Schaltwerke und Automaten Grundlagen der technischen ......• Schaltwerk mit 2 stabilen Zuständen...

Schaltwerke und Automaten

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Prof. Dr.-Ing. Axel Hunger Grundlagen der Technischen Informatik

Grundlagen der technischen Informatik

Kapitel 5 – Schaltwerke und Automaten

Prof. Dr.-Ing. Axel Hunger

Pascal A. Klein, M.Sc.


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5. Schaltwerke und Automaten .......................................................... 3

5.1 Allgemeine Begriffe ............................................................... 3

5.2 Asynchrone Schaltwerke ........................................................ 7

5.3 Synchrone Schaltwerke .......................................................... 8

5.4 Autonome Schaltwerke .......................................................... 9

5.5 Beschreibungsformen ........................................................... 10

5.5.1 Zustandstabelle ................................................................. 10

5.5.2 Zustandsgraph ................................................................... 13

5.6 Minimierung der Schaltwerkszustände ................................ 14

5.7 Automaten ............................................................................ 18

5.7.1 Mealy-Automat ................................................................. 18

5.7.2 Moore-Automat ................................................................ 19

5.7.3 Gegenüberstellung Mealy- und Moore-Automat .............. 20

5.8 Synthese von Schaltwerken .................................................. 21


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5. Schaltwerke und Automaten 5.1 Allgemeine Begriffe Bekannt:

1) Schaltnetze: Verknüpfung mehrerer Eingangsvariablen ohne Rückkopplung des Ergebnisses.

2) Flipflops: Speicherfähigkeit durch Ausnutzung von Signalverzögerungen.

3) Aufbau von Zählern aus Flipflops und Schaltnetzen.

Neu: Verallgemeinerung sequentieller Schaltungstechnik durch rückgekoppelte Schaltnetze.

Bei einem Schaltwerk sind die Ausgänge von früheren Zuständen abhängig, d.h. es handelt sich um eine logische Schaltung, die sequentiell verschiedene Zustände durchläuft.

Schematische Darstellung von Schaltwerken über:

• verzögerungsfreies Schaltnetz und

• zusammengefasste Verzögerungen / Rückkopplung.

Variante I:

SchaltnetzVerzöge-rungs-einheit

X

SY

Rückkopplung

X = Xn = {X1n,X2

n,....Xmn } = Eingangsvektor mit den entspre-

chenden Variablen S = Sn = {S1

n,S2n,....Sr

n } = Zustandsvektor mit den entsprech-enden Variablen

Y = Yn = {Y1n,Y2

n,....Yln } = Ausgangsvektor mit den entspre-

chenden Variablen


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Variante II:

Y muss nicht identisch mit den rückgekoppelten Signalen sein:

Schalt-netz

Verzöge-rungsein-heit

X

S

E

Y

Verzöge-rung

zusätzlich E = En = {E1n,E2

n,...Ekn } = Erregungsvektor mit den

entsprechenden Variablen

Variante III:

Verzögerung von E nach Y hat keinen prinzipiellen Einfluss auf die Funktion des Schaltwerks, daher:

Schalt-netz

X

S

E X S=g( , )

Y X S=f( , )

Verzöge-rung

gf

Funktionsgleichungen:

Y = f(X,S)

E = g(X,S)

Funktionsweise:

1) Änderung von X0 → X1 ⇒ Änderung von Y0 → Y1 und Änderung von E0 → E1


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2) Änderung von E0 → E1 ⇒ Änderung von Y1 → Y2 und Änderung von E1 → E2

3) Iteration von 2. bis: Änderung von Ei → Ei+1 ⇒ Änderung von Yi+1 → Yi+2

und Stabilitätsbedingung Ei+1 = Ei

Alle Zwischenschritte nach 2. sind instabil, d.h. sie werden nur kurzzeitig durchlaufen.

Analyse eines Schaltwerks auf stabile Zustände:

• Auftrennen der Verzögerung und

• Vergleich von S und E in vollständiger Funktionstabelle.

Beispiel:

X Y

1

> 1

> 1 1

Y2

Umzeichnen:

X

S

Y

1 > 1

> 1 1

Y2

Y

E

E

E

1

2


6


E = f(X,S)

Y = E

Eingänge Ausgänge X S1 S2 E1 E2

n =1 0 0 0 1 0 n =2 0 0 1 0 0 n =3 0 1 0 1 0 n =4 0 1 1 0 0 n =5 1 0 0 0 1 n =6 1 0 1 0 1 n =7 1 1 0 0 0 n =8 1 1 1 0 0

1221 SXE SXE +=+=

Ergebnis:

• Schaltwerk mit 2 stabilen Zuständen (D-FF, hier ohne Takteingang)

• Änderung von x bewirkt Umschalten von 3 → 6 bzw. 6 → 3 über zwei Zwischenzustände ((7,5) und (2,1))

In der Praxis werden Verzögerungen meist (selbst) durch Flipflops realisiert, daher im Folgenden immer.

τ = FF (Flipflop in unterschiedlichen Varianten möglich!)


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5.2 Asynchrone Schaltwerke

Schalt-netz

Xn

Sn En

Yny1

y2yn

s1

s2s2

s4

e1

e3e4

e5

x1x2xn

Xn, Yn, En, Sn: Vektoren zum Zeitpunkt n

Definition: Ein Schaltwerk heißt asynchron, wenn die Zeitpunkte der Änderungen von Yn und Sn ausschließlich von Änderungen von X sowie internen Laufzeiten abhängen und folglich beliebig auf der Zeitachse verteilt sein können.

Vorteile:

- unmittelbare Reaktion auf Eingangsänderungen

- sehr schnelle Arbeitsweise möglich

Nachteile:

- Entwurf aufwendig + Untersuchung / Wahl der Zwischenzustände + unterschiedlich lange Zyklen

- Unerwünschte Wirkung auf nachfolgende Schaltung durch Zwischenzustände möglich

⇒ Bedeutung gering


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5.3 Synchrone Schaltwerke

E

Xn

Sn

Yn

Zn

Definition: Ein Schaltwerk heißt synchron, wenn Änderungen des Zustandvektors (und u.U. Ergebnisvektors) nur zu ausgezeichneten Zeitpunkten möglich sind, die von einem Taktsignal bestimmt sind. Der Takt ist kein Eingangssignal! (Verzögerungseinheit: Zustandsregister)

⇒ Einschwingvorgänge über mehrere instabile Zwischen-zustände sind unmöglich: Alle Si nehmen ihre neuen Werte zur selben Zeit an und behalten sie mindestens für eine Taktperiode.

⇒ - Übergänge erfolgen stets von stabilen in stabile Zustände,

- Zustands- und Ergebnisvektoren reagieren um eine Taktdauer verzögert auf Änderungen am Eingang,

- Werteänderungen erfolgen stets in gleichen Zeitabständen und sind immer eindeutig,

- Änderungen im Eingangsvektor dürfen zu beliebigen Zeitpunkten und auf beliebig vielen Leitungen erfolgen (außer während set-up und hold-Zeit).


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5.4 Autonome Schaltwerke

ESn

Yn

g1

g2

f

Definition: Ein Schaltwerk wird autonom genannt, wenn

sein Verhalten nicht über Eingangsvariablen von außen beeinflussbar ist. Die Eigengesetzlichkeit des Schaltnetzes bestimmt das Verhalten:

Yn = f(Sn) Ausgangsfunktion

Sn+1 = g1(En) Übergangsfunktion

En = g2(Sn) Erregungsfunktion

Anwendung: Steuerung unverändert ablaufender Prozesse.


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5.5 Beschreibungsformen 5.5.1 Zustandstabelle

Abgeleitet aus den Funktionsgleichungen ergibt sich:

Zustand Xn Sn En Sn+1 Yn Zn 1 2 3 . . .

Xn

Sn

Yn

Z n

En

g1

g2

f1f2

Yn = f1 (Xn,Sn) Sn+1 = g1(En) En = g2(Xn,Sn) Zn+1 = f2(Yn)

Sonderfälle:

1) Yn = Zn ohne Ergebnisregister 2) Yn = Sn Zähler 3) kein Xn: autonomes Schaltwerk

Beispiel:


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X1

S

1

1Y

EE1

2

> 1

&

&

TSQ

RQ

g1

g2

f

X2

( )( )( )

( ) nnnnnnn

nnnnnn

nnnnnn

nnnnnnnn

SEESEEgS

SXSXXgE

SXSXXgE

SXSXSXXfY

⋅+==

⋅==

⋅==

⋅+⋅==

−+21211

1

121222

221211

2121

,,

,,

,,

,,

g1 folgt aus charakteristischer Gleichung des SR-FF: nn QRSQ ⋅+=+1

Zustandstabelle:

X1n X2

n Sn E1n E2

n Sn+1 Yn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0


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1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0

Verwendung der Zustandstabelle bei der

a) Analyse von Schaltwerken: 1. Erstellen der vollständigen Belegung von X 2. Multiplizieren dieser Tabelle mit der Anzahl interner

Zustände S 3. Bestimmung von En = g2(Xn,Sn) 4. Bestimmung von Yn = f(Xn,Sn) 5. Bestimmung von Sn+1 = g1(En, Sn) Problem: Entsprechende Tabellen werden schnell sehr umfangreich und unübersichtlich. Ziel: Beschränkung auf besondere Kombinationen

b) Synthese von Schaltwerken:

1. Auflistung der Zustände Sn in ihrer gewünschten Reihenfolge

2. Ergänzung um den Folgezustand Sn+1 pro Zeile 3. (Bei asynchronen Schaltwerken: Ermittlung aller aktiven

Signalflanken pro Zustand) 4. Eintragung der Schaltbedingungen en zur Erfüllung von

Sn -> Sn+1 für jede Zeile 5. Ermittlung des Schaltnetzes aus dem Funktionsbündel

En = g2(Xn,Sn) Yn dann meist als Sk - laut Aufgabenstellung - realisiert


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5.5.2 Zustandsgraph

Begriffe:

• Ein Graph besteht aus einer endlichen Anzahl von Knoten (Kreise) sowie

• Kanten, den verbindenden Linien zwischen den Knoten mit • Pfeilen für die Wirkrichtung (gerichteter Graph). • Eine Folge (Verkettung) von Kanten heißt Weg. • In einem zusammenhängenden Graph ist jeder Knoten

von jedem anderen über mindestens einen Weg zu erreichen. • Die Kanten werden beschriftet mit "auslösender

Eingangszustand"/ "neuer Ausgangszustand" • k Zustandsvariable => ≤ 2k Knoten

m Eingangsvariable => ≤ 2m Kanten pro Knoten Beispiel: SR-Flipflop

0 1

10/1

01/0

0x/0 x0/1S R Q

X Y

n n n

n n


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5.6 Minimierung der Schaltwerkszustände Regel (nach Hoffmann und Mealy):

Zwei Zustände eines Schaltwerks sind äquivalent, wenn sie - bei identischen Eingangsgrößen - denselben Nachfolgezustand haben und - dabei identische Ausgangsvektoren erzeugen.

Erforderliche Anzahl Flipflops: [ld z], z: Anzahl der Zustände

Beispiel:

3 4 5

1 0 7

1/0

1/0

1/0

1/0

1/0

1/0

0/1

0/1

0/10/10/10/10/1

1/0

1/0

2 6

0/0

Hier sind äquivalent Zustand 5 und Zustand 6, da sie die oben angegeben Bedienungen erfüllen: Zustand 5:

X = 0 -> Zn+1 = 2, mit Yn+1 = I X = I -> Zn+1 = 0, mit Yn+1 = 0

Zustand 6: X = 0 -> Zn+1 = 2, mit Yn+1 = I X = I -> Zn+1 = 0, mit Yn+1 = 0


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Also kann der Zustandsgraph vereinfacht werden zu:

4 5

2

0 7

1/0

1/0

0/1

0/1

0/1

1/0

0/1

0/0

...

...

Minimierung ist ebenfalls (und dabei systematischer) in der Zustandstabelle möglich. Hierzu genügt die Auflistung von Zn, Zn+1, Yn, Yn+1 mit einer Fallunterscheidung der Eingangsvariablen:

Zn Zn+1 Yn Yn+1

X=0 X=1 X=0 X=10 0 1 0 0 0 1 3 7 V 1 0 2 6 0 1 1 0 3 1 4 1 1 0 4 5 0 0 1 0 5 2 0 1 1 0 6 2 0 1 1 0 7 5 0 0 1 0


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V: abhängig vom Vorzustand => Zustand 6 und 7 können gestrichen, da der Zustand 6 gleich dem Zustand 5 ist, sowie Zustand 7 gleich dem Zustand 4 ist. Die Zustände Zn+1 für Zn = 0...5 werden entsprechend aktualisiert:

Zn Zn+1 Yn Yn+1 X=0 X=1 X=0 X=10 0 1 0 0 0 1 3 4/2 V 1 0 2 5 0 1 1 0 3 1 4/2 1 1 0 4 5 0 1 1 0 5 2 0 1 1 0

=> Jetzt sind durch die Aktualisierung die Zustände 2 und 4 äquivalent. Somit wird der Zustand 4 gestrichen.

Minimierter Zustandsgraph:

3 5

2

1 0

1/0

0/1

0/10/1

1/0

0/1

0/0

1/01/0

1/0


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2. Regel: Weitere Minimierung kann durch Gruppenbildung von Zuständen mit gleichem Folgeausgangsvektor Yn+1 und Vergleich der Gruppen erfolgen.


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5.7 Automaten Zur Synthese synchroner Schaltwerke eignen sich besonders die Methoden der Automatentheorie. Dies ist lediglich eine formalere Betrachtungsweise der Schaltwerke.

Ein Automat sei definiert durch

• X: Eingabemenge

• Y: Ausgabemenge

• Z: Zustandsmenge

• zwei Abbildungen (g,f) mit f =̂ Ausgabefunktion g =̂ Übergangsfunktion

5.7.1 Mealy-Automat

Ein Mealy-Automat ist definiert durch seine

Ausgabefunktion Yn = f(Xn,Zn) sowie seiner

Übergangsfunktion Zn+1 = g(Xn,Zn)

g

Y

Spei-cher

f

Spei-cher

f,gX n

Zn Zn+1

Y nZn+1

ZZn

n

XX

n

n

TT


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5.7.2 Moore-Automat

Ein Moore-Automat ist definiert durch seine

Ausgabefunktion Yn = h(Zn) ,sowie seiner

Übergangsfunktion Zn+1 = g(Xn,Zn)

gSpei-cher h Y

Zn+1Zn

Xn

T

andere Schreibweise:

Yn = h(Zn+1) ergibt durch Einsetzen von Zn+1: Yn = h(g(Xn,Zn))


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5.7.3 Gegenüberstellung Mealy- und Moore-Automat

In einem stabilen Zustand können in einem

• Mealy-Automaten verschiedene Ausgangsvektoren

• Moore-Automaten nur ein Ausgangsvektor auftreten.

Mealy- und Moore-Automat können ineinander überführt werden.

Yn = Zn: keine Ausgabefunktion vorhanden ⇒ Medwedjew-Automat

Übliche Darstellungsform: Automatentafel (kompaktere Darstel-lung der Tabellen aus Kap. 7.5):

Eingangswerte

BelegungX n

Z n

Belegung Z n+1/ Yn

(=g/f)

Vorzustände


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5.8 Synthese von Schaltwerken Die Synthese allgemeiner Schaltwerke erfolgt schrittweise:

1. Problemanalyse

2. Zustandsdefinition und Zustandsgraph

3. Aufstellen der Zustandstabelle

4. Minimierung der Zustände (auf < [ld z])

5. Kodierung der Zustände (willkürlich, aber geschickt; binär)

6. Wahl des Flipflop-Typs und Aufstellen der Gleichungen (Aufwandsabschätzung durch mehrere Versuche und Vergleich)

Sonderfälle:

a) Zählerentwurf

1. Aufstellen der geforderten Zählfolge 2. Erweiterung um Folgezustand und Liste aktiver Flanken 3. Ableitung der Setz- bzw. Taktbedingungen 4. Umformung entsprechend des verwendeten Flipflop-Typs

b) Rückgekoppeltes Schieberegister

Schaltnetz

F

D Parallelesladen :Programmieren

i

i

<


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festgelegte Sequenz, abhängig vom geladenen Wort Fi=f(Di)

aber: nur für einfache Steuerungen, da begrenzte Programmierbarkeit, da Schaltnetz starr ist.

c) ROM oder PLA als programmierbare Schaltnetze mit

Rückkopplung über Register

Größtmögliche Freiheit im Entwurf!


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Beispiel „Aufstehen“ Szenario:

• Studierende(r) stellt den Wecker auf 6 Uhr morgens • An Werktagen wird aufgestanden und der Wecker

abgeschaltet. • An Wochenenden bleibt man liegen und stellt den Wecker

auf 10 Uhr. • Erst dann wird auf gestanden.

Skizze des Automaten:

Automat Wecker klingelt (WE)

Wochenende (WO)

Wach (WA)

Schlummerfunktion bis 10 Uhr (SF)


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Ausgabe mit Zuständen assoziiert:

schlaf. bis 6 wach 6 auf

Wecker st. schlaf. bis 10 wach 10

Wecker

Wecker

Wecker

Wochenende

Wochenende

wach = 0Schlumerfkt. = 0






Wecker

• Zustände zeigen Aktionen • Nicht beachtete Eingabewerte werden nicht eingetragen • unbedingte Übergänge sind nicht beschriftet


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Ausgabe mit Kanten assoziiert:


Wecker


schlaf. bis 6

Wecker gest.

Wochenende

wach = 1

Schlumerfkt. =

1



wach 6 auf

schlaf. bis 10 wach 10

Wecker

Wecker

Wecker

Wochenende




• Zustände repräsentieren Ereignisse zwischen Aktionen • Zustände müssen möglicherweise umbenannt werden


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d daufd dwach10d 1schlaf10d 0schlaf10d dSchlumerfkt.0 dwach61 dwach6d 1schlaf6d 0schlaf6

WO WE

FolgezuständeEingängeZustände

Zustandstabelle

d d1 1 1

d d1 1 0

aufd dauf 1 0 1

aufd dwach10 1 0 0

wach10d 1schlaf10 0 1 1

schlaf10d 0schlaf10 0 1 1

schlaf10d dSchlumerfkt. 0 1 0

auf0 dwach6 0 0 1

Schlumerfkt.1 dwach6 0 0 1

wach6d 1schlaf6 0 0 0

schlaf6d 0schlaf6 0 0 0

FolgezuständeQ2´ Q1´ Q0´

EingängeWO WE

ZuständeQ2 Q1 Q0

Binäre Zustandscodierung, binäre Zustandstabelle


27


d d d d d dd d dd d1 1 1

d d d d d dd d dd d1 1 0

d 0 0 d d 01 0 1d d1 0 1

d 0 0 d 1 d1 0 1d d1 0 0

1 d d 1 d 11 0 0d 10 1 1

0 d d 0 d 00 1 1d 00 1 1

0 d d 0 1 d0 1 1d d0 1 0

1 d 0 d d 01 0 10 d0 0 1

0 d 1 d d 10 1 01 d0 0 1

0 d 0 d 1 d0 0 1d 10 0 0

0 d 0 d 0 d0 0 0d 00 0 0

Flip-Flop-AnsteuerungJ2 K2 J1 K1 J0 K0

FolgezuständeQ2´ Q1´ Q0´

EingängeWO WE

ZuständeQ2 Q1 Q0

JK- Flip- Flops und deren Ansteuerung

d d1 1 1

d d1 1 0

1 0auf 1 0 1

1 0wach10 1 0 0

0 0schlaf10 0 1 1

1 1Schlumerfkt. 0 1 0

1 0wach6 0 0 1

0 1schlaf6 0 0 0

AusgabeWA = wach SF = Schlumerfkt.

ZuständeQ2 Q1 Q0

Ausgabefunktionen in Abhängigkeit vom Zustand


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01

01012

120

021

01012

QQSFQQQQQWA

WEQQJWOQQJ

WEQQWOQQJ

⋅=

⋅+⋅+=

++=⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅=

WEQWOQQKWEQQK

0K

1220

011

2

⋅+⋅⋅=

⋅⋅==

Gleichungen

Schaltbild des Automaten:

(aus: Franz J. Hauck, Vorlesung Technische Informatik 1, SS02, Verteilte Systeme, Universität Ulm)

SF

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