Praxishandbuch - BIFIE · 2018-12-05 · der lebendigen Auseinandersetzung mit der Mathematik. Es...

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Praxishandbuchfür „Mathematik“4. Schulstufe

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Praxishandbuchfür „Mathematik“ 4. Schulstufe

Herausgeber:Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklungdes österreichischen SchulwesensStella-Klein-Löw-Weg 15 / Rund Vier B / 2. OG / 1020 Wien

in Kooperation mit dem Bundesministerium für Unterricht, Kunst und KulturAbteilung für Volksschulen und Minderheitenschulen (Abt. I/1) Minoritenplatz 5 / 1014 Wien

Praxishandbuch für „Mathematik“ 4. Schulstufe. 2., durchgesehene und erweiterte AuflageBIFIE (Hrsg.), Graz: Leykam, 2011ISBN 978-3-7011-7772-1

Einbandgestaltung: Die Fliegenden Fische, Salzburg& Andreas Kamenik, BIFIE I Zentrales Management & ServicesLayout & Satz: Sandra Hechenberger, BIFIE I Zentrales Management & ServicesRedaktion & Lektorat: Alexander Ruprecht, Stefan Terler & Brigitte ZöchlingerDruck: Druckerei Theiss GmbH, 9431 St. Stefan i. L.Vertrieb an den Buchhandel: Leykam Buchverlagsgesellschaft m.b.H. Nfg. & Co.KG

© Bundesministerium für Unterricht, Kunst und KulturAbteilung für Volksschulen und Minderheitenschulen (Abt. I/1)

Der Text zu den Bildungsstandards (Kompetenzbereiche usw.) sowie die Aufgabenbeispiele können von österreichischen Schulen sowie von den Pädagogischen Hochschulen in den Berei-chen der Lehrer/innenaus-, Lehrer/innenfort- und Lehrer/innenweiterbildung in dem für die jeweilige Lehrveranstaltung erforderlichen Umfang von der Website des BIFIE (http://www.bifie.at) herunter-geladen, kopiert und verbreitet werden.

Mitglieder der Arbeitsgruppe M 4 in der Pilotphase I und IIVD Dipl.-Päd. Edith BrunnerVD Dipl.-Päd. Ursula CermakDipl.-Päd. Mag. Maria FastVD Dipl.-Päd. Gudrun Laimer, Bakk. phil. VD OSR Dipl.-Päd. Rudolf LangerBSI RR Franz NöstererDipl.-Päd. Mag. Franz PlatzgummerBSI Dipl.-Päd. Elisabeth RepoluskVD Dipl.-Päd. Mag. Andrea Riess

KoordinationDr. Wilhelm WolfDr. Brigitta ScheiberDipl.-Päd. Claudia Koch

AktualisierungDipl.-Päd. Susanne ScherfVD Dipl.-Päd. Brigitte Zöchlinger, MSc

Impressum

Inhalt

3 Vorwort 4 Vorbemerkungen 5 Zur Implementierung der Bildungsstandards

6 Bildungsstandards „Mathematik“

6 Der Beitrag des Unterrichtsgegenstandes „Mathematik“ zur Bildung 7 Kompetenzbereiche des Unterrichtsgegenstandes „Mathematik“ 17 Bildungsstandards für „Mathematik“ 4. Schulstufe

20 Aufgabenbeispiele

20 Vorbemerkungen 21 Erläuterungen zur Struktur der Aufgabenbeispiele 22 Aufgabenbeispiel 1 - Runden 26 Aufgabenbeispiel 2 - Flächeninhalt 33 Aufgabenbeispiel 3 - Überschlag 38 Aufgabenbeispiel 4 - Gewichte I 42 Aufgabenbeispiel 5 - Gewichte II 46 Aufgabenbeispiel 6 - Rätsel 52 Aufgabenbeispiel 7 - Zahlen darstellen 57 Aufgabenbeispiel 8 - Zahlbeziehungen 61 Aufgabenbeispiel 9 - Symmetrische Figuren 66 Aufgabenbeispiel 10 - Kopfrechnen 73 Aufgabenbeispiel 11 - Längenmaße 79 Aufgabenbeispiel 12 - Zeitmaße 83 Aufgabenbeispiel 13 - Bruchzahlen 90 Aufgabenbeispiel 14 - Würfel 98 Aufgabenbeispiel 15 - Umfang 108 Aufgabenbeispiel 16 - Schriftliches Rechnen 118 Aufgabenbeispiel 17 - Tabellen und Diagramme 126 Aufgabenbeispiel 18 - Relationen 132 Aufgabenbeispiel 19 - Vorteilhaftes Rechnen 140 Aufgabenbeispiel 20 - Sachaufgaben

151 Diagnoseinstrumente zur Informellen Kompetenzmessung (IKM)

154 Anhang

154 Glossar 163 Rechtliche Grundlagen 171 Literaturempfehlungen 171 Abkürzungen

Vorwort

Die Qualität an unseren Schulen zu sichern und kontinuierlich weiterzuent- wickeln, ist ein wichtiges Anliegen. Die Bildungsstandards als Konkretisierungen des Lehrplans sollen dazu beitragen, dieses Ziel zu erreichen, indem Schüle-rinnen und Schüler jene Kompetenzen erwerben können, die sie als Grund-lage für ihren weiteren Lernprozess benötigen. Die Schaffung und Sicherung der entsprechenden Rahmenbedingungen für den Unterricht sind dafür eine wesentliche Voraussetzung.

Die Aufgabensammlungen zu den Bildungsstandards für Deutsch und Mathematik auf der vierten Schulstufe wurden von engagierten Lehrerinnen und Lehrern in der Pilotphase in ganz Österreich erprobt und auf deren Taug-lichkeit für den Schulalltag überprüft. Die Rückmeldungen aus der Schulpraxis wurden von den Expertinnen und Experten, die die Bildungsstandards erstellt haben, in die nunmehr vorliegende Version eingearbeitet.

Die Aufgabenbeispiele dienen zur Veranschaulichung und praktischen Um-setzung der Bildungsstandards für Deutsch und Mathematik. Sie bieten damit Lehrerinnen und Lehrern ein Werkzeug zur Sicherung der Unterrichtsqualität und eröffnen den Schülerinnen und Schülern erfolgreiche Lernwege.

Dr. Claudia SchmiedBundesministerin für Unterricht, Kunst und Kultur

4 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe

Vorbemerkungen

Die Entwicklung der Bildungsstandards erfolgte vor dem Hintergrund der besonderen pädagogischen Aufgaben der Grundschule mit dem Ziel, sowohl den individuellen Bildungs-ansprüchen der Kinder gerecht zu werden als auch tragfähige Grundlagen für das weitere Lernen zu schaffen. Diese doppelte Aufgabe wird durch Bandbreiten der Zielerreichung bewältigt. Gleichzeitig wird großer Wert darauf gelegt, dass auch die dafür nötigen Rahmen-bedingungen des Unterrichts genau beschrieben werden, um den Schülerinnen und Schülern faire Chancen zu geben, diese Leistungen auch tatsächlich erbringen zu können.

Es bedarf keiner besonderen Erwähnung, dass der Lehrplan die Grundlage für die Bildungs-standards darstellt und die Bedeutung der Lehrpläne für die Planung und Gestaltung des Unterrichts durch die Bildungsstandards nicht verringert wird.

Die vorliegenden Bildungsstandards dienen der Orientierung und sollen darauf Antwort geben, in welchem Ausmaß Kompetenzen bereits vorliegen bzw. in welchen Bereichen noch Hand-lungsbedarf besteht. Unter Hinweis auf die derzeitige Rechtslage ist ausdrücklich zu betonen, dass Bildungsstandards nicht zur Leistungsbeurteilung herangezogen werden dürfen.

Sie finden in diesem Praxishandbuch einleitende Hinweise, die Kompetenzbereiche und die Bildungsstandards zu Mathematik. Die jeweils angeführten Aufgabenbeispiele veranschau-lichen exemplarisch einzelne Bildungsstandards, stellen jedoch keine Testitems dar. Die Aufgabenbeispiele zeigen, in welchem Zusammenhang bzw. in welchen unterrichtlichen Situationen die Kinder die entsprechenden Aufgaben erfüllen sollen. Sie erheben jedoch keineswegs den Anspruch, den gesamten Bereich des Unterrichtsgegenstandes „Mathematik“ abzubilden.

Dieses Praxishandbuch soll dazu beitragen, die Unterrichtsarbeit während der gesamten Grundschulzeit zu unterstützen, die Qualität des Unterrichts zu sichern und es soll dazu anleiten, die Kompetenzen der Kinder aufzubauen, zu erweitern und nachhaltig zu sichern.

Willi WolfLeiter der Abteilung für Volksschulen und Minderheitenschulen, BMUKK

Mathematik 5

Die gesetzliche Verankerung der Bildungsstandards im § 17 des Schulunterrichtsgesetzes und die Verordnung zu den Bildungsstandards legen Ergebnisorientierung, nachhaltigen Kompetenzaufbau und gezielte individuelle Förderung als verpflichtende Unterrichtsprinzi-pien fest.

Das Wiener Zentrum des Bundesinstituts für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens (BIFIE) hat den gesetzlichen Auftrag, die Implementie-rung der Bildungsstandards zu unterstützen. Dies geschieht in vielfältiger Weise – durch Ent-wickeln von Konzepten und Strategien zur Umsetzung, durch Publikationen von Materialien etc.

Das vorliegende Praxishandbuch zu den Bildungsstandards auf der 4. Schulstufe stellt eine solche Unterstützungsmaßnahme für die Lehrer/innen dar und soll sie auf dem Weg zu einem kompetenzorientierten Unterricht hilfreich begleiten.

LSI Mag. Gabriele Friedl-LucyshynLeiterin des BIFIE Wien I Zentrum für Innovation & Qualitätsentwicklung

Zur Implementierung der Bildungsstandards


Der Beitrag des Unterrichtsgegenstandes „Mathematik“ zur Bildung

Die Grundschule ist der pädagogische Ort für die Grund-legung der Bildung, um wichtige Voraussetzungen für die Teilhabe am kulturellen und gesellschaftlichen Leben zu ent-wickeln. Mit Blick auf ihre Gegenwart sollen die Kinder in der Grundschule lernen, ihre Umwelt besser zu verstehen und in ihr handlungsfähig zu werden. Im Hinblick auf ihre Zukunft wiederum gilt es, jene Kompetenzen aufzubauen, die als Grundlage für anschließende bzw. spätere Lernpro-zesse dienen.

Um diesen Ansprüchen gerecht zu werden, trägt der Unter-richtsgegenstand „Mathematik“ Folgendes zur Bildung der Schüler/innen bei:

Mathematik als Mittel zum Erfassen und Beschreiben der Umwelt

Mit Hilfe der Mathematik erschließen Schüler/innen ihre wahrgenommene Welt unter der strukturierten Sichtweise von Zahl, Maß und geometrischer Form. Vergleichen, Zählen, Rechnen, Messen und Zeichnen sind einige der grundle-genden Tätigkeiten, die in allen Kulturen entwickelt werden. Sie sind das Rüstzeug für eine vertiefende Auseinanderset-zung mit den Phänomenen unserer Umwelt.

Für den Unterricht bedeutet das, Gelegenheiten zu schaf-fen, in unterschiedlichsten Situationen die Notwendigkeit dieser Tätigkeiten zu erleben, die Freude am Finden von geeigneten Ergebnissen zu ermöglichen und den Aspekt der Nützlichkeit erleben zu lassen. Sinnvolle Verknüpfungen zu anderen Gegenständen, wie z. B. zum Sachunterricht oder zum Technischen Werken, sind dabei naheliegend und werden für den Mathematikunterricht genützt.

Mathematik als Mittel zum Aufbau regelhafter Strukturen

Mathematisches Handeln basiert auf dem Erkunden von Zusammenhängen, auf dem Entwickeln und Untersuchen von Strukturen sowie auf dem Streben nach Abstraktion und Verallgemeinerung. Schüler/innen lernen die Zeichen der Mathematik als eigene Sprache und als ein Regel- system kennen. Sie erfahren in der Auseinandersetzung mit Zahlen, Rechenoperationen und geometrischen Figuren die Notwendigkeit von tragfähigen Begriffen und Regeln. Neben dem Erwerb von Grundvorstellungen mathematischer In-halte ist auch das Automatisieren von Grundaufgaben und Algorithmen ein notwendiger Aspekt des Mathematikunter-richts der Grundschule.

Für den Unterricht bedeutet das, dass Schüler/innen durch vielfältige Tätigkeiten Zusammenhänge und Strukturen er-kennen, Beziehungen zwischen Begriffen und Regeln auf-decken und dafür eigene Vorgehensweisen finden. Um über gesicherte Grundkenntnisse zu verfügen, bedarf es motivie-render und vielfältiger Übungsformen.

Mathematik als Schulung des Denkens

Kritisches Denken und Analysieren von Problemen sind für die Lebensbewältigung unumgängliche Grundhaltungen. Schüler/innen entwickeln Problemlösekompetenz, indem sie mathematische Problemstellungen bearbeiten. Sie ver-gleichen und bewerten Aussagen, reflektieren Lösungswege, beurteilen Ergebnisse und lernen, die Folgewirkungen ihrer Entscheidungen abzuschätzen.

Für den Unterricht bedeutet das, Mathematik als Tätig-keit zu betreiben, Schüler/innen als Forscher/innen in die Mathematik eindringen zu lassen sowie ihre Neugierde und Entdeckungsfreude zu erhalten und nicht „fertige“ Mathe-matik zu vermitteln. Es hängt nicht nur davon ab, welche Inhalte unterrichtet werden, sondern mindestens ebenso davon, wie sie unterrichtet werden, das heißt, in welchem Maße Kindern Gelegenheit gegeben wird, selbst Probleme zu lösen, über Mathematik zu kommunizieren, eigene Lö-sungswege zu suchen und aus Fehlern zu lernen. Fehler und Missverständnisse, die im Laufe des Lösungsprozes-ses auftreten, werden zum Ausgangspunkt für noch tieferes Verständnis.

Mathematische Leistung umfasst daher nicht nur das nieder-geschriebene Resultat oder die mündliche Bekanntgabe des Ergebnisses, sondern auch den Prozess des Lösens.

Für die Umsetzung dieses Anspruchs sind allgemeine mathematische Kompetenzen erforderlich. Diese beziehen sich eher auf Mathematik als Tätigkeit und sind daher pro-zessorientiert. Inhaltliche Handlungskompetenzen orientie-ren sich eher an den spezifischen Gegenstandsbereichen und Sachverhalten der Mathematik.

Mathematik 7

Kompetenzbereiche des Unterrichtsgegenstandes „Mathematik“

Unter „mathematische Kompetenzen“ werden in diesem Zusammenhang kognitive Fähigkeiten, kognitive Fertigkei-ten und die Bereitschaft, sich mit mathematischen Inhalten auseinanderzusetzen, verstanden.

Mathematische Kompetenzen beinhalten zwei Komponenten:

- Allgemeine mathematische Kompetenzen- Inhaltliche mathematische Kompetenzen

Allgemeine mathematische Kompetenzen beziehen sich auf den Prozess, inhaltliche mathematische Kompetenzen auf Inhalte. Diese beiden Komponenten sind untrennbar mitein-ander verknüpft, weil für die Lösung einer mathematischen Aufgabenstellung beide Komponenten benötigt werden.

Die untenstehende Grafik bietet einen Überblick über die Kompetenzbereiche, die auf den nächsten Seiten näher er-läutert werden.

Operieren Kommunizieren

Modellieren Problemlösen

Arbeiten mit Ebene und Raum

Arbeiten mit Zahlen

Arbeiten mit Operationen Arbeiten mit Größen

Kompetenzbereiche

Allgemeine mathematischeKompetenzen

Inhaltliche mathematischeKompetenzen


Allgemeine mathematische Kompetenzen (AK)

Allgemeine mathematische Kompetenzen zeigen sich in der lebendigen Auseinandersetzung mit der Mathematik. Es handelt sich um prozessbezogene Kompetenzen, die Schüler/innen in der Auseinandersetzung mit mathemati-schen Inhalten erwerben. Die angeführten Kompetenzen beschreiben Handlungen, die für die Bearbeitung und Nutzung der inhaltlichen Teilbereiche notwendig sind.

AK 1 Modellieren

Umfasst die Kompetenz, eine Sachsituation in ein mathe-matisches Modell zu übertragen. Dazu ist es erforderlich, den mathematischen Stellenwert eines Problems zu erken-nen, die benötigten Daten zu sichten und einen geeigneten Lösungsweg zu finden. Das Ergebnis ist im Hinblick auf die Sachsituation zu interpretieren und auf seine Gültigkeit zu überprüfen.

AK 2 Operieren

Umfasst die Kompetenz, Verfahren, die für die Lösung eines mathematischen Problems zielführend sind, anzuwenden, wie z. B. fachspezifische Zeichen zu verwenden und mit Gleichungen und Termen zu arbeiten.

AK 3 Kommunizieren

Umfasst die Kompetenz, mathematische Sachverhalte zu verbalisieren, zu begründen und darzustellen.

AK 4 Problemlösen

Umfasst die Kompetenz, besonders im innermathemati-schen Bereich Probleme zu erkennen und anzunehmen sowie Strategien zu (er)finden und zu nutzen, um Aufga-benstellungen zu lösen.

In den folgenden Ausführungen werden die allgemeinen mathematischen Kompetenzen näher beschrieben und die notwendigen Rahmen- und Lernbedingungen angeführt.

Mathematik 9

ad AK 1: Modellieren

Beim Modellieren stehen Schüler/innen vor der Situation, Mathematik auf eine konkrete Aufgabenstellung der Erfah-rungsumwelt anzuwenden.

Die Fähigkeit des Modellierens ist ein individueller, zykli-scher Konstruktionsprozess, der von den Schülerinnen und Schülern weitgehend autonom in der Auseinandersetzung

mit Sachproblemen zu leisten ist. Die Grafik veranschaulicht den Ablauf des zyklischen Konstruktionsprozesses, der un-ter Umständen mehrmals durchlaufen werden muss.

Das Sachproblem bezieht sich auf die reale Welt. Es kann real sein oder durch ein Bild, einen Text usw. aus der Welt des Kindes repräsentiert werden.

Individuelles Konstruieren, AbstrahierenAusgehend von einem fiktiven oder realen Sachproblem wird mit Hilfe eigener Erfahrungen bzw. entsprechender Denkstrategien das Problem erfasst. Dieses konstruiert jede Schülerin bzw. jeder Schüler für sich selbst neu, es entsteht ein Situationsmodell (individuelles Kons-truieren). Dabei kann auf unwichtige Details verzichtet werden (Abstrahieren).

Das Situationsmodell ist die Sichtweise des Kindes, wie es das Sachproblem auffasst. Dabei kann es auf bekannte

Strukturen, wie z. B. die Struktur „Preis – gegebenes Geld – Rückgeld“, zurückgreifen oder es müssen neue gebildet werden.

Mathematisieren, Abstrahieren, IdealisierenDarunter versteht man eine mathematische Interpretation des konstruierten Situationsmodells. Das Situations-modell wird durch Weglassen von nicht strukturbilden-den Merkmalen (Abstrahieren) bzw. durch Hinzufügen oder Annehmen von Merkmalen (Idealisieren) in ein mathematisches Modell übergeführt. Dabei wird mathematisch Relevantes herausgelöst (Mathematisieren), z. B. durch Messen, Zählen, Schätzen, Finden der passenden Rechenoperation, Finden von möglichen Lösungswegen usw.

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Bei eingekleideten Aufgaben ist das Modell bereits in der Aufgabenstellung vorgegeben. Bei Textaufgaben gibt es die Möglichkeit, die Aufgabe entweder durch ein den Schülerinnen und Schülern bekanntes Modell zu lösen oder eine neue Lösungsstrategie zu finden.

Im mathematischen Modell wird das Sachproblem mit Hilfe mathematischer Zeichen festgehalten. Die Darstellung kann in Form einer Gleichung („Rechensätzchen“), eines Rechenplans, einer Grafik oder durch individuelles Doku-mentieren der Rechenschritte erfolgen.

Verarbeiten, Rechnen, KonstruierenMittels mathematischer Verfahren (schriftliches Rechnen, Kopfrechnen, Konstruktion …) wird eine Lösung des mathematischen Modells erarbeitet.

Die Lösung ist das Ergebnis dieser mathematischen Trans-formation.

Interpretieren, ValidierenDie aus dem Verarbeiten gewonnenen Ergebnisse werden mit der realen Situation in Zusammenhang gebracht (z. B. passende Antwort, genaue Zeichnung …) und auf ihre Plausibilität überprüft.Weiters soll ein Rückblick auf den gewählten Lösungsweg erfolgen, ob dieser zielführend war (z. B. Verbalisieren, Argumentieren des Lösungsweges …).

Den Kindern

� altersadäquate Sachsituationen anbieten – wenn mög-lich von echten statt von konstruierten Sachsituationen ausgehen,

� Zeit geben, sachbezogene Fragen zu stellen, � die Möglichkeit geben, eigene Sichtweisen und Lö-

sungswege zu entwickeln, � in verschiedenen Darstellungsebenen Operationsstruk-

turen anbieten, um die Grundvorstellungen von Rechen-operationen zu sichern,

� den Vergleich der Ergebnisse mit den zuvor durchge-führten Überschlagsrechnungen als Vorteil aufzeigen,

� nachhaltig bewusst machen, dass sie die Ergebnisse in Bezug auf ihre Gültigkeit zur Sachsituation hin überprü-fen sollen,

Rahmen- und Lernbedingungen

� Gelegenheiten eröffnen, ihren individuellen Lösungsweg schriftlich festzuhalten,

� bei Problemen passende Bearbeitungshilfen anbieten, die den Prozess des Sachrechnens unterstützen.

Während des gesamten Prozessablaufes sollen die Kinder aufgefordert werden, ihre Lösungsstrategien zu verbalisie-ren. Diese sprachliche Auseinandersetzung schafft Klarheit.

Divergente Denkweisen werden z. B. in Strategiekonferen-zen bewusst gemacht.

Mathematik 11

Um mathematische Sachverhalte zu bearbeiten, müssen die Kinder aus unterschiedlichen Verfahren das passende auswählen und korrekt durchführen können.

Dies kann erfolgen durch: geometrisches Konstruieren, kon-kretes Tun, Anwenden algorithmischer Verfahren, Probieren, Kopfrechnen, grafisches Darstellen von Lösungen ...

ad AK 2: Operieren

Das Durchführen unterschiedlicher Verarbeitungsmög-lichkeiten soll im Unterricht ermöglicht werden (z. B.: Probieren, systematisches Vorgehen, Lösen von Glei-chungen, Durchführen algorithmischer Verfahren …).

Grundlegende Verfahren müssen gesichert werden.Es muss genügend Übungszeit für die Kinder eingeplant werden, damit sie

� die additiven und multiplikativen Grundaufgaben im mündlichen Bereich schnell und sicher beherrschen und

� die Durchführung der schriftlichen Rechenverfahren automatisieren.

Aufgaben sind so zu gruppieren, dass verschiedene Denkmuster und Lösungsstrukturen gefordert werden.Innerhalb eines Aufgabenblockes sollten mindestens zwei Denkmuster vorkommen. Das Üben unter Ausschaltung


des Denkens, wie dies vielfach in Aufgabenblöcken pro-voziert wird, kann dazu führen, dass das mathematische Verständnis gänzlich verschüttet wird und nur noch das un-verstandene Arbeiten von Routinen stattfindet.

Der sachgerechte Umgang mit Zeichen- und Messgerä-ten muss gesichert sein.Mit Hilfe von Lineal und Geodreieck können die Kinder millimetergenau messen, parallele Geraden und rechte Win-kel zeichnen. Die korrekte Handhabung von Messgeräten, wie z. B. Waagen oder Uhren, tragen zum vertiefenden Ver-ständnis von Größen bei.


nachzudenken. Durch schlüssiges Argumentieren sollen sie ihre Aussagen und Handlungsweisen begründen.

Darstellenist das Übertragen mathematischer Inhalte in eine andere Form der Repräsentation. Für das Bearbeiten mathemati-scher Aufgabenstellungen sollen geeignete Repräsentati-onsformen erstellt, ausgewählt und genutzt werden. Dar-stellen bedeutet auch das verständige Umgehen mit bereits vorgegebenen Repräsentationen. Darstellen hat die Funk-tion, den Sachverhalt anderen mitzuteilen oder so festzu-halten, dass man sich später an ihn erinnert. Neben den grafischen Darstellungen (Diagramme, Abbildungen, Fotos, Skizzen, statistische Schaubilder …) sind weitere Darstel-lungsmöglichkeiten, wie z. B. Tabellen, Listen, sprachliche Darstellungen bzw. Handlungen und Gesten, von Bedeu-tung.

Kommunikation und Interaktionen – auch zwischen den Mitschülerinnen und Mitschülern – helfen den Kindern, Wis-sen aufzubauen, andere Denkweisen kennen zu lernen und sich über das eigene Denken klar zu werden.

Kommunizierenist eine mathematische Grundtätigkeit, wenn Mathematik als ein System von Kommunikationssymbolen verstanden wird. Dazu gehört, eigene Gedanken und Lösungswege zu verbalisieren, zu protokollieren, Sachverhalte auf verschie-dene Weise darzustellen und mit anderen zu erörtern.

Argumentierenist die Angabe von Aspekten, die für oder gegen eine bestimmte Sichtweise/Entscheidung sprechen. Durch Infrage- stellen und Überprüfen ihrer mathematischen Tätigkeiten und Aussagen werden Kinder angeregt, über ihr Vorgehen

ad AK 3: Kommunizieren

Mathematik 13


Den Kindern sind Unterrichtsformen anzubieten, die Fragen aufwerfen, Gespräche begünstigen und Erklä-rungen verlangen.Nur ein Mathematikunterricht, der Fragen aufkommen lässt und die Schüler/innen zum Fragen und Vermuten anregt, bevor Antworten gegeben werden, trägt zu echtem Ver-ständnis von Mathematik bei. Es macht keinen Sinn, den Lernenden Antworten auf Fragen zu geben, die sie sich nie gestellt haben.

Im Unterricht ist sowohl auf standardsprachliches Sprechen als auch auf die korrekte Verwendung der Fachbegriffe zu achten.Das Erlernen und Anwenden der Fachsprache der Mathe-matik erfordert entsprechende Unterrichtssituationen. In diesen wird Alltagssprache mit mathematischer Sprache und Symbolik in Verbindung gesetzt. Das sachgerechte Formulieren eines mathematischen Zusammenhanges mit eigenen Worten trägt zum vertiefenden Verständnis des Unterrichtsgegenstandes bei.

Das Verwenden von geeigneten Veranschaulichungs-mitteln, die ein Kommunizieren über mathematische Strukturen ermöglichen, ist notwendig.Da Kindern oft die passenden Worte fehlen, um ihre Denk-weise auszudrücken, müssen geeignete Veranschau-lichungsmittel zur Verfügung stehen. Für Kinder ist es er-leichternd und hilfreich, anfangs für häufig verwendete Strategien und Lösungswege individuell vereinbarte Zei-chen und Namen zu verwenden. Diese sollen im Laufe der Zeit in eine Fachsprache übergeführt werden.

Legen, Beschreiben (verbal/schriftlich) und Zeichnen von Mustern und Beziehungen unterstützen das Analy-sieren von mathematischen Situationen.Sowohl in der Arithmetik als auch in der Geometrie können Kinder viele Aufgaben selbst erfinden oder durch Vorlegen, Beschreiben oder Aufzeichnen einander Aufgaben stellen.

Auch Schreiben und Protokollieren sind Kommunika-tionsformen, die im Mathematikunterricht der Grund-schule regelmäßig von den Kindern durchgeführt werden müssen.Eigene Lösungsversuche mündlich oder schriftlich festzu-halten heißt, sich reflektierend mit der gestellten Problema-tik auseinanderzusetzen (Metaebene). Weiters ermöglichen schriftliche Dokumentationen einen zeitunabhängigen Ein-

blick in die Denkwege und damit die Möglichkeit, sich mit Aspekten auseinanderzusetzen, die ohne schriftliche Fixie-rung vielleicht verloren gegangen wären.

Die Kinder sollen erkennen, dass Präsentieren, Disku-tieren, Lesen, Schreiben und Zuhören in der Mathema-tik ein notwendiger Teil des Lernens und Nutzens der Mathematik sind.Durch entsprechende Techniken wie etwa „Strategieplakate“ (als Ergebnis von Strategiekonferenzen), „Notationen der Lernwege“ oder „Rechentagebücher“ können Denkweisen für Kinder und Lehrer/innen sichtbar gemacht werden.

Fehler sind Bestandteile des Lernprozesses und bieten Anlässe zur Reflexion der eigenen Denkstrategien.Fehler sind unumgängliche Begleiterscheinungen des Ler-nens und können darüber hinaus vielfach positiv genutzt werden. Vorerst gilt es eine Atmosphäre zu schaffen, in der Schüler/innen offen, ehrlich und produktiv mit den eigenen Fehlern umgehen lernen. Sie brauchen einen Schonraum, in dem sie angstfrei Lösungsstrategien ausprobieren und auch Fehler machen dürfen. Dabei ist es wichtig, Situati-onen zu schaffen und zu nutzen, in denen der Verlauf des Lernens transparent wird. Nur so können die Kinder erken-nen, dass Einsicht in Vorgänge zu haben wichtiger ist als das Streben, Fehler zu vermeiden. Das kann geschehen durch eine Diskussion im Klassenverband oder in Gruppen, in der die günstigen und weniger günstigen Lösungswege thematisiert werden. Aber auch ein klärendes Gespräch zwischen Lehrenden und Lernenden sollte im Sinne des „Schonraumes“ stattfinden. Beim Vergleich von Lösungs-strategien entstehen Situationen, bei denen Kinder die ei-genen und die Denkstrategien anderer durchschauen und auch neue zielführende Lösungswege finden. Außerdem unterstützt das Nachdenken, Reden und Reflektieren über den Lösungsweg und die eventuell entstandenen Fehler Schüler/innen beim tieferen Durchdringen des mathemati-schen Sachverhalts.


ad AK 4: Problemlösen

� selbstkritischen Umgang mit den eigenen Ergebnissen und

� Verarbeiten sachgerechter Kritik anderer.

Ein problemorientiertes Herangehen erfordert von den Schülerinnen und Schülern einen kritischen Umgang mit den Lösungswegen und Ergebnissen. Fehler zu machen, sie zu finden und über sie zu reflektieren sind als notwendi-ge Teile des Problemlösungsprozesses und als Chance für das Lernen zu sehen.

Obwohl zeitintensiv, liegt der Vorzug problemorientierten Lernens darin, dass das neu Gelernte mit dem vorhande-nen Wissen verknüpft wird, um nachhaltig Strukturen auf-zubauen. Damit wird nicht nur dem Vergessen vorgebeugt, sondern es wird ermöglicht, dieses Wissen zukünftig abru-fen und anwenden zu können.

Setzen sich die Schüler/innen ohne anfängliche Hilfe von außen mit dem Problem auseinander, erzieht diese Vorge-hensweise zur Selbstständigkeit und bedingt nahezu auto-matisch unterschiedliche Lösungswege in Bezug auf Qua-lität und Quantität.

Wichtig: Der Wert des Prozesses des Problemlösens soll genauso geschätzt werden wie die Lösung selbst.

Ein Problem ist keine objektive Gegebenheit, sondern ent-steht, wenn jemand ein Ziel kennt und nicht weiß, wie er dieses Ziel erreichen soll. Konkret hängt es vom Wissens-stand eines Kindes ab, ob es die Aufgabe nach einem be-kannten Schema abarbeiten kann oder ob es notwendig ist, einen für das Kind neuen Lösungsweg zu finden.

Der Bereich AK 4 „Problemlösen“1 deckt Probleme im inner-mathematischen Bereich ab. Darunter werden Inhalte aus der Arithmetik und Geometrie ohne direkten Realitätsbezug verstanden. Hingegen sind im Bereich AK 1 „Modellieren“2, in dem ebenfalls problemhaltige Situationen auftreten, im-mer Realitätsbezüge gegeben.

Problemlösungsaktivitäten bestehen aus Tätigkeiten wie Vermuten, Probieren, systematisches Durchforsten, Erken-nen von Zusammenhängen oder Anlegen von Tabellen, um sich schrittweise einer Lösung zu nähern. Um Antworten auf die gestellten Fragen zu bekommen, ist es für das ein-zelne Kind notwendig, den Weg zu einer Lösung aktiv zu finden. Die Lösungswege und gefundenen Lösungen sind kritisch zu hinterfragen und gegebenenfalls zu ändern.

Nicht immer muss die Problemstellung von der Lehrperson kommen. Kinder sind dazu auch selbst in der Lage. Dabei setzen sie sich mit der Problemsituation genauer ausein-ander und bewerten, ob eine Frage interessant und verfol-genswert erscheint. Es ist für die Kinder reizvoller, ein selbst gestelltes Problem und nicht ein vorgegebenes zu lösen.

Eine wesentliche Bedingung für das Lösen von mathemati-schen Problemen ist das Vertrauen in die eigene Leistungs-fähigkeit. Dies wird benötigt beim

� Durchhalten und Bewältigen von schwierigen Auf- gabensituationen,

� Suchen alternativer Lösungswege,

1 Problemlösen (AK 4): Arbeit in innermathematischen Situationen (keine Realitätsbezüge)2 Modellieren (AK 1): Arbeit in außermathematischen Kontexten (Realitätsbezüge)

Mathematik 15


Den Kindern wird eine problemhaltige Situation ange-boten. Der Sachverhalt wird – begleitet durch die Lehrerin/den Lehrer – ausreichend geklärt. Schriftlich fixierte Informatio-nen und unterschiedliche Materialien können das Verständ-nis des Sachverhalts unterstützen. Diese Klärung kann im Plenum, in der Kleingruppe oder in Einzelarbeit erfolgen.

Die Kinder erkennen ein Problem.Das Problem kann genau definiert oder offen sein. Ist das Problem offen, sollen Kinder selbst zu eigenen Fragestellun-gen kommen.

Die Kinder lassen sich auf einen Lösungsprozess ein.Nach der prinzipiellen Klärung der geforderten Problemstel-lung bzw. des Themenbereichs muss viel Zeit zum Explorie-ren und zum kreativen Bearbeiten gegeben werden, auch wenn sich vielleicht aus Sicht der Lehrerin/des Lehrers Irr- oder Umwege ergeben. Bei der Beschäftigung mit solchen Fragen entwickeln Kinder individuelle Lösungsansätze, die

(innerhalb der Gruppe) diskutiert werden können. Jedes Kind notiert seinen bevorzugten Lösungsweg. Die Lehrerin/ der Lehrer bietet von sich aus keine Lösungsstrategien an. Sie/er lässt alle Problemlösungsansätze zu.

Die Kinder stellen ihre Arbeitsergebnisse vor.Ein Unterrichtsgespräch im Klassenverband ergibt sich erst nach der eigenständigen Arbeit. Dieses Gespräch lenkt zwar meist die Lehrperson, die Schüler/innen sind aber inzwischen kompetente Partner/innen bezüglich des ge-stellten Problems geworden und können den Erklärungen und Diskussionsbeiträgen mit größerem Verständnis folgen. Die Lösungswege und Ergebnisse werden in der Gruppe reflektiert und vervollständigt, wobei besonders die Prob-lemlösungskompetenzen und die unterschiedlichen Wege des Denkens der einzelnen Kinder deutlich gemacht werden sollten (Strategiekonferenz/Strategieplakat).


Inhaltliche mathematische Kompetenzen (IK)

Verknüpfung der allgemeinen und inhaltlichen mathematischen Kom-petenzen

Inhaltliche mathematische Kompetenzen beschreiben die Gegenstandsbereiche der Mathematik, wie sie im Lehrplan verankert sind.

IK 1 Arbeiten mit Zahlen

Umfasst die Kompetenz, Darstellungen von Zahlen und Be-ziehungen zwischen den Zahlen zu erkennen, anzuwenden und zu verbalisieren.

IK 2 Arbeiten mit Operationen

Umfasst die Kompetenz, Operationen und ihre Zusammen-hänge zu verstehen und mündliches und schriftliches Rech-nen sicher zu beherrschen.

Alle vier allgemeinen mathematischen Kompetenzen kön-nen mit allen vier inhaltlichen mathematischen Kompeten-zen verknüpft werden, so dass insgesamt sechzehn Knotenentstehen.

In jeder Aufgabe ist ein Potenzial mit allgemeinen und in-haltlichen Kompetenzen enthalten. Die folgende Grafik zeigt den Knoten AK 3 / IK 2, der die Bereiche

� AK 3 „Kommunizieren“ mit � IK 2 „Arbeiten mit Operationen“ verknüpft.

IK 3 Arbeiten mit Größen

Umfasst die Kompetenz, brauchbare Vorstellungen von Größen zu besitzen, geeignete Maßeinheiten zum Messen zu verwenden und mit Größen zu rechnen.

IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum

Umfasst die Kompetenz, räumliches Vorstellungsvermögen zu nutzen, geometrische Figuren zu erkennen, mit den geo-metrischen Figuren zu operieren, Beziehungen zwischen den Figuren herzustellen und diese zu vermessen.

Inhaltliche Kompetenzen

Allgemeine Kompetenzen

IK 1

IK 2

IK 3

IK 4

AK 1AK 2

AK 3AK 4

IK 1: Arbeiten mit Zahlen AK 1: Modellieren

IK 2: Arbeiten mit Operationen AK 2: Operieren

IK 3: Arbeiten mit Größen AK 3: Kommunizieren

IK 4: Arbeiten mit Ebene und Raum AK 4: Problemlösen

Mathematik 17

Bildungsstandards für „Mathematik“ 4. Schulstufe

Allgemeine mathematische Kompetenzen (AK)

Kompetenzbereich: Modellieren (AK 1)

1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen, � passende Lösungswege finden, � die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen.

1.2 Ein mathematisches Modell in eine Sachsituation übertragenKompetenz:Die Schülerinnen und Schüler können

� zu Termen und Gleichungen Sachaufgaben erstellen.

Kompetenzbereich: Operieren (AK 2)

2.1 Mathematische Abläufe durchführenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren, � arithmetische Operationen und Verfahren durchführen, � geometrische Konstruktionen durchführen.

2.2 Mit Tabellen und Grafiken arbeitenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� Tabellen und Grafiken erstellen, � Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen.

Kompetenzbereich: Kommunizieren (AK 3)

3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� mathematische Begriffe und Zeichen sachgerecht in Wort und Schrift benützen,

� ihre Vorgangsweisen beschreiben und protokollieren, � Lösungswege vergleichen und ihre Aussagen und

Handlungsweisen begründen.

3.2 Mathematische Sachverhalte in unterschiedlichen Repräsentationsformen darstellenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� ihre Vorgangsweisen in geeigneten Repräsentationsfor-men festhalten,

� Zeichnungen und Diagramme erstellen.

Kompetenzbereich: Problemlösen (AK 4)

4.1 Mathematisch relevante Fragen stellenKompetenz:Die Schülerinnen und Schüler können

� ein innermathematisches Problem erkennen und dazu relevante Fragen stellen.

4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� geeignete Lösungsaktivitäten wie Vermuten, Probieren, Anlegen von Tabellen oder Erstellen von Skizzen anwen-den,

� zielführende Denkstrategien wie systematisches Probie-ren oder Nutzen von Analogien einsetzen.

Inhaltliche mathematische Kompetenzen (IK)

Kompetenzbereich: Arbeiten mit Zahlen (IK 1)

1.1 Zahldarstellungen und -beziehungen verstehen Kompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� Zahlen im Zahlenraum 100 000 lesen und darstellen, � sich im Zahlenraum 100 000 orientieren, Zahlen verglei-

chen und diese in Relation setzen, � arithmetische Muster erkennen, beschreiben und fort-

setzen.

1.2 Zahlen runden und Anzahlen schätzenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� Zahlen auf volle Zehner, Hunderter, … Zehntausender runden,

� Anzahlen schätzen.


Kompetenzbereich: Arbeiten mit Größen (IK 3)

3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler

� kennen genormte Maßeinheiten und können diese den Größenbereichen zuordnen,

� können geeignete Repräsentanten zu Maßeinheiten an-geben,

� können Größen in unterschiedlichen Schreibweisen dar-stellen.

3.2 Größen messen und schätzenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler

� beherrschen den Grundvorgang des Messens, � können mit geeigneten Maßeinheiten messen, � können Größen schätzen und ihre Vorgangsweise be-

gründen.

3.3 Mit Größen operierenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� Größen miteinander vergleichen, � mit Größen rechnen.

Kompetenzbereich: Arbeiten mit Ebene und Raum (IK 4)

4.1 Geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� geometrische Körper und Flächen benennen, � die Eigenschaften geometrischer Figuren beschreiben, � Modelle von geometrischen Körpern herstellen, � geometrische Figuren zeichnen oder konstruieren.

4.2 Beziehungen bei geometrischen Figuren erkennenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� Lagebeziehungen zwischen Objekten im Raum und in der Ebene beschreiben und nutzen,

� vorgegebene geometrische Muster erkennen, selbst entwickeln oder fortsetzen,

� den Zusammenhang zwischen Plan und Wirklichkeit herstellen.

1.3 Das Wesen der Bruchzahl verstehenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� Bruchzahlen darstellen, � Bruchzahlen vergleichen, ordnen und zerlegen, � Bruchzahlen im Zusammenhang mit Größen benützen.

Kompetenzbereich: Arbeiten mit Operationen (IK 2)

2.1 Die vier Grundrechnungsarten und ihre Zusam- menhänge verstehenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler

� verfügen über Einsicht in das Wesen von Rechenopera-tionen,

� können die Zusammenhänge zwischen den Grundrech-nungsarten erklären,

� können Umkehroperationen verwenden, auch zur sinn-vollen Überprüfung des Ergebnisses,

� können Tausch-, Nachbar- und Analogieaufgaben ver-wenden.

2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler

� beherrschen sicher und schnell additive Grundaufgaben im Zahlenraum 20,

� beherrschen sicher und schnell multiplikative Grundauf-gaben im Zahlenraum 100,

� können nichtautomatisierte Rechenoperationen in Teil-schritten durchführen,

� können einfache Gleichungen mit Platzhaltern lösen, � können Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlags-

rechnungen durchführen.

2.3 Schriftliche Rechenverfahren beherrschenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler

� verstehen die Algorithmen der schriftlichen Rechenver-fahren,

� können die Algorithmen der schriftlichen Verfahren für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durch-führen,

� können die Lösung mit Hilfe einer Probe überprüfen.

Mathematik 19

4.3 Mit geometrischen Figuren operierenKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� geometrische Figuren zerlegen und sie wieder zusam-mensetzen,

� Netze den entsprechenden Körpern zuordnen und um-gekehrt.

4.4 Umfang und Flächeninhalt ermittelnKompetenzen:Die Schülerinnen und Schüler können

� den Umfang einer geometrischen Figur mittels Einheits-längen messen,

� den Umfang von Rechteck und Quadrat berechnen, � den Flächeninhalt einer geometrischen Figur mittels Ein-

heitsflächen messen, � den Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat berechnen.


und das Ausführen von Routinetätigkeiten. Der Lösungs-weg besteht in der Regel aus einem Schritt.

Manche Aufgaben verlangen das Erkennen und Herstellen von Zusammenhängen, den selbstständigen kreativen Um-gang mit erworbenen mathematischen Kompetenzen bzw. oft auch komplexe Tätigkeiten, wie Strukturieren oder Ent-wickeln von Strategien. Der Lösungsweg umfasst in der Re-gel mehrere Schritte. Darüber hinaus kann es bei einzelnen Beispielen mehrere Lösungen bzw. Lösungsmöglichkeiten geben. Alle Lösungswege, die zu einem richtigen Ergebnis führen und mathematisch begründbar sind, sind zu akzep-tieren (außer es ist explizit die Anwendung einer bestimmten Methode für den Lösungsweg gefordert).

Die vorliegenden Aufgaben sind keine Testitems, wie sie in den regelmäßig stattfindenden Überprüfungen der Bil-dungsstandards eingesetzt werden.

Bei jedem Aufgabenbeispiel zeigt im Vorspann ein Raster, auf welche Bildungsstandards sich die jeweilige Aufgabe bezieht.

VorbemerkungenDie nachfolgenden Aufgabenbeispiele konkretisieren die Bildungsstandards und machen deutlich, welche Kompe-tenzen erforderlich sind, um sie zu erfüllen. Die Beispiele wurden von vielen Pilotschullehrerinnen und -lehrern in der Entwicklungsphase erprobt. Die Praktiker/innen brachten auch für die vorliegende Fassung wertvolle Anregungen und Verbesserungsvorschläge ein.

Die Aufgabenbeispiele decken exemplarisch einzelne Bil-dungsstandards ab. Sie verdeutlichen diese im Hinblick auf ihre Inhalte und stellen einen Orientierungsrahmen be-züglich Angemessenheit und Komplexität dar. Sie erheben nicht den Anspruch, den gesamten Lehrstoff der Mathematik der Grundschule zu erfassen. Sie sind als Denkanstöße für die Planung und Gestaltung des Unterrichts zu verste-hen. Je nach Fähigkeiten, Fertigkeiten und Wissensstand des Kindes ist es erforderlich, individuelle Unterstützung anzubieten.

Es gibt Aufgaben bzw. Teilaufgaben, die sich durch Repro-duzieren im Rahmen gelernter und geübter Verfahren lösen lassen. Das Lösen dieser Aufgaben erfordert Grundwissen

Aufgabenbeispiele

Mathematik 21

Erklärung

Titel/Thema RundenDer Titel bzw. das Thema charakterisiert einen Bereich der Grundschulmathematik. Zu diesem Themenbereich werden mögliche Beispiele angeboten.

KompetenzbereicheAK 2 – OperierenIK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 3 – Arbeiten mit Größen

Hier werden die allgemeinen mathematischen Kompe-tenzbereiche (AK) und die inhaltlichen mathematischen Kompetenzbereiche (IK) dem Themenbereich zugeordnet.

Anzahl der Aufgaben 6Hier wird angegeben, wie viele Aufgaben zu diesem Themenbereich angeführt sind.

Aufgaben 1, 2, 3, 5, 6Hier werden die jeweiligen Nummern der einzelnen Aufgaben angeführt.

AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. Den hier angeführten Aufgaben werden die zutreffenden

allgemeinen und inhaltlichen mathematischen Kompe-tenzen zugeordnet.IK 1 – Arbeiten mit Zahlen

IK 1.2 Zahlen runden und Anzahlen schätzenDie Schüler/innen können- Zahlen auf volle Zehner, Hunderter, ... Zehntausender runden.

Aufgabe ……..

Siehe oben.……..

……..

Hilfsmittel keineHier werden Hinweise auf Hilfsmittel, die zur Bearbeitung der Aufgabe erforderlich sind (Zeichengeräte, Materialien zur Veranschaulichung ...), gegeben.

AnmerkungenKomplexitätsstufen- niedriger: Aufgaben 1, 2, 3- höher: Aufgaben 4, 5, 6

Hier werden Hinweise zum Schwierigkeitsgrad der Auf-gaben bzw. zu den Komplexitätsstufen (niedriger, höher) gegeben.

Im ersten Block werden der Titel bzw. Themenbereich, die Kompetenzbereiche, die Anzahl der Aufgaben und in den folgenden Blöcken die einzelnen Aufgaben mit den Kompe-tenzen beschrieben.

Erläuterungen zur Struktur der Aufgabenbeispiele

22 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 1 – Runden

Aufgabenbeispiel 1

Titel/Thema Runden

KompetenzbereicheAK 2 – OperierenIK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 3 – Arbeiten mit Größen

Anzahl der Aufgaben 6

Aufgaben 1, 2, 3, 5, 6

AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- arithmetische Operationen und Verfahren durchführen.

IK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 1.2 Zahlen runden und Anzahlen schätzenDie Schüler/innen können- Zahlen auf volle Zehner, Hunderter, … Zehntausender runden.

Aufgabe 4


IK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 1.2 Zahlen runden und Anzahlen schätzenDie Schüler/innen können- Zahlen auf volle Zehner, Hunderter, … Zehntausender runden.IK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennenDie Schüler/innen- kennen genormte Maßeinheiten und können diese den Größenbereichen zuordnen.

Hilfsmittel keine


Aufgabenbeispiel 1 – Runden Mathematik 23Aufgabenbeispiele

1. Aufgabe:

Runde die Zahl 344 auf Zehner. Kreuze das richtige Ergebnis an.

340 350 300 400 343

2. Aufgabe:

Runde auf Hunderter.

542 ≈ 12 457 ≈

3 563 ≈ 79 980 ≈

3. Aufgabe:

Helmut hat eine Zahl auf Hunderter gerundet.Seine gerundete Zahl heißt nun: 7 500Welche der folgenden Zahlen könnte er gerundet haben?Kreise die möglichen Zahlen ein.

7 528 7 1997 469

7 560 7 4107 950

24 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 1 – Runden

4. Aufgabe

Berti hat hier seine Geldtasche ausgeleert.

a) Wie viel Geld hatte Berti in der Geldtasche? _______________

b) Runde den Betrag auf ganze Euro. _______________

5. Aufgabe:

Jutta rundet auf Tausender:

a) Schreib 5 Zahlen auf, die Jutta auf 15 000 runden kann.

______________________________________________________________

b) Schreib die größte Zahl, die Jutta auf 15 000 runden kann, auf.

______________________________________________________________

c) Schreib die kleinste Zahl, die Jutta auf 15 000 runden kann, auf.

______________________________________________________________

6. Aufgabe:

Erfinde eine Zahl, in der „sechzigtausend“ vorkommt, und runde sie.Schreib beide Zahlen auf.

___________________ ≈ ___________________

erfundene Zahl gerundete Zahl

Lösungen Aufgabenbeispiel 1 – Runden Mathematik 25

Lösungen:

1. Aufgabe: 340

2. Aufgabe:542 ≈ 500 12 457 ≈ 12 500

3 563 ≈ 3 600 79 980 ≈ 80 000

3. Aufgabe: 7 469, 7 528

4. Aufgabe:a) genauer Betrag: 3 € 98 c b) gerundeter Betrag: 4 €

5. Aufgabe:a) viele Möglichkeiten von 14 500 bis 15 499b) 15 499c) 14 500

6. Aufgabe: viele Möglichkeiten, z. B.:

Die Zahl 60 000 kann sowohl in der erfundenen Zahl als auch in der gerundeten Zahlaufscheinen.

60 000 ≈ 100 000

60 027 ≈ 60 000

63 427 ≈ 63 000

68 427 ≈ 68 430

68 427 ≈ 68 400

68 427 ≈ 68 000

68 427 ≈ 70 000








26 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 2 – Flächeninhalt

Aufgabenbeispiel 2

Titel/Thema Flächeninhalt

Kompetenzbereiche

AK 1 – ModellierenAK 2 – OperierenAK 3 – KommunizierenAK 4 – ProblemlösenIK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 4 – Arbeiten mit Ebene und Raum


Aufgabe 1

AK 3 – KommunizierenAK 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründenDie Schüler/innen können- ihre Vorgangsweisen beschreiben und protokollieren.

IK 4 – Arbeiten mit Ebene und RaumIK 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermittelnDie Schüler/innen können- den Flächeninhalt einer geometrischen Figur mittels Einheitsflächen messen.

Aufgabe 2

AK 1 – ModellierenAK 1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehenDie Schüler/innen können- aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen.AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- arithmetische Operationen und Verfahren durchführen.

IK 4 – Arbeiten mit Ebene und RaumIK 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermittelnDie Schüler/innen können- den Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat berechnen.

Aufgabe 3

AK 2 – OperierenAK 2.2 Mit Tabellen und Grafiken arbeitenDie Schüler/innen können- Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen.AK 4 – ProblemlösenAK 4.1 Mathematisch relevante Fragen stellenDie Schüler/innen können- ein innermathematisches Problem erkennen und dazu relevante Fragen stellen.

IK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 3.2 Größen messen und schätzenDie Schüler/innen können- mit geeigneten Maßeinheiten messen.IK 4 – Arbeiten mit Ebene und RaumIK 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermittelnDie Schüler/innen können- den Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat berechnen.

Aufgabenbeispiel 2 – Flächeninhalt Mathematik 27

Aufgabe 4

AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren.

IK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 3.2 Größen messen und schätzenDie Schüler/innen können- Größen schätzen und ihre Vorgangsweise begründen.IK 4 – Arbeiten mit Ebene und RaumIK 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermittelnDie Schüler/innen können- den Flächeninhalt einer geometrischen Figur mittels Einheitsflächen messen.

Aufgabe 5

AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- arithmetische Operationen und Verfahren durchführen,- geometrische Konstruktionen durchführen.AK 4 – ProblemlösenAK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzenDie Schüler/innen können- geeignete Lösungsaktivitäten wie Vermuten, Probieren, Anlegen von Tabellen oder Erstellen von Skizzen anwenden.

IK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 2.1 Die vier Grundrechnungsarten und ihre Zusammenhänge verstehenDie Schüler/innen können- Umkehroperationen verwenden, auch zur sinnvollen Überprüfung des Ergebnisses.IK 4 – Arbeiten mit Ebene und RaumIK 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermittelnDie Schüler/innen können- den Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat berechnen.

Hilfsmittel Geodreieck

AnmerkungenKomplexitätsstufen- niedriger: Aufgaben 1, 2, 3- höher: Aufgaben 4, 5

28 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 2 – FlächeninhaltAufgabenbeispiele

1. Aufgabe:

Welches Klassenzimmer hat den größeren Flächeninhalt?

Ergebnis:

Schreib auf, wie du zu deinem Ergebnis gekommen bist.

2a-Klasse

3a-Klasse


2. Aufgabe:

Hier ist die Skizze des Wohnzimmersvon Familie Huber abgebildet.

Wie groß ist der Flächeninhaltdieses Wohnzimmers?

________________________________

________________________________

3. Aufgabe:

Berechne den Flächeninhalt dieses Quadrats. Miss ganz genau.

Der Flächeninhalt dieses Quadrats beträgt ___________________.

6 m

4 m

30 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 2 – Flächeninhalt

4. Aufgabe:

Welche dieser Figuren haben einen Flächeninhalt von ungefähr 10 cm²?

Kreuze richtig an.

Figur A B C D E F G H

ungefähr 10 cm²

A

D

B C

EF

GH


5. Aufgabe:

Annas Rechteck hat einen Flächeninhalt von 96 cm².Eine Seite hat sie schon gezeichnet. Zeichne das Rechteck fertig.

32 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 2 – Flächeninhalt

Lösungen:

1. Aufgabe:Die 3a-Klasse hat den größeren Flächeninhalt.Da nur eine ungefähre Zahl für den Größenvergleich notwendig ist, sind diefolgenden Zahlen nur Richtwerte.

2a-Klasse: ≈ 76 FE FE – Flächeneinheiten3a-Klasse: ≈ 83 FE

2. Aufgabe:6 m² • 4 = 24 m²Das Zimmer hat einen Flächeninhalt von 24 m².

3. Aufgabe:Das Quadrat hat einen Flächeninhalt von 1 225 mm² = 12 cm² 25 mm².(±1 mm Seitenlänge Toleranz ⇒ 1 156 mm² bzw. 1 296 mm²)

4. Aufgabe:

Figur A B C D E F G H

ungefähr 10 cm² X X X

5. Aufgabe:Die Länge des Rechtecks beträgt 12 cm.Flächeninhalt gleich 1. Streifen mal Anzahl der Streifen ⇒96 cm² : 12 cm² = 8 ⇒ Es gibt insgesamt 8 Streifen.Die Breite beträgt daher 8 cm.

Beim Zeichnen der zweiten Seite ±1 mm Toleranz,beim rechten Winkel ± 1° Toleranz.

Empfehlenswert ist es, zur Kontrolle eine Schablone (Folie) zu verwenden.

Aufgabenbeispiel 3 – Überschlag Mathematik 33

Aufgabenbeispiel 3

Titel/Thema Überschlag

Kompetenzbereiche

AK 2 – OperierenAK 4 – ProblemlösenIK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 3 – Arbeiten mit Größen


Aufgaben 1, 2


IK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 1.2 Zahlen runden und Anzahlen schätzenDie Schüler/innen können- Zahlen auf volle Zehner, Hunderter, … Zehntausender runden.IK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 3.3 Mit Größen operierenDie Schüler/innen können- mit Größen rechnen.

Aufgaben 3, 4


IK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschenDie Schüler/innen können- Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlagsrechnungen durchführen.

Aufgabe 5

AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- arithmetische Operationen und Verfahren durchführen.AK 4 – ProblemlösenAK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzenDie Schüler/innen können- geeignete Lösungsaktivitäten wie Vermuten, Probieren, Anlegen von Tabellen oder Erstellen von Skizzen anwenden.

IK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschenDie Schüler/innen- beherrschen sicher und schnell multiplikative Grundaufgaben im Zahlenraum 100,- können Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlagsrechnungen durchführen.

Hilfsmittel keine

AnmerkungenKomplexitätsstufen- niedriger: Aufgaben 1, 2, 3, 4- höher: Aufgabe 5

34 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 3 – Überschlag

Aufgabenbeispiele

1. Aufgabe:

Ein Buntstift kostet 49 c.Wie viel kosten 6 Stück ungefähr?Mach eine Überschlagsrechnung.

____________________________________

2. Aufgabe:

Familie Maurer erhält im Gasthoffolgende Rechnung:

Mach einen Überschlag und gib an, wie viel Familie Maurer ungefähr bezahlen muss.

___________________________________________________________________

Aufgabenbeispiel 3 – Überschlag Mathematik 35

3. Aufgabe:

Bestimme durch Überschlagen, welche Zahl dem Ergebnis am nächsten kommt.Kreuze diese Zahl an.

a) 474 + 81

480 520 550 580

b) 5 219 - 392

1 000 2 548 5 650 4 800

c) 375 · 62

24 000 18 000 1 800 2 400

d) 7 198 : 8

7 000 2 000 900 800

4. Aufgabe:

Mach einen Überschlag und schreib deine Überschlagsrechnung und das Ergebnisauf.

a) 2 898 + 1 084 = ⇒ Ü: _____________________________________

b) 69 · 71 = ⇒ Ü: _____________________________________

c) 49 500 – 30 211 = ⇒ Ü: _____________________________________

d) 5 612 : 69 = ⇒ Ü: _____________________________________

36 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 3 – Überschlag

5. Aufgabe:

Lisa zieht folgende fünf Ziffernkarten:

Sie legt mit vier dieser Ziffernkarten zwei zweistellige Zahlen. Dann multipliziert siediese Zahlen miteinander. Das Ergebnis ist ungefähr 1 600.

Welche Zahlen könnte sie gelegt haben? Schreib deine Rechnung auf.

__________ • __________ ≈ ____________________

7 0 5 8 2

Lösungen Aufgabenbeispiel 3 – Überschlag Mathematik 37

Lösungen:

1. Aufgabe:49 c · 6 ≈ 300 c ⇒ 3 €

2. Aufgabe:Das Ergebnis sollte zwischen 48 € und 54 € liegen.

3. Aufgabe:a) 550b) 4 800c) 24 000, evtl.18 000d) 900, evtl. 800

4. Aufgabe:a) 2 898 + 1 084 = ⇒ Ü: 2 900 + 1 100 = 4 000 | 3 000 + 1 000 = 4 000b) 69 · 71 = ⇒ Ü: 70 · 70 = 4 900c) 49 500 – 30 211 = ⇒ Ü: 50 000 – 30 000 = 20 000d) 5 612 : 69 = ⇒ Ü: 5 600 : 70 = 80 | 6 000 : 70 = 80

5. Aufgabe:78 · 20, 75 · 20 und 57 · 28; ungünstiger: 70 · 25 bzw. 70 · 28

38 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 4 – Gewichte I

Aufgabenbeispiel 4

Titel/Thema Gewichte I

KompetenzbereicheAK 1 – ModellierenAK 2 – OperierenIK 3 – Arbeiten mit Größen


Aufgaben 1, 3


IK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennenDie Schüler/innen- kennen genormte Maßeinheiten und können diese den Größenbereichen zuordnen,- können Größen in unterschiedlichen Schreibweisen darstellen.

Aufgabe 2


IK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennenDie Schüler/innen- kennen genormte Maßeinheiten und können diese den Größenbereichen zuordnen,- können geeignete Repräsentanten zu Maßeinheiten angeben.

Aufgaben 4, 5

AK 1 – ModellierenAK 1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehenDie Schüler/innen können- aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen,- passende Lösungswege finden,- die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen.

IK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennenDie Schüler/innen können- geeignete Repräsentanten zu Maßeinheiten angeben,- Größen in unterschiedlichen Schreibweisen darstellen.IK 3.3 Mit Größen operierenDie Schüler/innen können- mit Größen rechnen.

Hilfsmittel keine


Aufgabenbeispiel 4 – Gewichte I Mathematik 39Aufgabenbeispiele

1. Aufgabe:

Ordne die folgenden Gewichtsmaße nach der Größe.Beginn mit dem kleinsten.

1 kg 1 g 1 t 1 dag

< < <

2. Aufgabe:

Wie schwer sind folgende Dinge? Verbinde mit dem richtigen Gewicht.

5 kg 41 kg

1 kg 15 dag

3. Aufgabe:

Ordne diese Maßangaben nach der Größe.Beginn mit der größten.

15 dag 1 kg21 250 g 2 t

> > > >

kg

40 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 4 – Gewichte I

4. Aufgabe:

Du möchtest eine Obsttorte zubereiten.Dafür musst du noch folgende Zutaten besorgen.

Nach dem Bezahlen gibst du alles in deinen Rucksack.Der leere Rucksack wiegt

21 kg.

Wie schwer ist der Rucksack, wenn du ihn nach Hause trägst?

Antwort:

5. Aufgabe:

Denk dir eine „Rechengeschichte“ aus, in der diese Maßangaben vorkommen:1 kg, 400 g,

41 kg

Schreib die Rechengeschichte auf und rechne.

250 g Schlagobers250 g Erdbeeren100 g Himbeeren1 kg Mehl1 kg Zucker1 Butter (250 g)

Lösungen Aufgabenbeispiel 4 – Gewichte I Mathematik 41

Lösungen:

1. Aufgabe:

1 g < 1 dag < 1 kg < 1 t

2. Aufgabe:

5 kg 41 kg 1 kg 15 dag

3. Aufgabe:

2 t > 1 kg > 21 kg > 250 g > 15 dag

4. Aufgabe:

250 g + 250 g + 100 g + 1 000 g + 1 000 g + 250 g = 2 850 g

2 850 g + 500 g = 3 350 g = 3 kg 35 dag

5. Aufgabe: unzählige Möglichkeiten

42 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 5 – Gewichte II

Aufgabenbeispiel 5

Titel/Thema Gewichte II

KompetenzbereicheAK 2 – OperierenAK 3 – KommunizierenIK 3 – Arbeiten mit Größen


Aufgaben 1, 3


IK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennenDie Schüler/innen- kennen genormte Maßeinheiten und können diese den Größenbereichen zuordnen,- können Größen in unterschiedlichen Schreibweisen darstellen.

Aufgabe 2

AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren.AK 3 – KommunizierenAK 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründenDie Schüler/innen können- ihre Vorgangsweisen beschreiben und protokollieren.

IK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 3.2 Größen messen und schätzenDie Schüler/innen können- Größen schätzen und ihre Vorgangsweise begründen.

Aufgabe 4

AK 1 – ModellierenAK 1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehenDie Schüler/innen können- aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen,- passende Lösungswege finden,- die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen.AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- arithmetische Operationen und Verfahren durchführen.

IK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 3.3 Mit Größen operierenDie Schüler/innen können- mit Größen rechnen.

Hilfsmittel keine

AnmerkungenKomplexitätsstufen- niedriger: Aufgaben 1, 2, 3- höher: Aufgabe 4

Aufgabenbeispiel 5 – Gewichte II Mathematik 43Aufgabenbeispiele

1. Aufgabe:

In welcher Zeile sind die Maßeinheiten von der kleinsten zur größten Maßeinheitgeordnet?Kreuze diese Zeile an.

1 kg – dag – t – g

2 t – dag – kg – g

3 g – t – kg – dag

4 g – dag – kg – t

2. Aufgabe:

Wie schwer sind diese Tiere ungefähr in Wirklichkeit?Setze die passenden Maßeinheiten ein.

4 _____ 6 _____ 3 _____ 1 _____

Schreib auf, wie du zu deinem Ergebnis gekommen bist.

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

44 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 5 – Gewichte II

3. Aufgabe:

Setze ein.

• 1001 dag 1 kg 1 t 1 kg

1 g 1 dag 1 kg 1 dag

1 kg 1 t 1 dag 1 g

4. Aufgabe:

Oje, die Waage ist kaputt!Zum Abmessen der Zutaten für den Kuchen verwendest du daher einen Becher.

In den Becher kannst du 60 g Zucker oder 45 g Mehl füllen.Du benötigst für den Kuchen 180 g Zucker und 360 g Mehl.

Wie kannst du ohne Waage dieses Problem lösen?

Schreib deinen Lösungsweg auf.

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

Lösungen Aufgabenbeispiel 5 – Gewichte II Mathematik 45

Lösungen:

1. Aufgabe:

4 g – dag – kg – t

2. Aufgabe:

4 kg 6 t 3 dag 1 g

3. Aufgabe:

100 : 1 000

1 dag 1 kg 1 t 1 kg

10 : 100

1 g 1 dag 1 kg 1 dag

1 000 • 10

1 kg 1 t 1 dag 1 g

4. Aufgabe:

Verschiedene Lösungswege sind möglich.3 Becher Zucker, 8 Becher Mehl

46 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 6 – Rätsel

Aufgabenbeispiel 6

Titel/Thema Rätsel

Kompetenzbereiche

AK 1 – ModellierenAK 2 – OperierenAK 4 – ProblemlösenIK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 2 – Arbeiten mit Operationen


Aufgabe 1

AK 4 – ProblemlösenAK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzenDie Schüler/innen können- geeignete Lösungsaktivitäten wie Vermuten, Probieren, Anlegen von Tabellen oder Erstellen von Skizzen anwenden,- zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen.

IK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 2.1 Die vier Grundrechnungsarten und ihre Zusammenhänge verstehenDie Schüler/innen- verfügen über Einsicht in das Wesen von Rechenoperationen.

Aufgabe 2


IK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschenDie Schüler/innen- können einfache Gleichungen mit Platzhaltern lösen.

Aufgabe 3


IK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschenDie Schüler/innen- können einfache Gleichungen mit Platzhaltern lösen.

Aufgabenbeispiel 6 – Rätsel Mathematik 47

Aufgabe 4


IK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 1.1 Zahldarstellungen und -beziehungen verstehenDie Schüler/innen können- arithmetische Muster erkennen, beschreiben und fortsetzen.

Hilfsmittel keine

AnmerkungenKomplexitätsstufen- niedriger: Aufgabe 1- höher: Aufgaben 2, 3, 4

48 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 6 – RätselAufgabenbeispiele

1. Aufgabe:

Setze diese Zeichen ein: + – • : =

3 4 12 15 3 5 45 10 5 5

16 20 4 20 4 16 20 10 5 15

2. Aufgabe:

Judith, Lukas und Mark ziehen Zahlenkarten aus einer Schachtel und erfindenRätsel.Schreib die Zahlen rechts in die Kästchen.

Judith: „Meine Zahl ist um 3 kleiner als die Hälfte von 90.

Wie heißt meine Zahl?“

Lukas: „Wenn du 45 zu einem Viertel von 100 addierst, weißt du

meine Zahl.“

Mark: „Um meine Zahl zu finden, musst du von 100 das Doppelte

von 26 abziehen.“

Aufgabenbeispiel 6 – Rätsel Mathematik 49

3. Aufgabe:

Gleiches Symbol bedeutet gleiche Zahl.Setze die passenden Zahlen ein.

■ + ◙ = 13 ♦ + = 6

+ = 13 + = 6

■ • ■ = 64 ♦ : ♥ = 3

• = 64 : = 3

◙ + ▲ = 20 ♦ – ♥ = 4

+ = 20 – = 4

50 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 6 – Rätsel

4. Aufgabe:

Setze fort:

3, 6, 12, 24, _____ , _____ , _____

104 , 96, 88, 80, _____ , _____ , _____

7, 17, 15, 25, 23, _____ , _____ , _____

2, 3, 6, 7, 14, _____ , _____ , _____ , _____

Lösungen Aufgabenbeispiel 6 – Rätsel Mathematik 51

Lösungen:

1. Aufgabe:

3 • 4 = 12 15 : 3 = 5 45 = 10 • 5 – 5

16 = 20 – 4 20 – 4 = 16 20 – 10 + 5 = 15

Weitere Lösungen möglich.

2. Aufgabe:

Judith – 42, Lukas – 70, Mark – 48

3. Aufgabe:

■ entspricht 8; ◙ entspricht 5; ▲ entspricht 15;

♦ entspricht 6; entspricht 0; ♥ entspricht 2

4. Aufgabe:

3, 6, 12, 24, 48, 96, 192

104, 96, 88, 80, 72 , 64 , 56

7, 17, 15, 25, 23, 33, 31, 41

2, 3, 6, 7, 14, 15, 30, 31, 62

• 2• 2 • 2 • 2• 2 • 2

– 8– 8 – 8 – 8– 8 – 8

+ 10 – 2 + 10 – 2 + 10 + 10 – 2

+ 1 • 2 + 1 • 2 + 1 + 1 • 2 • 2

52 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 7 – Zahlen darstellen

Aufgabenbeispiel 7

Titel/Thema Zahlen darstellen

KompetenzbereicheAK 2 – OperierenAK 3 – KommunizierenIK 1 – Arbeiten mit Zahlen


Aufgaben 1, 2, 3

AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren,- arithmetische Operationen und Verfahren durchführen.

IK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 1.1 Zahldarstellungen und -beziehungen verstehenDie Schüler/innen können- Zahlen im Zahlenraum 100 000 lesen und darstellen.

Aufgabe 4

AK 2 – OperierenAK 2.2 Mit Tabellen und Grafiken arbeitenDie Schüler/innen können- Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen.AK 3 – KommunizierenAK 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründenDie Schüler/innen können- ihre Vorgangsweisen beschreiben und protokollieren.


Aufgabe 5

AK 3 – KommunizierenAK 3.2 Mathematische Sachverhalte in unterschiedlichen Repräsentationsformen darstellenDie Schüler/innen können- Zeichnungen und Diagramme erstellen.




Aufgabenbeispiel 7 – Zahlen darstellen Mathematik 53Aufgabenbeispiele

1. Aufgabe:

M HT ZT T H Z E

a) Wie heißt die Zahl?

_________________________

b) Wie heißt die Zahl, wenn du die Zehnerstelle mit der Zehntausenderstellevertauschst?

_________________________

2. Aufgabe:

Kreuze die richtigen Zahlen an.

6 H 4 Z 3 E 9 H 1 E 5 Z 8 H 9 H 5 Z634 910 580 905 643 109 58 950 463 901 850 95

3. Aufgabe:

Schreib jeweils die Zahlen unter die Angaben.

3 T 4 H 4 Z 3 E 6 ZT 8 H 3 Z 4 E 4 E 5 Z 7 ZT

54 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 7 – Zahlen darstellen

4. Aufgabe:

a) Trage die fehlenden Zahlen ein.Schreib auf, wie du zu den fehlenden Zahlen gekommen bist.

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

b) Trage die fehlenden Zahlen ein.Begründe deine Lösungen und schreib diese auf.

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

50 000 60 00055 000000

10 000 11 000 12 000

Aufgabenbeispiel 7 – Zahlen darstellen Mathematik 55

5. Aufgabe:

In zwei Fußballstadien wurden folgende Besucherzahlen gezählt:

a) b)

In Salzburg In Wienbeim 1. Spiel: 9 000 beim 1. Spiel: 50 000beim 2. Spiel: 5 000 beim 2. Spiel: 25 000beim 3. Spiel: 7 000 beim 3. Spiel: 10 000

Stelle die Anzahl der Besucher in den Balken dar.Verwende zum Messen ein Geodreieck.

0

10 000

1. Spiel 2. Spiel 3. Spiel

0

50 000


56 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 7 – Zahlen darstellen

Lösungen:

1. Aufgabe:a) 41 502b) 1 542

2. Aufgabe: 643, 901, 850, 950

3. Aufgabe: 3 443, 60 834, 70 054

4. Aufgabe:a) 52 000, 59 000

Man muss in Tausenderschritten zählen – dann stimmen dieeingetragenen Zahlen.

b) 10 200, 11 600Man muss in Zweihunderterschritten zählen – dann stimmen die

eingetragenen Zahlen.

5. Aufgabe:a) Ein Tausender entspricht 1 cm.b) Ein Zehntausender entspricht 1 cm 6 mm.

1. Spiel 2. Spiel 3. Spiel0

50 000

0

10 000


z. B.:

z. B.:

Aufgabenbeispiel 8 – Zahlbeziehungen Mathematik 57

Aufgabenbeispiel 8

Titel/Thema Zahlbeziehungen

KompetenzbereicheAK 2 – OperierenAK 4 – ProblemlösenIK 1 – Arbeiten mit Zahlen


Aufgaben 1, 2, 3


IK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 1.1 Zahldarstellungen und -beziehungen verstehenDie Schüler/innen können- Zahlen im Zahlenraum 100 000 lesen und darstellen,- sich im Zahlenraum 100 000 orientieren, Zahlen vergleichen und diese in Relation setzen.

Aufgabe 4


IK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 1.1 Zahldarstellungen und -beziehungen verstehenDie Schüler/innen können- arithmetische Muster erkennen, beschreiben und fortsetzen.

Aufgabe 5

AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren,- arithmetische Operationen und Verfahren durchführen.AK 4 – ProblemlösenAK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzenDie Schüler/innen können- zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen.


Hilfsmittel keine


58 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 8 – Zahlbeziehungen

24 000 6 666

81 001 12 099

Aufgabenbeispiele

1. Aufgabe:

Wie heißen die Einernachbarn?

2. Aufgabe:

Bilde aus den Ziffern 2, 7, 9, 1, 4 die größte fünfstellige Zahl: ___________________

Bilde aus den Ziffern 2, 7, 9, 1, 4 die kleinste vierstellige Zahl: __________________

3. Aufgabe:

Welche Zahl bin ich?

Ich bin eine Zahl und bin größer als 20, jedoch kleiner als 30.Wenn du meine Ziffern zusammenzählst, ist das Ergebnis 8.

________________

4. Aufgabe:

Setze die Zahlenfolgen fort.

a)

b)

12 910 , 12 950 , 12 990 ,

, , 31770 , 35 780 , 39 790

Aufgabenbeispiel 8 – Zahlbeziehungen Mathematik 59

5. Aufgabe:

a) Die Zahl heißt 49 791.

Welche Zahlen kannst du finden, wenn du jeweils an einer anderen Stelle den Wert 1dazugibst?Nenne vier Möglichkeiten.Schreib darunter, welche Stelle du verändert hast.

b) Die Zahl heißt 57 080.

Wähle eine Stelle (ZT, T, H, Z, E) aus.Nimm 1 von deiner ausgewählten Stelle weg.Schreib mindestens vier neue Zahlen auf.Schreib darunter, welche Stelle du verändert hast.

60 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 8 – Zahlbeziehungen

Lösungen:

1. Aufgabe:23 999, 24 000, 24 0016 665, 6 666, 6 66780 999, 81 000, 81 00112 098, 12 099, 12 100

2. Aufgabe:97 421, 1 247

3. Aufgabe: 26

4. Aufgabe:a) 12 910, 12 950, 12 990, 13 030, 13 070b) 23 750, 27 760, 31 770, 35 780, 39 790

5. Aufgabe:

a) 5 mögliche Lösungen:

59 791 ZT – Stelle50 791 T – Stelle49 891 H – Stelle49 801 Z – Stelle49 792 E – Stelle

b) 5 mögliche Lösungen:

47 080 ZT – Stelle56 080 T – Stelle56 980 H – Stelle57 070 Z – Stelle57 079 E – Stelle

Aufgabenbeispiel 9 – Symmetrische Figuren Mathematik 61

Aufgabenbeispiel 9

Titel/Thema Symmetrische Figuren

KompetenzbereicheAK 2 – OperierenAK 4 – ProblemlösenIK 4 – Arbeiten mit Ebene und Raum


Aufgaben 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- geometrische Konstruktionen durchführen.AK 4 – ProblemlösenAK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzenDie Schüler/innen können- zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen.

IK 4 – Arbeiten mit Ebene und RaumIK 4.2 Beziehungen bei geometrischen Figuren erkennenDie Schüler/innen können- vorgegebene geometrische Muster erkennen, selbst entwickeln oder fortsetzen.

Hilfsmittel Geodreieck, Farbstifte

AnmerkungenKomplexitätsstufen- niedriger: Aufgaben 1, 2, 3, 4- höher: Aufgaben 5, 6, 7

62 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 9 – Symmetrische FigurenAufgabenbeispiele

1. Aufgabe:

Zeichne das Bandornament weiter.Die leeren Felder kannst du mit selbst gewählten Farben anmalen.

2. Aufgabe:

Erfinde dein eigenes Bandornament.

3. Aufgabe:

Lisa hat ein symmetrisches Muster entworfen.Erfinde zwei neue symmetrische Muster.

Aufgabenbeispiel 9 – Symmetrische Figuren Mathematik 63

4. Aufgabe:

Hier Zeichen abgebildet.

a) Zeichne mit Geodreieck die Symmetrieachse ein.

b) Schneide aus Zeitschriften andere Zeichen aus, klebe sie auf und schau, ob siesymmetrisch sind.

5. Aufgabe:

Berti hat Spiegelachsen eingezeichnet.Kreuze an, welche Achsen er richtig bzw. falsch eingezeichnet hat.

Spiegel-achse richtig falsch

abcde

a

b

c

d

e

ist ein

64 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 9 – Symmetrische Figuren

6. Aufgabe:

Hier siehst du zwei Figuren, die nicht symmetrisch sind.Mach aus jeder Figur eine symmetrische Figur.

7. Aufgabe:

Laura hat begonnen, die Zeichnung zu einem symmetrischen Bild zu ergänzen.Zeichne die Figur richtig fertig.

Lösungen Aufgabenbeispiel 9 – Symmetrische Figuren Mathematik 65

Lösungen:

1. Aufgabe: Muster richtig fortsetzen.2. Aufgabe: Das Muster sollte symmetrisch sein (Schiebung, Drehung).3. Aufgabe: Das Muster sollte symmetrisch sein.4. Aufgabe:

5. Aufgabe:

6. Aufgabe: Viele Lösungen möglich.

7. Aufgabe:

Spiegelachse richtig falscha X

b X

c X

d X

e X

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a)

66 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 10 – Kopfrechnen

Aufgabenbeispiel 10

Titel/Thema Kopfrechnen

Kompetenzbereiche

AK 2 – OperierenAK 4 – ProblemlösenIK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 3 – Arbeiten mit Größen


Aufgaben 1, 2, 3

AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- arithmetische Operationen und Verfahren durchführen.AK 4 – ProblemlösenAK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzenDie Schüler/innen können- zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen.

IK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschenDie Schüler/innen- beherrschen sicher und schnell additive Grundaufgaben im Zahlenraum 20,- beherrschen sicher und schnell multiplikative Grundaufgaben im Zahlenraum 100,- können nichtautomatisierte Rechenoperationen in Teilschritten durchführen.

Aufgabe 4


IK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschenDie Schüler/innen- beherrschen sicher und schnell multiplikative Grundaufgaben im Zahlenraum 100.

Aufgabe 5


IK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennenDie Schüler/innen- kennen genormte Maßeinheiten und können diese den Größenbereichen zuordnen.IK 3.3 Mit Größen operierenDie Schüler/innen können- mit Größen rechnen.

Aufgabenbeispiel 10 – Kopfrechnen Mathematik 67

Aufgabe 6


IK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 1.3 Das Wesen der Bruchzahl verstehenDie Schüler/innen können- Bruchzahlen im Zusammenhang mit Größen benützen.IK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennenDie Schüler/innen- kennen genormte Maßeinheiten und können diese den Größenbereichen zuordnen.IK 3.3 Mit Größen operierenDie Schüler/innen können- mit Größen rechnen.

Hilfsmittel keine

AnmerkungenKomplexitätsstufen- niedriger: Aufgaben 1, 2, 3, 4, 5- höher: Aufgabe 6


… 100 … 1 000 … 10 000 … 100 000

50 + 500 + 7 000 + 46 000 +

25 + 750 + 4 500 + 33 000 +

76 + 420 + 1 800 + 59 500 +

39 + 810 + 3 620 + 81 500 +

83 + 390 + 8 950 + 25 600 +

Aufgabenbeispiele

1. Aufgabe:

Plus- und Minusaufgaben

2. Aufgabe:

Ergänzen auf

3. Aufgabe:

Verdoppeln und Halbieren

Start Ziel

14

36

120

43

500

Zahl 7 16 63 140 180 750Das

Doppelte 80 420

Zahl 26 48 56 136 2 400 6 700Die

Hälfte 60 190

- 4+ 20 + 70 - 9

Aufgabenbeispiel 10 – Kopfrechnen Mathematik 69

4. Aufgabe:

Multiplizieren/Dividieren

4 7 12

3 12 27

42 49 70

8 48 96

90

5. Aufgabe:

Rechnen mit Größen

Schreib auf, wie lange Laura ferngesehen hat.

Wochentag von – bis (Uhr) Zeitdauer

Montag 17:15 – 17:50

Dienstag 14:05 – 15:10

Donnerstag 18:50 – 19:35

Samstag 20:15 – 21:55


6. Aufgabe:

Rechnen mit Größen

1 kg

30 dag

810 g

21 kg

53 dag

70 dag

465 g

43 kg

1 dm²

50 cm²

6 dm²

1 m²

39 cm²+

+

−

−

Lösungen Aufgabenbeispiel 10 – Kopfrechnen Mathematik 71

Lösungen:

1. Aufgabe:

Start Ziel14 34 30 100 91

36 56 52 122 113

120 140 136 206 197

27 47 43 113 104

423 443 439 509 500

2. Aufgabe:

3. Aufgabe:

50 + 50 500 + 500 7 000 + 3 000 46 000 + 54 000

25 + 75 750 + 250 4 500 + 5 500 33 000 + 67 000

76 + 24 420 + 580 1 800 + 8 200 59 500 + 40 500

39 + 61 810 + 190 3 620 + 6 380 81 500 + 18 500

83 + 17 390 + 610 8 950 + 1 050 25 600 + 74 400

Zahl 7 16 40 63 140 180 210 750Das

Doppelte 14 32 80 126 280 360 420 1 500

Zahl 26 48 56 120 136 380 2 400 6 700Die

Hälfte 13 24 28 60 68 190 1 200 3 350

- 4+ 20 + 70 - 9

… 100 … 1 000 ... 10 000 … 100 000

72 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 10 – Kopfrechnen

4. Aufgabe:

4 6 7 9 10 12

3 12 18 21 27 30 36

7 28 42 49 63 70 84

8 32 48 56 72 80 96

10 40 60 70 90 100 120

5. Aufgabe:

Wochentag von – bis (Uhr) Zeitdauer

Montag 17:15 – 17:50 35 min

Dienstag 14:05 – 15:10 1 h 5 min

Donnerstag 18:50 – 19:35 45 min

Samstag 20:15 – 21:55 1 h 40 min

6. Aufgabe:

Es gelten natürlich alle korrekten Antworten, wie z. B. kg oder 50 dag.

1 kg

21 kg

43 kg

47 dag

30 dag

535 g

810 g

21 kg

41 kg

53 dag

70 dag

465 g

190 g

1 dm²

61 cm²

50 cm²

6 dm²

1 m²

39 cm²

50 cm²

5 dm²

99 dm²

+

+

−

−

21

Aufgabenbeispiel 11 – Längenmaße Mathematik 73

Aufgabenbeispiel 11

Titel/Thema Längenmaße

KompetenzbereicheAK 2 – OperierenAK 3 – KommunizierenIK 3 – Arbeiten mit Größen


Aufgabe 1


IK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennenDie Schüler/innen- kennen genormte Maßeinheiten und können diese den Größenbereichen zuordnen.

Aufgaben 2, 3


IK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennenDie Schüler/innen- kennen genormte Maßeinheiten und können diese den Größenbereichen zuordnen,- können geeignete Repräsentanten zu Maßeinheiten angeben,- können Größen in unterschiedlichen Schreibweisen darstellen.

Aufgabe 4

AK 3 – KommunizierenAK 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründenDie Schüler/innen können- mathematische Begriffe und Zeichen sachgerecht in Wort und Schrift benützen,- Lösungswege vergleichen und ihre Aussagen und Handlungsweisen begründen.

IK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennenDie Schüler/innen können- Größen in unterschiedlichen Schreibweisen darstellen.

Aufgabe 5

AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- geometrische Konstruktionen durchführen.

IK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 3.2 Größen messen und schätzenDie Schüler/innen- beherrschen den Grundvorgang des Messens,- können mit geeigneten Maßeinheiten messen.


AnmerkungenKomplexitätsstufen- niedriger: Aufgaben 1, 2, 3, 5- höher: Aufgabe 4

74 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 11 – LängenmaßeAufgabenbeispiele

1. Aufgabe:

Schreib alle Längenmaße, die du kennst, in der richtigen Reihenfolge auf.Beginne mit dem größten Längenmaß.

___________________________________________________________________

2. Aufgabe:

a)Wer ist größer als 1 m?Kreuze an.

der Vater ein Baby die Mutter

Ist ein Einfamilienhaus höher als 1 m?Kreuze an.

ja nein

Was ist länger als ein Meter?Kreuze an.

ein Auto ein Zug dein Lineal


b)Bist du kleiner als 1 m?Kreuze an.

ja nein

Was ist kürzer als 1 m?Kreuze an.

ein Bleistift ein Radiergummi

Ist ein Kirchturm niedriger als ein Meter?Kreuze an.

ja nein

3. Aufgabe:

a) Mia denkt an ein Längenmaß. Es ist in einem Kilometer 1000-mal enthalten.

Es heißt: _________

b) Wie heißt das Längenmaß, das in einem Meter 10-mal enthalten ist?

Es heißt: _________

c) In einem Zentimeter sind 10 _______ enthalten.

76 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 11 – Längenmaße

4. Aufgabe:

Der Tischler misst zwei Küchen aus.

1. Küche: Die Länge ist 3 m 2 cm und die Breite ist 2 m 4 dm.

2. Küche: Die Länge ist 4 m 23 cm und die Breite ist 3 m 80 cm.

Der Lehrling schreibt die Maße in eine Skizze. Kontrolliere die Maßangaben.

Schreib auf, welche Fehler dem Lehrling passiert sind.

1. Küche: Maße in cm 2. Küche: Maße in cm

Stelle falsche Maßangaben richtig.


5. Aufgabe:

a) Welche 2 Strecken sind genau 6 cm lang? Kreuze an.

b) Zeichne eine Strecke mit 14 cm Länge.

a

bc

de

a b c d e

78 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 11 – Längenmaße

Lösungen:

1. Aufgabe: km, m, dm, cm, mm

2. Aufgabe:a) der Vater die Mutter

jaein Auto ein Zug

b) neinein Bleistift ein Radiergummi

nein

3. Aufgabe:a) Es heißt: 1 mb) Es heißt: 1 dmc) In einem Zentimeter sind 10 mm enthalten.

4. Aufgabe:

1. Küche: Maße in cm 2. Küche: Maße in cm

Mögliche Begründungen:Bei 302 cm fehlt die Null für die 10-cm-Stelle.Die 4 dm wurden nicht in 40 cm verwandelt. Statt 204 cm ⇒ 240 cm.Statt 423 wurde 432 geschrieben. Ziffern vertauscht!

5. Aufgabe

a)

302

240

423

380

a b c d e

Aufgabenbeispiel 12 – Zeitmaße Mathematik 79

Aufgabenbeispiel 12

Titel/Thema Zeitmaße

Kompetenzbereiche

AK 1 – ModellierenAK 2 – OperierenAK 3 – KommunizierenAK 4 – ProblemlösenIK 3 – Arbeiten mit Größen


Aufgaben 1, 2


IK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten erkennenDie Schüler/innen- kennen genormte Maßeinheiten und können diese den Größenbereichen zuordnen.

Aufgaben 3, 4

AK 4 – ProblemlösenAK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzenDie Schüler/innen können- zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen.

IK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 3.2 Größen messen und schätzenDie Schüler/innen- können mit geeigneten Maßeinheiten messen.

Aufgabe 5

AK 1 – ModellierenAK 1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehenDie Schüler/innen können- aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen,- passende Lösungswege finden,- die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen.AK 3 – KommunizierenAK 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründenDie Schüler/innen können- ihre Vorgangsweisen beschreiben und protokollieren,- Lösungswege vergleichen und ihre Aussagen und Handlungsweisen begründen.

IK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 3.3 Mit Größen operierenDie Schüler/innen können- mit Größen rechnen.

Hilfsmittel keine


80 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 12 – ZeitmaßeAufgabenbeispiele

1. Aufgabe:

Kreuze die passende Zeitdauer an.

Stunden Sekunden Minutendie große Pause in der Schule

ein Wort sprechen

dein Schulweg

der Schlaf während der Nacht

ein Blitz beim Gewitter

das Läuten an der Türe

ein Tag

das Schreiben der Hausübung

das Lösen einer Einmaleinsrechnung

2. Aufgabe:

Ein Tag hat ________________ .

Ein Monat hat ungefähr ______________ .

Wie viele Monate hat ein Jahr? ____________

3. Aufgabe:

Moni denkt:

a) Wie viel Zeit vergeht, wenn der Minutenzeiger auf der Uhr eine Runde dreht?

_______________

b) Wie viel Zeit vergeht, wenn der Stundenzeiger auf der Uhr eine Runde dreht?

_______________

Aufgabenbeispiel 12 – Zeitmaße Mathematik 81

4. Aufgabe:

Mama sieht im Badezimmer die Uhrzeit im Spiegel.

a) Wie spät ist es? Zeichne die Zeit ein.

b) Schreib die beiden möglichen Zeitpunkte auf.

5. Aufgabe:

Frau Hilde gibt ihrer Freundin das Rezept ihrer Lieblingstorte. Sie sagt ihr auch, dassdie Torte dann 1 h 05 min im Backrohr sein muss. Die Freundin stellt die Uhr desBackofens auf 105 min.Nach dieser Zeit nimmt sie die Torte aus dem Backrohr. Warum ist diese schwarzund raucht? Schreib es auf.

82 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 12 – Zeitmaße

Lösungen:

1. Aufgabe:Stunden: der Schlaf während der Nacht, ein TagSekunden: ein Wort sprechen, ein Blitz beim GewitterMinuten: dein Schulweg

2. Aufgabe:24 Stunden30 Tage12 Monate

3. Aufgabe:a) 60 Minutenb) 12 Stunden

4. Aufgabe:a)

b)04:50 Uhr16:50 Uhr

5. Aufgabe:1 h 05 min sind 65 Minuten.1 Stunde hat nur 60 Minuten.

Aufgabenbeispiel 13 – Bruchzahlen Mathematik 83

Aufgabenbeispiel 13

Titel/Thema Bruchzahlen

Kompetenzbereiche

AK 1 – ModellierenAK 2 – OperierenAK 3 – KommunizierenIK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 2 – Arbeiten mit Operationen


Aufgabe 1


IK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 1.3 Das Wesen der Bruchzahl verstehenDie Schüler/innen können- Bruchzahlen darstellen.

Aufgabe 2


IK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 1.3 Das Wesen der Bruchzahl verstehenDie Schüler/innen können- Bruchzahlen darstellen,- Bruchzahlen im Zusammenhang mit Größen benützen.

Aufgabe 3

AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- arithmetische Operationen und Verfahren durchführen.AK 2.2 Mit Tabellen und Grafiken arbeitenDie Schüler/innen können- Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen.AK 3 – KommunizierenAK 3.2 Mathematische Sachverhalte in unterschiedlichen Repräsentationsformen darstellenDie Schüler/innen können- ihre Vorgangsweisen in geeigneten Repräsentationsformen festhalten.

IK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 1.3 Das Wesen der Bruchzahl verstehenDie Schüler/innen können- Bruchzahlen darstellen,- Bruchzahlen vergleichen, ordnen und zerlegen.IK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschenDie Schüler/innen können- einfache Gleichungen mit Platzhaltern lösen.

84 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 13 – Bruchzahlen

Aufgabe 4

AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- arithmetische Operationen und Verfahren durchführen.AK 2.2 Mit Tabellen und Grafiken arbeitenDie Schüler/innen können- Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen.

IK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 1.3 Das Wesen der Bruchzahl verstehenDie Schüler/innen können- Bruchzahlen darstellen,- Bruchzahlen vergleichen, ordnen und zerlegen.

Aufgaben 5, 6


IK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 1.3 Das Wesen der Bruchzahl verstehenDie Schüler/innen können- Bruchzahlen im Zusammenhang mit Größen benützen.

Aufgabe 7


IK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 1.3 Das Wesen der Bruchzahl verstehenDie Schüler/innen können- Bruchzahlen im Zusammenhang mit Größen benützen.


AnmerkungenKomplexitätsstufen- niedriger: Aufgaben 1, 3- höher: Aufgaben 2, 4, 5, 6, 7

Aufgabenbeispiel 13 – Bruchzahlen Mathematik 85Aufgabenbeispiele

1. Aufgabe:

Bemale die angegebenen Flächenteile.

2. Aufgabe:

Zeichne den angegebenen Bruchteil auf den Strecken ein.

21

43

86

41

83

21

43

87

86 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 13 – Bruchzahlen

3. Aufgabe:

Berechne mit Hilfe der Messbecher.Zeichne ein.

4. Aufgabe:

Lukas hat Zahlen in Figuren geschrieben und die Figuren zerlegt.Schreib die Zahl auf, die dem bemalten Teil der Figur entspricht.

800

1 600

2 400

21 + = 1

81 + =

41 +

81 =

86

21

41

43

Aufgabenbeispiel 13 – Bruchzahlen Mathematik 87

5. Aufgabe:

Brüche und Größen

21 m = _______ cm

21 h = ________ min

41 kg = ________ dag

21 m = _______ mm

43 h = ________ min

21 kg = ________ g

43 m = _______ cm

21 m² = ________ dm²

21 km = ________ m

21 t = _______ kg

41 kg = ________ g

41 h = ________ min

6. Aufgabe:

Brüche und Größen

21 von 64 € = _______

83 von 4 cm = _____mm

21 von 1 min = _______ s

21 von 50 kg = _______

85 von 80 € = ________

41 von 1 min = ________

41 von 100 m = _______

43 von 100 m = ________

43 von 4 l = ________

7. Aufgabe:

Moritz erhält 100 € vom Opa.Er plant: Die Hälfte lege ich auf das Sparbuch.Um ein Viertel des Gesamtbetrages kaufe ich ein Geschenk für Mutti und Vati.Den Rest brauche ich für die Projektwoche.

Wie viel Euro hat Moritz für die Projektwoche noch zur Verfügung?

___________________________________________________________________

88 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 13 – Bruchzahlen

Lösungen:

1. Aufgabe:

Bei diesen Aufgaben sind mehrere grafische Lösungen möglich.

2. Aufgabe:

3. Aufgabe:

4. Aufgabe:

1 600: 800; 400; 200; 600; 1 0002 400: 1 200; 600; 300; 1 500; 2 100

21 ;

81 ;

85

21

43

86

41

83

21

43

87

Lösungen Aufgabenbeispiel 13 – Bruchzahlen Mathematik 89

5. Aufgabe:

21 m = 50 cm

21 h = 30 min

41 kg = 25 dag

21 m = 500 mm

43 h = 45 min

21 kg = 500 g

43 m = 75 cm

21 m² = 50 dm²

21 km = 500 m

21 t = 500 kg

41 kg = 250 g

41 h = 15 min

6. Aufgabe:

21 von 64 € = 32 €

83 von 4 cm = 15 mm

21 von 1 min = 30 s

21 von 50 kg = 25 kg

85 von 80 € = 50 €

41 von 1 min = 15 s

41 von 100 m = 25 m

43 von 100 m = 75 m

43 von 4 l = 3 l

7. Aufgabe:Sparbuch: 50 €; Geschenk: 25 €Moritz hat noch 25 € zur Verfügung.

90 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 14 – Würfel

Aufgabenbeispiel 14

Titel/Thema Würfel

Kompetenzbereiche

AK 2 – OperierenAK 3 – KommunizierenAK 4 – ProblemlösenIK 4 – Arbeiten mit Ebene und Raum


Aufgaben 1, 2


IK 4 – Arbeiten mit Ebene und RaumIK 4.1 Geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellenDie Schüler/innen können- die Eigenschaften geometrischer Figuren beschreiben.

Aufgabe 3

AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren.AK 4 – ProblemlösenAK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzenDie Schüler/innen können- geeignete Lösungsaktivitäten wie Vermuten, Probieren, Anlegen von Tabellen oder Erstellen von Skizzen anwenden.

IK 4 – Arbeiten mit Ebene und RaumIK 4.3 Mit geometrischen Figuren operierenDie Schüler/innen können- geometrische Figuren zerlegen und sie wieder zusammensetzen.

Aufgabe 4

AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren.AK 4 – ProblemlösenAK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzenDie Schüler/innen können- geeignete Lösungsaktivitäten wie Vermuten, Probieren, Anlegen von Tabellen oder Erstellen von Skizzen anwenden.

IK 4 – Arbeiten mit Ebene und RaumIK 4.3 Mit geometrischen Figuren operierenDie Schüler/innen können- Netze den entsprechenden Körpern zuordnen und umgekehrt.

Aufgabenbeispiel 14 – Würfel Mathematik 91

Aufgabe 5

AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren.AK 3 – KommunizierenAK 3.2 Mathematische Sachverhalte in unterschiedlichen Repräsentationsformen darstellenDie Schüler/innen können- ihre Vorgangsweisen in geeigneten Repräsentationsformen festhalten.AK 4 – ProblemlösenAK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzenDie Schüler/innen können- zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen.

IK 4 – Arbeiten mit Ebene und RaumIK 4.2 Beziehungen bei geometrischen Figuren erkennen Die Schüler/innen können- den Zusammenhang zwischen Plan und Wirklichkeit herstellen.IK 4.3 Mit geometrischen Figuren operierenDie Schüler/innen können- geometrische Figuren zerlegen und sie wieder zusammensetzen.

Aufgabe 6

AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren.AK 4 – ProblemlösenAK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzenDie Schüler/innen können- zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen.

IK 4 – Arbeiten mit Ebene und RaumIK 4.2 Beziehungen bei geometrischen Figuren erkennenDie Schüler/innen können- Lagebeziehungen zwischen Objekten im Raum und in der Ebene beschreiben und nutzen.IK 4.3 Mit geometrischen Figuren operierenDie Schüler/innen können- geometrische Figuren zerlegen und sie wieder zusammensetzen.

Hilfsmittel Farbstifte


92 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 14 – WürfelAufgabenbeispiele

1. Aufgabe:

Schreib auf, wie viele Ecken, Kanten und Begrenzungsflächen ein Würfel hat.

Ecken Kanten Begrenzungsflächen

2. Aufgabe:

Wie viele Strohhalme und wie viele Kügelchen brauchst du noch, um die Würfelfertig zu bauen?

Schreib die entsprechenden Anzahlen in die Kästchen darunter.

Würfel A Würfel B

A B


3. Aufgabe:

Wie viele solcher Würfel ( ) passen in die Verpackungen?

Schreib die Anzahlen der Würfel auf die Linien darunter.

4. Aufgabe:

Aus welchen Abbildungen kannst du einen Würfel falten?

Kreuze an.

A B C D

A

B

C

D

94 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 14 – Würfel

5. Aufgabe:

Aus wie vielen Würfeln sind diese Bauwerke gebaut?

a) Schreib die Anzahl der Würfel unten auf den Strich.

b) Erstelle die Baupläne dieser Bauwerke.

A B C D E

AB

C

D

E


6. Aufgabe:

Falte in Gedanken das Netz zu einem Würfel. Bemale die gegenüberliegendenFlächen mit gleicher Farbe.

Nimm für jedes Flächenpaar eine andere Farbe.

96 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 14 – Würfel

Lösungen:

1. Aufgabe:

Ecken Kanten Begrenzungsflächen

2. Aufgabe:

Würfel A Würfel B

1 3 1 5

3. Aufgabe:

4. Aufgabe:

Kreuze an.

8 12 6

30zur

8 72

A

C

D

B

Lösungen Aufgabenbeispiel 14 – Würfel Mathematik 97

5. Aufgabe:

a) Schreib die Anzahl der Würfel unten auf den Strich.

b) Erstelle die Baupläne dieser Bauwerke.

6. Aufgabe:

11zur

10 1872

19 26

AB

C

D

E

98 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 15 – Umfang

Aufgabenbeispiel 15

Titel/Thema Umfang

Kompetenzbereiche

AK 2 – OperierenAK 3 – KommunizierenAK 4 – ProblemlösenIK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 4 – Arbeiten mit Ebene und Raum


Aufgaben 1, 2

AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- arithmetische Operationen und Verfahren durchführen.AK 4 – ProblemlösenAK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzenDie Schüler/innen können- geeignete Lösungsaktivitäten wie Vermuten, Probieren, Anlegen von Tabellen oder Erstellen von Skizzen anwenden,- zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen.

IK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 3.2 Größen messen und schätzenDie Schüler/innen- beherrschen den Grundvorgang des Messens,- können mit geeigneten Maßeinheiten messen,- können Größen schätzen und ihre Vorgangsweise begründen.IK 4 – Arbeiten mit Ebene und RaumIK 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermittelnDie Schüler/innen können- den Umfang einer geometrischen Figur mittels Einheitslängen messen.

Aufgaben 3, 4, 6

AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- arithmetische Operationen und Verfahren durchführen.AK 3 – KommunizierenAK 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründenDie Schüler/innen können- mathematische Begriffe und Zeichen sachgerecht in Wort und Schrift benützen,- ihre Vorgangsweisen beschreiben und protokollieren.AK 3.2 Mathematische Sachverhalte in unterschiedlichen Repräsentationsformen darstellenDie Schüler/innen können- ihre Vorgangsweisen in geeigneten Repräsentationsformen festhalten.

IK 4 – Arbeiten mit Ebene und RaumIK 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermittelnDie Schüler/innen können- den Umfang von Rechteck und Quadrat berechnen,- den Flächeninhalt einer geometrischen Figur mittels Einheitsflächen messen.

Aufgabenbeispiel 15 – Umfang Mathematik 99

Aufgabe 5

AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- arithmetische Operationen und Verfahren durchführen,- geometrische Konstruktionen durchführen.AK 4 – ProblemlösenAK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzenDie Schüler/innen können- zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen.

IK 4 – Arbeiten mit Ebene und RaumIK 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermittelnDie Schüler/innen können- den Umfang von Rechteck und Quadrat berechnen.

Aufgabe 7

AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- geometrische Konstruktionen durchführen.AK 3 – KommunizierenAK 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründenDie Schüler/innen können- Lösungswege vergleichen und ihre Aussagen und Handlungsweisen begründen.AK 4 – ProblemlösenAK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzenDie Schüler/innen können- zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen.


Aufgabe 8

AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- arithmetische Operationen und Verfahren durchführen.AK 4 – ProblemlösenAK 4.1 Mathematisch relevante Fragen stellenDie Schüler/innen können- ein innermathematisches Problem erkennen und dazu relevante Fragen stellen.AK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzenDie Schüler/innen können- zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen.


Hilfsmittel Papierstreifen/Faden oder Maßband für Aufgabe 1, Geodreieck

AnmerkungenKomplexitätsstufen- niedriger: Aufgaben 1, 2, 3, 4- höher: Aufgaben 5, 6, 7, 8

100 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 15 – UmfangAufgabenbeispiele

1. Aufgabe:

Bestimme die ungefähre Länge des Randes dieser Figuren.

A) u ≈

B) u ≈

C) u ≈

D) u ≈

A

BC

D


2. Aufgabe:

Bestimme den Umfang dieser Figuren.

Der Umfang der Figur A beträgt ___________________ .

Der Umfang der Figur B beträgt ___________________ .

A

B


3. Aufgabe:

Albin und Laura berechnen den Umfang dieses Rechtecks.

Länge: 7 cmBreite: 4 cm

Albin hat so gerechnet:

So hat Laura gerechnet:

a) Erkläre, wie beide überlegt haben und warum sie zum selben Ergebnis gekommensind.

b) Berechne den Umfang eines 12 cm langen und 8 cm breiten Rechtecks aufverschiedene Arten.


4. Aufgabe:

Berechne den Umfang eines Quadrats mit 6 m 25 cm Seitenlänge.

5. Aufgabe:

Zeichne ein Rechteck mit 26 cm Umfang.Schreib deine Länge und deine Breite auf.

l = _____________ ; b = ____________


6. Aufgabe:

Stelle Umfang und Flächeninhalt dieser Figuren fest.

7. Aufgabe:

Zeichnet Figuren mit angegebenem Umfang und vergleicht eure Ergebnisse.

Umfang: 12 cm Umfang: 14 cm Umfang: 20 cm

Umfang: 18 LE (Längeneinheiten)

Flächeninhalt: 14 FE (Flächeneinheiten)

Umfang:

Flächeninhalt:

u:

A:

u:

A:

AB

C D


40 m

55 m

8. Aufgabe:

Wie lang ist der Umfang dieser Figur?

_________________________________

84 m

108

m

106 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 15 – Umfang

Lösungen:

1. Aufgabe:A) u ≈ 22 cm (± 1 cm)B) u ≈ 13 cm (± 1 cm)C) u ≈ 18 cm (± 1 cm)D) u ≈ 30 cm (± 1,5 cm)

2. Aufgabe:Beide Figuren haben denselben Umfang.A) a = 6 cm; b = 4,5 cm; u = 21 cmB) u = 21 cm

3. Aufgabe:a) Albin rechnet zuerst eine Länge und eine Breite zusammen und verdoppelt sie

anschließend.Laura verdoppelt die Länge und danach die Breite. Anschließend zählt sie beideWerte zusammen.

b) Mehrere Lösungsmöglichkeiten, wie z. B.:

4. Aufgabe:u = 625 cm • 4 = 2 500 cm = 25 m

u = 6 m • 4 = 24 mu = 25 cm • 4 = 100 cm = 1 m u = 24 m + 1 m = 25 m

5. Aufgabe:Viele Lösungen möglich: Länge plus Breite müssen 13 cm ergeben

l = 6 cm; b = 7 cmz. B.:

Lösungen Aufgabenbeispiel 15 – Umfang Mathematik 107

A B C DUmfang 18 LE 10 LE 10 LE 16 LEFlächeninhalt 14 FE 5 FE 4 FE 9 FE

LE – Längeneinheiten FE – Flächeneinheiten

6. Aufgabe:

7. Aufgabe:Jeweils mehrere Lösungen möglich.

8. Aufgabe:108 m – 55 m = 53 m84 m – 40 m = 44 mFehlende Seiten: 53 m und 44 m

40 m + 53 m + 44 m + 55 m + 84m + 108 m = 384 mUmfang: 384 m

Umfang: 12 cm Umfang: 14 cm Umfang: 20 cm

108 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 16 – Schriftliches Rechnen

Titel/Thema Schriftliches Rechnen

Kompetenzbereiche

AK 1 – ModellierenAK 2 – OperierenAK 3 - KommunizierenAK 4 – ProblemlösenIK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 3 – Arbeiten mit Größen


Aufgaben 1, 6

AK 1 – ModellierenAK 1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehen.Die Schüler/innen können- aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen,- die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen.AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- arithmetische Operationen und Verfahren durchführen.

IK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 2.3 Schriftliche Rechenverfahren beherrschenDie Schüler/innen können- die Algorithmen der schriftlichen Verfahren für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen.IK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 3.3 Mit Größen operierenDie Schüler/innen können- mit Größen rechnen.

Aufgabe 3


IK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschenDie Schüler/innen können- Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlagsrechnungen durchführen.IK 2.3 Schriftliche Rechenverfahren beherrschenDie Schüler/innen können- die Algorithmen der schriftlichen Verfahren für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen.

Aufgabenbeispiel 16

Aufgabenbeispiel 16 – Schriftliches Rechnen Mathematik 109

Aufgaben 2, 4, 5


IK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 2.1 Die vier Grundrechnungsarten und ihre Zusammenhänge verstehenDie Schüler/innen- verfügen über Einsicht in das Wesen von Rechenoperationen,- können die Zusammenhänge zwischen den Grundrechnungsarten erklären.IK 2.3 Schriftliche Rechenverfahren beherrschenDie Schüler/innen- verstehen die Algorithmen der schriftlichen Rechenverfahren.

Aufgabe 7

AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- arithmetische Operationen und Verfahren durchführen.AK 3 – KommunizierenAK 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründenDie Schüler/innen können- mathematische Begriffe und Zeichen sachgerecht in Wort und Schrift benützen.

IK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 2.1 Die vier Grundrechnungsarten und ihre Zusammenhänge verstehenDie Schüler/innen- verfügen über Einsicht in das Wesen von Rechenoperationen,- können die Zusammenhänge zwischen den Grundrechnungsarten erklären,- können Umkehroperationen verwenden, auch zur sinnvollen Überprüfung des Ergebnisses.IK 2.3 Schriftliche Rechenverfahren beherrschenDie Schüler/innen- verstehen die Algorithmen der schriftlichen Rechenverfahren,- können die Lösung mit Hilfe einer Probe überprüfen.

Hilfsmittel keine

AnmerkungenKomplexitätsstufen- niedriger: Aufgaben 1, 3, 6- höher: Aufgaben 2, 4, 5, 7


5 4 6– 4 2 9

1 2 7

8 2 1– 2 4 6

6 8 5

Aufgabenbeispiele

1. Aufgabe:

Rechne aus, wie viel Geld Herr Valentin in zwei Tagen insgesamt ausgegeben hat.

Mittwoch: 34 € 55 c; 73 €; 118 € 54 cDonnerstag: 21 € 10 c; 2 € 99 c

Antwort: __________________________________________________________

2. Aufgabe:

Bettina hat folgende Rechnungen gemacht.Findest du die Fehler? Schreib auf, welche Fehler Bettina gemacht hat.

Rechne die beiden Aufgaben unten richtig.


Ü: Ü:

a) 9 7 5 • 8 6 b) 7 0 5 6 : 9 8 =

3. Aufgabe:

Mache zuerst einen Überschlag und rechne dann diese Rechnungen aus.

4. Aufgabe:

Hier sind Herrn Klecks ein paar Tintentropfen auf die Rechnungen gefallen.Finde die fehlenden Ziffern und schreib die vollständige Rechnung auf.

7 8 2 3 5 93 9 1 1 5

7 0 4 0 74 6 1 5 5 7

2 3 4 5 61 5 0 4 2

8 4 1 4

2 3 4 5 6−

8 4 1 4

a) b)

•


5. Aufgabe:

Finde die richtigen Ziffern und schreib sie in die grauen Kästchen.

6. Aufgabe:

Wie viel muss Andrea für ihren Einkauf bezahlen?

Antwort:

KLASSEMARKTSaalbergen

Müllergasse 8

SUMME :

BACKWARE 1.28BACKWARE 1.80MILCH 0,5 l 0.59FRUCHTJOG. 0.49OBST,GEMÜSE 0.69

4 4 5 62 40 1 8

1 4 38 2 0 3

a)3 4 2 6 : 7 = 9 5

−6 8

− 6 3

−3 6

− 3 51 R

b)


7. Aufgabe:

a) Subtrahiere von 7 328 eine dreistellige Zahl.Überprüfe das Ergebnis mit Hilfe einer Probe.

b) Multipliziere eine dreistellige Zahl mit einer zweistelligen Zahl.Überprüfe das Ergebnis mit Hilfe einer Probe.

c) Finde verschiedene Möglichkeiten, die Ergebnisse der Addition, Subtraktion,Multiplikation und Division zu überprüfen.Besprich das mit anderen Kindern.

114 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 16 – Schriftliches Rechnen

Lösungen:

1. Aufgabe:Mittwoch: 34 € 55 c ; 73 €; 118 € 54 cDonnerstag: 21 € 10 c; 2 € 99 c

Sowohl mit einnamigen als auch mit mehrnamigenGrößenangaben lösbar.

Herr Valentin hat insgesamt 250 € 18 c ausgegeben.

2. Aufgabe:Findest du die Fehler?

Bettina ergänzt zwar auf 16, jedoch vergisst sie, denÜbertrag mitzunehmen. Danach berechnet sienur die Differenz zwischen den Ziffern.Bei der zweiten Rechnung vergisst sie gleichzweimal den Übertrag.

3 4 € 5 5 c

7 3 € 0 0 c

1 1 8 € 5 4 c

2 1 € 1 0 c

2 € 9 9 c

2 5 0 € 1 8 c

10 E 10 Z 10 E

5 4 6 8 2 1

4 2 9 2 4 6

1 Z 1 H 1 Z

1 1 7 5 7 5

5 4 6

4 2 9

1 2 7

8 2 1

2 4 6

6 8 5

−

−

− −

Lösungen Aufgabenbeispiel 16 – Schriftliches Rechnen Mathematik 115

3. Aufgabe:

Ü: 1 0 0 0 • 8 0 = 8 0 0 0 0 Ü: 7 0 0 0 : 1 0 0 = 7 01 0 0 0 • 9 0 = 9 0 0 0 0

a) 9 7 5 • 8 6 b) 7 0 5 6 : 9 8 = 7 27 8 0 0 – 6 8 6

5 8 5 0 1 9 68 3 8 5 0 – 1 9 6

0 0 0 R

Beim Beispiel 3 b) wird bewusst diese Schreibweise gewählt, in der die Multiplikationund die Subtraktion als voneinander getrennte Operationen dargestellt werden.Schwache Kinder dürfen auch weiterhin bei dieser „Langform“ bleiben!Kinder, die schon in der Lage sind, beide Schritte im Kopf hintereinander auszuführen,können natürlich die verkürzte Form wählen. ⇒ 7056 : 98 = 72

1960 R

4. Aufgabe:

7 8 2 3 · 5 93 9 1 1 5

7 0 4 0 74 6 1 5 5 7

2 3 4 5 61 5 0 4 2

8 4 1 4

2 3 4 5 6−

8 4 1 4

a) b)

116 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 16 – Schriftliches Rechnen

4 4 5 62 9 4

2 0 1 81 4 3 58 2 0 3

a) 3 4 8 2 6 : 7 = 4 9 7 5− 2 8

6 8− 6 3

5 2− 4 9

3 6− 3 5

1 R

b)

5. Aufgabe:

Auch beim Beispiel 5 b) wird bewusst diese Schreibweise gewählt, in der dieMultiplikation und die Subtraktion als voneinander getrennte Operationen dargestelltwerden.

6. Aufgabe:

Antwort: Andrea muss für ihren Einkauf 4,85 € bezahlen.

1 , 2 8 €

1 , 8 0 €

0 , 5 9 €

0 , 4 9 €

0 , 6 9 €2 3

4 , 8 5 €

Lösungen Aufgabenbeispiel 16 – Schriftliches Rechnen Mathematik 117

7. Aufgabe:

a) und b)Viele Varianten und damit auch Lösungsmöglichkeiten.

c) Kindgemäße Formulierungen zu den Überprüfungsmöglichkeiten,z.B.: Ich kann auch von oben nach unten zusammenrechnen.

Hinweise zur Orientierung (Auswahl) nur für Lehrerinnen und Lehrer:

Addition:Addition der Summanden von oben nach untenSubtraktion (2 verschiedene Möglichkeiten)ungerade Zahl plus ungerade Zahl ⇒ gerade Zahlbei mehreren Summanden: geschicktes Zusammenfassen (Summanden, die 10ergeben) usw.

Subtraktion:Differenz plus Subtrahend ⇒ MinuendSubtrahend plus Differenz ⇒ MinuendMinuend minus Differenz ⇒ Subtrahend

Multiplikation:Vertauschen der FaktorenDivision: Produkt dividiert durch Multiplikand/Multiplikatorfortgesetzte Addition

Division:Quotient mal Divisor ⇒ DividendDividend dividiert durch Quotient ⇒ Divisorfortgesetzte Subtraktion

118 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 17 – Tabellen und Diagramme

Titel/Thema Tabellen und Diagramme

Kompetenzbereiche

AK 1 – ModellierenAK 2 – OperierenAK 3 – KommunizierenAK 4 – ProblemlösenIK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 2 – Arbeiten mit Operationen


Aufgabe 1

AK 2 – OperierenAK 2.2 Mit Tabellen und Grafiken arbeitenDie Schüler/innen können- Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen.AK 3 – KommunizierenAK 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründenDie Schüler/innen können- ihre Vorgangsweisen beschreiben und protokollieren.


Aufgabe 2

AK 3 – KommunizierenAK 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründen.Die Schüler/innen können- mathematische Begriffe und Zeichen sachgerecht in Wort und Schrift benützen.AK 3.2 Mathematische Sachverhalte in unterschiedlichen Repräsentationsformen darstellen.Die Schüler/innen können- Zeichnungen und Diagramme erstellen.

IK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 1.1 Zahldarstellungen und -beziehungen verstehenDie Schüler/innen können- Zahlen im Zahlenraum 100 000 lesen und darstellen.IK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschenDie Schüler/innen können - Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlagsrechnungen durchführen.

Aufgabe 3

AK 2 – OperierenAK 2.2 Mit Tabellen und Grafiken arbeitenDie Schüler/innen können- Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen.


Aufgabenbeispiel 17

Aufgabenbeispiel 17 – Tabellen und Diagramme Mathematik 119

Aufgaben 4, 5

AK 1 – ModellierenAK 1.1 Sachsituationen in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehenDie Schüler/innen können- passende Lösungswege finden.AK 4 – ProblemlösenAK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzenDie Schüler/innen können- zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen.

IK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschenDie Schüler/innen können- nichtautomatisierte Rechenoperationen in Teilschritten durchführen,- Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlagsrechnungen durchführen.IK 2.3 Schriftliche Rechenverfahren beherrschenDie Schüler/innen- können die Algorithmen der schriftlichen Verfahren für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen.

Hilfsmittel Geodreieck, Farbstifte


120 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 17 – Tabellen und DiagrammeAufgabenbeispiele

1. Aufgabe:

Die Tabelle1 zeigt, wie viele Storchennester und wie viele Jungstörche es inÖsterreich gibt.

Brutplätze inÖsterreich Storchennester Jungstörche

Niederösterreich 116 252Burgenland 154 261Steiermark 110 160Oberösterreich 6 11Kärnten 4 3Vorarlberg 2 3

a) Wie viele Storchennester gibt es in Niederösterreich?

b) Wie viele Jungstörche gibt es im Burgenland?

c) Wie viele Storchennester gibt es in Österreich?

d) Wie viele Jungstörche gibt es in Österreich?

e) Kannst du dir den Unterschied zwischen der Anzahl der Storchennester und derAnzahl der Jungstörche erklären?

Sprich mit deiner Nachbarin / deinem Nachbarn darüber.Schreibt eure Überlegungen auf.

1 Quelle: Birdlife Österreich, 2004


2. Aufgabe:

Die Tabelle1 zeigt, wie viele Jungstörche es in Österreich gibt.

1996 1998 2000 2002 2004Burgenland 323 278 341 267 261Niederösterreich 330 146 254 189 252Steiermark 208 199 245 198 160Oberösterreich 2 8 10 9 11Kärnten 3 4 7 5 3Vorarlberg 2 3 6 2 3

Julia wählt das Burgenland und stellt die Anzahl der Jungstörche in der Tabelle dar.1 cm entspricht 50 Jungstörchen. Male an.

Schreib auf, was dir auffällt.

1 Quelle: Birdlife Österreich, 2004

1996 1998 20022000 2004

100

50

Jahr

Anz

ahld

erJu

ngst

örch

e

122 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 17 – Tabellen und Diagramme

17

3. Aufgabe:

Ein Streifendiagramm stellt die Anzahl der Jungstörche in Österreich dar.

Fülle zu diesem Streifendiagramm die Tabelle aus.

1994 1996 1998 2000 2002 2004

Jungstörche

200

100

1994 1996 20001998 2002 2004 Jahr

Anz

ahld

erJu

ngst

örch

e


4. Aufgabe:

Ein ausgewachsener Storch kann an einem Tag 10 bis 15 Mäuse fressen.

a) Trag in die Tabelle ein, wie viele Mäuse die Störche ungefähr fressen könnten.

Störche Anzahl der Mäuse proTag

1 10 - 15

10 100 - 150

30

50

……

b) Wie viele Mäuse könnten die 200 Störche in der Steiermark pro Woche ungefährfressen?

_____________

5. Aufgabe:

Tierbabys werden schwerer und wiegen erwachsen ein Vielfaches.Fülle die leeren Felder in der Tabelle aus.

Tiere neugeboren erwachsenSchätze, wieviel mal soschwer?

Gewichts-zunahme

Meerschweinchen 100 g 850 g

Blauwal 130 t 128 t

Kuckuck 3 g 87 g

Katze 10 dag 40-mal

Kaninchen 50 g 1 kg 50 dag

(Indischer) Elefant 90 kg 3 t 200 kg

124 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 17 – Tabellen und Diagramme

Lösungen:

1. Aufgabe:

a) 116b) 261c) 392d) 690e) Ein Storchenpaar zieht in einem Jahr ungefähr zwei Jungstörche auf.

2. Aufgabe:

Mögliche Überlegungen:Es gab im Jahr 2000 die meisten Jungstörche.Der Unterschied zwischen den einzelnen Jahren ist höchstens ungefähr 100.

3. Aufgabe:

Jungstörche 1994 1996 1998 2000 2002 2004Österreichgesamt 800 900 600 900 700 700

1996 1998 20022000 2004

100

50

Jahr

AnzahlderJungstörche

Lösungen Aufgabenbeispiel 17 – Tabellen und Diagramme Mathematik 125

a)

b) 14 000 bis 21 000

4. Aufgabe:

5. Aufgabe:

Tiere neugeboren erwachsenSchätze, wieviel mal soschwer?

Gewichts-zunahme

Meerschweinchen 100 g 850 g 8-mal 750 gBlauwal 2 t 130 t 65-mal 128 t Kuckuck 3 g 90 g 30-mal 87 g

Katze 10 dag 4 kg 40-mal 3 kg 90 dagKaninchen 50 g 1 kg 50 dag 30-mal 1 kg 45 dag

(Indischer) Elefant 90 kg 3 t 200 kg 35-mal 3 t 110 kg

Störche Anzahl der Mäuse pro Tag1 10 – 15

10 100 – 15030 300 - 45050 500 – 750

?100? ? 1 000 – 1 500 ?

126 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 18 – Relationen

Aufgabenbeispiel 18

Titel/Thema Relationen

Kompetenzbereiche

AK 1 – ModellierenAK 2 – OperierenAK 4 – ProblemlösenIK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 2 – Arbeiten mit Operationen


Aufgaben 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren,- arithmetische Operationen und Verfahren durchführen.AK 4 – ProblemlösenAK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzenDie Schüler/innen können- zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen.

IK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 1.1 Zahldarstellungen und -beziehungen verstehenDie Schüler/innen können- sich im Zahlenraum 100 000 orientieren, Zahlen vergleichen und diese in Relation setzen.IK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschenDie Schüler/innen- beherrschen sicher und schnell additive Grundaufgaben im Zahlenraum 20,- beherrschen sicher und schnell multiplikative Grundaufgaben im Zahlenraum 100,- können nichtautomatisierte Rechenoperationen in Teilschritten durchführen,- können einfache Gleichungen mit Platzhaltern lösen.

Hilfsmittel keine

AnmerkungenKomplexitätsstufen- niedriger: Aufgaben 1, 2, 3, 4- höher: Aufgaben 5, 6, 7

Aufgabenbeispiel 18 – Relationen Mathematik 127Aufgabenbeispiele

1. Aufgabe:

Kreuze an, was richtig ist.

45 ist eine gerade Zahl.

Das Dreifache von 8 ist 24.

7 ist der Nachfolger von 9.

36 ist kleiner als 46.

Eine Stunde hat 60 Minuten.

Ein Meter ist länger als ein Dezimeter.

28 ist größer als 20, aber kleiner als 30.

2. Aufgabe:

Gleich oder nicht gleich?Setze die Zeichen = oder ≠ ein.

84 80 + 4

70 + 5 75

8 • 6 6 • 8

36 + 6 6 + 36

62 + 8 62 + 7

5 + 3 5 – 3

14 + 0 14 – 0

128 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 18 – Relationen

3. Aufgabe:

Größer oder kleiner?Setze die Zeichen > oder < ein.

36 38 12 + 14 12 + 13

145 154 35 – 14 35 – 15

2 670 3 400 3 • 6 3 • 8

12 500 11 990 4 • 7 + 5 4 • 7 + 6

9 999 22 222 36 : 6 36 : 9

4. Aufgabe:

Schreib jeweils drei Zahlen, die in das Kästchen passen würden, auf die Zeilen.

< 6 478 3 367 >

______________________ _____________________

5. Aufgabe:

Welche dieser Kärtchen kannst du nehmen, damit die Rechnungen richtig sind?Schreib die Zahlen auf die Zeile.

4 · < 30 + 6 > 10 30 – > 20

________________ _______________ _________________

01 3

6

8

Aufgabenbeispiel 18 – Relationen Mathematik 129

6. Aufgabe:

Kreise alle Zahlen ein, die in das Kästchen passen.

350 < 358 349 394 531 274 350

< 732 731 745 630 572 800 729

783 < < 840 839 740 783 780 387 800

7. Aufgabe:

Setze jeweils ein Zeichen so ein, damit die Rechnung stimmt.

+ – • : = < >

3 6 < 4 • 5 8 2 > 8 – 4

25 • 2 > 60 30 110 • 2 110 : 2

50 30 100 –– 80 45 • 0 45 + 0

130 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 18 – Relationen

Lösungen:

1. Aufgabe:

45 ist eine gerade Zahl.

Das Dreifache von 8 ist 24. X

7 ist der Nachfolger von 9.

36 ist kleiner als 46. X

Eine Stunde hat 60 Minuten. X

Ein Meter ist länger als ein Dezimeter. X

28 ist größer als 20, aber kleiner als 30. X

2. Aufgabe:

84 = 80 + 470 + 5 = 758 • 6 = 6 • 8

36 + 6 = 6 + 3662 + 8 ≠ 62 + 75 + 3 ≠ 5 – 3

14 + 0 = 14 – 0

3. Aufgabe:

36 < 38 12 + 14 > 12 + 13145 < 154 35 – 14 > 35 – 15

2 670 < 3 400 3 • 6 < 3 • 812 500 > 11 990 4 • 7 + 5 < 4 • 7 + 69 999 < 22 222 36 : 6 > 36 : 9

4. Aufgabe:

Alle Zahlen, die kleiner als 6 478 sind.Alle Zahlen, die kleiner als 3 367 sind.

Lösungen Aufgabenbeispiel 18 – Relationen Mathematik 131

5. Aufgabe:

0, 1, 3, 6 6, 8 0, 1, 3, 6, 8

6. Aufgabe:

358, 394, 531

731, 630, 572, 729

839, 800

7. Aufgabe:

3 • 6 / 3 + 6(3– 6 / 3 : 6)

< 4 • 5 8 + 2 / 8 • 2 / 8 – 2 > 8 – 4

25 • 2 > 60 – 30 / 60 : 30 110 • 2 > 110 : 2

50 – 30 = 100 – 80 45 • 0 < 45 + 0

132 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 19 – Vorteilhaftes Rechnen

Aufgabenbeispiel 19

Titel/Thema Vorteilhaftes Rechnen

KompetenzbereicheAK 2 – OperierenAK 3 – KommunizierenIK 2 – Arbeiten mit Operationen


Aufgaben 1, 2, 3, 4, 5, 6

AK 2 – OperierenAK 2.1 Mathematische Abläufe durchführenDie Schüler/innen können- arithmetische Operationen und Verfahren durchführen.AK 3 – KommunizierenAK 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründenDie Schüler/innen können- mathematische Begriffe und Zeichen sachgerecht in Wort und Schrift benützen,- ihre Vorgangsweisen beschreiben und protokollieren,- Lösungswege vergleichen und ihre Aussagen und Handlungsweisen begründen.

IK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 2.1 Die vier Grundrechnungsarten und ihre Zusammenhänge verstehenDie Schüler/innen können- die Zusammenhänge zwischen den Grundrechnungsarten erklären,- Tausch-, Nachbar- und Analogieaufgaben verwenden.IK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschenDie Schüler/innen- beherrschen sicher und schnell additive Grundaufgaben im Zahlenraum 20,- können nichtautomatisierte Rechenoperationen in Teilschritten durchführen,- können einfache Gleichungen mit Platzhaltern lösen.

Hilfsmittel keine


Aufgabenbeispiel 19 – Vorteilhaftes Rechnen Mathematik 133Aufgabenbeispiele

1. Aufgabe:

Was fällt dir bei den Aufgaben auf?Schau genau und rechne schlau.

329 + 101 =

315 + 301 =

746 + 199 =

453 + 399 =

127 + 698 =

838 + 102 =

Schreib auf, wie du gerechnet hast.

399 + 345 =

202 + 567 =

599 + 234 =

303 + 458 =

799 + 125 =

198 + 661 =

Wie bist du zum Ergebnis gekommen?

Erfinde ähnliche Aufgaben und schreib sie in dein Heft.


2. Aufgabe:


350 - 199 =

600 - 398 =

740 - 199 =

3 453 - 399 =

627 - 198 =

831 - 102 =



3. Aufgabe:


34 + 48 + 2 =

2 + 34 + 48 =

48 + 2 + 34 =

23 89734 51821 58358 302

2 8541 5694 746

453467357316



Aufgabenbeispiel 19 – Vorteilhaftes Rechnen Mathematik 135

4. Aufgabe:


a)

701 - 698 =

698 + ______ = 701

b)

502 - 499 =

499 + = 502

c)

5 002 - 2 998 =

2 998 + = 5 002

Unterstreiche bei jedem Beispiel, welche Rechnung dir leichter gefallen ist.Begründe es.



5. Aufgabe:

Rechne schlau. Schreib auf, wie du die Aufgabe rechnest.

5 455 + 399 =Zuerst rechne ich ______________________, dann _________________________.

4 830 + 400 + 70 =Zuerst rechne ich ______________________, dann _________________________.

298 + 365 =Zuerst rechne ich ______________________, dann _________________________.

801 - 798 =Zuerst rechne ich ______________________, dann _________________________.

Erfinde Aufgaben, bei denen du auch schlau rechnen kannst.

Erfinde Aufgaben, die sich nicht eignen.

Rechne alle diese Aufgaben selbst aus und stelle sie dann einem anderen Kind vor.

Aufgabenbeispiel 19 – Vorteilhaftes Rechnen Mathematik 137

6. Aufgabe:

Überlege, ob du diese Aufgabe gleich im Kopf löst oder schriftlich rechnest.

schlau im Kopf schriftlich

640 - 399 = 2 567 - 886 =

27 334 + 599 = 564 + 792 =

12 903 - 12 898 =

138 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 19 – Vorteilhaftes Rechnen

Lösungen:1. Aufgabe:329 + 101 = 329 + 1 + 100 = 430315 + 301 = 315 + 300 + 1 = 616746 + 199 = 746 + 200 - 1 = 945

453 + 399 = 453 + 400 - 1 = 852127 + 698 = 127 + 700 - 2 = 825838 + 102 = 838 + 2 + 100 = 940

Schreib auf, wie du gerechnet hast:Mögliche Antworten: von „Ich habe schriftlich addiert“ bis (Idealfall) „Ich habe mitden vollen Hundertern gerechnet “.Diese Rechnungen sollen ein Impuls sein, um über geschickte Rechenstrategien zu diskutieren.

399 + 345 = 400 + 345 - 1 = 744202 + 567 = 200 + 567 + 2 = 769599 + 234 = 600 + 234 - 1 = 833

303 + 458 = 300 + 458 + 3 = 761799 + 125 = 800 + 125 - 1 = 924198 + 661 = 200 + 661 - 2 = 859

Wie bist du zum Ergebnis gekommen?Mögliche Antworten: „Ich habe zuerst mit ‚400’ gerechnet und dann wieder ‚1’weggenommen“; „Ich habe bei ‚599’ ‚1’ addiert und von ‚234’ ‚1’ subtrahiert“(Ausgleichsgesetz der Addition) oder „Ich rechne zuerst mit den reinen Hundertern undaddiere oder subtrahiere erst dann die Differenz.“Kinder sollen geschickte Rechenstrategien anwenden und verbalisieren.

2. Aufgabe:350 - 199 = 350 - 200 + 1 = 151600 - 398 = 600 - 400 + 2 = 202740 - 199 = 740 - 200 + 1 = 541

3 453 - 399 = 3 453 - 400 + 1 = 3 054627 - 198 = 627 - 200 + 2 = 429831 - 102 = 831 - 100 - 2 = 729

Schreib auf, wie du gerechnet hast:Kinder schreiben die Rechnung auf oder verbalisieren, wie z. B. „Ich habe zuerst‚200’ subtrahiert und dann wieder ‚1’ addiert “.

3. Aufgabe:84; 138 300; 9 169; 270Schreib auf, wie du gerechnet hast:„Zuerst habe ich die Zahlen, die 10 ergeben, addiert.“

4. Aufgabe:a) 3; b) 3; c) 2 004Begründung:„Wenn nur ein kleiner Unterschied zwischen den Zahlen ist, ist das Ergänzeneinfacher.“„Ich subtrahiere den vollen Hunderter/Tausender und subtrahiere um 1 oder 2mehr/weniger.“

5. Aufgabe:5 455 + 400 = 5855, dann 5855 - 1 = 58544 830 + 70 = 4900, dann 4900 + 400 = 5 300 oder 400 + 70 = 470, dann 470 + 30 ... Ich denke an „300 + 365“ …Ich denke an „798 + __ = 801“ …

Lösungen Aufgabenbeispiel 19 – Vorteilhaftes Rechnen Mathematik 139

6. Aufgabe:

140 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 20 – Sachaufgaben

Titel/Thema Sachaufgaben

Kompetenzbereiche

AK 1 – ModellierenAK 2 - OperierenAK 3 – KommunizierenIK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 4 – Arbeiten mit Ebene und Raum


Aufgaben 1, 6


IK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschenDie Schüler/innen können- nichtautomatisierte Rechenoperationen in Teilschritten durchführen.IK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 3.3 Mit Größen operierenDie Schüler/innen können- mit Größen rechnen.IK 4 – Arbeiten mit Ebene und RaumIK 4.2 Beziehungen bei geometrischen Figuren erkennenDie Schüler/innen können- Lagebeziehungen zwischen Objekten im Raum und in der Ebene beschreiben und nutzen.

Aufgabe 2


IK 1 – Arbeiten mit ZahlenIK 1.2 Zahlen runden und Anzahlen schätzenDie Schüler/innen können- Anzahlen schätzen.IK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschenDie Schüler/innen können- nichtautomatisierte Rechenoperationen in Teilschritten durchführen,- Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlagsrechnungen durchführen.

Aufgabenbeispiel 20

Aufgabenbeispiel 20 – Sachaufgaben Mathematik 141

Aufgabe 3

AK 1 – ModellierenAK 1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehenDie Schüler/innen können- aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen,- die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen.

IK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 2.1 Die vier Grundrechnungsarten und ihre Zusammenhänge verstehenDie Schüler/innen- verfügen über Einsicht in das Wesen von Rechenoperationen.

Aufgabe 4

AK 1 – ModellierenAK 1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehenDie Schüler/innen können- aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen,- passende Lösungswege finden,- die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen.AK 3 – KommunizierenAK 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründenDie Schüler/innen können- Lösungswege vergleichen und ihre Aussagen und Handlungsweisen begründen.

IK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschenDie Schüler/innen können- Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlagsrechnungen durchführen.

Aufgabe 5


IK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschenDie Schüler/innen können- Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlagsrechnungen durchführen.IK 3 – Arbeiten mit GrößenIK 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennenDie Schüler/innen können- Größen in unterschiedlichen Schreibweisen darstellen.

Aufgabe 7




Aufgabe 8

AK 1 – ModellierenAK 1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehenDie Schüler/innen können- aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen,- passende Lösungswege finden,- die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen.AK 1.2 Ein mathematisches Modell in eine Sachsituation übertragenDie Schüler/innen können- zu Termen und Gleichungen Sachaufgaben erstellen.AK 2 – OperierenAK 2.2 Mit Tabellen und Grafiken arbeitenDie Schüler/innen können- Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen.AK 3 – KommunizierenAK 3.2 Mathematische Sachverhalte in unterschiedlichen Repräsentationsformen darstellenDie Schüler/innen können- ihre Vorgangsweisen in geeigneten Repräsentationsformen festhalten.

IK 2 – Arbeiten mit OperationenIK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschenDie Schüler/innen können- nichtautomatisierte Rechenoperationen in Teilschritten durchführen,- Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlagsrechnungen durchführen.IK 2.3 Schriftliche Rechenverfahren beherrschenDie Schüler/innen- können die Algorithmen der schriftlichen Verfahren für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen.

Hilfsmittel Geodreieck, Internet

AnmerkungenKomplexitätsstufen- niedriger: Aufgaben 1, 3, 6, 7- höher: Aufgaben 2, 4, 5, 8


Aufgabenbeispiele

1. Aufgabe:

Tischdecke

Der Esszimmertisch von Familie Mang ist 1 m 60 cm lang und 90 cm breit. FrauMang möchte für diesen Tisch eine Tischdecke kaufen, die auf allen Seiten 20 cmhinunterhängt.Wie lang und breit ist die Tischdecke?

2. Aufgabe:

Bei diesen Aufgaben gibt es kein genaues Ergebnis.Damit du sie lösen kannst, musst du dir auch Zahlen selbst überlegen. Du kannstschreiben, rechnen und zeichnen.

a) EiskugelnÜberlege, wie viele Eiskugeln ungefähr von denKindern deiner Klasse in diesem Jahr geschleckt werden?

b) Stau auf der StraßeWie viele Autos stehen ungefähr in einem Stau von 1 km Länge?

3. Aufgabe:

AlterPoldi sagt: „In unserer Schule gibt es 8 Klassen, 7 Lehrerinnen und einen Lehrer.Wie alt ist unsere Frau Direktorin?“


4. Aufgabe:

Was sagst du dazu?

5. Aufgabe:

Rekorde im Tierreich

a) GewichtheberDie Blattschneiderameise kann ungefähr das 300fache ihres Körpergewichtstragen.Welches Gewicht müsstest du tragen können, wenn du dieselbe Fähigkeithättest?

b) WeitspringerBei einer Körperlänge von 3 mm hüpft der Floh bis zu 60 cm weit.Übertrage auf dich:„Mit meiner Körpergröße von ____________ wären das __________ m.“

6. Aufgabe:

FroschzäuneAuf ihrer Wanderung zum Laichplatz müssen die Frösche und Kröten eine Straßeüberqueren. Damit sie nicht überfahren werden, wird entlang der Straße ein 20 mlanger „Froschzaun“ errichtet. Dazu werden im Abstand von 4 m Pflöckeeingeschlagen.

Wie viele Pflöcke werden gebraucht?Eine Zeichnung hilft dir bei der Lösung.


7. Aufgabe:

HaustiereDie Kinder der 1. Klasse zählen ihre Haustiere. Es sind insgesamt 11 Katzen und5 Hunde. In der 2. Klasse ergibt die Zählung 14 Katzen und 9 Hunde.

Zeichne in das Diagramm richtig ein.

KlassenKatzen Hunde HundeKatzen

1. Klasse 2. Klasse

Anz

ahl d

er T

iere 16

14

4

2

6

8

10

12


8. Aufgabe:

Schifahren

Folgende Schipässe gelten im Schigebiet Alle Preisangaben in Euro

Tages-Schipass Person NSNebensaison

HSHauptsaison

Ganztageskarte

ErwachseneKinderJugendlicheGruppe/Erwachsene

33,0019,0026,5031,00

37,5019,0030,0036,00

ab 11:30 Uhr


29,5017,0024,0028,50

34,0017,0027,5032,50

ab 12:00 Uhr


28,0016,0023,0026,50

32,0016,0026,0030,50

ab 13:00 Uhr


24,5014,0020,0023,50

28,0014,0022,5027,00

ab 14:00 Uhr


21,0012,0017,0020,00

24,0012,0019,5023,00

a) Um 9:00 Uhr steht eine Gruppe von 10 Erwachsenen des Schiklubs „Snowfans“vor der Liftkassa.Die Gruppe kauft Schipässe für den ganzen Tag.Es ist Nebensaison.Wie viel bezahlt die Gruppe zusammen?


b) Familie Knapp geht Schi fahren. 4 Erwachsene und 3 Kinder stehen um12:15 Uhr vor der Liftkassa.Es ist Hauptsaison.

Wie viel bezahlen sie zusammen für die Schipässe?

______________________________________________________________

c) Die Kassierin an der Liftkasse rechnet:37,50 € + 30,00 € + 19,00 € = 86,50 €.

Erkläre, was die Kassierin berechnet hat.

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

d) An der Liftkasse stehen 27 Erwachsene und 14 Jugendliche.

Wie alt ist der Kassier?

______________________________________________________________


e) Suche die Liftpreise für dein nächstgelegenes Schigebiet im Internet.

Berechne, wie teuer ein ganzer Schitag für deine Familie in der Hauptsaisonkommt.Berechne, wie teuer ein Halbtag für deine Familie in der Nebensaison kommt.

______________________________________________________________

Lösungen Aufgabenbeispiel 20 – Sachaufgaben Mathematik 149

Lösungen:

:

:

:

:

:

:

1. Aufgabe

Die Tischdecke ist 2 m lang und 130 cm breit.

2. Aufgabe

a) z. B.: 25 Kinder … 2-mal/Woche … je 2 Kugeln … von April bis Sept. (6 Monate)würden ca. 2 500 Eiskugeln ergeben.

b) z. B.: In einem Stau von 1 km Länge stehen ungefähr 200 Autos (nur PKWsAutolänge inkl. Abstand ca. 5 m … einspurig).Varianten: mit LKWs, mehrere Spuren …

3. Aufgabe

Es gibt in dieser Aufgabe zwar Zahlen, aber keine Angaben zum Alter der FrauDirektorin.

4. Aufgabe

423 875 € : 8 ≈ 50 000 € (nicht 5 000 €)

5. Aufgabe

a) z. B.: Bei einem Körpergewicht von 40 kg wären das 12 t.

b) Der Floh springt etwa das 200fache seiner Körperlänge.Bei einer Körpergröße von 1 m 30 cm wären das 260 m.

6. Aufgabe

6 Pflöcke

150 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 20 – Sachaufgaben

7. Aufgabe:

8. Aufgabe:

a) Die Gruppe bezahlt zusammen 310 €.

b) 32 € · 4 = 128 € 16 € · 3 = 48 € 128 € + 48 € = 176 €Sie bezahlen zusammen 176 € für die Schipässe.

c) Jeweils 1 Erwachsener, 1 Jugendlicher und 1 Kind kaufen sich in derHauptsaison eine Ganztageskarte.

d) Es gibt keine Lösung aus den Angaben.

e) Je nach Familie verschieden.

Es eignen sich auch Beispiele mit Seilbahnausflügen im Sommer zum Wandern,wenn Schifahren gerade nicht aktuell ist. Preistabellen dazu gibt es im Internet.

Anz

ahl d

er T

iere

16

14

4

2

6

8

10

12

Katzen Hunde1. Klasse

Klassen

HundeKatzen2. Klasse

Mathematik 151

Die Implementierung der Bildungsstandards beinhaltet laut Verordnung die verpflichtenden Standardüberprüfungen je-weils am Ende der 4. und 8. Schulstufe. Diese für die Volks-schule ab 2013 stattfindenden summativen Erhebungen sind zentral vorgegeben und stellen fest, ob die Schüler/innen die Lernziele hinsichtlich der Bildungsstandards er-reicht haben. Damit die Schüler/innen die in den Bildungs-standards formulierten Kompetenzen erwerben können, ist im Unterricht ein kontinuierlicher Aufbau notwendig, der mit dem Schuleintritt des Kindes beginnt.

In der Verordnung zu den Bildungsstandards heißt es: „Die Lehrkraft hat die angestrebten Lernergebnisse (Bildungs-standards) und die tatsächlich erreichten Lernergebnisse gegenüberzustellen, zu analysieren und eine Diagnose über den Leistungsstand zu treffen und die Schüler/innen best-möglich zu fördern und zu unterstützen.“ (Verordnung der Bundesministerin, 2009) Um diesem gesetzlichen Auftrag nachzukommen, bedarf es bestimmter Instrumente, die eine gezielte Diagnostik und Förderung ermöglichen. Da-mit Lehrer/innen bei der Erreichung dieser pädagogisch wichtigen Vorgabe bestmöglich unterstützt werden, wur-den Diagnoseinstrumente zur Informellen Kompe-tenzmessung (kurz IKM) entwickelt. An diesem Entwick-lungsprozess waren neben dem BIFIE Wien Fachdidaktiker/innen, Personen aus der Schulpraxis und fachwissenschaft-liche Expertinnen und Experten der Test- und Beratungs-stelle des Arbeitsbereichs Psychologische Diagnostik der Fakultät für Psychologie der Universität Wien (Team Test-psychologie) unter der Leitung von Univ.-Prof. Mag. Dr. Klaus Kubinger maßgeblich beteiligt.

Ziel der IKM ist es, Lehrer/innen bei der Erstellung von Dia-gnosen zum Lernstand ihrer Schüler/innen zeitgerecht zu unterstützen, sodass der individuelle Förderbedarf festge-stellt werden kann. Zusätzlich gibt die IKM Auskunft über den Lernstand der ganzen Gruppe hinsichtlich der in den Bildungsstandards formulierten Lernergebnisse. Die Durch-führung der IKM erfolgt eigenverantwortlich und selbstbe-stimmt durch die Lehrkraft, sie allein verwertet die Ergebnis-se nach ihren Maßgaben.

Im Bereich der Volksschule soll die IKM am Ende der 3. Schul stufe Rückmeldung über die Stärken und Schwä-chen der einzelnen Schüler/innen in Bezug auf das Kompe-tenzmodell der österreichischen Bildungsstandards Mathematik liefern. Die Durchführung ist jeweils im Mai/Juni möglich, um noch ausreichend Zeitressourcen für die Bearbeitung eventueller Defizite (bis zum Übergang in die weiterführende Schule) zur Verfügung zu haben. Darüber hinaus können Lehrer/innen die IKM auch am Beginn der 4. Schulstufe (September/Oktober/November) durchführen, um die Nachhaltigkeit ihrer Unterrichtsarbeit zu evaluieren

Diagnoseinstrumente zur Informellen Kompetenzmessung (IKM)

und um festzustellen, inwieweit die bis zur 3. Schulstufe erworbe-nen Kompetenzen nach den Sommerferien bis zum Beginn der 4. Schulstufe abrufbar sind. Ebenso kann das Herbstzeitfenster von Lehrerinnen und Lehrern, die eine Klasse neu übernommen haben, für eine grundsätzliche Standortbestimmung hinsichtlich der von den Schülerinnen und Schülern bereits erworbenen Kom-petenzen genutzt werden.

Die Diagnoseinstrumente für Mathematik bestehen aus Aufga-bensammlungen, die analog zu den Standardüberprüfungen gestaltet und wissenschaftlich validiert sind. Diese entsprechen selbstverständlich dem Lehrplan der 3. Schulstufe.

Folgende Antwortformate werden im Fach Mathematik bei den einzelnen Tasks eingesetzt:

� Verschiedene Formen des Multiple-Choice-Formats, bei de-nen die Schüler/innen die richtigen Antwortmöglichkeiten aus-wählen müssen.

� Beim Kästchenformat ist die jeweils zu ermittelnde Lösung an der entsprechenden Stelle ins Eingabefeld einzutragen.

� Im freien Antwortformat sollen die Schüler/innen die Lösung als Text beschreiben. Die Richtigkeit der Antwort wird von der Lehrkraft nach einem vorgegebenen Auswertungsschlüssel bewertet.

In Volksschulen erfolgt die Durchführung in Form einer Paper/Pencil-Version, da diesen – anders als in der Sekundarstufe I – nur in Ausnahmefällen IT-Ausrüstungen im Sinne von EDV-Sälen zur Verfügung stehen.

Für das Fach Mathematik sind als Bearbeitungsdauer für die Schüler/innen 50 Minuten (10 Minuten Instruktion, 40 Minuten Bearbeitung) anberaumt.

Im Anschluss an die Durchführung tragen die Lehrer/innen die Ergebnisse auf der Online-Plattform ein und erhalten eine com-puterisierte Rückmeldung mittels grafischer Darstellungen zum Gesamtergebnis der Lerngruppe sowie zu den von den ein-zelnen Schülerinnen und Schülern gelösten Aufgaben.

Die Anonymität der Schüler/innen gegenüber der Öffentlich-keit, der Schulverwaltung und der Schulaufsicht ist gewährleistet, da auf der Plattform keine Namen eingegeben werden können, sondern jedes Ergebnis nur mit einem Code („Schüler 1“) gespei-chert wird. Damit ist es ausschließlich der betreffenden Lehrkraft möglich, die Ergebnisse der IKM einzelnen Schülerinnen und Schülern zuzuordnen.

Diese grafischen Darstellungen der computerisierten Auswertung der Ergebnisse dienen der Lehrkraft zur Feststellung des aktuellen


Literatur

Verordnung der Bundesministerin für Unterricht, Kunst und Kultur über Bildungsstandards im Schulwesen (2009). In BGBl. II Nr. 1/2009. Verfügbar unter http://www.bmukk.gv.at/medienpool/17533/bgbl_ii_nr_1_2009.pdf [01.08.2011].

Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Ent-wicklung des österreichischen Schulwesens (BIFIE) (Hrsg.) (2011). Handbuch zur Informellen Kompetenzmessung (IKM) Herbst 2011. Selbstevaluation durch die Lehrkraft. Bildungsstandards Mathematik (3. Schulstufe). Wien.

Lernstands einzelner Schüler/innen bzw. der Lerngruppe und in weiterer Folge der Selbstevaluierung für die Lehrer/innen mit dem Ziel der Weiterentwicklung des eigenen Un-terrichts und der individuellen Lernbegleitung. Keinesfalls ist die IKM als Ersatz für oder Ergänzung zur Leistungsbeurtei-lung zu verstehen oder als „Vortestung“ zu den eigentlichen Überprüfungen.

Die erweiterte Rückmeldung bietet methodisch-didakti-sche Anregungen zum Setzen von individuellen Fördermaß-nahmen.

Das Ziel aller Bemühungen und Unterstützungsmaßnah-men soll die Hinführung zu einem kompetenzorientierten Unterricht sein, mit dem Blick darauf, was Schüler/innen am Ende der 4. Schulstufe können sollen. Die Lernenden werden besser als bisher auf ihren individuellen Lernwegen unterstützt und begleitet. Dazu muss nicht eine völlig neue Art des Unterrichts „erfunden“ werden, vielmehr geht es um ein Umdenken und eine Orientierung an Kompetenzen bei der Planung und Organisation des Unterrichts. Lehrer/innen müssen ihre diagnostischen Fähigkeiten verstärkt ein-setzen, um die Lernfortschritte der Schüler/innen und deren individuelle Ressourcen wahrzunehmen. Gleichzeitig brau-chen auch Lehrkräfte Rückmeldungen zu ihrem eigenen Unterricht, um eventuelle „blinde Flecken“ erkennen zu kön-nen bzw. über eigene Stärken und Schwächen informiert zu werden. Hier kann die IKM einen wertvollen Beitrag leisten, wenn die Ergebnisse zu einer Reflexion über den Unterricht beitragen und daraus persönlich gesetzte Maßnahmen als Konsequenzen für die Unterrichtsgestaltung abgeleitet wer-den.

Grundsätzlich kann die IKM keinesfalls den gesamten, son-dern nur einen Teil des Unterrichts erfassen, nämlich die Abbildung der bereits erworbenen allgemeinen und inhalt-lichen mathematischen Kompetenzen. Ebenso ersetzt die einmalige (oder zweimalige) Durchführung der IKM nicht die notwendige kontinuierliche Beobachtung der individuellen Lernfortschritte der Schüler/innen.

Ein wichtiger Aspekt ist, dass die Durchführung der IKM auf freiwilliger Basis und in anonymer Form erfolgt und alle dafür notwendigen Unterlagen den Lehrerinnen und Lehrern kos-tenlos zur Verfügung gestellt werden.

Weitere inhaltliche und organisatorische Informationen zur IKM können der Website des BIFIE, Rubrik „Diagnosein-strumente (IKM)“ entnommen werden. Personen, die den Newsletter zu den Bildungsstandards abonniert haben, werden über alle neuen Entwicklungen und Ergänzungen regelmäßig informiert.

Mathematik 153


Glossar

viereckig

Abstrahieren Abstrahieren meint einen Vorgang des Weglassens von nicht bedeutsamen Einzelheiten, um etwas Allgemeineres zu fokussieren.

- Weglassen von mathematisch UnbedeutsamemWenn ich zähle, wie viele Kinder vor der Tafel stehen, ist der rote Pullover von Monika und die Tatsache, dass Bernd gerade jemanden beleidigt hat, für die Anzahlbestimmung nicht bedeutsam.

- Von Beispielen zum Begriff

- Von der Handlung zur Rechnung

Algorithmus Ein Algorithmus ist eine exakt beschriebene Vorgehensweise zum Lösen eines (mathema-tischen) Problems in endlich vielen und eindeutig beschriebenen Schritten.Sie führen, wenn sie wie vorgegeben durchgeführt werden, garantiert zur richtigen Lösung. Jedes mit einem Algorithmus lösbare mathematische Problem kann auch von einer Rechenmaschine/einem Computer gelöst werden.

Algorithmische Verfahren Bei algorithmischen Verfahren werden mit Hilfe von festgelegten Regeln, nämlich dem Algorithmus, Probleme, wie z. B. in der Volksschulmathematik die schriftlichen Rechen-verfahren, gelöst.

Analogieaufgabe Bei Analogieaufgaben wird eine bekannte Struktur auf etwas Neues angewandt.

z. B.: Beim mündlichen Rechnen wird von einer verwandten Aufgabe im kleinen Zahlen-raum auf eine Aufgabe im größeren Zahlenraum geschlossen, wie z. B.: 3 + 4 = 7, daraus folgt in einem Analogieschluss: 13 + 4 = 17 23 + 4 = 27 30 + 40 = 70 300 + 400 = 700

Argumentieren Argumentieren ist die Angabe von Aspekten, die für oder gegen eine bestimmteSichtweise/Entscheidung sprechen. Durch Infragestellen und Überprüfen ihrer mathe-matischen Tätigkeiten und Aussagen werden Kinder angeregt, über ihr Vorgehen nachzudenken. Durch schlüssiges Argumentieren sollen sie ihre Aussagen und Hand-lungsweisen begründen.

Arithmetische Muster Arithmetische Muster sind Gesetzmäßigkeiten und Strukturen, die im Zusammenhang mit Zahlen und deren Verknüpfungen auftreten.

siehe Muster

4 + 2 = 6

handelnd symbolisch

1, 3, 5, 7, 9, 11 … 8 : 2, 14 : 2, 42 : 2, 56 : 2 …

Mathematik 155

Bandornament Ein Bandornament ist ein beliebig langer Streifen mit linear angeordneten Mustern, die sich durch Schiebung wiederholen.

Bauplan eines Bauwerks Als „Bauplan“ wird ein Grundriss bezeichnet, in dem die Anzahl der im jeweiligen Feld übereinander gestapelten Würfel angegeben ist.

Begründen In der Grundschulmathematik geht es beim Begründen darum, mathematische Sach-verhalte anhand repräsentativer Beispiele oder allgemeiner Überlegungen zu bestätigen bzw. zu widerlegen. Eine wichtige Begründungsstrategie ist hier die sogenannte „beispiel-gebundene Beweisstrategie“.z. B.: Kommutativgesetz der Multiplikation anhand des Beispiels 3 · 5 = 5 · 3

Darstellen Darstellen meint die Übertragung gegebener mathematischer Sachverhalte in eine andere Form der Repräsentation. Es sollen geeignete Repräsentationsformen erstellt, ausgewählt und genutzt werden. Darstellen bedeutet auch das verständige Umgehen mit bereits vorgegebenen Repräsentationen. Darstellen hat auch die Funktion, den Sachverhalt anderen mitzuteilen oder so festzuhal-ten, dass man sich später an ihn erinnert. Neben den grafischen Darstellungen (Diagram-me, Abbildungen, Fotos, Skizzen, statistische Schaubilder …) sind weitere Darstellungs-möglichkeiten, wie z. B. Tabellen, Listen, sprachliche Darstellungen bzw. Handlungen und Gesten, von Bedeutung.

Denkstrategien(heuristische Strategien)

- Systematisches Probieren Eine Form des Probierens, die nicht vom Zufall gesteuert ist. z. B.: Zerlegen der Zahl

...

- Vorwärtsarbeiten Aus dem Gegebenen erste Folgerungen ziehen, Beziehungen herstellen. Was ist gegeben? Was weiß ich darüber? Was kann ich daraus ermitteln?z. B.: Ein Rechteck ist 8 m lang und 4 m breit. Berechne den Flächeninhalt.

- Rückwärtsarbeiten Von einem vorgegebenen Ziel ausgehend werden die einzelnen Lösungsschritte gefunden.Was ist gesucht?Was weiß ich darüber? Was brauche ich, um es zu berechnen/konstruieren? z. B.: Umkehraufgabe: Wie lang und breit kann ein Rechteck mit 32 m² Flächeninhalt sein? Rechenrätsel: Wie heißt diese Zahl? Sie ist um 35 kleiner als 50.

1 2 2

1

Je nach Blickrichtung

erkennt man 5 × 3 bzw. 3 × 5.

5 × 3

3 × 5

0 5 1 4 2 3 3 2

erkennt man 5 · 3 bzw. 3 · 5.


- Aufgaben in überschaubare Teile zerlegen Wie kann ich geschickt zerlegen? Welche Teilfragen ergeben sich? Welche Reihenfolge soll ich beachten? z. B.: 235 : 9 = 180 : 9 = 20 54 : 9 = 6 1(R)

- Analogiebildung Was kommt mir an dieser Aufgabe bekannt vor? Kenne ich Aufgaben mit ähnlicher Struktur? Finde ich Gemeinsamkeiten zwischen dieser und anderen mir bekannten Aufgaben?

Diagramm Ein Diagramm ist eine grafische Darstellung von Daten und Sachverhalten.

Drehung Eine Drehung ist eine Kongruenzabbildung. Dies bedeutet, dass Figuren, die durch eine Drehung aufeinander abgebildet werden können, kongruent/deckungsgleich sind.

Ecke Im zweidimensionalen Bereich bedeutet Ecke, dass zwei Strecken mit einem gemeinsamen Endpunkt einen Winkel (ungleich 0° bzw. 180°) bilden.

Im dreidimensionalen Bereich versteht man unter einer Ecke den gemeinsamen Endpunkt mindestens dreier Kanten.

Explorieren Beim Explorieren im Zusammenhang mit Problemlösen geht es darum, völlig uneinge-schränkt Überlegungen und Vermutungen anzustellen, um geeignete Vorgehensweisen zu finden.

Fläche - Zweidimensional:Eine Fläche entsteht, wenn ein Teil einer Ebene durch eine geschlossene Linie bzw. durch einen geschlossenen Streckenzug abgegrenzt wird.- Dreidimensional:Eine Fläche ist eine flache Figur (Objekt ohne Rauminhalt), die eben oder gekrümmt sein kann. Sie kann einen dreidimensionalen Körper begrenzen, aber nicht füllen.

Flächeninhalt Der Flächeninhalt ist ein Maß für die Größe einer Fläche. Um den Flächeninhalt anzugeben, werden Flächenmaße (z. B. m², cm²) verwendet. Der Flächeninhalt wird oft fälschlicherweise kurz „Fläche“ genannt.

Geometrische Muster Geometrische Muster sind Gesetzmäßigkeiten und Strukturen, die im Zusammenhang mit geometrischen Inhalten und deren Darstellungen auftreten.

siehe Muster

Gleichung Eine Gleichung ist ein mathematischer Ausdruck, in dem zwei Terme durch das Gleich-heitszeichen verbunden sind. Gleichung: 3 + 5 = 8

Kommt in keinem der Terme eine Variable vor, handelt es sich um eine Aussage, die ent-weder wahr oder falsch ist. Wahre Aussage: 3 + 5 = 8Falsche Aussage: 3 + 5 = 7

Ist eine Variable (ein Platzhalter) vorhanden, dann ist es eine Aussageform (eine Platz-halteraufgabe): □ + 5 = 8

Mathematik 157

GrößeGrößenbereich

Größen sind objektiv messbare Eigenschaften von Gegenständen oder Vorgängen.Es sind Eigenschaften, die sich quantifizieren lassen und daher in Zahlen ausgedrückt werden können.

Man unterscheidet zwischen (1) dimensionslosen Größen und (2) Größen, die einer be-stimmten Dimension (einem Größenbereich) zugeordnet sind.

(1) Im Mathematikunterricht der Volksschule tritt die dimensionslose Größe „Anzahl“ auf, der keine Maßeinheit zugeordnet ist. Eine Bezeichnung der Einheit, wie etwa Stück (St.), ist möglich, aber nicht notwendig.

(2) Jede Maßeinheit wird einem Größenbereich zugeordnet, wie z. B. dem Größenbereich Länge: Meter (m), Kilometer (km) ... bzw. Zoll, Seemeile …

Jede Größe ist festgelegt durch eine Maßzahl und eine Maßeinheit. Sie wird als Produkt aus beiden beschrieben:

Größe = Maßzahl × Maßeinheitz. B.: 5 m

Ein und dieselbe Größe kann auf verschiedene Weise dargestellt werden,wie z. B.: 5 m = 50 dm = 500 cm = 5 000 mm

Die Größe bleibt immer die gleiche, nur die Maßzahl und die Maßeinheit ändern sich. Daher können Größenangaben umgewandelt werden.

Grundaufgaben Additive Grundaufgaben: Einspluseins, EinsminuseinsAdditive Rechenoperationen im Zahlenraum 20, deren Summanden einstellig sind (inkl. Umkehraufgaben)Multiplikative Grundaufgaben: Einmaleins, EinsineinsMultiplikative Rechenoperationen im Zahlenraum 100, deren Faktoren einstellig sind (inkl. Umkehraufgaben)

Halbschriftliches Rechnen Halbschriftliches Rechnen ist mündliches Rechnen, bei dem die individuellen Zwischenschritte/-ergebnisse aufgeschrieben werden.

InnermathematischerBereich

Aufgaben im innermathematischen Bereich entstammen direkt aus der Mathematik und weisen keine Realitätsbezüge auf.

Interpretieren Interpretieren heißt, aus mathematischen Darstellungen Zusammenhänge und Sach-verhalte zu erkennen und zu deuten. Dies tritt in der Grundschulmathematik besonders beim Lösen von Sachproblemen auf. Das Ergebnis, welches das Kind errechnet oder geometrisch dargestellt hat, wird mit der ausgehenden Fragestellung in Zusammenhang gebracht und gedeutet.

Kante Eine Kante entsteht durch das Aneinanderstoßen zweier Begrenzungsflächen eines Körpers.

Kommunizieren Kommunizieren in der Mathematik ist eine Grundtätigkeit, wenn Mathematik als ein System von Kommunikationssymbolen verstanden wird. Dazu gehört, eigene Gedanken und Lösungswege zu verbalisieren, zu protokollieren, Sachverhalte auf verschiedene Weise darzustellen und mit anderen zu erörtern.

Konstruieren Unter Konstruieren versteht man das Erstellen geometrischer Figuren mit Zeichengeräten.

Kopfrechnen Beim Kopfrechnen werden die Aufgaben, ohne die Zwischenschritte zu notieren, nur „im Kopf“ gerechnet. Es wird lediglich das Ergebnis notiert oder gesagt.

Statt Kopfrechnen wird auch gelegentlich der Terminus „mündliches Rechnen ohne Notation der Zwischenschritte“ verwendet.

Maßzahl Maßeinheit

82 – 39 = 4382 – 40 = 4242 + 1 = 43

354 + 37 = 380 + 11 = 391350 + 304 + 7


Maßeinheit siehe Größe

Mathematisches Modell Modelle bilden einen bestimmten Teil der Realität abstrakt ab. Sie reduzieren die Komple-xität und abstrahieren vom Konkreten. Das mathematische Modell ist ein Bestandteil der allgemeinen mathematischen Kompe-tenz „Modellieren“. Es kann unterschiedliche Formen annehmen: Zahlen, Rechenausdrücke, Zahlenfolgen, Graphen, geometrische Figuren, Algorithmen …

Mathematisieren Mathematisieren bezeichnet die Fähigkeit, Zusammenhänge und Gesetzmäßigkeiten zu erfassen und das mathematisch Relevante herauszulösen.z. B.: Eine Situation algebraisch beschreiben; bei Sachaufgaben erkennen, was man rechnen muss …

Messen Messen ist der Vergleich eines Repräsentanten eines Größenbereichs mit einem anderen, wobei üblicherweise ein Repräsentant eine normierte Maßeinheit ist. Beim Messen stellt man fest, wie oft ein Repräsentant in der zu messenden Größe ent-halten ist.

Modellieren Unter Modellieren versteht man, eine Sachsituation in ein mathematisches Modell zu übertragen. Dazu ist erforderlich, den mathematischen Stellenwert eines Problems zu erkennen, die benötigten Daten zu sichten und einen geeigneten Lösungsweg zu finden. Das Ergebnis ist in Hinblick auf die Sachsituation zu interpretieren und auf seine Gültigkeit zu überprüfen.

Mündliches Rechnen Mündliches Rechnen umfasst Kopfrechnen, überschlagendes Rechnen und halbschriftliches Rechnen. Mündliches Rechnen (Rechnen mit Zahlen) beruht im Gegensatz zum schriftlichen Rechnen (Rechnen mit Ziffern) auf Zahlvorstellungen und wird nicht nach Algorithmen durchgeführt. Mündliches Rechnen ermöglicht daher individuelle Lösungswege.

Muster Mathematik wird oft als die Wissenschaft von den Mustern und Strukturen bezeichnet. Mathematik betreiben heißt, „Muster“ zu erkennen oder zu finden. Solche Muster sind entweder wirklich oder vorgestellt, sichtbar oder gedacht. Als (mathematische) Muster werden bestimmte Regelmäßigkeiten bezeichnet, die im Zusammenhang mit Zahlen oder geometrischen Darstellungen auftreten. siehe arithmetische Muster, geometrische Muster

Nachbaraufgabe Nachbaraufgaben sind Rechenoperationen, bei denen bezüglich der ursprünglichen Auf-gabe eine Zahl um 1 verkleinert oder vergrößert wird.

Sie helfen im Sinne des operativen Übens, Zahlbeziehungen aufzubauen, und können dazu beitragen, schwierigere Rechnungen auf einfachere zurückzuführen. 19 + 35 20 + 35 (- 1)

Netz Netze sind flächige, zusammenhängende Modelle von Körpern.Netze entstehen durch Abrollen und Umfahren aller Flächen oder durch Aufschneiden und Auseinanderklappen der Begrenzungsflächen des Körpers.

Operieren Operieren umfasst die Kompetenz, Verfahren, die für die Lösung eines mathematischen Problems zielführend sind, anzuwenden, wie z. B. fachspezifische Zeichen zu verwenden und mit Gleichungen und Termen zu arbeiten.

Probe Eine Probe ist das Überprüfen des Ergebnisses einer algorithmischen Rechnung durch ein anderes Verfahren.

Probeaufgabe Unter Probeaufgabe versteht man das Überprüfen einer Aufgabe mittels einer Umkehr-aufgabe.

Problemlösen Problemlösen liegt dann vor, wenn der Weg zur Lösung nicht unmittelbar bekannt ist.Problemlösen umfasst die Kompetenz, Probleme zu erkennen und anzunehmen sowie Strategien zu (er)finden und zu nutzen, um Aufgabenstellungen zu lösen.

Rechengeschichte Eine Rechengeschichte ist eine sprachlich gestaltete Sachaufgabe, die in eine erzählte Geschichte eingekleidet ist.

9 • 7

8 • 7

7 • 7

8 • 8

8 • 7

8 • 6

20 + 35

19 + 35

18 + 35−1

+119 + 36

19 + 35

19 + 34−1

+1

−1

+1

−1

+1

Mathematik 159

Rechenoperation In der Grundschulmathematik versteht man darunter die vier Grundrechnungsarten – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Arten: - additive Rechenoperationen: Addition und Subtraktion - multiplikative Rechenoperationen: Multiplikation und Division

Rechenplan Der „Rechenplan“ (Rechenbaum) dient zum Verdeutlichen der mathematischen Struktur einer Sachaufgabe/Gleichung. Zur Veranschaulichung der jeweiligen Struktur werden Rechtecke für Zahlen und Kreise für Operationen verwendet.z. B.:

Rechentagebuch Das „Rechentagebuch“ ist eine spezielle Form des Lerntagebuchs. Das Kind dokumen-tiert seine persönlichen Erfahrungen im mathematischen Lernprozess.

Regel Unter einer Regel versteht man Aussagen, Definitionen und Handlungsanweisungen.z. B.: Die Schüler lernen den Algorithmus (die „Regel“) für das schriftliche Subtrahieren.

Repräsentant Bei der Behandlung von Größen im Unterricht ist zu unterscheiden zwischen der Größe einerseits und ihrem Repräsentanten andererseits. Durch einen Abstraktionsprozess gelangt man vom Repräsentanten zur zugehörigen Größe. Durch einen passenden Repräsentanten kann sich das Kind eine bestimmte Größe gut vorstellen.Beispiele von Repräsentanten für Größen:

Größen RepräsentantenLängen Strecken, Kanten, Stäbe1 m Armspanne, Abstand vom Boden bis zur Brust …Zeitspannen Dauer von Abläufen, VorgängenGeldwerte Münzen, GeldscheineGewichte / Massen Gegenstände, GewichtssteineFlächeninhalte Flächen

Repräsentation Auf die Grundschulmathematik bezogen meint Repräsentation die Darstellung eines Begriffs, einer Operation oder eines Gesetzes.

Repräsentationsformen In einem ganzheitlichen Mathematikunterricht sollen alle Repräsentationsformen (Darstellungsformen) berücksichtigt werden:enaktiv (durch Handlung),ikonisch (durch Bilder) undsymbolisch (durch Zeichen und Sprache).

Runden Beim Runden werden Näherungswerte aus bereits vorhandenen Zahlen durch das Anwenden fester Regeln ermittelt. Das Rundungszeichen „≈“ bedeutet „ungefähr gleich“ oder „rund“.

Schätzen Beim Schätzen wird eine unbekannte Größe durch gedankliches Vergleichen (Messen) mit bekannten Größen ermittelt.Solche bekannten Größen können zum Beispiel die Schrittlänge oder die Körpergröße sein. Diese werden dann zum gedanklichen Ausmessen benutzt. Durch Bestimmen eines passenden Operators (wie oft die bekannte Größe in der unbekannten Größe enthalten ist) wird das Ergebnis ermittelt.z. B.: Höhe des Turnsaales mittels Körpergröße eines Kindes bestimmen.

Schiebung Eine Schiebung ist eine Kongruenzabbildung. Dies bedeutet, dass zwei Figuren, die durch eine Schiebung aufeinander abgebildet werden können, kongruent/deckungsgleich sind.

5 3

8

+


Schriftliches Rechnen Beim schriftlichen Rechnen werden die Ergebnisse mit Hilfe eines Algorithmus (nach genau festgelegten Regeln) ziffernweise ermittelt.

Die komplexe Gesamtrechnung wird in einzelne Grundaufgaben zerlegt.

Situationsskizze Eine Situationsskizze ist eine grafische Darstellung, bei der eine Sachsituation,z. B. ein Text, bildlich abstrakt dargestellt wird.

Skizze Eine Skizze ist eine grafische Darstellung, die auf das Wesentliche reduziert. Sie wird freihändig durchgeführt.

Strategiekonferenz In einer Strategiekonferenz erfolgen ein gemeinsamer Austausch und eine Reflexion der verschiedenen Lösungswege.Das Ziel ist, Strategien von anderen kennen zu lernen und eventuell einfacher zum Ziel führende Strategien zu übernehmen. Diese Konferenzen können in Gruppen oder ge-meinsam im Klassenverband durchgeführt werden.

Strategieplakat Auf einem Strategieplakat stellen Schüler/innen ihren Lösungsweg schriftlich oder grafisch dar, sodass der Prozess von den anderen nachvollzogen werden kann.

Symmetrie und Symmetrieachse

Symmetrie ist eine Eigenschaft von Figuren, bei der eine Figur durch eine Kongruenzab-bildung auf sich selbst abgebildet wird.

Eine Figur heißt achsensymmetrisch, wenn sie durch eine Spiegelung an einer Geraden mit sich zur Deckung gebracht werden kann.Eine Figur heißt drehsymmetrisch, wenn sie durch eine Drehung um einen Punkt mit sich zur Deckung kommt.

Spiegelung Drehung

Systematisches Probieren Darunter versteht man eine Form des Probierens, die nicht mehr vom Zufall gesteuert ist. siehe Denkstrategien

Tauschaufgabe Die Bezeichnung „Tauschaufgabe“ wird in der Volksschule synonym für das Kommutativ-gesetz verwendet. Das Kommutativgesetz gilt nur für die Addition und die Multiplikation.Bei Tauschaufgaben werden die Summanden bzw. Faktoren der ursprünglichen Aufgabe vertauscht.2 + 3 3 + 2 4 ∙ 5 5 ∙ 4

Term Ein Term ist ein Rechenausdruck. Er kann eine- Zahl (3),- Variable (),- Verknüpfung zweier oder mehrerer Zahlen (3 + 5), - Verknüpfung von Zahlen und Variablen (3 + ) sein.

Überschlag und Überschlagsrechnung

Überschlagen heißt, (mit gerundeten Zahlen) das Ergebnis einer Rechenoperation ungefähr zu berechnen.

379 ∙ 8 ~ 3 200 (400 ∙ 8 = 3 200)

Umfang Die Länge des Randes bzw. der Begrenzungslinie von ebenen geometrischen Figuren wird als Umfang bezeichnet. Der Umfang kann durch Abmessen oder Berechnen ermittelt werden.

Umkehroperation Darunter versteht man die zu einer Operation inverse Operation.

z. B.: 4 + 3 = 11 Umkehroperation: 11 – 3 = 4 15 : 5 = 3 Umkehroperation: 3 ∙ 5 = 15

Validieren Validieren heißt, auf Gültigkeit zu überprüfen.

Beim Lösen von Sachproblemen gilt es, die erhaltenen Ergebnisse (Lösungen) an der Ausgangssituation zu messen und auf ihre Plausibilität zu prüfen.

Mathematik 161

Zahlbeziehungen Zahlbeziehungen beschreiben Relationen zwischen Zahlen, wie z. B.:- Feststellen, welche Zahl größer bzw. kleiner ist- Bestimmen von Vorgänger und Nachfolger- Unterscheiden zwischen geraden und ungeraden Zahlen - Bestimmen des Doppelten / der Hälfte einer Zahl - Erkennen der Vielfachen bzw. Teiler einer Zahl Vielfache von 3 (Zahlen der Dreierreihe): 3, 6, 9, … 42, 45 … Teiler von 12 (Zahlen, die ohne Rest in 12 enthalten sind): 1, 2, 3, 4, 6,12

Zahldarstellungen Darunter versteht man die verschiedenen Möglichkeiten (enaktiv, ikonisch, symbolisch), Zahlen darzustellen.z. B.:

Zahlenfolge Eine Zahlenfolge liegt vor, wenn die Anordnung der Zahlen nach einer Gesetzmäßigkeit erfolgt. Das heißt, dass jedes Glied der Folge berechnet werden kann.

3, 10, 17, 24 …

Zeichnung Eine Zeichnung kann sowohl freihändig als auch mit Zeichengeräten durchgeführt wer-den. Im Gegensatz zur Skizze, die sich auf das mathematisch Wesentliche beschränkt, kann die Zeichnung auch mathematisch nicht Relevantes enthalten.z. B.: Berechnung des Umfangs: - Zeichnung: Weide mit Kühen und Umzäunung- Skizze: Rand der Weide

+7 +7 +7 +7 +7 +7

E

2 3

dreiundzwanzig23

2 Z 3 E 20 + 3

XXIII

Z

Mathematik 163

BUNDESGESETZBLATTFÜR DIE REPUBLIK ÖSTERREICH

Jahrgang 2008 Ausgegeben am 8. August 2008 Teil I

117. Bundesgesetz: Änderung des Schulunterrichtsgesetzes(NR: GP XXIII RV 606 AB 636 S. 65. BR: AB 7998 S. 759.)

117. Bundesgesetz, mit dem das Schulunterrichtsgesetz geändert wird

Der Nationalrat hat beschlossen:

Das Schulunterrichtsgesetz, BGBl. Nr. 472/1986, zuletzt geändert durch das Bundesgesetz BGBl. INr. 28/2008, wird wie folgt geändert:

1. In § 17 wird nach Abs. 1 folgender Abs. 1a eingefügt:„(1a) Der zuständige Bundesminister hat für einzelne Schulstufen der in § 1 genannten Schularten (Formen,

Fachrichtungen) Bildungsstandards zu verordnen, wenn dies für die Entwicklung und Evaluation desösterreichischen Schulwesens notwendig ist. Bildungsstandards sind konkret formulierte Lernergebnisse, die sichgemäß dem Lehrplan der jeweiligen Schulart (Form, Fachrichtung) auf einzelne Pflichtgegenstände oder aufmehrere in fachlichem Zusammenhang stehende Pflichtgegenstände beziehen. Die individuellen Lernergebnissezeigen das Ausmaß des Erreichens grundlegender, nachhaltig erworbener Kompetenzen auf. Der Lehrer hat beider Planung und Gestaltung seiner Unterrichtsarbeit die Kompetenzen und die darauf bezogenenBildungsstandards zu berücksichtigen sowie die Leistungen der Schüler in diesen Bereichen zu beobachten, zufördern und bestmöglich zu sichern. Die Verordnung hat über die Festlegung von Schularten, Schulstufen undPflichtgegenständen hinaus insbesondere die Ziele der nachhaltigen Ergebnisorientierung in der Planung undDurchführung von Unterricht, der bestmöglichen Diagnostik und individuellen Förderung durch konkreteVergleichsmaßstäbe und der Unterstützung der Qualitätsentwicklung in der Schule sicher zu stellen. Es istvorzusehen, dass die Ergebnisse von Standardüberprüfungen so auszuwerten und rückzumelden sind, dass sie fürdie langfristige systematische Qualitätsentwicklung in den Schulen nutzbringend verwertet werden können.“

1a. § 19 Abs. 2a lautet:„(2a) An allgemein bildenden höheren Schulen ist in der letzten Stufe abweichend von Abs. 2 am Ende des

ersten Semesters keine Schulnachricht auszustellen.“

1b. § 19 Abs. 2b entfällt.

2. § 42 Abs. 6 letzter Satz lautet:„Hat der Prüfungskandidat vor dem Antritt zur Externistenprüfung eine Schule besucht und eine oder mehrereStufen dieser Schule nicht erfolgreich abgeschlossen, so darf er zur Externistenprüfung über eine Schulstufe derbetreffenden Schulart (Form, Fachrichtung) oder über die Schulart (Form, Fachrichtung) frühestens zwölf Monatenach der zuletzt nicht erfolgreich abgeschlossenen Schulstufe antreten.“

3. In § 82 wird nach Abs. 5m folgender Abs. 5n eingefügt:„(5n) § 17 Abs. 1a, § 19 Abs. 2a und § 42 Abs. 6 dieses Bundesgesetzes in der Fassung des Bundesgesetzes

BGBl. I Nr. 117/2008 treten mit 1. September 2008 in Kraft. § 19 Abs. 2b tritt mit Ablauf des 31. August 2008außer Kraft.“

Fischer

Gusenbauer


BUNDESGESETZBLATTFÜR DIE REPUBLIK ÖSTERREICH

Jahrgang 2009 Ausgegeben am 2. Jänner 2009 Teil II

1. Verordnung: Bildungsstandards im Schulwesen

1. Verordnung der Bundesministerin für Unterricht, Kunst und Kultur über Bildungsstandardsim Schulwesen

Auf Grund des § 17 Abs. 1a des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/1986, zuletzt geändert durch dasBundesgesetz BGBl. I Nr. 117/2008, wird verordnet:

Geltungsbereich§ 1. Diese Verordnung legt in der Anlage für die nachstehend genannten Pflichtgegenstände

Bildungsstandards für die 4. Schulstufe der Volksschule sowie für die 8. Schulstufe der Volksschuloberstufe, derHauptschule und der allgemein bildenden höheren Schule fest:

1. Volksschule, 4. Schulstufe: Deutsch/Lesen/Schreiben, Mathematik;2. Volksschuloberstufe, Hauptschule und allgemein bildende höhere Schule, jeweils 8. Schulstufe: Deutsch,Lebende Fremdsprache (Englisch), Mathematik.

Begriffsbestimmungen§ 2. Im Sinne dieser Verordnung sind1. „Bildungsstandards“ konkret formulierte Lernergebnisse in den einzelnen oder den in fachlichemZusammenhang stehenden Pflichtgegenständen, die sich aus den Lehrplänen der in § 1 genanntenSchularten und Schulstufen ableiten lassen. Diese Lernergebnisse basieren auf grundlegendenKompetenzen, über die die Schülerinnen und Schüler bis zum Ende der jeweiligen Schulstufe in derRegel verfügen sollen;

2. „Kompetenzen“ längerfristig verfügbare kognitive Fähigkeiten und Fertigkeiten, die von Lernendenentwickelt werden und die sie befähigen, Aufgaben in variablen Situationen erfolgreich undverantwortungsbewusst zu lösen und die damit verbundene motivationale und soziale Bereitschaft zuzeigen;

3. „grundlegende Kompetenzen“ solche, die wesentliche inhaltliche Bereiche eines Gegenstandes abdeckenund somit für den Aufbau von Kompetenzen, deren nachhaltiger Erwerb für die weitere schulische undberufliche Bildung von zentraler Bedeutung ist, maßgeblich sind;

4. „Kompetenzmodelle“ prozessorientierte Modellvorstellungen über den Erwerb von fachbezogenen oderfächerübergreifenden Kompetenzen. Sie strukturieren Bildungsstandards innerhalb einesUnterrichtsgegenstandes und stützen sich dabei auf fachdidaktische sowie fachsystematischeGesichtspunkte;

5. „Kompetenzbereiche“ fertigkeitsbezogene Teilbereiche des Kompetenzmodells.Funktionen der Bildungsstandards

§ 3. (1) Bildungsstandards sollen Aufschlüsse über den Erfolg des Unterrichts und überEntwicklungspotentiale des österreichischen Schulwesens liefern. Darüber hinaus sollen sie

1. eine nachhaltige Ergebnisorientierung in der Planung und Durchführung von Unterricht bewirken,2. durch konkrete Vergleichsmaßstäbe die bestmögliche Diagnostik als Grundlage für individuelleFörderung sicher stellen und

3. wesentlich zur Qualitätsentwicklung in der Schule beitragen.(2) Zum Zweck der nachhaltigen Ergebnisorientierung in der Planung und Durchführung von Unterricht

haben die Lehrerinnen und Lehrer den systematischen Aufbau der zu vermittelnden Kompetenzen und die aufdiese bezogenen Bildungsstandards bei der Planung und Gestaltung ihrer Unterrichtsarbeit zu berücksichtigen(Orientierungsfunktion gemäß Abs. 1 Z 1).

(3) Die Leistungen der Schülerinnen und Schüler sind in allen Schulstufen unter Zugrundelegung derBildungsstandards für die 4. bzw. für die 8. Schulstufe besonders zu beobachten und zu analysieren. Auf der Basisdes diagnostischen Vergleiches von zu erlangenden und individuell erworbenen Kompetenzen ist eine

Mathematik 165

bestmögliche individuelle Förderung der Schülerinnen und Schüler sicher zu stellen (Förderungsfunktion gemäßAbs. 1 Z 2).

(4) Durch periodische Standardüberprüfungen sind die von den Schülerinnen und Schülern bis zur 4. bzw.zur 8. Schulstufe erworbenen Kompetenzen objektiv festzustellen und mit den angestrebten Lernergebnissen zuvergleichen. Standardüberprüfungen sind auf Anordnung der Schulbehörden für die 8. Schulstufe ab demSchuljahr 2011/12 und für die 4. Schulstufe ab dem Schuljahr 2012/13 durchzuführen und deren Auswertungensind den Schulen rückzumelden. Die Auswertungen der Standardüberprüfung und deren Rückmeldungen haben sozu erfolgen, dass sie für Zwecke der Qualitätsentwicklung an den Schulen herangezogen werden können.Maßnahmen der Qualitätsentwicklung sind zu dokumentieren und periodisch zu evaluieren (Evaluationsfunktiongemäß Abs. 1 Z 3).

Standardüberprüfungen§ 4. (1) An öffentlichen und mit dem Öffentlichkeitsrecht ausgestatteten Schulen der in § 1 genannten

Schularten sind hinsichtlich der in § 1 Z 1 und 2 genannten Pflichtgegenstände und Schulstufen im Abstand vondrei Jahren Standardüberprüfungen durchzuführen.

(2) Bei den Standardüberprüfungen ist durch validierte Aufgabenstellungen der Grad derKompetenzerreichung durch die Schülerinnen und Schüler zu messen. Die gestellten Aufgaben müssen sich ausden Bildungsstandards ableiten lassen. Sie sind so zu wählen, dass die individuellen Testergebnisse, nachdem siezu den Bildungsstandards in Relation gesetzt wurden, Aufschluss über den nachhaltigen Erwerb vonKompetenzen ermöglichen.

(3) Als Verfahren der Standardüberprüfung kommen1. Tests mit schriftlich zu lösenden Aufgaben in den sprachlichen und mathematischen Gegenständen sowie2. Befragungen mit mündlich zu lösenden Aufgaben in den sprachlichen Gegenständen

in Betracht.(4) Die Auswertungen der Standardüberprüfungen haben so zu erfolgen, dass auf deren Basis Maßnahmen

zur Qualitätsentwicklung bundesweit, landesweit und schulbezogen erfolgen können. Die individuellenErgebnisse der Standardüberprüfung dürfen nicht auf eine bestimmte Schülerin oder auf einen bestimmten Schülerzurückgeführt werden können, außer durch diese oder diesen selbst.

(5) Die Bestimmungen über die Leistungsfeststellungen und -beurteilungen bleiben von dieser Verordnungunberührt.

Inkrafttreten§ 4. Diese Verordnung tritt mit 1. Jänner 2009 in Kraft.

Schmied


Auszug für Mathematik 4. Schulstufe

AnlageBildungsstandards und Kompetenzmodelle

Bildungsstandards legen konkrete Lernergebnisse fest. Diese Lernergebnisse basieren auf grundlegendenKompetenzen, über die die Schülerinnen und Schüler am Ende einer bestimmten Schulstufe verfügen sollen. DieKompetenzen beziehen sich auf ein aus dem jeweiligen Lehrplan abgeleitetes fachbezogenes bzw.fächerübergreifendes Kompetenzmodell und decken die gesamte inhaltliche Breite des jeweiligenUnterrichtsgegenstandes bzw. der in fachlichem Zusammenhang stehenden Unterrichtsgegenstände ab.

Kompetenzmodelle strukturieren die Bildungsstandards innerhalb eines Unterrichtsgegenstandes. Von denmöglichen Gliederungsebenen werden in den folgenden Bestimmungen zwei angesprochen:

- die übergeordneten Kompetenzbereiche (wie zB „Operieren; Modellbilden“ bzw. „GeometrischeFiguren und Körper; Zahlen und Maße“ in Mathematik; „Lesen – Umgang mit Texten und Medien“bzw. „Schreiben/Verfassen von Texten“ in Deutsch und in Lebender Fremdsprache/Englisch).

- Kompetenzen als unterste Gliederungsebene werden als angestrebtes Verhalten bzw. beobachtbareHandlungen („Die Schülerinnen und Schüler können ...“) beschrieben und stellen die Bildungsstandardsdar.

1. Teil

4. Schulstufe der Volksschule

1. Abschnitt

Deutsch, Lesen, Schreiben (…)

2. Abschnitt

MathematikAllgemeine mathematische Kompetenzen

Kompetenzbereich: ModellierenEin e Sa ch s i t ua t i on in ein ma th ema t i s ch e s Model l (Terme und Gl ei ch ungen )

über t r agen , d i e s es l ös en und auf d i e Au sgangs s i t ua t i on bez i eh enKompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können- aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen,- passende Lösungswege finden,- die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen.

E in ma th ema t i sch e s Model l i n ein e Sa ch s i t ua t i on über t r agenKompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können zu Termen und Gleichungen Sachaufgaben erstellen.

Kompetenzbereich: OperierenMath ema t i s ch e Ablä u fe dur ch füh r enKompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können- Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren,- arithmetische Operationen und Verfahren durchführen,- geometrische Konstruktionen durchführen.

Mi t Tabel l en und Gr a fi k en a r bei t enKompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können- Tabellen und Grafiken erstellen,- Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen.

Mathematik 167

Kompetenzbereich: KommunizierenMath ema t i s ch e Sa ch ver h a l t e ver ba l i s i er en und begr ündenKompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können- mathematische Begriffe und Zeichen sachgerecht in Wort und Schrift benützen,- ihre Vorgangsweisen beschreiben und protokollieren,- Lösungswege vergleichen und ihre Aussagen und Handlungsweisen begründen.

Ma th ema t i s ch e Sach ver h a l t e i n un t er sch i ed l i ch en Repr ä s en t a t i on s formenda r s t e l l en

Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können- ihre Vorgangsweisen in geeigneten Repräsentationsformen festhalten,- Zeichnungen und Diagramme erstellen.

Kompetenzbereich: ProblemlösenMath ema t i s ch r el evan t e Fr agen s t e l l enKompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können ein innermathematisches Problem erkennen und dazu

relevante Fragen stellen.

Lösungs s t r a t eg i en (er ) f i n den und nu t zenKompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können- geeignete Lösungsaktivitäten wie Vermuten, Probieren, Anlegen von Tabellen oder Erstellen vonSkizzen anwenden,

- zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen.

Inhaltliche mathematische Kompetenzen

Kompetenzbereich: Arbeiten mit ZahlenZah lda r s t e l l ung en und -bez i eh ungen ver s t eh enKompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können- Zahlen im Zahlenraum 100 000 lesen und darstellen,- sich im Zahlenraum 100 000 orientieren, Zahlen vergleichen und diese in Relation setzen,- arithmetische Muster erkennen, beschreiben und fortsetzen.

Zah l en r unden und Anzah l en sch ä t z enKompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können- Zahlen auf volle Zehner, Hunderter, … Zehntausender runden,- Anzahlen schätzen.

Das Wesen der Br uch zah l ver s t eh enKompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können- Bruchzahlen darstellen,- Bruchzahlen vergleichen, ordnen und zerlegen,- Bruchzahlen im Zusammenhang mit Größen benützen.

Kompetenzbereich: Arbeiten mit OperationenDie vi er Gr undr echnungsa r t en und ih r e Zu sammenhänge ver s t eh enKompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler- verfügen über Einsicht in das Wesen von Rechenoperationen,- können die Zusammenhänge zwischen den Grundrechnungsarten erklären,- können Umkehroperationen verwenden, auch zur sinnvollen Überprüfung des Ergebnisses,- können Tausch-, Nachbar- und Analogieaufgaben verwenden.


Mün dl i ch e s Re ch n en s i ch er beh er r sch enKompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler

- beherrschen sicher und schnell additive Grundaufgaben im Zahlenraum 20,- beherrschen sicher und schnell multiplikative Grundaufgaben im Zahlenraum 100,- können nicht automatisierte Rechenoperationen in Teilschritten durchführen,- können einfache Gleichungen mit Platzhaltern lösen,- können Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlagsrechnungen durchführen.

Sch r i f t l i ch e Re ch en ver fa h r en beh er r sch enKompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler

- verstehen die Algorithmen der schriftlichen Rechenverfahren , - können die Algorithmen der schriftlichen Verfahren für Addition, Subtraktion, Multiplikation und

Division durchführen,- können die Lösung mit Hilfe einer Probe überprüfen.

Kompetenzbereich: Arbeiten mit GrößenGr öß en vor s t e l l un gen bes i t z en un d E i nh ei t en ken n enKompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler

- kennen genormte Maßeinheiten und können diese den Größenbereichen zuordnen,- können geeignete Repräsentanten zu Maßeinheiten angeben,- können Größen in unterschiedlichen Schreibweisen darstellen.

Gr öß en m e ss en un d sch ä t z enKompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler

- beherrschen den Grundvorgang des Messens , - können mit geeigneten Maßeinheiten messen,- können Größen schätzen und ihre Vorgangsweise begründen.

Mi t Gr ößen op er i er enKompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können

- Größen miteinander vergleichen,- mit Größen rechnen.

Kompetenzbereich: Arbeiten mit Ebene und RaumGe om et r i s ch e Fi gur en er k en n en , ben en n en un d da r s t e l l enKompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können

- geometrische Körper und Flächen benennen,- die Eigenschaften geometrischer Figuren beschreiben,- Modelle von geometrischen Körpern herstellen,- geometrische Figuren zeichnen oder konstruieren.

Bez i eh un gen bei g e om et r i s ch en Fi gur en er k en n enKompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können

- Lagebeziehungen zwischen Objekten im Raum und in der Ebene beschreiben und nutzen,- vorgegebene geometrische Muster erkennen, selbst entwickeln oder fortsetzen,- den Zusammenhang zwischen Plan und Wirklichkeit herstellen.

Mi t ge om et r i s ch en Fi g ur en op er i er enKompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können

- geometrische Figuren zerlegen und sie wieder zusammensetzen,- Netze den entsprechenden Körpern zuordnen und umgekehrt.

Mathematik 169

Umfang und Fläch en in h a l t ermi t t e l nKompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können- den Umfang einer geometrischen Figur mittels Einheitslängen messen,- den Umfang von Rechteck und Quadrat berechnen,- den Flächeninhalt einer geometrischen Figur mittels Einheitsflächen messen,- den Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat berechnen.

2. Teil

8. Schulstufe der Volksschuloberstufe, der Hauptschule und der allgemein bildenden höherenSchule

1. Abschnitt

Deutsch (…)

2. Abschnitt

Lebende Fremdsprache (Englisch) (…)

3. Abschnitt

Mathematik (…)

(…) Texte siehe BGBl. II Nr.1/2009

Mathematik 171

BÜCHTER, Andreas, LEUDERS, Timo: Mathematikaufgaben selbst entwickeln. Cornelsen Scriptor, Berlin 2005.

FRANKE, Marianne: Didaktik des Sachrechnens in der Grundschule. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2003.

FRANKE, Marianne: Didaktik der Geometrie in der Grundschule. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2000.

PADBERG, Friedhelm: Didaktik der Arithmetik. 3. Auflage. B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim 2005.

RADATZ, Hendrik, SCHIPPER, Wilhelm, EBELING, Astrid, DRÖGE, Rotraud:Handbuch für den Mathematikunterricht. Bd. 1–4. Verlag Schroedel, Hannover 1996/1998/1999/2000.

WALTHER, Gerd u.a. (Hrsg.): Bildungsstandards für die Grundschule: Mathematik konkret.Cornelsen Scriptor, Berlin 2007.

AbkürzungenAK Allgemeine mathematische KompetenzenIK Inhaltliche mathematische Kompetenzen

Literaturempfehlungen


Notizen

Mathematik 173

Bestellung weiterer Exemplare unter: www.volksschulstandards.at

Praxishandbuch - BIFIE · 2018-12-05 · der lebendigen Auseinandersetzung mit der Mathematik. Es...

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