Ohne Anspruch auf Vollständigkeit!!!

Mathematik (Versuch einer) Zusammenfassung des Abitur-Stoffes 1

Ohne Anspruch auf Vollständigkeit!!!

� ANALYSIS:

� Funktionsuntersuchung Funktionsarten: a) ganzrationale Funktionen b) e-Funktionen c) trigonometrische Funktionen � Tangenten- und Normalenbestimmung � Ortskurven � Gemeinsame Punkte von Kurvenscharen � Integrale und Flächenberechnung � Mittelwert / Rotationskörper � Extremwertaufgaben Aufstellen von Funktionsgleichungen

LINEARE ALGEBRA:

� Der Rang einer Matrix � Lösbarkeitskriterien von linearen Gleichungssystemen � Homogene lineare Gleichungssysteme � Inhomogene lineare Gleichungssysteme � Über- und unterbestimmte Gleichungssysteme

� ANALYTISCHE GEOMETRIE:

� Vektoren im R3 � Lineare (Un-) Abhängigkeit � Geraden und Ebenen im R3 (Parameter- und Koordinatendarstellung)

� Schnitt von Geraden und Ebenen (im R3) � Vorteile der Koordinatenform

� WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG:

� LAPLACE-Wahrscheinlichkeiten � Mehrstufige ZE / Pfadregel � Bedingte Wahrscheinlichkeit / Vierfeldertafel

� Unabhängigkeit von Ereignissen � Zufallsvariablen � Erwartungswert und Varianz


� FUNKTIONSUNTERSUCHUNG Nur bei e-Funktionen interessant: Asymptoten a) waagrechte Asymptoten, wenn lim ( )

xf x

→ + ∞ = a => Asymptote: y = a (pos. x-Bereich)

lim ( )x

f x→ − ∞

= b => Asymptote: y = b (neg. x-Bereich)

Existiert kein Grenzwert, dann gibt es auch keine waagrechte Asymptote. b) evtl. aber eine schiefe Asymptote, wenn f (x) eine Summe von Ausdrücken ist, von denen einer gegen 0 geht, z.B. f (x) = 2x + e-x

lim ( )x

f x→ + ∞

= 2x (da e-x gegen 0 geht!) => y=2x ist schiefe Asymptote

Für x→ - ∞ ex. hier kein Grenzwert => keine As. (im neg. x-Bereich) � Ableitungen f ’, f ’’, f ’’’ Ableitungsregeln beachten:

Potenzregel : f (x) = xn ⇒ f ’(x) = n⋅xn-1 Produktregel : f (x) = u(x)⋅v(x) ⇒ f ’(x) = u’(x) ⋅v(x) + u(x)⋅v’(x) Kettenregel : f (x) = u(v(x)) ⇒ f ’(x) = v’(x) ⋅u’(v(x)) � Symmetrie f (-x) = -f (x) ⇒ Punktsymmetrie zu O (= Ursprung) f (-x) = f (x) ⇒ Achsensymmetrie zur y-Achse � Nullstellen f (x) = 0 � Extrempunkte f ’(x) = 0 f ’’(Ergebnis) > 0 => Tiefpunkt f ’’(Ergebnis) < 0 => Hochpunkt f ’’(Ergebnis) = 0 => Sattelpunkt � Wendepunkte f ’’(x)=0 f ’’’(Ergebnis) ≠ 0 => Wendepunkt f ’’’(Ergebnis) = 0 => KEIN Wendepunkt Alternative Kriterien für f ’’’ ≠ 0: a) Vorzeichenwechsel von f ’’ an der Stelle, wo f ’’ = 0 ist oder noch besser (!!!): b) (Ergebnis) ist nur einfache Lösung von f ’’ = 0 => Wendepunkt (Ergebnis) ist mehrfache Lösung von f ’’ = 0 => KEIN Wendepunkt � Wer liefert was? - f(x) „liefert“ den y-Wert (an der Stelle x) - f’(x) „liefert“ die Steigung (an der Stelle x) (f’>0 => f(x) ist monoton steigend, f’<0 => f(x) ist monoton fallend) - f’’(x) „liefert“ die Krümmung (an der Stelle x) (f’’>0 => f ist linksgekrümmt, f’’<0 => f ist rechtsgekrümmt),


Da der größte Teil der „Kurvendiskussion“ mit dem GTR gemacht werden kann, wird es immer wichtiger, Schaubilder nicht zu zeichnen, sondern zu „interpretieren“. Ein paar Beispiele dazu:

Beispiel 1: Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Exponentialfunktion. Diese kann durch einen der drei folgenden Funktionsterme beschrieben werden:

g1(x)=a-b.ex+1 g2(x)=(ax-b).e-x+1 g3(x)=(ax+b).ex+1

Begründe, welche Terme zur Beschreibung ungeeignet sind! Lösung: Für g1 gilt z.B.: g1 ist für b<0 streng monoton wachsend, für b>0 streng monoton fallend. Das Schaubild ist weder das eine noch das andere. Für g3 gilt z.B.: g3(x)→0 für x→-∞ und |g3(x)|→∞ für x→∞, was beides beim Schaubild nicht der Fall ist. Also kann das Schaubild nur durch g2(x) beschrieben werden. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Beispiel 2: Es sei f(x)=-x³ + 5x²-4,5x + 2 Gib an, welches der beiden folgenden Schaubilder nicht zu einer Stammfunktion von f(x) gehören kann und begründe die Antwort.

Schaubild von f(x) Schaubild 1 oder Schaubild 2

Lösung: f(x) hat z.B. bei 2,9 eine Nullstelle (mit Vorzeichenwechsel von + nach -). D.h., dass F(x) bei etwa 2,9 einen Extrempunkt (Hochpunkt) haben muss! Schaubild 2 hat kurz vor 4 einen Hochpunkt und kann deshalb nicht zu einer Stammfunktion von f gehören.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Beispiel 3: Gegeben sind die Schaubilder einer Funktion f, ihre Ableitung f’ und eine Stammfunktion F. Ordne die Schaubilder jeweils zu. S 1 S 2 S 3

Lösung: Wäre S1 f(x), dann müsste F(x) bei -3 einen Extrempunkt haben. Dies hat keines der Schaubilder, also ist S1 nicht das Schaubild von f(x). Wäre S3 f(x), dann müsste wegen des Tiefpunktes bei x=0 f’ dort eine Nullstelle haben. Dies hat ebenfalls keines der anderen Schaubilder, also kann S3 auch nicht das Schaubild von f(x) sein.

� S2 ist das Schaubild von f(x) � Damit muss f’ bei -1 eine Nullstelle haben => S3 ist das Schaubild von f’ � S1 ist das Schaubild von F(x) (Extrempunkt, wo f eine Nullstelle hat, also bei -2!)


� TANGENTEN- UND NORMALENBESTIMMUNG

� Bestimme die Gleichung der Tangente im Punkt P(af(a)) der Kurve.

y = mx + b wobei m = f ’(a) => Punkt und m einsetzen => b ausrechnen Beispiel 1:

Berechne die Gleichung der Tangente an das Schaubild von f xt

x tx( ) = −3

3 an der Stelle x=2.

Lösung: f x tx t' ( ) = −2 P (2 23 t ) m = f ’(2) = 3t

23 t = 3t⋅2+b

b = 23 t - 6t = − 163 t => Tangentengleichung: y = 3t⋅x − 16

3 t Variationen: Wendetangente, Tangente im Schnittpunkt mit der y-Achse, Tangente in den Nullstellen.

Für NORMALEN gilt der gleiche Rechenweg, es ist lediglich zu beachten, dass mm f a

Normale

Tangente

= − = −1 1

' ( )

(oder 1−=⋅ TangenteNormale mm )

� Lege von einem Punkt P(ab) außerhalb der Kurve die Tangenten an das Schaubild von f (x).

Man nimmt an, der Berührpunkt sei bekannt: B(u|f (u)). Die Steigung der Tangenten ist einerseits: m = f ’(u)

und andererseits mf u b

u a=

−

−

( )

Gleichsetzen => f ’(u) = f u b

u a

( ) −

− => auflösen nach u => B

Tangente in B berechnen (siehe �). Beispiel 2: Von P(3

2 -1) sollen die Tangenten an das Schaubild von f x x( ) = 14

2 gelegt werden. Lösung:

( )

( ) ( )I m u II mu

u

uu

uu u u

u u u u u

u u

u u

= =+

−

=+

−=> − = +

− − − => − − =

− − =

= − =

12

14

2

32

12

14

2

32

12

32

14

2

12

2 34

14

2 14

2 34

2

1 2

1

11

1 1 0

3 4 0

1 4

Damit sind Berührpunkte:

und die Tangenten:

B B

t y x

t y x

114 2

112

14

2

1 4 4

2 4

( ) ( )

:

:

−

= − −

= −


� ORTSLINIEN (ORTSKURVEN) Ortslinien können immer nur dann entstehen, wenn eine Kurvenschar gegeben ist.

Bestimme die Ortskurve aller???-punkte.

a) Gewünschten Punkt (je nach Aufgabe) allgemein in Abhängigkeit vom Kurvenparameter (meist t) ausrechnen. b) Zwei Gleichungen aufstellen (I) x = errechnete x-Koordinate (II) y = errechnete y-Koordinate c) (I) nach t (dem Parameter) auflösen und in (II) einsetzen => Gleichung der Ortskurve

Beispiel 1: Gegeben ist die Kurvenschar f x x txt ( ) = − +2 4 mit x ∈ R und t ∈ R Auf welcher Kurve liegen alle Extrempunkte der Schar?

Lösung:

f x x t

x t x t

E t t

I x t

II y taus I t

xin II y x

' ( )

( )

( )

( )( ): ( ):

= − +

− + = ⇒ =

=

=

= =

2 4

2 4 0 2

2 4

2

4 2

2

2

2

Beispiel 2:

Gegeben ist die Funktion f xte tx( ) = −1 2

, mit x ∈ R und t ∈ R

Auf welcher Kurve liegen alle Wendepunkte, wenn t alle zulässigen Werte durchläuft? Lösung:

22

1

21

121

21

21

1

21

2,12

2

21

21

21

21

22

2:)(2

1:)(

)(

)(

:

)()(

)! eWendepunkt beide sind also Lösungen, sind (beides

024

:)(

)24()(''2)('

xeyIIinx

tIauseyII

xI

Ortskurve

eWeW

einfache

xtx

eWendepunkt

etxxfexxf

t

t

tttt

t

txtx

⋅==

⋅=

=

⋅−⋅

±=⇒=−

⋅−=⋅−=

−

−

−−

−−


� GEMEINSAME PUNKTE VON KURVENSCHAREN

Zeige, dass alle Kurven der gegebenen Schar ... Punkte gemeinsam haben.

Zwei Kurven mit t1 und t

2 (t

1≠t

2) miteinander schneiden (meist fällt t dann raus,

wobei oft die 3. bin. Formel benutzt wird: t1

2-t

2

2=(t

1+t

2)(t

1-t

2))

→ gemeinsame Punkte aller Kurven

alternativ: Die allgemeine Kurve ft mit einer bestimmten schneiden (z.B. t=0 oder t=1) → gemeinsame Punkte aller Kurven

Beispiel 1: Zeige, dass sich je 2 Schaubilder der Schar f x x x tt ( ) ( )= ⋅ −1

42 , x,t∈R, in genau 2 Punkten schneiden.

Lösung:

[ ]

)162

()00(

22

!!!ist t weilgeht, Das)(:)(2

0)2(2

0)()(

00))()((

)!!!()()(

21

2212

21

12212

211221

2212

222

2211

2

22

21

12

22

141

212

2412

141

ttttSundS

ttxttx

tttttttx

txtxtxtx

txtx

xtxtxx

tttxxtxx

−+⇒

+=⇒+=

≠−−=−⋅

=+−−+−

=−−−

=⇒=−−−⋅

≠−⋅=−⋅

Beispiel 2:

Zeige, dass die Schaubilder der Funktionen f x x ettx( ) = ⋅ , x,t∈R, nur einen gemeinsamen Punkt besitzen.

Lösung:

)00S(außer Punktengemeinsame weiterenkeine

)! darf seinnicht ungVoraussetzlaut aber was(

)(

1

00)1(

0

00)(

)!!!11(

2

1

2

⇒

=

=⇒=−⋅==

=−

=⇒=−⋅

=≠⋅=⋅

t

xtx

xtx

ee

ee

xeex

tdatexex

Neuesnix

xtx

xtx

xtx

xtx

Beispiel 3: Untersuche, ob die Schaubilder der Funktion ft(x)=tx²-t.sin(2

1x-

20

1)+

200

3 , x∈R, t∈R

gemeinsame Punkte besitzen.

Lösung: t1x²-t1.sin(2

1x-

20

1)+

200

3= t2x²-t2.sin(

2

1x-

20

1)+

200

3 => x²- sin(

2

1x-

20

1) = 0

(mit GTR) => keine Lösung => keine gemeinsamen Punkte vorhanden


� INTEGRALE UND FLÄCHENBERECHNUNG � Bestimme die Fläche, die Kf mit der x-Achse im Bereich von x=a bis x=b einschließt.

Entweder sind a und b gegeben oder es handelt sich um die Nullstellen von f.

[ ] )()()()( aFbFxFdxxfA ba

b

a

−=== ∫ Funktionsterm genau anschauen!

Beispiel 1: Berechne die Fläche, die das Schaubild von f x x x x( ) = − +3 28 16 mit der x-Achse einschließt. Lösung:

[ ]

Nullstellen: x(x

(x

2

3

− + = ⇒ = = ± ⇒ =

⇒ = − + = − + =

= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ =

= − + − =

∫

8 16) 0 0 4 0 4

8 16 8

4 4 8 4 0 0 8 0

64512

3128 0

64

3

1 2 3 2

2

0

4

14

4 83

3 2

0

4

14

4 83

3 2 14

4 83

3 2

x x x x

A x x dx x x x

FE

,

)

( )

� Bestimme die Fläche, die Kf mit Kg im Bereich von x=a bis x=b einschließt.

Entweder sind a und b gegeben oder es handelt sich um die Schnittpunkte von f und g. (Beachte: Es wird immer von links nach rechts integriert!)

Gesuchte Fläche .).(...)Kurve - Kurve ( osdxuntereobereAb

a

== ∫

Beispiel 2:

a) Zeige, dass xexxF 2212x

45 e)( ⋅−= eine Stammfunktion von 2xe)2()( ⋅−= xxf ist.

b) Die Schaubilder von f x e x( ) = 2 2 und g x x ex( ) = ⋅ 2 sowie die Gerade x=u (mit u<2) begrenzen eine Fläche. Berechne deren Inhalt A(u) sowie lim ( )

uA u

→ − ∞.

Lösung:

[ ]4

41

2212

454

412

212

4544

4522

212x

45

2x2

22x

2x2x

)(lim

)(e

)S(e)2()(

202)0(:0e)2(

e2e :g und fkt von Schnittpun

euA

eueeeueeeex

seinangegebenmussontammfunktidxxuA

xxex

x

u

uuuuu

x

u

x

=

⋅+−=⋅−−−=⋅−

=⋅−=

=→=−→≠=⋅−

⋅=

∞−→

∫


� MITTELWERT / ROTATION VON FLÄCHEN � Der Mittelwert m der Funktionswerte einer Funktion f auf einem Intervall

[a;b] wird berechnet durch ∫⋅−=

b

a

dxxfab

m )(1

.

Beispiel: Der Temperaturverlauf (in °C) eines bestimmten Vorganges in Abhängigkeit von der Zeit t (in h) wird durch eine Kurve näherungsweise dargestellt. Die Beobachtung begann zum Zeitpunkt t=2 und wurde 8 Stunden lang durchgeführt. Die (Temperatur-) Kurve hat die Gleichung f(t)=-0,261t²+3,119t+15 . Bestimme die Durchschnittstemperatur während des Beobachtungszeitraumes.

Lösung:

)(926,22408,18381

15119,3²261,0210

1 10

2

Cdtttm °=⋅=++−⋅−

= ∫

� Das Flächenstück, das f(x) mit der x-Achse einschließt, rotiert von x=a bis x=b um die x-Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

=> [ ]V dxf xa

b

= ⋅ ∫π2

( )

Beispiel 1: Die Fläche zwischen dem Schaubild von f mit f(x)=1+sin(x) auf [0;1,5π] und der x-Achse rotiert um die x-Achse. Beschreibe den entstehenden Rotationskörper und berechne dessen Volumen.

Lösung: Der Rotationskörper hat die Form einer liegenden Blumenvase und das Volumen

V= [ ]∫ +⋅π

π5,1

0

2

)sin(1 dxx = 16,05 FE (mit GTR)

Beispiel 2: Ein Sektglas „entsteht“ durch Rotation des Schaubildes der Funktion )126(5

1)( −= xxf im

Bereich von x=2 bis x=10 um die x-Achse. Erstelle eine Skizze.

a) Wie viele Volumeneinheiten (VE) Sekt gehen in das Glas, wenn es randvoll gemacht wird? (Die „Klugscheißer“-Antwort lautet natürlich „0, da alles herausläuft“, aber das Glas wird selbstverständlich vorher aufgestellt !!!)

b) In welche Höhe (vom Glasboden aus gemessen) müsste der Eichstrich angebracht werden, damit bis dorthin genau 100 VE im Glas sind? Lösung:

a) VEdxxV 637,1205

19210

2

2

)126(5

1≈=−⋅= ∫

ππ (mit GTR oder ohne!)

b) 1002

)126(5

1=−⋅= ∫ dx

uxV π (hier „versagt“ leider der GTR!!!) → 100

5

1225

3=−⋅

uuπ →

03

50042 =−−

πuu → u1=9,553 (u2<0) Der Eichstrich müsste in 9,553 LE Höhe angebracht werden.


� EXTREMWERTAUFGABEN Bestimme u so, dass irgendwas maximal oder minimal wird oder wie müssen bestimmte Punkte liegen, damit irgendwas maximal wird oder bestimme den maximalen??? von irgendwas.

� Was soll extremal werden? (Strecke, Dreiecksfläche, Rechtecksumfang, ...) � Zielfunktion Z(u) für das "Was" aufstellen (evtl. Nebenbedingungen beachten). - Definitionsbereich der Zielfunktion bestimmen (falls nicht angegeben)! � Extrema der Funktion Z berechnen (siehe Funktionsuntersuchung �) � Randwerte bestimmen � Fragestellung der Aufgabe anschauen und evtl. die gefragte Größe noch berechnen, bzw. die gestellte(n) Frage(n) beantworten!

Beispiel 1: Die Gerade x=u schneidet das Schaubild der Funktion f x x x( ) = − +2 4 im Punkt P, die x-Achse im Punkt Q. Berechne u so, dass der Dreiecksinhalt ein Maximum annimmt und gib den maximalen Flächeninhalt des entsprechenden Dreiecks an.

FEAA

AA

MaximumA

MinimumA

uuuuuu

uuAuuuAuuuA

uuuufuuAufhug

27128

)(

: FlächeMaximale

0)4(0)0(

:s)nsbereiche Definitiodes Randam (Werte Randwerte

04)(''

04)0(''

0)4(04

:bestimmenExtrema

4u0

:rte)für Randwe Grenzen ( sbereichDefinition

43)('' 4)(' 2)(

:onZielfunkti

)4()()( )( und

h)g( läche Dreiecksf

? werdenextremal soll Was

38

max

38

38

21232

23

22323

21

221

21

21

==

==

⇒<−=⇒>=

==+−⋅⇒=+−

≤≤=

+−=+−=+−=

+−⋅=⋅=⇒==

⋅⋅→


Beispiel 2: Der Punkt P(uv) mit u≥0 liegt auf dem Schaubild von xexf ⋅−= 4

1

2)( . Die Tangente in P an das

Schaubild begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Berechne u so, dass der Inhalt dieses Dreiecks extremal wird. Um was für ein Extremum handelt es sich?

[ ]

Was soll extremal werden ?

Dreiecksflä che (

wobei g = x -Wert des Tangentenschnittpunktes mit der x -Achse

und h = y - Achsenabschnitt der Tangente

es sind zunä chst die Gleichung der Tangente und deren Nullstelle zu berechnen

Tangente: P(u m einsetzen in y = m x + b

2 b = = h !!! y = x +

Schnittpunkt der Tangenten mit der x -Achse: y = 0

12

t

→ ⋅ ⋅

⇒

= = − ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅ + ⇒ + ⇒ − ⋅ ⋅ +

⇒

− −

− − − − −

g h

e f u e

e e u b eu

e eu

u u

u u u u u

)

) ' ( )

( ) ( )

2

22

22

14

14

14

14

14

14

14

12

12

12

[ ] x = 4 + u = g !!!

Zielfunktion:

Definitionsbereich:

Extrema berechnen:

2,83) (

Art des Extremums (zur Abwechslung einmal mit Vorzeichenwechsel von ' ' ):

A u u eu

e uu

A u eu

u

eu

u u u

f

f e

f e

u u u

u

( ) ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( )

( ) ( )

' ( ) ( )

' ( ) ( )

= ⋅ + ⋅ + = + + = −

≤ ≤ ∞

− = ⇒ = ⇒ = ≈ = − ∉

= − >

= − <

− − −

−

−

−

12

2 2

22

1 1

12

98

4 22

4 24

18

0

18

0 8 8 8

2 1 0

3 1 0

14

14

14

14

12

34

∆

⇒

= =

= =

→∞

zwischen 2 und 3 Vorzeichenwechsel von ' von + nach -

Art des Extremums: Maximum

Randwerte:

lim (!!! Da keine rechte Grenze angegeben ist !!!)

Maximale Flä che:

u

f

A A u

A A FE

( ( )

( )max

0) 2 0

8 8,77


AUFSTELLEN VON FUNKTIONSGLEICHUNGEN � Es sind verschiedene Bedingungen angegeben

Eine Funktion ?-ten Grades hat ... (verschiedene Bedingungen). oder Eine Funktion hat die Form ... . Sie ... (verschiedene Bedingungen). Bestimme die Funktionsgleichung.

1. Allgemeinen Funktionsterm incl. 1. und 2. Ableitung aufschreiben (falls nicht angegeben!) 2. Bedingungen auswerten und Gleichungen mit f, f ’ oder f ’’ bilden 3. (Lineares) Gleichungssystem aufstellen 4. (Lineares) Gleichungssystem lösen 5. Funktionsgleichung hinschreiben

Bedingungen beachten! (... geht durch P, ... ist Hoch-, Tief-, Extrem-, Wendepunkt, ... berührt, ... hat die Steigung, ... ist parallel zu, ...)

Beispiel 1: Das Schaubild Kt einer ganzrationalen Funktion 3. Grades ft hat im Ursprung eine waagrechte Tangente und im

Punkt Pt(t0), [t≠0], die Steigung 3. Bestimme ft.

Allgemeine Form der Funktion:

(I) d = 0

(II) c = 0

(III)

(IV)

aus (III): in (IV): b = -3

t

3

2

(a=-bt

f x ax bx cx d f x ax bx c f x ax b

f

f

f t at bt

f t at bt

ab

ta

t

f xt

x

( ) ' ( ) ' ' ( )

(

' (

( )

' ( )

( )

)

= + + + = + + = +

= ⇒

= ⇒

= ⇒ + =

= ⇒ + =

=−

→ =

= ⋅ −

3 2 2

2 2

2

3

3 2 6 2

0) 0

0) 0

0 0

3 3 2 3

3

3 3

tx2

Beispiel 2: In der Funktion f x x ax b ex( ) ( )= + + ⋅ −2 sind a und b so zu bestimmen, dass das Schaubild der Funktion die x-Achse bei -1 berührt.

Allgemeine Form der Funktion:

(I) (1-a + b) e = 0

(II) - 3+ 2a - b = 0 aus (I): in (II): b = 1

(a=b+1

f x x ax b e f x x x ax a b e

f

fa b a

f x x x e

x x

x

( ) ( ) ' ( ) ( )

( )

' ( )

( ) ( )

)

= + + ⋅ = − + − + − ⋅

− = ⇒ ⋅

− = ⇒

= + → =

= + + ⋅

− −

−

2 2

2

2

1 0

1 01 2

2 1

*************************************************** ******************

� Es ist eine Reihe von Punkten angegeben (Wertetabelle mit Punktepaaren)

Die Lösung erhält man durch REGRESSION! - (Dies geht mit dem GTR!)


Beispiel: Gegeben ist die Wertetabelle

0 1 2 3 4 5 6 7 8 4,1 3,9 3,1 2,1 1,55 2,0 3,8 8,3 15,4

Es soll nun eine Funktion gefunden werden, die diese Werte möglichst gut repräsentiert. Dazu lässt man sich die Punkte erst einmal aufzeichnen. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1) Die Eingabe der Werte in Listen (am besten L1 und L2!) erfolgt mit ; → →b→

→ -0

WICHTIG: Natürlich müssen in beiden Listen gleich viele Werte eingetragen werden! -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2) Mit -. schaltet man nun Plot1 auf On:

→ b→ → b→

→ -0

Alternative: .→ mit $ auf Plot1 →b→ Plot1 wird dunkel und damit eingeschaltet.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3) Ein Druck auf 6 zeigt jetzt die Lage der eingegebenen Punkte.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4) Jetzt muss man sich für die Art der Regressionskurve entscheiden. Welche es gibt, zeigt

;š →

Von der Linearen Regression 4: LinReg (= Gerade) geht es bis C: SinReg (= eine Sinus-Funktion).

Für unser Beispiel wählen wir eine Funktion 3. Grades, also „6:CubigReg“. Am Bild-schirm steht jetzt lediglich: (Bemerkung: Man könnte jetzt dahinter noch, mit Komma getrennt, zwei Listen angeben (also etwa so: CubicReg L3,L4), mit denen der GTR rechnen soll, aber wenn wir L1 und L2 benutzen, brauchen wir das nicht, denn diese beiden werden automatisch benutzt!!!) Drückt man jetzt b, so berechnet der TI die Regressionskurve und zeigt die Koeffizienten unserer Kurve 3. Grades an.

→

Sehr Nützlich: Gibt man hinter dem noch eine y-Variable an, also z.B. so wird die Funktion in dieser y-Variable gespeichert! (y-Variablen erhält man über 2"b…) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5) (Eigentlich unnötig, aber…) Manchmal will man wissen, ob die berechnete Kurve die gegebenen Punkte gut oder weniger gut repräsentiert. Dazu gibt es Maßzahlen (sie heißt r, r² und R²). Standardmäßig werden diese nicht berechnet, man kann sie aber im „Funktionen-Catalog“ einschalten: -_ (= CATALOG) und dann bis zum Befehl runterscrollen.

Führt man jetzt die Regression durch, erscheinen unter den Koeffizienten der Funktion (je nach der Art der Regression, die man gewählt hat) noch Werte r, r² und/oder R². Bei uns ist R²=0.9996743797) was sehr, sehr gut ist. R² heißt Bestimmtheitsmaß.

→

Allgemein gilt: Je näher diese Diagnosewerte bei 1 liegen, desto besser ist die Regression. Werte > 0,75 sind gut, darunter nicht. (Wer mehr wissen will → TI-Handbuch, Seite 12-23)

Bemerkung: Dieses Maß (das in unseren Aufgaben keine Rolle spielt) ist hier nur der Vollständigkeit halber erwähnt.


� DER RANG EINER MATRIX Welchen Rang hat die Matrix A?

Der Rang einer Matrix ist die kleinste Anzahl der vom Nullvektor verschiedenen Zeilenvektoren von A, die durch die elementaren Umformungen erzeugt werden können! Bestimmung des Ranges: Matrix auf Dreiecksform bringen und die Zeilen zählen, die keine Nullzeilen sind.

Beispiel:

Welchen Rang hat die Matrix A =

−

−

− −

1 1 2 2

2 3 2 1

3 1 14 9

5 8 4 2

?

( )( )

( )

( )( )1

3

1

4

12630

3840

3210

2211

1

5

1

3

1

2

2485

91413

1232

2211

−⋅

⋅−⋅⋅

−−−

−

−⋅

⋅

−⋅

⋅−⋅⋅

−−

−−

1 1 2 2

0 1 2 3

0 0 0 9

0 0 0 3

1

3

1 1 2 2

0 1 2 3

0 0 0 9

0 0 0 0

−

−

⋅

⋅

−

Die letzte Zeile

wird zu einer

Nullzeile

Der Rang von ist 3 (Rg =3)

AA

1 244 344


� LÖSBARKEITSKRITERIEN VON LGS Wann ist das LGS A⋅x=b (mit n Unbekannten) eindeutig, mehrdeutig oder unlösbar?

Man vergleicht den Rang der Koeffizientenmatrix A (Rg A) mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix (Rg (Ab)). Für inhomogene LGS gilt dann: Das LGS ist eindeutig lösbar wenn Rg A = Rg (A b) = n mehrdeutig lösbar wenn Rg A = Rg (A b) < n unlösbar wenn Rg A < Rg (A b) Für homogene LGS gilt dann: Das LGS ist eindeutig lösbar wenn Rg A = n mehrdeutig lösbar wenn Rg A <n

(da bei homogenen LGS immer Rg A = Rg (A b), entfällt die 3. Möglichkeit) Lösungsweg: � Gleichungssystem auf Dreiecksform bringen. � Nullstellen des linken Terms der letzten Zeile berechnen � Prüfen, ob für die ausgerechneten Werte auch der rechte Term Null wird. (⇒ vorläufiges Ergebnis) � Eventuelle Ausnahmewerte für t einzeln prüfen (Diagonale!). � Endgültiges Ergebnis formulieren.

Beispiel:

Für welche Werte von t hat das LGS

−=⋅

−++

4

7

3

14

1223

221

x

t

t

t

genau eine

unendlich viele

keine

Lösung(en)?


( )( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )( ) ( )

-3=für tunlösbar LGS

0 NICHT 2 Termist -3=Für t

-2=für tlösbar mehrdeutig LGS

Nullzeile eine sichergibt -2=für t ist

2 Term vonNullstelle ebenfalls 2-Da

3- und 2- sind 1 Term vonnNullstelle

!!!

23

2

3

3200

73220

221

63

2

3

6500

73220

221

1

1

43

2

3

12220

73220

221

!!!

!!!

43

2

3

12420

73240

221

!!!0

1

1

3

4

7

3

14

1223

221

21

2

2

2

⇒

⇒

⇒

←

++++−−+

++++−−+

⋅⋅

+−+−+−−+

+−+−+−+

≠

−⋅

⋅−⋅⋅

−−++

32143421TermTerm

ttt

tt

t

ttt

tt

t

tttt

tt

t

Hinschauen

Hinschauen

tttt

tt

t

tt

t

t

t

( )

2=für tunlösbar

116

2

3

000

1300

421

13

20

12

2

3

2000

1300

421

:sichergibt 2=Für t

!!!!! kann werden

erzeugt Nullzeile eine 3 und 2 Zeile

mit ob Frage,die sichergibt Damit !steht

Null einedort 2=für t daß zeigt, Zeile 2.

der Element mittlere das auf Blick Ein

⇒

−

−⋅⋅

Merke: Immer, wenn als erstes Element in einer Zeile der Dreiecksmatrix ein Ausdruck mit Parameter steht, kann es weitere Sonderfälle (= mehrdeutig oder unlösbar) geben!!!

Ergebnis: Das LGS ist mehrdeutig lösbar für t = -2 unlösbar für t = -3 und t = 2 (oder t ∈ {-3 ; 2})

eindeutig lösbar für t ∈ R\{ -3 ; -2 ; 2}


� HOMOGENE LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Für welche Werte von t ist das homogene LGS ... nichttrivial lösbar?

Besonderheiten von homogenen LGS: � Es gibt IMMER eine Lösung, nämlich die "Triviallösung", den Nullvektor! EIN HOMOGENES LGS KANN NIE UNLÖSBAR SEIN!!! � Als zweite Möglichkeit bleibt nur noch der Fall, dass es ∞ viele Lösungen gibt (= d.h. es ist nichttrivial lösbar!!!)

Beispiel:

Für welche Werte von t ist das hom. LGS ox

t

t

t

=⋅

−−−

020

33

93

nichttrivial lösbar? Gib die Lösung für t=1

an.

( )

( )

( )

) 1= tund

0=für tLösungen vielehat LGS Das

0

0

0

11800

99920

93

0

0

0

1821800

99920

93

!!! 3t

922

0

0

0

020

99920

93

3

0

0

0

020

33

93

∞

−−−

−

−

−−−

±≠−⋅

⋅−

−−

−

−⋅⋅

−−−

tt

tt

t

tt

tt

t

t

t

t

tt

t

t

t

t

t

Sonderfälle:

lösbar lnur trivia

0

0

0

060

3600

933

:-3=t

lösbar lnur trivia

0

0

0

060

1800

933

:3=t

⇒−−−

⇒

−

−

Damit ist das Gleichungssystem nichttrivial lösbar für t ∈ {0;1}

=

⇒⋅⋅⇒

⇒⇒

=

⇒−−

a

aa

0

3

3a=1x0=a9+01+1-3xZeile 1. die in Dies

0=2x 2=28x- eingesetzt Zeile 2. die In

ist) Nullzeile eine Zeile 3. die(da 3x setzenWir

0

0

0

000

080

913

:1=für t Lösung

x

(HINWEIS: Die Lösung entspricht geometrisch einer Geraden im R³!!!

= ⋅+

1

0

3

0

0

0

ax )


� INHOMOGENE LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Für welche Werte von t hat das inhomogene LGS ... genau eine, unendlich viele, gar keine Lösung?

Inhomogene Gleichungssysteme können auch unlösbar sein!

Beispiel:

Für welche Werte von t hat das inhom. LGS

−

+=⋅

−+ t

t

t

t

tt

t 2

211

02

11

x genau eine, unendlich viele, keine

Lösung?

( )( )

( )

( )( ) ( )( )

) LGS! vonskriterienLösbarkeit

bei (s.o. Sonderfall weitereneinen 0=für tergibt

der Matrix der Mitte inWert den auf Blick Ein

2= tund -1=t

für lösbar mehrdeutig LGS Nullzeile

eine sichergibt 2= tund -1=für t sind

2 Term vonnNullstelle ebenfalls diesDa

2. und 1- sind 1 Term vonnNullstelle

!!!

2

21

22

1

2100

20

11

22

22

2200

20

11

1

1

22

22

20

20

11

1

1

1

2

211

02

11

⇒

⇒

←−+

++

−+−

−−+

+

−−−

−⋅⋅

++

+

+−−

−⋅

⋅−⋅⋅

−

+

−+

4342143421Term

tt

tt

t

Term

tt

tt

t

tt

tt

t

tt

tt

t

t

tt

t

tt

tt

t

t

t

t

t

t

tt

t

{ }

! ein t kein

für ist tritt unlösbar LGSdas daß Der Fall,

t. vonWerte anderen allefür lösbar eindeutig

und 0;-1;2für t lösbar mehrdeutig also

ist systemGleichungs lineare inhomogene Das

rlösba mehrdeutig LGS

0

0

2

211

000

011

:0= tSonderfall

∈

⇒

−


� ÜBER- UND UNTERBESTIMMTE LGS � Überbestimmte Gleichungssysteme

Gib den Lösungsvektor des LGS ... an.

Ein überbestimmtes ist ein LGS mit mehr Gleichungen als Unbekannten. Da man keine quadratische Form hat, kann man diese nur dann erreichen, wenn die "überzähligen" Zeilen durch die elementaren Matrizenumformungen zu Nullzeilen gemacht werden können! Ist dies nicht möglich, so ist das LGS unlösbar, ist dies möglich, dann gibt es die schon bekannten Möglichkeiten! ⇒ eindeutig lösbar, mehrdeutig lösbar oder unlösbar!

Beispiel 1:

Für welche Werte von t hat das LGS

−−

+=

⋅

+−−−−

+

9

4

1

62

3

6663

5251

400

24102

21

3

2

1

t

t

x

x

x

t

t

t

t

eine Lösung?

( )

( )

( )( )

( )

1 2

2 10 4 2

0 0 4

1 5 2 5

3 6 6 6

3

2 6

1

4

9

1

1

3

1 2

0 6 2 2

0 0 4

0 3 5

0 0 3 6

3

2

1

1

0

1

2

3 6 2

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t t

+

− − − −

+

+

− −

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

− − −

− − −

− −

−

− −

⋅

⋅ −

⋅ − −

⋅

≠ −

2

-1

-1

-4

(Der Sonderfall t = -2 muß später mit dieser

Matrix gesondert untersucht werden !)

( )

1 2

0 6 2 2

0 0 4

0 0 8

0 0 0

3

2

1

2

3 6

2

1

1 2

0 6 2 2

0 0 4

0 0 0

0 0 0

3

2

1

0

3 6

t

t t

t

t

t t

t

− − − −

− −

⋅ −

⋅

− − − −

− −

≠

⇒

Nullzeile nur für t = -2

t = -2 war aber ausgeschlossen worden =>

für t -2 ist das LGS nicht lösbar !

Prüfung für t = -2 ergibt zwei Nullzeilen

Das System ist (nur) für t = -2 lösbar.

Beispiel 2:

Welche Lösungen hat das LGS

=

⋅

−−

5

0

2

12

45

34

2

1

x

x?

1

5

12

10

2

50

10

34

2

1

4

5

5

0

2

12

45

34

⋅⋅

−−

⋅

⋅⋅⋅

−−

unlösbarist LGS Das rden gemacht we

Nullzeilezur nicht kann Zeile3. Die

62

10

2

00

10

34

⇒

⇒

−−


� Unterbestimmte Gleichungssysteme

Gib den Lösungsvektor des LGS ... an.

Ein unterbestimmtes ist ein LGS mit weniger Gleichungen als Unbekannten. Da man keine quadratische Form hat, kann man diese höchstens durch Ergänzen von Nullzeilen herstellen. Nullzeilen bedeuten aber (fast (*)) immer unendlich viele Lösungen! ⇒ ein unterbestimmtes LGS hat (fast (*)) immer unendlich viele Lösungen! Man bringt also das LGS so weit als möglich auf "Dreiecksform" und berechnet dann wie üblich den Lösungsvektor.

Achtung: (*) Dieses „fast“ bedeutet, dass es Ausnahmen gibt! Ein LGS mit einer Nullzeile kann auch unlösbar sein; wenn sich nämlich bei der Berechnung der „Dreiecksform eine Zeile ergibt, die in der Koeffizientenmatrix nur Nullen hat, im Ergebnisvektor jedoch nicht ( 0 0 0 | 3 )! Sicher ist nur eines: Ein unterbestimmtes LGS kann nie eindeutig lösbar sein!

Beispiel:

Gib den Lösungsvektor des LGS

−=

⋅

−−1

2

0

1205

2231

6433

4

3

2

1

x

x

x

x

an.

( )

( )

−−−

−−−

−−−

−⋅⋅

−

−⋅

⋅⋅⋅

−−−

3

3

0

81100

6160

6433

)!rden kleiner we Zahlen die(Damit

6:

2:

18

6

0

486600

122120

6433

18

6

0

486600

122120

6433

4

5

3

6

0

2714150

122120

6433

3

5

3

1

1

2

0

1205

2231

6433

+

−

+−

=

+−=⇒

=++

⋅+−

⋅⇒

−=⇒=+

+⋅−⇒

+=⇒=−−⇒

=

a

a

a

a

a

aaa

aa

ax

aax

a

11

3833

291811

1023

svektor der Lösungist Damit

11

10231x

0611

384

33

29183+13x

33

29182x 36

11

38126

11

383x 38311

)! wäreNullzeile eine Zeile 4. die(da

4x setzenWir

x


� VEKTOREN IM R3 Was sind Vektoren?

- Vektoren kann man als Verschiebungen (Translationen) ansehen. Ein Vektor hat eine Länge und eine Richtung (wie eine Schiebung). - Ortsvektoren sind solche, die vom Ursprung ausgehen und damit Punkte im Koordinaten- system festlegen. Jeder Punkt P legt also einen Ortsvektor fest. - Vektoren werden auch durch 2 Punkte (Anfangs- und Endpunkt) festgelegt. Punktkoordi- naten werden waagerecht, Vektorkoordinaten senkrecht geschrieben [P(1|2|3)]. - Eine Linearkombination von Vektoren a, b, c ist eine Summe/Differenz von Vielfachen dieser Vektoren, also z.B. 4⋅a +5⋅b + 2⋅c oder 2,3⋅a -5⋅b + 12⋅c oder a - c oder r⋅a +s⋅b + t⋅c - Vektoren sind nichts anderes als sx1-Matrizen, also s Zeilen und nur eine Spalte, daher kann man mit Vektoren rechnen wie mit Matrizen und es gelten die gleichen Rechenregeln wie für Matrizen!

Beispiel a): Bestimme die Koordinaten des Vektors a vom Punkt A(1|-5|0) zum Punkt

B(4|-5|0). Bestimme ebenfalls den Vektor b von B nach A. Lösung:

)!(3

2

3

03

)5(7

41

0

5

4

3

7

1

BA

3

2

3

30

)7(5

14

3

7

1

0

5

4

AB aaaabbbbaaaa −=

==

==

−−=

−−−−

−=−−−

−=

−−−−

−=−−−

→→

Beispiel b): Bestimme den Ortsvektor des Mittelpunktes der Strecke pq mit P(4|0,7|− 2 )

und Q(12|-1,3|3 2 ). Lösung:

22

232

2

3,0

8

)2|-0,3| M(8 3,02

)3,1(7,0

82124

:PQ Streckeder t Mittelpunk

3

M2

1

=+−=

−=⇒⇒−=−+=

=+=

M

M

M

x

x

x

xxxx


� LINEARE (UN-) ABHÄNGIGKEIT Was ist und wann sind Vektoren „linear abhängig“ („linear unabhängig“)?

� Zwei Vektoren a und b sind linear abhängig (kurz: l.a.), wenn einer ein Vielfaches des anderen ist, d.h. wenn es eine Zahl t∈R gibt, sodass gilt bbbbaaaa ⋅ t= � a) Drei Vektoren a, b, c sind l.a., wenn einer der drei als Linearkombination der beiden anderen darstellbar ist, d.h. wenn es Zahlen s und t∈R gibt, sodass gilt ccccbbbbaaaa ⋅+⋅ ts = oder ccccaaaabbbb ⋅+⋅ ts = oder bbbbaaaacccc ⋅+⋅ ts = (Merke: Nicht jeder der drei, sondern nur einer muss durch die anderen darstellbar sein!!!) Da dies in der Praxis hieße, dass man drei LGS (wenn auch einfache) zu lösen hätte, überlegte man sich etwas anderes: b) Drei Vektoren a, b, c sind l.a., wenn sich der Nullvektor aus den dreien auf nichttriviale Weise erzeugen lässt, d.h. wenn das homogene LGS a⋅x1+ b ⋅x2+ c ⋅x3 =o unendlich viele Lösungen besitzt. (Natürlich gilt: sie sind linear unabhängig (kurz l.u.), wenn nur die Triviallösung existiert!) Dies ist aber genau dann der Fall, wenn (und das ist nun endgültig das einfachste!)

c) der Rang der aus den drei Vektoren gebildeten Matrix < 3 ist!!! � Vier (und mehr) Vektoren sind (im R3!!) immer linear abhängig! (Das sieht im R4 oder R7 natürlich ganz anders aus!)

Folgerungen: 1. Der Nullvektor ist immer linear abhängig!!! (da er sich auf nichttriviale Weise mit sich selbst darstellen lässt, z.B.: o=2⋅ o ) 2. Ein einzelner Vektor a (≠o)ist immer linear unabhängig. (da der Nullvektor sich nur trivial aus a erzeugen lässt, denn nur 0⋅a= o )

Beispiel a): Prüfe, ob die Vektoren

===

12

9

6

6

5

4

,

3

2

1

ccccbbbbaaaa und linear unabhängig sind.

Lösung:

abhängiglinear

,, sind also

32

000

330

641

)1(

2

660

330

641

1

)3(

1

)2(

1263

952

641

ccccbbbbaaaa

AAAA

AAAA

<=⇒−−⇒

−⋅⋅

−−−−⇒

⋅

−⋅⋅−⋅

=

Rg

Beispiel b): Für welche Werte von t sind die Vektoren

=

=

=t

tt

5,0

1

1

,

1

2

2

,

0

2

1

ccccbbbbaaaa

nicht linear unabhängig?

Lösung:

1

0122 wennl.a.

12200

1220

121

2

1

5,010

1220

1210

1

)2(

5,010

122

121

==+−⇒

+−+−−⇒

⋅⋅+−−⇒

≠⋅−⋅

=

t

tt

tt

tt

tt

tt

tt

t

ttAAAA

Sonderfall: t=0 in die erste Matrix eingesetzt ergibt => Rg A = 3 => die drei Vektoren sind l.u. ERGEBNIS: a, b, c sind nicht linear unabhängig (also linear abhängig!) nur für t=1. (Puh, das war jetzt rein sprachformuliertechnischerweise gesehen nicht gerade unschwer!)


� GERADEN UND EBENEN IM R3

� Parameterform von Geraden.

Geraden werden dargestellt durch einen Ortsvektor a (=Aufpunkt) und einen Richtungsvektor r: rrrraaaaxxxx ⋅ t+ = (t∈R) Für jeden Wert von t ergibt x den Ortsvektor eines Punktes, der auf der Geraden liegt. BEACHTE: Jeder Punkt der Geraden kann als Aufpunkt benutzt werden! Jedes Vielfache des Richtungsvektors kann ebenfalls als Richtungsvektor benutzt werden! ===> Es gibt unendlich viele Parametergleichungen einer Geraden

Beispiel a): Bestimme eine Gleichung für die Gerade g, die durch die Punkte P(1|2|3) und Q(2|-1|5) geht.

Lösung:

)(3

1

3

2

1

= :gGeraden der Gleichung eineist Damit

2

3

1

3

2

1

5

1

2

:ihn nennen wir Q,nach P Vektor vonden man nimmt ektor Richtungsv Als

P.sagen wir ),! egalist (welcher Punktebeiden der einen man nimmt Aufpunkt Als

R∈

−−⋅+

−=

−

−=

ttxxxx

aaaaaaaa

� Parameterform von Ebenen.

Ebenen werden dargestellt durch einen Ortsvektor a (=Aufpunkt) und zwei Richtungsvektoren, b und c ccccbbbbaaaaxxxx ⋅+⋅ sr + = (r,s∈R) Für alle Wertepaare von r und s ergibt x den Ortsvektor eines Punktes, der in der Ebene liegt. BEACHTE: Jeder Punkt der Ebene kann als Aufpunkt benutzt werden! Jede Linearkombination der Richtungsvektoren kann ebenfalls als Richtungsvektor benutzt werden! ===> Es gibt unendlich viele Parametergleichungen einer Ebene

Beispiel a): Bestimme eine (Parameter-) Gleichung der Ebene E durch die Punkte P(1|2|3), Q(2|-1|5) und R(-2|0|4).

Lösung: Als Aufpunkt nimmt man wieder einen der drei Punkte (welcher ist egal, sagen wir P. Als Richtungsvektoren nehme ich die Vektoren von P nach Q (a) und von P nach R (b). Von Q nach R ginge natürlich auch, wichtig ist nur, dass insgesamt alle drei Punkte benutzt werden!

−=2

3

1

a (von vorhin)

−−

−−

=1

2

3

=

3

2

1

4

0

2

b Damit ist eine Gleichung der Ebene:

−−

⋅+−⋅+1

2

3

2

3

1

3

2

1

= srx (r,s ∈R)


� Koordinatenform von Ebenen.

Zur Erinnerung: Die Gleichung a�x1+b�x2+c�x3=d beschreibt eine Ebene, falls die Koeffizienten a, b, c nicht alle 0 sind. Die Frage ist, wie kommt man von der Parameterdarstellung (mit Vektoren) auf die Koordinatendarstellung (mit Punktkoordinaten) und umgekehrt?

PARAMETERDARSTELLUNG � KOORDINATENDARSTELLUNG 1. Bringe (subtrahiere) den Ortsvektor (Aufpunkt) nach links. 2. Fasse das Ganze als (überbestimmtes!) LGS mit den 2 Variablen (r und s) auf, und mach aus der dritten Koeffizienten-Zeile eine Nullzeile. 3. Die dritte Zeile der Erweiterung muss =0 sein, damit steht dort im Prinzip die Koordinaten-gleichung. 4. Schreibe die korrekte Koordinatengleichung der Ebene hin (Konstante rechts von =).

KOORDINATENDARSTELLUNG � PARAMETERDARSTELLUNG 1. Löse die Koordinatengleichung nach x1, x2 oder x3 auf (was am leichtesten geht!). 2. Setze für die anderen beiden r und s. 3. Schreibe den Vektor x hin (das „Gerüst“ einer Ebenengleichung). 4. „Trenne“ die Vektoren in Aufpunkt und 2 Richtungsvektoren, so dass sich die Parametergleichung ergibt.

Beispiel 1: Bestimme die Koordinatengleichung der Ebene

⋅+

⋅+

=3

2

1

1

0

1

0

2

1

srxxxx

Lösung:

⋅+⋅+=⇒⋅+⋅+=

3

2

1

1

0

1

0

2

1

3

2

1

3

2

1

1

0

1

0

2

1

sr

x

x

x

srxxxx

1

1

131

22

11

20

20

11

)1(

1

3

22

11

31

20

11

3

2

1

1

0

1

3

22

11

⋅⋅

−−−−

−−⋅

⋅−−

⇒⋅+⋅=−−

xx

x

x

x

x

x

sr

x

x

x

>

1 1

0 2

0 0

1 1

2 2

1 2 3 3

1 2 3

1 2 3

3 0

3

x

x

x x x

x x x

x x x

−−

+ − −

⇒+ − − =

+ − = ist eine Ebenengleichung !

oder besser E:

Beispiel 2: Bestimme die Koordinatengleichung der Ebene

⋅+

⋅+

=9

7

4

7

5

2

15

5

34

srx .

Lösung: x

x

x

r s1

2

3

34

5

15

2

5

7

4

7

9

= + ⋅ + ⋅

3

)5(

2083217

160221

5

341

100

60

42)5(

153

52

341

97

75

42

9

7

4

7

5

2

153

52

341

2

)7(2

⋅−⋅

++−

++−−

−−⇒

−⋅

−−

−⇒⋅+⋅=

−−

−

⋅

−⋅⋅

xx

xx

x

x

x

x

sr

x

x

x

1763621014

1763621014

1763621014

160221

5

341

00

0 :E besser oder

! chungEbenenglei eineist 06

42

=+−

−+−

−+−

++−− =

⇒

−xxx

xxx

xxx

xx

x


Beispiel 3: Bestimme eine Parametergleichung der Ebene 2x1 - 3x2 + x3 = 6 Lösung 1: (*) x3 = 6 - 2x1 + 3x2

x1 = r und x2 = s in (*) eingesetzt ergibt x3 = 6 - 2r + 3s

als Vektor geschrieben:

⋅+

⋅+

=⇒=

3

1

0

2-

0

1

6

0

0

3

2

1

3s+2r-6sr

x

x

x

sr

x

Lösung 2: (**) 2x1 = 3x2 - x3 +6 => x x x1 2 3

3

2

1

23= − +

x2 = r und x3 = s in (**) eingesetzt ergibt x r s1

3

2

1

23= − +

als Vektor geschrieben:

−⋅+

⋅+

=

−+

⇒

−

⋅+

⋅+

=⇒=

2

0

1

0

2

3

0

0

3

s

3

""

!!!

1

021

0

123

0

0

3

3

2

1 21

23

srrsr

erweitern

sr

x

x

x

xx

(Es ist leicht zu zeigen, dass beide Lösungswege dieselbe Ebene ergeben! Schnitt der beiden Ebenen ergibt ihre Gleichheit! Es ist also egal, nach welcher Variablen man auflöst.) Beispiel 4: Bestimme eine Parametergleichung der Ebene 5x3 = 11

Lösung: x3 = 5

11 => mit x1 = r und x2 = s ergibt sich

⋅+

⋅+

=⇒=

0

1

0

0

0

1

5110

0

3

2

1

511

sr

x

x

x

sr

x

Beispiel 5: Bestimme eine Parametergleichung der Ebene x1 = 0 Lösung: Jetzt müssen x2 = r und x3 = s sein, da x1 fest ist!!! =>

⋅+

⋅=⇒=

⋅+

⋅+

=

1

0

0

0

1

0

besser oder

3

2

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

s

0sr

x

x

x

srr xx

Beispiel 6: Bestimme eine Parametergleichung der Ebene x1 - x2 = 0 Lösung: x1 = x2 !!! Mit x2 = r und x3 = s ergibt sich =>

⋅+

⋅=⇒=

⋅+

⋅+

=

1

0

0

0

1

1

besser oder

3

2

1

1

0

0

0

1

1

0

0

0

ssr

x

x

x

srrr

xx


� SCHNITT VON GERADEN UND EBENEN (IM R3) � Bestimme die Lage der Geraden g1 und g2 zueinander?

1) (a) Zunächst prüft man, ob der Richtungsvektor von g2 ein Vielfaches des Richtungsvektors von g1 ist (ob sie l.a. sind). Ist dies der Fall, dann sind die Geraden parallel oder identisch! (b) Liegt dann (z.B.) der Aufpunkt von g1 auch auf g2 => g1 = g2

sonst => g1 ║ g2 2) Sind die Richtungsvektoren l.u., dann setzt man g1 und g2 gleich und löst das entstehende Gleichungssystem. An der Anzahl der Lösungen ist dann abzulesen, ob die Geraden sich (in einem Punkt) schneiden oder windschief liegen.

Beispiel a): Prüfe die Lage von g1:

⋅+

=0

0

1

0

1

2

rx und g2:

⋅+

=1

1

1

3

2

1

rxxxx zueinander.

Lösung:

.zueinander dschiefliegen win Sie nicht sich schneiden 2g und 1g unlösbar

2

1

1

00

10

11

(-1)

1

3

1

1

10

10

11

3

1

1

1

1

1

0

0

1

30

21

12

1

1

1

0

0

1

!!!müssen sein n verschiedeParameter -Geradenbeiden die daß Beachte,

1

1

1

3

2

1

0

0

1

0

1

2

b)

engleichsetz parallel.noch identisch der Geraden we die sindDamit

ist.anderen des Vielfachesein keiner da l.u., sind

1

1

1

und

0

0

1

ektoren Richtungsv Die a)

⇒⇒⇒

−−−

⇒

⋅⋅

−−

−−−

⇒

−−=

−−−

⋅+⋅⇒

−−−

=⋅−⋅⇒

⋅+=⋅+

⇒

srsr

sr

Beispiel b): Gegeben sind ga:

⋅+

−=2

1

4

5

2

arxxxx und ha:

−⋅+

−=a

s

2

1

1

2

4

4

xxxx mit a∈R.

Bestimme a so, dass sich die Geraden schneiden. Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt S? Lösung:

)6|3|3(

6

3

3

22

1

1

1

2

4

4

:1

33

0

3

2

00

30

11(*)

2für

sichschneiden

8

1

2

00

10

11

1

)2(

6

1

2

20

10

11

1

)2(

2

1

2

02

10

11

0:

2

0=8+4-n lösbar wen eindeutig (*)

84

12

2

00

10

11

)1(

2

)(

6

12

2

)1(20

10

11

0

1

)2(

1

)(

2

1

2

22

1

11

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1

1

2

4

4

2

1

4

5

2

−⇒−=⋅

−⋅+−=

=−=−

−−⇒=

⇒

−−⇒

⋅−⋅

−−−⇒

⋅

−⋅

−−=

=⇒+−+−−−⇒

−⋅⋅−⋅

−+−

−−−−

≠

⋅

−⋅⋅−⋅

−−−⇒

−=

−⋅−⋅⇒

−⋅+−=⋅+−

SSSs

s

a

unlösbaraSonderfall

a

a

a

aa

a

a

a

a

aa

a

a

a

sar

a

sar

x


� Welche Lage hat die Gerade g bezüglich der Ebene E?

Dies ist der einfachste (???) Fall von Schnittproblemen, da keine Sonderfälle und Ausnahmen zu prüfen oder zu berücksichtigen sind! Man setzt g und E gleich und löst das entstehende Gleichungssystem. An der Anzahl der Lösungen ist dann abzulesen, wie g zu E liegt. 3 Fälle sind möglich: unlösbar => g ║ E (kein Schnittpunkt) mehrdeutig lösbar => g ∈E (≅ g liegt in E) eindeutig lösbar => g schneidet E in einem Punkt (dem Durchstoßpunkt)

Beispiel a): Zeige, dass die Gerade g:

⋅+

=2

0

1

4

2

1

rxxxx nicht in der Ebene

E:

−⋅+

−⋅+

=1

1

0

1

2

1

1

0

2

tsx liegt. Gib den Durchstoßpunkt von g durch E an.

Lösung:

.-8)|2|P(-5toßpunkt der Durchsist Damit ).rauskommen Ortsvektor gleicheder dann muß Es

einsetzen. E vonGleichung die in und ausrechnen noch auch zur Probejetzt man könnte t und (s

8

2

5

2

0

1

6

4

2

1

S eingesetzt g in

66

!!! neinzusetze g in um schon,reicht das

und rausameter erster Par alskommt r denn

aus, Anfang Trick vomder sicht Jetzt wirk

: Ppunktes Durchstoßdes g Berechnun Punkt.einem in Ebenedie g Gerade dieschneidet Damit

!lösbar eindeutig

ist LGSDas

6

4

1

100

210

101

1

1

2

4

1

310

210

101

1

1

1

)2(

3

2

1

211

012

101

rts rts

)! Endeam gt"beschleuni"Trick Dieser !steht Stelleletzter antor Geradenvekder daß beachte, (Man

3

2

1

2

0

1

1

1

0

1

2

1

2

0

1

4

2

1

1

1

0

1

2

1

1

0

2

−

−=⋅−=⇒−=⇒=−

−

−−

−⇒

⋅⋅

−

−−

−⇒

⋅

⋅⋅−⋅−

−−−

−

−=⋅−−⋅+

−⋅⇒⋅+=−⋅+

−⋅+

xxxxrr

rtsrts

Beispiel b): Gib die Durchstoßpunkte von g:

−⋅+

−=

3

2

4

7

4

2

tx durch die 3 Koordinatenebenen an.

Lösung:

)|5|0(042 ) sein 0 muß Koordinate-x (die :mit Schnitt

)13|0|10(2024 ) sein 0 muß Koordinate-x (die :mit Schnitt

)0||(037 ) sein 0 muß Koordinate-x (die :mit Schnitt

0 ,0 0

1

0

0

0

1

0

:

1

0

0

0

0

1

:

0

1

0

0

0

1

:

211

2321

1

132

326

322

1237

3

123

32

31

21

323121

323121

mitmit sein,mußmit :schneidet man nnatenebeneder Koordiwelcher

mit nachdem, je muß, sein 0= tenktkoordinaSchnittpunder eine jeweils daß tigt,berücksich man wennes,geht

Schneller mühsam. = schneiden Ebenen3der jeder mit g man könnte berechnen zu punkte Durchstoßdiese Um

:ender K.eben nGleichunge Die

SrtE

SttE

SttE

xExExE

baEbaEbaE

xx

xx

xx

xxxxxx

xxxxxx

⇒=⇒=+⇒

−⇒−=⇒=+⇒

⇒=⇒=−⇒

===

⋅+

⋅=

⋅+

⋅=

⋅+

⋅= xxx


� Wie liegen 2 Ebenen E1 und E2 zueinander?

Man setzt wieder E1 und E2 gleich und löst das entstehende Gleichungssystem.

Notgedrungen entsteht dadurch ein unterbestimmtes Gleichungssystem, d.h. immer (?) unendlich viele Lösungen!?! - Es gibt 3 Möglichkeiten: 1. Die Ebenen sind parallel 2. Die Ebenen sind identisch 3. Die Ebenen schneiden sich (in einer Geraden!)

Ist das entstehende Gleichungssystem unlösbar, dann sind die Ebenen parallel. Ist das Gleichungssystem lösbar, dann erkennt man am Rang der entstehenden Dreiecksmatrix, wie die Ebenen liegen: Rang = 3 => E1xE2 = g (Schnittgerade) Rang = 2 => E1=E2 (identisch)

Beispiel a): Gegeben sind E1:

⋅+

⋅+

−=9

7

4

4

0

1

5

1

4

qpx und E2:

⋅+

⋅+

−−=

a

sr 2

1

3

1

1

1

3

2

x mit a∈R.

Für welchen Wert von a stellen beide Gleichungen dieselbe Ebene dar? Lösung:

gleich.Ebenen die sind 2=afür

Ebene eine geSchnittmen dieist 2=afür nur 2=tenmatrix Koeffiziender Rangder ist 2=afür nur

beliebig s)r,q,(p,Parameter 4der 2 sind 2=afür nur Nullzeile einenoch sich ergibt 2=afür Nur

0

2

2

2000

2170

1141

)1(

1

2

2

2

4170

2170

1141

)1(

4

6

2

2

394

2170

1141

6

2

2

2

1

3

1

1

9

7

4

4

0

1

2

1

3

1

1

1

3

2

9

7

4

4

0

1

5

1

4

⇒⇒

⇒⇒

−−

−−−−−

⇒

−⋅⋅

−−−

−−−−−−

⇒

−⋅

⋅

−−−

−−−−−−

⇒

−−−

=

⋅−

⋅−

⋅+

⋅⇒

⋅+

⋅+

−−=

⋅+

⋅+

−

aaa

a

srqp

a

srqp

Beispiel b): Für jedes t∈R ist durch Et:

−⋅+

−⋅+

−

−=

t

q

t

p

4

1

2

22

2

1

2

0

1

x eine Ebene gegeben.

Zeige, dass alle Ebenen eine Gerade g gemeinsam haben und gib eine Gleichung von g an. Lösung: −

−

+ ⋅

−

+ ⋅

−

=

−

−

+ ⋅

−

+ ⋅

−

⇒ ⋅

−

+ ⋅

−

− ⋅

−

− ⋅

−

1

0

2

1

2

2 2

2

1

4

1

0

2

1

2

2 2

2

1

4

1

2

2 2

2

1

4

1

2

2 2

2

1

41 1 2 2 1 1 2 2

p

t

q

t

r

t

s

t

p

t

q

t

r

t

s

t

=

0

0

0

=⇒

−=⇒

=⋅−+⋅−⋅≠

−−⋅−−

⇒

⋅−⋅

−−⋅−−−⇒

−⋅

−⋅⋅−⋅

−−−−

−

−⋅+

−=

−⋅−

−⋅⋅+

−=

−⋅−

−⋅+

− 6

0

3

2

0

1

4

1

2

2

22

2

1

2

0

1

4

1

2

2

22

2

1

2

0

1

:g adeSchnittger

einsetzen) Ein(2

0)()(2

! adeSchnittger eineimmer esgibt

daher 3,immer rix dieser Mat Rang

derist ungVoraussetz nach da t

0

0

0

)(200

3030

2121

1

)(

0

0

0

4)(230

3030

2121

)1(

)22(

1

)2(

0

0

0

422422

1212

2121

t

121221

1212

1

12121

1

2211

r

tt

r

t

r

t

r

rs

sttrttt

tttt

t

ttttt

t

tttt

x


� VORTEILE DER KOORDINATENFORM (KF)

1) Schnitt von 2 Ebenen wird leichter (→ nur ein unterbestimmtes LGS zu lösen) Beispiel: Untersuche die gegenseitige Lage der Ebenen E1: 4x1 + 6x2-11x3 = 23 und E2: x1-x2-x3 = 0 Lösung:

−−−

0

23

111

1164 →

−−

3,2

3,2

7,110

7,001 →

++

=a

a

a

7,03,2

7,13,2

xxxx →

Schnittgerade

⋅+

=1

7,0

7,1

0

3,2

3,2

axxxx

2) Schnitt von Ebene (in KF ) und Gerade (in PF) wird auf eine einfache Glei-chung reduziert (→ Geraden“scheiben“ in die Ebenengleichung einsetzen)

Beispiel: Untersuche die Lage von g:

−⋅+

=1

1

5

7

4

4

rxxxx und zur Ebene E: 4x1 + 3x2-5x3 = 11

Lösung: Von der Geraden: x1 = 4+5r x2 = 4+r x3 = 7-r in die Ebene einsetzen →

4(4+5r) + 3(4+r)-5(7-r) = 11 → r=14

9

Mit diesem r kann der Schnittpunkt (= Durchstoßpunkt) durch die Ebene berechnet werden:

=

−⋅+

=89

65

101

14

1

1

1

5

14

9

7

4

4

xxxx → S(14

101|14

65|14

89)

3) Spurpunkte, bzw. Spurgeraden sind sehr leicht bestimmbar Beispiel: Wo durchstoßen die drei Koordinatenachsen die Ebene E: 7x1-11x2+5x3 = 14 ? Lösung: x1 -Achse: x2 = x3 = 0 → 7x1 = 14 → x1 = 2 → S1(2|0|0)

x2 -Achse: x1 = x3 = 0 → -11x2 = 14 → x2 = 11

14− → S2(0|11

14− |0)

x2 -Achse: x1 = x2 = 0 → 5x3 = 14 → x1 = 5

14 → S1(0|0|

5

14)

(Die Spurgeraden ergeben sich aus den Geraden durch je zwei Spurpunkte!)


� LAPLACE- WAHRSCHEINLICHKEITEN

Von „Laplace-Wahrscheinlichkeit“ spricht man bei Zufallsexperimenten, bei denen alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben (Gleichverteilung). Z.B. Münzwurf mit idealer Münze, Würfeln mit idealem Würfel, usw.)

Es gilt für ein Ereignis A: e Ergebnissmöglichenaller Anzahl

e Ergebnissgünstigen"" Afür aller Anzahl)( =AP

Beispiel: Eine Lostrommel enthält 100 Lose, jedes 10. davon ist ein Gewinn. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das 1. gezogene Los ein Gewinn ? b) Wie groß ist diese Wahrscheinlichkeit, wenn man bereits 10 Lose gezogen hat und alle 10 Nieten waren ? c) Wieviele Nieten müsste man mindestens herausnehmen, damit die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn beim ersten Los größer als 20% ist? Lösung:

a) P(1. Los ist ein Gewinn)=10010

b) P(10 Nieten gezogen, 11. ist ein Gewinn)= 9010

=91

c) P(Gewinn)=nLoseAnzahl

GewinneAnzahl

−=

100

10 und das soll > 20% also >0,2 sein

2,0100

10>

− n -> 10>0,2.(100-n) -> 10> 20-0,2n ->

0,2n > 10 -> n>50 Man müsste also mindestens 51 Nieten herausnehmen!


� MEHRSTUFIGE ZE / PFADREGEL Führt man bei einem Zufallsexperiment eine Tätigkeit mehrfach hintereinander aus, so spricht man von einem mehrstufigen Zufallsexperiment. Z.B. mehrfaches Ziehen einer Kugel aus einer Urne, mehrfaches würfeln, ... Solche Experimente stellt man am besten in einem Baum dar.

WICHTIG: Es ist dabei zu unterscheiden, ob mit oder ohne „zurücklegen“ agiert wird! Dabei gilt die Pfadregel: Im Baumdiagramm ist die Wahrscheinlichkeit eines Pfades gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf den Teilstrecken des Pfades. Beispiel: Aus einer Urne mit 3 weißen und 4 schwarzen Kugeln werden drei Kugeln gezogen. a) mit Zurücklegen b) ohne Zurücklegen w = weiße Kugel, s = schwarze Kugel

37

47

37

47

37

47

3747

37

47

37

4737

47

w

s

w

s

s

w

swswsw

s

w

37

w

s

w

s

w

s

w

swswsw

s

47

26

46

25

35

45

15

25

35

36

36

35

25

Beispiele für die Pfadregel:

P(www)=34327

73

73

73 =⋅⋅

P(wsw)= 34336

73

74

73 =⋅⋅

P(www)= 351

51

62

73 =⋅⋅

P(wsw)= 354

52

64

73 =⋅⋅

Um z.B. die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass man genau 2 weiße Kugeln zieht, muss man mehrere Pfade des Baumes addieren. P(genau 2 Kugeln sind w) = P(sww) + P(wsw) + P(wws) =

= 343108

74

73

73

73

74

73

73

73

74 =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ =

3512

54

62

73

52

64

73

52

63

74 =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅


� BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT / VIERFELDERTAFEL 1) „Bedingte Wahrscheinlichkeit“ heißt, dass man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A wissen will, unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis B schon eingetreten ist. Nicht zu verwechseln damit, dass die zwei Ereignisse A und B gleichzeitig eintreten müssen!

PA(B) = P(A)

B)P(A ∩

ist die Wahrscheinlichkeit für B unter der Bedingung, dass A schon eingetreten ist Beispiel 1: In einer Urne befinden sich 6 rote Kugeln, die die Zahlen 1 bis 6 tragen und 6 weiße Kugeln, die die Zahlen 1 bis 6 tragen. Es wird ein Mal eine Kugel gezogen.

P(es ist eine 6)=122

= 61

P(die Kugel ist rot)= 126

= 21

P(es ist eine rote 6)= 121

(beides gleichzeitig eingetroffen!!!)

Das sind alles noch keine bedingten Wahrscheinlichkeiten!!! Aber jetzt: Man weiß, dass die gezogene Kugel die 6 trägt => Mit welcher W. ist sie rot?

Pman zog eine 6(man zog eine rote Kugel)=21

12

212

1

)6(

),6(==

einezogmanP

warrotnochzudemdieeinezogmanP

(Wenn man schon weiß, dass die Kugel eine 6 ist, dann gibt es nur noch 2 Möglichkeiten, nämlich rot oder weiß) oder andersherum: Man weiß, dass die gezogene Kugel rot ist => Mit welcher W. trägt sie die 6?

Pman zog eine rote Kugel(man zog eine 6)=61

2

112

1

)(

),6(==

KugelroteeinezogmanP

warrotnochzudemdieeinezogmanP

(Wenn man hingegen weiß, dass die Kugel rot ist, dann gibt es immerhin noch 6 Möglichkeiten, nämlich 1, 2, 3 ,4 ,5, 6)

Beispiel 2: Bei der letzten Wahl entfielen 30% der Stimmen auf die Partei „Fortschritt“, 60% der Stimmen auf die Partei „Gerechtigkeit“ und 10% auf die Partei „Zukunft“. Unter den Wählern waren Jungwählerinnen und -wähler und Altwählerinnen und -wähler. Jungwählerinnen und -wähler waren bei der Partei „Fortschritt“ 2% ihrer Wähler, bei der Partei „Gerechtigkeit“ 1% ihrer Wähler und bei der Partei „Zukunft“ 15% ihrer Wähler. Man hat eine Jungwählerin vor sich. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie die Partei „Zukunft“ gewählt hat? Lösung: F: Partei „Fortschritt“ J: Jungwählerinnen und -wähler G: Partei „Gerechtigkeit“ A: Altwählerinnen und -wähler Z: Partei „Zukunft“

F

G

Z

30100

60100

10100

2100

98100

J

A

J

A

J

A

1100

99100

15100

85100 gesucht: PJ(Z)

PJ(Z) = )(

)(JP

JZP ∩

10015

10010

1001

10060

1002

10030

10015

10010

⋅+⋅+⋅

⋅=

95= ≈ 0,56 = 56%


2) Viele Aufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit lassen sich sehr leicht mit einer VIERFELDERTAFEL lösen. Voraussetzung ist, dass man eine solche Tafel mitgeliefert bekommt oder genügend Informationen hat, eine solche zu erstellen! Dann jedoch muss man das Ergebnis nur aus der Tabelle ablesen. Wichtig: Es geht immer um zwei Merkmale in zwei Ausprägungen! Beispiel 1: Zweihundert Personen wurden auf Tierallergie unter-sucht. Das Ergebnis zeigt nebenstehende Tabelle. Es bedeutet H: Hundeallergie, K Katzenallergie. Dieter aus der Gruppe geht mit seinem Hund spazieren, als er Heidi (die auch in der Gruppe war) trifft, die auf einer Parkbank mit einer Katze schmust. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er sich zu ihr setzen kann? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Heidi fluchtartig wegrennt?

H H

K 56 45 101

K 50 49 99

106 94 200

(Wir gehen natürlich davon aus, dass dazusetzen bzw. wegrennen ausschließlich allergiebedingt vorkommt! ;-))

Lösung: Dieter kann sich setzen mit: PH

( K )= 9449

≈ 52 %

Heidi muss flüchten mit: P K

(H)=9950

≈ 50 %

Beispiel 2: In 25% einer Produktionsmenge von Ü-Eiern befindet sich ein einteiliges Spielzeug, in einem Fünftel davon ist dies eine Figur aus dem neusten Disneyfilm. 60% der Eier enthalten ein mehrteiliges Spielzeug, das nichts mit dem Film zu tun hat. a) Durch Schütteln kann man bei einem Ei feststellen, dass es mehrere Teile enthält. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ei etwas aus dem Disneyfilm enthält? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, irgendetwas aus einem Kinofilm zu bekommen, wenn man 10 Eier kauft? Lösung: E= einteilig D= aus einem Disney-Film M=mehrteilig N=nicht aus einem Disney-Film

a) Pmehrere Teile(Film)= 7515

=51

b) P(mind. 1 Film)= 1-P(kein Film)=1-

10

10080

≈0,893

(in %) D N

E 5 20 25

M 15 60 75

20 80 100


� UNABHÄNGIGKEIT VON EREIGNISSEN Aus der Formel zur bedingten Wahrscheinlichkeit ergibt sich direkt der sogenannte allgemeine Multiplikationssatz: P(A∩B) = P(A).PA(B) (also nichts großartig Neues). Dieses benutzt man nun, um zu prüfen, ob zwei Ereignisse voneinander unabhängig sind! Zwei Ereignisse A und B heißen voneinander unabhängig, wenn gilt

P(A∩B) = P(A).P(B) andernfalls heißen A und B voneinander abhängig. (Dies nennt man wegen der „Herkunft“ von oben auch den speziellen Multiplikationssatz.) Beispiele: 1) Ein idealer Würfel wird zweimal geworfen. a) Es sei A: “Die Augensumme ist 10“ und B: “Zweimal dieselbe Augenzahl“.

Dann ist P(A) =12

1

36

3= ; P(B) =

6

1

36

6= ; P(A∩B) =

36

1

Da aber P(A).P(B)= 72

1

6

1

36

3=⋅ verschieden von P(A∩B) ist, sind die Ereignisse A und B voneinander

abhängig. b) Es sei C: „Eine 6 im zweiten Wurf“ und D: „Die Augensumme ist 7“

Dann ist P(C) =6

1

36

6= ; P(D) =

6

1

36

6= ; P(C∩D) =

36

1

Hier gilt also P(C).P(D) = P(C∩D) , d.h. die Ereignisse C und D sind unabhängig voneinander. 2) Der Engländer GALTON (übrigens ein Vetter von Charles Darwin, der sich unter anderem auch mit Wahrscheinlichkeitsrech-nung befasste) untersuchte den Zusammen-hang der Augenfarbe an 1000 Vater-Sohn-Paaren. Seine Ergebnisse gibt die Tabelle wieder. Sind A und B unabhängig vonein-ander?

B B A: Vater helläugig B: Sohn helläugig

A 471 151 622

A 148 230 378

619 381 1000

P(A) =1000

622 ; P(B) =

1000

619 ; P(A).P(B) =

1000

018,385 ≠

1000

471 = P(A∩B)

also sind A und B voneinander abhängig.


� ZUFALLSVARIABLEN Viele Zufallsexperimente liefern als Ergebnis Zahlen, weshalb man auf die Idee kam, Zufallsvariablen einzuführen.

Eine Zufallsvariable X nimmt bei jedem Ergebnis einen Zahlenwert xi an, ordnet also jedem Ergebnis eine Zahl zu. Anstatt P(Ereignis) sagt man dann P(X=...) Beispiele: 1) Es wird ein Mal mit einem idealen Würfel gewürfelt. a) Die Zufallsvariable X gebe die gewürfelte Zahl an. Für die Wahrscheinlichkeit, dass eine 5 gewürfelt wird sagt man jetzt anstatt P(5) : P(X=5) b) Die Zufallsvariable Y gebe die Anzahl der Würfe an, bis eine 6 gewürfelt wird. P(X=1) hieße also P(im ersten Wurf kommt eine 6) c) Die Zufallsvariable Z gebe die Summe der gewürfelten Zahlen an, bis eine 6 gewürfelt wird. Das Ereignis X=3 hieße hier: beim zweiten Wurf kam eine 6 nachdem im ersten Wurf eine 3 kam oder beim dritten Wurf kam die 6, nachdem zuerst eine 1 und dann eine 2 kam oder beim dritten Wurf kam die 6, nachdem zuerst eine 2 und dann eine 1 kam 2) Eine Urne enthalte 2 rote und 2 weiße Kugeln, die nacheinander ohne Zurücklegen gezogen werden. Die Zufallsvariable X gebe die Zahl der Züge an, bis beide roten Kugeln gezogen sind. Die Verteilung der Zufallsvariablen X kann man gut in einer Tabelle darstellen:

Ergebnisse ei wwrr wrwr wrrw rrww rwrw rwwr Wert von X 4 4 3 2 3 2

P(ei) 61

61

61

61

61

61

Das ergibt die Verteilung der Zufallsvariable X mit

xi 2 3 4

P(X=xi) 61

31

21

Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X muss also erst geklärt werden: - Was soll X sein? (Wie ist X definiert? - Welche Werte kann X annehmen? 3) Ein Sportschütze trifft mit der Wahrscheinlichkeit 0,8 die Scheibe. Er hat höchstens 4 Versuche und hört nach dem ersten Treffer auf. Mit welcher Wahrscheinlichkeit schießt er 0-, 1-, 2-, 3-, 4mal daneben? X=Anzahl der Fehlschüsse

xi 0 1 2 3 4

P(X=xi) 0,8 0,2.0,8

=0,16 0,2². 0,8 =0,032

0,2³.0,8= 0,0064

0,24= 0,0016


� ERWARTUNGSWERT UND VARIANZ A) Erwartungswert Vor allem bei (Glücks-) Spielen interessiert, ob die Chancen, etwas zu gewinnen größer sind, als die, etwas zu verlieren. Da dies nicht immer so einfach zu sagen ist, wie bei einem einfachen Münzwurf, hat man den ERWARTUNGSWERT eingeführt, der einem sagt, welchen Gewinn man erwarten kann (wenn man sehr, sehr oft unter exakt gleichen Bedingungen spielt!!!). Er gibt so etwas wie den durchschnittlich zu erwartenden Gewinn an! Definition: Ist X eine Zufallsvariable, welche die Werte x1 ,x2 , ..., xn annehmen kann, so heißt die reelle Zahl E(X) mit E(X) = x1.P(X=x1) + x2.P(X=x2) + ... + xn.P(X=xn) Erwartungswert der Zufallsvariablen X.

Der Erwartungswert wird oft auch mit dem griechischen Buchstaben µ (lies: Mü) bezeichnet. Merke: Ein Glücksspiel ist fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns für jeden Spieler gleich Null ist. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen für alle Spieler gleich groß ist. Beispiel: Ein Spieler zahlt einen Euro Einsatz und wirft drei ideale Würfel. Erscheint dabei die 6 ein-, zwei- oder dreimal, so erhält er seinen Einsatz zurück und außerdem einen Gewinn von 1 bzw. 2 bzw. 3 Euro. Erscheint keine 6, so ist der Einsatz verloren.

a) Zeige, dass das Spiel nicht fair ist. b) Wie hoch müsste der Einsatz sein, damit das Spiel fair wird?

Lösung: a) Wir berechnen den Erwartungswert mit Hilfe einer Tabelle. X sei der Gewinn.

Anzahl der Sechsen xi (= Gewinn)

P(X=xi) xi.P(X=xi) Summe

0 -1 (Einsatz ist weg)

3

65

≈ 0,5787 -0,5787

1 +1 3.61

65

2

⋅

≈ 0,3472 +0,3472 E(X)=-0,0789

2 +2 3.

2

61

65

⋅ ≈ 0,0694 +0,1388

3 +3

3

61

≈ 0,0046 +0,0138

Da E(X)<0 ist, ist lohnt sich das Spiel für den Spieler nicht, bzw. es ist (zu seinen Ungunsten) nicht fair. b) Damit E(X)=0 ist, rechnen wir mit einem allgemeinen Einsatz z. Es muss gelten: 0 = -0,5787.z + 0,3472 + 0,1388 + 0,0138 und damit z ≈ 0,86€ und das Spiel wäre fair.


B) Varianz Die Varianz (bzw. die Standardabweichung) ist ein Parameter, um die Qualität der Abweichung von einem zu erwartenden Mittelwert zu beurteilen. Ist X eine Zufallsvariable, die die Werte xi annimmt, so heißt die reelle Zahl V(X) mit V(X) = (x1-E(X))².P(X=x1) + (x2-E(X))².P(X=x2) + ... + (xn-E(X))².P(X=xn) die Varianz der Zufallsvariablen X, wobei

Bemerkung: S(X)= )(XV heißt Standardabweichung von X und wird auch mit dem griechischen Buchstaben

σ (lies: Sigma) bezeichnet, die Varianz heißt entsprechend σ². Beispiel: Zwei Maschinen A und B schneiden Stahlstifte auf vorgeschriebene Längen zu. Bei einer Einstellung der Maschinen auf eine Solllänge von 10,0 mm ergaben Untersuchungen über auftretende Abweichungen folgende Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die anfallenden Längen: Maschine A:

xi 9,8 9,9 10 10,1 10,2 P(xi) 0,1 0,1 0,6 0,1 0,1

Maschine B

xi 9,8 9,9 10 10,1 10,2 P(xi) 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1

Welche der Maschinen arbeitet zuverlässiger, bzw. welche würdest du kaufen? Lösung: Berechnet man für beide Maschinen den Erwartungswert, so ergibt sich in beiden Fällen 10,0 mm. D.h. bei beiden Maschinen ist auf lange Sicht die Länge der Stifte 10 mm. Man braucht ein weiteres Entscheidungskriterium. Die Varianzen beider Maschinen ergeben VA(X) = (9,8-10)².0,1 + (9,9-10)².0,1 + (10-10)².0,6 + (10,1-10)².0,1 + (10,2-10)².0,1 = 0,010 und VB(X) = (9,8-10)².0,1 + (9,9-10)².0,2 + (10-10)².0,4 + (10,1-10)².0,2 + (10,2-10)².0,1 = 0,012. Man wird also Maschine A vorziehen, denn die einzelnen Solllängen weichen weniger vom Erwartungswert ab als bei Maschine B. Maschine A arbeitet also „zuverlässiger“. Als Standardabweichung ergibt sich: σX = 0,1 und σY = 0,1095445. Der Wert der Standardabweichung für Maschine A ist kleiner als für B.

Ohne Anspruch auf Vollständigkeit!!!

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