Lösungen

1. AB = 9, BC = -6,

AC=3,9-6=3

2. AB = -5;BC = 9; AC = -5 + 9 = 4

3.5(2 + ,J2), 90°, 45°

4. Die Abstände J 10, J 40

undFo der Eckpunkte er­füllen mit AC als Hypote­nuse den Pythagoras.

5. 20

6.5/2 7. (5; 5), (5; -3)

8. B(O; 2) und B(O; -4)

9. x = a± Jc2 - b2 ; rur c> Ibl erhält man zwei Punkte, für c =Ibl einen, für c < I b I keinen Punkt.

10. M(5; 0)

11. M(I; -1), r = 5 12. 2fx = -2, Lly = -4,

IABI = 2J5 13. B(5; 8), IABI = 3J2 14. B(4; -3)

15. -4; 1; 3 16. 18 J"2 17. (0; 2,9)

18. B(4; 0), Bl(-8; 0)

19. M(2; -1), r = 5

20. Beweis mit Parallelver-schiebung

21. Llx = 7, Lly = -1; 5 J"2

22. T,(I; 4)

23. T,(13; 16)

mlxl + m2x2 24. x. = +

ml m2

25. SummederEinzelmomente = Gesamtmoment, auf Massenmittelpunkt bezo­gen.

26. 26 cm vom Mittelpunkt der Kugel der Masse 100g entfernt.

27. (1; 2,5)

28. Sc(3; 1), S.(1; 2), Sb(O; 0)

--- - 24J"2 29. OC= 5, OD = -7-

30. (3; 3)

31. 9

32. Der nach (3) bestimmte Dreiecksinhalt wird Null.

33.13

34. (1; 3), wenn die Kräfte nach einer Seite wirken, (25; 27), wenn sie nach verschiedenen Seiten wir­ken.

35. (1; -1)

1OJ"2 36'-3---

Xl + X2 + X3 37. X. = 3 ;

Yl + Y2 + Y3 y,= 3

(37 13) 38. 27; 27 39. C1(3; 0), C2(-7; 0)

40. M(2; -6), N(5; 8),

7 P(-4; 1), k = "3

41. Llx = x; Lly = y ergibt x 2 + y2 = r2

42. x 2 + y2 - 6x - 8y = 0, A und 0 liegen auf dem Kreis.

43. X - y - 2 = 0, D und E liegen auf der Kurie.

44. x 2 + y2 = 9

45.X2 +y2=8

46.y= ±x

x 2

47.5" + y2 = 1

x 2

48.y =4- x+ 2

49.y=±2x

51. (1; 0), (3; 0), (0; 3)

52. a) S",(4; 0); Sy(O; -6);

b) S"'l(O; 0);-S"'2(-4; 0); Sy(O; 0);

c) S",(-2; 0); Syl(O; 2); SY2(0; -2)

53. y2 = 8 (x - 2)

54. 2x - y + 5 = O. Die_ Punkte Bund D liegen auf der Kurve.

55.x2 + y2 = 4

56. a) S",(-5; 0); SiO; -2);

b) S"'l(1; 0), Sd-3; 0); Sy(O; 3);

c) S",(4; 0), Syl(O; 2); Sy2(0;'-2)

x 2

57.y= -4+ 1

58. J (x + 2)2 + (y + 2)2

- J(X-2)2+ (y-2)2=4, 1

oder xy=2; für x=± 2' ± 1, ± 2, ± 4, erhält man

1 y= ±4, ±2, ±1, ±"2;

mit Hilfe dieser Punkte kann man die Kurve zeich­nen.

59. y = x + 3, y = - x + 3

60. y = x.J3 - 3,

y= -xJ3 - 3

61.a)y=x b)y=xJ3

c)x = 0 d)y = -x/3 e)y =-x

62.y= -1,5x

63-102

2 63.a)m=3' b= -2;

2 b)m= -3' b= 0;

c) m = 0, b = - 3;

3 d)m=-"4' b=3

65.m= 1, b= 1, y=x+ 1 x y

66. a) 3" + _ 2 = 1 ;

x y b) -4/3 +}= 1

67. y = 0; 4x - 3y = 0;

y = 4; 4x - 3y + 12 = 0

x Y 68. 2 - "3 = 1 oder

x 2y -"4+3=1

69.L1x=8, L1y=6, IABI=10

70. A und C liegen auf der Geraden, B "über", D "unter" ihr.

71. Die Ungleichungen be­stimmen: a) alle Punkte, die "über" der Geraden y = 3x + 1 liegen (eine Halbel:rene); b) alle Punkte, die "unter" der Geraden y = 3x + 1 liegen; c) alle Punkte, die "über" der Geraden y = 4 - 2x und auf ihr selbst liegen; d) alle Punkte, die "unter" der Geraden y = 4 - 2x liegen.

73.x-y= ±a 74. Nach t Sekunden hat der

Punkt P die Koordinaten x = a -i. mt, y = b + nt . Durch Elimination von t erhält man als Gleichung

x-a y-b der Bahn -- = --

m n

75. a)y = x-li - 2; b)y=-x.J3-2

76. m= 1, b = 5

77. x + y - 4 = 0; x - y + 4 = 0; y = 3, y=O x y

78· S ± 3=±1

x y 79. 4- + 3 = 1 und

x y _2+_6=1

80. Y = ± 2(x + 3)

81. AB = 4JS, L1x = 4, L1y = 8

3 82. a) arctan "4 ;

b) 45°; c) 45°; d) 0°; a2 -b2

e) 90°; f) arctan ~

83. 3x - 2y + 7 = 0 11 6x - 4y - 9 = 0; 3x- 2y + 7 = 0 1.2x - 3y - 6 = 0;

6x - 4y - 9 = 0 12x + 3y - 6 = 0 y-3

84'--2 =m x-a) y = x + 1

b) y = x.J3 + (3 - 2/3) c)y = -x + 5 d) y = 3

y-5 85'--2 = m x+

a) y = 2x + 9;

x b)y = -2 + 4

86. 5x + 2y + 4 = 0; 5x+ 2y= 25

87. y = -x + 2

88. x - 3y + 2 = 0; 5x-y=4; 3x+ y= 12

89.28°,12°30' und 139°30'

1 90. y = 3x und y = - 3 x

91. x - 5y + 6 = 0; 5x+y= -4

92.y= 2x- 6; y=-2x+6

93. (3; -1), (3; 3);

231

( 9 3) ° C" - 5 ; 5 ,45, 71 34,

63°26'

94. (~ ; ~) 95. ASa :2x- 5y= -4;

AHa: x-2y= -2; .J29 96. Ci = 18~6',

ß = 26°34'; l' = 135°

97. x + 2y - 11 = 0

4 98. tan Ci = 3;

tanß = tan l' = 2; A = 16

99. (1; -1), (~; - 2)

100.2x+y= -4; 2x-y=-4; 2x+y=4

3 4 IOl.a) +sx- s y -4=0;

x y b) - ..12 - .J2-

3 - ..12 = 0;

y-mx-b c)· = 0, +..11 +m2

falls b > 0; y-mx-b ~~==~=O, -.Jl + m2

falls b< 0

102. a) f x + ~2 y- 2 = 0

.J2 .J2 b)-Tx+T Y -

-2=0

c) ~2 x + ~2 y + 2 = 0

.J2 ..12 d)T x -Ty-2=0

232 102-172

103.2,8; 0; 1,4 104. d = 3

Jl3 105'-2-

l06.m = ±2 107. Wir erhalten zwei Gera­

den, die zur gegebenen parallel sind: 4x- 3y± 20= 0

108. 8x - 15y + 6 = 0; 8x - 15y = 130

109. x - y = 0 und 24

x+Y-S=O

110. 3x - y = 12 und x+ 3y= 4

111. x +y = 2 oder 4x+y-8=0

112. 31x + 26y = -21 113.x+ 3y= 2

114·00 115. 3x - 4y + 10 = 0;

x=2

18 116.h =--

fo 117. Die Geraden x + y = 0

und x- 3y= 0;

Abstände: d1 = 2..[i, dz = 0,400

118. Ein Geradenpaar x+ 2y= 0 und x+ 2y= 10

119. x + 3y = 0 und 3x+y=0

120. llx + 22y = 74

x 121. y = -2 und

3 y=-2 x

122. x + 2y= 4

123.y = 0; 2x + 3y = -4; y= -4; 2x + 3y= 0; x+ 2y= -2; y= -x;

1 tana:=-

8 2hz 124. 18°26', 108~1'; A = 3

aZ 125. 5 quadratische Ein-

heiten. 126. a: = 36°52'; P = 127°52'

127.4(00 + .ß>; 20 128. 2x - y + 6 = 0;

x-4y= 4; 2x- 3y+ 2=0

129. y = x + 2; x - 5y = 6; y=-x;2y=x

130.00

131. Der Punkt bewegt sich auf den Seiten des Qua­drats, das von den Ge­raden x - 3y = ± 5, 3x + y = ± 5 begrenzt wird.

6 133. h1 = h2 = JS

134. G; 1:), (_~; _1:)

135. (4; 5)

136. (0; 2), (4; 0), (2; 4), (-2;6)

137. y - x = 2; x + 2y = 4; 2x+y=8

138. B(2; 1), C(-I; - 5) 12

139. y = 2x + 6, JS; <l::HGAB~ 53°

140. x 2 + yZ + 8x - 6y = 0; A und 0 liegen auf dem Kreis, B liegt außerhalb des Kreises.

141. xZ + yZ + 4x - 6y = 0 143. (0; 0), (-2,5; 2,5) 144. (x - 1)Z + (y - I)Z = 1

oder (x - W + (y - 5)z = 25

145. tan a: = - 2,4, a: = 112°37'

146. (x + 4)Z + (y + I)Z = 25 147. x 2 + y2 - 8y = 0 148. -4 ~ x ~ 0,

-2~y~0

4 149. y = 3' x und y = 0

150. yZ = x(a - x)

151. (x - 3)2 + y2 = 9

152. x 2 + (y - if = ~2 153. r + yZ = a2

154. x Z + y2 = ax 155. x Z + y2 - 6y - 9 = 0

156. a) (3; - 2), T = 6;

b)(-~; ~r T=4;

c) (0' -~) T = ~ , 2' 2

157. x 2 + y2 + 4y = 0; (0; 0), (2; -2), (-2;-2)

158. x 2 + y2 + ax + ay = 0 159. y = 0, 15x + 8y = 0 160.90° 161.x+ y= 3

162. x2 + r + ax = 0 163. (x - 2)2 + yZ = 16 164. xZ + y2 = lax 165. a = 4; b = 2;

J-e= 2.[3; e=_3

2 x2 yZ

166. a) 25 + 9= 1;

xZ yZ b) 36 + 27 = 1

167. b = 1,4; 3; 4; 4,8; 5; E = 0,96; 0,8; 0,6; 0,28; 0

1 168. a = 1,5 • lOS km; e = 60

xZ yZ Ji 169. 16 + 4 = 1; e = 2 ;

T=4- Ji; Tl = 4 + Ji xz yZ

170. 64 + 28 = 1;

T = 11; Tl = 5

171.4 J3 172 . .Jö;,

173-231

x2 y 2 176'4+ 3"= 1

177. Mit er OAB = rp wird

x Y. -(i = cosrp und b = smrp

und daraus folgt y2 x2 . az + Jj2 = 1, Ellipse

x2 y2 178. a2 + fjZ = 1 oder

x2 y2 b2 +~= 1

xl y2 179. 9- +""5 = 1 oder

x2 y2 5+9=1 x2 y2

180. 36 + 9= 1;

Ji e = 2' r = 3, '1 = 9

181. .j2(~2 + b2)

( 4.j2 1) 182. ± -3-; 3 und

(0; -1)

183. (-5; 7)

184. (± .J15; ± 1) 185. x 2 + 4y 2 = 16

x2 y2 186'9+ 8= 1

.JS 0 8' 187. e = -2-,53 0

188. , = 1, '1 = 9

x2 y2 189. a) 16 - 9 = 1;

x2 y2 b)20 -"4 = 1

x 2 y2 .J--190 - - - = l' 2 3 und . 12 4 '

6.Ji x2 y2

191. 16 -"9 = 1

192. x2 - y2 = a2

193. (0; ±a.J2); 90"

.J2 194.y+ 2= ±2x

b 195. b; 2 arctan-

a ab

196 . .J~; b> a b2 -a2

197. a) t = 2; 1

b)t=--cosa:

198.y~ -3,y< -lxi x2 y2

199. 4- 12 = 1

y2 200. x 2 - "3 = 1 (flir x > 0)

201. x 2 - y2 = a2

x2 y2 202. az - 17 = 1

x2 y2 203'16- 9= 1

(oder ~2 _ ~: = -1 )

204. (0; 0) und (6; ±2.J3) 4

205. y = ± "3 (x + 5)

206. (-9,6; ±3/S .J119)

207. (± .J6; ± .J2) 208. (-4; 3) und (-;; -~)

x2 y2 209. 16 - 48 = 1

x2 y2 210. 2- -3 2 = 1 (flir x >0) a a

x 2 211.y= 3- 4 212. y2 = 8(x + 2)

233

213. a) nach rechts b) nach links

c) nach oben d) nach unten geöffnet

214. a) y2 = 9x; b)y=-x2

a 215.y = b2X2

·216. (x.- ~r +y2=p2;

(~ ; ±p) x2

217.y= -2

218. (3; ± 3 .J2) 219.40cm

220. - 00 <x ~ 0, -oo<y~O

221. y2 = px

222. y2 = 4ax und y = 0

223. Die 0 und Bk enthalten­den Geraden sind vom

n Typ y = TX' Wegen

k'a y" = -wird

n

x" = (~r a

und damit yt = aXk, was die von x = Xk und y = Yk erfüllte Gleichung y2 = ax ist (k=I,2, ... ,n).

224. y2 = 8(2 - x)

x 2

225. y = x - 4; 0 1(2; 1)

226. a) y2 = - 4x;

b)y = x 2

227.y2 = -3x

228. (0; 0), (6; ± 2.Ji) 229. x = 0; x + y + 2 = 0

16 230.y= -.J3(x+ 1); 3 231. r = 7,4; d = 9,25

234 232-279

232. Die Leitlinien x = ± 3,2; E = 1,25; r = 10,25; d= 8,2

x2

233'"4+ y2 = 1

234. x 2 - y2 = 12

235. Konjugierter Durchmes­x

sery= -2;

al = bl = .J1O

236. Konjugierter Durchmes­ser 4y+x=0; 31°

237. Gleichung des Durchmes­b

sers y= aX; seine

Länge .J2(a2 + b2 )

238. y = 1,5x

239. y = 2

240. 8x - 9y + 25 = 0

241.y = 2x+ 3 . b2

242. D l ,2: y = ± a2;;;x;

D 3 ,4: y = ± mx;

m2a4 + b4 a 2 - • 1- m2a2 + b2 '

a2b2 + a2b2m2 b2 - -,.,.---C:-;;-­

I - a2m2 + b2

ai + b1 = a2 + b2

erfüllt albl sin tp = ab

243. a) x ± 2.J3y = 8;

b)2x±y= 1; c)x± 2y=-2

245.x-y= ±5 246. y = ± 2x + 6

247. X + y = .Ja2 + b2

249. y = 2x ± 42 250. Gleichung der Normalen

PoN:

a2yox - b2xoY = e2xoyo·

Setzen wir y = 0, finden wir die Abszisse des

Schnittpunkts N der Nor­malen PoN mit der x-Achse: Xl =t2xo. Dann

werdenFN=e- e2xo=er,

FIN = e + e2xo = er!> d.h., die Normale PoN

teilt FFI im Verhältnis r: '1 und ist deshalb Win­kelhalbierende.

251. Nach (I) aus 1.5. läßt sich die Gleichheit der Schnittwinkel zwischen Tangente und jeweils der Geraden, auf der ein Ra­diusvektor liegt, nach­weisen.

252. Die Normale zur Parabel y2=2px hat die Gleichung yox + py = Yo(P + xo)· Setzt man y = 0, findet man Xl = P + xo, - p P FN = Xl - 2 = 2 + Xo

= FPo , d.h. <r. FPoN = <r.FNPo.

253. ( ± 3,2; ± 2,4)

254. Durchmesser: y = X und X

y=-4:;

Winkel: 59°02'

X 255.y= "4

256.4x- y= 6

257. arctan 3 ~ 71°31'

259. X + y + 2 = 0

260. a) 0 1 (I; 2),

3 b) tantp = 4:

261. eH2 + 4'12 = 16; f)'12 = 4~;

gH2 - 4'12 = 4; 1

h)'1 = 2~2

262. a) ~2 + 4'1 2 = 16;

bH2 - 4'12 = 16 263. ~2 - '12 = 8

264. aH'1 = 6;

bH'1 = -6;

cH'1 = 4; dH'1 =-6

268. Gleichung des Strahles:

y = 16(x - x 2);

rur X = 0,75 m, y = 3 m

269.y = b(l - ;:)

270. x 2 + y2 + 4x = 0

271. a) 45°;

b) arctan 2 gx2

272.y = xtantp - -22 -2-Vo cos tp

273. y2 = 24x + 3x2

(Hyperbel)

274. Durch Transformation X = ~ - a geht Ellipse

2b2 b2 iny2 =_~ __ ~2

a a2

über. Setzt man .; = X,

so ergibt sich unter Ver­wendung von p und q die Behauptung. Analog erfolgt der zweite Beweis, wenn die Trans­formation X = ~ + a an­gewendet wird.

275. a) Ellipse b) Hyperbel

~2 '12 276.a)s+T= 1,

0 1(3; -1);

b)~2 - '12 = 9;

C)'12 = U; d)~2 = 4'1

277. P + 2'12 = 4 Brennpunkte im alten System: (1; 1) und (-1; -1)

278. (x + 1)2 + y2 = 4 279. (x - 3)2 + (y - 3)2 = 2

280-313

280. x + 3y= 0 281. yl = 4(x + 4)

(x - 2)2 yZ 283'-16+ 12= 1

284. X Z + yZ - ax - by = 0

aJ"5 285. 2--286. Grundlinie: AB = 2a,

- a Höhe: on = /5'

aZ

Fläche: J5 287. Als Koordinatenursprung

wählen wir einen Punkt 0,

der AB im Verhältnis

AO: OB = m teilt, und als x-Achse die Gerade

OB. Sei OB = a, dann sind die Koordinaten der Punkte A und B: A(-ma; 0), B(a; 0). Die Gleichung der ge­suchten Kurve lautet (m - l)xZ + tm - 1) yl = 2max; für m=l=l erhalten wir den Kreis

2ma x1+yz=--x;

m-I für m = 1 die Gerade x=o.

288. Als Koordinatenursprung wählen wir den Punkt 0, als x-Achse die Gerade OB. Die Gleichung der ge­suchten Kurve lautet: (a - b) (XZ + yZ) = 2abx; für a =1= b erhalten wir den

2ab Kreis Xl + yl = -- x;

a- h für a = b die Gerade x= O.

289. 2(mZx l +yl)=aZ(m z+ 1); das ist eine Ellipse für m =1= 1 , für m = 1 dagegen erhalten wir den Kreis Xl + yl = al

Xl + 10x yZ 290. 25 + 9= 0

291. 3az J3

3 292. arctan"41'l:i 36°52'

293.(±a; ±a)

294. A( -J6; 0); B(2; -2),

C(-2J2; -J2}; Flächeninhalt:

A=j2+J3

+-J6

295. Die Koordinaten der Fuß­punkte F1 und Fz der vom Hyperbelpunkt Po auf die Asymptoten ge­fällten Lote lassen sich unter Verwendung der Orthogonalitätsbedin­gung als Schnittpunkte je zweier Geraden be­stimmen. Aus den Abstän­den dl = POFI und d1 = POF1 folgt die behauptete Größe des Produktes.

296.2J2; y = x - 2

2+J3 297'-2-

298. (x - ~ r t- yZ = 9::

299. ax - by + aZ + bl = 0; labl d- .

- Jaz +bz

300. Wenn wir die Gleichungen subtrahieren, erhalten wir 4(y - x) = (y + x) (y - x);

daher ergibt sich a) y = x; b) x + y = 4;

folglich liegen die Schnitt­punkte der Parabeln auf der Geraden y = x oder auf der Geraden x + y = 4; wir finden: Xl = 2; Xz = -6; Sehnenlänge 8 J"2

301. 30

302. X Z + yZ = a(x + y)

(x - 2)Z 303. --4- + yZ = I,

235

eine Ellipse mit dem Mit­telpunkt in (2; 0)

304. xy = 4

x Z -6x+25 305.y = 8

306. ~z - 'TJz = 4; 0 1(2; - 3)

(x - 2,5)2 yZ 307. 2,25 - "4 = I,

eine Hyperbel mit dem Mittelpunkt in (2,5; 0)

308. P(x; y) sei ein Punkt der Ellipse. Dann ist

FP+ F;P= AF+ AF1

oder -J (x - a)Z + (y - a)2

+ J (x + a)2 + (y + a)Z

=40; 3xz - 2xy + 3yz = 8az ; nach Drehung der Achsen um 45°: ~2 + 2'TJz = 4az

1 309. cos cp = /

Vi + tanlcp 2 1

= -JS ;sincp= Js; neue Gleichung ~2 _ 'TJ2 = 4

310. 3xz + 8xy - 3y2 = 20; durch Drehung der Achsen um den Winkel

1 cp = arctan T erhält man

die Form ~l - 'TJz = 4 (siehe Aufgabe 309)

311. y2 = 2px + (e2 - l)xz

313. a) Geradenpaar y= ±2x;

b) Punkt (0; 0);

c) Kreis mit imaginärem Radius;

d) Punkt (3; 4);

e) Geradenpaar x = 0, y=-x;

f) Geradenpaar y = ± 4; g) Geradenpaar y = x

und x

v=-. 2

236 314 347

314. a) (1; - 1), ~z fJz "6+4=1; b) (2; 1), ~z - fJz = 7; c) 2~2 + 5~fJ + 2fJ2 = 8

~2 fJ2 315. a) 24 + 4 = 1;

~2 fJ2 b)4-"6= 1

~2 fJ2 316. a) 8 + 4 = 1;

E2 fJ2 b)g- 4= 1

317. a) fJ2 = 2.jS E; b) Geradenpaar x- 2y= 3 ± 1

318. a) 3y = 2x - 7 ± (x-2);

b) Punkt (2; -1); c) 4y = - 2x - 3 ± 1

319. ~2 - fJel = 8; M(2;0);

cp = arctan( - ~) 320. 5(x -1?+ (y - 2)2 = 9 321. Durch Achsendrehung

um - 45° erhalten wir: E2 a

fJ = a.j"i. + 2.j"2·

Die Gleichung

.j; + .j-Y = .j~ bestimmt den Bogen AB dieser Parabel (s. Bild 91), für den gilt x ~ a undy~ a.

322. (x - m)2 + (y - n? - e2(x cos <X + y sin CI:

+ q)2 = 0; A+C=2-e2; d = 1 - eZ

323. a) Geradenpaar x± 2y=0; b) Punkt (-2; 2);

c) Geradenpaar y = x; x+ 6y=0

E2 fJ2 324. a) 12 + 4 = 1;

b) 8E2 - 2fJ2 = 5

325. a) fJ2 = 4.j"i.E;

b) Die Geraden: x+y=2±1

326. a) y = x - 2 ± 1; b)3y=-x+5 ± 2(x + 1)

327. a) 7x2 - 2xy + 7y2 -

- 48x - 48y+ 144 = 0;

b) x 2 + 4xy + y2 + 6x + 6y-18 = 0

328. (x - y)2 - 2a(x + y)

+ a2 = 0; fJ2 = a.jiE 329. x 2 - 4xy - y2 - 4x

+ 8y- 12 = 0; E2 - fJ2 = 3,2.j5

a 335. a) r= --;

cos cp asinC(

b) r=-.-'­sm cp

asin (ß- a) 336. r = sin (ß _ cp)

337. r = 2a cos cp

338. a) rmn = 5 bei cp = 135°,315°; rml n = 1 bei cp = 45°, 225°; r= 3 bei cp = 0°,90°,180°, 270°; b) r max = 3 bei cp = 0°, 120°, 240°; rmln = 1 bei cp = 60°, 180°, 360°; c) rmn = 2 bei cp = 90°, 210°, 330°; rmln = 0 bei cp = 30°, 150°, 270°

339. a) rmn = a bei cp = 30°, 150°, 270°; r = 0 bei

cp = 0°, 60°, 120°, 180°, 240°, 300°; b) r=a bei cp=45°, 135°, 225°; 315°; r = 0 bei cp = 0°, 90°, 180°, 270° (siehe Seite 296, Bild 87)

a2

340. a) ,.2 = cos 2cp ;

b) r = a; p .

c) r = cos(cp- a)'

d) tancp = 1; e) r = <X coscp; f) r~ = a2 cos 2cp

341. a) x = a; b) x 2 + y2 = 2ay; c) xy = a2 ;

d)x+ y= 2a; e)(x2 + y2 _ ax)2 = a2(x2 + y2)

x2 y2 342. a) 25 + 9"" = 1;

x2 y2 b)16-9""= 1;

C)y2 = 6x a

343. r= -.-± b smcp

344. r = OB± AB a(1 ± sincp)

coscp oder in

cartesischen Koordinaten

x(x-a? Y2 _ ---'---­

- 2a-x

345. Fp2=r2+a2-2ra coscp; Fl P2 = r 2 + a2

+ 2racoscp; Fp2 • Fl"P2 = (r2+ a2)2

- 4r2a2 cos2 cp = b4 ;

hieraus folgt r4 -2a2r2 cos2cp=b4 -a4

346. r = a(1 + coscp); (x2 + y2 _ ax)2 = a2(x2 + yZ)

347. C sei der Mittelpunkt des festen, Cl der Mittelpunkt des fortbewegten Kreises und P(cp, r) der laufende Punkt. Da 1: OCCl = 1: PCl C=cp und CO=

1 . d = ClP= 2a, sm , so

ist OP 11 CCl • Projizie­ren wir den Streckenzug COPCl auf CCl , so er-

a halten wir 2 cos cp+r+

+ !!.. cos cp = a. Daher ist 2

r = a("- cos cp)

348-384

348. a) rmn = 5 bei qJ = 0°, 1800; rmln = I bei qJ = 90°, 270°; b) rma• = 4 bei qJ = 90°, 210°,330°; rmln = 2 bei qJ = 30°, 150°, 270°; c) r= a bei qJ=00,9Oc,

180°; 270°; r = 0 bei 'p = 45°, 135°, 225°, 315°

ab sin (ß - (1) 350. r= . ( ) b . (ß ) asm qJ-<1 + sm -qJ

x 2

351. a) 4+ y2 = 1;

x 2

b)4- y2 = 1;

C)y2 = x

352. ,.2 = 2c2 COS 2qJ; (x2 + y2)2 = 2c2(X2_y2)

In Bild 84 gilt c.Ji = a 353. r = b + a cos qJ

354. Wir entnehmen aus t::,.OAP: r= OP = OA cos qJ, und aus t::,. OAB: OA = 2a sin qJ;

daher gilt r = a sin 2qJ

358. Sei A ein Punkt der x-Achse und B ein Punkt der y-Achse, ~ OAB=I. Dann ist x = BP cos t = = BC cos2 t = a cos3 t, y=APsinl=ACsin2 t= = a sin3 t; folglich x = acos3 t, y = asin3 t; daraus ergibt sich X2!3 + ~213 = a213

px2 360.y2 = -_.

p+x

361. (3y2+ X 2)2= 4x2(a2 - y 2 )

362. In Polarkoordinaten : r=OP=AB=BDsincp= = atanqJ sincp; in Car­

tesischen Koordinaten x 3

y2 = -- (Bild 89) a-x

- -363. DB = OC; cp = ~ BOD

= ~PCO; OP = r;

OC = atancp;

r . --=- = smr:p; OC

r = a tan r:p sin qJ ist Zissoide, s. Bild 89.

364. Die Fußpunktkoordina­ten Xl' und YF erfüllen so­wohl die nach (7) aus 1.12. aufzustellende Tangen­tengleichung als auch die Gleichung des Lotes. Aus

axo XF = --- und

xo-a YoXo

YF = 2(xo -al lassen sich wegen yi + 4axo = 0 die Para­meter Xo und Yo eliminie-

x 3 ren, so daß Y1 = __ F_

a-xF wird. Das ist aber bei variablen F mit XF = x und YF = Y die Glei­chung der Zissoide.

365. Bezeichnen wir mit I den Winkel des Strahls OA mit der x - Achse, so finden wir x = 2a cot I ,

Y = 2a sin2 I. Durch Eli­minieren von t erhalten

8a3

wir y= X 2 +4a2

367. x = a(t - sin t),

y = a(l - cos I)

368. x = a(cos t + I sin t), Y = a(sin I - ICOSI)

x 369. Y = xcot-.

a

370. x = (R + r) cos I -­(R + r) t

- rcos r

y = (R + r) sin 1-

. (R + r) t - rsm

r

wobei t der Drehungs­winkel der Verbindungs­linie beider Mittelpunkte ist.

371. x = (R - r) cos I + R-r + rcos--I,

r y = (R - r)sin 1-

R-r - rsin --I

r --+ --+

372. OA = 3i, AC = 4j, --+ --+

237

CB = - 3i,BO = -4j, --+ OC = 3i + 4j. --+ BA = 3i - 4j --+

373. OM = -1,5i + 4j; --+ ON = 3i + 2j; --+ MN = 1,5i - 2j

374. R" = 8; R~ = -2;

R= OM= .J64+ 4=

=2.Jli

375. )8 + 2.J3

Il+b 379. a) c = -2-;

b) 11 = 2c - b 2

380. C = 3(11 + b)

381. m + V = n; --+ OB= 3(m+ n); --+ BC = 3(n- m); --+ EO = 3(m - n); --+

l!!1 = 3(2n - m); DA = 6(m- n) --+

382. AC = 2(n - m); --+ OM=2n+ m; --+ ON= 3m+ n; --+ MN=2m-n

383.6.J3. 3

384. R,,= ~ Fxj= -3; 1_1

3

Ry = l: F~f = 6; 1=1

R= OM=.J9+ 36=

= 3/5

238 385-430

385. a) a = 3 (e - b);

b) e = 2b - a.J3

386. OP = r = 5.J2 ;

cos IX = 0,5 .J2, cos ß = -0,3.J2,

cos y = 0,4.J2 2

387. r = 7, COSIX ="1'

3 cosß =-,

7 6

cosy=;;

388. ß ~ 520 oder 128°

389. P(3.J2; 3; -3),

r = 3 (.J2i + j - f) 390. a = 2i - 6j + 3f;

2 a = 7; COSIX = -,

7 6

cosß = -"7' 3

cos Y ="1 -+

391. OC:;= i - 2j + f; OC= .J6; -+ AB= f- 4j - i;

AB= 3.J2 Der EndpunktB(4; - 2; 5) oder B1(4; -2; -7),

2 COSIX=;;;

3 cosß=--;

7 6

cos,,=±;;

392. B1(4; -2; 5); B2(4; -2; -7)

393. a = 2b - 0,8e

394. a = 3 JS, 2JS

COSIX = Is' 4.jS

cosß = -15'

cos y =!.jS 3

395. cos IX = cos ß = 1

*' cos" = J3 396. 45° oder 135° 397. D(4; 0; 6)

398. e = 2b - 2a

399.135°

400. ß = " = 45° 1

401. cos cp = I~ = 0,316; V IO

cp~ 71°34'

2 402. cos cp = .Js = 0,894;

cp~ 26°37'

403.6QO

404. arccos 0,8

405.900

4.J2 406. ab =-3-

407.2

408. a) 2 +.J3; b)4O

409. (a+ W = = a2 + b2 + 2abcoscp (Cosinussatz) ; (a + b)2 + (a - b)2 = = 2a2 + 2b2

(Eigenschaft der Diagonalen eines Parallelogramms).

410.7

411. R = J(a + b + e + b)2

= 10)4 + 2J2kp ~ ~ 25.3kp

412 . .J"1 und ~ 413. cos -«:(a, m) =

(2m - n)m

= J(2m- n)2.1 = 5

= 2.J"1;

2 cos -«:(a, n) = - .J7 5

414'6

-+ 415. OM = 2 (i + j + 2f);

-+ ON= 2(i + 2j + f);

5 cos8=-

6

2 416. cos rp = .J7 417. coscp = 0,2600;

cp~ 34°42'

418. D(-I; 1; 1); cp = 120c

-+ -+ AB' CD

419. q" = -=- = -6 AB

420. OM = J(2n + m)2 = = J"1; , __ ON=.J(3m+n)2=.J13;

-+ -+ OM'ON

coscp = OM'ON

17 17 ------~ - 2.J91 - 19,08

~ 0,891; cp :::::: 27°

421. 1200

422. Nach (5) aus 2.3. wird (a + b)(a -b)

coscp = la + bl la - bl a2 -b2

=tz2+b2 -

4.J2 423. 8 kpm, cos cp = 15

424. a.J6 1

425. coscp =-4 426. a X b gleich: a) -6j;

b) -2f; c) 6i - 4j + 6f.

Die Fläche ist gleich

a) 6; b) 2; c) 2.J22 427.24.5

428.J21 _ h = .J4.2

429. a) 2(f - i); b) 2a X e; c) 11 X e; d) 3.

430. Der Flächeninhalt des Parallelogramms. das durch die Diagonalen des gegebenen Parallelo­gramms aufgespannt wird,

431-496

ist doppelt so groß wie der Flächeninhalt des ge­gebenen Parallelogramms.

431. 50J2

432. 1,5 J2 r;;; J- 3y17

433.3 17, A =-2-

434.A= 7 J5

- 2../21 BD=--3-

4l5.la + bl = la- bl =0; A=J6

43b . .Beweis über H. aus 2.4. unter Beachtung von axa = bxb = 0

437. 1,5 438. V = 51, Linkssystem 439. V=14

7../3 h=-3-

440. Das Spatprodukt wird Null.

441. c = 5a + b 442. Wegen cx b 1 e, b folgt

[ecb] = [bbc] = 0; [acb] = -[abc], weil axb = -bxa

2../2 443.-3-

444. V= 14,

h=../14 445. c = a + 2b 446. V= I(a +b)· [(b + c)X

x (a + c)ll = 2 label 447. (m X n) . p =

= Im X nl . 1 . cou = 1

= sin IX cos IX = 2 sin 21X

448. (a - b»).1 + (b - C»).2 + + (c - a»).3 = 0 für ).1 = ).2 = ).3 = 1 er­füllt, also linear abhängig, d.h. komplanar.

449. V= 52

2 3 451. COS.l = 7' cos ß = 7;

6 cosY=7

452. x + 4y - 2z = 2 453. x + y = 21X 454. x - y + z = IX

455. 2y - 3z + 7 = 0 456. 3y+ 2z= 0

457. 2x+ y= 0

x z 45&-+-=1

a e 459. x + y + z = 4

x y z 460. 4 + 3+ 2= 1

2 462. cos IX = 3 ;

2 cos{l= -3;

1 011' cOSY=3;1X=48,

ß = 131°49', Y = 70°32'

463. x - 2y - 3z + 14 = 0 464. 3x - 4z = 0 465. x + y = 4

x y z 466. 2 + 4 + 4 = 1

467. a) 45°, b) 78°30' 468. x - 2y - 3z = 4 469. 2x + 3y + 4z = 3 470. 2x + y + z = a 471. 2x - 2y + z = 2 472. 2x - y + z = 5 473. 3x -- y = 0 und

x+ 3y= 0 474.3

475 . ../6 476.2../2 477. a) x -- 2y + 2z = 11

und x - 2y + 2z = -1; b)x + y- 2z= 0 und x+y+ z= 0

478. a) x - 8y + 9z = 21 ; b) x - y + 2z = 0 und x-y-z=O

239

479. (1; -1; 2) 480. 3x - 4y + z = 11. 481. 2y - 5z + 10 = 0 482. Gleichung der Ebene

x + y-2z=0: ihrWin­kel mit der Ebene z = 0:

../6 . coslP = T~ 0,8165,

IP = 35°15'

483. ~ 484. y = ±z

2abe 485. I

ya2b2 + a2e2 + b2e2

486. 2x + 2y + z = 20 und 2x + 2y + z + 4 = 0

487. 7x + 14y +24 = 0 488. a)(S;4;0) und (7;0;2);

b)(0;-4;0) und (2;0;2)

489. x= -z+ 3, y= -z+5; x-3 y-5 z --=-1-= -1

x-4 y-3 z 490. ---=1 = -1- = T

491. a{O; 0; I}

492. a) a = i; b) a = i + I; c) a = i + f x+1 y-2 z-3

493.-3-= -4-= -5;

cou = 0,3 J2; cos p = 0,4 J2; cos y = -0,5"/2

494. x = 2; z = 3

495. Nach t Sekunden hat der Punkt P(x;y) die Koordi­naten x = 4 + 2t,

Y = -3 + 3t; z = 1 + t;

x-4 y+3 z-l -2-=-3-=-1-

496. a) x = -2 + t; y= 1-2t,z=-1+3t;

b) x = 1 + t, Y = 1 - t, z=2+t

240 497-542

x-a y-b 497. a)-O-= -0-

z-c = -1 -, das bedeutet:

x= Il, y= b; x-a

b) z=c und -- = m

y-b

n 1

498. cos q; = .J3 11

499. cos rp = 26

500. a = {J; -1; I};

b = {1'~'~}' , 2 ' 2 ' 3 1

a'b=I-"2+"2=O,

also, da 0, b =F 0, 0 ~ b

501. Richtungsvektor

o=nl XU2= i+3j+5f. Gleichung der Geraden x+4 y-3 z -1-=-3-=5

502. 3x + 2y = 0; z = 4

503. 0,3 ..j38 4J2

504'-3-

505. (4; 2; 0), (3; 0; 2), (0; -6; 8)

506. x= 6-3z,y=-2z+ 4; x-6 y-4 z --=3= -2 =T; Spurpunkte (6; 4; 0), (0; 0; 2)

x y+4 z 507'1= --2-= "3 508. 010; 1; 01 509. 011; 1; 21; a; = ß =

1 = arccos-,=

"';6 510. y= -3;2x ~ z= 0

511. Wir bringen die Gleichun­gen in die kanonische

x y+7 Form -= --=

1 2 z-5

= -- und 2

x y-4 z 2=-3-=6";

20 cosrp = 21 FIt! 0,952;

rp = 17°48'

512. Wenn wir die Gleichun­gen der gegebenen Gera­

x-2 den in die Form -2 - =

1 z+-

y 2 = 2 = -1 - gebracht

haben, so erhalten wir als Gleichung der gesuchten

x+l y-2 Geraden: -2-= -2-=

z+2 =-1-

513. Po(O; + 1; 0), --+ PoP{3;-1;4I, 011; 2; 21,

d= -J17 1

514. sin rp = J6 515. Für beide Geraden gilt

Aa .. +Bay+ Caz = 2' 2+ + 1 (-1) + (-1) . 3 = 0, aber der Punkt (-1 ; -1 ; 3) der ersten Geraden liegt nicht in der Ebene, während der Punkt (-1; -1; -3)derzweiten Geraden in der Ebene liegt.

516. y + z + 1 = O. Die Glei­chungen der Geraden kann man in der Form x-2 y-l z -0-=-1-=-

schreiben.

517. x - 2y + z + 5 = 0

518. 8x - 5y + z - 11 = 0

519. x + 2y - 2z = 1

520 ~= ~= ~·17°J.3' . 3 1 1 '

521. (5; 5; -2)

522. (6; 4; 5)

523. (5; 5; 5)

524. (3; 3; 3) --+

IPI Cl (01 X 02)1 525.a) d = I I 01 X02

1 b) d= J3

526. x + 2y - sz = 0

x-2 y-l z 527. -9 = -8-= TI

528. (1; 1; 2); 70"32' 529. (-1; 2; 2),300 530. (6; 2; 0) 531.(3;-1;1) 532. x - y - z = 0 533.(-1;3;1)

x-I y z+1 534. -5- = -4 = --=t 535. Punkte auf den Geraden

sind 0(0; 0; 0) und A(2; 2; 0); Richtungsvek­toren der Geraden 0110; 0; 1} und 0212; -1; 21,

--+ 10Pl (01 X O2 )1 d = _..,.:.-.c-=---,-=---,-

101 X 021 6

= JS 536. a) M(I,s; -2,5; 2),

r= 2,5J2; b)M(O;O;a), r=a

537. (x - 1)2 + (y + 1)2+ + (z - 1)2 = 1

538. x 2 + y2 + Z2 = 8x

539. x2 + y2 + Z2 -

- a(x +y + z) = 0

541. y2 = lax - a2

542. x 2 + y2 = 2ax, x2+ Z2=2aX, y2+ z2=a2

543-580

543. y2 + x 2 = 4x in x 2 + y2 + Z2 = 16 ein­gesetzt, ergibt 4x + Z2 = 16; Z2 = -4(x - 4) im Linkssystem zur negati­ven x-Achse geöffnet;

z = +.J -4(x - 4)

liegt unterhalb der x, y­Ebene.

544. (1; 7; 2), r = 4

545. (3Y-2Z)2= 12(3X-Z)

546. a) y = 0; x 2 = a2 - az (Parabel); b) x = 0; y2 = a2 - az (Parabel);

c) z = h; x + y = ±.Ja(a - h), Gerade, parallel zu x + y = a (siehe Bild 63 auf Seite 284).

547. Zylinderfläche 2x2 + (y - z + 2)2 = 8. Die Form des Schattens ist eine Ellipse der Glei-

x 2 (y+ 2)2 chung 4" + --8-- = 1.

548. 2x - y + 3z - 7 = 0

549. x 2 + (y + 4)2 + Z2 = 4

(x -- 2)2 (y + 4)2 550'~+-1-8-= 1

553. (x - Z)2 + (y - Z)2 = =4(x-z)

554. x = 4, z ± y = 2 x2 + y2 Z2

555. --2-=1 a c

556. h2x 2= 2pz[h(y+a)-az]

557. (0; a, 0), Leitkurve ist der Kreis z= a, x 2 +(y-a)2 =a2

558. Spitze (0; 0; 0), Leitkurve ist die· Parabel z= h;x2 = 2hy

559. Für z = 0 x = ±a, für y = h x2 + Zl = a1 ,

fl.ir x = ± c die Geraden

16 Mioorski, Auf8llbeosammluns

.Ja2 - c2 z = ± --h--- y, d.h.,

die Fläche wird durch Bewegung einer Geraden erzeugt, die parallel zur y, z-Ebene verläuft und die Kreislinie ABC (s. Bild 69 S. 285) und die x-Achse schneidet.

560. a) z = x 2 + y2;

b).Jy2 + Z2 = x 2

561. a) z = e-(x2+y2);

4 b) z = 2 + 2

X Y 562. 9 (x2 + Z2) = 16y 2

563. x 2 + Z2 = z(y + a)

564. a) x 2 + Z2 = y2;

b) Z2 = x 2 + y2

565. Nach Drehung der x- und y-Achse um die z-Achse um 450 erhalten wir die Gleichungen der Kegel­fläche und der Ebene in der Form: 2z2= ~2_ 'T}2,

~ = a.Ji Daher ergibt der Schnitt mit ~=a.J2, 'T}2 Z2 . 201 + a2 = 1, eme El-

lipse mit den Halbachsen a.J2 und a. X 2 +y2 Z2

566. 1 + 2= 1 a c 567. a) 3,84:1t;

45 b)"4:1t

x2 + y2 Z2

568. a) a2 - cz = 1

(einschaliges Hyper­boloid);

x 2 y2+ Z 2 b)7- c2 = 1

(zweischaliles Hyper­boloid).

570·~+i=~(I+i), ~-i=3(1-f)

241

und x z y 4+"6=1- 2 , x z y 4-"6=1+ 2

a 571. x = - [(c - z) cos 1 +

c + (c + z) COS (I + "»),

a y = - [(c - z) sin 1 +

c + (c + z) sin (t + ,,»);

x 2 +a2

daher folgt 202

Z2

-2(I-cou)= c

=1+cosa; für ,,=900

X 2 +y2 Z2

'202 -cz=l;

für ,,= 1200

x 2 + y2 3z2 a2 - --C2 =1;

für ,,= 1800

x 2 + y2 Z2

4a2 -CZ= 0

(Kegel).

572. x 2 + y2 = az

574. x + y = 4, x - y = z; x + y = 2z, x - y = 2

x2 y2 + Z2 575. 202 + a2 = 1

576. x 2 + y2 - Z2 = -202

(zweischaliges Hyper­boloid).

Z2+ y2 577. x= - 4a

578. 9x = ± 13z

579. 4'y'= ±3z

580. a) Kugel mit dem Mittel­punkt (0; 0; a) und dem Radius R = a; b) Rotationsparaboloid umz-Acbse; c) Zylinder; d) hyperbolisches Para­boloid;

242 581-636

e) Kegel; f) parabolischer Zylinder; g) Kegel; h) Rotationsparaboloid; i) Kegel; k) Zylinder;

581. x + y == 2 + z, x-y=2-z; x + y = 3 (z - 2), 3(y-x)= z+ 2

582. XZ + yZ = 2az xZ+yZ

583. z= a- 2a

584. 2y = ±3z 585. 3x + 4y = 24,

3x- 4y= 12z

z=O, 3x=4y

586.26 587. -38

588.7 589.2a

590.1 591. sin (es + fJ) sin (es - ß) 592. -10 593.4a 594. _2hz

595. -2x 596. _4a3

597.144 598. 72 599. (x - y) (y - z) (x - z)

600.1 601. sin<p - es)

602.10

603'. Sie liegen auf der Gera­deny= x+ 2.

x y 1

604. a) Xl YI 1 = 0;

Xz yz l

xyl

b) 231 = 0 -151

605. 10

606. amn

607. a(x ~ z) (y - z) (y - x) es

608. 4 sin es sinz "2

609. Die linke Determinante wird so umgeformt, daß zuerst die 2. Zeile zur 1. Zeile addiert, dann die 3. von der l.Zeile sub­trahiert und schließlich die durch 2 dividierte 3. Zeil~ von der 2. Zeile subtrahiert wird. Nach

1 Vorziehen des Faktors "2

und Zeilenvertauschung ist der Beweis geführt.

610. a)xl = 2, Xz = 3; b) Xl = 0; Xz == -2

611. x = 5; y = -4 4

612. x = -; y = 1 a

613. x = 0; y = 2

614. x = m; y = 2m - n

615.5; 6; 10

616.-1;0;1

617. 7k; 8k; 13k

618. 5k; -llk: -7k

619. x = y = z = 0 620. keine Lösung 621. Lösungsmenge:

2 + 5z 5 -7z x = --3-' y= -3-

622. keine Lösung 623. a) ja; b) nein

624.2; -1;-3

625.1; -I; 2 626. 2k; k; -4k 627. x = y = z = 0

628. -k; 13k; 5k 629. Lösungsmenge:

y = 7 - 3x, Z = 18 - 7x

630. a) 12 + 5i; b)aZ + bZ; c) 5 - 12i; d) -2 + 2i: e) i; f) 1 + i

631. a) Xl,Z = ±5i b) Xl,Z = 1 ± 2i

c) Xl,Z = -2 ± 3i

632. a) Izl = 3, tp = 0" = 0, z = 3(cos 0° + i sin 0°) b) Izl = 2, tp = 180" = 'It',

z = 2(cosl80° + i sin18O")

c) Izl = 3, tp = 90° = ~ , z = 3(cos 90° + i sin 90")

3 d) Izi = 2, tp = 270" ="2'1t',

Z = 2(cos 270" + i sin 270°)

633. a) Izl = 2.../2..

7 tp = 3150 = 4"1t,

z = 2..j2c.cos 3W + + i sin 315°)

b) Izl = 2, 1t

tp=(Jf>=-, 3

z = 2(cos 60° + +i sin fJf»

c) Izi =2, 7

tp = 210" = 6"1t, z = 2(cos 210" + + i sin 210")

( 3'1t' 31t) 634. a) 2 cos 4" + i sin 4" ;

es b) 2sin"2 X

X (cos; +isin ;)

635. Für r und tp siehe in Lö­sungen 632, 633 die Be­träge Izl und 'P.

636. a) z liegt im Kreis um 0 mit Izl = 3 als Radius. b) Z liegt im Viertelkreis um 0 des 11. Qua~ranten mit Izl = 2 als Radius. cl z liegt zwischen den konzentrischen Kreisen um 0 mit iZll = 2 und

637-664

IZ21 = 4 als Radien und im 3. Quadranten der komplexen Zahlenebene.

637. Nach (2) aus 4.3. wird Z=Zl- Z2=(X1-X2)i+

+ Y1 - Y2 und somit Izi = IZ1 - z21 = =-J (X1- X2l +(Y1-Y2)2

= d, was mit der Ab­standsformel aus 1.1. übereinstimmt.

638. Alle z liegen im Kreis um Zo mit , = 1 als Radius.

639. Izl2 = x 2 + y 2 ;

Z • Z = (x + iy) X X (x - iy) = x 2 + y 2 ,

also Izl2 = z·z.

640. a) 32i; b) 64; c) 4 (1- i);

d)2(3 + 2J2)i; e)8i

641. sin 3Cl = = 3 sin~cos2~ - sin3~, COS 3~ = = cos3 ~ - 3 sin2 ~ cos ~

642. Izh ... 6 = ±I, 1 i-J-

± -+- 3 und 2-2 kT' krr

cosT+ isinT;

k = 0, I, 00'., 5

-1 ± i..)3 643. a)l, 2 ;

. i± J3 b)-l, --2-;

. ± J3± i c) ±l, 2 ;

d) 1 + i; -1,36 + 0,365i; 0,365 - 1,36i

1 + i 644. a) ± ..)"2 ;

b) VZ(cos rp + i sin rp); rp = 45°, 165°,285°;

c) ±(J3 + i), ±(-I + iJ3)

645. a) -2, 1 ± i0 b) ±1 ± i

646. a) In 2 + rri; 1 rri T'i

b)2 In2 +4"; C)T;

d) In..)X2+y2+ . Y

+larctan ~;

3 rr e)21n2 -"4 i

.nx.n+1 sm 2 sm-2-x

647.------. x

sm 2

.nx n+l sm 2 cos-2-x

648.-----. x

sm 2 649. Die 5 Einheitswurzeln

lauten:

2k Zk=cosSrr +

2k + isinSrr,

k = 0,1, ... ,4

Multiplizieren der Linear­faktoren mit ihren konju­gierten ergeben die Be­hauptung.

7- 24i 650.a)~;

b) 2b(3a2 - b2) i

651. a) 4 -J"2efl1/ 4 ; b) 2e2"1/3;

c) -J2e- fIl/4

652. a) 5 (cos 0 + i sin 0); b) e-"1/2; c) 2e- 3"1/4

653. Die Z liegen in einem Vier­telkreisring, der durch die Kreise um 0 mit '1 = 1 und '2 = 3 und die beiden Winkelhalbie­renden des I. und H. Qua­dranten begrenzt wird.

243

654. Alle Punkte innerhalb des Kreises mit dem Mittel­punkt Zo und, = 5.

655. a) 8i; b) 512 (t - i ..)3); c) -27

656. Durch Vergleich bei der Seiten Re; Im erhält man: sin 4<X = 4 cos3 (X sin ~ - 4 cos (X sin3 (X cos 4(X = cos' (X + sin4 (X - 6 cos2 (X sin2 (X

±1±i 657. a) J2 ;

b) cos rp + i sin rp, wobei rp = 0°, 72°, 144°, 216°, 2880

658. a) 2, -1 ± i-J"3; b) ±2i; ±J3 ± i; c) ±3, ±3i sin 2nx

659'-2-'­smx 660. a) -1,2,3;

b)5 -1 ± i-J"3 , 2

661. a) Xl = 3, Xi = 4, X3 = -2; b)Xl = I, X2 = -2,

X3.4 = ±i -J2; C)X1 = -2,

1 X2,3 = ±T; .

1 d) Xl = 1, X2.3 = ±2

49 662. a) D = "4 > 0,

U1 = 2, VI = 1, ZI = 3; -3±iJ'j

Z2,3 = 2 -;

b) D = 0, ZI = 4, Z2 = Z3 == -2 .

663. a) D < 0, rp = 60°, Zl = 4 cos 20°, Z2,3 = 4 cos (200 ± 120")

664. Zl = 2 -J3 cos 70°; Z2 = 2..}3 cos 190°;

Z3 = 2..)3 cos 50°; XI = Z, - 3, i = 1,2,3

244 665-706

665.

1 2 I -10 I 4 I 14 I 31 I 0,71 1 0,13

1,71 ! 1,87 ! -3,2 I 0,37 I 22,5 I 25,2 I 0,14 1-0,01

1,85< x< 1,86

666.2,15; 0,524; -2,66 667. a) 1,305;

b) 4 und 0,310; c) -0,682/; d) Xl = 1,494, X2 = -0,798 (Xl gefunden aus dem

Ausdruck X = ~ 2x + 2 und X2 aus dem Ausdruck

x4 + 3x - 2 x=

5

668. a) -6, -1 ± i~2; b) -1;2;2

1225 669. a) D = - > 0 4 '

"1 = 3, VI = -2, Zl = 1,

-1 ± 5iJ3 Z2,3 = 2 ;

b)D= --4< O,q> = 45° Zl = 2 ~2 cos 15° = ' = 1 + ~3, Z2 = -2,

Z3 = 1- JJ; c) D = 0, Zl = -2, z2,3 = 1; d) setzt man x=z-2 erhält man ' Z3 - 3z+ 2 = 0; D = 0; z\ = -2, Z2 = Z3 = 1; Xl = -4, X2 = Xl = -1

670. 1,76 und -2,15 671. a) 1,17; b) 3,07

672.1,67 674. -1 ;;;; x;;;; 3;

0< X < 4; -2;;;; x;;;; 1

675.0;;;; x< 1 681. Xl = 0, X2 = 4

683, a) X ~ -2' b) -3;;;; x';;;; 3; c) 0;;;; X ;;;; 4

684. a) -4 ;;;; X ;;;; 0; . b) -1 ;;;; X ;;;; 3

685. a) x> 0' b) x ~ 4'

686. a) 2h ;;;; x ;;;; (2k + 1)1t; b) -4;;;; x;;;; +4

687. a)/(O) = 1,/(1) = I, /(-1) = 3,/(2) = 3, /(a + 1) = a2 + a + 1 b)q>(0)=-3, q>(-I)= = - 2,5, q>(3/2) = 0,

(~) = 2x - 3x2

q> x 1 + x 2

_1 __ x 2 + 1 rp(x) - 2x - 3

688. a) b + a; b) 2ah

689. b + a b2 + ab + a2

690. F(4; 3) = 19, F(3; 4) = -25

691. a) gerade, b) ungerade, c) gerade, d) ungerade, e) ungerade, f) weder gerad" noch ungerade

692 /(Xl) + /(X2) . 2 >

> /( Xl ~ X2) 693. log" x 694. er 696.2<x;;;;3 700. a) Ixl;;;;2; b)-1 ;;;; x;;;; 3,

1t c) - "4+b'5"

1t ;;;; x;;;; "4 + k1t;

d) lxi ~ 2

701. a)/(0)=I,/(-2)=-O,6, /(-1/2)=0;

/(x-l) = 2x - 1 x 2 - 2x+2'

/(1/2) = 1,6; b)6x2 +2h2 ; c)4(2-a).

702. Die Schwankung der Veränderlichen an = (-1/2)n ist in Bild 39 graphisch dargestellt. /on/ < 0,001, wenn nur n> ~

Ig2 3

oder n>-=10' 0,3 '

1 19-

lanl < E, sobald n > _E Ig2

216 703. an = 2' -' 1-' -' , 3' 5' 7'

1 1- .. ·-')0 1 9 . IOn - 11< 0,01, sobald n ~ 50;

lan - 11< E,

1- E sobaldn> --2E .

704. an = 4; 3,1; 3,01; ... -')0 3 + 0; an = 2; 2,9; 2,99; ... -')0 3 - O.

705. an = 6; 5,1; 5,01; ... -')0 5 + 0; an = 4;4,9; 4,99; ... -')0 5 - O· an = -1' -1 9' '-199' -1,999; .' .. -')0 '~2 +'0;' a. = -3; -2,1; -2,01; -2 ... 001; ... -')0 - 2 - °

706. Es muß also Iim(~2-4)= x ... 2

= ° sein, d.h., in der Um­gebung von x = 2 muß Iim[(x + W· - 4] = 0 h ... O

sein. Es ist Iim(4h + h2 ) = U, also h ... O gilt lim x2 = 4.

x ... 2

707-720

Il

707.!J = 2' 708. !J = 0,01

709. !im sin /X = 0 wegen a ... O

( 00 /X2"( -1 )1')

sin/X=/X .~o (2v+l)! =

( /X2 /X4

= /X 1 - '6 + 120 -

- + ... ). Da/X ~ I, ist

1~2.t: I)! ( /X2(2k + 1)!) I

X 1 - (2k + 3)! < /X2k

< (2k + I)!;

sin/X;;;;/X (1 -~) ;;;;/X

sin (-/X) ;;;;; -/X ~ sin I/XI ;;;; I/X! lim sin I/XI;;;; 0 ~ sinO = 0 a ... O

710. Es muß also !im [sin(/X + h) - sin/X] = h ... O = 0 sein. Da sin h ~ 0 rur h ~. 0, bleibt nur !im [sin /X (1 - cos h)] = 0 h ... O

zu zeigen. Da 00 x2v

cos h = L -- (-1)"; v=O (2v)!

1 h2k ( h2(2k)! ) [

(2k)! 1 - (2k + 2)!

h2k

< (2k)!

h2 cosh s;: 1 - --- ~ - 2 -~ !im cos h = 1.

h-+O

Daraus folgt

lim sin x = sin /X. ~=::tfL

711. lim 3x + 4 = x-+ex> X

3 + 4t !im -1- = 3 nach ''''0

1 Substitution x = t .

712. Für lanl > 2500,S

713. Für lanl ~ 7 _ 00

714. 0,3 = 31: 10-' = v= 1

1-10-0 - 1 1 = limO,3 ---=-

0-+ 00 1 3

715. lim an = n"'oo a)1 b) -1

1 ---10

c) nicht vorhanden d) 0 e) 2 f)0

245

718. a) lim ~ = 0; .%~oo X

2 b) lim -= +00;

,,"'+0 x 2

lim -=-00; ""'-0 x

c) lim 3" = 00; X-+ + 00

d) lim 3" = 0;

e) !im 19x = -00; x-++O

f) !im tanx = +00;

lim tanx=-OO

719. Da f(x) = sin x peri­odisch ist und gemäß ih­rem Wertevorrat zwischen -1 und + 1 schwankt, kann sie auch bei noch so großen Argumenten alle Werte -1 ;;;;f(x);;;; +1 annehmen. d.h. ~;p. hat für r -+ 00 keinen ein­deutigen Grenzwert, er existiert nicht.

1 720. !im sin - = lim sin t,

.'(' ... 0 x 1 .... 00

1 , d wenn x = t gesetzt wir .

Der Limes existiert nicht, s. Lösung Nr.719.

x 13 2,1 2,01 .. , ~ 2 + 0 716. ;

-3-1330 300 "'~ +00 x-2

I, 3 1m --=+00.

x-+2+0 x - 2

x I 1 1,9 1,99 .. , ~ 2 - O.

_3_[_3 -30 -300 "'~ -00 ' x-2

x 110,1 0,01 "'~ + 0 717, 21/x 122102100 .. , ~ + 00 ;

x 1-1 -0,1 -O,OI .. '~ -0,

;I/X I ~ _1 ___ 1_ "'~ 0 ' 2 210 2"100

I, 3 1m --=-00.

x-+2-0 X - 2

lim 21/ x = 00, x-++o

lim 21/ x = O. x-+ -0

246 721-756

X1

, ,

I

o o

721. lim x sin - = lim sin z X .l'-+O X Z .... 00

I x lim - = 0, da

z .... cc Z

nach 719. der 1. Faktor stets kleiner als I bleibt und der 2. Faktor gegen Null konvergiert.

r.: r.: 722. On = 2r sin - ~ 2r -

11 11

8r < - < I!, sofern n

8r n>­e r.:

723. lim rn = lim,. cos - = n .... oo "-+00 n

=rlimJI-sin2 ""' =r n .... oo n

724. AB -+ 00, CB -+ 00,

.q:: BCD ~ 0°,

<t ACB~ 180°

725. 0" = 5; 4,1; 4,01; 4,001 ; ···~4+0;

On = 3; 3,9; 3,99; 3,999; .. ·~4-0;

on=-0,5; -1,4; -1,49; -],499; .. · ~ -1,5 + 0;

0.=-2,5; -1,6; -1,5]; -1,50]; ... ~ -1,5 - 0

726. Iim [(3 + W - 27] =

=limh(27 + 9h + h2 ) =0 h .... O

5x + 2 727.lim --=

-< .... '" 2x 5 + 2t

=lim --=25 ' .... 0 2 '

17 5 7'164

, Xz

2 Xo X

, ,. Bild 40 I

X ..

728. Iim [cos(o + h) - cos 0] 11-+0

= lim [COSo(cos h -1)-

- sin 0 sin h]

Da lim sin h = 0, h .... O

s. Nr. 709, und Iim cos h = 1, folgt h .... O !im cos x = cos 0 x .... a

729. Nur die Veränderliche im ersten Beispiel hat einen Grenzwert: !im On = 1. In

" .... '" den übrigen Beispielen existiert lim On nicht. Als

" .... '" graphische Darstellung für Beispiel 1 kann das Bild 39 dienen, wenn man in ihm den Ursprung 0 um eine Einheit nach links

1 verschiebt und - 2: durch

]] 7 + 2:' - 8 durch + 8 er-

setzt usw. Die Schwan­kung der Veränderlichen On = (-1)" +

1 + 2" für n = 0, 1, 2, ...

im Beispiel 2 wird durch Bild 40 veranschaulicht.

730. a) 0; b) 00;

d) 0; e) 2;

c) 00;

f) 0;

1 g)O für 0>], 2 für

0= 1, 0 für 0< 0< 1

731. Vgl. Lösung Nr. 714.

2r.: 732. Iim (Xn =.lim - = 0

n .... co n .... oo n

733. 1.

734. a) -0,6; b)]

735.4

736. 1

3 737. :2

1 738. 2:

1 739. - J2

2 740. 3

1 741. - 2: rur a> 0 und

+00 für x ~ a+o} bei -00 für x ~ a-O a< 0

2 742. 3

m 743'3

744.1 1

745. -2 2

746. a) 3';

b) -2,5

747.0 748.00 749. -2

3 750. -2:

1 751. Ji

I 752. (;

1 753. 4 754. -12

755. -I

756 lim Ism xl " .... ,,+osinx.J 1 - cosx

1 -..{2

757.2,5

758. J3 759. -4

760.2

1 761. - 56

762. -.../2 763.4

1 764'3

765.1

1 766'4

767. 2

768.6Ji

769. 2eos x

757-817

1 770. a) 1; b) - 2

1 771. 2

1 772'2

1 773'3

774.8

.[i.lsinxl = _ ~2 775. lim -'---'---":" V ,t. x ....... -o X

776. 4

m2

777· Z 778.3

1 779'4

780. a)-2sinx; b)- ~ 781. 0

782. 1,5

1 783'2

784.1

1 785'2

1 786'4

787. -3

2 788.-

lt

789. -2 1

790. -4 1

791. 2 792.0

1 793'2

1 794. -2 795. -1.

1 796. a) 20; b) 3

3 797. a) 4; b) 2 [Dabei ist zu

substituieren: in a) x = t 12, in b) 1 + 2x = t4 ].

798. -a. 799. J) -1; 2) -0,2

3 800. a) 3; b) 2

1 801. a) 1; b) -"2 802. a) -2; b) -0,1

803. a) -2,5; b) 1,5

804. a) -J2lt; b) -I

805. a) von zweiter Ordnung; b) von dritter Ordnung.

806. a) von vierter, b) von erster, e) von dritter Ordnung.

807. von zweiter Ordnung

sin I11X 808. a) Wegen lim -- = 1

x ... 0 mx . tan mx

b) Wegen hm ---= x ... 0 mx

sinmx =lim -- X

.< ... 0 mx

I. cos mx X Im --=1

x_x 1

247

. V1 + x - 1 c) Wesen hm-=--........,..--

;< ... 0 1 3 x

= !im V (1 + X)-2 = 1 X ... O

809. Für «-+ 0 (1 + «)3 - 1 ~ 3,x.

a 810. a) 2,5; b) b; e) 1,5

811. von zweiter und dritter Ordnung.

812. von a) zweiter, b) dritter, c) erster Ordnung.

arctan mx 813. a) lim -----..~

mx

· 1 = hm 2 2 = 1 .< ... 01 + mx

· ..}1-!x-l b) hm =

.< ... 0 1 2 x

· 1 =hm~=1

x ... o..}1 + x

1 - cos3x c) !im . 2

.< ... 0 1,5 sm x

= limcos x - 1 .\'"-+0

814. Pol bei x ~ 2, da 4

!im -- = -00 und x ... 2-0 X - 2

4 lim -- = +00.

x ... 2+0X - 2 . 4

Ferner hm --2 = O. .'(-+±oox-

815. a) für x = 0;

2n - 1 b) flir x = --lt·

2 '

c) für x = ±2. 816. Für x = 2 sind die ersten

drei Bedingungen erflillt, die vierte aber nicht.

817. a)y = (-1 ftir x< -1, l 1f1irx>-I,

{X-l ftirx<-l, b)y=

x+l flirx>-l

248 818-831

.Y 2

1

;,(~~-------::+------~:!Iooo,.j)(~ Bild 41

Bei x = -1 haben die Funktionen eine Unstetig­keit von der ersten Art (Nur die zweite Bedingung der Stetigkeit ist erfüllt).

818. Bei x=O ist nur die vierte Bedingung nicht erfüllt (Bild 41).

819. Unstetigkeitsstelle bei x = 0 Iim y = +00

x-++O

(Bild 42), !im y = 0, x-+-o

!im y = 1 (Bild 42). "'-+00

820. Unstetig bei x = ±2.

821. a) Unstetigkeitsstelle der ersten Art bei x = 0, dabei ist !im y = 0, !im y = 1,

x'" +0 x-+-o 1 1

limY=T' lim y=-x-++oo x-+-oo 2 (Bild 43);

1 y=2 x

b) Unstetigkeitsstellederersten Art bei x = a, dabei ist

TC TC !im y =--2; Iim Y=2'

x-+a-O x-+a+O

!im y = 0; x-+±oo

x2

c)y=- für x> 1 2 x

und - 22 für x < 1;

bei x = 1 Unstetigkeits­stelle der ersten Art, wobei

1 !im y= --,

",-+1-0 2 1

!im y =-x-+I+O 2

822. Die Gleichung x 2 - y2 = 0 definiert y als unendliche Menge von Funktionen von x. Davon sind zwei stetig: y = x und y = -x. Die übrigen (unstetigen) werden auf gewissen Be­reichen der x-Achse durch die Gleichung y = x, auf den übrigen durch die Gleichung y = - x definiert. Die ungerade Funktion mit den Unstetigkeitsstel­len bci x= ± 1, ±2, ±3, ... kann man so definieren:

{-lxi y= +Ixl

für 2n-1 < x< 2n, 2n<x<2n+l,

die gerade Funktion so:

y= {~: für

2n - I< x< 2n, 2n< x< 2n + 1,

wobei n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... ist.

823. Unstetigkeit der 2. Art an der Stelle x = -2.

!im y = +00, x-+-2-0

!im y= -00, ",-+-2+0

limy=l x-+ ±oo

824. Bei x=O ist nur die vierte Stetigkeitsbedingung nich t erfüllt, bei x = ± 2 außer­dem noch die dritte.

825. Unstetigkeitsstellen :

a) x = 0; b) x = 2; c) x = 0; d) x = 0; e) x = ±2 und x = 0

826. Eine unendliche Menge. Dazu gehören:

a) die stetigen Funktionen

y = ../4 - x 2 und

y= -.J4-x2 ;

b) die gesuchte unstetige Funktion

{-"/4- X2

y= +../4- x 2

lxi ~ 1, für

1< lxi ~ 2

827. x = 0 und y = 1

828. a) x = 0 und y = x;

b) x= -1 undy=x-I;

c) y = 1

829. a) x = 0, y = -I; b) x = 0 und y = x -I;

n a c)x=--undy=-

m m

1 830. a) x = - T und

y= -2;

b)y= x;

c)y =-x

831. a)y= ±x; b) x + y = -a;

832-860

c)y = x ± 7r

7t

d)y= -4 832. a)y = 0,

b)y= ±2x,

c) x = 0 und y = x x 3

833. Die Parabeln a) y = "3 ; b) y = x2

834. a) x = 0 und y = 1;

b)x=O und y=-x

1 835. a) x = -2, y = 2;

b) x = 1 und

x+l y=--2-;

c) x = 2, x = -2, y = 1 (Bild 44);

d) x = 1, x = -1 und y=-x

1 836'5 e

837. a) e- 1/ J ;

b) e4

838. a) e2 ;

b) e-4

839. a) e-1 ;

b) e-2

840. a) 3;

b) e3

1 841. .J; 842. a) 1;

b) -1; c) 21n a

843.3 und 4

844. a) e6 ;

1 b),­

e-ye

1 845. a)2;

e b) -3

J y

1 846. .Je

1 847. a)-;

x

b) -2

848. a) 3x2 ;

b) 4x3 ;

1

7

c) r; 2-yx

d) cosx; 1

e) - x 2 ;

1 f) - 2x.J~;

2 g)- x 3 ;

1 h) cos2 x;

. 3 1) - x4;

. 1 J) ..)1 + 2x;

3

l x

Bild 44

k) - (3x + 2)2 ;

x

1)";1 +x2

849. a) (x - 2)2;

b b)-

a

850. a) (x2 - 1)2;

b)x3 - 2x

1 851. a) 1 + .J~;

b) 1- J: 30

852. a) - 4; x

x2 +2x+3 b)---x4 --

, tl)2 853. a) (1 - x 3 ;

b) 3 (1- J~) 2 1

854. a) 3 G - 4 /- ; .v x 2 Zt x 3

b)3~(J~- JX2) I-x

855. a)-4-; x

b)- --2( 1 1 \ x ~ V~)

'2 X 856. a) 2sm 2;

b) - tan2 x

249

857. a) x(2 cos x - xsin x);

x(sin 2X - x) b) ---sifi-ZX-

x sin x + 2 cos x 858. a) - 3 ;

X

2x b) (x2 + 1)2

1 859. a) (l _ 4X)2 ;

b) 4x - sin 2x

4x ";xcos2 X

1 860. a) 1 . ; -smx

1 b)2 - ,,;-cx="C(:-,,;7=""x -+:--1 ):--2

250 861-904

861. a) gt; t

b) 2asin2 -2

862. I; 0; 4

863.8,25

864. -90

865. a) -6hx(a - bX2)2;

b) ir:: (3 ~-+ I) 3-\1x -\IX 2x-l

866. a) 2"X6';

b) ~ (_1 - 3 ~) X .J; -\IX

X 867. a) 2 cos2 2 ;

b) - cot2 X

868. a) x(2 sin X + X cos x);

x(sin2x + x) b) cos2 X

(X2 + 1)2 870. a) 4 ;

X

4x b) (x2 + 1)2

871. a) - xb.;(t+ V;)\ b)

1 872. - '3

2+ sinx (1 + 2sinx)2

873.-1; -9; 25

874. a) 6 cos 6x;

b) b sin (a - bx)

1 (X X) 875. a) 2 cos 2 - sin 2: ; X

b) -2sin-3

876. a) -20(1 - 5X)3;

b) 2 ""4+ 3x

10x

X b) - ---==~

Jl-x2

c) - 2 tan 4x Jcos 4x

2sin2 X 878. ---;===...-.

..j2x-sin2x

879. 4 sin3 X cos X

880. a) sin 2x;

b) -sin2x; sinx

c) 2 cos3 X

3 (7t) 881. Ji sin 2x sin X - 4"

882.3 tan4 X

-sin 2x 883. --,=====

4 V(1 + cos2 X)3

cosJ; 884. J

2 X r-----

885. ± (Jl - sin 2x

+Jl+sin2x). Das Vorzeichen + gilt für cos 2x > 0; das Vorzei­chen - f'tir cos 2x < 0, f'tir cos 2x = 0 jedoch existiert y' nicht

( lim y' = Fz. aber x"'n/4-0

lim y' = -J2) x"'''/4+0 .

20sin 4x 886. (1 + cos 4X)6

cot2~ 3

887.---sin2 ~

3

888. sin X (1 + -4-) cos X

890. r;:;-::--; x2",2x - 1

2t 891. -sin-

a dr a sin 29'

892.a)-d = - ~; 9' '" cos 29'

dr b) d9' =

2 sin2 29'

( 7t) ab 893./' "2 = Ja2 + b2'

1'(7t) = 0,1' c;) =

1 894. J3'

ab

4 cos2 2x 895. I

v4x + sm4x x(2 - 3x2 )

896. J v l - x 2

897. - sin-4x 2 sin 6x

898. - ~====:;: ;; (1 + cos 6X)2

899. a) cos-6 x;

b) 3x2 sin 2x3

4cos 2x 900. (1 - sin 2x)2

t sin2 -

ds 4 901. dt = -;=== 2J!. -sin !..

2 2 dr 1

902. d9' = "2 cos 9'

2(3x + 1) 903.- ~

x3 ",4x + 1

904.-J{

905-961

905. m = tan a= ±4 906. y = 8 - 4x,

x-4y= 2

2 907.y=x+ "3

908. y = 0 1

und y = ±T(3x - 1)

x 909·y=-T+ 2

910. y = 7t - x

911. 45° und 135°

4 912. arctan"3

1 J5 r 913. a)T; 2;2; ,\/5;

b 2. 3 ..J13 .J13 )3' T' -3-; --2

914. Nach Aufstellen der Tan­genten- und Normalen­gleichung ergeben sich die Nullstellen

T(XO - :~ ;0) und N(xo + p; 0), so daß die Abstandsformel dann die zu beweisenden Län­gen TA und AN hervor­bringt.

915. y =x2 - 3x +4. Der Parameter b ergibt sich aus der Bedingung y'= 2x+b = 4+b= 1, und c aus der Bedingung, daß (2; 2) Berührungs­punkt ist.

916. y = -4x + 8, 1

y= -4"x-2;

15 ({J = arctang"'=i 62°

917. y = 4x, y = -4x + 16

918. x± 4y= 8

919. Y = ±(3x + 8) und Y= 0

4 920. r;;:;

'\/ 17

921. 40°54' oder 139°6'

922. (-2; -4)

( 1 17) 923. T;"4

924. 1; 1; ..)2 ; ..)2 925. 11°20' und 7°7'

926. !im f'(x) = -1, x ...... o-o

lim f'(x) = 1 x-+O+O

I. 1 927. Im f'(x)=--;

x-+2-0 2 1

!im f'(x) =-x-+2+0 2

928. y = x und y = -x X-7t

929. y =± J2 ; 109°30'

930. x=O

931.x=2 932. x = 0

933. x = 2

934. y - 1 = ± (x - ;)

935. x =-1

936. y = ±4x; 28°

937. a) In x + 1 ;

In x b) --2 ;

x 0,4343

c)--x

(x+ 1)2 938. a) --3-;

x

2(x + I) b) x(x+2)

x 939. a) - tanT;

b) cot x cos2 X

1

942. __ 2 _ x(1 - x 2)

1 943.-­

cosx 2

944. 1 - 4x2

1 945. I

'\/ a2 + x2

1 946.~

2+,\/x

2 coex 947. a) --.-;

smx 2

b) x _ ax5

948. Y = x- 1

949. Sie berühren sich im

Punkte ( v'e; ~) 950. a) 2x + 3x In 3;

b) (2x + x2 In 2) 2x ;

c) x(2 + x) eX

951. a) asinx cos x In a; b) -2xe-x2 ;

c) 2x(1 - x) e-2x

952. exI2 + e-2lx

953. ~ ef; (1 + ~) 2ex

251

955. ~ exja (cos .!-.- - sin.!-.-) a a a

956. -2e-x sinx· b) __ x_ , I+x

(x _1)2 957. x2 + 1

958. 2a(e2ax - e- laX)

959. -In a

960.26°34'

961. Tangentengleichung : y - yo yo x-xo =0; NuUsteIle T(a + Xo; 0)

und damit IATI = a

252 962-1018

962. a) r(ln x + 1);

b)XllDx [COSXlnX+ Si;Xl

963. - tan x sin2 X

I 964.-

2.Jx2 - X

1 965.--=

x.Jl + Xl

COSX 966. /

,,1 + sinl X

I 967. x(1 _ Xl)

968. cot2x cot2x

969'1 . 2x -sm

tanx 970'1 + COSx

X 971. - /

"ax+x2

972. _.!.... e- x1a a

1 973. "2 (e"la - e- x1a)

4 974. - (e" _ e-")2

2e2 " 975. / "e4 ,,+ 1

2 976. e4" + 1

I-1nx 977. x 1Jx--2-

X

978. 16 X

979'Y=-"2

tr=X 980.~~

x2

981. 1 + x2

1 982. - /

"x-4x2

a 983. I

lal"a2 - x2

a 984.~+ 2 a X

1 985. /

",x - Xl

1 986. -1 + Xl

987. a) 2.Jl - Xl,

3 e3 " b)~-

.JI - e6 "

2 988'-1--4 -x

1 989. /-=

2x"x-1 x

990. arctan -a

I 991.-=

2.Jx - Xl

1 992. /

2x,,6x - 1

2x 993. a) / - ;

lxi" 2 - Xl I

b) Xl + x4

994. 2e" .J I - elx

995. arccos X

4el " 996. I _ eS"

997. J~ -1

998. J! -4

7t

999'"4- 1

1000. a) sinh 2x; b) tanhl X;

c).Jcoshx + 1 für x>O

-.Jcoshx+ 1 flir x<O

1001. 1,5 4

1002. a)tanhx; b) - sinhl 2x

2 1003. a) coth2 X; b) . h 2x

sm

1 1004. a)-h-; b)4sinh4x

cos X

1005. x + 1,175y = 2,8140

1006. y = 3,76x + 3,89

1007. Der Fußpunkt Fdes Lo­tes von A (vgI. Bild 28) auf die Normale ergibt sich als SchriiUpunkt zu

( sinh xo_

F Xo + Yo a;

coshl ~~ a

yo---~) coshl Xo

a

und damit wird PoF = a.

1 -lxi 1008. a) / :

X 2 "Xl - 1

b) tan3 x

.J4x - I l009.-~

1010. dx = 2e'(e' - I) dt e l , + 1

x 1011. /

"Xl - 4x ds

10\2. - = tanS t dt 7ta

1013. "2 x2 +a2

1014. a) x( 2 2) ; X -a

b) 2 cos (In x)

1 1015'15

1 1016. rp'(u) = __ e-(u!a) X

a

( u . U) X cos-;+ sm-; ,

1 rp'(O) = --

a 1

1017. - 3a

-4 sin z cos z 1018. F'(z) = (1 . 1)2 ; + sm z

1019-1039

In cf + 1 1019 .. ~ = -

(t In Ct)2

( I '

= - S2 1 +-) sI

Is + S = -ls2 - S + S

= -ls2

2 c-t'(l + 1)2 - t 1020, :( = 21 3

\021. a) 2 cos 2x;

2 tan x b) cos2 X ;

1 c) (1 + X2)3/2

\022. a) 4 sin 2x;

24 b)-s;

x

c) -(x cos x+-3 sin x)

1 \023, a) - x 2 ;

b) e-t(3 - t);

20(3x2 - 02 )

c) (x2 + 02)3

2 \024. - (2 _ 1)3/2

, 1)" , 1025, a) ( - -;; e-X ,";

(_1)"-1 (11 - I)! b) x"

(-1),,-11'3' 5 .. . (2n-3) c)------<===~~

2" -J X 2,,-1

1026. a) n! ;

b)sin (x+n~);

c) 2"-1 cos (2X + ni) 1028. a) -2 e" sin x;

b) xa"(x2 In2 a + + 6xln 0+ 6);

c) 2 sin x + 4x cos x­- x 2 sin x

1029. a) 2 e-X(sin x + cos x);

2 b) -;

x

c) x sin x - 3 cos x

x+30 1030. f'''(x) = --3- e x/a ;

o

x + no . jtnJ(x)= ~ eX,a;

n r(O) = 0,,-1

1031. 1, m, m(m - 1), m(m - 1) (m - 2), ... , m(m-l) ... (m-n+l)

1032. Aus f'(x) = (1 + X)-O/2> -1 - 2 x (1 + X)-(3/2J,

rex) = -(I + X)-(3/2J + I 3 + - .-x (1 + X)-(;'/2> 2 2 '

1 . 3 f"'(x) = - X

2 1 . 3

X (1 + X)-(5/2J + - X 22

X(I-~X)X X (I + X)-(7/2), ...

folgt allgemein f(n>(x) = (_1)"-1 X

X [1 ·3 . 5 ... (211 - 3) 2"-2

X (1 + x)-(2n-IJ/2

1 . 3 . 5 ... (2n - 3) + 2n - 1

X (n-2- ~x) X (1 + x)-(Zn+l)/2]

und daraus für x = 0 und 11 ~ 2 die Behaup­tung.

1033. Dies folgt aus

n! [ (-I)" lln'(x) =-

2 (l + x)" + 1

+ (1- ~)"+l]

253

n

1034. 3 ~ k(k - 1) X k - 2 + k=2

n

+ (x - 1) 1: k(k - 1) X k=J

X (k - 2) x~-J =

= (n + l)n(n - l)x"-2.

Für x = 1 gilt n n

31: (k-l)k = 3l:P-k=2 k=2

n

- 3 2: k = 113 - /I • k=2

n(n + I) =--2-- 1+

//3 _ n +-3-=

2//3 - 2/1 + 3n2 + 3/1

6 n

- 1 = -(n + 1) X 6

X (2n + 1) - 1 n "

1 +- 1: k 2 = 1: k 2 = k=2 k=l n

= 6(2n + l)(n + 1)

1035. a) 2 e-X2(2x2 - 1);

2cotx b)--'

sin2 x ' x

c) (4 _ X2)3/2

1036. a) 0" (In 0)";

2" 'n' b) (-1)" (l + 2x).+l

c) _2"-1 COS (2x+n i) ;r -J3 7-J3

1037'6; -6; 36 1038. a) eX(x3 + 9x2

+ 18x +6);

b) ~ (602 cos:: -a 0

- 6ax sin :: - x 2 cos ::) . o 0 '

c) -Xf(4)(0 -x)

1039. y(4) = -4ex cos x = -4y

254 1040-1077

1040. y' = e- I / x (1 + ~) =

y y = x + x 2-;

e-(1/x) y y" =-- ---x 3 - x4

1041. Nach der Leibnizschen Formel ergibt sich

j(n)(x) = x2 e-x /a ( _~) n

+ n' 2x e-x /a (- ~r-l n(n-I) (1)"-2. + -- 2e-x/a --

I· 2 a Daher ist 1'")(0) =

n(n - 1) = (-1)"-2= a"-2

n(n - 1) = a"-2 (-1)"

1042. !,(x) = -2x e-x2 = = -2xj(x). Weiter ist nach der Leibnizschen Formel I'n)(x) = [-2xj(x)r-1 usw.

I043.jlk)(x) = n(n - 1) ... (n - [k -- 1])X"-k =

= (;) k!xn- k

:E j(k)(1) = :E (n) = k=O k! k=O k = (1 + 1)" = 2n

x p b2x 1044. a) - -' b) -' c)-

y' y' a2y

2x+y 1045. a) - .-- .

x+2y'

2x-y b) x- 2y

Jy e-x+y 1046. a) _3 -x; b) - -­e"+x

e" sin y + e-Y sin x 1047. - -::---':""'-':'_-­

e"cosy + e "cosx 1

1048'2+ 1 y

1 1049'3

a2 2(y - a) 1050. a) - y3; b) (x - W;

c) m(m + n)y h 2x 2

b 1051. -2

a

1052. y = 3 - x und y=x-l

1053. (~; ~) und (-40; 40)

XXo yyo 1054. a) 7" + 7Jl = 1;

b) yyo = p(x + xo)

a 1055. x + y = ± j;,

. ",2

1056. arctan 3 b2x 2_

1057. a)--' b)~ a2y' ax _ y2

a2 R 2

1058. a) - y3; b) - (y_p)3 ;

c) _ 2(1 + y2) . y5 '

6a2

d)- (x +2y)3

1059. 2y = -x - 3 und 2y='x+ 1

1060. x + 2y = 4.J2 1

1061. 1 --e

1062. e (e - 1)

1063. ±2 1064. a) dy = nx"-l dx;

b) dy = 3(x - 1)2 dx . xdx

1065. a) dy = --­.Jl + x 2

b) ds = gt dt

1066. a) dr = 4 sin2 9' dtp; 2dt

b)dx=-7

1067. a) sin 2t dt; b) sin u du

a3 dx 1068. a) - x2(a2 + x 2);

b) (01 + 1) dOl. 01 '

1 9' c) - T sin Tdtp;

dx d)

Ixl.Jx2 - 1 1069. a) xdx + ydy = 0;

dy x dx =-y-b)xdy + ydx = 0; dy y dx =--X c)(2x - y)dx

- (x + 2y) dy =0 ;

dy 2x - Y

dx = x+ 2y

1070. a) 0,04; b) 0,05

1071. a) dV= 3x2 dx = 0,75; dV 7 = 0,006 oder

0,6%; b)dj= 3b8~ 01·2

1072. a) dx ~ ~.J- < 0,005; 5x x

b) Der Radius ist zu messen mit einem Fehler von nicht meQr als 1/3 %

1073. a) A = 7tR2, lIA FI:I dA = 27tr dr ;

4 b) V= -7tr3

3 ' LfVFI:I dV= 47tr2 dr

(2 - x)dx 1074. a) 3 ;

x b) b sin (a - btp) dtp ;

c) _ t dt

.JI - t 2

1075. a) - tan x dx;

b) ~u • 2u.J4u-l '

c) -2 e-2t dt

dx 1076. a) 2.J-;; ; b) tan2 01 dOL;

c) b(I + e-b,) dt

1077. a) Lfy = 3x2 Lfx+ 3xLfx2 +. Lfx3 = -0,2376, dy = 3x2 dx = -0,24;

1078-1108

14 b) dl = --R:l4,46cm;

1t x2.0 1

c) Idxl ~-4-~ ~0,006

1078. a) 4y2 - x 3 = 0;

b)y2_X(~ - If=o x2 y2

1079. a)7+ fj2 = 1;

b) x2/3 + y2/3 = a2/3

1080. a) x 2 - y2=1;

1 b) y= 1 + x2

3at 3at 2

1082. x = 1 + t3' y = 1 + t3

(4 - 1t)a 1083. y = x + 2

a 1084. x + y = ..}Z

1 1085. a) - -'-3-t ;

asm

t 2 + 1 b)4i3;

1 c)-----t

4asin4 -2

1086. a) y = -x2 - 2x;

b) (y + 2)3 = x 2

1087. X + y = a C21t + 2) a1t

1088. y = x - 2 ../2 1

1089. a) - 4 sin3 i ; 3t 2 - 1 b)~;

3 c) 4et

gt 2

1090. x = vt - T; dx -= v-gt; dt

v = -g; nach t = - ,

g

v2 X = - (höchster

2g

Punkt).

dx 1091. -- = t 2 - 4t + 3;

dt d2x dt2 = 2t - 4; 11 = 1;

12 = 3. 2k7t

1092. x = A für t = -W-, x = -A für

t = (2k + 1) 1t, X = 0 co

(2k + 1)7t fürt= 2co

(k = 0, ±1, ±2, ... ); für diese t-Werte folgen die Ergebnisse aus x(t) = -Aco sin cot, x(t) = -Aco2 coscot = = -Aco2x(t).

1093. tP =co = al + 202 t; tji = 202 ;

Stillstand (co = 0) zur

a1 Zeit t = ---

o 2a2

1094. lJM = np = r(1 + t); aM = rip = r

dx dv 1095. v= dt' TI = a;

wir multiplizieren die jeweiligen Seiten mit­einander.

du dx 1096 2v-= 2m-d =2mu; . dt t

du daher ist a = TI = m

gt2

1097. x =;= 10 + 201 - 2' dx -=20-gt; dt

d2x Im h" h -= -go oe sten dt 2

dx Punkte gilt dt = 0;

20 t = - R:I 2,04 S.

g

255

dh v u 1098. dt = 1th(2r - h) = 1tr2

dx 1099. -- = k(A - x) . dt

1100. d(002) = 200 doo, d(002) doo --=200-=

d<p d<p doo dt

=200--= dt d<p

1 =2ooe-=2e

00 1101. Nullstellen

der Funktion: 1; 3. Nullstelle der Ableitung f'(x) = 2x - 4 bei x = 2; 1 < 2< 3

1102. Nicht anwendbar, denn für x = 0 gibt es keine Ableitung.

1103. Weil die Kurve an der Stelle x = 0 einen Knick hat (zwei Tangenten).

1104. Anstieg der Sehne AB 9-1

m = 3 + 1 = 2;

f'(x) = 2x = 2, x = 1; an der Stelle x = 1 ist die Tangente parallel zur Sehne.

l105.[(b) = b2 ,

[(al =a2,['(~) = 2~; wir setzen dies in die Formel von Lagrange (Mittelwertsatz der Differentialrechnung) ein: b2 - a2 = (b - a) . 2~;

b+a daher ist ~ = -2-

9 1106. ~ = 4"

1107. y = ~ bei x = 0 un­x

stetig und y = 1 -V x 2

für x < 0 nicht definiert.

1108. Auf dem Bogen gibt es einen Knickpunkt

1t an der Stelle x = "2'

256 1109-1135

an der die Funktion keine Ableitung besitzt.

J 109. Die Funktion ist stetig und besitzt eine Ab­leitung im lnnem des Intervalls [0, 2], an des­sen rechtem Ende aber ist sie unstetig.

1110. Sei s = /(/) die Glei­chung der Bewegung, 11 und 12 Anfangs- und Endmoment der Bewe­gung. Nach dem Satz von Lagrange gibt es zwischen 11 und 11 ein 13,

f " d /(12) - /(11) ur as =

l:z - 11

=/'(/3), d.h. ds

40 = /'(13) = dt im Moment 13'

1 /'(x) 0:

1111. tP'(x) = b /(b) 11. a /(a) 1

Da tP(b) = tP(a) = 0 ist, und es im Intervall (a, b) eine Ableitung tP'(x) gibt, so gibt es nach dem Satz von Rolle zwischen a und b ein x = ~, für das tP'(c) = 0, d. h.

11 /'(E) 0

jb /(b) 1 =0; a /(a) 1

daher ist /(b) - /(0) = (b - a)f'(~).

Die Funktion tP(x) stellt den doppelten Flächen­inhalt des Dreiecks APB dar, wobei P ein beliebiger Punkt auf

dem Bogen lB ist.

b3 _ a3 3~1

1112. b1- a1 = 2i ; daher ist

2(a1 + ab+b1 )

~ = 3(a + b) .

1113. Richtungsfaktor der Tangente dy /'(/) dx = ql(/)'

an der Stelle . /'(~)

1 = ~ 1st k = IP'(~) • Richtungsfaktor der Sekante

Y2 - Y1 m1=---=

Xl - Xl

/(b) - /(a) = lP(b) - lP(a) •

Nach dem Satz von Cauchy gibt es zwischen a und b ein t = ~, rur das m1 = mist, d.h., die Tangente ist zur Sehne parallel. Dabei ist, da IP'(/) =1= 0, dann lP(a) < IP(~) < lP(b) (oder umgekehrt), und der Berührungspunkt liegt im Innem des Bogens.

1114. a) (x + LlX)2 - x 2 = = 2xLlx + (LlX)2 =

= 2 (x + ~ LlX)LlX,

1 {} =2:' b) {} genügt der Glei­

chung 2x

(}2 + _{}_ Llx

- (~+.!..) = 0 Llx 3

1115. Es ist 1

10 +-;=== . 2../100 + {}

!1! 10,05 =1.

1116. Die Formel von Cauchy ist n-mal auf die Funk­tionen /(x) und rp(x) = = x" und deren Ablei­tungen anzuwenden:

/(x)- /(0) Je" n({}1X)n-l

/"[{}2({}1 X)]

Ja2 + ab + b2 1117.$ = 1

1118.a)J4 -1; r.

b)Jl _ 4. r. 2 '

1 c)ln 2

r. 1119. a) "4;

b)Je:r ~ 2,4

1120. Die Funktion

y=xl-ll hat keine Ableitung an der Stelle x = 1

1 1121. An der Stellex = --

2 1122. 3

1 1123. "2

1 1124. nun-1

1125. 1 a2

1126' b2 1

1127. 2" 1

1128. 6" 1129. 3

1130. a) 00; b) 0

1131.0

1132.0 1133. 3

1134.2

1135.0

1136.0

1137. 1

1138. 1 1139. e3

1136-1167

1140. von zweiter Ordnung

3x - 3arctan x 1141. a) !im ---::--­

x 3 x .... o

= 1

a'< - bX

b)Iim ---x .... o xln~

b

e2x -I-2x c)!im 2 22 =

%-+0 X

= 1

. 2x-ln (1 +2x) d) hm 2 2 =

x_O X

= 1

. 6(x - sinx) 1142. hm 3 =

X-+O X

sin x = !im-- = 1

X-+O x sin 1° "" 0,017453;

ILlyl < 10-6

sin 6° "" 0,1047; ILlyl < 2 . 10-4

1143. {/ 1,006"" 1,002;

ILlyl < 5 . 10-6

{/0,991 "" 0,997;

ILlyl < 2 . 10-5

{/65 "" 4,0208;

ILlyl < 2 . 10-4

{/2iO "" 5,9444; ILlyl < 6 . 10-4

1144. a - b

1 1145.3'

1 1146· S

a 1147. In L

1 1148 . .Ji,

17 Minorski, Aufgabensammlung

1149.1

1150. 1 1

1151. -3 1152. -2

1153. ~ e 1

1154:'6

1155. e3

6(arcsin x - x) 1156. !im 3

x-+O X

= 1

8(.Jh - 1--i-) 1157. !im _ (X2

~ .... o

= 1

.J 1,006"" 1,003; ILlyl < 5 . 10-6

.Jl,004 "" 1,002; ILlyl ;;;; 2 • 10-6

.J 0,998 "" 0,999; ILlyl ;;;; 5. 10-7

.J 0,994 "" 0,997; ILly! < 5 . 10-6

.J65 = 8 )1 + ~ "'" 8,0624;

ILlyl < 3 . 10-4

:J85 = 9)1 + ~ "" 9,222;

iLlyl < 3 . 10-3

1158. a) für x > 0 steigend, x< 0 fallend

b) für alle x steigend, da 3x2 ;::;; 0

1 c) y' = - ---z < 0,

x für alle x fallend

1 d)y' =->0

x im Definitionsbereich, also dort überall (mo­noton) steigend

1 1159. a) y' = -2- > 0,

cos x

257

für aUe x steigend

b) y' = eX > 0, für alle x steigend

c) y' = 4 - 2x; für x mit x;;;; 2 steigend, für x mit x;::;; 2 fallend

1160. Xmln = -2; Ymin = 1

1161. xmln = -2;

16 Ymln= -3; X max = 2;

16 Ymax = +3; Schnittpunkte mit der x-Achse: Xl = 0,

X2,3 = ± 2 .J31'1:i ±3,4

1162.xmax =-I; 2

Ymax= 1 3 ; Xmln = 3; Ymln = -9; Schnittpunkte mit der x-Achse Xl = 0, X2,31'1:i 1,5 ± 3,3

1163. Xmax = ±2, Ymax = 5, xmln = 0, Ymln = 1; flir Y = 0 ist l'I:i ±2,9

1164. Bei x = 0, Y = 0 Wendepunkt; Xmln = 3, 3 Ymln = -6'4

1165. xmax =-2, Ymax=-2; Xmln = 2, Ymln=2; Asymptoten x = 0 und y=xj2

1166. Xmln = 0, Ymln =-1 (Rückkehrpunkt) ; Schnittpunkte mit der x-Achse: x = + 1

1167. Xmax = 0; Ymax '= 1; für x ""* 00 geht y ""* 0,

258 1168-1192

d. h., Y = 0 ist Asym­ptote. Kurve verläuft symmetrisch zur y-Achse (Warum?).

1168. X m •• = 1, Ym •• = -4; Xmln = 5, Ymln = 4; Asymptoten x = 3 und y=x-3

1169. Xmln = 0, Ymln = 0; 2 4

X max = "3' Ymax = 27

1170. xm •• = 4, Ymax = 1, Nullstellen in x = 3 und x = 5; Y = -3 rlir x=-4 oder x=12

1171. Xmax = 0, Ym •• = 1; Asymptote Y = O. Sym­metrisch zur y-Achse

lt 1172. X m .. = 12' Ymu =

=!!...+,J3 11' 12 TfIt:I"

5lt Xmln= 12' Ymln fIt:I 0,4

,;

1173. X max = 3' Ymax =

4lt ,J-= 3- 3 fIt:I 2,45;

lt Xmln = -3' Ymln=

,J- 4lt = 3-3~-2,45;

,;

Asymptoten: x = ± 2 1174. X max = 1, Ymax = 1;

rür x ~ 0 Y ~ - 00;

rlir x~ 00 Y~ 0;

Asymptoten: x = 0 und Y = 0; Schnittpunkt mit der x-Achse: 1 + In x = 0, In x = = -1, x = e- l ~ 0,4

1 1175. X.nID = 2' Ymln =

1 lt = 2 - "4 ~ -0,28;

1 X max = - 2; Ym ..... 0,28;

lt Asymptoten: Y = x ± 2

2 1176. a) Xm •• = 2, Ym •• = -;

e Asymptote: Y = 0;

1 b) Xmln = -, YmlD = e

1 I' = --,1m y= O. e "' .... +0

In diesem Punkt bricht die Kurve ab; Nullstelle in x = 1

1177. a) XmlD = 0, YmlD = 0 (Knickpunkt) ;

J4n---I-xma.=± 2 'It',

Ym •• = 1; b) Xmln = 0, Ymln = 0 (Knickpunkt)

1 lt 1178. Ymln = 2 bei Xmln="4'

3lt 5lt "4' "4''''; Ym •• = 1

bei X m .. = 0, 2' lt,

3,;

2'''' 1179. Definitionsbereich

2 x~ 1; Xmax = 3'

Ym •• = ~ .J3; NuilsteUen in Xl = 0 und X2 = 1

11SO. Xmax = 2, Ymax = .../2; Definitionsbereich x>O

1181. Asymptoten (Polstellen) X = 1, und x = 4;

1 Xmln= -2, Ymln= -9; xm •• = 2, Yma. = -1

1182. Xmln = 1, Ymln = 1,5. Die Kurve nähert sich asymptotisch der Para­

x2 beI Y = - und der

2 y-Achse.

1183. Xminl=O und Xmln2=2; Ymlnl.2 = V4 ~ 1,6; X max = 1, Ym •• = 2 (die Minima sind Rück­kehrpunkte)

1184. Xw = 0, Yw = 0; Xmax = 1, Ym •• = 0,2; xmln = 3, Ymln = -5,4

1185. X m •• = - 2, Ymax = 0; X m1n = -1,2, YmlD ~ -1,1; xw=O, Yw=O

1 1186. Xmax = 2, Ymax = 2" ;

Nullstelle in X = 1; Asymptoten sind die Koordinatenachsen.

1187. xmax=-3, Ym .. =-4,5; xw=O, Yw=O; Xmln = 3, Ymln = 4,5; Asymptoten Y = X und

x= ±,J3 lt

1188. X m •• = "4 + klt,

Ym •• = 1; Polstellen rlir lt

x=2+ k1t

lt 1189. Xmax ="4 + 2klt,

lt 2 Ymax = "4 + 2b - lln 2

1190. a) Xmln = 1, 1 lt

Ymln = 2" In 2 - "4 ; b) X m •• = -1, Yma.= 1; Xmln = 0, Ymln = ° (Knickpunkt mit den Tangentenrichtungen m=±2)

1191. Xmln = 0, Ymln = 0, 4

X max = 2, Ym •• = e2 ~

1 ~ 2"; Asymptote Y = °

1192. Xmln = -I, Ymln = 2 (Rückkehrpunkt) ; Xmax = 0, Ymax = 3; bei x .. 4 eine Nullstelle.

1193-1209

1193. Xmax = 2, Ymax = 4; Nullstellen in Xl = 0, X2 = 4

1194. Xmln = -1, Ymln = -4; Nullstellen in Xl = 1, X2= -3

1195. Xmln = 0, Ymln = 0; 4

Xmax = -2, Ymax = 3 ; Nullstellen in Xl = 0, X2= -3

1196. Xmln = -1, Ymln = -4; X max = -3, Ymax = 0

1197. Xmax = 0, Ymax = 0; bei X = 2; Y = ±oo; Xmln = 4, Ymln = 8. Asymptoten: X = 2 und Y=x+ 2 (Bild 45).

Bild 45

1198. Xml n = -3, Ymln = -6,75; Xw = 0, Yw = 0; Nullstellen in Xl = 0, X2 =-4 (Bild 46).

1199. Xinln = ±2, Ymln = -4; Xmax = 0, Ymax = 0; Nullstellen in Xl = 0,

XZ.3 = ± J8 F:d ±2,8

1200. Xmax = 0 (Rückkehr­punkt), Ymax = 0; Xmln = 1, Ymln = -1; Nullstellen in Xl = 0,

3 . X2 = 3 8 (BIld 47).

.Y

Bild 46

1201. Xmax = -1, Ymax = 2; Xmln = 1, Ymln = 0; X = 0, Y = 1. Asym­ptote Y = 1

1202. Xmln = -1, 1

Ymln = - -:.;~ F:d - 0,6;

Xmax = 1, Ymax F:d 0,6, x-Achse ist Asymptote.

1203. Xmln = 2, Ymln = = 2(1 - In 2) F:d 0,6; y-Achse ist Asymptote; X = 1, y= 1; x=e2~ 7,4. YF:d 3,4

1204. Xmax = 0, Ymax = 0 (Umkehrpunkt); bei

y

Xmln = 2,

Ymln = -3!j4F:d -4,8; Nullstelle in X = 5.

Bild 47

259

Die graphische Darstel­lung ist der in Bild 47 ähnlich.

1t 1205. Xmax = + 6'

../3 1t Ymax= -2' - 6 F:d

F:d 0,34; 1t

Xmln = -6'

Ymln F:d - 0,34. 1t

Beix=±'2

1t ist Y = =f'2 F:d =fl,57

1t

1206. Xmln = 4' 1t'

Ymln = '2 + 1 F:d 2,57;

31t

Xmax = 4' Ymax = +3,71; Asymptoten: X = 0 und X = 1t

1 1207. X m .. = -'2'

1 31t

Ymax= -'2+ '4F:d

1 F:d 1,85; Xmln = '2' YmlnF:d 1,28; X = 0,

1t

y='2;

Asymptote: Y = X

1208. Xmln = I, Ymln = 1 (Rückkehrpunkt); x= O,y= 2; x=2, y=2

1t 1209. Xma.l = 6 und

51t

xmax2=6;

Yma.l.2 = 1,5; 1t

Xmln = '2;

Ymln = 1

260 1210-1245

1210. Xmln = 0, YmlD = 0, Xw= 1, Yw= 1

1211. Xmax = e, 1

Ymax = -FI:S 0,4; e

Nullstelle in x = 1; Asymptoten: x = 0 und y= 0

1212. XmlD = -3, YmlD = 6; bei x = -2 ist ein Pol; Xmax = -1, Ymax = 2. Schnittpunkte mit den Achsen: x=O, y= 1,5; Nullstellen in

x = ±.J3 FI:S 1,7; Asymptoten: x = -2 und y= 2-x

1213. XmlD = I, Ymln = 2; Xmax = -I, Ymax = -2; bei x = 0 Pol; Asymptoten: Y = x undx=O

1214. a) Für x = 0 ist Y = a. Schnittpunkte mit der x-Achse:

1t"

x=2+ k1t

Extrema: 31t"

Xmln = -;:r + 21t"k,

71t" Xmax = 4 + 2k1t".

Die Kurve ist die graphi­scheDarsteJlungeiner ge­dämyften Schwingung; sie ist einbeschrieben in die Kurven y= ±ae-"', auf denen sich auch die Extrempunkte befinden. Die Konstruktion be­ginne man mit den Kur­ven Y = ±ae-x •.

Die x-Achse ist Asym­ptote. b) Xmax = -1, Ymax = 2; Xw= 0; XmlD = 1, Ymln = -2; Nullstellen in Xl = J, Xl.3F1:S ±1,3.

1215. Xmln = 1, YmlD = 3; Pol bei x = 2; Xw = 4, Yw= 0; x= 0, YFI:S 3,6.

1216. Xmln = -2, Ymln = 0; xmax = -4, Ymax = 0,8. Xmu = 1, Ymax FI:S 2,8. Die x-Achse ist Asym­ptote.

1217.xmax =±I, Ymax=l; Nullstellen in

1 x= ± .J"2 FI:S ±0,7.

Asymptoten sind die x- und die y-Achse.

1218. Xmax = 0, Ymax = 1; Xmln = I, Ymln = 0; Nullstellen in X = ± 1.

1 1219. Xmln = -1, Ymln = 3;

Xmax = 1, Ymax = 3; x = 0, Y = 1; Asym­ptote: Y = 1

1220. Xmax = -1, Ymax = 1; Nullstellen in Xl = 0, X2 = -4. Die Kurve verläuft im Bereich x~ 0

1221. a) Pol bei x = -2; Wendepunkt in (-3; 0), Minimum in (0; Fl:S6,75), Asymptoten: x =-2 undy=x+ 5; b) Minima in (2n1t"; 0), Maxima in [(2n + 1) 1t";

.J"2]. In den Minima exi­stiert y' nicht (Knick­punkte).

1222. 30m X 60m

1223.5 und 5

ah 1224. 4

a 1225. 6 1226. 4m X 4m X 2m

1227.20cm

1228.60" 18

1229. 1t" + 4 FI:S 2,5

1 . 1230. cos IX = - Gedoch un­

m ter der Bedingung, daß 1 a

-;;; ~ AB' wobei a

die Projektion von AB auf die Richtung der Eisenbahnlinie sei).

1231. In 18 m Entfernung von der stärkeren Licht­quelle.

s 1232. Nach t = 2V . wird die

geringste Entfernung s/2 betragen.

d d../3 1233. x= 2' y= 2-

1234. Vl : V2 = ../3 FI:S 1,7

1235.IFl:S5,6m; wird be-stimmt als Maximum der Funktion

2,4 1,6 1=-.-+-.

SIß IX COSIX

123C 1281t" d 3 bei· u. Vmu = -9- m

einer Höhe von x=2 dm.

1237. Amax = r2 bei einer r

Höhe x= ../"2 1238. (1; 1)

1239 . ..ßb 1240. Bei x = 2 m

1241. 4 cm und J3 FI:S 1,7 cm

1242. P(I,5; 0), ImiD = 8,95

1243. Die Schnittfläche ist ein Quadrat mit der Seiten­

d länge J"2.

1244. Füu = 21t" J ~ = 2940

I-'G 1245. F= ..

COSIX+,uSIßIX'

tan Ol = I-' = 0,25, IX FI:S 140

1246-1261

1246. a)y= x2 , y" = 2> 0; die Kurve ist überall konvex;

b) y = x\ y" = 6x, die Kurve ist konvex für x > 0 und konkav für x < 0, bei x = 0 liegt ein Wendepunkt;

c) y = e", y" = e" > 0 die Kurve ist überall konvex, (0; 1) ist ihr Schnittpunkt mit der y-Achse;

d) y = In x (x > 0), 1

y"= --< 0 x 2 ,

die Kurve ist überall konkav; (1; 0) ist ihr Schnittpunkt mit der x-Achse;

e) (0; 0) ist Wendepunkt

1247. Die Wendepunkte der Kurven sind:

a) (2; - n; b) (± ~~; e-I / 2);

c) ( ± J3; ± ~3) und (0; 0);

d) Wendepunkt an der In 2

Stelle x = - T ~ R> -0,35

1249. SI(O; 0); S2(-4; 0); Max. in (-2; 4)

1250. a) Max. (; +2k7t; 1) ;

Min. ( ~ " + 2k7t; - 1 ) ;

Wp(k7t; 0)

b) Min. (rr + 2k7t; -1); Max. (2krr; 1);

WP(; +k";O)

k=O, ±1, ±2, ...

1251. a) Wp (0; 0) b) Min. (0; 1)

1252. Definitionsbereich: x> -2. Schnittpunkte mit den Achsen: (-1; 0) und (0; In 2). y steigt im gesamten Bereich, die Kurve ist konkav. Asymptote x= -2

1253. Wertevorrat: y> 0, Y = 0 ist Asymptote.

1254. a) symmetrisch zur x-Achse. Definitions­bereich beider Zweige: x ~ o. Der obere Zweig ist konvex, der untere konkav. Beide Zweige berühren die x-Achse im Punkt (0; 0). Die Kurve heißt "semikubische Pa­rabel" (vgI. Bild 55) b) wie die vorhergehende Kurve, aber um 3 Ein­heiten nach links ver­schoben.

1255. a) Xmax = 0; Ymax =-1, Asymptoten sind die Ge­raden x = - 2. x = 2 und y = 2 (drei Äste);

b) Max. in (1; 2), Min. in (- I, - 2), schneidet die x-Achse in

1 J­x= ±3 3,

Wendepunkt bei x = ± J2, Asymptoten sind die x- und y-Achse.

1256. a) Die Kurve verläuft im Bereich x> 0, Nullstelle bei x = 1; Asymptoten sind die x~ und y-Achse. Max. in (e; 1); b) Max. in (1; 1), Wende-

punkt in (2; ~), die

x-Achse ist Asymptote, geht durch (0; 0).

261

1257. a) Min. in (0; 2), Asym­ptoten x = -2 und x-y= 0; b) symmetrisch zur y-Achse, Nullstellen:

Ji x=±T~±0,7,

Min. in (± 1; -1), y-Achse ist Asymptote.

1258. a) Die Kurve verläuft im Bereich x> 0; Min. in (l; 1); konvex, y-Achse ist Asymptote; b) y-Achse ist Symme­trieachse, Min. in (0; a); überall konvex. Die Kurve heißt Kettenlinie.

1259:a) Max. in (0; 0), Min. in (V4~1,6;~2,1), Wendepunkt in

(-Vi~-1,3; ~-O,8), Asymptoten: x = 1 und y = x; b) Min. in (-1; -3), Nullstelle: x= -VO,25 .. R> -0,6, Asymptoten sind die x- und y-Achse.

1260. a) Symmetrisch zur x- und y-Achse, die Kurve verläuft im Bereich lxi< Ji, Extremwerte in (± 1; ± 1), Null­stellen: x = 0 und

x= ±J2: b)aufdemZweigy=x+

+ _J2= Min. in (1; 3); x 2

der Zweig y = x - J; schneidet die x -Achse in x = V4 R> 1,6. Beide Zweige haben die Asym­ptoten y=x und x=O.

1261. Min in (- 2; - V 16R> R> - 2,52), Max. in (2; R> 2,52) (beides Rück­kehrpunkte), die x-Achse ist Asymptote,

262 1262-1308

denn 8x

y = (X+2)4/3+(x l -4)2/3+ +(X- 2)413

-+ 0 flir x -+ ± 00

1262. Symmetrisch zur x-Achse, Kurve verläuft im Bereich x;;;;;O; Asym­ptote ist die x - Achse

( lim y = 0); Extrem-X"" co

werte in

(1; ±}~ ± 0,3)

1263. a) d(x2)

b) d (~4) c) d (sin x)

d) d (In x)

e) d (tan x)

f) d (arctan x)

x 3

1264. a)3"+x2 +lnx+C;

1 b)2x' - x 3 + C

I-x 1265. a) -2- + C;

X

x 2 1 b)2+2Inx-h2+C

1266. a)x(~ v':;+o~V:;) +C;

b) 2 v':; - 4 V~ + C

2xv'; 1267. a) -3- - 3x +

+ 6v'; - In x + C;

3 3 r b) 4 (x - 4) '" x + C

1 1268. a)e"'+ -+ C;

x tr 2

b) ----=+ C lna v'x

1269. a) -cot x - tan x + C; b) -cotx - x + C

1270. a) I . 2 dx 2 = sm xcos x

fSin2 X + cos2x = sin2 x cos2 x dx=

= tanx - cotx + C;

b) 3 tanx + 2cotx + C

x sinx 1271. a) 2 - -2- + C;

x sinx b) 2+ -2-+ C

1272. a) 2 arctan x-- 3 arcsin x + C;

x3

b)3"-x+

+ arctanx + C

x4- 1 1l73.a)~-2lnx+ C;

3!: 2 b)3 y x+ v';+ C

2(x + 2) 1274. a) v' x + C;

8 b) 41n x - v'~-

1 --+C x 1

1275. a) Inx- -­x

1 --+C' 2x2 '

b)x + cosx + C

1276. a) e" + tan x + C; a'" 1

b) In a - 4x4 + C

1277. cosx - cotx + C

1278. tan x -- x + C

1 1279. Tsin 3x + C

x 1280. -2 cos"2 + C

1 1281. - T e-3" + C

1 1282. stan 5x + C

1283. 2(e·~/2 - e- X / 2) + C

1 1284. "6 (4x - 1)3/2 + C

(3 - 2x)' 1285. - 10 + C

1 1286. - 8" (5 - 6X)4/3 + C

1287. -v'3 - 2x + C 1

1288. b cos (a - bx) + C

1289. In (x2 - 5x + 7) + C 1

1290. 21n (x2 T 1) + C

1291. -(J,11n 11 - 10xl + C 1

1292. - 61n 11 - 3-e2 "'1 + C

1293. In !sin xl + C

1294. - In Icos xl + C

1295. In Isin 2x1 + C 1

1296. -Tlnll+3cosxl+C

1 1297. "2 In 11 + 2sinxl + C

1298. In 11 + In xl + C

sin3 x 1299'-3-+ C

cos4 x 1300. - -4- + C

1 1301. - -3 . 3 + C sm x

1 1302'2~+C cos x

2-cosx 1303. sin x + C

sinl x 1304'-2- + C

1305. - eCOOX + C

1 1306. 3" ex3 + C

1 1307. -"2e-x2 + C

1308.2 el':; + C

1309-1361

1 1309. 3../(X2 + 1)3 + C

1310. : :) (X3 - 8)4 + C

1311. ~ :)(1 + X 3)2 + C

1312. -.J~ + C

1313. -0+ 2cosx+ C

1314. ~ .J(1 + In X)3 + C

1 1315. 6" (1 + 4 sin x)3/2 + C

1 1316. - 40 (1 -'- 6x5)4/3 t- C

1 1317. 2x + 2 (e2 % - e-2")+ +C sin4 x

1318'-4-+ C

1 1-1319. - 2 " 1 - 4x + C

1 1320. - b sin (a - bx) + C

1 1321. "4 (1 + 3X)4/3 + C

1 1322. - 7 (1 - 2x3)'/6+ C

1323 . .Jl + x 2 + C

sinx-2 1324. + C

cosx

1325. 2 In Isin xl - cot x + C

1326. eSiD % + C

1 1327. - 31n 11 - x 3 1 + C

1 1328. 2b (a _ bX)2 + C

1330. a)O,llnl: ~ !I+ C;

1 x b) 3arctan 3 + C

x 1331. a) arcsin 2 + C;

b) In (x + .Jx2 + 5)+ C

1332. a) In Ix + ../ x 2 - 41 + C 1 x

b) .J3 arctan ../3 + C

x 1333. a) arcsin .J5 + C;

1 x 3

b) 6" arctan 2 + C

1 x 2

1334. a) 2arcsin ../3 + C;

b) 2!b In 1 :: ~ : 1 + C

1 2x 1335. a) "2 arcsin .J3 + C;

1 /-b) 4" In (x4+"x8-1)+

+C 1336. a) 2,51n (x2 + 4) -

x - arctan 2 + C;

3 b) 2In (x2 - 4) --"

-lnl;~~I+c 1337. a).Jx2 + 1 +

+ln(x+.Jx2 + 1)+C; b) -.Jl- x 2 + + arcsin x + C

1338. x - arctan x + C x 3

1339'3+ 3x+

+ 3.Ji In lx- ../~I+c 2 Ix+.J3

1340. arctan (x + 2) + C

1 x- 3 1341. "2 arctan -2- + C

1342. In (x+l +.Jx2 +2x+3) +C

x+l 1343. arcsin .J"2 + C

x-2 1344. arcsin -2 - + C

2 2x+ 3 1345 . .J3 arctan 73 + C

263

1 4x- 3 1346. r.; arcsin -- + C

,,2 5 1

1347 . .J31n /3x - 1

+ .J9x2 - 6x- 31 + C

1348 . ../3 (arctan ;3 +

+Inl:~~~~+ C

x 1349. arcsin .J"2 +

+ln(x+.J2 + x'l)+C 1350. 2 In (x2 + 5) -

- .J5 arctan Js + C

1351. x + ~InI:~11+c x3

1352'3- 2x+

+ 2.J"2arctan ~ + C

1353. arcsin (e") + C

1354. arctan (2x2) + C

x+2 1355. 0,2arctan -5-+ C

I x-I 1356. iarctan -2- + C

x+2 1357. arcsin -3- + C

I 1358. i In (x2 + x +1)-

I 2x+1 - .J3 arctan .J3 + C

1 1359. "2 In (2x + 1 +

+.J4x2 + 4x+ 3)+C 1360. x In lxi - x + C

x 2

1361. 21n Ix - 11-

-H~2 +X+ln lx-l l)+

+C

264 1362-1406

1362. ~e2X (X -~) + C

x2 + 1 X 1363. -2--arctanx- 2+C

1364. x 2 sin X + 2x cos X -

-2sinx+ C

1 _ ) 1365. 2eX(smx - cosx + C

1366. Durch die Umformung

JJx2 + kdx =

-f x2

dx+ - Jx2 + k

+ f k dx Jx2 +k

wird die Aufgabe auf bekannte Integrale zu-­rückgeführt.

1367. x[(1n lxi - 1)2 + 1] + C

-1368. -xcotx+ln Isinxl +C 1369. _ In lxi + 1 + C

x

1370. 2 ~ arcsin x+ +4Jl-x+C

1371. xarcsinx+Jl-x2+ C

1372. -e-X (x3 + 3x2 + +'6x+ 6)+-C

1373. xln (xl + 1) - 2x+ +2arctanx+C

1374. i (cos(1nxHsin (1n x)] +

+C

1375. ~JX3 (In IXI-~) + C

1376. -2 e-x/2 (x2 + 4x + 8) +C

1377. x arctanx-

- ~ In (1 + x2) + C

1378. xtanx + In Icos xl + C

1379. ~e"(Sin x + cos x) + C

1380. 4J2 + x-I- x

- 2" 2- x arcsini +C

1381. --21 (~-+cotx)+c sm x

1382. x arctan J2x - 1 -

.J~ - 2 +C x sin 6x

1383· T -1'2+ C

1384.3x+4sinx+sin2x+C

3x sin4x 1385. T+cos2x--8- +C

3x sin 2x sin 4x 1386 - + -- + --+C . 8 4 32

x s{n 4x 1387. 8- -n+ C

3x sin 4x sin 8x 1388. 128 -128 + 1024 + C

x sin 4x sin3 2x 1389'16-~+~+

+C 2

1390. -cosx + ]cos3 x-

cos5 x --5-+ C

sin3 x sins x 1391. -3- - -5 -+ C

1 1 1392. 4 sin4 x - 6 sin6 x + C

3 1393. sinx-sin3x+ Ssin5 x-

l . --sm7 x+ C

7

1394.7x+14sinx+3sin2x-8 sin3 x

3 +C 1

1395. --.--sinx+ C smx 1

1396. --+ cosx + C cos x 1

1397. 21n Itan xl + C

1398. a) In I tan i I + C;

b) In I tan (i+ i) I + C

1399. ~ [In I tan i 1 +,

+lnltan (i + ;;)1]+ C

1400. I _ dx = smx - cosx

. r dx = " sin x - sin (i - x) =

tan2 x 1401. -2- + In Icosxl + C

cot2 x .-1402. - -2--lnlsmxl +C

1 1403. - g(cos4x+2cos2x)+C

1 [Sin(m+ n)x 1404. 2 m+ n +

sin(m- n)x] + +c m-n für m 9= n

und

x .1. 2 +C -+ -4 sm mx 2 m

für m=n 1 1 .

1405. a) 4 sin 2x - 16 sm 8x + +C;

1 [ sin(m - n)x b)i m- n -

_ sin (m + n)x ]- + C Ifm+n

für m 9= n und

x 1. 2mxC i-4m sm +

für m= n

1 1406. - 12 cos 6x

1 . -gsm4x+ C

1407-1444

5 (SinS x 1407. a) 16 x-cosx -6--F

5 sin3 x 5 SinX) +~+16+C

5x (COSS x b) 16+ sinx -6-+

5cos3 x 5 cos X) + 24 + -1~6- +C

cos X 1 I Xl 1408. a) - -~-2- + -ln I tan-2sm X 2 I 2

+C; sin x

b) 2cos2x +

+ ~ln Itan (i+ i)1 +C

llx 1409. 2 + 3 sin2x +

9 + 8"sin4x + C

3 1 1410. 8"x - 4sin 2x +

1 + 32 sin4x+ C

x sin 4x sin3 2x 1411. 16 -~-~ +

+C 2sin3 X

1412. sin X - -3-+ sins x

+-5-+ C coss x cos3 x

1413'-5---3-+ C

1414. 7x-14 cosx-3sin2x+ 8 cos3 X

+ 3 +C

1 1415. 2ln Itanxl- x + C

1 1416. 8" (2 sin 2x - sin 4x) + C

1 1417. --+cosx+tanx+C

cosx

1418. - ~cos (2x +~) +

1 +4x+ C

x 3

1419. a) "3 + x2 + 4x +

+ 8 In Ix - 21 + C;

x3 a3

c) "3 + "3 In Ix3-a31 + +C

C(x - 2)2 1420 1 .n x-3

1421. In 1 (: ~ ;31 + C

Cx3(x ~ 1) 1422. In + x 1

x 2 (x - 1)8 1423. T + 4x + In-~

+C

1424. ~ + In I x ~ 21 + C

1425. 2.. In \ x - al + x - a a 2 x ax2

+C 2

1426. In Cx(x - 1) + x-I

1427. In Ix - 21 __ 2_+ C x + 1 x+l

5 1428. 2 In(x2 + 2x + 10)-

. x+ 1 -arctan-3-+ C

1429. 2 In (x2 - O,2x+O, 17) -

10x-l - 5 arctan -4- + C

1430. In {lx+ll../x2 + 4)+C

../x2 -2x+ 5 1431. 3 In lxi +

x-I +2arctan-2-+ C

1 (x + 2)2 1432. 24 In x2 _ 2x+ 4 +

1 x- 1 + (.;'arctan r +C

4,,3 ,,3

265

~1 1 1433. In Ix + 11 - x + 1 +

+ arctan x + C

1434. a) 2~j (arctan ; +

+ x2~b2)+ C;

1 [x(5b2 + 3x2

b) 8b4 (x2 + b2)2 +

+ !arctan;]+c

x+9 1435. a) - 8(x2 + 2x + 5) -

1 x+ 1 - 16 arctan -2- +C;

1 [(x-3)(3x2-18x+32) b)g L (x2 - 6x + 10)2

+ 3 arctan(x - 3)] + C

../;i+t x-I 1436.In Ix+ 11 + x2+1 +C

x-2 1437. 4(x2 + 2) +

../2 x + - arctan -= + C

8 ../2

1438.2..1nl-x-l+ C a x+a

1439'~bInlx+ bll + C a- x+a

1440. ~ Injl-~I+ C

1 Ix - "/3'1 1441. -10/3 In x + ../3 -

1 x - --- arctan -~ + C

5../2 ../2

1442.2.. + 2.. In Ix - 11 + C x 2 x+ 1

1 I4+X2_X2 1443. 4 x(4 + x2) dx =

1 lxi = -ln + C

4 ..)4+ x 2

C(X - 2)3 1444. ln 1 x-

266 1445-1480

1445. In C(x - 1) J2x + 3

C(x - 1)3 1446. In (X + 2)2 (X - 2)

C(x-l) 2 1447. 3 In X + 2 - x + 2

C(x-2) 1 1448. 21n - --

x x-2

lxi 1449.ln I +

yx2 -2x+2 + 2 arctan (x - 1) + C

I ,Jx2 + a2 1450. -(i In lxi +

1 x +-arctan-+C

a a

1451. ~In Ix+ 11 _+ 3 J;2+2

1 x + 3 ,Ji arctan ,Ji + C

1 (x - 2)1 1452. 24 In x2 + 2x + 4 -

1 x+ 1 - -- arctan ---

4..ji ..j3 +C

1 [ x+ 2 1453. -2 x2 + 2x+ 2 +

+ arctan(x+ 1)] + C

1454. ~ Inlx~51+ C

lIx2+3-X2

1455. 3- X2(X2 + 3) dx =

1

3x 1 x

- 3,J3 arctan ,J3 + C

1 Ix2+ I - (x2 - 1) 1456. 2 (x2+ 1) (x2 _ 1) X

1 IX-lI Xdx="4 ln x+l -

1 - -arctanx+ C

2

1 Ix2 + 1-(x2 -2) 1457.) (x2+1)(x2 -2) dx

= 6Jilnl;~~I-1

- Tarctanx+ C

1458. X; 2 !j(3x + 1)2 + C

2x+l( ,-1459. -U-- 2y2x+l- 3)

+C

1460. 6[\~ - ~~ + V~-- In (1 + V;)] + C

2 1461. 15 (3x2 - ax - 202) X

X~+C 3 [V(x4 + 1)2

1462. 4 2 -

-Vx4 + 1 + + In (V x4 + 1 + 1)] +C

(x2 -4)J;2+2 1463. 3 + C

. 1 1464. =farcsm - + C x

(- für x> 0 und + für x< 0).

Cx 1465. In ---;==ö===

x+l+v'2x2+2x+t

1466. - !J2a- X + C a x

1467. In C(x + 1) 1+,Jx2+2x+2

t468. ~[x~ x2 +

+ a2 arCSin;] + C

x 1469. -r=.=,...,- + C

4,,4 + Xl

x 1470. 2 arcsin 2 -

- ~(2-X2),J4-X2 + C 4

xl 1471. + C

3a2 ,J (a2 + X 2)3

1472. I ,J4- (x -1)2 dx

lösen wir durch Substi­tution x-I = 2 sin I,

I ,J 4 - 4 sin2, 2 cos I dt = x-I

= 2arcsin-2-+

(x-l),J3+2x-x2 + 2

+C 1473. _ x _ arcsin. x _ +

,J2-x2 ,J2 +C

1474. ~(X + 5),Jx2+ 2x + 2

- 3,5 In (x + 1 + +,J.x2+2x+2)+ C

1475. -J3-2x-x2 -

. x+ 1 - arcsm-2-+ C

1476. Lösung s. Aufgabe 1366

x-a .----1477. -2-.../ 2ax - x 2 +

a2 x- a + - arcsin -- + C

2 a

1 IVlU-11 1478. -3 In 4 r;-;--;. + V1 + x3 + 1

2 .--+3arctan Vl+x3 +C

3/(2 _ X3)2

1479. - V 4x2 + C

m+l -2+ 1 1480. -n-+P= 2 +

3 + 2 = ganze Zahl; sub-

stituiert man

.c2 + 1 =/2 ,

1481-1518

so erhält man:

J.r2X-3 dx Jt2 -1 (x 2+1)3/2 =- I2 dl

1 + 2x2 --.==+C x~1 +x2

m+ 1 3 + 1 1481. -n - = -2- = ganze

Zahl; substituiert man a - bx2 = 12 , so erhält

1 J12 - a man: b2 --;z- dl =

20- bx2

= +C bl .ja-bx2

(x - 2) .J2x =t 1482. 3 + C

(3x + 1)2/3 1483. 2 + (3x+ 1)1/3

+ In 1(3x+l)1/3 -11 +C

1484. x-2~~+2In(.j~+t) +C

1485. -0,3(2x+3a) VI (a-x)2

+C

1486. 2../x- 2 + __ + .J2 arctan JX ~ ~ +

+C

3(x2 + 1) (V (Xl + 1)2 1487. 2 5

yfx2+1 1) + 4 + 3" +C

1488. In (1 + ../1 + x 2 ) + 1

+ +C 1 +../1 + x2

1,--1489. x 2+ 3" y (4 - X 2)3 + C;

in diesem Beispiel ist es günstig, zuerst die Irra­tionalität im Nenner zu beseitigen.

JX+2 1490. 1= -x- + C (- bei

x>O und + bei x<-2).

1 1491. arccos --1 + C für

x-x- 1> 0;

1 - arccos --1 + C für x-x-l<O

1492. 2 arcsin ~ - ~ ../ 4 - x 2

+ C 2 2

1493.2 arcsin J~ -../2x- x~ +C 2

2+x 1--1494. -2- Y 4x + x2 -

- 21nlx+2+.J4x~I+c x+ 6 ,

1495. - -2- Y 5 + 4x - x2

17 x- 2 + 2arcsin-3-+ C

~ 1 1496. - 2xl + 2 X

../1"+-;;' +1 X In lxi -+ C

/1 + x 2 1497. - Y + C

x

1498. Durch Substitution l-x3=t2 , findet man:

J Xl dx 2J dl x3../1-x3 = 3" 12 -1

=~lnl.Jt=;i-II+c 3 1../1 - x 3 + 1 i

1499. Durch Substitution 1

x = - findet man' t .

-I"/3 _ d~t _ (2 =

= - I ../4 - ~; + 1)2

x+l = ±arccos~ + C

für x:;Z 0 I

1500. 21n (e2"+ 1)-

- 2 arctan (e") + C

267

1 1501. 3"tan3 x-tanx+x+C

e2" 1502. -Z- - 2 e" +

+ 4 In (eX + 2) + C

1503. In \tan ~/ + C

I ( 1 X) 1504. 2 arctan 2 tan 2 +

+c x

I 2tan2 + 1 1505. -In + C

5 x tan 2 - 2

cot3 x 1506. - -3- - cotx + C

1507. ~ arctan ca; X) + C

1508. e"+ In le"- 11 + C tan4 x tan2 X

1509. -4- - -2- -

~ In Icos xl + C

151O.e"+ ! In/::~ :1+ C

1 (tan ~) 1511. ~2 arctan ../2 +C

tan3 x 1512. -3- + tan x + C

1 1513. 2 arctan (2 tan x) + C

1514. ~ In/tan ~ /+

1 x + -tan2 -+ C

8 2

1515. ~ In Itan ~ l-I x

- -cot2~+ C 4 2

1516. 21n leX - ll-x + C 1

1517. 2 (tanx + In Itanx/} + C

sinh 6x x 1518. a) -1-2 - - 2 + C;

268 1519-1560

x b)2 + cosh2x +

sinh4x +-S-+C

sinh3 x 1519. sinh x + -3- + C

1520. In Icosh xl + C

1- coshx 1521. - sinh x + C

(X sinh2x

1522. - 2 + -4-+

sinh2 X) +-2- +C

1523. und 1524. sieheSeitel3S, Nr.1366.

Je 1525. ~+C

4,,4 + x2

x 1526.- ~+C

5 x 2 - 5

cosh3 3x cosh 3x 1527. 9 - -3-+C

sinh4x x 1528.--n-- 8+ C

sinh5 x 1529.-5-+ C

1530. x - coth x + C

1531. +2../coshx - 1 + C für x;?; 0

-2,Jcoshx-l+C für,x<O (unter dem Integral sind Zähler und Nenner zu-erst mit ,J cosh x-I zu multiplizieren).

sinhx-2 1532. oosh x + ~

1533. ~ Inlx -t- ,Jx2 - 3] +

+~ .Jx2 -3+C

1534.lnlx +.Jx2 + 31-

../~ - +C

x

1535. 2.Jx+ 1+

+ lnlx+ 2-~../~I +C

. (arctan X)2 1536. 2 + C

1537.~ln/x+ a/_ ~+ C a2 x ax

1538. tanG - :) + C

1539.2 arcsin../~ + C (man setzt x = sin2 t).

1540. ab· arctan ( ! tan x) + +C

1541. ! (x2 + xsin 2x +

+ ~ COS2x)+C

1542. In C(e" + 1) - x - e-"

1543. f J~ ~: dx=

f 1- x / dx=

."I-x2

= arcsinx+

+../I-x2 + C cot3 x

1544. - -3 -+ C

1545. x tan x + In Icos xl­x 2

-2+ C

1546. In /tan ~ 1+ cos x + C

1 cos x 1547. -b arctan -b + C

1548. 3xl/3 - 12x1/ 6 + + 24 In (Xl/6 + 2) + C b- 3ax

1549·6a(ax + W + C

(Man substituiert ax+ b= t).

1 1550. - - - arctan x + C

x 1

1551. - + 1 tanx

(Man teilt Zähler und Neruierdurchcos2 x und setzt tan x = t).

1552. ! ../ a + b In x + C

1 1553. 3b(n-l)(a-bx3)"-1 +

+C für n =l= 1 und

1 --In la - bx31 + C

3b rur n = 1. Man trennt unter der Wurzel ein vollständiges Quadrat ab und setzt. x+l="/2sint (oder löst die Aufgabe mit Hilfe der Methode der unbestimmten Ko­effizienten) ;

x+ 1 I -2-" 1 - 2x - x 2 +

x+l + arcsin .J2 + C

x+l x+l 1554. arcsin --::J2 + -2- X

X ../1 - 2x - x 2 , + C

2../~+ 1 1555. - (../x + 1)2 + C

1 x 2

1556. 2 1n 1 + x2-

arctan x ---+C

x 1 e" I

1557. 2 arctan 2 - 2 x + 1

+ 41n(4+e2,,)+ C

1558.lnl cr I 1+ 2x+l

1559. x + cot x -1

-- cot3 x+ C 3

../~ 1560. - -

x . x

- arCS1ß"2+ C

1561-1600

1561. a) Irin I ~ + cot x I 2",3 3-cotx

1 + C= 2J3 X

sin(x+ :) X In +

Sin(x- :)

+C;

1 1../3+tanxl b)--In 2../3 ../3 - tan x

+C 1562. a) Irrationalität im Nen­

ner beseitigen; 2 3a [(x+a)3/2- x3/ 2]+C;

b) -} [x../x2 + 1 +

+ln(x+../x2 + 1) + + x2 ] + C x2 1

1563. T+ x+X-+

C(x - 1)2 +ln x

1 (X + 2)3/2 1564. -3 -x- + C

( Substitution x = + ) 1565. ~ arctan ~ + C

(Man setzt x 3 - 1 = (2 )

1566. ~ [x + In Isinx + cosxl]

+C

1167. 2l../~ arcsin../~ +

+ ,.)1 - xl + C

1568. tan2 x + C oder 1

COS2 X+ C1

f COS2 X - sin2 x _ 1569. sin4 x dx-

= -Jcot2 xd(cotx)+

+ J d(cot x) = cotx­cot3 x - -,-+ C

1570. -cotxln(cosx)-x+C

1571. e-% + ~In I::~ ~ 1+ C

1572. ~ tan4 x + C (Substitu­

tion tan x = I)

x+l 1573. In Ixl---Inlx+ll+

x +

1574. J ,.)1- sinx dx =

f cosxdx -± -- ../1 + sinx -

= ±2../1 +sinx + C ( + für cos x> 0 und - für cos x < 0)

1 r) 1575 . .J2 arctan ('" 2 tan x +

+C

l' d(x2 )

1576. 1: J (x2 + 1) (x2 - 2) =

1 fX2 + 1 - (x2 - 2) ="6 (x2 + 1) (x2 _ 2) X

1 Ix2 - 21 X d(x2 ) = "6 In x 2 + 1

+C

1577. -2e-V~(../;+ l)+C

1578. 2"/-; arctan../~--In 11 + xl + C

1579. ,.)tan x + C (Substitu­tion tan x = I)

x 2 + 1 1580. In lxi -~ X

X In (x2 + 1) + C

1 1581. 1- arctan (aX ) + C

na

1582.2(,.); + cos ,.);) + C

2(x+7) ,-1583. 3 ",x+l +

+ 2../Zln 'ix + 1-../~+C "'x + 1 +",2 (Substitution x + 1 = t 2)

1584.;or -.jl-x2 arcsinx+C

../x2 - 1 1585. -'---­

x

269

( Substitution x = ~ ) 3x2 +3x+l

1586. - 3(x + 1)3 + C

(Substitution x + 1 = t)

1587. ,.)2ax + x 2 - 2a X

X In Ix+a + "/2ax+x2! +C (Seite 142, Regel 4).

(2x - I? 1588. In -lx2 + xl + C

1 +cosx+sin2 x 1589. - . + C

smx

1 C(x2 + 2x + 2) 1590. 16 In x 2 - 2x + 2 +

1 2x + garctan 2 _ x2

[Der Nenner wird auf folgende Weise in Fak­toren zerlegt: x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2

= (x2+2)2-4x2= usw.] a2

1591. a)T

a3

b)3

c) ea - 1 d) 2

1592.55 = 0,646, S, = 0,746,

f2 dx = 0,693 : x

1593.20

5 1594.2 g

14 1595. 3

11' 1596'6

11' 1597. 120

1598. 3(e - 1)

1599. In (1 + ,.)2) 1

1600. 2"

270 1601-1649

1601. Durch Substitution x=t2 und entsprechende Änderung der Grenzen

J3 2t dt erhält man -- =

2 t-l = [2t+2ln(t-l)U= = 2(1 + In 2)

2-J3 1602. 2 .

1603. 2-ln 1

1t J3 1604'3- ""2

2e 1605. ln e + 1

a(1t - 2) 1606. 4 (Substitution

x= asin2t)

1 1607'3

1tQ2 1608'16

1609. 2ln 2 - 1

../i+lnU +../i) 1610. 2

1611. J3;../i

3 1612. ln 2

1 1t 1613. a) 2"' 2 ;

1·3 1t b)2'4 '2;

1·3'5 1t c) 2'4' 6'2

a' 1614. -'6

1 1615. 6 1616.1

.[i-I 1617. 2

1 1618. 2ln 1,5 - 3

r. 1619. arctan e - 4 All 0,433

17 1620.'6

1t-2 1621. -4-

1t 1622. 2 - 1

I-1n2 1623. 2

1 1t 1624. a) 2' 2;

1'3 1t b)N'i;

.1·3·51t c) i. 4' 6' i 32

1625. """3 1626.1tab

2 1627. 3 des Produkts aus

Grundlinie (2.J2ph) und Höheh. 32

1628. T 1629. 81n 2 1630.1

16 1631. """3 1632.19,2 1633.25,6

8 1634.8 ls

8 1635.3'

5 1636.20 6 1637. 1tQ2 (siehe Bild 60 auf

Seite 275).

1638. 0,8 (siehe Bild 57 auf Seite 274). (4-1t)a2

1639. 2 ; Substitution

x = 2a sin2 t (Bild 88, Seite 297).

1640. 2a2 sinh 1 = a2(e - e-1)

All 2,35a2

1641. 31tQ2

31tQ2 1642. -8-

1643. a2

31tQ2 1644. -2-

1645. Tmax = 4 für 2'1'=90~+ + 36O"n, d.h.rür '1' = 45° + 1800n = 45°, 225°; Tmln = 2 rür 2'1'= = -900 + 36O"n, d.h. rür '1'= -45°+ 1800 n = = 135°, 315°. Benach­barte Radiusvektoren extremer Größe erhält man für 45° und 135°. A=

1 J3./4 - (3+sin2!p)2d'1' = 2 ./4

19r. 8

31t 1646'4

1ta2

1647. "2

~ 1648'4"-

1649. T = a(sin'1' + COS'1') =

= a../icos ('1'- i); Tmax=a../i rür

1t 1t '1' - 4' = 0; '1' = 4;

1t TmlD = 0 fUr '1' - 4=

1t 1t = ±i' '1'= -4' und

3'lt 4' A = - (a .J2}2 x

1 f3./4 -2 -./4

X 0052 ('1' - i) dIP = r.;2

1650-1702

oder in cartesischen Ko­ordinaten X2+y2~ = a(x + y), d. h. ein Kreis.

7a2

1650. 4lt

- a2

1651. (tOlt + 27 • ./3) 64

3 1652. Za2

1653.36

1654. 12

32 1655.3"

4 1656. 3 (Siehe Bild 56 auf

Seite 273).

14 1657. 3 1658.2

16 1659. 3 1660.11,5 - 6In 6

1661. 2 f~1 (-xv'x+l)<Ix=

8 = 15 (Siehe Bild 53

auf Seite 273).

1662. rmn = 4, wenn 2qJ = = 180°+ 360on, qJ = 90° + 1800 n = 90° oder 270°; rml n = 2, wenn 2qJ = 0° + 360on, rp = 1800n; 0° oder 180°. A=

If1ll'l. = - (3 -t-cos2rp)'l.dqJ=

2 0

19lt =g 31t

1663. 4 1tQ2

1664. 2 lta2

1665. -4

a2 1666. 4 (eZl< - e-Zl<)

a2 = -sinh2lt

2 b

1667. 4ab arctan -a

11 1668. glta2

1669. ltph2

8lta2b 1670.-3 -.

1671. 12lt

1672. 58,5lt

1673. 2ltZa2b

1674. lta3 ein: 2 + 1) 512lt

1675. 15 7

1676. (;lta3

1677. 3lt2

512lt 1678. 7 -

1679. i e3lt + ~3) lta3

1680. 6 lt2

1681. 2 64lt

1682. ""3

1683. (lt: 2)lt

4 1684· 3lta2b

32lta3

1685. ---ws 1686. 19,21t

8lta3

1687. -3-

128lt 1688. V=-3-

1689. 5lt2a3

169O.72lt

112 1691. 27 1692.2lta

1693.6a

670 1694. 27 1695.8a

271

1696. Die Schnittpunkte mit den Achsen erhalten wir

flir 11=0 und tz=Vii·

s = f:ä v' 14 + 1·/3d/=

1 =4 3

1697. J6 + In (..fi + .jj) 1698. 2a sinh 11'1:1 2,35a

f1Z15 .j 1 + X Z 1699. s = <Ix;

3/4 X

wir setzen 1 + X Z = 12 ;

s=f13/5 ~= 5/4 12 - 1

= [t+!ln 1-1]'1..6 = 21+11.25

= 1,35 + In 21'1:1 2,043

1700. Die Schnittpunkte mit den Achsen liegen bei

lt Xl = 0 und Xz = 3" ;

s=fl</3 <Ix = o cosx

= ffC/3 cosx <Ix = o· cos:: x

= ffC/3 d (sin x) = o 1 - sinz x

= In (2 +.J3) 1'1:1 1,31

1701. a) 4.J3;

1 b) zln (2cosh 2) 1'1:1 1,009

1702. a) 8a;

b) lta.jl + 4ltz + ~ X

X In (2lt + v'1 + 4lt2)

272 1703 1750

371'0 1703. 2

1704. s = 2 I: Jl + y'2 dxl'lol

~ 2 I: (1 + ~ y'2) dx

. f 2 IDlty = t;2x

als Parabelgleichung

28 1705. 3 1706. In 3

1707. 21n3 - 1

1708. p [J2 + In (1 + J2)] I'lol 2,29p

1709.4J3 1710.471',2

1471' 1711. "3 1712.71'02 (sinh 2 + 2)

1713.271' (1 + 3 ~) 1714. 271' [J2" + In (1 + J2)]

64 2 1715. 3 71'0

1716.371' 1717. 471'20b

34.[17 - 2 1718. 9 1\

6271' 1719. "3 1720. 2,471'02

1721. 29,671'

1722. 144 Mp; auf die untere Hälfte wirkt eine Druck­kraft von 108 Mp.

oh2 1723. 6

2 3 1724. 3,

1725.240 Mp ah3 03h

1726. J"=""3; J;= 3

003 a3b 1727. J,,= 12 ; Jy = 12 1728.6,4

0 3 1729. M,,=M"=6;

o X.=Y.= 3

1730. M,,= I:~Ydx=0,lab2;

M., =I: xydx= ~ba2;

Ia ab A= oydx=3;

3 x. = 40, Y. = 0,3b

1732. a) 112071' kpm; b) 25071',4

IR+h mgR2 mgRh 1733· R ~dx= R+h

1734. I()()()rcR2H2 I'lol 21 kpm 6

1735. I'l0l1244 kpm

1736. 0,02471' kpm

J" Adx 1737.1= , ° 0,6 Al ,,2gx =1008

1738.1= 2 2 '2· X 0,6, h " g

X Ih+ h1 X J~ dx,

"1 wobei h I I'lol 2 die Höhe des zu ergänzenden Kegels ist. Nach Aus­rechnung erhält man: 11'IoI42s

oh2

1739. "3 1

1740. 17 15

h 1741. J2 1742. 4,8 Mp je Stirnseite.

Ia I"/2 1743. J" = oy2x dy = 0 a4x

71'04 X sin2 1 cos2 1 dt = -

16

8 5

71',2. 1000 I" 1745. h2 0 (h-X)2 X

X x dx I'lol 3071' kpm

1746. POVo [(VO)"-l_ 1]"'" x -1 VI

I'lol 1598 kpm

1471',2 Jr 1747. t = 15. Al .0,8 2g =c

- 40071' s I'lol 419 s - 3

174B. a) 1; die Integrale b) und c) sind divergent;

d) IOD dx = _1_ für Ix" n-l

n > 1; divergent für

n~1

1749. a) 1;

1 b)2 ;

~

c) 4; d) 1; e) In 2; f) 16

71' 1750. a) 6;

71' 1n2 b)-+-4 2

71'-2 c)--

1751-1771

1751. a) 6 V"2; b) divergent; c) 6

1752. a) foo -./ dx ist o 1 + x 3

konvergent, denn 1 1

<--./1 +x3 X 3 / 2 '

und Ioo ~2 ist kon-I x

vergent (siehe Aufgabe 1748);

b) f~~ ist

divergent, denn 1 1

> - und Vx3 -1 x' IOO dx

- ist divergent; 2 x

c) Ioo e->:dx ist kon­I x

vergent, denn für e->:

x~I-~e->:, und x

I~ e->: dx konvergiert

(siehe Aufgabe 1749);

I oo sin x dx d) 2 ist ab-

I x solut konvergent, denn

Isin xi 1 Ioo dx --2-~2' und "2

x x I X

ist konvergent (s. Auf­gabe 1748);

e) foo x dx ist 2 ..;x-~+ 1

divergent, denn für x> 1 x x

ist -./ > 1-' x4 + 1 "x4+x4

und fco -dx ist 2 x.J2

divergent;

18 Minorski, Aufgabensammlun8

f) I: e->:2 dx =

= I>->:2 dx +

+ I~ e-x2 dx konver­

giert, denn für x ~ 1 ist e-x2 ~ e->:, und

I~ e->: dx konvergiert.

1753. a) II dx = __ 1_ für o x" I-n

n < 1; divergent für n~ 1;

b) f: (b~X)n = (b a)l-n

= fürn<l, I-n

divergent rur n ~ 1

1754. 71:

1755.2

1756. 371:a2

1757. 271:2a3

1758. 71:[-./2 + In (1 + -./2)]

471: 1759. T

1760. a) f: e-xxm dx =

= [-e-Xxm ] I: +

+ m f: e-xxm- 1 dx

= m f~ e-xxm- I dx --;. m!

b) mit x 2 = z und dz

dx = 2-'/;

I: e-x'rm+I dx =

_ e-zzm+I /2 ---fOO dz

- 0 2-./;-1 foo m! =2 0 e-zzmdz="2

1 1761. a) 2;

1 b)3 ;

c) 1; d) divergent.

1762. a) In (t + -./2) ; b) 2

71: c) 1- 4 1

1763. 2 1764. 1671:

1765. 271: 2

1766. a) -; 71:

31n 2 b)--;

71: 1

c)--1 ; e-

a2 + ab + b2

d) 3

71: e)-

4

1767. Für n = 10 wird In 2 = 0,693 und ILlyl ;;;; 10-3

1768. a) e(h) = 0; 4

273

b) le(h)1 ~ 15 < 0,3

1769. a) A "'" 3,239

E C);;;; 0,002

b) A "'" 2,701

E (~) ::;: 2 . 10-4 12 -

c) A "'" 1,0570 E(1) ;;;; 0,02

55 3 1770. '6 71: l'tI 28,8 dm

1771. a) Kugel- und Koordi­natenmittelpunkt sol­len zusammenfallen. Dem Abstand x eines

274 1772-1813

Breitenkreises vom Ursprung werde des­sen Inhalt zugeord­net, so daß fex) =;ry" = lt(r"-x") Anwendung von (11) auf fex) für x = -r, 0, r liefert das Kugel­volumen.

b) Die Schnittflächen im Abstand x und paral­lel zur Grundfläche G ändern sich nach der Inhaltsfunktion

(h - X)" fex) = --l- G.

x

Analog zu a) liefert h

(11) für x = 0, 2' h

das Pyramidenvolu­men.

1772. In 2 = 0,6932; le(h)1 ~ 2.10-4

~ 15 < 0,0001

1773. 8,16lt

1774. 7t """ 3,15 7t

1775.4" """ 0,7854;

e (~) ::;;: 2 . 10-4 10 -

f4 -

1776. 0 -J32 - x 2 dx =

= r 2 f: /Tt cos2 IP dIP

= 47t + 8

7t=} f:-J32-X2dX-

- 2 ~ 3,141

1777. S""" 1,227t 1

1778. r = 2 1

1779.r=2

1780. Im Scheitelpunkt (2; 0) 1

rml n = "2;. im Scheitel-

punkt (0; 1) rm .. = 4

1781. r = 4a

1782. X max = I, r=e

1783. (4; 4)

1784. (3; -2)

1785. (0; 1)

1 Yma:l = e;

1786. 27E" + 8E3 = 0 1787. (2,>2/3 + '1"/3 = 32/3

1788. E2/3 - TJ"/3 = (20)"/3

1789. E = a cos t; "I = a sin , oder E2 + '1" = a2

1790. k = e'"(1 + e2'")-3/2; 2

kmax = 3 J3 an der

ln2 Stelle x = - - """

2 """ -0,347

a(1 + Sinh2-::r'2 1791. r = ~---~­

coshxo a

Xo ro = acosh- =-

a a Ist Po(xo; Yo) ein belie­biger Punkt der Ketten­linie und N(XN; 0) der Normalenschniupunkt mit der x-Achse, so wird

PoN = -J(XN-Xo»2+yJ

= JyJsinh2 : o +yJ=

Xo yJ = yocosh- =-

a a

1792. a) R = ~$r; a2

b)-· 3r '

r3

c)ar

1 1793. 2 1794.2

1795. 1

1796. 1

1797. (-2; 3).

1798. (0; -~) ( 11 16)

1799. -2; 3" lt 3

1800. E = 4 - 2""" -0,7,

"I = -J2 """ -1,4

1801. 8E3 - 27"12 = 0

1802. E= -t2 (1 + ~"),

"I = 4t (1 + t;) ; om die Kurve und ihre Evolute zu konstruieren, stellt man eine Werte­tafel der Größen x,y,E,TJ

3 auf ftir t = 0; ± 1; ± 2

1803. (E+TJ)2/3- (E-TJ)2/3= 4

1804. a + t])2/3 + a - "1)2/3 = 202/3 ; bei einer Dre­hung der Achsen um 45° erhält diese Gleichung die Form X1 2/3 + y12/3 = (2a)2/3, d. h., die Evolute der Astroide ist wiederum eine Astroide: von doppelter Größe und um 45° gedreht.

1805. r =

a 3(a2/3 - X2/3)1/2

lxi a2/3 r /3 3/-

= 3....; loxyl 1806.21

1807.5t

1808.7,5

1809. 2lt

1810. 2 sinh 1 """ 2,35

3 + In2 1811.-2-

dt . 1812 3x+4y=0; dt =4t-3j

4 x 2

1813.y = T X - 9"; dt. . dt = 3t + 2(2 - t)1

1814-1832

d2t 1814. a = dt2 = -2i;

41 t - 21 . a, = -J4t2 -16t+25'

6 an = -J4t2 _ 16t + 25 ;

für t = 0 at = 1,6

an = 1,2 x2 y2

1815. a2 + b2 = 1;

Il = -a sin ti + b cos ti ; a=-t X-t Y_t 2

1816. -1- = --u =

Z-t 3

=312 X-x Y-x 2

1817. -1- = 2x

Z - -J-; 1

2-Jx x-I y-3 z-4

1818'12= -4 =-3-

1819. f = -i + f, 18 = i + f,

-i+ f !R = -2i; t = - -Ji '

i + f . b= .J2' 11=-1

1820.I8=r X t=6i-6j+2f,

!R=(t X i") X I= -22i­- 16i + 18f, Gleichun­gen der Hauptnormalen : x-I y-l z-1 -1-1-= -8-= -9 ;

x-I Binormale: -3- =

y-l z-1 =--=-- und

-3 1 Schmiegungsebene:

3x- 3y+ z= 1

1821. !R = 3(i + D, 18= -i+ + j + 2f; Gleichungen der Hauptnormalen : x = y, z = 0 ; Binor­

x-I y-l 2 male: -1 =}-="%

1822. Durch Elimination von t erhält man X2+y2=Z2; die Gleichung einer Kegelfläche, t= (cos t­- t sin t)i + (sin t + +tcost)i+ f=i+f; 'i=(-2 sint-tcost)i+ + (2cost-tsin t)i = 2i;

18 = t X t = --2i + 2 f , !R=4i. Tangente: x=z und y = 0; "Hauptnor­male: y-Achse; Binor­male: x + z = 0 und y=O

,; 1823. Für t = 2" ist

x -a

b,; z-T

b y=a

Va 1824. cos (l = ± I I; Va-t'V b

-J"b cosß=± I I

V a + Vb

Z;;W cos)' =±"Ja+ -Jb;

die Wahl des Vorzeichens hängt ab von der Wahl der Richtung auf jedem Kurvenzweig.

1825. Gleichungen der Schnek­kenlinie: x = sin 2t; y=l- cos2t; z= 2t2,

275

wobei t der Drehwinkel (Bild 48) ist. Der Einheitsvektor b in Richtung der Binormalen

im Punkt C (für t = i) : ,;i+i+f

b---­- -J2 + ,;2

,; 1826. Für t = - tJ = a(i + D,

2 a= ai

x-2 y-2 z-8 1827. -1-=-1-= -8-

x-I y-2 1828. -2- = --=1

und z = 3 x-2 y z-1

1829. -2- = 1 = 2-

1831. !R = -26i - 31i + 22f, 18 = 16i - 12j + 2f,

x- 1 y- 1 z-I ~=31= -22;

x-I y-1 z-1 -8-= -6 =-1-

1832. !R =-4i - 4f, 18 = 2i - 2f. Gleichungen der Hauptnormalen : x = ';, Z = Y + 2; Binormale: x =,;, y+ z= 6

P(x,y,z)

~-:~= ;~ N Bild 48

276 1833-1845

du dv dt 1833. dt = dt t + v dt =

• cis dt = vt + v-'-=

dt ds v2

= vt + -n = a r

1834. tJ = t = i + (1 - 2t)j,

a='t= -2j,

l' ItJ X al 2 R=-V3-=~;

V = ,J 2 - 41 + 4t 2 ;

4/- 2

at = v= "/2-4/+4t2

_ v 2

= -,J2, a. = - = r

= ~=,J2 v

1835. tJ = t = -4 sin li + . -4i+3j

+ 3 cos tl = ../2 .. 4i + 3j

a=t=- .../2 ' 1 12 ___ 0

r - v3 '

,------v= "/16sin2 t +9cos2t,

7 sin 2t v = ---=-2-v-; für

7t 5 1 = 4 v= ,,/2' at=v=

7 r =5 ,J2 = 0,7 Y 2,

v 2 12 12../2 a. = -;:- = --;;" = -5-

= 2,4,J2

1836. tJ = r = i + 2tj + 2t 2f, a=2j+4tf, v=2t2+1,

1 10 X al 2 -,.= v3 (2t 2+1)2-

2 = "9; U, = V = 4t = 4,

v2 2(2/ 2 + 1)2 a.= -; (212 + 1)2 = = 2 (in einem beliebi­gen Punkt),

1837. Zunächst stellt man die Matrix der Vektorkoot­dinaten auf:

,2 t 3

r 2t 3/ 2

i 0 2 61

t 0 0 6

r X r 6t 2 - 61 2

Dann findet man:

a) Irl = ../1 + 41 2+914 ;

b) Ir X r\ = = 2 ,J 9-t-'--4-+-9t-2-+-1 ;

c) t i:' 1:' = 12;

I 2 ,J9t4+ 9t 2 + I d)-= =

r ../(1 +4t2+ 9t4)3

=2; I 12

e) i? 4 (914 + 9t2 + 1) = =3

1 li ,J2 1838. ;: = (x + y)2 = ""4 ;

~= _ ..jZ (! 4

1 ..j2 1 1 1839, -; = 3; -e =3

1840, Rechtsschraube: b e = a2 + b2 ;

Linksschraube :

b e= - a2+b2

1 21 2 1841. ;: = (2t2 + 1)2 = 9 ;

1 2t 2 (! (21 2+ 1)2 = - 9

y2 y4 1842. t=Ti+yj+4f;

9y 4 + 4y 6 + 1 ~2 = (y2 + 1 + y6)3 =

14 1 3 ="27;e= -'1

1 ../2 1843. -;:-= -3-; -e=-3

1844. c) Die gesamte Ebene mit Ausnahme des Punkts (0; 0);

d) x2 + y2 ~ a2;

e) xy > 0 (erster und dritter Quadrant);

f)x2 +y2< I;

g) die gesamte Ebene mit Ausnahme der Geraden y=x Die Gleichungen a) und

b) bestimmen Rotations­paraboloide;

c) Rotationsfläche, die 4

die Kurve z ="""'2 und x

y = 0 (Bild 49); bei Rotation um die z-Achse erzeugt d) Halbkugel e) Kegel, zu dessen Dar­stellung wir die Schnitte x = a, Z2 = ay und y = b, Z2 = bx (Para­beln, Bild 50) verwenden; f) Rotationsfläche der

1 Kurve z - . - ,JI- x 2 '

y = 0 um die z-Achse; g) ein Kegel mit den Erzeugenden y = kx,

kx z= -- und den

k-l gleichseitigen Hyperbeln y=h, (x-h) (z+h)= = -h2 als Leitkurven, deren Scheitelpunkte auf der y-Achse und deren eine Asymptote in der Ebene y = x(x = h, y = h) liegt; ebensolche Hyperbeln erhält man in den Schnittebenen x=h oder z = h (Bild 51).

1845. A = "/s(s-x)(s- y) X

X ../<x + y - s).

1846-1851

Definitionsbereich der Funktion: 0 < x < s, O<y<s und x+y>s, d. h. die Menge aller Punkte innerhalb des Dreiecks, das von den Geraden x= s, y= s und x + y = s begrenzt wird.

1 1846. 1(3 ; I) = 5 ;/(1 ; 3) ~-

.~ 5;/(1; 2)

nicht definiert;

1(2; 1) = O;/(a; a) =

= -1;/(a; -a) = 1

1847. l(tx; ty) = = -J(-'-I-X-)4~.---«-y--:)4 _

- 2(tx) (1y) = /---

=c (2(,\, x 4 -'- y4 __ 2xy)

= (2/<x; y)

1848. Llxz = (2x - y + Llx) Llx =0,21; LI,z=(2y - x+ + Lly) Lly = -0,19;

Llz=Llxz+LI,z -Llx Lly= = 0,03

1849. Die im Bereich lyl ~ Ix: stetigen Funktionen

z = + Jxz - y2 und

z = -J xz- y2 werden dargestellt durch obere und untere Fläche eines Kreiskegels (mit der x-Achse als Körper­achse).

.l

O .... ~ __ '

Bild 49

Als Beispiel einer un­stetigen Funktion, defi­niert mit Hilfe der Glei­chung z = ±JX2~- y2,

mag folgende Funktion dienen:

(+JxZ-io für 0~x<1

z = - JX2--J~i. für 1 ~x<2

+JX2_y 2 für 2~x<3 usw. Die Geraden x = 1, x = 2 usw. sind Pol­geraden. Als Darstellung ergeben sich abwechselnd Strei­fen der oberen und un­teren Fläche des Kegels. Der Definitionsbereich der Funktion ist

z

277

Bild 50

lyl ~ lxi, d.h. die Menge aller Punkte im Innern des spitzen Winkels zwischen den Geraden y = ±x und auf den Geraden.

1851. lim -y-= x_ox - Y },-+o

mx lim x-+O x(1 - rn)

auf J'=mx

m

I-rn . 3

11m 11 = 3 auf y = - x 4

gegen (0; 0) 2

lim 11 = 2 auf v = -- x . 3

1-r7'"T":~-X Bild 51

278 1852-1868

gegen (0; 0)

lim u = 1 auf y = ~- x 2

gegen (0; 0)

!im u = 0 auf y = 0

gegen (0; 0)

!imu = -2aufy=2x gegen (0; 0)

2-.Jmx2+4 1852. a) !im 2

X,y-+O mx auf y=mx

-mx = Iim ---,====

x-+O 2mx .J mx2 + 4

1 4 '

also unabhängig von m.

b) !im X,Y-+O

auf )'~mx

sin mx"

sin z =!im--=1

z ..... O z also unabhängig von m.

c) !im x.v ..... o

auf y=mx

= !im 2mx cos mx2 = 0 x-+O

also una bhängig von m.

1854. b) Die gesamte Ebene mit Ausnahme der Ge­raden y = -x; c) die Punkte im Innern

x 2 y" der Ellipse a" + b,,=1

und auf der Ellipse;

d) die gesamte Ebene;

e) di.: Punkte im Innern des Winkels lyl ~ lxi und auf seinen Schen­keln;

n Quadrant der Ebene xy ;~ 0 (also 1. und 3. Quadrant). Die Fläche b) ist zylindrisch, sie hat die Erzeugenden

4 ZO" h, x + y = hund

4 als Leitkurve z = x' y = 0 (Bild 52). Die Flächen e) und f) sind konisch, d) ist ein Paraboloid.

a 1855. f(a; b) = --b;

a-b

f(b; a) = -b-' -a

f(a; b) + f(b; a) = a-b

=a-b=l;

falls a 9= b.

2

o 1863. -3x-(-:-Vx"""x=---V-;:t=c") ;

V-; 3t(0 - Vx)

(Je a-bcosa. 1864. ,,- = ----

va e

oe b - acosa. Tb= e

oe ab sin a. iJa =--e-

iJu y 1 1865. - = - - - - .

iJx x 2 z'

iJu z iJy=~-7;

ou x Tz =y-~

1857. Definitionsbereich: x 2 + y2 ;;;; a

a2

{

.J a2 - x 2 - y2 für x 2 + y2 ;;;; "4 f(x;y) = 2

_ .J a2 - x 2 - y2 für : < x 2 + y2 ;;;; a2

2

Für x 2 + y2 = : istf(x; y) unstetig (auf einer Kreislinie).

iJu 1866. iJx = e-%7 (1 - xy); 1858. 3x(x + 2y); 3(x2 - y2)

oz 2x 1859.,,- = -y---+ 2;

vX X y iJu -= -xze-'" iJy

oz 2y ou 5t iJy = x 2 + y2 1867. iJx = (x + 21)2 ;

iJu 5x 81= - (x+2t)Z

-y x 1861. 2 + 2; 2 + 2

X Y X Y

oa. t 1868. ,,- = r ;

vX 2", x- x2,z

y2 XZ 1862. - (x _ y)Z; (x _ y)Z

oa. J x 81= 1- xl"

1869-1883

z

1 1869. -2 .j--=-x (-.j7-'X,.....+-.j-;y~)'

1

1 y Y 1870. -- sin - - r x

2.,ßc x x"x

y 1 y x cos-;-cos-

x.,ßc x

1 2x j' 1871 - e"/t'. _ - eX t . t 2 ' t 3

1872. y~-l; xY In x

1873. a) 3x2 + y2;

2xY - 6y2;

3x3 + y2x + 2xy 2 _

- 6y3 = 3z

2x + y b) ;

2.jx2 + xy + y2

2y + x . 2 .j x 2 + xy + y2 '

2x2 + xy + 2y 2 + xy

·2.j x 2 + xy+ y2

= .jx2 + xy +y2 =,z

3x2

c) - (x3 _ y3)2 ;

3y2 •

(x3 _ y3)2'

3(x3 _ y3) - (x3 _ y3)2 =

3 = --3--3 = -3z

x -y

1 x d) y e"jY; - y2 eX /Y ;

(; - ;) e"IY = 0

1874. :: = -a sin(ax - by);

~ = b sin (ax - by) oy

oz Ylxl 1875. ,,= - 2 / 2 2 ;

ux X "X - Y

oz lxi oy = X.jX2_y2

oz 3y 1876. ox = (3y - 2X)2 ;

oz 3x oy = - (3y - 2X)2

ou 1877. ox = cot(x - 2t);

ou -= -2cot(x-2t) ot

1878. :: = 2siny cos (2x+y);

ou = 2sinxcos(x+2y) oy

x y z 1879.-; -;-;

u u U

279

x 2 +- y2 + Z2 u2 ----::;--- = 2 = 1

u2 U

1 1880. In Y' _. exjy ;

y

(~ _ X In Y) exjy ;

y y2

(X~y + 1 _ X~Y)e"jY Z

lny

,,1 "JI 1881. z- JIK; - Z- g3

1882. ~ exl2 sin (: - ~) ; 1 e"j2 cos (1': _!...). -Z- 4 2'

: e" (1-

-2Sin[: - ~] X

xcos[:-~])= 1 = -e"(1 - cosy) 4

1 . 2 Y =Z-e"sm Z-

3x2 x 3

18R3. a) -- - -( y)2 ; x-y x-

x 3

(x- y)2'

3x4- 3x3y - x4 + x 3y (x _ y)2

2x3(x- y) = )2 =2z (x- y

2x b) - (x2 + y2)2 ;

2y • - (x2 + y2)2'

2(x2 + y2) - - = -2z (x2 + y2)2

280 1884-1917

y e) - X2 + y2;

x x2 + y2;

xy-xy -0 X2 +y2- .

1884. a) dz = 2xy dx + x 2 dy

x 2 dy-y2 dx b) dz = (x _ y)2

e) du =

= +e'll (ds- ; dt)

xdx + ydy d) dz = ---;==~

.Jx2 + y2

1885. a) 0,075;

b) -0,1 e2 ~ -0,739

1886. dz = yLlx + xLly = = -0,6

LI z = dz + LlxLly = = -0,602

1887. -0,1

1888. 1,21t dm3

1889. 0,13 cm

1890. a) dz = - (:2 +~) dx

+ (~+ ~)dY; X y2 xdt

b) ds = Intdx + -t-

1891. .dz = 0,0431, dz = 0,04

1892.0,15

1893. -301t em3

dz 1894. a) dt = 4t 3 + 3t 2 + 2t

dz xcost-ysint b) - = --;==~-

dt .Jx2 + y2

=0

dz 1895. dt = -(ei + e-') =

=-2cosht

dz du 1896. dx = VUV- I dx +

dv + U V In u dx

dz dy 1897. dx = e'+ xeY dx

dl . 1898. dt = lXI x + IYIY =

= ntn-I/. Für t = 1

folgt !xx + f.,y = nl.

1899. :: = ~ (1 - ;) ; iJz = _ ~ (4 + ~) iJv y y

iJz iJz iJu iJz iJv 1900. a) iJx = iJu ox + ov ox

oz oz = mou + p VV ; oz oz oz oy = n iJu + q Oll ;

oz oz y oz b) ox = y ou - x 2 ov;

oz oz 1 oz -=x-+--oy du xov

ou ou 1901. or = ox eos 9' +

ou . + oy SIO 9';

ou ( ou. 09' = - OX SI09'+

+ :>OS9') r

1902. zx = f'2x;

Zy = 1 - 2f'y

oz 1903. a) ot =

= 2[(Ax + By) eos t -- (Bx + Cy)sin t] = = (A - C)sin2t + + 2Bcos2t;

dz 2e2' b)Tt= e4' + 1

y 1904. z" ~ y + I(u) - -X X

X f'(u); Z7 = x + I'(u)

1905. Zx = 2xyf'(u); Z7 = I(u) - 2y2f'(U)

oz oz oz 1906. a) ox = ou + ov'

oz oz OZ --2---· oy - ou ov'

oz oz Jy iJz b) iJx = li~·2 J-;+ ov;

iJz oz J-; oz oy = ou . 2 J; + ov

dy 2-x 1907. dx = y + 3

1908. a) - 'Jf ; 2ye2X - e 2Y

b) 2x e2Y _ e2"

Ax +By 1909. - Bx + Cy

3 1910. ±"4 1911. -1

1912. a) (-1; 3) und (-1; -1);

b)(l; 1) und (-3; 1)

iJz 3 - x iJz y 1913.-=--; -=--

OX z oy z

oz y oz x 1914. OX = 2z; oy = 12

OZ a OZ b 1915. OX = -Z; oy = -Z

a3

1916. z" = - 2- ; xy

a3

Zy = -;y2

1918-1940

1918. _dy = ~ dx 4y

1919. - !:.. x

1920. x 2 + xy + y2 xy

1 1921. 2-

4 1 1922'"5; 5

az oz 1923'-0 =1' Y x 'oy = x - z

1924 z = _!_. z = ~ • x 3' y 3

1 1925. Zx = ---'

m - ncp" cp'

Zy =. -,--ncp - m

1926. 6; 2; 0; 6

1927. a) abz b) _ ~z xy

2 c)--­

(x - 2y)2

a4 u 1928. ox4 = 4!;

a4u Oy4 = -2·4!;

a4u ax20y2 = 12

Alle anderen sind Null.

6y 2 1929. --' -' O' 0 x4 , x 3 ' ,

a2s 1 1930.-- = --_.

Oxat (I - X)2 '

a2s 12 - 21x

ox2 - x2(t - X)2

2xy y2 - x 2 1931. (x2 + . .2)2; . Y (X2+y2)2 '

1932. Zx.. z, . u'

19 Minorski, Aufgabensarnmlung

z Zxy = zYX = ab ;

z Zyy =-~

1933. u = _ 4(2x - I) • xx [1 +(2x_/)2]2 ,

2(2x - I) u _. ~---:.,---~

XI - [1 + (2x - t)2]2

2 1934. s =--a2s-5 •

~JC 9 '

2 SXI = -9 ab s-\

2 s" = - -- b2s-S

9

1935. U,,= e-"/" (1 + ~); uy = -e-y/x;

1 u,. = -e-Y/"

• x 1936.fx,x + htY = ntn-1f=

df

dt

d2f d/ 2 =fxt,xrx2 + 2fxI .• txy

+ ht •• ty2 =n(n-l)ln-2f

281

Ich setze jetzt 1 = 1 und

20lJ 02f X "l + 2xy-- +

uX oxoy 02f

+y2 oy =

( 0 0)2 = x- +y- f

ox oy

und erhalte:

( 0 0)2 x ox + Yoy f(x;y)=

= n(n - l)f(x; y)

1937. a) Zn = 2, Z",. = 1,

z.,. = 2 2x2 +2xy +2y 2 = 2z

6y b)zxx =~;

x

2 zx. = - x3 ; z,.,. = 0

6y 4y 2y X 2 -X2 =x2 =2z

6x2 + 2y 2

c) z,," = <x2 _ y2)3 ;

Z=- 8xy. xy (x2 _ y2)3 '

6y 2 + 2x2

oben weiter! Zyy = (X2 _ y2)3

6x4 + 2x2y2 - 16x2y2 + 6y4 + 2X2y2 (X2 _ y2)3

_ 6(x4 _ 2x2y2 + y4) - (X2 _ y2)3 = 6z

y2 _ 2xy d) Zxx = . Z = _ . .. 1

(x2 _ xy)2' YY (y _ X)2 ' "'Xy = (y _ X)2

X 2y 2 _ 2x3y + 2x3y _ X2y 2 (x2 _ xy)2 = 0

2 1938. a) "4 (3y 2 dx2 -

X

ZH = -n2z d2z = -z(m2 dxdx + T 2mI'J dx dy + n2 dydy) - 4xy dx dy + x 2 dy2);

b) _ (y dx - X dy)2 xy2

.940. dz = adx + bdy. ax + by ,

1939. Z"X = -m2 z, Zxy = -mnz,

d2z = -(adx + bdy)2 (ax + by)2

= -dz2 ;

282 1941-1956

die Behauptung fü r n ~ 3 wird dann mit vollständiger Induk tion bewiesen.

1941. Man b:achte iJz iJz iJu iJz iJu iJx ""' iJu iJx + a; iJx

und iJz iJz iJu iJz iJv iJy = 8ii iJy + & iJy

usw.

iJlz (iJ iJ )l 1942. iJx 2 = 3 iJu + iJv z

iJ2z 2 1947. iJx2 = 1 - 2y;

iJ2z 4x iJx iJy = (1 - 2y)2 ;

()2Z 8r iJy2 = (1 - 2y)'

iJ2z =-4-­

iJuiJv iJ2z

1943. Man geht so vor wie in Aufgabe 1942 und erhält 4 iJv2

iJlz (iJ iJ)2 1944. iJxa = u'" {Ju + v'" iJv Z

iJz iJz + u,.,. iJu + v,.,. & iJlz iJ2z

iJxfJy = iJu2 U"U,

iJ2z + {JuJ. V"V" +

iJ2z + {Ju{Ju (u"v, + u,v,,') +

iJz {Jz + iJu u"" + &v",

{}2z (iJ iJ )2 iJy'1. = "'iJu + v1 iJv z

iJz iJz + U)1'Tu + V1'7&

4 1948. 0; 0; 3 r.

9t2 ", t

28x

27t3 V t 2y2

1949. Z"" = -( ,\3; x-y,

-2xy Z"I'=-( )'; x-y

2x2 Z =---

1'7 (x _ y)3

a l

1950. s"" = - (ax _ bt)2;

ab S - • "t - (ax - bt)2'

iJlz iJ2z 2y {jz y2 _ = -4y 2 __ + __ iJy2 iJu {jv x (jv

s" = - (ax _ bt)2

1951. Z" = -cos(2x - t); Zxt = +2 cos (2x - t)

1 1952. z" = - ex/,,;

y

z = -~ eX /". 7 y2 ,

Z'" = eX /" ( - :2 -;)

1

u _ 2x1(x) + ,,(1:..)_1_ P1- y3 tp xx2

xl'(x) + I(x) U,,=

y

_ 1:.. tp' (1:..) x2 x (Y)

xl(x) tp' x u =---+--

I' y2 x

1957-1972

oP oQ 1957.- = - = 1·

oy ox '

u(x;y) = x2 + xy­- 3y_ y2 + C

oP oQ 1958. oy = ox = 2x cos 2y;

x 2

u(x;y) = 2" sin 2y + C

x2

1959. u = 2"+xln y -

-cosy+C

oP oQ y2 - x2 1960. oy = ox = (y2 + x2? ;

u(x; y) = arctan 1'.. + C x

1961. xyz - x 2 + fl(Y; z) = y2

= xyz + "2 +f2(X;Z) = Z2

= xyz - "2 + f3(X; y)

u(x;y; z) = xyz -x2 + 1 + 2" (y2 - Z2) + C

x 1 1962. u= -+ -+ lny­zx

- arctanz+ C 3y 2

1963. U= xy2_ X+ T+ C

1964. u = xsin2y + + ylncosx + y2 + C

sin2 y 1965. u=xy+ --+ y + C

x

1966. u= ~(t+.Jt2+1)+ +C

Bild 53

1967. u = x In y - x cos 2z + +yz+C

x- 3y 1968. u=--+ C

z

1969. y = ±x .Ji + x; die Kurve verläuft im Be­reich x;;;;; -1. Schnitt­punkte mit der x-Achse: aus y = 0 folgt x = 0 und x= -1. Der singu­läre Punkt 0(0; 0) ist ein Doppelpunkt. Extrema:

2 Xml n = Xmax = - '3 '

2 2 Ymln = - 3 .J3 F::J - 5'

2 Ymax = 3 .J3 (Bild 53).

x

Bild S4

1970. y = ±(x + 2) .Jx + 2; die Kurve verläuft im Bereich x;;;;; -2. Der singuläre Punkt (-2; 0) ist ein Rückkehrpunkt 1. Art. Schnittpunkte mit den Achsen: für x = 0

y = ± 2..[2; für y=0,x=-2 (Bild 54).

283

Bild SS

971. y = ±x.J x - 1. Die Kurve verläuft im Be­reich x;;;;; 1; x=O, y=O ist ein singulärer (iso­lierter) Punkt. Bei x = 1 ist Y = 0, bei x = 2 y= ±2

4 Wendepunkte: Xw = 3"

4 Yw = ± .J- (Bild 55).

3 3

1972. y= ±x .Jl - x 2 • Die Kurve verläuft im Be­reich lxi ~ 1 bzw. -1 ~ x ~ 1. Schnittpunkte mit den Achsen: rur y=O ergibt sich Xl=O, X2 = 1, X3 = -1. Der singuläre Punkt 0(0; 0) ist ein Doppelpunkt. Extrema an den Stellen

1 Xexlr = ± .Ji F::J ± 0,7,

1 YeXlr = ±"2 (Bild 56).

x

Bild S6

284 1973-1978

1973. y = x ± x.J-;. Die Kurve verläuft im Be­reich x ~ 0; Schnitt­punkte mit den Achsen: für y = 0 ergeben sich x = 0 und x = 1; der singuläre Punkt 0 (0; 0) ist ein Rückkehrpunkt erster Art mit der Tan­gente y = x. Ein Maxi­mum hat die Funktion

y = x - x.J~ an der

Stelle (~; 2~) (Bild 57).

x

Bild 57

1974. y=±(x-2).J~; x~o; für y=O ist x=O oder x = 2; der singu­läre Punkt (2; 0) ist ein Doppelpunkt. Die Kurve hat die gleiche Form wie in Bild 53, ist aber nach rechts verschoben.

1975. y = ::t: (x + 2a) X

x J- x + 2a . die x '

Kurveverläuft in dem Be­reich,in demxundx+2a verschiedene Vorzeichen besitzen, d. h. im Be­reich -2a~ x~ O. Der singuläre Punkt ( - 2a; 0) ist ein Rückkehrpunkt

Bild 58

I.Art; x = 0 ist Asym­ptote. Die Kurve, ge­nannt Zissoide, ist die gleiche wie in Bild 89, nur um 2a nach links verschoben.

JX3 _y3 . 1976. y = ± --3--' die

Kurve verläuft im Be­reich: y ~ x. Schnitt­punkte mit den Achsen: rur x = 0 ergeben sich y=O und y= - 3. Dersin­guläre Punkt (0; 0) ist ein Rückkehrpunkt I. Art. Wir finden eine Asym­ptote der Form y = mx + b. Wir dividieren die Gleichung durch x 3 :

Daher sind . v

m= 11m :...= 1, .1:-1000 X

b = !im (y - x) = x-ex)

. -3y 2 ,= 11m --::c---=:---;:

x- 00 x 2 + xy --+- y2

= -1. So ergibt sich als Asymptote y=x-l.

Extremum der Funktion

x = fP(y) = :jy3 ...:.. 3.1'2:

)'cxtr = -2,

Xextr =-0:::: :j4 ~ 1,6,

Wendepunkt (Bild 58):

xw = 0, yw =-3

1977. x 3 + y3 - 3axy = 0 das cartesische Blatt (siehe Aufgabe 366). Der singuläre Punkt 0 (0; 0) ist ein Doppelpunkt mit den Tangenten y = 0 und x = O. Asymptote der Form y = mx + b. Wir bringen die Glei­chung

in die Form 1 + G)3-- 3a (~) .~=O· dar-

x x '

aus folgt m= !im (~) = x-.oo x

=-1, b=!im(y+x)= x-oo

= !im 3axy .<-00 x 2 - xy + y2

= -a, Daher ist y=-x-a die Asymptote (siehe Bild 83).

x 2

1978. y= ±.J x 2 _ a2

Symmetrie zur x- und y-Achse. Die Kurve ver­läuft im Bereich: lxi> a

Bild 59

1979-1986

und lyl > lxi. 0(0; 0) ist ein singulärer (isolier­ter) Punkt. An den Stellen

x = ± a.j"2 finden wir

die Extrema Y = ± 2a. Asymptoten: x = ± a und Y = ± x (Bild 59).

1979. Y = ± x .j2 - x; die Kurve verläuft im Be­reich x ~ 2. Nullstellen : Xl = 0, Xz = 2. Der sin­guläre Punkt (0; 0) ist ein Doppelpunkt. Ex-trema:

4 XeXlr = 3'

4.j2 Yextr= ± r.; ~ ± 1,09

3", 3

(die Kurve hat die gleiche Form wie in Bild 53).

Bild 60

1980. y= ± ~.Jal_(x-a)2; a

die Kurve verläuft im Bereich Ix - al ~ a oder -a ~ x - a ~ a, bzw. O~ x~ 2a. Für Y = 0 ergeben siCh XI=O, Xl=2a. Der Punkt (0; 0) ist singulär (Rückkehrpunkt). Für

y' = 0, .J 2ax - x2 + x(a - x) + =0'

.j2ax - x2 '

19a Minorski, Aufgabensammlung

3a X.xlr = 2'

3.j3 Yexlr=±~~

~ ± 1,3 a (Bild 60).

1981. y= ± (x + 2).J';. Die Kurve verläuft im Be­reich x ~ 0 und besitzt außerdem den isolierten Punkt (-2; 0). Wende-

2 punkt bei x = 3' Die

Kurve ist die gleiche wie' in Bild 55, aber nach links verschoben.

\982. Die Kurve verläuft in zwei Bereichen: x > 0; x < - a . Drei Asym-

3a ptoten: y=x+""2'

3a y= -x- Z und x=O.

Rückkehrpunkt (-a; 0); a

Xextr = 2"' Yextr =

3a .j3 = ±--2-~ ±2,6a.

x 2 --1983. y = ±""2 .j x + 5 ;

x ~ -5. Im singulären Punkt (0; 0) berührt

x

285

sich die Kurve selbst.

Xmax = -4, IYlmax = 8;

Xml n = 0; !Y!mln = 0 (Bild 61).

1984. Y = ± x .jx2 - 1. Die Kurve verläuft im Be­reich lxi ~ 1 und besitzt außerdem den isolierten Punkt 0 (0; 0). Die gra­phische Darstellung ist die gleiche wie in Bild 55, allerdings links ergänzt durch den entsprechen­den symmetrischen Zweig der Kurve.

1985. Für Y = 0 ergeben sich Xl = 0 und X2 = -4; für x = 0 ergeben sich YI = 0 und Yl = -1. Singulärer Punkt (0; 0) ist Doppelpunkt mit den Tangentenanstiegen

8 m = ± 2. X max = - '3 ' Ymax ~ 1,8; Xml n = 0, Ymln = - 1 . Asym­ptote: Y = x + 1. Die Kurve schneidet die Asymptote bei x = -0,4 und beschreibt dann eine Schlinge,wobei sie durch (0; 0) und (0; -1) geht.

1986. a) Y = ± (x - a) X

X)2 x ; die Kurve a-x

verläuft in dem Bereich, in dem x und 2a-x glei­che Vorzeichen haben, d.h. für 0~x~2a. Der Punkt (a; 0) ist sin­gulär, ein Doppelpunkt mit den Tangentenan­stiegen m = ± 1. Asym­ptote x = 2a (Bild 88).

ax b)y=± / .

",x2 _ a2 '

die Kurve verläuft in dem Bereich Ix I > a und lyl > a und besitzt

286 1987-2009

dazu den isolierten Punkt ( 0; 0). Asymptoten x = ± a und y = ± a. Zwischen jedem Paar dieser Asym~toten gibt es keine Kurvenpunkte außer dem singulären Punkt, denn lxi> a und lyl > a. Die Kurve be­steht aus vier symmetri­schen Zweigen, die sich den Asymptoten x=±a und y = ± a nähern.

1987. a) y = ± x J: ~ :' -a<x;;;;a. Nullstellen: Xl=O, X2=a. Der singuläre Punkt (0; 0) ist ein Doppelpunkt. Asymptote x = -a. Die Kurve heißt Strophoide, und sie ergibt sich durch Spiegelung der Kurve in Bild 88 an der y-Achse und anschließende Ver­schiebung der y-Achse um a nach links. b) Die Kurve verläuft in den Bereichen x 6 a ; x < - a und x = o. (0; 0) ist isolierter Punkt. Asymptoten: x = - a, y=a-x und y=x-a.

a(JS + I) Xexti=- 2 F:::I

F:::I-I,6a, YextrF:::l ±3,3a

x 2

1988. a) y = - 4 ; b)y= ±2x

1989. a) y = ± R; b) y = 0 und y =-x

1990. a) y = 1; b) y = 1 enthält die Menge der Rückkehr­punkte, ist aber nicht Enveloppe; c) y= I enthält dieRück­kehrpunkte und ist außer­dem Enveloppe;

d)y=x- 4h ist Enve­loppe, y = x enthält die Menge aller Rückkehr­punkte.

1991. x2/3 + y2/3 = a2/3

x3

1992. y2 = - X + 2

1993. (x2 + y2)2 == 4a2 xy

1994. Trajektorienschar: gx2

y=xtan~-22 2· Vo cos ~

Ihre Enveloppe (Parabel der "Sicherheit") hat die

v2 gx2

Gleichung: y= 20 - 2---Z g Vo

1995. a) x 2 + y2 = p2;

b)y2 = 4x;

c)y= 1

1996. y2 = 4(x + 1) 1997. x2/3 + y2/3 = [2/ 3

1998.y= _4/3X2

1999. 2x + 4y - z = 3

2000. XYo + YXo = 2zzo 2001. XYoZo + YXoZo + zXoYo

= 3a3

2002. xXo + yYo _ zZo = 1 a2 b2 c2

2003. x + y - z = ± 9 x-3 y-4 z-5

2004. -3-=-4-= -5 ;

im Punkt (0; 0; 0).

2005. cos ~ = -cos ß = 1

=cosy=- ..)3

2006. y = 0, x + z + 1 = 0; die Fläche ist in Bild 49, Seite 270, dargestellt.

2007. Die Tangentialebene yz(X - x) + xz(Y-y) + + xy(Z - z) = 0 = = T(X; Y;Z)

schneidet die Koordina­tenachsen in Sl(3X; 0; 0); S2(0; 3y; 0);

z

o------9,Jta

S3(0; 0; 3z) und damit wird

1 9 V = 6 . 27 xyz = 2 a3

= const.

2008. T(X; Y;Z)=0=X- 1/ 3 X

x (X-x) + y-I/3(Y_y)+

+ Z-1/3 (Z - z]

Sl(a2/ 3x l / 3 ; 0; 0); S2(0; a2/ 3yl/3; 0);

S3(0; 0; a2/ 3z l / 3)

{a4/3(X2/3 +y2/3 +Z2/3)}=

= a4t3 . a2/3 = a2

2009. Tangentialebene x-y+ n:a

+ 2z = 2. Ihre Ent-

fernung vom Ursprung n:a

ist gleich r; . Ein 2 'V6

Helikoid ist eine Regel­fläche. Gerade Linien erhält man durch die Schnitte z = h. Für z=O ist y=O, für

n:a z=""4 y=x; für

n:a z=- x=O;

2 für

3n:a z = -- y = -x; für

4 z = n:a y = 0 (Bild 62).

2010-2051

2010. Z = 0 und o

x+ y -z="2

{ Xo Yo ZO} 2011. !n = Q2; b2 ; CZ ;

t-tol!n t - to = {x - xo; Y - Yo; Z - zo}

!n X (t - to) = 0

XoX YoY ZoZ -2 +-b2 +-2-= o C

XJ yJ zJ =-+-+-=1

0 2 b 2 C2

x-4 y-3 Z 2012. -4-- ~ -3 - = 5

2 2 2013. cos (X = 3; cosß =- 3;

1 cosY=-T

2014. DieEbene z+y-x=o, o

p= J3 2015. X- I /2 (X - x) + y-1/2 X

X (Y - y) + Z-1/2 X X (z- z) = 0

Sl([ox]1/2;' 0; 0);

S2(0; [oy]I/2; 0); S3(0; 0; [az]I/2) 01/2 (XI/2 + y l /2 + + ZI/2) = 0 1/2 • 0 1/2 = 0

2016. a) z = 4;

b) 2x + 2y + z = 6

2017. grad z = - 2xi - 2yj = = -2(i + 2j)

-i+ j 2018. a) grad z = ~ ;

i + j b)gradz= --

2x x. .

2019. gradh = - 2 t - 2yt

2020. tan q; = Igrad zl =

=J_x2 + y 2 = J10 ~ 4xy 4

~ 0,79

du J2 2021. &=2

du r;; 2022. &= 2 + ,,2;

grad u = 2i + 2j + 2f;

Igrad ul = 2 J3 2023. grad u = ± 4i

6 2024. ---p===c:===:=­

.J02 + b2 + c2

2025. grad z = 0,32 i - O,64i;

Igrad zl = 0,32 J5 du yz+ xz+ xy

2026. ds = J3 5

= J3 2027. gradu= 2(xi+ Yi - zf);

Igrad ul = 2z J2 xi + yj+ zf

2028. grad u = u

2029.

Igrad ul = 1 in einem

beliebigen Punkt.

3

J02+b2 +C2

2030. zmln=l für xml n=-4, Ymln = 1

2031. Zmax = 12 f'ür Xmax = =Ym .. =4

2032. Zmln = 0 f'ür Xmln = 1, 1

YmID= "2 2033. Kein Extremum

2 2034. ZmlD = - e für

Xmla = -2, YmlD = 0

3J3 . 2035. Zmax = '-2- fur

Xmax = Ymax = T

2036. Znlln = 2 für Xmln = YmlD = 1

2037. Zmax = -4 für Xmax = Ymax = -2 und Zmln = 4 für Xmln = Ymln = 2

287

2038. Xmln = Ymln = .y!2v , Zmln = 0,5 V2V

2039. G; ~), (-~; -~) 2040. Man muß das Minimum

der Funktion z = d:t= = x2 + (y - 2)2 unter der Bedingung x 2 _y2 _

- 4 = 0 bestimmen. Der gesuchte Punkt ist

(±.J5; 1) 2041. r = 1, h = 2

2042. a) Scheitelpunkt (± 3; -1); b) der Strahl muß so ver­laufen, daß sin (X : sin ß = VI : V2, wie dies auch in der Natur anzutreffen ist.

2043. Zmax = 9 bei X max = 0 und Ym .. = 3

2044. Zmln = 0 bei Xml n = Ymln = 2

2045. Zmln = 0 bei Xml n = 0 und Ymln = 0

2046. Zmln = 0 bei Xmln = 2 und Ymln= 4

2047. zmax=l bei Xmax=Ymax= = ± 1 und Zmln = -1 bei x= -y= ± 1

2048. V= 8 2049. a) Man muß das Mini-

x-y+4 mum von d= .J 2

oder das Minimum von Z = x - Y + 4 unter der Bedingung 4x - y2 = 0 bestimmen. Gesuchter Punkt (1; 2); b) 2ab

2050. r = J 7t J3 2051. Die Gleichungen der

Integral kurven lauten: x 2

a)y= T; b) Y = x 3 ;

x 3

c)Y=-T

288 2053-2094

2053. xy' = 2y 2054. a) y2 - x 2 = 2xyy'.;

b)x2 + y = xy' 2057. y = Cx, y = --2x

2058. xy = C, xy = - 8

2059. x 2 + y2 = C2, X2 +y2=20

2060. y = Ce"', y = 4 e"'+2

2061. y = C el/x

2062. x + y = = In C(x + 1) (y + 1)

2063. r = C eifq) + a

2 12 -1 + CI 2064. s = ---­

I 1; t;-2

2065. y = Ce, y = e Csin2 x-I

2066. y = ---::-2--

. 1 y= 2sm2 x--

2 1 1

2067. - + - = C; y = - x x y

2068. Die allgemeinen Inte­grale sind: a) y = C(x2 - 4); b)y= Ccosx Alle Integralkurven der ersten Gleichung schnei­den die x - Achse bei x = ± 2, die der zweiten

7t bei x = (2n - 1) 2" (singuläre Punkte)

x 3

2069. y = 3-

2070. f:Ydx=a ffHy'2 dx,

hieraus ergibt sich

y = a .Jl + y'2,

y'=±J~: -I, 1,--

dy = - V y2 - a2 dx , a

f dy = rdx_ +C, .Jy2_a2 J a

y x+C arcosh - = --,

a a

x+C y= a·cosh--

a

also die Kettenlinie. Die zweite (singuläre) Lö­sung ergibt sich aus:

!p(Y) '= .J y2 - a2 = 0

~ y=a,

also eine Gerade.

2071. y2 = a

2072. y2 = 4(x + 2)

2073. In 40 Minuten. Lösungs­weg " Nach der Zeit t sei die Temperatur des Kör-

dT pers T; dt =

= -k(T - 20 grd), wobei k der noch unbekannte Proportionalitätsfaktor ist; In (T - 20 grd) = = -kl + C; bei 1= 0 ist T = 100°C, daher ist C = In 80;

80grd kl = In T- 20 grd ;

nachdem wir Tl = 25 oe und T2 = 60 0 e einge­setzt haben, eliminieren wir die Unbekannte k:

kl In 16 k'IO = lß2' t=40min

2074. I:F,xi=-F",+F,cosa= = 0, I:FYi - qx + + F,sina = 0;

dy daher tana = - =

qx q dx =- y=-x2 +C

F",' 2F,x (Parabel).

2075. Die Gleichung der Tan­gente lautet Y - y = = y'(X - x). Setzen wir Y = 0, finden wir die Abszisse des Schnitt­punkts A der Tangente mit der x - Achse:

y XA=x--. Nach der

y' Bedingung XA = 2x ist

x = -~. die Lösung y' ,

dieser Differentialglei­chung liefert die gesuchte Kurve xy = - a2 , eine Hyperbel.

2076. x 2 + 2y2 = c2

2077. y2 - x 2 = C

2078. 2x2 + 3y2 = C

2079. y= Cx4

2080. y = C e-I!"'2

Cx2

2081. 2y = (1 + X)2 - I

2082. y = C(x + .J x 2 + a2) C-x

2083. y = 1 + c"i 2084. r=Ccos!p, r= -2cos!p

2085 . .Jy = x In x - x + C,

.Jy = x In x - x -+- I

c/fU 2086.y= , '

x + Vi + x 2

.J~ y-- x+.Jl + x 2

2087. xy = -1 x'a

2088. y = ae' 2x

2089. y = 1 - x

2090. x 2y = C

2091. Radiusvektor

OP = .J x 2 + y2 , Normalabschnitt

PN=-y-= cosa

= y .J 1 + tan2 a

= y .Jl + y'2. Die ge­suchte Kurve ist entweder ein Kreis x 2 -+- y2 = C2

oder eine Hyperbel x2 _ y2 = C2

2092. y = Cx2

x

2093. y - x = CeY- X

2094. x 2 - y2 = Cx

2095-2153

C 2095. S2 = 21 2 ln t 2096. y = Cx3 - x2

2CYJ7. y =

.:098. y =

C-e-x'

2x2

C-cos2x 2cosx

2099. y = xln Cx

ex ' 2100. y2 = 2x + C

2101. sin !.... + In x = C x

x 2102. y = C - ln x

C 2103.y=lnx+­

x 3 C

2104. y3 = 2X + Xl

x2 - 1 2105·y=-2-

1 1 2106. s=CI2+-; S=212+-

I I

2107. y = xecx ; y = X/:""x f2

2108. (x - y)2 = Cy

2109. x 2 + y2 = 2Cy

kl kL 2110. i= R + R2(e-<R/LI'-1)

2111. Wenn wir in der Tan­gentengleichung Y - y= = y'(X - x), X = 0 setzen, finden wir Vo = - ON = y - xy', ON=xy'-y=OM=

= .J x 2 + y2. Daher x 2 - C2

ist Y = . Der 2C

Spiegel muß ein Rota­tionsparaboloid sein.

2112. y2 = Cx e-v/x

InC(x+J~) 2113. y = /

ya2 +x2

2114. Für x> 0 J~= ln~, x x

für x<oJf=lncx

x-I C 2115·y=-3-+ /

y2x+ 1

2116. y= 1 + cosx

2117. S = 13(ln I - 1) + Ct2

2 _ 1 2118. y - 1 + Cex'

2119. y = 2(sin x - 1) + + Ce-slnx

2x 2120. y = 1 _ Cx2;

2x y = 1- 3x2

2121. y3 = x + Ce-x; y3 = x- 2e1- x

1 2122.y= ~

3 y l-x2 -1

2123. (x - a)2 + y2 = a2

lnCx 2124·y=-x-

2125. y2 = x(Cy - 1) y4

2126. xy= 4+ C

x y2 2127' y +T= C

C 2128. y = cos x + --.­

smx I

2129. S = C + I _ I In I

2130. X2y 2 + 2lnx = C CI-l

2131. S = -12-

2132. y = x 2 + Cx

C 2133. siny = x +­

x x

2134. y = C + 2 e-x/2

2135.4;2 + y2 = Cx

2136. x 3 e7 - y = C

2137. \v + x e-7 = C 2138. x 2 cos2 y + y2 = C

289

_ 1 y 2139. p. = Xl; x + X = C

2140.lnp. = lncosy; . 1

x 2 smy + 2cos2y = C

2141. p. = e-2X ;

y2 = (C - 2x) e2x

1 2142. p. = -. - ;

smy X

-.--+x3 = C smy

2143. x 3 + 2xy - 3y = C

2144. x 3y - 2x2y 2 + 3y4 = C

x2 cos2y 2145. 2 + x = C

1 2146. p. = -; xy - ln y = 0

Y

1 2147. p. = -4;y2= Cx3 +x2

. X

2148. p. = e-7 ;

e-7 cos x = C + x 1

2149. lnp. = -ln x; p. = i; x sin y + y ln x = C

2150. y = (C ± X)2. Durch den Punkt P(1 ; 4) gehen die Kurven y = (1 + X)2 und y = (3 - X)2

2151.y= sin(C± x). Durch

den Punkt P (i; ~2) gehen die Kurven

y=Sin(x- ~) und

y= sin e;--x) 1

2152. y = Cx2+ c; singuläre

Integrale y = ± 2x

2153. a) y = x + C und X2 +y2= C2;

b) x(Jl + ~±1 f=c' oder (y'- C)Z = 4Cx. Singuläre Integrale x=O

290 2154-2183

und y = -x. Die Para­beln verlaufen in folgen­dem Bereich: für x > 0 ist y ~ -x, fur x < 0 ist y< -x. Die Para­beln berühren die y-Achse und die Gerade y=-x

(x - C)2 2154. a) y = 1 + 4 ;

singuläres Integral y = 1;

1 b) X=2P-2'

P 2

y=p2 - -+ C p

2155. a) y = (C + Jx + 1}2; singuläres Integral y=O;

b) x = Ct 2 - 2t 3 ;

Y = 2Ct - 3t 2 , wobei

1 t= p; c) Cy= (x - C)2, singuläre Intt:grale y = 0 und y= -4x

2156. a) y = Cx - C2 ; singu-x 2

läres Integral y = 4"" ;

b) y= Cx- aJHC2 ;

singuläres Integral x 2 +y2=a2;

1 c) y = Cx + 2C2 ;

singuläres Integral y = l,5x2 / 3

2157. y = I _ (x ~ C)2

durch P (1; ~) gehen

x 2

zwei Kurven y = 1- 4 x2

und y=x- 4 3

2158. a) x = 2p+ T P2 + C;

y=p2 + p3;

b) x 2 + (y + C)2 = a2

x 2

2159. y = -4 + Cx + C2;

x 2

y=-2

1 2160. a) y = Cx + C; singu-

läres Integral y2 = 4x;

b) y = C(x + 1) + C2, (x + 1)2

y= - 4

2161. Die Abschnitte der Tan­gente Y-z=y'(X-x) auf den Koordinaten­achsen sind: XA = x-

y Y , --Yi, B=y-XY·

Nach der Bedingung

X A; YB = 2a2 folgt

(y - xy')2 = -4a2y',

y = xy' ± J-4a2y', eine Clairautsche Diffe­rentialgleichung. Eine beliebige Gerade der Schar y = - Cx ± ± 2a Je, aber auch die Kurve, die durch das singuläre Integral xy = a2 definiert wird, liefert eine Lösung der Aufgabe.

2162. Parabel (y - x - a)2= =4ax

2163. a) y = 3 In x + 2x2 -

- 6x+ 6; b) y = 1 - cos 2x;

c)y=Clx + xarctanx­

- In J 1 + x2 + C2

1 2164. y = - + Cl In x + C2

X

2165. y2 = Clx + C2

2166. y = Cl sin x - x -1

- 2 sin2x + C2

2167. y3 + ClY + C2 = 3x

2168. Y = Clx(lnx-1)+ C2

2169. cot y = C2 - Clx

2170. a) Y = e"'(x - 1) + + Cl X2 + C2 ;

1 b) Y = --- x

..!Ct x

X arctan /- + C2

VCl 1

(für Cl > 0), / x 2V-Cl

X lnlx - ~~ 111

+ C2 x+ -Cl

1 (für Cl < 0), C2 - -

x (für Cl = 0)

P 2171. y" = EJ (1- x). Bei

x = 0 ist y = 0 und

y'=O. y= 2~ X

X (lx2 _ ~3), d.i. die

Gleichung der Durch­biegung eines Stabes.

(c x+ C)2 2172. Cly = 1 4 2 + 1

(x- b) 2173. y = acosh =

a a(X-b _X-b)

=-eD+e Q

2 x 3

2174·y=6

2175. y=Clx+C2 -lncosx; partikuläres Integral y = -ln (cos x)

x 3 x 2176·y=12-4'+

+ Cl arctan x + C2

2177. Cly2= 1 + (Clx+ C2)2

2178. y = (Clx + C2)2

t 2

2179. s = -4+ Cl lnt+C2

21RO. 4(Cl y-l) = (ClX+Cl )2

2181. y = C2 - Cl COSX - x

2182. Siehe 2177.

2183. y = -ln cos x

2184-2236

2184. Y = Cl eX + C2 e3x

2185. Y = (Cl + Clx) e2x

2186. Y = e2x (A cos 3x + + Bsin 3x)

2187. Y = Cl e2x + Cl e-2x = = Acosh2x + Bsinh2x

2188. Y = A cos2x + Bsin2x = = a sin (2x + qJ)

2189. Y = Cl + Cl e-4x

2190. x = Cl e' + C2 e-4t

.qJ+ B . qJ 2191. (! = A cos 2" sm 2"

2192. s=e-t(AcoS/+Bsin/);

s = e-I (cos 1 + 2 sin I)

2193. Y = Cl eX + + (Cl + C3x) e2x

2194. Y = Cl cosh 2x + +C2 sinh 2x+C3 cos2x + C4 sin 2x

2195. Y = Cl e2x + + e-X(C2 cos x J3 + + C3 sinxJ3)

2196. Y = = (Cl+C2X+C3x2 )e-ax

2197. Y = A sin x sinh x + + Bsinx coshx + + Ccosx sinhx + + Dcosxcoshx

2198. y=Acoshx+Bsinhx+ x x

+ C cos "2 + D sin 2 2199. Auslenkung x =

=asinft (I - 10 );

Periode T = 2n H 2200. x = bcos J! I;

Periode T = 2n J ! 2201. x = a e-kl sin (rot + qJ),

wobei W = J ~ _ ~2

2n Periode T = J~

g k b 4

2202. Y = Cl e-lx + Cl e-x

2203. Y = (Clx + C2 ) e-ax

2204. Y = e-X(Cl cos 2x + + C2 sin2x)

2205. x = Cl e3t + C2 e-t

2206. x = Cl coswl+C2 sinwI 2207. s = Cl + C2 e-at

2208. x = e-t (A cos 1 Jz +

+ Bsin I.JZ) 2209. Y = Cl e-x +

+ (C2x + C3 ) e2x

2210. Y = Cl e2x + C2 e-2x + + C3 COS X + C4 sin x

2211. Y = (Cl +Clx) cos 2x+ + (C3 + C4 x) sin 2x

eX - e-X

2212. Y = 2 = sinh x

2213. Y = (Cl + Clx) eX + elx

2214. Y = Cl e2x + Cl e-2x _ - 2x3 - 3x

2215. Y = Cl e-x + C2 e-2x+

+ 0,25 J'2 cos (i -2X)

2216. y=Cl COS x+C2 sin x+ + x+ex

2217. Y = Cl + C2 e-3x + 3 + -x2 -x 2

2218 Y = e-2x (Cl cos x + + C2 sin x) + x 2 _

-8x+7 2219. Y = Cl e2X + (C2 - x) eX

2220. x = A sin k(1 - 10 ) -

- Icoskl

2221. y= Cl exy'l" + C2 e-X V2_ - (x - 2) e-X x 3

2222. Y = Cl + C2 e2x - "6 1

2223. Y = -- e-x + xe-lx + 2

+ Cl e-2x + Cl e-3x

2224. x = e-kl (Cl cos kl+ + C2 sin kl) + sin kl­- 2 COS kl

291

2225. y=Cl+C2 X+(C3+x) x

X e-x + x 3 - 3x l

2226. y=Cl e3x+ (C2 - i) X

X e-3x + C3 COS 3x + + C4 sin 3x

2227. x = Cl + Cl COS 1 + + C3 sin 1 + 13 - 61

2228. Y = (Cl + ~) e-2x + + (Clcosx.J3 +

+ C3 sin x .J3) eX

2229. a) x= ( Cl +Cl/+ ~) X

X e-lt ;

1 b) x= Acos-+

a 1 1

+Bsin-+ -a a

2230. In unserem Beispiel ist Yh1=cos2x, Yhl=sin2x,

x w=2; A=-2"+Cl ;

1 B = 4 In sin 2x + C2

und Y = (Cl - ;) X

X cos 2x

+ (Cz+~lnsin2x) X

X sin 2x

2231. Y = [(Cl + In cos x) X X cos x + (Cl + x) X X sin x] e2x

2232. Y = (Cl -lnx+ CZx) eX

2233. y=Cl cosx+C2 sinx-

- cosx In tan G + :i) 2234. a) Y = Cl + C2 e-X _

- (1 + e-X) In (1 +e'") + +x; b) Y = e-2x

(Cl + C2x+;J 2235. x = a(e-t + 1 - 1)

2236. Y = Cl eX + C2 e-Zx_ - 3 (XZ + x + 1,5)

292 2237-2275

tl37. y = Cl eZ"'+ Cz e3"'+

1 ') + "6(5 cos3x -sm3x

2238. y = (Clx + CZ) e-'" + 1

+ 4 e'"

2239. y = e-... jZ (Cl COS 3; +

+ Cz sin 3;)-6COS2x+

+8sin2x

2240. y = Cl e ... jz+Cz e-JCjZ _ -x3

2241. Y=Cl e""+(Cz-i) X

X e-'"

2242. s = e-' (Cl cos 1 + + Cz sin I) + (I - Ifl

2243. a) y = em ... (CI+CZx) + cosmx

+ 2mz ;

b)y= Cl ez..-/" + 2

+ Cz e-z..-/" - -n

2244. y =,Acosx+Bsinx+ + Ccos2x+Dsin2x-

1 - T XCOSX

2245. y = (Cl+CZX+C3xZ+

+ X;)e""

( XZln x 3xz 2246.y= -2--4+

+ Cl + Czx) e-zx

2247. a) y = Cl sin X + Cz X 1

X cosx+ --; 2cosx

b) y= (Cl-In Isin xi) X X cos2x+ (Cz - x-

- ~ cotx) sin2x

2248. y = (Cl + .../4 - XZ + + x arcsin i + Czx) e'"

C-(x+2)e-'" 2249. y= x+ 1

2250. y = 1 + C cos x

2251. y=x(1 + CJ1-xz), linearer Typ.

2252. y = C (1 + .../ x ) l+xz

e'+C 2253. s = -Iz-

2254. JY = Cx2 - 1

2255. 2 Cy 2 = x(C2X2 - I)

2256. y = xInx - 2x + + CIInx+ C2

2257. y(Cz - Clx) = 1

2258. y=Cl em""+ (Cz - ~)" X e-m..-

C 2259. y = In x + In x

2260. y = x e(C!,.,-1

z_ 1 2261. y - x + Ce""

2262. y = (Cl + Czx)e""+ x3

+ C3 + "3+2xZ+ 6x

2263. y = Cz - In (1 - Cl e"")

2264. s = Cl eZ' + sin 1 + e-'(Cz + C31) - 2-

t 2265. a) s = (tZ + C) tan -2";

b) yZ = Cxz - 1 J

sinx+ Ccosx 2266. a)y = ;

x

b)y=e-X(c l + ~)+ x..j3 + Cz e""j2 cos -2- + x..j3

+ C3 exjl sin -2-

2267. a) y=(Cl-ln"'/l+eZX) X

X eX+ (Cz + arctane",) X X eZ";

b)y=CI eV;:;+ Cze-V;:; und y = Clx + Cz

aZ d 2x 2268. g dtz + lOOOx = 0,

10.../10g x=A.cos 1+

a

10.../10g --!-Bsin I,

a 7ra

Periode T = --=-5.../10g

dT k 2269·-d = -4~; e 7re

k T=-+C; kund

47re C finden wir aus den Be­

k dingungen 2OoC= 47r 2r

k +C und lOO"C= 4--7r·r

1600Cr +C; T=---60oC

e Für e = 1,6 r wird T=40oC.

2270. a) y = Clx + Czx-l + + C3X 3 ;

Cl b) y = - + CzxZ;

x c) y = Clx· + CZX-1n+l )

2271. a)y=x-Z(CI+CzInx); b) y = Cl cos (In x) + + Cz sin (In x)

5xz 2272. a) y = 3 +CIX- l +

+ Cz; Cz

b) y = CI X 3 + Xl -1

-2Inx+"3

2273. a) y = Clx + Czxz-- 4xlnx;

Cl + CzIn x+ In' x b) y = -=-~=---.-:.._­

x

2274. a) y= (~ +Clx+ Cz) x

X xZ; x

b) y= 2+CI cos(lnxH

+ Cz sin (In x)

2275. x = Cl e' + Cz e-3',

2276-2305

dx , v=--=-Cle+ . dt + 3C2 e-3,

2276. x = e' + CI + C2 e-2" y = e' + CI - C2 e-2 ,

2277. x = 2e-' + Cl e' + + C2 e-21, y= 3e-l + + 3CI e' + 2C2 e-2 ,

2278. x=e'+Cl e3'+C2 e-3,+ + C3 cos(t + rp)

2279. x = e-21 (1 - 2t)

2280. x = Cl e' + C2 e-' + + toosht

2281. a) u = rp(x) + tp(y);

b) u = yrp(x) + tp(x);

c) u = xrp(y) + tp(x);

d) u = ax2 1ny+bxy+ + rp(x) + tp(y)

2282. z = y2(X + y - 1)

2283. Um die Gleichung iJ2 u iJ2u

A iJx2 + 2B iJxiJy + iJ2u

+ C iJy 2 = F in die

kanonischeForm zu brin­gen, muß man die cha­rakteristische Gleichung A dy2 - 2B dx dy + + C <!xl = 0 lösen, in ihren zwei Inte­gralen qJ(x; y) =; und .p(x; y) = 17 müssen wir die willkürlichen Kon­stanten ~ und 17 als neue Veränderliche einführen und die gegebene Glei­chung nach diesen neuen Veränderlichen transfor­mieren (siehe Aufgaben 1941 und 1942). In unserem Beispiel muß man die Gleichung dy2+4 dx dy + 3 dx2 = = 0 lösen, daraus ergibt sich dy + dx = 0, dy + 3dx = 0, y+x= = ~, y + 3x = 1). Die Gleichung erhält mit den neuen Veränderlichen

iJ2u die Form iJ~ iJ17 = 0

Daher ist u = rp(E) + + '1'(17) = qJ(y + x) + + tp(y + 3x)

2284. Charakteristische Glei­chung x 2dy2-2xydxdy + y2 dx2 = 0 oder (xdy- ydx)2 = 0 oder

d (~) = 0; ~ =~. Die

Lösungen sind gleich; rur 17 setzen wir y. Es ergeben sich die Charak-

teristiken !.. = ~ und x

y = 17 • Die Gleichung erhält die Form (siehe Aufgaben1944 undl945): iJ2u d7J2 = 0; u = 17rp(E) +

+tpW oder u=yrp(~) +

+ tp (~) 2285. u = yrp(y + 2x) +

+ tp(y + 2x)

2286. u = xy + sin y oos x

2287. (Siehe Aufgabe 1944). u = y In x + 2y + 1

2288. u= ~.;.~t.rp(~) +tp(xt);

partikuläre Lösung x 2 (1 + t 3 )

u= t

2289. u = e-"rp(x - t) + tp(x); partikuläre Lösung u = (x - t) e-' - x

2290. Partikuläre Lösung 1

u = xat + -a3t 3 3

f(x-atH f(x+at) 2291. u = 2

1 J,,+al + 2a F(z)dz " al 2292. 6 - 4 In 2 ~ 3,23

2293. a) 102/3 Flächenein­heiten; b) 4 Flächeneinheiten

5 2294.206'

9a2

2295. 2 1 1

2296.2'- -;-

2297. a) J: dx J: dy =

293

= Ja dy Ja dx = a2 ; o " 2

b) Ja dy Jya2-Y2 dx= o a-y

= J" dx Jy,,2_,,2 dy = o a-.l'

= a2 (~~ 2); ~a2

c)4

2298. a) f: dx J:- .. 2 dy =

= fl dy [" dx + ° . °

+f2 dyJVM dx=l~; 1 ° 6

b) fO dy JO dx = -2 y2-4

= (0 dxfO _ dy= • -4 - Y4+ .•

16

3

2299. (; + 2) a2

2300. Flächeninhalt des kleine­ren Segments:

(~~ - J3 )a2",,=,2,457a2

3a2

2301. 21n2

868 2 2302. ISa

3 2303'8~a2

2304.4,5

a2

2305. "6

294 2306-2352

2306. J2 - 1

9 2307. Tal

2308. 8n: + 9 .J3

2309. (2 - :) a l

2310. 71n 2

2311. a) f: dx f: dy =

fb fb (b-a)l

= dy dx=--; a ';.v 2

b) fa dy f Y::2- J,2 dx= o yay

= f: dx f: dY + + f:Y2dxJ~2a2_X2dY=

al (3n: - 2)

12

C) f: dx f:~; dy =

= f>y f: dx +

+ JS dy JS-Y dx = 40. 4 0 3

2312. G; ;) 2313. (3; 4,8)

2314. c;; ~) 2315. (0; ~:)

( 256a) 2316. 0; 315n:

lab3

2317. J" = -3-;

a3b J, = -3-;

ab3 + a3b Jp = 3

17a4

2318. 96 a4

2319. "4

a4

2320. ""6 n:a4

2321. 8 n:a4

2322, 2-88a4

2323. 105

2324, c;; 3:)

2325. (0; -~~ ) a4

2326. 30

2327. 3

ab(al + bl ) 2328. 12

2329.47,5

35n:a4 2330. ----:t6

2 2331. 42 3

79 ~ 2332. 60 a

2333, Schnitte mit Ebenen z = h ergeben x+ y ='=

= ±.J a(a - h), also parallele Geraden, d. h., die Fläche ist zylindri­schen Typs (Bild 63). Ge­suchtes Volumen:

V= f:dx f:-xZdY=

a3

4 16

2334. 3 a3 (Bild 64)

2335. (Siehe Bild SO, Seite 270)

8 3

9 a

a3

2336'3

n: 3 2337. tza

2338. 3n:a3

2339. V= 4 ff mcosqJdqJx

X rldr=--fa 4ma3

o 3 (Bild 65)

n:a3

2340. 2

2341. 4n: .J3 a3

4a3

2342, 9 (3n: - 4)

(Bild 66)

2343. n:l a3 (Bild 62)

16.J"2 3 2344.~a

n:abc 2345'-2-

2346. n:abc (1 - ~) 4n:a3

2347'35"

8 3 2348. 15 a

~

J1 J1 { 2349. V = 2 dx z dy = o . x 2

88 = - (Bild67)

105

f3a

2350. V = 4 0 dx X

J lY;;; / X y;;; -V 4ax - yl dy=

= 3a3 (4n: - 3.J3)

(Bild 68)

2351. V= 8fa!!... X o a

X Jal-xldxX

f~ Val-xl 16abl X a dy=--

o 3

2352. V=o 4 f: dx f:~ X

X J a l - x2 dy =

=-2-'

295

I z

Bild 63 Bild 64

z

)(

Bild 65 Bild 66

z

inlIttiHII+-~~- .Y

Bild 67 Bild 68

296 2353-2387

z

Bild 69

.. :C­

y Konoid (a2-x2)y~=h2z2

Das Volumen ist gleich dem Produkt aus dem Flächeninhalt der Grundfläche des Keils (Konoids) und der hal­ben Höhe (Bild 69).

128 3 2353. 105 a

2354. 187t

2355. 27ta3

2356. 87t In 2 (siehe Bild 49, Seite 270).

3 3 2357. 167ta

57ta3 2358'16

47tabc 2359'-3-

-2360.13

2361. 81 2 a2

2362. 27ta2

27ta2 -2363. -3-(2..} 2 - 1)

2364. 27tp2 ..)2

2387. J<x + y) dx =

2365. 8a2

2366. 4a2(7t - 2)

14 2367. T7ta2

für ß = 60° und

7tR2

<3<=30°(1=-6

7ta3 ( 2369'12 Radius der Schnitt-

figur r = ;3) 27ta3 r::i

2370. -3- . (2 - V 2)

4 2371. Kugel: VB =T7tf'3;

1 Kegel: Vc "" 3"lta3

VB - Vc damit :=0 3

Vc

2372.J: <Ix J~x dy J~x-; dz=

a4 24

2373. (: ; : ; :)

2374. (0: 0; ;)

a5

2375 .•

7taS

2376·..}2

7ta3 -2378. (; (8..}2 - 7)

32 2379. Tlt

7ta3 2380'6

a4

2382. 12

2383. (0; 0; 3:)

32..}2as 2384. ---os-

a3

2385. 360

2386. 6k7ta2 , wobei kein Proportionalitätsfaktor ist.

{

4 bei Integration über die Strecke DA,

10 ~ T bei Integration über den Bogen DA,

2 bei Integration über den Streckenzug DBA

2388-2441

2388. a) 8; b) 4

2389. J (x dy + y dx) = R

in beiden Fällen. Das rührt daher, daß hier

iJQ iJp gilt: iJx = iJy

2390. a) 1,5az ; b) aZ

2391. 8az

2392. ltaz

ltmab 2393. -4-

2394.0

2395. f (x + y) dx -(C)

-f 2xdy (C)

= - f:f:-x=y 3 dy dx =

3 Z = -"2 a

5lt 2396. a)6";

1 b)-"2

1 c) 2 - ../3 2a3

2397. -3-

2398. ltab

8 2399. 15

3 2400. "2az

2kmM 2401. X = 0, y = --Z­

lta kmM

2402. y= r aZ ,,2

kmM 2403. y=-z­

a 52

2404. a) -16; b) - 3; c) -12

3a3

2405. a'T

aZ

b)2;

llaz c)-6-

2406 iJy = o(x + y) = 1 . i)y i)x '

also die Integrabilitäts­bedingung Py = Q" erfüllt.

2407. f2fY=x (~ + -;) X 1 y=1 X Y

1 X dydx ="2

3 2 2408· 8 lta

4 2409. 3

a3 2410. 2

2411. ~4 (: + Ilt6)

2412. Beide Seiten ergeben 4lta3

2413. Beide Seiten ergeben

~4 (: + Ilt6) 4lt

2414. 3" abc

2415. II ~ ds = (04) dn

= I{A)(:;COS~)ds+

+ I !cAJ:; cosß+

+ :: COSY) ds =

fff (i)Zu azu

= (v) axZ + ayz

+ ;;:) dx dy dz

2416. 8lta3

2417. Die Koeffizienten von cos~, cos p, cos Y in (2) von S.213 verschwinden" identisch.

297

2418.3az

2419. Beide Seiten ergeben 12 -lta5 5

2420. a3

2421. 0,15a5

2422. Nein

2423. Ja

2424. Ja

2425. Die Reihe divergiert

2426. Divergent

2427. Konvergent wegen

foo xdx 3

1 (x + 1)3 = 8 2428. Konvergent wegen

I~ I:XZ = ~ 2429. Divergent wegen

I~ 1 : X Z dx = 00

2430. Konvergent wegen

f~ (2x + ~Z - 1 =

=Uln x : Ir =~ln2 2431. Konvergent 2432. Konvergent 2433. Konvergent 2434. Konvergent wegen

I. U,,+I 1 Im --=-< 1

" .... 00 u" 2 2435. Divergent

2436. Divergent

2437. Konvergent

2438. Divergent

2439. Konvergent

2440. Divergent

2441. Für x ;;;:; 1 gilt immer:

11 1 n :E 1 + 2k~-2,also

k=l x divergent.

298 2442-2465

Für x > 1 gilt immer: 1 1

U. = 1 + x211 < X 211 =V.,

00

wobei 1: VII konvergent n=l

nach Quotientenkrite­rium und somit auch

00

1: U. nach Vergleichs-n=l

kriterium.

2442. 1

1 2443. 3 2444. Nicht absolut konver­

gent

2445. Absolut konvergent

2446. Nicht absolut konver­gent

2447. Absolut konvergent

2448. Nach der ersten Vertau­schung der Glieder schreiben wir die Reihe

in der Form (1 -~)-_!+ (!_!)_!+

4 3 6 8

+ (~- 110) - 112 + ... Nach Ausführung der Rechenoperationen in den Klammern erhalten wir eine Reihe, deren Glieder halb so groß sind wie die Glieder der gegebenen Reihe. Nach der zweitenVertauschung formen wir das note Tripel dc!r Glieder um:

111 4n-3+4n-I-2n=

1 1 =4n-3-4n-2+

1 1 +4n-i-4n+

1 1 + _. setzen 4n-2-4n'

wir n = 1, 2, 3, ... so bilden die ersten vier Glieder die gegebene Reihe mit der Summe S, die letzten zwei eine Reihe

1 mit der Summe 2- S.

2449. Konvergent

2450. Divergent wegen

Joo dx

1 100x - 99 = 00

2451. Konvergent wegen

Joo x dx 1t

1 I+x4 =g 2452. Divergent wegen

Joo 2x - 1 ---dx= 00

I x 2

2453. Konvergent

2454. Konvergent wegen

• Un+1 1 hm --=-< 1

n .... oo U. 2 2455. Konvergent wegen

lim Un+! = lim _~On + 21 11 .... 00 U. n .... 00 3(20n + 1)

1 =3< 1

2456. Konvergent 2457. Nicht absolut konver­

gent

2458. Absolut konvergent

2459. Für a> 1 absolut kon­vergent, für a = 1 nicht absolut konvergent, für a < 1 divergent.

2460. 1/ 2

2461. 1/4 2462. Die Summe der Reihe

I ist S(x) = -- für

I-x x< 1, Rest

x· R. = S - S. = I _ x·

Im Intervall [0; ~] ist

1 IR.I< 2,,=1 < 0,001,

IgIOOO sobald n-I >~;

n ~ 11

2463. Die Reihe hat die Summe

x S=l-(I-x)=

={I für O<x~l, o für x=O

und den Rest

_ {(I-X). für O<x~l, R. - 0 für x = O.

Bei beliebigem n wird der Rest R. größer, z.B. 0,9, sobald x < I

- -;/0,9, d.h., im inter­vall [0; I] konvergiert die Reihe ungleichmäßig.

Im Intervall [~ ; I] aber konvergiert sie gleichmäßig, denn dann ist für beliebiges x

I IR.I < 2. < e, sobald

-lge n > --; speziell ist

Ig2 IR.I < 0,01 für n ~ 7

2464. Der Rest der alternie­renden Reihe ist dem Betrage nach kleiner als das erste unberücksich­tigt gelassene Glied. Da­her gilt im Intervall [0, 1]

x"+1 1 IR.(x)l< n + 1 < n+l

~O,I, sobald n+I~IO oder n ~ 9.

2465. Die Reihe hat die Summe

_ {I + x3 für x> 0, S- 0 für x=o

und den Rest

R. = ((1 + ~3).-1 für x > 0,

o für x = 0

Bei beliebigem n wird der Rest R. größer, z.B.

2466-2492

0,1, sobald X 3 < ·-110 - 1, d. h., für x;;;;: 0 konvergiert die Reihe ungleichmäßig. Aber für x ;;;;: 1 konvergiert sie schon gleichmäßig, denn dann ist für beliebiges

1 x;;;;: 1 IR.I;;;;; 2'-1 < f,

-lgE sobald n - 1 > Ig 2 ;

speziell ist IR.I < 0,001 für n;;;;: 11.

2466. Bei beliebigem nicht­negativem x sind die Glieder der gegebenen Reihe kleiner ( oder gleich) als die Glieder der konvergenten Zahlenreihe

1 1 1 1+-+-+-+·

3 32 33

Folglich konvergiert die Reihe gleichmäßig für alle x ;;;;: 0, R.(x) ist kleiner als der Rest der Zahlenreihe, d. h.

(~ r R.(x) < --=

1 1- 3

1 = 2'3.- 1 < 0,01,

sobald 3' - 1 > 50 oder n;;;;:5 für beliebiges x;;;;: 0

1 2467. IR.(x)1 < -2 ;;;;; 0,0001. n .

sobald n;;;;: 100, für beliebiges x.

1 2468. u. = x + n - 1 -

1 - x+n"

Deshalb ist 1 1

S=----· n X x+n'

I. 1 S = 1m S. =-

n-OCJ. X

für beliebiges x 9= O. Speziell gilt für x > 0

1 R.(x)=--· < x+n

1 < -;;;;;0,1,

n

sobald n;;;;: 10.

2469. Für beliebiges nicht­negatives x sind die Glieder der gegebenen Reihe kleiner (oder gleich) als die Glieder der konvergenten Zahlenreihe

1 1 1 1 +'2+4+8+ .. ·. Deshalb konvergiert die Reihe gleichmäßig für

al: Gr x = 0, R.(x)< --1_

1---1

= 2.- 1 < 0,01,

sobald 2.- 1 > 100 oder n;;;;: 8

2

2492. a) cos (x-<X)=sin <X (~_ x 3 + x5 _ ... )

. l! 3! 5! .

2470. -3;;;;; x< 3

2471. - .Js ;;;;; x;;;;; .Js 2472. - ";3 :0;; x :0;; .J3

2 - - 2

299

2473. Absolut konvergent auf der gesamten Zahlen­geraden.

2474. -1 < x;;;;; 1

J2 ";'2 2475. --:0;; x<-3 - 3

2476. a) r = 0; b) r = 1

2477. -5;;;;; x< 3

2478. I< x;;;;; 2

1 2479 für lxi< 1 . (1 - X)2

2480. arctan x für lxi;;;;; 1

1 + x 2481. (1 _ X)2 für ~ lxi< 1

2482. (1 + x)m

";5 .j5 2483. -T;;;;; x < "'2

2484. -";3 ;;;;; x ;;;;; .J3 2485. -0,1 ;;;;; x< 0,1

2486. - 1 ;;;;; x ;;;;; 1

2487. -1 ~ x< 3

2488. -I ;;;;; x < 0 1 - x 2

2489. (1 + X2)2. für lxi< 1

2490. - In (1 - x) für -l;;;;;x< 1 1- 2x

2491. (1 + X)2 für lxi< 1

+ COS<x(I- x 2 + x4 _ ... ).

2! 4! . ' d) sin (mx + ;) =

!R.(X)!=~ COS (Ox-t<+n~); n. 2. = ";3 (1 _ m2 x 2 + m4 x4

_ ... ) + 2 2! 4!

+ ~ (mx _ m3x3 + m5x5 _ ... )

2 . 1 3!' 5!

300 2493-2506

2493. In (1 + ek» =

kx k"x" Jc4x4

= In 2 + "2 + 2! 2" - 4! 23 + ...

2494. (1 + ~)m _ ~ (m) x:; a ,,=0 n a

r = lim I ~ I = !im I a(m - n) I = a 11-+00 a,. + 1 "-+00 n + 1

2495. (1+X)-3:~J -:nxm ;

(-3) m(m + 1) (m + 2) da m = (-1) 2 '

wird mit m = n - 1 die Behauptung bewiesen.

2497 a) In 1 + x = 2 [x + x3 + x5 + _ .. ] . . I-x 3 5 '

b) In (2 - 3x + x") = In (1 - x) (2 - x) = 00 x"

=ln2- ~ (1+2- 11)-; 11=1 n

1 +x3 c) In (1 - x + x") = In -- =

l+x

= -[x-~_~_~_:4 +~5 + ~6 + ... ] 00 n:n x"

= -2 ~ 008--11=1 3 n

2498. In (x + J1+~= x + 00 l' 3 ... (2n - 1) x2n+1

+~(-lY' 2'" -2+1 li-I n. n

[X - a (x - a)"

2499. ex1a = e 1 + --+ --- + 1! a 2! a"

(x - a)3 ] + 3! a3 + ... ,

R ( ) = (x - a)" I H (~ -I) "x n! an e a

2500. x 3 - 3x = -2 + 3(x - I)" + (x-l)3

2501. x4 = 1 - 4(x + 1) + 6(x + I)" -- 4(x + 1)3 + (x + 1)4 1 1

2502. ;- = - (. x + 2) = 2 1--2-

1 [ x + 2 (x + 2)" =-2 1+-2-+-4-+

(x + 2)3 ] +-8-+'" für -4<x<0

x Ji[ (x-~) 2503. a) cos 2 = 2 1 - I! 2

00 (x-ir- I (2n-l)n:

-="~1 (n-l)! 2,,-1 cos 4

da O! = 1 (vgl. Fußnote auf Seite 159 zur Aufgabe 1760);

• 00 (3X+n:)2"-1 b) sm 3x = ,,~/-1)" (2n _ I)!

2504.z!~= -z!I-(x+l)=

x + 1 2(x + I)" = -1 + J.lT+ 3"'2! +

2· 5(x + 1)3 + 33 '3! + ... =

x+l =-1+-3-+

00 2' 5 . 8 '" (3n - 1) I

+ ";1 3"+1(" + I)! (x + 1 )"+

fdr -2< x< 0

xln2 x 2 In2 2 2505 a)2x = 1 + --+ ---+ .... . 1! 2! '

x" In" 2 IR"I = --, -2/)x; n.

b)COS(mx+ ;)= = Ji [1 _ mx _ m2x 2 + ... ] =

2 1! 2!

00 (mx)"-l n: = ~ ( _1),cos(2n-l)-4

,,=1 n .

(dabei wird O! = 1 gesetzt)

2506. x4 - 4x2 = (x + 2)4 -

- 8(x + 2)3 + 20(x + 2)2 - 16(x + 2)

2507-2523

1tX 00 1t"(x-l)" (1t 1t) 2508. sin-= 2: -n--sin - +n- (O! =1)

3 n=O 3 n! 3 2

J- [ x - 4 (X-4)2 2509. X = 2 1 + 23~ - 26. 2! +

1 . 3(x-4? 1 . 3 . 5(x- 4t ] + 29 • 3! - - 212 • 4! + ...

2511. arcsinx =

1 x3 1· 3 X S 1· 3 . 5 x 7

=x+T'T+22 '2!S+ 23 '3! 7+'"

2512. J 0,992 = .J 1-0,008 R:< 1-0,004 = 0,996;

J90=.J8H9=9Jl +~R:<9(1+ 118)

= 9,5

2513. VO,991 = VI - 0,009R:< 0,997;

V 130 = V 125 + 5 = 5 3 / 1 + 1 P>:i ;.j 25

R:< 5 (1 +~) = 5_1 ,75 15

2514. sin 12°"" 0,2079; ILlYI < 3 . 10-5

X x 3 x 5

2515. arctan x = T - T + 5 - ...

1t J3 1 2516. tan"6 = -3-' also x = -':;3

und Summe versechsfachen.

J-( 1 1 1 2517. 1t P>:i 2 3 1 - M + 5' 32 - 7-"33 +

+ 9.134 ) P>:i 1,814.J3 P>:i 3,142

20 Minorski, Aufgabensammlung

2518. In 2"" 0,6931; In 3 "" 1,0986;

In 4 "" 1,3863; In 6 "" 1,7918;

2520. ~(x) = f: e-x2 dx =

x3 x 5 x' = X - m + 2! 5 - 3! 7 + ... ;

301

~ -- P>:i - - - P>:i 0321 ( 1) 1 1 3 3 34 ,

mit einem

Fehler unter 1

2430

2521. ~(x) = f: V 1 + x 2 dx =

1 x3 2 X S 2· 5 x' =x+T'T- 32 2! 5+ 33 • 3! 7- ... ;

mit einem

2522. Nach n-maliger Differentation der Gleichung erhalten wir für x = 0:

y~n+2) = n(n-l)y~n-2).

Daher sind Yo = Yo'=O, ~4) = 2' 1,

Y~) = 3 . 2, y~6) = 0 usw. Setzen wir

diese Werte in die MacLaurinsche Formel

11

Yo Yo Y = Yo + - x + - x 2 +... ein, so

1! 2!

finden wir:

x x4 X S x 8 Y=l+-+-+-+----+· ..

1 3'4 4'5 3·4'7'8

x2 x 3 x4

2523. y = 1 + 2' - T + 6 - ...

302 2524-2539

2524. Als Lösung tritt die "Besselsche Funktion nullter Ordnung" auf:

x2 ;x4 x 6

lo(x)= 1- 22 + 22. 42 - 22. 42 . 62 + ...

2525. Jl,005 FI:S 1,0025; .y!1,0012 FI:S 1,0004;

JO,993 FI:S 0,9965; .y!0,997 FI:S 0,999;

JUö= Jl00+ 1OFI:S 10(1+ 2~)=1O,5;

.y!70 FI:S 4 (1 + ;2) = 4,125;

v'40 FI:S 2 (1 + ;0) = 2,1

2526. cos 12° $::S 0,9781; ILlyl < 4 . 10-4

(1 1 1

2527. lt = 6 "2 + "2' 3 • 23 +

1· 3 ) + 22 . 2! 5 . 25 + ... FI:S

FI:S 3(1 + 0,0417 + 0,0047) FI:S 3,14

[ 111] 2528. lt = 2 1- 3 . 22 + 5 . 24 - 7 . 26 +... +

+~[I __ I_+ __ l ___ l_+ ... ] = 3 3 . 32 5, 34 7 . 36

10 a) (-Ir (1 2) = 3 + 2 n~12n - 1 4ft + gn. 3

2529. a) In der Reihe für In (1 + x) von S. 222

wird x = ~ gesetzt und In (1 + ~) =

= In (N + 1) -ln Nberücksichtigt. 1

b) Dies folgt wegen (lg x)' = 0,4343 -. x

2530. In 5 ergibt sich aus der Reihe der Aufgabe 2529 a) für N = 22; In 10 = In 5 + In 2

2531.lg 101 $::S 2,0043; Ig 102 $::S 2,0086

_ (~)2. e4 _ (~)2. e6 _ ... ] 2·4 3 2·4,6 S '

wobei e die numerische Exzentrizität der Ellipse und a deren große Halbachse ist (siehe Nr. 1624 und deren Lösung)

IO.5 ,-2533. ° 'V 1 + x3 dx =

[ X4 x7 ] /0.5

= x+ H - 22 '2!7+'" ° =

1 1 1 1 65 = "2 + "2 . '4 . 24 - ... FI:S 128 FI:S 0,508

1 mit einem Fehler unter 7. 210

1 x 5 1 x 9

2534.4>(x) = x - 2! 42 • 5 + 4! 44 • 9 - ... ;

( 1) 1 - 1 -4> - = ----+ "'FI:S 0499805 2 2 5 .210 ,

1 mit einem Fehler unter 27 . 220

x 3 x 7 2· x ll

2535. y = 3 + 32 • 7 + 33 • 7 . 11 + ...

2536. Wir differenzieren die Gleichung n-maI, setzen x = ° und erhalten

ybn+2) = -nYbn- 1); daher sind

Yo = 1, Yo = 0, Y" = 0, y"' = -1,

Yb4 ) = YI1) = 0, y~6) = 1 . 4, ... ,

x 3 1 . 4 . x 6 1 . 4 . 7 . x 9

y=I- 3!+--6!-- 9! + ...

Is S2 [ S4 ] 2537. x= 0 cos 2C ds=s 1- 2! (2C)2. 5 +.. ,

wobei die Konstante C = R . List, R der Radius der Kreislinie, L die Länge der Kurve, der sog. Klotoide(Bild 92, Seite 298).

2538. F(x + h, y + I) = x2 + xy + y2 + + h(2x + y) + 1(2y + x) + h2 + hl + 12

2539. x 3 + 2xy 2 = 9 + II(x - 1) + 8(y·- 2) +

+ 3(x - 1)2 + 8(x - 1) (y - 2) + + 2(y - 2)2 + (x - 1)3 + 2(-I)(y - 2)2

2540-2560

x 2

2540. In(x- y)=x-(y+ I) - 2+x(y+ 1)-

(y + 1)2 - 2 + R3 ,

(x - y - 1)3 wobei R 3 = 3[Ox + 1- O(y+ I)p ist.

(mx + ny)3 2541. sin(mx + ny) = mx + ny-·· 3! +

(mx + ny)4 + 4! sin O(mx + ny)

2542. e-X2 _ y2 =

00 (-I)k(x2 + y2)k =L =

k=O (2k)!

1 = 1 - (x2 + y2) + 2 (x 2 + y2)2 -

1 2 2 3 - (; (x + y) + - .;.

2543. dx = 0,1; dy = -0,2;

Llz = (2x - y) dx + (2y -- x) dy + dx2 -

- dx dy + dy 2 = -0,63

2544. Llz = - (a dx - b dy) sin (ax - by) -

1 2 - 2! (a dx - b dy) cos (ax - by) + R 3 ,

wobei

1 R 3 = 3! (a dx- b dy)" sin [a(x + 0 dx)-

- b(y + 0 dy)] ist.

2545. x 2y= -1- 2(x-I)+(y+l)-(x-I)2+

+ 2(x - 1) (y + I) + (x - 1)2 (y + 1)

y 2546. arctan x = y - (x - I)y + ...

2547. r = 1 + 2(y - 1) + (x - 2) . (y - 1) + +(y-l)2 + ... ; 1,t2·1 ~ 1 + 2· 0,1 + 0,1 . 0,1 + 0,t2= 1,22

2548. dx = -0,01, dy = 0,02;

Llz = 2yx dx + (x2 - 2y) dy + Y dx2 + 1 + x dx dy - dy 2 + "3 dx2 dy~ -0,3203

4 00 sin (2n - l)x 2549. - :E 2 1

7t n:::;1 n-

303

1t 4 ~ cos (2n - l)x 2550. -2- - -.:.. (2 _ 1)2 7t n= 1 n

1t2 00 cos nx 2551. - + 4 :E (-I)n -2-

3 n=1 n

2552-- _.---+--- ... + 31t [Sin x sin 2x sin 3x ] . 4 1 2 3

2 [COS x cos 3x cos 5x ] +- --+--+--+ ... 1t 12 32 52

4 [ 1tX 1 31tx 1 5i't'x ] 2553 - sin -- + - sin - + - sin - + ...

'1t / 3 / 5 /

1 4 [COS i't'X COS 31tx ] 2554 -+- --+----+ ... . 2 1t2 12 32

/ 2/ [ 7tX 1 37tx ] 2555. 4 - 1t2 COS T + 32 cOS-i + ... +

+ ~ [sin 1tX _ ! sin 27t~ + ... ] 1t /2/

3 4 [ 1tX 2 21tx 2556. a) "4 + :t2 cos"2 - 22 cos 2' +

1 31tx 1 51tx + J3cos '2 + 52 cos 2'-

_2 COS 61tx + ... ]. 62 2 '

2 [ 1tX 1 2i't'x 1 3i't'x ] b); sin 2+2sin2'+"3sin 2+'" +

4 [ 1tX 1 37tx + 1t2 sin "2 - J3 sin 2' +

+ _1_ sin 51tx _ ... ] 52 2

4/ ;; 1 . n1t . n7tx -n2,,2a2'JI2 2557. u = "2 .:.. zsm-2 sm -/ e

jt n=l n

00 2n+l .2n+l 2558. u = n~o an cos ---u- ai't't sm ---u-1tX,

2 JI 2n + 1 wobei an = T /(~) sin -U 1t'~ d~

00 n1tx a1t2n2t 2559. u = :E bn sin -/- cos -/-2 -

n=1

2 JI n1t~ wobei b" = T /e;) sin -/- M

2 Joo 1 - COSA 2560. fex) = - . sin AX d).

:t 0 j.

304 2561-2570

2ß JOO cos Äx 2561. f(x) = --:.; 0 ß2 + Ä2 dÄ

4 JOO (1 - cos Ä) sin Ä 2562. f(x) = -; 0 Ä2 sin Äx dÄ

~ 2 [ cos 3x cos 5x ] 2563 -+ - cosx+ --+ --+ ...

· 4 7t 32 52

2 2564. Isin xl = - -

7t

_ ~ rcos 2x + cos4x + cos6x + ... ] 7t l 1-3 3'5 5'7

4 [ sin 3x sin 5x ] 2565 - sin x - -- + -- - ... · 7t 32 52

[ 7tX 37tx ]

/ 4/ cos T cos -/-2566 - - - -- + + ...

· 2 7t2 12 32

3 2 [COS 7tX COS 3~x ] 2567--- --+--+ ... -. 4 1t2 12 32

1 [Sin 7tX sin 2 7tX ] -- --+--+ ... 7t 1 2

1 cos -/- cos -/-[ (

0 7tX 27tX)

2568. sinh / T - 2/ 7t2 + [2 - 221t2+ /2 +... +

(1 . sin 7tX 2 sin 27tx )]

+ 27t 'o1t2 + /~ - 227t2 +//2 + ...

<X> 2n+l 2n+l 2569.11= ~ an cos -2- t sin --2- x,

n=O

2 Jn 2n + 1 wobei an = -=- fm sin -2- .; d';

" 0

2 JOO sin Ä cos Äx 2570'/(x) = -; 0 Ä dÄ.

Anhang

I. Einige Kurven (als Anschauungsmaterial)

.Y y

)(

y = ax3 Bild 70. Kubische Parabel Bild 71 Semikubische Parabel

y

Bild 72. Semikubische Parabel

ay 2:x(x-af

Bild 73. Parabelschlinge

Bild 74. Die logarithmische Kurve

306 Anhang

Bild 75. Die Exponentialkurve

Bild 77. Kettenlinie

x

Bild 76. Tangenskurve

y

K

y=as;nh~ Bild 78. Graphische Darstellung des Hyperbelsinus

Bild 79. Zykloide

K=aff-sinl) y=af1-cosfj

Bild 80. Lockenkurve (Versiera) der Maria Agnesi

y

Bild 81. Gaußsehe Glockenkurve (Wahrscheinlichkeit der Fehlerverteilung)

I

, \ \

I

.­,­/

y

Anhang

, .... ,-,,-/ .. , "

I \ , \

\

I X

a 2 I 2 Xj+J;3=0 5

~~ " .-

Bild 82. Astroide

Bild 84. Bernoullische Lemniskate

Bild 86. Dreiblättrige Rose

307

Bild 83. Cartesisches Blatt

p

r:a(l - casrp)

Bild 85. Kardioide

r= asin2'j7

Bild 87. Vierblättrige Rose

308

y

Anhang

B

y2= K(a-K)2 2a-x

Bild 88. Strophoide

p

Bild 90. Hyperbolische Spirale

y

B

I I I

r=a tan if sin if

Bild 89. Zissoide

Bild 91. Parabelbogen, der dem Winkel des 1. Quadranten einbeschrieben ist

Anhang

y

o ~----,,------<~ JYJiC

x=.r:COS J:ds

v=fcos K ds v Ja :?e

309

Bild 92. Klotoide

11. Tabellen 1. Trigonometrische Funktionen

01.0 I sinOI. I tanlJl. I cotlJl. I COSIJI. I 01.0 I «in I sin 01. I tanlJl. I Bogenmaß

° 0,0000 0,0000 - 1,000 90 ° ° 0,000 0,000

1 0175 0175 57,3 1,000 89 5,73 0,1 0,100 + 0,100

2 0349 0349 28,6 0,999 88 11,5 0,2 0,199 +.0,203

3 0523 0524 19,1 999 87 17,2 0,3 0,296 + 0,310

4 0697 0699 14,3 998 86 22,9 0,4 0,389 + 0,422

5 0,0872 0,0875 11,4 0,996 85 28,7 0,5 0,480 + 0,547

6 1045 1051 9,51 995 84 34,4 0,6 0,564 + 0,684

7 1219 1228 8,11 993 83 40,1 0,7 0,644 + 0,842

8 139 141 7,11 990 82 45,0 7t/4 0,707 + 1,000

9 156 158 6,31 988 81 45,8 0,8 0,717 + 1,028

10 0,174 0,176 5,67

I 0,985 80 51,6 0,9 0,784 + 1,260

11 191 194 5,145 978 79 57,3 1,0 0,842 + 1,558

12 208 213 4,705 982 78 63,0 1,1 0,891 + 1,963

13 225 231 4,331 974 77 68,8 1,2 0,932 + 2,579

14 242 249 4,011 970 76 74,5 1,3 0,964 + 3,606

15 0,259 0,268 3,732 0,966 75 80,2 1,4 0,985 + 5,789

16 276 287 487 961 i 74 86,0 1,5 0,998 +14,30 I 90,0 7t/2 1,000 -17 292 306 271 956 73

18 309 325 3,078 951 72 91,7 1,6 0,999 -33,75

19 326 344 2,904 946 71 97,4 1,7 0,992 - 7,695

20 0,342 0,364 2,747 0,940 70 103,1 1,8 0,974 - 4,292 108,9 1,9 0,946 - 2,921

21 358 384 605 934 69 114,6 2,0 0,909 - 2,184 22 375 404 475 I 927 68 23 391 424 356 921 67

120,3 2,1 0,863 - 1,711

24 407 445 246 914 66 126,1 2,2 0,808 - 1,373

25 0,423 0,466 2,145 0,906 65 131,8 . 2,3 0,745 - 1,118 135,0 3rt/4 0,707 - 1,000

26 438 488 2,050 899 64 137,5 2,4 0,676 - 0,916 27 454 510 1,963 891 63 143,2 2,5 0,599 - 0,748 28 469 532 881 883 62 149,0 2,6 0,515 - 0,602 29 485 554 804 875 61 154,7 2,7 0,428 - 0,472 30 0,500 0,577 1,732 0,866 60 160,4 2,8 0,336 - 0,356 31 515 601 664 857 59 166,1 2,9 0,240 - 0,247 32 530 625 600 848 58 171,9 3,0 0,141 - 0,142 33 545 649 540 839 57 177,6 3,1 0,042 - 0,042 34 559 675 483 829 56 180,0 I 7t 0,000 0,000 35 0,574 0,700 1,428 0,819 55 -36 588 727 376 809 54 1 cos::..= ../3 37 601 754 327 799 53

7t sin-=-

38 616 781 280 788 52 6 2' 6 2'

39 629 810 235 177 51 7t 1 7t .,;-40 0,643 0,839 1,192 0,766 SO tan6 =-;j3' oot 6 = 3,

41 656 869 150 755 49 42 669 900 111 743 48 7t 7t 1

sin-=cos-=~ 43 682 933 072 731 47 4 4 ";2'

44 695 966 036 719 46 7t rt 45 0,707 1,000 1,000 0,707 45 tan-=oot-= 1.

1-0 4 4 COSIJI. ootlJl. tanlJl. sin 01. (I

" Grad 1 1 -I 2 I 3 I 4 1 5

" Bogenmaß I 0,017 I 0,035 I 0,052 I. 0,070 I 0,087 0,105 I 0,122 I 0,140 I 0,157

1 Radiant = 5JOI7'45"

Anhang

2. Hyperbolische Funktionen

x sinhx coshx x

0 0 1

0,1 0,100 1,005 2,1 0,2 0,201 1,020 2,2 0,3 0,304 1,045 2,3 0,4 0,411 1,081 2,4 0,5 0,521 1,128 2,5 0,6 0,637 1,185 2,6 0,7 0,759 1,255 2,7 0,8 0,888 1,337 2,8 0,9 1,026 1,433 2,9

1,0 1,175 1,543 3,0 1,1 1,336 1,669 3,1 1,2 1,509 1,811 3,2 1,3 1,698 1,971 3,3 1,4 1,904 2,151 3,4 1,5 2,129 2,352 3,5 1,6 2,376 2,578 3,6 1,7 2,646 2,828 3,7 1,8 2,942 3,107 3,8 1,9 3,268 3,418 3,9 2,0 3,627 3,762 4,0

sinhx

4,022 4,457 4,937 5,466 6,050 6,695 7,407 8,192 9,060

10,02 11,08 12,25 13,54 14,97 16,54 18,29 20,21 22,34 24,69 27,29

coshx

4,289 4,568 5,037 5,557 6,132 6,769 7,474 8,253 9,115

10,07 11,12 12,29 13,58 15,00 16,57 18,32 20,24 22,36 24,71 27,31

Für x > 4 kann man

e" sinh x ;::::; cosh x ;::::; -

2

311

mit einer Genauigkeit zu 0, I an­nehmen.

. eX - e-x • smh x = --, -~-- ,

2

e"+ e-" coshx = -2-;

e '= sinh x + cosh x;

exl = sin x + i cos x.

3. Reziproke Werte, Quadrat- und Kubikwurzeln, Logarithmen, Exponentialfunktion

1 -J~ -JlOx I V~ VlOx Vl00x Igx In x eX x - x

x

1,0 1,000 1,00 3,16 1,00 2,15 4,64 000 0,000 2,72 1,0 1,1 0,909 05 32 03 22 79 041 095 3,00 1,1 1,2 833 10 46 06 29 93 079 192 3,32 1,2 1,3 169 14 61 09 35 5,07 114 252 3,67 1,3 1,4 714 18 14 12 41 19 146 336 4,06 1,4

1,5 0,667 1,23 3,87 1,15 2,47 5,13 176 0,405 4,48 1,5 1,6 625 27 4,00 17 52 43 204 470 4,95 1,6 1,7 588 30 12 19 57 54 230 530 5,47 1,7 1,8 556 34 24 22 62 65 255 588 6,05 1,8 1,9 526 38 36 24 67 75 279 642 6,69 1,9

2,0 0,500 1,41 4,47 1,26 2,71 5,85 301 0,693 7,39 2,0 2,1 476 45 58 28 76 94 322 742 8,17 2,1 2,2 455 48 69 30 80 6,03 342 789 9,03 2,2 2,3 435 52 80 32 84 13 362 833 9,97 2,3 2,4 417 55 90 34 88 21 380 875 11,0 2,4

312 Anhang

Fortsetzung

x

2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9

x

0,400 385 370 357 345

0,333 323 313 303 294

0,286 278 270 263 256

0,250 244 238 233 227

0,222 217 213 208 204

0,200 196 192 189 185

0,182 179 175 172 170

0,167 164 161 159 156

0,154 152 149 147 145

1,58 61 64 67 70

1,73 76 79 81 84

1,87 90 92 95 98

2,00 03 05 07 10

2,12 15 17 19 21

2,24 26 28 30 32

2,25 37 39 41 43

2,45 47 49 51 53

2,55 57 59 61 63 i

5,00 1,36 2,92 10 38 96 20 39 3,00 29 41 04 39 43 07

5,48 1,44 3,11 57 46 14 66 47 18 75 49 21 83 50 24

5,92 1,52 3,27 6,00 53 30

08 55 33 16 56 36 25 57 39

6,33 1,59 3,42 40 60 45 48 61 48 56 63 50 63 64 53

6,71 1,65 3,56 78 66 58 86 68 61 93 69 63

7,00 70 66 7,07 1,71 3,68

14 72 71 21 73 73 28 74 76 35 75 78

7,42 1,77 3,80 48 78 83 55 79 85 62 80 87 68 81 89

7,75 1,82 I 3,92 81 83 94 87 84 I 96 94 85 98

8,00 86 4,00 8,06 1,87 4,02

12 88 04 19 89 06 25 90 08 31 I 90 10

6,30 398 0,916 1 2,2 2,5 38 415 955 1 3,5 2,6 46 431 993 1 4,9 2,7 54 447 1,030 1 6,4 2,8 62 462 065 1 8,2 2,9

6,99 477 1,099 2 0,1 3,0 77 491 131 2 2,2 3,1 84

I 505 163 2

91 519 194 2 98 532 224 3

7,05 544 1,253 3

4,5 3,2 7,1 3,3 0,0 3,4 3,1 3,5

11 556 281 3 6,6 3,6 18 568 308 40,4 3,7 24 580 335 44,7 3,8 31 591 361 4 9,4 3,9

7,37 602 '1,386 5 4,6 4,0 43 613 411 6 0,3 4,1 49 623 435 6 6,7 4,2 55 634 458 7 3,7 4,3 61 644 482 8 1,5 4,4

7,66 653 1,504 90,0 4,5 72 663 526 9 9,5 4,6 78 672 548 11 o 4,7 83 681 569 12 1 4,8 88 690 589 13 4 4,9

7,94 699 1,609 14 8 5,0 99 708 629 1 64 5,1

8,04 716 649 18 1 5,2 09 724 668 2 00 5,3 14 732 686 22 1 5,4

8,19 740 1,705 2 44 5,5 24 748 723 27 o 5,6 29 756 740 29 9 5,7 34 763 758 33 o 5,8 39 771 775 36 5 5,9

8,43 778 1,792 40 3 6,0 48 785 808 44 6 6,1 53 792 825 49 3 6,2 57 799 841 54 5 6,3 62 806 856 60 2 6,4

8,66 813 1,872 66 5 6,5 71 820 887 73 5 6,6 75 826 902 81 2 6,7 79 833 918 89 8 6,8

I 84 839 932 99 2 6,9

Anhang 313

Fortsetzung

I

I 1 .J-; .JlOx V-; VlOx V100x Igx In x eX x x -x I

I

7,0 0,143 2,65 8,37 1,91 4,12 8,88 845 1,946 1097 7,0 7,1 141 67 43 92 14 92 851 960 1212 7,1 7,2 139 68 49 93 16 96 857 974 1339 7,2 7,3 137 70 54 94 18 9,00 863 982 1480 7,3 7,4 135 72 60 95 20 05 869 2,001 1636 7,4 7,5 0,133 2,74 8,66 1,96 4,22 9,09 875 2,015 1808 7,5 7,6 132 76 72 97 24 13 881 028 1998 7,6 7,7 130 78 78 98 25 17 887 041 2208 7,7 7,8 128 79 83 98 27 21 892 054 2440 7,8 7,9 127 81 89 99 29 24 898 067 2697 7,9 8,0 0,125 2,83 8,94 2,00 4,31 9,28 903 2,079 2981 8,0 8,1 124 85 9,00 01 33 32 909 092 3294 8,1 8,2 122 86 06 02 34 36 914 104 3641 8,2 8,3 121 88 11 03 36 40 919 116 4024 8,3 8,4 119 90 17 03 38 44 924 128 4447 8,4 8,5 0,118 2,92 9,22 2,04 4,40 9,47 929 2,140 4914 8,5 8,6 116 93 27 05 41 51 935 152 5432 8,6 8,7 115 95 33 06 43 55 940 163 6003 8,7 8,8 114 97 38 07 45 58 945 175 6634 8,8 8,9 112 98 43 07 47 62 949 186 7332 8,9 9,0 0,111 3,00 9,49 2,08 4,48 9,66 954 2,197 8103 9,0 9,1 110 02 54 09 50 69 959 208 8955 9,1 9,2 109 03 59 10 51 73 964 219 9897 9,2 9,3 108 05 64 10 53 76 969 230 10938 9,3 9,4 106 07 69 11 55 80 973 241 12088 9,4 9,5 0,105 3,08 9,75 2,12 4,56 9,83 978 2,251 13360 9,5 9,6 104 10 80 13 58 87 982 263 14765 9,6 9,7 103 11 84 13 60 90 987 272 16318 9,7 9,8 102 13 90 14 61 '93 991 282 18034 9,8 9,9 101 15 95 15 63 97 996 293 19930 9,9

10,0 0,100 3,16 10,00 2,15 4,64 10,00 000 2,303 22026 10,0

In der Spalte Ig x sind die Mantissen der dekadischen Logarithmen angegeben. Um den Logarithmus naturalis von Zahlen, die größer als 10 oder kleiner als 1 sind, aufzufinden verwendet man die Formel

In (x . 10-') = In x + kIn 10. Es ist

In 10 """ 2,303; In 102 """ 4,605 ;

Ig X""" 0,4343Inx: In X""" 2,3031g x.

Formeln für näherungsweise Bestimmung von Wurzeln

nl-- x I-n 1. '.; 1 + x ~ 1 + --; + 2n2 x 2 für lxi< 1.

2. nl a" + b ~ a (1 + ~ + ! -2n • b22

') " na" 2n a " für I; I< 1.

Mathematik

Physik

Elektrotechnik

Regelungstechnik

Werkstoffku nde

Viewegs Fachbücher der Technik

Mathematik für Techniker von H. Simon. DM 12,80

Mathematik für technische Berufe von E. Gasse Band I: Arithmetik und Algebra. DM 15,80 Band 11: Geometrie. DM 19,80

Aufgabensammlung der höheren Mathematik von W. P. Minorski. DM 14,80

Einführung in die Nomographie von A. Bay. DM 6,80

Physik - Grundlagen I Versuche I Aufgaben von A. Böge. DM 13,80

Physik für Ingenieure von H. Lindner. DM 26,80

Physikalische Aufgaben von H. Lindner. DM 9,80

Technische Optik von H. Schade. DM 9,80

Technische Wärmelehre von K. Hohmann. DM 26,80

Übungsbeispiele aus der Wärmelehre vonW. Berties. DM 12,80

Grundlagen der Elektrotechnik von J. Reth und H. Kruschwitz. DM 23,80

Aufgabensammlung Elektrotechnik von H. Kruschwitz. DM 12,80

Elektroaufgaben von H. Lindner Band I: Gleichstrom. DM 9,80 Band 11: Wechselstrom. DM 8,80

Elektronische Bauelemente der Nachrichtentechnik von A. Raschkowitsch. DM 24,80

Regelungstechnik für Ingenieure von M. Reuter. DM 29,80

Pneumatische Steuerungen von G. Kiechbaum. DM 24,80

Werkstoffkunde und Werkstoffprüfung von W. Weißbach. DM 17,80

Mechanik und Festigkeitslehre

Maschinenelemente

Fertigungstechnik

Betriebswirtschaftslehre

Viewegs Fachbücher der Technik

Mechanik und Festigkeitslehre von A. Böge. DM 22,80

Formeln und Tabellen zur Statik, Dynamik, Hydraulik und Festigkeitslehre von A. Böge und W. Schlemmer. DM 4,95

Aufgabensammlung zur Statik, Dynamik, Hydraulik und Festigkeitslehre von A. Böge und W. Schlemmer. DM 14,80

Maschinenelemente von H. Roloff und W. Matek. DM 32,80

Aufgabensammlung Maschinenelemente von H. Roloff und W. Matek. DM 17,80

Zerspantechnik von K.-Th. Preger. DM 17,80

Umformtechnik von G. GrÜning. DM 19,80

Stanztechnik von E. Semlinger. DM 19,80

Schweißtechnik von A. Puhrer. DM 17,80

Galvanische Schichten und ihre Prüfung von W. Müller. DM 17,80

Oberflächenschutzschichten und Oberflächenvorbehandlung von W. Müller. ca. DM 19,00

Wirtschafts- und Rechtsk"nde von R. Ott und M. Wendlandt. DM 14,80

Grundzüge des Wirtschaftsrechts von R. Ott und M. Wendlandt. DM 19,80

Arbeitsvorbereitung und Kalkulation von H. Sonnenberg Band I: Betriebswirtschaftliehe Grundlagen. DM 9,80 Band 11: Kostenrechnung, Zeitermittlung und Arbeitsbewertung DM 19,80 Arbeitsorganisation von R. Krause. DM 24,80

Organisation und Finanzierung von Industrieunternehmen von R. Krause und W. Bantleon. DM 24,50

Erfolgs- und Kostenrechnung von W. Zimmermann. DM 29,BO

Planungsrechnung von W. Zimmermann. DM 21,80

Mitarbeiter führen von G. Obst. DM 12,80

Englisch für Ingenieure von Kurt Hingkeldey. DM 29,80