Römerturm Version 1.4 - University Material · 2018. 7. 29. · ormelsammlungF...
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Formelsammlung Konstruktionselemente
Römerturm Version 1.4.5
Stefan Bürgel Andreas Jendrzey
Christoph Hansen
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Inhaltsverzeichnis
1 Festigkeitslehre 21.1 Spannungen . . . . . . . . 21.2 Widerstandsmomente . . 31.3 Mohr'scher Spannungskreis 41.4 Vergleichsspannungs-
hypothesen . . . . . . . . 51.5 Dauerfestigkeit . . . . . . 6
2 Achsen und Wellen 72.1 Auslegung von Achsen . . 72.2 Auslegung von Wellen . . 7
3 Federn 83.1 Grundlagen . . . . . . . . 83.2 Blattfedern . . . . . . . . 93.3 Drehfedern (Biegefedern) 11
3.4 Drehstabfedern . . . . . . 133.5 Schraubenfedern (Zug-
/Druckfedern) . . . . . . . 14
4 Schraubenverbindungen 17
5 Passfedern und Keilwellen 235.1 Passfedern . . . . . . . . . 235.2 Keilwellenverbindung . . . 24
6 Bolzen- und Stiftverbindungen 266.1 Stiftverbindungen . . . . . 266.2 Bolzenverbindungen . . . 27
7 Kupplungen 297.1 Einscheibenkupplungen . 297.2 Kegelpressverbindungen . 307.3 Klemmverbindungen . . . 32
8 Sonstiges 34
1
2 1 FESTIGKEITSLEHRE
1 Festigkeitslehre
1.1 Spannungen
Umrechnung zwischenSchubmodul G undElastizitätsmodul E
G =E
2(1 + µ)(1)
Für Stähle gilt µ = 0, 33
Scherspannungen Biegespannungen Torsionsspannungen
BiegespannungenσB =
MB
Wax(2)
Torsionsspannungen τt =Mt
Wt(3)
Für Kreis- und Rohrgeometrien ist Wt = Wp
ScherspannungenτA =
FAA
(4)
1 FESTIGKEITSLEHRE 3
1.2 Widerstandsmomente
Geometrie I W
Iax =πd4
64
Ip =πd4
32
Wax =πd3
32
Wp =πd3
16
Iax =π(d4a − d4i )
64
Ip =π(d4a − d4i )
32
Wax =π(d4a − d4i )
32 · da
Wp =π(d4a − d4i )
16 · da
Ix =bh3
12
Iy =b3h
12
Wx =bh2
6
Wy =b2h
6
Iax =b4
12Wax =
b3
6
Ix =bh3
36
Iy =b3h
48
Wx =bh2
24
Wy =b2h
24
4 1 FESTIGKEITSLEHRE
1.3 Mohr'scher Spannungskreis
Mohrischer Spannungskreis
max/min Spannnungen
σ1,2 =σx + σy
2± 1
2
√(σx − σy)2 + 4τ2xy (5)
Im Mohr'schem Spannungskreis be�nden sich dieseSpannungen bei den Nullstellen auf der Spannungs-achse, auch Hauptspannungen genannt.
gedrehte Spannungen
tan 2α =2τxy
σx − σy(6)
Der Winkel α gibt an, um wie viel Grad das Ko-ordinatensystem gedreht wird. Setzt man τxy = 0,erhält man den Winkel unter dem die Hauptspan-nungen auftreten.
1 FESTIGKEITSLEHRE 5
1.4 Vergleichsspannungshypothesen
Normalspannungshypothese(NSH)
σv =|σx + σy|
2+
1
2
√(σx − σy)2 + 4τ2xy (7)
Die Vergleichsspannung σv entspricht der maximalenNormalspannung.
Schubspannungshypothese(SSH)
σ1 > σ2 > 0 : σv = σ1 (8)
σ1 > 0 > σ2 : σv = σ1 − σ2 (9)
0 > σ1 > σ2 : σv = |σ2| (10)
Die Vergleichsspannung σv entspricht der maximalenSchubspannung.
Gestaltänderungshypothese(GEH)
σv =√σ2x + σ2
y − σxσy + 3τ2xy (11)
Diese Formel entspricht einem zweiachsigen Span-nungszustand. Für mehrachsige Spannungszuständesiehe Skript. I.d.R: τ2xy = τ2A + τ2t
6 1 FESTIGKEITSLEHRE
1.5 Dauerfestigkeit
Nomenklatur
βk Kerbwirkungsfaktorb1 Ober�ächenbeiwert (siehe Dia-
gramm: ad gegen Rm)b2 Gröÿenbeiwert (siehe Diagramm:
Wellendruchmesser)σz, sch Maximal auftretende Spannun-
gen bei reiner Zugschwellbelas-
tungσgak Ausschlagsspannung unter Berück-
sichtigung von Gestalt und Kerb-wirkung
σgk,zdw Zug- Druck Wechselspannungunter Berücksichtigung von Ge-stalt und Kerbwirkung
Dauerfestigkeitsdiagramm nach Smith
1. Reduktion
σ∗z, zul = Re · b2 (12)
σ∗zdw = σzdw · b2 (13)
σ∗z, sch = σz, sch · b2 (14)
σ∗a = σa · b2 (15)
2. ReduktionK =
b1βk
(16)
σgak = σ∗a ·K (17)
σgzdw = σ∗zdw ·K (18)
2 ACHSEN UND WELLEN 7
2 Achsen und Wellen
2.1 Auslegung von Achsen
erforderlicher Durchmesser
derf = 3
√32 ·MB, max
π · σB,zul(19)
Wenn sich der erforderliche Durchmesser dynamischzum momentanen Biegemoment bestimmt werdensoll, ergibt sich für derf = derf(x) und MB = MB(x).
2.2 Auslegung von Wellen
Nomenklatur
P Leistung, die die Welle überträgt.ω Winkelgeschwindigkeit.
n Drehzahl in min−1
Mv Vergleichsmoment
Drehzahl ω =2π · n
60(20)
Drehmoment M =P
ω(21)
erforderlicher Durchmesser
Mv =
√M2
B +3
4·M2
t (22)
derf = 3
√32 ·Mv
σzul · π(23)
Die Wirkung von Torsion Mt und Biegung MB wer-den im Vergleichsmoment Mv kombiniert.
8 3 FEDERN
3 Federn
3.1 Grundlagen
Hook'sches Gesetz Normalfedern: F = c · x [c] = N/mm (24)
Torsionsfedern: M = c · α [c] = Nmm (25)
FederarbeitNormalfedern: W =
1
2· c · x2 (26)
Torsionsfedern: W =1
2· c · α2 (27)
Reihenschaltung
1
cges=
1
c1+
1
c2+ · · ·+ 1
cn(28)
Für die Reihenanordnung von Federn gilt die Bedin-gung, dass auf alle beteiligten Federn die selbe Kraftwirkt. (F1 = F2 = · · · = Fn)
Parallelschaltung
cges = c1 + c2 + · · ·+ cn (29)
Für die Reihenanordnung von Federn gilt die Bedin-gung, dass alle beteiligten Federn den selben Wegzurücklegen. (s1 = s2 = · · · = sn)
Reihenschaltung Parallelschaltung
3 FEDERN 9
3.2 Blattfedern
Nomenklatur
b maximale Breite der Feder.b′ minimale Breite der Feder.b0 Breite der geschichteten Blattfeder.z Gesamtzahl der Blätter.
z′ Anzahl der Blätter mit der Gesamt-länge L.
s Dicke der Feder.f Federweg
Max. Biegesp. σb,max Max. Durchb. f Federrate c
Rechteckfeder b = b′ 6·F ·Lb·s2 4 · F ·l3
E·b·s3b·s3·E4·l3
Trapezfeder 6·F ·Lb·s2 4 ·X · F ·l3
E·b·s3b·s3·E4·X·l3
Dreiecksfeder b′ = 0 6·F ·Lb·s2 6 · F ·l3
E·b·s3b·s3·E6·l3
b′/b 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1X 1,5 1,39 1,315 1,25 1,202 1,16 1,121 1,085 1,054 1,025 1
Federweg (noch wichtig????)f = q1 ·
L3
b · s3 ·F
E(30)
maximaler Federwegfmax = X · σB,zul ·
2 · l2
3 · s · E (31)
10 3 FEDERN
Geschichtete Blattfedern
geschichtete Blattfedern
Geschichtete Blattfedern verhalten sich wie Trapez-federn mit folgenden Einschränkungen:
q1 =12
2 + z′z
(32)
b′ = z′ · b0 (33)
b = z · b0 (34)
3 FEDERN 11
3.3 Drehfedern (Biegefedern)
Nomenklatur
L Länge der abgewickelten Feder(Drahtlänge)
L∗ Länge einer WindungiF Anzahl der Windungenα0 Winkel der Federenden zueinander.a Abstand der unbelasteten Windun-
gen (in Rad)d DrahtdurchmesserDa Auÿendurchmesser der FederDi Innendurchmesser der FederDm Mittlerer Durchmesser der FederLK Gesamtlänge des Federkörpers
Belastung einer Drehfeder Geometrie einer Drehfeder
WicklungsverhältnisW =
Dmd
(35)
FedergeometrieDa = Dm + d (36)
Di = Dm − d (37)
L = iF · L∗ (38)
Länge einer Windung
Wenn (a+ d) ≤ 0, 25 ·Dm, dann gilt:
L∗ = π ·Dm (39)
anderenfalls gilt:
L∗ =√
(Dm · π)2 + (a+ d)2 (40)
12 3 FEDERN
Korrekturfaktor durchSpannnungserhöhungen ander Innenseite
q =W + 0, 07
W − 0, 75(41)
Beim Auslegen von Federn wird q = 1 gesetzt, späterwird dann der tatsächliche Wert von q bestimmt.
Spannungen in der Feder
σB =F ·H · 32
π · d3 · q (42)
Hierbei entspricht H dem Hebelarm, welcher dieKraft F zum Mittelpunkt der Feder aufweist. Alter-nativ kann auch M = F ·H gesetz werden.
Federrate c =Iax · EL
=M
α(43)
Winkel der Federendenzueinander
Die Nachkommerstellen von iF geben an, in welchemWinkel die Enden der Feder zueinander stehen. Die-sen Winkel nennt man auch gewickelten Grundwin-kel.
Gesamtlänge Federköper
Bei anliegenden Windungen:
LK = (iF + 1, 5) · d (44)
Bei Windungsabstand:
LK = iF · (a+ d) + d (45)
3 FEDERN 13
3.4 Drehstabfedern
Nomenklatur
lk Kop�ängelf federnde Länge (Länge eines reinen
Torsionsstab, der die selbe Feder-wirkung hätte)
lh Hohlkehlenlängele Ersatzlängelk Kop�änged Durchmesser im federnden Bereich
Drehstabfeder
Federgeometrie
lh =df − d
2·√
4r
df − d− 1 (46)
lz = l − 2 · lh (47)
le = ν · lh (48)
lf = lz + 2 · le (49)
Federrate
c =Mt
α=G · Iplf
(50)
Der Winkel ist in rad, zum umrechnen nutze:
[Grad] = [rad] · 360
2π(51)
14 3 FEDERN
Auslegung der Feder
Die maximale Belastung der Feder ergibt sich ausder maximalen Torsionsspannung, die aus der Ver-drillung resultiert.
Mmax = τzul ·π · d3
16(52)
3.5 Schraubenfedern (Zug-/Druckfedern)
Nomenklatur
s∗ Federweg pro Windungs Federweg der gesamten Federd DrahtdurchmesserDm Mittlerer Durchmesser der FederSa Restspielsumme (Sicherheitsab-
stand)is Anzahl der eingerollten oder einge-
schraubten WindungenLc Blocklänge der Feder (Alle Windun-
gen liegen aufeinander)Ln Nennlänge der Feder (minimale Fe-
derlänge)iG GesamtwindungszahliF Anzahl federnder Windungen
Federgeometrie siehe 3.3 auf Seite 11
Federrate c =G · d4
8 · iF ·D3m
(53)
FederkraftF = c · s s ist der Federweg (54)
Federweg s∗ =8 · F ·D3
m
G · d4 (55)
s = iF · s∗ (56)
WicklungsverhältnisW =
Dmd
(57)
Korrekturfaktor durchSpannnungserhöhungen ander Innenseite
q =W + 0, 5
W − 0, 75(58)
Beim Auslegen von Federn wird q = 1 gesetzt, späterwird dann der tatsächliche Wert von q bestimmt.
3 FEDERN 15
Spannungen in der Feder
Alle Spannungen in der Feder ausschlieÿlich durchTorsion:
τt = q · 8 · F ·Dm
π · d3 (59)
Das in diesem Belastungsfall wirkende Moment er-gibt sich aus:
Mt = F · Dm
2(60)
Kaltgeformte Druckfedern
ig = if + 2 (61)
Sa = if ·(
0, 0015 · D2m
d+ 0, 1 · d
)(62)
Ln = LC + Sa (63)
angelegte Enden:
LC = (ig + 1, 5) · d (64)
angelegte und plangeschli�ene Enden:
LC = ig · d (65)
ungespannte Länge der Feder:
L0 = Ln +F
c(66)
man braucht F zum erreichen der minimalen Nenn-länge
Blockkraft:
Fc = F + c · Sa (67)
man braucht F zum erreichen der minimalen Nenn-länge
(68)
16 3 FEDERN
Warmgeformte Druckfedern
ig = if + 1, 5 (69)
Sa = 0, 02 ·Da · if (70)
angelegte Enden:
LC = (ig + 1, 1) · d (71)
angelegte und plangeschli�ene Enden:
LC = (ig − 0, 3) · d (72)
Warmgeformte Zugfedern
abgebogene Ösen:
ig = if (73)
LC = (ig + 1) · d (74)
eingerollt oder eingeschraubte Enden:
ig = if + is (75)
Ösen:
Parallel if = x, 0 oder x, 5 (76)
Versetzt if = x, 25 oder x, 75 (77)
4 SCHRAUBENVERBINDUNGEN 17
4 Schraubenverbindungen
Nomenklatur
P Steigung in mm (Höhenunterschiedbei einem Umlauf)
α Windungssteigungswinkelβ Flankenö�nungswinkel (bei metri-
schen Schrauben β = 60 ◦)d2 mittlerer Flankendruchmesserd3 Kerndurchmesserd Nenndruchmesser (Gewindeauÿen-
druchmesser)dK Kopfdruchmesser (=Schlüsselweite)DB Bohrungsdurchmesser (Da wo die
Schraube rein soll, am besten klei-ner als Kopfdurchmesser)
rA Mittlerer belasteter Durchmesserdes Schraubenkopfs
AK Schraubenkopfau�age�ächeAS gefährdeter Spannungsquerschnitt
der Schraube (tabelliert)%′ Winkel des Reibungskegelsµ Reibungskoe�zientcs Federrate der Schraubecp Federrate der Zwischenlage
Φ KraftverhältnisΦn Kraftverhältnis unter Berücksichti-
gung des KrafteinleitungsfaktorFKL Klemmkraft (Kraft in der Verbin-
dungsfuge)FA Axiale Betriebskraft (Kraft, die
die verbundenen Teile auseinan-der zieht; immer Zugkraft!)
FS Schraubenkraft (Kraft in derSchraube, die die Schraube dehnt)
FSA SchraubenzusatzkraftFPA Kraft der ZwischenlageFVM MontagevorspannkraftFz Vorspannkraftverlust durch Setzer-
scheinungfz SetzbetragMG Moment am GewindeMK Moment am KopfMA Anziehmomentn KrafteinleitungsfaktorαA Anziehfaktor (Unschärfe bei der
Montage der Schraube)
Windungssteigungswinkel α = arctan
(P
π · d2
)(78)
Reibungswinkel %′ = arctan
(µ
cos(β2
)) (79)
Kraftverhältnis
Φ =cs
cs + cp(80)
Wenn die Krafteinleitungstiefe berücksichtigt wird(immer im Zusammenhang mit FA)
Φn =cs
cs + cp· n (81)
18 4 SCHRAUBENVERBINDUNGEN
Geometrie desSchraubenkopfs
rA =dK +DB
4(82)
AK =π
4· (d2k −D2
B) (83)
Es muss auf eventuelle Fasen an der Bohrung geach-tet werden, der Bohrungsdurchmesser DB vergröÿertsich entsprechend.
Wirkungsgrad η =tanα
tan(α+ %′)(84)
SetzkraftverlustFZ = fz · cp · Φ (85)
Durch Mikroplastizitäten in den Kontakt�ächen derVerbindung �ndet eine Entlastung der selbigen statt.
Montagevorspannkraft FVM,min = FKL + FA · (1− Φn) + FZ (86)
FVM = αA · FVM,min (87)
Moment zum Lösen derSchraube
FS = FKL + FA · (1− Φn) (88)
MLös = Fs · tan(α− %′) · d22
(89)
Moment am Gewinde ohne den Anteil des Setzbe-trags
Moment am KopfMK = FVM · µ · rA (90)
Moment am Gewinde MG = FVM ·d22· tan (α+ %′) (91)
AnziehmomentMA = MK +MG (92)
Pressung am Kopf derSchraube P =
FVM + FA · Φn
AK(93)
4 SCHRAUBENVERBINDUNGEN 19
Um die Federrate einer Schraube zu berechnen muss man sie zerlegen. Das geschiehtje nach Schraubenart wie unten dargestellt:
Abbildung 1: Normalschaftschraube
Die Berechnung erfolgt dann zuerst pro Zylinder so:
C =E ·Al
mit A =π
4·D2
Im oben dargestellten Fall würde sich die Gesamtfederrate so ergeben:
1
Cges=
1
C1+
1
C2+
1
CK+
1
CM+
1
CG
⇔ Cges =1
1C1
+ 1C2
+ 1CK
+ 1CM
+ 1CG
20 4 SCHRAUBENVERBINDUNGEN
Abbildung 2: Dünnschaftschraube
Die Berechnung erfolgt dann zuerst pro Zylinder so:
C =E ·Al
mit A =π
4·D2
Im oben dargestellten Fall würde sich die Gesamtfederrate so ergeben:
1
Cges=
1
C1+
1
C2+
1
C3+
1
C4+
1
C5+
1
CK+
1
CM+
1
CG
⇔ Cges =1
1C1
+ 1C2
+ 1C3
+ 1C4
+ 1C5
+ 1CK
+ 1CM
+ 1CG
4 SCHRAUBENVERBINDUNGEN 21
Spannungen in der Schraube
σv =
√(FVM + FSA
AS
)2
+ 3 ·(
16 ·MG
π · d33
)2
(94)
Es gilt FSA = FA · Φn. Die erhaltenen Vergleichss-pannung muss kleiner sein als die Streckgrenze Re
der Schraube. Diese ergibt sich aus den Festigkeits-angaben der Schraube bzw. Mutter. Die Bezeichnunglautet immer x.y wobei x = Rm/100 und y = Re/Rm
(es ist immer y < 1). Es gilt:
Re = x · 100 · y N/mm2 (95)
dynamisch belasteteSchrauben
1. Berechnung der Schraubenzusatzkräfte für beideAmplituden (FSA,1, FSA,2):
FSA =FA
1 +(cpcs
) (96)
2. Berechnung der Mittelspannung σv mit der gröÿe-ren Schraubenzusatzkraft gemäÿ Formel 94.
3. Ermitteln der mittlere SchraubenzusatzkraftFSA,m:
FSA,m =FSA,1 − FSA,2
2(97)
Diese ergibt mit dem Spannungsquerschnitt dieAusschlagsspannung σa:
σa =FSA,mAS
(98)
4. Im Betriebszustand pendelt die Spannung um±σaund hat die Mittelspannung σv.
Umso kleiner Φn ist, desto besser ist die Schraub-verbindung für dynamische Belastungen geeignet(Die Ausschlagsspannugen sind kleiner bei kleinemΦn). Es gilt die Römerformel σa ≤ 0, 07 · RE, istdiese Bedingung nicht erfüllt, müssen entweder mehrSchrauben verwendet werden oder der Faktor Φn
verkleinert werden.
22 4 SCHRAUBENVERBINDUNGEN
Schraubendiagramm einer dynamisch belasteten Schraube mit Setzerscheinung
Auslegung von Schrauben
1. Wahl der Festigkeitsklasse (wenn nicht anders an-gegeben: 8.8 / Re = 640N/mm2) und errechnenvon Re.
2. Ermittlung der zulässigen Spannung gemäÿ derRömerformel (µStahl = 0, 15):
σzul = (0, 85− µ) ·Re (99)
3. Bestimmung des Spannungsquerschnitts bei gege-bener Schraubenkraft FS = FKL +FA (Beim Aus-legen gilt, wenn nichts anderes angegeben: FA = 0;αA = 1):
AS ≥αA · FSσzul
(100)
4. Aus Tabellen kann mit dem gefundenen Span-nungsquerschnnitt eine Schraube ausgewählt wer-den. Mit der gewählten Schraube sollten Pressungund Spannungen überschlagsmäÿig überprüft wer-den, hierfür muss zunächst die Schraubenau�age-�äche AK berechnet werden.
5 PASSFEDERN UND KEILWELLEN 23
5 Passfedern und Keilwellen
5.1 Passfedern
Nomenklatur
d Wellendruchmesserb Passfederbreiteh Passfederhöhet1 Nuttiefe Wellet2 Nuttiefe NarbePN Pressung zwischen Passfeder und
NarbePW Pressung zwischen Passfeder und
Welle
l Gesamtlänge der Passfederltr tragende Länge der Passfederϕ Lastverteilungsfaktor (wie gleichmä-
ÿig werden die Passfedern belas-tet)
n Anzahl der PassfedernFu UmfangskraftM Moment auf die Welle
tragende Länge rundstrinige Passfedern: l = ltr + b (101)
gradstirnige Passfedern: l = ltr (102)
Pressung der Narbe auf diePassfeder
Wenn ltr ≤ 1, 2 · d:
PN =2 ·M
(h− t1) · ltr · d(103)
t1 aus Tabelle
Pressung der Welle auf diePassfeder
Wenn ltr ≤ 1, 2 · d:
PW =2 ·M
d · ltr · t1(104)
Es gilt der Grundsatz, dass Passfedern normalerweiseauf die Belastungen in der Narbe ausgelegt werden.
24 5 PASSFEDERN UND KEILWELLEN
mehrere Passfedern
Wenn ltr ≤ 1, 5 · d:
PN =2 ·M
(h− t1) · ltr · d · ϕ · n(105)
Für den Lastverteilungsfaktor gilt:
n = 2 : ϕ = 0, 75
n = 3 : ϕ = 0, 6
Der Term n · ϕ konvergiert gegen den Wert 2. DieErhöhung der Anzahl der Passfedern ist deshalb we-nig e�zient, wenn die tragende Länge ltr reduziertwerden soll.
Scherung in der Passfeder
τa =Fub · ltr
=2 ·Md · b · ltr
(106)
In der Regel ist die Berechnung der Scherspannungnicht erforderlich, da die wirkenden Pressungen vielgröÿere sind.
5.2 Keilwellenverbindung
Nomenklatur
h′ tragende Höhe (Anteil der Höhe derFlanken, die die Drehmomenteübertragen)
D Auÿendurchmesser der Keilwelle
d Innendurchmesser der Keilwelledm Mittlerer Durchmesser der KeilwelleL Verzahnte Länge der Keilen Anzahl der Flanken
tragende Höheh′ = 0, 4 · (D − d) (107)
tragende Längel ≤ 1, 3 ·D (108)
Mittlerer Durchmesser dm =D + d
2(109)
5 PASSFEDERN UND KEILWELLEN 25
Auf die Keile wirkendePressung
P =2 ·M
dm · h′ · L · n · ϕ(110)
Für den Lastverteilungsfaktor gilt:
Flankenzentrierung : ϕ = 0, 9
Innenzentrierung : ϕ = 0, 75
26 6 BOLZEN- UND STIFTVERBINDUNGEN
6 Bolzen- und Stiftverbindungen
6.1 Stiftverbindungen
Längsstift Steckstift Querstift
LängsstiftverbindungP =
4 ·ML ·D · d (111)
τA =2 ·ML ·D · d (112)
Steckstiftverbindung
Pmax =2 · Fd · s ·
(3 · l
s+ 2
)+ PMontage (113)
Maximale Pressung einer Steckstiftverbindung, dieim Sitz zu erwarten ist.Beanspruchung des Stifts:
τA =F
A=
4 · Fπ · d2 (114)
σB =MB
Wax=
32 · F · lπ · d3 (115)
Wenn beide Enden des Steckstifts versenkt sind, gilt(siehe Aufgabe 44):
P =F
d · s (116)
σB =MB
Wax=
32 · F · sπ · d3 · 2 (117)
6 BOLZEN- UND STIFTVERBINDUNGEN 27
Querstiftsverbindung
Wenn auf die Welle das Moment M wirkt, entstehtin der Narbe die Pressung PN und in der Welle diePressung PW:
PN =4 ·M
d · (D2a −D2
i )(118)
PW =6 ·Md ·D2
i
(119)
Der Stift erleidet Scherspannungen:
τA =4 ·M
π · d2 ·Di(120)
6.2 Bolzenverbindungen
Gabel-Welle Verbindung mit einem Bolzen
28 6 BOLZEN- UND STIFTVERBINDUNGEN
Biegemomente inGabel-Stange Verbindungen
Unterschiedliche Passungsverhältnisse für Gabel-Stange Verbindungen
Passung Gabel Passung Stange MB
Spiel SpielF · (L+ 2 · s)
8
Pressung SpielF · L
8
Spiel PressungF · s
4
Gabel-Stange Verbindung
Zwischen Bolzen und Stange wirkt die PressungPStange:
PStange =F
L · d (121)
Zwischen Bolzen und Gabel wirkt die PressungPGabel:
PGabel =F
2 · s · d (122)
Die Montagepressung PMontage wird beim auf Pres-sung beanspruchtem Element addiert. Der Bolzen er-leidet Scher- und Biegespannungen:
τA =2 · Fπ · d2 (123)
σB =32 ·MB
π · d3 (124)
Beanspruchung der Gabel
Wenn auf einen Bolzen, der in einer Gabel gelagertist, eine radiale Betriebskraft F wirkt, entsteht in derGabel eine Zugbeanspruchung σz:
σz =F
A=
F
2 · s · (D − d)(125)
Hierbei hat die Gabel den Durchmesser D und eineDicke s. Der Bolzen hat den Durchmesser d.
7 KUPPLUNGEN 29
7 Kupplungen
7.1 Einscheibenkupplungen
Nomenklatur
Ra Auÿenradius der KupplungsscheibeRi Innenradius der KupplungsscheibeS Axiale Betriebskraft
dm Mittlerer Durchmesser der Kupp-lungsscheibe
b Breite der Kupplungsscheibe
Geometrie der Kupplung
Hilfsgröÿenb =
Da −Di
2= Ra −Ri (126)
dm =DA +Di
2= Ra +Ri (127)
Moment im Neuzustand derKupplung M =
2 · S · µ3 · dm · b
·(R3a −R3
i
)(128)
Moment imGebrauchtzustand derKupplung
M = S · µ · dm2
(129)
Auslegung von Kupplungen
Kupplungen werden immer auf den Gebrauchtzu-stand ausgelegt, anschlieÿend wird dann das Momentim Neuzustand überprüft.Wenn bei der Kupplung N Reib�ächen entstehen,gilt für das gesamte übertragbare Moment Mzul:
Mges = N ·M (130)
30 7 KUPPLUNGEN
7.2 Kegelpressverbindungen
Nomenklatur
β Halber Ö�nungswinkel des KegelsDm Mittlerer Durchmesser des Kegels
SE Anpresskraft des KegelsL Länge des Kegels
Geometrie des Kegels
Krafteinwirkung auf den Kegel
7 KUPPLUNGEN 31
Mittlerer Durchmesser Dm =D0 +D1
2(131)
Kegelgeometrie
Kegelverhältnisse werden als B x : y angegeben. Diesentspricht:
C =x
y=D0 −D1
L(132)
Beispiel: B 1 : 10⇒ C = 0, 1Um den halben Ö�nungswinkel β zu erhalten nutztman:
β = arctanC
2(133)
Übertragbares DrehmomentM =
SE · µ ·Dm
2 · (sinβ + µ · cosβ)(134)
Auslegungsgleichung für Kegel-Welle Verbindungen
Kegelpressung P =2 ·M · cosβ
µ · π · L ·D2m
(135)
Pressung in der Fuge einer Kegel-Welle Verbindung
32 7 KUPPLUNGEN
7.3 Klemmverbindungen
Nomenklatur
DF Durchmesser der FugeDB Bohrungsdurchmesser für die
Schraube
FN Gesamte Radiale SpannkraftH Höhe der Klemmverbindung
geteilte (biegesteife)Klemmverbindung
M = µ · FN ·DF (136)
Die Klemmen werden bei diesem Typ auf Spielpas-sung ausgelegt. Die Krafteinleitung erfolgt über zweiPunkte.
geteilte (biegeweiche)Klemmverbindung
M = µ · FN ·DF ·π
2(137)
Die Klemmen werden bei diesem Typ auf Presspas-sung ausgelegt. Die Krafteinletung erfolgt über diegesamte Mantel�äche der Welle.
Biegestarre Klemmverbindung Biegeweiche Klemmverbindung
7 KUPPLUNGEN 33
geschlitzte Klemmverbindung
M = 2 · FS ·a+ k
b· µ ·DF (138)
P =FN3l ·DF
(139)
In der Verbindung treten folgende Kräfte auf:
FN 1,2 = S · a+ k
b(140)
FN3 ≈ 2 · FN 1,2 (141)
Für die Konstanten a, b, k gelten folgende Näherun-gen:
a ≈ 0, 5 ·DB + 0, 5 ·DF + c (142)
c ≈ 0, 1 ·DF (143)
b ≈ H +DF
4(144)
k ≈ 0, 1 ·DF (k ≈ 0, 05 ·DF . . . 0, 2 ·DF) (145)
Geschlitze Klemmverbindung Krafteinwirkung
34 8 SONSTIGES
8 Sonstiges
Reibung an Kreisringen
MR = FS · rm · µ (146)
rm =Da +Di
4(147)
Das ReibmomentMR entspricht einem Drehmoment,dass ensteht wenn ein Kreisring auf einer Ober�ächegedreht wird. Es wirkt der eigentlichen Drehbewe-gung entgegen.
Pressung auf nicht ebeneFlächen P =
F
Aproj(148)
mehrschnittigeScherspannugen
Wenn ein Element an n Stellen gleichzeitig ange-schert wird, spricht man von einer n-schnittigen Ver-bindung:
τA =F
A · n (149)
Seilreibung (Eytelwein'scheReibung)
Wenn ein Seil eine Achse mit dem Winkel α um-schlingt, gilt für die Reibung:
S1
S2= eµ·α (150)
Sicherheitsbeiwert S =F
Fzul(151)
