Numerische Strömungsmechanik mit Z88 · Matlab: FDM Netz: 50x50 . Lehrstuhl für...

Lehrstuhl für Konstruktionslehre und CAD Prof. Dr.-Ing. Frank Rieg

Numerische Strömungsmechanik mit Z88

Max Geilen

Florian Hüter

Prof. Dr.-Ing. Frank Rieg

Finite-Elemente-Analyse von Stokes-Strömungen

21. September 2016

Bayreuth

18. Bayreuther 3D-Konstrukteurstag


18. Bayreuther 3D-Konstrukteurstag 2016 21. September 2016, Bayreuth

Florian Hüter, Max Geilen

Anwendungsbeispiele

Numerische Strömungsmechanik

2

Computational Fluid Dynamics (CFD)

Abb. 1

Abb. 2

Abb. 3




Zielsetzungen

3

• Theoretische Grundlagen

• Schwerpunkt: Stokes‘sche Strömungen

• Exkurs: Navier-Stokes-Gleichungen

• Mathematische Schwierigkeiten

• Möglicher Lösungsansatz

• Validierung am Benchmark-Problem




Stokes-Strömung

Deckelgetriebene Nischenströmung

4

Benchmark-Problem:

• Laminar, Re<<1 • Inkompressibel • Newtonsches Material • Isotherm

Klassifizierung der Strömung:

Abb. 4

Geschwindigkeitsfeld FDM:




Stationäre Stokes-Gleichungen

Stokes-Strömungen

5

0

i

i

x

u

bi

j

ij

i

i fxx

p

t

u

Massenerhaltung:

Impulserhaltung:

hier nur stationär !

Lineares partielles Differentialgleichungssystem:

Lösung mithilfe der FEM

i

j

j

iij

x

u

x

u

2

1

• zwei gekoppelte PDGLen

• zwei Unbekannte: pu,




Klassischer Diskretisierungsansatz der FEM

Stokes-Strömungen

6

0

i

i

x

u

bi

ij

ijf

x

p

x

0

uD

Rpu T

DK

Massenerhaltung:

Impulserhaltung:

lineares

Gleichungs-system




Lagrange-Gleichungssystem

Stokes-Strömungen

7

0

R

p

uT

0D

DKLagrange-Gleichungssystem:

• Sattelpunktproblem

• Matrix: symmetrisch, aber indefinit

Eigenschaften: Eingeschränkte Solver-Auswahl

Mehrfeldformulierung:




Hybridelementansatz

Stokes-Strömungen

8

Nicht alle Elementtypen dürfen miteinander kombiniert werden !

LBB-Bedingung: Eingeschränkte Element-Auswahl

Geschwindigkeit Druck Hybridelement




Simulationsergebnisse

Stokes-Strömungen

9

Vergleichsrechnung Stationäre Lösung des Geschwindigkeitsfeldes

Matlab: FDM

Netz: 50x50




Simulationsergebnisse (2)

Stokes-Strömungen

10

Ergebnisse entlang charakteristischer Linien

Abb. 5

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

y

u

Z88: FEM

Matlab: FDM

u

x

y

Fazit: gute Übereinstimmung der Simulationsergebnisse




Checkerboard-Effekt

Stokes-Strömungen

11

Ergebnisse für das Druckfeld:

LBB-stabil

Checkerboard-Effekt • LBB-Bedingung

verletzt • Instabilität im

Druck • Geschwindigkeit

korrekt




Stabilitätsprobleme

Navier-Stokes-Gleichungen

12

0

i

i

x

uMassenerhaltung:

bi

j

ij

i

ij

j

i fxx

puu

xt

u

)(

Konvektionsterm Druckgradient

• Nichtlinearität • Instabilitäten im Geschwindigkeitsfeld

• zwei Unbekannte gleichzeitig zu lösen • Instabilität im Druck

Impulserhaltung:

Stabilisierungsverfahren




Characteristic-Based Split (CBS)-Algorithmus

13

Characteristic Galerkin Procedure Fractional Step Method

Konvektions- Stabilisierung

Grundidee

• Split A • Split B • Single Step Version

Verfahrensvarianten:

Druck- stabilisierung




Single Step Version (SSV)


14

n

bi

i

ij

jk

kbi

j

ji

i

ij

j

i fx

pUu

xxu

tf

xx

pUu

xt

U

)(

2)(

n

ii

i

x

pt

x

U

t

p

c

2

2

2

1

Schritt 1:

Schritt 2:

je Zeititeration zwei Schritte: Stabilisierungsterme

Druck ermitteln

Geschwindigkeit berechnen Konvektions-stabilisierung

Druck-stabilisierung




Spezialfall: stationäre Stokes-Strömung


0

R

p

ut

T

HD

DK

Klassischer Diskretisierungsansatz führt zu:

CBS-SSV-Gleichungssystem:

Druckstabilisierung

• Matrix immer noch indefinit

• LBB-Bedingung wird aufgehoben

Eigenschaften:

15




Wahl des Elementansatzes


Alle Elementtypen dürfen miteinander kombiniert werden!

LBB-Bedingung aufgehoben: Geschwindigkeit

Druck

Hybridelement

Insbesondere auch Elemente aus Mechanik

Druck als zusätzliche

Geschwindigkeitskomponente

16




Checkerboard-Effekt

Simulationsergebnisse


17

Ergebnisse für das Druckfeld:

Numerische Lösung für das Druckfeld jetzt STABIL !




Simulationsergebnisse (2)

18


Ergebnisse entlang charakteristischer Linien

x

y

Fazit: sehr gute Übereinstimmung der Simulationsergebnisse

p

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

p

x

Z88: Q2Q1

Z88: Q2Q2

Matlab: FDM




Zusammenfassung

19

• Mathematisch anspruchsvoll

• Hybridelementansatz

• Stabilitätsprobleme

• CBS-Algorithmus

• Lagrange-Ansatz:

• CBS-Ansatz:

Stokes-Strömung: Programme

Numerische Strömungsmechanik: FEM




• Vektorfeld

• Stromlinien

Visualisierung :

Abb. 6 Abb. 7

Ausblick

Eigenständiges CFD-Modul:

• in Z88Aurora

• analog zu z88thermo

20




21

Numerische Strömungsmechanik mit Z88

Abb. 8




Bildnachweise

Quellenangaben

22

Abb. 1 http://www.cd-adapco.biz/sites/default/files/F18_sized.jpg, aufgerufen am 28.08.2016

Abb. 2 https://cdn.comsol.com/wordpress/2014/01/Flow-and-temperature-field-in-a-shell-and-tube-heat-exchanger.png, aufgerufen am 28.08.2016

Abb. 3 https://www.fh-muenster.de/maschinenbau/labore/waermetechnik/turbinengleitlager.php?p=7,9,4, aufgerufen am 28.08.2016

Abb. 4 http://www.nacad.ufrj.br/~rnelias/gallery/cavity.html, aufgerufen am 28.08.2016

Abb. 5 https://www.researchgate.net/figure/266472931_fig1_Fig-6-Lid-Driven-Cavity-problem-for-n-1-and-s-0-Adaptive-mesh-and-streamlines-The, aufgerufen am 28.08.2016

Abb. 6

http://www.openfoam.com/documentation/tutorial-guide/img/tutorial47x.png, aufgerufen am 03.09.2016

Abb. 7

http://www.openfoam.com/documentation/tutorial-guide/img/tutorial50x.png, aufgerufen am 03.09.2016

Abb. 8

http://baubiologie-eifel.de/assets/images/fragezeichen.jpg, aufgerufen am 28.08.2016




Literaturverzeichnis

Quellenangaben

23

Donea, J.; Huerta, A.: Finite Element Methods for Flow Problems. 1. Auflage. John Wiley & Sons. Chichester: 2013.

Geilen, M.; Hüter, F.; Rieg, F.: Die Finite-Elemente-Methode in der Strömungsmechanik - Mathematische Grundlagen, Implementierung und Evaluation von Stokes- und Potentialströmungen. Teamprojektarbeit Universität Bayreuth: 2016.

Reddy, J. N.; Gartling, D. K.: The Finite Element Method in Heat Transfer and Fluid Dynamics. 3. Auflage. CRC Press. Boca Raton: 2010.

Rieg, F.; Hackenschmidt, R.; Alber-Laukant, B.: Finite Elemente Analyse f•ur Ingenieure. 5. Auflage. Carl Hanser Verlag. München: 2014.

Zienkiewicz, O. C.; Taylor, R. L.; Nithiarasu, P.: Finite Element Method for Fluid Dynamics. 7. Auflage. Elsevier. Oxford: 2014.

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