuumlr die beiden Dichten mit Referenzwerten

12

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

VERSUCHSHINWEISE Die Waumlgungen werden mit einer elektronischen Analysenwaage durchgefuumlhrt bei der die auf-gelegte Last (Abb 1 oberer Pfeil) durch eine elektromagnetische Kraft kompensiert wird Mit einer optoelektronischen Abtastung (1) wird die Stellung der Waagschale (2) gemessen und mit diesem Signal der Kompensationsstrom in der Spule (3) gesteuert Der Kompensations-strom erzeugt zwischen Permanentmagnet (4) und Spule eine Kraft so dass die Waagschale in die Null-Lage zuruumlckgefuumlhrt wird der Strom ist der Last proportional Zur Durchfuumlhrung der Waumlgungen beachte man unbedingt die Hinweise des Versuchsbetreuers und die Platz-anleitung

Abb1 Messprinzip der eAnalysenwaage

lektronischen

Fuumlr Aufgabe 2 wird das Pyknometer bis zum Rand mit destilliertem Wasser gefuumlllt wobei die Bildung von Luftblaumlschen zu vermeiden ist Verschlieszligt man das Pyknometer mit dem ange-schliffenen Stopfen so laumluft Wasser uumlber das sehr sorgfaumlltig mit Filterpapier abzuwischen ist Das Anfassen des Pyknometers muss aumluszligerst vorsichtig erfolgen um seine Erwaumlrmung zu vermeiden (warum) Nach dem Abwischen wird mit Filterpapier der auf der Kapillare stehende Tropfen abgenommen so dass die Kapillare bis oben mit Wasser gefuumlllt ist Fuumlr die durchzufuumlhrenden Waumlgungen ist das Pyknometer stets erneut zu befuumlllen Fuumlr Aufgabe 3 wird der Probekoumlrper in das Pyknometer gebracht und dann mit destilliertem Wasser aufgefuumlllt weiter ist sinngemaumlszlig wie bei Aufgabe 2 zu verfahren Fuumlr Aufgabe 4 sind zusaumltzlich zu den Werten m1rsquo m2rsquo und m3rsquo auch der Luftdruck p sowie die Zimmer- und Wassertemperatur zu bestimmen Die Temperaturen koumlnnen als gleich vor-ausgesetzt werden da das destillierte Wasser sich bereits sehr lange im Versuchsraum befin-det Die temperaturabhaumlngige (s Abb 2) Dichte ρW von reinem (luftfreiem) Wasser laumlsst sich im Temperaturintervall 0degC lt θ lt 40degC naumlherungsweise berechnen mit

4-73-52323 1046657-10772108768-1066299984)( θθθθρ sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot+=sdot minusminusminusmkgw

wobei die Temperatur θ in degC einzusetzen ist (Fehler der Naumlherung ) Diese Naumlhrung gilt bei sog Normaldruck (p

3210 minusminus sdotlt∆ mkgWρN = 1013 kPa) Warum kann die Druckabhaumlngig-

keit hier vernachlaumlssigt werden Die Druckabhaumlngigkeit muss aber bei der Luftdichte unbedingt beruumlcksichtigt werden ebenso wie die Luftfeuchtigkeit (warum) Man verwendet die Beziehung

TRp

fL sdot=ρ

13

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

wobei p der Luftdruck (in Pa) T die Lufttemperatur (in K) und Rf die Gaskonstante feuchter Luft ist Diese Gaskonstante Rf berechnet sich wiederum aus

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdotminus

=

d

ld

lf

RR

pp

RR11 ϕ

0 10 20 30 40992

993

994

995

996

997

998

999

1000

Dic

hte ρ w

(kg

m3 )

Temperatur θ (degC)

-10 0 10 20 3011

12

13

Dic

hte ρ L (k

gm

3 )Temperatur θ (degC)

Abb 2 Temperaturabhaumlngigkeit der Dichte fuumlr (reines) Wasser und (trockene) Luft

Hier ist Rl = 28705 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante trockener Luft Rd = 461 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante von Wasserdampf und φ die relative Luftfeuchtigkeit Die Groumlszlige pd ist der Saumlt-tigungsdampfdruck von Wasser in Luft der sich empirisch mit der sog Magnus-Formel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+degsdot

sdot=θθ

CPapd 2241

504317exp213611)( im Intervall CC degleledegminus 7030 θ

berechnen laumlsst wobei θ wieder die Temperatur (in degC) ist Fuumlr Aufgabe 5 sind die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen der Waumlgungen zu ermitteln Die Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo werden alle mit der gleichen Analysenwaage ermittelt fuumlr die vom Hersteller eine Garantiefehlergrenze (systematischer Restfehler) von 02 mg angegeben wird Diese Garantiefehlergrenze ist fuumlr alle drei Massenwerte als geraumlte-bedingte systematische Abweichung zu beruumlcksichtigen Fuumlr die Messwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo haumlngt es von der sorgfaumlltigen Versuchsdurchfuumlhrung (Abtupfen des Wassers ) ab ob die zufaumlllige undoder die systematische Abweichung die Messunsicherheit bestimmt Fuumlr Aufgabe 6 ist nur die Messunsicherheit der Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo zu beruumlcksich-tigen Die berechneten Werte fuumlr die Dichten von Luft und Wasser koumlnnen als praktisch fehlerfrei angenommen werden

14

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Erster Hauptsatz der Thermodynamik Waumlrmemenge Waumlrmekapazitaumlt Richmannsche Mischungsregel Arbeit von Gleich- und Wechselstrom Waumlrmeaustauschkorrektur (s Skript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstel-lung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo) Waumlrme ist eine Energieform die zwischen Koumlrpern ausgetauscht wird oder in andere Energie-formen umgewandelt werden kann Fuumlhrt man einem Koumlrper der Masse m die Waumlrmemenge dQ zu dann ist die sich einstellende Temperaturerhoumlhung dT proportional zur zugefuumlhrten Waumlrmemenge

dTcmdQ sdotsdot= (1)wobei der Proportionalitaumltsfaktor c als spezifische Waumlrmekapazitaumlt mit der SI-Einheit Jmiddotkg-1middotK-1 bezeichnet wird und eine Stoffkonstante ist Aus (1) ergibt sich

dTdQ

mc sdot=

1 (2)

Das Produkt cmC sdot= (3)

mit der SI-Einheit JmiddotK-1 nennt man Waumlrmekapazitaumlt des Koumlrpers Zur Bestimmung von Waumlrmemengen benutzt man sog Kalorimeter wobei anisotherme Aus-fuumlhrungen mit sehr gut waumlrmeisolierten Gefaumlszligen am haumlufigsten verwendet werden Fuumlhrt man einem mit Wasser der Masse mW (teilweise) gefuumlllten Kalorimeter eine Waumlrmemenge ∆Q zu dann werden auszliger dem Wasser auch alle Teile des Kalorimeters wie zB Gefaumlszligwandung Thermometer und Ruumlhrer erwaumlrmt Die gesamte Waumlrmekapazitaumlt der Versuchsanordnung setzt sich also aus der des Wassers (mWmiddotcW) und der des Kalorimeters (CK) zusammen

( ) TCcmQ KWW ∆sdot+sdot=∆ (4)Die spezifische Waumlrmekapazitaumlt von Wasser hat als Stoffkonstante den Wert cW = 41813 kJmiddotkg-1middotK-1 (bei 25degC) Die Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorime-ters ist rechnerisch nur naumlherungsweise moumlglich deshalb wird sie ia experimentell ermittelt 1 Elektrische Methode Flieszligt durch einen Ohmschen Leiter (Heizspirale) an dem die Spannung U anliegt der Strom I dann entsteht im Zeitintervall ∆t in ihm eine der elektri-schen Energie aumlquivalente Waumlrmemenge

tIUQ ∆sdotsdot=∆ (5)Uumlbertraumlgt man diese Waumlrmemenge an das Wasser (Masse mW) und das Kalorimeter (Waumlrme-kapazitaumlt CK) dann steigt die Wassertemperatur gemaumlszlig (4) Bei verlustloser Waumlrmeuumlbertra-gung sind beide Waumlrmemengen gleich (Energieerhaltungssatz) und es gilt

( ) TCcmtIU KWW ∆sdot+sdot=∆sdotsdot (6)so dass CK bestimmt werden kann 2 Mischungsmethode Fuumlgt man kaltem Wasser der Masse m1 und Temperatur T1 in einem Kalorimeter warmes Wasser der Masse m2 und Temperatur T2 hinzu so findet ein Waumlrmeaus-tausch statt bis das gesamte Wasser die Mischungstemperatur Tm angenommen hat Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dass die vom warmen Wasser abgegebene Waumlrmeenergie

gleich der vom kalten Wasser und dem Kalorimeter aufgenommenen Waumlrmeenergie

)( 222 mW TTcmQ minussdotsdot=∆( ) )( 111 TTCcmQ mKW minussdot+sdot=∆ sein muss Der Energieerhaltungssatz in dieser

speziellen Form des Austausches von Waumlrmemenge heiszligt Richmannsche Mischungsregel und ergibt die Gleichung

( ) )()( 2211 mWmKW TTcmTTCcm minussdotsdot=minussdot+sdot (7)zur Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorimeters

15

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

AUFGABEN 1 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der elektrischen Methode gemaumlszlig (6) 2 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 1 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 3 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der Mischungsmethode mit (7) 4 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 3 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 5 Fuumlr beide Methoden fuumlhre man eine Bestimmung der Messunsicherheit der Waumlrmekapazi-

taumlt durch und vergleiche die Endergebnisse miteinander VERSUCHSHINWEISE Das Verfahren zur Waumlrmeaustauschkorrektur Bei kalorimetrischen Messungen ist ein Waumlrmeaustausch mit der Umgebung unvermeidlich (offenes thermodynamisches System) und meist stoumlrend Aus dem gemessenen zeitlichen Temperaturverlauf ist er aber abzulesen (s Abb 1)

DE

Abbildung 1 Zeitlicher Verlauf der Temperatur im Kalorimeter

In der Vorperiode erhaumllt man den ansteigenden Kurvenabschnitt ArarrB in der Nachperiode den abfallenden Kurvenabschnitt ErarrF Das liegt daran dass das Kalorimeter eben nicht adia-batisch bzw isentrop ist Die Temperatur der Kalorimeterfluumlssigkeit im Innern gleicht sich in beiden Abschnitten jeweils (asymptotisch) an die Umgebungstemperatur TU an wobei der Waumlrmefluss proportional zur Temperaturdifferenz ist Es laumlsst sich zeigen dass der Gleichge-wichtszustand zeitlich exponentiell angenommen wird Im vorliegenden Fall ist aber die ent-sprechende Zeitkonstante sehr groszlig im Vergleich zur Messzeit so dass die beiden Abschnitte ArarrB und ErarrF naumlherungsweise jeweils durch eine Gerade beschrieben werden duumlrfen Die-ser Sachverhalt gestattet es auszligerdem in diesen Abschnitten die Messwerte in groumlszligerer zeitli-cher Schrittweite aufzunehmen Aufgrund des real zeitlich ausgedehnten Waumlrmeaustausches mit der Umgebung beobachtet man einen stetigen und differenzierbaren Verlauf der Kurve im Abschnitt BrarrE Nur wenn die im Experiment zugefuumlhrte Waumlrme sofort verteilt wuumlrde waumlre die Temperaturkurve eine Sprungfunktion Das System braucht eine gewisse Zeit bis sich ein neues Gleichgewicht ein-stellen kann Es verhaumllt sich so als ob es uumlber ein ganzes Zeitintervall bdquoverschmiertldquo waumlre Es gilt also die Endzeit der Waumlrmezufuhr zu finden Sie liegt im Wendepunkt der Temperaturkurve weil sich dort die Richtung der Kruumlmmung aumlndert also Waumlrmezufuhr in Waumlrmeverlust uumlbergeht Nun laumlsst sich aber im Abschnitt BrarrE die Kurve T(t) nicht beliebig

F

Tem

pera

tur

T

∆T S

TU

A B C

Zeit

16

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

17

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

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O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

23

O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

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O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

26

O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

27

O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

28

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

29

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

46

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

F2 VOLUMENMESSUNG

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Auftriebskraft In diesem einfachen Versuch werden drei Methoden unterschiedlicher Genauigkeit zur Bestimmung des Volumens eines Probekoumlrpers verwendet und miteinander verglichen hin-sichtlich der jeweiligen Messunsicherheit 1 Methode (Uumlberlaufgefaumlszlig) Ein mit einem Uumlberlauf versehener Glasbehaumllter wird bis zum Uumlberlaufen mit Wasser gefuumlllt Durch Eintauchen des Probekoumlrpers dessen Volumen V1 bestimmt werden soll wird Wasser verdraumlngt das in einen Messzylinder flieszligt 2 Methode (Geometrie des Koumlrpers) Der Probekoumlrper ist ein Zylinder sein Volumen kann aus dem Durchmesser d und der Houmlhe h nach

hdV 22 4

π= (1)

berechnet werden 3 Methode (Auftriebsmessung) Der Probekoumlrper vom Volumen V3 wird mit einer Labor-waage mit symmetrischem Waagebalken in Luft gewogen Man benoumltigt fuumlr das Gleich-gewicht die Massennormale zur Kompensation der Gewichtskraft des Probekoumlrpers Taucht man ihn in Wasser (Dichte ρw ) dann erfaumlhrt er eine Auftriebskraft

1m gmF 1G =

3wA gVF ρ= (g = Fallbeschleunigung) Um die Waage wieder ins Gleichgewicht zu bringen benoumltigt man die Massennormale zur Kompensation der um die Auftriebskraft verminderten Gewichtskraft FG d h

2m AF

3w12 gV-gmgm ρ= Daraus folgt

w

213 ρ

mmV

minus= (2)

Die zur Bestimmung der Massenwerte und verwendete Laborwaage traumlgt in der Mitte des Waagebalkens einen Zeiger der uumlber einer Skale schwingt An seiner Stellung ist das Gleich-gewicht der Waage ablesbar Verschiebt sich durch eine einseitig wirkende Zusatz-masse ∆mrsquo die Zeigerstellung um ∆a dann bezeichnet man den Quotienten

1m 2m

maEprime∆

∆= (3)

als Empfindlichkeit der Waage sie ist ein Maszlig fuumlr ihre Guumlte und gestattet die Abschaumltzung der Messunsicherheit Systematische Messabweichungen der drei Methoden 1 Uumlberlaufgefaumlszlig Der sog Geraumltefehler ∆V des Messzylinders betraumlgt bei einem Nenninhalt von VN = 50 ml und einer Nenntemperatur von tN = 20 degC bis zu ∆V = plusmn 05 ml (4) Die Richtung und die Groumlszlige dieses Geraumltefehlers ∆V fuumlr voneinander abweichende Mess-temperatur und Nenntemperatur des Messzylinders wird mit Hilfe des thermischen Ausdehnungskoeffizienten des Glases abgeschaumltzt Ist das Nennvolumen des als Glasrohr betrachteten Messzylinders VN dann ist bei der Messtemperatur sein Volumen

Mt Nt

Mt ))(1( NMNM ttVV minus+= γ

mit als sog kubischem thermischem Ausdehnungskoeffizienten des Glases Daraus ergibt sich

-15 K1072 minussdot=γ

3

F2 VOLUMENMESSUNG

( )NM tt minus=∆ γVV (5) 2 Geometrie des Koumlrpers Die sog Fehlergrenzen ∆I beider Messgeraumlte sind wenn I die gemessene Laumlnge ist von folgender Groumlszlige Messschieber ∆l = plusmn (5sdot10-5 m + 1sdot10-4 l) (6) Buumlgelmessschraube ∆l = plusmn (5sdot10-6 m + 1sdot10-5 l) (7) 3 Auftriebsmessung Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Probekoumlrpers und der Massennormale (Dichte

) bei der Waumlgung in Luft (Dichte ) liefert 33N mkg1084 sdot=ρ 3

L mkg12=ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+minusasymp

minus

minussdot

minus=prime

w

L

N

L3

wL

NL

w

213 1

11

ρρ

ρρ

ρρρρ

ρVV mm (8)

Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Aufhaumlngedrahtes von dem das Volumen ∆V im Wasser eintaucht ergibt VVV ∆minusprime=primeprime 33 (9) AUFGABEN 1 Ermittelung der einzelnen Messgroumlszligen fuumlr jede der drei Methoden und Berechnung der

Volumenwerte Vi 2 Berechnung bzw Abschaumltzung der zufaumllligen Messabweichungen fuumlr alle Messgroumlszligen 3 Groumlszligenordnungsmaumlszligige Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen aller drei

Methoden Soweit moumlglich und sinnvoll Korrektur systematischer Abweichungen Betrachtung systematischer Restfehler

4 Uumlbersichtliche Zusammenstellung der Messergebnisse der zufaumllligen und der systemati-schen Abweichungen sowie der Messunsicherheiten fuumlr die einzelnen Messgroumlszligen

5 Berechnung der Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr die mittelbar bestimmten Volumenwerte nach dem Fortpflanzungsgesetz

6 Berechnung des gewogenen Mittelwertes einschlieszliglich seiner Unsicherheit sofern moumlg-lich und sinnvoll

VERSUCHSHINWEISE Methode 1 Der Messzylinder wird vor dem Eintauchen des Probekoumlrpers mit etwas Wasser gefuumlllt und dieser Fuumlllstand VA als Bezugsgroumlszlige gewaumlhlt Nach dem Einlaufen des verdraumlng-ten Wassers liest man den Fuumlllstand VE am Messzylinder ab so dass sich als Volumen des Probekoumlrpers AE1 VVV minus= (10) ergibt Die Messungen werden sechsmal durchgefuumlhrt und Bruchteile der Skalenteile geschaumltzt Methode 2 Die Houmlhe des Zylinders h wird sechsmal mit einem Messschieber und sein Durchmesser d wird sechsmal an verschiedenen Stellen mit einer Buumlgelmessschraube gemes-sen Methode 3 Jede Waumlgung wird zweimal ausgefuumlhrt und der Groumlszligtfehler aus der Empfindlich-keit der Waage nach Gl (3) abgeschaumltzt Als Groumlszligtfehler wird die Zusatzmasse ∆m angege-ben die einen Zeigerausschlag ∆a = 1 Skalenteil bewirkt Die Dichte des Wassers ist tempe-raturabhaumlngig und wird einer grafischen Darstellung am Versuchsplatz entnommen

4

F2 VOLUMENMESSUNG

In Aufgabe 1 werden die einzelnen Messgroumlszligen sowie die drei Volumenwerte Vi und in Auf-gabe 2 die zufaumllligen Abweichungen der einzelnen Messgroumlszligen ermittelt In Aufgabe 3 sind die systematischen Abweichungen zu diskutieren wobei zwischen den Korrekturen und den systematischen Restfehlern zu unterscheiden ist Fuumlr Aufgabe 4 muumlssen die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen verglichen und in Aufgabe 5 die Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr alle drei Methoden festgelegt werden Uumlberlappen sich die Bereiche der Messunsicherheiten ∆Vi nicht dann liegen entweder grobe Messfehler vor oder es existieren noch weitere bisher nicht erfasste systematische Abwei-chungen Uumlberlappen sich dagegen die Bereiche der Messunsicherheiten dann kann der gewogene Mittelwert und die zugehoumlrige Messunsicherheit berechnet werden (Aufgabe 6)

5

F3 FADENPENDEL

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Massenpunktmodell mathematisches und physikali-sches Pendel Bewegungsgleichung Schwerkraft Newtonsche Axiome Schwingungsdifferen-tialgleichung Ein an einem Faden aufgehaumlngter Koumlrper stellt aufgrund der auf ihn wirkenden Schwerkraft und seiner Traumlgheit ein schwingungsfaumlhiges System dar Betrachtet man (idealisiert) einen punktfoumlrmigen Koumlrper der Masse m der an einem Faden der Laumlnge l haumlngt und lenkt ihn um einen Winkel φ (Abb 1) aus der Senkrechten aus dann fuumlhrt der Koumlrper nach dem Loslassen Schwingungen um die Senkrechte aus

Abbildung 1 Fadenpendel

Bei Vernachlaumlssigung der Masse des Fadens und der Luftreibung wirkt auf den Koumlrper in jedem Punkt der Bahn senkrecht nach unten die Gewichtskraft

gmFG sdot= (1)wobei g die Fallbeschleunigung ist Die Normalkomponente (normal zur Bahn des Koumlrpers)

ϕcossdotsdot= gmFn dieser Kraft findet ihre Gegenkraft in der in der Aufhaumlngung auftretenden Kraft und beeinflusst die Bewegung des Koumlrpers nicht Dagegen erzeugt die Tangentialkom-ponente ϕsinsdotsdot= gmFt der Gewichtskraft entsprechend der Newtonschen Bewegungs-gleichung

ϕsin2

2

sdotsdotminus=sdot=sdot gmsmdt

sdm (2)

eine Beschleunigung des Koumlrpers laumlngs der kreisfoumlrmigen Bahnkurve Zwischen dem Aus-lenkwinkel φ und der Bahnkurvenkoordinate s auf der Bahnkurve besteht die Beziehung

ϕsdot= ls Bei (zeitlich) konstanter Fadenlaumlnge l folgt daraus unmittelbar

dtdl

dtds ϕ

sdot= und 2

2

2

2

dtdl

dtsd ϕ

sdot= (3)

Fuumlr kleine Auslenkwinkel φ gilt die bekannte Naumlherung ϕϕ asympsin die ebenso wie (3) in die Bewegungsgleichung (2) eingesetzt werden kann Daraus erhaumllt man die Newtonsche Bewe-gungsgleichung fuumlr das mathematische Pendel mit

02

2

=sdot+sdot ϕϕ gdtdl (4)

Diese Schwingungsdifferentialgleichung einfachster Form kann mit dem Ansatz

6

F3 FADENPENDEL

)sin(0 ψωϕϕ +sdotsdot= t mit lg

=ω (5)

geloumlst werden Die hier zunaumlchst willkuumlrlich erscheinenden Konstanten heiszligen Amplitude φ0

bzw Phasenkonstante ψ und sind durch die konkreten Anfangsbedingungen fuumlr t = 0 festge-legt Das mathematische Pendel vollfuumlhrt demnach bei Auslenkung um kleine Winkel harmo-nische Schwingungen mit der Kreisfrequenz ω und der Periodendauer

glT π

ωπ 22== (6)

die unabhaumlngig von der Masse m und der Amplitude φ0 ist Die Beziehung (6) erlaubt prinzipiell bei bekannter Pendellaumlnge l durch Messung der Perio-dendauer T eine Bestimmung der Fallbeschleunigung g Allerdings ist die Pendellaumlnge l nur sehr ungenau zu bestimmen Deshalb bedient man sich hier zweckmaumlszligig eines einfachen Tricks Die Laumlnge l kann um genau einstellbare Betraumlge li veraumlndert werden und setzt sich gemaumlszlig zusammen Damit wird aus (6) durch entsprechende Umformung illl += 0

( )ii llgg

lT +sdot== 0

222 44 ππ (7)

Misst man nun die Periodendauern Ti fuumlr die entsprechenden li und stellt die Abhaumlngigkeit

Ti2(li) dar so ergibt sich eine Gerade mit dem Anstieg

g

24π und dem Achsenabschnitt

0

24 lg

sdotπ Damit werden die Groumlszligen g und l0 bestimmbar

Die oben vorgenommenen Vereinfachungen die zur Herleitung der Beziehung (6) verwendet wurden beduumlrfen noch einer weiteren Diskussion Betrachtung beliebiger Winkel Ohne die obige Beschraumlnkung auf kleine Winkel φ liefert die Loumlsung der sog elliptischen Differentialgleichung (2) fuumlr die Periodendauer das (exak-tere) Ergebnis

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdotsdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛sdot+sdot=

2sin

2sin1 042

43

21022

21 ϕϕ

ϕ TT (8)

wobei T durch die Beziehung (6) gegeben ist Beruumlcksichtigung des Auftriebs in Luft Der Massekoumlrper aus Blei mit der Dichte von ρK = 11340 kgm-3 und dem Volumen VK erfaumlhrt in Luft der Dichte ρL asymp 12 kgm-3 eine Auftriebskraft gVF KLA sdotsdot= ρ die der Gewichtskraft gVgmF KKG sdotsdot=sdot= ρ entgegen-gerichtet ist Unter Beruumlcksichtigung dieses Auftriebs in Luft erhaumllt man schlieszliglich fuumlr die Periodendauer

LK

KA TT

ρρρminus

sdot= (9)

Betrachtung fuumlr ausgedehnten Massekoumlrper Die Ausdehnung des schwingenden Koumlrpers kann man beruumlcksichtigen wenn man von der Bewegungsgleichung des sog physikalischen Pendels (vgl Versuch bdquoM9 Reversionspendelldquo) ausgeht Die genaue Betrachtung bzw Herleitung wird hier bewusst nicht angegeben sondern nur das Ergebnis Mit bekannten Abmessungen des Bleizylinders (Radius R und Houmlhe h) am Faden der Laumlnge l bestimmt sich die Periodendauer zu

2

22

1231

lhRTTs sdot

++sdot= (10)

7

F3 FADENPENDEL

Der Einfluss des Fadens wurde auch bei diesen Betrachtungen aber ebenso vernachlaumlssigt wie die auftretende Reibung Es ist sicherlich empirisch einsichtig dass schwache Reibung zu einer gedaumlmpften Schwingung fuumlhren wird Die Schwingungsamplitude klingt dann

exponentiell mit sehr groszliger Zeitkonstante τ wie τt

eminus

ab AUFGABEN 1 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine feste Fadenlaumlnge Die Zeitmessung erfolgt fuumlr 10

Schwingungen jeweils zehnmal an einem Umkehrpunkt und beim Nulldurchgang des Pendels Berechnung von Mittelwerte Standardabweichung und Vertrauensbereich der Periodendauer und Diskussion der Unterschiede zwischen beiden Verfahren

2 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine Schwingung beim Nulldurchgang mit zehnfacher Messung Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung anschlieszligend Vergleich mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe 1 und Diskussion der Unterschiede

3 Bestimmung der Periodendauer fuumlr 10 verschiedene Fadenlaumlngen li Aus jeweils 2 Messungen fuumlr 10 Schwingungen sind die Mittelwerte fuumlr die Periodendauern Ti(li) zu berechnen

4 Grafische Darstellung der Ergebnisse der 3 Aufgabe in der Form Ti2(li) in einem

Diagramm Verwendung von Gleichung (7) zur Bestimmung von Fallbeschleunigung g und Anfangslaumlnge des Pendels l0 sowohl durch grafischen Geradenausgleich als auch numerische lineare Regression mit Ermittlung der zugehoumlrigen Unsicherheiten

5 Aus den Ergebnissen der 4 Aufgabe fuumlr l0 und g ist gemaumlszlig Gleichung (6) die Periodendauer T einschlieszliglich ihrer Unsicherheit zu berechnen und mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe zu vergleichen

6 Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen fuumlr die Periodendauer gemaumlszlig der og drei Gleichungen (8-10) und ihres Einflusses auf die g-Bestimmung Diskussion der Relevanz entsprechender Korrekturen

VERSUCHSHINWEISE Ein gegossener Bleizylinder (Radius R asymp 23 mm Houmlhe h asymp 23 mm Masse m asymp 08 kg) haumlngt an einem duumlnnen Stahldraht Die Pendellaumlnge laumlsst sich durch einen Schieber in dessen Fuumlhrung der Draht laumluft veraumlndern Die Laumlngenaumlnderung kann mit Hilfe von Ringmarken deren Abstand 2 cm betraumlgt eingestellt werden Bei Auslenkung des Pendels aus seiner Ruhelage fuumlhrt es Schwingungen aus deren Periodendauer mit einer von Hand ausgeloumlsten Stoppuhr bestimmt wird Fuumlr die ersten beiden Aufgaben ist zweckmaumlszligig (warum) eine moumlglichst groszlige Fadenlaumlnge zu waumlhlen Die zugehoumlrige Stellung des Schiebers ist unbedingt zu notieren da sie spaumlter benoumltigt wird Fuumlr die 3 Aufgabe wird die Anfangsfadenlaumlnge l0 um die Werte li (i = 110) in Schritten von 4 cm verringert Fuumlr die mit der 4 Aufgabe erforderliche Auswertung sind grafische Mittel (Anstiegsdreieck grafische Extrapolation auf den Achsenabschnitt) und ein rechentechnisches Verfahren (lineare Regression) einzusetzen Fuumlr Aufgabe 5 ist das bei Aufgabe 4 bestimmte Ergebnis fuumlr die Anfangslaumlnge l0 zu verwenden Bei Aufgabe 6 muss ermittelt werden wie sich die Korrekturen der Schwingungsdauer gemaumlszlig (8-10) auf die Fallbeschleunigung g auswirken Beachten Sie hier dass g aus dem Anstieg der Geraden gemaumlszlig der 4 Aufgabe nach Gleichung (7) bestimmt wird Uumlberlegen Sie welche zufaumllligen und welche systematischen Abweichungen die Messunsicherheit der Fallbeschleunigung g wesentlich bestimmen

8

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Traumlgheitsgesetz Grundgesetz der Dynamik Feder-konstante Federkraft harmonische Schwingung Frequenz Periodendauer Amplitude In diesem Versuch soll die Federkonstante einer Schraubenfeder mit drei verschiedenen Methoden bestimmt werden Bei der Auswertung der Ergebnisse sind Grundbegriffe und Methoden der Fehlerrechnung und ndashanalyse gezielt anzuwenden und zu uumlben 1 Statische Messung der Federkonstanten Wird eine am oberen Ende eingespannte Schraubenfeder am unteren Ende durch Anhaumlngen einer Masse m belastet so wird die Feder gedehnt und es stellt sich eine neue Ruhelage ein (Abb 1 statischer Fall) Die Gewichtskraft

gmFG sdot= und die durch die elastische Verformung entstehende Federkraft (mit k als Federkonstante) stehen im Gleichgewicht (Newtonsches Traumlgheitsgesetz)

xkFF sdotminus=

0=+ FG FF (1)

Abbildung 1 Statische und dynamische Belastung einer Schraubenfeder

Durch Einsetzen der Beziehungen fuumlr beide Kraumlfte und einfache Umstellung ergibt sich daraus

kgmx sdot

= (2)

Die statische Auslenkung x der Schraubenfeder muss demnach linear von der Belastung m abhaumlngig sein Durch die experimentelle Untersuchung der Abhaumlngigkeit x(m) kann sowohl die Linearitaumlt des Federkraftgesetzes xkFF sdotminus= uumlberpruumlft als auch die Federkonstante k bestimmt werden 2 Dynamische Messung der Federkonstanten Lenkt man eine mit der Masse m belastete Feder aus ihrer Ruhelage aus (Abb 1 dynamischer Fall) dann wirkt eine ruumlcktreibende

Federkraft und die Masse m erfaumlhrt eine Beschleunigung xkFF sdotminus=mFx

dtxda F=== 2

2

nach

dem Newtonschen Grundgesetz der Dynamik Fuumlr die weiteren Betrachtungen sollen jegliche Reibungskraumlfte vernachlaumlssigt werden daher ergibt sich aus der Newtonschen Bewegungs-gleichung hier die einfachste Form einer Schwingungsdifferentialgleichung mit

02

2

=sdot+sdot xkdt

xdm (3)

9

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

die eine freie ungedaumlmpfte Schwingung beschreibt Mit den willkuumlrlich ausgewaumlhlten Anfangsbedingungen (Anfangslage) und 0)0( xtx == 0)0( 0 === vtx (Anfangsgeschwin-digkeit) lautet ihre Loumlsung

)cos()( 0 txtx sdotsdot= ω (4)wobei physikalisch x0 als Amplitude und mk=ω als Kreisfrequenz der freien ungedaumlmpf-ten Federschwingung bezeichnet werden Der Koumlrper der Masse m schwingt nach Auslen-kung (aus der Gleichgewichts- bzw Ruhelage um x0) in Form einer harmonischen Schwin-gung mit der Periodendauer

kmT π

ωπ 22== (5)

die experimentell direkt gemessen werden kann Aus (5) ist bei bekannter Masse m die Feder-konstante k bestimmbar 3 Berechnung der Federkonstanten aus der Geometrie und den Materialeigenschaften der Schraubenfeder Durch eine Auslenkung aus der Ruhelage wird die Schraubenfeder gedehnt und damit der gesamte Federdraht auf sog Torsion (svw bdquoVerdrehungldquo oder bdquoVerdrillungldquo) beansprucht Ohne weitere Herleitung sei hier eine Beziehung angegeben die es gestattet aus dem sog Torsionsmodul G (als Materialkonstante des Federdrahtes) und den geometrischen Daten der Schraubenfeder (Drahtlaumlnge l Drahtdurchmesser d und Wickel-radius r) die Federkonstante k zu berechnen

2

4

32 rldGksdotsdot

sdot=π (6)

AUFGABEN 1 Aus dem statischen Verhalten einer Schraubenfeder ist deren Federkonstante experimentell

zu bestimmen Dazu ist gemaumlszlig Beziehung (2) die statische Auslenkung x in Abhaumlngigkeit von der Belastung m mit verschiedenen Massestuumlcken zu messen Die Daten sind in der Form x = x(m) als Diagramm grafisch darzustellen und daraus die Federkonstante k zu er-mitteln Fuumlr die zu erwartende lineare Abhaumlngigkeit ist sowohl mit einfacher grafischer Methode (bdquoSteigungsdreieckldquo) als auch numerisch (Geradenausgleichsrechnung lineare Regression) der Anstieg von x = x(m) und daraus die Federkonstante (jeweils auch ein-schlieszliglich der Messunsicherheit) zu bestimmen

2 Mithilfe des dynamischen Verhaltens des Federschwingers ist fuumlr dieselbe Feder die Federkonstante aus der experimentell beobachteten Periodendauer der Schwingung zu bestimmen (jeweils auch einschlieszliglich der Messunsicherheit) Dazu ist Formel (5) bei be-kannter und sinnvoll gewaumlhlter Masse m zu nutzen

3 Mithilfe von Formel (6) ist aus den Daten der Schraubenfeder die am Versuchsplatz angegeben sind die Federkonstante k einschlieszliglich ihrer resultierenden Unsicherheit zu berechnen

4 Die Obergrenzen fuumlr systematische Messabweichungen bei den ersten beiden Aufgaben (statische und dynamische Messung der Federkonstanten) sind abzuschaumltzen (Groumlszligenord-nungen) Es ist zu analysieren welche dieser systematischen Abweichungen korrigierbar sind und welche dann tatsaumlchlich in die Messunsicherheit des Endergebnisses eingehen

5 Fuumlr alle drei Methoden (Aufgaben 1-3) sind die Ergebnisse (einschlieszliglich Messunsicher-heit) fuumlr die Federkonstante uumlbersichtlich darzustellen miteinander zu vergleichen und zu diskutieren Sofern moumlglich ist ein gewichteter Mittelwert zu ermitteln

10

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

VERSUCHSHINWEISE Die Schraubenfeder ist mit einem Ende an einem Stativ befestigt Zur Messung der Auslen-kung der Feder aus der Ruhelage wird die Stellung der an der Feder befindlichen Marke M (Abb 1) auf einer Spiegelskale abgelesen (Welchen Vorteil bietet eine Spiegelskale gegen-uumlber einer einfachen Skale) Die sog Verkehrsfehlergrenze der Massennormale ist fuumlr die Masse m = 50 g mit ∆m = plusmn 01 g festgelegt Bei Messung einer Laumlnge l mit der Spiegelskale ist die Messunsi-cherheit ∆l = plusmn (02 mm + 5middot10-4middotl) Fuumlr die Fallbeschleunigung ist (lt Festlegung der Eichbe-houmlrden der Laumlnder fuumlr Waagen) ein Wert von g = (98130 plusmn 00001) mmiddots-2 zu verwenden Fuumlr die 1 Aufgabe wird die Feder schrittweise bis 400 g mit Massestuumlcken von 50 g belastet und mit Hilfe einer Spiegelskale an der Marke M die Auslenkung x gemessen (erste Mess-reihe) Nach Erreichen der Houmlchstbelastung von 400 g ist dann die Feder wieder schrittweise zu entlasten (zweite Messreihe) a) Aus der grafischen Darstellung x = x(m) ist mithilfe des bdquoSteigungsdreiecksldquo der Anstieg

gk grafisch zu ermitteln und seine Unsicherheit entsprechend abzuschaumltzen (vgl Einfuumlh-rungsskript) Daraus sind dann die Federkonstante k als mittelbar bestimmter Groumlszlige und ihre Unsicherheit ∆k zu berechnen

b) Durch lineare Regression ist mithilfe geeigneter Software (s Einfuumlhrungsskript und Vorle-sung) der Anstieg und seine Unsicherheit numerisch zu ermitteln daraus ebenfalls wieder die Federkonstante und deren Unsicherheit

Fuumlr die 2 Aufgabe wird die Feder mit einer Gesamtmasse von 400 g belastet und 10mal die Zeit fuumlr jeweils 20 Schwingungen mithilfe einer Stoppuhr gemessen Daraus ist der Mittel-wert der Periodendauer T und ihr Vertrauensbereich sT zu berechnen und mittelbar damit die Federkonstante k uumlber Gleichung (5) mit ihrer Messunsicherheit a) Zur Genauigkeit der Messung mit Stoppuhren sind im Einfuumlhrungsskript ausfuumlhrliche Hin-

weise enthalten Entsprechend den dort enthaltenen Angaben sind die systematischen Messabweichungen mit ihrer Auswirkung auf die Periodendauer und die Federkonstante realistisch abzuschaumltzen

b) Bezuumlglich der Massen ist bereits ein Hinweis bei Aufgabe 1 gegeben worden Zusaumltzlich muumlsste noch der Einfluss der Eigenmasse der Feder von mF asymp 5 g auf die Periodendauer beruumlcksichtigt werden Die Teile der Feder nehmen unterschiedlich an der Bewegung teil es kann als zu beruumlcksichtigende Zusatzmasse macute= mF3 gesetzt werden Somit ergibt sich

fuumlr die Periodendauer m

mTk

mmT F

312acute +=

+= π

c) Auch bei sehr sorgfaumlltiger Anfangsauslenkung fuumlhrt der Federschwinger nach einigen Schwingungen unvermeidlich seitliche Schwingungen aus Wie beeinflusst diese Bewe-gung die gemessene Periodendauer Man uumlberlege sich auch welche Auswirkungen die in der Betrachtung vernachlaumlssigte aber unvermeidlich auftretende Reibung auf das Ergebnis dieses Verfahrens hat

Fuumlr die 3 Aufgabe sind am jeweiligen Versuchsplatz die Messunsicherheiten der einzelnen Groumlszligen mit angegeben Eine Unterscheidung von zufaumllligen und systematischen Komponen-ten ist hier allerdings nicht moumlglich Fuumlr Aufgabe 5 ist eine tabellarische Darstellungsweise vorzuziehen In Zusammenhang mit dem gewogenen Mittelwert ist zu analysieren unter welchen Bedingungen er uumlberhaupt sinn-voll gebildet werden kann

11

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Dichte Auftriebskraft Analy-senwaage Pyknometer Ein sog Pyknometer ist ein Geraumlt zur Bestimmung der Dichte fester Koumlrper Es besteht aus einem Glasgefaumlszlig mit eingeschliffenem Stopfen der eine kapillare Bohrung hat Das Pykno-meter kann reproduzierbar mit groszliger Genauigkeit mit Wasser gefuumlllt werden Zur Dichtebe-stimmung mit dem Pyknometer sind drei Waumlgungen mit einer Analysenwaage noumltig wobei der Auftrieb der zu waumlgenden Koumlrper (Probe bzw Pyknometer) in Luft (Dichte ρL) zu beruumlck-sichtigen ist 1 Waumlgung der Probe in Luft Fuumlr eine Probe (Masse m1 Volumen V1) wird die Gewichts-kraft durch die ihr entgegengesetzt gerichtete Auftriebskraft gmF sdot= 11 gVF LA sdotsdot= ρ11 vermindert so dass im Gleichgewicht die Waage den Wert m1rsquo anzeigt Die Gleichgewichts-bedingung liefert

111 mVm L =sdotminus ρ (1)2 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers Das vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllte Pykno-meter (Volumen VP) hat die Gesamtmasse m2 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m2rsquo an so dass gilt

22 mVm LP =sdotminus ρ (2)3 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers mit Probe Das mit Wasser und der Probe gefuumlllte Pyknometer hat die Gesamtmasse m3 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m3rsquo an so dass gilt

33 mVm LP =sdotminus ρ (3)Zwischen den Massen m1 m2 und m3 besteht der Zusammenhang

232311 mmmmVm W minus=minus=sdotminus ρ (4)wobei ρW die Dichte des Wassers ist Zur Bestimmung der Dichte ρ1 der Probe kann man aus den Gleichungen (1) und (4) die Unbekannten m1 und V1 ermitteln Man erhaumllt

)()(

231

231

1

11 mmm

mmmVm LW

minusminussdotminusminussdot

==ρρρ (5)

AUFGABEN 1 Bestimmung der Masse m1rsquo fuumlr zwei verschiedene Metallproben (Al und Cu) durch

Waumlgung in Luft Fuumlr jede Probe erfolgt die Waumlgung sechsmal wobei die Probe immer neu auf die Waage zu legen ist Bestimmung der zugehoumlrigen Mittelwerte

2 Bestimmung der Masse m2rsquo des vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllten Pyknometers durch Waumlgung Die jeweils erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt sechsmal Bestimmung des Mittelwertes

3 Bestimmung der Masse m3rsquo des mit Wasser und jeweiliger Metallprobe gefuumlllten Pykno-meters durch Waumlgung Die erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt fuumlr jede Probe sechsmal Bestimmung der Mittelwerte

4 Berechnung der Dichte der beiden Metallproben nach Gleichung (5) 5 Bestimmung der jeweiligen Messunsicherheiten fuumlr die unmittelbar gemessenen Groumlszligen

m1rsquo m2rsquo und m3rsquo fuumlr beide Proben 6 Abschaumltzung bzw Berechnung (Fortpflanzung) der resultierenden Messunsicherheiten der

mit (5) mittelbar bestimmten beiden Dichten Vergleich der Ergebnisse fuumlr die beiden Dichten mit Referenzwerten

12

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

VERSUCHSHINWEISE Die Waumlgungen werden mit einer elektronischen Analysenwaage durchgefuumlhrt bei der die auf-gelegte Last (Abb 1 oberer Pfeil) durch eine elektromagnetische Kraft kompensiert wird Mit einer optoelektronischen Abtastung (1) wird die Stellung der Waagschale (2) gemessen und mit diesem Signal der Kompensationsstrom in der Spule (3) gesteuert Der Kompensations-strom erzeugt zwischen Permanentmagnet (4) und Spule eine Kraft so dass die Waagschale in die Null-Lage zuruumlckgefuumlhrt wird der Strom ist der Last proportional Zur Durchfuumlhrung der Waumlgungen beachte man unbedingt die Hinweise des Versuchsbetreuers und die Platz-anleitung

Abb1 Messprinzip der eAnalysenwaage

lektronischen

Fuumlr Aufgabe 2 wird das Pyknometer bis zum Rand mit destilliertem Wasser gefuumlllt wobei die Bildung von Luftblaumlschen zu vermeiden ist Verschlieszligt man das Pyknometer mit dem ange-schliffenen Stopfen so laumluft Wasser uumlber das sehr sorgfaumlltig mit Filterpapier abzuwischen ist Das Anfassen des Pyknometers muss aumluszligerst vorsichtig erfolgen um seine Erwaumlrmung zu vermeiden (warum) Nach dem Abwischen wird mit Filterpapier der auf der Kapillare stehende Tropfen abgenommen so dass die Kapillare bis oben mit Wasser gefuumlllt ist Fuumlr die durchzufuumlhrenden Waumlgungen ist das Pyknometer stets erneut zu befuumlllen Fuumlr Aufgabe 3 wird der Probekoumlrper in das Pyknometer gebracht und dann mit destilliertem Wasser aufgefuumlllt weiter ist sinngemaumlszlig wie bei Aufgabe 2 zu verfahren Fuumlr Aufgabe 4 sind zusaumltzlich zu den Werten m1rsquo m2rsquo und m3rsquo auch der Luftdruck p sowie die Zimmer- und Wassertemperatur zu bestimmen Die Temperaturen koumlnnen als gleich vor-ausgesetzt werden da das destillierte Wasser sich bereits sehr lange im Versuchsraum befin-det Die temperaturabhaumlngige (s Abb 2) Dichte ρW von reinem (luftfreiem) Wasser laumlsst sich im Temperaturintervall 0degC lt θ lt 40degC naumlherungsweise berechnen mit

4-73-52323 1046657-10772108768-1066299984)( θθθθρ sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot+=sdot minusminusminusmkgw

wobei die Temperatur θ in degC einzusetzen ist (Fehler der Naumlherung ) Diese Naumlhrung gilt bei sog Normaldruck (p

3210 minusminus sdotlt∆ mkgWρN = 1013 kPa) Warum kann die Druckabhaumlngig-

keit hier vernachlaumlssigt werden Die Druckabhaumlngigkeit muss aber bei der Luftdichte unbedingt beruumlcksichtigt werden ebenso wie die Luftfeuchtigkeit (warum) Man verwendet die Beziehung

TRp

fL sdot=ρ

13

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

wobei p der Luftdruck (in Pa) T die Lufttemperatur (in K) und Rf die Gaskonstante feuchter Luft ist Diese Gaskonstante Rf berechnet sich wiederum aus

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdotminus

=

d

ld

lf

RR

pp

RR11 ϕ

0 10 20 30 40992

993

994

995

996

997

998

999

1000

Dic

hte ρ w

(kg

m3 )

Temperatur θ (degC)

-10 0 10 20 3011

12

13

Dic

hte ρ L (k

gm

3 )Temperatur θ (degC)

Abb 2 Temperaturabhaumlngigkeit der Dichte fuumlr (reines) Wasser und (trockene) Luft

Hier ist Rl = 28705 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante trockener Luft Rd = 461 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante von Wasserdampf und φ die relative Luftfeuchtigkeit Die Groumlszlige pd ist der Saumlt-tigungsdampfdruck von Wasser in Luft der sich empirisch mit der sog Magnus-Formel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+degsdot

sdot=θθ

CPapd 2241

504317exp213611)( im Intervall CC degleledegminus 7030 θ

berechnen laumlsst wobei θ wieder die Temperatur (in degC) ist Fuumlr Aufgabe 5 sind die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen der Waumlgungen zu ermitteln Die Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo werden alle mit der gleichen Analysenwaage ermittelt fuumlr die vom Hersteller eine Garantiefehlergrenze (systematischer Restfehler) von 02 mg angegeben wird Diese Garantiefehlergrenze ist fuumlr alle drei Massenwerte als geraumlte-bedingte systematische Abweichung zu beruumlcksichtigen Fuumlr die Messwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo haumlngt es von der sorgfaumlltigen Versuchsdurchfuumlhrung (Abtupfen des Wassers ) ab ob die zufaumlllige undoder die systematische Abweichung die Messunsicherheit bestimmt Fuumlr Aufgabe 6 ist nur die Messunsicherheit der Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo zu beruumlcksich-tigen Die berechneten Werte fuumlr die Dichten von Luft und Wasser koumlnnen als praktisch fehlerfrei angenommen werden

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Erster Hauptsatz der Thermodynamik Waumlrmemenge Waumlrmekapazitaumlt Richmannsche Mischungsregel Arbeit von Gleich- und Wechselstrom Waumlrmeaustauschkorrektur (s Skript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstel-lung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo) Waumlrme ist eine Energieform die zwischen Koumlrpern ausgetauscht wird oder in andere Energie-formen umgewandelt werden kann Fuumlhrt man einem Koumlrper der Masse m die Waumlrmemenge dQ zu dann ist die sich einstellende Temperaturerhoumlhung dT proportional zur zugefuumlhrten Waumlrmemenge

dTcmdQ sdotsdot= (1)wobei der Proportionalitaumltsfaktor c als spezifische Waumlrmekapazitaumlt mit der SI-Einheit Jmiddotkg-1middotK-1 bezeichnet wird und eine Stoffkonstante ist Aus (1) ergibt sich

dTdQ

mc sdot=

1 (2)

Das Produkt cmC sdot= (3)

mit der SI-Einheit JmiddotK-1 nennt man Waumlrmekapazitaumlt des Koumlrpers Zur Bestimmung von Waumlrmemengen benutzt man sog Kalorimeter wobei anisotherme Aus-fuumlhrungen mit sehr gut waumlrmeisolierten Gefaumlszligen am haumlufigsten verwendet werden Fuumlhrt man einem mit Wasser der Masse mW (teilweise) gefuumlllten Kalorimeter eine Waumlrmemenge ∆Q zu dann werden auszliger dem Wasser auch alle Teile des Kalorimeters wie zB Gefaumlszligwandung Thermometer und Ruumlhrer erwaumlrmt Die gesamte Waumlrmekapazitaumlt der Versuchsanordnung setzt sich also aus der des Wassers (mWmiddotcW) und der des Kalorimeters (CK) zusammen

( ) TCcmQ KWW ∆sdot+sdot=∆ (4)Die spezifische Waumlrmekapazitaumlt von Wasser hat als Stoffkonstante den Wert cW = 41813 kJmiddotkg-1middotK-1 (bei 25degC) Die Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorime-ters ist rechnerisch nur naumlherungsweise moumlglich deshalb wird sie ia experimentell ermittelt 1 Elektrische Methode Flieszligt durch einen Ohmschen Leiter (Heizspirale) an dem die Spannung U anliegt der Strom I dann entsteht im Zeitintervall ∆t in ihm eine der elektri-schen Energie aumlquivalente Waumlrmemenge

tIUQ ∆sdotsdot=∆ (5)Uumlbertraumlgt man diese Waumlrmemenge an das Wasser (Masse mW) und das Kalorimeter (Waumlrme-kapazitaumlt CK) dann steigt die Wassertemperatur gemaumlszlig (4) Bei verlustloser Waumlrmeuumlbertra-gung sind beide Waumlrmemengen gleich (Energieerhaltungssatz) und es gilt

( ) TCcmtIU KWW ∆sdot+sdot=∆sdotsdot (6)so dass CK bestimmt werden kann 2 Mischungsmethode Fuumlgt man kaltem Wasser der Masse m1 und Temperatur T1 in einem Kalorimeter warmes Wasser der Masse m2 und Temperatur T2 hinzu so findet ein Waumlrmeaus-tausch statt bis das gesamte Wasser die Mischungstemperatur Tm angenommen hat Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dass die vom warmen Wasser abgegebene Waumlrmeenergie

gleich der vom kalten Wasser und dem Kalorimeter aufgenommenen Waumlrmeenergie

)( 222 mW TTcmQ minussdotsdot=∆( ) )( 111 TTCcmQ mKW minussdot+sdot=∆ sein muss Der Energieerhaltungssatz in dieser

speziellen Form des Austausches von Waumlrmemenge heiszligt Richmannsche Mischungsregel und ergibt die Gleichung

( ) )()( 2211 mWmKW TTcmTTCcm minussdotsdot=minussdot+sdot (7)zur Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorimeters

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

AUFGABEN 1 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der elektrischen Methode gemaumlszlig (6) 2 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 1 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 3 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der Mischungsmethode mit (7) 4 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 3 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 5 Fuumlr beide Methoden fuumlhre man eine Bestimmung der Messunsicherheit der Waumlrmekapazi-

taumlt durch und vergleiche die Endergebnisse miteinander VERSUCHSHINWEISE Das Verfahren zur Waumlrmeaustauschkorrektur Bei kalorimetrischen Messungen ist ein Waumlrmeaustausch mit der Umgebung unvermeidlich (offenes thermodynamisches System) und meist stoumlrend Aus dem gemessenen zeitlichen Temperaturverlauf ist er aber abzulesen (s Abb 1)

DE

Abbildung 1 Zeitlicher Verlauf der Temperatur im Kalorimeter

In der Vorperiode erhaumllt man den ansteigenden Kurvenabschnitt ArarrB in der Nachperiode den abfallenden Kurvenabschnitt ErarrF Das liegt daran dass das Kalorimeter eben nicht adia-batisch bzw isentrop ist Die Temperatur der Kalorimeterfluumlssigkeit im Innern gleicht sich in beiden Abschnitten jeweils (asymptotisch) an die Umgebungstemperatur TU an wobei der Waumlrmefluss proportional zur Temperaturdifferenz ist Es laumlsst sich zeigen dass der Gleichge-wichtszustand zeitlich exponentiell angenommen wird Im vorliegenden Fall ist aber die ent-sprechende Zeitkonstante sehr groszlig im Vergleich zur Messzeit so dass die beiden Abschnitte ArarrB und ErarrF naumlherungsweise jeweils durch eine Gerade beschrieben werden duumlrfen Die-ser Sachverhalt gestattet es auszligerdem in diesen Abschnitten die Messwerte in groumlszligerer zeitli-cher Schrittweite aufzunehmen Aufgrund des real zeitlich ausgedehnten Waumlrmeaustausches mit der Umgebung beobachtet man einen stetigen und differenzierbaren Verlauf der Kurve im Abschnitt BrarrE Nur wenn die im Experiment zugefuumlhrte Waumlrme sofort verteilt wuumlrde waumlre die Temperaturkurve eine Sprungfunktion Das System braucht eine gewisse Zeit bis sich ein neues Gleichgewicht ein-stellen kann Es verhaumllt sich so als ob es uumlber ein ganzes Zeitintervall bdquoverschmiertldquo waumlre Es gilt also die Endzeit der Waumlrmezufuhr zu finden Sie liegt im Wendepunkt der Temperaturkurve weil sich dort die Richtung der Kruumlmmung aumlndert also Waumlrmezufuhr in Waumlrmeverlust uumlbergeht Nun laumlsst sich aber im Abschnitt BrarrE die Kurve T(t) nicht beliebig

F

Tem

pera

tur

T

∆T S

TU

A B C

Zeit

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

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O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

23

O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

25

O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

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O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

F2 VOLUMENMESSUNG

( )NM tt minus=∆ γVV (5) 2 Geometrie des Koumlrpers Die sog Fehlergrenzen ∆I beider Messgeraumlte sind wenn I die gemessene Laumlnge ist von folgender Groumlszlige Messschieber ∆l = plusmn (5sdot10-5 m + 1sdot10-4 l) (6) Buumlgelmessschraube ∆l = plusmn (5sdot10-6 m + 1sdot10-5 l) (7) 3 Auftriebsmessung Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Probekoumlrpers und der Massennormale (Dichte

) bei der Waumlgung in Luft (Dichte ) liefert 33N mkg1084 sdot=ρ 3

L mkg12=ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+minusasymp

minus

minussdot

minus=prime

w

L

N

L3

wL

NL

w

213 1

11

ρρ

ρρ

ρρρρ

ρVV mm (8)

Die Beruumlcksichtigung des Auftriebs des Aufhaumlngedrahtes von dem das Volumen ∆V im Wasser eintaucht ergibt VVV ∆minusprime=primeprime 33 (9) AUFGABEN 1 Ermittelung der einzelnen Messgroumlszligen fuumlr jede der drei Methoden und Berechnung der

Volumenwerte Vi 2 Berechnung bzw Abschaumltzung der zufaumllligen Messabweichungen fuumlr alle Messgroumlszligen 3 Groumlszligenordnungsmaumlszligige Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen aller drei

Methoden Soweit moumlglich und sinnvoll Korrektur systematischer Abweichungen Betrachtung systematischer Restfehler

4 Uumlbersichtliche Zusammenstellung der Messergebnisse der zufaumllligen und der systemati-schen Abweichungen sowie der Messunsicherheiten fuumlr die einzelnen Messgroumlszligen

5 Berechnung der Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr die mittelbar bestimmten Volumenwerte nach dem Fortpflanzungsgesetz

6 Berechnung des gewogenen Mittelwertes einschlieszliglich seiner Unsicherheit sofern moumlg-lich und sinnvoll

VERSUCHSHINWEISE Methode 1 Der Messzylinder wird vor dem Eintauchen des Probekoumlrpers mit etwas Wasser gefuumlllt und dieser Fuumlllstand VA als Bezugsgroumlszlige gewaumlhlt Nach dem Einlaufen des verdraumlng-ten Wassers liest man den Fuumlllstand VE am Messzylinder ab so dass sich als Volumen des Probekoumlrpers AE1 VVV minus= (10) ergibt Die Messungen werden sechsmal durchgefuumlhrt und Bruchteile der Skalenteile geschaumltzt Methode 2 Die Houmlhe des Zylinders h wird sechsmal mit einem Messschieber und sein Durchmesser d wird sechsmal an verschiedenen Stellen mit einer Buumlgelmessschraube gemes-sen Methode 3 Jede Waumlgung wird zweimal ausgefuumlhrt und der Groumlszligtfehler aus der Empfindlich-keit der Waage nach Gl (3) abgeschaumltzt Als Groumlszligtfehler wird die Zusatzmasse ∆m angege-ben die einen Zeigerausschlag ∆a = 1 Skalenteil bewirkt Die Dichte des Wassers ist tempe-raturabhaumlngig und wird einer grafischen Darstellung am Versuchsplatz entnommen

4

F2 VOLUMENMESSUNG

In Aufgabe 1 werden die einzelnen Messgroumlszligen sowie die drei Volumenwerte Vi und in Auf-gabe 2 die zufaumllligen Abweichungen der einzelnen Messgroumlszligen ermittelt In Aufgabe 3 sind die systematischen Abweichungen zu diskutieren wobei zwischen den Korrekturen und den systematischen Restfehlern zu unterscheiden ist Fuumlr Aufgabe 4 muumlssen die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen verglichen und in Aufgabe 5 die Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr alle drei Methoden festgelegt werden Uumlberlappen sich die Bereiche der Messunsicherheiten ∆Vi nicht dann liegen entweder grobe Messfehler vor oder es existieren noch weitere bisher nicht erfasste systematische Abwei-chungen Uumlberlappen sich dagegen die Bereiche der Messunsicherheiten dann kann der gewogene Mittelwert und die zugehoumlrige Messunsicherheit berechnet werden (Aufgabe 6)

5

F3 FADENPENDEL

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Massenpunktmodell mathematisches und physikali-sches Pendel Bewegungsgleichung Schwerkraft Newtonsche Axiome Schwingungsdifferen-tialgleichung Ein an einem Faden aufgehaumlngter Koumlrper stellt aufgrund der auf ihn wirkenden Schwerkraft und seiner Traumlgheit ein schwingungsfaumlhiges System dar Betrachtet man (idealisiert) einen punktfoumlrmigen Koumlrper der Masse m der an einem Faden der Laumlnge l haumlngt und lenkt ihn um einen Winkel φ (Abb 1) aus der Senkrechten aus dann fuumlhrt der Koumlrper nach dem Loslassen Schwingungen um die Senkrechte aus

Abbildung 1 Fadenpendel

Bei Vernachlaumlssigung der Masse des Fadens und der Luftreibung wirkt auf den Koumlrper in jedem Punkt der Bahn senkrecht nach unten die Gewichtskraft

gmFG sdot= (1)wobei g die Fallbeschleunigung ist Die Normalkomponente (normal zur Bahn des Koumlrpers)

ϕcossdotsdot= gmFn dieser Kraft findet ihre Gegenkraft in der in der Aufhaumlngung auftretenden Kraft und beeinflusst die Bewegung des Koumlrpers nicht Dagegen erzeugt die Tangentialkom-ponente ϕsinsdotsdot= gmFt der Gewichtskraft entsprechend der Newtonschen Bewegungs-gleichung

ϕsin2

2

sdotsdotminus=sdot=sdot gmsmdt

sdm (2)

eine Beschleunigung des Koumlrpers laumlngs der kreisfoumlrmigen Bahnkurve Zwischen dem Aus-lenkwinkel φ und der Bahnkurvenkoordinate s auf der Bahnkurve besteht die Beziehung

ϕsdot= ls Bei (zeitlich) konstanter Fadenlaumlnge l folgt daraus unmittelbar

dtdl

dtds ϕ

sdot= und 2

2

2

2

dtdl

dtsd ϕ

sdot= (3)

Fuumlr kleine Auslenkwinkel φ gilt die bekannte Naumlherung ϕϕ asympsin die ebenso wie (3) in die Bewegungsgleichung (2) eingesetzt werden kann Daraus erhaumllt man die Newtonsche Bewe-gungsgleichung fuumlr das mathematische Pendel mit

02

2

=sdot+sdot ϕϕ gdtdl (4)

Diese Schwingungsdifferentialgleichung einfachster Form kann mit dem Ansatz

6

F3 FADENPENDEL

)sin(0 ψωϕϕ +sdotsdot= t mit lg

=ω (5)

geloumlst werden Die hier zunaumlchst willkuumlrlich erscheinenden Konstanten heiszligen Amplitude φ0

bzw Phasenkonstante ψ und sind durch die konkreten Anfangsbedingungen fuumlr t = 0 festge-legt Das mathematische Pendel vollfuumlhrt demnach bei Auslenkung um kleine Winkel harmo-nische Schwingungen mit der Kreisfrequenz ω und der Periodendauer

glT π

ωπ 22== (6)

die unabhaumlngig von der Masse m und der Amplitude φ0 ist Die Beziehung (6) erlaubt prinzipiell bei bekannter Pendellaumlnge l durch Messung der Perio-dendauer T eine Bestimmung der Fallbeschleunigung g Allerdings ist die Pendellaumlnge l nur sehr ungenau zu bestimmen Deshalb bedient man sich hier zweckmaumlszligig eines einfachen Tricks Die Laumlnge l kann um genau einstellbare Betraumlge li veraumlndert werden und setzt sich gemaumlszlig zusammen Damit wird aus (6) durch entsprechende Umformung illl += 0

( )ii llgg

lT +sdot== 0

222 44 ππ (7)

Misst man nun die Periodendauern Ti fuumlr die entsprechenden li und stellt die Abhaumlngigkeit

Ti2(li) dar so ergibt sich eine Gerade mit dem Anstieg

g

24π und dem Achsenabschnitt

0

24 lg

sdotπ Damit werden die Groumlszligen g und l0 bestimmbar

Die oben vorgenommenen Vereinfachungen die zur Herleitung der Beziehung (6) verwendet wurden beduumlrfen noch einer weiteren Diskussion Betrachtung beliebiger Winkel Ohne die obige Beschraumlnkung auf kleine Winkel φ liefert die Loumlsung der sog elliptischen Differentialgleichung (2) fuumlr die Periodendauer das (exak-tere) Ergebnis

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdotsdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛sdot+sdot=

2sin

2sin1 042

43

21022

21 ϕϕ

ϕ TT (8)

wobei T durch die Beziehung (6) gegeben ist Beruumlcksichtigung des Auftriebs in Luft Der Massekoumlrper aus Blei mit der Dichte von ρK = 11340 kgm-3 und dem Volumen VK erfaumlhrt in Luft der Dichte ρL asymp 12 kgm-3 eine Auftriebskraft gVF KLA sdotsdot= ρ die der Gewichtskraft gVgmF KKG sdotsdot=sdot= ρ entgegen-gerichtet ist Unter Beruumlcksichtigung dieses Auftriebs in Luft erhaumllt man schlieszliglich fuumlr die Periodendauer

LK

KA TT

ρρρminus

sdot= (9)

Betrachtung fuumlr ausgedehnten Massekoumlrper Die Ausdehnung des schwingenden Koumlrpers kann man beruumlcksichtigen wenn man von der Bewegungsgleichung des sog physikalischen Pendels (vgl Versuch bdquoM9 Reversionspendelldquo) ausgeht Die genaue Betrachtung bzw Herleitung wird hier bewusst nicht angegeben sondern nur das Ergebnis Mit bekannten Abmessungen des Bleizylinders (Radius R und Houmlhe h) am Faden der Laumlnge l bestimmt sich die Periodendauer zu

2

22

1231

lhRTTs sdot

++sdot= (10)

7

F3 FADENPENDEL

Der Einfluss des Fadens wurde auch bei diesen Betrachtungen aber ebenso vernachlaumlssigt wie die auftretende Reibung Es ist sicherlich empirisch einsichtig dass schwache Reibung zu einer gedaumlmpften Schwingung fuumlhren wird Die Schwingungsamplitude klingt dann

exponentiell mit sehr groszliger Zeitkonstante τ wie τt

eminus

ab AUFGABEN 1 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine feste Fadenlaumlnge Die Zeitmessung erfolgt fuumlr 10

Schwingungen jeweils zehnmal an einem Umkehrpunkt und beim Nulldurchgang des Pendels Berechnung von Mittelwerte Standardabweichung und Vertrauensbereich der Periodendauer und Diskussion der Unterschiede zwischen beiden Verfahren

2 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine Schwingung beim Nulldurchgang mit zehnfacher Messung Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung anschlieszligend Vergleich mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe 1 und Diskussion der Unterschiede

3 Bestimmung der Periodendauer fuumlr 10 verschiedene Fadenlaumlngen li Aus jeweils 2 Messungen fuumlr 10 Schwingungen sind die Mittelwerte fuumlr die Periodendauern Ti(li) zu berechnen

4 Grafische Darstellung der Ergebnisse der 3 Aufgabe in der Form Ti2(li) in einem

Diagramm Verwendung von Gleichung (7) zur Bestimmung von Fallbeschleunigung g und Anfangslaumlnge des Pendels l0 sowohl durch grafischen Geradenausgleich als auch numerische lineare Regression mit Ermittlung der zugehoumlrigen Unsicherheiten

5 Aus den Ergebnissen der 4 Aufgabe fuumlr l0 und g ist gemaumlszlig Gleichung (6) die Periodendauer T einschlieszliglich ihrer Unsicherheit zu berechnen und mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe zu vergleichen

6 Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen fuumlr die Periodendauer gemaumlszlig der og drei Gleichungen (8-10) und ihres Einflusses auf die g-Bestimmung Diskussion der Relevanz entsprechender Korrekturen

VERSUCHSHINWEISE Ein gegossener Bleizylinder (Radius R asymp 23 mm Houmlhe h asymp 23 mm Masse m asymp 08 kg) haumlngt an einem duumlnnen Stahldraht Die Pendellaumlnge laumlsst sich durch einen Schieber in dessen Fuumlhrung der Draht laumluft veraumlndern Die Laumlngenaumlnderung kann mit Hilfe von Ringmarken deren Abstand 2 cm betraumlgt eingestellt werden Bei Auslenkung des Pendels aus seiner Ruhelage fuumlhrt es Schwingungen aus deren Periodendauer mit einer von Hand ausgeloumlsten Stoppuhr bestimmt wird Fuumlr die ersten beiden Aufgaben ist zweckmaumlszligig (warum) eine moumlglichst groszlige Fadenlaumlnge zu waumlhlen Die zugehoumlrige Stellung des Schiebers ist unbedingt zu notieren da sie spaumlter benoumltigt wird Fuumlr die 3 Aufgabe wird die Anfangsfadenlaumlnge l0 um die Werte li (i = 110) in Schritten von 4 cm verringert Fuumlr die mit der 4 Aufgabe erforderliche Auswertung sind grafische Mittel (Anstiegsdreieck grafische Extrapolation auf den Achsenabschnitt) und ein rechentechnisches Verfahren (lineare Regression) einzusetzen Fuumlr Aufgabe 5 ist das bei Aufgabe 4 bestimmte Ergebnis fuumlr die Anfangslaumlnge l0 zu verwenden Bei Aufgabe 6 muss ermittelt werden wie sich die Korrekturen der Schwingungsdauer gemaumlszlig (8-10) auf die Fallbeschleunigung g auswirken Beachten Sie hier dass g aus dem Anstieg der Geraden gemaumlszlig der 4 Aufgabe nach Gleichung (7) bestimmt wird Uumlberlegen Sie welche zufaumllligen und welche systematischen Abweichungen die Messunsicherheit der Fallbeschleunigung g wesentlich bestimmen

8

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Traumlgheitsgesetz Grundgesetz der Dynamik Feder-konstante Federkraft harmonische Schwingung Frequenz Periodendauer Amplitude In diesem Versuch soll die Federkonstante einer Schraubenfeder mit drei verschiedenen Methoden bestimmt werden Bei der Auswertung der Ergebnisse sind Grundbegriffe und Methoden der Fehlerrechnung und ndashanalyse gezielt anzuwenden und zu uumlben 1 Statische Messung der Federkonstanten Wird eine am oberen Ende eingespannte Schraubenfeder am unteren Ende durch Anhaumlngen einer Masse m belastet so wird die Feder gedehnt und es stellt sich eine neue Ruhelage ein (Abb 1 statischer Fall) Die Gewichtskraft

gmFG sdot= und die durch die elastische Verformung entstehende Federkraft (mit k als Federkonstante) stehen im Gleichgewicht (Newtonsches Traumlgheitsgesetz)

xkFF sdotminus=

0=+ FG FF (1)

Abbildung 1 Statische und dynamische Belastung einer Schraubenfeder

Durch Einsetzen der Beziehungen fuumlr beide Kraumlfte und einfache Umstellung ergibt sich daraus

kgmx sdot

= (2)

Die statische Auslenkung x der Schraubenfeder muss demnach linear von der Belastung m abhaumlngig sein Durch die experimentelle Untersuchung der Abhaumlngigkeit x(m) kann sowohl die Linearitaumlt des Federkraftgesetzes xkFF sdotminus= uumlberpruumlft als auch die Federkonstante k bestimmt werden 2 Dynamische Messung der Federkonstanten Lenkt man eine mit der Masse m belastete Feder aus ihrer Ruhelage aus (Abb 1 dynamischer Fall) dann wirkt eine ruumlcktreibende

Federkraft und die Masse m erfaumlhrt eine Beschleunigung xkFF sdotminus=mFx

dtxda F=== 2

2

nach

dem Newtonschen Grundgesetz der Dynamik Fuumlr die weiteren Betrachtungen sollen jegliche Reibungskraumlfte vernachlaumlssigt werden daher ergibt sich aus der Newtonschen Bewegungs-gleichung hier die einfachste Form einer Schwingungsdifferentialgleichung mit

02

2

=sdot+sdot xkdt

xdm (3)

9

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

die eine freie ungedaumlmpfte Schwingung beschreibt Mit den willkuumlrlich ausgewaumlhlten Anfangsbedingungen (Anfangslage) und 0)0( xtx == 0)0( 0 === vtx (Anfangsgeschwin-digkeit) lautet ihre Loumlsung

)cos()( 0 txtx sdotsdot= ω (4)wobei physikalisch x0 als Amplitude und mk=ω als Kreisfrequenz der freien ungedaumlmpf-ten Federschwingung bezeichnet werden Der Koumlrper der Masse m schwingt nach Auslen-kung (aus der Gleichgewichts- bzw Ruhelage um x0) in Form einer harmonischen Schwin-gung mit der Periodendauer

kmT π

ωπ 22== (5)

die experimentell direkt gemessen werden kann Aus (5) ist bei bekannter Masse m die Feder-konstante k bestimmbar 3 Berechnung der Federkonstanten aus der Geometrie und den Materialeigenschaften der Schraubenfeder Durch eine Auslenkung aus der Ruhelage wird die Schraubenfeder gedehnt und damit der gesamte Federdraht auf sog Torsion (svw bdquoVerdrehungldquo oder bdquoVerdrillungldquo) beansprucht Ohne weitere Herleitung sei hier eine Beziehung angegeben die es gestattet aus dem sog Torsionsmodul G (als Materialkonstante des Federdrahtes) und den geometrischen Daten der Schraubenfeder (Drahtlaumlnge l Drahtdurchmesser d und Wickel-radius r) die Federkonstante k zu berechnen

2

4

32 rldGksdotsdot

sdot=π (6)

AUFGABEN 1 Aus dem statischen Verhalten einer Schraubenfeder ist deren Federkonstante experimentell

zu bestimmen Dazu ist gemaumlszlig Beziehung (2) die statische Auslenkung x in Abhaumlngigkeit von der Belastung m mit verschiedenen Massestuumlcken zu messen Die Daten sind in der Form x = x(m) als Diagramm grafisch darzustellen und daraus die Federkonstante k zu er-mitteln Fuumlr die zu erwartende lineare Abhaumlngigkeit ist sowohl mit einfacher grafischer Methode (bdquoSteigungsdreieckldquo) als auch numerisch (Geradenausgleichsrechnung lineare Regression) der Anstieg von x = x(m) und daraus die Federkonstante (jeweils auch ein-schlieszliglich der Messunsicherheit) zu bestimmen

2 Mithilfe des dynamischen Verhaltens des Federschwingers ist fuumlr dieselbe Feder die Federkonstante aus der experimentell beobachteten Periodendauer der Schwingung zu bestimmen (jeweils auch einschlieszliglich der Messunsicherheit) Dazu ist Formel (5) bei be-kannter und sinnvoll gewaumlhlter Masse m zu nutzen

3 Mithilfe von Formel (6) ist aus den Daten der Schraubenfeder die am Versuchsplatz angegeben sind die Federkonstante k einschlieszliglich ihrer resultierenden Unsicherheit zu berechnen

4 Die Obergrenzen fuumlr systematische Messabweichungen bei den ersten beiden Aufgaben (statische und dynamische Messung der Federkonstanten) sind abzuschaumltzen (Groumlszligenord-nungen) Es ist zu analysieren welche dieser systematischen Abweichungen korrigierbar sind und welche dann tatsaumlchlich in die Messunsicherheit des Endergebnisses eingehen

5 Fuumlr alle drei Methoden (Aufgaben 1-3) sind die Ergebnisse (einschlieszliglich Messunsicher-heit) fuumlr die Federkonstante uumlbersichtlich darzustellen miteinander zu vergleichen und zu diskutieren Sofern moumlglich ist ein gewichteter Mittelwert zu ermitteln

10

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

VERSUCHSHINWEISE Die Schraubenfeder ist mit einem Ende an einem Stativ befestigt Zur Messung der Auslen-kung der Feder aus der Ruhelage wird die Stellung der an der Feder befindlichen Marke M (Abb 1) auf einer Spiegelskale abgelesen (Welchen Vorteil bietet eine Spiegelskale gegen-uumlber einer einfachen Skale) Die sog Verkehrsfehlergrenze der Massennormale ist fuumlr die Masse m = 50 g mit ∆m = plusmn 01 g festgelegt Bei Messung einer Laumlnge l mit der Spiegelskale ist die Messunsi-cherheit ∆l = plusmn (02 mm + 5middot10-4middotl) Fuumlr die Fallbeschleunigung ist (lt Festlegung der Eichbe-houmlrden der Laumlnder fuumlr Waagen) ein Wert von g = (98130 plusmn 00001) mmiddots-2 zu verwenden Fuumlr die 1 Aufgabe wird die Feder schrittweise bis 400 g mit Massestuumlcken von 50 g belastet und mit Hilfe einer Spiegelskale an der Marke M die Auslenkung x gemessen (erste Mess-reihe) Nach Erreichen der Houmlchstbelastung von 400 g ist dann die Feder wieder schrittweise zu entlasten (zweite Messreihe) a) Aus der grafischen Darstellung x = x(m) ist mithilfe des bdquoSteigungsdreiecksldquo der Anstieg

gk grafisch zu ermitteln und seine Unsicherheit entsprechend abzuschaumltzen (vgl Einfuumlh-rungsskript) Daraus sind dann die Federkonstante k als mittelbar bestimmter Groumlszlige und ihre Unsicherheit ∆k zu berechnen

b) Durch lineare Regression ist mithilfe geeigneter Software (s Einfuumlhrungsskript und Vorle-sung) der Anstieg und seine Unsicherheit numerisch zu ermitteln daraus ebenfalls wieder die Federkonstante und deren Unsicherheit

Fuumlr die 2 Aufgabe wird die Feder mit einer Gesamtmasse von 400 g belastet und 10mal die Zeit fuumlr jeweils 20 Schwingungen mithilfe einer Stoppuhr gemessen Daraus ist der Mittel-wert der Periodendauer T und ihr Vertrauensbereich sT zu berechnen und mittelbar damit die Federkonstante k uumlber Gleichung (5) mit ihrer Messunsicherheit a) Zur Genauigkeit der Messung mit Stoppuhren sind im Einfuumlhrungsskript ausfuumlhrliche Hin-

weise enthalten Entsprechend den dort enthaltenen Angaben sind die systematischen Messabweichungen mit ihrer Auswirkung auf die Periodendauer und die Federkonstante realistisch abzuschaumltzen

b) Bezuumlglich der Massen ist bereits ein Hinweis bei Aufgabe 1 gegeben worden Zusaumltzlich muumlsste noch der Einfluss der Eigenmasse der Feder von mF asymp 5 g auf die Periodendauer beruumlcksichtigt werden Die Teile der Feder nehmen unterschiedlich an der Bewegung teil es kann als zu beruumlcksichtigende Zusatzmasse macute= mF3 gesetzt werden Somit ergibt sich

fuumlr die Periodendauer m

mTk

mmT F

312acute +=

+= π

c) Auch bei sehr sorgfaumlltiger Anfangsauslenkung fuumlhrt der Federschwinger nach einigen Schwingungen unvermeidlich seitliche Schwingungen aus Wie beeinflusst diese Bewe-gung die gemessene Periodendauer Man uumlberlege sich auch welche Auswirkungen die in der Betrachtung vernachlaumlssigte aber unvermeidlich auftretende Reibung auf das Ergebnis dieses Verfahrens hat

Fuumlr die 3 Aufgabe sind am jeweiligen Versuchsplatz die Messunsicherheiten der einzelnen Groumlszligen mit angegeben Eine Unterscheidung von zufaumllligen und systematischen Komponen-ten ist hier allerdings nicht moumlglich Fuumlr Aufgabe 5 ist eine tabellarische Darstellungsweise vorzuziehen In Zusammenhang mit dem gewogenen Mittelwert ist zu analysieren unter welchen Bedingungen er uumlberhaupt sinn-voll gebildet werden kann

11

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Dichte Auftriebskraft Analy-senwaage Pyknometer Ein sog Pyknometer ist ein Geraumlt zur Bestimmung der Dichte fester Koumlrper Es besteht aus einem Glasgefaumlszlig mit eingeschliffenem Stopfen der eine kapillare Bohrung hat Das Pykno-meter kann reproduzierbar mit groszliger Genauigkeit mit Wasser gefuumlllt werden Zur Dichtebe-stimmung mit dem Pyknometer sind drei Waumlgungen mit einer Analysenwaage noumltig wobei der Auftrieb der zu waumlgenden Koumlrper (Probe bzw Pyknometer) in Luft (Dichte ρL) zu beruumlck-sichtigen ist 1 Waumlgung der Probe in Luft Fuumlr eine Probe (Masse m1 Volumen V1) wird die Gewichts-kraft durch die ihr entgegengesetzt gerichtete Auftriebskraft gmF sdot= 11 gVF LA sdotsdot= ρ11 vermindert so dass im Gleichgewicht die Waage den Wert m1rsquo anzeigt Die Gleichgewichts-bedingung liefert

111 mVm L =sdotminus ρ (1)2 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers Das vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllte Pykno-meter (Volumen VP) hat die Gesamtmasse m2 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m2rsquo an so dass gilt

22 mVm LP =sdotminus ρ (2)3 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers mit Probe Das mit Wasser und der Probe gefuumlllte Pyknometer hat die Gesamtmasse m3 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m3rsquo an so dass gilt

33 mVm LP =sdotminus ρ (3)Zwischen den Massen m1 m2 und m3 besteht der Zusammenhang

232311 mmmmVm W minus=minus=sdotminus ρ (4)wobei ρW die Dichte des Wassers ist Zur Bestimmung der Dichte ρ1 der Probe kann man aus den Gleichungen (1) und (4) die Unbekannten m1 und V1 ermitteln Man erhaumllt

)()(

231

231

1

11 mmm

mmmVm LW

minusminussdotminusminussdot

==ρρρ (5)

AUFGABEN 1 Bestimmung der Masse m1rsquo fuumlr zwei verschiedene Metallproben (Al und Cu) durch

Waumlgung in Luft Fuumlr jede Probe erfolgt die Waumlgung sechsmal wobei die Probe immer neu auf die Waage zu legen ist Bestimmung der zugehoumlrigen Mittelwerte

2 Bestimmung der Masse m2rsquo des vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllten Pyknometers durch Waumlgung Die jeweils erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt sechsmal Bestimmung des Mittelwertes

3 Bestimmung der Masse m3rsquo des mit Wasser und jeweiliger Metallprobe gefuumlllten Pykno-meters durch Waumlgung Die erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt fuumlr jede Probe sechsmal Bestimmung der Mittelwerte

4 Berechnung der Dichte der beiden Metallproben nach Gleichung (5) 5 Bestimmung der jeweiligen Messunsicherheiten fuumlr die unmittelbar gemessenen Groumlszligen

m1rsquo m2rsquo und m3rsquo fuumlr beide Proben 6 Abschaumltzung bzw Berechnung (Fortpflanzung) der resultierenden Messunsicherheiten der

mit (5) mittelbar bestimmten beiden Dichten Vergleich der Ergebnisse fuumlr die beiden Dichten mit Referenzwerten

12

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

VERSUCHSHINWEISE Die Waumlgungen werden mit einer elektronischen Analysenwaage durchgefuumlhrt bei der die auf-gelegte Last (Abb 1 oberer Pfeil) durch eine elektromagnetische Kraft kompensiert wird Mit einer optoelektronischen Abtastung (1) wird die Stellung der Waagschale (2) gemessen und mit diesem Signal der Kompensationsstrom in der Spule (3) gesteuert Der Kompensations-strom erzeugt zwischen Permanentmagnet (4) und Spule eine Kraft so dass die Waagschale in die Null-Lage zuruumlckgefuumlhrt wird der Strom ist der Last proportional Zur Durchfuumlhrung der Waumlgungen beachte man unbedingt die Hinweise des Versuchsbetreuers und die Platz-anleitung

Abb1 Messprinzip der eAnalysenwaage

lektronischen

Fuumlr Aufgabe 2 wird das Pyknometer bis zum Rand mit destilliertem Wasser gefuumlllt wobei die Bildung von Luftblaumlschen zu vermeiden ist Verschlieszligt man das Pyknometer mit dem ange-schliffenen Stopfen so laumluft Wasser uumlber das sehr sorgfaumlltig mit Filterpapier abzuwischen ist Das Anfassen des Pyknometers muss aumluszligerst vorsichtig erfolgen um seine Erwaumlrmung zu vermeiden (warum) Nach dem Abwischen wird mit Filterpapier der auf der Kapillare stehende Tropfen abgenommen so dass die Kapillare bis oben mit Wasser gefuumlllt ist Fuumlr die durchzufuumlhrenden Waumlgungen ist das Pyknometer stets erneut zu befuumlllen Fuumlr Aufgabe 3 wird der Probekoumlrper in das Pyknometer gebracht und dann mit destilliertem Wasser aufgefuumlllt weiter ist sinngemaumlszlig wie bei Aufgabe 2 zu verfahren Fuumlr Aufgabe 4 sind zusaumltzlich zu den Werten m1rsquo m2rsquo und m3rsquo auch der Luftdruck p sowie die Zimmer- und Wassertemperatur zu bestimmen Die Temperaturen koumlnnen als gleich vor-ausgesetzt werden da das destillierte Wasser sich bereits sehr lange im Versuchsraum befin-det Die temperaturabhaumlngige (s Abb 2) Dichte ρW von reinem (luftfreiem) Wasser laumlsst sich im Temperaturintervall 0degC lt θ lt 40degC naumlherungsweise berechnen mit

4-73-52323 1046657-10772108768-1066299984)( θθθθρ sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot+=sdot minusminusminusmkgw

wobei die Temperatur θ in degC einzusetzen ist (Fehler der Naumlherung ) Diese Naumlhrung gilt bei sog Normaldruck (p

3210 minusminus sdotlt∆ mkgWρN = 1013 kPa) Warum kann die Druckabhaumlngig-

keit hier vernachlaumlssigt werden Die Druckabhaumlngigkeit muss aber bei der Luftdichte unbedingt beruumlcksichtigt werden ebenso wie die Luftfeuchtigkeit (warum) Man verwendet die Beziehung

TRp

fL sdot=ρ

13

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

wobei p der Luftdruck (in Pa) T die Lufttemperatur (in K) und Rf die Gaskonstante feuchter Luft ist Diese Gaskonstante Rf berechnet sich wiederum aus

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdotminus

=

d

ld

lf

RR

pp

RR11 ϕ

0 10 20 30 40992

993

994

995

996

997

998

999

1000

Dic

hte ρ w

(kg

m3 )

Temperatur θ (degC)

-10 0 10 20 3011

12

13

Dic

hte ρ L (k

gm

3 )Temperatur θ (degC)

Abb 2 Temperaturabhaumlngigkeit der Dichte fuumlr (reines) Wasser und (trockene) Luft

Hier ist Rl = 28705 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante trockener Luft Rd = 461 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante von Wasserdampf und φ die relative Luftfeuchtigkeit Die Groumlszlige pd ist der Saumlt-tigungsdampfdruck von Wasser in Luft der sich empirisch mit der sog Magnus-Formel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+degsdot

sdot=θθ

CPapd 2241

504317exp213611)( im Intervall CC degleledegminus 7030 θ

berechnen laumlsst wobei θ wieder die Temperatur (in degC) ist Fuumlr Aufgabe 5 sind die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen der Waumlgungen zu ermitteln Die Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo werden alle mit der gleichen Analysenwaage ermittelt fuumlr die vom Hersteller eine Garantiefehlergrenze (systematischer Restfehler) von 02 mg angegeben wird Diese Garantiefehlergrenze ist fuumlr alle drei Massenwerte als geraumlte-bedingte systematische Abweichung zu beruumlcksichtigen Fuumlr die Messwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo haumlngt es von der sorgfaumlltigen Versuchsdurchfuumlhrung (Abtupfen des Wassers ) ab ob die zufaumlllige undoder die systematische Abweichung die Messunsicherheit bestimmt Fuumlr Aufgabe 6 ist nur die Messunsicherheit der Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo zu beruumlcksich-tigen Die berechneten Werte fuumlr die Dichten von Luft und Wasser koumlnnen als praktisch fehlerfrei angenommen werden

14

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Erster Hauptsatz der Thermodynamik Waumlrmemenge Waumlrmekapazitaumlt Richmannsche Mischungsregel Arbeit von Gleich- und Wechselstrom Waumlrmeaustauschkorrektur (s Skript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstel-lung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo) Waumlrme ist eine Energieform die zwischen Koumlrpern ausgetauscht wird oder in andere Energie-formen umgewandelt werden kann Fuumlhrt man einem Koumlrper der Masse m die Waumlrmemenge dQ zu dann ist die sich einstellende Temperaturerhoumlhung dT proportional zur zugefuumlhrten Waumlrmemenge

dTcmdQ sdotsdot= (1)wobei der Proportionalitaumltsfaktor c als spezifische Waumlrmekapazitaumlt mit der SI-Einheit Jmiddotkg-1middotK-1 bezeichnet wird und eine Stoffkonstante ist Aus (1) ergibt sich

dTdQ

mc sdot=

1 (2)

Das Produkt cmC sdot= (3)

mit der SI-Einheit JmiddotK-1 nennt man Waumlrmekapazitaumlt des Koumlrpers Zur Bestimmung von Waumlrmemengen benutzt man sog Kalorimeter wobei anisotherme Aus-fuumlhrungen mit sehr gut waumlrmeisolierten Gefaumlszligen am haumlufigsten verwendet werden Fuumlhrt man einem mit Wasser der Masse mW (teilweise) gefuumlllten Kalorimeter eine Waumlrmemenge ∆Q zu dann werden auszliger dem Wasser auch alle Teile des Kalorimeters wie zB Gefaumlszligwandung Thermometer und Ruumlhrer erwaumlrmt Die gesamte Waumlrmekapazitaumlt der Versuchsanordnung setzt sich also aus der des Wassers (mWmiddotcW) und der des Kalorimeters (CK) zusammen

( ) TCcmQ KWW ∆sdot+sdot=∆ (4)Die spezifische Waumlrmekapazitaumlt von Wasser hat als Stoffkonstante den Wert cW = 41813 kJmiddotkg-1middotK-1 (bei 25degC) Die Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorime-ters ist rechnerisch nur naumlherungsweise moumlglich deshalb wird sie ia experimentell ermittelt 1 Elektrische Methode Flieszligt durch einen Ohmschen Leiter (Heizspirale) an dem die Spannung U anliegt der Strom I dann entsteht im Zeitintervall ∆t in ihm eine der elektri-schen Energie aumlquivalente Waumlrmemenge

tIUQ ∆sdotsdot=∆ (5)Uumlbertraumlgt man diese Waumlrmemenge an das Wasser (Masse mW) und das Kalorimeter (Waumlrme-kapazitaumlt CK) dann steigt die Wassertemperatur gemaumlszlig (4) Bei verlustloser Waumlrmeuumlbertra-gung sind beide Waumlrmemengen gleich (Energieerhaltungssatz) und es gilt

( ) TCcmtIU KWW ∆sdot+sdot=∆sdotsdot (6)so dass CK bestimmt werden kann 2 Mischungsmethode Fuumlgt man kaltem Wasser der Masse m1 und Temperatur T1 in einem Kalorimeter warmes Wasser der Masse m2 und Temperatur T2 hinzu so findet ein Waumlrmeaus-tausch statt bis das gesamte Wasser die Mischungstemperatur Tm angenommen hat Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dass die vom warmen Wasser abgegebene Waumlrmeenergie

gleich der vom kalten Wasser und dem Kalorimeter aufgenommenen Waumlrmeenergie

)( 222 mW TTcmQ minussdotsdot=∆( ) )( 111 TTCcmQ mKW minussdot+sdot=∆ sein muss Der Energieerhaltungssatz in dieser

speziellen Form des Austausches von Waumlrmemenge heiszligt Richmannsche Mischungsregel und ergibt die Gleichung

( ) )()( 2211 mWmKW TTcmTTCcm minussdotsdot=minussdot+sdot (7)zur Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorimeters

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

AUFGABEN 1 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der elektrischen Methode gemaumlszlig (6) 2 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 1 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 3 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der Mischungsmethode mit (7) 4 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 3 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 5 Fuumlr beide Methoden fuumlhre man eine Bestimmung der Messunsicherheit der Waumlrmekapazi-

taumlt durch und vergleiche die Endergebnisse miteinander VERSUCHSHINWEISE Das Verfahren zur Waumlrmeaustauschkorrektur Bei kalorimetrischen Messungen ist ein Waumlrmeaustausch mit der Umgebung unvermeidlich (offenes thermodynamisches System) und meist stoumlrend Aus dem gemessenen zeitlichen Temperaturverlauf ist er aber abzulesen (s Abb 1)

DE

Abbildung 1 Zeitlicher Verlauf der Temperatur im Kalorimeter

In der Vorperiode erhaumllt man den ansteigenden Kurvenabschnitt ArarrB in der Nachperiode den abfallenden Kurvenabschnitt ErarrF Das liegt daran dass das Kalorimeter eben nicht adia-batisch bzw isentrop ist Die Temperatur der Kalorimeterfluumlssigkeit im Innern gleicht sich in beiden Abschnitten jeweils (asymptotisch) an die Umgebungstemperatur TU an wobei der Waumlrmefluss proportional zur Temperaturdifferenz ist Es laumlsst sich zeigen dass der Gleichge-wichtszustand zeitlich exponentiell angenommen wird Im vorliegenden Fall ist aber die ent-sprechende Zeitkonstante sehr groszlig im Vergleich zur Messzeit so dass die beiden Abschnitte ArarrB und ErarrF naumlherungsweise jeweils durch eine Gerade beschrieben werden duumlrfen Die-ser Sachverhalt gestattet es auszligerdem in diesen Abschnitten die Messwerte in groumlszligerer zeitli-cher Schrittweite aufzunehmen Aufgrund des real zeitlich ausgedehnten Waumlrmeaustausches mit der Umgebung beobachtet man einen stetigen und differenzierbaren Verlauf der Kurve im Abschnitt BrarrE Nur wenn die im Experiment zugefuumlhrte Waumlrme sofort verteilt wuumlrde waumlre die Temperaturkurve eine Sprungfunktion Das System braucht eine gewisse Zeit bis sich ein neues Gleichgewicht ein-stellen kann Es verhaumllt sich so als ob es uumlber ein ganzes Zeitintervall bdquoverschmiertldquo waumlre Es gilt also die Endzeit der Waumlrmezufuhr zu finden Sie liegt im Wendepunkt der Temperaturkurve weil sich dort die Richtung der Kruumlmmung aumlndert also Waumlrmezufuhr in Waumlrmeverlust uumlbergeht Nun laumlsst sich aber im Abschnitt BrarrE die Kurve T(t) nicht beliebig

F

Tem

pera

tur

T

∆T S

TU

A B C

Zeit

16

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

17

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

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O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

23

O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

25

O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

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O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

46

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

F2 VOLUMENMESSUNG

In Aufgabe 1 werden die einzelnen Messgroumlszligen sowie die drei Volumenwerte Vi und in Auf-gabe 2 die zufaumllligen Abweichungen der einzelnen Messgroumlszligen ermittelt In Aufgabe 3 sind die systematischen Abweichungen zu diskutieren wobei zwischen den Korrekturen und den systematischen Restfehlern zu unterscheiden ist Fuumlr Aufgabe 4 muumlssen die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen verglichen und in Aufgabe 5 die Messunsicherheiten ∆Vi fuumlr alle drei Methoden festgelegt werden Uumlberlappen sich die Bereiche der Messunsicherheiten ∆Vi nicht dann liegen entweder grobe Messfehler vor oder es existieren noch weitere bisher nicht erfasste systematische Abwei-chungen Uumlberlappen sich dagegen die Bereiche der Messunsicherheiten dann kann der gewogene Mittelwert und die zugehoumlrige Messunsicherheit berechnet werden (Aufgabe 6)

5

F3 FADENPENDEL

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Massenpunktmodell mathematisches und physikali-sches Pendel Bewegungsgleichung Schwerkraft Newtonsche Axiome Schwingungsdifferen-tialgleichung Ein an einem Faden aufgehaumlngter Koumlrper stellt aufgrund der auf ihn wirkenden Schwerkraft und seiner Traumlgheit ein schwingungsfaumlhiges System dar Betrachtet man (idealisiert) einen punktfoumlrmigen Koumlrper der Masse m der an einem Faden der Laumlnge l haumlngt und lenkt ihn um einen Winkel φ (Abb 1) aus der Senkrechten aus dann fuumlhrt der Koumlrper nach dem Loslassen Schwingungen um die Senkrechte aus

Abbildung 1 Fadenpendel

Bei Vernachlaumlssigung der Masse des Fadens und der Luftreibung wirkt auf den Koumlrper in jedem Punkt der Bahn senkrecht nach unten die Gewichtskraft

gmFG sdot= (1)wobei g die Fallbeschleunigung ist Die Normalkomponente (normal zur Bahn des Koumlrpers)

ϕcossdotsdot= gmFn dieser Kraft findet ihre Gegenkraft in der in der Aufhaumlngung auftretenden Kraft und beeinflusst die Bewegung des Koumlrpers nicht Dagegen erzeugt die Tangentialkom-ponente ϕsinsdotsdot= gmFt der Gewichtskraft entsprechend der Newtonschen Bewegungs-gleichung

ϕsin2

2

sdotsdotminus=sdot=sdot gmsmdt

sdm (2)

eine Beschleunigung des Koumlrpers laumlngs der kreisfoumlrmigen Bahnkurve Zwischen dem Aus-lenkwinkel φ und der Bahnkurvenkoordinate s auf der Bahnkurve besteht die Beziehung

ϕsdot= ls Bei (zeitlich) konstanter Fadenlaumlnge l folgt daraus unmittelbar

dtdl

dtds ϕ

sdot= und 2

2

2

2

dtdl

dtsd ϕ

sdot= (3)

Fuumlr kleine Auslenkwinkel φ gilt die bekannte Naumlherung ϕϕ asympsin die ebenso wie (3) in die Bewegungsgleichung (2) eingesetzt werden kann Daraus erhaumllt man die Newtonsche Bewe-gungsgleichung fuumlr das mathematische Pendel mit

02

2

=sdot+sdot ϕϕ gdtdl (4)

Diese Schwingungsdifferentialgleichung einfachster Form kann mit dem Ansatz

6

F3 FADENPENDEL

)sin(0 ψωϕϕ +sdotsdot= t mit lg

=ω (5)

geloumlst werden Die hier zunaumlchst willkuumlrlich erscheinenden Konstanten heiszligen Amplitude φ0

bzw Phasenkonstante ψ und sind durch die konkreten Anfangsbedingungen fuumlr t = 0 festge-legt Das mathematische Pendel vollfuumlhrt demnach bei Auslenkung um kleine Winkel harmo-nische Schwingungen mit der Kreisfrequenz ω und der Periodendauer

glT π

ωπ 22== (6)

die unabhaumlngig von der Masse m und der Amplitude φ0 ist Die Beziehung (6) erlaubt prinzipiell bei bekannter Pendellaumlnge l durch Messung der Perio-dendauer T eine Bestimmung der Fallbeschleunigung g Allerdings ist die Pendellaumlnge l nur sehr ungenau zu bestimmen Deshalb bedient man sich hier zweckmaumlszligig eines einfachen Tricks Die Laumlnge l kann um genau einstellbare Betraumlge li veraumlndert werden und setzt sich gemaumlszlig zusammen Damit wird aus (6) durch entsprechende Umformung illl += 0

( )ii llgg

lT +sdot== 0

222 44 ππ (7)

Misst man nun die Periodendauern Ti fuumlr die entsprechenden li und stellt die Abhaumlngigkeit

Ti2(li) dar so ergibt sich eine Gerade mit dem Anstieg

g

24π und dem Achsenabschnitt

0

24 lg

sdotπ Damit werden die Groumlszligen g und l0 bestimmbar

Die oben vorgenommenen Vereinfachungen die zur Herleitung der Beziehung (6) verwendet wurden beduumlrfen noch einer weiteren Diskussion Betrachtung beliebiger Winkel Ohne die obige Beschraumlnkung auf kleine Winkel φ liefert die Loumlsung der sog elliptischen Differentialgleichung (2) fuumlr die Periodendauer das (exak-tere) Ergebnis

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdotsdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛sdot+sdot=

2sin

2sin1 042

43

21022

21 ϕϕ

ϕ TT (8)

wobei T durch die Beziehung (6) gegeben ist Beruumlcksichtigung des Auftriebs in Luft Der Massekoumlrper aus Blei mit der Dichte von ρK = 11340 kgm-3 und dem Volumen VK erfaumlhrt in Luft der Dichte ρL asymp 12 kgm-3 eine Auftriebskraft gVF KLA sdotsdot= ρ die der Gewichtskraft gVgmF KKG sdotsdot=sdot= ρ entgegen-gerichtet ist Unter Beruumlcksichtigung dieses Auftriebs in Luft erhaumllt man schlieszliglich fuumlr die Periodendauer

LK

KA TT

ρρρminus

sdot= (9)

Betrachtung fuumlr ausgedehnten Massekoumlrper Die Ausdehnung des schwingenden Koumlrpers kann man beruumlcksichtigen wenn man von der Bewegungsgleichung des sog physikalischen Pendels (vgl Versuch bdquoM9 Reversionspendelldquo) ausgeht Die genaue Betrachtung bzw Herleitung wird hier bewusst nicht angegeben sondern nur das Ergebnis Mit bekannten Abmessungen des Bleizylinders (Radius R und Houmlhe h) am Faden der Laumlnge l bestimmt sich die Periodendauer zu

2

22

1231

lhRTTs sdot

++sdot= (10)

7

F3 FADENPENDEL

Der Einfluss des Fadens wurde auch bei diesen Betrachtungen aber ebenso vernachlaumlssigt wie die auftretende Reibung Es ist sicherlich empirisch einsichtig dass schwache Reibung zu einer gedaumlmpften Schwingung fuumlhren wird Die Schwingungsamplitude klingt dann

exponentiell mit sehr groszliger Zeitkonstante τ wie τt

eminus

ab AUFGABEN 1 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine feste Fadenlaumlnge Die Zeitmessung erfolgt fuumlr 10

Schwingungen jeweils zehnmal an einem Umkehrpunkt und beim Nulldurchgang des Pendels Berechnung von Mittelwerte Standardabweichung und Vertrauensbereich der Periodendauer und Diskussion der Unterschiede zwischen beiden Verfahren

2 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine Schwingung beim Nulldurchgang mit zehnfacher Messung Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung anschlieszligend Vergleich mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe 1 und Diskussion der Unterschiede

3 Bestimmung der Periodendauer fuumlr 10 verschiedene Fadenlaumlngen li Aus jeweils 2 Messungen fuumlr 10 Schwingungen sind die Mittelwerte fuumlr die Periodendauern Ti(li) zu berechnen

4 Grafische Darstellung der Ergebnisse der 3 Aufgabe in der Form Ti2(li) in einem

Diagramm Verwendung von Gleichung (7) zur Bestimmung von Fallbeschleunigung g und Anfangslaumlnge des Pendels l0 sowohl durch grafischen Geradenausgleich als auch numerische lineare Regression mit Ermittlung der zugehoumlrigen Unsicherheiten

5 Aus den Ergebnissen der 4 Aufgabe fuumlr l0 und g ist gemaumlszlig Gleichung (6) die Periodendauer T einschlieszliglich ihrer Unsicherheit zu berechnen und mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe zu vergleichen

6 Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen fuumlr die Periodendauer gemaumlszlig der og drei Gleichungen (8-10) und ihres Einflusses auf die g-Bestimmung Diskussion der Relevanz entsprechender Korrekturen

VERSUCHSHINWEISE Ein gegossener Bleizylinder (Radius R asymp 23 mm Houmlhe h asymp 23 mm Masse m asymp 08 kg) haumlngt an einem duumlnnen Stahldraht Die Pendellaumlnge laumlsst sich durch einen Schieber in dessen Fuumlhrung der Draht laumluft veraumlndern Die Laumlngenaumlnderung kann mit Hilfe von Ringmarken deren Abstand 2 cm betraumlgt eingestellt werden Bei Auslenkung des Pendels aus seiner Ruhelage fuumlhrt es Schwingungen aus deren Periodendauer mit einer von Hand ausgeloumlsten Stoppuhr bestimmt wird Fuumlr die ersten beiden Aufgaben ist zweckmaumlszligig (warum) eine moumlglichst groszlige Fadenlaumlnge zu waumlhlen Die zugehoumlrige Stellung des Schiebers ist unbedingt zu notieren da sie spaumlter benoumltigt wird Fuumlr die 3 Aufgabe wird die Anfangsfadenlaumlnge l0 um die Werte li (i = 110) in Schritten von 4 cm verringert Fuumlr die mit der 4 Aufgabe erforderliche Auswertung sind grafische Mittel (Anstiegsdreieck grafische Extrapolation auf den Achsenabschnitt) und ein rechentechnisches Verfahren (lineare Regression) einzusetzen Fuumlr Aufgabe 5 ist das bei Aufgabe 4 bestimmte Ergebnis fuumlr die Anfangslaumlnge l0 zu verwenden Bei Aufgabe 6 muss ermittelt werden wie sich die Korrekturen der Schwingungsdauer gemaumlszlig (8-10) auf die Fallbeschleunigung g auswirken Beachten Sie hier dass g aus dem Anstieg der Geraden gemaumlszlig der 4 Aufgabe nach Gleichung (7) bestimmt wird Uumlberlegen Sie welche zufaumllligen und welche systematischen Abweichungen die Messunsicherheit der Fallbeschleunigung g wesentlich bestimmen

8

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Traumlgheitsgesetz Grundgesetz der Dynamik Feder-konstante Federkraft harmonische Schwingung Frequenz Periodendauer Amplitude In diesem Versuch soll die Federkonstante einer Schraubenfeder mit drei verschiedenen Methoden bestimmt werden Bei der Auswertung der Ergebnisse sind Grundbegriffe und Methoden der Fehlerrechnung und ndashanalyse gezielt anzuwenden und zu uumlben 1 Statische Messung der Federkonstanten Wird eine am oberen Ende eingespannte Schraubenfeder am unteren Ende durch Anhaumlngen einer Masse m belastet so wird die Feder gedehnt und es stellt sich eine neue Ruhelage ein (Abb 1 statischer Fall) Die Gewichtskraft

gmFG sdot= und die durch die elastische Verformung entstehende Federkraft (mit k als Federkonstante) stehen im Gleichgewicht (Newtonsches Traumlgheitsgesetz)

xkFF sdotminus=

0=+ FG FF (1)

Abbildung 1 Statische und dynamische Belastung einer Schraubenfeder

Durch Einsetzen der Beziehungen fuumlr beide Kraumlfte und einfache Umstellung ergibt sich daraus

kgmx sdot

= (2)

Die statische Auslenkung x der Schraubenfeder muss demnach linear von der Belastung m abhaumlngig sein Durch die experimentelle Untersuchung der Abhaumlngigkeit x(m) kann sowohl die Linearitaumlt des Federkraftgesetzes xkFF sdotminus= uumlberpruumlft als auch die Federkonstante k bestimmt werden 2 Dynamische Messung der Federkonstanten Lenkt man eine mit der Masse m belastete Feder aus ihrer Ruhelage aus (Abb 1 dynamischer Fall) dann wirkt eine ruumlcktreibende

Federkraft und die Masse m erfaumlhrt eine Beschleunigung xkFF sdotminus=mFx

dtxda F=== 2

2

nach

dem Newtonschen Grundgesetz der Dynamik Fuumlr die weiteren Betrachtungen sollen jegliche Reibungskraumlfte vernachlaumlssigt werden daher ergibt sich aus der Newtonschen Bewegungs-gleichung hier die einfachste Form einer Schwingungsdifferentialgleichung mit

02

2

=sdot+sdot xkdt

xdm (3)

9

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

die eine freie ungedaumlmpfte Schwingung beschreibt Mit den willkuumlrlich ausgewaumlhlten Anfangsbedingungen (Anfangslage) und 0)0( xtx == 0)0( 0 === vtx (Anfangsgeschwin-digkeit) lautet ihre Loumlsung

)cos()( 0 txtx sdotsdot= ω (4)wobei physikalisch x0 als Amplitude und mk=ω als Kreisfrequenz der freien ungedaumlmpf-ten Federschwingung bezeichnet werden Der Koumlrper der Masse m schwingt nach Auslen-kung (aus der Gleichgewichts- bzw Ruhelage um x0) in Form einer harmonischen Schwin-gung mit der Periodendauer

kmT π

ωπ 22== (5)

die experimentell direkt gemessen werden kann Aus (5) ist bei bekannter Masse m die Feder-konstante k bestimmbar 3 Berechnung der Federkonstanten aus der Geometrie und den Materialeigenschaften der Schraubenfeder Durch eine Auslenkung aus der Ruhelage wird die Schraubenfeder gedehnt und damit der gesamte Federdraht auf sog Torsion (svw bdquoVerdrehungldquo oder bdquoVerdrillungldquo) beansprucht Ohne weitere Herleitung sei hier eine Beziehung angegeben die es gestattet aus dem sog Torsionsmodul G (als Materialkonstante des Federdrahtes) und den geometrischen Daten der Schraubenfeder (Drahtlaumlnge l Drahtdurchmesser d und Wickel-radius r) die Federkonstante k zu berechnen

2

4

32 rldGksdotsdot

sdot=π (6)

AUFGABEN 1 Aus dem statischen Verhalten einer Schraubenfeder ist deren Federkonstante experimentell

zu bestimmen Dazu ist gemaumlszlig Beziehung (2) die statische Auslenkung x in Abhaumlngigkeit von der Belastung m mit verschiedenen Massestuumlcken zu messen Die Daten sind in der Form x = x(m) als Diagramm grafisch darzustellen und daraus die Federkonstante k zu er-mitteln Fuumlr die zu erwartende lineare Abhaumlngigkeit ist sowohl mit einfacher grafischer Methode (bdquoSteigungsdreieckldquo) als auch numerisch (Geradenausgleichsrechnung lineare Regression) der Anstieg von x = x(m) und daraus die Federkonstante (jeweils auch ein-schlieszliglich der Messunsicherheit) zu bestimmen

2 Mithilfe des dynamischen Verhaltens des Federschwingers ist fuumlr dieselbe Feder die Federkonstante aus der experimentell beobachteten Periodendauer der Schwingung zu bestimmen (jeweils auch einschlieszliglich der Messunsicherheit) Dazu ist Formel (5) bei be-kannter und sinnvoll gewaumlhlter Masse m zu nutzen

3 Mithilfe von Formel (6) ist aus den Daten der Schraubenfeder die am Versuchsplatz angegeben sind die Federkonstante k einschlieszliglich ihrer resultierenden Unsicherheit zu berechnen

4 Die Obergrenzen fuumlr systematische Messabweichungen bei den ersten beiden Aufgaben (statische und dynamische Messung der Federkonstanten) sind abzuschaumltzen (Groumlszligenord-nungen) Es ist zu analysieren welche dieser systematischen Abweichungen korrigierbar sind und welche dann tatsaumlchlich in die Messunsicherheit des Endergebnisses eingehen

5 Fuumlr alle drei Methoden (Aufgaben 1-3) sind die Ergebnisse (einschlieszliglich Messunsicher-heit) fuumlr die Federkonstante uumlbersichtlich darzustellen miteinander zu vergleichen und zu diskutieren Sofern moumlglich ist ein gewichteter Mittelwert zu ermitteln

10

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

VERSUCHSHINWEISE Die Schraubenfeder ist mit einem Ende an einem Stativ befestigt Zur Messung der Auslen-kung der Feder aus der Ruhelage wird die Stellung der an der Feder befindlichen Marke M (Abb 1) auf einer Spiegelskale abgelesen (Welchen Vorteil bietet eine Spiegelskale gegen-uumlber einer einfachen Skale) Die sog Verkehrsfehlergrenze der Massennormale ist fuumlr die Masse m = 50 g mit ∆m = plusmn 01 g festgelegt Bei Messung einer Laumlnge l mit der Spiegelskale ist die Messunsi-cherheit ∆l = plusmn (02 mm + 5middot10-4middotl) Fuumlr die Fallbeschleunigung ist (lt Festlegung der Eichbe-houmlrden der Laumlnder fuumlr Waagen) ein Wert von g = (98130 plusmn 00001) mmiddots-2 zu verwenden Fuumlr die 1 Aufgabe wird die Feder schrittweise bis 400 g mit Massestuumlcken von 50 g belastet und mit Hilfe einer Spiegelskale an der Marke M die Auslenkung x gemessen (erste Mess-reihe) Nach Erreichen der Houmlchstbelastung von 400 g ist dann die Feder wieder schrittweise zu entlasten (zweite Messreihe) a) Aus der grafischen Darstellung x = x(m) ist mithilfe des bdquoSteigungsdreiecksldquo der Anstieg

gk grafisch zu ermitteln und seine Unsicherheit entsprechend abzuschaumltzen (vgl Einfuumlh-rungsskript) Daraus sind dann die Federkonstante k als mittelbar bestimmter Groumlszlige und ihre Unsicherheit ∆k zu berechnen

b) Durch lineare Regression ist mithilfe geeigneter Software (s Einfuumlhrungsskript und Vorle-sung) der Anstieg und seine Unsicherheit numerisch zu ermitteln daraus ebenfalls wieder die Federkonstante und deren Unsicherheit

Fuumlr die 2 Aufgabe wird die Feder mit einer Gesamtmasse von 400 g belastet und 10mal die Zeit fuumlr jeweils 20 Schwingungen mithilfe einer Stoppuhr gemessen Daraus ist der Mittel-wert der Periodendauer T und ihr Vertrauensbereich sT zu berechnen und mittelbar damit die Federkonstante k uumlber Gleichung (5) mit ihrer Messunsicherheit a) Zur Genauigkeit der Messung mit Stoppuhren sind im Einfuumlhrungsskript ausfuumlhrliche Hin-

weise enthalten Entsprechend den dort enthaltenen Angaben sind die systematischen Messabweichungen mit ihrer Auswirkung auf die Periodendauer und die Federkonstante realistisch abzuschaumltzen

b) Bezuumlglich der Massen ist bereits ein Hinweis bei Aufgabe 1 gegeben worden Zusaumltzlich muumlsste noch der Einfluss der Eigenmasse der Feder von mF asymp 5 g auf die Periodendauer beruumlcksichtigt werden Die Teile der Feder nehmen unterschiedlich an der Bewegung teil es kann als zu beruumlcksichtigende Zusatzmasse macute= mF3 gesetzt werden Somit ergibt sich

fuumlr die Periodendauer m

mTk

mmT F

312acute +=

+= π

c) Auch bei sehr sorgfaumlltiger Anfangsauslenkung fuumlhrt der Federschwinger nach einigen Schwingungen unvermeidlich seitliche Schwingungen aus Wie beeinflusst diese Bewe-gung die gemessene Periodendauer Man uumlberlege sich auch welche Auswirkungen die in der Betrachtung vernachlaumlssigte aber unvermeidlich auftretende Reibung auf das Ergebnis dieses Verfahrens hat

Fuumlr die 3 Aufgabe sind am jeweiligen Versuchsplatz die Messunsicherheiten der einzelnen Groumlszligen mit angegeben Eine Unterscheidung von zufaumllligen und systematischen Komponen-ten ist hier allerdings nicht moumlglich Fuumlr Aufgabe 5 ist eine tabellarische Darstellungsweise vorzuziehen In Zusammenhang mit dem gewogenen Mittelwert ist zu analysieren unter welchen Bedingungen er uumlberhaupt sinn-voll gebildet werden kann

11

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Dichte Auftriebskraft Analy-senwaage Pyknometer Ein sog Pyknometer ist ein Geraumlt zur Bestimmung der Dichte fester Koumlrper Es besteht aus einem Glasgefaumlszlig mit eingeschliffenem Stopfen der eine kapillare Bohrung hat Das Pykno-meter kann reproduzierbar mit groszliger Genauigkeit mit Wasser gefuumlllt werden Zur Dichtebe-stimmung mit dem Pyknometer sind drei Waumlgungen mit einer Analysenwaage noumltig wobei der Auftrieb der zu waumlgenden Koumlrper (Probe bzw Pyknometer) in Luft (Dichte ρL) zu beruumlck-sichtigen ist 1 Waumlgung der Probe in Luft Fuumlr eine Probe (Masse m1 Volumen V1) wird die Gewichts-kraft durch die ihr entgegengesetzt gerichtete Auftriebskraft gmF sdot= 11 gVF LA sdotsdot= ρ11 vermindert so dass im Gleichgewicht die Waage den Wert m1rsquo anzeigt Die Gleichgewichts-bedingung liefert

111 mVm L =sdotminus ρ (1)2 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers Das vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllte Pykno-meter (Volumen VP) hat die Gesamtmasse m2 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m2rsquo an so dass gilt

22 mVm LP =sdotminus ρ (2)3 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers mit Probe Das mit Wasser und der Probe gefuumlllte Pyknometer hat die Gesamtmasse m3 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m3rsquo an so dass gilt

33 mVm LP =sdotminus ρ (3)Zwischen den Massen m1 m2 und m3 besteht der Zusammenhang

232311 mmmmVm W minus=minus=sdotminus ρ (4)wobei ρW die Dichte des Wassers ist Zur Bestimmung der Dichte ρ1 der Probe kann man aus den Gleichungen (1) und (4) die Unbekannten m1 und V1 ermitteln Man erhaumllt

)()(

231

231

1

11 mmm

mmmVm LW

minusminussdotminusminussdot

==ρρρ (5)

AUFGABEN 1 Bestimmung der Masse m1rsquo fuumlr zwei verschiedene Metallproben (Al und Cu) durch

Waumlgung in Luft Fuumlr jede Probe erfolgt die Waumlgung sechsmal wobei die Probe immer neu auf die Waage zu legen ist Bestimmung der zugehoumlrigen Mittelwerte

2 Bestimmung der Masse m2rsquo des vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllten Pyknometers durch Waumlgung Die jeweils erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt sechsmal Bestimmung des Mittelwertes

3 Bestimmung der Masse m3rsquo des mit Wasser und jeweiliger Metallprobe gefuumlllten Pykno-meters durch Waumlgung Die erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt fuumlr jede Probe sechsmal Bestimmung der Mittelwerte

4 Berechnung der Dichte der beiden Metallproben nach Gleichung (5) 5 Bestimmung der jeweiligen Messunsicherheiten fuumlr die unmittelbar gemessenen Groumlszligen

m1rsquo m2rsquo und m3rsquo fuumlr beide Proben 6 Abschaumltzung bzw Berechnung (Fortpflanzung) der resultierenden Messunsicherheiten der

mit (5) mittelbar bestimmten beiden Dichten Vergleich der Ergebnisse fuumlr die beiden Dichten mit Referenzwerten

12

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

VERSUCHSHINWEISE Die Waumlgungen werden mit einer elektronischen Analysenwaage durchgefuumlhrt bei der die auf-gelegte Last (Abb 1 oberer Pfeil) durch eine elektromagnetische Kraft kompensiert wird Mit einer optoelektronischen Abtastung (1) wird die Stellung der Waagschale (2) gemessen und mit diesem Signal der Kompensationsstrom in der Spule (3) gesteuert Der Kompensations-strom erzeugt zwischen Permanentmagnet (4) und Spule eine Kraft so dass die Waagschale in die Null-Lage zuruumlckgefuumlhrt wird der Strom ist der Last proportional Zur Durchfuumlhrung der Waumlgungen beachte man unbedingt die Hinweise des Versuchsbetreuers und die Platz-anleitung

Abb1 Messprinzip der eAnalysenwaage

lektronischen

Fuumlr Aufgabe 2 wird das Pyknometer bis zum Rand mit destilliertem Wasser gefuumlllt wobei die Bildung von Luftblaumlschen zu vermeiden ist Verschlieszligt man das Pyknometer mit dem ange-schliffenen Stopfen so laumluft Wasser uumlber das sehr sorgfaumlltig mit Filterpapier abzuwischen ist Das Anfassen des Pyknometers muss aumluszligerst vorsichtig erfolgen um seine Erwaumlrmung zu vermeiden (warum) Nach dem Abwischen wird mit Filterpapier der auf der Kapillare stehende Tropfen abgenommen so dass die Kapillare bis oben mit Wasser gefuumlllt ist Fuumlr die durchzufuumlhrenden Waumlgungen ist das Pyknometer stets erneut zu befuumlllen Fuumlr Aufgabe 3 wird der Probekoumlrper in das Pyknometer gebracht und dann mit destilliertem Wasser aufgefuumlllt weiter ist sinngemaumlszlig wie bei Aufgabe 2 zu verfahren Fuumlr Aufgabe 4 sind zusaumltzlich zu den Werten m1rsquo m2rsquo und m3rsquo auch der Luftdruck p sowie die Zimmer- und Wassertemperatur zu bestimmen Die Temperaturen koumlnnen als gleich vor-ausgesetzt werden da das destillierte Wasser sich bereits sehr lange im Versuchsraum befin-det Die temperaturabhaumlngige (s Abb 2) Dichte ρW von reinem (luftfreiem) Wasser laumlsst sich im Temperaturintervall 0degC lt θ lt 40degC naumlherungsweise berechnen mit

4-73-52323 1046657-10772108768-1066299984)( θθθθρ sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot+=sdot minusminusminusmkgw

wobei die Temperatur θ in degC einzusetzen ist (Fehler der Naumlherung ) Diese Naumlhrung gilt bei sog Normaldruck (p

3210 minusminus sdotlt∆ mkgWρN = 1013 kPa) Warum kann die Druckabhaumlngig-

keit hier vernachlaumlssigt werden Die Druckabhaumlngigkeit muss aber bei der Luftdichte unbedingt beruumlcksichtigt werden ebenso wie die Luftfeuchtigkeit (warum) Man verwendet die Beziehung

TRp

fL sdot=ρ

13

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

wobei p der Luftdruck (in Pa) T die Lufttemperatur (in K) und Rf die Gaskonstante feuchter Luft ist Diese Gaskonstante Rf berechnet sich wiederum aus

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdotminus

=

d

ld

lf

RR

pp

RR11 ϕ

0 10 20 30 40992

993

994

995

996

997

998

999

1000

Dic

hte ρ w

(kg

m3 )

Temperatur θ (degC)

-10 0 10 20 3011

12

13

Dic

hte ρ L (k

gm

3 )Temperatur θ (degC)

Abb 2 Temperaturabhaumlngigkeit der Dichte fuumlr (reines) Wasser und (trockene) Luft

Hier ist Rl = 28705 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante trockener Luft Rd = 461 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante von Wasserdampf und φ die relative Luftfeuchtigkeit Die Groumlszlige pd ist der Saumlt-tigungsdampfdruck von Wasser in Luft der sich empirisch mit der sog Magnus-Formel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+degsdot

sdot=θθ

CPapd 2241

504317exp213611)( im Intervall CC degleledegminus 7030 θ

berechnen laumlsst wobei θ wieder die Temperatur (in degC) ist Fuumlr Aufgabe 5 sind die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen der Waumlgungen zu ermitteln Die Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo werden alle mit der gleichen Analysenwaage ermittelt fuumlr die vom Hersteller eine Garantiefehlergrenze (systematischer Restfehler) von 02 mg angegeben wird Diese Garantiefehlergrenze ist fuumlr alle drei Massenwerte als geraumlte-bedingte systematische Abweichung zu beruumlcksichtigen Fuumlr die Messwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo haumlngt es von der sorgfaumlltigen Versuchsdurchfuumlhrung (Abtupfen des Wassers ) ab ob die zufaumlllige undoder die systematische Abweichung die Messunsicherheit bestimmt Fuumlr Aufgabe 6 ist nur die Messunsicherheit der Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo zu beruumlcksich-tigen Die berechneten Werte fuumlr die Dichten von Luft und Wasser koumlnnen als praktisch fehlerfrei angenommen werden

14

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Erster Hauptsatz der Thermodynamik Waumlrmemenge Waumlrmekapazitaumlt Richmannsche Mischungsregel Arbeit von Gleich- und Wechselstrom Waumlrmeaustauschkorrektur (s Skript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstel-lung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo) Waumlrme ist eine Energieform die zwischen Koumlrpern ausgetauscht wird oder in andere Energie-formen umgewandelt werden kann Fuumlhrt man einem Koumlrper der Masse m die Waumlrmemenge dQ zu dann ist die sich einstellende Temperaturerhoumlhung dT proportional zur zugefuumlhrten Waumlrmemenge

dTcmdQ sdotsdot= (1)wobei der Proportionalitaumltsfaktor c als spezifische Waumlrmekapazitaumlt mit der SI-Einheit Jmiddotkg-1middotK-1 bezeichnet wird und eine Stoffkonstante ist Aus (1) ergibt sich

dTdQ

mc sdot=

1 (2)

Das Produkt cmC sdot= (3)

mit der SI-Einheit JmiddotK-1 nennt man Waumlrmekapazitaumlt des Koumlrpers Zur Bestimmung von Waumlrmemengen benutzt man sog Kalorimeter wobei anisotherme Aus-fuumlhrungen mit sehr gut waumlrmeisolierten Gefaumlszligen am haumlufigsten verwendet werden Fuumlhrt man einem mit Wasser der Masse mW (teilweise) gefuumlllten Kalorimeter eine Waumlrmemenge ∆Q zu dann werden auszliger dem Wasser auch alle Teile des Kalorimeters wie zB Gefaumlszligwandung Thermometer und Ruumlhrer erwaumlrmt Die gesamte Waumlrmekapazitaumlt der Versuchsanordnung setzt sich also aus der des Wassers (mWmiddotcW) und der des Kalorimeters (CK) zusammen

( ) TCcmQ KWW ∆sdot+sdot=∆ (4)Die spezifische Waumlrmekapazitaumlt von Wasser hat als Stoffkonstante den Wert cW = 41813 kJmiddotkg-1middotK-1 (bei 25degC) Die Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorime-ters ist rechnerisch nur naumlherungsweise moumlglich deshalb wird sie ia experimentell ermittelt 1 Elektrische Methode Flieszligt durch einen Ohmschen Leiter (Heizspirale) an dem die Spannung U anliegt der Strom I dann entsteht im Zeitintervall ∆t in ihm eine der elektri-schen Energie aumlquivalente Waumlrmemenge

tIUQ ∆sdotsdot=∆ (5)Uumlbertraumlgt man diese Waumlrmemenge an das Wasser (Masse mW) und das Kalorimeter (Waumlrme-kapazitaumlt CK) dann steigt die Wassertemperatur gemaumlszlig (4) Bei verlustloser Waumlrmeuumlbertra-gung sind beide Waumlrmemengen gleich (Energieerhaltungssatz) und es gilt

( ) TCcmtIU KWW ∆sdot+sdot=∆sdotsdot (6)so dass CK bestimmt werden kann 2 Mischungsmethode Fuumlgt man kaltem Wasser der Masse m1 und Temperatur T1 in einem Kalorimeter warmes Wasser der Masse m2 und Temperatur T2 hinzu so findet ein Waumlrmeaus-tausch statt bis das gesamte Wasser die Mischungstemperatur Tm angenommen hat Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dass die vom warmen Wasser abgegebene Waumlrmeenergie

gleich der vom kalten Wasser und dem Kalorimeter aufgenommenen Waumlrmeenergie

)( 222 mW TTcmQ minussdotsdot=∆( ) )( 111 TTCcmQ mKW minussdot+sdot=∆ sein muss Der Energieerhaltungssatz in dieser

speziellen Form des Austausches von Waumlrmemenge heiszligt Richmannsche Mischungsregel und ergibt die Gleichung

( ) )()( 2211 mWmKW TTcmTTCcm minussdotsdot=minussdot+sdot (7)zur Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorimeters

15

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

AUFGABEN 1 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der elektrischen Methode gemaumlszlig (6) 2 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 1 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 3 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der Mischungsmethode mit (7) 4 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 3 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 5 Fuumlr beide Methoden fuumlhre man eine Bestimmung der Messunsicherheit der Waumlrmekapazi-

taumlt durch und vergleiche die Endergebnisse miteinander VERSUCHSHINWEISE Das Verfahren zur Waumlrmeaustauschkorrektur Bei kalorimetrischen Messungen ist ein Waumlrmeaustausch mit der Umgebung unvermeidlich (offenes thermodynamisches System) und meist stoumlrend Aus dem gemessenen zeitlichen Temperaturverlauf ist er aber abzulesen (s Abb 1)

DE

Abbildung 1 Zeitlicher Verlauf der Temperatur im Kalorimeter

In der Vorperiode erhaumllt man den ansteigenden Kurvenabschnitt ArarrB in der Nachperiode den abfallenden Kurvenabschnitt ErarrF Das liegt daran dass das Kalorimeter eben nicht adia-batisch bzw isentrop ist Die Temperatur der Kalorimeterfluumlssigkeit im Innern gleicht sich in beiden Abschnitten jeweils (asymptotisch) an die Umgebungstemperatur TU an wobei der Waumlrmefluss proportional zur Temperaturdifferenz ist Es laumlsst sich zeigen dass der Gleichge-wichtszustand zeitlich exponentiell angenommen wird Im vorliegenden Fall ist aber die ent-sprechende Zeitkonstante sehr groszlig im Vergleich zur Messzeit so dass die beiden Abschnitte ArarrB und ErarrF naumlherungsweise jeweils durch eine Gerade beschrieben werden duumlrfen Die-ser Sachverhalt gestattet es auszligerdem in diesen Abschnitten die Messwerte in groumlszligerer zeitli-cher Schrittweite aufzunehmen Aufgrund des real zeitlich ausgedehnten Waumlrmeaustausches mit der Umgebung beobachtet man einen stetigen und differenzierbaren Verlauf der Kurve im Abschnitt BrarrE Nur wenn die im Experiment zugefuumlhrte Waumlrme sofort verteilt wuumlrde waumlre die Temperaturkurve eine Sprungfunktion Das System braucht eine gewisse Zeit bis sich ein neues Gleichgewicht ein-stellen kann Es verhaumllt sich so als ob es uumlber ein ganzes Zeitintervall bdquoverschmiertldquo waumlre Es gilt also die Endzeit der Waumlrmezufuhr zu finden Sie liegt im Wendepunkt der Temperaturkurve weil sich dort die Richtung der Kruumlmmung aumlndert also Waumlrmezufuhr in Waumlrmeverlust uumlbergeht Nun laumlsst sich aber im Abschnitt BrarrE die Kurve T(t) nicht beliebig

F

Tem

pera

tur

T

∆T S

TU

A B C

Zeit

16

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

17

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

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O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

23

O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

25

O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

26

O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

27

O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

29

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

34

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

46

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

F3 FADENPENDEL

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Massenpunktmodell mathematisches und physikali-sches Pendel Bewegungsgleichung Schwerkraft Newtonsche Axiome Schwingungsdifferen-tialgleichung Ein an einem Faden aufgehaumlngter Koumlrper stellt aufgrund der auf ihn wirkenden Schwerkraft und seiner Traumlgheit ein schwingungsfaumlhiges System dar Betrachtet man (idealisiert) einen punktfoumlrmigen Koumlrper der Masse m der an einem Faden der Laumlnge l haumlngt und lenkt ihn um einen Winkel φ (Abb 1) aus der Senkrechten aus dann fuumlhrt der Koumlrper nach dem Loslassen Schwingungen um die Senkrechte aus

Abbildung 1 Fadenpendel

Bei Vernachlaumlssigung der Masse des Fadens und der Luftreibung wirkt auf den Koumlrper in jedem Punkt der Bahn senkrecht nach unten die Gewichtskraft

gmFG sdot= (1)wobei g die Fallbeschleunigung ist Die Normalkomponente (normal zur Bahn des Koumlrpers)

ϕcossdotsdot= gmFn dieser Kraft findet ihre Gegenkraft in der in der Aufhaumlngung auftretenden Kraft und beeinflusst die Bewegung des Koumlrpers nicht Dagegen erzeugt die Tangentialkom-ponente ϕsinsdotsdot= gmFt der Gewichtskraft entsprechend der Newtonschen Bewegungs-gleichung

ϕsin2

2

sdotsdotminus=sdot=sdot gmsmdt

sdm (2)

eine Beschleunigung des Koumlrpers laumlngs der kreisfoumlrmigen Bahnkurve Zwischen dem Aus-lenkwinkel φ und der Bahnkurvenkoordinate s auf der Bahnkurve besteht die Beziehung

ϕsdot= ls Bei (zeitlich) konstanter Fadenlaumlnge l folgt daraus unmittelbar

dtdl

dtds ϕ

sdot= und 2

2

2

2

dtdl

dtsd ϕ

sdot= (3)

Fuumlr kleine Auslenkwinkel φ gilt die bekannte Naumlherung ϕϕ asympsin die ebenso wie (3) in die Bewegungsgleichung (2) eingesetzt werden kann Daraus erhaumllt man die Newtonsche Bewe-gungsgleichung fuumlr das mathematische Pendel mit

02

2

=sdot+sdot ϕϕ gdtdl (4)

Diese Schwingungsdifferentialgleichung einfachster Form kann mit dem Ansatz

6

F3 FADENPENDEL

)sin(0 ψωϕϕ +sdotsdot= t mit lg

=ω (5)

geloumlst werden Die hier zunaumlchst willkuumlrlich erscheinenden Konstanten heiszligen Amplitude φ0

bzw Phasenkonstante ψ und sind durch die konkreten Anfangsbedingungen fuumlr t = 0 festge-legt Das mathematische Pendel vollfuumlhrt demnach bei Auslenkung um kleine Winkel harmo-nische Schwingungen mit der Kreisfrequenz ω und der Periodendauer

glT π

ωπ 22== (6)

die unabhaumlngig von der Masse m und der Amplitude φ0 ist Die Beziehung (6) erlaubt prinzipiell bei bekannter Pendellaumlnge l durch Messung der Perio-dendauer T eine Bestimmung der Fallbeschleunigung g Allerdings ist die Pendellaumlnge l nur sehr ungenau zu bestimmen Deshalb bedient man sich hier zweckmaumlszligig eines einfachen Tricks Die Laumlnge l kann um genau einstellbare Betraumlge li veraumlndert werden und setzt sich gemaumlszlig zusammen Damit wird aus (6) durch entsprechende Umformung illl += 0

( )ii llgg

lT +sdot== 0

222 44 ππ (7)

Misst man nun die Periodendauern Ti fuumlr die entsprechenden li und stellt die Abhaumlngigkeit

Ti2(li) dar so ergibt sich eine Gerade mit dem Anstieg

g

24π und dem Achsenabschnitt

0

24 lg

sdotπ Damit werden die Groumlszligen g und l0 bestimmbar

Die oben vorgenommenen Vereinfachungen die zur Herleitung der Beziehung (6) verwendet wurden beduumlrfen noch einer weiteren Diskussion Betrachtung beliebiger Winkel Ohne die obige Beschraumlnkung auf kleine Winkel φ liefert die Loumlsung der sog elliptischen Differentialgleichung (2) fuumlr die Periodendauer das (exak-tere) Ergebnis

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdotsdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛sdot+sdot=

2sin

2sin1 042

43

21022

21 ϕϕ

ϕ TT (8)

wobei T durch die Beziehung (6) gegeben ist Beruumlcksichtigung des Auftriebs in Luft Der Massekoumlrper aus Blei mit der Dichte von ρK = 11340 kgm-3 und dem Volumen VK erfaumlhrt in Luft der Dichte ρL asymp 12 kgm-3 eine Auftriebskraft gVF KLA sdotsdot= ρ die der Gewichtskraft gVgmF KKG sdotsdot=sdot= ρ entgegen-gerichtet ist Unter Beruumlcksichtigung dieses Auftriebs in Luft erhaumllt man schlieszliglich fuumlr die Periodendauer

LK

KA TT

ρρρminus

sdot= (9)

Betrachtung fuumlr ausgedehnten Massekoumlrper Die Ausdehnung des schwingenden Koumlrpers kann man beruumlcksichtigen wenn man von der Bewegungsgleichung des sog physikalischen Pendels (vgl Versuch bdquoM9 Reversionspendelldquo) ausgeht Die genaue Betrachtung bzw Herleitung wird hier bewusst nicht angegeben sondern nur das Ergebnis Mit bekannten Abmessungen des Bleizylinders (Radius R und Houmlhe h) am Faden der Laumlnge l bestimmt sich die Periodendauer zu

2

22

1231

lhRTTs sdot

++sdot= (10)

7

F3 FADENPENDEL

Der Einfluss des Fadens wurde auch bei diesen Betrachtungen aber ebenso vernachlaumlssigt wie die auftretende Reibung Es ist sicherlich empirisch einsichtig dass schwache Reibung zu einer gedaumlmpften Schwingung fuumlhren wird Die Schwingungsamplitude klingt dann

exponentiell mit sehr groszliger Zeitkonstante τ wie τt

eminus

ab AUFGABEN 1 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine feste Fadenlaumlnge Die Zeitmessung erfolgt fuumlr 10

Schwingungen jeweils zehnmal an einem Umkehrpunkt und beim Nulldurchgang des Pendels Berechnung von Mittelwerte Standardabweichung und Vertrauensbereich der Periodendauer und Diskussion der Unterschiede zwischen beiden Verfahren

2 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine Schwingung beim Nulldurchgang mit zehnfacher Messung Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung anschlieszligend Vergleich mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe 1 und Diskussion der Unterschiede

3 Bestimmung der Periodendauer fuumlr 10 verschiedene Fadenlaumlngen li Aus jeweils 2 Messungen fuumlr 10 Schwingungen sind die Mittelwerte fuumlr die Periodendauern Ti(li) zu berechnen

4 Grafische Darstellung der Ergebnisse der 3 Aufgabe in der Form Ti2(li) in einem

Diagramm Verwendung von Gleichung (7) zur Bestimmung von Fallbeschleunigung g und Anfangslaumlnge des Pendels l0 sowohl durch grafischen Geradenausgleich als auch numerische lineare Regression mit Ermittlung der zugehoumlrigen Unsicherheiten

5 Aus den Ergebnissen der 4 Aufgabe fuumlr l0 und g ist gemaumlszlig Gleichung (6) die Periodendauer T einschlieszliglich ihrer Unsicherheit zu berechnen und mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe zu vergleichen

6 Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen fuumlr die Periodendauer gemaumlszlig der og drei Gleichungen (8-10) und ihres Einflusses auf die g-Bestimmung Diskussion der Relevanz entsprechender Korrekturen

VERSUCHSHINWEISE Ein gegossener Bleizylinder (Radius R asymp 23 mm Houmlhe h asymp 23 mm Masse m asymp 08 kg) haumlngt an einem duumlnnen Stahldraht Die Pendellaumlnge laumlsst sich durch einen Schieber in dessen Fuumlhrung der Draht laumluft veraumlndern Die Laumlngenaumlnderung kann mit Hilfe von Ringmarken deren Abstand 2 cm betraumlgt eingestellt werden Bei Auslenkung des Pendels aus seiner Ruhelage fuumlhrt es Schwingungen aus deren Periodendauer mit einer von Hand ausgeloumlsten Stoppuhr bestimmt wird Fuumlr die ersten beiden Aufgaben ist zweckmaumlszligig (warum) eine moumlglichst groszlige Fadenlaumlnge zu waumlhlen Die zugehoumlrige Stellung des Schiebers ist unbedingt zu notieren da sie spaumlter benoumltigt wird Fuumlr die 3 Aufgabe wird die Anfangsfadenlaumlnge l0 um die Werte li (i = 110) in Schritten von 4 cm verringert Fuumlr die mit der 4 Aufgabe erforderliche Auswertung sind grafische Mittel (Anstiegsdreieck grafische Extrapolation auf den Achsenabschnitt) und ein rechentechnisches Verfahren (lineare Regression) einzusetzen Fuumlr Aufgabe 5 ist das bei Aufgabe 4 bestimmte Ergebnis fuumlr die Anfangslaumlnge l0 zu verwenden Bei Aufgabe 6 muss ermittelt werden wie sich die Korrekturen der Schwingungsdauer gemaumlszlig (8-10) auf die Fallbeschleunigung g auswirken Beachten Sie hier dass g aus dem Anstieg der Geraden gemaumlszlig der 4 Aufgabe nach Gleichung (7) bestimmt wird Uumlberlegen Sie welche zufaumllligen und welche systematischen Abweichungen die Messunsicherheit der Fallbeschleunigung g wesentlich bestimmen

8

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Traumlgheitsgesetz Grundgesetz der Dynamik Feder-konstante Federkraft harmonische Schwingung Frequenz Periodendauer Amplitude In diesem Versuch soll die Federkonstante einer Schraubenfeder mit drei verschiedenen Methoden bestimmt werden Bei der Auswertung der Ergebnisse sind Grundbegriffe und Methoden der Fehlerrechnung und ndashanalyse gezielt anzuwenden und zu uumlben 1 Statische Messung der Federkonstanten Wird eine am oberen Ende eingespannte Schraubenfeder am unteren Ende durch Anhaumlngen einer Masse m belastet so wird die Feder gedehnt und es stellt sich eine neue Ruhelage ein (Abb 1 statischer Fall) Die Gewichtskraft

gmFG sdot= und die durch die elastische Verformung entstehende Federkraft (mit k als Federkonstante) stehen im Gleichgewicht (Newtonsches Traumlgheitsgesetz)

xkFF sdotminus=

0=+ FG FF (1)

Abbildung 1 Statische und dynamische Belastung einer Schraubenfeder

Durch Einsetzen der Beziehungen fuumlr beide Kraumlfte und einfache Umstellung ergibt sich daraus

kgmx sdot

= (2)

Die statische Auslenkung x der Schraubenfeder muss demnach linear von der Belastung m abhaumlngig sein Durch die experimentelle Untersuchung der Abhaumlngigkeit x(m) kann sowohl die Linearitaumlt des Federkraftgesetzes xkFF sdotminus= uumlberpruumlft als auch die Federkonstante k bestimmt werden 2 Dynamische Messung der Federkonstanten Lenkt man eine mit der Masse m belastete Feder aus ihrer Ruhelage aus (Abb 1 dynamischer Fall) dann wirkt eine ruumlcktreibende

Federkraft und die Masse m erfaumlhrt eine Beschleunigung xkFF sdotminus=mFx

dtxda F=== 2

2

nach

dem Newtonschen Grundgesetz der Dynamik Fuumlr die weiteren Betrachtungen sollen jegliche Reibungskraumlfte vernachlaumlssigt werden daher ergibt sich aus der Newtonschen Bewegungs-gleichung hier die einfachste Form einer Schwingungsdifferentialgleichung mit

02

2

=sdot+sdot xkdt

xdm (3)

9

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

die eine freie ungedaumlmpfte Schwingung beschreibt Mit den willkuumlrlich ausgewaumlhlten Anfangsbedingungen (Anfangslage) und 0)0( xtx == 0)0( 0 === vtx (Anfangsgeschwin-digkeit) lautet ihre Loumlsung

)cos()( 0 txtx sdotsdot= ω (4)wobei physikalisch x0 als Amplitude und mk=ω als Kreisfrequenz der freien ungedaumlmpf-ten Federschwingung bezeichnet werden Der Koumlrper der Masse m schwingt nach Auslen-kung (aus der Gleichgewichts- bzw Ruhelage um x0) in Form einer harmonischen Schwin-gung mit der Periodendauer

kmT π

ωπ 22== (5)

die experimentell direkt gemessen werden kann Aus (5) ist bei bekannter Masse m die Feder-konstante k bestimmbar 3 Berechnung der Federkonstanten aus der Geometrie und den Materialeigenschaften der Schraubenfeder Durch eine Auslenkung aus der Ruhelage wird die Schraubenfeder gedehnt und damit der gesamte Federdraht auf sog Torsion (svw bdquoVerdrehungldquo oder bdquoVerdrillungldquo) beansprucht Ohne weitere Herleitung sei hier eine Beziehung angegeben die es gestattet aus dem sog Torsionsmodul G (als Materialkonstante des Federdrahtes) und den geometrischen Daten der Schraubenfeder (Drahtlaumlnge l Drahtdurchmesser d und Wickel-radius r) die Federkonstante k zu berechnen

2

4

32 rldGksdotsdot

sdot=π (6)

AUFGABEN 1 Aus dem statischen Verhalten einer Schraubenfeder ist deren Federkonstante experimentell

zu bestimmen Dazu ist gemaumlszlig Beziehung (2) die statische Auslenkung x in Abhaumlngigkeit von der Belastung m mit verschiedenen Massestuumlcken zu messen Die Daten sind in der Form x = x(m) als Diagramm grafisch darzustellen und daraus die Federkonstante k zu er-mitteln Fuumlr die zu erwartende lineare Abhaumlngigkeit ist sowohl mit einfacher grafischer Methode (bdquoSteigungsdreieckldquo) als auch numerisch (Geradenausgleichsrechnung lineare Regression) der Anstieg von x = x(m) und daraus die Federkonstante (jeweils auch ein-schlieszliglich der Messunsicherheit) zu bestimmen

2 Mithilfe des dynamischen Verhaltens des Federschwingers ist fuumlr dieselbe Feder die Federkonstante aus der experimentell beobachteten Periodendauer der Schwingung zu bestimmen (jeweils auch einschlieszliglich der Messunsicherheit) Dazu ist Formel (5) bei be-kannter und sinnvoll gewaumlhlter Masse m zu nutzen

3 Mithilfe von Formel (6) ist aus den Daten der Schraubenfeder die am Versuchsplatz angegeben sind die Federkonstante k einschlieszliglich ihrer resultierenden Unsicherheit zu berechnen

4 Die Obergrenzen fuumlr systematische Messabweichungen bei den ersten beiden Aufgaben (statische und dynamische Messung der Federkonstanten) sind abzuschaumltzen (Groumlszligenord-nungen) Es ist zu analysieren welche dieser systematischen Abweichungen korrigierbar sind und welche dann tatsaumlchlich in die Messunsicherheit des Endergebnisses eingehen

5 Fuumlr alle drei Methoden (Aufgaben 1-3) sind die Ergebnisse (einschlieszliglich Messunsicher-heit) fuumlr die Federkonstante uumlbersichtlich darzustellen miteinander zu vergleichen und zu diskutieren Sofern moumlglich ist ein gewichteter Mittelwert zu ermitteln

10

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

VERSUCHSHINWEISE Die Schraubenfeder ist mit einem Ende an einem Stativ befestigt Zur Messung der Auslen-kung der Feder aus der Ruhelage wird die Stellung der an der Feder befindlichen Marke M (Abb 1) auf einer Spiegelskale abgelesen (Welchen Vorteil bietet eine Spiegelskale gegen-uumlber einer einfachen Skale) Die sog Verkehrsfehlergrenze der Massennormale ist fuumlr die Masse m = 50 g mit ∆m = plusmn 01 g festgelegt Bei Messung einer Laumlnge l mit der Spiegelskale ist die Messunsi-cherheit ∆l = plusmn (02 mm + 5middot10-4middotl) Fuumlr die Fallbeschleunigung ist (lt Festlegung der Eichbe-houmlrden der Laumlnder fuumlr Waagen) ein Wert von g = (98130 plusmn 00001) mmiddots-2 zu verwenden Fuumlr die 1 Aufgabe wird die Feder schrittweise bis 400 g mit Massestuumlcken von 50 g belastet und mit Hilfe einer Spiegelskale an der Marke M die Auslenkung x gemessen (erste Mess-reihe) Nach Erreichen der Houmlchstbelastung von 400 g ist dann die Feder wieder schrittweise zu entlasten (zweite Messreihe) a) Aus der grafischen Darstellung x = x(m) ist mithilfe des bdquoSteigungsdreiecksldquo der Anstieg

gk grafisch zu ermitteln und seine Unsicherheit entsprechend abzuschaumltzen (vgl Einfuumlh-rungsskript) Daraus sind dann die Federkonstante k als mittelbar bestimmter Groumlszlige und ihre Unsicherheit ∆k zu berechnen

b) Durch lineare Regression ist mithilfe geeigneter Software (s Einfuumlhrungsskript und Vorle-sung) der Anstieg und seine Unsicherheit numerisch zu ermitteln daraus ebenfalls wieder die Federkonstante und deren Unsicherheit

Fuumlr die 2 Aufgabe wird die Feder mit einer Gesamtmasse von 400 g belastet und 10mal die Zeit fuumlr jeweils 20 Schwingungen mithilfe einer Stoppuhr gemessen Daraus ist der Mittel-wert der Periodendauer T und ihr Vertrauensbereich sT zu berechnen und mittelbar damit die Federkonstante k uumlber Gleichung (5) mit ihrer Messunsicherheit a) Zur Genauigkeit der Messung mit Stoppuhren sind im Einfuumlhrungsskript ausfuumlhrliche Hin-

weise enthalten Entsprechend den dort enthaltenen Angaben sind die systematischen Messabweichungen mit ihrer Auswirkung auf die Periodendauer und die Federkonstante realistisch abzuschaumltzen

b) Bezuumlglich der Massen ist bereits ein Hinweis bei Aufgabe 1 gegeben worden Zusaumltzlich muumlsste noch der Einfluss der Eigenmasse der Feder von mF asymp 5 g auf die Periodendauer beruumlcksichtigt werden Die Teile der Feder nehmen unterschiedlich an der Bewegung teil es kann als zu beruumlcksichtigende Zusatzmasse macute= mF3 gesetzt werden Somit ergibt sich

fuumlr die Periodendauer m

mTk

mmT F

312acute +=

+= π

c) Auch bei sehr sorgfaumlltiger Anfangsauslenkung fuumlhrt der Federschwinger nach einigen Schwingungen unvermeidlich seitliche Schwingungen aus Wie beeinflusst diese Bewe-gung die gemessene Periodendauer Man uumlberlege sich auch welche Auswirkungen die in der Betrachtung vernachlaumlssigte aber unvermeidlich auftretende Reibung auf das Ergebnis dieses Verfahrens hat

Fuumlr die 3 Aufgabe sind am jeweiligen Versuchsplatz die Messunsicherheiten der einzelnen Groumlszligen mit angegeben Eine Unterscheidung von zufaumllligen und systematischen Komponen-ten ist hier allerdings nicht moumlglich Fuumlr Aufgabe 5 ist eine tabellarische Darstellungsweise vorzuziehen In Zusammenhang mit dem gewogenen Mittelwert ist zu analysieren unter welchen Bedingungen er uumlberhaupt sinn-voll gebildet werden kann

11

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Dichte Auftriebskraft Analy-senwaage Pyknometer Ein sog Pyknometer ist ein Geraumlt zur Bestimmung der Dichte fester Koumlrper Es besteht aus einem Glasgefaumlszlig mit eingeschliffenem Stopfen der eine kapillare Bohrung hat Das Pykno-meter kann reproduzierbar mit groszliger Genauigkeit mit Wasser gefuumlllt werden Zur Dichtebe-stimmung mit dem Pyknometer sind drei Waumlgungen mit einer Analysenwaage noumltig wobei der Auftrieb der zu waumlgenden Koumlrper (Probe bzw Pyknometer) in Luft (Dichte ρL) zu beruumlck-sichtigen ist 1 Waumlgung der Probe in Luft Fuumlr eine Probe (Masse m1 Volumen V1) wird die Gewichts-kraft durch die ihr entgegengesetzt gerichtete Auftriebskraft gmF sdot= 11 gVF LA sdotsdot= ρ11 vermindert so dass im Gleichgewicht die Waage den Wert m1rsquo anzeigt Die Gleichgewichts-bedingung liefert

111 mVm L =sdotminus ρ (1)2 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers Das vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllte Pykno-meter (Volumen VP) hat die Gesamtmasse m2 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m2rsquo an so dass gilt

22 mVm LP =sdotminus ρ (2)3 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers mit Probe Das mit Wasser und der Probe gefuumlllte Pyknometer hat die Gesamtmasse m3 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m3rsquo an so dass gilt

33 mVm LP =sdotminus ρ (3)Zwischen den Massen m1 m2 und m3 besteht der Zusammenhang

232311 mmmmVm W minus=minus=sdotminus ρ (4)wobei ρW die Dichte des Wassers ist Zur Bestimmung der Dichte ρ1 der Probe kann man aus den Gleichungen (1) und (4) die Unbekannten m1 und V1 ermitteln Man erhaumllt

)()(

231

231

1

11 mmm

mmmVm LW

minusminussdotminusminussdot

==ρρρ (5)

AUFGABEN 1 Bestimmung der Masse m1rsquo fuumlr zwei verschiedene Metallproben (Al und Cu) durch

Waumlgung in Luft Fuumlr jede Probe erfolgt die Waumlgung sechsmal wobei die Probe immer neu auf die Waage zu legen ist Bestimmung der zugehoumlrigen Mittelwerte

2 Bestimmung der Masse m2rsquo des vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllten Pyknometers durch Waumlgung Die jeweils erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt sechsmal Bestimmung des Mittelwertes

3 Bestimmung der Masse m3rsquo des mit Wasser und jeweiliger Metallprobe gefuumlllten Pykno-meters durch Waumlgung Die erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt fuumlr jede Probe sechsmal Bestimmung der Mittelwerte

4 Berechnung der Dichte der beiden Metallproben nach Gleichung (5) 5 Bestimmung der jeweiligen Messunsicherheiten fuumlr die unmittelbar gemessenen Groumlszligen

m1rsquo m2rsquo und m3rsquo fuumlr beide Proben 6 Abschaumltzung bzw Berechnung (Fortpflanzung) der resultierenden Messunsicherheiten der

mit (5) mittelbar bestimmten beiden Dichten Vergleich der Ergebnisse fuumlr die beiden Dichten mit Referenzwerten

12

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

VERSUCHSHINWEISE Die Waumlgungen werden mit einer elektronischen Analysenwaage durchgefuumlhrt bei der die auf-gelegte Last (Abb 1 oberer Pfeil) durch eine elektromagnetische Kraft kompensiert wird Mit einer optoelektronischen Abtastung (1) wird die Stellung der Waagschale (2) gemessen und mit diesem Signal der Kompensationsstrom in der Spule (3) gesteuert Der Kompensations-strom erzeugt zwischen Permanentmagnet (4) und Spule eine Kraft so dass die Waagschale in die Null-Lage zuruumlckgefuumlhrt wird der Strom ist der Last proportional Zur Durchfuumlhrung der Waumlgungen beachte man unbedingt die Hinweise des Versuchsbetreuers und die Platz-anleitung

Abb1 Messprinzip der eAnalysenwaage

lektronischen

Fuumlr Aufgabe 2 wird das Pyknometer bis zum Rand mit destilliertem Wasser gefuumlllt wobei die Bildung von Luftblaumlschen zu vermeiden ist Verschlieszligt man das Pyknometer mit dem ange-schliffenen Stopfen so laumluft Wasser uumlber das sehr sorgfaumlltig mit Filterpapier abzuwischen ist Das Anfassen des Pyknometers muss aumluszligerst vorsichtig erfolgen um seine Erwaumlrmung zu vermeiden (warum) Nach dem Abwischen wird mit Filterpapier der auf der Kapillare stehende Tropfen abgenommen so dass die Kapillare bis oben mit Wasser gefuumlllt ist Fuumlr die durchzufuumlhrenden Waumlgungen ist das Pyknometer stets erneut zu befuumlllen Fuumlr Aufgabe 3 wird der Probekoumlrper in das Pyknometer gebracht und dann mit destilliertem Wasser aufgefuumlllt weiter ist sinngemaumlszlig wie bei Aufgabe 2 zu verfahren Fuumlr Aufgabe 4 sind zusaumltzlich zu den Werten m1rsquo m2rsquo und m3rsquo auch der Luftdruck p sowie die Zimmer- und Wassertemperatur zu bestimmen Die Temperaturen koumlnnen als gleich vor-ausgesetzt werden da das destillierte Wasser sich bereits sehr lange im Versuchsraum befin-det Die temperaturabhaumlngige (s Abb 2) Dichte ρW von reinem (luftfreiem) Wasser laumlsst sich im Temperaturintervall 0degC lt θ lt 40degC naumlherungsweise berechnen mit

4-73-52323 1046657-10772108768-1066299984)( θθθθρ sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot+=sdot minusminusminusmkgw

wobei die Temperatur θ in degC einzusetzen ist (Fehler der Naumlherung ) Diese Naumlhrung gilt bei sog Normaldruck (p

3210 minusminus sdotlt∆ mkgWρN = 1013 kPa) Warum kann die Druckabhaumlngig-

keit hier vernachlaumlssigt werden Die Druckabhaumlngigkeit muss aber bei der Luftdichte unbedingt beruumlcksichtigt werden ebenso wie die Luftfeuchtigkeit (warum) Man verwendet die Beziehung

TRp

fL sdot=ρ

13

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

wobei p der Luftdruck (in Pa) T die Lufttemperatur (in K) und Rf die Gaskonstante feuchter Luft ist Diese Gaskonstante Rf berechnet sich wiederum aus

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdotminus

=

d

ld

lf

RR

pp

RR11 ϕ

0 10 20 30 40992

993

994

995

996

997

998

999

1000

Dic

hte ρ w

(kg

m3 )

Temperatur θ (degC)

-10 0 10 20 3011

12

13

Dic

hte ρ L (k

gm

3 )Temperatur θ (degC)

Abb 2 Temperaturabhaumlngigkeit der Dichte fuumlr (reines) Wasser und (trockene) Luft

Hier ist Rl = 28705 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante trockener Luft Rd = 461 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante von Wasserdampf und φ die relative Luftfeuchtigkeit Die Groumlszlige pd ist der Saumlt-tigungsdampfdruck von Wasser in Luft der sich empirisch mit der sog Magnus-Formel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+degsdot

sdot=θθ

CPapd 2241

504317exp213611)( im Intervall CC degleledegminus 7030 θ

berechnen laumlsst wobei θ wieder die Temperatur (in degC) ist Fuumlr Aufgabe 5 sind die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen der Waumlgungen zu ermitteln Die Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo werden alle mit der gleichen Analysenwaage ermittelt fuumlr die vom Hersteller eine Garantiefehlergrenze (systematischer Restfehler) von 02 mg angegeben wird Diese Garantiefehlergrenze ist fuumlr alle drei Massenwerte als geraumlte-bedingte systematische Abweichung zu beruumlcksichtigen Fuumlr die Messwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo haumlngt es von der sorgfaumlltigen Versuchsdurchfuumlhrung (Abtupfen des Wassers ) ab ob die zufaumlllige undoder die systematische Abweichung die Messunsicherheit bestimmt Fuumlr Aufgabe 6 ist nur die Messunsicherheit der Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo zu beruumlcksich-tigen Die berechneten Werte fuumlr die Dichten von Luft und Wasser koumlnnen als praktisch fehlerfrei angenommen werden

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Erster Hauptsatz der Thermodynamik Waumlrmemenge Waumlrmekapazitaumlt Richmannsche Mischungsregel Arbeit von Gleich- und Wechselstrom Waumlrmeaustauschkorrektur (s Skript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstel-lung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo) Waumlrme ist eine Energieform die zwischen Koumlrpern ausgetauscht wird oder in andere Energie-formen umgewandelt werden kann Fuumlhrt man einem Koumlrper der Masse m die Waumlrmemenge dQ zu dann ist die sich einstellende Temperaturerhoumlhung dT proportional zur zugefuumlhrten Waumlrmemenge

dTcmdQ sdotsdot= (1)wobei der Proportionalitaumltsfaktor c als spezifische Waumlrmekapazitaumlt mit der SI-Einheit Jmiddotkg-1middotK-1 bezeichnet wird und eine Stoffkonstante ist Aus (1) ergibt sich

dTdQ

mc sdot=

1 (2)

Das Produkt cmC sdot= (3)

mit der SI-Einheit JmiddotK-1 nennt man Waumlrmekapazitaumlt des Koumlrpers Zur Bestimmung von Waumlrmemengen benutzt man sog Kalorimeter wobei anisotherme Aus-fuumlhrungen mit sehr gut waumlrmeisolierten Gefaumlszligen am haumlufigsten verwendet werden Fuumlhrt man einem mit Wasser der Masse mW (teilweise) gefuumlllten Kalorimeter eine Waumlrmemenge ∆Q zu dann werden auszliger dem Wasser auch alle Teile des Kalorimeters wie zB Gefaumlszligwandung Thermometer und Ruumlhrer erwaumlrmt Die gesamte Waumlrmekapazitaumlt der Versuchsanordnung setzt sich also aus der des Wassers (mWmiddotcW) und der des Kalorimeters (CK) zusammen

( ) TCcmQ KWW ∆sdot+sdot=∆ (4)Die spezifische Waumlrmekapazitaumlt von Wasser hat als Stoffkonstante den Wert cW = 41813 kJmiddotkg-1middotK-1 (bei 25degC) Die Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorime-ters ist rechnerisch nur naumlherungsweise moumlglich deshalb wird sie ia experimentell ermittelt 1 Elektrische Methode Flieszligt durch einen Ohmschen Leiter (Heizspirale) an dem die Spannung U anliegt der Strom I dann entsteht im Zeitintervall ∆t in ihm eine der elektri-schen Energie aumlquivalente Waumlrmemenge

tIUQ ∆sdotsdot=∆ (5)Uumlbertraumlgt man diese Waumlrmemenge an das Wasser (Masse mW) und das Kalorimeter (Waumlrme-kapazitaumlt CK) dann steigt die Wassertemperatur gemaumlszlig (4) Bei verlustloser Waumlrmeuumlbertra-gung sind beide Waumlrmemengen gleich (Energieerhaltungssatz) und es gilt

( ) TCcmtIU KWW ∆sdot+sdot=∆sdotsdot (6)so dass CK bestimmt werden kann 2 Mischungsmethode Fuumlgt man kaltem Wasser der Masse m1 und Temperatur T1 in einem Kalorimeter warmes Wasser der Masse m2 und Temperatur T2 hinzu so findet ein Waumlrmeaus-tausch statt bis das gesamte Wasser die Mischungstemperatur Tm angenommen hat Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dass die vom warmen Wasser abgegebene Waumlrmeenergie

gleich der vom kalten Wasser und dem Kalorimeter aufgenommenen Waumlrmeenergie

)( 222 mW TTcmQ minussdotsdot=∆( ) )( 111 TTCcmQ mKW minussdot+sdot=∆ sein muss Der Energieerhaltungssatz in dieser

speziellen Form des Austausches von Waumlrmemenge heiszligt Richmannsche Mischungsregel und ergibt die Gleichung

( ) )()( 2211 mWmKW TTcmTTCcm minussdotsdot=minussdot+sdot (7)zur Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorimeters

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

AUFGABEN 1 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der elektrischen Methode gemaumlszlig (6) 2 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 1 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 3 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der Mischungsmethode mit (7) 4 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 3 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 5 Fuumlr beide Methoden fuumlhre man eine Bestimmung der Messunsicherheit der Waumlrmekapazi-

taumlt durch und vergleiche die Endergebnisse miteinander VERSUCHSHINWEISE Das Verfahren zur Waumlrmeaustauschkorrektur Bei kalorimetrischen Messungen ist ein Waumlrmeaustausch mit der Umgebung unvermeidlich (offenes thermodynamisches System) und meist stoumlrend Aus dem gemessenen zeitlichen Temperaturverlauf ist er aber abzulesen (s Abb 1)

DE

Abbildung 1 Zeitlicher Verlauf der Temperatur im Kalorimeter

In der Vorperiode erhaumllt man den ansteigenden Kurvenabschnitt ArarrB in der Nachperiode den abfallenden Kurvenabschnitt ErarrF Das liegt daran dass das Kalorimeter eben nicht adia-batisch bzw isentrop ist Die Temperatur der Kalorimeterfluumlssigkeit im Innern gleicht sich in beiden Abschnitten jeweils (asymptotisch) an die Umgebungstemperatur TU an wobei der Waumlrmefluss proportional zur Temperaturdifferenz ist Es laumlsst sich zeigen dass der Gleichge-wichtszustand zeitlich exponentiell angenommen wird Im vorliegenden Fall ist aber die ent-sprechende Zeitkonstante sehr groszlig im Vergleich zur Messzeit so dass die beiden Abschnitte ArarrB und ErarrF naumlherungsweise jeweils durch eine Gerade beschrieben werden duumlrfen Die-ser Sachverhalt gestattet es auszligerdem in diesen Abschnitten die Messwerte in groumlszligerer zeitli-cher Schrittweite aufzunehmen Aufgrund des real zeitlich ausgedehnten Waumlrmeaustausches mit der Umgebung beobachtet man einen stetigen und differenzierbaren Verlauf der Kurve im Abschnitt BrarrE Nur wenn die im Experiment zugefuumlhrte Waumlrme sofort verteilt wuumlrde waumlre die Temperaturkurve eine Sprungfunktion Das System braucht eine gewisse Zeit bis sich ein neues Gleichgewicht ein-stellen kann Es verhaumllt sich so als ob es uumlber ein ganzes Zeitintervall bdquoverschmiertldquo waumlre Es gilt also die Endzeit der Waumlrmezufuhr zu finden Sie liegt im Wendepunkt der Temperaturkurve weil sich dort die Richtung der Kruumlmmung aumlndert also Waumlrmezufuhr in Waumlrmeverlust uumlbergeht Nun laumlsst sich aber im Abschnitt BrarrE die Kurve T(t) nicht beliebig

F

Tem

pera

tur

T

∆T S

TU

A B C

Zeit

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

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O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

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O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

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O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

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O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

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O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

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O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

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O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

F3 FADENPENDEL

)sin(0 ψωϕϕ +sdotsdot= t mit lg

=ω (5)

geloumlst werden Die hier zunaumlchst willkuumlrlich erscheinenden Konstanten heiszligen Amplitude φ0

bzw Phasenkonstante ψ und sind durch die konkreten Anfangsbedingungen fuumlr t = 0 festge-legt Das mathematische Pendel vollfuumlhrt demnach bei Auslenkung um kleine Winkel harmo-nische Schwingungen mit der Kreisfrequenz ω und der Periodendauer

glT π

ωπ 22== (6)

die unabhaumlngig von der Masse m und der Amplitude φ0 ist Die Beziehung (6) erlaubt prinzipiell bei bekannter Pendellaumlnge l durch Messung der Perio-dendauer T eine Bestimmung der Fallbeschleunigung g Allerdings ist die Pendellaumlnge l nur sehr ungenau zu bestimmen Deshalb bedient man sich hier zweckmaumlszligig eines einfachen Tricks Die Laumlnge l kann um genau einstellbare Betraumlge li veraumlndert werden und setzt sich gemaumlszlig zusammen Damit wird aus (6) durch entsprechende Umformung illl += 0

( )ii llgg

lT +sdot== 0

222 44 ππ (7)

Misst man nun die Periodendauern Ti fuumlr die entsprechenden li und stellt die Abhaumlngigkeit

Ti2(li) dar so ergibt sich eine Gerade mit dem Anstieg

g

24π und dem Achsenabschnitt

0

24 lg

sdotπ Damit werden die Groumlszligen g und l0 bestimmbar

Die oben vorgenommenen Vereinfachungen die zur Herleitung der Beziehung (6) verwendet wurden beduumlrfen noch einer weiteren Diskussion Betrachtung beliebiger Winkel Ohne die obige Beschraumlnkung auf kleine Winkel φ liefert die Loumlsung der sog elliptischen Differentialgleichung (2) fuumlr die Periodendauer das (exak-tere) Ergebnis

( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛sdotsdot+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛sdot+sdot=

2sin

2sin1 042

43

21022

21 ϕϕ

ϕ TT (8)

wobei T durch die Beziehung (6) gegeben ist Beruumlcksichtigung des Auftriebs in Luft Der Massekoumlrper aus Blei mit der Dichte von ρK = 11340 kgm-3 und dem Volumen VK erfaumlhrt in Luft der Dichte ρL asymp 12 kgm-3 eine Auftriebskraft gVF KLA sdotsdot= ρ die der Gewichtskraft gVgmF KKG sdotsdot=sdot= ρ entgegen-gerichtet ist Unter Beruumlcksichtigung dieses Auftriebs in Luft erhaumllt man schlieszliglich fuumlr die Periodendauer

LK

KA TT

ρρρminus

sdot= (9)

Betrachtung fuumlr ausgedehnten Massekoumlrper Die Ausdehnung des schwingenden Koumlrpers kann man beruumlcksichtigen wenn man von der Bewegungsgleichung des sog physikalischen Pendels (vgl Versuch bdquoM9 Reversionspendelldquo) ausgeht Die genaue Betrachtung bzw Herleitung wird hier bewusst nicht angegeben sondern nur das Ergebnis Mit bekannten Abmessungen des Bleizylinders (Radius R und Houmlhe h) am Faden der Laumlnge l bestimmt sich die Periodendauer zu

2

22

1231

lhRTTs sdot

++sdot= (10)

7

F3 FADENPENDEL

Der Einfluss des Fadens wurde auch bei diesen Betrachtungen aber ebenso vernachlaumlssigt wie die auftretende Reibung Es ist sicherlich empirisch einsichtig dass schwache Reibung zu einer gedaumlmpften Schwingung fuumlhren wird Die Schwingungsamplitude klingt dann

exponentiell mit sehr groszliger Zeitkonstante τ wie τt

eminus

ab AUFGABEN 1 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine feste Fadenlaumlnge Die Zeitmessung erfolgt fuumlr 10

Schwingungen jeweils zehnmal an einem Umkehrpunkt und beim Nulldurchgang des Pendels Berechnung von Mittelwerte Standardabweichung und Vertrauensbereich der Periodendauer und Diskussion der Unterschiede zwischen beiden Verfahren

2 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine Schwingung beim Nulldurchgang mit zehnfacher Messung Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung anschlieszligend Vergleich mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe 1 und Diskussion der Unterschiede

3 Bestimmung der Periodendauer fuumlr 10 verschiedene Fadenlaumlngen li Aus jeweils 2 Messungen fuumlr 10 Schwingungen sind die Mittelwerte fuumlr die Periodendauern Ti(li) zu berechnen

4 Grafische Darstellung der Ergebnisse der 3 Aufgabe in der Form Ti2(li) in einem

Diagramm Verwendung von Gleichung (7) zur Bestimmung von Fallbeschleunigung g und Anfangslaumlnge des Pendels l0 sowohl durch grafischen Geradenausgleich als auch numerische lineare Regression mit Ermittlung der zugehoumlrigen Unsicherheiten

5 Aus den Ergebnissen der 4 Aufgabe fuumlr l0 und g ist gemaumlszlig Gleichung (6) die Periodendauer T einschlieszliglich ihrer Unsicherheit zu berechnen und mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe zu vergleichen

6 Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen fuumlr die Periodendauer gemaumlszlig der og drei Gleichungen (8-10) und ihres Einflusses auf die g-Bestimmung Diskussion der Relevanz entsprechender Korrekturen

VERSUCHSHINWEISE Ein gegossener Bleizylinder (Radius R asymp 23 mm Houmlhe h asymp 23 mm Masse m asymp 08 kg) haumlngt an einem duumlnnen Stahldraht Die Pendellaumlnge laumlsst sich durch einen Schieber in dessen Fuumlhrung der Draht laumluft veraumlndern Die Laumlngenaumlnderung kann mit Hilfe von Ringmarken deren Abstand 2 cm betraumlgt eingestellt werden Bei Auslenkung des Pendels aus seiner Ruhelage fuumlhrt es Schwingungen aus deren Periodendauer mit einer von Hand ausgeloumlsten Stoppuhr bestimmt wird Fuumlr die ersten beiden Aufgaben ist zweckmaumlszligig (warum) eine moumlglichst groszlige Fadenlaumlnge zu waumlhlen Die zugehoumlrige Stellung des Schiebers ist unbedingt zu notieren da sie spaumlter benoumltigt wird Fuumlr die 3 Aufgabe wird die Anfangsfadenlaumlnge l0 um die Werte li (i = 110) in Schritten von 4 cm verringert Fuumlr die mit der 4 Aufgabe erforderliche Auswertung sind grafische Mittel (Anstiegsdreieck grafische Extrapolation auf den Achsenabschnitt) und ein rechentechnisches Verfahren (lineare Regression) einzusetzen Fuumlr Aufgabe 5 ist das bei Aufgabe 4 bestimmte Ergebnis fuumlr die Anfangslaumlnge l0 zu verwenden Bei Aufgabe 6 muss ermittelt werden wie sich die Korrekturen der Schwingungsdauer gemaumlszlig (8-10) auf die Fallbeschleunigung g auswirken Beachten Sie hier dass g aus dem Anstieg der Geraden gemaumlszlig der 4 Aufgabe nach Gleichung (7) bestimmt wird Uumlberlegen Sie welche zufaumllligen und welche systematischen Abweichungen die Messunsicherheit der Fallbeschleunigung g wesentlich bestimmen

8

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Traumlgheitsgesetz Grundgesetz der Dynamik Feder-konstante Federkraft harmonische Schwingung Frequenz Periodendauer Amplitude In diesem Versuch soll die Federkonstante einer Schraubenfeder mit drei verschiedenen Methoden bestimmt werden Bei der Auswertung der Ergebnisse sind Grundbegriffe und Methoden der Fehlerrechnung und ndashanalyse gezielt anzuwenden und zu uumlben 1 Statische Messung der Federkonstanten Wird eine am oberen Ende eingespannte Schraubenfeder am unteren Ende durch Anhaumlngen einer Masse m belastet so wird die Feder gedehnt und es stellt sich eine neue Ruhelage ein (Abb 1 statischer Fall) Die Gewichtskraft

gmFG sdot= und die durch die elastische Verformung entstehende Federkraft (mit k als Federkonstante) stehen im Gleichgewicht (Newtonsches Traumlgheitsgesetz)

xkFF sdotminus=

0=+ FG FF (1)

Abbildung 1 Statische und dynamische Belastung einer Schraubenfeder

Durch Einsetzen der Beziehungen fuumlr beide Kraumlfte und einfache Umstellung ergibt sich daraus

kgmx sdot

= (2)

Die statische Auslenkung x der Schraubenfeder muss demnach linear von der Belastung m abhaumlngig sein Durch die experimentelle Untersuchung der Abhaumlngigkeit x(m) kann sowohl die Linearitaumlt des Federkraftgesetzes xkFF sdotminus= uumlberpruumlft als auch die Federkonstante k bestimmt werden 2 Dynamische Messung der Federkonstanten Lenkt man eine mit der Masse m belastete Feder aus ihrer Ruhelage aus (Abb 1 dynamischer Fall) dann wirkt eine ruumlcktreibende

Federkraft und die Masse m erfaumlhrt eine Beschleunigung xkFF sdotminus=mFx

dtxda F=== 2

2

nach

dem Newtonschen Grundgesetz der Dynamik Fuumlr die weiteren Betrachtungen sollen jegliche Reibungskraumlfte vernachlaumlssigt werden daher ergibt sich aus der Newtonschen Bewegungs-gleichung hier die einfachste Form einer Schwingungsdifferentialgleichung mit

02

2

=sdot+sdot xkdt

xdm (3)

9

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

die eine freie ungedaumlmpfte Schwingung beschreibt Mit den willkuumlrlich ausgewaumlhlten Anfangsbedingungen (Anfangslage) und 0)0( xtx == 0)0( 0 === vtx (Anfangsgeschwin-digkeit) lautet ihre Loumlsung

)cos()( 0 txtx sdotsdot= ω (4)wobei physikalisch x0 als Amplitude und mk=ω als Kreisfrequenz der freien ungedaumlmpf-ten Federschwingung bezeichnet werden Der Koumlrper der Masse m schwingt nach Auslen-kung (aus der Gleichgewichts- bzw Ruhelage um x0) in Form einer harmonischen Schwin-gung mit der Periodendauer

kmT π

ωπ 22== (5)

die experimentell direkt gemessen werden kann Aus (5) ist bei bekannter Masse m die Feder-konstante k bestimmbar 3 Berechnung der Federkonstanten aus der Geometrie und den Materialeigenschaften der Schraubenfeder Durch eine Auslenkung aus der Ruhelage wird die Schraubenfeder gedehnt und damit der gesamte Federdraht auf sog Torsion (svw bdquoVerdrehungldquo oder bdquoVerdrillungldquo) beansprucht Ohne weitere Herleitung sei hier eine Beziehung angegeben die es gestattet aus dem sog Torsionsmodul G (als Materialkonstante des Federdrahtes) und den geometrischen Daten der Schraubenfeder (Drahtlaumlnge l Drahtdurchmesser d und Wickel-radius r) die Federkonstante k zu berechnen

2

4

32 rldGksdotsdot

sdot=π (6)

AUFGABEN 1 Aus dem statischen Verhalten einer Schraubenfeder ist deren Federkonstante experimentell

zu bestimmen Dazu ist gemaumlszlig Beziehung (2) die statische Auslenkung x in Abhaumlngigkeit von der Belastung m mit verschiedenen Massestuumlcken zu messen Die Daten sind in der Form x = x(m) als Diagramm grafisch darzustellen und daraus die Federkonstante k zu er-mitteln Fuumlr die zu erwartende lineare Abhaumlngigkeit ist sowohl mit einfacher grafischer Methode (bdquoSteigungsdreieckldquo) als auch numerisch (Geradenausgleichsrechnung lineare Regression) der Anstieg von x = x(m) und daraus die Federkonstante (jeweils auch ein-schlieszliglich der Messunsicherheit) zu bestimmen

2 Mithilfe des dynamischen Verhaltens des Federschwingers ist fuumlr dieselbe Feder die Federkonstante aus der experimentell beobachteten Periodendauer der Schwingung zu bestimmen (jeweils auch einschlieszliglich der Messunsicherheit) Dazu ist Formel (5) bei be-kannter und sinnvoll gewaumlhlter Masse m zu nutzen

3 Mithilfe von Formel (6) ist aus den Daten der Schraubenfeder die am Versuchsplatz angegeben sind die Federkonstante k einschlieszliglich ihrer resultierenden Unsicherheit zu berechnen

4 Die Obergrenzen fuumlr systematische Messabweichungen bei den ersten beiden Aufgaben (statische und dynamische Messung der Federkonstanten) sind abzuschaumltzen (Groumlszligenord-nungen) Es ist zu analysieren welche dieser systematischen Abweichungen korrigierbar sind und welche dann tatsaumlchlich in die Messunsicherheit des Endergebnisses eingehen

5 Fuumlr alle drei Methoden (Aufgaben 1-3) sind die Ergebnisse (einschlieszliglich Messunsicher-heit) fuumlr die Federkonstante uumlbersichtlich darzustellen miteinander zu vergleichen und zu diskutieren Sofern moumlglich ist ein gewichteter Mittelwert zu ermitteln

10

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

VERSUCHSHINWEISE Die Schraubenfeder ist mit einem Ende an einem Stativ befestigt Zur Messung der Auslen-kung der Feder aus der Ruhelage wird die Stellung der an der Feder befindlichen Marke M (Abb 1) auf einer Spiegelskale abgelesen (Welchen Vorteil bietet eine Spiegelskale gegen-uumlber einer einfachen Skale) Die sog Verkehrsfehlergrenze der Massennormale ist fuumlr die Masse m = 50 g mit ∆m = plusmn 01 g festgelegt Bei Messung einer Laumlnge l mit der Spiegelskale ist die Messunsi-cherheit ∆l = plusmn (02 mm + 5middot10-4middotl) Fuumlr die Fallbeschleunigung ist (lt Festlegung der Eichbe-houmlrden der Laumlnder fuumlr Waagen) ein Wert von g = (98130 plusmn 00001) mmiddots-2 zu verwenden Fuumlr die 1 Aufgabe wird die Feder schrittweise bis 400 g mit Massestuumlcken von 50 g belastet und mit Hilfe einer Spiegelskale an der Marke M die Auslenkung x gemessen (erste Mess-reihe) Nach Erreichen der Houmlchstbelastung von 400 g ist dann die Feder wieder schrittweise zu entlasten (zweite Messreihe) a) Aus der grafischen Darstellung x = x(m) ist mithilfe des bdquoSteigungsdreiecksldquo der Anstieg

gk grafisch zu ermitteln und seine Unsicherheit entsprechend abzuschaumltzen (vgl Einfuumlh-rungsskript) Daraus sind dann die Federkonstante k als mittelbar bestimmter Groumlszlige und ihre Unsicherheit ∆k zu berechnen

b) Durch lineare Regression ist mithilfe geeigneter Software (s Einfuumlhrungsskript und Vorle-sung) der Anstieg und seine Unsicherheit numerisch zu ermitteln daraus ebenfalls wieder die Federkonstante und deren Unsicherheit

Fuumlr die 2 Aufgabe wird die Feder mit einer Gesamtmasse von 400 g belastet und 10mal die Zeit fuumlr jeweils 20 Schwingungen mithilfe einer Stoppuhr gemessen Daraus ist der Mittel-wert der Periodendauer T und ihr Vertrauensbereich sT zu berechnen und mittelbar damit die Federkonstante k uumlber Gleichung (5) mit ihrer Messunsicherheit a) Zur Genauigkeit der Messung mit Stoppuhren sind im Einfuumlhrungsskript ausfuumlhrliche Hin-

weise enthalten Entsprechend den dort enthaltenen Angaben sind die systematischen Messabweichungen mit ihrer Auswirkung auf die Periodendauer und die Federkonstante realistisch abzuschaumltzen

b) Bezuumlglich der Massen ist bereits ein Hinweis bei Aufgabe 1 gegeben worden Zusaumltzlich muumlsste noch der Einfluss der Eigenmasse der Feder von mF asymp 5 g auf die Periodendauer beruumlcksichtigt werden Die Teile der Feder nehmen unterschiedlich an der Bewegung teil es kann als zu beruumlcksichtigende Zusatzmasse macute= mF3 gesetzt werden Somit ergibt sich

fuumlr die Periodendauer m

mTk

mmT F

312acute +=

+= π

c) Auch bei sehr sorgfaumlltiger Anfangsauslenkung fuumlhrt der Federschwinger nach einigen Schwingungen unvermeidlich seitliche Schwingungen aus Wie beeinflusst diese Bewe-gung die gemessene Periodendauer Man uumlberlege sich auch welche Auswirkungen die in der Betrachtung vernachlaumlssigte aber unvermeidlich auftretende Reibung auf das Ergebnis dieses Verfahrens hat

Fuumlr die 3 Aufgabe sind am jeweiligen Versuchsplatz die Messunsicherheiten der einzelnen Groumlszligen mit angegeben Eine Unterscheidung von zufaumllligen und systematischen Komponen-ten ist hier allerdings nicht moumlglich Fuumlr Aufgabe 5 ist eine tabellarische Darstellungsweise vorzuziehen In Zusammenhang mit dem gewogenen Mittelwert ist zu analysieren unter welchen Bedingungen er uumlberhaupt sinn-voll gebildet werden kann

11

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Dichte Auftriebskraft Analy-senwaage Pyknometer Ein sog Pyknometer ist ein Geraumlt zur Bestimmung der Dichte fester Koumlrper Es besteht aus einem Glasgefaumlszlig mit eingeschliffenem Stopfen der eine kapillare Bohrung hat Das Pykno-meter kann reproduzierbar mit groszliger Genauigkeit mit Wasser gefuumlllt werden Zur Dichtebe-stimmung mit dem Pyknometer sind drei Waumlgungen mit einer Analysenwaage noumltig wobei der Auftrieb der zu waumlgenden Koumlrper (Probe bzw Pyknometer) in Luft (Dichte ρL) zu beruumlck-sichtigen ist 1 Waumlgung der Probe in Luft Fuumlr eine Probe (Masse m1 Volumen V1) wird die Gewichts-kraft durch die ihr entgegengesetzt gerichtete Auftriebskraft gmF sdot= 11 gVF LA sdotsdot= ρ11 vermindert so dass im Gleichgewicht die Waage den Wert m1rsquo anzeigt Die Gleichgewichts-bedingung liefert

111 mVm L =sdotminus ρ (1)2 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers Das vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllte Pykno-meter (Volumen VP) hat die Gesamtmasse m2 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m2rsquo an so dass gilt

22 mVm LP =sdotminus ρ (2)3 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers mit Probe Das mit Wasser und der Probe gefuumlllte Pyknometer hat die Gesamtmasse m3 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m3rsquo an so dass gilt

33 mVm LP =sdotminus ρ (3)Zwischen den Massen m1 m2 und m3 besteht der Zusammenhang

232311 mmmmVm W minus=minus=sdotminus ρ (4)wobei ρW die Dichte des Wassers ist Zur Bestimmung der Dichte ρ1 der Probe kann man aus den Gleichungen (1) und (4) die Unbekannten m1 und V1 ermitteln Man erhaumllt

)()(

231

231

1

11 mmm

mmmVm LW

minusminussdotminusminussdot

==ρρρ (5)

AUFGABEN 1 Bestimmung der Masse m1rsquo fuumlr zwei verschiedene Metallproben (Al und Cu) durch

Waumlgung in Luft Fuumlr jede Probe erfolgt die Waumlgung sechsmal wobei die Probe immer neu auf die Waage zu legen ist Bestimmung der zugehoumlrigen Mittelwerte

2 Bestimmung der Masse m2rsquo des vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllten Pyknometers durch Waumlgung Die jeweils erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt sechsmal Bestimmung des Mittelwertes

3 Bestimmung der Masse m3rsquo des mit Wasser und jeweiliger Metallprobe gefuumlllten Pykno-meters durch Waumlgung Die erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt fuumlr jede Probe sechsmal Bestimmung der Mittelwerte

4 Berechnung der Dichte der beiden Metallproben nach Gleichung (5) 5 Bestimmung der jeweiligen Messunsicherheiten fuumlr die unmittelbar gemessenen Groumlszligen

m1rsquo m2rsquo und m3rsquo fuumlr beide Proben 6 Abschaumltzung bzw Berechnung (Fortpflanzung) der resultierenden Messunsicherheiten der

mit (5) mittelbar bestimmten beiden Dichten Vergleich der Ergebnisse fuumlr die beiden Dichten mit Referenzwerten

12

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

VERSUCHSHINWEISE Die Waumlgungen werden mit einer elektronischen Analysenwaage durchgefuumlhrt bei der die auf-gelegte Last (Abb 1 oberer Pfeil) durch eine elektromagnetische Kraft kompensiert wird Mit einer optoelektronischen Abtastung (1) wird die Stellung der Waagschale (2) gemessen und mit diesem Signal der Kompensationsstrom in der Spule (3) gesteuert Der Kompensations-strom erzeugt zwischen Permanentmagnet (4) und Spule eine Kraft so dass die Waagschale in die Null-Lage zuruumlckgefuumlhrt wird der Strom ist der Last proportional Zur Durchfuumlhrung der Waumlgungen beachte man unbedingt die Hinweise des Versuchsbetreuers und die Platz-anleitung

Abb1 Messprinzip der eAnalysenwaage

lektronischen

Fuumlr Aufgabe 2 wird das Pyknometer bis zum Rand mit destilliertem Wasser gefuumlllt wobei die Bildung von Luftblaumlschen zu vermeiden ist Verschlieszligt man das Pyknometer mit dem ange-schliffenen Stopfen so laumluft Wasser uumlber das sehr sorgfaumlltig mit Filterpapier abzuwischen ist Das Anfassen des Pyknometers muss aumluszligerst vorsichtig erfolgen um seine Erwaumlrmung zu vermeiden (warum) Nach dem Abwischen wird mit Filterpapier der auf der Kapillare stehende Tropfen abgenommen so dass die Kapillare bis oben mit Wasser gefuumlllt ist Fuumlr die durchzufuumlhrenden Waumlgungen ist das Pyknometer stets erneut zu befuumlllen Fuumlr Aufgabe 3 wird der Probekoumlrper in das Pyknometer gebracht und dann mit destilliertem Wasser aufgefuumlllt weiter ist sinngemaumlszlig wie bei Aufgabe 2 zu verfahren Fuumlr Aufgabe 4 sind zusaumltzlich zu den Werten m1rsquo m2rsquo und m3rsquo auch der Luftdruck p sowie die Zimmer- und Wassertemperatur zu bestimmen Die Temperaturen koumlnnen als gleich vor-ausgesetzt werden da das destillierte Wasser sich bereits sehr lange im Versuchsraum befin-det Die temperaturabhaumlngige (s Abb 2) Dichte ρW von reinem (luftfreiem) Wasser laumlsst sich im Temperaturintervall 0degC lt θ lt 40degC naumlherungsweise berechnen mit

4-73-52323 1046657-10772108768-1066299984)( θθθθρ sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot+=sdot minusminusminusmkgw

wobei die Temperatur θ in degC einzusetzen ist (Fehler der Naumlherung ) Diese Naumlhrung gilt bei sog Normaldruck (p

3210 minusminus sdotlt∆ mkgWρN = 1013 kPa) Warum kann die Druckabhaumlngig-

keit hier vernachlaumlssigt werden Die Druckabhaumlngigkeit muss aber bei der Luftdichte unbedingt beruumlcksichtigt werden ebenso wie die Luftfeuchtigkeit (warum) Man verwendet die Beziehung

TRp

fL sdot=ρ

13

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

wobei p der Luftdruck (in Pa) T die Lufttemperatur (in K) und Rf die Gaskonstante feuchter Luft ist Diese Gaskonstante Rf berechnet sich wiederum aus

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdotminus

=

d

ld

lf

RR

pp

RR11 ϕ

0 10 20 30 40992

993

994

995

996

997

998

999

1000

Dic

hte ρ w

(kg

m3 )

Temperatur θ (degC)

-10 0 10 20 3011

12

13

Dic

hte ρ L (k

gm

3 )Temperatur θ (degC)

Abb 2 Temperaturabhaumlngigkeit der Dichte fuumlr (reines) Wasser und (trockene) Luft

Hier ist Rl = 28705 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante trockener Luft Rd = 461 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante von Wasserdampf und φ die relative Luftfeuchtigkeit Die Groumlszlige pd ist der Saumlt-tigungsdampfdruck von Wasser in Luft der sich empirisch mit der sog Magnus-Formel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+degsdot

sdot=θθ

CPapd 2241

504317exp213611)( im Intervall CC degleledegminus 7030 θ

berechnen laumlsst wobei θ wieder die Temperatur (in degC) ist Fuumlr Aufgabe 5 sind die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen der Waumlgungen zu ermitteln Die Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo werden alle mit der gleichen Analysenwaage ermittelt fuumlr die vom Hersteller eine Garantiefehlergrenze (systematischer Restfehler) von 02 mg angegeben wird Diese Garantiefehlergrenze ist fuumlr alle drei Massenwerte als geraumlte-bedingte systematische Abweichung zu beruumlcksichtigen Fuumlr die Messwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo haumlngt es von der sorgfaumlltigen Versuchsdurchfuumlhrung (Abtupfen des Wassers ) ab ob die zufaumlllige undoder die systematische Abweichung die Messunsicherheit bestimmt Fuumlr Aufgabe 6 ist nur die Messunsicherheit der Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo zu beruumlcksich-tigen Die berechneten Werte fuumlr die Dichten von Luft und Wasser koumlnnen als praktisch fehlerfrei angenommen werden

14

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Erster Hauptsatz der Thermodynamik Waumlrmemenge Waumlrmekapazitaumlt Richmannsche Mischungsregel Arbeit von Gleich- und Wechselstrom Waumlrmeaustauschkorrektur (s Skript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstel-lung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo) Waumlrme ist eine Energieform die zwischen Koumlrpern ausgetauscht wird oder in andere Energie-formen umgewandelt werden kann Fuumlhrt man einem Koumlrper der Masse m die Waumlrmemenge dQ zu dann ist die sich einstellende Temperaturerhoumlhung dT proportional zur zugefuumlhrten Waumlrmemenge

dTcmdQ sdotsdot= (1)wobei der Proportionalitaumltsfaktor c als spezifische Waumlrmekapazitaumlt mit der SI-Einheit Jmiddotkg-1middotK-1 bezeichnet wird und eine Stoffkonstante ist Aus (1) ergibt sich

dTdQ

mc sdot=

1 (2)

Das Produkt cmC sdot= (3)

mit der SI-Einheit JmiddotK-1 nennt man Waumlrmekapazitaumlt des Koumlrpers Zur Bestimmung von Waumlrmemengen benutzt man sog Kalorimeter wobei anisotherme Aus-fuumlhrungen mit sehr gut waumlrmeisolierten Gefaumlszligen am haumlufigsten verwendet werden Fuumlhrt man einem mit Wasser der Masse mW (teilweise) gefuumlllten Kalorimeter eine Waumlrmemenge ∆Q zu dann werden auszliger dem Wasser auch alle Teile des Kalorimeters wie zB Gefaumlszligwandung Thermometer und Ruumlhrer erwaumlrmt Die gesamte Waumlrmekapazitaumlt der Versuchsanordnung setzt sich also aus der des Wassers (mWmiddotcW) und der des Kalorimeters (CK) zusammen

( ) TCcmQ KWW ∆sdot+sdot=∆ (4)Die spezifische Waumlrmekapazitaumlt von Wasser hat als Stoffkonstante den Wert cW = 41813 kJmiddotkg-1middotK-1 (bei 25degC) Die Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorime-ters ist rechnerisch nur naumlherungsweise moumlglich deshalb wird sie ia experimentell ermittelt 1 Elektrische Methode Flieszligt durch einen Ohmschen Leiter (Heizspirale) an dem die Spannung U anliegt der Strom I dann entsteht im Zeitintervall ∆t in ihm eine der elektri-schen Energie aumlquivalente Waumlrmemenge

tIUQ ∆sdotsdot=∆ (5)Uumlbertraumlgt man diese Waumlrmemenge an das Wasser (Masse mW) und das Kalorimeter (Waumlrme-kapazitaumlt CK) dann steigt die Wassertemperatur gemaumlszlig (4) Bei verlustloser Waumlrmeuumlbertra-gung sind beide Waumlrmemengen gleich (Energieerhaltungssatz) und es gilt

( ) TCcmtIU KWW ∆sdot+sdot=∆sdotsdot (6)so dass CK bestimmt werden kann 2 Mischungsmethode Fuumlgt man kaltem Wasser der Masse m1 und Temperatur T1 in einem Kalorimeter warmes Wasser der Masse m2 und Temperatur T2 hinzu so findet ein Waumlrmeaus-tausch statt bis das gesamte Wasser die Mischungstemperatur Tm angenommen hat Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dass die vom warmen Wasser abgegebene Waumlrmeenergie

gleich der vom kalten Wasser und dem Kalorimeter aufgenommenen Waumlrmeenergie

)( 222 mW TTcmQ minussdotsdot=∆( ) )( 111 TTCcmQ mKW minussdot+sdot=∆ sein muss Der Energieerhaltungssatz in dieser

speziellen Form des Austausches von Waumlrmemenge heiszligt Richmannsche Mischungsregel und ergibt die Gleichung

( ) )()( 2211 mWmKW TTcmTTCcm minussdotsdot=minussdot+sdot (7)zur Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorimeters

15

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

AUFGABEN 1 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der elektrischen Methode gemaumlszlig (6) 2 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 1 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 3 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der Mischungsmethode mit (7) 4 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 3 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 5 Fuumlr beide Methoden fuumlhre man eine Bestimmung der Messunsicherheit der Waumlrmekapazi-

taumlt durch und vergleiche die Endergebnisse miteinander VERSUCHSHINWEISE Das Verfahren zur Waumlrmeaustauschkorrektur Bei kalorimetrischen Messungen ist ein Waumlrmeaustausch mit der Umgebung unvermeidlich (offenes thermodynamisches System) und meist stoumlrend Aus dem gemessenen zeitlichen Temperaturverlauf ist er aber abzulesen (s Abb 1)

DE

Abbildung 1 Zeitlicher Verlauf der Temperatur im Kalorimeter

In der Vorperiode erhaumllt man den ansteigenden Kurvenabschnitt ArarrB in der Nachperiode den abfallenden Kurvenabschnitt ErarrF Das liegt daran dass das Kalorimeter eben nicht adia-batisch bzw isentrop ist Die Temperatur der Kalorimeterfluumlssigkeit im Innern gleicht sich in beiden Abschnitten jeweils (asymptotisch) an die Umgebungstemperatur TU an wobei der Waumlrmefluss proportional zur Temperaturdifferenz ist Es laumlsst sich zeigen dass der Gleichge-wichtszustand zeitlich exponentiell angenommen wird Im vorliegenden Fall ist aber die ent-sprechende Zeitkonstante sehr groszlig im Vergleich zur Messzeit so dass die beiden Abschnitte ArarrB und ErarrF naumlherungsweise jeweils durch eine Gerade beschrieben werden duumlrfen Die-ser Sachverhalt gestattet es auszligerdem in diesen Abschnitten die Messwerte in groumlszligerer zeitli-cher Schrittweite aufzunehmen Aufgrund des real zeitlich ausgedehnten Waumlrmeaustausches mit der Umgebung beobachtet man einen stetigen und differenzierbaren Verlauf der Kurve im Abschnitt BrarrE Nur wenn die im Experiment zugefuumlhrte Waumlrme sofort verteilt wuumlrde waumlre die Temperaturkurve eine Sprungfunktion Das System braucht eine gewisse Zeit bis sich ein neues Gleichgewicht ein-stellen kann Es verhaumllt sich so als ob es uumlber ein ganzes Zeitintervall bdquoverschmiertldquo waumlre Es gilt also die Endzeit der Waumlrmezufuhr zu finden Sie liegt im Wendepunkt der Temperaturkurve weil sich dort die Richtung der Kruumlmmung aumlndert also Waumlrmezufuhr in Waumlrmeverlust uumlbergeht Nun laumlsst sich aber im Abschnitt BrarrE die Kurve T(t) nicht beliebig

F

Tem

pera

tur

T

∆T S

TU

A B C

Zeit

16

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

17

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

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O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

23

O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

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O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

26

O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

27

O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

28

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

29

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

46

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

F3 FADENPENDEL

Der Einfluss des Fadens wurde auch bei diesen Betrachtungen aber ebenso vernachlaumlssigt wie die auftretende Reibung Es ist sicherlich empirisch einsichtig dass schwache Reibung zu einer gedaumlmpften Schwingung fuumlhren wird Die Schwingungsamplitude klingt dann

exponentiell mit sehr groszliger Zeitkonstante τ wie τt

eminus

ab AUFGABEN 1 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine feste Fadenlaumlnge Die Zeitmessung erfolgt fuumlr 10

Schwingungen jeweils zehnmal an einem Umkehrpunkt und beim Nulldurchgang des Pendels Berechnung von Mittelwerte Standardabweichung und Vertrauensbereich der Periodendauer und Diskussion der Unterschiede zwischen beiden Verfahren

2 Bestimmung der Periodendauer fuumlr eine Schwingung beim Nulldurchgang mit zehnfacher Messung Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung anschlieszligend Vergleich mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe 1 und Diskussion der Unterschiede

3 Bestimmung der Periodendauer fuumlr 10 verschiedene Fadenlaumlngen li Aus jeweils 2 Messungen fuumlr 10 Schwingungen sind die Mittelwerte fuumlr die Periodendauern Ti(li) zu berechnen

4 Grafische Darstellung der Ergebnisse der 3 Aufgabe in der Form Ti2(li) in einem

Diagramm Verwendung von Gleichung (7) zur Bestimmung von Fallbeschleunigung g und Anfangslaumlnge des Pendels l0 sowohl durch grafischen Geradenausgleich als auch numerische lineare Regression mit Ermittlung der zugehoumlrigen Unsicherheiten

5 Aus den Ergebnissen der 4 Aufgabe fuumlr l0 und g ist gemaumlszlig Gleichung (6) die Periodendauer T einschlieszliglich ihrer Unsicherheit zu berechnen und mit den Ergebnissen der 1 Aufgabe zu vergleichen

6 Abschaumltzung der systematischen Messabweichungen fuumlr die Periodendauer gemaumlszlig der og drei Gleichungen (8-10) und ihres Einflusses auf die g-Bestimmung Diskussion der Relevanz entsprechender Korrekturen

VERSUCHSHINWEISE Ein gegossener Bleizylinder (Radius R asymp 23 mm Houmlhe h asymp 23 mm Masse m asymp 08 kg) haumlngt an einem duumlnnen Stahldraht Die Pendellaumlnge laumlsst sich durch einen Schieber in dessen Fuumlhrung der Draht laumluft veraumlndern Die Laumlngenaumlnderung kann mit Hilfe von Ringmarken deren Abstand 2 cm betraumlgt eingestellt werden Bei Auslenkung des Pendels aus seiner Ruhelage fuumlhrt es Schwingungen aus deren Periodendauer mit einer von Hand ausgeloumlsten Stoppuhr bestimmt wird Fuumlr die ersten beiden Aufgaben ist zweckmaumlszligig (warum) eine moumlglichst groszlige Fadenlaumlnge zu waumlhlen Die zugehoumlrige Stellung des Schiebers ist unbedingt zu notieren da sie spaumlter benoumltigt wird Fuumlr die 3 Aufgabe wird die Anfangsfadenlaumlnge l0 um die Werte li (i = 110) in Schritten von 4 cm verringert Fuumlr die mit der 4 Aufgabe erforderliche Auswertung sind grafische Mittel (Anstiegsdreieck grafische Extrapolation auf den Achsenabschnitt) und ein rechentechnisches Verfahren (lineare Regression) einzusetzen Fuumlr Aufgabe 5 ist das bei Aufgabe 4 bestimmte Ergebnis fuumlr die Anfangslaumlnge l0 zu verwenden Bei Aufgabe 6 muss ermittelt werden wie sich die Korrekturen der Schwingungsdauer gemaumlszlig (8-10) auf die Fallbeschleunigung g auswirken Beachten Sie hier dass g aus dem Anstieg der Geraden gemaumlszlig der 4 Aufgabe nach Gleichung (7) bestimmt wird Uumlberlegen Sie welche zufaumllligen und welche systematischen Abweichungen die Messunsicherheit der Fallbeschleunigung g wesentlich bestimmen

8

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Traumlgheitsgesetz Grundgesetz der Dynamik Feder-konstante Federkraft harmonische Schwingung Frequenz Periodendauer Amplitude In diesem Versuch soll die Federkonstante einer Schraubenfeder mit drei verschiedenen Methoden bestimmt werden Bei der Auswertung der Ergebnisse sind Grundbegriffe und Methoden der Fehlerrechnung und ndashanalyse gezielt anzuwenden und zu uumlben 1 Statische Messung der Federkonstanten Wird eine am oberen Ende eingespannte Schraubenfeder am unteren Ende durch Anhaumlngen einer Masse m belastet so wird die Feder gedehnt und es stellt sich eine neue Ruhelage ein (Abb 1 statischer Fall) Die Gewichtskraft

gmFG sdot= und die durch die elastische Verformung entstehende Federkraft (mit k als Federkonstante) stehen im Gleichgewicht (Newtonsches Traumlgheitsgesetz)

xkFF sdotminus=

0=+ FG FF (1)

Abbildung 1 Statische und dynamische Belastung einer Schraubenfeder

Durch Einsetzen der Beziehungen fuumlr beide Kraumlfte und einfache Umstellung ergibt sich daraus

kgmx sdot

= (2)

Die statische Auslenkung x der Schraubenfeder muss demnach linear von der Belastung m abhaumlngig sein Durch die experimentelle Untersuchung der Abhaumlngigkeit x(m) kann sowohl die Linearitaumlt des Federkraftgesetzes xkFF sdotminus= uumlberpruumlft als auch die Federkonstante k bestimmt werden 2 Dynamische Messung der Federkonstanten Lenkt man eine mit der Masse m belastete Feder aus ihrer Ruhelage aus (Abb 1 dynamischer Fall) dann wirkt eine ruumlcktreibende

Federkraft und die Masse m erfaumlhrt eine Beschleunigung xkFF sdotminus=mFx

dtxda F=== 2

2

nach

dem Newtonschen Grundgesetz der Dynamik Fuumlr die weiteren Betrachtungen sollen jegliche Reibungskraumlfte vernachlaumlssigt werden daher ergibt sich aus der Newtonschen Bewegungs-gleichung hier die einfachste Form einer Schwingungsdifferentialgleichung mit

02

2

=sdot+sdot xkdt

xdm (3)

9

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

die eine freie ungedaumlmpfte Schwingung beschreibt Mit den willkuumlrlich ausgewaumlhlten Anfangsbedingungen (Anfangslage) und 0)0( xtx == 0)0( 0 === vtx (Anfangsgeschwin-digkeit) lautet ihre Loumlsung

)cos()( 0 txtx sdotsdot= ω (4)wobei physikalisch x0 als Amplitude und mk=ω als Kreisfrequenz der freien ungedaumlmpf-ten Federschwingung bezeichnet werden Der Koumlrper der Masse m schwingt nach Auslen-kung (aus der Gleichgewichts- bzw Ruhelage um x0) in Form einer harmonischen Schwin-gung mit der Periodendauer

kmT π

ωπ 22== (5)

die experimentell direkt gemessen werden kann Aus (5) ist bei bekannter Masse m die Feder-konstante k bestimmbar 3 Berechnung der Federkonstanten aus der Geometrie und den Materialeigenschaften der Schraubenfeder Durch eine Auslenkung aus der Ruhelage wird die Schraubenfeder gedehnt und damit der gesamte Federdraht auf sog Torsion (svw bdquoVerdrehungldquo oder bdquoVerdrillungldquo) beansprucht Ohne weitere Herleitung sei hier eine Beziehung angegeben die es gestattet aus dem sog Torsionsmodul G (als Materialkonstante des Federdrahtes) und den geometrischen Daten der Schraubenfeder (Drahtlaumlnge l Drahtdurchmesser d und Wickel-radius r) die Federkonstante k zu berechnen

2

4

32 rldGksdotsdot

sdot=π (6)

AUFGABEN 1 Aus dem statischen Verhalten einer Schraubenfeder ist deren Federkonstante experimentell

zu bestimmen Dazu ist gemaumlszlig Beziehung (2) die statische Auslenkung x in Abhaumlngigkeit von der Belastung m mit verschiedenen Massestuumlcken zu messen Die Daten sind in der Form x = x(m) als Diagramm grafisch darzustellen und daraus die Federkonstante k zu er-mitteln Fuumlr die zu erwartende lineare Abhaumlngigkeit ist sowohl mit einfacher grafischer Methode (bdquoSteigungsdreieckldquo) als auch numerisch (Geradenausgleichsrechnung lineare Regression) der Anstieg von x = x(m) und daraus die Federkonstante (jeweils auch ein-schlieszliglich der Messunsicherheit) zu bestimmen

2 Mithilfe des dynamischen Verhaltens des Federschwingers ist fuumlr dieselbe Feder die Federkonstante aus der experimentell beobachteten Periodendauer der Schwingung zu bestimmen (jeweils auch einschlieszliglich der Messunsicherheit) Dazu ist Formel (5) bei be-kannter und sinnvoll gewaumlhlter Masse m zu nutzen

3 Mithilfe von Formel (6) ist aus den Daten der Schraubenfeder die am Versuchsplatz angegeben sind die Federkonstante k einschlieszliglich ihrer resultierenden Unsicherheit zu berechnen

4 Die Obergrenzen fuumlr systematische Messabweichungen bei den ersten beiden Aufgaben (statische und dynamische Messung der Federkonstanten) sind abzuschaumltzen (Groumlszligenord-nungen) Es ist zu analysieren welche dieser systematischen Abweichungen korrigierbar sind und welche dann tatsaumlchlich in die Messunsicherheit des Endergebnisses eingehen

5 Fuumlr alle drei Methoden (Aufgaben 1-3) sind die Ergebnisse (einschlieszliglich Messunsicher-heit) fuumlr die Federkonstante uumlbersichtlich darzustellen miteinander zu vergleichen und zu diskutieren Sofern moumlglich ist ein gewichteter Mittelwert zu ermitteln

10

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

VERSUCHSHINWEISE Die Schraubenfeder ist mit einem Ende an einem Stativ befestigt Zur Messung der Auslen-kung der Feder aus der Ruhelage wird die Stellung der an der Feder befindlichen Marke M (Abb 1) auf einer Spiegelskale abgelesen (Welchen Vorteil bietet eine Spiegelskale gegen-uumlber einer einfachen Skale) Die sog Verkehrsfehlergrenze der Massennormale ist fuumlr die Masse m = 50 g mit ∆m = plusmn 01 g festgelegt Bei Messung einer Laumlnge l mit der Spiegelskale ist die Messunsi-cherheit ∆l = plusmn (02 mm + 5middot10-4middotl) Fuumlr die Fallbeschleunigung ist (lt Festlegung der Eichbe-houmlrden der Laumlnder fuumlr Waagen) ein Wert von g = (98130 plusmn 00001) mmiddots-2 zu verwenden Fuumlr die 1 Aufgabe wird die Feder schrittweise bis 400 g mit Massestuumlcken von 50 g belastet und mit Hilfe einer Spiegelskale an der Marke M die Auslenkung x gemessen (erste Mess-reihe) Nach Erreichen der Houmlchstbelastung von 400 g ist dann die Feder wieder schrittweise zu entlasten (zweite Messreihe) a) Aus der grafischen Darstellung x = x(m) ist mithilfe des bdquoSteigungsdreiecksldquo der Anstieg

gk grafisch zu ermitteln und seine Unsicherheit entsprechend abzuschaumltzen (vgl Einfuumlh-rungsskript) Daraus sind dann die Federkonstante k als mittelbar bestimmter Groumlszlige und ihre Unsicherheit ∆k zu berechnen

b) Durch lineare Regression ist mithilfe geeigneter Software (s Einfuumlhrungsskript und Vorle-sung) der Anstieg und seine Unsicherheit numerisch zu ermitteln daraus ebenfalls wieder die Federkonstante und deren Unsicherheit

Fuumlr die 2 Aufgabe wird die Feder mit einer Gesamtmasse von 400 g belastet und 10mal die Zeit fuumlr jeweils 20 Schwingungen mithilfe einer Stoppuhr gemessen Daraus ist der Mittel-wert der Periodendauer T und ihr Vertrauensbereich sT zu berechnen und mittelbar damit die Federkonstante k uumlber Gleichung (5) mit ihrer Messunsicherheit a) Zur Genauigkeit der Messung mit Stoppuhren sind im Einfuumlhrungsskript ausfuumlhrliche Hin-

weise enthalten Entsprechend den dort enthaltenen Angaben sind die systematischen Messabweichungen mit ihrer Auswirkung auf die Periodendauer und die Federkonstante realistisch abzuschaumltzen

b) Bezuumlglich der Massen ist bereits ein Hinweis bei Aufgabe 1 gegeben worden Zusaumltzlich muumlsste noch der Einfluss der Eigenmasse der Feder von mF asymp 5 g auf die Periodendauer beruumlcksichtigt werden Die Teile der Feder nehmen unterschiedlich an der Bewegung teil es kann als zu beruumlcksichtigende Zusatzmasse macute= mF3 gesetzt werden Somit ergibt sich

fuumlr die Periodendauer m

mTk

mmT F

312acute +=

+= π

c) Auch bei sehr sorgfaumlltiger Anfangsauslenkung fuumlhrt der Federschwinger nach einigen Schwingungen unvermeidlich seitliche Schwingungen aus Wie beeinflusst diese Bewe-gung die gemessene Periodendauer Man uumlberlege sich auch welche Auswirkungen die in der Betrachtung vernachlaumlssigte aber unvermeidlich auftretende Reibung auf das Ergebnis dieses Verfahrens hat

Fuumlr die 3 Aufgabe sind am jeweiligen Versuchsplatz die Messunsicherheiten der einzelnen Groumlszligen mit angegeben Eine Unterscheidung von zufaumllligen und systematischen Komponen-ten ist hier allerdings nicht moumlglich Fuumlr Aufgabe 5 ist eine tabellarische Darstellungsweise vorzuziehen In Zusammenhang mit dem gewogenen Mittelwert ist zu analysieren unter welchen Bedingungen er uumlberhaupt sinn-voll gebildet werden kann

11

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Dichte Auftriebskraft Analy-senwaage Pyknometer Ein sog Pyknometer ist ein Geraumlt zur Bestimmung der Dichte fester Koumlrper Es besteht aus einem Glasgefaumlszlig mit eingeschliffenem Stopfen der eine kapillare Bohrung hat Das Pykno-meter kann reproduzierbar mit groszliger Genauigkeit mit Wasser gefuumlllt werden Zur Dichtebe-stimmung mit dem Pyknometer sind drei Waumlgungen mit einer Analysenwaage noumltig wobei der Auftrieb der zu waumlgenden Koumlrper (Probe bzw Pyknometer) in Luft (Dichte ρL) zu beruumlck-sichtigen ist 1 Waumlgung der Probe in Luft Fuumlr eine Probe (Masse m1 Volumen V1) wird die Gewichts-kraft durch die ihr entgegengesetzt gerichtete Auftriebskraft gmF sdot= 11 gVF LA sdotsdot= ρ11 vermindert so dass im Gleichgewicht die Waage den Wert m1rsquo anzeigt Die Gleichgewichts-bedingung liefert

111 mVm L =sdotminus ρ (1)2 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers Das vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllte Pykno-meter (Volumen VP) hat die Gesamtmasse m2 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m2rsquo an so dass gilt

22 mVm LP =sdotminus ρ (2)3 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers mit Probe Das mit Wasser und der Probe gefuumlllte Pyknometer hat die Gesamtmasse m3 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m3rsquo an so dass gilt

33 mVm LP =sdotminus ρ (3)Zwischen den Massen m1 m2 und m3 besteht der Zusammenhang

232311 mmmmVm W minus=minus=sdotminus ρ (4)wobei ρW die Dichte des Wassers ist Zur Bestimmung der Dichte ρ1 der Probe kann man aus den Gleichungen (1) und (4) die Unbekannten m1 und V1 ermitteln Man erhaumllt

)()(

231

231

1

11 mmm

mmmVm LW

minusminussdotminusminussdot

==ρρρ (5)

AUFGABEN 1 Bestimmung der Masse m1rsquo fuumlr zwei verschiedene Metallproben (Al und Cu) durch

Waumlgung in Luft Fuumlr jede Probe erfolgt die Waumlgung sechsmal wobei die Probe immer neu auf die Waage zu legen ist Bestimmung der zugehoumlrigen Mittelwerte

2 Bestimmung der Masse m2rsquo des vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllten Pyknometers durch Waumlgung Die jeweils erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt sechsmal Bestimmung des Mittelwertes

3 Bestimmung der Masse m3rsquo des mit Wasser und jeweiliger Metallprobe gefuumlllten Pykno-meters durch Waumlgung Die erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt fuumlr jede Probe sechsmal Bestimmung der Mittelwerte

4 Berechnung der Dichte der beiden Metallproben nach Gleichung (5) 5 Bestimmung der jeweiligen Messunsicherheiten fuumlr die unmittelbar gemessenen Groumlszligen

m1rsquo m2rsquo und m3rsquo fuumlr beide Proben 6 Abschaumltzung bzw Berechnung (Fortpflanzung) der resultierenden Messunsicherheiten der

mit (5) mittelbar bestimmten beiden Dichten Vergleich der Ergebnisse fuumlr die beiden Dichten mit Referenzwerten

12

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

VERSUCHSHINWEISE Die Waumlgungen werden mit einer elektronischen Analysenwaage durchgefuumlhrt bei der die auf-gelegte Last (Abb 1 oberer Pfeil) durch eine elektromagnetische Kraft kompensiert wird Mit einer optoelektronischen Abtastung (1) wird die Stellung der Waagschale (2) gemessen und mit diesem Signal der Kompensationsstrom in der Spule (3) gesteuert Der Kompensations-strom erzeugt zwischen Permanentmagnet (4) und Spule eine Kraft so dass die Waagschale in die Null-Lage zuruumlckgefuumlhrt wird der Strom ist der Last proportional Zur Durchfuumlhrung der Waumlgungen beachte man unbedingt die Hinweise des Versuchsbetreuers und die Platz-anleitung

Abb1 Messprinzip der eAnalysenwaage

lektronischen

Fuumlr Aufgabe 2 wird das Pyknometer bis zum Rand mit destilliertem Wasser gefuumlllt wobei die Bildung von Luftblaumlschen zu vermeiden ist Verschlieszligt man das Pyknometer mit dem ange-schliffenen Stopfen so laumluft Wasser uumlber das sehr sorgfaumlltig mit Filterpapier abzuwischen ist Das Anfassen des Pyknometers muss aumluszligerst vorsichtig erfolgen um seine Erwaumlrmung zu vermeiden (warum) Nach dem Abwischen wird mit Filterpapier der auf der Kapillare stehende Tropfen abgenommen so dass die Kapillare bis oben mit Wasser gefuumlllt ist Fuumlr die durchzufuumlhrenden Waumlgungen ist das Pyknometer stets erneut zu befuumlllen Fuumlr Aufgabe 3 wird der Probekoumlrper in das Pyknometer gebracht und dann mit destilliertem Wasser aufgefuumlllt weiter ist sinngemaumlszlig wie bei Aufgabe 2 zu verfahren Fuumlr Aufgabe 4 sind zusaumltzlich zu den Werten m1rsquo m2rsquo und m3rsquo auch der Luftdruck p sowie die Zimmer- und Wassertemperatur zu bestimmen Die Temperaturen koumlnnen als gleich vor-ausgesetzt werden da das destillierte Wasser sich bereits sehr lange im Versuchsraum befin-det Die temperaturabhaumlngige (s Abb 2) Dichte ρW von reinem (luftfreiem) Wasser laumlsst sich im Temperaturintervall 0degC lt θ lt 40degC naumlherungsweise berechnen mit

4-73-52323 1046657-10772108768-1066299984)( θθθθρ sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot+=sdot minusminusminusmkgw

wobei die Temperatur θ in degC einzusetzen ist (Fehler der Naumlherung ) Diese Naumlhrung gilt bei sog Normaldruck (p

3210 minusminus sdotlt∆ mkgWρN = 1013 kPa) Warum kann die Druckabhaumlngig-

keit hier vernachlaumlssigt werden Die Druckabhaumlngigkeit muss aber bei der Luftdichte unbedingt beruumlcksichtigt werden ebenso wie die Luftfeuchtigkeit (warum) Man verwendet die Beziehung

TRp

fL sdot=ρ

13

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

wobei p der Luftdruck (in Pa) T die Lufttemperatur (in K) und Rf die Gaskonstante feuchter Luft ist Diese Gaskonstante Rf berechnet sich wiederum aus

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdotminus

=

d

ld

lf

RR

pp

RR11 ϕ

0 10 20 30 40992

993

994

995

996

997

998

999

1000

Dic

hte ρ w

(kg

m3 )

Temperatur θ (degC)

-10 0 10 20 3011

12

13

Dic

hte ρ L (k

gm

3 )Temperatur θ (degC)

Abb 2 Temperaturabhaumlngigkeit der Dichte fuumlr (reines) Wasser und (trockene) Luft

Hier ist Rl = 28705 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante trockener Luft Rd = 461 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante von Wasserdampf und φ die relative Luftfeuchtigkeit Die Groumlszlige pd ist der Saumlt-tigungsdampfdruck von Wasser in Luft der sich empirisch mit der sog Magnus-Formel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+degsdot

sdot=θθ

CPapd 2241

504317exp213611)( im Intervall CC degleledegminus 7030 θ

berechnen laumlsst wobei θ wieder die Temperatur (in degC) ist Fuumlr Aufgabe 5 sind die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen der Waumlgungen zu ermitteln Die Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo werden alle mit der gleichen Analysenwaage ermittelt fuumlr die vom Hersteller eine Garantiefehlergrenze (systematischer Restfehler) von 02 mg angegeben wird Diese Garantiefehlergrenze ist fuumlr alle drei Massenwerte als geraumlte-bedingte systematische Abweichung zu beruumlcksichtigen Fuumlr die Messwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo haumlngt es von der sorgfaumlltigen Versuchsdurchfuumlhrung (Abtupfen des Wassers ) ab ob die zufaumlllige undoder die systematische Abweichung die Messunsicherheit bestimmt Fuumlr Aufgabe 6 ist nur die Messunsicherheit der Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo zu beruumlcksich-tigen Die berechneten Werte fuumlr die Dichten von Luft und Wasser koumlnnen als praktisch fehlerfrei angenommen werden

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Erster Hauptsatz der Thermodynamik Waumlrmemenge Waumlrmekapazitaumlt Richmannsche Mischungsregel Arbeit von Gleich- und Wechselstrom Waumlrmeaustauschkorrektur (s Skript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstel-lung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo) Waumlrme ist eine Energieform die zwischen Koumlrpern ausgetauscht wird oder in andere Energie-formen umgewandelt werden kann Fuumlhrt man einem Koumlrper der Masse m die Waumlrmemenge dQ zu dann ist die sich einstellende Temperaturerhoumlhung dT proportional zur zugefuumlhrten Waumlrmemenge

dTcmdQ sdotsdot= (1)wobei der Proportionalitaumltsfaktor c als spezifische Waumlrmekapazitaumlt mit der SI-Einheit Jmiddotkg-1middotK-1 bezeichnet wird und eine Stoffkonstante ist Aus (1) ergibt sich

dTdQ

mc sdot=

1 (2)

Das Produkt cmC sdot= (3)

mit der SI-Einheit JmiddotK-1 nennt man Waumlrmekapazitaumlt des Koumlrpers Zur Bestimmung von Waumlrmemengen benutzt man sog Kalorimeter wobei anisotherme Aus-fuumlhrungen mit sehr gut waumlrmeisolierten Gefaumlszligen am haumlufigsten verwendet werden Fuumlhrt man einem mit Wasser der Masse mW (teilweise) gefuumlllten Kalorimeter eine Waumlrmemenge ∆Q zu dann werden auszliger dem Wasser auch alle Teile des Kalorimeters wie zB Gefaumlszligwandung Thermometer und Ruumlhrer erwaumlrmt Die gesamte Waumlrmekapazitaumlt der Versuchsanordnung setzt sich also aus der des Wassers (mWmiddotcW) und der des Kalorimeters (CK) zusammen

( ) TCcmQ KWW ∆sdot+sdot=∆ (4)Die spezifische Waumlrmekapazitaumlt von Wasser hat als Stoffkonstante den Wert cW = 41813 kJmiddotkg-1middotK-1 (bei 25degC) Die Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorime-ters ist rechnerisch nur naumlherungsweise moumlglich deshalb wird sie ia experimentell ermittelt 1 Elektrische Methode Flieszligt durch einen Ohmschen Leiter (Heizspirale) an dem die Spannung U anliegt der Strom I dann entsteht im Zeitintervall ∆t in ihm eine der elektri-schen Energie aumlquivalente Waumlrmemenge

tIUQ ∆sdotsdot=∆ (5)Uumlbertraumlgt man diese Waumlrmemenge an das Wasser (Masse mW) und das Kalorimeter (Waumlrme-kapazitaumlt CK) dann steigt die Wassertemperatur gemaumlszlig (4) Bei verlustloser Waumlrmeuumlbertra-gung sind beide Waumlrmemengen gleich (Energieerhaltungssatz) und es gilt

( ) TCcmtIU KWW ∆sdot+sdot=∆sdotsdot (6)so dass CK bestimmt werden kann 2 Mischungsmethode Fuumlgt man kaltem Wasser der Masse m1 und Temperatur T1 in einem Kalorimeter warmes Wasser der Masse m2 und Temperatur T2 hinzu so findet ein Waumlrmeaus-tausch statt bis das gesamte Wasser die Mischungstemperatur Tm angenommen hat Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dass die vom warmen Wasser abgegebene Waumlrmeenergie

gleich der vom kalten Wasser und dem Kalorimeter aufgenommenen Waumlrmeenergie

)( 222 mW TTcmQ minussdotsdot=∆( ) )( 111 TTCcmQ mKW minussdot+sdot=∆ sein muss Der Energieerhaltungssatz in dieser

speziellen Form des Austausches von Waumlrmemenge heiszligt Richmannsche Mischungsregel und ergibt die Gleichung

( ) )()( 2211 mWmKW TTcmTTCcm minussdotsdot=minussdot+sdot (7)zur Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorimeters

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

AUFGABEN 1 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der elektrischen Methode gemaumlszlig (6) 2 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 1 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 3 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der Mischungsmethode mit (7) 4 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 3 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 5 Fuumlr beide Methoden fuumlhre man eine Bestimmung der Messunsicherheit der Waumlrmekapazi-

taumlt durch und vergleiche die Endergebnisse miteinander VERSUCHSHINWEISE Das Verfahren zur Waumlrmeaustauschkorrektur Bei kalorimetrischen Messungen ist ein Waumlrmeaustausch mit der Umgebung unvermeidlich (offenes thermodynamisches System) und meist stoumlrend Aus dem gemessenen zeitlichen Temperaturverlauf ist er aber abzulesen (s Abb 1)

DE

Abbildung 1 Zeitlicher Verlauf der Temperatur im Kalorimeter

In der Vorperiode erhaumllt man den ansteigenden Kurvenabschnitt ArarrB in der Nachperiode den abfallenden Kurvenabschnitt ErarrF Das liegt daran dass das Kalorimeter eben nicht adia-batisch bzw isentrop ist Die Temperatur der Kalorimeterfluumlssigkeit im Innern gleicht sich in beiden Abschnitten jeweils (asymptotisch) an die Umgebungstemperatur TU an wobei der Waumlrmefluss proportional zur Temperaturdifferenz ist Es laumlsst sich zeigen dass der Gleichge-wichtszustand zeitlich exponentiell angenommen wird Im vorliegenden Fall ist aber die ent-sprechende Zeitkonstante sehr groszlig im Vergleich zur Messzeit so dass die beiden Abschnitte ArarrB und ErarrF naumlherungsweise jeweils durch eine Gerade beschrieben werden duumlrfen Die-ser Sachverhalt gestattet es auszligerdem in diesen Abschnitten die Messwerte in groumlszligerer zeitli-cher Schrittweite aufzunehmen Aufgrund des real zeitlich ausgedehnten Waumlrmeaustausches mit der Umgebung beobachtet man einen stetigen und differenzierbaren Verlauf der Kurve im Abschnitt BrarrE Nur wenn die im Experiment zugefuumlhrte Waumlrme sofort verteilt wuumlrde waumlre die Temperaturkurve eine Sprungfunktion Das System braucht eine gewisse Zeit bis sich ein neues Gleichgewicht ein-stellen kann Es verhaumllt sich so als ob es uumlber ein ganzes Zeitintervall bdquoverschmiertldquo waumlre Es gilt also die Endzeit der Waumlrmezufuhr zu finden Sie liegt im Wendepunkt der Temperaturkurve weil sich dort die Richtung der Kruumlmmung aumlndert also Waumlrmezufuhr in Waumlrmeverlust uumlbergeht Nun laumlsst sich aber im Abschnitt BrarrE die Kurve T(t) nicht beliebig

F

Tem

pera

tur

T

∆T S

TU

A B C

Zeit

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

17

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

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O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

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O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

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O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

26

O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

27

O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

29

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

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O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

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O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

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E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

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• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Traumlgheitsgesetz Grundgesetz der Dynamik Feder-konstante Federkraft harmonische Schwingung Frequenz Periodendauer Amplitude In diesem Versuch soll die Federkonstante einer Schraubenfeder mit drei verschiedenen Methoden bestimmt werden Bei der Auswertung der Ergebnisse sind Grundbegriffe und Methoden der Fehlerrechnung und ndashanalyse gezielt anzuwenden und zu uumlben 1 Statische Messung der Federkonstanten Wird eine am oberen Ende eingespannte Schraubenfeder am unteren Ende durch Anhaumlngen einer Masse m belastet so wird die Feder gedehnt und es stellt sich eine neue Ruhelage ein (Abb 1 statischer Fall) Die Gewichtskraft

gmFG sdot= und die durch die elastische Verformung entstehende Federkraft (mit k als Federkonstante) stehen im Gleichgewicht (Newtonsches Traumlgheitsgesetz)

xkFF sdotminus=

0=+ FG FF (1)

Abbildung 1 Statische und dynamische Belastung einer Schraubenfeder

Durch Einsetzen der Beziehungen fuumlr beide Kraumlfte und einfache Umstellung ergibt sich daraus

kgmx sdot

= (2)

Die statische Auslenkung x der Schraubenfeder muss demnach linear von der Belastung m abhaumlngig sein Durch die experimentelle Untersuchung der Abhaumlngigkeit x(m) kann sowohl die Linearitaumlt des Federkraftgesetzes xkFF sdotminus= uumlberpruumlft als auch die Federkonstante k bestimmt werden 2 Dynamische Messung der Federkonstanten Lenkt man eine mit der Masse m belastete Feder aus ihrer Ruhelage aus (Abb 1 dynamischer Fall) dann wirkt eine ruumlcktreibende

Federkraft und die Masse m erfaumlhrt eine Beschleunigung xkFF sdotminus=mFx

dtxda F=== 2

2

nach

dem Newtonschen Grundgesetz der Dynamik Fuumlr die weiteren Betrachtungen sollen jegliche Reibungskraumlfte vernachlaumlssigt werden daher ergibt sich aus der Newtonschen Bewegungs-gleichung hier die einfachste Form einer Schwingungsdifferentialgleichung mit

02

2

=sdot+sdot xkdt

xdm (3)

9

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

die eine freie ungedaumlmpfte Schwingung beschreibt Mit den willkuumlrlich ausgewaumlhlten Anfangsbedingungen (Anfangslage) und 0)0( xtx == 0)0( 0 === vtx (Anfangsgeschwin-digkeit) lautet ihre Loumlsung

)cos()( 0 txtx sdotsdot= ω (4)wobei physikalisch x0 als Amplitude und mk=ω als Kreisfrequenz der freien ungedaumlmpf-ten Federschwingung bezeichnet werden Der Koumlrper der Masse m schwingt nach Auslen-kung (aus der Gleichgewichts- bzw Ruhelage um x0) in Form einer harmonischen Schwin-gung mit der Periodendauer

kmT π

ωπ 22== (5)

die experimentell direkt gemessen werden kann Aus (5) ist bei bekannter Masse m die Feder-konstante k bestimmbar 3 Berechnung der Federkonstanten aus der Geometrie und den Materialeigenschaften der Schraubenfeder Durch eine Auslenkung aus der Ruhelage wird die Schraubenfeder gedehnt und damit der gesamte Federdraht auf sog Torsion (svw bdquoVerdrehungldquo oder bdquoVerdrillungldquo) beansprucht Ohne weitere Herleitung sei hier eine Beziehung angegeben die es gestattet aus dem sog Torsionsmodul G (als Materialkonstante des Federdrahtes) und den geometrischen Daten der Schraubenfeder (Drahtlaumlnge l Drahtdurchmesser d und Wickel-radius r) die Federkonstante k zu berechnen

2

4

32 rldGksdotsdot

sdot=π (6)

AUFGABEN 1 Aus dem statischen Verhalten einer Schraubenfeder ist deren Federkonstante experimentell

zu bestimmen Dazu ist gemaumlszlig Beziehung (2) die statische Auslenkung x in Abhaumlngigkeit von der Belastung m mit verschiedenen Massestuumlcken zu messen Die Daten sind in der Form x = x(m) als Diagramm grafisch darzustellen und daraus die Federkonstante k zu er-mitteln Fuumlr die zu erwartende lineare Abhaumlngigkeit ist sowohl mit einfacher grafischer Methode (bdquoSteigungsdreieckldquo) als auch numerisch (Geradenausgleichsrechnung lineare Regression) der Anstieg von x = x(m) und daraus die Federkonstante (jeweils auch ein-schlieszliglich der Messunsicherheit) zu bestimmen

2 Mithilfe des dynamischen Verhaltens des Federschwingers ist fuumlr dieselbe Feder die Federkonstante aus der experimentell beobachteten Periodendauer der Schwingung zu bestimmen (jeweils auch einschlieszliglich der Messunsicherheit) Dazu ist Formel (5) bei be-kannter und sinnvoll gewaumlhlter Masse m zu nutzen

3 Mithilfe von Formel (6) ist aus den Daten der Schraubenfeder die am Versuchsplatz angegeben sind die Federkonstante k einschlieszliglich ihrer resultierenden Unsicherheit zu berechnen

4 Die Obergrenzen fuumlr systematische Messabweichungen bei den ersten beiden Aufgaben (statische und dynamische Messung der Federkonstanten) sind abzuschaumltzen (Groumlszligenord-nungen) Es ist zu analysieren welche dieser systematischen Abweichungen korrigierbar sind und welche dann tatsaumlchlich in die Messunsicherheit des Endergebnisses eingehen

5 Fuumlr alle drei Methoden (Aufgaben 1-3) sind die Ergebnisse (einschlieszliglich Messunsicher-heit) fuumlr die Federkonstante uumlbersichtlich darzustellen miteinander zu vergleichen und zu diskutieren Sofern moumlglich ist ein gewichteter Mittelwert zu ermitteln

10

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

VERSUCHSHINWEISE Die Schraubenfeder ist mit einem Ende an einem Stativ befestigt Zur Messung der Auslen-kung der Feder aus der Ruhelage wird die Stellung der an der Feder befindlichen Marke M (Abb 1) auf einer Spiegelskale abgelesen (Welchen Vorteil bietet eine Spiegelskale gegen-uumlber einer einfachen Skale) Die sog Verkehrsfehlergrenze der Massennormale ist fuumlr die Masse m = 50 g mit ∆m = plusmn 01 g festgelegt Bei Messung einer Laumlnge l mit der Spiegelskale ist die Messunsi-cherheit ∆l = plusmn (02 mm + 5middot10-4middotl) Fuumlr die Fallbeschleunigung ist (lt Festlegung der Eichbe-houmlrden der Laumlnder fuumlr Waagen) ein Wert von g = (98130 plusmn 00001) mmiddots-2 zu verwenden Fuumlr die 1 Aufgabe wird die Feder schrittweise bis 400 g mit Massestuumlcken von 50 g belastet und mit Hilfe einer Spiegelskale an der Marke M die Auslenkung x gemessen (erste Mess-reihe) Nach Erreichen der Houmlchstbelastung von 400 g ist dann die Feder wieder schrittweise zu entlasten (zweite Messreihe) a) Aus der grafischen Darstellung x = x(m) ist mithilfe des bdquoSteigungsdreiecksldquo der Anstieg

gk grafisch zu ermitteln und seine Unsicherheit entsprechend abzuschaumltzen (vgl Einfuumlh-rungsskript) Daraus sind dann die Federkonstante k als mittelbar bestimmter Groumlszlige und ihre Unsicherheit ∆k zu berechnen

b) Durch lineare Regression ist mithilfe geeigneter Software (s Einfuumlhrungsskript und Vorle-sung) der Anstieg und seine Unsicherheit numerisch zu ermitteln daraus ebenfalls wieder die Federkonstante und deren Unsicherheit

Fuumlr die 2 Aufgabe wird die Feder mit einer Gesamtmasse von 400 g belastet und 10mal die Zeit fuumlr jeweils 20 Schwingungen mithilfe einer Stoppuhr gemessen Daraus ist der Mittel-wert der Periodendauer T und ihr Vertrauensbereich sT zu berechnen und mittelbar damit die Federkonstante k uumlber Gleichung (5) mit ihrer Messunsicherheit a) Zur Genauigkeit der Messung mit Stoppuhren sind im Einfuumlhrungsskript ausfuumlhrliche Hin-

weise enthalten Entsprechend den dort enthaltenen Angaben sind die systematischen Messabweichungen mit ihrer Auswirkung auf die Periodendauer und die Federkonstante realistisch abzuschaumltzen

b) Bezuumlglich der Massen ist bereits ein Hinweis bei Aufgabe 1 gegeben worden Zusaumltzlich muumlsste noch der Einfluss der Eigenmasse der Feder von mF asymp 5 g auf die Periodendauer beruumlcksichtigt werden Die Teile der Feder nehmen unterschiedlich an der Bewegung teil es kann als zu beruumlcksichtigende Zusatzmasse macute= mF3 gesetzt werden Somit ergibt sich

fuumlr die Periodendauer m

mTk

mmT F

312acute +=

+= π

c) Auch bei sehr sorgfaumlltiger Anfangsauslenkung fuumlhrt der Federschwinger nach einigen Schwingungen unvermeidlich seitliche Schwingungen aus Wie beeinflusst diese Bewe-gung die gemessene Periodendauer Man uumlberlege sich auch welche Auswirkungen die in der Betrachtung vernachlaumlssigte aber unvermeidlich auftretende Reibung auf das Ergebnis dieses Verfahrens hat

Fuumlr die 3 Aufgabe sind am jeweiligen Versuchsplatz die Messunsicherheiten der einzelnen Groumlszligen mit angegeben Eine Unterscheidung von zufaumllligen und systematischen Komponen-ten ist hier allerdings nicht moumlglich Fuumlr Aufgabe 5 ist eine tabellarische Darstellungsweise vorzuziehen In Zusammenhang mit dem gewogenen Mittelwert ist zu analysieren unter welchen Bedingungen er uumlberhaupt sinn-voll gebildet werden kann

11

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Dichte Auftriebskraft Analy-senwaage Pyknometer Ein sog Pyknometer ist ein Geraumlt zur Bestimmung der Dichte fester Koumlrper Es besteht aus einem Glasgefaumlszlig mit eingeschliffenem Stopfen der eine kapillare Bohrung hat Das Pykno-meter kann reproduzierbar mit groszliger Genauigkeit mit Wasser gefuumlllt werden Zur Dichtebe-stimmung mit dem Pyknometer sind drei Waumlgungen mit einer Analysenwaage noumltig wobei der Auftrieb der zu waumlgenden Koumlrper (Probe bzw Pyknometer) in Luft (Dichte ρL) zu beruumlck-sichtigen ist 1 Waumlgung der Probe in Luft Fuumlr eine Probe (Masse m1 Volumen V1) wird die Gewichts-kraft durch die ihr entgegengesetzt gerichtete Auftriebskraft gmF sdot= 11 gVF LA sdotsdot= ρ11 vermindert so dass im Gleichgewicht die Waage den Wert m1rsquo anzeigt Die Gleichgewichts-bedingung liefert

111 mVm L =sdotminus ρ (1)2 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers Das vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllte Pykno-meter (Volumen VP) hat die Gesamtmasse m2 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m2rsquo an so dass gilt

22 mVm LP =sdotminus ρ (2)3 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers mit Probe Das mit Wasser und der Probe gefuumlllte Pyknometer hat die Gesamtmasse m3 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m3rsquo an so dass gilt

33 mVm LP =sdotminus ρ (3)Zwischen den Massen m1 m2 und m3 besteht der Zusammenhang

232311 mmmmVm W minus=minus=sdotminus ρ (4)wobei ρW die Dichte des Wassers ist Zur Bestimmung der Dichte ρ1 der Probe kann man aus den Gleichungen (1) und (4) die Unbekannten m1 und V1 ermitteln Man erhaumllt

)()(

231

231

1

11 mmm

mmmVm LW

minusminussdotminusminussdot

==ρρρ (5)

AUFGABEN 1 Bestimmung der Masse m1rsquo fuumlr zwei verschiedene Metallproben (Al und Cu) durch

Waumlgung in Luft Fuumlr jede Probe erfolgt die Waumlgung sechsmal wobei die Probe immer neu auf die Waage zu legen ist Bestimmung der zugehoumlrigen Mittelwerte

2 Bestimmung der Masse m2rsquo des vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllten Pyknometers durch Waumlgung Die jeweils erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt sechsmal Bestimmung des Mittelwertes

3 Bestimmung der Masse m3rsquo des mit Wasser und jeweiliger Metallprobe gefuumlllten Pykno-meters durch Waumlgung Die erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt fuumlr jede Probe sechsmal Bestimmung der Mittelwerte

4 Berechnung der Dichte der beiden Metallproben nach Gleichung (5) 5 Bestimmung der jeweiligen Messunsicherheiten fuumlr die unmittelbar gemessenen Groumlszligen

m1rsquo m2rsquo und m3rsquo fuumlr beide Proben 6 Abschaumltzung bzw Berechnung (Fortpflanzung) der resultierenden Messunsicherheiten der

mit (5) mittelbar bestimmten beiden Dichten Vergleich der Ergebnisse fuumlr die beiden Dichten mit Referenzwerten

12

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

VERSUCHSHINWEISE Die Waumlgungen werden mit einer elektronischen Analysenwaage durchgefuumlhrt bei der die auf-gelegte Last (Abb 1 oberer Pfeil) durch eine elektromagnetische Kraft kompensiert wird Mit einer optoelektronischen Abtastung (1) wird die Stellung der Waagschale (2) gemessen und mit diesem Signal der Kompensationsstrom in der Spule (3) gesteuert Der Kompensations-strom erzeugt zwischen Permanentmagnet (4) und Spule eine Kraft so dass die Waagschale in die Null-Lage zuruumlckgefuumlhrt wird der Strom ist der Last proportional Zur Durchfuumlhrung der Waumlgungen beachte man unbedingt die Hinweise des Versuchsbetreuers und die Platz-anleitung

Abb1 Messprinzip der eAnalysenwaage

lektronischen

Fuumlr Aufgabe 2 wird das Pyknometer bis zum Rand mit destilliertem Wasser gefuumlllt wobei die Bildung von Luftblaumlschen zu vermeiden ist Verschlieszligt man das Pyknometer mit dem ange-schliffenen Stopfen so laumluft Wasser uumlber das sehr sorgfaumlltig mit Filterpapier abzuwischen ist Das Anfassen des Pyknometers muss aumluszligerst vorsichtig erfolgen um seine Erwaumlrmung zu vermeiden (warum) Nach dem Abwischen wird mit Filterpapier der auf der Kapillare stehende Tropfen abgenommen so dass die Kapillare bis oben mit Wasser gefuumlllt ist Fuumlr die durchzufuumlhrenden Waumlgungen ist das Pyknometer stets erneut zu befuumlllen Fuumlr Aufgabe 3 wird der Probekoumlrper in das Pyknometer gebracht und dann mit destilliertem Wasser aufgefuumlllt weiter ist sinngemaumlszlig wie bei Aufgabe 2 zu verfahren Fuumlr Aufgabe 4 sind zusaumltzlich zu den Werten m1rsquo m2rsquo und m3rsquo auch der Luftdruck p sowie die Zimmer- und Wassertemperatur zu bestimmen Die Temperaturen koumlnnen als gleich vor-ausgesetzt werden da das destillierte Wasser sich bereits sehr lange im Versuchsraum befin-det Die temperaturabhaumlngige (s Abb 2) Dichte ρW von reinem (luftfreiem) Wasser laumlsst sich im Temperaturintervall 0degC lt θ lt 40degC naumlherungsweise berechnen mit

4-73-52323 1046657-10772108768-1066299984)( θθθθρ sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot+=sdot minusminusminusmkgw

wobei die Temperatur θ in degC einzusetzen ist (Fehler der Naumlherung ) Diese Naumlhrung gilt bei sog Normaldruck (p

3210 minusminus sdotlt∆ mkgWρN = 1013 kPa) Warum kann die Druckabhaumlngig-

keit hier vernachlaumlssigt werden Die Druckabhaumlngigkeit muss aber bei der Luftdichte unbedingt beruumlcksichtigt werden ebenso wie die Luftfeuchtigkeit (warum) Man verwendet die Beziehung

TRp

fL sdot=ρ

13

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

wobei p der Luftdruck (in Pa) T die Lufttemperatur (in K) und Rf die Gaskonstante feuchter Luft ist Diese Gaskonstante Rf berechnet sich wiederum aus

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdotminus

=

d

ld

lf

RR

pp

RR11 ϕ

0 10 20 30 40992

993

994

995

996

997

998

999

1000

Dic

hte ρ w

(kg

m3 )

Temperatur θ (degC)

-10 0 10 20 3011

12

13

Dic

hte ρ L (k

gm

3 )Temperatur θ (degC)

Abb 2 Temperaturabhaumlngigkeit der Dichte fuumlr (reines) Wasser und (trockene) Luft

Hier ist Rl = 28705 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante trockener Luft Rd = 461 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante von Wasserdampf und φ die relative Luftfeuchtigkeit Die Groumlszlige pd ist der Saumlt-tigungsdampfdruck von Wasser in Luft der sich empirisch mit der sog Magnus-Formel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+degsdot

sdot=θθ

CPapd 2241

504317exp213611)( im Intervall CC degleledegminus 7030 θ

berechnen laumlsst wobei θ wieder die Temperatur (in degC) ist Fuumlr Aufgabe 5 sind die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen der Waumlgungen zu ermitteln Die Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo werden alle mit der gleichen Analysenwaage ermittelt fuumlr die vom Hersteller eine Garantiefehlergrenze (systematischer Restfehler) von 02 mg angegeben wird Diese Garantiefehlergrenze ist fuumlr alle drei Massenwerte als geraumlte-bedingte systematische Abweichung zu beruumlcksichtigen Fuumlr die Messwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo haumlngt es von der sorgfaumlltigen Versuchsdurchfuumlhrung (Abtupfen des Wassers ) ab ob die zufaumlllige undoder die systematische Abweichung die Messunsicherheit bestimmt Fuumlr Aufgabe 6 ist nur die Messunsicherheit der Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo zu beruumlcksich-tigen Die berechneten Werte fuumlr die Dichten von Luft und Wasser koumlnnen als praktisch fehlerfrei angenommen werden

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Erster Hauptsatz der Thermodynamik Waumlrmemenge Waumlrmekapazitaumlt Richmannsche Mischungsregel Arbeit von Gleich- und Wechselstrom Waumlrmeaustauschkorrektur (s Skript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstel-lung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo) Waumlrme ist eine Energieform die zwischen Koumlrpern ausgetauscht wird oder in andere Energie-formen umgewandelt werden kann Fuumlhrt man einem Koumlrper der Masse m die Waumlrmemenge dQ zu dann ist die sich einstellende Temperaturerhoumlhung dT proportional zur zugefuumlhrten Waumlrmemenge

dTcmdQ sdotsdot= (1)wobei der Proportionalitaumltsfaktor c als spezifische Waumlrmekapazitaumlt mit der SI-Einheit Jmiddotkg-1middotK-1 bezeichnet wird und eine Stoffkonstante ist Aus (1) ergibt sich

dTdQ

mc sdot=

1 (2)

Das Produkt cmC sdot= (3)

mit der SI-Einheit JmiddotK-1 nennt man Waumlrmekapazitaumlt des Koumlrpers Zur Bestimmung von Waumlrmemengen benutzt man sog Kalorimeter wobei anisotherme Aus-fuumlhrungen mit sehr gut waumlrmeisolierten Gefaumlszligen am haumlufigsten verwendet werden Fuumlhrt man einem mit Wasser der Masse mW (teilweise) gefuumlllten Kalorimeter eine Waumlrmemenge ∆Q zu dann werden auszliger dem Wasser auch alle Teile des Kalorimeters wie zB Gefaumlszligwandung Thermometer und Ruumlhrer erwaumlrmt Die gesamte Waumlrmekapazitaumlt der Versuchsanordnung setzt sich also aus der des Wassers (mWmiddotcW) und der des Kalorimeters (CK) zusammen

( ) TCcmQ KWW ∆sdot+sdot=∆ (4)Die spezifische Waumlrmekapazitaumlt von Wasser hat als Stoffkonstante den Wert cW = 41813 kJmiddotkg-1middotK-1 (bei 25degC) Die Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorime-ters ist rechnerisch nur naumlherungsweise moumlglich deshalb wird sie ia experimentell ermittelt 1 Elektrische Methode Flieszligt durch einen Ohmschen Leiter (Heizspirale) an dem die Spannung U anliegt der Strom I dann entsteht im Zeitintervall ∆t in ihm eine der elektri-schen Energie aumlquivalente Waumlrmemenge

tIUQ ∆sdotsdot=∆ (5)Uumlbertraumlgt man diese Waumlrmemenge an das Wasser (Masse mW) und das Kalorimeter (Waumlrme-kapazitaumlt CK) dann steigt die Wassertemperatur gemaumlszlig (4) Bei verlustloser Waumlrmeuumlbertra-gung sind beide Waumlrmemengen gleich (Energieerhaltungssatz) und es gilt

( ) TCcmtIU KWW ∆sdot+sdot=∆sdotsdot (6)so dass CK bestimmt werden kann 2 Mischungsmethode Fuumlgt man kaltem Wasser der Masse m1 und Temperatur T1 in einem Kalorimeter warmes Wasser der Masse m2 und Temperatur T2 hinzu so findet ein Waumlrmeaus-tausch statt bis das gesamte Wasser die Mischungstemperatur Tm angenommen hat Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dass die vom warmen Wasser abgegebene Waumlrmeenergie

gleich der vom kalten Wasser und dem Kalorimeter aufgenommenen Waumlrmeenergie

)( 222 mW TTcmQ minussdotsdot=∆( ) )( 111 TTCcmQ mKW minussdot+sdot=∆ sein muss Der Energieerhaltungssatz in dieser

speziellen Form des Austausches von Waumlrmemenge heiszligt Richmannsche Mischungsregel und ergibt die Gleichung

( ) )()( 2211 mWmKW TTcmTTCcm minussdotsdot=minussdot+sdot (7)zur Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorimeters

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

AUFGABEN 1 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der elektrischen Methode gemaumlszlig (6) 2 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 1 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 3 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der Mischungsmethode mit (7) 4 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 3 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 5 Fuumlr beide Methoden fuumlhre man eine Bestimmung der Messunsicherheit der Waumlrmekapazi-

taumlt durch und vergleiche die Endergebnisse miteinander VERSUCHSHINWEISE Das Verfahren zur Waumlrmeaustauschkorrektur Bei kalorimetrischen Messungen ist ein Waumlrmeaustausch mit der Umgebung unvermeidlich (offenes thermodynamisches System) und meist stoumlrend Aus dem gemessenen zeitlichen Temperaturverlauf ist er aber abzulesen (s Abb 1)

DE

Abbildung 1 Zeitlicher Verlauf der Temperatur im Kalorimeter

In der Vorperiode erhaumllt man den ansteigenden Kurvenabschnitt ArarrB in der Nachperiode den abfallenden Kurvenabschnitt ErarrF Das liegt daran dass das Kalorimeter eben nicht adia-batisch bzw isentrop ist Die Temperatur der Kalorimeterfluumlssigkeit im Innern gleicht sich in beiden Abschnitten jeweils (asymptotisch) an die Umgebungstemperatur TU an wobei der Waumlrmefluss proportional zur Temperaturdifferenz ist Es laumlsst sich zeigen dass der Gleichge-wichtszustand zeitlich exponentiell angenommen wird Im vorliegenden Fall ist aber die ent-sprechende Zeitkonstante sehr groszlig im Vergleich zur Messzeit so dass die beiden Abschnitte ArarrB und ErarrF naumlherungsweise jeweils durch eine Gerade beschrieben werden duumlrfen Die-ser Sachverhalt gestattet es auszligerdem in diesen Abschnitten die Messwerte in groumlszligerer zeitli-cher Schrittweite aufzunehmen Aufgrund des real zeitlich ausgedehnten Waumlrmeaustausches mit der Umgebung beobachtet man einen stetigen und differenzierbaren Verlauf der Kurve im Abschnitt BrarrE Nur wenn die im Experiment zugefuumlhrte Waumlrme sofort verteilt wuumlrde waumlre die Temperaturkurve eine Sprungfunktion Das System braucht eine gewisse Zeit bis sich ein neues Gleichgewicht ein-stellen kann Es verhaumllt sich so als ob es uumlber ein ganzes Zeitintervall bdquoverschmiertldquo waumlre Es gilt also die Endzeit der Waumlrmezufuhr zu finden Sie liegt im Wendepunkt der Temperaturkurve weil sich dort die Richtung der Kruumlmmung aumlndert also Waumlrmezufuhr in Waumlrmeverlust uumlbergeht Nun laumlsst sich aber im Abschnitt BrarrE die Kurve T(t) nicht beliebig

F

Tem

pera

tur

T

∆T S

TU

A B C

Zeit

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

17

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

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O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

23

O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

25

O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

26

O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

27

O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

28

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

29

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

32

O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

34

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

35

O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

46

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

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• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

die eine freie ungedaumlmpfte Schwingung beschreibt Mit den willkuumlrlich ausgewaumlhlten Anfangsbedingungen (Anfangslage) und 0)0( xtx == 0)0( 0 === vtx (Anfangsgeschwin-digkeit) lautet ihre Loumlsung

)cos()( 0 txtx sdotsdot= ω (4)wobei physikalisch x0 als Amplitude und mk=ω als Kreisfrequenz der freien ungedaumlmpf-ten Federschwingung bezeichnet werden Der Koumlrper der Masse m schwingt nach Auslen-kung (aus der Gleichgewichts- bzw Ruhelage um x0) in Form einer harmonischen Schwin-gung mit der Periodendauer

kmT π

ωπ 22== (5)

die experimentell direkt gemessen werden kann Aus (5) ist bei bekannter Masse m die Feder-konstante k bestimmbar 3 Berechnung der Federkonstanten aus der Geometrie und den Materialeigenschaften der Schraubenfeder Durch eine Auslenkung aus der Ruhelage wird die Schraubenfeder gedehnt und damit der gesamte Federdraht auf sog Torsion (svw bdquoVerdrehungldquo oder bdquoVerdrillungldquo) beansprucht Ohne weitere Herleitung sei hier eine Beziehung angegeben die es gestattet aus dem sog Torsionsmodul G (als Materialkonstante des Federdrahtes) und den geometrischen Daten der Schraubenfeder (Drahtlaumlnge l Drahtdurchmesser d und Wickel-radius r) die Federkonstante k zu berechnen

2

4

32 rldGksdotsdot

sdot=π (6)

AUFGABEN 1 Aus dem statischen Verhalten einer Schraubenfeder ist deren Federkonstante experimentell

zu bestimmen Dazu ist gemaumlszlig Beziehung (2) die statische Auslenkung x in Abhaumlngigkeit von der Belastung m mit verschiedenen Massestuumlcken zu messen Die Daten sind in der Form x = x(m) als Diagramm grafisch darzustellen und daraus die Federkonstante k zu er-mitteln Fuumlr die zu erwartende lineare Abhaumlngigkeit ist sowohl mit einfacher grafischer Methode (bdquoSteigungsdreieckldquo) als auch numerisch (Geradenausgleichsrechnung lineare Regression) der Anstieg von x = x(m) und daraus die Federkonstante (jeweils auch ein-schlieszliglich der Messunsicherheit) zu bestimmen

2 Mithilfe des dynamischen Verhaltens des Federschwingers ist fuumlr dieselbe Feder die Federkonstante aus der experimentell beobachteten Periodendauer der Schwingung zu bestimmen (jeweils auch einschlieszliglich der Messunsicherheit) Dazu ist Formel (5) bei be-kannter und sinnvoll gewaumlhlter Masse m zu nutzen

3 Mithilfe von Formel (6) ist aus den Daten der Schraubenfeder die am Versuchsplatz angegeben sind die Federkonstante k einschlieszliglich ihrer resultierenden Unsicherheit zu berechnen

4 Die Obergrenzen fuumlr systematische Messabweichungen bei den ersten beiden Aufgaben (statische und dynamische Messung der Federkonstanten) sind abzuschaumltzen (Groumlszligenord-nungen) Es ist zu analysieren welche dieser systematischen Abweichungen korrigierbar sind und welche dann tatsaumlchlich in die Messunsicherheit des Endergebnisses eingehen

5 Fuumlr alle drei Methoden (Aufgaben 1-3) sind die Ergebnisse (einschlieszliglich Messunsicher-heit) fuumlr die Federkonstante uumlbersichtlich darzustellen miteinander zu vergleichen und zu diskutieren Sofern moumlglich ist ein gewichteter Mittelwert zu ermitteln

10

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

VERSUCHSHINWEISE Die Schraubenfeder ist mit einem Ende an einem Stativ befestigt Zur Messung der Auslen-kung der Feder aus der Ruhelage wird die Stellung der an der Feder befindlichen Marke M (Abb 1) auf einer Spiegelskale abgelesen (Welchen Vorteil bietet eine Spiegelskale gegen-uumlber einer einfachen Skale) Die sog Verkehrsfehlergrenze der Massennormale ist fuumlr die Masse m = 50 g mit ∆m = plusmn 01 g festgelegt Bei Messung einer Laumlnge l mit der Spiegelskale ist die Messunsi-cherheit ∆l = plusmn (02 mm + 5middot10-4middotl) Fuumlr die Fallbeschleunigung ist (lt Festlegung der Eichbe-houmlrden der Laumlnder fuumlr Waagen) ein Wert von g = (98130 plusmn 00001) mmiddots-2 zu verwenden Fuumlr die 1 Aufgabe wird die Feder schrittweise bis 400 g mit Massestuumlcken von 50 g belastet und mit Hilfe einer Spiegelskale an der Marke M die Auslenkung x gemessen (erste Mess-reihe) Nach Erreichen der Houmlchstbelastung von 400 g ist dann die Feder wieder schrittweise zu entlasten (zweite Messreihe) a) Aus der grafischen Darstellung x = x(m) ist mithilfe des bdquoSteigungsdreiecksldquo der Anstieg

gk grafisch zu ermitteln und seine Unsicherheit entsprechend abzuschaumltzen (vgl Einfuumlh-rungsskript) Daraus sind dann die Federkonstante k als mittelbar bestimmter Groumlszlige und ihre Unsicherheit ∆k zu berechnen

b) Durch lineare Regression ist mithilfe geeigneter Software (s Einfuumlhrungsskript und Vorle-sung) der Anstieg und seine Unsicherheit numerisch zu ermitteln daraus ebenfalls wieder die Federkonstante und deren Unsicherheit

Fuumlr die 2 Aufgabe wird die Feder mit einer Gesamtmasse von 400 g belastet und 10mal die Zeit fuumlr jeweils 20 Schwingungen mithilfe einer Stoppuhr gemessen Daraus ist der Mittel-wert der Periodendauer T und ihr Vertrauensbereich sT zu berechnen und mittelbar damit die Federkonstante k uumlber Gleichung (5) mit ihrer Messunsicherheit a) Zur Genauigkeit der Messung mit Stoppuhren sind im Einfuumlhrungsskript ausfuumlhrliche Hin-

weise enthalten Entsprechend den dort enthaltenen Angaben sind die systematischen Messabweichungen mit ihrer Auswirkung auf die Periodendauer und die Federkonstante realistisch abzuschaumltzen

b) Bezuumlglich der Massen ist bereits ein Hinweis bei Aufgabe 1 gegeben worden Zusaumltzlich muumlsste noch der Einfluss der Eigenmasse der Feder von mF asymp 5 g auf die Periodendauer beruumlcksichtigt werden Die Teile der Feder nehmen unterschiedlich an der Bewegung teil es kann als zu beruumlcksichtigende Zusatzmasse macute= mF3 gesetzt werden Somit ergibt sich

fuumlr die Periodendauer m

mTk

mmT F

312acute +=

+= π

c) Auch bei sehr sorgfaumlltiger Anfangsauslenkung fuumlhrt der Federschwinger nach einigen Schwingungen unvermeidlich seitliche Schwingungen aus Wie beeinflusst diese Bewe-gung die gemessene Periodendauer Man uumlberlege sich auch welche Auswirkungen die in der Betrachtung vernachlaumlssigte aber unvermeidlich auftretende Reibung auf das Ergebnis dieses Verfahrens hat

Fuumlr die 3 Aufgabe sind am jeweiligen Versuchsplatz die Messunsicherheiten der einzelnen Groumlszligen mit angegeben Eine Unterscheidung von zufaumllligen und systematischen Komponen-ten ist hier allerdings nicht moumlglich Fuumlr Aufgabe 5 ist eine tabellarische Darstellungsweise vorzuziehen In Zusammenhang mit dem gewogenen Mittelwert ist zu analysieren unter welchen Bedingungen er uumlberhaupt sinn-voll gebildet werden kann

11

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Dichte Auftriebskraft Analy-senwaage Pyknometer Ein sog Pyknometer ist ein Geraumlt zur Bestimmung der Dichte fester Koumlrper Es besteht aus einem Glasgefaumlszlig mit eingeschliffenem Stopfen der eine kapillare Bohrung hat Das Pykno-meter kann reproduzierbar mit groszliger Genauigkeit mit Wasser gefuumlllt werden Zur Dichtebe-stimmung mit dem Pyknometer sind drei Waumlgungen mit einer Analysenwaage noumltig wobei der Auftrieb der zu waumlgenden Koumlrper (Probe bzw Pyknometer) in Luft (Dichte ρL) zu beruumlck-sichtigen ist 1 Waumlgung der Probe in Luft Fuumlr eine Probe (Masse m1 Volumen V1) wird die Gewichts-kraft durch die ihr entgegengesetzt gerichtete Auftriebskraft gmF sdot= 11 gVF LA sdotsdot= ρ11 vermindert so dass im Gleichgewicht die Waage den Wert m1rsquo anzeigt Die Gleichgewichts-bedingung liefert

111 mVm L =sdotminus ρ (1)2 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers Das vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllte Pykno-meter (Volumen VP) hat die Gesamtmasse m2 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m2rsquo an so dass gilt

22 mVm LP =sdotminus ρ (2)3 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers mit Probe Das mit Wasser und der Probe gefuumlllte Pyknometer hat die Gesamtmasse m3 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m3rsquo an so dass gilt

33 mVm LP =sdotminus ρ (3)Zwischen den Massen m1 m2 und m3 besteht der Zusammenhang

232311 mmmmVm W minus=minus=sdotminus ρ (4)wobei ρW die Dichte des Wassers ist Zur Bestimmung der Dichte ρ1 der Probe kann man aus den Gleichungen (1) und (4) die Unbekannten m1 und V1 ermitteln Man erhaumllt

)()(

231

231

1

11 mmm

mmmVm LW

minusminussdotminusminussdot

==ρρρ (5)

AUFGABEN 1 Bestimmung der Masse m1rsquo fuumlr zwei verschiedene Metallproben (Al und Cu) durch

Waumlgung in Luft Fuumlr jede Probe erfolgt die Waumlgung sechsmal wobei die Probe immer neu auf die Waage zu legen ist Bestimmung der zugehoumlrigen Mittelwerte

2 Bestimmung der Masse m2rsquo des vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllten Pyknometers durch Waumlgung Die jeweils erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt sechsmal Bestimmung des Mittelwertes

3 Bestimmung der Masse m3rsquo des mit Wasser und jeweiliger Metallprobe gefuumlllten Pykno-meters durch Waumlgung Die erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt fuumlr jede Probe sechsmal Bestimmung der Mittelwerte

4 Berechnung der Dichte der beiden Metallproben nach Gleichung (5) 5 Bestimmung der jeweiligen Messunsicherheiten fuumlr die unmittelbar gemessenen Groumlszligen

m1rsquo m2rsquo und m3rsquo fuumlr beide Proben 6 Abschaumltzung bzw Berechnung (Fortpflanzung) der resultierenden Messunsicherheiten der

mit (5) mittelbar bestimmten beiden Dichten Vergleich der Ergebnisse fuumlr die beiden Dichten mit Referenzwerten

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F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

VERSUCHSHINWEISE Die Waumlgungen werden mit einer elektronischen Analysenwaage durchgefuumlhrt bei der die auf-gelegte Last (Abb 1 oberer Pfeil) durch eine elektromagnetische Kraft kompensiert wird Mit einer optoelektronischen Abtastung (1) wird die Stellung der Waagschale (2) gemessen und mit diesem Signal der Kompensationsstrom in der Spule (3) gesteuert Der Kompensations-strom erzeugt zwischen Permanentmagnet (4) und Spule eine Kraft so dass die Waagschale in die Null-Lage zuruumlckgefuumlhrt wird der Strom ist der Last proportional Zur Durchfuumlhrung der Waumlgungen beachte man unbedingt die Hinweise des Versuchsbetreuers und die Platz-anleitung

Abb1 Messprinzip der eAnalysenwaage

lektronischen

Fuumlr Aufgabe 2 wird das Pyknometer bis zum Rand mit destilliertem Wasser gefuumlllt wobei die Bildung von Luftblaumlschen zu vermeiden ist Verschlieszligt man das Pyknometer mit dem ange-schliffenen Stopfen so laumluft Wasser uumlber das sehr sorgfaumlltig mit Filterpapier abzuwischen ist Das Anfassen des Pyknometers muss aumluszligerst vorsichtig erfolgen um seine Erwaumlrmung zu vermeiden (warum) Nach dem Abwischen wird mit Filterpapier der auf der Kapillare stehende Tropfen abgenommen so dass die Kapillare bis oben mit Wasser gefuumlllt ist Fuumlr die durchzufuumlhrenden Waumlgungen ist das Pyknometer stets erneut zu befuumlllen Fuumlr Aufgabe 3 wird der Probekoumlrper in das Pyknometer gebracht und dann mit destilliertem Wasser aufgefuumlllt weiter ist sinngemaumlszlig wie bei Aufgabe 2 zu verfahren Fuumlr Aufgabe 4 sind zusaumltzlich zu den Werten m1rsquo m2rsquo und m3rsquo auch der Luftdruck p sowie die Zimmer- und Wassertemperatur zu bestimmen Die Temperaturen koumlnnen als gleich vor-ausgesetzt werden da das destillierte Wasser sich bereits sehr lange im Versuchsraum befin-det Die temperaturabhaumlngige (s Abb 2) Dichte ρW von reinem (luftfreiem) Wasser laumlsst sich im Temperaturintervall 0degC lt θ lt 40degC naumlherungsweise berechnen mit

4-73-52323 1046657-10772108768-1066299984)( θθθθρ sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot+=sdot minusminusminusmkgw

wobei die Temperatur θ in degC einzusetzen ist (Fehler der Naumlherung ) Diese Naumlhrung gilt bei sog Normaldruck (p

3210 minusminus sdotlt∆ mkgWρN = 1013 kPa) Warum kann die Druckabhaumlngig-

keit hier vernachlaumlssigt werden Die Druckabhaumlngigkeit muss aber bei der Luftdichte unbedingt beruumlcksichtigt werden ebenso wie die Luftfeuchtigkeit (warum) Man verwendet die Beziehung

TRp

fL sdot=ρ

13

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

wobei p der Luftdruck (in Pa) T die Lufttemperatur (in K) und Rf die Gaskonstante feuchter Luft ist Diese Gaskonstante Rf berechnet sich wiederum aus

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdotminus

=

d

ld

lf

RR

pp

RR11 ϕ

0 10 20 30 40992

993

994

995

996

997

998

999

1000

Dic

hte ρ w

(kg

m3 )

Temperatur θ (degC)

-10 0 10 20 3011

12

13

Dic

hte ρ L (k

gm

3 )Temperatur θ (degC)

Abb 2 Temperaturabhaumlngigkeit der Dichte fuumlr (reines) Wasser und (trockene) Luft

Hier ist Rl = 28705 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante trockener Luft Rd = 461 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante von Wasserdampf und φ die relative Luftfeuchtigkeit Die Groumlszlige pd ist der Saumlt-tigungsdampfdruck von Wasser in Luft der sich empirisch mit der sog Magnus-Formel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+degsdot

sdot=θθ

CPapd 2241

504317exp213611)( im Intervall CC degleledegminus 7030 θ

berechnen laumlsst wobei θ wieder die Temperatur (in degC) ist Fuumlr Aufgabe 5 sind die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen der Waumlgungen zu ermitteln Die Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo werden alle mit der gleichen Analysenwaage ermittelt fuumlr die vom Hersteller eine Garantiefehlergrenze (systematischer Restfehler) von 02 mg angegeben wird Diese Garantiefehlergrenze ist fuumlr alle drei Massenwerte als geraumlte-bedingte systematische Abweichung zu beruumlcksichtigen Fuumlr die Messwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo haumlngt es von der sorgfaumlltigen Versuchsdurchfuumlhrung (Abtupfen des Wassers ) ab ob die zufaumlllige undoder die systematische Abweichung die Messunsicherheit bestimmt Fuumlr Aufgabe 6 ist nur die Messunsicherheit der Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo zu beruumlcksich-tigen Die berechneten Werte fuumlr die Dichten von Luft und Wasser koumlnnen als praktisch fehlerfrei angenommen werden

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Erster Hauptsatz der Thermodynamik Waumlrmemenge Waumlrmekapazitaumlt Richmannsche Mischungsregel Arbeit von Gleich- und Wechselstrom Waumlrmeaustauschkorrektur (s Skript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstel-lung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo) Waumlrme ist eine Energieform die zwischen Koumlrpern ausgetauscht wird oder in andere Energie-formen umgewandelt werden kann Fuumlhrt man einem Koumlrper der Masse m die Waumlrmemenge dQ zu dann ist die sich einstellende Temperaturerhoumlhung dT proportional zur zugefuumlhrten Waumlrmemenge

dTcmdQ sdotsdot= (1)wobei der Proportionalitaumltsfaktor c als spezifische Waumlrmekapazitaumlt mit der SI-Einheit Jmiddotkg-1middotK-1 bezeichnet wird und eine Stoffkonstante ist Aus (1) ergibt sich

dTdQ

mc sdot=

1 (2)

Das Produkt cmC sdot= (3)

mit der SI-Einheit JmiddotK-1 nennt man Waumlrmekapazitaumlt des Koumlrpers Zur Bestimmung von Waumlrmemengen benutzt man sog Kalorimeter wobei anisotherme Aus-fuumlhrungen mit sehr gut waumlrmeisolierten Gefaumlszligen am haumlufigsten verwendet werden Fuumlhrt man einem mit Wasser der Masse mW (teilweise) gefuumlllten Kalorimeter eine Waumlrmemenge ∆Q zu dann werden auszliger dem Wasser auch alle Teile des Kalorimeters wie zB Gefaumlszligwandung Thermometer und Ruumlhrer erwaumlrmt Die gesamte Waumlrmekapazitaumlt der Versuchsanordnung setzt sich also aus der des Wassers (mWmiddotcW) und der des Kalorimeters (CK) zusammen

( ) TCcmQ KWW ∆sdot+sdot=∆ (4)Die spezifische Waumlrmekapazitaumlt von Wasser hat als Stoffkonstante den Wert cW = 41813 kJmiddotkg-1middotK-1 (bei 25degC) Die Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorime-ters ist rechnerisch nur naumlherungsweise moumlglich deshalb wird sie ia experimentell ermittelt 1 Elektrische Methode Flieszligt durch einen Ohmschen Leiter (Heizspirale) an dem die Spannung U anliegt der Strom I dann entsteht im Zeitintervall ∆t in ihm eine der elektri-schen Energie aumlquivalente Waumlrmemenge

tIUQ ∆sdotsdot=∆ (5)Uumlbertraumlgt man diese Waumlrmemenge an das Wasser (Masse mW) und das Kalorimeter (Waumlrme-kapazitaumlt CK) dann steigt die Wassertemperatur gemaumlszlig (4) Bei verlustloser Waumlrmeuumlbertra-gung sind beide Waumlrmemengen gleich (Energieerhaltungssatz) und es gilt

( ) TCcmtIU KWW ∆sdot+sdot=∆sdotsdot (6)so dass CK bestimmt werden kann 2 Mischungsmethode Fuumlgt man kaltem Wasser der Masse m1 und Temperatur T1 in einem Kalorimeter warmes Wasser der Masse m2 und Temperatur T2 hinzu so findet ein Waumlrmeaus-tausch statt bis das gesamte Wasser die Mischungstemperatur Tm angenommen hat Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dass die vom warmen Wasser abgegebene Waumlrmeenergie

gleich der vom kalten Wasser und dem Kalorimeter aufgenommenen Waumlrmeenergie

)( 222 mW TTcmQ minussdotsdot=∆( ) )( 111 TTCcmQ mKW minussdot+sdot=∆ sein muss Der Energieerhaltungssatz in dieser

speziellen Form des Austausches von Waumlrmemenge heiszligt Richmannsche Mischungsregel und ergibt die Gleichung

( ) )()( 2211 mWmKW TTcmTTCcm minussdotsdot=minussdot+sdot (7)zur Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorimeters

15

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

AUFGABEN 1 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der elektrischen Methode gemaumlszlig (6) 2 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 1 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 3 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der Mischungsmethode mit (7) 4 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 3 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 5 Fuumlr beide Methoden fuumlhre man eine Bestimmung der Messunsicherheit der Waumlrmekapazi-

taumlt durch und vergleiche die Endergebnisse miteinander VERSUCHSHINWEISE Das Verfahren zur Waumlrmeaustauschkorrektur Bei kalorimetrischen Messungen ist ein Waumlrmeaustausch mit der Umgebung unvermeidlich (offenes thermodynamisches System) und meist stoumlrend Aus dem gemessenen zeitlichen Temperaturverlauf ist er aber abzulesen (s Abb 1)

DE

Abbildung 1 Zeitlicher Verlauf der Temperatur im Kalorimeter

In der Vorperiode erhaumllt man den ansteigenden Kurvenabschnitt ArarrB in der Nachperiode den abfallenden Kurvenabschnitt ErarrF Das liegt daran dass das Kalorimeter eben nicht adia-batisch bzw isentrop ist Die Temperatur der Kalorimeterfluumlssigkeit im Innern gleicht sich in beiden Abschnitten jeweils (asymptotisch) an die Umgebungstemperatur TU an wobei der Waumlrmefluss proportional zur Temperaturdifferenz ist Es laumlsst sich zeigen dass der Gleichge-wichtszustand zeitlich exponentiell angenommen wird Im vorliegenden Fall ist aber die ent-sprechende Zeitkonstante sehr groszlig im Vergleich zur Messzeit so dass die beiden Abschnitte ArarrB und ErarrF naumlherungsweise jeweils durch eine Gerade beschrieben werden duumlrfen Die-ser Sachverhalt gestattet es auszligerdem in diesen Abschnitten die Messwerte in groumlszligerer zeitli-cher Schrittweite aufzunehmen Aufgrund des real zeitlich ausgedehnten Waumlrmeaustausches mit der Umgebung beobachtet man einen stetigen und differenzierbaren Verlauf der Kurve im Abschnitt BrarrE Nur wenn die im Experiment zugefuumlhrte Waumlrme sofort verteilt wuumlrde waumlre die Temperaturkurve eine Sprungfunktion Das System braucht eine gewisse Zeit bis sich ein neues Gleichgewicht ein-stellen kann Es verhaumllt sich so als ob es uumlber ein ganzes Zeitintervall bdquoverschmiertldquo waumlre Es gilt also die Endzeit der Waumlrmezufuhr zu finden Sie liegt im Wendepunkt der Temperaturkurve weil sich dort die Richtung der Kruumlmmung aumlndert also Waumlrmezufuhr in Waumlrmeverlust uumlbergeht Nun laumlsst sich aber im Abschnitt BrarrE die Kurve T(t) nicht beliebig

F

Tem

pera

tur

T

∆T S

TU

A B C

Zeit

16

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

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O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

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O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

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O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

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O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

29

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

32

O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

34

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN

VERSUCHSHINWEISE Die Schraubenfeder ist mit einem Ende an einem Stativ befestigt Zur Messung der Auslen-kung der Feder aus der Ruhelage wird die Stellung der an der Feder befindlichen Marke M (Abb 1) auf einer Spiegelskale abgelesen (Welchen Vorteil bietet eine Spiegelskale gegen-uumlber einer einfachen Skale) Die sog Verkehrsfehlergrenze der Massennormale ist fuumlr die Masse m = 50 g mit ∆m = plusmn 01 g festgelegt Bei Messung einer Laumlnge l mit der Spiegelskale ist die Messunsi-cherheit ∆l = plusmn (02 mm + 5middot10-4middotl) Fuumlr die Fallbeschleunigung ist (lt Festlegung der Eichbe-houmlrden der Laumlnder fuumlr Waagen) ein Wert von g = (98130 plusmn 00001) mmiddots-2 zu verwenden Fuumlr die 1 Aufgabe wird die Feder schrittweise bis 400 g mit Massestuumlcken von 50 g belastet und mit Hilfe einer Spiegelskale an der Marke M die Auslenkung x gemessen (erste Mess-reihe) Nach Erreichen der Houmlchstbelastung von 400 g ist dann die Feder wieder schrittweise zu entlasten (zweite Messreihe) a) Aus der grafischen Darstellung x = x(m) ist mithilfe des bdquoSteigungsdreiecksldquo der Anstieg

gk grafisch zu ermitteln und seine Unsicherheit entsprechend abzuschaumltzen (vgl Einfuumlh-rungsskript) Daraus sind dann die Federkonstante k als mittelbar bestimmter Groumlszlige und ihre Unsicherheit ∆k zu berechnen

b) Durch lineare Regression ist mithilfe geeigneter Software (s Einfuumlhrungsskript und Vorle-sung) der Anstieg und seine Unsicherheit numerisch zu ermitteln daraus ebenfalls wieder die Federkonstante und deren Unsicherheit

Fuumlr die 2 Aufgabe wird die Feder mit einer Gesamtmasse von 400 g belastet und 10mal die Zeit fuumlr jeweils 20 Schwingungen mithilfe einer Stoppuhr gemessen Daraus ist der Mittel-wert der Periodendauer T und ihr Vertrauensbereich sT zu berechnen und mittelbar damit die Federkonstante k uumlber Gleichung (5) mit ihrer Messunsicherheit a) Zur Genauigkeit der Messung mit Stoppuhren sind im Einfuumlhrungsskript ausfuumlhrliche Hin-

weise enthalten Entsprechend den dort enthaltenen Angaben sind die systematischen Messabweichungen mit ihrer Auswirkung auf die Periodendauer und die Federkonstante realistisch abzuschaumltzen

b) Bezuumlglich der Massen ist bereits ein Hinweis bei Aufgabe 1 gegeben worden Zusaumltzlich muumlsste noch der Einfluss der Eigenmasse der Feder von mF asymp 5 g auf die Periodendauer beruumlcksichtigt werden Die Teile der Feder nehmen unterschiedlich an der Bewegung teil es kann als zu beruumlcksichtigende Zusatzmasse macute= mF3 gesetzt werden Somit ergibt sich

fuumlr die Periodendauer m

mTk

mmT F

312acute +=

+= π

c) Auch bei sehr sorgfaumlltiger Anfangsauslenkung fuumlhrt der Federschwinger nach einigen Schwingungen unvermeidlich seitliche Schwingungen aus Wie beeinflusst diese Bewe-gung die gemessene Periodendauer Man uumlberlege sich auch welche Auswirkungen die in der Betrachtung vernachlaumlssigte aber unvermeidlich auftretende Reibung auf das Ergebnis dieses Verfahrens hat

Fuumlr die 3 Aufgabe sind am jeweiligen Versuchsplatz die Messunsicherheiten der einzelnen Groumlszligen mit angegeben Eine Unterscheidung von zufaumllligen und systematischen Komponen-ten ist hier allerdings nicht moumlglich Fuumlr Aufgabe 5 ist eine tabellarische Darstellungsweise vorzuziehen In Zusammenhang mit dem gewogenen Mittelwert ist zu analysieren unter welchen Bedingungen er uumlberhaupt sinn-voll gebildet werden kann

11

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Dichte Auftriebskraft Analy-senwaage Pyknometer Ein sog Pyknometer ist ein Geraumlt zur Bestimmung der Dichte fester Koumlrper Es besteht aus einem Glasgefaumlszlig mit eingeschliffenem Stopfen der eine kapillare Bohrung hat Das Pykno-meter kann reproduzierbar mit groszliger Genauigkeit mit Wasser gefuumlllt werden Zur Dichtebe-stimmung mit dem Pyknometer sind drei Waumlgungen mit einer Analysenwaage noumltig wobei der Auftrieb der zu waumlgenden Koumlrper (Probe bzw Pyknometer) in Luft (Dichte ρL) zu beruumlck-sichtigen ist 1 Waumlgung der Probe in Luft Fuumlr eine Probe (Masse m1 Volumen V1) wird die Gewichts-kraft durch die ihr entgegengesetzt gerichtete Auftriebskraft gmF sdot= 11 gVF LA sdotsdot= ρ11 vermindert so dass im Gleichgewicht die Waage den Wert m1rsquo anzeigt Die Gleichgewichts-bedingung liefert

111 mVm L =sdotminus ρ (1)2 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers Das vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllte Pykno-meter (Volumen VP) hat die Gesamtmasse m2 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m2rsquo an so dass gilt

22 mVm LP =sdotminus ρ (2)3 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers mit Probe Das mit Wasser und der Probe gefuumlllte Pyknometer hat die Gesamtmasse m3 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m3rsquo an so dass gilt

33 mVm LP =sdotminus ρ (3)Zwischen den Massen m1 m2 und m3 besteht der Zusammenhang

232311 mmmmVm W minus=minus=sdotminus ρ (4)wobei ρW die Dichte des Wassers ist Zur Bestimmung der Dichte ρ1 der Probe kann man aus den Gleichungen (1) und (4) die Unbekannten m1 und V1 ermitteln Man erhaumllt

)()(

231

231

1

11 mmm

mmmVm LW

minusminussdotminusminussdot

==ρρρ (5)

AUFGABEN 1 Bestimmung der Masse m1rsquo fuumlr zwei verschiedene Metallproben (Al und Cu) durch

Waumlgung in Luft Fuumlr jede Probe erfolgt die Waumlgung sechsmal wobei die Probe immer neu auf die Waage zu legen ist Bestimmung der zugehoumlrigen Mittelwerte

2 Bestimmung der Masse m2rsquo des vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllten Pyknometers durch Waumlgung Die jeweils erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt sechsmal Bestimmung des Mittelwertes

3 Bestimmung der Masse m3rsquo des mit Wasser und jeweiliger Metallprobe gefuumlllten Pykno-meters durch Waumlgung Die erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt fuumlr jede Probe sechsmal Bestimmung der Mittelwerte

4 Berechnung der Dichte der beiden Metallproben nach Gleichung (5) 5 Bestimmung der jeweiligen Messunsicherheiten fuumlr die unmittelbar gemessenen Groumlszligen

m1rsquo m2rsquo und m3rsquo fuumlr beide Proben 6 Abschaumltzung bzw Berechnung (Fortpflanzung) der resultierenden Messunsicherheiten der

mit (5) mittelbar bestimmten beiden Dichten Vergleich der Ergebnisse fuumlr die beiden Dichten mit Referenzwerten

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F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

VERSUCHSHINWEISE Die Waumlgungen werden mit einer elektronischen Analysenwaage durchgefuumlhrt bei der die auf-gelegte Last (Abb 1 oberer Pfeil) durch eine elektromagnetische Kraft kompensiert wird Mit einer optoelektronischen Abtastung (1) wird die Stellung der Waagschale (2) gemessen und mit diesem Signal der Kompensationsstrom in der Spule (3) gesteuert Der Kompensations-strom erzeugt zwischen Permanentmagnet (4) und Spule eine Kraft so dass die Waagschale in die Null-Lage zuruumlckgefuumlhrt wird der Strom ist der Last proportional Zur Durchfuumlhrung der Waumlgungen beachte man unbedingt die Hinweise des Versuchsbetreuers und die Platz-anleitung

Abb1 Messprinzip der eAnalysenwaage

lektronischen

Fuumlr Aufgabe 2 wird das Pyknometer bis zum Rand mit destilliertem Wasser gefuumlllt wobei die Bildung von Luftblaumlschen zu vermeiden ist Verschlieszligt man das Pyknometer mit dem ange-schliffenen Stopfen so laumluft Wasser uumlber das sehr sorgfaumlltig mit Filterpapier abzuwischen ist Das Anfassen des Pyknometers muss aumluszligerst vorsichtig erfolgen um seine Erwaumlrmung zu vermeiden (warum) Nach dem Abwischen wird mit Filterpapier der auf der Kapillare stehende Tropfen abgenommen so dass die Kapillare bis oben mit Wasser gefuumlllt ist Fuumlr die durchzufuumlhrenden Waumlgungen ist das Pyknometer stets erneut zu befuumlllen Fuumlr Aufgabe 3 wird der Probekoumlrper in das Pyknometer gebracht und dann mit destilliertem Wasser aufgefuumlllt weiter ist sinngemaumlszlig wie bei Aufgabe 2 zu verfahren Fuumlr Aufgabe 4 sind zusaumltzlich zu den Werten m1rsquo m2rsquo und m3rsquo auch der Luftdruck p sowie die Zimmer- und Wassertemperatur zu bestimmen Die Temperaturen koumlnnen als gleich vor-ausgesetzt werden da das destillierte Wasser sich bereits sehr lange im Versuchsraum befin-det Die temperaturabhaumlngige (s Abb 2) Dichte ρW von reinem (luftfreiem) Wasser laumlsst sich im Temperaturintervall 0degC lt θ lt 40degC naumlherungsweise berechnen mit

4-73-52323 1046657-10772108768-1066299984)( θθθθρ sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot+=sdot minusminusminusmkgw

wobei die Temperatur θ in degC einzusetzen ist (Fehler der Naumlherung ) Diese Naumlhrung gilt bei sog Normaldruck (p

3210 minusminus sdotlt∆ mkgWρN = 1013 kPa) Warum kann die Druckabhaumlngig-

keit hier vernachlaumlssigt werden Die Druckabhaumlngigkeit muss aber bei der Luftdichte unbedingt beruumlcksichtigt werden ebenso wie die Luftfeuchtigkeit (warum) Man verwendet die Beziehung

TRp

fL sdot=ρ

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F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

wobei p der Luftdruck (in Pa) T die Lufttemperatur (in K) und Rf die Gaskonstante feuchter Luft ist Diese Gaskonstante Rf berechnet sich wiederum aus

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdotminus

=

d

ld

lf

RR

pp

RR11 ϕ

0 10 20 30 40992

993

994

995

996

997

998

999

1000

Dic

hte ρ w

(kg

m3 )

Temperatur θ (degC)

-10 0 10 20 3011

12

13

Dic

hte ρ L (k

gm

3 )Temperatur θ (degC)

Abb 2 Temperaturabhaumlngigkeit der Dichte fuumlr (reines) Wasser und (trockene) Luft

Hier ist Rl = 28705 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante trockener Luft Rd = 461 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante von Wasserdampf und φ die relative Luftfeuchtigkeit Die Groumlszlige pd ist der Saumlt-tigungsdampfdruck von Wasser in Luft der sich empirisch mit der sog Magnus-Formel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+degsdot

sdot=θθ

CPapd 2241

504317exp213611)( im Intervall CC degleledegminus 7030 θ

berechnen laumlsst wobei θ wieder die Temperatur (in degC) ist Fuumlr Aufgabe 5 sind die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen der Waumlgungen zu ermitteln Die Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo werden alle mit der gleichen Analysenwaage ermittelt fuumlr die vom Hersteller eine Garantiefehlergrenze (systematischer Restfehler) von 02 mg angegeben wird Diese Garantiefehlergrenze ist fuumlr alle drei Massenwerte als geraumlte-bedingte systematische Abweichung zu beruumlcksichtigen Fuumlr die Messwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo haumlngt es von der sorgfaumlltigen Versuchsdurchfuumlhrung (Abtupfen des Wassers ) ab ob die zufaumlllige undoder die systematische Abweichung die Messunsicherheit bestimmt Fuumlr Aufgabe 6 ist nur die Messunsicherheit der Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo zu beruumlcksich-tigen Die berechneten Werte fuumlr die Dichten von Luft und Wasser koumlnnen als praktisch fehlerfrei angenommen werden

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Erster Hauptsatz der Thermodynamik Waumlrmemenge Waumlrmekapazitaumlt Richmannsche Mischungsregel Arbeit von Gleich- und Wechselstrom Waumlrmeaustauschkorrektur (s Skript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstel-lung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo) Waumlrme ist eine Energieform die zwischen Koumlrpern ausgetauscht wird oder in andere Energie-formen umgewandelt werden kann Fuumlhrt man einem Koumlrper der Masse m die Waumlrmemenge dQ zu dann ist die sich einstellende Temperaturerhoumlhung dT proportional zur zugefuumlhrten Waumlrmemenge

dTcmdQ sdotsdot= (1)wobei der Proportionalitaumltsfaktor c als spezifische Waumlrmekapazitaumlt mit der SI-Einheit Jmiddotkg-1middotK-1 bezeichnet wird und eine Stoffkonstante ist Aus (1) ergibt sich

dTdQ

mc sdot=

1 (2)

Das Produkt cmC sdot= (3)

mit der SI-Einheit JmiddotK-1 nennt man Waumlrmekapazitaumlt des Koumlrpers Zur Bestimmung von Waumlrmemengen benutzt man sog Kalorimeter wobei anisotherme Aus-fuumlhrungen mit sehr gut waumlrmeisolierten Gefaumlszligen am haumlufigsten verwendet werden Fuumlhrt man einem mit Wasser der Masse mW (teilweise) gefuumlllten Kalorimeter eine Waumlrmemenge ∆Q zu dann werden auszliger dem Wasser auch alle Teile des Kalorimeters wie zB Gefaumlszligwandung Thermometer und Ruumlhrer erwaumlrmt Die gesamte Waumlrmekapazitaumlt der Versuchsanordnung setzt sich also aus der des Wassers (mWmiddotcW) und der des Kalorimeters (CK) zusammen

( ) TCcmQ KWW ∆sdot+sdot=∆ (4)Die spezifische Waumlrmekapazitaumlt von Wasser hat als Stoffkonstante den Wert cW = 41813 kJmiddotkg-1middotK-1 (bei 25degC) Die Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorime-ters ist rechnerisch nur naumlherungsweise moumlglich deshalb wird sie ia experimentell ermittelt 1 Elektrische Methode Flieszligt durch einen Ohmschen Leiter (Heizspirale) an dem die Spannung U anliegt der Strom I dann entsteht im Zeitintervall ∆t in ihm eine der elektri-schen Energie aumlquivalente Waumlrmemenge

tIUQ ∆sdotsdot=∆ (5)Uumlbertraumlgt man diese Waumlrmemenge an das Wasser (Masse mW) und das Kalorimeter (Waumlrme-kapazitaumlt CK) dann steigt die Wassertemperatur gemaumlszlig (4) Bei verlustloser Waumlrmeuumlbertra-gung sind beide Waumlrmemengen gleich (Energieerhaltungssatz) und es gilt

( ) TCcmtIU KWW ∆sdot+sdot=∆sdotsdot (6)so dass CK bestimmt werden kann 2 Mischungsmethode Fuumlgt man kaltem Wasser der Masse m1 und Temperatur T1 in einem Kalorimeter warmes Wasser der Masse m2 und Temperatur T2 hinzu so findet ein Waumlrmeaus-tausch statt bis das gesamte Wasser die Mischungstemperatur Tm angenommen hat Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dass die vom warmen Wasser abgegebene Waumlrmeenergie

gleich der vom kalten Wasser und dem Kalorimeter aufgenommenen Waumlrmeenergie

)( 222 mW TTcmQ minussdotsdot=∆( ) )( 111 TTCcmQ mKW minussdot+sdot=∆ sein muss Der Energieerhaltungssatz in dieser

speziellen Form des Austausches von Waumlrmemenge heiszligt Richmannsche Mischungsregel und ergibt die Gleichung

( ) )()( 2211 mWmKW TTcmTTCcm minussdotsdot=minussdot+sdot (7)zur Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorimeters

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

AUFGABEN 1 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der elektrischen Methode gemaumlszlig (6) 2 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 1 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 3 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der Mischungsmethode mit (7) 4 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 3 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 5 Fuumlr beide Methoden fuumlhre man eine Bestimmung der Messunsicherheit der Waumlrmekapazi-

taumlt durch und vergleiche die Endergebnisse miteinander VERSUCHSHINWEISE Das Verfahren zur Waumlrmeaustauschkorrektur Bei kalorimetrischen Messungen ist ein Waumlrmeaustausch mit der Umgebung unvermeidlich (offenes thermodynamisches System) und meist stoumlrend Aus dem gemessenen zeitlichen Temperaturverlauf ist er aber abzulesen (s Abb 1)

DE

Abbildung 1 Zeitlicher Verlauf der Temperatur im Kalorimeter

In der Vorperiode erhaumllt man den ansteigenden Kurvenabschnitt ArarrB in der Nachperiode den abfallenden Kurvenabschnitt ErarrF Das liegt daran dass das Kalorimeter eben nicht adia-batisch bzw isentrop ist Die Temperatur der Kalorimeterfluumlssigkeit im Innern gleicht sich in beiden Abschnitten jeweils (asymptotisch) an die Umgebungstemperatur TU an wobei der Waumlrmefluss proportional zur Temperaturdifferenz ist Es laumlsst sich zeigen dass der Gleichge-wichtszustand zeitlich exponentiell angenommen wird Im vorliegenden Fall ist aber die ent-sprechende Zeitkonstante sehr groszlig im Vergleich zur Messzeit so dass die beiden Abschnitte ArarrB und ErarrF naumlherungsweise jeweils durch eine Gerade beschrieben werden duumlrfen Die-ser Sachverhalt gestattet es auszligerdem in diesen Abschnitten die Messwerte in groumlszligerer zeitli-cher Schrittweite aufzunehmen Aufgrund des real zeitlich ausgedehnten Waumlrmeaustausches mit der Umgebung beobachtet man einen stetigen und differenzierbaren Verlauf der Kurve im Abschnitt BrarrE Nur wenn die im Experiment zugefuumlhrte Waumlrme sofort verteilt wuumlrde waumlre die Temperaturkurve eine Sprungfunktion Das System braucht eine gewisse Zeit bis sich ein neues Gleichgewicht ein-stellen kann Es verhaumllt sich so als ob es uumlber ein ganzes Zeitintervall bdquoverschmiertldquo waumlre Es gilt also die Endzeit der Waumlrmezufuhr zu finden Sie liegt im Wendepunkt der Temperaturkurve weil sich dort die Richtung der Kruumlmmung aumlndert also Waumlrmezufuhr in Waumlrmeverlust uumlbergeht Nun laumlsst sich aber im Abschnitt BrarrE die Kurve T(t) nicht beliebig

F

Tem

pera

tur

T

∆T S

TU

A B C

Zeit

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

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O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

23

O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

25

O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

26

O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

27

O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

28

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

29

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

32

O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

34

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

35

O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

46

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

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• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Masse Gewichtskraft Dichte Auftriebskraft Analy-senwaage Pyknometer Ein sog Pyknometer ist ein Geraumlt zur Bestimmung der Dichte fester Koumlrper Es besteht aus einem Glasgefaumlszlig mit eingeschliffenem Stopfen der eine kapillare Bohrung hat Das Pykno-meter kann reproduzierbar mit groszliger Genauigkeit mit Wasser gefuumlllt werden Zur Dichtebe-stimmung mit dem Pyknometer sind drei Waumlgungen mit einer Analysenwaage noumltig wobei der Auftrieb der zu waumlgenden Koumlrper (Probe bzw Pyknometer) in Luft (Dichte ρL) zu beruumlck-sichtigen ist 1 Waumlgung der Probe in Luft Fuumlr eine Probe (Masse m1 Volumen V1) wird die Gewichts-kraft durch die ihr entgegengesetzt gerichtete Auftriebskraft gmF sdot= 11 gVF LA sdotsdot= ρ11 vermindert so dass im Gleichgewicht die Waage den Wert m1rsquo anzeigt Die Gleichgewichts-bedingung liefert

111 mVm L =sdotminus ρ (1)2 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers Das vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllte Pykno-meter (Volumen VP) hat die Gesamtmasse m2 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m2rsquo an so dass gilt

22 mVm LP =sdotminus ρ (2)3 Waumlgung des wassergefuumlllten Pyknometers mit Probe Das mit Wasser und der Probe gefuumlllte Pyknometer hat die Gesamtmasse m3 und erfaumlhrt die Auftriebskraft gV LP sdotsdot ρ Im Gleichgewicht zeigt die Waage m3rsquo an so dass gilt

33 mVm LP =sdotminus ρ (3)Zwischen den Massen m1 m2 und m3 besteht der Zusammenhang

232311 mmmmVm W minus=minus=sdotminus ρ (4)wobei ρW die Dichte des Wassers ist Zur Bestimmung der Dichte ρ1 der Probe kann man aus den Gleichungen (1) und (4) die Unbekannten m1 und V1 ermitteln Man erhaumllt

)()(

231

231

1

11 mmm

mmmVm LW

minusminussdotminusminussdot

==ρρρ (5)

AUFGABEN 1 Bestimmung der Masse m1rsquo fuumlr zwei verschiedene Metallproben (Al und Cu) durch

Waumlgung in Luft Fuumlr jede Probe erfolgt die Waumlgung sechsmal wobei die Probe immer neu auf die Waage zu legen ist Bestimmung der zugehoumlrigen Mittelwerte

2 Bestimmung der Masse m2rsquo des vollstaumlndig mit Wasser gefuumlllten Pyknometers durch Waumlgung Die jeweils erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt sechsmal Bestimmung des Mittelwertes

3 Bestimmung der Masse m3rsquo des mit Wasser und jeweiliger Metallprobe gefuumlllten Pykno-meters durch Waumlgung Die erneute Fuumlllung und Waumlgung des Pyknometers erfolgt fuumlr jede Probe sechsmal Bestimmung der Mittelwerte

4 Berechnung der Dichte der beiden Metallproben nach Gleichung (5) 5 Bestimmung der jeweiligen Messunsicherheiten fuumlr die unmittelbar gemessenen Groumlszligen

m1rsquo m2rsquo und m3rsquo fuumlr beide Proben 6 Abschaumltzung bzw Berechnung (Fortpflanzung) der resultierenden Messunsicherheiten der

mit (5) mittelbar bestimmten beiden Dichten Vergleich der Ergebnisse fuumlr die beiden Dichten mit Referenzwerten

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F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

VERSUCHSHINWEISE Die Waumlgungen werden mit einer elektronischen Analysenwaage durchgefuumlhrt bei der die auf-gelegte Last (Abb 1 oberer Pfeil) durch eine elektromagnetische Kraft kompensiert wird Mit einer optoelektronischen Abtastung (1) wird die Stellung der Waagschale (2) gemessen und mit diesem Signal der Kompensationsstrom in der Spule (3) gesteuert Der Kompensations-strom erzeugt zwischen Permanentmagnet (4) und Spule eine Kraft so dass die Waagschale in die Null-Lage zuruumlckgefuumlhrt wird der Strom ist der Last proportional Zur Durchfuumlhrung der Waumlgungen beachte man unbedingt die Hinweise des Versuchsbetreuers und die Platz-anleitung

Abb1 Messprinzip der eAnalysenwaage

lektronischen

Fuumlr Aufgabe 2 wird das Pyknometer bis zum Rand mit destilliertem Wasser gefuumlllt wobei die Bildung von Luftblaumlschen zu vermeiden ist Verschlieszligt man das Pyknometer mit dem ange-schliffenen Stopfen so laumluft Wasser uumlber das sehr sorgfaumlltig mit Filterpapier abzuwischen ist Das Anfassen des Pyknometers muss aumluszligerst vorsichtig erfolgen um seine Erwaumlrmung zu vermeiden (warum) Nach dem Abwischen wird mit Filterpapier der auf der Kapillare stehende Tropfen abgenommen so dass die Kapillare bis oben mit Wasser gefuumlllt ist Fuumlr die durchzufuumlhrenden Waumlgungen ist das Pyknometer stets erneut zu befuumlllen Fuumlr Aufgabe 3 wird der Probekoumlrper in das Pyknometer gebracht und dann mit destilliertem Wasser aufgefuumlllt weiter ist sinngemaumlszlig wie bei Aufgabe 2 zu verfahren Fuumlr Aufgabe 4 sind zusaumltzlich zu den Werten m1rsquo m2rsquo und m3rsquo auch der Luftdruck p sowie die Zimmer- und Wassertemperatur zu bestimmen Die Temperaturen koumlnnen als gleich vor-ausgesetzt werden da das destillierte Wasser sich bereits sehr lange im Versuchsraum befin-det Die temperaturabhaumlngige (s Abb 2) Dichte ρW von reinem (luftfreiem) Wasser laumlsst sich im Temperaturintervall 0degC lt θ lt 40degC naumlherungsweise berechnen mit

4-73-52323 1046657-10772108768-1066299984)( θθθθρ sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot+=sdot minusminusminusmkgw

wobei die Temperatur θ in degC einzusetzen ist (Fehler der Naumlherung ) Diese Naumlhrung gilt bei sog Normaldruck (p

3210 minusminus sdotlt∆ mkgWρN = 1013 kPa) Warum kann die Druckabhaumlngig-

keit hier vernachlaumlssigt werden Die Druckabhaumlngigkeit muss aber bei der Luftdichte unbedingt beruumlcksichtigt werden ebenso wie die Luftfeuchtigkeit (warum) Man verwendet die Beziehung

TRp

fL sdot=ρ

13

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

wobei p der Luftdruck (in Pa) T die Lufttemperatur (in K) und Rf die Gaskonstante feuchter Luft ist Diese Gaskonstante Rf berechnet sich wiederum aus

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdotminus

=

d

ld

lf

RR

pp

RR11 ϕ

0 10 20 30 40992

993

994

995

996

997

998

999

1000

Dic

hte ρ w

(kg

m3 )

Temperatur θ (degC)

-10 0 10 20 3011

12

13

Dic

hte ρ L (k

gm

3 )Temperatur θ (degC)

Abb 2 Temperaturabhaumlngigkeit der Dichte fuumlr (reines) Wasser und (trockene) Luft

Hier ist Rl = 28705 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante trockener Luft Rd = 461 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante von Wasserdampf und φ die relative Luftfeuchtigkeit Die Groumlszlige pd ist der Saumlt-tigungsdampfdruck von Wasser in Luft der sich empirisch mit der sog Magnus-Formel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+degsdot

sdot=θθ

CPapd 2241

504317exp213611)( im Intervall CC degleledegminus 7030 θ

berechnen laumlsst wobei θ wieder die Temperatur (in degC) ist Fuumlr Aufgabe 5 sind die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen der Waumlgungen zu ermitteln Die Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo werden alle mit der gleichen Analysenwaage ermittelt fuumlr die vom Hersteller eine Garantiefehlergrenze (systematischer Restfehler) von 02 mg angegeben wird Diese Garantiefehlergrenze ist fuumlr alle drei Massenwerte als geraumlte-bedingte systematische Abweichung zu beruumlcksichtigen Fuumlr die Messwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo haumlngt es von der sorgfaumlltigen Versuchsdurchfuumlhrung (Abtupfen des Wassers ) ab ob die zufaumlllige undoder die systematische Abweichung die Messunsicherheit bestimmt Fuumlr Aufgabe 6 ist nur die Messunsicherheit der Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo zu beruumlcksich-tigen Die berechneten Werte fuumlr die Dichten von Luft und Wasser koumlnnen als praktisch fehlerfrei angenommen werden

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Erster Hauptsatz der Thermodynamik Waumlrmemenge Waumlrmekapazitaumlt Richmannsche Mischungsregel Arbeit von Gleich- und Wechselstrom Waumlrmeaustauschkorrektur (s Skript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstel-lung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo) Waumlrme ist eine Energieform die zwischen Koumlrpern ausgetauscht wird oder in andere Energie-formen umgewandelt werden kann Fuumlhrt man einem Koumlrper der Masse m die Waumlrmemenge dQ zu dann ist die sich einstellende Temperaturerhoumlhung dT proportional zur zugefuumlhrten Waumlrmemenge

dTcmdQ sdotsdot= (1)wobei der Proportionalitaumltsfaktor c als spezifische Waumlrmekapazitaumlt mit der SI-Einheit Jmiddotkg-1middotK-1 bezeichnet wird und eine Stoffkonstante ist Aus (1) ergibt sich

dTdQ

mc sdot=

1 (2)

Das Produkt cmC sdot= (3)

mit der SI-Einheit JmiddotK-1 nennt man Waumlrmekapazitaumlt des Koumlrpers Zur Bestimmung von Waumlrmemengen benutzt man sog Kalorimeter wobei anisotherme Aus-fuumlhrungen mit sehr gut waumlrmeisolierten Gefaumlszligen am haumlufigsten verwendet werden Fuumlhrt man einem mit Wasser der Masse mW (teilweise) gefuumlllten Kalorimeter eine Waumlrmemenge ∆Q zu dann werden auszliger dem Wasser auch alle Teile des Kalorimeters wie zB Gefaumlszligwandung Thermometer und Ruumlhrer erwaumlrmt Die gesamte Waumlrmekapazitaumlt der Versuchsanordnung setzt sich also aus der des Wassers (mWmiddotcW) und der des Kalorimeters (CK) zusammen

( ) TCcmQ KWW ∆sdot+sdot=∆ (4)Die spezifische Waumlrmekapazitaumlt von Wasser hat als Stoffkonstante den Wert cW = 41813 kJmiddotkg-1middotK-1 (bei 25degC) Die Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorime-ters ist rechnerisch nur naumlherungsweise moumlglich deshalb wird sie ia experimentell ermittelt 1 Elektrische Methode Flieszligt durch einen Ohmschen Leiter (Heizspirale) an dem die Spannung U anliegt der Strom I dann entsteht im Zeitintervall ∆t in ihm eine der elektri-schen Energie aumlquivalente Waumlrmemenge

tIUQ ∆sdotsdot=∆ (5)Uumlbertraumlgt man diese Waumlrmemenge an das Wasser (Masse mW) und das Kalorimeter (Waumlrme-kapazitaumlt CK) dann steigt die Wassertemperatur gemaumlszlig (4) Bei verlustloser Waumlrmeuumlbertra-gung sind beide Waumlrmemengen gleich (Energieerhaltungssatz) und es gilt

( ) TCcmtIU KWW ∆sdot+sdot=∆sdotsdot (6)so dass CK bestimmt werden kann 2 Mischungsmethode Fuumlgt man kaltem Wasser der Masse m1 und Temperatur T1 in einem Kalorimeter warmes Wasser der Masse m2 und Temperatur T2 hinzu so findet ein Waumlrmeaus-tausch statt bis das gesamte Wasser die Mischungstemperatur Tm angenommen hat Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dass die vom warmen Wasser abgegebene Waumlrmeenergie

gleich der vom kalten Wasser und dem Kalorimeter aufgenommenen Waumlrmeenergie

)( 222 mW TTcmQ minussdotsdot=∆( ) )( 111 TTCcmQ mKW minussdot+sdot=∆ sein muss Der Energieerhaltungssatz in dieser

speziellen Form des Austausches von Waumlrmemenge heiszligt Richmannsche Mischungsregel und ergibt die Gleichung

( ) )()( 2211 mWmKW TTcmTTCcm minussdotsdot=minussdot+sdot (7)zur Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorimeters

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

AUFGABEN 1 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der elektrischen Methode gemaumlszlig (6) 2 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 1 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 3 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der Mischungsmethode mit (7) 4 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 3 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 5 Fuumlr beide Methoden fuumlhre man eine Bestimmung der Messunsicherheit der Waumlrmekapazi-

taumlt durch und vergleiche die Endergebnisse miteinander VERSUCHSHINWEISE Das Verfahren zur Waumlrmeaustauschkorrektur Bei kalorimetrischen Messungen ist ein Waumlrmeaustausch mit der Umgebung unvermeidlich (offenes thermodynamisches System) und meist stoumlrend Aus dem gemessenen zeitlichen Temperaturverlauf ist er aber abzulesen (s Abb 1)

DE

Abbildung 1 Zeitlicher Verlauf der Temperatur im Kalorimeter

In der Vorperiode erhaumllt man den ansteigenden Kurvenabschnitt ArarrB in der Nachperiode den abfallenden Kurvenabschnitt ErarrF Das liegt daran dass das Kalorimeter eben nicht adia-batisch bzw isentrop ist Die Temperatur der Kalorimeterfluumlssigkeit im Innern gleicht sich in beiden Abschnitten jeweils (asymptotisch) an die Umgebungstemperatur TU an wobei der Waumlrmefluss proportional zur Temperaturdifferenz ist Es laumlsst sich zeigen dass der Gleichge-wichtszustand zeitlich exponentiell angenommen wird Im vorliegenden Fall ist aber die ent-sprechende Zeitkonstante sehr groszlig im Vergleich zur Messzeit so dass die beiden Abschnitte ArarrB und ErarrF naumlherungsweise jeweils durch eine Gerade beschrieben werden duumlrfen Die-ser Sachverhalt gestattet es auszligerdem in diesen Abschnitten die Messwerte in groumlszligerer zeitli-cher Schrittweite aufzunehmen Aufgrund des real zeitlich ausgedehnten Waumlrmeaustausches mit der Umgebung beobachtet man einen stetigen und differenzierbaren Verlauf der Kurve im Abschnitt BrarrE Nur wenn die im Experiment zugefuumlhrte Waumlrme sofort verteilt wuumlrde waumlre die Temperaturkurve eine Sprungfunktion Das System braucht eine gewisse Zeit bis sich ein neues Gleichgewicht ein-stellen kann Es verhaumllt sich so als ob es uumlber ein ganzes Zeitintervall bdquoverschmiertldquo waumlre Es gilt also die Endzeit der Waumlrmezufuhr zu finden Sie liegt im Wendepunkt der Temperaturkurve weil sich dort die Richtung der Kruumlmmung aumlndert also Waumlrmezufuhr in Waumlrmeverlust uumlbergeht Nun laumlsst sich aber im Abschnitt BrarrE die Kurve T(t) nicht beliebig

F

Tem

pera

tur

T

∆T S

TU

A B C

Zeit

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

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O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

23

O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

25

O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

26

O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

27

O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

28

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

29

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

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• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

VERSUCHSHINWEISE Die Waumlgungen werden mit einer elektronischen Analysenwaage durchgefuumlhrt bei der die auf-gelegte Last (Abb 1 oberer Pfeil) durch eine elektromagnetische Kraft kompensiert wird Mit einer optoelektronischen Abtastung (1) wird die Stellung der Waagschale (2) gemessen und mit diesem Signal der Kompensationsstrom in der Spule (3) gesteuert Der Kompensations-strom erzeugt zwischen Permanentmagnet (4) und Spule eine Kraft so dass die Waagschale in die Null-Lage zuruumlckgefuumlhrt wird der Strom ist der Last proportional Zur Durchfuumlhrung der Waumlgungen beachte man unbedingt die Hinweise des Versuchsbetreuers und die Platz-anleitung

Abb1 Messprinzip der eAnalysenwaage

lektronischen

Fuumlr Aufgabe 2 wird das Pyknometer bis zum Rand mit destilliertem Wasser gefuumlllt wobei die Bildung von Luftblaumlschen zu vermeiden ist Verschlieszligt man das Pyknometer mit dem ange-schliffenen Stopfen so laumluft Wasser uumlber das sehr sorgfaumlltig mit Filterpapier abzuwischen ist Das Anfassen des Pyknometers muss aumluszligerst vorsichtig erfolgen um seine Erwaumlrmung zu vermeiden (warum) Nach dem Abwischen wird mit Filterpapier der auf der Kapillare stehende Tropfen abgenommen so dass die Kapillare bis oben mit Wasser gefuumlllt ist Fuumlr die durchzufuumlhrenden Waumlgungen ist das Pyknometer stets erneut zu befuumlllen Fuumlr Aufgabe 3 wird der Probekoumlrper in das Pyknometer gebracht und dann mit destilliertem Wasser aufgefuumlllt weiter ist sinngemaumlszlig wie bei Aufgabe 2 zu verfahren Fuumlr Aufgabe 4 sind zusaumltzlich zu den Werten m1rsquo m2rsquo und m3rsquo auch der Luftdruck p sowie die Zimmer- und Wassertemperatur zu bestimmen Die Temperaturen koumlnnen als gleich vor-ausgesetzt werden da das destillierte Wasser sich bereits sehr lange im Versuchsraum befin-det Die temperaturabhaumlngige (s Abb 2) Dichte ρW von reinem (luftfreiem) Wasser laumlsst sich im Temperaturintervall 0degC lt θ lt 40degC naumlherungsweise berechnen mit

4-73-52323 1046657-10772108768-1066299984)( θθθθρ sdotsdotsdotsdot+sdotsdotsdotsdot+=sdot minusminusminusmkgw

wobei die Temperatur θ in degC einzusetzen ist (Fehler der Naumlherung ) Diese Naumlhrung gilt bei sog Normaldruck (p

3210 minusminus sdotlt∆ mkgWρN = 1013 kPa) Warum kann die Druckabhaumlngig-

keit hier vernachlaumlssigt werden Die Druckabhaumlngigkeit muss aber bei der Luftdichte unbedingt beruumlcksichtigt werden ebenso wie die Luftfeuchtigkeit (warum) Man verwendet die Beziehung

TRp

fL sdot=ρ

13

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

wobei p der Luftdruck (in Pa) T die Lufttemperatur (in K) und Rf die Gaskonstante feuchter Luft ist Diese Gaskonstante Rf berechnet sich wiederum aus

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdotminus

=

d

ld

lf

RR

pp

RR11 ϕ

0 10 20 30 40992

993

994

995

996

997

998

999

1000

Dic

hte ρ w

(kg

m3 )

Temperatur θ (degC)

-10 0 10 20 3011

12

13

Dic

hte ρ L (k

gm

3 )Temperatur θ (degC)

Abb 2 Temperaturabhaumlngigkeit der Dichte fuumlr (reines) Wasser und (trockene) Luft

Hier ist Rl = 28705 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante trockener Luft Rd = 461 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante von Wasserdampf und φ die relative Luftfeuchtigkeit Die Groumlszlige pd ist der Saumlt-tigungsdampfdruck von Wasser in Luft der sich empirisch mit der sog Magnus-Formel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+degsdot

sdot=θθ

CPapd 2241

504317exp213611)( im Intervall CC degleledegminus 7030 θ

berechnen laumlsst wobei θ wieder die Temperatur (in degC) ist Fuumlr Aufgabe 5 sind die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen der Waumlgungen zu ermitteln Die Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo werden alle mit der gleichen Analysenwaage ermittelt fuumlr die vom Hersteller eine Garantiefehlergrenze (systematischer Restfehler) von 02 mg angegeben wird Diese Garantiefehlergrenze ist fuumlr alle drei Massenwerte als geraumlte-bedingte systematische Abweichung zu beruumlcksichtigen Fuumlr die Messwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo haumlngt es von der sorgfaumlltigen Versuchsdurchfuumlhrung (Abtupfen des Wassers ) ab ob die zufaumlllige undoder die systematische Abweichung die Messunsicherheit bestimmt Fuumlr Aufgabe 6 ist nur die Messunsicherheit der Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo zu beruumlcksich-tigen Die berechneten Werte fuumlr die Dichten von Luft und Wasser koumlnnen als praktisch fehlerfrei angenommen werden

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Erster Hauptsatz der Thermodynamik Waumlrmemenge Waumlrmekapazitaumlt Richmannsche Mischungsregel Arbeit von Gleich- und Wechselstrom Waumlrmeaustauschkorrektur (s Skript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstel-lung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo) Waumlrme ist eine Energieform die zwischen Koumlrpern ausgetauscht wird oder in andere Energie-formen umgewandelt werden kann Fuumlhrt man einem Koumlrper der Masse m die Waumlrmemenge dQ zu dann ist die sich einstellende Temperaturerhoumlhung dT proportional zur zugefuumlhrten Waumlrmemenge

dTcmdQ sdotsdot= (1)wobei der Proportionalitaumltsfaktor c als spezifische Waumlrmekapazitaumlt mit der SI-Einheit Jmiddotkg-1middotK-1 bezeichnet wird und eine Stoffkonstante ist Aus (1) ergibt sich

dTdQ

mc sdot=

1 (2)

Das Produkt cmC sdot= (3)

mit der SI-Einheit JmiddotK-1 nennt man Waumlrmekapazitaumlt des Koumlrpers Zur Bestimmung von Waumlrmemengen benutzt man sog Kalorimeter wobei anisotherme Aus-fuumlhrungen mit sehr gut waumlrmeisolierten Gefaumlszligen am haumlufigsten verwendet werden Fuumlhrt man einem mit Wasser der Masse mW (teilweise) gefuumlllten Kalorimeter eine Waumlrmemenge ∆Q zu dann werden auszliger dem Wasser auch alle Teile des Kalorimeters wie zB Gefaumlszligwandung Thermometer und Ruumlhrer erwaumlrmt Die gesamte Waumlrmekapazitaumlt der Versuchsanordnung setzt sich also aus der des Wassers (mWmiddotcW) und der des Kalorimeters (CK) zusammen

( ) TCcmQ KWW ∆sdot+sdot=∆ (4)Die spezifische Waumlrmekapazitaumlt von Wasser hat als Stoffkonstante den Wert cW = 41813 kJmiddotkg-1middotK-1 (bei 25degC) Die Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorime-ters ist rechnerisch nur naumlherungsweise moumlglich deshalb wird sie ia experimentell ermittelt 1 Elektrische Methode Flieszligt durch einen Ohmschen Leiter (Heizspirale) an dem die Spannung U anliegt der Strom I dann entsteht im Zeitintervall ∆t in ihm eine der elektri-schen Energie aumlquivalente Waumlrmemenge

tIUQ ∆sdotsdot=∆ (5)Uumlbertraumlgt man diese Waumlrmemenge an das Wasser (Masse mW) und das Kalorimeter (Waumlrme-kapazitaumlt CK) dann steigt die Wassertemperatur gemaumlszlig (4) Bei verlustloser Waumlrmeuumlbertra-gung sind beide Waumlrmemengen gleich (Energieerhaltungssatz) und es gilt

( ) TCcmtIU KWW ∆sdot+sdot=∆sdotsdot (6)so dass CK bestimmt werden kann 2 Mischungsmethode Fuumlgt man kaltem Wasser der Masse m1 und Temperatur T1 in einem Kalorimeter warmes Wasser der Masse m2 und Temperatur T2 hinzu so findet ein Waumlrmeaus-tausch statt bis das gesamte Wasser die Mischungstemperatur Tm angenommen hat Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dass die vom warmen Wasser abgegebene Waumlrmeenergie

gleich der vom kalten Wasser und dem Kalorimeter aufgenommenen Waumlrmeenergie

)( 222 mW TTcmQ minussdotsdot=∆( ) )( 111 TTCcmQ mKW minussdot+sdot=∆ sein muss Der Energieerhaltungssatz in dieser

speziellen Form des Austausches von Waumlrmemenge heiszligt Richmannsche Mischungsregel und ergibt die Gleichung

( ) )()( 2211 mWmKW TTcmTTCcm minussdotsdot=minussdot+sdot (7)zur Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorimeters

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

AUFGABEN 1 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der elektrischen Methode gemaumlszlig (6) 2 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 1 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 3 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der Mischungsmethode mit (7) 4 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 3 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 5 Fuumlr beide Methoden fuumlhre man eine Bestimmung der Messunsicherheit der Waumlrmekapazi-

taumlt durch und vergleiche die Endergebnisse miteinander VERSUCHSHINWEISE Das Verfahren zur Waumlrmeaustauschkorrektur Bei kalorimetrischen Messungen ist ein Waumlrmeaustausch mit der Umgebung unvermeidlich (offenes thermodynamisches System) und meist stoumlrend Aus dem gemessenen zeitlichen Temperaturverlauf ist er aber abzulesen (s Abb 1)

DE

Abbildung 1 Zeitlicher Verlauf der Temperatur im Kalorimeter

In der Vorperiode erhaumllt man den ansteigenden Kurvenabschnitt ArarrB in der Nachperiode den abfallenden Kurvenabschnitt ErarrF Das liegt daran dass das Kalorimeter eben nicht adia-batisch bzw isentrop ist Die Temperatur der Kalorimeterfluumlssigkeit im Innern gleicht sich in beiden Abschnitten jeweils (asymptotisch) an die Umgebungstemperatur TU an wobei der Waumlrmefluss proportional zur Temperaturdifferenz ist Es laumlsst sich zeigen dass der Gleichge-wichtszustand zeitlich exponentiell angenommen wird Im vorliegenden Fall ist aber die ent-sprechende Zeitkonstante sehr groszlig im Vergleich zur Messzeit so dass die beiden Abschnitte ArarrB und ErarrF naumlherungsweise jeweils durch eine Gerade beschrieben werden duumlrfen Die-ser Sachverhalt gestattet es auszligerdem in diesen Abschnitten die Messwerte in groumlszligerer zeitli-cher Schrittweite aufzunehmen Aufgrund des real zeitlich ausgedehnten Waumlrmeaustausches mit der Umgebung beobachtet man einen stetigen und differenzierbaren Verlauf der Kurve im Abschnitt BrarrE Nur wenn die im Experiment zugefuumlhrte Waumlrme sofort verteilt wuumlrde waumlre die Temperaturkurve eine Sprungfunktion Das System braucht eine gewisse Zeit bis sich ein neues Gleichgewicht ein-stellen kann Es verhaumllt sich so als ob es uumlber ein ganzes Zeitintervall bdquoverschmiertldquo waumlre Es gilt also die Endzeit der Waumlrmezufuhr zu finden Sie liegt im Wendepunkt der Temperaturkurve weil sich dort die Richtung der Kruumlmmung aumlndert also Waumlrmezufuhr in Waumlrmeverlust uumlbergeht Nun laumlsst sich aber im Abschnitt BrarrE die Kurve T(t) nicht beliebig

F

Tem

pera

tur

T

∆T S

TU

A B C

Zeit

16

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

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O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

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O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

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O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

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O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

29

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

32

O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

34

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

46

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

F5 DICHTE FESTER KOumlRPER

wobei p der Luftdruck (in Pa) T die Lufttemperatur (in K) und Rf die Gaskonstante feuchter Luft ist Diese Gaskonstante Rf berechnet sich wiederum aus

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛minussdotsdotminus

=

d

ld

lf

RR

pp

RR11 ϕ

0 10 20 30 40992

993

994

995

996

997

998

999

1000

Dic

hte ρ w

(kg

m3 )

Temperatur θ (degC)

-10 0 10 20 3011

12

13

Dic

hte ρ L (k

gm

3 )Temperatur θ (degC)

Abb 2 Temperaturabhaumlngigkeit der Dichte fuumlr (reines) Wasser und (trockene) Luft

Hier ist Rl = 28705 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante trockener Luft Rd = 461 Jmiddotkg-1middotK-1 die Gaskonstante von Wasserdampf und φ die relative Luftfeuchtigkeit Die Groumlszlige pd ist der Saumlt-tigungsdampfdruck von Wasser in Luft der sich empirisch mit der sog Magnus-Formel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+degsdot

sdot=θθ

CPapd 2241

504317exp213611)( im Intervall CC degleledegminus 7030 θ

berechnen laumlsst wobei θ wieder die Temperatur (in degC) ist Fuumlr Aufgabe 5 sind die zufaumllligen und die systematischen Abweichungen der Waumlgungen zu ermitteln Die Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo werden alle mit der gleichen Analysenwaage ermittelt fuumlr die vom Hersteller eine Garantiefehlergrenze (systematischer Restfehler) von 02 mg angegeben wird Diese Garantiefehlergrenze ist fuumlr alle drei Massenwerte als geraumlte-bedingte systematische Abweichung zu beruumlcksichtigen Fuumlr die Messwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo haumlngt es von der sorgfaumlltigen Versuchsdurchfuumlhrung (Abtupfen des Wassers ) ab ob die zufaumlllige undoder die systematische Abweichung die Messunsicherheit bestimmt Fuumlr Aufgabe 6 ist nur die Messunsicherheit der Massenwerte m1rsquo m2rsquo und m3rsquo zu beruumlcksich-tigen Die berechneten Werte fuumlr die Dichten von Luft und Wasser koumlnnen als praktisch fehlerfrei angenommen werden

14

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Erster Hauptsatz der Thermodynamik Waumlrmemenge Waumlrmekapazitaumlt Richmannsche Mischungsregel Arbeit von Gleich- und Wechselstrom Waumlrmeaustauschkorrektur (s Skript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstel-lung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo) Waumlrme ist eine Energieform die zwischen Koumlrpern ausgetauscht wird oder in andere Energie-formen umgewandelt werden kann Fuumlhrt man einem Koumlrper der Masse m die Waumlrmemenge dQ zu dann ist die sich einstellende Temperaturerhoumlhung dT proportional zur zugefuumlhrten Waumlrmemenge

dTcmdQ sdotsdot= (1)wobei der Proportionalitaumltsfaktor c als spezifische Waumlrmekapazitaumlt mit der SI-Einheit Jmiddotkg-1middotK-1 bezeichnet wird und eine Stoffkonstante ist Aus (1) ergibt sich

dTdQ

mc sdot=

1 (2)

Das Produkt cmC sdot= (3)

mit der SI-Einheit JmiddotK-1 nennt man Waumlrmekapazitaumlt des Koumlrpers Zur Bestimmung von Waumlrmemengen benutzt man sog Kalorimeter wobei anisotherme Aus-fuumlhrungen mit sehr gut waumlrmeisolierten Gefaumlszligen am haumlufigsten verwendet werden Fuumlhrt man einem mit Wasser der Masse mW (teilweise) gefuumlllten Kalorimeter eine Waumlrmemenge ∆Q zu dann werden auszliger dem Wasser auch alle Teile des Kalorimeters wie zB Gefaumlszligwandung Thermometer und Ruumlhrer erwaumlrmt Die gesamte Waumlrmekapazitaumlt der Versuchsanordnung setzt sich also aus der des Wassers (mWmiddotcW) und der des Kalorimeters (CK) zusammen

( ) TCcmQ KWW ∆sdot+sdot=∆ (4)Die spezifische Waumlrmekapazitaumlt von Wasser hat als Stoffkonstante den Wert cW = 41813 kJmiddotkg-1middotK-1 (bei 25degC) Die Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorime-ters ist rechnerisch nur naumlherungsweise moumlglich deshalb wird sie ia experimentell ermittelt 1 Elektrische Methode Flieszligt durch einen Ohmschen Leiter (Heizspirale) an dem die Spannung U anliegt der Strom I dann entsteht im Zeitintervall ∆t in ihm eine der elektri-schen Energie aumlquivalente Waumlrmemenge

tIUQ ∆sdotsdot=∆ (5)Uumlbertraumlgt man diese Waumlrmemenge an das Wasser (Masse mW) und das Kalorimeter (Waumlrme-kapazitaumlt CK) dann steigt die Wassertemperatur gemaumlszlig (4) Bei verlustloser Waumlrmeuumlbertra-gung sind beide Waumlrmemengen gleich (Energieerhaltungssatz) und es gilt

( ) TCcmtIU KWW ∆sdot+sdot=∆sdotsdot (6)so dass CK bestimmt werden kann 2 Mischungsmethode Fuumlgt man kaltem Wasser der Masse m1 und Temperatur T1 in einem Kalorimeter warmes Wasser der Masse m2 und Temperatur T2 hinzu so findet ein Waumlrmeaus-tausch statt bis das gesamte Wasser die Mischungstemperatur Tm angenommen hat Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dass die vom warmen Wasser abgegebene Waumlrmeenergie

gleich der vom kalten Wasser und dem Kalorimeter aufgenommenen Waumlrmeenergie

)( 222 mW TTcmQ minussdotsdot=∆( ) )( 111 TTCcmQ mKW minussdot+sdot=∆ sein muss Der Energieerhaltungssatz in dieser

speziellen Form des Austausches von Waumlrmemenge heiszligt Richmannsche Mischungsregel und ergibt die Gleichung

( ) )()( 2211 mWmKW TTcmTTCcm minussdotsdot=minussdot+sdot (7)zur Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorimeters

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

AUFGABEN 1 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der elektrischen Methode gemaumlszlig (6) 2 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 1 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 3 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der Mischungsmethode mit (7) 4 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 3 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 5 Fuumlr beide Methoden fuumlhre man eine Bestimmung der Messunsicherheit der Waumlrmekapazi-

taumlt durch und vergleiche die Endergebnisse miteinander VERSUCHSHINWEISE Das Verfahren zur Waumlrmeaustauschkorrektur Bei kalorimetrischen Messungen ist ein Waumlrmeaustausch mit der Umgebung unvermeidlich (offenes thermodynamisches System) und meist stoumlrend Aus dem gemessenen zeitlichen Temperaturverlauf ist er aber abzulesen (s Abb 1)

DE

Abbildung 1 Zeitlicher Verlauf der Temperatur im Kalorimeter

In der Vorperiode erhaumllt man den ansteigenden Kurvenabschnitt ArarrB in der Nachperiode den abfallenden Kurvenabschnitt ErarrF Das liegt daran dass das Kalorimeter eben nicht adia-batisch bzw isentrop ist Die Temperatur der Kalorimeterfluumlssigkeit im Innern gleicht sich in beiden Abschnitten jeweils (asymptotisch) an die Umgebungstemperatur TU an wobei der Waumlrmefluss proportional zur Temperaturdifferenz ist Es laumlsst sich zeigen dass der Gleichge-wichtszustand zeitlich exponentiell angenommen wird Im vorliegenden Fall ist aber die ent-sprechende Zeitkonstante sehr groszlig im Vergleich zur Messzeit so dass die beiden Abschnitte ArarrB und ErarrF naumlherungsweise jeweils durch eine Gerade beschrieben werden duumlrfen Die-ser Sachverhalt gestattet es auszligerdem in diesen Abschnitten die Messwerte in groumlszligerer zeitli-cher Schrittweite aufzunehmen Aufgrund des real zeitlich ausgedehnten Waumlrmeaustausches mit der Umgebung beobachtet man einen stetigen und differenzierbaren Verlauf der Kurve im Abschnitt BrarrE Nur wenn die im Experiment zugefuumlhrte Waumlrme sofort verteilt wuumlrde waumlre die Temperaturkurve eine Sprungfunktion Das System braucht eine gewisse Zeit bis sich ein neues Gleichgewicht ein-stellen kann Es verhaumllt sich so als ob es uumlber ein ganzes Zeitintervall bdquoverschmiertldquo waumlre Es gilt also die Endzeit der Waumlrmezufuhr zu finden Sie liegt im Wendepunkt der Temperaturkurve weil sich dort die Richtung der Kruumlmmung aumlndert also Waumlrmezufuhr in Waumlrmeverlust uumlbergeht Nun laumlsst sich aber im Abschnitt BrarrE die Kurve T(t) nicht beliebig

F

Tem

pera

tur

T

∆T S

TU

A B C

Zeit

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

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O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

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O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

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O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

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O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

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O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

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O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

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O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

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O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

46

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Erster Hauptsatz der Thermodynamik Waumlrmemenge Waumlrmekapazitaumlt Richmannsche Mischungsregel Arbeit von Gleich- und Wechselstrom Waumlrmeaustauschkorrektur (s Skript bdquoEinfuumlhrung in die Messung Auswertung und Darstel-lung experimenteller Ergebnisse in der Physikldquo) Waumlrme ist eine Energieform die zwischen Koumlrpern ausgetauscht wird oder in andere Energie-formen umgewandelt werden kann Fuumlhrt man einem Koumlrper der Masse m die Waumlrmemenge dQ zu dann ist die sich einstellende Temperaturerhoumlhung dT proportional zur zugefuumlhrten Waumlrmemenge

dTcmdQ sdotsdot= (1)wobei der Proportionalitaumltsfaktor c als spezifische Waumlrmekapazitaumlt mit der SI-Einheit Jmiddotkg-1middotK-1 bezeichnet wird und eine Stoffkonstante ist Aus (1) ergibt sich

dTdQ

mc sdot=

1 (2)

Das Produkt cmC sdot= (3)

mit der SI-Einheit JmiddotK-1 nennt man Waumlrmekapazitaumlt des Koumlrpers Zur Bestimmung von Waumlrmemengen benutzt man sog Kalorimeter wobei anisotherme Aus-fuumlhrungen mit sehr gut waumlrmeisolierten Gefaumlszligen am haumlufigsten verwendet werden Fuumlhrt man einem mit Wasser der Masse mW (teilweise) gefuumlllten Kalorimeter eine Waumlrmemenge ∆Q zu dann werden auszliger dem Wasser auch alle Teile des Kalorimeters wie zB Gefaumlszligwandung Thermometer und Ruumlhrer erwaumlrmt Die gesamte Waumlrmekapazitaumlt der Versuchsanordnung setzt sich also aus der des Wassers (mWmiddotcW) und der des Kalorimeters (CK) zusammen

( ) TCcmQ KWW ∆sdot+sdot=∆ (4)Die spezifische Waumlrmekapazitaumlt von Wasser hat als Stoffkonstante den Wert cW = 41813 kJmiddotkg-1middotK-1 (bei 25degC) Die Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorime-ters ist rechnerisch nur naumlherungsweise moumlglich deshalb wird sie ia experimentell ermittelt 1 Elektrische Methode Flieszligt durch einen Ohmschen Leiter (Heizspirale) an dem die Spannung U anliegt der Strom I dann entsteht im Zeitintervall ∆t in ihm eine der elektri-schen Energie aumlquivalente Waumlrmemenge

tIUQ ∆sdotsdot=∆ (5)Uumlbertraumlgt man diese Waumlrmemenge an das Wasser (Masse mW) und das Kalorimeter (Waumlrme-kapazitaumlt CK) dann steigt die Wassertemperatur gemaumlszlig (4) Bei verlustloser Waumlrmeuumlbertra-gung sind beide Waumlrmemengen gleich (Energieerhaltungssatz) und es gilt

( ) TCcmtIU KWW ∆sdot+sdot=∆sdotsdot (6)so dass CK bestimmt werden kann 2 Mischungsmethode Fuumlgt man kaltem Wasser der Masse m1 und Temperatur T1 in einem Kalorimeter warmes Wasser der Masse m2 und Temperatur T2 hinzu so findet ein Waumlrmeaus-tausch statt bis das gesamte Wasser die Mischungstemperatur Tm angenommen hat Aus dem Energieerhaltungssatz folgt dass die vom warmen Wasser abgegebene Waumlrmeenergie

gleich der vom kalten Wasser und dem Kalorimeter aufgenommenen Waumlrmeenergie

)( 222 mW TTcmQ minussdotsdot=∆( ) )( 111 TTCcmQ mKW minussdot+sdot=∆ sein muss Der Energieerhaltungssatz in dieser

speziellen Form des Austausches von Waumlrmemenge heiszligt Richmannsche Mischungsregel und ergibt die Gleichung

( ) )()( 2211 mWmKW TTcmTTCcm minussdotsdot=minussdot+sdot (7)zur Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK des Kalorimeters

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

AUFGABEN 1 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der elektrischen Methode gemaumlszlig (6) 2 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 1 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 3 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der Mischungsmethode mit (7) 4 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 3 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 5 Fuumlr beide Methoden fuumlhre man eine Bestimmung der Messunsicherheit der Waumlrmekapazi-

taumlt durch und vergleiche die Endergebnisse miteinander VERSUCHSHINWEISE Das Verfahren zur Waumlrmeaustauschkorrektur Bei kalorimetrischen Messungen ist ein Waumlrmeaustausch mit der Umgebung unvermeidlich (offenes thermodynamisches System) und meist stoumlrend Aus dem gemessenen zeitlichen Temperaturverlauf ist er aber abzulesen (s Abb 1)

DE

Abbildung 1 Zeitlicher Verlauf der Temperatur im Kalorimeter

In der Vorperiode erhaumllt man den ansteigenden Kurvenabschnitt ArarrB in der Nachperiode den abfallenden Kurvenabschnitt ErarrF Das liegt daran dass das Kalorimeter eben nicht adia-batisch bzw isentrop ist Die Temperatur der Kalorimeterfluumlssigkeit im Innern gleicht sich in beiden Abschnitten jeweils (asymptotisch) an die Umgebungstemperatur TU an wobei der Waumlrmefluss proportional zur Temperaturdifferenz ist Es laumlsst sich zeigen dass der Gleichge-wichtszustand zeitlich exponentiell angenommen wird Im vorliegenden Fall ist aber die ent-sprechende Zeitkonstante sehr groszlig im Vergleich zur Messzeit so dass die beiden Abschnitte ArarrB und ErarrF naumlherungsweise jeweils durch eine Gerade beschrieben werden duumlrfen Die-ser Sachverhalt gestattet es auszligerdem in diesen Abschnitten die Messwerte in groumlszligerer zeitli-cher Schrittweite aufzunehmen Aufgrund des real zeitlich ausgedehnten Waumlrmeaustausches mit der Umgebung beobachtet man einen stetigen und differenzierbaren Verlauf der Kurve im Abschnitt BrarrE Nur wenn die im Experiment zugefuumlhrte Waumlrme sofort verteilt wuumlrde waumlre die Temperaturkurve eine Sprungfunktion Das System braucht eine gewisse Zeit bis sich ein neues Gleichgewicht ein-stellen kann Es verhaumllt sich so als ob es uumlber ein ganzes Zeitintervall bdquoverschmiertldquo waumlre Es gilt also die Endzeit der Waumlrmezufuhr zu finden Sie liegt im Wendepunkt der Temperaturkurve weil sich dort die Richtung der Kruumlmmung aumlndert also Waumlrmezufuhr in Waumlrmeverlust uumlbergeht Nun laumlsst sich aber im Abschnitt BrarrE die Kurve T(t) nicht beliebig

F

Tem

pera

tur

T

∆T S

TU

A B C

Zeit

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

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T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

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O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

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O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

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O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

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O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

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O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

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O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

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O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

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O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

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O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

AUFGABEN 1 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der elektrischen Methode gemaumlszlig (6) 2 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 1 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 3 Bestimmung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach der Mischungsmethode mit (7) 4 Fuumlr alle Messgroumlszligen aus Aufgabe 3 bestimme man zufaumlllige und systematische

Abweichungen sowie die Messunsicherheiten und stelle sie (tabellarisch) zusammen 5 Fuumlr beide Methoden fuumlhre man eine Bestimmung der Messunsicherheit der Waumlrmekapazi-

taumlt durch und vergleiche die Endergebnisse miteinander VERSUCHSHINWEISE Das Verfahren zur Waumlrmeaustauschkorrektur Bei kalorimetrischen Messungen ist ein Waumlrmeaustausch mit der Umgebung unvermeidlich (offenes thermodynamisches System) und meist stoumlrend Aus dem gemessenen zeitlichen Temperaturverlauf ist er aber abzulesen (s Abb 1)

DE

Abbildung 1 Zeitlicher Verlauf der Temperatur im Kalorimeter

In der Vorperiode erhaumllt man den ansteigenden Kurvenabschnitt ArarrB in der Nachperiode den abfallenden Kurvenabschnitt ErarrF Das liegt daran dass das Kalorimeter eben nicht adia-batisch bzw isentrop ist Die Temperatur der Kalorimeterfluumlssigkeit im Innern gleicht sich in beiden Abschnitten jeweils (asymptotisch) an die Umgebungstemperatur TU an wobei der Waumlrmefluss proportional zur Temperaturdifferenz ist Es laumlsst sich zeigen dass der Gleichge-wichtszustand zeitlich exponentiell angenommen wird Im vorliegenden Fall ist aber die ent-sprechende Zeitkonstante sehr groszlig im Vergleich zur Messzeit so dass die beiden Abschnitte ArarrB und ErarrF naumlherungsweise jeweils durch eine Gerade beschrieben werden duumlrfen Die-ser Sachverhalt gestattet es auszligerdem in diesen Abschnitten die Messwerte in groumlszligerer zeitli-cher Schrittweite aufzunehmen Aufgrund des real zeitlich ausgedehnten Waumlrmeaustausches mit der Umgebung beobachtet man einen stetigen und differenzierbaren Verlauf der Kurve im Abschnitt BrarrE Nur wenn die im Experiment zugefuumlhrte Waumlrme sofort verteilt wuumlrde waumlre die Temperaturkurve eine Sprungfunktion Das System braucht eine gewisse Zeit bis sich ein neues Gleichgewicht ein-stellen kann Es verhaumllt sich so als ob es uumlber ein ganzes Zeitintervall bdquoverschmiertldquo waumlre Es gilt also die Endzeit der Waumlrmezufuhr zu finden Sie liegt im Wendepunkt der Temperaturkurve weil sich dort die Richtung der Kruumlmmung aumlndert also Waumlrmezufuhr in Waumlrmeverlust uumlbergeht Nun laumlsst sich aber im Abschnitt BrarrE die Kurve T(t) nicht beliebig

F

Tem

pera

tur

T

∆T S

TU

A B C

Zeit

16

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

17

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

18

O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

23

O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

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O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

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O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

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O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

schnell messen (mit den vorhandenen Messmitteln) so dass der Wendepunkt praktisch nicht identifiziert werden kann Den komplizierten Verlauf der Hauptperiode BrarrE kann man naumlherungsweise durch einfache lineare Extrapolation der Vor- bzw Nachperiode bis zu den Punkten C bzw D beschreiben wobei dann im Uumlbergang CrarrD ein bdquosprunghafterldquo Temperaturanstieg (dh instantaner Waumlr-meaustausch) angenommen wird Die beiden in der Abb 1 gezeigten schraffierten Flaumlchen sind ein Maszlig fuumlr die durch diese Naumlherung zuviel bzw zuwenig angenommenen Waumlrmemen-gen Waumlhlt man die bdquoSprungstelleldquo so dass beide Flaumlchen genau gleich groszlig sind werden die Fehler der Naumlherung fuumlr die Waumlrmemengen gerade kompensiert a) Das ist auf einfachste Weise grafisch moumlglich indem man die Senkrechte CrarrD nach

bdquoAugenmaszligldquo so legt dass beide Flaumlchen F1 und F2 gleich groszlig sind Fuumlr weitere Berech-nungen kann und muss dann die Temperaturdifferenz ∆T = TDndashTC im bdquosprunghaftenldquo Uumlbergang CrarrD verwendet werden

b) Etwas aufwaumlndiger ist ein rechnerisches Verfahren Der Uumlbergang BrarrE verlaumluft groumlszligtenteils in recht guter Naumlherung linear und die beiden Uumlbergaumlnge in die Asymptoten ArarrB und ErarrF sind einander sehr aumlhnlich wie man feststellen wird Damit kann man auszliger Vorperiode und Nachperiode auch die Hauptperiode durch eine einfache Gerade beschreiben Die Parameter (Anstieg a und Achsenabschnitt b) dieser drei Geraden sind numerisch durch lineare Regression fuumlr die Wertepaare in den jeweiligen Abschnitten bestimmbar Mit den drei linearen Funktionen VVV btatf +sdot=)( und

(V H und N sind die Indizes fuumlr Vor- Haupt- und Nachperiode) lassen sich alle notwendigen Berechnungen vornehmen Die Zeiten fuumlr die beiden

Schnittpunkte B und E ergeben sich zu

HHH btatf +sdot=)(

NNN btatf +sdot=)(

HV

VHB aa

bbtminusminus

= und VH

HNE aa

bbtminusminus

= Mit gleichen

Flaumlchen fuumlr die beiden Dreiecke BCS und DES folgt unmittelbar

Nach Ausfuumlhrung der bestimmten Integrationen

und einigen (ermuumldenden) Umformungen erhaumllt man fuumlr den Zeitpunkt t

intint minus=minusE

S

S

B

t

tHN

t

tVH dttftfdttftf )()()()(

s das Ergebnis

NHVH

NHEVHBs aaaa

aataatt

minus+minusminussdot+minussdot

= Die gesuchte Temperaturdifferenz ist

)()()()( VNSVNSVSN bbtaatftfT minus+sdotminus=minus=∆ Fuumlr Aufgabe 1 wird der Heizeinsatz in das mit 300 cm3 Wasser gefuumlllte Kalorimeter getaucht (Tauchsiederprinzip) und zunaumlchst nur der Ruumlhrer eingeschaltet Fuumlr die Vorperiode ArarrB sind 5 Messungen im Abstand von 1 min auszufuumlhren Danach wird die Heizung eingeschaltet und fuumlr fuumlnf Minuten alle 10 s die Temperatur die Spannung und der Strom gemessen (Hauptperiode) In der Nachperiode ErarrF ist wie bei der Vorperiode zu verfahren Die gesamte Messreihe wird zweimal aufgenommen Zur Berechnung der Waumlrmekapazitaumlt CK nach (6) werden fuumlr die Spannung U und den Strom I die Mittelwerte aus den waumlhrend der Hauptperiode gemessenen Werten eingesetzt Die Temperaturdifferenz ∆T ist mithilfe der Waumlrmeaustauschkorrektur sowohl rein grafisch (nach bdquoAugenmaszligldquo) als auch rechnerisch zu ermitteln Fuumlr Aufgabe 2 wird die Messunsicherheit aller Messgroumlszligen aus zufaumllligen und systemati-schen Abweichungen ermittelt Die zufaumllligen Abweichungen werden entweder durch Mittel-wertbildung erfasst oder (bei zu geringer Zahl von Messwerten) aus der Ablesegenauigkeit fuumlr die Messgroumlszlige bestimmt Die systematische Abweichung wird aus den Genauigkeits-angaben der Messgeraumlte abgeschaumltzt

17

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

18

O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

23

O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

25

O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

26

O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

27

O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

28

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

29

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

32

O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

34

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS

Fuumlr Aufgabe 3 fuumlllt man das Kalorimeter mit 150 cm3 Leitungswasser schaltet den Ruumlhrer ein und misst die Temperatur T1 Dann gieszligt man 150 cm3 Wasser von 3545degC dazu und misst die Mischungstemperatur Tm Dieser Versuch wird dreimal durchgefuumlhrt (ohne Waumlrme-austauschkorrektur) Fuumlr Aufgabe 4 verfaumlhrt man analog wie bei Aufgabe 2 Fuumlr Aufgabe 5 bestimmt man nach dem Fortpflanzungsgesetz die jeweilige Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK nach beiden Methoden Die Messunsicherheit welcher Messgroumlszligen bestimmt im Wesentlichen die Messunsicherheit der Waumlrmekapazitaumlt CK

18

O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

23

O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

25

O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

26

O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

27

O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

28

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

29

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

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• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

O1 DUumlNNE LINSEN

PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Brechungs-gesetz Brechung an gekruumlmmten Flaumlchen duumlnne Linsen Sammel- und Zerstreuungslinsen Hauptstrahlen Abbildungsgleichung Besselmethode Linsen sind lichtdurchlaumlssige Koumlrper die von zwei ia sphaumlrischen (Kugel-) Flaumlchen begrenzt sind Die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte bildet die sog optische Achse Die Linsen-wirkung beruht auf der Brechung der einfallenden Lichtstrahlen an den Grenzflaumlchen zwischen Linsenmaterial und umgebendem Medium Sieht man von Linsenfehlern und Beugungserschei-nungen an den Linsenfassungen ab so fuumlhrt eine Linse alle von einem Gegenstandspunkt G ausgehenden Lichtstrahlen in einem Bildpunkt B zusammen (Abb1) Schneiden sich die Strahlen wirklich so spricht man von einem reellen Bild bzw von einer reellen Abbildung Schneiden sich hingegen nur die ruumlckwaumlrtigen Verlaumlngerungen der Strahlen so nennt man die Abbildung virtuell

Von sog duumlnnen Linsen spricht man wenn ihre Dicke klein gegenuumlber den Kruumlmmungsradien der Kugelflaumlchen ist In diesem Fall kann anstelle der zweimaligen Brechung an den Oberflaumlchen eine einmalige Brechung an einer Flaumlche (im weiteren bdquoMittelebeneldquo genannt) angenommen werden die senkrecht zur optischen Achse durch die Linse gelegt wird (Abb1)

Abb 1 Sammellinse

Bei duumlnnen Linsen koumlnnen die Gegenstandsweite g die Bildweite b und die Brennweiten f und frsquo von der Mittelebene aus gemessen werden (Abb1) Die Brennpunkte F bzw Frsquo liegen an der Stelle an der parallel zur optischen Achse einfallendes Licht von einer Sammellinse vereinigt wird Dagegen brechen Zerstreuungslinsen dieses Licht so als kaumlme es von F bzw Frsquo (s Abb2c)) Die Brennweiten f und frsquo sind gleich wenn sich auf beiden Seiten der Linse das gleiche optische Medium befindet Die Brennweite f laumlsst sich aus den Kruumlmmungsradien R1 und R2 und der Brechzahl n des Linsenglases berechnen Die Kruumlmmungsradien werden fuumlr konvexe Flaumlchen positiv fuumlr konkave aber negativ gewertet Fuumlr duumlnne Linsen gilt naumlherungsweise

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+sdotminus=

21

1111RR

nf

(1)

Die Groumlszlige fD 1= wird als Brechkraft oder Staumlrke der Linse bezeichnet Ihre Einheit ist 1 Dioptrie = 1m-1 Zerstreuungslinsen haben negative Brennweiten und Brechkraumlfte Durch eine Anordnung von einzelnen duumlnnen Linsen mit gemeinsamer optischer Achse lassen sich Linsensysteme (s Versuch O 10) aufbauen die in vielen optischen Geraumlten verwendet wer-den Die Brennweite einer Kombination aus zwei duumlnnen Linsen im Abstand d mit den Brenn-weiten f1 und f2 betraumlgt

dfffffminus+

sdot=

21

21 (2)

19

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

23

O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

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O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

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O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

27

O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

29

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

32

O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

34

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

35

O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

46

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

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• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

O1 DUumlNNE LINSEN

Ist der Abstand d der Linsen klein gegen die Einzelbrennweiten so gilt die Naumlherung

21

111fff

+= bzw 21 DDD += (3)

Man kann das von einer Linse erzeugte Bild eines Gegenstandes konstruieren wenn man die Brennweite f und die Gegenstandsweite g kennt Die Konstruktion wird sehr einfach wenn man wahlweise zwei der drei sog Hauptstrahlen (Parallel- Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl) ver-wendet In Abb 2 werden Brennpunkt- und Parallelstrahl fuumlr zwei Abbildungen mit einer Sam-mellinse und eine mit einer Zerstreuungslinse benutzt Die Sammellinse erzeugt auf dem Kopf stehende reelle Bilder wenn sich G auszligerhalb von f befindet (s Abb 2a)) und aufrechtstehende virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (dh b ist negativ) wenn G innerhalb von f liegt (s Abb 2b)) Zerstreuungslinsen erzeugen ausschlieszliglich virtuelle Bilder auf der Seite des Gegenstandes (s Abb 2c)) hier ist b immer negativ

Abb 2 Bildkonstruktion

Fuumlr duumlnne Linsen gilt mit den auf die Lage der Mittelebene bezogenen Groumlszligen Brennweite f Gegenstandsweite g und Bildweite b die Abbildungsgleichung

bgf111

+= (4)

Bei der Anwendung von (4) ist zu beachten dass g stets ein positives Vorzeichen erhaumllt b positiv bei reeller und negativ bei virtueller Abbildung wird Die Brennweite f wird fuumlr Sammellinsen positiv und fuumlr Zerstreuungslinsen negativ gezaumlhlt Die Beziehung (4) ist einschlieszliglich der Vorzeichenregeln durch einfache geometrische Uumlberlegungen anhand von Abb 2 zu gewinnen Brennweitenbestimmung mit der Abbildungsgleichung Die Brennweite von Sammellinsen kann nach der Abbildungsgleichung (4) aus der Gegenstandsweite g und der Bildweite b bestimmt werden Ein lichtaussendender Gegenstand G die auszumessende Linse und ein Schirm S werden auf einer optischen Bank verschiebbar angeordnet Bildet die Linse den

20

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

23

O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

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O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

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O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

28

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

29

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

32

O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

34

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

46

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

O1 DUumlNNE LINSEN

Gegenstand scharf auf dem Schirm ab koumlnnen b und g gemessen werden Da die Lage der Mittelebene bezuumlglich der Linsenhalterung aber nicht genau anzugeben ist sind die so gemes-senen Groumlszligen b und g unvermeidlich mit systematischen Messabweichungen von der Groumlszlige der halben Linsendicke behaftet Brennweitenbestimmung nach Bessel Statt der direkten Messung von b und g wird der genauer bestimmbare Unterschied e (s Abb 3) zwischen zwei Linsenpositionen gemessen die bei fester Entfernung l gt 4middotf des Gegenstandes vom Schirm ein scharfes Bild ergeben Mit

erhaumllt man naumlmlich die Brennweite gbl +=lgbf sdot

= und die beiden Bildweiten

lfllb sdotminusplusmn=42

2

21 die fuumlr fl sdotgt 4 reelle Werte annehmen Die Differenz e der Bild-

weiten ist dann lflbbe sdotminussdot=minus=4

22

21 und f ergibt sich aus

lelfsdotminus

=4

22

(5)

Die Gegenstands- und Bildweiten sind in den beiden Stellungen der Linse 2)( el minus bzw 2)( el + woraus sich durch Einsetzen in (4) die Gleichung (5) ergibt

Abb 3 Besselmethode AUFGABEN 1 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Abbildungsgleichung (4) 2 Bestimmung der Brennweiten der Sammellinsen nach der Methode von Bessel (5) 3 Bestimmung der Brennweiten der moumlglichen Linsenkombinationen nach der Bessel-

methode 4 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Kombinationen der Sammellinsen mit den nach (3)

berechneten Werten und Berechnung der Brennweite der Zerstreuungslinse mit (3) 5 Vergleich der Genauigkeit der Methoden zur Bestimmung der Brennweite

21

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

22

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

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O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

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O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

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O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

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O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

32

O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

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• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

O1 DUumlNNE LINSEN

VERSUCHSHINWEISE Fuumlr den Versuch stehen drei Sammellinsen und eine Zerstreuungslinse zur Verfuumlgung Eine Sammellinse hat eine spezielle Halterung um die Linsen miteinander kombinieren zu koumlnnen Der Abstand der Linsen ist dabei so gering dass der Abstand der Mittelebenen d gemaumlszlig (2) vernachlaumlssigt werden kann Fuumlr Aufgabe 1 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 6 unterschiedlichen Abstaumln-den zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 2 fuumlhre man die Messung fuumlr jede Sammellinse bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 3 fuumlhre man die Messungen fuumlr die drei moumlglichen Linsenkombinationen bei 10 verschiedenen Abstaumlnden zwischen Gegenstand und Schirm durch Fuumlr Aufgabe 4 werden bei Verwendung von Gleichung (3) die nach Aufgabe 2 ermittelten Brennweiten der Sammellinsen eingesetzt

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O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

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O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

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O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

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O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

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O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

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O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

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O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

46

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

O2 MIKROSKOP PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Abbildung mit Linsen Lupe und Mikroskop opti-sche Vergroumlszligerung Aufloumlsungsvermoumlgen Die Aufloumlsung kleiner Strukturen durch das menschliche Auge ist durch die Lichtbeugung an den Raumlndern der Pupille (s zB bdquoAufloumlsungsvermoumlgen des menschlichen Augesldquo im Gerthsen oder Bergmann-Schaefer Bd III) und die sog Akkomodationsfaumlhigkeit der Augen-linse begrenzt Durch Benutzung optischer Hilfsmittel wie zB Lupe oder Mikroskop gelingt es Objekte sichtbar zu machen die mit dem bloszligen Auge im Detail nicht mehr erkannt wer-den koumlnnen Ein (lichtoptisches) Mikroskop besteht im Wesentlichen aus zwei Linsen (Objektiv und Oku-lar) die die Abbildung und Vergroumlszligerung bewirken Ein sog Kondensor dient zur gleich-maumlszligigen Ausleuchtung des Objektes Zum prinzipiellen Verstaumlndnis des Strahlenganges im Mikroskop ist es ausreichend Objektiv und Okular als duumlnne Sammellinsen anzunehmen (s Versuch O1) und geometrisch-optisch das Bild zu konstruieren (Abb 1) Der Gegenstand G befindet sich in der Gegenstandsweite g etwas auszligerhalb der Brennweite fOb des Objektivs Ob deshalb entsteht auf der anderen Seite des Objektivs im Abstand b ein umgekehrtes vergroumlszligertes und reelles Zwischenbild B1 Im zweiten Schritt wird das Zwischenbild B1 mit dem als Lupe wirkenden Okular Ok betrachtet

Legt man B1 in die Brennebene von Ok so erscheint das vergroumlszligerte virtuelle (und seitenver-kehrte) Bild B2 von B1 im Unendlichen Das Auge kann sich mit entspannter Augenlinse auf unendliche Entfernungen einstellen Genau dieser Fall wird im Folgenden behandelt

Abb 1 Geometrisch-optische Bildkonstruktion beim Mikroskop

Es soll hier aber darauf hingewiesen werden dass in der Literatur zuweilen auch der Fall behandelt wird bei dem das Zwischenbild in Bezug auf das Okular so in eine Gegenstands-weite gelegt wird dass das virtuelle Bild von BOkOk fg lt 1 in der deutlichen Sehweite erscheint Dadurch wird die Vergroumlszligerung des Mikroskops unwesentlich groumlszliger aber die Augenlinse muss staumlrker gekruumlmmt werden um die dann divergenten Lichtstrahlen hinter dem Okular auf die Netzhaut fokussieren zu koumlnnen Hinsichtlich der praktischen Benutzung des Mikroskops sind die Unterschiede beider Betrachtungsweisen nicht wesentlich

23

O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

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O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

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O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

32

O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

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• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

O2 MIKROSKOP Die Annahme je einer duumlnnen Linse fuumlr Objektiv und Okular ist fuumlr die grundsaumltzlichen Uumlberlegungen zum Strahlengang im Mikroskop ausreichend Allerdings muumlssen in der Praxis verschiedene Linsenfehler korrigiert werden deshalb sind Objektive und Okulare kompli-zierte Linsensysteme (s Versuch O10)

Abb 2 Objektivrevolver (links) und Okulare (rechts)

Der subjektive Eindruck der Groumlszlige eines Gegenstandes bei der Betrachtung mit dem Auge haumlngt vom Winkel ab unter dem der Gegenstand vom Auge aus erscheint Man kann ihn durch Annaumlherung des Gegenstandes an das Auge vergroumlszligern Den kuumlrzesten Abstand in dem man den Gegenstand noch ohne Anstrengung des Auges deutlich erkennen kann bezeichnet man als deutliche Sehweite Sie liegt beim normalsichtigen Menschen zwischen 20 und 30 cm und ist fuumlr die Vergroumlszligerungsbestimmung von optischen Geraumlten auf s0 = 25 cm festgesetzt Als sog Winkelvergroumlszligerung eines optischen Instruments definiert man

InstrumentohneSehwinkelInstrumentmitSehwinkel

V0εε

= (1)

Abb 3 Vergroumlszligerung eines optischen Instruments

Betrachtet man einen Gegenstand G mit dem Mikroskop so erscheint sein virtuelles Bild dem Auge unter dem Sehwinkel ε Ohne Mikroskop und im Abstand s0 wuumlrde G unter dem Seh-winkel ε0 erscheinen (Abb 3) Die Winkel ε und 0ε koumlnnen in guter Naumlherung fuumlr kleine Winkel mit den Groumlszligen aus Abb 1 berechnet werden mit

εε asymp=Okf

B1tan und 00

0tan εε asymp=sG (2)

Die Annahme kleiner Winkel ist hier berechtigt aus Darstellungsgruumlnden wurden die beiden Abb 1 und 3 nicht maszligstabsgerecht ausgefuumlhrt Damit folgt fuumlr die Winkelvergroumlszligerung des Mikroskops

Okfs

GBV 01

0

sdot==εε (3)

24

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

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O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

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O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

29

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

32

O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

34

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

46

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

O2 MIKROSKOP

und mit ObfT

GB

=1 (s Abb 1) schlieszliglich

OkOb ffsTVsdotsdot

= 0 (4)

Den Abstand T der Brennpunkte FrsquoOb und FrsquoOk bezeichnet man als sog optische Tubuslaumlnge Bei maszligstabsgerechter Ausfuumlhrung von Abb 1 lieszlige sich erkennen dass T in sehr guter Naumlherung der technischen Tubuslaumlnge entspricht da dieser Abstand viel groumlszliger ist als die Brennweiten fOb und fOk Die Vergroumlszligerung wird anstelle von (3) in der Praxis sehr haumlufig durch die Beziehung

OkOb VV sdot= β (5)

angegeben Dabei ist GB

Ob1=β der Abbildungsmaszligstab des Objektivs und

OkOk f

sV 0= die

Winkelvergroumlszligerung des als Lupe betriebenen Okulars Diese geraumltespezifischen Nennwerte fuumlr Abbildungsmaszligstab und Vergroumlszligerung sind in der Regel auf Objektiv bzw Okular einge-fraumlst bzw aufgedruckt (s Abb 2) aber nur houmlchst selten die Brennweiten So koumlnnte man zB mit einem Objektiv 100X und einem Okular 16X (s Abb 2) eine 1600fache Vergroumlszlige-rung erzielen Bringt man in die Ebene des reellen Zwischenbildes einen durchsichtigen Gegenstand wie zB eine Glasplatte mit eingeritzter bzw eingeaumltzter Teilung (Okularmikrometer) so sieht man das vergroumlszligerte Zwischenbild und das Okularmikrometer gleichzeitig scharf Das Oku-larmikrometer kann damit zur Ausmessung kleiner Strukturen genutzt werden Nach den geometrisch-optischen Uumlberlegungen koumlnnte man theoretisch mit einem Mikroskop beliebig kleine Strukturen durch eine Steigerung der optischen Vergroumlszligerung sichtbar ma-chen zB durch Vergroumlszligerung der Tubuslaumlnge Aufgrund der Wellennatur des Lichtes ist aber die Groumlszligenordnung gerade noch nachweisbarer Strukturen begrenzt Mit diesem Problem beschaumlftigte sich Ernst Abbe (1840-1905) der gemeinsam mit Carl Zeiss und Otto Schott zu den Begruumlndern der modernen Optik im 19 Jahrhundert gezaumlhlt wird Damit uumlberhaupt eine gute (kontrastreiche) Abbildung durch ein Mikroskop zustande kommen kann muumlssen moumlglichst viele Beugungsmaxima des an der Objektstruktur gebeugten Lichtes in das Mikroskopobjektiv gelangen Eine genauere Be-trachtung liefert das Ergebnis

Obnd

ϕλ

sinsdot= (6)

das als Abbesche Sinusbedingung (1873 veroumlffentlicht) fuumlr die beugungsbegrenzte (Orts-)Aufloumlsung eines lichtoptischen Mikroskops bezeichnet wird Der minimal aufgeloumlste Abstand d zweier Gegenstandspunkte haumlngt gemaumlszlig (6) von der Wellenlaumlnge λ des Lichtes dem Brechungsindex n des Mediums zwischen Objektiv und Objekt und dem Oumlffnungswinkel φOb des Objektivs ab Das Produkt Obn ϕsinsdot wird als numerische Apertur (NA) des Objektivs bezeichnet die fuumlr Luft als umgebendes Medium auf den meisten Objektiven angegeben ist (zB 040) Houmlhere Aufloumlsungen lassen sich mit Mikroskopen demnach durch kurzwelligeres Licht (zB UV) und den Einsatz von sog Immersionsfluumlssigkeiten zwischen Objekt und Ob-jektiv (n gt nLuft) erreichen dem Objektivoumlffnungswinkel φOb sind (verstaumlndlicherweise) Grenzen gesetzt Bei Verwendung von weiszligem Licht in der Mikroskopie ist fuumlr die Abschaumltzung des Auflouml-sungsvermoumlgens eine Wellenlaumlnge von λ = 550 nm (gruumln) anzusetzen bei der das menschli-che Auge die houmlchste spektrale Empfindlichkeit aufweist Aus der beugungsbegrenzten Aufloumlsung eines Mikroskops ergibt sich der Begriff der sog foumlrderlichen Vergroumlszligerung Das Produkt gemaumlszlig der Beziehung (5) sollte das 500-1000fache

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O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

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O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

29

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

46

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

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• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

O2 MIKROSKOP der numerischen Apertur Obn ϕsinsdot nicht uumlberschreiten Anderenfalls spricht man von leerer Vergroumlszligerung da durch die unvermeidlich auftretende Beugung keine weiteren Objektdetails aufgeloumlst werden koumlnnen Von besonderem Interesse fuumlr die Praxis der Mikroskopie (und nicht nur dort wie ambitio-nierte Hobbyfotografen wissen) ist auch der Begriff der Schaumlrfentiefe Aus den obigen geo-metrisch-optischen Betrachtungen ist ersichtlich dass ein Mikroskop eigentlich immer nur fuumlr einen bestimmten Abstand zwischen Objektiv und Objekt ein scharfes Bild auf der Netzhaut-ebene liefern wird Praktisch wird man aber feststellen dass es einen bestimmten (mehr oder minder ausgedehnten) Tiefenbereich entlang der optischen Achse gibt innerhalb dessen ein Objekt noch scharf abgebildet wird Nach John William Strutt 3 Baron Rayleigh (1873ndash

1919) ist die (ebenfalls) beugungsbegrenzte Schaumlrfentiefe Ob

R nd

ϕλ

2sin2 sdotsdot= wobei die

zugehoumlrigen Groumlszligen bereits oben eingefuumlhrt wurden Mit zunehmender Vergroumlszligerung eines Mikroskops wird durch die Wahl hochvergroumlszligernder Objektive wegen der sehr kurzen Brennweiten der Arbeitsabstand zwischen Objektiv und Objekt immer kleiner der Oumlffnungs-winkel aber groumlszliger und folgerichtig die Schaumlrfentiefe immer geringer Es ist deshalb aumluszligerst ratsam bei der Mikroskopie zunaumlchst mit geringeren Vergroumlszligerungen zu beginnen um das Geraumlt zu Beginn fuumlr ein Objekt scharf einzustellen Erst danach sollte schrittweise die Ver-groumlszligerung erhoumlht werden AUFGABEN 1 Bestimmung der Vergroumlszligerung des Mikroskops fuumlr alle moumlglichen Kombinationen der

zwei Objektive und zwei Okulare 2 Kalibrierung der Okularmikrometerskale fuumlr beide Objektive 3 Messung der Durchmesser zweier Draumlhte und eines menschlichen Haars 4 Messung des Oumlffnungswinkels beider Objektive und Berechnung der jeweiligen

Aufloumlsungsgrenze 5 Abschaumltzung der Messunsicherheiten fuumlr die Aufgaben 1-4 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die Vergroumlszligerungen und die Oumlffnungswinkel mit den Berech-

nungen anhand der Herstellerangaben auf den Objektiven und Okularen VERSUCHSHINWEISE Ein Mikroskop ist ein sehr empfindliches optisches Praumlzisionsgeraumlt deshalb beachte man fuumlr die Versuchsdurchfuumlhrung die am Versuchsplatz aufgefuumlhrten allgemeinen Regeln Fuumlr die Scharfeinstellung des Objektes dient ein Triebknopf mit dem sowohl die Grob- als auch die Feinverstellung des Objekttisches vorgenommen wird Mit dem Triebknopf wird der Objekttisch verschoben bis das Objekt in Umrissen sichtbar wird (Grobeinstellung) Aumlndert man den Drehsinn des Triebknopfes dann wird in jeder beliebigen Stellung des Objekttisches der Feintrieb wirksam und die Scharfeinstellung des Objektes ist moumlglich Beim Arbeiten mit den empfindlichen Objekten beachte man unbedingt die obigen Hinweise zur Schaumlrfentiefe um Zerstoumlrungen der Objekte und Objektive zu vermeiden Fuumlr Aufgabe 1 wird als Objekt eine geeichte Skale (Objektmikrometer) benutzt Sie wird mit einer in 250 mm Abstand (deutliche Sehweite) aufgestellten mm-Skale verglichen Durch einen auf das Okular aufgesetzten halbdurchlaumlssigen Winkelspiegel koumlnnen beide Skalen gleichzeitig betrachtet werden Man achte dabei darauf den seitlichen Eintrittsbereich nicht durch die eigene Nase zu verdecken Die Vergroumlszligerung ergibt sich aus dem Verhaumlltnis der auf den Skalen abgelesenen Laumlngen Zur gleichzeitigen Beobachtung der beiden Skalen muumls-sen sie etwa gleich hell sein Uumlber einen Dimmer kann die Helligkeit der Mikroskopleuchte soweit geregelt werden bis eine gute Sichtbarkeit beider Skalen erreicht ist

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O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

34

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

35

O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

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• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

O2 MIKROSKOP Fuumlr Aufgabe 2 erfolgt die Kalibrierung der Okularskale durch Vergleich mit dem Objektmik-rometer Diese Kalibrierung muss fuumlr jedes Objektiv separat durchgefuumlhrt werden Fuumlr Aufgabe 3 werden die Durchmesser mittels der kalibrierten Okularskale fuumlr beide Objektive ermittelt Fuumlr Aufgabe 4 muss der Oumlffnungswinkel des Objektivs bestimmt werden Fuumlr diese Messung wird die Mikroskopleuchte aus der Stiftfuumlhrung herausgenommen Dann muss der Kondensor nach Loumlsen der Klemmschraube nach unten herausgenommen werden An die Stelle der Leuchte wird eine Winkelteilung mit Lichtquelle eingesetzt Die Lichtquelle bewegt sich auf einem Kreisbogen in dessen Mittelpunkt der Brennpunkt des Objektivs liegt (Abb 4) Der Objekttisch muss sich fuumlr diese Messung so nah wie moumlglich (Vorsicht) am Objektiv befin-den Aus der schematischen Darstellung (Abb 4) sieht man dass das Bild Lrsquo der Lichtquelle verschwindet wenn L um groumlszligere Winkel als φOb geschwenkt wird das Gesichtsfeld wird dunkler Der Winkelbereich φOb der Lampe ist gleich dem Oumlffnungswinkel des Objektivs

Abb4 Bestimmung des Oumlffnungswinkels

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

29

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

32

O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

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• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

O9 REFLEXION UND BRECHUNG PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe geometrische Optik (Strahlenoptik) Superpositions-prinzip Fermatsches Prinzip Reflexionsgesetz Brechungsgesetz Totalreflexion Prisma Unter Licht wird im engeren (umgangssprachlichen) Sinne sichtbares Licht im Wellenlaumlngen-bereich von λ = 380hellip780 nm verstanden waumlhrend damit in der Optik als Teilgebiet der Phy-sik das gesamte Spektrum elektromagnetischer Wellen gemeint ist In der geometrischen Optik oder Strahlenoptik werden die Welleneigenschaften des Lichtes weitgehend vernachlaumls-sigt weil die dort betrachteten und mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen groszlig im Ver-haumlltnis zur Wellenlaumlnge sind So wird Licht als aus (geradlinigen) Strahlen zusammengesetzt betrachtet die reflektiert gebrochen usw werden koumlnnen Lichtstrahlen folgen dem Superpositionsprinzip dh sie koumln-nen sich gegenseitig durchdringen ohne sich gegenseitig zu stoumlren Im (optisch) homogenen bzw isotropen Medium breiten sich Lichtstrahlen geradlinig mit einer konstanten Geschwin-digkeit (Phasengeschwindigkeit) c aus die fuumlr das jeweilige Medium charakteristisch ist (c0 = 299792458middot108 mmiddots-1 im Vakuum) Am Uumlbergang zwischen zwei verschiedenen Medien (Grenzflaumlche) werden Lichtstrahlen sowohl reflektiert als auch transmittiert und dabei gebro-chen (s Abb 1)

Medium 1

einfallender reflektierter Strahl Strahl α β

Grenzflaumlche

gebrochenerγ Strahl

Medium 2

Abb 1 Reflexion und Brechung an einer Grenzflaumlche

Es soll vorausgesetzt werden dass die Grenzflaumlche hinreichend bdquoglattldquo ist dh ihre Uneben-heiten deutlich kleiner sind als die Wellenlaumlnge des Lichts Dann gilt das bekannte Reflexi-onsgesetz

βα = (1)wobei einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene liegen und α bzw β die zwischen dem jeweiligen Strahl und der Normalen der Grenzflaumlche eingeschlossenen Winkel sind (s Abb 1) Fuumlr das beim Uumlbergang durch die Grenzflaumlche gebrochene Licht gilt das Brechungsgesetz nach Willebrord van Roijen Snell (1618)

γα sinsin 21 sdot=sdot nn (2)

wobei 1

01 c

cn = und 2

02 c

cn = die sog Brechungsindizes der beiden Medien sind In Luft ist

zB nLuft = 1000292 bei einer Wellenlaumlnge von λ = 589 nm (allgemein noch abhaumlngig von Temperatur Dichte und Luftfeuchtigkeit) Fuumlr unsere folgenden Betrachtungen soll aber nLuft asymp 1 angenommen werden

28

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

29

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

32

O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

34

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

35

O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

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• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Sowohl Reflexions- als auch Brechungsgesetz folgen aus dem sog Fermatschen Prinzip (nach Pierre de Fermat) der geometrischen Optik das besagt dass sich der sog Lichtweg bei Variation der Bahn eines Lichtstrahls in linearer Naumlherung nicht veraumlndert bzw einen Extre-malwert (nicht notwendig ein Minimum) annimmt

int=Endpunkt

Startpunkt

dssnL )( bzw 0

)(=xdx

xdL (3)

Die Beziehung (3) schlieszligt mit einem (oumlrtlich) veraumlnderlichen Brechungsindex ausdruumlcklich auch inhomogene Medien in die Betrachtung ein Bisher wurde der Uumlbergang von Licht aus einem optisch duumlnneren in ein optisch dichteres Medium betrachtet (n1 lt n2) dabei wird der transmittierte Lichtstrahl stets in Richtung des Lotes gebrochen (s Abb 1) Bei einem Uumlbergang vom optisch dichteren in ein optisch duumlnne-res Medium (n1 gt n2) erfolgt die Brechung dann gemaumlszlig (2) in umgekehrter Richtung Fuumlr ei-nen bestimmten Einfallswinkel liegt der gebrochene Strahl genau in der Ebene der Grenzflauml-che Dieser Winkel wird als sog Grenzwinkel der Totalreflexion bezeichnet und laumlsst sich mit

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1arcsinnn

cα (4)

berechnen Theoretisch wuumlrde fuumlr Einfallswinkel α die groumlszliger als dieser Grenzwinkel sind (α gt αc) der Brechungswinkel γ gemaumlszlig dem Brechungsgesetz groumlszliger als 90deg werden Das steht aber im voumllligen Widerspruch zur Voraussetzung dass der gebrochene Strahl immer durch die Grenzflaumlche tritt Tatsaumlchlich kann das auch nicht beobachtet werden es bleibt al-lein der reflektierte Lichtstrahl erkennbar Daher spricht man hier von einer Totalreflexion Sofern der Brechungsindex des umgebenden Mediums bekannt ist kann aus den beiden Be-ziehungen (2) und (4) der Brechungsindex eines (als homogen angenommenen) optisch trans-parenten Mediums experimentell durch Winkelmessungen bestimmt werden Unter einem Prisma wird in der Optik ein Koumlrper verstanden der zwei nicht planparallele Oberflaumlchen hat und die Form eines Keils besitzt Trifft ein Lichtstrahl auf eine der Flaumlchen des Prismas auf so wird er zweimal gebrochen und zwar von der brechenden Kante weg Die brechende Kante ist die Schnittgerade der beiden Ebenen die von dem Lichtstrahl durch-stoszligen werden Der Winkel zwischen diesen Ebenen heiszligt brechender Winkel ε des Prismas Ein Schnitt durch das Prisma senkrecht zur brechenden Kante heiszligt Hauptschnitt Die geometrische Form des Prismas laumlsst sich unter Beachtung der og Zusammenhaumlnge fuumlr optische Geraumlte ausnutzen bull Trifft zB ein Lichtstrahl senkrecht auf eine Seite eines Prismas das eine houmlhere Brech-

zahl besitzt als das umgebende Medium so kann er von innen an der gegenuumlberliegenden Seite totalreflektiert werden und tritt (nahezu) verlustfrei wieder aus dem Prisma Solche Umlenkprismen werden ua in Fernglaumlsern Teleskopen und Spiegelreflexkameras benutzt

bull Lichtstrahlen treten an einer planen Seitenflaumlche in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch beide Grenzflaumlchen jeweils gebrochen Da Licht verschiedener Wellen-laumlnge wegen des ia wellenlaumlngenabhaumlngigen Brechungsindexes n(λ) unterschiedlich stark gebrochen wird (optische Dispersion s Versuch O3) kann man mit einem Prisma Licht spektral zerlegen In den gebraumluchlichen optischen Glaumlsern ist bei sog normaler Disper-sion der Brechungsindex fuumlr kurzwelliges Licht groumlszliger als fuumlr langwelliges Diese Eigen-schaft wird im sog Prismenspektrometer ausgenutzt

In Abb 2 wird der Strahlengang durch ein optisches Prisma im Hauptschnitt mit den fuumlr die weitere Betrachtung wichtigen Winkeln gezeigt Es soll angenommen werden dass das Prisma aus einem optischen Glas von Luft umgeben ist so dass fuumlr alle betrachteten Licht-wellenlaumlngen n gt nLuft ist

29

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

32

O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

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• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 2 Strahlengang durch ein optisches Prisma

Die in der Abb 2 gezeichneten Strahlen liegen alle im Hauptschnitt Unter dem Einfallswin-kel α1 gegen das Einfallslot faumlllt auf das Prisma ein monochromatischer Lichtstrahl bzw mo-nochromatisches Parallelstrahlbuumlndel (Diese Einschraumlnkung ist wegen der Dispersion n(λ) notwendig) Gemaumlszlig dem Brechungsgesetz (2) gelten mit nLuft asymp 1 fuumlr den Uumlbergang durch die beiden Grenzflaumlchen die beiden Beziehungen 11 sinsin γα sdot= n und 22 sinsin γα sdot= n Fuumlr den Ablenkwinkel δ des Lichtstrahls durch das Prisma ergibt sich aus geometrischen Uumlberlegun-gen zunaumlchst 2211 γαγαδ minus+minus= wegen 21 γγε += wiederum εααδ minus+= 21 Dieser Win-kel ist nur abhaumlngig vom Einfallswinkel α1 vom brechenden Winkel ε und Brechungsindex n des Prismas Es laumlsst sich mit einigen Umformungen naumlmlich zeigen dass

( ) ( ) εαεαεαεαδδ minussdotminusminussdot+== 1122

11 sincossinsinarcsin nn (5)gilt Die Beziehung (5) kann dazu verwendet werden bei bekanntem brechendem Winkel ε des Prismas den Brechungsindex n experimentell zu bestimmen Wie sich zeigt sind dafuumlr mehrere Methoden geeignet a) Der Ablenkwinkel des Prismas wird genau dann minimal wenn der Lichtstrahl das Prisma

exakt symmetrisch (α1 = α2) durchlaumluft Das ergibt sich sowohl aus einer Extremwertbe-trachtung von (5) als auch (viel einfacher) aus dem Fermatschen Prinzip (minimaler Licht-weg fuumlr Durchgang durch das Prisma) Fuumlr diesen beobachtbaren Minimalwinkel δmin erhaumllt man eine einfache Beziehung zur Bestimmung der Brechzahl (1814 nach Joseph von Fraunhofer)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

2sin

2sin min

ε

εδ

n (6)

b) Anhand von Abb 2 und Gleichung (4) kann man sich uumlberlegen dass fuumlr einen ganz be-stimmten Einfallswinkel eine Totalreflexion beim Strahlaustritt GlasrarrLuft an der Grenzflaumlche ( ) zu beobachten sein wird Fuumlr den Brechungsindex folgt mit der zugehoumlrigen Bedingung unmittelbar

c1α

deg= 902cα

1sin2

=sdot cn γ2

1

sincossin1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

εεα c

n (7)

γ2γ1α1

δ

brechende Kante

ε

Basis

α2

ε

30

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

31

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

32

O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

34

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

35

O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

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• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

O9 REFLEXION UND BRECHUNG c) Durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) fuumlr den Ablenkwinkel uumlber ein hinreichend groszliges

Intervall kann durch eine nichtlineare Regression von (5) ebenso der Brechungsindex als Parameter ermittelt werden

Die eben beschriebenen Verfahren werden durch die Abb 3 veranschaulicht in der der cha-rakteristische Verlauf von δ(α1) fuumlr ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε = 60deg und fuumlr verschiedene Brechungsindizes n dargestellt ist Man sieht hier dass ein Prisma als optisch dispersives Element (zB zur Spektralzerlegung von Licht) nur fuumlr einen bestimmten Winkel-bereich eingesetzt werden kann und dann zweckmaumlszligigerweise moumlglichst im Gebiet der mini-malen Ablenkung gearbeitet werden sollte (vgl Versuch O3 Prismenspektrometer)

brechender Winkel ε = 60deg

n = 15

n = 16

n = 17

30

40

50

60

70

80

90

20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel α1 (deg)

Abl

enkw

inke

l δ (deg

)

Abb 3 Ablenkwinkel eines 60deg-Prismas in Abhaumlngigkeit vom Einfallswinkel

Fuumlr Vergleichszwecke sind hier Brechungsindizes fuumlr einige gebraumluchliche optische Glaumlser angegeben (s Tab 1)

Glasart Kronglas Flintglas Schweres Flintglas Bezeichner (Schott) BK7 BK10 F2 F5 SF2 SF10

nD 151673 14597750 1619890 1603280 1647522 1728030 Tab 1 Brechungsindizes nD (bei λ = 5893 nm) fuumlr optische Glaumlser von Schott

Fuumlr die experimentellen Untersuchungen wird derselbe Aufbau eingesetzt der auch im Ver-such bdquoO3 Prismenspektrometerldquo verwendet wird In Abb 4 wird der Strahlengang exempla-risch fuumlr monochromatisches Licht gezeigt Als Lichtquelle dient eine Spektrallampe (Na-Niederdruckdampflampe) die ein Spektrum aus verschiedenen und nahezu diskreten Spektrallinien emittiert Obwohl bei aufmerksamer Beo-bachtung mehrere Linien erkennbar sind wollen wir uns hier bewusst auf die gelbe Doppel-linie (Na-Dublett) mit den beiden dicht benachbarten Wellenlaumlngen 5889950 nm bzw 5895924 nm beschraumlnken Die Spektrallampe beleuchtet den Eingangsspalt der mithilfe eines beweglichen Tubus auf der optischen Achse relativ zur Kollimatorlinse verschoben und gedreht werden kann (Arretierung mit Feststellschraube am Kollimatorrohr) Zusaumltzlich kann die Breite des Spaltes mit einer Mikrometerschraube (Vorsicht empfindlich) und seine Houmlhe mit einer Keilblende (Vorsicht nicht herausziehen) verstellt werden Wenn sich der Ein-gangsspalt genau in der Brennpunktebene der Kollimatorlinse befindet wird aus dem Kolli-mator ein paralleles Lichtbuumlndel austreten ndash diese Bedingung ist fuumlr den Versuch unbedingt zu erfuumlllen

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

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O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

46

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 4 Aufbau eines Prismenspektrometers

Das parallele Lichtbuumlndel faumlllt auf ein Glasprisma das in der Houmlhe und Neigung durch Jus-tierschrauben verstellbar und um eine Achse drehbar auf einem Goniometer (svw Winkel-messer) steht und das Licht sowohl reflektiert als auch ablenkt Das abgelenkte bzw reflek-tierte Lichtbuumlndel wird durch ein einfaches astronomisches Fernrohr beobachtet das vorher auf ein unendlich entferntes Objekt scharf eingestellt werden muss Diese Einstellung ist ebenso wichtig wie die fuumlr den Kollimator Nur unter Einhaltung dieser Bedingungen erhaumllt man eine scharfe Abbildung des Eingangsspaltes auf der Netzhautebene des Beobachters Das Goniometer verfuumlgt uumlber eine Vollkreisteilung 0hellip360deg in Schritten von 05deg und ist be-reits fest arretiert Diese Maszlignahme hat den Zweck das oft zeitraubend versuchte aber voumlllig nutzlose bdquoEinjustierenldquo der 0deg-Marke auf die optische Achse zu verhindern Bitte belassen Sie es bei der festen Voreinstellung Die eigentliche Winkelmessung erfolgt mithilfe zweier ge-genuumlberliegender Nonien die starr an die rotierbare Halterung fuumlr das Fernrohr gekoppelt sind und daher um den Vollkreis umlaufen Gemessen werden immer relative Drehwinkel also Differenzen zwischen zwei Winkelstellungen des Fernrohrs Unterhalb des Goniometer-tisches befindet sich eine Feststellschraube mit der die Fernrohrhalterung nach Grobein-stellung (voruumlbergehend) arretiert werden kann ndash mithilfe einer Feingewindespindel (Stell-knopf rechts unter dem Fernrohr) kann danach die Feineinstellung des Winkels erfolgen Zur exakten Einstellung befindet sich im Fernrohr ein Fadenkreuz in der Zwischenbildebene das zum bdquoAnvisierenldquo des Spaltbildes verwendet werden kann AUFGABEN 1 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die Wellenlaumlnge(n) des Na-Dubletts aus dem Winkel der Minimalablenkung gemaumlszlig (6) 2 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr zwei 60deg-Prismen aus Kron- bzw Flintglas fuumlr

die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts aus dem Einfallswinkel fuumlr die Totalreflexion nach (7)

3 Bestimmung des Brechungsindexes n fuumlr ein 60deg-Prisma aus Kronglas fuumlr die (mittlere) Wellenlaumlnge des Na-Dubletts durch Messung der Abhaumlngigkeit δ(α1) gemaumlszlig Formel (5) und nichtlineare Regression (mit grafischer Darstellung)

4 Abschaumltzung der Messunsicherheiten ∆n fuumlr die Aufgaben 1-2 mithilfe des Fortpflanzungsgesetzes

5 Bestimmung der Messunsicherheit ∆n fuumlr Aufgabe 3 6 Vergleich der Ergebnisse fuumlr die mit den verschiedenen Methoden bestimmten Brechungs-

indizes untereinander auf innere Konsistenz und mit Referenzwerten (mit Beruumlcksichti-gung der Unsicherheiten)

32

O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

34

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

46

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

O9 REFLEXION UND BRECHUNG VERSUCHSHINWEISE Justage des Spektrometers Zunaumlchst muss das astronomische Fernrohr aus der Halterung geloumlst und eingestellt werden Dazu richtet man es zweckmaumlszligig auf einen hellen Hintergrund (zB Wand) und verschiebt den Okulartubus solange bis bei entspannter Augenlinse das Fadenkreuz in der Zwischen-bildebene scharf abgebildet wird Anschlieszligend richtet man das Fernrohr auf einen sehr weit entfernten Gegenstand (zB am Fenster) und stellt ihn mithilfe der seitlichen Stellschraube scharf Bei korrekter Einstellung sollten sowohl der weit entfernte Gegenstand als auch das Fadenkreuz gleichzeitig scharf abgebildet werden Dieses Verfahren sichert dass fuumlr den weiteren Versuchsverlauf ein Parallelstrahlbuumlndel genau auf der Netzhautebene des Auges abgebildet wird ndash das Fernrohr sollte deshalb nach dieser Justage auf keinen Fall mehr ver-stellt werden Nun kann das Fernrohr wieder in seine Halterung montiert werden ndash man achte dabei darauf dass das Objektiv dabei nicht zu weit herausragt und dabei das aufgesetzte Prisma beruumlhrt Durch Drehung des Fernrohrs vor der endguumlltigen Fixierung kann auch das Fadenkreuz ent-sprechend ausgerichtet werden Das Fernrohr ist auf seiner drehbaren Halterung nach Augen-maszlig auf die optische Achse des fest montierten Kollimatorrohrs auszurichten und mit dem Feststellknopf unterhalb des Goniometers vorlaumlufig zu arretieren Fuumlr den naumlchsten Schritt sollte der Prismentisch leer sein Die Oumlffnung des Eingangsspaltes am Kollimator ist zu uumlberpruumlfen Um Blendungen bzw Schaumldigungen der Netzhaut zu vermeiden sollte zu Beginn der Spalt geschlossen sein (behut-same Rechtsdrehung der Mikrometerschraube) Durch vorsichtiges Oumlffnen des Spaltes ist eine Lichtintensitaumlt einzustellen die noch gut wahrgenommen werden kann Das Fernrohr ist mit-hilfe des Feintriebs nun so auszurichten dass das (wahrscheinlich noch unscharfe) Bild des Spaltes in der Mitte des Sichtfeldes erscheint Anschlieszligend kann die kleine Feststellschraube fuumlr den Kollimatortubus geloumlst werden Durch Verschieben des Tubus ist die Abbildung des Spaltes moumlglichst scharf (bis auf schwache Beugungsraumlnder) einzustellen und durch seine Drehung parallel zur senkrechten Fadenkreuzlinie auszurichten gegebenenfalls kann auch noch die Spaltbreite und ndashhoumlhe veraumlndert werden Die Tubuseinstellung ist abschlieszligend durch die Feststellschraube wieder zu arretieren um versehentliche Dejustierungen zu ver-meiden Festlegung der optischen Achse Fuumlr die Messungen ist es aus leicht ersichtlichen Gruumlnden wichtig die bdquoNull-Lageldquo der Goniometer-Kreisscheibe bzw Winkellage der optischen Achse moumlglichst genau zu kennen Bei gleichzeitiger Beobachtung des Spaltbildes durch das Fernrohr betaumltigt man den Fein-trieb bis das Fadenkreuz genau in der Spaltmitte liegt Der zugehoumlrige Winkel wird mithilfe des Goniometers ausgemessen (s Abb 5) das mit zwei gegenuumlberliegenden Nonien versehen ist Man uumlberlege sich vorher in welcher Weise spaumlter das Prisma auf den Goniometertisch aufgesetzt wird und waumlhle fuumlr alle Winkelmessungen den entsprechend der zu erwartenden Lichtablenkung (s Abb 2) zweckmaumlszligigen Nonius aus Die Winkelmessung wird anhand eines Beispiels (s Abb 5) erlaumlutert Die Grobablesung wird am Vollkreis des Goniometers vorgenommen und die Lage der bdquoNullldquo des Nonius ermittelt Im gewaumlhlten Beispiel liefert das einen Wert von 165deg (die bdquoNullldquo liegt knapp unter 17deg) Fuumlr die Feinablesung wird auf dem Nonius (Teilung in Minuten) diejenige Marke aufgesucht der ein Strich auf dem Vollkreis genau gegenuumlber liegt Im Beispiel ist das fuumlr 24prime der Fall Als Ergebnis erhaumllt man fuumlr das Beispiel

deg=deg⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=deg=+deg=+deg= 916

605416541624301624516ϕ

Zur leichteren und genaueren Ablesung kann zusaumltzlich noch eine Lupe uumlber den Nonius ge-schwenkt werden (Scharfstellung durch Verschiebung des Lupentubus)

33

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

34

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

35

O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

46

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

O9 REFLEXION UND BRECHUNG

Abb 5 Winkelmessung am Goniometer

Kreisteilung (deg)

Bestimmung des brechenden Winkels Der brechende Winkel des Prismas laumlsst sich mit der Anordnung in Abb 6 sehr einfach bestimmen

Abb 6 Bestimmung des brechenden Winkels des Prismas

Wenn der Parallelstrahl aus dem Kollimator auf die brechende Kante des Prismas faumlllt kann man in den beiden Positionen 1 und 2 jeweils die streifende Reflexion eines Teilbuumlndels beo-bachten und die zugehoumlrigen Winkel φ1 und φ2 bestimmen Es ist dabei nicht notwendig genau in der Symmetrieachse des Prismas zu sein (Warum) Der brechende Winkel ε ist dann

2121 ϕϕε minussdot=

Fuumlr Aufgabe 1 muss die Lage der optischen Achse (bdquoNull-Lageldquo des Goniometers) bekannt sein Der entsprechende Winkel sei mit φ0 bezeichnet Das Prisma wird so wie in Abb 4 ge-zeigt auf den Prismentisch gestellt so dass das Parallelstrahlbuumlndel vollstaumlndig auf die Plan-flaumlche trifft und damit die verfuumlgbare Lichtintensitaumlt ausgenutzt wird (Kontrolle evtl mit ei-nem duumlnnen Papierstreifen) Welche minimalen Ablenkwinkel in etwa zu erwarten sind laumlsst sich anhand der Abb 3 ersehen - dementsprechend sollte das Prisma gedreht und das Fernrohr vorpositioniert werden Anschlieszligend wird durch das Fernrohr die gelbe Na- Doppellinie beo-bachtet waumlhrend der Prismentisch langsam mit der Hand in eine Richtung gedreht wird Man wird feststellen dass sich ab einer ganz bestimmten Winkelposition die Bewegungsrichtung der im Fernrohr abgebildeten Linie umkehrt ndash genau das ist die gesuchte Position des Prismas der man sich zweckmaumlszligig bdquoiterativldquo annaumlhert Mithilfe des Feintriebs fuumlr die Fern-rohr-Winkeleinstellung ist das Fadenkreuz danach wieder exakt auf den Spalt zu setzen und der zugehoumlrige Winkel φmin abzulesen Der Winkel der Minimalablenkung des Prismas ist dann 0minmin ϕϕδ minus=

165deg24prime

Nonius (prime)

1 2

34

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

35

O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

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E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

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• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

O9 REFLEXION UND BRECHUNG Fuumlr Aufgabe 2 beachte man die vorherigen Hinweise sinngemaumlszlig Gemaumlszlig der Abb 3 ist of-fensichtlich dass der gesuchte Einfallswinkel kleiner sein muss als der fuumlr die Minimalablen-kung des Prismas Man dreht das Prisma langsam in Richtung kleinerer Einfallswinkel und fuumlhrt das Fernrohr schrittweise nach um den abgelenkten Strahl zu verfolgen Bei einer ganz bestimmten Winkelstellung des Prismas bdquoverschwindetldquo der Strahl was im Fernrohr sehr gut zu beobachten ist (die vorher schon auftretende Verzerrung des Spaltbildes ist durch Abbil-dungsfehler des Fernrohrs bedingt) Die gefundene Winkelposition laumlsst sich auch per bdquoAugenmaszligldquo uumlberpruumlfen Wenn der Grenzwinkel der Totalreflexion fuumlr die Austrittsgrenz-flaumlche des Prismas erreicht ist sollte diese Flaumlche parallel zur optischen Achse des Fernrohrs liegen Der zugehoumlrige Einfallswinkel α1 laumlsst sich durch Positionierung des Fernrohres auf das an der Eintrittsflaumlche reflektierte Parallelstrahlbuumlndel ermitteln Dafuumlr beachte man die Hin-weise die fuumlr die Festlegung der optischen Achse gegeben wurden Die dabei gefundene Winkelposition sei φr Der Einfallswinkel α1 ergibt sich aus einfachen geometrischen Uumlberle-gungen (s Abb 7) zu

2180 0

1

ϕϕα

minusminusdeg= r

β1α1

φr

φ0

Abb 7 Bestimmung des Einfallswinkels Fuumlr Aufgabe 3 sind wenigstens 10 Wertepaare von Einfallswinkel α1 und Ablenkwinkel δ zu bestimmen Fuumlr die dazu erforderlichen Winkelmessungen (fuumlr jedes Wertepaar Aufsuchen des reflektierten und des abgelenkten Strahls mit dem Fadenkreuz im Fernrohr) sind oben bereits Hinweise gegeben worden Bei der vorzunehmenden Regression sind bis auf den Bre-chungsindex n alle Groumlszligen in Formel (5) bekannt Als sinnvollen Startwert der Iterationspro-zedur waumlhlt man sicherlich einen der beiden mit Aufgabe 1 oder 2 ermittelten Werte von n Als Ergebnis der Iteration erhaumllt man sowohl den Brechungsindex n als auch seine Unsicher-heit (Aufgabe 5) Sowohl die Messpunkte als auch das Ergebnis der Regression (ausglei-chende Funktion) sollen in einer gemeinsamen grafischen Darstellung praumlsentiert werden Fuumlr Aufgabe 4 ist bei den zur Bestimmung von n verwendeten Formeln genau zu untersu-chen welche Ausgangsgroumlszligen mit Unsicherheiten behaftet sind und anschlieszligend das Fort-pflanzungsgesetz zu verwenden

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O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

O5 POLARIMETRIE PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe Transversal- und Longitudinalwellen Polarisation von Transversalwellen Welle-Teilchen-Dualismus des Lichtes elektromagnetische Welle optische Aktivitaumlt Polarimeter Elektromagnetische Wellen (also auch Licht) sind Transversalwellen Zur Beschreibung be-zieht man sich uumlblicherweise auf das elektrische Feld E das senkrecht auf dem magnetischen Feld H und der Ausbreitungsrichtung bzw dem Wellenvektor steht (alle drei Vektoren ste-hen senkrecht aufeinander) Die durch die Schwingungsrichtung der elektrischen Feldstaumlrke und die Ausbreitungsrichtung der Welle aufgespannte Ebene heiszligt Schwingungsebene Polarisation ist eine Eigenschaft die die Richtung des Amplitudenvektors E beschreibt Die drei moumlglichen Arten von Polarisation werden durch Richtung und Betrag des E -Vektors in einem festen Raumpunkt beschrieben bull Bei linearer Polarisation zeigt der Vektor zeigt immer in eine feste Richtung die Auslen-

kung aumlndert bei Ausbreitung der Welle Betrag und Vorzeichen periodisch mit fester Ampli-tude

bull Bei zirkularer (drehender) Polarisation dreht sich der Vektor bei Ausbreitung der Welle mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Wellenvektor und aumlndert seinen Betrag dabei nicht

bull Bei elliptischer Polarisation rotiert der Vektor um den Wellenvektor und aumlndert dabei perio-disch den Betrag Die Projektion der Feldvektorspitze auf eine Ebene senkrecht zur Aus-breitungsrichtung beschreibt somit eine Ellipse

Natuumlrliches Licht weist aufgrund der Emissionsakte vieler einzelner Atome im statistischen Mittel alle Schwingungsebenen auf (Abb 1a) und ist unpolarisiert Linear polarisiertes Licht (Abb 1b) kann durch Absorption Reflexion Streuung und Doppelbrechung erzeugt werden Deshalb ist auch in der Natur teilpolarisiertes Licht zu beobachten So ist beispielsweise das Streulicht des blauen Himmels linear teilpolarisiert (Ursache Rayleigh-Streuung) Das an einer Wasseroberflaumlche reflektierte Licht ist ebenfalls teilweise linear polarisiert was von vielen Insekten zur Orientierung genutzt wird

Abb 1 Polarisation

Optisch aktive Stoffe (z B Quarz Zuckerloumlsung) besitzen die Eigenschaft beim Durchgang von linear polarisiertem Licht die Schwingungsebene zu drehen wobei je nach Stoff bzw Kristall- oder Molekuumllaufbau die Drehrichtung unterschiedlich sein kann Bei festen Stoffen ist der Drehwinkel α proportional zur durchstrahlten Schichtdicke d gemaumlszlig

dsdot= αα (1)Hier ist αrsquo das spezifische Drehvermoumlgen das allgemein von der Wellenlaumlnge des Lichtes der Temperatur und der Schnittlage im (optisch anisotropen) Kristall abhaumlngt Fuumlr Loumlsungen ist der Drehwinkel α proportional zur Schichtdicke d und zur Konzentration c der Loumlsung mit

36

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

46

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

O5 POLARIMETRIE

1000 cd sdotsdot

=αα (2)

wobei αo die spezifische Drehung ist Fuumlr diese spezifischen Groumlszligen sind oft noch vom SI abweichende Einheiten gebraumluchlich

Groumlszlige αrsquo α0

Einheit Gradmm Grad cm3g dm (wenn fuumlr d bdquodmldquo und fuumlr c bdquo3cm100

g ldquo gewaumlhlt wird)

Entsprechend der Drehrichtung fuumlr die Polarisationsebene unterscheidet man rechtsdrehende (Vorzeichen bdquo+ldquo) und linksdrehende (Vorzeichen bdquondashldquo) optisch aktive Stoffe Die optische Aktivitaumlt einer Substanz laumlsst sich mit einem Polarimeter (Abb 2) untersuchen mit der der Drehwinkel α direkt gemessen werden kann

P AFQ S

L

K d

Abb 2 Halbschattenpolarimeter nach Laurent

Das Licht einer Lichtquelle L wird durch einen Kollimator K zu einem Parallelstrahl gebuumln-delt und beim Durchgang durch einen Polarisator P linear polarisiert Im Strahlengang befin-det sich hinter dem Polarisator ein um die optische Achse mithilfe einer Winkelskale definiert drehbarer Analysator A der ebenfalls Licht linear polarisiert Die austretende Lichtintensitaumlt wird beobachtet meist durch ein einfaches Fernrohr F Sind die Schwingungsebenen von Polarisator und Analysator parallel so wird man maximale Intensitaumlt beobachten Bei ge-kreuzten (90deg) Schwingungsebenen duumlrfte dagegen im Idealfall kein Licht zu beobachten sein wegen der in Wirklichkeit unvollstaumlndigen linearen Polarisation stellt man ein Intensi-taumltsminimum fest Bringt man nun im letzten Fall eine optisch aktive Substanz S zwischen Polarisator und Analysator beobachtet man in Abhaumlngigkeit vom Drehwinkel eine Aufhel-lung die sich durch eine erneute Drehung des Analysators wieder kompensieren laumlsst Wegen der Wellenlaumlngenabhaumlngigkeit des Drehwinkels arbeitet man mit monochromatischem Licht In der Praxis zeigt sich dass es bei Beobachtung mit dem Auge nicht zweckmaumlszligig ist auf ein Intensitaumltsminimum abzustimmen Dagegen kann aber das menschliche Auge Intensitaumltsunterschiede benachbarter Objekte sehr gut wahrnehmen Diese Tatsache macht man sich im Halbschattenpolarimeter (nach Leon Laurent 1874) zunutze Im Parallelstrah-lengang befindet sich direkt nach dem Polarisator ein duumlnnes Quarzplaumlttchen Q (Quarz ist optisch aktiv) das in einem Teil des Gesichtsfeldes die Schwingungsebene geringfuumlgig dreht Deshalb erhaumllt man ein zwei- oder dreiteiliges Gesichtsfeld (je nach Anordnung des Quarz-plaumlttchens) das nur in bestimmten Stellungen eine homogene Helligkeit zeigt Bei einer klei-nen Verdrehung aus diesen Stellungen tauchen sofort scharfe Kanten auf die leicht zu erken-nen sind (s Abb 3)

Abb 3 Funktionsweise des Halbschattenpolarimeters

37

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

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• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

O5 POLARIMETRIE Die Pfeile in Abb 3 geben die Polarisationsrichtungen nach dem Polarisator bzw Quarzplaumltt-chen an der mit A bezeichnete graue Balken die Stellung des Analysators Abgelesen wird in der Stellung die in Teilbild d dargestellt ist (d h relativ dunkel keine Kanten) AUFGABEN 1 Messung des Drehwinkels an 4 Quarzplatten bekannter Dicke und Ermittlung des spezifi-

schen Drehvermoumlgens von Quarz gemaumlszlig Formel (1) aus der grafischen Darstellung α(d) bzw durch lineare Regression

2 Messung des Drehwinkels fuumlr verschiedene Zuckerloumlsungen bekannter Konzentration und Ermittlung der spezifischen Drehung entsprechend (2) aus der grafischen Darstellung bzw

linearen Regression von cd sdot

sdot100α uumlber cd sdot

3 Abschaumltzung der Messunsicherheit fuumlr den groumlszligten und den kleinsten Wert von und Eintragung in die grafische Darstellung aus Aufgabe 2

cd sdot

4 Bestimmung der Messunsicherheiten fuumlr die in Aufgabe 1 und 2 ermittelten spezifischen Drehungen

VERSUCHSHINWEISE Alle Messungen werden bei Raumtemperatur mit einer Na-Spektrallampe durchgefuumlhrt die hauptsaumlchlich gelbes sichtbares Licht emittiert das man als nahezu monochromatisch an-nimmt (Na-Dublett mit mittlerer Wellenlaumlnge von λ = 5893 nm) Vor Beginn des Versuches wird mit Hilfe der geraumlndelten Okularhuumllse auf die Trennlinien im Gesichtsfeld scharf einge-stellt Vor und nach jeder Messung erfolgt die Nullpunktbestimmung (ohne Messprobe) Beim Drehen des Analysators zeigen die zwei aumluszligeren Bereiche immer die gleiche Veraumlnde-rung der Helligkeit waumlhrend der mittlere Bereich sich in entgegengesetzter Richtung aumlndert Die Einstellung des Analysators erfolgt stets so dass alle drei Bereiche gleiche Helligkeit haben also die Trennlinien zwischen den Bereichen nicht mehr sichtbar sind Die Einstellung auf gleiche Helligkeit der Bereiche ist in zwei um 90deg gegeneinander verschobenen Einstel-lungen moumlglich In der helleren Einstellung ist die Empfindlichkeit sehr gering (Teilbild b in Abb 3) In der dunkleren Einstellung aumlndert sich die Helligkeit der Bereiche rasch in entge-gengesetztem Sinne (Teilbild d in Abb 3) deshalb wird sie fuumlr die Messung benutzt Fuumlr Quarz ist eine spezifische Drehung von -217degmm zu erwarten Zu Vergleichszwecken wird hier noch eine Tabelle fuumlr spezifische Drehwinkel verschiedener Zuckerarten angege-ben

Zuckerart αrsquo (degm) Saccharose +665 Glucose +520 Fructose -920 Glucose-Fructose-Gemisch -200

Der angegebene Drehwinkel bezieht sich jeweils auf Loumlsungen der Konzentration 1 gml Versuchen Sie hier Ihr bei Aufgabe 2 erzieltes Ergebnis einzuordnen

38

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung Gleichspannung Wechsel-spannung Frequenz Amplitude Phase Effektivwert Spitzenwert Oszilloskop Multimeter Auch im Praktikum werden bei vielen Versuchen sowohl Multimeter als auch Oszilloskope zur Messung elektrischer Groumlszligen eingesetzt Bei diesem Versuch soll vor allem der dafuumlr vor-ausgesetzte sachgerechte und zweckmaumlszligige Umgang mit diesen elektrischen Messmitteln er-lernt werden wobei wir uns hier auf Wechselspannungsmessungen beschraumlnken wollen Als Wechselspannung bezeichnet man im Gegensatz zur zeitlich konstanten Gleichspannung eine elektrische Spannung die sich zeitlich periodisch aumlndert Je nach dem zeitlichen Verlauf von U(t) kann man verschiedene Formen unterscheiden von denen Sinus Rechteck Dreieck und Saumlgezahn die sicherlich gelaumlufigsten und begrifflich selbsterklaumlrend sind Eine sinusfoumlr-mige Wechselspannung laumlsst sich ganz allgemein beschreiben mit der Funktion

( )ϕω +sdotsdot= tUtU S sin)( (1)Hier ist US die sog Spitzenspannung φ die Phase und ω die Kreisfrequenz Fuumlr die Kreisfre-quenz kann man die Beziehung

Tf ππω sdot=sdotsdot=

22 (2)

mit der Frequenz f und der Periodendauer T aufstellen Das in Europa uumlbliche Wechselspan-nungsnetz hat eine Frequenz f = 50 Hz damit eine Periodendauer von T = 20 ms und eine Kreisfrequenz von ω asymp 314 s-1

Zeit t

Span

nung

U (r

el E

inh

)

S

f

S

T

Abb 1 Sinusfoumlrmige Wechselspannun Die eben eingefuumlhrte Spitzenspannung ist weniger gebWechselspannung praktisch bevorzugt man den Effektivw

intsdot=T

eff dttUT

U0

2 )(1

Im Englischen wird fuumlr den Effektivwert die AbkuumlrzunSquare (svw Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrates)(3) entspricht Alternativ kann der Effektivwert einer Wecuumlber den Gleichspannungswert der in einem Ohmsche(Joulesche Waumlrme) erzeugt wie die zeitlich gemittelte We

39

US

U

Uef

g mit Kenngroumlszligen

raumluchlich zur Kennzeichnung einer ert der wie folgt definiert wird

(3)

g RMS gebraucht was Root Mean bedeutet und genau der Beziehung hselspannung auch definiert werden n Widerstand die gleiche Leistung chselspannung

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN Fuumlr den Fall einer sinusfoumlrmigen Wechselspannung gemaumlszlig (1) ist die Integration in (2) recht einfach und liefert die Beziehung

Seff UU sdot=2

1 (4)

Der Proportionalitaumltsfaktor zwischen US und Ueff wird auch als Scheitel- oder Crest-Faktor bezeichnet der (nur) fuumlr sinusfoumlrmige Wechselspannungen 2 betraumlgt Im bei uns gebraumluch-lichen Wechselspannungsnetz mit Ueff = 230 V Effektivwert (Kennzeichnung 230 V~) be-deutet das dass ein Spitzenwert von US asymp 325 V auftritt Die Spitze-Spitze-Spannung ist defi-niert uumlber und beschreibt die Differenz zwischen positivem und negativem Spitzenwert innerhalb einer Periodendauer

SSS UU sdot= 2

Eine Wechselspannung kann mit Bauelementen (zB Kondensatoren Spulen Widerstaumlnden) verbunden bzw in Bauelementegruppen (zB Verstaumlrker) am Eingang eingespeist werden Man wird am Ausgang der Schaltung eine Spannung messen die sich vom Eingangssignal zB in der Amplitude und in der Phase unterscheiden kann Als Beispiel moumlge Abb 2 genuuml-gen wo links ein einfacher Spannungsteiler gezeigt ist Zur Betrachtung von haumlufig recht komplexen Schaltungen bedient man sich oft des Vierpolmodells (Spannung und Strom auf der Eingangsseite Spannung und Strom auf der Ausgangsseite)

ZUein Uaus

Abb 2 Elektrischer Vierpol (links einfacher Spannungsteiler rechts generalisiert) Sofern der Vierpol nur aus passiven (nicht verstaumlrkenden) Bauelementen wie Widerstaumlnden Kondensatoren und Spulen aufgebaut ist wird er als passiver Vierpol bezeichnet Als prakti-sches Beispiel soll ein Hochpass-Filter (s Abb 3) betrachtet werden

Abb 3 Passiver Hochpassfilter

C R

Im Versuch bdquoE4 Wechselstromwiderstaumlndeldquo werden wir spaumlter lernen dass der komplexe Widerstand eines Kondensators der Kapazitaumlt C durch

CiZC sdotsdot

=ω1 (5)

beschrieben wird wobei 1minus=i die imaginaumlre Einheit ist Es sei hervorgehoben dass dieser Widerstand frequenzabhaumlngig ist In voumllliger Analogie zu einem Spannungsteiler aus (rein reellen) Ohmschen Widerstaumlnden laumlsst sich die Schaltung in Abb 3 als komplexer und fre-quenzabhaumlngiger Spannungsteiler betrachten indem man folgerichtig die Kirchhoffschen Regeln (Knotensatz fuumlr Wechselstroumlme Maschensatz fuumlr Wechselspannungen) anwendet Man erhaumllt das Ergebnis

einaus UCRi

CRiU sdotsdotsdotsdot+

sdotsdotsdot=

ωω

1 (6)

Ganz offensichtlich zeigt die Schaltung ein frequenzabhaumlngiges Verhalten Man sieht leicht dass und ist fuumlr zunehmende Frequenz der Wechselspannung

wird die Schaltung bdquodurchlaumlssigerldquo (daher die Bezeichnung als Hochpass) Fuumlr hinreichend

0lim0

=rarr ausU

ω einaus UU =infinrarrω

lim

40

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

42

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

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• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN

kleine Frequenzen CR sdot

ltlt1ω ist 1ltltsdotsdotsdot CRi ω so dass einaus UCRiU sdotsdotsdotsdotasymp ω gilt Das

Ausgangssignal ist also in diesem Bereich (betragsmaumlszligig) proportional zur Frequenz ω was nach den Grenzwertbetrachtungen nicht uumlberrascht Was bedeutet nun aber der imaginaumlre Faktor Bei der spaumlteren genauen Betrachtung zeigt sich dass eine Multiplikation mit der imaginaumlren Einheit i einer Phasenverschiebung um 90deg entspricht Demnach fuumlhrt die Schal-tung auch zu einer Phasenverschiebung zwischen Ausgangs- und Eingangswechselspannung Die Beziehung (6) laumlsst sich umformen in die (komplexe) Uumlbertragungsfunktion

( )( ) ( )ωϕω ω

ω

ω sdot⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sdotsdotsdot

sdot=sdotsdotsdot+

sdotsdot= iCR

i

ein

aus eHeCR

CRUU 1arctan

21 (7)

Dabei wird H(ω) als Amplitudenfunktion (Amplitudenfrequenzgang) und φ(ω) als Phasen-funktion (Phasenfrequenzgang) bezeichnet Zweckmaumlszligig verwendet man die Spannungsver-staumlrkung bzw -daumlmpfung die mit

ein

ausU U

UV lg20 sdot= (5)

und der zugehoumlrigen Einheit dB (Dezibel zehnter Teil eines Bel benannt nach Alexander Graham Bell)) definiert wird (Ein Verstaumlrker der ein Eingangsspannungssignal auf das Zehnfache verstaumlrkt hat also zB eine Verstaumlrkung von VU = 20 dB) In Abb 4 sind Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters gemeinsam ge-zeigt man bezeichnet die gewaumlhlte Darstellung mit logarithmischer Frequenzachse und in dB geteilter (deshalb ebenfalls logarithmischer) Amplitudenskale auch als Bode-Diagramme (nach Hendrik Wade Bode)

10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Span

nung

sdaumlm

pung

VU (d

B)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC10-3 10-2 10-1 100 101 102 1030

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Phas

e ϕ

(deg)

Normierte Frequenz ωmiddotRmiddotC

Abb 4 Amplituden- und Phasenfrequenzgang eines Hochpass-Filters

In der Darstellung laumlsst sich jeweils ein charakteristischer Punkt ausmachen Fuumlr die Frequenz

CRg sdot=

1ω bzw CR

fg sdotsdot=

π21 (8)

die als (untere) Grenzfrequenz bezeichnet wird erreicht die Daumlmpfung -3 dB bzw 707021 asymp und die Phasenverschiebung 45deg Fuumlr Frequenzen ω ltlt ωg gilt VU ~ ω mit

einem Anstieg von 20 dBDekade bzw 6 dBOktave Im Versuch sollen mithilfe eines Digitalmultimeters und eines Oszilloskops zunaumlchst die wichtigsten Kenngroumlszligen von Wechselspannungen bestimmt und danach das Verhalten eines RC-Hochpass-Filters untersucht werden

41

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

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E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

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• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN AUFGABEN 1 Direkte Messung von Effektivwert Ueff und Frequenz f einer am Signalgenerator fest

eingestellten sinusfoumlrmigen Wechselspannung mit einem Digitalmultimeter und Ermitte-lung ihrer Messunsicherheiten

2 Untersuchung derselben () Wechselspannung mit einem Oszilloskop Bestimmung von Periode T und Spitze-Spitze-Spannung USS anhand von Oszillogrammen anschlieszligend Be-rechnung von Frequenz f mit Formel (2) und Effektivwert Ueff mit Formel (4) und ihrer jeweiligen Messunsicherheiten

3 Vergleich der Ergebnisse von Aufgabe 1 und 2 4 Uumlberpruumlfung der Grenzfrequenz des Digitalmultimeters fuumlr Wechselspannungsmessungen

durch direkten Vergleich mit Oszillogrammen 5 Untersuchung des frequenzabhaumlngigen Verhaltens eines RC-Hochpass-Filters und Darstel-

lung der Messergebnisse fuumlr die Uumlbertragungsfunktion in Form von Bode-Diagrammen fuumlr VU(f) und φ(f)

6 Bestimmung der unteren Grenzfrequenz fg des Hochpass-Filters und Uumlberpruumlfung des Ergebnisses mit Formel (8)

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere die korrekten Einstellungen am Oszilloskop (s auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort) Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektri-scher bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen ndash nur keine Scheu Denken Sie unbedingt daran jede Schaltung vor Inbetriebnahme (dh Ein- bzw Zuschalten des Sinussignalgenerators) durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen Fuumlr Aufgabe 1 und 2 ist die in Abb 5 gezeigte Schaltung zu verwenden Fuumlr die vorzuneh-mende Messung waumlhle man eine Frequenz von einigen 100 Hz Zur Auswertung der Oszil-logramme beachte man insbesondere Abb 1 Man uumlberlege sich wie man am guumlnstigsten die Signalperiode ermittelt

CH I CH II

Abb 5 Messung von Wechselspannungen

asymp

VHz

Fuumlr Aufgabe 4 ist ebenfalls diese Schaltung einzusetzen Die Frequenz des Sinussignals wird allmaumlhlich erhoumlht und dabei sowohl das Oszillogramm als auch die Wechselspannungs-anzeige des Multimeters beobachtet Was stellen Sie fest Bestimmen Sie die Frequenz f bei der die Anzeige des Multimeters um -3 dB abfaumlllt und ver-gleichen Sie dieses Ergebnis mit der Angabe in der Platzanleitung Fuumlr Aufgabe 5 und 6 sind Widerstandswert des Dekadenwiderstandes und Kapazitaumlt des Kondensators mit dem Digitalmultimeter zu uumlberpruumlfen anschlieszligend ist die Schaltung nach Abb 6 aufzubauen Achten Sie dabei unbedingt darauf dass das Oszilloskop auf das Gene-ratorsignal synchronisiert wird (Warum) Fuumlr die Messung ist die Frequenz des Generators

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E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

47

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

48

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN zu variieren und dabei das Ausgangssignal des Filters bezuumlglich Amplitude und Phasenlage zu untersuchen

Abb 6 Messung am Hochpass-Filter

Zur Bestimmung der Phasenverschiebung zwischen beiden Wechselspannungen kann man entsprechend wie in Abb 7 vorgehen Man bestimmt aus dem Oszillogramm die Halbperiodendauer Tfrac12 und die zeitliche Verschie-bung tD zwischen beiden Spannungsverlaumlufen dazu nimmt man sinnvollerweise die bdquoNull-Linieldquo zu Hilfe Die Phasenverschiebung ergibt sich daraus ganz einfach mit

degsdot= 180frac12T

tDϕ

Abb 7 Messung der Phasenverschiebung mithilfe des Oszillogramms (schematisch)

asymp

CH I CH II

VHz

100 nF

10 kΩ

tD

Tfrac12

43

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

44

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

45

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

46

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

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• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN Wichtige physikalische Grundbegriffe elektrische Spannung und Stromstaumlrke Gleichspan-nung Spannungsquelle Leerlaufspannung Klemmspannung Kurzschluss Ohmsches Gesetz Kirchhoffsche Regeln (Maschensatz Knotensatz) Spannungsteiler Unter einer (technischen) Spannungsquelle versteht man eine elektrische Energiequelle die fuumlr einen Verbraucher eine elektrische Stromstaumlrke bei zeitlich konstanter (Gleichspannungs-quelle) oder zeitlich periodischer Spannung (Wechselspannungsquelle) liefern kann In die-sem Versuch soll die Betrachtung auf Gleichspannungsquellen wie chemische Batterien Akkumulatoren Gleichspannungsnetzteile uauml beschraumlnkt werden Das ia lastabhaumlngige Verhalten einer derartigen Spannungsquelle wird durch ihre Kennlinie beschrieben dh durch die grafische Darstellung der von ihr abgegebenen Ausgangs- bzw Klemmenspannung UK in Abhaumlngigkeit vom entnommenen Laststrom IL (s Abb 1)

00

Laststrom IL

Kle

mm

ensp

annu

ng U

K

ideal nichtlinear

linear

Abb 1 Kennlinien von Gleichspannungsquellen

Nur eine ideale Spannungsquelle liefert eine laststromunabhaumlngige bzw konstante Klemmen-spannung (deshalb oft als Konstantspannungsquelle bezeichnet) theoretisch waumlre der Last-strom unbegrenzt Reale Spannungsquellen geben aber stets eine Klemmenspannung ab die mit zunehmendem Laststrom monoton faumlllt Der charakteristische Verlauf kann dabei linear oder nichtlinear sein Im houmlchsten Punkt der Kennlinie bei IL = 0 wird die Leerlaufspannung U0 erreicht Ein nicht-lineares Verhalten beobachtet man praktisch bei elektronisch geregelten Netzteilen bis zu einem bestimmten Laststrom faumlllt die Klemmenspannung kaum ab (Regelverhalten fuumlr Kon-stanthaltung der Spannung) danach bricht sie sehr schnell zusammen (einsetzende Strombe-grenzung als bdquoelektronische Sicherungldquo erfordert relativ komplexe elektronische Schaltun-gen) Bei allen realen Spannungsquellen kann die entnommene Stromstaumlrke einen bestimmten Maximalwert IK nicht uumlberschreiten der bei UK = 0 erreicht und als Kurzschlussstrom be-zeichnet wird Eine direkte Messung des Kurzschlussstromes ist praktisch meist unmoumlglich da dadurch die Spannungsquelle mit Sicherheit uumlberlastet wird (Explosionsgefahr bei Akku-mulatoren uauml) Lineares Verhalten einer realen Gleichspannungsquelle laumlsst sich mithilfe eines einfachen Ersatzschaltbildes beschreiben wie in Abb 2 gezeigt Zu einer idealen Spannungsquelle mit der Spannung U0 wird ein Widerstand Ri (Innenwiderstand der realen Spannungsquelle) in

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

20

max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

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• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
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• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Reihe geschaltet Wird diese Schaltung durch einen elektrischen Verbraucher mit dem Last-widerstand RL belastet ergibt sich fuumlr die Klemmenspannung die Beziehung

iLK RIUU sdotminus= 0 (1)

ILIL Ri

UKU0 RL

Abb 2 Ersatzschaltbild einer linearen Spannungsquelle

Hinweis Das Schaltzeichen gemaumlszlig DIN EN 60617-2 fuumlr eine ideale Gleichspannungs-quelle mit der elektrischen Spannung U ist hier rechts gezeigt Bei einem passi-ven Bauteil bzw Verbraucher soll sich gemaumlszlig DIN EN 60375 die Bezugsrichtung des Stromes immer auf die Polaritaumlt der Spannung beziehen

Formel (1) ergibt sich aus der Anwendung des Ohmschen Gesetzes und der Kirchhoffschen Regeln (Maschensatz fuumlr die Teilspannungen) fuumlr die Schaltung in Abb 2 Schaltungstech-nisch liegt ein Spannungsteiler vor die Spannung U0 wird entsprechend dem Verhaumlltnis von RL zu RL+Ri geteilt Die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle ist gemaumlszlig (1) umso weniger vom flieszligenden Laststrom abhaumlngig je geringer ihr Innenwiderstand ist (Die ideale Spannungs-quelle enthaumllt keinen Innenwiderstand Ri = 0) Die maximale Stromstaumlrke die eine reale Spannungsquelle abgeben kann ist umso houmlher je kleiner ihr Innenwiderstand ist Der Kurz-schlussstrom betraumlgt

iK R

UI 0= (2)

Anwendungstechnisch betrachtet ist ein moumlglichst geringer Innenwiderstand fuumlr Spannungs-quellen vor allem aus folgenden Gruumlnden von Vorteil bull geringe Aumlnderung der Klemmenspannung bei wechselndem Laststrom bull hoher maximal lieferbarer Strom und bull hoher Wirkungsgrad (geringe Verlustleistung maximale Leistung am Verbraucher)

So hat zB eine Autobatterie (Akkumulatorenbatterie) einen extrem geringen Innenwider-stand da sie fuumlr den Anlasser beim Start einen groszligen Strom liefern muss Um ein Maximum elektrischer Leistung LKL IUP sdot= an einen Verbraucher abgeben zu koumln-nen muss der Lastwiderstand RL eine ganz bestimmte Groumlszlige haben Man spricht in diesem Fall von Leistungsanpassung Dafuumlr gilt die Bedingung iL RR = und fuumlr die maximale elektri-sche Leistung erhaumllt man

iRUP

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max = (3)

Zur Speisung komplexer elektrischerelektronischer Schaltungen mit entsprechenden Betriebsspannungen sind verschiedene Spannungsversorgungen erforderlich die nach Polari-taumlt und Symmetrie in Bezug auf einen Referenzpunkt unterschieden werden

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Unipolare Spannungsversorgung Eine Gleichspannungsquelle hat die zwei Anschluumlsse bdquo+ldquo (Plus) und bdquo-ldquo (Minus) Dabei wird haumlufig einer der Anschluumlsse zum allgemeinen Bezugspotential erklaumlrt bzw als Massepotential bezeichnet das zusaumltzlich geerdet sein kann Da somit in der Schaltung nur eine Polaritaumlt in Bezug auf Masse vorliegt spricht man von unipolarer Spannungsversorgung Bei Verwen-dung mehrerer Spannungsquellen in einer Schaltung muss auf durchgaumlngiges Massepotential geachtet werden (nur ein Punkt bzw eine Schiene wird geerdet) Bipolare (asymmetrische und symmetrische) Spannungsversorgung Bei bipolarer Spannungsversorgung werden gleichzeitig positive und negative Spannungen bezogen auf ein gemeinsames Massepotential bereitgestellt Sind beide Spannungen bei bi-polarer Speisung verschieden liegt asymmetrische Versorgung vor Sind dagegen die positive und negative Spannung gleich groszlig so handelt es sich um eine symmetrische Spannungs-versorgung Praktische Anwendung Als Beispiel fuumlr eine technisch sehr wichtige bipolare Spannungs-versorgung seien hier PC-Netzteile genannt Sie muumlssen entspre-chend den derzeit geltenden Standards mindestens folgende Aus-gangsspannungen (bezogen auf Masse) zur Verfuumlgung stellen +12 V +5 V +33 V -12 V +5 V (als sog Standby-Spannung) Die standardisierte ATX-Steckerbelegung ist rechts gezeigt Nach dem neuesten ATX 22-Standard (svw Advanced Technology Extended) muumlssen nunmehr mindestens zwei +12 V-Schienen vor-handen sein Da diese Spannungswerte nur geringe zulaumlssige Tole-ranzen haben (plusmn5 bzw plusmn10) und teilweise sehr hohe Stroumlme (bis zu 18 A) bereitgestellt werden muumlssen sind PC-Netzteile sehr leistungsfaumlhige elektronisch stabilisierte und geregelte Konstant-spannungsnetzteile Scheinbar unerklaumlrliche bdquoAbstuumlrzeldquo von PC bei hoher Systemlast haben nicht selten ihre Ursache in zu bdquoschwachldquo dimensionierten Netzteilen AUFGABEN 1 Untersuchung des Verhaltens einer realen Gleichspannungsquelle durch Messung von

Wertepaaren zur Aufnahme der Last-Kennlinie UK(IL) 2 Bestimmung von Innenwiderstand Ri und Leerlaufspannung U0 der Spannungsquelle durch

lineare Regression gemaumlszlig Formel (1) mit Ermittlung der Unsicherheiten fuumlr beide Kenn-groumlszligen

3 Gemeinsame grafische Darstellung der Messpunkte von Aufgabe 1 (mit Einzeichnung der bdquoFehlerbalkenldquo fuumlr Stroumlme und Spannungen) und der Regressionsgeraden von Aufgabe 2

4 Berechnung des Kurzschlussstromes IK der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (2) und Bestimmung seiner Unsicherheit

5 Berechnung des maximalen Leistung Pmax der Spannungsquelle gemaumlszlig Formel (3) und Bestimmung ihrer Unsicherheit

VERSUCHSHINWEISE Zur sicheren Handhabung der Messgeraumlte und zur Bestimmung der Messunsicherheiten lesen Sie bitte unbedingt in der vorhandenen Platzanleitung nach beachten Sie insbesondere auch Hinweise durch den Assistenten vor Ort Benutzen Sie diese Gelegenheit sich in der Praxis sehr eingehend mit dem Gebrauch elektrischer bzw elektronischer Messgeraumlte vertraut zu machen Denken Sie auch daran jede Schaltung vor der tatsaumlchlichen Inbetriebnahme durch den Versuchsbetreuer uumlberpruumlfen zu lassen

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E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

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• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN Als Gleichspannungsquelle wird in diesem Versuch ein Primaumlrelement verwendet dessen realer und sehr kleiner Innenwiderstand (in der Groumlszligenordnung von 05 Ω) durch einen fest eingebauten Widerstand absichtlich erhoumlht wurde Ohne diese Maszlignahme wuumlrden relativ groszlige Stroumlme bei der Messung auftreten die einerseits das Primaumlrelement schnell bdquoverbrau-chenldquo und andererseits einen hochbelastbaren Lastwiderstand erfordern Fuumlr die Messung ist die Schaltung gemaumlszlig Abb 3 aufzubauen Zur Messung des Laststromes wird ein Amperemeter eingesetzt waumlhrend die Klemmenspannung mit einem (hochohmigen) Digitalvoltmeter gemessen wird Diese Schaltung erlaubt eine bdquospannungsrichtige Messungldquo wegen des sehr hohen Innenwiderstandes (gt 75 MΩ) des Voltmeters ist der Fehler der Strommessung praktisch zu vernachlaumlssigen (Im regulaumlren Versuch bdquoE7 Kompensa-tionsmethodeldquo wird ein Verfahren benutzt das diese Fehlerquelle grundsaumltzlich ver-meidet) Mit dem Taster bzw Schalter in Abb 3 wird gewaumlhrleistet dass die Span-nungsquelle nur waumlhrend der eigentlichen Messung belastet wird

A

Abb 3 Schaltung zur Messung der Last-Kennlinie einer Spannungsquelle

Fuumlr Aufgabe 1 belastet man das Trockenelement in Schritten von 005 mA im Bereich von 0 bis 07 mA mit dem variablen Widerstand RL und bestimmt die zugehoumlrige Klemmenspan-nung UK (Aufnahme der Wertetabelle) Fuumlr Aufgabe 2 ist eine lineare Regression mit dazu geeigneter Software auszufuumlhren die beide Parameter (Innenwiderstand Ri aus dem Anstieg Leerlaufspannung U0 aus dem Ach-senabschnitt) einschlieszliglich ihrer Unsicherheiten liefert Man uumlberlege sich dabei genau ob und wie eine Gewichtung der einzelnen Datenpunkte fuumlr die Regression vorzunehmen ist Bei Aufgabe 3 sollen zusaumltzlich aus der Darstellung selbst die beiden Parameter Ri und U0 auch grafisch bestimmt und mit dem Ergebnis von Aufgabe 2 auf bdquoinnere Konsistenzldquo uumlber-pruumlft werden Fuumlr Aufgabe 4 und 5 sind wie angegeben die zugehoumlrigen Formeln (2) und (3) zu verwen-den Die einzusetzenden Groumlszligen Ri und U0 sind jeweils mit Unsicherheiten behaftet Es muss daher das Fortpflanzungsgesetz angewendet werden um die Unsicherheiten fuumlr die mittelbar bestimmten Groumlszligen zu ermitteln

VRLRi

U0

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN GRUNDLAGEN Wichtige Grundbegriffe Messabweichungen und ndashunsicherheiten Mittel- bzw Erwartungs-wert Standardabweichung Vertrauensbereich Fortpflanzung von Messunsicherheiten gewo-genes Mittel Regressionsrechnung (lineare und nichtlineare Regression) Gewichtung Bei diesem bdquoVersuchldquo werden keine eige-nen Messwerte in einem realen physikali-schen Experiment ermittelt Ziel und Inhalt ist es vielmehr die zur sachgerechten Aus-wertung von Messdaten und Praumlsentation erzielter Ergebnisse notwendigen Algorith-men bzw Prozeduren zu uumlben und dabei gezielt die Moumlglichkeiten moderner Hard- und Software im PC-Pool zu nutzen Mit einem einfachen Experiment bei dem eine Stahlkugel eine bestimmte Strecke frei faumlllt sollte das zugehoumlrige Weg-Zeit-Gesetz verifiziert und die Fallbeschleunigung g (einschlieszliglich ihrer Messunsicherheit) ermittelt werden Der zugehoumlrige Messauf-bau ist in Abb 1 gezeigt

Abb 1 Versuchsanordnung (schematisch)

Mithilfe eines einfachen Holzmaszligstabs konnten die Houmlhen auf plusmn1 mm genau gemessen wer-den Die Zeitintervallmessung erfolgte durch eine elektronische Messuhr auf 100 micros genau und wurde durch eine zeitsynchrone Ausloumlsung von bdquoStartldquo bzw bdquoStoppldquo zu Beginn und Ende des freien Falls gewaumlhrleistet Die Stahlkugel K wurde durch einen Elektromagneten E auf der Houmlhe ho gehalten bei Ausloumlsung wurde der Elektromagnet stromlos und die Kugel durchfiel im freien Fall die Houmlhendifferenz uo hhh minus= Auf der Houmlhe hu (die mit 10 cm gemessen wurde) traf sie auf einen Kontakt S der beim Aufprall geschlossen wurde und die elektronische Messuhr anhielt Im ersten Teilversuch wurden fuumlr die beiden Starthoumlhen ho von 35 cm und 90 cm die Fall-zeiten jeweils mehrfach gemessen und sind in der folgenden Tabelle aufgefuumlhrt

Starthoumlhe ho= 35 cm ho= 90 cm

Nr Fallzeit t (s)

Fallzeit t (s)

1 02274 04044 2 02276 04046 3 02277 04047 4 02275 04041 5 02278 04050 6 02279 04045 7 02277 04045 8 02277 04048 9 02279 04050 10 02277 04045

Das Weg-Zeit-Gesetz 002

2)( stvtats +sdot+sdot= liefert im hier betrachteten Spezialfall wegen

und die einfache Beziehung ga = 00 =v 00 =s uo hhs minus=

22t

hhg uo minussdot= (1)

00000 sSTART

STOPP

ho

hu

K

E

S

Holz- maszligstab

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

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F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN fuumlr die Fallbeschleunigung die als bdquoMessvorschriftldquo des Versuches diente Im zweiten Teil sollen erhaltene Versuchsdaten grafisch sachgerecht praumlsentiert und durch eine Regression eingehend untersucht werden Mit demselben Versuchsaufbau wie in Abb 1 wurden in einer weiteren zusaumltzlichen Versuchsreihe die Fallzeiten t fuumlr verschiedene Start-houmlhen ho jeweils nur einmal gemessen Dafuumlr liegt die nachfolgende Wertetabelle vor

Starthoumlhe ho (cm)

Fallzeit t (s)

20 01430 25 01746 30 02021 35 02275 40 02473 45 02671 50 02858 55 03027 60 03195 65 03347 70 03501 75 03638 80 03780 85 03911 90 04042

AUFGABEN ZUM 1 TEIL 1 Es ist fuumlr die ersten beiden Versuchsreihen der zugehoumlrige Fallweg einschlieszlig-

lich seiner Unsicherheit zu bestimmen uo hhh minus=

2 Fuumlr beide Starthoumlhen sind aus den Versuchsreihen Mittelwert Standardabweichung und Vertrauensbereich fuumlr die jeweilige Fallzeit t zu ermitteln

3 Aus beiden Versuchsreihen ist mithilfe der Formel (1) jeweils die Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit aus dem Fortpflanzungsgesetz zu bestimmen

4 Sofern moumlglich ist fuumlr die Fallbeschleunigung ein gewogenes Mittel (mit Unsicherheit) zu ermitteln

5 Beide Ergebnisse fuumlr die Fallbeschleunigung sind bezuumlglich des Zahlenwertes und der Unsicherheit miteinander und mit dem Literaturwert zu vergleichen

6 Die erzielten Ergebnisse sind hinsichtlich der aufgetretenen Ursachen fuumlr eventuelle Mess-abweichungen bzw ndashunsicherheiten fuumlr die Fallbeschleunigung g zu diskutieren Daraus sind gegebenenfalls entsprechende Schlussfolgerungen fuumlr das Messverfahren und seine Grenzen bzw moumlgliche Verbesserungen abzuleiten und zu begruumlnden

HINWEISE ZUM 1 TEIL Fuumlr die Auswertung experimenteller Daten sind fast immer sich wiederholende mathemati-sche Operationen und komplexere Berechnungen erforderlich Obwohl dafuumlr natuumlrlich auch Taschenrechner geeignet sind erweist sich schon bei kleineren Datenmengen eine Software als wesentlich effizientere und elegantere Loumlsung Eine Tabellenkalkulation ist fuumlr die interaktive Eingabe Verarbeitung und grafische Darstel-lung insbesondere von numerischen Daten vorgesehen Praktisch ist ein Teil der Programm-oberflaumlche (auf dem Bildschirm) in tabellarischer Form mit Zeilen und Spalten eingeteilt (bezeichnet als Arbeitsblatt Worksheet Spreadsheet etc) Jede Zelle in der Tabelle kann eine Konstante oder eine Formel enthalten Fuumlr haumlufig verwendete Formeln stehen meist umfang-

49

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

50

• VORBEMERKUNG
• INHALTSVERZEICHNIS
• MOTIVATION UND ZIELE
• ORDNUNG UND SICHERHEIT
• LITERATUR
• F1 FEHLERVERTEILUNG
• F2 VOLUMENMESSUNG
• F3 FADENPENDEL
• F4 BESTIMMUNG VON FEDERKONSTANTEN
• F5 DICHTE FESTER KOumlRPER
• T1 WAumlRMEKAPAZITAumlT EINES KALORIMETERS
• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
• O9 REFLEXION UND BRECHUNG
• O5 POLARIMETRIE
• E6 WECHSELSPANNUNGSMESSUNGEN
• E8 REALE GLEICHSPANNUNGSQUELLEN
• F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN

F0 AUSWERTUNG UND PRAumlSENTATION VON MESSDATEN reiche Funktionsbibliotheken zur Verfuumlgung Formeln koumlnnen als Funktionsargumente auf Werte aus anderen Zellen referenzieren das Resultat kann unmittelbar angezeigt werden Es gibt neben kommerziellen Loumlsungen genuumlgend Freeware wie zB Calc in OpenOffice auch auf unterschiedlichen Betriebssystem-Plattformen Neben einfachen Berechnungen sind meist auch komplexere Formeln verwendbar und es steht oft eine umfangreiche Funktions-bibliothek zur Verfuumlgung Mindestens Mittelwert und Standardabweichung sind in den gaumlngigen Statistikfunktionen enthalten (zB bei MS-Excelcopy als MITTELWERT STABW bzw STABWA) Sehen Sie sich dabei stets die Funktionsdefinition genau an und vergleichen Sie mit der im Einfuumlhrungsskript enthaltenen Definition AUFGABEN ZUM 2 TEIL 7 Fuumlr die dritte Messreihe ist das Weg-Zeit-Gesetz also die Abhaumlngigkeit s(t) grafisch

darzustellen Sofern moumlglich und sinnvoll sind dabei auch bdquoFehlerkreuzeldquo fuumlr die mit Unsicherheiten behafteten Groumlszligen mit einzutragen Denkbar sind hier zwei Darstellungs-arten fuumlr die Abhaumlngigkeit s(t) beide Achsen entweder in linearer oder in logarithmischer Skalierung Erzeugen Sie diese Darstellungsarten und beurteilen Sie beide hinsichtlich ihrer Aussagekraft bzw Zweckmaumlszligigkeit

8 Es ist eine Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen Der

einfachste Ansatz besteht in einer Linearisierung mithilfe von 2212 )( tgts sdotsdot= und dem

Einsatz der linearen Regression fuumlr den Spezialfall xaxy sdot=)( Es ist dabei zu uumlber-legen ob und wie eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte zu erfolgen hat Aus dem ermittelten Anstieg a der linearen Regression und seiner Unsicherheit ist die Fallbeschleunigung g mit ihrer Unsicherheit zu bestimmen

9 Es ist eine nichtlineare Regression mit der Modellfunktion 221)( tgts sdotsdot= vorzunehmen

und dabei der Wert der Fallbeschleunigung g und ihre Unsicherheit zu ermitteln Fuumlr diese Regression muss eine benutzerdefinierte Funktion verwendet werden Auch hier ist zu uumlberlegen ob eine unterschiedliche Gewichtung der Datenpunkte notwendig ist

10 Die bei den Aufgaben 8 und 9 erzielten Ergebnisse sind mit einem Referenzwert fuumlr die Fallbeschleunigung g zu vergleichen und zu diskutieren

11 Es ist eine weitere nichtlineare Regression mit ntas sdotsdot= 21 vorzunehmen und dabei neben

der Fallbeschleunigung g auch der Exponent n (jeweils mit Unsicherheit) zu bestimmen Abschlieszligend ist zu beurteilen ob die zu erwartende quadratische Abhaumlngigkeit (n=2) innerhalb der erzielten Messunsicherheit hinreichend erfuumlllt wird Gegebenfalls sind daraus weitere Schlussfolgerungen abzuleiten

HINWEISE ZUM 2 TEIL Fuumlr die auszufuumlhrenden Regressionen ist eine auch dafuumlr geeignete Software notwendig nicht jede Tabellenkalkulation bietet diese Option bzw verfuumlgt uumlber fuumlr unsere Zecke genuumlgende Funktionen Entsprechende Verweise sind sowohl im Einfuumlhrungsskript als auch in der Vorlesung enthal-ten Weitere Hinweise erhalten Sie ebenso unmittelbar vom Versuchsbetreuer vor Ort Nutzen Sie die Gelegenheit sich eingehend damit vertraut zu machen und den moumlglichst effizienten Umgang zu uumlben Es ist generell zweckmaumlszligig sowohl die Datenpunkte (soweit moumlglich bzw sinnvoll mit Fehlerkreuzen) als auch die (ausgleichende) Regressionsfunktion gemeinsam in einer Grafik darzustellen

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• O1 DUumlNNE LINSEN
• O2 MIKROSKOP
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