Über die mathematischen Modelle der elastischen Schalen und … · 2013-06-10 · Birsan &...

Schalentheorie Ergebnisse Stäbe und Balken Anwendungen

Über die mathematischen Modelle derelastischen Schalen und Stäbe

vom Cosserat–Typ

Mircea BIRSAN

Universität Duisburg-EssenFakultät für Mathematik


Schalen und Platten

Das geometrisch nichtlineare Standardmodell imIngenieurbereich: die 6–Parameter Schale.

Flugzeugrumpf Kühlturm Karosserie


Abbildung : Die Mittelfläche der Schale

e1

e2

x1

x2

e3

ω

y0(x1, x2) R(x1, x2)

y(x1, x2)

Q0(x1, x2)

d01

d02

d03

d1

d2d3X(y0)

Qe(y0)

Referenz– und deformierte Konfiguration


6–Parameter Kinematisches Modell der Schale

Die Referenzkonfiguration der Schale ist durch denOrtsvektor y0 und den Strukturtensor Q0 gegeben:

y0 : ω ⊂ R2 → R

3, y0 = y0(x1, x2),

Q0 : ω ⊂ R2 → SO(3), Q0 = d0

i (x1, x2)⊗ ei ,

Die orthonormale Triade der Direktoren : {d01, d

02, d

03}

beschreibt den orthogonalen Strukturtensor Q0.

Die deformierte Konfiguration ist charakterisiert durch

y = X(y0), Qe = di ⊗ d0i ∈ SO(3),

Hierbei ist X die Verformung der Mittelfläche und derorthogonale Tensor Qe ist die elastische Drehung.

y bezeichnet den Ortsvektor und {d1, d2, d3} dieTriade der Direktoren in der deformierte Konfiguration.


Gleichgewichts-Gleichungen und Randbedingungen

Seien Grads der Oberflächen-Gradient und Divs dieOberflächen-Divergenz und F = Grads y = ∂αy ⊗ aα

bezeichnet den Deformations-Gradienten der Schale.

Gleichgewichts-Gleichungen für 6-Parameter Schalen :

Divs N + f = 0, Divs M + axl(NFT − FNT) + c = 0,

Hierbei ist N der Spannungstensor , M ist dieMomentenspannung , f ist die gegebene Kraft undc das gegebene Moment auf der Fläche.

Wir betrachten die folgenden Randbedingungen :

Nν = n∗, Mν = m∗ auf ∂S0f ,

y = y∗, R = R∗ auf ∂S0d .


Nichtlineare elastische Dehnung und KrümmungDer verallgemeinerte elastische Verzerrungstensor Ee ist

Ee = Qe,TGrads y − Grads y0.

Wir schreiben den Verzerrungstensor als Funktion vonR (die totale Rotation) und Q0 (die Referenz-Rotation)

Ee = Q0(RT∂αy − Q0,T∂αy0)⊗ aα .

Der elastische Krümmungstensor Ke ist:

Ke =[Qe,Taxl(∂αRRT)− axl(∂αQ0Q0,T)

]⊗ aα .

oder auch, als Funktionen von R, Q0 :

Ke = K − K0, K = Q0axl(RT∂αR)⊗ aα,

K0 = axl(∂αQ0 Q0,T)⊗ aα,

wobei K der totale Krümmungstensor ist undK0 der Krümmungstensor der Referenzkonfiguration ist.


Variationelle Formulierung für elastische Schalen

Sei W = W(Ee,Ke) die Energiefunktion (elastischesPotential).

Die Spannungs-Dehnungsbeziehungen (Hyper-Elastizität):

N = Qe ∂W∂Ee , M = Qe ∂W

∂Ke .

Das Zweifeld-Minimierungs-Problem: finde das Paar(y, R) ∈ A, welches das Minimum des Funktionalesrealisiert

I(y,R) =∫

S0W(Ee,Ke) dS− Λ(y,R) for (y,R) ∈ A.

Die Euler-Lagrange Gleichungen dazu sind die angegebenGleichgewichts-Gleichungen.


Die zulässige Menge A ist

A ={(y,R) ∈ H1(ω,R3)×H1(ω,SO(3))

∣∣ y∣∣∂S0

d

= y∗, R∣∣∂S0d

= R∗}.

Die Funktion Λ(y,R) ist das Potential der externen Kräfteauf der Fläche f , c, und auf dem Rand n∗, m∗ .

Die externen Kräfte erfüllen die Bedingungen

f ∈ L2(ω,R3), n∗ ∈ L2(∂ωf ,R3),

und die Daten auf dem Rand haben die Regularität

y∗ ∈ H1(ω,R3), R∗ ∈ H1(ω,SO(3)).


Existenz von Minimierern

Theorem (Birsan et al., Journal of Elasticity, 2013)

Die Referenzkonfiguration erfülle: y0 : ω ⊂ R2 → R

3 ist einestetige injektive Abbildung und

y0 ∈ H1(ω,R3), Q0 ∈ H1(ω,SO(3)),

∂αy0 ∈ L∞(ω,R3), det(aαβ(x1, x2)

)≥ a2

0 > 0 .

Die Energie W(Ee,Ke) sei quadratisch, konvex und koerziv alsFunktion von (Ee,Ke) :

W(Ee,Ke) ≥ C0(‖Ee‖2 + ‖Ke‖2 ).

Dann besitzt das Minimum–Problem mindestens eine Lösung(y, R) ∈ A.


Beweis–Idee

Wir verwenden die direkten Methoden derVariationsrechnung.

Wir zeigen zuerst: es existiert eine Konstante C > 0 mit

|Λ(y,R) | ≤ C(‖y‖H1(ω) + 1

), ∀ (y,R) ∈ A.

Aus dieser Ungleichung und der Koerzivität von Werhalten wir

I(y,R) ≥ C0 ‖∇y‖2L2(ω) − C1‖ y ‖H1(ω) − C2 .

Wir verwenden die Ungleichung von Poincaré und finden

I(y,R) ≥ cp ‖y−y∗‖2H1(ω)−C3‖y−y∗‖H1(ω)+C4 , ∀ (y,R) ∈ A,

daher ist das Funktional I(y,R) nach unten beschränkt auf A.


Es existiert eine minimierende Folge (yn,Rn) so dass

limn→∞

I(yn,Rn) = inf{

I(y,R)∣∣ (y,R) ∈ A

}.

Die Folgen{

yn

}und

{Rn

}sind beschränkt in H1(ω).

Wir können Teilfolgen (yn,Rn) extrahieren so dass

yn ⇀ y in H1(ω,R3) und yn → y in L2(ω,R3),

Rn ⇀ R in H1(ω,R3×3) und Rn → R in L2(ω,R3×3).

Wir zeigen die schwache Konvergenz (für Teilfolgen)

Een ⇀ Ee in L2(ω,R3×3) und Ke

n ⇀ Ke in L2(ω,R3×3).


Wegen der Konvexität der Energiefunktion W gilt:∫

ω

W(Ee, Ke)adx1dx2 ≤ lim infn→∞

∫

ω

W(Een,K

en)adx1dx2,

und daraus folgt die schwache untere Halbstetigkeit :

I(y, R) ≤ lim infn→∞

I(yn,Rn).

Da (yn,Rn) eine minimierende Folge ist, erhalten wir:

I(y, R) = inf{

I(y,R)∣∣ (y,R) ∈ A

},

d.h., (y, R) ist minimal.

Bemerkungen. Das Existenztheorem ist anwendbar:

Isotrope Schalen ; Orthotrope Schalen

Mehrschichtige Komposit-Schalen

Birsan et al. , Mathematics and Mechanics of Solids, 2013


Thermoelastische Schalen

• Thermische Effekte : seien T1(x, t) und T2(x, t)die Temperaturfelder auf den beiden Seiten der Schaleund wir bezeichnen mit τ1 , τ2 :

τ1(x, t) = T1(x, t)− T0 , τ2(x, t) = T2(x, t)− T0 .

T1(x1,x2,t)

T2(x1,x2,t)


Lineare Theorie

• Die dynamischen Bewegungs-Gleichungen sind :

Divs N + F = ρ(u +Θ

T1 · ϕ

),

Divs M + N× + L = ρ (Θ1 · u +Θ2 · ϕ) .

wobei Θ1 , Θ2 die Trägheits-Tensoren sind.

• Die Wärmeleitungs-Gleichungen :

Divs hγ + ρT0Sγ = ρ(gγ + Qγ + g0γ), γ = 1, 2,

wobei hγ die Wärmeflussvektoren sind :

h1 = −γ1 · ∇τ1 , h2 = −γ2 · ∇τ2 ,

und γ1 , γ2 die thermischen Leitfähigkeitstensoren sind.


Bezüglich dem entsprechenden Anfangs-Randwert-Problem,konnte ich zeigen :

Eindeutigkeit der Lösung ; Theorem der Kraft und Energie

Variationelle Theoreme ; Darstellung der Lösung

Stetige Abhängigkeit der Lösung von Körperbelastungenund Wärmequellen

Stetige Abhängigkeit der Lösung von Anfangsdaten

Ungleichungen von Korn–Typ für verformbare Oberflächen

Existenz der Lösung für Gleichgewichts-Gleichungen

Existenz der schwachen Lösung für dynamischeGleichungen

Birsan & Altenbach (Mathematical Methods Applied Sciences, 2010)Birsan & Altenbach (Z. Angewandte Mathematik Mechanik, 2011)


Existenz der schwachen Lösung

Wir verwenden die Methoden der Halbgruppentheorie derOperatoren für die dynamischen Gleichungen.

Wir definieren einen Hilbert Raum:

Z ={

U = (ui , vi , ϕβ , ψβ, τγ) ; ui , ϕβ ∈ H10(Σ), vi , ψβ , τγ ∈ L2(Σ)

},

mit dem Skalarprodukt :

⟨U,V

⟩

Z =12

∫

Σρ(v · v +ψ ·Θ1 · v + ψ ·Θ1 · v + ψ ·Θ2 · ψ

)√adx1dx2

+12

∫

Σ

[N(z)··ε(y) + MT(z)··k(y) + N(z)·γ(y) + ρSγ(y) τγ

]√adx1dx2,

wobei U = (ui , vi , ϕβ , ψβ, τγ), V = (ui , vi , ϕβ , ψβ , τγ),y = (ui , ϕβ , τγ), z= (ui , ϕβ , τγ).


Sei der Operator A : D(A) ⊂ Z → Z komponentweise definiert:

AU = (vi , BiU , ψα , CαU , HγU) , ∀U = (ui , vi , ϕα, ψα, τγ),

BαU =ρ

ρρ2 − (ρ1)2 rα ·[Θ2 · (∇·N) +Θ1 · (∇·M + N×)

](ui , ϕβ , τγ),

B3U =1ρ

n ·[∇·N

](ui , ϕβ , τγ),

CαU =ρ

ρρ2 − (ρ1)2 rα ·[Θ

T1 · (∇·N) + (∇·M + N×)

](ui , ϕβ , τγ),

H1U =1α1

{(C4 ··ε+ C6 ··k

)(vi , ψβ) +

1T0

[∇·(γ1 ·∇τ1)−ρβ1τ1 −ρβ(τ1−τ2)

]},

H2U =1α2

{(C5 ··ε+ C7 ··k

)(vi , ψβ) +

1T0

[∇·(γ2 ·∇τ2)−ρβ2τ2 −ρβ(τ2−τ1)

]}.

Der Definitionsbereich D(A) des Operators ist die Menge

D(A) ={

U ∈ Z ; AU ∈ Z , τγ ∈ H10(Σ)

}.


Wir schreiben das Anfangs-Randwert-Problem als einCauchy Problem um: finde U = (ui , vi , ϕβ , ψβ, τγ) ∈ D(A) ,

ddt

U(t) = AU(t) + F(t), with U(0) = U0 , (1)

wobei U0 – Anfangsdaten, und F(t) – externe Kräfte undWärmequellen.

Lemma

Der Operator A : D(A) ⊂ Z → Z hat die Eigenschaften:(i) Der Definitionsbereich D(A) ist in Z dicht;(ii) Der Operator A erfüllt (dissipativ)

〈AU,U〉Z ≤ 0, ∀U ∈ D(A) ;

(iii) A erfüllt die Bedingung

Range(I − A) = Z .


Wir wenden das Lumer–Phillips Theorem an und erhalten dasfolgende Existenztheorem

Theorem (Birsan & Altenbach, ZAMM , 2011)

Wir nehmen an, die externen Kräfte und Wärmequellen erfüllenF(t) ∈ C1([0, t0],L2(Σ)) und die Anfangsdaten erfüllenU0 ∈ D(A).Dann existiert eine eindeutige LösungU(t) ∈ C1([0, t0],Z) ∩ C0([0, t0],D(A)) für das Problem (1).Die eindeutige Lösung U(t) erfüllt die Abschätzung

‖U(t)‖Z ≤ ‖U0‖Z +

∫ t

0‖F(s)‖Z ds, t ∈ [0, t0].

Bemerkung. Diese Abschätzung zeigt auch die stetigeAbhängigkeit der schwachen Lösung U(t) von Anfangsdaten U0

und von externen Kräften und Wärmequellen F(t).


Mehrschichtige Komposit-SchalenDer Spannungstensor N und der Momentenspannung M habendie Gestalt

N = Ne︸︷︷︸

elastischer Teil

+T1C4 + T2C5 ,

M = Me︸︷︷︸

elastischer Teil

−T1C6 − T2C7 .

Wir bestimmen die Tensoren C4 , C5 , C6 , C7 , die die effektiventhermo-elastischen Steifigkeitseigenschaften charakterisieren :

Wir ermitteln ein analytisches Lösung-Verfahren für dieVerformung der zylindrischen mehrschichtigen Schalen(Birsan & Altenbach, 2011)Vergleich mit 3D Lösungen für Probleme mit thermischenSpannungen und Identifizierung der konstitutivenKoeffizienten C4 , C5 , C6 , C7

Validierung der Ergebnisse durch Vergleich mitnumerischen Lösungen für thermoelastische Schalen(Birsan, Sadowski & Pietras, 2013)


Homogene und isotrope Schalen

In diesem einfachen Fall, haben wir die folgendenthermo-elastischen konstitutiven Koeffizienten erhalten :

C4 = αE h

1 − ν= β h

1 − 2ν1 − ν

C6 = αE h2

3(1 − ν)= β

h2

31 − 2ν1 − ν

2h = Dicke, E = Elastizitätsmodulus, ν = Poisson Verhältnis,α= thermischer Ausdehnungskoeffizient,β = Spannung-Temperatur Modulus.


Drei-schichtige SchalenAnwendung: Schale mit Wärmedämmschicht

Für die thermo-elastischen Koeffizienten finden wir :

C4 = α1E1 h1

1 − ν1+ α2

E2 h2

1 − ν2

C6 =1

3h

(α1E1 h31

1 − ν1+α2E2(h3 − h3

1)

1 − ν2

)

wobei 2h = 2(h1 + h2) die Dicke der Schale ist.


Zwei-schichtige Platten (nicht symmetrisch)Wir bezeichnen die Dicken der Schichten mit h1 , h2 , und dieParameter der Materialien mit α1 , E1 , ν1 und α2 ,E2 , ν2 .Wir finden 4 verschiedene thermo-elastische Koeffizienten :

C4 =α2 E2 h2

1 − ν2+

12h

(α1 E1 h21

1 − ν1− α2 E2 h2

2

1 − ν2

)

C5 =α1 E1 h1

1 − ν1− 1

2h

(α1 E1 h21

1 − ν1− α2 E2 h2

2

1 − ν2

)

C6 =α2 E2 h2

2

3(1 − ν2)− h1

6h

(α1 E1 h21

1 − ν1− α2 E2 h2

2

1 − ν2

)

C7 = − α1 E1 h21

3(1 − ν1)− h2

6h

(α1 E1 h21

1 − ν1− α2 E2 h2

2

1 − ν2

)


Numerisches Beispiel: zylindrische homogene Schale

Material der Schale : Ni–basierend Superlegierung

E = 15 GPa, ν = 0.333, α = 16.8 · 10−6 K−1

Temperaturverteilung :

T1(s) = T2(s) =T0

2sin

sr0

mit T0 = 100◦C.


Verformung der Schale (FEM Berechnungen mit ABAQUS):


Pkt. z Ergeb. uaxial uradial utang ∆axial ∆radial ∆tang

[m] Typ [mm] [mm] [mm] [%00] [%00] [%00]

0 Theor. 0.000 -0.039 0.177 0.000 26.28 1.774FEM 0.000 -0.040 0.177

0.25 Theor. 0.148 -0.132 0.085 0.061 3.352 0.846FEM 0.149 -0.132 0.085

0.5 Theor. 0.297 -0.410 -0.194 0.064 1.038 1.938FEM 0.297 -0.411 -0.194

0.75 Theor. 0.445 -0.874 -0.658 0.159 0.448 6.578FEM 0.445 -0.875 -0.658

1 Theor. 0.594 -1.524 -1.307 0.104 0.157 13.07FEM 0.594 -1.524 -1.307

Tabelle: Vergleich der Verschiebungen erhalten in dem theoretischenAnsatz und in der numerischen Rechnung für 5 Punkte der Schale.


Stäbe und Balken


Kinematisches Modell der Stäbe• Das Modell besteht aus einer deformierbaren Kurve mit einerTriade orthogonaler Vektoren an jedem materiellen Punkt.

R(s, t)

u(s, t)

nb

σ

D3

D1

D2

O

r(s)C0

d3

d1

d2

Referenz- und deformierte Konfiguration des Stabes


Die Referenzkonfiguration ist durch die Vektorfelder definiert:

r(s), di(s), i = 1, 2, 3.

Die Bewegung des Stabes wird durch die Funktionen definiert

R = R(s, t), Di = Di(s, t), i = 1, 2, 3, s∈ [0, l].

Der Drehtensor : P(s, t) = Dk(s, t) ⊗ dk(s).

Porosität :Die Massendichte des porösen Stabes ρ = ρ(s, t) ist :

ρ(s, t) = ν(s, t) γ(s, t) ,

wobei γ(s, t) die Massendichte des elastischen Materials ist.

Die Porositäts-Variable ν(s, t) beschreibt die stetigeVerteilung der Hohlkörper des Stabes. (0 < ν ≤ 1)


Mathematische ErgebnisseFür das entsprechende Anfangs-Randwert-Problem beweisenwir die Eindeutigkeit der Lösung und die Ungleichung :

Theorem (Birsan & Altenbach, Meccanica, 2012)

(Ungleichung vom Korn–Typ) Für jedes y =(ui(s), ψi(s)

)seien

ei(y) und κi(y) die Komponenten der Verformungsvektoren indas Frenêt Basis { t , n , b } .Dann gibt es eine Konstante c1 > 0 , so dass

∫

C

[ei(y)ei(y) + κi(y)κi(y)

]ds ≥

≥ c1

∫

C

(ui ui + ψi ψi + u′i u′i + ψ′

i ψ′i

)ds, ∀ y ∈ V,

mit

V ={(

ui , ψi)∈ H1[0, l] | ui = 0 onΓu , ψi = 0 onΓψ

}.


Mit Hilfe dieser Abschätzung beweisen wir die Existenz derLösung für die Gleichungen der porösen thermoelastischenStäbe in einer schwachen variationellen Form :

Gleichgewichts-Gleichungen (Statik): wir verwenden dasLemma von Lax–Milgram

Dynamische Gleichungen: wir verwenden dieHalbgruppen-Theorie linearer Operatoren

Diese Ergebnisse zeigen, dass die mathematische Theorie derthermoelastischen porösen Stäbe wohlgestellt ist.

Birsan & Altenbach (International J. Solids and Structures, 2011)Birsan et al. (Acta Mechanica, 2012)


Gerade elastische Komposit-Stäbe

Die Gleichgewichts-Gleichungen sind :

N ′(s, t) + ρ0F = 0,M ′(s, t) + R ′ × N(s, t) + ρ0L = 0,

wobei:

der Spannungsvektor : N = F e3 + Q1e1 + Q2e2 ;

die Momentenspannung : M = H e3 + e3 × (L1e1 + L2e2) ;

der Verschiebungsvektor : u = ue3 + w1e1 + w2e2 ;

und der Drehungsvektor : ψ = ψ e3 + e3 × (ϑ1e1 + ϑ2e2) .


Die konstitutiven Gleichungen für elastische Komposit-Stäbe :

Q1 = A1(w′1−ϑ1) + A12(w′

2−ϑ2) + B13ψ′,

Q2 = A12(w′1−ϑ1) + A2(w′

2−ϑ2) + B23ψ′,

F = A3 u′ − B31 ϑ′2 + B32 ϑ

′1,

H = C3ψ′ + B13(w′

1−ϑ1) + B23(w′2−ϑ2),

L1 = C2 ϑ′1 − C12 ϑ

′2 + B32 u′,

L2 = −C12 ϑ′1 + C1 ϑ

′2 − B31 u′ .

Wir wollen die effektiven Steifigkeitseigenschaften derKomposit-Stäbe bestimmen:

Ai , Ci , A12 , C12 , B13 , B23 , B31 , B32 ,

ausgedrückt als Funktion der 3D Elastizität-Konstanten derBestandteile.


Wir betrachten Komposit-Stäbe mit allgemeinen Querschnitten,hergestellt aus beliebigen ‘Schichten’ und ‘Fasern’ :

S1

S2

S3Sm

Sm+1Sm+2

Sm+n

Effektive Steifigkeits-Koeffizienten werden durch Vergleich deranalytischen Lösungen für Biegung, Torsion, Verlängerung undVibrations-Probleme in den beiden Ansätzen bestimmt.


Für Stäbe aus isotropen Materialien erhalten wir die Formeln :

• Koeffizienten der Dehnsteifigkeit und Biegesteifigkeit

A3 =n∑

k=1

∫

Sk

(λ(k) + 2µ(k) + λ(k) u(3)γ,γ

)dx1dx2 ,

C1 =

n∑

k=1

∫

Sk

x2[(λ(k) + 2µ(k))x2 + λ(k)u(2)γ,γ

]dx1dx2,

C2 =

n∑

k=1

∫

Sk

x1[(λ(k) + 2µ(k))x1 + λ(k)u(1)γ,γ

]dx1dx2 ;

• Torsions-Steifigkeit

C3 =

n∑

k=1

∫

Sk

µ(k)[x1(x1 + ϕ,2) + x2(x2 − ϕ,1)

]dx1dx2 ,


Hierbei bezeichnen wir mit u(s)α (x1, x2) die Lösungen derRandwert-Probleme P(s) , s= 1, 2, 3 im Querschnitt Bereich Σ:

P(γ) :

tβα, β = −(λ xγ), α in Sk (k = 1, ..., n),tβαnβ = −λ xγnα auf ∂Σ, (γ = 1, 2)[uα

]+

−= 0, nβ

[tβα + λxγδαβ

]+

−= 0 auf Ck (k = 1, ..., n),

P(3) :

tβα, β = −λ, α in Sk (k = 1, ..., n),tβαnβ = −λnα auf ∂Σ,[uα

]+

−= 0, nβ

[tβα + λ δαβ

]+

−= 0 auf Ck (k = 1, ..., n),

Bemerkungen:

Ist das Poisson-Verhältnis konstant, dann vereinfachen sichdiese Formeln

Wir haben die effektiven Steifigkeits-Koeffizienten auch fürporöse thermoelastische Stäbe bestimmt.

Birsan & Altenbach (Archive of Applied Mechanics, 2011)


Sandwich-Balken mit Schaumkern

btf

c

tf

O

x2

x1

ad

Die effektive Biegesteifigkeit :

C1 = Efb tf d2

2+ Ef

b t3f6

+ Ecb c3

12.

Das stimmt mit den klassischen Ergebnissen aus Allen (1969),Zenkert(1997), Gibson & Ashby (1997) überein.


Scherungs-Steifigkeit

Die effektive Scherungs-Steifigkeit :

A2 = κ12 ba2

c Gc + 2tf Gf

cρc + 2tf ρf + c(ρf −ρc)F(π c2a )

(

ρftf d2

2+ ρf

t3f6+ ρc

c3

12

)

Im Fall von dünnen Oberschichten erhalten wir denapproximativen Wert

A2 = κb(

c Gc + 2tf Gf + 4tf Gcρf − ρc

ρc

)

.

und für sehr dünne Oberschichten ( tf ≪ c ) gilt

A2 = κb c Gc ,

Das entspricht dem klassischen Wert (Allen 1969).


Vergleich mit experimentellen Ergebnissen• Drei-Punkt-Biegung von Sandwich-Balken

Abbildung: a) MTS 25 kN Prüfmaschine; b) Verwendete Exemplarevon Sandwich-Balken: Epoxy–Polyurethan & Polyester–Polyurethan

Wir vergleichen die maximale Durchbiegung D dertheoretischen Ergebnisse mit experimentellen Messungen


0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 0.5 1 1.5 2 2.5

D [mm]

P [N]

Experimente

Approximierte Lösung

Klassische Lösung

@@Exakte analytische Lösung

Abbildung: Vergleich der Ergebnisse für Balken mitEpoxy-Oberschichten und Polyurethan-Schaumkern


Mehrschichtige Balken

O x1

Si

S2

S1

Sn

zizi−1

x2

z0

zn

Die entsprechende Biegesteifigkeit:

(EI)eq = b[ n∑

k=1

t3kEk

12+( n∑

k=1

tkEk

)−1 ∑

1≤k<l≤n

tkEk · tlEl · (mk − ml)2]

Dies ist eine Verallgemeinerung von bekannten Ergebnissen für denFall n = 3.


Funktional gradierte (FGM) Sandwich-Balken

Die Oberschicht ist aus einem FGM Material hergestellt

ρf = ρ(r), Ef = E(r), νf = ν0 (Konst.)

Der Kern hat Exponentialverteilung in radialer Richtung

ρc = ρ0 exp(−σ r), λc = λ0 exp(−σ r), µc = µ0 exp(−σ r).

fig 7: Odkształcenia górnej powierzchni modelu przy rozci ganiu


Biegung von FGM Kragbalken

lδ

P

x1

x3O

Die konzentrierte Kraft P = 616 N .

Die analytische Lösung ist: δexakt = P l( 1

A1+

l2

3C2

)

.

FEM-Analyse (mit ABAQUS):


Vergleich der Ergebnisse :

σ 25 50 75 100 150

δexakt [mm] 0.2527 0.3045 0.3618 0.4237 0.5551δFEM [mm] 0.2523 0.3034 0.3600 0.4209 0.5502

Fehler ∆ [%] -0.1719 -0.3532 -0.5012 -0.6658 -0.8962

Fazit :

Der Vergleich zwischen den analytischen, numerischen,experimentellen und klassischen Ergebnissen zeigt, dass dieFormeln für die effektiven Steifigkeits-Koeffizienten korrekt sind.


Weitere Referenzen• M. Birsan et al. (2013): Existence theorems in the geometricallynon-linear 6-parameter theory of elastic plates, Journal of Elasticity,DOI: 10.1007/s10659-012-9405-2 .

• M. Birsan et al. (2013): Existence of minimizers in the geometricallynon-linear 6-parameter resultant shell theory with drilling rotations,Mathematics and Mechanics of Solids, DOI:10.1177/1081286512466659 .

• M. Birsan et al. (2013): Mechanical behavior of sandwich compositebeams made of foams and functionally graded materials,International Journal of Solids and Structures, 50, 519–530.

• M. Birsan et al. (2013): Thermoelastic deformations of cylindricalmulti-layered shells using a direct approach, Journal of ThermalStresses, vol. 36, DOI: 10.1080/01495739.2013.764802.

• M. Birsan et al. (2012): Deformation analysis of functionally gradedbeams by the direct approach, Composites Part B: Engineering, 43,1315–1328.

Über die mathematischen Modelle der elastischen Schalen und … · 2013-06-10 · Birsan &...

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