Quantenfeldtheorie II

Owe Philipsen

Goethe-Universitat Frankfurt am Main – Sommersemester 2019

Version: 12. Juli 2019

1

Inhaltsverzeichnis

1 Pfadintegrale in QM und QFT 31.1 Die quantenmechanische Ubergangsamplitude, 1+1 dim. . . . . . . . 31.2 Einschub Funktionalableitung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Der harmonische Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Das euklidische Pfadintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Vakuumerwartungswerte und Greenfunktionen . . . . . . . . . . . . 111.6 Erzeugendes Funktional fur den harmonischen Oszillator . . . . . . . 151.7 Verallgemeinerung: n-dim Systeme mit quadratischer Wirkung . . . 191.8 Pfadintegralquantisierung skalarer Felder . . . . . . . . . . . . . . . . 211.9 Euklidische Formulierung der skalaren QFT . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Erzeugende Funktionale und Entwicklungsverfahren 282.1 Storungsentwicklung im Rahmen der PI-Quantisierung . . . . . . . . 282.2 Erzeugendes Funktional fur zusammenhangende Diagramme . . . . . 342.3 Die effektive Wirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4 Semiklassische oder Schleifenentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5 Euklidische Feldtheorien und statistische Mechanik . . . . . . . . . . 43

3 Pfadintegralquantisierung von Fermionen 453.1 Grassmannalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 PI-Darstellung fur Fermionfelder (Minkowski) . . . . . . . . . . . . . 49

4 PI-Quantisierung von Eichtheorien 504.1 Schwierigkeiten bei Eichtheorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2 Eichfixierung nach Faddeev und Popov . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.3 Eichfixierung und Geistfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4 Lagrangedichte und Feynmanregeln der QCD . . . . . . . . . . . . . 574.5 QQ-Wechselwirkung durch Ein-Gluon-Austausch . . . . . . . . . . . 60

5 Renormierung am Beispiel der φ4-Theorie 635.1 Propagator mit Selbstenergie auf Einschleifenniveau . . . . . . . . . 635.2 Qualitative Skizze des Renormierungsprogramms . . . . . . . . . . . 645.3 Vorbereitung, d-dimensionale Impulsintegrale . . . . . . . . . . . . . 665.4 Auswertung Tadpole mit Cut-Off Regularisierung . . . . . . . . . . . 685.5 Die Vierpunktfunktion auf Einschleifenniveau . . . . . . . . . . . . . 695.6 Renormierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.7 Die renormierte Lagrangedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6 Renormierung in der QCD 766.1 Der Gluonpropagator auf Einschleifenniveau . . . . . . . . . . . . . . 766.2 Dimensionale Regularisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.3 Fortsetzung Gluonpropagator auf Einschleifenniveau . . . . . . . . . 846.4 Polynomstruktur von Divergenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2

6.5 Renormierung des Gluonpropagators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.6 Lokale Gegenterme und renormierte Lagrangedichte . . . . . . . . . 926.7 Renormierungsschema MS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.8 Multiplikativer Charakter der Renormierung: . . . . . . . . . . . . . 966.9 Renormierungsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.10 Verallgemeinernde Betrachtungen zur Renormierung . . . . . . . . . 98

7 Renormierungsgruppe und asymptotische Freiheit 1037.1 Die ’t Hooft-Weinberg-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.2 Losung der Renormierungsgruppengleichung (formal) . . . . . . . . . 1077.3 Renormierungsgruppenfunktionen im MS-Schema . . . . . . . . . . 1107.4 Allgemeine Bedeutung der β-Funktion fur beliebige Theorien . . . . 113

3

1 Pfadintegrale in QM und QFT

` Alternativer und faszinierender Formalismus zur Quantisierung` elegant, ohne Kommutationsregeln` einfachere und z. T. systematischere Gestaltung von Rechnungen` nichtstorungstheoretische Methoden ñ insbes. Gitterfeldtheorie

Grundidee Doppelspaltexperiment:Klassische Teilchentrajektorie entweder durch einen oder anderen SpaltIterieren mit mehreren-unendlich vielen Spalten und Blenden: beliebige Wege vonQuelle zum Zielpunkt auf dem Schirm moglich:

***** 11. April 2012 (1. Vorlesung) *****

***** 17. April 2013 (1. Vorlesung) *****

1 Pfadintegrale in der QM

• Pfadintegrale: Formalismus zur Quantisierung, alternativ zur kanonischen Quantisierung(Kommutatorrelationen, Schrodinger-Gleichung, etc.).

• Haufig einfachere und systematischere Gestaltung von analytischen Rechnungen.

• Eignet sich (im Gegensatz zum kanonischen Formalismus) zur numerischen Umsetzung(→ Gitterfeldtheorie).

• Grundidee/physikalische Motivation: Doppelspaltexperiment.

– Klassisches Teilchen geht entweder durch den einen oder den anderen Spalt.

– QM Teilchen “geht gleichzeitig durch beide Spalte”.

– Iterieren ...

♦ n Doppelspalte → 2n Wege

♦ bei unendlich vielen “Unendlichspalten” nimmt

ein Teilchen gleichzeitig alle denkbaren Pfade

– Am Ende resultiert der Pfadintegralformalismus: Ein QM Teilchen bewegt sich gleich-zeitig auf allen denkbaren Trajektorien.

– Originalarbeit: [7] (R. P. Feynman, 1948).

1.1 Die Ubergangsamplitude

• |x⟩: Ortseigenzustand, zugehorige Wellenfunktion ψ(x) ∝ δ(x), also Teilchen am Ort x.

• ⟨x2, t2|x1, t1⟩, t2 > t1: Ubergangsamplitude; beschreibt Uberlapp zweier Zustande,

– Ortseigenzustand |x1⟩ zum Zeitpunkt t1, der sich bis t in der Zeit entwickelt,

– Ortseigenzustand |x2⟩ zum Zeitpunkt t2, der sich bis t in der Zeit entwickelt

(Ubergangsamplitude unabhangig von t).

2

1.1 Die quantenmechanische Ubergangsamplitude, 1+1 dim.

Teilchen zur Zeit t1 bei x1, bei t2 ą t1 bei x2

x1 x2

Zeitentwicklung Upt2 ´ t1q “ e´iHpt2´t1q, QM Ubergangsamplitude:

xx2 |Upt2 ´ t1q |x1y “ xx2 | e´iHpt2´t1q |x1ySchrodingerbild

“ xx2, t2 |x1, t1yHeisenbergbild

(1)

Notation letzte Gleichung: |x1, t1y ist Heisenberg-Zustand, zum Zeitpunkt t1 Eigen-zustand des Ortsoperators mit

xpt1q|x1, t1y “ x1|x1, t1y (2)

a) Freies Teilchen: H “ H0 “ p2

2m

xx2 | e´i p2

2mpt2´t1q |x1y “

żdp xx2|py e´i p

2

2mpt2´t1q xp|x1y, xx|py “ 1?

2πeipx

“żdp

2πeippx2´x1q e´i

p2

2mpt2´t1q (3)

4

Gaußintegral:

8ż

´8dx e´

a2x2 “

c2π

aa ą 0 (4)

Besitzt analytische Fortsetzung nach: a P C, Re a ą 0

Rand: a “ i A,A P R:

8ż

´8dx e´i

A2x2 “

c2π

iA(5)

8ż

´8dx e´

a2x2`bx “

8ż

´8dx e´

a2px´ b

aq2` b2

2a (6)

“8ż

´8dy e´

a2y2eb2

2a “ eb2

2a

c2π

a(7)

Damit:

xx2 | e´iH0pt2´t1q |x1y “c

m

2π ipt2 ´ t1q eimpx2´x1q

2

2pt2´t1q (8)

mita

2“ ipt2 ´ t1q

2m, b “ ipx2 ´ x1q, b2

2a“ ´px2 ´ x1q2m

2 ipt2 ´ t1qb) Mit Wechselwirkung: H “ H0 ` V pxq

Im Allgemeinen keine geschlossene Losung mehrFur kleine Zeitintervalle t2 ´ t1 “ ε

Upεq “ e´iHε “ e´ipH0`V qε “ e´iVε2 e´iH0ε e´iV

ε2 `Opε3q

” W pεq `Opε3q (9)

wg. Baker-Campbell-Haussdorff eA eB “ eA`B`12rA,Bs`...

ñ xx2 |W pεq |x1y “ e´iV px2q ε2 xx2 | e´iH0ε |x1y e´iV px1q ε2 (10)

“c

m

2π iεexp

!im

2εpx2 ´ x1q2 ´ i ε

2rV px2q ` V px1qs

)

´V |yy “ V pyq|yy wurde verwendet

¯(11)

t1 t2

εε “ t2´t1

N ,Teile Zeitintervall in kleine Stucke:

e´iHpt2´t1q “ e´iHεN “ UpεqN “W pεqN `Opε3q (12)

“ limNÑ8 W pεqN Lie-Trotter-Produktformel (13)

5

ñ xx2| e´iHpt2´t1q |x1y “ limNÑ8 xx2| pe´iHεqN |x1y , 1 “

żdy |yy xy|

“ limNÑ8

żdy1 . . . dyN´1 xx2|e´iHε|y1y xy1|e´iHε|y2y . . . xyN´1|e´iHε|x1y

“ limNÑ8

żdy1 . . . dyN´1 xx2|Upεq|y1y . . . xyN´1|Upεq|x1y

“ limNÑ8

´ m

2π iε

¯N2

żdy1 . . . dyN´1

exp!im

2ε

”px2 ´ y1q2 ` py1 ´ y2q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pyN´1 ´ x1q2

ı

´iε„V px2q

2` V py1q ` . . . V pyN´1q ` V px1q

2

*(14)

Exponent: SN “Nÿ

k“1

ε

#m

2

ˆyk´1 ´ yk

ε

˙2

´ V pyk´1q ` V pykq2

+(15)

mit y0 ” x2, yN ” x1, yk “ ypt1kq

S “ limNÑ8 SN “

t2ż

t1

dt1”m

29y2 ´ V pypt1qq

ı(16)

Klassische Wirkung!

Srys “żdt1 L

“ypt1q, 9ypt1q‰ (17)

Def: Dy “ Dyptq ” limNÑ8

´ m

2π iε

¯N2dypt1q . . . dyptN´1q (18)

Damit xx2| e´iHpt2´t1q|x1y “ż ypt2q“x2

ypt1q“x1

Dy eiSrys (19)

Pfadintegral: Integration uber alle Wege von x1 nach x2

N.B.: QM-Ubergangsamplitude ist ein Funktionalintegral, Ausdruck hergeleitet ohneKommutatorregeln fur Operatoren, hangt ab von klassischer Wirkung

Klassische Trajektorie: δS “ 0QM: Uberlagerung aller Trajektorien, gewichtet mit ihrer klassischen Wirkung

Mathematisch nicht wohldefiniert:

• Integralmaß nur fur endlichesN definiert, d.h. erst integrieren, dann Grenzwertbilden

• Nomierungsfaktor im Maß divergiert fur N Ñ8• Integrand oszilliert, d.h. selbst fur endliche N konvergiert das Integral im All-

gemeinen nicht

6

1.2 Einschub Funktionalableitung:

Def.: δF rxs “żds

δF

δxpsq δxpsq in Analogie zu

df “ÿ

i

BfBxi dxi

Beispiele:

1.

F rxs “ xpaq “żds xpsqδps´ aq

δF “żds δxpsqδps´ aq “

żds

δF

δxpsqδxpsq

ñ δxpaqδxpsq “ δps´ aq

2.

F rxs “żds fpsqxpsq

δF “żds fpsqδxpsq

δF

δxpsq “ fpsq

3.

F rxs “żds

żdt fps, tqxpsqxptq

δF “żds

żdt fps, tq

„δxpsqxptq ` xpsqδxptq

“żds

żdt

„fps, tqxptqδxpsq ` fpt, sqxptqδxpsq

“żds

żdt

„fps, tqxptq ` fpt, sqxptq

δxpsq

δF

δxpsq “żdt xptq

!fps, tq ` fpt, sq

)

”Taylor-Formel”: F rxs “8ÿ

u“0

1

n!

żds1...

żdsn F

pnqps1, ...snqxps1q...xpsnq

7

1.3 Der harmonische Oszillator

L “ m

29x2 ´ mω2

2x2 (20)

Bewegungsgleichung: ´ δ S

δxptq “ md2x

dt2`mω2xptq “ 0 (21)

Sei xcptq Losung mit Randbedingungen xcpt1q “ x1, xcpt2q “ x2

Beliebiger Pfad: xptq “ xcptq ` yptq mit ypt1q “ ypt2q “ 0

Srxs “ Srxcs `t2ż

t1

dtδSrxcsδxptq yptq ` 1

2

t2ż

t1

t2ż

t1

dt dt1 δ2S

δxptqδxpt1q yptqypt1q (22)

` . . . (23)

Es istδS

δxrxcs “ 0

δ2S

δxptqδxpt1q “ ´md2

dt2δpt´ t1q ´mω2 δpt´ t1q “ ´m

ˆd2

dt2` ω2

˙δpt´ t1q (24)

Srxs “ Srxcs ` m

2

t2ż

t1

dt p 9y2 ´ ω2y2q “ Srxcs ` Srys (25)

mit

żdt :yptqyptq “ ´

żdt 9yptq2 (26)

Beachte: Dieser Ausdruck fur S ist exakt, weil die volle Wirkung keine hoheren alsquadratische Terme besitzt!

Ubergangsamplitude:

Kpx2, t2; x1, t1q “ xx2| e´iHpt2´t1q |x1y “żDx eiSrxs “ eiSrxcs

żDy

ypt1q“0ypt2q“0

eiSrys (27)

Abhangigkeit von Randbedingungen steckt vollstandig in xc

xcptq “ A sinωt`B cosωt (28)

xcpt1q “ x1 “ A sinωt1 `B cosωt1 (29)

xcpt2q “ x2 “ A sinωt2 `B cosωt2 (30)

ñ x1 sinωt2 ´ x2 sinωt1 “ B pcosωt1 sinωt2 ´ cosωt2 sinωt1qlooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooonsinωpt2 ´ t1q

(31)

x2 cos ωt1 ´ x1 cos ωt2 “ A

hkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkjpsinω t2 cos ωt1 ´ cos ωt2 sin ωt1q (32)

8

xcptq “ 1

sin ωpt2 ´ t1q rpx2 cos ωt1 ´ x1 cos ωt2q sin ωt (33)

`px1 sin ωt2 ´ x2 sin ωt1q cos ωts (34)

Einsetzen in L und Integration, T “ t2 ´ t1Srxcs “ mω

2 sin ωT

“px22 ` x2

1q cos ωT ´ 2x1x2

‰(35)

Noch zu berechnen:

F pT q ”żDy eiSrys “ Kp0, T ; 0, 0q (36)

ñ Kpx2, t2; x1, t1q “ eiSrxcs F pT q (37)

Partielle Integration:

Srys “ m

2

Tż

0

dt yptqˆ´ d2

dt2´ ω2

˙yptq (38)

F pT q ist Gaußintegral mit Operatorkern

Eigenfunktion von

ˆ´ d2

dt2´ ω2

˙: ynptq “

c2

Tsin

nπt

T(39)

orthonormal:

Tż

0

dt ynptq ymptq “ δn,m (40)

Eigenwerte:

ˆ´ d2

dt2´ ω2

˙ynptq “

ˆn2π2

T 2´ ω2

˙ynptq ” λn ynptq(41)

Entwicklung von yptq “8ÿ

n“1

an ynptq (42)

ñ Srys “ m

2

8ÿ

n“1

8ÿ

m“1

Tż

0

dt anam ynptqymptqλm (43)

“ m

2

8ÿ

n“1

a2n λn (44)

Variablentrafo: Dy “ J8ź

n“1

dan

F pT q “żDy eiSrys “ J

ż 8ź

n“1

dan eim

2

řn λn a

2n (45)

“ J8ź

n“1

żdan e

im2λn a2

n “ J8ź

n“1

” m2πi

λn

ı´ 12

(46)

9

Zur Jacobideterminante:

yptq “8ÿ

n“1

an ynptq (47)

dyptq “8ÿ

n“1

dan ynptq (48)

J “ Bpy1 . . . yN qBpa1 . . . anq “

∣∣∣∣∣∣∣∣

B ypt1qB a1

B ypt2qB a1

. . . B yptN qB a1

...B ypt1qB an

B yptN qB an

∣∣∣∣∣∣∣∣(49)

ω-unabhangig!

Bestimmung von J ohne die Determinante auszurechnen:Fur ω “ 0 ist die Ubergangsamplitude die eines freien Teilchens mit x2 “ x1 “ 0,vgl. (36),

xx2|e´iH0T q|x1y “c

m

2π iTei

m2Tpx2´x1q2 (50)

ñ Fω“0pT q “´ m

2π iT

¯12, λω“0

n “ n2π2

T 2(51)

Verhaltnis fur ω “ 0 und ω ‰ 0 enthalt kein J ,

F pT qFω“0pT q “

8ź

n“1

ˆλnλω“0n

˙´12“

8ź

n“1

˜n2π2

T 2 ´ ω2

n2π2

T 2

¸´12

“8ź

n“1

ˆ1´ ω2T 2

n2π2

˙´12“

ˆsinωT

ωT

˙´12(52)

ñ F pT q “´ mω

2π i sin ωT

¯12(53)

ñ Kpx2, t2; x1, t1q “´ mω

2π i sin ωT

¯12exp

!i

mω

2 sin ωT

“px22 ` x2

1q cos ωT ´ 2x1x2

‰)

(54)Dies ist die Mehlerformel.

10

1.4 Das euklidische Pfadintegral

PIs aufgrund ihres oszillierenden Integranden (und des 8-dimensionalen Maßes)mahtematisch nicht wohldefiniert

a) Ubergang zu imaginarer Zeit, Wickrotation

Sei t “ e´iα τ P C mit τ P RRe t

Im t

α

speziell α “ ` π

2: t “ ´iτ

τ : Euklidische Zeit, da xµ ¨ xµ “ t2 ´ x2 Minkowski

ÝÑ ´τ2 ´ x2 “ ´xEµ xEµ “ ´xEµ ¨ xEµ (55)

Mit euklidischem 4er-Vektor xEµ “ xEµ “ pτ, xq

Zeitentwicklungsoperator: U “ e´iHt Ñ e´Hτ

ñ fur τ ą 0 positiv definiter und beschrankter Operator!

xx2|e´iHpt2´t1q|x1y ÝÑ xx2|e´Hpτ2´τ1q|x1y (56)

S “tż

0

dt1”m

29x2 ´ V pxptqq

ıÝÑ ´i

τż

0

dτ 1«´m

2

ˆdx

dτ 1

˙2

´ V pxp´iτ 1qqff(57)

ñ iS Ñ ´τż

0

dτ 1”m

29x2 ` V pxpτ 1qq

ı” ´SE (58)

Durch Aufteilung in infinitesimale euklidische Zeitintervalle zeigt man auch direktanalog zu (14)

xx2|e´Hpτ2´τ1q|x1y “żDx e´SErxs (59)

Bemerkungen:

• SE reell und von unten beschrankt, Integral konvergiert

• euklidisches Pfadintegral ist reell

• Faktor e´SE unterdruckt stark vom klassischen abweichende Wege, Dampfung

11

1.5 Vakuumerwartungswerte und Greenfunktionen

Vakuumerwartungswerte = vacuum expectation values, VEV’s

Behauptung:

i)

x0|A|0y “ limτÑ8

xx2,τ2 |A |x1, ´ τ

2 yxx2,

τ2 |x1, ´ τ

2 y(60)

ii)

x0|A|0y “ limτÑ8

Trpe´Hτ AqTrpe´Hτ q (61)

vgl. Statistische Mechanik

Beweis:

i) Anmerkung: xα|eiHt “ pe´iHt|αyq: Ñ xα|eHτ ‰ pe´Hτ |αyq:

xx2,τ

2|A |x1,´τ

2y “ xx2| e´H τ

2 Ae´Hτ2 |x1y (62)

“ÿ

n,m

xx|ny xn|A|my xm|yy e´Enτ2looomooon

e´E0τ2 e´pEn´E0q

τ2

e´Emτ2

ÒEinschub

zweier VONSH|ny “ En|ny

τÑ8Ñ xx2|0y x0|x1y x0|A|0y e´E0τ 1`Ope´const.τ q( (63)

xx2,τ

2|x1,´τ

2y “ xx2,

τ

2| 1 |x1,´τ

2y ÝÑτÑ8 xx2|0y x0|x1y eE0τ

1`Ope´const.τ q(

(64)

Division beider Ausdrucke ñ Behauptung

ii) Setze x1 “ x2 “ x und integriere uber x ñ Spurżdx xx|e´H τ

2Ae´Hτ2 |xy “ Tr

´e´H

τ2Ae´H

τ2

¯“ TrpAe´Hτ q (65)

“żdx

ÿ

n,m

xx|ny xn|A|my xm|xy e´En τ2 e´Em τ2 (66)

“ÿ

n,m

xn|A|my xm|żdx|xy xx

looooomooooon“ 1

|ny e´En τ2 e´Em τ2 (67)

“ÿ

n

xn|A|ny e´Enτ wg. xm|ny “ δmn (68)

ÝÑτÑ8 e´E0τ x0|A|0y 1`Ope´const.τ q( (69)

Wiederhole mit A “ 1 und bilde Verhaltnis

12

Bemerkungen:

• Asymptotisches Verhalten fur τ Ñ8 bewirkt Projektion auf Grundzustand

• Aus Gleichheit von i) und ii): Randbedingungen an x1, x2 spielen mit τ Ñ 8keine Rolle bzw. kurzen sich heraus

Von besonderem Interesse sind VEV’s von Operatorprodukten, z.B.

x0|A|0y “ x0|xpt2qxpt1q|0y, t2 ą t1 (70)

mit xptq “ eiHt x e´iHt Heisenbergbild Ñ eHτ x e´Hτ “ xpτqx0|xpt2qxpt2q|0y “ x0 | eiHt2 x e´iHpt2´t1q x e´iHt1 | 0y

ÝÑWickt“´iτ

x0 | eHτ2 x e´Hpτ2´τ1q x e´Hτ1 | 0y

“ x0|xpτ2qxpτ1q| 0y“iq

limτÑ8

xx2,τ2 |xpτ2qxpτ1q |x1,´ τ

2 yxx2,

τ2 |x1,´ τ

2 y(71)

Pfadintegraldarstellung Nenner bereits bekannt, wg. Analogie zu stat. Mech. (61)nennt man ihn “Zustandssumme”:

ZEpτq ” xx2,τ

2|x1,´τ

2y “ xx2 | e´Hτ |x1y “

żDy e´SErys (72)

Pfadintegraldarstellung Zahler: wieder in diskretisierter Zeit

´ τ2

τ1 τ2τ2

x x

Rechnung analog zu (14), lediglich mit zusatzlichen Ortsoperatoren x, die auf dieeingeschobenen Orsteigenzustande entsprechende Faktoren xpτ1q, xpτ2q liefern.

13

Alternativ:

xx2,τ

2|xpτ2qxpτ1q|x1,´τ

2y

“ xx2|e´Hpτ2´τ2q x e´Hpτ2´τ1q x e´Hpτ1`τ2q|x1y (73)

“żdxpτ2q

żdxpτ1q xx2|e´Hpτ2´τ2q|xpτ2qyxpτ2qxxpτ2q|e´Hpτ2´τ1q|xpτ1qyxpτ1q

xxpτ1q|e´Hpτ1`τ2q|x1y“

żdxpτ2q

żdxpτ1q

´ ż ypτ2q“x2

yppτ2q“xpτ2qDy e´SErys

¯xpτ2q

´ ż ypτ2q“xpτ2q

yppτ1q“xpτ1qDy e´SErys

¯xpτ1q

´ ż ypτ1q“xpτ1q

ypp´τ2q“x1

Dy e´SErys¯

(74)

Umbenennen der Pfade ergibt insgesamt:

xx2,τ

2|xpτ2qxpτ1q |x1,´τ

2y “

żDxxpτ2qxpτ1q e´SErxs (75)

mit Pfaden xpτq, τ P “´ τ2 ,

τ2

‰

Beachte: linke und rechte Seite unterschiedlich bezuglich Zeitargumenten:

τ2ěτ1Ó

x 0 |xpτ2qxpτ1q | 0 y “ limτÑ8

1

ZEpτqżDx

symm. unter τ1Øτ2Ò

xpτ2qxpτ1q e´SErxs , (76)

Def. Zeitordnung:

T xpτ1qxpτ2q ” Θpτ1 ´ τ2qxpτ1qxpτ2q `Θpτ2 ´ τ1qxpτ2qxpτ1q (77)

ñ PI-Darstellung von VEV’s:

x 0 |T xpτ1qxpτ2q | 0 y “ limτÑ8

1

ZEpτqżDxxpτ1qxpτ2q e´SErxs (78)

ZEpτq “żDx e´SErxs (79)

Bemerkung: Fur endliches τ wahle periodische R. B.: x´´τ

2

¯“ x

´τ2

¯“ 0

Im Limes τ Ñ8 spielen die R.B. keine Rolle , siehe oben

Verallgemeinerung auf n-faches Produkt von Ortsoperatoren zu verschiedenen Zei-ten: n-Punkt -Greenfunktionen

x0|Txpτ1q . . . xpτnq |0y “ limτÑ8

1

ZEpτqżDx xpτ1q . . . xpτnq e´SErxs (80)

14

τ Ñ8: Projektion auf Vakuumzustand wie oben

limτÑ8 ab sofort impliziert, notiere durch ZEpτq Ñ ZE

Erzeugende Funktionale:

Sei jpτq eine reellwertige Funktion.

Def.: ZErjs ”8ÿ

n“0

1

n!

żdτ1 . . . dτn x0|Txpτ1q . . . xpτnq |0y jpτ1q . . . jpτnq (81)

ZErjs ist ein Funktional

ZErjs “ 1 `żdτ x0|xpτq |0y jpτq (82)

` 1

2!

żdτ1 dτ2 x0|Txpτ1qxpτ2q |0y jpτ1q jpτ2q (83)

` . . . (84)

“ x0|T exp

"żdτ xpτq jpτq

*|0y (85)

Die Koeffizienten der Taylorentwicklung dieses Funktionals sind die n-Punkt-Greenfunktionen:

x0|Txpτ1q . . . xpτnq |0y “ δn ZErjsδjpτ1q . . . δjpτnq

ˇˇj“0

(86)

Man nennt ZErjs erzeugendes Funktional, da n-fache funktionale Differenziationdie n-Punkt-Funktionen erzeugt. Die jpτiq heißen ”Quellen”.

Kompakte Darstellung durch PI:

ZErjs “

żDx e´SErxs`

şdτ jpτqxpτq

żDx e´SErxs

(87)

Zuruck zu reeller Zeit: Umkehrung der Wickrotation

t “ e´iατ , αÑ 0 (88)

x0|Txpτ1q . . . xpτnq |0y Ñ x0|Txpt1qxptnq |0y (89)

Zrjs “ x0|T exp

"i

żdt xptq jptq

*|0y (90)

x0|T xpt1q . . . xptnq |0y “ 1

inδn Zrjs

δjpt1q . . . δjptnqˇˇj“0

(91)

15

1.6 Erzeugendes Funktional fur den harmonischen Oszillator

SE “żdτ

ˆm

29x2 ` mω2

2x2

˙“ m

2

żdτ xpτq

ˆ´ d2

dτ2` ω2

˙

loooooooomoooooooon“A

xpτq (92)

ZErjs “ Z´1E

żDx e´SErxs`pj,xq (93)

ZE “żDx e´SErxs (94)

Klassische Losung:

δpSErxs ´ pj, xqqδxpτq “ m

ˆ´ d2

dτ2` ω2

˙xpτq ´ jpτq “ 0 (95)

R.B.: xpτq Ñ 0 fur τ Ñ8

Ax “ 1

mj, ñ xc “ 1

mA´1j (96)

Explizite Form von A´1 ?

Losung durch Fouriertrafo:

xpτq “żdν

2πxpνq e´iντ (97)

jpτq “żdν

2πjpνq e´iντ (98)

Einsetzen in Bewegungsgleichung:

pν2 ` ω2qxpνq “ 1

mjpνq, ñ xpνq “ 1

m

1

ν2 ` ω2jpνq (99)

Rucktransformation

xpτq “ 1

m

żdν

2π

e´iντ

ν2 ` ω2jpνq (100)

“ 1

m

żdν

2π

żdτ 1 e

´iνpτ´τ 1q

ν2 ` ω2jpτ 1q (101)

“ ´żdτ 1 DEpτ ´ τ 1qjpτ 1q “ ´pDE , jq “ ´DE ¨ j (102)

mit der Definition

DEpτq ” ´żdν

2π

e´iντ

ν2 ` ω2(103)

16

Dies ist offenbar eine Green’sche Funktion zum Operator A,

ˆ´ d2

dτ2` ω2

˙DEpτq “ ´δpτq ô A ¨DE “ ´1 (104)

Bemerkungen:

• Losung xpτq ist eindeutig wegen R.B.

• Anwesenheit der ”Quelle”j fuhrt zu inhomogener Dgl.

• DE ist Losung der inhomogenen Dgl. mit Punktquelle

Auswertung von DE mit Residuensatz, komplexes ν:

Re ν

Im ν

C, τ ă 0

C, τ ą 0

iω

´iω

DEpτq “ ´ż 8

´8dν

2π

e´iντ

pν ` iωqpν ´ iωq“ ´

ż

C

dν

2π

e´iντ

pν ` iωqpν ´ iωq“ ´i

ˆ´θpτq e

´ωτ

´2iω` θp´τqe

ωτ

2iω

˙

“ ´ 1

2ωe´ω|τ | (105)

17

Zuruck zum Pfadintegral:Zerlege Pfade xpτq “ xcpτq ` ypτq mit xc “ ´ 1

mDE ¨ j

SErxs ´ pj, xq “ m

2px,Axq ´ pj, xq

“ m

2pxc, Axcq ` 2

m

2py,Axcqlooooomooooon

(wg. A symm.)

`m2py,Ayq ´ pj, xcq ´ pj, yq

“ ´ 1

2mpj,DEjq ´

py,A ¨DEloomoon

“´1

jq ` m

2py,Ayq

` 1

mpj,DEjq ´pj, yq

“ 1

2mpj,DEjq ` m

2py,Ayq (106)

ñżDx e´SErxs`pj,xq “ e´

12mpj,DEjq

żDy e´SErys (107)

Damit erzeugendes Funktional:

ZErjs “ exp´ 1

2m

żdτdτ 1 jpτqDEpτ ´ τ 1qjpτ 1q (108)

Greenfunktionen durch Differenziation nach j, z.B.

x0|Txpτ1qxpτ2q|0y “ δ2ZErjsδjpτ1qδjpτ2q

ˇˇj“0

“ ´ 1

mDEpτ1 ´ τ2q (109)

Bestimmung des Spektrums aus euklidischer Zweipunktfunktion:

x0|xpτqxp0q|0y “ x0|eHτxp0qe´Hτxp0q|0y “ÿ

n

x0|xp0q|nyxn|xp0q|0ye´pEn´E0qτ

“ÿ

n

|x0|xp0q|ny|2 e´pEn´E0qτ (110)

Klassifizierung der Zustande durch erhaltene Quantenzahlen, beim H.O. Paritat:

P : xP “ P :xP “ ´x, rH,P s “ 0 (111)

P -Operator vertauscht mit Hamiltonian, da H gerade in x; Matrixelemente:

xn|x|my “ ´xn|P :xP |my “ ´pnpmxn|x|my (112)

18

mit Paritatseigenwerten pn P t´1, 1u. D.h. Matrixelemente zwischen Zustanden glei-cher Paritat verschwinden, insbes. x0|xp0q|0y “ 0. Sei |1y niedrigster Zustand mitnegativer Paritat.

limτÑ8x0|xpτqxp0q|0y “ |x0|xp0q|1y|

2 e´pE1´E0qτ ` . . . , (113)

weitere Terme gehen schneller gegen Null gehen als der fuhrende. Aus dem expo-nentiellen Abfall Bestimmung des niedrigsten Energieeigenwerts uber dem Vakuum.Vergleich mit (105) zeigt tatsachlich

E1 ´ E0 “ ω . (114)

Analytische Fortsetzung zu rellen Zeiten:

τ “ it , ν “ iνE (115)

Dptq “ ´iDEpitq “ ´8ż

´8

dν

2π

e´iνt

ν2 ´ ω2(116)

Fortsetzung nicht eindeutig, da Pole auf reeller Achse, diese konnen auf verschiedeneWeise integriert werden. Aquivalente DGl.:

ˆ´ d2

dt2´ ω2

˙Dptq “ ´δptq (117)

besitzt mehrere Losungen, analytische Fortsetzung wahlt eine aus

Vorschrift:Rotation von t Gegenuhrzeigersinn

Rotation von ν Uhrzeigersinn

+νt bleibt reell

ñ Legt fest, wie an Polen vorbei integriert werden kannDies ist aquivalent zu

´ limεÑ0

żdν

2π

eiνt

ν2 ´ ω2 ` iε (118)

Damit wieder aus Residuensatz:

Dptq “ i

2ω

“Θptq e´iωt `Θp´tq eiωt‰ “ i

2ωe´iω|t| (119)

Erzeugendes Funktional:

Z rjs “ exp

"i

2m

żdt ds jptqDpt´ sq jpsq

*(120)

x0|T´xpt1qxpt2q

¯|0y “ ´ i

mDpt1 ´ t2q (121)

19

1.7 Verallgemeinerung: n-dim Systeme mit quadratischer Wirkung

Harmonischer Oszillator, Systeme gekoppelter Oszillatoren, Gitterschwingungen, frei-es e.m. Feld, Naherungen wie Storungstheorie oder semiklassische Approximation

Fur QM-Systeme in einer Dimension:

SE “ 1

2px, Axq “ 1

2

żdτ dσ xpτqApτ, σqxpσq (122)

Beispiel harmonischer Oszillator:

Apτ, σq “ m

ˆ´ d2

dτ2` ω2

˙δpτ ´ σq (123)

ZErjs “ 1

Z

żDx e´

12px,Axq`pj,xq (124)

ZE “żDx e´

12px,Axq (125)

Gaußintegral uber R:

8ż

´8dx e´

a2x2`bx “

c2π

aeb2

2a , a ą 0 (126)

Jetzt Ausdehnung auf Rn:Sei x εRn, A “ pAijq i, j “ 1, . . . n , A reell, symmetrisch, positiv

px, Axq “ÿ

i,j

xiAij xj (127)

Nun betrachte n-dimensionales Gaußintegral

I “żdnx e´

12px,Axq`pj,xq (128)

ñ Berechnung wie in 1-Dim., zerlege in Fluktuationen um klassische Losung

δS “ 0 : ddxk

``12 xiAij xj ´ ji xi

˘ “ 0 (129)

12 Akj xj ` 1

2 xiAik ´ jk “ 0 (130)

A´1jk | Aki xi “ jk (131)

ñ xcj “ A´1jk jk (132)

Allgemeiner Pfad: xi “ A´1ij jj ` yi (133)

dnx “ dny (134)

20

´1

2px,Axq ` pj, xq “ ´1

2pA´1

ik jk ` yiqAijpA´1jl jl ` yjq ` jipA´1

ik jk ` yiq

“ ´1

2pA´1

ik jkji ` jkyk ` yiji ` yiAijyjq ` jiA´1ik jk ` jiyi

“ 1

2jiA

´1ij jj ´

1

2yiAijyj (135)

“ 1

2pj, A´1jq ´ 1

2py,Ayq (136)

ñ I “ exp1

2pj, A´1jq

żdny exp´1

2py,Ayq (137)

Mit A “ A12A12 (Wurzel der Matrix definiert uber Diagonalform und Eigenwerte)

Variablentrafo: y1i “ A12ij yj

żdyn exp´1

2py,Ayq (138)

“ pdet A12q´1

żdny1 e´

12

řni“1 y

1iy1i (139)

“ pdetAq´12 p2πqn2 (140)

ñ I “żdnx e´

12px,Axq`pj,xq “ p2πqn2 pdetAq´ 1

2 exp1

2pj, A´1jq (141)

Pfadintegral: benotige Variante fur unendlich viele Zeitscheiben

ZErjs “ limNÑ8

´p2πqn2 pdetAq´ 1

2

¯N2exp 1

2

řNk“1 εpjpτkq, A´1jpτkqq

´p2πqn2 pdetAq´ 1

2

¯N2 (142)

ñ ZErjs “ exp1

2pj, Ajq (143)

mit pj, Ajq “ şdτ jkpτqAkljlpτq

21

1.8 Pfadintegralquantisierung skalarer Felder

• Skalares Feld φ beschreibt Teilchen mit Spin 0 (elementare skalare Teilchen:Higgs-Boson; zusammengesetzte skalare Teilchen: Mesonen mit Spin 0).

• Feldtheorie entspricht System mit unendlich vielen Freiheitsgraden

– Freiheitsgrade eines Vielteilchensystems: xjptq.– Ubergang zur Feldtheorie: Identifiziere xÑ φ und j Ñ x;

damit xjptq Ñ φpx, tq.Damit Ubergangsamplitude zwischen Feldkonfigurationen als PI analog zur QM:

xφ2pxq, t2|φ1pxq, t1y “ xφ2pxq|e´iHpt2´t1q|φ1pxqy (144)

“ż φpx,t2q“φ2pxq

φpx,t1q“φ1pxqDφeiSrφs;

dabei istżDφ ” N

ż ź

x,t

dφpx, tq , Srφs “ż t2t1

dt

żd3xLpφ, Bµφq (145)

φ1pxq und φ2pxq sind die Randbed. bei t “ t1 und t “ t2N ist ein unbekannter (math. nicht wohldefinierter) Normierungsfaktor

Mit φ1 “ φ2 “ 0 (Vakuumkonfiguration) und t1 Ñ ´8, t2 Ñ8 folgt

xΩ, t2 “ 8|Ω, t1 “ ´8y “żDφ eiSrφs ” Z (146)

und

Gnpx1, . . . , xnq ” xΩ|T!φpx1q . . . φpx2qφpxnq

)|Ωy

“ 1

Z

żDφφpx1q . . . φpxnqeiSrφs (147)

Gn sind die n-Punkt-Funktionen oder Greensche Funktionen; sie hangen mit physi-kalischen Großen zusammen, z.B. mit S-Matrixelementen uber LSZ-Formel

şDφ impliziert wie in der QM die Randbed. φpx, t “ ´8q “ φpx, t “ `8q “ 0

Normierungsfaktor kurzt sich in Greenfunktionen heraus

Bemerkungen:

• PI-Formalismus in offensichtlicher Weise von QM auf QFT ubertragbar, ein-heitliche Beschreibung

22

• VEVs nun als Funktionalintegral uber Produkte von gewohnlichen Funktionen,keine Operatoren/Kommutatoren mehr

• Quantisierung durch Beitrage aller Feldkonfigurationen, nicht nur der klassi-schen

• VEVs (147) konnen storungstheoretisch berechnet werden, Berechnung ist abernicht auf Storungstheorie beschrankt!

Definition erzeugendes Funktional:

ZrJs ”şDφ exp

´iSrφs ` i ş d4xJpxqφpxq

¯

şDφ exp

´iSrφs

¯ “ 1

Z

żDφeiSrφs`ipJpxq,φpxqq (148)

J wird als außere Quelle bezeichnet; Zr0s “ 1

Damit n-Punktfunktionen durch funktionales Ableiten von ZrJs:

Gnpx1, x2, . . . , xnq “ p´iqn δnZrJsδJpx1qδJpx2q . . . δJpxnq

ˇˇJ“0

, (149)

da

δnZrJsδJpx1qδJpx2q . . . δJpxnq

ˇˇJ“0

“ p`iqn 1

Z

żDφφpxnq . . . φpx2qφpx1qeiSrφs. (150)

Wiederum Darstellung als funktionale Taylorreihe:

ZrJs “8ÿ

n“0

in

n!

żd4x1 . . . d

4xn Gnpx1, . . . xnqJpx1q . . . Jpxnq “ x0|TeipJ,φq|0y (151)

Beispiel: Freies Skalarfeld

• Wirkung:

Srφs “żd4x

ˆ1

2pBµφqpBµφq ´ m2

2φ2

˙

“ 1

2

żd4x

żd4y φpxqδ4px´ yq

´´ly ´m2

¯φpyq

“ ´1

2

żd4x

żd4y φpxqApx, yqφpyq (152)

Apx, yq “ δ4px´ yq´

l`m2¯

(153)

(klassische Feldgleichung ist die Klein-Gordon-Gleichung pl`m2qφ “ 0).

23

• Da Theorie quadratisch, ergibt sich fur das erzeugende Funktional

ZrJs “ exp

ˆi

2

żd4x

żd4y JpxqA´1px, yqJpyq

˙

“ exp1

2

´Jpxq,∆F px, yqJpyq

¯(154)

• A´1 ist Losung von

żd4y δ4px´ yq

´ly `m2

¯A´1py, zq “

´lx `m2

¯A´1px, zq “ δ4px´ zq(155)

Vgl. mit QFT1: ∆F ” ´iA´1 ist der Feynmanpropagator, d.h. Green-Funktionzum Klein-Gordon-Operator,

pl`m2q∆F px, yq “ ´iδ4px´ yq (156)

In Fourierdarstellung:

∆F px, zq “ i

żd4p

p2π4qe´ippx´zq

p2 ´m2 ` iε (157)

• 2-Punktfunktion:

G2px1, x2q “ ´ δ2ZrJsδJpx1qδJpx2q

ˇˇJ“0

“ 1

2

´∆F px1, x2q `∆F px2, x1q

¯

“ ∆F px1, x2q (158)

• 4-Punktfunktion

G4px1, . . . x4q “ p´iq4 δ4ZrJsδJpx1q . . . δJpxxq

ˇˇJ“0

“ ∆F px1, x2q∆F px3, x4q `∆F px1, x3q∆F px2, x4q`∆F px1, x4q∆F px2, x3q (159)

24

1.9 Euklidische Formulierung der skalaren QFT

Observable Physik einer skalaren QFT ist enthalten in Wightmanfunktionen

W px1, . . . , xnq “ xΩ|φpx1q . . . φpxnq |Ωy (160)

φpxq “ eiPµxµφp0q e´iPµxµ (161)

Impulsoperator Pµ, Eigenwerte pµ, Translationsinvarianz Vakuum eiPµxµ |Ωy “ |Ωy

ñ W px1 . . . xnq “ xΩ|φp0q e´ippx1´x2q φp0q e´ippx2´x3q . . . e´ippxn´1´xnq φp0q |Ωy

Analytische Fortsetzung zu komplexen Koordinaten:

xk “ uk ´ iyk uk, yk P R4 (162)

ñ exp´ippxk ´ xk`1q “ exp´ippuk ´ uk`1q exp´ppyk ´ yk`1q (163)

Speziell fur euklidische Zeiten x0k Ñ ´ix4

k:

xk “ `´ix4k,xk

˘; x4

k P R, xk P R3 (164)

ñ yk “ `x4k, 0

˘(165)

Fur relativistische, physikalische Theorien ist H-Operator beschrankt und positiv,ñ Spektrum des Impulsoperators im Vorwartslichtkegel:

p P R4 : p0 ě 0, pµpµ ě 0 (166)

ñ im Vorwartslichtkegel x41 ą x4

2 ą . . . x4n sind exp-Faktoren in (163) beschrankt

und analytisch

Definiere Schwingerfunktion, zunachst fur x41 ą x4

2 ą . . . x4n

Spx1, x41, . . .xn, x

4nq ” W px1,´ix4

1, . . .xn,´ix4nq (167)

“ xΩ|φp0,x1q e´Hpx41´x4

2q φp0,x2q . . . |Ωy (168)

Beispiel: W px1, x2q “W px1 ´ x2q “W pxq (wg. Translationsinvarianz)

wegen (163) ist W pxq analytisch in unterer Halbebene fur komplexes x0

Def.: Wπpxq ”W p´xq ; ñ analytisch in oberer Halbebene

Fur reelle Zahlen und raumartige Abstande px1 ´ x2q2 ă 0 ist

xΩ|φpx1qφpx2q |Ωy “ xΩ|φpx2qφpx1q |Ωy (Mikrokausalitat) (169)

ñ W px1, x2q “ W px2, x1q symmetrisch (170)

ñ Wπpxq “ W p´xq auf reeller x0-Achse (171)

25

ñ Wπpxq,W pxq bilden eine analytische Funktion in der Vereinigung ihrer Defini-tionsbereicheñ W pxq ist analytisch fur alle x0 P C außer

Rex0 | |x0| ą |x| (

Rex4

Imx0

Rex0

Wπpxq

W pxq

|x| |x|

x4 “ ix0

x0 “ ´ix4

Verallgemeinerung auf n-Punktfunktionen:

• Schwingerfunktionen sind reell analytisch fur alle nicht aufeinanderliegendeneuklidischen Punkte xi ‰ xk (auch ohne Zeitordnung).

• Schwingerfunktionen transformieren kovariant unter SOp4q-Rotationen undsind symmetrisch in den Argumenten

• Wightmanfunktionen und damit die QFT im Minkowskiraum konnen ausSchwingerfunktionen rekonstruiert werden

ñ Wightmanfunktionen sind Randwerte von Schwingerfunktionen, Annaherung anreelle Achse von unten

W px1, . . . , xnq “ limεk Ñ 0εk´εk`1ą0

Sp. . . ;xk, ix0k ` εk; . . . q (172)

Spezialfall: Greenfunktion xΩ|T `φpx1q . . . φpx2q

˘ |Ωy (symmetrisch!)

Aus Schwingerfunktion durch Wickrotation im Gegenuhrzeigersinn

W px1, . . . xnq “ limαÑ π

2

Sp. . . ;xk, eiα x0k; . . . q (173)

26

φ4-Theorie im Minkowskiraum:

S “żdt d3xL rφs (174)

L “ 1

2pBµφq Bµφ´ m2

2φ2 ´ λ

4!φ4 (175)

“ 1

2pBtφq2 ´ 1

2p∇φq2 ´ m2

2φ2 ´ λ

4!φ4 (176)

“ ´1

2pBτφq2 ´ 1

2p∇φq2 ´ m2

2φ2 ´ λ

4!φ4 (177)

“ ´LE rφs (178)

LE rφs “ 1

2pBµφq pBµφq ` m2

2φ2 ` λ

4!φ; Bµ “ pBτ ,∇q (179)

iS “ ip´iqżdτ d3x L rφs (180)

“ ´żd4xE LE rφs “ ´SE rφs (181)

Euklidische Wirkung (nach partieller Integration)

SE rφs “żd4xE

"´ 1

2φ BµBµ φ` m2

2φ2 ` λ

4!φ4

*(182)

“żd4xE

"1

2φ`l`m2

˘φ` λ

4!φ4

*(183)

mit l “ ´BµBµ “ ´ BBτ2

´∇2 (184)

euklidischer D’Alembert-Operator

Erzeugendes Funktional der freien Theorie:

Z0E rJs “ 1

Z0E

żDφ e´S0Erφs`pJ,φq “ x0|T epJ,φq |0y (185)

Z0E “żDφ e´S0Erφs (186)

ñ Z0E rJs “ exp

"1

2

żd4x d4y Jpxq∆F,Epx´ yq Jpyq

*(187)

“ exp

"1

2pJ,∆F,EJq

*(188)

n-Punktfunktionen:

Gn,Epx1 . . . xnq “ x0|T!φpx1q . . . φpxnq

)|0y “ δnZ0ErJs

δ Jpx1q . . . JpxnqˇˇJ“0

(189)

27

Euklidische 2-Punktfunktion:

x0|T `φpxqφpyq˘ |0y “ G2,Epx; yq (190)

mit pl`m2qG2,Epx, yq “ δ4px´ yq (191)

Losung: G2,Epx´ yq “ ∆F,Epx´ yq “ż

d4p

p2πq4eippx´yq

p2 `m2(192)

∆F,Eppq “ 1

p2 `m2

ÒBeachte: keine Pole auf reeller Achse

(193)

Analog durch analytische Fortsetzung aus Propagator im Minkowskiraum:

i∆F px´ yq “ i

żd4p

p2πq4e´ippx´yq

p2 ´m2 ` iε (194)

ÝÝÝÝÝÝÝÑpE“pip0,pq

ip´iqżd4pEp2πq4

e´ir´ipEpx0E´y0E

qp´iq´ppx´yqs´p2

E ´m2 ` iε (195)

“ ´żd4pEp2πq4

eipEpx´yqEp2E `m2

“ ´∆F,E (196)

pB2 `m2q∆F “ ´iδ4px´ yq Ñ p´B2 `m2q ´∆F,E “ ´δ4px´ yq (197)

ñ p´B2 `m2q∆F,E “ δ4px´ yq (198)

Erzeugendes Funktional der wechselwirkenden Theorie:

ZE rJs “ 1

ZE

żDφ e´SErφs`pJ,φq (199)

ZE “żDφ e´SErφs (200)

SE rφs “ S0E rφs ` SiE rφs (201)

• Integrale nicht mehr Gauß’sch

• Auswertung durch

a) Storungstheorie

b) Gitterformulierung

28

2 Erzeugende Funktionale und Entwicklungsverfahren

In diesem Kapitel euklidische Formulierung, weglassen von “E”

Erzeugendes Funktional der Greenfunktion fur wechselwirkende Theorie

ZrJs “ 1

Z

żDφ e´Srφs`pJ,φq (202)

Z “żDφ e´Srφs (203)

S rφs “ S0 rφs ` Sirφs (204)

S0 quadratisch in Feldern, d.h. freie Theorie, Si Wechselwirkungsterm.Hier: φ4-Theorie des reellen Skalarfelds

2.1 Storungsentwicklung im Rahmen der PI-Quantisierung

ZrJs “ 1

Z

żDφ exp

"´ 1

2

żd4xφpxq pl`m2qφpxq

´ λ4!

żd4xφ4pxq `

żd4xJpxqφpxq

*

“ 1

Z

żDφ

8ÿ

k“0

1

k!

„´ λ

4!

żd4xφ4pxq

k

exp

"´ 1

2

żd4xφpxq pl`m2qφpxq `

żd4xJpxqφpxq

*

“ 1

Z

8ÿ

k“0

1

k!

„´ λ

4!

żd4x

ˆδ

δJpxq˙4 k

loooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooon

“ exp

"´żd4xLi

”φÑ δ

δJ

ı*

“ exp

"´ Si

„δ

δJ

*

żDφ e´S0rφs`pJ,φq

loooooooooomoooooooooon“ Z0 ¨ Z0 rJs

(205)

ZrJs “ Z0

Zexp

"´ Si

„δ

δJ

*exp

"1

2pJ,∆FJq

*” Z0

ZA rJs (206)

Gnpx1 . . . xnq “ Z0

Z

δ

δJpx1q . . .δ

δJpxnq exp

"´ Si

„δ

δJ

*exp

"1

2pJ,∆FJq

*ˇˇJ“0

29

Perturbative Auswertung:

Entwicklung von e´Si

A rJs “ exp

"´Si

„δ

δJ

*exp

"1

2pJ,∆FJq

*

“ e12pJ,∆F Jq 1` λw1rJs ` λ2w2rJs ` . . .

((207)

mit w1 rJs “ ´ 1

4!e´

12pJ,∆F Jq

#żd4x

„δ

δJpxq4+e

12pJ,∆F Jq (208)

w2 rJs “ `1

2

ˆ1

4!

˙2

e´12pJ,∆F Jq

#żd4x

„δ

δJpxq4+2

e12pJ,∆F Jq

“ `1

2

ˆ1

4!

˙2

e´12pJ,∆F Jq

". . .

*e

12pJ,∆F Jq e´

12pJ,∆F Jq

". . .

*e

12pJ,∆F Jq

“ ´1

2

1

4!e´

12pJ,∆F Jq

#żd4x

„δ

δJpxq4+e

12pJ,∆F Jqw1rJs (209)

δ

δJpxq e12pJ,∆F Jq “ 1

2

żdy

“∆F px, yqJpyq ` Jpyq∆F py, xq

‰e

12pJ,∆F Jq

“żdy ∆F px, yqJpyq e 1

2pJ,∆F Jq (210)

δ

δJpxqδ

δJpxq e12pJ,∆F Jq “

„∆F px, xq (211)

`żdy1dy2 ∆F px, y1q∆F px, y2qJpy1qJpy2q

e

12pJ,∆F Jq

ˆδ

δJpxq˙3

e12pJ,∆F Jq “

„∆F px, xq

żdy∆F px, yq Jpyq ` 2

żdy∆F px, yq∆F px, xqJpyq

`żdy1 dy2 dy3 ∆F px, y1q∆F px, y2q∆F px, y3q

Jpy1qJpy2qJpy3qe

12pJ,∆F Jq (212)

ˆδ

δJpxq˙4

e12pJ,∆F Jq “

„3 ∆2

F px, xq ` 6

żdy1

żdy2 ∆F px, y1q∆F px, y2q

Jpy1q Jpy2q∆F px, xq `żdy1 . . . dy4

∆F px, y1q . . .∆F px, y4q Jpy1q . . . Jpy4qe

12pJ,∆F Jq (213)

30

Damit

w1rJs “ ´ 1

4!

„żd4x

żd4y1 . . . d

4y4 ∆F px, y1q . . .∆F px, y4q Jpy1q . . . Jpy4q

` 3!

żd4x

żd4y1 d

4y2 ∆F px, y1q∆F px, y1q∆F px, xq Jpy1qJpy2q

` 3

żd4x∆2

F px, xqloooooooooomoooooooooonñ tragt nicht zu den Gn bei

ı(214)

Diagrammatisch:

y1

y2

y3

y4

x

y1 x y2

x

- Faktor Jpyiq fur jeden außeren Punkt

- ∆F pxi, yiq fur jede Linie

- Integration uber alle Argumente pxi, yjq

Gn durch Diff. nach Jpyiq und J “ 0ñ w1 rJs liefert Beitrage zu G2, G4

31

Ebenso findet man:

w2 rJs “ 1

2w2

1 rJs

a) ` 1

2p3!q2 ∆F px1, y1q∆F px1, y2q∆F px1, x3q∆F px1, x2q∆F px2, y4qˆ ∆F px2, y5q∆F px2, y6q Jpy1qJpy2qJpy3qJpy4qJpy5qJpy6q

b) ` 3

2 4!∆F px1, y1q∆F px1, y2q∆2

F px1, x2q∆F px2, y3q∆F px2, y4qˆJpy1qJpy2qJpy3qJpy4q

c) ` 2

2 4!∆F px1, y1q∆F px1, x1q∆F px1, x2q

ˆ∆F px2, y2q∆F px2, y3q∆F px2, y4q Jpy1qJpy2qJpy3qJpy4qd) ` 1

8∆F px1, y1q∆F px1, x1q∆F px1, x2q∆F px2, x2q∆F px2, y2q Jpy1qJpy2q

e) ` 1

8∆F px1, y1q∆2

F px1, x2q∆F px2, x2q∆F px1, x2q Jpy1qJpy2q

f) ` 1

12∆F px1, y1q∆3

F px1, x2q∆F px2, y2q Jpy1qJpy2q` J - unabh. Terme, Integrale uber alle xi, yi (215)

x1 x2

x1 x2

x1 x2

x1 x2

x1

x2

x1 x2

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y1

y2

y3

y4

y1

y2

y3

y4

y1 y2 y1 y2 y1 y2

a) b) c)

d) e) f)

Diagramme a)-f): ergeben zusammenhangende Greenfunktionen

32

– Alle vier δ/δJ(x2)-Ableitungen wirken auf exp(. . .)→ Beitrag zu W2[J ] ist

1

2

!W1[J ]

"2=

1

2

#− 1

4!

$3 + 6 +

% &2

=

=1

2(4!)2

$9 + 36 + 6 + . . .

%

((122) wurde verwendet).

***** 22. Mai (9. Vorlesung) *****

– Drei der vier δ/δJ(x2)-Ableitungen wirken auf exp(. . .)→ Beitrag zu W2[J ] ist

4

'− 1

2 × 4!

()d4x2

'3∆F (x2, x2)

)d4y1 ∆F (x2, y1)J(y1)

+

)d4y1 . . .

)d4y3 ∆F (x2, y1) . . . ∆F (x2, y3)J(y1) . . . J(y3)

(

'− 1

4!

()d4x1 ∆F (x1, x2)

'12∆F (x1, x1)

)d4y1 ∆F (x1, y1)J(y1)

+4

)d4y1 . . .

)d4y3 ∆F (x1, y1) . . . ∆F (x1, y3)J(y1) . . . J(y3)

(=

=1

8

)d4y1

)d4x1

)d4x2

)d4y2

J(y1)∆F (y1, x1)∆F (x1, x1)∆F (x1, x2)∆F (x2, x2)∆F (x2, y2)J(y2)

+zwei weitere “Diagramme (141)

bzw. graphisch

2

(4!)2

$3 x2 +

x2%

·$

12 x2 + 4 x2

%=

=1

8+ . . .

***** 9. Mai 2012 (9. Vorlesung) *****

– Zwei, eine und keine der vier δ/δJ(x2)-Ableitungen wirken auf exp(. . .)→ ... (Hausaufgabe).

29

12w

21

nicht zusammenhangende Beitrage zu Greenfunktionen

Z rJs “ Z0

ZArJs (216)

ÒNormierungsfaktor, J-unabhangig, Z r0s “ 1, A r0s !“ Z

Z0(217)

J-unabhangige Terme tragen nicht zu Greenfunktionen bei ñ Vakuumgraphen!

Z

Z0“

şDφe´SşDφe´S0

“ 1

Z0

żDφ e´Si e´S0

“ 1

Z0

żDφ

ˆ1´ λ

4!

żd4xφ4pxq ` . . .

˙e´S0

“ 1

Z0

żDφ e´S0

´ λ4!

żd4x1 . . . d

4x4 δpx1 ´ x2q δpx1 ´ x3q δpx1 ´ x4q

ˆ 1

Z0

żDφ φpx1q . . . φpx4q e´S0 ` . . . (218)

Opλq-Term:żd4x1 . . . d

4x4 δpx1 ´ x2q δpx1 ´ x3q δpx1 ´ x4q x0|Tφpx1q . . . φpx4q |0y

“żd4x1 . . . d

4x4 δpx1 ´ x2q δpx1 ´ x3qδpx1 ´ x4qˆ r∆F px1 ´ x2q∆F px3 ´ x4q `∆F px1 ´ x3q∆F px2 ´ x4q `∆F px1 ´ x4q∆F px2 ´ x3qs

“ 3

żd4x ∆2

F px, xq (219)

ZZ0 “ 1 ´1

8` . . . (220)

33

Bemerkungen:

- Im PI-Formalismus steckt das Wick’sche Theorem in der Funktionalableitung!

x0|2sź

i“1

φpxiq |0y “2sź

i“1

δ

δJpxiq exp1

2pJ,∆Jq

ˇˇˇJ“0

“ÿ

all possible pairingsof t1,2,...2su

∆F px1, x2q . . .∆F px2s´1, x2sq (221)

- Nicht zusammenhangende Beitrage sind Produkte aus zusammenhangenden

- Vakuumdiagramme (Diagramme ohne außere Beine) sowie nicht zusammen-hangende Beitrage, die Vakuumdiagramme als Faktoren enthalten, heben sichaus Greenfunktionen heraus

Beispiel Zweipunktfunktion:

G2py1, y2q “ Z0

Z

δ2

δJpy1qδJpy2q exp

ˆ` 1

2pJ,∆FJq

˙ˆ1` λw1rJs `Opλ2q

˙ˇˇJ“0

Ableitungen wirken entweder beide auf expp. . .q oder beide auf p1 ` λw1rJs ` . . .q(wg. J “ 0 am Ende)

Ableitungen auf expp. . .q:δ2

δJpy1qδJpy2q exp

ˆ` 1

2pJ,∆FJq

˙ˇˇJ“0

ˆ1` λw1r0s `Opλ2q

˙“

“ ∆F py1, y2qˆ

1´ λ 3

4!

żd4x

´∆F px, xq

¯2 `Opλ2q˙

; (222)

Ableitungen auf p1` λw1rJs ` . . .q:

exp

ˆ` 1

2pJ,∆FJq

˙δ2

δJpy1qδJpy2qˆ

1` λw1rJs `Opλ2q˙ˇˇJ“0

“

“ ´λ1

2

żd4x∆F px, xq∆F px, y1q∆F px, y2q `Opλ2q; (223)

−18 +O(λ2)

+O(λ2)1 − 18

−12

−12 +O(λ2)

G2(y1, y2) =

=

34

2.2 Erzeugendes Funktional fur zusammenhangende Diagramme

Fur viele Anwendungen, insbes. Streumatrixelemente, benotigen wir die vollstandigverbundenen Diagramme

W rJs ” ln Z rJs (224)

Gcn px1, . . . , xnq “ δnW rJsδJpx1q . . . δJpxnq

ˇˇJ“0

(225)

Beweis nur fur w21:

A “ B

BA mit B “ e

12pJ,∆FJq , A “ e´Sir

δδJsB (226)

ñ lnA “ lnB ` ln`B´1A

˘ “ lnB ` ln`1`B´1 pA´Bq˘

“ lnB ` ln´

1` B´1´e´Sir δδJ s ´ 1

¯Bloooooooooooooomoooooooooooooon

klein fur hinreichend kleine Kopplungskonstante

entwickeln von expp... q,lnp1`... q

¯(227)

B´1´e´Sir δδJ s ´ 1

¯B “ B´1 e´Sir δδJ sBloooooomoooooon

“Bp1`λw1rJs`λ2w2rJs`... q´ 1 (228)

lnA “ lnB``λw1rJs ` λ2w2rJs ` . . .˘´ 1

2

`λw1rJs ` λ2w2rJs ` . . . 2

“ lnB ` λw1 rJs ` λ2

ˆw2 rJs ´ 1

2w2

1 rJs˙` . . . (229)

ñ 1

2w2

1 hebt sich weg!

35

2.3 Die effektive Wirkung

Definiere neue Feldvariable

ϕpxq ” δW rJsδJpxq ñ ϕ “ ϕrJs an jedem x (230)

Weiteres erzeugendes Funktional aus W rJs durch Legendretransformation:

Γ rϕs “żd4xJpxqϕpxq ´W rJs (231)

“ “Variablenwechsel” Jpxq ÝÑ ϕpxq, vgl. klassische Mechanik:

9qi ÝÑ pi : Lpqi, 9qiq Ñ Hpq, pq “ÿ

i

9qipi ´ Lpqi, 9qippiqq (232)

Differenzieren nach ϕ: (Achtung, jetzt ist umgekehrt J “ Jrϕs)δΓ

δϕpxq “ Jpxq `żd4y

δJpyqδϕpxq

ˆϕpyq ´ δ

δJpyqW rJs˙

(233)

ñ Jpxq “ δΓrϕsδϕpxq (234)

Integral einer totalen Ableitung:

bż

a

dxd

dxfpxq “ fpaq ´ fpbq (235)

Funktional: żDφ

δ

δφpxq F rφs “ 0 (236)

wegen Randbedingung:

φ´x,τ

2

¯“ φ

´x,´τ

2

¯“ φpxq (237)

ñżDφ

δ

δφe´Srφs`pJ,φq “

żDφ

„Jpxq ´ δSrφs

δφ

e´S`pJ,φq “ 0 (238)

Mitδ

δJepJ,φq “ φ epJ,φq (239)

ñżDφ

„Jpxq ´ δS

δφ

“δδJ

‰e´S`pJ,φq “ 0 (240)

“ˆ´δSδφ

“δδJ

‰` Jpxq˙Z ¨ Z rJs “ 0 (241)

36

Fur die φ4-Theorie ist also:

«`´B2 `m2

˘ δ

δJpxq `λ

3!

ˆδ

δJpxq˙3

´ JpxqffZ rJs “ 0 (242)

Dies ist eine exakte Gleichung (es wurden keinerlei Naherungen gemacht).Differenzieren nach J ergibt exakte Beziehungen zwischen verschiedenen vollen Green-funktionen, die Dyson-Schwinger-Gleichungen.

Jetzt Variablenwechsel zu ϕ :

δϕ

δJ“ ´Z´2

ˆδZ

δJ

˙2

` Z´1 δ2Z

δJ2“ ´ϕ2 ` Z´1 δ

2Z

δJ2(243)

δ2ϕ

δJ2“ ´2ϕ

δϕ

δJ´ Z´2 δZ

δJ

δ2Z

δJ2` Z´1 δ

3Z

δJ3

“ ´2ϕδϕ

δJ´ ϕ Z´1 δ

2Z

δJ2looomooon“ δϕ

δJ ` ϕ2

` Z´1 δ3Z

δJ3

“ ´3ϕδϕ

δJ´ ϕ3 ` Z´1 δ

3Z

δJ3(244)

Damit wird Z´1rJs ˆ (242):

`´B2 `m2˘ϕ` λ

3!

„ϕ3 ` 3ϕ

δϕ

δJ` δ2ϕ

δJ2

“ J (245)

ñ ϕ ist Losung der klassischen Feldgleichungen fur λ “ 0λ ‰ 0 : klassische Feldgleichung plus zwei weitere Terme: Quantenkorrekturen

Konstruiere ϕrJs als funktionale Taylorreihe:

ϕrJs “8ÿ

n“0

1

n!

żd4x1 . . . d

4xn ϕpnqpx1, . . . xnq Jpx1q . . . Jpxnq(246)

ϕpnqpx1, . . . xnq “ δnϕrJsδJpxnq . . . δJpx1q

ˇˇJ“0

“ δn`1W rJsδJpxnq . . . δJpx1qδJpxq

ˇˇJ“0

“ Gcn`1px, x1, . . . xnq (247)

Somit

ϕpxq “ Gc1pxq `żd4x1G

c2px, x1qJpx1q ` 1

2!

żd4x1 d

4x2Gc3px, x1, x2qJpx1qJpx2q ` . . .

“ xΩ|φpxq|Ωy `żd4x1xΩ|Tφpxqφpx1q|ΩycJpx1q ` . . . (248)

37

Def.:ϕpxq ” ϕpxq ´Gc1pxq (249)

żd4z Spx, zq Gc2pz, yq “ δ4px´ yq (250)

ÒInverses der zusammenhangenden Greenfunktion

Iterative Inversion von ϕpxq “ . . . (linearisieren, iterieren)

1.O.:żd4xSpy, xq ϕpxq “

żd4x d4x1 Spy, xqGc2px, x1q Jpx1q

“żd4x1 δ

4py ´ x1q Jpx1q “ Jpyq (251)

2.O.:żd4xSpy, xqχpxq “ Jpyq (252)

` 1

2!

żd4xSpy, xq

żd4y1 d

4y2 d4x1 d

4x2

Gc3px, x1, x2q Spx1, y1qSpx2, y2q ϕpy1qϕpy2q

ñ Jpxq “żd4x1 Spx, x1q ϕpx1q

´ 1

2!

żd4y1 d

4y2 d4y3 d

4x1 d4x2

Spx, y3qSpx1, y1qSpx2, y2q Gc3py1, y2, y3q ϕpx1q ϕpx2q` . . .

“żd4x1 Spx, x1q ϕpx1q

´ 1

2!

żd4x1 d

4x2Ga3px, x1, x2qϕpx1q ϕpx2q ` . . . (253)

Entwicklungskoeffizienten: amputierte Greenfunktionen (ohne außere Beine)

Ganpx1, . . . xnq ”ż «

nź

i“1

d4y1 Spxi, yiqffGcnpy1, . . . ynq (254)

38

Damit konnen wir schreiben

Γ rϕs “8ÿ

n“1

1

n!

żd4x1 . . . d

4xn Γpnqpx1, . . . xnq ϕpx1q . . . ϕpxnq (255)

Vergleich mit J “ δΓδϕ liefert die Koeffizienten:

Γp1qpxq “ 0 (256)

Γp2qpx1, x2q “ Spx1, x2q “ rGc2px1, x2qs´1 (257)

Γp3qpx1, x2, x3q “ ´Ga3px1, x2, x3q (258)

Γp4qpx1, x2, x3, x4q “ ´Ga4px1, x2, x3, x4q`

żd4y d4z Ga3px1, x2, yqGc2py, zqGa3pz, x3, x4q

` 2 Permutationen (259)

Die Γpnq heißen ”proper vertices” oder eigentliche Vertizes, es sind die vollen Verti-zes der wechselwirkenden Theorie.Zu niedrigster Ordnung in der Kopplungskonstanten entsprechen sie den Feynman-regeln.

=

∫d4z

∫d4v Gc

3(v, z, x)Γ2(v, u)Γ2(y, z) +

∫d4z Gc

2(z, x)Γ3(u, y, z). (168)

– Auflosen nach Γ3 mit Hilfe von (156),

Γ3(x1, x2, x3) =

= −∫

d4y1

∫d4y2

∫d4y3 Gc

3(y1, y2, y3)Γ2(y1, x1)Γ2(y2, x2)Γ2(y3, x3)

︸ ︷︷ ︸≡Gtrunc

3 (x1,x2,x3)

, (169)

oder nach Gc3,

Gc3(x1, x2, x3) =

= −∫

d4y1

∫d4y2

∫d4y3 Γ3(y1, y2, y3)G

c2(y1, x1)G

c2(y2, x2)G

c2(y3, x3), (170)

zeigt, dass Γ3 das 3-Punkt Truncated Diagram Gtrunc3 bzw. die 3-Punkt Proper Func-

tion ist (Unterschied erst fur 4-Punkt, 5-Punkt, ...).

• Interpretation von Γ4:

– Analoge Rechnung liefert

Γ4(x1, . . . , x4) =

= −Gtrunc4 (x1, . . . , x4)

+

(∫d4y1

∫d4y2 Gtrunc

3 (x1, x2, y1)Gc2(y1, y2)G

trunc3 (y2, x3, x4)

+“zwei Permutationen”

)(171)

(Beweis ist Hausaufgabe).

Gc3

= −

⎛⎜⎝

Gc2

Γ3

⎞⎟⎠

Gc4

= −

⎛⎜⎝

Γ4

⎞⎟⎠ +

⎛⎜⎝

Γ3

+ (2 weitere)

⎞⎟⎠

Interpretation von Γ[ϕ] als effektive Wirkung

• Klassisches Feld erfullt bei gegebener Quelle J(x) die BGl

0 =δ

δφ(x)

(S[φ] −

∫d4y J(y)φ(y)

)=

δS[φ]

δφ(x)− J(x). (172)

35

Ohne Beweis: Die Γpnq sind 1-p.i., d.h. ”1-particle irreducible”/einteilchen-irreduzibel:die Diagramme bleiben zusammenhangend, wenn eine Linie geschnitten wird

ñ Γ rϕs ist erzeugendes Funktional fur 1-p.i.-Diagramme

39

2.4 Semiklassische oder Schleifenentwicklung

Bisher ~ “ 1; jetzt wieder einsetzen

Z rJs “ 1

Z

żDφ e´

1~ pSrφs`pJ,φqq “ 1

Z

żDφ e´

1~Srφ,Js (260)

Fur kleines ~ dominiert das Minimum der Wirkung!

Entwicklung um klassische Losung

φpxq “ φcpxq `?~ χpxq (261)

S rφ, Js “ S rφc, Js (262)

` ~2

żd4x1 d

4x2δ2S

δφpx1qδφpx2qˇˇφc

χpx1qχpx2q (263)

` Op~32q (264)

Variablenwechsel im Pfadintegral: dφÑ dχ,Jacobideterminante Feld- und J-unabhangig, Normierung auf Zr0s “ 1 bleibt erhal-ten

Z rJs “ 1

Ze´

1~ Srφc,Js

żDχ exp

«´1

2

˜χpx1q, δ2S

δφpx1qδφpx2qˇˇφc

χpx2q¸`O

´~12

¯ff

“ 1

Ze´

1~ Srφc,Js

«det

δ2S

δφpx1qδφpx2qˇˇφc

ff´ 12 ´

1`Op~12q¯

(265)

Beispiel φ4-Theorie:

S rφ, Js “żd4x

„1

2φpxq `´B2 `m2

˘φpxq ` λ

4!φ4pxq ´ Jpxqφpxq

(266)

δS

δφ

ˇˇφc

“ `´B2 `m2˘φc ` λ

3!φ3c ´ J “ 0 (267)

Nicht in geschlossener Form losbar! Iterative Losung, verwende

φpxq “żd4y δ4px´ yqφpyq

“żd4y

`´B2y `m2

˘∆F px, yq φpyq

“żd4y ∆F px, yq

`´B2y `m2

˘φpyq (268)

40

(nach zweifacher partieller Integration und Verschwinden der Felder im Unendlichen)

φcpxq “ p∆F , Jq ´ λ

3!

`∆F , φ

3c

˘ p“ φcrJsq (269)

“ p∆F , Jq ´ λ

3!

´∆F , p∆F , Jq3

¯`Opλ2q (270)

“żd4y ∆F px, yq Jpyq

´ λ3!

żd4y d4y1 d

4y2 d4y3 ∆F px, yq∆F py, y1q∆F py, y2q∆F py, y3q Jpy1q . . . Jpy3q

` . . . (271)

x y− λ

3! x y

y1

y2

y3

Mit einem Faktor Jpyiq bei jedem yi und Integration uber alle y, yi

Beachte: Nur Baumgraphen tragen bei!Dies verallgmeinert zu hoheren Ordungen in λ

Auswertung klassische Losung:

S rφc, Js “ 1

2pJ,∆FJq

` λ4!

´∆F px, y1q∆F px, y2q∆F px, y3q∆F px, y4q Jpy1q . . . Jpy4q

¯

´ λ2

p3!q2´

∆F px, y1q∆F px, y2q∆F px, y3q∆F px, yq

ˆ∆F py, y4q∆F py, y5q∆F py, y6qJpy1q . . . Jpy6q¯

˜“ λ

4!

ˆp∆F , Jq ´ λ

3!

`∆F , p∆F , Jq3

˘ 4¸

`Opλ3q (272)

ñ ebenfalls nur Baumgraphen, Srφc, J “ 0s “ 0

ñ Die klassische Naherung fur n-Punkt-Greenfunktionen entspricht der Summe al-ler Baumgraphen!

Ebenso fur zusammenhangende Greenfunktionen:

W rJs “ ~ ln Z rJs “W0 rJs ` ~W1 rJs `Op~2q (273)

41

(Normierung mit ~ ist geeignete Konvention, kurzt sich aus Greenfkt. heraus)

Identifikation der Terme durch Vergleich mit (265):

~ lnZrJs “ ~ lnZ´1 ´ Srφc, Js ` ~ lnpdetr. . .sq´12 ` . . . (274)

Mit

´~ lnZ “ ´~ˆ´1

~Srφc, J “ 0s ` lnpdetr. . .sφcr0sq´12 ` . . .

˙(275)

wird dies zu

~ lnZrJs “ Scrφc, J “ 0s ´ Srφc, Js´~

2

`ln detr. . .sφcrJs ´ ln detr. . .sφcr0s

˘`Op~2q (276)

Damit identifizieren wir:

W0rJs “ ´Srφc, Js (277)

W1rJs “ ´1

2

˜ln det

„δ2S

δφ2

φcrJs´ ln det

„δ2S

δφ2

φcr0s

¸(278)

Ausschreiben von (277):

W0 rJs ` S rφcs ´ pJ, φcq “ 0 (279)

Dies entspricht der Legendretrafo von W0rJs, d.h. in klassischer Naherung ist

ϕ “ φc

Γ0 rϕs “ S rϕs klassische Wirkung! (280)

Fuhrende Quantenkorrekturen: W1rJs

δ2S

δφpx1qδφpx2qˇˇφcr0s

“ p´B2 `m2q δ4px1 ´ x2q “ Apx1, x2q (281)

p´B2 `m2q∆F px1, x2q “δ2S

δ4φpx1qδφpx2qˇˇφcrJs

“ p´B2 `m2qδ4px1 ´ x2q ` λ

2

hkkkkkikkkkkjδ4px1 ´ x2qφ2

cpx2q (282)

“ p´B2 `m2q„δ4px1 ´ x2q ` λ

2∆F px1, x2qφ2

cpx2q

loooooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooooon“Mpx1,x2q

“żd4y Apx1, yqMpy, x2q “ A ¨M

42

W1rJs “ ´1

2pln detpA ¨Mq ´ ln detAq

“ ´1

2ln

detAdetM

detA“ ´1

2ln detM (283)

Verwende detM “ eTr lnM ,gultig fur Matrizen und Operatoren der Form Mpx, yq “ δpx ´ yq ` Kpx, yq imSinne von

Tr ln r1`Ks “żdxKpx, xq ´ 1

2

żdx1 dx2Kpx1, x2qKpx2, x1q ` . . . (284)

ñW1rJs “ ´1

2Tr ln

„δ4px1 ´ x2q ` λ

2∆F px1, x2qφ2

cpx2q

“ ´1

2

"λ

2

żdx1 ∆F px1, x1qφ2

cpx1q

´λ2

8

żdx1 dx2 ∆F px1, x2qφ2

cpx2q∆F px2, x1qφ2cpx1q ` . . .

*(285)

Schließlich einsetzen von φcrJs, entwickeln

Erster Term:

Zweiter Term:

+ ...

+ ...

ñW1rJs erzeugt Einschleifendiagramme

Dies verallgemeinert zu hoheren Ordnungenñ Potenz von ~ “ Anzahl der Schleifen in Diagrammen

Effektive Wirkung zu 1-Schleifenordnung:

Γ rϕs “żdx Jpxqϕpxq ´W0rJs ´ ~W1rJs `O p~2q (286)

“ S rϕs ` ~Γ1rϕs `Op~2q (287)

mit Γ1rϕs “ 1

2Tr

«ln

δ2S

δϕpx1qδϕpx2q ´ lnδ2S

δϕpx1qδϕpx2qˇˇϕ“0

ff(288)

43

2.5 Euklidische Feldtheorien und statistische Mechanik

Z “żDφ e´Srφs (289)

Wir haben gesehen, dass

x0|A |0y “ limτÑ8

Tr`e´HτA

˘

Tr pe´Hτ q (290)

mit der PI-Darstellung

x0|A |0y “ 1

Z

żDφAe´Srφs (291)

Mit der formalen Identifikation S Ø βH entspricht Z der Zustandssumme einesstatistischen Systems von ”kontinuierlichen Spins” φpxq

Euklidische Feldtheorie Statistische Mechanik

Wirkung HamiltonianEinheit der Wirkung, ~ Einheit Energie β “ 1

kT

Feynman Gewichtsfaktor e´S~ Boltzmannfaktor e´βH

Vakuumerwartungswert x0|A|0y Ensembleerwartungswert xAyGreen-Funktionen KorrelationsfunktionenW “ lnZ freie EnergieΓ thermodynamisches Potenzial

Thermische QFT:

Anwendung: fruhes Universum, Schwerionenkollissionen, Plasmaphysik, Neutronen-sterne, ....

Großen von Interesse: thermische Erwartungswerte von Observablen A(β “ 1

kT Ñ 1T in naturlichen Einheiten)

xAy “ Tr`e´βHA

˘

Tr pe´βHq (292)

Bilde Spur mit vollstandigem Satz von “Ortseigenzustanden”

φpx, 0q|φy “ φpxq|φy (293)

44

xAy “şDφpx, 0q xφ|Ae´βH |φyşDφpx, 0q xφ|e´βH |φy Erwartungswerte = Ubergangsamplituden

“şDφpx, 0q şφpx,βq“φpxqφpx,0q“φpxq Dφ Ae

´SrφsşDφpx, 0q şφpx,βq“φpxqφpx,0q“φpxq Dφ e´Srφs

“şDφ Ae´SrφsşDφ e´Srφs

(294)

mit periodischen Randbedingungen φpx, 0q “ φpx, βq “ φpxq und

S “ż 1T

0dτ

ż

Vd3x L (295)

Nun ist Z eine physikalische Zustandssumme im Sinne der statistischen Mechanik

Insbesondere folgt fur das freie reelle Skalarfeld aus dem Pfadintegral die Bose-verteilung!

45

3 Pfadintegralquantisierung von Fermionen

Kanonische Quantisierung: Anti-Kommutatoren ñ Pauliprinzip, Fermistatistik

Pfadintegral analog zum bosonischen Fall, erzeugendes Funktional:

Z rη, ηs “ 1

Z

żDψDψ exp i

żd4x

“L rψ, ψs ` ψη ` ηψ‰ (296)

Aber: Fermionfelder sind Grassmannzahlen!

3.1 Grassmannalgebra

1-dimensionaler Fall; 1 reellwertige Grassmannvariable θ definiert durch

tθ, θu “ 0, d.h. θθ ` θθ “ 0, ñ θ2 “ 0

ñ Jede Funktion von θ hat Taylorentwicklung

ppθq “ p0 ` θp1 (297)

Sei ppθq gewohnliche Zahl ñ p0 gewohnlich, p1 Grassmann, d.h. tθ, p1u “ 0.

Differenziation:d

dθθ “ θ

ÐÝd

dθ“ 1 (298)

Beachte: Differenzialoperator muss neben der Variable stehen, bevor er wirkt

Links-Differenziation:d

dθppθq “ p1 (299)

Rechts-Differenziation: ppθqÐÝd

dθ“ ´p1 (300)

Integration: gewohnlich das Inverse von Differenziation

Hier:d2

dθ2ppθq “ 0, d.h. E Inverses der zweiten Ableitung

Definiere Integral durch Forderung:Invarianz unter Translation der Integrationsvariablen

żdθ ppθq !“

żdθ ppθ ` αq

¨˝żdθ “

8ż

´8dθ

˛‚ (301)

ñżdθ pp0 ` θp1q !“

żdθ pp0 ` pθ ` αq p1q (302)

żdθ α p1

!“ 0 ñżdθ “ 0 (303)

46

Normierung des verbleibenden Integrals:

żdθ θ “ 1 , somit

żdθ ppθq “ p1

Beachte: Integration von ppθq ergibt gleiches Resultat wie Links-Differenziation!

Variablenwechsel bei Integration:

θ “ aÒG.

` bÒc-Zahl

θ (304)

gewohliche Zahlen:

żdx fpxq “

żdx

dx

dxfpxpxqq (305)

Grassmann:

żdθ ppθq “ d

dθppθq “ p1 (306)

żdθ ppθq “

żdθ pp0 ` pa` bθq p1q “ b p1 (307)

ñżdθ ppθq “

żdθ

1

bppθpθqq “

żdθ

˜dθ

dθ

¸´1

ppθpθqq (308)

ñ Antikommutierende Zahlen haben inverse ‘Jacobideterminante’

Verallgmeinerung auf n-dim. Grassmannalgebra

tθi, θju “ 0 i, j “ 1, . . . , n (309)

ppθq “ p0 ` pp1qi1 θi1 ` pp2qi1i2

θi1θi2 ` . . . ppnqi1...in θi1 . . . θin (310)

Links-Diff.:d

dθipθ1θ2 . . . θnq “ δi,1 θ2 . . . θn ´ δi,2 θ1θ3 . . . θn (311)

` . . . p´1qn´1δi,n θ1 . . . θn´1 (312)

Kommutiere θi ganz nach links, dann differenzieren

Integrationsvariablen:

dθi, dθj

( “ 0

żdθi “ 0

żdθiθj “ δij (313)

Variablenwechsel: θi “ bijθj

ñżdθn . . . dθ1 ppθq “

żdθn . . . dθ1

«det

Bpθ1 . . . θnqBpθ1 . . . θnq

ff´1

ppθpθqq (314)

47

Beweis: Vergleiche wieder

żdθn . . . dθ1 ppθq mit

żdθn . . . dθ1 ppθpθqq

Einziger nichtverschwindender Beitrag sind Terme mit n verschiedenen θ’s

θ1 . . . θn “ b1i1 . . . bnin θi1 . . . θinloooomoooon‰0 nur fur i1‰i2‰¨¨¨‰in

(315)

“ b1i1 . . . bninεi1...inθ1 . . . θn (316)

“ detpbq θ1 . . . θn (317)

Wegen

żdθiθj “ δij folgt fur das Maß

dθ1 . . . dθn “ pdet bq´1 dθ1 . . . dθn (318)

3.2 Fermionische Gaußintegrale

n-dimensional:

I “żdθn . . . dθ1 exp

1

2pθ,Aθq, (319)

pθ,Aθq “ θiAijθj , Aij gewohnlich, reell, antisymmetrisch (320)

Bsp. n “ 2:

A “ˆ

0 A12

´A12 0

˙(321)

I “żdθ2 dθ1 exptθ1θ2A12u “

żdθ2 dθ1 p1` θ1θ2A12q (322)

“ A12 “ pdet Aq 12 (323)

Allgemeines (gerades) n:Fur antisymmetrisches A, D speziell unitare Matrix U , so dass

UAU : “ AS (324)

AS “

»—————–

a

ˆ0 1´1 0

˙

b

ˆ0 1´1 0

˙

. . .

fiffiffiffiffiffifl

Blockdiagonal (325)

Sei außerdem

T “

»——————–

a´12

a´12

b´12

b´12

. . .

fiffiffiffiffiffiffifl

(326)

48

ñ detT´1 “ ?detA (327)

T pUAU :qT “ T AST “ AS “

¨˚˚˚

ˆ0 1´1 0

˙

ˆ0 1´1 0

˙

. . .

˛‹‹‹‹‹‚

(328)

ñ I “żdθn . . . dθ1 exp

1

2pθ, U : T´1 AS T

´1U θq (329)

Subst.: θ “ pT´1Uq θ (330)

I “żdθn . . . dθ1 exp

1

2pθ, AS θq det

˜BθBθ

¸(331)

detdθ

dθ“ detT´1U “ detT´1 “ ?detA (332)

Somit I “żdθn . . . dθ1 exp

1

2pθ,Aθq “ pdetAq 1

2 (333)

Vergleiche mit gewohnlichen reellen Zahlen:

żdx1?

2π. . .

dxn?2π

exp´1

2px,Axq “ 1

pdetAq 12

(334)

Gaußintegral fur gewohnliche komplexe Zahlen

zi “ pxi ` iyiq,żdz dz˚ “

żdx dy (335)

żdz1?π

dz1?π. . .

dzn?π

dzn?π

exp´pz˚, Azq “ 1

detA(336)

Gaußintegral fur komplexe Grassmannzahlen

żdθn dθn . . . dθ1 dθ1 exp pθ:, Aθq “ detA (337)

49

3.2 PI-Darstellung fur Fermionfelder (Minkowski)

Z rη, ηs “ 1

Z

żDψDψ eiSrψ,ψs`ipη,ψq`ipψ,ηq (338)

“ x0|T eipη,ψq`ipψ,ηq |0y (339)

Erzeugendes Funktional fur fermionische Greenfunktionen

x0T `ψαpxq ψβpyq

˘ |0y “ˆ´i δ

δηαpxq˙ˆ

´i δ

δηβpyq˙Z rη, ηs

ˇˇη“η“0

(340)

N. B.:δ2

δηpxqδηpyq “ ´δ2

δηpyqδηpxq (341)

Freies Diracfeld:

S0rψ, ψs “ `ψ, piγµBµ ´mqψ

˘ “żd4x ψpxq riγµBµ ´ms ψpxq (342)

Z0rη, ηs “ e´ipη,SF ηq (343)

mit piγµBµ ´mq SF px, yq “ iδ4px´ yq (344)

SF px, yq “ i

żd4p

p2πq41

p´m` iεe´ippx´yq (345)

Fur wechselwirkende Theorie, z.B. Yukawaterm Sirφ, ψ, ψs:

Z rη, η, Js “ Z0

Zexp

"i Si

„´i δ

δη, i

δ

δη, ´i δ

δJ

*Z0 rη, η, Js (346)

Z0 rη, η, Js “ exp

"´ i pη, SF ηq ´ i

2pJ,∆FJq

*(347)

50

4 PI-Quantisierung von Eichtheorien

4.1 Schwierigkeiten bei Eichtheorien

z.B. QED, QCD, schwache WW

Aµpxq, Πµpxq “ δL

δ pB0Aµpxqq (348)

kanonisch: Operatoren + Vertauschungsrelationen

Jedoch Π0pxq “ 0, ∇ ¨ ~Π “ 0 ñ A0pxq, ∇ ¨ ~Apxq kommutieren mit allenkanonischen Ops., ñ c-Zahlen

ñ Aµpxq stellt nur 2 unabhangige physikalische Freiheitsgrade darñ kanonische Quantisierung zusammen mit Eichfixierung

Jetzt systematisch im PI-Formalismus, allgemeiner Fall nichtabelsche Eichtheorie:

L “ ´1

4F aµν F

aµν (349)

Z rJs “ Z´1

żDAµ exp

"i

żd4x rL ` JµpxqAµpxqs

*(350)

Freies Feld: Z0 rJs “ Z´10

żDAµ exp i

żd4x rL0 ` JµpxqAµpxqs (351)

żd4xL0 “ ´1

4

żd4x

`BµAaν ´ BνAaµ˘ pBµAaν ´ BµAaµq

“ 1

2

żd4xAaµpxq

`gµνB2 ´ BµBν˘ Aaνpxq (352)

Theorie invariant unter Eichtrafos

AΘµ “ UpΘqAµ U´1pΘq ` i

gUpΘq Bµ U´1pΘq (353)

UpΘq “ e´iΘapxqTa (354)

Analog zum skalaren Fall wollen wir

żDφ exp

„´1

2pφ,Kφq ` pJ, φq

„ pdetKq´ 1

2 epJ,K´1Jq (355)

Problem: K´1 existiert nicht!

Beweis: Kµν “ gµν B2 ´ BµBνSei Aaµpxq “ Bµwapxq “ Eichtrafo von Aaµpxq “ 0 (356)

51

KµνAµ “`gµνB2 ´ BµBν˘ Bµwa “

`BνB2 ´ B2Bν˘wa “ 0 (357)

ñ Kµν hat Nullmode, ñ detK “ 0, ñ D K´1

Pfadintegral: DAµpxq “śx

śa,µ

dAaµpxqÒsummiert uber alle Feldkonfigurationen,

auch solche, die eichaquivalent sind

Losung: Faktorisiere die Eichorbits heraus!

4.2 Eichfixierung nach Faddeev und Popov

Es ist SrAµs “ SrAΘµ s wegen Eichvarianz

Beschranke PI auf Hyperflache, die jeden Eichorbit nur einmal schneidet:

Aµpxq

AΘµ pxq

Eichorbits

f`AΘµ

˘ “ 0

Hyperflache: f`AΘµ

˘ “ 0 mit eindeutiger Lsg. Θpxq fur gegebenes AµpxqDann summieren uber alle Hyperflachen

Idee Faktorisierung:

żDAµ Ñ

Volumen EichorbitsÓV Θ

żDAµ δ pf pAµqq (358)

Def.: ∆´1 rAµs ”żDΘpxq δ `f `AΘ

µ

˘˘(359)

DΘ “ź

x

ź

a

dΘapxq (360)

i) ∆ rAµs ist eichinvariant

UpΘqUpΘ1q “ UpΘ2q , dpΘ2q “ dΘ1 (361)

52

ñ ∆´1“AΘµ

‰ “żDΘ1 δ

´f´AΘ2

µ pxq¯¯

“żDΘ2 δ

´f´AΘ2

µ pxq¯¯“ ∆´1 rAµs (362)

ii)

∆ rAµs “ detδfpAΘ

µ qδΘ

(363)

Bew.: Identitat fur Deltafunktionen, n-dim

ż nź

i“1

dyi δpyiq “ 1 (364)

bei yi “ fipxq, invertiert: xipyq

Jacobideterminante J “ detBfiBxj

ñż „ nź

i“1

dxi δ pfipxqqJ “ 1 (365)

Hier:

∆´1 rAµs “żDf δpfq det´1 δf

δΘ

“ det´1 δf

δΘ

ˇˇf“0

” det´1Mf , pMf qab “ δfa

δΘb(366)

Umschreiben des Pfadintegrals durch Einsetzen von 1:

żDAµ e

iSrAµs “żDAµDΘ δ

`f`AΘµ

˘˘∆ rAµs eiSrAµs

“żDAµDΘ δ pf pAµqq ∆ rAµs eiSrAµs

é S rAµs “ S“AΘµ

‰, ∆ rAµs “ ∆

“AΘµ

‰, DAµ “ DAΘ

µ

“żDΘ

loomoonV Θ, Vol. d. Eichorbits

żDAµ δ pfpAµqq ∆ rAµs eiSrAµs

loooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooonunabh. von Θ

(367)

V Θ ist unendlich, hebt sich aber in ZrJs gegen denselben Faktor in Zr0s weg

53

Damit erzeugendes Funktional:

Z rJs “ 1

Z

żDAµ ∆ rAµs δ pfpAµqq eiSrAµs`pJµ,Aµq (368)

Z “żDAµ ∆ rAµs δ pfpAµqq eiSrAµs (369)

Insbesondere Greenfunktionen unabhangig von V Θ

4.3 Eichfixierung und Geistfelder

Schreibe Z rJs “ 1

Z

żDAµ e

iSeff`ipJµ,Aµq (370)

Seff enthalt ∆ rAµs δ pf rAµsq in exponenzierter Form

∆ rAµs “ detMf “ exp Tr ln Mf (371)

In der Form M “ 1`K wird

detMf “ exp

"żd4x Kaapx, xq ´ 1

2

żd4x d4y Kabpx, yqKbapy, xq ` . . .

*(372)

Sieht formal aus wie Summe von ”Schleifendiagrammen”:

u ` uu

` uu u ` . . .

ñ Kab kann als Propagator eines pN2 ´ 1q-plets von komplexen skalaren Felderncapxq interpretiert werden:

det Mf „żDcDc: ei

şd4x d4y c:aM

abf cb (373)

Beachte: PI fur c1s „ det, nicht det´1, d.h. c’s sind Grassmannfelderñ Fermistatistik (“´” Zeichen fur Schleifen in Diagrammen)

aber Spin 0 (skalare Felder)

capxq: heißen Faddeev-Popov-Geistfelder; diese sind nicht physikalisch, lediglich Hilfs-felder zur Darstellung der FP-Determinante

54

Eichfixierungsterm:Sei fapAµq “ Bapxq (374)

Bapxq beliebige Funktion, unabhangig vom Eichfeld

Außerdem ist

żDB e

´ i2ξ

şd4x B2pxq „ const. (375)

Der Parameter ξ ist frei und wird spater zur Charakterisierung konkreter Eichungenverwendet. Einfugen in PI:

Z rJs “ 1

Z

żDAµ DB detMf δ pfapAµq ´Baq ei

şd4x

”L´JµAµ´ 1

2ξB2

ı(376)

Konstante aus B-Integration fallt aus Greenfunktionen heraus

Z “żDAµ DcDc

: ei Seff “żDAµ DcDc

: eipSYM`Sgf`SFP q (377)

Seff “żd4x

”LYM ´ 1

2ξfapAµq2

looooomooooon“ Sgf

Eichfixierungsterm

ı

`żd4x d4y

ÿ

a,b

c:apxqMf px, yq cbpyqlooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooon

“ SFPFP-Geistterm

(378)

Einige spezielle Eichungen:

1) kovariante bzw. Lorenzeichung:

BµAµaloomoon“ fapAµq

“ 0 (379)

2) Axiale Eichung: ηµAµa “ 0; η2 ă 0 raumartiger Richtungsvektor

3) Coulombeichung: BiAia “ 0

4) Temporale Eichung: A0apxq “ 0

55

1) Lorenzeichung:

Unter infinitesimaler Eichtrafo ist Upxq “ e´iΘapxqTa » 1´ iΘa T a ` . . . (380)

AaΘµ pxq “ Aaµpxq ` fabc ΘbpxqAcµpxq ´

1

gBµ Θapxq (381)

ñ fa`AΘµ

˘ “ fa pAµq ` Bµ„fabc ΘbpxqAcµpxq ´

1

gBµ Θapxq

(382)

“ fa pAµq `żd4y Mab

f px, yqΘbpyq (383)

mit Mabf px, yq “ ´1

gBµ

”δab Bµ ´ g fabcAcµ

ıδ4px´ yq (384)

Somit ist

Sgf “ ´ 1

2ξ

żd4x pBµAaµq2 (385)

SFP “ 1

g

żd4x

ÿ

a,b

c:apxq Bµ“δab Bµ ´ g fabcAcµpxq

‰cbpxq (386)

und das erzeugende Funktional

Z rJ, η, η:s “ 1

Z

żDADcDc: exp i

żd4x

"L pxq ´ 1

2ξpBµAaµq2

` c:a Bµ “δab Bµ ´ g fabcAcµ‰cb ` JaµAaµ ` ηaca: ` η:aca

*(387)

wobei c, c: Ñ 1?gc ,

1?gc: reskaliert wurde

Betrachte nochmals die FP-Determinante:

detM “ det p`δab BµBµqlooooooooomooooooooonunabh. von Aµñ const.

det``δab 1´ gl´1 fabcA

cµ Bµ

˘loooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooonEntwickeln mit detM “ eTr lnM

(388)

56

Storungstheorie fur Yang-Mills-Theorie in kov. Eichung

Seff “ S0 ` Si (389)

S0 “żd4x

”´ 1

4

`BµAaν ´ BνAaµ˘2 ´ 1

2ξpBµAµaq2 ` c:a B2 ca ` Jaµ Aaµ

` ηa: ca ` ηa ca:ı

(390)

Si “żd4x

”´ 1

2

`BµAaν ´ BνAaµ˘g fabcAbµAcν

` 1

4g2 fabc fadeAbµA

cν A

dµAeν

´ i g ca: Bµ fabcAcµ cbı

(391)

Erzeugendes Funktional:

Z rJ, η, η:s “ exp

"i SJ

„´i δ

δJµ, ´i δ

δη, ´i δ

δη:

*Z0

“J, η, η:

‰(392)

Z0 rJ, η, η:s “żDADc:Dc ei S0rAµ,c,c:s`ipBaµAaµq`ipηa:,cq`ipηaca:q (393)

57

4.4 Lagrangedichte und Feynmanregeln der QCD

Quark-Felder ψ f ,Ò

1,...Nfflavour

c ,Ò

1,2,3colour

αÒ

1,...4Dirac

pxq (394)

SUp3q-Eichfelder, Gluon-Felder

1,...8, colour

ÓA aµÒ

1,...4 Lorentz

pxq (395)

Matrixfeld: Aµpxq “ AaµpxqT a “ Aaµpxqλ

2

a

(396)

kovariante Ableitung: Dµ “ Bµ ´ ig Aµ (397)

Feldstarke: F aµν “ BµAaν ´ BνAaµ ` g fabcAbµAcν (398)

Lf “ÿ

f,c

ψf,c piγµDµ ´mf q ψf,c (399)

LYM “ ´1

4F aµν F

aµν (400)

LQCD “ Lf `LYM (401)

58

Feynmanregeln im Impulsraum

Gluon-Propagator

a, µ b, νiDab

µνpkq “ ´i δabk2 ` iε

”gµν ´ p1´ ξqkµkν

k2

ı(402)

Geist-Propagator

a b iDabc pkq “ ´

i δabk2 ` iε (403)

Quark-Propagator

a, f b, f ′iDab

ff 1pkq “ i δff 1 δab1

γµpµ ´mf ` iε (404)

59

3-Gluon-Vertex

b, ν

a, µ

c, λ

k1

k2

k3 ig fabc rpk1 ´ k2qλ gµν ` pk2 ´ k3qµ gνλ ` pk3 ´ k1qν gµλs

4-Gluon-Vertex

d, ρ

a, µ b, ν

c, λ ´ig2“feabfecd pgµλ gνρ ´ gµρ gνλq ` feac fedb pgµρ gλν ´ gµν gλρq

`fead febc pgµν gρλ ´ gµλ gρνq‰

(405)

Quark-Gluon-Vertex

a, µ

f, c

f ′, c′ ig δff 1 pT aqcc1 γµ (406)

Geist-Gluon-Vertex

a, µ

b

c g fabc pµ (407)

Geschlossene Fermion-/Geistlinien: Faktor p´1q

60

4.5 QQ-Wechselwirkung durch Ein-Gluon-Austausch

Betrachte WW zwischen Q und Q in fuhrender Ordnung

t-Kanal:q “ p1 ´ p1

1 “ p2 ´ p21 (408)

iM p1q “ÿµ,νa,b

ig δf1f11

1

2pλaqc11c1 upp1

1s11c11f11q γµupp1, s1, c1, f1q Vertex Qg

ˆ ´i δabq2

gµν Gluonpropagator, ξ “ 1 (Feynman-Eichung)

ˆ ig δf2f21

1

2pλbqc2c21 vpp2, s2, c2, f2qγνvpp2

1, s21, c2

1, f21q Vertex Qg (409)

N.B.: Zunachst uber außere s, c, f Indizes noch nicht summiert

Summation / Mittelung hangt von exp. Fragestellung ab, vgl. Spinbehandlung inQED

QQ-Streuung exp. nur indirekt durchfuhrbar, z.B. in inelastischer Proton-Antiproton-Streuung

Farbe nicht beobachtbarñ Mitteln uber Anfangszustande, Summieren uber Endzustand

1

9

ÿ

c1,c11

c2,c21

(410)

Hier stellen wir die akad. Frage:Wie ist die WW zwischen bestimmten Farbkonfigurationen fur c1, c2 beliebig

Erinnerung Darst.theorie: 3ˆ 3˚ “ 1` 8

Sei Φc1c2 “ ψc1 ψc2 Farbanteil der Spinoren (411)

Singulett: Φ1c1c2 “ δc1c2 (412)

Φ8c1c2 “ Φc1c2 ´

1

3δc1c2 (413)

Benutze:8ÿ

a“1

pT aqc11c1 pT aqc2c21 “1

2

ˆδc1c2 δc11c21 ´

1

3δc1c11 δc2c21

˙(414)

Betrachte Singulett-Konfiguration: Mitteln / Summieren

1

3

ÿ

c1,c2

Φ1c1c2 Φ1

c11c21

8ÿ

a“1

T ac11c1 Tac2c21 “

1

3

ÿ

a

TrpT aT aq “ 4

3(415)

61

˜Fur allg. SUpNq :

1

N

ÿ

a

TrpT aT aq “ 1

N

N2´1ÿ

a“1

1

2“ N2 ´ 1

2N” CF

¸(416)

Damit

iM p1q “ g2 4

3upp1

1, s11q γµ upp1, s1q 1

q2vpp2, s2q γµ vpp2

1, s21q (417)

Ebenso: s-Kanal

iM p2q “ 4

3g2 υpp2, s2q γµ upp1, s1q 1

pp1 ` p2q2 upp11, s1

1q γµ υpp21, s2

1q (418)

Nur Flavour-Singulett!

Vgl. QED: e2 anstelle4

3g2

Nichtrelativistischer Grenzfall: pm,p1mÑ 0, Ei « mi vgl. QFT1

q2 “ pE1 ´ E11q2looooomooooon

Ñ0

´ q2; pp1 ` p2q Ñ 4m2 (419)

upp1, s1q γµ upp, sq Œ2mδss1 δµ0 (420)

υpp1, s1q γµ υpp, sq Õ

iM p2q Ñ 0 (421)

iM p1q Ñ ´ 4

3g2 4m2

q2δs11s1 δs21s2 (422)

QM, Born’sche Naherung fur Streuung am elektromagnetischen Potenzial,vgl. z.B. Laudau-Lifshitz

iMfi “ 4m2 ¨ V pqq (423)

mit V prq “żd3q

p2πq3 V pqqeiq¨r “

żd3q

p2πq3eiq¨r

q2“ 1

4π r(424)

ñ Potenzial zwischen nichtrelativistischen (schweren) Quarks in relativer Singu-lettkonfiguration

V prq “ ´ 4

3g2 1

4π r“ ´CF αs

rCoulomb-Potenzial mit αs “ g2

4π(425)

Vgl. QED: V prq “ ´ α

r

ñ Anziehung ñ Mesonbildung (analog Positronium)

62

Oktett-Konfiguration:

1

3

ÿc1c2c11c21

Φ8c1c2 Φ8

c11c21

8ÿ

a“1

T ac11c1 Tac2c21 “ ´

1

6(426)

ñ Abstoßendes Potenzial in Oktettkonfigurationñ Hinweis auf Farbsingulettbildung schon in Storungstheorie!

63

5 Renormierung am Beispiel der φ4-Theorie

L “ L0 `Lint “ 1

2pBµφqpBµφq ´ 1

2m2

0φ2 ´ λ0

4!φ4 (427)

5.1 Propagator mit Selbstenergie auf Einschleifenniveau

G2px, yq “ xΩ|T pφpxqφpyqq |Ωy “ δ

i δJpxqδ

i δJpyq Z rJsˇˇJ“0

(428)

Fourier-Trafo:żd4x d4y xΩ|T pφpxqφpyqq |Ωy eippx`p1yq “ ip2πq4 δ4pp` p1qG2ppq (429)

“ 1 Ñ 1 Streumatrix

In Storungstheorie:G2ppq = Summer aller Feynmandiagramme mit 2 außeren Linien, Impuls k

Schreibe als Summe von einteilchenirreduziblen Einschuben

= + + + ....

Dies ist eine geometrische Reihe

G2pp2q “ ∆F `∆F p´iΠq∆F `∆F p´iΠq∆F p´iΠq∆F ` . . .“ ∆F

1` iΠ∆F“ 1

∆´1F ` iΠ “ i

p2 ´m20 ´Π` iε (430)

´iΠ: Summe aller 1-p.i. Diagramme, die zur Zweipunktfunktion beitragen;G2,Π Lorentzskalare ñ Funktionen von p2: G2pp2q,Πpp2q

Beachte: Die geometrische Reihe entspricht einer Resummation zu allen Ordnun-gen in λ0, auch wenn Πpp2q nur zu endlicher Ordnung berechnet wird!

Pol im Impulsraum ist Losung der Gleichung

p2 “ m20 `Πpp2q , (431)

d.h., die Teilchenmasse p2 “ m2 ist gegenuber m0 verschoben!

ñ m2 “ m20 ` δm2, ñ δm2 “ Πpm2q (432)

ñ Massenkorrektur durch Selbstwechsewirkung, zu berechnen

64

Fuhrender Beitrag in Storungstheorie:

Bemerkungen:

- Im PI-Formalismus steckt das Wick’sche Theorem in der Funktionalableitung!

x0|2sπ

i“1

pxiq |0y “2sπ

i“1

Jpxiq exp1

2pJ,Jq

ˇˇˇJ“0

“ÿ

all possible pairingsof t1,2,...2su

F px1, x2q . . .F px2s´1, x2sq (221)

- Nicht zusammenhangende Beitrage sind Produkte aus zusammenhangenden

- Vakuumdiagramme (Diagramme ohne außere Beine) sowie nicht zusammen-hangende Beitrage, die Vakuumdiagramme als Faktoren enthalten, heben sichaus Greenfunktionen heraus

Beispiel Zweipunktfunktion:

G2py1, y2q “ Z0

Z

2

Jpy1qJpy2q exp

ˆ` 1

2pJ,F Jq

˙ˆ1 ` w1rJs ` Op2q

˙ˇˇJ“0

Ableitungen wirken entweder beide auf expp. . .q oder beide auf p1 ` w1rJs ` . . .q(wg. J “ 0 am Ende)

Ableitungen auf expp. . .q:2

Jpy1qJpy2q exp

ˆ` 1

2pJ,F Jq

˙ˇˇJ“0

ˆ1 ` w1r0s ` Op2q

˙“

“ F py1, y2qˆ

1 ´ 3

4!

ªd4x

´F px, xq

¯2 ` Op2q˙

; (222)

Ableitungen auf p1 ` w1rJs ` . . .q:

exp

ˆ` 1

2pJ,F Jq

˙2

Jpy1qJpy2qˆ

1 ` w1rJs ` Op2q˙ˇ

ˇJ“0

“

“ ´1

2

ªd4xF px, xqF px, y1qF px, y2q ` Op2q; (223)

18 +O(2)

+O(2)1 18

12

12 +O(2)

G2(y1, y2) =

=

33´iΠpp2q “ p´iλ0q12

żd4k

p2πq4i

k2 ´m20 ` iε

(433)

Beachte: Hier keine Abhangigkeit von p2, Spezialfall fur dieses Diagramm

Integral fur grosse |k| quadratisch divergent!

5.2 Qualitative Skizze des Renormierungsprogramms

Divergenzen in Schleifenintegralen generisch, treten in jeder neuen Ordnung Storungs-theorie auf

Grund: Entwicklung um das ”falsche” VakuumAbhilfe: 1. Regularisierung

2. Renormierung

1. RegularisierungMit 8 kann man nicht kontrolliert rechnen

a) Cut-off RegularisierungAbschneiden der divergenten Impulsintegrale

8ż

´8d4k Ñ

Λż

´Λ

d4k ñ Ñ „ Λ2 (434)

Nachteile:Bricht Translationsinvarianz, Eichinvarianz in der regularisierten Theorie

b) Pauli-VillarsIntegrand:

1

k2 ´m2Ñ 1

k2 ´m2´ 1

k2 ´M2“ m2 ´M2

pk2 ´m2qpk2 ´M2q (435)

Neuer Propagator ÝÑkÑ8

1

k4, besser als

1

k2

am Ende M ÝÑ 8

Translations- und eichinvariant in QED; bricht Eichinvarianz in nichta-belschen Eichtheorien

65

c) GitterregularisierungErsetze Raum-Zeit durch diskretes Gitter mit Gitterabstand a

ñ Impulsintegrale

πaż

´πad4k uber Brillouin-Zone

Verkleinert Translations- und Rotationsinvarianz, bricht chirale Symme-trien, erhalt Eichinvarianz (Gittereichtheorie)

Gut fur nichtperturbative Behandlung geeignet!

d) Dimensionale Regularisierung

Reduktion der Raum-Zeit-Dimensionen

żd4k Ñ

żddk

bis Integral konvergiert; am Ende d Ñ 4

Erhalt alle Symmetrien; Renormierbarkeitsbeweis im SMÑ ’t Hooft, Veltman ’72 (Nobelpreis)

2. RenormierungNackte Parameter aus Lagrangedichte sind keine Messgroßen!

Lagrangedichte enthalt “nackte” Masse und Ladung pm0, λ0q;

Physikalische Masse, Ladung:Summe aller Diagramme zu Γp2q,Γp4q

ñ m “ m pλ0, m0, Λq (436)

ñ λ “ λ pλ0, m0, Λq (437)

66

5.3 Vorbereitung, d-dimensionale Impulsintegrale

Betrachte Integrale der Form

Ipmq “żddk

p2πqd1

rk2 ´m2 ` iεsn (438)

mit kµ “ pk0, k1, k2, . . . kd´1q “ pk0,kq

Zunachst:

1. Wickrotation ins Euklidische

Zunachst:

1. Wick-Rotation ins Euklidische

X

X

Re k0

Im k0

C

Integrand hat Pole bei k0 “ ˘ “pk2 ` m2q12 ´ i"‰

¿

C

dk01

rk2 ´ m2 ` i"sn “ 0 Cauchy (30)

Integrand Ñ 1

|k0|2nfur |k0| Ñ 8

ñ Kreissegmente von C geben keinen Beitrag

ñ8ª

´8dk0

1

rk2 ´ m2 ` i"sn “i8ª

´8dk0

1

rk2 ´ m2 ` i"sn (31)

Variablenwechsel: k0 “ ik4 , k4 R

i8ª

´i8dk0

1

rk2 ´ m2 ` i"sn “ i

8ª

´8dk4

1

r´k24 ´ k2 ´ m2 ` i"sn (32)

“ p´1qn i

8ª

´8dk4

1

rk2 ` m2sn ñ I “ p´1qn i

ªddk

p2qd

1

rk2 ` m2sn (33)

Mit Euklidischem Vierervektor kµ “ pk4, k1, k2, k3qkµ “ kµ , kµkµ “ kµkµ “ k2

1 ` k22 ` k2

3 ` k24 (34)

2. Ubergang zu Polarkoordinaten

pk1, k2, . . . kdq Ñ pk, ', 1, . . .d´2q (35)

k2 “ kµkµ (36)

8

Integrand hat Pole bei k0 “ ˘“pk2 `m2q12 ´ iε‰

¿

C

dk01

rk2 ´m2 ` iεsn “ 0 Cauchy (439)

Integrand Ñ 1

|k0|2n fur |k0| Ñ 8

ñ Kreissegmente von C geben keinen Beitrag

ñ8ż

´8dk0

1

rk2 ´m2 ` iεsn “i8ż

´8dk0

1

rk2 ´m2 ` iεsn (440)

Variablenwechsel: k0 “ ikd , kd εR

i8ż

´i8dk0

1

rk2 ´m2 ` iεsn “ i

8ż

´8dkd

1

r´k2d ´ k2 ´m2 ` iεsn

“ p´1qn i8ż

´8dkd

1

rk2 `m2sn

ñ I “ p´1qn iżddk

p2πqd1

rk2 `m2sn (441)

mit euklidischem Vektor kµ “ pk1, . . . , kd´1, kdqkµ “ kµ , kµkµ “ kµk

µ “ k21 ` k2

2 ` . . .` k2d (442)

67

2. Ubergang zu Polarkoordinaten

pk1, k2, . . . kdq Ñ pk, ϕ, Θ1, . . .Θd´2q (443)

k2 “ kµkµ (444)

k1 “ k sin Θ1 . . . sin Θd´2 sinϕ

k2 “ k sin Θ1, . . . sin Θd´2 cosϕ

k3 “ k sin Θ1, . . . sin Θd´3 cos Θd´2

. . . . . .

kd´2 “ k sin Θ1 sin Θ2 cos Θ3

kd´1 “ k sin Θ1 cos Θ2

kd “ k cos Θ1 (445)

Volumenelement:

ddk “ kd´1 dk dϕ sin Θ1dΘ1 sin2 Θ2dΘ2 . . . sind´2 Θd´2 dΘd´2

“ kd´1 dk dΩd (446)

mit 0 ď k ď 8 , 0 ď ϕ ď 2π , 0 ă Θi ă π i “ 1, . . . d´ 2 (447)

Integrand winkelunabhangig; benutze

πż

0

dΘ sinm Θ “?π Γ

`m`1

2

˘

Γ`m`2

2

˘ (448)

Damit Winkelintegration żdΩd “ 2

πd2

Γ`d2

˘ (449)

ñ Ipmq “ 2i πd2p´1qnp2πqd Γ

`d2

˘ż 8

0dk

kd´1

rk2 `m2sn 1´ dim Integral, abhangig von dq(450)

68

5.4 Auswertung Tadpole mit Cut-Off Regularisierung

Wir benotigen d “ 4, n “ 1,Γp2q “ 1

Ipm,Λq “ ´ i

8π2

ż Λ

0dk

k3

k2 `m2

u“k2“ ´ i

16π2

ż Λ2

0du

u

u`m2

“ ´ i

16π2

ż Λ2`m2

m2

duu´m2

u“ ´ i

16π2

”u´m2 lnu

ıΛ2`m2

m2

“ ´ i

16π2

”Λ2 ´m2 ln

ˆ1` Λ2

m2

˙ı(451)

Damit erhalten wir fur das Tadpole-Diagramm in Cut-Off-Regularisierung:

´iΠ “ λ0

2Ipm0,Λq “ ´ iλ0

32π2

”Λ2 ´m2

0 ln

ˆ1` Λ2

m20

˙ı(452)

ñ Massenkorrektur

δm2 “ Πpp2 “ m2q “ λ0

32π2

”Λ2 ´m2

0 ln

ˆ1` Λ2

m20

˙ı(453)

ñ m2 “ m20 ` δm2, m “ mpm0, λ0,Λq (454)

69

5.5 Die Vierpunktfunktion auf Einschleifenniveau

Gc4px1, . . . x4q “ xΩ|T pφpx1q . . . φpx4qq |Ωyc “ δ

i δJpx1q . . .δ

i δJpx4q W rJsˇˇJ“0

(455)Fouriertrafo:

żd4x1 . . . d

4x4xΩ|T pφpx1q . . . φpx4qq |Ωyeipp1x1`...`p4x4q

“ ip2πq4δpp1 ` . . .` p4qGc4pp1, . . . , p4q (456)

Volle Vierpunktfunktion:

Zusammengesetzt aus 1-p.i. Bausteinen; fur φ4-Theorie, benotige Γp4q (vgl. Kap. 2.3)

Γp4qpp1, . . . , p4q “ ´iλ0 ` Γp4q1 ptq ` Γ

p4q1 psq ` Γ

p4q1 puq `Opλ2

0q (457)

mit s “ pp1 ` p2q2 ” p2, t “ pp1 ´ p3q2, u “ pp1 ´ p4q2

Γp4q1 pp2q “ p´iλ0q2

2

żd4k

p2πq4i

pk ` pq2 ´m20 ` iε

i

k2 ´m20 ` iε

(458)

Zunachst auf bekannte Form bringen durch Feynmanparametrisierung(Beweis als Ubung):

1

a1a2 . . . an“ pn´ 1q!

1ż

0

dz1 . . . dznpa1z1 ` ¨ ¨ ¨ ` anznqn δ

˜1´

nÿ

i“1

zi

¸(459)

Hier:1

a1a2“

ż 1

0dz

1

rza1 ` p1´ zqa2s2 (460)

70

Damit:

Γp4q1 pp2q “ λ2

0

2

ż 1

0dz

żd4k

p2πq41

pk2 ` 2zk ¨ p` zp2 ´m20 ` iεq2

“ λ20

2

ż 1

0dz

żd4k

p2πq41

rpk ` zpq2 ` zp1´ zqp2 ´m20 ` iεs2

“ λ20

2

ż 1

0dz

żd4k

p2πq41

rk2 ` zp1´ zqp2 ´m20 ` iεs2

“ iλ20

2

ż 1

0dz

żd4kEp2πq4

1

rk2E ´zp1´ zqp2 `m2

0loooooooooomoooooooooon”M2

s2 (461)

Beachte: p immer noch Minkowski!

Gleicher Integraltyp wie (441), benutze (450) mit d “ 4, n “ 2,Γp2q “ 1Auswertung mit Cut-Off:

Γp4q1 pp2q “ i

λ20

16π2

ż 1

0dz

ż Λ

0dk

k3

pk2 `M2q2

“ iλ2

0

32π2

ż 1

0dz

ż Λ2

0du

u

pu`M2q2

“ iλ2

0

32π2

ż 1

0dz

ż Λ2`M2

M2

duu´M2

u2

“ iλ2

0

32π2

ż 1

0dz”

ln

ˆ1` Λ2

M2

˙´ 1

1`M2Λ2

ı

« iλ2

0

32π2

ż 1

0dz”

ln

ˆΛ2

M2pp2q˙´ 1

ı

« iλ2

0

32π2

ż 1

0dz ln

ˆΛ2

M2pp2q˙

(462)

Wird exakt, wenn wir am Ende der Rechnung Λ Ñ8 schicken

-Divergenz nur logarithmisch-Abhangigkeit der Kopplungskorrektur vom außeren Impuls!

71

5.6 Renormierung

Isoliere zunachst Divergenzen durch Taylorentwicklung in externen Impulsen

Bsp. Einschleifenbeitrag Vierpunktfunktion:

BBp2

Γp4q1 pp2q “ ´i λ

20

32π2

ż 1

0dz

M2pp2qΛ2

Λ2

pM2pp2qq2BM2pp2qBp2

endlich fur Λ Ñ8

” Γ1pp2q (463)

Generell erniedrigt jede Ableitung nach p den Divergenzgrad um eins

ñ Zu beliebiger Ordnung in λ0 gilt:

Γp4qpp2q “ a0 ` a1pp20qpp2 ´ p2

0q ` . . . (464)

mit anpp2q endlich ab einer bestimmten Ordnung n ě nend

Fur Γp4q1 ist nend “ 1

Γp4q1 pp2q “ Γ

p4q1 pp2

0q ` Γp4q1 pp2q (465)

Ebenso Entwicklung Selbstenergie

Πpp2q “ Πpp20q ` pp2 ´ p2

0qΠ1pp20q ` Πpp2q (466)

mit Πpp2q endlichAuf Einschleifenniveau ist Π1pp2

0q “ 0, aber Beitrage in hoheren Ordnungen

ñ regularisierte n-Punktfunktionen: endliche Anzahl von divergenten Termen

Def. renormiertes Feld, renormierte Masse und renormierte Kopplung:

φRpxq ” Z´12φpxqm2 ” m2

0 ` δm2

λ ” λ0 ` δλ (467)

Damit renormierte n-Punktfunktionen

GRn px1, . . . xnq ” Z´n2Gnpx1, . . . , xnqΓpnqR px1, . . . , xnq ” Zn2Γpnqpx1, . . . , xnq (468)

Bei Start mit endlichen m0, λ0 folgt unendliches λ,m wenn Λ Ñ8, sinnlos!

72

Idee Renormierung:

• m,λ physikalisch, experimentell bestimmbar! ñ endlich

• m0, λ0 haben rein mathematische Bedeutung, d.h. zunachst frei wahlbar

• ñ Invertieren: m0 “ m0pm,λ,Λq, λ0 “ λ0pm,λ,Λq• Fixierung von δm2, δλ durch Renormierungsbedingungen

• Drucke renormierte Greenfunktionen durch renormierte Parameter aus

Jetzt m0, λ0 Ñ8 fur Λ Ñ8 ...NA UND?

Wahle Renormierungsbedingungen: On-Shell Schema

• Sei m der Pol des vollen Propagators ñ m2 “ m20 `Πpm2q

• Sei λ die volle Vierpunktkopplung gemessen bei s “ s0 ñ ´iλ “ Γp4qR ps0q

(Erinnerung s` t` u “ 4m2, wahle symmetrischen Punkt s0 “ u0 “ t0 “ 4m23)

1. Massen- und Wellenfunktionsrenormierung

G2pp2q “ i

p2 ´m20 ´Πpp2q ` iε

“ i

p2 ´m20 ´Πpm2q ´ pp2 ´m2qΠ1pm2q ´ Πpp2q ` iε

“ i

p2 ´m2 ´ pp2 ´m2qΠ1pm2q ´ Πpp2q ` iε“ ip1´Π1pm2qq´1

p2 ´m2 ` iε1

1´ Πpp2qpp2´m2qp1´Π1pm2qq

“ ip1´Π1pm2qq´1

p2 ´m2 ` iε1

1´ Πpp2qpp2´m2q `Opλ2

0q

“ ip1´Π1pm2qq´1

p2 ´m2 ´ Πpp2q ` iε (469)

Beachte: Dies gilt unabhangig von der Ordnung Storungstheorie, zu der die Selbst-energie berechnet wurde!

Auf der Massenschale:lim

p2Ñm2Πpp2q “ 0 (470)

73

ñ G2pp2 Ñ m2q Ñ 1

1´Π1pm2qi

p2 ´m2 ` iε (471)

Gleiche Form wie freier Propagator, aber mit von m0 nach m verschobener Masseund impulsunabhangigem Normierungsfaktor! Wahle

Z “ p1´Π1pm2qq´1 (472)

Renormierte Zweipunktfuktion, ausgedruckt in renormierten Parametern:

GR2 pp2q “ Z´1G2pp2q “ i

p2 ´m2 ´ Πpp2q ` iε endlich! (473)

Auf Einschleifenniveau haben wir

Π1pm2q “ 0, ñ Z “ 1`Opλ20q (474)

Ab Zweischleifenniveau gibt es nichtverschwindende (divergente) Beitrage zu Z

Erinnerung Lehmann-Symanzik-Zimmermann-Asymptotenbedingungen, QFT1, Kap.6:

Lange vor und nach einer Streuung: Teilchen effektiv frei, beschrieben durch In-und Out-Felder

pl`m2qφinpxq “ 0, pl`m2qφoutpxq “ 0 (475)

mit physikalischer Teilchenmasse m

LSZ-Bedingung fur Erwartungswerte von Feldern zwischen normierbaren Zustanden:

tÑ ´8 : xα|φpxq|βy Ñ ?Z xα|φinpxq|βy

tÑ `8 : xα|φpxq|βy Ñ ?Z xα|φoutpxq|βy (476)

Normierungsfaktor Z notwendig, da z.B. xp; in|φinpxq|Ωy und xp; in|φpxq|Ωy zu ver-schiedenen Zeiten nicht identisch sein konnen(φin|Ωy ist immer Einteilchenzustand, φ|Ωy enthalt Wechselwirkungen)

Anwendung auf Zweipunktfunktion:

limt1,t2Ñ´8

G2px1, x2q “ limt1,t2Ñ´8

xΩ|Tφpx1qφpx2q|Ωy

“ limt1,t2Ñ´8

i

żd4p

p2πq4 e´ippx1´x2q ip1´Π1pm2qq´1

p2 ´m2 ` iε!“ ZxΩ|Tφinpx1qφinpx2q|Ωy (477)

Wahl von Z ist im Einklang mit den LSZ-Asymptotenbedingungen!

Volle Zweipunktfunktion erfullt die inhomogene Klein-Gordon-Gleichung

pl`m2qG2px´ yq “ ´iZδ4px´ yq (478)

74

2. Renormierung der Kopplung

Ahnliche Behandlung Vierpunktfunktion

Γp4qpp1, . . . , p4q “ ´iλ0 ` 3Γp4q1 ps0q ` Γ

p4q1 psq ` Γ

p4q1 ptq ` Γ

p4q1 puq (479)

Wahle δλ “ 3Γp4q1 ps0q

Renormierte Vierpunktfunktion, ausgedruckt durch renormierte Parameter,d.h. λ0 “ λ´ δλ, ausentwickeln

Γp4qR pp1, . . . , p4q “ Z2Γp4qpp1, . . . , p4q (480)

“ ´iλ` Γp4q1 psq ` Γ

p4q1 ptq ` Γ

p4q1 puq `Opλ3q endlich!

Nochmals Erinnerung LSZ-Formel, QFT1, Kap.7:

Streumatrixelement fur 2 Ñ 2-Streuung:

Sfi|c “ xp3, p4, out|p1, p2, inyc “ ip2πq4δ4pp1 ` . . .` p4qMfi

“ Z2 Ga4pp1 . . . , p4qlooooooooomooooooooon“Γ

p4qR in φ4-theory!

ip2πq4δ4pp1 ` . . .` p4q (481)

D.h. Streumatrixelemente benotigen die renormierten n-Punktfunktionen, die, aus-gedruckt in renormierten Kopplungen, endlich sind!

75

5.7 Die renormierte Lagrangedichte

Fur das folgende bequemer: statt δλ Renormierungskonstante Zλ

λ ” Z´1λ Z2λ0 d.h. Z2Z´1

λ “ 1` δλ

λ0(482)

Umschreiben der Lagrangedichte in renormierte Felder und Parameter:

L “ 1

2pBµφqpBµφq ´ 1

2m2

0φ2 ´ λ0

4!φ4

“ 1

2pBµφRqpBµφRqZ ´ 1

2pm2 ´ δm2qφ2

RZ ´λ

4!φ4RZλ

” LR `Lct (483)

mit

LR ” 1

2pBµφRqpBµφRq ´ 1

2m2φ2

R ´λ

4!φ4R (484)

Lct ” pZ ´ 1q2

ˆpBµφRqpBµφRq ´ 1

2m2φ2

R

˙` δm2

2Zφ2

R ´λpZλ ´ 1q

4!φ4R(485)

• Alle Großen in renormierter Lagrangedichte LR endlich

• Alle Divergenzen in sogenannten “counter terms”; diese werden automatischabgezogen, wenn Lct als zusatzliche WW mit zugeforiger Feynmanregel be-handelt wird

• ñ modifizierte Strorungstheorie mit LR liefert Ordnung fur Ordnung endlicheGreenfunktionen!

Auf Einschleifenniveau: alle Terme in Lct „ Opλq, in hoheren Ordnungen kommenweitere Terme hinzu

ñ Z,Zλ, δm2 sowie Lct sind Potenzreihen in λ,

schemaabhangig (Regularisierung, Subtraktionspunkt)

Physikalische Großen unabhangig vom Schema!

Beachte: In einer renormierbaren Theorie haben LR,Lct dieselbe Struktur wie L !D.h. in hoheren Ordnungen kommen keine weiteren Strukturen hinzu, lediglich wei-tere Ordnungen zu den bestehenden Countertermen

Multiplikativer Charakter der Renormierung:

GRn pλ,mq “ limΛÑ8

Gnpλ,m,ΛqZn2pλ,m,Λq (486)

76

6 Renormierung in der QCD

6.1 Der Gluonpropagator auf Einschleifenniveau

x0|T´AaµpxqAbνpyq

¯|0y “ δ

i δJaµδ

i δJbνZ rJs

ˇˇJ“0

(487)

Fourier-Trafo: żd4x d4y x0|T

´AaµpxqAbνpyq

¯|0y eipkx`k1yq (488)

“ p2πq4 δ4pk ` k1q iDabµνpkq (489)

“ 1 Ñ 1 Streumatrix

In Storungstheorie:Dabµνpkq = Summer aller Feynman-Diagramme mit 2 außeren Linien, Impuls k

Schreibe als Summe von einteilchenirreduziblen Einschuben(1 particle irreducible = 1 PI: Diagramm, das nach Schneiden einer Linie zusam-menhangend bleibt)

= + + + . . .

iDµν “ iDF ` iDF iΠ iDF ` ¨ ¨ ¨ (490)

Def.: Polarisationstensor iΠµνpkq (Gluon-Selbstenergie)= Summe aller 1PI-Beitrage zu Dµνpkq

Feynman-Propagator:

iDFµνpkq “ ´ i

k2 ` iε„gµν ` pξ ´ 1q kµkν

k2

(491)

D´1FµαDFµα “ δµν (492)

iDµνpkq “ iDF,µν ` iDFµα iΠαβ iDF βν ` ¨ ¨ ¨“ iDF,µα rδαν ` iΠαβ iDFβν ` ¨ ¨ ¨ s“

!iDF

“1´ΠDF ` pΠDF q2 ´ ¨ ¨ ¨

‰ )µν

“!iDF r1´ΠDF s´1

)µν

“"DF

1DF pD´1

F `Πq*

µν

“"

iD´1F `Π

*

µν

(493)

77

Tensorzerlegung in transversalen und longitudinalen Teil

Πµνpkq “ tµνpkqΠT pk2q ` lµνpkqΠLpk2q (494)

tµνpkq “ gµν ´ kµkνk2

, lµνpkq “ kµkνk2

(495)

Projektoren: t ¨ t “ t , l ¨ l “ l , t ¨ l “ l ¨ t “ 0

ebenso Propagator

Dabµνpkq “ δab

“tµνpkqDT pk2q ` lµνpkqDLpk2q‰ (496)

DT , DL, ΠT,L sind Lorentzskalare und konnen deswegen nur uber k2 vom einzigenViererimpuls abhangen!

Umkehrung: Tr pt ¨Πq “ Trpt ¨ tqΠT “ pd´ 1qΠT (497)

Tr pl ¨Πq “ Trpl ¨ lqΠL “ ΠL (498)

ñ ΠT pk2q “ 1

d´ 1tµνpkqΠµνpkq (499)

ΠLpk2q “ lµνpkqΠµνpkq (500)

Fuhrende Beitrage zu iΠµν in Storungstheorie:

a) b)

c) d)

78

a)

µ, a ν, b

ω, fλ, l

ρ, c σ, d

k + q

q

“ iΠpaqpkqabµν “1

2!

żd4q

p2πq4ˆ

!´g fcae

”g%µpq ´ kqλ ` gµν p2k ` qq% ` gλ% p´2q ´ kqµ

ı)

ˆ"i δcd

„g%σ ` pξ ´ 1q q

%qσ

q2

´1

q2 ` iε*

ˆ"i δef

„gωλ ` pξ ´ 1q pq ` kq

ωpq ` kqλpq ` kq2

´1

pq ` kq2 ` iε1*

ˆ"´g ffbd

„gων p2k ` qqσ ` gνσpq ´ kqω ` gσωp´2q ´ kqν

*(501)

fcae febc “ ´Nc δab fur SUpNcq Nc “ 3 (502)

Nach Kontraktion aller Tensorstrukturen:

iΠpaqpkqabµν “ δab1

2g2Nc

żd4q

p2πq41

pq2 ` iεq rpq ` kq2 ` iε1s (503)

ˆ”N p0qµν pq, kq ` pξ ´ 1qN p1qµν pq, kq ` pξ ´ 1q2N p2qµν pq, kq

ı

N p0qµν pq, kq “ “g%µpq ´ kqλ ` gµλpq ` 2kq% ´ gλ%p2q ` kqµ

‰(504)

ˆ”gλν pq ` 2kq% ` g%νpq ´ kqλ ´ gλ%p2q ` kqν

ı

“ “2q2 ` 2qk ` 5k2

‰gµν `

ˆ2 gλλ“4

´ 3

˙

”2qµqν ` pqµkν ` kµqνq

ı´ p6´ gλλq kµkν

N p1qµν pq, kq “ 1

q2pq ` kq2 “

2q6 ´ q4k2 ` 12 q2pqkq2

` q2k4 ` 4k2pqkq2 ` `6q4 ` 4q2k2 ` 8pqkq2˘ pq ¨ kq‰ gµν

´ “2q2k2 ` 4pqkq2 ´ k4 ` 4q2pq ¨ kq‰ qµqν

´ “q4 ` q2k2 ` 6pqkq2 ` 3p2q2 ` k2qpqkq‰ pqµkν ` kµqνq

` “3q4 ` 2q2pq ¨ kq‰ kµkν

((505)

N p2qµν pq, kq “ 1

q2pq ` kq2“k2qµ ´ pq ¨ kqkµ

‰ “k2qν ´ pq ¨ kq kν

‰(506)

79

Feynman-Eichung: ξ “ 1 Nur Np0qµν tragt bei!

iΠpaqpkqabµν “ δab1

2g2Nc

żd4q

p2πq4Np0qµν pq, kq

pq2 ` iεq rpq ` kq2 ` iε1s (507)

Betrachte Integranden fur qµ Ñ8Dann geht auch |q|2 Ñ8

” Power Counting”: Np0qµν Ñ |q|2

Nenner Ñ |q|4

żd4q

q2

q4“

żdΩ4

8ż

0

d|q| |q|3

|q|2 Ñ8 (508)

ñ Integral divergiert!

Integrand wie |q|Stammfkt. wie |q|2

b) Geistschleife:

iΠpbqpkqabµν “GeistschleifeÓ´

żd4q

p2πq4

ˆ g faecpq ` kqµ ´iδcdq2 ` iε

´iδefpq ` kq2 ` iε g fbdf qν

“ ´Nc g2

żd4q

p2πq4pq ` kqµ qν

rpq ` kq2 ` iεs rq2 ` iεs (509)

” power counting” q Ñ8 : Zahler: „ |q|2Nenner: „ |q|4

ñ Integral wieder quadratisch divergent

c), d) als Ubung

80

6.2 Dimensionale Regularisierung

Betrachte Integral der Form

I “żddk

p2πq41

rk2 ´m2 ` iεsn (510)

n“1 n“2

d “ 4 : quadratisch divergent log. div.d “ 3 : linear divergent konvergentd “ 2 : logarithmisch divergentd “ 1 : konvergent

Idee:Betrachte I als Funktion von d , finde Funktion I 1pdq, die mit einem konvergentenIntegral Ipdq ubereinstimmt und analytische Fortsetzung nach d “ 4 besitzt

Nach Euklidisierung und Winkelintegration:

I “ 2i πd2p´1qnp2πqd Γ

`d2

˘żdk

kd´1

rk2 `m2sn “ Ipm, dq 1´ dim Integral, abhangig von d

(511)

Betrachte I als Funktion von komplexem d:

kd´1 “ eln kd´1 “ epd´1q ln k “ exp ppRepdq ´ 1q ln k ` i Impdq ln kq“ kRepdq´1 ¨ Phase (512)

ñ Integral konvergent fur 0ÒIR

ă Repdq ă 2nÒUV

IR -Divergenz bei d Ñ 0 nur scheinbar, kurzt sich gegen Divergenz von Γ`d2

˘

fur dÑ 0 weg

81

Analytische Fortsetzung Radialintegral:

Ir “8ż

0

dkkd´1

rk2 `m2sndk

dkpartiell integrieren (513)

“ kd

rk2 `m2snˇˇ8

0loooooooomoooooooon“ 0

fur Repdq ă 2n

´8ż

0

dk kd

dk

kd´1

rk2 `m2sn

“ ´8ż

0

dk k

„pd´ 1qkd´2

rk2 `m2sn ´ nkd´12k

rk2 `m2sn`1

“ ´pd´ 1q Ir ` 2n

8ż

0

dk kd´1 k2 `m2 ´m2

rk2 `m2sn`1

“ ´pd´ 1q Ir ` 2n Ir ´ 2nm2

8ż

0

dkkd´1

rk2 `m2sn`1

Auflosen nach Ir:

ñ Ir “ ´ 2nm2

d´ 2n

8ż

0

dkkd´1

rk2 `m2sn`1

looooooooooomooooooooooon0 ă Repdq ă 2n` 2

“ ´ nm2

`d2 ´ n

˘8ż

0

dkkd´1

rk2 `m2sn`1” I 1r (514)

Beachte: I 1r ist mit Ir identisch fur Repdq ă 2n, besitzt aber einen großeren Defini-tionsbereich Repdq ă 2n` 2.

n “ 2 : d “ 4 im Definitionsbereich enthalten, Funktion hat einfachen Pol

n “ 1 : d “ 4 nicht im Definitionsbereich enthalten, Prozedur wiederholen

I 1r “ `nm2

`d2 ´ n

˘ pn` 1qm2

`d2 ´ n´ 1

˘8ż

0

dkkd´1

rk2 `m2sn`2

looooooooooomooooooooooon0 ă Repdq ă 2n` 4

” I2

r (515)

d “ 4 im Definitionsbereich von I2

r enthalten, einfacher Pol

82

Spezielle Funktionen:

Euler’sche Gamma-Funktion:

Γpzq “8ż

0

dt e´t tz´1 Re z ą 0 (516)

z Γpzq “ Γpz ` 1q (517)

fur z εN : Γpn` 1q “ n! (518)

Γp2q “ 1 “ Γp1q , Γ

ˆ1

2

˙“ ?π (519)

ψpsq “ d ln Γpsqds

(520)

Euler’sche Beta-Funktion:

Bpp, qq “ ΓppqΓpqqΓpp` qq “

8ż

0

dttp´1

p1` tqp`q (521)

ñVerbleibende Integrale durch Eulersche Beta- und Gamma-Funktionen ausdrucken:

8ż

0

dkkd´1

rk2 `m2sn “ 1

2

8ż

0

dttd2´1

rt`m2sn (522)

t “ k2

dt “ 2k dk

Benutze Euler’sche Beta-Funktion

8ż

0

dttm´1

pt` a2qn “ 1

pa2qn´mBpm,n´mq

“ 1

pa2qn´mΓpmqΓpn´mq

Γpnq (523)

ñ8ż

0

dkkd´1

rk2 `m2sn “1

2

1

pm2qn´d2Γpd2qΓpn´ d

2qΓpnq (524)

Damit aus (514) Ergebnis fur n “ 2:

I 1r “ ´2m2

`d2 ´ 2

˘ 1

2

1

pm2q3´d2Γpd2qΓp3´ d

2qΓp3q

“2 Γp2q“2

(525)

83

Abkurzung ohne partielle Integration:

Ersetze bereits Ausgangsintegral (513) durch Eulersche Beta-Funktion

n “ 2 : Ir “8ż

0

dkkd´1

rk2 `m2s2 “1

2

1

pm2q2´d2Γpd2qΓp2´ d

2qΓp2q (526)

Analytische Fortsetzung Γpzq nach Repzq ă 0 durch Weierstrass-Darstellung:

Γpzq “8ÿ

n“0

p´1qnn!

ż α

0dt tn`z´1 `

ż 8

αdt e´ttz´1

“8ÿ

n“0

p´1qnn!

αn`z

z ` n `ż 8

αdt e´ttz´1, α ą 0 (527)

Die Gamma-Funktion Γpzq besitzt analytische Fortsetzung nach negativen z miteinfachen Polen bei 0,´z P N

Setze d “ 4´ 2ε , entwickeln in ε mit n “ 0, 1, 2, . . .

Γ p´n` εq “ p´1qnn!

"1

ε` ψpn` 1q ` 1

2ε

„π2

3` ψ2pn` 1q ´ ψ1pn` 1q

`O pε2q

*

ψpn` 1q “ 1` 1

2` ¨ ¨ ¨ ` 1

n´ γE ; γE “ 0.5772 Euler-Mascheroni-Konstante

ψ1pn` 1q “ π2

6´

nÿ

k“1

1

k2, ψ1p1q “ π2

6(528)

Damit

Ir “ 1

2

1

pm2q2´d2 Γ

ˆd

2

˙"1

ε´ γE `O pεq

*(529)

Dies stimmt mit unserem Ergebnis aus partieller Integration uberein, (525):

I 1r “ ` 1

ε

1

pm2q2´d2Γ`d2

˘

2Γ p1` εqlooomooon (530)

“ ε Γ pεq“ ε

"1

ε´ γE `Opεq

*

“ 1´ γE ε`Opε2q X

Damit erhalten wir fur allgemeines n:

I “żddk

p2πqd1

rk2 ´m2 ` iεsn “ ip´1qnApnq0 pmq (531)

Apnq0 pmq ”

żddk

p2πqd1

rk2 `m2sn “1

p4πqd2 pm2q d2´n Γ

`n´ d

2

˘

Γpnq (532)

84

Verallgemeinerungen: (Collins: Renormalization)

żddk pk2qα “ 0 f. alle α ε R (533)

Dies schließt den Fall masseloser Propagatoren einAusdehnung von skalaren Integralen auf Tensorintegrale, vgl. Blatt

Massendimensionen von Feldern und Kopplungen:

~ “ c “ 1 : S “żddx L dimensionslos, ñ rL s “ d

kinetische Terme: ψ B ψ ñ rψs “ d´ 1

2(534)

pBµAνq2 ñ rAµs “ d´ 2

2(535)

Kopplungsterme:g ψAψg pBAqA2

g2A4

,.- ñ r g s “ 2´ d

2(536)

Mit d “ 4´ 2ε ñ r g s “ ε dimensionsbehaftet

Zur Entwicklung um d “ 4: definiere dimensionsbehaftete Kopplung als gε mitdimensionslosem g

Def.: gε “ g µε mit willkurlicher Massenskala rµs “ 1

N.B.: Jede Regularisierung bringt zusatzl. willkurliche Massenskala,vgl. 5.2 (Λ,M, a´1)

weitere Konventionen:

gµν “ diag p1, ´1, ¨ ¨ ¨ ´ 1q ; gµµ “ d “ δµµ (537)

γ-Algebra fur Fermionen: tγµ, γνu µ, ν “ 1, . . . d (538)

z. B. γµγµ “ d1 Trpγµγνq “ 4 gµν (539)

Achtung: Vertizes, die γ5 “ i γ0γ1γ2γ3 enthalten, erfordern Sonderbehandlung

6.3 Fortsetzung Gluonpropagator auf Einschleifenniveau

Rechnung dim. reg., d “ 4´ 2ε, euklidisch k2 ą 0 , gµν Ñ ´δµν

Πµνpkq “ Πpaqµν pkq `Πpbqµν pkq `Πpcqµν pkq `Πpdqµν pkq `O pg4εq (540)

85

Auftretende Integrale in Gluon- und Geistschleifen:

żddq

p2πqd1

q2pq ` kq2 ¨#

1qµqµ qν

“$&%

JpkqJµpkqJµνpkq

(541)

Feynmanparametrisierung:

1

q2pq ` kq2 “1ż

0

dz1dz2”q2z1 ` pq ` kq2 z2

ı2 δp1´ z1 ´ z2q

“1ż

0

dz2”q2p1´ z2q ` pq ` kq2 z2

ı2 “1ż

0

dz

rq2 ` 2zqk ` zk2s2 (542)

ñ Jpkq “żddq

p2πqd1ż

0

dz“q2 ` 2zqk ` zk2

‰´2p ” q ` zk

“żddp

p2πqd1ż

0

dz”p2 ` zp1´ zq k2looooomooooon

”M2

ı´2(543)

“1ż

0

dz Ap2q0 pMq

“ p4πqεp4πq2 Γpεq k´2ε

1ż

0

dz z´εp1´ zq´ε, d “ 4´ 2ε (544)

Eulersches Integral

1ż

0

dz za´1 p1´ zqb´1 “ Bpa, bq (545)

folgt aus

1ż

0

dz za´1 p1´ zqb´1 “8ż

0

dttb´1

p1` tqa`b “ Bpa, bq (546)

mit z “ 1

1` t (547)

(548)

Damit Ergebnis:

Jpkq “ 1

16π2

ˆk2

4π

˙´εΓpεq Bp1´ ε, 1´ εq (549)

86

Als nachstes Vektorintegral, nach Feynmanparamtetrisierung und Substitution:

Jµpkq “1ż

0

dz

żddp

p2πqdpµ ´ zkµ

rp2 ` zp1´ zq k2s2 (550)

Term „ pµ Ñ 0, ungerade

ñ Jµpkq “ ´kµ1ż

0

dz z

żddp

p2πqd“p2 ` zp1´ zq k2

‰´2(551)

“ ´kµ 1

16π2

ˆk2

4π

˙ ε

Γpεq1ż

0

dz z1´ε p1´ zq´ε (552)

“ ´kµ 1

16π2

ˆk2

4π

˙ ε

Γpεq Γp2´ εqΓp1´ εqΓp3´ 2εqloooooooooomoooooooooon

“ Γp1´εqΓp1´εq2Γp2´2εq

“ 12 Bp1´ε, 1´εq

(553)

ñ Jµpkq “ ´ 1

2kµ Jpkq (554)

Tensorintegral nach Feynmanparametrisierung und Substitution:

Jµνpkq “1ż

0

dz

żddp

p2πqdpµpν ´

Ñ 0hkkkkkkkkikkkkkkkkjz kµpν ´ z pµkν ` z2kµkν

rp2 ` zp1´ zq k2s2 (555)

żddp

p2πqdpµpν

rp2 ` zp1´ zq k2s2 “1

p4πq2´ε1

2δµν

`z p1´ zq k2

˘1´εΓp´1` εq (556)

“ ´δµν k2 1

16π2

ˆk2

4π

˙ ε

Γpεq 1

2p1´ εq z1´εp1´ zq1´ε (557)

87

ñ Jµνpkq “ 1

16π2

ˆk2

4π

˙ ε

Γpεq1ż

0

dz

"´δµν k2 1

2p1´ εq z1´εp1´ zq1´ε(558)

` kµkν z2´εp1´ zq´ε*

“ 1

16π2

ˆk2

4π

˙ ε

Γpεq"´δµν k2 1

2p1´ εq Bp2´ ε, 2´ εq (559)

` kµkν Bp3´ ε, 1´ εq*

“ 1

16π2

ˆk2

4π

˙ ε

Γpεq Γp1´ εqΓp1´ εqΓp2´ 2εq

1

3´ 2ε(560)

ˆ"´δµν k2 1

4` kµkν 2´ ε

2

*

“ Jpkq 1

3´ 2ε

"´δµν k2 1

4` kµkν 2´ ε

2

*(561)

mit

Bp2´ ε, 2´ εq “ 1´ ε2p3´ 2εq Bp1´ ε, 1´ εq ; (562)

Bp3´ ε, 1´ εq “ 2´ ε2p3´ 2εq Bp1´ ε, 1´ εq (563)

Bemerkung: δµν Jµνpkq “ 0 fur ε Ñ 0

Damit Beitrage der einzelnen Graphen(euklidisch:

şddq Ñ i

şddq, gµν Ñ ´δµν , k2 Ñ ´k2 )

Πpaqµν pkq “ 1

2g2ε Nc

!δµν

“2 Jρρ ` 2 J%kρ ` 5k2 J

‰(564)

(Vorsicht: gµµ“δµµ“dq `p5´ 4εq r2 Jµν ` Jµkν ` Jνkµs ´ p2` 2εq kµkν J)

“ 1

2g2ε Nc Jpkq 1

3´ 2ε

δµν k

2`

192 ´ 6ε

˘´ kµkνp11´ 7εq(

Πpbqµν pkq “ ´g2ε Nc tJµν ` kµ Jνu “ ´g2

ε Nc

"Jµν ´ 1

2kµkν J

*(565)

“ 1

2g2ε Nc Jpkq 1

3´ 2ε

"δµν

k2

2` kµkνp1´ εq

*

Πpcqµν pkq “ 0 , da proportional zu

żddq

1

q2(566)

Πpaqµν pkq `Πpbqµν pkq `Πpcqµν pkq “ g2ε Nc Jpkq 5´ 3ε

3´ 2ε

`δµν k

2 ´ kµkν˘

(567)

88

Beachte: Polarisationstensor ist transversal, d.h. kµ Πµν “ 0!

• Πpaqµν fur sich ist nicht transversal ñ Geistschleife sichert Eichinvarianz!

• Cut-off-Regularisierung hatte einen nichttransversalen Beitrag von „ Λ2 ge-geben; ñ Verletzung der Transversalitat/Eichinvarianz

Dies sind alle Diagramme fur Nf “ 0 , reine Eichtheorie

Resultat fur Fermionschleife, d):

Πpdqµν pk,mq “ ´ g2ε

16π2pδµν k2 ´ kµkνq 4

ˆk2

4π

˙´εΓpεq (568)

ˆ1ż

0

dz zp1´ zq„zp1´ zq ` m2

k2

´ε

transversal, wie es auch sein muss

Bei Nf Quark-Flavours ist uber f zu summieren

Summe aller Diagramme:

Πµνpkq “ g2ε

16π2

`δµν k

2 ´ kµkν˘ ˆ

k2

4π

˙´εΓpεq (569)

ˆ#Nc

2Bp2´ ε, 2´ εq p5´ 3εq1´ ε

´4

Nfÿ

f“1

1ż

0

dz zp1´ zq«zp1´ zq ` m2

f

k2

ff ε+

Entwicklung nach Potenzen von ε

A´ε “ e´ε lnA “ 1´ ε lnA`Opε2q (570)

Γpεq “ 1

εΓp1` εq “ 1

ε

`1´ γE ε`Opε2q˘ (571)

Γp2´ εq “ p1´ εqΓp1´ εq “ p1´ εq `1` γE ε`Opε2q˘ (572)

Γp4´ 2εq “ p3´ 2εq p2´ 2εq p1´ 2εq Γ p1´ 2εqlooooomooooon“1`2γE ε`Opε2q

(573)

5´ 3ε

1´ ε “ p5´ 3εq `1` ε` 0 pε2q˘ “ 5` 2ε`Opε2q (574)

89

g2

ˆk2

4πµ2

˙ ε

“ g2

ˆ1´ ε ln

k2

4πµ2`Opε2q

˙(575)

´4ÿ

f

1ż

0

dz zp1´ zq«zp1´ zq ` m2

f

k2

ff ε

“ ´4ÿ

f

1ż

0

dz zp1´ zqloooooomoooooon“ ´1

6

˜1´ ε ln

«zp1´ zq ` m2

f

k2

ff` . . .

¸

“ ` 2

3Nf ` 4ε

ÿ

f

1ż

0

dz zp1´ zq ln r s (576)

Behalte Pole „ 1

εund konstante Terme fur limεÑ 0

Πµνpkq “ g2

16π2

`δµν k

2 ´ kµkν˘

(577)

ˆ#

5Nc ´ 2Nf

3

„1

ε´ γE ´ ln

k2

4πµ2

` 31

9Nc

` 4ÿ

f

1ż

0

dz zp1´ zq ln

«zp1´ zq ` m2

f

k2

ff+`Opεq

Pascual-Tarrach:1ż

0

dz zp1´ zq ln

«zp1´ zq ` m2

f

k2

ff

“ ´ 5

18` 2

3

m2f

k2` 1

6lnm2f

k2` 1

6

´1´ 2

mf

k2

¯d

1` 4m2f

k2ln

b1` 4

m2f

k2 ` 1b1` 4

m2f

k2 ´ 1

(578)

Fur beliebigen Eichparameter ξ ‰ 1 zusatzliche Terme (vgl. Muta)

Πabµνpk, ξq “ Πab

µνpk, 1q `g2

16π2δab

`δµν k

2 ´ kµkν˘

ˆ"p1´ ξq Nc

2

„1

ε´ γE ´ ln

k2

4πµ2´ 2

` p1´ ξq2 Nc

4

*(579)

Zuruck in den Minkowski-Raum:

k4 “ ´ik0 , δµν Ñ ´gµν , k2 Ñ ´k2 (580)

90

6.4 Polynomstruktur von Divergenzen

Die folgende Betrachtung beruht auf “Power Counting” und ist daher vor der di-mensionalen Regularisierung anzustellen, da diese die Divergenzgrade verbirgt.

ΠT pk2q “ ΠT pm2qÒ

quadr. divergent

`Π1T pm2q pk2 ´m2qÒ

log. divergent

` „ΠT pk2q

Ò

konvergent

(581)

Analoge Betrachtungen fur die anderen Propagatoren und n-Punktfunktionen:

- Quarkpropagator: Def. Selbstenergie

Sppq “„p´mfloomoon“ S´1

F

´ Σppq´1

(582)

mit Σppq “ A0Òmf `A1Ò

pµγµ

log. divergent

`„Σ ppq (583)

- ebenso Geistpropagator

In dim. Reg. verschwinden quadratisch und linear divergente Terme, nur Log-Divergenzenbleiben als Pol „ 1

ε

ΠT pk2q “ ΠT pε´1q ` ΠT pk2q (584)

ñ dim.Reg. impliziert bereits ein Subtraktions- bzw. Renormierungsschema, un-terscheidet sich von Impulsentwicklung

6.5 Renormierung des Gluonpropagators

Dabµνpkq “ δab

“tµνpkqDT pk2q ` ξ lµνpkqDLpk2q‰ (585)

mit DT pk2q “ “k2 `ΠT pk2q‰´1

, DLpk2q “ “k2 `ΠLpk2q‰´1

(586)

N.B.: ΠLpk2q “ 0 , Eichsymmetrie!

ñ DT pk2q “„k2 `ΠT pm2q `Π1T pm2q k2 ` „ΠT pk2q ` iε

´1

(587)

in Storungstheorie ist„ΠT pk2q “ „ΠT pk2q `1`Π1T pmq

˘`Opg4q (588)

da„ΠT pk2q , Π1T pk2q jeweils Opg2q (589)

91

Def.: renormierte Gluonmasse m2 “ m20 ´ΠT pm2q, (m0 “ 0 nackte Gluonmasse)

Beachte: im Spezialfall des Gluons (und des Photons) ist aufgrund der Eichsym-metrie (Transversalitat!) m “ 0, d.h. die Masse wird auf Einschleifenniveau nichtkorrigiert!

Damit konnen wir zur berechneten Ordnung schreiben

DT pk2q “”pk2 ` Πpk2q ` iεqq `1`Π1T p0qq

˘ı´1(590)

Zur berechneten Ordnung ist

DT pk2q “ “1`Π1T p0q

‰´1„k2 ` „ΠT pk2q ` iε

´1

“ Z3

k2 ` Πpk2q ` iε (591)

(592)

mit Z3 ” “1`Π1T p0q

‰´1 “ 1´Π1T p0q `Opg4q (593)

Def.: renormiertes Eichfeld AaRµ “ Z´123 Aaµ

ñ renormierter Propagator

p2πq4δ4pk ` k1qiRDabµνpkq “

żd4x d4y e`ipkx`k1yqxΩ|T

´AaRµpxqAbRνpyq

¯|Ωy(594)

RDabµν “ i δab

“tµνpkqDR

T pk2q ` ξR lµνpkqDRL pk2q‰ (595)

mit RDT pk2q “ 1

k2 ` ΠT pk2q ` iε (596)

Der renormierte Propagator ist endlich

Analog fur Quarkpropagator ñ Renormierung von mf , ψDreipunktfunktionen, Vierpunktfunktionen fur Gluonen ñ Renormierung von g

Dreipunktfunktionen: Drei-Gluonvertex

żd4x d4y d4z e´ipk1¨x`k2y`k3yq xΩ|T

´AaµpxqAbνpyqAc%pzq

¯|Ωy (597)

“ p2πq4 δ4 pk1 ` k2 ` k3q iDaa1

µα pk1q iDbb1

νβpk2q iDcc1

%γ pk3q i2g Γαβγa1b1c1pk1, k2, k3q (598)

Γαβγabc in jeder Ordnung St.theorie „ fabc

Lorentzstruktur:

92

insgesamt 14 verschiedene αβγ-Tensoren aus gαβ und 2 lin. unabh. Impulsen kon-struierbar; Koeffizienten jeweils invariante Funktionen von k2

1, k22, k

23

Aber: nur im nackten Vertex vorkommende Strukturen sind log. divergent, Diver-genzen gleich fur alle drei Kombinationen

i2g Γαβγabc pk1, k2, k3q “ ´g fabc“gαβpk1 ´ k3qγ ` perm.

‰ ˆ BÒ

log. div.

(599)

`i2g Γαβγabc pk1, k2, k3q (600)

usw. fur alle n-Punktfunktionen

6.6 Lokale Gegenterme und renormierte Lagrangedichte

Ursprungliche Lagrangedichte: L “ L pg0,mf0q= ”nackte” Lagrangedichte, abh. von ”nackten” Kopplungen

Konstruiere renormierte Lagrangedichte LR “ L ´ Lct durch Hinzufugen vonGegentermen (counter terms) Lct , die dieselbe Struktur haben wie diejenigen inL , und die die isolierten Divergenzen abziehen, wenn sie in den Feynmanregeln alszusatzliche WW behandelt werden.

LR pg,mf q hat dieselbe Struktur wie L und hangt nur von renormierten Para-metern ab.

Die so entstehende modifizierte St.theorie liefert Ordnung fur Ordnung renormierte,endliche Greenfunktionen.

Die renormierte Lagrangedichte

Definition Renormierungskonstanten:

Aaµpxq “ Z123 AaRµpxq , capxq “ Z

123 caRpxq (601)

ψpxq “ Z122 ψRpxq (602)

gε “ g0µε “ Zg g ; g “ g µε , g dimensionslos (603)

mf0 “ Zmf mf (604)

ξ “ Z3ξR, so dass Lgf “´ 1

2ξpBµAaµq2 inv. unter Renormierung(605)

L “ LR 0 `LR i `Lct (606)

Die renormierte Lagrangedichte LR 0`LR i ist gleich L0`Li , wenn in letzterer al-le Felder und Kopplungen durch renormierte Felder und Kopplungen ersetzt werden.

93

ñ Gegenterme: Abweichung zw. renormiertem und unrenormiertem L

Lct “ ´pZ3 ´ 1q 1

4

`BµAaRν ´ Bν AaRµ˘ `BµAaνR ´ Bν AaµR

˘

`´Z3 ´ 1

¯i´Bµca:R

¯pBµ c aRq ` pZ2 ´ 1q ψRf iγµBµψRf

´pZ2 Zm ´ 1qmRf ψRf ψRf

´´Zg Z

323 ´ 1

¯ 1

2g fabc

`BµAaRν ´ Bν AaRµ˘AbµR AcνR

´ `Z2g Z

23 ´ 1

˘ 1

4g2 fabe fcdeA

aRµA

bRν A

cµR AdνR

´´Zg Z3 Z

123 ´ 1

¯i g fabc pBµ caRq cbRAcRµ

`´Zg Z2 Z

123 ´ 1

¯g ψRf T

aff 1 γ

µ ψRf 1 AaRµ (607)

Z3, Z2, Zmf , Zg mussen so gewahlt werden, dass die Divergenzen in den Feynman-amplituden verschwindenñ Z’s sind Reihen in der Kopplungskonstanten

Bemerkung:Zg taucht in vier WW-Termen auf; zunachst denkbar, dass vier verschiedene Zg’snotig; es ist jedoche eine Konsequenz der Eichsymmetrie, genauer der Becchi-Rouet-Stora (BRS)-Symmetrie, dass Zg fur alle vier WW-Terme gleich ist.

Def.: Z1 ” Zg Z323 Z4 ” Z2

g Z23 (608)

Z1 ” Zg Z3 Z123 Z1F ” Zg Z2 Z

123 (609)

Da es nur ein Zg gibt, sind diese vier Großen nicht unabhangig:

Z1

Z3“ Z1

Z3

“ Z1F

Z2“ Z4

Z1(610)

Dies ist ein Beispiel fur die sogenannten Slavnov-Taylor-Identitaten, das sind Rela-tionen zwischen den vollen Greenfunktionen aufgrund der Eichsymmetrien.

94

Zusatzliche Feynmanregeln aus Lct:

a, µ b, νˆ pZ3 ´ 1q i δabˆgµν ´ kµkν

k2

˙p´k2q (611)

a bˆ´Z3 ´ 1

¯i δab p´k2q (612)

a, f b, f ′ˆ i δij“pZ2 ´ 1qk ´

`Z2 Zmf

˘mf

‰(613)

b, ν

a, µ

c, λ

k1

k2

k3

X

pZ1 ´ 1q ˆ pnackte Feynmanregel mit gq (614)

a, µ

b

c

X ´Z1 ´ 1

¯ˆ pnackte Feynmanregel mit gq (615)

a, µ

f, c

f ′, c′

X

pZ1F ´ 1q ˆ pnackte Feynmanregel mit gq (616)

d, ρ

a, µ b, ν

c, λ

X

pZ4 ´ 1q ˆ pnackte Feynmanregel mit gq (617)

6.7 Renormierungsschema MS

1-Schleifenkorrektur zum Propagator: (5.4) berechnet aus LR

iΠabµνpkq “ i δab

`gµν k

2 ´ kµkν˘

ˆ#´ g

4π

¯2„

1

2Nc

ˆ13

3´ ξR

˙´ 2

3Nf

„1

ε´ γE ` ln 4π ´ ln

ˆ´k2

µ2

` konstante Terme `Opεq

´ k2 pZ3 ´ 1q+

(618)

Forderung an Z3 ist es, die Divergenz „ 1ε zu beseitigen. Die genaue Form des di-

vergenten Terms hangt dabei offensichtlich vom Regularisierungsschema ab. Daruberhinaus besteht eine unendliche Vieldeutigkeit in der Festlegung des konstanten Terms.

95

Diese wird durch eine Subtraktionsvorschrift, dem sog. Renormierungsschema, fest-gelegt.

Im Rahmen von dim. Reg.: MS minimales Subtraktionsschema, subtrahierenur Terme „ 1

εMS modifiziertes MS

ñ Wahl der Renormierungskonstanten Z3:

pZ3 ´ 1qMS “´ g

4π

¯2„Nc

2

ˆ13

3´ ξR

˙´ 2

3Nf

1

ε`Opg4q (619)

pZ3 ´ 1qMS “´ g

4π

2„Nc

2

ˆ13

3´ ξR

˙´ 2

3Nf

ˆ1

ε´ γE ` ln 4π

˙`Opg4q(620)

Hier: MS, in Storungstheorie am haufigsten benutzt, denn in d “ 4´ 2ε haben alledivergenten Terme in allen Green-Funktionen die Struktur

´ g

4π

¯2"

1

ε` ln 4π ´ γE ` konst. `Opεq

*(621)

Jetzt kann limεÑ 0

genommen werden!

pΠµνpkqqMS “ limεÑ 0

Πµνpkq ´ k2 tµνpkq pZ3 ´ 1qMS

((622)

“ tµνpkqΠT pk2qMS

ΠT pk2qMS “ k2´ g

4π

¯2"Nc

2

ˆ13

3´ ξR

˙´ 2

3Nf

*ln

ˆ´k2

µ2

˙(623)

` konst.

Beobachtungen:

- abh. von Eichfixierung ξR

- auch innerhalb des gewahlten Renormierungsschemas,MS, noch 1-parametrigeVieldeutigkeit durch Wahl von µ

a) explizit uber ln´´k2

µ2

¯

b) implizit uber gpµqRenormierung in hoheren Schleifenordnungen:

- Benutze Gegenterme der vorigen Ordnungen um Subdivergenzen zu beseitigen

- Verbleibende divergente Green-Funktionen durch neuen Term im zugehorigenZ endlich machen

- Technische Durchfuhrung vereinfacht durch Benutzung von Symmetrienñ Slavnov-Taylor-Identitaten zwischen verschiedenen n-Punkt-Funktionen

96

6.8 Multiplikativer Charakter der Renormierung:

Bezeichne mit φ die Menge aller Felder in L

φ “ Aaµpxq, ca:pxq, capxq, ψf pxq, ψf pxq

((624)

Greensche Funktionen in dim. Regularisierung:

GNA,NQ pg0µε, ξ, mf0, εq NA `NQ ´ Funkt.

“

żDφ Apx1q . . . ApxNAq ψpxNA`1q . . . ψpxNA`NQq ei Srφs

żDφ ei Srφs

(625)

Ersetze alle Felder durch renormierte Felder

“ ZNA23 Z

NQ22

żDφR ARpx1q . . . ψRpxNA`NQq eipSR`Sctq

żDφR e

ipSR`Sctq

“ ZNA23 Z

NQ22 GRNA,NQ pg µε, ξR, mf , εq (626)

Die renormierten Green-Funktionen bilden die physikalischen Amplituden

GRNANQ`gpµq, ξR, mf , µ

˘

“ limεÑ 0

!Z´NA23 Z

´NQ22 GNA,NQ pgµε, ξR, mf , εq

)(627)

6.9 Renormierungsbedingungen

Die Forderung, dass die Zi Divergenzen absorbieren, legt diese nur bis auf endlicheAnteile fest

Endliche Anteile werden durch Renormierungsbedingungen, d.h. durch Forderungnach Ubereinstimmung mit geeigneten physikalischen Großen fixiert. Dazu benutztman die 1´p.i.Vertexfunktionen, die mit physikalischen Messgroßen zusammenhangen.

Beispiel QED: drei Renormierungsbedingungen fixieren die renormierte Elektron-masse, die Residuen des Elektron- und Photonpropagators sowie die renormierteElektronladung

ΓNANF Vertexfunktion fur NA Photonen, NF Elektronen; Mogliche Forderung:

Γ2,0 pkqµν Ñ i`´gµν k2

˘fur k2 Ñ 0 (628)

Γ0,2 pkq Ñ i pk ´meq fur k2 Ñ m2e (629)

Γ1,2 pkq Ñ ´i e γµ fur k2 Ñ m2e (630)

97

mit der physikalischen Elektronmasse me und der physikalischen Elektronladung e

Beachte: Wahl des Renormierungspunktes (Impuls, bei dem renormiert wird) be-liebig. Hier: On-shell, d.h. reelles Photon wird an reellem Elektron gestreut ñThomson-Streuquerschnitt

- Es lassen sich beliebige andere Observablen bei anderen Impulsen verwenden

- Das On-shell-Verfahren unterscheidet sich vom MS,MS-Schema

- In QCD komplizierter, da Quark-Gluon-WW nicht direkt exp. zuganglich

98

6.10 Verallgemeinernde Betrachtungen zur Renormierung

a) Klassifikation von Divergenzen:

Betrachte 2-Schleifendiagramm, Beitrag zu Πµν

kk

q1

q2

k − q1

Abschatzung der Potenz des Integrals im UV durch ”Power counting” liefert denoberflachlichen Divergenzgrad D; untersuche q1 « q2 ÝÑ 8

schematisch: I Ñżddq1 d

dq2 q21

ÒVertizes

ˆ1

q21

˙3

ÒG-Prop.

1

q1 `q2Ô

1

q2ÕQ-Prop.

(631)

ñ I ÝÑ q2d`2´6´2

ñoberflachlicher Divergenzgrad D “ 2d` 2´ 6´ 2

Verallgemeinerung auf beliebige Diagramme:

l “ Anzahl der Schleifen (i.e. Integrationen)δv “ Anzahl der Impulsfaktoren an Vertex vnB “ Anzahl innerer BosonliniennF “ Anzahl innerer Fermionlinien

D “ d l `ÿ

v

δv ´ 2n˚qB ´ nF (632)

*) Achtung: nicht gultig fur Theorie mit massiven Vektorbosonen:

ˆgµν ´ kµkν

m2

˙1

k2 ´m2

kÑ8ÝÑ 1

m2(633)

99

Warum oberflachlich? Beispiel:

D “ 2d` 0´ 2 ¨ 3´ 4 “ 2d´ 10 (634)

ñ oberflachlich konvergent, D “ ´2 fur d “ 4 , aber Integral divergiert, da schonUnterdiagramm divergent fur jedes q

Grund: In D gehen alle Schleifenimpulse gleichzeitig nach 8 , das Unterdiagrammdivergiert bei endlichem Schleifenimpuls q

Ebenso: - 1PR Diagramme;- bei Auftreten von Symmetrien D großer als tatsachliche Divergenz

Konvergenzsatz (Weinberg):Ein allgemeines Feynmanintegral ist konvergent, wenn sein oberflachlicher Diver-genzgrad sowie diejenigen fur alle moglichen Unterdiagramme negativ sind.

In QCD:

pNA, NG, NQq Greenfunktion Dpd “ 4qp0, 0, 0q Vakuumnorm (“ 1 durch Normierung 4

des erzeugenden Funktionals)p2, 0, 0q Gluon-Propagator 2p0, 2, 0q Geist-Propagator 1p0, 0, 2q Quark-Propagator 1p3, 0, 0q 3-Gluon-Vertex 1p1, 2, 0q Geist-Gluon-Vertex 0p1, 0, 2q Quark-Gluon-Vertex 0p4, 0, 0q 4-Gluon-Vertex 0

100

b) Renormierbarkeit von Theorien:

Betrachte eine Theorie mit WW-Term Li „ gipBqδipφqbipψqfi

Def.: bi Zahl der Bosonfelder in Li

fi Zahl der Fermionfelder in Li

δi Zahl der Raum-Zeit-Ableitungen in Li

gi Kopplungskonstante

Betrachte beliebige Feynmandiagramme, die nur Li enthalten:

Def.: ni Zahl der Li-VertizesNB Zahl außerer BosonlinienNF Zahl außerer Fermionlinien

Fur diese gilt allgemein:

2nB `NB “ nibi (635)

2nF `NF “ nifi (636)

nB ` nF ´ ni ` 1 “ l (637)ÿ

v

δv “ niδi (638)

Eliminieren der inneren Linien:

l “ˆbi ` fi

2´ 1

˙ni ´ NB `NF

2` 1 (639)

Einsetzen in oberflachlichen Divergenzgrad:

D “ d

ˆbi ` fi

2´ 1

˙ni ´ d NB `NF

2` d` niδi ´ pnibi ´NBq ´ nifi ´NF

2

“ rini ´ d´ 2

2NB ´ d´ 1

2NF ` d (640)

mit der Definition des Divergenzindex von Li

ri ” d´ 2

2bi ` d´ 1

2fi ` δi ´ d (641)

Damit die Wirkung dimensionslos ist, muss fur die Massendimension der Kopplungder Wechselwirkung gelten:

d!“ rgis ` δi ` bid´ 2

2` fid´ 1

2(642)

ñ rgis “ ´ri (643)

101

Verallgemeinerung auf mehrere WW:

oberflachlicher Divergenzgrad fur beliebiges Feynmandiagramm mit beliebigen WW-Termen Li , i “ 1 , . . .

D “ÿ

i

ri ni ´ d´ 2

2NB ´ d´ 1

2NF ` d (644)

Wann ist eine Theorie renormierbar?Konvergenzsatz: Diagramm divergent, wenn mindestens ein Unterdiagramm D ě 0Unterdiagramm “ Diagramm niedriger Ordnungñ Es genugt, oberfl. Divergenzen zu betrachten, o. B. d. A.

Sei fur eine Theorie mindestens ein ri ą 0

ni wachst mit Ordnung St.theorie fur gegebene Greenfunktion

ñ D wachst mit Ordnung St.theorie

ñ brauche mit jeder Ordnung neue Gegenterme, um Divergenzen zu eliminieren

ñ endliche Anzahl von Renormierungskonstanten und WW-Parameter unzurei-chend

ñ Theorie heißt nicht renormierbar

Seien fur eine Theorie alle ri ď 0

ñ D obere Schranke an D fur beliebige Ordnung St.theorie

ñ Fur gegebene Greenfunktionen werden Divergenzen in hoheren Ordnungennicht ”schlimmer”

ñ Fur festen Divergenzgrad ist die Anzahl außerer Linien, d.h. divergenter Green-funktionen, beschrankt

ñ endliche Anzahl von Renormierungskonstanten und WW-Parametern ausrei-chend

Falls ri ă 0 fur alle i , ist die absolute Anzahl divergenter Feynmandiagramme be-schrankt; die Theorie heißt superrenormierbar.

Falls ri “ 0 fur alle i , heißt die Theorie renormierbar.

Bemerkung: Wegen rgis “ ´ri haben renormierbare Theorien dimensionslose Kopp-lungskonstanten

102

Bsp.:

QCD: 3-Gluon V pBAqAA ri “ 3` 1´ 4 “ 04-Gluon V AAAA ri “ 4´ 4 “ 0QG V ψψA ri “ 1` 3´ 4 “ 0

φ4: λφ4 ri “ 4´ 4 “ 0

QCD in 3d: 3 GV: ri “ 32 ` 1´ 3 “ ´1

2

φ3: ri “ d´62 ñ ren.bar in 6 Dimensionen

103

7 Renormierungsgruppe und asymptotische Freiheit

7.1 Die ’t Hooft-Weinberg-Gleichung

- Renormierte Großen stets mit Bezug auf Renormierungsschema definiert

- Innerhalb eines Schemas alle renormierten Großen implizit von kontinuierli-chem Massenparameter µ abhangig

Forderung: Die Physik (S-Matrixelemente) muss vom Renormierungsschema undSubtraktionspunkt unabhangig und durch die Wahl einer Lagrangedichte festgelegtsein.

Betrachte endliche Umrenormierung zwischen Schemata:

Renormierter Gluonpropagator

iDRαβ “ Z´1

3 pgpµqq iDαβ (645)

iDR1

αβ “ Z´13

`g1pµ1q˘ iDαβ (646)

ñ iDRαβ “ Z3 pg1pµ1qq

Z3 pgpµqqlooooomooooon” Z3 pµ, µ1q

iDR1

αβ (647)

Renormierungskonstante fur endliche Umrenormierung (648)

Beachte: Z3 pµ, µ1q ist endlich, wenn R “ R1 und nur die Subtraktionsskala variiertwird

Aufgrund des multiplikativen Charakters der Renormierung gelten ahnliche Bezie-hungen fur alle Greenfunktionen

S-Matrixelemente durch 1-PI Greenfunktionen bestimmt

ΓRNANQ pp; gpµq, mf pµq, ξRpµq; µ, εq “ ZNA2

3 ZNQ2

2 ΓNANQ pp; gε, mf0, ξ, εq(649)

Ebenso endliche Umrenormierungen der Parameter:

gpµq “ Zg pµ, µ1q gpµ1q (650)

mf pµq “ Zm pµ, µ1qmf pµ1q (651)

Betrachte Umrenormierung als Transformation:

Verkettung: µ ÝÑ µ1 ÝÑ µ2 Zgpµ2, µ1qZgpµ1, µq “ Zgpµ2, µq (652)

Außerdem ist

Zgpµ, µq “ 1 (653)

Z´1g pµ1, µq “ Zgpµ, µ1q (654)

104

ñ Die Menge aller endlichen Renormierungstransformationen bildet eine abelscheGruppe!

Infinitesimale Renormierungstrafos im MS-Schema:

Betrachte nackte Parameter als unabhangige Variable:

dg0

dµ“ 0 ,

dmf0

dµ“ 0 (655)

Definitionen fur inf. Anderung der Renormierungsskala:

µBgBµ ” β pg, ξRq (656)

´ µ

mf

Bmf

Bµ ” γmf pg, ξRq (657)

µ

2Z3

BZ3

Bµ ” γA pg, ξRq (658)

µ

2Z2

BZ2

Bµ ” γQ pg, ξRq (659)

µ

2Z3

BZ3

Bµ ” γG pg, ξRq (660)

β s und γ s heißen Renormierungsgruppenfunktionen

µB ξRBµ ” δ pg, ξRq “ ´2 ξR γA (661)

Ebenso fur 1-p.i.-Greenunfktionen:Betrachte die unrenormierten Γ-Funktionen als unabhangig:

µd

dµ

"Z´NA

23 Z

´NG2

3 Z´NQ

22 ΓRNANGNQ pp; gpµq . . . q

*“ 0 (662)

Anwendung Kettenregel ergibt Renormierungsgruppengleichung:

»–µ B

Bµ ` β pg, ξRqBBg ` δ pg, ξRq

BBξR ´

ÿ

f

γmf pg, ξRq mfBBmf

´´NA γA pg, ξRq `Ng γG pg, ξRq `NQ γQ pg, ξRq

¯ffΓRNANGNQ “ 0

’t Hooft-Weinberg-Gleichung

(663)

105

Bemerkungen:

- RG-Gleichung kann sowohl fur ε ‰ 0 als auch εÑ 0 betrachtet werden

- da g, mf , Z’s schemaabhangig, sind auch alle RG-Funktionen schemaabhangig

- In anderen R-Schemata andere RG-Gleichung

Gell-Mann Low: m = physikalische MasseΓR definiert bei p2 “ µ2

off-shellCallan-Symanzik: m = physikalische Masse

ΓR definiert bei p2 “ m2

on-shell

- RG-Gleichung nichtperturbativ definiert!

Andere Form RG-Gleichung durch Dimensionsanalyse:

p2πq4 δ4pp1 ` . . . pN qloooooooomoooooooonr...s“´d

GNANQpp1 . . . pNA`NQq

“żd4x1 . . . d

4xN eipp1x1`...pNA`AQxNA`NQ q

´dpNA`NQqxΩ|T `

Apx1q . . . ψpxNA`NQq˘ |Ωy

NAd´2

2 `NQd´1

2

(664)

Damit Massendimension der Greenfunktionen:

ñ “GNANQpp1 . . . pNA`NQq

‰ “ d´NAd` 2

2´NQ

d` 1

2(665)

Fur 1-p.i. Funktionen:Ausdividieren der Propagatoren: ´2NA ´NQ

“ΓNANQpp1 . . . pNA`NQq

‰ “ d´NAd´ 2

2´NQ

d´ 1

2” dΓ (666)

Daher folgende Darstellung moglich:

ΓRNANQ`p1, . . . pNA`NQ ; g, mf , ξR, µ, ε

˘

“ µdΓ f

ˆp1

µ. . .

pNA`NQµ

; g,mf

µ, ξR, ε

˙(667)

dimensionslose Funktionen dimensionloser Argumente

106

Bei Skalierung der Impulse mit Faktor λ ą 0:

ΓRNANQ`λp1, . . . λpNA`NQ ; g, mf , ξR, µ, ε

˘

“ µdΓf

ˆλp1

µ. . .

λpNA`NQµ

; g,mf

µ, ξR, ε

˙

“ λdΓµ1dΓf

ˆp1

µ1 . . .pNA`NQ

µ1 ; g,mf

µ1λ, ξR, ε˙

µ1 “ µ

λ

“ λdΓ ΓRNANQ

´p1 . . . pNA`NQ ; g,

mf

λ, ξR,

µ

λ, ε

¯(668)

Differenziere nach λ:

λBBλ ΓRp. . .q “

»–dΓ ´ µ B

Bµ ´ÿ

f

mfBBmf

fiflΓRp. . .q (669)

oder»–λ B

Bλ ` µBBµ `

ÿ

f

mfBBmf

´ dΓ

fiflΓR pλp; g, mf , ξR, µ, εq “ 0 (670)

Kombiniere mit ’t Hooft-Weinberg-Gleichung: (µ BBµ eliminieren)

"´ λ B

Bλ ` βpg, ξRqBBg ` δpg, ξRq

BBξR ´

“1` γmf pg, ξRq

‰ÿ

f

mfBBmf

`dΓ ´ γΓpg, ξRq*

ΓR pλp; g,mf , ξR, µ, εq “ 0

mit γΓpg, ξRq ” NAγA `NGγG `NQγQ (671)

Interpretation:

Skalierung der Impulse ô Anderung von g, ξR, mf und Feldnormierung!

Beachte: Diese Aussage gilt fur alle renormierbaren Theorien, auch nach Entfer-nung der Regularisierung!

limεÑ 0

pΓR, βpgq, γipg, ξRqq (672)

107

7.2 Losung der Renormierungsgruppengleichung (formal)

’t Hooft-Weinberg-Gleichung “ partielle Differentialgleichung der Form:

"υipxq BBxi ` dpxq

*Γpxq “ 0 (673)

υpxq “ Geschwindigkeitsfeld einer Stromung xptqυi

BBxi“ Richtungsableitung

Stromungslinien = Integralkurven (Charakteristiken)

xptq erfulltd

dtxiptq “ υipxptqq , xip0q “ x

p0qi Anfangsbed. (674)

ñ d

dtΓpxptqq “ dxi

dt

BΓpxptqqBxi “ υi

BBxi Γpxptqq (675)

partielle Dgl ÝÑ gewohnliche Dgl

"d

dt` dpxq

*Γpxptqq “ 0 (676)

Analogie: Γ Dichte von Bakterien in stromender Flussigkeitd Abnahmerate = Sterberate - Geburtsrate

Losung: entlang einer Integralkurve ist

Γpxptqq “ exp

»–´

tż

0

ds dpxpsqqfiflΓpxp0qq (677)

Anfangswerte Γpxp0qq mussen fur je einen Punkt auf jeder Integralkurve vorgegebenwerden

Anwendung auf RG-Gl.:

xi Ñ λ, g, ξR, mf (678)

d Ñ dΓ ´ γΓ (679)

Integralkurven durch λ “ 1, gp0q“ g , ξp0qR “ ξR , m

p0qf “ mf (680)

Identifiziere:d

dtλ “ ´λ ñ λ “ e´t (681)

d

dtg “ βpgq ñ t “

gptqż

g

dx

βpxq (682)

108

Umkehrung liefert gptq: laufende Kopplung

Wegend

dt“ ´λ d

dλist λ

d

dλg “ ´β pgq (683)

bzw. λ´1 d

dλ´1g “ β pgq dλ´1“´ 1

λ2 dλ (684)

Andererseits ist µdg

dµ“ β pgq (685)

ñ gptq “ g´µλ

¯“ gpetµq laufende Kopplung (686)

Ebenso:d

dtmf ptq “ ´mf ptq

”1` γmf pgptqq

ı(687)

ñ mf ptq “ mf exp

$&%´1´

tż

0

ds γmf pgpsqq,.- (688)

laufende Masse

und ξRptq (689)

Losung fur ΓR:

ΓR`e´tp; gptq, mf ptq, ξRptq, µ

˘

“ exp

$&%´

tż

0

ds”dΓ ´ γΓ

`gpsq, ξRpsq

˘ı,.-ΓR pp; g, mf , ξR, µq (690)

Umkehrung: p ÝÑ λ´1p “ etp

ΓR petp; g, mf , ξR, µq

“ exp

$&%dΓt´

tż

0

ds γΓ

`gpsq, ξRpsq

˘,.-ΓR

`p; gptq, mf ptq, ξRptq; µ

˘ (691)

Physikalische Interpretation, s.o.:

ΓR bei reskalierten Impulsen pλ “ etp ist gegeben durch ΓR bei Impulsen p aberlaufender Kopplung gptq sowie laufenden Massen mf ptq und ξRptq. Dabei andert sichdie Normierung der Felder gemaß γΓ.

109

Vergleich mit naiver Skalierung:

Ohne endliche Renormierung bei Skalenanderung (fiktiv) ware

β “ γΓ “ γm “ δ “ 0,

gptq “ g, mf ptq “ mf , ξRptq “ ξR

und (vgl.(668qq (692)

ΓR petp; g, mf , ξR, µq “ edΓtΓR pp; g, e´tmf , ξR, e´tµq

d.h. Skalierung gemaß den kanonischen Massendimensionen rΓRs “ dΓ, rmf s “ 1.

Die effektive Abweichung von den kanonischen Massendimensionen nennt man an-omale Dimensionen

dΓt ÝÑ dΓt´ż t

0ds γΓ anomale Dimensionen der Felder

e´tmf ÝÑ e´tmf exp

ˆ´ż t

0ds γmf

˙anomale Massendimension

110

7.3 Renormierungsgruppenfunktionen im MS-Schema

Jetzt konkrete Losung fur βpgq in Storungstheorie; es war in dim. Reg.

gε “ g0µε0 (693)

die nackte, dimensionsbehaftete Kopplung mit fester Massenskala µ0. Die bei einer(variablen) Impulsskala µ renormierte, dimensionsbehaftete Kopplung ist

g “ gpµqµε, mit g “ Z´1g pµqgε (694)

ñ gpµq “ Z´1g pµqg0

ˆµ0

µ

˙ε(695)

µBBµg “ ´

µ

Z2g

BZgBµ g0

ˆµ0

µ

˙ε´ µ

Zgg0ε

µ

ˆµ0

µ

˙ε(696)

Vergleich mit βpgq “ µ ddµg liefert

β “ ´εg ´ µ

Zg

dZgdµ

g (697)

Resultat fur Renormierungsfaktor der Kopplung (vgl. Muta):

Zg “ 1´´ g

4π

¯2ˆ

11

6Nc ´ 1

3Nf

˙ˆ1

ε´ γE ` ln 4π

˙`Opg4q (698)

Einsetzen ergibt mit

µdZgdµ

“ ´2µg

p4πq2dg

dµp. . .qp. . .q (699)

bis zur berechneten Ordnung

β “ ´εg ` 2´ g

4π

¯2ˆ

11

6Nc ´ 1

3Nf

˙ˆ1

ε´ γE ` ln 4π

˙βpgq `Opg5q

“iterieren ´ 1

16π2

ˆ11

3Nc ´ 2

3Nf

˙g3 `Opg5, εq (700)

Nun kann εÑ 0 genommen werden,

βpgq “ ´β0g3 ´ β1g

5 ` . . . (701)

β0 ” 1

16π2

ˆ11

3Nc ´ 2

3Nf

˙

β1 ” 1

16π2

ˆ34

3´ 13N2

c ´ 3

3NcNf

˙(702)

Mit den zugehorigen Z-Faktoren erhalt man ahnliche Ausdrucke, beginnend mitOpg2q, fur die anderen Renormierungsgruppenfunktionen.

111

Die laufende Kopplung:

d

dtgptq “ βpgq “ ´β0g

3 ´ β1g5 `Opg7q (703)

Beachte: Fur Nc “ 3 ist β0 ą 0 solange Nf ă 16.5!

gp0q “ g,

d

dtg ă 0, da β0 ą 0 (704)

Fur wachsendes t nimmt g ab.

t “ż gptq

g

dx

βpxq (705)

Fur 0 ă gptq ă g konvergiert das Integral und t ist endlich.

gptq Ñ 0 fur tÑ8 (706)

Fur beliebige Anfangswerte g lauft gptq fur tÑ8 immer nach 0. Man sagt g “ 0 istein Ultraviolett-Fixpunkt. Dieses Verhalten der QCD-Eichkopplung bezeichnet manals “asymptotische Freiheit”.

Die ΓRpetp; g, . . .q sind somit fur große t durch die ΓRpp; gptq, . . .q, d.h. bei klei-ner Kopplung gegeben

ñ Storungstheorie wird fur große Impulse zunehmend besser!

Asymptotische Entwicklungen:

1

βpgq “ 1

´β0g3 ´ β1g5 `Opg7q“ ´ 1

β0g3

1

1` β1

β0g2 `Opg4q

“ ´ 1

β0g3

´1´ β1

β0g2 `Opg4q

¯

“ ´ 1

β0g´3 ` β1

β20

g´1 `Opgq (707)

112

Damit wird

t “ ´ 1

β0

x´2

p´2qˇˇg

g` β1

β20

lnxˇˇg

g

“ 1

2β0g2` β1

2β20

lnpg2q `Opg0q (708)

2β0t “ 1

g2` β1

β0ln g2 `Opg0q

g2ptq “ 1

2β0t

1

1´ β1

2β20t

ln g2 ´ c2βt

“ 1

2β0t´ β1

4β30

lnp2β0tqt2

`Opt´2q (709)

fur tÑ8

Bemerkungen:

• Einschleifennaherung:

g2 “ 1

2β0 lnλ´1

geht logarithmisch langsam nach 0

• Das asymptotische Verhalten hangt nicht von gp0q ab

• Fur große Impulse wird Storungstheorie immer besser

• Bei kleinen Impulsen wird g2 großñ Storungstheorie ungultig ñ “Infrarot-Sklaverei”

113

7.4 Allgemeine Bedeutung der β-Funktion fur beliebige Theorien

Definition:Ein Wert g˚ der Kopplung, fur den βpg˚q “ 0 ist, heißt Fixpunkt der β-Funktion.An diesem Punkt verschwindet die Ableitung der Kopplung, die sich daher unterweiterer Verschiebung der Skala nicht mehr andert.

Entwicklung um Fixpunkt:

βpgq “ β1pg˚q pg ´ g˚qr ` . . . (710)

Betrachte r “ 1, d.h. β-Funktion hat einfache Nullstelle:

t «ż g

g

dx

β1px´ g˚q “ 1

β1 lnpx´ g˚qˇˇg

g

“ 1

β1 rlnpg ´ g˚q ´ lnpg ´ g˚qs (711)

Dann ist fur λ “ e´t (d.h. Reskalierung pÑ pλ)

λ´β1 “ e´β1t “ g ´ g˚g ´ g˚ (712)

g ´ g˚ “ pg ´ g˚qλ´β1 (713)

Dies bedeutet die Kopplung fließt in den Fixpunkt,

g Ñ g˚ fur

"β1 ă 0, λÑ 0 UV-stabilβ1 ą 0, λÑ8 IR-stabil

(714)

Fur r ą 1 (QCD) hat man stattdessen

t «ż g

g

dx

β1px´ g˚qr “ ´ 1

pr ´ 1qβ11

px´ g˚qr´1

ˇˇg

g

lnλ´1 “ ´ 1

pr ´ 1qβ1´ 1

pg ´ g˚qr´1´ 1

pg ´ g˚qr´1

¯

pg ´ g˚qr´1 “ pg ´ g˚qr´1

1´ β1pr ´ 1qpg ´ g˚qr´1 lnλ´1(715)

g Ñ g˚ fur λÑ 0 (716)

Der Fixpunkt g˚ “ 0 in QCD ist somit UV-stabil.

114