Protokoll_Photolumineszenz

JLU Gießen SS 2011Fortgeschrittenenpraktikum Teil II

Protokoll: Photolumineszenz aneinem Halbleiter (Quantum Wells)

Daniel [email protected]

Benjamin [email protected]

31. März 2011

Betreut durchMelanie Pinnisch

Inhaltsverzeichnis

1 Aufgabenstellung 3

2 Grundlagen 42.1 Bändermodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Quantentröge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Quantenmechanische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.1 Unter Annahme eines unendlich hohen Potentialtopfes . . . . . . . . 62.3.2 Unter Annahme eines endlich hohen Potentialtopfes . . . . . . . . . 7

2.4 Exziton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Photolumineszenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6 Epitaxiemethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.6.1 Molekularstrahlepitaxie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.6.2 Metallorganische Gasphasenepitaxie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.6.3 Metallorganische Molekularstrahlepitaxie . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Aufbau und Durchführung 123.1 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.1 Gitterspektrometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Auswertung 154.1 Offsetbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Bestimmung des Aluminiumgehalts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Bestimmung Barrierehöhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.4 Bestimmung Quantum Well-Breite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.4.1 Unendlich hoher Potentialtopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.4.2 Endlich hoher Potentialtopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.5 Fragen zum Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2

SS 2011 Quantum Wells 31.03.2011

1 Aufgabenstellung

Ziel des Versuch ist es, mit Hilfe eines Anregungslasers über Photolumineszenz die physikali-schen Eigenschaften einer Halbleiter-Heterostruktur aus GaAs und AlxGa1-xAs zu bestimmen.Dazu werden durch den Laser Elektron-Loch-Paare im Halbleiter erzeugt, welche über Pho-tolumineszenz wieder rekombinieren. Aus dem Lumineszenzspektrum lässt sich der Alumi-niumgehalt x der AlxGa1-xAs-Schichten, die Höhe der Potentialbarriere sowie die Breite dereinzelnen Quantum Wells bestimmen. Die Messungen erfolgen alle bei extrem niedrigen Tem-peraturen, um das Rauschen durch die thermische Energie der Elektronen zu unterdrücken.

3


2 Grundlagen

2.1 Bändermodell

Da sich die Atome in einem Festkörper sehr dicht nebeneinander befinden, kommt es zu einerWechselwirkung der Atomorbitale untereinander, wodurch die diskreten Energieniveaus derAtome zu (quasi-)kontinuierlichen Energiebändern aufspalten. Jede Verbindung besitzt ihr ei-genes charakteristisches Bänderschema. Grundsätzlich ist jeodch die Betrachtung des Valenz-bandes und des Leitungsbandes von physikalischem Interesse. Das Valenzband beschreibt dasoberste, vollständig mit Elektronen besetzte Energieband, wohingegen das Leitungsband dasunterste vollständig unbesetzte Energieband repräsentiert. Ein Ladungstransport und somit einFließen von Strom kann nur durch teilweise besetzte Bänder erreicht werden.

EEL

EV

Energielüe Eg

T=0K T>0K

Leitungsband

Valenzband

Abbildung 2.1: Bändermodell eines Halbleiters

Während bei einem Isolator die Energielücke sehr groß ist, so dass nahezu keine Elektronendurch thermische Anregung ins Leitungsband gehoben werden können, überlappen bei Metal-len das Valenz- und das Leitungsband, weshalb Metalle hervorragende leitende Eigenschaftenbesitzen. Die dritte Gruppe von Festkörpern sind die Halbleiter: Hier beträgt die Bandlückebis zu 3 eV, wodurch Elektronen durch thermische Anregung auf Grund der Fermi-Statistikaus dem Valenz- in das Leitungsband gehoben werden: Je höher die Temperatur ist, desto hö-her ist auch die elektische Leitfähigkeit eines Halbleiters. Die durch die thermische Anregungerzeugten leeren Energieplätze im Valenzband werden als Löcher bezeichnet und verhaltensich wie positiv geladene Teilchen und tragen somit ebenfalls zur elektrischen Leitfähigkeitbei.

4


2.2 Quantentröge

Lässt man man zwei unterschiedliche Halbleitermaterialien wie in Abschnitt 2.6 beschriebenaufeinander aufwachsen, so kann man dünne, reine, sich abwechselnde Schichten von Halb-leitermaterialien erhalten. Um das epitaktische Aufwachsen zu gewährleisten, dürfen sich dieHalbleitermaterialien jedoch nicht zu stark in ihrer Gitterkonstante unterscheiden.In diesem Versuch wird mit einer Halbleiter-Heterostruktur aus GaAs und AlxGa1-xAs gear-beitet, wobei das x für den Aluminiumgehalt steht. GaAs und AlxGa1-xAs besitzen eine un-terschiedliche Bandstruktur, wodurch an der Grenzfläche zwei unterschiedliche Energielückenaufeinandertreffen. Bei guter Präparation der Schichten erfolgt die Änderung der Energielückeinnerhalb von wenigen Angström und kann näherungsweise als abrupt angenommen werden.Bei der von uns verwendeten Halbleiter-Heterostruktur aus GaAs und AlxGa1-xAs ergibt sichunabhängig von der Aluminiumkonzentration das Verhältnis ∆EL

∆EV≈ 65

35 .

EEL

EV

ALxGA1-xAS

ΔEL

ΔEV

Eg

GaAs

Wastumsritung

}

}

Abbildung 2.2: Bändermodell der verwendeten Heterostruktur

Ordnet man die verschiedenen Komponenten nun abwechselnd an, bildet sich eine Quan-tentrogstruktur aus. Elektronen, die sich innerhalb des Quantentrogs in der Nähe der Valenz-bzw. Leitungsbandkante befinden, sind durch diese Schichtpräperation in ihrer Beweglich-keit in der in der Abbildungen als z-Achse ausgewiesenen Richtung räumlich so stark einge-schränkt, dass ihre Energie in dieser Dimension gequantelt sein muss.

2.3 Quantenmechanische Beschreibung

Um für die Elektronen in z-Richtung gequantelte Energien zu erhalten ist die Schrödingerglei-chung [

− h̄2·(

1mx· ∂

∂x2 +1

my· ∂

∂y2 +1

mz· ∂

∂ z2

)+V (x)

]Ψ(x) = EΨ(x) (2.1)

mit dem AnsatzΨ(r)∼Ψ j(x) · eik‖·r (2.2)

5


zu lösen. In Gleichung 2.1 sind mx,my,mz hierbei die effektiven Massen des Elektrons in derjeweiligen Raumrichtung, durch die das Elektron auf Grund seines Aufenthalts im Festkörperbeschrieben werden muss. Durch den Ansatz in 2.2 separiert die Schrödingergleichung zu(

− h̄2

2mz

∂

∂ z2 +V (z))

Ψ j(z) = ε jΨ j (2.3)

in z-Richtung und

− h̄2

2m‖

(∂

∂x2 +∂

∂y2

)ei~k‖·~r = E‖ · ei~k‖·~r (2.4)

in der xy-Ebene. Dabei ist m‖ = mx = my und die kinetische Energie des Elektrons ergibt sich

aus der Energie ε j und der Energie eines freien Elektrons E‖ =h̄2k2‖

2m‖zu

E = ε j +h̄k‖2m‖

(2.5)

Um ε j zu bestimmen muss man Gleichung 2.3 lösen.

Bereich I Bereich II Bereich III

Abbildung 2.3: Quantentrog der Breite Lz

2.3.1 Unter Annahme eines unendlich hohen Potentialtopfes

Entscheidend für die Lösung der Schrödingergleichung aus 2.3 ist die Annahme eines Po-tentials, dass der Realität möglichst nahe kommt. Ein weiteres Kriterium ist jedoch, dass dasProblem ohne zu großen Aufwand lösbar bleiben sollte. Vereinfachend wird in diesem Ab-schnitt zunächst ein Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden angenommen, die Elektronen

6


werden also als vollständig im Quantentrog eingeschlossen angesehen. Dies vereinfacht dieBerechnung der Schrödingergleichung. Mit den Randbedingungen des Potentialtopfs

V (z) =

0 für z <

12

Lz

∞ für z≥ 12

Lz

(2.6)

ergibt sich die aus der Quantenmechanik wohlbekannte Lösung der Schrödingergleichung in-nerhalb des Potentialtopfs (Bereich II, siehe Abb. 2.3)

Ψ(z) =

A · cos

(j ·πLz· z)

für j = 1,3,5, ...

A · sin(

j ·πLz· z)

für j = 2,4,6, ...(2.7)

Außerhalb des Quantentrogs (Bereiche I und III, siehe Abb. 2.3) verschwindet auf Grunddes unendlich hohen Potentialtopfs die Wellenfunktion. Die Energie des Elektrons ergibt sichsomit zu

ε j =h̄2

π2

2mzL2z

j2 mit j ∈ N (2.8)

2.3.2 Unter Annahme eines endlich hohen Potentialtopfes

Eine realistischere Wahl des Potentialtopfs ist ein Topf mit endlich hohen Wänden:

V (z) =

0 für z <

12

Lz

Vb für z≥ 12

Lz

(2.9)

Hierdurch besitzt das Elektron auch eine gewisse Aufenthaltwahrscheinlichkeit außerhalb desPotentialtopfs, wobei diese mit größerem Abstand zum Potentialtopf immer weiter abnimmt.Des Weiteren muss nun zwischen der effektiven Masse innerhalb des Quantentrogs mt undaußerhalb des Quantentrogs mb unterschieden werden. Somit lauten die Wellenzahlen

kt =

√2mtε j

h̄2 bzw. kb =

√2mb(Vb− ε j)

h̄2 . (2.10)

7


Unter Beachtung der Randbedingungen

Ψ(z) = 0 für z→±∞

Ψ

(−Lz

2

)I= Ψ

(−Lz

2

)II

Ψ

(+

Lz

2

)II= Ψ

(+

Lz

2

)III

∂ z∂ t

Ψ

(−Lz

2

)I=

∂ z∂ t

Ψ

(−Lz

2

)II

∂ z∂ t

Ψ

(+

Lz

2

)II=

∂ z∂ t

Ψ

(+

Lz

2

)III

und mit Hilfe des Ansatzes

Ψ j(z)I = A · ekbz

Ψ j(z)II = B · eiktz +C · e−iktz

Ψ j(z)III = D · e−kbz

gelangt man zu den impliziten Gleichungen

ktmb

kbmtcot(

ktLz

2

)=−1 für ungerade Symmetrie und

ktmb

kbmttan(

ktLz

2

)=+1 für gerade Symmetrie.

Die exakte Vorgehensweise kann beispielsweise im Lehrbuch über Quantenmechnik von Nol-ting [1] ab Seite 261 nachgelesen werden. Die diskreten Energien ε j müssen durch numerischeIteration aus den Gleichungen berechnet werden. Die hier nicht aufgeführte Rechnung zeigt,

E EL

EVAlxGa1-xAs GaAs AlxGa1-xAs

Lz

Wastumsritung

ε1ε2

0

Abbildung 2.4: Subbänder im Quantentrog

dass die Bewegung der Elektronen in z-Richtung zu diskreten Energiewerten führt, währendin der Ebene ein kontinuirliches Spektrum vorliegt. Hieraus folgt die Bezeichnung Subbandfür die Elektronen mit derselben Energie.

8


2.4 Exziton

Als Exziton bezeichnet man die Anziehung zwischen einem Elektron im Leitungsband undeinem Loch im Valenzband. Anschaulich kann man sich dieses Gebilde ähnlich dem Wasser-stoffatom vorstellen. Jedoch muss bei der Berechnung der Exzitonbindungsenergie berück-sichtigt werden, dass die Wechselwirkung zwischen Elektron und Loch durch den Kristallabgeschirmt wird, was in Gleichung 2.11 durch die Dielektrizitätskonstante ε repräsentiertwird. Außerdem muss man bei der Berechnung die Massen der Bindungspartner im Kristallberücksichtigt werden. Somit erhält man für die Bindungsenergie die Formel

EExziton =m?e4

8ε2ε20 h2 . (2.11)

Jedoch gilt diese zunächst nur für die Bindungsenergie in einem ausgedehnten Kristall, bei ei-ner Quantentrogstruktur hängt die Bindungsenergie zusätzlich noch von der Breite der Quan-tentröge ab.

2.5 Photolumineszenz

Wenn man die in den vorherigen Abschnitten beschriebene Halbleiter-Heterostruktur mit La-serlicht bestrahlt, werden durch optische Anregung Elektronen aus dem Valenz- in das Lei-tungsband gehoben. Hierbei ist jedoch darauf zu achten, dass das eigestrahlte Licht energie-reich genug sein muss, dem Elektron genug Energie zur Überwindung der Bandlücke zu zu-führen.Bei außreichend tiefen Temperaturen relaxieren die Elektron-Loch-Paare wieder aus dem Ex-zitongrundzustand in den energetisch günstigsten Zustand unter Aussendung eines Photons.Falls in der Probe mehrere Quantentröge vorhanden sind, die dicht beieinander liegen oderperiodisch angeorndet sind, erwartet man keine monochromatischen Lumineszenzspektren,sondern Mehrfachlinien oder sehr breite Linien.

2.6 Epitaxiemethoden

Unter Epitaxie versteht man das Aufwachsen eines Kristalls auf einem anderen, wobei diekristallographische Struktur des aufwachsenden Kristalls der des zweiten Kristalls entspricht.Durch diese Form des Kristallwachstums ist es möglich, solche Halbleiter-Heterostrukturenzu erzeugen, wie sie in diesem Versuch verwendet werden und welche den Bau von Quan-tentroglasern oder High Electron Mobility Transistoren (HEMT) ermöglichen. Es gibt einigeverschiedene Epitaxiemethoden, durch welche es möglich ist, aufeinander folgende Halblei-termMonolagen zu erzeugen. Im Folgenden werden drei dieser Methoden dargestellt.

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E EL

Laser

EV

Lumineszenz

ε1e

ε1h

AlxGa1-xAs GaAs AlxGa1-xAs

Lz

Z

Abbildung 2.5: Photolumineszenzmechanismus

2.6.1 Molekularstrahlepitaxie

Die Molekularstrahlepitaxie (Molecular Beam Epitaxy, MBE) stellt eine Sonderform der phy-sikalischen Gasphasenabscheidung (Physical Vapor Deposition, PVD) dar. Hierbei werdendie aufzubringenden Materialien zunächst verdampft und lagern sich anschließend auf demSubstrat ab. Um reproduzierbare, kontrollierbare und sehr saubere Bedingungen während dergesamten Abscheidung zu garantieren, erfolgt der gesamte Prozess im Ultrahochvakuum beiDrücken von ca. 10−5mbar.Um diesen Druckbereich zu erreichen, werden die aus Edelstahl bestehenden Kammern zu-nächst durch mechanische Vorpumpen und ab einem Druck von ∼ 10−1mbar durch Ionenget-terpumpen oder Turbomolekularpumpen in den gewünschten Druckbereich gebracht. Wäh-rend die Pumpwirkung bei Turbomolekularpumpen auf dem Impulsaustausch der Gasmolekü-le in der Kammer mit den Turbinenrädern der Pumpe beruht, ionisiert die Ionengetterpumpedie in der Kammer verbleibenden Moleküle und beschleunigt diese durch elektrische Felderauf die Elektroden, wo diese an aktiven Metallfilmen chemisorbiert werden.Um die nötige hohe Beweglichkeit der aufgedampften Moleküle auf dem Substrat zu gewähr-leisten,s wird dieses auf ca. 800 K geheizt. Über Shutter können die unterschiedlichen Mole-külstrahlen sehr schnell und genau ein- bzw. ausgeschaltet werden.

2.6.2 Metallorganische Gasphasenepitaxie

Bei der metallorganischen Gasphasenepitaxie (Metalorganic Chemical Vapour Depositon,MOCVD) werden die aufzubringenden Moleküle direkt aus einer Gasflasche über ein regel-bares Ventil in den Flusreaktor gebracht. Dort diffundieren die Moleküle, teilweise unter Zu-hilfenahme eines Trägergases wie H2, auf das Substrat, wo sie durch chemische Reaktionenauf dem Substrat aufwachsen.Vorteil dieses Verfahren ist, dass der Prozess kontinuierlich aufrech terhalten werden kannund somit auf Grund der geringen Kosten besonders in der Industrie häufig eingesetzt wird.

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Der Nachteil besteht jedoch darin, dass ein Wechsel des verwendeten Gases aufwändig istund viel Zeit in Anspruch nimmt, da bei jedem Wechsel die Kammer zunächst vollständig miteinem nichtreaktiven Gas ausgespült werden muss. Somit sind reine Monolagen durch diesesVerfahren im Normalfall nicht zu realisieren.

2.6.3 Metallorganische Molekularstrahlepitaxie

Eine Mischform der vorhergehenden Methoden stellt die metallorganische Molekularstrahle-pitaxie (Metalorganic Molecular Beam Epitaxie, MOMBE) dar. Bei diesem Verfahren werdenanalog zur MOCVD Ventile genutzt, jedoch gelangen die Gase hier über Kapillare in eineUltrahochvakuumwachstumskammer, wie sie bei der MBE verwendet wird. In den Kapillarenwerden die Gase zu Molekularstrahlen geformt, die nun gerichtet auf das Substrat aufgebrachtwerden. Somit gelingt es die Vorteile der zuvor beschriebenen Verfahren zu kombinieren.

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3 Aufbau und Durchführung

3.1 Versuchsaufbau

Probe

Chopper

KryostatH

e-N

e-La

ser

Lo-InVerstärker

Mess-PC

Srimotor-steuerung

Photo-multiplier G

ier

-sp

ektr

omet

er

Abbildung 3.1: Versuchsaufbau

In Abbildung 3.1 ist der Versuchsaufbau schematisch dargestellt. Die zu untersuchendeHalbleiter-Heterostruktur (Abbildung 3.2) befindet sich im Kryostat, der im Grunde genom-men einen großen Isolierbehälter darstellt, in den der flüssige Stickstoff bzw. das flüssigeHelium zur Kühlung eingefüllt werden. Die in Abschnitt 2.5 beschriebene optische Anre-

LB

VB

5μmQW1 QW2 QW3 QW4 QW5

500nm

10nm

Abbildung 3.2: Versuchsaufbau

gung der Probe geschieht durch einen Helium-Neon-Laser mit einer Wellenlänge von 632,83nm, dessen Licht mit Hilfe des Choppers zu einem Rechtecksignal geformt wird. Das durchdie Photolumineszenz emittierte Licht wird anschließend in ein Gitterspektrometer geleitet,welches einen bestimmten Wellenlängenbereich abfahren kann und somit immer nur eine be-stimmte Wellenlänge zum CCD-Chip durchlässt, welcher das Signal detektiert. Im gesamtenStrahlengang befinden sich außerdem Linsen, mit deren Hilfe sich der Laserstrahl einstellen

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und fokusieren lässt. Zusätzlich können verschiedene Graufilter eingebracht werden, um dieIntensität des Strahls regulieren zu können.

3.1.1 Gitterspektrometer

Das Gitterspektrometer, dessen Aufbau in Abbildung 3.3 dargestellt ist, besteht aus einemEintritts- sowie Austrittsspalt, zwei sphärischen Spiegeln und einem Reflexionsgitter. Das ein-tretende Lichtbündel wird zunächst auf den ersten Hohlspiegel gelenkt, durch den die Licht-strahlen parallel ausgerichtet und anschließend auf das eigentliche Gitter gelenkt werden, wel-ches durch die Drehung um einen bestimmten Winkel die gewünschte Wellenlänge herausfil-tert. Von dort aus gelangt das Licht auf den zweiten Hohlspiegel, welcher das parallele Licht-bündel wieder zu einem Strahl fokusiert. Nun kann das Licht mit Hilfe eines CCD-Chips odereines Photomultipliers detektiert werden. Die spektrale Auflösung ∆λ/λ ist generell durch

Spiegl 2(Fokussierung)

Spiegel 1(Kollimator)Eingangsspalt

Litquelle

Gier

Detektor

Δα

Abbildung 3.3: Aufbau eines Gitterspektrometers

den minimalen Abstand zweier Wellenlängen ∆λ gegeben, die gerade noch getrennt vonein-ander aufgelöst werden können. Bei einem Gitterspektrometer wird sie maßgeblich durch dieGröße des Ein- bzw. Austrittsspalts begrenzt. Näherungsweise gilt der Zusammenhang

∆λ = λ ·

√4g2

n2λ 2

2 f·∆x (3.1)

wobei für die Ordnung n= 1, für die Gitterkonstante g−1 = 1200mm−1 und für die Brennweitedes Spektrometers f = 25 cm einzusetzen sind. ∆x steht für die eingestellte Spaltbreite.

13


3.2 Versuchsdurchführung

Zunächst wurde der Kyrostat mit Hilfe von flüssigem Helium auf ca. 6 Kelvin herunterge-kühlt und die Probe mit dem Probenhalter in den Kyrostaten eingebaut. Anschließend wurdeder Laser eingeschaltet und der Laserstrahl so justiert, dass er über die Probe fokussiert in dasGitterspektrometer trifft.Im Anschluss muss das Spektrometer kalibriert werden, indem die Reflexion der Laserliniegemessen wird. Hierzu wurde zunächst eine grobe, schnelle Messung durchgeführt, um dieLage der Laserlinie grob zu lokalisieren. Nachdem das Maximum gefunden war, wurde ab-wechselnd der Laserstrahl justiert und die Spaltbreite verkleinert, um eine gute spektrale Auf-lösung zu erhalten. Danach wurde die eigentliche Messung zur Bestimmung des Offsets desMonochromators mit einer Schrittweite von 0,05 nm durchgeführt.Nach diesen Vorbereitungen erfolgte die Messung der Spektren bei 6,7 K und 102,5 K. DieMessung bei 200K lieferte aus nicht nachzuvollziehenden Gründen keine Ergebnisse mehr,das Spektrum bestand nur aus Rauschen. Die ausgegebenen Sprektren zeigten entweder über-haupt kein Signal oder Signale, die nichts mit dem zu erwarteten Spektrum zu tun hatten.

14


4 Auswertung

Die aufgenommenen Spektren wurden jeweils mit einer Integrationszeit von 0,4s aufgenom-men. Die Schrittweite bei der Offsetmessung betrug 0,05nm, bei den anderen Messungen be-trug sie 0,2nm. Leider war es nicht möglich ein Spektrum bei einer Temperatur von mehr als100K aufzunehmen, die Messungen lieferten dort keine Peaks sondern nur Untergrundrau-schen.

Inte

nsit

ät [w

.E.]

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

Wellenlänge [nm]740 760 780 800 820 840

740 760 780 800 820 840

(a) 6,7K

Inte

nsit

ät [w

.E.]

0

0,5

1

1,5

2

0

0,5

1

1,5

2

Wellenlänge [nm]740 760 780 800 820 840

740 760 780 800 820 840

(b) 102,5K

Abbildung 4.1: Die aufgenommenen Lumineszenzspektren ohne geeichte Skalen mit gefitte-ten Peaks

4.1 Offsetbestimmung

Mit Hilfe einer Laserlinie bekannter Wellenlänge (632,83 nm) galt es den Offset der ver-wendeten Apparatur zu bestimmen. Dazu wurden die aufgenommenen Datenpunkte mit einerGaußverteilung gefittet.Aus dem bestimmten Maximum xc = 653,53 nm lässt sich direkt der Offset bestimmen:

∆λ = (653,53±0,009)nm−632,83nm = (20,7±0,009)nm

Alle aus den Messungen gewonnenen Wellenlängen müssen also um (20,7 ± 0,009) nm ver-ringert werden.

15


Inte

nsit

ät [w

.E.]

0

5

10

15

20

25

30

35

0

5

10

15

20

25

30

35

Wellenlänge [nm]652 652,5 653 653,5 654 654,5

652 652,5 653 653,5 654 654,5

Model: GaussChi^2/doF = 4,267R^2 = 0,9677524406987A = 24,708 +/- 1,007xc = 653,532 +/- 0,009w = 0,63 +/- 0,023y0 = -0,731 +/- 0,480

Abbildung 4.2: Offsetbestimmung

4.2 Bestimmung des Aluminiumgehalts

Der Aluminiumgehalt der Quantum Wells lässt sich mit Hilfe der in der Praktikumsanleitungenthaltenen Lumineszenzmessung bestimmen.Das daraus bestimmte Maximum liegt bei λ = (631,4±0,1)nm, was entsprechend der Rela-tion E = hc

λeiner Energie von Eg = (1,964 ± 0,003) eV entspricht. Entsprechend dem in der

Anleitung gegebenem Zusammenhang zwischen der Energielücke in AlxGa1-xAs lässt sichder Parameter x folgendermaßen berechnen:

Eg = (1,5192+1,247 · x)eV

⇒ x =1,964−1,5192

1,247= 0,357

Der Fehler berechnet sich nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz als

∆x =∣∣∣∣ ∂x∂E

∣∣∣∣∆E =−1,5192

1,247·0,003 = 0,004

Abschließend ergibt sich also x = 0,357 ± 0,004

4.3 Bestimmung Barrierehöhe

Die Bandlücke EBarriereb errechnet sich als EBarriere

b = (1,5192+ 1,247 · x)eV. Die des Topfesist mit x = 0 gegeben als ETop f

b = 1,5192eV . Mit dem zuvor berechnetem Aluminiumgehalt x

16


625 630 635 640 645 6500

20

40

60

80

100

120

140Lumineszenz derBarrierevonProbeP52T=4.2KAnregungswellenlänge 442nm

PL-In

tens

ität[

w.E

.]

Wellenlänge [nm]631,4625 630 640635 645 650

Abbildung 4.3: Lumineszenzmessung

ergibt sich also

EBarriereb = (1,5192+1,247 · (0,357±0,004)) eV = (1,964±0,005) eV

Für die Barrierenhöhe der Potentialtöpfe für Elektronen und Löcher gilt das Verhältnis

∆EL

∆EV=

6535

∆EV errechnet sich als

∆EV = EBarriereb −ETop f

b −∆EL = EBarriereb −ETop f

b − 6535

∆EV

Durch umstellen ergeben sich für die Höhe der Barrieren

∆EV =EBarriere

b −ETop fb

1+ 6535

= (0,1557±0,0027) eV

∆EL =6535·∆EV = (0,2892±0,0027) eV

4.4 Bestimmung Quantum Well-Breite

Um die Breite der Quantum Wells zu bestimmen, müssen zunächst die effektiven Massen derLöcher und Elektronen im Topf bzw. in der Barriere berechnet werden. Die schwersten Löcher

17


in GaAs liegen energetisch am tiefsten, so dass es reicht, diese bei T = 6,7K zu betrachten.In der Al0,357Ga0,643As-Barriere gilt

me,1 = (0,067+0,084 ·0,357) ·me = 0,0970 me

mh,1 = (0,34+0,175 ·0,357) ·me = 0,4025 me

In den GaAs-Töpfen gilt analog mit x = 0

me,2 = 0,067 me

mh,2 = 0,34 me

Im Falle des unendlich hohen Potentialtopfs gilt nach Formel 2.8 mit j = 1:

Lz =h̄π√

2mT ε1

mit der effektiven Elektronen- bzw. Lochmasse mT und der Grundzustandsenergie ε1. Im Fallendlich hoher Wände gilt gemäß Formel 2.3.2

Lz =

√2h̄2

mtε1arctan

√(VB− ε1) ·mT

mBε1

Hierbei ist mB die effektive Elektronen- bzw. Lochmasse und VB die Höhe der Potentialbar-

riere.Die Lumineszenzenergie EPh ergibt sich aus der Summe der Energie der Bandlücke Eb

Topf inGaAs sowie der Grundzustandsenergien der Löcher εh

1 und Elektronen εe1 reduziert um die

Bindungsenergien der Exzitonen EEx:

EPh = ETop fb + ε

e1(Lz)+ ε

h1 (Lz)−EEx(Lz)

In Grafik 4.4 sind die um den Offset und die Bandlücke von GaAs bereinigten Energiespektrendargestellt. Die Peaks setzen sich also zusammen aus den Energien

EPhP = εe1(Lz)+ ε

h1 (Lz)−EEx(Lz)

Aus den Graphen 4.1 und 4.4 wurden die Wellenlängen bzw. Energien der einzelnen Peaksbestimmt, welche für die folgenden Rechnungen benötigt werden. Die Berechnung der Topf-breiten lässt sich einmal unter der Annahme eines unendlich hohen Topfes und einmal unterder Annahme eines endlich hohen Tofes durchführen. Im Folgenden werden beide Rechnun-gen durchgeführt und verglichen.

18

SS 2011 Quantum Wells 31.03.2011In

tens

ität

[w.E

.]

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

Energie [eV]-0,006 0,032 0,072 0,114 0,158 0,204

-0,0059 0,032 0,072 0,11 0,16 0,2

(a) 6,7KIn

tens

ität

[w.E

.]

0

0,5

1

1,5

2

0

0,5

1

1,5

2

Energie [eV]-0,0059 0,032 0,072 0,11 0,16 0,2

-0,0059 0,032 0,072 0,11 0,16 0,2

(b) 102,5K

Abbildung 4.4: Um Offset und GaAs-Bandlücke bereinigte Energiespektren

Peak Wellenlänge (6,7K) Energie (6,7K) Wellenlänge (102,5K) Energie (102,5K)

1 725,996 ± 2,190 0,0165 ± 0,0052 727,997 ± 0,619 0,0106 ± 0044

2 763,657 ± 1,002 0,0381 ± 0,0021 765,719 ± 4,454 0,0443 ± 0,0662

3 781,158 ± 0,934 0,0680 ± 0,0019 782,264 ± 6,017 0,0657 ± 0,0122

4 796,126 ± 0,653 0,1044 ± 0,0013 792,999 ± 33,585 0,1000 ± 0,0094

5 807,321 ± 0,296 0,1886 ± 0,0006 810,484 ± 2,318 0,1839 ± 0,0001

Tabelle 4.1: Wellenlängen (in nm) und Energien (in eV) der Peaks der Lumineszenzspektren,um Offset und GaAs-Bandlücke bereinigt

4.4.1 Unendlich hoher Potentialtopf

Die Bindungsenergie der Exzitonen ist topfbreitenabhängig. Die Abhängigkeit ist grafisch inder Versuchsanleitung dargestellt, einmal für einen endlichen sowie für einen unendlichen Po-tentialtopf, mit einem Aluminiumgehalt von x = 0,3. Die daraus abgelesenen Daten wurdengefittet und für die weitere Verwendung aufbereitet.Mit Hilfe der Formel 4.4 lassen sich nun die Energien der Elektronen und Löcher, die Summedaraus, sowie die um die Exzitonenenergie reduzierte Summe berechnen.

19


Exzi

tone

nene

rgie

[eV

]

0,005

0,006

0,007

0,008

0,009

0,01

0,011

5

6

7

8

9

10

11

Topfbreite [nm]5 10 15 20 25 30 35 40

5 10 15 20 25 30 35 40

Function: y0+A*exp(-x/t)Chi^2/doF = 0,0062R^2 = 0,9976A = 7,3462 +/- 0,1192t = 14,2204 +/- 0,6964y0 = 5,2004 +/- 0,0942

Abbildung 4.5: Exzitonenbindungsenergie in Abhängigkeit der Topfbreite

Ener

gie

[eV

]

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0

0,05

0,1

0,15

0,2

Topbreite [nm]0 5 10 15 20 25

0 5 10 15 20 25

Elektronen Löcher Exzitonen Elektronen+Löcher Elektronen+Löcher-Exzitonen

Abbildung 4.6: Energien in Abhängigkeit der Topfbreite

Daraus lassen sich schlussendlich für die oben bestimmten Energien die zugehörigen Topf-breiten bestimmen:

20


Energie [eV] Topfbreite [nm]

0,0165 20,82

0,0381 15,43

0,0680 12,20

0,1044 10,04

0,1886 7,61

(a) 6,7K


0,0106 23,65

0,0443 14,56

0,0657 12,47

0,1000 10,24

0,1839 7,75

(b) 102,5K

Tabelle 4.2: Topfbreiten der Quantum Wells

4.4.2 Endlich hoher Potentialtopf

Analog zum unendlich hohem Potentialtopf geht man beim endlich hohen Potentialtopf vor,unter Verwendung von Formel 4.4.

Exzi

tone

nene

rgie

[eV

]

0,005

0,006

0,007

0,008

0,009

0,01

0,005

0,006

0,007

0,008

0,009

0,01

Topfbreite [nm]0 10 20 30 40

0 10 20 30 40

Abbildung 4.7: Exzitonenbindungsenergie in Abhängigkeit der Topfbreite

21


Ener

gie

[eV

]

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0

0,05

0,1

0,15

0,2

Topfbreite [nm]0 5 10 15 20 25

0 5 10 15 20 25

Elektronen Löcher Exzitonen Elektronen+Löcher Elektronen+Löcher-Exzitonen

Abbildung 4.8: Energien in Abhängigkeit der Topfbreite


0,0165 20,28

0,0381 14,76

0,0680 11,39

0,1044 9,23

0,1886 6,87

(a) 6,7K


0,0106 22,84

0,0443 13,75

0,0657 11,59

0,1000 9,43

0,1839 6,94

(b) 102,5K

Tabelle 4.3: Topfbreiten der Quantum Wells

22


4.5 Fragen zum Versuch

• Schätzen Sie mit Hilfe der de Broglie-Beziehung ab, wie eng ein »Quantum Well« etwasein muss, damit sich messbare quantenmechanische Effekte auf die Elektronenenergieergeben.Bei Raumtemperatur besitzen Elektronen eine kinetisch Energie von Ekin≈ kBT ≈ 1

40 eV.Dies entspricht einer de Broglie-Wellenlänge von λ = h√

2meEkin≈ 8 nm. Der Quantum

Well sollte also nicht viel größer als ein Ångstrom sein.

• Warum hängt die Bindungsenergie der Exzitonen von der Breite der »Quantum Wells«ab?Durch die Änderung der Topfbreite ändern sich Lösungen der Schrödingergleichung,also die Wellenfunktionen innerhalb des Topfes, und damit auch deren Energieeigen-werte.

• Erklären Sie qualitativ die Veränderung in der Linienbreite der gemessenen Lumines-zenzspektren in Abhängigkeit von der TopfbreiteDie Linienbreite wird u.a. von Schwankungen in der Schichtdicke bestimmt. Die ab-gestrahlte Energie ist reziprok proportional zum Quadrat der Topfbreite, woraus sichfür die Energieunschärfe ergibt: ∆E

E ∼2∆LL3 →

L→inf0. Alternativ kann die Heisenberg’sche

Unschärferelation herangezogen werden: ∆E ·∆t ≤ h̄2 . Wie bereits erläutert, nimmt die

Energie mit zunehmender Topfbreite ab, die Lebensdauer wird größer, die Linienbreitenimmt ab.

• Diskutieren Sie mögliche Effekte, die zu einer Doppellinienstruktur bei den weiterenQuantentöpfen führen können.Der wahrscheinlichste Effekt ist hierbei der, dass zwei Töpfe so eng beieinander lie-gen, dass die Wellenfunktionen überlappen. Gemäß dem Pauli-Prinzip dürfen sich Fer-mionen wie das Elektron nicht im gleichen Energiezustand befinden, die Überlappungführt also zu einer Aufspaltung des Energiezustands. Unwahrscheinlicher hingegen ist,dass die Messung eines Übergangs aus dem ersten angeregten Subbands erfolgte, da dieEnergien im Potentialtopf mit n2 gehen und die Energiedifferenz somit größer als dieLinienbreite wäre.

• Diskutieren Sie die bei der Hochtemperaturmessung auftretenden Veränderungen.Bei einem direkten Vergleich der Messung bei 6,7K mit der bei 102,5K fallen einemsofort mehrere Dinge auf.Während das bei 6,7K aufgenommenen Spektrum schöne, klar von einander getrenn-te Peaks mit zu langen Wellenlängen hin steigender Intensität zeigt, ist das bei 102,5Kaufgenommene Spektrum deutlich anders. Die Peaks sind breiter und laufen bei Wellen-längen von mehr als 770 nm bereits ineinander über. Zudem ist das höchstenergetischsteSpektrum hier, anders als bei 6,7K, das höchste. Außerdem sind die Peaks generell zu

23


Inte

nsit

ät [w

.E.]

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

Wellenlänge [nm]740 760 780 800 820 840

740 760 780 800 820 840

6,7K 102,5K

Abbildung 4.9: Vergleich der zwei Lumineszenzspektren

größeren Wellenlängen hin verschoben.Bei der Erklärung dieser Phänomene müssen mehrere Dinge beachtet werden: Um beider höheren Temperatur überhaupt ein vernünftiges Spektrum zu erhalten, musste dieSpaltbreite vergrößert werden, was zu einer generellen Verbreiterung der Peaks führt.Weiterhin spielt die Energieabhängigkeit der Bandlücke eine Rolle. Die Breite der Band-lücke nimmt zu hohen Temperaturen hin ab, wodurch die Energiedifferenz bei der Exzi-tonenrekombination abnimmt, was die Verschiebung der Peaks verursacht. Bei höherenTemperaturen nehmen zudem die Anzahl der Phononen im Kristall zu. Dadurch steigtdie Wahrscheinlichkeit, dass die Photonen mit den Phononen wechselwirken, die Ein-dringtiefe nimmt ab. Somit werden näher an der Oberfläche liegende Quantum Wellsbevorzugt. Zudem hat die Temperatur einen Einfluss auf die Besetzungswahrscheinlich-keit der einzelnen Zustände, was wiederum in einer Intensitätsänderung resultiert.

• Vergleichen Sie die beiden zur Berechnung der Subbandenergien besprochenen Modelleund diskutieren Sie deren Gültigkeit.Generell ist zu erwarten, dass das Modell des endlich hohen Potentialtopfes genauereErgebnisse liefert. Hierbei ist jedoch zu beachten, dass die Genauigkeit von der Ge-nauigkeit der Höhe der Potentialbarriere abhängt. Wie an der Auswertung zu erkennen,ist der Unterschied zwischen den beiden Modellen erkennbar, mit im Maximalfall abernicht einmal einem Nanometer Unterschied nicht so groß wie erwartet.

24

Literaturverzeichnis

[1] Wolfgang Nolting, "Grundkurs Theoretische Physik Band 5/1: Quantenmechanik -Grundlagen" 7. Auflage, Springer Verlag

[2] Prof. Dr. Siegfried Hunklinger, "Festkörperphysik" 2. verbesserte Auflage, Olden-bourg Verlag München

[3] Harald Ibach,Hans Lüth, "Festkörperphysik: Einführung in die Grundlagen" 7. Auf-lage, Springer Verlag

25

Tabellenverzeichnis

4.1 Wellenlängen der Lumineszenzspektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Topfbreiten der Quantum Wells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 Topfbreiten der Quantum Wells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

26

Abbildungsverzeichnis

2.1 Bändermodell eines Halbleiters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Bändermodell der verwendeten Heterostruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Quantentrog der Breite Lz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Subbänder im Quantentrog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5 Photolumineszenzmechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Aufbau eines Gitterspektrometers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.1 Lumineszenzfits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Offsetbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Lumineszenzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.4 Um Offset und GaAs-Bandlücke bereinigte Energiespektren . . . . . . . . . 194.5 Exzitonenbindungsenergie in Abhängigkeit der Topfbreite . . . . . . . . . . 204.6 Energien in Abhängigkeit der Topfbreite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.7 Exzitonenbindungsenergie in Abhängigkeit der Topfbreite . . . . . . . . . . 214.8 Energien in Abhängigkeit der Topfbreite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.9 Vergleich der zwei Lumineszenzspektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

27

Protokoll_Photolumineszenz

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