JLU Gießen WS 2010/2011Fortgeschrittenenpraktikum Teil I

Protokoll zum Versuch

Stefan-Boltzmann-Gesetz

Daniel SchuryDaniel.Schury@physik.uni-giessen.de

08. Dezember 2010

Inhaltsverzeichnis

1. Aufgabenstellung 3

2. Grundlagen 4

2.1. Strahlungsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.1. Schwarzer Körper und Hohlraumstrahlung . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2. Abzählung der Hohlraumfrequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.3. Energiedichte nach Rayleigh-Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.4. Energiedichte nach Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.5. Energiedichte nach Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.6. Herleitung des Planck-Gesetzes nach Einstein . . . . . . . . . . . . . 72.1.7. Stefan-Boltzmann-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Temperaturmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.1. Temperatur als physikalische Größe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2. Temperaturmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.3. Temperaturskalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Pyrometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.1. Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.2. Verschiedene Pyrometerarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.3. Störeinflüsse und atmosphärisches Fenster . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.4. Vor- und Nachteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Durchführung 16

4. Auswertung 17

4.1. Überprüfung Stefan-Boltzmann-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2. Bestimmung der wahren Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

A. Messwerte 21

2

1. Aufgabenstellung

Im ersten Teil des Versuchs galt es, mit Hilfe eines Pyrometers die Temperaturkuve einesGlühdrahtes in Abhängigkeit der zugeführten elektrischen Leistung aufzunehmen, um damitdas Stefan-Boltzmann-Gesetz S = σ T 4 zu überprüfen. Im zweiten Teil sollte mit Hilfe desKirchhoff’schen Strahlungsgesetzes die wahre Temperatur des Drahtes bestimmt werden.

3

2. Grundlagen

2.1. Strahlungsgesetze

2.1.1. Schwarzer Körper und Hohlraumstrahlung

Auf dem Weg zum Stefan-Boltzmann-Gesetz muss zunächst die Energiedichte in Abhängig-keit der Frequenz und Temperatur bestimmt werden. Dazu ist es notwendig, die Zustands-dichte der Strahlung eines schwarzen Körpers zu bestimmen. Ein schwarzer Körper ist dabeiein Körper, welcher auf ihn auftreffende elektromagnetische Strahlung vollständig absorbiert.Nach dem später noch zu behandelnden Kirchhoff’schen Gesetz ist er damit eine ideale Strah-lungsquelle, dessen Emissionsvermögen bei jeder Wellenlänge maximal ist. Ein schwarzerStrahler lässt sich idealisiert durch einen Hohlraumstrahler annähern.Ein Hohlraumstrahler lässt sich durch einen evakuierten, innen mit ideal leitenden Wändenausgekleideten hohlen Körper umsetzen. Dieser besitzt ein Loch, dessen Größe sehr klein imVergleich zur Größe des Hohlraums ist. Diese Bedingung macht es unwahrscheinlich, dasseine elektromagnetische Welle, die einmal durch das Loch in den Hohlraum geraten ist, denKörper wieder durch das Loch verlässt. Dadurch verhält sich das Loch annähernd wie einschwarzer Körper. Gleichzeitig entspricht das Spektrum der Wärmestrahlung, welche im In-neren des Hohlraumstrahlers bei einer gewissen Temperatur entsteht und durch das Loch ent-weicht, dem Emissionspektrum eines schwarzen Strahlers. Dieses Spektrum zu bestimmen,ist Ziel der folgenden Abschnitte.

Abbildung 2.1.: Aufbau Hohlraumstrahler

4

2. Grundlagen

2.1.2. Abzählung der Hohlraumfrequenzen

Zur Vereinfachung der Herleitung wird von einem idealen, würfelförmigen Hohlraum mitKantenlänge a ausgegangen. Aus der Eigenschaft der ideal leitenden Wände folgt, dass derelektrische Teil der Welle an den Wänden gleich null sein muss. Daraus folgt, dass die Wellenin jeder Dimension die Relation a = ni

λ

2 erfüllen müssen, die Kantenlänge also ein vielfachesder halben Wellenlänge sein muss, mit i ∈ {x,y,z}. Gleichzeitig ergibt sich für die Kompo-nenten ki des Wellenzahlvektors~k = ω

c = 2π

λ: ki =

2π

λ. Bringt man die beiden Gleichungen

zusammen, folgt daraus ki =niπa . Weiter muss gelten ni ∈N, da diese anschaulich angeben, wie

oft diese Welle in den Hohlraum passt. Diese Werte müssen auf Grund der Randbedingungenganzzahlig und nichtnegativ sein, da eine stehende Welle mit negativer Länge physikalischunsinnig wäre. Damit ergibt sich für den Betrag des Wellenvektors

|~k|= π

a

√n2

x +n2y +n2

z

beziehungsweise für die möglichen Frequenzen

ω = c · k = cπ

a

√n2

x +n2y +n2

z (2.1)

Um herauszufinden, welche und wie viele Eigenschwingungen der stehenden Welle bis zu ei-ner Grenzfrequenz ωG auftreten, betrachtet man die Bedingungen für den Wellenzahlvektork im k-Raum. Dort bilden diese einen Kristall mit der Gitterkonstante π

a , wobei jeder Punktin diesem Gitter, beschrieben durch den Tripel (nx,ny,nz), eine Eigenschwingung repräsen-tiert. Um die Anzahl der Eigenschwingungen zu erhalten, gilt es die Gitterpunkte abzuzählen,welche die direkt aus Gleichung 2.1 folgende Bedingung erfüllen:

n2x +n2

y +n2z =

ω2Ga2

c2π2

Diese stellt die Gleichung einer Kugel mit dem Radius R = ωGacπ

dar, über welche die Anzahlder Gitterpunkte abgeschätzt werden kann. Für hinreichend kleine Wellenlängen ergeben sichdiese über das Verhältnis des Volumens der Kugel in diesem Oktanten VK = 1

84π

3 R3 und demVolumen der Einheitszelle VE = (π

a )3:

VK

VE=

π

6(aωG

πc)3

Weiterhin ist zu berücksichtigen, dass aus Gründen der Polarisation in jedem Zustand zweiEigenschwinungen auftreten, so dass sich mit ω = 2π f als Zahl der Eigenschwingungen proVolumeneinheit ergibt

n =8π f 3

G3c3

Die spektrale Modendichte ergibt sich als

dnd f

=8π f 2

c3 ⇔ n f d f =8π f 2

c3 d f

5

2. Grundlagen

Mit der Zustandsdichte n f als Zahl der Eigenschwingungen im Frequenzintervall pro Volu-men.

2.1.3. Energiedichte nach Rayleigh-Jeans

Rayleigh und Jeans wählten zur Bestimmung der Energiedichte den klassischen Ansatz, nachdem sich die Energiedichte ergibt als

w f ( f )d f = n f ( f )w f (T )d f

mit der spektralen Zustandsdichte n f ( f )d f und der mittleren Energie pro Eigenschwingung

w f (T ) =

∞∫0

Ee−E

kBT dE

∞∫0

e−E

kBT dE= kBT (2.2)

Damit ergibt sich für die Energiedichte

w f ( f )d f = n f ( f )w f (T )d f =8π f 2

c3 kBT d f

Diese Gleichung stellt eine gute Näherung für kleine Frequenzen dar. Für hohe Frequenzengeht die Energiedichte jedoch gegen unendlich, es kommt zur sogenannten Ultraviolettkata-strophe. Dieser Ansatz lieferte also kein über das gesamte Frequenzspektrum befriedigendesErgebnis.

2.1.4. Energiedichte nach Wien

Wien wählte zur Lösung einen empirischen Ansatz. Durch Fitten vorhandener Messdaten er-hielt er die Funktion

w f ( f )d f = α8π f 3

c3 e−α f

kBT d f

mit durch Parameteroptimierung zu bestimmendem α . Diese Funktion lieferte eine gute Nä-herung für große Frequenzen, wich jedoch bei kleinen stark ab.

2.1.5. Energiedichte nach Planck

Planck wählte zur Lösung des Problems einen Ansatz, nach dem die Energie nicht kontinuier-lich verteilt sei, sondern diskret in Energiepaketen E0 vorliege. Planck nahm die Formel 2.2und ging von den kontinuierlichen Integralen zu diskreten Summen über, womit sich die neuemittlere Energiedichte ergibt als

w f (T ) =

∞

∑n=0

nE0e−nE0kBT

∞

∑n=0

e−nE0kBT

=E0

eE0

kBT −1

6

2. Grundlagen

Planck bestimmte den Zusammenhang der Energiepakete mit der Frequenz als E0 = h f , mitder von ihm eingeführten Hilfsgröße h, dem nach ihm benannten Planck’schen Wirkungsquan-tum. Damit ergibt sich das Planck’sche Strahlungsgesetz als

w f ( f )d f =8πh f 3

c31

eh f

kBT −1

Die Strahlungsgesetze von Rayleigh-Jeans und Wien ergeben sich als Grenzfälle des Planck’schenGesetzes für kleine beziehungsweise große Frequenzen. Wiens α entspricht hierbei h.

Frequenz

Intensität

Rayleigh-JeansPlanWien

Abbildung 2.2.: Grafische Gegenüberstellung der drei Strahlungsgesetze

2.1.6. Herleitung des Planck-Gesetzes nach Einstein

Zur Herleitung des Plank-Gesetzes nach Einstein nimmt man an, dass Licht aus Lichtquanten,den Photonen, besteht. Jedem Photon der Frequenz f wird dabei die Energie E = h f zuge-ordnet, mit h gleich dem Planck’schen Wirkungsquantum. Weiter wird angenommen, dass dieEnergieniveaus in Atomen nach dem Bohrschen Atommodell diskret verteilt sind.In einem Atom mit den zwei Energiezuständen E1 und E2 können nach Einstein drei unter-schiedliche Arten von Wechselwirkung des Atoms mit elektromagnetischer Strahlung auftre-ten. Bei der Absorption regt ein Photon der Energie h f = E2− E1 ein Elektron vom Zu-stand E1 in den energetisch höheren Zustand E2 an und wird dabei vollkommen absorbiert.

7

2. Grundlagen

Bei der spontanen Emission geht ein Elektron vom Zustand E2 in den energetisch niedri-geren Zustand E1 über, wobei es den Energieunterschied in Form eines Photons der EnergieE2−E1 = h f abstrahlt. Die Verweildauer im angeregten Zustand, nach der das Elektron imMittel wieder in den niederenergetischeren Zustand zurückfällt, wird dabei als natürliche Le-bensdauer bezeichnet. Bei der induzierten Emission regt ein Photon der Energie h f =E2−E1ein sich im angeregten Zustand befindliches Elektron zum Zurückfallen in den niederenerge-tischeren Zustand an. Dadurch entsteht ein zweites Photon mit der selben Energie.

E2

E1 N1

N2

hν

B12w

B21w A21

ν

ν

Energie

Absorption Induzierte Emission Spontane Emission

Abbildung 2.3.: Wechselwirkung von elektromagnetischer Strahlung mit einem Atom

Betrachte man nun ein System im thermischen Gleichgewicht, dessen elektromagnetischeWechselwirkung einzig über Absorption oder Emission erfolgt. Das elektromagnetische Strah-lungsfeld habe die Energiedichte u( f ,T ) und das System verfüge über N Atome, welche sichin den Zuständen N1 oder N2 mit den zugehörigen Energien E1 und E2 befinden können. Dasich das System im thermischen Gleichgewicht befindet, ist die Zahl der Übergänge pro Zeitvon E1 nach E2 gleich der von E2 nach E1

E1→ E2

Zeit=

E2→ E1

Zeit(2.3)

Die Zahl der Übergänge pro Zeit von E1 nach E2 ist dabei proportional zur Energiedichteu( f ,T ) und der Besetzungszahl B12 ·N1 mit dem Einsteinkoeffizient B12, welcher die Wahr-scheinlichkeit des Überganges pro Zeit pro Energiedichte angibt

E1→ E2

Zeit= B12 ·N1 ·u( f ,T )

8

2. Grundlagen

Analog ergibt sich für die Übergänge durch spontane und induzierte Emission mit den Ein-steinkoeffizienten B21 und A12

E2→ E1

Zeit= A21 ·N2 +B21 ·N2 ·u( f ,T )

Durch Einsetzen in Gleichung 2.3 folgt daraus der Zusammenhang

B12 ·N1 ·u( f ,T ) = A21 ·N2 +B21 ·N2 ·u( f ,T )

Diese Gleichung wird nun nach dem Verhältnis der Besetzungszahlen aufgelöst

N1

N2=

A21 +B21 ·u( f ,T )B12u( f ,T )

(2.4)

Dieses Verhältnis lässt sich nach der Boltzmann-Statistik ebenfalls beschreiben als

N1

N2= e

h fkBT (2.5)

Gleichsetzen der Gleichungen 2.4 und 2.5 sowie Auflösen nach u( f ,T ) ergibt

u( f ,T ) =A21

B12 · eh f

kBT −B21

Die Einsteinkoeffizienten ergeben sich über Grenzwertbetrachtungen. Für T → ∞ muss auchdie Energiedichte unendlich groß werden. Für endliches A21 ergibt sich

limT→∞

(B12 · eh f

kBT︸︷︷︸→1

−B21)≡ 0

woraus folgt, dass B12 = B21. Damit ergibt sich die Energiedichte als

u( f ,T ) =A21

B21

1

eh f

kBT −1(2.6)

Zur Bestimmung des Verhältnisses von A21 zu B21 vergleichen wird das bisherige Ergebnismit dem Rayleigh-Jeans-Gesetz

u( f ,T ) =8π f 2

c3 kBT

Zusätzlich ersetzen wir die e-Funktion durch ihre Reihendarstellung, unter der Annahme, dassh f

kBT � 1 und somit alle Terme der Ordnung 2 und höher vernachlässigbar sind. Damit ergibtsich

u( f ,T ) =A21

B21

1

1+ h fkBT −1

=A21

B21

kBTh f≡ 8π f 2

c3 kBT

9

2. Grundlagen

Daraus folgtA21

B21=

8πh f 3

c3

Einsetzen in 2.6 ergibt das Planck’sche Strahlungsgesetz

u( f ,T ) =8πh f 3

c3(eh f

kBT −1)

2.1.7. Stefan-Boltzmann-Gesetz

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz, welches den Zusammenhang zwischen der Energiedichte ei-nes schwarzen Strahlers sowie dessen Temperatur herstellt, ergibt sich durch Integration derspektralen Energiedichte über alle Frequenzen

U(T ) =8πhc3

∞∫0

f 3

eh f

kBT

d f

Nach der Substitution x = h fkBT ergibt sich

U(T )8πk4

Bc3h4 T 4

∞∫0

x3

ex−1dx =

8π5k4B

30c3h3 T 4

Mit der Relation P(T ) = c2A ·U(T ) erhält man schließlich das Stefan-Boltzmann-Gesetz

P(T ) = σA ·T 4

mit σ =2π5k4

B15c2h3 = 6,67 ·10−8 W

m2K4

2.2. Temperaturmessung

2.2.1. Temperatur als physikalische Gröÿe

Die Temperatur eines Körpers ist eine intensive stoffliche Größe, das heißt bei der Teilung desKörpers bleibt sie in beiden Teilen gleich. Die Temperatur ist eine für den Menschen schwerzugängliche Größe, so basiert zum Beispiel das Temperaturempfinden zusätzlich noch aufdem Wärmestrom und der körperlichen Aktivität, so dass die gefühlte Temperatur sich starkvon der physikalischen unterscheiden kann. Klassisches Beispiel dafür ist, dass man spontannicht unterscheiden kann, ob einem eiskaltes oder kochend heißes Wasser über die Hände ge-gossen wurde.Physikalisch gesehen basiert die Temperatur auf den Geschwindigkeiten der Teilchen in einemKörper, welche bei einer bestimmten Temperatur nicht alle über die gleiche Geschwindigkeit

10

2. Grundlagen

verfügen. Bei einem ruhenden Körper ist die Summe über alle Teilchengeschwindigkeitenzwar null, die Summe über die Beträge oder Quadrate der Geschwindigkeiten ist jedoch in derRegel ungleich null. Allgemein gilt: Je höher die Temperatur eines Körpers, desto größer istdas mittlere Geschwindigkeitsquadrat aller Teilchen. Daraus folgt auch unmittelbar, dass amabsoluten Nullpunkt kein Teilchen mehr in Bewegung ist.Im allgemeinen ist es alles andere als trivial, einen genauen Zusammenhang zwischen Tempe-ratur und Geschwindigkeitsquadrat der Teilchen herzustellen. Sehr leicht wird das jedoch beieinem idealem Gas, bei welchem die Temperatur direkt proportional zur mittleren kinetischenEnergie der Teilchen ist

Ekin =32

kBT (2.7)

Über die ideale Gasgleichung pV = NkBT ist sie zudem mit den makroskopischen GrößenTemperatur, Volumen und Druck verknüpft.

2.2.2. Temperaturmessung

Bei der Temperaturmessung über thermischen Kontakt ist es wichtig, dass dieser ausreichendgegeben ist, also die Wärmeleitung beziehungsweise Konvektion stark genug sind und dassgenügend Zeit vorhanden ist, dass sich der Sensor an die Temperatur des Messobjektes an-passen kann. Man unterscheidet hierbei vier verschiedene Methoden, welche durch die zuGrunde liegende physikalische Größe, an welche die Temperatur gekoppelt ist, unterschie-den werden. Man kann mechanisch die Auswirkungen des thermischen Ausdehnungskoef-fizientens bestimmen, wie beim Gas-/Flüssigkeits- und Bimetallthermometer. Bei der Mes-sung elektrischer Größen kann man die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandsvon (Halb-)Leitern, den Seebeck-Effekt (Thermoelement) oder unterschiedliche Bandlücken(Peltier-Element) ausnutzen. Auch Zeit- beziehungsweise Frequenzmessungen können Rück-schluss auf die Temperatur erlauben, wie zum Beispiel die Abklingrate fluoreszierender Stof-fe oder der Raman-Effekt in Lichtwellenleitern. Schließlich lassen sich auch noch indirekteMessungen verwenden, zum Beispiel die Verwendung von Temperaturmessfarben oder dieBeobachtung des Schmelzens oder Glühens eines Körpers. Die Temperatur kann zudem be-rührungslos durch die von allen Körpern ausgestrahlte Wärmestrahlung bestimmt werden, wiees zum Beispiel das später genauer erläuterte Pyrometer tut.

2.2.3. Temperaturskalen

Die Festlegung einer Temperaturskala erfolgt im Prinzip willkürlich, ist jedoch wichtig umTemperaturen vergleichen zu können. Eine Temperaturskala wird durch mindestens zwei Fix-punkte, die in der Natur vorkommen und möglichst einfach reproduzierbar sein sollten, fest-gelegt und der Abstand zwischen diesen beiden Fixpunkten gleichmäßig aufgeteilt. Durch-gesetzt haben sich weltweit drei unterschiedliche Temperaturskalen: Die Celsius-Skala, dieFahrenheit-Skala und die Kelvin-Skala.

11

2. Grundlagen

Abbildung 2.4.: Thermografische Aufnahme eines Elefantens[4]

Bei der Celsius-Skala wurde der Abstand zwischen dem Siede- (100 ◦C) und dem Gefrier-punkt (0 ◦C) von Wasser bei Normaldruck (101.325 Pa) in 100 Teile geteilt. Die Fahrenheit-Skala verwendet sogar drei Fixpunkte (0◦F entsprechen Eis-Wasser-Salmiak-Gemisch, 32◦Fdem Gefrierpunkt von Wasser und 96◦F der Körpertemperatur des Menschen). Bei der Kelvin-Skala wurden als Fixpunkte der absolute Nullpunkt (0 K) und der Tripelpunkt von Wassergewählt (273,16 K). Der Tripelpunkt beschreibt den Punkt eines Stoffes im Phasendiagramm,an dem die feste, die flüssige und die gasförmige Phase miteinander im Gleichgewicht sind.In der Physik wird meist die Kelvin-Skala, die zu den SI-Basiseinheiten gehört, verwendet.Jedoch sind die Abstände der Celsius und der Kelvin-Skala gleich groß gewählt, sodass sichdie Skalen leicht ineinander umrechnen lassen und die lineare Verschiebung von 273,16 Gradbei sehr hohen Temperaturen, wie sie z.B. im Inneren der Sonne herrschen, ohne Problemevernachlässigt werden kann.

2.3. Pyrometer

2.3.1. Grundlagen

Die wohl direkteste und gleichzeitig eleganteste Möglichkeit die Temperatur eines Materialszu messen, ist die Pyrometrie. Bei dieser Methode wird die elektromagnetische Strahlung

12

2. Grundlagen

Dru

ck

374 °C100 °C0,01 °C

221 bar

1 bar

Temperatur

Tripelpunkt

KritischerPunkt

0,006 bar Wasser-dampf

Wasser

Eis

Abbildung 2.5.: Phasendiagramm von Wasser mit Tripelpunkt

gemessen, die jeder Körper abhängig von seiner Temperatur gemäß dem Stefan-Boltzmann-Gesetz abstrahlt. Jedoch muss das Stefan-Boltzmann-Gesetz noch um den Emissionsgrad ε

erweitert werden, da das Stefan-Boltzmann-Gesetz zuvor für einen idealen schwarzen Strahlerhergeleitet wurde, der in der Realität jedoch nicht gegeben ist:

P(T ) = σAε(λ )T 4 (2.8)

Reale Objekte zeigen Materialeigenschaften, die durch Begriffe wie Reflexion, Absorptionund Transmission beschrieben werden, während bei einem idealen schwarzen Strahler einzigdie vollständige Absorption angenommen wird. Zusätzlich kann z.B. die Reflexion noch ge-richtet oder diffus auftreten, je nachdem wie die Oberfläche eines Materials beschaffen ist.Hierdurch ist der Emissionsgrad einerseits abhängig von dem Material, aber auch von derWellenlänge, die gemessen wird. Um trotzdem die Temperatur mithilfe eines Pyrometers zuermitteln, kann man auf experimentell ermittelte Tabellen für den Emissionsgrad zurückgrei-fen, die für viele Materialen verfügbar sind. Eine weitere Möglichkeit besteht darin, in daszu untersuchende Material ein schmales und tiefes Loch zu bohren und dadurch die Messungan einem nahezu idealen schwarzen Strahler durchzuführen. Alternativ kann auch ein Klebe-streifen, dessen Emissionsgrad bekannt ist, auf das zu untersuchende Objekt geklebt werdenund die Temperaturmessung am Klebestreifen durchgeführt werden. Auf keinen Fall sollte je-doch einfach der Emissionsgrad vernachlässigt werden, da dieser gerade bei Metallen je nachWellenlänge sehr stark variiert.

2.3.2. Verschiedene Pyrometerarten

Die Einteilung von Pyrometern in einzelne Gruppen wird anhand des Wellenlängenbereichsdurchgeführt, in dem diese die Strahlung messen. Als Detektor für die Strahlung kommenjedoch bei allen Pyrometern entweder Photodioden, meist jedoch Thermoelemente zum Ein-satz: Kurz gefasst wird bei einer Photodiode am pn-Übergang über den inneren Photoeffektdas einfallende Licht in einen messbaren Strom umgewandelt, während Thermoelemente aus

13

2. Grundlagen

Abbildung 2.6.: Beispielkurve des Emissionsgrads eines realen Strahlers

zwei unterschiedlichen, an der Spitze zusammen geschweißten Metallen bestehen. Zwischenden beiden Enden der Metalle kann aufgrund des Seebeck-Effekts, der durch die Temperatur-differenz zwischen der Spitze des Thermoelements und dessen Ende hervorgerufen wird, eineSpannung abgegriffen werden und diese in eine Temperatur umgerechnet werden.Häufig verwendet werden Bandstrahlungspyrometer, welche durch einen Filter nur einenTeil der emittierten Strahlung messen, wodurch die Signalauswertung sehr erleichtert wird.Spektralpyrometer basieren auf demselben Prinzip, jedoch messen diese die Strahlung aufeinem wesentlich stärker eingeschänktem Bereich, quasi fast bei einer Wellenlänge. Dies hatden Vorteil, dass diese Art von Pyrometern sehr schnell auf Temperaturänderungen reagierenkann und die Kosten für den Detektor aufgrund des sehr stark eingeschränkten Wellenlängen-bereichs besonders niedrig sind. Als Gesamtstrahlpyrometer bezeichnet man Pyrometer, diemindestens 90 % des gesamten Spektrums zur Temperaturbestimmung heranziehen. Diese Py-rometer sind aufgrund der großen Informationsmenge sehr genau, jedoch meist auch aufgrunddes Detektors recht kostspielig. Als letzte große Gruppe sind die Quotientenpyrometer zunennen. Diese besitzen den Vorteil, dass sie das Verhältnis zwischen zwei Wellenlängen zurTemperaturbestimmung nutzen, wodurch sich der Emisionsgrad des Materials herauskürzt,falls dieser nicht oder nur in sehr geringem Maße wellenlängenabhängig ist.

2.3.3. Störein�üsse und atmosphärisches Fenster

Da bei einem Pyrometer die Strahlung zur Temperaturmessung genutzt wird, die in den De-tektor gelangt, muss man sicherstellen, dass man wirklich nur die Strahlung des gewünsch-

14

2. Grundlagen

ten Objekts misst und nicht noch zusätzlich Strahlung aus der Umgebung. Daher sollte mansich immer möglichst nah am Messobjekt befinden, um Störeinflüsse zu minimieren. Jedochkann nicht nur zusätzliche Strahlung aus der Umgebung die Temperaturmessung verfälschen,sondern natürlich auch der gegenteilige Effekt: Da unsere Atmosphäre wie alle anderen Ma-terialien auch Strahlung in bestimmten Wellenlängenbereichen absorbiert, kann es passieren,dass nicht alle vom Messobjekt emittierte Strahlung bis zum Pyrometer gelangt. Daher mes-sen die meisten Pyrometer die Strahlung in sogenannten atmosphärischen Fenstern, also denWellenlängenbereichen, in denen die Transmission 100 % beträgt.

Abbildung 2.7.: Darstellung der Transmission von Luft

2.3.4. Vor- und Nachteile

Die berührungslose Temperaturmessung bietet gegenüber konventionellen Methoden eine Rei-he an Vorteilen: Die Messung erfolgt sehr schnell, bei einigen Pyrometern innerhalb von µs.Außerdem haben Pyrometer einen sehr großen Messbereich, der einige 1000 ◦C umfassenkann. Besonders bei sehr hohen Temperaturen wird die berührungslose Temperaturmessungangewendet, da es hier keine geeigneten Materialen gibt, die solch hohe Temperaturen unbe-schadet aushalten. Da kein direkter Kontakt zum Messobjekt besteht, können außerdem sehrleicht Objekte gemessen werden, die sich bewegen, aber auch chemisch aggressive Materialenoder Materialen, die unter sehr hohen elektrischen Spannungen stehen.Der größte Nachteil der berührungslosen Temperaturmessung besteht darin, den Emissions-grad des Messobjekts möglichst genau kennen zu müssen, da die Messung sonst sehr leichtfalsche Ergebnisse liefert. Außerdem muss, wie bereits erläutert, natürlich immer darauf ge-achtet werden, dass die Störeinflüsse möglichst gering gehalten werden, also z.B. keine Strah-lung aus der Umgebung die Messung verfälscht.

15

3. Durchführung

Zunächst wurde der Steuerkreis gemäß der Versuchsanleitung verkabelt.

AV

1,24 Ώ

3,2

Ώ

12 V

Abbildung 3.1.: Schaltplan des Aufbaus

Anschließend wurden vier Messreihen aufgenommen. Einmal von 2,2 A bis 3,2 A, von 3,3bis 1,9 A, von 2 A bis 3,2 A und von 3,3 A bis 2,1 A, immer jeweils in 0,2 A-Schritten.An jedem Messpunkt wurde die zugehörige Spannung und Temperatur notiert. Die Spannungkonnte direkt vom Voltmeter abgelesen werden. Für die Temperatur galt es, mit dem Pyrometerden zu messenden Glühdraht mit dem Glühfaden des Pyrometers in Deckung zu bringen undanschließend die Helligkeit des Glühfadens an die des Glühdrates anzugleichen. Bei höherenTemperaturen erwies es sich als zweckmäßig, den Rotfilter des Pyrometers zu verwenden, umdie Helligkeit besser anpassen zu können. Nach dem Angleichen konnte die Temperatur amPyrometer abgelesen werden.

S L G GF L F B

S: StrahlerL: LinseG: GraufilterGF: GlühfadenF: RotfilterB: Blende

Abbildung 3.2.: Anschluss und Verwendung des Pyrometers

16

4. Auswertung

4.1. Überprüfung Stefan-Boltzmann-Gesetz

P ( W

)

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

T (°C)700 800 900 1.000 1.100 1.200 1.300 1.400 1.500

700 800 900 1.000 1.100 1.200 1.300 1.400 1.500

P ( W

)

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

T (K)1.000 1.100 1.200 1.300 1.400 1.500 1.600 1.700 1.800

1.000 1.100 1.200 1.300 1.400 1.500 1.600 1.700 1.800

Abbildung 4.1.: Plot der Messdaten in ◦C undKelvin

Bei der Messung wurden die Temperaturenin ◦C bestimmt. Für die weiteren Berechnun-gen werden diese jedoch in Kelvin benötigt.Die Umrechnung geschieht über die FormelTK = TC + 273,15K. Es wurde angenom-men, dass die Leistung, also das Produkt ausStromstärke und Spannung, welche durchdie Lampe fließt, gleich der Leistung ist, wel-che die Lampe auch wieder abgibt. Damit er-gaben sich dann die zu jeder Temperatur ge-hörenden Ordinatenwerte. Durch bloßes Be-trachten lässt sich die T 4-Abhängigkeit nochnicht direkt ablesen. Man erkennt jedoch,dass die Steigung wie erwartet zu höherenTemperaturen hin zunimmt. Außerdem lie-gen die Messpunkte recht nahe beisammen,es gibt keine größeren Ausreißer, was für ei-ne konsistente Messung spricht.Ein Fit der Messdaten in Kelvin mit derFunktion P = a ·T b ergab folgende Parame-terwerte: a = 4,686 · 10−10 ± 4,539 · 10−10;b = 3,17 ±1,315 ·10−1.Wie man sieht, weicht die Abhängigkeit mitder Potenz 3,17 stark von der erwarteten Vierab, was aber nicht weiter verwunderlich ist.Bisher wurde angenommen, dass die gesam-te gemessene elektrische Leistung direkt indie Erwärmung des Glühdrates eingeht. Fürgenauere Werte müssen also noch Verlustedurch zum Beispiel die Leiterbahnen oderWärmeverluste berücksichtigt werden.

Zur Bereinigung der Messwerte um dieseVerluste trägt man die Leistung P gegen T 4 auf und führt einen linearen Fit durch.

17

4. Auswertung

P ( W

)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

T (K)1.000 1.100 1.200 1.300 1.400 1.500 1.600 1.700 1.800

1.000 1.100 1.200 1.300 1.400 1.500 1.600 1.700 1.800

Abbildung 4.2.: Fit der Messdaten

P ( W

)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

T⁴ (K⁴)0 2e+12 4e+12 6e+12 8e+12 1e+13

0 2e+12 4e+12 6e+12 8e+12 1e+13

Abbildung 4.3.: Fit der Leistung gegen T 4

Würden 100% der elektrischen Leistungin den Draht gelangen, so würde bei einerzugeführten Leistung von 0 Watt die Tempe-ratur des Drahtes ebenfalls 0 K betragen, dieDaten ergäben eine Gerade durch den Koor-dinatenursprung. Der Fit ergab aber ein Off-set von 0,933W ± 0,178W . Das bedeutet,dass von der zugeführten Leistung ungefähr1 Watt abhanden kommen. Trägt man nun P’= P - 0,933 W gegen T auf und führt erneuteinen Fit der Form P = a′ · T b′ durch, erge-ben sich folgende Fitparameter: a′ = 1,884 ·10−12 ± 2,559 · 10−12; b′ = 3,896 ± 1,84 ·10−1. Die Anpassung der Leistung hat, wieman sieht, zu einer deutlichen Verbesserungdes Ergebnisses geführt, der Exponent b’ liegt bei nahezu Vier.

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4. Auswertung

Anschließend wurden die korrigierten Messdaten doppelt-logarithmisch aufgetragen. Die For-mel P = a ·T b geht also über in ln(P) = ln(a)+b · ln(T ).

ln( P

')

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

ln(T)6,9 7 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5

6,9 7 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5

Abbildung 4.4.: Doppelt-logarithmische Auftragung der korrigierten Messwerte

Ein linearer Fit ergab dabei ln(a)=−30,917±1,454, b= 4,43±0,2. Die doppelt-logarithmischeDarstellung ist also eine weitere Methode, den Exponenten sowie den Vorfaktor des Stefan-Boltzmann-Gesetzes zu bestimmen.

4.2. Bestimmung der wahren Temperatur

Bisher wurde angenommen, dass der Glühdraht sich wie ein schwarzer Strahler verhält, dieTemperatur also der sogenannten schwarzen Temperatur entspricht. Realistischerweise ist aberanzunehmen, dass es sich bei dem Versuch um einen grauen Strahler handelte, die wahre Tem-peratur also von der schwarzen Temperatur abweicht.Die wahre Temperatur soll für T = 1600 K und λ = 655 nm bestimmt werden. Dazu wird zu-nächst angenommen, dass der Draht sich im thermischen Gleichgewicht befand, das Emissi-onsvermögen also dem Absorptionsvermögen entspricht. Das Emissionsvermögen von Wolf-ram beträgt unter diesen Bedingungen 0,445 [1]. Zur Vereinfachung der Berechnung wird dasKirchhoff’sche Gesetz mit dem Wien’schen Strahlungsgesetz kombiniert, welches in diesemWellenlängenbereich hinreichend genau ist. Es folgt

α8π

c3 hν3e−

hν

kBTW =8π

c3 hν3e−

hν

kBTS

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4. Auswertung

α ≡ ε ≡ Emissionskoeffizient, TW ≡wahre Temperatur, TS≡ schwarze Temperatur. Umstellennach TW liefert

TW =1

1TS+ kB

hνlnα

Einsetzen der Werte liefert TW = 1700,28 K = 1427,13 ◦C.

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A. Messwerte

I (A) U (V) T (◦C) I (A) U (V) T (◦C)2,2 1,165 890 2,0 0,890 7802,4 1,419 1010 2,2 1,158 9502,6 1,692 1130 2,4 1,414 10602,8 2,005 1270 2,6 1,697 11403,0 2,287 1370 2,8 1,987 12603,2 2,598 1440 3,0 2,290 14003,3 2,789 1480 3,2 2,605 14403,1 2,460 1360 3,3 2,774 14902,9 2,139 1300 3,1 2,472 13302,7 1,879 1150 2,9 2,163 12302,5 1,589 1070 2,7 1,870 11302,3 1,310 1010 2,5 1,576 10402,1 1,057 960 2,3 1,337 9401,9 0,832 790 2,1 1,075 840

Tabelle A.1.: Die aufgenommenen Messwerte

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Literaturverzeichnis

[1] http://www.ieap.uni-kiel.de/surface/ag-berndt/lehre/aprakt/teil-1/tempstr.pdf

[2] Skript zu EDV und Messtechnik von Dr. Thomas Göddenhenrich im SS 2010; Kapitel3: Temperaturmessung

[3] www.kleiberinfrared.com/pdf/Pyrometerhandbuch.pdf

[4] http://www.astrographics.com/GalleryPrints/Display/GP4294.jpg]

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Abbildungsverzeichnis

2.1. Aufbau Hohlraumstrahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Strahlungsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. Zustandsübergänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4. Thermografische Aufnahme eines Elefantens . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5. Phasendiagramm von Wasser mit Tripelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6. Beispielkurve des Emissionsgrads eines realen Strahlers . . . . . . . . . . . 142.7. Darstellung der Transmission von Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1. Schaltplan des Aufbaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2. Anschluss und Verwendung des Pyrometers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.1. Plot der Messdaten in ◦C und Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2. Fit der Messdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3. Fit der Leistung gegen T 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.4. Doppelt-logarithmische Auftragung der korrigierten Messwerte . . . . . . . . 19

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