Numerische Verfahren fu¨r gew¨ohnliche Diﬀerentialgleichungen€¦ · Lehrstuhl fu¨r...

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth

Lehrstuhl fur Numerische Mathematik

Numerische Verfahren fur gewohnliche Differentialgleichungen

1. Einschrittverfahren I: Einfache Verfahren

2. Konvergenzordnung

3. Einschrittverfahren II: Runge–Kutta Verfahren

4. Stabilitat

5. Schrittweitensteuerung

6. Steife DGL

Kapitel IV (general01) 1



Literaturliste

• P.Deuflhard, F.Bornemann: Numerische Mathematik II, De Gruyter, 1994.

• E.Hairer, S.Nørsett, G.Wanner: Solving Ordinary Differential Equations I,

Springer 1993.

• E.Hairer, G.Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Springer 1996.

• A.Quarteroni, R.Sacco, F.Saleri Numerical Mathematics, Springer 2000.

• H.Schwetlick, H.Kretzschmar: Numerische Verfahren fur Naturwissenschaftler

und Ingenieure, Fachbuchverlag Leipzig 1991.

• J.Stoer, R.Bulirsch: Numerische Mathematik II, Springer 1990.




Mathematisches Pendel

mlφ = −mg sin(φ)φ(0) = α

φ(0) = 0

Umschreiben in System: w1 = φ, w2 = φ(

w1

w2

)

=

(

w2

−gl sin(w1)

)

,

(

w1

w2

)

(0) =

(

α0

)

Fur kleine Auslenkungen α: Periodendauer T = 2π√

lg

0 1 2 3 4 5−1

−0.5

0

0.5

1

Zeit

Aus

lenk

ung

φ

alpha = pi/1002 pi sqrt(l/g)




Periodendauer fur verschiedene Anfangswinkel α

0 1 2 3 4 5−1

−0.5

0

0.5

1

Zeit

Aus

lenk

ung

φ

alpha = pi/100alpha = pi/20alpha = pi/4alpha = pi/2

=⇒ Periodendauer nimmt mit wachsendem α monoton zu.




Ein Rauber-Beute-Modell

Lotka-Volterra-Gleichungen:

b = λbb(1− r/re)r = λrr(b/be − 1)

λb, λr: Wachstumsraten(be, re): Gleichgewichtspunkt

b0 = 10, r0 = 5,zeitlicher Verlauf

0 5 10 15 200

10

20

30

40

Zeit

BeuteRäuber

be = 15, re = 10,unterschiedliche Anfangswerte

0 20 40 600

10

20

30

Beute

Räu

ber




Dreikorperproblem

Aufgabe: Beschreibe die Bewegung eines Satelliten um das System Erde/Mond.

Die Differenzialgleichungen in den Koordinaten (x, y) des mitrotierenden

Schwerpunktsystems lauten:

x′′

= x + 2y′

− µx + µ

N1

− µx − µ

N2

,

y′′ = y − 2x′

− µy

N1

− µy

N2

,

wobei

N1 =(

(x + µ)2 + y2)3/2

, N2 =(

(x − µ)2 + y2)3/2

,

und µ = 0.012277471, µ = 1 − µ, µ das Verhaltnis der Mondmasse zur Masse des

Gesamtsystems. Mit verschiedenen Anfangswerten ergeben sich damit verschiedene Orbits.




Dreikorperproblem - periodische Orbits

3 - Blattrig

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5Eingebettetes Runge−Kutta Verfahren RK4(3)

TOL = 1e−04, Schritte = 3113

µ = 0.012277471,

x(0) = 0.994

x′(0) = 0,

y(0) = 0,

y′(0) = −2.03173262955...

T = 11.12434033726...

Schleife

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1Eingebettetes Runge−Kutta Verfahren RK4(3)


µ = 0.0121486,

x(0) = 0.994

x′(0) = 0,

y(0) = 0,

y′(0) = −2.1245,

T = 5.44

Knauel

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1

−0.5

0

0.5

1Eingebettetes Runge−Kutta Verfahren RK4(3)


µ = 0.0121486,

x(0) = 1.15

x′(0) = 0,

y(0) = 0,

y′(0) = 0.00761,

T = 29.5

Die Software ist unter http://m2matlabdb.ma.tum.de/download.jsp?MC ID=2&MP ID=550 abgelegt.




Korrekt gestellte Probleme

J. Hadamard (1865 -1963)

1. Existenz einer Losung

2. Eindeutigkeit der Losung

3. stetige Abhangigkeit der Losung vonden Problemdaten




Satz von Peano

Giuseppe Peano(1858-1932)

Sei f stetig und beschrankt auf

Qab :={

(t, y) ∈ Rn+1 : |t− t0| ≤ a; ‖y − y0‖ ≤ b

}

mit ‖f(t, y)‖ ≤ M und α := min(a, bM ).

Dann besitzt das Anfangswertproblem

y′ = f(t, y), y(t0) = y0

eine stetig differenzierbare Losungy ∈ C1([t0 − α, t0 + α]).Beweis: s. Harro Heuser - Gewohnliche Differential-gleichungen, 5. Auflage, Kapitel III




Satz von Picard-Lindelof

C. E. Picard(1856-1941)

E. Lindelof(1870-1946)

Zusatzlich zu den Voraussetzungen des Satzesvon Peano sei f in einer kleinen Umgebungvon t0 Lipschitz–stetig bezuglich des zweitenArguments mit der Lipschitz–Konstanten L:

‖f(t, y)− f(t, z)‖ ≤ L‖y − z‖.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Losungy ∈ C1([t0 − α, t0 + α]).Beweis: s. Heuser - Gewohnliche Differential-gleichungen, 5. Auflage, Kapitel III




Numerische Verfahren nach Euler

Leonhard Euler (1707-1783)

1. Explizites Euler-Verfahren

yi+1 = yi + hif(ti, yi)

2. Implizites Euler-Verfahren

yi+1 = yi + hif(ti+1, yi+1)

3. Modifiziertes Euler-Verfahren

yi+1 = yi+hif

(

ti +hi

2, yi +

hi

2f(ti, yi)

)




Runge–Kutta-Verfahren

Carle Runge (1856-1927)ab 1904 Professor in Gottingen

erstes mehrstufiges Verfahren (1895)

M. Kutta (1867-1944),ab 1912 Professor in Stuttgart

Verallgemeinerung auf s-stufigeexplizite Verfahren (1901)




Explizites Eulerverfahren (Polygonzugverfahren)

y′ = y, y(0) = 1, yi+1 = yi + hyi

0 0.5 11

2

3h = 1.000

LsgEuler

0 0.5 11

2

3h = 0.500

LsgEuler

0 0.5 11

2

3h = 0.250

LsgEuler

0 0.5 11

2

3h = 0.125

LsgEuler

Kapitel IV (esv01) 13



Modifiziertes Eulerverfahren

y′ = y, y(0) = 1, yi+1 = yi + h(yi +h2yi)

0 0.5 11

2

3h = 1.000

Lsgmod. Euler

0 0.5 11

2

3h = 0.500

Lsgmod. Euler

0 0.5 11

2

3h = 0.250

Lsgmod. Euler

0 0.5 11

2

3h = 0.125

Lsgmod. Euler




Verfahren von Heun

y′ = y, y(0) = 1, yi+1 = yi +h2(yi + hyi)

0 0.5 11

2

3h = 1.000

LsgHeun

0 0.5 11

2

3h = 0.500

LsgHeun

0 0.5 11

2

3h = 0.250

LsgHeun

0 0.5 11

2

3h = 0.125

LsgHeun




Implizites Eulerverfahren

y′ = y, y(0) = 1, yi+1 = yi + hyi+1

0 0.5 11

2

3h = 1.000

Lsgimp. Euler

0 0.5 11

2

3h = 0.500

Lsgimp. Euler

0 0.5 11

2

3h = 0.250

Lsgimp. Euler

0 0.5 11

2

3h = 0.125

Lsgimp. Euler

Vorsicht: Fur h = 1.0 funktioniert das Verfahren wegen yi+1 =yi

1−h nicht.




Einschrittverfahren: Vergleich: y′ = 2ty, y(0) = 1

0 0.5 11

2

3

h = 1.000

Lsgexp. Eulermod. EulerHeun

0 0.5 11

2

3

h = 0.500


0 0.5 11

2

3

h = 0.250


0 0.5 11

2

3

h = 0.125


Beobachtung: mod. Euler und Heun qualitativ besser




Einschrittverfahren, Ubersicht

Anfangswertproblem: Finde eine reellwertige Funktion y ∈ C1(I), so dass

{

y′(t) = f(t, y(t)) t ∈ Iy(t0) = y0

Name Typ p Diskretisierung

Forward Euler Explizit 1 yi+1 = yi + hfi

modif. Euler Explizit 2 yi+1 = yi + hf(ti+1/2, yi +h2fi)

Heun Explizit 2 yi+1 = yi +h2 [fi + f(ti+1, yi + hfi)]

Backward Euler Implizit 1 yi+1 = yi + hfi+1

Crank-Nicolson Implizit 2 yi+1 = yi +h2 [fi + fi+1]

modif. Euler impl. Implizit 2 yi+1 = yi + hf(ti+1/2,12(yi + yi+1))


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