Quantencomputer: Einführungabel/lehre/SS03/Quanten/vortraege/Lange.pdf · Quantencomputer, da die...

Quantencomputer: EinführungMartin Lange

Institut für Informatik

Ludwig-Maximilians-Universität München

Quantencomputer: Einführung – p.1/29

Einleitung


Geschichte

Computer sind physikalische Geräte, unterliegen denGesetzen der Physik

was sind die Gesetze der Physik?

klassische Physik ist nicht widerspruchsfrei

Anfang des 20. Jh.: Quantenmechanik

Vorteil: beschreibt die Welt besser als klassische Physik

Nachteil: nicht sonderlich intuitiv


Die Church-Turing-These

allgemein akzeptiert in der Informatik:




Jeder Algorithmus kann als (probabilistische)Turing-Maschine dargestellt werden.





wichtiger Aspekt des Modells Turing-Maschine:






Satz: Es gibt eine universelle Turing-Maschine.






Satz: Es gibt eine universelle Turing-Maschine.

Idee wird in jedem Computer benutzt, geht auf von Neumann

zurück


Deutschs Idee

Problem mit Church-Turing-These: unbeweisbar wegen BegriffAlgorithmus

Deutsch: evtl. stärkere These beweisbar

Jeder physikalische Prozess läßt sich auf Maschinesimulieren.

Aber was ist ?

Quantencomputer, da die Welt quantenmechanisch ist


Deutschs Idee



Jeder physikalische Prozess läßt sich auf Maschine

�

simulieren.

Aber was ist ?



Deutschs Idee



Jeder physikalische Prozess läßt sich auf Maschine

�

simulieren.

Aber was ist

�

?



Von Interesse für die Informatik

Quantencomputer ist Berechnungsmodell

Wie verhält er sich zu anderen (z.B. TM, Schaltkreisen,Prog.-sprachen, . . . ) bzgl. der Berechnungsstärke?

Antwort:

mindestens so stark:kann per Definition TM simulieren

höchstens so stark:kann auf TM simuliert werden





Antwort:

� mindestens so stark:kann per Definition TM simulieren

höchstens so stark:kann auf TM simuliert werden





Antwort:

� mindestens so stark:kann per Definition TM simulieren

� höchstens so stark:kann auf TM simuliert werden


Das ist aber noch nicht alles . . .

Aber: Simulation auf TM vermutlich exponentiell!

Quantencomputer interessant für Komplexitätstheorie, denn:

bekannte Komplexitätsklassen (P, NP, PSPACE, EXPTIME)robust weil unabhängig von Maschinenmodell

gilt das auch für Quantencomputer?


Überblick über das Seminar

� Begriffsbildung

der Quantencomputer als Berechnungsmodell(Quanten-TM, -Schaltkreise, -Automaten, . . . )

Quanten-Komplexitätsklassen

Algorithmen für Quantencomputer

Anwendung: Kryptographie

Programmiersprachen für Quantencomputer



� Begriffsbildung

� der Quantencomputer als Berechnungsmodell(Quanten-TM, -Schaltkreise, -Automaten, . . . )

Quanten-Komplexitätsklassen






� Begriffsbildung


� Quanten-Komplexitätsklassen






� Begriffsbildung



� Algorithmen für Quantencomputer





� Begriffsbildung




� Anwendung: Kryptographie




� Begriffsbildung




� Anwendung: Kryptographie

� Programmiersprachen für Quantencomputer


Begriffsbildung


Quanten-Bits

QuBit is fundamentale Informationseinheit für Qu.-Computer

Bit QuBit

Zustand

mit

Messungliefert

mitmit

mit

Zustanddanach


Quanten-Bits


Bit QuBit

Zustand

� � ��

mit

Messungliefert

mitmit

mit

Zustanddanach


Quanten-Bits


Bit QuBit

Zustand

� � ��

� � � � ��

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Messungliefert

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Zustanddanach


Quanten-Bits


Bit QuBit

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Quanten-Bits


Bit QuBit

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Quanten-Bits


Bit QuBit

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Zustanddanach

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Quanten-Bits


Bit QuBit

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mit

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� � �

mit

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Zustanddanach

� ��


Operationen auf QuBits . . .

. . . sind immer linear,

d.h. beschrieben durch Matrix

Sei :



. . . sind immer linear, d.h. beschrieben durch Matrix

��

��

��

Sei :




��

��

��

Sei

� � � � �� :

� � � � �




��

��

��

Sei

� � � � �� :

� � � � � � ��


Welche Operationen sind zugelassen?

nur unitäre,

d.h. beschrieben durch Matrix , wobei

mit

ist -Einheitsmatrix

ist mit Einträgen komplex-konjugiert

ist transponiert

Aber auch: jede unitäre Operation ist zulässig!



nur unitäre, d.h. beschrieben durch Matrix

�

, wobei

� � ��

mit

ist -Einheitsmatrix


ist transponiert





�

, wobei

� � ��

mit

� � ist

� � �-Einheitsmatrix


ist transponiert





�

, wobei

� � ��

mit

� � ist


�

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ist transponiert





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, wobei

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ist

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mit Einträgen komplex-konjugiert

ist transponiert





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, wobei

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ist

�

mit Einträgen komplex-konjugiert

�

� �

ist

�

transponiert



Lineare Algebra

Vektorraum der Dimension �

� � � � � � -Vektor

-Vektor mit komplex-konjugierten Einträgen

inneres Produkt = Skalarprodukt

äußeres Produkt, -Matrix

Tensorprodukt


Lineare Algebra


� � � � � � -Vektor

� � � � � �-Vektor mit komplex-konjugierten Einträgen

inneres Produkt = Skalarprodukt


Tensorprodukt


Lineare Algebra


� � � � � � -Vektor


�� inneres Produkt = Skalarprodukt��


Tensorprodukt


Lineare Algebra


� � � � � � -Vektor



� � � � � � äußeres Produkt, � � �-Matrix

Tensorprodukt


Lineare Algebra


� � � � � � -Vektor



� � � � � � äußeres Produkt, � � �-Matrix

� � � Tensorprodukt


Tensorprodukt

��

��

��

......

��

�

� �

��

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......

��

��

......

......


Tensorprodukt

��

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......

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......


Tensorprodukt

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��

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��

......

��

��

� � ��

��

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......

� � � � � � ��

�

� � � ��

��

��

......

��

�


2 QuBits

geg. 2 QuBits in Zuständen

� � � � �� und

��

Tensorprodukt zum Zusammenbauen größerer Systeme

Zustand eines 2-QuBit-System beschrieben durch


2 QuBits

geg. 2 QuBits in Zuständen

� � � � �� und

��

Tensorprodukt zum Zusammenbauen größerer Systeme

Zustand eines 2-QuBit-System beschrieben durch

� � � � � � � ��

� ��

��

��


Operationen auf 2-QuBit-Systemen

unitäre Matrizen der Form

��

��

��

��

� � � � ��

� � � � ��

�

usw. für -QuBit-Systeme


Operationen auf 2-QuBit-Systemen

unitäre Matrizen der Form

��

��

��

��

� � � � ��

� � � � ��

�

usw. für �-QuBit-Systeme


Quantenmechanik ist nicht intuitiv

Bsp.: beliebiges 2-Bit-System, Zustand

� � � ��

messe , dann ; Ergebnisse unabhängig voneinander

aber: 2-QuBit-System in Bell-Zustand

Messung von 1. QuBit liefert mit Wahrscheinlichkeit jeweils

und Folgezustand

und Folgezustand

Messung von 2. QuBit liefert danach Wert des 1.!




� � � ��

messe

�� , dann

�� ; Ergebnisse unabhängig voneinander



und Folgezustand

und Folgezustand





� � � ��

messe

�� , dann



� � � �

��

� � � � � � � � � � �


und Folgezustand

und Folgezustand





� � � ��

messe

�� , dann



� � � �

��

� � � � � � � � � � �

Messung von 1. QuBit liefert mit Wahrscheinlichkeit

�� jeweils

und Folgezustand

und Folgezustand





� � � ��

messe

�� , dann



� � � �

��

� � � � � � � � � � �


�� jeweils

�

� � �

und Folgezustand

� � � � � � � � �

und Folgezustand





� � � ��

messe

�� , dann



� � � �

��

� � � � � � � � � � �


�� jeweils

�

� � �

und Folgezustand

� � � � � � � � �

�

� � �

und Folgezustand� � � � � � � � �



Schaltelemente

Lemma: Sei

�

unitär. Dann ist

� �

unitär.

Folgerung:

Operationen auf QuBits sind reversible

Schaltelemente haben gleiche Anzahl von Ein- undAusgängen

z.B. CONTROLLED-NOT

oder


Schaltelemente

Lemma: Sei

�

unitär. Dann ist

� �

unitär.

Folgerung:

� Operationen auf QuBits sind reversible

� Schaltelemente haben gleiche Anzahl von Ein- undAusgängen

z.B. CONTROLLED-NOT

oder


Schaltelemente

Lemma: Sei

�

unitär. Dann ist

� �

unitär.

Folgerung:

� Operationen auf QuBits sind reversible

� Schaltelemente haben gleiche Anzahl von Ein- undAusgängen

z.B. CONTROLLED-NOT

��

oder� �

��

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

��


Schaltkreise . . .

. . . gibt es nicht, denn Rückwärtskanten sind verbotenebenfalls kein FAN-IN oder FAN-OUT

Schaltelemente können aber sequentiell verbunden werden

z.B. QuBit-Vertauscher:

betrachte Aktion auf und :


Schaltkreise . . .




� � ��

��

��

betrachte Aktion auf und :


Schaltkreise . . .




� � ��

��

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betrachte Aktion auf

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und

� � �

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Schaltkreise . . .




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Schaltkreise . . .




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und

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:

� � � ��

� � � � ��


Messen

Ergebnisse nicht einfach an beliebiger Stelle auslesen

Messen beeinflusst Zustand des Sytems

Messapparat ist ebenfalls physikalisches System

Sei mögliches Resultat einer Messung

Messung geg. durch unitären Operator , d.h.

Messung ist


Messen




Sei � mögliches Resultat einer Messung

Messung geg. durch unitären Operator , d.h.

Messung ist


Messen




Sei � mögliches Resultat einer Messung

Messung geg. durch unitären Operator �, d.h.

Messung ist ��


Quantencomputer arbeiten anders

die Gesetze des Quantumcomputing lassen sich als Postulateformulieren

1. Postulat: (Zustandsraum)

Zu jedem isolierten, physikalischen System gehört ein Hilber-

traum (= komplexer Vektorraum mit innerem Produkt). Der Zu-

stand des Systems wird beschrieben durch einen Vektor der

Einheitslänge in diesem Raum.


2. Postulat: (Evolution)Die Evolution eines isolierten Systems vom Zeitpunkt

�zu

� �

wird durch einen unitären Operator

�

in dem zug. Hilbertraumbeschrieben.

� ��

�

� ��

�


3. Postulat: (Messung)Messungen sind gegeben durch eine Reihe

� � � vonunitären Messoperatoren. Für diese gilt:

wird in gemessen mit Wahrscheinlichkeit

der Zustand nach dieser Messung ist

die Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu 1




� � wird in

� � �

gemessen mit Wahrscheinlichkeit

� � � � � � � �

��

� � �

der Zustand nach dieser Messung ist





� � wird in

� � �


� � � � � � � �

��

� � �

� der Zustand nach dieser Messung ist

� � � � �

� � � �

� � � � � � � � �





� � wird in

� � �


� � � � � � � �

��

� � �

� der Zustand nach dieser Messung ist

� � � � �

� � � �

� � � � � � � � �

� die Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu 1�

��

�


4. Postulat: (Zusammengesetzte Systems)Der Zustandsraum eines zusammengesetzten Systems istdas Tensorprodukt der Zustandsräume seiner Komponenten.D.h. sind Komponenten in Zuständen

� �� , dann ist

das Gesamtsystem im Zustand

� ��


The End


Huge EinleitungGeschichteDie Church-Turing-TheseDie Church-Turing-TheseDie Church-Turing-TheseDie Church-Turing-TheseDie Church-Turing-TheseDeutschs IdeeVon Interesse f"ur die InformatikDas ist aber noch nicht alles ldots "Uberblick "uber das SeminarHuge BegriffsbildungQuanten-BitsOperationen auf QuBits ldots Welche Operationen sind zugelassen?Lineare AlgebraTensorprodukt2 QuBitsOperationen auf 2-QuBit-SystemenQuantenmechanik ist nicht intuitivSchaltelementeSchaltkreise ldots MessenQuantencomputer arbeiten andersThe End

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