Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen · von links nach rechts lernen und ......

Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen A. 3. 7 ⏐ 1

Unterrichts-Konzepte Analysis Stark Verlag

Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen von Dr. Bardo Diehl

Inhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Stoffverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Themen der Unterrichtsstunden

1 Multiplikation von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Faktorisieren von Termen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Material

1 Produkte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Lösungsblatt zu MA 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Farbfolie: Abstraktion der Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 Methoden des Faktorisierens quadratischer Terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5 Aufgaben zum Faktorisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6 Kurzlösungen zu MA 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 7 Lösungsblatt zu MA 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 8 Arbeitsblatt 1: Methode der Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 9 Arbeitsblatt 2: Technik der Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 10 Arbeitsblatt 3: Polynomdivision mit Rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 11 Arbeitsblatt 4: Übungen und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 12 Lösungsblatt zu Arbeitsblatt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 13 Lösungsblatt zu Arbeitsblatt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 14 Lösungsblatt zu Arbeitsblatt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 15 Lösungsblatt zu Arbeitsblatt 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Kompetenzprofil � Niveau: grundlegend � Fachlicher Bezug: – � Kommunikation: begründen, bewerten, mathematische Texte erfassen, Vermutungen äußern � Problemlösen: Lösungen berechnen, Ergebnisse reflektieren, vernetztes Denken,

Darstellungen verwenden � Modellierung: – � Medien: Farbfolie � Methode: Gruppenarbeit, Einzelarbeit � Inhalt in Stichworten: ganzrationale Funktion, Ordinatenaddition, Ordinatenmultiplikation,

Produkt von Funktionen, Nullstelle, quadratische Gleichung, Satz von Vieta, Linearfaktor-zerlegung, gebrochenrationale Funktion, Definitionslücke, Polynomdivision

Zusätzliche Mediendateien finden Sie auf www.stark-verlag-digital.de unter „Zu meinen Digitalpaketen“ im digitalen Ordner zu diesem Beitrag.

A. 3. 7 ⏐ 2 Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen


Stoffverteilung

Unterrichtsstunde Thema der Stunde und Unterrichtsverlauf Unterrichtsmittel

1. / 2. Stunde

1 Multiplikation von Funktionen Neudurchnahme: Anhand einer Farbfolie wird die Abstraktion der Multiplikation über die einzelnen Jahrgangsstufen nachvollzogen (Gegenstände – Zahlen – Terme). Eine weitere Verallgemeinerung auf Funktionen ist das Thema dieser Doppelstunde. Dazu erarbeiten die Schüler anhand passender Aufgaben Schritt für Schritt die Darstellung solcher Produktfunktionen sowie deren Eigen-schaften. Mithilfe der Linearfaktorzerlegung werden Nullstellen be-stimmt und Gebietseinteilungen für Graphen vorgenommen. Hausaufgabe: Untersuchung ganzrationaler Funktion 5. Grades anhand der Produktdarstellung

� MA 3: Farbfolie

� MA 1: Arbeitsblatt � MA 2: Lösungsblatt

3. Stunde Besprechung der Hausaufgabe

2 Faktorisieren von Termen Neudurchnahme: Als Ergebnis der ersten Doppelstunde wird festge-halten, dass die Produktdarstellung ganzrationaler Funktionen für viele Fragestellungen vorteilhaft ist. Da Schüler erfahrungsgemäß Schwierigkeiten beim Faktorisieren von Termen haben, werden in dieser Stunde verschiedene Methoden für das Faktorisieren quadratischer Terme wiederholt und gefestigt. Anschließend wird die Analogie zwischen der Primfaktorzerlegung ganzer Zahlen und der Zerlegung einer ganzrationalen Funktion in „Primpolynome“ anhand eines Beispiels anschaulich dargestellt. Hausaufgabe: Arbeitsblatt MA 5

� MA 4: Arbeitsblatt � MA 5: Arbeitsblatt

4. Stunde Besprechung der Hausaufgabe

3 Polynomdivision Neudurchnahme: Der Zusammenhang zwischen der Division und der Multiplikation als Umkehroperationen wird anhand der schrift-lichen Multiplikation und Division mit einem konkreten Zahlenbei-spiel in Erinnerung gerufen. Anschließend erarbeiten sich die Schüler selbstständig mithilfe von 4 Arbeitsblättern schrittweise die Vorgehensweise bei der Division von Polynomen und setzen diese bei der Bestimmung von Nullstellen und bei anderen Problemstellungen ein. Hausaufgabe: Arbeitsblatt MA 11 fertig bearbeiten

� MA 6: Kurzlösungen � MA 7: Lösungsblatt

� MA 8 bis MA 11: Arbeitsblätter � MA 12 bis MA 15: Lösungsblätter � MA 11

Bildnachweis: S. 29: © Sergejs Rahunoks – Fotolia.com



Vorbemerkungen

Nachdem in der Einführungsphase der Oberstufe zunächst unterschiedliche elemen-tare Funktionstypen behandelt werden, sollen sich die Schüler im Anschluss mit dem Verknüpfen verschiedener Funktionen vertraut machen.

Didaktisch ist dies aufbauend der dritte Schritt, in welchem die Schüler Verknüpfun-gen von mathematischen Objekten kennenlernen: In der ersten Phase haben sie die additive und multiplikative Verknüpfung von Zahlen kennengelernt, im zweiten Schritt haben sie diese Verknüpfungen an Termen eingeübt. Im dritten Schritt werden nun Funktionen als neue Objekte behandelt, die ebenfalls addiert und multipliziert werden. Zusätzlich kommt später noch eine neue Operation hinzu, die Verkettung von Funktionen.

Die jeweiligen Übergänge sind für Schüler in der Regel nicht einfach. Sie müssen sich an neue Objekte gewöhnen und sollen dennoch die altbekannte Grundstruktur wiedererkennen. Die additive und multiplikative Verknüpfung von Funktionen wird auf die Zahlen zurückgeführt, indem an jeder Stelle die Ordinatenwerte dieser Stellen addiert bzw. multipliziert werden. Die Addition von Funktionen ist dabei unmittelbar anschaulich, wenn Schüler die Graphen mittels Ordinatenaddition an jeder Stelle zeichnerisch konstruieren. Die Multiplikation einer Funktion mit einer Konstanten kennen die Schüler bereits durch das Strecken und Stauchen der Parabeln aus der Sekundarstufe I. Die Multiplikation zweier Funktionen ist zwar analog zur Addition ebenso stellen-weise definiert als „Ordinatenmultiplikation“, allerdings ist dies zeichnerisch schwer umzusetzen und in der Regel auch wenig gewinnbringend. Dennoch ist diese Multi-plikation von Bedeutung: Wenn ein Faktor an einer Stelle null ist, besitzt die Funk-tion, die aus einem Produkt mit diesem Faktor entsteht, dort eine Nullstelle. Durch Zerlegen einer Funktion in ein Produkt lassen sich somit Nullstellen bestimmen.

Ausblick: Bei Produkten mit der Sinus- oder Kosinusfunktion sind neben den Null-stellen noch die Stellen mit den Funktionswerten 1 und –1 von Interesse. Beispiels-weise lässt sich eine gedämpfte Schwingung mit der Gleichung

bxf (x) e sin(ax)− ⋅=

durch die einhüllende Exponentialfunktion und die periodischen Nullstellen der tri-gonometrischen Funktion relativ einfach skizzieren. Auch dies ist eine „Ordinaten-multiplikation“. Das vorliegende Konzept geht zunächst von der Produktdarstellung von Funktionen aus: Der Funktionsterm wird als Produkt vorgegeben. An ihm sollen Eigenschaften entdeckt werden, die sich durch das Produkt ergeben.

Von zentraler Bedeutung für die Analysis ist der umgekehrte Vorgang, das Zerlegen einer Funktion in Faktoren. Die Schüler kennen dies von der Primfaktorzerlegung ganzer Zahlen, nun werden ganzrationale Funktionen in ihre Primfaktoren zerlegt. Primpolynome, wie man diese Primfaktoren nennt, sind lineare Funktionen oder aber Polynome, die keine Nullstellen haben.

Fachwissen-schaftliche Einordnung

Methodisch-didaktische Hinweise



Schüler haben oft große Probleme, Terme zu faktorisieren. Diese Schwierigkeit wird bereits in der Sekundarstufe I verstärkt, wenn die Schüler die Binomischen Formeln von links nach rechts lernen und nicht in umgekehrter Richtung, z. B.: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Für sie ist der Gebrauch der Formel meist eine Verkürzung des Ausmultiplizierens. Die Umkehrung, bei der eine Summe in ein Produkt umgewandelt wird, ist ihnen selten bewusst, z. B.: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Ebenso wird der Satz von Vieta in Lehrbüchern oft als Lösungsverfahren für quadra-tische Gleichung dargestellt (Existenz der Lösungen vorausgesetzt): „Wenn x2 + px + q = 0, dann gilt für die Lösungen: x1 + x2 = – p und x1 ⋅ x2 = q“

Plausibler ist es, den Satz als Hilfe zur Umwandlung eines quadratischen Terms in ein Produkt zu vermitteln: „Es gilt x2 + px + q = (x + a) ⋅ (x + b) mit a + b = p und a ⋅ b = q“. So wird unmittelbar durch Probe einsichtig, warum die Summe der Werte a und b den Koeffizienten p ergeben muss und das Produkt den Koeffizienten q. Wird dann noch zusätzlich gefordert, dass der Term mit null gleichgesetzt wird, ergeben sich die Lösungen x1 = – a und x2 = – b, da jeder Faktor null werden kann. Der Satz von Vieta wird auf diese Weise als eine Verallgemeinerung der binomischen Formel gedeutet. Damit ist der Satz von Vieta eine Methode, Terme zu faktorisieren, und gewinnt dadurch seine besondere Bedeutung.

Mögliche (bereits bekannte) Methoden der Linearfaktorzerlegung werden in der zweiten Unterrichtsstunde wiederholt und gefestigt. Dabei wird auf die Primfaktor-zerlegung der ganzen Zahlen eingegangen, um über die Zehnerpotenzen des Stellen-wertsystems zu der Faktorzerlegung der Polynome zu gelangen.

Diese Analogie bildet auch die Vorarbeit für die darauffolgende Stunde, in der die Polynomdivision als eine weitere Methode des Faktorisierens von Funktionen schrittweise eingeführt wird.

Alle Arbeitsblätter sind so gestaltet, dass sie in Kleingruppen, aber auch in Einzelar-beit bearbeitet werden können. Dadurch soll eine größere Eigenständigkeit der Schüler gefördert werden.

Je nach Ausstattung der Unterrichtsräume können für die Präsentation der Ergebnisse Folien oder eine interaktive Tafel eingesetzt werden.

Voraussetzungen

• Potenzfunktionen und ganzrationale Funktionen • Grad von ganzrationalen Funktionen • Ordinatenaddition • Definition und grundlegende Bestimmung von Nullstellen • Definitionsbereich von Funktionen • Definitionslücken von elementaren gebrochenrationalen Funktionen



1. / 2. Unterrichtsstunde

Der Lehrer kopiert die Materialien MA 1 und MA 2 für jeden Schüler. Er zerschneidet die Arbeits- und Lösungsblätter in die einzelnen Aufgaben. Zudem hält er Folien und Folienstifte bereit, damit die Schüler ihre Ergebnisse präsentieren können. Die Farbfolie MA 3 wird mit in den Unterricht genommen. Wenn möglich, bringt der Lehrer zudem 12 Bausteine oder Bauklötze mit in den Unterricht, um das haptische Begreifen der Kleinkinder zu verdeutlichen.

1 Multiplikation von Funktionen

Einleitend gibt der Lehrer im Unterrichtsgespräch anhand der Farbfolie MA 3 etwa folgende motivie-rende Information. Dabei deckt er schrittweise die Folie auf. Kleinkinder zählen beispielsweise Bausteine zusammen, indem sie diese in die Hand nehmen. Sie haben konkrete Gegenstände vor sich, mit denen sie auf ihre Weise „rechnen“: 3 Päckchen mit jeweils 4 Bausteinen sind zusammen 12 Bausteine. Vielleicht zählen sie auch mit ihren Fingern ab. Dann sind die Finger bereits „Stell-vertreter“ für die Bausteine.

Später in der Grundschule lernen die Kinder, Zahlen miteinander zu multiplizieren. Dies ist eine Abstraktion; die Zahlen können für Bausteine oder beliebige andere Gegenstände stehen. Stets gilt: 3 ⋅ 4 = 12 Die Kinder rechnen nun abstrakt mit Zahlen und denken dabei immer weniger an konkrete Gegenstände wie Bausteine oder Gummibärchen.

In der Sekundarstufe I wird auf eine nächsthöhere Stufe verallgemeinert: Variablen werden als Stellvertreter für Zahlen eingeführt. Ein Buchstabe steht dabei für eine feste, aber beliebige Zahl, die sich beispielsweise ein Schüler ausdenkt. Dabei kann sich jeder Schüler durchaus eine andere Zahl merken: Einer denkt sich die Zahl 2, der andere rechnet mit der Zahl 5. Die Rechenregeln für Zahlen können auf die Variablen übertragen werden, da die Variablen für Zahlen stehen.

Mit dem Übergang von einem Term zu einer Funktion wird wieder eine Erweiterung vorgenommen: Im Term steht die Variable x für eine feste, wenn auch unbekannte Zahl. In der Funktion steht die Variable x dagegen für alle Zahlen aus dem Defini-tionsbereich, denen man Zahlen y aus dem Wertebereich zuordnet.

Vorbereitung

Neudurchnahme

� Material MA 3



Anhand der Abbildungen unten auf der Folie MA 3 kann zusätzlich besprochen werden, was man über den bei der Multiplikation zweier Funktionen entstehenden Graphen aussagen kann. Zur Motivation stellt der Lehrer etwa folgende Fragen: Wie werden Funktionen miteinander multipliziert? Wie sieht der Graph der Funktion f ⋅ g für die beiden Graphen auf der Folie aus? Wenn man die Graphen von f und g kennt, was könnte man daraus für den Graphen der neuen Funktion f ⋅ g folgern? Der Lehrer stellt diese offenen Fragen und sammelt die Ideen der Schüler. Er verweist am Ende nur da-rauf, dass diese Thematik mit den folgenden Arbeitsblättern in Kleingruppen genauer erarbeitet werden soll, und vermeidet, zusätzliche Informationen vorab zu geben. Anmerkung: Wie der Graph der Funktion f ⋅ g auf der Folie aussieht, ist nicht genau zu beantworten, da keine Einheiten auf den Achsen eingetragen sind: Ist nämlich der Funktionswert von f an einer Stelle x größer als 1, so wird der Graph von g gestreckt; falls f(x) kleiner als 1 ist, wird der Graph von g dagegen gestaucht. Es kann aber eine sogenannte Gebietseinteilung vorgenommen werden: Das Vorzeichen der Produktfunktion wird bestimmt durch die Vorzeichen der beiden Faktoren. Im Beispiel ergibt sich fol-gende Gebietseinteilung (rechtes Bild); der Graph verläuft dann in den nicht eingefärbten Gebieten:

Die Schüler setzen sich anschließend in Kleingruppen zusammen und der Lehrer teilt die erste Aufgabe von MA 1 an die Gruppen aus. Der Rückgriff auf die Ordinatenaddition erleichtert den Transfer zur De-finition der Multiplikation zweier Funktionen.

Aufgabe

Bearbeiten Sie Aufgabe 1 von MA 1.

Lösung:

siehe MA 2 Eine Gruppe präsentiert ihre Ergebnisse mit dem Projektor. Im Plenum wird dazu in Analogie zur präsen-tierten Folie an der Tafel erarbeitet, wie die Addition über die verschiedenen Schulstufen auf abstraktere Objekte verallgemeinert wird (siehe Tafelbild). Dies dient zur Festigung des Stufenmodells bei der Ver-allgemeinerung mathematischer Operationen. Anstelle der Bausteine können auch andere Gegenstände auf dem Pult drapiert werden oder eine Abbildung der Bausteine an die Tafel geheftet werden. Die Schüler bearbeiten im Anschluss zunächst Aufgabe 2 von MA 1 in ihrer Gruppe. Dabei wird die Multiplikation zweier Funktionen analog zu Aufgabe 1 behandelt. Die Besprechung erfolgt im Plenum.

Aufgabe

Bearbeiten Sie Aufgabe 2 von MA 1.

Lösung:

siehe MA 2

� Material MA 3

� Material MA 1

� Material MA 2

� Material MA 1

� Material MA 2



Nach der Besprechung dieser Aufgabe und der Klärung evtl. Fragen bearbeiten die Schüler in ihren Gruppen die restlichen Aufgaben des Arbeitsblattes. Dazu liegen die Aufgaben 3 bis 11 und ihre Lösun-gen auf getrennten Tischen bereit. Jede Gruppe beginnt mit Aufgabe 3 und bearbeitet diese gemeinsam. Im Anschluss kontrolliert die Gruppe ihre Ergebnisse anhand des Lösungsblattes zu Aufgabe 3, bevor die Gruppe sich das Blatt mit Aufgabe 4 nimmt. Auf diese Weise arbeiten sich die Gruppen sukzessive durch alle Aufgaben durch. Während der Gruppenarbeit geht der Lehrer durch die Klasse, beobachtet die Schüler, beantwortet Fragen und lässt sich die Lösungen zeigen.

Aufgabe

Bearbeiten Sie in Ihrer Gruppe die Aufgaben 3 bis 11 von MA 1.

Lösung:

siehe MA 2 Geben Sie den Term einer beliebigen ganzrationalen Funktion 5. Grades in Produkt-darstellung an, bestimmen Sie die Nullstellen und skizzieren Sie den Graphen mithilfe einer Gebietseinteilung. Multiplizieren Sie den Funktionsterm aus. Lassen Sie sich durch ein Geometrieprogramm auf dem PC oder mit einem grafik-fähigen Taschenrechner Ihre Funktion aufzeichnen und vergleichen Sie sie mit Ihrem Ergebnis. Vorschlag für Tafelbild und Hefteintrag:

Verallgemeinerung der Addition

Objekte:

Kindergarten: 4 und 3 Bausteine Gegenstände sind 7 Bausteine

Grundschule: 4 + 3 = 7 Zahlen

Sekundarstufe I: 4x + 3x = 7x Variablen

Sekundarstufe II: f(x) + g(x) = 4x + 3x = 7x Funktionen

Hausaufgabe

� Material MA 1

� Material MA 2

Hausaufgabe

Tafelbild



3. Unterrichtsstunde

Der Lehrer kopiert für jeden Schüler das Arbeitsblatt MA 4 und das Arbeitsblatt MA 5. Zu Beginn der Stunde werden einige Beispiele der Hausaufgabe von einzelnen Schülern an der Tafel oder via Projektion vorgeführt und besprochen. Beispielhafte Lösung:

9 91 1 1 22 5 4 3 220 20 10 5 10 20

f (x) x(x 3)(x 1) (x 3) x x x x x= + − − = − − + −

Nullstellen: 1 2 3 4x 3; x 0; x 1 (doppelt); x 3= − = = =

Gebietseinteilung und Graphenverlauf:

x – – + + +

(x + 3) – + + + +

(x – 1)2 + + + + +

(x – 3) – – – – +

f(x) – + – – +

Vorbereitung

Besprechung der Hausaufgabe



2 Faktorisieren von Termen

Der Lehrer motiviert ausgehend von den Erkenntnissen der letzten Stunde für den Inhalt dieser Stunde: Wie Sie in der letzten Stunde gesehen haben, erleichtert die Produktdarstellung ganz-rationaler Funktionen die Bestimmung der Nullstellen sowie das Skizzieren des Graphenverlaufs mithilfe einer Vorzeichenuntersuchung ganz erheblich.

In der Regel sind ganzrationale Funktionen allerdings nicht als Produkt, wie z. B.

f (x) (x 1)(x 2),= + + sondern als Summe von Potenzfunktionen, wie 2f (x) x 3x 2,= + +

gegeben. Um die Nullstellen zu bestimmen oder eine Gebietseinteilung durchzufüh-ren, versucht man deshalb, die Summe in ein Produkt umzuwandeln. Die Produktdarstellung der ganzrationalen Funktionen in Zähler und Nenner einer gebrochenrationalen Funktion ist außerdem hilfreich, um den Definitionsbereich an-zugeben oder den Term zu kürzen.

Für das Faktorisieren einer ganzrationalen Funktion gibt es verschiedene Möglich-keiten. Da keine Methode gleichzeitig für alle Funktionen geeignet ist, ist es wichtig, möglichst viele Methoden zu beherrschen und zu erkennen, für welche Funktionen sie sich eignen. Im Unterrichtsgespräch sammelt der Lehrer an der Tafel verschiedene Methoden, um Summen in Produkte umzuwandeln, soweit die Schüler diese kennen. Er lässt zu jeder Methode auch ein Beispiel an der Tafel vorführen. An der Tafel bleibt diese Sammlung in ihrer Unvollständigkeit oder fehlenden Strukturierung stehen. Es ist damit zu rechnen, dass auf die mögliche Lösung quadratischer und kubischer Gleichungen mithilfe eines Taschenrechners oder eines anderen Hilfsmittels hingewiesen wird. Hier sind die Schüler in Über-einstimmung mit der jeweiligen Prüfungsordnung darauf hinzuweisen, dass von ihnen im Abitur sowohl der Gebrauch des Taschenrechners zur Lösung dieser Gleichungen als auch die algebraische Durchfüh-rung mit Rechenschritten erwartet werden können. Auf numerische Verfahren zur Bestimmung der Null-stellen wird im Rahmen dieser Einheit nicht näher eingegangen. Die Schüler besprechen anschließend in Kleingruppen das Übersichtsblatt MA 4 mit den verschiedenen Methoden des Faktorisierens für quadratische Terme. Zu jeder Methode sollen sie zusätzlich ein eigenes Beispiel erfinden. Dabei werden sie auch auf Beispiele stoßen, die mit der jeweiligen Methode nicht zu lösen sind, wenn sie tatsächlich von der Summe und nicht rückwärts vom Produkt ausgehen. Auf diese Weise erfahren sie die Grenzen der jeweiligen Methoden. Der Lehrer geht von Gruppe zu Gruppe. Falls einige Gruppen zu einfache und glatte Beispiele entwickeln, kann der Lehrer ggf. durch den Input geeigneter Beispiele die Diskussion über die Grenzen der Metho-den anstoßen.

Arbeitsauftrag

Besprechen Sie in Ihrer Gruppe das Arbeitsblatt MA 4 und finden Sie selbst geeignete Beispiele. Anschließend geht der Lehrer im Plenum wieder auf die Erweiterungsthematik ein, indem er nach der Primfaktorzerlegung ganzer Zahlen fragt. Er gibt an der Tafel die Zahl 143 vor und fordert die Schüler auf, diese Zahl vollständig in Primzahlen zu zerlegen. Zerlegen Sie 143 in Primfaktoren: 143 = 11 ⋅ 13

Neudurchnahme

� Material MA 4



Die Zahl und die Primfaktoren werden anschließend als Summen in Zehnerpotenzen aufgeschrieben, wie dies von der Stellentafel bekannt ist:

}2143 1 10 4 10 3

11 1 10 1143 11 13 (1 10 1)(1 10 3)

13 1 10 3

= ⋅ + ⋅ += ⋅ +

⇒ = ⋅ = ⋅ + ⋅ += ⋅ +

Man erkennt: 21 10 4 10 3 (1 10 1)(1 10 3)⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ +

Nun wird in Analogie das Polynom 2x 4x 3+ + in Faktoren zerlegt:

2 2x 4x 3 1 x 4 x 3 (1 x 1)(1 x 3) (x 1)(x 3)+ + = ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + = + +

Die Analogie wird auf der Tafel parallel nebeneinander festgehalten und ins Heft eingetragen oder als Merkblatt ausgeteilt. Als Zusammenfassung wird festgehalten: Ganze Zahlen und ganzrationale Funktionen lassen sich in ein Produkt von Faktoren zerlegen, bis eine Zerlegung in kleinere Faktoren nicht mehr möglich ist. Diese Zerlegung nennt man Primfaktorzerlegung. Primpolynome sind entweder lineare Funktionen mit genau einer Nullstelle oder Polynome ohne Nullstellen. Bearbeiten Sie das Aufgabenblatt MA 5. Vorschlag für Tafelbild und Hefteintrag:

Wie kann man Summen in Produkte umwandeln?

Methode:

Beispiel:

…

Verallgemeinerung

Ganze Zahlen und ganzrationale Funk-tionen lassen sich in ein Produkt von Fak-toren zerlegen, bis eine Zerlegung in kleinere Faktoren nicht mehr möglich ist. Diese Zerlegung nennt man Primfaktor-zerlegung.

Primpolynome sind entweder lineare Funktionen mit genau einer Nullstelle oder Polynome ohne Nullstellen.

Hausaufgabe

Hausaufgabe � Material MA 5

Tafelbild

Zahl Stellenwertsystem Polynom

14311 13= ⋅

21 10 4 10 3

(1 10 1)(1 10 3)⋅ + ⋅ +

= ⋅ + ⋅ +

21 x 4 x 3(1 x 1)(1 x 3)

⋅ + ⋅ += ⋅ + ⋅ +

11 und 13 sind Primzahlen.

(x 1)+ und (x 3)+ nennt man Primpolynome.



4. Unterrichtsstunde

Die Kurzlösungen auf MA 6 zur Hausaufgabe der letzten Stunde werden auf eine Folie kopiert. Ggf. wird das ausführliche Lösungsblatt MA 7 für alle Schüler kopiert. Die 4 Arbeitsblätter MA 8 bis MA 11 werden für jeden Schüler kopiert und auf Tischen bereitgelegt. Kopien der Lösungsblätter MA 12 bis MA 15 liegen auf anderen Tischen aus. Die Hausaufgabe wird mit den Kurzlösungen anhand der aus MA 6 hergestellten Folie verglichen. Sollten einzelne Probleme auftreten, werden die entsprechenden Aufgaben ausführlich durch einen Schüler an der Tafel vorgeführt. Zudem kann den Schülern das Lösungsblatt MA 7 ausgeteilt werden.

3 Polynomdivision

Im Plenum wird die Primfaktorzerlegung wiederholt, um den in der letzten Stunde erarbeiteten Über-gang von den Zahlen zu den Polynomen zu vergegenwärtigen. Diese gezielte Rekapitulation erleichtert die Bearbeitung der Arbeitsblätter. Der Lehrer schreibt auf eine Tafelhälfte 21 ⋅ 312 und auf die andere 6552 : 21. Er bittet zwei Schüler, die sich noch das schriftliche Multiplizieren und Dividieren zutrauen, an der Tafel die Rechenschritte ausführlich vorzustellen. Falls die genauen Techniken nicht mehr präsent sind, werden sie im Gespräch gemeinsam erarbeitet. Der Lehrer achtet dabei darauf, dass die Faktoren bei der Multiplikation nicht vertauscht werden, auch wenn der Rechenaufwand geringer wäre. 2 1 31 2

6 321

4 26 5 5 2

⋅

++

6552 : 21 31263

2521

4242

0

=−

−

−

Im Gespräch wird der Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division als Umkehroperationen wiederholt bzw. erarbeitet. Die Definition der Division wird im Heft und an der Tafel festgehalten. Die Schüler sollen am gegebenen Beispiel verdeutlichen, dass die Division eine Umkehroperation zur Multiplikation ist. Die Umkehrpfeile werden in die schriftliche Division an der Tafel eingezeichnet.

Aufgabe

Die Division ist als Umkehrung der Multiplikation definiert. Geben Sie die genaue Definition an. Erläutern Sie anhand der Technik des schriftlichen Dividierens von Zahlen, dass die Division die Umkehroperation der Multiplikation ist.

Vorbereitung

Besprechung der Hausaufgabe � Material MA 6; MA 7

Neudurchnahme



Lösung:

Die Division wird allgemein als Umkehroperation der Multiplikation definiert: Die Division a : b (mit b ≠ 0) ergibt diejenige Zahl c, die mit b multipliziert a ergibt.

Def .a : b c c b a= ⇔ ⋅ = mit b ≠ 0

Bei der schriftlichen Division wird an jeder Stelle als „Probe“ (Umkehroperation) eine Multiplikation ausgeführt:

3 21 63

1 21 21

2 21 42

⋅ =

⋅ =

⋅ =

Im Anschluss werden je nach Kurskonstellation die 4 Arbeitsblätter MA 8 bis MA 11 nacheinander in Einzel- oder Kleingruppenarbeit bearbeitet. Jeder Schüler bearbeitet (alleine oder in seiner Gruppe) zunächst das erste Arbeitsblatt und vergleicht anschließend seine Bearbeitung mit dem Lösungsblatt, bevor er sich dem nächsten Blatt zuwendet. Der Lehrer geht von Tisch zu Tisch, beobachtet die Schüler, lässt sich exemplarisch einzelne Lösungs-schritte erläutern und hilft bei Problemen, soweit die Schüler sich nicht gegenseitig helfen können.

Aufgabe

Bearbeiten Sie nacheinander die Arbeitsblätter MA 8 bis MA 11.

Lösung:

siehe MA 12 bis MA 15 Die Übungen und Anwendungen auf dem 4. Arbeitsblatt werden als Hausaufgabe aufgegeben, soweit sie nicht in der Stunde vollständig bearbeitet werden können. Die Lösungen der Hausaufgabe finden Sie auf dem Lösungsblatt MA 15. Bearbeiten Sie das Arbeitsblatt MA 11 fertig.

Vorschlag für Tafelbild und Hefteintrag:

Schriftliche Multiplikation:

2 1 3 1 2

6 32 1

4 2

6 5 5 2

⋅

++

Die Division als Umkehroperation der Multiplikation

Die Division wird allgemein als Umkehroperation der Multiplikation definiert:

Die Division a : b (mit b ≠ 0) ergibt diejenige Zahl c, die mit b multi-pliziert a ergibt.

Def .a : b c c b a= ⇔ ⋅ = mit b ≠ 0

Schriftliche Division:

Hausaufgabe

� Material MA 8 bis MA 11

� Material MA 12 bis MA 15

Hausaufgabe � Material MA 11

Tafelbild



Material

Produkte von Funktionen

1. Zur Wiederholung: Wie werden zwei Funktionen u(x) und v(x) addiert? Verbalisieren Sie die Definition. Verdeutlichen Sie die Definition zeichnerisch am Beispiel u(x) = x + 3 und v(x) = x – 1. Wie lautet hier der Funktionsterm der neuen Funktion f(x)?

2. Zwei Funktionsterme u(x) und v(x) lassen sich auch miteinander multiplizieren. Dies ergibt eine neue Funktionsgleichung: f(x) = u(x) ⋅ v(x)

a) Berechnen Sie den Term von f(x), wenn u(x) = x + 3 und v(x) = x – 1 ist.

b) Zeichnen Sie die drei Graphen von u, v und f in ein gemeinsames Koordinaten-system.

c) Welche Eigenschaften der Funktion f lassen sich bereits aus den Eigenschaften der beiden Funktionen u und v entnehmen? Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen.

3. Bestimmen Sie die Nullstellen folgender Funktionen:

a) f (x) (3x 4)(x 7)= − +

b) ( )13

g(x) (3 4x) x 1 (3x 5)= − + −

c) h(x) (x 2) sin x= − ⋅ Dabei ist x im Bogenmaß angegeben.

4. Ist eine Funktion in der Form eines Produkts f(x) = u(x) ⋅ v(x) dargestellt, so bilden sämtliche Nullstellen der einzelnen Faktoren u(x) und v(x) zusammen die Menge aller Nullstellen der Funktion f(x). Insbesondere besitzt die Funktion f keine weiteren Nullstellen. Begründen Sie diese Aussage.

5. Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen folgender ganzrationaler Funktionen. Führen Sie anschließend die Produktdarstellung durch Ausmultiplizieren in die Summendarstellung über und geben Sie den Grad n der ganzrationalen Funktion an.

a) f (x) 3(x 2)(x 1)(x 2)= − + +

b) g(x) (3 x)(x 1)= − +

c) 2h(x) 4x(x 2) (x 3)= + −

d) 2k(x) (x 5)(x 4)= + +

MA 1 Kopiervorlage



6. Lässt sich eine ganzrationale Funktion als Produkt linearer Funktionen schreiben, spricht man von einer Linearfaktordarstellung. Jeder Linearfaktor hat genau eine Nullstelle. Ist in der Produktdarstellung ein Linearfaktor mehrfach vorhanden, zählt man die Nullstelle mehrfach. Die Funktion

2h(x) 4x(x 2) (x 3)= + − hat z. B. eine doppelte Nullstelle in x = –2.

Geben Sie eine ganzrationale Funktion

a) vom Grad n = 3 an, die in x = 1 eine dreifache Nullstelle besitzt.

b) vom Grad n = 4 an, die in x = 0 eine doppelte Nullstelle hat und die x-Achse an den Stellen x = –2 und x = 3 schneidet.

7. a) Quadratische Funktionen vom Typ u(x) = x2 + c mit c > 0 haben keine Null-stellen. Begründen Sie.

b) Folgern Sie daraus, dass dieser Funktionstyp nicht in Linearfaktoren zerlegt werden kann.

c) Geben Sie eine beliebige ganzrationale Funktion vom Grad 4 an, die keine Nullstelle besitzt.

8. Begründen Sie die Allgemeingültigkeit des folgenden Satzes: Eine ganzrationale Funktion vom Grad n kann höchstens n Nullstellen besitzen.

9. Information: Eine ganzrationale Funktion kann die x-Achse nur in ihren Nullstellen schneiden und damit nur an diesen Stellen das Vorzeichen des Funktionswertes wechseln. Über eine Vorzeichenuntersuchung können die Gebiete im Koordinatensystem herausgestrichen werden, durch die der Graph sicher nicht verläuft. Durch diese Gebietseinteilung lässt sich bereits abschätzen, wie der Graph der Funktion im Wesentlichen verläuft.

Beispiel: 51 1 23 2

3 3 3 3f (x) (x 2)(x 1)(x 3) x x x 2= − + + = + − −

Die Nullstellen von f sind die Nullstellen der drei Faktoren: x1 = –3; x2 = –1; x3 = 2

Mit senkrechten Geraden durch die Nullstellen werden im Koordinatensystem die Gebiete eingeteilt. In einer Tabelle werden sämtliche Linearfaktoren aufgelistet und zu jedem Gebiet wird das Vorzeichen notiert, das dieser Faktor dort annimmt. Das Vorzeichen der gesamten Funktion f ergibt sich dann aus dem Produkt der Vorzeichen aller Faktoren in diesem Bereich.

So ergibt sich z. B. für das Gebiet x < –3 folgendes Vorzeichen für die Funktion f: „Minus mal Minus mal Minus = Minus“ Der positive konstante Faktor

13

ändert das Vorzeichen nicht.

Die Bereiche mit dem entgegengesetzten Vorzeichen (für das Gebiet x < –3 also der Bereich oberhalb der x-Achse) werden schraffiert; durch diese Bereiche ver-läuft der Graph nicht.



Man erhält in etwa folgende Darstellung:

(x + 3) – + + +

(x + 1) – – + +

(x – 2) – – – +

f(x) – + – +

Aufgabe: Gegeben ist die ganzrationale Funktion

2f (x) 0,5(x 1)(x 2) .= + −

a) Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen mithilfe der Linearfaktordarstellung und erstellen Sie eine Gebietseinteilung der Funktion f.

b) Formen Sie das Produkt des Funktionsterms in eine Summe von Potenzfunk-tionen um und bestimmen Sie den Grad der ganzrationalen Funktion. Geben Sie den y-Achsenabschnitt an. Welcher Summand dominiert das Verhalten der Funktion im Unendlichen, d. h., wenn x → ∞ und x → – ∞ geht? Begründen Sie.

c) Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen von f. Berechnen Sie dazu noch einige Punkte des Graphen.

10. Nur an Nullstellen kann das Vorzeichen einer ganzrationalen Funktion wechseln. Geben Sie an, ob ein Vorzeichenwechsel vorliegt, wenn die Nullstelle einfach, doppelt, dreifach oder vierfach ist. Begründen Sie Ihre Antwort.

Tipp: Nutzen Sie die Linearfaktordarstellung der Funktion.

11. Listen Sie die Vorteile der Darstellung einer Funktion als Produkt elementarer Funktionen und die Vorteile ihrer Darstellung als Summe elementarer Funktio-nen auf.



Lösungsblatt zu MA 1

1. Zwei Funktionen u und v lassen sich addieren, indem an jeder Stelle x die Funk-tionswerte (Ordinaten) beider Funktionen an dieser Stelle addiert werden: f(x) = u(x) + v(x)

Zeichnung für u(x) = x + 3 und v(x) = x – 1:

An der Stelle x = 2,5 gilt beispielsweise: u(2,5) = 5,5; v(2,5) = 1,5 ⇒ f(2,5) = 5,5 + 1,5 = 7

f(x) = u(x) + v(x) = x + 3 + x – 1 = 2x + 2

2. a) f(x) = u(x) ⋅ v(x) = (x + 3) ⋅ (x – 1) = x2 + 2x – 3

b) Zeichnung:

Hinweis: Der Graph der quadratischen Funktion f(x) kann über die Scheitel-punktform f(x) = x2 + 2x + 1 – 4 = (x + 1)2 – 4 oder über die Nullstellen x1 = –3 und x2 = 1 als Normalparabel gezeichnet werden.

MA 2 Kopiervorlage



c) Jede Nullstelle eines der Faktoren u(x) und v(x) ist auch Nullstelle des Pro-dukts f(x) (im Beispiel x1 = –3 und x2 = 1).

Das Vorzeichen von f(x) hängt von den Vorzeichen beider Faktoren ab.

Weitere Beobachtungen sind möglich, auch wenn sie für die folgenden Auf-gaben nicht relevant sind, z. B.: An der Stelle, an der eine Funktion u oder v den Funktionswert 1 annimmt, schneidet f die andere Funktion.

3. Die Nullstellen der Funktionen ergeben sich jeweils aus den Nullstellen der ein-zelnen Faktoren.

a) Für die beiden Faktoren gilt: 43

u(x) 3x 4 0 x= − = ⇔ = und v(x) x 7 0 x 7= + = ⇔ = −

Die Nullstellen von f(x) lauten also 4

1 23x und x 7.= = −

b) Hier ergeben sich aus den Faktoren die Nullstellen 3 5

1 2 34 3x , x 3 und x .= = − =

c) Aus dem ersten Faktor ergibt sich die Nullstelle 1x 2,= aus dem zweiten Faktor die (unendlich vielen) Nullstellen 2, kx k mit k .= ⋅ π ∈9

4. Für jede beliebige Stelle x ist der Funktionswert f(x) = u(x) ⋅ v(x) ein Produkt von Zahlen. Es gilt allgemein: Ein Produkt ist null genau dann, wenn mindestens ein Faktor null ist. Deshalb kann die Funktion f(x) auch neben den Nullstellen von u(x) und v(x) keine weiteren Nullstellen haben. Also folgt: f(x) = 0 ⇔ u(x) = 0 oder v(x) = 0

5. a) f(x) hat 3 Nullstellen, nämlich 1 2 3x 2, x 1 und x 2.= = − = −

Ausmultipliziert ergibt sich 3 2f (x) 3x 3x 12x 12= + − − und für den Grad der

Funktion gilt dann: n = 3

b) g(x) hat 2 Nullstellen, nämlich 1 2x 3 und x 1.= = − 2g(x) x 2x 3; n 2= − + + =

c) h(x) hat 3 verschiedene Nullstellen, nämlich 1 2x 0 und x 3= = sowie die doppelte Nullstelle 3, 4x 2.= −

4 3 2h(x) 4x 4x 32x 48x; n 4= + − − =

d) k(x) hat nur 1 Nullstelle, nämlich 1x 5,= − da der Term 2(x 4)+ für alle Werte

von x positiv ist und deshalb nie null werden kann. 3 2k(x) x 5x 4x 20; n 3= + + + =

6. a) z. B.: 3 3 2f (x) (x 1) x 3x 3x 1= − = − + −

b) z. B.: 2 4 3 2g(x) x x 2 x 3 x x 6x( )( )= + − = − −

7. a) Für eine Nullstelle der Funktion u(x) = x2 + c mit c > 0 müsste gelten: 2

2x c 0

x c+ =

= −

Da c > 0, gilt – c < 0. Das Quadrat einer reellen Zahl ist aber immer positiv oder null. Deshalb ist die Lösungsmenge der Gleichung leer; die Funktion u(x) hat keine Nullstellen.



b) Angenommen, es gäbe eine Zerlegung dieses Funktionstyps in lineare Fakto-ren. Dann hätte jeder dieser Faktoren als lineare Funktion eine Nullstelle. Diese Nullstellen wären aber auch Nullstellen der Produktfunktion. Dies ist ein Widerspruch zu Teilaufgabe a (indirekter Beweis).

c) Da Terme der Form x2 + c mit c > 0 nach Teilaufgabe a keine Nullstellen haben, hat auch ein Produkt solcher Terme keine Nullstellen. Ein Beispiel für eine Funktion vom Grad 4 ohne Nullstellen ist deshalb z. B.:

2 2 4 2f (x) (x 2)(x 1) x 3x 2= + + = + +

8. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n kann höchstens in n lineare Faktoren zerlegt werden, denn die Variable x wird dann wegen der n linearen Faktoren n-mal mit sich multipliziert, wodurch xn entsteht. Ein weiterer Linearfaktor würde zu einer höheren Potenz in x (also einem höheren Grad) führen.

Jede lineare Funktion hat genau eine Nullstelle (Konstanten zählen nicht zu den Linearfaktoren). Somit kann die ganzrationale Funktion vom Grad n insgesamt maximal n Nullstellen besitzen.

Wenn in einer Faktordarstellung einer ganzrationalen Funktion ein quadratischer Faktor vom Typ (x2 + c) mit c > 0 auftritt, kann dieser Faktor nicht weiter in lineare Faktoren zerlegt werden. Dann hat die ganzrationale Funktion wegen dieses Terms zwei Nullstellen weniger.

9. a) Die Nullstellen der Funktion ergeben sich aus den Linearfaktoren: x1 = –1; x2, 3 = 2 (doppelte Nullstelle)

Gebietseinteilung: (x + 1) – + +

(x – 2)2 + + +

f(x) – + +

b) 2 3 2f (x) 0,5(x 1)(x 2) 0,5x 1,5x 2= + − = − +

f ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Für den y-Achsenabschnitt gilt x = 0, also f(0) = 2 (konstanter Summand). Die Potenzfunktion mit dem höchsten Exponenten dominiert den Verlauf im Unendlichen, d. h., der Graph von f verhält sich dabei wie y = 0,5x3.

c) z. B.: A(0 | 2), B(1 | 1), C(3 | 2); Skizze: siehe Zeichnung in Teilaufgabe a



10. Bei einer einfachen oder dreifachen Nullstelle wechselt das Vorzeichen der Funktionswerte, bei einer doppelten oder vierfachen Nullstelle dagegen nicht.

Begründung: Die Linearfaktoren in einer Linearfaktordarstellung der Funktion f stellen lineare Funktionen dar. Lineare Funktionen y = mx + c mit positiver Steigung m sind streng monoton wachsend; die Funktionswerte links der Nullstelle sind deshalb kleiner null und diejenigen rechts der Nullstelle größer null. Dies bedeutet einen Vorzeichen-wechsel von – nach +. Bei negativer Steigung m ist die lineare Funktion streng monoton fallend. Das Vorzeichen wechselt dann von + nach –. In beiden Fällen schneidet die Gerade die x-Achse und es findet ein Vorzeichen-wechsel statt.

Beispiel: u(x) = 2x – 6; streng monoton wachsend; Nullstelle x = 3 x 2,9 3 3,1

u(x) = 2x – 6 – 0,2 0 0,2

Vorzeichen von u(x) – +

Bei einer doppelten Nullstelle ist der gleiche Linearfaktor genau zweimal vorhan-den. Im Produkt heben sich die Vorzeichen auf, es gibt keinen Vorzeichenwech-sel. Der Graph berührt an dieser Stelle die x-Achse, ohne sie zu durchqueren.

Beispiel: x 2,9 3 3,1

u(x) = 2x – 6 – 0,2 0 0,2

(u(x))2 = (2x – 6)2 0,04 0 0,04

Vorzeichen von (u(x))2 + +

Bei einer dreifachen Nullstelle erzwingt der dritte gleiche Faktor wieder einen Vorzeichenwechsel.

Diese Aussagen gelten auch für beliebige Produktfunktionen f, da die übrigen Linearfaktoren an der entsprechenden Stelle das Vorzeichen nicht ändern.

Allgemein gilt: Bei einer n-fachen Nullstelle mit geradem n findet kein Vor-zeichenwechsel statt; bei ungeradem n wechselt das Vorzeichen.

11. Eine Darstellung der Funktion als Produkt elementarer Faktoren erleichtert, • die Nullstellen zu bestimmen, • den Vorzeichenwechsel an den Nullstellen zu untersuchen, • eine Gebietseinteilung vorzunehmen.

(Ausblick: Die Produktdarstellung wird sich auch als nützlich bei der Bestim-mung der Extremwerte und Wendepunkte erweisen. Insbesondere ist dann das hinreichende Kriterium des Vorzeichenwechsels leicht zu behandeln.)

Die Darstellung der Funktion als Summe erweist sich als vorteilhaft, wenn • der Graph durch Ordinatenaddition erstellt werden kann, • der y-Achsenabschnitt bestimmt werden soll, • das Verhalten für x → ∞ und x → – ∞ untersucht werden soll.

(Ausblick: Bei der Bestimmung der Ableitung oder eines Integrals sind Summen-darstellungen in der Regel ebenfalls einfacher zu handhaben.)



Abstraktion der Multiplikation

MA 3 Farbfolie



Methoden des Faktorisierens quadratischer Terme

Methode Beispiele Kommentare

Ausklammern 2x 4x x(x 4)+ = +↑

x kann ausgeklammert werden, wenn es keinen konstanten Term gibt, d. h., wenn sich in jedem Summanden ein x befindet.

23,5x x x(3,5x 1)+ = + Vergessen Sie nicht den Faktor 1 vor dem x.

nicht sinnvoll ( )12xx 4x 1 x x 4+ + = + + Ist die Konstante nicht null, hilft ein Aus-

klammern selten weiter, da ein Bruchterm entsteht.

Binomische Formeln Stehen bei x2 und im konstanten Term Quadratzahlen, überprüfen Sie, ob eine binomische Formel vorliegt.

Beachten Sie die Vorzeichen.

Machen Sie die Probe.

1. Binomische Formel

2 2x 2x 1 (x 1)+ + = +↑ ↑


2 24x 12x 9 (2x 3)+ =↑ ↑

− −


2x 25 (x 5) (x 5)− = + −

nicht möglich 2x 4+↑

Ein rein quadratischer Term mit positiven Summanden kann nicht weiter zerlegt werden.

Satz von Vieta (Verallgemeinerung der binomischen Formeln)

2x (x px )(x q)= + +−− 32 Raten Sie unter mehreren Möglichkeiten: (1) 1 ( 3)= ⋅ −−3 Überprüfen Sie: (2) 1 ( 3)+ − = 2−

⇒ 2x 2x 3 (x 1) (x 3)− − = + −

Welche Zahlen p und q ergeben als (1) Produkt die Konstante und als (2) Summe den Koeffizienten vor dem x?

Beachten Sie jeweils die Vorzeichen. Machen Sie die Probe.

p-q-Formel oder abc-Formel

( )2

22 21, 2 2 2

1 2

x 2x 3 0

x ( 3)

x 3 und x 1

− −

− − =

⇒ = − ± − −

⇒ = = −

Also: (x 3) 0− = bzw. (x ( 1)) 0− − =

⇒ 2x 2x 3 (x 1) (x 3)− − = + −

Setzen Sie den zu faktorisierenden Term null und bestimmen Sie die Nullstellen x1 und x2.

Bilden Sie die zu den Nullstellen gehören-den Linearfaktoren und stellen Sie den Term als deren Produkt dar.

falls a ≠ 1 2 24x 8x 12 4(x 2x 3)4(x 1) (x 3)

− − = − −↑ = + −

↑

Klammern Sie zuerst den Faktor a vor dem quadratischen Term x2 aus und vergessen Sie diesen nicht beim Faktorisieren.

Erfinden Sie eigene Beispiele quadratischer Terme, mit denen Sie die verschiedenen Methoden sowie deren Grenzen testen können.

MA 4 Kopiervorlage



Aufgaben zum Faktorisieren

Üben Sie alle in der Stunde wiederholten Verfahren. Wählen Sie jeweils ein möglichst einfaches Verfahren.

1. „Ob Summe oder Produkt: Die zuletzt anzuwendende Rechenoperation bezeichnet den Term.“ Wandeln Sie die Summe in ein Produkt um.

a) x2 – 36 b) x2 – 8x + 16

c) x2 – 5x + 6 d) 9x2 + 12x + 4

e) x2 + 81 f) 4x2 – 49

g) x2 + 10x + 24 h) 4y2 – 8y + 3

i) 6a2 + 5a + 1

2. „Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist.“ Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der Gleichung.

a) 3w – 5w2 = 0 b) s2 – 7s = 60

c) 12x 1

x += d) x(x 8) 3− =

e) 4(x 3) x+ =

3. „Ein Nenner darf nicht null werden.“ Bestimmen Sie jeweils den Definitionsbereich D der Funktion.

a) 2

1x 5x 24

f (x)− −

= b) 21

x 7g(x)

+=

c) 2

x5 x

h(x)−

=

4. „Durch einen Faktor darf gekürzt werden, wenn er nicht null wird.“ Bestimmen Sie jeweils den Definitionsbereich D der Funktion und kürzen Sie anschließend den Term im Definitionsbereich.

a) 2

2x 25

x 2x 15f (x) −

+ −= b)

2

2x 11x 28x 4x 21

g(x) − +− −

=

MA 5 Kopiervorlage



Kurzlösungen zu MA 5

1. a) (x + 6) (x – 6) b) (x – 4)2

c) (x – 2) (x – 3) d) (3x + 2)2

e) nicht möglich f) (2x + 7) (2x – 7)

g) (x + 4) (x + 6) h) (2y – 1) (2y – 3)

i) (2a + 1) (3a + 1)

2. a) { }35

0;=L b) L = {–5; 12}

c) L = {– 4; 3} d) L = {–1; 9}

e) L = {6}, –2 ist keine Lösung (Probe)

3. a) Df = 0 \ {–3; 8}

b) Dg = 0

c) Dh = \{ 5; 5}−0

4. a) Df = 0 \ {–5; 3} 5x

x 3f (x) −

−= auf Df

b) Dg = 0 \ {–3; 7} x 4x 3

g(x) −+= auf Dg

MA 6 Folienvorlage



Lösungsblatt zu MA 5

1. a) x2 – 36 = (x + 6) (x – 6) 3. binomische Formel

b) x2 – 8x + 16 = (x – 4)2 2. binomische Formel

c) x2 – 5x + 6 = (x – 2) (x – 3) Satz von Vieta ((–2) ⋅ (–3) = 6; (–2) + (–3) = –5)

d) 9x2 + 12x + 4 = (3x + 2)2 1. binomische Formel

e) x2 + 81 nicht möglich immer positiv

f) 4x2 – 49 = (2x + 7) (2x – 7) 3. binomische Formel

g) x2 + 10x + 24 = (x + 4) (x + 6) Satz von Vieta (4 ⋅ 6 = 24; 4 + 6 = 10)

h) ( )32 24

4y 8y 3 4 y 2y− + = − + Ausklammern

324

31, 2 4

3 11 22 2

y 2y 0

y 1 1

y und y

− + =

= ± −

= =

p-q-Formel

( )( ) ( ) ( )3 31 122 2 2 2

4y 8y 3 4 y y 2 y 2 y (2y 3)(2y 1)− + = − − = − ⋅ − = − −

Alternative: Substitution z = 2y z2 – 4z + 3 = (z – 1) (z – 3) Satz von Vieta ((–1) ⋅ (–3) = 3; (–1) + (–3) = – 4) Resubstitution: 4y2 – 8y + 3 = (2y – 1) (2y – 3)

i) ( )5 12 26 6

6a 5a 1 6 a a+ + = + + Ausklammern

5 126 6

5 25 11, 2 12 144 6

1 11 23 2

a a 0

a

a und a

+ + =

= − ± −

= − = −

p-q-Formel

( )( ) ( ) ( )1 1 1 123 2 3 2

6a 5a 1 6 a a 3 a 2 a (3a 1)(2a 1)+ + = + + = + ⋅ + = + +

Alternative: Satz von Vieta in einer ähnlichen Form pqx2 + (p + q)x + 1 = (px + 1) (qx + 1)

6a2 + 5a + 1 = (2a + 1) (3a + 1) mit 2 ⋅ 3 = 6; 2 + 3 = 5

2. a) 3w – 5w2 = 0 ⇔ w(3 – 5w) = 0 ⇔ w = 0 oder 35

w = ⇒ { }35

0;=L

b) s2 – 7s = 60 ⇔ s2 – 7s – 60 = 0 ( )∗⇔ (s + 5) (s – 12) = 0 ⇔ s = –5 oder s = 12

⇒ L = {–5; 12} (∗) Satz von Vieta (5 ⋅ (–12) = – 60; 5 + (–12) = –7)

MA 7 Kopiervorlage



c)

( )12 2

x 1x x(x 1) 12 x x 12 0 (x 3)(x 4) 0

∗

+= ⇔ + = ⇔ + − = ⇔ − + =

⇔ x = 3 oder x = – 4 ⇒ L = {– 4; 3}

(∗) Satz von Vieta ((–3) ⋅ 4 = –12; (–3) + 4 = 1)

d) ( )

2x(x 8) 3 x(x 8) 9 x 8x 9 0 (x 1)(x 9) 0∗

− = ⇒ − = ⇔ − − = ⇔ + − =

⇔ x = –1 oder x = 9 (∗) Satz von Vieta (1 ⋅ (– 9) = – 9; 1 + (– 9) = – 8)

Die Probe ergibt: L = {–1; 9}

e) ( )

2 24(x 3) x 4(x 3) x x 4x 12 0 (x 2)(x 6) 0∗

+ = ⇒ + = ⇔ − − = ⇔ + − =

⇔ x = –2 oder x = 6 (∗) Satz von Vieta (2 ⋅ (– 6) = –12; 2 + (– 6) = – 4)

Die Probe ergibt: –2 ist keine Lösung, also L = {6}

3. a) Nenner: ( )

2x 5x 24 0 (x 3)(x 8) 0∗

− − = ⇔ + − = ⇔ x = –3 oder x = 8

⇒ Df = 0 \ {–3; 8} (∗) Satz von Vieta (3 ⋅ (– 8) = –24; 3 + (– 8) = –5)

b) Nenner: x2 + 7 immer positiv ⇒ Dg = 0

c) Nenner: 5 – x2 = 0 ⇔ x 5= ± ⇒ h \ { 5; 5}= −D 0

4. a) Nenner: 2x 2x 15 0 (x 3)(x 5) 0 x 3 oder x 5+ − = ⇔ − + = ⇔ = = −

⇒ Df = 0 \ {–5; 3} 2

2

(x 5)(x 5) x 5x 25f(x 3)(x 5) x 3x 2x 15

f (x) auf+ − −−− + −+ −

= = = D

b) Nenner: 2x 4x 21 0 (x 3)(x 7) 0 x 3 oder x 7− − = ⇔ + − = ⇔ = − =

⇒ Dg = 0 \ {–3; 7} 2

2

(x 4)(x 7) x 4x 11x 28g(x 3)(x 7) x 3x 4x 21

g(x) auf− − −− ++ − +− −

= = = D



Arbeitsblatt 1: Methode der Polynomdivision

Die Methoden der schriftlichen Multiplikation und Division von Zahlen können auf be-liebige Terme bzw. Polynome verallgemeinert werden. Die genaue Technik wird mit dem Arbeitsblatt 2 eingeübt.

schriftliche Multiplikation

schriftliche Division

Zahlen

2 1 31 26 3

214 2

6 5 5 2

⋅

++

6552 : 21 31263

2521

4242

0

=−

−

−

Polynome

2

3 2

2

3 2

(2x 1) (3x 1x 2)

6x 3x2x 1x

4x 2

6x 5x 5x 2

+ ⋅ + ++

+ ++ +

+ + +

3 2 2

3 2

2

2

(6x 5x 5x 2) : (2x 1) (3x 1x 2)(6x 3x )

2x 5x(2x 1x)

4x 2(4x 2)

0

+ + + + = + +− +

+− +

+− +

1. a) Die Division von Zahlen ist ein Spezialfall der Division von Polynomen. Für welche Zahl x ergibt sich im Beispiel oben der Spezialfall 6 552 : 21 = 312?

b) Überprüfen Sie anhand einer weiteren Zahl x, dass das Ergebnis korrekt ist.

2. a) Das Produkt zweier Polynome ist für alle Zahlen x allgemeingültig. Rechnen Sie das Produkt (2x + 1) ⋅ (3x2 + 1x + 2) in gewohnter Weise aus. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der Verallgemeinerung der schriftlichen Multi-plikation im Beispiel oben. Welches Rechengesetz wird verwendet, das die Allge-meingültigkeit garantiert?

b) Warum folgt daraus zwingend, dass auch die Division von Polynomen allgemein-gültig ist?

MA 8 Kopiervorlage



Arbeitsblatt 2: Technik der Polynomdivision

1. Ergänzen Sie die fehlenden Beschriftungen zur Erläuterung der Rechnung:

2. Setzen Sie die Polynomdivision fort: 3 2 2

3 2

2

(x 3x 10x 24) : (x 2) x

(x 2x )

10x

( x 2x)

−

−

− − + − =− −

−− − +

2

x

x

Vorzeichen beachten.

3. Berechnen Sie 3(19x 30 x ) : (x 2).− − −

3 2

3 2

( x 19x 30) : (x 2) x

( x 2x )

− + + − − = −− − +

20x Potenzen dem Grad nach ordnen;fehlende x-Potenzen mit dem Koeffizienten 0 ergänzen.

MA 9 Kopiervorlage



Arbeitsblatt 3: Polynomdivision mit Rest

Sollen 139 Kuchen auf 12 Kindergruppen gerecht aufgeteilt werden, kann man jeden Kuchen in 12 Stücke teilen und jede Gruppe erhält von jedem Kuchen 1 Stück, insgesamt also 139 Stücke bzw. 139 Zwölftel: 139

12

Mit geringerem Aufwand verteilt man die Kuchen, indem man jeder Gruppe 11 ganze Kuchen gibt: 11 ⋅ 12 = 132 Die restlichen 7 Kuchen werden dann noch anteilig aufgeteilt; jede Gruppe erhält 7 Zwölftel bzw. insgesamt

712

11 .+

Verallgemeinern Sie dieses Zahlenbeispiel ausgehend von der schriftlichen Division mit Rest zu einer Polynomdivision mit Restterm.

schriftliche Division mit Rest: Polynomdivision mit Rest:

712

139 :12 1112

1912

7

= +−

−

2(1 x 3 x 9) : ( )⋅ + ⋅ + =

In einem Mathematikbuch findet sich folgende Argumentation:

Die Division eines Polynoms f(x) durch einen Linearfaktor (x – xn) mit einer beliebigen

konstanten Zahl xn lässt sich bis auf einen Rest r durchführen. Dieser Rest ist dann eine

konstante Zahl, also unabhängig von x; es gilt:

nf ( x ) g( x ) ( x x ) r mit r= ⋅ − + ∈4

Wenn xn eine Nullstelle der ganzrationalen Funktion f(x) ist, folgt daraus:

n n n n

n

f ( x ) g( x ) ( x x ) r

0 g( x ) 0 r

0 r

= ⋅ − += ⋅ +=

Vollziehen Sie die Argumentation nach und formulieren Sie einen allgemeingültigen Satz über die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion f(x), der aus dieser Argumen-tation abgeleitet werden kann.

MA 10 Kopiervorlage



Arbeitsblatt 4: Übungen und Anwendungen

1. Führen Sie jeweils die Polynomdivision aus.

a) (x2 – 2x – 3) : (x + 1)

b) (x5 – 3x3 + 5x2 – 4x + 5) : (x2 + 1)

c) Multiplizieren Sie zur weiteren Übung zwei beliebige Polynome miteinander. Anschließend dividieren Sie das Ergebnis durch einen der beiden Faktoren.

2. Erraten Sie eine Nullstelle und bestimmen Sie dann sämtliche Nullstellen der Funktion f(x) = x3 + 4x2 + 5x + 2.

3. Zerlegen Sie den Funktionsterm vollständig in Linearfaktoren: f(x) = x3 + x2 – 10x + 8

4. Raten Sie zunächst eine Lösung und bestimmen Sie dann sämtliche Lösungen der folgenden Gleichung: x3 – 17x = – x2 – 15

5. a) Gegeben ist die Funktion

322

x x

2x 1f (x)

+−= als Quotient zweier ganzrationaler

Funktionen. Führen Sie eine Polynomdivision mit Rest durch, um eine Summendarstellung der Funktion f zu erhalten.

b) Je größer x wird, desto stärker nähert sich der Graph der Funktion f der Gera-den

12

y x 1= + an. Begründen Sie.

6. a) Zu einer Funktion f(x) lässt sich der Differen-

renzenquotient 0

0

f (x) f (x )x x

−− an einer Stelle x0

berechnen. Berechnen Sie den Differenzenquotienten für die Funktion f(x) = x3 und die Stelle x0 = 2 durch Polynomdivision.

b) Interpretieren Sie anhand der Abbildung rechts, was mit dem Differenzenquotienten allgemein berechnet wird.

7. „Kann man eine ganzrationale Funktion vollständig in Linearfaktoren zerlegen, kennt man sämtliche Nullstellen der Funktion.“ Gilt auch der umgekehrte Schluss? „Sind sämtliche Nullstellen gegeben, dann ist die ganzrationale Funktion ein-deutig vorgegeben.“ Begründen Sie Ihre Antwort.

MA 11 Kopiervorlage



Lösungsblatt zu Arbeitsblatt 1

1. a) Die Division der Polynome (6x3 + 5x2 + 5x + 2) : (2x + 1) = (3x2 + 1x + 2) ergibt für x = 10 als Spezialfall die Division 6 552 : 21 = 312.

Dies entspricht der Darstellung der Zahlen anhand ihrer Dezimalstellen: 3 2 2

3 2

2

2

(6 5 10 5 10 2) : (2 10 1) (3 10 1 10 2)(6 10 3 10 )

2 10 5 10(2 10 1 10)

4 10 2(4 10 2)

0

10 + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ +− ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅− ⋅ + ⋅

⋅ +− ⋅ +

⋅

b) Rechnung für x = 2: 3 2 2(6 2 5 2 5 2 2) : (2 2 1) 80 :5 16 und (3 2 1 2 2) 16⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = = ⋅ + ⋅ + =

Weiteres Beispiel x = 1: 3 2 2(6 1 5 1 5 1 2) : (2 1 1) 18 :3 6 und (3 1 1 1 2) 6⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + = = ⋅ + ⋅ + =

2. a) 2 3 2 2 3 2(2x 1) (3x 1x 2) 6x 2x 4x 3x 1x 2 6x 5x 5x 2+ ⋅ + + = + + + + + = + + +

Dies stimmt mit dem Ergebnis der entsprechenden schriftlichen Multiplikation überein. Bei der Berechnung wird insbesondere das Distributivgesetz angewen-det, um die Klammern auszumultiplizieren.

b) Bei der schriftlichen Division wird schrittweise die Umkehroperation der Multi-plikation angewendet. Da diese allgemeingültig ist, gilt dies auch für die Divi-sion. Aufgrund der hergestellten Analogie kann dies auf die Verallgemeinerung der Multiplikation und Division von Polynomen übertragen werden.

MA 12 Kopiervorlage




1. Rechnung mit vollständigen Erläuterungen:

2. Vollständige Polynomdivision: 3 2 2

3 2

2

(x 3x 10x 24) : (x 2) x 12

(x 2x )

10x

( x 2x)

12x 24

( 12x 24)

0

−

−

− − + − = −− −

−− − +

− +− − +

2

x

x

Vorzeichen beachten.

3. Vollständige Berechnung von 3(19x 30 x ) : (x 2) :− − −

3 2

3 2

2

2

( x 19x 30) : (x 2) x 2x 15

( x 2x )

2x 19x

( 2x 4x)

15x 30

(15x 30)

0

− + + − − = − − +− − +

− +− − +

−− −

20x Potenzen dem Grad nach ordnen; fehlende x-Potenzen mit dem Koeffizienten 0 ergänzen.

MA 13 Kopiervorlage




Stellt man die Zahlen mit Zehnerpotenzen dar und ersetzt die 10 jeweils durch x, er-hält man aus 139 : 12 die entsprechende Polynomdivision 2(1 x 3 x 9) : (1 x 2).⋅ + ⋅ + ⋅ +

schriftliche Division mit Rest: Polynomdivision mit Rest:

712

139 :12 1112

1912

7

= +−

−

72x 2

2(x 3x 9) : (x 2) x 1

(x 2x)

x 9(x 2)

7

++ + + = + +− +

+− +

Dividiert man ein Polynom f(x) durch einen Linearfaktor (x – xn), so ergibt sich ein Polynom g(x) (mit einem um 1 niedrigeren Grad als f(x)) sowie evtl. ein konstanter Rest r (im obigen Beispiel gilt g(x) = x + 1 und r = 7):

n

rn x x

f (x) : (x x ) g(x) mit r−− = + ∈0

Aus dieser Gleichung erhält man die in der Argumentation angegebene Darstellung von f(x), indem man beide Seiten mit (x – xn) multipliziert:

nf (x) g(x) (x x ) r mit r= ⋅ − + ∈0

Setzt man in diese Gleichung xn für x ein, erhält man:

n n n n nf (x ) g(x ) (x x ) r g(x ) 0 r r= ⋅ − + = ⋅ + =

Ist xn eine Nullstelle von f(x), so gilt f(xn) = 0, also folgt daraus in diesem Fall: r 0=

Man erhält folgende allgemeingültige Aussage:

Wird eine Polynomdivision durch einen Linearfaktor (x – xn) mit einer Nullstelle xn des Polynoms durchgeführt, geht die Division auf und es bleibt kein Rest (r = 0). Die Linearfaktoren (x – xn) mit einer Nullstelle xn sind also Teiler des Polynoms.

Umgekehrt gilt: Bleibt bei der Polynomdivision durch einen Linearfaktor ein Rest, dann ist xn keine Nullstelle des Polynoms.

MA 14 Kopiervorlage




1. a) 2

2(x 2x 3) : (x 1) x 3(x x)

3x 3( 3x 3)

0

− − + = −− +

− −− − −

Die Aufgabe ist auch mit dem Satz von Vieta lösbar.

b) Ergänzen Sie zur Vereinfachung der Rechnung in beiden Polynomen fehlende x-Potenzen jeweils mit dem Koeffizienten 0:

5 4 3 2 2 3

5 4 3

3 2

3 2

2

2

(x 0x 3x 5x 4x 5) : (x 0x 1) x 4x 5(x 0x x )

4x 5x 4x( 4x 0x 4x)

5x 0x 5(5x 0x 5)

0

+ − + − + + + = − +− + +

− + −− − − −

+ +− + +

c) individuelle Lösung Bei der Division muss sich der jeweils andere Faktor ergeben.

2. Leicht zu erraten ist die Nullstelle –1: f(–1) = (–1)3 + 4 ⋅ (–1)2 + 5 ⋅ (–1) + 2 = –1 + 4 – 5 + 2 = 0 Der Linearfaktor (x + 1) muss also ein Teiler des Polynoms sein:

3 2 2

3 2

2

2

(x 4x 5x 2) : (x 1) x 3x 2(x x )

3x 5x(3x 3x)

2x 2(2x 2)

0

+ + + + = + +− +

+− +

+− +

Mit dem Satz von Vieta erhält man weiterhin: 2x 3x 2 (x 1)(x 2)+ + = + +

⇒ 3 2 2f (x) x 4x 5x 2 (x 1) (x 2)= + + + = + ⋅ +

Daraus ergeben sich die Nullstellen: x1, 2 = –1 (doppelte Nullstelle); x3 = –2

3. Hier kann man die Nullstelle 1 erraten: f(1) = 13 + 12 – 10 + 8 = 0 Einer der Linearfaktoren lautet also (x – 1); Polynomdivision ergibt:

MA 15 Kopiervorlage



3 2 2

3 2

2

2

(x x 10x 8) : (x 1) x 2x 8(x x )

2x 10x(2x 2x)

8x 8( 8x 8)

0

+ − + − = + −− −

−− −

− +− − +

Mit dem Satz von Vieta erhält man weiterhin: 2x 2x 8 (x 2)(x 4)+ − = − + Die Linearfaktordarstellung von f(x) lautet also:

3 2f (x) x x 10x 8 (x 1)(x 2)(x 4)= + − + = − − +

4. Leicht zu erraten ist die Lösung 1: 13 – 17 = –12 – 15 = –16 Umgeschrieben lautet die Gleichung: 3 2x x 17x 15 0+ − + =

Mit der bekannten Lösung 1 führt man eine Polynomdivision durch: 3 2 2

3 2

2

2

(x x 17x 15) : (x 1) x 2x 15(x x )

2x 17x(2x 2x)

15x 15( 15x 15)

0

+ − + − = + −− −

−− −

− +− − +

Mit dem Satz von Vieta erhält man weiterhin: 2x 2x 15 (x 3)(x 5)+ − = − + Die Lösungen der Gleichung lauten also: x1 = 1; x2 = 3; x3 = –5

5. a) ( )3 1 122 2 2x 1122

x x 0 : (2x 1) x 1 f (x)

(x x)

2x 0(2x 1)

1

−+ + − = + + =

− −

+− −

b) Aus der Summendarstellung der Funktion f in Teilaufgabe a erkennt man, dass der letzte Summand (der Bruch des Restterms) für große x gegen null geht. Die ersten beiden Summanden bilden die angegebene Geradengleichung. Die Gerade ist die Asymptote der Funktion f.

Skizze zur Veranschaulichung: s. nächste Seite.



6. a) Mit f(x) = x3 und x0 = 2 erhält man für den Differenzenquotienten: 3 3 30

0

f (x) f (x ) f (x) f (2) x 2 x 8 2x x x 2 x 2 x 2

x 2x 4− − − −− − − −= = = = + +

Nebenrechnung Polynomdivision: 3 2 2

3 2

2

2

(x 0x 0x 8) : (x 2) x 2x 4(x 2x )

2x 0x(2x 4x)

4x 8(4x 8)

0

+ + − − = + +− −

+− −

−− −

b) Ausgehend vom Punkt (x0 | f(x0)) wird mit dem Differenzenquotienten die Steigung der Sekante zu einem beliebigen Punkt (x | f(x)) des Graphen berech-net. Sie gibt an, wie stark sich die Funktion im Mittel über das Intervall [x0; x] ändert, wie steil also die Kurve verläuft.

7. Die Umkehrung der Aussage ist falsch: Die Funktion ist durch die Nullstellen nicht eindeutig festgelegt.

Gegenbeispiel: Sind beispielsweise die Nullstellen x1 = 1 und x2 = 2 vorgegeben, dann erfüllen u. a. folgende verschiedene Funktionen die Bedingung, dass sie genau diese zwei Nullstellen besitzen:

2

2

2 4 3 2

f (x) (x 1)(x 2) x 3x 2g(x) 2(x 1)(x 2) 2x 6x 4h(x) (x 1)(x 2)(x 1) x 3x 3x 3x 2

= − − = − += − − = − += − − + = − + − +

Die Funktion h(x) hat dabei ebenfalls nur die zwei gegebenen Nullstellen, da der Faktor (x2 + 1) immer positiv ist und deshalb nie null werden kann.

Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen · von links nach rechts lernen und ......

Documents

Transcript of Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen · von links nach rechts lernen und ......