Ökonometrie I

Annahmen des lineare Regressionsmodells

4.11.2004 Ökonometrie I 2

Liste der AnnahmenA1 lineare funktionale Form des ModellsA2 r(X) = kA3 lim Xn‘ Xn/n = Q hat vollen RangA4 Xi unabhängig von u für alle i (Exogenität)A5 E{u} = 0A6 Var{u} = 2IA61 Var{ut} = 2 für alle tA62 Cov{ut, us} = 0 für alle t und s mit t ≠ sA7 ut normalverteilt für alle t

4.11.2004 Ökonometrie I 3

Linearität (A1) Die Beobachtung Yt ist eine lineare Funktion

Yt = xt' + utder Beobachtungen der erklärenden Variablen Xti, i=1, …, k und der

Störgröße ut Ist Linearität eine Einschränkung?

Linearität bringt Vorteile für die statistische Analyse in vielen Situationen sind lineare Modelle adäquat oder zumindest

näherungsweise adäquat Beispiele für lineare Modelle:

Y = + X + u Y = + X2 + u Y = + log X + u Y = + /X + u

4.11.2004 Ökonometrie I 4

Linearisieren Cobb-Douglas-Produktionsfunktion

Y = K L eu

Logarithmieren ergibt lineares Modelllog Y = * + log K + log L + u

Log-lineare Form log Y = 1 + 2 log X2 + … + k log Xk + u

liefert konstante Elastizitäten (relative Änderung von Y bei einer relativen Änderung von X um eine Einheit):

loglog

ii

i i

XY YX Y X

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Regressoren (A2, A3, A4) Voller Rang von X

Spalten sind linear unabhängig Spalten sind nicht hoch korreliert

Reguläre Matrix Q = lim Xn‘Xn/n Das durchschnittliche Quadrat der beobachteten Werte der X i

bleibt endlich Meist problemlos Bei Trends zu streng

Exogenität: jede Beobachtung ist unabhängig von aktuellen, vergangenen und künftigen Störgrößen

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Störgrößen (A6, A7) Die Annahme

E{u} = 0bedeutet: Y wird modelliert als Summe aus systematischer Komponente x' plus Störgröße u

Die Annahme Var{u} = 2I

bedeutet: Homoskedastizität Serielle Unkorreliertheit

Mit der Annahme normalverteilter Störgrößen schreiben wiru ~ N(0, 2I)

4.11.2004 Ökonometrie I 7

Einkommen und Konsum

PCR: Privater Konsum, real, in Mrd.EURPYR: Verfügbares Einkom- men der Haushalte, real1970:1-2002:4

Basis: 1995Quelle: AWM-Datenbasis

200

400

600

800

1000

1200

70 75 80 85 90 95 00

PYR PCR

4.11.2004 Ökonometrie I 8

Einkommen und Konsum: Zuwachsraten

-.02

-.01

.00

.01

.02

.03

.04

.05

.06

-.04 .00 .04 .08

PYR_DL

PC

R_D

L

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KonsumfunktionDependent Variable: PCR_D4Method: Least SquaresDate: 08/20/04 Time: 11:06Sample(adjusted): 1971:1 2002:4Included observations: 128 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010855 0.001053 10.31071 0.0000PYR_D4 0.747032 0.041840 17.85451 0.0000

R-squared 0.716716 Mean dependent var 0.024898Adjusted R-squared 0.714468 S.D. dependent var 0.014817S.E. of regression 0.007918 Akaike info criterion -6.823949Sum squared resid 0.007899 Schwarz criterion -6.779386Log likelihood 438.7327 F-statistic 318.7837Durbin-Watson stat 0.632776 Prob(F-statistic) 0.000000

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Konsumfunktion, Forts.

-.02

-.01

.00

.01

.02

.03

-.02

.00

.02

.04

.06

1975 1980 1985 1990 1995 2000

Residual Actual Fitted

4.11.2004 Ökonometrie I 11

Residueny = x‘ + u

= x‘b + e = ŷ + eResiduen:

e = y - x‘b = y – ŷ = y – X(X‘X)-1X‘y = y - Py= [I – X(X’X)-1X’]y = My

P: Projektionsmatrix M: residuenerzeugende Matrix

Eigenschaften: iei = 0

Achtung! Diese Eigenschaften setzen eine inhomogene Regression voraus!

1 2 2ˆ , ... k kY Y Y b b X b X

ˆ ˆ' ' 'y y y y e e

4.11.2004 Ökonometrie I 12

Schätzer der Varianz 2

ist ein erwartungstreuer Schätzer

Der ML-Schätzer

unterschätzt; der Bias beträgt

2 21 1 'tts e e e

n k n k

2 21tte

n

2kn