Numerische Mathematik fur¨ das Lehramt -...

Numerische Mathematik fur das Lehramt

Skriptum zur Vorlesung im SS 2009 †

PD Dr. Markus NeherUniversitat Karlsruhe (TH)Forschungsuniversitat · gegrundet 1825

Institut fur Angewandte und Numerische Mathematik

29. Juni 2009

† c©2007-2009 by Markus Neher. Dieses Skriptum ist urheberrechtlich geschutzt. Weiterverbreitung

und Einsatz in anderen Lehrveranstaltungen (auch von Teilen des Skriptums) ist ohne vorherige schrift-

liche Genehmigung des Autors untersagt. Insbesondere ist es nicht gestattet, das Skriptum oder Teile

davon in elektronischer Form im Internet zuganglich zu machen.

2 Markus Neher, Universitat Karlsruhe (TH) · 29. Juni 2009

Inhaltsverzeichnis

1 Einfuhrung 7

1.1 Symbolisches und numerisches Rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Gleitpunktzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Gleitpunktarithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Algorithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.1 Schleifen in Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.2 Auswahlanweisungen in Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.3 Prozeduren in Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6 Landau-Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7 Ziele dieser Vorlesung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Iterationsverfahren 25

2.1 Fixpunktiteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Lokale Fixpunktsatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Das Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5 Verwandte Iterationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5.1 Vereinfachtes Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5.2 Sekantenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5.3 Das Bisektionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.6 Vektor- und Matrixnormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.7 Iterationsverfahren im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Lineare Gleichungssysteme 47

3.1 Gauß-Elimination ohne Zeilentausch: LU -Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.1 Eliminationsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.2 LU -Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1.3 Aufwand des Gauß-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2 Gauß-Elimination mit Zeilentausch: PALU -Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . 53

3


3.2.1 Permutationsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2.2 Pivotisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3 Fehlerabschatzungen fur lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4 Iterationsverfahren fur lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4.1 Fixpunktiteration fur lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4.2 Gesamt- und Einzelschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.4.3 Die Methode des steilsten Abstiegs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.4.4 Das cg-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.4.5 Vorkonditionierung beim cg-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.5 Die QR-Zerlegung einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.5.1 Orthogonale Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.5.2 Gram-Schmidt-Orthogonalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.5.3 Reduzierte QR-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.5.4 Householder-Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.5.5 QR-Zerlegung durch Householder-Transformationen . . . . . . . . . . . . 81

3.6 Uber- und unterbestimmte lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.6.1 Uberbestimmte lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.6.2 Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4 Das Eigenwertproblem fur Matrizen (entfallt 2009) 89

5 Approximation und Interpolation 91

5.1 Approximation mit Taylor-Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.1.1 Approximationsaufgaben zum Restglied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.1.2 Anwendung: Berechnung transzendenter Funktionen . . . . . . . . . . . 96

5.2 Polynom-Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.2.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.2.2 Polynom-Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.2.3 Interpolationsfehler der Polynom-Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.2.4 Polynom-Interpolation mit Tschebyscheff-Stutzstellen . . . . . . . . . . . 105

5.2.5 Hermite-Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.3 Spline-Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.3.1 Stuckweise lineare Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.3.2 Kubische Spline-Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.3.3 Minimierungseigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.3.4 Interpolationsfehler der kubischen Spline-Interpolation . . . . . . . . . . . 114

5.3.5 Anwendung: Spline-Interpolation geschlossener Kurven . . . . . . . . . . 115

5.4 Trigonometrische Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.4.1 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Numerische Mathematik fur das Lehramt · SS 2009 5

5.4.2 Reelle diskrete Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.5 Approximation nach der Methode der kleinsten Quadrate . . . . . . . . . . . . . 118

5.6 Nichtlineare Ausgleichsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.6.1 Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.6.2 Gauß-Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6 Numerische Integration 125

6.1 Newton-Cotes-Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.2 Summierte Quadraturformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.3 Extrapolation mit dem Romberg-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.4 Gauß-Quadratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.4.1 Orthogonale Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.4.2 Stutzstellen und Gewichte bei der Gauß-Quadratur . . . . . . . . . . . . . 137

7 Numerische Behandlung gewohnlicher Differentialgleichungen (entfallt 2009) 141

8 Gleitpunktrechnung, Kondition, Stabilitat 143

Kapitel 6

Numerische Integration

Manche Anwendungsprobleme lassen sich zuruckfuhren auf die Berechnung eines bestimm-

ten Integrals∫ b

a

f(x) dx. (6.1)

Dabei konnen u.a. die folgenden Schwierigkeiten auftreten:

• Die Stammfunktion von f kann nicht in geschlossener Form angegeben werden. Wichti-

ge Anwendungsbeispiele sind die Berechnung der Gauß’schen Fehlerfunktion

erf(x) :=2√π

∫ π

0e−x2

dx

oder die Auswertung elliptischer Integrale wie z.B.

E(ϕ, k) :=

∫ ϕ

0

√1 − k2 sin2 x dx.

• Es ist keine Stammfunktion von f bekannt oder die Auswertung der Stammfunktion von

f ist aufwandig.

• Es liegt kein Funktionsausdruck von f vor. Stattdessen sind nur Naherungswerte fur

f an einigen Stutzstellen gegeben. Mit dieser Information soll das Integral (6.1) dann

approximiert werden.

In diesem Kapitel werden verschiedene Methoden diskutiert, mit denen sich Naherungswerte

fur das bestimmte Integral (6.1) berechnen lassen.

6.1 Newton-Cotes-Formeln

Den im Folgenden entwickelten Newton-Cotes-Formeln liegt die folgende Idee zugrunde: Die

Funktion f wird durch ein Polynom pn interpoliert, welches anstelle von f integriert wird:

∫ b

a

f(x) dx ≈∫ b

a

pn(x) dx.

125


Ist pn das Interpolationspolynom zu den n + 1 Stutzstellen x0, x1, . . . , xn in [a, b], folgt mit der

Darstellung von Langrange

∫ b

a

pn(x) dx =

∫ b

a

n∑

j=0

f(xj)Lj(x) dx =

n∑

j=0

f(xj)

∫ b

a

Lj(x) dx.

Setzt man

wj :=1

b − a

∫ b

a

Lj(x) dx,

erhalt man einen Naherungswert des bestimmten Integrals (6.1) als gewichtete Summe von

Funktionswerten: ∫ b

a

f(x) dx ≈ (b − a)

n∑

j=0

wj f(xj). (6.2)

Der lineare Operator In : C[a, b] → R

In(f) := (b − a)

n∑

j=0

wj f(xj)

wird als Quadraturformel bezeichnet. Die Gewichte wj hangen dabei weder von f noch von der

Lage (in R) oder Lange des Intervalls [a, b] ab, sondern nur von der Verteilung der Stutzstellen

xi, i = 0, 1, . . . , n, in [a, b]. Die Gewichte mussen fur jeden Satz von Stutzstellen nur einmal

berechnet werden und konnen danach in Tabellen gespeichert werden.

Die Newton-Cotes-Formeln erhalt man, wenn man in (6.2) gleichabstandige Stutzstellen ver-

wendet. Dabei werden noch offene und abgeschlossene Formeln unterschieden. Bei den ab-

geschlossenen Newton-Cotes-Formeln sind die Randpunkte des Integrationsintervalls Stutz-

stellen, bei den offenen Formeln nicht.

Beispiel 6.1 (Konstruktion abgeschlossener Newton-Cotes-Formeln fur n = 1 und

n = 2)

Fur n = 1 sind nur die Randpunkte a und b des Integrationsintervalls Stutzstellen. Mit

L0(x) =x − b

a − b, L1(x) =

x − a

b − a,

folgt

w0 =1

b − a

∫ b

a

x − b

a − b=

1

2, w1 =

1

b − a

∫ b

a

x − a

b − a=

1

2.

Die erhaltene Naherungsformel

∫ b

a

f(x) dx ≈ b − a

2

(f(a) + f(b)

)

heißt Trapezregel, da sie die Flache des Trapezes

berechnet, das von den Randwerten von f aufge-

spannt wird.a b

Abb. 6.1: Trapezregel.

Fur n = 2 kommt zu den Randpunkten noch der Mittelpunkt des Integrationsbereichs hinzu.

Setzt man h := (b − a)/2, erhalt man aus der Integration der zu den Stutzstellen gehorenden


Lagrange’schen Basispolynome Lj die Gewichte

w0 =1

2h

∫ a+2h

a

(x − (a + h)

)(x − (a + 2h)

)

(−h) · (−2h)dx =

1

4h3

∫ 2h

0(x2 − 3hx + 2h2) dx =

1

6,

w1 =1

2h

∫ a+2h

a

(x − a)(x − (a + 2h)

)

h · (−h)dx = − 1

2h3

∫ 2h

0(x2 − 2hx) dx =

4

6,

w2 =1

2h

∫ a+2h

a

(x − a)(x − (a + h)

)

2h · h dx =1

4h3

∫ 2h

0(x2 − hx) dx =

1

6.

Die Naherungsformel

∫ b

a

f(x) dx ≈ b − a

6

(f(a) + 4f

(a + b

2

)+ f(b)

)

heißt Simpson-Regel. Sie entspricht der Flache

zwischen der x-Achse und der Parabel, die durch

die Stutzwerte definiert wird.a b

Abb. 6.2: Simpson-Regel.

Fur großere Werte von n werden die Gewichte analog berechnet. So erhalt man die folgende

Tabelle der abgeschlossenenen Newton-Cotes-Formeln:

n Gewichte Fehler Name

112 ,

12

112 (b − a)3 ‖f ′′‖∞ Trapezregel

216 ,

46 ,

16

12880 (b − a)5

∥∥f (4)∥∥∞

Simpson-Regel

318 ,

38 ,

38 ,

18

16480 (b − a)5

∥∥f (4)∥∥∞

3/8-Regel (Pulcherima)

4790 ,

3290 ,

1290 ,

3290 ,

790

11935360 (b − a)7

∥∥f (6)∥∥∞

Milne-Regel

Tabelle 6.1: Newton-Cotes-Formeln.

Einige Eigenschaften der Newton-Cotes-Formeln lassen sich unmittelbar aus bekannten Ei-

genschaften der Polynom-Interpolation ableiten.

Satz 6.2 Die Summe der Gewichte jeder Newton-Cotes-Formel ist 1.

Beweis: Da die Summe der Lagrange’schen Basispolynome fur beliebiges n ∈ N die konstante

Funktion y = 1 ergibt (Ubungsaufgabe), folgt

n∑

j=0

wj =1

b − a

∫ b

a

n∑

j=0

Lj(x) dx =1

b − a

∫ b

a

1 dx = 1.

2


Satz 6.3 (Fehlerabschatzung fur die Newton-Cotes-Formeln) Es sei n ∈ N. Die Funktion fsei auf dem Intervall [a, b] n + 1-mal stetig differenzierbar. Dann gilt fur den Quadraturfehler

En(f) :=

∫ b

a

f(x) dx − (b − a)

n∑

j=0

wj f(xj)

die Abschatzung

|En(f)| ≤∥∥f (n+1)

∥∥∞

(n + 1)!

∫ b

a

∣∣∣∣∣

n∏

i=0

(x − xi)

∣∣∣∣∣ dx. (6.3)

Beweis: Aufgrund der Definition der Gewichte wj ist

En(f) =

∫ b

a

(f(x) − pn(x)

)dx, (6.4)

wobei pn das Interpolationspolynom von f zu den Stutzstellen der Newton-Cotes-Formel

bezeichnet. Die Behauptung folgt durch Einsetzen des Approximationsfehlers der Polynom-

Interpolation (siehe Satz 3.17) in (6.4). 2

Das Integral in (6.3) kann leicht berechnet werden. Fur die Trapezregel (n = 1) gilt beispiels-

weise ∫ b

a

|(x − a)(x − b)| dx = −(

x3

3− (a + b)

x2

2+ abx

) ∣∣∣b

x=a=

1

6(b − a)3,

woraus

|E1(f)| ≤ 1

12(b − a)3

∥∥f ′′∥∥∞

(6.5)

folgt. Fur n > 1 kann man die Fehlerabschatzung (6.3) durch elementare, aber langwierige

Rechnung verbessern. Die dadurch erzielbaren Fehlerterme sind in Tabelle (6.1) angegeben.

Satz 6.4 (Genauigkeitsgrad der Newton-Cotes-Formeln)

1. Fur n ∈ N integrieren die Newton-Cotes-Formeln alle Polynome bis zum Grad n exakt.

2. Fur gerades n ∈ N integrieren die Newton-Cotes-Formeln alle Polynome bis zum Grad

n + 1 exakt.

Beweis:

von 1. Ist f ein Polynom vom Hochstgrad n, gilt f = pn und somit En(f) = 0.

von 2. Elementar, aber langwierig. Siehe z.B. Plato: Numerische Mathematik kompakt.

Vieweg, 3. Aufl. 2006.

2

Bemerkung 6.5 Der maximale Polynomgrad, bis zu dem eine Quadraturformel exakt integriert,

heißt Genauigkeitsgrad der Quadraturformel. Man kann zeigen, dass die Aussagen in Satz

6.4 optimal sind. Polynome hoheren Grades als angegeben werden durch die Newton-Cotes-

Formeln im Allgemeinen nicht mehr exakt integriert.


Bei der bisherigen Diskussion der Newton-Cotes-Formeln haben wir einen Umstand vollig

ausgeklammert: Die Interpolationspolynome (insbesondere diejenigen zu gleichabstandigen

Stutzstellen) konvergieren haufig nicht gegen f (siehe Beispiele in Kapitel 3). Diese Divergenz

ubertragt sich auf die Newton-Cotes-Formeln, die dann fur große Werte von n keine brauch-

baren Naherungswerte fur die gesuchten Integrale mehr liefern.

Fur n = 8 und n ≥ 10 treten in den Newton-Cotes-Formeln negative Gewichte auf. Dann gilt

zwar nach Satz 6.2 immer nochn∑

j=0

wj = 1,

abern∑

j=0

|wj | > 1.

Der Satz von Kusmin, den wir hier ohne Beweis angeben, besagt sogar, dass

limn→∞

n∑

j=0

|wj | → ∞

gilt. Die negativen Gewichte fuhren bei der numerischen Auswertung von (6.2) zu

Ausloschung. Die Newton-Cotes-Formeln sind daher fur n ≥ 10 zusatzlich zur oben disku-

tierten Problematik auch numerisch unbrauchbar.

6.2 Summierte Quadraturformeln

Zur Umgehung der soeben angesprochenen Divergenzeigenschaft der Newton-Cotes-

Formeln hoherer Ordnung unterteilt man das Intervall [a, b] in Teilintervalle und benutzt auf

jedem Teilintervall eine Newton-Cotes-Formel festen Grades. Im einfachsten Fall ist dies die

summierte Trapezregel.

Beispiel 6.6 (Summierte Trapezregel)

Fur n = 1 liefert die Unterteilung von [a, b] mit m+1 gleichabstandigen Stutzstellen xi = a+ ih,

i = 0, 1, . . . ,m, mit Schrittweite h = (b − a)/m die summierte Trapezregel

∫ b

a

f(x) dx =

m−1∑

i=0

∫ xi+1

xi

f(x) dx ≈m−1∑

i=0

h

2

(f(xi) + f(xi+1)

)

=h

2

(f(x0) + 2f(x1) + · · · + 2f(xm−1) + f(xm)

)=: Tf (h).

Die zugehorige Fehlerabschatzung folgt aus der

Fehlerabschatzung der Trapezregel (6.5), indem

man diese auf jedem Teilintervall anwendet.

Fur eine zweimal stetig differenzierbare Funktion

erhalt man

a b

Abb. 6.3: Summierte Trapezregel.

∣∣∣∣∫ b

a

f(x) dx − Tf (h)

∣∣∣∣ ≤m−1∑

i=0

1

12h3

∥∥f ′′∥∥∞

=m

12h3

∥∥f ′′∥∥∞

=(b − a)

12h2

∥∥f ′′∥∥∞

.

Der Quadraturfehler der summierten Trapezregel strebt mit dem Quadrat der Schrittweite hgegen Null.


Ist f hinreichend oft differenzierbar, lasst sich fur die summierte Trapezregel eine asymptoti-

sche Entwicklung nach Potenzen von h2 angeben.

Satz 6.7 Es sei f ∈ C2r+2[a, b], r ≥ 0, sowie h = (b − a)/m. Dann gilt fur die summierte

Trapezregel

Tf (h) =h

2

(f(x0) + 2

m−1∑

i=1

f(xi) + f(xm))

die folgende Darstellung:

Tf (h) =

∫ b

a

f(x) dx +

r∑

j=1

cjh2j + Rr(h) (6.6)

mit von h unabhangigen Konstanten cj , j = 1, 2, . . . , r, und dem Fehlerterm Rr(h), fur welchen

Zahlen h0, C > 0 existieren, so dass

|Rr(h)| ≤ Ch2r+2 fur 0 ≤ h ≤ h0

gilt.

Beweis: Siehe z.B. Plato: Numerische Mathematik kompakt. Vieweg, 3. Aufl. 2006. 2

6.3 Extrapolation mit dem Romberg-Verfahren

Die asymptotische Entwicklung (6.6) kann man benutzen, um aus verschiedenen summierten

Trapeznaherungen fur das selbe Integral bessere Naherungswerte zu berechnen, als sie die

einzelnen Trapezwerte selbst liefern. Dies geschieht durch Bildung gewichteter Mittelwerte der

Trapeznaherungen. Der Vorteil dieser Vorgehensweise liegt im erheblich reduzierten Aufwand,

der zur Erzielung einer gewunschten Genauigkeit notwendig ist. Im Verhaltnis zur aufwandigen

Berechnung eines Funktionswerts von f ist die Berechnung der gewichteten Mittelwerte in

Bezug auf die benotigte Gesamtrechenzeit in der Regel vernachlassigbar.

Bei der Berechnung summierter Trapeznaherungen ist es offenbar geschickt, die Anzahl der

verwendeten Teilintervalle iterativ zu verdoppeln, damit man bereits berechnete Funktionswer-

te bei der verfeinerten Unterteilung wieder verwenden kann. Beim Romberg-Verfahren star-

tet man mit der Trapeznaherung fur das Ausgangsintervall [a, b], also mit 20 Teilintervallen

der Lange h0 = (b − a)/20. Im n-ten Halbierungsschritt werden 2n Teilintervalle der Lange

hn = (b − a)/2n verwendet. Die zugehorigen summierten Trapeznaherungen werden im Fol-

genden mit Tn bezeichnet.

Beispiel 6.8 Berechnung von

∫ 2

1

dx

x= ln 2 = 0.6931471806 . . .

mit summierten Trapeznaherungen.


Mit den Schrittweiten h0 = 1, hn =h0

2n=

1

2nfolgt:

T0 = h0

(f(1)

2+

f(2)

2

)=

1

2+

1

4=

3

4= 0.75,

T1 = h1

(f(1)

2+ f

(3

2

)+

f(2)

2

)

=1

2h0

(f(1)

2+

f(2)

2

)

︸︷︷︸T0

+1

2h0f

(3

2

)

︸︷︷︸=:M1

=1

2

(3

4+

2

3

)≈ 0.708334,

T2 = h2

(f(1)

2+ f

(5

4

)+ f

(3

2

)+ f

(7

4

)+

f(2)

2

)

=1

2h1

(f(1)

2+ f

(3

2

)+

f(2)

2

)

︸︷︷︸T1

+1

2h1

(f(5

4

)+ f

(7

4

))

︸︷︷︸=:M2

=1

2

(17

24+

24

35

)≈ 0.697025,

M2 = h2

(f(9

8

)+ f

(11

8

)+ f

(13

8

)+ f

(15

8

))≈ 0.691220,

T3 =1

2(T2 + M2) ≈ 0.694123.

Die Hilfsvariablen Mn enthalten die summierten Funktionswerte der im n + 1-ten Halbierungs-

schritt neu hinzukommenden Stutzstellen.

Fur dieses Beispiel gilt wegen b − a = 1, h3 =1

8und

∥∥f ′′∥∥∞

=

∥∥∥∥2

x3

∥∥∥∥∞

= 2

die Fehlerabschatzung ∣∣∣∣∫ 2

1

dx

x− T3

∣∣∣∣ ≤1

12· 1

64· 2 =

1

384,

woraus die Inklusion

ln 2 ∈ [T3 −1

384, T3 +

1

384] = [0.691517, 0.696725]

folgt.

Will man den Wert von ln 2 mit dieser Methode auf mindestens funf Dezimalstellen genau

bestimmen, ist ein n ∈ N gesucht, so dass

∣∣∣∣∫ 2

1

dx

x− Tn

∣∣∣∣ ≤1

210−5 (6.7)

gilt. Die Fehlerabschatzung1

12· 1

4n· 2

!≤ 1

210−5

liefert

n ≥ ln(100000) − ln 3

ln 4= 7.51 . . . .


Fur n = 8 ist (6.7) also erfullt, d.h. T8 ist eine auf (mindestens) funf Dezimalstellen genaue

Naherung von ln 2.

Man kann nachrechnen, dass (6.7) bereits von T7, nicht jedoch von T6 erfullt wird. Die Berech-

nung von T8 erfordert 28 + 1 = 257 Funktionswerte von f , die Berechnung von T7 immerhin

noch 27 + 1 = 129 Funktionswerte von f .

Die berechneten Trapeznaherungen T0, T1, T2 und T3 wollen wir nun zur Extrapolation nutzen.

Diese beruht auf der asymptotischen Fehlerentwicklung (6.6). Setzt man in (6.6) neben h auch

2h ein, erhalt man

Tf (h) =

∫ b

a

f(x) dx + c1h2 + c2h

4 + · · · + crh2r + Rr(h), (6.8)

Tf (2h) =

∫ b

a

f(x) dx + 4c1h2 + 16c2h

4 + · · · + 4rcrh2r + Rr(2h). (6.9)

Durch Multiplikation von (6.8) mit 4 und Subtraktion von (6.9) ergibt sich:

4Tf (h) − Tf (2h) = 3

∫ b

a

f(x) dx − 12c2h4 − 60c3h

6 − · · · − (4r − 4)crh2r + 4Rr(h) − Rr(2h).

Berechnet man also (fur beliebiges h) aus den summierten Trapezwerten Tf (h) und Tf (2h)den Wert

Tf (h) :=4 Tf (h) − Tf (2h)

3,

dann ist Tf (h) ebenfalls eine Naherung des gesuchten Integrals. Tf (h) genugt der verbesser-

ten asymptotischen Fehlerentwicklung

Tf (h) =

∫ b

a

f(x) dx + c2h4 + · · · + crh

2r + Rr(h) (6.10)

mit von h unabhangigen Konstanten cj , j = 2, 3, . . . , r.

Eine gewichtete Mittelwertbildung kann analog auf die Werte Tf (h) und Tf (2h) angewandt

werden. Fur

˜T f (h) :=

16 Tf (h) − Tf (2h)

15gilt die asymptotische Fehlerentwicklung

˜T f (h) =

∫ b

a

f(x) dx + ˜c 3h6 + · · · + ˜c rh

2r +˜R r(h), (6.11)

sofern f hinreichend oft differenzierbar ist. Man beachte, dass der Quadraturfehler in (6.10)

mit h4, in (6.11) sogar mit h6 gegen Null strebt.

Das Romberg-Verfahren zur Konvergenzbeschleunigung bei der numerischen Integration mit

der Trapezmethode setzt die beschriebene Methode fort. Man setzt fur n = 0, 1, . . .

hn :=b − a

2n, Tn,0 := Tf (hn).

Die Werte Tn,0 bilden die erste Spalte des Romberg-Schemas. Die weiteren Spalten werden

durch die Rekursionsformel

Tn,k =4k · Tn,k−1 − Tn−1,k−1

4k − 1, n = 1, 2, . . . , k = 1, 2, . . . , n

berechnet. Dabei werden keine zusatzlichen Funktionswerte von f benotigt. Ist f hinreichend

oft differenzierbar, dann konvergiert jede Spalte des Romberg-Schemas mit zwei Potenzen

von h schneller gegen das gesuchte Integral als die vorangehende Spalte.


0. Spalte 1. Spalte 2. Spalte 3. Spalte

T0 = T0,0

T1 = T1,0 /3: T1,1 =41 · T1,0 − T0,0

41 − 1

T2 = T2,0 /3: T2,1 =41 · T2,0 − T1,0

41 − 1/15: T2,2 =

42 · T2,1 − T1,1

42 − 1

T3 = T3,0 /3: T3,1 =41 · T3,0 − T2,0

41 − 1/15: T3,2 =

42 · T3,1 − T2,1

42 − 1/63: T3,3 =

43 · T3,2 − T2,2

43 − 1

Tabelle 6.2: Romberg-Schema.

AA-1

·4

AA-1

·4

AA-1

·4

AA-1

·16

AA-1

·16

AA-1

·64

Beispiel 6.9 Berechnung von

∫ 2

1

dx

xmit dem Romberg-Schema.

0. Spalte 1. Spalte 2. Spalte 3. Spalte

T0,0 = 0.750000

T1,0 = 0.708334 /3: T1,1 = 0.694445

T2,0 = 0.697025 /3: T2,1 = 0.693255 /15: T2,2 = 0.693176

T3,0 = 0.694123 /3: T3,1 = 0.693157 /15: T3,2 = 0.693150 /63: T3,3 = 0.693150

Tabelle 6.3: Berechnung eines Integrals mit dem Romberg-Schema.

AA-1

·4

AA-1

·4

AA-1

·4

AA-1

·16

AA-1

·16

AA-1

·64

T3,3 stimmt (ebenso wie T8,0) auf funf Dezimalstellen mit dem exakten Wert des Integrals uber-

ein. Wahrend die Berechnung von T8,0 aber 257 Funktionswerte von f erfordert, werden fur

T3,3 nur 23 + 1 = 9 Funktionswerte von f benotigt.

6.4 Gauß-Quadratur

Bereits bei der Polynom-Interpolation hatten sich aquidistante Stutzstellen haufig als nachtei-

lig erwiesen. Dieser Nachteil hatte sich auf die Newton-Cotes-Formeln zur numerischen Inte-

gration mit aquidistanten Stutzstellen ubertragen. In diesem Abschnitt wird nun ein auf Gauß

zuruckgehender Ansatz entwickelt, bei dem die Stutzstellen nicht aquidistant gewahlt, sondern

mit den Gewichten bestimmt werden.

Zu einem gegebenen Intervall [a, b] sind im Folgenden fur ein n ∈ N Stutzstellen

x1, x2, . . . , xn ∈ [a, b] und reelle Gewichte w1, w2, . . . , wn gesucht, so dass die Quadraturfor-

mel ∫ b

a

f(x) dx =n∑

i=1

wif(xi) (6.12)

einen moglichst hohen Genauigkeitsgrad besitzt. Ohne zusatzliche Uberlegungen zu benoti-

gen, konnen wir sogar eine etwas allgemeinere Aufgabenstellung betrachten, bei der das aus-

zuwertende Integral noch eine Gewichtsfunktion enthalt.


Definition 6.10 Eine positive, auf (a, b) stuckweise stetige und uber [a, b] integrierbare Funktion

heißt Gewichtsfunktion.

Wichtige Beispiele fur Gewichtsfunktionen sind die triviale Gewichtsfunktion ≡ 1 oder die

unbeschrankte Gewichtsfunktion

(x) =1√

(x − a)(b − x).

Anstelle von (6.12) betrachten wir also

∫ b

a

f(x)(x) dx =n∑

i=1

wif(xi) (6.13)

mit einer vorgegebenen Gewichtsfunktion . (6.12) ensteht aus (6.13) fur ≡ 1.

Beispiel 6.11 Es sei [a, b] = [0, 1], ≡ 1, n = 2. Wir bestimmen zwei Stutzstellen x1, x2 ∈ [0, 1]sowie zwei Gewichte w1, w2, so dass

∫ 1

0p(x) dx = w1p(x1) + w2p(x2) (6.14)

Polynome bis zum Hochstgrad 3 exakt integriert.

Wegen der Linearitat von (6.14) bezuglich p genugt es, (6.14) fur die Monome 1, x, x2, x3 zu

erfullen. Dieser Ansatz fuhrt auf das folgende nichtlineare Gleichungssystem:

p(x) = 1 : w1 + w2 = 1 (6.15)

p(x) = x : w1x1 + w2x2 =1

2(6.16)

p(x) = x2 : w1x21 + w2x

22 =

1

3(6.17)

p(x) = x3 : w1x31 + w2x

32 =

1

4(6.18)

Dieses Gleichungssystem lasst sich explizit losen. Wir setzen

q(x) := (x − x1)(x − x2) = x2 − (x1 + x2)x + x1x2 =: x2 + rx + s

und bestimmen zunachst r und s. Die Linearkombination s · (6.15) + r · (6.16) + (6.17) ergibt

s +1

2r +

1

3= w1 (s + rx1 + x2

1)︸︷︷︸=q(x1)=0

+w2 (s + rx2 + x22)︸︷︷︸

=q(x2)=0

= 0. (6.19)

Ebenso folgt aus s · (6.16) + r · (6.17) + (6.18)

1

2s +

1

3r +

1

4= w1x1 (s + rx1 + x2

1)︸︷︷︸=0

+w2x2 (s + rx2 + x22)︸︷︷︸

=0

= 0. (6.20)

(6.19) und (6.20) bilden ein lineares Gleichungssystem fur r und s mit der eindeutigen Losung

r = −1, s = 16 . Aus q(x) = x2 − x + 1

6 folgen die Stutzstellen

x1, x2 =1

2±

√3

6.


Setzt man diese Werte in (6.15) und (6.16) ein, erhalt man ein eindeutig losbares lineares

Gleichungssystem fur die Gewichte w1 und w2. Die Losung ist

w1 = w2 =1

2.

Die reichlich experimentelle Losungsmethode dieses Beispiels soll nun durch einen systema-

tischen Algorithmus ersetzt werden. Dazu fuhren wir zunachst Systeme von Orthogonalpoly-

nomen ein.

6.4.1 Orthogonale Polynome

Definition 6.12 Es bezeichne Π den Vektorraum der reellen Polynome sowie Πn den Vektor-

raum der reellen Polynome vom Hochstgrad n. sei eine gegebene Gewichtsfunktion. Dann

wird durch

< p, q > :=

∫ b

a

p(x)q(x)(x) dx

ein Skalarprodukt auf Π bzw. Πn eingefuhrt.

‖p‖ :=√

< p, p >

ist die induzierte Norm von p. Zwei Polynome p und q heißen orthogonal, wenn

< p, q >= 0

gilt. Das orthogonale Komplement von Πn (bezuglich Π) ist gegeben durch

Π⊥n := {q ∈ Π : < p, q >= 0 fur alle p ∈ Πn}.

Π⊥n ist wie Πn ein linearer Unterraum von Π.

Fur jede Gewichtsfunktion kann man eine Folge von Orthogonalpolynomen konstruieren (die

dann eine Orthogonalbasis von Π bilden), wenn man die Gram-Schmidt-Orthogonalisierung

auf die Monome 1, x, x2, . . . anwendet:

p0 := 1,

pn := xn −n−1∑

j=0

< xn, pj >

‖pj‖2 pj , n = 1, 2, . . . .(6.21)

Nach Konstruktion ist pn ein Polynom vom Grad n mit fuhrendem Koeffizienten 1. Außerdem

gilt pn ∈ Π⊥n−1. Die beiden letztgenannten Eigenschaften charakterisieren pn eindeutig.

Zur einfacheren Berechnung der pn kann man den folgenden Satz anwenden:

Satz 6.13 Die Orthogonalpolynome aus (6.21) genugen der Drei-Term-Rekursion

p0 = 1, p1 = x − β0,

pn+1 = (x − βn)pn − γ2npn−1, n = 1, 2, . . . .

(6.22)

mit

βn =< xpn, pn >

‖pn‖2 , n = 0, 1, . . . , γn =‖pn‖‖pn−1‖

, n = 1, 2, . . . .


Beweis: Wir zeigen die Behauptung mit vollstandiger Induktion. Fur p0 ist nichts zu zeigen, fur

p1 stimmt die angegebene Darstellung mit (6.21) uberein. Dies liefert den Induktionsanfang.

Als Induktionsvoraussetzung durfen wir nun annehmen, dass ein N ≥ 1 existiert, fur welches

die durch (6.22) definierten Polynome fur n = 0, 1, . . . , N mit den Polynomen aus (6.21) uber-

einstimmen. Im Induktionsschluss zeigen wir, dass das Polynom

q := (x − βN )pN − γ2NpN−1

mit dem Polynom pN+1 aus (6.21) ubereinstimmt.

Nach Konstruktion ist q ein Polynom vom Grad N + 1 mit fuhrendem Koeffizienten 1. Da es

nur ein solches Polynom in Π⊥N gibt (namlich pN+1), ist die Behauptung gezeigt, wenn wir

nachgewiesen haben, dass q zu allen Polynomen pn, n = 0, 1, . . . , N , orthogonal ist.

Sei zunachst r ∈ ΠN−2 beliebig. Dann gilt:

< q, r >=< xpN , r > −βN < pN , r >︸︷︷︸=0

−γ2N < pN−1, r >︸︷︷︸

=0

= < pN , xr >︸︷︷︸=0

= 0,

d.h. es ist q ∈ Π⊥N−2.

Fur n = N − 1 gilt:

< q, pN−1 > = < xpN , pN−1 > −βN < pN , pN−1 >︸︷︷︸=0

− < pN , pN >

< pN−1, pN−1 >< pN−1, pN−1 >

= < pN , xpN−1 > − < pN , pN >=< pN , xpN−1 − pN︸︷︷︸∈ΠN−1

>= 0,

d.h. es ist q ∈ Π⊥N−1.

Fur n = N gilt:

< q, pN > = < xpN , pN > −βN < pN , pN > −γ2N < pN−1, pN >︸︷︷︸

=0

= βN ‖pN‖2 − βN ‖pN‖2 = 0,

womit schließlich auch q ∈ Π⊥N gezeigt ist. 2

Satz 6.14 Die Nullstellen x1, x2, . . . , xn von pn sind einfach und liegen alle im offenen Intervall

(a, b).

Beweis: Es seien

a < x1 < x2 < · · · < xm < b (0 ≤ m ≤ n)

diejenigen Nullstellen von pn mit ungerader Vielfachheit. Dann ist

qm(x) :=m∏

i=1

(x − xi)

ein Polynom vom Grad m und das Polynom

pn(x) · qm(x)

besitzt auf [a, b] keine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Auf ganz [a, b] gilt also entweder

pn qm ≥ 0 oder pn qm ≤ 0. Da pn qm nur an endlich vielen Stellen verschwindet, folgt

< pn, qm >=

∫ b

a

pn(x)qm(x)(x) dx 6= 0.

Da aber pn zu allen Polynomen vom Hochstgrad n − 1 orthogonal ist, muss qm (mindestens)

den Grad n besitzen. Daraus folgt die Behauptung. 2


6.4.2 Stutzstellen und Gewichte bei der Gauß-Quadratur

Die Berechnung der Stutzstellen und Gewichte bei der Gauß-Quadratur beruht auf den im

letzten Abschnitt eingefuhrten Orthogonalpolynomen.

Satz 6.15 Es sei [a, b] ein reelles Intervall und eine Gewichtsfunktion auf [a, b]. Fur n ∈ N

seien x1, x2, . . . , xn ∈ [a, b] paarweise verschiedene Zahlen sowie w1, w2, . . . , wn ∈ R beliebige

Gewichte. Fur j = 1, 2, . . . , n seien

Lj(x) :=n∏

i=1i6=j

(x − xi)

(xj − xi)

die zu x1, x2, . . . , xn gehorenden Lagrange’schen Basispolynome.

Dann gilt ∫ b

a

p(x)(x) dx =n∑

j=1

wjp(xj) fur alle p ∈ Π2n−1 (6.23)

genau dann, wenn die folgenden Bedingungen erfullt sind:

(i) x1, x2, . . . , xn sind die Nullstellen des n-ten Orthogonalpolynoms aus (6.21).

(ii) Die Gewichte lauten

wj =< Lj , 1 > fur j = 1, 2, . . . , n.

Beweis:

(i) ist notwendig: Es gelte (6.23) und es sei

q(x) :=n∏

i=1

(x − xi).

Da q in Πn liegt, gilt fur m = 0, 1, . . . , n − 1 wegen (6.23)

< q, xm >=< qxm, 1 >=n∑

j=1

wjxmj · q(xj)︸︷︷︸

=0

= 0,

d.h. es gilt q ∈ Π⊥n−1. Nach Konstruktion besitzt q den fuhrenden Koeffizienten 1, also muss

q = pn gelten.

(ii) ist notwendig: Es gelte (6.23). Dann folgt fur k = 1, 2, . . . , n:

< Lk, 1 >=n∑

j=1

wj Lk(xj)︸︷︷︸=δjk

= wk.

(i) und (ii) sind hinreichend: Es sei p ∈ Π2n−1 ein beliebiges Polynom. Mit Hilfe von Polynom-

division lasst sich p darstellen als

p = q · pn + r

mit Polynomen q, r ∈ Πn−1. Sind (i) und (ii) erfullt, folgt wegen pn(xi) = 0

p(xi) = r(xi) fur i = 1, 2, . . . , n.


Also gilt

r(x) =

n∑

j=1

r(xj)Lj(x) =

n∑

j=1

p(xj)Lj(x)

und somit

< p, 1 >=< qpn, 1 > + < r, 1 >= < q, pn >︸︷︷︸=0

+ < r, 1 >=n∑

j=1

p(xj) < Lj , 1 > .

2

Bemerkung 6.16

1. Die in Satz 6.15 formulierte Quadraturformel heißt Gauß-Quadratur.

2. Wegen L2k ∈ Π2n−2 folgt aus (6.23):

< Lk, Lk >︸︷︷︸>0

=< L2k, 1 >=

n∑

j=1

wj L2k(xj)︸︷︷︸=δjk

= wk,

d.h. bei der Gauß-Quadratur sind alle Gewichte positiv.

3. Satz 6.15 besagt, dass der Genauigkeitsgrad der Gauß-Quadratur (6.23) mindestens

2n− 1 ist. Dass die Gauß-Quadratur keinen hoheren Genauigkeitsgrad besitzt, zeigt das

Beispiel

p(x) =

n∏

j=1

(x − xj)2.

p ist ein Polynom vom Grad 2n, es ist p(x) ≥ 0 und∫ b

ap(x)(x) dx > 0, aber p(xj) = 0 fur

alle j und somit auchn∑

j=1

wjp(xj) = 0.

4. Zur Auswertung der Summe in (6.23) werden n Funktionswerte von f benotigt. Eine aus

n Funktionswerten von f gebildete Newton-Cotes-Formel benotigt den gleichen Aufwand

zur Auswertung, besitzt aber hochstens den Genauigkeitsgrad n.

Beispiel 6.17 Es sei [a, b] = [0, 1], ≡ 1, n = 2. Wir berechnen die Nullstellen und Gewichte

der zugehorigen Gauß-Quadratur mit Satz 6.13. Aus p0 = 1 folgt zunachst

β0 =< x, 1 >

< 1, 1 >=

1

2, p1(x) = x − 1

2.

Hieraus werden β1 und γ21 berechnet:

β1 =< xp1, p1 >

< p1, p1 >=

∫ 10 (x3 − x2 + 1

4x) dx∫ 10 (x2 − x + 1

4) dx=

14 − 1

3 + 18

13 − 1

2 + 14

=1

2,

γ21 =

< p1, p1 >

< p0, p0 >=

1

12.


Die Nullstellen von

p2(x) = (x − 1

2)p1(x) − 1

12p0(x) = (x − 1

2)2 − 1

12= x2 − x +

1

6

sind

x1, x2 =1

2∓

√3

6,

woraus man die Gewichte

w1 =

∫ 1

0

x − x2

x1 − x2dx =

1

2, w2 =

∫ 1

0

x − x1

x2 − x1dx =

1

2

erhalt. Der Genauigkeitsgrad dieser Quadraturformel ist 2n − 1 = 3 (vgl. Beispiel 6.11).

Bemerkung 6.18

1. Eine praktische Schwierigkeit bei der Gauß-Quadratur besteht in der Berechnung

der Nullstellen der Orthogonalpolynome. Fur große Werte von n ist dies numerisch

aufwandig. Allerdings mussen die Gewichte fur jede Gewichtsfunktion nur einmal be-

rechnet werden. Anschließend konnen die Werte in Tabellen gespeichert werden.

2. Wie bei den Newton-Cotes-Formeln kann man die Gauß-Quadratur auch summiert an-

wenden. Dies ist fur große Integrationsbereiche eventuell vorteilhafter als die Berech-

nung einer Gauß-Quadraturformel fur einen sehr großen Wert von n.

Index

a posteriori-Abschatzung, 29, 41

a priori-Abschatzung, 29, 41

Abstiegsverfahren, 67

Algorithmus, 11

determinierter, 12

deterministischer, 12

Ansatzfunktion

bei der Methode der kleinsten Quadrate,

118

Approximation, 98

Argumentreduktion, 96

Ausgleichsgerade, 119

Ausgleichsproblem, 85

Ausgleichsrechnung

nichtlineare, 123

Auswahlanweisung, 16

Banach’scher Fixpunktsatz

im Rn, 41

in R, 29

Bisektionsverfahren, 37

cg-Verfahren, 70

Konvergenzverhalten, 73

diagonaldominate Matrix, 52

Einzelschrittverfahren, 63

Eliminationsmatrix, 48

Energienorm, 66

Extrapolation, 98

Fixpunkt, 27

abstoßender, 31

anziehender, 31

Fixpunktiteration, 27

im Rn, 42

Fixpunktsatz

von Banach

im Rn, 41

in R, 29

Fourier-Reihe, 115

Fourier-Transformation

diskrete, 115

Gauß-Markov

Satz von, 118

Gauß-Newton-Verfahren, 123

Gauß-Seidel-Verfahren, 63

Gesamtschrittverfahren, 62

Gleitpunktsystem, 9

Gleitpunktzahl, 9

normalisierte, 9

Gram-Schmidt-Orthogonalisierung, 77

Hermite-Interpolation, 107

Householder-Matrix, 79

Householder-Transformation, 79

Interpolation, 98

Polynom-Interpolation, 98

Spline-Interpolation, 107

stuckweise lineare, 108

trigonometrische, 115

Interpolationsfehler

bei der Polynom-Interpolation, 100, 103

bei der Spline-Interpolation, 113

Interpolationspolynom

Darstellung von Lagrange, 98

Darstellung von Newton, 99

iterationsfahige Gestalt, 26

Iterationsverfahren, 27

Jacobi-Verfahren, 62

kleinste Quadrate

Methode der, 85, 117

Kondition

einer Matrix, 57

kontrahierende Abbildung, 28

im Rn, 41

Kontraktion, 28

Kontraktionskonstante, 28

Konvergenzordnung

eines Iterationsverfahrens, 32

Krylov-Raum, 71

Landau-Symbol, 22

LGS

uberbestimmtes, 85

144


unterbestimmtes, 87

LU -Zerlegung, 49

Aufwand der, 52

Mantisse, 9

Maple, 15

Prozedur, 19

Matrix

orthogonale, 76

positiv definite, 66

Methode der kleinsten Quadrate, 85, 117

Methode des steilsten Abstiegs, 68

Konvergenzverhalten, 69

Modellbildung, 7

Modellfehler, 7

Newton-Verfahren

fur reellwertige Funktionen, 34

quadratische Konvergenzordnung, 35

vereinfachtes, 36

im Rn, 44

Norm, 38

Matrixnorm, 38

Frobenius-Norm, 38

induzierte, 39

Spaltensummennorm, 40

Spektralnorm, 40

submultiplikative, 39

vertragliche, 39

Zeilensummennorm, 40

Vektornorm, 38

Normalgleichungssystem, 85

PALU -Zerlegung, 55

Permutationsmatrix, 53

elementare, 53

Pivotelement, 56

Polynom-Interpolation, 98

positiv definite Matrix, 66

Prozedur, 18

globale Variable, 20

lokale Variable, 20

Parameterliste, 19

QR-Zerlegung, 76, 79

reduzierte, 79

Rechnen

numerisches, 8

symbolisches, 8

regula falsi, 38

Relaxation, 33

Residuum, 60

Restglied

eines Taylor-Polynoms, 94

Rundungsfehler, 10

Satz von

Gauß-Markov, 118

Taylor, 93

Schleife, 15

Sekantenverfahren, 36

Selbstabbildung, 27

Spline

kubischer, 108

Minimierungseigenschaft, 112

naturlicher, 109

not-a-knot Spline, 109

periodischer, 109

Randbedingungen, 109

zur Parameterdarstellung einer Kurve,

114

Spline-Interpolation, 107

Splitting-Verfahren, 62

Standardfunktion, 91

Steigung, 99

n-ter Ordnung, 99

verallgemeinerte, 110

Steigungsschema, 101

Taylor

Satz von, 93

Taylor-Polynom, 93

Taylor-Reihe, 94

Tschebyscheff-Polynom, 105

Tschebyscheff-Stutzstellen, 106

Turing-Maschine, 11

Vorkonditionierung, 74

Numerische Mathematik fur¨ das Lehramt -...

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