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Physik A – VL6 (19.10.2012)

Beschreibung von Bewegungen

- Kinematik in drei Raumrichtungen II

• Dreh- und Rotationsbewegungen

• Zusammenfassung: Kinematik

Dreh- und Rotationsbewegungen


Parameter von Dreh- und Rotationsbewegungen

r Radius des vom Bezugspunkt

(z.B. Massepunkt) beschriebenen

Kreises um Mittelpunkt M

T Umlaufzeit [s]r

r

s

M

T

f Drehfrequenz

Hz

Tf ,

s

11

ω Kreisfrequenz fT

22

Die Kreisfrequenz ist eine Geschwindigkeit, die Winkelgeschwindigkeit.

Sie gibt die Änderung des Umlaufwinkels an: tdt

d

φ Umlaufwinkel (1 Umlauf = 2π)

Δs Weg rs


v1

v2

v3

v4

r

r

s

M

T

Kreisfrequenz fT

22

tdt

d

Geschwindigkeit eines

Teilchens auf der Kreisbahn

Weg rs

dt

dsv r

dt

d

dt

dsv

rr

dt

d

dt

dsv

drds

die Rotationsgeschwindigkeit nimmt mit dem Radius zu

Betrachtung der Geschwindigkeitsvektoren

Parameter von Dreh- und Rotationsbewegungen


v1

v3

Betrachtung der Geschwindigkeitsvektoren

v3,y

v1,x v3,x

v1,y= 0 rrdt

d

dt

dsv

• Kreisbewegung mit konstanter Geschwindigkeit

.22 constvvv yx

aber:

vi,x , vi,y ≠ const. !!!

Rotation ist trotz konstantem Betrag der Geschwindigkeit

eine beschleunigte Bewegung, da sich die Richtung der

Geschwindigkeit ständig ändert.

Δs


tdt

d

Kreisfrequenz = Winkelgeschwindigkeit

Die Winkelgeschwindigkeit ist ein Vektor,

der senkrecht auf Radius und Geschwindigkeit stehtrvrv

,

Rechte-Hand-Regel für die

Winkelgeschwindigkeit

Rotations-

richtung: v


Radius r

v1

rr

M

v3

Δs

v1'

Ähnlichkeit

der Dreiecke

r

s

v

v

r

vsv Erweitern mit Δt

r

v

t

s

t

v

.)( ladialbeschRar

v

t

s

t

v

Δv


Die Radialbeschleunigung (Zentral-, Zentripetalbeschleunigung)

r

v

t

s

t

vaR

r

vrv

dt

dv

r

v

dt

ds

dt

dvaR

22

r

v

dt

ds

dt

dvaR

Grenzwertbetrachtung (Übergang von Durchschnitts- zur Momentanbeschleunigung)

r

v

r

vv

r

v

dt

ds

dt

dvaR

2

dt

d drds rv


Vektorielle Betrachtung

dt

vdaR

Die Richtung der Radialbeschleunigung

Radialbeschleunigung hat gleiche Richtung wie Geschwindigkeitsänderung

v1

rr

M

v3

Δs

v1'

Δv

Wenn Δt gegen Null geht , nähert sich

die Richtung von Δv immer weiter dem

Radius r an

Die Geschwindigkeitsänderung und damit

die Richtung der Radialbeschleunigung

sind zum Kreismittelpunkt hin orientiert.


Die Ursachen der Radialbeschleunigung (Zentripetalbeschleunigung)

Eine () Kraft in Richtung des Kreismittelpunktes wirkt auf den darum kreisenden Körper,

die Zentripetalkraft.

Erzeugung von Zentripetalkräften - Beispiele

Räder, Windmühle, Karussell:

Kräfte von Achslagern

Spannkraft der

Schnur bzw.

Haltekraft

Kurvenfahrt eines Autos:

Reibungskräfte zwischen Reifen und Straße (Glatteis!)

Auch bei Unfällen (Seitenaufprall): Kraft in Richtung Mittelpunkt des Krümmungskreises!

Gravitationskräfte

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Beispiel 1:

Winkelgeschwindigkeit der Erde und deren Radialbeschleunigung am Äquator

Gegeben: - Erdradius r = 6,38106 m

- Umlaufzeit T = 24h

52 27,27 10

86400s

T s


1670km

v rh

Bahngeschwindigkeit

Radialbeschleunigung

034,02

2

s

m

r

vaR


Beispiel 2:

Satellit auf geostationärer Bahn

Gegeben: - Bahnhöhe h = 3,600107 m

Bahnradius r = 4,237107 m

- Umlaufzeit T = 24h

52 27,27 10

86400s

T s


Gleiche Winkelgeschwindigkeit wie Erdrotation

Satellit erscheint fest über einem Punkt des Äquators verankert („geostationär“)

Bahngeschwindigkeit und Radialbeschleunigung sind abhängig vom (Bahn-)Radius

(In beiden Fällen direkte Proportionalität: v = r und aR = 2 r )

Bahngeschwindigkeit Radialbeschleunigung

)1670 :(Erde 11092h

km

h

kmrv )0,034 :(Erde 224,0

22

2

s

m

s

m

r

vaR


Ungleichförmige Rotation – die Tangentialbeschleunigung

• Ändert sich bei einer Rotation die Drehzahl und damit die Winkelgeschwindigkeit ω,

so ist die Drehbewegung nicht mehr gleichförmig.

• Aus der zeitlichen Änderung der Winkelgeschwindigkeit ergibt sich die

Winkelbeschleunigung bzw. Tangentialbeschleunigung

dt

d

bzw. dt

dra TTT

,

2

2

dt

d

dt

dT

va

ra

T

TT

||

,

Die Tangential- (oder Bahn-)Beschleunigung hat gleiche oder entgegengesetzte Richtung

wie Geschwindigkeit, d.h. sie ändert den Betrag von v Translation

Radialbeschleunigung steht senkrecht auf der Geschwindigkeit,

d.h. sie ändert nur die Richtung von v Drehbewegung oder Rotation

Analogie zur Winkelgeschwindigkeitdt

d

dt

d


Zusammenhänge zwischen

Radius r

Geschwindigkeit v

Radial-Beschleunigung aR

Tangentialbeschleunigung aT


Winkelbeschleunigung T

rvrv

,

rara TTTT

,

||

||

T

T va

rarvddt

vda RR

||||,

Weg s

raR

aT

vT


Translations- vs. Rotationsbewegungen (skalare Form)

Translation Rotation Zusammenhang

Weg s s = r

Geschwindigkeit v = ds/dt = d /dt v = r

Beschleunigung a = dv/dt=d2s/dt2 = d /dt=d2 /dt2 a = r

Bei gleichförmiger Bewegung

Translation Rotation

s = s0 + vt = 0 + t

v = const. = const.

Bei gleichförmig beschleunigter Bewegung

Translation Rotation

s = s0 + vt + ½at2 = 0 + 0t + ½t2

v = v0 + at = 0 + t

a = const. = const.

• Mechanik

Untersuchung der Bewegung von Körpern und der verwandten Begriffe Kraft und Energie.

Einteilung in drei Teilbereiche: - Statik (Zusammensetzung und Gleichgewicht von Kräften)

- Kinematik (Beschreibung von Bewegungen)

- Dynamik (Beschreibung von Kräften und Untersuchung,

warum sich Körper in einer bestimmten Art

und Weise bewegen)

• Kinematik in einer Raumrichtung

Es wird immer ein Bezugssystem benötigt, da Weg und Geschwindigkeit vektorielle Größen sind.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist der Quotient aus dem zurückgelegten Weg und der dafür

benötigten Zeit.

Die Momentangeschwindigkeit ist der Grenzwert der Durchschnittsgeschwindigkeit, wenn Δt

gegen Null geht bzw. ist gleich der Steigung der Tangente an die Weg-Zeit-Kurve in diesem Punkt.

Das Vorzeichen der Geschwindigkeit (Durchschnitts- und Momentan-) ergibt sich aus dem

Vorzeichen des Weges und gibt in gleicher Art und Weise die Bewegungsrichtung an.

Kinematik - Zusammenfassung


• Die beschleunigte Bewegung

Die Beschleunigung zeigt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit ändert.

Durchschnittsbeschleunigung: Quotient aus der Geschwindigkeitsänderung und Zeit

Momentanbeschleunigung: Grenzwert der Durchschnittsbeschleunigung für t → 0.(Ableitung von v (genauer: v(t) !) nach t!)

• Der freie Fall

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit g = ~ 9,81 m/s2

Ursache der Fallbeschleunigung ist die Anziehungskraft der Erde

Alle Körper fallen mit der gleichen Beschleunigung zum Mittelpunkt der Erde

(Bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes !)

• Der senkrechte Wurf

Überlagerung zweier Bewegungen: 1. gleichförmige Bewegung nach oben (mit v0)

2. gleichförmig beschleunigte Bewegung nach unten

(freier Fall)

Die resultierende Bewegung ist ebenfalls eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung !

Die beiden Bewegungsvorgänge überlagern sich, aber beeinflussen sich nicht gegenseitig!


• Betrachtung ungleichförmiger Beschleunigung mittels Integralrechnung

Herleitung der Gleichungen für konstante Beschleunigung über Integralrechnung.

Berechnung von ungleichmässig beschleunigter Bewegung.

• Vektoren und Skalare, Vektoraddition, Skalarprodukt, Vektorprodukt, Koordinatensysteme

• Der horizontale Wurf

Überlagerung zweier Bewegungen: 1. gleichförmige Bewegung nach oben (v0)

2. gleichmäßig beschleunigte Bewegung

nach unten (→ freier Fall)

• Der schräge Wurf

Überlagerung zweier Bewegungen: 1. Gleichförmige Bewegung (Wurf) mit Komponenten in

horizontaler (x) und vertikaler (y)-Richtung

2. vertikal: gleichmässig beschleunigte Fallbewegung

Die resultierende Bewegungen sind ebenfalls gleichmäßig beschleunigte Bewegungen!

Die beiden Bewegungsvorgänge überlagern sich, aber beeinflussen sich nicht gegenseitig!


• Dreh- und Rotationsbewegungen

Die Rotation ist trotz konstantem Betrag der Geschwindigkeit eine beschleunigte Bewegung,

da sich die Richtung der Geschwindigkeit stetig ändert.

Die Kreisfrequenz ist eine Geschwindigkeit, die Winkelgeschwindigkeit.

Die Winkelgeschwindigkeit ist ein Vektor, der senkrecht auf Radius und Geschwindigkeit

steht.

Ursache der Kreisbewegung ist die Radialbeschleunigung (Zentripetal-, Zentralbeschl.).

Die Geschwindigkeitsänderung und damit die Richtung der Radialbeschleunigung sind

zum Kreismittelpunkt hin orientiert.

Ursachen der Radialbeschleunigung (Zentripetalbeschleunigung)

Kräfte von Achslagern, Haltekräfte, Spannkräfte, Reibungskräfte, Gravitation

Ungleichförmige Rotation – die Tangentialbeschleunigung

Tangential- (oder Bahn-)Beschleunigung hat gleiche oder entgegengesetzte Richtung

wie Geschwindigkeit, d.h. sie ändert den Betrag von v Translation

Analog zu Geschwindigkeit ↔ Winkelgeschwindigkeit: Beschleunigung ↔ Winkelbeschleunigung


Die wichtigsten Zusammenhänge der Kinematik

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