Praktikum zur Vorlesung Einführung in die Geophysik ...

Praktikum zur VorlesungEinführung in die Geophysik

Hinweise zum Praktikum: Messunsicherheit und Fehlerrechnung

Stefan Wenk, Prof. Thomas Bohlen

TU Bergakademie FreibergInstitut für Geophysik

www.geophysik.tu-freiberg.de/pages/studenten/praktika/nebenfaechlerpraktikum.htm

10. April 2008

http://www.geophysik.tu-freiberg.de/pages/studenten/praktika/nebenfaechlerpraktikum.htm

http://www.geophysik.tu-freiberg.de/pages/studenten/praktika/nebenfaechlerpraktikum.htm

Inhalt

ÜberblickEinleitungFehleranteile

FehlertheorieFehlerabschätzungStatistische Fehlertheorie

FehlerfortpflanzungLineare FehlerfortpflanzungFehlerfortpflanzung nach GaußGemischte Anwendung

BeispielMessung der Schallgeschwindigkeit

Inhalt Großes Geophysik-Praktikum10/04/2008 Fehlerrechnung1

Überblick

Überblick Großes Geophysik-Praktikum10/04/2008 Fehlerrechnung2

Einleitung

"Eine Messung ohne Genauigkeitsangabe ist wertlos"

Wir werden bei jeder Messung Fehler machen. Wir müssen lernen:I Fehler einzelner Größen einzuschätzen → Mittelwert,

StandardabweichungI Fehler des Resultats einzuschätzen → Fehlerfortpflanzung


Fehleranteile

Hier von Bedeutung:zeitlich konstante Fehler mit dem Schwerpunkt → zufällige Fehler


Fehleranteile

a) Grobe Fehler:I Verwechslung von Skalen → "falsch" gemessen

b) Systematische FehlerI Fehlanzeigen wegen schlechter EichungI Alterung der MessgeräteI Veränderung durch die MessungI äussere Einflüsse (Luft, Temperatur), ...

c) zufällige Fehler:I haben statistischen CharakterI Schwankung nach oben und untenI z. B. Abelese-Ungenauigkeit → "Rauschen"


Fehlertheorie

Fehlertheorie Großes Geophysik-Praktikum10/04/2008 Fehlerrechnung6

Fehlertheorie

ZielBestimmung geeigneter Näherungswerte undUnsicherheitsintervalle für die gemessenen Größen

I Messergebnis: x = x ±∆xx . . . Näherungswert an "wahren Wert"∆x . . . Unsicherheitsintervall


Fehlerabschätzung

FehlerabschätzungI bei EinzelmessungI kennzeichnet die mögliche Abweichung vom "wahren Wert"

Man bestimmt die maximal mögliche Abweichung des Messwertesvom wahren Wert: "Größtfehler ∆x"Beispiel: LängenmessungMessung einer Länge → Ablesefehler , der Hälfte des Abstandesder Teilungsstriche


Statistische FehlertheorieHäufigkeitsverteilung

I bei Mehrfachmessung einer Größe x (n-mal) → StichprobeI Klassenverteilung ergibt sich

Die relative Häufigkeit der Messwerte jeder Klasse aufgetragengegenüber dem Messwert-Bereich ergibt i.d.R. Folgendes:

ω(xk) . . . relative Häufigkeit der Klasse k


Statistische FehlertheorieI Näherungen bei n Messungen:

Mittelwert (Näherung an den wahren Wert)

x = 1n

n∑k=1

xk

Standardabweichung vom Messwert xk

sx =√

1n−1

n∑k=1

(xk − x)2

Standardabweichung vom Mittelwert µ

sx =√

1n(n−1)

n∑k=1

(xk − x)2 = sx√n


Statistische Fehlertheorie

WahrscheinlichkeitsverteilungI bei Mehrfachmessung einer Größe x (∞-mal)I Klasseneinteilung feinerI Annäherung an Glockenkurve

Gauß’sche Normalverteilungf (x) = 1

σ√

2πexp(− (x−µ)2

2σ2

)µ . . . Erwartungswert 6= Mittelwert

(wahrscheinlichste Abschätzung des "wahren Wertes")σ . . . Standardabweichung vom Erwartungswert


Statistische FehlertheorieGauß’sche Normalverteilung

Intervalle[µ− σ, µ+ σ]: 68% aller Messwerte[µ− 2σ, µ+ 2σ]: 95% aller Messwerte[µ− 3σ, µ+ 3σ]: 99.7% aller Messwerte


Statistische FehlertheorieStudents t-Verteilung

I bei Mehrfachmessung einer Größe x (n-mal)I ist eine Funktion der gewünschten statistischen Sicherheit P

(Vertrauensniveau in %) und des Stichprobenumfanges n

n 70% 95% 99%2 1.39 4.3 9.94 1.19 2.8 4.65 1.16 2.6 4.010 1.09 2.2 3.2100 1.04 2.0 2.6

I Messunsicherheit: ∆x = t · sxI Angabe experimentell ermittelter Größen: x = x ±∆x


Statistische Fehlertheorie

Beispiel: SchwingungsdauerbestimmungWir messen die Schwingungsdauer eines Pendels mit der StoppuhrT = [2.6, 2.3, 2.5, 2.3, 2.6, 2.4, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.8] s

I Mittelwert:T = 1

n

n∑i=1

Ti = 2.48s

I Messunsicherheit (n = 12, P = 95%):

∆T = t ·√

1n(n−1)

n∑i=1

(Ti − T

)2 = 2.18 · 0.17s = 0.37s

I Ergbenis der Messung:T = T ±∆T = 2.48s ± 0.37s


Fehlerfortpflanzung

Fehlerfortpflanzung Großes Geophysik-Praktikum10/04/2008 Fehlerrechnung15

Fehlerfortpflanzung

I Problem: Bestimmung des Fehlers abgeleiteter Größenf = f (x, y)

Beispiel: Geschwindigkeitmessungv = s

tWeg s als auch Zeit t sind fehlerbehaftet

I Wie groß ist der Gesamtfehler in v?


Lineare Fehlerfortpflanzung

Die lineare Fehlerfortpflanzung wird benutzt, wenn die eingehendenEinzelfehler durch Fehlerabschätzung (siehe oben) ermitteltwurden, d.h. bei Einzelmessungen.Sie liefert einen Größtfehler der abgeleiteten Größe.

Taylorreihenentwicklung von ff (x + ∆x, y + ∆y) = f (x, y) + ∂f

∂x ∆x + ∂f∂y ∆y + . . .

= f + ∆f(Vernachlässigung von Termen höherer Ordnung)

Da sich Fehler immer addieren, werden Betragsstriche eingeführt:

Größtfehler von f∆f =

∣∣∣ ∂f∂x

∣∣∣∆x +∣∣∣ ∂f∂y

∣∣∣∆y


Fehlerfortpflanzung nach Gauß

Die Fehlerfortpflanzung nach Gauß basiert auf statistischenÜberlegungen und ist bei Wiederholungsmessungen anzuwenden

I Gegeben: Funktionaler Zusammenhang f = f (x, y)I Für die Größen (x, y) wurden Wiederholungsmessungen

durchgeführt

Allgemeinx = x ±∆xy = y ±∆yx, y . . . Mittelwert∆x,∆y . . . Messunsicherheit


Fehlerfortpflanzung nach Gauß

I Die Gesuchte Größe ergibt sich aus den gemessenenMittelwerten: f = f (x, y)

I Voraussetzung: Stichprobenumfang für x und y gleich

Standardabweichung von f

sf =√(

∂f∂x sx

)2+(∂f∂y sy

)2

Messunsicherheit von f∆f = t · sf

I Ergebnis der Messung: f = f ±∆f


Gemischte AnwendungKombiniertes ProblemDer Fehler einmalig gemessener Größen wird abgeschätzt(Größtfehler) und der Fehler anderer Größen wird durchWiederholungsmessungen ermittelt (Standardabweichung desMittelwertes).

Für f = f (x, y, z) kann man in der Praxis folgendermaßenvorgehen:1. Entweder Anwendung der linearen Fehlerfortpflanzung, oder2. gemischte Anwendung, d.h. z. B. Fehlerfortpflanzung nach

Gauß für die durch Wiederholungsmessungen bestimmtenVariablen x und y sowie lineare Fehlerfortpflanzung für dieeinmalig gemessene Größe z∆f = t · sf︸︷︷︸

Gauβ

+∣∣∣∣∂f∂z

∣∣∣∣∆z︸︷︷︸Linear


Beispiel

Beispiel Großes Geophysik-Praktikum10/04/2008 Fehlerrechnung21

Messung der Schallgeschwindigkeit

I Ansatz:v = s

tI Wiederholungsmessungen der Laufzeit:

t = t ±∆t = 0.65s ± 0.05sI Einzelmessung:

s = s ±∆s = 220m ± 2mI Anwendung der linearen Fehlerfortpflanzung:

∆v =∣∣∂v∂t∣∣∆t +

∣∣∂v∂s∣∣∆s

I Berechnung partieller Ableitungen:∂v∂s = 1

t∂v∂t = − s

t2


Messung der SchallgeschwindigkeitI Größtfehler von v:

∆v =∣∣ 1

t

∣∣∆s +∣∣− s

t2

∣∣∆t

=∣∣∣ 1

0,65s

∣∣∣ 2m +∣∣− 220m

0.652s2

∣∣ 0.05s

= 3.08ms + 26.04m

s= 29.12m

s

BeachteFehler durch ungenaue Zeitmessung > Streckenfehler

I Angabe des Messwertes:v = s

t ±∆v = 338 ms ± 29 m

s= (338± 29)m

s= 338 m

s ± 8.6%


Zum Nachschlagen. . .

D. Geschke Physikalisches Praktikum. 1992, B.G.TeubnerVerlagsgesellschaft, Stuttgart-Leipzig

E. Hering Physik für Ingenieure. 1989, Verlag des VereinsDeutscher Ingenieure, Düsseldorf

TU Freiberg Arbeitsunterlagen Experimentalphysik-Praktikum.www.tu-freiberg.de/∼exphys/education/prakg/Arbeitsunterlagen.htm

Uni Saarland Web-Rechner für t-Verteilung.psydok.sulb.uni-saarland.de/volltexte/2004/268/html/surfstat/t.htm

M. Afanasjew LATEX-Vorlage.www.mathe.tu-freiberg.de/∼afanasjew/talk-template-r1.tar.gz

Zum Nachschlagen. . . Großes Geophysik-Praktikum10/04/2008 Fehlerrechnung24

https://www.tu-freiberg.de/~exphys/education/prakg/Arbeitsunterlagen.htm

https://www.tu-freiberg.de/~exphys/education/prakg/Arbeitsunterlagen.htm

http://psydok.sulb.uni-saarland.de/volltexte/2004/268/html/surfstat/t.htm

http://psydok.sulb.uni-saarland.de/volltexte/2004/268/html/surfstat/t.htm

http://www.mathe.tu-freiberg.de/~afanasjew/talk-template-r1.tar.gz

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