S. Feth, J. Franke, M. Speckert

Resampling-Methoden zur mse- Korrektur und Anwendungen in der Betriebsfestigkeit

Berichte des Fraunhofer ITWM, Nr. 116 (2007)

© Fraunhofer-Institut für Techno- und Wirtschaftsmathematik ITWM 2007

ISSN 1434-9973

Bericht 116 (2007)

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Vorwort

Das Tätigkeitsfeld des Fraunhofer-Instituts für Techno- und Wirtschaftsmathematik ITWM umfasst anwendungsnahe Grundlagenforschung, angewandte Forschung sowie Beratung und kundenspezifische Lösungen auf allen Gebieten, die für Tech-no- und Wirtschaftsmathematik bedeutsam sind.

In der Reihe »Berichte des Fraunhofer ITWM« soll die Arbeit des Instituts konti-nuierlich einer interessierten Öffentlichkeit in Industrie, Wirtschaft und Wissen-schaft vorgestellt werden. Durch die enge Verzahnung mit dem Fachbereich Ma-thematik der Universität Kaiserslautern sowie durch zahlreiche Kooperationen mit internationalen Institutionen und Hochschulen in den Bereichen Ausbildung und Forschung ist ein großes Potenzial für Forschungsberichte vorhanden. In die Be-richtreihe sollen sowohl hervorragende Diplom- und Projektarbeiten und Disser-tationen als auch Forschungsberichte der Institutsmitarbeiter und Institutsgäste zu aktuellen Fragen der Techno- und Wirtschaftsmathematik aufgenommen werden.

Darüber hinaus bietet die Reihe ein Forum für die Berichterstattung über die zahl-reichen Kooperationsprojekte des Instituts mit Partnern aus Industrie und Wirt-schaft.

Berichterstattung heißt hier Dokumentation des Transfers aktueller Ergebnisse aus mathematischer Forschungs- und Entwicklungsarbeit in industrielle Anwendungen und Softwareprodukte – und umgekehrt, denn Probleme der Praxis generieren neue interessante mathematische Fragestellungen.

Prof. Dr. Dieter Prätzel-Wolters Institutsleiter

Kaiserslautern, im Juni 2001

Resampling-Methoden zur mse-Korrektur undAnwendungen in der Betriebsfestigkeit

Sascha FethFraunhofer ITWM∗

Prof. Dr. Jürgen FrankeTU Kaiserslautern

Dr. Michael SpeckertFraunhofer ITWM

Zusammenfassung

Von sicherheitsrelevanten Bauteilen im Automobilbau verlangt man,dass beim Kunden bis zur Zeit/Strecke q0 höchstens ein Anteil p0 aus-gefallen ist. Die Verifikation dieses Quantils geschieht in einer Reihe vonVersuchen, bei denen die Bauteile mit einer typischen Kraft zyklisch be-lastet werden, bis ein gewisses, im Vorfeld festgelegtes, Schadensbild auf-tritt und die Anzahl Ti der Zyklen („Schwingspiele“) als Lebensdauer no-tiert wird. Typischerweise ist der Stichprobenumfang N dabei sehr gering(N < 10), während gleichzeitig ein extremes Quantil 0 ≈ p0 � 0, 1 verifi-ziert werden soll. Verwendet man als Lebensdauerverteilung eine Weibull-oder Lognormalverteilung, so tritt in den Quantilschätzern ein deutlicherBias auf, der beseitigt werden soll. Da es sich hierbei in der Regel umeinen positiven Bias handelt, würde man Bauteile als serientauglich ein-stufen, obwohl sie möglicherweise deutlich unter den Vorgaben liegen. DieBerechnung von Konfidenzintervallen für Quantile geschieht über Delta-Methoden, die ebenfalls schlechte Resultate liefern (in Form einer zu ge-ringen empirischen Signifikanz linksseiter Intervalle).

Im Folgenden werden Verallgemeinerungen der Bootstrap- und Jack-knife-Biaskorrektur vorgestellt, welche nicht nur versuchen den Bias zubeseitigen, sondern direkt den mittleren quadratischen Fehler des Schät-zers weitestgehend zu reduzieren. Simulationsstudien zeigen, dass dies fürgeringe Stichprobenumfänge gelingt. Außerdem wird untersucht, inwieferndie Methode in Kombination mit der Bootstrap-Quantil-Methode einenverbesserten Intervallschätzer für Quantile liefert. Dabei werden simulier-te Daten betrachtet, deren Parameter repräsentativ für Lebensdauerver-teilungen von sicherheitsrelevanten Bauteilen sind.

Stichwörter: Weibull, Bootstrap, Maximum-Likelihood, Betriebsfestigkeit.

∗Institut für Techno- und Wirtschaftsmathematik

1

1 Einführung

Betrachtet werden uiv Zufallsvariablen X1, . . . , XN mit Verteilung F , wobeihier die Fälle Weibull F = W(β; γ) bzw. Lognormal F = LN

(µ;σ2

)behandelt

werden. Hierbei ist

X ∼ LN (µ;σ) ⇔ lnX ∼ N(µ;σ2

)und X ∼ W(β; γ) ⇔ (X/β)γ ∼ Exp(1) .

Im Folgenden wird die Verteilungsfunktion der Verteilung F als F (x) be-zeichnet, die verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion als

F−(p) = inf{x | F (x) ≥ p}.

Zunächst soll ein Punktschätzer für das p-Quantil xp = F−(p) gefundenwerden für den Fall, dass p � 0, 5 angenommen wird. In einem parametrischenModell F ∈ {Fθ | θ ∈ Θ ⊆ Rk}, hier k = 2, muss der Parameter θ geschätztwerden, was in der Praxis oft mittels kleinsten Quadraten oder der ML-Methodegeschieht. Falls Fθ eine Dichte besitzt:

θML = argmaxθ∈Θ

N∑i=1

ln fθ(Xi)

Während für Weibullverteilungen keine expliziten Formeln für βML, γML

existieren, können die Lognormalparameterschätzer explizit berechnet werden:

µML =1N

N∑i=1

lnXi, σ2ML =

1N

N∑i=1

(lnXi − µML)2

Wegen E(σ2

ML

)= N−1

N σ2 hat σ2ML einen Bias, der durch Mulitplikation mit

NN−1 jedoch wieder beseitigt wird. Analoge Korrekturformeln lassen sich fürdie Weibullparameter nicht aufstellen, da keine explizite Formel vorliegt (mitMonte-Carlo-Simulationen lässt sich zeigen, dass auch wirklich ein Bias vorhan-den ist). Aus diesem Grund schlagen viele Autoren vor, andere Schätzmethodenzu verwenden. Stichworte hierzu sind die GLUEs von Bain, Minimale-Distanz-Schätzer sowie weitere Methoden, die in der Regel mit der gumbelverteiltenZufallsvariablen lnX arbeiten. Es soll dennoch zunächst untersucht werden, in-wiefern sich die ML-Parameterschätzer einer Weibullverteilung korrigieren las-sen.

2 Biaskorrekturen: Jackknife und Bootstrap

Grundidee der Biaskorrektur ist es einen Schätzwert für den Bias zu finden, derdann vom eigentlichen Schätzer T subtrahiert wird:

TBias = T − Bias(T )

Hieraus resultiert für den biaskorrigierten Schätzer TBias:

Bias(TBias) = E(T )− E(Bias(T )

)− θ = Bias(T )− E

(Bias(T )

)2

-

6

����

������

������

��

E(TN )

E(TN−1)

E(T∞) = θ

1N

1N−1

Gleiche Steigungen!

Abbildung 1: Interpretation des Jackknife als Extrapolation

Häufig hat man Bias(TBias) ≤ Bias(T ). Allerdings ist ein Varianzanstiegmöglich, der den Gewinn an Bias übersteigt (Bias-Varianz-Dilemma). Mit Jack-knife und Bootstrap existieren zwei Verfahren, um den Bias einer beliebigenZufallsvariablen (bei den hier betrachteten Quantilschätzer sogar konsistent) zuschätzen.

2.1 Jackknife-BiasschätzungNimmt man an, dass TN asymptotisch erwartungstreu und die Abbildung s :N−1 7→ E(TN ) für große N annähernd linear ist, so kann auf den Wert θ =E(T∞) mittels einer Geraden durch die Punkte

(N−1,E(TN )), ((N − 1)−1,E(TN−1))

extrapoliert werden:

E(TN−1)− E(TN )1

N−1 −1N

=E(TN )− E(T∞)

1N − 1

∞

⇒ E(T∞) = NE(TN )− (N − 1)E(TN−1)⇒ Bias(TN ) = (N − 1) (E(TN−1)− E(TN ))

Da die Erwartungswerte unbekannt sind, ersetzt Quenouille sie durch Beob-achtungen (siehe etwa [1]), und gelangt so zum Biasschätzer:

BiasJack = (N − 1)

(1N

N∑i=1

TN−1,i − TN

), (1)

wobei TN−1,i aus der Stichprobe {X1, . . . , Xi−1, Xi+1, . . . , XN} berechnet wird.Hieraus resultiert der biaskorrigierte Schätzer:

TJack = TN − BiasJack

3

2.2 Bootstrap-BiasschätzungDie Bootstrap-Methode sieht vor, den Bias BiasF (TN ) = EF (TN ) − θ durcheine Substitution F 7→ F ∗ zu schätzen, wobei F ∗ eine bekannte, aus den DatenX1, . . . , XN berechenbare Verteilung ist. Liegt ein parametrisches Modell vor,so geschieht dies in etwa durch F = FθML

. Kennzeichnet man Größen bzgl. F ∗

wie üblich durch ∗, so lässt sich schreiben:

BiasBoot = E∗(T ∗N )− θ∗

und man definiert analog:

TBoot = TN − BiasBoot

Sind X∗1 , . . . , X∗N uiv Pseudodaten mit Verteilung F ∗, so bezeichnet θ∗ denentsprechenden Wert des Parameters θ bzgl. F ∗. T ∗N wird dabei aus den DatenX∗1 , . . . , X∗N berechnet. Liegt ein parametrisches Verteilungsmodell vor, so kannz.B. für das parametrische Bootstrap F ∗ = FθML

, θ∗ = θML gewählt werden.Für Weibullverteilungen ist es nicht möglich auf einfachem Weg explizite

Formeln für BiasBoot zu finden, weshalb hierzu eine Monte-Carlo-Simulationverwendet wird (Da die Verteilung der Daten X∗1 , . . . , X∗N bekannt ist, ist diesmöglich).

3 Mse-Korrektur

3.1 HerleitungAllen Bias-Schätzern ist gemeinsam, dass sie versuchen den mittleren quadrati-schen Fehler mse(TN ) = E(TN − θ)2 = (Bias(TN ))2 +Var(TN ) zu reduzieren,indem sie den Bias möglichst entfernen. In einem theoretischen Idealfall ist derBias b bekannt, und man verwendet die Korrektur TBias = T − b. In diesem Fallhat man die Zusammenhänge:

Bias(TBias) = 0 (2)Var(TBias) = Var(T )

Um einen Einfluss auf die Varianz auszuüben, muss mit einer multiplikativenKorrektur kT gearbeitet werden. Wählt man k zunächst derart, dass wieder derBias entfernt wird, so muss gelten:

Bias(kT ) = kE(T )− θ!= 0 ⇔ k =

θ

E(T )=

11 + ρ

wobei ρ = E(T )−θθ der relative Fehler ist. Liegt ein positiver Bias vor, so ist

k < 1, womit die Varianz ebenfalls reduziert wird. Man kann nun auch direktversuchen, k derart zu wählen, dass mse(kT ) minimal wird:

mse(kT ) = (kE(T )− θ)2 + k2Var(T ) (3)

⇒ d

dkmse(kT ) = 2(kE(T )− θ) · E(T ) + 2kVar(T ) != 0 (4)

⇔ k =θ · E(T )

(E(T ))2 +Var(T )=

1

1 + ρ + Var(T )θ·E(T )

4

Wegend 2

dk2mse(kT ) = 2(E(T ))2 + (Var(T ))2) > 0

liegt mit (5) auch wirklich ein Minimum vor.Für einen Überschätzer (positiver Bias) wird man also einen schlechteren

Bias im Vergleich zur Biaskorrektur , d.h. |Bias(Tmse) | > |Bias(TJack) | bzw.|Bias(Tmse) | > |Bias(TBoot) | erwarten, jedoch zu Gunsten einer geringeren Va-rianz. Für Unterschätzer (negativer Bias) wird hingegen Bias und Varianz (imVergleich zu biaskorrigierten Schätzern) verschlechtert, jedoch in verschiedenemMaße so dass insgesamt ein geringerer mse resultiert.

Um den unbekannten Faktor k zu schätzen, muss man Schätzwerte fürE(T ) , θ und Var(T ) kennen. Schreibt man θ = E(T ) − Bias(T ) so müssenalternativ Schätzwerte für E(T ) , Bias(T ) und Var(T ) gefunden werden. Hierwerden zwei Schätzverfahren betrachtet:

• JackknifeWähle für Bias und Varianz die entsprechenden Jackknife-Schätzer undersetzte E(T ) durch T :

Tmse = kT =T

1 + bT−b

+ VT (T−b)

=T 2

T 2 + V(T − b)

Neben dem hierzu notwendigen Jackknife-Biasschätzer für b aus Gleichung(1) existiert eine Variante nach Tukey (siehe [1]), welche ebenfalls dieVarianz schätzt:

V = VarJack =N − 1

N

N∑i=1

(TN−1,i −

1N

N∑i=1

TN−1,i

)2

• (parametrisches) BootstrapDie Schätzwerte für E(T ) ,Bias(T ) undVar(T ) werden aus 1.000 Bootstrap-Stichproben (zur geschätzten Weibull- bzw. Lognormalverteilung) ermit-telt.

3.2 AnwendungsbereicheNicht jeder verzerrte Schätzer kann sinnvoll mse-korrigiert werden. In diesemAbschnitt soll eine einfache Faustregel gefunden werden, wann sich der Einsatzdieser Korrekturform lohnt. Es wird ein Überschätzer (positiver Bias) betrach-tet:

Aus Gleichung (4) kann entnommen werden, dass der mittlere quadratischeFehler quadratisch von einem deterministischen Faktor abhängt. In Kombina-tion mit Abbildung 2 entnimmt man, dass ein Überschätzer genau dann sinn-voll korrigiert wird, falls der verwendete deterministische Faktor k im Intervall[2kmin − 1, 1] liegt. Wird der optimale Korrekturfaktor kmin geschätzt, so kannder Schätzwert außerhalb dieses Intervalls liegen. Ist das Intervall möglichstlang, d.h. 2(1 − kmin) groß was für k ≈ 0 geschieht, so ist ein größerer WertVar

(k)

nötig, um einen ungünstigen Schätzwert zu erhalten. Weiterhin ist für

kmin < 12 der Wert 2kmin − 1 negativ, so dass k die linke Intervallgrenze nicht

5

-

6

kmin 1

6�

?

2kmin − 1 k

mse(k)

Abbildung 2: Mittlerer quadratischer Fehler als Funktion eines deterministischenKorrekturfaktors

mehr unterschreiten kann.

Auch wenn diese Argumentation nur für deterministische Korrekturfaktorengültig ist, so bleibt als Faustregel, dass möglichst kmin < 1

2 gelten sollte. SindErwartungswert und Varianz des unkorrigierten Schätzers bekannt (z.B. ausMonte-Carlo-Simulationen), so kann kmin berechnet, und eine Abschätzung obdie mse-Korrektur sinnvoll ist vorgenommen werden. Für Unterschätzer drehtsich das Intervall: [1, 2kmin−1] und kmin sollte für ein breites Intervall möglichstgrößer 1 sein.

In den meisten praktischen Beispielen wird θ · E(T ) > 0, womit bei einemÜberschätzer durch ρ > 0 auch wirklich kmin < 1, während für Unterschätzernicht zwangsläufig kmin > 1 gelten muss.

6

4 Simulationsstudien: Mse-Korrektur der Para-meterschätzer

4.1 Weibull-ParameterMit Hilfe von Monte-Carlo-Simulationen soll ermittelt werden inwiefern sich diemse-korrigierten Schätzer von den gewöhnlichen Bias-korrigierten und unkorri-gierten ML-Schätzern unterscheiden. Dabei werden 1.000 simulierte Stichpro-ben des Umfangs jeweils 8 aus einer W(200.000; 2)-Verteilung erzeugt. Für dieBootstrap-Korrekturen sind für jede einzelne Stichprobe 500 Pseudostichprobengeneriert worden.

• Skalenparameter β = 200.000:

βML βBias βmse

Jack Boot Jack BootBias -1.552 82 -195 -6.475 -5.842

Stdabw 36.588 37.109 37.073 37.237 35.915Mse 1,341 ·109 1,377 ·109 1,374 ·109 1,428 ·109 1,324 ·109

kmin = 0, 97 ≈ 1 ⇒ Laut Überschätzer-Faustregel schlecht mse-korrigierbar.

• Formparameter γ = 2:

γML γBias γmse

Jack Boot Jack BootBias 0,4896 -0,1699 -0,0689 -0,3926 -0,2440

Stdabw. 0,9195 0,8468 0,7150 0,7712 0,6424Mse 1,0853 0,7460 0,5160 0,7489 0,4723

kmin = 0, 70 ⇒ Laut Überschätzer-Faustregel bedingt (> 0, 5) sinnvollmse-korrigierbar.

In diesem Zahlenbeispiel für die Verteilungsparameter sollte für den Form-parameter also die mse-Korrektur basierend auf Bootstrap-Schätzern für Biasund Varianz verwendet werden, während der Skalenparameter weiterhin perML-Methode geschätzt werden sollte.

7

4.2 Lognormal-ParameterWährend E(µML) = µ ist E

(σ2

ML

)= N−1

N σ2, was also leicht deterministisch mitdem Faktor N

N−1 zu korrigieren wäre. Versucht man sie dennoch empirisch zukorrigieren so erhält man (LN (11; 0, 2)-Verteilung mit 8 Daten in 1.000 Simu-lationen):

• Skalenparameter µ = 11:

µML µBias µfk

Jack Boot Jack BootBias -0,0009 -0,0008 -0,0010 -0,0031 -0,0037

Stdabw 0,1527 0,1527 0,1530 0,1527 0,15270Mse 0,0233 0,0233 0,0234 0,0233 0,0233

kmin = 0, 99 ≈ 1 ⇒ Laut Unterschätzer-Faustregel nicht sinnvoll mse-korrigierbar.

• Formparameter σ2 = 0, 2:

σ2ML σ2

Bias σ2fk

Jack Boot Jack BootBias -0,0259 -0,0010 -0,0043 -0,0381 -0,0395

Stdabw 0,0911 0,1041 0,1024 0,0863 0,0842Mse 0,0090 0,0108 0,0105 0,0089 0,0086

kmin = 0, 28 < 1 ⇒ Laut Unterschätzer-Faustregel nicht sinnvoll mse-korrigierbar.

Im Fall der erwartungstreuen Parameterschätzer ist eine Biaskorrektur (wieerwartet) nicht notwendig und eine Fehlerkorrektur nicht wirkungsvoll.

5 Biasreduzierung von Quantilschätzern

5.1 Notwendigkeit der KorrekturenObwohl man die Parameter einer Lognormalverteilung erwartungstreu schätzenkann (sofern N

N−1 σ2ML verwendet wird), wird ein Quantilschätzer bei p < 0, 5

einen positiven Bias aufweisen:

ln xp = µ +√

σ2N(0; 1)−(p) (5)

⇒ Bias(ln xp) =(E(√

σ2)− σ

)︸ ︷︷ ︸

<0 (Jensen)

· N(0; 1)−(p)︸ ︷︷ ︸<0

> 0 (6)

Verwendet man nicht erwartungstreue Schätzer für die Verteilungsparameter(was im Weibull-Fall trotz Korrektur geschieht), so kann ein Bias des Quantil-schätzers sowieso nicht ausgeschlossen werden. Sowohl für Lognormal- als auchfür Weibullverteilungen kann die Verwendung einer Bias- bzw. mse-Korrekturalso angebracht sein.

8

5.2 Weibull-Quantile

Aus 8 Daten einer W(200.000; 2)-Verteilung soll auf das 1%-Quantil (wahrerWert: 20.050,27) geschlossen werden. In 1.000 Monte-Carlo-Simulationen ergibtsich:

t0,01,ML t0,01,Bias t0,01,fk

Jack Boot Jack BootBias 11.311 -781 693 2.720 -4.694

Stdabw. 20.046 19.658 18.953 19.080 17.425Mse 529 ·106 387·106 359·106 371·106 325·106

kmin = 0, 45 < 1 ⇒ Laut Überschätzer-Faustregel sinnvoll mse-korrigierbar.Auch hier reduzieren die Biaskorrekturen in beiden Fällen den Bias deutlich. Diemse-Korrekturen reduzieren den Bias weniger gut, verringern dafür die Varianzstärker und resultieren in einem besseren mse.

5.3 Lognormal-Quantile

Nun werden jeweils 8 Daten aus einer LN (11; 0, 2)-Verteilung erzeugt, und daswahre 1%-Quantil 21.154,87 wird geschätzt:

t0,01,ML t0,01,Bias t0,01,fk

Jack Boot Jack BootBias 2.903 -898 -234 481 -950

Stdabw. 6.710 7.141 6.808 7.278 7.423Mse 53,46 ·106 51,80 ·106 46,46 ·106 53,21 ·106 56,01 ·106

kmin = 0, 81 ⇒ Laut Überschätzer-Faustregel bedingt (> 0, 5) sinnvoll mse-korrigierbar. Nur die Biaskorrekturen zeigen eine geringe Wirkung, während diemse-Korrekturen keine Vorteile bzgl. des mse zeigen.

5.4 Modellmissspezifikationen

5.4.1 Weibull-Daten, Lognormal-Annahme

Bei der Anwendung der mse-Korrektur auf Quantilschätzer taucht die Möglich-keit einer schlechteren Leistung auf Grund einer falschen Modellwahl auf. DieMonte-Carlo-Simulationen werden wiederholt, diesmal jedoch mit der Annah-me, es läge eine Lognormal-Verteilung vor:

t0,01,ML t0,01,Bias t0,01,fk

Jack Boot Jack BootBias 28.082 14.395 19.563 19.001 14.656

Stdabw. 26.263 29,874 25.459 27.725 23.811Mse 1.478 ·106 1.099 ·106 1.030 ·106 1.129 ·106 781 ·106

kmin = 0, 32 ⇒ Laut Überschätzer-Faustregel sinnvoll mse-korrigierbar.

9

5.4.2 Lognormal-Daten, Weibull-Annahme

Umgekehrt werden die Daten nun aus obiger Lognormal-Verteilung erzeugt, zurAuswertung wird jedoch eine Weibullverteilung verwendet:

t0,01,ML t0,01,Bias t0,01,fk

Jack Boot Jack BootBias -6.283 -11.335 -10.296 -9.117 -11.145

Stdabw. 6.984 8.127 70.13 6.983 6.554Mse 88 ·106 194 ·106 155 ·106 131 ·106 167 ·106

kmin = 1, 165 ⇒ Laut Unterschätzer-Faustregel bedingt (nah bei 1) sinnvollmse-korrigierbar.

Fazit Nimmt man eine Lognormalverteilung an, so haben höchstens die Bias-korrekturen einen Vorteil bzgl. mse gegenüber den ML-Schätzern. Die-ser Vorteil ist auch noch vorhanden, falls die Lognormal-Annahme falschist, und Weibull-Daten vorliegen. Die Weibull-Quantile lassen sich sehrgut mit der Bootstrap-mse-Korrektur verbessern, jedoch nur bei korrekterModellwahl. Nimmt man allerdings fälschlicherweise an, dass die DatenWeibull-verteilt sind, dann führen sämtliche Korrekturmethoden zu einerdeutlichen Verschlechterung.

6 Quantilschätzer aus korrigierten Verteilungs-parametern

Statt die Quantilschätzer selbst zu korrigieren, soll versucht werden bei Weibull-Verteilungen nur den Formparameter zu korrigieren, um den Quantilschätzeranschließend wie gewohnt aus den Parameterschätzern zu berechnen. Hierzuwird für den Formparameter die mse-Korrektur mittels Bootstraps gewählt.

6.1 Korrekte Modellwahl1.000 Simulationen von 8 Daten aus einer W(200.000; 2)-Verteilung zur Berech-nung des 1%-Quantils (wahrer Wert: 20.050,27) unter einer Weibull-Annahme:

MLt0,001

(βML, γML

)t0,001

(βML, γfk

)Bias 11.311 -6.820

Stdabw 20.046 12.421Mse 529 ·106 200 ·106

(Für Histogramme der simulierten Quantilschätzer siehe Seite 15)

10

6.2 Falsche Modellwahl1.000 Simulationen von 8 Daten aus einer LN (11; 0, 2)-Verteilung zur Berech-nung des 1%-Quantils (wahrer Wert: 21.154,87) unter einer Weibull-Annahme:

MLt0,001

(βML, γML

)t0,001

(βML, γfk

)Bias -6.283 -14.117

Stdabw 6.984 5.181Mse 88 ·106 226 ·106

Fazit Weibull-Quantile lassen sich am effektivsten in ihrem mse korrigieren,falls sie aus mse-korrigierten Formparametern berechnet werden. Wie auchschon beim Formparameter selbst konnte eine mse-Reduzierung um ca50% erreicht werden. Allerdings gilt diese Eigenschaft nur, falls das Mo-dell korrekt gewählt wurde, da sonst die ML-Schätzer wieder bessere Ei-genschaften zeigen. Im Folgenden werden für Quantilschätzer aus Weibull-Daten nur noch Korrekturen verwendet, die nur mit korrigiertem Form-parameter arbeiten, nicht jedoch den Quantilschätzer selbst korrigieren.Da die mse-Korrektur hier nur für Weibullverteilungen sinnvolle Verbes-serungen anbot, wird die Methode zur Intervallschätzung nur noch anWeibullverteilungen getestet.

7 Intervallschätzer für Quantile

7.1 Übersicht: Typische VerfahrenDie Verifikation sicherheitsrelevanter Bauteile arbeitet für gewöhnlich nicht mitPunktschätzern, sondern berechnet linksseitige Konfidenzintervalle für die Quan-tile. Für die Berechnung dieser Intervalle stehen Delta-, empirische Likelihood-und Bootstrap-Methoden zur Verfügung1. Die notwendigen Glattheitsbedingun-gen an die Zufallsvariablen werden als gültig angenommen.

1. Delta-MethodenGilt für eine Zufallsvariable Xn ∈ Rp sowie an ∈ R:

an(Xn − µ) n→∞−→ Np(0; (δij))

so gilt für eine stetige, in µ differenzierbare reellwertige Abbildung g:

an(g(Xn)− g(µ)) n→∞−→ N(0; ||∇g(µ)||2

)Wählt man Xn als Parameterschätzer und g(θ) = F−θ (p), so wird obigeAussage verwendet um die asymptotische Normalität des Quantilschätzerszu erhalten, woraus in Folge Konfidenzintervalle für den Quantilschätzerkonstruiert werden können.

2. Empirischer LikelihoodDie Zufallsvariable

W (θ0) = −2(l(θ0 | x)− l(θ | x)

)1Siehe auch [3]

11

folgt asympotisch einer χ2r-Verteilung, falls θ ∈ Θ ⊆ Rr. Hieraus ergibt

sich ein Konfidenzintervall der Form:

{θ0 ∈ Θ | W (θ0) < c} (7)

3. Bootstrap-Methoden

• Bootstrap-Quantil-Methode (BQM)Betrachte die parametrische Bootstrap-Zufallsvariable T ∗. Ein In-tervall I mit P∗(T ∗ ∈ I) kann entweder direkt aus der Kenntnisvon G∗ = Vert(T ∗) analytisch berechnet oder durch Monte-Carlo-Simulation numerisch bestimmt werden. Im Fall einseitiger (1 − α)-Intervalle lässt sich also schreiben:

I = [G∗−(α) ,∞) (8)

Anschließend wird die Approximation P(T ∈ I) ≈ 1− α verwendet.

• t-Bootstrap (tB)Die Approximation P(T ∈ I) ≈ 1 − α gilt umso genauer, je „näher“G∗ in der Verteilungsklasse bei G liegt. Um die Unterschiede zwischenwahrer und Bootstrap-Verteilung zu minimieren, werden die Zufalls-variablen studentisiert: Sei θ der wahre Wert der durch T geschätztwerden soll und σ2 = Var(T ), so wird die BQM für die Zufallsvaria-ble:

T ′ =T − θ

σ(9)

wiederholt. Die hierbei auftauchende Varianzschätzung σ∗ kann durchJackknife oder Bootstrap geschehen. Im letzten Fall werden zu jederBootstrap-Stichprobe erneut Bootstrap-Stichproben errechnet (dop-pelte Bootstraps).

7.2 Betrachtete VerfahrenEin Qualitätskriterium für die Intervallschätzer ist die empirische Konfidenz(„Abdeckung“), d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass das wahre Quantil im Konfi-denzintervall enthalten ist. Exakte Intervallschätzer zeichnen sich dadurch aus,dass die empirisches Konfidenz mit der (vorgegebenen/nominellen) Konfidenzbereinstimmt. Die hierzu notwendigen Berechnungen sind sehr zeitaufwändig,da etwa für die tB-Methode eine Monte-Carlo-Simulationsschleife mit jeweilszwei iterierten Bootstrap-Schleifen gestartet werden muss. Aus diesem Grundwerden im folgenden Abschnitt nur Verfahren betrachtet, die auf BQM basieren.Betrachtet wird der Quantilschätzer aus ML-Parametern sowie aus korrigierten2

ML-Parametern. Aus diversen Simulationsstudien ist bekannt, dass für geringeStichprobenumfänge die Bootstrap-Methoden meist die beste empirische Signifi-kanz aufweisen (siehe etwa [3] bei symmetrischen Intervallen für den Mittelwertoder [2] bei symmetrischen Intervallen für Quantilschätzer). Es werden dahernur Varianten der Bootstrap-Methoden verwendet.

Um die BQM in allgemeinen Situationen zu verbessern, existieren biaskorri-gierte Varianten (für eine Motivation siehe: [4, S. 133-144]):

2mittels Bootstraps

12

Biaskorrigierte BQM (bBQM) Setze z0 = Φ−(G∗(T )), wobei Φ die Vertei-lungsfunktion der Standardnormalverteilung ist, (basierend auf der häu-figen (unerwünschten) Eigenschaft P∗(T ∗ ≤ T ) 6= 0, 5), so wird das bias-korrigierte Bootstrap-Intervall definiert als:

Ib = [G−∗(Φ(2z0 − Φ−(1− α)

)),∞)

was im Speziallfall z0 = 0 in die Form (8) übergeht.

Beschleunigt-biaskorrigierte BQM (bbBQM) Durch eine Erweiterung derbBQM wird zusätzlich die Schiefe der Verteilung durch eine Beschleuni-gungskonstante a berücksichtigt: Die Herleitung der Biaskorrektur nimmtan, dass die Varianz σ2 von s(θ)− s(θ) nicht von θ abhängt. Nimmt manan, dass ein Zusammenhang σ = 1 + as(θ) existiert, so schreibt sich dasbeschleunigte biaskorrigierte Intervall nach einiger Rechnung als:

I =[G←∗

(Φ(

z0 − Φ−(1− α)1− a(z0 − Φ−(1− α))

+ z0

)), ∞

)Im Spezialfall a = 0 ergibt sich die gewöhnliche bBQM. Die Schätzung vona ist in der Regel sehr schwierig (vor allem in Verbindung mit zensiertenDaten), kann jedoch mit Hilfe des Jackknife oft hinreichend gut erledigtwerden. Falls jedoch ein ML-Schätzer betrachtet wird, kann a = z0 gesetztwerden, siehe [4, S. 137]

8 SimulationsstudienAus 8 Daten einer W(200.000; 2)-Verteilung werden in 200 Simulationschrit-ten Intervallschätzer berechnet und geprüft ob das wahre 1%-Quantil 20.050,27im linksseitigen 95%-Intervall enthalten ist. Hierzu wird die Bootstrap-Quantil-Methode unkorrigiert, biaskorrigiert und beschleunigt biaskorrigiert verwen-det. Um möglichst viele Simulationen zur Berechnung der empirischen Signi-fikanz durchzuführen, wird die Anzahl der Bootstrap-Stichproben für die mse-Korrektur des Formparameters, sowie für die BQM auf 100 begrenzt. Hierdurchwird die Qualität der Schätzer beeinträchtigt, so dass man davon ausgehen kann,dass die Methoden für eine höhere Zahl von Bootstrap-Stichproben eine bessereLeistung zeigen sollten. Ebenso kann erwartet werden, dass die zeitaufwändigeret-Bootstrap-Methodik bessere Resultate zeigen sollte. Ebenso wird für die Be-rechnung der Bootstrap-Stichproben noch der Standard-ML-Parameterschätzerverwendet. In 200 MC-Simulationen findet man als empirische Signifikanzen:

Punktschätzer IntervallschätzerBQM bBQM bbBQM

t0,001

(βML, γML

)76,0% 90,0% 91,5%

t0,001

(βML, γBias

)91,0% 92,5% 70,0%

t0,001

(βML, γfk

)95,5% 97,5% 68,5%

Bestimmt man die Bootstrap-Stichproben mit Hilfe des mse-korrigiertenFormparameters, so erhält man (200 MC-Simulationen):

13

Punktschätzer IntervallschätzerBQM bBQM bbBQM

t0,001

(βML, γML

)74,0% 87,5% 76,5%

t0,001

(βML, γfk

)97,5% 100,0% 68,0%

Fazit Für sicherheitsrelevante Bauteile ist es angebracht, diejenigen Quantil-schätzer vorzuziehen, welche mit ihrer empirischen Konfidenz die geforder-te Konfidenz nicht unterschreiten. Während die bbBQM nur in Verbindungmit dem ML-Schätzer gut zu funktionieren scheint, ist die Verwendungeiner mse-Korrektur in Verbindung mit der gewöhnlichen BQM am leis-tungsfähigsten. Weiterhin hat die Verwendung der korrigierten Parame-terschätzer für die Bootstrap-Stichproben kaum positiven Einfluss auf dieempirische Signifikanz. Gründe für die Unterschiede in der Wirksamkeitder beschleunigten Biaskorrektur zwischen ML- und fk-Schätzern könnenin den Verteilungen der Schätzer gesucht werden. In Abbildung 3 ist zuerkennen, dass der gewöhnliche ML-Schätzer bereits wesentlich näher aneiner Normalverteilung liegt, als der Quantilschätzer aus fk-korrigiertenFormparametern, womit die Grundannahme, die zur Definition von z0 inder bBQM führt hier eher gerechtfertigt ist, während sich die deutlichschiefere3 Verteilung von t0,001

(βML, γfk

)für diese Approximation nicht

anbietet. Wegen der um 60% geringeren Varianz des korrigierten Schätzerskann die gewöhnliche BQM aber dennoch gute Resultate erzielen.

9 Zusammenfassung

Welche Korrektur ist in welcher Situation angebracht?

• Parameterschätzer

– Weibullverteilung: Skalenparameter: Maximum-Likelihood.Formparameter: Bootstrap-mse-Korrektur.

– Lognormalverteilung: Skalenparameter: Maximum-Likelihood.Formparameter: Maximum-Likelihood · N

N−1 .

• Quantilschätzer

– Weibullverteilung: Quantil aus ML-Skalen- und Bootstrap-mse-Formparameter. (Schlechterer mse unter Missspezifikation als der un-korrigierte Schätzer).

– Lognormalverteilung: Bootstrap-Bias-Korrektur des Quantils (ausML-Parametern). (Geringerer mse unter Missspezifikation als der un-korrigierte Schätzer).

• Intervallschätzer für Quantile

– Weibullverteilung: Bootstrap-Stichproben aus den ML-Parameter-schätzern, BQM bzgl. Quantil aus ML-Lageparameter und Bootstrap-mse-Formparameter.

14

Abbildung 3: Histogramme zu den simulierten Quantilschätzern

15

Danksagung Die oben erläuterterten neuen Schätzmethoden wurden im Rah-men eines Projektes des Fraunhofer ITWM für die Transporterentwicklungder DaimlerChrysler AG entwickelt. Wir möchten uns daher bei Dr. StefanWeihe, Dr. Malte Hahn und Herrn Hans-Peter Tabarelli bedanken, welchedie Entwicklung neuer Methoden motiviert haben.

Literatur[1] „The Jackknife, the Bootstrap and other resampling Plans“, Bradley Efron

Regional conference series in applied mathematics, 1982.

[2] „Biasreduzierung für Quantilschätzer in der Betriebsfestigkeit“, Sascha FethDiplomarbeit am Fachbereich Mathematik der TU-Kaiserslautern.http://www.itwm.de/mdf/documents/pdf/Biasreduzierung.pdf

[3] „Empirical likelihood and small Samples“, Art OwenComputing science and statistics, 1992, Seiten 69-88.

[4] „The Jackknife and Bootstrap“, Jun Shao, Dongsheng TuSpringer-Verlag, 1996.

[5] „The generalized Jackknife Statistic“, Gary SchucanyMarcel Dekker, inc., 1972.

[6] „Punkt- und Intervallschätzungen der Parameter von Weibull-Verteilungenbei zensierten Stichproben“, Franz GanderDissertation, Freie Universität Berlin, 1996.

[7] „An Introduction to the Bootstrap“, E. Efron, R. J. Tibshirani,Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York

3Schiefe von 1,368 gegen 0,7047 bei t0,001

(βML, γML

)16

Published reports of the Fraunhofer ITWM

The PDF-files of the following reports are available under: www.itwm.fraunhofer.de/de/zentral__berichte/berichte

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A Finite - Volume Particle Method for Compressible Flows (19 pages, 1998)

2. M. Feldmann, S. Seibold

Damage Diagnosis of Rotors: Application of Hilbert Transform and Multi-Hypothe-sis TestingKeywords: Hilbert transform, damage diagnosis, Kal-man filtering, non-linear dynamics (23 pages, 1998)

3. Y. Ben-Haim, S. Seibold

Robust Reliability of Diagnostic Multi- Hypothesis Algorithms: Application to Rotating MachineryKeywords: Robust reliability, convex models, Kalman filtering, multi-hypothesis diagnosis, rotating machinery, crack diagnosis (24 pages, 1998)

4. F.-Th. Lentes, N. Siedow

Three-dimensional Radiative Heat Transfer in Glass Cooling Processes(23 pages, 1998)

5. A. Klar, R. Wegener

A hierarchy of models for multilane vehicular traffic Part I: Modeling(23 pages, 1998)

Part II: Numerical and stochastic investigations(17 pages, 1998)

6. A. Klar, N. Siedow

Boundary Layers and Domain Decompos-ition for Radiative Heat Transfer and Diffu-sion Equations: Applications to Glass Manu-facturing Processes(24 pages, 1998)

7. I. Choquet

Heterogeneous catalysis modelling and numerical simulation in rarified gas flows Part I: Coverage locally at equilibrium (24 pages, 1998)

8. J. Ohser, B. Steinbach, C. Lang

Efficient Texture Analysis of Binary Images(17 pages, 1998)

9. J. Orlik

Homogenization for viscoelasticity of the integral type with aging and shrinkage(20 pages, 1998)

10. J. Mohring

Helmholtz Resonators with Large Aperture(21 pages, 1998)

11. H. W. Hamacher, A. Schöbel

On Center Cycles in Grid Graphs(15 pages, 1998)

12. H. W. Hamacher, K.-H. Küfer

Inverse radiation therapy planning - a multiple objective optimisation approach(14 pages, 1999)

13. C. Lang, J. Ohser, R. Hilfer

On the Analysis of Spatial Binary Images(20 pages, 1999)

14. M. Junk

On the Construction of Discrete Equilibrium Distributions for Kinetic Schemes(24 pages, 1999)

15. M. Junk, S. V. Raghurame Rao

A new discrete velocity method for Navier-Stokes equations(20 pages, 1999)

16. H. Neunzert

Mathematics as a Key to Key Technologies(39 pages (4 PDF-Files), 1999)

17. J. Ohser, K. Sandau

Considerations about the Estimation of the Size Distribution in Wicksell’s Corpuscle Problem(18 pages, 1999)

18. E. Carrizosa, H. W. Hamacher, R. Klein, S. Nickel

Solving nonconvex planar location prob-lems by finite dominating setsKeywords: Continuous Location, Polyhedral Gauges, Fi-nite Dominating Sets, Approximation, Sandwich Algo-rithm, Greedy Algorithm (19 pages, 2000)

19. A. Becker

A Review on Image Distortion MeasuresKeywords: Distortion measure, human visual system (26 pages, 2000)

20. H. W. Hamacher, M. Labbé, S. Nickel, T. Sonneborn

Polyhedral Properties of the Uncapacitated Multiple Allocation Hub Location Problem Keywords: integer programming, hub location, facility location, valid inequalities, facets, branch and cut (21 pages, 2000)

21. H. W. Hamacher, A. Schöbel

Design of Zone Tariff Systems in Public Transportation(30 pages, 2001)

22. D. Hietel, M. Junk, R. Keck, D. Teleaga

The Finite-Volume-Particle Method for Conservation Laws(16 pages, 2001)

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Location Software and Interface with GIS and Supply Chain ManagementKeywords: facility location, software development, geographical information systems, supply chain man-agement (48 pages, 2001)

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Mathematical Modelling of Evacuation Problems: A State of Art(44 pages, 2001)

25. J. Kuhnert, S. Tiwari

Grid free method for solving the Poisson equationKeywords: Poisson equation, Least squares method, Grid free method (19 pages, 2001)

26. T. Götz, H. Rave, D. Reinel-Bitzer, K. Steiner, H. Tiemeier

Simulation of the fiber spinning processKeywords: Melt spinning, fiber model, Lattice Boltzmann, CFD (19 pages, 2001)

27. A. Zemitis

On interaction of a liquid film with an obstacle Keywords: impinging jets, liquid film, models, numeri-cal solution, shape (22 pages, 2001)

28. I. Ginzburg, K. Steiner

Free surface lattice-Boltzmann method to model the filling of expanding cavities by Bingham FluidsKeywords: Generalized LBE, free-surface phenomena, interface boundary conditions, filling processes, Bing-ham viscoplastic model, regularized models (22 pages, 2001)

29. H. Neunzert

»Denn nichts ist für den Menschen als Men-schen etwas wert, was er nicht mit Leiden-schaft tun kann« Vortrag anlässlich der Verleihung des Akademiepreises des Landes Rheinland-Pfalz am 21.11.2001Keywords: Lehre, Forschung, angewandte Mathematik, Mehrskalenanalyse, Strömungsmechanik (18 pages, 2001)

30. J. Kuhnert, S. Tiwari

Finite pointset method based on the projec-tion method for simulations of the incom-pressible Navier-Stokes equationsKeywords: Incompressible Navier-Stokes equations, Meshfree method, Projection method, Particle scheme, Least squares approximation AMS subject classification: 76D05, 76M28 (25 pages, 2001)

31. R. Korn, M. Krekel

Optimal Portfolios with Fixed Consumption or Income Streams Keywords: Portfolio optimisation, stochastic control, HJB equation, discretisation of control problems. (23 pages, 2002)

32. M. Krekel

Optimal portfolios with a loan dependent credit spread Keywords: Portfolio optimisation, stochastic control, HJB equation, credit spread, log utility, power utility, non-linear wealth dynamics (25 pages, 2002)

33. J. Ohser, W. Nagel, K. Schladitz

The Euler number of discretized sets – on the choice of adjacency in homogeneous lattices Keywords: image analysis, Euler number, neighborhod relationships, cuboidal lattice (32 pages, 2002)

34. I. Ginzburg, K. Steiner

Lattice Boltzmann Model for Free-Surface flow and Its Application to Filling Process in Casting Keywords: Lattice Boltzmann models; free-surface phenomena; interface boundary conditions; filling processes; injection molding; volume of fluid method; interface boundary conditions; advection-schemes; up-wind-schemes (54 pages, 2002)

35. M. Günther, A. Klar, T. Materne, R. Wegener

Multivalued fundamental diagrams and stop and go waves for continuum traffic equationsKeywords: traffic flow, macroscopic equations, kinetic derivation, multivalued fundamental diagram, stop and go waves, phase transitions (25 pages, 2002)

36. S. Feldmann, P. Lang, D. Prätzel-Wolters

Parameter influence on the zeros of net-work determinantsKeywords: Networks, Equicofactor matrix polynomials, Realization theory, Matrix perturbation theory (30 pages, 2002)

37. K. Koch, J. Ohser, K. Schladitz

Spectral theory for random closed sets and estimating the covariance via frequency spaceKeywords: Random set, Bartlett spectrum, fast Fourier transform, power spectrum (28 pages, 2002)

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Multi-reflection boundary conditions for lattice Boltzmann modelsKeywords: lattice Boltzmann equation, boudary condis-tions, bounce-back rule, Navier-Stokes equation (72 pages, 2002)

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Elementare FinanzmathematikKeywords: Finanzmathematik, Aktien, Optionen, Port-folio-Optimierung, Börse, Lehrerweiterbildung, Mathe-matikunterricht (98 pages, 2002)

40. J. Kallrath, M. C. Müller, S. Nickel

Batch Presorting Problems: Models and Complexity ResultsKeywords: Complexity theory, Integer programming, Assigment, Logistics (19 pages, 2002)

41. J. Linn

On the frame-invariant description of the phase space of the Folgar-Tucker equation Key words: fiber orientation, Folgar-Tucker equation, in-jection molding (5 pages, 2003)

42. T. Hanne, S. Nickel

A Multi-Objective Evolutionary Algorithm for Scheduling and Inspection Planning in Software Development Projects Key words: multiple objective programming, project management and scheduling, software development, evolutionary algorithms, efficient set (29 pages, 2003)

43. T. Bortfeld , K.-H. Küfer, M. Monz, A. Scherrer, C. Thieke, H. Trinkaus

Intensity-Modulated Radiotherapy - A Large Scale Multi-Criteria Programming Problem Keywords: multiple criteria optimization, representa-tive systems of Pareto solutions, adaptive triangulation, clustering and disaggregation techniques, visualization of Pareto solutions, medical physics, external beam ra-diotherapy planning, intensity modulated radiotherapy (31 pages, 2003)

44. T. Halfmann, T. Wichmann

Overview of Symbolic Methods in Industrial Analog Circuit Design Keywords: CAD, automated analog circuit design, sym-bolic analysis, computer algebra, behavioral modeling, system simulation, circuit sizing, macro modeling, dif-ferential-algebraic equations, index (17 pages, 2003)

45. S. E. Mikhailov, J. Orlik

Asymptotic Homogenisation in Strength and Fatigue Durability Analysis of CompositesKeywords: multiscale structures, asymptotic homogeni-zation, strength, fatigue, singularity, non-local condi-tions (14 pages, 2003)

46. P. Domínguez-Marín, P. Hansen, N. Mladenovi c , S. Nickel

Heuristic Procedures for Solving the Discrete Ordered Median ProblemKeywords: genetic algorithms, variable neighborhood search, discrete facility location (31 pages, 2003)

47. N. Boland, P. Domínguez-Marín, S. Nickel, J. Puerto

Exact Procedures for Solving the Discrete Ordered Median ProblemKeywords: discrete location, Integer programming (41 pages, 2003)

48. S. Feldmann, P. Lang

Padé-like reduction of stable discrete linear systems preserving their stability Keywords: Discrete linear systems, model reduction, stability, Hankel matrix, Stein equation (16 pages, 2003)

49. J. Kallrath, S. Nickel

A Polynomial Case of the Batch Presorting Problem Keywords: batch presorting problem, online optimiza-tion, competetive analysis, polynomial algorithms, lo-gistics (17 pages, 2003)

50. T. Hanne, H. L. Trinkaus

knowCube for MCDM – Visual and Interactive Support for Multicriteria Decision MakingKey words: Multicriteria decision making, knowledge management, decision support systems, visual interfac-es, interactive navigation, real-life applications. (26 pages, 2003)

51. O. Iliev, V. Laptev

On Numerical Simulation of Flow Through Oil FiltersKeywords: oil filters, coupled flow in plain and porous media, Navier-Stokes, Brinkman, numerical simulation (8 pages, 2003)

52. W. Dörfler, O. Iliev, D. Stoyanov, D. Vassileva

On a Multigrid Adaptive Refinement Solver for Saturated Non-Newtonian Flow in Porous MediaKeywords: Nonlinear multigrid, adaptive refinement, non-Newtonian flow in porous media (17 pages, 2003)

53. S. Kruse

On the Pricing of Forward Starting Options under Stochastic Volatility Keywords: Option pricing, forward starting options, Heston model, stochastic volatility, cliquet options (11 pages, 2003)

54. O. Iliev, D. Stoyanov

Multigrid – adaptive local refinement solver for incompressible flowsKeywords: Navier-Stokes equations, incompressible flow, projection-type splitting, SIMPLE, multigrid meth-ods, adaptive local refinement, lid-driven flow in a cav-ity (37 pages, 2003)

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The multiphase flow and heat transfer in porous media Keywords: Two-phase flow in porous media, various formulations, global pressure, multiphase mixture mod-el, numerical simulation (30 pages, 2003)

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Blocked neural networks for knowledge extraction in the software development processKeywords: Blocked Neural Networks, Nonlinear Regres-sion, Knowledge Extraction, Code Inspection (21 pages, 2003)

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Diagnosis aiding in Regulation Thermography using Fuzzy Logic Keywords: fuzzy logic,knowledge representation, ex-pert system (22 pages, 2003)

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Largescale models for dynamic multi-commodity capacitated facility location Keywords: supply chain management, strategic planning, dynamic location, modeling (40 pages, 2003)

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Homogenization for contact problems with periodically rough surfacesKeywords: asymptotic homogenization, contact problems (28 pages, 2004)

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IMRT planning on adaptive volume struc-tures – a significant advance of computa-tional complexityKeywords: Intensity-modulated radiation therapy (IMRT), inverse treatment planning, adaptive volume structures, hierarchical clustering, local refinement, adaptive clustering, convex programming, mesh gen-eration, multi-grid methods (24 pages, 2004)

61. D. Kehrwald

Parallel lattice Boltzmann simulation of complex flowsKeywords: Lattice Boltzmann methods, parallel com-puting, microstructure simulation, virtual material de-sign, pseudo-plastic fluids, liquid composite moulding (12 pages, 2004)

62. O. Iliev, J. Linn, M. Moog, D. Niedziela, V. Starikovicius

On the Performance of Certain Iterative Solvers for Coupled Systems Arising in Discretization of Non-Newtonian Flow EquationsKeywords: Performance of iterative solvers, Precondi-tioners, Non-Newtonian flow (17 pages, 2004)

63. R. Ciegis, O. Iliev, S. Rief, K. Steiner

On Modelling and Simulation of Different Regimes for Liquid Polymer Moulding Keywords: Liquid Polymer Moulding, Modelling, Simu-lation, Infiltration, Front Propagation, non-Newtonian flow in porous media (43 pages, 2004)

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Simulating Human Resources in Software Development ProcessesKeywords: Human resource modeling, software pro-cess, productivity, human factors, learning curve (14 pages, 2004)

65. O. Iliev, A. Mikelic, P. Popov

Fluid structure interaction problems in de-formable porous media: Toward permeabil-ity of deformable porous media Keywords: fluid-structure interaction, deformable po-rous media, upscaling, linear elasticity, stokes, finite elements (28 pages, 2004)

66. F. Gaspar, O. Iliev, F. Lisbona, A. Naumovich, P. Vabishchevich

On numerical solution of 1-D poroelasticity equations in a multilayered domainKeywords: poroelasticity, multilayered material, finite volume discretization, MAC type grid (41 pages, 2004)

67. J. Ohser, K. Schladitz, K. Koch, M. Nöthe

Diffraction by image processing and its ap-plication in materials scienceKeywords: porous microstructure, image analysis, ran-dom set, fast Fourier transform, power spectrum, Bartlett spectrum (13 pages, 2004)

68. H. Neunzert

Mathematics as a Technology: Challenges for the next 10 YearsKeywords: applied mathematics, technology, modelling, simulation, visualization, optimization, glass processing, spinning processes, fiber-fluid interaction, trubulence effects, topological optimization, multicriteria optimiza-tion, Uncertainty and Risk, financial mathematics, Mal-liavin calculus, Monte-Carlo methods, virtual material design, filtration, bio-informatics, system biology (29 pages, 2004)

69. R. Ewing, O. Iliev, R. Lazarov, A. Naumovich

On convergence of certain finite difference discretizations for 1D poroelasticity inter-face problems Keywords: poroelasticity, multilayered material, finite volume discretizations, MAC type grid, error estimates (26 pages,2004)

70. W. Dörfler, O. Iliev, D. Stoyanov, D. Vassileva

On Efficient Simulation of Non-Newto-nian Flow in Saturated Porous Media with a Multigrid Adaptive Refinement Solver Keywords: Nonlinear multigrid, adaptive renement, non-Newtonian in porous media (25 pages, 2004)

71. J. Kalcsics, S. Nickel, M. Schröder

Towards a Unified Territory Design Ap-proach – Applications, Algorithms and GIS Integration Keywords: territory desgin, political districting, sales territory alignment, optimization algorithms, Geo-graphical Information Systems (40 pages, 2005)

72. K. Schladitz, S. Peters, D. Reinel-Bitzer, A. Wiegmann, J. Ohser

Design of acoustic trim based on geometric modeling and flow simulation for non-woven Keywords: random system of fibers, Poisson line process, flow resistivity, acoustic absorption, Lattice-Boltzmann method, non-woven (21 pages, 2005)

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Explicit Jump Immersed Interface Method for virtual material design of the effective elastic moduli of composite materials Keywords: virtual material design, explicit jump im-mersed interface method, effective elastic moduli, composite materials (22 pages, 2005)

74. T. Hanne

Eine Übersicht zum Scheduling von BaustellenKeywords: Projektplanung, Scheduling, Bauplanung, Bauindustrie (32 pages, 2005)

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The Folgar-Tucker Model as a Differetial Algebraic System for Fiber Orientation Calculation Keywords: fiber orientation, Folgar–Tucker model, in-variants, algebraic constraints, phase space, trace sta-bility (15 pages, 2005)

76. M. Speckert, K. Dreßler, H. Mauch, A. Lion, G. J. Wierda

Simulation eines neuartigen Prüfsystems für Achserprobungen durch MKS-Model-lierung einschließlich Regelung Keywords: virtual test rig, suspension testing, multi-body simulation, modeling hexapod test rig, optimiza-tion of test rig configuration (20 pages, 2005)

77. K.-H. Küfer, M. Monz, A. Scherrer, P. Süss, F. Alonso, A. S. A. Sultan, Th. Bortfeld, D. Craft, Chr. Thieke

Multicriteria optimization in intensity mod-ulated radiotherapy planning Keywords: multicriteria optimization, extreme solutions, real-time decision making, adaptive approximation schemes, clustering methods, IMRT planning, reverse engineering (51 pages, 2005)

78. S. Amstutz, H. Andrä

A new algorithm for topology optimization using a level-set methodKeywords: shape optimization, topology optimization, topological sensitivity, level-set (22 pages, 2005)

79. N. Ettrich

Generation of surface elevation models for urban drainage simulationKeywords: Flooding, simulation, urban elevation models, laser scanning (22 pages, 2005)

80. H. Andrä, J. Linn, I. Matei, I. Shklyar, K. Steiner, E. Teichmann

OPTCAST – Entwicklung adäquater Struk-turoptimierungsverfahren für Gießereien Technischer Bericht (KURZFASSUNG)Keywords: Topologieoptimierung, Level-Set-Methode, Gießprozesssimulation, Gießtechnische Restriktionen, CAE-Kette zur Strukturoptimierung (77 pages, 2005)

81. N. Marheineke, R. Wegener

Fiber Dynamics in Turbulent Flows Part I: General Modeling Framework Keywords: fiber-fluid interaction; Cosserat rod; turbu-lence modeling; Kolmogorov’s energy spectrum; dou-ble-velocity correlations; differentiable Gaussian fields (20 pages, 2005) Part II: Specific Taylor Drag Keywords: flexible fibers; k-e turbulence model; fi-ber-turbulence interaction scales; air drag; random Gaussian aerodynamic force; white noise; stochastic differential equations; ARMA process (18 pages, 2005)

82. C. H. Lampert, O. Wirjadi

An Optimal Non-Orthogonal Separation of the Anisotropic Gaussian Convolution FilterKeywords: Anisotropic Gaussian filter, linear filtering, ori-entation space, nD image processing, separable filters (25 pages, 2005)

83. H. Andrä, D. Stoyanov

Error indicators in the parallel finite ele-ment solver for linear elasticity DDFEM Keywords: linear elasticity, finite element method, hier-archical shape functions, domain decom-position, par-allel implementation, a posteriori error estimates (21 pages, 2006)

84. M. Schröder, I. Solchenbach

Optimization of Transfer Quality in Regional Public TransitKeywords: public transit, transfer quality, quadratic assignment problem (16 pages, 2006)

85. A. Naumovich, F. J. Gaspar

On a multigrid solver for the three-dimen-sional Biot poroelasticity system in multi-layered domains Keywords: poroelasticity, interface problem, multigrid, operator-dependent prolongation (11 pages, 2006)

86. S. Panda, R. Wegener, N. Marheineke

Slender Body Theory for the Dynamics of Curved Viscous Fibers Keywords: curved viscous fibers; fluid dynamics; Navier-Stokes equations; free boundary value problem; asymp-totic expansions; slender body theory (14 pages, 2006)

87. E. Ivanov, H. Andrä, A. Kudryavtsev

Domain Decomposition Approach for Auto-matic Parallel Generation of Tetrahedral GridsKey words: Grid Generation, Unstructured Grid, Delau-nay Triangulation, Parallel Programming, Domain De-composition, Load Balancing (18 pages, 2006)

88. S. Tiwari, S. Antonov, D. Hietel, J. Kuhnert, R. Wegener

A Meshfree Method for Simulations of Inter-actions between Fluids and Flexible StructuresKey words: Meshfree Method, FPM, Fluid Structure In-teraction, Sheet of Paper, Dynamical Coupling (16 pages, 2006)

89. R. Ciegis , O. Iliev, V. Starikovicius, K. Steiner

Numerical Algorithms for Solving Problems of Multiphase Flows in Porous MediaKeywords: nonlinear algorithms, finite-volume method, software tools, porous media, flows (16 pages, 2006)

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On 3D Numerical Simulations of Viscoelastic FluidsKeywords: non-Newtonian fluids, anisotropic viscosity, integral constitutive equation (18 pages, 2006)

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Application of general semi-infinite Pro-gramming to Lapidary Cutting ProblemsKeywords: large scale optimization, nonlinear program-ming, general semi-infinite optimization, design center-ing, clustering (26 pages, 2006)

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Space-Time Finite Element Approximation and Numerical Solution of Hereditary Lin-ear Viscoelasticity ProblemsKeywords: hereditary viscoelasticity; kern approxima-tion by interpolation; space-time finite element approx-imation, stability and a priori estimate (24 pages, 2006)

93. V. Rutka, A. Wiegmann, H. Andrä

EJIIM for Calculation of effective Elastic Moduli in 3D Linear ElasticityKeywords: Elliptic PDE, linear elasticity, irregular do-main, finite differences, fast solvers, effective elas-tic moduli (24 pages, 2006)

94. A. Wiegmann, A. Zemitis

EJ-HEAT: A Fast Explicit Jump Harmonic Averaging Solver for the Effective Heat Conductivity of Composite Materials Keywords: Stationary heat equation, effective thermal conductivity, explicit jump, discontinuous coefficients, virtual material design, microstructure simulation, EJ-HEAT (21 pages, 2006)

95. A. Naumovich

On a finite volume discretization of the three-dimensional Biot poroelasticity sys-tem in multilayered domainsKeywords: Biot poroelasticity system, interface prob-lems, finite volume discretization, finite difference method. (21 pages, 2006)

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A unified approach to Credit Default Swaption and Constant Maturity Credit De-fault Swap valuationKeywords: LIBOR market model, credit risk, Credit De-fault Swaption, Constant Maturity Credit Default Swap-method. (43 pages, 2006)

97. A. Dreyer

Interval Methods for Analog CirciutsKeywords: interval arithmetic, analog circuits, tolerance analysis, parametric linear systems, frequency response, symbolic analysis, CAD, computer algebra (36 pages, 2006)

98. N. Weigel, S. Weihe, G. Bitsch, K. Dreßler

Usage of Simulation for Design and Optimi-zation of TestingKeywords: Vehicle test rigs, MBS, control, hydraulics, testing philosophy (14 pages, 2006)

99. H. Lang, G. Bitsch, K. Dreßler, M. Speckert

Comparison of the solutions of the elastic and elastoplastic boundary value problemsKeywords: Elastic BVP, elastoplastic BVP, variational inequalities, rate-independency, hysteresis, linear kine-matic hardening, stop- and play-operator (21 pages, 2006)

100. M. Speckert, K. Dreßler, H. Mauch

MBS Simulation of a hexapod based sus-pension test rigKeywords: Test rig, MBS simulation, suspension, hydraulics, controlling, design optimization (12 pages, 2006)

101. S. Azizi Sultan, K.-H. Küfer

A dynamic algorithm for beam orientations in multicriteria IMRT planningKeywords: radiotherapy planning, beam orientation optimization, dynamic approach, evolutionary algo-rithm, global optimization (14 pages, 2006)

102. T. Götz, A. Klar, N. Marheineke, R. Wegener

A Stochastic Model for the Fiber Lay-down Process in the Nonwoven ProductionKeywords: fiber dynamics, stochastic Hamiltonian sys-tem, stochastic averaging (17 pages, 2006)

103. Ph. Süss, K.-H. Küfer

Balancing control and simplicity: a variable aggregation method in intensity modulated radiation therapy planning Keywords: IMRT planning, variable aggregation, clus-tering methods (22 pages, 2006)

104. A. Beaudry, G. Laporte, T. Melo, S. Nickel

Dynamic transportation of patients in hos-pitals Keywords: in-house hospital transportation, dial-a-ride, dynamic mode, tabu search (37 pages, 2006)

105. Th. Hanne

Applying multiobjective evolutionary algo-rithms in industrial projects Keywords: multiobjective evolutionary algorithms, dis-crete optimization, continuous optimization, electronic circuit design, semi-infinite programming, scheduling

(18 pages, 2006)

106. J. Franke, S. Halim

Wild bootstrap tests for comparing signals and images Keywords: wild bootstrap test, texture classification, textile quality control, defect detection, kernel estimate, nonparametric regression

(13 pages, 2007

107. Z. Drezner, S. Nickel

Solving the ordered one-median problem in the plane Keywords: planar location, global optimization, ordered median, big triangle small triangle method, bounds, numerical experiments

(21 pages, 2007)

108. Th. Götz, A. Klar, A. Unterreiter, R. We gener

Numerical evidance for the non-existing of solutions of the equations desribing rota-tional fiber spinningKeywords: rotational fiber spinning, viscous fibers, boundary value problem, existence of solutions (11 pages, 2007)

109. Ph. Süss, K.-H. Küfer

Smooth intensity maps and the Bortfeld-Boyer sequencerKeywords: probabilistic analysis, intensity modulated radiotherapy treatment (IMRT), IMRT plan application, step-and-shoot sequencing (8 pages, 2007)

110. E. Ivanov, O. Gluchshenko, H. Andrä, A. Ku-dryavtsev

Parallel software tool for decomposing and meshing of 3d structuresKeywords: a-priori domain decomposition, unstruc-tured grid, Delaunay mesh generation (14 pages, 2007)

111. O. Iliev, R. Lazarov, J. Willems

Numerical study of two-grid precondition-ers for 1d elliptic problems with highly os-cillating discontinuous coefficients Keywords: two-grid algorithm, oscillating coefficients, preconditioner (20 pages, 2007)

112. L. Bonilla, T. Götz, A. Klar, N. Marheineke, R. Wegener

Hydrodynamic limit of the Fokker-Planck-equation describing fiber lay-down pro-cessesKeywords: stochastic dierential equations, Fokker-Planck equation, asymptotic expansion, Ornstein-Uhlenbeck process (17 pages, 2007)

113. S. Rief

Modeling and simulation of the pressing section of a paper machine Keywords: paper machine, computational fluid dynam-ics, porous media (41 pages, 2007)

114. R. Ciegis, O. Iliev, Z. Lakdawala

On parallel numerical algorithms for simu-lating industrial filtration problems Keywords: Navier-Stokes-Brinkmann equations, finite volume discretization method, SIMPLE, par-allel computing, data decomposition method (24 pages, 2007)

115. N. Marheineke, R. Wegener

Dynamics of curved viscous fibers with sur-face tension Keywords: Slender body theory, curved viscous bers with surface tension, free boundary value problem (25 pages, 2007)

Status quo: June 2007

116. S. Feth, J. Franke, M. Speckert

Resampling-Methoden zur mse-Korrektur und Anwendungen in der Betriebsfestigkeit Keywords: Weibull, Bootstrap, Maximum-Likelihood, Betriebsfestigkeit

(16 pages, 2007)

Status quo: June 2007