Resonatormoden Der Resonator aus zwei Spiegeln sorgt nicht ......(das Verhältnis von L zu beträgt...

Experimentalphysik III TU Dortmund WS2013/14 Shaukat Khan @ TU - Dortmund . de Kapitel 2

1

Resonatormoden

Der Resonator aus zwei Spiegeln sorgt nicht nur für den mehrfachen Durchlauf des Lichts durch das aktive

Medium, sondern konzentriert die Intensität auch auf bestimmte Moden, die von der Geometrie des Oszillators

abhängen. In der Regel sind TEM00q-Moden erwünscht (transversal-elektromagnetische Moden mit 0 Knoten

des elektrischen Felds in x-Richtung, 0 Knoten in y-Richtung und q Knoten in z-Richtung, d.h. entlang der

Strahlachse. Der Spiegelabstand ist ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge:

L

cq

cqqL

222

Die Moden bilden ein dichtes Spektrum

(das Verhältnis von L zu beträgt typisch 106)

Das transversale Strahlprofil zwischen zwei gekrümmten Spiegel ist Gauß-förmig und bildet eine Strahltaille:

Die charakteristische Länge zR heißt Rayleigh-Länge und hängt von der Größe der Taille w0 und der Wellenlänge ab.

2

02

0 mit/12w

zzzwzw RR

longitudinale Moden (Wikipedia, Dr. W. Geitner) transversale Moden für rechteckige Spiegel


2

Lasertypen

nach Pulsform

- Dauerstrich (cw)

- gepulst, Kurzpulslaser

nach Bauform

- Gas (geschlossen oder Gasstrom)

- Flüssigkeit (geschlossen oder Gasstrom)

- Kristall

- Laserdioden

- Scheibenlaser

- Faserlaser

nach Wellenlänge

- UV-Laser (Excimer)

- sichtbares Licht (z.B. HeNe)

- IR-Laser (Er:Glas)

nach Lasermedium

- Festkörper (Ti:Saphir, Nd:YAG,...)

- Flüssigkeit (Farbstofflaser)

- Gaslaser (CO2, HeNe)

Prominente Beispiele

CO2-Laser = 10 mm

Gaslaser für hohe Intensitäten

Er:Glas-Laser = 1540 nm

Faserlaser für die Telekommunikation,

kurze Pulse möglich (100 fs)

Nd:Glas-Laser = 1064 nm

hohe Intensität, Pulse im ns-Bereich,

oft frequenz-verdoppelt (532 nm)

z.B. zum Pumpen von Ti:Saphir

Yb:Glas-Laser = 1030 nm

ähnlich wie Nd:Glas

Ti:Saphir-Laser ≈ 800 nm

Standard-Kurzpulslaser (20 fs)

AlGaAs-Laser = 785 nm

Laserdiode z.B. für CD/DVD

HeNe-Laser = 632 nm

cw-Gaslaser, typischer Justierlaser

InGaN-Laser = 405 nm

Laserdiode z.B. für BlueRay

Excimer-Laser (Ar/Kr) = 193/243 nm

Gaslaser für UV-Licht


3

Erzeugung ultrakurzer Lichtpulse

- erfordert sehr "breitbandige" Laser,

Unschärferelation bzw. "Zeit-Bandbreiten-Produkt"

- in der Regel Titan:Saphir-Laser mit 800 nm Wellenlänge (1 Periode = 2,67 fs)

gepumpt mit grünem Licht bei 532 nm (frequenz-verdoppelter Nd:Glas-Laser)

- Pulsdauern < 10 fs möglich ("few-cycle"-Pulse)

- Modenkopplung: durch Addition longitudinaler Moden mit fester Phasenbeziehung

entsteht ein sehr kurzer Puls durch konstruktive Interferenz.

- die Verstärkung kurzer Laserpulse ist aufgrund der hohen Spitzenintensität problematisch,

Lösung: chirped pulse amplification CPA (Mourou, Strickland 1985)

2/12/ ttE

L

ctqAA

q

q2

2cos 0


Berechnung des Spektrums - zwei Ansätze

Planck: Moden im Hohlraum, Wahrscheinlichkeiten p durch Boltzmann-Faktoren gegeben

Einstein: Gleichgewicht zwischen Absorption, spontaner und stimulierter Emission

Beide Ansätze kommen zum selben Ergebnis:

4

2.22 Zusammenfassung: Grundlagen der Quantenmechanik

Stefan-Boltzmann-Gesetz (1873)

von der Fläche A emittierte Leistung 4

42

8 TAKm

W1067,5P

Wiensches Verschiebungsgesetz (1896)

Wellenlänge des spektralen Maximums T

Kμm 2898max

d

kTh

h

cdT

1)/exp(

8,

3

3

Plancksche Strahlungsformel

TkhnpphnWn

/exp0

2.22.1 Strahlung eines "schwarzen Körpers"

dnTndnT EE ,, 0


5

2.22.2 Weitere Hinweise auf Lichtquanten (Photonen)

aWhUeE 0max

a) Der Photoeffekt

Energie der emittierten Elektronen hängt nicht von der Lichtintensität ab, sondern von der Frequenz/Wellenlänge

b) Der Compton-Effekt

Licht streut an (quasi freien) Elektronen wie Teilchen mit einer

bestimmten Energie und Impuls

2

0

2

0' cmcmhEhh kin Energiesatz

Impulssatz wmkk

0

Compton-Streuformel

cm

hcc

0

2

2sin2

Compton-Wellenlänge:

Änderung der Wellenlänge bei Streuung unter 90 Grad

c) Detektion von Licht mit einem Photomultiplier

Abschwächung der Lichtquelle: keine gleichmäßige Reduktion der Signalstärke,

sondern einzelne Signale, die schwächer werden.

Andererseits: Beugungserscheinungen sprechen für Wellencharakter des Lichts


Photonenenergie

Photonenimpuls

Photonen sind masselos, aber eine formale "Masse" zeigt sich beim Einfluss der Gravitation

Lichtintensität im Wellen- und Teilchenbild

Ebenso kann man einem "Teilchen", das eine Masse hat, (z.B. Elektron) auch Wellencharakter zuschreiben

6

2.22.3 Der Welle-Teilchen-Dualismus

chhE

kpkc

hp

22 c

h

c

Em

Je nach Experiment zeigt sich der Wellen- oder Teilchencharakter des Lichts

2

2

0m

W IhcnIEcI

p

h

kkp

2

De-Broglie-Wellenlänge

/),( xptEixkti eCeCtx Materiewellen

vdk

dv

v

kv

g

ph

2

vvv gph Unterschied zu Lichtwellen: Dispersion auch im Vakuum

Teilchen entspricht einem "Wellenpaket"

Phasengeschwindigkeit

Gruppengeschwindigkeit


7

2.22.4 Wellenfunktion

/00),( xptEixkti eCeCtx

x

dxtxdxtx 1),(mit),(22

Kopenhagener Deutung

ist die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen im Intervall [x, x+dx] zu finden. Der genaue Ort ist nicht vorhersagbar und steht

erst dann fest, wenn eine Messung durchgeführt wird, ebenso wie man den Zerfall eines bestimmten radioaktiven

Atomkerns nicht vorhersagen kann. Skurriles Beispiel:

Schrödingers Katze: In einem geschlossenen Raum befindet sich eine Katze mit einem Mechanismus, der durch einen

quantenmechanischen Prozess entscheidet, ob die Katze stirbt (radioaktiver Zerfall löst die Zerstörung einer Giftampulle

aus). Solange niemand nachschaut, ist die Katze demnach in einem tot/lebendig-Überlagerungszustand.

dkekCtx txki

),(

Spektrum und Wellenfunktion sind durch Fourier-Transformation verknüpft, d.h.

schmales Spektrum, kleine Impulsunschärfe breite Verteilung in x, große Ortsunschärfe

breites Spektrum, große Impulsunschärfe schmale Verteilung in x, kleine Ortsunschärfe

daraus ergibt sich die Heisenbergsche Unschärferelation

Eine Wellenfunktion enthält normalerweise verschiedene Frequenzen

hpxpx xx oder

12

1 kxkx

Verschiedene Formulierungen je nach Definition der Breite

( bedeutet Standardabweichung)

tE ebenso gilt


Youngsches Doppelspalt-Experiment mit Teilchen

Interferenzmuster wie bei Licht, wenn nicht gefragt wird, durch welchen Spalt das Teilchen geht

Wenn sich das Teilchen für einen Spalt "entscheiden" muss, verschwindet die Interferenz

8

2

21

2 PI

2

2

2

121 PPPI

2.22.5 Operatoren und Erwartungswerte

1*2

dxdx ii

Wellenfunktionen entsprechen Vektoron im Hilbert-Raum

AdxAAx

ˆ*

normierte Wellenfunktion

Erwartungswert

Wenn , dann ist A ein Eigenwert und eine Eigenfunktion zum Operator Â AA

Impulsoperator

Operatoren "holen eine bestimmte Größe aus der Wellenfunktion heraus", z.B.

ipt

iE

ˆ

Energieoperator


9

2.22.6 Vertauschungsrelationen

ipxixppx xxxˆ,ˆˆˆˆˆ Kommutator

Orts- und Impulsoperator "vertauschen nicht", d.h. der Kommutator ist ungleich 0. Solche Größen unterliegen

einer Unschärferelation. Ist der Kommutator gleich 0, können die entsprechenden Größen gleichzeitig genau

gemessen werden.

iEt ˆ,ˆebenso

2.22.7 Das Bohrsche Atommodell

Experimentelle Befunde:

Existenz des Atomkerns (Rutherford)

Absorptions/Emissionsspektren, Rydberg-Formel

Franck-Hertz-Versuch (Elektronen in Hg-Dampf)

2

2

2

1

11

nnR

e

e

e mmm

mm

r

eZ

r

v

Kern

Kern

2

2

0

2

4

1m

m

Zentripetalkraft = Coulomb-Kraft (m: reduzierte Masse)

entweder: Bahnumfang = ganzahliges Vielfaches der De-Broglie-Wellenlänge

oder: Bahndrehimpuls = ganzzahliges Vielfaches von ħ

vhnnr m /2

nvrL m

Beides führt zu:

m 10292,5 11

2

0

2

0

m

e

ha

2

2

2

2

22

0

4

8 n

ZR

n

Z

h

eE

m

Bohrscher Radius diskrete Energieniveaus

oder

emR mfür eV 13,6


10

2.22.8 Die Schrödinger-Gleichung

2

2

2

2

2

22

22

2

22

,2

ˆmitˆ,2

zyx

txVm

HHt

itxVxmt

i

Hamilton-Operator

)()()()(

2

)()(

2

22

xExxVx

x

m

tEt

ti

Zeitunabhängiges Potenzial:

ti

nnnextx

)(),()()(ˆ xExH

Lösung:

(nicht-relativistisch)

Beispiel: unendlich hoher Potenzialtopf

- unterstes Energieniveau nicht null

- Zustände orthogonal und vollständig

3 ,2 ,1

22sin

2),( 2

2

2222

n

nmam

kEex

a

n

atx n

n

ti

n

mnnm xx )()(

1

sin2

)(n

n xa

nc

axf

n

n

n EcE 2

Beispiel: endlich hoher Potenzialtopf

- gebundene und ungebundene Zustände

- numerische Lösungen, sin/cos-förmige Wellenfunktion dringt in die Wände ein, klingt dort exponentiell ab

Beispiel: Potenzialstufe, Barriere ...

- Tunneleffekt

Beispiel: Harmonischer Oszillator

- Hermitesche Polynome (H0(a) = 1)

2

2

1

)(a

ii eaH

2 ,1 ,0 2/1 nnEn

äquidistante Energieniveaus


11

xki

xx

xkixki

eEx

eDeCx

eBeAx

)( III)

)( II)

)( I)

III

II

I

x

a

x

aaa

xx

)()()()(

)0()0()0()0(

IIIIIIIIII

IIIIII

2.22.9 Der Tunnel-Effekt

Anschluss: stetig und differenzierbar

)(21

0

2 EVmeT a

Transmission:

dxxp

exp

Cx

)(1

)()( WKB-Näherung: wenn Potenzial ortsabhängig, aber ändert sich nur langsam

Das Integral geteilt durch ħ ersetzt k∙x,

wenn V nicht konstant ist.

Beispiel: Alpha-Zerfall von Atomkernen

Transmission

fm

1 485,1undMeV 980,1mit 21121 KKrZK

E

ZK

rdrpeTr

ˆ)ˆ(1

mit0

2

Gamov-Faktor

Geiger-Nuttall-Regel: Je höher die Energie,

desto kürzer die Halbwertzeit

21ln aE

a


2

2

2

2

2

222

2),,(

223 ,2 ,1sinsinsin,,

),,(sonst,000für0),,(

c

n

b

n

a

n

mnnnE

cbaCBAnz

cnCy

bnBx

anAzyx

zyxVczbyaxzyxV

zyxzyx

izyx

12

Energieniveaus können "entartet" sein, d.h. für verschiedene

Quantenzahlen ist der Energie-Eigenwert gleich

2.22.10 Schrödinger-Gleichung in 3 Dimensionen

Drei-dimensionaler unendlich hoher Kasten

cos

sinsin

cossin

rz

ry

rx

)/(tan

)/(cos

1

2221

222

xy

zyxz

zyxr

Laplace-Operator in Kugelkoordinaten

2

2

222

2

2 sin

1sin

sin

11

rrrr

rr

(Herleitung sehr umständlich)


13

2.22.11 Das Wasserstoff-Atom

0)(2

),,(2

rVEr

m

)()(),,( rRrProduktansatz

Schrödinger-Gleichung mit Laplace-Operator in Kugelkoordinaten

2 ,1 ,0 ,1,2mit2

1 me mi

magnetische Quantenzahl

ll

lll

m

lm xdx

d

lxPxPlmlPA 1

!2

1)()(mit)(cos)( 20

Drehimpuls-Quantenzahl Legendre-Polynome

m

m

l

m

l PY cos),(

0

12

1

1 /20 narLerrR l

ln

an

r

l

nl

Hauptquantenzahl n

Laguerre-Polynome

Kugelflächenfunktionen

2

2

22

0

42

8 n

ZR

nh

eZEn

mEnergieniveaus

nl

lml

21

0

12 nln

l

entartete Zustände


14

,/22

!12

!120

12

1

0

3

3

0

0 m

l

l

ln

l

an

r

nlm YnarLan

re

nn

ln

na

Normierung

(abhängig von n, l)

radiale Abhängigkeit

mit Laguerre-Polynomen

(abhängig von n, l)

Winkelabhängigkeit mit

Kugelflächenfunktionen

(abhängig von l, m)

Gesamtwellenfunktion

2.22.12 Drehimpuls

T

J 10274,9

2

24

e

Bm

e m

Normaler Zeeman-Effekt: Aufspaltung im Magnetfeld

BmBE Bepot mm

mL

LLm

LLL

z

L

)1(

Bohrsches Magneton


15

2.22.13 Korrekturen des Wasserstoff-Spektrums

Energieniveaus gemäß dem Bohrschen Atommodell in der Größenordnung von

a) Feinstruktur (relativistischer Effekt und Spin-Bahn-Kopplung)

b) Lamb-Verschiebung (Quantenelektrodynamik, Vakuumfluktuationen)

c) Hyperfeinstruktur (Effekte des Kerns: el./mag. Moment, Masse, Volumen) )/(24

25

24

22

pe mmcm

cm

cm

cm

137

1007297,0

4 0

2

c

e

Feinstruktur-Konstante

Stern-Gerlach-Experiment

Elektronen haben einen

inneren Drehimpuls ("Spin")

32

1

2

3

2

1

2

1)1( ssssmsss s

20023,2mitanalog sB

ssB

l gsgl

mm

mm

sog. Landé-Faktor ungefähr (aber nicht genau) 2

Einstein-de-Haas-Experiment

Messung des gyromagnetischen Verhältnisses S

M

N

N

ss

ss

s

2

2 mm


16

212121, rrrrrr abba

212121, rrrrrr abba

Bosonen

Fermionen

symmetrische Linearkombination, Teilchen mit ganzzahligem Spin

antisymmetrische Linearkombination, Teilchen mit halbzahligem Spin

2/10 1

1 1

1 1

2/10 0

sr

12210

2

2121211

2

211

2 1

4,,,

2,

2 rr

Z

r

ZeErrErrErrrr potpot

m

m

2.22.14 Das Helium-Atom

Gesamtwellenfunktion

Triplett (symmetrisch)

Betrachte zwei ununterscheidbare Teilchen, z.B. Elektronen im He-Atom, in zwei Zuständen a, b

Singulett (antisymmetrisch)

Ortswellenfkt. ∙Spinwellenftk.

Zwei Fermionen können

nicht gleichzeitig im selben

Quantenzustand sein

Schrödinger-Gleichung für zwei Elektronen

Lösung mit Näherungen, z.B. 1-Teilchen-Schrödinger-Gleichung mit reduzierter Kernladung (Abschirmung)

oder zwei Elektronen auf gegenüberliegenden Positionen (s. Übungsblatt 7)


17

2.22.15 Das Periodensystem der Elemente

Elektronen"schalen"

n = 1: K-Schale

n = 2: L-Schale

n = 3: M-Schale

n = 4: N-Schale usw.

Die Radialwellenfunktion hängt auch von l ab. Mit (n, l) bezeichnete Zustände nennt man Unterschalen. Für jede

Schale gibt es n Unterschalen, da l = 0 ... n-1, und 2·(2·l+1) Zustände pro Unterschale.

Mit zunehmender Ordnungszahl Z (Protonenzahl, Kernladungszahl) werden die Unterschalen in folgender

Reihenfolge aufgefüllt:

1s (1H bis 2He)

2s (3Li bis 4Be)

2p (5B bis 10Ne)

3s (11Na bis 12Mg)

3p (13Al bis 18Ar)

4s (19K bis 20Ca)

3d (21Sc bis 30Zn)

4p (31Ga bis 36Kr)

5s (37Rb bis 38Sr)

4d (39Y bis 48Cd)

5p (49In bis 54Xe)

Zweite Hundsche Regel: Im Grundzustand hat der Gesamtspin den größtmöglichen Wert, die

Elektronenspins stehen also möglichst parallel.

Erste Hundsche Regel: Volle Schalen und Unterschalen haben den Gesamtdrehimpuls null.

L-S-Kopplung

j-j-Kopplung i

iiii jJslj

SLJsSlLi

i

i

i

J

S Ln 12 B

S=1/2

↑

C

S=1

↑ ↑

O

S=1

↑↓ ↑ ↑

N

S=3/2

↑ ↑ ↑

Ne

S=0

↑↓ ↑↓ ↑↓

F

S=1/2

↑↓ ↑↓ ↑


18

ki EEh

2.22.16 Angeregte Atome, Emission und Absorption von Strahlung

ikikki

i

kik B

c

hAB

g

gB

3

38

Gleichgewicht zwischen Absorption, spontaner und stimulierter Emission ergibt

zusammen mit der Planckschen Formel:

spontan stimuliert

)(')(

)()()(

0

//

tHHtH

etcetct

itHtEi

bb

tEi

aaba

Für die Betrachtung von Übergängen: zeitabhängiges Potenzial eingeführt

/)(

'tEEi

babaabeHc

ic

zeitliche Ableitung des Koeffizienten

kosinus-förmige Störung angenommen, integriert und quadriert

auf elektrische Dipole angewandt

2

0

0

2

2

2

2

)(

2/)(sin)(

tVctP

ba

bba

0EpVV elbaab

ababaael

el

reMrerep

rep

Übergangsdipolmoment


19

0

1

1

S

L

l

00außer1,0 JJJ

1

0

m

m

Auswahlregeln für Dipolübergänge

für lineare Polarisation

für zirkulare Polarisation

(mehrere Elektronen) gilt streng für für L-S-Kopplung, weil sonst L nicht definiert ist

(mehrere Elektronen) gilt streng für für L-S-Kopplung, weil sonst S nicht definiert ist

(ein Elektron)

2

3

0

3

0

2

3

2abab r

ch

eA

Endergebnis (Fermis goldene Regel)

Anwendungen

- Herleitung der Auswahlregeln (welche Integrale werden null, welche nicht?)

- Ausrechnen des Einstein-Koeffizienten, der Lebensdauer des Zustands und der Linienbreite des Übergangs

tA

aaaeNtN

)0()(a

aA

1Besetzung eines Zustands als Funktion der Zeit 1/e-Lebensdauer

)2/(1/1 aa nat. Linienbreite

2.22.17 Röntgenstrahlung

Quellen

- Röntgenröhre

- Synchrotronstrahlungsquellen

- Freie-Elektronen-Laser

- laser-basierte Quellen

2

2

2

1

11

nnZRh eff

Moseleysches Gesetz Röntgenstrahlung und Materie

- Photoeffekt

- Comptonstreuung

- Paarbildung

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