Parabolische Quantentöpfe mit Spin-Bahn-Wechselwirkung ·...

Universität AugsburgMathematisch-Naturwissenschaftlich-Technische Fakultät

Institut für PhysikLehrstuhl für Theoretische Physik II

Bachelorarbeit

Parabolische Quantentöpfe mit

Spin-Bahn-Wechselwirkung

von Fabian [email protected]

zur Erlangung des akademischen Grades Bachelor of Scienceim Fach Physik

13. September 2018

mailto:[email protected]

Erstgutachter: Dr. M. Dzierzawa

Zweitgutachter: Priv.-Doz. Dr. M. Kollar

Inhaltsverzeichnis

1 Motivation 1

2 Spin-Bahn-Wechselwirkung im Festkörper 3

3 Harmonischer Oszillator und Störungstheorie 73.1 Quantenmechanischer harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . 73.2 Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.1 Nichtentartete Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2.2 Toy-Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.3 Entartete Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Harmonischer Oszillator mit Spin-Bahn-Wechselwirkung 194.1 Störungstheorie für den Rashbahamiltonian . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Transformation auf neue Erzeuger und Vernichter . . . . . . . . . . . 294.3 Numerische Berechnung des Spektrums . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.4 Störungstheorie für Rashba- und Dresselhaus-Hamiltonian . . . . . . 37

5 Zusammenfassung und Ausblick 41

6 Anhang 43

i

Abbildungsverzeichnis

2.1 Anwendung der Spin-Bahn-Wechselwirkung [1] . . . . . . . . . . . . . 32.2 Realisierung eines 2DEG [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.1 Form der Matrizen von H0 und H1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.1 Energieniveaus eines harmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . . . 204.2 Mögliche Übergänge durch Anwendung von H1 . . . . . . . . . . . . . 214.3 Mögliche (links) und nicht mögliche Übergänge (rechts) . . . . . . . . 304.4 Energieniveaus eines harmonischen Oszillators mit Rashba-SBW als

Störung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

iii

1 Motivation

Im Jahr 1984 führten Bychkov und Rashba eine einfache Form der Spin-Bahn-Kopplung ein, um Besonderheiten in der Elektronenspinresonanz von zweidimensio-nalen Halbleitern zu erklären [1].

Seit Beginn des neuen Jahrtausends gab es eine Vielzahl von veröffentlichten Arbeitenim Bereich der Spin-Physik in Halbleitern. Der Schwerpunkt liegt auf spinbezogenenTransporteigenschaften niedrigdimensionaler Halbleiterstrukturen. Die Spin-Bahn-Wechselwirkung (SBW) ist unter anderem für die Spinrelaxation verantwortlich. ImFestkörper kann die SBW durch verschiedene Mechanismen, die mit Elektronenein-schluss und Symmetriebrechung zusammenhängen, entstehen und ist im Allgemeinenüber die Rashba- und Dresselhausterme im Hamiltonian berücksichtigt. Die Stärkedieser Wechselwirkungen hängt nicht nur von den Eigenschaften des Materials ab,sondern kann auch durch ein externes elektrisches Feld gesteuert werden [2].

Die Erforschung der Spin-Bahn-Wechselwirkung im Festkörper führt zu einer Vielzahlvon physikalischen Effekten, deren Nutzung beispielsweise zur Datenspeicherung oder-verarbeitung unter dem Schlagwort Spintronik zusammengefasst wird. Besondersattraktiv ist die Spintronik für die Quantencomputer, wodurch die Rechenleistungvon Computern drastisch gesteigert wird. Die Verwendung von Spinzuständen anstellevon Ladungszuständen hat den Vorteil, dass der Spin unempfindlich für elektronischesRauschen ist. Auch wurde gezeigt, dass in einem spinpolarisierten zweidimensionalenElektronengas (2DEG) über Gate-Spannungen die Elektronenzustände gesteuertund manipuliert werden können. Eine mögliche Anwendung wären spinabhängigeFeldeffekttransistoren, sog. Spin-FETs [3].

Diese Arbeit befasst sich mit dem Einfluss der Spin-Bahn-Wechselwirkung aufdas Energiespektrum eines parabolischen Quantenpunktes. Ausgangspunkt ist derHamilton-Operator eines zweidimensionalen harmonischen Oszillators mit Rashba-und Dresselhaus-Spin-Bahn-Kopplung. Das Energiespektrum wird einerseits mit derentarteten Störungstheorie analytisch berechnet und andererseits durch numerischeDiagonalisierung des Hamilton-Operators.

1

1 Motivation

Ähnliche Probleme wurden bereits mit verschieden Methoden und der Variationdes begrenzenden Potentials untersucht. So wurde beispielsweise in [4], [2] und [5]gezeigt, dass sich das Energiespektrum für ein zylindrisches Potential mit Hilfe derBesselfunktionen exakt lösen lässt. Wenn das Potential harmonisch ist, kann dasEnergiespektrum durch iterative Methoden genähert werden ( [6], [7]).

2

2 Spin-Bahn-Wechselwirkung imFestkörper

In Kristallen ohne Symmetriezentrum spalten die Energiebänder aufgrund der Spin-Bahn-Wechselwirkung auf. Die Rashba-Spin-Bahn-Wechselwirkung ist eine spezielleForm der SBW, die linear mit dem Impuls p skaliert und ursprünglich für Beta-Zinksulfid-Halbleiter vorgeschlagen wurde [1].

Die Spin-Bahn-Kopplung beschäftigt eine Vielzahl von Forschern in der Physik undden Materialwissenschaften. Einen Überblick über die zahlreichen Effekte aufgrundder SBW und deren möglichen Anwendungen ist in Abbildung 2.1 zu sehen.

Abb. 2.1: Anwendung der Spin-Bahn-Wechselwirkung [1]

3

2 Spin-Bahn-Wechselwirkung im Festkörper

Die Rashba-Spin-Bahn-Wechselwirkung

Bewegt sich ein Elektron mit Impuls p in einem Magnetfeld B, wird es aufgrund derLorentzkraft in senkrechter Richtung abgelenkt und besitzt die Zeeman-Energie E =

µBσ ·B. Analog hierzu „sieht“ ein Elektron, welches sich in einem elektrischen Feld Ebewegt, das effektive magnetische FeldBeff ∼ 1

mc2E×p welches die impulsabhängige

Zeeman-Energie induziert Hso ∼ µBmc2

(E × p) · σ. In Kristallen ist das elektrischeFeld gleich dem negativen Gradienten des Potentials (E = −∇V ) .

In Quantentöpfen mit gebrochener Inversionssymmetrie entlang der x3-Achse kommtes zu einer Aufspaltung der Oberflächenbandstruktur. Solch eine Aufspaltung wurdevon Bychkov und Rashba, unter der Annahme dass das elektrische Feld in x3-Richtungzeigt (E = Ezz), auf die Spin-Bahn-Wechselwirkung zurückgeführt

Hso =αR~

(z × p) · σ . (2.1)

Hierbei ist αR der Rashba-Parameter und ist ein Maß für die Stärke der SBW [1].Experimentelle Werte für die Stärke der Rashba-Spin-Bahn-Wechselwirkung beiunterschiedlichen Halbleitermaterialien sind in nachfolgender Tabelle zu finden [2].

Tabelle 2.1: Stärke der Rashba-SBW bei verschiedenen Halbleitermaterialien

Halbleitermaterial αR [meV nm]GaAs 2

InGaAs 10− 63

InAs 9

InSb 25

Man beachte, dass später in dieser Arbeit der Rashba-Parameter ohne den Faktor ~im Nenner definiert ist.

Erzeugung eines zweidimensionalen Elektronengases

Die Bewegung von Elektronen in einem Festkörper kann mit Hilfe eines begrenzen-den Potentials auf zwei, eine oder null Dimensionen beschränkt werden. Hierfürmüssen die Elektronen in einem Potentialtopf eingeschlossen werden, wodurch dieBewegung in die entsprechende Anzahl von Dimensionen reduziert werden kann.Bei einem zweidimensionalen Elektronengas (2DEG) wird eine Raumrichtung durchPotentialwände begrenzt. Realisiert wird dies z.B. durch Halbleiterstrukturen aus

4

n-dotiertem AlGaAs und intrinsischem GaAs [8]. Eine solche Halbleiterstruktur istin nachfolgender Abbildung zu sehen.

Abb. 2.2: Realisierung eines 2DEG [8]

In einem ausgedehnten 2DEG mit Spin-Bahn-Kopplung treten beim Anlegen einerelektrischen Spannung zwei interessante Effekte auf. Zum einen wird senkrechtzur Richtung des angelegten E-Feldes ein Spinstrom induziert. Dieses Phänomenwird in Analogie zum klassischen Hall-Effekt, aufgrund des Einflusses des Spins,Spin-Hall-Effekt genannt [9]. Zum anderen erzeugt der Ladungsstrom in Richtungdes angelegten Feldes eine dazu proportionale Spinpolarisierung, was als Edelstein-Effekt bezeichnet wird [10]. Diese beiden Effekte können als Grundlage für vieleAnwendungen im Rahmen der Spintronik genutzt werden. In Analogie zur elektrischenTechnologie ist die Realisierung von Spinfiltern, Spin-FETs, etc. (vgl. [11]) bis hinzur Manipulation von Quanten-Bits (Qubits), die als Grundlage zur Realisierungvon Quantencomputern benötigt werden, in der Diskussion.

5

3 Harmonischer Oszillator undStörungstheorie

In diesem Kapitel werden zunächst die theoretischen Grundlagen für die im Kapitel4 durchgeführten Berechnungen erläutert, insbesondere der quantenmechanischeharmonische Oszillator und dessen Lösungsmöglichkeiten. Des Weiteren wird sowohlauf die nichtentartete, als auch die entartete Störungstheorie eingegangen und aneinem sogenannten Toy-Model die Übereinstimmung zwischen exakter und genäherterLösung überprüft.

3.1 Quantenmechanischer harmonischer Oszillator

Eines der wichtigsten Modelle in der klassischen Mechanik und der Quantenmechanikist der harmonische Oszillator, mit dessen Hilfe viele physikalische Systeme beschrie-ben werden können. Diese erstrecken sich von einem Pendel mit kleiner Auslenkung,über die Gitterschwingungen in einem kristallinen Festkörper (Phononen), bis hinzu den Eigenmoden des elektromagnetischen Feldes in einem Hohlraum (Photonen).Im Rahmen der Grundvorlesungen in der theoretischen Physik wird der harmoni-sche Oszillator als schwingungsfähiges System eingeführt, welches einer homogenenDifferentialgleichung 2. Ordnung genügt

mx+ kx = 0 . (3.1)

Die Hamilton-Funktion eines eindimensionalen harmonischen Oszillators lautet [12]

H(x,p) =p2

2m+

1

2mω2x2 (3.2)

mit ω2 = km.

7

3 Harmonischer Oszillator und Störungstheorie

Beim Übergang vom klassischen zum quantenmechanischen harmonischen Oszillatorwerden die dynamischen Variablen durch Operatoren (hier durch Hüte gekennzeichnet)ersetzt [12]:

H =p2

2m+

1

2mω2x2 . (3.3)

In der Ortsdarstellung wird der Ortsoperator x zu x und der Impulsoperator p zurAbleitung −i~ d

dx. Somit kann Gleichung (3.3) wie folgt umgeschrieben werden:

H = − ~2

2m

∂2

∂x2+

1

2mωx2 . (3.4)

Setzt man den Hamiltonoperator (3.4) in die Schrödinger-Gleichung H |Ψ〉 = E |Ψ〉ein, so erhält man

(− ~2

2m

∂2

∂x2+

1

2mωx2

)Ψ(x) = EΨ(x) . (3.5)

Die Lösung der Schrödinger-Gleichung (3.5) führt auf Hermite Polynome [13]. Aufdiese Lösungsmethode und deren Rechenschritte wird in dieser Arbeit allerdings nichtweiter eingegangen, da sie im Folgenden nicht benötigt werden. Eine ausführlicheLösung bzw. Herleitung ist in den Lehrbüchern zur Quantenmechanik zu finden.

Eine weitaus elegantere Möglichkeit zur Lösung der Schrödinger-Gleichung des quan-tenmechanischen harmonischen Oszillators (3.5) ist die Methode von Dirac, alsodie Lösung mit Leiteroperatoren (auch Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatorengenannt). Es werden zwei zueinander adjungierte Operatoren a und a+ definiert, mitdenen sich die Schrödinger-Gleichung (3.5) auf einem rein algebraischen Weg, alsonur durch Verwendung der Kommutator-Relationen der betreffenden Operatoren,lösen lässt [16]. Im Folgenden wird auf die explizite Kennzeichnung der Operatorendurch Hüte verzichtet, da es zum einen zu keiner Verwechslung kommen kann undzum anderen das Schreiben erheblich erleichtert. Falls doch zwingend zwischen Ope-rator und Skalar unterschieden werden muss, wird dies explizit genannt und auf dieherkömmliche Notation zurückgegriffen.

8

3.1 Quantenmechanischer harmonischer Oszillator

Der Hamilton-Operator (3.4) lässt sich durch Umformungen, und unter Beachtungder Kommutatorrelation wie folgt umformen:

H =1

2mω2

{x2 +

( p

mω

)2}

=1

2mω2

{(x− i p

mω

)(x+ i

p

mω

)+

i

mω[p,x]

}

= ~ω

(√

mω

2~

(x− i p

mω

))︸︷︷︸

a+

(√mω

2~

(x+ i

p

mω

))︸︷︷︸

a

+1

2

= ~ω

(a+a+

1

2

).

Hierbei wurde die Kommutatorrelation von Ort und Impuls ([p,x] = −i~) verwendet.Die Leiteroperatoren sind demnach wie folgt definiert [13]:

Erzeuger a+ =

√mω

2~

(x− i p

mω

)(3.6)

Vernichter a =

√mω

2~

(x+ i

p

mω

). (3.7)

Für die Leiteroperatoren werden im Folgenden noch ein paar Eigenschaften undRelationen aufgelistet, auf deren Herleitung nicht weiter eingegangen wird (vgl. [14]):

Besetzungszahloperator:

n = a+a (3.8)

Vertauschungsrelation:

[a,a+

]= 1 (3.9)

9


Umkehrung:

x =

√~

2mω

(a+ a+

)p = −i

√~mω

2

(a− a+

)Wirkung von a und a+ auf die Eigenzustände von n:

n |n〉 = n |n〉

a |n〉 =√n |n− 1〉 a+ |n〉 =

√n+ 1 |n+ 1〉

3.2 Störungstheorie

Bei der Betrachtung konservativer Systeme, also bei Systemen, denen eine zeitun-abhängige Hamiltonfunktion zugrunde liegt, muss die Eigenwertgleichung für denHamiltonian gelöst werden. Beim harmonischen Oszillators war dies sehr einfachund ist eines der wenigen Systeme welches analytisch exakt lösbar ist. Ein anderesBeispiel für ein exakt lösbares System, das auch in der Natur vorkommt, ist dasWasserstoff-Atom. Sobald man Mehrelektronensysteme betrachtet (beispielsweisedas Heliumatom) sind exakte analytische Lösungen meist nicht mehr möglich. Umtrotzdem verwertbare Ergebnisse zu erhalten, wird häufig auf numerische Lösungs-methoden zurückgegriffen. Eine andere Möglichkeit ist es Näherungsmethoden (z.B:die Störungstheorie) zu verwenden, um analytisch eine genäherte Lösung für dasbetreffende Problem zu finden [15].

In diesem Kapitel wird die zeitunabhängige stationäre Störungstheorie genauererläutert. Zur formalen Herleitung der Störungsentwicklung schreibt man den Hamil-tonoperator in der Form

H = H0 + λH1 . (3.10)

Hierbei sind die Eigenzustände und Eigenwerte von H0 bekannt und der Störterm λH1

ist im Vergleich zu H0 sehr viel kleiner und proportional zu einem reellen, dimensions-

10


losen Parameter λ, in dessen Potenzen die Eigenwerte und Eigenzustände entwickeltwerden. Das Ziel der Störungstheorie besteht darin, für das Eigenwertproblem

H |n〉 = En |n〉 (3.11)

welches nicht exakt lösbar ist, eine brauchbare Näherung zu finden [16].

3.2.1 Nichtentartete Störungstheorie

Bei der nichtentarteten Störungstheorie sind die beiden folgenden Entwicklungen fürden Eigenzustand |n〉 und die entsprechende Energie En der Ausgangspunkt:

|n〉 = |n〉(0) + λ |n〉(1) + λ2 |n〉(2) + . . . (3.12)

En = E(0)n + λE(1)

n + λ2E(2)n + . . . . (3.13)

Setzt man (3.10), (3.12) und (3.13) in (3.11) ein, so erhält man

(H0 + λH1)(|n〉(0) + λ |n〉(1) + λ2 |n〉(2) + . . .

)=(E(0)n + λE(1)

n + λ2E(2)n + . . .

) (|n〉(0) + λ |n〉(1) + λ2 |n〉(2) + . . .

).

Sortiert man obige Gleichung nach den Potenzen in λ ergeben sich so die verschiedenenOrdnungen der Störungstheorie. In der nullten Ordnung in λ erhält man die ungestörteEigenwertgleichung, deren Lösung bekannt ist

H0 |n〉(0) = E(0)n |n〉

(0) . (3.14)

Für die erste und zweite Ordnung in λ erhält man nach [13]

H0 |n〉(1) +H1 |n〉(0) = E(0)n |n〉

(1) + E(1)n |n〉

(0) (3.15)

H0 |n〉(2) +H1 |n〉(1) = E(0)n |n〉

(2) + E(1)n |n〉

(1) + E(2)n |n〉

(0) . (3.16)

Der Übersichtlichkeit halber werden im Folgenden die Eigenzustände von H0 mit |n〉anstelle von |n〉(0) bezeichnet.Um die Korrektur 1. Ordnung zu erhalten, wird Gleichung (3.15) mit 〈n| multipliziert

〈n|H0|n〉(1)︸︷︷︸E

(0)n 〈n|n〉(1)

+ 〈n|H1|n〉 = E(0)n 〈n|n〉

(1) + E(1)n 〈n|n〉 .

11


Setzt man die obigen Ergebnisse in Gleichung (3.18) ein, erhält man durch Umstellendie Energiekorrektur für die zweite Ordnung Störungstheorie

E(2)n =

∑m6=n

|〈m|H1|n〉|2

E(0)n − E(0)

m

. (3.19)

Die nichtentartete Störungstheorie könnte auch in höhere Ordnungen fortgesetztwerden, was allerdings selten Anwendung findet [15].

3.2.2 Toy-Model

Um die komplexen Eigenschaften realistischer Modelle besser verstehen zu können,verwenden Physiker häufig sogenannte Toy-Models (dt. Spielzeugmodelle), die starkvereinfachte Modelle sind, an denen aber die wesentlichen Lösungsschritte sehr gutnachvollzogen werden können [17].

Um die Störungstheorie besser verständlich zu machen, wird sie an einem zweidimen-sionalen harmonischen Oszillator mit einer, in beiden Koordinaten, linearen Störungdemonstriert. Die ausführlichen Rechenschritte, auf die im Folgenden verzichtet wird,sind im Anhang zu finden.

Das verwendete Toy-Model hat die Besonderheit, dass es mit der nichtentartetenStörungstheorie genähert werden kann, es aber trotzdem noch exakt lösbar ist. Fürdieses einfache Modell kann so die Gültigkeit der Störungstheorie überprüft werden.

Der Hamiltonoperator des Toy-Models besteht, wie bereits erwähnt, aus dem Hamil-tonoperator eines zweidimensionalen harmonischen Oszillators (H0), dessen Lösungbekannt ist, und aus einer bilinearen Störung (H1)

H = H0 + λH1

H0 = ~ω1

(a+

1 a1 +1

2

)+ ~ω2

(a+

2 a2 +1

2

)H1 = x1x2 .

(3.20)

Die Eigenzustände von H0 sind |n1,n2〉 mit den Energien E(0)n = ~ω1(n1 + 1

2) +

~ω2(n2 + 12), wobei der Index n die Quantenzahlen n1 und n2 zusammenfasst.

13


Zunächst werden die Korrekturterme der Störungstheorie in erster und zweiterOrdnung berechnet. Man erhält durch Einsetzen der Störung H1 von Gleichung(3.20) in (3.17) die Energiekorrektur 1. Ordnung

E(1)n = 0 . (3.21)

Für die Energiekorrektur in 2. Ordnung wird wieder die Störung H1 verwendet, aberin den Korrekturterm zweiter Ordnung (Gl. (3.19)) eingesetzt

E(2)n = λ2

∑m6=n

|〈m|H1|n〉|2

En1,n2 − Em1,m2

(3.22)

= −λ2 ~2m2

ω1n2 − ω2n1 + 12(ω1 − ω2)

ω1ω2(ω21 − ω2

2). (3.23)

Dieser genäherten Lösung steht die exakte Lösung gegenüber, deren Herleitung imFolgenden skizziert wird. Zunächst einmal wird der Hamiltonoperator jetzt nichtdurch die Leiteroperatoren (a1,a

+1 ; a2,a

+2 ), sondern durch Ort (x1, x2) und Impuls

(p1, p2) ausgedrückt,

H =p2

1 + p22

2m+

1

2mω2

1x21 +

1

2mω2

2x22 + λx1x2 .

Anschließend wird lediglich die potentielle Energie des Hamiltonians betrachtet unddiese weiter umgeformt,

V =1

2mω2

1x21 +

1

2mω2

2x22 + λx1x2

=1

2m (x1, x2)

ω21

λ

mλ

mω2

2

︸︷︷︸

=:D

(x1

x2

).

Durch Lösung des Eigenwertproblems für die Matrix D und unter der Annahme,dass ω1 > ω2, lassen sich so die Frequenzänderungen ∆ω1 bzw. ∆ω2 und dadurch dieEnergieänderungen ermitteln (siehe Anhang).Entwickelt man die exakte Energie in Potenzen von λ, erhält man so die führendeKorrektur

E(2)n = −λ2 ~

2m2

ω1n2 − ω2n1 + 12(ω1 − ω2)

ω1ω2(ω21 − ω2

2)(3.24)

14


in Übereinstimmung mit dem Resultat (3.23) der Störungsrechnung. Anhand dieseseinfachen Beispiels kann man die grundsätzliche Vorgehensweise bei der Störungs-theorie gut nachvollziehen und es kann angenommen werden, dass die Störungstheorieauch für ein nicht exakt lösbares Problem eine brauchbare Näherung liefern wird.

3.2.3 Entartete Störungstheorie

Wenn das Energieniveau E(0)n hingegen entartet ist, kann die oben entwickelte Stö-

rungstheorie nicht mehr angewendet werden, da der Korrekturterm E(2)n (3.19) in

diesem Fall divergiert [16].Es muss also für die entartete Störungstheorie eine andere Lösung hergeleitet werden.Der Ausgangspunkt ist, wie in der nicht-entarteten Störungstheorie, die Entwick-lung der Zustände und Energien in Ordnungen von λ. Die Eigenwertgleichung zurBestimmung der Störungsreihe lautet

(H0 + λH1)(|Ψ0〉+ λ |Ψ1〉+ λ2 |Ψ2〉+ . . .

)=(E0 + λE(1) + λ2E(2) + . . .

) (|Ψ0〉+ λ |Ψ1〉+ λ2 |Ψ2〉+ . . .

),

wobei Ψ0 nun eine Linearkombination aus den ungestörten Zuständen des entartetenEnergieniveaus E0 ist.Obige Gleichung wird wieder nach Potenzen von λ in nullter, erster und zweiterOrdnung sortiert

H0 |Ψ0〉 = E0 |Ψ0〉 (3.25)

H0 |Ψ1〉+H1 |Ψ0〉 = E0 |Ψ1〉+ E(1) |Ψ0〉 (3.26)

H0 |Ψ2〉+H1 |Ψ1〉 = E0 |Ψ2〉+ E(1) |Ψ1〉+ E(2) |Ψ0〉 . (3.27)

Im Folgenden wird angenommen, dass das Energieniveau E0, für das die Störungs-rechnung durchgeführt wird, mehrfach entartet ist. Die entsprechenden ungestörtenZustände, innerhalb des entarteten Niveaus, werden in den nachfolgenden Berechnun-gen mit den Indizes m bzw. m′ gekennzeichnet, alle anderen mit dem Index n, wobeiEn 6= E0. Die Störung H1 sei des Weiteren so, dass die Matrixelemente im Unterraumder entarteten Zustände verschwinden. Es muss also gelten, dass 〈m|H1|m′〉 = 0 ist(vgl. Abb. 3.1). Genau dieser Fall liegt bei der späteren Anwendung der Störungs-theorie auf den zweidimensionalen harmonischen Oszillator mit Rashba- und/oderDresselhaus SBW vor.

15


Abb. 3.1: Form der Matrizen von H0 und H1

Multipliziert man die Gleichung (3.26) für λ in 1. Ordnung von links mit 〈m| erhältman die Energiekorrektur 1. Ordnung

〈m|H0|Ψ1〉︸︷︷︸E0〈m|Ψ1〉

+ 〈m|H1|Ψ0〉︸︷︷︸=0

= E0 〈m|Ψ1〉+ E(1) 〈m|Ψ0〉 .

Da 〈m|H1|Ψ0〉 = 0 und 〈m|H0 = E0 〈m| ist, folgt

E(1)n = 0 , (3.28)

d.h. die Korrektur erster Ordnung verschwindet.

Für die Energiekorrektur 2. Ordnung benötigt man eine Relation, zu deren Herleitung(3.26) von links mit 〈n| multipliziert wird

〈n|H0|Ψ1〉+ 〈n|H1|Ψ0〉 = E0 〈n|Ψ1〉+ E(1) 〈n|Ψ0〉 .

Der letzte Summand auf der rechten Seite ist nach (3.28) gleich 0 und beim zweitenSummand auf der linken Seite wird eine 11 eingefügt. Die Einheitsmatrix 11 lässt sichin der Form

11 =∑k

|k〉〈k|

schreiben, wobei der Index k alle ungestörten Zustände erfasst, sowohl die entartetenEnergieniveaus als auch die übrigen.

16


Mit 〈n|H0 = En 〈n| und aufgrund der Tatsache, dass |Ψ0〉 eine Linearkombinationaus Zuständen des entarteten Niveaus ist, folgt

En 〈n|Ψ1〉+∑m

〈n|H1|m〉〈m|Ψ0〉 = E0 〈n|Ψ1〉 (3.29)

und somit

〈n|Ψ1〉 =1

E0 − En

∑m

〈n|H1|m〉〈m|Ψ0〉 . (3.30)

Für den Korrekturterm in 2. Ordnung der entarteten Störungstheorie wird Gleichung(3.27) von links mit 〈m| multipliziert

〈m|H0|Ψ2〉+ 〈m|H1|Ψ1〉 = E0 〈m|Ψ2〉+

=0︷︸︸︷E(1) 〈m|Ψ1〉+ E(2) 〈m|Ψ0〉 . (3.31)

Man erhält

E0 〈m|Ψ2〉+ 〈m|H1|Ψ0〉 = E0 〈m|Ψ2〉+ E(2) 〈m|Ψ0〉 (3.32)

und somit∑n

〈m|H1|n〉〈n|Ψ1〉 = E(2) 〈m|Ψ0〉 . (3.33)

Nun verwendet man die Relation (3.30) und man erhält die Energiekorrektur 2.Ordnung der entarteten Störungstheorie,

E(2) 〈m|Ψ0〉︸︷︷︸cm

=∑m′

∑n

〈m|H1|n〉〈n|H1m′〉

E0 − En︸︷︷︸=:H

(2)

mm′

〈m′|Ψ0〉︸︷︷︸cm′

(3.34)

bzw.

E(2)cm =∑m′

H(2)mm′cm′ . (3.35)

17


Zu Lösen bleibt also das Eigenwertproblem für die Matrix H(2), deren Eigenwerte dieEnergiekorrekturen zweiter Ordnung sind und deren Eigenvektoren die Koeffizientender Entwicklung von |Ψ0〉 in der Basis der entarteten Zustände |m〉 sind.Die Grundlagen der entarteten Störungstheorie wurden in diesem Abschnitt geschaffenund werden im anschließenden Kapitel angewandt, um die Matrix H(2) und ihreEigenwerte für einen harmonischen Oszillator mit Spin-Bahn-Wechselwirkung zuberechnen.

18

4 Harmonischer Oszillator mitSpin-Bahn-Wechselwirkung

Wir betrachten einen Quantenpunkt in einem zweidimensionalen Elektronengasin der x1 − x2 − Ebene. Das Potential des Quantenpunktes sei hierbei durch einrotationssymmetrisches Potential beschränkt. Der Ein-Teilchen-Hamiltonian, der einElektron in einem solchen Punkt unter der Berücksichtigung der SBW beschreibt,hat folgende Form [2]:

HR+D =p2

1 + p22

2m+

1

2mω2

(x2

1 + x22

)+α (p2σ1 − p1σ2) +β (p1σ1 − p2σ2) . (4.1)

Hierbei ist m die effektive Masse der Elektronen, σ1 und σ2 die Pauli-Matrizen, αdie Stärke der Rashba-Spin-Bahn-Wechselwirkung und β der entsprechende Dressel-hausparameter. Die Parameter α und β besitzen die Dimension einer Geschwindigkeit.

Man kann Ort und Impuls in Gleichung (4.1) auch durch Leiteroperatoren ausdrücken,siehe Kapitel 2.

Daraus ergibt sich für den Hamilton-Operator durch Ersetzen von Impuls bzw. Ortund anschließend einigen Umformungen

HR+D = ~ω(a+

1 a1 + a+2 a2 + 1

)+αp0

i√

2

[(a2 − a+

2

)σ1 −

(a1 − a+

1

)σ2

]+βp0

i√

2

[(a1 − a+

1

)σ1 −

(a2 − a+

2

)σ2

] (4.2)

mit

p0 =√~mω

19

4 Harmonischer Oszillator mit Spin-Bahn-Wechselwirkung

4.1 Störungstheorie für den Rashbahamiltonian

Zuerst wird nur die Rashba-Spin-Bahn-Wechselwirkung als Störung betrachtet, derDresselhausparameter β ist folglich 0. Zu lösen gilt also das Eigenwertproblem fürden Hamiltonian.

HR = H0 +HR1 (4.3)

mit

H0 = ~ω(a+

1 a1 + a+2 a2 + 1

)(4.4)

HR1 =

i√2~ω[(a2 − a+

2

)σ1 −

(a1 − a+

1

)σ2

], (4.5)

wobei zur Vereinfachung der dimensionslose Rashbaparameter g =αp0

~ωdefiniert

wird.

Die Vorgehensweise zur Berechnung der Energiekorrektur lässt sich am besten an einerkleinen Skizze visualisieren. Die Abszisse und Ordinate sind die Besetzungszahlen n1

und n2. Die Energie En1n2 = ~ω(n1 + n2 + 1) eines zweidimensionalen harmonischenOszillators ist (n1 + n2 + 1)-fach entartet. Die Linien gleicher Energie und die somöglichen Zustände sind in Abbildung 4.1 zu sehen.

Abb. 4.1: Energieniveaus eines harmonischen Oszillators

20


Zur störungstheoretischen Behandlung des Rashba-Hamiltonians HR greifen wir aufdie im vorherigen Kapitel hergeleitete Gleichung (3.35) zurück. Zunächst wird dieMatrix H(2) bestimmt. Der Ausgangspunkt ist das n+1-fach entartete EnergieniveauEn = ~ω(n+ 1). Die ungestörten Zustände auf diesem Energieniveau sind durch dieQuantenzahlen n1 und n2 = n− n1 gekennzeichnet, siehe Abb. 4.1. Übertragen aufdie vorliegende Situation ist die Matrix H(2) also wie folgt definiert:

H(2)

n1,n′1

=∑m1,m2

〈n1n2|H1|m1m2〉〈m1m2|H1|n′1n′2〉En1n2 − Em1m2

. (4.6)

Man beachte, dass durch die Vorgabe von n = n1 + n2 = n′1 + n′2 sowohl n2 alsauch n′2 durch n1 bzw. n2 festgelegt sind. Die Matrix H(2) hat also die Dimension(n+ 1)× (n+ 1). Die „Zwischenzustände“ |m1m2〉 werden durch Anwendung von H1

auf den Anfangszustand |n′1n′2〉 bzw. dem Endzustand |n1n2〉 erreicht.Da Anfang- und Endzustand stets auf demselben Energieniveau liegen müssen, sindnicht alle Wege möglich. So sind bei der Anwendung von H1 nur Kombinationen vonErzeugern und Vernichtern möglich, die in den nachfolgenden Abbildungen als Wegeauf dem n1 − n2 −Gitter visualisiert sind.

Abb. 4.2: Mögliche Übergänge durch Anwendung von H1

In Abbildung 4.2 sind exemplarisch für den Punkt n1 = 1 und n2 = 2 die möglichenWege eingezeichnet. Wendet man zuerst einen Erzeuger und anschließend einenVernichter in x1-Richtung an (bzw. umgekehrt und analog für die x2-Richtung),erhält man die Diagonalelemente der Matrix H(2) (vgl. Abb. 4.2 linkes Bild). Durcheinmaliges Anwenden von a+

1 und anschließend von a2 oder durch Vertauschung derReihenfolge (Abb. 4.2 Mitte) erhält man die Matrixelemente der oberen Nebendiago-

21


nalen. Analoges Vorgehen durch Anwendung von a1,a+2 (vgl. Abb. 4.2 Rechts) ergibt

die Elemente der Nebendiagonalen unterhalb der Hauptdiagonalen.

Die Diagonalelemente lassen sich nach den in Abbildung 4.2 (linkes Bild) skizziertenWegen berechnen. Wenn Anfangs- und Endzustand übereinstimmen ergeben sich ins-gesamt vier Möglichkeiten, deren entsprechenden Übergangsmatrixelemente oberhalbder Pfeile stehen:

|n1, n2, ↓〉− i√

2g~ω√n1(−1)i

−−−−−−−−−−→ |n1 − 1, n2, ↑〉− i√

2g~ω√n1(−i)

−−−−−−−−−−→ |n1, n2, ↓〉

|n1, n2, ↓〉− i√

2g~ω√n1+1i

−−−−−−−−−→ |n1 + 1, n2, ↑〉− i√

2g~ω√n1+1(−1)(−i)

−−−−−−−−−−−−−−→ |n1, n2, ↓〉

|n1, n2, ↓〉− i√

2g~ω√n2

−−−−−−−→ |n1, n2 − 1, ↑〉− i√

2g~ω√n2(−1)

−−−−−−−−−−→ |n1, n2, ↓〉

|n1, n2, ↓〉− i√

2g~ω√n2+1(−1)

−−−−−−−−−−−−→ |n1, n2 + 1, ↑〉− i√

2g~ω√n1+1

−−−−−−−−−→ |n1, n2, ↓〉 .

(4.7)

Die Spinquantenzahl, die durch ↑ und ↓ angedeutet wird, wechselt bei jeder Anwen-dung von H1 und spielt deshalb bei der Berechnung keine Rolle.

Die Matrixelemente lassen sich berechnen, indem die Werte über den Pfeilen proZeile multipliziert und die einzelnen Zeilen aufaddiert werden

H(2)n1n1

=i2

2g2~2ω2

(−√n1i

√n1(−i)

~ω+

√n1 + 1i

√n1 + 1(−i)(−1)

−~ω

)+

i2

2g2~2ω2

(√n2√n2(−1)

~ω+

√n2 + 1(−1)

√n2 + 1

−~ω

)= −g

2~ω2

(−n1 + n1 + 1− n2 + n2 + 1)

= −g2~ω .

(4.8)

Die Berechnung der oberen Nebendiagonalelemente erfolgt analog zu den Diagonal-elementen, allerdings liegt jetzt der Endzustand bei n1 + 1 und somit n2 − 1.

Folgende Wege sind somit möglich:

|n1, n2, ↓〉− i√

2g~ω√n1+1i

−−−−−−−−−→ |n1 + 1, n2, ↑〉− i√

2g~ω√n2

−−−−−−−→ |n1 + 1, n2 − 1, ↓〉

|n1, n2, ↓〉− i√

2g~ω√n2

−−−−−−−→ |n1, n2 − 1, ↑〉− i√

2g~ω√n1+1(−i)

−−−−−−−−−−−→ |n1 + 1, n2 − 1, ↓〉 .

(4.9)

22


Hieraus erhält man

H(2)n1,n1+1 =

i2

2g2~2ω2

(i√n1 + 1

√n2

−~ω+

√n2

√n1 + 1(−i)~ω

)= ig2~ω

√n1 + 1

√n2

= ig2~ω√n1 + 1

√n− n1 .

(4.10)

Die untere Nebendiagonale erhält man durch analoge Berechnung, wobei der Endzu-stand bei n1 − 1 bzw. n2 + 1 liegt. Die Übergänge

|n1, n2, ↓〉− i√

2g~ω√n1(−1)i

−−−−−−−−−−→ |n1 − 1, n2, ↑〉− i√

2g~ω√n2+1(−1)

−−−−−−−−−−−−→ |n1 − 1, n2 + 1, ↓〉

|n1, n2, ↓〉− i√

2g~ω√n2+1(−1)

−−−−−−−−−−−−→ |n1, n2 + 1, ↑〉− i√

2g~ω√n1(−1)(−i)

−−−−−−−−−−−−→ |n1 − 1, n2 + 1, ↓〉(4.11)

führen auf die Matrixelemente

H(2)n1,n1−1 =

i2

2g2~2ω2

(−i√n1(−1)

√n2 + 1

~ω+

√n2 + 1(−1)

√n1(−1)(−i)

−~ω

)= −ig2~ω

√n1

√n2 + 1

= −ig2~ω√n1

√n− n1 + 1 .

(4.12)

Außer den Hauptdiagonalen und den beiden Nebendiagonalen sind die Matrixeinträgegleich 0. Da die entstehende (n+ 1)× (n+ 1)-Matrix sehr groß wird und nicht aufeine Seite passen würde, wurden zusätzlich folgende Definitionen verwendet:

bn1 := i√n1 + 1

√n− n1 cn1 := −i

√n1

√n− n1 + 1

23


Daraus ergibt sich für ein gegebenes n eine Matrix der folgenden Form:

H(2) = g2~ω

−1 b1 0 0 0 . . . 0

c1 −1 b2 0 0 . . . 0

0 c2 −1 b3 0 . . . 0...

...... . . . ...

......

0 . . . 0 cn−2 −1 bn−1 0

0 . . . 0 0 cn−1 −1 bn

0 . . . 0 0 0 cn −1

(4.13)

Im Folgenden werden anhand der Beispiele n = 2, 3 und 4 die Elemente der MatrixH(2) und anschließend deren Eigenwerte berechnet. Vorwegzunehmend sei zu sagen,dass die Matrix H(2) aus n+ 1 Zeilen und Spalten besteht. So lässt sich die Determi-nante mit der Regel von Sarrus nur für n ≤ 2 berechnen. Für größere Matrizen kannmit dem Entwicklungssatz nach Laplace die Determinanten berechnet werden.

n=2

Berechnet man für n = 2 die Elemente der aus (4.13) entstehenden 3 × 3-Matrixerhält man so:

H(2) = g2~ω

−1 i√

2√

1 0

−i√

2√

1 −1 i√

1√

2

0 −i√

1√

2 −1

. (4.14)

Zur Bestimmung der Eigenwerte von H(2) muss

det(H(2) − λ

)= 0 (4.15)

gelöst werden. Der Vorfaktor g2~ω wird im Folgenden ignoriert und die Determinantemit der Regel von Sarrus berechnet. Daraus ergibt sich ein Polynom 3. Grades.

(−1− λ)3 − (−1− λ)(√

2i)(−√

2i)− (−1− λ)(√

2i)(−√

2i) = 0 (4.16)

− λ3 − 3λ2 + λ+ 3 = 0 . (4.17)

24


Die Lösungen dieser Gleichung lassen sich mit einer Polynomdivision durch Rateneiner Nullstelle in eine Gleichung 2. Grades umwandeln und anschließend könnenmit der Mitternachtsformel die anderen beiden Nullstellen berechnet werden. Manerhält so folgende drei Nullstellen:

λ1 = −3 , λ2 = −1 , λ3 = 1 . (4.18)

Die Eigenwerte sind äquidistant und lassen sich durch Verschiebung, so dass siesymmetrisch um 0 liegen, und Skalierung auf den Abstand 1 wie folgt umschreiben:

λ =λ+ 1

2= −1, 0, 1 . (4.19)

n=3Das Vorgehen zur Berechnung der Matrixelemente für n = 3 erfolgt nahezu analogzu n = 2, allerdings muss darauf geachtet werden, dass die Determinante der soentstehenden 4× 4-Matrix nicht mehr mit der Regel von Sarrus berechnet werdenkann, sondern mit dem Entwicklungssatz nach Laplace. Mit

H(2) = g2~ω

−1 i

√3√

1 0 0

−i√

3√

1 −1 i√

2√

2 0

0 −i√

2√

2 −1 i√

1√

3

0 0 −i√

1√

3 −1

(4.20)

folgt das Eigenwertspektrum

λ = −4,−2, 0, 2 (4.21)

und somit nach der Verschiebung und Skalierung

λ =λ+ 1

2= −3

2,−1

2,1

2,3

2. (4.22)

25


n=4

Analoges vorgehen für die Matrix

H(2) = g2~ω

−1 i

√4√

1 0 0 0

−i√

4√

1 −1 i√

3√

2 0 0

0 −i√

3√

2 −1 i√

2√

3 0

0 0 −i√

2√

3 −1 i√

1√

4

0 0 0 −i√

1√

4 −1

(4.23)

ergibt

λ = −5,−3,−1, 1, 3 (4.24)

bzw.

λ =λ+ 1

2= ±2,±1, 0 . (4.25)

Vergleicht man die Eigenwerte für die gerechneten Beispiele (4.19), (4.22) und (4.25),lässt sich ein gewisser Trend feststellen und eine Vermutung für n > 4 aufstellen.

Tabelle 4.1: Ergebnisse für die Eigenwerte von H(2)

n λ = λ+12

1 ±12

2 ±1, 0

3 ±32,±1

2

4 ±2,±1, 0

5 ±52,±3

2,±1

2

6 ±3,±2,±1, 0...

...

Bei genauerer Betrachtung der Eigenwerte in Tabelle 4.1 stellt man fest, dass die-se den Eigenwerten einer Drehimpulskomponente (z.B. L2) entsprechen. Die Ei-genwerte von L2 sind bei fester Drehimpulsquantenzahl l gegeben durch ~m mitm = −l,−l + 1, · · · , l. Der Vergleich mit Tabelle 4.1 ergibt somit l = n

2. Die ver-

schobenen und skalierten Eigenwerte von λ können auf die Eigenwerte von H(2)

zurück gerechnet werden und man erhält so, unter Einbeziehung des Vorfaktors g2~ω

26


die Energiekorrektur in zweiter Ordnung Störungstheorie des Potentialtopfes mitRashba-Spin-Bahn-Kopplung

E(2) = g2~ω(2m− 1) , (4.26)

wobei m die Werte −n2,−n

2+ 1, · · · , n

2annehmen kann.

Da dies lediglich eine Vermutung ist, wird im Folgenden der explizite Zusammen-hang zwischen der Matrix H(2) und der Matrix des Drehimpulsoperators L2 in derEigenbasis von L3 hergestellt.

Der Drehimpuls wird in der Literatur üblicherweise folgendermaßen definiert:

L+ = L1 + iL2 (4.27)

L− = L1 − iL2 . (4.28)

Somit erhält man für den Drehimpuls L2

L2 =1

2i(L+ − L−) . (4.29)

Die Eigenschaften der Operatoren L+ und L− beziehungsweise deren Matrixelementewerden ebenfalls aus der Literatur entnommen:

L± |l,m〉 =√

(l ∓m)(l ±m+ 1)~ |l,m± 1〉 (4.30)

〈l,m+ 1|L+|l,m〉 = ~√l −m

√l +m+ 1 = L+

m+1,m (4.31)

〈l,m− 1|L−|l,m〉 = ~√l +m

√l −m+ 1 = L−m−1,m . (4.32)

Im Folgenden wird für das Beispiel l = 2 die Matrix L2 explizit berechnet. Zuerstmüssen hierfür die Matrizen der Leiteroperatoren L+ und L− berechnet werden.Unter Verwendung der Gleichungen (4.31) und (4.32) erhält man

L+ = ~

0 0 0 0 0√4√

1 0 0 0 0

0√

3√

2 0 0 0

0 0√

2√

3 0 0

0 0 0√

1√

4 0

(4.33)

27


bzw.

L− = ~

0√

1√

4 0 0 0

0 0√

2√

3 0 0

0 0 0√

3√

2 0

0 0 0 0√

4√

1

0 0 0 0 0

(4.34)

und somit

L2 = −~2

0 i

√1√

4 0 0 0

−i√

1√

4 0 i√

2√

3 0 0

0 −i√

2√

3 0 i√

3√

2 0

0 0 −i√

3√

2 0 i√

4√

1

0 0 0 −i√

4√

1 0

. (4.35)

Vergleicht man die beiden Matrizen (4.23) und (4.35) stellt man fest, dass sie bisauf Vorfaktoren und die Einheitsmatrix identisch sind. Somit wurde der vermuteteZusammenhang zwischen den beiden Matrizen H(2) und L2 gezeigt.

Die Ergebnisse dieses Kapitels werden abschließend noch einmal zusammengefasst.Das Energiespektrum des zweidimensionale harmonische Oszillator H0 besitzt äquidi-stante Energieniveaus En = ~ω(n+1), welche n+1-fach entartet sind, da n = n1 +n2

und n1,n2 ∈ N0. Unter dem Einfluss der Rashba-Spin-Bahn-Kopplung HR1 wird diese

Entartung aufgehoben. In führender Ordnung Störungstheorie lässt sich das Spektrumin der Form

En,m(g) = ~ω(n+ 1 + g2(2m− 1) +O(g4)) (4.36)

darstellen, wobei m die Werte −n2,−n

2+ 1, · · · , n

2annehmen kann. Es ist zu beachten,

dass durch den Spinfreiheitsgrad σ3 =↑ , ↓ sämtliche Energieniveaus noch zweifachentartet sind.

28

4.2 Transformation auf neue Erzeuger und Vernichter

4.2 Transformation auf neue Erzeuger und

Vernichter

Manchmal ist es sinnvoll, neue Erzeuger- und Vernichteroperatoren zu definieren, dasich dadurch der Rechenweg möglicherweise stark vereinfacht. Die Wahl dieser neuenOperatoren geschieht meist empirisch, d.h. durch Ausprobieren.Die neuen Leiteroperatoren werden wie folgt definiert:

A1 =1√2

(a1 − ia2) A2 =1√2

(a1 + ia2)

A+1 =

1√2

(a+

1 + ia+2

)] A+

2 =1√2

(a+

1 − ia+2

) (4.37)

Umgestellt nach a bzw. a+:

a1 =1√2

(A1 + A2) a2 =i√2

(A1 − A2)

a+1 =

1√2

(A+

1 + A+2

)a+

2 =−i√

2

(A+

1 − A+2

) (4.38)

Ersetzt man nun in Gleichung (4.4) die Leiteroperatoren durch die in (4.38) neudefinierten, so erhält man

HR = H0 +HR1 (4.39)

mit

H0 = ~ω(A+

1 A1 + A+2 A2 + 1

)(4.40)

und

HR1 = ~ωg

[(A+

1 − A2

)σ− +

(A1 − A+

2

)σ+]

. (4.41)

Die beiden Matrizen σ± sind Kombinationen aus den Paulimatrizen σ1 und σ2

σ− =1

2(σ1 − iσ2) =

(0 0

1 0

)

σ+ =1

2(σ1 + iσ2) =

(0 1

0 0

).

29


Der Vorteil der neuen Leiteroperatoren besteht darin, dass sich dadurch sowohl H0

als auch die Bahndrehimpuls-Komponente L3 sehr einfach ausdrücken lassen. Eineeinfache Rechnung ergibt

L3 = x1p2 − x2p1

= ~(A+1 A1 − A+

2 A2) .

Mit den Quantenzahlen n1 und n2 lassen sich somit nicht nur die Eigenwerte vonH0, sondern auch die des Drehimpulses ausdrücken

E = ~ω(n1 + n2 − 1)

L3 = ~(n− 1− n2) .

Anders formuliert ist |n1n2〉 sowohl der Eigenzustand von H0 als auch von L3.

Im Folgenden wird die Störungstheorie nochmal, aber diesmal mit den neuen Lei-teroperatoren (4.41), angewendet. Zu beachten ist, dass für einen Down-Spin (↓)nur die Matrix σ+ wirkt und diesen Spin zu einem Up-Spin (↑) flippt. Für einenUp-Spin gilt die analoge Vorgehensweise nur mit σ−. Durch diese Einschränkung sindim Hamiltonian (4.41) nicht mehr alle Kombinationen möglich, wie mit den altenLeiteroperatoren a und a+, sondern nur noch die Kombinationen A1A

+1 , A

+1 A1, A2A

+2

und A+2 A2 (vgl. Abb. 4.3).

Abb. 4.3: Mögliche (links) und nicht mögliche Übergänge (rechts)

30

4.2 Transformation auf neue Erzeuger und Vernichter

Die Anwendung von A1A+2 bzw. A+

1 A2 ist aufgrund des Spins nicht möglich, obwohldiese Kombinationen nach Abb. 4.2 möglich sein sollten. Die so entstehende Matrixist eine Diagonalmatrix, enthält also keine Elemente auf den Nebendiagonalen. Eswerden im Folgenden für Spin ↓ die Matrixelemente berechnet, für Spin ↑ ist dieVorgehensweise analog und man erhält das gleiche Ergebnis.

Unter Verwendung von

HR1 |n1,n2, ↓〉 = ~ωg

(√n1 |n1 − 1,n2, ↑〉 −

√n2 − 1 |n1,n2 − 1, ↑〉

)(4.42)

ergeben sich folgende, zum Ausgangszustand zurückführende Übergänge:

|n1, n2, ↓〉g~ω√n1−−−−→ |n1 − 1, n2, ↑〉

g~ω√n1−−−−→ |n1, n2, ↓〉

|n1, n2, ↓〉−g~ω

√n2+1−−−−−−−→ |n1, n2 + 1, ↑〉 −g~ω

√n2+1−−−−−−−→ |n1, n2, ↓〉 .

(4.43)

Somit erhält man

H(2)n1,n1

= ~2ω2

(g2n1

~ω+g2(n2 + 1)

−~ω

)= g2~ω (n1 − n2 − 1)

= g2~ω (m3 − 1) .

(4.44)

Es wurde die neue Quantenzahl m3 = n1 − n2 in obiger Gleichung definiert.

Die Quantenzahl m3 besitzt wie bereits schon erwähnt die konkrete Bedeutung desBahndrehimpulses L3 in Einheiten von ~.

Bei gegebenen n = n1 +n2 nimmt m3 die Werte n, n− 2, · · · ,−n an. Dadurch erhältman

H(2) = g2~ω

n− 1 0 0 . . . 0

0 n− 3 0 . . . 0...

... . . . ......

0 . . . 0 −n+ 1 0

0 . . . 0 0 −n− 1

. (4.45)

Die obige Matrix ist im Gegensatz zu (4.13) eine reine Diagonalmatrix. Durch dieneue Wahl der Leiteroperatoren vereinfacht sich die Berechnung der Eigenwertedeutlich, bzw. erübrigt sich.

31


Die Gesamtenergie des Ausgangsproblems (4.41) setzt sich aus der bekannten Lösungfür den harmonischen Oszillator, den beiden Energiekorrekturen 1. und 2. Ordnungund Korrekturtermen höherer Ordnung zusammen. Der Korrekturterm 1. Ordnungist nach (3.28) gleich 0 und die Energiekorrektur 2. Ordnung auf vorheriger Seiteberechnet.

Das Spektrum des harmonischen Oszillators mit Rashba-Spin-Bahn-Kopplung lässtsich also durch die Energiequantenzahl n = n1 + n2 und der Drehimpulsquantenzahlm3 = n1 − n2 in der Form

En,m3(g) = ~ω(n+ 1 + g2(m3 − 1) +O(g4)) (4.46)

parametrisieren. Die Drehimpulsquantenzahl m3 kann bei gegebenen n die Werte−n,−n + 2, · · · , n annehmen und das Ergebnis (4.46) stimmt deshalb mit demErgebnis aus dem vorherigen Abschnitt (vgl. Gl. (4.36)) überein.

In nachfolgender Tabelle 4.2 sind zur Veranschaulichung die Quantenzahlen und dasEnergiespektrum des harmonischen Oszillators mit Rashba-SBW bis einschließlichn = 4 aufgelistet.

32

4.3 Numerische Berechnung des Spektrums

Tabelle 4.2: Quantenzahlen für die Rashba-SOC

n n1 n2 m3 En,m3(g)/~ω0 0 0 0 1− g2 +O(g4)

1 1 0 1 2 +O(g4)

0 1 -1 2− 2g2 +O(g4)

2 2 0 2 3 + g2 +O(g4

1 1 0 3− g2 +O(g4)

0 2 -2 3− 3g2 +O(g4

3 3 0 3 4 + 2g2 +O(g4)

2 1 1 4 +O(g4)

1 2 -1 4− 2g2 +O(g4)

0 3 -3 4− 4g2 +O(g4)

4 4 0 4 5 + 3g2 +O(g4)

3 1 2 5 + g2 +O(g4)

2 2 0 5− g2 +O(g4)

1 3 -2 5− 3g2 +O(g4)

0 4 -4 5− 5g2 +O(g4)...

......

......


Die obigen Ergebnisse, die störungstheoretisch für den Hamiltonoperator (4.3) be-rechnet wurden, werden im Folgenden numerisch überprüft. Das hierfür verwendeteProgramm wurde von Dr. M. Dzierzawa zur Verfügung gestellt und wurde lediglichein bisschen umgeändert. Der Quellcode des Python-Programms ist im Anhang aufSeite 48 vorzufinden. In einer externen Importdatei (imp.py) können die Startpara-meter geändert werden.

In dem Python-Programm wird der Rashba-Hamiltonian (4.3) in der Basis |n1,n2,σ3〉des harmonischen Oszillators dargestellt. Die Quantenzahlen n1 und n2 müssen hier-bei nach oben beschränkt (0 ≤ n1,2 < N) werden, damit man eine Matrix endlicherGröße erhält.

33


In nachfolgender Abbildung ist die numerisch berechnete Aufspaltung der Energieni-veaus, in Abhängigkeit des dimensionslosen Rashba-Parameters g, dargestellt. Fürden Wert von N wurde 25 gewählt, was auf eine Matrix der Dimension 2N2 = 1250

führt.

Abb. 4.4: Energieniveaus eines harmonischen Oszillators mit Rashba-SBW als Störung

Die störungstheoretischen Resultate sind offensichtlich nicht geeignet, um den ge-samten gezeigten Bereich 0 ≤ g ≤ 1 korrekt zu beschreiben. Die Gültigkeit derStörungstheorie kann allenfalls im Bereich 0 ≤ g . 0,025 (durch gestrichelte Linienmarkierter Bereich in Abb. 4.4) sinnvollerweise überprüft werden. Um dies zu errei-chen werden die nummerischen Ergebnisse in Origin geladen und in diesem Bereichdie einzelnen Linien durch ein Polynom 4. Grades gefittet. Die Resultate dieserFitfunktionen sind nachfolgend für die untersten 5 Energieniveaus (n = 0, 1, 2, 3, 4)

aufgelistet.

34


n = 0 E = ~ω[1− g2 + 0,4g4

]n = 1 E = ~ω

[2− 1,2g4

]E = ~ω

[2− 2g2 + 2,9g4

]n = 2 E = ~ω

[3 + g2 − 4,7g4

]E = ~ω

[3− g2 + 1,7g4

]E = ~ω

[3− 3,0g2 + 6,8g4

]n = 3 E = ~ω

[4 + 2g2 − 10,2g4

]E = ~ω

[4− 2,1g4

]E = ~ω

[4− 2g2 + 5,9g4

]E = ~ω

[4− 4g2 + 13,7g4

]n = 4 E = ~ω

[5 + 3g2 − 17,2g4

]E = ~ω

[5 + g2 − 7,7g4

]E = ~ω

[5− g2 + 2,4g4

]E = ~ω

[5− 3g2 + 12,1g4

]E = ~ω

[5− 5g2 + 22g4

]

Die störungstheoretischen und numerischen Resultate stimmen bist zur Ordnung g2

perfekt überein. Um die numerischen Ergebnisse in Ordnung g4 mit den analytischenvergleichen zu können, müsste die Störungstheorie bis zur 4. Ordnung fortgeführtwerden. Dies wird im Allgemeinen allerdings nicht gemacht. Es lässt sich abertrotzdem eine Kombination der Quantenzahlen n undm3 finden (durch Ausprobieren),mit der sich die g4-Terme gut beschreiben lassen

O(g4) ≈ (n+ 1)(1

2−m3) . (4.47)

35


In nachfolgender Tabelle werden die numerischen Ergebnisse (auf eine Nachkommas-telle gerundet) für die Energiekorrektur 4. Ordnung mit den empirisch berechnetenWerten verglichen.

Tabelle 4.3: Energiekorrektur 4. Ordnung: Vergleich Numerik und empirische Lösung

n m3 g4 (numerisch) (n+ 1)(12−m3) (empirisch)

0 0 0,4 0,51 1 -1,2 -1

-1 2,9 32 2 -4,7 -4,5

0 1,7 1,5-2 6,8 7,5

3 3 -10,2 -101 -2,1 -2-1 5,9 6-3 13,7 14

4 4 -17,2 -17,52 -7,7 -7,50 2,4 2,5-2 12,1 12,5-4 22 22,5

Die aus der Kombination der beiden Quantenzahlen n und m3 gefundenen Werte unddie numerischen berechneten weichen ein wenig voneinander ab, sind allerdings trotz-dem eine sehr gute Näherung. Das störungstheoretische Spektrum des harmonischenOszillators mit Rashba-Spin-Bahn-Kopplung (4.3) kann somit um die spekulativgefundene Ordnung von g4 zu

En,m3(g) = ~ω[n+ 1 + g2(m3 − 1) + (n+ 1)(

1

2−m3)g4 +O(g6)

](4.48)

erweitert werden.

36

4.4 Störungstheorie für Rashba- und Dresselhaus-Hamiltonian

4.4 Störungstheorie für Rashba- und

Dresselhaus-Hamiltonian

Abschließend wird noch der Fall betrachtet, bei dem sowohl der Rashba- als auchder Dresselhaus-Term als Störung wirkt.

Der Hamilton-Operator

HR+D =p2

1 + p22

2m+

1

2mω2

(x2

1 + x22

)+ α (p2σ1 − p1σ2) + β (p1σ1 − p2σ2)

(4.49)

lautet mit den neuen Leiteroperatoren

HR+D = ~ω(A+1 A1 + A+

2 A2 + 1) + ~ωg[(A+

1 − A2)σ− + (A1 − A+2 )σ+

]− i~ωh

[(A1 − A+

2 )σ− − (A+1 − A2)σ+

].

(4.50)

Die Berechnung der Matrix H(2), aus deren Eigenwerten sich die Energiekorrekturenzweiter Ordnung ergeben, läuft nach demselben Schema ab wie für die reine Rashba-Spin-Bahn-Kopplung.

Im Gegensatz zu diesem Fall sind nun auch Kombinationen von A1A+2 bzw. A+

1 A2

möglich, die zu Einträgen auf den Nebendiagonalen in der Matrix H(2) führenkönnten.

Berechnung der Diagonalelemente:

HR+D1 |n1,n2, ↓〉

= ~ω(g√n1 |n1 − 1,n2, ↑〉+ ih

√n1 + 1 |n1 + 1,n2, ↑〉

− ih√n2 |n1,n2 − 1, ↑〉 − g

√n2 + 1 |n1,n2 + 1, ↑〉)

(4.51)

Damit erhält man die relevanten Übergangsamplituden

〈n1 − 1,n2, ↑ |HR+D1 |n1,n2, ↓〉 = ~ωg

√n1

〈n1 + 1,n2, ↑ |HR+D1 |n1,n2, ↓〉 = i~ωh

√n1 + 1

〈n1,n2 − 1, ↑ |HR+D1 |n1,n2, ↓〉 = −i~ωh

√n2

〈n1,n2 + 1, ↑ |HR+D1 |n1,n2, ↓〉 = −~ωg

√n2 + 1 .

(4.52)

37


Die Übergänge, die zum Ausgangszustand |n1,n2, ↓〉

|n1, n2, ↓〉~ωg√n1−−−−→ |n1 − 1, n2, ↑〉

~ωg√n1−−−−→ |n1, n2, ↓〉

|n1, n2, ↓〉i~ωh

√n1+1−−−−−−−→ |n1 + 1, n2, ↑〉

−i~ωh√n1+1−−−−−−−−→ |n1, n2, ↓〉

|n1, n2, ↓〉−i~ωh√n2−−−−−−→ |n1, n2 − 1, ↑〉 i~ωh√n2−−−−−→ |n1, n2, ↓〉

|n1, n2, ↓〉−~ωg

√n2+1−−−−−−−→ |n1, n2 + 1, ↑〉 −~ωg

√n2+1−−−−−−−→ |n1, n2, ↓〉

(4.53)

führen, ergeben die Diagonalelemente

H(2)n1,n1

= ~ω[g2n1 − h2(n1 + 1) + h2n2 − g2(n2 + 1)

]= ~ω

[g2(m3 − 1)− h2(m3 + 1)

].

(4.54)

Die Nebendiagonalelemente ergeben sich aus den Übergängen

|n1, n2, ↓〉~ωg√n1−−−−→ |n1 − 1, n2, ↑〉

i~ωh√n2+1−−−−−−−→ |n1 − 1, n2 + 1, ↓〉

|n1, n2, ↓〉−~ωg

√n2+1−−−−−−−→ |n1, n2 + 1, ↑〉 −i~ωh

√n1−−−−−−→ |n1 − 1, n2 + 1, ↓〉

(4.55)

und man erhält

H(2)n1,n1−1 = ~2ω2igh

[−√n1 + 1

√n2

−~ω+−√n2

√n1 + 1

~ω

]= i~ωgh

(√n1 + 1

√n2 −

√n2

√n1 + 1

)= 0 .

(4.56)

Analog für die Übergänge zum Endzustand |n1 + 1,n2 − 1, ↓〉

|n1, n2, ↓〉i~ωh

√n1+1−−−−−−−→ |n1 + 1, n2, ↑〉

−~ωg√n2−−−−−→ |n1 + 1, n2 − 1, ↓〉

|n1, n2, ↓〉−i~ωh√n2−−−−−−→ |n1, n2 − 1, ↑〉 ~ωg

√n1+1−−−−−−→ |n1 + 1, n2 − 1, ↓〉

(4.57)

was auf

H(2)n1,n1+1 = ~2ω2igh

[√n1

√n2 + 1

~ω+

(−1)(−1)√n2 + 1

√n1

−~ω

]= 0

(4.58)

führt.

38

4.4 Störungstheorie für Rashba- und Dresselhaus-Hamiltonian

Interessanterweise kürzen sich die Nebendiagonalelemente weg, so dass wieder einereine Diagonalmatrix entsteht.

ER+Dn,m3

(g,h) = ~ω[n+ 1 + g2(m3 − 1)− h2(m3 + 1) +O(g4,h4) + . . .

](4.59)

Nachfolgend sind die führenden Terme im Energiespektrum des harmonischen Oszil-lators mit Rashba- und Dresselhaus-SBW explizit aufgelistet.

n = 0 ER+D0,0 (g,h) = ~ω

[1− g2 − h2 +O(g4,h4)

]n = 1 ER+D

1,0 (g,h) = ~ω[2− 2h2 +O(g4,h4)

]ER∗D

0,1 (g,h) = ~ω[2− 2g2 +O(g4,h4)

]n = 2 ER+D

2,0 (g,h) = ~ω[3 + g2 − 3h2 +O(g4,h4)

]ER∗D

1,1 (g,h) = ~ω[3 + g2 − h2 +O(g4,h4)

]ER∗D

0,2 (g,h) = ~ω[3− 3g2 + h2 +O(g4,h4)

]n = 3 ER+D

3,0 (g,h) = ~ω[4 + 2g2 − 4h2 +O(g4,h4)

]ER+D

2,1 (g,h) = ~ω[4− 2h2 +O(g4,h4)

]ER+D

1,2 (g,h) = ~ω[4− 2g2O(g4,h4)

]ER+D

0,3 (g,h) = ~ω[4− 4g2 + 2h2 +O(g4,h4)

]n = 4 ER+D

4,0 (g,h) = ~ω[5 + 3g2 − 5h2 +O(g4,h4)

]ER+D

3,1 (g,h) = ~ω[5 + g2 − 3h2 +O(g4,h4)

]ER+D

2,2 (g,h) = ~ω[5− g2 − h2 +O(g4,h4)

]ER+D

1,3 (g,h) = ~ω[5− 3g2 + h2 +O(g4,h4)

]ER+D

0,4 (g,h) = ~ω[5− 5g2 + 3h2 +O(g4,h4)

]

39


Abschließend wird noch der Fall betrachtet, wenn die Stärke der Rashba- undDresselhaus-Spin-Bahn-Kopplung gleich groß (d.h. g = h) ist. In Gleichung (4.59)fällt somit die Abhängigkeit von der Quantenzahl m3 heraus und man erhält

En(g) = ~ω(n+ 1− 2g2 +O(g4)

). (4.60)

Folglich kommt es in diesem Fall zu keiner Aufspaltung der Energieniveaus.

40

5 Zusammenfassung und Ausblick

In dieser Arbeit wurde der Einfluss der Spin-Bahn-Wechselwirkung auf das Energie-spektrum eines zweidimensionalen harmonischen Oszillators untersucht. Zum einenwurde dieses Problem analytisch mit Hilfe der Störungstheorie und zum anderennumerisch durch Diagonalisierung betrachtet.Die Störungsrechnung wurde zunächst unter Verwendung der zu den beiden Koor-dinaten x1 und x2 gehörenden Leiteroperatoren durchgeführt. Die Berechnung derEnergiekorrektur zweiter Ordnung führte hierbei auf ein Eigenwertproblem für einenichtdiagonale Matrix, welches exakt gelöst werden konnte. Durch Transformation aufneue Leiteroperatoren ergab sich eine Diagonalmatrix, für die das Eigenwertproblembereits gelöst ist.Durch Vergleich des numerischen Resultats mit der analytisch genäherten Lösungergab bis einschließlich zweiter Ordnung in g eine perfekte Übereinstimmung.

Die vorliegende Arbeit könnte dahingehend erweitert werden, dass zusätzlich der Ein-fluss eines externen Magnetfeldes berücksichtigt wird. Darüber hinaus könnten auchandere Potentialformen für den Quantenpunkt betrachtet werden, mit besonderemAugenmerk auf die Kombination aus Rashba- und Dresselhaus-SBW.

41

6 Anhang

Toy-Model

H = ~ω1

(a+

1 a1 +1

2

)+ ~ω2

(a+

2 a2 +1

2

)+ λx1x2 (6.1)

x =

√~

2mω(a+ + a) =

x0√2

(a+ + a) (6.2)

Störungstheorie

Störungstheorie 1. Ordnung:

E(1)n =< n1n2|H1|n1n2 >

=< n1n2|λx1x2|n1n2 >

= λ < n1|x1|n1 >< n2|x2|n2 >

= λ < n1|x01√

2(a+

1 + a1)|n1 >< n2|x02√

2(a+

2 + a2)|n2 >

= λx01x02

2< n1|a+

1 + a1|n1 >< n2|a+2 + a2|n2 >

= 0

Störungstheorie 2. Ordnung

E(2)n =

∑m6=n

|=:C︷︸︸︷

< m1m2 |H1|m1m2 > |2

En1,n2 − Em1,m2

(6.3)

43

6 Anhang

C =< m1m2 |H1|n1n2 >

=< m1m2 |λx1x2|n1n2 >

= λ < m1m2 |x1x2|n1n2 >

= λx01x02

2< m1

∣∣a+1 + a

∣∣n1 >< m2

∣∣a+2 + a

∣∣n2 >

= λx01x02

2

[√n1 + 1 δm1,n1+1 +

√n1 δm1,n1−1

] [√n2 + 1 δm2,n2+1 +

√n2 δm2,n2−1

]

E(2)n =

∑m 6=n

| < m1m2 |H1|m1m2 > |2

En1,n2 − Em1,m2

= λ2x201x2

02

4

[(n1 + 1)(n2 + 1)

−~(ω1 + ω2)+

(n1 + 1)n2

−~(ω1 − ω2)+

n1 (n2 + 1)

−~(−ω1 + ω2)

n1 n2

−~(−ω1 − ω2)

]= −λ2x

201x2

02

4~

[n1

ω1 + ω2

+n2

ω1 + ω2

+1

ω1 + ω2

+n2

ω1 − ω2

− n1

ω1 − ω2

]= −λ2x

201x2

02

4~

[n1 + n2 + 1

ω1 + ω2

+n2 − n1

ω1 − ω2

](1)= −λ2 ~

4m2ω1ω2

[(n1 + n2 + 1)(ω1 − ω2) + (n2 − n1)(ω1 + ω2)

ω21 − ω2

2

]

= −λ2 ~2m2

ω1n2 − ω2n1 +1

2(ω1 − ω2)

ω1ω2(ω21 − ω2

2)

Beim Rechenschritt (1) in obiger Rechnung wurde die Klammer auf den gemeinsamenNenner gebracht und die 3. Binomische Formel angewendet, des Weiteren wurde die

Relation x20 =

~mω

angewendet.

Exakte Lösung

H = ~ω1(a+1 a1 +

1

2) + ~ω2(a+

2 a2 +1

2) + λx1x2

=p2

1 + p22

2m+

1

2mω2

1x21 +

1

2mω2

1x21 + λx1x2

44

V =1

2mω2

1x21 +

1

2mω2

1x21 + λx1x2

=1

2m(ω2

1x21 + ω2

2x22 +

2

mλx1x2)

=1

2m (ω1x1, ω2x2)

1λ

mω1ω2λ

mω1ω2

1

( ω1x1

ω2x2

)

=1

2m (x1, x2)

ω21

λ

mλ

mω2

2

︸︷︷︸

=:D

(x1

x2

)

Berechnung der Eigenwerte der Matrix D:o.B.d.A ω1 > ω2

det (D − 11ε)(!)= 0⇔

ω21 − ε

λ

mλ

mω2

2 − ε

= 0

⇔ (ω21 − ε)(ω2

2 − ε)−λ2

m2= 0

⇔ ε2 − (ω21 + ω2

2)ε+ ω21 + ω2

2 −λ2

m2= 0

ε1,2 =ω2

1 + ω22

2± 1

2

√(ω2

1 + ω22)2 − 4ω2

1ω22 + 4

λ2

m2

=ω2

1 + ω22

2± 1

2

√(ω2

1 − ω22)2 + 4

λ2

m2︸︷︷︸Entwicklung der Wurzel bei λ=0

=ω2

1 + ω22

2±

√

(ω21 − ω2

2)2 +2λ2

m2√

(ω21 − ω2

2)2− 2λ4

m4 3√

(ω21 − ω2

2)2+ . . .︸︷︷︸

vernachlssigbar

45

6 Anhang

ω21,2 =

ω21 + ω2

2

2±

[√(ω2

1 − ω22)2 +

2λ2

m2√

(ω21 − ω2

2)2

]

ω21 =

ω21 + ω2

2

2+ω2

1 − ω22

2+

λ2

m2√

(ω21 − ω2

2)2

= ω21

(1 +

λ2

m2ω21(ω2

1 − ω22)

)

ω1 =√ω2

1 =

√ω2

1

(1 +

λ2

m2ω21(ω2

1 − ω22)

)= ω1

(1 +

λ2

m2ω21(ω2

1 − ω22)

)︸︷︷︸√

1+x2≈1+ 12a2− 1

8a4+...

= ω1 +λ2

m2ω1(ω21 − ω2

2)

= ω1 + ∆ω1

Die Berechnungen für ω22 und ω2 erfolgen analog.

ω22 = ω2

2

(1− λ2

m2ω22 (ω2

1 − ω22)

)

ω2 = ω2 −λ2

m2ω1(ω21 − ω2

2)

= ω2 + ∆ω2

Die Energiedifferenz lässt sich über die

46

∆E(2) = ~∆ω1

(n1 +

1

2

)− ~∆ω2

(n2 +

1

2

)=λ2~2m2

[n1 + 1

2

ω1 (ω21 − ω2

2)−

n2 + 12

ω2 (ω21 − ω2

2)

]=λ2~2m2

(n1 + 1

2

)ω2 −

(n2 + 1

2

)ω1

ω1ω2 (ω21 − ω2

2)

=λ2~2m2

ω2n1 + 12ω2 − ω1n2 − 1

2ω1

ω1ω2 (ω21 − ω2

2)

= −λ2 ~2m2

ω1n2 − ω2n1 + 12

(ω1 − ω2)

ω1ω2 (ω21 − ω2

2)

47

6 Anhang

Python-Code

1 # −∗− coding : i so −8859−15 −∗−#

3 ######################################################################## d i a g ona l i z e s harmonic o s c i l l a t o r with Rashba und Dresse lhaus sp in

o rb i t i n t e r a c t on5 #######################################################################

#7 import numpy

#9 #######################################################################

# Functions11 #######################################################################

13

#######################################################################15 # Constants and input parameters

#######################################################################17 #

# g = alpha ∗p0_x / hbar∗omega_x ( d imens i on s l o s e r Rashba Parameter )19 # h = beta ∗p0_x / hbar∗omega_x (dim . l o s . Dres se lhaus Parameter )

# gamma = omega_y / omega_x ( An i so t rop i e Parameter )21 # Al l e Energien s ind in der E inhe i t gegeben hbar∗omega_x

#23 #######################################################################

25 from imp import ∗#

27 #pi = numpy . p i

29 i = 1 j#

31 A = 2∗N∗∗2eps0 = 0 .5∗ (1 + gamma)

33 #dg = (gmax − gmin ) / f l o a t (Ng)

35 he f f 1 = h / numpy . sq r t ( 2 . )h e f f 2 = he f f 1 ∗ numpy . sq r t (gamma)

37 #H = numpy . z e ro s ( (A,A) , dtype = complex )

39 Spec = numpy . z e ro s ( (A,Ng+1) )

48

#41 # s t a t e s |m, n , s> = |mx, ny , sz>

#43 o f i l e = open ( ’ rp lusd . dat ’ , ’w ’ )

f o r m in range (N) :45 f o r n in range (N) :

f o r s in range (2 ) :47 a = s ∗N∗∗2 + m∗N + n

H[ a , a ] = m + gamma∗n49 #

hdum = h51 f o r ng in range (Ng+1) :

g = gmin + dg∗ng53 g e f f 1 = g / numpy . sq r t ( 2 . )

g e f f 2 = g e f f 1 ∗numpy . sq r t (gamma)55 #

fo r m in range (1 ,N) :57 m_prime = m−1

dum = numpy . sq r t (m)59 f o r n in range (N) :

n_prime = n61 f o r s in range (2 ) :

s i gn = 2∗ s−163 s_prime = 1−s

a = s ∗N∗∗2 + m∗N + n65 a_prime = s_prime∗N∗∗2 + m_prime∗N + n_prime

H[ a_prime , a ] = ( s i gn ∗ g e f f 1 − i ∗ he f f 1 ) ∗dum67 H[ a , a_prime ] = ( s i gn ∗ g e f f 1 + i ∗ he f f 1 ) ∗dum

#69 f o r m in range (N−1) :

m_prime = m+171 dum = numpy . sq r t (m+1)

f o r n in range (N) :73 n_prime = n

f o r s in range (2 ) :75 s i gn = 2∗ s−1

s_prime = 1−s77 a = s ∗N∗∗2 + m∗N + n

a_prime = s_prime∗N∗∗2 + m_prime∗N + n_prime79 H[ a_prime , a ] = (− s i gn ∗ g e f f 1 + i ∗ he f f 1 ) ∗dum

H[ a , a_prime ] = (− s i gn ∗ g e f f 1 − i ∗ he f f 1 ) ∗dum81 #

49

6 Anhang

f o r n in range (1 ,N) :83 n_prime = n−1

dum = numpy . sq r t (n)85 f o r m in range (N) :

m_prime = m87 f o r s in range (2 ) :

s i gn = 2∗ s−189 s_prime = 1−s

a = s ∗N∗∗2 + m∗N + n91 a_prime = s_prime∗N∗∗2 + m_prime∗N + n_prime

H[ a_prime , a ] = ( s i gn ∗ he f f 2 − i ∗ g e f f 2 ) ∗dum93 H[ a , a_prime ] = ( s i gn ∗ he f f 2 + i ∗ g e f f 2 ) ∗dum

#95 f o r n in range (N−1) :

n_prime = n+197 dum = numpy . sq r t (n+1)

f o r m in range (N) :99 m_prime = m

fo r s in range (2 ) :101 s i gn = 2∗ s−1

s_prime = 1−s103 a = s ∗N∗∗2 + m∗N + n

a_prime = s_prime∗N∗∗2 + m_prime∗N + n_prime105 H[ a_prime , a ] = (− s i gn ∗ he f f 2 + i ∗ g e f f 2 ) ∗dum

H[ a , a_prime ] = (− s i gn ∗ he f f 2 − i ∗ g e f f 2 ) ∗dum107 #

eigH = numpy . l i n a l g . e i g v a l s h (H)109 f o r lam in range (A) :

Spec [ lam , ng ] = eps0 + eigH [ lam ]111

113 # savef o r lam in range (200) :

115 f o r ng in range (Ng+1) :g = gmin + dg∗ng

117 o f i l e . wr i t e ( "%12.8 f %12.8 f \n" %(g , Spec [ lam , ng ] ) )o f i l e . wr i t e ( "\n\n" )

50

Literaturverzeichnis

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Notes%20on%20SOI.pdf

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http://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:1109807/FULLTEXT01.pdf

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[14] C. Tannoudji, Quantenmechanik Band 1, 4. durchges. und verb. Aufl., de Gruyter,Berlin (2009).

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52

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