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Diffusion

Stefan Hildebrandt

Mareike Brocksieper04.05.2005

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Literaturangaben

• Ulrich Schoo - Diffusion in ionenleitendenBoratgläsern

• W. Jost, K. Hauffe – Diffusion, 2.Auflage

• Skript DD aus dem F-Praktikum

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Inhalt

• Definition und Grundbegriffe

• Fick‘sche Gesetze

• Lösungen des 2.Fick‘schen Gesetzes mit Beweis der Fehlerfunktion

• Diffusion in Festkörpern

• Radiotracermethode

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Definition der Diffusion

Materietransport zum Ausgleich des

chemischen Potentials in festen, flüssigen und

gasförmigen Medien

Ursache: grad µ (1-D Fall)

kann meist als Konzentrationsänderungbetrachtet werden

dx

dµ

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Stoffmengenstromdichte:

1.Ficksches Gesetz

cDj ∇−=rr

cvcDj ><+∇−=rrr

ZeitFläche

Stoffmengej

⋅=

Diffusiver Beitrag Konvektiver Beitrag (Drift)

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Instationäre DiffusionsprozesseHerleitung über Kontinuitätsgleichung (siehe Seminar vom 20.04.05 )

2.Ficksches Gesetz

2

2

dx

cdDcD

dt

dc=∇∇=

rr

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Lösungen des 2.Fickschen Gesetzes

1. Dünnschicht Lösung / Quellenlösung

2. Fehlerlösung / kontinuierliche Quelle

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1. Dünnschicht Lösung / Quellenlösung

t=0 : alle Teilchen bei x=0 c=c0

t=0 : bei x>0 gilt c=0

für alle t>0 gilt bei x�∞ c=0

−

=Dt

x

eDt

ctxc

40

2

),(π

AB

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1. Dünnschicht Lösung / Quellenlösung

−

=Dt

x

eDt

ctxc

40

2

),(π

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2. Fehlerlösung / kontinuierliche Quelle

Randbedingungen:

bei t=0 und t>0 gilt bei x=0 und x<0 c=c0

t=0 und x>0 c=0

t>0 und x�∞ c=0

Bestimmung der Fläche unter der Kurve mittels der

Fehlerfunktion:

dyetxerf

yDt

x

∫

−

=0

4

2

2),(

π

A BB A

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2. Fehlerlösung / kontinuierliche Quelle

Durch geeignete Normierung erhält man:

x

1

dyetxerf

yDt

x

∫

−

=0

4

2

2),(

π

x

f(x)

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2. Fehlerlösung / kontinuierliche Quelle

Die komplementäre Fehlerfunktion lautet:

und erhalten damit folgende Auftragung:

dyetxerftxerfc

yDt

x

∫

−

−=−=0

4

2

21),(1),(

π

x

1

dyec

c

txerfctxerfcctxc

yDt

x

∫

−

−=

−==

0

400

00

2

2

)],(1[),(),(

π

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2 Lösungen des 2.Fickschen Gesetzes

x

f(x)

x

1

x

f(x)

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Diffusion in Festkörpern

Diffusion in Festkörpern relativ langsam

� Beweglichkeit

Typische Dimensionen für

Gase:

Flüssigkeiten:

Feststoffe:

sm

254 1010 −− −

sm

2910 −

sm

21410−

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Diffusion in Festkörpern

2 verschiedene Mechanismen möglich:

• Leerstellenmechanismus

• Zwischengittermechanismus

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Leerstellenmechanismus

• diffundierende Spezies etwa so groß wie die

Matrix

• Diffusion möglich aufgrund von Kristallbaufehlern

(Defekten)

• für D ergibt sich somit:

−=

Tk

EDD

B

Aexp0

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Zwischengittermechanismus

• diffundierende Spezies wesentlich kleiner als die Matrix

• Atome können z.B. Oktaederlücken besetzen

� Platzwechsel nicht an Vorhandensein von Leerstellen geknüpft

• Aktivierungsenergie geringer als beim Leerstellenmechanismus

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EA

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Radiotracermethode

Zum Verständnis:

• ein Radiotracer ist ein radioaktiv markiertes Teilchen

• häufig Nutzung eines Isotops um Selbstdiffusion zu beobachten

�Vorteil: ähnliche Eigenschaften

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Radiotracermethode

• ein radioaktiver Tracer wird dünn in einer glatten Schicht auf die Probe aufgetragen

• zum Bestimmen von D: schichtweise Abtragung der Probe

• die Tracerkonzentration wird anhand der spezifischen Radioaktivität jeder einzelnen Schicht bestimmt

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Radiotracermethode

• D wird anhand der Eindringtiefe und der Konzentration des Diffusors bestimmt

• c des Diffusors ~ zur radioaktiven Aktivität

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Radiotracermethode

Dt4

1−lnc

X2

Zur Auswertung des Radiotracerexperimentes, Bestimmung des

Diffusionskoeffizienten, wird folgende Auftragung genutzt

Dt

x

ec 4

2

−

∝