Numerische Simulation von Überschallströmungen über eine rückspringende Stufe

Studienarbeit des Instituts fr Strmungsmechanik - TU Braunschweig

Studenarbeit Nr. 529

Numerische Simulation von berschallstrmungen

ber eine rckspringende Stufe

Claus-Philipp Hhne

Institut:

Technische Universitt Braunschweig

Institut fr Strmungsmechanik

Bienroder Weg 3, 38114 Braunschweig

Braunschweig, im Dezember 2008

Geschftsfhrender Leiter: Verfasser:

Prof. Dr.-Ing. R. Radespiel Claus-Philipp Hhne

Matr. Nr. 2767985

Betreuer: Die Arbeit enthlt:

Dipl.-Ing. N. Krimmelbein 118 Seiten

69 Abbildungen

41 Literaturstellen

10 Tabellen

bersicht

Eine dreidimensionale Detached Eddy Simulation und eine extra Large Eddy Simu-

lation einer berschallstrmung wurde durchgefhrt, um einen Vergleich dieser bei-

den hybriden Anstze anstellen zu knnen. Als Geometrie wurde eine rckspringende

Stufe herangezogen, da diese eine Vielzahl von interessanten Strmungsbedingungen

wie eine Expansion und eine Kompression beinhaltet. Es wurden zwei verschiedene

Flle betrachtet, die sich im Anlauf der Strmung (laminar/turbulent) unterschei-

den und in der Reynoldszahl. Die in dieser Arbeit entstandenen Ergebnisse wurden

anschlieend untereinander sowie mit experimentellen und RANS Ergebnissen ver-

glichen. Zur Lsung des Strmungsfeldes wurde der DLR Tau-Code verwendet.

1

Inhaltsverzeichnis

Nomenklatur i

1 Einleitung 1

2 Die rckspringende Stufe 3

2.1 Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 berblick ber vorhandene Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Theoretischer Hintergrund 7

3.1 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1.1 Navier-Stokes Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1.2 Reynolds Averaged Navier-Stokes Gleichungen . . . . . . . . . 10

3.1.3 Large-Eddy Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.4 Hybride Anstze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Wrmebergang an einer Flche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Kolmogorov Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Der tau-Code 24

4.1 Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Diskretisierungsschemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3 dual-time-stepping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Durchfhrung 30

5.1 Initialisieren einer Detached-Eddy Simulation . . . . . . . . . . . . . 33

5.2 Mittelung der instationren Gren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.3 Spektralanalyse an diskreten Punkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 Ergebnisse 37

6.1 Einuss der Netztopologie auf den RANS Bereich . . . . . . . . . . . 38

6.2 Abhngigkeit der Lsung von der Netzfeinheit . . . . . . . . . . . . . 39

6.3 Abhngigkeit der Lsung von der Zeitschrittgre . . . . . . . . . . . 40

i

6.4 Vergleich der Detached-Eddy Simulation und der extra Large-Eddy

Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.5 Visualisierung der Strmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.5.1 2D Visualisierung der Strmung . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.5.2 3D Visualisierung der Strmung . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.6 Vergleich des Wrmebergangs der DES Lsung, der RANS Lsung

und des Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.7 Spektralanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7 Zusammenfassung 49

8 Abbildungen 51

Literaturverzeichnis 95

A DES Parameterle 103

ii

Nomenklatur

Lateinische Formelzeichen

CDES DES Kalibrierkonstante

CS LES Kalibrierkonstante

d Wandabstand

d DES Wandabstand

D knstliche Dissipation

e spezische innere Energie

E massenspezische totale EnergieF Flussdichtetensor~F Flussdichtevektor in x Richtung~G Flussdichtevektor in y Richtung~H Flussdichtevektor in z Richtung

H massenspezische Gesamtenthalpie

k turbulente kinetische Energie

K Wrmeleitfhigkeit

~n Normaleneinheitsvektor

Nu Nusselt Zahl

p Druck

Pr Prandtl Zahl

q Wrmestromdichte

Q Wrmestrom~Q Fluss ber die Berandung von V

R Gaskonstante~R ResiduumRe Reynolds Zahl

S Oberche des Kontrollvolumens

S Wirbelgre

Sc Sutherland Konstante

St Stanton Zahl

i

t Zeit

t Zeitintervall

T Temperatur

u x Geschwindigkeitskomponente

v y Geschwindigkeitskomponente

w z Geschwindigkeitskomponente

V Kontrollvolumen~W Vektor der konservativen Variablen

Griechische Formelzeichen

ij Kronecker-Symbol ij =

{1 bei i = j

0 bei i 6= j Wrmebergangskoezient Isentropenexponent

Wrmeleitfhigkeit

dynamische Viskositt

t Wirbelviskositt

Dichte

Schubspannungstensor

spezische Dissipation

Wirbelzhigkeit

Indizes

FreistrmungsbedingungenFS Feinstruktur

GS Grobstruktur

k konvektiver Anteil

l laminar

t turbulent

v viskoser Anteil

w an der Wand

ii

Abkrzungen

CFL Courant-Friedrichs-Lewy Zahl

DES Detached-Eddy Simulation

LES Large-Eddy Simulation

NS Navier-Stokes

RANS Reynolds Averaged Navier-Stokes

SGS Subgrid-scale model

URANS Unsteady Reynolds Averaged Navier-Stokes

xLES extra Large-Eddy Simulation

iii

1 Einleitung

Diese Studienarbeit befasst sich mit der Simulation einer Strmung ber eine rck-

springenden Stufe. Dabei bauen die Untersuchungen auf experimentellen Ergebnis-

sen von Smith [34] und auf den numerischen Ergebnissen von Candoi [2] auf.

Der Fall einer rckspringenden Stufe ist im Vergleich zu einer Tunnelstrmung kom-

plexer, da nicht nur die Wandeekte auftreten, sondern die Strmung zustzlich

signikant durch die freie Scherschicht, das Rckstromgebiet und den Wiederan-

legebereich beeinusst wird. Aus diesem Grund benutzt man die Geometrie einer

rckspringenden Stufe oft zur Validierung eines numerischen Strmungslsers. Des

Weiteren treten Rcksprnge der aerodynamischen Kontur bei Raketenfahrzeugd-

sen und Wiedereintrittskapseln [21] auf. Die Sprnge spielen bei der Formgebung

eines Wiedereintrittssystems eine groe Rolle, da an diesen Stellen ein sehr hoher

Wrmebergang entsteht. Dieser Eekt fhrte unter anderem zu dem Unfall der

Columbia am 1. Februar 2003, bei dem ein Teil des Treibstotanks beim Starten

mit dem Hitzeschild an der Flgelvorderkante kollidierte und ein Loch in das Hitze-

schild schlug (Abbildung 8.1 ). Dadurch entstand eine hnliche Geometrie wie bei

einer rckspringenden Stufe, wodurch beim Wiedereintritt in die Erdatmosphre ein

zu hoher Wrmebergang an dieser Stelle auftrat und die Struktur durch die hohen

Temperaturen versagte [24].

Im Folgenden wird die Lsung einer rckspringenden Stufe mit Hilfe einer Detached-

Eddy Simulation (DES) und einer extra Large-Eddy (xLES) Simulation vorgestellt.

Zu der Simulation wird der vom DLR entwickelte numerische Strmungslser TAU,

Version 2007, fr unstrukturierte Netze verwandt. Dabei werden, wie in Kapitel 5

beschrieben, Lsungen auf verschiedenen Netzen durchgefhrt. Die benutzten Netze

bauen auf dem Netz von Candoi [2] auf und werden mit dem Netzgenerator Cen-

taur vergrbert und verfeinert. Weiterhin werden Rechnungen mit verschiedenen

Zeitschritten durchgefhrt. Die Vernderung des Netzes und des Zeitschrittes dient

dazu, die Abhngigkeit der Lsung von der Gittergre und der Zeitschrittgre

zu ermitteln. Des Weiteren werden simulierte Hitzdrahtmessungen an charakteristi-

schen Punkten der Strmung durchgefhrt, damit die turbulenten Schwankungsbe-

1

1 Einleitung

wegungen und die Mittelwerte der turbulenten Korrelationen aufgenommern werden

knnen. Hierzu muss eine Vernderung des TAU-Codes vorgenommen werden, da

eine solche Messung nicht implementiert ist.

2

2 Die rckspringende Stufe

2.1 Geometrie

Die rckspringende Stufe weist eine sehr einfache Geometrie auf, bei der aber eine

sehr komplexe Strmung entsteht. In Bild 8.2 sind die Geometrie und die charakteris-

tischen Strmungsgebiete vereinfacht nach Chapman [4] dargestellt. Hierbei strmt

eine berschallstrmung (Ma > 1) von links ber die rckspringende Stufe. Da-

durch entsteht an der Basisecke der Stufe eine Prandtl-Meyer-Expansion, die aus

einer unendlich groen Zahl an Machwellen besteht. In diesem Gebiet nimmt die

Dichte ab und die Machzahl zu. Weiterhin lst sich die laminare/turbulente Grenz-

schicht an der Basisecke ab und geht in eine freie Scherschicht ber, die sich weiter

stromabwrts in einem Punkt, abhngig von den Strmungsgren, wieder anlegt.

Die freie Scherschicht grenzt die freie Strmung von einem Rckstrmgebiet ab.

Das Rckstrmgebiet entsteht in der unteren Ecke und liegt im Unterschallbereich.

Diese Eigenschaft wird zum Beispiel bei Scramjet-Antrieben fr die Einspritzung

ausgenutzt. Die freie Scherschicht legt sich hinter dem Rckstrmgebiet im hinteren

Staupunkt wieder an; das hat einen Rekompressionssto zur Folge.

Auf Grund der Komplexitt der Strmung ist die rckspringende Stufe zu einem

anerkannten Problem einer turbulenten Strmung mit Ablsung geworden. Durch

die Erforschung des Scramjet-Antriebs und des hierbei entstehenden Problems der

Einspritzung [8] wurden schon in den 80er Jahren erste experimentelle Versuche

durchgefhrt. Im Laufe der Computerisierung wurden die Experimente numerisch

nachgerechnet, um einerseits bei einem solchen komplexen Fall die Genauigkeit der

numerischen Methode zu berprfen und um anderseits mit einem validierten Str-

mungslser neue Erkenntnisse, bei anderen Strmungsbedingungen, ber die rck-

springende Stufe zu erlangen. Des Weiteren wurde die Erforschung dieser grundle-

genden Geometrie im Bereich der Raumfahrttechnik verstrkt vorangetrieben, da

die rckspringende Stufe sehr hug bei Wiedereintrittsfahrzeugen im Hyperschall

[21] auftritt. Somit stehen uns heute eine Vielzahl von experimentellen [8][13][14]

[23] und numerischen [41][28] [22] Ergebnissen zur Verfgung.

3


2.2 berblick ber vorhandene Ergebnisse

Im Folgenden wird ein kleiner berblick ber bereits gettigte Untersuchungen ge-

geben. Dabei stehen hauptschlich numerische Ergebnisse und die dazugehrigen

Experimente im Mittelpunkt.

Sahu [28] machte umfangreiche numerische Untersuchungen, die den aerodynami-

schen Widerstand an Projektilen zugrunde legten. Dabei benutzte er ein zylindri-

sches Heckteilmodell mit einer Anstrmung von Ma = 2.46 und einem Anstellwinkel

von = 0. Die Berechnung wurde mit drei verschiedenen Turbulenzmodellen durch-

gefhrt. Zu diesem Zweck benutzte er das Baldwin-Lomax und das Chow Modell, die

beide algebraische Modelle sind, sowie das k- Zwei-Gleichungsmodell von Chien. Die

Untersuchung zielte auf die Darstellung des Machzahlfelds und der Wanddruckver-

teilung hinter der Stufe ab, um zu sehen, wie genau die drei verschiedenen Turbulenz-

modelle dieses wiedergeben knnen. Die experimentellen Untersuchungen von Herrin

[14] wurden als Grundlage und Vergleichsmglichkeit herangezogen. Es stellte sich

heraus, dass die beiden algebraischen Modelle das Verhalten im Rckstrmgebiet nur

schlecht darstellen knnen und dass die Ergebnisse aus dem Zwei-Gleichungsmodell

besser zu den experimentellen Ergebnissen passen. Dieselben Ergebnisse ergaben

sich fr die Wanddruckverteilung.

Auf den experimentellen Grundlagen von Harteld [13] aufbauend lste Yang [41]

die rckspringende Stufe mit Hilfe der instationren Euler-Gleichungen. Die Stufe

wurde dabei mit Ma = 2.0 berstrmt. Die Berechnung erfolgte auf einem hybriden

Gitter, das in Wandnhe blockstrukturiert und im Fernfeld unstrukturiert war. Ziel

der Untersuchung war die Einfhrung eines neuen Fehlerindikators, mit dem eine

adaptive Gitternderung durchgefhrt werden sollte. Dazu wurden die Ergebnisse

des Originalgitters und des adaptiv genderten Gitters mit den experimentellen Un-

tersuchungen von Harteld [13] verglichen und gezeigt, dass die Lsung des adaptiv

genderten Gitters besser mit dem Experiment bereinstimmt.

Manna [22] befasste sich mit der rckspringenden Stufe als Mglichkeit zur Stabilisie-

rung der Flamme in einer Scramjet-Brennkammer. Hierbei wurde die Einspritzung

des Treibstos hinter der Stufe vorgenommen, was eine bessere Vermischung und

eine stabilisierende Wirkung zur Folge hatte. Bei seiner Untersuchung unterschied

er zwei Flle: auf der einen Seite die nach oben oene rckspringende Stufe und

auf der anderen Seite die nach oben geschlossene Stufe. Das Strmungsfeld wurde

mit Hilfe der 3D Navier-Stokes Gleichungen in Verbindung mit einem k- Modell

gelst. Die Ausgangsgren bei der Rechnung waren eine Machzahl von Ma = 2 bei

4


einem statischen Druck von 39 kPa. Die Rechnung erfolgte fr beide Modelle auf

drei Gittern mit verschiedenen Feinheitsgraden. Hierbei stellte sich heraus, dass in

beiden Fllen das Strmungsprol sehr gut mit den Experimenten von Fletcher und

McDaniel [8] [23] bereinstimmte, aber einige Unterschiede in der Druckverteilung

an der Wand erkennbar waren. Dies lie sich auf die Unzulnglichkeit des Turbu-

lenzmodells fr eine solch komplexe Strmung zurckfhren. Des Weiteren wurden

noch Untersuchungen mit verschiedenen Stufenhhen durchgefhrt.

Einen weiteren Vergleich verschiedener Turbulenzmodelle (Spalart-Allmeras, Wil-

cox k- + MenterSST) fr eine 2D-Lsung hat Candoi [2] durchgefhrt. Im Gegen-

satz zu Yang [41] lste Candoi die Navier-Stokes Gleichungen auf einem hybriden

Gitter. Das Gitter war in Wandnhe blockstrukturiert und im Fernfeld unstruktu-

riert. Die Simulation wurde mit Ma = 2,5 fr zwei verschiedene Reynolds Zahlen

(Re1 = 460000, Re2 = 60000) durchgefhrt. Des Weiteren gab es eine Unterteilung

in Bezug auf die einkommende Strmung. Candoi lste dazu die Stufe einmal mit

einem rein laminaren Anlauf und einem rein turbulenten Anlauf. Das Hauptaugen-

merk der Arbeit lag dabei auf der Untersuchung des Wrmebergangs hinter der

Stufe. Dazu verglich er seine Ergebnisse mit den experimentellen Daten von Smith

[34]. Es zeigte sich, dass in dem Rckstrmgebiet ein sehr geringer Wrmebergang

vorherrschte, hingegen hinter dem Wiederanlegepunkt am Ansatz des Rekompressi-

onsschocks ein sehr hoher Wrmebergang stattfand. Des Weiteren ergab sich aus

den Simulationen, dass bei einem laminaren Anlauf und einer durchgehend lami-

naren Strmung der Wanddruck stark von der Stufenhhe abhing und betrchlich

hher war im Vergleich zu der theoretischen Vorhersage nach der Chapman Theory.

Die ersten Detached-Eddy Simulationen auf einem unstrukturierten Gitter an ei-

nem zylindrischen Heckteilmodell wurden von Forsythe [9] durchgefhrt. Ziel dieser

Rechnung war es, die Eektivitt einer DES Rechnung fr berschall (Ma = 2,46)

zu untersuchen. Wie Sahu [28] verglich auch Forsythe seine Ergebnisse mit den

Experimenten von Harrin und Dutton [14]. Dazu wurde erstens eine Zeitschritt-

analyse durchgefhrt, um den bestmglichen Zeitschritt zu ermitteln und zweitens

wurde eine Netzanalyse durchgefhrt, um die optimale Gittergre zu bestimmen.

Mit den gewonnenen Erkenntnissen fhrte Forsythe daraufhin weitere Untersuchen-

gen durch [10], in denen zwei verschiedene DES Modelle verglichen wurden. Zum

einen das Ein-Gleichungsmodell von Spalart-Allmeras und zum anderen das Zwei-

Gleichungsmodell basierend auf dem MenterSST. Strelets lste ein Jahr spter, auf-

bauend auf den ersten und einzigen Ergebnissen ber DES Rechnungen in kom-

pressiblen Strmungen von Forsythe [9], verschiedene geometrische Flle mit Hilfe

einer DES. Diese Flle bestanden im Einzelnen aus einem 3D NACA 0012 Prol,

5


der Strmung um einen Zylinder, einer rckwrtigen Stufe, einem Dreieck in einem

Kanal, einer sich erhhenden Rollbahn und einem Flugzeugfahrwerk. Die Rechnun-

gen wurde mit dem SA-DES Modell und mit dem SST-DES Modell durchgefhrt

und anschlieend mit den RANS Lsungen fr die zwei Turbulenzmodelle vergli-

chen. Dadurch wurde gezeigt, dass in allen Fllen die DES Lsung auf keinen Fall

schlechter abschneidet als die RANS Lsung und dass in den meisten Fllen die DES

Lsung weitaus besser ist.

Im Folgenden soll nun eine genauere Untersuchung einer berschallstrmung ber

eine rckwrtige Stufe mit Hilfe der DES durchgefhrt werden. Hierzu werden L-

sungen auf verschiedenen Gittern und mit verschiedenen Zeitschritten durchgefhrt.

Die Rechnungen bauen auf den Ergebnissen von Candoi [2] auf. Die aus der Lsung

hervorgehenden Wrmebergnge werden anschlieend mit den 2D Lsungen von

Candoi und mit den experimentellen Lsungen von Smith [34] verglichen.

6

3 Theoretischer Hintergrund

3.1 Grundgleichungen

3.1.1 Navier-Stokes Gleichungen

Die integrale Form der dreidimensionalen Navier-Stokes Gleichung [26] fr eine in-

stationre, kompressible und reibungsbehaftete Strmung lautet:

t

V

~W dV =

S

F~ndS . (3.1)

Dabei wird das erste Integral fr das Volumen V gebildet, das ein in der Zeit und

im Ort unvernderliches Kontrollvolumen darstellt mit der Oberche S, ber die

das zweite Integral gebildet wird. Die Gleichung (3.1) beschreibt die Erhaltung von

Masse, Impuls und Energie in dem Kontrollvolumen. Da hier ein gasfrmiges Fluid

betrachtet wird, knnen die Massenkrfte und die Wrmestrahlung vernachlssigt

werden. Die zentrale Aussage der Navier-Stokes Gleichung ist, dass die konservativen

Variablen

~W =

u

v

w

E

(3.2)

innerhalb des Kontrollvolumens V dem Fluss

~Q =

S

F~ndS (3.3)

ber der Berandung S entsprechen mssen. Die konservativen Variablen setzen sich

dabei aus der Dichte , den Geschwindigkeiten u, v, w, die die Geschwindigkeits-

komponenten in x-, y-, z-Richtung darstellen, und der spezischen Gesamtenergie

7


E des Fluids zusammen. In dem Oberchenintegral stellt ~n den nach auen ge-

richteten Einheitsvektor der Flchennormalen auf dem Oberchenelement dS dar

und

F den Fludichtetensor. Der Fludichtetensor setzt sich aus mehreren Anteilen

zusammen.

F kann in die drei Raumrichtungen mit Hilfe der Einheitsvektoren ~ex, ~ey

und ~ez im kartesischen Koordiantensystem aufgespalten werden. Dadurch entstehen

die drei Flussdichtevektoren

~F , ~G und ~H und die daraus folgende Aufteilung:

F = ~F ~ex + ~G ~ey + ~H ~ez . (3.4)

Die Flussdichtevektoren lassen sich ihrerseits ebenfalls in zwei weitere Teile aufspal-

ten. Der erste Teil beschreibt den reibungsfreien konvektiven Anteil (Index k) und

der zweite Teil den reibungsbehafteten viskosen Anteil (Index v):

~F = ~F k + ~F v

~G = ~Gk + ~Gv (3.5)

~H = ~Hk + ~Hv .

Daraus ergeben sich folgende Teilkomponenten:

~F k =

u

u2 + p

uv

uw

Hu

, ~Fv =

0

xx

xy

xz

uxx + vxy + wxz +KTx

,

~Gk =

v

uv

v2 + p

vw

Hv

, ~Gv =

0

xy

yy

yz

uxy + vyy + wyz +KTy

, (3.6)

~Hk =

u

uw

uw

w2 + p

Hw

, ~Hv =

0

xz

yz

zz

uxz + vyz + wzz +KTz

.

Im Einzelnen setzen sich die Ausdrcke aus dem Druck p, der massenspezischen Ge-

samtenthalpie H, der Wrmeleitfhigkeit K und der Temperatur T des Strmungs-

mediums zusammen. Die Newton'sche Schubspannungshypothese und die Stoke'sche

8


Hypothese geben einen Ansatz fr die Komponenten des Schubspannungstensors

:

xx = 2ux 2

3(u

x+ v

y+ w

z) , xy = yx = (

u

y+v

x) ,

yy = 2vy 2

3(u

x+ v

y+ w

z) , xz = zx = (

u

z+w

x) , (3.7)

zz = 2wz 2

3(u

x+ v

y+ w

z) , yz = zy = (

v

z+w

y) .

Die massenspezische Gesamtenthalpie ist gegeben durch die spezische Gesamt-

energie E und dem Verhltnis von Druck p zu Dichte :

H = E +p

. (3.8)

Den hier bentigten Druck p erhlt man aus der thermischen Zustandsgleichung fr

ideales Gas:

p = RT. (3.9)

Die spezische Gesamtenergie E ergibt sich aus

E = e+u2 + v2 + w2

2. (3.10)

Mit dem Ansatz (3.10) fr E und durch eine Umformung von (3.9) mit dem Isen-

tropenexponenten , der spezischen inneren Energie e und der spezischen Gas-

konstante R:

p = ( 1)e (3.11)wird aus (3.9)

p = ( 1)[E 1

2(u2 + v2 + w2)

]. (3.12)

Mit der Sutherland'schen Formel erhlt man die temperaturabhngige dynamische

Viskositt, die in den Schubspannungstermen (3.7) auftritt:

= (

T

T)

32 T + Sc

T + Scmit Sc = 110.4K (3.13)

und die Wrmeleitfhigkeit ergibt sich aus:

K =

1R

Prmit Pr = 0.72 . (3.14)

Mit diesen Annahmen ist das Gleichungssystem (3.1) geschlossen, wenn davon aus-

gegangen wird, dass alle weiteren Stogren wie R, und Pr konstant sind.

9


3.1.2 Reynolds Averaged Navier-Stokes Gleichungen

In turbulenten Strmungen wird der Bewegungsablauf der Grundstrmung stark

durch Schwankungsbewegungen beeinusst. Um diesen Eekt zu erfassen, werden

alle Strmungsgren nach Reynolds [25] in ihren zeitlichen Mittelwert und ihren

turbulenten Schwankungsanteil aufgeteilt:

= + . (3.15)

Die Mittelung kann mit einer Ensemble-Mittelung durchgefhrt werden:

= (x, t) = limN

1

N

Ni=1

i(x, t) . (3.16)

Die Mittelung lsst sich vereinfachen, indem man bei der turbulenten Strmung von

einem ergodischen Prozess ausgeht. Fr diesen Fall ist bei einer im Mittel statio-

nren Strmung der zeitliche Mittelwert gleich dem Mittelwert aus der Ensemble

Mittelung.

= (x) = limT

1

T

T0

(x, t)dt . (3.17)

Bei der Mittelung ist es entscheidend, wie gro man das zeitliche und rumliche

Intervall zur Mittelung whlt. Das wird vor allem in der Gleichung (3.17) deutlich.

Whlt man ein zu groes zeitliches Intervall, werden eventuell Schwankungen, die

unabhngig von der Turbulenz sind, aus der Grundstrmung ausgeblendet.

Durch Einsetzen des Ansatzes (3.15) in die Navier-Stokes Gleichung (3.1) gelangt

man zu den Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS) Gleichungen. Dadurch ent-

hlt der Vektor der konservativen Variablen nicht mehr die genauen, sondern die

ber ein kleines Zeitintervall t konstanten Strmungsgren und lautet somit ~W =

(, u, v, w, E)T . Bei instationren Strmungen hingegen hngen die konservati-

ven Variablen fr ein groes Zeitintervall t weiterhin von der Zeit t ab. Aus diesem

Grund ist die Wahl des Zeitintervalls zur Mittelung von groer Bedeutung. Neben

den Strmungsvariablen wird die Viskositt ebenfalls aufgeteilt, da in den turbu-

lenten Bereichen ein verstrkter Impulsaustausch entsteht und damit eine scheinbar

hhere Viskositt im Vergleich zu (3.1) vorhanden ist:

= l + t . (3.18)

l gibt den Anteil der laminaren Viskositt wieder und t den Anteil, der aufgrund

der Turbulenz entsteht. Analog zu (3.18) wird die Wrmeleitfhigkeit gespalten:

K = Kl +Kt (3.19)

10


mit

Kt =

1R tPrtund Prt = 0.9 . (3.20)

Aufgrund der Mittelung ndern sich die Flussdichtevektoren ebenfalls und ergeben

sich durch Einsetzen der Mittelung in (3.7) zu:

~F k =

u

u2 + p

uv

uw

Hu

, ~Fv =

0

xx (u)2xy uvxz uw

uxx + vxy + wxz +KTx Hu

x

,

~Gk =

v

uv

v2 + p

vw

Hv

, ~Gv =

0

xy uv yy (v)2yz vw

uxy + vyy + wyz +KTy Hv

y

,

~Hk =

w

uw

vw

w2 + p

Hw

, ~Hv =

0

xz uw yz vwzz (w)2

uxz + vyz + wzz +KTz Hw

z

.(3.21)

Aus den Reynolds gemittelten Flussdichtevektoren folgen der Fluss der turbulenten

Energie gegeben durch

Huixiund der Reynold'sche Spannungstensor:

i,j = uv =

uu uv uwuv vv vwuw vw ww

. (3.22)Die Elemente auf der Hauptachse stellen die Normalspannungen und die restlichen

Elemente die Schubspannungen dar. Durch die neu hinzugekommenen Variablen sind

die RANS Gleichungen nicht mehr geschlossen. blicherweise wird dieses System von

Gleichungen mit Hilfe von linearen Wirbelviskosittsmodellen geschlossen. Dabei

werden die fehlenden Transportgleichungen analog zu den molekularen Spannungen

durch die Boussinesq-Beziehung modelliert:

i,j = uiuj = t(uixj

+ujxi 2

3ijukxk

) 23ijk . (3.23)

11


Die Variable k gibt dabei die mittlere turbulente Schwankungsenergie an und ist

deniert als:

k =uiui

2. (3.24)

Mit diesem Ansatz knnen die Reynolds gemittelten Navier-Stokes Gleichungen ge-

schlossen werden, wenn fr die turbulente Wirbelviskositt t, k und eine darauf

bezogene Prandtl Zahl Prk eine weitere Beziehung gefunden werden kann. Im Fol-

genden wird das Ein-Gleichungsmodell von Spalart-Allmaras [36] beschrieben, das

in der Detached-Eddy Simulation (Abschnitt 3.1.4) zur Anwendung kommt.

Spalart-Allmaras Turbulenzmodell

Das von Spalart und Allmaras [36] entworfene Ein-Gleichungsmodell lst eine Trans-

portgleichung fr die turbulente Viskositt t und nimmt die turbulente Schwan-

kungsenergie zu Null an (k = 0). Dieses Modell ist in erster Linie fr die Simulation

von aerodynamischen Strmungen und dabei insbesondere fr anliegende Strmun-

gen entworfen worden. Das Modell basiert auf der Lsung einer einzelnen Die-

rentialgleichung (3.25) fr die Wirbelzhigkeit , die in Beziehung zur turbulenten

Viskositt steht. Des Weiteren ist in dem Modell bercksichtigt, dass die turbulente

Viskositt in Wandnhe in der laminaren Teilschicht reduziert wird und dass eine

glatte Transition von laminar zu turbulent bereitgestellt wird.

D

Dt= cb1S cw1fw

[

d

2]

+1

[ (( + )) + cb2(2)] (3.25)Die Dierentialgleichung ist durch drei Anteile von t charaktarisiert. cb1S ist dabei

der produktive Anteil von t, der zweite Teil cw1fw[d

2]ist der destruktive An-

teil und der letzte Klammerausdruck gibt den diusiven Anteil an. Die turbulente

Viskositt t ist dabei bestimmt durch:

t = t t = f1 f1 =3

3 + c3v1

l, (3.26)

wobei l die laminare und t die turbulente kinematische Viskositt ist. Die gesuchte

Gre t entspricht weitestgehend , mit einer Ausnahme im wandnahen Bereich. S

ist der Betrag der Wirbelgre, wobei hier eine modizierte Wirbelgre S eingefhrt

wird:

S S + 2d2

f2 f2 = 1 1 + f1, (3.27)

12


bei der d den Abstand zur nchstliegenden Wand angibt. Der destruktive Teil der

Gleichung (3.25) wird durch die Funktion

fw = g

[1 + c6w3g6 + c6w3

]mit g = r + cw2(r

6 r) r S2d2(3.28)

bestimmt.

Mit diesem Satz von Gleichungen lsst sich die Spalart-Allmaras Transportgleichung

lsen und damit steht ein Wert fr t zur Verfgung, mit dem man die Reynolds

gemittelten Navier-Stokes Gleichungen lsen kann. Die dazu bentigten Schlieungs-

koezienten sind in Tabelle 3.1 zu nden und durch eine Kalibration des Turbulenz-

modelles ermittelt. Dieses Verfahren ist in [36] von Spalart und Allmaras genauer

beschrieben.

cb1 = 0, 1355 =23

cb1 = 0, 622

= 0, 41 cw1 =cb1

+ 1+cb2

cw2 = 0, 3

cw3 = 2 c1 = 7, 1

Tabelle 3.1: Spalart-Allmaras Schlieungskoezienten

3.1.3 Large-Eddy Simulation

Eine weitere Mglichkeit der Simulation von turbulenten Strmungen ist die Large-

Eddy Simulation (LES). Hierbei wird im Gegensatz zur RANS Simulation, bei der

die Strmungsgren in einen gemittelten Anteil und einen Schwankungsanteil ge-

spalten werden, eine Aufteilung der turbulenten Struktur in grobe oder energiereiche

und in feine Anteile durchgefhrt. Die feinen, weniger anisotropen Skalen werden mit

Hilfe eines Filters erkannt und mittels sog. subgrid-scale models (SGS) modelliert.

Die Grobstruktur hingegen wird durch das Gitter aufgelst und berechnet. Hierbei

kann die rumliche Diskretisierung zustzlich als Filterung verwandt werden [12].

Diese Art von Filterung wird auch als implizit bezeichnet, da diese nicht fest im

Code verankert ist, sondern von dem Rechennetz abhngt. Diese Filterung stellt

im Hinblick auf Kapitel 3.1.4 zustzlich eine einfache Mglichkeit zur Verbindung

von LES und RANS im hybriden DES Ansatz dar. Es existieren ebenfalls explizite

Filterungsanstze, zu denen es aber bei praxisrelevanten Simulationen noch keine

13


ausreichenden Erfahrungen gibt. Der Ansatz der LES sieht dem der RANS sehr

hnlich:

= + . (3.29)

stellt die berechnete Grobstruktur (GS) und die modellierte Feinstruktur (FS)

dar. Da es sich hier um eine rein strukturelle Aufteilung handelt, knnen die Mit-

telungen, die bei der RANS benutzt werden, nicht angewandt werden. Das Grob-

strukturfeld wird dabei durch eine Filterfunktion G deniert:

(x) =

D

G(x, x)(x)dx , (3.30)

wobei D der Integrationbereich ist. Fr inkompressible Strmungen mit konstanter

Dichte ergeben sich die Kontinuitts- und die Navier-Stokes Gleichungen zu:

uixi

= 0 (3.31)

uiti

+uiujxj

= 1

p

xi+

xj

(uixj

) ijxi. (3.32)

Der Tensor ij ist der Spannungstensor, der das Verhalten zwischen den nicht gels-

ten, kleinskaligen Wirbeln und den Bewegungen der groskaligen Wirbel wiedergibt.

ij lsst sich auch schreiben als:

ij = uiuj ui uj . (3.33)

Die Durchfhrung einer Large-Eddy Simulation erfolgt in drei Schritten. Als ers-

tes wird die Filterfunktion (3.30) auf die Navier-Stokes Gleichungen angewandt,

um die kleinen rumlichen Gren auszuschlieen. Die daraus resultierenden NS-

Gleichungen beschreiben nur noch die zeitliche und rumliche Entwicklung der gro-

skaligen Wirbel (sog. large-Eddys). Die Gleichungen enthalten zustzlich den Span-

nungstensor ij, hnlich dem Reynoldsspannungstensor, der die nicht berechneten

kleinskaligen Wirbel widerspiegelt. In einem zweiten Schritt wird der entstandende

Spannungstensor durch das SGS-Modell ersetzt und kann gelst werden. Im dritten

und letzten Schritt wird die numerische Simulation des groskaligen Feldes mit den

geschlossenen Gleichungen durchgefhrt. Das Netz sollte dabei eng genug sein, um

die kleinsten der groskaligen Wirbel aufzulsen, aber eben gro genug sein, um die

feinen Wirbel im Bereich der Kolmogorovlnge nicht aufzulsen.

Eine Rechnung mit LES erfordert immer eine dreidimensionale und instationre

Simulation, was zur Folge hat, dass eine LES immer eine hhere Rechenzeit bentigt

als eine RANS Simulation.

14


Feinstrukturmodell

Die Modellierung der kleinskaligen, nicht mehr aufgelsten Turbulenzbewegungen

und damit der Feinstrukturspannungen ist einfach, da diese in der Regel kaum mehr

von den Anstrmungsbedingungen abhngen. Es gibt eine Vielzahl von Anstzen, die

zur Verfgung stehen, aber im Rahmen dieser Arbeit und im Hinblick auf die folgen-

de Detached-Eddy Simulation beschrnke sich die Betrachtung auf das Smagorinsky-

Modell [33]. Das Modell stellt einen Zusammenhang zwischen dem spurfreien Anteil

der Tensoren der Feinstrukturspannung und der Scherrate der gelterten Strmung

mit einer expliziten Beziehung fr die Wirbelviskositt her.

FSij 1

3ij

FSkk = 2tSij (3.34)Die Wirbelviskositt ist des Weiteren abhngig von der Gitterzellenweite und der

ersten Invariante des Scherratentensors:

t = (CS)2 2

2Sij Sij . (3.35)

Dabei gilt fr den Tensor der Feinspannungen weiterhin die Beziehung (3.33). Dieser

Ansatz wird deswegen gewhlt, da sich auf Grund der expliziten Berechnungsvor-

schrift fr die Wirbelviskositt t und der direkten Abhngigkeit von der Netzzel-

lenweite (3.38) dieses Modell sehr gut zur Zusammenfhrung von LES und RANS

eignet.

3.1.4 Hybride Anstze

In den vergangenen Jahren wurden verschiedenste hybride Anstze entwickelt, die

fast alle auf dem Prinzip beruhen, eine Large-Eddy Simulation mit den Reynolds

gemittelten Navier-Stokes Gleichungen zu verbinden. Dabei liegen die Unterschiede

der verschiedenen Anstze auf der einen Seite in der Turbulenzmodellierung der

RANS Formulierung und auf der anderen Seite bei dem Ansatz fr das subgrid-scale

Modell. In Tabelle 3.2 ist ein berblick ber verschiedene hybride Anstze zu nden.

Im folgenden werden die hybriden Anstze DES und xLES genauer beschrieben, da

diese in der Arbeit verwandt werden.

Detached-Eddy Simulation

Die Detached-Eddy Simulation bezeichnet einen hybriden Ansatz, der versucht, die

Lsungsanstze von RANS (Abschnitt 3.1.2) und LES (Abschnitt 3.1.3) zusammen-

zubringen. Dazu stellt Spalart u.a. [35] 1997 eine erste Methode vor, die unter dem

15


Ansatz RANSModell

SGSModell

Gleichgewichts-

annahme

RANS-LES

Grenze

Gitterabhngige

Grenze

Limitfr

kleinse

Zellgre

Wandabstands-

abhngigkeit

DES-SA SA Smagorinsky ja fest ja LES ja

DES-SST SST k Smagorinsky ja dynamisch ja LES jaX-LES TNT k k-Gleichung nein dynamisch optional LES neinVLES RSTM scaled RSTM nein n.a.* n.a. LES nein

SAS KE1E KE1E nein n.a.* n.a. URANS ja

*Fr VLES und SAS existiert keine klare Grenze zwischen RANS und LES

Tabelle 3.2: bersicht der Eigenschaften verschiedener hybrider Anstze [19]

Begri Standard-DES bekannt ist. Heute ist der Begri DES weitergehend, da es ei-

ne groe Anzahl an verschiedenen hybriden Anstzen gibt [10] [38]. Der Unterschied

dieser Anstze liegt in der Regel im RANS-seitigen Turbulenzmodell. Die DES ent-

wickelt sich aus dem Problem im Fall von Strmungen, bei denen massive Ablsun-

gen bei hohen Reynoldszahlen auftreten. Denn einerseits kann ein (U)RANS-Ansatz

diese Strmungen nicht sehr gut wiedergeben, anderseits wrde eine Lsung mit

einer reinen LES viel zu hohe Anforderungen an die Rechenzeit stellen. Spalart u.a.

[35] haben dazu 1997 eine Abschtzung gegeben, die besagt, dass eine LES eines

kompletten Flugzeugs weitaus mehr als 45 Jahre bentigen wrde. Diese lange Re-

chenzeit beruht bei der reinen LES auf den Wandbereichen, in denen eine LES ohne

Wandfunktion sehr stark von der Netzweite abhngt. Um aber die groben Skalen

in diesem Bereich aufzulsen, wird ein sehr feines Netz bentigt. Da die dort auf-

tretenden Turbulenzen hauptschlich von den Scherspannungen abhngen und diese

mit einfachen linearen Wirbelviskosittsanstzen gelst werden knnen, bietet es

sich an, in den wandnahen Bereichen eine RANS und in den brigen Bereichen eine

LES durchzufhren.Spalart hat mit der Standard-DES genau diese Idee umgesetzt.

Die Rechenzeit einer DES ist vergleichber mit der Rechenzeit einer LES mit Wand-

funktion. Dabei ist die Vorhersagequalitt der DES im Grenzschichtbereich weitaus

besser. Die Rechenzeit geht damit mehr in Richtung der Rechenzeit einer LES und

nicht einer RANS. Das liegt bei der Standard-DES vor allem an den engen Anfor-

derungen im Bereich der Netzgenerierung. Hierbei sollte das Gitter im LES-Bereich

der DES genau so fein sein, wie bei einer reinen LES. Die rumliche Diskretisierung

im wandnahen Bereich ist bei einer LES am feinsten. Durch das Einsetzen der RANS

16


in diesem Bereich lassen sich einige Ersparnisse erzielen, da die Netzfeinheit fr eine

RANS nicht so hohen Anforderungen unterliegt im vgl. zu einer LES.

Die Integration des DES-Ansatzes in einen vorhandenen Strmungslser gestaltet

sich relativ einfach, da das Umschalten zwischen RANS an der Wand und LES

von der Distanz zu der Wand abhngt. Bei dem Standard-DES Modell von Spalart

u.a. [35] wird in dem destruktiven Term des Turbulenzmodells, der proportional zu

(\d)2 ist,D

Dt= cb1S cw1fw

[

d

2]

+1

[ (( + )) + cb2(2)] (3.36)der Wandabstand d aus der Gleichung (3.25) ersetzt durch einen neuenWandabstand

d. Die Deniton des neuen Wandabstandes orientiert sich dabei an dem Ansatz des

Feinstrukturmodells der LES (Gleichung (3.35)):

d = min(d;CDES) . (3.37)

CDES ist eine Konstante zur Kalibrierung, die in dieser Arbeit zu CDES = 0, 65

nach Shur u.a. [31] angenommen wird, unter der Voraussetzung, dass dieser Wert

in anderen Arbeiten ebenfalls zu zufriedenstellenden Ergebnissen gefhrt hat. Das

Ma kann auf zwei verschiedene Arten fr eine Gitterzelle berechnet werden:

= MAX(x; y; z) oder =3V . (3.38)

Im ersten Vorschlag wird mit der lngsten Seite der Zelle gleichgesetzt. Dieser

Ansatz eignet sich insbesondere fr strukturierte Netze, bei denen eine Zellseite

im vgl. zu den anderen beiden weitaus lnger ist. Beim zweiten Vorschlag wird

aus der dritten Wurzel der Zellche V gebildet und ist fr Zellen mit ungefhr

gleichlangen Seiten geeignet. Bei Zellen mit groen Seitenverhlnissen wrde dieser

Vorschlag deutlich kleinere Lngenmae liefen im vgl. zum ersten Vorschlag und

somit wrde es zu einem weitaus frheren Umschalten von RANS zu LES kommen.

Ist also d > , arbeitet das Modell als ein Smagorinski LES Modell.

extra Large-Eddy Simulation

Die extra Large-Eddy Simulation (xLES) beruht auf demselben Ansatz wie die DES,

die aus einer Zusammenfhrung von LES und RANS besteht. In der xLES Formu-

lierung wird das Umschalten zwischen RANS und LES dynamisch mittels einer

17


Gleichung fr die turbulente kinetische Energie vollzogen. Dabei hngt die Glei-

chung einerseits vom RANS Lngenma l =k\ und anderseits von der LESFilterweite (3.38) ab. Das Umschalten zwischen RANS und LES des hybriden

Ansatzes ist dabei unabhngig von dem Wandabstand, der bei der DES eine bedeu-

tende Rolle spielt. Die Turbulenzen im RANS-seitigen Anteil werden dabei mit dem

Zwei-Gleichungs- TNT k Modell modelliert und im LES-seitigen Anteil wirdein k-Gleichungs subgrid-scale Modell verwendet. Dieses SGS-Modell verspricht ei-

ne bessere Abschtzung der Feinstrukturturbulenzintensitt im Vergleich zu dem

Smagorinsky-Modell. Der Reynolds und SGS Spannungstensor ij wird mit Hilfe

der Boussinesq-Hypothese wie im Abschnitt 3.1.2 gebildet:

ij = 2t(Sij 13Dij) 2

3kij , (3.39)

Sij =1

2

(ujxi

+uixj

), (3.40)

D =ukxk, (3.41)

wobei Sij die Drehungsgeschwindigkeit und D die Divergenz der Geschwindigkeit

ist. Zustzlich basieren sowohl das RANS-Modell als auch das SGS-Modell auf der

Gleichung fr die turbulente-kinetische Energie k:

k

t+

xj(kuj) = Pk +

xj

(( + kt)

k

xj

). (3.42)

gibt hierbei die molekulare Viskositt an und ist die Dissipationsrate der turbu-

lenten kinetischen Energie. Der Produktionsterm ist gegeben durch die Boussinesq-

Hypothese und Drehungsgeschwindigkeit Sij:

Pk = ijSij = tS2 2

3kD , (3.43)

wobei S2 = SijSij und Sij = Sij 13Dij ist. Der Unterschied zwischen den bei-den Modellen liegt auf der einen Seite in der Modellierung der Wirbelviskositt t

und auf der anderen Seite in der Dissipation . Der Unterschied kommt nur durch

verschiedene Lngenmae zustande. Fr das RANS Modell wird das Lngenma

l =k/ eingesetzt:

t = lk und = k

k(3/2)

l(3.44)

und fr das subgrid-scale Modell die Filterweite :

t = C1k und = C2

k(3/2)

. (3.45)

18


Das k Turbulenzmodell wird mit Hilfe einer Gleichung fr die spezische Dissi-pation geschlossen:

t+

xj(uj) = P 2 + CD +

xj

(( + t)

xj

). (3.46)

Dabei ist wie in Gleichung (3.42) P ein Produktionsterm und CD gibt die Misch-

diusion an:

P = S2 2

3D, (3.47)

CD = d

max

{k

xi

xi

}. (3.48)

Die Zusammenfhrung der beiden Modelle gestaltet sich im Prinzip auf dieselbe Art

und Weise wie bei der DES. Es wird das Lngenma in der Wirbelviskositt t und

der Dissipation durch ein neues Lngenma ersetzt. Das neue Lngenma wird

durch das Minimum der RANS Lnge und der LES Filterweite gebildet:

l = min {l, C1} , (3.49)

so dass sich die Gleichungen (3.44), (3.45) umschreiben lassen zu:

t = lk und = k

k(3/2)

l(3.50)

oder

t = min

{k

,C1

k

}(3.51)

= max

{kk,C2

k(3/2)

}, (3.52)

mit C2 = /C1, um ein gleichzeitiges Umschalten in t und zu gewhrleisten. Die

zusammengesetzte Formulierung wird geschlossen durch Angabe der spezischen

Modellkoezienten. Fr das k Modell sind die Koezienten nach [18] in Tabelle3.3 gegeben, mit der von Krmn Konstante V = 0, 41. Fr das SGS Modell muss

k = 0, 09 = 0, 075

k = 2/3 = 0, 5 d = 0, 5

=k 2V

k 0, 55

Tabelle 3.3: TNT k Schlieungskoezienten

19


nur ein Faktor C1 gewhlt werden. Ein typischer Wert ist C1 = 0, 07, der auch

im -Code als Standardwert angegeben ist [6]. Diese Formulierung ermglicht ein

dynamisches Umschalten von RANS zu LES. In einer Region, in der l < C1 ist,

bendet sich xLES im RANS Modus und es wird das k Modell angewandt. Frl > C1 ist xLES im LES Modus und die kleinskaligen Turbulenzen werden mit

dem k-Gleichungs SGS Modell gelst.

3.2 Wrmebergang an einer Flche

Der Wrmebergang an einer Flche setzt sich aus zwei verschiedenen Gren zu-

sammen. Es wird Wrme einerseits durch Wrmeleitung und andererseits durch

Konvektion bertragen. Ein wichtiges Ma bei der Betrachtung des Wrmeber-

gangs ist dabei die Wrmestromdichte q[Wm2

]. Die Wrmestromdichte gibt dabei

an, wie gro der Wrmestrom Q = dQdtpro Flche A [m2] ist. Dabei ist zu berck-

sichtigen, dass die Flche, die dem Wrmetausch zur Verfgung steht, senkrecht

zum Wrmestrom ausgerichtet ist.

Wrmeleitung

Die Wrmeleitung erfolgt durch ein sehr komplexes Verhalten auf der mikroskopi-

schen Ebene, beispielsweise durch molekulare Kollision von Gasen, durch Vibratio-

nen der Gitterstruktur von Kristallen oder durch den Transport von Wrme im Elek-

tronengas von Metallen. Bei ausreichend groen Krpern lassen sich diese komplexen

Vorgnge vereinfacht auf makroskopischer Ebene durch das Fourier'sche Wrmelei-

tungsgesetz beschreiben:

q = T , (3.53)wobei

q fr den Vektor der Wrmestromdichte, fr die Wrmeleitfhigkeit und T

fr die Temperatur steht. Betrachtet man die Wrmeleitung an einer eindimensio-

nalen ebenen Platte (Volumenelement V zwischen x und x + x) im stationren

Fall unter der Annahme, dass keine Wrmequellen oder -senken vorhanden sind

(Abbildung 8.3), ergibt sich aus der Gleichung (3.53) und nach dem ersten thermo-

dynamischen Haupstatz:

Q = const. = qA = AdTdx. (3.54)

20


Diese Gleichung lsst sich durch Separation der Variablen weiter umformen, wodurch

eine hnlichkeit zum Ohmschen Gesetz in der Elektrotechnik deutlich wird. Weiteres

ist in [17] zu nden.

Konvektion

Konvektion beschreibt einen Vorgang, bei dem, wie bespielsweise in Abbildung 8.4

dargestellt, ein geheizter Krper mit der Temperatur Tw von einer Strmung mit

der Temperatur T0 gekhlt wird. Bedingt durch den Reibungseekt entsteht an dem

Krper eine Grenzschicht, in der durch Leitung die Wrme an das Fluid bertragen

wird. Die Fluidteilchen, die dadurch mit Energie angereichert sind, werden wieder in

die Hauptstrmung getragen und transportieren auf diese Weise die Wrmeenergie

von der Wand durch die Grenzschicht in die Hauptstrmung. Die Wrmestromdichte

auf der Krperoberche lsst sich mit Hilfe der Beziehung:

q = 0 (Tw T0) (3.55)

berechnen. Im Gegensatz zur Wrmeleitung ist in diesem Fall die Wrmestromdichte

kein Vektor. Des Weiteren gibt die Konstante den Wrmebergangskoezientengemittelt ber die gesamte Oberche mit der Dimension

[Wm2K

]an. Weiteres zu

diesem Thema ist ebenfalls in [17] zu nden.

Stanton Zahl

Die Stanton Zahl ist eine zusammengesetzte dimensionslose Gre, die das Verhlt-

nis zwischen dem gesamten Wrmebergang und dem konvektiven Wrmebergang

wiedergibt. Sie setzt sich zusammen aus der Nusselt Zahl (Nu), der Reynolds Zahl

(Re) und der Prandtl Zahl(Pr):

St =Nu

Re Pr =cf2

+

cf2D(x, P r)

=Dynamik des Prozesses

Fhigkeit Energie zu speichern

.

(3.56)

Dabei gilt, dass mit wachsender Stanton Zahl der Prozess schneller wird. Durch

Ersetzen der dimensionslosen Kennzahlen und durch Umformen der Gleichung ergibt

sich ein Ausdruck, abhngig von der Stanton Zahl, fr die Gleichung (3.55):

q = V cpSt(Tref Tw) . (3.57)

21


3.3 Kolmogorov Theorie

Um eine Aussage ber die Kenngren einer turbulenten Strmung und deren Dy-

namik zu treen, entwickelte Kolmogorov eine Theorie der Turbulenz, die auf sta-

tistischen Methoden beruht [29],[7]. Ausgangspunkt des Modells sind dabei kleine

Strungen, aus denen sich als erstes Wirbel bilden, deren Ausdehnung in der Gre

der ieenden Strmung liegt. Der Bereich wird auch als large-scale spectrum be-

zeichnet. Da in diesem Bereich vorwiegend kleine Wellenzahlen, d.h. groe Wirbel,

und groe Reynolds Zahlen vorliegen, kann der Einuss durch die Viskositt vernach-

lssigt werden. Hier entstehen Turbulenzen, die mit der Energie aus der mittleren

Grundstmung gespeist werden. Die sehr groen und energiereichen Wirbel zerfal-

len ab einem bestimmten Zeitpunkt in immer kleinere Wirbel, wobei die Energie bis

zu den kleinsten Wirbeln weitergegeben wird. Durch diesen Vorgang entsteht eine

selbsthnliche Energiekaskade. Am Ende der Zerfallskette stehen die kleinsten Wir-

bel (dissipation range), die ihre Energie durch Dissipation auf Grund molekularer

Reibung abgeben. Dieser Vorgang beginnt, wenn die Gre der Wirbel den Bereich

der Mikroskalen von Kolmogorov erreichen und die turbulente Bewegung der kleinen

Skalen nur noch von der Dissipationsrate und der Viskositt abhngig ist. Das ist auf

die Annahme zurckzufhren, dass die turbulente Bewegung der kleinen Wirbel in

einem sehr kurzen Zeitrahmen stattndet, wodurch die Bewegung statistisch unab-

hngig von der Bewegung der groen Skalen und der mittleren Grundstrmung ist.

Zwischen diesen groen und kleinen Wirbeln liegt ein Bereich, in dem die Energie

pro Wellenzahl k nur von der kinetischen Energie und der Wellenzahl selber abhngt.

Hier wird die Energie zu den immer kleiner werdenden Wirbeln transportiert. Das

heit, die Wirbel sind weder von den rumlichen Randbedingungen wie der Gre

des Turbulenzgebietes, noch von energetischen Grenzen abhngig. Des Weiteren ist

in diesem Bereich die Energiekaskade unabhngig von der Entstehung der Turbulenz.

Kolmogorov hat fr diesen Bereich des Spektrums eine Gesetzmigkeit gefunden,

die von der Wellenzahl k und der lokal dissipierten Energie abhngt. Dieses Gesetz

ist bekannt als Kolmogorov-Gesetz oder k53 Gesetz:

E = 23k

53 , (3.58)

wobei die Kolmogorov-Konstante und k die Wellenzahl ist.

22


In Abbildung 8.5 ist ein Energie- oder Frequenzspektrum schematisch dargestellt.

Die interessanten Bereiche liegen dabei auf der rechten Seite des Maximums und

sind das:

Produktion-Spektrum

Kolmogorov-Spektrum

Heisenberg-Spektrum

23

4 Der tau-Code

Die Lsung der Gleichung (3.1) erfolgt im tau-Code ber eine rumliche und zeitli-

che Diskretisierung. Die rumliche Diskretisierung wird mit einem Finite-Volumen

Ansatz realisiert und die zeitliche Diskretisierung ber ein explizites Runge-Kutta

Verfahren fr die stationre Anfangslsung und ber ein Backward-Euler Verfahren

fr die instationre DES und xLES Rechnung.

4.1 Diskretisierung

Rumliche Diskretisierung

Bei einem Finite-Volumen Ansatz wird der Raum um den umstrmten Krper bis zu

einem hinreichend groen Abstand mit einem geeigneten Rechennetz, dem sog. pri-

mren Netz, berzogen (Abbildung 8.10). Das in dieser Arbeit benutzte und von V.

Candoi [2] mit Centaur [3] erstellte Netz ist hybrid, d.h. das Netz besteht aus einem

strukturierten Bereich zusammengesetzt aus Hexaedern und aus einem unstruktu-

rierten Bereich gebildet aus Prismen. Die Hexaeder werden dabei im krpernahen

Bereich eingesetzt, da man diese Zelle strecken kann, ohne einen Qualittsverlust

des Netzes durch Verzerrung der Netzlinien hinnehmen zu mssen. Somit knnen

durch Zellen groer Streckung die starken nderungen der Strmungsgren normal

zur Wand sehr eektiv aufgelst werden. Die primatischen Zellen hingegen knnen

sehr schnell vergrbert werden, wodurch die Vernetzung vom Objekt zum Fernfeld

mit vergleichsweise wenigen Zellen vollzogen werden kann. Wie aber schon in Ab-

schnitt 3.1.4 gesagt wurde, wird bei einer DES eine Netzausung hnlich einer LES

verlangt. Durch das strukturierte Netz im wandnahen Bereich wird des Weiteren die

Eigenschaft der Regularitt erzeugt, d.h. die Hexaeder sind schichtweise normal zu

der Krperoberche angeordnet. Die Dicke dieses Bereiches entspricht in etwa der

erwarteten Grenzschichtdicke. Die Regularitt hat den Vorteil, dass starke Gradi-

enten, wie zum Beispiel die Geschwindigkeitsverteilung in Wandnhe, sehr wirksam

24

4 Der tau-Code

aufgelst werden knnen. Durch die Generierung des Netzes werden sowohl diskre-

te Punkte als auch deren Verbindunglinien bestimmt. Der Finite-Volumen Ansatz

verlangt die Lsung der Gleichung (3.1) in den diskreten Punkten. Dazu muss fr

jeden dieser Punkte ein eigenes Kontrollvolumen bestimmt werden, ber dessen Vo-

lumen die Gleichungen integriert werden. Dafr wird von tau aus ein weiteres sog.

sekundres Netz erzeugt (Abbildung: 8.6) [11]. Innerhalb des sekundren Netzes gilt

fr alle Punkte wie in dem primren Netz fr die zeitliche nderung die Gleichung

(3.1). Lst man diese Gleichung nach den konservativen Variablen auf, folgt:

t~W =

S

F ~ndSV

dV. (4.1)

Diese Umformung besagt, dass die nderung der konservativen Variablen und da-

mit der Strmungsgren in einem Kontrollvolumen V gleich dem Fluss ber die

Berandung S des Kontrollvolumens ist, sei denn es liegt eine zeitliche nderung von~W vor. Unter der Annahme eines zeitlich und rumlich festen Kontrollvolumens Vi1

um den Punkt Pi1 erhlt man fr den Fluss Qi1 ber die Berandung:

t~Wi1 = 1

Vi1 ~Qi1 . (4.2)

Der Fluss

~Qi1 setzt sich dabei aus den Flssen ber alle Facetten (genaueres hierzu

in [11]) zusammen:

~Qi1 =nj=1

~Qi1,ij , (4.3)

wobei beispielsweise der Fluss

~Qi1,i2 ber die Facette ~Si1,i2 zwischen den Punkten

PH1 und PH2 (Abbildung: 8.6)liegt.

Zeitliche Diskretisierung

Die Diskretisierung eines Systems gewhnlicher Dierentialgleichungen mit Anfangs-

und Randbedingungen in der Zeit kann in zwei Kategorien gegliedert werden, na-

mentlich explizite und implizite Zeitschrittmethoden. Ein explizites Schema zeichnet

sich durch sein nicht iteratives Vorgehen bei der Bestimmung der zeitlich folgenden

Lsung aus, d.h. jeder unbekannte Knoten zur Zeit t = n + 1 kann direkt aus den

Knoten und den Randbedingungen zum Zeitpunkt t = n berechnet werden. Der

dabei verwendete Zeitschritt ist bei einem expliziten Schema durch die Stabilitt

und durch die Anforderung an die Genauigkeit begrenzt [1], [32]. Implizite Sche-

mata hingegen verbinden die gleichzeitige Lsung aller Unbekanten bezglich der

25

4 Der tau-Code

vorangegangenen bekannten und der aktuellen unbekannten Gren an allen Kno-

ten. Dabei sind die impliziten Schemata in ihrem Zeitschritt hauptschlich durch

die Bercksichtigung der Genauigkeit beschrnkt, da diese Verfahren im vgl. zu den

expliziten weitaus stabiler sind. Aus diesem Grund erlaubt ein implizites Verfahren

weitaus grere Zeitschritte, was aber auch einen weitaus greren Rechenaufwand,

vor allem im drei-dimensionalen Raum, mit sich bringt.

Im Folgenden werden zwei Zeitschrittverfahren kurz vorgestellt. Das explizite Runge-

Kutta Verfahren wird fr die Lsung der stationren Anfangslsung verwendet, auf

dem die instationre DES aufbaut, das implizite Backward-Euler Verfahren zur zeit-

lichen Diskretisierung der instationren Berechnung benutzt.

Runge-Kutta Verfahren

In allgemeiner Form kann die zeitliche nderung des Strmungszustandes im Punkt

Pi1 wie folgt dargestellt werden:

t~Wi1 + ~Ri1 = 0 , (4.4)

wobei sich das Residuum

~Ri1 analog zur Gleichung (4.2) zu

~Ri1 = 1Vi1

~Qi1 (4.5)

ergibt. Die Integration in Zeitrichtung kann nach Jameson [16] auch bei stationren

Problemen erfolgen. Allgemein lsst sich dieses schreiben als:

~W(0)i1 =

~W ni1~W

(1)i1 =

~W(0)i1 1t ~R(0)i1.

.

. (4.6)

~W(r)i1 =

~W(0)i1 rt ~R(r1)i1

~W(n+1)i1 =

~W(r)i1 .

In dieser Arbeit wird ein explizites, mehrstuges Runge-Kutta Verfahren mit r = 3

Stufen angewandt; die Anzahl der Stufen kann aber auch variiert werden. Die Runge-

Kutta Koezienten fr das Upwind-Schema werden zu

1 = 0, 15 2 = 0, 5 3 = 1 (4.7)

gewhlt.

26

4 Der tau-Code

Backward-Euler Verfahren

Bei dem Backward-Euler Verfahren oder implizitem Euler Verfahren [30], [1] wird

ebenfalls von der Gleichung (4.4) ausgegangen, bei der

~Ri1 das Residuum fr denPunkt Pi1 darstellt. Fr den allgemeinen Fall im Punkt Pij ergibt sich daraus ein

System von nichtlinearen Gleichungen, die mit Hilfe des iterativen Newton Verfahren

gelst werden knnen:[ ~R ~W

] ~W = ~R( ~W) ; ~W+1 = ~W + ~W ; 0 < 1 . (4.8)

Fr den stationren Fall wird der Zeitindex n als Newton Iterationsindex benutzt,

so dass ein lineares Gleichungssystem wie folgt entsteht:

Vijt ~W nij +

k,l

~Wk,l

~Qnij ~W nk,l = ~Qni,j . (4.9)

Das Summationszeichen weist darauf hin, dass fr jeden Punkt des Netzes, von

dem der diskretisierte Flussvektor abhngt, eine Jacobi Matrix gelst werden muss.

Um die Konvergenz der Lsung zu beschleunigen, kann mit diesem Ansatz fr eine

stationre Lsung ein lokaler Zeitschritt fr jede Zelle berechnet werden, die von der

vorher gegebenen CFL Zahl abhngt. Dieses fr eine stationre Lsung eingefhrte

Verfahren wird in Abschnitt 4.3 weiterverwendet.

4.2 Diskretisierungsschemata

Zentrales Schema

Fr die rumliche Diskretisierung der Flussterme Gleichungen (4.2) und (4.3) wird

die zentrale Dierenzenbildung herangezogen. Dabei ist dieses Schema von 2.Ord-

nung, wodurch bei der Approximation des Dierentialquotienten der Abbruchfehler

bei Halbierung der Maschenweite x/2 mit dem Quadrat abnimmt [26]. Da nach

der v.Neuman-Analyse zentrale Schemata numerisch instabil sind, entstehen Ver-

flschungen bei der Lsung durch starke Gradienten und verzerrte Zellen. Mit dem

Hinzufgen von knstlicher Dissipation, die aus einer Mischung von 2. und 4. Dif-

ferenzen besteht, wird dieses Problem behoben. Damit wird aus Gleichung (4.2):

t~Wi1 = 1

Vi1( ~Qi1 ~Di1) , (4.10)

27

4 Der tau-Code

wobei

~Di1 die knstliche Dissipation darstellt. Durch das Hinzufgen der knstli-

chen Dissipation wird das Verfahren auf die 1.Ordnung gebracht, wodurch sich der

Abbruchfehler bei Halbierung der Maschenweite ebenfalls nur noch halbiert. Um ein

hinreichend genaues Verfahren zu bekommen, muss man eine hhere Ordnung erzie-

len. Aus diesem Grund besteht der Dissipationsterm aus einer Mischung 2. und 4.

Dierenzen, da man mit einer geeigneten Sensorfunktion die Vorteile beider Dieren-

zen ausnutzen kann. 2. Dierenzen haben nach Godunov [27] immer ein monotones

Verhalten, wodurch sie sehr gut in Gebieten mit starken Gradienten (Staupunk-

te, Ste) eingesetzt werden knnen, ohne in Schwingung zu geraten wie es bei 4.

Dierenzen der Fall ist. Hingegen skaliert der Abbruchfehler bei 4. Dierenzen mit

dem Quadrat der Maschenweitennderung. Als sensitive Gre fr eine Dmpfungs-

funktion eignet sich der Druck, da er einerseits immer positiv ist und andererseits

aussagekrftige Eigenschaften in den interessanten Gebieten (Staupunkte, Ste)

besitzt. Weitere Informationen zu den zentralen Dierenzen sind in [26] und [5] zu

nden.

Upwind Schema

Da bei den zentralen Dierenzen die Informationsausbreitung der Strmungsgr-

en unbercksichtigt bleibt und somit die Strmungsrichtung nicht beachtet wird,

kommen, um den physikalischen Charakter der Strmung richtig wiederzugeben,

bei dem Upwind-Schema gerichtete Dierenzen, d.h. Vorwrts- und Rckwtsdif-

ferenzen, zum Einsatz. Dadurch entstehen im vgl. zu den zentralen Dierenzen an

Diskontinuitten keine Oszillationen. Fr das Upwind-Schema gibt es verschiedene

Methoden, die sich in Flux Dierence Splitting und Flux Vector Splitting einteilen

lassen. In dieser Arbeit wird das AUSMDV [40], ein Flux Vector Splitting Schema,

verwandt. Weitere Informationen zu dem Schema und zu der Implementierung in

den tau-Code sind in [1], [20] und [5] zu nden.

4.3 dual-time-stepping

Das dual-time-stepping wird eingesetzt, um die Stabilittsbeschrnkungen aufgrund

des kleinen Gitterabstandes bei viskosen Strmungen zu umgehen. Eingefhrt wurde

dieser Algoritmus von Jameson [15], wobei die grundlegende Idee zu dem dual-time-

stepping Algoritmus neuartig ist. Ausgangspunkt ist, wie bei den vorherig erwhnten

28

4 Der tau-Code

Zeitschrittverfahren, die Gleichung (4.4) umgeschrieben zu:

~W

t= ~R , (4.11)

wobei R wiederum das Residuum darstellt, das den konvektiven und den dissipa-tiven Fluss beinhaltet, sowie den Fluss der knstlichen Dissipation. Das Verfahren

beruht auf der Einfhrung einer ktiven Zeit tau, nicht zu verwechseln mit den

Viskosenspannungen, mit der die Gleichung (4.11) umformuliert wird zu:

~W

=

[ ~W

t+R( ~W )

]= R( ~Q) . (4.12)

In der Gleichung wird ein neues ResiduumR deniert, das sowohl die nderung derphysikalischen Zeit als auch den Flussvektor beinhaltet. Aufgrund dieser Umformung

kann man die Gleichung (4.12) mit einem ezienten Strmungslser fr stationre

Strmungen zu der ktiven Zeit tau lsen. Sobald der knstliche stationre Zustand

erreicht ist und damit die nderung von

~W in Bezug auf die ktive Zeit tau zu Null

wird, ist die Lsung fr die unstetigen Navier-Stokes Gleichungen zum Zeitpunkt

t gefunden. Somit wird, anstelle der Lsung des Problems zu jedem Zeitpunkt im

physikalischen Zeitbereich, das Problem in eine Folge stationrer Berechnungen in

einem knstlichen Zeitbereich aufgespalten.

Fr die Implementierung des dual-time-stepping wird das Residuum R in der Glei-chung (4.8) fr das Backward-Euler Verfahren durch das neue Residuum R ersetzt.Dabei stellt der tau-Code Verfahren mit erster, zweiter oder dritter Ordnung der

Genauigkeit zur Verfgung. Weitere Informationen sind in [5], [15] und in [39] zu

nden.

29

5 Durchfhrung

Die Arbeit baut auf den experimentellen Ergebnissen von Smith [34] und auf den

numerischen Ergebnissen von Candoi [2] auf. Die in den Untersuchungen verwendete

Stufe hat eine Hhe von 0,433 inch (1,125 cm). Oberhalb der Stufe betrgt die

Anlaunge der Strmung 4 inch (10,16 cm) und unterhalb der Stufe betrgt die

Lnge des Auslaufes 12 inch (30,48 cm). Oberhalb der Basis der Stufe erstreckt sich

das Rechennetz ber 6,25 inch (15,875 cm), wodurch ein gengend groer Abstand

zur Stufe gewhrleistet ist. In der Breite erstreckt sich die Stufe 0,448 inch (1,138

cm) (Abbildung 8.7).

Als Ausgangsrechennetz wird das Netz herangezogen, das Candoi in seiner Arbeit

verwendet hat. Da Candoi hauptschlich stationre Rechnungen durchgefhrt hat,

bei denen die Netzbreite 1 Zelle betrug, wird das Netz mit Hilfe einer modizierten

Version von (Centaur2tau) in der Breite vervielfacht. Detaillierte Informationen zu

der Generierung des Netzes sind in [2] zu nden.

In dieser Arbeit werden aufbauend auf dem Netz von Candoi drei verschiedene Netze

generiert. Dabei wird das Candoi Netz als das Netz mittlerer Gre gewhlt und

strukt. Elemente unstrukt. Elemente Gesamt-

Bereich x-y-z strukt. Bereich Bereich xz-y unstruk. Bereich elemente

grob 400x32x16 204800 11544x32 369408 574208

mittel 800x64x32 1638400 20597x64 1318208 2956608

fein 1120x90x45 4536000 40477x90 3642930 8178930

Tabelle 5.1: Daten der verwandten Netze

mit Hilfe von centaur2tau 64 mal in der Breite (y-Ebene) vervielfltigt, so dass

der strukturierte Bereich in Wandnhe ein Netz der Gre 800x64x32 Elementen

beschreibt. Der Rest des Rechengebietes besteht aus 20597x64 Dreiecken, die, um

so weiter sie von der Wand entfernt, grer werden (Abbildung: 8.10). Aus diesem

30

5 Durchfhrung

Netz wird durch Halbierung der Anzahl der Zellen in jede Raumrichtung ein grberes

Netz (Abbildung: 8.9) und durch Vermehrung der Zellen mit dem Faktor 1,4 ein

feineres Netz (Abbildung: 8.11) erstellt. Die genauen Daten zu den Netzen sind in

Tabelle 5.1 zu nden. Die Vernderungen der Netze im strukturierten Bereich sind

in Abbildung 8.12 am Beispiel der oberen Ecke zu sehen. Der Sinn der verschiedenen

Netze liegt in der Untersuchung der Abhngigkeit der Lsung von der Netzfeinheit.

Bereits nach der Erstellung konnte schon vermutet werden, dass das grobe Netz

keine zufriedenstellende Lsung liefern kann, da es fr eine LES viel zu grob ist.

Des Weiteren wird eine Untersuchung bezglich des Zeitschrittes vorgenommen.

Hierzu wird eine Lsung auf dem mittleren Netz fr drei verschiedene Zeitschrit-

te errechnet. hnlich wie bei der Netzfeinheit wird ein sehr groer Zeitschritt von

6105, ein mittlerer, halb so groer Zeitschritt von 3105 und ein kleiner Zeitschrittvon 1, 5 105 gewhlt. Bei der zeitschrittabhngigen Berechnung ist zu beachten,dass die Ergebnisse zum gleichen Zeitpunkt der zeitgenauen Rechnung betrachtet

werden. Nheres dazu wird im Abschnitt 5.2 behandelt. Auch hier wird untersucht,

inwiefern die Lsung von der Gre des Zeitschrittes abhngt.

Diese beiden Untersuchungen werden fr zwei verschiedene Flle durchgefhrt (Ab-

bildung:8.13 und 8.14). Im ersten Fall liegt ein turbulenter Anlauf zu der Stufe bei

einer Reynolds Zahl von Re = 460000 pro inch, bei dem zweiten Fall strmt die

Strmung laminar auf die Stufe zu bei einer weitaus geringeren Reynolds Zahl von

Re = 60000 pro inch. Diese beiden Flle wurden unter anderem auch von Candoi

[2] in seiner Arbeit Numerical Investigations of Supersonic ows over a backward

facing step mit Hilfe der Reynolds gemittelten Navier-Stokes Gleichungen mit ver-

schiedenen Turbulenzmodellen durchgerechnet, und es liegen ebenfalls experimen-

telle Daten von Smith [34] vor. Dadurch kann man sehr gut vergleichen, inwieweit

die Ergebnisse einer DES sich verbessern oder verschlechtern im Vergleich zu den

RANS Ergebnissen.

Auerdem wird eine weitere Lsung auf dem mittleren Netz mit einem Zeischritt von

3 105 mit Hilfe einer xLES erstellt. Dabei soll verglichen werden, inwieweit sich diebeiden hybriden Anstze DES und xLES (Theorie im Abschnitt 3.1.4) voneinander

unterscheiden und an welchen Stellen diese Unterschiede besonders markant sind.

Bei allen Berechnungen entsprechen die Strmungsbedingungen denen der experi-

mentellen Untersuchungen von Smith. Die Anstrmung erfolgt dabei mit einer Mach-

zahl vonMa = 2, 5 bei einer totalen Temperatur von 345K und einer Wandtempera-

tur von 277K. Diese Randbedingungen wurden ebenfalls bei den Berechnungen von

Candoi bercksichtigt. In Tabelle 5.2 sind diese Daten nochmals zusammengefasst.

31

5 Durchfhrung

Anfangsbedingungen Einheit

Anstrmungsmachzahl 2,5 []totale Temperatur 345 [K]

Wandtemperatur 277 [K]

turbulente Freifeldbedingung Einheit

Dichte 0,007783417 [

kgm3]

Temperatur 153,33 [K]

Druck 342,4477798 [

Nm2]

Geschwindigkeit 620,4632342 [

ms]

Prandtl Zahl 0,9 []Reynolds Zahl 460000 [

1inch]

laminare Freifeldbedingung Einheit

Dichte 0,00778405 [

kgm3]

Temperatur 153,33 [K]

Druck 342,5428538 [

Nm2]

Geschwindigkeit 620,5239419 [

ms]

Prandtl Zahl 0,72 []Reynolds Zahl 60000 [

1inch]

Tabelle 5.2: Strmungsrandbedingungen der numerischen Unterschung

32

5 Durchfhrung

Die Rechnungen wurden auf dem Compute-Server Euler der Technischen Univer-

sitt Braunschweig durchgefhrt. Der Server besteht aus 9 Power5 Knoten mit je

8 1,9 Ghz CPUs. Dabei konnten fr die Rechnungen maximal einem Konten, das

heit parallel auf 8 CPUs, gerechnet werden. Da DES Rechnungen sehr rechenin-

tensiv sind, war die Rechenzeit auf Grund der zur Verfgung stehenden Hardware

sehr lange. Es wre berlegenswert weitere DES Rechnungen auf anderen Servern

durchzufhren.

5.1 Initialisieren einer Detached-Eddy Simulation

Es besteht kein Unterschied in der Initialisierung einer Detached-Eddy Simulation

und einer extra Large-Eddy Simulation. Von daher gilt dieser Abschnitt fr beide

Simulationsarten, auch wenn im folgenden nur von der DES geredet wird. Mit Hilfe

einer DES lassen sich instationre, zeitabhngige Probleme berechnen. Instationr

heit, dass die Lsung in einem Punkt zu einem Zeitpunkt t1 nicht der Lsung zu

einem Zeitpunkt t2 entsprechen muss, wie es bei stationren Problemen der Fall ist.

Da zu Beginn der Rechnung das Strmungsfeld frei von Instationaritten ist und die

Rechenzeit einer DES sehr gro ist bis zum Beginn der Entwicklung der Instatio-

naritten, muss diese Entwicklung beschleunigt werden. Wre diese Beschleunigung

nicht vollzogen worden, htten in dieser Arbeit ca. 1200000 Zeitschritte bis zur

Entwicklung der Instationaritten gerechnet werden mssen. Das entspricht einer

Rechenzeit von ca. 15 Jahren. Das Vorgehen der Beschleunigung wird im Folgenden

beschrieben. Das Verfahren besteht aus zwei Schritten. Im ersten Schritt wird eine

stationre Lsung mit einer RANS Simulation ermittelt. Dieses dient dazu, dass

man die DES auf einer schon vorhandenen konvergierten Lsung aufbauen kann. Im

zweiten Schritt wird von der RANS Simulation auf die DES umgeschaltet. Bei der

DES Rechnung wrde man normal mit einem relativ kleinen Zeitschritt, in dieser

Arbeit 6 105, 3 105 und 1, 5 105 und mit einer inneren Iterationszahl von100 und hher rechnen. Damit die Initialisierung der Instationaritten beschleu-

nigt wird, ndert man diese Parameter. Dazu wird ein sehr groer Zeitschritt, hier

3 102, gewhlt, wodurch eine Konvergenz der Lsung ausgeschlossen werden kann.Die Ausbreitung der Instationaritten jedoch vollzieht sich auf Grund des groen

Zeitschrittes nach kurzer Zeit. Des Weiteren wird die innere Iterationszahl auf 50

gesenkt, wodurch ebenfalls eine Verringerung der Rechenzeit bis zum Zustand der

Instationaritt erzielt wird. Mit Hilfe dieser nderungen zur Initialisierung werden

in dieser Arbeit nur noch 2000 Zeitschritte bentigt; das entspricht einer Zeit von

33

5 Durchfhrung

ca. 9 Tagen. Aufbauend auf dieser Initialisierung kann die DES gestartet werden.

Dasselbe Verfahren ist, wie schon gesagt, bei einer xLES oder allen anderen insta-

tionren Problemen anwendbar.

5.2 Mittelung der instationren Gren

Die Mittelung der instationren Gren ist fr die sptere Auswertung und fr den

Vergleich der verschiedenen Flle unerlsslich. Dabei muss der Zeitraum der Mitte-

lung so gro gewhlt werden, dass sich eine stationre Lsung durch die Mittelung

ergibt. Mittelt man beispielsweise von einem Zeitpunkt t1 bis zu einem Zeitpunkt

t2 und vergleicht diese Mittelung mit einer zweiten ber den Zeitraum von t1 bis t3,

wobei t3 auf der Zeitskala spter als t2 liegt, und erhlt dabei zwei identische Lsun-

gen, hat man durch die Mittelung von t1 bis t2 den gemittelten stationren Zustand

erreicht. Sollten die Lsungen nicht identisch sein, muss der Mittelungszeitraum wei-

ter vergrert werden. Eine totale bereinstimmung kann nur nach einer Mittelung

mit sehr vielen Zeitschritten erreicht werden. Hier wurde eine Mittelung ber 4000

Zeitschritte bei einem Zeitschritt von t = 3 105 durchgefhrt. Die nderung mitzunehmender Anzahl an Zeitschritten ist in Abbildung 8.8 zu sehen. Des Weiteren ist

zu beachten: wenn man Lsungen aus Rechnungen mit verschiedenen Zeitschritten

vergleicht, muss einerseits die Mittelungsstartzeit t1 der verschiedenen Rechnungen

identisch sein und ebenso der Endzeitpunkt t2. Dadurch ergibt es sich, dass fr ver-

schiedene Zeitschrittgren verschieden viele Zeitschritte berechnet werden mssen.

In Tabelle [5.3] sind die Zeitschrittgren und die gerechneten Zeitschritte dieser

Arbeit zu nden. Dabei wird die DES nach der Initialisierung (Abschnitt 5.1) zu

Zeitschritt

Anzahl der Zeitschritte

nach Initialisierung vor instationrer Rechnung nach der Mittelung

6 105 2000 4000 60003 105 2000 6000 100001, 5 105 2000 10000 18000

Tabelle 5.3: Anzahl der gerechneten Zeitschritte fr die drei Flle ts = 6 105,ts = 3 105 und ts = 1, 5 105

dem Zeitpunk t0 = 36, 024 s gestartet. Die Strmung ist demnach schon 36, 024 s

ber die Stufe gestrmt. Die Mittelung wird anschlieend ber dem Zeitraum von

t1 = 36, 144 s bis t2 = 36, 264 s durchgefhrt.

34

5 Durchfhrung

Der tau-Code kann fr instationre Rechnungen nur die Gren der Geschwindig-

keit (u, v, w), den Druck p sowie die instationren Korrelationen (uu, vv, ww,

uv, uw, pp) berechnen. Aus diesem Grund wird fr die Mittelung beispielswei-

se der Stanton Zahl ein Programm in Python geschrieben. Um dieses Programm

nutzen zu knnen, wird nach je zehn Zeitschritten whrend der Mittelung eine L-

sung ausgegeben. Da in dieser Arbeit nur die Mittelung der Oberchengren von

Interesse ist, werden auch nur die Lsungen der Oberche und nicht des gesam-

ten Strmungsfeldes ausgegeben. Das Programm bernimmt als erstes die Aufgabe,

aus allen Lsungsdateien mit vom tau-Code mitgelieferten Programm tau2plt lesba-

re ASCII-Dateien zu erstellen. Anschlieend werden die ASCII-Daten nacheinander

eingelesen und Zahl fr Zahl aufsummiert. Nach der Aufsummierung wird das arith-

metische Mittel gebildet, in dem die Aufsummation durch die Anzahl der Datenstze

dividiert wird, um dann in eine neue Datei geschrieben zu werden, die die gemittelten

Lsungen enthlt.

5.3 Spektralanalyse an diskreten Punkten

Fr eine Spektralanalyse ist die Messung der mittleren Geschwindigkeiten als auch

der Schwankungsgeschwindigkeiten mit einer hohen zeitlichen und rumlichen Au-

sung erforderlich. In der experimentellen Strmungsmechanik wird hierzu die Hitzdraht-

Anemometrie benutzt. In Anlehnung an diese Technik ist es hier das Ziel, ebenfalls

an bestimmten Punkten des Rechennetzes Werte fr die Geschwindigkeiten u, v und

w zu erhalten. Da eine solche Ausgabemglichkeit im tau-Code nicht vorhanden ist,

muss diese zustzlich implementiert werden. Hierzu wurde in ein Skript geschrie-

ben, in dem zehn Punkte anhand von x-, y- und z-Koordinaten deniert werden

knnen, an denen die gesuchten Gren ausgegeben werden. Da durch die Angabe

der Koordinaten nicht sichergestellt werden kann, dass sich an dieser Stelle ein Netz-

punkt bendet, muss zustzlich eine berprfung stattnden, mit der der nchst-

gelegene Netzpunkt gesucht wird. Die zehn Ausgabepunkte sind in dieser Arbeit in

zwei Gruppen unterteilt. Die einen geben die Schwankungsgren an verschiedenen

Stellen in der freien Scherschicht aus und die anderen in der Grenzschicht ober- und

unterhalb der Stufe. Die Aufteilung dient der spteren Untersuchung des Energie-

transportes zwischen verschiedenen Wirbelgren in den zwei Schichten. Durch die

numerische Simulation der Hitzdraht-Anemometrie tritt das Problem der rtlichen

Ausung nicht auf, da hier bestimmte Punkte deniert sind, die in Raumrichtung

keine Dimension haben. Um die grt mgliche zeitliche Ausung zu erlangen, ist

35

5 Durchfhrung

das Skript so in den Code eingebettet, dass es nach jedem Iterationsschritt die Werte

fr u, v und w fr jeden Punkt in einer zu dem Punkt gehrigen Datei speichert.

In dieser Arbeit sind die Werte ber 1000 Zeitschritte aufgenommen worden. Diese

Rohdaten werden anschlieend in einem Matlab Programm weiterverarbeitet. Da-

bei wird eine Fast Fourier Transformation (FFT) fr jeden Punkt der Rohdaten

durchgefhrt und anschlieend das Leistungsspektrum doppelt logarithmisch aufge-

tragen. Das Problem der Fourier Transformation ist, dass sie von einem unendlich

langen Datensatz ausgeht. Da dieser Datensatz einen Anfangs- und einen Endpunkt

besitzt, wird zustzlich vor der Transformation eine Windowfunktion eingebaut, die

den Anfangs- und Endwert auf Null glttet, damit die FFT keinen Sprung im Daten-

satz durch Sinus und Cosinus Funktionen darstellen muss. Durch diese Auswertung

ist es mglich, bestimmten Frequenzen der turbulenten Bewegung einen bestimmten

Anteil der totalen Schwankungsenergie zuzuordnen.

36

6 Ergebnisse

Die Untersuchung der rckspringenden Stufe, wie sie schon experimentell von Smith

[34] und numerisch von Candoi [2] betrachtet wurde, dient zur Analyse der Ergeb-

nisse einer Detached-Eddy Simulation. Dazu sollen aus den Ergebnissen

1. die Abhngigkeit des RANS Bereichs von der Netzfeinheit,

2. die Abhngigkeit der Lsung von der Netzfeinheit,

3. die Abhngigkeit der Lsung von der Zeitschrittgre

ermittelt werden. Des Weiteren wird ein Vergleich der beiden hybriden Anstze

DES und xLES durchgefhrt, um den Einuss der verschiedenen Turbulenzmodel-

lierungen zu verdeutlichen. Dabei wird zum einen ein Vergleich der Wandschubspan-

nung und des Wrmebergangs und zum anderen eine subjektive Betrachtung der

rumlichen Visualisierung der Wirbelstrukturen durchgefhrt. Die daraus gewonne-

nen Ergebnisse werden benutzt, um die Lsung mit dem optimalen Zeitschritt und

der optimalen Netzfeinheit auszuwhlen und anschlieend mit den Ergebnissen von

Smith und Candoi zu vergleichen. Hieraus sollen Schlsse gezogen werden, ob und

inwieweit die Lsungen eine DES oder xLES nher an die Ergebnisse des Experi-

ments herankommen im Vergleich zu den RANS Lsungen von Candoi. Abschlieend

wird eine Spektralanalyse der turbulenten Schwankungsbewegung in Punkten der

freien Scherschicht und der Grenzschicht durchgefhrt.

In dieser Arbeit sind zwei verschiedene Flle, mit einem turbulenten Anlauf und einer

hohen Rynoldszahl und mit einem laminaren Anlauf und einer kleinen Reynolds-

zahl, betrachtet. Die Ergebnisse aus dem laminaren Fall werden hier nicht weiter

diskutiert, da sie keine dreidimensionale instationre Lsung liefern und somit nicht

den erwarteten Lsungen einer DES entsprechen. Dieses Verhalten ist ein typisches

Problem einer DES. Da die DES auf einer RANS Simulation aufbaut, in der keine In-

stationaritt vorhanden ist, muss diese nachtrglich eingebracht werden. Das ist bei

dem laminaren Fall nach dem selben Prinzip (Abbschnitt 5.1) wie bei dem turbulen-

ten Fall durchgefhrt worden. Nach der Initialisierung sind in der Lsung Instatio-

naritten erkennbar gewesen, die sich aber auf Grund der numersichen Dissipation

37

6 Ergebnisse

und vor allem auf Grund der kleinen Reynoldszahl whrend der DES zurckgebildet

haben. Eine Mglichkeit der Verbesserung der Initialisierung wre das Einfhren

einer Starrkrper-Oszillation um die Instationaritt noch weiter zu forcieren. Dieses

konnte in der Arbeite aus Zeitgrnden nicht mehr durchgefhrt werden, wre aber

ein mglicher Versuch um auch fr den laminaren Fall diskutierbare Lsungen zu

bekommen.

6.1 Einuss der Netztopologie auf den RANS

Bereich

Im Abschnitt 3.1.4 wurden die Grundlagen der DES beschrieben. Dabei wurde in

den Gleichung (3.37) und (3.38) gezeigt, dass der zu erwartende RANS Bereich nur

von der Topologie des Netzes abhngt. In den Abbildungen 8.15, 8.16 und 8.17 ist

die Grenzlinie (rot) zwischen dem RANS Bereich und dem LES Bereich fr die drei

verschieden feinen Gitter eingezeichnet. Dabei kann man deutlich erkennen, dass mit

zunehmender Vergrberung des Gitters der RANS Bereich grer wird. Dies hngt

mit der in Gleichung (3.37) denierten Wandfunktion d zusammen. Diese besagt,

dass wenn der Wandabstand kleiner als die lngste Seite der Zelle ist, im RANS Mo-

dus gerechnet wird. Da mit zunehmender Gittervergrberung die Lnge der Zellen

ebenfalls wachsen, muss folglich auch der RANS Bereich grer werden. Aus diesem

Grund ist bei der Erstellung des Gitters bei einer DES darauf zu achten, dass die

Zellen in dem Bereich, in dem eine RANS Simulation erfolgen soll, eine hinreichend

lange Seite im Vergleich zum Wandabstand besitzen, oder die dritte Wurzel des Vo-

lumens der Zelle gro genug ist (Gleichung (3.38)), so dass ein geeigneter RANS

Bereich in Wandnhe entsteht. In diesem Fall liegt beispielsweise der Wechsel vom

RANS Bereich zum LES Bereich an der Stelle x 8, 8 inch fr das mittlere Gitterbei einer Zellenlnge von x 0, 02971 inch bei z 0, 01814 inch. In Tabelle6.1 sind zum Vergleich die Werte fr das grbere und das feinere Gitter angegeben.

Man sieht, dass sich der vorher grasch dargestellte Einuss der Zellgre auf den

RANS Bereich, respektive auf den Wandabstand d, ebenfalls zahlenmig belegen

lsst. Des Weiteren ist der Zusammenhang zwischen der grten Zellseite, der DES

Konstanten CDES und dem Wandabstand d aus Gleichung (3.37) zu entnehmen.

38

6 Ergebnisse

Netz Zelllnge x Wandabstand d xd

grob 0,0589 0,0406 0,0383

mittel 0,0278 0,0181 0,0180

fein 0,0223 0,0145 0,0145

Tabelle 6.1: Zelllnge x und Wandabstand d am Punkt x 8, 8

6.2 Abhngigkeit der Lsung von der Netzfeinheit

Bei einer Detached-Eddy Simulation wird in der Wandnhe mit einem RANS Mo-

dell gearbeitet und die groskaligen Turbulenzen mit einer LES berechnet. Diese

Tatsache hat einen groen Einuss auf die Netzgenerierung, da hierbei sowohl die

Forderungen der RANS als auch der LES bercksichtigt werden mssen. Die Netz-

feinheit spielt eine wichtige Rolle, da die groben Strukturen bei der LES mit Hil-

fe des Gitters aufgelst werden (Abschnitt: 3.1.3). Aus diesem Grund werden die

Rechnungen auf drei verschiedenen Gittern durchgefhrt. In Abbildung 8.18 werden

zum Vergleich fr den Fall des turbulenten Anlaufes einerseits die Wandschubspan-

nung (cfx) ber der Modelllnge und anderseits die Stanton Zahl (St) ber der

Modelllnge aufgetragen. Die Wandschubspannung und die Stanton Zahl sind dabei

gemittelte Gren und werden bei y = 0, 224 inch aufgenommen. In beiden Dia-

grammen ist eindeutig zu sehen, dass das grbste Gitter fr diesen Fall keine exakte

Lsung liefert, da aufgrund der groen Zellen die zuvor hereingebrachte Instatio-

naritt whrend der Simulation verloren geht. In den Abbildungen 8.19 und 8.20

sind die Wandschubspannung in x Richtung und die Stanton Zahl an der Wand des

Modells zum Zeitpunkt t = 36, 264s in 2D dargestellt. Anhand der zur y-Achse par-

allelen Grenzen der verschiedenen Werte von cfx und St ist der stationre Charakter

der Simulation auf dem groben Gittter zu erkennen. In den Abbildungen 8.21, 8.22,

8.23 und 8.24 sind zum Vergleich die Verteilungen von cfx und St zum Zeitpunkt

t = 36, 264s der beiden anderen Gitter aufgetragen, aus denen die Instationaritt der

Strmung deutlich hervorgeht. Des Weiteren lt sich in den beiden Diagrammen in

Abbildung 8.18 erkennen, dass die Lsung des mittleren Gitters annhernd mit der

Lsung des feinen Gitters bereinstimmt. Es gibt groe Unterschiede in dem Bereich

von x = 5, 5 inch bis x = 9, 5 inch, die auf die bessere Ausung des Rekompres-

sionsschocks und dessen Einuss auf die Wand zurckzufhren sind. Die genauere

Lsung auf dem feineren Gitter erfordert einen weitaus greren Rechenaufwand,

wie in Tabelle 6.2 zu sehen ist. In Anbetracht des groen Zeitunterschiedes und des

kleinen Lsungsunterschiedes ist die Wahl des mittleren Gitters angebracht.

39

6 Ergebnisse

Zeitschritt Rechenzeit in Tagen

grob 8

mittel 30

fein 145

Tabelle 6.2: Reale Rechenzeit fr die verschiedenen Netze

6.3 Abhngigkeit der Lsung von der

Zeitschrittgre

Neben der Netzfeinheit ist die Gre des gewhlten Zeitschritts relevant. In Ab-

bildung 8.25 und 8.26 werden Rechnungen mit den Zeitschritten von ts = 6e5 s,

ts = 3e5 s und ts = 1, 5e5 s miteinander verglichen. Zu dem Vergleich wird wie-

derum die gemittelte Wandschubspannung in x Richtung und die gemittelte Stan-

ton Zahl herangezogen. In den oben genannten Abbildungen, jeweils in dem linken

Diagramm, ist zu sehen, dass die Ergebnisse der drei Zeitschritte sehr gut berein-

stimmen. Vor allem oberhalb der Stufe in dem Bereich, in dem die Strmung noch

nicht beeinusst wird, besteht eine 100-prozentige bereinstimmung, genau so wie

ab x = 12 inch hinter der Stufe. In dem Bereich der Wiederanlegung der freien

Scherschicht (x = 5, 5 inch) und weiter stromabwrts bis x = 12 inch kommt es

zu geringen Abweichungen der Lsungen hnlich wie sie schon bei der Abhngigkeit

der Netzfeinheit gefunden wurden. Unter den drei Lsungen sind der Verlauf des

Zeitschrittes von ts = 6e5 s und der von ts = 3e5 s hnlicher im Vergleich zu der

Lsung des kleinsten Zeitschrittes. Mit kleiner werdendem Zeitschritt verlagert sich

der Verlauf von cfx und St immer weiter zu kleineren Werten. Neben den gemittelten

Gren werden in Abbildung 8.27 und 8.28 instantane Werte verglichen. Die Werte

sind zu den Zeitpunkten t = 36, 024s, t = 36, 144s, t = 36, 204s und t = 36, 264s auf-

genommen. Es ist zu sehen, dass zum Zeitpunkt t = 36, 024s die Lsungen der DES

genau bereinstimmen und sich mit zunehmender Zeit auseinander laufen. Dieses

Verhalten ist vor allem im Bereich der Rekompression zu erkennen. Vor der Stufe ist

die Lsung der DES unabhnig von dem Zeitschritt, da hier die Ergebnisse fr jeden

Zeitpunkt identisch sind. hnliches Verhalten ist ebenfalls weit hinter der Stufe ab

x = 10 inch zu sehen. Hier nhern sich die Ergebnisse der verschiedenen Zeitschrit-

te wieder an. In Anbetracht des Verhltnisses der realen Rechenzeit zur Qualitt

des Ergebnisses (siehe Tabelle 6.3) ist die Wahl eines Zeitschrittes von ts = 3e5 s

optimal.

40

6 Ergebnisse

Zeitschritt Rechenzeit in Tagen

6 105 143 105 301, 5 105 60

Tabelle 6.3: Reale Rechenzeit fr die Zeitschritte

6.4 Vergleich der Detached-Eddy Simulation und

der extra Large-Eddy Simulation

Wie in Abschnitt 3.1.4 beschrieben, sind die DES und die xLES hybride Anstze,

die sich aus zwei verschiedenen Turbulenzmodellen zusammensetzen. Bei der hier

verwandten DES kommt eine LES mit dem Smagorinsky Modell und eine RANS

mit dem Spalart-Allmaras Modell zum Einsatz. Die xLES besteht hingegen aus

einer LES mit einem k-Gleichungsmodell und einer RANS mit dem TNT k Modell. Diese Unterschiede in der Turbulenzmodellierung spiegeln sich ebenfalls in

den Lsungen wieder. In Abbildung 8.29 ist die Wandschubspannung und der Wr-

mebergang fr die beiden hybriden Modelle dargestellt. Es ist zu sehen, dass im

Bereich hinter der Stufe und vor der Wiederanlegung, also im Rckstrmgebiet, die

Turbulenzmodelle sehr hnliche Lsungen liefern und ab x = 5 inch auseinander-

gehen. Die xLES liefert dabei stets einen hheren Wert fr die Stanton Zahl und

die Wandschubspannung. Dies erklrt sich dadurch, dass nicht nur der Impulsaus-

tausch, sondern auch die Wrmebertragung von den turbulenten Schwankungen

abhngt. Abbildung 8.30 und 8.31 zeigen dazu die Wirbelviskositt in der Nhe der

Stufe und die Abbildungen 8.32 und 8.33 die Wirbelviskosittsverteilung ber das

gesamte Modell. Die ersten beiden Abbildungen zeigen, dass in der Nhe der Stufe

die DES eine weitaus geringere Wirbelviskositt, also die Strke der Verwirbelung,

vorhersagt. t liegt dabei im Rckstrmgebiet im Bereich von 108bei der DES und

ist bei der xLES um einen Faktor 2 bis 3 grer. hnliches ist im kompletten Str-

mungsfeld (Abbildungen: 8.32, 8.33) zu sehen. Bei der xLES wird t im Vergleich

zu der DES kontinuierlich um einen Faktor 3 bis 4 hher vorhergesagt. In den Ab-

bildungen 8.34 bis 8.37 ist die beschriebene hhere Abschtzung der Wirbelstrke

durch die xLES im Vergleich zu der DES noch eindeutiger zu sehen. Dazu ist der

Verlauf des Verhtnisses der turbulenten Viskositt oder Wirbelviskositt t zu der

laminaren oder auch molekularen Viskositt l aufgetragen. In den Abbildungen

8.38 und 8.39 ist der Verlauf der Stromlinien aus den gemittelten Geschwindigkeiten

41

6 Ergebnisse

dargestellt. Es ist zu sehen, dass die erhote Dreidimensionalitt der Strmung in

beiden hybriden Anstzen vorhanden ist, aber auch, dass der rumliche Verlauf der

Geschwindigkeit von beiden Modellen unterschiedlich wiedergegeben wird.

6.5 Visualisierung der Strmung

6.5.1 2D

Numerische Simulation von Überschallströmungen über eine rückspringende Stufe

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Transcript of Numerische Simulation von Überschallströmungen über eine rückspringende Stufe