Rheinisch Westfalische Technische Hochschule

Institut fur Geometrie und Praktische MathematikNumerische Analysis I — WS 2005/06

Prof. Dr. Sebastian Noelle — Dipl. Math. Jorg Peters

Ubungsblatt 7 Abgabe bis Donnerstag, 8.12., 11:45,in den Einwurfkasten

vor Raum 149, Hauptgebaude

Aufgabe 23 (Linearer Ausgleich in verschiedenen Normen)

In der Vorlesung wird das lineare Ausgleichsproblem in der Euklidischen Norm behandelt. Das heißt, daß zueiner gegebenen Matrix A ∈ Rm×n (m ≥ n) und einem Vektor b ∈ Rm ein Vektor x ∈ Rn gesucht wird, so daß

‖Ax− b‖2 = min {‖Ay − b‖2 | y ∈ Rn}

gilt. Die Wahl der Norm hat einen erheblichen Einfluß auf x.

a.) Gegeben sind

A =

111

und b =

b1

b2

b3

mit b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ 0. Beweisen Sie, daß fur den Vektor x, der das Ausgleichsproblem ‖Ax− b‖p = min inder p-Norm lost, folgendes gilt:

p = 1 ⇒ x = b2,p = 2 ⇒ x = (b1 + b2 + b3)/3,p = ∞ ⇒ x = (b1 + b3)/2

b.) Suchen Sie ein lineares Ausgleichsproblem ‖Ax− b‖ = min, in dem A vollen Rang hat, das mehr als eineLosung besitzt.

c.) In der Vorlesung wurde auf geometrische Weise hergeleitet, daß Losungen des Ausgleichsproblems ‖Ax−b‖2 = min Losungen der Normalengleichung AT Ax = AT b sind.

Analytisch kann man eine notwendige Bedingung fur die Losungen des Ausgleichsproblems (in der 2-Norm)gewinnen, indem man den Gradienten von f(x) := ‖Ax − b‖22 Null setzt. Wie lautet die resultierendeBedingung?

(3+1.5+1.5 Punkte)

Aufgabe 24 (Linearer Ausgleich via Normalengleichung)

Zwischen zwei physikalischen Großen T und t wird ein eine funktionale Abhangigkeit vermutet, die durch eineFunktion f ausgedruckt wird, also T = f(t). Zwei verschiedene Modelle legen nahe, daß die Funktion f eine derbeiden Formen

f(t) = f1(t) = α + βt2 oder f(t) = f2(t) = µ + νet

hat. Hierbei sind die Parameter α, β, µ, ν noch zu bestimmen. Um zu entscheiden, welches Modell besserzur Beschreibung des Sachverhalts geeignet ist, wird ein Experiment durchgefuhrt. Dieses liefert die folgendenMeßergebnisse:

t 0.0 0.6 1.1 1.8 2.6 3.0T 0.8 1.1 1.4 2.3 4.4 6.4

a.) Formulieren Sie die beiden linearen Ausgleichsprobleme zur Bestimmung der Parameter α, β bzw. µ, ν.

b.) Losen Sie die beiden Ausgleichsprobleme mit Hilfe der Normalengleichungen.

c.) Welches Modell scheint besser geeignet zu sein?

(2+3+1 Punkte)

Aufgabe 25 (Kondition der Normalengleichung)

Gegeben ist eine Matrix A ∈ Rm×n mit m ≥ n.

a.) Zeigen Sie: Die Spalten von A sind genau dann linear unabhangig, wenn AT A nichtsingular ist.

b.) Wie viele arithmetische Operationen sind hinreichend, um AT A zu berechnen?

c.) Zeigen Sie ausgehend von der Definition der 2-Norm, daß

‖A‖2 = max{|λ| | λ ist Eigenwert von A} und ‖A−1‖2 = 1/ min{|λ| | λ ist Eigenwert von A}

gelten, wenn m = n und A symmetrisch und invertierbar ist.

d.) Zeigen Sie: Ist m = n und A symmetrisch und invertierbar, so gilt κ2(AT A) = (κ2(A))2.

Hinweis zu (c), (d): Verwenden Sie den Spektralsatz, um A in einer Eigenvektorbasis darzustellen.(1+1+3.5+1.5 Punkte)

Aufgabe 26 (Linearer Ausgleich via QR-Zerlegung)

Das Ausmessen eines Quaders liefert fur Lange, Breite und Hohe die Werte 28 cm, 21 cm und 12 cm, fur dieDiagonalen der Seitenflachen 24 cm, 30 cm und 35 cm und schließlich fur die Raumdiagonale 37 cm.

a.) Bestimmen Sie mit Hilfe des linearen Ausgleichs bessere Werte fur Lange, Breite und Hohe des Quaders.Fuhren Sie hierzu neue Variablen ein, um aus den zugrundeliegenden quadratischen Gleichungen linearezu machen. Losen Sie das so gewonnene Ausgleichsproblem mit der QR-Zerlegung.

b.) Wie groß ist die Euklidische Norm des Residuums?

Hinweis: Verwenden Sie Maple oder Matlab, um die QR-Zerlegung zu berechnen. (4+1 Punkte)