Rüdiger Scholz (Hrsg.) Optik - Praktikum Physik · Fourier-Optik beschreibt die Entstehung...

Rüdiger Scholz (Hrsg.)

Optik

Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover

Optik

Inhaltsverzeichnis

1 Literatur ...................................................................................................... 2

2 Licht - Modellvorstellungen ........................................................................ 3

2.1 Die elektromagnetische Welle ......................................................................... 3 2.2 Energietransport durch elektromagnetische Wellen ....................................... 4 2.3 Das Photon ..................................................................................................... 5 2.4 Beispiel: Photonen im Laser ............................................................................ 5

3 Ausbreitungsgesetze .................................................................................... 6

3.1 Huygenssches Gesetz ...................................................................................... 6 3.2 Reflexion......................................................................................................... 6 3.3 Lichtbrechung und Brechzahl ........................................................................ 7 3.4 Ausbreitung von Licht in Materie: Dispersion und Absorption .................... 9

4 Geometrische Optik .................................................................................. 14

4.1 Das Fermatsche Prinzip ................................................................................ 14 4.2 Das Lichtstrahlmodell ................................................................................... 14 4.3 Optische Abbildungen .................................................................................. 14 4.4 Prismen ......................................................................................................... 17

5. Wellenoptik ............................................................................................... 18

5.1 Kohärenz ...................................................................................................... 18 5.2 Interferenz und Beugung beim Einzelspalt .................................................. 19 5.3 Interferenz und Beugung an einer Lochblende ............................................ 21 5.4 Zweistrahlinterferenz (Doppelspalt) ............................................................. 22 5.5 Polarisation ................................................................................................... 24

6. Streuung ................................................................................................... 26

Impressum ......................................................................................................... 27

Bildverzeichnis ......................................................................................................... 27 Optik ........................................................................................................................ 27

1 Literatur

1. Vielfältige Literatur; interessante Querverweise zur Quantenmechanik: OSA Stuttgart 2. R. P. Feynman, R. B.Leighton, M. Sands: The Feynman Lectures on Physics; Addison Wesley;

Bilingua 1973 3. Demtröder, Experimentalphysik 2; Springer, Berlin Heidelberg, New York, 1995 4. Gertsen, Kneser, Vogel; Springer Berlin Heidelberg, 1986 5. R. P. Feynman: QED; Piper, 9. Aufl. 2003 6. R. W. Pohl, Optik und Atomphysik, Springer, Berlin Heidelberg, 1954, S.191 7. H. J. Eichler, H.-D. Kronfeldt, J. Sahm: Das Neue Physikalische Grundpraktikum, Springer, Berlin,

2005 8. Westphal, V., and S. W. Hell: Nanoscale Resolution in the Focal Plane of an Optical Microscope,

Phys. Rev. Lett. 94: 143903, (2005)

© 2013 ⋅ Rüdiger Scholz ⋅ Leibniz Universität Hannover ⋅ 2

Optik

2 Licht - Modellvorstellungen

2.1 Die elektromagnetische Welle Die Maxwell-Theorie beschreibt Licht als elektromagnetische Transversalwelle. Das bedeutet, elektrische und magnetische Felder breiten sich als Welle aus; die Feldvektoren stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Man kennzeichnet diese Welle durch eine elektrische Feldstärke ( );E r t

, die vom Ort r und von der Zeit t auf spezifische Weise abhängt. Die Physik beschreibt zahlreiche Phänomene, bei denen Störungen sich als Sinus- oder Cosinusfunktionen in den Raum ausbreiten: • Ein guter Dauerstrichlaser sendet

sinusförmige Lichtwellen einer bestimmten Frequenz ω aus.

• Die Zerlegung weißen Lichts in die Farbbestandteile durch ein Prisma lässt sich gut durch die frequenzabhängig unterschiedliche Ablenkung sinusförmiger Lichtwellen beschreiben.

• Die Fourier-Optik beschreibt die Entstehung räumlich sinusoidaler Hellig-keitsverteilungen (Stichwort: „Raumfre-quenz“) in der Brennebene von Linsen.

Es lohnt sich also harmonische Wellen zu diskutieren, bei denen die Ausbreitung der elektromagnetischen Störung durch einfache trigonometrische Funktionen beschrieben wird:

( ) 0; cos( )E r t E t k rω= ⋅ − ⋅

. (1)

Merkmale der Welle − weitere Näherungen

Die Polarisation der Welle ist durch die Richtung des elektrischen Feldvektors E

bestimmt. Zeigt 0E

stets in dieselbe Richtung, ist die Welle linear polarisiert; dreht sich 0E

mit konstanter Länge, ist die Welle zirkular polarisiert; ändert sich die Richtung von 0E

statistisch im Laufe der Zeit, nennt man die Lichtwelle unpolarisiert (s. Ziffer 5.5). Der Wellenvektor k

beschreibt das räumliche Ausbreitungsverhalten der Welle. Seine Richtung gibt die Ausbreitungsrichtung an, sein Betrag ist proportional zum Kehrwert der Wellenlänge. Ist der Wellenvektor parallel zum Ortsvektor, gilt also k r k r⋅ = ⋅

, liegt eine Kugel-(bzw. Kreis-)welle vor. Ändert sich k

dagegen nicht mit dem Ort, spricht man von einer ebenen Welle. In jedem Punkt einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle sind zu einem bestimmten Zeitpunkt die Werte des elektrischen und des magnetischen Feldes gleich. Solche Ebenen mit gleichen Verhältnissen werden auch Wellenfronten genannt.

2 Wellenfronten einer ebenen Welle

1 Die Welle: periodisch in Zeit und Raum


Optik

.r const= : Halten Sie den Ort fest, sehen Sie die Feldstärken der beiden Felder mit derselben Frequenz f und phasengleich schwingen. 2 fω π= ⋅ ist die Kreisfrequenz (vergl. Zeigerdarstellung von Schwingun-gen und Wellen1). t = const.: Zu einem festen Zeitpunkt ändert sich der Wert der Feldstärke in Ausbreitungsrichtung nach einer Sinusfunktion, wobei der Vektor k

senkrecht auf den Wellenfronten steht; sein Betrag ist

umgekehrt proportional zur Wellenlänge λ : 2k

πλ

= .

Innerhalb der Periodendauer 1T

f= legt die Welle den Weg c

c Tf

λ = ⋅ = zurück. c ist dabei die

Phasengeschwindigkeit der Welle und ergibt sich aus den elektromagnetischen Eigenschaften des

Mediums, durch das sich die Welle ausbreitet: 0 0

1

r r

cε ε µ µ

= .

Trigonometrische Funktionen sind unhandlich, man zieht die komplexe Schreibweise von Gl. (1) vor:

( ) ( )i( ) i( )0 0 0

1; cos( ) Re e e c.c.

2t k r t k rE r t E t k r E Eω ωω − ⋅ − ⋅= ⋅ − ⋅ = ⋅ = +

. (1)

2.2 Energietransport durch elektromagnetische Wellen In der elektromagnetischen Welle sind nach der Maxwelltheorie elektrische Feldkomponente E und magnetische H wechselseitig ständige Begleiter. Dabei sind diese Größen nicht unabhängig voneinander:

2 20 0r rE Hε ε µ µ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ .

Eine elektromagnetische Welle transportiert Energie − wie sonst sollten Radio und TV funktionieren? Die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes ist proportional zum Quadrat der Feldstärken

( )2 2 20 0 0

12elmag r r rw E H Eε ε µ µ ε ε= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ .

Daraus kann der Energietransport berechnet werden: Durchsetzt eine elektromagnetische Welle ein Flächenstück der Größe A (senkrecht zum Wellenvektor k

), so transportiert sie im Zeitintervall dt die kleine Energiemenge dW durch dieses Flächenstück:

20relmag

cdW w dV E A dt E H A dt

nε ε= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ .

In dieser Gleichung tritt das Produkt aus E und H auf. Allgemein werden die Richtung und der Betrag des Energieflusses einer elektromagnetischen Welle durch den Poynting-Vektor S E H= ×

gegeben. Als Intensität I bezeichnet man die Leistung pro Fläche I E H S= ⋅ =

([I] = [P/A] = Watt pro Quadratme-ter = W/m2). Für den zeitlichen Mittelwert der Intensität der Lichtwelle ergibt sich damit:

( )2 2 2 20 0 0 0

2 200 0 0

0

( ) cos

1 12 2

r r r

rr

r

dW c c cI t E E E t k r

A dt n n n

c E E

ε ε ε ε ε ε ω

ε εε εµ µ

= = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅⋅

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅

(2)

1 Lit. 1


Optik

2.3 Das Photon Die Maxwell-Theorie kann die Wechselwirkung einer elektromagnetischen Welle mit den Elektronen einer Antenne im Bereich von Radiofrequenzen sehr gut beschreiben. Ein Photodetektor, wie z. B. auch die Netzhaut im Auge, der zum Nachweis von Licht verwendet wird, misst dagegen den Energieübertrag auf einzelne Atome: Beim Fotoeffekt können aus einem monochromatischen Strahlungsfeld mit der Frequenz f nur Energieportionen der Größe W h f= ⋅ oder ganzzahlige Vielfache an das Material abgegeben werden. Man sagt, das Strahlungsfeld habe Photonen der Energie W h f= ⋅ abgegeben. Enthält das Strahlungsfeld die Photonen, auch ohne Wechselwirkung mit Materie? In einigen Fällen ist die Frage gut zu beantworten. Betrachten Sie z. B. das Strahlungsfeld eines Lasers. Im Laserresonator sind nur Strahlungsmoden möglich, die mit den Randbedingungen im Resonator verträglich sind. Die schließlich angeregten Moden werden mit Strahlungszuständen identifiziert, die mit Photonen besetzt sind. Photonen sind Quanten (= quantenphysikalische Erscheinungen) mit besonderen Eigenschaften: • Photonen haben Lichtgeschwindigkeit,

also die Ruhemasse 0. • Photonen wechselwirken nicht miteinander. • Photonen übertragen den Impuls

12

p h kπ λ

= ⋅ =

.

• Photonen haben den Spin 1 (Einheit 12

hπ

).

• Photonen gehorchen der Bose-Statistik. 2.4 Beispiel: Photonen im Laser Bei einer Leistung von P = 1 pW und bei einer Wellenlänge von λ = 630 nm kommt man auf gut 3 Mio. Photonen pro Sekunde:

12 91 6 1

34 8

1 10 630 10s 3,169 10 s .

6,626 10 3 10

P Pn

h f h cλ

− −− −

−

⋅= =

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅= = ⋅

⋅ ⋅ ⋅

Die Messung der Strahlungsintensität entspricht der Messung des Photonenflusses:

P h fI n

A A⋅

= = ⋅ .

Prozess Photonenenergie Frequenz Wf h=

Wärmestrahlung W < 1 eV f < 2,4⋅1014 Hz

Photoeffekt 1 eV <W < 100 keV 2,4⋅1014 Hz < f < 2,4⋅1019 Hz

Compton-Effekt 50 keV <W < 1 MeV; 1,2⋅1019 Hz < f < 2,4⋅1020 Hz

Paarbildung 1,022 MeV <W < 6 MeV; 2,45⋅1020 Hz < f < 14,4⋅1020 Hz

Kernphotoeffekt 2,8 MeV <W < 16 MeV; 6,7⋅1020 Hz < f < 38,4⋅1020 Hz

3 Spektrum elektromagnetischer Wellen


Optik

Sämtliche Verfahren, Photonen zu detektieren, beruhen auf diesen Prozessen. Manchmal (Gammaspektroskopie) braucht man Kaskaden unterschiedlicher Prozesse, um von hochenerge-tischer Strahlung schließlich beim Nachweis sichtbaren Lichts anzukommen. 3 Ausbreitungsgesetze

Feynman zeigt in seinem populären Buch zur QED, dass die bekannten Ausbreitungsgesetze für Licht, inkl. der geradlinigen Ausbreitung im Vakuum, aus einem konsequenten Photonenbild abgeleitet werden können2. Die klassische Physik diskutiert die Ausbreitungsphänomene im Wellenmodell. 3.1 Huygenssches Gesetz Das Huygenssche Gesetz führt die Ausbreitung von Wellen auf die Überlagerung sogenannter Elementarwellen zurück (Abb. 4): Jeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangs-punkt einer Kugelwelle. Alle Kugelwellen überlagern sich „automatisch“ zu den sich ausbreitenden Wellenfronten.

Die Wellenfronten entstehen „von allein“ bei der Überlagerung der Elementarwellen. 3.2 Reflexion Das Gesetz von Huygens eignet sich z. B. zur Veranschaulichung des Reflexionsgesetzes. Auf der reflektierenden Oberfläche entstehen beim Auftreffen von Wellenfronten jeweils Zentren für neue Elementarwellen (Abb. 5), die sich zu neuen Wellefronten überlagern. Das Brechungsgesetz α = β kommt bei dieser Konstruktion „wie von selbst“ heraus. • Weitere Details, wie ein Phasenwechsel bei der Reflexion bleiben bei dieser Modellbildung

unberücksichtigt. Da dieser für alle Sekundärwellen gleich ist, spielt ein solcher Phasensprung hier keine Rolle.

• Bei stumpfen, matten Oberflächen tritt diffuse Reflexion (Lambert-Reflexion) auf. In diesem Fall gilt für die zurückgestrahlte Lichtintensität I das Lambertsche Gesetz:

cos( )I θ∝ .

θ ist der Winkel zwischen der Flächennormale und der Beobachtungsrichtung.

2 Lit. 5

4 Konstruktion der Wellenfronten nach Huygens’ Prinzip

5 Reflexion


Optik

3.3 Lichtbrechung und Brechzahl Die Wechselwirkung von Licht mit Materie liefert eine Vielzahl von Phänomenen, zu deren Beschreibung quantenphysikalische Modelle notwendig sind. Unter sehr vereinfachenden Randbedingungen können Sie jedoch eine Perspektive „von weit oben“ einnehmen: In transparenter Materie ändert sich die Amplitude der Welle nicht. Die Lichtausbreitung wird in diesem einfachen Modell mit einer reellen Zahl erfasst, die einen Unterschied zur Ausbreitung im Vakuum beschreibt. Brechzahl Man bezeichnet den Quotienten aus der Phasengeschwindigkeit im Vakuum und der Phasengeschwindigkeit in der Materie als Brechzahl n:

0

Materie

1c

nc

= ≥ 3

Trifft eine ebene Welle, die sich in einem Medium 1 mit der Brechzahl n1 ausbreitet auf eine Grenzfläche zu einem Medium 2 mit der Brechzahl n2, so ändert die Welle, als Folge einer unterschiedlichen Phasengeschwindigkeit. ihre Ausbreitungsrichtung. Diese Richtungsänderung wird auch durch das Huygenssche Gesetz anschaulich (Abb. 7.): Von links oben läuft eine ebene Welle auf die Grenzfläche zu. Diese Grenzfläche wird Ausgangspunkt für Huygenssche Elementarwellen auch in den Bereich mit dem größeren Brechungsindex hinein. Die geringere Phasengeschwindigkeit führt hier jedoch zu „abgeknickten“ Wellenfronten (Tangentialebenen an die Huygensschen Kugelwellen). Zwei Medien mit unterschiedlichem n: Es sei ϕ1 (ϕ2) der Winkel der Ausbreitungsrichtung zum Einfallslot im Medium 1 (Medium 2), dann gilt das Snelliussche Brechungsgesetz:

1 1 2

2 2 1

sin( )sin( )

c nn

c nϕϕ

= = = . (3)

Einfallender, reflektierter und gebrochener Strahl liegen dabei in derselben Ebene. Welcher Anteil der Lichtwelle reflektiert wird und welcher durch die Grenzfläche hindurch in das zweite Medium gelangt, wird völlig durch die Brechungsindizes und die Polarisationsrichtung der einfallenden Welle (= Richtung der elektrischen Feldstärke in der Welle) bestimmt. Die Analyse führt auf die Fresnel-Formeln (s. Lit. 3). Dazu zerlegt man die elektrische Feldstärke des einfallenden Lichts in die Anteile parallel und senkrecht zur Einfallsebene (Abb. 8).

3 Natürlich ändert sich die Lichtgeschwindigkeit bei Eintritt in Materie nicht wirklich, die Überlagerung vieler unterschiedlich retardierter Anteile bewirkt dieses Phänomen; vgl. Lit. 2, Seite 31-2.

6 Brechzahl verschiedener Materialien bei ϑ = 20°C für Licht der

Wellenlänge 584 nm

8 Feldstärkekomponenten an der Grenzfläche

7 Lichtbrechung an der Grenzfläche


Optik

Es ist etwas mühsam, aber aus den Maxwellgleichungen können Sie nun die Reflexionskoeffizienten und Transmissionskoeffizienten für die Feldstärkekomponenten parallel und senkrecht zur Einfallsebene direkt aus den Brechzahlen berechnen (vgl. Lit.3):

; ; ;r tr t E EE Er t r t

E E E E⊥ ⊥

⊥ ⊥⊥ ⊥

= = = =

.

Abb. 9 zeigt den Verlauf für n = n2/n1 = 1,7, etwa die Verhältnisse beim Übergang Luft → Glas. Sie erkennen: Während transmittiertes und einfallendes Licht phasengleich sind, erfährt das reflektierte Licht einen Phasensprung von π. Betrachten Sie vier Spezialfälle: (1) n>1; Verlauf von Er∥ Er∥, also der reflektierte Anteil der Feldstärkekomponente parallel zur Einfallsebene, hat eine Nullstelle ϕB zwischen 0 und π/2. Das bedeutet • für Einfallswinkel kleiner als ϕB tritt ein

Phasensprung von π auf, für Einfallswin-kel größer als ϕB verschwindet dieser;

• Brewsterwinkel ϕB: für einen Einfallswin-kel = ϕB verschwindet diese Feldstärke-komponente ganz und das reflektierte Licht ist senkrecht zur Einfallsebene linear polarisiert. In diesem Fall beträgt der Winkel zwischen den Ausbreitungsrich-tungen des reflektierten und des transmit-tierten Anteils genau π/2 (Abb. 10). Setzen Sie diese Bedingung in Gl. 3 ein so erhal-ten Sie:

2

1

sin sintan

cossin( )2

B BB

BB

nn

nϕ ϕ ϕπ ϕϕ

= ⇒ = =−

. (4)

Klassische Interpretation (Abb. 10) Ist der Winkel zwischen den Ausbreitungsrichtungen der reflektierten und der transmittierten Welle gerade π/2, schwingt das Feld parallel zur Einfallsebene genau in Ausbreitungsrichtung der reflektierten Welle. Die derart angetriebenen Dipole strahlen in diese Richtung jedoch nicht (vgl. Richtcharakteristik der Dipolstrahlung, Lit. 3). Es bleibt also nur die Polarisationsrichtung senkrecht zu Einfallsebene.

(2) n > 1 und senkrechter Einfall: ϕ1 = 0:

1 2;

1 1n

r r t tn n⊥ ⊥

−= = = =

+ +

(5)

Für n = 1 wird findet keine Brechung statt: r = 0 und t = 1. Je größer der Unterschied zwischen den Medien wird (je größer n), desto weniger Licht wird transmittiert und desto mehr reflektiert.

9 Transmissions- und Reflexionskoeffizienten

10 Zum Brewsterwinkel


Optik

(3) n > 1 und Einfallswinkel ϕ1 = 90° (streifender Einfall)

1; 1; 0r r t t⊥ ⊥= − = = =

(4) n<1; vom optisch dichteren zum dünneren Medium Ist n < 1, geht also der Weg vom optisch dichteren zum dünneren Medium, dann sind Einfallswinkel ϕ1 möglich, für die sinϕ1 ≥ n gilt. Damit wäre sinϕ2 ≥ 1 nötig und keine Transmission mehr möglich. Der Grenzwinkel ϕG, für den gerade gilt sinϕG = n ist, heißt daher Grenzwinkel der Totalreflexion. 3.4 Ausbreitung von Licht in Materie: Dispersion und Absorption Mikroskopische Eigenschaften des Mediums wirken sich auf Details der Wechselwirkung von Licht und Materie aus. Bereits die klassische Interpretation des Brewsterwinkels diskutiert diesen als Folge der Wechselwirkung des Lichtfeldes mit den Elektronen des durchstrahlten Materials: (1) Dispersion I. A. ist n eine Funktion der Lichtwellenlänge. Abb. 11 zeigt eine typische Anwendung dieses Phänomens mit Glasprismen. Blaues Licht wird stärker gebrochen als rotes (normale Dispersion). Für Kronglas gilt4: rot: n(λ= 656 nm) = 1,514 blau: n(λ= 434 nm) = 1,528. Nach dem Snelliusschen Brechungsgesetz werden Lichter unterschiedlicher Farbe also in unterschiedliche Richtungen abgelenkt. Je größer die Dispersion, desto größer ist der Richtungsunterschied. (2) Absorption (Beersches Gesetz) Eine Ursache der Farbigkeit von wässrigen Farbstofflösungen ist, dass aus dem einfallenden (weißen) Licht Anteile mit bestimmten Wellenlängen „herausgefiltert“ werden. Man spricht hier auch von Absorption. Bei monochromatischem Licht nicht zu großer Intensität gilt: In einem homogenen Medium nimmt an jeder Stelle die Intensität proportional zur Eindringtiefe dx ab. Die prozentuale Abnahme dI/I ist dabei von der Intensität unabhängig, nimmt aber proportional zur Konzentration zu:

MdI

C dxI λε= − ⋅ ⋅ .

( ) 0e MC dI d I λε− ⋅ ⋅= (Beersches Gesetz). (6)

I0 = I(0) ist die Anfangsintensität. Der Index beim so genannten Extinktionskoeffizienten ελ weist auf dessen Wellenlängenabhängigkeit hin (vergl.: Absorptionsspektroskopie). Die Lichtintensität nimmt in diesem Modell exponentiell mit steigender Konzentration des gelösten Stoffes oder bei konstanter Konzentration mit zunehmender Schichtdicke d ab.

4 Website der Schott Glaswerke: www.schottglaswerke.de

11 Dispersion bei Kronglas: Prisma

14 Lichtabsorption in einer Farbstoffküvette

(Quelle:: Wikimedia)


Optik

(3) Ein mikroskopisches Modell: Dispersion und Absorption sollen nun im Rahmen einer linearen Optik kleiner Lichtleistungen durch die Berechnung der lichtinduzierten Polarisation isotroper nicht ferromagnetischer (µr = 1) Medien beschrieben werden (die leicht verfügbaren großen spektralen Leistungsdichten der Laser haben darüber weit hinausgehend mit der nichtlinearen Optik ein vielfältiges und an überraschenden Phänomenen überaus reiches Gebiet eröffnet). 1. Schritt: Das Licht induziert im Medium durch Ladungsverschiebung ein Dipolmoment Die Wechselwirkung der elektromagnetischen Welle mit den Molekülen des Mediums beschränkt sich in diesem Modell auf die Verschiebung der Ladungsschwerpunkte durch Einwirkung des elektrischen Feldes E (deshalb „Verschiebungspolarisation“). Somit werden im Medium molekulare Dipolmomente induziert. Optisch relevant ist diese Verschiebungspolarisation, da diese mit einer Einstellzeit von unter 10−14 s den optischen Frequenzen folgen kann. Die Verschiebung von Ladungsschwerpunkten in Kristallgittern ist langsamer (≈10−11 s) aber auch noch optisch wirksam. Die Ausrichtung polarer Moleküle in Wasser ist noch langsamer. Hier wirkt Wärmestrahlung. Für isotrope Medien (keine Doppelbrechung) und schwache elektrische Felder (keine starken Laser), sind induziertes Dipolmoment und lokale Feldstärke am Ort des Moleküls einfach durch die skalare Polarisierbarkeit α ([α] = C⋅m2/V) verknüpft

ind .Eµ α= ⋅

(7)

Geht man davon aus, dass das molekulare Dipolmoment für alle Moleküle gleich ist, ergibt sich die Polarisation durch Multiplikation mit der Dichte polarisierbarer Moleküle NV.

ind .V VP N N Eµ α= ⋅ = ⋅ ⋅

(8)

2. Schritt: Die frequenzabhängige Polarisation des Mediums Die Welle (Gl. 1; zur Vereinfachung wird der zweite Summand hier nicht explizit aufgeschrieben, denken sie sich ein „+c.c.“) bewirkt eine ständige Umpolarisierung des Materials durch Auslenkung x eines Elektrons aus der Gleichgewichtslage. Als Modell für diesen Vorgang dient der angetriebene gedämpfte Oszillator. Für isotrope Medien können Sie skalar rechnen (s. o.); nach Newtons Grundgleichung gilt dann (Ladung e; Masse me, Zeitkonstante für die Dämpfung τD = 1/β; Ladung e, Resonanzfrequenz ω0):

22 i( )0 02

D

d 1 de

d dt k r

e e e

x xm m m x e E

t tωω

τ− ⋅⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

.

Der Lösungsansatz ( ) i( )0e

t k rx t x ω − ⋅=

liefert:

( ) ( )2 20 0 0 0 0

0 02 20

2

ind,0 0 02 20

i

1i

1i

e e e

e

e

m x m x m x e E

ex E

m

ep e x E

m

ω β ω ω

ω ω ωβ

ω ω ωβ

⋅ − + ⋅ + = ⋅

= ⋅ ⋅− +

= ⋅ = ⋅ ⋅− +

Mit Gl. 7 folgt damit die gesuchte Beziehung für die Polarisierbarkeit α: 2

2 20

1ie

em

αω ω ωβ

= ⋅− +

. (9)


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3. Schritt: Dielektrizitätskonstante εr, elektrische Suszeptibilität χe, Brechungsindex n

Die Polarisierbarkeit ist mikroskopisch, „von außen“ nicht messbar. Für statische Felder ist sie jedoch direkt mit der elektrischen Suszeptibilität χe = εr − 1 verknüpft, die den Zusammenhang zwischen von außen wirkender elektrischer Feldstärke und Polarisation herstellt. Hier wird nun diese Beziehung durch n2 = εr(ω) auf optische Felder erweitert:

( )( )e 0 ext r 0 ext1P E Eχ ε ε ω ε= = −

.

Wie oben begründet, können Sie auch hier skalar rechnen. Die Feldstärke E am Molekülort setzt sich aus der externen Feldstärke der Welle Eext und dem Feld der Polarisationsladungen um das betrachtete Molekül herum, dem so genannten Lorentzfeld EL, zusammen: E = Eext + EL; EL = P/(3ε0). Mit Gl. (8) und Gl. (9) folgt

( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )( )( )

( )

e 0 ext r 0 ext

r 0 extext ext

0 0

r

r 0

2 20

2 2 22 20 0 00

0 0

1. 1

12.

3 3

1(3.)

2 3

1 11 1 1 .

i1 i3 3

V V V

V

V

V Vr

V Ve e

e

P E E

EPP N E N E N E

N

NN e N e

N N em mm

χ ε ε ω ε

ε ω εα α α

ε ε

ε ω αε ω ε

αεε ω α ε ε ω ωβω ω ωβε ε

= = −

− = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⇒

− ⋅= ⇒

+

⋅

= + = + ⋅ = + ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ Ω − +− − − +

(10)

Anmerkungen: Gl. 10/(3.) ist die Clausius-Mossotti-Gleichung. Die Größe e2NV/(ε0me) wird als Plasmafrequenz ωP bezeichnet. In Materialien mit freien Elektronen, z. B. in einem Plasma oder in Metallen, beschreibt diese Größe die optischen Eigenschaften. Einer Anregung mit einer Frequenz kleiner als ωP können die beteiligten Elektronen praktisch ohne merkbare Verzögerung folgen. Eine elektromagnetische Welle deren Frequenz kleiner als ωP ist, wird somit „kurzgeschlossen“, d. h., fast vollständig reflektiert. Ein Medium, dessen Plasmafrequenz kleiner ist als die Frequenz der Welle ist dagegen transparent. In Metallen ist N ≈ 1028 1/m3. Daraus errechnen Sie ωP ≈ 5⋅1015 1/s, entsprechend einer Lichtwelle mit einer Wellenlänge von 380 nm. Metalle reflektieren daher im Sichtbaren und sind im UV transparent. Durch die elektrische Polarisation wird die Resonanzfrequenz ins Rote verschoben: Ω0 = ω0 − ωP/3. εr(ω) ist komplexwertig und beschreibt daher Absorption und Phasenverschiebung:

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 2 20

2 22 20 0

2

2 22 20 0

' ''

' 1

'' .

r

V

e

V

e

i

N em

N em

ε ω ε ω ε ω

ωε ωε ω ωβ

ωβε ωε ω ωβ

= +

Ω −= + ⋅

⋅ Ω − +

= ⋅⋅ Ω − +

(11)

Der Brechungsindex folgt aus Gl. 11 ebenfalls als komplexe frequenzabhängige Größe n = n’ − iκ:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2' i ''

' i .r n

n n

ε ω ε ω ε ω ω

ω ω κ ω

= + =

= −


Optik

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

2 2 2 2 2 2

' ' ; '' 2 '1 1

' ' '' ' ; ' '' ' .2 2

n n

n

ε ω ω κ ω ε ω ω κ ω

ω ε ω ε ω ε ω κ ω ε ω ε ω ε ω

= − = − ⋅ ⋅

= + + = + −

4. Schritt: Absorption und Phasenverschiebung Betrachten Sie eine ebene Lichtwelle in einem Medium. Die Wechselwirkung mit dem Medium führt zu einer Änderung des Wellenvektors im Vergleich zum Vakuum-Wellenvektor

0 0

0

;k n k kcω

= ⋅ =

.

Ohne Einschränkung können Sie die Ausbreitungsrichtung in z-Richtung legen.

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

00 0 0

0 00

i( ' i )i( ) i( ' )i( )0 0 0 0

i ' 1 i0

, e e e e e

, e e e

zt n k zt nk z c t n k zt kz

n k z t k zk z

E z t E E E E

E z t E

ωκω κω ωω

ωκ

−− −− −−

− − −−

= = = =

= ⋅ ⋅. (12)

Der letzte Exponentialfaktor beschreibt die ungestörte Welle (im Vakuum). Der zweite, von n’ abhängige, verschiebt die Phase beim Durchgang der Welle durch das Medium. Die Frequenzabhängigkeit dieses Anteils ist Ursache der Dispersion. Wie der erste Exponentialfaktor zeigt, ist der imaginäre Anteil des Brechungsindex (−iκ) für die Absorption verantwortlich. Nach dem Wegstück z = 1/(κ⋅k0) ist die Amplitude auf das 1/e-Fache der Amplitude E0 abgesunken. Die Eindringtiefe ze berechnet sich über die Intensität (∼ |E|2): I(ze) = I(0)/e.

( )( )

0

0 e

20

2 1e 0 0

0 0e

0

e

e e1

.2 2 4 4

k z

k z

I z I

I z I I

c cz

k f

κ

κ

λκ κ ω π κ π κ

− ⋅

− ⋅ −

=

= =

= = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

κ hängt also eng mit dem in Gl. 6 eingeführten Extinktionskoeffizienten zusammen, wie ein direkter Vergleich von Gl. 12 und Gl. 6 zeigt:

00 e

1 42 2MC k

c zλω π κε κ κ

λ⋅

⋅ = = = = .

5. Schritt: Merkmale der Linienform In Gl. 11 verbirgt sich jeweils für die Absorption und die Dispersion eine typische Frequenzabhängigkeit. Die Lage der Resonanz wie auch die das Verhalten dicht neben der Resonanz bezeichnet man zusammengenommen als Linienform. Die Lage der Linienmitte liefert die Resonanzfrequenz, ihre Breite ist umgekehrt proportional zur Lebensdauer τD der induzierten Schwingung.

15 Dispersionslinie (oben) und Absorptionslinie (unten). Die Breite

der Absorptionslinie ist („full width at half maximum“) 2∆ω1/2 = 1/τD = β


Optik

Beispiel: Dispersion und Absorption bei Kochsalz (NaCl) Gl. 11 unterstellt, dass nur eine Resonanzfrequenz das Profil bestimmt. Das ist in vielen Fällen falsch. Sind mehrere Resonanzen an der Dispersion und Absorption beteiligt, lassen sich diese recht gut durch einen Ansatz beschreiben, bei dem über die Beiträge der verschiedenen Resonanzen summiert wird, die mit einer „Oszillatorstärke fi“ zur Linienform beitragen:

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 22

2 22 20

2

2 22 20

' ''

' 1

'' .

r

i iV

ie i i

i iV

ie i i

i

fN em

fN em

ε ω ε ω ε ω

ωε ω

ε ω ωβ

ωβε ω

ε ω ωβ

= +

⋅ Ω −= + ⋅

⋅ Ω − +

⋅= ⋅

⋅ Ω − +

∑

∑

(13)

Kochsalz hat eine Resonanz im Infraroten (bei λ0 = 61 µm; Ω0 = 3,09⋅1013 s−1; β ≈ 1,28⋅1012 s−1) und eine im Ultravioletten (λ0 = 80 nm; Ω0 = 2,12⋅1016 s−1; β ≈ 2,38⋅1015 s−1). Für Abb. 16 wurden konkrete Messdaten verwendet (R. Geick: Zeitschrift f. Physik, 166, 122−147 (1962)). Für die Anpassung wurde mit den folgenden Werten gerechnet: NV = 2,38⋅1028 1/m3; f1 = 8,5 und f2 = 4,73⋅10−5. Die Fehlerbalken zeigen den typischen Fehler von 10% bei der Absorptionsmessung. Bei der Absorptionslinie sind Abweichungen der Messwerte von der einfachen Linienform an der kürzerwelligen Flanke erkennbar. Um diese Feinheiten besser beschreiben zu können, bedarf es einer quantenmechani-schen Rechnung. Licht mit der Resonanzwellenlänge λ= 61⋅10−6 m hat in NaCl (κ = 6,5) also eine Eindringtiefe von z0 = 7,5⋅10−7 m.

16 Dispersionslinien (links) und Absorptionslinien (rechts) beim NaCl-Kristall; oben für die komplexe Dielektrizitätszahl ε = ε’ + iε’’,

unten, daraus berechnet, der komplexe Brechungsindex n = n’ −iκ. Beachten Sie: Die Dispersionsdarstellung erstreckt sich über mehr als drei Dekaden


Optik

4 Geometrische Optik

Die Gesetze der geometrischen Optik sind gut erfüllt, wenn die Objekte, die mit den Lichtbündeln in Wechselwirkung stehen, groß sind im Vergleich zur Wellenlänge und wenn die Gesetze der linearen Optik gelten. Zwei Grundaxiome bestimmen dann die geometrische Optik (das Fermatsche Prinzip und das Superpositionsprinzip). 4.1 Das Fermatsche Prinzip Lichtwege sind stets die optisch kürzesten.5 4.2 Das Lichtstrahlmodell • Licht breitet sich in optisch homogenen Medien geradlinig aus (folgt aus 4.1). • Alle Lichtwege sind umkehrbar. • Superpositionsprinzip: Sich gegenseitig durchdringende Lichtstrahlen beeinflussen sich nicht. • Es gelten das Reflexions- und das Brechungsgesetz (folgt aus 4.1). 4.3 Optische Abbildungen Für eine optische Abbildung werden Lichtstrahlen, die von einem Punkt eines Gegenstandes ausgehen wieder in einem Bildpunkt vereinigt. Dünne Linsen Bei dünnen Linsen kann man die Brechung an den beiden Linsenoberflächen durch eine einzige an der Linsenmitte ersetzen. Das Bild eines Gegenstandes lässt sich stets mit den 3 ausgezeichneten Strahlen konstruieren (Abb. 11): Parallel-, Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl. Aus dem Strahlensatz können Sie die Abbildungsgleichung für dünne Linsen ableiten (Abb. 17).

1 1 11

B b b f bG g f f g b f

−= = = − ⇒ + = (14)

Die Brechkraft einer Linse ist der Kehrwert der Brennweite.

[ ]1 1; 1 dpt (1 Dioptrie)

mD D

f= = =

Der Abbildungsmaßstab ist das Verhältnis

B bV

G g= = . (15)

Vorzeichenregeln

Symbol + −

Brennweite f Sammellinse Zerstreuungslinse Gegenstandsweite g reelles Objekt virtuelles Objekt Gegenstandsgröße G aufrecht stehend umgekehrt Bildweite b reelles Bild virtuelles Bild Bildgröße B aufrecht stehend umgekehrt

5 Vgl. Lit. 2; Bd. 1, S. 355

17 Abbildung mit dünner konvexer Linse


Optik

Dicke Linsen und Linsensysteme

Bei dicken Linsen und Linsensystemen reicht eine einzige Brechungsebene für die Konstruktion nicht aus. Man kann aber in diesen Fällen die Brechung an allen Linsenoberflächen durch die Brechung an lediglich zwei Brechungsebenen, den Hauptebenen (Hg und Hb in Abb. 18), ersetzen. Dies sind zwei Ebenen, die sich kongruent ineinander abbilden (und die es bei jedem System gibt). Der tatsächliche Verlauf der Strahlen durch das Linsensystem wird ersetzt durch parallele Strahlen zwischen den Hauptebenen und die Bildkonstruktion gelingt mit den drei ausgezeichneten Strahlen wie bei dünnen Linsen. Bezieht man g, b und f auf die zugehörige Hauptebene, so gelten auch hier wieder Gl. 14 f. Ein System aus zwei Linsen mit den Brennweiten f1 und f2, die im Abstand s hintereinander stehen, hat die Brennweite

1 2 1 2

1 1 1 sf f f f f

= + −⋅

. (16)

Bei großen Brennweiten und kleine Linsenabständen addieren sich also die Brechzahlen. Linsenfehler • Chromatische Aberration: Aufgrund der Dispersion in Glas fallen die Brennpunkte für die

verschiedene Wellenlängen nicht zusammen. Bei normaler Dispersion ist die Brennweite für blaues Licht kürzer als für rotes. Bei Achromaten werden zur Kompensation dieses Phänomens Konvex- und Konkavlinsen aus unterschiedlichen Materialien kombiniert.

• Sphärische Aberration: Die Brennweiten sphärischer Linsen sind für achsnahe und achsferne Strahlen unter-schiedlich (achsferne Strahlen werden stärker gebrochen). Zur Kompensation können Sie plankonvexe Linsen verwen-den (gekrümmte Seite zum Gegenstand), asphärische Linsen einsetzen oder die achsfernen Strahlen ausblenden.

• Koma: Ein paralleles Strahlenbündel, das schief durch eine Linse tritt, erzeugt keine kollinear liegenden Brennpunkte.

• Astigmatismus: Licht, das von einem Punkt außerhalb der optischen Achse ausgeht, wird nicht in einen Punkt abgebil-det.

18 Abbildung mit Hauptebenen

19 Linsenfehler: Koma (oben) und Astigmatismus (unten; nach:

Michael Schmidt, Wikimedia)


Optik

Vergrößernde optische Geräte Eine Reihe optischer Geräte vergrößert den Winkel, unter dem ein Gegenstand dem Betrachter erscheint. • Lupe • Mikroskop • terrestrisches/astronomisches Fernrohr • Diaprojektor Die Vergrößerung dieser Geräte bezeichnet das Verhältnis der Sehwinkel.

Sehwinkel mit GerätSehwinkel ohne Gerät

γ = .

Bringt man einen Gegenstand aus der normalen Sehweite s0 = 25 cm auf 5 cm an das Auge heran, so steigt zwar der Sehwinkel um das 5fache, die Brechkraft des Auges ist aber zu klein, um ein scharfes Bild auf der Netzhaut zu erzeugen (Abb. 20, oben). Dies gelingt mit einer Lupe, die die Brechkraft des Auges unterstützt. Mit guten Lupen lässt sich aber höchstens eine 25fache Vergrößerung erzielen, mit den Mikroskopen im Praktikum erreicht man etwa eine 500fache Vergrößerung. In der Physik ist der natürliche Sehwinkel der Winkel des Objektes in der „normalen Sehweite“ s0 = 25 cm (Abb. 20, mitte). Beispiel: Die Lupe Eine Lupe verstärkt die Brechkraft des Auges und rückt so den Gegenstand näher heran. Sehwinkel und Netzhautbild werden dadurch größer (Abb. 20, unten). Für einen Gegenstand in der Brennweite der Lupe (Abb. 21 links) lässt sich die Vergrößerung leicht angeben:

0 0s sGf G f

γ = = .

Die Abbildungsstrahlen von einem Punkt des Gegenstandes fallen dann parallel ins Auge, das Bild liegt im Unendlichen. Das Auge stellt sich daher auf Unendlich ein und ist dabei völlig entspannt. Rückt man den Gegenstand näher an die Lupe (Abb. 21 rechts), so sieht man ein noch größeres Bild. Es liegt in endlicher Entfernung, so dass sich die Linse im Auge diesmal krümmen muss:

0 0 1s s f gG

g G f gγ

−= = ⋅ +

.

20 Sehwinkl und Vergrößerung

21 Vergrößerung der Lupe


Optik

4.4 Prismen Bei einem Prisma wird der einfallende Strahl zweimal von der brechenden Kante im gleichen Sinn weg gebrochen. Dabei wird rotes Licht weniger stark gebrochen als blaues („normale“ Dispersion). Mit Prismen kann man daher Lichtquellen auf ihre Farbanteile untersuchen oder mit bekannten Lichtquellen die optischen Eigenschaften des Prismenmaterials. Durch zweimalige Anwendung des Brechungsgesetzes lässt sich der Ablenkwinkel δ für jeden beliebigen Einfallswinkel α berechnen:

( ) ( )( )2 2arcsin sin sin cos sinnδ λ α γ γ λ α γ α= − + ⋅ − − ⋅ . (17)

Besonders einfach wird dieser Zusammenhang jedoch, wenn man einen symmetrischen Strahlengang benutzt. Der Ablenkwinkel δ wird bei symmetrischem Strahlengang minimal, und es gilt dann:

( )( )sin

2 .sin

2

n

γ δ λ

λ γ

+

= (18)

n : Brechungsindex γ: Winkel der brechenden Kante δ: Ablenkwinkel Dieser minimale Ablenkwinkel lässt sich experimentell leicht beobachten. Im Experiment wird diese Beziehung daher ausgenutzt, um die Dispersion (Wellenlängenabhängigkeit des Brechungsindex n = n(λ) zu bestimmen.

20 Ein Prisma zerlegt das einfallende Licht in seine Spektralfarben

21 Zur Berechnung des Ablenkwinkels; in der Mitte der symmetrische Fall für den minimalen Ablenkwinkel


Optik

5. Wellenoptik

Die Berücksichtigung von Welleneigenschaften führt beim Licht zu völlig neuen Phänomenen. Verschiedene Wellenzüge ( )m ,E r t können sich überlagern, man sagt, sie interferieren:

( ) ( ) ( ) 220 0 m

1 1, , ,

2 2r rI r t c E r t c E r tε ε ε ε= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ∑ . (19)

Die Helligkeitsstruktur im betrachteten Interferenzfeld wird von den Eigenschaften der Teilwellen bestimmt. Werden einzelne Teilwellen im Interferenzfeld ausgelöscht (z. B. durch Blenden) wird die Interferenz unvollständig und zusätzliche Helligkeitsstrukturen erscheinen. Man spricht hier von Beugung. 5.1 Kohärenz Von besonderem Interesse sind zeitlich stationäre Interferenzmuster. Dazu muss das Licht besondere Eigenschaften hinsichtlich der Monochromasie und der Eindeutigkeit der Ausbreitungsrichtung aufweisen. Eine große spektrale Frequenzbreite ∆f führt zu einem zeitlichen Auswaschen der Interferenzmuster in kurzen Beobachtungszeiträumen (das Licht ist zeitlich inkohärent). Licht, das sich wirr in alle Richtungen ausbreitet, zeigt auch für sehr kleine Beobachtungsflächen praktisch keine Interferenzmuster (räumlich inkohärent). Die Bedeutung dieser beiden wichtigen Begriffe wird im Folgenden eingehender dargestellt. Zeitliche Kohärenz Wenn die Phasenbeziehung ∆ϕ(rP, t) = ϕi − ϕk zweier Wellenzüge Ei und Ek des Wellenfeldes an ein einem fest gehaltenen Raumpunkt P während des Beobachtungszeitraums ∆t um weniger als π schwankt, wird das Interferenzmuster an dieser Stelle zeitlich stationär. Die zeitlichen Abläufe der beteiligten Wellenzüge erscheinen „ähnlich“. Man nennt die Teilwellen zeitlich kohärent. Die maximale Zeitspanne, während der die Phasen sämtlicher in P sich überlagernder Wellen um nicht mehr als ∆ϕ = π auseinanderlaufen, wird als Kohärenzzeit τkoh bezeichnet. Der Kehrwert der Kohärenzzeit τkoh ist (bis auf Vorfaktoren der Größenordnung 1) die spektrale Frequenzbreite der Lichtwelle:

koh

1f

τ∆ = . (20)

Als Kohärenzlänge wird die Länge lkoh eines kohärenten Wellenzugs bezeichnet: lkoh = c⋅τkoh. Räumliche Kohärenz Betrachten Sie nun bitte zwei unterschiedliche Raumpunkte PA und PB zu einem bestimmten Zeitpunkt. Die Phasendifferenzen zwischen zwei Wellenzügen Ei und Ek, ∆ϕ = ϕi − ϕk, werden sich für die verschiedenen Punkte des Interferenzfeldes in der Regel unterscheiden. Die Menge aller Raumpunkte bei denen sich die Phasen der Teilwellen um weniger als π unterscheiden wird als Kohärenzfläche bezeichnet. Das Produkt aus Kohärenzfläche und Kohärenzlänge ergibt das Kohärenzvolumen.

Je ausgedehnter die Lichtquelle ist, desto mehr Teilwellen tragen zu einem großen Phasenunterschied bei − das Interferenzmuster verwischt (s. u.).

Um kohärente Wellen zu erzeugen, müssen, wie nur mit dem LASER möglich, die Lichtquellen phasenstarr gekoppelt werden oder das Licht von einer möglichst punktförmigen Quelle in kohärente Teilbündel zerlegt werden (Fresnelspiegel, Strahlteiler im Interferometer).


Optik

Beispiele: Spektrale Breite Kohärenzzeit Kohärenzlänge Weißes (thermisches) Licht mit 400 nm ≤ λ ≤ 700 nm

∆f ≈ 1015 Hz 15koh

110 s

fτ −= =

∆

lkoh = c⋅τkoh = 0,3 µm

LED ∆f ≈ 2⋅1013 Hz 14koh

15 10 s

fτ −= = ⋅

∆

lkoh = c⋅τkoh = 15 µm

Diodenlaser ∆f ≈ 1 GHz 9koh

11 10 s

fτ −= = ⋅

∆

lkoh = c⋅τkoh = 0,3 m

He-Ne-Laser ∆f ≈ 1 MHz koh

11μs

fτ = =

∆

lkoh = c⋅τkoh = 300 m

5.2 Interferenz und Beugung beim Einzelspalt Abb. 22: Ein schmaler monochromatisch beleuchteter Spalt (Beleuchtungsspalt) wird auf einen weit entfernten Schirm scharf abgebildet. Bringen Sie nun in den Strahlengang eine bündelbegrenzende Blende, z. B. einen Beugungsspalt, dann entsteht auf dem Schirm ein charakteristisches Interferenzmuster. 90 % der hindurch tretenden Strahlungsleistung erscheint im Hauptmaximum (Lit. 3). Die Intensitäten der Nebenmaxima sind erheblich geringer und nehmen nach außen ab. Ihre Breite ist halb so groß ist wie die des Hauptmaximums. Verringert man die Breite d des Beugungsspaltes wird die Beugungsfigur breiter; vergrößert man d, werden die Interferenzstreifen schmaler und rücken zusammen. Die Störung eines kohärenten Lichtfeldes durch einen schmalen Spalt kann also zu einer Helligkeitsverteilung führen, die sich deutlich von dem nach der geometrischen Optik erwarteten Schattenbild unterscheidet.

23 Helligkeitsverteilung hinter einem Einfachspalt

22 Beugung am Einfachspalt: Prinzipieller Aufbau


Optik

Kohärenzbedingung für die räumliche Ausdehnung der Lichtquelle Das Licht einer Lichtquelle mit Ausdehnung b trifft im Abstand D auf einen Beugungsspalt der Ausdehnung d (Abb. 24). Ist die Größe der Lichtquelle und damit der maximale Wegunterschied ∆x von zwei weit auseinander liegenden Quellpunkten jeweils zu den Randpunkten des Beugungsspaltes beschränkt, tritt die typische Beugungserscheinung auf: Ist D » b, gilt ∆x ≈ b⋅sinβ und d ≈ 2⋅D sinβ. Solange ∆x <λ/2 bleiben statistische Phasenschwankungen in der Spaltebene kleiner als π und die Interferenzstruktur mittelt sich nicht heraus. Sie erhalten eine Bedingung für die maximal zulässige Ausdehnung der Lichtquelle:

.2 2b d D

x bD d

λ λ⋅∆ ≈ < ⇒ < ⋅ (21)

Betrachten Sie nun das Interferenzfeld hinter dem Beugungsspalt (Abb. 22/23). Abb. 25 zeigt zwei Situationen: Teilwellen des kohärent beleuchteten Spaltes interferieren dort je nach Beobachtungswinkel destruktiv (A) oder konstruktiv (B). Mit dem Modell der Huygenschen Elementarwellen können Sie eine allgemeine Formel für die Intensitätsverteilung hinter dem Spalt ableiten.

24 Zur Ableitung der Kohärenzbedingung beim Einzelspalt

25 1. Minimum und 1.Nebenmaximum

26 Zur Berechnung der Intensitätsverteilung (s. Lit. 6; Seite 416)


Optik

Jeder Punkt des Spaltes ist Quellpunkt einer Elementarwelle. Zerlegt man die Spaltbreite in schmale Streifen der Breite dx, liefert jeder dieser Streifen in der Spaltebene den Feldstärkebeitrag (E0/d)⋅dx (vorausgesetzt, der Spalt ist gleichmäßig ausgeleuchtet). Schauen Sie nun in Richtung α zum Schirm (Abb. 26). Zwischen einer Elementarwelle aus der Spaltmitte (x = 0) und einer, die bei x ≠ 0 startet, besteht der Gangunterschied ∆s(x) = x⋅sinα. Die Teilwellen haben damit eine Phasenunterschied von ∆ϕ(x) = 2π⋅∆s(x)/λ = 2π⋅x⋅sinα/λ. Um die Gesamtfeldstärke am Schirm zu erhalten, müssen Sie die Teilbeiträge phasenrichtig aufintegrieren:

( )2 2

0 0

2 2

0

00

sinexp i d exp i 2 d

sin sinexp i 2 exp i 2

i 2 sin 2 2sin sin

2i sin 2 sin .i 2 sin 2 sin

d d

d d

E EE x x x

d d

E d dd

E d dE

d d

αϕ πλ

λ α απ ππ α λ λ

λ α λ π αππ α λ π α λ

− −

= ∆ = ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫

Die Intensität I auf dem Schirm ist dann (s. Abb. 27):

( )2

0 2

sin; sin .

z dI I z

zα π α

λ= = (22)

Die Lage der Minima ist durch I = 0 also sinαmin,m = m⋅λ/d gegeben.

5.3 Interferenz und Beugung an einer Lochblende Wenn Sie statt des Beugungsspaltes eine Lochblende in den Strahlengang bringen, erhalten Sie ein Intensitätsmuster, das aus konzentrischen Kreisen besteht (Abb. 28). Die Berechnung der Intensitätsverteilung erfolgt analog zum Spalt. Die Kreisstruktur der Öffnung führt allerdings auf Besselfunktionen. Die Lage der Minima kann durch

min,sin m m dλα ζ= ⋅ (23)

d = Blendendurchmesser; ζ1/2/3/... = 1,22/2,23/3,24/... berechnet werden. Die Rotationssymmetrie der Lochblende verschiebt die Lage der Maxima und Minima im Vergleich zum Einfachspalt.

27 Intensitätsverteilung hinter dem Einfachspalt (vergl. Abb. 22)

28 Beugungsbild einer Lochblende


Optik

Die Beugung an Blenden führt in der Abbéschen Theorie zu einer Beschränkung des Auflösungs-vermögens optischer Instrumente. Je kleiner die Durchmesser der Linsenfassungen, desto geringer ist das Auflösungsvermögen. Dahinter steht die Überlegung, dass zwei Punkte P1 und P2 gerade noch aufgelöst werden können, wenn das Beugungshauptmaximum des einen gerade noch in das 1 Beugungsminimum des anderen Punktes fällt (das sog. „Rayleigh-Kriterium“, Abb. 29). Die Beugungsringe sind bei normaler Beleuchtung zu schwach, als dass man sie sehen könnte. Aber bei allen optischen Instrumenten bestimmen gerade sie das Auflösungsvermögen. Die Beugung des Lichts tritt tatsächlich nicht nur bei kleinen Blenden auf, sondern stets, wenn man Lichtbündel begrenzt: Pupille im Auge, Objektiv im Mikroskop, Blende im Fotoapparat, Rand eines Spiegelteleskops6. Mikroskop Eigenschaften des Objektivs: Durchmesser d, Brennweite f, also numerische Apertur NA = d/f. Der Tubus sei mit einem Medium der Brechzahl n gefüllt; dann lässt sich mit Licht der Wellenlänge λ noch ein Punktabstand von

1, 22an NA

λ∆ = ⋅

⋅

auflösen.

Auge Die Netzhaut bildet ein Raster mit einem typischen Rasterabstand (=Zäpfchenabstand; vgl. Lit. 3)) von etwa 7 µm. Dieser Wert entspricht dem minimalen Durchmesser des Beugungs-scheibchens der Pupille für Licht der Wellenlänge 590 nm 5.4 Zweistrahlinterferenz (Doppelspalt) Dies ist ein Klassiker unter den Physikexperimen-ten. Bereits 1802 hat Thomas Young mit einem Doppelspaltversuch die Wellenlänge des Lichts bestimmt, damals natürlich noch ohne Laser. Auch Wasserwellen zeigen das Verhalten (Abb. 30): Maxima und Minima im Interferenzfeld.

6 2005 gelang es erstmals durch Überlagerung zweier kohärenter Bilder des Gegenstandes (4Pi-Mikroskopie) und durch Nutzung der stimulierten Emission der Farbstoffe einer Mikroskopprobe (STED-Mikroskopie) die Abbésche Auflösungsgrenze zu unterschreiten; vgl. Lit. 8.

29 Begrenzung der Auflösung durch kleine Lochblenden

30 Interferenz beim Wasserwellen-Doppelspalt


Optik

Die Intensitätsverteilung ähnelt der des Spalts, doch gibt es auch gravierende Unterschiede: • Diesmal beobachtet man auf dem Schirm

im Punkt P Maxima, wenn der Gangun-terschied ∆s = n⋅λ beträgt. Für den Ab-stand xn des nten Maximums von der optischen Achse ergibt sich damit

sin

.

n

n

x sD g

D Dx s n

g g

α

λ

∆= =

= ∆ ⋅ = ⋅

• Beim Einzelspalt ist das Hauptmaximum doppelt so breit wie die Nebenmaxima; beim Doppelspalt sind alle Maxima gleich breit.

• Beim Einzelspalt werden die Nebenmaxima nach außen hin schnell schwächer. Beim Doppelspalt überlagert sich die Intensitätsverteilung durch die Beugung am Einzelspalt der Breite b mit dem Muster der Interferenz am Doppelspalt (Spaltabstand g; vgl. Abb. 31) − die Amplitude wird modu-liert. Für N Spalte im Abstand g erhält man (Rechnung s. Lit. 3):

( )22 2

2 20 02 2

2

sin sinsin sin sin sincos sin

sin sinsin sin

N

gd dN

gI I I

gd d

π απ α π αλλ λα π α

λπ απ α π αλλ λ

=

⋅ = ⋅ → ⋅

(24)

31 Interferenzmuster beim Doppelspalt

32 Gl. 24 für 4 Spalte; Abszisse in Einheiten von sinα⋅g/λ


Optik

5.5 Polarisation 1808 hat der französische Physiker Louis Malus (1775–1812) entdeckt, dass Licht transversale Welleneigenschaften hat. Die Schwingungsrichtung des Lichts hat Einfluss auf Reflexion und Brechung. Es gibt Kristalle, mit denen sich die Schwingungsrichtung gezielt drehen oder auch mit einem Magnetfeld steuern lässt. Weil reflektiertes Licht zumindest teilweise polarisiert ist, lassen sich leicht störende Reflexe durch Polarisationsfilter unterdrücken. Davon macht man beim Fotografieren Gebrauch. Aber auch Polaroidbrillen funktionieren so. Technisch angewandt werden Polarisationseffekte in jeder LCD (Liquid Crystal Display)-Anzeige digitaler Messinstrumente und in jedem CD/DVD-Player. Unser Auge registriert die Schwingungsrichtung des Lichts ohne Hilfsmittel nicht, aber K. v. Frisch (Nobelpreis 1973) hat entdeckt, dass Bienen die Schwingungsrichtung des blauen Himmelslichts erkennen können und zur Orientierung mit benutzen (Wespen, Hummeln, Ameisen, Krabben, Tintenfische u. a. übrigens auch). Polarisationszustände bei Licht Jede transversale Welle kann polarisiert werden. Auf einfache Weise konstruieren Sie eine Welle, deren Polarisation beliebig „eingestellt“ werden kann. Ausgangspunkt bildet eine Überlagerung zweier ebener Wellen mit gemeinsamer Ausbreitungsrichtung in x-Richtung (nach Gl. 1).

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

0

0 0

1; exp i( ) . .

21

exp i exp i exp i( ) . .2 y y y z z z

E x t E t k x c c

e E t t e E t t t k x c c

ω

ϕ ϕ ω

= − ⋅ +

= + − ⋅ +

Jetzt können die wesentlichen Fälle unterschieden werden: • Die Amplituden und/oder Phasen (E0y, ϕy,

...) ändern sich zufällig: Das Licht ist unpolarisiert.

• Sind die y-Komponente Ay = E0y⋅exp(iϕy) und die z-Komponente Az in Phase, ist das Licht linear polarisiert.

• Sind die y-Komponente Ay = E0y⋅exp(iϕy) und die z-Komponente Az um π/2 phasenverschoben und die Beträge gleich, ist das Licht zirkular polarisiert.

• Sind die y-Komponente Ay und die z-Komponente Az nicht um 0, π/2 oder π phasenverschoben und die Beträge nicht gleich, ist das Licht elliptisch polarisiert.

Polarisatoren bzw. Analysatoren sind Kristalle oder Folien, die nur eine Polarisationsrichtung des Lichts hindurch lassen. Polarisatoren machen aus natürlichem, unpolarisiertem Licht polarisiertes. Zwei Polarisatoren hintereinander aufgestellt wirken wie ein Intensitätsabschwächer. Sind die Schwingungsebenen um den Winkel φ gegeneinander verdreht, hat die Intensität hinter dem zweiten Polarisator den Wert

( ) 20 cosI Iα ϕ= ⋅ (Malus’ Gesetz).

33 Linear, zirkular und elliptisch polarisiert

34 Polarisationsfolien schwächen eine Feldkomponente stärker als

die andere: Dichroismus


Optik

Polarisation durch Reflexion Für einen Einfallswinkel = ϕB gilt (s. o.): Ist der Winkel zwischen den Ausbreitungsrichtungen der reflektierten und der transmittierten Welle gerade π/2, schwingt das Feld parallel zur Einfallsebene genau in Ausbreitungsrichtung der reflektierten Welle. Die derart angetriebenen Dipole strahlen in diese Richtung jedoch nicht (vgl. Richtcharak-teristik der Dipolstrahlung, Lit. 3). Es bleibt also nur die Polarisationsrichtung senkrecht zu Einfallsebene. Trifft Licht unter dem Brewsterwinkel auf eine Trennfläche (Abb. 10), ist das transmittierte Licht somit teilweise polarisiert, das reflektierte dagegen vollständig. Die Polarisierung des transmittierten Lichts wird durch die Verwendung mehrer Grenzflächen verstärkt (Abb. 35). Polarisation durch Dichroismus Eigentlich bedeutet Dichroismus eine von der Betrachtungsrichtung abhängige Mehrfarbigkeit: Je nach Polarisationsrichtung wird Licht mehr oder weniger absorbiert (Abb. 34); ist dieser Effekt abhängig von der Wellenlänge, treten Farbeffekte auf. Inhomogene Materialien, z. B. gezogene Folien zeigen Dichroismus (Abb. 34). Auf diese Weise lassen sich günstige Polarisationsfolien herstellen. Weitere wichtige Begriffen und Phänomene • Doppelbrechung: Der Brechungsindex

ist für unterschiedliche Ausbreitungsrich-tungen im Kristall unterschiedlich. In der Ausbreitungsrichtung senkrecht zur opti-schen Achse spaltet das Licht in das or-dentliche (senkrecht zur optischen Achse polarisiert) und den außerordentliche Licht (parallel zur optischen Achse polarisiert) auf. Bei Lichteinfall senkrecht zur opti-schen Achse bleiben die Ausbreitungsrich-tung von ordentlicher und außerordentli-cher Welle gleich, jedoch die Phasen verschieben sich.

• Bei der λ/2-Platte ist die Schichtdicke im doppelbrechenden Kristall so gewählt, dass die Phasenverschiebung zwischen den Teilwellen gerade λ/2 beträgt: Die Polari-sationsrichtung wird gedreht − bei 45°-Einstrahlung um genau 90°. Bei der λ/4-Platte ist die Schichtdicke im doppelbre-chenden Kristall so gewählt, dass die Phasenverschiebung zwischen den Teilwel-len gerade λ/4, entsprechend π/2, beträgt: Linear polarisiertes Licht wird in zirkular polarisiertes Licht gewandelt.

35 Mehrere Glasflächen verstärken den Polarisationseffekt

36 Spannungsdoppelbrechung mit Plastikschachtel; oben:

Analysator gegen LCD-Bildschirm-Licht gekreuzt, unten: Analysatorstellung parallel


Optik

• Optische Aktivität: Es gibt Materialien, die die Polarisationsrichtung um einen Winkel ϕ drehen, dessen Winkelgröße proportional zur Dicke d des durchstrahlten Substrates und der Konzentration des optischen aktiven Materialbestandteils ist.

• Man kann optisch isotrope Materialien durch äußeren „Stress“ anisotrop machen und so ihre optischen Eigenschaften auf vielfältige Weise verändern. Die durchsichtige Plastikschachtel in Abb. 36 ist als Folge des Herstellungsverfahrens nicht Spannungsfrei. Eine Lichtwelle wird in zwei Anteile mit unterschiedlichen Polarisationsrichtungen aufgespalten. Die Ausbreitungsgeschwindig-keit des Lichtes und demzufolge der Brechungsindex hängt also von der Polarisationsrichtung ab. Durch äußere mechanische Spannungen und Zugkräfte werden also manche Materialien doppel-brechend: Spannungsdoppelbrechung. Als Cotton-Mouton-Effekt wird bezeichnet, wenn ein mag-netisches Feld quer zur Ausbreitungsrichtung steht und Doppelbrechung verursacht. Auch elektri-sche Felder können diese Wirkung haben: Kerr-Effekt. Ein starkes Magnetfeld parallel zur Ausbrei-tungsrichtung dreht in manchen Substraten die Polarisationsebene: Faraday-Effekt.

6. Streuung

Beispiele • Mie-Streuung • Rayleigh-Streuung • Thomson-Streuung • Compton-Streuung • Raman-Streuung, • Brillouin-Streuung • ... Ändern sich Eigenschaften der Medien, in denen sich das Licht ausbreitet, bereits auf sehr kurzen Wegstrecken, die klein im Vergleich zur Wellenlänge sind, spricht man von Lichtstreuung. Dabei unterscheiden sich die Phänomene je nach Größe, Verteilung und Natur der Streutargets und je nach Wellenlänge des Lichts erheblich. Ändert sich die Frequenz beim Streuvorgang nicht, spricht man von elastischer Streuung (Rayleigh, Mie) andernfalls von inelastischer Streuung (Compton, Raman, Brillouin). Anders als die Lichtbrechung und die Beugung ist die Streuung nicht umkehrbar, Streuung ist irreversibel. Ist die Verteilung der k-Vektoren einmal Durcheinander, bleibt sie es auch.


Optik

Impressum

Bildverzeichnis Titelbild Archimedes von Syrakus versucht, römische Schiffe mithilfe von Parabolspiegeln in Brand zu stecken. Titelblatt des

Thesaurus opticus, (Werk des arabischen Gelehrten ALHAZEN).

Quelle: Bayerische Staatsbibliothek München

Bild 14 wikimedia

Bild 36 Photo: E. Hecht

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Rüdiger Scholz (Hrsg.) Optik - Praktikum Physik · Fourier-Optik beschreibt die Entstehung...

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