Zeichenerkennung ALGORITHMISCHE GEOMETRIE LEONID ZAVODNIK, 2014.
Plenum - Die Ableitungsfunktion Mathematik Einführungsphase Der Weg und das Ziel Algorithmische...
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Plenum - Die AbleitungsfunktionMathematik Einführungsphase
Der Weg und das ZielDer Weg und das Ziel
Algorithmische Zusammenhänge finden Algorithmische Zusammenhänge finden zwischen einer Funktion und zwischen einer Funktion und
ihrer Steigungs- (Änderungs-) funktionihrer Steigungs- (Änderungs-) funktion
Plenum - Die AbleitungsfunktionMathematik Einführungsphase
Der Weg :Der Weg :
Regel entdecken, Vermutung aufstellen,Regel entdecken, Vermutung aufstellen,
beweisen und einfacher rechnen!beweisen und einfacher rechnen!
Plenum - Die AbleitungsfunktionMathematik Einführungsphase
Zu einer Funktion f(x) Zu einer Funktion f(x) die Funktion f‘(x) zu die Funktion f‘(x) zu finden, welche die finden, welche die Änderungsrate Änderungsrate beschreibt.beschreibt.Wenn wir also zum Wenn wir also zum Beispiel die Funktion Beispiel die Funktion eines Weges s(t) in der eines Weges s(t) in der Zeit t kennen, Zeit t kennen,
Das ZielDas Ziel
wie lautet dann die wie lautet dann die Funktion der zeitlichen Funktion der zeitlichen Änderung des Weges, Änderung des Weges, also die Geschwindigkeit also die Geschwindigkeit v(t) ?v(t) ?
Plenum - Die AbleitungsfunktionMathematik Einführungsphase
Worum geht es? Einordnung in den ZusammenhangBeispielBeispiel
e:e:Die Funktion Die Funktion
beschreibtbeschreibtAbleitungsfunktionAbleitungsfunktion
beschreibtbeschreibt
die Flughöhe in der die Flughöhe in der ZeitZeit
die Steigung des Flugzeuges in die Steigung des Flugzeuges in der Zeitder Zeit (Variometergraph)(Variometergraph)
das Höhenprofil eines das Höhenprofil eines RadwegesRadweges
den Anstieg bzw. das Gefälle den Anstieg bzw. das Gefälle oder die Steigung dieses Wegesoder die Steigung dieses Weges
s(t) , der Weg eines s(t) , der Weg eines Autos in der ZeitAutos in der Zeit
v(t) , die Geschwindigkeit des v(t) , die Geschwindigkeit des Autos in dieser ZeitAutos in dieser Zeit
Plenum - Die AbleitungsfunktionMathematik Einführungsphase
Bestimmen der Ableitungsfunktion
Steigung Steigung an jeder beliebigen Stelle xan jeder beliebigen Stelle x berechnen berechnen
• graphisches Differenzieren, graphisches Differenzieren,
• Graph der AbleitungsfunktionGraph der Ableitungsfunktion
• Steigung Steigung an einer bestimmten Stelle xan einer bestimmten Stelle x00 berechnen ( h-Methode )berechnen ( h-Methode )
bekannt:bekannt:
neuneu: :
Plenum - Die AbleitungsfunktionMathematik Einführungsphase
Wie sieht die Steigungsfunktion aus?
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(' 00
00
h
xhxh
20
20
0lim
h
xhhxxh
20
20
20
0
2lim
Beispiel: Beispiel: f(x) = xf(x) = x22
h
hhxh
20
0
2lim
000
22lim xhxh
Plenum - Die AbleitungsfunktionMathematik Einführungsphase
Deshalb schreiben wir die Regel jetzt Deshalb schreiben wir die Regel jetzt allgemein:allgemein:
Für f(x) = xFür f(x) = x22 gilt: f‘(x) = gilt: f‘(x) = 22 x x oder
Regel
Für jedes beliebige xFür jedes beliebige x00 aus dem Definitionsbereich haben wir gezeigt: f‘(xf‘(x00) = 2 x) = 2 x00
zur Ableitungsfunktion von f(x) = xf(x) = x22
f‘(x) f‘(x) = = 22xx ist die Ableitungsfunktion von f(x)f(x) = x².
Plenum - Die AbleitungsfunktionMathematik Einführungsphase
Wie sieht die Steigungsfunktion aus?
h
xfhxfxf
)()()(' 00
0
h
xhxm
30
30
h
xhhxhxx 30
320
20
30 33
Beispiel: Beispiel: f(x) = xf(x) = x33
h
hhxhx 320
20 33
20
20 33 hhxx 2
02
020
0333lim xhhxx
h
und
Plenum - Die AbleitungsfunktionMathematik Einführungsphase
Deshalb schreiben wir die Regel jetzt Deshalb schreiben wir die Regel jetzt allgemein:allgemein:
Für f(x) = xFür f(x) = x33 gilt: f‘(x) = gilt: f‘(x) = 33 x x²² oder
Regel
Für jedes beliebige xFür jedes beliebige x00 aus dem Definitionsbereich habenwir gezeigt: f‘(xf‘(x00) = ) = 33 x x00²²
zur Ableitungsfunktion von f(x) = xf(x) = x33
f‘(x) f‘(x) = = 33xx²² ist die Ableitungsfunktion von f(x)f(x) = x³.
Plenum - Die AbleitungsfunktionMathematik Einführungsphase
Sammeln von Ableitungsfunktionen
Ein kleine Quiz-Ein kleine Quiz-Frage:Frage:
Zu . . Zu . . ..
f(x) gehört die Ableitungsfunktion f‘(x)
x2 gehört die Ableitungsfunktion 2x1
x3 gehört die Ableitungsfunktion 3x2
x4 gehört die Ableitungsfunktion 4x3
x7 gehört die Ableitungsfunktion 7x6
xn gehört die Ableitungsfunktion nxn-1
Zu . . Zu . . ..Zu . . Zu . . ..Zu . . Zu . . ..Zu . . Zu . . ..
Zu . . Zu . . ..
Plenum - Die AbleitungsfunktionMathematik Einführungsphase
Stimmt das denn ?
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(' 00
00
h
xhxm
nn00
h
xhShxnx nnn0
2100
Zu Zu f(x) = x n ist f‘(x) = n x n-1 die Ableitungsfunktion ?
h
hShxn n 210
hSxn n 10 1
01
00
lim
nn
hxnhSxn
S ist die Summe aller übrigen Potenzprodukte, die ja alle mindestens h2
enthalten.
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Potenzregel
Die Potenzfunktion f(x) = xn mit n lN hat die
Ableitungsfunktion f‘(x) = n x n-1 .
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Viel Erfolg auf eurem Weg!Viel Erfolg auf eurem Weg!
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Aufgaben :Aufgaben :
Info: S 180 Basiswissen
Basics: S 181: A 19 - 23
S 183 A32 ; A 35
TOPs: Beweise S 182 A 26 – 28
Raben: Gegenbeweise S 183 A 37 & 38