Optimierungsstrategien f¨ur den Motor- und Getriebewarmlauflerdos/Stud/lade.pdf · Mathematisches...

MathematischesInstitut

Masterarbeit

Optimierungsstrategien

fur den Motor- und Getriebewarmlauf

Irina Lade

Aufgabensteller: Dr. Klaas KunzeBetreuer: Dr. Klaas Kunze

Prof. Dr. Laszlo Erdos

Erklarung

Hiermit versichere ich, daß ich diese Masterarbeit selbstandig verfaßt und keine anderen als dieangegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet habe.

Munchen, den 31.03.2006

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Irina Lade

Danksagung

Diese Masterarbeit entstand in freundlicher Zusammenarbeit mit der BMW AG, die mir furdie Erstellung alle notwendige Hilfsmittel und Unterlagen zur Verfugung gestellt hat.

Mein Dank gilt den Mitarbeitern der Abteilung EG-65 Warmemanagement, besonders HerrnDr. Klaas Kunze, der mir stets seine fachliche Unterstutzung zuteil werden ließ.

Bei Herrn Prof. Dr. Erdos bedanke ich mich fur die Betreuung der Arbeit seitens der Ludwig-Maximilians-Universitat.

Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr. Edenhofer, dem Professor der Technischen Uni-versitat Munchen, der mich wahrend der Abwesenheit von Herrn Prof. Dr. Erdos unterstutzthat.

Munchen, den 31.03.2006Irina Lade

Zusammenfassung

Immer strenger werdende Abgasnormen und die freiwillige Selbstverpflichtung derACEA (European Automobile Manufactures Association) zur CO2-Senkung, zusammenmit steigenden Anforderungen an die Fahrzeugleistung, fuhren zu einer sehr hohen Ziel-setzung bei der Entwicklung neuer Fahrzeugkonzepte.

Als Standard fur CO2-Emissionsmessungen wird der neue europaische KV01 Fahrzy-klus verwendet. Der Verbrauchsunterschied beim kalten (250C) und heißen Start (900C)uber den gesamten Zyklus KV01 betragt in der Simulation fur einen BMW 530i 6,4 %,bezogen auf den Kaltstart des Fahrzeugs. Da das Verhalten von Fahrzeugkomponentenstark von den Bauteil- und Oltemperaturen abhangig ist, wird die Senkung des Kraftstoff-verbrauchs und, folglich der CO2-Emission, von der Verteilung der verfugbaren Warmebeeinflusst.

Als Vorbereitung zur Masterarbeit wird ein Gesamtfahrzeugsimulationsmodell mit deneingebauten Stellen fur Warmezufuhr zu den Subsystemen Motor, Getriebe, Hinterachs-getriebe und Kuhlkreislauf erstellt. Das Modell wird mit MATLAB verbunden.

Es steht die Warmemenge E ∼= 2MJ zur Verfugung. Diese Warmemenge wird den Sub-systemen wahrend des Warmlaufs unterschiedlich verteilt zugefuhrt und der Einfluss aufden Gesamtverbrauch analysiert. Das Ziel der Masterarbeit ist es zu bestimmen, wie mandiese Energiemenge zwischen dem Motor, dem Getriebe, dem Kuhlkrieslauf und dem Hin-terachsgetriebe verteilen soll (Verteilung zwischen den Elementen, sowie die Abhangigkeitder Warmestrome von der Zeit), so dass der Wert des Verbrauchs minimal ist. Dabei sinddie maximalen Warmestrome bei der Warmezugabe durch die Werte Qget max, Qhag max,Qkm max, Qmot max begrenzt.

Mathematisch ist ein Minimierungsproblem gestellt, bei dem die Zielfunktion V (Ver-brauch beim KV01) in Abhandigkeit von den zugefuhrten Warmestromen Qget, Qhag,Qkm, Qmot durch eine Simulationsberechnung bestimmt wird. Dabei sind die Warme-strome von der Zeit abhangig.

minV = minQget,Qhag,Qkm,Qmot

V (Qget(t), Qhag(t), Qkm(t), Qmot(t)) ,

bezuglich∫ tKV 01

0Qget(t) dt +

∫ tKV 01

0Qhag(t) dt +

∫ tKV 01

0Qkm(t) dt +

∫ tKV 01

0Qmot(t) dt = E ,

mit tKV 01 = 1180sek - die Dauer des Fahrzykluses KV01; und

0 ≤ Qget(t) ≤ Qget max , ∀t ∈ [0, 1180] ,0 ≤ Qhag(t) ≤ Qhag max , ∀t ∈ [0, 1180] ,0 ≤ Qkm(t) ≤ Qkm max , ∀t ∈ [0, 1180] ,

0 ≤ Qmot(t) ≤ Qmot max , ∀t ∈ [0, 1180] .

Gesucht sind die Funktionen Qget(t), Qhag(t), Qkm(t), Qmot(t), die die Funktion V mini-mieren. Eine Funktionsberechnung durch einen Simulationslauf dauert etwa 45 min.

Eine Untersuchung der Reaktionen des Systems auf die Warmezufuhr zu den unter-schiedlichen Subsystemen erlaubt das Problem auf ein einfacheres Minimierungsproblem

1

zu reduzieren, das mit Hilfe einer standartisierten Funktion mit MATLAB gelost werdenkann. Es wird die Sequential Quadratic Programming Methode mit der Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno Aktualisierung der Hessematrix und linear-line-search benutzt.

Zusatzlich wird die optimale Verteilung der Warmemengen E/2 und 2E berechnet.Auf der Basis dieser Untersuchung kann eine optimale Warmeverteilung fur alle anderenWarmemengen < 2E vorgeschlagen werden.

2

INHALTSVERZEICHNIS

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung. 61.1 Aufgabenstellung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Das Simulationsmodell. 9

3 Die Steuerung des Modells durch Simulink. 10

4 Vorausgehende Untersuchung des Modells. 10

5 Untersuchung der Antworten. 125.1 Funktion Verbrauch in Abhangigkeit von der Zeit VT . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.1.1 Die Kennlinien G∗(T∗)|25,25 und G∗(T∗)|T∗ max,T∗ max. . . . . . . . . . . . . 16

5.1.2 Validierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2 Funktionen Tget = Tget(Q), Thag = Thag(Q), Tmot = Tmot(Q). . . . . . . . . . . . . 21

5.2.1 Haupteffekte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.2.2 Nebeneffekte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.2.3 Validierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.3 Die Analyse der Antworten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.4 Optimierung mit MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6 Algorithmusbeschreibung. 306.1 Uberblick uber Optimierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.2 Kuhn-Tucker Gleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.3 Sequential Quadratic Programming (SQP). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.3.1 Definition des Unterproblems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.3.2 Quadratische Optimierung, QP Unterproblem. . . . . . . . . . . . . . . . 386.3.3 Der SQP Algorithmus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.4 Aktualisierung der Hessematrix, Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) Formel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.4.1 Symmetrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.4.2 Positive Definitheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.4.3 Implementierung in SQP und fmincon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.5 Losung des QP Unterproblems, Implementierung in fmincon. . . . . . . . . . . . 446.6 ’Line Search’ und Merit-Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7 Ergebnisse der Optimierung. 47

A Anhang 52

3

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

Abbildungsverzeichnis

1 BMW 530i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Vergleich des Kraftstoffverbrauchs bei dem kalten und heißen Start fur den Fahr-

zyklus KV01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Basisstruktur des GT-COOL-Simulationsmodells mit den Hauptelementen und

den energetischen Wechselwirkungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Vergleich der Drehzahlen und der Momenten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Kennlinien fur das Getriebe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Kennlinien fur das Hinterachsgetriebe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Kennlinien fur den Motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Korrigierte Kennlinien fur das Getriebe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Korrigierte Kennlinien fur das Hinterachsgetriebe. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1810 Korrigierte Kennlinien fur den Motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1811 Bestimmung von const. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1912 Warmezugabe beim Validieren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013 Validierung: Berechnung des Verbrauchs durch Temperatur. . . . . . . . . . . . 2114 Antworten vom Getriebe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2315 Antworten vom Hinterachsgetriebe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2316 Antworten vom Motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2317 Antworten vom Motor auf das Getriebe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2418 Antworten vom Getriebe auf den Motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2419 Antworten vom Hinterachsgetriebe auf das Getriebe. . . . . . . . . . . . . . . . 2420 Antworten vom Hinterachsgetriebe auf den Motor. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2521 Validierung: Berechnung der Temperaturen durch Warmezugabe. . . . . . . . . 2622 Warmeverteilung nach der Untersuchung fur die Fahrt mit der konstanten Ge-

schwindigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2823 Warmeverteilung nach der Untersuchung fur die Fahrt mit der konstanten Ge-

schwindigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2924 Die Flache stellt die lineare Nebenbedingung, die Werte der Variablen (zugefuhr-

te Warme prozentual) fur alle Iterationen und der Weg des Verfahrens auf derFlache dar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

25 Algorithmusverfahren bei der Optimierung der Verteilung von E ∼= 2MJ Warme. 5026 Vorgeschlagene Warmeverteilung fur den KV01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5127 Algorithmusverfahren bei der Optimierung der Verteilung von E ∼= 2MJ Warme. 5228 Validierung: Berechnung des Verbrauchs durch Temperatur. Versuch A. . . . . . 5329 Validierung: Berechnung des Verbrauchs durch Temperatur. Versuch B. . . . . . 5330 Validierung: Berechnung des Verbrauchs durch Temperatur. Versuch C. . . . . . 5431 Validierung: Berechnung des Verbrauchs durch Temperatur. Versuch D. . . . . . 5432 Validierung: Berechnung der Temperaturen durch Warmezugabe. Temperatur

des Getriebes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5533 Validierung: Berechnung der Temperaturen durch Warmezugabe. Temperatur

des HAGs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5534 Validierung: Berechnung der Temperaturen durch Warmezugabe. Temperatur

des Motors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4

TABELLENVERZEICHNIS

Tabellenverzeichnis

1 Verbrauch (bezogen auf den Basisfall) zu den unterschiedlichen Verteilungen derEnergie zwischen dem Getriebe, dem Hinterachsgetriebe, dem Motorol und demKuhlmittel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Ergebnisse der Optimierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 Daten zum Verhalten des Algorithmuses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Benutzte Abkurzungen:

HAG = HinterachsgetriebeGT-COOL = 1-D-Simulationstools, Software von Gamma Technologies Inc. zur Analyse desMotorwarmemanagements und KuhlsystemsGT-Modell - bezeichnet ein mit GT-COOL erstelltes ModellKT Gleichungen = Kuhn-Tucker GleichungenLP = lineare OptimierungQP = quadratische OptimierungGP = allgemeines Problems (6)NP = nichtlineare OptimierungSQP = Sequential Quadratic ProgrammingBFGS = Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno

5

1 EINLEITUNG.

1 Einleitung.

Immer strenger werdende Abgasnormen und die freiwillige Selbstverpflichtung der ACEA (Eu-ropean Automobile Manufactures Association) zur CO2-Senkung, zusammen mit steigendenAnforderungen an die Fahrzeugleistung, fuhren zu einer sehr hohen Zielsetzung bei der Ent-wicklung neuer Fahrzeugkonzepte. Als Standard fur CO2-Emissionsmessungen wird der neueeuropaische KV01 Fahrzyklus verwendet, der eine 20 min lange Fahrt mit einem 14 min langenStadtteil und einem 6 min langen Uberlandteil simuliert. Die Anfangstemperatur des Fahr-zeugs, im Speziellen des Antriebstranges soll homogen zwischen 200C und 300C liegen, wasdem Kaltstart entspricht.

Da das Verhalten von Fahrzeugkomponenten stark von den Bauteil- und Oltemperaturenabhangt, wird die Senkung des Kraftstoffverbrauchs und, folglich der CO2-Emission, von derVerteilung der verfugbaren Warme beeinflusst. Nach dem Kaltstart eines PKW wird ein be-trachtlicher Anteil der eingesetzten Primarenergie (Otto- oder Dieselkraftstoff) zunachst furdie Aufwarmung der Motor- und Getriebekomponenten aufgewendet, bevor das System seineBetriebstemperatur erreicht. Zusatzlich wird vom Fahrzeugbenutzer gegebenenfalls noch Heiz-leistung fur den Fahrgastraum angefordert. Wahrend der Aufwarmphase tritt zudem in Motorund Getriebe eine gegenuber dem betriebswarmen Fahrzeug erhohte Reibleistung auf, die wie-derum zu einer Wirkungsgradabsenkung fuhrt.

Abbildung 1: BMW 530i.

In der Abbildung 2 wird der fur das Fahrprofil KV01 durch ein Simulationsmodell be-rechnete Kraftstoffverbrauch in Abhangigkeit von der Zeit fur den Kalt- (Starttemperatur desFahrzeugs 250C) und Heißstart (Starttemperatur des Fahrzeugs 900C) fur das Fahrzeug BMW530i mit einem 6-Zylinder-Ottomotor dargestellt. Der Verbrauchsunterschied uber den gesam-ten Zyklus betragt dabei 6,4 %, bezogen auf den Kaltstart des Fahrzeugs. Dieses Potenzialzur Senkung des Verbrauchs ist theoretisch, da fur die Bestimmung des Kraftstoffverbrauchsein Kaltstart vorgeschrieben ist. Ein verbessertes Warmemanagement konnte jedoch einen Teildavon verwirklichen.

Nachdem der Motor seine Betriebstemperatur erreicht hat, wird ein wesentlicher Teil der

6

1 EINLEITUNG.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Zeit, [s]

Ver

brau

ch, [

%]

0 200 400 600 800 10000

30

60

90

120

Ges

chw

indi

gkei

t, [k

m/h

]

KaltstartHeißstart

Abbildung 2: Vergleich des Kraftstoffverbrauchs bei dem kalten und heißen Start fur den Fahr-zyklus KV01.

Energie durch das Kuhlsystem abgefuhrt. Wenn diese Energie fur den nachsten Kaltstart gespei-chert oder die Abgasenergie wahrend des Warmlaufs genutzt werden konnte, ware eine wichtigeSenkung des Verbrauchs moglich. Die technische Realisierung konnte ein Warmespeicher oderein elektrischer Energiespeicher sein.

Die fur die angesprochenen Effekte wesentlichen Subsysteme Motor und Getriebe sind uberkomplexe Fluidkreislaufe und Warmetauscher miteinander verbunden (Motorol-, Kuhlmittel-und Getriebeolkreislauf) und befinden sich damit in thermischer Wechselwirkung. Der Umfangund die Richtung des Warmeaustausches zwischen den Subsystemen und den Transportmedienbeeinflussen dabei wesentlich den Verlauf der Warmlaufphase des Fahrzeugs und die Zeit biszum Erreichen des optimalen Wirkungsgrades des Gesamtfahrzeugs. Durch die Optimierungder Warmestrome wahrend der Warmlaufphase ist daher ein betrachtlicher Anteil des Ver-brauchseinsparpotenzials zu realisieren. Eine Untersuchung des Gesamtsystems auf Optimie-rungsansatze hinsichtlich der Zielgroße Verbrauch ist der wesentliche Inhalt der vorliegendenMasterarbeit.

In der Abteilung EG-65 Warmemanagement stehen zur Simulation der Warmlaufvorgangeso genannte 1-D-Simulationstools zur Verfugung (Flowmaster, GT-COOL, Dymola)1, mit de-nen stromungsmechanische und warmetechnische Transportvorgange in technischen Umgebun-gen eindimensional instationar simuliert werden konnen. Sowohl die thermischen Tragheitender Bauteile als auch die Fluidkreislaufe und ihre Komponenten (Warmetauscher, Rohre etc.)konnen abgebildet werden.

1.1 Aufgabenstellung.

Als Vorbereitung zur Masterarbeit wurden existierende GT-Simulationsmodelle fur den Mo-tor, den Kuhlkreislauf und das Automatikgetriebe miteinander in ein Modell verbunden, dasHinterachsgetriebe wurde neu modelliert und die Stellen fur Warmezufuhr den Subsystemen

1In deser Arbeit wird von diesen Programmen nur GT-COOL benutzt.

7

1 EINLEITUNG.

Motor, Getriebe, Kuhlkreislauf und Hinterachsgetriebe wurden ins Modell eingebaut. Es stehteine Warmemenge zur Verfugung, die der Energie aquivalent ist, die man braucht, um 10lKuhlmittel von 250C bis 800C aufzuwarmen (E = 1987.76kJ). Diese Warmemenge wird aneingebauten Stellen den Subsystemen zugefuhrt und der Einfluss auf den Gesamtverbrauchanalysiert. Das Ziel der Masterarbeit ist zu bestimmen, wie man diese Energie zwischen demMotor, dem Getriebe, dem Kuhlmittel und dem Hinterachsgetriebe verteilen soll (Verteilungzwischen den Elementen, sowie die Abhangigkeit der Warmestrome von der Zeit), so dass derWert des Verbrauchs minimal ist. Dabei sind die maximalen Warmestrome bei der Warmezu-gabe durch die folgenden Werte begrenzt:

Qget max = 20kW fur das Getriebe,Qhag max = 10kW fur das Hinterachsgetriebe,Qkm max = 30kW fur das Kuhlmittel,Qmot max = 30kW fur den Motor.

Mathematisch ist ein Minimierungsproblem gestellt, bei dem die Zielfunktion V (Verbrauchbeim KV01) in Abhandigkeit von den zugefuhrten Warmestromen Qget, Qhag, Qkm, Qmot

durch eine Simulationsberechnung bestimmt wird. Dabei sind die Warmestrome von der Zeitabhangig. Der Verbrauch V ist ein uber den gesamten Fahrzyklus integrierter Wert und hangtnicht von der Zeit ab. Die Zielfunktion ist:

V = VQ(Qget, Qhag, Qkm, Qmot) ,

mitV - Verbrauch uber den gesamten Zyklus,Qget = Qget(t) - der zum Getriebe zugefuhrte Warmestrom,Qhag = Qhag(t) - der zum Hinterachsgetriebe zugefuhrte Warmestrom,Qkm = Qkm(t) - der zum Kuhlmittel zugefuhrte Warmestrom,Qmot = Qmot(t) - der zum Motorol zugefuhrte Warmestrom.

Die Nebenbedingungen sind:

• Die gesamte zugefuhrte Energiemenge ist genau gleich E:∫ tKV 01

0

Qget(t) dt +

∫ tKV 01

0

Qhag(t) dt +

∫ tKV 01

0

Qkm(t) dt +

∫ tKV 01

0

Qmot(t) dt = E , (1)

mit tKV 01 = 1180sek - die Dauer des Fahrzykluses KV01;

• Die Randbedingungen:

0 ≤ Qget(t) ≤ 20 , ∀t ∈ [0, 1180] ,0 ≤ Qhag(t) ≤ 10 , ∀t ∈ [0, 1180] ,0 ≤ Qkm(t) ≤ 30 , ∀t ∈ [0, 1180] ,0 ≤ Qmot(t) ≤ 30 , ∀t ∈ [0, 1180] .

Gesucht sind die Funktionen Qget(t), Qhag(t), Qkm(t), Qmot(t), die die Funktion V minimieren.Zu bemerken ist, dass eine Funktionsberechnung durch einen Simulationslauf etwa 45 min

dauert.

8

2 DAS SIMULATIONSMODELL.

2 Das Simulationsmodell.

Es wird ein thermodynamisches Modell des Fahrzeugs BMW 530i mit einem 6-Zylinder-Ottomotorund einem Automatikgetriebe erstellt. Dabei wird das 1D-Simulationstool GT-COOL benutzt,das auf dem ersten Prinzip der Thermodynamik (Energiebilanz fur jedes Element) und eindi-mensionaler Stromungsmechanik basiert. Das Modell besteht aus Fluidkreislaufen innerhalb desFahrzeugs, Kontrollelementen, Pumpen und Mehrpunktmassenmodellen der StrukturelementeMotor, Getriebe und Hinterachsgetriebe. Die Basisstruktur des Modells ist in der Abbildung 3dargestellt.

Motor Getriebe

Kühlsystem

HAG

Motoröl Kühlmittel HAGölGetriebeöl

Fahrzeug

Umgebung

Mechanische Energie

Wärmeübergang zur Umgebung

Wärmeübergang zum Kühlmittel / Öl

Abbildung 3: Basisstruktur des GT-COOL-Simulationsmodells mit den Hauptelementen undden energetischen Wechselwirkungen.

Das Element Fahrzeug beinhaltet allgemeine Informationen uber das Fahrzeug und denFahrzyklus. Die Umgebung ist eine standartisierte Luft bei 250C und 1013 mbar. Die weiterenElemente des Modells werden in den nachsten Abschnitten beschrieben.

Fluidkreislaufmodell.Das Modell beinhaltet drei geschlossene Fluidkreislaufe: Kuhlmittel-, Motorol- und Getrie-beolkreislaufe. Der Luftweg durch den Kuhler und entlang des Motors und des Getriebes wirdals ein offener Kreislauf mit einer geschwindigkeitsabhangigen Volumenstromquelle dargestellt.Die ins Modell eingebauten Warmetauscher sind der Hauptkuhler, der Niedrigtemperaturkuhlerund der Motorol-Kuhlmittel-Warmetauscher. Das Hinterachsgetriebeol wird als eine Punktmas-se betrachtet.

9

4 VORAUSGEHENDE UNTERSUCHUNG DES MODELLS.

Kontrollelemente und Pumpen.Das Hauptthermostat und das Getriebeoltermostat sind die Hauptventilelemente, die im Modelldargestellt sind. Deren Charakteristiken werden durch die Zulieferer zu Verfugung gestellt.

Der Kuhlkreislauf und der Getriebeolkreislauf sind mit einem Pumpenmodell ausgerustet,das auf gemessenen Kenngroßen basiert. Der Olkreislauf wird durch eine Volumenstromquellebetrieben, deren Kenngroßen von der Motordrehzahlen und Temperaturen abhangen.

Strukturelemente.Die Motorstruktur wird durch Punktmassen mit thermischen Wechselwirkungen dazwischendargestellt, die Getriebe- und die Hinterachsgetriebestruktur werden als einzelne Punktmassenmodelliert. Warmeaustausch mit der Umgebung wird ebenso betrachtet.

Das Modell wurde durch Prufstandsmessergebnisse eines aquivalenten Fahrzeug validiert.Die Starttemperatur bei den Messungen betrag dabei 250C. Die relevanten Komponententem-peraturen und der Gesamtverbrauch des KV01 wurden gemessen und mit den Ergebnissen derSimulation verglichen. Es zeigte sich eine sehr gute Ubereinstimmung.

3 Die Steuerung des Modells durch Simulink.

Zur Simulation komplexerer Systeme, hat GT-COOL Schnittstellen zu anderen Programmen.So ermoglicht GT-COOL u.a. die integrierte Simulation mit MATLAB SIMULINK.

Diese Moglichkeit wurde benutzt, um das GT-COOL-Simulationsmodell mit einem SIMULINK-Modell zu verbinden, was zur Ubergabe der Signale von MATLAB ins GT-Modell und derErgebnisse der Berechnung zuruck dient. Dadurch wird die Moglichkeit der Programmsteu-rung des Systems erreicht. Der Schritt der Zeitquantisierung im Modell wird durch SIMULINKgeregelt und auf 0.1 sek gestellt.

Die Signale, die von MATLAB ins Modell ubergeben werden, sind die dem Motor, dem Ge-triebe, dem Hinterachsgetriebe und dem Kuhlmittel zugefuhrten Warmestrome in Abhangigkeitvon der Zeit. An MATLAB werden die Werte des momentanen Verbrauchs in Abhangigkeit vonder Zeit ubergeben, die integriert den Verbrauch uber den gesamten KV01 bestimmen.

4 Vorausgehende Untersuchung des Modells.

Als erste Untersuchung des Systems wurde eine Reihe von Berechnungen durchgefuhrt, beider die vorhandene Warmemenge E wahrend der ersten 120 Sekunden von KV01 zum Motor,zum Getriebe, zum Hinterachsgetriebe und zum Kuhlmittel zugefuhrt wurde. Es wird unter-schiedliche Verteilung von Warmequanten von 25% der gesamten Energiemenge zwischen denSubsystemen betrachtet. Das fuhrt zu einem Basisfall ohne Warmezugabe und 35 unterschiedli-chen Kombinationen der Warmeverteilung zwischen den vier Subsystemen: Kuhlkreislauf, Mo-tor, Getriebe und Hinterachsgetriebe, die in der Tabelle 1 zusammen mit den entsprechendenWerten des Verbrauchs in Prozent, bezogen auf den Basisfall, dargestellt sind.

Man sieht, dass die besten Kombinationen im Sinn des niedrigsten Verbrauchs diejenigensind, bei denen dem Kuhlmittel keine Warme zugefuhrt wird. Dazu wird im Kuhlkreislauf des

10

4 VORAUSGEHENDE UNTERSUCHUNG DES MODELLS.

Tabelle 1: Verbrauch (bezogen auf den Basisfall) zu den unterschiedlichen Verteilungen derEnergie zwischen dem Getriebe, dem Hinterachsgetriebe, dem Motorol und dem Kuhlmittel.

Fall Getriebe, [%] HAG, [%] Motor, [%] Kuhlmittel, [%] Verbrauch, [%]

1. 50 50 0 0 97,7272. 50 25 25 0 97,7813. 25 50 25 0 97,7914. 75 25 0 0 97,8305. 25 25 50 0 97,8536. 50 25 0 25 97,9087. 25 50 0 25 97,9158. 25 25 25 25 97,9789. 25 25 0 50 98,03710. 25 75 0 0 98,05811. 50 0 50 0 98,13812. 75 0 25 0 98,16313. 0 50 50 0 98,17714. 25 0 75 0 98,21615. 0 25 75 0 98,25316. 50 0 25 25 98,27217. 0 50 25 25 98,28118. 75 0 0 25 98,28519. 0 50 0 50 98,33020. 50 0 0 50 98,33321. 100 0 0 0 98,33922. 25 0 50 25 98,34723. 0 25 50 25 98,34924. 25 0 25 50 98,40525. 0 25 25 50 98,40526. 0 75 25 0 98,43327. 0 25 0 75 98,47428. 25 0 0 75 98,47829. 0 75 0 25 98,54430. 0 0 100 0 98,65131. 0 0 75 25 98,72732. 0 0 50 50 98,78433. 0 100 0 0 98,80634. 0 0 25 75 98,84135. 0 0 0 100 98,897ref. 0 0 0 0 100,000

11

5 UNTERSUCHUNG DER ANTWORTEN.

Fahrzeugs eine elektrische Wasserpumpe benutzt, die wahrend des Warmlaufs steht und somitzu einem Verbrauchsvorteil fuhrt. Wenn dem Kuhlmittel an einer Stelle Warme zugefuhrt wird,muss die Pumpe eingeschaltet werden, um eine Uberhitzung des Systems zu vermeiden, wasdiesen Vorteil egalisiert. So ist es sinnlos, bei den betrachteten Umstanden die Energie wahrenddes Warmlaufs dem Kuhlmittel zuzufuhren, und diese Moglichkeit wird im Weiteren in dieserArbeit nicht mehr betrachtet.

5 Untersuchung der Antworten.

Bei der Auswahl der Funktionen, die die gesuchten Warmestrome in Abhangigkeit von der Zeitbeschreiben, hat man gewisse Freiheiten. Wenn man beliebige Funktionen zulasst, fuhrt es aufsehr komplexe Variationsprobleme. Steuert man mit Treppenfunktionen, hat man eine großeMenge von Parametern zu bestimmen, und die Dauer der Berechnung steigt unverhaltnismaßigan.

So gibt es z.B., wenn man keine Einschrankungen auflegt, unter Berucksichtigung der Dis-kretheit des Systems - der Schritt ist 0.1 sek - 1180/0.1 = 11800 Zeitschritte, fur welche die 3Funktionen berechnet werden mussen. So die Dauer des Prozesses der Optimierung wird >>11800 Punkte * 3 Funktionen * 40 min > 2.5 Jahre (wenn das uberhaupt funktionieren kann).

Das Erste, was man in Betracht ziehen muss, ist, dass es offensichtlich keinen Sinn hat,die Warme zuzufuhren, wenn das System schon gut aufgewarmt ist und mit der Kuhlungdurch das Einschalten der Wasserpumpe angefangen wird - bei der Basisberechnung bei 648sek, mit Warmezugabe normalerweise fruher. Und das Nachste ist - gut passende Funktionen zufinden, die durch moglichst wenige Parameter definiert werden und moglichst gut das Verhaltendes Systems beschreiben. Dafur ist eine Untersuchung der Antworten des Systems auf dieWarmezugabe unerlasslich, was zu dem Ziel dieses Paragraphen wird.

Die zu untersuchende Funktion ist

V = VQ(Qget, Qhag, Qmot) ,

mitV - Verbrauch uber den gesamten Zyklus KV01,Qget - der dem Getriebe zugefuhrte Warmestrom,Qhag - der dem Hinterachsgetriebe zugefuhrte Warmestrom,Qmot - der dem Motorol zugefuhrte Warmestrom.

Alle Warmestrome Qget, Qhag und Qmot hangen von der Zeit ab und werden als spezielleTreppenfunktionen modelliert. Der Zeitschritt ist 0.1 sek.

Die zugefuhrte Warme beeinflusst direkt die Temperaturen im System, von denen der Ver-brauch abhangig ist. Deswegen wird die Funktion VQ als die Komposition von Funktionendargestellt:

VQ(Qget, Qhag, Qmot) = VT ({Tj(Qget, Qhag, Qmot)}j=1k) ,

mitTj , j = 1 . . . k, k ∈ Z - Temperaturen, die den Verbrauch beeinflussen.

Fur die Berechnung des Verbrauchs im Modell sind wichtig:

12


1. Die Temperaturen an:

• Laufbuchse,

• Zylinderkopf,

• Zylinder,

die zur Berechnung des korrigierten Warmestroms von der Kraftstoffverbrennung benutztwerden.

2. Der Einfluss auf das System durch die Anderung der Reibung in Abhangigkeit von denTemperaturen an

• Lagerschale,

• Lagerschale fur die Nockenwelle,

• Laufbuchse,

• Ol an der Lagerschale,

• Ol an der Lagerschale fur die Nockenwelle,

• Ol an der Laufbuchse.

Zur Vereinfachung wird angenommen, dass alle oben genannte Temperaturen gleich sindund durch die Referenztemperatur Tmot reprasentiert werden.

3. Die Temperatur des Getriebes Tget beeinflusst das Verhalten des Systems durch die Ande-rung des Wirkungsgrads des Getriebes und Verluste am Wandler.

4. Die Temperatur des Hinterachsgetriebes Thag beeinflusst das Verhalten des Systems durchdie Anderung des Wirkungsgrads des Hinterachsgetriebes.

Somit werden drei Temperaturen Tmot, Tget und Thag berucksichtigt.Dann:

V = VT (Tget, Thag, Tmot) ,

wobei alle Temperaturen Funktionen der zugefuhrten Warmestrome sind:

Tget = Tget(Qget, Qhag, Qmot) ,

Thag = Thag(Qget, Qhag, Qmot) ,

Tmot = Tmot(Qget, Qhag, Qmot) .

Der Verbrauch hangt nicht nur von den Temperaturen ab, sondern zusatzlich stark vonder Drehzahl und dem Drehmoment am Motor. Um die Verbrauchsreduktion, die nicht auf dieErwarmung zuruckzufuhren ist, ausschließen zu konnen, wird das System bei der Untersuchungauf eine mittlere konstante Geschwindigkeit gesetzt. Als dieser Wert wurde 50km/h gewahlt,was fur die Stadtzyklen die maximale Geschwindigkeit ist, aber es gibt keine Beschleunigungenund Bremsungen, die die Drehzahl und den Drehmoment deutlich erhohen (s. Abbildung 4).

13


0 200 400 600 800 10000

100

200

Zeit, [s]D

rehm

omen

t, [N

m] Drehmoment

0 200 400 600 800 10000

1000

2000

3000

Zeit, [s]

Dre

hzah

l, [R

PM

]

Drehzahl

50 km/h

kv01

50 km/h

kv01

Abbildung 4: Vergleich der Drehzahlen und der Momenten.

5.1 Funktion Verbrauch in Abhangigkeit von der Zeit VT .

Ein Ergebnis, das aus der Berechnungen herausbekommen wurde, ist, dass der gesamte Gewinnin Verbrauch bei der Aufwarmung des Motors, des Getriebes und des Hinterachsgetriebes alsdie Summe der Gewinne, die darauf getrennt liegen, dargestellt werden kann. D.h.

VT (Tget, Thag, Tmot) = const+Gget(Tget)|Thag,Tmot+Ghag(Thag)|Tget,Tmot

+Gmot(Tmot)|Tget,Thag, (2)

wobei const der Wert ist, der dem Verbrauch bei Tget = Thag = Tmot = 250C entspricht,−Gget(Tget)|Thag,Tmot

- ist der Gewinn, der am Getriebe liegt; diese Funktion wird durch Thag

und Tmot parametrisiert, d.h. wird fur die fixierten Werte von Thag und Tmot bestimmt.Anologes gilt fur Ghag und Gmot.

Dabei gilt:

Gget(25)|Thag,Tmot= 0 , ∀Thag, Tmot ,

Ghag(25)|Tget,Tmot= 0 , ∀Tget, Tmot , (3)

Gmot(25)|Tget,Thag= 0 , ∀Tget, Thag ,

const = VT (25, 25, 25) .

Bei der Berechnung von const aus dem Modell, trifft man auf folgende Schwierigkeit: sofernman Tget = Thag = Tmot = 250C als Starttemperaturen verwendet, tritt wegen der numerischenInstabilitat zu Beginn der Berechnung ein falscher Wert auf. Somit wird const zu einem spaterenZeitpunkt bestimmt.

Im Weiteren wird ein Modell Modell kalt benutzt, das dadurch erstellt wurde, dass alle furdie Berechnung des Verbrauchs wichtige Teile, die Temperaturen abgreifen, den Wert 250Cverwenden. Dabei werden Temperaturen als solche im System im Wesentlichen nicht geandert.

14


Um die Funktionen Gget(T )|Thag,Tmot, Ghag(T )|Tget,Tmot

, Gmot(T )|Tget,Thagzu bestimmen, wird

das Modell Modell kalt so modifiziert, dass

1. das Fahrzeug die konstante Geschwindigkeit 50 km/h hat.

2. die als die Parameter benutzte Temperaturen vorgegeben werden als:

• Berechnungen1: als der minimale Wert 250C.

• Berechnungen2: als die maximalen etwaigen im System oder zulassigen Werte (konnendurch den Definitionsbereich der Kennfelder begrenzt werden).Diese Temperaturen sind:1200C fur das Motorol (ist die naturliche Grenze, wegen der Kuhlung ist die weitereAufwarmung nicht moglich);1000C fur das Getriebe (das Wirkungsgradkennfeld ist fur hohere Werte nicht defi-niert, aber konstant verlangert; diese Ungenauigkeit muss fur Temperaturen > 1000Cberucksichtigt werden;800C fur das Hinterachsgetriebe mit der analogen Begrundung wie fur das Getriebe.

3. die Temperatur als Argument der Verbrauchsfunktion nicht fest vorgegeben ist - wie imAusgangsmodell.

4. die Anfangstemperaturen im System sind 200C, damit die zu Beginn einer Berechnungauftretende numerische Instabilitat keinen Einfluß auf die Werte ab 250C hat.

5. zusatzliche Anderungen im Modell um die Temperatur im gesamten Anderungsbereichvariabel zu halten.Das sind:

• Die Warmezugabe zum Getriebe, damit es wahrend der Berechnung die maximaleTemparatur von 1000C erreicht.Oder:

• Die Warmezugabe zum Hinterachsgetriebe, damit es wahrend der Berechnung diemaximale Temparatur von 800C erreicht.Oder:

• Zusatzliche Berechnungen fur den Motor, wo seine Starttemperatur 1300C ist, umbei der Abkuhlung den Bereich der hoheren Temperaturen zu decken.

Aus der Berechnungen1 und Berechnungen2 werden die Abhahgigkeiten des Verbrauchs und derentsprechenden Temperatur von der Zeit erhalten. Daraus wiederum ergibt sich ein funktionalerZusammenhang zwischen dem Verbrauch und der entsprechenden Temperatur, bei minimalenWerten der Parameter

V erbget(Tget)|25,25 ,

V erbhag(Thag)|25,25 ,

V erbmot(Tmot)|25,25 ,

15


und maximalen Werten der Parameter:

V erbget(Tget)|Thag max,Tmot max,

V erbhag(Thag)|Tget max,Tmot max,

V erbmot(Tmot)|Tget max,Thag max.

Damit gilt:Gget(Tget)|25,25 = V erbget(Tget)|25,25 − V erbget(25)|25,25 ,

Ghag(Thag)|25,25 = V erbhag(Thag)|25,25 − V erbhag(25)|25,25 ,

Gmot(Tmot)|25,25 = V erbmot(Tmot)|25,25 − V erbmot(25)|25,25 ,

Gget(Tget)|Thag max,Tmot max= V erbget(Tget)|Thag max,Tmot max

− V erbget(25)|Thag max,Tmot max,

Ghag(Thag)|Tget max,Tmot max= V erbhag(Thag)|Tget max,Tmot max

− V erbhag(25)|Tget max,Tmot max,

Gmot(Tmot)|Tget max,Thag max= V erbmot(Tmot)|Tget max,Thag max

− V erbmot(25)|Tget max,Thag max.

Somit ist (3) fur maximale und minimale Werte erfullt.Die Kennkurven fur alle anderen Parameter

Gget(Tget)|Thag zw,Tmot zw,

Ghag(Thag)|Tget zw,Tmot zw,

Gmot(Tmot)|Tget zw,Thag zw,

mit25 < Tget zw < Tget max ,

25 < Thag zw < Thag max ,

25 < Tmot zw < Tmot max ,

werden nach im Weiteren beschriebenen Anderungen der Kennlinien durch die lineare Interpo-lation berechnet (die Gleichungen (3) bleiben erfullt).

5.1.1 Die Kennlinien G∗(T∗)|25,25 und G∗(T∗)|T∗ max,T∗ max.

Die Kennlinien G∗(T∗)|25,25 und G∗(T∗)|T∗ max,T∗ maxsind in den Abbildungen 5,6,7 dargestellt.

Hier bezeichnet der Stern ∗ bzw. get, hag oder mot in klarer Weise.Alle Kennlinien haben Sprunge, die durch das Einschalten der Wasserpumpe und die fol-

genden Anderungen der Drehzahlen und der Drehmomentebegrundet sind. Um diese Effektewie zuvor außer Betracht zu lassen, wurden die letzten geraden Abschnitten fur das Getriebeund das Hinterachsgetriebe linear verlangert (der Gewinn im Verbrauch fur sie liegt am Wir-kungsgrad, und im System fur diese Abschnitte wird auch lineare Interpolation benutzt, wasdas komplett begrundet) und der Sprung fur die Motorkennlinien wurde entfernt. Im Ergebnis

16


30 40 50 60 70 80 90 100−0.07

−0.06

−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

Temperatur des Getriebes, [°C]

− G

ewin

n im

Ver

brau

ch, [

g/s]

Kennlinien für das Getriebe

Gget

(Tget

)|T

hag max,T

mot max

Gget

(Tget

)|25,25

Abbildung 5: Kennlinien fur das Getriebe.

25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80−0.016

−0.014

−0.012

−0.01

−0.008

−0.006

−0.004

−0.002

0

Temperatur des Hinterachsgetriebes, [°C]

− G

ewin

n im

Ver

brau

ch, [

g/s]

Kennlinien für das Hinterachsgetriebe

Ghag

(Thag

)|T

get max,T

mot max

Ghag

(Thag

)|25,25

Abbildung 6: Kennlinien fur das Hinterachsgetriebe.

30 40 50 60 70 80 90 100 110 120−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

Temperatur des Motors, [°C]

− G

ewin

n im

Ver

brau

ch, [

g/s]

Kennlinien für den Motor

Gmot

(Tmot

)|T

get max,T

hag max

Gmot

(Tmot

)|25,25

Abbildung 7: Kennlinien fur den Motor.

17


30 40 50 60 70 80 90 100−0.07

−0.06

−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

Temperatur des Getriebes, [°C]

− G

ewin

n im

Ver

brau

ch, [

g/s]

korrigierte Kennlinien für das Getriebe

Gget

(Tget

)|T

hag max,T

mot max

Gget

(Tget

)|25,25

berechnete Gget

(Tget

)|(25+T

hag max)/2,(25+T

mot max)/2

Abbildung 8: Korrigierte Kennlinien fur das Getriebe.

25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80−0.016

−0.014

−0.012

−0.01

−0.008

−0.006

−0.004

−0.002

0

Temperatur des Hinterachsgetriebes, [°C]

− G

ewin

n im

Ver

brau

ch, [

g/s]

korrigierte Kennlinien für das Hinterachsgetriebe

Ghag

(Thag

)|T

get max,T

mot max

Ghag

(Thag

)|25,25

berechnete Ghag

(Thag

)|(25+T

get max)/2,(25+T

mot max)/2

Abbildung 9: Korrigierte Kennlinien fur das Hinterachsgetriebe.

30 40 50 60 70 80 90 100 110 120−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

Temperatur des Motors, [°C]

− G

ewin

n im

Ver

brau

ch, [

g/s]

korrigierte Kennlinien für den Motor

Gmot

(Tmot

)|T

get max,T

hag max

Gmot

(Tmot

)|25,25

berechnete Gmot

(Tmot

)|(25+T

get max)/2,(25+T

hag max)/2

Abbildung 10: Korrigierte Kennlinien fur den Motor.

18


bekommt man die Kurven, die in den Abbildungen 8,9,10 dargestellt sind (rote und blaue Kur-ven). Die grunen Kurven stellen lineare Interpolation fur einen dazwischen liegenden Parameterdar.

Durch diese Kennlinien wird der Wert des Verbrauchs fur eine Basisberechnung (konstanteGeschwindigkeit 50km/h, keine Warmezugabe, Anfangstemperaturen im System 200C) berech-net. Aus dem ensprechenden Modell werden die Temperaturen (Tget, Thag, Tmot) im Systemund der Verbrauch V erbbasis in Abhangigkeit von der Zeit bestimmt. Zu Beginn tritt wiederdie numerische Instabilitat auf.

Dadurch wird

−Gewinn := Gget(Tget)|Thag,Tmot+ Ghag(Thag)|Tget,Tmot

+ Gmot(Tmot)|Tget,Thag,

festgelegt2 (s. (2)). Daraus folgt

const = V erbbasis −−Gewinn ∼= 0.728g/s ,

(mit den niedrigeren Abweichungen wegen des Einflußes der Drehzahlen und der Drehmomen-ten). S. Abbildung 11.

Bemerkung: −Gewinn > 0 fur Temperaturen < 250C.

0 200 400 600 800 1000−0.5

0

0.5

Zeit, [s]

Ver

brau

ch, [

g/s]

−Gewinn

0 200 400 600 800 10000

0.2

0.4

0.6

0.8

Zeit, [s]

Ver

brau

ch, [

g/s]

const

Abbildung 11: Bestimmung von const.

Insgesamt folgt somit:

VT (Tget, Thag, Tmot) = 0.728+Gget(Tget)|Thag,Tmot+Ghag(Thag)|Tget,Tmot

+Gmot(Tmot)|Tget,Thag. (4)

5.1.2 Validierung.

Es wurde Berechnungsserien mit unterschiedlichen Warmezugaben durchgefuhrt. Die Ergeb-nisse einer typischen Serie werden im Folgenden dargestellt.Dabei wird der Warmestrom Q (s. Abbildung 12)

2Es wurde als ein Programm mit MATLAB realisiert.

19


A. dem Getriebe,

B. dem Hinterachsgetriebe,

C. dem Motor,

D. dem Getriebe, dem Hinterachsgetriebe und dem Motor gleichzeitig

zugefuhrt.

0 50 100 150 2000

2

4

6

8

10

Zeit, [s]

Wär

mez

ugab

e, [k

W]

Wärmezugabe

[0,0;4.95,0;5,5;105,5;105.05,0;2000,0];

Abbildung 12: Warmezugabe beim Validieren.

Aus dem Modell werden die Temperaturen und der Gesamtverbrauch ermittelt. Die Tem-peraturen werden zur Berechnung des Verbrauchs V erbFrm durch die Formel (4) verwendet,der mit dem Verbrauch V erbMdl aus dem Modell verglichen wird. (s. Abbildung 13.) Zum Ver-gleich wird auch die Kurve V erbbasis fur den Fall ohne Warmezugabe dargestellt. (VergroßerteAbbildungen (28,29,30,31) sind im Anhang.)

Es fallen zwei Arten von Abweichungen auf:

1. Die Abweichungen wegen der Anderung der Drehzahlen und der Drehmomenten (s. z.B.Versuch B. und D. am Ende und beim Sprung des Verbrauchs in der Mitte).Der berechnete Wert fur den Gewinn im Verbrauch, der an dem Hinterachsgetriebe beihohen Temperaturen liegt, ist etwas niedrig (ist bei den Versuchen B. und D. gut sichtbar).

2. Die Abweichung bei der Warmezugabe zum Motor (s. Versuch C.) - der Unterschiedzwischen den durch die Formel berechneten und den aus dem Modell erhaltenen Werteninnerhalb der ersten 100 Sekunden, was der Dauer der Warmezufuhr entspricht, liegtdaran, dass die Warme im System sich nicht ausreichend schnell verteilt, um die Annahme,dass der Motor ein isothermer Block ist, zu erfullen.

Die beschriebenen Abweichungen sind fur das Verstandnis des Systemverhaltens unkritisch undunter Beachtung der Ungenauigkeiten legitim.

Zu bemerken ist, dass (s. Abbildungen 8 - 10) der Verbrauch am sensitivsten auf die Motor-temperatur reagiert, und die Hinterachsgetriebetemperatur die kleinste Rolle spielt. Durch diegeringere Warmekapazitat antwortet das Hinterachsgetriebe jedoch auf einen Warmeeintragmit einer deutlich hoheren Temperatursteigerung, als der Motor oder das Getriebe.

Als nachstes werden die Anderungen der Temperaturen in Abhangigkeit von der zugefuhrtenWarme untersucht.

20


0 200 400 600 800 1000

0.6

0.65

0.7

Zeit, [s]

Ver

brau

ch, [

g/s]

Versuch A.

0 200 400 600 800 1000

0.6

0.65

0.7

Zeit, [s]

Ver

brau

ch, [

g/s]

Versuch B.

0 200 400 600 800 1000

0.6

0.65

0.7

Zeit, [s]

Ver

brau

ch, [

g/s]

Versuch C.

0 200 400 600 800 1000

0.6

0.65

0.7

Zeit, [s]

Ver

brau

ch, [

g/s]

Versuch D.

Verb FrmVerb MdlVerb basis




Abbildung 13: Validierung: Berechnung des Verbrauchs durch Temperatur.

5.2 Funktionen Tget = Tget(Q), Thag = Thag(Q), Tmot = Tmot(Q).

Wegen der Diskretheit des Systems (Schritt = 0.1 sek) werden die Funktionen Q in Abhangigkeitvon der Zeit als Treppenfunktionen dargestellt, d.h. als eine Reihe von aufeinanderfolgendenImpulssignalen der Lange 0.1 sek. Anderungen der Temperaturen als Antworten des Systems aufsolche zu unterschiedlichen Zeitpunkten zugegebenen Impulswarmeeintrage (werden im Weite-ren durch ’δ’-Warmezugabe bezeichnet) werden in diesem Paragraph untersucht. Durch dieseAntworten werden numerisch die Funktionen Tget, Thag und Tmot berechnet.

Die Große des zugefuhrten Warmestroms wird aus den Grunden gewahlt, dass die Antwortennicht zu niedrig sind, sodass sie sichtbar und deutlich großer als die Ungenauigkeiten bei denBerechnungen sind, aber auch der Warmestrom moglichst nah zu dem Wert ist, der im Systembenutzt wird (also relativ niedrig).

Bei der Warmezugabe zu einem Subsystem (z.B. Getriebe) wird nicht nur seine Tempera-tur geandert (Haupteffekte), sondern auch alle anderen (im Beispiel des HAGs und Motors)(Nebeneffekte). Die Beschreibung wird mit den Haupteffekten angefangen.

21


5.2.1 Haupteffekte.

Um die Haupteffekte zu untersuchen, wurde der Warmestrom von 100kW als ’δ’-Impuls zu denunterschiedlichen Zeitpunkten dem Getriebe fur die Effekte am Getriebe, dem Hinterachsgetrie-be fur die Effekte am Hinterachsgetriebe und dem Motor fur die Effekte am Motor zugefuhrt.

Beim Hinterachsgetriebe gibt es keinen Unterschied zwischen den Antworten fur unter-schiedliche Zeitpunkte der Warmezugabe (nach der Verschiebung auf Null) und beim Motorund beim Getriebe wegen des Warmeaustausches nach dem Einschalten der Wasserpumpe, gibtes bedeutungslose, die nicht modelliert werden.

Um die Musterantworten auf die 1kW-’δ’-Warmezugabe zu bestimmen, berechnet man diemittleren Kurven fur das Getriebe und den Motor, und dann werden die Werte fur alle dreiKurven durch 100 geteilt. (s Abbildungen 14 - 16.)

5.2.2 Nebeneffekte.

Jetzt werden die Nebeneffekte betrachtet:

• vom Getriebe auf das Hinterachsgetriebe - keine Wirkung,

• vom Getriebe auf den Motor - die Wirkung durch den Getriebewarmetauscher und durchdie Anderung des Wirkungsgrads,

• vom Hinterachsgetriebe auf das Getriebe - die Wirkung durch die Anderung des Wir-kungsgrads,

• vom Hinterachsgetriebe auf den Motor - die Wirkung durch die Anderung des Wirkungs-grads,

• vom Motor auf das Hinterachsgetriebe - keine Wirkung,

• vom Motor auf das Getriebe - die Wirkung durch den Getriebewarmetauscher.

Ahnlich den Haupteffekten wurden die Versuche durchgefuhrt (’δ’-Impuls 400 kW). Die Ergeb-nisse sind in den Abbildungen 17 - 20 dargestellt (keine Verschiebung auf Null). Zwischenkurvenbei der Berechnung der Antworten werden durch eine Interpolation erhalten.

5.2.3 Validierung.

Die Versuche zum Validieren wurden gleich der Validierung in 5.1.2 durchgefuhrt. Die Ergebnis-se fur den Fall, bei dem Warme (s. Abbildung 12) gleichzeitig dem Getriebe, dem Hinterachs-getriebe und dem Motor zugefuhrt wurde, sind in der Abbildung 21 zu sehen (Vergroßerte Ab-bildungen 32,33,34 sind im Anhang). Die aus dem Modell erhaltenen Temperaturen werden alsTmprMdl bezeichnet, die durch die Funktionen Tget, Thag und Tmot berechneten - als TmprFrm.Zum Vergleich sind auch Temperaturen Tmprbasis von Basisberechnung ohne Warmezugabedargestellt.

Man sieht, dass die erhaltenen Funktionen sehr genau das Verhalten des Modells beschrei-ben.

22


0 200 400 600 800 10000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Zeit, [s]

δT

, [K

]

Antworten auf δ−Wärmezugabe 100kWzur unterschiedlichen Zeitpunkten

0 200 400 600 800 10000

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

−3

Zeit, [s]

δT

, [K

]

"mittlere" Antwort auf δ−Wärmezugabe 1kW

δ zur 10sek

δ zur 100sek

δ zur 200sek

δ zur 300sek

Abbildung 14: Antworten vom Getriebe.

0 200 400 600 800 10000

2

4

6

8


Zeit, [s]

δT

, [K

]

0 200 400 600 800 10000

0.02

0.04

0.06

0.08"mittlere" Antwort auf δ−Wärmezugabe 1kW

Zeit, [s]

δT

, [K

]

δ zur 10sek

δ zur 100sek

δ zur 200sek

δ zur 300sek

es gibtkeinenUnterschied

Abbildung 15: Antworten vom Hinterachsgetriebe.

0 200 400 600 800 10000

0.05

0.1

0.15

Zeit, [s]

δT

, [K

]


0 200 400 600 800 10000

0.5

1

1.5x 10

−3

Zeit, [s]

δT

, [K

]

"mittlere" Antwort auf δ−Wärmezugabe 1kW

δ zur 10sek

δ zur 100sek

δ zur 200sek

δ zur 300sek

Abbildung 16: Antworten vom Motor.

23


0 200 400 600 800 1000−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Zeit, [s]

δT

, [K

]


δ zur 10sek

δ zur 100sek

δ zur 300sek

δ zur 400sek

Abbildung 17: Antworten vom Motor auf das Getriebe.

0 200 400 600 800 1000−0.06

−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

Zeit, [s]

δT

, [K

]


δ zur 10sek

δ zur 100sek

δ zur 300sek

δ zur 400sek

Abbildung 18: Antworten vom Getriebe auf den Motor.

0 200 400 600 800 1000−0.06

−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

Zeit, [s]

δT

, [K

]


δ zur 10sek

δ zur 100sek

δ zur 300sek

δ zur 400sek

Abbildung 19: Antworten vom Hinterachsgetriebe auf das Getriebe.

24


0 200 400 600 800 1000−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

Zeit, [s]

δT

, [K

]


δ zur 10sek

δ zur 100sek

δ zur 300sek

δ zur 400sek

Abbildung 20: Antworten vom Hinterachsgetriebe auf den Motor.

5.3 Die Analyse der Antworten.

Wie bereits festgestellt wurde, ist der Wert des Verbrauchs am empfindlichsten gegenuber derMotortemperatur, und die Hinterachsgetriebetemperatur beeinflusst diesen am geringsten. ImFolgenden werden diese Verhaltnisse genauer betrachtet.

Grob hat der Gewinn im Verbrauch bei der Aufwarmung von 250C auf die maximale Tem-peratur die Großeordnung

• 0.06 g/s beim Getriebe,

• 0.014 g/s beim Hinterachsgetriebe,

• 0.1 g/s beim Motor,

(s. Abbildungen 8 - 10)und die Empfindlichkeit der Temperaturwerte z.B. bei der Warmezugabe 100kW zu einemPunkt (wie bei der Untersuchung oben)

• 0.15 K beim Getriebe,

• 1.0 K beim Hinterachsgetriebe,

• 0.06 K beim Motor,

(s. Abbildungen 14-16, Nebeneffekte sind viel geringer und werden momentan nicht betrachtet)Dann hat der Gewinn im Verbrauch fur KV01 bei dieser Warmezufuhr die Großeordnung

• 0.13 g beim Getriebe,

• 0.27 g beim Hinterachsgetriebe,

• 0.07 g beim Motor.

Die Werte sind von der gleichen Großenordnung und, um die optimale Warmeverteilung zubestimmen, ist eine detailliertere Untersuchung notwendig.

25


0 500 100020

30

40

50

60

70

Zeit, [s]

Tem

pera

tur,

[°C

]Temperatur des Getriebes

0 500 100020

30

40

50

60

70

Zeit, [s]

Tem

pera

tur,

[°C

]

Temperatur des Hinterachsgetriebes

0 500 100020

40

60

80

100

120

Zeit, [s]

Tem

pera

tur,

[°C

]

Temperatur des Motors

Tmpr basis

Tmpr FrmTmpr Mdl Tmpr basis

Tmpr FrmTmpr Mdl

Tmpr basis

Tmpr FrmTmpr Mdl

Die Kurven für Tmpr Frmund Tmpr Mdl sind nahzudeckungsgleich

Abbildung 21: Validierung: Berechnung der Temperaturen durch Warmezugabe.

Beobachtung:Alle Kurven, die die Abhangigkeit des Verbrauchs von der Temperatur darstellen (Abbildun-gen 8 - 10), sind fallend und konvex, und die Temperaturanderung in Abhangigkeit von derWarmezugabe hangt nicht von der momentanen Absoluttemperatur ab (fur Haupteffekte, dieNebeneffekte sind bei dieser Betrachtung bedeutungslos, weil sie gering sind und sich ausglei-chen). Das bedeutet, dass um einen niedrigeren Verbrauch zu bekommen, muss die Warme demSubsystem (Getriebe, HAG oder Motor) so zugefuhrt werden, dass der Bereich des großerenTemperaturanstiegs (nach den Abbildungen 14-16) dem Bereich der niedrigsten Temperaturdes Subsystems zu dem Zeitpunkt der Warmezufuhr entspricht.

Wenn die Temperatur des Elements (kleine Ungenauigkeiten sind vernachlassigbar) monotonsteigt, dann bedeutet das, dass die Warme moglichst fruh zugefuhrt werden muss.

Im System ohne zusatzlicher Warmezugabe die Temperaturen des Getriebes, des Hinterachs-getriebes und des Motors wirklich monoton steigen, aber nach der moglichst fruhen Aufwarmung

26


kann das nicht mehr stimmen. Aber wenn die zur verfugbare Warme moglichst fruh zugegebenwird und sogar wenn die verdoppelte Warmemenge betrachtet wird, dann kann man sehen,dass eine bedeutende Senkung der Temperatur tritt nur beim Hinterachsegetriebe auf. Aberdie Anderung in der Temperatur (s. Abbildung 15) als die Antwort auf δ-Warmezugabe bleibtsehr stabil, die Geschwindigkeit des Wachstums des Gewinns im Verbrauch (die Ableitungder Abhangigkeit von der Abbildung 9) ist nah zu dem konstanten Wert, und dazu durch dieVerzogerung mit der Warmezufuhr hat man der Gewinn auf der kurzeren Strecke. Also es istnicht zu erwarten, dass eine langsamere Warmezufuhr zum Hinterachsgetriebe sinnvoll ist.

Ergebnis: um einen besseren Wert des Verbrauchs zu bekommen, muss die Warme moglichst

schnell zugefuhrt werden.

So sieht der Prozess der optimalen Warmezugabe vereinfacht so aus: Die gesamte Warme-menge kann als die Vereinigung der Rechteckelementen (’Dauer der Warmezugabe’ x ’Warme-strom’) mit 0.1 sek Breit der passenden relativ niedrigen Hohe (z.B. 0.1 kW) dargestellt werden.Jedes Rechteck kann dem Getriebe, dem HAG oder dem Motor moglichst fruh zugefuhrt wer-den. Dabei ist das Subsystem zu wahlen, das zu dem geringeren Wert des Verbrauchs fuhrt.

Das wurde als ein Programm realisiert, bei dem

1. die maximalen Warmestrome durch die folgenden Werte begrenzt werden:Qget max = 20kW ,Qhag max = 10kW ,Qmot max = 30kW ,(diese Werte werden auch bei der Optimierung als maximal mogliche benutzt)

2. die Rechteckelementen die Große 5sek x 1kW haben, (um die Dauer der Berechnung zuverringern)

3. die gesamte zu Verfugung stehende Warme verdoppelt wird,

4. als Anfangstemperaturen diejenigen einer Fahrt mit der konstanten Geschwindigkeit 50km/h verwendet werden (ohne Warmezugabe).

Insgesamt hat man 795 Rechteckelementen fur die verdoppelte Energiemenge zur Verfugung.Der Reihe nach wird bestimmt wohin das Rechteckelement zugegeben wird - es wird eineAbbildung (22) erstellt, wo gegenuber ein Kreuz gezeichnet wird.

Die Abbildung wird folgendermaßen interpretiert. Wenn man die Energiemenge 2E (∼=800Rechteckelementen) betrachtet, was dem gesamten Bild entspricht, dann ist die Anzahl derKreuzen beim Getriebe, Hinterachsgetriebe und Motor dem Anteil der Energie proportional, derdiesem Element zugefuhrt werden muss, um den Verbrauch zu minimieren. Dabei konnen wegender Ungenauigkeiten bei den Berechnungen die Grenzen der Abschnitte, die aus den Kreuzenzusammengesetzt sind, etwas von der optimalen Verteilung abweichen. Fur die EnergiemengenE und E/2 muss die Halfte (x ∈ [0, 400]) bzw. ein Viertel (x ∈ [0, 200]) der Abbildung betrachtetwerden. Anders dargestellt, ist die Abbildung 22 der folgenden Abbildung 23 aquivalent.

Diese Ergebnisse gelten mit guter Genauigkeit fur die Fahrt mit der konstanten Geschwin-digkeit 50km/h, sofern jedoch der KV01 gefahren wird, wird das Kennfeld ’Wirkungsgrad inAbhangigkeit von Temperatur, Drehzahl und Drehmoment’ fur das Getriebe geandert (ent-spricht dem Umschalten der Gangstufen), was folglich zur Anderung der Kennlinie ’Gewinn

27


0 100 200 300 400 500 600 700 800

Getriebe

HAG

Motor

Anzahl der zugeführten Wärmerechtecke [5sek x 1kW]

Wärmeverteilung

Abbildung 22: Warmeverteilung nach der Untersuchung fur die Fahrt mit der konstanten Ge-schwindigkeit.

im Verbrauch in Abhangigkeit von Temperatur’ (Abbildung 8) fuhrt. Man sieht (Tabelle 1),dass fur den KV01 die beste Warmeverteilung tendenziell dahin abzielt, die Halfte der Warme-menge dem Getriebe und die andere Halfte dem HAG zur Verfugung zu stellen. Um ein demin der Abbildung 23 dargestellten ahnliches Ergebnis fur die Warmeverteilung beim KV01 zubekommen, ist eine zusatzliche Untersuchung notwendig.

5.4 Optimierung mit MATLAB.

Im Folgenden wird die Optimierung mit MATLAB beschrieben. Zuvor wurde festgestellt, daßes fur den Verbrauchsvorteil am gunstigsten ware, die gesamte Warmemenge dem Fahrzeug inmoglichst kurzer Zeit zur Verfugung zu stellen. Als Maximalleistung wird abgeschatzt:

Qget max = 20kW ,Qhag max = 10kW ,Qmot max = 30kW .

Somit beschrankt sich die Frage nur auf die zeitliche Verteilung. Die Variablen, die zu optimierensind, sind

Qget = 20Dget, [kJ ], mit Dget, [sek], als die Dauer der Warmezugabe zum Getriebe ist,Qhag = 10Dhag, [kJ ], mit Dhag, [sek], als Dauer der Warmezugabe zum Hinterachsgetriebe ist,Qmot = 30Dmot, [kJ ], mit Dmot, [sek], als Dauer der Warmezugabe zum Motor ist.

Wegen des Zusammenhangs zwischen der Dauer der Warmezugabe und der zugefurten Energie,werden im Folgenden die beiden gleichberechtigt benutzt. Als zu optimierende Variablen werdenjedoch Warmemengen betrachtet, was zu einem deutlich besseren Ergebnis fuhrt. Der Grundist, dass ansonsten bei gleich großen Zeitschritten eine großere Energiemenge zum Motor gefuhrtwird, was zu einer Verschiebung des Weges des Verfahrens, als auch des Minimums, in RichtungMotor fuhrt.

28


0 1 2 3 40

20

40

60

80

100

Wärmemenge, [MJ]

Wär

mev

erte

ilung

, [%

]

Getriebe

MotorHAG

Abbildung 23: Warmeverteilung nach der Untersuchung fur die Fahrt mit der konstanten Ge-schwindigkeit.

Die Bedingung, dass die gesamte Energiemenge E = 1987.76 kJ ist, bedeutet:

Qget + Qhag + Qmot = E , (5)

was eine lineare Gleichungsnebenbedingung ist.Dazu gibt es die naturlichen Randbedingungen:

0 ≤ Dget ≤ 300 ,0 ≤ Dhag ≤ 300 ,0 ≤ Dmot ≤ 300 .

Die Werte der Zielfunktion Verbrauch in Abhandigkeit von Dget, Dhag und Dmot (die dieWarmezugabe definieren) werden durch eine von MATLAB gestartete Simulationsberechnungbestimmt.

In Optimization Toolbox in MATLAB wurde ein passender Algorithmus als eine standarteFunktion realisiert. Diese Funktion fmincon lost eine Klasse der Optimierungsprobleme, die imAllgemeinen in der folgenden Form dargestellt werden konnen:

minx∈Rn

f(x) ,

bezuglichc(x) ≤ 0 ,ceq(x) = 0 ,Ax ≤ b ,Aeq x = beq ,lb ≤ x ≤ ub ,

29

6 ALGORITHMUSBESCHREIBUNG.

wobei x, b, beq, lb und ub Vektoren sind, A und Aeq Matrizen, c(x) und ceq(x) Funktionen, dieVektoren ausgeben, und f(x) eine Funktion, die Skalare ausgibt. Funktionen f(x), c(x), undceq(x) konnen nichtlinear sein.

Zum Losen solcher Probleme wird in der Implementierung die Sequential Quadratic Pro-gramming (SQP) Methode mit der Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) Aktualisierungder Hessematrix und ’linear-line-search’ benutzt. Diese Methode wird im nachsten Paragraphbeschrieben.

Es ist zu bemerken, dass der Algorithmus von fmincon fordert, dass die Zielfunktion undalle Nebenbedingungen stetig sein mussen. Die durch die Simulation erhaltene nichtlineareZielfunktion ist rauh, es gibt wahrscheinlich auch Unterbrechungen, was an der Diskretheit desModells liegt. Um dieses Problem zu umgehen, werden die Schritte fur Dget, Dhag und Dmot beider Berechnung der Ableitungen usw. beim Optimierungverfahren gleich den Zeitschritten imModell (0.1 sek) festgesetzt.

6 Algorithmusbeschreibung.

6.1 Uberblick uber Optimierung.

Optimierungsverfahren werden benutzt, um eine Menge der Parameter zu finden, x = x1, x2, ..., xn,die in einer Weise als optimale definiert werden konnen. In einem einfachen Fall kann das Mini-mierung oder Maximierung einiger Kenngroßen eines Systems, die von x abhangig sind, sein. Inder erweiterten Formulierung bei Minimierung oder Maximierung der Zielfunktion f(x) konnenauch Nebenbedingungen in folgender Form aufgelegt werden:

• Gleichungsnebenbedingungen, Gi(x) = 0, (i = 1, ..., me);

• Ungleichungsnebenbedingungen, Gi(x) ≥ 0, (i = me + 1, ..., m);

• und/oder Randbedingungen, xl ≤ x ≤ xu.

Ein allgemeines Problem (GP) wird folgendermaßen formuliert:

minx

f(x) (6)

bezuglichGi(x) = 0, i = 1, ..., me

Gi(x) ≥ 0, i = me + 1, ..., m

mit x ein Vektor der gesuchten Parameter der Lange n, f(x) Zielfunktion, die einen skalarenWert ausgibt. Die Vektorfunktion G(x) gibt einen Vektor der Lange m, der die Werte der Glei-chungsnebenbedingungen und Ungleichungsnebenbedingungen in x beinhaltet, aus. Das Pro-blem (6) wird dadurch vereinfacht, dass Randbedingungen als Ungleichungsnebenbedingungengeschrieben werden.

Eine effiziente und genaue Losung dieses Problems hangt nicht nur von der Große des Pro-blems im Sinne der Anzahl der Nebenbedingungen und gesuchten Variablen ab, sondern auchvon den Eigenschaften der Zielfunktion und Nebenbedingungen. Wenn sowohl die Zielunkti-on als auch die Nebenbedingungen lineare Funktionen der gesuchten Veriablen sind, ist das

30


Problem als lineare Optimierung (LP) Problem bekannt. Quadratische Optimierung (QP) betrifftMinimisierung oder Maximierung einer quadratischen Zielfunktion mit linearer Nebenbedingun-gen. Fur LP und QP Probleme sind schon zuverlassige Losungsmethoden verfugbar. Schwierigerist nichtlineare Optimierung (NP), wobei die Zielfunktion und Nebenbedingungen nichtlineareFunktionen der gesuchten Variablen sind, zu losen. Losungsverfahren des NP Problems setztnormalerweise eine iterative Prozedur zum Ermitteln einer Suchrichtung bei jeder Hauptite-ration voraus. Das wird ublicherweise durch die Losung eines LP, QP oder unrestringiertenUnterproblem erreicht.

6.2 Kuhn-Tucker Gleichungen.

Bei der restringierten Optimierung ist das Hauptziel das Problem in ein einfacheres Unterpro-blem umzuwandeln, das dann gelost und als Basis eines iterativen Verfahrens benutzt wird.Bei der großen Klasse der fruheren Methoden wurde Ubergang von dem restringierten Problemzu einem basischen unrestringierten Problem durch eine penalty-Funktion benutzt. In diesemFall wird das restringierte Problem als eine Reihe von parametrisierten unrestringierten Opti-mierungen gelost, dabei konvergiert die Reihe zur Losung des restringierten Problems. SolcheMethoden gelten jetzt als ziemlich uneffizient und wurden durch die Methoden ersetzt, die aufder Losung der Kuhn-Tucker (KT) Gleichungen basieren.

Die KT Gleichungen sind notwendige Bedingungen der Optimalitat fur ein restringiertesOptimierungsproblem. Wenn das Problem eine so genanntes konvexe Optimierung ist, d.h.f(x) and Gi(x), i = 1, . . . , m sind konvexe Funktionen, sind KT Gleichungen sowohl notwendigals auch hinreichend fur eine globale Losung.

Bei der Beschreibung des Algorithmuses wird nur der allgemeineste Fall betrachtet, wenn alleNebenbedingungen nichtlinear sind. Im Fall, wenn alle, oder ein Teil der Nebenbedingungen,linear oder Randbedingungen sind, wird die Methode in klarer Weise vereinfacht. Fur dasgenauere Betrachten solcher Situationen s. z.B. [Gill].

Nichtlineare Gleichungsnebenbedingungen.In diesem Abschnitt werden Optimalitatsbedingungen fur ein Problem, das nur nichtlineareGleichungsnebenbedingungen beinhaltet, betrachtet. D.h.

minx∈Rn

f(x) (7)

bezuglich Gi(x) = 0, i = 1, ..., t.

Der Gradientenvektor der Funktion Gi(x) wird durch den n-Vektor ai(x) und ihre Hesse-matrix durch Bi(x) bezeichnet. Fur eine Menge von Nebenbedingungen {Gi(x)}, i = 1, . . . , t,wird die t×n Matrix A(x), deren i-te Zeile ai(x)T ist, die Jacobimatrix der Nebenbedingungengenannt.

Um zu bestimmen, ob ein zulassiger Punkt fur (7) optimal ist, ist es notwendig zulassigeStorungen zu beschreiben. Dann ist es moglich das Verhalten von f entlang ihnen zu analysie-ren. Fur den Fall der linearen Nebenbedingungen bilden alle zulassigen Storungen einen linearenUnterraum (s. [Gill]). Es ist aber viel komplizierter, zulassige Storungen bezuglich nichtlinea-rer Gleichungsnebenbedingungen zu bestimmen. Wenn Gi eine nichtlineare Funktion ist und

31


Gi(x∗) = 0, allgemein gibt es keine zulassige Richtung p mit Gi(x

∗ + αp) = 0 fur alle genugendkleinen |α|.

Folglich um die Zulassigkeit bezuglich Gi zu behalten, ist es notwendig sich entlang einemzulassigen Bogen, der aus x∗ ausgeht, zu bewegen (ein Bogen ist eine gerichtete Kurve in R

n,die durch eine einzelne Variable parametrisiert wird). Bezeichne durch α(θ) mit α(0) = x∗ denBogen und durch p die Tangente zum Bogen in x∗.

Damit der Bogen zulassig ist, muss die Funktion Gi fur alle Punkte am Bogen gleich Nullsein. Das voraussetzt, dass die Anderungsrate, oder die Ableitung des Gi entlang dem Bogen,im x∗ Null sein muss. Die Anwendung der Kettenregel fur diese Ableitung gibt:

d

dθGi(α(θ))

∣

∣

∣

∣

θ=0

= ∇Gi(α(0))T p = ai(x∗)T p = 0 .

Also, die Tangente zum zulassigen Bogen fur alle Nebenbedingungen von (7) muss die folgendeGleichung erfullen:

A(x∗)p = 0 . (8)

Im Fall von linearen Gleichungsnebenbedingungen die analoge Beziehung beschreibt zulassi-ge Storungen vollstandig: beliebige zulassige Richtung erfullt sie, und alle Richtungen, die sieerfullen, sind zulassig. Fur nichtlineare Nebenbedingungen gilt die erste Behauptung, namlich,dass die Tangente zu jedem zulassigen Bogen erfullt (8). Das kann aus der Teylor-Entwicklungvon Gi um x∗ entlang der Richtung p gesehen werden:

Gi(x∗ + ǫp) = Gi(x

∗) + ǫai(x∗)T p +

1

2ǫpT Bi(x

∗)p + . . . .

Wenn Gi(x∗) = 0 und ai(x

∗)T p 6= 0, ruft ein beliebiger Schritt entlang dem Bogen die Verletzungder Nebenbedingung hervor. Es gilt aber fur nichtlineare Nebenbedingungen nicht, dass jederVektor, der (8) erfullt, die Tangente zu einem zulassigen Bogen ist.

Damit (8) die vollstandige Beschreibung der Tangente p zum zulassigen Bogen ist, muss an-genommen werden, dass die Funktionen der Nebenbedingungen Gi(x) bestimmten Bedingungenin x∗ genugen. Diese Bedingungen werden Einschrankungen der Nebenbedingungen genannt. Esgibt mehrere Formen der Einschrankungen, in der Praxis wird die Bedingung benutzt, dass dieGradienten der Nebenbedingungen in x∗ linear unabhangig sind, d.h. die Matrix A(x∗) hat denvollen Rang. Das garantiert, dass jeder Vektor p, der (8) erfullt, die Tangente zum zulassigenBogen ist. Im weiteren wird es angenommen, dass diese Einschrankung gilt. Das ermoglicht dienotwendigen Bedingungen der Optimalitat bezuglich (7) festzusetzen.

Es wird die notwendige Bedingung erster Ordnung betrachtet. Damit x∗ optimal ist, mussf in x∗ entlang beliebigem zulassigen Bogen stazionar sein, d.h. ∇f(α(θ))|θ=0 = 0. Nach derKettenregel ist dann die gesuchte Bedingung

g(x∗)T p = 0 , (9)

wobei p erfullt (8), g(x) = ∇f(x).Durch Z(x∗) wird eine Matrix, deren Spalten die Basis fur die Menge der Vektoren, die den

Zeilen von A(x) orthogonal sind, bilden, bezeichnet. Damit (9) fur alle p, die (8) erfullen, gilt,muss die folgende Beziehung stimmen:

Z(x∗)T g(x∗) = 0 . (10)

32


Diese Bedingung ist analog der notwendigen Bedingung fur den linear restringierten Fall, außerdass die Matrix nicht konstant ist. Der Vektor Z(x∗)T g(x∗) wird projizierter Gradient genannt.

Die Gleichung (10) ist aquivalent der Bedingung, dass g(x∗) eine lineare Kombination derZeilen von A(x∗) fur einen t-Vektor λ∗ der Lagrange-Faktoren ist:

g(x∗) = A(x∗)T λ∗ , (11)

Es wird die Lagrange-Funktion definiert als:

L(x, λ) = f(x)− λT G(x) , (12)

mit x und dem t-Vektor λ als unabhangige Variablen. Die Bedingung (11) ist eine Behauptung,dass x∗ ein stationarer Punkt (bezuglich x) der Lagrange-Funktion ist, wenn λ = λ∗;

∇f(x∗)− λ∗T∇G(x∗) = 0 .

Die letzte Beziehung heißt Kuhn-Tucker Gleichung.Die notwendige Bedingung fur das Minimum von (7) zweiter Ordnung ist, dass

Z(x∗)TW (x∗, λ∗)Z(x∗) ,

mit

W (x, λ) ≡ B(x)−

t∑

i=1

λiBi(x), B(x)− Hessematrix von f(x) ,

positiv semidefinit ist.Insgesamt:

Notwendige Bedingungen fur das Minimum von (7):

1. G(x∗) = 0;

2. Z(x∗)T g(x∗) = 0, oder, das gleiche, g(x∗) = A(x∗)T λ∗;

3. Z(x∗)T W (x∗, λ∗)Z(x∗) ist positiv semidefinit.

Hinreichende Bedingungen konnen in ahnlicher Weise bestimmt werden (s. [Gill]):

Hinreichende Bedingungen fur das Minimum von (7):

1. G(x∗) = 0;


3. Z(x∗)T W (x∗, λ∗)Z(x∗) ist positiv definit.

33


Nichtlineare Ungleichungsnebenbedingungen.Es wird das Problem betrachtet, wo alle Nebenbedingungen nichtlineare Ungleichungen sind:

minx∈Rn

f(x) , (13)

bezuglichGi(x) ≥ 0, i = 1, ..., s .

In diesem Fall, muss man die Menge der nichtlinearen Ungleichungsbedingungen, die genau Nullim optimalen Punkt x∗ sind, bestimmen. Man sagt, die Nebenbedingung Gi(x) ≥ 0 ist aktivim x∗, wenn Gi(x

∗) = 0, und unaktiv, wenn Gi(x∗) > 0. Nur die aktiven Nebenbedingungen

beschranken zulassige Storungen im x∗, weil eine unaktive Nebenbedingung innerhalb einergenugend kleinen Umgebung genau erfullt bleibt.

Wenn man vermutet, dass die i-te Nebenbedingung in x aktiv ist, d.h. Gi(x) = 0, dann gibtes zwei Typen der zulassigen Bogen aus x (die Definition wie fruher) bezuglich einer aktivenUngleichungsnebenbedingung.

Der erste: Die zulassigen Bogen α(θ), die die Nebenbedingung aktiv lassen, d.h.

Gi(α(θ)) = 0, ∀ θ ≥ 0 .

Dann muss die Tangente p zum Bogen die Gleichung

aTi p = 0

erfullen. Solche Bogen werden bindende Storungen bezuglich i-ter Nebenbedingung genannt.Der zweite: Die zulassigen Bogen α(θ), die die Nebenbedingung unaktiv machen, d.h.

Gi(α(θ)) > 0, ∀ θ > 0 .

In dem Fall muss die Tangente p zum Bogen die Ungleichung

aTi p > 0

erfullen. Solche Bogen werden nicht bindende Storungen bezuglich i-ter Nebenbedingung ge-nannt.

Um die notwendige Bedingung der Optimalitat bezuglich (13) abzuleiten, muss man wiederannehmen, dass die Funktionen der Nebenbedingungen Einschrankungen in x∗ genugen. Eswird durch den Vektor G(x∗) die Menge von t Funktionen der Nebenbedingungen, die in x∗

aktiv sind, bezeichnet, und durch A(x∗) die Matrix, deren Zeilen ai, (i = 1, ..., t) transponierteGradienten der aktiven Nebenbedingungen sind. Wenn A(x∗) den vollen Rang hat, dann ist dieEinschrankung der Nebenbedingungen in x∗ erfullt.

Sei Z eine Matrix, deren Spalten die Basis fur die Menge der Vektoren, die den Zeilen vonA(x) orthogonal sind, bilden. Jeder Vektor p, der die Gleichung Ap = 0 erfullt, kann als lineareKombination der Spalten von Z dargestellt werden, p = ZpZ .

Die Teylor-Entwicklung von f um x∗ entlang einer bindenden Storung p = ZpZ :

f(x∗ + ǫZpZ) = f(x∗) + ǫpTZZT g(x∗) +

1

2ǫ2pT

ZZT B(x∗ + ǫθp)ZpZ , (14)

34


mit 0 ≤ θ ≤ 1, und ǫ ist ohne Beschrankung der Allgemeinheit positiv. Die Entwicklung (14)zeigt, dass, wenn pT

ZZTg(x∗) nicht Null fur alle pZ ist, kann x∗ ein lokales Minimum nichtsein. Also eine notwendige Bedingung der Optimalitat von x∗ ist, dass ZT g(x∗) = 0, oder, dasgleiche,

g(x∗) = AT λ∗ . (15)

Die Bedingung (15) gewarleistet, dass f entlang allen bindenden Storungen aus x∗ stazionarist. Aber, weil nicht bindende Storungen auch zulassige Bogen bezuglich aktiver Ungleichungs-bedingungen sind, ist der Punkt x∗ nicht optimal, wenn es nicht bindende Storung mit einerTangente p, die die Richtung der Senkung von f bestimmt, gibt. Wenn solcher Bogen existiert,ist ein genugend kleiner positiver Schritt entlang ihm zulassig und verursacht eine strenge Sen-kung von f . Um diese Moglichkeit zu vermeiden, wird es eine Bedingung erhalten, die sichert,dass fur alle p mit Ap > 0 stimmt, dass g(x∗)T p ≥ 0. Nach (15) ist es bekannt, dass g(x∗) einelineare Kombination der Zeilen von A ist, also die gewunschte Bedingung ist, dass

g(x∗)T p = λ∗

1aT1 p + . . . + λ∗

t aTt p ≥ 0 , (16)

mit aTi p ≥ 0, i = 1, ..., t.

Die Bedingung (16) ist nur dann erfullt, wenn λ∗

i ≥ 0, i = 1, ..., t, d.h. x∗ ist nicht optimal,wenn es negative Lagrange-Faktoren gibt. Um das zu beweisen, wird es vermutet, dass x∗ einlokales Minimum ist (so dass (15) stimmen muss), aber es gibt j fur welches λ∗

j < 0. Weil dieZeilen von A linear unabhangig sind, muss eine nicht bindende Storung mit einer Tangente pexistieren, fur die

aTj p = 1; aT

i p = 0, i 6= j .

Fur solch ein pg(x∗)T p = λ∗

j aTj p = λ∗

j < 0;

damit bestimmt p eine zulassige Richtung der Senkung, was der Optimalitat von x∗ wider-spricht. So ist eine notwendige Bedingung fur die Losung von (13), dass alle Lagrange-Faktorennicht negativ sein mussen.

Es kann auch die notwendige Bedingung zweiter Ordnung erhalten, die ist, dass die Matrix

Z(x∗)TW (x∗, λ∗)Z(x∗) ,

mit W (x, λ) = B(x)−∑t

i=1 λiBi(x), Bi(x) enspricht den aktiven Nebenbedingungen, positivdefinit ist.Insgesamt:

Notwendige Bedingungen fur das Minimum von (13):

1. G(x∗) ≥ 0, mit G(x∗) = 0;


3. λ∗

i ≥ 0, i = 1, ..., t;

4. Z(x∗)T W (x∗, λ∗)Z(x∗) ist positiv semidefinit.

35


und, s. [Gill],

Hinreichende Bedingungen fur das Minimum von (13):

1. G(x∗) ≥ 0, mit G(x∗) = 0;


3. λ∗

i ≥ 0, i = 1, ..., t;

4. Z+(x∗)T W (x∗, λ∗)Z+(x∗) ist positiv definit. Hier Z+(x∗) ist eine Matrix, deren Spaltendie Basis fur die Menge der Vektoren, die den Zeilen von A+(x∗) orthogonal sind, bilden;A+(x∗) enspricht den aktiven Nebenbedingungen mit positiven Lagrange-Faktoren.

Wenn ein restringiertes Problem Gleichungs- und Ungleichungsnebenbedingungen gleich-zeitig beinhaltet, sind die Bedingungen der Optimalitat eine Kombination von denen, die deneinzelnen Fallen entsprechen. In einem gemischten Problem werden den aktiven Nebenbedin-gungen alle Gleichungen sowie alle bindenden Ungleichungen zugerechnet, und es gibt keineEinschrankungen auf Zeichen der Lagrange-Faktoren, die den Gleichungsnebenbedingungenentsprechen.

Die Losung der KT Gleichungen bildet die Basis fur viele nichtlinearen Programmierungsal-gorithmen. Diese Algorithmen versuchen, Lagrange-Faktoren direkt zu berechnen. RestringierteQuasi-Newton Methoden garantieren durch das Ansammeln bezuglich KT Gleichungen Infor-mationen zweiter Ordnung superlineare Konvergenz. Solche Methoden werden normalerweiseSequential Quadratic Programming (SQP) Methoden genannt, weil ein QP Unterproblem beijeder Hauptiteration gelost wird (sind auch als ’Iterative Quadratic Programming’, ’RecursiveQuadratic Programming’, und ’Constrained Variable Metric methods’ bekannt).

6.3 Sequential Quadratic Programming (SQP).

Uberblick: SQP Methoden stellen eine moderne in der nichtlinearen Programmierung Metho-de dar. Bei jeder Hauptiteration wird durch eine Quasi-Newton-Aktualisierung Methode eineApproximation der Hessematrix der Lagrange-Funktion gemacht. Sie wird dann benutzt, umein QP Unterproblem zu generieren, dessen Losung zum Bilden einer Suchrichtung fur eine ’linesearch procedure’ verwendet wird.

Ist das Problem als GP (Gl. (6)) gestellt, ist die Hauptidee ein auf der quadratischen Ap-proximation der Lagrange-Funktion

L(x, λ) = f(x)− λT G(x)

basiertes QP Unterproblem zu formulieren. Das QP Unterproblem wird durch die Linearisierungder nichtlinearen Nebenbedingungen erhalten.

Wenn die oben genannten hinreichenden Bedingungen erfullt sind, ist x∗ ein Minimum derLagrange-Funktion innerhalb des Unterraums von Vektoren, die den Gradienten der aktiven

36


Nebenbedingungen orthogonal sind. Diese Eigenschaft hinweist, dass x∗ als die Losung eineslinear restringierten Unterproblems bestimmt werden kann; dabei ist die Zielfunktion des Un-terproblems (wird durch ΦLC bezeichnet) mit der Lagrange-Funktion gebunden, und die lineareNebenbedingungen werden so ausgewahlt, dass die Minimierung nur innerhalb des gewunschtenUnterraums stattfindet.

Die Klasse der projizierten Lagrange-Methoden nimmt Algorithmen auf, die eine Reihenfolgevon auf der Lagrange-Funktion basierten linear restringierten Unterproblemen enthaltet. Undweil ΦLC auf der Lagrange-Funktion basiert, schließt die Methode Abschatzungen der Lagrange-Faktoren ein.

Weil ein linear restringiertes Unterproblem selbst ein restringiertes Optimierungsproblem ist,ist es sinnvoll, dass die Lagrange-Faktoren des Unterproblems die Abschatzung der Lagrange-Faktoren des Ausgangsproblems liefern sollten. Es wird durch λk die Abschatzung des Faktors,die zum Festlegen des Unterproblems in xk benutzt wird, bezeichnet. Eine gewunschte Eigen-schaft des Unterproblems ist, dass wenn xk = x∗ und λk = λ∗, soll x∗ das Unterproblem losen,und λ∗ sein Lagrange-Faktor sein.

6.3.1 Definition des Unterproblems.

Durch den G wird der Vektor bezeichnet, der nur aktive in dem Losungspunkt Nebenbedin-gungen beinhaltet. Annehmen, dass q ein Schritt zu x∗ aus dem nicht optimalen Punkt xk ist.Dann

G(x∗) = G(xk + q) = 0 .

Um eine Annaherung x fur x∗ zu berechnen, wird es eine Teylor-Entwicklung von G um xk

betrachtet:G(x∗) = Gk + Ak(x

∗ − xk) + O(‖x∗ − xk‖2) = 0 , (17)

wo Gk und Ak bezeichnen G(xk) und A(xk). Dann die lineare Annahrung fur G aus (17) gibtdie folgende Menge der linearen Nebenbedingungen, die in x zu erfullen sind:

Ak(x− xk) = −Gk . (18)

Wenn das Problem der folgenden Form betrachtet wird:

minx∈Rn

ΦLC (19)

Akx = −Gk + Akxk ,

sind die Bedingungen der Optimalitat erster Ordnung, dass

Akx∗ = −Gk + Akxk , (20)

und∇ΦLC(x∗

k) = ATk λ∗

k , (21)

wo durch x∗

k und λ∗

k die Losung des Problems (19) und seine Lagrange-Faktoren bezeichnetwerden.

Zusatzlich, die notwendige Bedingung zweiter Ordnung ist, dass ZTk ∇

2ΦLC(x∗

k)Zk positivsemidefinit sein muss, wobei Zk wie ublich bezuglich Ak definiert wird.

37


6.3.2 Quadratische Optimierung, QP Unterproblem.

Es wird eine Klasse der Methoden betrachtet, wo ΦLC als eine quadratische Funktion spezia-lisiert ist, und so ist das Unterproblem ein QP Unterproblem. Fur solche Unterprobleme istes ublich, dass die Losung des Unterproblems nicht selbst xk+1, sondern der Schritt von xk inxk+1, oder die Richtung, in welcher der nachste Punkt xk+1 gesucht wird, ist.

Bezeichnen durch t die Anzahl der aktiven Nebenbedingungen und durch G(x) der Vektorder Funktionen der aktiven Nebenbedingingen. Fur die k-te Iteration hat ein typisches QPUnterproblem die folgende Form:

minp∈Rn

dTk p +

1

2pT Hkp , (22)

Ckp = bk .

Methoden, die ein QP Unterproblem solcher Form einschließen, werden Sequential QuadraticProgramming (SQP) Methoden genannt. Es wird angenommen, dass (22) ein gultiges Unter-problem ist, und seine Losung wird durch pk bezeichnet. Das Problem (22) ist ein restringiertesOptimierungsproblem und seine Lagrange-Faktoren (werden durch ηk bezeichnet) erfullen

Hkpk + dk = CTk ηk . (23)

Wenn xk nah zu x∗ ist, kann ein QP Unterproblem durch die gleiche wie im Paragraph6.3.1 Begrundung entwickelt. Insbesondere eine lineare Interpolation von G durch seine Taylor-Entwicklung um xk ergibt die Menge von Nebenbedingungen

Akp = −Gk ,

wo Gk der Vektor von Werte der aktiven Nebenbedingungen in xk ist, und die Zeilen von Ak

ihre Gradienten enthalten.Die quadratische Funktion in (22) kann als eine quadratische Approximation der Lagrange-

Funktion interpretiert werden. Die Matrix Hk wird als eine Approximation von Hessematrixder Lagrange-Funktion betrachtet. Man konnte dann vermuten, dass der Vektor dk in (22) alsder Gradient der Lagrange-Funktion, gk − AT

k λk, wo λk die laufende Abschatzung von λ∗ ist,genommen werden sollte. Aber weil die Losung von (22) unverandert bleibt, wenn der Vektor dk

beliebige Kombinationen der Zeilen von Ak beinhaltet (s. die Bedingung der Optimalitat (21)),wird dk normalerweise einfach als gk, der Gradient von f in xk, genommen. Diese Modifikationbedeutet, dass die Lagrange-Faktoren ηk (s. (23)) des QP Unterproblems als eine Abschatzungder Lagrange-Faktoren des Ausgangsproblems genommen werden konnen.

6.3.3 Der SQP Algorithmus.

Insgesamt wird der vereinfachte SQP Algorithmus folgendermaßen formuliert.Es wird einen Startpunkt x0 und einen Startvektor der Lagrange-Faktoren λ0 gegeben,

k = 0. Die folgenden Schritten werden wiederholt:

SQP1 [Prufung der Beendigungskriterien] Wenn xk die Bedingung der Optimalitat erfullt,wird der Algorithmus mit xk als die Losung beendet.

38


SQP2 [Losung des QP Unterproblems] Durch pk wird die Losung des quadratischen Pro-gramms

minp∈Rn

gTk p +

1

2pT Hkp ,

Akp = −Gk .

bezeichnet. Die Definition von Hk hangt von xk und λk ab.

SQP3 [Aktualisierung der Abschatzung der Losung] Es wird xk+1 ← xk +αkpk eingesetzt, λk+1

berechnet, k ← k + 1 eingesetzt. Hier αk ist ein Parameter der Schrittlange, der durcheine geeignete ’line search procedure’ so bestimmt wird, dass eine hinreichende Senkungder merit-Funktion (s. weiter) erreicht wird. Dann geht man zum Schritt SQP1 zuruck.

Die Matrix Hk ist eine positiv definite Approximation der Hessematrix der Lagrange-Funktion.Hk kann durch beliebige von Quasi-Newton Methoden aktualisiert werden, obwohl die Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) Methode am popularsten ist und auch in diesem Algorith-mus benutzt wird.

Es bleibt noch zu klaren:

• Aktualisierung der Hessematrix der Lagrangian-Funktion,

• Losung des QP Unterproblems,

• ’Line search’ und merit-Funktion.

6.4 Aktualisierung der Hessematrix, Broyden-Fletcher-Goldfarb-

Shanno (BFGS) Formel.

Der Algorithmus besiert auf einem quadratischen Modell einer Zielfunktion f . Es gibt zweibedeutende Begrundungen fur die Wahl des quadratischen Modell: seine Simplizitat und, waswichtiger ist, die Effizienz in der Praxis von Methoden, die darauf basieren.

Wenn erste und zweite Ableitungen von f verfugbar sind, ein quadratisches Modell derZielfunktion kann erhalten werden, wenn man drei Glieder der Taylor-Entwicklung um demaktuellen Punkt nimmt, d.h.

f(xk + p) ≈ fk + gTk p +

1

2pT Hkp . (24)

Das Minimum der rechten Seite von (24) wird erreicht, wenn pk ein Minimum der folgendenquadratischen Funktion ist:

Φ(p) = gTk p +

1

2pT Hkp . (25)

Der stazionare Punkt pk von (25) erfullt das lineare System

Hkpk = −gk . (26)

Ein Algorithmus, wo pk durch (26) definiert ist, wird Newton-Methode genannt, und die Losungvon (26) heißt die Newton-Richtung.

39


Der Grund des Erfolgs von Newton-Typ Methoden ist die Information uber die Krummung,die durch Hessematrix gestellt wird, was ermoglicht, ein lokales quadratisches Modell der Ziel-funktion f zu entwickeln. Quasi-Newton Methoden basieren auf der Idee des Aufbaus der Infor-mation uber die Krummung durch das Benutzen des beobachteten Verhaltens der Zielfunktionf und ihrer Gradient g. Merken, dass das im Gegensatz zu Newton-Typ Methoden steht, wodie gesamte Information uber die Krummung in einem einzelnen Punkt berechnet wird. DieTheorie von Quasi-Newton Methoden basiert auf der Tatsache, dass eine Approximation derKrummung einer nichtlinearen Funktion berechnet werden kann, ohne Hessematrix direkt zubilden.

Bezeichnen den Schritt aus xk durch sk und betrachten die Taylor-Entwicklung der Gradient-Funktion um xk entlang sk:

g(xk + sk) = gk + Hksk + . . . .

Die Krummung von f entlang sk wird durch sTk Hksk bestimmt, was durch die Information nur

erster Ordnung approximiert werden kann:

sTk Hksk ≈ (g(xk + sk)− gk)

T sk . (27)

Diese Beziehung ware genau fur die quadratische Modellfunktion von (24).Am Anfang der k-ten Iteration der Quasi-Newton Methode, ist eine approximierte Hesse-

matrix Hk vorhanden, die die schon gesammelte Information uber die Krummung wiedergibt.Wenn Hk als die Hessematrix einer quadratischen Modellfunktion genommen ist, ist die Such-richtung pk eine Losung eines linearen Systems, das dem System (26) analog ist:

Hkpk = −gk . (28)

Die Anfangsapproximation H0 der Hessematrix wird normalerweise als die Einheitsmatrix ge-nommen, wenn keine zusatzliche Information vorhanden ist.

Nachdem xk+1 berechnet wurde, wird eine neue Approximation Hk+1 durch eine Aktualisie-rung von Hk erhalten, um die neue Information zu berucksichtigen. Eine Aktualisierungsformelist eine Definition von Hk+1 in der Form:

Hk+1 = Hk + Uk ,

wo Uk eine Aktualisierungsmatrix ist. Bezeichnen die Anderung von x wahrend der k-ten Ite-ration durch den Vektor sk (sk ≡ xk+1−xk ≡ αkpk), und die Anderung des Gradients durch yk

(yk ≡ gk+1−gk). Die standarde erforderliche Bedingung fur die Approximation der Hessematrixist dass sie die Krummung von f entlang sk approximieren soll. Nach (27) muss Hk+1 dann sogenannte Quasi-Newton Bedingung

Hk+1sk = yk (29)

erfullen.Wahrend einer einzelnen Iteration wird neue Information uber das Verhalten zweiter Ord-

nung von f nur entlang einer Richtung herausbekommen, also es ist zu erwarten, dass Hk+1

und Hk unterscheiden sich durch eine Matrix mit einem geringen Rang. Tatsachlich, die Quasi-Newton Bedingung kann durch die Addition einer Matrix mit Rang 1 zu Hk erfullt werden.Annehmen, dass

Hk+1 = Hk + uvT , (30)

40


fur einige Vektoren u und v. Nach der Quasi-Newton-Bedinging (29) stimmt:

Hk+1sk = (Hk + uvT )sk = yk , oder u(vTsk) = yk − Hksk ,

und folglich muss u in der Richtung yk− Hksk sein. Annehmen, dass yk dem Hksk nicht gleichist (sonst Hk genugt schon der Quasi-Newton Bedingung). Fur beliebigen Vektor v, mit vTsk

nicht Null, wird der Vektor u durch (1/vT sk)(yk − Hksk) gegeben, und Hk+1 wird durch diefolgende Gleichung definiert:

Hk+1 = Hk +1

vT sk

(yk − Hksk)vT . (31)

Wenn es ein beliebiger Vektor w, der dem Vektor sk orthogonal ist, gegeben, vernichtetdie Matrix zwT mit Rang 1 den Vektor sk. Folglich bleibt die Quasi-Newton Bedingung (29)stimmen, wenn weitere Matrizen mit Rang 1 der Form zwT zu Hk+1 addieren werden (obwohldie Elementen von Hk+1 durch jede zusatzliche Matrix naturlich geandert werden). Weil dieQuasi-Newton Bedingung die Aktualisierungsmatrix nicht eindeutig definiert, werden gewohn-lich weitere Bedingungen verhangt, damit Hk+1 bestimmte erwunschte Eigenschaften hat.

6.4.1 Symmetrie.

Weil die Hessematrix symmetrisch ist, ist es sinnvoll zu fordern, dass jede Approximation derHessematrix auch symmetrisch ist. Also man strebt nach Aktualisierungen, die die Eigenschaftder vererblichen Symmetrie besitzen, d.h. Hk+1 ist symmetrisch, wenn Hk symmetrisch ist. Fureine Aktualisierung mit Rang 1 bestimmt die Anforderung der Vererbung der Symmetrie dieAktualisierung eindeutig. Damit die Aktualisierung (30) die Symmetrie von Hk erhaltet, mussv ein Vielfaches von u sein. Die Aktualisierung mit Rang 1 (31) wird dann zu

Hk+1 = Hk +1

(yk − Hksk)T sk

(yk − Hksk)(yk − Hksk)T ,

mit yk − Hksk und (yk − Hksk)T nicht Null. Diese Aktualisierung heißt die symmetrische Ak-

tualisierung mit Rang 1 .Weil es nur einzige symmetrische Aktualisierung mit Rang 1 gibt, mussen Aktualisierungs-

matrizen mit Rang 2 zugelassen werden, um andere Aktualisierungen mit der vererblichenSymmetrie zu untersuchen. Eine Methode der Entwicklung der symmetrischen Aktualisierun-gen ist die Folgende. Betrachten eine symmetrische Matrix Hk, definieren H(0) = Hk und baueneine aktualisierte Matrix H(1) durch das Benutzen der allgemeinen Aktualisierung mit Rang 1(30), d.h.

H(1) = H(0) + uvT , vTsk 6= 0 .

Die Matrix H(1) erfullt die Quasi-Newton Bedingung, ist aber nicht symmetrisch. Deswegensymmetrisiert man sie mit der folgenden Matrix H(2) als Ergebnis:

H(2) =1

2(H(1) + H(1)T ) .

Die Matrix H(2) erfullt aber im Allgemeinen die Quasi-Newton Bedingung nicht, und derVorgang wird wiederholt. Auf diese Weise wird eine Reihe von aktualisierten Matrizen gebildet:

41


fur j = 0, 1, ...

H(2j+1) = H(2j) +1

vT sk

(yk − H(2j)sk)vT ,

H(2j+2) =1

2(H(2j+1) + H(2j+1)T ) .

Die Reihe H(j) hat einen Grenzwert:

Hk+1 = Hk +1

vT sk

(

(yk − Hksk)vT + v(yk − Hksk)

T)

−(yk − Hksk)

T sk

(vT sk)2vvT . (32)

Die Aktualisierungsmatrix in (32) hat Rang 2 und ist wohldefiniert fur beliebigen Vektor v,der dem Vektor sk nicht orthogonal ist.

Wenn v als yk genommen wird, wird (32) zu der Davidon-Fletcher-Powell (DFP) Aktuali-sierung

Hk+1 = Hk −1

sTk Hksk

HksksTk Hk +

1

yTk sk

ykyTk + (sT

k Hksk)wkwTk ,

mit

wk =1

yTk sk

yk −1

sTk Hksk

Hksk .

Es kann durch das direkte Einsetzen festgestellt werden, dass der Vektor wk dem sk orthogonalist. Also ein Vielfaches der Matrix mit Rang 1 wkw

Tk kann zu Hk+1 addiert werden, ohne die

Quasi-Newton Bedinging (29) zu verletzen. Diese Beobachtung fuhrt zu der ’one-parameter’Familie der Aktualisierungen

Hφk+1 = Hk −

1

sTk Hksk

HksksTk Hk +

1

yTk sk

ykyTk + φk(s

Tk Hksk)wkw

Tk ,

wobei der Skalar φk von yk und Hφk sk abhangt.

Betrachtliche Untersuchungen wurden durchgefuhrt um zu bestimmen, ob eine spezielleAuswahl von φk zu der ’besten’ Aktualisierung fuhrt. Man glaubt, dass die effektivste Ak-tualisierung von dieser Klasse der Formeln der Wahl φk ≡ 0 entspricht. Die Schlußformel derAktualisierung, die Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) Aktualusierung heißt, ist die Fol-gende:

Hk+1 = Hk −1

sTk Hksk

HksksTk Hk +

1

yTk sk

ykyTk . (33)

6.4.2 Positive Definitheit.

Weil ein stazionarer Punkt x∗ von f ein strenges lokales Minimum ist, wenn die Hessematrix inx∗ positiv definit ist, ist es gewunscht, dass die Matrizen Hk auch positiv definit sind. Zudemwenn Hk positiv definit ist, hat das lokale quadratische Modell ein einziges lokales Minimumund die berechnete nach (28) Suchrichtung pk ist eine Richtung der Senkung. So ist es ublichanzufordern, dass alle Formeln der Aktualisierung die Eigenschaft der vererblichen positivenDefinitheit besitzen, d.h. wenn Hk positiv definit ist, ist Hk+1 positiv definit.

42


Es kann bewiesen werden (s. [Gill]), dass die BFGS Aktualisierung die Eigenschaft dervererblichen positiven Definitheit genau dann hat, wenn

yTk sk > 0 . (34)

Wenn es keine Nebenbedingungen gibt, ist es immer moglich, die Schrittlange so auszuwahlen,dass (34) erfullt ist. Fur den Fall der Nebenbedingungen kann das sein, dass yT

k sk fur alle α > 0negativ ist, was z.B. durch die foldenden Anderungen bewaltigt werden kann (s. [Pow2]).

zk = θkyk + (1− θk)Hksk, 0 ≤ θk ≤ 1 ,

mitsT

k zk ≥ 0.2sTk Hksk .

Hier der Faktor 0.2 wurde aus Erfahrung gewahlt. Dabei hat θk den Wert

θk =

{

1 , sTk yk ≥ 0.2sT

k Hksk ,0.8 sT

kHksk

sTk

Hksk−sTk

yk, sT

k yk < 0.2sTk Hksk .

Die BFGS Formel (33) wird zu

Hk+1 = Hk −1

sTk Hksk

HksksTk Hk +

1

zTk sk

zkzTk .

6.4.3 Implementierung in SQP und fmincon.

Bei jeder Hauptiteration wird durch BFGS Methode eine positiv definierte Quasi-Newton Ap-proximation der Hassematrix H der Lagrange-Funktion (12) berechnet. Durch λ wird eineAbschatzung der Lagrange-Faktoren bezeichnet.

Hk+1 = Hk −1

sTk Hksk

HksksTk Hk +

1

yTk sk

ykyTk ,

mit

sk = xk+1 − xk ,yk = ∇f(xk+1)− λT∇Gi(xk+1)−

(

∇f(xk)− λT∇Gi(xk))

.

Eine positiv definierte Hessematrix in der MATLAB-Funktion fmincon wird erreicht, durchein positives yT

k sk, welches bei jeder Aktualisierung mit geliefert wird. Damit muss H als einepositiv definierte Matrix initialisiert werden. Wenn yT

k sk nicht positiv ist, wird yk so geandert,dass yT

k sk > 0. Das Hauptziel dieser Modifikation ist es die Elemente von yk, die zu positiv de-finierter Aktualisierung beitragen, moglichst wenig zu entstellen. Deshalb in der Anfangsphaseder Modifikation wird das negativste Element von yT

k sk wiederholt halbiert. Diese Prozedurwird bis yT

k sk großer oder gleich 1e−5 ist fortgefahren. Wenn nach dieser Prozedur yTk sk immer

43


noch nicht positiv ist, wird yk durch die Addition eines Vektors v mit einem konstanten skalarenFaktor w geandert, d.h.

yk = yk + wv

mit

vi = ∇gi(xk+1) gi(xk+1)−∇gi(xk) gi(xk) , wenn (yk)i w < 0 und (yk)i(sk)i < 0 (i = 1, . . . , m) ,vi = 0 sonst,

und w wird erhoht, bis yTk sk positiv ist.

6.5 Losung des QP Unterproblems, Implementierung in fmincon.

Bei jeder Hauptiteration der SQP Methode wird ein Problem der folgenden Form gelost.

mind∈Rn

q(d) =1

2dT Hd + cT d , (35)

Aid = bi , i = 1, . . . , me ,Aid ≤ bi , i = me + 1, . . . , m .

Hier Ai bezeichnet die i. Zeile der m× n Matrix A.Die verwendete in der Optimization Toolbox Methode ist eine ’active set strategy’, die der

in [Gill2] and [Gill3] beschriebene Strategie ahnlich ist. Sie wurde fur LP und QP Problememodifiziert.

Der Losungsverfahren schließt zwei Phasen ein. Die erste Phase ist die Berechnung eineszulassigen Punktes. Die zweite ist die Bildung einer iterativen Reihe von zulassigen Punkten,die zur Losung konvergiert. In dieser Methode wird eine aktive Menge Ak so erstellt, dass sieaktive Nebenbedingungen im Losungspunkt abschatzt.

Ak wird bei jeder Iteration k aktualisiert, was zum Bilden einer Basis fur eine Suchrichtungdk benutzt wird. Gleichungsnebenbedingungen bleiben immer in der aktiven Menge Ak.

Die berechnete Suchrichtung dk minimiert die Zielfunktion solang man an dem Rand deszulassigen Bereiches bleibt. Der zulassige Unterraum fur dk wird aus einer Basis Zk gebildet,wobei die Spalten von Zk der Abschatzung der aktiven Menge Ak orthogonal sind (d.h., AkZk =0).

Die Matrix Zk wird aus den letzten (m − l) Spalten der QR Zerlegung der Matrix ATk

gebildet, wo l die Anzahl der aktiven Nebenbedingungen und l < m ist. D.h.

Zk = Q[:, (l + 1) : m] (36)

mit

QT ATk =

[

R0

]

.

Ist Zk gefunden, wird eine neue Suchrichtung dk, die q(d) minimiert, im Null-Raum deraktiven Nebenbedingungen bestimmt. So ist dk eine lineare Kombination der Spalten von Zk:dk = Zkp fur einen Vektor p.

44


Betrachtet man q(d) als eine Funktion von p, hat man durch den Ersatz fur dk

q(p) =1

2pT ZT

k HZkp + cT Zkp .

Folglich∇q(p) = ZT

k HZkp + ZTk c .

∇q(p) wird der projizierte Gradient der quadratischen Funktion genannt, weil das der aufden Unterraum projizierte Gradient ist, wobei der Unterraum durch Zk definiert ist. ZT

k HZk

heißt die projizierte Hessematrix . Ist die Hessematrix H positiv definiert, erreicht die Funktionq(p) sein Minimum in dem durch Zk definierten Unterraum bei ∇q(p) = 0, d.h. ist die Losungdes Systems linearer Gleichungen

ZTk HZkp = −ZT

k c .

Ein Schritt wird dann in der folgenden Form genommen:

xk+1 = xk + αdk, mit dk = ZTk p .

Weil die Zielfunktion quadratisch ist, gibt es bei jeder Iteration nur zwei Moglichkeitenfur Lange des Schrittes α. Ein Schritt der Lange α = 1 entlang dk ist genau der Schritt zumMinimum der Funktion, die auf den Null-Raum von Ak begrenzt wurde. Wenn solch einenSchritt genommen werden kann, ohne die Nebenbedingungen zu verletzen, dann ist das dieLosung von QP (Gl. (35)). Sonst ist der Schritt zur nachsten Nebenbedingung entlang dk

kurzer als die Eins und die neue Nebenbedingung wird bei der nachsten Iteration in die aktiveMenge eingesetzt. Die Distanz bis zum Rand des zulassigen Bereiches in jeder Richtung dk wirdfolgendermaßen gegeben:

α = mini

{

−(Aixk − bi)

Aidk

}

, (i = 1, . . . , m)

was fur Nebenbedingungen, die sich nicht in der aktiven Menge befinden, definiert ist, und wodk in der Richtung zum Rand des zulassigen Bereiches ist, d.h. Aidk > 0, i = 1, . . . , m.

Wenn es n unabhangige Nebenbedingungen in der aktiven Menge gibt, werden Lagrange-Faktoren λk berechnet, die dem nichtlinearen System von Gleichungen

ATk λk = c

genugen.Sind alle λk positiv, ist xk die optimale Losung von QP (Gl. (35)). Wenn aber eine beliebige

Komponente von λk, die keiner Gleichungsnebenbedingung enspricht, negativ ist, wird dasentspechende Element aus der aktiven Menge entfernt und eine neu Iteration fangt an.

Initialisierung. Der Algorithmus verlangt einen zulassigen Punkt zum Starten. Wenn deraktuelle Punkt von der SQP-Methode unzulassig ist, kann einen Punkt durch die Losung desfolgenden LP Problems gefunden werden:

minγ∈R, x∈Rn

γ (37)

45


Aix = bi, i = 1, . . . , me ,Aix − γ ≤ bi, i = me + 1, . . . , m .

Hier Ai bezeichnet die i-te Zeile der Matrix A. Man kann einen zulassigen fur Gl. (37) Punktbekommen (wenn einer existiert), wenn x als ein Wert, der die Gleichungsnebenbedingungenerfullt, genommen wird. Dieser Wert kann durch die Losung eines ’under-’ oder ’overdetermined’Systems linearer Gleichungen, das aus der Menge der Gleichungsnebenbedingungen gebildetwird, bestimmt werden. Wenn es eine Losung dieses Problems gibt, wird die ’slack’ Variable γauf den maximalen Wert der Ungleichungsnebenbedingungen in diesem Punkt gesetzt.

Man kann den vorstehenden QP Algorithmus fur LP Problem modifizieren, wobei bei jederIteration als Suchrichtung die ’steepest descent’ Richtung genommen wird. Durch gk wird derGradient der Zielfunktion bezeichnet.

dk = −ZkZTk gk ,

Ist ein zulassiger Punkt durch die LP Methode gefunden, ist die haupte QP Phase erfasst.Die Suchrichtung dk wird mit einer Suchrichtung d1 initializiert, die aus der Losung des Systemslinearer Gleichungen

Hd1 = −gk ,

erhalten wird. Hier ist gk der Gradient der Zielfunktion bei der laufenden Iteration xk (d.h.,Hxk + c).

Wenn eine zulassige Losung des QP Problems nicht gefunden wurde, nimmt man als dieSuchrichtung dk fur die SQP Methode eine, die γ minimiert.

6.6 ’Line Search’ und Merit-Funktion.

Die Losung der QP Unterproblem gibt einen Vektor heraus, der zum Bilden einer neuen Itera-tion

xk+1 = xk + αdk

benutzt wird. Der Parameter der Schrittlange α ist sehr wichtig, weil er die Konvergenz voneinem schlechten Anfangswert gewarleistet. Die Wahl des Parameters der Schrittlange wirddurch die Tatsache, dass nicht nur die Zielfunktion verringert werden muss, sondern auch dieNebenbedingungen muss man erfullen, kompliziert gemacht. Das furt dazu, dass statt der Mi-nimierung der Zielfunktion f , wird eine merit-Funktion der folgenden Form minimiert:

Ψ(x) = f(x) + P [G(x)] , (38)

wobei P[G(x)] Null ist, wenn die Nebenbedingungen erfullt sind, und ist positiv andernfalls.Weil die Algorithmen fur die Minimierung der Funktion mehrerer Variablen direkt zu Ψ(x)angewendet werden, wurden Erweiterungen gemacht, damit Ψ(x) differenzierbar ist. Das er-folgreichste Verfahren solches Types ist die ’augmented’ Lagrangian-Methode. Han [Han] hataber gezeigt, dass die Differenzierbarkeit nicht notwendig ist, wenn die Funktion Ψ nur alsHilfsmittel zur Auswahl des Parameter der Schrittlange benutzt wird. Nach diesem Hinweis (s.[Pow2]) wird eine merit-Funktion der folgenden Form genommen:

Ψ(x, r) = f(x) +

me∑

i=1

ri |Gi(x)|+

m∑

i=me+1

ri |min {0, Gi(x)}| , (39)

46

7 ERGEBNISSE DER OPTIMIERUNG.

mit der Anforderung, dass der Wert von α in (38) die Bedingung

Ψ(xk+1, rk) < Ψ(xk, rk) (40)

erfullt. Die Komponenten von r werden spater definiert.Man kann die Bedingung (40) erhalten, wenn die Funktion

Θ(α) = Ψ(xk + αdk, rk)

am Anfang sinkt, wenn α positiv wird. Han [Han] hat bewiesen, dass das passiert, wenn dieHessematrix B von f positiv definit ist und wenn die Ungleichungen

ri ≥ |λi| , i = 1, 2, ... (41)

gelten, wobei λ der Vektor der Lagrange-Faktoren, die durch die Losung des QP-Unterproblems(fur dk) erhalten wurden, ist. Han hat auch gezeigt, dass, wenn r die Bedingung (41) fur alleIterationen erfullt, kann die Konvergenz zu der Losung aus entfernten Anfangsapproximationenerreicht. Also er behauptet, dass r ein genug großer konstanter Vektor ist.

Powell [Pow] vermerkt, dass ein konstanter Vektor, der den Bedingungen (41) bei allenIterationen genugt, uneffizient sein kann, weil es passieren kann, dass fur die meisten Iterationenr viel großer als notwendig ist. In diesen Fallen gibt man zu viel Gewicht zum Erfullen derNebenbedingungen. Diese Situation tritt auf, wenn die Anfangswahl von B zu groß ist, weil eseinen Beitrag in λ gibt, der dem B proportional ist. Folglich, Powell [Pow] behauptet, |r| gleich|λ| fur jede Iteration zu nehmen.

Weitere numerische Untersuchungen zeigen, dass es vorteilhaft sein kann, wenn die positiveBeitrage von einigen Ungleichungsnebenbedingungen, die nicht aktiv in der Losung des QPUnterproblems (das λ und pk herausgibt) sind, beinhalten werden. Also der folgende Wert vonr wird zum Benutzen im Algorithmus empfohlen:

ri = (rk+1)i = maxi

{

|λi|,1

2((rk)i + |λi|)

}

, i = 1, . . . , m .

Fur die erste Iteration wird ri in dieser Implementierung auf

ri =‖∇f(x)‖

‖∇Gi(x)‖

festgesetzt, wo ‖ ‖ stellt die Euclidean-Norm dar.

7 Ergebnisse der Optimierung.

Die Optimierung wurde fur zwei unterschiedliche Startpunkte (Dgetst, Dhagst, Dmotst) durch-gefuhrt. Als erster Startpunkt wurde der nach der Untersuchung der Antworten erhaltene Punktdes voraussichtlichen Minimums fur den Fall der konstanten Geschwindigkeit benutzt. Als zwei-ter - ein Punkt, der sicherlich weit vom Minimum liegt. Im Ergebnis wurden zwei ahnliche Werteerhalten, die gut mit den vorausgehenden Abschatzungen ubereinstimmen.

47


Zusatzlich wurde das Optimierungsverfahren mit einem ’schlechten’ Anfangspunkt fur eineHalfte der Energiemenge und fur die verdoppelte Energiemenge durchgefuhrt. Die Ergebnissesind in der Tabelle 2 dargestellt.

Zum Verhalten des Algorithmuses werden auch die Anzahl der Iterationen, die Anzahl derFunktionsbewertungen und die Dauer der gesamten Berechnung in der Tabelle 3 zusammengefasst.

Fur den Fall der zugefuhrten Warmemenge E mit dem ’schlechten’ Startpunkt wird der Wegdes Verfahrens von dem Startpunkt zum Minimum in einer Abbildung (s. Abbildung 24) gezeigt.An den Achsen lassen sich die prozentuale Werte der dem Getriebe, dem Hinterachsgetriebeund dem Motor zugefuhrten Warme ablesen. Die Flache stellt die lineare Nebenbedingung (5)dar, graue Punkte - Werte der Variablen bei den Iterationen. Je dunkler dabei ein Punkt ist,eine desto spatere Iteration bezeichnet er, die rote Linie zeigt den Weg des Verfahrens. Wegender Rauheiten der Zielfunktion fuhren einige Iterationen zur Steigerung des Wertes, was aberdurch den Algorithmus sehr effizient korrigiert wird; aus Grunden der Ubersicht sind dieseIterationen aus dem Weg des Verfahrens entfernt.

Abbildung 24: Die Flache stellt die lineare Nebenbedingung, die Werte der Variablen (zugefuhr-te Warme prozentual) fur alle Iterationen und der Weg des Verfahrens auf der Flache dar.

Um einen Eindruck zu gewinnen, wie die Zielfunktion aussieht, ist noch ein Bild (Abbildung25) dargestellt, bei dem an den Achsen X und Y sich die prozentuale Werte der dem Getriebeund dem Hinterachsgetriebe zugefuhrten Warme ablesen lassen; die dem Motor zugefuhrteWarme wird in dem Fall durch die Formel (5) berechnet und nicht eingezeichnet, um eineDimension fur die Darstellung der Funktion zu sparen. Der Definitionsbereich der Funktion wird

48


Tabelle 2: Ergebnisse der Optimierung.

Energie Startpunkt Q Get Q HAG Q Mot Gewinn[sek] [%] [%] [%] [%]

E (52.3881, 70, 8) 39,59 48,05 12,36 2,348E (0.2, 0.2, 66.0587) 39,97 48,18 11,85 2,3492E (0.2, 0.2, 66.0587) 21,80 27,98 50,22 3,620E/2 (0.2, 0.2, 66.0587) 57,06 42,94 0,00 1,500

Energie - zugefuhrte Warmemenge,

Startpunkt im Format (Dget,Dhag,Dmot),

Q Get, Q HAG, Q Mot - prozentualer Anteil der Energie, der zum Getriebe, zum Hinterachsgetriebe

und zum Motor zugefuhrt wird und den minimalen Verbrauch liefert - das Ergebnis der Optimierung,

Gewinn - der prozentuale Wert, der Gewinn im Verbrauch bezuglich des Falls ohne Warmezugabe.

Tabelle 3: Daten zum Verhalten des Algorithmuses.

Energie Startpunkt Iter FunkBwrt Dauer[sek] [st]

E (52.3881, 70, 8) 33 147 ≈ 105E (0.2, 0.2, 66.0587) 56 259 ≈ 1732E (0.2, 0.2, 66.0587) 44 209 ≈ 135E/2 (0.2, 0.2, 66.0587) 10 64 ≈ 45

Energie - zugefuhrte Warmemenge,

Startpunkt im Format (Dget,Dhag,Dmot),

Iter - Anzahl der Iterationen,

FunkBwrt - Anzahl der Funktionsbewertungen

Dauer - Dauer der gesamten Berechnung.

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durch die graue Schraffierung in der Flache der horizontalen Achsen gezeigt. Um sich die Formder Zielfunktion vorzustellen, ist das auf den Werten von der vorausgehenden Untersuchungdes Modells (s. Kapitel 4, Tabelle 1) basierte grune Gitter dargestellt. Die grauen Punktereprasentieren Werte der Funktion fur alle Iterationen, wobei wieder gilt, je dunkler ein Punktist, eine desto spatere Iteration bezeichnet er, die rote Linie zeigt den Weg des Verfahrens. DieIterationen, bei denen die Funktion steigt, sind auch vom Weg entfernt (das ahnliche Bild, beidem diese Punkte gelassen sind, ist im Anhang, Abbildung 27). Dabei liegen alle grauen Punkteunter dem Gitter, was den Grund hat, dass bei dem Optimierungsverfahren die Warmestromeauf den maximalen Wert gesetzt sind und das einen gewissen Vorteil bringt.

Abbildung 25: Algorithmusverfahren bei der Optimierung der Verteilung von E ∼= 2MJ Warme.

Zum Verstandnis, wie sich der Algorithmus bei den schwierigeren Bedingingen verhalt,sind Optimierungsberechnungen durchgefuhrt, bei denen es mehr Variablen zu optimieren gibt.Zusatzlich wird die Warme zum Kuhlmittel moglichst schnell (Warmestrom 30kW) zugegeben,bis die gesamte Energiemenge E erreicht ist.

Als Startpunkt wurde der Punkt (Dget, Dhag, Dmot, Dkm) = (0.2, 0.2, 0.2, 0.2) genommen, deraußerhalb der Nebenbedingung liegt. Nach etwa zehn Iterationen und 55 Funktionsbewertungenwar der Wert nahe dem Minimum, das man fur den Fall ohne Warmezugabe zum Kuhlmittelerhalt, mit Dkm = 0. Alle folgenden Iterationsschritte mit Dkm 6= 0 fuhrten zur einer Erhohungdes Verbrauchs, weswegen sich das Optimierungsproblem darauf reduziert, der Verbrauch inAbhangigkeit von Dget, Dhag, Dmot bei festem Dkm = 0 zu definieren. Nach 43 Iterationen und230 Funktionsbewertungen wurde die Berechnung mit dem Wert Dkm = 0 und noch zu dembekannten Minimum genaherten Werten von Dget, Dhag, Dmot abgebrochen. Fur diesen Fallbleibt der Algorithmus effizient.

Auf der Basis der Verteilung der Warmemenge von 0 bis 2E = 4MJ fur den Fall der

50


konstanten Geschwindigkeit (Abbildung 23) und durch die aus dem Optimierungsverfahrenherausbekommenen Ergebnisse fur den KV01 fur die Warmemengen E/2, E und 2E (Tabelle2) wird eine Warmeverteilung fur die anderen Warmemengen im Fall KV01 vorgeschlagen.Diese Verteilung wird in der Abbildung 26 mit den roten Linien dargestellt, dabei durch dieroten Punkte die nach der Optimierung erhaltenen Werte bezeichnet werden.

0 1 2 3 40

20

40

60

80

100

Wärmemenge, [MJ]

Wär

mev

erte

ilung

, [%

]

Getriebe

MotorHAG

Abbildung 26: Vorgeschlagene Warmeverteilung fur den KV01.

51

A ANHANG

A Anhang

Abbildung 27: Algorithmusverfahren bei der Optimierung der Verteilung von E ∼= 2MJ Warme.

52

A ANHANG

0 200 400 600 800 1000

0.58

0.6

0.62

0.64

0.66

0.68

0.7

0.72

0.74

Zeit, [s]

Ver

brau

ch, [

g/s]

Versuch A.


Abbildung 28: Validierung: Berechnung des Verbrauchs durch Temperatur. Versuch A.

0 200 400 600 800 1000

0.58

0.6

0.62

0.64

0.66

0.68

0.7

0.72

0.74

Zeit, [s]

Ver

brau

ch, [

g/s]

Versuch B.


Abbildung 29: Validierung: Berechnung des Verbrauchs durch Temperatur. Versuch B.

53

A ANHANG

0 200 400 600 800 1000

0.58

0.6

0.62

0.64

0.66

0.68

0.7

0.72

0.74

Zeit, [s]

Ver

brau

ch, [

g/s]

Versuch C.


Abbildung 30: Validierung: Berechnung des Verbrauchs durch Temperatur. Versuch C.

0 200 400 600 800 1000

0.58

0.6

0.62

0.64

0.66

0.68

0.7

0.72

0.74

Zeit, [s]

Ver

brau

ch, [

g/s]

Versuch D.


Abbildung 31: Validierung: Berechnung des Verbrauchs durch Temperatur. Versuch D.

54

A ANHANG

0 200 400 600 800 100020

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

Zeit, [s]

Tem

pera

tur,

[°C

]

Temperatur des Getriebes

Tmpr basis

Tmpr FrmTmpr Mdl

Abbildung 32: Validierung: Berechnung der Temperaturen durch Warmezugabe. Temperaturdes Getriebes.

0 200 400 600 800 100025

30

35

40

45

50

55

60

65

Zeit, [s]

Tem

pera

tur,

[°C

]

Temperatur des Hinterachsgetriebes

Tmpr basis

Tmpr FrmTmpr Mdl

Abbildung 33: Validierung: Berechnung der Temperaturen durch Warmezugabe. Temperaturdes HAGs.

55

LITERATUR

0 200 400 600 800 100020

30

40

50

60

70

80

90

100

110

Zeit, [s]

Tem

pera

tur,

[°C

]

Temperatur des Motors

Tmpr basisTmpr FrmTmpr Mdl

Abbildung 34: Validierung: Berechnung der Temperaturen durch Warmezugabe. Temperaturdes Motors.

Literatur

[Deus ] N. Deußen, Warmemanagement des Kraftfahrzeuges, Band 2., Expert VerlagGmbH, Renningen-Malmsheim, 2000.

[Flet ] Fletcher, R., Practical Methods of Optimization, John Wiley and Sons, 1987.

[Gill ] Gill, P.E., W. Murray, and M.H.Wright, Practical Optimization, London, AcademicPress, 1981.

[Gill2 ] Gill, P.E., W. Murray, M.A. Saunders, and M.H. Wright, Procedures for Optimi-zation Problems with a Mixture of Bounds and General Linear Constraints, ACMTrans. Math. Software, Vol. 10, pp 282-298, 1984.

[Gill3 ] Gill, P.E., W. Murray, and M.H. Wright, Numerical Linear Algebra and Optimiza-tion, Vol. 1, Addison Wesley, 1991.

[Han ] Han, S.P., A Globally Convergent Method for Nonlinear Programming, J. Optimi-zation Theory and Applications, Vol. 22, p. 297, 1977.

[Kun ] K. Kunze, S. Wolff, I. Lade, J. Tonhauser, A Systematic Analysis of CO2 Reductionby an Optimized Heat Supply During Vehicle Warm-Up., presented: SAE 2006 WorldCongress Exhibition, Detroit, MI, USA, 2006.

56

LITERATUR

[Pow ] Powell, M.J.D., Algorithms for nonlinear constraints that use Lagrangian func-tions., presented at the Ninth International Symposium on Mathematical Program-ming, Budapest, 1976.

[Pow2 ] Powell, M.J.D., A Fast Algorithm for Nonlinearly Constrained Optimization Calcu-lations, Numerical Analysis, G.A.Watson ed., Lecture Notes in Mathematics, SpringerVerlag, Vol. 630, 1978.

[MLH ] MATLAB Hilfedatei.

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