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Programmierung und Angewandte Mathematik

C++ /Scilab Programmierung und Einführung in das Konzept der objektorientierten Anwendungen zu wissenschaftlichen Rechnens

SS 2012

F Ek llFomuso Ekellem

Inhalt

Folgen Reihen Verfahren zur Konvergenz Bestimmung

Programmierung und Angewandte Mathematik2

Fomuso Ekellem

Folgen

Definition:Eine Folge ist eine Abbildung der natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen. Man sagt

h i d Li Z hlauch , eine geordnete Liste von Zahlen.

bezeichnet)(amitwirdund

ert werdenidentifizi ,...)a,a,(amit kann a , an RN

:a 321n

Bemerkung:Aufgabe dieses Abschnittes ist es die verschiedensten Eigenschaften von Folgen zu beschreiben und für die wichtigsten hinreichende und notwendige Kriterien

bezeichnet )(amit wirdund Nnn

beschreiben und für die wichtigsten hinreichende und notwendige Kriterien anzugeben. Ziel ist es die einzelnen Eigenschaften an Beispielen erkennen und mathematisch beschreiben.

Beispiele:p a) an=1/2n , b) bn=n/2 , c) cn= n Die Folge (an)= liefert kontinuierlich immer kleiner werdende Folgenglieder

,...

81,

41,

211,

0n 0n


Fomuso Ekellem

Folgen

Beispiele: Die Folge (bn)= liefert kontinuierlich immer nicht kleiner werdende Folgenglieder ...0,1,1,2,2, Die Folge (cn)= liefert kontinuierlich immer größer werdende Folgenglieder

Definition:Eine Folge (an) heißt monoton fallend, wenn für alle n gilt: an+1 anEine Folge (a ) heißt streng monoton fallend wenn für alle n gilt a a

.1,2,3,4,..

Eine Folge (an) heißt streng monoton fallend, wenn für alle n gilt: an+1 anEine Folge (an) heißt monoton steigend, wenn für alle n gilt: an+1 anEine Folge (an) heißt streng monoton steigend, wenn für alle n gilt: an+1 an

Zur Beschreibung vieler weiterer Eigenschaften wird der Begriff der Teilfolge benötigt:

Definition:S i (b ) i i d F l N i NSei (bn) eine streng monoton steigende Folge von N in N.Die Folge (a bn

) ist eine Auswahl von Folgengliedern von (an) und wird als Teilfolge von (an) bezeichnet


Fomuso Ekellem

Folgen

Beispiel:Die Folge (an)=1/n ist nicht nur monoton fallend sondern sogar streng monoton f ll d Si f ll ll di i l i ifallend. Sie fällt allerdings niemals ins negative.

Definition:Eine Folge (an) heißt nach unten beschränkt, falls gilt:Eine Folge (a ) heißt nach oben beschränkt falls gilt:

Nn alle für xa mit Rx n Nn alle für xa mit Rx Eine Folge (an) heißt nach oben beschränkt, falls gilt:

Eine Folge heißt beschränkt wenn sie nach unten und oben beschränkt ist Beispiel:

Die Folge aus dem obigen Beispiel ist nicht nur nach unten beschränkt sondern

Nn alle für xa mit Rx n

g g püberhaupt beschränkt.

Beispiel:Die Folge (an)=sin( ) liefert hintereinander die Werte (1,0,-1,0,...)2

πnDiese Werte wiederholen sich alle immer wieder. Diese Folge ist periodisch mit der Periode 4.


Fomuso Ekellem

Folgen

Definition:Eine Folge (an) heißt periodisch wenn gilt:D k h iß P i d ( )

Nn alle für aa mit Nk nkn

Das k heißt Periode von (an) Definition:

Eine Folge (an) heißt konvergent gegen die reelle Zahl a, wenn gilt: nn alle für a-a mit Nn 0

Bezeichnung: Eine Folge heißt divergent, wenn sie nicht konvergiert

nn alle für a-a mit Nn 0 naa lim nn

Beispiel:

)n(n alle für n1a-a mit )n( ein ist Gesucht

vorgegeben fest aber beliebig 0 Sei 0. gegen tkonvergier n1a

n

n

0a gegen tkonvergier a und gefunden )n( ein jedesfür ist Damit2)n(n

1a-a2)n( Mit

n

n

n

1


Fomuso Ekellem

Folgen

Beispiel:Die Folge (an) = n konvergiert nicht, sie divergiert also. Angenommen doch, dann

b i i k i gäbe es ein a mit an konvergiert gegen a.Es ist (an) aber unbeschränkt und damit wächst die Entfernung zu a ab einem gewissen Index k streng monoton an und kann deswegen nicht beliebig klein sein.

Beispiele: Beispiele: Die Folge (an) = konvergiert gegen 0

aber auf etwas sonderbare Weise. Ein Teil der Folge nähert sich von oben der 0 an, der andere Teil allerdings von unten

,...)61 ,

51- ,

41 ,

31- ,

21 (-1,

n11- n

Die Folge (an) = konvergiert nicht Beide Folgen haben aber die gleiche Eigenschaft dass ein Teil der Folge immer oberhalb der andere

immer unterhalb einer Grenze liegt.

Definition:

8,...) 1, 7, 2, 6, (3, 4n1- n

Definition:Eine Folge (an) heißt um a alternierend, wenn es Teilfolgen (bn) und (cn) gibt mit:

nn cab :gilt Nn


Fomuso Ekellem

Folgen

Beispiel: Betrachten wir nun die Folge (an)=

n1-11- n

n

Teilfolgenbeiden die wir Betrachten

,...87,

76- ,

65 ,

54- ,

43 ,

32- ,

21 0, :lautender Folgenglie Die

1.gegen andere die 1-gegen eine Die !Teilfolgen beideen konvergier so

,...87 ,

65 ,

43 ,

21 und ,...

76- ,

54- ,

32- 0,

g

nn allefür a-amit Nn0 )Definition(nach :gilt analog),ion Argumentat dieist 1- (bei 1gegen z.B. ,konvergent sie Wäre

.konvergentnicht weildivergent, Folge dieseist Trotzdem

n

1111

:n ungeradesfür gilt es rd,gewählt wi nnun groß wieEgal1.für recht erst auch aber heißt 0

)(

n

n


Fomuso Ekellem

n1-21-

n11-1-

n1-1-1-

n1-11-1-a n

n

Folgen

Trotz der Divergenz dieser Folge möchte man die besonderen Eigenschaften dieser 2 „Grenzwerte“ auszeichnen

Definition:Eine Folge (an) besitzt in a einen Häufungspunkt, wenn es eine Teilfolge von (an) gibt die gegen a konvergiert.Di F l d l t t B i i l h t d it 2 Hä f kt Die Folge aus dem letzten Beispiel hat damit 2 Häufungspunkte.

Jede periodische Folge besitzt soviel Häufungspunkte wir ihre minimale Periode lautet.

Damit ist folgendes gemeint: Eine periodische Folge der Periode k besitzt aber auch Damit ist folgendes gemeint: Eine periodische Folge der Periode k, besitzt aber auch die Periode 2k oder 3k usw.. Die kleinste derartige Periode gibt die maximale Anzahl der Häufungspunkte an.


Fomuso Ekellem

Folgen

Satz 1:Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Beweis:

knallefür1a-amitNk)1(

nn allefür a-amit Nn 0 konvergentist a nn

n

:giltdann)a, ,Max(amund)a, ,Min(amalsoSei!anzugeben Maximumein und Minimumein möglich esist n von ZahleAnzahl endliche eineFür

Anzahl.endlicher von a,...,a gengliederAnfangsfol die sindDamit knallefür 1aamit Nk )1(

k12k11

k1

n

n allefür das und 2ma2-m:giltdann )a,...,Max(amund)a,...,Min(a m also Sei

2n1

k12k11


Fomuso Ekellem

Folgen

Satz 2: (ohne Beweis)Eine monotone Folge ist entweder unbeschränkt oder konvergent

Bemerkung:Aus dem Beweis von Satz 1 ergibt sich, dass die Unbeschränktheit eine Eigenschaft jeder Restfolge (ab einen Index) ist.Jeder Folgenanfang egal wie viele Glieder ist beschränkt!Jeder Folgenanfang, egal wie viele Glieder, ist beschränkt!


Fomuso Ekellem

Folgen

Definition:Eine Folge die gegen 0 konvergiert heißt Nullfolge.

Satz 3: Eine Folge (an) konvergiert gegen a (an-a) ist Nullfolge Eine beliebige Linearkombination endlich vieler Nullfolgen ist eine Nullfolge

S (R h l f k F l ) Satz 4: (Rechenregeln für konvergente Folgen)

ba)b(alimbblimundaalimb)

aalimaalim a) nnnn

a/b)/b(alim0bblimundaalimd)

ab)(blima)b(alimbblim und aalim c)

ba)b(alimbblimund aalim b)

nnnnnnnnn

nnnnnnn

ban allefür ba und bblim und aa lim e)

a/b)/b(alim0bblimund aalim d)

nnnnnn

nnnnnnn


Fomuso Ekellem

Folgen

Das Problem bei der Konvergenzdefinition ist, dass die Konvergenz einer Folge nur gezeigt werden kann wenn der Grenzwert auch bekannt ist.

Satz 5: (Cauchy-Konvergenzkriterium)(an) konvergiert

B k

nmn, alle für a-a mit Nn 0 mn

Bemerkung:Satz 5 erlaubt die Konvergenz einer Folge zu zeigen ohne den Grenzwert zu kennen.

Beispiel:

132²

132²

132²

n²32²

132²

n²32²

1-n²0

Grenzwert der gesucht , 3-2nn²

1-n² Folge die Gegeben

n²3

n²2n

n²n²

n²3-2nn²3-2nn²3-2nn²3-2nn²3-2nn²

0010

n1


Fomuso Ekellem

Folgen

Beispiel:Grenzwert der gesucht ,

54e(-1) Folge die Gegeben n

nn

0111eist Nullfolge eine Rest der das zeigen zu also wir Versuchen

0 gegen nur dann wenn (-1) Faktor ndenalterniere dem wegen tkonvergier Folge Diese54

n

n

0

e5

e4

1

e5

e4

1

e54

154

e

n

n

nn

n

n

nn

00

Beispiel: (Fibonacci-Folge)Die Fibonacci ist eine klassische rekursiv definierte Folge. Nach Festsetzung der ersten beiden Folgeglieder zu 0 und 1 (a =0 und a =1) ergeben sich alle weiteren zur

ersten beiden Folgeglieder zu 0 und 1 (a0=0 und a1=1) ergeben sich alle weiteren zur Summe der jeweils beiden vorherigen Glieder, also

2n alle für aaa 2-n1-nn


Fomuso Ekellem

Folgen

Beispiel: (Fibonacci-Folge)Die Zahlen die sich aus diesem Bildungsgesetz ergeben sind

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...Diese Folge ist ab n=2 streng monoton steigend und unbeschränkt, konvergiert also nicht.Betrachtet wir die Quotientenfolge der Fibonacci-Zahlen, alsoBetrachtet wir die Quotientenfolge der Fibonacci Zahlen, also

; 1 6 ; 61 ; 1 5 ; 2 ; 1

:1)n (ab Zahlen die sich ergeben es a

abn

1nn

Dies ist eine Folge die, wenn sie konvergiert, abwechselnd von oben und unten sich dem Grenzwert b annähert (alternierend).Die inverse Quotientenfolge cn=1/bn=an/an+1 konvergiert wenn dann auch

... ; 1,6 ; 61, ; 1,5 ; 2 ; 1

Q g n n n n+1 galternierend gegen einen Grenzwert c=1/b.


Fomuso Ekellem

Folgen

Beispiel: (Fibonacci-Folge)Interessant in diesem Zusammenhang ist die Darstellung der Quotientenfolgengliederb l K b hbn als Kettenbruch

111

111321b

1111

23b 73

Di B h d G i i i h i i l d i B ü 11

11

11

11

Die Berechnung des Grenzwertes ist gewiss nicht trivial und weist Bezüge zur Matrizenrechnung auf:

1 1a a Matrix hesymmetrisc die wir Betrachten

n1nn

122322

12

01

12

a a

a a

allgemein und a a

1 11 2

0 11 1

0 11 1

0 11 1

a a

dernFolgenglie 3 ersten den aus gebildet 0 11 1

a aa a


Fomuso Ekellem

1-nn011201 a aa a

ga a1 10 10 10 1a a

Folgen

Beispiel: (Fibonacci-Folge)

E i d d G d Q i f l i h d Ei d Es ist nun so das der Grenzwert der Quotientenfolge sich aus den Eigenwerten der Matrizenpotenzen (n gegen unendlich) ergibt

Die Grenzwerte b und c ergeben sich zuDie Grenzwerte b und c ergeben sich zu

Mi Hilf di b id G lä i h j d F l li d d Fib i F l

2

514-

5125151

51251

2b1c damit und

251b

Mit Hilfe dieser beiden Grenzwerte lässt sich jedes Folgenglied der Fibonacci-Folge direkt ausrechnen

nn1-515

nnnn

n 21-5-

215

51

21-5

215

215-

215

cb(-c)-ba


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Folgen

(n) arithmetische Folge ( ) geometrische Folgenq (1/n) harmonische Folge

q


Fomuso Ekellem

Reihen

Eine unendliche Reihe ist nichts anderes als eine Folge von Zahlen Definition: n

Sei (an) eine Folge. Die durch definierte Zahlenfolge heißt unendliche Reihe.

Die Folge (an) heißt Folge der Glieder der unendlichen Reihe.

1i

in as

Ist die Folge (sn) konvergent gegen s so schreibt man auch

Eine unendliche Reihe heißt divergent wenn sie nicht konvergiert.

sas lim1i

inn

Eine unendliche Reihe heißt divergent wenn sie nicht konvergiert. Bemerkung und Beispiel:

Gegeben die unendliche Reihe 1q mit qsn

0i

in

Für diese Art unendlicher Reihen (geometrische Reihen) sind die Summen, also die Grenzwerte, bekannt und über Formeln berechenbar.


Fomuso Ekellem

Reihen

Bemerkung und Beispiel: Es gelten die folgenden Formeln:

11 1nn

q-qq-1q-1qqq

q11q

q1q-1q

1n1m1m1nmi

ni

ni

i

i1nn

0i

i

0

Für q=1 ist die Reihe divergent, für q=-1 auch aber hier besitzt die Reihe 2 Häufungspunkte (0 und 1). Für |q|>1 ist die Reihe ebenfalls divergent.

q1q1q1qqq

0i0i1mi

Bemerkung:Um die Konvergenz einer Reihe festzustellen sind die ersten Glieder einer Reihe völlig egal.Eine Reihe konvergiert ab k gdw sie auch ab 1 konvergiertEine Reihe konvergiert ab k gdw. sie auch ab 1 konvergiert(unter der Bedingung dass die Reihenglieder für die entsprechenden Indizes auch definiert sind)


Fomuso Ekellem

Reihen

Für Reihen gibt es die unterschiedlichsten Konvergenzkriterien Satz 6: (Cauchy)

Eine unendliche Reihe (sn) ist konvergent

S t 7

nmn, alle für as-s mit Nn 0n

1miimn

Satz 7:Ist die unendliche Reihe (sn) konvergent Die Folge der Reihenglieder (an) ist eine Nullfolge

Bemerkung: Bemerkung:Das ist wieder mal ein Beispiel für ein notwendiges Kriterium:Ist nämlich die Folge der Reihenglieder keine Nullfolge kann die unendliche Reihe nicht konvergieren!


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Reihen

Beispiele

1i alle für 21

i²10 gilt es denn ,konvergent ist

i²1

i

B h )K b h k d 2 (

23

21-1

121-

21

21-1-1

211

i²11

i²10

2i²gg

i²

0ii

1i0i2i

i2i1i

i1i

Ein beliebter Grenzfall ist die sogenannte harmonische Reihe

Behauptung )Konvergenz beschränkt und monoton :2 (Satz

divergent ist Reihe Diese 51

41

31

211

i1

...

989-9A ; 648A ; 72A ; 8A A9 keine enthält n|NnA

99 und 10 zwischen Zahlen derartigen alle enthält A 10n10 und 9 keine enthält n|NnAmit sich ergibt dann enthalten, 9 keine z.B die ein Zahlen auf Reihe diese man Schränkt

5432i

1-n1-nnn321i

2i1-i

i

1i

80

109-1

181098

1098

1098

A MinA

n1

n10

für parat alles wir haben Jetzt

;;;|

0i

i

0ii

i

1i1-i

1-i

1i i

i

1i AnAn

n321i

i

i

1


Fomuso Ekellem

steigend) monoton streng und t(beschränk 2 Satz nach Konvergenz 10

Reihen

Bislang haben wir uns bei Konvergenzaussagen über (sn) in den Beispielen immer auch direkt auf diese Folge bezogen.E ib K i i di A b K d F l ( ) Ei h f b Es gibt Kriterien die Aussagen über Konvergenz der Folge (sn) aus Eigenschaften bzw. Berechnungen über die Folge der Reihenglieder (an) gewinnen.

Definition:

Ist konvergent dann heißt absolut konvergent. Bemerkung:

Absolute Konvergenz ist eine Verschärfung der Konvergenz. Das heißt aus absoluter

1iia

1iia

g g gKonvergenz folgt Konvergenz aber nicht umgekehrt.


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Reihen

Satz 8: (Wurzelkriterium)

il b i d k d k i di ih b l1

Gilt ab einem Index k dann konvergiert die Reihe absolut (Quotientenkriterium)

Gilt ab einem Index k dann konvergiert die Reihe absolut

1qakk

1iia

1qa

an

1n

1iia

Beispiele:

F l f ll d dh l d b ld d k d d b

ist. vorgegeben fest aber beliebig x wobei k!x

0k

k

kriteriumQuotienten nach Konvergenzkx

1kx1)!(k

xa

nun gilt kn Indizes alle FürFolge fallende monoton streng eine derReihenglie die bilden wird xk wo Index dem ab

n

1n

1n

1 Qgk1k

k!xa n

n

0x 1ee gilt Es ?konvergent x welche für ist e x1n x

n

1i

xi


Fomuso Ekellem

Reihen

Satz 9: (Cauchy-Produkt)

n

Seien und absolut konvergente Reihen. Setze

Dann konvergiert die Reihe absolut und es gilt:

1iia

1iib

1i

i-nin bac

1iic

1n

n1n

n1n

n

1ii-ni

1nn babac


Fomuso Ekellem

Verfahren zur Konvergenz Bestimmung

n-te Zahl Test: Geometrische Reihe P-Reihe Test Nicht-Negative Zahl oder absolut AlternierendeSehen Sie nächste Seite.... (Englisch)


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Verfahren zur Konvergenz Bestimmung


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