Ökonometrie I

Einfache und multiple Regression

22.10.2004 Ökonometrie I 2

Ein BeispielKonsumtheorie nach Keynes

Ct = f(Yt)

Ökonometrisches ModellCt = 1 + 2Yt + ut

Aufgaben der ökonometrischen Analyse Schätzen der Parameter Testen von Hypothesen Überprüfen des Modells

22.10.2004 Ökonometrie I 3

Einfache, lineare Regression

Yt = 1 + 2Xt + ut

Y: abhängige oder endogene VariableX: unabhängige oder exogene oder erklärende Variable,

auch Regressoru: Zufallsfehler, Störgröße, Noise

nicht berücksichtigte erklärende Variable MessfehlerVerteilungsgesetz E{ut}=0 Var{ut}=2

Cov{us,ut}=0, s≠t: Regressionskoeffizienten

22.10.2004 Ökonometrie I 4

Einkommen und Konsum

200

400

600

800

1000

1200

70 75 80 85 90 95 00

PYRT PCRT

PCRT: Privater Konsum, real, in Mrd.EURPYRT: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real1970:1-2002:4

Basis: 1995Quelle: AWM-Datenbasis

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Einkommen und Konsum, Forts.

200

400

600

800

1000

500 600 700 800 900 1000 1100

PYRT

PC

RT

PCRT vs. PYRT

PCRT: Privater Konsum, real, in Mrd.EURPYRT: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real1970:1-2002:4

Basis: 1995Quelle: AWM-Datenbasis

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Matrixschreibweise

n Beobachtungen(X1,Y1), … , (Xn,Yn)

Modell: Yt = 1 + 2Xt + ut, t=1,…,n oder

y = X + umit 1 1 1

1

2

1

, , ,

1n n n

Y X u

y X u

Y X u

22.10.2004 Ökonometrie I 7

Matrixschreibweise, Forts.

n Beobachtungen(X1,Y1), … , (Xn,Yn)

Modell: Yt = xt‘ + ut, t=1,…,n,

mit

1

2

1,t

t

xX

22.10.2004 Ökonometrie I 8

Schätzen der Koeffizienten

1, 2: „wahre“ Regressionskoeffizienten

Störgrößen: ut = Yt - (1 + 2Xt)

Residuen: et = Yt - (b1 + b2 Xt)

Schätzer von i: bi ist Funktion von (Xt, Yt), t=1,…,n.

Summe der Fehlerquadrate S(1, 2) = t ut

2= t [Yt - (1 + 2Xt)]2

Prinzip der Kleinsten Quadrate:bi = arg min1, 2 S(1, 2)

22.10.2004 Ökonometrie I 9

Ableiten der Normalgleichungen

Partielles Ableiten von S(1, 2) = t [Yt - (1 + 2Xt)]2

liefert

1 21

1 22

2 ( )

2 ( )

t tt

t t tt

SY X

SY X X

Nullsetzen:

ergibt die Normalgleichungen1 2

0, 0S S

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Normalgleichungen

Auflösen nach b1 und b2 gibt die OLS-Schätzer

1 2

21 2 t

t tt t

t t tt t t

b b X Y

b X b X X Y

2 2

1 2

xy

x

sb

s

b y b x

2 2

1( )( )

1( )

xy t tt

x tt

s X x Y yn

s X xn

mit

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Multiple, lineare Regression

Modell

Yt = xt‘ + ut = 1+2X2t+…+kXkt+ut

NormalgleichungenjbjtXjtXit = tXitYt, i=1,…,k

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OLS-Schätzung in Matrixform

Yt = xt‘ + ut, t=1,…,n

odery = X + u

Summe der FehlerquadrateS() = (y-X)‘(y-X)

= y‘y -2y‘X+‘X‘XOLS-Schätzer: b = (X‘X)-1X‘y