Plenum – Krümmung und Wendepunkte

Johannes-Kepler-Gymnasium

Wendepunkte

Plenum – Krümmung und WendepunkteLernangebot

1. Weitere markante Punkte? Wendepunkte.

2. Das Krümmungsverhalten eines Graphen.

Plenum – Krümmung und Wendepunkte

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

-200

-100

100

200

300

400

500

x

y

f(x)= -2/3x3 +10x²+22x –20

Wie finden wir Hoch-/Tiefpunkte?

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

-260

-240

-220

-200

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

20

40

60

x

y

f’’(x)= -4x+20

f’’(x0) > 0 TP

f’(x)= -2x²+20x+22

Notwendige Bedingung: f‘(x0) = 0

Hinreichende Bedingung: f‘(x) = 0

VZW der ersten Ableitung

-/+ TP +/- HP

f’’(x)= -4x+20

f’’(x0) < 0 HP

oder

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

-50

-40

-30

-20

-10

10

20

30

40

x

y

Plenum – Krümmung und Wendepunkte

f(x) = 1/20(x4 + 3x³- 10x²- 24x)

notwendige Bedingung: f‘(x0) = 0

1/20(4x³ + 9x²- 20x - 24) = 0

mögliche Extremstellen bei:

x = -3,2237; x = -0,9617; x = 1,9354

f‘(x) = 1/20(4x³ + 9x²- 20x - 24)

f‘‘(x) = 1/20(12x² + 18x – 20)

hinreichende Bedingung: f‘(x) = 0 und f‘‘(x) 0

f‘‘(-3,2237) = +2,33 > 0 Tiefpunktf‘‘(-0,9617) = - 1,31 < 0 Hochpunktf‘‘(1,9354) = +2,99 > 0 Tiefpunkt

Plenum – Krümmung und WendepunkteMit Derive

Plenum – Krümmung und WendepunkteAnwendungsaufgabe: Kurvenlage

Kurvenlage

Die beste Linie, längs der ein Rennfahrer sein Motorrad durch einen Rennkurs

steuern kann, heißt Ideallinie.

An welchen Stellen muss ein Rennfahrer seine Kurvenlage wechseln, wenn die

Ideallinie durch f(x)= –0,05x4 + 1,2x² + 2 beschrieben wird (–5 ≤ x ≤ 5) ?

Plenum – Krümmung und WendepunkteKrümmung

Die Stellen mit minimaler/maximaler Steigung heißen Wendestellen,

denn dort wendet man beim Entlangfahren auf der Kurve den Lenker um:

Übergang von Rechtskrümmung in Linkskrümmung oder umgekehrt.

Perspektivwechsel

Hoch- und Tiefpunkte

Wendepunkte

Plenum – Krümmung und WendepunkteLinks- und

Rechtskrümmumg

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

x

y

Vorzeichen von f’’ ist negativ Vorzeichen von f’’ ist positiv

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

2

4

6

8

10

12

14

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

Rechtskrümmung:

Steigung (also f’) nimmt ab

Linkskrümmung:

Steigung (also f’) nimmt zu

Plenum – Krümmung und WendepunkteWendepunkte

Wendepunkt

-1 1 2 3 4 5 6 7-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

x

y

Wendestelle

Die Lage der Wendepunkte gibt Auskunft über den Verlauf des Graphen, da

diese Punkte Bereiche entgegengesetzter Krümmung voneinander trennen.

Plenum – Krümmung und WendepunkteAlle Ableitungen

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

-200

-100

100

200

300

400

500

x

y

Wie finden wir Wendestellen?

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

-260

-240

-220

-200

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

20

40

60

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

-50

-40

-30

-20

-10

10

20

30

40

x

y

Also wenn: f’’(x) = 0

und

VZW der zweiten Ableitung

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

-5.0

-4.8

-4.6

-4.4

-4.2

-4.0

-3.8

-3.6

-3.4

-3.2

xy

f’’(x)=0 und f’’’(x) 0

.

.

.

.

Maximale Geschwindigkeit wird an der Maximumstelle der ersten Ableitung erreicht.

oder

f‘(x)

f‘‘(x)

f‘‘‘(x)

Plenum – Krümmung und WendepunkteAlle Ableitungen

Wo ist die Geschwindigkeit am höchsten?

f’’(x)=0 und VZW der zweiten Ableitung

f’’(x)=0 und f’’’(x) 0

Maximale Geschwindigkeit wird an der Maximumstelle der ersten Ableitung erreicht.

oder

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

2

4

6

8

10

12

14

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

f(x)= –0,05x4 + 1,2x² + 2

f’(x)= -0,2x³ + 2,4x

f’’(x)= -0,6x² + 2,4

f‘‘‘(x) = -1,2x

Plenum – Krümmung und WendepunkteZusammenfassung

Bei der Frage nach den Wendepunkten hat sich „alles um eine Ableitung

verschoben“: Man betrachtet

• f’(x) statt f(x),

• f’’(x) statt f’(x),

• f’’’(x) statt f’’(x)

• und VZW der zweiten Ableitung statt VZW der ersten Ableitung.

Notwendige Bedingung für mögliche Wendestellen: f’’(xw) = 0

Hinreichende Bedingung Nr. 1: f”(xw) = 0 ∧ VZW von f”

Hinreichende Bedingung Nr. 2: f’’(xw) = 0 ∧ f’’’(xw) ≠ 0

Plenum – Krümmung und WendepunkteBeispielaufgabe

Strecke in m

t in sec0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0

20

40

60

80

100

120

x

y

Zu welchem Zeitpunkt ist das Tempo des Läufers maximal?

s(t)=0,0056t4 – 0,2t3 + 2,4t2

Weg-Zeit-Diagramm für einen 100m-Sprinter.

Plenum – Krümmung und WendepunkteLösung

Notwendige Bedingung für mögliche Wendestellen: s’’(t)= 0

0,0672t²-1,2t + 4,8 = 0

Ergebnis: t1 ≈ 6,049 t2 ≈ 11,808 sind die möglichen Wendestellen

s’’’(11,808) = 0,3869952 > 0 also min. Geschwindigkeit für t2 = 11,808s

(relatives Minimum der Geschwindigkeit)

Genauere Prüfung mit der hinreichenden Bedingung: s’’(t)=0 ∧ s’’’(t)≠0

s’’’(6,049) = -0,3870144 < 0 also max. Geschwindigkeit für t1= 6,049s

(relatives Maximum der Geschwindigkeit)

s(t)=0,0056t4 – 0,2t3 + 2,4t2

Plenum – Krümmung und WendepunkteSattelpunkt

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-1

1

2

3

4

5

x

y

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-1

1

2

3

4

5

x

y

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-1

1

2

3

4

5

x

y

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-1

1

2

3

4

5

x

y

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

Plenum – Krümmung und WendepunkteDie Fragen

1. Wie finde ich Wendepunkte?

2. Wie finde ich heraus, ob ein Graph an einer Stelle eine Links- oder eine Rechtskrümmung besitzt?

Die Fragen

Plenum – Krümmung und WendepunkteAufgaben

Stunde 1 2

BASICs LBS S. 148 Nr. 2a, b

AB A2

LBS S.148 Nr. 4h, 5f

TOPs AB A1, A3LBS S. 148 Nr. 8a

LBS S.148 Nr. 9

LBS S. 151 Nr. 10  LBS S. 148 Nr. 8b