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Praktikum Medizin und Mathematik Modellierung von ... · MDE : Matrix zersetzendes Enzym. Grumann...
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Biologische GrundlagenKontinuierliches Modell
Hybrides Modell
Praktikum Medizin und MathematikModellierung von Tumorwachstum
C. Grumann, B. Kuhlenschmidt, S. Wagner
WWU Munster
7.7.09
Grumann Kuhlenschmidt Wagner MedMath
Biologische GrundlagenKontinuierliches Modell
Hybrides Modell
Outline
1 Biologische GrundlagenGrundlagenHauptfaktoren der ModelleHaptotaxis und Diffusion
2 Kontinuierliches ModellUbersichtPDE-SystemNumerische Ergebnisse
3 Hybrides ModellIdeeModellierung der ZellenSimulationsablaufNumerische Ergebnisse
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Biologische GrundlagenKontinuierliches Modell
Hybrides Modell
GrundlagenHauptfaktoren der ModelleHaptotaxis und Diffusion
Gliederung
1 Biologische GrundlagenGrundlagenHauptfaktoren der ModelleHaptotaxis und Diffusion
2 Kontinuierliches ModellUbersichtPDE-SystemNumerische Ergebnisse
3 Hybrides ModellIdeeModellierung der ZellenSimulationsablaufNumerische Ergebnisse
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Biologische GrundlagenKontinuierliches Modell
Hybrides Modell
GrundlagenHauptfaktoren der ModelleHaptotaxis und Diffusion
Entstehung eines Tumors
Mutationen fuhren zu Tumorentstehung.
Zellen wachsen unkontrolliert, konnen sich unabhangigvoneinander teilen und gesundes Gewebe verdrangenbzw. zersetzen.Fehler in der DNA konnen nicht mehr behoben werden.Zellen verlieren die Moglichkeit des programmiertenZelltodes.Tumorzellen konnen weiter mutieren.
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Hybrides Modell
GrundlagenHauptfaktoren der ModelleHaptotaxis und Diffusion
Entstehung eines Tumors
Mutationen fuhren zu Tumorentstehung.Zellen wachsen unkontrolliert, konnen sich unabhangigvoneinander teilen und gesundes Gewebe verdrangenbzw. zersetzen.
Fehler in der DNA konnen nicht mehr behoben werden.Zellen verlieren die Moglichkeit des programmiertenZelltodes.Tumorzellen konnen weiter mutieren.
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Hybrides Modell
GrundlagenHauptfaktoren der ModelleHaptotaxis und Diffusion
Entstehung eines Tumors
Mutationen fuhren zu Tumorentstehung.Zellen wachsen unkontrolliert, konnen sich unabhangigvoneinander teilen und gesundes Gewebe verdrangenbzw. zersetzen.Fehler in der DNA konnen nicht mehr behoben werden.
Zellen verlieren die Moglichkeit des programmiertenZelltodes.Tumorzellen konnen weiter mutieren.
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Hybrides Modell
GrundlagenHauptfaktoren der ModelleHaptotaxis und Diffusion
Entstehung eines Tumors
Mutationen fuhren zu Tumorentstehung.Zellen wachsen unkontrolliert, konnen sich unabhangigvoneinander teilen und gesundes Gewebe verdrangenbzw. zersetzen.Fehler in der DNA konnen nicht mehr behoben werden.Zellen verlieren die Moglichkeit des programmiertenZelltodes.
Tumorzellen konnen weiter mutieren.
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Hybrides Modell
GrundlagenHauptfaktoren der ModelleHaptotaxis und Diffusion
Entstehung eines Tumors
Mutationen fuhren zu Tumorentstehung.Zellen wachsen unkontrolliert, konnen sich unabhangigvoneinander teilen und gesundes Gewebe verdrangenbzw. zersetzen.Fehler in der DNA konnen nicht mehr behoben werden.Zellen verlieren die Moglichkeit des programmiertenZelltodes.Tumorzellen konnen weiter mutieren.
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GrundlagenHauptfaktoren der ModelleHaptotaxis und Diffusion
Zellteilung Normal - Krebs
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GrundlagenHauptfaktoren der ModelleHaptotaxis und Diffusion
Schematisches Diagramm
Quelle: Anderson, Chaplain, Rejniak, 2007
MM : Macromolekul.MDE : Matrixzersetzendes Enzym.
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GrundlagenHauptfaktoren der ModelleHaptotaxis und Diffusion
Haptotaxis und Diffusion
DiffusionBeschreibt die Zellbewegung, welche durch eine zufalligeBeweglichkeit der Zellen und einer Verdrangung durchZellteilung entsteht.
HaptotaxisUnter Haptotaxis versteht man die gezielte Bewegung vonZellen in Richtung des Makromolekules.
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Hybrides Modell
GrundlagenHauptfaktoren der ModelleHaptotaxis und Diffusion
Haptotaxis und Diffusion
DiffusionBeschreibt die Zellbewegung, welche durch eine zufalligeBeweglichkeit der Zellen und einer Verdrangung durchZellteilung entsteht.
HaptotaxisUnter Haptotaxis versteht man die gezielte Bewegung vonZellen in Richtung des Makromolekules.
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UbersichtPDE-SystemNumerische Ergebnisse
Gliederung
1 Biologische GrundlagenGrundlagenHauptfaktoren der ModelleHaptotaxis und Diffusion
2 Kontinuierliches ModellUbersichtPDE-SystemNumerische Ergebnisse
3 Hybrides ModellIdeeModellierung der ZellenSimulationsablaufNumerische Ergebnisse
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UbersichtPDE-SystemNumerische Ergebnisse
Ubersicht
Modelliere Tumorwachstum mit Hilfe eines Systemspartieller Differentialgleichungen
zwei RaumdimensionenZellalterung, Zellbewegung, Sauerstoffkonsum der Zellenund Makromolekul des umliegenden Gewebes werdenberucksichtigt
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UbersichtPDE-SystemNumerische Ergebnisse
Ubersicht
Modelliere Tumorwachstum mit Hilfe eines Systemspartieller Differentialgleichungenzwei Raumdimensionen
Zellalterung, Zellbewegung, Sauerstoffkonsum der Zellenund Makromolekul des umliegenden Gewebes werdenberucksichtigt
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UbersichtPDE-SystemNumerische Ergebnisse
Ubersicht
Modelliere Tumorwachstum mit Hilfe eines Systemspartieller Differentialgleichungenzwei RaumdimensionenZellalterung, Zellbewegung, Sauerstoffkonsum der Zellenund Makromolekul des umliegenden Gewebes werdenberucksichtigt
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UbersichtPDE-SystemNumerische Ergebnisse
Abhangige Variablen
p(x , y ,a, t) = Dichte der teilenden Zellen des Tumors imPunkt (x , y) ∈ Ω vom Alter a zum Zeitpunkt tq(x , y ,a, t) = Dichte der ruhenden Zellen des Tumors imPunkt (x , y) ∈ Ω vom Alter a zum Zeitpunkt tf (x , y , t) = Dichte des Makromolekuls des umliegendenGewebes im Punkt (x , y) zum Zeitpunkt tm(x , y , t) = Konzentration des Matrix zersetzendenEnzyms im Punkt (x , y) zum Zeitpunkt tc(x , y , t) = Sauerstoffkonzentration im Punkt (x , y) zumZeitpunkt t .
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UbersichtPDE-SystemNumerische Ergebnisse
Das PDE-System
PDE fur die Dichte der teilenden Zellen p:
∂tp(x , y ,a, t) = − ∂ap(x , y ,a, t)︸ ︷︷ ︸Zellalterung
+Dp∇2p(x , y ,a, t)︸ ︷︷ ︸Diffusion
−χ∇ · (p(x , y ,a, t)∇f ((x , y , t)))︸ ︷︷ ︸Haptotaxis
−ρ(c(x , y))p(x , y ,a, t)︸ ︷︷ ︸Zelltod durch mangelnden Sauerstoff
−Θ(a, c(x , y))p(x , y ,a, t)︸ ︷︷ ︸Zellteilung
−σ(c(x , y))p(x , y ,a, t)︸ ︷︷ ︸Ubergang in ruhenden Zustand
+τ(c(x , y))q(x , y ,a, t)︸ ︷︷ ︸Ubergang in teilenden Zustand
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UbersichtPDE-SystemNumerische Ergebnisse
PDE fur die Dichte der ruhenden Zellen q:
∂tq(x , y ,a, t) =−∂aq(x , y ,a, t)︸ ︷︷ ︸Zellalterung
−ν(c(x , y))q(x , y ,a, t)︸ ︷︷ ︸Zelltod durch mangelnden Sauerstoff
+σ(c(x , y))p(x , y ,a, t)︸ ︷︷ ︸Ubergang in teilenden Zustand
−τ(c(x , y))q(x , y ,a, t)︸ ︷︷ ︸Ubergang in ruhenden Zustand
Randbedingung fur a = 0(durch Zellteilung entstehende Zellen):
p(x , y ,0, t) = 2∫ aM
0Θ(a, c(x , y))p(x , y ,a, t)da,
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UbersichtPDE-SystemNumerische Ergebnisse
PDEs fur Makromolekul, Enzym und Sauerstoffkonzentration:
∂t f (x , y , t) =−δm(x , y , t)f (x , y , t)︸ ︷︷ ︸Abbau
∂tm(x , y , t) = Dm∇2m(x , y , t)︸ ︷︷ ︸Diffusion
+µP(x , y , t) + ωQ(x , y , t)︸ ︷︷ ︸Produktion
−λm(x , y , t)︸ ︷︷ ︸Zerfall
∂tc(x , y , t) = Dc∇2c(x , y , t)︸ ︷︷ ︸Diffusion
+βf (x , y , t)︸ ︷︷ ︸Produktion
−γP(x , y , t)− ηQ(x , y , t)︸ ︷︷ ︸Verbauch
−αc(x , y , t)︸ ︷︷ ︸Zerfall
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UbersichtPDE-SystemNumerische Ergebnisse
Verwendete Software
COMSOLermoglicht numerische Berechnung von PDEs auf bis zudreidimensionalen Gebieten(stationar und zeitabhangig)auch gekoppelte Systeme von PDEs auf verschiedenenGebieten konnen gelost werdenfinite Elemente Methoden werden verwendetGitterfeinheit und Zeitschrittweite konnen manuelleingestellt werdengute Moglichkeiten zur Darstellung von Losungen
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UbersichtPDE-SystemNumerische Ergebnisse
Implementierung
Implementierung der Randbedingung an a = 0problematisch, da COMSOL konsistente Anfangswertefordertwahle vereinfachend
p(x , y ,0, t) = 2∫ aM
0Θ(a, c(x , y))p0(x , y ,a, t)da,
wobei p0 Anfangsdaten fur p sind
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UbersichtPDE-SystemNumerische Ergebnisse
Graphische Darstellung der Losungen
Abbildung: p bzw. f zu den Zeitpunkten 0.00, 0.18, 0.27 und 0.50
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IdeeModellierung der ZellenSimulationsablaufNumerische Ergebnisse
Gliederung
1 Biologische GrundlagenGrundlagenHauptfaktoren der ModelleHaptotaxis und Diffusion
2 Kontinuierliches ModellUbersichtPDE-SystemNumerische Ergebnisse
3 Hybrides ModellIdeeModellierung der ZellenSimulationsablaufNumerische Ergebnisse
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Hybrides Modell
IdeeModellierung der ZellenSimulationsablaufNumerische Ergebnisse
Zu Grunde liegendes Modell
PDG-SystemZellbewegung∂n∂t = dn∇2n︸ ︷︷ ︸
Zufallige Bewegung
− ρ∇ · (n∇f )︸ ︷︷ ︸Haptotaxis
Chemische Dynamik∂f∂t = − ηmf︸︷︷︸
Abbau∂m∂t = dm∇2m︸ ︷︷ ︸
Diffusion
+ κn︸︷︷︸Produktion
− σm︸︷︷︸Zerfall
∂c∂t = dc∇2c︸ ︷︷ ︸
Diffusion
+ νf︸︷︷︸Produktion
− ωn︸︷︷︸Aufnahme
− φc︸︷︷︸Zerfall
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Hybrides Modell
IdeeModellierung der ZellenSimulationsablaufNumerische Ergebnisse
Zu Grunde liegendes Modell
PDG-SystemZellbewegung∂n∂t = dn∇2n︸ ︷︷ ︸
Zufallige Bewegung
− ρ∇ · (n∇f )︸ ︷︷ ︸Haptotaxis
Chemische Dynamik∂f∂t = − ηmf︸︷︷︸
Abbau∂m∂t = dm∇2m︸ ︷︷ ︸
Diffusion
+ κn︸︷︷︸Produktion
− σm︸︷︷︸Zerfall
∂c∂t = dc∇2c︸ ︷︷ ︸
Diffusion
+ νf︸︷︷︸Produktion
− ωn︸︷︷︸Aufnahme
− φc︸︷︷︸Zerfall
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Hybrides Modell
IdeeModellierung der ZellenSimulationsablaufNumerische Ergebnisse
Idee
Hybrides Modelldiskret: Stochastische Simulation einzelner Zellenkontinuierlich: Simulation von Sauerstoff, MDE und MMuber System von Reaktions-Diffusions Gleichungen
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Hybrides Modell
IdeeModellierung der ZellenSimulationsablaufNumerische Ergebnisse
Diskretisierung der Zellbewegung
Ziel: Gewinnung von Bewegungswahrscheinlichkeiten aus der Bewegungsglei-chung
FD-Diskretisierung
Zeitschritt k , Raumschritt h
nq+1i,j = nq
i,jP0 + nqi+1,jP1 + nq
i−1,jP2 + nqi,j+1P3
+nqi,j−1P4
P1 = kdnh2 − kρ
4h2
(f qi+1,j − f q
i−1,j
)P2 = kdn
h2 + kρ4h2
(f qi+1,j − f q
i−1,j
)P3 = kdn
h2 − kρ4h2
(f qi,j+1 − f q
i,j−1
)P4 = kdn
h2 + kρ4h2
(f qi,j+1 − f q
i,j−1
)P0 = 1− 4kdn
h2
− kρ4h2
(f qi+1,j + f q
i−1,j − 4f qi,j + f q
i,j+1 + f qi,j−1
)
Quelle: Anderson, 2006
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Hybrides Modell
IdeeModellierung der ZellenSimulationsablaufNumerische Ergebnisse
Diskretisierung der Zellbewegung
Ziel: Gewinnung von Bewegungswahrscheinlichkeiten aus der Bewegungsglei-chung
FD-Diskretisierung
Zeitschritt k , Raumschritt hnq+1
i,j = nqi,jP0 + nq
i+1,jP1 + nqi−1,jP2 + nq
i,j+1P3
+nqi,j−1P4
P1 = kdnh2 − kρ
4h2
(f qi+1,j − f q
i−1,j
)P2 = kdn
h2 + kρ4h2
(f qi+1,j − f q
i−1,j
)P3 = kdn
h2 − kρ4h2
(f qi,j+1 − f q
i,j−1
)P4 = kdn
h2 + kρ4h2
(f qi,j+1 − f q
i,j−1
)P0 = 1− 4kdn
h2
− kρ4h2
(f qi+1,j + f q
i−1,j − 4f qi,j + f q
i,j+1 + f qi,j−1
)
Quelle: Anderson, 2006
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IdeeModellierung der ZellenSimulationsablaufNumerische Ergebnisse
Diskretisierung der Zellbewegung
Ziel: Gewinnung von Bewegungswahrscheinlichkeiten aus der Bewegungsglei-chung
FD-Diskretisierung
Zeitschritt k , Raumschritt hnq+1
i,j = nqi,jP0 + nq
i+1,jP1 + nqi−1,jP2 + nq
i,j+1P3
+nqi,j−1P4
P1 = kdnh2 − kρ
4h2
(f qi+1,j − f q
i−1,j
)
P2 = kdnh2 + kρ
4h2
(f qi+1,j − f q
i−1,j
)P3 = kdn
h2 − kρ4h2
(f qi,j+1 − f q
i,j−1
)P4 = kdn
h2 + kρ4h2
(f qi,j+1 − f q
i,j−1
)P0 = 1− 4kdn
h2
− kρ4h2
(f qi+1,j + f q
i−1,j − 4f qi,j + f q
i,j+1 + f qi,j−1
)
Quelle: Anderson, 2006
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IdeeModellierung der ZellenSimulationsablaufNumerische Ergebnisse
Diskretisierung der Zellbewegung
Ziel: Gewinnung von Bewegungswahrscheinlichkeiten aus der Bewegungsglei-chung
FD-Diskretisierung
Zeitschritt k , Raumschritt hnq+1
i,j = nqi,jP0 + nq
i+1,jP1 + nqi−1,jP2 + nq
i,j+1P3
+nqi,j−1P4
P1 = kdnh2 − kρ
4h2
(f qi+1,j − f q
i−1,j
)P2 = kdn
h2 + kρ4h2
(f qi+1,j − f q
i−1,j
)P3 = kdn
h2 − kρ4h2
(f qi,j+1 − f q
i,j−1
)P4 = kdn
h2 + kρ4h2
(f qi,j+1 − f q
i,j−1
)P0 = 1− 4kdn
h2
− kρ4h2
(f qi+1,j + f q
i−1,j − 4f qi,j + f q
i,j+1 + f qi,j−1
) Quelle: Anderson, 2006
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IdeeModellierung der ZellenSimulationsablaufNumerische Ergebnisse
Diskretisierung der Zellbewegung
ZelladhasionZellen konnen sich i.A. nicht vollig frei bewegenErlaube Zellen nur sich zu bewegen, wenn mindestens ANachbarzellen
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IdeeModellierung der ZellenSimulationsablaufNumerische Ergebnisse
Mutationen
Mutationen konnen bei der Zellteilung auftretenLineares Mutationsschema
Phenotyp Teilungsalter O2-Aufnahme MDE Produktion Haptotaxis AI 16h ω κ ρ 3II 14h 4
3ω43κ
43ρ 2
III 12h 2ω 2κ 2ρ 1IV 8h 4ω 4κ 4ρ 0
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IdeeModellierung der ZellenSimulationsablaufNumerische Ergebnisse
Lebenszyklus einer Tumorzelle
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IdeeModellierung der ZellenSimulationsablaufNumerische Ergebnisse
Simulationsablauf
Zeit-Raum-Diskretisierung
Zeitschritt k , Gitter mit Raumschritt hJeder Gitterpunkt enthalt(c, f , m)-Konzentrationen und hochstens eine ZelleDiskretisierung der (c, f ,m)-Konzentrationen uber FiniteDifferenzen−→ Stabilitatsbedingung: 4kD
h2 < 1
AlgorithmusInitialisiere Zellen und (c, f , m)-WerteWiederhole bis zum Endzeitpunkt
Ermittle neue (c, f , m)-WerteFuhre Lebenszyklus der Zellen weiter
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IdeeModellierung der ZellenSimulationsablaufNumerische Ergebnisse
Ausdehnung des Tumors
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IdeeModellierung der ZellenSimulationsablaufNumerische Ergebnisse
Tumor und (c,f,m)-KonzentrationenTumor: MM:
MDE: Sauerstoff:
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IdeeModellierung der ZellenSimulationsablaufNumerische Ergebnisse
Wachstum des Tumors
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IdeeModellierung der ZellenSimulationsablaufNumerische Ergebnisse
Wachstum des Tumors
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IdeeModellierung der ZellenSimulationsablaufNumerische Ergebnisse
Wachstum des Tumors
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IdeeModellierung der ZellenSimulationsablaufNumerische Ergebnisse
Wachstum des Tumors
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IdeeModellierung der ZellenSimulationsablaufNumerische Ergebnisse
Wachstum des Tumors
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Wachstum des Tumors
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Wachstum des Tumors
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Literaturverzeichnis
A. R. A. Anderson, M.A.J. Chaplain, E.L. Newman, R.J.C.Steele, A.M. Thompson. Mathematical modelling of tumourinvasion and metastasis. J. Theoret. Med., 2 (2000),129-154.
Alexander Anderson, Mark Chaplain, Katarzyna Rejniak(2007) . Single-Cell-Based Models in Biology and Medicine,Birkhauser Verlag AG 2007
A. R. A. Anderson (2005). A hybrid mathematical model ofsolid tumor invasion: the importance of cell adhesion, IMAJournal Math. Med. and Biol., 22, 163-186
A. R. A. Anderson, Alissa M. Weaver, Peter T. Cummings,Vito Quaranta (2006). Tumor Morphology and PhenotypicEvolution Driven by Selective Pressure from theMicroenvironment, Cell, 127, 905-915
B. Ayati, G. F. Webb, A. R. A. Anderson (2006).Computational Methods and Results for StructuredMultiscale Models of Tumor Invasion, Multiscale Model.Simul., Vol. 5, No. 1, 1-20
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Vielen Dank fur Ihre Aufmerksamkeit!
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