Research Collection

Doctoral Thesis

Iterative Lösung und Fehlerabschätzung in derAusgleichsrechnung

Author(s): Läuchli, Peter

Publication Date: 1959

Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000103799

Rights / License: In Copyright - Non-Commercial Use Permitted

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ETH Library

Prom. Nr.2814

Iterative Losung und Fehlerabschatzung

in der Ausgleichsrechnung

VON DER

EIDGENOSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE

IN ZURICH

ZUR ERLANGUXG

DER WtJRDE EINES DOKTORS DER MATHEMATIK

GENEHMIGTE

PROMOTION SARBEIT

VORGELEGIVON

PETER LAUCHLI

DIPL PHYSIKER

von AARAU

Referent: Herr Prof. Dr. E Stiefel

Korreferent: Herr Prof. Dr. F. Kobold

BASEL

Buchdruckerei Birkhauser AG.

195'J

Sonderabdruck aus der

ZEITSCHRIFT FUR ANGEWANDTE MATHEMATIK UND PHYSIK (ZAMP)

Vol. X, Fasc. 3 (1959) bikkhausur verlag baskl Seiten 245-280

Vol X, 1959 245

Iterative Losung und Fehlerabschatzungin der AusgleichsrechnungVon Peter Lauchli, Zurich1)

INH\I TSVERZEICHNIS

Einleitung 24 >

1 I ormuherung der Ausgleichsrechnung in Matrizenschreibweise 247

1 1 411gemeine Erklarungen 247

1 2 Vermittelnde Ausgleichung 249

1 3 Bedmgte Ausgleichung 250

1 4 Beziehung zwischen den beiden Arten von Ausgleichung 252

1 5 Die mittleren Fehler der ausgeghchenen Unbekannten 2a2

2 humerische Behandlung der Ausgleichnngsaufga.be 254

2 1 iJbersicht uber verschiedene Relaxationsverfahren 254

2 2 Die Methode der konjugierten Gradienten 2 56

2 3 Vermittelnde Ausgleichung nach der Methode der konjugiertenGradienten 25 S

2 4 Bedmgte Ausgleichung nach der Methode der konjugierten Gra¬

dienten 260

2 3 Berechnung der Gewichtskoeffizienten 261

3 Abschatzungen fur die Quadratsumme der Verbesserungen 262

3 1 Allgememe Bemerkungen 262

3 2 Grobe Abschatzung 263

3 3 Femere Abschatzung 265

3 4 Zusammenfassung der Abschatzungen 268

3 5 Anwendung auf das Verfahren der konjugierten Gradienten 269

4 Beispiele 273

4 1 Nivellementsausgleichung (vermittelnd) 273

4 2 Trianguherungsnetz (bedmgt) 27->

4 3 \])proximation durch Polynom (vermittelnd und bedmgt) 277

I ebenslauf 2S1

EINLEITUNG

Die Ausgleichsrechnung nach der Methode der klemsten Quadrate gehoitheute zu den klassischen Stucken der numenschen Mathematik und ist langstso selbstverstandlich geworden, dass wir deren Entdeckung durch den siebzehn-

jahrigen Gauss kaum mehr nchtig zu wurdigen wissen

1) Institut fur angcwindto Mithem itik der J VH

ZAMP X/16

246 ]'!• IV K I VI ( HI I /AMI

Wenn man allerdmgs die Piaktiken \erfolgt, nacb denen vorher zum Bei-

spiel im Vermessungswesen Widerspruchc enthaltende Beobachtungen in muh-

samer und undurchsichtigei Weise notdurftig zum Stimmen gebracht wurden,und wenn man sieht, vvelche zahen Widerstande bei der Emfuhrung der Gauss-

schen Methode zu uberwinden vvaren, dann wird doch klar, dass damit em be-

trachtlichei Schritt getan \\ urde

Die Theone, 1794 von G\i ss eisonnen, beinahe gleichzeitig von Legemjre

ebenfalls gefunden und von diesem als erstem 1806 publiziert, feierte ihren er-

sten Triumph bei der Berechnung dei Bahn des neuentdeckten Planeten Ceres

durch Galss im Jahre 1801 In der folgenden, mehr als 150jahngen Entwick-

lung wurden Theone und Ait der praktischen Durchfuhrung auf emen hohen

Stand gebrachtDie Methode der klemsten Ouadiatt kann duich wahrschemhchkeitstheo-

retische tJbeilegungen sauber begrundet werden, und sie ist von den uberhauptsmnvollen Moghchkeiten dei Ausgleichung die mathematisch zuganghchsteDie gesuchten Grossen treten als Unbekannte eines lmearen Gleichungssystems,der sogenannten Normalgleichungen, auf Zu deren Auflosung gibt es viele

Methoden, uohl die bekannteste ist diejemge der sukzessiven Elimination der

Unbekannten nach dem GauBschen Algorithmus bzvv emer moderneren Va-

nante desselben Verfahrens

Allein schon von Gai'ss wurde tin ganz andeiei Weg vorgeschlagen und

auch praktisch erprobt die ltei ative Auflosung \ on Gleichungssystemen durch

Naherungsverfahren, welche in ]edem Zvvischenschntt erne bessere Approxi¬mation der Unbekannten hefern Da nun auch die exakten Losungen der Nor¬

malgleichungen doch nur einen Kompromiss zur Ausgleichung der widerspruchs-vollen Messungen darstellen konnen, hegt gewiss die Frage nahe, ob mcht schon

die angenaherte Losung des Gleichungssystems annehmbare Resultate hefern

konnte

Die Entwicklung der iterativen Losungsmethoden wurde besondeis in den

letzten funfzig Jahren auf breiter Basis betneben, unter dem Stichwort «Re-

laxationsrechnung» hat sich bereits erne betiachthche Literatur angesammelt.Mit der Anwendung dieser Methoden auf die Ausgleichsrechnung erhebt sich

weiter der Wunsch nach \rerfahren, welche die Aufstellung der Normal¬

gleichungen umgehen [112) Ein Ziel unseier Arbeit ist die Diskussion der An¬

wendung gewisser Relaxationsmethoden auf die Ausgleichsrechnung (2. Teil)Mit dem fruheren Abbrechen ernes Naherungsverfahrens stellt sich von

selbst das Problem, gewisse Abschatzungen fur die erreichte Genamgkeit zu

erhalten, und zvvar mochte man im Falle der Ausgleichsrechnung msbesondere

Schranken fur die Quadratsumme der Verbesserungen, welche zu einem Mini¬

mum gemacht werden soil Bekannthch unterscheidet man zwischen vermit-

~) ])it /itt( in m otki^ou Kl uninf rn \ eiwtiscn mf d is [ it< ratur\ orzeichms, bcite 2S0

Vol. X, 1959 Iterative Losung und Fehlerabschatzung in der Ausgleichsrechnung 247

telnder und bedingter Ausgleichung; die beiden Arten verhalten sich bei einer

geometrischen Interpretation dual zueinander. Nun liefert im Falle der ver-

mittelnden Ausgleichung jede Naherungslosung fur die Unbekannten eine tri-

viale obere Schranke fur die erwahnte Quadratsumme, wahrend bei der be-

dingten Ausgleichung im allgemeinen iiberhaupt keine Schranken bei vorzei-

tigem Abbrechen entstehen und nur bei speziellen Iterationsverfahren wahrend

des Verlaufs der Rechnung untere Schranken angegeben werden konnen. Um

beidseitige Schranken zu gewinnen, miisste man die beiden Ausgleichungsartenkombinieren. Es wird sich zeigen, dass dies unter Umstanden nicht schon beim

Beginn der Rechnung, sondern erst vor dem Abbrechen getan werden muss.

Das zweite Ziel der vorliegenden Arbeit besteht in der Ubertragung einer

von Synge [2] und anderen besonders im Zusammenhang mit partiellen Dif-

ferentialgleichungen der Physik entwickelten Idee auf die Ausgleichsrechnungzweeks Gewinnung soldier Schranken (3. Teil). Dies geschieht zunachst in all-

gemeiner Form, das heisst ohne Bezug auf eine bestimmte Iterationsmethode,sodann aber speziell im Hinblick auf das in der zitierten Publikation [1] be-

sprochene Verfahren.

Es ist mir eine angenehme Pflicht, an dieser Stelle Herrn Professor Stiefel

dafur zu danken, dass er zu dieser Arbeit den Anstoss gab und mir auch in der

Folge immer wieder mit Anregungen beistand. Ebenfalls zu Dank verpflichtetbin ich Herrn Professor Kobold, der mir im Gesprach den Standpunkt des

Geodaten etwas naherbrachte.

1. Formulierung der Ausgleichsrechnung in Matrizenschreibweise

1.1 Allgemeine Erkldrungen

In der Ausgleichsrechnung geht man von einem Satz von n Werten aus,

welche den Charakter von Messresultaten haben. Wenn nun diese Anzahl n

grosser ist, als zur eindeutigen Bestimmung des fraglichen Systems notwendigware, so werden sich infolge der Messungenauigkeit gewisse Widerspruche ein-

stellen. Zu deren Beseitigung hat man an den gemessenen Grossen Verbesse-

rungen derart anzubringen, dass alle Nebenbedingungen erfiillt werden. Gleich-

zeitig soil man moglichst «in der Nahe» der Messungen bleiben. Diese letztere

Forderung kann auf verschiedene Arten interpretiert werden; in der bekannten

GauBschen Methode der kleinsten Quadrate sucht man ihr dadurch gerecht zu

werden, dass man die Quadratsumme der Verbesserungen zu einem Minimum

macht.

Die erwahnten Nebenbedingungen treten bei der vermittelnden Ausgleichungdadurch in Erscheinung, dass sich die n Messungen als lineare (bzw. lineari-

sierte) Funktionen der eigentlichen Unbekannten von geringerer Anzahl y aus-

driicken lassen miissen («vermittelnde Beobachtungeno). Bei der bedingten

Ausgleichung hingegen sind die ausgeglichenen Grossen selber die Unbekannten,

248 Peter L-vlchli zamp

welche einen Satz von f) lmearen (bzw lmeansierten) Bedmgungsgleichungenzu erfullen haben (fi < n) Die gemischte Vanante der vermittelnden Ausglei-

chung mit Bedmgungsgleichungen zwischen den Unbekannten werden wir in

dieser Arbeit nicht berucksichtigen Ferner wird durchwegs mit Messungenvom Gewicht 1 gerechnet, um erne Uberlastung des Textes zu vermeiden Der

Fall ungleicher Gewichte lasst sich leicht auf diesen Spezialfall zuruckfuhren

Wir fuhren unsere Betrachtungen im «-dimensionalen eukhdischen Raum

Rn durch und verstehen unter einem Punkt oder emem Vektor emen Satz von

n reellen Zahlen, die Verwendung der beiden Begnffe geschieht durchaus im

ublichen, geometnsch anschauhchen Smne Die «Ebene» defmieren wir dann

etwa als Punktmenge, die mit zwei verschiedenen Punkten auch deren Ver-

bmdungsgerade enthalt

Fur die algebraische Beschreibung werden wir von der Matnzenschreib-

weise Gebrauch machen, welche sehr bequem und der Komponentendarstellungentschieden vorzuziehen ist (vgl [3], dieses Buch enthalt em Kapitel uber

Ausgleichsrechnung)Vektoren und Punkte sollen im folgenden mit klemen latemischen Buch-

staben bezeichnet werden Durch das Skalarprodukt

(x, y) = x1y1 + x2yt + + xn yn

wird erne Metrik emgefuhrt Der Absolutbetrag ernes Vektors (bzw Abstand

ernes Punktes vom Nullpunkt) ware dann

\x\ = y(x,x)

Die lineare Transformation schreiben wir in der Form der Multiphkationmit emer Matrix, das heisst y = A x als Abkurzung fur

y, = a,ixi + a>ix2 + ^ aivxv («= i,2, ,(i),

wobei im allgememen jjl 4= v, das heisst die Matrix A nicht von quadratischerGestalt ist Die transpomerte (durch Vertauschung der Zeilen mit den Spaltenentstandene) Matrix bezeichnen wir mit A T Wenn man emen Vektor als Matrix

mit nur emer Spalte auffasst, kann man das Skalarprodukt auch m der Form

(x, y) = xT y

schreiben Hmgegen ergibt die Multiphkation

xyT = D

erne Matrix D mit den Elementen dlk = xt yk als sogenanntes dyadisches Pro-

dukt der beiden Vektoren x und y

Vol. X, 1959 Iterative Ldsung und Fehlerabschatzung in der Ausgleichsrechnung 249

Wir werden im allgemeinen Matrizen mit grossen lateinischen, skalare

Grossen mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnen. Indizes sollen im

folgenden, soweit nichts Besonderes vermerkt ist, verschiedene Vektoren, und

nicht deren Komponenten unterscheiden.

1.2 Vermittelnde Ausgleichung

Die Variablen x (Vektor mit n Komponenten), welche gemessen werden,

seien lineare Funktionen der Unbekannten y (y Komponenten):

x=Cy + f. (1)

Dabei sind die y in einfacheren Fallen die ersten y Komponenten des Vektors x,

das heisst so viele, als frei verfiigbar sind. Das bedeutet, dass der obere Teil von

C die y-reihige Einheitsmatrix ist.

Liegt fur x eine Messung I vor, so sind die Unbekannten y so zu bestimmen,

dass der Betrag von v = x — I minimal wird. Man nennt

v=Cy+f-I

die Fehlergleichungen (n Gleichungen, y Unbekannte, wobei y < n', sonst lage

gar kein Ausgleichungsproblem vor).Bei der vermittelnden Ausgleichung konnen wir / immer als Null annehmen

bzw. durch eine Koordinatenverschiebung zu Null machen und somit die

Fehlergleichungen in der ublichen Form schreiben:

v=Cy-l. (2)

Die gesuchten Werte erha.lt man durch Auflosen der GauBschen Normal-

gleichungen

CTCy=CTl (3)

(y Gleichungen, y Unbekannte). Sehr oft interessiert auch das ausgeglichene x,

das wir mit s bezeichnen. v hat die Bedeutung einer Verbesserung, welche zur

Messung I zu addieren ist.

Geometrische Interpretation im Rn: I soil «moglichst gut» als Linearkombi-

nation der y Spaltenvektoren von C dargestellt werden, das heisst, der Abstand

\v\ des Losungspunktes s von / soil minimal sein. Das bedeutet, dass s die Pro-

jektion von I auf F' ist, wobei F' die von den Spaltenvektoren ct von C auf-

gespannte Ebene ist, oder v = s — I J_ F'. Daraus folgen unmittelbar die

Normalgleichungen

CT v = 0 oder eben CT C y = CT I.

250 Peter L^uchli 7AMP

In Figur 1 ist der Fall n = 3, y = 2 dargestellt, wo F' eine gewohnlichezweidimensionale Ebene wird.

0

1-

, Figur 1

Beispiel zur verniittelnden Ausgleichung.

1.3 Bedingte Ausgleichung

Fiir den Vektor der Unbekannten x liege die Messung I vor. x ist so zu be-

stimmen, dass (v,v) = Min mit v = x — I, wobei x die Bedingungsgleichungen

B x + b = 0 (4)

(/? Gleichungen, n Variable, f} < n) zu erfiillen hat. Es liegt somit eine Extremal-

aufgabe mit Nebenbedingungen vor, welche man in bekannter Weise mit Hilfe

der Lagrangeschen Multiplikatoren lost. Wenn wir diese mit —2t% (i = 1,

2,... ,p) bezeichnen und die t, zum sogenannten Korrelatenvektor t zusammen-

fassen, ergeben sich ausser (4) als weitere Bedingungen fiir die Unbekannten t

und x die Korrelatengleichungen

x= B1' t+ I. (5)

Durch Einsetzen von (5) in (4) erhalt man die Normalgleichungen

B BT t= ~{Bl+b) (6)

(jS Gleichungen, /3 Unbekannte). Deren Losung t, in (5) eingesetzt, gibt endlich

die eigentlichen Unbekannten x.

Geometrische Interpretation im Rn: Die Bedingungsgleichungen (4) defi-

nieren eine (n — /?)-dimensionale Ebene F', und zwar jetzt als Schnittgebilde von

Hyperebenen, welche durch ihre Normalvektoren gegeben sind. / soil «moglichstgut» durch einen Punkt aus F' approximiert werden, das heisst, gesucht ist der

Punkt in F' mit dem kleinsten Abstand \v\ von /. Das ist natiirlich wieder der

Fusspunkt des Lotes von I auf F'; er wird aber diesmal bestimmt als Schnitt-

Vol. X, 1959 Iterative Losung und Fehlerabschatzung in der Ausgleichsrechnmig 251

punkt von F' mit einer Ebene F", deren Parameterdarstellung

x = BTt + l

= I + [Linearkombination der Zeilenvektoren von B]

lautet. F" ist total senkrecht zu F', was man einsieht, wenn man (4) in der

Form B (x — f) = 0 schreibt, wobei / ein beliebiger Punkt aus F' ist, also

B f + b = 0. (Wir nennen zwei Ebenen im Rn «total senkrecht», wenn jedeGerade in der einen senkrecht auf jeder Geraden der anderen Ebene steht und

die Summe ihrer Dimensionen gleich n ist.)

Figur 2 zeigt das Beispiel n = 3, ft = 2 ; F' ist die durch die Ebenen E1 und

E2 bestimmte Gerade. F" wird durch die in / abgetragenen Zeilenvektoren btund b2 von B aufgespannt.

Figur 2

Beispiel zur bedingten Ausgleichung.

Diese Formulierung der bedingten Ausgleichung ist der in der Geodasie eher

gebrauchlichen mathematisch vollkommen Equivalent. Man betrachtet dort die

Verbesserungen v als Unbekannte und schreibt die Bedingungsgleichungen in

der Form B v + w = 0, wobei w = B I + b die sogenannten Widerspriiche sind.

Korrelaten- und Normalgleichungen lauten dann:

v = BTt und BBTt=-w.

Bei unserer Form werden offenbar die Beziehungen des nachsten Abschnittes

etwas durchsichtiger.Man beachte, dass die Unbekannten bei 1.2 Koeffizienten einer Linear¬

kombination von w-dimensionalen Vektoren sind, bei 1.3 hingegen Koordinaten

252 Peter Lauchli zamp

1.4 Beziehung zwischen den beiden Arten von Ausgleichung

Da die beiden betrachteten Falle dem gleichen geometrischen Problem

aquivalent sind, den Punkt s in einer Ebene F' zu finden, der den kleinsten

Abstand von einem bekannten Punkte I ausserhalb F' hat, liegt der Versuch

nahe, das eine Problem auch algebraisch auf das andere zuruckzufuhren.

Liegt zum Beispiel eine Aufgabe der bedingten Ausgleichung vor, so handelt

es sich darum, y = n — ft Vektoren zu suchen, welche zu den Zeilenvektoren von

B orthogonal sind, und mit ihnen als Spaltenvektoren die Matrix C zu bilden.

1st / ein Punkt aus F', so lautet die Transformation

x=Cy + f. (7)

Durch Einsetzen von (7) in (4) sieht man, dass die Bedmgungsgleichungen in der

Tat fur beliebige y identisch erfiillt sind (B C = 0, B f + b = 0).Praktisch hat dieser Ubergang allerdings nur dann einen Sinn, wenn man

(n — (5) der Unbekannten als neue Unbekannte y nimmt und dann fur die Kon-

struktion von C die Bedingungsgleichungen auf einfache Art nach den iibrigen

p Unbekannten auflosen kann; oder es sei, dass man durch zusatzliche Uber-

legungen das Problem von vornherein auf beide Arten formulieren kann.

Bei einer iterativen Behandlung der Normalgleichungen bedeutet nun:

Vermittelnde Ausgleichung: sukzessive Verbesserung der Unbekannten y.

Der Punkt x bewegt sich in F', bis er auf den Schnittpunkt mit F" fallt.

Bedingte Ausgleichung: sukzessive Verbesserung der Unbekannten t. Der

Punkt x bewegt sich in F", bis er auf den Schnittpunkt mit F' fallt.

1.5 Die mittleren Fehler der ausgeglichenen Unbekannten

In diesem Abschnitt sollen einige Formeln iiber mittlere Fehler zusammen-

gestellt werden.

Der mittlere Fehler der Messung I ist bekanntlich bei vermittelnder Aus¬

gleichung(v, v)

m"

n — y

bei bedingter Ausgleichung11~(v7v)~

m=V p

(Handelt es sich um ein und dasselbe Problem, so stimmen die beiden Aus-

driicke wegen n — y — ft tatsachlich uberein.)Fiir den mittleren Fehler M einer Funktion <p(l) gilt das Fehlerfortpflan-

zungsgesetz (lt = Komponente von I):

Vol. X, 1959 Iterative Losung und Fchlerabschatzung in der Ausgleichsrechnung 253

Bei den ausgeglichenen Unbekannten handelt es sich nun um eine Iineare Vektor-

funktion der Messungen I:

a (I) = A I + const

mit konstanter Matrix A. Eine einfache Rechnung ergibt fiir den mittleren

Fehler Mi der i-ten Komponente von a:

M* = qH m*,

wo qH das i-te Diagonalelement der Gewichtsmatrix

Q = AAT

ist. Die ausserdiagonalen Elemente von Q, die gemischten Gewichtskoeffi-

zienten, braucht man ebenfalls, sobald fiir Funktionen der Unbekannten mitt-

lere Fehler angegeben werden sollen.

Wir wollen nun fiir die beiden Falle der Ausgleichsrechnung die Gewichts-

matrizen aufstellen. Das jeweilige A findet man durch Auflosen der Normal¬

gleichungen nach den Unbekannten. Um anzudeuten, ob es sich bei den aus¬

geglichenen Variabeln um die Unbekannten der Normalgleichungen oder um

Koordinaten im *-Raum handelt, werden wir die Bezeichnungen Q und P ver-

wenden.

Vermittelnde Ausgleichung:

CT Cy = CTl,

y = (CT C)-1 CT I,

A

Q = A AT = {CT C)"1 . (8)

Fiir die mittleren Fehler der ausgeglichenen Messungen s brauchen wir

x = C y = C(CT C)"1 CTI,2

P = A Ar = C(CT C)-1 CT. (9)

Bedingte Ausgleichung:

B BTt=-{Bl + b) ,

t=-(BBT)~1 (Bl+b) ,

x= BTt + l=[E- BT(B B7)-1 B] I + const,

P = A AT = E - BT(B B^-1 B (E = Einheitsmatrix) . (10)

254 Peter Lauchli zamp

2. Numerische Behandlung der Ausgleichungsaufgabe

2 1 Ubersicht uber verschiedene Relaxahonsverfahren

Nachdem lm 1 Teil die theoretischen Grundlagen der Ausgleichsrechnung

zusammengestellt worden smd, soil nun die numerische Auflosung der Normal-

gleichungen behandelt werden Wir beschranken uns dabei auf die Diskussion

einiger iterativer Methoden, welche unter den Begriff der Relaxationsrechnungfallen Diese Methoden erlauben em Abbrechen der Rechnung vor dem Er-

reichen der theoretisch exakten Losung (welche man mfolge der Rundungs-fehler lm allgememen ohnehm mcht erhalt) In diesem Falle kann aber der

Rechenaufwand erheblich vermmdert werden, wenn man die exphzite Auf-

stellung des Normalgleichungssystems vermeidet, was durchaus moghch ist

lm weiteren sollen folgende Bezeichnungen verwendet werden Es liege das

symmetnsche GleichungssystemA z = k

fur die Unbekannten z vor mit der Losung h = A x k Dann ist r = k — A z der

zum Versuchsvektor z gehonge Residuenvektor, und wir nennen

f{z) - [h - z, A (h - z)]die Fehlerfunktion

Die primitivste Methode zur Auflosung von hnearen Gleichungssystemen,welche m unseren Kreis passt, das Emzelschrittverfahren [4], bei welchem in

jedem Relaxationsschntt nur erne Unbekannte verbessert wird, konvergiertziemhch langsam, so dass sich die lm Falle der Ausgleichsrechnung mcht so

grossen Veremfachungen gegenuber den besseren Verfahren kaum lohnen

Die Verfahren bester Taktik in der Termmologie von Stiefel [5], das

heisst solche Verfahren, bei denen ohne Rucksicht auf die Vorgeschichte der

Fehler in jedem Iterationsschntt moghchst klem gemacht wird, werden durch

Gradientenmethoden, besonders die bekannte Methode des steilsten Abstieges,gehefert [4] Die Korrektur der Unbekannten wird hier proportional zum Resi¬

duenvektor angesetztAz = Xr

,

da man leicht zeigen kann, dass r bis auf das Vorzeichen gleich dem Gradienten

emer gewissen quadratischen Funktion F(z) ist, welche lm Losungspunkt lhr

Minimum hat Der Faktor 1 wird in jedem Schntt so berechnet, dass F (alsFunktion von X), und damit ubngens auch die oben defmierte Fehlerfunktion

f(z), minimal wird Auch bei diesem Verfahren ist die Konvergenz oft sehr

schlecht

Vol X, 1959 Iterative I osiii]b' mid I chlerabsch itnmg m dor \usgluchsrechnung 255

Weniger Rechenaufwand erfordert das etwas grobere Gesamtschnttverfahren

[4] Bei diesem wird der Parameter X mi Gegensatz zur vorhergehenden Methode

uber den ganzen Auf losungsprozess weg konstant gehalten Fur die Wahl dieses

Wertes braucht man aber Schranken fur die Eigenwerte von A, und diese

stehen hier lm allgememen mcht zur Verfugung, da die Matrix A gar nicht auf-

gestellt werden soil

Wenn man nach dem Gradientenverfahren bester Strategic fragt, das heisst

nach dem Verfahren, das nach einer vorgegebenen Anzahl n von Schntten den

Fehler am klemsten macht, so kommt man, wie in [5] bewiesen wird, unter

Zugrundelegung von f(z) = \h — z, A (h — z)] als Fehlermass auf die Methode

der konyugierten Gradienten (eg-Verfahren, siehe [4], dort als M-Schntt-Verfahren

bezeichnet, erschopfend diskutiert in [6]) Die Methode des steilsten Abstiegsund das Gesamtschnttverfahren smd veremfachte Vananten davon, der Mehr-

aufwand beim eg-Verfahren ist jedoch lm Falle der Ausgleichsrechnung relativ

germg, da dort die beiden hauptsachheh ins Gewicht fallenden MultiphkationenMatrix X Vektor pro Schritt auch bei den emfacheren Verfahren erforderhch

sind

Wir werden daher lm folgenden die Anwendung des cg-Verfahrens in der

Ausgleichsrechnung etwas genauer diskutieren Vorher soil aber noch gezeigt

werden, dass die erwahnten Strategieuberlegungen auch bei Fehlermassen, die

sich bei der Ausgleichung naturhcherweise aufdrangen, ebenfalls zum eg-Ver¬fahren fuhren

lm Falle der vermittelnden Ausgleichung hegt es zum Beispiel nahe, nach

demjemgen Verfahren zu fragen, bei welchem (v,v) nicht nur monoton, sondern

moghchst rasch lm Smne der besten Strategie abmmmt Die Normalgleichungen

so dass nach den obigen Bezeichnungen A = C1 C, k = CTI, z = y zu setzen ist.

Dann gilt(v, v) = (C y — I, C y — I)

= (y, C C y) - 2 (y, CT I) + (I, I)

= (z, A z) - 2 (z, Ah) H (I, I)

= [h - z, A (h - z)] - (h, Ah) + (I, I)

= f(z) + const.

Damit ist gezeigt, dass (v, v) bis auf erne Konstante gleich der Fehlerfunktion des

Normalgleichungssystems ist und somit das eg-Verfahren die Methode bester

Strategie darstellt

Dieselbe Uberlegung hat bei der bedmgten Ausgleichung mit Korrelaten

kemen Smn, da wir uns dann wahrend der Relaxation nicht m der Ebene F' der

256 Peter Luxbli zamp

zulassigen Punkte bewegen, sondern in der Orthogonalebene F", und zwar im

allgemeinen ausgehend von x = I, v = 0, so dass (v, v) gelegentlich wachsen muss

(beim eg sogar monoton). Die Korrelaten- und Normalgleichungen lauten:

x= BT t + l, B BTt= -(Bl+ b) ,

wobei diesmal A = B Br, k = —(Bl + b), z = t ist. Der Losungspunkt ware

s = BTh + l.

Nimmt man nun das Quadrat des Fehlervektors s — x (im ^-Raum, nicht im

Raume der Unbekannten der Normalgleichungen) als Fehlermass, so ergibtsich aus

(s-x,s-x) = [BT (h - t), BT (h - t)] = [h - t, B BT (h - t)]

= [h-z,A{h- z)] = f{z)

wieder das eg-Verfahren. Zu beachten ist, dass dieses Fehlermass, im Gegensatzzu (v,v), wahrend der Rechnung nicht herauskommen kann, da ja die Losungs nicht bekannt ist.

Zum selben Resultat kame man auch bei der vermittelnden Ausgleichungmit s — x = C (h — y).

2.2 Die Methode der konjugierten Gradienten

Es sei wieder das Gleichungssystem

A z = k

mit der w-reihigen symmetrischen und positiv definiten Koeffizientenmatrix A

gegeben. (Diese Bedingungen sind fur unsere Normalgleichungen sicher erfiillt,sofern die Spalten von C bzw. die Zeilen von B linear unabhangig sind, was man

iiberhaupt voraussetzen muss, falls A nicht singular werden soil. Dieser Fall

wiirde bedeuten, dass man mehr Unbekannte, als das Problem Freiheitsgrade

hat, bzw. uberflussige Bedingungsgleichungen eingefuhrt hatte.)Wir gehen aus von einem beliebigen Anfangsvektor z0. Der i-te allgemeine

Iterationsschritt besteht darin, dass man in Richtung eines Gewichtsvektors ptfortschreitet und damit die neue Naherung

gewinnt, wobei p, aus dem i-tea Residuenvektor und dem Gewichtsvektor des

vorhergehenden Schrittes linear kombiniert wird. Dieser zweite Summand fallt

im ersten Schritt weg.

Vol. X, 1959 Iterative Losung und Fehlerabschatzung in der Ausgleichsrechnung 257

Die genaue Rechenvorschrift lautet (vgl. [6]):

1. Schritt:

ro = Po = k - A z0 ,

(*o. r0)

(11)

0(Po, A p0)

'

zx = z0 + X0 p0.

i-ter allgemeiner Schritt (i =1,2,.. .)."

rt = r{_x - A,.! A £._, ,

=

(ri, U)

Pi = rt + e^ pi_x ,

1 (Pi, A pt)'

Zi + l=zi + *iPi-

Die Gewichtsvektoren sind paarweise konjugiert (Name!), das heisst, es gilt:

(p^Ap^O fur i±j.

Die Residuenvektoren bilden ein Orthogonalsystem (Beweise siehe [6]). Aus der

letzteren Tatsache folgt aber, dass nach spatestens n Schritten theoretisch die

exakte Losung erreicht wird.

Gleichzeitig mit den Unbekannten kann die inverse Matrix A~x erhalten

werden, wenn in jedem Schritt (i = 0, 1, 2, ...,»— 1) folgende Zusatzrechnung

mitgefiihrt wird:

Ar+\ = A-1 + rf-'-t-k, ,Start: A? = 0 (12)

(p pT ist das eingangs definierte dyadische Vektorprodukt).Nach genau n Schritten sollte theoretisch die exakte Losung A~l = A~1

erreicht werden.

Der Betrag des Fehlervektors h — z sowie die Fehlerfunktion f(z) =

[h — z, A (h — z)] nehmen bei jedem Schritt monoton ab. Dies gilt aber nicht

fur den Betrag des Residuenvektors r. Mit (r, r) als Fehlermass fiir die Strategie-

betrachtung kommt man auf eine Variante des cg-Verfahrens, welche hier

jedoch ausscheidet, da sie bei der Ausgleichsrechnung pro Schritt eine Matrix-

multiplikation mehr erfordert.

258 Peter L\uchli /amp

2.3 Vermittelnde Ausgleichung nach der Methode der konjugierten Gradienten

Das eben beschriebene Rechenverfahren soil nun auf die Normalgleichungender vermittelnden Ausgleichung iibertragen werden (siehe [1]; der Algorithmusist dort komponentenweise geschrieben).

Durch Substitution von

A = CTC, k = Crl, zt = yt, p, = et

in der Rechenvorschrift (11) erhalt man direkt die Formeln (13), wobei nur

folgende zwei Punkte zu beachten sind:

1. Wie bisher in der vermittelnden Ausgleichung setzen wir C y — I = v, und

speziell beim Start mit einer Versuchslosung y0: C y0 — I = v0. Im ersten

Schritt wird damit

k — A z0 = Cr I — Cr C y0 = — CJ v0 = r0.

In alien Schritten gilt ferner CAyl=Avl; oder, wenn Xlel = Aylt dann

Xtq, = Avt = Axt.Es hangt vom speziellen Problem ab, ob man die eigentlichen Unbekannten

y oder die ausgeglichenen Messungen x oder beides verlangt. Fur die Abwick-

lung des Iterationsprozesses geniigt es, v, mitzufiihren; die xx und y, konnen auch

erst nachtraglich berechnet werden.

2. Die Matrix des Normalgleichungssystems, A = CT C, tritt im allgemeinenSchritt zweimal auf, und zwar einerseits bei der Berechnung von Xl im Nenner:

{pt, A /»,) = (et, Cr C e,) = (C e„ C e,) = (q„ qt) = a,,

anderseits bei der Berechnung des Residuenvektors. Aus der Gleichungri = rx~i — K-i A Pi-i ergabe sich r, = r,^ — CT Av,_v Ebensogut kann aber

die urspriingliche Definitionsgleichung rt = k — A zl verwendet werden. Diese

liefert: r, = — CT vt.

Es zeigt sich, dass man an den beiden erwahnten Stellen so umformen kann,dass in der Ausgleichsrechnung die Matrix des Gleichungssystems dank ihrer

speziellen Struktur gar nicht mehr explizit auftritt und sich daher ihre vor-

gangige Berechnung eriibrigt.

Vol. X, 1959 Iterative Losung und Fehlerabschatzung in der Ausgleichsrot liming 259

So erhalten wir die folgenden Formeln:

1. Schritt:

Qo = (>V U) >

ffo = (?o> ?o) ,

^0 ~ e0 ~~ -C v0

?o = C eo >

i (?o

dy0 = A0 e0 ,

Ax0 = A0 q0 ,

Av0 =K%>

Vi == y0 + dy0,

xi =- -^0 ' ^-^0 >

Vl == v0 + Av0 .

i-ter allgemeiner Schritt (i = 1, 2, ...):

r, = CT V C = K r,)

*_1

e,-i

«, = r, + £,-1 «,_i ,

9. = C er • <yt = (qt. q,),

^y. = K e> • yt+i = yt + dy,,

Ax, = K%< *.n = xi + Ax* <

^ =Ki,. vl + i =vt + Avt.

(13)

Man konnte, um die Stabilitat des Prozesses zu erhohen, die vt (und damit

indirekt die rt) nicht rekursiv berechnen:

v,li = v,+dvt,

sondern in jedem Schritt neu. Die letzten zwei Zeilen von (13) werden dann

ersetzt durch:

*. + l= Cy,<-l> vnl = Xi 1

-l

Die yt mussen jetzt mitgeftihrt werden.

Diese Variante erfordert eine zusatzliche Matrixmultiplikation pro Schritt,und es fragt sich, ob der Mehraufwand durch die Verbesserung der Resultate

aufgewogen wird.

260 PFTER I \LCHLI ZAMP

2 4 Bedingte Ausgleichung nach der Methode der konjugierten Gradienten

Genau gleich wie lm vorhengen Abschmtt wnd die Rechenvorschnft fur die

bedingte Ausgleichung hergeleitet Diesmal lauten die Substitutionen, mit

welchen in (11) zu gehen ist

A = B B1, k=-(Bl + b), z, = tt, p, = et

Da fur die Korrelaten t lm allgememen kerne Ausgangsnaherung vorhegen w lrd,starten wir den Algonthmus mit t0 = 0 und damit x0 = /, v0 = 0

So wird mi ersten Schntt das Ausgangsresiduum

r0 = k =- - (B I + b)

Wie oben wird das Skalarprodukt lm Nenner von Xt umgeformt

(P„ A pt) = («„ B BT et) = (Bl e,B* et) = (q„ qt) = a,

Die Residuenberechnung geschieht lm i-ten allgememen Schntt wie folgt

rt = k - A zt =- ~ (B I ->- b) - B B1 tt ~[B (BT tt + I) -\ b]

= - (B xt + b)

Die t,, welche zwar die Unbekannten des Normalgleichungssystems sind, aber

nur die Rolle von Hilfsgrossen spielen, werden kaum mteressieren, ebenso smd

die v, fur die Abwicklung des Iterationsprozesses mcht notwendigSo erhalt man folgenden Algonthmus

/ Schntt

r0 = e0= -{Bl+b) , q0= (r0, r0) ,

% = Br e0 , a0= (q0, q0) ,

; _

So0_

a

fo = At0 = X0 e0)

Ax0 = A0q0, % =- x0 + Ax0

(vx = Av0 = A0 q0)

(14)

Vol. X, 1959 Iteratne Losung und Fehlerabschatzung in der Ausgleichsrechnimg 261

i-ter allgemeiner Schritt (i = 1, 2, ...):

rl = -{Bxl + b) , g, = (rt, r,) ,

£,-l

e» = ', + e,-i e

1, = B^e,,

K

W. = k<>.

Axt = kii>

(^ = l*9t.

<*i = (qt,qt), \ (w)

',-1 = ', + ^,),

xiUl = x, + Axt,

vt.1 = vl + Avt) .

Die Neuberechnung von vt (und damit indirekt der Residuen) in jedemSchritt wiirde bei der bedingten Ausgleichung darin bestehen, dass die letzten

beiden Zeilen von (14) ersetzt wiirden durch:

», i= BTK-i> *,H = «, i + ;-

Auch hier hatte man eine Matrixmultiplikation mehr, und die tl miissten bei der

Rechnung mitgefuhrt werden.

2.5 Berecknung der Gewichtskoeffizienten

Fur die Berechnung der in Abschnitt 1.5 mit Q und P bezeichneten Ge-

wichtsmatrizen legen wir Gleichung (12) zugrunde, nach welcher zum Aufbau

der Inversen von A in jedem cg-Schritt der Anteil

/L4-=PtPl

(fiv A pt)

zu bestimmen ist. So erhalt man unter Beachtung der in (13) und (14) ein-

gefiihrten Bezeichnungen folgende Ausdriicke fur die AQ und AP'

Vermittelnde Ausgleichung:

AQt = AA;\

AQt=e*£-, Start: Q0 = 0. (15)

ZWIP X/17

262 PtTER I \LCHI I ZAMP

P=C{CT C)-1 Cr = C A lCr,

APt = A[CA^ Lr\t CAA^Cr,

r

Ap_qlqx

_stdrt po = 0 ^

Bedmgte Ausgleichung

P= E - BT{B B1)-1 B - E ~ Bl A"1 B,

APt = A[E - BT A ]

B\ = -Bl AA~l B,

r

APt =~-q*q*t

Start P0 = E (17)

Da man bei der Berechnung von A 1 kerne gute Konvergenz erwarten darf,

ist die Bedeutung von so erhaltenen Naherungswerten bei emem fruheren Ab-

brechen der Iteration sehr zweifelhaft Man beachte allerdmgs, dass die Nahe-

lungen fur die Diagonalelemente von P bei der bedingten Ausgleichung, von 1

ausgehend, monoton abnehmen (die a, smd Vektorquadrate) und dass somit

wenigstens obere Schranken geliefert werden, die besonders mteressieren Wird

uberdies beim selben Problem gleichzeitig auch vermittelnd ausgeglichen, so

nahert man sich denselben Werten von unten, denn die beiden P, welche man

nach vollstandiger Durchfuhrung der beiden Iterationsprozesse erhalten wurde,

stimmen naturhch theoretisch exakt uberem

Die obere Schranke 1 fallt beim Q der \ ermittelnden Ausgleichung damn,

was verstandhch ist, da diese Werte, lm Gegensatz zu den Koeffizienten von P,

mit einer physikalischen Dimension behaftet smd

3. Abschatzungen fiir die Quadratsumme der Verbesserungen

3 1 Allgememe Bemerkungen

Wenn zur Auflosung der Normalgleichungen em Naherungsverfahren an-

gewendet wird, so ist es von Interesse, wahrend der Rechnung Abschatzungenfur die Quadratsumme (v, v) der Verbesserungen zu gewinnen Denn damit hat

man emen gewissen Anhaltspunkt fur die Genauigkeit der erreichten NaherungDas (v, v) geht uberdies in die Ausdrucke fur die mittleren Fehler em, fur welche

besonders erne obere Schranke erwunscht ist

Fur unsere Abschatzungen brauchen wir gleichzeitig Naherungspunkte aus

F' wie auch aus F' Wir mussen somit entweder m emem der beiden Raume

ausgleichen und vom letzten Naherungspunkt aus emen moglichst nahen Punkt

im anderen Raume aufsuchen, oder aber die beiden dualen Arten von Ausglei¬chung \ on Anfang an parallel nebenemanderfuhren

Vol. X, 1959 Iterative Losung und Fehlerabschatzung m der Ausgleichsrechnung 263

Zur praktischen Durchfiihrung des erwahnten Uberganges ware im einzelnen

zu bemerken: Bei der vermittelnden Ausgleichung bewegen wir uns standig im

Raume F' und haben somit die Aufgabe, von einem Punkte x' einen Punkt x"

in F" aufzusuchen, das heisst einen Punkt, dessen f-Vektor orthogonal ist zu

den Spaltenvektoren der Matrix C des Fehlergleichungssystems, also C v"

= C (%" — /) = 0 («duale Bedingungsgleichungen»). Bei einer Aufgabe mit n Mes-

sungen und y Unbekannten darf somit iiber (n — y) Komponenten von x" frei

verfiigt werden; das Naheliegendste ist natiirlich, die entsprechenden Kompo¬nenten von %' zu iibernehmen. Fiir die restlichen y Komponenten liefert die

obige Bedingung ein Gleichungssystem. Nun wird man allerdings im allgemeinen

kaum, nur um Abschatzungen fiir (v,v) zu erhalten, nochmals ein Gleichungs¬

system vom gleichen Umfang wie dasjenige der Normalgleichungen auflosen

wollen. Jedoch ist in manchen praktischen Fallen die Matrix C sehr speziell ge-

baut und hat viele verschwindende Koeffizienten. Wenn zum Beispiel die Un¬

bekannten y einfach die y ersten Messvariabeln sind, dann ist der obere Teil von

C gerade die Einheitsmatrix, und die Bestimmung der fehlenden Komponentenvon x" wird trivial. Im 4. Teil wird ein einfaches Beispiel dieser Art ausgefiihrt.

Bei der bedingten Ausgleichung ist der umgekehrte Ubergang ganz entspre-

chend auszufiihren: vom letzten Punkt x" aus F" ist ein Punkt x' aufzusuchen,

der in F' liegt und somit die Bedingungsgleichungen erfullt: B x' + b — 0.

Auch hier gilt das oben Gesagte, das heisst, die Berechnung von x' lohnt sich

nur, wenn dies dank der speziellen Struktur von B ohne grosse Miihe geht. Im

4. Teil ist ein Beispiel aus der Vermessungskunde gegeben, bei welchem die Be¬

stimmung der restlichen /? Komponenten (/S = Anzahl der Bedingungsglei¬

chungen) eben noch ohne Auflosung von Gleichungssystemen moglich ist.

Hierbei ist zu beachten, dass man beim verfruhten Abbrechen einer be¬

dingten Ausgleichung in einem Punkt auf hort, der die Bedingungsgleichungennicht erfullt. Falls man dies nicht in Kauf nehmen will, ware auch aus diesem

Grund der Ubergang zu einem x' erwiinscht.

Die im folgenden beschriebenen Methoden beruhen auf der Ubertragungeines Gedankenkreises, der im Zusammenhang mit der Behandlung von par-

tiellen Differentialgleichungen der Physik entstanden ist, auf das Gebiet der

linearen Algebra. Es handelt sich um die von Synge und anderen entwickelte

«Method of the Hypercircle». Wir werden die Theorie so wenden, dass sie fiir

unsere Zwecke brauchbar wird. (Fiir eine knappe Einfiihrung siehe [7], aus-

fuhrlichin [2].)

3.2 Grobe Abschatzung

Es mogen die beiden folgenden dualen Probleme vorliegen:

I: Gesucht der Punkt in F' mit dem kleinsten Abstand vom festen Punkt I

aus F".

264 I'lTER Lu'CHir 7\\1I>

II: Gesucht der Punkt in F" mit dem kleinsten Abstand vom festen Punkt /aus F'.

F' und F" bind dabei zwei total senkrechte Ebenen im oben definierten

Sinne. Die gemeinsame Losung von I und II ist dann der einzige Schnittpunkt s

von F' und F" (Figur 3).r

r

x'

5 X" l__ r„

Schematische Darstellung der bciden total senkn ( hten Lbenen I<' mid F"

Sind nun x' undx" zweibeliebige Punktc ausF' und F", so ist (x' — s, x" — s)= 0, das heisst, s liegt nach dem Satze von Thales auf einer Hyperkugel iiber

x' — x" als Durchmesser. Daraus konnen zwei Nutzanwendungen gezogen

werden:

1. Nimmt man den Mittelpunkt c = (x' + x")\2 der Hyperkugel als Nahe-

rungslosung fiir unser Problem, dann weiss man, dass der Betrag des Fehlers

genau gleich dem Radius q = \x' — x"\/2 ist.

2. Betrachtet man die Hyperkugel iiber / — /, so liefert nach dem Satz von

Pythagoras

(f-s,f-s)+{l- s, I - s) =(/-/,/-/)

jede untere Schranke fiir den zu minimalibierendcn Abstand in Problem I eine

obere Schranke fiir Problem II, und umgekehrt.

Wir wollen diesen zweiten Punkt etwas naher ausfuhren und zugleich ver-

suchen, eine brauchbare Formel zu finden. Vorerst soil x' die Rolle von /

spielen, x' und x" seien zwei Naherungslosungen fiir s. x" gibt sofort eine obere

Schranke fiir II

(x' -s, x' - s)< {%' - x", x' - x") .

Ferner ist

(I — s, I — s) + (x' — s, %' — s) = (I — x', I — x') ,

und Subtraktion der beiden Zeilen ergibt

(I - s, I - s) ^ (/ - a', / - x') - (x' - x", %' - x") . (18)

Vol. X, 1959 Iterative Losung mid Fehlerabschdtzung in der Ausgleichsrechnung 265

Damit ist (I — s, I — s) von unten eingeschrankt (Problem I!). Es ist vielleicht

nicht uberflussig zu bemerken, dass die rechte Seite dieser Ungleichung im all-

gemeinen nicht durch den naheliegenden Ausdruck (I — x", I — x") ersetzt

werden darf. Die obere Schranke liefert x':

(l-s,l~s)^(l-x',l- x') . (19)

Denken wir nun wieder an die Ausgleichsrechnung, so erhalten wir fur das

(v,v) des ausgeglichenen Punktes, indem wir (18) und (19) zusammenfassen,

(v', v') - (x' - x", x' - x") ^ (v, v) g (v', v') , (20)

mit den Bezeichnungen s — I = v, x' — I = v'.

Entsprechende Ungleichungen konnten fiir das aquivalente Problem II an-

gegeben werden; diese interessieren jedoch hier nicht, da es sich bei beiden Aus-

gleichungsaufgaben lediglich um verschiedene Formulierungen von Problem I

handelt.

3.3 Feinere Abschatzung

Mit entsprechendem Mehraufwand lassen sich noch bessere Schranken an-

geben:Es sei ein Satz von v' linear unabhangigen Vektoren z[, parallel zu F',

gegeben. Die z\ spannen, von / aus abgetragen, eine /-dimensionale Teilebene

G' von F' auf (v' < Dimension von F'). Genau dasselbe mit den zweifach

gestrichenen Bezeichnungen gibt eine Ebene G" durch I. Es gilt somit

(*;. o = o (21)

fiir alle i und j. G' und G" werden im allgemeinen keinen Punkt gemeinsamhaben.

Wir suchen nun die beiden Punkte u' in G' und u" in G" mit dem kleinsten

Abstand | u' — u" \ .

Mit dem Ansatz

«' = / + 27«:<. (22)i

u" = l + 2J<< (23)

lautet die Minimumbedingung:

J- («'- u", «'- u") = 2 («' - u", zl) = 0 (i=l,2,...,v'), (24)

_d„- (u' - u", u' -u") = -2 («' - u", zl) = 0 (i=l,2,..., v") . (25)

266 Peter Lauchli zamp

Durch Einsetzen von (22) und (23) in (24) und (25) erhalt man

2J a.\{z\,z\) = (/-/,<) (i=l,2,...,v'),

J

ein Gleichungssystem fiir die <x;' und a". Setzen wir noch voraus, dass die z\ und

z" je ein Orthogonalsystem bilden:

[ fiir i / 7 ,

(2, . Z, ) = ° J

so wird die Auflosung trivial, und wir erhalten:

«' = / + V {lrr-? *,', (26)

«" = * - JT ~?J-S < • (27)

Bemerkung: Fiir einen beliebigen Punkt x' aus F' gilt:

(«' - x', z'l) = 0,

ferner (u" — u', z") = 0,

also («" - x', z") = 0

(t = 1, 2,

Das heisst aber, dass u" die Projektion von F' auf G" ist. Ebenso ist u' die Pro¬

jektion von F" auf G'.

Wie schon festgestellt, liegt s auf der Hyperkugel

(/ - x, I - x) = 0 (28)

uber / — I als Durchmesser.

Der Punkt s liegt aber auch auf samtlichen Hyperebenen (Hyperebene= (n — l)-dimensionale Ebene):

(«' -*,*,") =0 (i=l,2,...,v") , (29)

(u" - a;, z't) = 0 (« = 1,2,...,/). (30)

Deren Schnittgebilde ist eine (« — v' — v'^-dimensionale Ebene H, welche

sowohl auf G' als auch auf G" senkrecht steht.

Vol. X, 1959 Iterative Losung imd Fehlerabschatzung m der Ausgleichsrechnung 267

Also liegt s auf dem Hyperkreis, den die Ebene H aus der Hyperkugel (28)herausschneidet. (Wir halten uns hier an die Syngesche Terminologie, wonach

die Hyperkugel der geometrische Ort der Punkte mit konstantem Abstand von

einem festen Zentrum, der Hyperkreis das Schnittgebilde Hyperkugel-Ebeneist.)

Es lasst sich leicht einsehen, dass fur einen beliebigen Punkt x des Hyper-kreises (u' — x, u" — x) =- 0 gilt; das heisst, u' — u" ist ein Durchmesser:

Wegen der Orthogonalitat von G', G" und H

folgt aus (u' -/, u" -I) = 0

und (X -u', u" -I) = 0

(X -f, «"-/) = 0.

Zusammen mit (X -f,l~x) = 0

ergibt sich (X -/, u"-x) = 0.

Mit (/-- u', u" — x) = 0

schliesslich (X — u', u" — x) = 0.

Ahnlich wie friiher ziehen wir zwei Folgerungen:1. Nimmt man den Mittelpunkt c = («' + u")j2 des Hyperkreises als Nahe-

rungslosung fiir unser Problem, so ist der Betrag des Fehlers genau gleich dem

Radius q= \u' - u" |/2.

2. Fiir (s — I, s — /) - oder, wenn wir wieder die Bezeichnungen der Aus¬

gleichsrechnung einfuhren, fiir (v,v) - gilt folgende Abschatzung:

(«" - I, u" - I) ^ (v, v) ^ (u' -l,u' - I) (31)

Die Richtigkeit der ersten Ungleichung folgt daraus, dass s — u" in H liegt und

damit auf u" — I senkrecht steht; die zweite ist trivial. Die dualen Beziehungen

gelten naturlich fiir (s — /, s — /).Die einfachste Anwendung von (31) ergibt sich, wenn wie im Falle der

«groben Abschatzung» in jedem der Raume F' und F" nur je ein Naherungs-

punkt x' bzw. x" als bekannt vorausgesetzt wird. Die Ebene G' degeneriertdann zum Punkt x' = u', G" ist die Gerade durch x" und /. Mit v' =- x' — I,

v" = z" = x" — I ergibt sich aus (27) sofort:

und damit

(v", v")

Y,;--,.<(v,v)<(v',v')(v , v")— \ ' / — \ ' (32)

268 Peter I -vuchli zamp

Wir smd msofern berechtigt, (31) und speziell (32) erne «femere Abschat-

zung» zu nennen, als wir hier unter Voraussetzung der durch die Vektor-

systeme z't und z" aufgespannten Ebenen G' und G" die beiden optimalenPunkte x' und x" - namhch eben u' und u" - angeben, mit denen erne Abschat-

zung nach (20) gemacht werden kann u' liefert als Projektion von I auf G' tat-

sachlich die klemste obere Schranke von alien Punkten aus G'. Gehen wir

anderseits von emem behebigen Punkt x' in G' aus, so ist u" dessen Projektionauf G" und somit (x' — u', x' — «') der klemste Betrag, den wir von (x' — l,x' — I)abziehen konnen, das heisst, u" gibt die grosste untere Schranke von alien

Punkten aus G" Wegen der Orthogonalitat von x' — u" auf G" ist aber

{%' — I, x' — 1) — (x' — u", x' — u") gerade gleich (u" — I, u" — I).Man kann ferner zeigen, dass bei Hmzunahme ernes neuen z\ bzw. z" die

obere bzw. untere Schranke tatsachhch verbessert wird Sei u" der alte, u"+ der

neue Punkt. Da die Gheder der Summe (27) vonemander unabhangig smd und

zudem orthogonal vorausgesetzt wurden, ist u"+ — u" proportional zu dem zu-

satzhchen z" und steht senkrecht auf u" — I, also

« - /, u"+ -l)> («" - I, u" - I) .

Entsprechend gilt

« - /, «'T - /) > («' -/,«'-/).Da aber

(«' -l,u' -I) + («' - f,u' - f) = (I- f,l-f) = const

ist, gilt fur die obere Schranke

(u'+ — I, u'+ — I) < («' — l,u' — I) .

Damit smd die letzten zwei Behauptungen erwiesen.

3.4 Zusammenjassung der Abschatzungen

Es liege eine Ausgleichungsaufgabe vor (vermittelnd oder bedmgt), welche,

in die Sprache der Geometrie des Rn ubersetzt, folgendem Problem aquivalentist Gesucht ist der Punkt s in der Ebene F' mit dem klemsten Abstand von

emem festen Punkt I ausserhalb F'. Mit F" werde die zu F' total senkrechte

Ebene durch I bezeichnet. Man mochte nun, ohne den exakten Losungspunkt s

zu kennen, Schranken fur das Quadrat seines Abstandes von /, (v, v) haben (mder Ausgleichsrechnung Quadratsumme der Verbesserungen)

a) Grobe Abschatzung Aus F' und F" liege je em Naherungspunkt x' und

x" vor, x' ergabe sich als Naherungslosung bei emem iterativen Verfahren der

vermittelnden Ausgleichung, x" bei emem solchen der bedmgten Ausgleichung.Bezeichnet man die Abweichungen von I mit v = s — I, v' = x' — I, so gilt fur

Vol. X, 1959 Iterative Losung und Fehlerabschatzung in der Ausgleichsrechnung 269

das (v, v) des Losungspunktes die Abschatzung

(v', v') - (x' - x", x' - x") g [v, v) ^ {v't v'\ (20)

b) Feinere Abschatzung: Liegt aus F' und F" je ein Vektorsystem vor, wo-

durch die beiden Teilebenen G' und G" bestimmt werden, dann erhalt man die

engsten Schranken (20), indem man fiir x' und x" die beiden Fusspunkte u'

und u" der kiirzesten Verbindung von G' und G" setzt. (20) wird in diesem

Falle zu

I, u" -1)^. (v, v) ^ («' ~l,u' - I) (31)

und speziell, falls wie unter a) nur je ein Punkt x' und x" vorliegt, als Verbes-

serung der unteren Schranke von (20)

{v',v"Y

'Jv7', v"j< (v, v) < (v', v') (32)

mit

V = X — I,

V = x — I.

Die Berechnung der Punkte u' und u", welche im allgemeinen die Auflosungvon linearen Gleichungssystemen erfordert, reduziert sich bei orthogonalenVektorsystemen auf die Auswertung der einfachen Formeln (26) und (27).

3.5 Anwendung auf das Verfahren der konjugierten Gradienten

In diesem Abschnitt kommen wir nochmals auf das Verfahren der konju¬

gierten Gradienten zuriick und untersuchen, welche Folgerungen sich im An¬

schluss an die bisherigen Ausfuhrungen fiir dieses spezielle Verfahren ergeben.Es wurde bereits darauf hingewiesen, dass die Gewichtsvektoren des eg-

Verfahrens ein konjugiertes System bilden: (p{, A p}) = 0 fiir i 4= /.'In der

Ausgleichsrechnung fuhrt dies auf:

(«„ CT C e,)

(et,BBTe,)= 0.

Diese Beziehung sowie die Orthogonalitat der Residuen

(ri> ri) = 0 fur J ^ i

(33)

(34)

konnen als RechenkontroUen verwendet werden, indem man zum Beispiel in

jedem Schritt (qlt q%_x) und (rlt r,^) bildet.

270 Peter Lauchli zamp

Wegen A xt = A8 ql bedeutet aber (33), dass auch die Korrekturvektoren im

#-Raume ein Orthogonalsystem bilden:

(Ax„ Ax3) = 0 fur i # / . (35)

Die Tatsache, dass die Gewichtsvektoren beim allgemeinen cg-Verfahrenein kon]ugiertes System bilden und dass daraus bei der Anwendung auf die

Ausgleichsrechnung eine Orthogonalitat im hoherdimensionalen Raume der

Messvariabeln wird, zeitigt immerhin einige Konsequenzen:Zunachst ergibt sich daraus unmittelbar der folgende

Satz: Bei der bedingten Ausgleichung nach der Methode der konjugiertenGradienten wachst (v, v) monoton.

Dabei ist natiirlich vorausgesetzt, dass mit x0 = I gestartet wird.

Es seien im folgenden x', x" beliebige Punkte aus F', F"; x'„ x't' hingegenNaherungspunkte in der vermittelnden bzw. bedingten Ausgleichung nach

eg. Dann gilt wegen (35):

« - s, < - /) = 0,

aber auch

(s - x', x'[ - /) = 0

und damit

(x'! - x', x" - I) = 0 (36)und speziell

« " /- < - I) = 0. (37)

(/ ist, wie erinnerlich, der teste Punkt aus F', der zum ersten Male bei der Ein-

fiihrung des linearen Zusammenhanges zwischen Unbekannten und Messvaria¬

beln bei der vermittelnden Ausgleichung auftrat und der bei der bedingtenAusgleichung Anlass zum konstanten Vektor b in den Bedingungsgleichungengibt. Es wird im folgenden vorausgesetzt, dass die vermittelnde Ausgleichungin /, das heisst mit y0 = 0 beginnt.)

Entsprechend gilt natiirlich

(*; - x", x\ - /) = o

und speziell

(*; - l,x't - /) = 0. (38)

(37) und (38) reduzieren sich auf

(*, - t. «0 = 0 (39)

und konnen wiederum in jedem Schritt als Rechenkontrolle verwendet werden.

Die geometrische Interpretation der beiden Gleichungen fassen wir wieder

zusammen als

Vol. X, 1959 Iterative Losung und Fehlerabschatzung in der Ausgleichsrechnung 271

Satz: Bei der vermittelnden und bedingten Ausgleichung nach der Methode

der konjugierten Gradienten bewegt sich der Punkt x stdndig auf der Hyperkugeliiber f — I als Durchmesser.

(Bei homogenen Bedingungsgleichungen ist / = 0.)Zwei Bemerkungen zur vermittelnden Ausgleichung waren noch anzufiigen:1. Im ublichen Falle / = 0 fuhrt (39) wegen

«. *0 + {h K) = K +1>v',) = (*,'> v'>) = °

auf die bekannte Schlussprobe

(v,v) = -(l,v) , (40)

welche aber hier schon im Verlaufe der Rechnung standig erfiillt sein muss.

2. Nach dem Satz von Pythagoras folgt aus (38):

«, o = (/-*./-*)-(*:-1. < - /)

Der letzte Term dieser Gleichung wachst aber infolge der Orthogonalitat der

Ax\ monoton. Somit ware nochmals verifiziert, dass (v't, v[) monoton abnimmt.

Des weiteren soil untersucht werden, was bei der Anwendung des cg-Ver-fahrens aus den beiden Abschatzungen fur (v, v) wird:

a) Grobe Abschatzung: Wird vermittelnd ausgeglichen und von der letzten

Naherung x[ der Ubergang zu einem x" gemacht, so gilt mit v = s — I nach

Gleichung (20):

("',, <) - (*" - x't> x" ~ K) ^ (v> v) ^ (",'. K)

Die untere Schranke kann nicht durch (x" — I, x" — I) ersetzt werden, da dieser

Wert ohne weiteres grosser als (v, v) sein kann (siehe erstes Beispiel im 4. Teil).Im Falle der bedingten Ausgleichung bis x" mit Ubergang zu einem x'

wird aus Gleichung (20) :

(v't v') - {x'l - x', x'[ - x') ^ (v, v) ^ (v't v') .

Die linke Seite der ersten Ungleichung ist aber wegen (36) gleich

« - /, x'[ -1) = (,;, <),

also darf man hier ersetzen.

Zusammenfassend gilt somit folgender

Satz: Es werde nach dem Verfahren der konjugierten Gradienten ausgeglichenund vom letzten Naherungspunkt (x[ bzw. x") aus der Ubergang zum Orthogonal-raume (x" bzw. x') gemacht. Im Falle der vermittelnden Ausgleichung liefert x[die obere Schranke fur (v, v), die untere ergibt sich aus der groben Abschatzungs-

272 Peter Lauchli zamp

formel mit x\ und x". Bei der bedingten Ausgleichung gibt x" die untere Schranke,x' die obere; die Abschdtzungsformel liefert keine weitere Verbesserung.

b) Feinere Abschatzung: Fur die feinere Abschatzung mit dem Hyperkreishatten wir in Abschnitt 3.3 orthogonale Vektoren z\ und z" vorausgesetzt. Solche

Orthogonalsysteme liefert nun zwar das eg-Verfahren in der Gestalt der Ax[bzw. Ax", jedoch stellen wir leider fest, dass gerade infolge der Orthogonalitatder Korrekturvektoren die u\ mit den x't bzw. die u" mit den x" zusammenfallen

und damit Gleichung (31) keine engeren Schranken als die schon bekannten

(v'„ v't) und (v", v") ergibt. Das Verfahren bester Strategic liefert in diesem

Sinne nicht gratis noch zusatzliche Information:

Satz: Es werde gleichzeitig vermittelnd und bedingt nach dem Verfahren der

konjugierten Gradienten ausgeglichen. Die Korrekturvektoren A x[ bzw. A x" span-nen Teilebenen G' bzw. G" von F' bzw. F" auf. Die Fusspunkte u' bzw. u" der

kiirzesten Verbindung zwischen G' und G" fallen dann mit den letzten Ndherungs-

punkten x[ und x" zusammen.

So gibt zwar im Falle der vermittelnden Ausgleichung mit TJbergang von

x\ zu einem x" (32) die beste untere Schranke, hingegen ist bei der bedingten

Ausgleichung mit (32) nichts zu gewinnen.Der Beweis fur das Zusammenfallen von u[ und u" mit x\ und x" folgt leicht

aus den bisherigen Ausfuhrungen. Mit ganz entsprechender Begriindung wie

fur (36) gilt auch:

« - x', zJ*;'_j) = 0 fiir j=l,2,...,i, (41)

wobei Ax"_i =-- x" — x"_x. Da aber die Teilebene G" von F" (siehe Abschnitt 3.3)durch die Zl%"_i aufgespannt werden soil, ist x" nach (41) die Projektionvon x' auf G" und damit x" = u". Ebenso gilt dual x[ =- u[.

Diese Koinzidenzen konnen immerhin fiir eine zusatzliche Rechenkontrolle

ausgeniitzt werden: Nach (26) gilt in jedem Schritt (unter Weglassung der

Indizes):

A*= {i,-f-:^z'.(z , z')

Da aber z' = Ax' = Au', wird bei Beniitzung von (13):

()-', r')

(42)

und entsprechend bei der bedingten Ausgleichung:

-(l-f,9") = (r",r"). (43)

oder

(z', z') (I' q', V q') 1' [q\ q')

(I - f, q') = (/, /) ,

Vol. X, 1959 Iterative Losung und Fehlerabschatzung in der Ausgleichsrechnung 273

Falls schliesslich beim vermittelnden Ausgleichen die y mitgefiihrt werden,

diirfte noch folgende Rechenprobe willkommen sein:

(r'0,y) = (CTl,y) = (l,Cy) = (l,x') (44)

Entsprechend gilt in der bedingten Ausgleichung fur die Korrelaten t:

~(bJ) = (B f, t) = (/, BT t) = (/, v") = (x",v") . (45)

Fiihren wir die Widerspriiche w — BI + b ein, so folgt aus (45) durch Subtrak-

tion von (B I, t) = (I, v") wieder eine bekannte Schlussprobe:

(w,t) = (v",v") , (46)

welche infolge der Orthogonalitat der Korrekturvektoren beim eg ebenfalls

schon in jedem Schritt erfiillt sein muss.

Zusammenstellung der Rechenproben

Vermittelnde Ausgleichung | Bedingte Ausgleichung

(?». i,) 0 (* * /) (33)

(r„ r,) = 0 (*' # /) (34)

(*, - /, vt) = 0 (39)

(i - f. i) = K'. 0 (42) -{i-f.ql) = {<,<) (43)

K, y,) = {i, x[) (44) -(b,tt) =«,<)

-(w,tt) =«,<)

(45)

(46)

4. Beispiele

4.1 Nivellementsausgleichung [vermittelnd)

Alle drei Beispiele wurden vom Verfasser auf der elektronischen Rechen-

maschine der ETH (ERMETH) nach dem im 2. Teil beschriebenen Verfahren

der konjugierten Gradienten durchgerechnet. Dabei wurde von alien im Ab-

schnitt 3.5 angegebenen Rechenkontrollen Gebrauch gemacht.Im ersten Beispiel werden Nivellementsmessungen vermittelnd ausgegli-

chen. Es seien sechs Punkte A bis F so im Gelande verteilt, dass infolge der

Sichtverhaltnisse nur 12 Hohendifferenzen zwischen je zwei Punkten direkt

gemessen werden konnen (Fig. 4). (Wenn alle moglichen 15 Differenzen in die

Rechnung eingehen, wird die Sache zu «regelmassig», das heisst, die Eigen-

274 Peter Lauchli

werte der Matrix CT C fallen bis auf einen zusammen, und der cg-Algorithmusfiihrt schon in zwei Schritten zur exakten Losung, was bei unserem Beispielnicht erwiinscht ist.)

A

5

t 9

Figur 4

Beispiel einer Nivellementsausgleichung.

Als Unbekannte wahlen wir die Hohen / bis 5 der iibrigen fiinf Punkte

iiber A, welches der Anschlusspunkt zu einem anderen Netz sei.

Die Beziehung x = C y zwischen den 12 Messgrossen x und den 5 Unbekannten

y wird hier sehr einfach. Die Matrix C heisst, unter Beriicksichtigung der in

Figur 4 durch Pfeile angedeuteten Orientierung der Differenzen:

C =

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

-1 1 0 0 0

-1 0 1 0 0

0 -1 1 0 0

0 -1 0 1 0

0 0 -1 1 0

0 0 -1 0 1

0 0 0 -1 1

(Praktisch wiirde man nicht mit den Hohen selbst, sondern mit Korrekturen

rechnen, ferner waren die Fehlergleichungen mit verschiedenen Gewichten zu

versehen.)Fur unser Zahlenbeispiel nehmen wir:

-4,6 5,2 6,8 3,3 -0,9 -4,1 2,7Z = {7,1 -2,5 -3,4 0,7

Die exakte Losung

y = h ={-1,3 0,1 0,9 0,5 -2,9}

x = s = {-1,3 0,1 0,9 0,5 -2,9 1,4 2,2 0,8 0,4

wurde nach 5 cg-Schritten erreicht.

-0,4 -3,1

3,2}.

-3,4}

Vol X, 1959 Iterative Losung und Fehlerabschatzung in der Ausgleichsrechnung 275

Fur r]l = (vlt vt) ergaben sich folgende Werte (gerundet) •

Schntt * Vi

0 (Start) 266,190 = (I, /)

1 224,277

2 221,874

3 221,390

4 221,285

5 221,260 (exakt)

Diese Zahlen liefern obere Schranken fur (v, v) — y\h. Fur den Ubergang zu

Punkten x" aus F" hat man zu beachten, dass diese die Gleichung

CT(x"~l) = CTv" = 0 (47)

befnedigen mussen. Die Berechnung von x" wird dank dem speziellen Bau der

Matrix C hier trivial Wenn die letzten sieben Komponenten von x't (cg-Nahe-

rungspunkt) ubernommen werden, ergeben sich die ersten funf Komponentenvon x" direkt aus (47), ohne dass em Gleichungssystem aufzulosen ist. Im

dritten und vierten Schntt erhalt man so

(*a - x", x's - x") = 0,282 , (x[ - x", x[ - x") = 0,087

und damit nach (20) die folgenden Schranken •

3. Schntt 221,108 < (v, v) < 221,390

4. Schntt 221,198 < (v, v) < 221,285

221,260

Der selbe Punkt x" gibt im 4. Schntt mit der femeren Abschatzungsformel (32)die bessere untere Schranke 221,228.

An diesem Beispiel ist ersichtlich, dass der durch den Ubergang gewonnene

Punkt x" allem keine untere Schranke liefert, denn im vierten Schntt ware

zum Beispiel (x" — I, x" — I) m 226, also viel zu gross.

4.2 Tnanguherungsnetz (bedmgt)

Das zweite Beispiel stammt aus dem bekannten Handbuch von Jordan-

Eggert [8] (Beispiel aus der Badischen Tnangulation). Es handelt sich um

bedmgte Richtungsausgleichung in emem Tnanguherungsnetz, und zwar

wurden alle 12 Richtungen in emem Viereck gemessen (Figur 5).

276 Peter Lauchli zamp

Man iiberlegt sich leicht, dass das Problem acht Freiheitsgrade besitzt: in

jedem Punkt legt eine Richtung die Orientierung des betreffenden Satzes fest,

und durch vier weitere Richtungen ist die ganze Konfiguration eindeutigbestimmt. Die 12 Variabeln haben somit vier Bedingungsgleichungen zu er-

fiillen. Da die Bedingungen fiir die Winkelsummen nur drei unabhangige

Figur 5

Beispiel eincr Richtungsausgleichung.

Gleichungen liefern, hat man noch eine Seitengleichung heranzuziehen (dasheisst eine Gleichung, welche trigonometrische Beziehungen beniitzt und erst

linearisiert werden muss). Die Koeffizienten der Bedingungsgleichungen sind

unten angegeben. Wir miissen, da die Aufgabe schon sd formuliert ist, dass nur

noch die Verbesserungen als Unbekannte auftreten, nach unserer Bezeich-

nungsweise x = v, I = 0 setzen.

-3,02 8,00 -4,98 -0,22 2,56 -2,34 0 0 0 -4,97 4,49 0,48

_

-1 0 1-1 1 0 0 0 0 0-1 1B=

0 -1 1-1 0 1-110 0 0 0

i-l 1 0 0 0 0 0-11-1 0 1

I -2,90 |

Die Losungen sind (auf drei Stellen nach dem Komma gerundct):

t = h = {0,044 0,076 -0,229 -0,430},

X — V = s

= {0,222 0,148 -0,370 0,143 0,188 -0,331 0,229 0,201 -0,430 0,213 0,120 -0,333}.

Die (praktisch bedeutungslosen) Abweichungen von hochstens 5 Einheiten der

letzten Stelle gegeniiber den bei Jordan-Eggert [8] angegebenen Resultaten

ruhren davon her, dass unser Rechenautomat llstellig rechnet.

Vol X, 1959 Iterative Losung und Fehlerabschatzung in der Ausgleichsrechnung 277

Tabelle der rj, = (vt, vt):

Schntt i %

0 (Start) 0 (*o = /, va == 0)

1 0,109

2 0,623

3 0,814

4 0,821

Diese Werte bilden untere Schranken fur (v, v). Der Ubergang nach x' geht bei

diesem einfachen Beispiel noch ganz ohne Auflosung von Gleichungssystemen.Wir konnen uber 8 Komponenten von x' frei verfugen und ubernehmen daher

die 1.-4 und 9.-12. von x". Die resthchen Komponenten ergeben sich dann

sukzessive durch Einsetzen der schon bekannten in die Bedmgungsgleichungen,und zwai

die 8. Komponente aus der 4. Gleichung,die 5. Komponente aus der 2. Gleichung,die 6. Komponente aus der 1 Gleichung,die 7. Komponente aus der 3 Gleichung.

Dieser Obergang wurde lm zweiten und lm dritten Schntt ausgefuhrt und

damit je erne obere Schranke gewonnen. Die durch die r\t gegebenen unteren

Schranken lassen sich, wie in Abschnitt 3.5 erklart, mcht verbessern, also

2. Schntt 0,623 ^(v,v) ^ 2,525

3. Schntt 0,814 ^ (v, v) < 0,831

I0,821

Falls man sich nach dem dritten Schntt auf Grund der relativ engen

Schranken dazu entschhessen wurde, die Rechnung abzubrechen, so hatte man

tatsachlich v-Werte, welche um hochstens 50 Emheitcn der dritten Stelle nach

dem Komma falsch smd, was in diesem Falle wohl eben noch gestattet werden

konnte.

4.3 Approximation durch Polynom (vermittelnd und bedmgt)

Hier handelt es sich um em Schulbeispiel mit ganzzabhgen Losungen. Es

sollen 16 vorgegebene Punkte (Ordmaten Messvektor /) mit aquidistantenAbszissen durch erne Parabel 7. Grades approximiert werden. Die Ausgleichungwurde gleichzeitig vermittelnd und bedmgt durchgefuhrt

n = 16 Messvanable,

y = 8 Unbekannte (Koeffizienten der Kurvengleichung) ,

/? = 8 Bedmgungsgleichungen (8. Differenzen = 0).

Z\MP X/18

278 PtTER LAUCHLI

Ob man sich in einem konkreten Falle fiir die eine oder die andere Variante

entscheidet, hangt von der Anzahl der Punkte und dem Grad des verlangten

Polynoms ab. Ferner ist zu beachten, dass die bedingte Ausgleichung nur mit

den Ordinaten arbeitet und keine Kurvengleichung liefert. Die Koeffizienten-

matrix B der Bedingungsgleichungen ist einfach gebaut (Binomialkoeffizienten)und enthalt eine betrachtliche Anzahl Nullen.

In die Matrix C der Fehlergleichungen der vermittelnden Ausgleichung

hingegen gehen die Abszissen der Punkte wesentlich ein, da ja die Kurven¬

gleichung bestimmt werden soil. Die Matrix C wird im allgemeinen ausgefiilltsein und sich unter Umstanden sehr schlecht fiir die numerische Rechnung

eignen. Wenn als Unbekannte die Kceffizienten der Parabelgleichung

rj = c0 + cx £ + c2 f2 + • • • + cv_i £Y~1 gewahlt werden, so erhalt man schon

in unserem Beispiel mit y = 8 infolge numerischer Instabilitat uberhaupt keine

verniinftigen Resultate mehr. (Ich verdanke Herrn Professor Rutishauser den

Hinweis auf die Verwandtschaft der betreffenden GauBschen Matrizen CT C

mit den sehr schlecht konditionierten Hilbert-Matrizen.)Eine wesentliche Verbesserung ist zu erwarten, wenn die gesuchte Funktion

nicht nach Potenzen von |, sondern nach einem System von orthogonalen

Polynomen entwickelt wird. Wir machten den Versuch mit den auf das Intervall

[— 1, + 1] normierten Legendre-Polynomen Pv und wahlten die Abszissen der

16 Punkte von - 0,7 bis 0,8 im Abstand 0,1.

Es folgt eine Zusammenstellung der Daten, mit denen die Rechnung durch-

gefiihrt wurde:

P,(-0J) A(-0,7) . .. P,(-0,7)

P0(-0,6) iM-0,6) . • • P7(-0,6)

P0(0,8) P, (0,8) • • P,(0,8)

1 -0,7 0,235 . . -0,1501 . ..

1 -0,6 0,04 -0,3225 ...

1 -0,5 -0,125 .. -0,2231 ...

1 0,8 0,46 -0,2396 . ..

1 -8 28 -56 70-56 28 -8 1

1-8 28-56 70-56 28-8 1

1 -8 28-56 70 -56 28 -8 1

0

0

b = 0

1 -8 28 -56 70 -56 28

Vol. X, 1959 Iterative Losung und Fehlerabsclutzung m der Ausgleichsrechnung 279

Ferner

/ = {471 402 1024 -95 1228 -46 301 -100 -331 -354 -1018 95 -1214 78 -261 130}

Die exakte Losung

* = s = {451 542 604 605 528 374 161 -80 -311 -494 -598 -605 -514 -342 -121 110}

sollte theoretisch nach 8 Schritten erreicht werden.

Die tatsachlich erhaltenen Werte sind jedoch mit Rundungsfehlern behaf-

tet, und es zeigt sich, dass zusatzhche cg-Schritte noch eine Verbesserung der

Resultate bringen.Die Zwischenwerte der t]l = (v„ vt) sind, auf Ganze gerundet, in der folgen-

den Tabelle angegeben:

Schntt » tj't (vermittelnd) r\"t (bedingt)

0 (Start) 5 896874 = (/, /) 0 (x0 = /, v0 = 0)

1 3038088 2005649

2 2 892854 2692796

3 2757019 2745146

4 2 747769 2769706

5 2746849 2746 532

6 2 746439 2 745 534

7 2 745601 2745 565

8 2745601 2745600

9 2745600

Dies sind zugleich die besten, auf Grund des eg-Verfahrens erhaltlichen

Schranken fur den exakten Wert (v, v) = 2745600. Es fallt auf, dass in Schritt 4

und 5 das rj", im Gegensatz zur Theorie, grosser wird als der exakte (v, i>)-Wert.Diese Stoning, die auf Rundungsfehler zuruckzufiihren ist, verschwindet

interessanterweise spater wieder. Um an dieser Stelle dennoch verniinftigeSchranken zu erzwingen, wurde nachtraglich folgendermassen vorgegangen:

Es wurden zwei Punkte x' und x" bestimmt, moghchst nahe bei x[ und x"t,

welche aber, im Gegensatz zu diesen Naherungspunkten, wieder genau in F'

bzw. F" lagen, und mit ihnen die groben Schranken nach (20) berechnet, welche

nun sicher korrekt sind:

2745482 g (v,v) ^2747919.

Als Beispiel fur die Berechnung der Gewichtsmatrix P sollen die berech-

neten Zwischenwerte des ersten Diagonalelementes pu 4stellig bis zum 8. Schritt

280 Peter L\uchli zamp

angegeben werden. Was m weiteren Schritten noch dazukame, ware offenbar

sehr fragwiirdig. Im 8. Schritt sollten beide Zahlenfolgen theoretisch denselben

Wert erreichen.

Schritt t pj! (vermittelnd) pu (bedingt)

0 (Start) 0 1

1 0,1119 1

2 0,1558 1

3 0,1564 0,9991

4 0,3119 0,9920

5 0,3151 0,9900

6 0,8093 0,9899

7 0,8810 0,9899

8 0,9300 0,9898

LITERATURVERZEICHNIS

[1] E. Stiefel, Ausgleichung ohne Aufstellung der Gaufischen Normalgleichungen,Wissensch. Z techn. Hochschule Dresden 2, 441 (1952/53).

[2] J. L. Synge, The Hypercircle in Mathematical Physics (Cambridge UniversityPress, 1957).

[3] R. Zurmuehl, Piakiische Mathen.atik fur Ivgemevre und Physiker, 2 Aufl.

(Springer, Berlin 1957).

[4] E. Stiefel, Vber emige Methoden der Relaxationsrechnung, Z. angew. Math.

Phys. 3, 1 (1952).[5] E. Stiefel, Relaxationsmethoden tester Strategic zur Losung hnearer Glei-

chungssysteme, Comm. math helv 29, 157 (1955).

[6] M. R. Hestenes und E. Stiefel, Methods of Conjugate Gradients for SolvingLinear Systems, J. Res NBS 49, No. 6, 409 (1952).

[7] R Courant und D Hilbert, Methods of Mathematical Physics, 1st Englished (Interscience Publishers Inc., New York 1953), besonders S 252ff.

[8] W. Jordan und O. Eggert, Handbuch der Vermessungskunde, 1. Bd,

8. Aufl.

(J. B. Metzlersche Verlagsbuchhandlung, Stuttgart 1935), S. 225ff.

Summary

The paper begins with a short description of the theory of overdetermined

linear systems (Ausgleichsrechnung), using the notation of matrix-calculus.

The solution of such systems by means of relaxation-methods is then discussed.

In particular a broad description of the method of conjugate gradients is given.The algorithm avoids the use of the matrix of the normal equations.

Lastly the application of the 'method of the hypercircle', developed bySynge and others, to this problem of linear algebra is studied, with the aim of

finding upper and lower bounds for the sum of the square residuals - this sum

being a minimum for the solution of the system. To get these bounds, we need

approximate solutions obtained as intermediate values in an iterative process.

(Lingegangen 31 August 1958 )

LEBENSLAUF

Am 4. Juni 1928 wurde ich in Zurich geboren. Im Jahre 1931 siedelten

meme Eltern nach Wmterthur uber, wo ich seither immer gewohnt habe und

Pnmar- und Mittelschule durchhef Ich besuchte an der Wmterthurer Kantons-

schule das Realgymnasium und bestand im Herbst 1947 die kantonale Matu-

ritat vom Typus B Im folgenden Jahre absolvierte ich die Rekrutenschule

Im Herbst 1948 begann mem Studium an der Abteilung fur Mathematik

und Physik der Eidgenossischen Techmschen Hochschule. Es erstreckte sich,

mit der Abfassung der Diplomarbeit, uber neun Semester. Die mundliche Pru-

fung fur das Diplom in theoretischer Physik bestand ich im Herbst 1953.

Bereits ab Sommer 1952 erteilte ich als Vikar und als Hilfslehrer regelmas-

sig emige Stunden Mathematikunterncht an der Kantonsschule Wmterthur.

Diese Tatigkeit wurde bis Fruhjahr 1954 weitergefuhrt.Trotz memer offiziellen Studiennchtung Physik tendierte ich mit der Zeit

eher auf die mathematische Seite und erhielt auch die Erlaubnis, bei Herrn

Professor Stiefel schnftlich zu diplomieren, die Diplomarbeit behandelte em

Thema aus der Darstellungstheone Seit Anfang 1954 arbeite ich nun im In-

stitut fur angewandte Mathematik, welches unter der Leitung von Professor

Stiefel steht, und zwar zunachst als wissenschafthcher Mitarbeiter, seit Fruh¬

jahr 1956 in emem festen Anstellungsverhaltms. Ich hatte dort noch Gelegen-heit, m der Schlussphase der Entwicklungsarbeiten fur den elektronischen

Rechenautomaten ermeth mitzuwirken Spater beschaftigte ich mich vor

allem mit Programmierungsfragen und mit numenscher Mathematik.