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Rekursion und Induktion

Vorsemesterkurs InformatikTheoretischer Teil

Wintersemester 2012/13

4. Oktober 2012

Vorsemesterkurs WS 2012/13

Rekursion und Induktion > Rekursion > Was ist Rekursion?

Definition der Rekursion fur Funktionen

Definition

Eine rekursive Funktion ist eine Funktion, die durch sich selbstdefiniert ist.(Salopp: eine Funktion, die sich im Rumpf selbst aufruft)

Ein offenes Problem aus der Mathematik:

Beispiel

c(n) :=

{c(n/2), falls n gerade ist

c(3n + 1), falls n ungerade ist

Collatz-Problem: Kommt es fur jeden naturlichen Startwert nirgendwann zu einer c(4)-c(2)-c(1)-Endlosschleife?

Definition

Beispiel

c(n) :=

Definition

Beispiel

c(n) :=

Auswertung der Funktion

Beispiel

c(n) :=

Wir testen es fur den Startwert n = 5:

= c(5 · 3 + 1) = c(16)

= c(16/2) = c(8)

= c(4)

= c(2)

= c(1)

= c(3 · 1 + 1) = c(4) = . . .

Beispiel

c(n) :=

c(5) = c(5 · 3 + 1) = c(16)

= c(16/2) = c(8)

= c(4)

= c(2)

= c(1)

= c(3 · 1 + 1) = c(4) = . . .

Beispiel

c(n) :=

c(5) = c(5 · 3 + 1) = c(16)

= c(16/2) = c(8)

= c(4)

= c(2)

= c(1)

= c(3 · 1 + 1) = c(4) = . . .

Beispiel

c(n) :=

c(5) = c(5 · 3 + 1) = c(16)

= c(16/2) = c(8)

= c(4)

= c(2)

= c(1)

= c(3 · 1 + 1) = c(4) = . . .

Beispiel

c(n) :=

c(5) = c(5 · 3 + 1) = c(16)

= c(16/2) = c(8)

= c(4)

= c(2)

= c(1)

= c(3 · 1 + 1) = c(4) = . . .

Beispiel

c(n) :=

c(5) = c(5 · 3 + 1) = c(16)

= c(16/2) = c(8)

= c(4)

= c(2)

= c(1)

= c(3 · 1 + 1) = c(4) = . . .

Beispiel

c(n) :=

c(5) = c(5 · 3 + 1) = c(16)

= c(16/2) = c(8)

= c(4)

= c(2)

= c(1)

= c(3 · 1 + 1) = c(4) = . . .

Beispiel

c(n) :=

Mit anderen Startwerten:

c(n) n-Folge bis zur ersten 1

c(3) 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1c(5) 5, 16, 8, 4, 2, 1c(15) 15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

c(16) 16, 8, 4, 2, 1c(128) 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1

Rekursion und Induktion > Rekursion > Anwendungen in der Informatik

Wieso interessiert uns sowas uberhaupt in der Informatik?

Rekursionen tauchen sehr haufig auf:

Laufzeitanalyse

Algorithmenentwurf und Programmiertechnik

Datenstrukturen

funktionale Programmierung → Haskell (PRG-2)

Syntax von (Programmier-)Sprachen

Ubersetzer (Compiler)

Laufzeitanalyse

Datenstrukturen

Laufzeitanalyse

Datenstrukturen

Laufzeitanalyse

Datenstrukturen

Laufzeitanalyse

Datenstrukturen

Laufzeitanalyse

Datenstrukturen

Rekursion und Induktion > Rekursion > Basis- und Rekursionsfall

wieder ein bisschen Fachchinesisch

Definition (Basisfall)

Als Basisfall in einer Rekursion bezeichnet man einen Fall, in dem dieFunktion nicht noch einmal aufgerufen wird.

f : N→ Nf (0) = 1

f (n) = f (n − 1) · n, falls n > 0

Quizfrage der Folie

Wo ist hier der Basisfall ??

wieder ein bisschen Fachchinesisch

Definition (Basisfall)

Als Basisfall in einer Rekursion bezeichnet man einen Fall, in dem dieFunktion nicht noch einmal aufgerufen wird.

f : N→ Nf (0) = 1

f (n) = f (n − 1) · n, falls n > 0

Quizfrage der Folie

Wo ist hier der Basisfall ??

. . . und noch mehr Fachchinesisch :-P

Definition (Rekursionsfall)

Als Rekursionsfall in einer Rekursion beschreibt man einen Fall, in demdie Funktion noch einmal aufgerufen wird.

f : N→ Nf (0) = 1

f (n) = f (n − 1) · n, falls n > 0

Quizfrage der Folie

Wo ist hier der Rekursionsfall ??

. . . und noch mehr Fachchinesisch :-P

Definition (Rekursionsfall)

Als Rekursionsfall in einer Rekursion beschreibt man einen Fall, in demdie Funktion noch einmal aufgerufen wird.

f : N→ Nf (0) = 1

f (n) = f (n − 1) · n, falls n > 0

Quizfrage der Folie

Wo ist hier der Rekursionsfall ??

Rekursion und Induktion > Rekursion > Rekursionsturmchen

Turmchen bauen

Einfache Rekursionen sind wie Turmchen:

f(n) Dach

f(n-1) Stockwerkef(n-2)...f(1)

f(0) Erdgeschoss

(Animation siehe nachste Folie)

...zur Animation

zur Animation

...und als Sequenzdiagramm

zur Animation

Achtung!

Es gibt noch andere Formen der Rekursion:

verzweigte Baumchen statt Turmchen(die Funktion ruft sich mehrfach selbst auf)

verschrankte Rekursion(zwei Funktionen rufen sich gegenseitig auf)

verschachtelte Rekursion(das Argument ist selbst wieder eine rekursive Funktion)

noch Fragen???

Quelle Bild: http://www.citycampus.eu/cms/images/comic fragezeichen.png

Rekursion und Induktion > Induktion > Einleitung

Vollstandige Induktion

Nochmal zuruck zur Funktion

f : N→ Nf (0) = 1

f (n) = f (n − 1) · n, falls n > 0

Was berechnet f ?

f : N→ Nf (0) = 1

f (n) = f (n − 1) · n, falls n > 0

Was berechnet f ?

f : N→ Nf (0) = 1

f (n) = f (n − 1) · n, falls n > 0

Was berechnet f ?

Wir vermuten, dass f die Fakultatsfunktion ist. Doch lasst sich dasbeweisen? Auch dafur gibt es eine Beweistechnik: Die vollstandigeInduktion. Sie besteht aus zwei Teilen:

Induktionsanfang: Wir uberprufen, ob die Aussagen fur dieRekursionsbasis gilt.

Induktionsschritt: Wir nehmen an, dass im rekursiven Aufrufunsere Aussage stimmt. Dann weisen wir das nur noch fur denRest nach!

Wir vermuten, dass f die Fakultatsfunktion ist. Doch lasst sich dasbeweisen?

Auch dafur gibt es eine Beweistechnik: Die vollstandigeInduktion. Sie besteht aus zwei Teilen:

Rekursion und Induktion > Induktion > Anwendungsbeispiel

Korrektheitsbeweis fur rekursive Funktionen

f : N→ Nf (0) = 1

f (n) = f (n − 1) · n, falls n > 0

Behauptung

f (n) = n! fur jede beliebige Eingabe n ∈ N

Beweis durch vollstandige Induktion nach n:

Induktionsanfang: n = 0

f (0) = 1 und 0! = 1, also f (0) = 0! .

f : N→ Nf (0) = 1

f (n) = f (n − 1) · n, falls n > 0

Behauptung

f (0) = 1 und 0! = 1, also f (0) = 0! .

f : N→ Nf (0) = 1

f (n) = f (n − 1) · n, falls n > 0

Behauptung

f (0) = 1 und 0! = 1, also f (0) = 0! .

f : N→ Nf (0) = 1

f (n) = f (n − 1) · n, falls n > 0

Behauptung

f (0) = 1 und 0! = 1, also f (0) = 0! .

f : N→ Nf (0) = 1

f (n) = f (n − 1) · n, falls n > 0

Behauptung

f (0) = 1 und 0! = 1, also f (0) = 0! .

f : N→ Nf (0) = 1

f (n) = f (n − 1) · n, falls n > 0

Behauptung

f (0) = 1 und 0! = 1, also f (0) = 0! .

f : N→ Nf (0) = 1

f (n) = f (n − 1) · n, falls n > 0

Induktionsschritt: n→ n + 1

Angenommen, fur festes n gilt f (n) = n!. Wir wollen zeigen, dassdann auch f (n + 1) = (n + 1)! gilt.

f (n + 1)Def. von f

= (n + 1) ∗ f (n)IA= (n + 1) ∗ n! = (n + 1)!

Also berechnet f fur jede Eingabe deren Fakultat. �

f : N→ Nf (0) = 1

f (n) = f (n − 1) · n, falls n > 0

f (n + 1)Def. von f

= (n + 1) ∗ f (n)IA= (n + 1) ∗ n! = (n + 1)!

f : N→ Nf (0) = 1

f (n) = f (n − 1) · n, falls n > 0

f (n + 1)Def. von f

= (n + 1) ∗ f (n)IA= (n + 1) ∗ n! = (n + 1)!

f : N→ Nf (0) = 1

f (n) = f (n − 1) · n, falls n > 0

f (n + 1)Def. von f

= (n + 1) ∗ f (n)IA= (n + 1) ∗ n! = (n + 1)!

f : N→ Nf (0) = 1

f (n) = f (n − 1) · n, falls n > 0

f (n + 1)Def. von f

= (n + 1) ∗ f (n)IA= (n + 1) ∗ n! = (n + 1)!

f : N→ Nf (0) = 1

f (n) = f (n − 1) · n, falls n > 0

f (n + 1)Def. von f

= (n + 1) ∗ f (n)IA= (n + 1) ∗ n! = (n + 1)!

Rekursion und Induktion > Induktion > Induktion auf N

Vollstandige Induktion auf N

Analog besteht auch die Induktion auf N aus zwei Schritten:

Der Induktionsanfang : Die Aussage ist fur n = 0 zu prufen.(Fur Mengen wie N≥2 nehmen wir n = 2 als Induktionsanfang)

Der Induktionsschritt: Wir nehmen an, dass die Aussage fur einfestes n ∈ N gilt, und weisen dann nach, dass sie fur n + 1 gilt.

Der Induktionsanfang : Die Aussage ist fur n = 0 zu prufen.

(Fur Mengen wie N≥2 nehmen wir n = 2 als Induktionsanfang)

Rekursion und Induktion > Induktion > Korrektheit

Das Prinzip der Induktion

Gilt eine Aussage fur n = 0 und gilt sie unter der Annahme, dass siefur n gilt, auch fur n + 1, dann gilt sie fur alle naturlichen Zahlen.

Rekursion und Induktion > Induktion > Summen- und Produktzeichen

Ein paar Kleinigkeiten...

Definition (Summen- und Produktzeichen)

Sei n ∈ N. Seien a1, ..., an beliebige Zahlen. Dann ist:

n∑i=1

ai = a1 + · · ·+ an

n∏i=1

ai = a1 · · · · · an

Spezialfalle:

0∑i=1

ai = 0,0∏

ai = 1

n∑i=1

ai = a1 + · · ·+ an

n∏i=1

ai = a1 · · · · · an

Spezialfalle:

0∑i=1

ai = 0,0∏

ai = 1

n∑i=1

ai = a1 + · · ·+ an

n∏i=1

ai = a1 · · · · · an

Spezialfalle:

0∑i=1

ai = 0,0∏

ai = 1

n∑i=1

ai = a1 + · · ·+ an

n∏i=1

ai = a1 · · · · · an

Spezialfalle:

0∑i=1

ai = 0,0∏

ai = 1

n∑i=1

ai = a1 + · · ·+ an

n∏i=1

ai = a1 · · · · · an

Spezialfalle:

0∑i=1

ai = 0,0∏

ai = 1

n∑i=1

ai = a1 + · · ·+ an

n∏i=1

ai = a1 · · · · · an

Spezialfalle:

0∑i=1

ai = 0,0∏

ai = 1

Rekursion und Induktion > Induktion > Beispiel

Beispiel einer vollstandigen Induktion auf N

Wir wollen im Folgenden zeigen:

Fur alle n ∈ N gilt:n∑

i =n · (n + 1)

Wie sieht der Induktionsanfang aus?

i =n · (n + 1)

Fur alle n ∈ N gilt:

n∑i=0

i =n · (n + 1)

noch Fragen???

Quelle Bild: http://www.citycampus.eu/cms/images/comic fragezeichen.png

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