Praxis der Lebensversicherungs- mathematik TU Kaiserslautern, SS 2012 von Dr. Hans-Otto Herr 1.
-
Upload
amalger-rasnick -
Category
Documents
-
view
103 -
download
0
Transcript of Praxis der Lebensversicherungs- mathematik TU Kaiserslautern, SS 2012 von Dr. Hans-Otto Herr 1.
Praxis der Lebensversicherungs-
mathematik
TU Kaiserslautern, SS 2012
vonDr. Hans-Otto Herr
1
Praxis der LebensversicherungmathematikTU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
Über mich56 Jahre altMathematikstudium in MainzDiplom 1983, Promotion 1988Wissenschaftlicher Mitarbeiter der
Uni Mainz von 1984 bis 1988Ab 1988 Mitarbeiter der DBVLeiter der Produktentwicklung
Leben/RenteVerantwortlicher Aktuar der
winsecura PensionskasseZuletzt AbteilungsdirektorZum 1.9.2011 mein Arbeitsverhältnis
beim AXA-Konzern beendet1999 erster Gaußpreisträger (damals
Jahrespreis der DGVM) zusammen mit Markus Kreer
2
Idee zu dieser VorlesungDie Theorie zur Versicherungsmathematik ist schon
lange besser und fortschrittlicher als die Wirklich-keit in der weitaus meisten LVU
Diese verwenden noch Methoden, die tlw aus dem Beginn des vorigen Jahrhundert sind.
Trotzdem scheinen diese auch für die heutige Zeit robust genug zu sein, wenn man genügend vorsichtig ist.
Ziel der Veranstaltung ist, Ihnen eine Vorstellung davon zu geben, was Sie als Versicherungstechnik in der Wirklichkeit nach Ende des Studiums erw.
Und Sie sollten damit umgehen können
Praxis der Lebensversicherungmathematik 3TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
Ideen zu den Übungen
Die üblichen RechenbeispieleDabei an DAV-Sterbetafeln orientieren,
soweit einfach zugänglichSchrittweiser Aufbau eines EXCEL-Modells,
das Beitrags-, Deckungskapital- und Überschussberechnung für eine oder zwei Versicherungsformen (z.B. Kapitalbildende LV und/oder Rentenversicherung) liefert
Damit könnten auch Effekte bei Parameteränderungen studiert werden
Praxis der Lebensversicherungmathematik 4TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
Praxis der Lebensversicherungmathematik 5TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
Unser Fahrplan oder: was Sie nach dem Sommersemester wissen sollten
11.Grundlegendes aus der elementaren Finanzmathematik
12.Bezeichnungen und Konventionen der Versicherungsmathematik
13.Gesetzlicher Rahmen14.Grundlegende Versicherungsformen
5
21.Biometrische Rechnungsgrundlagen22.Erlebensfall/Todesfallcharakter23.Erstellung von Rechnungsgrundlagen
31.Kommutationswerte32.Rentenbarwerte33.Leistungsbarwerte34.Weitere Rechnungsrundlagen35.Äquivalenzprinzip
Praxis der Lebensversicherungmathematik 6TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
41.Deckungskapital42.Retrospektive vs. prospektive
Deckungsrückstellung43.Zillmerung
51.Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung52.Grundsätze der Gewinnzerlegung
61.Überschussbeteiligung (grundsätzlich)62.Überschussermittlung63.Beteiligung der Versicherungsnehmer
Praxis der Lebensversicherungmathematik 7TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
Praxis der Lebensversicherungmathematik 8TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
71.Vertragsänderungen72.Kündigung73.Beitragsfreistellung
81.Weitere Vertragsänderungen82.Erhöhungen, Herabsetzungen
91.Was gibt es noch / Was fehlt?92.Ein paar Worte zur Rechnungslegung93.Profitabilität
100.Was ist noch unklar?101.Round up / Ihre Kritik
Literatur (eine Auswahl)
◦Grimmer/Führer, Einführung in die LebensversicherungsmathematikVVW 2006
◦Isenbart/Münzer, Lebensversicherungsmathe-matik für Praxis und Studium, Gabler, 3. A. (?)
◦Gerber, Life Insurance Mathematics, Springer
◦Koller, Stochastische Modelle in der Lebens-versicherung, Springer
Praxis der Lebensversicherungmathematik 9TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
11.Grundlegendes aus der elementaren Finanzmathematik
Rechnungszins „i“
Begriff „Barwert“
„Rentenbarwert“
12.Bezeichnungen und Konventionen der Versicherungsma-thematik
Feste Buchstaben für gewisse Größen
x, y stets Álter eines/r Mannes/Frau
ä, a Rentenbarwert vor-/nachschüssig
A Leistungsbarwert
Praxis der Lebensversicherungmathematik 10TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
Praxis der Lebensversicherungmathematik 11TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
13.Gesetzlicher Rahmen
GesetzeVAG (Versicherungs-
aufsichtsGesetzVVG (VVertragsGesetz)Dazu z.B.
RechtsverordnungenDeckRVHGB
14. Grundlegende Ver-sicherungsformen
PersonenversicherungKV(PK, PF)LV und RV
◦RisikoV◦Kapitalbildende LV◦RV aufgeschoben◦RV sofort beginnend◦Dazu BU/EU + … + Exoten
wie Aussteuer
Praxis der Lebensversicherungmathematik 12TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
Allgemeine Struktur eines Vers.Vetrags1 Haupversicherung +
zzgl ZusatzversicherungenBeitragszahlweisen:
normalerweise 1/1- jährliche Kalkulation◦Mögliche Zwen:
EB, 1/1, ½, ¼, 1/12 Evtl. abgekürzt
Optionen◦Bfreistellung, Rückkauf◦+ evtl. weitere
Andere Versicherungsformen◦Fondsgebundene, AILV◦Hinterbliebene◦Kapitalisation
Verantwortlicher Aktuar◦§12a VAG◦Dauerhafte Erfüllbarkeit
der Verpflichtungedn◦Testat DeckR in Bilanz◦Erläuterungsbericht,◦Vorschlag Übbeteiligung
Praxis der Lebensversicherungmathematik 13TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
21. Biometrische Rechnungsgrundlagen
Wichtigster Parameter –neben i - der Beitragskalkulation und Reservestellung
Beschreibung der Ausscheideordnung
Einfache Version: Periodentafeln
Für x=0 bis qx = Wkeit eines x-Jährigen
vor Vollendung des x+1-ten Lebensj. zu sterben
Praxis der Lebensversicherungmathematik 14TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
Lebende Tote
Ausscheideordnung
Sterbetafel
Invalide
LebendeAnwärter
Tote
Aktiven-Sterbetafel
Reaktivierte
Invaliditäts-Wahrscheinlk.
Reak-
tivie
-ru
ng
sW
keit
Invali
-d
en
-S
terb
-li
ch
k.
Rechnungsgrundlagen• 1. Ordnung = die, mit
denen kalkuliert wird• 2. Ordnung =tatsächlich
beobachtete
Probleme◦Gesundheitsprüfung,
listenmäßige Annahme◦Versicherten-/
Arbeitnehmerkollektive◦Extreme Situationen
„preferrred lives“◦Medizinischer
FortschrittPraxis der Lebensversicherungmathematik 15TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
• Außer Sterbewkeit noch wichtig:
• Weitere Ausscheideord-nungen• Invalidisierungswk• Erwerbsunfähigkeit• …• Wkeit im Zeitpunkt des
Todes verheiratet• Wkeit im Alter x zu
heiraten
HinweisHiermit erhalten Sie
das zweite Päckchen der Folien zu dieser Veranstaltung.
Bitte beachten Sie, dass diese nicht alles Relevante enthalten.
Wichtig sind vor allem auch die
Übungen◦Hier wird auch nur
hier vorkommender Stoff behandelt
das gesprochene Wort in der Vorlesung, sowie alles, was
an der Tafel steht
Praxis der Lebensversicherungmathematik 16TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
22. Erlebensfall/Todesfallcharakter
Todesfallcharakter = Erhöhung der qx bewirkt Verteuerung des Versicherungsprodukts/ Erhöhung der Verpflichtung; Bsp. Risikoversicherung
Erlebensfallcharakter = Erhöhung der qx bewirkt Verbilligung…Reduktion; z.B.: Rentenversicherg
Thema Unisex Übungen
23. Erstellung von Sterbetafeln
Schritt 1: Ermittlung der rohen Sterbewk. Ausgleichen
Schritt 2: Zu/Abschläge für Irrtum, Schwankg, Selektion
Praxis der Lebensversicherungmathematik 17TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
Schritt 3:◦ Vom Geburtsjahr
abhängige Zuschläge für den Trend bei der Sterblichkeit für Versicherungen mit Erlebensfallchar., vor allem Renten
◦ Bei Todesfallchar evtl Raucher/ Nichtraucher unterschieden
Jetzt hat das Warten ein Ende und es gibt Formeln
Aber vorher noch ein paar Worte zum Rechnungszins i◦Festgelegt in Deckrv
ist nur der HöchstRz für die Reservierung
◦Fragwürdiger Formalismus (60% der Durchschnitts-Rendite öffentlicher Anleihen…)
Praxis der Lebensversicherungmathematik 18TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
Wir wiederholen nochmals die festen Bezeichnungen für Parameter:
x/y Alter Mann/Frau
n Dauer, Vers.dauer
t Dauer, BZD m abgel. Dauer s Dauer, Aufschub-
zeit
i Rechnungszins
v = 1/(1+i) d = i/(1+i) = 1 - v Praxis der Lebensversicherungmathematik 19
TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
GRUNDSATZ der Kalkulation
Praxis der Lebensversicherungmathematik 20TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
Es wird immer deter-ministisch nie stocha-stisch gerechnet.
Um trotzdem brauch-bare Ergebnisse zu erzielen, ist beson-dere Vorsicht (Zu-schläge) notwendig
Es wird immer deter-ministisch nie stocha-stisch gerechnet.
Um trotzdem brauch-bare Ergebnisse zu erzielen, ist beson-dere Vorsicht (Zu-schläge) notwendig
31.Kommutationswerte Formaler Kalkül, der mit wenig Tabellen alle
wesentlichen Größen der Kalkulation mit geringem Aufwand errechnen lässt
Die Grundregeln für reservierte Bezeichnungen:
◦ Barwerte für◦ A einmalige Todesfallleistung◦ E einmalige Erlebensfallleistung◦ a wiederkehrende Erlebensfallleistung
dabei a=nachschüssig und ä=vorschüssig
◦ Index rechts unten: grundlegendes Alter (x oder y oder xy)
◦ Rechts daneben unter Winkel: Dauer (n oder t))Praxis der Lebensversicherungmathematik 21TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
Die Grundregeln (Fortsetzung)◦ Rechts oben: von jährlicher Zahlweise ab-
weichende Zahlweise◦ Links unten weitere Zeitparameter, dabei
wichtig „Aufschubzeit“ mit senkrechtem Strich rechts daneben: „ n| “
◦ A
◦ a
◦ ä
◦
◦
Praxis der Lebensversicherungmathematik 22TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
Berechnung eines Rentenbarwertes:◦Wir erinnern uns [mit v = 1/(1+i)]
◦Jetzt mit Biometrie. Dazu ist zusätzlich gegeben für x=0,…,ω: qx (1 jährige Sterblk)
◦Daraus (1 jährige Überlebenswahrscheinlichkeit)
◦Weiterhin nützlich◦
Praxis der Lebensversicherungmathematik 23TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
Damit
Die lebenslängliche Variante wäre bei
qx=0 ohne Biometrie
Praxis der Lebensversicherungmathematik 24TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
Und da für gilt, wenn |v| < 1
ä= 1/(1-v) =1/d
Wenn wir nun an interessiert sind, können wir genauso rechnen und haben keine Probleme mit dem Limes, da
somit
Praxis der Lebensversicherungmathematik 25TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
Die klassische Versicherungsmathematik berechnet (mit dem gleichen Ergebnis) anders:
Berechne zu normiertem Startwert:die Lebenden (Anmerkung lx+k/lx=k|px)
Zwischenbemerk:◦Mittl zuk Leb.erwartg =
Praxis der Lebensversicherungmathematik 26TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
Hieraus die diskontierten Lebenden und Toten, D und C
Hieraus die Summen N und M der D und C
Sowie für einige exotischen Versicherungen die Summen T, S der Summen
Praxis der Lebensversicherungmathematik 27TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
32. Rentenbarwerte
Dann ist
Und
So ergibt sich
Praxis der Lebensversicherungmathematik 28TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
Spezialfall x+n = , dann Dx+n = 0, damit
äx – ax = 1 – 0 = 1 was aber auch mit bloßem Auge zu erkennen ist
Bemerkung: diese Herleitung nutzt die Überlebenden (lx) des Alters x.
Genau so hätte man dies auch über die Toten (dx) tun können vielleicht eine Spur umständlicher.
Es gilt
Praxis der Lebensversicherungmathematik 29TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
Unterjährige Rentenzahlung
◦Man kalkuliert meist mit jährlichen Werten◦Für die Prämie (Beitrag) wird bei unterjähriger
Zahlweise meist ein Zuschlag verwendet.◦Dieser muss (neuerdings) belegt werden.◦Üblich sind für den Zahlungsweisezuschlag sind
Werte wie:
Praxis der Lebensversicherungmathematik 30TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
Zahlungs-weise
Zuschlag bei
Normal-geschäft
Zuschlag bei Groß-geschäft
1/ 2 2.0% 1.0%
1/4 3.0% 2.0%
1/12
5.0% 2.5%
Unterjährige Rentenzahlung (Fortsetzung) ◦Davon zu unterscheiden die Modifikation eines
(natürlich zunächst für jährliche Zahlungs-weise) gegebenen Rentenbarwertes. Problem:
Einfache und auch weit verbreitete Lösung:
verwende als Korrektur Abzug in Höhe von
(k-1)/2k (vorsch) bzw. (k+1)/2k (nachsch.)
also z.B.
Praxis der Lebensversicherungmathematik 31TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
32.Leistungsbarwerte
Risikoversicherungen A IA DA
Kapitalbildende („gemischte“) Versicherung A
Rentenverscherung Aufgeschoben Sofort beginnend Mit Garantiezeit Mit Beitragsrückgewähr im Todesfall
Praxis der Lebensversicherungmathematik 32TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
33. Weitere Kosten, Kosten der Verwaltung, des Abschlusses,…
Abschlusskosten
z Zillmersatz, in %o Bsumme,
also t*B*z
g lfd AK während bpfl Zeit in %B oder %oVS entweder zur Darstellung von lfd Provision oder Amortisationskosten
Praxis der Lebensversicherungmathematik 33TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr
Verwaltungskosten in % B „Inkassokosten“
in %o Vers.Summe während bpf Zeit
in %o Vers.Summe während bfr Zeit ◦Dabei Unterschied, ob planmäßig oder außerplanmäßig bfr
in % Rente während Rentenbezug
Weitere Zuschläge Stk Stückkosten in € pro Police Bspsweise in % LBW
Praxis der Lebensversicherungmathematik 34TU Kaiserslautern SS 2012, H.-O. Herr