PH1 PK WS09/10 Lösung

Physikdepartment E13 TU München

Experimentalphysik 1 für MaschinenwesenProbe-Klausur 1. Semester

Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum28.01.2010, 17:15 h – 18:15 h

Name Vorname

Matrikelnummer

Hiermit bestätige ich, die vorliegende Klausur selbständig und ohne unzulässige Hilfsmittel ange-fertigt zu haben. Ich habe die Klausur nach Erhalt auf Vollständigkeit geprüft.

Unterschrift

Aufgabe Punkte maximal Pkt. erreicht123

Pkt. gesamt

Unterschrift Korrektor

Probe-Klausur Experimentalphysik 1 Blatt 2/??

Für alle Aufgaben gilt:Neben dem Endergebnis werden auch Ansatz und Lösungsweg gewertet.

1. Gekoppelte PendelZwei mathematische Pendel der Länge l mit den Massen m1 und m2 hängen nebeneinander vonder Decke herab und seien durch eine Feder mit der Federkonstanten k miteinander verbunden.Die momentanen Auslenkungen der Pendel seien mit θ1(t) und θ2(t) bezeichnet. Die Feder sei fürθ1(t) = θ2(t) = 0 entspannt.

a) Leiten Sie für m1 und m2 jeweils die Bewegungsgleichung in differenzieller Form her. Benut-zen Sie dabei die Kleinwinkelnäherung.

Kräfte auf Masse m1:

FR = −m1 g sin θ1 ≈ −m1 gθ1

FF = k(Auslenkung von Masse m2- Auslenkung von Masse m1) =

= k(l sin θ2 − l sin θ1) =

≈ kl(θ2 − θ1)

Newton: ms̈ = FR + FF

⇒ m1 lθ̈1 = −m1 gθ1 + kl(θ2 − θ1)

⇒ θ̈1 + gl θ1 −

km1

(θ2 − θ1) = 0 (I)

Analog stellt man die DGL für die Masse m2 auf:

2


⇒ θ̈2 + gl θ2 −

km2

(θ1 − θ2) = 0 (II)

b) Zur Entkopplung der DGLs wurden diese in der Vorlesung addiert bzw. subtrahiert. GehenSie hier genauso vor. Lassen sich die erhaltenen Gleichungen entkoppeln?

(I) + (I I) : θ̈1 + θ̈2 +g

l(θ1 + θ2)−

k

m1(θ2 − θ1)−

k

m2(θ1 − θ2) = 0

(I) − (I I) : θ̈1 − θ̈2 +g

l(θ1 − θ2)−

k

m1(θ2 − θ1) +

k

m2(θ1 − θ2) = 0

In Gleichung (I)+(II) kommen Terme mit θ1 + θ2 und Terme mit θ1 − θ2 vor.

Die Gleichungen lassen sich nicht entkoppeln.

c) Es gelte nun m1 = m2. Leiten Sie die beiden Differenzialgleichungen für die Fundamental-schwingungen her.

Seim1 = m2 . Damit vereinfachen sich die Gleichungen zu:(I)+(II): θ̈1 + θ̈2 + g

l (θ1 + θ2) = 0

d2

dt2(θ1 + θ2) + g

l (θ1 + θ2) = 0

(I)-(II): θ̈1 − θ̈2 + gl (θ1 − θ2) + k

m1(2θ1 − 2θ2) = 0

d2

dt (θ1 − θ2) + ( gl + 2k

m1)(θ1 − θ2) = 0

d) Geben Sie die allgemeinen Lösungen dieser Differenzialgleichungen an. Welche Frequenzenhaben diese Fundamentalschwingungen (Formeln)?

(I) + (II) ist Schwingungsgleichung mit Variable θ1 + θ2 =⇒ Substitution→ gleichphasige Schwingung θgleich(t) = θ1(t)+θ2(t)

2 erfüllt DGL

θgleich(t) = θ0,gleich · cos(ωgleicht + α)

mit ωgleich =√

gl (wie ohne Feder)

(I) - (II): ist Schwingungsgleichung mit Variable θ1 − θ2 =⇒ Substitution→ gegenphasige Schwingung θgegen(t) = θ2(t)−θ1(t)

2 erfüllt DGL

θgegen(t) = θ0,gegen · cos(ωgegent + β)

mit ωgegen =√

gl + 2k

m1

e) Es seien nun m1 = m2 = 2,0 kg, l = 0,75m und k = 25,0N/m. Zeichnen Sie hierfür θ1(t) undθ2(t) für beide Fälle in ein Koordinatensystem. Alle Anfangsauslenkungen seien betragsmä-ßig π/180 und alle Anfangsgeschwindigkeiten seien 0.

3


θ̇1(0) = θ̇2(0) = 0

=⇒ α = nπ ; β = mπ

spezielle Lösung: α = β = 0

√g

l= ωgleich = 2π

1

Tgleich

=⇒ Tgleich =2π√

gl

=2π√

9,81m/s2

0,75m

= 1,74 s

Tgegen =2π√gl + 2k

m1

=2π√

9,81m/s2

0,75m + 2·25N/m2,0 kg

= 1,02 s

f) Nun gehen wir von speziellen Anfangsbedingungen aus. Es gelte θ1(0) = π/180 , θ2(0) = 0

und θ̇1(0) = θ̇2(0) = 0. Berechnen Sie die Bewegungsgleichungen für θ1(t) und θ2(t).

θ1(0) =π

180; θ2(0) = 0 =⇒ θ1(0) − θ2(0) =

π

180=: θ0

Fundamentalschwingungen gehorchen den Ansätzen:

(1) θ1(t) + θ2(t) = θ0 cos(ωgleicht)

(2) θ1(t) − θ2(t) = θ0 cos(ωgegent)

12 [((1) + (2))] :

θ1(t) =1

2θ0

[cos(ωgleicht) + cos(ωgegent)

]

ωgleich =√

gl = 3,62 s−1; ωgegen =

√gl + 2k

m1= 6,17 s−1; θ0 = π/180

θ1(t) = π/360 ·[cos

(3,62 s−1

· t)

+ cos(6,17 s−1

· t)]

4


12 [((1) − (2))] :

θ2(t) =1

2θ0

[cos(ωgleicht) − cos(ωgegent)

]

θ2(t) = π/360 ·[cos

(3,62 s−1

· t)− cos

(6,17 s−1

· t)]

5


2. VorbeiflugSie fahren in einem Ballon und nehmen den hochfrequenten Ton f1 = 1,7 kHz wahr, der vonFlugzeugtriebwerken stammt. Sie sehen sich um und erblicken in 5 km Entfernung (Luftlinie) einFlugzeug, das sich Ihnen mit konstanter Geschwindigkeit in etwa gleicher Höhe nähert und dannnahe an Ihnen vorbeifliegt. Die Schallgeschwindigkeit betrage 340m/s und das Barometer zeigteinen Luftdruck von 995hPa. Die Geschwindigkeit des Ballons ist zu vernachlässigen.

a) Die Flugzeugtriebwerke erzeugen einen Schalldruckpegel von 120 dB. Berechnen Sie denSchalldruck und den maximalen Luftdruck, der durch die Triebwerke erzeugt wird (pN =2 · 10−5 Pa).

Skript Gleichung (3.4)

LP = 20 · log

(p

pN

)dB

LP20dB

= log

(p

pN

)=⇒ p = pN · 10

“

LP20dB

”

p = pN · 10(120dB20dB ) = 2 · 10−5 Pa · 106 Pa = 20Pa

Der Schalldruck ( p ) beträgt 20Pa; d.h. der Luftdruck schwankt mit der Amplitude20Pa um den Gleichgewichtswert von 995hPa.=⇒ Maximaler Luftdruck:

pmax = 995hPa + 20Pa = 995,20 hPa

b) Geben Sie die maximale Erhöhung des Luftdrucks durch die Triebwerke in Prozent an.

p

p0=

20Pa

995hPa= 2,01 · 10−4 = 0,02%

Nachdem Sie das Flugzeug passiert hat und sich von Ihnen entfernt, registrieren Sie eine Tonfre-quenz der Triebwerke f2 von 0,4 kHz.

c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit vF des Flugzeuges zum Zeitpunkt des Vorbeifluges inMach und in km/h.

Beobachter ruht, Quelle bewegt sich (Gl.3.12):fB =

fQ

1−vQc

= f1 (Annäherung)

f ′B =fQ

1+vQc

= f2 (Entfernen)

fQf1

= 1−vQc

;fQf2

= 1+vQc

fQf1

+fQf2

= 2 ;fQf1

−fQf2

= −2vQc

fQ f2 + fQ f1 = 2 f1 f2

=⇒ fQ =2 f1 f2f1 + f2

; vQ =fQ · c

2

(1

f2−

1

f1

)

6


vQ =�2 · c

( f1 + f2) · �2( f1 − f2) = c ·

f1 − f2f1 + f2

vQ = 210,5m/s = 0,619Mach = 757,7 km/h

(1Mach =̂ c = 340m/s)

d) Welche Schallfrequenz fT emittieren die Triebwerke, als das Flugzeug Sie direkt passiert?

fQ = fT = 2f1 · f2f1 + f2

= 648Hz

e) Welche Frequenz fH nehmen Sie beim Vorbeiflug wahr?

Beim Vorbeiflug hat die Relativgeschwindigkeit des Flugzeugs keine Komponentein Richtung des Beobachters.

=⇒ fH = fT = 648Hz

Dem ersten Flugzeug folgt ein zweites, das in einer Entfernung von 10 km (Luftlinie) beginnt,gleichmäßig und geradlinig auf die Endgeschwindigkeit vE = 800 km/h zu beschleunigen. DieBeschleunigungsphase dauert t = 30 s und das Flugzeug legt in dieser Zeit eine Entfernung von5 km zurück.

f) Berechnen Sie die Anfangsgeschwindigkeit vA des Flugzeuges vor Beginn der Beschleuni-gungsphase in Mach und km/h.

Gleichmäßige Beschleunigung:

x(t) = xE = xA + vA · t +1

2at2 (1)

v(t) = vE = vA + a · t (2)

Aus (1) folgt:

1

2at2 = xE − xA − vAt

a = 2

(xE − xA

t2−

vAt

)

Aus (2) folgt:

��vA = vE − 2xE − xA

t+ �2vA

vA = 2xE − xA

t− vE = 2 ·

5 km

30 s− 800

km

h

vA = 111,1m

s= 400

km

h= 0,33Mach

g) Berechnen Sie die Beschleunigung a des Flugzeuges in diesem Zeitraum und geben Sie denWert in Vielfachen der Erdbeschleunigung g an.

7


Aus (2) folgt:

a =vE − vA

t=

800 km/h− 400 km/h

30 s

a = 3,70m

s2

a

g=

3,70 ms2

9,81 ms2

= 0,38

a = 0,38 · g

8


3. SpezialglasEin Lichtstrahl trifft auf ein gleichschenkliges Prisma (siehe nebenstehende Abbildung). Das Pris-ma besteht aus einem Spezialglas mit einem wellenlängenabhängigen Brechungsindex. Für dun-kelrotes Licht beträgt der Brechungsindex 1.603, für oranges Licht 1.608, für grünes Licht 1.619und für violettes Licht 1.645. In einer Entfernung von 100 cm hinter dem Prisma befindet sich einSchirm, auf dem das am Prisma gebrochene Licht beobachtet wird.Zunächst betrachten wir den Fall eines grünen Laserstrahls, der auf das Prisma einfällt.

a) Konstruieren Sie den Strahlengang des gebrochenen Strahls an der ersten Grenzfläche nachdem Huygensschen Prinzip. Verwenden Sie einen geeigneten Maßstab.

grünes Licht: n = 1,619 =⇒ Lichtgeschwindigkeit und Wellenlänge im Glas1/1,619 des Wertes in Luft/VakuumλLuft=̂1 cm =⇒ λGlas = 0,62 cm

9


b) An welcher Position des zweiten Schenkels des Prismas verlässt der Laserstrahl das Prisma?

10


sin α

sinγ=

n2n1

= 1,619 ; α = 20◦

γ = arcsin

(sin α

1,619

)= 12,20◦

Sinussatz:

sin(90◦ − γ)

sin(50◦ + γ)=

x

2 cm

=⇒ x =sin(90◦ − γ)

sin(50◦ + γ)· 2 cm = 2,21 cm

c) An welcher Position trifft der grüne Laserstrahl auf den Schirm?

Betrachte zweite Grenzfläche

11


sin(40◦ − γ)

sin δ=

nLuft1,619

=⇒ δ = arcsin

(1,619 · sin(40◦ − γ)

1

)= 49,03◦

sin 70◦ =z

6 cm− x=⇒ z = sin 70◦ · (6 cm− 2,21 cm) = 3,56 cm

cos 70◦ =y

6 cm− x=⇒ y = cos 70◦ · (6 cm− 2,21 cm) = 1,30 cm

tan(110◦ − δ) =100 cm + y

w=⇒ w =

100 cm + 1,30 cm

tan(110◦ − 49,03◦)= 56,22 cm

=⇒ Auftreffpunkt:w− z = 56,22− 3,56 cm = 52,66 cm unterhalb des Prismenbodens.

12


d) Nun verwenden wir ein paralleles Strahlbündel aus weißem Licht, das einen Durchmesservon 2mm hat. Bekanntlich zerlegt das Prisma das weiße Licht so, dass das ganze Farbspek-trum auf dem Schirm sichtbar wird. Bestimmen Sie die Abmessungen des Spektrums für diegegebene Anordnung!

Durchmesser Strahl: D = 2mmroter Strahl: kleinstes n =⇒ geringste Ablenkungvioletter Strahl: höchstes n =⇒ höchste AblenkungBetrachte für vertikale Abmessungen am Schirm obersten roten Strahl und unters-ten violetten Strahl.oberster roter Strahl:n = 1.603Abstand des einfallenden Strahls vom First des Prismas:d0 = 20.0mm−

D2·sin(70◦) = 18.9358222275241mm

in obige Formeln einsetzen und ausrechnen:=⇒ w− z ≃ 505.0mmunterster violetter Strahl:n = 1.645Abstand des einfallenden Strahls vom First des Prismas:d0 = 20.0mm + D

2·sin(70◦)= 21.0641777724759mm

=⇒ w− z ≃ 563.4mmInsgesamt also: (wviolett − zviolett) − (wrot − zrot) ≃ 58,4mmHorizontal findet keine Verbreiterung oder Verengung des Strahlbündels statt.Die Abmessungen des Spektrums auf dem Schirm betragen also:2mm× 58,4mm (Breite × Höhe)

13

PH1 PK WS09/10 Lösung

Documents

Transcript of PH1 PK WS09/10 Lösung