Übersicht LGS linAbb Matrizen -...
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Übersicht: Einige Zusammenhänge zwischen linearen Gleichungssystemen, linearen Abbildungen und Matrizen
LGS S mit m Gleichungen und n Variablen zugehörige lineare Abbildung 𝑓 Darstellende Matrix von 𝑓 bezüglich Standardbasis
𝑎!!𝜉!
!
!!!
= 𝑎!!𝜉! + 𝑎!"𝜉! +⋯+ 𝑎!!𝜉! = 𝛽!
𝑎!!𝜉! =!
!!!
𝑎!"𝜉! + 𝑎!!𝜉! +⋯+ 𝑎!!𝜉! = 𝛽!
⋮
𝑎!"𝜉! =!
!!!
𝑎!!𝜉! + 𝑎!!𝜉! +⋯+ 𝑎!"𝜉! = 𝛽!
𝑓:ℝ! → ℝ!
𝜉!⋮𝜉!
↦
𝑎!!𝜉!
!
!!!⋮
𝑎!"𝜉!
!
!!!
𝐴 =𝑎!! ⋯ 𝑎!!⋮ ⋱ ⋮
𝑎!! ⋯ 𝑎!"
𝑥 =𝜉!⋮𝜉!
ist Lösung von S 𝑓 𝑥 = 𝑏 = 𝛽!⋮𝛽!
𝐴 ∙ 𝑥 =b
eine Lösung von S existiert 𝑏 ∈ im𝑓 𝑏 ∈𝑎!!⋮
𝑎!!, … ,
𝑎!!⋮
𝑎!"
𝐿S 𝑥 ∈ ℝ!|𝑓 𝑥 = 𝑏 𝑥 ∈ ℝ!|𝐴 ∙ 𝑥 = 𝑏
Lösungsmenge des zu S gehörenden homogenen LGS ker𝑓 𝑥 ∈ ℝ!|𝐴 ∙ 𝑥 = 0
Menge aller 𝑏 ∈ ℝ!, für die das LGS S lösbar ist im𝑓 𝑎!!⋮
𝑎!!, … ,
𝑎!!⋮
𝑎!"
Lösung von S existiert für alle rechten Seiten 𝑏 𝑓 ist surjektiv, rang𝑓 = 𝑚, dim im𝑓 = 𝑚 rg𝐴 = 𝑚
𝑎!!⋮
𝑎!!, … ,
𝑎!!⋮
𝑎!"= ℝ!
Lösung von S (wenn es sie gibt) zu gegebenem 𝑏 ist eindeutig 𝑓 ist injektiv, ker𝑓 = {0} Spalten von 𝐴 sind linear unabhängig
rg𝐴 = 𝑛
Für jede rechte Seite 𝑏 existiert genau eine Lösung 𝑥 𝑓 ist bijektiv, rg𝑓 = 𝑚 = 𝑛, 𝑓!!existiert, 𝑓 ∈ 𝐺𝐿(ℝ!)
Spalten von 𝐴 sind Basis des ℝ! rg𝐴 = 𝑚 = 𝑛
𝐴 ist invertierbar 𝐴!!existiert