Ideen und Konzepte der Informatik

Rechner

Kurt Mehlhorn

Übersicht

Rechner 2

1. Geschichlicher Rückblick

2. Wie funktionieren Computer?

Der Von-Neumann-Rechner

3. Universalität von Rechnern (Basis für Siegeszug der Informatik)

Was bedeutet Universalität ?

4. Laufzeit, Rechenzeit

5. Alan Turing

Person / Turingmaschine / Turingthese

6. Quantencomputer

Geschichtlicher Rückblick

Charles Babbage (1791 – 1871) + Ada Lovelace:

Maschine zur Auswertung von Polynomen,

Logarithmentafeln, nie fertig

Alan Turing (1936) entwirft einfachen universellen

Rechner als Gedankenexperiment.

Konrad Zuse (1941): erster funktionierender

programmierbarer Rechner

Mauchly und Presper (43/44) bauen ENIAC

Grace Hopper (53): erste Programmiersprache (Cobol)

Rechner 3

Frühe “analoge” Rechner

Rechner 4

Mechanismus von Antikythera 100 BC

Astronomische Uhr

Abacus 2400 BC

Programmierbare Rechner

Rechner 5

Charles Babagge (1791-1871), Ada Lovelace (1815-1852)

„Analytical Machine“

Maschine zur Auswertung von Polynomen, Logarithmentafeln

nie fertig geworden

Konrad Zuse (1910-1995)

Z1, 1938

Mechanisch

Frühe Computer (Konrad Zuse)

Z3 und Z4 arbeiten mit Relais (elektromagnetische Schalter)

Z3 und Z4 sind programmierbar (Programm extern) und

universell

Rechner 6

ENIAC (1946)

Zuse Z3 (1941) Zuse Z4 (1942 - 45)

EDVAC (Electronic Discrete Variable

Automatic Computer)

“First Draft of a Report on the EDVAC”

by John von Neumann, 1945

EDVAC, fertiggestellt im Jahr 1951

Programme im Speicher

Speicher: 5,5 kilobytes = 44,000 Bits

Eine Multiplikation in 2,9 Millisekunden

6000 Vakuumröhren

Stromverbrauch 56 kW

45,5 m² Bodenfläche und 7850 kg Gewicht

Betriebspersonal 30 Personen für jede 8-Stunden-Schicht

Kosten: 500000 Dollar (entspricht etwa 7 Millionen in 2018)

Das Vorbild für alle modernen Rechner

Rechner 7

Spätere Computer

Rechner 8

Aufbau von Rechnern

Bitstrings und Speicher

Rechner 10

…

Von-Neumann-Rechner

• Rechner = Speicher + CPU

• Speicherzellen in der CPU heißen Register

• CPU kann rechnen (Befehlsumfang = billiger Taschenrechner)

• Speicher enthält Daten und Programm

• Befehlszyklus sorgt für die Ausführung des Programms,

BZ = Befehlszähler

Rechner 11

Speicher CPU (Central Processing Unit)

Einige Register R1, R2, R3, … BZ

• CPU kann rechnen

• Datentransport zwischen CPU und

Speicher

• Befehlszyklus

Typische Befehle

Rechner 12

Transport R3 ← M[5]

M[5] ← R2

R1 ← M[R4]

M[R2] ← R1

Rechnen R1 ← 0 R1 ← R2 + R3

Sprung BZ ← 7 BZ ← R1

Bed. Sprung if R1 > 0, BZ ← n,

else BZ ← BZ + 1

Stop STOP

Programm ist eine Folge

von Befehlen

Befehl 1

Befehl 2

Befehl 3

Befehl 4

Befehl 5

Befehl 6

Befehlszyklus,

BZ = Befehlszähler

1. BZ ← 1

2. Führe Befehl mit der Nummer

BZ aus. Falls STOP, halte an.

3. Erhöhe BZ um eins (außer bei

Sprungbefehl, der BZ setzt)

4. Gehe nach 2.

13Rechner

Programme und Befehlszyklus

1. R1 ← 0

2. R2 ← M[1]

3. R1 ← R1 + R2

4. R2 ← R2 - 1

5. IF R2 > 0, BZ ← 3

6. STOP

Ausführung für n = 4

BZ

R1

R2

M[1]

Laufzeit =

14Rechner

In M[1] steht eine Zahl n ≥ 1, berechne 1 + … + n.

Am Anfang steht in M[1] eine

natürliche Zahl n ≥ 1.

Wenn das Programm stoppt,

dann steht in R1 die Summe

1 + … + n.

1. R1 ← 0

2. R2 ← M[1]

3. R1 ← R1 + R2

4. R2 ← R2 - 1

5. IF R2 > 0, BZ ← 3

6. STOP

Jedes Mal bevor Befehl 3

ausgeführt wird, gilt:

• In R2 steht eine natürliche

Zahl i mit n ≥ i ≥ 1.

• In R1 steht n + … + (i + 1)

15Rechner

Korrektheit des Programs

Am Anfang steht in M[1] eine

natürliche Zahl n ≥ 1.

Wenn das Programm stoppt,

dann steht in R1 die Summe

1 + … + n.

sum ← 0;

i ← n;

while (i > 0)

sum ← sum + i;

i ← i – 1;

Produktivitätsgewinn

Java, C, C++, Python,

Compiler übersetzen

16Rechner

Höhere Programmiersprachen

1. R1 ← 0

2. R2 ← M[1]

3. R1 ← R1 + R2

4. R2 ← R2 - 1

5. IF R2 > 0, BZ ← 3

6. STOP

Der Speicher, die CPU

(Central Processing Unit), die

Peripherie (Bildschirm,

Tastatur, Maus,

Netzanbindung, …)

Führt Befehle aus und

realisiert den Befehlszyklus.

Reagiert auf Peripherie.

Kauft man im Laden.

Kann jedes Programm

ausführen.

17Rechner

Hardware Software

Kenngrößen und Neuerungen

Hauptspeicher: 109 Worte a 64 Bit

Befehlszyklus: 109 Befehle pro Sekunde

Eine Million mal leistungsfähiger (Geschwindigkeit, Speicher,

Größe), Tausend mal billiger als 1950

Neuerungen seit 1950

Interrupts (Unterbrechungen), mehrere Programme gleichzeitig

Speicherhierarchie: Cache, Main, Disk

Bildschirme, Grafik, Maus, Sound, Touch, Mikro

Netze

Preis und Leistung

Software, Nutzerfreundlichkeit

Rechner 18

Bildschirme und Graphik

Dieser Schirm: 1920 x 1080 Bildpunkte (Pixels)

Die CPU kann für jedes Pixel Farbe und Helligkeit

einstellen

Rechner 19

Supercomputer

72 Schränke

73000 PowerPCs mit je 2 Gbyte RAM

Simulation: Physik, Klima, Chemie, Strömung

13 Mio Euro

Rechner 20

Universalität von Rechnern

Universalität von Rechnern

Rechner sind universell, d.h., sie können jedes

Programm ausführen, sofern es nur in ihre

Maschinensprache übersetzt ist und es die Ressourcen

des Rechners nicht sprengt.

Universalität von Rechnern ist wesentlich für den Erfolg

der Informatik:

Das gleiche Programm auf vielen Rechnern.

Viele Programme auf einem Rechner.

Rechner 22

Rechner sind universell

Normale Werkzeuge sind nicht universell: Hammer,

Feile, Zange, Auto, ….

Viele Programme auf einem Rechner: Ein Smartphone

ist Telefon, aktiver Kalender, Fitnesstrainer,

Bankterminal, Wetterauskunft, Browser, Suchmaschine,

Musik- und Filmspieler, Spielzeug, …

Ein Programm auf vielen Rechnern: Office läuft auf

Rechnern von IBM, Lenovo, Toshiba, Samsung, Apple,

…

Rechner 23

Laufzeit von Programmen

Effiziente Programme

Laufzeit von Programmen

Ausführungszeit in Sekunden

n = 108, 0.19 sec n = 109, 1.23 sec

Für theoretische Überlegungen: Anzahl der

ausgeführten Befehle/Operationen

Unser Summenprogramm: Laufzeit = 3 + 3n = O(n)

O( ) = Landausymbol für asymptotisches Wachstum:

gibt nur den am schnellsten wachsenden Anteil wieder

und ignoriert konstante Faktoren

Rechner 25

Effiziente Programme

Ein Programm heißt effizient, wenn seine Laufzeit an

Eingaben der Größe n beschränkt ist durch C𝑛𝑘 für

Konstanten C und k.

Eingabe der Größe n:

Graph mit n Knoten und Kanten

Zahl mit n Ziffern

P = Menge aller Probleme für die es ein effizientes

Programm gibt (polynomzeitberechenbar).

Rechner 26

Beispiele

Rechner 27

Effizientes Programm bekannt:

• Sortieren

• Suchen

• Kürzeste Wege

• Multiplikation von Zahlen

• Lösen von linearen Gleichungen

• Test, ob eine Zahl Primzahl ist.

• Obige Probleme sind in P.

Kein effizientes Programm

bekannt:

• Primfaktorzerlegung

• Problem des

Handlungsreisenden

• 3-Färbung von Graphen

• Erfüllbarkeitsproblem der

Aussagenlogik

Alan Turing und die

Turingmaschine

Alan Turing (1912 – 1952)

Britischer Mathematiker

„On Computable Numbers, with an Application to the

Entscheidungsproblem“, 1936

David Hilbert (1928): kann Mathematik mechanisiert werden?

Kurt Goedel (1931): NEIN (Parallelen zum „Lügner Paradox“: Dieser Satz

ist falsch.)

Turings Arbeit von 1936 vereinfacht den Beweis wesentlich

und führt Turingmaschine ein.

Rechner 29

Alan Turing (1912 – 1952)

Muster in der Natur, Fell eines Zebras

Sehr guter Sportler, Marathon in 2:46 (Olympiasieger in 1948,

Zeit 2:35).

Verurteilung wegen Homosexualität in 1952, chemische

Kastration.

Selbstmord durch Blausäure in 1954.

Rechner 30

Kryptanalyse: Churchill: „Alan Turing made the

single biggest contribution to Allied victory in the

war against Nazi Germany.“

Die Turingmaschine

Turingbefehl Zustand Zeichen neuer Zustand neues Zeichen Bewegung

q1 a q2 b R

Wenn du im Zustand q1 ein a liest, dann gehe in den Zustand q2 über, drucke ein b und

bewege den Kopf nach rechts

Turingprogramm = Menge (Folge) von Turingbefehlen, je zwei unterscheiden sich in den

ersten Spalten

Rechner 31

Auf jedem Bandquadrat steht ein

Buchstabe (Symbol, Zeichen) in

A, …, Z, a, …, z, 0, …, 9, $, §, …, leer

Endliches Alphabet

Steuereinheit befindet sich in einem von

endlich vielen Zuständen

p, q, q0, q1, q2, …

Programm steht

in der

Steuereinheit

Beispiel einer Turingmaschine

Turingbefehl Zustand Zeichen neuer Zustand neues Zeichen Bewegung

q1 a q2 b R

Am Anfang sei das Band mit ….00000BBBBBB….. beschriftet, der Kopf stehe auf der

rechtesten Null und die Maschine sei in Zustand q1

q1 0 q2 1 S

q1 1 q1 0 L

q2 0 q2 0 R

q2 1 q2 1 R

q2 B q1 B L

Rechner 32

Turing-These (1936)

Turing hat TM im Jahr 1936 eingeführt.

Turing-These: Turing Maschine fasst den Begriff

„nach Regeln berechenbar“.

4 Argumente

Menschliche Rechner, siehe nächste Folie

Beispiele: Zählen, Dezimaldarstellung von pi

Universelle Turingmaschine

Äquivalenz zur Formalisierung von Church

These ist allgemein akzeptiert

Rechner 33

AEG Rechnerraum (1920)

Rechner 34

Rechner sind (im Prinzip)

recht einfach aufgebaut:

Recheneinheit und

Speicher

Befehlzyklus: wiederhole

bis STOP-Befehl

Führe Befehl aus und

erhöhe Befehlszähler um 1

Bei Sprungbefehl setze BZ

auf die genannte Adresse

Übersetzung von höherer

Programmiersprache in

Maschinensprache erfolgt

maschinell

Rechner sind universell:

viele Programme auf

einem Rechner, das

gleiche Programm auf

vielen Rechnern

Zukunft??: Quantenrechner

35Rechner

Zusammenfassung