Regelung Mechatronischer Systeme,Regelungs- und Systemtechnik 3

Kapitel 2: Zustandsraumdarstellung und Zustandsregelung (Wiederholung)

Prof. Dr.-Ing. habil. Pu Li

Fachgebiet Prozessoptimierung

2Zustandsraumdarstellung:

u: Eingangsvariablen, unabhängige Variablen (Stell-, Steuer-, Störgrößen)y: Ausgangsvariablen, abhängige Variablen (Messgrößen, bedeutend)

x: Zustandsvariablen, abhängige Variablen (Hilfsgrößen)g: Zustandsgleichungen (Modell): Beziehungen zwischen u und x

Anhand bekannter Werte von u kann durch die Lösung der Zustandsgleichungen x ermittelt werden.

Physikalischer Prozess:

Mathematisches Modell:

3

BASFBayerDegussaHenkelLindeWackerThyssen…

4

Zulauf

Dampf

Dampf

Heizdampf

Kühlwasser

Rücklauf Dampf

Bodenkolonne mit Verdampfer und Kondensator

Flüssigkeit

Kopfprodukt

Sumpfprodukt

5Allgemeine Darstellung: Lineare Systeme:

uDxCyxxuBxAx

)()()0(,)()( 0

tttt

+==+=Zeitvariante Systeme:

DuCxyxxBuAxx

+==+= 0)0(,Zeitinvariante Systeme:

Strukturbild (Blockschaltbild):

6Allgemeine Darstellung:

Eigenschaften der Zustandsgleichungen:• Zustandsgleichungen sind Differentialgleichungen.• Die Anzahl der linear unabhängigen Zustandsgleichungen ist

gleich der Anzahl der Zustandsvariablen.• Es gibt mehre Möglichkeiten, die Zustandsvariablen zu wählen,

die zu unterschiedlichen Formen der Zustandsgleichungen führen.

Nichtlineare Systeme:

0)0(),,( xxuxfx ==

0)0(,),,,( xx0uxxg ==tImplizite Form:

Explizite Form:

Linearisierung wird benötigt, um die lineare Zustandsraumdarstellung zu ermitteln.

7Beispiel: Batchreaktor

Betrieb eines Batchreaktors

Die chemische Reaktion:

CBAOrdnungOrdnung .1.2→→

Anfangszustand ist bekannt: 0)0(,0)0(mol/L,1)0( === CBA CCC

Zustandsgleichungen:

−=−=

−=−=

RTEkTkCTkCTk

dtdC

RTEkTkCTk

dtdC

BAB

AA

22022

21

1101

21

exp)()()(

exp)()(

Wie erhält man eine lineare Zustandsraumdarstellung?

8Laplace-Transformation Mehrgrößensysteme

DuCxy0xBuAxx

+==+= )0(,

Zeitinvariante lineare Systeme:

)()()()()()(

sssssss

DUCXYBUAXX

+=+=Laplace-Transformation:

( ) ( )( )[ ] )()(

)()()()(1

1

sss

ssssss

UDBAICY

BUAIXBUXAI

+−=

−=⇒=−−

−Daher

( ) DBAICG +−= −1)( ssDie Übertragungsfunktionsmatrix:

( ) 0det =−AIsErmittlung der Eigenwerte bzw. Polstellen des Systems:

(von einem stationären Betriebspunkt)

Damit kann die Stabilität des Systems analysiert werden.

(charakteristische Gleichung)

9Beispiel: Ein 2x2-System

xyuxx

=

+

−−−−=

100001

,1040

022

507320

010

( )

−++−+

−+++−

−++−

−++++

=

−++

+−+−−+−+++

=

++−

=+−=

−

−

21107282010

211074214

21107104

2110720142

1040

022

21)5)(2(1

)2(7)2(73)5(2135)5)(2(

100001

1040

022

50732001

100001

)(

23

2

23

2323

2

1

1

sssss

ssss

ssss

sssss

ssssss

ssssss

ss

sss DBAICG

Die Übertragungsfunktionsmatrix:

10Charakteristisches Polynom der Regelungsnormalform

Also

−−−−

=

−− 121

1000

1000010

aaaa nnn

R

A

( ) nnnn asasass ++++=− −−

11

1det AI

Beispiel:

+−

−−

=−⇒

−−−−

=

12341234

100010001

100001000010

asaaas

ss

s

aaaa

RR AIA

( )

ss

sas

sa

s

sa

ssas R

0010

01)1(

1000001

)1(

1001000

)1(10

01001

)1(det

441

342

243

144

−−

−+−

−−+

−−−+

−−

−−=−

++

++AI

11Lösung eines homogenen Dgl.-Sytems

0)0(, xxxAx ==Ein zeitinvariantes Dgl.-System (Freibewegung):

)()( 0 sss AXxX =−Laplace-Transformation:

( ) ⇒=− 0)( xXAI ss ( ) 01)( xAIX −−= ss

{ } 011 )()( xAIx −− −= sLt

Weil+++=− −

3

2

21)(

ssss AAIAI

{ } tettttsL AAAAAIAI ==++++=− −− )exp(!3

1!2

1)( 332211

0)][exp()( xAx tt =Die analytische Lösung:

12Lösung eines homogenen Dgl.-Sytems

tett AAΦ == )exp()(Eigenschaften der Fundamentalmatrix:

)(tΦ1) Wenn A diagonal ist, dann ist auch diagonal.

)exp()exp()](exp[ 2121 tttt AAA =+

3) Für zwei Zeitpunkte

][)exp(][ 2121

tatatan

neeediagtaaadiag =⇒= AA

AAAAA )][exp()exp()exp( tttdtd

==

2) Die Ableitung der Matrix:

21, tt

4) Bei ,0=t IA =)0exp(

)exp()][exp( 1 tt AA −=−5) Es gilt

13Lösung eines Zustandsgleichungssystems

CxyxxBuAxx

==+= 00 )(, t

Zustandsgleichungssystem (Zwangsbewegung):

BuAxx =−Weil

BuAAxxA )exp())(exp( tt −=−−

])[exp(

)exp()exp(

)exp()exp(

xA

xAxA

AxAxA

tdtd

tdtd

dtdt

tt

−=

−+−=

−−−=

d. h. BuAxA )exp(])[exp( ttdtd

−=−

14Lösung eines Zustandsgleichungssystems

d. h. ∫ −=−−−t

t

dtttt0

)exp()()exp()()exp( 00 ττ BuAxAxA

∫ −+−=t

t

dttttt0

)](exp[)()](exp[)( 00 ττ BuACxACy

∫ ⋅⋅−+⋅−=t

t

dttttt0

)](exp[)()](exp[)( 00 ττ uBAxAx

Es gibt zwei Vorgehensweisen zur Lösung:

• Direkte Verfahren

• Laplace-Verfahren

Die Bewegungsgleichung (analytische Lösung):

15Beispiel: [ ]

tttu

yu

cossin)(,01

)0(

01,10

2110

+=

=

=

+

−−

=

x

xxx

Weil{ }

−−+

=

+−

=−=−−

−−−−−−

)1()1(

211

)()exp(1

111

tetetete

ss

LsLt tt

tt

AIA

[ ]

[ ]

)cos(sin21

23)cos(sin)()1(

)cos(sin10

)1()()()1(

01

01

)1()1(

01

)](exp[)()](exp[)(

)(

0

)()(

)(

00

0

0

ttteedette

dtete

tete

tetetete

dttttty

tttt

t

t

ttt

tt

tt

tt

t

t

−++=+−++=

+

+−−−−+−

+

−−+

=

−+−=

−−−−−

−−−−

−−−

−−

−−

∫

∫

∫

ττττ

τττττ

ττ

ττ

τ

ττ

τ

BuACxAC

16

Ein zeitinvariantes Zustandsgleichungssystem:

Mit einem beliebigen Anfangszustand existiert eine Strategie , damit man einen gewünschtenbeliebigen Zustand erreichen kann? )(Tx

Tttu ≤≤0),()0(x

Steuerbarkeit der Zustandsvariable

n Zustandsvariablen, m Steuervariablen

mn ℜ∈ℜ∈=+=

uxxxBuAxx

,)0(, 0

[ ]BAABBQ 1−= nS

Die Steuerbarkeitsmatrix:

Das System ist also (vollständig) steuerbar, wenn

nRang S =)(Q

17Steuerbarkeit eines Raketenwagens

Da

)()()()(

2

21

tutxtxtx

==

uxx

xx

+

=

10

0010

2

1

2

1

d.h.

0 21

aftAntriebskr:)(gkeitGeschwindi:)(

Position:)(

2

1

tutxtx

Anfangszustand:m/s1)0( m,2)0( 21 == xx

kg) 1( Masse: =mm

[ ]

==

0110

ABBQS Das System ist (vollständig) steuerbar!

Der Wagen hat einen Antrieb für beide Richtungen.

18

CxyxxBuAxx

==+= 0)0(,

Das System ist beobachtbar, wenn der Anfangszustand , aus dem über ein endliches Intervall [0, T] bekannten Verlauf der Eingangsgröße und der Ausgangsgröße , bestimmt werden kann.

0x)(tu

)(ty

Beobachtbarkeit der Zustandsvariable

Um die Zustandsvariablen beobachten zu können, muss der Rang der Beobachtbarkeitsmatrix n sein:

=

−1nT

T

T

B

Ac

Acc

Q

=

−1n

B

CA

CAC

Q

Bei mehreren Ausgangsvariablen:

Bei einer Ausgangsvariable:

19Beobachtbarkeit eines Raketenwagens

uxx

xx

+

=

10

0010

2

1

2

1

0 21

aftAntriebskr:)(gkeitGeschwindi:)(

Position:)(

2

1

tutxtx

Wenn nur die Position gemessen wird:

=

=

1001

AccQ T

T

B Die Geschwindigkeit ist beobachtbar!

[ ]

=

2

101xx

y

Die Übertragungsfunktion:

( ) [ ] 2

11 1

10

01

01)()(

sss

ssUsY T =

−=−=

−− BAIc

Die Ein-/Ausgangsbeziehung ist zweiter Ordnung.

20Beobachtbarkeit eines Raketenwagens

Wenn nur die Geschwindigkeit gemessen wird: [ ]

=

2

110xx

y

=

=

0010

AccQ T

T

B Die Position ist nicht beobachtbar!

Die Übertragungsfunktion:

( ) [ ]ss

ss

sUsY T 1

10

01

10)()(

11 =

−=−=

−− BAIc

Die Ein-/Ausgangsbeziehung ist erster Ordnung (Verlust von Information)!

Wenn es in der Übertragungsfunktion (Übergangsmatrix) eine Kürzung zwischen Null- und Polstellen gibt, dann ist das System nicht beobachtbar.

D.h. die Zustandsvariablen können nicht durch Messdaten abgeleitet werden. Somit kann eine Zustandsregelung nicht durchgeführt werden!

21Zusammenfassung

Es gibt 4 Fälle von Systemen:

1) Steuerbar, nicht beobachtbar

2) Steuerbar und beobachtbar

3) Nicht steuerbar, nicht beobachtbar

4) Nicht steuerbar, beobachtbar

nRang B =)(Q

nRang S =)(Q

,)( nRang S =Q nRang B =)(Q

1) 3)

2) 4)

22Zustandsrückführung Wie kann man ein Mehrgrößensystem regeln?

rmn ℜ∈ℜ∈ℜ∈=

=+=

yuxCxy

xxBuAxx

,,

)0(, 0

=

nmnmm

n

n

m x

xx

kkk

kkkkkk

u

uu

2

1

21

22221

11211

2

1

Die Zustandsvariablen werden gemessen und eine Rückführungsmatrix wird ausgelegt, damit

Also

xKu −=

23

Aktoren Sensoren

Implementierung Zustandsrückführung:

Zustandsrückführung

Aktoren Sensoren

Implementierung Zustandsrückführung:

24Zustandsregelung des Raketenwagens:

kg) 1( Masse:aftAntriebskr:)(

gkeitGeschwindi:)(Position:)(

2

1

=mmtutxtx

uxx

xx

+

=

10

0010

2

1

2

1

Anfangszustand:

0;01)0(;2)0(

21

21

==

==SS xxxx

Zielzustand:

0 21

Wie wählt man die Antriebskraft, damit der Wagen zum Endzustand überführt werden kann?

25

Implementierung: Simulation mit MATLAB

0 2 4 6 8 10-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

u(t)x1(t)x2(t)

[ ] )(2)(21)()( 212

1 txtxxx

ttu −−=

−=−= xK

Mit einer Zustandsrückführung:

Zustandsregelung des Raketenwagens:

26

Reglerentwurf mittels Polzuweisung Wie bestimmt man die Matrix K?

xKu −=

BuAxx += ⇒ BKxAxx −=

Die charakteristische Gleichung des geschlossenen Systems

[ ] 0)(det)( =−−= BKAIssf

Die gewünschten Polstellen:

)())(()( 21 nsssssssf −−−=

nsss ,,, 21

Durch Vergleichen der zwei Polynome wird die K-Matrix festgelegt.

Wo soll man die Pole platzieren?

27Beispiel: Ein Feder-Masse-System

Die Modellgleichung:

yxyx=

=2

1

kyuym −=

kmssUsY

+= 2

1)()(

um

xmkyx

xyx1

12

21

+−==

==

⇒ umx

x

mk

xx

+

−=

10

010

2

1

2

1

Das offene System: ,mkjs ±=2,1die Polstellen:

Die gewünschten Polstellen des geschlossenen Systems (z.B.): mks 22,1 −=

mks

mks

mkssf 442)( 2

2

++=

+=

Man definiert:

28Beispiel: Ein Feder-Masse-System

Mit einer Zustandsrückführung:

umx

x

mk

xx

+

−=

10

010

2

1

2

1

[ ]

−=−=

2

121)()(

xx

kkttu xK

Das charakteristische Polynom des geschlossenen Systems:

[ ]

[ ]

mkks

mks

kkmm

ks

s

ssf

122

2110

010

00

det

)(det)(

+++=

−

−−

=

−−= BKAI

5,0)0(3,0)0(

2

1

−==

xx

29

Gewünscht:mks

mkssf 44)( 2 ++=

Beispiel: Ein Feder-Masse-System

Daher

+

++=m

kksmkssf 122)(Zu realisieren:

mkkkk 4,3 21 ==

(mit )1=mk

Implementierung: Simulation mit MATLAB

Übungsaufgabe: Vergleich Open-Loop und Closed-Loop

30Reglerentwurf mittels Polzuweisung

xKu −=

CxyBuAxx

=+=

1. Wenn das System steuerbar ist, können die Postellen des geschlossenen Systems durch eine Zustandsrückführung beliebig positioniert werden.

2. Ein instabiles System kann dadurch stabilisiert werden.3. Die Zustandsrückführung hat keinen Einfluss auf die Steuerbarkeit des

Systems.4. Bei der Ausgangsrückführung werden die Steuerbarkeit und

Beobachtbarkeit nicht verändert.

Zustandsrückführung:

xCKyKu ~~ −=−=Ausgangsrückführung:

Eigenschaften:

31Entwurf eines Beobachters

xy, xy ˆ,ˆ

xxx,yyy ˆ~ˆ~ −=−=

)ˆ(ˆˆ yyLBuxAx −++=

)ˆ(ˆˆ xxLCBuxAx −++=

Tatsächliche Werte: Beobachtete Werte:

Fehler der Beobachtung:

,BuAxx += Cxy =

Aktoren Sensoren

Implementierung Zustandsrückführung:

Eine n×l-Matrix L wird eingeführt, damit

Da

32Entwurf eines Beobachters

[ ] )0(~)(exp)(~ xLCAx tt −=

0x =∞→

)(~lim tt

Die Lösung:

Matrix L wird ausgelegt, damit

( ) [ ]xLCAxxLCA

xxLCBuxABuAxxxx~)()ˆ)((

)ˆ(ˆˆ~

−=−−=−++−+=−=

Fehler der Zustandsschätzung:

Häufig wird die Matrix L so ausgelegt, dass die gewünschten Polstellen des Beobachters realisiert werden.

[ ]LCAI +−= ssf det)(

Die charakteristische Gleichung:

Die gewünschten Polstellen:

)())(()( 21 nsssssssf −−−=

nsss ,,, 21

33Entwurf eines Beobachters

Implementierung: )ˆ(ˆˆ yyLBuxAx −++=

Voraussetzung: das System muss beobachtbar sein.

34Entwurf eines Beobachters

CxyBuAxx

=+=Beispiel:

[ ]011,200120001

=

= CAmit

Die gewünschten Polstellen: -3, -4, -5.

[ ] 3,441121011

2=

=

= BT

T

T

B Rang QAcAc

cQ

Die Beobachtbarkeitsmatrix:

604712)5)(4)(3()( 23 +++=+++= sssssssf

Aufgrund der gewünschten Polstellen:

35Entwurf eines Beobachters

[ ] [ ]

( )( )( ) ( ) ( )[ ]( ) 21313112

21312122

123

21313121

33

22

11

33

22

11

3

2

1

21)2)(1)(2()1)(2()2)(1()2)(2()122(

21221

212

01det

000

200120001

000000

det

011200120001

000000

det)det)(

llllllllslllllllslls

llsllsllslsls

slllsl

lls

llllll

ss

s

lll

ss

sssf T

++−+−−+−+−−−++−+−+−+−+−+−++−+−−+=

−−+−+−−+−+−=

−−+−

+−=

+

−

=

+

−

=+−= LcAI

Angenommen , dann ergibt sich die charakteristische Gleichung:

Vergleicht man diese mit

[ ] Tlll 321=L

604712)5)(4)(3()( 23 +++=+++= sssssssffolgt [ ] [ ] TTlll 214103120321 −==L