Über die nichtlineare Natur der Gravitationswellen...Gravitationswellen - Ein neues “Auge” ins...

GravitationswellenQuellen und Detektion

Asymptotik

Über die nichtlineare Naturder Gravitationswellen

Nikodem Szpak

Fakultät für PhysikUniversität Duisburg-Essen

Vorstellungsvortrag zur Habilitation21. Dezember 2011

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Asymptotik

Gravitationswellen - Ein neues “Auge” ins Universum

All dies:Radio-Wellen

(100 km – 1m)

Mikrowellen

(10 cm – 1 mm)

Infrared Licht

(1 µm)

Sichtbares Licht

(500 nm)

Ultraviolet Licht

(100 nm – 10 nm)

Röntgen Strahlung

(10 nm – 0.01 nm)

Gamma Strahlung

(0.01 nm – ...)

sind elektromagnetischen Wellen→ grosse Entdeckungen!→ Astronomie!

Gravitationswellen(105 − 1012 m), (10−4 − 104 Hz)

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Asymptotik

All dies:Radio-Wellen (100 km – 1m)Mikrowellen (10 cm – 1 mm)Infrared Licht (1 µm)Sichtbares Licht (500 nm)Ultraviolet Licht (100 nm – 10 nm)Röntgen Strahlung (10 nm – 0.01 nm)Gamma Strahlung (0.01 nm – ...)

sind elektromagnetischen Wellen

→ grosse Entdeckungen!→ Astronomie!

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Asymptotik

sind elektromagnetischen Wellen→ grosse Entdeckungen!

→ Astronomie!

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Asymptotik

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Asymptotik

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Asymptotik

1 Gravitationswellen

Was sind Gravitationswellen?

2 Quellen und Detektion

Quellen

Detektion

Ausbreitung

3 Asymptotik

Asymptotik der Gravitationswellen

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AsymptotikWas sind Gravitationswellen?

Elektromagnetische Wellen

Wellen:Lösungen von Wellengleichungen

�φ ≡ 1c2

∂2φ

∂t2 −N∑

∂2φ

∂x2i

Elektromagnetische Wellen:Maxwell Gleichungen

∂2E∂t2 −∆E = 0,

∂2H∂t2 −∆H = 0

Ausbreitung mit Lichtgeschwindigkeit (c),2 Polarisationen,Dipol Wellen (Spin 1),Huygens Prinzip (in 3 Dimensionen)

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�φ ≡ 1c2

∂2φ

∂t2 −N∑

∂2φ

∂x2i

∂2E∂t2 −∆E = 0,

∂2H∂t2 −∆H = 0

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�φ ≡ 1c2

∂2φ

∂t2 −N∑

∂2φ

∂x2i

∂2E∂t2 −∆E = 0,

∂2H∂t2 −∆H = 0

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Gravitation: Newton → Einstein

Newtonsche Gravitation:

−∆φ = 4πρ(x)

Quelle ρ(x) → Potential Φ(x) sofort⇒ keine Wellen

Einsteinsche relativistische Gravitation:Gravitation ↔ gekrümmte Geometrie

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−∆φ = 4πρ(x)

Quelle ρ(x) → Potential Φ(x) sofort

⇒ keine Wellen

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−∆φ = 4πρ(x)

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−∆φ = 4πρ(x)

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−∆φ = 4πρ(x)

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−∆φ = 4πρ(x)

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−∆φ = 4πρ(x)

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Einsteinsche relativistische Gravitation

Gravitation ↔ Geometrie ↔ Metrik gab

ds2 =∑a,b

gab dxa dxb, xa = (t , x , y , z)

Einstein Gleichungen: Dynamik der Metrik gab(t , x , y , z)

Relation:

Raumzeit

Dynamik der Geometrie

⇐⇒ Masse und Enegrie

Bewegung der Körper oder Felder

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ds2 =∑a,b

Relation:

Raumzeit

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ds2 =∑a,b

Relation:

Raumzeit

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ds2 =∑a,b

Relation:

Raumzeit

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ds2 =∑a,b

Relation:

Raumzeit

Dynamik der Geometrie⇐⇒ Masse und Enegrie

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Einstein Gleichungen

Geometrie → Gab = 8πGTab ← Materie / Energie

Einstein Tensor: Gab = Rab − 12 gabR,

Ricci Skalar: R = gacgbd Rabcd ,Ricci Tensor: Rac = gbd Rabcd ,

Riemann (Krümmungs-)Tensor: Rabcd = ∂2g·· + g−1(∂g··)2 + ...

Dimension N 1 2 3 4Rabcd 0 1 6 20

→ Einstein Gleichungen = System von nichtlinearen partiellenDifferentialgleichungen zweiter Ordnung für gab..

→ Tausende von Termen!!

Wie kann man das Lösen?!

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Lösungen der Einstein Gleichungen

Spezielle Lösung: “leerer flacher Raum” (Krümmung = 0)→ Minkowski Raumzeit gab = ηab = diag(+,−,−,−)

Symmetrien! 4 → weniger dimensional

Kosmologische Lösungen: Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker,(anti-)deSitter

Schwarze Löcher: Schwarzschild, Reissner-Nordström, ...

... Kerr, Kerr-Newmann

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Schwarze Löcher: Schwarzschild, Reissner-Nordström, ...... Kerr, Kerr-Newmann

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Kleine Störungen: gab = ηab + hab

→ Linearisierung der Gleichungen für |hab| � 1

Spezielle Eichung (TT = Transverse Traceless) → h̄ab

→ Wellengleichung(en):

�h̄ab = 16πGTab

→ Wellen der Metrik (→ Wellen der Krümmung)

Ausbreitung mit Lichtgeschwindigkeit (c)2 PolarisationenQuadrupol Wellen (Spin 2)Huygens Prinzip

Nur eine Näherung der Einstein Gleichungen!

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�h̄ab = 16πGTab

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�h̄ab = 16πGTab

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�h̄ab = 16πGTab

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�h̄ab = 16πGTab

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�h̄ab = 16πGTab

→ Wellen der Metrik (→ Wellen der Krümmung)Ausbreitung mit Lichtgeschwindigkeit (c)2 PolarisationenQuadrupol Wellen (Spin 2)Huygens Prinzip

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�h̄ab = 16πGTab

→ Wellen der Metrik (→ Wellen der Krümmung)Ausbreitung mit Lichtgeschwindigkeit (c)2 PolarisationenQuadrupol Wellen (Spin 2)Huygens Prinzip

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Drei Fragen zu Gravitationswellen

Quellen

Detektion

Ausbreitung

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Quellen

Detektion

Ausbreitung

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Quellen

Detektion

Ausbreitung

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Quellen

Detektion

Ausbreitung

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Asymptotik

QuellenDetektionAusbreitung

Quellen der Gravitationswellen

Bewegung schwerer Massen: �h̄ab = 16πG Tab ≈ 16πG ρ(x)uaub

→ Quadrupol-Formel: h̄ab ∼ Q̈ab/r wobei Qab =∫ρ(x) xaxbdx

Objekte mit großer Q̈:rotietende, nicht axial-symmetrische Sterne (Neutronsterne mit “Bergen”)

binäre Systeme: (Neutron-)Sterne (Pulsare), schwarze Löcher

Explosionen: Supernovae, Kollisionen, Kollaps zum schwarzen Loch, etc.

Schätzung für binäres System: gleiche Massen M, Abstand R, zu uns r

Frequenz: f ∼ M1/2

R3/2 , Amplitude: h ∼ M2

r RBeispiel:zwei schwarze Löcher mit M = 20M�, R = 10RS(≈ 30km), r = 100Mpc

f ≈ 100Hz, h ≈ 10−21

Strahlung → Energieverlust → Orbit- und Umlaufzeit-Verkürzung!→ Inspiral, Merger (Verschmelzung)

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Asymptotik

f ≈ 100Hz, h ≈ 10−21

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Asymptotik

f ≈ 100Hz, h ≈ 10−21

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Asymptotik

Beispiel:zwei schwarze Löcher mit M = 20M�, R = 10RS(≈ 30km), r = 100Mpc

f ≈ 100Hz, h ≈ 10−21

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Asymptotik

f ≈ 100Hz, h ≈ 10−21

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Asymptotik

f ≈ 100Hz, h ≈ 10−21

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Asymptotik

Nobel Preis (1993) für Hulse und TaylorIndirekter Nachweis der Existenz von GW:Energie-Verlust durch Gravitations-Strahlungin einem binären System...

Doppelpulsar (PSR 1913+16) mit Umlaufzeit 7,75h

→ beschleunigt!

(= 1 Pulsar mit Rotationsperiode 59ms+ 1 dunkler Neutronstern)

Movie waves

Neutronsterne

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Asymptotik

→ beschleunigt!

Movie waves

Neutronsterne

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Asymptotik

→ beschleunigt!

Movie waves

Neutronsterne

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Asymptotik

→ beschleunigt!

Movie waves

Neutronsterne

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Asymptotik

Doppelpulsar (PSR 1913+16) mit Umlaufzeit 7,75h → beschleunigt!(= 1 Pulsar mit Rotationsperiode 59ms+ 1 dunkler Neutronstern)

Movie waves

Neutronsterne

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Asymptotik

Movie waves

Neutronsterne

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Asymptotik

Movie waves

Neutronsterne

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Asymptotik

→ beschleunigt!

Movie waves

Neutronsterne

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Asymptotik

Quellen

Detektion

Ausbreitung

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Asymptotik

Detektion der Gravitationswellen

Zwei Polarisationen: x und +(Quadrupol-Wellen)→ Kontraktion/Ausdehnung in

zwei senkrechten Richtungen

Wert: strain = Änderung der LängeLänge

Typische Werte: 10−21

Michelson Interferometer

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Asymptotik

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Asymptotik

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Asymptotik

Detektoren 1. GenerationLIGO (2 x USA, 4 km)Virgo (Italien, 3km)GEO (Deutschland, 600m)TAMA (Japan, 300m)

ParameterLaser 10WSpiegel mit 99,999%ReflexionsvermögenLichtweg: 75 x Armlängedestruktive Interferenz (lock)

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Asymptotik

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Asymptotik

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Asymptotik

Hauptproblem: Rauschen→ begrenzt die Empfindlichkeit (Frequenzabhängig)

Laser Fluktuationen

→ Laser-Stabilisation, Mode-cleaner

Photonen-Rauschen (Detektion)

→ starke Laser 100 W→ Strahlungsdruck auf Spiegel...

Thermische Vibrationen der Spiegel

→ Kriotechnik

Seismisches Rauschen

1012 stärker als Gravitationswellen!

z.B. Ozeanwellen, Vulkane, Züge(!), ...

→ Vibrationsisolation + Subtraktion

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Asymptotik

Laser Fluktuationen → Laser-Stabilisation, Mode-cleaner

Photonen-Rauschen (Detektion) → starke Laser 100 W→ Strahlungsdruck auf Spiegel...

Thermische Vibrationen der Spiegel → Kriotechnik

Seismisches Rauschen

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Asymptotik

Seismisches Rauschen:

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Asymptotik

Seismisches Rauschen:

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Asymptotik

LISA (Laser Interferometer Space Antenna)Orbit um die Sonne, 20 Grad hinter der ErdeDreieck, Armlänge 5 mln km!

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Asymptotik

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Asymptotik

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Asymptotik

Quellen

Detektion

Ausbreitung

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Asymptotik

Ausbreitung der Gravitationswellen

Lineare Wellengleichung: �h̄ab = 16πG Tab

(kleine Störungen gab = ηab + hab mit |hab| � 1)→ analytisch lösbar X→ Asymptotik: h̄ab ≈ fab(t − r)/r

Wann Abweichungen?

Expandierendes Universum→ Hintergrund 6= Minkowski

Inhomogene Massenverteilung im Universum→ (Mikro-)Gravitationslinseneffekt

Nichtlineare-Wechselwirkung der Wellen

Auch bei kleinen Amplituden wichtig? Ja!

⇒ Einfluss auf die Asymptotik:hab(t , r) � fab(t − r)/r !

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Asymptotik

Wann Abweichungen?

Expandierendes Universum→ Hintergrund 6= Minkowski

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Asymptotik

Wann Abweichungen?Expandierendes Universum→ Hintergrund 6= Minkowski

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Asymptotik

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Asymptotik

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Asymptotik

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Asymptotik

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Asymptotik

Nichtlineare-Wechselwirkung der WellenAuch bei kleinen Amplituden wichtig?

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Asymptotik

Nichtlineare-Wechselwirkung der WellenAuch bei kleinen Amplituden wichtig? Ja!

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AsymptotikAsymptotik der Gravitationswellen

gab = ηab + hab → volle nichtlineare Einstein Gleichungen:

gab · ∂a∂bhcd︸︷︷︸≡�̃g hcd

(∂chaa)·(∂d hb

b)−12

(∂chab)·(∂d hab)+Qcd (∂h, ∂h)+Pcd (h, ∂h, ∂h)

Typen der nichtlinearen Terme�u = F (u, ∂u) ∼ up · (∂u)q mit p + q ≥ 3:

u(t , ~x) ∼ f (t − r)/r am Lichtkegelu(t , ~x) ∼ 1/tp+q−1 für t � r

�u = πab(u) ∂au ∂bu

Singularität in endlicher Zeit! Beispiel: �u = (∂t u)2

Null-Struktur : πabξaξb = 0 für lichtartige ξa → OK!

Beispiel:(∂t u)2 − (∇u)2 =

[1r (∂t + ∂r )(ru)

1r (∂t − ∂r )(ru)

Ableitungen: “gute” ∂t + ∂r , ∂φ, ∂θ , “schlechte” ∂t − ∂r

→ Reduzierung: hunderte von Termen → wenige

N.S., J. Math. Phys. 51, 082901 (2010); N.S., Comm. PDE, 35 (10), pp. 1876-1890 (Oct. 2010)R. Bieli and N.S., Comm. PDE, 36 (2), pp. 205-215 (Feb. 2011)

N.S., P. Bizon, T. Chmaj, A. Rostworowski, JHDE, Vol. 6 (No. 1), pp. 107-125 (Mar. 2009); Vol. 5 (No. 4), pp. 741-765 (Dec. 2008)

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(∂chaa)·(∂d hb

b)−12

Typen der nichtlinearen Terme

�u = F (u, ∂u) ∼ up · (∂u)q mit p + q ≥ 3:

[1r (∂t + ∂r )(ru)

1r (∂t − ∂r )(ru)

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(∂chaa)·(∂d hb

b)−12

[1r (∂t + ∂r )(ru)

1r (∂t − ∂r )(ru)

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(∂chaa)·(∂d hb

b)−12

u(t , ~x) ∼ f (t − r)/r am Lichtkegel

u(t , ~x) ∼ 1/tp+q−1 für t � r

[1r (∂t + ∂r )(ru)

1r (∂t − ∂r )(ru)

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(∂chaa)·(∂d hb

b)−12

u(t , ~x) ∼ f (t − r)/r am Lichtkegelu(t , ~x) ∼ 1/tp+q−1 für t � r→ nichtlineare Streuung (tail)

[1r (∂t + ∂r )(ru)

1r (∂t − ∂r )(ru)

N.S., P. Bizon, T. Chmaj, A. Rostworowski, JHDE, Vol. 6 (No. 1), pp. 107-125 (Mar. 2009); Vol. 5 (No. 4), pp. 741-765 (Dec. 2008) 16 / 21

(∂chaa)·(∂d hb

b)−12

u(t , ~x) ∼ f (t − r)/r am Lichtkegelu(t , ~x) ∼ 1/tp+q−1 für t � r→ Verletzung des Huygens Prinzips

[1r (∂t + ∂r )(ru)

1r (∂t − ∂r )(ru)

(∂chaa)·(∂d hb

b)−12

�u = πab(u) ∂au ∂buSingularität in endlicher Zeit! Beispiel: �u = (∂t u)2

[1r (∂t + ∂r )(ru)

1r (∂t − ∂r )(ru)

(∂chaa)·(∂d hb

b)−12

[1r (∂t + ∂r )(ru)

1r (∂t − ∂r )(ru)

]Ableitungen: “gute” ∂t + ∂r , ∂φ, ∂θ , “schlechte” ∂t − ∂r

(∂chaa)·(∂d hb

b)−12

Null-Struktur : πabξaξb = 0 für lichtartige ξa → OK!Beispiel:(∂t u)2 − (∇u)2 =

[1r (∂t + ∂r )(ru)

1r (∂t − ∂r )(ru)

(∂chaa)·(∂d hb

b)−12

[1r (∂t + ∂r )(ru)

1r (∂t − ∂r )(ru)

(∂chaa)·(∂d hb

b)−12

[1r (∂t + ∂r )(ru)

1r (∂t − ∂r )(ru)

→ Reduzierung: hunderte von Termen → wenigeN.S., J. Math. Phys. 51, 082901 (2010); N.S., Comm. PDE, 35 (10), pp. 1876-1890 (Oct. 2010)R. Bieli and N.S., Comm. PDE, 36 (2), pp. 205-215 (Feb. 2011)

Asymptotisches System

Tensoren (h̄ab) → Basis: eµ(a) = [Lµ,Nµ,Mµ,Mµ

] (null-frame)

Asymptotisches System für Einstein Gln.

�hNN = hLL · ∂2−hNN − ∂−hAB · ∂−hAB

�hAB = hLL · ∂2−hAB (A,B) 6= (N,N)

hLL · ∂2−hNN (quasilinear) → Beugung/Krümmung der Geodäten

∂−hAB · ∂−hAB (semilinear) → nichtlineare Selbst-Wechselwirkung

→ “tortoise coordinate” r∗ ∼= r + log r

Generische Asymptotik: Semilinear Quasilinear

hAB ∼ fAB(t − r∗)/r∗, hNN ∼ fNN(t − r∗) log(r∗)/r∗

→ Nichtlineare Effekte präsent in der Metrik!

(in gegebener Eichung und Basis...) → Eicheffekt?!

B. Krishnan and N.S., "Nonlinear asymptotics of travelling gravitational waves in harmonic gauge", in preparation

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] (null-frame)Asymptotisches System für Einstein Gln.

�hAB = hLL · ∂2−hAB (A,B) 6= (N,N)

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�hAB = hLL · ∂2−hAB (A,B) 6= (N,N)

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�hAB = hLL · ∂2−hAB (A,B) 6= (N,N)

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�hAB = hLL · ∂2−hAB (A,B) 6= (N,N)

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�hAB = hLL · ∂2−hAB (A,B) 6= (N,N)

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�hAB = hLL · ∂2−hAB (A,B) 6= (N,N)

→ Nichtlineare Effekte präsent in der Metrik!(in gegebener Eichung und Basis...)

→ Eicheffekt?!

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�hAB = hLL · ∂2−hAB (A,B) 6= (N,N)

→ Nichtlineare Effekte präsent in der Metrik!(in gegebener Eichung und Basis...) → Eicheffekt?!

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Peeling

Was ist messbar? Metrik nicht direkt...

Interferometer:d2x(t)

dt2 = Rxtxt (t) x(t)

Riemann tensor → 5 Weyl scalars ψk , k = 0...4

Für linearisierte Gln.: ψk ∼ 1/r 5−k (peeling)

Für nichtlineare Gln. → mögliche Verletzung von peeling: logn(r)/r 5−k

Generisch? Physikalisch relevant?

Evolution aus welchen Anfangsdaten?!

→ (Cauchy) Anfangswert-Problem für Einstein Gln. ...

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Peeling

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Peeling

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Peeling

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Peeling

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Peeling

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Peeling

Evolution aus welchen Anfangsdaten?!→ (Cauchy) Anfangswert-Problem für Einstein Gln. ...

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Beispiel: Binary Inspiral

Binäres System + Quadrupol-Strahlungsformel:→ Dynamik

Abstand: R(t) = R0(tc − t)1/4, Frequenz: f (t) = f0(tc − t)−3/8

→ ausgestrahlte Gravitationswellen

hNN(t , r) ≈ −2564

R1/40 f 2

t + r2R0

)(tc − t + r

≡ fNN(t − r)log(r)

Peeling-Verletzung (in ψ2)

ψ4 ∼ (...)/r + ...+ f (t − r) log(r)/r 3, ψ3 ∼ (...)/r 2 + ...+ f (t − r) log(r)/r 3,

ψ2 ∼ f (t − r) log(r)/r 3 + (...)/r 3,

ψ1 ∼ (...)/r 4, ψ0 ∼ (...)/r 5

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Beispiel: Binary Inspiral

Binäres System + Quadrupol-Strahlungsformel:→ Dynamik

Abstand: R(t) = R0(tc − t)1/4, Frequenz: f (t) = f0(tc − t)−3/8

→ ausgestrahlte Gravitationswellen

hNN(t , r) ≈ −2564

R1/40 f 2

t + r2R0

)(tc − t + r

≡ fNN(t − r)log(r)

Peeling-Verletzung (in ψ2)

ψ4 ∼ (...)/r + ...+ f (t − r) log(r)/r 3, ψ3 ∼ (...)/r 2 + ...+ f (t − r) log(r)/r 3,

ψ2 ∼ f (t − r) log(r)/r 3 + (...)/r 3,

ψ1 ∼ (...)/r 4, ψ0 ∼ (...)/r 5

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Bedeutung der präzisen Asymptotik

Gesuchte Form des Signals

Wave-Extraktion (am Radius R)

↔ Viel mathematisches “Vorwissen” nötig...

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Zusammenfassung

Nichtlineare Terme in Wellengleichungen: wichtig!→ dramatische Effekte auch für kleine Amplituden! (Singularitäten)

Spezielle Struktur der Einstein GleichungenGravitationswellen: lineare Asymptotik 6= nichtlineare Asymptotik (!)

Beugung/Krümmung der GeodätenVerletzung des Huygens Prinzips (tail)Verzerrung der Wellenformen (Amplitude, Phase, Frequenz)

Bedeutung von nichtlinearen Korrekturen:

Parameter des Universums (“Medium”):Expansion (Dichte, Strahlung, Λ), Verteilung der (dunklen) Materie, ...Parameter der Quelle: Distanzen, Massen, GW-Ausstrahlung, ...Stabilität von Schwarzschild/Kerr (?), LFRW (?)Suche nach Gravitationswellen: Templates und FilterNumerische Simulationen (Codes) ← mathematisches “Vorwissen”

Einstein@Home:Screensaver sucht nach GW-Signalen & Radio-Pulsaren!(200.000 Computer → Rechenkraft 48 Tera-flops)4 neue Radio-Pulsare gefunden!

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Zusammenfassung

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Zusammenfassung

Beugung/Krümmung der Geodäten

Verletzung des Huygens Prinzips (tail)Verzerrung der Wellenformen (Amplitude, Phase, Frequenz)

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Zusammenfassung

Beugung/Krümmung der GeodätenVerletzung des Huygens Prinzips (tail)

Verzerrung der Wellenformen (Amplitude, Phase, Frequenz)

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Zusammenfassung

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Zusammenfassung

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Zusammenfassung

Bedeutung von nichtlinearen Korrekturen:Parameter des Universums (“Medium”):Expansion (Dichte, Strahlung, Λ), Verteilung der (dunklen) Materie, ...

Parameter der Quelle: Distanzen, Massen, GW-Ausstrahlung, ...Stabilität von Schwarzschild/Kerr (?), LFRW (?)Suche nach Gravitationswellen: Templates und FilterNumerische Simulationen (Codes) ← mathematisches “Vorwissen”

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Zusammenfassung

Bedeutung von nichtlinearen Korrekturen:Parameter des Universums (“Medium”):Expansion (Dichte, Strahlung, Λ), Verteilung der (dunklen) Materie, ...Parameter der Quelle: Distanzen, Massen, GW-Ausstrahlung, ...

Stabilität von Schwarzschild/Kerr (?), LFRW (?)Suche nach Gravitationswellen: Templates und FilterNumerische Simulationen (Codes) ← mathematisches “Vorwissen”

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Zusammenfassung

Bedeutung von nichtlinearen Korrekturen:Parameter des Universums (“Medium”):Expansion (Dichte, Strahlung, Λ), Verteilung der (dunklen) Materie, ...Parameter der Quelle: Distanzen, Massen, GW-Ausstrahlung, ...Stabilität von Schwarzschild/Kerr (?), LFRW (?)

Suche nach Gravitationswellen: Templates und FilterNumerische Simulationen (Codes) ← mathematisches “Vorwissen”

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Zusammenfassung

Bedeutung von nichtlinearen Korrekturen:Parameter des Universums (“Medium”):Expansion (Dichte, Strahlung, Λ), Verteilung der (dunklen) Materie, ...Parameter der Quelle: Distanzen, Massen, GW-Ausstrahlung, ...Stabilität von Schwarzschild/Kerr (?), LFRW (?)Suche nach Gravitationswellen: Templates und FilterNumerische Simulationen (Codes) ← mathematisches “Vorwissen”

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Zusammenfassung

Bedeutung von nichtlinearen Korrekturen:Parameter des Universums (“Medium”):Expansion (Dichte, Strahlung, Λ), Verteilung der (dunklen) Materie, ...Parameter der Quelle: Distanzen, Massen, GW-Ausstrahlung, ...Stabilität von Schwarzschild/Kerr (?), LFRW (?)Suche nach Gravitationswellen: Templates und FilterNumerische Simulationen (Codes) ← mathematisches “Vorwissen”

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Über die nichtlineare Natur der Gravitationswellen...Gravitationswellen - Ein neues “Auge” ins...

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