Ortsabhängige Kräfte Bsp.: Rakete im Gravitationsfeld (g nicht const.)

rer

MmGrF

2)( (später mehr)

Nur r-Komp. (Abschuss vom Pol)

v vr

a dv

dt

1

2v2

G M

r C1

{

}M R

re

v0r

h=r-R

Erde

C1 1

2v0

2 GM

R

dv

dr

dr

dt

dv

drv

a dr

v dv

dvv

G M

r 2 dr

1

2v0

2 gR

E1 WS14/15Gaub 1

{

}M R

re

v0r

h=r-R

Erde

G M

R2

v(rmax) 0

rmax R

1 (v0

2

2 R g)

für

v0 2 R g

v0 v2 2 R g Fluchtgeschwindigkeit (2.kosmische Geschwindigkeit)

Kleinste Kreisbahn (Newton)

v1 G M

R

1. Kosmische Geschwindigkeit

1

2v 2

g R2

r

1

2v0

2 g R

mit

a(R) g

11.2km

s

v2

2

7.9km

s

gR

v12

R

G M

R2

Gaub

1

2v2

G M

r

1

2v0

2 g R

2E1 WS14/15

Raketen-gleichung

Triebwerks-Schub

dm d m Ausstoßgeschwindigkeit relativ zur Rakete

Nur z-Richtung

dv ve dm

m g dt

mT

T0

m0

m

t

v(T ) ve(ln mT ln m0 ) g T

v(T ) ve lnm0

mT

gT Viel Treibstoff schnell verbrennen

Gaub

Newtons Sicht:

dp

dtm

dv

dt m

dv

dt

dm

dtv

d m

dtv

Gesamtimpuls(Rakete+Gas)

0

Rakete

v

v Gas

bezogen auf Eroberfläche

m

m

m dv

dt

dm

dtv e m

g

v e v

v const

TTm

m

e

Tv

v

tdgdmm

vdv0

)(

)0(

)(

)0(

1

(m m )g

Näherung

3E1 WS14/15

Gaub

http://www.youtube.com/watch?v=wvWHnK2FiCkApollo 11 Saturn V lauch

Bsp.: 1. Stufe Saturn V

ve 4 km

s

m0 3106 kg

mT 1106 kg

T 100s}

g 0

g 9,81m / s2

v(T ) 4,4 km

s

v(T ) 3,4 km

s

unterhalb der Fluchtgeschwindigkeit

Mehrstufige Trägerraketen

4E1 WS14/15

§2.7 Energiesatz der Mechanik

Arbeit + Leistung

dtvrd

F

)(tr

P1

P2

y

x

z

2

1

21

p

p

rdFW

rdFdW

Linienintegral

zdFydFxdFrdFz

z

z

y

y

y

x

x

x

p

p

2

1

2

1

2

1

2

1

Anmerkung:

Leistung:

P dW

dt

F

v

„Arbeit“[W]= Nm = Joule

[P]=

J

s=Watt=W

Bsp. Gleichförmige Kreisbewegung:tevv

;

F F

e r

00 WrdF

Bsp.: Dehnarbeit einer Feder von :

0 x xx dFW

Bahnkurve

x

xdxD0

1

2Dx 2

rdF

W = 0 für

Gaub 5E1 WS14/15

Konservative Kraftfelder

x

y

z

P1

P2

v F t

dv r

r (t)

II

I

2

1

P

P

I rdFW

2

1

P

P

II rdFW

Wenn

WI WII WIII

=> Integral wegunabhängig

Kraftfeld konservativ

v F (r)

Konservatives Kraftfeld:

Die Arbeit hängt nur von Start- und Endpunkt, nicht vom Weg ab.

Stokes´scher Satz konservativ falls rot

F 0Vektoranalysis:

12

1 2

P

II

P

P

I

PIII rdFrdFWW

1

2

2

1

P

I

P

P

II

P

rdFrdF

0 rdF

Gaub 6E1 WS14/15

I

II

z

x

z2

P2

x2

z1

P1

x1

2

1

P

P

I drFW

02

1

2

z

zII dzFW

0rdF

Konservatives Kraftfeld

Bsp.: homogenes Kraftfeld

z

r

F

F 0

0

Bsp.: zentrales Kraftfeld )(rfF

II

I

P2

P1

02

1

2

1

r

r

r

P

P

drFrdF

konservativ

2

1

0z

z

z dzF

1

2

r

r

r drF

0rdF

Gaub 7E1 WS14/15

Potentielle Energie

konservatives Kraftfeld

dr

v F

Bemerkung: I. Vorzeichen so gewählt, dass Arbeit, die am Körper am Körper verrichtet wird, dessen erhöht

E p

II. Nullpunkt wird oft so gewählt, dass

E p () 0

Def !

Ep (P1) Ep(P2 ) Ep

Gaub

2

1

P

P

rdFW

P

P rdFW Arbeit die geleistet wird um P

ins Unendliche zu bringen

E p (P)

8E1 WS14/15

Bsp. Gravitationsfeld

Nahe Erdoberfläche g = const.

Geleistete Arbeit hat zur Zunahme der geführt

E p

m g R

Ep G M m

r

E p

rR

mit

Ep(0) 0

E p(h) m g h

rdFW

E p (0) E p (h)

mgh h

dzgm0

Für grösseren Entfernungsbereich gilt das Gravitationsgesetz

rder

mMGW r

r

2dr

r

mMG

r

2 r

mMG

Ep(r) Ep ()

Gaub 9E1 WS14/15

Energiesatz der Mechanik

dt

vdmF

P

P

t

t

rdFtdvF00

konservatives Kraftfeld

vdvmtdvtd

vdm

v

v

t

t

1

00

Def.: 2

2v

mEkin

Ekin W Die Zunahme der kinetischen Energie eines Körpers ist gleich der an ihm geleisteten Arbeit

Im konservativen Kraftfeld ist die Summe aus potentieller Energie und kinetischer Energie konstant

E E p (P0 ) Ekin (P0 )

tdvtd

vdmtdvF

t

t

t

t

00

E p (P0 ) E p (P)

W

20

21 22

vm

vm

Ep(P) Ekin(P)

Gaub 10E1 WS14/15

Bsp: freier Fall

v(h) 0

z h;

EP (0) 0;

z

P dzgmzE0

)(

2

2)( v

mzEkin

E EP (z) Ekin (z) Unabhängig von z!

mgz

2)(2

tgm

mg(h z)

mgh

Gaub 11E1 WS14/15

Potential Kraftfeld

x

yr

),( yxF

),( yyxxF

EP EP

xx

EP

yy

EP

zz

Dafür benötigte Arbeit

PErdFW

z

z

Ey

y

Ex

x

EzFyFxF PPP

zyx

NablaDef.: Potential = Potentielle Energie pro Masse

V(r) GME

rBsp.: Gravitation

=> Schwerkraft

F (r) grad(V )m

z

Ey

Ex

E

F

P

P

P

)( PEgrad

EP

EP (x, y)

EP (x x,y y)

P

P

Gaub 12E1 WS14/15

Gaub

Bestimmung von G, Bsp: Gravitationswaage

Schema Gravitationswaage

Drehmoment des verdrillten Fades

= 2 L FG

13E1 WS14/15

Drehimpuls

L

Ebene beliebig gekrümmte Bahn

mvmp

O

)(tr

v

vr

)(),( tvtr

Def.: Drehimpuls )()( vrmprL

vrL

,

Ebene von undr v

In Polarkoordinaten:

))(( vvrmL r

)( 2tr

0 weil

v r

v v r

2rvr

2rmL

Kreisbewegung:

L m r2

)()( vrmvrm r

;

v v

Gaub

weil

14E1 WS14/15

Drehmoment:

0 weil

v v

v p

(r

F )

Newton

Def: Drehmoment )( FrDdt

Ld

Für zentrale KraftfelderrerfF ˆ)(

ist 0

D

= const. bzgl. Kraftzentrum DrehimpulserhaltungL

Zeitliche Veränderung des Drehimpulses ist gleich dem wirkenden Drehmoment

)()( prpv

dt

pdrp

dt

rd

dt

Ld

Gaub

v F r

D

..

15E1 WS14/15

Man Beachte: L

und D

werden bzgl. eines festen Punktes O im Raum definiert

r

v

m

O1

O2

Gerade Bewegung kann Drehimpuls haben bzgl.

O2

L2 mrv sin 0

01 L

Analogie: r v

F

D

p

L

Später noch:

I

m

Ekin

Erot

Gaub 16E1 WS14/15

Gaub

Tycho BraheJohannes Keppler

17E1 WS14/15

Planetenbewegung:

Kepplergesetze (Basierend auf Beobachtung Tycho Brahes))

I. Planeten bewegen sich auf Ellipsen mit Sonne im Brennpunkt

II. Fahrstrahl von Sonne zu Planet überschreitet in gleichen Zeiten gleiche Flächen

S

A1

P( t1)

P( t1 t)

A2

P( t2 )

P(t2 t)

III. Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die 3. Potenzen ihrer großen Halbachsen

T12

T22

a13

a23 oder

Ti2

ai3 const für alle Planeten

Gaub 18E1 WS14/15

Zum 2. Kepplerschen Gesetz

S

dA

h

dtvsd Bogen ≈ Sehne

sin2

1 dtvrdA

Lm

2

1

+ 1. Gesetz (planare Bahn) => Richtung L konst

constL

v r (t)

p

)( dttr

sin2

1vr

dt

dA

pr

m

2

1

Gaub 19

ds

E1 WS14/15

Newtons Analyse:

!! !!Planetenbahnen

Fallender Apfel

Selbe AxiomatikGravitation !

aus .constL

aus Actio = Reactio

rG erfrF ˆ)()(

(Zentralkraft)

FG ~ m1 m2

rG erfmmGrF ˆ)()( 21

Mit Ellipse ~ Kreis =>

mp wp

2 rp G mp ms f (ri)

3. Keppler

Gaub

w2 ~ T 2 ~ r 3

f (r) ~ r 2

F G mp M S

r2 ˆ e r

Newtonsches Gravitationsgesetz

20E1 WS14/15

Bestimmung von g: Mathematisches Pendel

l

mg

F t

F r

l (1 cos)

Ft mat

lmgm sin

sin 3

3!

5

5!...

sin

l

g

Lösung der DGL: tl

gAt sin)(

gg

lT 2

Gaub 21E1 WS14/15

Genauer:

Ep mg l (1 cos ) 222

22 l

mv

mEkin

Start

l

g

dt

d )cos(cos2 0

4

00 0

0

coscos

T

dtd

g

l

T

4mit

2sin

2sin

sin0

2

022 sin1

4

k

d

g

lT ;

k sin0

2

.....)16

11(2)( 2

00 g

lT

0

1.00

T (0 )

T0

10

30

20

1.01

1.02

E Ekin E p 22

2)cos1( l

mlgm

Ep0 )cos1( 0 lgm

Gaub 22

+ Bronstein oder Mathematica

E1 WS14/15

X

da

{

a

r

R P

m

Gravitation Kugelschale

dm 2 adadx

dEP G m dm

r

a

ax

P r

dxdaamGE 2

r2 y2 (R x)2

y2 x2

a 2

R2 2 R x

a2 R2 2 R x

dx / r dr / R

aR

aRr

P drGR

mdaaE

2

EP G m m

R

mit

m 4 a2 da = Masse der KS

Kreisscheibe der Dicke dx schneidet aus der Kugelschale der Dicke da das Volumenelement (Kreisring)

dV = 2 p a dx da

dV = 2 p y ds dx, y = asin ,a ds=da/sina

dx /dr r / R

dx

ds

y

Gaub 23E1 WS14/15

Þ Außerhalb der Hohlkugel erscheint die gesamte Masse konzentriert in O

Innerhalb Hohlkugel:

RdrERar

Rar

Pi

2~

a

mmGE

iPconst. R a !

F gradE P 0 für R < a

Gaub

0R

EP

a

G m m

R

G m m

a

0

F a

F 0

F G m m

R2

R

R innerhalb der Kugel!

24E1 WS14/15

Gaub

Varianten der Coulomb WW

25E1 WS14/15

Gaub

Varianten der Coulomb WW

Siehe J.N. Israelachvili, Intermolecular and Surface Forces with Applications to Colloidal and Biological Systems, Academic Press 1985

26E1 WS14/15

Gaub

d

r

A

B

d

y

dy

BA A

B

BA M

ABW ~ 1/d

ABW ~ 1/d 3

ABW ~ 1/d 2

ABW ~ 1/d 5

a) b)

c) d)

a

L R d

d

d

322)(

2

yd

ydydndw B

0 0

36y

BAB d

ndww

Bsp.: VdW-Potentiale ausgedehnter Körper

22

2 1

12

1

12 d

H

d

nnW ABBA

AB

Nochmalige Integration => Potetial zwischen 2 Wänden

HAB typisch ≈10-20 J Hamaker Konstante

27E1 WS14/15