Platonische Körper

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    15-Dec-2015
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Beweis, dass es nur 5 Platonische Körper geben kann

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zum Thema Einen ersten Beweis anhand der Anzahl der Platonischen Krper erarbeiten

Referendarin: Anni Herz2. Schulpraktisches Seminar Friedrichshain-Kreuzberg

Unterrichtsentwurf im Fach Mathematik

Schule:Andreas OberschuleLerngruppe:WP-Ma62 (10.Klasse)Datum:07.03.2014Uhrzeit: 14.25 15.10 UhrRaum: H013

Hauptseminarleiter:Fachseminarleiter Mathematik:Schulleiter:Fachbereichsleiter f. Mathematik:

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Thema der StundeEinen ersten Beweis anhand der Anzahl der Platonischen Krper gemeinsam erarbeiten.Darstellung der UnterrichtssequenzThema der Unterrichtssequenz:Platonische Krper

Kompetenzschwerpunkte:Argumentieren & Darstellungen verwenden

Std.StundenthemaZentrale SchlerttigkeitenKompetenzen

1/2Entdecken und Erkunden Platonische Krper Begriffswiederholung: Polyeder, konvex Gruppenpuzzle: A1 + A2: erhalten Vorgaben der regelmigen Polyeder -> diese selbst finden B1 + B2: erhalten platonische Krper -> Systematisierungen selbst erkennen Auswertung: Austausch ber Prozess & Ergebnis

Argumentieren: Erkunden die platonischen Krper als mathematische Situation Stellen Vermutungen auf

3Konstruktion von Abwicklungen

skizzieren und konstruieren Abwicklungen Platonischer Krper, vergleichen unterschiedliche Abwicklungen auf ihre Brauchbarkeit zur Herstellung der entsprechenden Krper,Darstellungen verwenden: whlen je nach Situation und Zweck geeignete Darstellungsformen aus erkennen Beziehungen zwischen Darstellungen

4Einen ersten Beweis anhand der Anzahl der Platonischen Krper gemeinsam erarbeiten begrnden, dass es nur fnf Platonische Krper gibt

Argumentieren: entwickeln schlssige Argumentationen zur Begrndung math. Aussagen Mit symbolischen und formalen Elementen der Mathematik umgehen

5 Zusammenhang zwischen der Anzahl der Flchen f, der Kanten k und der Klebelaschen l / Ecken e zu berlegen (Eulerschen Polyedersatz ansatzweise besprechen)

Argumentieren: Stellen Vermutungen auf Begrnden Plausibilitt von Vermutungen oder widerlegen diese mit Bsp. o. Gegen-bsp.

6 stellen Platonische Krper auch als Schrgbilder oder mit Hilfe von Schlegeldiagrammen darDarstellungen verwenden: whlen je nach Situation und Zweck geeignete Darstellungsformen aus

7/8Volumen von Platonischen Krpern berechnenMit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen: fhren mathematische Verfahren aus, reflektieren deren Anwendung und berprfendie Ergebnisse

8-11Erarbeiten in Gruppen selbststndig Informationen zu Platonischen KrpernPoster + Vortrag vorbereitenKommunizieren dokumentieren berlegungen erfassen und reflektieren mathematische Informationen in mathematikhaltigen Darstellungen und in nicht aufbereiteten Texten

12/13Prsentationen der Ergebnisse vorangegangener ErarbeitungVortrge halten - Gallery Walk beschreiben die besonderen Eigenschaften ihren Platonischen Krpers beschreiben die kulturhistorischen Bezge begrnden den Eulerschen Polyedersatz fr einen platonischen Krper erlutern die Dualitt Platonischer Krper am Modell und begrnden sie fr mindestens einen Krper Prsentation mit Poster oder PPPKommunizierenbesonders: dokumentieren berlegungen, stellen diese verstndlich dar, prsentieren sie, auch unter Nutzung geeigneter Medien

14/15 begrnden mit Hilfe der Symmetrieeigenschaften, dass es sich bei den Platonischen Krpern um Inkugelkrper handelt,TK v. Argumentieren: entwickeln schlssige Argumentationen zur Begrndung math. Aussagen

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grenzen Platonische Krper gegen Archimedische Krper ab, entwickeln aus den Platonischen Krpern durch Vernderungen Archimedische Krper

17 skizzieren und konstruieren Abwicklungen vergleichen unterschiedliche Abwicklungen auf ihre Brauchbarkeit zur Herstellung der entsprechenden Krper (Abwicklungen mit Lchern, Flechtmodell)TK von Argumentieren: Stellen Vermutungen auf Begrnden Plausibilitt von Vermutungen oder widerlegen diese mit Bsp. o. Gegen-bsp.

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Einschtzung des durchschnittlichen Wissens- und Kompetenzniveaus der LerngruppeStandard des RahmenlehrplanStand der KompetenzentwicklungKonkretisierung des Standards fr die Unterrichtstunde

Prozessbezogene KompetenzArgumentierenDie Schler und Schlerinnen: entwickeln schlssige Argumentationen zur Begrndung math. Aussagen (vgl. RLP S. 20)Die meisten Schler und Schlerinnen:knnen schlssige Argumentationen zur Begrndung math. Aussagen nachvollziehenNur wenige Schler und Schlerinnen:entwickeln schlssige Argumentationen zur Begrndung math. Aussagen

Alle Schler und Schlerinnen: entwickeln Begrndungen wie gro die Summe der Winkel zwischen den Kanten an einer Ecke sein darf wie viele Polygone ntig sind, um eine Ecke zu bilden welche Polygone als Begrenzungsflche zulssig sind knnen die Argumentationen zur Begrndung, warum es nur 5 Platonische Krper gibt, nachvollziehenDie meisten Schler und Schlerinnen: entwickeln Begrndungen welche Ecken man mit Quadraten, regelmigen Fnf- und Sechsecken bilden kann, damit Platonische Krper entstehen

Inhaltsbezogene KompetenzRaum und FormDie Schler und Schlerinnen: beschreiben Eigenschaften von Figuren mit Hilfe von Symmetrie, einfachen Winkelstzen oder der Kongruenz wenden Stze der ebenen Geometrie bei Begrndungen an beweisen die grundlegenden Stze der Geometrie (vgl. RLP S. 17)Die meisten Schler und Schlerinnen: beschreiben Eigenschaften von Figuren mit Hilfe von Symmetrie, einfachen Winkelstzen oder der KongruenzNur einige Schler und Schlerinnen: wenden Stze der ebenen Geometrie bei Begrndungen an

Exemplarische Reflexion der LerngruppenheterogenittMeines Erachtens ist es noch nicht sinnvoll eine exemplarische Einschtzung von Schlern und Schlerinnen zu geben, da ich in dieser Klasse erst einmal unterrichtet habe.Der fachlich-inhaltliche SchwerpunktDie Schler und Schlerinnen erkennen, dass man mindestens drei Polygone bentigt, um eine rumliche Ecke bilden zu knnen. Sie legen fest, dass die Summe der Winkel zwischen den Kanten, die eine Ecke bilden, kleiner als 360 sein muss, da sich sonst keine konvexe Ecke ergeben wrde. Auerdem sehen die Schler und Schlerinnen ein, dass die einfachste Begrenzungsflche fr einen Platonischen Krper das gleichseitige Dreieck mit einem Innenwinkel von 60 ist. Sie schlussfolgern daraus, dass wenn drei dieser Dreiecke zusammentreffen, sich eine Tetraeder-ecke, bei vier solchen Dreiecke sich eine Oktaeder-ecke (460=240) und bei fnf eine Ikosaeder-ecke (560=300) ergibt. Weiterhin erkennen sie, dass sechs und noch mehr solcher Vielecke eine Winkelsumme von mindestens 360 ergeben und somit keine konvexe Ecke bilden.Anschlieend setzen die Schler und Schlerinnen diesen Gedanken fr Quadrate (Innenwinkel: 90), regelmige Fnf- (Innenwinkel: 108) und Sechsecke (Innenwinkel: 120) fort. Sie stellen fest, dass drei Quadrate und drei regelmige Fnfecke eine konvexe Ecke darstellen, nmlich die Wrfelecke bzw. die Dodekaeder-ecke. Sie erkennen weiterhin, dass vier Quadrate und drei regelmige Sechsecke (Innenwinkel 120) genau 360 ergeben, so dass keine Ecke entsteht. Aus regelmigen Polygonen mit mindestens sechs Ecken, d.h. aus Polygonen, die Innenwinkel von mindestens 120 besitzen, kann schlielich kein Platonischer Krper mehr aufgebaut werden. Es gibt demzufolge nur fnf Platonische Krper!Didaktische BegrndungenAus der Behandlung des Moduls W6 Platonische Krper (vgl. RLP S. 71) resultiert die Schwerpunktsetzung auf die Kompetenzen Argumentieren und Darstellungen verwenden. In dieser Unterrichtsstunde bietet sich besonders der Fokus des Argumentierens an, da innerhalb der Unterrichtssequenz ein erster Beweis erarbeitet werden kann. Sie fhren an dieser Stelle keinen gesamten Beweis, aber begrnden einzelne Aspekte des Beweises. Auerdem ist im Rahmenlehrplan ersichtlich, dass das Modul in Bezug zur Leitidee Raum und Form steht. Darstellung und Begrndung des gewhlten Lern-/LehrarrangementsIch habe mich bewusst dagegen entschieden, den Schlern und Schlerinnen selbststndig den Beweis erarbeitet zu lassen, da ich die Lerngruppe noch nicht gut kennen und ich nicht genau wei, was ich ihnen zumuten kann. Auerdem ist es fr die Schler und Schlerinnen schon eine Weile her, dass sie einen (derart komplexen) Beweis fhren mussten, sodass ich mich fr eine gelenkte Erarbeitung im Plenum entschieden habe, die nur einzelne, kleine Teilaufgaben den Schlern und Schlerinnen zur selbststndigen Bearbeitung anbietet.Antizipierte Schwierigkeiten und AlternativenIch befrchte, dass durch das Basteln in der vorangegangenen Stunde und durch den relativ komplexen Beweis die Zeit mglicherweise nicht ausreicht, um die Begrndung in dieser Stunde zu beenden. Fr diesen Fall, wird die Begrndung in der darauf folgenden Stunde beendet. Geplanter Unterrichtsverlauf (tabellarische bersicht)PhaseDauerZeitangabeSozialformMedien

Geplante Lehrerttigkeit, zentrale ImpulseAntizipiertes Schlerverhalten

1b. Phase: Erarbeitung eines Ansatzesca. 12 min14.25 14.37 UhrPA/ GUGSmartboard

L. stellt Fragen vor, die die SuS beantworten sollen.Hier sind Fragen, die euch helfen knnen, einen Ansatz fr eine Begrndung zu finden. Damit knnen wir dann anschlieend eine schlssige Argumentation erarbeiten. Versucht zu zweit die ersten 3 Fragen zu beantworten. Wer schon frher fertig ist, kann sich auch der 4. Frage widmen.L. liest die Fragen vor.AuswertungWie gro darf die Summe der Winkel zwischen den Kanten an einer Ecke sein?Warum?

Wie viele Polygone (Vielecke) sind ntig, um eine Ecke zu bilden?Warum knnen es nicht nur 2 Flchen sein?Welche Polygone (Vielecke) sind als Begrenzungsflche zulssig und warum?Hat schon jemand die 4. Frage beantwortet? Wie gro sind die Innenwinkel eines regelmigen Polygons? S. beantworten die Fragen. Sie diskutieren diese mit ihrem Nachbarn.

S.: Die Summe der Winkel muss kleiner als 360 sein.

S.: Wenn die Summe der Winkel genau 36