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P0INCAR6

WISSENSCHAFT UND HYPOTHESEDEUTSCHVON F. UND L.K

LINDEMANN

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HENRI POINCAREMEMBRE DEL'INSTITUT

WISSENSCHAFT UND HYPOTHESEAUTORISIERTE DEUTSCHE AUSGABE MIT ERLUTERNDEN ANMERKUNGENVON

F.

UND

L.

LINDEMANN

LEIPZIG

DRUCK UND VERLAG VON1904

B. G.

TEUBNER

ALLE RECHTE,EINSCHLIESSLICH DES BERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN.

115"

LIBRARYNIVERSITY OF CALIFORNIASA:xTA

o ^ 5^

iJOfVorwort.Wenige Forscher sind sowohlderin

.^^j_

BARBARA

der reinen

als

in

angewandtenttig

Mathematik

mit

gleichem

Erfolge

schpferisch

gewesen, wie der Verfasser des vor-

liegenden Werkes.rufen, sich

Niemand war daher mehr als er beber das Wesen der mathematischen Schlu-

weisen und den erkenntnistheoretischen Wert der mathematischen Physik im Zusammenhange zu uern.

Und

wenn auch in diesen Gebieten die Ansichtenzelnen

des ein-

von subjektiver Beanlagung und Erfahrung abhngen, werden doch die Entwicklungen des Verfassers berall ernste und volle Beachtung finden,Teil

zum

um so mehr,lich

als sich

derselbe bemht, auch einem weiteren,

nicht ausschlielich mathematischen Leserkreise verstnd-

zu

werden,

und

ihm dies

durch

passende

und

glnzend durchgefhrte Beispiele in hohemderArithmetik,

Mae

gelingt.

Die Errterungen erstrecken sich auf die Grundlagendie

Grundbegriffe

der

Geometrie,

die

Hypothesen und Definitionen der Mechanik und der ganzen theoretischen Physik sowohl in ihrer klassischen

Form

als

in ihrer neuesten Entwicklung.

In betreif der

Werk

selbst

gewonnenen Resultate mu auf das Um den Standpunkt des verwiesen werden.deren Gehalt

Verfassers zu bezeichnen, wird es gengen, einige charakteristische Stze herauszugreifen,

man

aller-

dings nur im Zusammenhange des Ganzen erfassen wird: Der Verstand hat von dieser Macht (d. i. der Geisteskraft,

welche berzeugt

ist,

sich die unendliche

Wiederknnen)fr

holung eines und

desselben Schrittes vorstellen zu

eine direkte Anschauung,

und

die Erfahrung

kann

IV

Vorwort.

ihn nur eine Gelegenheit sein, sich derselben zu bedienen

und dadurch derselben bewut zu werden" ,,Die geometrischen Axiome sind wederUrteile a priori

(S.

13).

synthetische

noch experimentelle Tatsachen; es sind auf bereinkommen beruhende Festsetzungen bez. verkleidete Definitionen. Die Geometrie ist keine Erfahrungswissenschaft;

aber die Erfahrung

leitet

uns bei Aufstel-

lung der Axiome; sie lt uns nicht erkennen, welche Geometrie die richtige ist, wohl aber, welche die bequemste ist. Es ist ebenso unvernnftig zu untersuchen, ob die fundamentalen Stze der Geometrie richtig oder falsch sind, wie es unvernnftig wre zu fragen, ob das metrische System richtig oder falsch ist" (S. 51, 73 u. 138).

Das Trgheitsgesetz,

das

inist,

einigen

Fllen erfahrungsmig bewiesen

besonderen kann ohne Furcht

auf die allgemeinsten Flle ausgedehnt werden, weil wirwissen,

da

in diesen Fllen die

Erfahrung das Gesetz(S.

weder

bekrftigen noch entkrften kann"

gg).

,,Das Prinzip der Gleichheit von

Wirkung und Gegen(S.

wirkung darf nicht

als ein

experimentelles Gesetz, sondern102).

mu

als

eine Definition angesehen werden"

Die Erfahrung kann den Prinzipien der Mechanik als Grundlage dienen und dennoch ihnen niemals widersprechen" (S. 107).,,Die Prinzipien

der MechanikSie

sind sind

bereinkommenvon experimen-

undals

verkleidete Definitionen.

tellen

Gesetzen abgeleitet; diese Gesetze sind sozusagen

Prinzipe hingestellt,(S.

denen unser Verstand absolute140).

Gltigkeit beilegt"

Wenn man

das

Prinzip

vonwill,

der

Erhaltung

der

Energie in seiner ganzen Allgemeinheit aussprechen undauf das Universum anwendenSatz:so sieht

man

es sichals

sozusagen verflchtigen, und es bleibt nichts brig

der

Es

gibt ein Etwas,ist

das konstant bleibt"dieeinzige Quelle

(S.

134).

Das Experiment

der Wahr-

A^onvort.

Vdie Aufgabe, die da der Nutzeffekt der144).

heit;

die

mathematische Physik hat(S.

Verallgemeinerung so zu leiten,Wissenschaft vermehrt wird"

Jede Verallgemeinerung setzt bis zu einem gewissen Grade den Glauben an die Einheit und die Einfachheit

der

Natur voraus.ist"(S.

Es

ist

nicht

sicher,

da die

Natur einfach,,Die

152).

mathematische Wissenschaft hat nicht den Zweck,Ihr

uns ber die wahre Natur der Dinge aufzuklren.einziges Zielist,

die physikalischen Gesetze miteinander

zu verbinden, welche die Erfahrung uns zwar erkennenlie,

die wir aber

ohne mathematische Hilfe nicht aus(S.

sprechen knnen",,Esexistiert;

212).

kmmert

unsist

wenig,

ob

der

ther

wirklich

wesentlich

nur, da alles sich abspielt, als

und da die Hypothese fr klrung der Erscheinungen bequem ist" (ibid.).

wenn

er existierte,

die Er-

Waszwischen

die Wissenschaft

erreichen

kann,

sind

nicht

die Dinge selbst, sondern es sind einzig die Beziehungen

den

Dingen;

auerhalb

dieser(S.

BeziehungenXIII).

gibt es keine erkennbare Wirklichkeit"

Mansetze

wird bemerken, da wir damit wieder auf Kants

Ausspruch zurckkommen, wonach der Verstand die Genicht aus der Natur schpft, sondern sie dieser

vorschreibt

undd. h.,,

die oberste Gesetzgebung der Natur inin

uns

selbst,

unserm Verstndeist

liegt,

oder

auf

Goethes Wort:nis", das

Alles Vergngliche

nur ein Gleichwird,

man

auf den gleichendie Relativitt

Gedanken beziehenaller

wenn man

sich

Bewutsein bringt.in

zum Solchen allgemeinen Aussprchen kommtErkenntnisse

eine hohe subjektive Bedeutung zu, denn sie befriedigen

gewissem Sinne unser Bedrfnis nach einem Abschlsse der Forschung und Erkenntnis. Fr den empirischen

Forscher aber gibt es keinen derartigen Abschlu; jederallgemeine Ausspruch bedarf fr ihn der stndigen Prfung

VIan der

Vorwort.

Hand

der Erfahrung und hat fr ihn nur so langeer sich in

bereinstimmung mit der Erfahrung befindet, mag es sich um eine allgemeine Denknotwendigkeit unseres Geistes oder um einen speziellenGltigkeit,als

Lehrsatzsolche

der exakten Wissenschaft handeln.nicht nur

Denn

fr

Erfahrung sind obachtungen der Natur magebend, sondern auch die inneren Erfahrungen des menschlichen Verstandes. Nichtszeigt klarer,

die

eigentlichen

Be-

wie sehr der letztere der Ausbildung, derist,

Verfeinerung und der Vervollkommnung fhig

als die

Die Geschichte der Mathematik im letzten Jahrhundert. menschlichen Verstandes geben eigenen Schpfungen deshier wieder das Erfahrungsmaterial, auf

dem

sich weitere

Forschungen aufbauen; manche Wahrheit, die fr alle Zeiten sicher begrndet schien, wird heute in ihrer Gltigkeit beschrnkt oder auf neue ,, einwandfreie" Weise erschlossen; und wir sind nicht sicher, da nicht neue Zweifel und neue Einwnde unsere Nachkommen zu erneuten Anstrengungen in gleicher Richtung veranlassen werden.

Auch werStandpunktleitenden

sich

nicht

auf diesenBedrfnis

rein

empirischendie

stellt,

wird

das

empfinden,

Grundgedanken

auf

den

oft

verschlungenen

Wegen

der exakten Wissenschaften zu verfolgen, und er

wird sich gern der Fhrung des Verfassers anvertrauen,

um

die

ppig wuchernden Ranken beiseite zu biegen,

die sich zwischen

den

festen

Stmmen unserer Erkenntnis

verbindend ausbreiten, und sich dadurch den freien Aus-

Die scheinbar spielende Leichtigkeit, durch den Verfasser meist erreicht wird, war es, wodurch wenigstens mein Interesse an dem Werke besonders geweckt wurde.blick zu wahren.

mit welcher dies Ziel

Nicht so sehr auf die gewonnenen Resultatevorliegenden

ist

im

auf die Methode der Behandlung;fasser

Werke das Hauptgewicht zu legen, sondern und die vom Verbefolgte Methode ist dieselbe, welche bei Er-

Vorwort.

VII

forschung

metik indarin,

Grundlagen von Geometrie und Arithden letzten Dezennien zu so reichen und vorder

lufig befriedigenden

Ergebnissen gefhrt

hat.

Sie besteht

da man eine erfahrungsmig zulssige Hypothese, deren Zusammenhang mit andern Voraussetzungen zu untersuchen ist, durch eine Annahme ersetzt, die zwar auch unser logisches Denken befriedigt, aber nicht mit der Erfahrung in Einklang steht, und da man dadurch die gegenseitige Abhngigkeit verschiedener Hypothesen oder Axiome zu evidenter Anschauung bringt.

Dem Fachmann

ist

ein groer Teil der Entwicklungen

(zumal der spteren Kapitel) aus

anderen Schriften des

Verfassers bekannt, aber auch ihm wird eine zusammen-

fassende Darstellung willkommen sein.

Ganz besonders

gebe ich mich der Hoffnung hin, da in einer Zeit, wo so leicht der Sinn fr den Zusammenhang unserer Erkenntnis unter der Hingabe an die Einzelforschung leidet, die nachfolgenden Darlegungen fr die studierende Jugend erneutVeranlassung bieten mgen, sich dem Studium der Grundlagen und der Grundbegriffe unserer Wissenschaft zu widmen. Zur Erreichung dieses Zieles habe ich der deutschen Ausgabe zahlreiche Anmerkungen hinzugefgt, die teils einzelne Stellen des Werkes nher erlutern, teils durch literarische Nachweisungen dem Leser die Mittel zu weiterem Studium der besprochenen Fragen an die Hand geben.

Auf irgendwelche systematische Vollstndigkeit kam es dabei nicht an. Besonders dort konnten diese Bemerkungen krzer gehalten werden, wo ich wegen weiterer Ausfhrungen auf andere Werke des Verfassers verweisen konnte.

Wenn

es gelungen sein sollte,

der

oft

bilderreichen

auch bei der bertragung ins Deutsche gerecht zu werden, so hat daran meine FrauSprache des Verfasserseinen wesentlichen Anteil, indemsie die eigentlich

tech-

nische Arbeit der bersetzung durchgefhrt hat.

Mnchen, im

Januar 1904.

F.

Lindemann.

1

Inhalt.Seite

VorwortEinleitung

III

XIErster Teil:

Erstes Kapitel:

Zahl und Gre. ber die Natur der mathematisclienII

SchluweisenSyllogistische Schluweisen

Verifikation

und Beweis

35

Elemente der ArithmetikAlgebraische Rechnung Rekurrierendes Verfahren Induktion Mathematische Konstruktion.

9II

12

1417

Zweites Kapitel:

Die mathematische Gre und die202223

ErfahrungDefinition der inkommensurablen Zahlen Das physikalische Kontinuum

Das mathematische Kontinuum Die mebare Gre Verschiedene Bemerkungen (Kurven ohne Tangenten) Das physikalische Kontinuum von mehreren Dimensionen Das mathematische Kontinuum von mehreren Dimensionen

28 293

34

Zweiter Teil:

Der Raum.Drittes Kapitel:

Die nicht-Euklidische Geometrie

.

.

Die Geometrie von Lobatschewsky Die Geometrie von Riemann Die Flchen konstanten Krmmungsmaes Veranschaulichung der nicht-Euklidischen Geometrie Die implizieten Axiome Die vierte Geometrie . . . Der Lehrsatz von Lie Die Geometrien von Riemann Von der Natur der Axiome, ,

36 37 384*^

.

42 44 47 48 48 49

Inhalt.

IXSeite

Viertes Kapitel: Der Der geometrische Der Gesichtsraum

Raum undRaum und

die

Geometrie

....

5253

der VorsteUungsraum

5456 59.

Der Tastraum und der Bewegungsraum Zustands- und Ortsvernderungen Bedingungen der Kompensation von Bewegungen Die festen Krper und die Geometrie Das Gesetz der Homogenitt Die nicht-Euklidische Welt Die vierdimensionale Welt Fnftes Kapitel: Die Erfahrung und die Geometrie Die Geometrie und die Astronomie Das Gesetz der Relativitt.

......

61

6265 66

.

70 73

7478 82 86

Tragweite der Experimente

Anhang (Was

ist

ein Punkt.?)

Dritter Teil:

Sechstes Kapitel:

Die Kraft. Die klassische Mechanik

91

Das Prinzip der Trgheit Das Gesetz der Beschleunigung Die anthropomorphe Mechanik Die Schule des FadensSiebentes Kapitel:

93

99 108 109113 113 115 124 124131

Die relative und die absolute Berelativen

wegungDas Prinzip der

Bewegung.

Die Schluweise Newtons Achtes Kapitel: Energie und Thermodynamik. Das energetische System

.

.

Thermodynamik

Allgemeine bersicht des dritten TeilesVierter Teil:

138

Die Natur.Neuntes Kapitel: Die Hypothesen in der Physik Die Rolle des Experimentes und der Verallgemeinerung. .

Die Einheit der Natur Die Rolle der Hypothese Ursprung der mathematischen Physik

142 142 147 152155 i6l 161

Zehntes Kapitel: Die Theorien der modernen Physik Die Bedeutung der physikalischen Theorien .... Die Physik und der Mechanismus Der gegenwrtige Zustand der Wissenschaft ....Elftes Kapitel: Die Wahrscheinlichkeitsrechnung Einteilung der Wahrscheinlichkeitsprobleme.

168173 183

....

189

XDie Wahrscheinliclikeitschaften

Inhalt.Seite

in

den mathematisclien Wissen192 196

Die Wahrscheinlichkeit in den physikalischen Wissenschaften

Rouge

et noir

Die Wahrscheinlichkeit der Ursachen Die Theorie der Fehler Schlufolgerungen Zwlftes Kapitel: Optik und Elektrizitt Die Fresnelsche Theorie Die Maxwellsche Theorie Die mechanische Erklrung der physikalischen Erscheinungen Dreizehntes Kapitel: Die Elektrodynamik Die Amperesche Theorie I. Wirkung geschlossener Strme IL Wirkung eines geschlossenen Stromes auf einenStromteilIII.

202 204 207 210 211211 213

216 224 225 227228 230 231 234 235 238 239 240 242245

Stetige Rotationen

IV. Gegenseitige Wirkung zweier offenen Strme. V. Induktion Die Helmholtzsche Theorie Die diesen Theorien anhaftenden Schwierigkeiten Die Maxwellsche Theorie Die Rowlandschen Experimente Die Lorentzsche Theorie.

.

Erluternde Anmerkungen

(von F. Lindemann)

.

.

.

Verbesserungen.Seite

32, Zeile .S2,

3 v. u.

lies lies

entnehmen"

dem"ist

statt

statt ,, nehmen". demselben",

lies

Es

,,nur" statt nicht". hier auf die Anmerkung 56) verweisen.

zu

lies

auszuscheiden"

statt

auszu-

schneiden".

welcher" statt welche", Hysteresis" statt Hysterisis". lies Schon vor" statt Vor". Vor dem Worte Gefahr" ist das Wort keineswegs" einzuschalten.lies

lies

Einleitung.

Fr einen oberflchlichen Beobachter ist die wissenschaftHche Wahrheit ber jeden Zweifel erhaben; die wissenschaftliche Logik ist unfehlbar, und wenn die Gelehrten sich hie und da tuschen, so geschieht es nur, weil sie die Regeln der Logik verkannten. ,,Die mathematischen Wahrheiten werden durch eine Kette untrglicher Schlsse aus einer kleinen Anzahl evidenter Stze abgeleitet; sie drngen sich nicht nur Sie fesseln sozuims, sondern der ganzen Natur auf. sagen den Schpfer und gestatten ihm nur zwischen einigen verhltnismig wenig zahlreichen Lsungen zu Einige Experimente werden dann gengen, um whlen. Aus jedem zu erfahren, welche Wahl er getroffen hat. Experimente knnen durch eine Reihe mathematischer Deduktionen eine Menge Folgerungen hervorgehen, und auf diese Weise lt uns jedes Experiment einen Winkeldes

Weltalls erkennen."

So ungefhr denken sich viele Leute, besonders dieSchler, welche die ersten physikalischen Begriffelernen,

kennen

den Ursprung der wissenschaftlichen Gewiheit. So fassen sie die Rolle des Experimentes und der Matheauf.

matik

Und

dieselbe Auffassung hatten vor hundert

Jahren

viele Gelehrte, welche in ihren Trumen die Welt konstruieren und dabei der Erfahrung mglichst wenige Materialien entlehnen wollten. Als man ein wenig mehr nachdachte, bemerkte man,

ein wie groer Platz der Hypothese eingerumt war;

man

;

XIIsah, wie der

Einleitung.

Mathematiker ihrer nicht entraten kann und wie der Experimentator sie noch weniger missen kann.

Darauf fragte man sich, ob wohl dieses Gebude solid genug wre, und man glaubte, da ein Hauch es strzenknnte.sein.

Derartig skeptisch urteilen,

hiee

oberflchlich

Entweder

alles

anzweifeln

oder

alles

glauben,

das sind zwei gleich bequeme Lsungen;die andere erspart uns das Denken.

die eine wie

Anstatt eine summarische Verurteilung auszusprechen,

mssen wir mit Sorgfalt die Rolle der Hypothese prfen; wir werden dann erkennen, da sie notwendig und Wir werden dann ihrem Inhalte nach berechtigt ist. auch sehen, da es mehrere Arten von Hypothesen gibt, da die einen verifizierbar sind und, einmal vom Experimente besttigt, zu fruchtbringenden Wahrheiten werden da die anderen, ohne uns irrezufhren, uns ntzlich werden knnen, indem sie unseren Gedanken eine feste Sttze geben; da schlielich noch andere nur scheinbare Hypothesen sind und sich auf Definitionen oder verkleidete bereinkommen und Festsetzungen zurckfhrenlassen.

Diese letzteren finden wir hauptschlich in der Mathe-

matik und in den

verwandten Wissenschaften. Gerade hieraus schpfen diese Wissenschaften ihre Strenge; diese bereinkommen sind das Werk der freien Ttigkeit unseres Verstandes, der in diesem Gebiete keinihr

Hindernis kennt.fehle

Hier kann unser Verstand behaupten,sich

weil er befiehlt; aber verstehen wir uns recht: diese Be-

beziehendie

auf

unsere Wissenschaft, welchesie

ohne dieselben unmglich wre;aufNein,Natur.

beziehen sich nicht

Sind

diesesie

Befehle

nun

willkrlich?sein.

denn sonst wrden

unfruchtbar

Das

Experiment

lt uns freie Wahl, aber es leitet diese Wahl, indem es uns hilft, den bequemsten Weg einzuschlagen. Unsere Befehle werden also gleich denen

Einleitung.

XIIIsein,

eines

absoluten,

aber

weisen Frsten

der

zuerst

seinen Staatsrat befragt.

Manchefreier

sind darber verwundert, da

man

gewissenSie

fundamentalen Prinzipien der Wissenschaft den Charakterkonventioneller

Festsetzungen

beilegen

soll.

haben bermig verallgemeinern wollen und dabei verSie gelangten so gessen, da Freiheit nicht Willkr ist. Nominalismus" und sie fragten zu dem sogenannten sich, ob der Gelehrte sich nicht durch seine Definitionen betrgen lt und ob die Welt, die er zu entdecken,,

glaubt, nicht einfach nur durch die Willkr seiner

Laune

geschaffen

ist.*)

Bei

diesem

Standpunktesie

Wissenschaft sicher begrndet, aberweite beraubt.

wre

ihrer

wre die Trag-

mchtig.

Wenn dem so wre, so wre die Wissenschaft ohnNun haben wir aber jeden Tag ihren EinfluDas knnteetwas Reelles kann,sindnicht der Fallsein,

vor Augen.

wennwie

sie

uns

nicht

erkennen

liee;

aber was siedie

erreichen

nicht

die Dinge

selbst,

naiven Dogmatiker meinen,

sondern es

sind einzig die

Beziehungen zwischen den Dingen; auerhalb dieser Beziehungen gibt es keine erkennbare Wirklichkeit.

Zu dieser Erkenntnis werden wir gelangen, aber bis wir so weit sind, mssen wir die Reihe der Wissenschaften, von der Arithmetik und der Geometrie an bis zur Mechanik und experimentellen Physik, durchgehen. Welcher Art ist die Natur der mathematischen Schluweise?sie, wie man gewhnlich glaubt, wirklich Eine tiefergehende Analyse zeigt uns, da sie es nicht ist, da sie in gewissem Grade an der Natur der induktiven Schluweise Anteil hat und gerade dadurch so fruchtbringend ist. Sie bewahrt deshalbIst

deduktiv?

*)

Vergl.et

Le Roy, Science

et

Philosophie

(Revue de Meta-

physique

de Morale 1901).

XIV

Einleitung.

nicht weniger ihren Charakter absoluter Genauigkeit; das

haben wir zuerst zu zeigen.

Indemwelches

wir jetzt eines der Hilfsmittel genauer kennen,

Mathematik dem Forscher an die Hand gibt, haben wir einen anderen fundamentalen Begriff zu nmlich denjenigen der mathematischen analysieren, Finden wir sie in der Natur vor oder sind wir Gre. Riskieren wir die sie in die Natur hineinlegen? es, Wenn wir nicht im letzteren Falle, alles zu verderben?die

Angaben unserer Sinne mit dieser auerordentlich komplizierten und feinen Vorstellung vergleichen, welche die Mathematiker als Gre bezeichnen, so mssen wir gezwungenermaen einen Unterschied bemerken; diesen Rahmen, in welchen wir alles einfgendie grob organisierten

haben wir selbst hergestellt; aber wir haben ihn Glck gemacht, wir haben ihn sozusagen nach Ma angefertigt und darum knnen wir die Tatsachen hineinbringen, ohne ihrer Natur das Wesentliche zu nehmen.wollen,nicht auf gut

den wir der Welt anpassen, ist die ersten Grundlagen der Geometrie? Sind sie uns durch die Logik auferlegt? Lobatschewsky hat das Gegenteil bewiesen, indem erder Raum.

Ein anderer Rahmen,

Woher stammen

die

nicht-Euklidische Geometrie

schuf.

Ist

der

Raum

uns durch unsere Sinne offenbart?scheidetsich

Ebenfalls nicht, denn

der Raum, den uns unsere Sinne zeigen knnen, unterabsolut

von

dem

geometrischen Rume.in

Hat die Geometrie ihren Ursprungder Fallist.

der Erfahrung?

da dies nicht Wir schlufolgern also, da die Grundlagen nur bereinkommen sind; aber diese bereinkommen sind nicht willkrlich, und wenn wir in eineEine grndlichere Errterung zeigt uns,

Welt versetzt wrden, welche ich die nichtEuklidische Welt nenne und die ich mir vorzustellen versuche, so mten wir zu anderen bereinkommen gelangen,.

andere

Einleitung.

XV

In

der Mechanik

stzen gefhrt

und

wir

werden wir zu analogen Schlusehen, da die Prinzipe dieserkonventionellen Charakter derBis hier triumphiert

Wissenschaft, obgleich sie sich direkt auf das Experimentsttzen,

ebenfalls an

dem

geometrischen Postulate beteiligt sind.der Nominalismus, aber wirphysikalischen

Wissenschaften.

kommen zu den eigentlichen Da ndert sich dasOhne Zweifel und diedasie

Schauspiel; wir treffen eine andere Art von Hypothesen

und

wir sehen deren ganze Fruchtbarkeit.

erschienengnglich

uns

zuerst

die Theorien

hinfllig,

Geschichte der Wissenschaft beweist uns,sind:sie

ver-

sindist

aber dennoch nicht ganz veretwasbriggeblieben.

gangen,diesesspricht.

von jeder

Dieses

Etwas mu man sich bemhen herauszusuchen, weil nur

und

dieses allein der Wirklichkeit wahrhaft ent-

ruht

Die Methode der physikalischen Wissenschaften beauf der Induktion, welche uns die Wiederholung einer Erscheinung erwarten lt, wenn die Umstnde sich wiederholen, unter welchen sie sich das erste Maldarbot.

Wenn

alle

diese

Umstndeaber

sich

auf einmal

wiederholen knnten, so knnte dieses Prinzip ohne Gefahr

angewendet werden:einige dieser

das

wird niemals vorfehlen.

kommen;

Umstnde werden immersie

Sind wir absolut sicher, da

ohne Wichtigkeit sind? Das kann wahrscheinlich sein, es kann Gewi nicht. aber nicht wirklich gewi sein. Darum spielt der Beder Wahrscheinlichkeiteine

griff

bedeutende Rolle in den physikalischen Wissenschaften. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist also nicht nur ein Zeitvertreib oder ein Fhrer fr die Baccaratspieler, und wir mssen versuchen,ihre Prinzipe fester

zu

begrnden.

In

dieser

Beziehung kann ich nur unvollkommene Resultate geben;so sehr widerstrebt der unbestimmte Instinkt, welcher uns

den Begriff der Wahrscheinlichkeit fassen

lt,

der Analyse.

XVINachdemihnwir

Einleitung.

die Bedingungen,

unter welchen

der

Physiker arbeitet, studiert haben, hielt ich es fr

richtig,

Dazu nahm ich einige Beispiele aus der Geschichte der Optik und Wir werden sehen, von wo derjenigen der Elektrizitt. die Ideen Fresnels und diejenigen Maxwells ausgegangen sind, und welche unbewuten Hypothesen Ampere und

dem

Leser bei der Arbeit zu zeigen.

die anderen Begrnder der Elektrodynamik machten.

H. P.

Erster Teil.

Zahl und Gre.Erstes Kapitel.

ber

die

Natur der mathematischen Schluweisen.I.

Die Mglichkeit der Existenz einer mathematischen Wissenschaft scheint ein unlsbarer Widerspruch in sich zu sein. Wenn diese Wissenschaft nur scheinbar deduktivist,

woher

kommt

widerlegbarkeit,

dann diese vollkommene Unwelche niemand zu bezweifeln wagt?ihr

Wenn imstellt,

Gegenteil alle Behauptungen, welche sie auf-

sich

auseinander durch

die

formale

Logik ab-

leiten lassen,in einer

warum besteht die Mathematik dann nicht ungeheueren Tautologie? Der logische Schlunichts wesentlich

kann uns

Neues

lehren,soll,

und wenn

alles

vomalles

Prinzipe der Identitt ausgehen

so mte auch

Dann mte man also zugeben, da alle diese Lehrstze, welche so viele Bnde fllen, nichts anderes lehren, als auf Umwegen zudarauf zurckzufhren sein.sagen, da

A

gleich

A

ist.

Man kann ohnestehen.

Zweifel

zu

den Axiomen zurckdieser Betrachtungen

gehen, welche an der Quelle

aller

Wenn man

meint,

sie

auf das

Prinzip

des

noch weniger

Widerspruches nicht zurckfhren zu knnen, wenn man in ihnen erfahrungsmige Tatsachen sehen will, welche an der mathematischen Notwendigkeit keinenAnteil haben,so hat

man doch noch immer den Aus"

Po in care,

Wissenschaft und Hypothese.

I

2

I,

I.

Mathematische Schluweisen.priori einzureihen.

weg,

sie

den synthetischen Urteilen anicht,

Dasihr

heit aber

die Schwierigkeit

lsen,

sondern

nur einen

Namen

geben; und wenn selbst die Naturhinfllig,

der synthetischen Urteile fr uns kein Geheimnis wre,so

wrde der Widerspruch nicht

er

wrde nur

hinausgeschoben;unfhig,

die syllogistische Beweisfhrung bleibt

den gegebenen Voraussetzungen irgend etwas

hinzuzufgen; diese Voraussetzungen reduzieren sich auf

Axiome, und man knnte in den Folgerungen nichts anderes wiederfinden. Kein Lehrsatz wrde neu sein, bei dessen Beweiseinige

Frage kme. Die logische Durchfhrung knnte uns nur die unmittelbar evidenten Wahrheiten geben, welche der direkten Anschauung entlehnt sind. Sie wre nichts anderes als ein berflssigesnichtein

neues

Axiom

in

Zwischenglied der Betrachtung; und wrde

man

auf diese

Weise nicht dahin kommen sich zu fragen, ob dieser ganze syllogistische Apparat nur dazu dient, um zu verschleiern, inwieweit wir der Anschauung etwas entlehnt haben? Der Widerspruch wird uns noch mehr auffallen, wenn wir irgend ein mathematisches Buch aufschlagen; aufjeder Seite wird der Verfasser die Absicht ankndigen,

einen schon bekannten Satz zu verallgemeinern.

Kommt

dieses nun daher, da die mathematische Methode vom Besonderen zum Allgemeinen fortschreitet, und wie kann man sie dann deduktiv nennen?

Wenn

endlich die Wissenschaft der Zahl rein ana-

lytisch wre,

von einer kleinen Anzahl synthetischer Urteile nach analytischer Methode ausgehen knnte, so vermchte ein gengend starker Verstand mit einem Blicke scheinbar alle Wahrheiten zu bersie

oder wenn

was sage ich! man knnte sogar hoffen, eines Tages eine hinreichend einfache Sprache zu erfinden, um sie so auszudrcken, da sie auch einem gewhnsehen;

:

Beweis und Verifikation. liehen

->

Verstandesvermgen

ebenso

unmittelbar

ein-

leuchten.

so

Wenn man es ablehnt, diese Folgerungen zuzulassen, mu man doch zugeben, da die mathematische

berlegung an sich eine Art schpferischer Kraft enthlt und sich dadurch von der syllogistischen Schluweise unterscheidet.

Der Unterschied mu sogar tiefgehend sein. Wir werden zum Beispiel den Schlssel zu dem Geheimnisse nicht in dem fteren Gebrauche des Gesetzes finden, nach welchem eine und dieselbe eindeutige, auf zwei gleiche Zahlen angewandte Operation zu gleichen Resultaten fhrt.

Alle

diese Schluweisen,

mgen

sie

nun auf denodernicht,

eigentlichen Syllogismus

zurckfhrbar

sein

bewahren den analytischen Charakter und sind ebendadurch ohnmchtig.IL

Der Streit da 2 und 2ein

ist alt;

schon Leibniz suchte zu beweisen,ist;

gleich 4 wenig untersuchen.

wir wollen seine Darlegungen

Ich setze voraus, da

und ebensoeiner

die

man die Zahl i definiert habe, Operation x -\- i, welche darin besteht,

gegebenen Zahl

x

die Einheit hinzuzufgen.sie

Diese Definitionen kommen, wiesein

auch beschaffen3

mgen,

fr die folgende

Betrachtung nicht in Frage.2,

Ich definiere hierauf die Zahlendie Gleichungen:(i)(2) (3)

und 4 durch

= 2, 2+1=3, 3+1=4.1

+

1

Ich definiere ebenso die Operation

x

+

2

durch die

Beziehung

A

I,

I.

Mathematische Schluweisen.

(4)

X

+

2

=

{x

+

l)

+

I.

Dieses vorausgesetzt, haben wir:

+ 2=(2 + i)+i (2+1)4-1 = 343 4-1=42

(Definition 4),(Definition2),

I

(Definition 3),

also:

24-2=4,Manweisfhrung eine rein analytischekeineeigentliche

w.

z.

b. w.

wird nicht ableugnen knnen,ist.

da diese BeFragt man jedoch,,Dasist

irgend einen Mathematiker, so wird er sagen:

Beweisfhrung,sich

sondern

eine

Verifi-

kation".

Man

hat

darauf beschrnkt,

zwei

rein

konventionelle Definitionen einander zu nhern,ihre Identitt festgestellt;

und hat

man

hat nichts Neues gelernt.

Die Verifikation unterscheidet sich genau vom wirklichen Beweise, weil sie rein analytischist.

und unfruchtbarin

Sie

ist

unfruchtbar,

weil

die

Schlufolgerung nureineist

die

bersetzungist.

der

Voraussetzungen

anderefrucht-

Sprachehat,als

Der wirkliche Beweis dagegen

bar, weil die Schlufolgerung einen allgemeineren Inhalt

die Voraussetzungen.

Die Gleichung 24-2 4 ist nur deshalb einer solchen Verifikation fhig, weil sie einen besonderen Charakter hat. Jede besondere Aussage in der Mathematik kann auf solche Weise verifiziert werden. Aber wenn die Mathematik sich auf eine Reihe von hnlichen Verifikationen zurckfhren liee, so wre sie keine Wissenschaft. So erschafft zum Beispiel ein Schachspieler keine Eine Wissenschaft, indem er eine Partie gewinnt. Wahrheiten Wissenschaft kann sich nur auf allgemeinebeziehen.

=

Man kannWissenschaften

sogar

da gerade die exakten die Aufgabe haben, uns von diesensagen,

direkten Verifikationen zu entlasten.

Die Arithmetik.

III.

Wir wollen den Mathematiker bei der Arbeit beobachten und versuchen, einen Einblick in seine Denkweisezu gewinnen.

Der Versuchnicht, ein

ist

nicht ohne Schwierigkeit; es gengt

Werk auf gut Glck aufzuschlagen und darin den nchstbesten Beweis zu zergliedern. Wir mssen zuerst die Geometrie ausschlieen, denn

hier wird die Frage durch die schwer zugnglichen Probleme verwickelt, welche sich auf das Wesen der Postulate, auf die Natur und den Ursprung der Raumvorstellung beziehen. Aus analogen Grnden knnen wir uns nicht an die Infinitesimal-Rechnung wenden. Wir mssen den mathematischen Gedanken da suchen,

wo

er rein geblieben

ist,

das

ist

in der Arithmetik.

Auch dabei mu man noch auswhlen;sten Gebieten

in

den hchmathemati-

der Zahlentheorie haben

die

schen Elementarbegriffe bereits eine solche Entwicklung

durchgemacht,sieren.

da es schwer

fllt,

dieselbe zu analy-

So drfen wir erwarten, die gesuchte Erklrung in den Anfngen der Arithmetik zu finden, aber gerade in den Beweisen der allerelementarsten Lehrstze kommt es vor, da die Verfasser der klassischen Abhandlungendasgeringste

wenden.

Ma von Genauigkeit und Schrfe anMan kann ihnen daraus keinen Vorwurfgehorchen einer Notwendigkeit;

machen

;

sie

die Anfnger

sind nicht frbereitet;sie

die wirkliche mathematische Strenge vor-

Spitzfindigkeiten sehen;

wrden darin nur unntze und langweilige man wrde seine Zeit verlieren,

wenn man

sie zu frh anspruchsvoller machen wrde; mssen schnell den Weg durchlaufen, welchen die sie Begrnder der Wissenschaft langsam durchmessen haben.

5

I>

!

Mathematische Schluweisen.

aber immer dabei die schon zurckgelegten Strecken im

Auge

behalten.ist

Waruman welche, wiesich

eine

so

lange VorbereitungStrengealle

notwendig,

um

diese vollkommene

zu

gewhnen,liegt

man glaubenselbst

mchte,

gut veranlagten

Kpfe

sich

auferlegen

sollten?

Darin

ein

logisches und psychologisches Problem, das wohl des Nachdenkens wert ist. Wir knnen uns dabei nicht aufhalten, es liegt unserem Gegenstande fern; alles, was ich hervorheben mchte,ist,

da

wir,

um

unser Ziel nicht zu verfehlen,

die Be-

weise der elementarsten Lehrstze von Anfang an durch-

gehen mssen und ihnen nicht die grobe Form lassen, welche man ihnen gibt, um die Anfnger nicht zu ermden, sondern diejenige, welche einen gebten Mathematiker befriedigen kann.^)

Definition der Addition.steht,

Ich

setze

voraus,

da man zuvor die Operation x -j- i, welche darin beda man die Zahl i einer gegebenen Zahl x hindefiniert hat.sie

zufgt,

Diese Definition, welcher ArtderFortsetzungunsererspielen.

auch

sei,

wird inRolle

Entwicklungen

keine

Es handeltdefinieren,

sich jetzt

darum, die Operation

x

-\-

a zu

welche darin besteht, die Zahl a zu einer ge-

gebenen Zahl

X

hinzuzufgen.

Setzen wir voraus,

man

htte die Operation:{a

Xdefiniert,

-{-

i)

so wird die Operation

x

-\-

a durch

die Glei-

chung:(i)

X

-{-

a

=

[x

-\-

{a

i)] -\-

1

definiert sein.

Wir werden wir wissen, was

also wissen,

was x

-\-

a bedeutet,

wenn

x

-{-

{a

i)

bedeutet,

und da

ich

am

.

Addition und Multiplikation.wisse,

y

Anfang vorausgesetzt habe, mandeute, so wird

was^

x

-\-

i

be-

man

successive

und

durch, rekurrierendes

Verfahren" die Operationen x-\-2,

x -\-

etc. definieren

knnen.Diese DefinitionAufmerksamkeit,sie

verdient

einen

Augenblicksich

unsere

unterscheidet

durch ihre beDefinition,

sondere Naturgegnen.

von

der

rein logischen

und

werden uns noch oft beDie Gleichung (i) enthlt tatschlich eine unendliche Anzahl von verschiedenen Definitionen, derenderartig besondere Definitionenhat,

jede nur einen Sinnkennt.

wenn man

die vorhergehende

Eigenschaften der Addition.Gesetz.

Associatives

Ich behaupte, da:

a+{ +In

c)

=

(a

+ist

d)-i-c.richtigfr c

der Tat,

der Lehrsatz

=

i;

er

heit dann:

und dasin der

ist

nichts anderes, abgesehenals

vom Unterschiede(i),

Bezeichnungsweise,wiran,

die Gleichung

durchsei

welche ich soeben die Addition

definiert habe.

Nehmenc

=

y,

SO behaupte

ich,

da der Lehrsatz da er fr c y

richtig-\i

fr

=

auch

rich-

tig ist.

Sei in der Tat:

so wird

man[(^

daraus ableiten, da:^)

+

+ y] +

I

=

[^

+

(^

+

y)]

+1

oder infolge der Definition{aJrl>)(b

(i):

+ {y+i) = a + + 7+i) = a+[b+{y+i)].beweist, durch eine Reihe von rein analytischen

DasIst

Schlssen, da der Lehrsatz frer also richtig fr c

=

7+1so

richtig

ist.

i,

wrde man

I

Mathematische Schluweisen.

das rekurrierende Verfahren entbehren, weil dies ein Werkzeug ist, welches uns erlaubt, vom Endlichen zum

Unendlichen fortzuschreiten.Dieses Werkzeugist

immer

ntzlich,

denn

es erlaubt

uns, mit einem Satze so viele Stationen zu berspringen,

dadurch lange, ermdende und einfrmige Verifikationen, welche sich bald Aber dieses Werkals unbrauchbar erweisen wrden. zeug wird unentbehrlich, wenn man den allgemeinen Lehrsatz im Auge hat, dem wir uns durch analytische Verifikationen unaufhrlich nhern, ohne ihn jemals zuwiewirwollen,erspart

und

uns

erreichen.

In diesem Gebiete der Arithmetik kann

man

meinen,zusein;

von

der

Infinitesimal-Rechnungspielt,

weit

entfernt

und dennoch

wie wir soeben gesehen haben, die

Idee des mathematischen Unendlich schon eine hervorragende Rolle, und ohne sie wrde es keine Wissenschaft geben, weil es nichts Allgemeines

geben wrde.

VI.

Das

Urteil,

auf welchem die Entwicklung durch das

rekurrierende Verfahren beruht, kann in andere Formengesetzt werden;

unendlichen

man kann z. B. sagen, da es in einer Menge von verschiedenen ganzen Zahlen

immer eine gibt, welche kleiner ist als alle brigen. Man kann leicht von einer Aussage zur anderen bergehen und sich so der Einbildung hingeben, alshtte

man

die Legitimitt des rekurrierenden Verfahrens

Aber man wird immer auf ein Hindernis stoen, man wird immer zu einem unbeweisbaren Axiom gelangen, welches im Grunde nichts weiter ist als derbewiesen.zu beweisende Satz, in eine andere Sprache bersetzt.

Man kannziehen,

sich daher der Schlufolgerung nicht entda das Gesetz des rekurrierenden Verfahrens

Physikalische Induktion.

Izurckfhr-

nicht

auf

das

Prinzip

des

Widerspruchs

bar

ist.

Zu diesem Gesetze knnen wirdadas Gesetzist,

nicht durch die Erz.

fahrung gelangen; die Erfahrung knnte unsfrsie

B. lehren,

die

zehn,

fr

die hundert ersten

Zahlen richtigkleineren, aberfolge.

kann nicht die unendliche Folgesondern nur einen greren oder

der Zahlen erreichen,

immer einen begrenzten Teil dieser Zahlen-

Wenngestatten,

es sich jedoch nur

darum

handelt,es

das Prinzip

des Widerspruchs

gengen;

wrde wrde unsso

immer

so viele logische Schlsse zu entwickeln,

wie wir wollen;fassen, nur vor

nur wenn es sich darum handelt,

eine

unendliche Anzahl in eine einzige Formel zusammenzu-

dem Unendlichen

versagt dieses Prinzip,

und genau an diesem Punkte wird auchmachtlos.

die Erfahrung

Dieses Gesetz, welches

dem

analytischen Be-

weise

ebenso

unzugnglich

ist

wie der Erfahrung, gibt

den eigentlichen Typus des synthetischen Urteils a priori. Man kann andrerseits darin nicht bloes bereinkommensehen wollen, wie bei einigen Postulaten der Geometrie.

Warumnur

drngt sich uns dieses Urteil mit einer un-

widerstehlichen Gewalt auf?die Besttigungist,

Das kommtist,

daher, weil es

zeugt

welche bersich die unendliche Wiederholung eines undvorstellen

der Geisteskraftzu

desselben SchrittesSchritt

knnen,ist.

einmal

als

mglich

erkannt

hat von dieser Macht eine direkte

wenn dieser Der Verstand Anschauung, und die

Erfahrung kann fr ihn nur eine Gelegenheit sein, sich derselben zu bedienen und dadurch derselben bewut zu werden.Aber, wird

man einwenden, wennVerfahren

das rohe Experinichtrechtfertigen

mentkann,

dasist

rekurrierendees

dem Experimente

dann nicht ebenso, wenn die Induktion zu Hilfe kommt? Wir sehen succes-

I^sive,

I5

I.

Mathematische Schluweisen.richtig ist fr die Zahls.

da ein Lehrsatz2,

i,

fr die

Zahl

fr

die Zahl 3 u.

w.

;

das Gesetz

ist

evi-

dent, so sagen wir;obachtungensttzt,

undderen

es

ist

das ebenso berechtigt

wie bei jedem physikalischen Gesetze, das sich auf BeZahl

zwar

sehr

gro,

aber

immer endlich ist. Man kann nicht verkennen, da hier eine auffllige Analogie mit den gebruchlichen Verfahrungsweisen der Aber es besteht ein wesentInduktion vorhanden ist. Die Induktion bleibt in ihrer Anlicher Unterschied. wendung auf die physikalischen Wissenschaften immer unsicher, weil sie auf dem Glauben an eine allgemeine Gesetzmigkeit des Universums beruht, und diese Gesetzmigkeit liegt auerhalb von uns selbst.

matische

Induktionweiler

dagegen,

d.

h.

der Beweis

Die mathedurch

rekurrierendes Verfahren, zwingt sich uns mit Notwendigkeitauf,

nur die Bettigung einer Eigenschaftist.^)

unseres eigenen Verstandes

VII.

Wie

ich

schon

erwhntdie

habe,

bemhenwelchesosie

sich

die

Mathematiker immer,

Stze,

erhalten

haben, weiter zu verallgemeinern;

(um nicht andere

Beispiele zu suchen) haben wir eben die Gleichung:a-\1

=

I

-\-

a

bewiesen; und wir haben uns derselben bedient,raus die Gleichung:a-]-

um

da-

b

=

b

-{-

aist.

abzuleiten, welche offenbar allgemeiner

Die Mathematik kann daher, wie die anderen Wissenschaften, vom Besonderen zum Allgemeinen fortschreiten. Hierin liegt eine Tatsache, welche uns am Anfangdieser Darlegung

unverstndlich

erschienen

wre,

aber

:

Mathematische Konstruktion.

ichat,

welche

jetzt

fr

uns nichts Geheimnisvolles

nach-

dem

wir die Analogie zwischen

dem

rekurrierenden Be-

weise und der gewhnlichen Induktion festgestellt haben. Ohne Zweifel, die mathematisch-rekurrierende Schluweise und die physikalisch-induktive Schluweise beruhen auf verschiedenen Grundlagen, aber ihre Wege laufenparallel; sie schreiten in

demselben Sinne

fort,

d. h.

vomdie

Besonderen zum Allgemeinen.

GehenGleichung(1)

wir

darauf noch etwas nher

ein.

Um

-|-

2

=

2

-f- (2

ZU beweisen, gengt

es,

zweimal die Regel:1

a

-\-

=

i

-\-

a

anzuwenden und zu schreiben:(2)

a-{-2=a-}-i-\-iDie Gleichung(2)

= i-\-a-^i = i-^i+a = 2-\-a.ist

so auf rein analytischem

Wegenicht

aus der Gleichung

(i)

abgeleitet; sie istist

demnach

ein bloer Spezialfall derselben; sie

etwas anderes.

Man kannanalytischen

daher nicht sagen, da

man im

eigentlich

und deduktiven Teile der mathematischen Entwicklungen im gewhnlichen Sinne des Wortes vom Die beiden Allgemeinen zum Besonderen bergeht.Seiten der Gleichung(2)

sind einfach verwickeitere

Kom-

binationen als die beiden Seiten der Gleichung (i), und die Analyse dient nur dazu, die Elemente, welche indiese Kombinationen eingehen, zu trennenseitigen

und

ihre gegen-

Beziehungen zu studieren. Die Mathematik kommt also durch Konstruktionen"sie,,

vorwrts,

konstruiert"sie

binationen.

Indem

immer verwickeitere Komdann durch die Analyse dieserals

Kombinationen, diebezeichnen knnte,

man

selbstndige Gesamtheiten

zu ihren

ursprnglichen Elementen

zurckkehrt, wird sie sich der gegenseitigen Beziehungen

j^

I,

I.

Mathematisclie Schluweisen,

dieser Elemente bewut

und

leitet

daraus die Beziehungenaber nicht

zwischen diesen Gesamtheiten selbst ab. Das ist ein rein analytisches Vorgehen,ein

Vorgehen vom Allgemeinen zum Besonderen, denn die Gesamtheiten knnen offenbar nicht so angesehen werden, als wren sie von speziellerer Natur wie ihreElemente.

Man

hat mit Recht diesem Prozesse der Konstruktion

eine groe Wichtigkeit beigelegt,

und man hat darin

die

notwendige und hinreichende Bedingung fr die Fortschritte der exakten Wissenschaften erkennen wollen.

Notwendig? ohne Zweifel; aber hinreichend? nein! Damit eine Konstruktion ntzlich sein kann, damitsie

nicht

nur

eine

berflssige

Anstrengungals

des Vervor allem

standes darstellt, damit sie jedem

Sprungbrett dienen

kann,

der sich hher erhebenbesitzen,als

will,

mu

sie

eine Art Einheit

welche erlaubt,

darin

etwasEle-

anderes

zu

sehen

die

bloe Anhufung von

menten.

Oder genauer: man mu einen

Vorteil darin erkennen,

da man lieber die Konstruktion als die einzelnen Elemente betrachtet. Welcher Art kann dieser Vorteil sein? Warum z. B. soll man sich lieber mit einem Polygonbeschftigen,als

das

doch

stets

in

Dreiecke zerlegbardie

ist,

mit diesen Elementar-Dreiecken? Offenbar, weil es Eigenschaften gibt,

den PolybesonderesPreis

gonen mit einer beliebigen Anzahl von Seiten zukommen

und

die

man

unmittelbar

auf irgend

ein

Polygon anwenden kann. Meistens dagegen wirdsehr langwieriger

man

sie

nur

um den

Bemhungen dadurchVerhltnisse

wiederfinden, da

man

direkt

die

der

Elementar- Dreieckeals

studiert.

Wenn

das Viereck etwas anderes

ist

zwei

an-

Mathematische Induktion.

17daran,

einandergelegte Dreiecke,

so

liegt dies

da das

Viereck zur Klasse der Polygone gehrt.sie

Eine Konstruktion wird nur interessant, wenn man an andere, hnliche Konstruktionen anreihen kann,

so da alle zu einer

gemeinsamen Klasse gehren.die Eigenschaften dieser Klassefr jedes

berdies

mu man

ableiten knnen, ohne sie einzeln nacheinander Individuum der Klasse aufzustellen.

Um

dahin zu gelangen,

mu man

notwendigerweise

vom Besonderen zum AllgemeinenDas analytiscde Verfahren,,

aufsteigen,

indem man

eine oder mehrere Stufen weiterklimmt.

durch Konstruktion" ntigt uns nicht herabzusteigen, aber es lt uns auf demselbenNiveau.

Wir knnen uns nur durch die mathematische Induktion erheben, welche allein uns etwas Neues lehrenkann.

Ohne

die Hilfe

dieser Induktion, welche in ge-

wissem Sinne von der physikalischen Induktion verschieden, aber fruchtbar wie diese ist, wrde die Konstruktion nicht

im stndeist,

sein,

eine Wissenschaft aufzubauen.

Schlielich wollen wir bemerken,

da diese Induktion

nur mglich

und dieselbe Operation unDeshalb wird die endlich oft wiederholt werden kann. Theorie des Schachspiels niemals eine Wissenschaft werden knnen, denn die verschiedenen Zge einer und derselbeneinePartie

wenn

haben keine hnlichkeit untereinander.

Zweites Kapitel.Die mathematische Gre und die Erfahrung.was die Mathematiker unter einem Kontinuum verstehen, mu man nicht bei der Geometrie anfragen; der Geometer sucht sich immer diewissenwill,

Wenn man

Poincare, Wissenschaft und Hypothese.

2

l8

I, 2.

Mathematische Gre und Erfahrung.

von ihm studierten Figuren mehr oder weniger darzustellen,

aber seine Darstellungen sind fr ihn nur Hilfs-

Er macht Geometrie mit nur im Rume vorgestellten Linien ebenso gut wie mit der Kreide auf der Tafel; auch mu man sich hten, Zuflligkeiten, welche oft ebenso unwichtig sind wie die Farbe der Kreide, allzuviel Bedeutung beizulegen. Der reine Analytiker hat diese Klippe nicht zu frchten. Er hat die mathematische Wissenschaft aller fremden Elemente entkleidet und er kann auf die Frage antworten: was ist eigentlich dieses Kontinuum, mit dem Viele von ihnen, welche die Mathematiker arbeiten? ber ihre Kunst nachdenken, haben bereits geantwortet, z. B. Herr Tannery in seiner Introduction la theoriemittel.

des fonctions d'une variable."

Gehenaus;

wir

von der Stufenleiter der ganzen Zahlen

zwischen zwei aufeinanderfolgende Stufen schieben

wir eine oder mehrere Zwischenstufen ein, dann zwischen

neuen Stufen wieder andere und so fort ohne Wir haben so eine unbegrenzte Anzahl von Gliedern; das sind die Zahlen, welche man als Brche oder als rationale, bezw. kommensurable Zahlen bezeichnet. Aber dies ist nicht alles; zwischen diese Glieder, welche doch schon in unendlicher Anzahl vorhanden sind, mu man noch wieder andere einschalten, welche man als irrationale oder inkommensurable Zahlendiese

Ende.

bezeichnet.

Bevor wir weiter gehen, machen wirmerkung.

erst

eine Be-

Das so aufgefate Kontinuum ist nur eine Ansammlung von Individuen, die in eine gewisse Ordnung gebracht sind; allerdings ist ihre Anzahl unendlich gro, aber sie sind doch voneinander getrennt. Das ist nicht die gewhnliche Vorstellung, bei der man zwischen den Elementen des Kontinuums eine Art inniger Verbindung voraussetzt, welche daraus ein Ganzes macht

Das Kontinuum.

jqdie Linie existiert^

und wo der Punkt

nicht frherals

als

aber wohl die Linie frher

der Punkt.ist

Von

der be-

rhmten Formulierungin der Vielheit"heitist

,,das

Kontinuum

die Einheitdie Ein-

bleibt nur die Vielheit brig,

verschwunden.es tun,

Die Analytiker haben

deshalb

nicht

weniger Recht,sie

wie

ihr Kontinuum so zu definieren, denn nur mit dem so definierten Kon-

tinuum arbeitenlufig

sie,

wenn

sie

die hchste Strenge ihrer

Aber das ist genug, um vorda das eigentliche mathematische Kontinuum etwas ganz anderes ist als das Kontinuum der Physiker oder dasjenige der Metaphysiker.Beweise erreichen wollen.einzusehen,

Man

wird vielleicht sagen, da sich die Mathematiker,

welche sich mit dieser Definition begngen, durch Worte betrgen lassen, da man in einer knappen Form aus-

was jede dieser dazwischen liegenden Stufen bedeute, da man erklren mte, wie man sie einzuschalten hat, und beweisen mte, da es mglich ist dieses auszufhren. Aber das wrde unbillig sein;die einzige Eigenschaft dieser Stufen, welche bei ihren berlegungen*) benutzt wird, ist diejenige, da jede sich vor oder hinter einer anderen befindet; diese Eigenschaftallein

drcken mte,

darf

deshalb

bei

Definition

der

Stufe

benutzt

werden.Also brauchtzu beunruhigen,schalten hat;

manwie

sich nicht ber die Art

und Weisezweifeln,

man

diese Zwischenglieder einzu-

andererseits wird

niemand daran

da diese Operation mglich ist, es sei denn, er verge, da dieses letztere Wort in der Sprache der Mathematik einfach so viel bedeutet als frei von Widersprchen". Unsere Definition ist gleichwohl noch nicht vollstndig,*) Hier sind diejenigen berlegungen eingeschlossen, welche den gewhnlichen Festsetzungen implicite enthalten sind, die zur Definition der Addition dienen und auf die wir spter zurck-

in

kommen.

20

I) 2.

Mathematische Gre und Erfahrung.

und nachjetzt

dieser

allzulangen Abschweifung

komme

ich

darauf zurck.

Definition der

inkommensurablen Zahlen.Berliner

DieZahlen

Mathematiker

der

Schule

haben mit Vorliebediese kontinuirlicheirrationalen

den GedankenStufenleiter

vertreten,

der

da gebrochenen

manund

aufbauen knne, ohne sich anderer Bausteine zu beBei dieser Anschauungsweise dienen als ganzer Zahlen. wrde das mathematische Kontinuum nur eine Schpfung des Verstandes sein, mit der die Erfahrung nichts zutun hat.^)

Der

Begriff

der rationalen Zahlsie

schien ihnen keinesich hauptschlich

Schwierigkeit

zu bereiten,

haben

bemht, die inkommensurable Zahl definieren zu wollen.

Aber ehe ich eine entsprechende Definition gebe, mu ich eine Bemerkung einflechten, um dem Erstaunen zuvorzukommen, das sie unfehlbar bei solchen Lesern hervorrufen wrde, welche mit den Gewohnheiten der Mathematiker wenig vertraut sind.Die Mathematiker studieren nicht Objekte, sondern Beziehungen zwischen den Objekten; es kommt ihnen deshalb nicht darauf an, diese Objekte durch andere zu ersetzen, wenn dabei nur die Beziehungen ungendertbleiben.

Der Gegenstand

ist

fr

sie

gleichgltig,

die

Form allein hat ihr Interesse. Wenn man dieses nicht im Auge htte, wrde es unverstndlich bleiben, wie man mit dem Namen einer inkommensurablen ZahlSymbol bezeichnet, d. h. etwas, das gnzlich verschieden von der Idee ist, welche man sich von einer Gre macht, die doch mebar und greifbar seinein bloessollte.

Die gemeinte Definition kann etwagefat werden^):

in folgender

Weise

Man kann

auf unendlich viele Weise diederartin

kommenda

surablen Zahlen

zwei Klassen

einteilen,

Inkommensurable Zahlen.

2 I

irgend eine Zahl der ersten Klasse grereine Zahl der zweiten Klasse.

ist

als

irgend

Es kann

eintreten,

da unter den Zahlen der ersten

Klasse eine vorkommt, welche kleiner ist als alle anderen; wenn man z. B. in die erste Klasse alle Zahleneinreiht,

die grer als 2 sind,

und

2

selbst

undsind,

in die

zweite Klasse alle Zahlen, die kleiner als 2es klar,

so

ist

daist.

2

die kleinste Zahl unter allen in der ersten2

Klasse

Die Zahl

wird

dann

als

Symbol dieser

Einteilungsart gewhlt werden knnen.

Im Gegensatzeist

hierzu

kann es vorkommen, da unterauftritt,

den Zahlen der zweiten Klasse eineals

die grer

alle

anderen;

das

ist

z.

B. der Fall,

wenn

die

erste Klasse alle Zahlen umfat,

die grer als 2 sind,

und2

die zweite alle Zahlen, die kleiner als 2 sind,

und

selbst.

Auches

hier

kann die Zahl

2

als

Symbol dieser

Einteilungsar t gelten.

Aberin

kann ebenso gut vorkommen, da man wederals als

der ersten Klasse eine Zahl kleinerin

allealle

anderen,

nochfindenerste

der zweiten eine Zahl grer

anderenin

kann.

Nehmenalle

wir

z.

B.

an,

da

manstellt,

die

Klasse

kommensurablen Zahlen

deren

Quadrat grer als 2 ist, und in die zweite alle, deren Quadrat kleiner als 2 ist. Man wei, da es keine Zahl Es gibt dann gibt, deren Quadrat genau gleich 2 ist.offenbar in der ersten Klasse keine Zahl kleiner als alle

denn wie nahe das Quadrat einer Zahl auch der 2 komme, man wird immer eine kommensurable Zahl finden knnen, deren Quadrat der Zahl 2 noch nher kommt.anderen, Bei dieser Betrachtungsweise Zahlist

die inkommensurable

yTnichts anderesals

das Symbol dieser

besonderen Ein-

2 2

I, 2.

Mathematische Gre und Erfahrung.

teilung

der kommensurablen Zahlen;

und jeder

Eintei-

lungsart entspricht so eineihr als

Symbol

dient,

oder es entspricht

kommensurable Zahl, welche ihr keine kom-

mensurable Zahl.

Aber wenn man sich hiermit begngen wollte, so wrde man zu sehr den Ursprung dieser Symbole vergessen; es bleibt unaufgeklrt, wieist,

man

dahin

gekommen

ihnen eine Art konkreter Existenz zuzusprechen; und

beginnt andererseits die Schwierigkeit nicht ebenso schon

den gebrochenen Zahlen selbst? Wrden wir den Begriff dieser Zahlen haben ^), wenn wir nicht im voraus einen Gegenstand kennen wrden, den wir uns als bis ins Unendliche teilbar, d. h. als ein Kontinuum vorbeistellen?

Das physikalische Kontinuum.so dazu, sich zu fragen,

Man kommt

schen

Kontinuumsist.

ob der Begriff des mathematinicht einfach der Erfahrung entso wre, so

wrden die rohen Angaben der Erfahrung, die eben unsere Empfindungen Wir knnten versind, der Messung zugnglich sein. sucht sein zu glauben, da es wirklich so ist, denn man hat in neuerer Zeit versucht, sie zu messen, und sogarein Gesetz formuliert,

nommen

Wenn dem

schen Gesetzes bekanntfindungsein

da unter dem Namen des Fechnerist und nach welchem die Empdem Logarithmus des Reizes proportional

soll.^)

man die Experimente genauer prft, durch welche man dieses Gesetz zu begrnden suchte, wird man zu einer ganz entgegengesetzten Folgerung geAber

wenn

da ein Gewicht A ein Gewicht B von 1 1 Gramm von identische Empfindungen hervorriefen, da das Gewicht B ebensowenig von einem 12 Gramm schweren Gewichte C unterschieden werden konnte, da man aberfhrt.

Man hat z. B. zehn Gramm und

beobachtet,

leicht

das Gewicht

A vom

Gewichte

C

auseinanderhielt.

Physikalisches und mathematisches Kontinuum.

2^

Die groben Erfahrungsresultate knnen Beziehungen ausgedrckt werden:

also

durch folgende

A

= B, B ^

C,

A 3

Nicht-Euklidische Geometrie.

durch zwei Punkte kann man nur eine Gerade gehen lassen. Auf einer Kugel kann man durch zwei gegebene Punkte im allgemeinen nur einen grten Kreis legenAxiom:(der

wie wir soeben gesehen haben,

fr unsere einge-

Lebewesen die Rolle der geraden Linie spielen wrde); aber es gibt eine Ausnahme: Wenn die beiden gegebenen Punkte einander diametral gegenber liegen, kann man durch sie eine unendliche Anzahl von grten Ebenso wird man in der Kreisen hindurch legen. Riemann sehen Geometrie (wenigstens bei einer der fr sie mglichen Formen) durch zwei Punkte im allgemeinenbildeten

nur eine gerade Linie legen knnen; aber es gibt Ausnahmeflle, wo durch zwei Punkte unendlich viele geradeLinien hindurchgehen.^'^)

Es besteht eine Art Gegensatz zwischen der RiemannSo ist schen und der Lobatschewskyschen Geometrie. die Summe der Winkel eines Dreiecks gleich zwei Rechten in der Euklidischen Geometrie, kleiner als zwei Rechte bei Lobatschewsky, grer als zwei Rechte bei Riemann.Die Zahl der Linien, welche man parallel zu einer gegebenen Linie durch einen gegebenen Punkt ziehenkann,ist:

gleich eins in der Euklidischen Geometrie, gleich Null bei Riemann,

unendlich gro bei Lobatschewsky.^^) Wir wollen noch hervorheben, da der Riemannsche

Raum

endlich,

jedoch unbegrenzt

ist,

wenn man

diese

Worte in dem oben festgesetzten Sinne versteht. Die Flchen konstanten Krmmungsmaes. Ein Einwurf bliebe indessen mglich. Die Lehrstze von Lobatschewsky und von Riemann enthalten keinen Widerspruch; aber wie zahlreich auch die Folgerungen sein mgen, welche diese beiden Mathematiker aus ihren

Flchen konstanter Krmmung.

aj

Hypothesen gezogen haben, sie haben stehen bleiben mssen, bevor sie alle erschpft hatten, denn die Anzahl dieser Folgerungen wrde unendlich sein; wer sagt uns aber, da sie nicht doch auf irgend einen Widerstand gestoen wren, wenn sie ihre Ausfhrungen weiterverfolgt htten?

Diese

Schwierigkeit

existiert

fr

die

Riemannsche

Geometrie

nicht, vorausgesetzt,

Dimensionen beschrnkt; von zwei Dimensionen unterscheidet sich in der Tat, wie wir schon gesehen haben, nicht von der sphrischen Geometrie, welche nur ein Zweig der gewhnlichenGeometriekussionist

da man sich auf zwei Riemannsche Geometrie die

und welche dadurch auerhalb jeder

Dis-

steht.

Beltrami hat ebenso gezeigt, da die Lobatschewsky-

von zwei Dimensionen nichts anderes ist als ein Zweig der gewhnlichen Geometrie und dadurch ebenfalls jeden Einwand entkrftet, den man gegensche

Geometrie

dieselbe

machen knnte.erwhne, wie er dazu gekommeneineist.

Ichwir

Fassen

auf einer Oberflche irgend

Figur

ins

Auge.

Wir wollen uns einbilden, diese Figur wre auf eine biegsame und unausdehnbare Leinwand gezeichnet, welche so ber diese Oberflche gespannt ist, da die verschiedenen Linien ihre Gestalt, aber nicht ihre Lnge ndern knnen, wenn die Leinwand verschoben und verbogen wird. Im allgemeinen kann diese biegsame und unausdehnbare Figur nicht von ihrem Platze verschoben werden, ohne die Oberflche zu verlassen; aber es gibt gewisse besondere Oberflchen, bei welchen eine solche Bewegung mglich wird: das sind die Oberflchen konstanten

Krmmungsmaes. Wenn wir den Vergleich aufnehmen, welchen wir weiter oben machten, wenn wir uns Wesen ohne Dicke(bezw. Hhe)einbilden,

welche auf einer dieser Ober-

4 2

n,

3

Nicht-Euklidische Geometrie.

wrden dieselben die Bewegung einer Figur, deren Linien eine konstante Lnge bewahren, Eine hnliche Bewegung wrde fr fr mglich halten. Wesen ohne Dicke (resp. Hhe), welche auf einer Oberflchen leben, soflche mit variabler

Krmmung

(d. h.

einer Flche, deren

Krmmung

nicht

an jeder

Stelle

denselben Wert hat)

leben, unmglich sein.

Diese Oberflchen mit konstantersich in zwei Arten einteilen:

Krmmung

lassen

positiver Krmmung und knnen ihre Gestalt so verndern, da sie sich auf eine Kugel abwickeln lassen (ohne da dabei die Lngen der auf der Flche gezeichneten Linien gendert wrden). Die Geometrie dieser Oberflchen reduziert sich also auf die sphrische Geometrie, welche mit derjenigen RiemannsDieeinensind

von

identisch

ist.

von negativer Krmmung. Beltrami hat gezeigt, da die Geometrie dieser Oberflchen keine andere wie diejenige Lobatschewskys ist. Die zwei-dimensionalen Geometrien von Riemann und von Lobatschewsky lassen sich also wiederum zur Euklidischen Geometrie in Beziehung setzen. Veranschaulichung der nicht -Euklidischen Geometrien. So erledigt sich der obige Einwurf, insofern er die Geometrie von zwei Dimensionen betriff't. Es wre leicht, die Entwicklung Beltramis auf die Geometrien von drei Dimensionen auszudehnen. Wer sich durch den Raum von vier Dimensionen nicht ab-

Die

anderen

sind

schreckenin

lt,

wrde darin keine Schwierigkeit sehen,Ich ziehe es vor,

aber das wird nur fr wenige gelten.

anderer Weise vorzugehen.

Wir wollen eine gewisse Ebene betrachten, welche ich als Fundamental-Ebene bezeichnen will, und wir wollen eine Art von Wrterbuch herstellen, indem wirmit einer doppelten Reihe von Gliedern, welche in zwei

:

Mittel zur Veranscliaulichung.

aj

Kolonnen aufgeschrieben sind, in derselben Art wie in den gewhnlichen Wrterbchern die Worte zweierSprachen,die

denselben Sinn haben,

einander korresoberhalb

pondieren lassen :^^)

Raum

Ebene Gerade Kugel

Teil

des Raumes

der

Fundamentalebene. Kugel, welche die Fundamentalebene rechtwinklig schneidet. Kreis, welcher die Fundamental-

Kreis

ebene rechtwinklig schneidet.Kugel.Kreis.

WinkelGegenseitige Entfernungzweier Punkte.

Winkel.

Logarithmus des Doppel-Verhltnisses,

welches diese beiden Punkte mit zwei anderen Punkbilden,

ten

wenn

letztere

als

Schnittpunkte

der Fundamen-

talebene mit einem Kreise definiert

werden, der durch diese

beiden

Punktedie

hindurchgeht

undetc.

Fundamentalebene

Wir nehmenjetzt

rechtwinklig schneidet,etc.

die Lehrstze von Lobatschewsky

und bersetzen

sie

mit Hilfe

dieses Wrterbuches,

wie

wir einen deutschen Text mit Hilfe eines deutsch-franzsi-

schen Wrterbuches bersetzen wrden.so halten.

Wir werden Lehrstze der gewhnlichen Geometrie er-

Nehmen wir z. B. folgenden Satz von Lobatschewsky ,,die Summe der Winkel eines Dreiecks ist kleiner wiezwei Rechte"; seine bersetzung lautet folgendermaen:

,,Wenn ein krummliniges Dreieck Kreisbgen zu Seiten

AA

II, 3.

Nicht-Euklidische Geometrie.

hat,

deren Verlngerungen die Fundamentalebene rechtwinklig schneiden wrden, so ist die Summe der Winkeldieses rechtwinkligen Dreiecks kleiner als zwei Rechte."

Auf

diese Weise wird

man

niemals,

soweit

man auchwenn zwei

die Folgerungen der Hypothesen von Lobatschewsky treibt,

auf einen Widerspruch stoen.

In der Tat,

Lehrstze von Lobatschewsky einander widersprechen wrden, so wrde dasselbe der Fall sein mit den bersetzungen dieser beiden Lehrstze, welche mit Hilfe unseres Wrterbuches gemacht sind, aber diese bersetzungensind Lehrstze

der gewhnlichen Geometrie,

und niemand

zweifelt daran,

da die gewhnliche Geoist.

metrie von Widersprchendiese Gewiheiteine Frage,

frei

Woher kommt unsDarinliegt

und

ist

sie

gerechtfertigt?

welche ich hier nicht zu behandeln wei,ist,

welche aber sehr interessantunlsbar halte.brig,

und

die

ich nicht fr

Es

bleibt also nichts

von

dem Einwurfevon

den ich weiter oben formuliert habe. Die Geometrie Das ist nicht alles.

Loba-

tschewsky, welche einer konkreten Veranschaulichung fhigist,

hrt auf, ein leeres Spiel des Verstandes zu sein,

und

kann Anwendungen erhalten; ich habe nicht Zeit, hier von diesen Anwendungen zu sprechen, noch von dem Vorteil, den Klein und ich daraus fr die Integration linearer Differentialgleichungen gezogen haben. ^^) Diese Veranschaulichung ist nicht die einzig mgliche, und man knnte mehrere Wrterbcher herstellen,analog

dem

obigen, welche alle erlauben wrden, durch,,

eine einfachein solche der

bersetzung" die Lehrstze Lobatschewskys

gewhnlichen Geometrie zu verwandeln.^^) Sind die Axiome, welche Die impliziten Axiome. in den Lehrbchern ausdrcklich aufgezhlt werden, die Man kann vom einzige Grundlage der Geometrie? Gegenteil versichert sein, wenn man sieht, da sie nach-

einander aufgegeben werden knnen, und da dennoch

Implizite

Axiome.bleiben,

acdie

den Theorien EukHds, Lobatschewskys und Riemanns gemeinsam sind. Diese Lehrstze mssen auf Voraussetzungen beruhen, welche die Mathematiker zu Hilfe nehmen, ohne sie ausdrcklich auszusprechen. Es ist interessant zu versuchen, sie von den klassischen Beweisen abzulsen. Stuart-Mill hat behauptet, da jede Definition ein Axiom enthlt, denn wenn man eine Definition auseinige

Lehrstze

bestehen

spricht, so

behauptet

man

implizite die Existenz des de-

Aber das ist zu weit gegangen; es ist selten, da man in der Mathematik eine Definition gibt, ohne den Beweis von der Existenz des definierten Objektes darauf folgen zu lassen, und wenn man diesfinierten Objektes.

unterlt,

so

geschieht

es

in

der Regel nur,

weil der

Leser leicht selbst die Lcke ausfllen kann;

man mu

auch nicht vergessen, da das Wort ,, Existenz," wenn es sich um ein mathematisches Objekt handelt, nichtdenselben Sinn hat,inals

wenn

ein materieller Gegenstandexistiert,

Frage kommt.

Ein mathematisches Objekt

sobald nur seine Definition weder mit sich selbst nochmit den vorher schon bewiesenen Stzen in Widerspruchsteht.

Aber wenn auch die Bemerkung Stuart-Mills sich nicht auf alle Definitionen anwenden lt, so ist sie doch um so mehr fr einige unter ihnen richtig. Man definiert manchmal die Ebene in folgender Weise: Die Ebene ist eine solche Oberflche, da die gerade Linie, welche irgend zwei ihrer Punkte verbindet,

ganz in dieser Oberflche

liegt.

Diese Definition verbirgt offenbar in sich ein neues

Axiom; man knnte sie allerdings abndern, und das wrde vorteilhaft sein, wenn man nur gleichzeitig das betreffende Axiom explizite ausspricht. Andere Definitionen knnen zu nicht weniger wichtigenberlegungen Veranlassung geben. ^^)

A^

ir, 3.

Nicht-Euklidische Geometrie.

So

ist

es

z.

B.

mit

der Definition

der Gleichheit

zweier Figuren: zwei Figuren sind gleich, wenn man sie aufeinander legen kann; um sie aufeinander zu legen,

mu mansie

die eine von ihnen

so weit verschieben,

bis

mit der anderen zusammenfllt;

aber wiewir

soll

man

diese

Verschiebung

ausfhren?

Wenn

so

fragen,

da man es tun wird mu, ohne die Figur zu deformieren, d. h. so, wie man Der circulus einen festen Krper im Rume bewegt. wird dadurch evident. vitiosus

man

uns

zweifellos

antworten,

In Wirklichkeit definiert diese Definitionsie htte gar

gar nichts;

keinen Sinn fr ein Wesen, das eine Weltso liegt das daran,

bewohnt, in der es nichts anderes als Flssigkeiten gibt.

Wenn

sie

uns klar erscheint,

da

wir durch Gewohnheit mit den Eigenschaften der natrlichen Krper vertraut sind, welche sich nicht wesentlich

den Eigenschaften solcher idealen Krper unterscheiden, deren smtliche Dimensionen unvernderlichvonsind.

Diese Definitionsie enthlt

ist

nicht nur unvollstndig, sondern

auch ein nicht ausgesprochenes Axiom. Die Mglichkeit der Bewegung einer unvernderlichen Figur ist an sich keine evidente Wahrheit, oder sie ist es wenigstens nur in demselben Sinne wie das Euklidische Postulat und nicht in dem Sinne, wie es von einemanalytischen Urteile a priori gelten wrde.

weise der Geometrie, so wird klar,

und Beda man nicht nur die Mglichkeit dieser Bewegung, sondern auch einige ihrer Eigenschaften zulassen mu, ohne sie zu beweisen. Dieses geht vor allem aus der Definition der geradenStudiert

man

andererseits

die Definitionen

Linie hervor.

Man

hat

vieleist

mangelhafte Definitionen

gegeben, aber die wahre

diejenige, welche bei allenstill-

Beweisen,

in

denen die gerade Linie vorkommt,

schweigend vorausgesetzt wird:

Eine

\-ierte

Geometrie.

2J.7

da die Bewegung einer unvernderlichen Figur dergestalt ist, da alle Punkte einer

Es kann

eintreten,

Linie,

welcheliegen,

zu

dieseralle

Figur

gehren,solche

unbeweglichLinie

bleiben,

whrendsich

Punkte, welche auerhalb dieser

Linie

bewegen.

Eine

wird

manlich

eine gerade Linie nennen."in

Wir habenvon

absicht-

dieser

Angabe

die Definition

dem Axiom,

welches sie enthlt, getrennt.^^)Viele Beweise, wie diejenigen fr die verschiedenen

Kongruenz-Stze beim Dreieck oder fr die Mglichkeit, eine Senkrechte von einem Punkte auf eine Gerade zu

beruhen auf Stzen, deren besondere Erwhnung man sich erspart, weil sie nmlich dazu ntigen vorauszusetzen, da es mglich ist, eine Figur im Rumefllen,

zu verschieben.^*)

Die vierte Geometrie. Axiomen ist eines, welchesverdienen scheint, weilsich

Unter diesen impliziten einige Aufmerksamkeit zudie ebenso in

man

unter Fortlassung desselben

eine vierte Geometrie konstruieren kann,

zusammenhngend ist wie diejenige von Euklid, von Lobatschewsky und von Riemann.einem Punkte A stets eine Senkrechte auf einer Geraden AB errichten kann, betrachtet man eine Gerade A C als um den Punkt A beweglich und anfnglich mit der festen Geraden AB zusammenfallend man lt sie sich um den Punkt A so lange drehen, bis sie in die Verlngerung von AB fllt.zu beweisen, da

Um

man

in

;

Man

setzt hierbei

zwei Behauptungen voraus: zuerst,

ist, und dann, da da eine solche sie fortgesetzt werden kann, bis jede der beiden Geraden in die Verlngerung der anderen fllt.

Umdrehung mglich

Wenn man denverwirft,

ersten Punkt zult

und den zweiten

gefhrt,

so wird man zu einer Reihe von Lehrstzen welche noch fremdartiger sind wie diejenigen

;

:

^g

II, 3.

Nicht-Euklidische Geometrie.

von Lobatschewsky und Riemann, aber ebensoWidersprchen.^^)ich whle nicht einmal

frei

von

und den seltsamsten: eine reelle Gerade kann senkrecht zu sich selbst sein. Die Anzahl der Axiome, Der Lehrsatz von Lie. die klassischen Beweise eingefhrt welche implizite in sind, ist grer, als es ntig wre, und es wrde interesIch werde nur einen dieser Lehrstze anfhren

sant

sein,

sie

auf ein

Minimum

zurckzufhren.

Man

ob diese Reduktion mglich ist, mu und ob die Anzahl der notwendigen Axiome und diejenige der ersonnenen Geometrien nicht unendlich ist. Ein Lehrsatz von Sophus Lie beherrscht diese ganzesich zuerst fragen,

Diskussion. ^^),,

Man kann

ihn folgendermaen aussprechen

Setzen wir voraus, da

man

die folgenden Vorder-

stze zult:1.

2.

Der Raum hat n Dimensionen; Die Bewegung einer unvernderlichen Figur

ist

mglich3.

Figur

Man braucht/ Bedingungen, um im Rume zu bestimmen.

die

Lage

dieser

Die Anzahl der mit diesen Vorderstzen vertrglichen Geometrien ist begrenzt.'' Ich kann sogar hinzufgen, da, wenn n gegeben ist. man fr p eine obere Grenze angeben kann. Wenn man also die Mglichkeit der Bewegung zugibt, so braucht man nur eine endliche (sogar ziemlichbeschrnkte)

Anzahl von dreidimensionalen Geometrien

auszudenken.

Die Geometrien von Riemann.widerspricht scheinbar

Dieses Resultatdieser

dem Riemannschen, dennunendliche

Gelehrte

konstruiert

eine

Anzahlnur ein

von ver-

schiedenen Geometrien,

und

diejenige,ist

welcher

man

gewhnlichrer Fall.

seinen

Namen

gibt,

besonde-

Natur der Axiome.Alles

49der Artdefiniert.

hngt,

wie

er

sagt,

von

ab,

in

welcher

man

die

Lnge

einer

Kurve

Es

gibt

eine unendliche Anzahl von Mglichkeiten, diese

Lnge

zu definieren, und jede von ihnen kann der Ausgangs-

punkt einer neuen Geometrie werden. Das stimmt vollkommen, aber dieDefinitionensind unvertrglich mit der

meisten

diesereiner

Bewegung

unvernderlichen Figur,

welche

man

in

dem

Lehrsatze

von Lie

als

mglich voraussetzt.

Diese Riemannschen

Geometrien,

so interessant sie unter verschiedenen

Geals

sichtspunkten sind, knnenrein analytisch

demnach niemals anderssind.^^)

sein

und

lassen sich nicht zu Beweisen

verwenden, welche denjenigen Euklids analog

Von

der Natur der Axiome.

Die meisten Matheals

matiker betrachten die Lobatschewskysche Theorie nureine einfache logische IMerkwrdigkeitsind allerdings weiter gegangen.Ist es;

einige von ihnen

gewi, da unsere

doch mehrere Die Erfahrung lehrt uns ohne Zweifel, da die Summe der Winkel eines Dreiecks gleich zwei Rechten ist; aber das ist nur der Fall, wenn wir mit zu kleinen Dreiecken operieren; nach Lobatschewsky der Unterschied von zwei Rechten der Oberflche ist des Dreiecks proportional: kann diese Differenz nicht wahrnehmbar werden, wenn wir mit greren Dreiecken operieren und wenn unsere Messungen genauer werden? Die Euklidische Geometrie wrde fr uns damit nur eine vorlufig richtige Geometrie sein. Um ber diese Meinung zu disputieren, mssen wir uns vor allem fragen: Welches ist die Natur der geometrischen Axiome? Sind es synthetische Urteile a priori, wie Kant sieist,

Geometrie die rechte Geometrien mglich?

denn

es sind

nennt ?Sie drngensich

uns mit einer solchen Macht

auf,

.da wir die gegenstzliche BehauptungPoincare, Wissenschaft und Hypothese,

weder

begreifen,4

CQ

II, 3.

Nicht-Euklidisclie Geometrie.

noch auferrichten

ihr

als

Grundlage ein theoretisches Gebude

knnen.

Es

wrde

keine

nicht- Euklidische

Geometrie mehr geben. Man nehme, um sich davon zu berzeugen, ein wirkliches synthetisches Urteil a priori,z.

B. dasjenige, dessen

hervorragende Wichtigkeit wir im ersten Kapitel aner-

kannt haben: Wenn ein Lehrsatz

fr

die Zahl

i

wahr

ist,-\i

und wenn man bewiesen hat, da wahr ist, vorausgesetzt, da er frn

er fr ngilt, so

wird

er fr alle ganzen, positiven Zahlen gelten. Man versuche diesen Schlu beiseite zu lassen undeine falsche Arithmetik zu konstruieren, analog der nicht-

Euklidischen Geometriefhren

das

wird

man

nie

durchdiese

knnen;

man wrde

sogar versucht sein,

Urteile fr analytisch zu halten.

Wir wollen andererseits die Vorstellung von Lebewesen ohne Dicke (resp. Hhe) wieder aufnehmen (vgl. S. 4if); wir knnen wohl kaum annehmen, da sich diese Wesen, wenn sie einen Verstand gleich dem unsrigenhtten,die

Euklidische

Geometrie

aneignen

wrden^

welche allen ihren Erfahrungen widersprche. Sollen wir nun daraus schlieen, da die geometrischen Axiome erfahrungsmige Wahrheiten sind? Man

doch nicht mit idealen geraden Linien oder Kreisen; man kann dazu nur wirkliche Gegenstnde Worauf begrndet sich also die Erfahrung, brauchen. welche als Fundament in der Geometrie dienen soll? Die Antwort ist leicht. Wir haben weiter oben gesehen (vgl. S. 46), da man bei allen Schlssen so verfhrt, als ob die geomeexperimentierttrischen Figuren sich ebenso verhielten wie feste Krper.

Was

die Geometrie

von der Erfahrung entlehnt,

sind

die Eigenschaften dieser Krper.

Die Eigenschaften des Lichtes und seine geradlinige

Die Axiome

als Definitionen.

51zueinigen

Fortpflanzung haben

ebenfalls Veranlassung

Stzen der Geometrie gegeben, besonders zu denjenigen

und zwar derart, da man diesem Gesichtspunkte aus versucht sein knnte zu von behaupten, da die metrische Geometrie das Studium der festen Krper ist und da die projektive Geometrieder projektiven Geometrie,sich mit

dem Studiumes bestehtist.

des Lichtes beschftigt.^^)

Aberwindlich

eine Schwierigkeit,die Geometrieso

welche unber-

Wenn

eine Experimental-

wrde sie aufhren, eine exakte Wissenschaft zu sein, sie wrde also einer bestndigen Noch mehr, sie wrde Revision zu unterwerfen sein.Wissenschaft wre,

von

jetzt

ab

dem

Irrtum verfallen sein, weil wir wissen,

da

es keine streng unvernderlichen

Krper

gibt.

Die geometrischen Axiome sind also weder synthetische Urteile a priori noch experimentelle Tatsachen.Es sind auf bereinkommen beruhende Festsetzungen; unter allen mglichen Festsetzungen wirdunsere

Wahl von

experimentellen

aber sie bleibt freikeit

und

ist

Tatsachen geleitet; nur durch die Notwendig-

In jeden Widerspruch zu vermeiden. knnen auch die Postulate streng richtig dieser Weisebegrenzt,selbst

bleiben,

welche

ihre

wenn die erfahrungsmigen Gesetze, Annahme bewirkt haben, nur annhernd

richtig sein sollten.

Mit anderen Worten: die ge(ich

spreche nicht

ometrischen Axiome von den arithmetischen) sind nur

verkleidete Definitionen. Was soll man dann aber von der folgenden FrageIst die Euklidische Geometrie richtig? Die Frage hat keinen Sinn. Ebenso knnte man fragen, ob das metrische System richtig ist und die lteren Ma-Systeme falsch sind, ob

denken:

die

Cartesiusschen

Koordinaten

richtig

sind

und die

e2

11, 4.

Raum

und Geometrie.

Polar-Koordinatenrichtiger seinsein.

falsch.

Eine Geometrie kann nichtsie

wie eine andere;Euklidische

kann nur bequemerist

Undund wird1.

diees

Geometrieist,

die

bequemstesie nicht

immer bleiben:

weil sie die einfachste

und das

ist

nur infolge der Gewohnheiten unseres Verstandes oder infolge irgend welcher direkten Anschauung, sondern sieist

die einfachste in sich, gleichwie einist

Polynom ersten

Polynom zweiten Grades. 2. weil sie sich hinreichend gut den Eigenschaften der natrlichen, festen Krper anpat, dieser Krper, welche uns durch unsere Glieder und unsere Augen zum Bewutsein kommen und aus denen wir unsere MeGrades einfacherals

ein

instrumente herstellen. ^^)

Viertes Kapitel.

Der Raum und

die Geometrie.

Beginnen wir mit einem kleinen Paradoxon! Wesen, deren Verstand und Sinne wie die unsrigen gebildet wren, welche aber noch keinerlei Erziehung genossen haben, wrden von der Auenwelt, wenn diese passend gewhlt wird, solche Eindrcke empfangen, da sie dazu gefhrt werden, eine andere Geometrie als die Euklidische zu konstruieren und die Erscheinungen dieser Auenwelt in einem nicht-Euklidischen Rume oder garin

einem Rume von vier Dimensionen zu lokalisieren. Fr uns, deren Erziehung durch unsere tatschliche Welt bewerkstelligt ist, wrde es keine Schwierigkeit haben, in diese neue Welt die Phnomene unseres Euklidischen Raumes zu bertragen, wenn wir pltzlich dahinein versetzt wrden. (Denn die Eigenschaften der nicht-

Der geometrisclie Raum.

er

Euklidischen und der mehrdimensionalen Geometrie sind

uns

durch

die

im vorhergehenden

erwhnten

mathe-

matischen Spekulationen hinreichend bekannt).

Mancher,

der seine Existenz

dieser Sache

widmen

wollte, knnte vielleicht dahin gelangen, sich die vierte

Dimension vorzustellen.^^) Der geometrische Raum und der VorstellungsMan sagt oft, da die Bilder der ueren Raum. Gegenstnde im Rume lokalisiert sind, und sogar, da solche Bilder sich nur unter dieser Bedingung bilden Man sagt auch, da dieser Raum, welcher soknnen.

mit als ein zu unseren Gefhlen

und Vorstellungen

voll-

kommen Rume derer besitzt.

passender

Rahmen

dient, identisch ist mit

dem

Geometrie,

dessen

smtliche Eigenschaften

Mancher tchtige Denker wird diese Auffassung teilen, und ihm mu der obige Ausspruch ganz auergewhnlich

scheinen.

Sehen wir indessen nach, ob

er

nicht

irgend einer Tuschung unterliegt, welche eine grndliche

Analyse verscheuchen knnte.

Welchesschaften des

sind

vor

allem,

kurz

gefat,

die

Eigen-

Raumes?

Ich meine die Eigenschaften desich

jenigen Raumes, welcher den Gegenstand der Geometrie

ausmacht,

und den

den geometrischen Raum,hauptschlichsten

nennen1.

will.

Einige

seiner

Eigen-

schaften sind die folgenden:

2.

3.

4.

Er ist ein Kontinuum; Er ist unendlich; Er hat drei Dimensionen; Er ist homogen, d. h. alle seine Punkte sind Erist

unter-

einander identisch.5.

isotrop,

d.

h.,

alle

die

Geraden, welcheuntereinanderunserer

durch

denselben

Punkt

gehen,

sind

identisch.^^)

Vergleichen wir ihn nun mit

dem Rahmen

r

1

n,

4.

Raum

und Geometrie.

Vorstellungen und unserer Empfindungen, welche ich den

Vorstellungs-Raum nennen will. Wir Der Gesichts - Raum.

wollen vorerst eine

reine Gesichts-Empfindung betrachten, die durch ein Bild

hervorgerufen

wird,

welches

sich auf

dem Grunde

der

Netzhaut bildet.

Eine summarische Analyse zeigt uns dieses Bild als ein Kontinuum, welches zwei Dimensionen besitzt; das unterscheidet bereits den geometrischen Raum von demjenigen. Rume, welchen wir als reinen Gesichts-

Raum

bezeichnen.^^)ist

Ferner

dieses Bild in einem begrenzten

Rahmenminder

eingeschlossen.

Endlichist

besteht

noch

ein

anderer,

nicht

wichtiger Unterschied:

Dieser reine Gesichts-Raum

Sehen wir von den Bildern ab, die auf der Netzhaut entstehen knnen, so spielen nicht Der gelbe alle Punkte der letzteren dieselbe Rolle. Fleck kann unter keiner Bedingung als identisch mit einem Punkte des Randes der Netzhaut betrachtet werden. In der Tat, dasselbe Objekt ruft nicht nur an dieser Stelle weit lebhaftere Eindrcke hervor, sondern es

nicht homogen.

jedem begrenzten Rahmen der Punkt, welcher die Mitte des Rahmens einnimmt, niemals mit einem Punkte gleichwertig erscheinen, der nahe amkannberhauptin

Rande

liegt.

Eine grndlichere Analyse wrde uns ohne Zweifel zeigen, da diese Kontinuitt des Gesichts-Raumes und seine zwei Dimensionen nur auf Tuschung beruhen, sie wrde diesen Raum also noch mehr vom geometrischen Rume unterscheiden lassen, aber wir wollen ber diese

Bemerkung hinweggehen. Das Sehen erlaubt uns indessen, die Entfernungen abzuschtzen und folglich eine dritte Dimension wahrzunehmen. Aber jeder wei, da diese Wahrnehmung der

:

Der Gesichts-Raum.dritten

55

Dimensionbei

sich

auf die Empfindung einer An-

machenden Accomodation des Auges reduziert und auf die Empfindung der konvergenten Richtung, welche beide Augen annehmen mssen,strengung der zu

um

einen bestimmten Gegenstand deutlich wahrzunehmen.

Das sind Muskelempfindungen, und diese sind gnzlich von den Gesichtsempfindungen verschieden, welcheuns die Vorstellung der beiden ersten Dimensionen ge-

geben haben.anderenspiele.

Die

dritte

Dimension wird uns

also nicht

so erscheinen, als ob sie dieselbe Rolle wie die beiden

Was man den vollstndigen Gekann, wird also nicht ein isotroper

sichts-Raum nennen

Raum

sein.;

Er hat zwar genau drei Dimensionen das will heien die Elemente (vgl. S. ^2) unserer Gesichts-Empfindung (wenigstens diejenigen, welche zur Ausbildung der Raumvorstellung beitragen) werden vollstndig definiert sein, wenn man drei von ihnen kennt; oder, um die mathematische Sprachweise anzuwenden: die Gesichtsempfindungen sind Funktionen von drei Variabein. Wir wollen die Sache noch etwas nher prfen. Die dritte Dimension wird uns auf zwei verschiedene Arten off"enbart: durch die Anstrengung beim Accomodieren und durch die Konvergenz der Augen. Ohne Zweifel stimmen diese beiden Indikationen immer berein; es gibt unter ihnen eine konstante Beziehung, oder mathematisch ausgedrckt: die beiden Variabein, welche diese beiden Muskelempfindungen messen, erscheinen uns nicht als unabhngige, oder nochbesser: wir knnen,raffinierte

um eine Berufung auf schon ziemlich mathematische Begriffe zu vermeiden, zu