NP-Vollständigkeitstefan/Vorlesung.pdf · Heute: NP-Vollständig •NP-vollständig: Die...

NP-Vollständigkeit

Wie komme ich von hier zum Hauptbahnhof?


Finde jemand, der den Weg kennt!

Alternativ: Finde eine Stadtkarte!

Alternativ: Bestelle ein Taxi!

…

P1

P2

verwende für

kann ich

reduzieren auf


Finde jemand, der den Weg kennt!

Alternativ: Finde eine Stadtkarte!

Alternativ: Bestelle ein Taxi!

…

P2

verwende für

kann ich

reduzieren auf

Reduktion kann rekursiv sein:Das Problem von Berlin nach Köln zu kommen reduziert sich auf das Problem, eine Fahrkarte zu kaufen… das wiederum reduziert sich darauf, Geld für die Fahrkarte zu verdienen… reduziert sich auf das Problem, einen Job zu finden

P1

Reduktion

• Eine mächtige Technik: Algorithmendesign

P1 P2

Transformation f

verwende Lösung (f-1)

• Falls f, P2 und f-1 effizient berechenbar, dann auch P1!

Beispiele• Fläche eines Rechtecks

• Das Problem, die Fläche eines Rechtecks zu bestimmen, reduziert sich auf das Problem, dessen Seitenlängen zu bestimmen.

• Gleichungssysteme lösen• Das Problem, ein lineares

Gleichungssystem zu lösen, reduziert sich auf das Problem, eine Matrix zu invertieren.

Fläche?

Länge?

Bre

ite?

: P1

P2:

Heute: „Perverse“ Reduktion

• Reduktion kann auch dazu verwendet werden, zu zeigen dass ein Problem schwer ist.

• Falls f und f-1 effizient berechenbar und P1 schwer ist, so muss auch P2 schwer sein.

P1 P2

Transformation f

verwende Lösung

Heute: „Perverse“ Reduktion

• Reduktion kann auch dazu verwendet werden, zu zeigen dass ein Problem schwer ist.

• Falls f und f-1 effizient berechenbar und P1 schwer ist, so muss auch P2 schwer sein.

P1 P2

Transformation f

verwende Lösung

Gilt das auch umgekehrt?Wenn P2 schwer dann auch P1?

Repetition: Effiziente Algorithmen• Fundamentale algorithmische Probleme

• Matching• Spannbäume• Kürzeste Pfade

• Probleme schwer? Exponentiell viele gültige Lösungen!• n Männer, n Frauen: n! Matchings• Graph mit n Knoten: nn-2 Spannbäume• Exponentiell viele Pfade von s nach t

• Trotzdem: sehr effiziente Algorithmen!• Brillante Techniken: greedy Algorithmen, dynamische Programmierung, lineare

Programmierung

• Geht das für alle Probleme??

Repetition: P, NP, P=NP• P: Probleme, die in polynomieller Zeit lösbar sind

• NP: (Entscheidungs-)Probleme, die in polynomieller Zeit verifizierbar sind • NP steht für nicht-deterministische Polynomialzeit (Lösung „raten“)

• Klar: P NP (lösen impliziert verifizieren)

• Bis heute unklar: P=NP? Eher unwahrscheinlich…• Kann exponentielle Suche immer vermieden werden?• Theorem beweisen nicht schwerer als Beweis verifizieren? Mathematiker

überflüssig?• Erfüllbarkeit logischer Formeln (SAT): seit 50 Jahren ungelöst

Relevanz: Polynomiell vs Exponentiell

• Die Legende von Sissa• Monarch der Sissa belohnen möchte• Wunsch: Reiskörner auf Schachfeld• Verdopplung: Mehr Reis als in ganz Indien!

• Moore‘s Law hilft nicht viel! • Beispiel: Entscheidbarkeit (SAT)• Exponentiell: 1 Variable mehr pro Jahr• Polynomielle Algorithmen: doppelt so viele Variablen pro Jahr!

• Asymmetrische Kryptographie• Brisanterweise ist Komplexität von Faktorisierung unklar

Heute: NP-Vollständig

• NP-vollständig: Die schwersten Probleme in NP

• Definiert über Reduktion: • Alle Probleme in NP lassen sich in polynomieller Zeit auf jedes NP-

vollständige Probleme reduzieren („sind höchstens so schwer“)

jedes NP Problem

jedes NP-vollständige Problem





jedes NP Problem


Wie kann ich also versuchen zu beweisen, dass P=NP?





jedes NP Problem


Wie kann ich also versuchen zu beweisen, dass P=NP?

Es reicht eines zu lösen → allein polynomieller Zeit lösbar.





jedes NP Problem


Aber: gibt es dennüberhaupt solcheProbleme?

Alle NP Probleme

Erfüllbarkeit der Aussagenlogik (SAT)

Die Schwersten Probleme in NPStephen A. Cook und Leonid Levin (1970)

Die Schwersten Probleme in NPStephen A. Cook und Leonid Levin (1970)

1000e von NP-vollständigen Probleme:die meisten indirekt bewiesen,

durch Reduktion von NP-vollständigem Problem (z.B. SAT)

Alle NP Probleme

Erfüllbarkeit der Aussagenlogik (SAT)

Vollständigkeitsbeweis durch Reduktion

Alle NP Probleme

SAT

3SAT

Independent Set

Alle NP Probleme

SAT

3SAT

Independent Set

Poly-Zeit Reduktion

Poly-Zeit Reduktion

Poly-Zeit Reduktion

Wenn ich SAT lösen kann,kann ich alle NP Probleme lösen!


Alle NP Probleme

SAT

3SAT

Independent Set

Poly-Zeit Reduktion

Poly-Zeit Reduktion

Poly-Zeit Reduktion


Wenn ich 3SAT lösen kann,kann ich SAT lösen! Also auch alle NP Probleme (transitiv: Polynom + Polynom = Polynom).


Alle NP Probleme

SAT

3SAT

Independent Set

Poly-Zeit Reduktion

Poly-Zeit Reduktion

Poly-Zeit Reduktion


Wenn ich 3SAT lösen kann,kann ich SAT lösen! Also auch alle NP Probleme (transitiv: Polynom + Polynom = Polynom).

Wenn ich IS lösen kann,kann ich 3SAT lösen! Also auch alle NP Probleme (transitiv).


Beispiel: MM

Maximum Matching (MM): Gegeben ein ungerichteterGraph G(V,E). Ein Matching ist eine Kantenmenge M E(G), sodass jeder Knote inzident zu maximal einer Kante in M ist. Ein MM ist ein Matching maximaler Kardinalität.

Beispiel: Matching?

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Beispiel: Maximum Matching (MM)?

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Beispiel: IS

• Independent Set (IS): Gegeben ein ungerichteter Graph G(V,E). Ein IS ist eine Menge U V(G), sodass {u1,u2} ϵE(G) für u1, u2 ϵ U. Ein Maximum IS (maxIS) ist ein IS maximaler Kardinalität |U|.

Beispiel: IS?

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Beispiel: MaxIS?

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Beispiel: NP-Vollständigkeit Reduktion

• Angenommen MM ist NP-vollständig.

• Wie kann ich vorgehen, um zu zeigen, dass MaxIS NP-vollständig ist?

• Tipp: Reduktion P1 P2verwende Lösung

transformiere

MaxIS ist NP-vollständig: Beweisidee

MM MaxIS

verwende Lösung

• Zeige Reduktion:

• Zeige: MaxIS ist in NP• Kann ich in polynomieller Zeit Entscheidungsproblem

verifizieren: ist ein gegebenes IS der Größe M gültig?

Poly-Zeit Transformation

MaxIS ist NP-vollständig: Beweisidee

MM MaxIS

verwende Lösung


• Zeige: MaxIS ist in NP• Kann ich in polynomieller Zeit Entscheidungsproblem

verifizieren: ist ein gegebenes IS der Größe M gültig?


1. Gehe durch alle Kanten, prüfe ob max ein Endpunkt im IS.2. Prüfe ob es wirklich M viele Knoten sind.

Reduktion

MM MaxIS

1. Ersetze Kanten durch Knoten

2. Verbinde resultierende Knoten falls ursprüngliche Kanten inzident

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Reduktion

MM MaxIS



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Reduktion

MM MaxIS



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57Kanten ensprechen Knoten!

Reduktion

MM MaxIS



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effizient!

Kanten ensprechen Knoten!

Reduktion

MM MaxIS



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berechne Lösung!

Reduktion

MM MaxIS



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entsprechende Kanten sind Matching!

Reduktion

MM MaxIS



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Weshalb? Immer ein gültiges und maximum Matching?

Reduktion

MM MaxIS



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Ja, Äquivalent:

Knoten in MaxIS unabh.

gdw. Kanten im Matching gültig

(„unabh.“)

maximiere # Knoten im Independent Setgdw

maximiere # Kanten im Matching

Knoten rechts sind benachbart gdwKanten links benachbart sind!

Mengen sollen maximiert werden.

Reduktion

MM MaxIS

1. IS Knoten entsprechen MM Kanten



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effizient!

Beweisidee

MM MaxIS




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Gültiges IS muss gültiges Matching sein:

IS Knote blockiert adjazente Knoten = entsprechende Matching Kante blockiert inzidente Kanten!

Beweisidee

MM MaxIS




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Wenn MaxIS effizient lösbar wäre, so müsste auch MM effizient lösbar sein. Widerspruch!

effizient?

Gültiges IS muss gültiges Matching sein:

IS Knote blockiert adjazente Knoten = entsprechende Matching Kante blockiert inzidente Kanten!

• Vertex Cover (VC): Gegeben ein ungerichteter Graph G(V,E). Ein Vertex Cover (VC) ist eine Menge von Knoten U V(G), sodass jede Kante in E(G) inzident zu mind. einem Knoten in U ist. Ein Minimum Vertex Cover (minVC) ist ein Vertex Cover minimaler Kardinalität |U|.

Beispiel: MinVC

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6

7

3

2

1

4

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• Wie kann ich vorgehen, um zu zeigen, dass MinVCNP-vollständig ist?


• Wie kann ich vorgehen, um zu zeigen, dass MinVCNP-vollständig ist?

• Reduktion von MaxIS! Wir wissen: MaxIS is NP-vollständig.


• Zeige: MinVC ist in NP

MinVC ist NP-vollständig: Beweisidee

MaxIS MinVC

verwende Lösung



• Zeige: MinVC ist in NP

MinVC ist NP-vollständig: Beweisidee

MaxIS MinVC

verwende Lösung


1. Gehe durch alle Kanten, prüfe ob mind. ein Endpunkt im DS.2. Prüfe, ob auch die Anzahl Knoten stimmt (Entscheidungsproblem).

Reduktion?

P1? P2?

Effizient!

Effizient!

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7Vertex Cover

schwer?

Reduktion

MaxIS MinVC

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2

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7

triviale Transformation

Reduktion

MaxIS MinVC

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2

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Löse!

Reduktion

MaxIS MinVC

Gegeben MinVC S:

MaxIS = V\S

„die anderen Knoten“

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7

Nehme die anderen Knoten!

Reduktion

MaxIS MinVC

Gegeben MinVC S:

MaxIS = V\S


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2

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7

Menge S berührt jede Kante genau dann wenn restliche Knoten

unabhängig sind.

triviale Transformation!

Reduktion

MaxIS MinVC

Gegeben MinVC S:

MaxIS = V\S


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2

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7

Sicher keine anderen IS Knoten in der Nachbarschaft: alle Nachbarkanten sinddurch VC Knoten abgedeckt.



unabhängig sind.

Reduktion

MaxIS MinVC

Gegeben MinVC S:

MaxIS = V\S



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2

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minimale Anzahl Knoten im VC =maximal viele restliche Knoten!


unabhängig sind.

minimale Anzahl Knoten im VC =maximal viele restliche Knoten!

Reduktion

MaxIS MinVC

Gegeben MinVC S:

MaxIS = V\S



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2

3

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Wenn MinVC effizient lösbar wäre, so müsste auch MaxIS effizient lösbar sein. Widerspruch!

effizient?


unabhängig sind.

Bemerkungen• Warnung 1: Details sind wichtig!

Harte Probleme (NP) Einfache Probleme (P)

3SAT 2SAT, Horn SAT

Traveling Salesman Minimum Spanning Tree

Longest Path Shortest Path

Independent Set Independent Set auf Bäumen

Balanced Cut Minimum Cut

• Warnung 2: Es gibt Probleme, die sind schwerer als NP-schwer! Z.B. gar nicht lösbar.

• Bemerkung 1: Selbst NP-vollständige Probleme lassen sich in der Praxis oft gut lösen: Gebiet der Approximationsalgorithmen.

• Bemerkung 2: NP-vollständige Probleme haben bisher Quantencomputern stand gehalten. (Faktorisierung nicht: aber fast niemand glaubt heute, dass FaktorisierungNP-vollständig ist.)

Zusammenfassung

• Komplexitätstheorie: eine der faszinierendsten (und relevantesten) Themen unserer Zeit• Insbesondere polynomiell vs nicht polynomiell• Aber auch allgemein: Komplexität von Zahlen- und

Matritzenmultiplikation ungelöst!

• Reduktion: Nicht nur um Probleme zu lösen, sondern auch um zu zeigen, dass sie nicht lösbar sind

• Achtung: Reduktionen sind gerichtet• Auf ein NP vollständiges Problem reduzieren ≠ von einem NP

vollständigen Problem reduzieren

Nächste Woche

Alle NP Probleme

SAT

Backup

Alle NP Probleme Circuit SAT

• Circuit SAT• Boolean Circuit in DAG Form• Verallgemeinerung von SAT: Finde

Belegung für „?“ sodass Output wahr, oder sage dass das unmöglich ist

• Operatoren: • AND, OR: in-degree 2• NOT: in-degree 1• Bekannte Inputs: true-false• Unbekannte Inputs: ?

true ? ? ?

AND OR AND

NOT OR

AND

output

Alle NP Probleme Circuit SAT

true false true true

AND OR AND

NOT OR

AND

output

• Circuit SAT• Boolean Circuit in DAG Form• Verallgemeinerung von SAT: Finde

Belegung für „?“ sodass Output wahr, oder sage dass das unmöglich ist

• Operatoren: • AND, OR: in-degree 2• NOT: in-degree 1• Bekannte Inputs: true-false• Unbekannte Inputs: ?

Circuit SATBeliebiges NP-Problem X

• Klingt schwierig: Was wissen wir über X? Gar nichts…

• Nicht ganz: Gegeben Probleminstanz I und Lösung L: es gibt einen polynomiellen Algorithmus, der prüft, ob L eine Lösung für I ist

• Diesen Algorithmus kann man immer als Circuit polynomiellerGröße darstellen

• Setze bekannte Inputs auf I und unbekannte Inputs auf L

• Die erfüllenden Belegungen für L sind die Lösungen für unser Problem X! Die Reduktion ist komplett.

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