Johannes Gutenberg-Universität Mainz

Institut für Mathematik, FB08

Hauptseminar: Eine Einladung in die Mathematik

Newton-Verfahren und KomplexeDynamik I

Paul Klimek

betreut vonProf. Dr. Mária Lukácová-Medvidová

20. Juni 2017

EinleitungDer Vortrag beschäftigt sich mit der Theorie iterativer Verfahren, genauer an den Bei-spielen der Iteration komplexer, quadratischer Polynome und dem Newton-Verfahren.Genauer wird dabei der Fokus auf diejenigen Iterationen gelegt, die beschränkt sind undderen Verhalten studiert. Dafür wird die gefüllte Julia-Menge als Menge aller Startwerteeingeführt, für die die Iteration beschränkt bleibt. Daraus entwickelt sich die Mandelbrot-Menge als „Inhaltsverzeichnis“ aller Julia-Mengen.Im zweiten Teil wird das aus der Analysis und Numerik bekannte Newton-Verfahrenstudiert und aus der Perspektive der Iterationsverfahren beobachtet.

Teil I.Iteration komplexer PolynomeFür das gesamte Kapitel sei q ∈ C[X]2, also ein komplexes Polynom mit Grad 2. Ziel istes nun, das Verhalten von z, q(z), q(q(z)), ... zu untersuchen.

Definition 1.1: Es sei qn := q ◦ qn−1, q0 := id. Dann nennt man qn die n-te Iteriertevon q. Die so entstehende Folge Oq(z) := (qn(z))n∈N nennt man den Orbit von z bzgl. q.

Für diesen Vortrag sind beschränkte Orbits von besonders bedeutender Rolle. Betrachtedafür offensichtliche Fälle für Beschränktheit:

Beispiel: periodische Bahnen. Ein Punkt z ∈ C heißt p-periodisch (p ∈ N), fallsqp(z) = z. Der dadurch entstehende Orbit (eine periodische Bahn) ist beschränkt, da

qn(z) ≡ qn mod p(z) ∀n ∈ N.

Für den einfachsten Fall p = 1 ist z ein Fixpunkt.

Definition 1.2:

• K(q) := {z ∈ C : der Orbit von z ist unter Iteration von q beschränkt} nenntman die gefüllte Julia-Menge von q.

• I(q) := {z ∈ C : der Orbit von z geht unter Iteration von q gegen ∞} nennt mandie Menge der entkommenden Punkte von q.

Aus den Definitionen von K und I folgt sofort die folgende Behauptung:

2

Korollar 1.3:C = K(q)∪̇I(q) ∀q ∈ C[X]2,

da ein Punkt z ∈ C in genau einer der beiden Mengen liegen muss und so der gesamteKörper C aufgespannt wird.

Beispiele: Betrachte die einfachste Form quadratischer Polynome:

qc(z) := z2 + c

Abbildung 1 zeigt die gefüllte Julia-Menge zu q(z) = z2−0.11−0.15i. Die Menge selbst

Abbildung 1: c = −0.8− 0.15i [1]

ist dabei der schwarze Anteil des Bildes, während die verschiedenen Farbtöne angeben,wie schnell der entsprechende Orbit divergiert. Ändert man den Wert von c auch nurminimal, kann sich die dazugehörige Julia-Menge drastisch ändern. Zum Beispiel wirktsich eine Änderung um 0.025 des Imaginärteils wie folgt aus:

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Abbildung 2: c = −0.8− 0.175i [1]

Die Menge K(qc) ist nun deutlich „geschrumpft“, der schwarze Anteil ist kaum nocherkennbar. Für quadratische Polynome in der Form qc sind die dazugehörigen gefülltenJulia-Mengen gut vergleichbar, da die Konstante c stetig geändert werden kann, um dieAuswirkung auf K(qc) zu beobachten.Tatsächlich reicht es, die einfache Form qc(z) = z2+c bezüglich Iterationen zu betrachten,um auf die allgemeine Form f(z) = az2 + bz + d zu schließen, wie das folgende Lemmazeigt:

Lemma 1.4: Die Funktion qc ist zu jedem quadratischen Polynom f(z) = az2 + bz+ dhomöomorph, das heißt, es existiert eine stetige Bijektion zwischen qc und f .

Beweis. Es sei ϕ(z) = 2z−b2a , dann ist ϕ−1(z) = az+ b

2 . Da sowohl ϕ als auch ϕ−1 lineareFunktionen sind, sind beide offensichtlich stetig und bijektiv. Es gilt:

(ϕ−1 ◦ f ◦ ϕ)(z) = a

(a

(2z − b2a

)2+ b

(2z − b2a

)2+ d

)+ b

2

= z2 + b(2− b) + 4ad4

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Setze c := b(2−b)+4ad4 und es folgt die Behauptung.

Ein Blick auf die Bilder der vorherigen Beispiele wirft die Frage auf, wann und ob einegefüllte Julia-Menge zusammenhängend ist. Während Abbildung 1 deutlich erkennbarzusammenhängend ist, ist dies in Abbildung 2 nicht beobachtbar. Unzusammenhängen-de Julia-Mengen sind, wie sich herausstellt, für den Vortrag uninteressant, da sie fürquadratische Polynome zueinander homöomorph sind. Sie sind somit mehr oder weniger„gleich“. Grund hierfür ist deren Homöomorphie zu einer Cantor-Menge, indem eine 1:1Zuweisung der unzusammenhängenden „Arme“ der Julia-Menge (siehe Abbildungen) zuden unendlich kleinen Intervallen der Cantor-Menge hergestellt wird. Aus Analysis IIIist dann bekannt, dass diese Cantor-Menge zu jeder anderen homöomorph ist.

Da im Kontext dieses Vortrags nur zusammenhängende Julia-Mengen relevant sind, stelltsich die Frage, wann diese zusammenhängend sind. Tatsächlich reicht es, die Orbits derkritischen Punkte von q zu betrachten, das heißt die Nullstellen von q′. Da jedoch nachLemma 1.4 lediglich qc betrachtet werden muss und q′c(z) = 2z ist, ist der einzige kritischePunkt von qc der Nullpunkt.

Behauptung: K(qc) ist zusammenhängend genau dann, wenn die Orbits aller kritischenPunkte von qc beschränkt sind.

Aufgrund obiger Erkenntnis ist die Behauptung gleichbedeutend mit:

Proposition 1.5: K(qc) ist zusammenhängend genau dann, wenn 0 ∈ K(qc).

Es muss also lediglich der Orbit um den Nullpunkt beschränkt sein. Ziel ist es nun also,einzuschränken, wann der Null-Orbit in K(qc) liegt. Als erstes lässt sich die Wahl von cdurch einen Kreis mit Radius 2 einengen:

Lemma 1.6: Sei K(qc) zusammenhängend. Dann ist |c| ≤ 2.

Beweis. per Kontraposition. Annahme: |c| > 2. Für den Rest des Kapitels sei die Itera-tion von qc wie folgt notiert:

zn+1 = z2n + c, z0 = c.

Man zeige nun induktiv, dass |zn| > |c| ∀n ∈ N.Induktionsanfang: n = 1.

|z1| = |c2 + c| ≥ |c|2 − |c| = |c| (|c| − 1) > |c|, da nach Annahme |c| > 2. X

Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung gelte bereits für ein beliebiges, aber festesn ∈ N.

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Induktionsschritt:

|zn+1| = |z2n + c| ≥ |zn|2 − |c|

IV> |c| · |zn| − |c| = |zn|+ (|c| − 1)|zn| − |c|IV> |zn|+ (|c| − 1)|c| − |c| = |zn|+ (|c| − 2)|c|IV> |c|+ (|c| − 2)|c| > |c| X

Aus dem Induktionsschritt ergibt sich, dass

|zn+1| > |zn|+ (|c| − 2)|c| ⇔ |zn+1| − |zn| > (|c| − 2)|c| > 0, da |c| > 2.

|zn| wächst also streng monoton, somit folgt |zn| → ∞ und nach Kontraposition dieBehauptung.

Die Menge der zusammenhängenden Orbits lässt sich sogar noch leichter finden, danicht nur der Startwert durch 2 beschränkt wird, sondern auch der Wertebereich derFolge:

Lemma 1.7: K(qc) ist zusammenhängend genau dann, wenn lim supn→∞

|zn| ≤ 2.

Beweis.„⇐“ Klar nach Proposition 1.5.„⇒“ Aus dem vorherigen Beweis ging hervor, dass der Null-Orbit für |c| > 2 divergiert.Es sei also |c| ≤ 2.Annahme: |zn| > 2, genauer |zn| = 2 + ε mit ε > 0. Dann gilt:

|zn+1| = |z2n + c| ≥ |zn|2 − |c| ≥ |zn|2 − 2 = (2 + ε)2 − 2 = 2 + 4ε+ ε2 > 2 + 2ε.

Induktiv lässt sich so |zn+k| abschätzen durch:

|zn+k| > 2 + kεk→∞−−−→∞.

Es folgt daher die Aussage per Kontraposition.

Nach Lemma 1.6 und Lemma 1.7 kommen also nur noch fc(z) = z2 + c mit |c| ∈ [0, 2]infrage und sobald |f i(0)| > 2 für ein i ∈ N gilt, ist klar, dass der Orbit divergiert. Fasstman nun alle c ∈ C zusammen, für die der Null-Orbit von qc beschränkt bleibt, also maneine Art „Inhaltsverzeichnis“ anlegt, entsteht die sogenannte Mandelbrot-Menge:

Definition 1.8: Die Mandelbrot-Menge M ist die Menge aller c ∈ C, sodass K(qc)zusammenhängend ist, also die Menge aller c ∈ C, sodass Oqc(0) beschränkt ist.

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Abbildung 3: Visualisierung der Mandelbrot-Menge. Lediglich der schwarze Anteil sinddie c ∈ C, die inM liegen. Wie bei K(qc) gibt der Farbton an, wie schnellder Orbit divergiert. [2]

Nach Betrachtung von Abbildung 3 vermutet man, dass es sich bei M um ein selb-stähnliches Fraktal handelt. „Zoomt“ man also an beliebiger Stelle in M, wird manirgendwann das komplette Gebilde wieder erkennen, wie das den Präsentationsfolienanliegende Video zeigt. (Flashplayer benötigt)

Beispiele: Die Frage, ob ein c ∈ C in M liegt, ist äquivalent zu der Frage, ob derNull-Orbit beschränkt ist. Ich habe daher folgendes Programm geschrieben, bei dem einkomplexer Startwert c eingegeben wird und mit der Vorschrift zn+1 = z2

n + c, z0 = citeriert wird.

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Dargestellt sind die Iterationen für die Startwerte c1 = 14 + 1

2 i, c2 = −0.11 − 0.175i,c3 = −i und c4 = 1. Wie man sehen kann, ist lediglich der Punkt c4 /∈M.

Beobachtet man die graphische Darstellung der Mandelbrot-Menge, kommt die Frageauf, welche Eigenschaften für M gelten. Die folgenden Fragestellungen sind bis heutenicht vollständig geklärt:

• Lässt sich die Topologie der Mandelbrot-Menge einfach beschreiben?

• Sei c ein innerer Punkt vonM. Enthält die gefüllte Julia-Menge von qc notwendi-gerweise einen inneren Punkt?

• Ist der Rand vonM eine Kurve? Wie groß ist sein Flächeninhalt?

Ob ∂M eine Kurve ist, entspricht der Fragestellung, obM lokal zusammenhängend ist.Laut Adrien Douady und John Hubbard’s Etude dynamique des pôlynomes complexesist dies der Fall, womit sich die erste Frage leicht beantworten lassen würde: Das soge-nannte pinched disk model beschreibt eine Kreisscheibe, die an genau bestimmten Stellen„abgeschnürt“ wird.

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Teil II.Newton-VerfahrenFür dieses Kapitel sei f : C → C eine hinreichend glatte Funktion, zum Beispiel einPolynom. Ein wichtiges mathematisches bzw. wissenschaftliches Problem ist es, die Null-stellen von f zu finden.

Beispiel: Seien f und g zwei glatte Funktionen. Wie lauten die Schnittpunkte von fund g?

f(x) != g(x)⇔ f(x)− g(x) =: h(x) != 0Die Fragestellung entspricht also der Suche nach den Nullstellen von h(x).

Das wohl bekannteste numerische Verfahren zur Findung der Nullstellen einer Funktionf ist das Newton-Verfahren:

xn+1 = xn −f(xn)f ′(xn) .

Wie man sieht, handelt es sich beim Newton-Verfahren ebenfalls um ein iteratives Ver-fahren. Im Folgenden sei also für einen Startwert x0 der Newton-Orbit der durch Iterationdes Newton-Verfahrens entstehende Orbit um x0. Aus der Analysis ist der folgende Satzüber das Newton-Verfahren bereits bekannt:

Satz 2.1: Sei x? eine einfache Nullstelle von f (dh. f ′(x?) 6= 0). Dann konvergiertder Newton-Orbit der hinreichend nahe an x? liegenden Punkte gegen x?, das heißt, esexistiert ein ε > 0, sodass für alle x0 mit |x0 − x?| < ε gilt, dass xn → x?.

Definition 2.2: Sei α eine Nullstelle von f . Dann ist Bα (das sogenannte Bassin vonα) die Menge aller z ∈ C, die unter dem Newton-Verfahren gegen α konvergieren.

Bemerkung: Die Vereinigung aller Bα, also die Bassins sämtlicher Nullstellen von f ,ist also die Menge der „guten Startwerte“.

Doch konvergiert jeder Startwert gegen eine Nullstelle? Nein!

Beispiel: Sei p ∈ C[X] mit deg(p) = 2, also p(x) = ax2 + bx+ c, p′(x) = 2ax+ bDann sind die Nullstellen:

α1 = −b+√

4ac2a , α2 = −b−

√4ac

2aDas Newton-Verfahren für p ist:

xn+1 = xn −ax2

n + bxn + c

2axn + b= xn(2axn + b)− (ax2

n + bxn + c)2axn + b

= ax2n − cxn

2axn + b

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Probleme für den Newton-Orbit ergeben sich, wenn der Nenner des Quotienten null wird.Also wenn gilt:

2axn + b = 0⇔ xn = − b

2a.

Betrachte die Mittelhalbierende zwischen α1 und α2:

α1 + α22 = −2b

4a = − b

2a.

Die Menge der „schlechten Startwerte“ ist also genau der mittlere Punkt zwischen denbeiden Nullstellen von p (unter der Annahme, dass α1 6= α2).

Für jeden Grad d ≥ 3 wird man schlechte Startwerte finden, da der Nenner des Quotien-ten ein Polynom ist und somit in C immer Nullstellen hat (aufgrund der algebraischenAbgeschlossenheit von C). Ebenso findet man für jedes p ≥ 2 eine p-Periode, indem mandie Gleichung

xn+p = xn −f(xn)f ′(xn)

löst. Tatsächlich bilden die schlechten Startwerte den Rand der Bassins, sogar genaueinen gemeinsamen Rand, hier in weiß dargestellt:

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Das obige Bild [3] stellt das Newton-Fraktal zum Polynom p(z) = z3 − 1 dar, alsoden Rand der gefüllten Julia-Menge zur Newton-Iteration. Dabei steht jede Farbe fürden Bassin einer Nullstelle, der Rand ist weiß. Dass die Ränder der drei Bassins einengemeinsam Rand ergeben, ist auf dem Bild gut erkennbar.

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Medienquellen[1] http://www.math.harvard.edu/∼jjchen/fractals

[2] https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/21/Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg

[3] https://technik.blogbasis.net/ein-fraktal-programmieren-06-08-2013

Stand: 15.07.2017, 00:40 Uhr

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