CALCULO$UPERIOR

Murroy R. $plegel

cArcuLoSUPERIOR

Murroy R. Spiegel

CALCULO SUPERIOR

MURRAY R. SPIEGEL, Ph.Prolessor of Mathematics

Rensselaet Polytechnic Institute

D.

rn-rouccxí¡ y ¡ors¡rc¡ó¡

JBsús M^Rl,{ C^sr^ño

P¡ofesot de ¡laénutticot d. ta Un¡oe$idad d.l yo e.

McGRAW-HILL

MÉx¡co. BUEItos AIBES.CARAGAS . GUATEI¡AI.A. LIsBoA. MADnIO.IIUEVAYoRKSAIIJUAII. SA{IAFÉ OE 8OGOTÁ. SAMIAGO. S¡O PAULO. AUCKLAND

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CÁLCULO SUPERON

Prohib¡da la feproducción toial o parclal de esla obfa,por cualquler modlo, sin autorlzec¡ón escr¡ta del €dltor.

DEFECHOS RESERVADOS O 1901, resp€gto a la prlmera odlclón en e3Peñol porMCGBAW.HILL INTERAMERICANA DE MEXICO' S.A. d€ GV.

Atlacomulco 49$501, Fracc. Ind. San Andrés Aloto535q) Naucaloan do Juárez. Edo. de MéxlcoM¡embro de É o¡mara N*¡onal de le Industria Edltorial, RóC. Núm. l89o

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lmproso en Méfco

Esla obra 8e igrm¡nó d9Inprim¡r €n mayo d€l 2005Lltográfica Ingrern€xCenieno Núm. 162nCol. Grarila EsnoraldaD€legación láap€lapa09810 México. D.F.

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: Prlnlgd in M€rdco

- _^+É-

Prólogo

La denomi¡aciór¡ <Cálculo superiorD no tiene el mrsmo significado para todo e, muddo. para unos,se trata en esencia del cálculo elemcntal desde un pünto de vista superio¡, o sea, con enunciados y de-mostraciones rigurosos de los teoremas. Para otfos, rcpres€¡lta una variedad de temas especiales su-p€nores que se consideran importantes y que, sin cmbargo, no es posible abarcar en un cursoelemental.

Hemos tratado de equilibrar estos dos ext¡cmos adoptando una posición de comDromiso razo-nable entre ambos, lo que suponemos se¡á de utilidad a muy distintos l;ctores. Los primiros capitulosdel libro sirven, en generar. para revisar y ampliar los conceptos furidamenrares eitudiados yi en elcálculo elemental. Esta especie de repaso ampliado será provichoso a aquellos que hayar oividado,en mayor o menor medida, el cálculo estudiado y que necesiten refrescar un poco sus conocimientos.Puede servir igualrnente de base común a estudiantes que han recibido previamente tipos distintos decursos sobre cálculo elemental. Los capítulos postc¡io¡es pr€s€ntan temas especiales iuperiores, queson fundamentales pa¡a €l cietrtifico, el ingeniero y el matemático que quiera liega a ser ehciente in'suresp€ctivo campo.

El lib¡o ha sido co¡cebido de manera que pu€da se¡ utirizado tanro como compleme¡to de un textocualquiera que como texto en sí mismo, en un curso concrcto de cílculo superior. se¡á igualmente útila los estudianles que toman cursos de fisica, ingeniería o de cualquiera de los numerosos c¿rmpos en quese emplean los mélodos matemálicos suDeriores.

Cada cápitulo comienza con un claro enunciado de Ias deñniciones, principios y teorcmas per_trnentes acompañados de abundante material ilustrativo y descriptivo, al que siguen seúes graduadasde problemas resueltos y de problemas propuestos. Los ¡esuertos irustran y amplian ra teoríat enfocancon amplia y aguda perspectiva aquellos aspectos de detalle sin cuyo conocimiento el estudianti se sientecontinuamente en te[eno inseguro. Procurar la repetición de prifrcipios Msicos, tan importantes parala enseñanza €fectiva. Fina¡mente, se incluyen numerosas demostráciones de teoremas y proporicio_nes deducidas de los p.incipios fundamentales. Los numerosos problemas propuestos, con ¡espuestas,sirven de revisión completa del mate¡ial de cada caDltulo.

Los temas estüdiados abarcan el cálculo diferenciai e integral de fu¡ciones de una o más variablesy sus aplicaciones. Los métodos vectorial€s, que por si mismos se acor{odan fácilmente a una notaciónco¡cisa y a interpratacion€s geométricas y fisicas, se estudian casi desde el principio y se emplean siem-pre que contribuyan a la comprersión y al estímulo del estudiante. Entrc loJ temas especialcs se incluyenlas integrales curvilíneas y de superficie y los teoremas sobre integrales, las series, las integrales imjro-pias, las funciones gamma y bcta y las serjes de Fourier. De gran interés e impo.tarrcia ion losápi_tulos sob¡e las iotegrales de Fourier, ras integrares elipticas y Ias funciones dc váriable cornpleja, extie-madamente útiles elr estudios superiores de ingeniería, lisica y matemáticas.

con objeto de dotar al libro de una mayor flexibilidad y de hacerlo rnás ritil como libro oe ¡efe¡en-cia, se ha procurado que los temas tratados sobrepas€n €n n¡lmero y amplitud a aquellos que puedenser estudiados en la mayoria de los cu¡sos de duración normal. sc intenia asimismo estimulaiun ul-terio¡ itrte¡és por estos temas.

.. Quiero aprovechar la ocasión para agradecer al personal dc la Schaum publishing Company suvaliosa cooperación con el auto¡ para ayudarre en sus, al parecer, interminables ensayoia" p".t"""roo.

M. R,. SPIEGEL

F¡

Tabla de materias

Conjuntos. Números reales. Represcotación dccimal d€ los nrlmeros rE¡les.Representación geométrica de núm€ros realcs. Operaciones con númerosreales. Desigua¡dades. Valor absoluto de un número real. Exponentes y raices. Logaritmos. Fundamentos axioÍ¡áticos del sistema de los números reales.Conjuntos de puntos, intervalos. Conjuntos enumerables. Enlomos. PuntosIímitc. Mayorar¡tes, miüotantcs, extrcmos. Teorema de Bolzeno-Weierstrass.N(¡meros algcbraicos y números trascendentcs. EI sistcma da los númeroscor¡¡plejos, Forma polar de un número complejo. Inducción ñatemática.

P¡gnb

I

c+2 mFunciones. Crafo de una función. Funciones acotad¿s, Funcioües monóto-nas. Funciones recíprocas. Valor€s principales. MáxiÍros y minir¡¡os. Tiposde funciooes, Funciones trascendentes esp€ciales, Límites de funciones, Limi-tes a derecha y a izquicrda. Tcorema sobre ¡imi¡cs. tnñnitos. Limites csfrccia-les. Contiriuidad. Conlinüidad a Ia deracha y a l¡ izquicrda. Contirluidad enun intervalo, Teoremas sobre continuidad. Funciones casicontinuas. Conti-nuidad uniforme.

C¡¡1" 3 4l

De6nicióo dc sucesiói. Límite de una sucesión. Teoremas sobrc limites desucesiones- Limites infinitos. Sucesiones moriótonas acotadas. Extremo suDe-rior y extremo inferior de üna sucesión. Límite sup€rior, limita inferior. En-cajes de intervalos. Criterio de convcrgencia de Cauchy. Series.

c+¡ 4 t t

Definición de derivada. Derivadas a la derecha y a la izquierda. Dif€rancia-bilidad en ün intervalo. Función casidifer€ncieble. Diferenciales. Reglas dederivación. Dcrivadas de las funciones elementales. Derivadas sup€riores.Teoremas del valo. medio. Desarrollos d€ Taylor, Reg¡as de L'H¿rpital. Apli-

C:" 5 t0

Definición de la integral deñnida. Medida nula. Propiedades de las integralesdefinidas. Teoremas del valor medio para i¡tcgrales. Integralcs indefinidas.Teorcma fundamenlal del cálculo integral. Int€grales definidas con limitesde integración variablcs. Cambio de var¡able de integración. lntegrales defunc¡ones especiales. Métodos especiales de integrac¡ón. Integral€s impro-pias. Mélodos numéricos de cálculo de integrales definidas. Aplicaciones.

TABLA DE MATERIAS

Pógl¡¡

. . . 101C¡pftub ó DERIVADAS PARCIALES. ... . .

Funciones de dos o más vári8bles. Variables d€p€ndiente c indcpendiente,domir|io de l¡na función. Sislemas de coordenadas rcctangulares lridimcnsio-nales. Entornos. Regiones. Limilcs. L¡mit€s rcitcr¡dos. Continüidad. Con_tin¡¡idad utliforme. Derivadas p¿rciales. Derivadas parcialas de o¡d€n supe_rior. Dif€renciales. T€oremas sobre difcrcnciales. Dilerenciación dc funcioncscomDuestas. Teorema de Euler sobre funciones homoSéneas. Fünciones im'plicitab. Jacobianos. Dcrivadas parcialas con j¿cobiar¡os. Tcorcmas sobrcj¿cobianos. Trarsformaciones. Coordenadas curvilincas. Teoremas dcl valorm¿{io.

Crplob 7 . . . 134

Vectores y escalares. Algebra vcctorial. I¡yes del álgcbra v€ctorial. vectoresu¡itarios. Vectores unitários ortoSonalcs. Componentes dc uf¡ vector. Pro_d¡¡cio escalar. Producto v€ctorial. Productos triPles. AnÁlisis veatorial desd€un punto de vista axiomático. Funcioncs v€ctoriales. Llmites, continuidád yCerivadas de funciones vectori¿lcs. Interpretación gcométric¡ dc l¡ dcrivadavectorial. Gradiente, dive¡8erci¡ y rotor. Fófmulas en quc cntra 9. Inter_prctación vectorial de los jacobianos. Coordcnadas curvillncas orlogonales.Cradicritc, diverSencia, rotor y laplaciano en coordcnadas curvilir¡css orio_gonales. Coordcnadas curvilincas €sp€cialas.

C¡pft¡¡o APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Aplicaciones a la geometria. Derivadas direccionales. Derivación bajo el sig_no integral. Integ¡ación bajo el signo inteS¡al. Máximos y mi¡limos. Méto-do de los multiplicadores de Lagrange para máximo6 y ñl¡imos. Aplic¡cio_nes a los errores.

C¡pttulo 9 INTEGRALES 18t)

Ir¡tegrales dobles. Integrales reiteradas. Integ¡¿lcs triples. Transformaciorcsdc integrales mriltiples.

cr/oro f0 INTEGRALFS CURVILINEAS, INTEGRALES DE SUPERFICIE

Integrales curvilineas. Notación vectorial dc las intcgi¡ales curvilíneas. Cálcu-lo de inteSrales curvilineas. Propicdadcs de ¡as integrales curvilíneas. Curvassimplcs ccrradas. Rcgion€s simple y múltiplement€ conctras. Teorema ueCrcen cn el plano. Condiciones para quc Dna ir¡teg¡al curvi¡inca seá inde-pcndiente del camino. IÍtegrales da supcrfcic. Tcorcma dc la divergencia.Teorema de Stoles.

t95

crltub ff 2U

Convergcncia y divergencia de series. Propicdadcs fund¡mentales de las se-ries. Series especiales. Criterios dc convergaricia y divergencia de series deconstaDtes. Teorcmas sobrc senes absolutamcntc convergentes. Sucesioncs yscries de funciones. Convergcricia unifo¡me. Criterios especiales para cor¡-verScncia u¡iforÍ¡e dc s€rics. Tco¡emas sobac s€¡ies uniformamcntc conver-gentes. Series d€ potencias. TeoreDas sobre series de potcncias. Oper¿cionescon scries dc potencias. Desarrollo dc fur¡cioncs cn series de potencias. AIgu-ras s€rics dc potencias importantes. Temas esp€ciales.

ry12

TABLA DE MATERIAS

Definición de integral impropia. Integrales impropias de primera especie.Integra¡es impropias especiales de primera especie. Criterios de convergenciapara integtales impropias de primera especie- Integrales impropias de segun-da especie. Valor p¡incipal de Cauchy. Integrales impropias especiales desegunda especie, Criterios de convergencia para integrales impropias de se-grnda especie. Integrales irnpropias de lerc€ra especie. Integrales impropiasdep€ndientes de un parámetro. Convergencia uniforme, Criterios especialesde codvergencia uoiforme de integrales. Teo¡emas sobre integrales uniforme-mente convergentes. Cálculo de integrales definidas. Transformadas de La-place. Integrales múltiples imp¡opias.

Púgin¡

2@

*13 zuNCIONES GAMMA Y BETA.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

Función gamma. Tabla de valores y grafo de la función gaúma. Fórmulaasintótica para f(r). Algunas relaciones en que entra la función gamma.La función beta. Integrales de Dirichlet.

*11 298

Funciones p€riódicas. Series de Fourier. Condiciones de Dirichlet. Funcionesimpares y pares. Series de Fourie¡ en senos o en cosenos. Identidad de Parseval.Derivación e ioteg¡ación de series de Fourier. Notación compleja para seriesde Fourier, Probl€mas de cortomo. Funciones ortosonales.

e15 321

La int€gral de Fourier. Formas equivalentes del teorema de la integral deFourier. Transformadas de Fourier. Ideritidades de Parseval para las inte-grales de Fourie¡, Teor€ma de convolución.

ry16 331

La integ¡al eliptica incompleta de primera especie. La integral eliptica in-compl€ta de segunda esp€cie. La integral eliptica incompleta de tercera es-pecie. Forúas de Jacobi de las int€grales elípticas. Inlegrales reducibles atipo eliptico. Funciones elípticas de Jacobi. Transformación de Landen.

ry17 345

Funciones. Limites y continuidad. Derivadas. Ecuaciones de Cauchy-fuemann.Integnles. Teorema de Cauchy. Fómulas integrales de Cauchy. Serie deTaylor. Puntos singulares. Polos. Serie de Laurent. Residuos. Teorema delresiduo. Cálculo de intggrales definidas.

373

Capítulo 1

Nrúmeros

(Erñr6É-d.f'otal €n matemáticas el conc€pto de conjwto, clase o colección de objetos que tienen

-tuR 6peciñcas. Por ejemplo, s€ habla del conjunto de todos los profesores de la universidad,üf,ro dc las letras A, B, C, D, . , . , Z del alfab€to, ctc. Los objetos del conjunto se llamar. ele-

-- Ioda parte de un cor¡junto s€ die subconjunto del co¡rjunto dado, como ,{, r, C que es un

-.-^ de A, B, C, D, . . . , Z. El conjunto que csrece de elementos se llama conjunto Dacío.

IEÍE IEALES

f¡ cooocidos los tipos de [úme¡os siguientes.

L

-rG

nbr¡leg l, 2, 3, 4, . . . , o enteros poJ¡l¡uoJ, que sc emplcan para contar los ele-Eros de un conjunto. Los símbolos han cambiado con las épocas, pues los romanos, por*!¡plo. utilizabar I,II, III, ry, . --.La suma a + b y el producto ¿.ó o ¿ó de dos númerosE¡¡rales ¿ y ó es también un núm€¡o natural, lo cual se süele expresar diciendo que el con-Fao de núme¡os ¡atural€s es cerrado rcspecl,o de la operación ad¡ción y rcsryto de la ope-ttúD nultiplícación, o que cumple la propiedad de clausura co¡t ¡esp€cto a esias operaciones.

a os Dag¡tivos y ce¡o, denotados pot -1, -2, -3,. . . y 0, respectivamente, que per-ril¡¡ ¡esolve¡ ecuaciones como ¡ + b = aco¡ay b naturales, qüe llevan a la op€ración s¡¡J-ú .clil o ínoetsa de la adición y se cscribe ¡: ¿ - ó.

El coojunto de los enteros positivos y negativos con el caro se llama conjunto de ¡os ente¡¿J.

I

-r€

nciordes o y'accrbn¿s, tales como i, -*, . . . permiten resolver ecuaciones comobr = ¿ pata ¿ y á ente¡os cualesquiera con á + 0, que llevan a la opcración de d¡uls¡ó¡ o rn-úra de la mu fu iplicac¡U¡, y se escribe ¡ = a l b o a + b llamá¡dos. a numerador y b denoninador.

El conjunto de los €nteros es ün subconjunto de los ¡úmeros racionales, pües los ente-rc corresponden a números racio¡ales con ó: l.

a !-aB ir¡cion¡les tal€s como rt y o son números no racionalcs, es decir, que no se.4, . .pcdcn expresar como | (llamado cociente de a y bl co¡i a y ¿ enteros y á + 0.

El conjunto de tod"os los núme¡os racionales e irracionales se llama conjunto de losú¡e¡os ¡eales.

GE¡{TACION DECIMAL DE LOS NUMEROS REALES

Todo aúmero real se puedc expresar et lorma decimal, por ejemplo, l?/10 = 1,7,91100 :0,@,fó

- e-166óó . . -. Si el número es racional el desarrollo decimal termina, o si no termina hay una cifra

r t¡lo dc cifras del desarrollo que se repilen. como, por ejemplo. en + :0,142857 14285'l I42....I d ric.fo es i¡racional,

"o o.16.= 1,41423... o r : 3,14159..., no puede presenta$e ¡epe-

ri rFrite. Siempre se puede considerar un desarrollo o fracción decimal como infnito, pues

'-5E r¡ f,o mismo que 1,37500000 . . . o 1,3749999 .. .. Pa¡a indicar estos decimales que se repiten! ttlscos poodremos puntos soble el periodo de cifras que se repite, asi + = 0,14t831, + = 3,1é.

E 6crna decimal utiliza las diez cif¡as 0, l, 2, . . ., 9. Se pueden también emplear sistemas der-¡riir con menos o más cifras, como el sistema bina o qle solo emplea las cifras 0 y l, por ejemploliftás i2 y jjr.

Z NUMEROS

REPRFSENTACTON GEOMETRICA DE NUMf,ROS REALES

Es conocida la ¡epresentación de los números reales sobre una recta llamada eje rcal, como se veen la figura. A cada número real corresponde ün punto, y solo uno, de la recta y rccíprocamente; esdecir, er(iste ljlla cotrcspondencia biunitoca enlje el conjunto de los números reales y el de puntos dela ¡ecta, poÍ Io cual los conceptos de punto y de núm€ro se podrán emplear uno por otro.

lcAP. I

El conjunto de números reales a la derecha del 0 es el llamado conjun¡o de los númercs posítíDos.,el conjunto a la izquie¡da del 0 es el conjunto de los números negatíoos, en tanto que el 0 no es positi-vo n¡ negativo.

Entre dos racionales cualesquiera (o irracionales) de la recta hay infrnitos números racionales (e irra-cionales). Lo cual lleva a deci¡ que el conju¡to de los racionales (o irracionales) es ui conjrúÍo d¿nso enlodas partes.

OPERACIONES CON NUMEROS REALES

Si ¿, á, c pertenecen ai conjuntoL a+by aD pertenecen a,R2. a+b:b+a3. a+(b+cJ=@+b)+c

5. a(bc) = (ab)c

R de los ¡eales,

6. a(b + c) : ab + ac'7. a + 0 : O + a = a, 1,a : a, 1 : t¿

0 se flama elemento heutrc depucacton.

8. Para todo d existe un número ¡ de R tal que x + a: 0.x se ll^ma s¡mético de a respecto de Ia adición o también opuesto de ¿ y se denota por _¡¡.

9. Pa¡a todo a + 0 existe un número ¡ de R tal que ¿¡: 1.¡ se lfama simétríco de a rcspectu de la multiplicación o también iñDerso de a y se

denota por a-t o l la,

Esto permite operar según las reglas usuales del álgebra. Un cor¡junto como R, cuyos elementoscumplen lo que antecede, se llaña cuerpo.

DESIGUALDADES

Si¿ - ó es positivo se dice que o es nalor que b o que b es menor que a y se escribe a > b o b < a,respectivamente- Si se da tambiéo la posibilidad a = á, se escribe a/ b o b S a. Geométricame nte,a > á si el punto del eje real que corresponde a a €stá a la deÍecha del punto que correspolde a ó.

E¡eDpf6. 3 <5ó5 > 3. -2< - l ó - l > -2;x S 3 signif ic¡ que¡es un número ¡eal que puede ser 3 omenor que 3.

Si ¿r, á y c son números reales dados,l . O bien a>ó, o bien a:b,obie¡a<b2. Si ¿> by b>cesa>c3. Si ¿>óesa+c>ó+c4. Si a> by t>0 es ¿c > ¡ !c5. Si ¿> by c<0esuc<b(

Ley de clausuraLey conmutativa de la adiciónLey asociativa de la adiciónLey conmutativa de la multiplicaciónLey asociativa de la mültiplicaciónLey distributiva

la adición, 1 se llama elemento neutrc de la multi-

Ley de tricotomíaLey de transitividad

Fia. l.l

- lNUMEROS

E IDfX¡'fi) DE UN NUMERO IEAL

E * rbGoluto de un númerc ¡eal o, que se denota lal, se deñnc como a si a > 0, -¿ si a < 0t0i . : A

h.-: '-51 = s, l+21= 2, l-il = I, l-vEl = /t, lol = 0.L r l = a ül o labc.. .ml = lo l lü l lc l . . . l r¿l1:- l S 'or +lól o lo+b+c+.. .+nl= I¿l +lbl +lc l+. . . +12¿l¡ . r -ü > 'o i - lb l

f¡ bcÉ .otre dos puntos (o núme¡os reales) ¿ y á del eje real es la - ól : lb - ol.

ND'¡ES Y RAICES

E¡lücroa.a. . .adeü¡númcrorealdporsimismopvecesseder iotaporapl lamándosepal- y ¿ á¿s¿. Se verifican las reglas siguientes:

L. ae. aa = ae+e

2- :- = ao-o

bls y es ge¡e¡alizaciones a números reales cualesquiera son siempre posibles mientras se ex-frl-rÉiinporcero.Enparticularparalt2,conp=qyp=0respoctivamentesellegaalasde-' ¿: l ,a-e=l lac.

_f J :,Y, sieado p entero positivo, se dice que a es wa taíz p-ésima de ¡f, que se escribe3I E babE¡ más de uoa raíz pésima real de rV. Por ejemplo, como 22 : 4 y (-2\2 = 4 hay dos

- d¡das reales de 4, que son 2 y -2. Es costumbre designar Ia raíz cuadrada positiva por

d"¡ -: t f. Egativa por -./4 = -2.I ¡ ¡r q soa enteros positivos * defrrc a"t4 : XG.

-¡qt¡tos

f ¿: X, I se llama logq tmo de N en base a, lo que se escribe p : lo&¡ú. Si a y ¡r' sonFE ! a + l, existe solo un valor leal de p. Se verifican Ias reglas que siguen:

1. log. il4N = loc.Ir + lo&N 2. los,K = log.,ilf - log"N

3. log.M' = t'log" M

frl ¡:ci:a s€ utiliza¡ dos bases: la base ¿ = l0 pafa el sistema de kga tmos decimales, aulgar o deft¡- y b fuse natu¡al a = e:2,'11828... para el sktema nqtural o neperiano.

M¡AXENTOS AXIOMATICOS DEL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES

E ¡itsma de ¡úmeros se puede construir lógicamente a partir de un conjunto fundamental de d.r¡o-ro uüdes <eüdentes por sí mismas)r que por lo general se toman de la experiencia, como los enun-

-

l-9, Ésitra 2.I tmaoos los números natu¡al€s y las operaciones de adició[ y multiplicació¡ como dados (si

b diia es posible pa¡tir de más atrás con €l conccpto de cbnjunto), se ehcuentra que los enuncia-

-

H. Figina 2, valen para los números naturales, pero los 7-9 no s€ verifican con ellos.A-d-Ddocomo¡equis i toslosTySseintroducrnlosnúmeros-1,-2,-3, . . .yel0.Yconel 9

! -md¡ED

los números facionales.

3. (ao)' = añ

. (il'= *

NUMEROS lcAP. r

Se pueden deñnir operaciones con estos números asi obtenidos adoptando los axiomas l-6 y elconjunto de lúmeros es ahor¿ el de los enteros. Esto lle,v" a demosttaciones de enunciados tales como(-2X-3) = 6, -(-4) = 4, (0X5) : 0, etc, que por lo común se dan por ciertos en las matemáticaselcmentales.

Se puede introducir también el concepto de orden o desigualdad para los enteros y a partir deéstos para los racionales. Por ejernplo, si ¿, ó, c, d son e¡teros positivos, se deñne a/ó > c/d si, y solosi, ad > bc, con generalizaciones parecidas para los números negativos.

Una vez establecidos el conjuf¡to de los racionales y las leyes de desigualdad entre ellos se les puedeordenar geométricamente como puntos del eje real como ya se ha indicado. Se puede mostrar enton-ces que hay puntos de la recta que no representan números racionales (como .,á, r, etc.). Estos oú-meros i¡racionales se-pücden definir de varias maneras, una de las cuales emplca el concepto de co¡-taduras de Dedekind (Problema 34); con éstas se puede demostrar que las reglas usuales del álgebrasc aplican a los números irracio¡¡ales y que no hay ya ot¡os números reales.

CONJUNTOS DE PUNTOS, INTERVALOS

Un conjunto de puntos (números reales) del eje real se dice conjunto de punlos unidiüensional.Ef conjunto de puntos x tales que a S -x S D se llama interúalo cerrado y se denota por [a, ó]. El

conjunto¿<x<ós€l lamairrerualoabiertoysedenota]a,á[ .Losconjuntosa<xSbyalx<b,denotadoE la, bl y fa, bl, respectivamente, se llama¡ interualos semiabíertos o semicerrados.

El símbolo x, que pued€ representar cualquier número o punto de un conjunto, se llama variable.Los núm€ros dados ¿ o á se llaman constantes.

Eieodo: El conjunto de los ¡ tales que lxl < 4, o seá, tales que -4 < x < 4, se representa por ]-4,4[' un intervalo abieno.

El conjunto.x > d se puede representar, asimismo, por a < ¡ < oo- Un conjunto semejante sellama inftnalo Winito. Arálogamente, - @ < x < @ rep¡esenta todos los números reales ¡.

CONJUNTOS ENUMERABLES

Se dice que un conjunto es er¡¡me¡¿óle si sus elementos se pueden poner en correspondencla b¡üní-uo¿¿ con los núme¡os natural€s.

Eja[plo: Los números nat¡rrales pares 2, 4, ó, 8, . . . son un conjunto enumerable en vista de la corres-Dondencia biunivoca,

Conjunto dado

Números n¡ lur i r les

24nat1117234

Un conjunto se dice Winíto si se puede poner en correspondencia biunivoca con un subconjun-to suyo.

Si bien un conjunto infinito puede ser enumerable como se ha visto, hay conjuntos infinitos noenume¡ables como es el caso de los números irracionales o el de todos los números reales lPro-blemas l7-20),

El número de elementos de un con-iunto se dice su ¿¡idelo cardi al. Un conjunlo infinitd tiene porca¡dinal el número No (alef subcero, pdmera letra heb¡ea). El conjunto de los números reales (o cual-quier conjunto que se pueda poner en correspondencia biunivoca con éste) tiene por cardinal el nú-mero C. llamado cord¡nol del continuo.

E\TORNOS

EI conjunto de todos los puntos r tales que lx - al < óconó > 0sellama entorno 6 del or¡to a.EI coojunto de los puntos .x tales que 0 . lr - , l aDenque se excluye r = ¿ se l lama entoino 6 rc-&ib de a.

ILI¡TOS LIMITE

* llaña punto límite o punto de acumulación de un conjunto de [úmeros un número / tal que todo@rorr¡o ó reducido de / contiene elenentos del conjunto. Es decir, tal que para todo ó > 0, poi peque_io que sca, se pucde hallar siempre un elemento ¡ del conjunto distinto de /, pero tal que l; _ ¡ : ó.coosiderando valores más y más pequeños de ó, se ve qu€ deb€ habe¡ innnitos de tales elemenios ¡.

Un conjunto finito no puede tener punto limite. Un conjunto infinito puede o rio tener punto lími-tc. Asi, por ejemplo, los ntimeros naturales no tienen punto límite mi€ntras que el conjunto de los nú_r¡os racionales tiene infinitos pu[tos limites.

Un conjunto que contenga todos sus puntos limit€s sc dice conjunto ceftado. EI conjunto d€ losEionales no es cerrado, pues, por ejemplo, €l punto lfmite ná no es elemento del conjunto (proble-oa 5). En cambio, el conjunto 0 = x = I es gerrado.

VAYORANTES, MINORANTES, EXTREMOS

Si para todos los números r de un conjunto existc un número M tal que ¡ = M se dice que el co¡-jü¡to está mayorado y M es tt mayorante. De igual manera, si r ¿ ,r, el conjunto s€ dic€ minorado yñ es \tD minorunte. Si para todo x se tiene n¡ ! x ! M el conjunto se dicn acotado.

Si ¿1 es un número tal que ningtn elemgnto del conjunto €s mayor que ¿L p€ro hay uno al menosque supera ¿t - É para todo € > 0, entoncrs ¿l es cl mínímo mayorante o extremo superior del cof,jrJn-to. Análogame¡¡te, si ningún elemento del conjunto €s menor que ri, lrero hay al menos uno que es in-ferior añ¡ + € para todo € > 0, ertonces ñ esel máximo minorante o extrcrno infe or del ¿o¡jrrnto,

TEOREMA DE BOLZANO-WEIERSIT.ASS

Establece que todo conjunto infinito acotado tiene al mcnos un punto límite. Se da una demostra-ción en el Problema 23, Capítulo 3.

NUMEROS ALGEBRAICOS Y NUMEROS TRASCENDENTES

Un número x, que es solución de la ecuación algebraica

a$rn + arxn-t + a2r"- ! +. . . + o"-r f + o, = 0

c^r. rl NUMEROS

dondeca t' 0 y a r, ar, - . . , ¿, son enteros y , es entero positivo, el llamado grado de la ecuación se llamantbnero algebraico. Un núme¡o que no es expresable como solución de una ecuación algebraica de coe-6cientes ente¡os e llama trascendente.

Ejeupfos: 1y J1, C"" soo soluciones de 3¡ - 2 = 0 y dc,r'¡- 2:0, ¡esp€cnvamenre, son numcrosalgebraicos.

Los números z y € son trascendentes, como puede demostrarse. p€ro aún no se ha podido deter-minar si núme¡os corno en son algebraicos o no.

El conjunto de los ¡úmeros algebraicos es inñnito enumerable (Probleña 23), pe¡o el de los tras-cendentes es un infinito ¡o enumerable.

(r)

-

NUMEROS [cAP. ¡

EL SISTEMA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

Como no existe número real ,\ que satisfaga la ecuación algebraica rr + I : 0 o ecu¿ciones pa-recidas se introduce el conjunto de los números complejos.

Se puede considcrar un número complejo en la forpl4 + bi cor, .I y b re¿les, que se llaman pdrl('

rcttl y perlc ¡magi .tr¡u, respectivamente, y donde i : J'l es la u idu¿ it .8l(¡al ¡,4. Dos números com-plejosa+biy.+r/ isonigualessi ,ysolosi ,a:cyó:d.Sepuedenconsiderar losnúmerosrealcscono subconjunto de los números complejos con á : 0. El número complejo 0 + 0¡ correspolde alnúmero rcal 0. .-

El ualor ahsoluto o nódulo de 4 + ¡t¡ se deñne como la + bil: Ja'z+ ó'. El n¡imero a - á¡sedeñne como conjugado complejo de d + bi. El complejo conjugado del complejo ? se suele denotarpor 2 o zr.

El conjunto de los complejos obedece las.eglas l-9 de la página 2 y, por tanto, constituye un cuer-po. Al hacer operaciones con complejos se puede operat como en el álgebra de los reales, remplazandoluego i2 por -1. No se deñnen desigúaldades entre números complejos.

Desde el punto de vista de una fundamentación axiomática de los números complejos es convenien-te tratar un n¡imero complejo como un par ordenado (a, á) de números reales 4 y á suj€tos a ciertasreglas de operación que resultan equivalentes a lai ya mencionadas. Por ejemplo, se define(a, bl + k, d) = \a + c, b + ti), (a, bl(c, ¿) = (ac - bd, ad + bc\, rñ(a, bl = (ma, mb), etc. Se hallaluego que (a, ó) : all,0) + ó(0, l)y se asocia esto con ¿ + ó¡. siendo ¡ €ntonces el simbolo de (0, l).

FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO

Si se eligen ejes reales sobre dos rectas perpendiculares X'OX y Y'O Y (los ejes x y y) como en la Figu-ra 1-2 se pued€ entoncas situar cualquier punto del plaoo determinado por estas rectas mediante el parordenado de números (x, y) o cooúenadas ca esiaias del punto. En la Fig. 1-2 se indican ejemplos delocalización de puntos e¡ esta forma en P; 0, R, S y I.

Fl¡. l-t F|3 l.l

Como u¡ número complejo -r + i se puede considerar como un par ordenado (¡,l), se puedenreprese.¡tar esos núme¡os como puntos del plano .r¡ que se llamará entonces plano complejo o díagtutn¿tde Aryand. EnlaFig. l -3 se t iene ¡ = pcosó,y: psenddondep: Jx2 + 12 = l - r + a. l y{ . l la-mado amplitud o orgumento, es el ángulo que la recta OP forma con el eje positivo de las ,t OX Ses¡gue que

z = x + iv: p(cosó + ¡senó) t2)llamada forma polar del núméro complejo, donde p y d son las llamadas coordenodas polares, A verr;ses cómodo escribir cis ó c¡ vcz dc cos ó + i sen ó.

cat rl NUMEROS

Si z¡ = ¡' + iy' = p,(cos.¡¡ + ¿ sen dr) y z!ia puede demostrar quc

ztzz = ptb{cos (+,+d.) + ¡sen (+,+ó") ) (3)

3 ' = &lcos(4, , ó,) + ¡sen(dr-ó:¿) ) (¿)22 o^'

zn = {p(cosd + tsené)}. = p,(cos¿+ + ¡ sen nó) (5)

rÉldo r¡ un número real. La igualdad (5) es el teorctua ¿le De Moivre. Puede emplearse para determinarhs raices de los números complejos. Por ejemplo, si n es un entero positivo,

zv. = {p(c$ + + ¡ sen ó)}t/, ' (6)

=,, ,^1"""( t+). , ,*" l t3*-) ] r - -0, , , r , r , . . . , , , - ,' t \ 7¿ / \ n /)

de doode se deduce que hay, en general, ,1 distintos valores para zrl'. Más adelante (Cap. ll) s€ veráque ¿4 = cos d + ¡ sen d siendo ¿ : 2,71828 -... Esta es la llamada lórnula de Euler,

TNDUCCION MATEMATICA

Ef principio de ¡hducc¡ón matemática €s una importante propiedad de los enteros positivos. Esúril sob¡e todo para demostrar enunciados en que intervienen enteros positivos cuando se sabe, por.jemplo, que los enunciados son válidos para n = 1,2,3, pro se sospecha o c¿rrer¡¡¡a que son válidospara todos los enteros positivos. El método consiste en los siguientes pasos.

l. Verificar el €nunciado para ¡¡ : I (o para otro e¡t€ro positivo).2. Suponer cierto el enunciado para ú = k sicndo & un entero positivo.3. A partir de la suposición de 2 se demuestra que el €nunciado es válido para ¿ : & + l. Esta

es la parte de la dcmostración que establece la inducción y puedc ser dificil y hasta im-posible.

4. Como el enunciado es cierto para ¿ = I lpor el primer paso] debc ser cierto [por el paso 3]plr^ h : | + | - 2 y, por tanto. para n = 2 + I : 3, etc., y entonces dcbe s€r cierto paratodos los enteros positivos.

Problemas resueltos

OPERACIONES CON NUMEROS

l. Si r = 4, ! = 15, z : -3, p = i, q = -tr, y ¡.= l, catcutar (a, t + (A + z), (b) (t + A) + z,\c) p(ar), (d.) (ptr)l., (e) Í(p + q\.

(a l r+la+z) = {+ [15+(-3)] = 4l '12 = 16(ü) (r+l / )+z = (4+15)+(-3) = r9-3 = 16

El que (a) y (ó) s€ar¡ iguales ilustra la /€J asociatiúa d? lo adicíón.

(c) p(qr) = ${(-*X?)} = (ix-ji) = (}X-ü) = -+ = -y'"td') tpdr = {(iX-¿)Xt) = (-ñX¿) = {-g)rf) = -$ = --.r-

El qüc (c) y (d) scan ¡guales ilustre la l¿l asocia.ila de la ñultiplícac¡ó^.

(e) ' (p+q\ = a( i -*) = 4(á-¿) = 4(3) = f = 2Olrr m¡¡r..r: alp+qr: tp+,q = (4Xi) + (4X-l) = i-á = 8-t = 3= 2 apticandola lej distrihutitu.

7

-- **iy¿ = pr(cos 4. + ¿ s€n ór)

7

NUMEROS

Explicar por qué no son núrn".os fot o fatlO

[cAP. ¡

¡a) Si se define a/¿ coño el númaro (si existe) tal que óx = a, entonc€s 0/0 es el ¡úñero r tal que 0r = 0.Pero esto es ci€rto para lodos los números x, y no habicndo un número x único que represente a 0/0 no s€puede considerar como número,

(ó) Como en (a) si se d€fine l/0 como el número r (si existe) tal que 0¡ = l, s€ concluye que tal número noextste,Por €sto hay que considerar la división por cero como carente de sentido.

o2-Ró!A¡ Ciññl i6^r.

¿F414.¡ t -5¡16 l ¡ -3)(¡-2t ! - ,Fff

= üffi

= :-i siempre que el factor cancelado (¡ - 3) no sea nulo, ¡ + 3 Para

¡ = 3 la fracción dada no está defrnida.

NUMEROS RACIONALES E IRRACIONALES

4. Demostnr que el cuadrado de un entcro impar es impar.

Todo impar ti€ne la forña b1 + l. Como (Ztn + l)2 = 4rn2 + 4¡n + I supera en 1 al ente¡o par 4n2 +4n :2(2rñ'z + 2rr), es impar.

5, Demostrar que no hay número racional cuyo cuadrado sea 2.

Sea y'/g un númcro racional cuyo cuadrado sea 2 y t¿l que p/g es una fracción in"ducible, oaea, qtte p y qno tienen más faclorcs comünes que ll (o seá, que p y { son pümos eñtre si, como se dice).

Entonces (p/4)': = 2, p' = 2q2 y p' cs pat. segln .l Problema 4, p es par porque si p fuera impar ¡2 seríaimp6¡. Asi, ptes, p = tn,

Susütuycndo p = 2m c¡ p'= 2C resutta q2 = 2m'. o sea, que 92 es par y g es par.De modo que p y q tienen cl factor común 2 contra lo supuesto que no tenian más factores comunes que :t l.

Esta contradiccióo pcrmitc añrmar quc no hay nriñero Écional cuyo cuadrado sca 2.

6. Mostrar cómo se pueden enconttar números racionales cuyos cuadrados se puedan aproximara 2 tanto como s€ quie¡a.

Limitándos€ a considerar solamente nr¡meros racionales positivos, por ser (l)'z = 1y (21'.= 4, habrá queescoger números ¡acionales entre I y 2, por ejcmplo, l , l , 1,2, 1,3, . . . , 1,9.

Como (1,4)'?: 1,96 y (1,5)'= 2,25. se considcran nliÍreros racionales entre 1,4 y ,.5 como 1,41, 1,42,. . . . 1.49.

Continuando asi s€ pueden obtener aproximaciones racionales €ada vez mejores a 2; asi. por ejemplo,11,414213562)' es menor que 2 y 11,,414213563)'z es rflayor que 2.

7. Dada la ecuación ¿o'x¡ + arf , - t +, .+ ar:0 con ao, ¿1, . . . , ¿¡ enteros y ao ya, 10. Mos-trar que si la ecuación tiene una raiz 'acioíal plq, entonces p divide a a" y g divide a ao.

Como p/q es raiz, sustituyéndola en la €cuación y m¡.¡ltiplicando por C se tiene

aop'+ atp"- tq + o, 'p" 'q '* . . * c,- 'pq'-r * a.q ' = ¡ @o b¡en divid¡endo por /.

o¡p,- , _ drp,- ,q + . . . + d, ,s,- , _ _+4

Como el primer miernbro de (2) es entero, también ha de s€rlo el segundo r¡¡ieñbro. Y como p y 4 son primosenlre si, p no divide a / y entonc.s debe d¡vidir a d,.

De manera semejante, pasándo al segündo miembro el primer término de (,/) y dividiendo por q, se puededemostrar que 4 tiene que dividir a ao.

E. Demostrar que .r/ 2 + J3 no puede ser racional.

' six:Jt + \JÁ. cntonces .! '? : 5 + 2,JG, x'z - s : zuG y, elevando al cuadrado, xa - 10,r '?+ | =0.Las únicas raices racionales posibles de esta ecuación son 1l s€8ún el Probl€ma 7. pero éstas no satisfacen laecuación. De rnodo que ,á + ,,/5, que si satisface la ecuación, no puede ser racional.

l2)

-

9. Demostrar quc cntre dos númsi ¿ y ó son ,""roo"r"",

"oronTl T?t:"t*.

*] otro. ¡úmero 'acional'* -

,- a" racional y .st¡á entrc ¿ y ó-

Para dc¡¡ostrarlo supringasc a < ó. Entoric€s, agregando ¿ a ambos miembros,2a < o ¡ 6u o.!!!.Análog¡mentc, sumando ó s amtos micrhbros. a+ b< y1j! .¡ .

2

Asi, pucs, ¿ .!. o. ' 2

Par¡ demostrár Cu" li ". racionat, sea, =

l, U = ! "on

p, q.¡, r enrcros y q + 0, s + O.Enronces.f = l ( l . l ) = Ih:*gz\ _ p '+q¡

" . , . -z z\c a ,/ 2\,¡z ' qa ) - '-ñs es un nrim€ro rac¡onal.

DESIGUALDADES

10. ¿Para qué valores de ¡ es ¡ + 3(2 _ xr¿4_ x2-y + 3(2 - ¡) ¿ 4 _ ¡ si ¡ + 6 _ 3¡ = 4 _ x, 6 _ 2x ¿ 4 _ x, 6 _ 4 ¿ 2x _ ¡, 2 > ¡, cs dccir, ¡ S 2,lf. ¿Para qué valores de ¡ es x2 _ 3x _ 2 < l0 _ 2x.l

L¡ dcsigualded sc vc¡ifica si

x ' -gr_Z_rO+2eEsra úrtima d€sisuard¡d * *no* ,.i",,1"",j";;;:'.":,lrun"n",I'-a)("+3)

< 0

Sil.rt;"Jtk;0.'d*-3.'qcsdecir'¡>4v¡<-3.Perocstocs¿?,por¡ál¿porque¡nopued€sc¡tu^ l : * .O:9r¡+3>0, es decir , x<4.y x> _3. Esro cs posiblc s i _3<¡<4.As¡ quc la des¡gu¡ldad se vcrifica pa¡a cl conjunro dc rodos ¡os ,.tal.s qu" _3 < x < 4.ttG..O r á20, demost¡ar que |(a + q> JA.Sa llcga a menudo a tene¡ ün rnétodo d€-d:m!,s táión sunoniendo j\c cl rcsukado es cierto y cfcctuaa¡dooperacioncs válidas hasta que sa l¡aga a uque esto se¡ posibrc) se rieDe ," o.,,,o",]l"t[i]''oo

oe validez conoc¡da' Inürtiendo cl p.o"ool.upon;"nJo

En _cstc problena poriEos dcl *"1.S9 !g.-, obrcnc¡ sucesivamcnlc , + O ¿ Zufat, (a + bf > 4ab,o* 'a'- 2ab + ó':¿ 0, ." d€cir, (¿ -,r ¿'0, ¡"q*

", "¡."". li"in'¡"i¿l t-o."["o.,.,"ga

"t.."utt"ao.orro mélodo: como (y';-y'-ó)' = o s€ ticnc d_2\/;6+b >0 o +(o+¿)=\ñü.Este rcsultado !c puede gen r¿ti¿a¡ á

tú# ¿ !"rr, -Á, dondc ¿r. d2, . . . , c. ro¡ nú-

fi:r:::: l"S"¡*t El primer micmbro sc llarna media añrrnética ! el scgundo ¡niembro ,t ed¡a geoñ¿,¡íca defos numclos ar, a2, . , , , a. ,

Si ot, a2, - . ., a, y b¡, ó2, . . ., d son realgs cualesquiera s€ ve ¡iñca la desiguoldod de Schuaz

DcmostÉ¡fa. (arh * azbtr... + a,"b,)2 = (ei+aZ + ... + alxó? + ór, +...+ ól)

Para todo real I sc ticr¡e

(o¡r+ó¡) . + (a,r+¿r¡ +. . . + (a,r + ü,F = 0Dcsarrollardo y reduciendo téminos

(r)=o¡ó¡+d,ór+. . .+a,ó. ( r . ,

cAP. ll

con, . = ai+ a: + . . . +a: ,

Entoncd (r) s€ pu€da csóaibi¡

^ ' f F^

NUMEROS

ár^r+2C^+8r = o

B'= bi+b,+. . .+bi , c

12.

t3.

' *4:o osea (^.9 ' .#- f r=o (r)Pcro esta úlüma d.sigualdad cs cicrta par. rodo rcal I si, y

"oto s, { _ 9=0, o.", c, =ArE,dc

dondc rtsulaa la deriguatdad dc Schwarz medi¡t¡tc {2). A' A' =

II

J

l0

14. D€most.ar que

Sea

Entonces.

Restando.

111 1t - ¡ -8

s.=i+++*+

fs" = ++t+

*s. = -+ ,.!. o".

= para todo natural ' '

> I .

I

1,1

s.- 1- t=S l r lata lodor.

NUMEROS [cAP. l

EXPONENTES! RAICES Y LOGARITMOS

15. Calcular:

t " r S#=$=r '"=r '=*!- i(ó)

(d)

= 1/5:a ' ru -" j 'u ' - V2.6.r0- = lE¡f=r = 5 '10 s ó0000u5

loe,,"(?) =e. Luego ($). = ? = t3)" = ( i ) 'o '=-3.( log.ó)( logúo) = l . . Sea log. .ó =r, los6d,=A supon¡endo a, ó > 0 y a, b +l .

Entonces. a.=ó, bt=a y L=ra.

Como (o ' ) '=¿a=¡t=¿ se t iene 4"=ol osea.V = | e¡ valor buscado

f6. Si M> 0, y'y'> 0 y a > 0, pero ¿ + l. demostrar Ou. fog; ff: lo&M- loC.N.

Sealo&M-x, lo& ^r

= y. L\ego ¿ = M, d : N y, por tari to,

ñ=,"="4-" osaa toxf ,="-y=toc"M-toe"N

CONJUNTOS ENUMERABLFS

17. Dcmostrar que el conjunto de los números mcionales entre 0 y I inclusive es e¡umerable.Escríbans€ lodas las fracciones de denominador 2, 3, . . . considerando solo una vez las fracciones equi-

valentes tales como *,l, *, . . . Entonccs sc puedc establecer una corespondencia biunivoca con los númerosnaturales como siguc

Números racionales o r * Í $ I t * * ...

Núme,os naturares I g $ I g I t $ g

De modo que el conjunto dc los nr¡meros racionales eDtrc 0 y I inclüsive €s eoumerablc y liene cardinal ño(véas€ página 4).

18. Si .l y I son dos conjuntos cnumerables, demostrar que el conjunto formado por todos los ele-mentos de A o R (o de ambos) es también enumerable.

Como ,,1 cs enumerable hay una correspondcncia biunivoca entre sus elementos y los números natürales,de modo que se pueden denotar los elemenlos de / como abaz,a!,,,.

AÍálogamente se pueden denotar los elementos de B como bt,b2,bt...

C¡3o l: Supóngase que los elementos de,,l son todos distintos d€ los de t. Entonces el conj¡¡nto da elen¡en-tos de ,{ o dc , es cnumerablc, puas se pueda estableccr üna co¡¡€spondcncia biunívoca como sigue:

AoB

Números naturatcs I

C¡so 2: Si alSunos c¡e¡¡cntos de ,,1 y de I son los mismos, se les cuenta solamente una vcz como e¡ el Proble-ma f7. Entonces el conjünto de elcmentos quc pertcr¡ecen a A o a B (o ¡ ¿mbos) as eÍumerablc.

üa'b,a, 'b '0000023456

l l

El conjunao que consiste en todos los clcrncntos que penenecfi a / o a ¡ (o a ambos) sc t¡ama dr.,fi de ,,ty ¿ y se denota po¡ AV B o Nr A + B.

El conjunto quc consiste en todos los clemcntos quc Frtancccn a,{ y, sr ll¡m¡ interc¿cciór]. da A y gy sc denota por A^B o por AB. Si A y , son cnumcrabLs, t¿mbién ,l ñ, cr €numcrablc.

El coDjurito formado por todos los cleñcntd de ,l que |to cstán en , sc csc¡ibe I - ,, Si , as al coniunrode cfcrDentos quc no están en 8, t¡mbié¡ puadc cscribi¡se, - B = AB.S| Ay Bson cnumar¡bles, rembi¡n loesA-8,

19. Demostra¡ quc el conjunto de todos los números racionales positivos €s clume¡able.

Considérensc todos los racion¿l€s ¡ > l. A cld¿ ntimaro r¡cional dc ¿3to6 sc puda asociat uú, y solo un,n(¡mero racion¿f l/¡ del (0, l ), asto cs, h^y \nu conespondenclo ón¡rt rc¿ cútrc todos ¡os a¡cio¡alcs > I y todoslos ¡acionales d.l (0, l). Como cst últiño €s cnuDc¡¡bL, rc$!n ct problcma 17, sc deduc. quc cl conjunro d.todos los racio¡alcs > I cs cnumcr¡blc.

Dcl Problcma l8 se siguc cntoúcas qua cl co¡ju¡to dc todos los rnhncroo racionalcs positivo6 ¡3 cnume¡¿-ble, pues .3tá formddo por los dos coDjunt6 clumc¡abl6 da r¡cio¡alcs atrt¡r O y 1 !' dc los fn¿yorts o igua-les a l.

A Partir da aqüi se puedc d€ltrostrar quc cl co¡ju¡to da todoa lo! r¡ciotr¿las c3 c¡turicaablc (ProbLba 59).

cAP. ll NUMEROS

2ll. Demostra¡ que el conjunto de los reales de [0, l] no es enumerablc.

Todo rEal de [0, 1] tieDc uD¡ cxprcsión dccimal O,ar a, a3 . . . , dondc a¡, ¿2, . . . son cifras cualcsquicrade las 0,1,2, . . . ,9.

Se supoDe quc los oúrúcroscuya cxpEsió¡ cú forma dccinal es 6rita, tal co¡¡o 0,?324, se ascribco.1324(fff. . .y que lo mismo sÉ'la 0,71239,9'. . .

Si todo6 los Ealcs dc [0, l] fomaD conjunao er¡umarabb sa pucdcr poúc¡ cn corrcs¡ondocia biunívocacoÍ los n¡lmcros Í¡tur¿lcs a!l:

I r't 0.4¡r ¿¡, @'! @'. . . .

2 e 0,a" aE r¡rr ¿rr . , ,

3 e odr ¿r ¿ú¿! . . .

0,ü¡ ó, ó,6¡ . . .

siendo ár + ¿rr, br{o"2,b1}a35, balaa,.. . y oo todo6 los¿ s p¡nú dc uDa cicrt posicióD !o! 9.Estc númcro, quc pcrta¡occ & [0, l], cs difcGnte da todos los ¡úmcro6 cDumcr¡do! y, por tanto, no rstÁ

contado, lo cual cootradice l¡ hipótFis dc quc todos los arimeros dc [Q l] 6tabs¡ iocluidos cD la m¡¡rneracióo.En ürtud dc csta conradiociór se dcducr quc 106 rcalcs dc [e l] no rc pucdcn froncr ca com5froúdctrcia

biüDlvoca coo los úrlmc¡oc ¡atur¡Ls, as decir, cl cor¡juDto dc los lt¡ñcros rral6 dc [0, t] .oo €s eDumcrablc.

PUNTOS IIMITES, MÁYORANTES Y MINORA¡ITES,TEOREMA DE BOLZAN(}WEIEN.STRASS

21. (a) Demostra¡ quc €l cotrjunto innnito de lumeros l, l, ¡, ¡, . . . es acotado. (ó) Detefminarel e¡tremo superior y el extrcmo inferior dcl conju¡rto, (c) Dcmostrar quc 0 es un putrto líthite delconjunto. (d) ¿Es cerado cl conjunto? (e) ¿Cóuro ilust¡a este c¡njunto el teorama de Bolza¡o-Weierstrass ?(a) Como rodos los clcñcntos dcl cotrjunto son mano¡cs quc 2 y n¡¡yo.cs qua - I G,o¡ cjcoplol al coDjunto

es ¡cotado; 2 cs un !úayofante y -l un minofa¡tc.Se pueden hall¡r mcnor€c meyora¡¡tcs G, por cjcrnplo) y meyorrr ñiio.¡¡tc6 (-|, por ejimplo).

(á) Cor¡o ningún clemcnto del co¡junto ca ñ¡yor quc I y como ¡l ñcnos h¡y un clcmento (cl I ) m¿yor queI - c para todo a poditivo, sc ücna qu€ I cs el axt¡cDo supcrior dcl conjuuto.

Coño niog¡n elamcnto del conjunto es menor que O y como ¿l mcnos hay un cLmar¡to ¡ncúor quc, 0 + c para todo c positivo (siampr! s€ puedc cscogpr psra csto el Di¡mc¡o l/¡¡ con ,¡ cntcro posiüvo tDayor

quc l/€), sc ticre que 0 cs cl rxtrdúo iúfcrior dcl co¡junto.

t1 NUMEROS lcAP. I

Sea ¡ un elem€nto del conjunlo. como siemprc se puedc hallar ün núñero ¡ tal que 0 < l-tl < ó para todopositivo ó (por ejemplo, se puede tomar siempre para ¡ el número l/r, siendo /¡ uo ente¡o mayor que 1/ó),se vc que 0 es un punto limite dcl conjunto. Es decir, que todo cntomo ó rcducido de 0 tiene siempre ele-mentos del conjunto por pequeño qüe s€ lomc ¿ > 0.

El coüjunto no es cerrado puesto que el punto limite 0 no pertene€e al conjuoto d¡do.

Como el conjunto es acotado e infinito deb€ lcner al menos un punto limfe, por €l teorema de Bolzano-wcicrstrass. Puesto que éste es cl caso aqui, queda ¡luslrado cl teorema,

lc ,

\d)

tel

NUMEROS AI,GEBRAICOS Y TRASCENDENTES

22. Demostrar qte l, +.,/3 ",

un número algebraico.

5." , =./1 +.r/5. entoncas t -,R = XZ Ehvando al cubo ambos miembros y simplificando re-sulta ¡3 + 9)r - 2 = 3J3G'. + l). Elavando entonces al cuadrado ambos miambros y simplifrc¿rdo se tiencx6 - 9x'- 4x' + 27x2 + 3ó¡ - 23 = 0.

Co¡¡o esta cs una ecuación algcbraica de coeñcientes enteros se sigue q"" l/i. + J1, que es una soluciónde la misma. es un número algebráico.

23. Demostrar que el conjunto de los números algebraicos es enumemble.

Los núrueros alg€braicos son solucionesde ecuacioDes algebraicasde la forma aof + ar/'t + ... + ¿" = 0,donde ¿0, ¿¡, . , . , a" soo eit€ros.

Sea P = laol + lr , l +.. .+ la, l + n. fara todo valor dado de Phay solo un número frnito de ecuacio-ncs a¡g€braices posibles y, por lanto, solo un número finilo de números algebraicos posibles.

Escribicndo todos los nrlÍrcros algcbÍaicos que corresponden a P : 1,2, 3,4, . . . evitando las rcpeticiones,resulta que todos s€ pueder¡ poner en correspondenci¿ bilnlvoca con los números naturales, siendo, por tar¡to,cnumerablcs.

NUMEROS COMPLETOS

U. Efertlar las operaciones indicadas.

{a) (4-2, + (-6+5i) = 4-2i- 6+5¡ = 4 0+( 2+5) i = -2+3i

(ó) (-?+3ü - l2-4i) = -7+3i-2+4i = -9+' | i

(c) (3-2i)(1+3i) = 3(1+3¡) - 2 i ( r+3t = 3 + 9¡- 2 i -6t - 3+9i-2i+6 = 9+7i

, , . -5-5Í -5.r5i 4+3i f -5 '

5 i r {4+3' t -20 - 15i t 20i + l5¡r"- ' 4=-

= 4-3i '4+3i

= 16-9- - - -16 +3--

, . i+r '+ i ¡+f+t 'le, ----ll-

( / )13-4i l14r.3 ' l

, . l1 I I l l -3 i l r .3 i l- ' l l+3; 1-3i l l l -9¡ l -Ci¿l -

25. Si zr y z2 son dos complejos, demostrar qte lzrzrl: lzrllzrl.Se¿n z, - ¡ ,+ ic, , 2" = r ,+iA,. Lucgo

fz¡af = | ( r , + iy,)(r , + ivt | = l ' , ' . -s,u,+í l r ,a,+ ' ,a, t l= ft n;- un,r + t;n* ',u,r - . ,fAA +AEiEE+;r¡,= fie+ di\r,. !") = ,/4+7 \/ATú = l,¡ + iy,l 1,, + i/,1 = l",l Iz¡1.

l+ i l - i l - r r

-35+5i 5(-?+¡) -1 r .- % =

2ó =

T*5'

- vGF + F4f v14). + (BI

i+1 I l222

= (5)(5) = 25l -a i ¡

lñ l = v(or+(- t f = E

i - l + (i:)(r) + (¡'r + (¡1!i

cat. rl NUMEROS l3

ü. Resolver¡3-2x-4=0.

Las posibles raiccs r.cionares, rcgún €l probrema 7, son +1, 12. 14. Ensayanso sc crrcum¡r¡ qr¡c r = 26 u¡a raí¿. De modo quc l¿ ccuación dada sc pucde escribir (r - 2X_r, + 2.t + 2) = O. Les solucioncs de está@)ac¡ór da Wmdo grudo so|¡'

(b) - l+ i =

Enlonccs.

arr+bl¡+c = o son r = --.b!! ! t-Adc. p,¿ra o,=1, b=2, c=z esto da , =-zr{14 = -2!={=1 _-2:h = _l i i .

222El conjunto dc soluciones es 2. - | + l. - | - ¡.

nonMA PToLAR DE If)S NUMEROS COMPLEJOS27. Expresar en forma pola¡ (a) 3 + 3i, (b) -L + .t4i, @ -t, (d\ _2 _ 2úi.

nf.l-¡

Amplitud ó = 45' - ¡14 radiancs. Móduto p = Jj +V = 31. Entonces,3 + 3i : p(cos ó + ¡ sc¡ d) = 3\nqos r/a + i sen'¡/4) = 3./i- cis ¡A - 3,tD e.,t,

Amplitud ó = l2O" = 2n/3 radianes. Módulo p =.JI+f , ({]l, = v/a :2. Enronccs,- | + Ji i - 2(cos 243 + i *n 2n/31 = 2 cjs 2^13 : 2e2.t1.

Ampfitud ó= 180' = r radiaÍes. Módulo p =,14-TÍ + e¡, = l. Entonc€s,- l = I (cos r + i sen ft) = cis z: ?r

la,

(ó)

(c)

(d) Amptilud O = 2# = 4d3 radianes. v|Odtto p =1f 1-2¡4 143y = 4. Enronces,-Z - 4ñ = tlcos 44/3 + ¡ *n 4r/31- 4 cis 4n/1 - 4e4.rt

28. Calcular (a) (-l + ,6¡)'", (Ol (- t + i)t i3.(¿) Por cl Problema 27(ó) y el tcorcma de Dc Moivre.

(-1+\f5t. = lz(cos 2?/3 + i sen 2 g)lto = 2,o(cos2}"l3 + i s.n 20,/B)= 1024[c@ l2t/3 + 6r) + i señ(2'l3+ 8t)) = 1024(c$2n13 + isenz,/g)= 1024(-l + lV'¿l = -orz + sr¿V5r

Vt(cos135" +is€nt36o) = Vt[cos(1s5. +&.s60o) + t sen (1g60 +¿.9600)l

(-1 + ;¡v, - hr4- [""" (Eftrtjjoq)

* .*- /rs¡. + e.s6o.\-lLos ¡esultados frara * : o. 1.2 son " \ 3 '/l

i/E 1.o" as" + d scn45o),

lt(cos 165' + i scn 1660),

V2icos 285o + i sen 2850)

Los r€sultados para k : 1.4,5,6,1, . .. son repelicion€s de losanteriorcs. Estas raiccs complcjas s€ ¡epr€s€ntao geométricamenteen el plano mmplcjo por los puntos Pr, Pr, Pr del circülo dc la Fi-güra l-5. Ft r-!

l4

INDUCCION MATEMATICA

[cAP. I

29. Demostrar qte 12 +2t +32 +42 +" '+n2: |n(n+ l ) (2r+ l )

Et enunciado es cierto para ¡: l , pucs l ' = á(lxl + lX2'1 + l) : I

Supóngase cieno para tt - t. Entonces'

Ir + 2' + g' + . . . + t¿ = *¡(k + 1)(2t +1)

sumardo (¿ + | )2 a ambos mrcmbros,

1, + s' + 3¡ + . . + r., + (¡i + 1), = ltl-..,iijilil i.l, :',;,;,ff.'i,,ül,l + r) + k + rl

que muestra que el enunciado es cleno para t = ¿ + l sies cÉrto paran =k Pero como es cierto para t - l'

se sigue que lo cs para n = l + l:2ypara¡ = 2 + l = S, es decrr' quc es ci€rto para todo entero po_

3). D€mostrar que ¡" - )¡ €s divisible por ¡ - I para todo ¡ entero posilivo'

EI enunciado es cierlo para /¡ = l. pues xr - vr = x - -y'

Supó gasele cielo para; = *, es decir' supóngas€ que '/ - I es diüsible por ¡ - )' Considérese

ú.+t _ ux+t = *+' - tu + x"t-a"* '= ¿@-u, + rl* - ! '\

El primer término de¡ segundo miembro es divisib¡e por x - / y el s€8undo término del s€gundo miembro tam-

bién lo es por suposición.Asi que -* 'r - f*r es divisible po¡ ¡ - ,} r¡ I - I lo es'goioi"".,

"o.o t' - yt es aitisitL por t 1y 5e sigue que r¡ - )¡ €s diüsible por x - /' que x3 - )'3

también €s divisible Por ¡ - /, ctc

31. Demostrar la desiguatdad de Beñoutli (l + ¡f > I + nx para n : 2, 3, si x > - l' x I 0'

El enunciado es cietto para n:2 p\es ( l + x) '1= I +2x + C > | +2x'Supóngase el enunciado cierto pera n = k, es decir, que (l + r)k > I + 't'¡t-lutti¡icanao ambos miernbros por I + ¡ (que cs positivo por ser ¡ > -1) s€ üene

(1+¡¡ ,* ' t (1+r)(1+tr) = L+lk+l t r+kt ' > 1+(rc+1),

De modo que el enunciado es cierto para n = t + I si lo es paÉ t = ¿

Pero como cl enuncrado es cierto pam r = 2, debe s€rlo también par¿r t = 2 + l:3' " y es entonces

cierto para todo entero mayor o igual qüe 2.Nótesc que cl resultado no es ciirto para ¡: 1. Pcro modifrcando cl eounciado aí: (l + xf = I + t¡x

es c ier to para n = 1,2,3, , . .

PROBLEMAS VARIOS

32. Demostrar que todo entero positivo P s€ puede expresar de manera única en la fortp' P : aoT !

a tzn- t + a22- 2 + " + a,, siendo las d 0 o l .

Dividiendo P por 2 sc tiene Pl2= a'?,-'+ ar2:-'z+ "'+ o^-r + aJ2'Entonces ¿n es €l resto, O o 1, obtenido al dividir P por 2 y es r¡n¡co.Sea Pr Ia parte entera de P/2. Entonces Pr : ao2'-t + at2'-t + " + a,-¡Dividiendo Pr por 2 se ve qu€ di r es el rcsto, 0 o 1, obtenido al dividir Pr por 2 y es único

Continuando de €sta manera se puedcn detcrmi¡ar todas las ¿ como 0 o I y son únic¿s'

33. Expresar el número 23 en Ia forma del Problema 32.

La det€rminación de los coeficientes se puede disponer asi:

2T?!2)1r215

2I!0

NUMEROS

Reslo IReslo IRcsto IRcsto 0Reslo I

c.rP. ll NUMEROS

Los cocñcient.s son 101I l . Pn¡eb¡; 23 = 1.2. +o.2t + l .2r +1.2+1.Ef núm€ro l0lll ¡eprcsenta a 23.n el sislerna de mtneroc¡ón binaña o de bose dos,

3{ Dedekind definia ura cortadura, sección o partición et el canjunto de los números racionales comouna sepa¡ación de todos los racionales en dos clases o conjuntos I, (clase de la izquierda) y R (clasede la derecha) coD las siguicntes propicdades:

I. Las clases no son vacías (es decir, hay al menos un número en cada clase).ll. Todo número racional está en uoa clase o en la otra.

III. Todo número de ¿ es mcnor oue todo número de ,R.

Demostrar que:

(a) No puede haber un número máximo en ¿ y uno minimo en R.

Puede suceder quc en ¿ haya un número máximo y que en -R no haya n{¡mero mínimo, ¿Quétipo de ¡rúmero de6ne la cortadu¡a en est€ caso?

Puede ocurrir que en ¿ no haya un número máximo y que en iR haya u-n nrlmero mínimo.¿Qué tipo de núrnero define la cortadufa en este caso?

Puede sucedcr que en ¿ no haya número máximo y que en R no h¿ya nrimero mlnimo. ¿Quétipo de número de6ne €n este caso la cortadura?

Seaaclmáximonúmeroracionaldc¿yáclmlnin¡on¡ lmero¡acionaldeR.Ento¡ces,obieno=óobien a < á.

No se puede tencr a : , porquc, por dañnición de la co¡tadura, todo nú¡¡cro de ¿ es m¿ñor que todonúmero de R.

No puede scr tampoco ¿ < ó, pues, scg'ín el Problcña 9, *(a + á) cs un núme.o racional !¡layor qued (y entonces pertenece a ¡q), pero menor que ó 0 eütoncas pertenece a ¿), y, po¡ definición, un ¡úmeroracion¡¡ no puede cstar a h rvz a¡ L ! ai R.

Coúo indicación de Ia posibilidad, saa ¿ la clas€ que contiene €l número i y todos los r¡cionales menoresque t, en tanto que R contienc todos los racionales mayor€s quc l. E¡t cste caso la cortadura dcfnc cl ra-cional !. Un ¡azonamiento semejante cambiándo I por cualquic¡ otro lacional muesfta que cn cstc Aasola cortadura define un número racioDal.

Como i¡dicación dc la posibilidad, se¡ ¿ la clase que consiste m todos los racionales menorcs que J mien-tras quc lR contiene todos los racional€s mayores o iguales que l. Esta cortadura definc t¿mbién el númeroracional l. Un ¡azonamiento semejante mu€stra que esta cortadufa sicr¡pre define uf¡ ¡úmcro racional.

Como indicación de la posibilidad, sea ¿ la clas€ formade por todos los laciorales negativos y todos losracrorialcs positivos cuyos cuadrados son menores que 2, en taDto que R sea la clase dc todos los positivosde cuadrado mayor quc 2. S€ puedc mostrar que si ¿ es un númcro cu¿lquiera de la clase ¿ hay siempreun número mayor en la clase ¿, en tanto que si ¿ es un ¡rúñero cualquicra de la clasa ¡ hay siemprc unnúmero menor en la clase -R (Problcma l0ó,). Una coladurs dc este tipo deñne un númcro irracional.

De (ó), (c), (d) se sigue que tod¿ cortadura en el conjunto de los núme¡os racionales, llamada co¡¡a-dura de Dedekind, define un ¡¡ún¡cro racional o u¡ lrtimcro irracional. Empla¡ndo cofadu¡as de He-kind sc pueden defni¡ operaciones {como adición, multiplic¿ción, etc.) con los nrlme¡os i¡racional€s.

l5

(¿)

(c)

(d)

lb)

(c)

(d\

l6 NUMEROS

Problemas propüestos

OPERACIONES CON NUMEROS

35. Dadosr=-8, a=Z,z=s,6=tr y ó=-| , calcular:

tat tzx-útsv+2r\62-z¿, tü H4, {c) H+f , (d)Sol. (al2200, (ó) 32, (c) -61141, (d) I

36. Hallar el conjunto dc valores dc ¡ par¡ los cua¡es son vá¡idas las ccuaciodcs siguientes. Justi66r todos los pasosen cada caso.

[cAP. l

\a ' , a(r-21+3(2,-1)) + 2l2t+l l = 12(a+2)-2, , . I 1 1to, ¡:; -

"_2 =

Zsot. la') 2, (ó) 6,-1, (c) -1,1, (d) -+

37. Demostrar quc =--:=----= + --

-*::---= + ;-

--L = 0 dando las condicrones si las hay.

\2 - u^, - !) tt - y^y - 2) tt -.)\z- r)

NI'MENOS NACIONAIES E TIRACIONAI,ES

I+

(ú(a

vb T (a(d

++

):)'U

óó-

\c l | ¡ '+8r+1-t /Tl i i = r+t

, t , L- ' - 9*''17=E+É 6

3&3!r,

Halla¡ fraccioDes decimales para (.) +, @ J5. so¡. (¿) 0,4185?1, (b) 2,23fi6'19...

Mostrar quc una fr¿cción de denominador 17 y de uuúerador 1,2,3,...,16 tiene 16 cifras cn la palte que sercpitc e¡ su €rp¡esión decimal. ¿Hay slgur¡a rcl¡ción entrc los órdcn6 dc las cifras en estas fracciones decimales?

Deúostra¡ qu. ("1 .f,3, Ql j/f son númcros i¡raciorales.

Demostr¡¡ que (.1 .t5 - .{3, lbl J, + J1+ .,/5 son númcros irr¿cionales.

Dctermiuor ur¡ ¡¡¡mero ¡acional positivo cuyo cuadmdo diñcra dc 7 e.r menos de 0,000001.

D€mostr¡r quc todo número racional sa puede €xp¡€sa¡ como fr¿c¡ión decimal periódic¿.

Hallar los valores de ¡ tales que(d) 2¡ ' r -6r ' -9r+18 = 0, (ó) 3rr+4¡r-35r+8 = 0, \ct ,1-2b'+4 = 0.sot. (al s,-2,st2 (bl 8t3,-2!. ' / '6 (¿) +(6!f i?), +(-5 a v-1?)

¡15. Si ''

oo cs cu¡drado perfecto, demo3trar q]J€ a+ bJm=c + dJn si, y solo si, a= c y b: d.

¡f6. Dcmosrrar que 1+V5+y't - Lz'/E - 2'/4+ l4\/l - 7- I -Vg+VE l l

DESIGUALDAI'ES

47. Halla¡ el conjunto dc valores de x paaa los cual€s se verifrcá:

al i+ f r > s, (ü) ¡ ( r+2) = 2a, G\ lx+zl < l ' -51, (d) ;h, #.So/. (o) 0<r=+, (ü) -6=r=4, lc\ "<812,

(¿l ,>3, -L<"<-* ' o z<-2

Demostrar (o) |r+ul = l t l + lyl , (D) lr+?+zl = lr l +lyl + lzl , (c\ l¿-yl = l" l - lyl .

Ddnostrar quc para todo real x,!,2, t2 + y2 + 22 > xy + rz + zx.

Si ¿' + á2 = | y c2 + d2 = l, dcmost¡ar qte ac + bd S L

Si ¡ > 0, d.moslrar que ¡'+r + -t

t "'

* ]

para z natural.

Demostra¡ que para todo a + 0, la + I/al¿z,

Mostrar que cn la dcsigualdad dc Schwarz (Problema 13) la igu¿ldád cs válida si, y solo si, ¿, = kbn p = 1,2,3,..- ,n, sicndo t une constantc,

4.

41.

1r-¡13.

44

¡8.

4!r.

$.

51.

52.

53.

54. Si ¿r, d2, a! so¡ positivos, demostrar qu€ *lat + a1 + ai Z Jap2a".

c^P. rl NUMEROS l7

EXFO¡¡Ei{TES. NAICES Y I.oGAN¡TMOS

sr calcurar (d 4tq'¿, lb) | log¡i€ (rh), ,", \iffi, (d) 3-rr{'5, kt l-[).1! - e27r,¡..

Sol. (al 64, (ó) 74, (c) 50.000, ldl l/25. (e) -71t44

5 Dcmostrar que (¿) lo& ¡//V = lo& M + lo& /Y, (bl lo8- M' - r log. M dando posiblé condicioacs.

t. DcmostIar que óro." = ¿ dar¡do las restricciones si las hay.

CÍ)NJUNTOS EI\ruMERAEI,ES

5& (a) Demostrar que exista una correspondencia biunivoca entre los puntos dcl intervalo 0 S ¡ S I y los del-5 S x S -3. (ó) ¿Cuál es el núúero cardinal de los conjuntos de (a)?Sol. lb\ C, el cardinal del conrinuo.

!9. (a) D€mostr¿r que el conjunto dc todos los números racional€s cs enume¡¡ble. (ó) ¿Cuál as cl nrtmcro cardinald€l conjunto de (a)? Sor. (ó) lto

ú0. Dcmosarar que el conjunto dc (¿) ¡os reales, (ó) los irracionales, no es enr¡mer¡blc.

61. La intercecci!ó,tt dc dor co¡juntos ,.t y ,, denotada ,¡ n I o ,{4 cs al conjunto dc todos 1o3 clamcútos qüc Frtc-nccen a / y ,. Deñostrar que si ,l y , son enumcrablcs, tambiéo lo es su i[tcrsacción.

62. Demostrar que un conjunto cnuherable de conjuntos cnumcfablcs cs cuumcrablc,

63. Demosrrar que el núñero cardinsl del conjunto de puntos intcriofes d€ un cuedrsdo cs iSual al cardin¡l del con-junto de puntos de (d) ur¡ lado, (r) de los cuatro lados. (¿) ¿Cuál es el cardinal en estc caso? (d) ¿Es vÁlidoun resultado correspondia¡te para un cubo? Sol. lc) C

PUMOS LIII{TTE. MAYOTANTES Y MINORANTES TEOREMA DE BOLZANGWE|ENSTNASS

ó.. D¡doel conjumo I, I,l,0,9, 1,01,0,99, 1,001,0,999,... (a) ¿Es acotado? (á) ¿Eiist o los c¡ttloos suF¡ior cinfcrior? En caso afrmativo, avcriguarlos. (c) ¿Tienc cl conjunto puntos límit6? Si 106 hay, dctcmiD¡¡los.(d) ¿Es ccrrado cl conjunto?Sol. (a) Sí, (ó) extremo superior: l,l, extremo iriferior = 0,9, (c) l, (d) si

65. Dado el conjunto -0,9, 0,9, -0,99, 0,99, -0,99, 0,999 responder las preguntas dcl P.oblcma 64.So/. (¿) Sí, (ó) extremo superior = l, extremo inferior = -1, (.) l, -1, (d) No

66. Dar un ejemplo de un conjunto que (a) tiene 3 puntos limitc, (ó) no tiene puntos lfmitc.

ó?. (d) Demostrar que todo pu¡to del intervalo 0 < ¡ < I as punto limit€ del mismo.(á) ¿Hay puntos limites qua no estén en el conjunto dc (¿)? Justiñcar la rcspucsts.

68. Sca S cl conjunto dc los númcros rácionales de (0, l) que ticncn dcnomiÍador ¡, r = l,2, 3,. . . (¿) ¿Tiene Spuntos límites? (á) ¿Es S ccrrado?

69. (a) Dar un €jemplo dc un conjunto que tenga puntos limitas sin s€r ¡cotado. (ó) ¿Contr¡dicc csto .l tcorema deBolz¡ro-Weierstrass? Explica¡.

NUMENOS AI,GEENAICI)6 Y TXASCENDENTES

-/a _,/;70. Demosrr¿r que Gl -ry, \b) \t , | {s r 1fi son números algebraicos.

v3+v271. Dcmostrar que el conjunto de los números trasccndcntcs dc (0, l) no es enumc¡ablc.

7¿ Dcmostrar que todo númcÍo racional es algcbmico, pero que no ¡do nrúrnero irrscional cs ¡¡ac¿seriámcütc al-gcbraico.

NUMEROS COMPLE.¡(N. FORMA FOLAR

73. Haccr las operaciones indicadasr (o) 2(6-gi) - 3(-2+i) + 6(¿-g), (ó) (s-2t ' , G) ¡+

- l0 , , , / !_r \ ' " , " , 12-¿i l ' , / r ( r +ü(2+3¡x4-2i)

' {+3i ' ' " 'u+i / ' ' - ' l6r7t l ' " ' ( l+zi) ' ( r -0

sot. ld., r-ai, (ó) -e-46¡, G) +-ii, (d) -t, (¿) ¡?, 0) f-*t

l8

74

15.

76.

T'.

NUMEROS [cAP. I

7t.

7lr.

Si z¡ y z, son nrÍneros coúplcjos demosrrar (¿) lil = ]4, Ol lzil = l¡,i¡ dando a¡gunas ¡csrr¡ccroncs.)z, t tz ' l

Demostrar (¿) 1, ,+z. l=Pl+Vl, (¿) lz¡+zi+zr i = k, l+pr l+lz l , @ 1,, - z, i = l , , l - P^.

Hallar todas las solucioncs d€ 2¡1 - 3¡r - ?-r'- 8i.t 6 = 0. so/. 3, 1, -l 1¡

Se,'n 2r y z2 reprcs€ntados por los puntos P, y Pr en el diagrama de Argand. Construir los segmentos OPr yOP2, ¡ partir del origcn O. Mostrar quc :r + :¡ se puedc representar por cl punto Pr, sicndo OPr la diagonalde un pqralelogramo de lados OPt y OP, Esta es la llamada ¡¿g¿a del parulelo{arno dc la adición de númeroscomplejos. Por esta y ot¡as propiedsdes, {os números coñplejos se pueden considerar como ,ectores eD dos di-

Inte¡pretar geoñétricamcnte las dcsigualdades del Problema 75.

Expresar en forna polar (al 3./4 + 3i, lb) -2 - 2i, lc\ | - J1i, (¿) 5, (¿) - 5¡'.So/. (¿) 6 cis r/6 lb) zt/i eistula ld 2 cisSrl3 (d) 6 cis 0 f¿) 5 cis 3'l2

t0. Calcular (¿) I2(cos25" + isen2so)l[5(cos1r0o + is€ntr0o)1, 1a¡ ,r-={! l191-.sol (ú) --6\E +6{t i , lb) -2i

" ' . ' (3 cis aa")(z cis 620) '

tl. Determinar todas las raices indicadas y representarlas gráficamerile:tc"t la\/, + a.\/rü.., (ó) (-1)'., (c) tl6-ir',", tdt i,^.

S¿/. (o) 2cisr5o, 2cists5o. 2cis25óo(ó) c i ¡ 36o, c is r08ó, c is l80o = -1, c is 2620, c is BZ4o(c) It cis tto., i? cis 2soo, iEcissso.(d) cis22,50, cisl12,60, cjs202,50, cis292,5ó

t2. Denostra. que -t +.r6i cs un númcro algebraico.

t3. Si z, = AcjsOty 22 - p2 cis dr. demostrar (a)zér: ptprcis (ú + órl ,(b)zJz2= lpt lpr l cis (Ot - OJ

lntcrprctar geométricaf ¡¡cnte.

INDUC€ION MATEMATICA

Deñostrar:

84. r + 3 + 5 + . . . + (2r - r) = '¿i

111 1i4*tE*d7* + a;=ia;Tt = ¡3r¿ + {c+d) . r (a+zr¿) + . . . + [a + ("-r)d]

- l Iza + (n-L)d)

87,.+. j + r+.4+¡*;* *;6T+crr = d*+erq88. a

- dr 1 or l L. s l - -L¡

"-r89. 1¡ + 2¡ + 35 + . . . + ?¿3 = In\n + lf

q) . l (5) + 2(5F + 3(5)! + . . . + n(5)"- , =

€s divrs ib le por r+Uparun = 1,2,3, . . . .

(cosó+?sen4)¡ = cos¿9 + isen¿C, i .Se puede demosrr¿r esto siresun núm€ro Écional?

lr cosr + coszr r +cosn.ú = r . - f ' , !2 ' ,=4n,. . .

(¿+ó¡ = ¿" + "C¡d.-rü + { ,a.- , b, + +.C"-,¿ü"-r + á"

donde ,C, _ ¡(¿- lX"-2) {n-r+l) _r# - .c.- . . Aqui es p ' ! : p\p- l r ' . 1 y o!

es por definición 1. Esteesei l lamado teorema dd binorrrb. Los co€ficientes ,Co = l , ,Cr =o,^Cr=nln;,1),

E5.

6ó.

9t .

9J.

son los co.ficientes del binonio.,C, se escribe r".bté" (r.

2 l

c^P. rl NUMEROS

}¡OALEMAS VARIOS

!ló. E (presar los enteros que siguen (en el sislema decimal) en el sistema que se indica: (a) E7 (bir¡ario), (ó) 64 (ter-

9.

nario o d€ base tres). (c) 1736 (en¡rio o de bas€ nueve). Probar la respuesta.So¿ (a) 10l0l l l , (ó) 210!, (¿) 2338

Si un nf¡mero es lt|4 er¡ el sistema dc bas€ 5, ¿c¡5mo s€ expresa en el sistema de base (al2, (h) 82So/. (a) ll000l, (á) 6l

Demostrar que todo número ftcio¡.nl plq entre 0 y I se puede expresar en la foma

p_ctt tdt t ,a, ,

i - T-donde las ¿ se pueden delerminar univocámente como 0 o I y el p¡oc€so puede acabar o no. lá repres€ntación0,a, a2 . . . a^ . . . se llama entonces j/bm a bina a del número racional. lsugere¡¿ia: Multiplicar ambos miem-bros sucesivamente por 2 y considérens€ los restos,]

Expresar I en el sisteña de bas€ (¿) 2. (ó) 3, (c) 8, (/) 10.So/. {¿) 0. l0 l0 l0 l . . . , (b l 0,2 o 0,2000.- . , (c) 0,5252.. . , ( / ) 0,666ó . .

Un número en sistema bi¡ario es ll,0l00l. ¿Qüé nlim€ro es en sistema decimal? so¿ 3,28125

¿En qué sistema de numeració¡ es 3 + 4: 12? So/. En bas€ 5

En el sistema de base l2 hay que utilizar otros dos simbolos , y e ftara indicar las ((cifrá$ diez y once rcspec-tivamente. Representar el ente¡o 5ll0 (sist€ma decimal) en base 12. Sol. 2eS I

Hallar un número €cional tuyo desatrollo decimal es 1,636363 . . So¿ l E/l l

Un número en el sistema de base lO tiene s€is cifras. Si se quita la última cifra y se coloca ant€s de la prime-ra, el nu€vo número es un tercio del primero. Hallar este número. Sol. 428571

MostÍar que los números racionales forñaü un cue¡po.

Utilizando como axiomas las relaciones l-9 de la pági¡a 2 demostrar que

(a) (-3X0)=0, (ó) (-2X+3)=-6, (c) (-2X-3) = 6.

(a) Si ¡ es ün racional de cuadrado inferior a 2, moslrar que x + (2 - ¡'1)/10 es un número mayor con igualpropied¡d. (ó) Si ¡ es un racional de cüadr¿do mayo¡ que 2, hallar en función de x un número racional decuadrado mayor que 2.

lluslrar cómo se usarían las cortaduras de Dedekind para d€finir

tol ú+fr, @, '/s-,/i, k) (.ra3x\aa, \d) \fu,/í.

19

s.

100.

t0l.

102.

tm.104

105.

t(b.

t07.

tm.

Capítulo 2

Funciones, límites y continuidad

FUNCTONES

Función es una correspondencia entre dos conjuntos, que por ahora serán conjuntos de núme-ros rca¡es. Si a cada valor que puede tomar una variable r corresponde uno o más valores de una va-r iable ¡ se dice qlJe y es función de r y se escribe y = f(xl , y: C(,r), . . . . en donde las letrasl G, . . .simbolizari la función en tanto que /(¿), C(a) . . . denotan el ualor de la función en x : a.

Ef conjunto de valo¡es que puede tomar .\-se lla'rña dominio de definícíón o simplemente dorrr¿iode la función; ¡ se llama uarioble independiente y y varíable dependiente.

Si a cada valor de ¡ del dominio de definición corresponde un solo valor de ¡, la función se diceuniforme; si a ciettos valores de .r correspond€ más de un valor de '¡l, la función se dice multiforme. Comouna funció¡ multiforme se puede considerar como un conjunto de funciones uniformes, se supondráque las funciones són uniformes si no se indica otra cosa.

EJ.dplo6: Siacada número €n - l S ¡= I s€ asocia un número) dado por ¡2, entonces Ia corrcs-pondencia entre ,t y s2 define una función /que es uniforme.

El dominio deles - l = ¡= L EI valor de /en . t lo da ) = f (xJ : : ( ' . Por ejemplo,

fc l l = I - l ) ' = I es el valor de la función en . ! = - L

A cada fecha I poslerior al año 1800 se puede asocrar un valor P de la población de los Es-tados Unidos. La correspondencia entre P y t deñne una función uniforme F y se puede

SiJr'' : rconJ > 0, entonces a cada ¡ corresponden dos valores de I. Asique y es una fun-

ción biforme de ¡. Se la puede considerar como dos funciones uniformes/y I hacrcndo

f@:.G v g(.) : "Á.

Obsérvese que si bien a veces una función se de6ne mediante una fórmula como en los EjemplosI y 3, no es preciso que asi sea, como se ve en el Ejemplo 2.

Por comodidad se suele hablar de la función/(¡) e¡ vez de la función / cuyo valor en,t esfr).Pero hay que te¡er en cuenta la distinción.

GRAFO DE UNA FUNCION

El grafo de una función J,, : ,f(,x) es una representación visible de la función y se puede obtenersituando en un sistema ca¡tesiano los puntos definidos por los pa.es de números (,r,l), o sea, [x,lr)].

NJNCIONES ACOTADAS

Si existe una constante M talgluefk) < M para todo .r en un i¡tervalo (o en otro conjur¡to de nú-meros), se dice que¡xJes acotada superiormente e¡ al intervalo (o conjunto) y M se dice cota superíorde la fuoción.

c^P.2l FUNCIONES. LIMITES Y CONTINUIDAD

TIPOS DE FUNCIONES

l. Fu¡cioms Doli¡ómtcrs, que tienen la forma

2l

Si existe una constante rr tal que/(¡) ¿ m para todo x sn un intervalo se dice quef(x) es acotadainferíormente en el iotervalo y se dice que m es üna cotq inleñor.

Si ¡¡t 5 /(¡) 5 M en un inte¡valo s€ dice que/(x) cs acoladd. Se suele indicar que una función esacotada escribiendo l/{¡)l < P.

E¡cqlc: t, Ílxl=3 + x es acotada €n -15 ¡S l. Una cota superior as 4 (o cua¡quicr núm€ro ma-yor que 4), Una cota infcrior cs 2 (o cualquier nrlmero ¡¡€nor quc 2).

2. Ilt) = llx no cs aco¡¡da cn 0 < ¡ < 4, pues cligicndo .y suficicntamente cerca de cero./(¡)se puede hacer tan gr¡nde como sc dasac. dc ñodo que no hay cota superior. Sin cm-bargo, i fo cua¡quier núñcro inferior a l) es cota infcrior.

Si /(¡) tiene cota superior, tiene e.\trcuo supe or: si tiene cota inferio¡, ticir¡e extrcmo inleior.(Véase Capitulo I para estas deñniciones.)

FUNCIONES MONOTONAS

Se dice que una función es rrron¿i lona c¡ecie\te e\ un intervalo si para dos puntos cualesquiera.yry .r2 del intervalo tales que es -rr < rz, f@t) S /(-r¿). Sill¡,) <lf(¡2) la función * ¿lice ertrictameñk

Análogamente, si/(xr) ¿Í¡2)con.jrr < ¡2, entoncesjf(¡)es monólona dec¡ec iente i si flx tl > Í(r2)es estrictamente decrccie|te.

FUNCIONES RBCIPROCAS. VALORES PRINCIPALES

Si ¡ es función de ¡ dada po¡f¡), entonces ¡ es una función de y, denotada r = Jf-t0¡), que scllaúa lunción recíproca. lítercambiando r y / se tendría y : f-t(xl.

Si/(r) es uniforme,./- '(r) puede no serlo, cn cuyo caso s€ la puede considerar como un conjuntode funciones uniformes cada una de las cualcs se llama ¡an¿. Es conveniente a vcces elegir uoa de estasñmas, llamada ruma püncipal, y der¡otarla por f- | lxl. En tal caso. el valor de la función recíproca esel flamado ualor principal.

F&[]h6: l¡ función ] = s€n .t lleYa a ), = san - I ¡, que cs multilormc. plcs po¡ cada ¡ dc - t = ¡ S Ihay muchos va¡ores dc ,. Restringiendo scn_ ¡ t a -Í/2 S san_t r S ¡p. por cjcmplo, la fun-ción s€ convierte en uniformc. En este caso el valor principal de sen-t {-l) - -,r/6.

MAXIMOS Y MINIMOS

Si -to es un punto de un intervalo tal que/-¡) S./(¡o) [o bienflr) ] /(r¡)] para todo .] del inter-valo, entonces se dice que/(-r) tiene un m¡iximo absoluto lo un mínimo absolulo] en el intervalo x : rode valor/(-ro). Si esto es cierto solament€ para ¡ en un entorno ó rcducido de xq con ó > 0 [es decir,para todo ,r tal que 0 . Ir - tol < ó]. entonces se dice quel/(r) ti€ne un má.rimo rclotiao lo ui mínimorelaliDo\ ei xo.

l (s) = qos" +orr"- t+. .+an-ú+a^

donde ¿0, . . ., 4, son constantes y r¡ es un €ntero positivo llamado grado del polinomici si ao I 0,El teorema fundamental del álgebra establece que toda ecuación algebraica /lx) : 0 tiene

al menos una raiz. De aqui se puede demostrar que si el grado es a la ecuación tiene cxacta-mente., raices (co¡tando una de multiplicidad / po¡ ¡ raíces).

(r)

22 [c^P.2

2. Fuciores slgebr¡ic¡q que son las ¡ =./1.!) que s¿tisfacen ¡t una ecuación de la forma

rto(r) u ' + iJr( : tNy" ' t + . . + D" r( . r ) ! / 1 / , " ( ¡ ) = 0 @\

donde 2o(.t). .... /),(-!) son polinomios en \.Si la función se puede expresar cono cociente de dos polinomios. o sea' P(-x)/O(¡) con

P(¡) y O(x) polinomios, se llam¡ li¡n¿ ¡¡in t'o.iondl algchrrt¡ut - cn olro caso se dice función i r¿ohal alg(htti(e.

3. Funciones trascendentes' que son las funciones no algebraicas. es decir' que no satisf¡cena ecuacioDes de la forma (2)

Nótese la analogia con los números reales, correspondiendo los polinomios a los enteros, las fun-ciones rac¡onales a los números racionales. clc.

FUNCIONES TRASCENDENTES ESPECIALES

Las siguientes se suelen llamar lun(¡on?s lt scende¡¡trs rlcnúlules.

l. Fünc¡ón exDo¡enci¡l¡ /1¡) = u'. u * 0. l. Propiedades en página l.

Función logrr iúnica: l1¡): log,x. r¡ 10. L Esta función y la exponencial son recípro-cas. Si ¿¡ : c : 2,11828 . . . . llamada ár.r? r¡dt ural dt logaritntos, se escribe l(.\) : log; ¡ : ln ¡,que es ef ,logr¡, ¡rrr¿ ndho'al de .t. Propiedades en página 3.

Funcior¡es tr¡gonométric¡s:

sen x I I cos .\'sen.\. cos.r. tq \ - :-=- ' cosec ¡ - ' sec.\ : ' col . \ - -' cos \ sen x cos.\ lq -\ sen -\

La variable.r se cxpresa general;ente en radianes (7t radianes : l80"¡. Para valores realesde r. sen -\ y cos r están entre I y I inclusive,

He aqui algunas propiedades de est¿s funciones:

sen2.r+ cos2 ¡ : I I + tg2-t : sec2 -r- I + cotz.r :cosec2rsen (x t / ) : sen¡cos/ t cos.Ysen/cos (¡ t / ) : cos¡cos_t + senrsen/

- tsx + tP vt8 { . r i ) , ) : : .

| + ( ts.( LtsJ

4. Füncio¡es trigonométr¡cas reciproc¡s.recíprocas y sus valores principales:

(¿) , : sen-' x, (-nl2 f y ! nl2)(ó) Y: qe5- ' ¡ ' (0S/5¡)(c) _r, : tg-' x, (-xl2 < I < nl2)

He aqui una lista de las funciones trigonoméiricas

5. Funciones hiperMlic¡s, que se definen como sigue por funciones exponenciales:

FUNCIONFS, LIMITES Y CONTINUIDAI)

3.

sen l - r i l : -sen,\cos (-. \) : cos.t

tg (--r) : - tg.x

(y ' ) l : cosec r¡ : sen ¡ l lx , ( -n l2 < y < nl2l(¿) ) : sec- ' -x: cos-¡ l / . r . (0 S y 5 ¡)( f l y = cot- 'x : t t l2- tgrr , (0</<, t )

1'(d)cosccn \ '=

scn¡r =

¿, ¿*

l2lc, secnÍ - cdsh ¡

= e,+ea-

coshr e '+e-¿(. / ) coth¡ =

ie"h¡ =

e,_e4Algunas propiedades de estas funciones son:

cosh2¡ - senh2x = I I - teh2¡: sechz¡ coth2"r- I = cosech2 Jr

c^P- 2l FUNCIONES, LIMITES Y CONTINUIDAD 23

senh (x 1 .y) : s€rh ¡ cosh / i cosh ')r senh ,)cosh (x + ),) : cosh x cosh I :t se[h ¡ serih ]

tsh.x + teh vrsh (x t y) : it tc,-hli¿ht

6. Fu¡c¡oo€s hfperbólicss recíprocas. Si ¡ : sen ,, / = sen - I x es la función rcclprcca del senoh¡peúólíco de x. Se dan en seguida los valores principales de las funciones hift€rbólicas recipro-cas expresados por logaritmos naturales, junto con el dominio en que so¡ reales.

(4) senr- l r = ln (c * /o" + r¡ , toao o (d)cosech-r '= t . (1 nf , , ia) , , tov t¡t ,./

(b) cosh-,c = ln(¡ | 1/xr-1), x?l (e) sech- ' . r = t r , ( t * y ' r t - t ' ) , 0 < r I 1

' ' \ t / '

(c) tghrr=/. -r- r\

f) coth- 'r = +r '(H), I ' t > r

s€nh (-r) : -senh ¡cosh (-"Y) = cosh ¡tgh (-x) = -tgh r

I ln(ff | , l r l < r

IIMITES DE FTJNCTONES

Sea/(x) una función uniforme defioida para todos los valores de t en torno a t : ¡o con la posi-ble excepción de x : xo lo sea, en un entorno ó reducido de ¡o). Se dice que el número , es el ¡íttl¿fe de/(x) cuando x tíende z xo,lo que se escribe lirn /(¡) : I si para todo número positivo € (por pequeño

quc sea) se puede hallar un número positivo fif,or lo general dependi€¡te de €) tal que l/(x) - /l < e,si€mpreque0<lx-xsl < ó. Se dice tambié¡ en tal caso que /(x) t iende a / cuando ,r t iende a xo yse escribe /(x) --+ / si x --' xo.

Esto quiere decir que se puede hacer el valor absoluto de la diferencia entrc /(t) y / ta¡ pequeñocomo se quiera eligiendo x suficiertemente cerca de xq, es decir, eligiendo la diferencia en valor absolu-to entre x y ro suficientemente pequeña (pero no nula, o sea que se excluye x : xol.

Eieúptor Sea /(r) : [:' :: '-t?. Entonces al acercarse.y a 2 (de modo que x timde a 2)¡¡] se acerca¡u sr ¡ :2

a 4- P¿r¿¿¿ entonces que lqÍ¡) = 4. Para demostrur eslo habrá que ver si la definición ante-

rior de limite (con /= 4) se verifica. Para esta dernoslración véase Problema 10.Nótese que hlJl,- lG) + Ie), es decir, que el limite d€ /(x) cuando x + 2 no es el mismo

que el valor de/(jr) en x : 2 ya q,re fl2t : 0 por definición El limite s€ria de todos modos 4,aunque /(n) no estüviera definida er n = 2.

Cuando existe el limite de una función es único, es deci¡, que no hay más que ese límite en el puritoque se considera (Problema l7).

LTMITES A DERECHA Y A IZQUIERDA

Al definir el limite no se hizo ninguna ¡estricción sobre la manera como había de tender 'r a ¡0.Suele ser conve¡iente hac€r esto. Considerando -r y xo como punto sobre el eje real, xs fijo y x móvil,ento¡ces x puede acercarse a xo por la derecha o por la izquierda, lo cual s€ indicá escribi€ndo ¡ --+ ¡o +y ¡

- ro-, resp€ctivamente.

Si lim /(¡): ll y lim f(x)= lr, 11 y /2 se llaman, ¡espectivamente, límites a la derccha y all

ízquierda de f(xl et xo y se lés denota porl(¡o+) o f(xo + 0)y f(xo-\ o f@o - 0). Las defi¡icionescon e,ó del límite de /(Jr) cuando .x+ xo+ o ¡+ ¡o- son las mismas que para ¡- ¡o, excepto enque los valores de r se restringen a r > ¡o o a ¡ < .fo, resp€ctlvamente.

Se tiene'lim "f(¡) = / si, y solo si, lim f(x): lim f(x): l.

FUNCIONES, LIMITES Y COI{TINUIDAD lcAP. 2

TEOREMAS SOBRE LIMITES

Si l im l(r) = A y ¡im 9(¡) = B, es

/ \l im(/(r) + e(¡) ) = l im/(r) + l im s(x\ = A+B

/\l im(/(c)-e(r)) = l im /(r) - l im s(o) = A-B¡+ 'o \

a. r im(l(c)g(r l ) = ( r i . l1" l ) (r i -s(e)) = ¿a. - ro \ / \ r - rd / , \ ¡+¡o /

l .

¿. rim {4 = l:141,-.. g\rl lrm g(rl

1

_B si 8*0

Resultados parecidos valen para límites a la de¡echa y a la izquiefda.

INÍINITOS

A v€ces ocu¡re que cuando x -

xo, /(x) crece o disminuye sin limite. En tal caso cs costumbre €s-cribir lim /(x): +@ o lim f(r) = -rn, respectivamente. Los Eímbolos +co (escrito también co)y -@ se leen más infinito (o inÍinitol y menos inÍ¡aito, rcspectivamentc; pero adviélase bien que nosotr números,

En lenguaje riguroso se dice que lim lx) = o si para c¿da número positivo M se pucde hallar

un número positivo ¿ tq:¡e cn general áJfinde de ¡r') tal que /(x) > M si€mpre que0 < l¡ - ¡ol <ó.Análogam€nte, se dice que lim /(¡) : - l si para cada núme¡o positivo M s€ pucde hallar un nú-

mero positivo ó tal quc /(¡) < -M siempre que 0 < lx - xol < ó. Observasiones análogas son apli-cables €n el caso ¡+xo+ o ¡ r ¡o-.

Es frecuente que ocuna examinar el compo¡tamiento de uoa funcióo al aume¡tar o disminuir xsin limite. En tales casos se sucle escribir ¡' +co (o co) o ¡+ -co, r€spectivamentc.

Sediceque,!1_l t t l= lof(x)- /cuandox--++cosipa¡atodonr lmeroposi t ivo€sepuede

hallar un núm€ro positivo ¡Í (que depende en general de e) tal que l/(r) - /l < e siempre que r > lV.Deñnición análoga se puede formular para lim /(x).

LIMITBS ESPECIALES

,. 1 - cos,l rm_ = u

lim (l + o)v' = e

=l

CONTTNUIDAI)

S€a /(¡) definida y uniforme para todos los valores de x próximos a ¡ = ro, como t¡mbién para¡ = ¡o (es decir, en un entorno ó de Jr6), La función /(x) se dice coñtinuo en x = ¡o si lim Í(x\ = f(xo\.Nótcse que esto implica tres condiciones para que /(x) sea conlinua

"o r :

"0.'--o

l .

3.

.. sen t

l im { l +: I

, . e ' -7 , . r - lI tm--

'-r lll F

CAP- 2] FUNCIONES. LIMITES Y CONTINUIDAD

l. Exislencia de lim /(-r) = /.

2. Existencia de /Ixo), es decir, /.v) debe estar definida en ¡ : ¡0.3. t : f (x o).

De manera equivalente, si jr(¡) es continua en Jo se pu€de expresar es(e hecho en la formalirn /(x) = /(lim" .r).

( t1 ."

Ejedp¡D: L Si /tr) = i;, ' l , I i entonces, por el e¡emplo de Ia Égina 23. l im /lxl: 4.P.rof(2\ = 0.

t-uego linl lr) +/(2) y la fi¡nción no es continua en ¡: 2

2. Si /(¡) = I para todo -y, entonc.js lim /(.\) -f2) = 4 y /(¡) es conrinua en.r = 2.

Los puntos en que /(.r) deja de ser continua se llaman discontinuidades de ¡r) y se dice que ¡r)6 discontinua en csos puntos.

Al construir el grafo de una función continua el lápiz no se levanta del pap€I, mientras que parauna función discontinua esto no ¡lcurre, pues hay en general un salto en la discontinuidad; desde luegocsto no es más que una propiedad ca¡actcrística, pe¡o no una definición de la continuidad o de ladiscontinuidad.

Además de Ia anterior definición d€ continuidad sc pu€d€ decir que /(x) es continua en ¡ = .rosi para todo e > 0 se puede hallar un ó > 0 tal que lf(x) - J$o\l < e si lx - xol < ó. Nóiesc queesto no es rnás quc la deñ¡ición de lírnite con / = Í¡o) y quita¡do la resricción ¡ + xo.

CONTINUIDAD A LA DERDCHA Y A LA TZQUIERDA

Si /(¡) est¡i deñnida solamente para ¡ = -ro, la definición ante¡ior no es aplicable. En tal c¿so sedice que /(-y) es continuq (a la derechal en ¡ : -ro si

,l** Í{xl = f(xd, esto es, si fro+) = /(xo).Análogam€nte, /(¡) es conrin a (a la ¡zquierdal en x : -tqsi,h /(x): /(xo), es decir, sif¡o-):

¡no). Pu€den darse definiciones empleando e y ó.

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO

Se dice que una función /(r) es contínua en un intewalo si es co¡tinua en todo punto del intervalo.En particülar, si fr) está deñ¡ida en cl inte¡valo cerrado a j x ! b o fa, bl, f(xJ es continua en elintervalo si, y solo si, l im" /(-r) : lx¡) para a < re < ó,,[t. ,ft"l : f(oly,\yf( '):f(b).

TEOXEMAS SOBRE CONTII\IUIDAD

Tco¡cma 1. Si /(¡) y g(¡) son continuas en x : xo, también lo son las funciones /(,r) + g('r),l ( t \

/(.r) - g(-y),fx)g(.y) y *'en este último caso si g(,x¡) I 0. Resultados semeja¡tes son vá¡idos paratr-\,

la continuidad en un intervalo.

Tcorema 2. Son continuas en todo intervalo frnito: (a) los polinomios; (á) s€¡t x y cos -t;(c)o ' ,a>0.

Teo¡€m¡ 3. Si, = /(¡) es continua en .r : toysiz = g(J.')es continua en y = yoysiyo:fft¡l '€ntonces la fu¡ción z = g[/(x[, Ilamada función de función * funciórt compuesta' es continua €nx - ¡0. Dicho brevemente: una función conlinua de una función continua es conlinw¿

?t

26 FUNCIONES. LIMITES Y CONTINU¡DAD

Teorem¡ 4. Si lr') es continua en un inlervalo cerrado. es acotada en el intervalo.

Teo¡em¡ 5. Si l"r.) es continua en .\ = ¡o y./1ro) > 0 [o bien fl.r'o) < 0]. existe un intervaloal que pertenece -r = -\-o en el cual ./(I) > 0 [o bien ,l'(.t] < 0].

Teo¡em¡ 6. Si una función lri) es continua en uD inteÍvalo y es monótona estrictamente cre-ciente o estrictam€nte decreciente. la función reciproca /-r(.r) es uniforme, continua y estrictamenlecreciente o estrictañente decreciente.

Teorem¡ 7. Si /(n) es continua en [a, á] y si.f(a) : A y .^bl : B. ehtonces a todo número Centre.,l y , corresponde un número al menos r de [4, á] tal que lr¡ : C. Este cs el llamado teorc¡nudel úalot intermedio.

Tcorem¡ 8. Si /(,\ ) es continua en la, bl y si Jla) y l(á) tienen signos opuestos, hay al menos unnúmero c parael cual /(c) = 0 con d < c < á. Esto se relaciona con el Teo.ema 7.

TeoreD¡ 9. Si l.r) es continua eo un ir¡tervalo cerrado. /(,r) tiene un máximo M para un valoral menos de .y en el intervalo y un minimo ,n para un valor al menos de ¡-en el iritervalo. Además,f.r) toma todos los valores enlre m y M pam uno o más valores de,\: en el intervalo.

T€o¡eD¡ 10. Si /(¡) es contiriua en un intervalo ccrrado y si M y m son, respectivamente, el exre-mo superior y el extremo inferior de /(,r ), existe al menos un valor de ,r en el intervalo para el cualflxl: M o,/(¡) : ¡¡. Este teorema se relaciona con el Teorema 9.

FUNCIONF^S CASICONTINU AS

Se dice que una función es casicontinua o contakua a lro.os en un intcrvalo a f .r ! b si el iúter-valo se puede subdividir en un número 6nito de intervalos en cada uno de los cuales la función es con-tinua y tiene límites finitos a la derecha y a la izquierda. Una función semejante lieDe solamente un nú-mero finito de discontinuidades. Un ejemplo de función casi continua en ¿ S .y = ó se ve gráficam€nteen la Fig. 2-1. Esta función tiene discontinuidades en.\¡, -r2,.\! y.\¿.

[cAP.2

Fi8.2-r

CONTINUIDAD UN¡FORME

Sea ,f(¡') co¡tinua en un intervalo. Entonces, por deñnición, en cada punto ¡o del intervalo y paratodo c > 0, se puede hallar un d > 0 (que en general depende tanto de é como del punto particular -ro)tal que l/(,t) -/(¡o)l < e si I,r - ,tol <d.Si se puede hallar para todo r un ó válido para todo puntodef inlervalo (esto es que ó defrenda solamente de e y no de xo), se dice que f(xl es undormemente con-rln ¿c en el intervalo.

De otra manera, Jf(,\ ) es uniformemente continua en un intervalo si para todo € > 0 se puede en-contrar un ¿ > 0 tal que lf*,)- /(¡¡)l < r para l-t, - ¡rl <d,siendox, y ¡2 dos puotos cuales-quiera del intervalo.

Teorem¡. Si /(r-) es continua en un intervalo c¿¡¡¿do es uniformemente continua en el intervalo-

c P. 2l FUNCIONES. LIMITES Y CONTINUIDAD

Problem¡s resleltoo

/(-l ) no csiá deñnido porquc ¡¡) lo esrá solam€ntc pdrs 2 S r = E.El conjunto de los r l¡les que 2 S .r = E.

^l -2t l= l l t -2t l- 2l{E - ( l - 24} = -( l + 2,117 +2tl do¡& r 6 i¡ l quc 2S | -2rS 8, ei

d@ir, -7t2S,S - t12.(dt IQt=Q - 2Xr- 3)- 5, lAtQ)) = f(5) = (5 - 2X8 - 5)=e.

I$l = 9 d. modo quc ./[/(5)] : /(9) no esrá dcfinido.(e) La t¡bla sigui.ntc da /(¡) Fm v¿rio6 valorcs d. .y.

284561A2,5?,6

¡(tl 05898602.752.75

S¡tu¡¡ los puntos (2,0), (!, 5), (4, t). (5,9), (6, t). (?, 5).(8, 01, 12,5, 2,7 s\ (7,5, 2,? 5r.

Esto3 purtoc son solañcntc uno6 pocoo dc lo3 irfnitospuntG d.l grafo que se rru6tr! cn l¡ ¡djunr¡ Fifur¡ 2-2.Elc corjunto dc F¡nlos dcftrc una curva quc cs psrtc dc un¡

27

DTJNCIONLS

f. Si /(.r) = (-r - 2XE - .r) Frra 2 J .t I E. {c) Hallar f(61y f(-ll. (á) ¿Cuát es el dominio de de-tnición de /(¡)? (c) Hallar (l - 2tl y dar el dominio de definición. ktl Hana¡ filgl'J, !I!gll.(e) Grafo de /(¡).(r,) "fl6) = (6 - 2X8 - ó) - 4 . 2 : I

(b)(c)

L Seag(x):(r-2[8--r)para2<r<8.(o)Esrudi8r ladi fercnciacntrc losgrafosdcB(¡)yde /(x) del Problema t. (ó) ¿Cuáles son los extremos de g(x)? (c) ¿Alcanza g(¡) su €xtrcmo supe-rior y su extreno inferior para algln valo¡ dc x del dominio de deñnició¡? (d) Respondcr las prr-tes (ó) y (c) para la fumión. /(r) dcl Problema l.

(a) El lrafo dc a(.r) es el misrno que el dcl Problcms I exc€plo quc los do! puntos (2,0) y (E,0) no crán c.¡cl de g(¡) po¡quc esta fi¡¡ción no .stá dcfinid¡ cn .t = 2 y -v = t.

(á) EI c¡lrer¡o $rpcrio. d. t(.y) er 9; cl inferior ca 0.(c) g(.y) ¿lcarzá su axtrcmo supcrix pota .v - 5, ¡,cro no alcanzr iü eiitlmo inferioa porquc tro hay valor dc

.r dcl dom¡nio dc dcfin¡ció¡ p¡ra cl cual ah) = 0.(d) Como en (ó).1 cxtÉmo supc¡¡or de Í¡) es 9 y .l inferior c6 0i el sup.rior cs ¡cc.sible poú j = 5 y.l

infcrior es ¡cccsiblc por¡ ¡ = 2 y r : t.Ob!érr¿6c qr¡c ü¡¡¡ fu¡rción ootno/(¡) quc ca donr¿¡¡,¿ cn uD intcrv¡lo err¡do. ¡¡ca¡za sus c¡¡¡d¡¡o6 cn

¡ltún pu¡to dal irterv{lo, pcro una función como l¡ g(.y) quc oo es continua en un itttcrv¿lo ca¡rado pl¡c-dc ro alconzal sus el¡rcmos. Problena 34.

l l , si .r es racionalsea /(.r) = ló: ;; ; ; i.-"J,¡ . (a) Averiguar .f(|t, ^-5t,

f(t,4t423t, Ít{:t, e't co¡s-truir un graio de /(-r) y c¡pl¡car por qué es ambiguo.

Í&, =t Pr¡es I cs r¡cionalf(-sl = I pues -5 e¡ racio¡¡lf(1,414231= t púes 1,41423 €s racional.f( = O p,re".,/2 cs irracio¡al

El gr¡fo sc vc ar la ad.junt¡ FiguÉ 2-1. Por su ap¡riencia sc crce-¡i¡ quc hay dos r,,¡lor€s funcionales 0 y I, que corr6por¡den ¡ cadav0lor de r. cr dccir, q¡¡c /(.r) €s multifoame, cuando en aealid¿dct u¡ifonrE.

3.

lal

l'lr. t l

(bl

28 FUNCIONES. L¡MITES Y ( 'ONTIN UIDA¡) l ( 'AP.2

¿>0, (ó) / ( r ) : [ . r ] : mayo¡ en-

4, En relerencia con el Problema l. (r) construir e¡ grafo de l- ' ( . \1. (bl h¡l ldr una expresión para

¡-rJ.r¡ y mostrar que /-r( . ¡ ) no es uni lbrmc.

kr) EI grafo de.r , -" / ( r ) o ¡ : / ' r l . r , ) rc \e ( 'n l ¡ Fig. 2- : dclProblema l (¿1. Para obtener el 8f¿l i ) de r '= / ' { r )no hr}-más que in lcrcrmbi¿rr los ejes.r y ¡ . Sc obl icnc el gral i ) qucse ve en la Fig.2{ luego de orienlar los ejes dc I¡ mrncrahabi tual .

{á) Se r iene.r ,= l . r - l ) (8 - r ) o r : - tor + 16 + } , :0.Por la fórmula

r.- l - . t ! r \ - l0 i v/ i00 -¡(16+v) = s - t /s- y,

LLrego, y = ¡- '1r¡ = U =\ ,5-,

En el gr¿(o. ,4P repres€nt¡ f = 5+ v '9 - - r . EP representa ¡ , :5- r '9 - . r . Asi . para cada valorde .y en 0 S .r S 9. /_'i.{, e\ biforme. Eslo se ve gr¿ficamcnte en que toda reiita paralela a la izquierd¿ deP y a la de¡echa de ,48 corra el grafo en dos puntos.

Las funciones S + . , .6- r y S - . ' l I represcntan las dos,¿r, , ¡ \ del r l \ ) . E¡ punto en que seencuentrán fas dos rar¡as (o en e¡ cual ¡ienen el mismo valor) súele llaÍ\atse p¡nto núlrt2l" aqui en (9.5).

5. (.r) Demostrar que g{¡}: 5 +,6 - r es estnctamente decreciente en 0 5.\ S 9. (á) {,Es mo-nótona decreciente en este intervalol k)i,Posee g(.x) una reciproca uniforme i(¿1) g{. \ ) es esrr ictamente decreci€nte s i g( . r ¡ )>.q{.y: j p¡rra . , r r < r¡ . Si r , < r , luego 9 - r , > 9 - . t ¡ .

$: ',, Jg '--t,. 5 * Jt --i > ; + .,/s - ., to que nuestra quef(.r)es estricramenle decrecien¡e.lá) Si. pues una función estnckmenE decrecienle es lambién monótona decrecienle. porque si g l.r r ) > gf \, ) tam -

bién g(.rr)¿ gl . \ r ) . Pero s i 8{ . r ) es monólo¡¡a decrecient€. no es necesar iamen¡c estr ict¿mente decrecienlc.

k) Si¡ , :5+VEx es.y S =,6- i o. cr"vando al cuadrado. J = -16+ l0r ' -1¿ = ¡ l - 2)(8 - . ) , )y r es función unifome de ),. es decir. la función recíproca es uniforme

En general. tod¿ función estfictament€ decreciente {crecienle) tienc uD, Íeciproca uniformc {\r¿asc Teo-rema 6. página 26).

Los resultados dc este problema se pucden interpretar gráncamenle con la figura del Problema 4.

6. Construir grafos de las funciones (a) /(¡)tero = .'r.

f ¡ sen 1/¡,=lo,

f¿¡) El Srafo se ve en Ia Fig. 2-5. Como .¡ sen I / . r = I . r i e¡ grafo cstá enlre r '= . \ y r ' : - i . Obsérvese qüe/(r) = 0 s i scn f / ¡=0o l , i . r = nn. t : l .2.3.4. . . . .cstoes.para \= l l t r . l l2r . l /3n. . . . La curvaoscil¿ indefinidamenle entre .\ = l/r y .\ = 0.

El srnl i ) cst i i cD la Fig.2,6. Si r S . \ < 2. es [ r ] : l . Asi qu,r f t .8 l - I . tv/21 : l . [ t .eeeee] = t . pero[2] - ]. Anrikrgamentc plrir I S .\ < 3. lr'l = l. crc. H¡ry. pucs. r.r//¿r en las abrcrs¡rs enrcra\: cs un¡rl i ¡nción dc l¡rr l lxmldl ' rr ,r ,1//¡!r¡.

Fis.2-A

( ¡ )

cAP. 2)

Fts.l.?

S¡ / = l(¿. + ¿-.),v-ly,=. Lucgo r =

. Co-" Y - y'Y-:-i

Toñando el signo +

Ji' - l). s" "l¡g"

.t ¿ I

FUNCIONES. LTMITES Y CONT¡NUTDAD 29

Z (aJ Coostruir,el gnfo de /(x): tg.r. (b) Construir el grafo de tg-t.r. (.) Mostrar gáñcamen-a pr qué tg-t x cs función multíforme. (d) Indicar valores principales posíbles de tg-l _r. la, Es-@Eiro uno d€ tales valo.es principales, calcular tg-r(-l).l) El grafo de Í¡) = t8 ¡ se ve en la Figur¿ 2-7.

ló) Si¡=/(¡) - tg.y, entonccs.r : /-¡0) = tg-t ) , . El grafo d. /- ' ( .r) = tg-I.r se obricne cnronc.s per-mutando los ejes ¡ y / en cl grafo de (¿). El r€sultado, con los ejcs oricntados en Ia mariera habitual, sc veen la Figura 2-8.

(c) En la Fig. 2-8 dc (¿) toda recta paralela a / corta al grafo en infinilos p¡lntos. Asl q¡re tg_¡ ¡ es unafunción Í¡ultiformc dc infi¡itas ramas.

{d} Para definir tt_ t r como funció¡ uniforme sc ve por el gralo quc ello solo puede hacers€ rcstringicndo suvalor a u¡o dc los intcrvalos: -nl2 < tg ' x < ft/2, r/2 < tg-' r,. < 3rl2. ctc. Se coovendrá cJl tomar€l primcro para dcfini¡ cl valor principal.

Nótesa quc cn cualqrric¡a de cstas ram¡s. tg-r ¡ cs cstricb¡Ícntc caccicnte con rcciproca uniforme,lc) t8- ' ( - l )=- t r l4csclr¡nicov¡ lorentre-nnyr!¿.osca,quccsclvalorpr incipslscgúnloconvanido

en (¿).

, f i t tI Mostrar que /(¡) = !];-¡:, ¡ + -1, es una función irracional algebraica.t+ |

/ \ '¿ |S¡ ), = v' - . ' es ("r + lD - t =.4 o, clevando al cuadr¡do, (¡ + l)ry, - 2(¡ + l)v r I - ¡ = 0.' x+ I

una ecuación alScbraica rn / cuyos coeficientes sor¡ polinoñios en ¡. Asi, pues. f.r) es función algcbaa¡ca, sibien no es cl coeicntc dc dos polinomios, por lo quc cs una función irracional algebraica.

t Si.f(-y) = cosh x = |1e' + e-'¡, demostrar que se puede elegir como valor principal de la funciónreciproca cosh-¡¡ = ln (¡ + Jx'z- l) , ¡ '¿ I .

¿L - zae'+ L = 0,ln ¡y t y'/: t¡.

I'lt 2-E

Enloncas. mcdianlc l¿ fórmulá, e' = 2v ¿ ^/?Fri

= lv - {¡=l(Y + vf -r

) = ---L, sc püede tambi¿n c\cr¡brr\y + { t f - r / t * , ly ' - r

= ln (y + V7:-i) o cosh-t , = + tn (y + y'yt:-i)

pare dcñnir el valor principa¡ y rcmplaz¿¡do / por ¡ s€ tiene cosh_' .r = In {.\ +para que la función recíproca sc¡ rcal.

IIMTTES

(a2 a ;910. Si (¿) /(¡) = f¡, (b) /(r) = .{i '

* ' :,demosrra¡ que lim /(¡) = 4.lu, r=z

{a) Hay qüc mostra¡ qr¡c ¿ado on e > 0 cualquicr¿ sc pucde hallar t¡n ¿ > 0 (qu€ €n gencral dcpende dc €t t¡¡lque l r : - 4 l <c s i 0< l r -21 <6.

30 lcAP. 2

Elí jasc rS I dc rnodo quc 0< [- 2l < I o I <-r <3, x + 2.Luego lr2 - al = l(x -2X¡ + 2)l = l¡- 2l lx + 2l < ól.x + 2l < 5ó.

Tómese para ó I o bien €/5, scgúr cuál seael menor valor. E ¡tonces se tiene lxl - 4l < c sieñpre que0 < I,r - 2l < á y qued¡ demostrado el rcsu¡tado.

Es ¡ntcrcsanic considcrar algunos v¡lo.€s numéric¡s. S¡, por cFmplo, sa quicrc haccr l¡t - 4l < 0,05,sc pucdc c.coger ps¡a 6 = 6/5 = 0,05/5 = 0,01. Pa.a vcr que esto cs así, nólesc que si O < l.r- 2i <0,01.entonc€s 1,99

-< x < 2.01 (x +2\ y entonccs 3,9ó01 < ¡r < 4,040t, -0,039 <¡r - 4 < O,o,fil y ev!

dentementc l¡z - 4l < 0,05 (¡, * 4). El quc csras dcsigualdades se verifiquen también para ¡ = 2 no esmás que coinciderci¡.

Si sc quicre haccr l-t' - 4l < ó. sc puedc tomar ó = I con lo que la dcsitüaldad qucdará satisfech¡.(á) No hay difcrencia entre la deñostración para cste caso y la demostración en (¿), pues en ¡mbos casos se

cxclula -r = 2.

ll. Demost¡ar oue. .211-611+12+3 ^1'j|l----F1- = -o.

Hay quc most.ar quc para todo. < 0 sc puede hallar ¿ > o tat que l41i-!¡¡+4+-q - (-8)l < .

si 0 < I.t - ll < ó. como ¡ + I sc puede ","r;6¡.

?31:-9d{f1l-! - (2t * 4'r:g'-- 3X' - 1) -z]rt - 4xt - 3¡- 3 suprimier¡do cl factor comttn ¡- I + O.

Hay que dcmostrar e¡tonces que para todo a > 0 s€ p¡edc hallar, > 0talque l2_t3 -4¡t - 3¡ + 5l <asi0<fr- l l <d.TomandoóSI se t iene 0<r<2, x+L.- Ahorabicn,l2,f - 4x, -3x + 5l : l.y - tllL¿ - 2x - sl < 612x2 - 2¡-sl < 6(12¡,1 + l2¡l + 5)<(8+4+5)ó=17á.Tomandoparaádmcnorv¡ lordelosly.nTset ieo€elrcsul tádopcdido.

¡ la _Bl -_"t2. Sea /(r) =l x-3' '-", kr) Grafo <re ta función. (á) uattarjill /(¡). (c) Ha[ar

fo. ¡=3l im l(r). k/) Hallar l im l(r).

r - t -

(a) Par.¡r>3,

-

= : -= = r .

p¿ru2<3, I r -91 _ -(r- :3) _ _r.

Luego cl grafo, que se ve €n la adjunt¡ Figur¡ 2-9,consist€ en las ¡ccias / = l, -r > 3; l, = -1, ¡ < 3 ycl punto (3, 0).

(ó) Al tender ¡-3 por la d.recha, /(-r) - l, csto €s,

,!g ftrl = l, como sc ve claramcnte en cl grafo. Para

demostrar esto hay que hacer ver que dado cualquiea. > 0 sc pu€de hall¡r un á > 0 t¡l que l/(¡) - ll <.s i€mprcque0<,x- l<¿.

Y como ¡ > l,/(.r) - I y ¡si la demostr¡ción con.sisie eo la trivialidad de que ll - ll < e si 0 <.t -I <ó.Al tender .x + 3 por la izquierda, /(.x) + - l, es decir,

,lim_ ^¡)

=

como en (ó).Como lir¡¡ /r{xl + lim /(¡t. lim Í¡) no existe.

: - !+ -

FUNCIONES, LIMITES Y CONTINUIDAD

(.)

¡lr. r.0

- l. Sc pucde da. una demostración

@J

13, Demostrar que lim r sen I /.r : 0-' ¡-oHaI que h¡cer vcr, ¡¡cs, que dado cualqoicr a > 0 sa pucde hallarunó> O tal quc l.r san l/¡-Ol <c

si 0< l ¡ -01 <6.Si 0< lxl <ó, es lx sen t/xl = lxl lsen V¡l S l¡ l <ó, pues ls.n l /xl S I para todo¡+0.Tomando ¿ = r 6. vc que lr scn l/rl <e si0< lxl <ó, lo quc compLt¡ la dcmostración.

cAP. 2l FUNCIONES. LIMITES Y CONTINUIDAD

t14. Calcular l im ;-. i=r-;:.

' - ¡+ L+e " '

Af tender ¡+0+ pa¡ece qtrc llJr cracc indefinidamente, e¡l'crece indcñnidamente. €-tl' ti€nde a| + ?-¡l- ti.nde a l; dc ñodo que el limile pedido es 2.

P^ra detñost¡ar esta conjetura hay quc moslrar que dado € > 0 s€ puede hallar un , > 0 tal que

l * i - -z l . . s i o<'<ó

l ,*-" '¿- ' l =l##l= vfu.- '

3l

.u 'J-1 1 o t / , t \ |si "--- - - r - - :> ' - , .1t '>:- t , ; r ln(3- l r ; asi 0 < r <

i ¡127e r- :_ ¡ suponrendo 0 < c < : .

ToDándo á: i--;; -r

sa puedc !€r que la conjetu¡a queda demostrada si0 < c < 2. Si a ¿ 2. cuet.tn vté - t l

quier valor d€ ó > 0 s€rvini, pucs en t¿l caso 7i¡1.,

p¿ra todo r > O.

15. Explicar exactamente qué s€ entiende eot lirn G-5

= có y demostrar la validez de est€enunciado.

Esto significa que psra todo número positivo M sc puedc cnconlrar ur¡ rúnrcro positivo , (quc dcpende

Dividiendo por i s€n 0,

o bicn

Ió. Dar una demostración geométrica de que lim sl' = 1.' . - ¡V

Construir un circulo de c€r¡tao O y radio O,{ - OD = I, co¡¡ro sc vc cr la Fig. 2-10. Tó[i€se un punto Isobrc la prolongación de o/ y un punto C en OD de modo que ,D y ,!C sean pcrpendiculáres a OD.

Por geometría se ve qu€

Area del ¡rÉngulo OAC < Are¿ dcl scctor O,lD < Arca del triángulo OBD

en general de M) tal queI

o=Ú' u s i

Para dcr¡ost¡ar esto obs€¡vese Oo. 6*i¡ t

Tomando ó : ll.lm se rh¡c el rcsultado.

o sca. que *s€n0cos 0<t0<tt90

0 < l r - l l < E

¡ t s i o<(r-r) '<fr o o<1,-11 <i ; .

^01COS0<-<-s€n t, cos u

- sen 0 Icos {, < --;- < ---

U COS U

Al tcnder 0-0. cos 0- I se tiene quc lirn ff

= t.

TEOREMAS SOBRE LIMITFS

17. Si lim /(.r) existe, demostrar que debe s€r único.

' Hay qu. deñoslr¡r que si lirn ,(r) = I' y lr\6Ílr, = h,

Po¡ hipótcsis. dado un . > 0. se pucde hallar un , > 0 tal quc

l l l r ' t -L l <,12 ! i o < l r - 'dl l l " r -L l <.12 si 0 < l r - ro l

<á<6

¡b. r-ro

!2

It.

FUNCIONES, LIMITES Y CONNNUIDAD lcAP. 2

Eotooces, segtir¡ la desigualdad 2, Égina 3,

l¿,-¿! l = ¿¡- l ( ¡ )+ ¡1,)-Ll = l¿,- . f (u)L + l l ( ¡ ) - r , l < . /2 + 42 = ees decir, lr¡ - /21 es menor que cualquier número positivo c (por pequeño que seafy así, pues, d€b€ ser cero. Con

Si ,lim"

g(x) = t + 0, demost¡ar que existe ó > 0 tal que

Jg(¡) l > ¡Lal Para 0 < l , ' - ro l <8como lim g(x) = I se puede enconrrar ó > 0 tel que lg(") - ¡l < {lal para 0< lx-xol <0.

Escribiendo I = B-r(r)+r(r), s€ Iiene

l8l 5 l8-r(,)l + lr(,)l < tlB¡ + lr(,)lo s.a.l8l < l lal + p(c)1, de donde lc(,)l > +181.

Dadoslim /(c) = d y l im g(c) = B, demostrar que (o,) l im r(r) +C(r)l = A+A,

(b)- l iml(r)s(c) =AB, (c l ¡ im+=| s i a*0, (d¡ l im-@ -- ! s i B, to.' ' . - , ,g\et ó . - ,o g\x)

(¿) Hay quc mostrar que pa¡a cu¡lquicr G > 0 se puede hallar ó > 0 tal ql¡e

l l l l " \ + s l r ) ) - (Á+B)l <. s i 0 < l r -zol <8

Mcdiantc la desigualdad 2, p¡¡gina 3, se tienc

l [ / ( , )+r( , ) l - (á+a) l = l l /k)-¿] + [ r ( ' ) -a] l = l l lz l - Al + ls( ' ) -BI ( t )

Por hipót€sis, dado € > 0 se pueden hallar ór > 0 y J, > 0 talcs quc

V@\-A)<.12 si 0< Ir- rd < 8,ls l r t -Bl < ¿2 si 0 < l t - to l <8¡

Lu€go por (1), (2) y (J),

l l Í1, ' r+ t ( ' r l - (A+8) l < c l2*12 = e s i 0<lr- 'd<8

siendo ó el mcno¡ de los ó, y ó2.

(ó) Se tienc

lllil s("\ - ABI = | l(úllslqr- Bl + Bfl(r) - All (¿)a lf@)llo\ú) - Bl + lBi l/(,) -.{l= l¡(,)llsl"t - BI + (lal + 1) l/(,) - ál

Como l ir¡ /(¡) = / se puedc hal¡ar ór Él qüc f(¡) - ,41 <t para0<lx-xol <ó¡. o sca.

A- t.f(rl <,{ + I, de modo que /(x) es acotada, esto es Lf(-y)l < P siendo Puna constante positiva.Como l im g(x) :¡ , dado É>0, se puedc hal lar un ¿2>0 tal que b\xJ- Bl<¿/2P pra

0< lx-xol < ór.como tim /(¡): ..{. dado r > o. s€ puede haltár ór > 0 tat que l/(,) -¿l < ldEfg¡ oara

0<lx-x6l < ó3.

Aplicsndo éstas en (4) s€ tiene

lt(,ts(x, - ABI . P.# + 081 + 1).tllEiT-o = .para 0 < lr - -xol < d, siendo d el menor de los ór, ó2, ór. con lo quc ¡a demostración queda completa.

(c) Hay que most.¡r que para cualquier € > 0 existe un ¿ > 0 tal que

l#-* l =BfLd.. si 0< l r - ' .1 <6 (5)

t9.

(21(r)

Por hiÉtcsis, dado € > 0, hay un ór > 0 tal que

le(') - al < üat st 0 < l r - ro l < 6,

c^P. 2l FUNCIONES. LIMITES Y CONTINUIDAD

Por cl Problema lE, como ,lim. c/).l = B + 0 se pu€de averiguar un ó2 > 0 lal que

lc(r) l > * l8 l s i 0<l¡- 'd<s¡

Entonces, si ó es cl mcnor de los ór y ó, se puede escribir

l1 l l lo l ¡ ) - a l +B' ,l;O-¡-l

= EfÍtG¡¡ < iEfusÍ

= ' siempre que 0< l'-,.1 <6lo que demuestm el resultado.

(d) Por las pa¡tes (¿) y (c),

ri_ 44 = rim l{¡}.J'"oc\'t e1'J

= ri- /k)"liitit = A'; =

Esto también se puedc demostrar directameDrc (Problcma ó9).Losresul tadosantcf ioressepuedendemostrartambiénpararrJo+,. \+no- i ¡ rco,Jc+-.a.

lvol¿ : En la dcmostración d€ (¿) s€ han utilizado los resultados l .\ | - Al < e/2 y lglxl - Bl < ./2 dcmanera que cl resultado 6n¿l fuese f(r) + clrl - lA + ,)l < é. Desde lueSo la dcmostración seria igualmcnte,¿l¡ida si se hubicra emplcado 2c (o cualquier múltiplo positivo de €) en vez de €. Una observación s€mejantevale paú las dcmostmcioncs de (á). (.) y (d).

ll. Calcular los llmites sigu¡cntes empleando los teoremas:

(o) ritl (r'- 6, + 4) = lljl "'

+ ]$

(-6r) + li4 4

= l ¡ im¡) l l im¡) + l l im-o) l l im') + l im4

= (2X2)+(-6)(2)+4 = -a

En la práctica sa omiten los pasos intcrmedios

,¡r ,¡- Gja?!:l) = 'ilS-:!+l= - 2'(-s) - q' - , . lJ:t x '+ 9r-2 _ln_nt (¡ '+ Jr - z) -4 2

AE

tcr l igf f i= - ' -3- rl¡m _ -

"-¿-dl im2+l iñ: !*r¡- !

_ _-- ' ,11.i, ¿! ,i:li ¡, = ? = !r - ! ¡63

ln6* l ] i ; * l l i i ;por c¡ Problema 19.

.- . . , / lTtr-z . . l l i l -z ' /T+n+z(o) I'i¡ ---- = I'L ---T- ' ,,t-1 + h + ,. . 4+h-a . . I 1 r=l¡m__=-=lrm_-:-=;-=l¡_,¡(V1+i+2) ¡_oV¿+Á+z

(¿) r i ' ' ' s= = l i - s l " .VÉ = ¡¡¡¡ ! ! !3. l imVE = 1.0 = 0." .;ai lz .:.+ t

Nótes€ en (c), (d) y (e) que si se aplican los teorem¡s sobrc limiles indiscriminadamcnle sc obtie¡cn ¡as l¡a-Í|ú.llas lorraas ¡idetenhadas @l@ y 0/0, Para cvitar esto, nótesc que en cad¿ caso s€ modiñca la fonna dcllímite en forma ¿propi¿da. P¿ra otros métodos de calcular límites. véase Capitulo 4.

CONTTNUIDAI)

21. Demostrar que /(¡): ¡2 es continua en .r: 2.Mélodo l:

Según e! Problema t0, \t\ ílxl : IIZ\ : 4 y asi Í¡) cs continua en ,¡ = 2

M¿'todo 2:Hay que dcmostrar que dado un € > 0 cualquiera existe uD ó > 0 (que dcpendc de G) tal qu. l/(,t) -/(2)l =

lr'?- +l < e si lx - 2l < ¿. t¿ dcmost¡acióú sigüc cl .6qucm¡ d¡do cn cl Problerna 10.

34 [cAP.2

( r senll¿. a 7' 022. (¿) Demostrar que l ( r ) = i ; . -

' ' - ' l_ i

no es conr inua en.\ :0. (¿) ¿Se puede deñnir

de otra manera l0¡ para que /(.r') sea continua en -\ : 0?k¡, Por el Problema 13. lim /(.r) = 0. Pc.o este limite no es igual afo) = 5. de r¡odo que.l¡(,\) es discon-

l inua en :\ ' : 0. ' -o

(á) Definiendo¡.\)de modo que /(0) =0, la función se vuelve continua. Po¡ ser la función tal que se la pue-d€ hacer continua en un punlo simpleñente definiéndola adecuadamenle en es€ punto, se diceque el punloas ufla d¡scont¡nuidad at¡tahle.

,4r _ A$ r_ U2 +g23. La función t@) =

? ¿es conrinua en ¡ l?

/( I ) no exisle, de modo que lr(-\-) no es continua en ¡ = 1. Deñniéndola /(.r) de modo que /(l ) = lifn /.!)= -8 (Problema ll). se hace conrinua cn -r = I, es decir, ¡ = I cs una discontinuidad evitable.

24. Demostra¡ que si Jf(¡) y g(x) son continuas en ¡ : ¡o, también lo son (a) /(.r) + g(.\),f l rr

(b) lql slxl . (c) r-=: si t lx"t + 0.c(.rJ

Estos resuhados se sigucn inm€diatament€ d. ¡as demost¡aciones dadas en el Problema 19 tomando ,{ =

"/Cto) y , = B(xo) y escribiendo 0 < l.r - xol < ó en la forma lx - x¡l <, para que qucde ¡nclui¿lo x= ro,

Demostrar que /(,r) : x es continua en cualquier punto ¡ = -ro.Hay qüe demostrar que dado un e > 0existe un ó > otalquc f(¡) -/(¡o)l = 1.. - ""1

< esi l.r - r¡l < d.Tomando ó = É se tiene csic ¡6ultado.

Demostrar que /(¡) = 2¡3 + ¡ es continua efi todo punto r = xo.Como.yescont inuaeotodopunro¡=¡o(Problema25)tambiénlosonx.¡=r2,12.x:_rr ,2r¡y,

por último. 2-\¡ + ¡ aplicando cl tco.cma (Problema 24) que dice que sumas y productos de funciones con-linuas son funciones continuas.

Demostrar que fr) = f - 5 p"ru 5 g x j 9, /(-r) es continua €n este inte¡valo.

Si xo es un punto cualquiera ralque5 <ro < g,enronc€s l im/(¡) = l im uG-S=Ja- 5-Xx"¡.

Asi. pues, _tim .r4- s = o =,r15) y -li!n J' - s =z=iiii qr. ¿.i'íJ"n" ta conrinuidad de f') =

v)-r 'Aqui se ha utilizrdo lir¡ V7i- = { üm /(r) = 14(r.) sil(¡) es conrinua en ¡o. También s€ puedc

dcmos¡rar directamente aplicando la defnición con c y 6.

Para qué valor€s de.r cn cl dominio de deñnición es continua la función

. FUNCIONES. LIMITES Y CONTINUIDAD

.So¿ Para todo .r cxcepto r = I | (cn quc el dcnominador es ccro)

25.

26.

a.

t1

tot ^a

= V*1(ü) í,) =

##; s¿¿ Para rodo x

lcl ll¡'\ = ---L So/. para lodo x > -tOvlo+,ld) Í(r) = 10-r/('-t)' .tot. Para lodo -{ + I (véas€ problema 55)

tet ¡(,t = {á:-""-"1 ;:l so/. par¿ rodo ¡. pues rim /(,) = /(3)

a ^d

==4

Si¡>0, l ( ¡ ) == = o. s i t<0, , (a) = ' tn ' = 2. E¡ z=0, f lz l no está deñnida.

Asi que /(-r) es continua para lodo ¡ cxcepto ¡ = O.

crr. 2l FUNCIONES. LIMITES Y CONTINUIDAD 35

( '-:8, ¿asb, l í ' l=1 E

L g, .=O

Coño cn (/), /(x) es co¡tinua para -y < 0. Entonces, como

. ' j f -=ld =,1¡xr-af =,r im-2 = 2 = t(ol

se sigüe quc /Qr) es continua (a la izquierda) en ¡ = 0.

De modo que./(¡) cs continu¡ par¡ todo ¡ = 0, e¡to as, en todo p nto de su dominio dc dcfinición.

¡x) = ¡ soscc ¡ = -1. So¡. Parr todo ¡ ercepro O! tn. t2r, 13r,...scn -x

-/(¡) = ¡ cosec x, l(O): l. Como lim .( cos€c x = lim =l.. = t =,ft6l sc ve que /(.x) cs con-

rinua p6m todo x €xcepto fÍ, t2r, ri":"... ¡-.**r'".1"tilfi

OONT¡NUTDAI' UNIFORME

lL Demost¡ar quc /(r) = ¡' es uniformemente continua en 0 < x < l.

Mt{odo I, utiliz¡tdo l¡ dcf¡idón.Hay que demostmr que dado cualqu¡er c > 0 sc F¡cdc h¡llar un ó > otal que lx, -.t!l < esi l.t - x¿l < ó,

lo¡¡de ó rolo de[Ende de a y na de to con 0 < ¡o < LSi ¡ y ¡o son puntos cualesquiera de 0 < ¡ < I,

l¿.-¡il = lr+ xollx- al < 11+11 lr-r.l = zlx-qlAsíque-si lr - x6l < ó sc siguequc lxt - ¡¿l < 2ó. Eligicrúo-, = rp, se vcque lxz - rel <.sil.r-¡ol <ó,dor ideódcpendésol¡mcntede€ynode¡o.Luego/(¡) : ¡ ¡esuni fon¡€mcntecont inuacr¡0<¡<i .

Loa¡tcriorscpucde¡pl ic¿rtambié¡paradcmostrarque/(¡)=¡2es¡¡niformemeniecontinuactroS¡Sl.

M¿{odo 2l

l¡ funciór¡/(¡) - x, es continua.n el i crvalo cerrado 0 :i ¡ = L Lucgo por cl t€orcma dc Ia Égina 26cs uniformemcntc coritinua cn 0 S ¡ 5 I y, por tar¡to, en 0 < x < L

30. Demostrar que /(¡): l/x no es uniformemente continua en 0 < ¡ < l.

Mt{odo l:Supóng¿sa qüe /(¡) es unifomñamantc co¡¡tinu¡ cr el intervalo d¡do. Entonccr para todo é > 0 dcbe po-

dersc h¡llar uD ó, por ejeñplo, .ntr€ 0 y l, t¡l que f(¡) -/Oo)l <esilx-r¡l < , por¡ todo ¡ y ¡o delintcrvalo.

. ¡ t r ls€¡n,=, y ".

= fil. Lucgo lr-rl = l, -fftl

= riE < ¡.l r r I l r l * r lEf¡ cambio. l : _ ¿l = l+.tz 4t lo-- i - l

= f

t ' (pucsto quc u < ¿ < I ) '

Asl, pucs, hay cor¡tr¿dicción y sc dcduce que /(x) = l/¡ no puedc scr unifo¡m€mcnte continla en0<¡<1.

Mélodo 2:Sceo x6 y x6 + ó dos puntos cualcsquieta dc (0, l). Enlorccs,

lrc¡-n^*t¡l = 11 ---l-.l = -.-q-| ' l l r¡ , .+El . .(r.+ E)

sc pucda hac€r mayor quc cualquier nfimero fDsitivo eligiendo ¡o suficient€mente próximo a O. Luego la fun-ciór no pu€de ser u¡iformementc continua.

(á)

(0

JO

PROBLEMAS VARIOS

FUNCIONES. LIMITES Y CONT¡NUIDAD [cAP. 2

31. Si), : /(¡) es continua en ¡: i (o y z: Clü) es continua enl = lo sicndo yo = /(,x6). demos-trar que z = g{/(¡)} es continua cn ¡ = ¡o.

Sea ¿(¡) = grlx)]. Como por hipótcsis /(x) y 90,) sori continuas en ro y lo, resfrectivamente. se tiene

lim r(y) = r(lün y) = o1n,¡ = slflx"ll

Lucgo

lo que demucstra que A(.r) = gy(x)) es continua en .n - ¡o.

32. Demost¡ar el Teorema 8, página 26.

Supongasc que /(¿) < 0 y "/(ó) > 0. Como/(¡) €s contiúua, cntonces d€be hab€r un intervalo (¿, l¡ + ,,).

l¡ > 0 para el cual /(.r) < 0. El conjunto de puntos (d, a + ,) tic¡c un mayoranle y. por tanto, un extr€mo su-p,erior c. Entonces,Íc) S 0. Pero no sc pucde tenerÍc) < 0, porque si /(r) fuera negativa se podria hallar uninlervalo en to¡nb a c (en el cual hab¡ia valores mayores quc a) para cl cual/(¡) < 0; pcro como c es el extre-mo superior, esto es iñposible. y asi, pues, debe ser /(c) = 0.

Si /(¿) > 0 y /(ó) < 0 s€ pucdc .mple!¡r un rszonamien¡o similar.

33. (a) Dada flxl: 2x' - 3x2 + 7x - 10, calcular f(ll y Í(2\. (ó) D€mostrar Quc /(-x) = Q p¿¡¿algún número real .r tal que | < x < 2. (c) Mostrar cómo sc puede calcular el valor de ¡ en (ó).

rim r(¡) = riñ c(l(')l = ,{tt* fOl} = sll,r')l = h(xr\

tat f I tJ = 2(l l ' - l ( l ) : + 7rl) - l0 = -4. fl2J = 2(2f - 3(2)': + 7(2) - l0 - E.

tbl

(c)

Si^¡) cs coniinua en d t x t b y si I@l y flb) tienen sig¡os opueslos, hay entonces un valor de.r entred y ó tal quc /(¡) = 0 (Problcma 32).

Para aplicar este teorema bast¿ vcr que el polinomio dado cs continuo cn I 5 ¡ = 2, pues ya se havistocn(¿)quelr( l )<Oyf(2)>0.Asi ,pues."¡ ist¿unnúmcrocentreIy2talqüe/ lc)=0./(1.5) = 2(1,5)3 l{1,5}'-r 7(1.5) - l0 = 0,5. Aplicando entonces el teorema dc (ó) nuevamente s€ vcque la raiz buscada está entre I y 1,5 y quc <probabl€menleD cstá más cercá de 1,5 que de I, pues¡I,s) : 0.5tienc un valor más próximo a 0 qu€Íl): -4 (ésta no cs siampre una conclusión válida, pero es intere_sante en la práctica).

S€ roma, pues, x: 1,4. Como/(l ,4) = 2(1,4f - 3(1,4) '¡ + 7(1,4) - l0: -0,592. s€ concluye quehay una raiz entre 1,4 y 1.5 que cstá probablementc más próxiÍra de 1,5 que de 1,4.

SiBuiendo de esta mancra se halla que la raiz es 1.46 con dos decimales exactos.

34. Demostrar el Teorema 10. página 26.

Dadocualquierc>0sepuedehal larntalqueM-f lx l<cpordef in ic ió¡delextremosuper iorM.l l l

6ntonces. ¿ _ /¡.r )'..

:: > : de modo que t;:lÑ

no cs acolada y, por tanto, no pucd. ser continua según

el Teorema 4. Égina 26. Pero si sc supone queÍt) + M, cnlonccs como M - Í¡) es conlinua, por hipótes¡s.

se debe tener quc --

l- cs tambÉn continua. En vista dc esta contradicción debe s€r¡n) : M para un va-' M - l lx l

lor al menos de :r'en €l intervalo.

Análogamente se puede demoslrar que exisle un.y en cl intervalo tal qüc/(x) = rt (Problema 93).

c¡t 2l FUNCIONES, LIMITES Y CONTINUIDAD

Problem¡s propuestostt¡cK)NEs5. D¿r el domin¡o de defiriición para el cual cada una de las funciones que siguan es rcal y uniformcl

ol ¡/6- z)lZ, + l), lb) lt-21/lr'-4), tcl y'-sen a¡a (d) log¡o (r' - 3r¡ - 4r + 12).9t . (o) -2=c=3, (ó) lodo¡r=2, lc, 2ñt l3 lx=l2m+l)r lg,m=O,!1,=2,. . . ,

(d l ,>3. -2<r<2.

L si /(r) = f$, r+z,hallar: (c) Úryl(!); rü) {/(-})),; (c) !(z,-sti

l¿) ¡ \ t )+ ¡14/r) . ¿*0; (¿) ̂ T,h+0i Ul J{ l l¿ l \ .

so¡. (¿) i¿ (ó) , : o f f i , , , .0, i ,2 r,0 ! ,r , .0,:Ul .+, r * -6.2

t- 5i/(¡) =2.r '1,0<-y<2. hal lar (a) el extrcmo superior y (r) . l extrcmo inferior d. Ír).Determinar si /(-!) alcanza sus extremos. S¿/. (d) 8, lá) 0

I. Construir cl g¡ato de las funciones siguientes:

(a l l ( r ' ) = l ¡1, -3='=3

tb) l \ , ) = z-8, -z="=z

@, zh, n*o,z

z-blUl -; donde [¡l = m¡yor enrero = 5

(c) /(z) = cosh ¡

1r¡ ¡1r¡ = !9!3

(it t(E) = C=¡G+X;_3'

(i) llr) =

(c) l(r't

ldl l(rl

(e') llr)

f o, a<o= j l ' '=o[1, '>o_ | - r , -2= x á0- l

" , o=rá2

= t 's€r l / r , E *0

t. consrruir grafos pa¡a lal r2/a2 + r '1ib2 = l , (hl x ' /a'z ,r¿/h, = l ,(cl f2 =2pxy ldly= 2¡- . I , . sicndo¿- á. y' constantes dadas. Si J, - Í¡) en cada uno de estos casos, ¡,cs uniforrne /(x)?

la) A partir del grafo de rr = cos x construir el de I = cos-r .y. (r) Mostr¡r gráñcamante por qué cos-r ¡ esfunción multifome. lndicar posibles e¡ecciones dc un valor prjncip¿l de cos-t .r. (.) Mediante lo escogido en{ó)hal larcos-r( l /2)-cos-'(- l l2).¿Dep€ndeelvalordeestafuncióndcla€leccióndcvalorp. incip¡l?Explic¿r.

Hacer las parles la) y (ó) del Problema ,[0 p¡ra (a] ) = sec-r r, (ó) /: cot-¡ .(

Dado el 8.afo de _r. = Jf(r), moslrar oimo oblener el de _y = Jf{dx + á). siendo a y D constantes dad¿s. Ilustrarel procedimiento obteniendo el grafo d€(a) / - cos 3.r , {ú)y= sen (5r+ i t l3 } . k l != te f t16 -2x).

Constru¡r grafos para k¡) ] = ? t't. fb) r. = ln lxl. tc) f : .-l'l sen .r.

Mediante los valores princip¿les. piginas 22 y 23. calcular:

al.

a-

¿.3.

u-t¿) sen- ' ( - /3/2(á) rg- ' ( l ) - ¡s ¡(- l )(¿) cor- ' ( l /v6) - cor- , 1- 17.14)( / ) cosh- 'v4

Lf) sen-¡¡ + cos ¡ , r , - l = ¡ 5 |

k) s€n-'(cos2).:),0 <.\ = 'r2(/¡r ser-r (cos 2.\). nl2 S r = 3ft/2(¡) tgh (cosech-r 3.r), .r + 0(l) cos (2 tg-r x'¡)

Sot. la] - 3

lb', "t2

¿15. Calcular (¿r) cos {,¡ senh ( ln 2)1. (r) cosh ' lcolh ( ln l) i .

lcl -rl3 G) I(d) rn (1+ vt) \fl rtz

(s, rl2 - 2r ... lrl1n¡

'n-ttz

,u ffi

(i)

sot. kn - {2p. (b)tn2

1- ' .1+" '

38

Explicar por q¡¡é (¿) l¡ñ s€n _y no e¡iste, (ó) Iim

3, + lr l¡¡ /lr, = ?r=;É , c.rlcular (c)

,tim /(r), (ó)

sot. lal 2, (ó) 1/6, (c) z, (d) 1/6, (¿) no c¡isre

FUNC¡ONBS. LIMITES Y CONTINUIDAD [cAP.2

?-r scn ¡ existc.

.lim /(r), (c) lir l(r), (4.üm_ /(rl G) limot(r).

(d) Demostrar quc tg- t x + cot- I ¡ - ,¡/2 si sc co¡viene en tomar como valores princ¡palcs Ios de la Égina 22.(ó) ¿Es tambi¿n rg-' .r + re-t (t/x) = n/2? Expticar,

Si /(¡) = tg- ' ¡, demostrar qüe l(rl + llul = ,(ft_ ),

cstudi¡ndo ct c¿so ¡). - L

Demoslra¡ que tg_r ¿ - tg-¡ ¿ = cot-¡ ó - co¡-r ¿.Demostrar las identidadcs:(¿) t - fgh'1 ¡ -_s¿ch2 ¡, (á) sen 3.r = 3 scn ¡ - 4 sen! r, {c) cos 3¡ = 4 cosr .r _ 3 cos _\.(d) l8h ix = (scnh ,\/(l + cosh .t), {?, In lcosec r - cor xl = in llg l-rl.Hallar losnáxinDs y minimos ¡clarivos y ¿bso¡utos de (¿) /(.r) = (sen.y)/¡,/(O) = t; (ó) /(.t) = (senr.r)/,rr,,/(0) = l. Estudiar los casos clando /(O) no está dcfinida o /(0) está dehniáa pero es + l.

LIMITES

51. calcular los límiles siguicntes, aplic¿ndo primero la definición y lueSo los tcorcm¿s sobre limilcs:(a) l'll(¿'-3'+2). rar ,ri1,¿\, G) lF++, @, t:,:;#, (") I']i(?l-tfi,O lh"+rg. so/. (¿) 2, (ü) -+, (c) {, (d) _t, At ¡2, 6¡ ¡

( 3x-1, .<052. Sca /( ' ) =.1 0, ,=O (a) CoEs¡¡urr un grafo dcl.r).

[ 2r+ 6, r>0calcular (ó) Ii¡n /(¿), G) ,ljT.

^r),

(d) .tig t('), (c)

,rip- l(c), (, l¡a t(rt jusrificando ta respücsta

en c?o¿ caso. so/. (ü) 9, (c) _10, (d) 6, (¿) _t, (, no c¡isrc.

53. Cahuf ar C) .f - 4¿=^Ct) y (¿)

.tjT_ ¡l¿1-'-l(0-l , donde/j) cs t¿ fuÍción det prob. 52.

.s¿¿ (o) 2, (ó) 3

54 (¿) Si /(¡) = * cos l/r, calcular liq /(x) justifcando la respuesra. (ó) ¿Sigue sicndo la respucsra de (¿) la mis_ma si sc considera./(.r) : ¡2 cos l/¡, ¡ + 0, ,|.(0) = 2? Explica¡.Dcmostrar que liq tg-ttc-rl

- 0 aplicando la d€ñnició¡.

sca t(,) =;+i3+, ,,/0, t(or= *. catcurar (¿) ,rim t(,), (ü),¡im- /(,), (ct l:lt /(,), jusliñ-cando fas rcspucstas. Sol. (al t, (b) -1, (c) no eriste.ualtar (c).üT*

3, Ol .It_ 9. Itustrar tas respucstas gráficamente. sol (a) l, (ó) -l

:ií'::J1i:":':":::::T,:.::" i,:56 ¿cxis'|c riq /(¡r)? Exp'icaf

(.)ly' lff i= -., (ó),xm O-o,j = -6, k ]\3#=?.Demostra¡ que(o)

,liñ 10- = o, (¿) ,!j:-#i = o.

17.

,tt.

tD.

ó{).

61.

62.

5ó.

s7.5&L

63. si [.r] = mayor enrero S .r, calcular (r¡) ,u. {, - t'Il}, (ó)

,tim_ {.r - [rl]. sor (n) 0, (ó) I64. Si lim /(t = ,it, demosr¡ar que (d)

,tim" {f(,1), : Ar. lb, :rj¡-:/¡H _ 17.

¿Qué generalizaciones parecen vcrdaderas? ¿S" prr.O"n a..osr.irisi

.li¡no l(') = ¿ v ,li*^ ,k) = 8, dcmoslrar quc

(¿).Xm- { / ( t } - r ( ' ) ) = A-8, (b l l im ld l ( l+beGr, = oA+¿itdond€ c,ü= cons¡ar¡res.'-a

c r,2l FUNCTONES, LTMITES y CONTTNUIDAD

f. Si los limites de /(¡). g(-r) y l¡(.r) soo ,4, , y C, resDectiv¿rDeote, demostrar que:

(a) l i { /(r) + t(r) + h(r)t = A+8+C, (t) l im l(r}r(,) ¡r(r) = ABC. cc^efi iza¡

at Calcular aplicando los teoremas sobre limites:

( o- ,_t o_.¡- lk) .üT t C#;,)6, _ s)------- - a=iffi |¿Ar l l - (3t-1X2¡+3)-, ;;: (ó¡ - sX4, + 5)

. . - . I tu 2¿ \(C, l lml--- l. , -ó\ t - ¡ cJr/

,n "^ -L[ --!- - 2 \

' - ' ; : i i r -1\r+3 3t+5)

cot.uto, t i-frT-2. lsugerencia: Sea 8 + /¡ =.tr) sot. t/12

si lim t(,) = a y ll:1" c@l = B '.

o, d€mostrar directamente que,limo B=t

oado ri¡4 $ts = 1, calcular:

, - , , . - s€n3, , - , , . l -co¡¡ 6t-s€n2¡ , , . . l -2cGr+cor2,t¿, js -;- (c, ¡,r1 --- (€) lllt E;T=ña (c) I'n! -

O) l!¡=9!! (4 l¡nl (¡-s) cosec., (, lq s9!l!;-!9!!g rO !:nEll=lr!-gI¡

sol. (o) a, lbl 0, (c, rl2, (d') -11n. (e) 2t7, (l\ t(b, - a'1, (r) -1, (i) 4r'

s l*? = 1' demostrar que:

d.-r t a r- l^(") ! ' j l1_=

= ¡-o; (ó) l i ¡n= = lnü, ¿,ó>0; (c) I 'q. ls4-s9 = a"

Demostrar que lim /(r) = ¡ si. y solo si. lim t(r) = lirn t(r) = ,.. t 'd

39

altoo a.sult¡dos

Sol. 1a, -812L

(ó) 8/10

(c) 1

ldl U32

6.

t.

CI)NTII\ruIDAI)

73. Demostrar que/(x) - ¡¿ -3x +2I continua en ¡= 4.

?,t Demostrar qv..f(x): l lx es coütinua (al en x=2, (ó) en 1=¡= 3.

75. Estudiar la continüidad de las furciones siguier¡tes €n los puntos que s€ indican:

(c) ^"\

= *=it ,+2, ttz)=3; e=2

r¿r¡r"r = {i i ," ' ' l l í I l , '='S¿¿ (¿) disconrinua, (á) continua, (c) cootioua, (y') discontinua

7ó. Si [x] = mayor,entero 5.x, estudiar la continuidad d€l(¡)=¡*[¡] en el inrervalo lol l<x<2,(ó) lS¡=2.

77. Deñostmr que /(¡) = ¡3 es mntinua €n todo int€rvalo frnito.

?& Si /(r)/g(x) y g(x) sot continuas cn ¡ - ¡o, deÍ¡ostrar que /(¡) debe ser conti¡ua en ¡ - ¡o.

?9. De¡nostra¡ que /()r) - (tg- r r)lx, fl0\ = I cs continua en ¡ = O.

g). Demostrar que un polinomio es contiruo en todo iniervalo fir¡ito.

tl. Si/(¡) y gfx) soÍ polinomios, domosrrar queJf(r)k(r) es continua en cada punro ¡ = ¡o para el cual g(¡o) + 0.

(o¡ l(Q = ff; e+0, tel =oi ,=o

lbl l(rl = r-lr lt t=0

,t0 FUNCIONES. LIMITES Y COI.ITINUIDAD [cAP. 2

t2. Dar los puntos dc discontinuidad de las siguientes

l¿ l t lx l = - , ^-t t -z) \ r_4)(bl l (r \ = , 's.nl l t , ,r+O,Í(0t=0

funcioncs:

lci) ^'t

= |t =si64 ---, s='=6

(d) ,(,) = ---!--.

Sol. (e)E=2,4, (¿) hay, (¿) hay, \dl r = 7,16 lztt t t , l l t l6=2mt, m=0,1,2,--.

CONTINUIDAD UNIFORME

t3. Demostra¡ que./(¡) = jr3 es uniformemenlc continua en (r)0 < ,r < 2, (á)0 É x = 2, (c) todo intervalo finito.

t¡L Demostrar quc ¡.r) = ,r'] no es u¡¡iformcmente co¡tinua cn 0 < ¡ < @.

t5. Si a es constante, demostrar que /(,y) = l/-x'1es (¿) continua en a <,¡< co sia ¿0, (ó) uniformemente conti-nua en ¿ < ¡ < .o si ¿ > 0, (c) no es uniformemeote continua'en 0 < -x < l.

tó. Si Í.r) y g(-r) son uniform€mente continuas €n el mismo intervalo, demostrar que lal f(x) ! g(x) f lb) flx)glx)son uniform€mente continuas en el inte¡valo. Enuncier y demostrar un teorema semejante pa¡a /(¡)k()r).

PROBLEXT'AS VAnIO6

t7. Dar u¡a dernostración (c, ó)} del teorcma del Problema 3!.

It. (a) Deñostrar quc Ia ecuación tg x = ¡ tien€ una raiz real positiva €n cada uno de los intervalos r/2 < x < 3rr/2,inl2 < x < 5ft12, 5l l12 < x < 7n12. . . .(D)I lustrarelresultadoanteriorgráficamenteconstruyendolosgrafosdet=fE.Eyday=¡ysituandosuspun-tos d€ inte¡s€cción.(c) D€terminar el va¡or de la mcnor raiz positiva de tg ;r = x.

Demostrar quc la únic¿ solucióri rcal dc sen r: -r es .r = 0.

Sol. lcl 4,49 aproximadamente

(¿) Demostrar qua cos -r cosh ¡ + I = 0 liene inñnitas raices reales.(ó) Demostra¡ que para valores elcvados de .x las raices son aproxi¡nadamente las de cos -¡ = 0.

el. Demosrrar que l'¡ "'?1(i'"' = ,.

Suponiendo quc/(¡) es continuá cn x = ¡o y que,f(ro) > 0, dcmost¡ar que cxistc un inte¡valo (¡o - h, xo + h,con }| > 0, en el cual /(r) > 0. (vase Teorema 5, pá8ina 26.) [SugErencia: Mostrar qu€ pucdc haccrsc

V(x) - /o'dl < y(¡o) y lueso que /(¡) ¿ /(¡o) - Vlxl - f$ oll > V('o) > 0.1

(a) f¡emostrar cl Taorema 10, pági¡a 2ó, para el extremo inferior rn (v€s€ Problcma 34). (¿).Demostrar €l Tco-rema 9, página 2ó, y explicar su relación con el Teorcma 10.

t .q).

92,

93.

Capítulo 3

SucesionesEINICION DE SUCNSION

Una función de variable entera positiva (natural) de¡otada /(r¡) o bien a,, coo r¡ = 1, 2. 3, . . . ,

- [€,ma suce¡ión. Así, pues, una sucesión es un co¡ju¡to de números ur, u¿, u3, . en ün

adeD deñnido (€sto es, en cotespondencia con los números naturales) y construidos de acuerdoca um ley defnida. Cada número de la sucesión es un téminoi u" es el térm¡no n-ésimo. La sucesións^ fhita o infiníta segh que haya o no ur¡ nrlmero finito de términos. La sucesió¡ ur, u2, u., . . . se&ota brevemcnte por {¿"}.

qeryb& f. El conjunto de númcros 2.7, 12,11, , , . ,32 as nna sucrsión finita, el término ,ésimo vienedado po¡

' ¡ . =/(r) :2 + 5(n - l \= 5n - 3, n = 1,2, . . , ,7.

2. El conjunto d€ n{¡mero! l,ll3,l/5,1n,,.. es una sucesión infrnita de término r-ésimou, = l / (2n - l ) , t t = 1,2,3, . . .

Si no se dice otra cosa, las sucesiones de que aqüí se trata son infinitas.

IIIIÁITE DE UNA SUCFSTON

Se dice que un númerc I es el límite de una sucesión infnita ar, ¿2, rj, . . . si para todo [timcro po-sitivo e se pucde hallar un ntlmero positivo

^¡ que depende de € tal que la" - ll < e para todo entero

r > Jv. En tal

q¡eoplo

caso se esc¡ibe jiT "

: ¿

Si u, - 3 "r-

lln = 13ú + l )/r, la succsión cs 4,72, 10/3. . . . y s€ puede mosirar que lim r, = 3.

Si el límite de una sucesión existe, la sucesión se dice c¿roergente: si no, * llama diuetgmte. Unas¡cesión puede converg€r solamente hacia ur¡ limite, es d€cir, qu€ si el límite exists es ú¡ico. Véas€ Pro-blema 8.

Una mane¡a más i¡ltuitiva, pero menos rigurosa, de expresar esle concepto de limite consiste endecir que una sucesión ar, ar, a.,. . . tiene un límit€ / si los términos sucesivos vat quedando ((más ymás cerca> de /. A menudo se emplea csta manera dc ver para <<conjeturar)) el valor dcl ¡ímite, después delo cüal se aplica la deñDición para ver si la cof¡jetura es realmente correcta.

Son de observar las semejanzas y las difercncias entre limites de funciones y limites de sucesiones.Al dcfinir lim /(,t) : /, el limit€ / se alca¡za para todas las posibles manetus de tendeÍ x a in6¡ito. Al

dcfrri¡ iim f(¡l: I, el limite , ha de existir so¡amenie para una cierta manera de tender al in-

finito, o sea, por los e¡teros positivos. Hay otras posibilidades, desde luego; por ejemplo, en cic¡toscasos, puede se¡ i¡teresante considerar el límite de;f(x) al tender "r a co (o a cualquier número ro) poruna sucesión de nrlme¡os racionales.

TEORDMAS SOBRE LIMITES DE SUCESIONES

Si lim ¿" = ¿ y lim b" = 8, entonces,

1. t im la"+b,) = l imo, * ¡ imb. = á+8

2. l im (4"-ó,) = l imo. - l imó, = .4-B

4l

a SUCESIONES lcAP.3

3. ri¡n(o,.bJ = (1'a,"¡i¡1iu") = AB

_ l im ¿n

l':al = itrr; =' r ,

"=oSi A=0

I imol = l l im o,)o

Iim pn = p'{F.q

AE

b.

6.

si l imb,=8+0

Ar¿0. l im 3 no existe.

¿ = 6. ¡¡¡¡ $ puedc o no existir.

Ae, para /, : cualquier real si ,4p existe.

pa, para p : cualquier real si /r ' existe.

III

LII\4IITS INFINITOS

Se escribe lim ¿¡ : @ si para todo número positivo M se puede hallar un número positivo

lV (qu€ depende de Mltal que 4" > M para todo n > .¡V. Análogamente, se escribc 1im a, : - co si para

todo número positivo M se puede hallar un núme¡o posilivo y'Y tal que a, < - M para lodo i > M .Téngase muy en cuenia que co y - @ no son númcros y que las sucesiones no sori converge[tes. La t€r-minología quo se emplea no hace más que indicar que la sucesión diverge de algú[ modo.

SUCESIONES MONOTONAS ACOTADAS

Si u, ! M para n : 1,2,3, .. . con M constante (independiente de r), s€ dice que la sucesión {¡l"}es nayorada acotada supeñotmente y qne M es \tn mayoraete, Si !¡" Z rr¡ la sucesió\ es ñiiorada y m esvn minorantet.

Si ra g r, I M la sucesión se dice acotado,lo que se indica a menudo con la"l 5 P. Toda suce-sión convergente es acotada, pero la recíp¡oca no es necesariamente ciefa.

Si ¡¡, + r ¿ ¿. la sucesió¡ se llama monótono crecíente: si u"+ | > un *.l:lama estrictamenle creciente.Análogamcnte, si u,* ¡ I l" la suc€sión *, llaña, ,nonótono decreciente, y si lrnr r < u, es estricta-

,neñle decfecienle.

4l.r¡Dla. t. La sucasión I, I,l, 1,11, l,lll,... es acolada y monótona creciente. siendo estrictamentecrcciantc.

2. La sucrsíón l, - !, I, -1, 1,... es acotada pcro no es monótd¡¡a ni crecienle ni decreciente.3. La s¡¡ccsión - I , - I ,5, - 2, - 2,5, - 3, . . . es monótona decreciente pcro no es acotada. si

bic¡ cs mayorada.

El siguie[te teorema es fundamental y se relaciona con cl de Bolzano-Weierstrass (Capítulo l, pá-gina 5) que se demuestra en el Problema 23.

Teorco¡. Toda sucesión monótona acotada (creciente o dccreciente) tiene un límite.

EXTREMO SUPERIOR Y EXTREMO INFERIOR DE UNA SUCESION

Se dice que u¡ número I ! es exneryo supeiot de una sucesió¡ {r , } s i r"< M,n=1,2,3, . . .yexiste al menos un término mayo¡ que l{ - e para todo € > 0.

Sedicequeunnúmercñesexttemoinktordeunasucesión{u^ls iu, / rh,n:1,2,3, . . .yexisteal menos un término menor que á + c para todo € > 0.

' Ll¡mábas! cotas supcriorcs los mayoraítcs y cotas infcriorcs los minoranrcs cn la antigua Domenct¡tura. (x. de¿ t)

cat- 3l SUCESIONES 43

compárese con la dcfinición dc extremos superio¡ e inferior d€ conjuoros de núm€ros en gene¡¿lt+iñ- 5).

I.DIIIE SUPERIOR, LTMTE INFERIOR

se dice que un númeto I es limite superior (rirn sup o lim) de ra sucesión {n"} si hay inonitos térmi-E de Ia sucesión mayores quc I - € y solo un núme¡o nnito de términos mayoii,, qu.7 + ., p"." tJoc lErttvo,

sc dice que un número./ es límite üIeriot (rim i¡f o lim de Ia sucesión {,.} si hay inñnitos térmi-E de la sucesión menores queJ + c y solo un núme¡o ñnito de té¡minos menóies qud _ G, para todoe positivo.

Estos límites corresponden a ros puntos rimites mínimo y máximo dc los conjuntos dc númerosca general.

_. . Si ha-y inñnitos rérminos de {t¡"} que superan a todo nr¡mero positivo M se dcñne lim sup {n } = c¿.s¡ hay ir¡fnitos té¡minos de la sucesión menores que -M, siendb M cualqüie¡ nr¡mero postivó, se ae-toc lim inf {rJ : --.

Si "lim

l.: co, se define lirn sup {2.} : lim inf {¡"} : o.Si

,lim r" : -o, se deñne lim sup {a"} = lim inf {u"} = -co.

Si bien ¡o toda sucesión acotada es necesariamente convergente, siempre tietre un lirn sup y unlim inf ñr¡itos.

Una suc¡sión {n } converge si, y solo si, lim sup z, = lim inf ¡, es finito.

ENCAJES DE INTERVAIOs

Considérese un conjunto de intervalos [a,, ó.], n : 1,2,3,..., tsles que cada inte alo está con_rc¡ido en el prec€dente y que lim (a, - b.) = 0. Tales i¡tervalos forman lo que se llama ün €rrcaJe.

Se puede demostrar qo. Ji&o encaje de inle¡valos corresponde un nr¡mero real r¡nico, lo cualsc puede aplicar para demostrar el teorema de Bolzaro-weierstrass dcl capí¡ulo l. (problcmas 22 y 23.)

CruTERIO DE CONVERGENCIA DE CAUCHYEste c¡iterio enuncia que una sucesión {r4} converge si, y solam€nte si, para cada e > 0 s€ puedc

cncontra¡ un número lv tal que la, - r,"1 < G para cualesquiera p, q > .¡V. Este criterio tiene la vlntajade que no es preciso conocer el limite / para demostrar la converg€ncia,

SERlrs

Sea ut,uz,u3,. . . u¡a sucesión dada. La nueva sucesión Sr, S2,.Sj,. . . con

Sr = ?¿¡, S¿ = l íJ+u!, S.¡=Utuz+us, , . . , S, , = ut+L2+ur-r . . .+r¿a, , . .

siendo, pues, 5,, la n-és¡ma swna parcial, suma de los primcros ¿ té¡minos de la sucesión {a"}.La sucesión S¡, 52, ,93, ... se simboliza por

ut+u¿+ut '+. . . - - i " "

qu€ toma €l ¡ombre de sene. Si existe ,lim

S, : S, la se¡ie se di )-)ono"rr"nr", , ""su

suma; e¡ casocon¿rario se llama üocrgcnte.

Un estudio más detenido de las s€ries y otros temas relacionados co¡ las sucesiones se enc[€ntraen el CaDítulo I l.

44 SUCESIONES

Problem¡s resueltos

SUCESIONES

l. Escribir los primeros cinco términos de las sucesiones siguientes:

[CAP 3

¿ = 1000 t , :10.000 | ¡= 100.0000,?48Rr . . . 0,74988.. . 0.749cR

: i. Nótese que un posible limile solo puedc ser

. . [zn-r lt"r 1r" + z- J

,,,{t=su}' ' i ,3, ,,!,sa. fr, o, $,

79ú, Tl

u, I

2. Dada la sucesión l, 16, 81, 256, . . . para encontrar el 5." término, ¿cuál de las expresiones siguien-tes s€ debe aplicar: (¿) u, = n'. (b't un: l0n3 - 35n2 + 5on - 242

Si t¡. = r ' . colonces ¡r = l '= l , ¡¡ = 2a - 16, u.: 3a: 81, u. :4'=256,lo que concuerda con loscuatro prir¡¡eros términos dc la succsión. Dc modo que entonces el 5." término es ¡¿5 = 5' = 625.

si¡¡ .=lo ' ¡ r -35r '?+50r-24,resul tau,=1,¿r:16,ü3:81,¡ . ¡ ¡ :256.queconcuerda¡ambiéncoü los primcros cuatro términos dados; y €ntonc€s el 5.'lérmino s€ria ¡¡5: 601.

Ambas fórmulas son, pues. cor¡ectás. Esto no ignifica sirio que un número fini¡o de términos de una suce-sión ¡o deñúa univocarncnte el ,¿simo término y de hecho son posibles infinitos términos ,-ésimos difere¡les.

LIIIIITES DE UNA SUCESION

3. El lérmino r-ésimo de una suc€sión es ,. = t#. (a) Escribir los términos l.', 5.', 10, 100, 1000,

10.000 y 100.000 en fo¡ma decimal. Conjetúar el limite de esta sucesión pa¡a 't

+ co. (á) Aplicandola definición de límite comprobar si la co¡jctura en (¿) es correcta.

,.,f (-t)'-' \ "-,

! -:! 1 -1' - ' \2.a.6

. 2nJ -- 2 '2.1 '2.a.6 '2.4.6 '8 '2.4.6.8.10

f i 1 ' ' )(d)t i+t+á+ +iJ soi . t ' ++1, ++¡+t, ++*+t+161, ++l+á+16+i l

. . l (_r).-! ,¡ .-¡ I d _{ cl(', l-]U;:lt!--J

¡o¡ iT, -¡ Ei' ?j , e!

Se dc6ne ¡ ! :1.2.3.4. . ,n. Asi que l != l ,3 l = l '2 '3: 6. 5! : l '2 '1 '4 '5 = 120. etc. Sedefine asimismo 0!: l .

(a) n=l n:5 ¡=10 ¿= 1000,22222.. . 0,56000.. . 0,64444.. . 0,73827 . . .

Una buena conjelura cs que cl llmite sea 0,75000...aparente para valores suficientemente grundes de n.

(ó) Hay que mostrar que para cualquier c > 0 (por pequeño que sea ) exist€ un núnero ¡t (que depende de € )tal qu€ l¡/" - ll < e para todo n > l'.

4n+6 >

si ¡ffi <. o sea.

f , " ' i (*- ' )Tomando¡f:1(19/4.-5),sevequclr.r,- l l < e para todo z > ,ry, de modo que i im- u, = i . locual

completa la demostración.Obérves€ quc si. = 0,001 (por ejemplo). ,]V = i(1900014 - 5) : | 186.25, lo que s¡8ni6ca que todor

los términos de la sucesión posteriorcs al dc orden I 186 difieren en valor abso¡uto de : en ñenos de 0.00 | -

Enronces.l fr +i - i l = l¡-0,+ol . .

a(4' !+6) r rt9 - ; '

c.A"- rl SUCESIONES 45

a Demostrar q* Jli F=0 con c+o y p> 0 constantes.

Hay quc moslra¡ que psra ldo f > 0 hay un número ^l

t¿l quc lc/t'- 01 < e para todo rr > ¡v.

r. t r-r / t-r \ut / t) \ú,Ahora

l ; l (¡ sr r ' : i < . , o sea. r ' > : " "t(?/

ror"n¿o N=(?,) ldcpcndc.

pües. de c). se vc Cuc lc{< . para todo , > /V. lo quc dcmucstÉ quc lim kt,) - O.

5. Demostra¡que l1¡1+;# = 3Hay que mostrar qúc p¡r¿ todo. > o exisrc un númcro lv t¡lquc

|6t+*+ - !l . . r"r¡,oao, t lv.

en,on.' pf,ffi - íl = lqr* *-l-ol . . si 16 T+;Iot < ', o sc¡' si

l (?/8. - 6) o ¡>log¡c(*0/8.-5))=ü¡!(6 + 8.10") > r/ . , 9,10. > 713.-6, 10' >

lo quc demueslra la cx¡stencia de At y del linitc dicho.Obsérvcsc quc el valordeiVanter ioresrealsolamcntcsiT3a-5>0,osea,si0<r<7/ l5.Sic¿715,

t r ¿ t . tnr t lse ue cue liffiif; - fl < . nara toaor > o.

a. Explicar con precisión el signifrcado de (c) lim 3z'-t = o, (b) lim (1- 2z¿) = -€.

(a) Si pars lodo númcro positivo ¡1s€ puede hallar u¡¡ númerc positivo .¡V (que d€peode de M) ¡al quc a. > Mp¡r¿ todo n > /f. sc cscribc lg * = ..

En csrc caso, sr.-¡ > ju si (2'!-1)¡os3 > los¡4, o sce.r t f/P#* r) = ".-\ rocó /

(ó) Si para todo nf¡mcro poditivo M se puede hallar uo núñcro positivo /V {que depende de ¡tl) ¡al quc ¿, < -,t,para todo ,| > /V, s. cscribe

"ti1 ". = -".

Eri esl. caso. | - 2n < - M si 2¡t - I > M, o s.a. ¡ > rlM + ll = N.

Téngase en cuantá que cl empleo de las ¡otac¡oncs cc y -:o pa.a limites no quiere decir d€ nintt¡n m(üoque lás sucesionas dadas son convergentes. pues :c y _ ic ,o son nl¡meros. Estas noBcioncs solo indicanque las succsioncs divafgen en alguna manera.

?. Demostrar que ,lim -/

= 0 si Ixl < l.

Méúodo l.

Si,r + Ocl rcsultado cs obvio. Para.Y = O hay que demosuar quc dado un c> 0 €riste un /Ytal que l.\'l <c

pararr >./v. Como lr'l = I,tl'5 e si z lo9'6 lrl < lo9¡6.. Dividiendo por logtr lrl. quc es ncg¡tivo, rcsult¡

, t l9q'",t, - lt lo quc dcmucstra el r€sultado d¡cho.ro8¡o lxl

Método 2:

Sca |,tl = !/(l + p), con p > 0. Por la desigualdad de B.rr¡oulli lProb. 31. Cap. l)sc ticn.

lv l = lx l '=( t +pf <l i l l +np)<c par¡ lodo, > /v Asi . pues l i rn ¡ '= 0 '

TEONEMAS SOBRE LIMITES DE SUCESIONES

8. Demostrar qu€ si ,lim ¿n existe, cs úrico-

Hay quc dcmqstaar quc si lim ¡¡.: /r y lim ¡¡" = lr. es /¡ = /r.

46 SUCESIONES

Por hipó(esis, dado é > 0, existc un /V lal qu€

[cAP. 3

l¿.-¿¡l <lc para r>lr/ , l¿.- ¿' l < ¡ ' F'a'¡ 'e>IVEntonces.

l¿'-t' l = l¿¡-ü.+¡..-¡'l á l¡¡-¿'l + lr¿.-¡'l < lt+lr = '

csto cs, ld - /¡l cs mcnor que cualquier positivo e (por pequ€ño qu€ sca) y, siendo entonces cefo, se tie¡re lr = ,:.

9. Si lim a,: A y lim ó" = 8, demostrar que lim (a' + b"l: A + B'

H¡y quc dcmost¡¿¡ quc p¡¡¿ todo € > o sc pucdc.nco¡trar un]v > 0 tal qu€ lk, + ó.) - lA + Btl <.p¡ra todo ¡ > /tr. Por la d6iSuald¡d 2, pó8ioa 3, sc ¡¡cne

l (a,+ü.)-(¿+B)l = l (¿.-Á)+(ü.-a) l = lc.-ál + ló.- t l ( ' )

Por hipítesis, dado é > 0, existcn /V¡ y lv2 tales que

ld.-¡ l < l . par¿ lodo¿>Nr

lü. - al < *. Psr¿ todo ¿ > ¡V¡

Dc (r), (2) y (J) resulta

l (c.+óJ - (A+41 < *.+ 1. = ' pa¡atodo' t>¡¡

tomando para lV al mayo. dc los /V¡ y ,Vr, lo cual dcmuestra lo dicho.

lO. Demostrar que una sucesióo convergente es acotada.

Dado,lü¡ ¿. =,{ hay que da¡rost¡ar quc cxist. un número posirivo P tal que la.l < P frar¡ todo t.

Sc tienc

lc.l = lc.-i{+l{l = la.-al + lÁl

Pero, por hipótcsis, cxiste ur lV tal que lc, -,tl < é par¡ todo r, > lV, esto es,

Ic. l <.+lál pararodo ¿>¡V

Se dcduca que la"l < P para todo n si sc cligc para P cl mayor de los númer(x ¿¡,42, ..., ¿¡, e + l,{1.

ll. si "lim

b,: I + o, demostr¿r que €dste un núrmero /v tal que l4l > ilrl para todo ¿ > ¡v.

como 8= r-4+ 4, sc t icnc: ( r ) l r l Slr-41 + l4) .S. puede cnto¡ces clcgi. ./v tal que l8 - dl = l4 - ,l < llrl psra todo ,r > X, pt¡cs ,li* b.: B po¡

hipotesis.Lueso por (.,), l8l >

'lrl

+ lól o bicn l4l > ilal p¡ra rodo ¡ > lv.

12. Si l im t .=Ay::4 4:4 demostrar que l im orb, : AB.

Se l¡cn€, por cl Problema 10,

la.b.- ABI = lo.(ó.-A + a(¿.-¿)l á ld.l ló.-Bl + lallc.-¿l (r)5 Pló.- al + (lal + r)lo. - Al

Pcro como lim r. =,r y JiT 4 - 8, dado un € > 0, cs posible hallar /vr y /vr t¡les qüc

lb.-Bl<# p¡ratodo, > ,V' lo.-Ál . AF]T-U

p¿ratodo¿> ¡l '

Por t¡nlo, s.gún Ql,la"b, - A8l < *¡ + *e = . pam todo ¡ > lV, sicndo IV cl mayor de los ,Vr y 2, loque demuestra el resultado.

(r)(r)

c P. 3l sucEsroNEs

r.1 Si limo"=á y tlmü,= I *. O,demosrrar(¿) 1,.* ü"1 = ,1, (D lh ae = #(a) Hay qüe demostrar quc para todo € > O existe ¡V tal quc

t*-Él= E#+ . . ¡'3ra Iodo , > /v

47

(r)Por hipót6is, d¡do un c > O, €¡isre un /vr t¿l quc lb. _ sl < lEe para todo ,' > .lv!.Asimi$Do, como tilrl, U= B + o exite u; /v2 ü q;; l4l , *l¿j p"- to<ro ¿ > lv2 (vcasc p¡o-

btq¡a ll).Luego si lV as cl mayor de los /Vr y .iV¡ sc puadc csc¡ibir (r) como

11 l l - lb"-Bl , +B\16 -tl

= lBl IóJ ' iEl 'llti

= '

para todo "

> lv¡o que concluy€ la damostñción.

(ó) Po¡ la pañc (¿) y cl hoblcma 12 sc tiene

' '*fi = l*ft'"t) = .'1i*'l*al =

"'É = iLo cual tambiéo sc puc{c danostrar diractamcntc (vé¡sc problcma 4¡ l-

la. Calcular, mediante los teoremas sob¡e límites:

k) lr," #+#c = !:"#n = #++¡ = gl,l{#-"+} =:*i#ffi}== ]s{###%}

_ . 1+0+0 _ .( r+0).(1 +0) - .

.'st#-"+j =.'*id+ffi)

r"r rimr.6+r-_v-o = .ri¡¡rvifl_rrffi^ = Hffi7 = ,ro .'¡ glf = l\rt...,#h

:"o't l:rtffi" otJlm'rador y denominador son 3 v 0, resPectivame¡t€, c¡ límit€ ¡o eriste.

eomo j-_i > E

= Z

n puede hacer mayor quc cualquicr número positivo ^t

cliSicído

, > ./v, se pucd€ 6cribir, pucs, l:: LaTf = _

,, .'n(##) = (rnffi)'= (3)'= ÉÍo .sffffi = :yr/#!#n = g = ok) ln;+ii$ = .r11iifffi = a (com'¡rcscconer prob.s.)

SUCESIONES MONOTONAS ACOTADAS

15, Demostrar que la sucesión d )h - 1

(á) es mayorada, t"r ., .¡noo'i"."ü'::":::il: ,:; ;í J"ira).es monótona crcciente'

(d) {¡.¡ ,} es monótona crccientc si r .r ,*, } u., n: 1,2,3,,. . . Ahor¡ b¡.o.

(ü)

48 SUCESIONES

2(n+1\ -7 2n -7 2t-5 -2n-73(n-D +Z

= zn+2

sr 'ysorosr ' 3n+b ¡ tn+z

o (2?¿-5)(3n+2) = (2"-?)(3 '¿+5), 6¡¿'-11¿-10 = 6r¿' - 11r - 35, o sca, -10 = -35, quc

es cierto. Asi quc invirtiendo los pasos con ¡as desigualdades se ve quc {¡¡.} es monótona crecicnt€. y cor¡o-10 > -35. la sucesióo es cstrictamcnte cr.cientc.Escribicndo algunos términos dc la sucesión, pal¿c¿ q¡ra un mayorantc de la misma es 2 (por ejcmp¡o). parademostraresrohayquchacervcrque¿¡,52.Si(?¡-7)/(3n+2)52,entonccs2n-7gtu+4,osea, -4n < ll, lo cual ¿J ciefto. Invirtiendo los pasos se demuestra, pues, quc 2 es un mayorante.Como cstá sucesión cs monótona crccieÍlc, cl primer ténnino - I es un minor¿nte, csto cs, ¡4 > - l,n = l,2,3, .... Cualquicr Dúmero mcnor que -l cs lambién un minoranlc.Como la succsión cs hayorada y minorada! cs acotada. Asi, por cjamplo, s€ puedc cscribir l¡t,l = 2 par¿todo r.Como toda sucesión l¡onólona {creciente o d€crecientc) y acotada tianc un limilc, la succsión dada tiene

- . 2r t -7 - 2-7lnun limrte. En crccto. .tirn lfr = lg:;TZi, = ;.

La fó¡mula r@ur¡€nte ¿,+¡ : Jlu,, ur: I deñne una su@sión {ri}.(¿) Demostrar que lim ¡/i existe. (ó) Hallar este limite.

(¿) Los términos de la sucesión son r!¡ = 1, , = t/}tr-' = 3*,

EI término ¿ésir¡¡o está dado por lt. = }ttz+ttt+ +tt2matcmática (Capitulo l).

Es obvio quc u"*r > ¡¡,, lueSo la succsión es monótona crecicntc.Por el Problema 14, Capftulo l, x,5 3t = 3. esto cs, !" es Í¡ayor¿da. Luego ¡¡i es acoiada, ya que

cero es un minofante.Existe, pues, un limite ya que la sucesión es acotada y monótona crecicntc.

(r) Sea ¡ ese limite. Como lim u,*, = lim /[ se tenc x:.6iy ¡ = 3. (La otra posibilidad, r:0,

s€ excluye porqu€ ¡¡, = l.)

oüo l létodo: ]nC""'" +¡/2" - t im 3r-r/2" - a.L-.(r-r/3i = a, = 3

17. Verifcar la tabla siguie¡te:

S|Eer¡ó¡ Acot¡d¡Mooótoú¡crccrc¡¡c

Moaóton¡decrtchí.

Ex¡saeel l¡nitc

2, 1,0, 1,8, l . ,?, . . . ,2- l?¿-1)110 No No No

r , -1, 1, - r , . . , ( -1¡- , Sí No No No

,¡t,-1,1,- l ' . . . , ( - l ) ' - ' l ( '¿+1), No No si (o)

0,6,0.6ó.0.óó6, . . . , i ( l - 1/10.), s¡ si No si (*)

-1, -3, 14, -5, . . . , ( - l ) " ' r ,No No No No

/ 1\

I t . Demost¡ar que l im{ 1+: I = e.- "-" \

n/Por al teorema del bioomio. si , es entero positivo (véasr Problcma 95, Capitulo l).

{ l+.r) ' = t + n" + "(L:1) ' ' + "( ' l - t ) i ( ' t -4r ! +. , + x(n- l ) :q ' - ' t+r)r .

Haciendo ¡ = l/'?,

lcAP. l

t r = \ , /gur = g ' , " ' " , . . . .

'-' como se puede dcmoslrar por inducción

tbl

(dl

le)

16.

/ . r \ " r Í rn-D I * . . . +,{"- l ) . . ( ' ' -n+r) rü¡ = t I+- , = t f ¡ -+-

\ ¿, / n zt : r '

=, +, +*(, -*) . | " . ( , -+x -3)

. .*(-)(- i) ( '-+)

c^r- 3l SUCESIONES

Pücsto quc c¡ds término ¡ psrtir del tercero cn la última expresión cs función crecient. de ¡,, s€ siguc que la su.c6ión ¡t es ñonótona cr@iente,

Es claro tambi¿Í que

49

< r+1+;+++.. .+f i < r

por cl Problcma 14, Capitulo L

Asi, pucs, /. cs acotada y monótona c¡ecient€ y. por tanlo, ticne un limite qu€ se dcnota por e, constantccuyo valor cs e - 2,71E28.., .

/ , \ ¡- . L r l

lt Demostrar lue lim\l +; J

= e' para cualquicr manera de tgnder x -

oo (es deci¡, oo ne-

cesariamcnte por enteros positivos como en el Problerna l8).

s i n= mayor cntero=¡. cs, ,É¡s,* ' , ( t * "*r I )

= ( t -

i ) '= ( t -

i ) . .

/ r \ ' I r II r+: ) < I + I +

-- : - + ; i + . . . + -

\ r / z! 3t i !

Como

v

l*('.*.)' = .'s('.#)'/ (,.#) = ". 'e('.*)" '= . 's(,-:)1.:) = "

/ r \ .s€ s¡Eue ouc l i ¡ r ¡ ( 1+: ) =. ,

¡ - - \ s/

EXTREIIIO SUPERIO& ETTREMO IMEf,IOR; LIMITE SUPERIO& LMITE INFERIOR

20. Hallar (4) cxtremo sup€rior, (¿) crtrcmo inferior, (c) lim sup (im) y (d) lim inf (lim) para la su-cesión 2, -2, l , -1, l , -1, l ' -1, . . . .(¿) ext¡€mo supc¡ior: 2, pucs todos los téminos son mcnorcs o igualcs a 2, cn ianto que hay al mcnos u¡

término (cl p¡imero) mayor quc 2 - c psÍa todo a > 0.

(ó) extremo infcrior - -2, pu€s todos los términos son mayorc! o iguales que -2, c¡ tanto que a¡ menos untérmino (cl scgundo) es mcnor que -2 + c para todo a > 0.

(c) limsupolim= I, pues hay infinilos térmioos dc la sucesión m¡yorrs que t - aparatodo€> 0 (todoslos I dc la succsión) micntras qua solamc¡ie ur nr¡mcro 6r¡iio dc términos son mayorc! quc I + € par¿ todo€>0(. lpr ihcro).

(¿) liminfolim: - l, pues hay irfÍitos términos de la sucasión hcDores que -l + a para todo € > 0 (todoslos - I dc l¡ succsión) úicnt¡as qua solo un núme¡o 6nito dc términos son fnc¡or.s que - I - é p¡ra ¡odo. > 0 (el seSundo término).

21. Haüa¡ (¿) cl cxtrcmo superior, (ó) cl extremo inferior, (c) el lim sup (liñ¡ y (d) cl lim inf (lim) delas sucesiones dcl Problema 17.

Los rlsult¡dos sc v€ri cn l¡ t¡bl¡ siguic¡rta:

Süc.dónExiremosupcrior

E¡tramoinfcrior

lim supo liñ

lim info liú

2, r,s, 1,a, \7, ..., 2 - ln- rl l10 2 $n

l , -1, 1, -1, . . . , ( -1) . -" I - l I

+, -*, l' -*, . ..' (-lr-'/(n+1)' I - ¡ 0 0

0.6 0,6ó.0,66ó, . . ., l(r - 1/lo'), t t t-1, +2, -3, +{, -6, ..., (-r). ' l , s¡n 3n

50 SUCESIONES lcAP.3

ENCAJES DE INTERVALOS

22. Demostrar que un conjunto de intervalos encajados [¿" ó'], n = l'2,1," , determina un nú-

mero real.

Por definiciór de encaje de intcrvalos' ao*r Z a- h,-t = b,. n = 1,2.3. y l im (c, - ó"): 0'

Luego ar = a,S b,= bt y las sucesiones {a,} y {ó'} son acotadas y monótonas crecienle y decrecienle'

respectivamente, y. por tanto. convergen hacia ¿ y áPara d€mostrar que ¿ : ó obs¿rves€ que

D-¿ = (ó-¿,) + (ó"-d ' ) + (a ' -o)

ló-ol = Ló-ó"1 + ló ' -o ' i + lc"-al

Como dado cualquier é > 0, €xiste un ¡{ tál qu€ para lodo ¡¡ > ¡{

(r)(r)

( r ) 'ló-b" l < ¿/3, l¿,-a" l <. /3, lo"-al <. /3

dc ñodo que por (2), ló-al < e. Cono e es cualquicr número positivo ticne que ser ó - o = 0, o *z, a : b'

23. Demostrar el teorema d€ Bolzano-Weierstrass (página 5).

Supóngase que el conjunto acolado dado está contenido en el intervalo ñnito [¿, b]. Dividase este inler'valo en dos intervalos iguales. Entonccs, al menos uno de estos. llámescle [¿r, rr] conlienc infinitos puntos de¡conjunto. Dividicndo [¿r, b¡] en dos intervalos iguales se obtienc olro irtervalo. llámese¡e [o¡, ó2]. que conticncinñnilos puntos del co;juntol Conrinuando este proceso, se obtiene un conjunto de intervalos encajados [o". á'].¡ = 1.2,3, . . . , y ta les que

ú-q = lb - o l /2, b,-a, = \ü- a ' )12 = lb - a)12' , . . . , ü"-o" = lh - d ' l /2 '

dc lo que se d€duce que l im h" - a, l :o.

A este encajc de intervalos. por el Problema 22.le corresponde un númcro real único que reprcs€nla un puntoIimite y esto demuestra el teorema.

CRITERIO DE CONVERGENCIA DE CAUCHY

,2¿. Demostrar el criterio de convergencia de Cauchy enunciado en la página 43.

N€ct3 ¡d. Supóngase que la sucesión {r,l converge hacia /. Ertonccs. dado un c > 0, se puede hallarun N tal que

lu"- l l<É2 para todo 2 > N y luq- l l<el2 pa? todo 4> ¡ f

Luego, para p > /V y 4 > N se trene

1,,' - ,"1= lt"" - t) + tt - u4tl = l¡¡, - ¿l + lt - u; < cl2 +.t2 =.

Suffciencir, Supóngase que lr"-r" l < c para cualesquiera p.4 > /Vy todo.>0. Entonces. todos losnúmeros rrv. 4r* r. . . . esrán en un intervalo finito. es decir. el conjunto es inñnito y acotado. Luego por el teore-ma de Eolz¿rno-Weierstrass existe al rnenos ur punto limite a del conjunlo,

Si ¿ es e¡ único punro limitc queda demostrado el crilerio y jlT 4 : .

SuÉngas€ que hay dos puntos limites disl¡ntos. a y á. y quer <, (Fie. l-l). Por definición. de punto limite se tiene

u, * al < lh - a)13 par^ in6nitos valores | (1)

luq - bl < lh - alll pa? infinitos valores q (2)

Entonc€s. como b - a : lb - u4l + lu4 - up) +{xr-a).s€ t iene

--¡-' I

Fis.l-llb-al=h-u=lb ,"1 + ju, u" l+lu" al {J)

U¡i l izando{/)y(2)en(J).sevcquela,-u" l>\h-al iSpar^ inf in¡ tos valores de p y t . lo que contra-drce fa hipótesis de que ur-url<e paraf.q> Ny para todo € > 0. Luego hay solamente un punto l ímitey el teorema queda demostrado.

cP.3l

SEruES¡Zt Demostra. que la s€rie (llamada Jcrr? Eeométricel

d+ar + a* + " = !cr"-r

SUCESIONES 5l

(a) converge hacia a/(l - ¡) si lrl < l, (ó) dircrge siS. = 6+rr+at '+

rS" = d.r+att+

l ¡ l > t -

. . .+a.r ' - t+¿f

Sc¡

Entorccs.

Rartando.

o s¡:¡. que ^ o(1 - r')

(c) S¡ lrl <r,.lim S. = .tnq=P

= ¡{; oorcl Problcña 7

(ü) S¡ lrl >1,.lim S. no c¡istc (véasc Problema,l4t.

2ó Demostrar que si una seric éonv€rge, su té¡mino raésimo tierdc a cero nccesariamente,

Coño S.=| . ¡+¡¿r+.. .1¡ , , S.-¡ = ¿¡+r.r+. . .+r . . - r sc l rcne & = S.-S.- , .Si l¿ serie convergc h¡ci¿ S, entoncts

l im¡¿. = l l r ¡ (S"-S.- , = l im8.-

27. Demostrar que la s€r ie 1-1+l- l+ l - l+. . . =

M¿'¡odo I ¡

.!il(- lf + 0 r¡o cxislc cfcctiv¡mentc. Entonces, por el P]oblcm¡ 26, la seric no puede convcrger, o sc¡.

quc cs divcrge¡te.

Mtlodo 2:

l ¡ . r ¡ccsión de sumas pqrcialcs ct l , l - l , l - l+1, I - I+|- l , . . .csdec¡r , 1,0. 1,0. t ,0, 1, . . . .Como csta sucesión carec! da llmita, la serie cs dive¡gente.

PNOBLEMAS VARIOS

2t. Si limz" = l, demosrrur quc limur+u2+-"' +ur - l.n

Scu n. = ¿. a ¡. Hay quc d.mo6rr¡r quc .t* "i"*.::4 = o s¡ ]g ".

= o. S. ricr¡c

ast qucl ' '+r '+. .+i , .1 - fu+ú'+. .+ur l lor*¡ l + lü '*¡ l +. . .+ lüJl - - - - - - - i - In-n-

Como li¡¡ r,. = 0, se pucdc elegi, P de modo que lr.l < ./2 pa¡a n > P. Luego

l r ' . ,1 + l¿ ' - ' l +. . . + loJ . ¿12+¿12+.. .+¿12 _ (r- Pr, tzt t

Yu cleg¡do P sc puede cl.g¡r /V, dc modo que psra '|

> IV > e

a;

lo ' + r ' + . . .+ rd <

E¡nonces, llev¿ndo (2) y (J) ¡ (r) resulta

(1- r)s. = o

I f in S.-¡ = S-S = 0

t (-1)"-' diverse.

(r)

(r)

lo¡ +r,¡+_.. ' + i , "1 . ;* ; =. par¿,c>N

lo quc demuestm cl rcsult¿do.

t4

x.

srcEsroNEs [cAP. ]

Hallar el menor nrlmcro natural ,V tal quc l(3x +2rlb- ll - 31 < e para todo n > lV si (a) € = O,Ot,(ó) c = 0,001, (c) e = 0,0001. S¿,r. (.,) 502, (ó) sm2, (c) 50.002

Mediante fa definición d€ limite, demostrar que lim (2r¡ - llll3n + 4) no puede ser !.

Dcmostrar que no existe ,lim

(-lfr.

Dcmostrar qüe si lim l,,l = 0. lim ¡, = 0. ¿Es c¡ert¡r la reciproca?

Si fim n" = /, demostrar (¿) lim cr" - c/, donde ces una constante, lbl ím n]: /', (c) lim { = loconpna-

ruraf. (d) fim .vF - J t, t ¿ O.

Dar u¡a demostración directa dc que li¡í alb^- AIB si lim u,= A y lim b"= B*0,

D€mosrrar que (d.) lim 3'/' = 1, (ó) lim (l)"" = 1, (c) tim (*)" = 0.

Si ¡> l, d€mostrar que lim ¡'= co, explicando con precisión el significado de esle enünciado.

Si lrl > I, demostrar que no existe lim ¡i.

Calcnlar los limites siguientcs mediante los teorcmas aprop¡ados.

(s) li¡n (y'¿'+a - t)

0D rim (2' + 3'),^

demostrar que iim ú, existe y está entre 0 y l.

, , .= i ( !+J5.

37.

3t.

39.

,10.

41.

&.

43.

4.

,ltt.

(a) rim 1:4:-9d . . . . \Er1-5, ,+4tc, fiÍt ---ñ=.7-

¿. 10" - 3.10"1a) rrm

¡;-15;=-¡:l-l!rr:i

sot. (4 -a12, lbl -r12, (c,',,/a12, (dl -16' le, W, A 3

SUCESIONES MONOTONAS ACOTADAS

{6. Demostra¡ que la sucesión dc término ,-ésimo u" - ,Jan n + | ) {d} es monórona decreciente, (¿) es mjnorada,(¿) es mayorada, (d) tie¡e un límii€.

l l r lSi r¡ . =.- ; -+:--+r:-+. +-- l+r z+n 3+n ¡+n

Si ¡¡,.¡ = Vt= l, ¡rr = t, demostrar que l¡m

47.

,tE

49. Si a,* t : t(ü^ + p/u,) con p > 0 i r¿¡ > 0, demos(rar que

Moslrar cómo se puedc aplicrr csto para delerminar /t.

50. Si ¡r" es monótona creciente (o moñótona decreciente) demostrar que S/, con S" : ut + u2 +...+ ¡¡,, tambiénes monótona crecient€ (o monótona dccreciente).

EXTnEMO SUPERIOR, EXT¡EMO INFERIORi LIMITE SUPERIOR, I¡MITE NTERIOR

51, Averiguar el exlremo supeÍior. el exlremo inferior, el lim sup (Ím), el I'm inf (lirn) de las sucesiones:

l im 4: Ji.

(¿) -1, ' , - t ,1, . . . , ( -1) . / (2 ' - 1) , . . .(ó) t, -¡, f, -8, ..., (-l)"+'(¿ + 1)/(¿ + 2), .. i

's¿/ . (o) +,-1,0,0 (¿) 1,-1,1,-r (c) s in. s in.+a,-o (d) s in,1,+o,1

52. Dcmostrar que una succsión acotada {¡¡.) es convergcnte si, y solo si, lim r¡. = lim ¡r".

(ó) rim i/(s - y';xv; + 2)

c{r. rl

glEs

3 Hál¡ar la suma d€ la serie 3tt), St)t. 2.?, ' l¡ '

3. Catcutár .i f-rl.-yu.. so¿ *

Its Dcmosrrar oue =1= * -r- * -L | 'r .z 'z. t 'a.4+¡:5. =

. i " -Tr j = r . [Sue.:ar+_r= l__*r1l¡. Drcmoslrar que a¡ multiplicar cada término de una serie por una constante oo nu¡a no s€ attera su converger¡cia

o divergencia.

t - D.mostrar que la s€r ie t+|+ j +. . . +1+.. ,d i" . rg". [Sugercncia: Sea s, = 1+]+]+ . +1.Demuéstrese luego que lSr" - S"l > i, en contradicción con al crherio de convergencia de Cauchy.]

TX)BLEMAS VARIOS

Sl Si.¡" S u,4b,para todo r ' >,¡v, y j iT 4 = )\U= L demost¡ar que j1T

" = r

9. Si lim a, : jiT 4 = 0 y 0 es independienre de ¡, d€mostrár quc lim (a, cos ¡d + á" sen ,0) : O. ¿Es cierto esrosi ú depende de ,¡?

o. sea ¡ . / " : t { l + (- l f } , n:1,2,3, . . . . s i s"=¡¿r +tr2 * . . . - f uodcmostrar que. l iñ sJr=}.

af. Dcmostrar que (a) lim zrh : l, (á) JIT la + nY, = I con ¿ y p coísrantcs.

ó¿ Si fim lr,,,lr"l - l'l < I, demostrar que tim '¡.

= 0.

á1 Si lal < l, demostrar que jirn rr¿¡: O, con / cor$tantc y mayor quc O.

,DIa{ Demostrar que l im :] :0.

16. Dcmostrar q* t¡rn ,1"n lr, - l.

.6. Si {¡/"} es la sucesión d€ Fibonacci {p¡obtcr¡a 34), dcmosr¡ar que }t2 +,r/+ = lf + ¡¡.

ó7. Demostrar que la sucesión r¡. : (l + Vnf+ | , n = I , 2, 3, . . . cs monótona decreciente con limite ¿. [Sugercn-cia: Mostrar que üJr"_ 1 S 1.]

Si ¿" ¿ ó" pará todo , > ¡t y ltm "^

= ,1,

si la,l ¡! lo,l y ji1 4 : o. demostrar que

SUCESIONES

á, = ,, demostrar que ,,1 ¿ ,.

55

lrm

lim

ót

69,

73.

70. Dcñosrrar *" . tg*( +l+ |+. . . * i ) = "

= *(3 + v-15)

ó(o + y'a-+ {)

Demostrar quc [a", ó"], siendo a" - (t + tlnf y b. = (l + l/¡r+r, cs un cncajc de inrervaros que deñ¡e cl nri-

Damost¡ar que toda succsión monótora acotada (creci€ntc o decrccicntc) ticDc un limitc.

Veriñcar los valores de las siguientes fracciotes continuas:

t " ra+f$+f. . .

(ü) o + I -L - l - . . . =

tcro+fr4*! .

, . , r l l l\u ' Fl_l_2=.. .

56

74. Exprcsar (o) 1141251, (b) ./3, @ \G,

s,i. ( ')+rr+r++r**;

tot+r, , f f f

SUCESIONES

y (d) 3,14f59 como fr¿cción continua.

atz+ru¡tr++, , .^ l I I I I Ira, J +

?+ tst l i z¡¡ l+ i

[cAP. J

[Sugcrencia: En (á) s¡imesc y réstesc el nayor entero meno. quc \/f (o s€á, l) para obtener

y'd=r+(y '5-1)=1+---- ' r / \ \ /8. r) ' t lE - t ¡ tz

LueSo súmese y reslese cl mayor entero contenido en tJ5 + tyz (o s€a, l) para ooaerier

6/5+ttz = 1+ ( l l -1112 = t * - - l -

= t+ I' 2/({i- r) - V5+ 1

Lucgo súmese y réstese el m¿yor cntero contenido en ,,4 + t (o sea. 2) para obtener

V5+r = 2 + (V5- l ) = 2 + --+- = z+-=:-r/(v3 - r) N3 + 1\t2

dcspués de lo cual se presenta la Épctición.]

i t75, Dada la fracción continua d¡ + ;; ;; *+ ' , ¿" ) 0, cuyo ¡-ésimo cociente incompleto cs pJg", dcmos-

trar c ilustrar con ejemplos los siguientes enunciados:

(d) P. = o,P.-, + P,-t , Q. = o,Q.-¡ - | Q.-r(t) P,Q.-, - P.-,8. = (-1) '- '(a) Los cocientes complctos sucesivos son altemativamentc ri¡cnorcs y mayorcs qu€ la fracción con¡ioua,(d) Los cocicntes ¡ocompletos dc order iñpár son mmores que la fracción, pero son cr€cicntes; los cocientes

incompletos de orde[ par son ñayones que l¿ fracción, Fro so¡¡ decrecientes.(e) La fracción continu¡ siemprc converge.

76. (a) Dcmostrar q\re si PJQ,y P"ar/C,+r son dos cocientes incomplctos sucesivos de la fracción continua del

Problcm¿ ?5..n,on"* lH

- &l

= ,"*,- : j, .tlt uat". ct primer cocienre incompleto de.,/5 con

dos cifras decimales exactas. Sot. lbl 26/15.

sca {r,} uDa sucesión ral que r,*t - au.*t + bu. c/!.r, a y b constantcs, lo qu€ se llama €cuación dc difcrenciasde segundo oaden par¿ 4. (¿) Suponicndo que uDa solución lienc la forma r, = r' con r constanlc, dcmostrarquc r dcbc salisfacer la ecr'J,ació¡ ? - a¡ - ó = 0. {ó) Utilizar (a) psr¡ mostrar que una solución de la ccuación dedifcrcncias (una solución g€neral)cs u, = A¡1 + 8t"2con A y I co¡stantes arbitrarias y donde ¡ ! y /? son las dos so-fuciones de ¡2 - ar - b = O, supuestas dife¡entes. {c) En caso de que ft = ¡2 en (á) mostra¡ que una solucióngencral es u, = lA + Bn),"r.

Rcsolver las siguientes ecuacioncs dc difcrencias sujet¿s a las condiciones dadas: (¿) ¡r"+2 = !r,+¡ + xi, ¡/r = I,¡2 - I (compar¿r con el Prob.34); (r) r")r = 2u,+t + 3u",ut = 3,u2= 5,(cJu^+2= 4u,+t - 4u^,ut = 2,uz = 8.So¿ (a) Como en el Prob.34,(b)u":2(3f-¡+(- l f - ¡ QJ u,- ¡ .2 '

79. (¿) Dcmostrar que el nésimo cocicnt€ incompleto de la fracción continua I +

r f (1+ V-5)'.' - o-\/-o'-'l, t (1 + V-8," - (r - V-6). J

[Sugcrencia: Aplicar Prob..34]

(ó) Tomando limites para n -

ú en lal hallar el valor de ¡a fracción continua.

t0. Hac€r los Probl€mas 73(¿l(d) averiguando primero e¡ ¡|+simo cocicntc incompleto

n.

11:. :_i cs

Capítulo 4

DerivadasDFINICXON DE DEnIV¡DA

Sea /(¡) dcñnida en un frutrto xo de (a, b). Se deñne la dcrivada de /(x) en .r : jro como

rp¡ = ml@J$:Jkts¡ eriste dicho Ilmite.

También s€ puede deñnir la derivada de ot¡as maneras equivalcntes, como

l'(co) = ¡¡¡ Í(4- [n\ = l im l(¡o+al) - l(ro) e,

Se dice quc una fu¡ción es diferenciable en u¡ punto ¡ = ¡o si tiene derivada e¡ ese punto, esto6' si existe/'(ro). si/(¡) es diferenciable en ¡ = ¡o debe ser continua cn €s€ punto, pero li reclprocano es necesariamente cicrta (P¡oblemas 3 y 4).

DEnIVADAS A LA DERE|CIIA Y A I.A IZQUIERDASe deñne la de¡ioada a Ia detecla de /(x) en .¡ = ¡o como

fi@o) = ,rjT_

@, @

si este límite exislc. Nótese que en este caso á(:&) solo toma valores positivos al tender a c€ro.Análogamcnte, la deriuada a la izquiedo de /(¡) en -r = ¡o es

f:(6"t = "\p

lqqtf)-- i(")

si este llmite existe. En est€ caso ¿ toma solo valores negativos al tender a cero.Una función /(r) tiene derivada en ¡: ¡o si, y solo si, /i (fo) = ¿(¡o).

DI¡TNENCIABTITDAD EN TJN INIERVALO

Si u¡a funció¡ ticne derivada en todo punto de un intervalo, se dice diferenciahle en el intenúlo,En cspecial, si /(x) sc defrne en el intervalo cenado a = ¡ S D. o s€a, [¿, ó], eÍtoÍces/(-r) es dife¡en-ciable en el intcrvafo si, y solo ri, /'(xo) existe para iodo xo tal qw a < io <-b y si f',1a¡-y f'_(b¡ existen.

Si una función fiene derivada cootinua se dice que es continüqmente diferenciable.

FI,JNCIONES CASIDIÍTRENCIALFS

Se dice que una función es casídiferenciable, dderenciable o r¡o:os o bien lisa a to.os, si en un in-tervalo ¿ S ,y S á es/'(r) casiconti¡ua. En la páEina 26 sc da un ejemplo de ¡.¡na función casidiferen-ciable por su grafo.

(r)

(r)

( t )

58 DERIVADAS

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERWADA

[cAP. 4

Sca €l grafo de / : Jf(,t) repres€otado po r la cu¡rva APQB de la Fig' ¡Ll ' El cocieote de diferencias

QR f@o+ ¡r\ - Í(xol - ,- "FE=----ñ-. ' ' .

6l^ p.ndiente de la ¡ecta secanrc qtte pasa por los puntos P I I de la curva' Al tendcr Ax "' 0'

"s" óa"nt. tiendc a volversr la ¡ecú tangente Ps a la curva en el punto P Lueg

, ,* lg.++*: l (gd=#=tsa (6)¿t-0

es la pcndients de la tangente a la curva en el pünto P.

(5)

La ecuación de la recta tangentc a la curva ), = Jr(¡) cn cl punto de ¡ = ¡o con pendiente/'(xo) cs

u - Í@ol = f(rol(t-rol (7)

En la Fig. 4-2 s€ ve quc una función pucde ser continua en un punto y, sin embargo, no ser di-fe¡cnciable en é1. En estc caso, h¿y dos ¡ectas tangentes cn P r€pres€ntadas por P¡tl y PiV. Las pcndien-tés dc cstas tanScntes soo /:(¡o\ y Í'*(xol, respoctivamente, que aquí son dislintas.

DIENENCIAI,FI¡

Sea At = d-r un incrcmento dado a ¡. Entonces,

6y = f(x + a,al - l(x) (8)

e llama inúcmcnto de -l' = f-r). Si/(¡) es continua y tiene primera derivada continua en un i¡tcrvalo'

Fl& {.,

J! = Í ' ( r lÁ. , +.ar = f ' (x ld, +.da (e)

c^t- {l DERIVADAS

{ú ( + 0 cuando Ax -

0. La exp¡esión

.lu = l'(r\ dr

59

(ro)

- lbma diferencial de y o de f(xl o pate pr¡hcil¿, de Ay. Nótcse que A¡ f dy en gcneral , Pero si A¡ = d¡

.¡ Fquño, entonc€s dy €s aproximadamente A/ (Problema I I ). dx llamado dderencial de x, y dy ÍoE Dco que s€r pequcños nccesi¡fiamente.

En vista de ¡as defrnicioDes (8) y (l0l s€ suele escribir

ila -. f(E + ^r\

_ lbl .. r 4g ft^t = t ' t t = j lT"-

^i-- = .Tloor

T.lgas€ presente que dx y dy no son los límites de Lx y Ay al tender ^¡

"' 0, pues cstos limites soo<!fo en tanto q\te dx y dy no son ¡¡ecesariamente cero. d¡ s€ detcmina a partir dc d¡ por (/0), or. que d¡ es una variablc dependient€ de dx para un .r dado.

Geomét¡icamente, d/ se representa en la Fig.4-l para el valor particular ¡ = ¡o, fror el s€gm€nto5X. en tanto que Ay se repres€nta po¡ C¡.

IEGLAS DE DENWACION

Si f,g y h son funciones difercnciables,

t . #u@+s(¡)) = $ret * f tovtz. fivot- s(¡)) = fin t - ftoet

i l'(rl + s'(e)

= f'(x) - s'(t)

t . f trcn lta. $ú{ootül

o.

6.

it Ít@))ai\i6lSi u = l(u)

Asimismo. si

s(a) Í'(x\ - f(r) s'(rl----Tc('-n- si g(r) * 0

(12)

(r3)

= c ftf el -- c f'{xl siendo c una const¡nrc

= y@\ftsg\ + s@l*Í$\ = /(c)s,(¡) + s(r\f,(r\

s@\*r'fujt - Í@t*c@)-----]d;n'- -

con r¿ = g(¡), esdtt du du - . - dt tAÉ = ñ. 6 - t ' tut¿ = Í ' ts(rrts'(r l

U = f@) con u = g(Nt\ y ?, = ,¿(o), esily dy du dvd¡ - d¡r d¿' d¡

Los resultados (l2l y (13) süelen llamarse reglas de derioación en cadena de las funcio-nes compuestas.

7. Si s = Í(r), es ¡ = l-'(y); ! tlyltlx y díldu son lales que

H=#@g, Si c=f(¿) y s=g(¿), set iene

tlu - cluld't fA\

ñ=1Ére=v( i tSe pueden fomular reglas parecidas para los diferenciales. Por ejemplo,

dlf(rl + g(xl\ -- d Í(rl + ds@\ = Í'(r\ d't + g'@\ ib = \l'(t)+ s'(e))d'

¡t(f(a\ s(xr) : f(") its(rl + s(tl d'Í(r\ = \f(rl s'(rl + s(rl f(t\)d,

(11)

(rr)

60 DERIVADAS lcAP. 4

DERWADAS DE LAS FTJNCIONES ELEMENTALFS

En lo que sigue se supone que r,r es üna función diferenciable de .r; si I : x, dtldx : 1. Las fun-ciooes ¡ecíprocas s€ defnen de acuerdo co¡ los valores principales dados en el Capítu¡o 2.

L. *G)

z. 9u"dE

=0

= nu"-'4ar

$.or.. , = - cosec r¿ cot ?l #

du= cosude

dt¿= - sen ¿{ ti¡

-duAT

.. d¿= _cosec. ¡¿ Ai

cl tt= S€C lú lE t t -

- ¿t.t

= Y# a>o,a+l

d. |du= ' - ln 2¿ = --aE 7¿ At

c" lno .-alx

dudt

I d?¿

1/1- 1az ttlc

__ I d¿

1/t=fi dt

_ldu- T+diAi

'1 1

16. d: cot- '¿¿ = -,- in3"

t?. 9sec-,¡r = - | 4ar ut/uz -j dr

18. 9cosec-,¡¡ = = 1 d!sr ulu2=7 dr

ddxrY. .!-- Senn ?¿ = cogh ?¿

-o¡ d.¡

20. f ; coshr = ."nhr¿#

Zt. !, en u = sech2 u #

22, ! cot t , u =-cosechr i r9qr af

23. O4 sech u = - sectr l tgh ¿¿ #

24. oq cosech z = -cosechücothu $|

25. {senh , , = -}-+(J \/l + uz ttz

I d¡¿

\/ ¿L! - I ar

I du t , t¿l) , -u 'dr

I du -r

\ r1_ 42 di ' r " t - '

r du- "v1--

rÑldu

xv¡r : + I u¡

d'r- Sen ?¿

j:: COS ?¿

f + si ?.>1] - s i u<-1

J - si ¿¿>1I + si . r¿<-1

u.*,ru

6.It

A; cotu

d'r- SeC l¿af

10.

l l

q d.il tog"u

d,dE Los'u

ddr

?e" =at

13. i - sen -rzat

14. i cos- '¿

¿lD.

- tP - 'z

26. 9cosh- '¿ =(t:ti

zl. ! re¡-,t¿ =

i28. +coth- ' ¡¿ =

atÍ

¿29. i:- sech-'r¿ =

ax

30. i-cosech -¡ ¡r :dT

DERTVADAS SUPERIOTES

Si/(r) es difereDciable en u¡ intervalo, su d€rivada/'(¡), ),' o dy/dx con y = /(r), puede ser tam-

bién diferenciable en el intcrvalo y su derivada se dcnota por f"(x), y" o ,"" h(#)

= 3*

De iguaf modo, si existe la ¡-ésima derivada de./(x), se la denota /")(r), /'' o bien fr,llamándose

¿

o¡de¡ de la derivada. Así, pues, las derivadas de primero, segundo, terce¡, . . , orden son /'(x), /"(.x),f" '(r\, . . ..

El cálcülo de las derivadas superiores no es más que la aplicación reiterada de las reglas de deri-vación dadas antes.

cP.4l DERIVADAS 6t

IBOREMAS DEL VATÍ)R MEDIO

l. Teore¡r¡ de Rofte. Siflx) es continua €n [a, ó] y difcrenciablc en)a, bly sif(a)=f(b)=0,exisre un punto ( de fa, bl tal que /,({) = 0.

2. Teoreo¡ dcl vdor Dedlo. Si /(x) es continua en [a, ó] y dife¡enciablc en ]a, ó[ cxiste unpunto ( de ]a, á[ ral quc

f(b)- t@t = f.(tl @<1<ü (rd)

El teorema de Rolle €s un caso espccial de éste para /(a) = -f(b',

= O.El teorema_(1ó) s€ puede escribir dc vari8s maneras distintas: por cjemplo, si.r y x6 per-

tcnecen a ]a, á[,

f(u) = f(ro\ + f,Gr@ - 2:ol ¡ cnrre ¡o y r (17)

También se puede escribir (1ó) con ó = a + ¿, cn cuyo c¡so ( = o + 0á, con 0 < 0 < l.

3. Teorco¡ dd vdor_medl0 geúe¡rlLdo (C diy).- Si /(x) y g(r) son continuas cn [a ó] ydife¡rnciables en ]o, ó[, cxiste un punto { dc ]a, á[ tal que

f(b\ - f(aln(q=v6 =

suponiendo g(a) + g(b't y f @1, g'(xl \o nul¿s ambas. Nótc¡c quc para cl c.so cspcciat g(¡) = ¡resulta (ró).

,L Teorcu¡ * T.ylg!. Si f)(x) es continua cn [a, ó] y difcrcnciablc cn la, ó[, existc unpunto e de la, á[ tal quc

Í(bl = Í(a') + /'(r¿)(ü-a) -':9#g

* * l(")(c)-f? - ¿)" * *, (teldondc &, llamado resro, puede escribirse:

a <{<ü (90)

q <t <l) (21)

Veans€ P¡oblcmas 26, 8l-84. En ambas formas los valores dc { so¡ en general diferentcr.

El ¡esultado (r9) sc pued€ cscribir de v¡¡i8s otr¡s ma¡eras. Por €jemplo, si ¡ y xo pcrteneccn I ]a, ó[,con la fofma de Iágrang€ dél ¡€sto & s€ ticnc para 6 cntre ¡o y x,

que es ef polinomio de ?aylor con rcsto para f(x\ y siwe para aproximar la función /(x) mcdiante u¡¡polinomio, siendo .R. el término quc da el error de Ia aproximacün,

Si ,üm

R" = 0 cn (/9) se obtiene una s€rie que se llama serie de Taylor de f(¡) en torno a x = .ro.Si xo = 0 la s€ri€ se llama de Maclau¡in.Tales series, llamadas dc potencias, co¡yergeri eo gcnsral paratodos los valores de ¡ dc un cie o intervalo, llamado ¡nterualo de com)ergencia, y divergcn para todooro valor de x exterior a €ste int€rvalo (véas€ Capltulo l l para mayores detalles).

Cuarido se hablc d€l teorema dc Taylor, se suponc que cl rcsto tiene la forma de Lagrangc si oos€ dice otra cosa.

o<é<¿, ( t8)

Reito de hgr ge:

Rcsto dc C¡üchy¡

D _ /rn + r , ( ¡ ) (ó _ a)n+ '

"" - ( r+l) t

| ' _ l, '- ',(É) (t, - ¡)'(ü - a)?¡!

c'(t)

62 DERTVADAS

DFSAf,ROLLOS DE TAYLOR

Hc aqui alSunos desarrollos ¡mportantes. El rcsto(20) o (21l.

l .

CAP. 4

R, puede obtenerse en cada caso mediante

¿'= l+:1:+ #.* o"2t 3l

34

¡" ¡ . . x l (_ l ) i - r ¡ r ' - r Dsr 'n ¡ = ¡-g! *Fl-7t+. . + (Z; : ITT- + ¡ t .

cosc =, -#. . f r -#* + Cl l i$ i + n". . . *

(* l ) ' - t r " +R.

n

rg-, r = ' - f * t -+. . . . +tr f f i - + n"R":0 para todo.r ' En n,J1| : n" = 0 para - l < r S l . En 5, J im Rn:0 para

el CaDítulo ll sc estudia con más det¿lle estos desarrollos.

RDGLAS DE L'IIOPITAL

si l im /(.r) =Ay lim g(x)= By ambos.'{ y rsor nulos o amt¡os son infinitos, se dicc que

¡ir /Í"1 e, una forma i,tdetcnn¡nada del tipo 0/0 o bien colo, respectivamente, si bien tal termino-,-," g(xllogia es inadecuada, pues en general no hay ninguna i¡¡deteminación. Los siguientes teore¡nas, llama-dos ¡"8'r¿J de L' Hópital, pemiten calcular talcs límites.

t. Si/(¡) y g(.r) son diferenciables en el intervalo ]a, ó[, excepto er un punto xo de este interva-lo pos¡blcmenle. y si g'(.r) * 0 para ,x + ¡o, entonces

u. /f'l = ri. /if'2,- , , glrt !- io g (.r l

siempre que pueda hallarse el segundo limite. En caso de que/'(x) y g'(¡) satisfagan las mis-mas condiciones que /(¡) y g(¡) el proceso se puede reiterar.

2. Si lim" l.y) : -

y ,liT" 8(¡) = co, vale también (23).

Esto se pucde generalizar a los casos en que ¡ --, @ o x + - co y a los en que xo : a o xo : bcuando solo hay l imites unilaterales talcs como paÍa r+a+o ¡+á-.

También se pueden calcular límites de las formas ¡¡d¿tetminadas 0' co, coo, 0o, l' e a - co sus-tituyéndolos por limites equivalentes a los que sean aplicables las rcglas anteriores (Problemas 33-36).

A veces el cálculo de tales limitcs se facilita por apl¡cación dcl teorema de Taylor, como en los Prq-blemas 32 y 36.

APLICACIONES

l. M¡xinos y mfiimos Supóngase que en ¡ = ¡0, /(¡) satisface las condiciones

f'(cn\ = f"(to) ¡t2"-tr1¡¡ = 0 v f ' !"(ro\ t O

para P natural (por lo ge¡cral p: l). Entonces,

(.¡) /(-t) tiene un máximo ¡clativo en ¡ = ¡o si 12")(¡o) < 0(ó) /(rú) tienc un mínimo relativo en ,t = -ro si /2't(¡o) > 0

,

4. ln (1 + ' ) = , - f+

En l-3, l im

- l =,x S l . En

(23)

(24)

G^r. al DER,IVADAS 63

Vease Problcma 39. En la pr¿ctica, para hallar los máximos y míoimos ¡elativos de;f(¡) se re-suclve la ccuación /'(¡) : 0 pa¡a obtener los pr¡rror c¡ít¡lcor to y lucgo se ¡plic¿ (21) Gniñc¿-mente resulta la condición necesaria/'(xo) = 0, pucs en un máximo o minimo ¡elativo la t¿n-geote a J, = /(x) debe ser paralela al cjc x.

Rrzó¡ de v¡¡i¡dór. Se puede interp¡eta¡ dt/dr = Jf'(r) como la ¡azón de variación de ), =Jf(¡)con ¡espscto a r. Si /'(ro) > 0, entonces / es cr€ci€nte en ¡ : xo; si /'(x6) < 0, cntonc4s J,es dccrecicnte en .x = ¡o.

Vdodd¡d y ¡ce¡er¡dóo. Si s es cl dcspbzamiento instantáneo dc una pa¡tícula a partirdc un puoto O sobrc una r€cta en cl ticmpo ,, entodces ¿r/d, es su oelocidad inúanáaca y d2s/dt2es st aceleración instantánea en el tiemDo ,.

hoblem¡s reseltoc

DETWADAS

l. Sea l(r) ={}, t * t. C¿lcular l'(2) con l¿ deñnición.

712¡ = ¡i^t@+hr-!(2t = F¡i(i+-t = hi.t'h = lg¡,-, = .

lvor¿r Aplic¡ndo rcgl¡s del cálculo alcmctrtal sc ticrrc

1s-"¡ f ,1s+"¡ - tB+4 *@-' l (3 - rxl) - (3+rx-l) 6(8-t) ' (3- t I

cn todo putrto ¡ a¡ qüc.xúta l¡ dcriv¡d¿. Hacia¡do ¡ = 2 sc cúct¡atrtra.f(2) : 6. Si b¿'¡ rcgla¡ ¡cmcjantcs soDútilcs a rncnudo, hay quc ¡plicarl¡s con cuid¿do (véasc ProbLm¡ 5).

2. S€a l(r) =tEt-\ . Calcutsr t ' (5) con la definición.

(3-rF

Por l¿s rcgl¡r dcl

/ ' (5)=9-! / .=*.

3. Si /(x) tienc derivada

flñ + , l - f lSl \19 +2h - 3t '(5) = l im "- ": "- ' = l im

--

cálcufo, cs /'(') = ftfzr-tl ', '= t(2'-lfnh@r-l) =(2r-l)-' lt. Lü.so

en ¡ = xo, demostrar quc /(.x) cs continua en x = ¡o.

¡(,^+ hl - l(..:) - l("+ \- Í("1 . t, h+o

E¡tonces. Iin! /('c + ¡t) - t(¡.) = ¡gel+:j1!).lÍnf,

= ,'('o)'o = 0

pucs /'(r) cxistc por hipót.sis. Así quc

lür! t(r.+ [] - t(r.) = 0 sca lrnl /(¡¡+ t] = t(.r)

lo que muastr¡ quc /(¡) cs continus cn ¡ - -vo.

g

4. Se¡

\a)

DERIVADAS

l(r)

¿Es(a) Por el Problema 22{á) del Capitulo 2, /(.t) es continua en r = 0

[cAP. 1

_ [ , scn \k, r+010, t=o'

continua /(,t) en .r = 0? (ó) ¿Tiene derivada en -r = 0?

(o)

(ó) r'(o) - lnfllp = lse# = f:la'gF = l**"ique no existc,

Estc ejemplo muestra que una función. aun siendo continua en un pu¡to, no tienc necesariamente de_rivada cn ese punto, cs decir, que Ia recíproca del teorema dcl Proble¡na 3 no es ne€esariamente cierta

Es posible construir funcioncs continuas an todo punto dc un intervalo quc oo ticnc derivada an nin-gún punto dcl mismo.

(a2<e^1la alO

s. sea l (r) = ] ; .

* ' ' " ' ; :ó

(a) ¿Es f(x) diferenciable en -to = 0? (ó) ¿Es /'(x) continua er¡ ¡ = 0?

(a) /I0) = Irqe\lIa = I'jlryo#H = rin,r.seni = 0

según el Problema t3. Capitulo 2./(¡) tiene. pucs, derivada (es difere¡ciable) en x = 0 y su valor es 0'

(ó) Por las rcglas de dcrivación elementales, si -y + 0,

) / r \ ,1 / 1\ / r \ ' ri 'k) = á(¡ ,scar) = ¡ ' j : (s€n;)+( ' . " ; i ;o,

= '(""lX-+)

* (*" j)r ',r - -"o"| + 2¡scnr/ 1 r \

corno l iq/ '( ' ) = l ' : (-*" i

+ 2¡sen:/) no €xistc (pucs l iq cos l /¡ no existe) ' / ' (¡) no puede

scr cor¡tinua en ¡ = 0 pesc a quc existe /'(0).Esto muestra que ¡o sc puedc calcular/'(0)cn cste caso simplcmente calculandolf'(x) y haciendo luego

¡ = 0, como cs frecuc¡te en los cursos clcfncntales. Solamente cuando la derivada es cor¡iru¿ en un punlode este procedimiento la respu€sta corracta. Da la cssualidad qu€ csto sucede para la mayoía de las fi¡n-cioncs quc sc prescntan cn el cálculo alemental.

6. Dar una definición con <c, d> de la derivada de /(x) en .Y : -xo.

/(¡) tiene dcrivada /'(.¡¡) cn .:r = ro si, dado un c > 0, e¡iste un á > 0 ta¡ que

l tet+J@r_/,(r.) l <. si o<tr¡r<6

DERIVADAS A LA DERECHA Y A LA IZQUIERDA

7. Seal-\'): I,yl. (¿) Calcular la derivada a la derecha de /(-r) en .r : 0. (ó ) Calcular la derivada ala izquierda de/(x) en r : 0. (c) ¿Tienefx) derivada en x - 0? (d) Ilust¡ar las conclusiones de (a),(ó) y (r) con un grafo.

l l (o) =,üm t tht=^t to) = " t i1-#

=,t i f , I = t

pucs lÁl : hparah>O.

it (0) = ^ri--

1l¡5llE = .'il,- E# = "':+_

-* = -t

J-_

(ó)

pues rAr = -¡ para rr < 0.

CAP, 4]

tc,

ld't

DERIVADAS

No. La der¡vada en 0 no exist€ si son distintas lasderivadas a la izquierda y a la derecha.

El grafo se ve en la Figum adjunta 4-3. Nóteseque las pendientes de las rectas y = x y y = -xson I y -1, rcspectivamente, y reprcsentan las de-rivadas a la derecha y a la izquierda en x = 0. Perola derivada en ¡ = 0 üo existe.

Demost¡ar que /(¡) = x'z es difere¡ciable en 0 S x = 1.

Sea xo un punto del intervalo: 0 < ¡o < I. Entonces,

En el extremo ¡ = l.

ó5

&

i'(,0) = ri".4se.l-U-l(l4 = ll¡@lff = l,q(zr"+¡) = 2,oEn el extremo x : 0.

¡itor =,lT,tl'glP = ^'¡r-?

= ¡iüm ¡ = o

r(1) = ^r jT-T

= ^t: lLql+a

=,lT-(2+ñ) = 2/(.r) es, pues, diferenciable en 0 S.r = l. Se puede escribir /,(¡) = 2¡ p.ra rodo ¡ de €ste intervalo. Escostumbre escribirJfi(o) = f'(0) y f,_(tl = l(l) en €sre caso.

9. Halfar la ecuación de la tangente vy=x2 en el punto en que (¿) x= U3, (bl x=1.(a) Por el Problema 8, "f'(¡o) = 2¡0, de modo qule f'lt/3) = 2/3, con lo que la ecuación de la rangeote es

a - ¡\,t = l,@o) (, - ,o:) o y-+ = i ( r -*) , o s€¡. y = i ' -+(r) Como en la pa¡te (¿), y - /(l) : /(lX¡ - l) o .y - I : 2(.x - l), es decir, ), = 2¡ _ t.

DIFERENCIALES

10. Si s = f(al = x"-6s, hal lar (¿) . !y, (bl dy, (c) ty-tty.

vtav = l@+!t\ - /(¡) = {(, + rr)! - 6(c + sr)} * {¡.-6,}=, ! + g¡r t , + g¡( t r ) ' + (r¡) ' _ 6¡ _ 6t , _ r !+ 6,= (Br'_6)-tr + g¡(-t¡) ' + ( lr) !

lb) dy = wtte principal de Ly = l3x2 - 6) x : (3¡, - 6)dx, pues, por definición, A.x : dr-Obsérvese que Jr'(¡) = 3i - 6 y dy = (3f - 6túc, o se , dr/dx _ 3¡, _ 6. Tengas€ sicmprc pre_

sentc que dx y d/. no son n€cesariamente pequeños.

(¿) Por (¿) y (bl, Lt - dl = 3x(6x12 + (A¡f = €Ar, donde e = 3¡A¡ + (A¡)2.

Nótese que é + 0 al render ^.jr

i 0. esto es, 1# -

O "on ^¡

+ 0. Luego A.v - dy es un infi ni-tesimal de orden superior al de

^r (ve¿se problema g2).

En caso de ser At pequeño, dy y Ly wn aproximadamente iguales.

11. Calcular ./75 aproximadament€ mediant€ difercnciales.

Si ^¡

es pequۖo ^y-

f(x + Lx,) - f(xl = /0r) Ár aproximadame¡te.

Sea /(¡) - i&. Entonces, j4T Ax - {x x !x- rtz 6, (do¡dc ! significa aprcrimadametúe igual al.

66 DERIVADAS

S\ x =27 Y a, - -2. rc trenc

i ln-r-W = !1211- '41-2J, csroes i /25-s = -2/27

Lucgo l/zs = s-2t21 sca. 2926.

Es inleresante obscrvar que (2.92ó)r = 25.05. o sca, quc la aproximación as baslante buena.

REGLAS DE DERIVACION. DERTVACTON DE FIJNCIONES ESPECTALES

t t¿.112. Demorrar la .fórñula # {/(¡) s (tl\ = f(rl íisg) | s(rl ;i ikr.

suponiendo que / v Ison orlerenctao¡es,

Por delinición.

!tn,, o,",t = lim 4f!fIsgl3¡I-4¡JE! 'ch- - A¡

*,i'ro:#] - U",r{*.p}= tut !ca\ + s@ +^4

Ot o rÉtodo:Sca u = /(¡), ,' = 8(¡). Enlonccs, Lu = Í(x +

^¡) - /(,r) y Á¡, = g(¡ +

^¡) - g(¡), o s€a, /(.x + Ay) =

1t+ Ar¿, glr+^"1 =r,+Ai ' . Asi. pues

¿ .. {l¡ + at Xl, + au) - l¡r, ,. ulu + üAü + a¿aoet üü - r'ñ- ----- A'- =

^'.'3. a,

. / t * ,9r + 4ro, \ = "*+ "4=

^!T'( 'a' ^, ^x / du

pues Áu + 0 con A,r ; I y¡ q¡¡¿ lJ se supone dif€renciabte y, por tanto, continua.

lcAP.4

f3. Si ) :

^¡.¡).

con ¡.¡ = g{.\ l. demostrar Que ,41

=

ciables.

Si a ,r s€ da un incrcme¡lo A.r + 0. ¡,¿ y y sc incrcmentan en cons€cüencia cn &¡ y ^).

respectivamcn_te, sicndo

óy = l('.+a¡) - /(ir), tI¿ = s(, + ^'l

- t(r\ (,)

Obsérvcse quc p¿r¿ A¿ + 0, Ay + 0 Y A&, 0.

Si ar '¿0, escr ib iendo . = : i - f i

set ieneuuee -oconAr¡-0y

. rz - 9ru - . ¡u ( t )

Si ^¡

= 0 para valores de ^r.

la (,t) muestra quc ^r

- 0 para estos valores dc Ar. Entonces se de-f inec=0.

SededucequeenamboscesJs.^¡+0obienA¡¡:0.sever i f ica(2).Div id¡endo(2)porA.(+0ytoma¡-do el limite cuando A\ +0, sc tienc

¿t\t .. al, .. /¿u ¡" ¡"\-= = ¡ tm: | |mt-= - +.- l.tt a¡-o A¡ ó¡-o\(fi¡ A¡

^x,/dudx - dL du du= =- +

¡Ly . tluilu d,r

suponiendo que "/ y C son diferen-

du .- Ar¡ . . . . A¿= ,r, ' J]T" ó, * "'lT" ' ' llT. ¡;

,. /(¡ + r¡) {s(' + a¡) - c(¡)} + ef¡) (/( ' + a¡) - /(r))

I

c^r_ 1l DERIVADAS

ta Dadas ${r"nr) = "os,

v fi@osxl = -scn r, ha ar tas fórmutas

@l *(rc¡) = sec'r, (ó) #t."n-, t= #r".

r"r #rre, = á(#) = "* " $ t*n"l - scnt $ t"or r)

cos"

(ü) Si r' = ¡cn-¡ ¡. es ¡ = scn J,, Derivanoo con rcspcc¡o ¡ ¡..

t = "*"* " *= i==-_- I

cos y Vf _ *",/ ,/T=¡Se h¿ supuesto aquí que cl valor p¡incipal _n/2 S sen- r x S ,r¿, sc cl¡gc dc modo quc cos y sa¿r po,

sitivo y ast podcr ecribir cos ¡ -.r/i -!fi en vez dc cos y = i./a:E .

f l obtener la fórmula fl,$os,o¡ = Y* @'>0, a*tl,siendo ¡¿ una función diferencia-ble de x-

Considércse y = ll'll = loa.& por deñnición.

4 = t¡. l lu+^fl - ^rl

= ¡i- toa.(¿+at) - los.r¿

- =::',i;'--^*:'; aü

lF. #.*(+4u) = ]lL 1.".(' * f)"""Como cl logaritmo cs funQión continu¡, csto se puedc escribi¡

i"o{^u..( ' -+)'^ } = !rog.,

(A'r0\ ú/ J t r -

por cf Problcms 19, Capítulo 3, co¡ x: u/Lu.

E¡ton@s, por el p¡obl€ms tf, *3{toarr) = ,##

ló. Calcular dyldx si (a) xyt -3x2: xy * 5, (ó) e¡ '+ylnr:cos2x.(¿) Dcrivando con respocto ¡ ¡ con / función-de ¡ (sr dice c¡lonccs quc / esJi¿¡ ciór impll¿ita ¿b x, p|¡ea trc *.pucdc dcspcj¡r ¡ cn funció¡ da ,] sc ticnc

¿)*gt'u'l - f ta,,l = f f,ut +*g{a) o r,"n (¡Xsl/'¡./,) + (yl(r) -6¡ = (¡Xu,)+Q/Xr)+odondc y'=.¡yld¡. D€spe.,ando, !j,,= (6r - y'+ ltllgrrr_,r.

(ó) ¿- G.) + É(yln¡)

= d¡ (cos2,), ca(ty'+vl +!+ qtn x¡¡' = _Z *nzx.

Dcspcjando. u, = -2, \3+;viT + u

f7. Si I = cosh (r, - 3, + l), hallar (al dylttx, (t¡\ dlUlib¿.lo) Se¡ / = coah x, con tr = ,¡-g¡+1. Lücgo dul(tu = *nhu, ilulili = Zr_g, y

da = dy.d(cr, dt¿ tt¡

= (s.nh rrx2, _ g) = (2, _ 3) scnh (r¡ _ g, + l)

@ # = *(#) = *G""#) = .n¡"# * -"r,"(ff)'= tstnh ÍX2) + (cosh¿X2r-g)r = 2renh(rr-gr+t) + (2, _ g) ' colh (r¡ _ g, + 1)

I;;;

t-

(co8 rxcos r) - (senr)(- senr)

68

18.

DERIVADAS

Si .r2.r, + ¡3 = 2, hallar (a) y', (b) f" en el punto t, l).(¿) Dcrivando con resp€cto a x, xly' + 2xy + 3f2l - O y

, '=#=- j .n1r,r t¿ ¿/-Zxu\t¿) ," = + (r') = +{ -;

"" \_ ._rt ) =Sust i tuycndo r=7, U=7 y U'=-)r ,

TEOREMAS DEL VALOR MEDIO

19. Demostrar cl teorema de Rolle.

C|so l

/(.y) = 0en [¿. b]. Luego/'(¡) : 0para todo ¡dela, ó[.

C¡so 2:

¡¡) + 0 en [a, ó]. Como Í¡) es continua, hay püntos en que /(:\-) alcanza su máximo y su minimo. ques€ llamarán M y n, respectivamente (P.oblema 14, Capítulo 2).

Coño /(¡) * 0, al rüenos uno de los M, ,n no es cero.Si, por ejemplo, M + O y .s Ill) - M (Fig. 4-4), entoncesftÉ,+hl=l tq, ' , .

si r, > o. tu"so 4!$IJ(0 = o r

trt .r- Í!{::JQ = o

si tr. < o, lucgo t(t + [I- t(t) > o v

ret ^ri"_

lG$:Jfi = o

Pero, por hipótesis. ]l"(n) ticÍc derivada en todo punto de ]¿, át. Luego la derivada ¿ Ia de¡echa (.¡) debescr igual a ¡a derivada a la izquierda (2). lo cual so¡o puede suceder si son ambas cero, en cuyo caso /'(O = 0corno sc afirmaba cn el teorema,

Un razonamiento parecido vale püa M :0 y n + O.

20. (¿) Demostrar el teorema del valor medio. (ó ) Dar una interpretación geométrica de este teorema.

k¡) Dcfinarc FtÍt ^rt

- /(d) - r' - ")4!l:lG).Enlonces, F(4) = 0 Y F(ú) = 0.Además, si /{¡) satisface las condiciones de continuidad y diferenciabilidad del teorerna de Rolle,

Fl,r) las satisface también.ADlicando enlonces el teorema dc Rollc a la función F(.Y)'

F 'k) - / ' ( { ) = o, ¿<r<ó

(bl Sea ACR en ¡a Fig. 4-5 el grafo de ]r(n). Ceométrica,mente, hay un punto 4 ertre, y á en el que la tangentea fa curva en C es paralela a la cterda AB.

Pendienle de ¡a langenre = / (C)., ' \ t I talPendrente de lz c|,erda AR

nh' - I tulLuego ( es ral que / ' (a) -h.

Es interesante obs€rvar que la función F(r) en (¿)reprcs€nta la d¡ferencia de las ordenadas de Ia curvaACB y de la cuerda ,,18 en cada punlo r de ]a, ó[.

y¡¡ = Nfp, "<¿<t

lcAP.4

_ (r'+ 3!1ll2ty'+2u) - Qru)Qr + 6uu',(¡' + 3¡/')'

sc tien€ )," = -i,

l(",

Fi8.l.l

1-t___

Fis. t-5

. ¡

cr?- .l DERIVADAS

L Comprobar el teorcma del valor medio para /(¡) = 2x2 - 7x + lO, a = 2, b: 5,

f (21=4,f(51:25,f{É):41-T.El tcorcmadclvelorm.diodiccquc4(-7=(25-4V15-21,o sco, ( - 3,5 y como 2 < { < 5, queda comprobado cl tcorcña.

Si /'(x) = 6 en todo punto del intervalo ]a, ó[, dernostrar que Í¡) es constaote er el intervalo.

Scan l, < x2 dos puntos de ]¿, ó[. Por cl Gorcm¿ dcl valor mcdio, co¡t ¡r < ( < ¡2,

/(r, _ t(¡,) = l.(t) = o

Asl que /(rr) = /(xr) - coÍstant€. De lo quc sc deducq quc ai dos funcioncs l¡cnan l¿ misma dc¡ivada cú todopunto de ]¿,ó[ l¡s funcio¡es difieren en una cot¡stanL.

z

¡3. Si /'(¡) > 0 en todo punto del intervalo ]a, ó[, demostrar que /(x) es estrictamente creciente.

Scan xr < ¡2 dos puntos de ]¿, r[. Por el tco¡ema dcl valor mcdio, con xr < 6 < 12,

l !#=r ' ($>o

L\tego f(x?l > f(xrl para -r2 > -xr y /(¡) cs estrictamcnt€ cr.ci.nt..

ó9

u. ktl

(á)

Demostrar que i# a ,r-'ü - tg-¡ n

Mostrarque t** .

,e- 'á. i *á.

b-a- l+cl

si a<ü,

(a) Sca Ír) = tg- I ¡. Como /(¡) : U0 + xzly f'(<) - l/(l + a'¡), sc tic¡rc por cl tcorrma del valor r¡redio

o ;+2s-: < tg-¡

¿10 = /(ó) -,f(a),'(t) clb') - cla)'

á . i * *

r8- 'ü, : jg ' ' = + o<i<ü

Pucstoqueg>o, 1/(1+€1) < r / (1+a') . Conro t<0, r / (1+S') > i / (1+ü:) . Ent(rnccs.

r _ tg- ,ü- rB- 'o _ 1t !ó:

< ----¡-d \ i -7

y multiplicando por ó - ¿ se tiene e¡ resultado.

(¿) Scanó =4/3ya: l enel resultado de l¡ parta (a). Enronccs, como tg- ' l = r/4, se r icne

*. , r - ' i - ' * ' r . á

25. Demostrar el teorema generalizado del valor m€dio de Cauchy.

Cor¡sidércsc Ckl : f(rl - f(ol - a{g(¡) - g(a)}, con d co¡¡st¡ntc. Entonccs, C(i) satisfac¡ las condicio-nes del tcorema de Ro¡le, í /(.x) y g(¡) satisfacen las condicioncs de contin[idad y difercnciabilidad del tcorcma

de Roffc y si c(at = c(bl - o.l-ar dos úhimas condicioncs s. cumplcn .i "

= 4,!.)--l!g¡.c(bt - cla\Aplicardo el teorcma de Roll€, G'(O = 0 pa¡a a < ( < ó, sc ticnc

como !a afirm¡b¡./ '(s) - os'(*) = o a<i<ó

70

TEOREMA DE TAYLOR

2ó. Demostrar el teorema de Taylor con

DERIVADAS

r€sto de Lagrange para el caso n = 1'

lcAP. 4

Hay que deúostrar que

/(b) = . / t r ¡ r + t (n)(¿,-n) - t l ! )$- o ' ¿<l<ó

Sea la función

/J(¡) = /(r) - /(¡) - /'(.r) (ó -.I) - (ó - ¡)',{

donde ,l cs una cons(antc indeterminada. Íf(¡) resulta justificada si se remPlsz¿ ¿ Por ¡ en (r) y sc pas¡¡n todoslos t¿rminos ¡l scgundo micl¡bro.

Pot (21, Hlb'l = 0. Para tcner I/(a) = 0 hay que tomar

. - / (ó) - / (o) - / ' (o)(ó-d)

"_-_.--o-" f -

Suponi€ndo que /(¡) y /(¡) satisfaccn las condicioncs de continuidad y difcrcnciabilidad dcl teorema deRolte, ertonces /{¡) también satisface dichas condiciones; lueSo hsy un valor ( cntrc ¿ y ó tsl que }¡'({) = 0.

Por (2), H'(x) = - l ' tx)(b - xl+2(b- xV y H'Gl= -f ' f ( l (b - t l + 2lb - CV = o Fn A=

Í"G,'r?'! Porq!rc E + ó.) Sustituyendo este valor de ,l en (J) y d€spejeudo/(r) s. tiene cl resultado (r).Por parccido r¿zon¡l¡ie¡¡to se llega a Senerali¿acioncs par¡ ¡ > l.

27. (a) Dcmostrar que

scn.t = seno + (cosa)(r-o) - (seno)-(J-o)¿

- (cosÉX{-¿)3

co¡<€ntre4y¡.(ó) Utilizar la parte (¿) para calcular sensl'y estimar cl er¡or com€tido.

(a) CoD /(¡) = scn ¡ es/'(r) = cos ¿ /"(¡) = - scn ¡, /"'(¡) = -cós x, asi que Jf(¿) = sen a, /'(a) = cos ¿r,f"(al - -*n a, f"(él = -cos é.

Sustituycndo entoncrs en la fórmula de Taylo¡ con ¡ = 2, es decir,

t(¡) =,(¿) + /(o)(.r- ' ) * t9#* t-:A{1_r) '

cbn a cntre a y¡ sc ti€ne el rcsuhado.

(á) Sean ¡= 5l'- 5l¡l180 radianes y ¿- 45" = 45rr/l80 radiancs, con lo quc ¡- ¿: n/10 radi¡ncs.

D. donde por la p¿rtc (¿), por s€r sen 45" = @s 45" = \,f2/2,

.t; ,6/ =\ _ i¡'fztz[rnor _ (corr)("/so)'sen 5Io =

f * ¿-rsoz zt 3l

El r kr¡ nbrr luro d ' l crr( t l - {cosf)( ; /30)! l r / ' \ '.* = l- '*"ái'" '* ' l . "1107

. n.nn'

Con lo que la suma de los tres prim€ros ¡érmiDos, 0,777, ticn€ 3 dccimales cractos.Si s€ quiere Dayor exactitud hay que tornar más términos dc la fónhula de Taylor.

28. (a) Demostrar que ?¡= I + x + x2/21 +.r . /3!+. . . .(ó) Demostrar que ¿, es irracional.

(¿) s€a /(¡) = ¿. L¿s d€rivadas dc /(¡) sotr.nto¡rcrs todas itual6 a ¿'. si ¿:0,cs/(0):/'(0) - "'=/d(0) = ¿o = I y,¡".'\i)

- l, con lo que cl teorcma de T¿ylor qüede

(e')

(r)

ir.L -

con(enlre0yx.

(r)

caP. 1l DERIVADAS 7I

¡ ¡ r ¡ . \ , ' 'Séa R"- -?. . Si . (>0, lR, l . ; :

^¿ y t i 'n l&l =0 tvéas€ prob.30. Cap. l )

tn + t t : t¿ i r , :

tJ '+ |Si .y<0, lR" l <*, y l i fn lR. l = 0, por tadto. s i x = 0, l^ . l -0y l im In, l =0.

u, + r r: r-@

Dc ñrodo que para lodo ,x, o saa. para -'o < r < cc, lim ll.l =0 y sc puede escribir

€¡ = I + x + x2/2t + xt l3t +. . .

= ¡t.ffi = .Ir¡,1",@ - '

t2l

cs deci¡, Ia s€rie converga para lodo Jr.

(ó) Según (r), hacicndo ¡ = I y suponiendo e racional c iguala la fracción irreducible p/q, sicndo/ y gcÍtarosDositivos. se tiene

(r)

Pero et/\n + 1) es un númcro cntre 0 y l, €n tanto qü€ todos los olros lérminos da (l) son entcros positi-vos. Suponiendo, puas, quc. es.racional, se ¡lega a la contradicción de que hay un €ntero ¡8ual a un núme-fo que Ío es entero, y, pof tinto, ? cs iffacional.

REGLA DE L'HOPITAL

29. Demostrar la regla de L'Hópital para el caso de las <formas indeterminadau (a) 010, (b) c!l(¡.

(¿) Se supondn¡ que/(¡) y g(¡) son diferenciables en a < ¡ < á y que /(¡o) = 0, g(xo) = Q 6e¡ ¿ ¡ ro ¡ ¿.Por el teorems generalizádo del valor medio d€ Cauchy (Problcma (25),

l l t . f"

= i

= ¡ Í r_ ; ! - { ,1+lT. i

EliSiendo n > I y mültiplicando ámbos miembros de (/) por t!

0<g<l (r)

n ' tc = ntL = r !+ ' i ! +| i+;+. . . - ¡ 1a-*9L

¡ ¡ )=/(r)- / ( ' . )=11(.)cQ\ ,(¡) - s(zo) c'({)

¡o<t<t

De dondelim ¿+

.-,¡+ g\,,pt¡e\ coll r + ro+, lr ¡o+.

Con una modincación del procedimi€nto anterior puede establcccrse cl r€sultado para ¡--¡o-,¡+¡o, ¡ r@i xr -cD.

(á) S€ supone que /(¡) y s(¡) so¡ difcrcnciables en ¿ < ¡ < á, y que,lrj:r+ /(¡) = "o,,li*_

g('): "o

con

Si ¡r es tal quc a < ¡o < ¡ < ¡r < ó, por el teorcma gencralizado dcl valor madio de Cauchy,

tlÉ\ _ l(r,\ = t,k\ t< l<ats@l - cl'l c'lt')

Da donde

- l (s\ , t - l l t ' l t l la ls(tl 1 - t(r,)ls(rl e'(t)

SufDnierdo ahor¿ quc

¡lr'l = l'(¿\ .r - slr'\lslr,c@, s'kl t- Í('lU@')

l i * 44=¿ y cscr ib i .ndo tr) .n la forma, - , r . g \ t l

(r)

H = ee- 4(1=f*ffi) . "(\=ffi) (r)

72 DERTVADAS [cAp

Se pu€de romar ¡r tan cercano a xo que l/'(C)/g'(O - ¿l < €. Ma¡¡enierido xr fijo, s€ ve que

. IT.(#f) = t pues,r im+/(¡) =d v r imtG)=€

Tomando entonces el límite para ¡ + xo+ en ambos miembros de (2) s€ ve que, como se ¿firmaba,

r¡n, /1{l = ¿ ri', 491. - '0. t ( t , ' - 'o- t ( ¡ l

Con modificaciones apropiadas este procedimiento establece también el resultado si x -

xo-, r -

¡o,¡+ @, ¡+ -@.

a2'-1 ' . 1+cos.¡30. carcufar ( ') l ,1x

-,

tt¡ L:*,ff i ,todos los cuales ¡ienen la (forma indeterminada" 0/0

ln cos 3r'" ' , ' i i i i ln cos2r'

(")

(ü) ' ' : iz¡-2x+l

.. 2."',tI" 1

= '

. . - rsenrr . . -otcosz¡, : i 2r-2 ; - i 2

Nr¡o i Aquí se aplica dos veces Ia regla de L'Hopital, ya que la primera aplicación da todar,/ía lo dormaindet€fmiriadaD 0/0 y las condiciories pára la regla de L'Hópital se siguen cuñpliendo-

, . . . ln cosS, - . ( - 3 \en 3Í) / icos 3r) . . 3 senS¡ coszt

rc, l rm -

= l rm -' r -o+ Incoaz, ¡+o+ (-ZsenZt) / (cosZr) ¡ -0+ Z \enzt cosiJt

/ . . :en a¡\ / . . 3 cos 2¿\ / . . 3 cos 3'\ /3\= [,1f- s""E/'\, '.:T. , co"s., =

\,t]T. t corr,/'\t/

/s \ /a\ e\2. / \2 ) 4

Obsérvese qug €n €l cuaño paso s€ ha aprovechado un teoreúa sobre límites para simplifrcar los cálcu-los qu€ siguen.

a-2 ^tR l - ro2¡3t. Calcular p¡ titn*==;fr!, (ó) Iim¡k-', ("1 ,rjiiiffi,todos los cuales tienen la (forma ¡nde¡erminadar .c/.o o se pueden arreglar de modo que ¡a tengan.

. . 6 31o¡ r'' ffii = ]h ro, re- = lg m = u"

(D) r ;mz'e- ' = r i*{ = t ' l? = l* , '3 = o

f. fn tg 2¡ ,. 12 Éec,2r)/t rE 2r) ,. 2 sec,2r tg 3¡.'.1T. i.

's s" - ,.1T, is *"t$t¡E 3') - ,¡lT. ¿seAB.

'e-t= (.rr-H::#X.'rr.+:+) = (3Xl:r.9*#) = '32. catcutar tirn

tt11 -,=t9 -]t¡ -0 c ' In ( l l - r )

Si bien la regla de L'Hópital es aplicable en este caso, su €mpleo se va volviendo más y más complicado.Pero por el teorema de Taylor, el limite se obtiene rápida y fácilm€nte. Se hac€ uso de los resultados (pá8ina 62)

-=r -+-, ra ' ¡ - . ! -? 'At ' , ln( l+¡) = r-++Rr'J: Oj - 3 2

ú-

(c)

Gl?. .l

EI líñitc busc¿do es entoncas

35.

DER¡VADAS 73

, ,_ (¡ - rr l91 + P¡') - (r - ,r / l+ Q¡').:!!, ----|-.ETE-

¡I Calcular lim ¡'ln r.

= r1'¡ffr$ = ¡

tn,l i ¡r r ' ln¡ = l¡ ln

-

=.-.+ t tu- ,lt #.' = ,ltr. .i = o

Este lír¡itc ticnc la dorma irdcterñined¡D 0' cD. En el scgundo paso se ahera la fonna p¿ra quc tomc ladc ó/cD y s€ pueda aplicar la ..81a de L'Hópil.al.

3a Av€riguar lim (cos x)r/".: .o

Como lim cos ¡ = I y liñ llx2 - @, el límitc toma la dofm¡ indeterminada, t'.¡ -O

Sca F(¡) = (cos ¡)r/'r. Entonccs, In f(.t) - (ln cos r)y'1, al quc sc pucdc aplicar la rc8l. d. L'Hópiral.

Sc tien.

t irn l l lglg = t im (-5.n 3)/(co¡ ') = I im =-s€nt = l t tn = -"o1r= = -1. -o t r Zt z-ozt cor, . -n - ZI set) la + ZcOa, Z

Asl quc lim ln F(¡) = -,. Pcro como cl logaritmo es función continua, lim ln ¡(¡) = In (lim F(x)). LucSo

ln(l inlFcD = - l os.a qu. I tn

rt" l = l \(cosz)tr" = ¿-ta

Si f(r) = (d, - 'rlth,

hallar (o) lim f(r) y (D) Iim r'(r).

Las for¡nas indctcrminád¿s an (¿) y (ó) son, rcspcctivarncnta, cDo y I'.

ln l.¡t - 6r\Sea C(¡) = l¡ F(t, = '::-!:------:2. Enlonces, lim Glx) y li|n 6(¡) toman las formes indclcrminadas

co/co y 0/0, rcsp€ctiv¿mcnlc, y sr aplica la reSla de L'Hópital. S€ tieDe cntooces

k) .n-b(?.!s) = J::i"--6,!L! = ¡nil,,-rgj- = .'jni$ = t

Asi que como cn cl Problcma 14. lim (e! - 6.r't' = c''

tu IiaE$;-{4 = IgH = -¿ y rirq(¿&-5')'/' = €{

/ t t \Calcular linl(sep; - ;ir.

Est€ limite ioma la form. cc - .o. Escribicndo.t ti.itc co.o 1,1 fip|,

s€ ve quc cs ap¡icablc la

rcgla d. L'Hópital, Fro cllo acsult¿ muy latrorioso. Hay dos métodos posibles.

M¿{odo l: El limitc sc pud. cscribir

. . /x ' -sc¡,} / d \ _ . ._¡ ' - rcn'zrim \-,. A\ñr; ) =

':\__7_¿ \ t

nu¿s lin -i- = ¡f liñ--i-\ = 1. Por aplicaciones succsivas de la regla de L'HóPitalr-- - ; - ; senr, \ : : ¡ sen a/

3ó.

74 DERIVADAS

tg = ' lx?#=yx#

= lir 2-' 2 .n 2t -. 4 *nzu -. 8 co¡ 2!t I-El- = i\ 21" = l' l l % =g

M¿.todo 2: Por el tcorcma dc Taylor,

r.- ,r - scn', = ri- ts_:_!¿:4&l&])il'lii ¡f sc¡¡¡ ilJi r'(r - x'/61Pr'l'

,. ,'13 + términos cn .\'o v suDea¡orcs.-o r '+ teíhrnos cn.r ' y supeflorcs

,. l/3 + términos en r'z y superiores - I; ;a 1+ términos en .r ' y supcnores 3

PROBI,EMAS VARIOS

37. Si ¡ = "f(t)

y y = CU't son difetenciables dos veces, hallar (a'¡ tlyldx, (b) dzyldx2.

(a) Denotár¡do con tildes las dedvedas con rcsp€cto a ¿ s€ tienc

"# = y# = ffi sir'(')+o

(D) ;jí = d /dt \ d / ¡ ' (¿t \

- t=- , =

- l - , =

dx \dt / dr\g l.)/

| [ s'lr) l"(t\ - Í'(tt s"(t\\c'(¿) [ [r'(r)]' J

¿ (ft)\dt\i6)

3t. sea /(a) = {i:''' I1l . o"'o*,", que (o) l'(o) = o, (b) l-(0) = o.

(.') ,i(0) = .ti*.# = .l.lT,t"';-o = .tS,#Si á - l/¡/, por Ie rcgl¿ dc L'Hópi¡al sc tierc

li¡¡ ¿c-"' = lim ¿/.¡' = lim 1/2ü.'t = 0

AnáloSamentc, c¡rnbiando ¡ r 0+ por, -

0- y u r co por ü + -@, sÉ halla/(0) = 0. Así, pues,I'rP, = l'-(ol - o, y asi /'(0) : o.

(ü) rí(0) = "'i*aD#

= .'j*"-""'?-'-o = .rif,# = Fg$ = o

por ap¡icacionas sucesiva¡ de dicha regla.

Análogamcotc, É(0) = 0 y .rito¡¡ccs /"(0) - 0.

En gcnera¡, /',(0) = 0 para r - l, 2, 3,. . . (Probleña E9).

39. Sea¡¡) taf que/rv)(x) existc on a S ¡ S, y sugingase qtef'(x) = f"(x) = /"'(xo) : Q6e¡a < xs < b. Demost¡ar que /(¡) tiene máximo o minimo telativo en xo según que /rv)(xo) < 0o ,f lu'(¡o) > 0 respectivamente.

lcAP. 4

d /r'c)\_ ;¡\gro-.i- s'(a')

= s'(tl f'(l\_;-!'(tl s"(.\ si ,,(r) ,. 0

Por cl ¡corcma dc Taylor, si { está entre xo y x,

caP.4l DERTVADAS

t@, = ¡t'.1 + l'l..\('-,ot * rcP * re#=d* rydÍ¡-eü

=t(r , , )+ry

Si /N)(¡o) > 0, cntonces p¡ra todo ¡ €n un .ntorno , de xo !c ti€rie /(¡) ¿ /(¡o), dc ñodo quc /(¡) ticneun mirirno rclativo en ¡ = ,yo. An¿logamentc, si /v)(xo) < 0, cntonccs p¡r¡ todo ¡ cn un cntomo , da ¡o seti.¡c f(x) 3 I6ot, de modo quc /(¡) ticne un máximo rcl¡tivo ct ¡ : ¡o.

¡' ¿Cuál es la longitud de la escalera más grande que se puede pasar por la csquina de un coÍ€dor(dimensioncs en la ñgura adjunta) llevándola paralelamente al piso?

Er la Fig. ,f6 ls longitud de la esc¡lcra /, es

L=awq+bco!r{-9

¿ cs máximo cuando

dllú = a s, 0 tg 0 - á coscc 0cot 0 - 0

¿sen¡0=ácos!0 o t¿0-W

- .E¡¡lp-'56O==

or l r ' COSeCd=-ó,/ !

con loque ¿:¿scc0+ácosec0 = lp2¡t + b2¡r f t2

Gcom¿tricamente, ca cüdcntc que ésta cs la máxima longitud,

Fro s. pucdc deúostrar analític¡mente que d2¿/d02 pano:4't tr16i"cs nc8¡tiva (Probldná 88).

Problem¡s propü€stoc

DERWADAS

41. Medi¡ntc l¡ de6nición, cslcular las derivadas de las funciones siguienGs en €l pur¡to qua se indica:

(o) (Sr-1rt(2a+gr, t=li (b, . '-3r'+2r-6, r=2; lc\ G, t=4; @ W=7, x=Z'

sot. l.l r 26, (ü) 2, (o) l, (¿) *

¿iL *^ t@'t = {;'*"V'' 11!. o"-o.t.". 1o¡ qu€ /(¡) cs @ntinua cn ¡ = 0, (ó) quc /(¡) ticnc d.¡iv¡ds.n

¡:0, (d) que / '(¡) .s continua e¡t ¡:0.

{g. sca t(r) = {í:'-' í!f . n*n*. !i /(¡) (¿) €s continus cn ¡: o, (ó) ricnc dcrivsda co ¡ = 0.

So¿ (¿) Sl; (á) Sl, 0

Dar otra dernost¡ación dcl tcorema del Problaúa 3, página 63, ñ€diant€ (dcfnicion€s ., áD.

Si /(¡) - r¡, moskar quc. /'(.ro) - ¿& dcf,cndc del rcsultado l¡rl

(¿ - lyá = l.

75

o sea, sl

LuaSo

ns.a¡

:?

tl4

¡15

¡16. Mcdientc los .esultados lim (scn iy¡ = I, liq (l - cos r)/, : 0, dcmosrrar qu. si J,'(¡) : srn ¡. /(¡o) = co'. ¡o.

DERIVADAS [cAP. 4

DEnrv¡rlAs A L/r DEnEo¡A y a l,A ¡ZQU|EnDA

47. ua ftt = ¡l¡1. (¿) C.alcular ¡a dcrivada a la derecha de /(¡) en ¡ = 0. (ó) Calcular la deriveda d€ /(¡) a la iz-qu¡c¡da cr ¡ : 0. (c) ¿Tiene /(i) dcrivada cn ¡ = 0? (d) llustrar la conclusión cr¡ (¿), (á) y (c) con uri grafo.Sol. (at 0i (ó) 0; (.) Sí. 0

/f8. Estudia¡ la (d) continuidad y (á) dif€renciabilidad de f(x) - x, sen l/.r., /(0): 0, sicndo p un núúcro po-sitivo. ¿Qué ocu¡re si p es un númrro real cualquiera?

( 1)r -a

^<-<.s€¿ i(") = j ; ;-3- ' ; : ; : ; . Estudier la (a) continuidad y (¿) diferenciabi l idad deÍ¡)en 0 = xS4.

Demost¡a. qu. la derivada dc Jr(¡) co ¡: ¡o existe si, y solo si, /l.(-yo): ]fl(.xo).

(¿) Demostrar que /(¡) = x3 - x' + 5t - ó es dife.enciable €n ¿ = .r = ó con ¿ y ¿ coDstantes. (¿) Hallarecuacioncsde¡astangeniesalacu¡va),=. t r - ¡ i+5¡-6en¡:0y¡-1. I lustrar con un gIafo. (c) Dc-teffiir¡ar cf punto de interseccióo d. las tangentes en (b). (dl H^ll^r f'lx), f"(xl,I"'lx), /t\,lx'), ...-Sol. lb) y=5x-6, y= 6¡ - 7; (c) (1, -1); (d) 3xz - 2x + 5, 6¡ - 2, ó, 0, 0, 0, . . .

Explicar claramente la difcre¡cia cntr€ (¿) /l(ro) y I'ko+), (bl I'-lxol y l60- t.

Si /(¡) - ¡':|¡|, cstudia¡ la cústcnci¿ dc derivadas succ¡ivas dc /(¡) cn ¡ = 0.

4.

50.

51.

53.

DlrF¡¡NCIAIF¡;

9. Si y = llr, = e+11', hallar (d) ar, (b, dv, lcr 6y-d],, (q (Lu - du\|Á,,, (e, dyld...

s{,/. (a}A'-;efu, or(' - i),, n ¿5,@,v#6,e¡r- !. nora: u-ax.

Si Ír) = ¡¿ + 3¡, halla¡ (a) Ly, (bJ dy, (c\ Lr/Lx, \dl dyldx y Gl ( r - dy)l|x, si r = I y Aj - O,Ol.so¿ (¿) 0,0s01, (ó) 0,05, (¿) 5,01, (d) 5, (€) 0,01

56. Mediantc difer€nciales, calcular válorcs aDroximados de (a) scn 31", (ó) h (r,12), (c) 136-.So¿. (¿) 0,515, (bl 0,12, (cl 2,0125

f7. Si ¡ = sen ¡, calcular la) Lr, lbl dy. (c) Demostrar que (A/ - ¿/)/ -x J 0 coD ^¡ -

0.

REGLAS DE DERIVACION Y FUNCIONES ESPECIALES

st. Demosrrar b) *Uk) + e(¡)) = firc + ftoO,

,*{#} =$t #uk) - s(xD = ftrct -

d..drctt),

s("\ l'(,) - tlrl s'(E\Íc¡ll' , s(r) +0.

¿¿59. Calcular (a)

; (r¡ In (¡t - 2¡ + 5)) en¡=1, (ó)

; {scnl(B' + "/6)} en'=0.

soi. (a) 3 ln a, (b) iVT

@) 1"" = o"n" f t , a>0, a*1,6l). Deducir l¿s fórmulas: . - . d ¿t(D' a;cosec

¡¡ = - cos€c u cot u Ei

C) $ rgh * = s""h'" g siendo ¡/ fuÍción diferenciable de ^.

61. Calcular kl ft q.- '", 1a¡ $cosec-rx. 1c¡$**-'", @t Ld'cothar, arcndicndo et uso dc varo-

res principales.

cAP. 4l DER¡VADAS 77

6.

67.

62. Si y = .r', calcular dr/¿t. [Sutcrencia: Tomar logarit¡nos ¿ntcs de dcriva¡.] Sor. ¡'(l + ln x).

ó3. Si y = {ln (3r + 2)}'* -'a' * o '', hallar ¿t'ld\-€n .\. = 0. ,., (tía *'-.t_z)vu","

/

Si /.: fr), con u=s(o) y 0- á(r), demos!¡ar *r# = H..#' '# suponicndo qucls y i son difc-

¡endaDles.

Calcula¡ (¿) dyldx y lbl dzyldxz si xy - lny = l.Sol. (al tll(l - ry), (b) l3t' - 2lV0 - r/)3 sicmFe quc .x), + I

Si ), = tg ¡, demostúr que y"' = 2(l + y'zl(l + 3t'1.

Si ¡: sec r y.y - tg t, calcul¡r la') dyldx, lb) d'zyldx'1, (cl dty/dxt, en t - n/4.

sot. lot Jl, Qt -r, (c\ 3J2

6t. D.moslrar ou. 4t = -gz/( !-'"' IE dry \;; ) ' precisando las condiciones de validez

69. EstAble@r lss fórmulas (¿) 7, (ó) l8 y (cl27 de la Égina 60.

TDOnXM S DE VAITOR MEDIO

70. Sea fl.r) = I - (.x - I F/¡, 0 ! x I 2. (a) Contruir el 8rafo. (ó) Explic¡r fror qué no cs splic¡blc cl tcorc-In¡ d. Rollc ¿ esta fuDción, o sca, que ¡o cxiste un ( pa¡a e¡ que /'({) = 0, 0 < ( < 2.

Verificar el tco¡ema de Rolle p¡r. f(xl = x2(l - ¡)'?, 0 =.x = l.

Dc¡nostra¡qucentr€dos¡aícesrcalcsdc¿san¡- lhayalmcnosuna¡aizdc¿cos¡=-1. fsugcrancia:Aplicar el teorcÍ¡a de Rolle a la función ¿-' - scn .r.]

(¿) Si 0 <¿< á, dcmost¡ar quc (l - a/á) < h bla < (bla - l\(ó) Utilizar cl rcsult¡do de (d) para most¡a¡ quc | < ln 1,2 < I.

Dcñost¡a¡ quc (ft/6 + {3/I5) < s€n- I O,ó < (n/6 + l/El mcdiante €l tcor€ma dc¡ valor mcdio.

Deñostra. cl cnunciado del último párrafo del Problema 20(ó).

(a) Si /'(¡) S 0 en todo puito de ]a, ó[ demostrar que /(x) cs monórona decreciente en ]¿, ó[.(á) ¿En qué condiciones es /(r) cstrictañcnte decrcciente en ]a, ó[?

(a) Demostra¡ que (scn ¡)/¡ es estrictañe¡¡tc decrecientc en ]0, r/2[. (ó) Dcmost¡ar que O S scn .x S 2¡/r pa¡a03x5ft12.

senD-scna(¿) Dcmostrar que *. , _-rrs ó

= cot {. con { cntre ¿ y ó.

(ó). H¿cicndo o = 0 y b : x cn (a), mostrar qüe é = xl2. ¿Es válido el resuhado si ¡ < 0?

TEONE[|']I DE TAYIOR

79, (a) Deúostrar qu€ ln(l+') = , - t. i l - t ' t t#aF, 0<€<r. (ó) Utilizar (¿) para calcu-

lar ln (l,l) y astiñar l¡ cxactitüd alcanzada. So¿ (ó) 0,09531 con un edor menor qüc 2. l0-ó

t0. Calcular (¿) cos 64e,. lb) tE r 0,2, (.) cosh 1, (d) ¿-or con 3 decimales.Sol (¿) 0,438, (á) 0,197, (c) 1,543, (d) 0,741

tl. Demostrar el taorena de Taylor con resto dc Lágrangc pare (d) n = 2, (bl n = 3, (c) '|

= cualquier netural.

71.

75.

1t

74,

n.

78

ta

DERIVADAS

Dcducir .l i.sull¡do (21I págin¡ 61, par¡ l¡ forma dc C-auchy dcl resto.

[SügcrEncis: Aplic¡r el tcorama dc Rollc ¡

,:@P- G-,,a

Si.ndo ,¡ t¡l que ,{¿} = 0.1

t3. Dcmostrar quc las fomas dc lagr¡ngp y d€ Cauchy p¡r¿ cl 11310 cn cl leorrma de Taylo¡ r€ pueden escribir cnl¡ forma

f,.+r(t _ r). l r+¡)(a + rf ,)r !

rcspcctiv¡mcn¡c, sicndo f = á - ¿ y 0 <, < l.

t{ Escribir:¡do (ó - ¡f,{ cD v.z dcl últ¡mo ]ér¡¡¡ioo (ó - ¡),i cn ls sugcrqria dcl Ptoblc¡tr¡ t2, obtcncr cl tcortm¡dc T¡ylor con (¿) r.sto dc l¡gr¡ngc, (¿) ¡rsto d. C¡uchy, dando v¡lorcs apropiados ¡ P.

N.ECLA DE L'HOPITAL

tll C¡lcular los limilB siguicntG:

, . . . , -scn,r", l¡il ---;r-

PRODI,EMAS VA¡IOS

90. Hallar 106 máximos y minimos rclativos de /1¡): ¡., ¡ > 0.Sot. /(¡) ticrc un mlnimo frlativo .n ¡ - e-r.

9t. Una pa.tícul¿ se traslada c¡n v€locidades consta¡ttcs D¡ y 0i en lo3 olc-dios I y II, respoctivamcnto (Fig. +?). Dcmosrrar que p¡ra ir dc P a

C cn un tiempo mínimo debc seguir l¡ tr¡ycctoria P.'lO sicndo .'l talq|tc

(scn 0r )/(sen 0r) = url¿',

[cAP. 4

/c+8\(0 lin! (r/, - crcr) (rtl li¡¡r r ln\;;i/

U) rim ¡*- t"t ri-(e!Lf)"r'. - . \ . , l

(t) li4 (r/d - cof r) (o) .tih-

(r + .¡ + .&)v'

(0 I'¡1 !}ff (p) .¡¡ll. (scna)rh'

(r) 6-i (,r) r, (t 0, (r) 1, (t) l, (0 *, (n) 6,

Mcdio ¡

(.) .liin

r¡h,

r¡¡ l'¡.;;e{#; 0 n'@.-z)t,(c)

.ü¡l! (rr - 1) tg

"/2

(d) l im r ' .-L

so¿ (o) t, lb) -1, (c) -ah,(r., .-'t', (ol .t, (pt .

lim

lim

(€)

Dcmo.tra¡ quc {J; . t## . 1 si o<,<1.

si A,T(¡) =/(¡ + ^x)

- flxl, (a) drmostr¡¡ que A{A/(r)} - ^2Í(xl

= I\x + 2^x\ - 2f(t + ^r)

+/(¡)'

(ó) d.ducir una exFGsi¡in p¡r. A'l(¡) coo ,! nalur¡I, (.) most¡e¡ quc f¡mo 4! - 7t'1r¡

"i csa límitc cxisc'

complctar ls demostración analitica mcncio¡¿da ¿l fulal dcl Problcmr ¡{).

(d) si /(¡) cs la función del Problcma 38, d€mostrar que f'(o) = 0 par¡ t¡ = l' 2' 3' ' ' ' (ó) Escribir la s€rie dcTsylor con rcsto p6r¿ csta función y dcñostrar quc /(¡) = &. (.) Explicar por qué .R. ¡o ticnde a caro co¡t ,' r @y catudi¡r lss cons@ucncias dc cstc hecho

(t

([)

(d) 0,

(l - gl.rb

(1+ zr)E

0, Ut l^a12,

at

t7.

88.

t9.

Ir¡

¡ r .U.d¡o n

I

nr,Gt

cAP. 4l DERIVADAS 19

92. Sc dicc quc una uafj.able ú. es infiiitesíña¡ si su limitc es ccro. Dados dos infinilcsimales d y p, sc dicc que d.s inñnitesimaf de orl¿r superior (o del mieno oúen) si lírn qlf : 0 (o lim d/É = , + 0). Dernos¡rar quc frr¿r¡ + 0, (¿) sÉn': 2¡ y (l - cos 3¡) son infinitcsimales dcl mismo orden, (r) (rr - sen! x) cs infinitesii¡¡al de ordeñsuperior al del {¡ - In (l + ¡) - I + cos .y}.

93. ¿Por qué no sc pucdc ¿plic¡[

blcma 91, Capitulo 2).

la regla de L'Hópital para demostrar que Iim {-I1J4 - O? (véase Pro-

94. ¿Se puede cmplear ¡a regla dc L'Hópital psra cálcular el limile de la suces¡óD u. = nte-"', n - 1,2,3,,.,?Explicar.

95. Si d cs une raiz ¡proximada dc /(x) = 0, mostrar que, cn EFneral, s€ tiene mejor aproxim¡ción con ¿ - I@VÍ@I(m¿todo de Neutonl.fsugercnci¡; SuÉn8asc que l¿ raiz es a + ,, dc modo que/(¿ + ,) : 0. Aplicar Iucgo el hecho dc qu. para¡ Fqucño. /(¿ + hl = flal + á/(¿) aprox¡hadamentc.l

9ó. Por ¿pficaciones süc€sivas d.l Problcma 95 obtcncr la r¡iz positiva d. (a) x. -2* -2x-7 =0,(á) 5 sco ¡:4¡ con 3 cifias deci¡nales. So¿ (¿) 3,268, (ó) I,l3l

9?. Si D es e¡ olÉrador d/dx tal que Dy = dfldx y úy = d/¿f, demostr¡r la fó¡tnula de l¿ibnitz

D'(uDt = lD\¿lt + "Ct(D.-' üllD1)l + ¡C!(Dr-'ü)(D.r) + ... + .C,(D.-'i¿XD.tl + ... + tD.o

siendo .q = (l) los cocficientcs binómicos (P¡oblema 95, Capitllo l).

9t Demostrar que #(rrscn¡)

= (¡r- r(¿-1)) sen (x+nnlz') - 2n" cotl, + 1r,tLl-

9. Si /'(r¡) = /"(ro) - ... -,¡11¡o): 0, pero /"*r\.xo) + 0, estudiar la m¡rcba de /(x) cn cl cntomo de¡ - xo. El punto ¡o s€ llama en este caso p¿frro de inflexión.

100. Sc¡ /(.y) dos vecls difercnciabl€ en ]a, ó[ y,supóngasc qv. Í'(al - f'(bt - 0. Demosrrer qu. c¡isle al mcnos

un punto 6 .n l¿, ó[ tal qu. ll"(éll ¿ tb+ ll@) - /(¿)]. Dar una intcrpretación fisica cn que inte¡vcn-

gan Ia velocidad y ¡c¿ler¿ción de una particula.

Capítulo 5

Integrales

DEFINICION DE LA INTEGRAL DEFINIDA

El concepto de integ¡al definida nace a menudo de la conside¡ación del área encer¡ada por la curvay: I@J, el eje ¡ y las ordenadas levantadas en ¡ = ¿ y x: ó (Fig. 5-1). Pero la definición se puededar sin apelar a la geometria.

t

r=l@,

7lz_

¿ Er ,¡ f, ,. 6 ,t t.-. / u.-r

F¡8. i.l

Sübdividido el intervalo a=x=b eril, subintervalos mediante los puntos r¡, )b, -.., xn-relegido arbitrariamente, escójaus€ en cada u¡o de los ouevos intervalos ]a, rr[, ]x,, x2l, . , , ,fx^-

" bl

puntos {r, 12,.-.,4, a¡bitrariamente. Fórmcse la suma

f( t , \ (a, - a) + Í ( t , ) (e,- a) + l (É")(a3-r , + . . . + l (É")(ó-r"- , ( r )

Escribi€ndo xo: a, xn= b y x*- x¡-r = A¡¡, esto se puede escribi¡

É l(É*)(,"-,,-,) = i ltt )ar"

Geométricamcnte, esta süma repfesenta el á¡ea total de los rectángulos de la frgura antcrio¡.

Se hace crccer ahora el u¡mero de subdiüsiones ¿ de tal modo que cada A-r* * 0. Si ¡esulta enton-ces que la suma (1) o (2) tiende a un límite que no dependc del modo de hace¡ la subdivisión, este limi-te se denota por

f"'il,\',que se llama íntegral delinid.a de f(xl entre a y b. E¡ este simbolo, /(x) dn se suele llam.r integrando y[a, ó] es el ínteftalo de integración. A vecgs s€ dic€ qüe a y ó son los límites de integración, ¿ limite in-ferior y á limite superior.

(2)

(r)

r¡-*

cAP. 5l NTEGRALES 8l

El límite (3) cxiste siemprc quc/(¡) s€a continua (o bicn casi continua) an ¿ = ¡ S ó (problcma 35).Si cl limitc e¡iste s€ dicr que/(x) cs intcgrabl€ cn sentido d€ Ricmann o simplemctlt€ ¿'rr¿g¡¿ le en la, b).

Geométricametrte, el valor de €sta iDtegral dc6nida represcnta el área enc€r¡ad¿ por la curva y = /(x),dcjcry lasordcnadasen¡=¿y¡=ásolamentesi fx))0.Si / ( r )€sposi t ivaynegat ivadentrodcl idtervalo, la integral deñnida reprcscnta la suma algebraica de las áreas por encima y por debajodcl eje r, tomando como positivas las que quedan po¡ ercima del eje ¡ y como legativas las otras.

MEDIDA NT,LA

Un conjunto de puntos dcl ejc x se dic€ tener medida nula si la suma de las longitudes dc los in-tcrvalos que incluyen todos los puntos se pucde hacer a¡bit¡ariamente pequeña (meoor que cualquicrnúmero positivo c). Se pu€de demostrar (Problcma 6) que todo conjunto €oumcrable dc puntos del cjerral ticne m€dida nula. En particular, el conjunto de los números raciooalcs, quc cs cnumerable @roble-Eas l7 y 59, Capítulo 1), tiene medida oula.

Un importante teorema en la teoría de la integración de Riemano cs el siguient€:Tcorcü¡. Si /(x) es acotada en [a, á], entonces una condición lec€saria y suñciente para la exis-

tencia ae f'¡1r¡d, es que cl conjunto de discontinuidades de /(¡) tenga mcdida nula.J " ' ,

PROPIEDADES DE LAS INTEiCXAT¡S DEF'INIDAS

Si /(x) y g(¡) son iotegrsbles er [a, ó],

?h fb ?br. | {l(r) = s(x)l¿h = | f(t)dx = | s(r't dÍ

/ 'ó ?b2. I A Í(r', d.r = A I f(rl dr donde ,, es una constante cualquicra

?h ¡.c

e. I f(x) ita = | Í(r)d,r + | f(rl da

partiendo de que¡¡) es integrablc en [a, c] y [c, ó].

?o f4

- l f ( r ) ¡Jr = - l f ( r ) de..6

)" I(x) dx = o

Sien ¿S r=b, m=f(r) = jlt donde n y M son conslantes, esfó

n(b-a) = ) l (x) dx = M(b-a)

4,

5.

6.

7. Sien ¿=

t"'fl,tu, = f.' o(a)dx

l f ( r ) ldx s i o(ül , - ¡ | ¡ü8- l). r(,\d,l = ).

TEOREMAS DEL VAII)R

1. PrlDcr t oreD¡ dcltal ouc

MD,DTO PANA TNTBCNAI,ES

Yr¡or Ddlo. Si /(¡) €s conti¡ua e¡ la,bf hay un punto ( cn lc, á[

(r)I.'f(x) dr = (b - a) f(t)

82 INTEGRALES [CAP. 5

T€o¡ena gerer¡lh¡do del rdor medio. Si /(.rl y g(-!) son continuas en [a, ó] y g(¡] nocambia de signo en el intervalo, entonces hay un punto { en ]a, á[ tal que

lo cual se reduce a (l) si g(,Y) : l.

S€gudo teo¡eD¡ del r¡lor D€dlo de Bomea. si /(r) y g(-y) son continuas en [a, ó] y sig(.y) es una función positiva monótona decreciente, hay entonccs un punto 4 en ]a, á[ tal que

fh ?(

| Í(r') s@) dt '- s(a) | f (¡\ dr

!^' f {r) o, = r,(ü) - r,(o)

Para cafcufaf J,

c'rt.r, obxrvemos 9ue ¡''(r) = rr, F(rt = flS+ c, cntonces tenemos

Í , ' , ,0, = F{2) - F{,) = (?.")-(¡-") = 3Como c desaparece de todos modos. es conveniente escribir más simplemente

(5)

(6)

Si g(x) es una función positiva monótona creciente, hay entonces un punto { en ]¿, ó[tal oue

,1, Segudo teoremr geocralizrdo del r¡lor medio. Si /(.r) y g(¡) son continuas en [a, á] y sig(¡) es monótona crecientc o monótona decreciente y no necesariamente positiva siempre,como en 3, hay un punto ( en ]a, ó[ tal que

?h ¡ t / .ó

I l(rrg(")¿, = e(o) | f(r)tu + s(ü) | i(r) d' (8).'|4

Este resultado sigue siendo válido si se remplaza continuidad por integrabilidad.

INTEGRALES INDEFINIDAS

Sifir) es una función dada, entonces toda función ¡(r) tal que F'(-x) = /(¡) se dice i,¡regrul ¡ndef¡ni-da o antide uada de f(x\, y mejor aún, pr¡müiuo de f(x). Es claro que si ¡(x) es una integral indefinidadel(x), también lo es f(-r) + c con c constante cualquiera, pues [F(r) + c]' = F'(¡) : ./(x). Así, pues,todas las intcgrales definidas de una función difieren en uDa constante. Se utiliza a menudo el símbololf$)dx pata deootar una integral indeñnida cualquiera de /(x).

E¡aoDlo: Si F'(r) = ¡2. ¡¡ts.a... ¡(¡) = Jnz¿r = ¡r,/3 + ces una integrat indefrnidá o primitiva dc ¡2.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CATCULO INTECRAL

Si/(.t) es continua en [a, á] y F(.t) es cualquier función tal que F'(,t) = /(.r) [es decir, F(x) es unaintegral indefinida o primitiva de lx)], entonces

0

(e)

Este importante teorema permite calcular iltegrales defrnidas sin apelar directamente a la deñnición,slempre quc s€ conozca una integral indefinida de una función.

a¿

l , '",," = i[ = ?-# = i

c|r rl

lslta e¡tonces ouc

INTECRALES 83

ETEICIAI.ES DE¡INIDAS CON I,¡WTES DE INTEGRACION VARIABLES

UDa integral indeñnida se puede expresar como uf¡a integral definida con'limite superior varia-E 6.ribÉ¡rdo

(10)

(11)

Como una integral deñnida depe¡de solamente de los llmites de integración se puede emplea¡ cual-

icr variable como simbolo de inregración. Por ejemplo, J"' t@)a, =

[.' rula, = !-' ftOar,

c- r¿zón por la cual suelc decirsc quc la oa¡ioble es mudq- Se puede escribir (r, ), por ejemplo,

ft!"'rav, = ro

f noa, = ¡"'* Í"' rco'

f(r\ ¡tÍ + c

= f(al

(12)

Esto se puede generalizar al caso en que sean variables los limites de integración inferior y superior.Así se tiene

* t"'i',' ,uro, = ¡t @\# - r@(tt# (r3)

, t r"¡ren ¿ ,- scn rt d(rr) scn¡ d(¡) 2 sen:r - *ntE¡.o¡lo: + | --::- d¿ = =::: :+r - _:j: '::- '

drr, _l_tt = __T _A; _

" d,

CAMBIO DE VARIABT,E DE INTBCRACION

Si no se encuentra inmediatamenae una determinación a, f f{r¡ a, expresada por funciooes

cl€mentales, puede s€r útil c¿mbiar la variable de ¡ a r po.la t.arríformación ¡ = g(¡). El tGorema fun-d¿mental que permite hacer esto se ¡esume en el enunciado

f rcto' = trwuto,too, 1t4l

donde una vcz obtenida Ia integral indeñnida del segundo miembro se remplaza f por su valor en fun-ción de x, esto es, por ¡ = g- t(x), supuesta uniforme. Este resultado es análogo al de la rcgla de de-rivación cn cadcna (Égina 59).

El teorema correspondiente pa¡a integrales deñnidas es

t"' ft,10, = !"' ttnroto'rr\0, (15't

cong(d):ays$l=á,csdecir ,q=g- ' (o l , f=g-t(ó).Estcr€sul tadoescic¡ tamentevál idosi / ( ¡ )es contitrua en la, bl y si g(r) es coqtinua y tiene derivadas continuas en d S t S A,

INTEGRALES DE FUNCIONES ESPEC¡ALES

Los resultados sigui€ntes s€ puedcn demostrar derivando ambos lados, con lo cual se tendrá unaidentidad. En cada c¿so ha de agregaF€ una constante arbitraria c (omitida aquí).

r. !""au = # n*-rz. t! = n¡"1S. t *nu itu = - cos¡¿

4. t cosuilu = senu

f ry udu = ln lsec?l- ln lcos zl

f cotu ttu = lnlsen¿l

INTEGRALES

[cAp. J

27. f sech2 u du = tgh ¿

22, f cos*nz udu= - ss¿¡,

28. f whu tgh u d?r = _ee€hu

21. -f'cosech

u c.oth u dt! = -coscch ¡¡,E ( tlu* ' Jñ - tn- 'á o -"*- '#eA(¿u- . Jñ = tn lu+@i@1

f "o"nu"otuár=

!*a" = f if *au

f coahu au =

f ' *uou =

t cothu au =

f aecnu au =

f rnxrtr u at =

ToT. FsPr:crAr,Es DE rNrTcnÁc|oN

¡. |n¡egr¡clóo pol ¡rrhs.

10.

f s,r.,u au =

f"o"nuau=

f a*" u au =

f cowc2 u au =

f secu tg uau

In lsec¿ + tg ¿ltnltE (u/2 + "/i')lln lcosec a - cot rlh I ts u/21tga

- cotu

= aecuI1.

72.

18.

74.

18.

t9.

20.

EJGüCo f I

Ei¡o¡lo:r

- cosec ¿

a>0, ara !

co¡h ¿

senh &

ln cogh ¿

ln Jsenh rl

tg- r (scnh ¿.)

- coth-¡ (cosh u)

3,¿-z

6zt-r+2

* t^#, = j tg- , t , - l * t - ,#,8. Í#a = *,^l#.*t-{ f f i= i" t6,to' J"ffi = !"o"-,;

" j*-,f[ ¡d&a, = tw=an =fnlu¡¡¡ t ¡V¡

s2. Í t/F=d" du = irÉa *{**,i83. f e" v:nbu du - ¿"'(o sen óz - b cos üz)

34. ) e* colbu du = e"(q co*u.tzb ser- bu)

f^"^ -:. uu - f t,au

:. f r@)0,{,)0, = r(z)c(z) - f r,q,¡01,¡a,:fl,{:,,ifii"ffiT'lq#m:rltiffm'*ffi #,,1d*::#"H"T;t.:;

2. Fr¡odo¡es lnfcl¡¡€& Toda funai¡do er srado de p(r) inrerior al ." T,::t::"l n-t*i "n -que

P(¡) v o(¡) soq porinomios, sien-de la forma --4-

o, *1"\ s€ puede cscribi¡ como suma de funcio'es racio¡¡ares

o* o- *" jff""*, ?L."rTttr

donde r = 1,2,3, ...que sicmpre se puede¡ inte-

@l@ = *- '* ia*¡¡* t#fi.#A

2r+6

3i,trlrT"Tiii í; iif; ;.'#;r.?,:._,ffil{ñrr:,=;:""ol L.' "*o"n** 0"

A.+B

su¿rcspotcncias;c-;;;;"#J;.'#;:.?,LH:1".fi :HirTX#Í:tHffiti#"l,Í

A 'I

INTEGRALES 85

t hfu rdoo¡h| dc !a¡ ¡ y oB ¡ s€ pueden idtcgrar siempre por funciones clementa-lcs hacicndo la sustitución Ex/2: u (vcase Problema 22),

a Hry oétodoc cqcclelcs que depcnden de la forma particular dcl integr¿ndo y que se em-plcan a menudo (Problemas 23 y 24).

TIEGTAI,ES IMPROPIAS

S¡ cl intervalo de int€gración [a, ó] no es ñnito o si.¡f(x) no estí dcñnida o no cstá acotada en unorÉs prntos de [a, ó], se dica que Ia ir¡tegral del(r) en este it|tervalo es una htegrul imp¡opia. Emplea¡-

-

opcraciones dc ümitc adccuadas s€ pueden deñnir las integrales cn casos semejantes.

"¡- ,er"r , J"= ] l ! " t "#F = J i ! l , r - , "1.= ;* ts- ,M -

, t2E coph 2l

Ej.oplo 3l

I,'?" = ¡r'.. Í,:h = .,jn ,n|. = .uB (2-zr.) = 2

Í,* = :*Í,? = . ' jr.rn,l '= .r i . 1-r,,4.

Como cata líltútc ro cxistc, sa dice que l¡ i¡tag¡¿l divcrge (e3 decir, que oo c¡nwrge).

he más ejcmplos, véanse P¡oblemas 33, ?8-80. Mayor estudio de las integ¡ales impropias en el Cap!ú 12.

ETODOS NTJMEIICT'S DE CAITUI.() DE INTBCNAI,ES DEFINIDAS

Existen métodos numéricos para calcular integralss dcñnidas cuando oo se pueden hallar exacta-Et!. Lo$ siguieN¡tcs métodos ouméricos csp€ciales s€ b6san cn subdividir el intervalo [a, ó]€n r part€sides de longitud Ar : á - ¿/¿.Tara eimpliñcar s€ denota/(¿ + /rÁ.r) : /(rr) por ¡, ón t = O, t,1 . -., ¡- El simbolo * signiñca <aprorimadamentc igualr- E¡ geDer¿I, la aprorimación ncjora atIe¡ta¡ ,t.

f. fcsb dc bE t. rfAr|o8.

)- f l t l at - ar luo+b+yt* " .*u^-tY o L! í lut+a2+as+.. .+u, l

La interpretación geomé'trica es cüdente en ta figura d€ la página E0.

2. n€h tü3 b t{Gdc.

(rd)

?b

)- f(rl a" - ff{ao+2v,12u,+. +2v,-t+ u't Unque sc oUtitc tomanOo La media de las apro¡imaciones en (ró). ceomAricameDtc, equi

vale a sustituir la curva ¡ = f(x) por un conjunto de scgmentos de recta qu€ s€ ap¡oximana ella.

3. RcSl¡ d€ S@0r.

/ .b ^ i| Í (x) dr - l@o+4U,+2Az+4ur+2a4+4gt+ . . . +2U.- .+4A.4+U' l ( ¡E)

Se obti€rc diüdicndo [a, á] en un nrlmcro par de intervalos iguales, (z cs, pues, par) yaproximando /(x) por una función de scgundo grado que pasa por cada 3 puBtos sucesivoscor¡espondicntes a, xo,xbxz; xIx2,x3i .,.; ¡r_r,¡i_t,¡,. Geométricamente equivale arcmplazar Ia curva / = /(¡) por un conjunto de a¡cos parabólicos que 8e aproúman a ella.

¿l D iaot.tlr dc Trylor pucdc utiliz¿rse, a veocs, como co el Problcma 26.

INTECRALES [cAP. 5

APLICACIONES

El poder calcular la integral como límitc de una suma permite r€solver muchos problemas fisicos

o g"o-étri"ot como determinación de áreas, volúmenes, Io¡rSitudes de arcos, momentos de inefcia,

ceftros de masa, etc.

Problem¡s r€$eltos

DEFI¡üCION DE LA INTEGIAL DEFINIDA

l. Si /(x) es continua en [a, ó], demostrar que

, , - b-o + r /" * r . ( ¡-o)) = (o futdnj ' . : : "

¿,Y---n-/- Jotr* t" 'pü.sto que /(¡) es :ontinua, el limire existe independicntemcnle del [iodo de subdivisión (Problema 35).

Dividiendo [a, á] en n partes igüales dc longitüd A¡ = lb - ")h (Fig 5-1, pá9.80), sea 1¡ - a + t(, - a)/¡'

k = 1,2, . . . , r . Entoi¡ces,

tsi,i,ra'r-. = ¡1iT.á,G.*#) = !"'ro*. - l i i . ¡ r \

2. Expresar |tg;¿l(;/

como integral definida.

Sean ¿ = 0. ó - I en cl Problema l. E¡tonces,

. . / r - \

.,r:; ¿ /(;) = J. Í@td'

3. (¿) Expresar I ¡'d¡ como límite de una suma y utilícese €l resultado para calcular la integral

definida dada. (á) Interp¡etar el resultado geométricamente.

(¿) Si /(¡) = r',6 f(klnl - (k/nlz = k'/n'. Asi qu€ por el Problema 2,

.'s:.á5 = l.'**Lo que se pucde escribir, por el Probl€ma 29 del CaPitulo l.

!,,,a, -- t11:(#. #*.. **) = :ll{iu*-s= ]'i4r#d! = ]*E!.f-!]/") = i

que €s el limrre pedido./vora: Aplicando e¡ teo¡cma fundamcnla¡ del c.ilculo se observa que

J. l*: ttVtll¿ =

r3l3 - 0./3: u3.(á) El átea encerr¡da por la curva,: x', el eje ¡ y la recta ¡ = I es igual a1

f r r 1 l{. carcufa¡ l . : l { ; i i + l iZ+ .. . + f+"1.El llmit€ s€ pucde escribir

r f ' I i : ' l

lrx il #v"- + ¡i¿¡; + - r;r¡"J = 1.::; ¿ ir;n

= Í , ' , * = rn( l+¡)r ; = rn2

aplicando el Problema 2 y cl teorema fundamental del cálculo.

^-l

G^r. 5l INTEGRALES E7

!l Demostrar que I i - I { r"n1+ s€n?l+. . . * , .n(a-1)¿} - r -cosü- ¡ - - t t [ t l n -" - - - ' n ) t

Sean a = O, D = ,, i(r) = sen Jf cn el Problema l. Entonces.

. rg, i i , *** = ! .*n,* = r-co.¿y, por t¡nto.

apl icando t im M' = o¡- . n

. tn* i - ,*"* - 1--co!¿

XEDIDA NULAa. Denostrar que un conjunto de pu¡¡to6 enumcrablc üene mcdida oula.

Denot¡Ddo cl cor¡junto dc puntos por ¡¡, -r¡, ¡3, ¡., , . . y suponicndo los puntos c¡cerrados, resp€ctiva.mcnte, por intervalos d€ longitudcs mcnolcs qua al2, 44, alg, a/16, . . , , ao¡ c ¡rositivo, ls suma dc las lonEtudcsdc csto6 iotllval6 c6 mcnor q¡¡c d2 + q4 + 4E +.-. - G (co¡a: gAy¡ = lcnet problcma 25(a) del Capi_rulo 3), lo quc p¡ucb¡ que el conjunto tienc mcdid¡ ¡rula,

ITOPEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS7. (a) Si /(x) es continua enla,bf y n < Í(x) < tt4, siendo n y M constanües, demostrar que

,n(b - al = f" ¡O,l * < M(b- al

(ó) Inte¡prrtar el resultado de (a) geométricamente.

(¿) sc ticn.

m.^r. = f (a. l L.¿ t M^h k=1,2,- . . , r

Sum¡ndo de t - I a r y por sar

) ar¡ = (¡r-d) + (r¡-r t + . . . + ( t - r ._t = ó-d

$e siguc que

'¿(ü-o) É .iftr,lo,. É M(ü-o)

P¡s¡ndo al lfnite para r + @ y c¿d¡ A¡¡ -

0, sc tic¡¡cel rcault¡do.

(ó) Suponi.ndo /(¡) ¿ O y contioua cr¡ [¿, ó] ct g¡¡fo dc hFig. 5-2 sdjunts muestra qua geométric¡mcnG

A..a ABCD S Areabajo y - f(xl = At t ABEF

as¡o C3,

tr(b-d) = | f l rr¿" s a$-",J.

Quirando la rcsrricción /r) ¿ 0 !e puedc dar unalnlerprctación sqncjante. El result¡do es vólido t!m_bier si Í¡) es caliconrinua cr [¿, ó].

88 INTEGR,ALES lcAP. 5

lab | ¡ .b8. Demostrar que ll Í(xl d¡l = | l/(,r)ld¡ si ¿(b.

t¿. | ¿oPor la dcsigüaldad 2. página 3.

t"irtt.ro*¡ = jutrra"'l = juc.rt-.

Pasando al limitc p¡ra ''

J @ y c¡da ^.r¡ -

0. s€ tien€ e¡ resultado.

9. Demostrar que lim f'" s:lut-

d, = 0.¡-- Jo r. +n-

= t(t) { entre r y r+¡r

por el primer tcorema del valor mcdio para inlegrales (Probl€ma l0).

Entonces, si ¡ es un punto inrerior ¿ [¿. ó]

r '(") = t inrnF('+t)-¡( ' ) = i im/(t) = /(r)

puesto que / es continua_Si x = ¿ o-r = ó, sa utilizan los límitcs a la derecha oa la izquierda. r€spectivamentc, ycl rcsult¿do sig¡¡c

siendo válido también en estes casos.

lf'";+'l = Í"'"1ffi1* = !,- # = #Asi que lin I f'"***l = 0, y s€ lrene el rcsuttado buscado.. -q lJ i , '+ r¿ ' I

TEOI.EMAS DEL VALOR MEDTO PARA INTEGRALESf0, (¿) Si /(x) es continua en [a, ó], demostrar que existe u¡ punto d en ]¿, á[ tal que

/.6

| ¡g¡ar = (D - 4) /(6)

(ól Interpretar g"ométricamJrtc €l rcsultado de (¿).

(¿) Cor¡o /(¡) cs continua cn [¿, á] sc pucde¡! hallar consranres r¡ y M t^les qne n = f(xl Á /U, E¡ronccs,por el Problcma ?,

^=Lp!=aComo /{,r) es condnua, toma todos los valores entrc ,n y M (Capjruto 2, problcmas 34, 93). y habrá unvalor ( tal que

De donde multiplicando po¡ b - a sc ticne cl resultado pedido.

(ó) Si /(¡) = 0 con grafo como cl dc la figura del Problema 7(ó), s€ puede inrerpretar J.

/(r) d, como et área

rayada bajo la curvaJ/ = /(¡). Geométricamente, esta área debe igualar la de un rectángulo de basa ó - ¿y altura /({) para algún ( entrc a y b.

'IEOREMA FTJNDAMf,NTAL DEL CALCULO INTEGRAL

fl. si F(c) = | f(t) dt con /(x) es continua en [a, ó], demostrar que F'(x) - /(¡).

C^P. 5l INTEGRALES

l¿ Demostrar el teorema fundamental del cálculo intcgral,

Por cf Probfema I l, si f(¡) cs una función alahu¡eru crya den\ada cs /(,r), sa puede cscribir

F@) = f ^tt

d.t + c

s¡endo r ¡ina constante (véasc {¡ltima linea del p¡oblcma 22, Caplulo 4).

cor¡¡o ¡(¿) = c, sc deduce qu. Ft¡) = f' ¡<rl o, * ,(ol o f' ltlo, = r,(ó) - f(¿lJ" J.

t.3, Si /(x) es conrinua en [a, á], dcmosrrar que ¡,(r) = f' ¡1t¡ at ""

continua en [a, D].J. " '

Si x es ün punto inlcrior dcl [¿. ó], cnlonces. como en el Problema ll,

l imF( '+¡) -F(,) = l* [ l ( r l = o

y F(¡) es co¡tinua.

Si¡=ay.r=ó,sauti l iz¡nlosl imitesaladerechayalaizquierda,r€s¡rcct ivamct|tc,paradcmostra¡qucF(¡) cs continue en ¡ = ¿ y ¡ - ó.

Otro détodo I

Por el Problama I I y el Problema 3, Capilulo 4, sc sig¡¡e quc F'(¡) cxiste y que cntonccs ¡(¡) dcbc scrcontinua.

CAMBIO DE VARIABLFS Y METODOS ESPECIAI rS DE INTEGRACION

l¡f. Demost¡ar el ¡csultado (141, p^gna 83, para el cambio de va¡iable de integración.

Sean F(¡) = I Ax)dx y O()= | Astrt ls ' l t rdt, como,x =s(r).J" Ja' - -

Lueso dF = f\xl dx, dG - IlsQ)ls'(tldt.Corno dx=glt)dt, s€ sigue que f(xldx =

^glt'llg'(ldt

de modo que dF(x) = dcltl, de dond.Flx l=61¡¡*" .

Ahora cuando -y = a, t = ao Fla\ = C(d) + c. Pero como F(¿) = G(d) = 0. de modo que c - 0. LucgoF(¡) = G(¡). Cono .r = ¿ con ¡ = f, se ticne

como sc buscaba.

15. Calcular

!." too, = lo,ua,\o'aro,

p\ !

p+z¡sen (¡ ,+4¡-o)d¡ O Í ' ,7Lrr*r7¡r_r¡ le) ("t !n" ':;'- ¿,.ro {l _ at

0 ( -Jp:" \ /x2+r+l

Sc¿ rr+4r-6=¿. Luego l2t+4)dr=úa, ("+2rt t t = ¡d¿ y la in legrat es ahora

1f1.) scntLdu = - icosu ¡ c = - )eos (x' + 4' - 6, + c

M¿{odo 2:f f

J (¡ + 2) scn (¡ ' - 4¡ - 6) dr = + J sen (¡ ' ¡ 4¡ - 6) d(z¡ + { ' - 6) = - l cos(r¡+4¡-6) + c

(ó) Con ln z = ¿. es l.¡¡rlt = ¿u y la integral se convierle cnf

J coizdt¿ - ln isen¿l +¿ = ¡n \en{ lnr) l ¿c

89

(b) f cot lln ¡))

--- o,

Méiodo I I

ol [ ,-' rlh z'1-'dr

90 INTEGRALES [cAP. t

(6) Marodo I ¡

(d,J JG + zl(s - '-,

( d ' =Í drJ J6:I;-; r Jd=E;-i

M¡¡ao 2¡Sc¡ a - & = r. co'no an !l Método t. Par. t = -1,

qu. por .l Problema 14.

(' d" = ( ___¿"_J-'-¡-1a +2¡s - r¡ J -, {At1 - @-)'

. , l+1Mostrar quc ),e=#+q",

= A.¿4

Ercribasc l¡ intcg.l .1, G=ff¡F.

C- r-t

¿=1, ¡= r t - tO=0; p¡r . ¡=2, ¡ ¡= r t - t l l { l= r le,

¡=-!: y p¡ra r=1, r=*. I> modo

=l-#=scr¡- , ¡* l¿ -a2 V26A - t

= scn-¡ 0.2 + scn-¡0.ó

(dt S.. 2t-'=¡.- Lucgo -2r-'ft2)dr =dt y 2-'t, = -#, cor lo qr¡a l¡ integr¡l ci

-#.f Eh ¿d¡ = - ¡r* ln corh2,-' + o

(¡) Sc¡ scn-tr'=r¿. Lucgo |

= frrrt*

= ffi

yl¡ inrcgml .. cntonccs

tJ "a" = |tt* o = l(rcn-'4 + c

nr.",*1"tffiar = ¡13¡¡¡-,+¡lú= ¡r*"-'¡f = fr.,^ f tdt 1?2t+1-1. l f 2t+1 r f d,Ú, r- : = = | - :ut = =¡:ar-=|" : :

J { l+r+1 zJ {x '*a+t z, ' \ l r '+t+l z¿ {u,*u* l| ?

r)-r¡d( ' t+ '+l) -+14= i . l l " .+ '+ .¿ , t@+rr.+l

= .¡FA;¡l - ¡rnlc+l+1ftTlf{l + o

i

:i

1

C,,. Ji, .d r úrJ. 15+tls¡ "F

=

f?. Ilctcmin¡r 1."

"*-3{W.S.a ¡n, = g, ktxl/' = dy.

¡'r ¡,/f, *¡ "

¿¡ IJ. -F;F;iñ- r t

= rF V", d" = y'tleCúúr. P¡r¿

l¡ int€¡¡l scñi cnronccs

JÍ*r,4" = l*n"

Si ¡=s, y=t; s i x=é,t=2.

l '3=5l :=3

l.t I

l . =¡ '

Asi Ia iricgr¡l se convicrta a|r h

c^P. 5l INTECRALES 9t

f& Halfar I x"lna dx si (4) ?t - '

-1, (b) l = -1.

(o) InreJrrndo p.r, p"rtes, sean, = In x, rJu = x" dr, con lo que ¿¡: (d¡)/-r, o - l'tlln+ l). Luego

. t ' C x. . t dt)" ' r r , "d, = Jú! =

""-J od¡¡ = - : - ln5-J; i1. ;

= ' l l . ' ' - " r lr i-i r'' ' - ("'TlF + c

?r(ü)

-f r-t ln r dr =

J ln ¡ d(ln ¡) = .J(ln ')'

+ c.

f -19. Hallar

JS¿2'+t dt.

Sca JZx +1 = * 2x +'l - y1. E tonc.s ¿(: Idl y la integ¡al se vuclve J3'',d/.

Iítctrando por partcs, se¿n u: y, do:ydy; lttego dt- dy, u= y/0n 3), y se ticnc

#*"A). Hallar

Con

!, r tn@ + si d.r.

¿ = ln(r+3t ¡ lú = tdu. Ltego

= f , r , ,1"+sr - i {?-**r t , ,+st} + "

J'crn(a+a¡aa = ! - l rnr +!rna

ú' = #a, o =

f,. o".oao quc inlcgrando por partes.

Lucgo

/ . A-1Halfar fa

) f, -s(z, *d\o''. 6- t A B

Po. Iraftion$ porc¡ales, s€a G-:TXt;T;i

= =S + 2r+6-

MéIú I:

Para determinar las constantca ,l y 4 multipliqucns€ ambos miembros por (,r - 3X2,¡ + 5) para obtcDer

8-, = A(2r+6, + Blr-gt o 6-t = 64 - 3B + l2A+ B)E (r)

Como ésta cs un¿ id€ntidad, 5A - 38 = 6, 2A + B = - | y A - tllt, I : - l7lll. Entonc€s.

. l 'o4** = Í#** t f f i * = f i ro1"-a¡ - f inp,+a¡+.Mtldo 2:

D€ns€ a ¡ valorcs apropiados en la identidad (t). Por ej€mplo, haciendo -r = 3 y ¡: - 5/2 en (r), se tiene

inmedi¡tamentc I : 3lll, B = - l7/ll.

,. Aa22. Haffar

J 5T#"., empleando la sustitución tE )tl2 = u.

En l¡ Fig. 5-3 es

J al,t(r+ttdz = f;rn1"+ar -+.f {# = f;rn1'+sr - *J('- '.f i)t"

I

Vl+ Ír*nt lz

92 INTECRALES

€nronces. cos r = cos' ,/z - sen' r/2 = l;#.

du = +sec"/ztu o alr = 2 cos" rl2 dll

Asi qüe fa iotegra¡ s€ convierte ," .¡' ;fr"

= +

carcurar J1!ffidc.Sea ¡=z-y. Entonces

, = J,"ffpo" = t""t\+I;!\'a =

= -"1"#* - I - -n rg '1cosY)l l

o sea. I = j ' /2- I o I=n' /4.

lcAP.5

zdu

rg-t ul2 + c = i rg-, (t ts rl2l + c.

"Í""rf?.=;*_ Í""#"*ntu- I = ¡ '12 - 1

t1

24.. r tz , /*

Demostrar que | -==J]!! -

a, = ].Vsenr + Vcos¡

Haciendo , ' = n/2-u, se l i .ne

. fro r ' ; ; fnn r/"o"s (, . /""" 'r 'o Vs€n¡ + Vcosc r0 Vcosy + Vseny Vcos¡ + V\enr

Luego

r-r = t ' '"--!Yt-a, * f=,----[ ' : :-¿,J0 vscnr I vcos¡ r 'o vcos¡ + vsenr

r - 'V*" ' + úo", , f ,-ñr

= |r 'o vsen l r I vcosr

de donde 2I=nl2 e I= 4.

El mismo mélodo se puede aplicar para demostrar que para lodo valor rea¡ de rr.

f , ¡ sen' x

J" sen- "

. t cos" ¡ * ' - 4(Problema 94).

¡y'ora: Este problema y el 23 muestran que algunas integrales definidas se püeden calculár sin hallar antesIas integrales indefinidas correspondientes.

METODOS NUMERICOS PARA CALCULAR INTEGRALES DEFINIDAS

. ' .1,25. Calcular |

-+ aproximadamente, mediante (r) la regla de los trapecios, (ó) la regla de

Simpson, dividieodo el int€rvalo [0, l] en n : 4 partes iguales.

seall¡) = l/(l + .y'z). Con la notación de la página ti5. se liene Lx : (b - alln: ll - 0)14 = 0.25. Con-s€rvando entonc€s 4 dec¡males, se t iéne:10 =/0)= 1,0000. y ' =.^O.25) = 0.9412. r : = /10.50):0,8000.. t ! : / (0,?5) = 0.6400, y. : f l ) :0.5000.

(a) La .egla de los trapecios da, pu€s,

^. \ 0 ?5

- l r ' ¡ - r 2r , + 2t2 +2.t ! + l . l ==1t.00u0- 2r0.94r2r 210.8000, i 2r0.ó4u0, + 0.500; = 0.7R28

,¿-¿

-¡

cP.5l

(á) L¡ ¡egls d. Simpcor ds

INTEORALES 93

A¡- o25

- lyo+4yt+2tr+4y.+y.)-=(r ,mo+4(0,94t2)+2(0,10@)+4(0,64{n)+o' lm}-o,ns4.El v¡lor c¡acto 6 fr14 * 0,7E54.

?|

¡. (¿) Crfcular )o

efu p, el tcorcma de Taylo¡ y (á) cstinar cl cno¡ mÁ¡imo.

Como cn cl Problems 28, Capltulo 4, sé eocucot¡a quc

c = L+ "+f i+f ;+f .# o<r<,Cañbisndo cntonces r por r2,

. ' = 1+c+f i+f i * i*# o<t<¡f

I ¡ tcgrardodc0al ,

! , 'ca" = J'(r*"+$+$* i)* * "

(si . Ídocrcnor n =!, ' ^4...6¡

= r+|+#i *¡h+¡fu+r = 11618+¡

Dcñodoquc tt = lÍ, '#no,l = f ' l#"¡* = "f, '#* = ¡j¡¡<o,oozr.Ad, ¡rcq cl ccor ra&imo cú nc¡or quc o,qD¡, dc Eodo quc Gl v¡lor dc l¡ i¡t g¡rl Ga l,,tó coú dos

dacirD¡lcs Gf,rctoc. EDplca¡do ñás érüi¡od c¡ cl tcorci¡a dc T¡ylo¡, sc obticúa ¡nsyot cf,rctitud.

¡PI¡CACIONES

z'. Hallar (a) el árca y (á) el momenro de ine¡aia cotr ¡esp€cto al ejc ¡ de la rcgión del plano ry cncc_rrada Por ¡ = 4 - ¡2 y cl eje x.

(a) Subdivld¡lc l¡ r ió¡ .n .Éc{á¡gulo6 como cn l¡fgu¡¿ dc l¡ pógi¡¿ t0. U¡ Ectá¡gulo cu¿lquicr¡ icvc e¡ la Fit. 5-4 adju¡t!. Ertonc.s,

Arca bulcrd¡ = l¡a¡ j t(aJar.

:= ¡tm > ({ -t!) ar¡

= J,c-"1a" = f(á) Suponicndo dcNidad uno, cl momcnto de iÍefcia

cao ¡rspacto al cje y dcl Gcdngulo dütcrior ctCilG¡)A¡r. Lucsp ¡t!5-a

MoDcnto d. i¡crli. = .li¡n > tir(tJ A'¡ = jX¡.e6({-t)ar¡

= [_3l--ata. = f f

94

a.

TNTEGX.ALES [CAP.5

¿Cuál es la long¡tud del arco de ¡a parábola / = ¡2 desde ¡ = 0 s ¡: l?

Longirud del arco = J.

,/, + lttultlzl'dx = J.

\,/l + l2rl dg

f t -= ).'Etzaa, = rJ.,fiTaa"= +(+'¿Vi+7 + ¡rn1a+y'rT7¡¡l: = +VE + lh(2+\/6)

29. Hallar el volumen que genera la región del Problema 27 al girar en torno al eje.x.

volüürcn busc¿do = ,ri- ¡'r¡o,. = ,

['¡e-a'at = 612'tró

PROBT,EMAS VAnIOS

3lL Si l¡) y g(¡) son continuas en [a, ó] demostrar la desigtaldad de Schwarz pora inregolet.

/ ^b

\r ^t -t'(l t@)s(''td") = | 1¡1r¡¡"ax | @@l),d"

\ . / . , / . ,d

Sc ticnc

J. ttt"t + rr(.))'& = J. txav a" + z>. J. tt"t tol a" + r.J. (e(,))'d, = o

pare todo valor r€¡l dc l. Luego, por cl Problcma 13 dc¡ Cspltulo l, cÍDlcado (r) c¡o

t ' = J.uta| faz, a ' =

J.utn 'a, , c = J. t tztc@tat

* tica. C2 é 12R2, que cs el csulrado pcdido.

f)emostrar el seguodo teorema del valo¡ mcdio expresado por (E), pégina 82, suponieldo la exis-tencia y continuidad de g'(¡) en [c, á] adcmás de las otras hipóresis.

Sca F(r) = J. /(¿)d¿. Inlegrando por parres

J. "t c@t a" = J. ek\t'@*

= ,(,) r(,) l: - ! o'@tl@aa

= s(ó) F(D) - J. c'l,t F(,t dxCaso I: glxl é mo¡ótoria c¡ecicntc, €3 d€cir, a'G) ¿ 0,

Entonc6, poa e¡ primca tcorrma gener¡l¡zado del v¡lor mcdio para intcgmles (páE¡a t2), se iicnc

). e'@l Ftxl dx = rC)J" o'G, tt' = F(r)fs(ó) - s(¿)ldondc a cstá cn ]a,á{ dc modo quc

) l lxl e@t dx = e(ó)F(ó) - r(r)fr(ó) -r(a)l

= s(dl F(tl + ,(ó) [¡'(ü) - ¡'({,

= ool (' t@t d, + stb,) ( ¡@t ¿,¿¿

Coso 2t glxr as monótona dcc¡ecictte, o se¡, quc a'(¡) S O.I¡ dc¡¡root.¡ción 6 parccida ¡ la del Caso l.

cAP. 5l TNTEGRALES

l¿ (d) Si /'+¡¡(.r) es continua en [a. ó], demostrar que para .t eo [r¡, ¿],

95

tb)

l. De modo que cs válido para todo €nte-

integrales (págiria 82) se tienc,

tenlre¿yt

! ( , t = l la l + Í ' (d\( , -a, * reP* . . . ¡ t ' " ' (a\?- at *1! , 'e-O"r*" too,

(ó) Aplic¿r (a) para obtene¡ las formas de Lag¡ange y dc Cauchy del rcsto del teorsma de Taylor(página 6l ).

(¿) Por inducción matemát¡ca (Capitulo l), el resultado es válido pará ¡ = 0, pues

^,) =

^ar+ J. t )d. . = t (al +

^| l i - t@t+t@r-t(at (r)

y suponicndo que lo es pa.¿ ,| = *. ¡ntcgrando por partes y aplicando

Y_¡¡L at = d.u, f t+D(t t = ü ¿si que u = -ffi, dú = fr+"lt) d.t

fi l.' a - or r,, " ar a, = - l:*i1-l$;!-1 1. .

-+r f

' * - 0k+¡ /ü+¡, (0 dú

= r,. ', ' i ,;! i, i""' . ff i J'r"_0.,,/o+.,(0dülo que muestra que el resultado es válido para ¡¡ = /< +ro¡r¿0.

Por el primer teorema generalizado del valor mcdio para

I F(r)c(r)d¿ = F(() | c(4d¿J" J.

H¿crendo ¡,(t) = / '"" '(0, c10 = f$, .. oo,,"n.

i. J-. a-u"t'-"at¿' - t'"'-')G' Í. e- tt"dt

qüe da la lotma dc Lag¡ang¿ para el resto [€cuación (20). página 6l]. con ó en vez de x.

con rg = lJ!!-Q-@--Ü, G(¿) = 1, se tiene

a f ' r"-o"¡ ," . , , r , ,¿, = / ' ' . " ( l ) 9:- : ! . l l ( ' ro, = / ¡""( t ) ( ' - f ) ¡ ( ' -¿)nlJ" ' - ' ' " - ' n! J"-- ' n l

qüe da la fonña de Caxcáf para el resto lecuación (21l, página ól], con ó en vez de ¡.

^n 't-. . t33. Demosrrar Cu"

^lr1 )" TIÁ

= 6.

s. r iene , ,+4 = r ,+4r '+4-¿r ' = lz '*2), - (2t) ' = (r '+2+2"(r '+2 -2 '1.Descoñponiendo en fracciones parciales, sea

1 _ Ar+B , Cr+D7r+4 - , r+2r+Z - , , -Zr+z

De dónde 1 = (A+Clr '+ (B-2A+2C+D)r ' + (2A-28+2C+2D), + 28 + 2Dy enronces A+C = 0, R-24+2C+D = 0, 2A-28+2C+2D = 0, 28+2D = 1D€ donde A=*,8=I, C=-t , D=1. Asi . pues.

( dt 1 l ' a+2 1( u-2J" '+t

= B J 7+ z"ÍZd' - E) i ;4;7Va'

= ljinf * . áÍ 6#r-, - áÍ #,, . *JE=S.r= *! tn{ , .+2,+2) +l tg- ' t ,+r¡ - f t rnr" ' -zr+z) + } ,s- '1 ' - r ¡ a c

9ó INTEGRALES

Entonccs. ^r . ( .

, . ¡ dr , . tL É(M'+2M+2\ * ! , "_, , .* , , * !,lIlJ" "'+ ¿- = Jn tc-\u'- r-t +T/ r ¡ 'B v' r ¡' i ¡

Se denot¡ estc limitc por | -L

, que sE llam inte$al improJria de primerq especie. Más adelante, en el Ca-' Jo i '+ t .pirulo 12. se trala dc estas in¡egralcs. véase también Problcma 78.

,. fi sen ú'dú;:'; u1 '

lcAP. 5

34. Calcular

t -'c- , (M-r) l

= á

=I

Como sc cumplcn las condicioÍes para la rcgla de L'Hópital, rcsult¿

| | scnt 'dtlrm --j- =

+ (r')

: - lsenr¡ l, . sanrt . , c l rt |m- = l ¡m -. - .4U'

+(a''),, 3rt cos rt= l::l rr".-

35. Demostra¡ que si /1.r) es conrinua en [a.á] exisre | Í$\at

S"" "

= j ,f(tJ Ar,, con la íotación de la Ég¡na E0. como /(nl es continua. se pucden hallar números

Mr y ¿¡, cxtrcmos superior c inferior de /(.y) en cl intervalo [ri-,. -r¡] de modo quc ,r¡ S ¡.r) 5 Mr. Sc tiencentonc€s

¡ ¡ (ó-c) = ¡ = > '¿¡arr =o = >MÁ'¡ = S = t t ( ¡ -¿) (r)

sichdo ,n y M los oatremos inferior y sup.rio. dc /(x) cn [¿, á]. Las sum¡s r y s suclen llsmars€ $ña W¿¡iory wma supet¡or, raspcctivamcnte.

Elitiendo ¿hora otra subdivisión de [a, ¿] y consid€.ando l¡s sumas inlerior y supcrior corrcspondicntesr'y S' se t€ndrá

para dcmostrar lo cua¡ basta clegi. una tercera subdivisión mcdiánte ¡os puntos de división dc lás dos primerassubdiv¡siones. y co¡siderando las coÍespondientcs sumas inferior y supcnor I y ¡. rcspectivamcntc. Por cl Pto-blcma E9 se tiene

s'=S y S'=t

¡=ú=?=S' ¡ '=¿=l=S

(21

(r)

lo cual demuestra l2).Por (2)es cla¡o también quc el aumcntar el númcro de subdivisioDes las sumas superiorcs dccrecen mo¡ó-

tonamente y las sumas infcriorcs crccen monótonamente, Como segln (/)tales su¡Ías son támbién acotadas,sc sigue que ticn.n valores limites i y S respcctivañcntc. Por el Problema 90, s = S. Para dcmostr¡r quc cxistela integral es necesario demostrar que i 5 S.

Como /(.y) es continua co el intervalo c€rrado [¿, ó], cs uniformemcntc continua. Dado etrionccs un € > 0sc puede lomar cada Arr dc rnodo que M¡ - ñr < ellb - a). Se deduce cnlonccs que

PcroS-r=(S-S)+G;- i ) +( i - r ) y como cad¡ po.éntesis cs posi t ivo r .sul ta S- s mcnor que cpor {l). Siendo 5 - i un número dc6nido. debe s€r cero, esto cs,5 = i De modo qu€ los l¡mites de ¡as luñassr¡p€riores y dc las sumas inferiorcs son iguales y queda demostrado la ex¡stencia dc Ia integral definida.

(¡)

¡ y',-

cP.t INTEGRALES

Problem¡s propuestos

I'E¡IN¡CION DE I.A INTECRAL DETINIDA

r' {¿) ExPrcsarJ t¡dt como limib de una suma. (á) utilizar cl r.sultado pare calcular la inregra¡ dcfinida dada.

(c) Intcrpretar geométrica¡úcnte. So¿ (r) *

t valiéndosc dc la definición, catcutar (¿) f'1rr*r¡rr, p¡ ('pe-rr¡a". sol. (¿) s, (ó) IJ. Jt

- . (^nt I:s' Demostra,quc ll:xl/-iT+7-i7'+ *;i;ii = t.-- ( 7, + 2. + A, + .. . + r, r I3. Dcmostrar que lim i*j:r--:-:--:--':: = --+-:i s' ?>-r.r_. L

¡¡. Aplic¿ndo la dcfiniciór¡, demostrar que J.

., i|u = .' - ¿..

al. Haccr d¡r€ct¿mente cl Problema 5, aplicando el Probl.ma 94 dcl Capitulo t,

a2. Demostrar quc li. {+++ + ... + -!-}

= ln(r+V2).r- . |V ' t ¡+1¡ {n +t \ t r '+r . )

.43. Dcmosrrar quc .tl:l.á;¡fxE¡ = tg-l' ,i rso.

PNOHEDADES DE LAS INTEGRALES DE¡INIDAS

¡l.. Dcmostr¡r (d) la Propicdad 2, (ó) la Propicdad 3 dc ls págin¿ tl.

,at si /(¡) cs inres¡¡ble en la, c[ y ]c, á[, deñosrmr quc t.' nO* =

[.' tAlo * [.'ttO*.

¡aó. sií¡f yg{¡) son inlegrables ei La,bly flx) S g'r;), dcmostrar or" f'^r)a = f s@l ttl..t. J-

¿l?. Dcmostrar quc 1-colr = élrWra0=r=r12,

r-r I¡3& D.mosrrar qu. | | "fl"i ¿rl = h 2 para n.- lJ . r+t I

I rú"- ' t n" - |¡r9. L:,ü¡osrrar que lJ, -A+l d"l= t%.

TEONEIUAS IIEI, VALOR MEDTO PA"RA INTDGRALES

l). Dcmostrar ef resultado (5), pá8ina 82. [Suger.ncia: Si ñ5l(¡)5 M , es n g(x, = .lk) glxl = M cklgrcse lucgo y aplíquese ¡a Propiedad 7, página 82.]

51, Demostrar que c stcn valores (r y(,en05¡= I tales quc

f 'gn'" , 2 ¡ -J, i, +-l

04 = n¡lTlt

= ¡ scn

'€r

52. Dcmosrar qua hay un valor < en 0 < ¡ 5 r¡ tal quc f'"-'"o"rd, = ,.n6.J.

CAM¡IO DE VA¡I¡JLE Y METOÍ'OS ESPBCIALES DE INTPGRACION

53. cafcurar: g¡ J*c*..'c",ed", At I,'#d,, A\ Í,'#i, O fffa*n Í:,#r. so¿ (¿) 1¿*".t + c, (6t r'tsz, (ct tta, (Q -z cotb, g+ c, (é) ¡ bs.

97

98 INTECRALES

r' it¡ -_ {l ,r, ( d" = ,/-4:} * ".sa: Mosrrar quc (¿)

J" (3 + rr;,)ú- -- 1,, \o) J ,,¡-¿ _, - V

ss. Demosrr¿r que G, J '/" '=a'd" = 4"'/,. '=7 t ¡a'tn|r+

y'7E71

\b) J{ar-Lrdu = ¡ ' .Vd'-ur + ta 'sen-tülo. + c, o>o-

5ó. Halkr | --=:::-=. sd. F+zt+s - lnlr + r + V"+2¡+61 + c.J \ , / . '+2t+6

57 D€mostrar la válidez del método de integración por partcs.

[cAP.5

Calcr.rlar (a) _[

rcos 3'dr, @rÍ '"e-*d.- iot. (al -2/s, (ü) -t¿-t '({r '+6c'+6,+3)+ c

Mostrar que @l !, ,' rs-, r au = ¡!z - { + { ln 2

6t Í ' , , / " ' +" +t d, = * . * . } t (H)60. (dl Si ¡¡ = /(.r) y ¿:: g(.\-) tienen dcrivadas /r+simas conlinuas, demostrar que

, ' f

I uo" 'ar = ü ' ' ¡ - t ' - ¡ ¡ 'ur i - ' ) + u ' . ¡D"-" - . ( -1) 'J Í6 'ud,

fórnula glrvrat¡zada dc intc|tación por pütes. lbl ¿Qué simpl¡ficaciones se presentan si ¡l("':0? Discutir.

(c) Apl iqucsc (a) para calcular I r 'senc dc. Sol . (cJ t ' - l2t ' *4a

¡t ,a, t -261. Mostrar oue | . - - = -B-.

' Jd 1¡ i I '_t f -+¡,

lsugerencia: Por fr¿cciones parciales. suponiendo

y calcufando A. D, C, D.)

62. Derhosrr¿r quc ( '" o' = -4, "

> t .Jo ¿ - cos¡ y '¿ '_1

METOIX)S ¡ruMERICOS PARA CAI¡UI,IR INTDGRALES DEFINIDAS

63. Calcular I r= (r) por la regla de trapecios, (ó) por la rcgl¡ de Simpson, toñando t - 4. ComÉrcs€ conJr t+.

el valor cxacto. In 2 = 0.6931.

ó4. Por (¿) la regla de trapecios, (á) la regla de S¡mpson..ut"ular f"' s€n':xdx medi¡nte los valores de sen2 ¡ en

¡ = 0". f0, . . . . 90' y compara¡ con el valor e^ cto Í/4. " j

Demoslrar (¿) la regla de los rectángulos. (ó)la de los trapccios, csto €s (1ó) y (r7)dc la página 85.

Demos(rar la rcgla de Simpson.

Calculer por integración numérica con 3 decrmales cxacros: (¿) | ff¡, Ol I cosh r' dc.

So/. (a) 0,322. (b) I .105

5E-

59.

ó5.

ó6.

67.

r A B Cx+DGTl l 'GiT r l

= (¡+l f - -"+t - ; tTi

APLICACIONES

fA. Hallar (r¡)cláraa, (¿)e¡ momento de irerciacon respecto al eje/de la rcgión de¡ plano ¡r cnccrrada por r: scn r,0 = -r = ,r y cf ejc -r, sut'oni€ndo densidad uno. !/l. (al2, (b') tt'. - 4

Hallar el momento de inercia con resp€clo al eje .r de la región ancerrada por y = ¡: y .y - r', si la densidad es

proporcional a ¡a dislancia al eje .r. So¿ jM, cori M = masa de la región,

Mostrar que la longi tud del arco de rutüar ie.r . : cosh x de .r :0 a x: ln 2.es i .70.

cAP- 5l TNTEGR,ALES 99

?L Mostra. q¡¡c le longitud dc ur eftodel¡ cicloi& x= a(e - s.n0),/ = ¿(l -cosd), (0 S 0 = 2¡)6t¿.

tL D€rnostrer quc cl árca cnc.Íed¿ por Ia clipse .1/¿¡ + r1/b2 = | as rab.

?3. Haller cl volumcn dc la rcdón obtcnida por revolüción de l¡ curva / = san ¡, 0 5 ¡ 5 4 en tomo al aj¿ x.sol ft1n

7a Demo3trar quc cl ccntro dc m¡se dc l¡ rrgión enccrrada por, = 1F:F, -a3x3ayelcj.¡6 (0,,1¿l3t¡).

tl (a) Si p : /(ó) cs le ccü¡ción de uria curva en polarcs, mostrar quc cl árts crcerrada por cit¡ curva y l¿¡ acctasr ¡o¡

e=q y o=orcs ; J¿. p'd4, $t Hdlar cl árca cnc.r.ads po. u¡ buclc dc l¿ rerüscata p2 =42C/d,s24.

Sol. (bl az

tó (¿) Dcrnoctrar quc l. fongiM del erco dc la cr¡rva dcl Problana 75(ar.s (" ,/p,-i (Á¡6d1. (ó) Halla¡ t¡fo¡gitud dc atCD d.l, cadbi& p = ¿(l - cos ó). Sor. (ó) 8¿ ".'

PNOBLEIITAS VAnIOS

77 D€moctmr.l tcoram¡ dcl v¡lor mcdio par¿ las derivadas a pa.tir dcl priñcr teorema dcl v¡lor mcdio par¡integ¡ales. fsug€rcnci¡: Hág¡sc ,/(x) - ¡'(¡) cn (l), págiÍ¡ tt.]

?& Demostr¡rque 1", ,rE Í,"# = r, (ü) JJ.,Í,'f, = 6,(c).¡jT. f,"'#,, = t

y da¡ una irterprct¡ción geométrica dc los rcsültados.

fEstos lir¡it s. quc 6. suclcn ¿*ot f' & f' dz ¡' d¿

J, ,lT=¿' J, E t J, É

respectivamcnlc' sc llam¡n

htegales ínyopias & segufu ¿Ve.¿ (Problem¿ 33), pucs los intcg¡¡ndos no son acotados co cl intcrvdo dci¡tegr¡ción. Mayor.studio dc iricgr¡16 impropias cn Capitülo l2.l

?9. Demostrar quc (a) llrn I d.-,dr = 4! = 2{, (ü) lim | ---L = +,r-. J. ,-o* J, , tr l2-r\

st carcurar @ Í," #?, e, L''' ffid", at Í,";kt.(ó) I (6) no existe

tlt.

Sol. @r+sv8

&I

t4

¿xtl¡ - c¡lltl. Calcuf ar ,!ig, ------- *

"* ii-- - Sot . alz,

&!, Demost¡ar tol 9 ftt l+l+U ttC = 8r'1¡,-i-g,*s¿-2t, (bl ! (" *.eu = z' cosu. - co6ri.- @J, - dt J.

Itcmoclrar cl r!.ulasdo (rr) dc l¡ págin¿ 83.

t r -

ar t . ¿iDemostrar quc (d

J. VT+s."rd" = {, (ü) J"-- ",*ff;.*

= ,/il"b/l + tl.

¡' ¿-Explica¡ la falacia: t =

J_,r+'s = -J_,il? = -r, usando la transfomación ¡ = l/y. Asi,

pu€s, /= 0. Pcro 1= lg-t(t) - tg-¡ (- l) - fr14 - (-¡ l4l =,¡/2. De modo que ¡/2:0.

Deñostra¡ quc f ' "ya" = 1,*- '* .J. { l+r '

100 INTECRALES [cAP. 5

t8. Demosrrar quc rr*l = I I tl x es irracionaltu sr .r cs ractonal no es Inlcgrable en scntido dc Ricrnann en [0, l]'

[Sugerencia.: .. En f2). página 80, scan Ér, k = 1.2,3, . . ., n primcro pur¡tos recion¿lcs y lucSo puntos irrac¡o-nalcs dc subdivisión y cstudiar las suñas infc¡iorcs y supcriores del probtcma 35.]

Demost¡ar el rasult¡do (J) det Probrcma 35. [sugcrencia: primcro co¡sidérese el efecto de un punto más de sub-división so¡amcntc.]

En cl Problema 35, dcmostrar que.í < 5, lsugcrcr¡cia: Suponcr lo co¡trario y llcgar a una contradic.ión.l

Si /(¡) es cesicontinua c¡ [¿, á], dcmostrar que f' ,rr, O, urrr".lsugerencia: Cubrir cada punlo de disconai-

nuid¡d con un intervalo y obscrvese que la suúa dc las longiludes d€ tal€s intervalos s€ pucd€ hacar arbilraria-mentc peque¡ia. Considé¡csc luc8o la difcrencia cnt¡e tas sumas supcriores c infcrior*.1

sz. si t(x) = {f"_, i}ili,*r^, !,' taro, rnrerp.crar 8ñinc¡menlc cr rcsurrado. so¿ e[6r_l 1<r<2

93. Calcular .f {r - [r] + +] d, s¡cndo [¡] cl m¿yor cntcro contcnido.cD x. Intcrprcrar g¡áñcam.ntc el rcsultado.sot. ! "n

94. (a) D.rhosrrar qu. J*;#*;ü d, =

; para rodo vator reat dc,r.

(áf Dcr¡fosrrar que Í,'" #Eq

= "

95. D.ños¡.ar que J^""!9¡3 d, .rirt.

96. Mostrar quc J" #* = o,4g?2 ap¡o¡imadamenr..

!}7. Mosr¡ar quc ( -41-

= "' Jo I + co!! ' zl i '

90.

91.

Capítulo 6

Derivadas parciales

FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES

Se dice que una variable z es función de dos variables x y ) si para cada par (,r, t,) existen uno oEás valores de z. Esta definición se correspond€ con la definición general de función como correspon-dencia e¡¡tre dos conjuotos (página 20). Ahora los dos conjuntos son (l) un conjunto de pares (¡, /)[que se pueden representar geométricamente por un conjr¡lto bidimensional del p¡ano ¡],] y (2) unconjunto de números reales reprcsentado por la variable z.

Se emplean las notacion€s /(x,.),), ¡(x, J,), etc., para el valor de la función en (¡, /) y se escribez: f(x, y) z: F(x, y), etc. A veces se utiliza también la not¿ción z: z(x, y\, entendieldo en esteq¡so que z se usa con dos significados diferentes, como función y como variable.

Ejeoplo: Si f-r, r) = x2 +2y1, entonces f3, -l)= (3)'z+ 2(-1lt:7.

El concepto se generaliza fácilmente. Asi ¡¿ = F(¡,1, z) denota el valor de una función en (-x, y, z)[que es un punto d€l espacio tridimensional], etc.

VARIABLES DEPENDIENTE E INDEPENDIENTE, DOMINIO DE UNA FUNCION

Si z = F(¡, ,l'l z es la uariable dependiente y ¡ y .v son las tu¡iables indepexdientes. La función sedice uniforme si a cada par (x,l), para el cual está definida, solo corresponde ün valor de :i si hubieremás de un valor de z para algún par (¡,1),lafunción es multiforme y se puede considera¡ como formadapor va¡ias funciones uniformes. Por ello basta con limitarse al estudio de funciones u¡iformes: si nose dice otra cosa, se trata de tales funciones en lo que sigue.

El conjunto de pares de valores (puntos), (,t, _y) para los cuales una función está definida. se llamadominio de definiciótr o dominio de la función simplemente.

Ejeüpfo: Si z: J\ -1P;7, el domrnio para el cu¡l : es re¿l se compone del conjunto de punros(,y,-}') tales que,r'z +,y'? = l. esto es. del conjunto de punlos de un circulo con su inlerior en elplano ir, de cenlro (0.0) y dc radio l.

SISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULARES TRIDIMENSIONALES

Se tiene utra generalización inmediata de Ia representación habitual para funciones de dos varia-bles en €l plano Jq,, construyendo 3 ejes perpendiculares entre sí (los ejes -\, ), y:) que se cortan en unpunto O (origen). Un punto del espacio tridimensional queda representado entonces por la terDa (r, y, z),que son las coordenadas del punto. En este caso, : : /.r. l') [o bien F(-t. ¡, ;) : 0] represe¡ta una su-perficie, €n general.

Ejcdplo: El conjunto d€ puñtos (.y..r . :) talesque:="/ l :- i i t - ¡ ' l comprende la superf icie de una

semiesfera de rudio I y centro en (0. 0, 0).

Para funciones de más de dos va¡iables no son ya posibles tales representacio¡es geométricas, sibien la terminologia se sigue cmpleando. Por ejemplo. (,t. y. z, u,) es un punro en el espacio de 4 dimen-siones;ú=f(x,1. : ) loFlx,y, : ,a)-0]representaunahiperes/craen4dimensionesasí,- t2+-12+z2 + w2 = a2 es una esfera de radio a > 0 y ce¡tro en (0,0,0.0).

t0t

lo2

ENTONNOS

DERIVADAS PARCIALES [cAP. 6

El conjunto de puntos (¡, y) talcs que l¡ - rol < ó, ly - yol . ó con ó > O, * llama entomarectangular ó de (¡o,lo); el conjunto 0 < lx - xql . ,, O a l, - /ol < ¿ excluye el punto (x6, ¡6)y se llama entorno rcctangular ó rcducido de (¡0,l,o). Obs€rvaciones semejantes s€ aplican a otfos en-tornos, por cj€mplo, (¡ - ¡o)2 + (y - yof < 6' cs uo entomo circular ó dc (r¡, ¡¡).

Se dice que ün punto (xo, yi es potto llrnite o pünto de au.t tulac¡¿¡, de uo cotrjunto S si todo ento¡-no ¡cducido de (¡o, /o) contiene pu¡tos o elementos d€ S. Como en el caso de un conjunto lineal d€puntos, tdo conjunto inñnito acotado tiene al menos u¡ punto límit€ (leorcma de Bolzano-Weierstrass,páginas 5 y 50). Un conju¡to quc contiene todos sus puntos llmit€s 8€ llama conju\to cerrado.

REGIONDS

Un punto P que pertenec.e a un conjunto S se diae hrefior a S si axiste un cntomo ó ¡educido deP cuyos puntos pe¡tencc€n todos a S. Un punto P quc no perte¡ece a S s€ dice punto exteriar

^ S si

e¡iste uo entomo ó r€ducido dc P cuyos pu¡tos no perte¡r€cen todos ¿ S. UD punto P que peleDece aS x llama puto lronle¡a de 5 si todo entomo ó ¡educido dc P cotrtiqne puDtos que perteDec€! a S ypuntos quc oo pertenecen a S.

Si dos puntos cualesquiera dc un conjunto S se pueden unir por una poligonal de un nrlmero finitode segmentos cuyos punto$ p€¡tenec€n todos a S, se dice que S es \rn conjurto conexo. .R¿g¡Urr es un con-junto con€xo consiste¡te en puntos intedores o en puntos intcriores y puntos fronten. Región ceta¿aes la que conticne todoE sus pu¡tos front€ra. Región abierta es Ia que solo consta de puntos interiores.

En las Figs. Gl(a), (ó) y (c) s€ v€n ejemplos de regiones. La rcctaagular dc la Fig. 6-l(a), incluidalafronteraocontomo,repres€otaelcor juntodepuntos¿Sx5_b,cSl=4queesunage¡era-lización obvia del irtervalo cerrado a g x! áen una dime¡sión. El conjutrto c < x < b,c < y <dexcluyc la frontera.

En las regiones dc las Figs. Gl(¿) y 6'l (ó), toda cLroa simple cerrada (curva que no se corta a si mismaer ninE¡n punto) interior a la región se puede r€coge¡ hasta ¡educirla a un pu¡to que también pertenec€a la región. Tales regiones se llaman simplemente ¿or¿r4J. En la Fig. 6'l (c), en cambio, u¡¿ curva simplecaÍada ABCD alred,cdor de u¡o de los (huecosn de la regióo no s€ püede recoger hasta que sc vuelvaa un. punto sin sali¡se de la región; y estas regiones & llamaÍ m1úhiplernen e conexas.

LIMTTES

Sea /(x, y) definida en un enror¡o ó reducido de (¡0, /o) [es decir, que /(x, y) puede no esta¡ defin!da en (xo, ¡o)]. Se dice que I es el límite de f(x, y\ al tender r a xo y y a yo [o bien al ter¡der (¡, /) a(ro, ¡o)1, lo quc se escribe lim !(x, yl = / [o bien lim Itt, yi : il si á iodo nrtmero pcsiüvo e

- G.r l - tb. ht- - '

Fls.6-l

r. l-^

c¡"P. 6l DERIVADAS PARCIALES 103

! puede hacer co¡rcsponder un número positivo ó [que depende de € I (¡0,.J¡o) cn general] tal queJlx, y) - ll < e siempre que 0 < lx - xol < ó y 0 < l_y -.l,ol < ó.

Puede cmplearse el entomo circula¡ reducido 0 < (x - xq)z + (y - yd2 < ó2 en vez del entor-E r€cta¡gular reducido.

EJeúpfo: sca /( , ,y) = { l ' , : : l : ' l la l l l l como¡- r yy+2[obien (x.yt-1.2)] . l tx .y lI u st \qu) = \ r tz)

sc accrca más y más a 3lll(21 : 6 y es de suponet quc lim /(¡, t) = 6. P¿¡r¿ dqnost¡a¡ ?9rc \ay

quc hacer v€r qua s€ verifica ¡a arterio¡ definici¿n ¿e liriiie con ¡ = 6. Tal demosrración puedehaccrse por un método scmejante ¿l del Probleme 4.

Nórcsc qu. lim /(¡, t) + f(l , 2\ @rquc f(l , 2'l - 0. El limirc serí¿ 6 cn cfccto aun cuando

/(¡,/) no estuüera definida cn (1,2). Asi, pucs, la €xistencia d€l limitc d€ /(¡,)) cuando(x,y)- (:o,yo) no dep€ndc en absoluto de la cxistcncia d. valor d€ /(¡, ),) en (¡o,/o).

Obérvese que para que exista . .lim . f(x, y\ debe te¡er el mismo valo¡ i¡dep€ndientemente(¡'r)_(¡.'tbl

d.la maoera de tender (x, ¡) a (xo, yo). Y asi, pues, en caso de que dos maneras distintas dc tender haciaLro, yo) den valores distintos, el límite no puede existir (Problema 7)- Esto implica, como eo el cáso deñ¡¡ciones de uoa v¡riable, que si un limite exisle es único.

El concepto de limites unilateralgs para fuociones de una variable s€ genemliza fácilmente a fun-ciones de más de una variabl€.

Fj"qlo l: ,ljg1

rs-'oy'¡) = *2, ,L1n-

te-r lylxl - -xl2

El€nplo 2: litn tg-' (/x) no existe, como sc w cla¡amentc por el h€cho de que dos ¡nane¡as d€ tender

a (0. l) dan rcsultados disti¡toe.

En general, los teoremas sobre lírnites, conceptos de infrnitud, etc., para funciones de una variablell,áeina 24't se aplican igualmente con modificaciones apropiadas a funciones de dos o más variables.

IJN'IIES REITERAIX)S

ftLos límites reiterados liÍf. { tim l(o,y) I

f ty l imJ lim /(¡,y) l,[que rambién s€ denoran

,-,. t. '- )

lim lim /(r, y) y lim lim /(¡, /) respcctivameate] no son necesadamente iguales, Si bi€n tienen,-,. t-roque ser igualcs para que exista lim /(¡, ),), su igualdad no gara¡tiza la existencia de este último límite.

i:i3Efenpfo: si n'.vt = fif,, r".s" ly(Jj$ ffi) = r'a nr = , I I:T(IIX;#) =

hq (- l) = - l. Así que los límites rciterados no son igu¿les yt por tanto, no cxisre lim /(¡, /).

CONTINUIDAD

Sea /(¡, f) definida en un entomo ó de (ro, yo) [esto es, /(x, y) debe esta¡ dcfinida también ¿¡(x6, ys)]. Se dice que /(.r, ¡) es continua en (16, ¡¡) si para todo número positivo é e¡iste un númeropositivo. ó [que,depende de c y de (xo, ¡6) en general] tal qve lÍ(x, y, - f6o, yoll < é siempre quclt - rol . ó v ly - yol < ¿. Nótese qu€ para que /(x, y) sea continua en (xo, y¡j ian de satiifaceiset¡es condiciones.

104

l. f im f(x, yl = t,

DERIVADAS PARCIALES

o sea, que el limite existe para (¡,/)' (to,/o)

lcAP. ó

/(xo' ¡o) debe existir, es d€cir, /(x, /) esrá deñnida e¡ (¡o, /o)

I = f(xo, yo\

Lo quc spuede €scribir en la forma lim Í(t,y) = l(l im r, l im ?).

Er.npro: si i(,.y) = {i-/ i:',ii:ii'.i, es , , . ,1i¡¡, , , , /( ' ,v) = 6 * l(1,2). LucSo

/(¡, /) no es continua cn (1,2). Si se defin la funcióú d. mancra que/(x,!) = 6 pnr^ lr., yl -(1,2), cntoncls la función cs continua €n (1,2).

Si una función ¡o es continua en un punto (¡o, ,ro) se dice que es d¡scontinua eD (xo, yd, que s€ llamae¡tonccs pprro de disconthuidad- Si, como en el ejernplo anterior, cs posible definir la función en clpunto de discotrtiDuidad de manera quc tenga allí un valor que haga la uueva función continua, s€ diceq\e la discontinuidad es eoitable e\ la prirnera función. Una función se dice conti¡ua eñ úna rcgión Rdel plano xy si es continua en todo punto de 9t.

Muchos de los teor€mas sobre co¡tinuidad para funciones de una variable sc puedcn gcneralizarcotr modificaciones adccuadas a funciones de dos o más variables.

CONTINUIDAD UMFOR,ME

En la definición de continuidad de /(x, t,) en (¡0, /o), d dcpende de € y tambifu de (xo, yo) en ge-neral. Si cn una ¡egión R se puedc encontrar un ó qu€ solo dependc dc € y no dcl punto panicular(xo, ¡o) en { [es decir, que el mismo ó sirve para lodo punto de qt], entooces f(x, y\ x dice ndorme-mente conthuo er q. Como para funcioDes de una variable, se puede demost¡a¡ que una función con-tinua €n una región ccrrada y acotada es uniformem€nte continua €n la región.

DEN¡VADAS PAN,CIALES

Las derivadas o¡dinarias de una función de varias variables con respecto a cada una de las varia-bles indcpcndi€ntes, mantcniendo todas las demás variables indep€ndicntes conslantes, se llaman de-rivadas parciales de la función con r€specto a cada variable. Las derivadas parciales dc /(¡, /) con res-

pecto a ¡ y l se denotan 0". # [" f ,, Í,(q,ú, t*|,)t

#1" ,*,^,,ur, #1.1,**.*"-mente; las últimas notaciones se utilizan cuando se quierc indicar las variables que se dejan constantcs.

Por deñnición,

Si una función./ tiene derivadas parciales continuas AflAx, AflAy en una región, entonces / dcbeser continua en la región. Pero la sola existe[cia de estas derivadas parciales no es garantia de la con-tinuidad dc / (vease Problcms 9).

2.

3.

# = :iy"re.ttffi, # = liy"L@!t#a (r)

si este limite existe. Las d€rivadas en el punto (xo, y¡) se indican con frecuencia po. $1,," ,,,,

= t,t".. UO

+l = | llro,lJo]- resf,ectivamente.

Ejc¡npfo: Si lq,v) = 2f +}ru,, es l , = ¿tf/¿r = 6r¡+3yt y l" - dl l¿v = 6'a. As¡.

/ , (1,2) = 6(1f +3(2f = 18, 1¡(r ,2) = r j (1)(2) - t2.

^-¿

c^P. ól DERIVADAS PARCIALES 105

DETIVADAS PANCIALES DE ORDEN SUPERIORSi /(¡, t) tiene dcrivadas parciales er cada punto (x, y) de una región, entonces dfl|x y ófl\y son¡ su vez funciones de ¡ y / que puedcn tcner también dcrivadas parcia-ies; estas s€gundas derivadas sedctrotan

a (af \_aT _, a/ af \ et a /ó/ \ er ¡ / ¡ r \ ezrú\ra )= aF

= r*' a!\il! )= #= ¡-' ;;\ú ) =

¡Éú = f"' ú\í;)= ú# = f- (2)

S1.f,r l l* son.cootiouas, entonces /,, _= f,- y cl orden de dcrivación puede ser cualquiera; no siendo¡s¡, las ocnvadas pu€den no s€r iguales (problemas 13 y 43).

El.Ddo! Si /(¡, /) : 2rr + 3l (véa* cl .jempto prcccdc¡r.), cmonccs ¿, = t¡,, fD = 6x, L, = 6y:r¡. En t¡l caso /*(1,2) - t2, 1,,0,2) = 6, f.,(t,Zl = fue,2l = 12. ".

De igual maoera se define! dcrivadas de o¡de¡ superior. nor cjemllo, ¡S

: Jrr* es la derivadadeJfuna vcz respccto de / y dos vcces rcspecto de ¡.

DITERENCIAI,ES

Scan A¡ = dx y Ay = d/ indem€ntos dados a ¡ y J¡, r€sp€ctivamentc. Entonces,

^z = f(t+ar,!+^al - Í@,a) =

^f (r)

*..llaña ínüemento de z = f(x, y\. Si /(¡, /) tiene primeras dcrivadas parciales continuas en una ¡€_g¡On, en¡ooc€s,

. Af df dz- dz-^z

= ; ;^x +ú^y + \^, +.2ay =

t tu +f i t tv + <,t t t + edy = ^f

( l l

dondc cr y e, tiendcn a cero con A-r y A¡ (problema 14). La crpresión

, Az. A2-6? =

liar +

lld.a o at = ffat + fiau (5)* llama difercncial toral o simplemeo,tc dderencial óe z o f, o bien pate p ncipal de Lz o

^f. Nótcse que

L2 + dz en gcneral. Pero si A¡ = d¡ y Ay = dy son (p€queño$r, dz-cs u¡a buena "prári.""iOn-JaAz (véasc Probfema l5). ¿t y d/ s€ llaman diferercbles de x y r,, ¡espcctivamente, y do son rcccsaria_

mente Fquclos,. Si/ts tal qu€

^/{ -o &) s€ pucdc expr€sar en la fo¡ma (l), donde €r y c2 tiendcn a ccÍo con

^¡ y

{¡-, se dice -qye /

es dilerenciable en (¡, /). La me¡a existencia de Jf, y , no as€gura por sí misma ládiferenéiabif idad; en ca¡¡bio, la continuid ad de f, y t si (si bicn esra co tición eil¡eámcnre más rcs-tricliva dc lo n€c€sario). Si/, y, son continuas cn uná región g(, sc dicc que/es coa-r iwanente dileren-cioble en fl.

TDO¡EMAS SOBRE DITDREI\¡CIALES

En Io quc sigue se suponc que todas las fünciones ticnen prime¡as derivadas parciares continuascn una ¡egión R, es decir, que las fu¡cio¡es son continuamenle difcrenciabtes en {.

l. Si z = Í(xL, x2, . . ., ¡¡), e¡tooccs

¿¡ = ffa,, + fiar" + ... + {a,"sean ¡¡, ¡2, . . ., r; variables independientes o dependi€ntes de oras variables (p¡obtema 20).Esta es una generalización dcl rcsülrado (J). En (ó) suelc uti¡izarse z en vez de f

(6)

106

entonces,

DERIVADAS PARCIALES [cAP. ó

Si/(.xr, rr, .,r,): c' una constante, enlonces d/ - 0 Nótes€ que en este caso xt ' xt' ' ' 'r'¡o pued€n ser todas variables independientes.

La expresión P(¡, /)dx + O(¡, /) d/ o' más b¡evemente, Pd¡ + g dl es la diferencial de Ilx' y\

.eP ao _ . .si. y sofo si, 'ú =

K t" dice entonces qu€ Pd¡ + Qdyesúñ diferencial exacta'

La expresión P(x,y,zldx + QG,y,z'tdy + R\x'y.zldz o breve-mente^ Pd¡ + Qdy + Rdz

es la diferenciat de f(x, y, z) si, y solo si' t# = X'tf

: #

t# = # se dice entonces

qne Pdx + Qdy + Rdz es una diferencial exacta'

Las demostraciones de los Teoremas 3 y 4 s€ hacen mejor por los métodos de capítulos posterio-

res (véase Capítulo 10, Problemas 13 y 30).

DIFENENCIACTON DE FUNCIONES COMPUESTAS

Sea z = 16,i "e¡

¡ = g(r,sl y = h(r, s), de modo que z es función de ¡ y r' Entonces'

,# = v*'# . #,#, x = #,'#. v*'# (nEn generaf s i u -- F(xt . . . ,x^\ con x, = f ' ( r , , . . . , r ) , . , . , a, = l " ( t , , . . . ' rc\ '

3.

Au au AÍr 6u ae2ó¡r ¿h Ar* At2 ar*

k=7,2, . . . ,p (8)

Si en pa¡ticular x ¡, X2, . . . , x" dependen de una sola variable J, s€ tiene

Au ilh Au drz ,taa; 'd;,l l -

au da"dx" da

Estos resultados, ¡eglas de cadena, como se lcs dice, soo útiles para t¡ansformar derivadas de un conjun-

to de variables a otro.Derivadas de orden superior se obtie¡e por aplicación reiterada de las r€glas de cadena'

TEOREMA DE EI'LEN SOBRE FUNCIONES HOMOGENEAS

Una función F(xr,x2, ...,.x,) se llama homogénea de grado p si para todos los valores del pará-metro ). y una ciena constante p se tiene la ide¡tidad

F(xe'¡ . r2, . . . , r4") = r 'F(r¡ !2, - . . , r " )

Ei.oolo: l'(¡, ),) = x' + Xcyz - 5r' €s homogenca d€ g¡ado 4, ys que

I(L,ry) = (I ') '+ 2(¡, 'XIr) '- 5(\ur' = ^' l ' t

+ zru'- óv') = r'¡ '( ' ,¡/ l

(10)

EI teo.ema de Euler sob¡e funciones homogéneas dicc que si F(tr, ¡2, . ., r') es homoSéoea degrado p entonces (véase Problema 25)

+ x"fr = 'py

¿u Arn

duúa

¿F" |tz

óF' ' a¡

c|'. ól DE¡IVADAS PARCIALES 107I,ÑCIONES IMPI,TCITAS

En gencr¿l, una ccuacióD como la F(x, y, zl : 0 dcfine una dc las variables, por cjcmp¡o z, comohión dc las otras dos vafiablcs ¡ v v. sc dicc enronces quez cs na¿"-iiptt"¡n'a, iiñ;'d;il;tirttu de,ta fttciótt. eytí9no f, coí'z = I6,.yl ¿" t l,io¿o-qí. {¿ yi¡1x,y¡1= O.I¡ difcrenciación de las funciones imptciias no ofrece diñcu¡tad's¿;prc que se tcngs en cucnta@ claridtd cuálcs son variables dependicnles y cuáles ¡n¿eeenJierrIes. '

¡ACI)¡IANOS

- si.F(a u) y G(r, r) son difers¡ciabres en uoa rcg¡ó,. se nam¡ ¿ remirrorte jrrcobiorp o sirnprcmcn-aitcobtuü, .doFyG'sFctode¡yuctdcte¡minintcfun"¡*a¡¿.*guo¿"or¿"ndcñ;¡d;;;--

4f,c) _@- n

F. f,

G, G.

AF AFd ao-

ññd6

A¡áloga¡nc¡te, el deteminantc de terccr orden

dlJ',G,m@16 =

?. F" F.

G, C" C.

E. E, E.

rcllamajacobianode4cy¡rconrcsp€ctoa4uyro.Segeneraliza€lconccptoEiodiñcu¡tad.

IltnIVADAS PAXC¡ALESI CON JACIOEIANOSl'os jacobanoa eon a medudo útires para obre¡cr d€¡ivada.s parciares dc funcioncs imprlciras, Asf,por q¡nplo, dad¡c las ccü8cion6 simul¡álrcas

F(a,g,ü,o, = 0, G(r,y,u,ts) = 0t puedc, cn geD€ral, coosidc¡ar { y r como funcioncs dc r y ¡. En fal caso se tÉnc (p¡obl€na 3l)

a(F, C)ar @fr ütót qE,q' er

4r.,d'

a(f, c)o(g,o)a@,Gl'¡GF'

¿l¡,e,El@i;úÍa@,G,n'@,oñ

d(F,cl-5(r.,D

d@,elT(r¿,r)='

A!

a¿odt-

iú

d=-

a(¡, c)ai.,¡l

- ¿t¡"cl '4ñt

Estos conceptos se gen€ralizan fácilmcnte. Asl, si se considcran las ecu¡ciones simultáDeas

F(t4o,ú,r,!, = 0, c(a,qú,r,g, = O, fl(to,ú,r,ú = Osc puede, por ejemplo, considcrar r., u y tt, como funciongs de x y ), eD c_r¡yo caso,

AúAt

alP,C,El@nfr4F,G,Na$,o,el

con rrsulaadoc parecidoc porá l¡t o¡nls d€rivad¿s p¡fsiatB (*asc p¡oblcms j3).

t08 DERIVADAS PARCIALES [cAP. ó

TEOREMAS SOBRE JACOBIANOS

En Io que sigu€ se supone que todas las funciones son continuamente diferenciables.

L Una condición necesaria y sunciente pa¡a que las ecuaciones F(1, u, x,.y,:): S, @(u,v, x, y, z) :0

deñnan funciones y y o (por ejemplo), es qu" ffi

no ,"u idént¡camente nulo en una región Q.

Resultados parecidos se verifican para ñ ecuacio¡es en r variables, con m < n.

2. Si xy¡son funciones de ¡ly r, siendo ay u funciones de ¡yJ, ento[ces (Problema 45)

TRANSF1ORMACIONFS

El conjunto de ecuaciones

a(x,V\ = d(r,y) ¿(u,o)¿(¡, B) a@,q a0,s)

f t = F(u,!l\ a = G(u,ol

't-* = lffi*il

(e)

que es un ejempfo de rnz regla de cadena para jacobianos. También se puede generalizar (Pro-bl€mas ll4 y 116, por ejemplo).

3. Si u = f(x, y\ y u = C(¡, -y), u¡a condició¡ necesaria y suñciente para que exista una relación

funcional de la forma {(a, r,) : 0 entre ¡.¡ y u es que p ".

idénticamente nulo, Resulta-- (1lx, y)dos parecidos se tiene para ¡ funciones de ¡¡ yariables.

En el Capítulo 7 se estudian más en detalle los jacobianos con int€rpletaciones vectoriales.

deñne en gencral ]uÍ" trunsfomaciórr o reprcsentación (y mcjor aplicación) que establece una corres-pondencia e¡tre los puotos dc los pla¡os xy y au. Si a cada punto del plano t], corresponde un, y soloun, punto del plano x/, y recíp¡ocamente, s€ dice que hay uoa aplicación o transformación biunivoca.Esto se veriñca si ¡ y G son continuamente diferenciable con jacobiano distinto de cero en ura región.En ese caso (que será lo supuesto si no se dice otra cosa), se dice qu€ las ccuaciones (10) definen unatransformación o aplicación contiiwmente diferenciable,

Por la transformación (r0), una región 9( cerrada del plano .r), se aplica, en geneBl, en una ¡e-gión cerrada ft' del plano ¡¡o. Entonc&s, si Á,1,- y

^,,1,, denotan, ¡espectivame¡¡te, las áreas de estas ¡e-

giones, se puede demostra¡ que

(10)

(11',)

donde lim denota el limitc cuando A,{,, (o 4,4,,) tiende a cero. Eljacobiano del segundo miembro de(1/) es €l llamado Jbcobiano de la trunsfomacíón (10),

Si se resuelve (10)para tener ¡ y u en función de x y ¡ se obiiene la transformación u: f(x, fl,

ü : g(¡, y) qu€ es la transÍorñación recíproc4 coúespondiente a la (r0). Los jacobial * *'1 V A**

' olx, yl ' dlu, D)de cstas transforrnaciooes son inve¡sos uno del otro (Problema 45). Luego si uno de los jacobianos esdistinto de cero en ur¡a regió¡, también lo es el otro.

Los conccptos ante¡iores se pueden g€neralizar a transformacion€s en tres o más dime¡siones.S€ t.atará de estos temas con más d€tenimiento en el Capítulo 7, empleando la sencilla notación e in.terpretación v€ctorial.

c^P. 6l DERIVADAS PARCIALES

COORDENADAS CURVILINEAS

Si (x, y) son las coordenadas cart€sianas de un pu¡¡to del plano -rjr', se puede conside¡ar tambiénqu€ (!, ,) son también coordenadas dcl mismo punto, pues cono€idas (¡r, ü) se pueden determinar (_r, t)lor (10). Las coo¡denadas (a,o) se llaman cootdenadas or¡D¡líne¿J del punto.

EJeDplo: Las coordenadas po¡ar€s (p, ó) de uo punto co¡tesponden al caso t/ = p, 0 = ó. En cste caso lasecuaciones d€ transformación (t0) so¡ .t = p cos ó, ,, : p sen ó.

Pa¡a coordenadas curvilíneas en espacios coÍ más dimensiones, véase Capítulo ?.

TEOREMAS DEL VA[,()R MEDIO

l. Prime¡ t€orco¡ del v¡lor D€dio. Si /(¡, /) es continua en una región cerrada y si las prime-ras derivadas parciales existen en la rcgión abierta (o sea, excluidos los puntos del contorno), se tiene

Í(eo+h,uo+k) - f@o,uol = kÍ.(a¡+eb,uo+eb) + k fÁeo+ |h,uo+|lc') 0<e<1 (rs)

que s€ escribe a veces con h = L,x = x - xs y k : Ly = y - yo-

2. Teorem¡ de Trylor. Si todas las résimas d€rivadas parciales de /(x, y) son continuas er una¡egión cerrada y si las (r, + I )'ésimas derivadas parciales existen en la región ¿bierta, s€ tiene

/ , . \ 1/ '

¡ \ '

f(io+h,ao+k) = f(xo,uo) + (¿# + rft )rO",u,\

* fi(n# + kíí) f@o,uo') + ...

. *0# + tcf,)to",at + n,

donde ,R", resto después de ,, té¡minos, es

(rr)

(15)

* = 6+tnftfi**ft|.' tt'"*,,h,vo+okt o<'<1

habiéndose utilizado la notació¡ ooeracional

Q*. r¡)o^,ao) = ¡¡,1,o,u0, + kfr@o,uol

/ az á2 ¡r \=l h';::; + zhk:- + k2f= lf(ro,uo)

\ dt ' dxda w' / '

t h2 f -(ao,yo)

+ zhkÍ,y(ú,ao) + k2 f "(eo,uo)

etcétera, dcsa¡rolla¡¡ Ot (U* + ,r#) d" manera formal por el teor€ma del binomio.

l,a (ri) se es€ribe a vec¿s con l¡ = A¡ :,r - xo Y k : ^y

= y - yq. Obsérves€ que (r2) es uncaso esp€cial de (/3) con z:0.

Si lim R, : 0 para todo (.r, y) de una ¡egión se puede utilizar este resultado para obtener un

dcsarroiid?e /(r, ¡) e¡ s€ri€ de potencias de x - xoy y - /o convcrgente en dicha región, que se llamarcgión da conueryencia. Ests serie es la s¿¡¡s de Taylor en2 variables, fácilmentc generalizable a 3 o másvariables.

(1+)

(nfi* *f,lta,,*t

l l0

FUNCIONES Y GNAFOS

DERIVADAS PAR,CIALES

Problem¡s resuelúos

= (-2F-2(-2X3)+8(8)r = -8+12+n = al

[cAP. ó

r,. si t(r,y) = d-2q+3y', hallar (o) n-z,slt Ql l:,?,)tk+ O.(¿) t(-2,3)

o, rQ,i)= (i)- {ix;). {;) 1 1.12¿ ' r ' f

n, ,pulT@ = f,{,.-utt+*l+ s(y+rrrl - t"-2'r+s/l}= i @' - 2't - 2L, + srl + 6k! + 3E - ¿ + 2.r - g'r'\

= f,ez*" + etw + ttél = -2, + 6! + sh.

2. Da¡ el dominio de definición de las sigui€ntes funcio¡es con valores reales e indicar gráñcamen-te cste dominio.(ú) l(",v, = ln {(16 - r' - s'l)(e2 + a2 - 4ll

L¡ función cs definida y ¡e¡l par¡ todo punlo (¿'},) l¡l quc

(16 - x 'z - , ] l (x '1 + f2 - 4 l > 0, o sea, que 4<x2+y2<16

quc cs cl dominio d€ deñnició¡ pedido. Estc conjunto consislc cn todos lo! pur¡tos inrc¡ior¿r al círculo de radio 4con ccntro cn el orig.n y exte¡iorcs

^l circulo dc radio 2 dcl mismo ccnt¡o, como s€ ve en la ñgüra. La ¡€gión

corrcspondicnte. que ¿psr€cc so¡¡bac¿de an la Fig. 62, 6 laa ¡egióL abkru.

(bl f(¡,ú = t6;@;.t-úLa función cstá deñnida y es rcal pa.a tooo punto (x, /) ¡at quc 2¡ + 3/ S ó, que es el dominio dc defin!

ción pedido.L¡ región corr€spondientc (no acotada) del plano ry se vc somb¡eada an l¡ Figür¡ 13.

Dibujar y nombrar la superficie del espacio de 3 dimensio-nes cuya ccuación es:

(a) 2a + 4V +8? = 12.

Trazá sobrc cl plano ¡, (z = 0), l¡ recta ¡ + 2y - 6, z - 0.Traz¿ lobfc cl plar¡o /z (x = O), la r€cta 4/ + 3z = 12, x = O.Traza sobre cl plano rz (y = 0), ta ¡ccta 2¡ + 32 = 12, y = O,Se les rcprcscnta pot AB, BC y ,{C an la Figü¡a 64.l¡ superficic cs un plano que corta los ejes r, ,, y z en los pun-

tos ,|(6, 0. O). ,(0, 3, 0), C(0. O. 4). Las longirudes O-,{ = t, Op : I,OC- 4 son las htertecciones ¡, y z rcspcctivaÍ¡cntc.

Flr. s,

3.

cAP. 6l

oi*#-$ = rDERIVADAS PARCTALES l l l

Tr¿¿s sobrc cl plano .x¡ (z - 0), la clipse

T¡aza sobrE cl plano ,,2 (-y = 0), la hiÉrbol¡

Traza sobrr .l plano xz (y = 0), la hipérbol¡

b.

L_!

l , t=0,

T¡¡za sobre un plano z = p paralclo al plano ¡/, la clipr€

aF;¡¡a-FFi¡m = | ¡t''+

Al aumenta¡ l¿l a psrtir de cero, la sccción tr¿nsve¡s,al ellptica aume[ta da t¡malo.

La superficic cs un hipe¡boloide ¿e ura tbja (FiA. ó'l,

LIMITES Y CONTINT'IDAJ)4. Demostr¿r que lim (x'z + 2y\ = S-

t '2

Método I, por ls definición dc ümit .

Hay que mostrar quc dado un . > O, .xist un 6 > 0 tal que I.r, + 2¡ _ 5l < c para 0 < l¡ _ l l < ó,0<b,_21<3.

,_?: l : I - I l<ó y 0< b-21 <ó. entonccs I -ó<¡< t+6 y 2- ó<J,<2 +6, e¡clu ' . lodo

Así, pues, I -26 + 62 <x2 < | +2ó + ó2 y 4 -26 <2y <4 + 2r. Su¡na¡do,

5 -46 + ó1 <x2 +2y < 5 +,1¿ + ¿, , o sca, _46 + 62 <x, +2y_ 5 <¿ó + 62

Co¡óSl.sel icnequc-5ó<x2+2¡,-5<sr.estoes. l ¡ r . t2y- Sl<srsiemoreoueo<t¡_t l¿á0< F-21 < ó. Hac¡endo 5¿ = c. o sea, ó = e/5 (o ó

-.= l , s€griD cuá¡ sea mcnor), sc thoc qu'c ¡* * iy_ i¡ . .

cuando 0 < lr - ll < á, 0 < Ú - 2l < á, cs dcci¡, lim (¡, + 2],) - 5.t-2

Método 2, por los tcordnas sobrc límÍcs.

Ii¡Í k! + 2y) = lim r' l+{ = 6

5, Demost¡ar que /(-y, t') = x2 + 2y €s conlinua en (1, 2).

Por el Problem¡ 4, lirn /(.r, ¡) = 5. Ad.náq /(1, 2) = t, + 2e) - S.

Lueeo lirn /(.y, r') - /(1, 2) y la función es conrinua en (1, 2).

. .. D" otr"'ir1n.." .. pueda hacer vcr como e¡ €l primer método d€l problerh¿ 4, que dado un c > 0 se pucdc

hal lar un ó > 0 ta l quc Vlx, r ) - f (1,2\ l < r s i l " r_ l l <¡ , t_21 <¿.

+ lim2y =

6. Averiguar si t(r,r) =

(a) ti€ne límitc cuando

(t,u) * (r,2)(x,v\ -- (r,2)

I y y -

2, (ó) es continus e¡ (1, 2).

+2a,10,

2 DERTVADAS PARCIALES lcAP. ó

(a) Por el P¡oblcm¡ 4, rcsulta quc lílJ¡ !lx, yl = 5, pucs cl l¡rtíre no ticne n¡d¡ quc ver con el aalor de ll ' 2l

(á) Como lin¡ /(x,),)= 5 y /(1, 2) : 0,

= -1 noson igualcs, li¡r! t(r,t).

es, pf¡cs, fim /(¡, /) + f(1,2\ pot lo qu. la función .s discontinua

7. Estudia¡ l¿ continuidad de f(r,ul = lb*i¡ t''u'l * (0'0) cn (0,0).

[0 (,,s) = (0,0)

Scan ¡ + 0 y, J 0 dc tal modo quc / = ¿r¡ (¡rcta del pl¿no ¡rl Eútoncas, a lo latgo de cst¡ ¡ect¡,

. . xr - mtxt . . ,¡(1 -,rr) l -mrl:S;T; = lS;+*.'.- = lE,'-(iñT = r+-t

c.o-o a mitlll u r,ro"i¿n dcpe¡d. dc la msncr¡ d. iendcr a (0, o) (€sro 6, dc l. Fúdic¡rte tn dc la rrcta)'l¿ funcióo ¡ro pücdc s.r continu¡ cn (0,0).

Oüo ¡¿údo:

f -, _.¡ Icomo l im. l ¡ ¡ . { f { } = ¡ im4 = 1 v l im{ l im#!

.- . l ' -o , ' + ! ' ) ,- . t ' ' ' ,o [ .-o ' '

f rJ

¡o cxiitc. Lucgo /(x,/) úo puedc acr c¡niiou. cn (0,0).

DERIVADAS PARCIALES

& si /(¿ r) = 2x2 - xy + y2, hallar (o) 0Il0x y (bl aflay et (¡o, /o) directamente a partii de la de-finición.

= $

1!3tf#=-!!t = lin! (,r,. + 2ñ - yol = 1xo - t,

,u, 91,."", = ¡rta.,r.l = ¡¡' f(¡¡, vo+*L- /(¡o, v')

= tñ - t .+zbrr . rEi: i k

' - : :- = I f i ! (- 'o+2Yo+&) = -sr2Yo

como .f,istcn lo¡ limitcs pora todo punto (xp, ¡o), tr pucdc 6cribir¿(¡, t, = f, - ax - y, f,(r, rl = It =

-r + 2y, qw sot¡ ¡ su vq¿ fuocioDcs dc ¡ y /,NótlFr qtvlo.rnahneñte¿(¡0, /o) sa obtienc dcf(r, /) dc¡ivendo oon rcspccto ¡ ¡, mantcniendo , const¡ll-

tc y hacicndo lucgo¡: ¡o, ), - /o. Análogamrt sc obtic'úct(xo, /o) dcriv¡ndo/c¡d rEspocto ¡', ú¡ anicn-do ¡ co8ta¡lc. Ea¡c Focadimicnto, si bian arpaditivo eo la práctic¡, no da sicrnprr rr3ult¡dos corEctos (vé¡scProblcme 9), y solo cs l.SitiEo 6i l¡s dc.iv¿da¡ parci¡l€s son coútinu¿s.

CAP ó] DERIVADAS PARCIALES ¡ t3

e' sea /(o,s) = {;u/@'+u"l ,9;í1"-,nll9 Demostrar que (a) ,(0,0) y f,(0,0) cxisten am-

bas, pero que (b) f(x, y) es discontinua en 10.0).

(¿) /.(o,o) = l:I'}@# = li$* = o

t(o,o)=l*4¿); l9, ! )=ls*=o(ú) Sea x+ 0 y.y- 0 por la recta y: w del plano,r),. Entonces, ¡im ¡1r,¡ = ln _!L _ =

,iOcon lo que el limite depcnde de la.rhanera de tender las vari"UtJii ponto (0, 0) y, por tanro, no exisr€.Lüego f(x, y) no es continua en lo.0l.

obsérvese que ar cont¡afio de ro que ocurfe con funciones de una vari¿bre, Ia existcncia de ras priúc-ras derivadas parciales en un punto no implica la continuidad ; d;;" orrr..Observese asimismo que si (,,3)*(0,0), L =m, L= m,y f,to.o,,l,lo.0) no

se pueden calcu¡af con soro hacer ¡ = 0 y r = o. véase ftota ar finar del p¡oblema 5(ó), capitulo 4.

r0. si ó(r,y) = x\r + e,'1, halar (o) +., (ü) +,, (c) +"", (d) +"", (e) +_, (f,) +",.

C) i. = ;;

= :(¡'i./ | c'a1t = r¿,u - ('..v, - B¿,u + a'e,!'

-e^\bj ó" = ;u

= ;- l r ,v ra,, \ = r ' + ent ' .zry = r '+ 2ry d',

, . a 'ó á /¿ó\(c) 0,, = i# = e\#) = !;o,,u+u,"-') = cru+v'te,e'.v,t = 6ru+yaea

(dt o, , = '# - # G'+zxuc,v\ - - o+z,v. f ,py*aof,e,vt

= ztv. ett"zxa + e4¡, '2, = 4r,U2etu2 + zre'yr

k)o-=; ;

tno",- f f i

= *(#)

= f,o,',+u,u-,t

= sr'+ y,.er,'.2,y + ea..zy= 3x' + zrul ert' + zye.e'

= *(#) = *k'+zrve'",) = s.., + zEv.ea.u, r e,,,.2n= 3E + 2tur e.!' + 2u e¡e.

. obsérvese que Ó,, = fE en este caso. lo clal s€ debe a que existen y son continuas ¡as scgundas d€ri-vadas parciales en todo (r, .¡ ) de una región {. Si esto no es asi s€ puede tener ó,, + ór, (vease ñobhma 43,por ejemplo).

l l . Mostrar qrre.a6,y,z)= (*'+ y'+ z2)-rl2 satisface la ecuación diferencial de Laplace en de-rivadas parciales

a2U , a2u d2tlrF - @'r i7' = u.

Se supone que (r,!,,2) * (0,0,0). Enlonces

; = -l(¡¡+ tJ'+ z't-u.. h = -,(r ' + u'+ z,l- ' t,

e.tl

;; = arI-'@¡ + t' +.'l-',1 = (-"r[-tl 't + u' +¿la]'. zE) + 1,+u,+¿!r-.,,, (_L,=@.-#T,-8##= ff i

n4 DERIVADAS PARCIALES lcAP. 6

Sumando.N,U ¿I IJAUt 4.1

tg- 'Y-,hal lar ¿rdy

cn (1,1).

, r ¿/ ' / \ 1 f- l :_

j = ¡ ' - 'r+l 'J l r f an\ t / ' x l -u ' r ; '+7

a,u

12. Si z=¡r

Ay

d'z _ af¿¡\ = ¿/__¡ ' \ _ (r :+y, f3/) -_(r¡)r2 ' ) =?.q-t .odr dy or\du / ¿¡ \¡z + y¡l -

I en ( l ' 1) '

El rcsultado se puede cscribir.r , t(1, l)= l .lv¿¡a: En este cálculo se utiliza el sc¡ z¡, continua en (1, I ) (vease obs€rvación al final del Problema 9).

13. Si/(¡,) ,) cstá definida en una región,R,y si 1," y L existen y son continuas en un punto de9R,demostrar que f, = fy en ese punto.

Sea (¡o,fo) el punto dc R. Considéres€

G = ¡(ro+ h,uo1'k) - / ( ro, ¡ /0.1 k) - / ( . ro+¡, yo) + / ( ¡ ¡ , ro)

Deñnasc { t ) óF,u\ = l l ¡+h,ül - l \ t ,v) (3) , r ( ¡ , r ) = f | ,u+k) - l (x,v)

Luego

Aplicando cl teorema dcl valor medio para funciones de uÍa variabl€ (v€ase Égine ól) a (J) y ll) se tiene

13) C = é(to, y.. t k) - ó(¡",y") l l l C = ,r(r.+ h,vo\ - *k,,u",

16) C = h,r , , l to+ c.h, uot = hl l , l . to.r o, i t ,u,+kt ¡ ,1Ío+c,h, l td l 0<r:<1

(5) G - ko, l rn, un+ r ,É) = ¡r{ / . f ¡ "+r¡ ,y.+¿,k) .L( . ro, yo+¿¡Á1) 0<r,<1

Aplic¿ndo otra vez cl mismo teorcma a (J) y (ó) s€ ti€nc(7) G = hkfÉ\ro+c,r¡ , ro+r,¡r) 0<rr<i ,0<c,<llE) G = hkl , , ( ro+tth,uo+o.kl 0<r¡<1,0<r.<1

De (7) y (8) resulra

(9) ly\ro+ alh, ao+ ctkt = Í , , ( , ,o+e,h,a"+0&)

Haciendo¿+0yk-0cn(9) se tien€. puesto que /,, yf, se han supuesto continuas en (ro. ),o),

h,@uud = l_lro,urlcomo se añrmaba, Para un ejemplo en que esto no se veri6ca, véase problema 43.

DITERDNCIALES

14. Sea /(¡. r') con primeras derivadas parciales continuas en una región { del ptano r.-t,. Demos-trar que

Ll - f (a+M, V+ly) - Í ( r , rJ\ = f ,Lr + fyru * t ra!ü a e,r ! /

donde €r y €2 tienden a cero con ^x

y ^,r.Aplicando el teorema del va¡or medio para funciones de una variable (pagina 6l)s€ tiene

(I l ^ l

= ( / ( ¡+a¡,y+a?/) - / ( ¡ , r+.r1/)) + { / ( ¡ , r 1ry) - / ( r ,y) i= a¡/ . ( .ú+¿¡Jx,r '+^u). t L¡J 1,0, l t + c,J!4 0<r,<1,0<r?<1

¡¡,^

cAP. 6l DGIIVADAS PARCTALE,S

Como poa hipótcsis L y, lon contrnuas, result¿ que

f,6 + 0tA',y + Ayl: f,(x, y't + eb f,G,y + 02Ly) -- tlx,y) +.,

donde cr +0, ét + 0 con A¡+0 y AJ,+0.

Asl, pu€s, A/=r ¡ + fAy + ¿Ax + crAl como se roquiere.

Defnicndo & - dx, Ay = dy, * rif;rÉ. ^Í

= Í, ¿x + f, dt + q dx + .2 dy.

.lf - f,dx + f,.ty * ll^Íta diftencial d. f (o z, o pne príncipal d. A (o Lz).

f5. Siz:/(¡,/) = x2y - 3y,hsllur (a) Az, (á) dz. (c) Calcülar Lz y dz si x : 4, y = 3,&( = -0,01,Ay: 0,02. (/) ¿Cómo se podria calcular /(5,12, 6,85) sin hacerlo dire€tamente?

Solucltu ¡lal

^. = l(E+Ár,r+^vl- f(4,!l= {(¿+ar)r(r+ar) - 3(!+ar)) - ltdy - 3tl= 2'v

^, + lrr-A)Lv + l^'r'y + 2r6rLy + (Lxl. LI

ta cum¡ (.r) 6 b pate prhcipl úc & y 6 la difereícial dc z, o 3.a, ¿. Asf, pu€s,

dz =Zxy6x + (.x'_ 3)A), - 2x, d, + (f - 3tdy

O|||o Détodo: d, = ;dx

+ ñdy

= zty * + lx' - 3l dy

62 = f l t + Lx,r+ ^yl-f(x,t l=/(4

-0.01 3 + 0,021- l l4,3,: {(1,99f(3,02) - 3(3,02D - {(4F(3) - 3(3)} = 6,s137e2

dz = 2ty ¿r + (¿ - 3l dt = 2(4X3X -0,01 ) + (4, - 3X0,02) - 0,02

Nótcsé que cn cstcaaso&y¿sonapro¡imadaneÍtc ¡tüalca,lo quc sc debe a quc A.r : dxt 6f: ¿tson suñcicntcmentc pcqueños.

Hayqu.hal lar / ( ¡+Lx,y+Lyls i ¡+A¡=5,12y,+^}:6, t5.Estopu.dehacers. tonaodo,r = 5. A¡ = O,12, y = 7, Lt = -0,15. Como

^¡ y

^,r son pcqr¡eño6, sc t¿'ne quc /(¡ + A¡, _v + A,r) =

f(x, yl + Lz es ¡protiñadamcote i83.t l a flx, fl + dz, cs d€cir. a z + y'z.

Ahora bicn, z = f(rt y, = f(5,71 : (5F(7) - 3(7) = 154

dz = 2x! d¡ + (x'z - 3l dy = 2(5X7X0,12) + (5'¿ - 3X-0,15) = 5,1.

Así que el valor pedido cs l54 + 5,1 = 159,1 apro¡im¡dam€nte. El valor qüe sc obrieo€ cakul¿ndodi¡ecü¡menic es I 59,01864.

l l5

(ó)

(c)

';

(dl

tó. (¿) Sea U = x2¿t'- Hallar dU. (ó) Mostrar que (3x2y - 2yz\ttx + (-t¡ - 4.r), + 6/2)dt se puedeescribir como diferencial exacta de una función {(r, y) y halfar ésta.

ftr) Mótrrdo ¡:

ff = ,*'(-Y) * u*', ryr, - "."(I)¿tt . at l

l.ucgo dU -

:;d¿ + -¿; du = lzzcí. - vei:'r¿r r r!t:.du

Método 2:dÚ = r'¿kr) + ett' d(r't = x'c'k ¿(ul'\ + 2xe'h ur

= ",",.("q

- "*U + 2rc,,,1t, = t:o,e,t. - yt:"¡,t dx + .c,t. dv\ ¡ ' /

. ¿ó- ¿ó-tr$ = iut + djrdv,

= x ' -1¡y*6s'

(¿) Móaodo l:Suponieñdo qu! (3¡ 'y - 2! ' l d, + (t ' -Ary+6t)¿! =

aO¿VLucso (D a# = s,'u - ztt,, lzl

I Ió DERIVADAS PARCIALES [CAP. ó

En (,1), integrando con respcclo a ¡ y nürnteniendo J, constante, se tienc

q:x 'y-2xy'z+FQtl

donde F(r) es la (constento de intcgración. Sustituyendo en (2) se tieoe

x3 - 4x¡'+ r"Cr') : 13 - 4xy + 6y2, de donde P0,)= 6¡'?, es decir, F(!l = 2y3 + c

Luego la función pedida es ó = xty - 2ry2 + 2r3 + r, siendo c una constante arbitmria.

Obsérvese que por el Teorcma 3, É8ina 106, la existcncia de una función semejantc es indudable, puessi P-3¡2.v -2yt y Q:xt-4xy+ 6y2. antonces lPlav=3f -4t=aQlAx idénticañente. siAP/Ay + AQlAx, no eristiria €sta furción y la expresión dada no seria una difercncial ex¡cta.

Método 2:

l}rtu - 2! ' t d. + (a'-4'a+6u1)da = lSxlvdr + ' ' t lul

- Qv'di+ 4.y clu) + 6a'du

- d.lx'u) - .llz¡,y')- + d(zus) = d(r'! -2,a'+2v'l

= d( '1v -2ra'+2a'+ c)

Asi que la [unción buscada es x]¡ - 2xy2 + 2tt + c.

Este m¿todo de agrupacrór¡ dcperda dc la habilidad que s€ tcr¡ga para reconocer combinaciones que seandiferenciales cxactas y es menos dirccto que el Método L Naturalmente, ¿Dles de intcntar aplicar ninSún mé-todo hay que averiSuar si la exprcsión dada es dife¡encial exacta medi¿ntc el T€orema 3, págine 106. Véase úl-timo Énafo del Método I .

DIFERENCIACTON DE FUNCIONES COMPUESTAS

l?. Scan z = f(x, yl y x : ó(tl, y = ry'(, ) con /, ó, ry' difcrcnci¿bles por hipótesis. Demostrar que

d.z az dx az dV¿l

= at l l - TuEPor los rcsu¡tados del Problems 14. se iiene

<Iz . . L2 - . jaz* az¡ l ' A¡, axl -

A¡ = ,'ll" Af =

atT" l a, ar ' av rl - ''rr - rn l -

puesparaAt- ,0 s€ t iene l r -0, . |y-0, . , -0, , ' ' r ,^+'#,* 'H

lE. Si z= e 'v ' , &=tcost, y=ts€nú, calc] . t l¿t d¿ldte¡ t - - ¡12.d, _ ¿zd, , dzda

-- I*

= A¿r: + ar-ü

-- {!'¿¡!¿)(- ú s€n ¿ + cos ¿) + (24r¿4rx¿ cos ú + sen ¿)

EnL=n/z, x=o,s="tz. Lt)ceo 4:l = G't4)\-n/21+ (oxl) = -r!/8.

OEo Détodo: Sustitúyase x y / para obtener z = ¿'í¡ztú't y derives€ lue8o.

19. St z=f(r,a\ con r=Q@,o\ y U = ' l '(u,vl, probemos que

dz d, d2 dyarat - av ü

az ar at ax ... az dz ar az alJ'¿?,lrr + ay ¿¿' (o) dl,

= a, ao ' ñ ou'

Por el Problema 14. supuestas difcrenciables/. Ó. t¿. se tiene

, ; = ¡r ,# - Jr"{#^# *#,^**. ,** '*} = '# '#*(¿) El rcsultado se dcmuestra como en (¿) remplazando A¡¡ por A0 y hacicrüo Áo r 0

a, aJ20. Demostrar que dz : ? dx + J dv, aunque ¡ y y sean v¿riables dependicntes.

' tlx rlv '

supóngasc que t y y d"p"nd"n d" tres variabl€s ¿, ü, ¡¿, por cjemplo. Entooccs,

(¿) AzAu

ar AyAlJ Au

J

\1) dt = x"d1¿ + r: , do + r-du 12, da = u.dL + a, d1' + v-dw

crP. ól DERIVADAS PARCIALES n7

Asi que z, d:r + z"du = lz,r.+. 'u, ldu + (2.""+ z'U¡du + (2,r" + zyu.\t lw

= z,& + ..du + z-du = dz

por obvias gcneralizaciones dcl Problemá 19.

2t. Si ? = xx-xu+Us, r =pcoso, tr=psené, hal lar (a) dTldp, P) AflA+.

ql = i f +r 1TP = (s, , . r )(cosc) + (s! , ¡- , ) (scn o)lp ttt op dlt ntt

i tT aT ¿, aT dr

A =

f f r* ur t = (3,¡ . -yX-ps€nr) + (3y'-5Xpcosó)

Lo quc también puede hacerse por sus¡itución directa da ¡ y / en a

22. Si U=zsenAh con E = Bt2+2s, U = 4r-284, z = 2t2-3st, hallar @, aAl|r,p) aulas., . aU aU¿, dud! aua|'-' dr A, Ar du Ar Az At

(ü)==

(r)(21

(r)

Az ¿z A1rdy ¿u aU

y es ,a-: -dz_ zull

= {(,-";X-"")r*r . {(,*")$}tor * (*"3)ro"r-U+."o"L + 9"o"! * 4rsen 4

dua' , ¿Ud! , aI l az¿rds - dadt-Ea.( t \ r \ l.ll ,

-"c )l -4) lrzr + .ll , "*

c)[ \ , / \ f ' l . ,

[ \ , /

-ry. "o.! -

9& "o"

! - 6, ,.n I

(i).", * (*" a)-."r

23. si ,=pcosó, !=pgenó, mostrarque (#). (#) = (#).

"t(#JEmplcando la notación por subíndiccs para deriv¡das parciales,

Vo = V.rn+ v 'u, = Y'cosÉ + Y's 'nc

Yo = V'ro+V,va = y ' ( - / ' s€né) + y ' (pcosé)

Dividiendo ambos mi.mb.os de (2) por p se tiene

Ivo = -V.scnÉ + t ' ,coso

Entonc€s, por (,1) y (J) sc tiene

v; + lv¡ = (v¡co¡é + y, scnÉ) ' + (-v,s€nó + Ty coso): = v:+ v i"p ' -

2,f, Most¡a¡ qrre z : f{x2yl con / diferenciable satisface a x(A4Ax) = 2y(A4Ay\.

Scz z'y = ¡¡. Luego z = /(1¡). Asi quea:=YY=f lur- : . 'u,A, ¿u itr

- ¿z ^ t1zEnronccs rfr = l ' lu\ 'zr'u, 2!r;t = fltt ') 'zt 'y

I _ . .

8

Otro mótodo I

Sc licnc

También

Entonc€s,

dz = l'|,'y\ d.(r.yl = l'l'turg,v d, + rr ttlt., dz. Aa-

d2 =

-( l t+- f l .dr dy-

e, A.

¿; = zxr I'k'Yl, ¡; = t'¡'1,tn¡

I

26.

a1

f(* u) = ¡r ¡1"''¡

La derivada con Fcspccto a ¡. del primer miembro d€ (r) es

¿F ¿F dt. , áFar, _ ¿f, , aP-.dI ¿ dr r ¿rt ¿r

= ¿t t ' + ¡ru

L¡ dcriv¿da cor aasp€cto a I del sc8undo micmbro de (r) €s plr- tf. Luego

"fi + ,t-^L = p)!'-¡ ¡'|

H¡cicndo I - 1 cn (2) de modo quc u : x! u : l¡, se lÉnc xldFlAxl + yQFftyl -

pF.

@,#=*=*#.#H

L

De dond. por (t) y l2r; ¿,Yl¿t' =

DERIVADAS PARCIALES [cAP. 6

Effñinando /(.rr/t s€ ricnc , '# = ,rt i,

25. Si para todo valor del parámetro I y cierta constante p, F(Lx, ),y\ = ¡,'¡(,r, y) idénticamente,supuesta ¡ diferenciable, demostrar que x(aFftxl + y@Flayl = pF.

Sca ¡,¡ = r¡, ¡'} = u. Entonces,

Si F(r, y) = xay2 len- | yfx, mostrar que x(?Fl?.xl + y(dFQyl = 6F.

Como (¡1t¡, D) - @t)'(l¡f sen-r l"yfl,x : ''6,lf

*t-t ylx = l6f(¡, /I se tÉnc el rcsultado a patirdcf Probfema 25 ood p = 6. Dcsde luego se puede mostlgr también por deriv¡ción, dircctamcntc.

Dcmostrar que y: Jr(.r + at) + g(x - 4r) satisface la ecuación ALy/At2 : a2(A2y/dx2), d,onde/ y g se suponen diferenciables dos veces por lo mcnos y a es una constanle.

Sea ¡ =.r + rrr, ¿' =.r _ rrr de ¡nodo que f =/(ü) + gk\. LtegD si f'\ul = 4f/.1u, g,(b) = dgl¿u,

aY aYtu ¿Y a1r . - 0Y ¿Y¿u. aYdrn

= i"¿, + a, l-

= at,(ut - ¿slt ' t, ; =

;r¿,:+-na" = t '@t + s'(t ' ,

Derivar¡do otr¡ v€z y utiliz¡ndo l^ l¡ot¡riiófr l"lul = d2flA.2, g"(ol = d2gldD2, * tierr.

at'# = # = ú*t# -

t#t+ = *1", '(u, - "c'a}ft , t+ *{o/,(¿)-ar,(ü))(-o)= o, t"lül + s, c"(,,

= fi(t'trl + c'@tl + fiU'|ül + c'rrll= ¡"11'l + s"l1',

L'Q'Yl¿r'r.

cAP. 6l DERTVADAS PARCIALES I l9

2t. Si , t :2r-sy y=¡+2r, aver iguar f f i en función de las der ivadas con resp€cto a ¡ yr .

Dcsp€jando I y r de ¡= 2r - s, y-, *rrr, = l2x + y)/5, s= l2y - x)/5.

L\ego A4Ax = 2/5, asldx: -U5, A4dl = ll5. óslót = 215. Por tattto,

/2 d,u 1 ¿'u \/1\ /2 ¿'U 1 ¿'U\/2\= \BF

- Ed,a') \ f / - \Er,r ' - 6 ¿f i \E/1/-a 'u . . d,u_ _,a 'u\= ,6v;7-t ó #6; - z * )

suponicndo que U tiene sagunda¡ dcnvsdas parciálcs continuas.

FUNCIONES ¡MPL¡CITAS Y JACOBIANOS

29. Si U=x3y, hal lar dU/. s; ( l ) x5 *y=1,(2lxz +yt : t2.

l.as €cuacioncs (r) y (2) deñr¡crr ¡ y y cor¡o luncion€s (impllcitas) dc t. Derivando cnton@s con rasf'cctoa I sc lienc

(t, ídklddtl + útldt = |

Dc (J) y (r) sc obticnc para dxldt ! dyldt,

(t, zekbldtl + S?¡(ttuna, = 2,

aU dUd¡ aU at 2dU lauat Ar dt üdt 6A' ' 5¿t

a'u ó /au\ d lzdu I au\af , a lzau lau\¿,ñi ;

= au\f ; ) = a ' \5 a ' - 6¿")a *¿¡\5¿' - 6f)¿"

4.=l ; , r ' r ' l = s ' r -zt u=l ' ; : : r ldt

f6r . I | 16t l -2r ' . t t 16, . r I

l 2ú 8u' l 12, st¡ |

l0u1t - 2,@4

= o,'a(#r%). t,r(ffi).

30, Si F(¡, f, z) : 0 define z como función impllcita de r y ), en una región 9( del plano x¡, demos-trar que (a) Ay'dx : -FJF. y (b\ dzldy : -4/F. co¡ F, * 0.

Puesto que : es tlnción de .r y ). d, = fia" +

fia*¿F. áf , a¡ 'Lu€go d¡ = ;tt + l¡ d! + -;;¿" =

Como ¡ y / son indapc¡die¡¡tas se ticnc

. . ¿F aF Az{r} i -* : - = 0

de donde rcsullan lor valorcs busc¿dos. Si s. quierc pu€d€n cscribiBa dircctamentc las igüald¡d€s (r) y (2).

3!. Si F(¡, r, t¡, u) = O y G(x, y, u, u\ = 0, halla¡ (a) óu/Ax, (bl du/Ay, kl AD/dx, @\ Av/1y.

La¡ do3 acuacioncs dcfir¡.¡ ctl gcocral las ri¡blcs dcFndi:rt6 ¡, y o como funciooas (impllcilas) da lasvariablcs indeFndicntes ¡ y /. Con la ¡¡ot¡ció¡ por sub¡¡dic€! sc licnc

U, dF = F,dr * F'dy * I'. d¡¿ * F" dü = 0

l2l dG = e,d, + G,d, + C"¿u + C,d|, = 0

Asimismo, pucsto quc ¡ y 0 son funcioncs dc ¡ y ¡

L".Eo # = ü*#*! f"H

laP . aF d^ . /¿F ¿F dr\.\- l ; 'E ¿")"" ' \ ¡ t

* -r, l j )dt = t

,- . aF aF az(rr : - f - -

= uoy oz dy

(t) d¿ = b d, + nr d! (¡) dr = 1',1t, + \tty.

120 DERIVADAS PARCIALES

Sustituyendo (J) y (4) ¿n (r) y (?),

(5) d.F = (F, + F. ¿, + F"L\ d, + (r, + ¡" 1', + F.!') da(al dG = (G,+ G.t¿, + G,t.)d" + (G' + G.14+ G"tt ' l r iv

Como x y ¡ son indcpendientes, los coeficientcs da d¡ y d/ en (5) y (ó) son nulos. LucSo se ti€n€

[cAP. 6

á(¡,c)¿(ü,r)

,^ , f F, ' ¡ , + F,r , ' = -F* '

io 'u, + G"u¡ = -G,

l¿r ,=-. . Au\c) u' =

di

, . , f ¡ ' .u ' ¡ P'P, = -F.r ' ,

lc ,u, ¡ 6"11, = -G.

Resolviendo los sisteñas (7) y (8),

l -F. r . I| -c' G, I- f f , I

lc . c. l

| -F F lt -G, G, I

lF.F" lld"G"l

a(¡" c)_ ¿(r,1)l

¿(r, G)a\u,rl

lF. -f, | ¿(¡', c)_ lo" -c, l _ _ a6;l

I F" ¡, I ¿(r,c)I c. c, | 7;,1,I

I F. -¡', I a(r, c)_ lc. _c, | _ _-r t¿, l

El dcterminanre funcional | {' I' | ,¿"noruoo bi"n po, 94o po,¿ l-{4) * el iacobiono de F'- '- --- I o. G. | - ' '--- ' ' ¿(¿¿,') \t ' 'r/y O con resp€clo a a y u se supone l0

podrian dars€ rcglas mnemotécnicas para escribi¡ inmediaram€nte las derivadas parci¿les buscad¡s por losjacobianos (v€se también Problcma 33).

32. Si ¡2 - u:3x* yy u-2u2:x - 2y, hallat b\ AulAx, (b) óoltx' (cl dul?v, (d) 6aldv.

Méiodo l: Defívens€ las ecuaciof¡es dadas con respccto a ¡, considerando ü y |) como funciofies de I y /. En-

l r ' ¡ "1_ _lc. c, t =

l r . F. Ilc . c ' l

l - r - t ll -1 -41) |-P.

- r II r -1ul

lF.¡ ' llc" G. l

1- 12L'- l -8¿t

n zu!-P = s (r)

au 1- 121) ar -t; = t-ñ;, ¿" -

Derivando rc$pcalo a y se lie¡e

ot 2"f i - f i = t (1)Au -2- 41t AD -4t t - |

uerpcj¿ndo. au - 1- 8r-, ay =

t- 8,,-,

Se tien€, dcsdc luego. supuesto qüe I - Et¡u + 0

Méiodo 2: Las ecüaciones dadas son F - ur't - 3¡ - }, = 0, G = u -2ü' - ¡ + 2t - 0. Luego por €l

tonccs,

Desp€jando,

P¡obl.ma 3l

#-^#='

#-*#=- '

_c({.adlr,r)A,t

siempre que 1 - 8u¿'= 0. Análogamente s€ obliencn las otras dcrivadas parciales

3d. Si F(u,o,LD,r,y\ = O, G(u,u,to,r,lt)=0, H(tt,tt,w, t, y) = 0, hallar

, . á?r i , , , a¡ t , , awl(ol ,1,, ror arl,", \") arl,'

J

crr_ ól DERIVADAS PARCTALES

d! l

" '= ul , =á(f, c, L)AQ,,U,@,

a@,c,8\¿1r,,a,$,

I¡s ccu¡cioncs (,f), (2) y (J) sc pud.! t¡rÍbiétr obt trcr po¡ dif.r.nci.lca corDo cn cl probLrnr 31.

El Détodo dc losjacobi¡ooú oriaüto r¡uy bicn por¡ cac¡ibú loc rcault¡do6 dc inmadi¡to. coño !c r,! a¡¡ astc

protrler¡a y en d 3r. Así, oh6érvr.. quc ¡l celqrtar $l u rcouao cs cr opu6to dcr cocicr¡& d. do6 jacob¡-oy t.

no6' cl trumcr¡dor, qr¡c cotrti.tr l¡ v¡risblc ild.pcodi!út /, .l dctromin dor quc conticúc |¡ va¡i¡bb d.Füdinto cn la mis¡n¿ püició¡ Élativ¡. Mcdi¡¡ta cstc cquq¡¡, tc ticnc cntoúcc.

t2l

De 3 €cuaciones an 5 va¡iablct ra puadc (sl maDo3 tcóric¡mcntc) dctcrmin¡r 3 va¡iabla¡ cn función de l¡sotras 2. Asl qüc 3 dr las v¡riablcs roD dcpcndicntd y 2 sor indcfrcndi.r¡tca. si s. quicrc avcriSu.¡ ¿r/¿/, sc sa-bria que D es una variab¡c depcdicnt! y / un¡ ind.pcndicntc, pcro no re ¡ab¡l¡ cuál c¡ l¡ ora

-vcri¡bli ín<fcpctr-

dicnt€. No obst¡nte, ra notación lll sirvc pora indicar quc s. ha dc obtcn* &/¿/ mantcnicndo ¡ corsi¡ntc,dyL

o sea, qüe x cs la ot¡¡ vaai¿blc i¡dcFúdicntc.

(a) Drrivaúdo la ccuacióú dad¡ con rrspccto a ¡ mantcnicndo .x const¡ntc, !a ticnc

(r) ¡. ?¡, + .F. ,' + F. r.,, + ¡', = 0 (r) C" ¿¿, + C, o, + C. rr,, + C, = O(tl E,rr' + H.o, + H.u, + H, = 0

Resolviendo el sistcE¡, sa ticDc p¡ra ü,

l ¡ . & ¡ , 1lc. c, c. IlH. E, E. l-fr. r. Fn

= -' lc. c. c, I

tH. H, H- l

¿(¡', c,¡l)(ó) gl = -

alJ'r''/l- @f. d(f'e,m

a@,y,t,

c)#1,=-a@,e,m¿(r., r, 1,)

d@,e,8)d(úrt,a1

lr.si d-rz-y = o,demosrrarque #ú = -éi:#

I)ifc'!úciando con ¡csFcto a ¡, msntcr¡ihdo / constaútc y rccordando quc z cs la vari¡blc dapaüd¿ntaque dcpc¡de dc l¡c irdcFndicotca x y /, sG üc¡a

3r#-"*- . = o v u,#=#-Difereíciando con n-stlacto a /, mantenieDdo ¡ @¡stañtc,

a¿!-z! - I = o v @t#=E¡+Diferenciando (2) con rcsp.cto ¡ y utiliz¡ndo la (t).

¿'. _ -t (..a2 .\ | - 8.lr l l8.. - r\ l 32'+x¿"¿u - (s,r=;F\*ie - t) = ---Gt=F- = - aii--átEl r€sültrdo se pu.dc obtcnc. también difo¡enci¡ndo (r) coo ¡.rpocto ¡ / y cmplcando ta f2).

36, Sean ¡ = f (x, yl y ¡ = g(¡, y) donde / y g sor continuaro€ntc dif€renciables en cicrta ¡egión gR.Demosrrar que una condición necesaria y süfcle¡¡te para quc eústa una rclación funcionál cntrerryrdelafo¡mad(í , ! )=Oeslaanulacióndel jacobiano,.uo"r ,eu.f f i -Oidént icamcnte.

t22 DERIVADAS PARCIALES

I¡ Gdó. é Erlr H¡y quc demGtr¡t quc ii .xi3t la Glación funciqnsl ó(r¡, t) -Atu- Dl

j¡cobi¡no 6 iténti(rmata rlulo, -:::-:.: - 0. Par¡ cllo nótcla quc

- olx, rl

¿7 = 1.t,¡a + ,.da -- ,.(t lt + ü{-.d', + o.@.dt + a.di

= (.,t,+ o.tt)tb * (1.*¡ + *rJdr = o

l

. , i .

.iii

1 '. t f- l l

: l i

l. hipótcsis. Lucgo dc (r) y (2) f.surra *" lt ;; l= #i = 0 idénricsmcntc.

r¡ .ffi .. ú..aa H¡y qüc dcmcrr¡r q¡¡. si cl jrcobhne .-1!a9! = o idhrirrr¡cnrc,gtx, yt

ü|! rd¡cióo fu¡cioú.I cúl¡. r y o, cs dccir, úk,ol - O.

(t) Aü + ).at = o

P.ro ó. y ó, no pürd.r lcr idénticarnent ¡ulo6, pucr crlonccs no habrí¡ GlacióÍ

s. süporc prim¡o qu. ¡¡ = 0 y r,, = 0. E¡ G.tr c¡!o, cl j¡cobia¡o cs lt¿otic.r¡c¡tc nulo ya¡¡t! ar, dc Í¡odo qrr !c titúG la Élació¡ ñ¡trciot¡l ürirl r¡ = cr,

Supó¡943. ahora qu. no ron ¿tnbas ¡¡, = 0 y Í, -

0i !aa, por c¡¡¡¡plo, ¡q + 0. EntoncÉs,.l T.or.ú¡ I , pógiD¡ loE, .. pucd. dcsFjar ¡ c¡ la ccu¡cióu ¡ - ,,1a /) para obt nG¡ ¡ =!c d€duce quc

(11 ú = t{F(ú,y!,!l Ql ! - 'lF(r',,ü,

rl

I> dordc, rrapacüv¡oa¡t!,

(t) &¡ = ¡.d¡ + t 'ttt = a{F.th.+F.4r+q.lr = &F.d¡ + (¡,f '+

0) do = o.dz + o.¿r = ¿.(F.dr* F¡dr) + tr.l, = ",f.dr

+ (o.f, +

vic¡tc c¡ du = o¿ ¿. Erto lig¡ific¡ cs.oci¡l|¡.otc qu! coo Elp.cto a l2L dolAy = 0,lo qt, úo ca dcpc.di!úi! d. ¡ doo qr¡c d.p.¡dc sol¡únfc d! $ cr dcir, $E ¿ 6 fulc¡óD d! ¡, $¡cd.cü qr¡c cf,i!& l¡ ¡drióo fu¡cioal ó(¿ ¡) = 0,

Lu.go (r) ,.r, + 6r, = 0

(¿) Si ¿ = flLrt t - tg-rx + te-¡r, ballar ffi.(ó) ¿Hay relación funcional entre u y u? Si la hay, hallarla.

| 1+ r ' l+tr I&) ge4 = l: 3l = l{r-rr)' (t-.'v)'l = o" a@,i l t ¡ t ' l I r 1 |

I r+d t+r, . I

Dc (rI ¡.,¡. - | y u,Fr -

ur-O o (5'l F,= -t Jtr. Co¡¡ lo qoe (r) !c conrirrrc Go

(t) ¡to = t.F.ttt'..r bt.l-al*.,* ¡ttl itv = ¡t.F,dt * (g'.ff)r"

rcro, oor rirotc& ffi =

lf. ;l = *,o' - :a,'a. = 0 it¿otic¡¡¡cntc,

3ó

si rrl l .

(r) Prfo po¡ d hlcor 35, cooo d jmbi¡do 6 idá¡ti¡ErúG ¡ulo cr¡ u¡¡ ¡!Sión, drbcñ¡rcidal cúU! ¡ y r. Sc tn quc &ta cs tg¡,

- ¡, crlo G., ó(¡, !) - ¡ - rg, = 0. E to ¡c

Éc1¡mc¡t! rc$lvitddo pü¡ dcQejar r, por.j.ú!'lo, c¡ um d.l¡s éo¡cior¡6.y lr¡c¡ootr¡.

^1, d. ¿

- ¡g-¡ r l tt-r, se d.ducc tg-r ¡

-, - t8-r ./ y, po¡ t¡¡to,

tg u - rg (tg-¡y) tg, - t¡ - rs (r, _ rg-..),) _ f;l¡ffi = ffi

Quc s¡¡ti¡uido cn ¡ = k + yV(l - -v) y rimplilc¡¡do d¡ ¡ = e r.

DER¡VADAS PARCIALES 123

- t¡2 - w2 y z: ur + ¡. calcular el j¡cobiano gt,l.t l "no anufación de este jacobiano.

olu'D'wl '

bt !!".!'4. = 1- l 1 l2u -2i ' -21/) | = üou: +2u+C|/'o+2uau' 1 0l

(á) I¿s ecuaciones dadas se pueden resorver simurtáneamentc para obtener ¡¡, o, o eo función de & ¡ .¿ en unaregjón 9t si el jacobiano no es nulo en gt.

IRANSTORMACION-ES, COORDENADAS CURVILINEAS3 Una, región gt_ det plano -r) está l imftada.por: + y:6, x - y:2y y = 0. (a) Determinar laregión 9('del plano nu €n que se apli ia 9( por la transfórmacion x=x+i), l:u_r.,¡¡ r.

-tlá) calcular ffi

1. ) cofnpo.ur el resultado de (¿) con la relación entre las áreas de { y g(,.

(a) La región fR sombreada en l¿ Fig- G6(r, es un t¡iángllo formado por l¡s rectas¡+y_ 6, x _,=2y J' = 0 que aparecen e¡ li¡¡eas de puntos, de trazos y de tr¡zo grueso rcspecuvamente.

c¡P. ól

f i . (a) Si t í :u-o+tc, y=u2

(á) explicar el significado de la

(d) pla¡o rt|

Fia.6¡

- Por la tmnsfonhació¡ dada, la reoa -y + l: 6 s€ translorma en (¡ + D) + (r.r _ o¡ _ 6, s5¡q es,2u : 6 o u = 3, que es una recra (la de puntos) en el plano ¡¡¡r ae h'nigurá Gila¡.

, Análog nente, ¡ -]:2 s€ convierte en (r 1r) - q - o) = 2, o sea, u: l, qüe es una ¡€cta (tadetrazos).delplano¡¡r .D€lanism¿ñ¿ner¿,1=0sevuelve¡r-r=0,o""" , r ]u,queesla¡ectade

l¡azogru€l toenelplano¡rL, .Asiquelaregiónbuscadrcst i ¡ imi tadapor i=2, ' r ' '= lyü=Dysedibujasombreada cn la Figu¡a ñ(¿1.

(¿) !j1'4 =

l -1

(c) El.área de la región triangular t €s 4, en tanto qt¡c la de la región triangul¡r t. es 2. Luego la rel¡cjónentre ambas c! 4/2 = 2, que concuerda con el valor dcl jacobiaio en (á).-como ! jacou¡ano cs constanteen esa€ c¿so, las áreas d€ cualesquiera region€s gt del plano .r1, 5s¡ el doble de las áreas de tas rcgionescorrespondientes transformadas t. del plano l,ü.

da ¿y0L ¿1t

!;v+o fio+o>

fto- ' t Sp-o¡

(ó) pl¡no ¡r¡)

t24 DERIVADAS PARCTALES

la. á(ó) g,4 = | d {e cosé) dÉ-(e co" c)

o\e,9t I ¡

| ú(e senó)

ü (p s€nr)

= p(co6't + scntt) = p

(d) Por el Problcma 45(ó) se ti.¡!c, hacicndo ¡: p,

[cAP. 6

3!1. Una-región g( del pano ¡/ está delimitad¿ pt x2 + y, : a2, x, + y2 : b2, x:0 y f :0,con 0 < ¿ < D. (¿) Dercrmina¡ la rcgión t, en la cual se transforma ft por la transfóníaciOn.y=p cos ó, y=p sÉro Q, con p> 0,0<d<2n. (ó) Estudiar lo que ocurre s i a=0,(c) catcutar ffi ,0, catcutar ffi.

Flc. &t

t jr€gi jrR,l toñbrc¡ta.DlaFiS-6t(¿tcsrádcl imir.¡dspor¡=0(dcpuDtos),y-O(d.putrro$yra-yaBL r + y.

- a. (de trazos), xz + !, : F (dc tr¡¿o grueso).

Por l¡ t¡ansfom¿da dada, x2 + y2 = o" y x2 + !2 = ó¡ s€ conücrten en p2 = a2 y pz : 62, s3r,p-ayp=á¡esp€ct ivam.nte.Asimismo,¡=0,¿Sl=ás.vüelv.O=; l2,aSp=b:r=0,aéx=b * t ransforma cn ó=0, a4pSb.

La rlgió¡ buscsda t' sc w soDbreada cn la Figura 67(ó).Oüo.r€nodo: Po¡ scr / la distanci¡ dcsde ct o¡igen O dcl plano ¡/ y ó cl ángulo medido a pafir det cjcpocitivo dc l.s ¡, .s claro que la rcgión que se busca

"saj a"aa poi á g p Z L O = ó g n7Z, con o ieindica cn la Figur¡ 6-7(¿).

Si ¿ = O, l¡ r€ión R s€ conürr¡e c¡ un cu¿draútc dc un¡ región ci.cul.r dc r¿dio ó (d.liñihda por 3 la-do¡) y t'.si8uc si.ndo u¡ ¡ccrárigüto. Le r¡zón para csto cs qire el punto r - O, i: d sc ¿plica c¡ p = O,0 - üna indcta¡m¡nsd¡ y la tr¡¡sfomación no cs biunívoca e¡ e3tc punto, q;; s ú¿úa Wto sirgular,

(¿)

(bl

d94d9,4 = 1 asi quc, con (¿), 99¿¿ =o\r, v,

quc rambién sc pucde obtenc¡ po, dariya.ión dircct¡.Nótese qua por losjacobianos dc cata r¡ansfo¡mación cs claro cl por qué p _ o (csto cs, ¡ = 0, ), = 0)cs punto singular.

TEOREMAS DEL VAIOR MEDIO, TEONEMA DE TAYIOR¿0. D€most¡ar el primer teorema d€l valor medio para funciones de dos vanables.

Sca F(r) = /(.h + h , yo + ktl. por el tcorema del valor medio paÉ funciones de ur¡a vsriab¡e,

¡ ' ( l ) - ¡ (0) = F'(r) 0<r<1 Ul

1

cAP. ól DERIVADAS PARCIALES

Si "r =.\o + ht. y = yo + ftr. entorces Fltl = -f(x. !1. de esle modo por el Problema 17.

F' l t l = l ,ktxldt) + t , lduldl j l = hl,+kl, i F,tr l = h Í,1,o + oh, vo + ck) + hlr@.+th,yo+eht

donde 0 < 0 < L Asi {./} s€ conviede en

¡( t '+ h,a¡+kl - l lxo,vo) = hl . l r r+ch,uo+okl + kh@6+eh,u¡+ck, (e)

donde 0 < 0 < I como se buscaba.Obúrvcse que (2). que cs an¡lloga a (1) del Probleña 14 donde /, =

^¡-. tiene la vc aja dc ser más simétri-

ca {y también más útil). ya que solo cntra ¡rn solo nrimero 0,

{I. Demoslrar el teorema de Taylor para funciones de dos variables.

S€a F(rl : /{¡o + /'¿,lo + *r) como en el Problema 40. Por el teorema de Taylor pará funciones de unavari¡ble.

r25

r,(o) ¿ + {:pg + ... + F'lJo)¿'+ ff ir-, 0.r., (r)

+¡,(o)+f f+. . . *#*f f i o<c<l ( r )

Ftot = h¡,( ' . ,u, t+khtr , ,uot = (r#* * f , )n^,ua

utilizando la notación oper¡cional. Arálogamcnte

r -o=ftr 'o=f iw.+r,r , t= h'l* + 2hkl, + k'l,r

del que

E"lot = h. t,,(,.,yot + 2hk ta",o,yr, + k, h,lro,s"t = (n** ¡9)' lf"",rO\ o. ov. /

ya que las s€gundas derivadas parciales de j[ se suponen continuas.

De igual mar¡era se püede veriñcar (por inducción ñatemática) que para lodo na¡ural r,

/ á á\" / e ¡ \ 'r , ' rot = (h: : + k:) l l ! " ,aot , ¡ ( ¡+¡{r) = (¡ ; + ¿; ) t@o+oh,v.+.k l' \ d¡ ov,,/ \ o¡ ot/

con 0 < d < l. S¡¡stituyendo en (2) se tien€ cl resultado que se busca.

42. Desarrollar -r2.¡'+ 31, - 2 en potencias de -r - I y ¡+2.

Aplicando el teorema de Taylor con f, = r-¡o, k = U-U., donde ro=1, t ' .=-2. Luego

l l , ,u, = , 'v+8u-2, f ,=2Fv, l r = t '+3, , -=2v, l "=2e, l "=0' Í* .=0, l - ,=2, l - '=0, l - ,=0

Toda. ias derivadas superiorcs son nulas. Así. pucs.

/ (1,-2)=-r0, l , l r , -zt=-4, Í ,1r , -?)=a,Í-(1,-21=-4, 1, , ( r , -2t=2, h, \ r , -2t =0l-,1r,-21 = 0, Í40,-2) = 2' l4'$'-21 = 0' l- ' lr '-2) = 0

Por el teorema de Taylor.

l (x,ul = l l r , -2)+hl , l1,-2)+kl , t r , -z, + *(r , '^ .1r , -zt + zhkl . , l1,-2) + k, fy, l r , -z) l+ *{¡!t.,(1,-2) + ,h,k f,,"lr,-z] +

'hk' f,,,(1,-21 + k' 1,,¡(r,,2)l + Rt

donde Rr es .r ,"oo, lu. en este caso es nülo.

Sustituyendo los valores de las derivadas ob¡enidas en Io que preceda, s€ ticne

x'v +3u -2 = -r0 - a(¡- l ) + 4lu +21 - 2 lz-1) '+ 2(r-r) lu+21 + (r-1)r( !+2)

como se puede verificar direclamente en este caso por procesos algebraicos.

¡(¿) = ¡(0) +

¡(1) = ¡'(0)

del ProblemLr 40.

= ̂ (*#.*H).rG+#.*H)

DERIVADAS PARCIALEII

Pf,O¡T,EMAS VAIIOS

r /*- .d\¡nr sca f(',y) - l'tvfr)

('''))É(o'o)

l0 (r, g) = (0,0)cal€ular (¿) t(0,0), (ü) l,(0,0), (¿) /*(0,0), (d) l,r(0,0), (r) t,(0,0), (t) tt¡(0,0).

(o¡ h@gt = ¡1¡1A0i@ = lgi = o

(ü) /lo, o) = r¡- flo' ¡) t

Ío'o) = ¡i* = .

*{-(#4)} = "(ffi)-,(H$).i'{",G*".J = -(#). {S#)

.U¿IL9;¿CI'll =.'is* = o

¡s¿sé-¡@=¡:$g=o(.) r'(0,0) = ¡¡-l'(0'[): t'(o'o) = ¡!$+ = -t

a h,e,ot = ¡y¡¿Gg;ig.q = ¡gti = t

Otcé¡vcsc qrr ][,, * _/- cn (0,0). Vease problcm¡ 13.

Mostrar que en la transfo¡m¿ción .r : p cos ó,y= p *n { la ecuación Y* *# = O

conYicrt€cn #.itnJ.in#

= o.Tcncm03

ut # = ##.Y,# at # = {"#. ' ! "HDcrivundo ¡ -

p oos C, ), = p se¡ ó respccto ¡ ¡', tcnia¡do cn cuent¡ qr,c p y O b¡ funcioncs dc r y

1= -r*netf *"*r* , o = p**33+*noi fR.solv¡cndo cta sistcrn¿.

S¡ (r. Jt + (0,0),

t.@,al =

Í,1',r, =

EDtone.

(c) l-(o, o) =

(d) 1,,(0,0) =

!e. =d, *9'

AnáloSoncr¡tc, deriv¡ndo rqlpacto s ,r.,

¡^ An0 = -plcn+;¿ + cosd¿<,

RcolYic¡do el sistcma,

I=*" ,ty

EÍto¡ccs por (r) y (21

._, dv ¿v lrn ó ay(¿, :- -- cos o:- - - -' ' ¿t ¿p p di

Aó sen ó¿tp

r = oco¡ol l + *n.3' tyoy

!É=*o¡rü p

tol lI = sen6lZ.r- coot{YoyoFPog

cAP. 6l

De dondc

DERIVADAS PARCIALES t27

dzv d 1¿1\ = _¿f¿v\L * ulcr\a\¿r,/ ap\ar/dr aa\¿',/ar

sen o a'V\/ sen o\; ;7/Y;)

\7)

(r)

¡.5. (q) Si s= f(u,!)a@.y) afu, u)a@,") aFí'(b) Demostrar que

= *(*'g -ryn!#. *(*'g -Y'i)I+= (*"r#. ry# _ rvfl")r"*,r

* (-*"r# + "ooff i - T'# -que se rcduce a

* = **r# -

u*#.*r# - ¿."nÉlgerffi+ +:+ - ip#

Análogamcnlc

ff = *.tff . "--+*-r#. *#.'. ##sumando(7)y(d)sehala.pues.que #-# =

#- l t+* "1,# =

"

y y=g(u,ü,con u=ó(r,s) y z = g(r,s)r, d"most.ar gue ffi

a(t,ul A@,o'l - ak.u\6@i) Mñ

= I ya que fi¡

+ O, e interpretar geométricamente.

, , a(¡. ) | " . " , | | , .ú+ t, t t , z.t t , + t . t t . I( ¡ t : -=l l= l ldr¡' ') | y, r.| | !.ú,+y.r, y.t,+u.o, I

aplicando un teorema sobre multipricación dc dcterminantes (v¿ase probrema !15). sc h¿ supuesto aqulnaturalmcnte la existencia de las derivadas parciales que enlran cn los cálculos.

t¿) Hacer¡ = \ '.r: r 'enet resuh dode k¡'. Enronces. {p 9!!!,f) = ?f"'vJ = t.d\l t ,v) a\r,u) ¿k, u)Las ecuaciones x = f(u. t)), y = g@,ü) dcfinen una tra¡sforñación entre puntos (_r,r) del plano,r/

y puntos (¡/. 0) del plano u¡j. La transformación r€ciproca v¡enc dada por l,¡ = ó(¡, ),), u = ú(¡,,,). El rc-sultado obtenido es que los jacobianos dc cstas ¡ra¡sfonnacioncs son inversos u¡o del otro-

¡|6. Mostrar que F(.r)',: - 2.y) = 0 satisface bajo co¡diciones adecuadas la ecuación x(ózl?x) _yqzl¿yl = 2,r. ¿Cuáles son estas condiciones?

Scax=¡y,u=z-2r. Luego F(11,r j )=O y

(1) dF = F.dl¿ + F,h = F.(xdv + sd,rl + F.(d, - zdtt = O

-. Tomando ! como variable dependiente y ,r y / como variables independientes. se ricnc dz = z,dx + ,dy.Susriluycndo enlonces en {¡) s€ tiene

(yF" + F.2. - Zl d, + lrr- + F".,\dU = O

L|¡ego por scr ¡ y J, indepeÍdientes,

(21 vF.+ F.z. - 2 = 0 (t) ,F" + F"z, = 0

128 DERIVADAS PARCTALES [cAP. 6

Despcja¡do 4 en (J) y sustituyendo en (2) se obtier¡e €l resultado pedido xz, - yzr = 2, después de diüdir por4 (qüe se supone distinta de c€ro).

El resullado se¡á ci€rtamente válido si s€ supone que ¡(r, l,) es mntinuamente diferenci¿ble y que 4 + 0.

Problem¡s propü€stos

FIJNCIONES Y GRAFOS

47. si t(',!, =z!fi, navt tat /(1,-3), (ó) Í(2+h'8L- l9'a] , k\ l@+a,i!).

- - ' , . , , , . 1 l , , 2r+2v+t1tJo¡. (4, -¿, (o, 6(gf + 6) , \c) T-l-¡

8. Si s(x,y,z\ = x'-yz*'xt, halla¡ (al s(r,-2,2r, (bl s(e+l,r-r,t, lc\ s(6v,s',e+y).Sol. (@) -1, (bl t' - * - 2 - vz' I z' + Sitt + 3u, lc') t\'- t"- rttr + 8r'1t.

lD. Dar cl domi¡io d€ defioición en que las futrcioñes siguie¡tes esián definidas y son ¡eales e indica¡ g¡áficamentc€ste domi¡io.

$.

(dl x'+ 4 = u"(ar, '+y '+.¿ = L8,A ¿ - 4y'- 4U = 36,

@) r'+ u' = 2Y,(h) z = r+r,@ v'= az,ln j , '+u'+a'-4r+6t+2t-2 = O.

(d, t@,u, = +=, @') f@,ú = In('+e), (c) X",n¡ = *"-'(4-r-").

sot. (a, ,'+t * !, tbJ a+y > o, at lZfaf,l= t

(¿) ¿Cuál cs el domido dc dcfir¡ició¡ para cl cual tlx,t,zl =(r) I¡dicar este doúiüio grÁfcamcntÉ.

Sol . le l r+v+. = L, , '+u'+, < 1 y n+u+. = 1,

5t. Dbujar y noúb¡& la suFrficie del espacio tridimensional representada por cada una de las ccuacion€s siguient6:

lor 3.+22 = 12,lbl 4t = r' + yt,

So/. (a) plano, (ó) pa¡aboloid. de revolución, (c) paraboloide hipcrbólico, (¿) cono circular recto, (¿) esferr(/) hiperboloide dc dos hojas, G) cili¡dro circular rccto, (i) plano, (i) cilindro p¿rabólico, (J) esfera, c€n!.ien (2, -3, - l) y radio 4.

52. Construir un grafo de la rcgión liñitada pt x2 + y2 : a2 y x2 + z2 : a2, co¡ ¿ constante.

53. Describir gráñcamente €l conjünto de puntos (x,/,2) tales que:

(ol r ' *a¿*z' = 1, x '+a. = z ' t lb) e '+y ' < z < r+! ,

lAs anmt de nioel óe !¡a función z = /(¡, /) son cürvas del plano x/ definidas por f(r, y) : c, si€ndo c r¡r¡cotrstante. Sirven p8¡a representar g¡áfcamente la función. Análog¿mente ,las supeúicies de níDel de w = f\x, , . .son las suparficies definidas en un sistema de coordenadas rcctangu¡arcs por f(x, y, zl = ¿, siendo c una coci-tante. Describi. y representar las curvas de nivel y las superficies dc üivcl para cada una de lás funciones qi!siguen: (a)/(¡, ),) = ln (x, + !2 - ll, {bl f(x, y) = 4xy, (c)l$,y) = tE- | y/(r + r),ld)f(x,yl = x,t' + ,}.(e) f(x, y, z) : x'z + 4y2 + ló22, A *i (x + z)/(L - y).

tt#está deñnida y es rcat'

, '+u'+¿ > 1,

¿.

t

cáP. 6l

I,I}IITES Y CONTINUIDAI)

lll Dcmostrar que (¿) lim

DERIVADAS PARCIALES

(3x - 2yl = 14 y (¿) r,.,1ff.,,

(x/ - 3¡ + 4) = 0 utitiz¿ndo ta dcfinición.

f . Si l i t ¡r /(r,) ,)-Ayl1ñglx,f) - , , donde l irn denota lbrl i te cw o (x,yl:14,y] dcmosrra¡ qt¡c:\al lim Ulx, yl + slx, r)\ = A + n, lb|| lif¡, Ulx, y, g(x, yl\ = AB.

¿En qué condicio¡res as cl limite del cacicntc de dos funcioncs igual al cocicnte dc sus limitcs? Demosirerlo.

Ca¡cular los limites siguicntcs, caso dc existir:

t29

t

3.

¡a¡ ¡¡¡¡ {;31{' . - t4+t-z l l

(ü) ritnF-+.

(c) lim ci sen Z

. -'.1 ¡ senr¡'+ ¡l(d, Iq ,+t¡-

(c) t im .-r l ' t r , - ¡ r

(i)]ll[ffi (^)

t4 l l iñ - , ^"';:i: '/;- 'hnr,- scn -r (¡y - g);: i rB - ' (3' , - 6)

Sr¿ (¿) 1, (ó) no c¡iste, lc, 8lr, @t 0, (r) 0, (, no cx¡ste. (r) 0, (ñ) l/3

g,. Dar una deñnición de límit. para fu¡cioocs dc (¿) 3, (ó) n varúbles.

¿Y¡D-1r.0, ¿Existe lim ;::j-j--;J cuando (¡,/,2)+ (0,0.0)? Justificar le respu.sta.

¿x-)y+¿z

ó1. Investiga¡ la continuidad de cada una de las funcioncs siguientes en los puntos indicados:

(al x'+ y'; (xt,yttt. (ó) ¡;+Tt; (0,0). (c) (¡f +r¡) s"n;rt7.i (r,/)t (0,0),0 si (r, ?) = (0,0); (o,o),

Sol. (a) continur, (r) discontinua, (c) continu¿

ó2. Valiéndosc de la deñnición, demostrar quc /(¡, )) = ¡/ + 6.x cs continu¡ en (¿) (1, 2), (á) (r¡, ¡o).

63. Dcmostrar quc l¡ función dcl Problcm¿ 62 cs unifonnemcntc coDtinua an la ¡€ión cuadrsda defi¡¡ida por0: í ¡51,0SrS l .

DERWADAS PARCIAITS

A. si IG,y¡ =x . v, b.llat (aldÍPxy @l afqy cn (2, -l) por la d€futición y comprobar la rEspucsta por l¡s rc-

' - " x+v ' 'gl¡¡ dc difcrcncdción. Sot, (a, -2, (b, -4.

65. si ,(u,,) = {f'-'"trt"*'t S:3;íl:3;3i, harar (c) /.(0,0), (ó) r(0,0}.

sot (d) r, (üi o

66. Inv.stita¡ lim /,(x,),) !'a¡a hs funcion€s del problem¿ prec.dente y explic¡r lbr qué cste llr¡ilc (si e¡istc)¡ ¡ . r ¡ - lo,ol

es o no igüal ¡ t(0, 0).

6?. Si l(r,/) = \t- vl *n18" +21t), Calcular lal Í. lbl h, kl l*, l¿, l-, (6, 1.. gl 1,, en 0, 31.so¿ (o) i(, + V-s), (ü) t(z,-sv¡), (6)l("y'5 - 2), (d) ikVE + s), k) *(z'Vt+ 1), (/) +(z"y'¡+ r)

68. (a) Der¡rostrar por dcriv¡ción dircct¡ qu. z = ty tg {ylx, setisfacc la €cu¡ción x(azlAxl + y(AzQyl = 2z si(x,r) + (0,0). (á) Discütir la pa¡tc (a) lrara otros puntos (¡./) suponi.ndo z = 0 cn (0,0)-

óL Vcriñcar guc lo : .1r,, para las funciones (a', (2x - yy(x + yJ, (b', x t8 ¡/ y (c) cosh (/ + cos ¡), indicando losposibLs puntos cxcepcionales y astudiando t¿les puntos.

m, Mostrar que z-ln {(.x - af +ly-br'zl satisfacc ó'¡2ló¡'¡+ó'zldyt = 0 e¡ccpto cn (¿, á).

Í -

I!tI

*+

r30 DERIVADAS PARCIALES [cAP. ó

Sol. (a') lsrta - 4!') dr + (r'- A"y + 24yt, tly{bt gy'¿ - 6ryzl dx + (16ruz'-

'r'zJ dt + (24rU'2'- 3.t'yl dz

(cl lu' t¡ fulr') - u'\ d' + lzrv l^lukJ + 'a\

du

Dcmosrrar que (¿)4utll = Udv + vdU,(b't{U/n= ll dU - U dVyV,, {cl dll¡ U) = ldUVU,ldt d(tg-t V)= ldv)lll + l/'z\, sicndo U y Z funciones difer.nciables de dos o más v¿riables.

Averiguar si las expresiones siguientcs son o no diferenciales cxactas de funciones y, dado cl caso. hallar la función.

(a) lzr:v'+ 3y cosgrl d, + lzr'a +se¡g"')tfulb) (6EU - yt) dr + \2'et - ,'l da

lcl 12'- Svldr + lrzu'- s,tdv + srz'¿.Sol. la) t 'u'+ /sen8r + ¿, (ó) no exacta. lc) ,z'+ 4u'- 3úu + c

Sol. (a) 7, (ó) -1a, (c) 11, ld, rr2, (el -as

80. Si ¿/: ¡2 F(r/r) mosrrar que en cierras restricciones ad.cuádas sobre F, xQulex) + r(AU/¿',) = 2U.

81. Si r = ncosd- rs€nq y ? = ¿sena+ ocosd, donde a es una conl i ¡antc. rnostr¿r qüe

lavlar\'+ lavlaul' = (avlaú'+ lavl¿ttll

t2. Mos¡rdr que si , = pcos.t, u = cgtrn.t, las ecuaciones

Aü Ar Au At)j - -

Se Conv¡er len eno, ou du

t3. Valiéndosc del Problcma 82 mostrar q¡¡e por la transformación -

= p cos {. ¡ : p s€n ó, ta ecuación¿rr¿ d'¿ ^ ¿' l ¿ü I á'¿-lÍ + ar'

= l' se convrerlc ao; * ; d; r i;t = o

71. Mostrar quez = x coslvlt) + tg (t/r) sal¡st¡c€ rr2-+ 2xaza + t'2,, = 0 cxcepto en e¡ punto para el que

/ - - -¿, \ '72. Mostrar¡uc sr u =l ' " ' l , .

' \ r+v-z, /,_,_aw, --aü, _ál¿ _

^ , . ,

- ,á ' r¿, . , r¿tu L "ratu !o-_0'* .n | tu,- á ' r , _ ^\o)rar+yau+rE = o, (o) t ' ; ;r r- l t ' af r z '

a¿ 'r zrv l ; l l ' ¡ zr. l ; l ; + zyz au ¿z

= o-

Indicar los posiblcs punros cxcepciona¡cs.

DIFERENCIALES

?3. Si :=rr- , r r+3Jr,calcular lo lLty(b)dzcoir :5.y=4, A-r : -0,2,A1 = 0,1. Expl icár por qt¡é ^ty d: son aproximadamente iguales. (c) Hallar

^.: y dz si x: 5, y = 4, Lt = -2, Ly = l.

Soi. (¿) -11,658, (ó) -12.3, (ú) L: = -66, d!: -123

?4. Calcular aproximadamenre medianre diferenciales J{ttF + r(rJ)'-.

Soi. 2,01

75. hallardF y dC si (a) F(t,u, = r'u - 1rf +8at, lbl Glr,x,z\ = 8ru'¿ -3rtu2, lal F(r,ttl =ru'tn(ulrl.

17-

DIFERENCIACION DE FTJNCIONES COMPU¡STAS

7t. (o) Si U(¡ ,y,z) =2r ' -Uz+!2. , r=z*nt , !=t ' - t+1, z=3¿-. ,hal lar duldt cn t -0.(¿) S¡ ¡t(¡,r)

- scn(3r- l) , , '+2r = 2t ' , d-y' = t '+' t , hal lat dHldt.

, , . / st ' t 'a r lzt + gtr - 6lr + 6¡.¿ + 18\')ot td) z\ t¿r

\-T;;;Z-- ) cos \tt - u)

79. S¡ ¡'{¡, r) = l2E+u)llu-zrJ, t = 2t¿-31), u = ü+21', l:.¿llar la) ¿F/a{, g') ¿F/¿I, lcl a'Fldu',\d l A'Fldut, \cta 'Fl 'ka! , con | |=2,u-1.

Au _ lüt Ao _ lauap.. . ;aó'6-- ;¿o

DERIVADAS PARCIALESc^P. 6l

rUNCIO¡¡ES ¡MPL¡CITAS Y JACOEIANOS

ta Si F(¡,/) = 0, d.mostúr quc dldx - -F,lF,.

lt H¡lfar (al dyl¿x y (bl dzyldx' si x! + ¡3 - 3¡,= 0.Sol. (u) (t - r')lv2 - r), (b) -2xylt¡'' - xll

L Si ¡¿' + c = f , 2yu -.r,t = 4.r. h¿¡tar tut ¿-!

(, ó-:

ox a,v

d"=¿U

a$,cl a$,st

t3r

^ r ' ¡ -3¡ Í2ut+4 2xu2 +JvtJ{¡r. {r.¿l - t- , - :- ' (á)-r=:

ox-uu' + ¿l tx.ut + !

¡.

tL

n. Siu=Jk,yl,r; -g(¡,)) son difere¡ciablcs. dcmostrar nuc fr,1 .

* 3;{ = l. Expl¡car ctar¡men6 qué va-

riables s€ consideran independientcs cn cada dcrivada parc¡al.

tL si/(¡ ¡, ¡, ¡) - o, s(.!, /, '. r) = 0, demostr¿r que

3 * .

H ¿1] = 0,

"*pl¡"rn¿o qu¿ var¡¡btes son indepcn-

dienrcs. ¿Qué hot¡ción deberia usdrse par¿ indica¡ cuáles v¡nables sc consideran iodependicnt€s?

D. si F(¡.r) = 0. most¡ar quc #

= -!"4-3!"!FFl!tE

^, ¿lF,c l . ^ .Calcular i tñ

si f(¡,o)- 3uz - ut. Glu,ul -2uoz +t!. S¿1. 24u't + lóur'-3rr

Si f =¡+ 3y'-2. ,G-2lyz,y H -22, - xy, calculsr { !9{ cn ( t , -1,0). Sal . t0d(r. / , :)

Si¡=scn-rx+scn-t¡yu=r.r / l - l+tJ l - : ] ,¿ver iguarsihayre¡aciónfunciomlenrrc l ¡y¡y.s ics el caso, hall¡rla.

Si F = ¡I + .)z + zx. G - F + f + 22, y H : x + y + z. averiguar si hay relación fi¡nciotal rcsumiendoF, C, y H, y, si es cl caso, hallarh. Sol. H'z - G - 2F = 0

(a) si r =fl2,r..u). ¡ = s(a. r,, ro). y z = htu,D,ut, dcmostrar quc;|f,#H#i = r siempr€ que

#íl*nrl* 0.(ó) Dar una ¡nterp¡eración del resultado de (r¡) por rransfo¡maciones.

si t@.v,.1 = 0 y g(t,u,t \ = o, ¡nosl¡ar quc.dz

aV,ol¿{r, vl

y da¡ las condicioDes bajo las cuales cs válido el rest¡ttado.

9ó. si.y + r¡ = u, j + 22 = u,z + x2 - l, hatlar ta)fr, totS, f"f -.'.11; ruronrcndo que tas ecuaciones definen

x, t y z como fu¡¡ciones do! v€ces dife¡enciables de I¿. u v ¡:.

s/. (,) r+i"r, @ Etti#, @r",',¡W97. Enuncief y demostrar un teoreña parccido al del Problcña 35 para e¡ caso en que t, = fft, f, z), D = Bbi, r, zl,

u) - hIr, f, ,1.

TNANSNOXMAC|ONES, C(X)RDENADAS ClJRVILINEAS

9E D¡da Ia rr¡nsfomacióo ¡ = 2u + ü,y - u- 3r. lrJ) Dibujar la región 9t'del plano ür,cn la cual se tr¡nsforma

t¿ región R det plano ¡,limiiada por ¡ = 0, ¡ = I,y =0, y = l. (ó) Catcuhr ffi.

(c) Comparar et rcsut-

tado de (ó) con la relación cnrre las árcas de 9( y ft' SoL tbl -7

99. (a) Demostrar que por una trunlo¡,ñación lincal x = aru + o2tt, ! - hru + bzt' @ú2 -¿2ór + 0), l¿s rect¿sy los circulos del plano ¡, sc transforotar, respcclivame¡¡tc. cn rcctas y circu los dcl plano !r'. (á ) Cakular el jacobia-no ., de la transform¡ción y discutir cl significado de ", - 0.

t32

r00.

DERIVADAS PARCIALES [cAP. ó

l0t.

Dadas x = cos r cosh r,, )' : s€n a senh u: (¿) Mos¡rar que en general las curvas coorde¡adas u = ay | - bdcl plaoo ,¿' se tñnsforman cn hiÉrbolás y circutos det plano r-.¡, rcsp€clivamenre. (á) Calcular l]fl/)J.

(c) Calcul¿r l-¿!r9)1. r¿{ü' u)l

t<r\r, u)l

So¿ (ó) s€n'¡ cosh2 r + cos2 ¡ scnhr r, (c) {senz ¡¡ cosht ! + cos¡ r.¿ senh2 r)-r

Dadafat .ansformacióAx=2u+3u-t t . , ¡ -u-2t+x. , :=2u-2t+r. .k¿) Dibujar Ia región t ,dclespacio r¡r¡¡ €n que se transforma ¡a región 9t delespacio -y)': limirada por.\ = 0,.r = 8.) : O,I = 4,. = 0,

?lr . - \: = 6. (¿) Calcular # (() Comparar el resulrado de (ó) con la relación entre ¡os volúmenes de R y tt,.c\u, r\, tolSo¿. (¿) I

Dadalatransformacióndccoordenadascsfér icasx=.rs€n0cosó,)=¡sen0send.:-¡cos0conr=0.0=05t¡ ,0=d<2z.Descr ib i r lassüp€rf ic iescoordenadas(aJr=a, lb)O=hylc ló=c,siendo¿,ó. .consaantes. So¿ (a) esfcr¿s, (ó) conos, (a) planos.

(¿) Comprob¿r quc para la transformación de coordcoadas esfé.icas del Prob¡ema 102. "¡: L]-l = ,,

sen 0. (á) Discutir el caso ", = o. ¿¡' 0' Ó)

t|n.

t03.

TEOREMAS IIEL VAIOR MEDIO

104. Demoslrar que hyy = 0<¿<1, con r>0,r>0.

lct. Dcsarrollar Í.r, r,) = sen .yjl en potencias de -r - I y.r, - {a, hasta incluir térmioos de segundo gr¿do.

so,, 1 - t ' ' ( r - r ) ' * +?(r- lxy-+.) - ¡ (v-1") '

l(b. Desarrollar.t(x. ),) = )l/.rr en potencias de x - I y}. + I, hasta incluir términos de segundo grado y escribiret resto.

So/. 1- 3(¡-1) -2(u+1) + 6(r- l ) '+ 6(¡- l ) (y+1) + (y+l) t

10l l - r ( ¡ /+1) l '+ 1211 -¿(/+1) l [1 +r(¡-r) ] + 3[r+r(r-1)] 'con 0<r<1.

l f l . Mostrar que Fl ' .+y-z,t '+vr) = O satisface r(az/A!, - y1zlóx, =

I

t

[1 + r(r - l ) ] '

107, Dcmostnr el prim€r teorema dcl valor medio para funcioncs de 3 variables.

l0B. Gcneralizar y demostrar el teorema de Taylor para funciones de 3 variables.

PROBLEI}IAS VAR¡OS

f 0e. si F(p, y, o = 0, dcmosrr¿r que (d) irrl, #1" = - ,#1,, *, ,#1,#l,t#1" = - tEstos rcsultados son útiles en termo¿¡námic.t, donde P, Z, f corresponden a presión. volumen y te¡nperaturade un sistem¡ fisico.

¡10. Mostrar que¡'(r/y,zly) =0 sarisl¡ce r(drl¿a) + ulazlaut = ..

2. Si

lt3. si

lr4. si

= a(' ' Yl

¿(z,r) 't = ¡(lt,Ir l y ,r = ,(u, o), denrostrar q""

¿+ = - 1# .o" J

z=l(u,D), !=slú,rJ, z= hfu, I ) ) y F(r , ! ,z l=o, dernostrar que

!. ! \A;" -

a( . , ' ) , d(¡ , ¡ / ) ,¿(,,,")* - ¿ñ;i oll * t(,,,,):"

= u

r = O\x,u,ta), v =,t@,D,ul y u= l lr,e), r = s(r,sl, rr = ft(r,¡), dcmosrr¡r quc

gl4 = !g!¿) d('¡',) + 'g!s) d(o"r¡) + at'ul ¿.!!¿)

d(¡.s, d{x, r ) d( ' ,3) AO,u) alr , . ) ¿(u, I t ' ) ¿(r , t )

a^P. 6l

u5.

DERIVADAS PARCIALES 133

l t7.

{¿r Demostra, c* l : I | . l : I l - l l : i \ t - : l : \ i l . .on lo qu. se demuesrra ra resra páratc ut ts nt I ce+os ctranI

obtener el producto de dos determinantes de segundo orden de que se habló en el Problema 45. {á} Generalizarel resultado de (a) a detcrminantes de orden 3, 4, ...

Si , t , ¡yzsonfuncionesdeu,uy¿' .s iendo¡r , ¡yufuncionesdcr,ry¡ .dcmostrarque

a@, a,, ') _ !J!:L:-\.al ,1,,ui¿(',s, t) ¿(¡ ' , r , ,?¡,) ¿( ' ,s, ú)

Si ¿, y D, son fos operadores A/Ax y A/Ay. resrf,ctivañente, mostrar quc s¡ existe la serie dc Tayl or pa¡a f(x + h.)'+ k), s€ puede escribir an la forña

Ílx+h,u+kl = c_.,_, f( t ,u\

Dadas las ecuaciones Fy'¡r , . . . , ¡ . , / r , . . . ,_¡")=0 con j= 1,2. . . . , r . Demostrar que dentro de condi-ciones adecuadas para F./,

Au,

(a) Si F(¡,r,1 es homosén.a de srado 2. dcmosrrar que ,, lt * z- ffi * ,'# = ,r.

(r) Ilustrar mediante el caso particular F(¡.)') = x'z ln 0'A).

Nótes€ que el r€sultado se pueáe escribir en forma de op€rador, ñediante ," = ?/0x y D" = A/A), comolx D, + y Drl2F : 2¡. [Sugerencia: Derivcnse ambos ñiembros da (/), Problema 25, dos veces con resp€c.to a l.l

Cencralizár el r€sultado dcl Problcma I l9 como situe. Si F(¡r, ¡2, . . . , ¡.) es homogéoea dc grado p, entor¡cespara todo número natural ¡, si D4= 3/?x¡,

(r tD,t+ r 'D, ,+. . . + r"r , " ) 'F = p(p - 1) . . (p - r + l )F

(a)Seanny),determinádasapa¡t i rdery0por)r- f i=(¡ .+¡u)¡ .Demostrarqueporestatraosformaciónla ecuación

á? '

¿'ó ^ s€ ransforma.o 4g * uj! n

(ó) ¿Es cierto el resultado de (d) si ¡ + i) = F(u +,'r)? Demostrar.

t2l.

Vectores

VECTORES Y ESCAI.,/\RES

Hay cantidades en fisica que se ca¡acteriza¡r tanto por 6umagnilud como por sü dirección, tales como el desplazamiento,la velocidad, la fuerza y la aceleración. Para describir talescantidad€s se int¡oduce el conc€pto de rectol, que es un s€gmen-to de recta dirigido PZ desde un punto P llamado o gen hastaun punto C llamado extemo. S€ denotan los vectores con letras¡regritas o letras con üoa flecha encima. Así, PO s€ de¡ota porA o ?4, como en ¡a Fig. 7-1. La magnitud o longitud del vec-tor se denota enronces por lFdl, pO,

lt'l " ü1.

ALGEBRA VECTOnIAL

Las op€raciones de adición, sust¡acción y multiplicaciónordina¡ias s€ pucdcn gc¡eralizar al álgeb¡a vectorial m€diantedeñnicjones adecuadas. Las sigüientes defnicioncs son funda-menlales.

l. Dos vectorcs A y B son ¡gra¡¿r si tienen igual magnitud y dirección. Asl, A = B en la Figura 7-1.

2. El vector que tiene dirección opuesia a la del vectorA, pero de igüal magnitud que A, s€ denota por -AlFisu¡a ?-2].

Capítulo 7

,tnr. ?.1

tn3. ?-t

Hay otras ca¡tidades lisicas que se caracterizar¡ solamente por la magnitud, tales como la masa,longitud y temperatura. T¿les cantidades se suelen llamar esc¿l¿¡eJ para distinguirlas de las vectorialcs,pero ha de tenerse en cuenta que apale de l¡s unidades (mctros, grados, etc.), no so¡ más que núme-ros rcales. Se las puede, pues, denota¡ por letras corrientes como siempre.

3, La suma o resuhdnre de los vcctores A y B dc la Fig. ?-3(a) es un v€ctor C construido hacieo-do coincidir el origen d€ B con el extremo de A y ur¡i€ndo luego el origen de A con el extremodeB[véaseFig.7-3(b),LasumaCseescr ibeC:A+B,Estadef in ic ióncsequivalenteabregla del paralelogramo para la adición vecto¡ial, como s€ ve en la Figura t-3(c).

(ü)Flr. t"r

t34

.4.

L

cAP. 7l VECTORES

Son inmediatas las generalizaciones a sumas de más de dos vectores. Por ejemplo, Figu-ra 74, donde s€ ve cómo se obtiene la suma o ¡€sultante E dc los vectores A, B, C y D.

135

t

\'

\

/=-..-.=s.___-...

l"II

I't8. ?.{

La dilerencia de los vectores A y B repres€ntada por A - B es el vcctor C, que sumado al Bda el A. En fonna equivaleÍte se puede definir A - B como A + (-B), Si A = B, entoncesA - B se define como el aector nulo o c¿¡o y se r€prese¡ta por el símbolo 0. Este \¡cctor tienemagnitud cero, pero su dirección rto está dcñnida.

La multiplicación de un vector A por un escala¡ z da un vector rnA cuya magnitud es lrnl vecesla del A y cuya dirección es.la misma o la opüesta de A, segr¡n qüe ,i sea positivo o negativo,Si r¿ : 0, mA : 0, el vector nulo.

LEYES DEL ALGEBRA VECTOIIAL

Si A, B y C son vectores y m y ¡¡l . A+B=B+A2. A+(B+C)=(A+B)+c3. m(nA\ = (mnlA = n(mA)4. (rn + n'tA = mA + nA5. m(L+ B):mA +,nB

escalar€s, entonc€s

conmutativa de la adiciónasociativa de la adiciónasociativa de la multiplicacióndistribütivadistributiva

wI'eyL€yIeyLey

Obsérvese qüe en estas ley€s solo se define la multiplicación do uD vecto¡ po¡ ürlo o más escalares.En las piginas 136 y 137 se definen productos dc vcctores entre sí.

VBCTORESI UNITANOS

Son vectores quc tienen longitud unidad. Si A es un vector cualquiera de lo¡rgitud ,4 > 0, enton-ces A/l es un vector unitario, que s€ denota por r, y que ticne la misma direccióu que A. EntodcesA=At.

VBCTOIES TJNITAN¡OS ORTOGONALF^S

Los v€ctores unitarios ortogonales ¡, J y k soo vecto¡es unita-rios que tienen la dirección de los ejes .r, ¡ y z de un sistema de coor-denadas rectangulares respectivamente lvéas€ Fig. 7-5]. Se empleansistemas de coordenadas rectangulaf€s dextrorsos, o a derechas, si nos€ advierte ot¡a cosa. Tales sistemas se llamar¡ asl porque un saca-co¡chos de rosca a derecha al gi¡ar 90" de Ox a Oy avanz¿¡ria cnla dirección positiva z. En general, tres vectores A, B y C dcl

l3ó vEc¡oREs

mismo origcn y Bo coplanarioq forman un r¿t¡en¿ de¡trcrso o a dcrechas si un sacaco¡chos d€ roscaa dercch¿ al girar de A hacia B un óngulo me¡or que 180'avanz¡ en la di¡ec¿ión C [Figura 7-6].

F¡3.?a ?ta.|r,

COMPOIIENTES DE UN VBCTOR

Todo vector A en 3 dimensiones s€ pucd€ ¡cpr€sentar con su origen en el origen O dcl sist€ma decoordenadas [Fig. 7-7]. Sean (AL, A2, Ar]| las coordenadas rcct¿ngulares del extreno dcl vector A d€,-origcn O. Los vectores A¡, Ai y Aah e llamat aectores componentes rectangulates o simplemctrtc vec-torcs componcntes de A €n l¿s di¡ccciones .x, y y z respectivamatb. Aú A2y A3 *, &cÁ componentesrectwulates o simpleE€¡t€ comporaites de A eD las di¡cccio¡€s .r, y y z respoctivamcntc.

-

La guma o ¡6ulta¡tc de ,l!i lS y 41 6 el v€cto¡ A, cotr lo que sc puede escribir

A = A¡i + Arj 4 .4rk (r)

La magnitud de A es

¿ = t¡l = \RT4i4 @)En panicular, el oecto¡ local o ¡adio vectot r dc O al punto (¡, /, z) se escribe

r = ai+ai+zl ( t )y ticne magnitud 7 = l¡l = !F¡747.

PNODUCTO ESCAI/IR

El producto escalar de dos vectorcs A y B, que sc denota A . B, s€ define como el p¡oducto de lasmagnitudcs de A y B por el coscno dcl ángulo que forman, cs decir,

A.B = áBcosr, 0=dS,

Obsérvcsc que A.B es u¡ escalar y no un vector-Sc vefi6can las siguicntes leyes:

L A'B = B.Ax a'(B+C) = A.B + A'C3. m(A.B) = (mA) .B = A.(mB){. i ' i = j . j = k.k = 1, i . j =

Ley conmutativa del producto cscalarL,ey distributiva

= (A'B)rr, con m escalar.j .k = k. i = 0

?ra-?4

cAP. 7l

5. Si A=A, i+Á, i+A¡k

VECTORES 81

y B = 8r i+8r j+B¡k,= ArBr. * A2B, + AjBs= A'z = A?+A3+ A1

- B' = Bi+ Bi+-Bi

(El producto vectorial no es conmutativo)Ley distributiva

A'BA.AB.B

6. Si A.B=0 y A y B no son vectores rulos. A y B son pe¡frendiculares.

PR,ODUCTO VECTORIAL

- El produdo vectorial deA y Bes un vector C = A x B cuya magÍitud se dcfine por el producto

d€ las magnitudes de A y Bporel s€no del ángulo que forman. La dirección det vectoiC=ÁxBesperpcndicular al plano de A y B y tal que A, B y C forma¡ un sistema dextrorso:

AxB = ABs€nru, 0=d=,

siendoounvecto¡uni tar ioqueindicaladirecció¡delAxB.siA=BosiAesparaleloaB,seng=0y s€ dcfine eDtonccs A x B = 0.

Se verifrcan las leyes siguienles:

(5)

t .t

3.4,

AxB = -BXAAx(B+C) = AxB + AxCnN(AxB) = ("rA)xB = Ax(?¿B) = (AxB)z¿,ix i= jx j=kxk=0, ix j=k, jxk=i , kxSi A = Ar i +.4r j +.A3k y B = Br l +Bzj +Brk,

AxB =

A.(Bxc) =

rn escalar

i jkAt Az A3Bt B¿ B,¡

6, lA x Bl = área del paralelogramo de lados A y B.7. Si AxB = 0 y A y B no son vectores nulos. A y Bson paralelos.

PRODUCTOS TRIPLES

Combinando la multiplicación escalar y vectorial de tres vectorcs A, B y C se pueden tene¡ produc-tos de la fofma (A.E)C, A.(B x C) y A x (B x C). S€ v€riñcan las leyes siguienres:

f. (A. Brc + A(B'C) eo genc¡al2. A'(B x C)= B.(C x A)= C.(A x B)= volumen del paralc lcpipedo de a¡ isras A, ByC

o bie¡ el opuesto de este volumen, según qu€ A, B y C formcn o no un sistema dextrorso. SiA = Ai + Ar) + A.k, B = ,ri + B; + B.y y C = C,t + C,j + Crt, entonces

AIBI

3. Ax(BxC) * (AxB) xC (El producto vecrorial no es asoc¡aüvo,4. Ax(Bxc) = (A.c)B - (A.B)C

(axB)xc = (a.c)B_ (B.c)a

Ef producto A.(B x C) s€ suele ll4ma¡ ttiple prcducto escalar y se puede simbolizar por [ABC].El producto A x (B x C) es el llamado triple prcducto tectorial.

(6)A¿ AtBz B:tCz Cs

r38

i = (1,0,0),

se puede mostraf entonces que

{-.

VECTORES

EnA'(BxC)seomitenaveceslosparéntesisyseescr ibeA'BxC.Pe¡oeoAx(BxC)losparéntesis son necesarios (véase Problema 29). Obsérvese que A' (B x C) : (A x B)'C, lo cual seexpresa diciendo que en un triple producto escalar se pueden intercambiar punto y cruz sin alterar elresultado (véase Problema 26).

ANALISIS VECTORIAL DESDE UN PUNTO DE VISTA AXIOMATTCO

De lo anteriormente visto resulta que un vector r : ¡i + / + 2l está d€terminado cuando seconocen sus 3 componentes (¡,.y, z) respecto de un sistema de coordenadas. Al adoptar un tratamien-to axiomático es, pues, natural proceder como sigue:

Def¡lcióo. Vector tridimensional es una !e¡r4 ordenada de orlmeros reales (Ab 42, A3).

Partiendo de esto se puede dcñnir la igualdad, la adición y la suskacción vectoriales, etc. Asi, conA: (Ab Ar, A) y B : (rr, 12,83) se definen

l . A : B s i , y solo s i , At = B¡ Az: B¿, At = Bz2. A + B = lAt + 81, A2 + 82, A! + Brl3. A- B = (Ar - Bb A2 - 82, A3 - 83)4. 0 : (0,0, 0)5. mA : m(Ar, Ar, A3) : (mA¡ mA2, mA3)6. A.B = ArRr + A2B2 + A3B.

?. Longirud o magnitud ¿e ¡ = l¡l = V'A'A : ,/qi *i l* Ai

Deéstassepuedenobtenerotraspropiedadesvector ia les, ta lescomoA+B:B+A,A+(B+C)=(A + B) + C, A'(B + C) = A' B + A'C, etc. Definiendo los vectores uDitanos

lcAP.7

k = (0,0,1)

A = .4, i+A¿j+A¡k

De igual manera se puede definir ¡ ¡ f,: (,4183 - A3Bz,A3Bt - Afi!A¿2 - A2Bt\.Una vez desar¡ollado este tratamiento axiomático, Ios resultados se pueden interpretar geométri-

ca o fisicamente. Por ejemplo, se puede most¡ar que A'B : AB cos 0, lA x Bl : ,{,8 sen 0, etc.En lo anterior se han considerado vectores en tres dimensiones, pero es fácil genelalizar la idea

de vector a mayor número de dimensiones. Por ejemplo, w oector cuat diñens¡b¿¿¡ se define comovna cuatema ordenqda \Aú A2, A3, Aa\.

FTJNCIONES VECTORIALES

Si a cada valor de un escalaru se asocia un vector A. se dice que A es !14 función de ¡l denotadapor A(r). En tres dimensiones se puede escribir A(u) = A t(u\i + A2(uli + A3fuY,,

Se generaliza fácilmente el concepto de fuoción. Así, si a cada punto (¡, /, z) cor¡esponde un vectorA. A es uria función de (x. ¡, z), que se indica A(r, y, z) : At6, y, z)i + A^x, y, z)i + A3$, y, zB.

Suele decirse que una función vectorial A(x , y, z) define \trr campo Dectorial ya qüe asocia un vectora cada punto de una región. Análogamente, $(x, y, z) deñrc un campo escalar, pues asocia un escalara cada punto de una región.

j = (0,1,0), (7)

(8)fY

*É

&t¡d!

no

5l

¡¡lr

¡o

cs l¡

cAP. 7l VECTORES

I^NfiIES, CONTINUIDAD Y DENWADAS DE FUNCIONES VECTORIALES

Los limites, la continuidad y deriv¿ción de funcioocs yecioriales siguen ¡cglas simi¡ares a las de lasñ¡nciones esc¿la¡es ya vistas, como se ve por los c¡unciados sigui€otes:

L Se dice que la función v€ctorial A(ul(s contiatm c1 so si dado un nrlmero positivo €, €x.iste unn¡¡mero posiüvo ó ral quc [A(¡) - A(uo)l < € sicmprr qus l, - ,ol < ó. Eito equivale a dccirqüe lim A(¡¡) : A(t¡o).

U. f" ¿"1"¿" de A(¡¡) se define como

.. Aft¿ + a?r) - Al?¿)= um-&-O AIt

si €ste imitc eristc. Si A(r) = ¿' 1r¡¡ * rz(z)i *.4r(tr)&; entonces,ilL d.At . ilat. dA¡-ñ

= ¿! r ' r at + -ñr

De manera pnrecida se puedan deñnir derivadas sup€riores tales como *A'?./., cdp,,

3. Si A(E,U,2, = At(r,V,.li+ Az(r,!,2\i + A'(t,g,z)h, cntonccs,

ar = f iax+f;au+$a"es la dilercnc¡al & A.

4. Las derivadas de productos siguen rcglas scmejantes I rstas para funciones esc¡larcs. perocuando €ntran productos vcctoriales hay quc cuida¡ del orden, Algunos etmplos son:

INTENPRETACION GEOMETRICA DE I"A IIER¡VADA VBCTOR¡AL

Si r es el vector que va dcl origen O de un sistemade coo¡denadas al punto (x, J¡, zI al dar las compo-Íentcs de la funciótr vectorial ('¡) quedan densidas¡, y y z como funciones de s. Al va¡iar ¿, el cxtrcmode r describe una d¡¡ua en el espacio (Fig. 7-8) d€ ccua-ciones paramét¡icas x= x(u\, y = y(al, z= z(u\. Sicl parámct¡o ¡ cs el árco ¡ medido desde un cierto püntoñjo de Ia curva, entonces

dt-^E='t (e)

es un vector unitario en la dirrcción de la tangent€ a lacu¡va y s€ flama r'¿ctor t@tgenre unitaño. Si |l ei el tiem-po ,,

dAñ

ot ho¡t = ofr * ffi*(ü) #(a.B) = a.#*#.at " t Stexnl =

^"# +a$xn

tha=" (10) '

es la oelocidad c/r,n que el ext¡e¡Do de I describe la curva. n&?{

140

Se tienc

v

de donde la magnitud de v es

VECTORES

dt dr ds=&=t" l ¡=

. : ó/dl. Asimismo.

d!¡.It.

fsla acelerución cotr que el extremo de I describe la curva. Estos conceptos tienen aplicaciones impor-tanles en rrec¿i¿r'ca y et geometría dderc cial-

GRADIENTE, DWERGENCIA Y ROTOR

Sca el vector opc¡8dor V (¡¿ól¿) de6nido po¡

v = t#+i$+xf i ( r r )

Entonces, si ó(x, y, zl y A(¡,.),, z) tienen primeras derivadas parciales continuas cn una región (con'dición que cn muchos casos es más restrictiva de lo necesario) se puede definir:

l. G ü.[úe Sc dcñne el grudie e de ó por

/ ' '

, \ ¡* isradó = vo = (r$+if,+r. i)o = tff+;¿fr+uff ut\óó. . aó. ¿ó,

. =

' ; r+úr+i ; \U¡a interpretación inte¡es¿nte es que si f(x, ¡, z) : c cs la ccuacióo de una superñcic,Vd es u¡a normal a esta supeúcie (Problema 36).

2. D¡vcrg€ocir. La dioergencia de A se define por

/ ^

¡ e\divA = V'A = ( \ ¡ ó, : -

+ t t+kaz). (ár i+.Ar j+Árk) Gr)

- lAt -

OAz * lAsdr AV Az

3. Rolor. El roror de A s€ dcñne po¡

rot A = VxA = * u*) -

(u{,i + ázi + 4¡k) (161

$r = ,r

[cAP. 7

(tl)

(12)

[a * ' ,

l i j kla d ala, A a"lAt A2 A,

la ¿= i laY az

laz A'

ld a- jl a' d,

lAt A2

la+ kl ót

lÁ '

d

dUAz

= (*,-9' .' (*-af, .- (*-+)-Nótese que en el desarrollo del determinante, los operadores ?lAx, 010y, AlAz &bcí precrder a

Ar 42. Ar.

c^P.7l VECTORES

MNMULAS EN QUE ENTRA V

Si se süpone que existen las de¡ivadas parciales de A, B, U y 4 entonces

f. V(U+y) = VU + Vy o srad (U+V) = grad n * grad V2. v,(A+B) = v.a + v,B q div(A+B) = diva + divB3. Vx(A+B) = VXA+VXB o rot (A+B) = rot A+ rot B4. V ' (UA) = (vU).a + U(V.a)s. V x (UA) = (VU) xA + U(V xA)6. V.(AxB) = B.(VXA) -A.(VXB)7. vx(AxB) = (B.v)a - B(v.A) - (A'v)B + a(V'B)8. V(a'B) = (B.V)A + (A.V)B + Bx(VXA) + ax(VXB)

e. V.(VU) = V,U = y*.yn.# se t tama taptat i r tno de r . )

. y v, = ****$ se ama operador lapta.uno.dt' d!J' dz'

t0. V x (VU) = 0. El rotor del gradiente dc U es nulo.

Il. V ' (V x A) = 0. La divergencia del roior de A es nula.

12. VX(VXA) = V(V.A) - V,A

t4l

[donde se supone_quc f g, l¡ son continuas, tienen derivadas parcialcs continuas y tienen cada una re-cíproca uniforme] cstablece una correspondencia biunívoca entre puntos de dos sistemas cartesianosxyz y u42ux, En notación vectorial la transformación (-¡Z) se puede escribir

INTERPRETACION VECTORIAL DE I,OS JACOBIANOS.COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALFS

Las ecuacion€s de t.ansfo¡mación

Un punto P en la Fig. 7-9 puede definirse no solo porcoordenadas ca¡tesian¿J (¡, y, z), sino también por coorde-nadas (¿r, ¡/2, ,3). Se dice que (2., a., a3) son las c¿o¡d¿-nadas curuilíneas del plr.to.

Si z, y l, son constantes, entonces al va¡iat ¡Jl, rdes-cribe una curva que g€rá.la ca¡oa coordenada lr. Análo-gametrle se deñneri las curvas coordenadas u2 y u3 pot p.

Por l.l8) se ticne

dt=

r = f(ut,uz, ), U = g(ubu2,u3), z= h(ubuz,u.r\ (1f)

r = r i+yi+?k = f (u¡uz,us) i * ! (ü,uz,u) i I h(uta,uslk (f8)

(1e)

dt = htdt er * hztlutez t h"ilu"e"

/rt, /r2, /r. son los llanados factotes de escalo.

¿r,dr.dr.ñ;qut+añtu2+l lxdul

El vcctor a¡/¿¡¡r es tangente a la cu¡va coordenada u, en p. si e! es un vector unitario en p en esa di-rección- se puedc escri-bir- h/óu¡ = hpr, con h, = l4r¡^url y fu16u, = h2e2 y Al04 = l¡¡€¡ cori,t2 = loflduzl y h, = ldrl¿url respectivamente. Así, (/9) s€ puede escribir

Ft8. ?-9

(n,

t42 VECTORES lcAP. ?

Si er, e2, er soo pcrpendicularcs eDtre si e¡t todo punto P, las coordenadas cu¡vilíneas sc dicen ¿¡-ngonules. En tal caso el elemento de arco d.r viene dado por

d.s! = d.t.dt = h|ttul + h'i dul + h! du! (211

y corresponde al cuad¡ado de la lo[gitud de la diagonal dcl paralelcpípedo anterior.Asimismo, en el caso de coordenadas ortogonales el volumen del paralelepípedo es

dV = l(h\du'et)'(hzd.uzezl x (hsd.use) | = tu,turtu3d,u¡dttaihtt (22)

que se puede escribir

ldr ár ár | ' I ab'u'z\ l¿Iu,¿Iao¿tu" @sldv =

l la 'eu,x au" laur autaut = la ' , " ; ;6 |

siendo A$, y, z\10(ur,u2,u!l el jacob¡ano de la transformación.Es claro que si el jacobiano se anula no existe el paralelepípedo y sc explica geométricamente el

signiñcado de la anulación del jacobiano como se vio en el Capítulo 6.

GRADIENTE, DIVERGENCIA, ROTOR Y LAPLACIANO EN C(X)RDENADASCTJRVILINEAS ORTOGONALES

Si O es uf¡a función escalar y A: Are, + Aze2 + Are, es uf¡a función vectorial de las coorde-nadas curvilíneas oriogonales ur,u2,u3 se tienen los resultados siguie¡¡tes:

r . vé = sradé = i#3 * !k#- + *"#.2. v'A = rrivA = *^l#, (h¿hat + ft {n"n,o¡ + *@,h,A"l

3. VXA = ror A I= t6ñ

lt^et hzez hseaó¿¡

Aut An" au"h,A, h¿Az haAs

4. v,e - Lapracianoo = #^lh(+'#).*,(+X)a- /¿,¿, ao\l '

- a""\-ñ att" )lEstas se reducen a las expresiones corrientes en coorde¡adas cartesianas si se cambian (ub u2, u]',

por (x, y, z) €n cuyo caso €1, G2 ! 03 se vuelven i, ¡ y k y rr : h2 : h, - l.

COORDENADAS CURVILINEAS ESPECIAIISl. Coo¡de¡¡d¡s cilldrlcrs (p, g, z\. Fign 7-lO.

Ecua c io ne s de transfotmac ió4 a

r = pcos{, y: psen$, z: z

con p = 0, O S ó <2t, -@ < z < co.

Factores de escala: hr: l, h2: p, f ir: IElede to .le arco: ds2 = dp2 + pz dó2 + d.2

¿(x, y, zlJa(OOUtrO. ,, -,- ¡--- = p

otp, Q,: tElemento de aolumen: dV = pdpd$dz

l-

c^F. 7l VECTORES t43

Iaplaciano:

v,I t = !g l ,g)*1{9* {4 = tg*! '9* ! t !*FUp ap\. ap / P2 aQ,2 ' az' ai, , ; aP - vi&

. a",

Nótes€ que se pueden obtener resultados correspondi€ntes para coo¡denadas polaresen el pla¡o con solo omitir la dependencia de z. En tal ciso, por ejemplo, dr, = ap; ¡ i;jl;,y el elemenro de volumen se vuelve elemento de &q, dA = i¿iaO.

2. Coo¡de¡¡üs erférlcrs (r, 0, {). Figura 7-ll.Ecuaciones de uansformación :

x : r sen d cos {, / = ¡ s€n 0 s€n d, z = ¡ cos 0_. co¡r ¡¿0,0<0< x,0!S<2tt .

Facrores de escala: h, = l, h2: r, 11:- = ¡34¡¡g

Elemento de arco:

dsz = dtz + 12 d02 + rz sen2 g d$2, /v s -rJacobiano: i i ; i i=¡ ' lsen0o\f. v, Q)

Elemento de aolumen: dV : 12 sen 0 dr d0 der ¡ / . ¡ ¡ \ 1

" / . " \r-aptacio'oi v,u = i,S(r, #)-r F*i*(seneffi)+

"¿ur#Son posibles otros tipos de sistemas de coordenadas.

Problem¡s ¡eseltocALGEBRA VBCTORIAL

l. Mostrar que la adición de vecto¡es es cor¡mutativa, esto es, quc A + B = B + A. Véase Figu-ra 7-12.

oP+Pq = OQ o) on+nQ = oQ o

Enronces A+B = B+A.

Demost¡ar quc la adición de vectores es asociativa, esto es, que. A + (B + C) = (A + B) + C.Véas€ Figura ?-13.op+pe=oq=(A+B) y pe+eR= pn= (B+c)

Puesto que OP+PR = OR = D, osea.A+ lB+C) = DOQ+Qn = OR = D,os€¿. (A+B) +C = D

se r ienc A+(B+C) = (A+t) +C.Po. generaliz¡ció¡t dc ros resu¡tados de los probremas I y 2. sc ve quc cr orden de adrción de cualquier nú-¡t¡cro dc i€clofcs €s indifcrcntc.

Flg.7.ll

A+B = C,B+A = C.

P

"'8F1¡.7J1

t44 YECTORES [cAP. 7

3. Un automóvil recorre 3 km en di¡ección norte, lu€go 5 km hacia el nordeste como se ve en la Figu-ra 7-14. Rep¡eseritar gráficamente estos dcsplazamientos y determinar el desplazamiento resul-tante (a) g¡áncamente, (ó) analiticamente.

El vector OP o A representa el desplazamiento dc 3 km ha-c¡a 9| none.

El vector PQ o B rcpres€rita el desplazamiento dc 5 km ha-cia e¡ nordeste.

El vector OQ o C reprcs€nta e¡ d€splazamiento rcsultanteo suma de los vectores A y B, es decir, que C = A + B. Esta esla rcgla del t iltgulo Wta.la adición dc vectores.

El vector resultar¡te OQ tambión sc p¡¡ede obtener constru-yendo ¡a diagonal dcl par¿lelogramo OPQR que tiene por ladoslos vccloÉs OP = A y OR (igüal al vcctor PQ o B). Esta es laregla del paraleio¿ramo para la adición de vectores.

tb)

De,enniMción gúfica d¿ Lt r¿r¡r¡dn¡¿. Llév€s. la unidadI kfn sob¡e e¡ vccto. OQ para cncontrar la mag¡itud 7,4 km O(aprorirn¡damcí1e). El ángr.tlo EOQ = 61,5" con un trans-portador. Asi quc el vect6 OQ ticne magnitud 7,4 km y di-racción 61,5' norlc-este.

Detemirración aÚlitica de la ¡esuhante. En cl triánguloOPQ, deüof^ndo po¡ A, 8, C las mag¡itudes de A, B, C, seticne por el ¡€orcma dcl coseno

C'z = A2 + 82 - 2AB @s LOPQ = 1' + 52 - 2(3X5) cos 135" =

'! C : 7,43 (aprorir¡ad¿mcntc).

n¡. ?-r¡

J4+rsJt=ss,2r

Por ef teorema del *no s *ep- *":opo

L*Eo

*n toee = 4E!9!9: "lÍ3t'

= 0,r", y Loep = t6.3s,

4.

a

EI vector OQ tiene magnitud 7,43 km y dirccción (45' + 16'35'): ól'35' note-€ste.

D€mostrar que si e y b no son colinealcs, ¡s + ),b :0 implica x: ¡ : 6.Supóngase ¡ + 0. Entolrces, r¡ + /b = 0 implica -x¡ = -)ü o ¡ - - (/¡)b, es decir, que ¡ y b deben ser

parale¡os¡ una misma lecta (colineales ) en contra de lc supu€sto. Asi que x : O; e¡tonc€s, /b = 0, de dondc y = 0.

Si ¡1¡ + /rb : x2r + y2b, dondc a y b no sof¡ colinealcs, xt : xz y ft : f¿,r¡¡ + /¡b = ¡2a + /2b se puede expresaf

¡r . +/¡b - ( r r ¡ +), rb)=0 o (x, - -xr !+ Or - / r )b:0

Asi, pu€s, po¡ ef Problcma 4, ¡r - r: - 0. y, - y, - 0 o x, = xr, y, = yr.

S€ pued. S.oeralizar (vc¡s€ ProbleDa 49).

6. Demostra! que las diagonales de un pa¡alelogramo seSea .,IBCD el paralelogramo dado con diagonales que s€ cor-

tan en P, Figura 7-15.

ComoBD + ¡ : b, BD = b - ¡. LucgoBP = ¡0 - ¡).

Como AC = ¡ + b, Ap =),(¡ + b).

PcToAB:AP+PB=AP_BP,esto.s,¡ = t(¡ + b) - x(b - ¡) = (_¡ + /h + 0 - ¡)ü.

Como ¡ y b no son colinealcs sc tien. por el Problcma 5 quex + y = | y y - ¡ = 0, €slo es, qüe ¡ = ) = i y Pcs cl puntoñedio de ambas diagonales.

cortan en su punto meolo.

' /4

ll¡. t.ll

CAP, 7] YECTORES

7. Demostrar que la recta que u¡e los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al lerc€rlado y tiene la mitad de su longitud.

Figur¿ 7-16, AC + CB - AB o b + ¡ = c.Sea DE : d la recta que une los puntos medios de los le-

dos lC y C8. Entonces,

d = DC + CE =,b + h = iO + ¡) : *c

Así que d es paralela a c y tiene la mitad de su longitud. A

145

8. Demost¡a¡ que la magnitud I del vector A: A,i+A; + A3k es A : J¡r, + Ar, + 4. Figura 7-17.

Por el teorema de Pitigoras,

nrf=og¡,+¡gF¡z

sicndo DF la magnitud del vector Op, etc.Análogamenre. AOf = tOnf , Wf .

Entonces, (OP), : (OR), + (Re), + (epl2 oA, = A? + Atr +,{3, es deci!, A = J A¡\iV,.

Determinar el vector de origer¡ p(xr, yr, zr) y exl¡emoQ@r, yr, zr) y hallar su magnitud, Figura 7-1g.

EI vector loc¿l de P es r' = rli + V¡j + z¡k.focal de C es h = ,, i+u2i+ z*.

r ,+PQ = r , o(r, i + y,i + ztkl - (r, i+ 3,¡ + z,k)('' - r¡)i + lu' - u,\i + \2,- z¡k.

= vlx,- a\'t + (y'- u\t, + (2,- z\\r.

Que es Ia distancia eitre p y e.

PRODUCTO ESCAI.AR

10. Demostrar que la proyección de A sobre B es igual a A.b,siendo b un vecto¡ unita¡io en Ia dirección de B.

Pas¿¡ planos perpendicul¿¡es a B en G y ¡¡ por el origen y extre-mo de A, rcspectivamente, Fig. 7-19. Entonces,

Proyección de A sobre B = Cn = gF =,{ cos d: A.b

l l . Demostrar A. (B + C) = A, B + A.C.Se¡ ¡ un vector unitario e¡ la dirección de A; eDtonces,

Proyección de (B + C) sobre A = proyecció¡ de B sobre A+ proyección de C sob¡e A

(B+C).a - B.a + C.a

Multiplic¿ndo por ,{,

(B+C).Áa = B.A. + C.A^Y (a+c) 'A = B'a+c'AEntonce! por la ley coDmutativa del producto escálar,

A.(B+c) = A.B + a.cy se vermc¿ l¡ ley distributiva.

9.

It ?-1,

Ftt t.lt

PQ = r , - r ¡ =

Magn¡rud de I¡8

Flr. ?-t6

n8.7.t0

r46 VECTORES [cAP. 7

¡l¿ Demostrar que(A+B). (C+D) = A.C + A'D + B.C + B.D.

Por el Problcma ll, tA + B). (C + D) = a' lc + D) + B' (c + D) - A' C + a' D + B' C + B' D.

Las leyes ordinarias del álSebra valen para produclos ascalar€s.

13, Calcul¿r(o) i ' t = l i l l i l co! 0o = (1X1X1) = I(ó) i.k = l i l lkl cos eoo = {l)(1X0) = 0(c) t. i = lkl l i l cos eoo = (lXrX0) = 0(d) J.(2i-3j+l) = 2r.¡-3j . ¡+J'k = 0-3+0 = -8(e) (2i- j ) ' (3 i+r) = 2t ' (3 i+k) - i ' (8 i+L) = 6i ' i + 2i 'k - 3r ' i - j 'k = 6+0-0-0 = 6

14 Si A =, ,Lr i* ,4: j*Arh y B = Br i+&j+8¡k, demosrar que A'R = A¡&*AzBt*AsB$

A.a = (r , i+¡ ' j+Á'k) ' {a, i+B, l+a'k)= i¡t ' (8rt + Bri + A'k) + A'i '(A¡i+B'j+a'L) + ¡'k ' (ati + B'i + B!k)= A.Bt i . i + á 'Art . ¡ * 4¡8 ' t . l ¡ * A'Bt i ' i + A'B' t ' i + A.Br i 'k

+ Á¡A¡t ' i + i { ' ,8. t ' i 4 Á¡B¡k 'k= A¡8, + A¡B¡ + A8s

i ' I = | . i = k , I = 1 y todos ¡os otros producrcs escal¡rcs.

t5. si A = Ari+Azj*A¡k, mostrar que A = r/T-. A= r/4+4TnI.A.A = (AXá) coroo = ,Ar. Luego A=l-A.LTambién, A.A = (¿{¡ t+4'¡+,4 'L) ' ( , { ¡ i+Át¡+á'k)

= (/t,X. t + (/t'X,{, + (Át(A!) = Ai+ Ai+ AiDor .l P@blema 14. hacicndo B = A.

Lucgo Á = ,,/¡,¡ = r/4+4+7i cs ta magnrrud de A. A.A sc suc¡. c$cribir A¡.

PNODUCTO VBCNON¡AL

16. Dcmostrar A x B= -B x A.

(") (ó)Fis. t"2l

AxB-ct ien€magnitud, l rsen0ydircccióntálqueA,ByCformar¡u¡rskte6¡dextrorsolFigu_e 7-2tlol).

B x A= D liene magnitud 8,4 san0ydir€ccióntal que B, A y D fo¡man un sislcma dc(rorso lFigo-ra 1-ztlhl').

Enlonces D tiene igual magnitud quc C. pcro cs opu€$o cn dirccción, o sea, quc C: -D o A x B =-BxA.

lá ley conmutativ¿ no se veriñca en cl producto rlctorial,

c¡P. 7l VECTI)RES 141

17. Demostrar qüe A x (B + C): A x B +A x Cpara el

-caso en que A es frcrpendicular a B y tam-

bién a -C-

Como A cs perpendicular ¡ B, A x B ¿8 un vactorFrpendicular al plano de A y B y de mag¡itud ,i, ¡en 90"= ,{t o magnitud de,{8. Erto equivslc ¡ rÍr¡ltiplicar clvactor E f,or ,{ y gir¿r 90', el vector r€sultantc hast¡ la Do_siciótr quc sc vc cr¡ l¡ Figura 7-22.

Análog¡mcnte, A x C cs el vector que se obticncrnultiplic¡ndo C por ,{ y giraÍdo ct veclor quc rcsulta 9Oohasta l¡ Dosición quc se m¡¡cstta.

Dc la ñisma maners, A x (B + C) es cl vecto¡ ouesc obricnc muhipl¡cando I + C por,l y gi.ar¡do el vec-tor $¡c a€su¡ta 90" hasta la posición quc s€ muestr¿_

Coño A x (B + C) es la diagonal del paralelogramodc lado3A x ByA x C,se t ie¡€A x (B+C,- A xB+AxC.

l& Demostrar que A x (B+C) =Ax B+A xCcn el caso general en que A, B y C no son coplaoa-res. Figu¡a 7-23.

DeaaompórFse B cn do6 vecto¡rs oomponentas,ur¡o pe.pendicul¡¡ a A y otro p¡ralelo r

^ y dcnótcsclcs

por 8r y B[ ¡€spcctiv¿mante. Entonces cs B - Br + El.Si 0 cs el ángulo quc foman A y B. cntooces ,r =

I sen 0, Luego la r¡ügnitud de A x Br es,r, s€n 0, lam¡s¡¡¡a que la d. A x B. También la di..cción de A x B,cs la mism¿ quc lsdc A x B. Lucgo A x Br - A x B.

Asimismo, dcscomponiendo C en dos vectores Ct yCl, par¡lclo y lErpcodicular rcsp€ctivameÍtc a A, asAxCr-AxC.

Tambiér, como B + C = Er + B[ + Cr + Cr = (Br + C!]+ (Ar

Ax(81 +Cr)=A x (B+C)

Aho¡¡ bien, B, y C, son vecto¡es perpcndicularca a A y entonccs,

Fls. t-22

FrS. ?-23

* C¡) se dcducc que

por el Prob¡erha 17.

(Br+C1)=AxBr+AxCl(B+C) =AxB+Axd

19. Si A= Ar l*A¡ j+r{sk y B= Br i r - B: j + BBk, demostrar que AxB =

AxD = ( / { r i+á! j+á¡L' x (A¡ i+r ' i+a'L)= ár ix(Br i lBr j4B'k ' ) + A,t x(A!t+a, l+B,k) + / ,k x (a, t+A, l+Brk)= ArBt ix¡ +,{¡A, ix i + A,B,txk + A,&ix i + A,B.tx i + / tB, ixt

+ ¡r t ¡kXt +,4!¡ 'kx, + ¡ 'BrLx k

y se verifica la ley distributiva. Multiplic¡ndo por -1. usando el problema ló, se rienc (B + C) x A: B x A+ C x A obsénase qur €s importa¡tc el onden de los factores en los produclos vccto.i¿les. Las lcycs usualesdel álgebra solo son válid¡s si s€ n¡¡¡ticne cl orden ¿rdecuado.

iAtBt

i rAz AeBz Bt

i rk

& 8. 8.= lA,B.- A,B,rt + (A,b- hB,ri + lA,&-A.Btlk =

148

al. Si A = 3¡- j

Axt =

VECTORES

2i+3j-k, h¿l lar AxB.

, l - t , I _ , l t , | * n l , - t I' l 3 -1 I '12 -1 | 12 3 |-5 i+?i+rrk

| = +l te i_4i+?kl

[cAP. ?

+2k

i i3-123

vk2

B=

21. Demostmr que el área de u¡ paralelog¡amo de lados AyBeslAxBl.

Area del paratelogramo = ,¡ l8l= lAl sen d lBl: lAxBl '

Nótese q ue el área del triángulo con ¡ados A y B - i lA t Bl.

22. Halla¡ el área del triángulo de vérrices P(2,3,5), Q9,2, -I l, R(3,6,41.

PQ = (4-2)t+(z-B) i+(-1 -5)k = 2i- j -okPR = (3-z) i + (6-3) i + (a-5)k = i+3j-k

Are¡ del r r iángulo = + lPAxPnl = I i (2 i - j -6k) x ( i+3j-k) l

i ik2- l -6r8- l

= lvrlef + (-4f + (7)' = IV426

PRODUCTOS TN,IPLES

23. Mostrar que A'(B x C) es igual en valorabsoluto al volumen del paralelepipedo dea¡ istasA,ByC.

S€a r un vcctor normal unitario al paralelo-gramo /, que ticne la dirección de B x C, y sea }ila ál!u.a del extrcmo de A sobrc el paralelogramo 1.

Fb. r.25

Volumco del páralelepipedo = (altura ,Xárea del paralelogramo 4= {A, nXlB x Cl)= a. { lB x CJn} = A.(BXc)

Si A, B y C no forman un sistcma dextrorso, A. n < 0 y cl volumcn es = | A. (B x C) I.

24. Si A = Ar i*Azi tAl ,k, B = 8¡ i+Bzj+B¡k, c = cr i+cr i+cak mosrrar que

a.(BxC) =Ar Az AsBt Bz BsCt Qz Ca

- t l

A.(Bxc) - A.

= lAt i

i j ¡

hB'B'ac,c '

+l{ , j+Á,k) . [(arc - a!cri + lB'c,- B,c',ti + lB,c,- B,C,')kI

B, B, B,ct c, c.

= At(Br6- BsC) + A,(B'C,- B,C"I r A, \B,C?- Blc) =

Grt ?l VECTORES

tl Hallar el volume¡ de un pa¡alelepipedo de aristas A = 3i - j,

Scgin los ProbleD¡3 23 y 24, volumcn del paralclcpipcdo =

B = j+2k, c =

¡ts. ?-16

t49

i+5j+4k.3-1 0012164

la. (Bxc) l = |

= l-201 = 20.

I Demost¡ar que A . (B x C) = (A x B). C, o s€a, que s€ pueden inte¡cambiar punto

Po. cl Prob¡cm¿ 24: A.(BxC) =

Sicndo i8u¿lcs los dos dct€miriantes,

A, A, A, lt " : ,

"" : "" : l ' (axE) 'c = c ' (AxB) = AI

BI

ct

B,

c.

B,se tiena el ¡esultado Dcdido.

n. Sea¡ rr : ¡ri + /J + zrk, 12 = x2i + y; + z2LY ¡¡ : x¡i + hi + z.U los yccto¡es locales delos puntos Plx| yb z), Pr(x", y", z) yP3(4, y¡ 4)- Hallar una ecuación del planoque pasa por PL, P2 y P3. Figxa 7-26-

Sc supoDe quc Pr, P¡ y pr no astrán e¡ liúea r!c.ta, cs dcci¡, quc delermin¡ú un plano.

Se¡ r : ¡t + /¡ + zl cl vector local de un Dun-to P(x, !, z, dcl plano. Considér€nse Ios vectorcsP¡P, - r . - ¡r,PrP" - 13 - r l y PrP: r - rr qüccstáD cn cl p¡ano. Entoncas,

P'P.P¡P¡XP¡P! = Oo ( ! - r ¡ ) . (&-¡ ' ) x (r ' - ¡ ' ) = 0

lo quc c¡ coordcn¡das cancsiatas cs

f (r - rtt + (u - úi + lz - z,)kl, Ilz" -3-¡i + (v, - x'\j + (z' - ztklx [(r! - rti {. ht'- ytl + (2" - ,r)k] = 0

, - r r l -Ut 2-zl

F,- ut Ur- Ur 2,- a lzt- tcr ? l t -Yt zt-2r

2& Halla¡ ura ecuación del plano que pasa por los puntos Pr(3, l, -2), p2l_1,2,41, p3(2, _ l, l).Los vcctorcs locales dc Pr, P2, P3 y dc un punto p(¡, /, z) cuálquicra del plano son, rcspectivament€,

r ' = 3i+¡-2t , r r=- i+2¡+{k, r ¡=Zi- j+t , r = ' i+ v i+.k

_. E¡tonccs PPr - r - ¡r, PzPr - 12 - rr, P2Pr = 13 - ar, están todos en cl plano buscado y la ecuaciór¡f,€dida cs, pues,(r - rr) . (r, - rt X (rl - r,) = 0, cs decir.

{ ( ' -s) t+ (r- l ) i + (z+2)k). ( -4 i+i+ 6¡} x {- t -2 i + Bk} = 0((r-3)t + ( / - l ) i + (z+2)k). (15i + 6j + ek) = o

15(t - 3) + 6(y - 1) + 9(z + 2) = 0 o 6r+2u+9. = rr

Oüo ó¡ódo: Po! cl Problcma 27, l¡ ccü¡ción quc se pidc cs

o. según cl Problcma 24.

, -3 y- l 2+2-t-3 2-t 1+22-3 -1- l 1+2

= 0 o 3ct2U+3. = l l

150 vEcToREs [cAP. 7

29. s i A= i - i i , B = 2¡-3j+t , c = 4j-3h, hal lar (a) (AxB) xC, (b) A x (BxC).

(c) AxB =

(ó) ¡xc =

t j r1102-3 I

t i rr -1 -60{-3

= 23i+3j+4k.= i - ¡ -6k. , Lucgo (AxB)xc =

t i L2-8 |0{-3

t 101=t jk

6688l-8r+r"= 6i+6i+8lc Lr¡c8o Ax(BxC) =

Sc si8u. qu.. en Sencral, (AXD)xC # Ax(BxC).

DEnIVADAS

30. si r = (f*2ü)i-3e-'r¡+2scn5¿1, hatlar (o) S, ful l#f fO ffi, O lffil *ú = 0 y da¡ un posible significado fisico.

{ . ) # = $e+z4r * $t-a"-"u + $tz*no4t = (srr+sl¡+&-! . t+tocoror lE¡ a=0, .hht¿ = 2¡ + 6, + rot

(ü) Dc (a), l¿/¿rl = V6?'i6FTiidF = ú{0 = 2y'36 en r=0.

(o) # = Í (g) = $t tsr+zl i+6.- ' .J+r0co!6rt) = 8cr-r2.- , , r - r } ! in6r¡

En C=0, t tltt{ = -12t.

(d) Dc (ct ld'r/d¿'l = 12 cn ¿=0.

Si t rapresants cl tiampo, ést¿! son, respecüvar¡ent€, la velocid¡d, m¡gritud de le velocid¡d, actlor¡cióry o¡gr¡irud dc l¡ acetcr¿cióncr, - 0 dc un¡ psftk-t¡la que sc mueve a lo larto dc la q¡rvs alabc¡da ¡ = ,¡ + 2t,y- -3¿'2t ,a=2l4, i5t .

31. Dcmostrar que f;(a.B) = a.g;- *#.", don<te A y B son funciones difer€nciables

OC ¡.

Mé.do r : #(a.B) =

al im. (a+aa) ' (Bl lB) - A'B

.. A. . lB + 3A'B + ¡A'ABA¡-O Lü

= rs.(^' i? * l f ; 'n + *'*) = a'f + ff 'rMAodo 2: Sea ¡= Att+A, i*A¡k, B = Br l+A¡l+B¡k. Enlonccs.

di(A'B) = frlA'h+ A,D'+ 4.8.,

= (^,# + a,ft + ̂ "F^.) * (9", * 9n * y")

- ¡ .4 + 4! . ¡.lL c¡a

tL si +(r,g,.J = t'!. y a = g,"ni + az2i- czk, hallar ffiWnl en el punto (1, -2, -1).

eA - (.tvzl(3..r1+ !.. i- szkl = g'l1/'zl+sY?l-éazL

li(oAl = ;l3r'utzi + r'v'z' i - r 'v.\ l = 8t'/r i+sxVz'i-zr'yzk

cAP 7l VECTORES

á¡al;ir(6^l =

;l (9r'Y'i + 3"v'2'i - 2r'uzk) = 6"1tt + gt'u*i - zr'zlf

Si c=1,y=-2,2=-1, esro rc convicrre cn - l2 i -12j*2k.

10, Si A = i .*nai+z2cosui- r1r2k, hatlar dA.

Malodo l:¿A . . ¿A ¡Ai;

= zr s€frvl - v 'k, av: = rrcolr i - :¡seny, - zruk, a:

= 22 cosyi

dt, = ldr * É¿u + ia 'o, ov ú""

= (zrs.¡yi - !T, ds + (¡ 'costi - tsenüJ - 2t*). t t + e2co.r ird.= lzt*nu ¿, + x'cosv dAri + lzz.ory ttz - ¿ 9¡ny dv\, - @¡ ¿t + 2ty dylk

M&odo 2:

dA = d(rrs.ny)i + d(z'co!r) i - d( 'yr)k= (2rsenr d, + z'co.r drrl + (2t co.! dz - é*¡vúll - (f dt + 2r! ttv\t

CNADIENTq DTYERGENTE Y ROTORf,4 Si O=e\d y A= cti- V2i + 2r?k, haltar (o) V0, (ó) V.A, (c) VXA, (d) div

(éA), (e) ror (óA).

(o) v, = ($,*$i *$*) , = f t t+f i i+$r = Sr" 'u, . r í+h@Éu+ *@)¿b= zxaz.l + r''z'i + ar.u.'k

(ü) v 'A = (* , * ¿i + $r.) . tc:r-r ' i+2, ' r r . t

. \ = {oa*f ,et t**<ú'ot = z-2u

\"r o"^ = (u"at-* #, * * l ' " ,z i - t t ' i+2,,ú,

i jkal¿" ,lav alAt

l5 l

/e á \ /e . r \ /a , \= \¿y-(2¡!)

-

't-v'r)í

+ (;('z) - ¡tzt'ut)i + (;(-¡t) -;i@n)k= 2r'l + l, - a'ari

(d) div (rA) = V.(Éa) = v ' ("'1ft'l - ,'y'.'i + 2x'a'2*,

= lentt + fie*u,,t + {e",v'.\= 8r'a2. - |x2at.t + Brr1lt.t

(e) rot (rA) = vx(ta) = i xlr'at'i - e'v'z'i + 2r'!'2'k)

AId, ¿ldy ald.,'ua' -r2tltzt zr'Atrt

- llt'r¿ + 3,rr¡,!)i + |.4r"v¿ - &¿u.z.li - l2ru'¿ + ¡¡:¡¡la

r52

35. Demostrar V . (óA)

v . (ca)

3& Si

(¿)(ó)

O¡o ¡Étodo:

n'^ = á ' -9*{9*{9 =a.' df A.'

= 4Y - 6"2

39. Dernostrar que div rot A = 0.divror A = V.(VxA) = V.

VECTORES

= (vó) . a + 0(v.A).V.(CA't + tA' t + c¡ 'k)

a; lóA"t+l¡ lóAn+;@AtaO, , aó. aó, , /¿,{ ' aA' d,{ ' \4z oy r : \d¡ oy o2/

/a^ ¡- á* \

\¿"=¡ + ,y=, + Ék) ' (Lí

+1' j +/ tk)

. ld ¿ - ¿-\ . .+ r( ; ; t + út + Ek ) . (Á,r + Á, j + á,1)

(vó). a + {(v. a)

lcAP. 7

3ó Demostrar que Vó cs un vector p€rpendicular a la superficie 6l./',y,2)= c, dondc c cs ün¡constante,

Sea r = ¡l * ,i + zl cl v.ctor local dc un punto P(¡, /, z) sobre la sup.rfcic.Lü.go d.: drl + dyl + drl.stá cn .l plano tangeDte a la euFrficie P. Pcro

, tó = #¿,+f iav+af,a" = o " (#t* f r i+f fx) .o"r+dyr+d,L) = 0

o sc¿, que VC.dr - 0, d. modo quc Vf es pcrpcndicuhr a &, y, po¡ t¡trto, . l¡ suFrfci.,

37 Haflar uo vector Dofmal ünitario a la superñcie 2.t' ! 4yz - 522 : - l0 cn cl punto P(3, - l, 2).

Po. cl Problctr¡ 36, un vcclor oo]m¡l ¡ l¡ suFrñch as

A(2*+4y.-62'l = 1rl+ 4zi + (4y-102)L = 1 +ai-2ll l co (3,-1,2)

Luego uD r,€cror udte¡io ¡odnal ¡ l¡ suFrfcic ",r

r"" =9l*#; - 3¡+4-6L.v(12P+ (8)r + (-2{r

Otro v€ctor uoitsrio norm¡l a la suF¡ñcic co P as

6 = 2r2u - azs, hallar (a) Vó y (b) V"ó.

or = #t +f f i+$l = ( ty-z ' t i + 2" i - 3, . tvt+ = laplaciano de o = V.Vt =

*Wa-¡ +*a@,' ,= 4u - 6r.

fte*'u - ,st + fi@x'u -,2'l

+ 3l-srz')

+ Sex\ - rz'l

t j ralde ¿lau ¿I¿2

- f t 'a¡, ¿Á¡. /aA' ¿.Á"\. , /4.4' ,,{,\- l= ". l \uy

- E)r + \a, - , ,1t ' \a"

- E/"1a faA, ¿A.\ ¿ ldAt aA'\ d /a.a' ¿A'\= ," \ ,?y -E) ' fy\E - a ' ) 'u\E- ¿y)a'A, a'Ár d'át ¿rA' ¿'|A| a',A¡= a,au - a,a,-' l iE - ¿ü, - a,a, ' a,¿u

=0suponiendo que A ti€ne s€gundai dcrivad¿s parci¡lcs c!¡tinuas, con lo que cl orden de da¡iv¡ción ca indiF¡ente,

cP.?l VECTORES

JACIO¡IANOS Y OOORDENADAS CUNVIIINEAS

,O. Hallar dr¡ cn (o) coordenadas cilíndricas y (ú) coo¡denadas esféricas y avedgua¡ los factores deescala.(a) Mtnodo I I

d, = -p s,ódó :;iff.r' or':o';\% * Áía, dz = dzLucgo ds' : dl + dy2 + dz? -

(- p *n O 4 + cas O dpf+ (p cos ó dó + sn ó dpf + (d212

: (dpl2 + p'\.ióf + ldz)2 = hl@pf + hlldf\z + hlldzlz

! h: h"= I,h2= h.= p,h.= h,= I son 1o3 facrorrs dc esoala.

Mét¡do 2r El v€cto¡ local c8 r = p cos 0l + p en 0l + z\. Lrr.go

- A¡ &-. ArG =;_atp + -i akp + -_ aA

oo otD oz= (co! ól + *n gl ldp + (-p s.¡¡ 0¡ + p cos ót l . to + \. lz= (cos $ dp - p en ó d$)l + {wt ó dp + p cos 0 dfn + ldz

Asi quc ds2 = &..h=(cos ódp- p *n ódó)'+ (en ódp+ p cos ódóf + (dzl2= VtpY + p2@+f + khl,

(b l ¡=t s.n Ocos ó, /=¡sen 0sen ó, z-¡cos0Lucgo dx= -¡sc¡0scn ó dO + t c,os 0 cas ó ú + en 0 c/o. 0 ¿r

d!=r*rreco60dó+ r cos d sen 0d0+*n0sóúdz = -r *n 0 ú + c¡3 qdr

y (dsl'= (ttxl2 + \dy)'+ (dzf -

(dtl2 + ¿\.fr)t + ¿ *n2 e {düf

Los factores de escala son h - h, - I, h2 - h, = r, h3 - N, - ¡ s¿¡ g.

¡ll. Halla¡ el glcmento de volumen dIl en coordenadas (a) cillndricas y (¿) esféric€s y r¡azar un dibu-jo del mismo.

El elcmcnto de volumen cn coordcn¿das curvilircas ortogonalB ¡r, ¡¡2, ¡¡! cs

dv = hthrh¡dutd*,¿u" = l---! l ¡ .¿r:Lldn,dn'du,Id(ar, ür , üt , I

(o) EÍ coord.úadas cilíndrica., /¡ = p,ü2-Q,ut=z,h: l,hz = p,r¡3 - I [Problcña ,O(o)]. Entonc.s,

dv = lll(pllll.lp & ttz = pdpdQdz

Lo cual sa pucda obsarva¡ dirrctamc¡& c! la Figura ?-2?(a).

153

k) ELm.nto dc voluncn .n coorddndascill¡dricas

Fis. ?-t? (bl Elc¡nc¡to dc volul¡9n cn coordc.ad¡s

154 VECTORES [cAP. 7

(á) En coord.nadss esféricas, r, = r,ur- e,ut = ó,h = I,hz = t,l3 = ts.n d [Probl.ma'10(ó)]' Entonc6,

dv = (ll(tlb *r e, dr ü dÓ = f *¡ 0 d¡ d0 dÓ

Esto sc puadc obscrvar dirrct¡menta cn la Figura 7_27(ó).

42. Expresar cn coordetradas cilí¡d¡icas: (a) erad o, (ó) div A, (c) V¿o.

sca¡,¡r-p,¡¡2=5,v"=z,hr=l ,hr=p,\=l tvé¡scProblcma4o(¿)]c¡ losr4ul tqdoi l ,2y4dcle Égin¡ 142. Entotrccs,

| ;r.ñ I ao 1¿o ¿o 1¿+ ¿e(a) ar¡d o = vo = i ¿ec, + i io. ' + i i . '

= 6ct+=lAc.+EGr

doñde ar, e2, c¡ soD lor vectores unitsrios cn las direccionct cr€cicnt6 da p, Ó, z rc¡Fctivametrta.

(ü) <uva = ".^

= irróirj[*(ox'rr,) * ur¿(ruax,) * S(axor)]

PROEI.EMAS VARIOStt'\

{¡. Demostrar que grad /(¡) ='-pr, aonac , =.F + r'+ z'y f'(r) = dfldr s€ suponcn eris-

tc cs.

¡td J(r) = v xl = tnor + Sntt + f,l"r*, 'br#t+, 'at#t+rvt*v

ror: .+fat l t+¡ ' ¡ ¡ ! ¡ = to@t+t l+"u = t9,

Oto ralaaao: Eo coordcú¡d¡s cuwillncrs onogoD¡lcs !¡, r¿¡, ¿! cs

- l t+ l¿o 1¿{v+ = i ; ;cr +; ,á*. * ñA*

S¡ cn parl¡cular !c u!¡r¡ coordcn¡d¡s asféricas ¡c ticnc !¡ - ¡, ¿, -

0, ¡¡r = ó. Si c¡ro6 O = /(r) C3 fun-ció¡ d. ¡ sol¡m.ot!. los do! úlritloc témi¡o6 dc l¡ dcrcdr. c'r (r) roD oulos. Sc ticoc cútoúct!, ob|crv¡ndo quc.t=¡ l ryhr=1,

o^,r=le! !* t i=ry,

.4 (¿) Hallar cl laplaclano dc ó : /(¡). (á) Demostrar qu€ C : l/r es una solucióa dc l¡ ccuacióldc l,aplace V¿{ = g.

= ¡l9o'¡I Lop

con A = j ,ar + átn +átc¡.

(c) v'o = ,fáirrt*(w#)= ;,i(,H) * i# *

, a¿, a¡.]- r ,1 - d,)

. a /trxrt ao\ a/rrx,l ¿+\l- aó\T- arl - li\ o) t,A¿'éiF

(r)

(4

cAr. 7l

(¿) Por Gl Problcma 43,

VEC'TORES r55

e+ = sl"J = !!) r

Por cl Problama 35, auponiendo quc /(r) ticna regundas darivadas pa¡ciarcs continuas, sa tic¡¡c

tapla.iano d€ r = vrt = V. (vó) = o .f ¿t¿,It ' J

( . , . ,1= v] / lC!., . ¡ l l lC1e.,¡ = I ¿f&L.t 'J ¡ ¡cr l ,J- '+ry(s)

= r t,'(¡r; t,(r, ,, + 8f:(t, = n4 + ?r\nOto úa{odo: En coordan¡dss 6féric¿s, !c ticne

v'u = **("#) + F*-*(*",#). .*n#Si U =f¡), 1o3 dos últi¡Dos términos dc l¡ dcrcch¿ ron nulos, y

e' Á=L¿/\ 'tA\"t'vt¡ = 7'1t¡ + i/@

(ó) Por cl .csulr¡do dc la partc (¿) sc ticnc

'o = #o.:1, = 3-3 ='quc rnu6tÉ qüa l/¡ cs u¡¡ soluckln dc l¡ ocüacióD dc l¡pl¡oa.

Una paniculs s€mucvc ¡ror la curva alabcada r = r(r), sicndo , el tiempo mcdido I pa¡tir dc cierto1r:npo

ini:ralj Si ú = ld.l.fu,l = dsldt t ta magnirud de la wlocidad dc la panlcuia (.r cs cl arcoa |o |a¡go dc ¡a curva mcdido dedÉ la posición iaicial), demostra¡ que la acc¡eración I dc la par-ticula cs

" = f i r*4r.siendo T y N vectorcs unit¡rioc tangcn¡c y no¡mal, rcspoctivamcntc, a l¡ curva al¡bcada y

- _ l¿',f, _ f/¿"y . /n\ /¿,yl-',"P - raFl = t \a¡, /

. \aFl * \aF/ lLa vclei|ld d. l¡ p¡nlcul¡ vi(hc dsd¡ por r - oT, L¡ ¡c.lcr¡c¡ón .s c¡toncc6

. = # = ft<,n -- fir*,# = Íl '*"t# = ftr+off u.,Siando T u¡itdrio, sc tianc T.T = l. Dcrivr¡do coD ¡gspeto ¡ ¡.

r . f ;+S.r=0, zr . f ;=o o ' . f

=ode do¡dr r*ulta qu. y'r/¿r .. pcrFndicürar¡f. Dcnot ndo por N cr vector unira¡¡o .n ra dir.cción dc drl¿r,que sc ff¡ñ¡ no.rrút p¡lacipl a la c¡¡¡v¡ al¡bcad¡, rc airnc

S=.x (r)

156 VECTORES lcAP. 7

doíde x es fa magnitud de dTHr. Coño T - ¿?dr lvéase ccuación (9), f'ágina 139], se ticne df/ds - drtld:r.Luago

tdr I l/ ú'\ ' /üuY-

= lFl = l \ ¡ ¡ l ' \F. i *

Con p = 17*, €) sc vuclvc dflds =N/p, y asi, por (?), sc ticne

. = f i r+4xLas componcnt€s ¿o/y'r y ut/p en las dirccciones d€ T y de N s€ llama¡ coñponentes tangencial y nonal

de fa acal€ración, y esta última s€ suele llamar ¿c¿r€racióa centúpeto. p'! K fp,n, raspectivamente, cl ¡¿d¡b de cür-aatura y la curMtüa dc la cu¡va alabcada,

Problem¡s propuestm

AI,GEBRA VECTORIAL

{6. Dados dos vectors A y B ilustrar geomélricamcnte la igualdad 4A + 3(A- A)- A + 38.

47, un homb¡e recorre 25 km al nordcste, 15 km al €slc y lo k¡tr sl sur. por un¿ esc¿la apropiada dc¡crminar grá-ñcamcnte (a) a qué distancia y (ó) en qüé dirccción está a partir dc su posición inicial. ¿Es posible averiguai larespu€sta ana¡iticamante? So/. 33,ó00 km, I3,2. notc respccto del aste

Si A y B son dos vectores üo Dulos de di..cciones distintas, demostrar que rrA + ,B es un vcctor del plano de-te¡minadoporAyB.

Si A,-B y C son vectores no coplan¡rios (v€ctores que no están cn cl mismo pla¡o) y ¡rA + )rB + zrc - ¡¡A+ y2B + z2C, dernost¡'¿r quc n€ce¡ariamente xr = x'., yr = !1, z, : 22.

Sc¿ , B-CD un clad¡iláte¡o y P, q, ¡ y S los puntos medios de lados sucesivos. Derrostrar (a) qüc pgns es unpara¡clogr¿¡no y (r) que cl pe¡lmero de PORS es iSual a la suma dc las longitud€s de las diago;ale óc ,IBCD.

Demostrat que las ñ€dianas de un lriáígulo s€ cortan en un punto a un tercio de cada hediana.

Hal larunvectoruni tar iocr¡ ladir€cciónd€larésu¡tar i redcA-2i- j+k,B=i+j+2¡,C=3i_2j+¡ | } .Sot. (61- 2i + 7}l/\16

PRODUCTO EIICAI-'IR

53. Calcula¡ l (A + B).(A- B) l s i A=2t-3J+5k y B=3i+j-2k. So!. 24

!,., Demoslrar cl taorema del cos€no. [Sugerencia: Llámensc A, B, C los lados del rriángülo con C = A - B. Uti-l icese eotonces C.C - lA - B).(A - B). ' l

Hallar ¿ tal quc 2i - 3¡ + 5k y 3i + ¿l - 21 so¡ p€rfrendiculares . Sot. a= -4/3

SiA-2i+¡+¡,8: i -2¡+2tyC=31-4J+2t,hal lar laproyeccióndeA+Cenl¡dir€ccióndeB-Sol. l1l3

\eF) J

(,

I

(

a

4r.

a

a

a

a

I

t51.

55.

56.

cAP. 7l

Jl.

VECTORES r57

I

tD.

Los vertices de un triángu¡o son ,{(2,3, l), ,(- l. 1,2), C0, -2.3). Halla¡ (¿) la longrtud de t. m€diana d. ,al lado ,{C y (ó) el ángülo agudo que h¿ce csta mcdiana con el lado ,c.sot. (d tJ-26, (b) cos-t $iI4

Demostrar quc las diogonales de un ¡ombo son pcrpcndiculares antrc sl.

Demostfar que el vecto¡ (,lB + BA)IU + Bl rcprcs€nra Ia biseclriz del ár¡gulo de A y B.

Dñostrar quc $t^t"l

= et fi + ff t n doodc A y B son funcioncs difcrcrrciablcs dc ¡¡.

H¡llar un vecto¡ tángante unitario a la cuwa alabea{á x: t; , - t2, z = ¡! e¡ sl punto doDdc r = l.sot. ( r+4+3r1 f r f r ; \ . { ¡ , . ( i .1r4

_ , \ = '

sir-¡cos@r+bsenúrr,s¡cndo.yb\rccro.""o*,*,*H?,,i-ÁyóidÁ.J,*¡t&&oja*o,.".o*

nODUCTO VD¡CTOIIAL

c. Si A=2i- l+k y B= t+2¡-3t , ha ar l (2A+B) x (A - 2B)1. sot . 2\6

ó1. Hallar un vector unitario pcrpendicular al plano de los vcctores A = 3l -2j + 4f y B:l +¡_ 2¡.sot. !(2i + W\tG

a¿ Si A x B = A x C, ¿es B = C nccesariamentc?

ff. Hal lar cl áre¿ del hiángülo de Ért ices (2, -1, t) , (1,-1,2), (-1,2,3). Sot. lJS

a{ Hallar l¡ mlnima distanci¡ de (3,2, l) al ptano deteíniriado por (l, l,O), (3,-1, l}, (_1,0,2).Sol. 2

PRODUCTOS TRIPI,.ES

46. Si A = 2i+l-3k, B = t -2 j+k, C = - i+ i -4k,h¿l¡8r (¿) A.(BXc), (¿) C.(AXB), (c) Ax(Exc), (d) (AxB)x c. s¿¿ (a) 20, (ü) 20, (c) 8i-19i-L, (d) 26t-15t-r0k

aó. Demost.ar que (o) A.(BxC) = B.(CxA) = C.(AxB)(ü) AX (Bxc) = B(A'c) - C(A.B),

fl. H¡llar la ecuación dcl plaúo quc p6sa por (2, -t, -21, (-1,2, -3), (4, 1,0).Sol .2t+y-32:9

H¿ll¿r cl volumcn del tet¡acdro dc vérticcs (2, I, 1), (1, -1,2), (0,1, -l), (1, -2,¡). Sol j

Dcmost.ar quc (AxXt) . (CxD) + (BxC).(AxD) + (CxA).(BxD) = O.

DEnIVADAS

tl). Un¡ partlcula sc muevc a lo largo dc la curva r - e -' cos r i + €-' sa¡ , ¡ + a-' L. Hallar le magnitud (¿) de lav.locidad y (á) dc la aceter¡ció¡ .n el ticmpo t, So!. @l #d', lq Jse-

at

o.

?1.

7L

?3.

c)'x # = c(¡xb), (¡) S +. "" = o.

?f. SiA= *t . -yt+xzr,B=! i+-yr-¡rztyC=t- t l+ x '* ,uk @fi ; (A x B)y(ó)¿tA.(B x c) len.cl punlo (1, -1,2). Sot. (aJ -41+81, (b' t 8dx

?s. si B = 'rr-

zytzt + .¿u'ztk, h"nu, l$ x Sl

enclnnro {2, r, -z). so¿ 16y'6

l5E vÉcToREs [cAP. t

GTAIXEIYIE DIVERGE¡¡CIA Y ROTOR

7ó S¡ U, y, A, B ticrc¡ dcriv¡das pa.cialca continuas, dcmostr¡r qua:lal v(u + vl - vu + 94 (á) v. (A + B) = v. A + v. & (c) v x (A + B) = v x A + v x B.

n. Si .t = xt + tz + zt '! A = lta + lti + :¡¡1, h¡llar (o) A . Vó, (¡r) óV . A y (c) (Vó) x A .o cl punto(3, - l, 2). Sol. (d) 25, (ó) 2, (.) 56¡ - 30j + 471

?& Modtr¡r quc V x (rzr) - 0 con r=xl+)l+ zIy | - l¡ | ' .

?9 Dcúoatr¡. (¿) V x (UA) = (VU) x A + U(V x A), (¿) I ' (A x B) = B' (9 ¡ A) - A ' (V x B).

ür. De|nostr¡r quc roi gr¿d U:0. enunci¡ndo c¡odiciooes ¡prof¡i¡d¡s dc U.

tl. Half¡r un vcctor ¡onn¡l unit¡aio a la supcrñcie r¡y - Luz+ 2y2zt = t0 cr¡ Gl puoto (2, l, -l),So¿ f (3¡+ 4t- 6v,,rf6l

tL Si A = lxll - yzl + (¡ + 2zL, hallar rot rot A. sbr. -ór¡+(6:-i)f

t3. (¿) DGr¡rost.¡r qüc V x (9 x A) - -V'a + V(V. A). (r) vcriñc¡¡ cl rBult¡do dc (¿) si A .s d¡do c.mo .úcl Problcm¡ t2.

JAOOBIANOS Y OOOTI'ENADAS CT,'NVII¡NEAS

ta Demosrrer quc l3''gd=l = lg.i!x-il l.' - - la(!, ,üt,{.) | la&' áer " ¡¡.r l '

tl Erprcs¡r (¡) gr¡d é, (ü) div A, (c) Vio .D coordcnadas esféric¿s

s,,r (a) tfe, + ]$|". + ,*kH*ol j$ee,l + ;f¡$t*"reo . o¿-H con a = Á¡c¡+,¡.G.+i..¡

c, *.*(r#) * ¡+-#G",#) .* F**"r#tó.

n.

tt

La lransfor¡ració¡ dc coo.da¡rdas rrata¡¡gul¡r€r a cilln&icos FruMticas * deñnc por las ccuac¡oncs.y- l ( ¡¿t-r ' ¡ ) ,J=¡¡u,z=2.(d)Demostrarqucets¡stcm¡esortogonsl . (á)H¡ l laadrry¡osfactorcsdecsa¡-h. (c) Hal¡a¡ cl jqcobiatro dc l¡ tr¡nsfo¡úaciór¡ y cl clc|¡.nto & volum.n.

S.,/. (¿) ds¡ = (r! + o1r¿¡.r + (¿'+ o')rt'r * ttz', h = ¡' = y'ir+ '¡-,

l"=r(c) r¿'+ r,r, (¿r + ,¡) dr. ¿r dz

Egc¡ibir (¿) V¡ó y (r) div A ct¡ coordc¡ada. cilíndrbas p.rabólicas.

s{,r. (¿) v,o = "+"(#.

#) . #(ó) divA =

-*,,I{*,*¡-r,r*$tu'*.o-e'ri + f

Dcmo6lrar quc psr¡l cooadcnad¡s c1¡rvilínca! onogonslcs,

v*=;**f ;**s".*alsugcrancia: Cor VID : ¿rar + o2a¡ + ¿¡c¡ apllquesc quc ¿tD = VO . ¿ ti¿de quc $e, to m¡smo en ¡mbos sir.rch¡s dc cooKtenad¡s.l

Dár una interpretación wcto¡iat de¡ t€orema dal problem¡ 35, Crpítulo 6.t9.

a^P. 7l VECTORES

?¡OBLEMAS VARIOS

t0. Si A es una función diferenciable de ¡r y lA(¡/)l = I, demostrar q\\e d|ldu es p€rpcndicular a A.

9I. Demostrár las fórñulas 6,7 y 8 de la página l4l.

n. Si p y ó son coordenadas polares y ,{. .8. n son constan¡es. demostrar que U : p^(A cos n0 + , sen ¡|ó) ve-riñca la ecuación de Laplace.

r59

93. Si r=2cosdt3s€n¡0cosO ^, ó sen 0cos ó (4-5 sen'1 0)

rot . - -

v.E = o, v.H=0, vrE = - i ;T,Demoslrar que E y H satrsfacen la ecuación

v',t. = ir:. t2)

[Los vectores E y H se llaman Ltectorcs cahpo e¡¿ctrico y cañlo ñagnét¡co ei la teoria electromagnética. Lasecüaciones (.¡) son u¡ caso especial de las ecuaciones de Maxwell. La ecuación (2)llevó a Maxwell a la conclu-sión de que la luz era ur fenómeno electromagrético. La constanle c es la velocidad de la luz.]

Usar las relacion€s d€l Problema 98 para demostrar que

$t¡ ta '+r ' l l + ¿v'(Extr) =o

Sean At. Ar, A. las componentes del vector A en un sistema de coordenadas reciangulares -rlz con vecloresunitarios ir. ir, ir (los usuales, i, j, k) y ,{i, ,4;. ,.{i las componentes de A en un sistema de coordenadas rectan-gulares ¡'!'r'del mismo origen que el -r'}';, pero girado con respecto a éste y con vectores unilarios ii. ¡i, ¡i. De-rnostrar que deben verificarse las relaciones s¡guientes (llamadas relaciones de intutiuncia)'.

A" = t ' "A' + I ' ,Ai + h"A; 7¿ = 1.2,3donde i l ' i . = ¡^,.

' hallar v'zv.

91.

95.

9ó.

Hallar la funció¡ Inás general de (a) la coordenada cilindrica p. (á) la coordenada esférica r, (r)la coordenadaesférica 0, que satisface la ecuación de Laplace.Sol . la lA + Blnp, lbJA + B/t . (c lA + Bln(cosec0 - cot0)con,{ y I conslantes cualesquiera.

Sean T y N, resp€ctivamente, el wctor tongcnte unitario y el Nclor unilutio notmal principal a una curva delespacio r: r(u)suponiendo r(¡./ ) diferenciabler Definase un veclorB: T x N quese ¡lama.á vector binormalunitario a la cufva del espacio, Demostrar que

¿T -. da i-lN

;;- - "N, ?; = -,N, i* = 'n - "r

Estas son lal llam¿das fórmulas de Frcnet-Senet y son dc importancia fundamental en geoñeÚía dferenc¡al.En estas fórrhulas, r. se llama curvalura, resla lorción; y los inversos de éstas. p = llKy d: l/¡ se llamanrcdio de curwtutu f radio de totsión, respectivamente.

(a) Demostrar\ue el radio de curvatura en cualquier punto de la curva pl¿n y = f(x), z = 0 conÍ-y) diferen-ciable, es dado pol

, = l!+J:l(ó) Hallar cl radio de curvatura en el punlo (n/2, 1,0) de la curva y = sen ¡. z : 0.sot. 16 zrtDemostrar que la aceleración de una particula a lo largo de una curva alabeada v¡ene dada, respectivamente,en (a) coordenadas cilirdricas, (ó) coordenadas esféricas. por

l'i - p6'le, + G:6 + 2ib.6 + te,l i -ú ' - ¡ ; 'sen'r)c,+lr : ;+zi i - r i 'scnecoso)eo+(2;;senr+z¡ i icosc*¡ ' , ise¡o\e,

denotando los puntos derivadas con relpecto al liempo y donde ce, ed, e,, e,, ee. ec son vectores unltanos en

las direccioncs de las p, Q. z,r,0, $ crecientes. respectivamente-

Sean E y H dos vectores que se supone tener derivadas parciales continuas (de segundo'orden por lo menos)con respecto a la posición y cl tiempo. Supóngase además que E y H satisfacen las ecuacrones

n.

96.

vxH = 1"* (r)

v)-

100.

r60 VECTORES rcAP. 7

l0l. Si A cs cl vcctor dcl P¡oblcma lm, d€mostra¡ que la diveryencia de A, .sto 6, V ' A, as u¡ invaria¡tc (llamadoa menüdo ¡núüunte escalarl, o *a, dcmostrar quc

¿¡, aA, , ¿,4rArAUd2(

Los r€sultados dc cst€ y del anterior problcma cxpr€san cl supücsto obvio d. quc las cantidsdes ñsicas no da-bcn dcpcndcr de los sistemas dc coordcnadas en que 5c obscrver. La Scneralización dc cstas idcas llcva ¡ la im-porta¡tc discipli¡a quc se ¡l¡ma atuilis¡s lensorhl, básica para l^ teoña de la ¡elalfu¡dad.

D.mostrar quc (d) A .B. (á)A x B. (c) V x A son inva¡i.¡ltes por ¡a transfo¡mación dcl Problema 100.

Si ur, ¡¡, r¿.r son coordenadas curvilineas ortogonales. dañostrar qüc

(.) *ii# = v¿¡. v¿, x vú. ",

(,*' # " fl*)tv,.. v,,, vú¡) = 1y dar cl sig¡¡ifrc¡do de éstas .)on los jacobi¡noc.

¡0L Dcmostra. con üstemi¿nto axiomático 18 ¡el¡cióD (8), pÁgine 138. I

l0t. Un conjunto de r vcctorÉs Ar, Ar. . . . , .\ se dice ¡incatm€nte dcF¡¡diantc ai cxiste un conjuoto dc escalarls \cr,.2, . . . r cr no todos nulos tales que crAr + c2A2 + . . . + ai¡\ = 0 idéntic¡mcnta; si no, el conjunto sa \dbe lineabñente hdependi¿nte. (d) D€mosI¡ar que los vcctorEs A¡ - 2l- 3j + 5I, A, = t+J - 2L, A. = '3l - 7, + 12¡ son linealm€ntc depcndicntcs. (r) Dcñostrar quc cualasquicr¡ cuatro vectores tridimensional6son lincrlmente dapcúdic¡tcs. (c) Damosarar quc üna condición ncccs¡ri¿ y suficientc par¡ que los vcctorBAr : ¿¡ + ótJ +.r1, A2 = ¿¡¡ + ári + crl, A3 = azl + hi + cll s.¡n linc¿lm.nic indcpcndicntes cs qu€A¡ . A2 x A! + 0. Dar un¿ interprctación geométric¡ de e!to.

r06. Un ¡úmaro complcjo sc pr¡adc defirir como un par ordcnado (a. ¿) de rúmeros ¡c¿¡cs ¿ y ó sujcto¡ s cicrlas rc.glas de opcr¡ciór p¡ra l¡ ¡dición y l¡ multiplic¡ción. (¿) ¿Cuálcs son cs¡s regla¡? (á) ¿Cófno sc pucden utiliz¿¡¡as reglas en (¿) para definir la sustracción y la diüsión? (c) Explicar por qué los trúrneros complcjos s€ pu€dcocoosidcrar como vlctoEs bid¡mansion¡les. (d) Dcscribir señcja¡zes y difcrcnci¡s a¡trE v¡¡ias-oFr¡cio&s cntrlnúmeros coñplejos y entrc vactor€s.

¿Ai aAi aA" -ar ' du' A2

t02.

103.

{PIICACIONES A LA GEOMETNIAL Pl¡m tüg€üte ¡ ü!¡ qErfrcle.

Sea F(x, y, z) = 0 la ecuación de una super-ici€ ,S como la de la Fig. 8-1. Se supondrá quc F es:útinuamcnte diferenciable al menos que se indique:(r¿ cosa. Sea hallar la ecuació¡ de un plano tan-a!¡te a S en el punto P(xo, yo, z¡). Un vector no¡m¿l¡ S en ese punto es No = VFlr, donde el subíndiceP hdica que el gadien& se ha de calcülar en eln¡to P(¡0, /0, zo).

Si ro y r son los vecto¡es que ya¡r de O a5x6, y¡, zal y QG, y, z\ respectivameote del plano,-¡¿ ecuación del pl&no es

(r-ro) 'Ñ = (r-ro) 'VFl ' = 0 (r)

¡resto que I - ¡o es perlc[dicular a No.En forma cartesi¿na,

aFl , dFl . óFt .Ailp\x - ao) + aal,\u - uo) + El,@ - ?ol = 0 (z)

Si la ecuación d€ la superñcie está dada en coordenadas curvilíleas ortogonales en la formaF(uL, u2, u.) = 0, la ecuació¡ dcl plano tangente se puede obtener mediante el resultado de la página 142para el gradiente e¡ €stas coordenadas. Véase Problema 4.

¿ NorD¡l r mr o¡erúcieSupóngase que se pidc la ecuación de una rect¿ norrnal a la superficie S en P(xo, /0, zq). Si r es el

Ector de O en la Fig. 8-1 a cualquier pu¡to (r, /, z) dc la normal No, se ve que I - ro es colineal con\o y así, pues, la ecuación pedida es para los v@tores

(r-ro) xñ = (r-ro) x V¡ ' lp = 0

En forma c¿rtesiana es

Capítulo 8

Aplicaciones de las derivadas parciales

¡fts. t.l

A-Uo

(r)

(¿)Y-Uo

aFlou l,

Haciendo estas razones iguales a un panimctro (bien sea I o a) y dcspejando x, yy z se tiel¡lea l"s ecuo-cíones paramétricas de l¿ r€cta normal.

Las ecuaciones de la normal se pueden escribir también cuando la ecuación dc ta sup€rñcie estáexpresada en coordenadas curvilíneas ortogonales.

l6t

ó¡ ' lEI,

dFlór- l,

162

( t - to) x To =

O cn forma carte$iana

En forma cartesiana es

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES

3. Recta t¡Dgcnte ¡ ur¡ cü¡v¡.

Sea¡ x: f(u), y: g(r), z: r¡(¡r) las ecua-ciones paramétricas de una curva C en la Fig. 8-2,suponiéndose, siempre que no se diga otra cosa, quef, g y h son continuamente diferenciables. Se tratade hallar la ecuación de la recta tangente a C en elpunto P(,Yo, ),0, zo) en que ¡l : ¡o.

Si R = /(¡)i + g(u)j + h(u)k, un v@tor tan-. IRl

sentc a Cen Pes T" = lll . Si r^ v r son los vectores_ d¿u"que van de O a P(-ro, r-o. zoly Q6, y, z\ sobre Ia ¡ectatangente, ¡espechvamenle, entonces como f - ro escolineal a T" sc tiene

[cAP.8

=0 (5)

X-qo _ U-Uo _ 2-20

V@l nF¡ - tt'@l

&-uo U-Uo

l?, t , l"o-^, . l [ ' " E:1,t,- ,0 . l [ 'si la curva está deñnida por F(x, /, z) : 0, G(x, y, zl = 0.

5. Ervolvc¡tes.

La fo¡ma paramétrica se obtiene haciendo estas razones iguales a ¡¿.Si la curva C está dada como intersección de dos superficies de ecuaciones F(x, y, z) = 6 y

G(x,y,z¡ = 0, las correspondientes ecuaciooes de la recta tange¡te son

z- ao

(6)

(71t r , , r . l lF. F, l lF. F" llc" c. l , lc , c, l , lc . c, l ,

Obsérvese que los dete¡minantes en (7) son jacobianos. Un ¡esultado parecido sc obtiene si las super-ficies están dadas en coordenadas curvilineas ortogonales.

4. Pl¡m m¡Dd ¡ rür¡ crúv¡.

Si se quiere hallar la ecuación del plano normal a la curva C e¡ P(xo, yo, zo\ de la Fig. 8.2 (o

sea, el plano perpendicular a la recta tangente a C en este punto) y r es el vecto¡ de O aun punto (¡, /, z) de este plano, se sigue que r - ro es perpe¡dicular a To. Así que la ecuación pedida es

( r - ro) ' ro = ( t - ro) '#1" = t (8)

f '(uo],(r-ro) + s'(uo)(s-uo\ + h'(uo\(z-2fi = a

si la curva tiene ecuaciones paramétricas x = J\uJ, y = g(ul, z : h(u), y

=0

(e)

(r0)t r l

"il.tz - a)

Si {(x, y, c) : 0 es una familia de curvas de un parámetro en el plano ¡1, puede existir una cur-va É tangente en cada punto a alguna curva de la familia y tal que cada curva de la familia sea tangen-te a .8. Si ,E existe. su ecuación se Duede encontrar resolviendo el sistema

cAP. 8l

Ó(r'v'a't = 0'y E se llama en\olúente de la familia.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES

+"(r,u,") = o

t63

(r l )

(12)

(r6)

117)

El resultado se puede generalizar a la envolvcnte dc una farnilia de superficies de un parámetroQ{x, y, z, al, que se puede hallar con

4'@'a'z 'a) = 0 ' 'bu@'a'z 'a l = 0

Y se puede generalizar también a familias con dos (o m¿is) paránretros.

(13]

a, laÉb

DERWADAS DTRECCIONALES

Sea F(r, ¡, z) definida en un punto (x, y, z) de una curva dada C del espacio. Sea F(r + ^.r,

), +Ly, z + Lz) el valor de la función en un punto vecino sobre C y denótese por As el arco de curva entreesos puntos. Entonces.

, ,_ AF _ , ._ Fl¡+ Ar ' , y*ry,z+-r?) - F(r ,U,z),'lll¡" = ,'lT" ¡"

si existe, se llama de¡ioada direccional de F €n el punto (¡, /, z) a lo largo de la curva C y viene dada por

dF - aFtu aFdU aFdz7s - AA;- auAs - azñ (1q

En forma v€ctorial esto se puede €scribir

dF /ar. . ar . . ¿¡, \ / - r - . ¡ - \ d¡- r = l - i * - - j+. k l . l+ i+:3i1.+kl = vr ' . f r

- 9¡ ' , ¡ ( rs\da \dr du - dz / \qs (fs- as ,l

de donde se deduca que la de¡ivada di¡eccional es la component€ de VF en la dirección de la tan-gente a C.

El valo¡ máximo de la derivada direccional es, pues, lVFl.Estos máximos ocurre¡ en direcciones norma¡es a las superñcies F(x, y, zl : c (donde c es una

constante) que se llaman superficies equipotenciales o superficies de nit'el.

DER¡YACION BAJO EL SIGNO INTEGRAL

Sea +k\ = t,,,,' t(r,") dsdonde a, y a, pueden depender del parámetro d. Entonces,

+ = (" {0, + Ía.,d+ - Í tu,,"\*Cla J lt da CI.r Od

para o S d. S á, si /(.r, a) y d/dc son continuas en -y y d en una cierta región del plano xa quc inclu-yeur=x=u2,aSd.=bysiury¡J2so¡cont inuasyt ienender ivadascont inuasparaa=cr5_b.

Si ¡¿1 y ¡r2 son constantes, los dos úllimos términos de (17) se anulan.La igualdad (l7l o regla de Leibnitz se utiliza a menudo para calcular integrales deñnidas (Pro-

bleÍr¡s 15, 29).

INTEGRACION BAJO EL STGNO INTEGRALSi d(d) está definida por (1ó ) y /(x, d) es continua en .r y d en una región que incluye ¡rr = -r S ¡r2.

a I .r I ó, entooces si r.r¡ y ,2 son constantes,

fb cb I r ' ,, I r ' ,. [ ¡b ]| +t" l ¿" = I l t l ( r , " )d¡ ld. = | 1 l Í@.")d" ldr ( rs)

"" l - " ) "" t "" )igualdad que expÍesa el cambio de orden de integración o la íntegnrcíón bajo el s¡gno intcgr.tl.

ta APL¡CACIONES DE LAS DERIVADAS PARC¡ALES lcAP. E

MAXIMOS Y MINIMOS

Un punto (¡0, yo) s€ llama máximo rclqtivo o mínimo relatíoo de f(x, y), rcspectivamente, según quef(x6 + h, y¡+ kl! f(xo,y¡) o f(xo + h, /o + &)=/(xo,/o) para h y k tal€s quc 0 < l/r l < ó,0 < l/rl < ó, donde ó cs un número sufrcientem€nte pequeño,

Una condición6h&¡ia oara ouc ,.(x. y) tcrisa ün máxirpara quc /(x, ,/) tcriga ün máximo o un minimo relativo es

{- -o ' f i=oSi (¡o, yo) cs u S }lanado c¡ü¡col que satisface l-as ecuaciones (,t9) y si A esti deñnido por

#1,.,,",. o (" #1,,.,,,. o)

(re)

(20)

m$ximorelat ivosiA>0y

/o) es mlnimo relativo si A > O v #l 'o (" #1, . , , . , 'o) .(xo, r,o) no es máximo ni mlnimo rclativo si A < 0. Si

^ < 0, (xo,lo) se suele llamar puafo

de silla.

Si A : 0 nada puede saberse (en tal caso es nec€sario un cstudio más detenido).

MET1ODO DE T¡S MULTIPI CADONDS DE I;IGf,ANGE PARA MAXIMOS Y MINIMOS

Un método para obtencr los valo¡es máximos o mhimos relativos de una función F(x, y, z) zujctaa úÍa condición rcst ctioa ó(x,y,zl:0 eó la formación de la función auxiliar

G(r,Y,zl = F(x,s,z) + \+(x,v '2,

sujeta a las condiciones

¿G_" aC_" aG-^0a,0, au=o, É=O

(22)

quc son condicioncs nccesarias para máximo o míoimo relativo. El parámet¡o ¡,, qu€ €s independiente& x,y,z * lllm !\ muhiplicador de Lagiange.

El método se puede generalizar. Si sc quiere hallar el márimo o el mínimo relativo de una funció¡f(r¡ ,x¿,x¡, . . . , ¡ . )sujetaalascondic io¡elrestñct iúasór(x l . . . . , ¡J=0,ó¿(¡r , . . . , ¡J:0, . . . ,C¡(¡¡ ..., ¡J:0, se forma la fünción auxil iar

G(rt ,n, . . . ,x"1 = f '+ ¡ ,+¡ + ¡2ór + . . ' * l ¡ó¡ (zt l

sujcta a las condiciones (nec€sarias)

#=' ' #--0, . . . , f f i -odonde ¡"r, ¡,2, . . ., l,¡, que son indepcndientes de x¡, 12, . . ., ¡, son los multiplicadores dc lagrunge-

API¡CASONES A r.OS EnRqllESLa tcorla de los diferencialcs sd pucdc aplicar para obtener los erroÉs cn una funcióu de ¿ /, z, e!c.,

cusndo sc conoceD los erro¡cs cn x, y, z, etc. Vease Problema 28.

4.

(21)

(2.4)

cAP. 8l APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES

Problem¡s res¡eltos

ló5

PI./INO TANCENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE

l. Encontrar las ecuaciones (¿) del plano tangente y (á) de la recta normal a la superñcie x2yz + 3y2 =2xzz - 8z €n el punto (1.2. - l).(¿) l¿ ccuación dc ta superñcie.s ¡ = x?yz ¡ 3y2 - 2.u2 + E; : 0. U¡a no¡mal a la supe.fici. cn (1, 2, -t)cs

No = vFl,, . ! ._,, = (z'uz - 221\i + (, ' ¡ + 6r/) j j ("y-4rz+8)kl(, . , ._¡,= -6i+ l l i + r4k Y

En la Figura 8-t, página ¡61:El vactor dc O a un punto (r,/,?) dcl pl¡¡o t¡ngcntc cs r =.t¡ + { +:k.El vcctor de O ¿l punto (1,2, -¡) del plano tangent€ ca ro - ¡ + 2¡ - I.Ef vcctor r - ro = (r - l)l + O - 2\ + (¿ + I)l está en el plano ta¡gente y es entonccs pc¡-

pcndic\¡l¡¡ a No.

Luego Ia ccuación.buscada €s

(¡-¡o) 'No = 0 o sea {(r-1) l+(y-2) i+(z+1)k}.{-61+1r j+14k} = 0-6( ' -1)+ l l fu-z!+14(2+1, = o o 6r- l lv-14.+2 = O ¿

(r) Sear=¡¡+r+zLclve. tord.Oaunpunto(-r , / , : )delanomalNo.ElvcctordeOalpunto(1.2.- l )de la normal cs ro = | + 2l - k. El vector r - ¡o -

(¡ - l)i + (r - 2)t + (z +ill. cs co¡inc¡l coh No.Lucgo

( r - t . )XNo = 0 oseai ' i k

x- l u-2 z+L-6 11 1¿

que as equivalente a las qluaciones

U(¿-1) = -6(r-2), Lllu - 2, = L1l2+1\, la(¡ - 1) = -6(,+1)

Estas se puedcn cacribir

¡ - l ü-2 z+l t . /-6

= -ll- = t4

que suele flamarse./o¡ma contüua óe la *ttaaión dc la rects Haciendo cstas ¡azones igualcs al paráñelroI se ti.nc

t=7- 6¿, Y =2+11¿, z=t¿t- t , /

que son fas ecüaciones paramétr¡cas de la recta.

.¿En qué. punto corta la normal del Problema l(á) el plano x * 3y - 2z = l0'l

Sustituycndo por las ecuacioncs para¡nétricas dcl Problem¡ l(á) s€ r¡€ne

1- 6¿ + 3(2+114 - 2(11t-r) = 10 " [=-1

En¡onc€s. r = 1-6, = 7, t = 2+l l l = -9,2= 14Ir-1= -16 yel punto buscado es {7. -9. - l5 l

Mogt¡ar que lá superficie * - 2yz + r! = 4 es perpendicular a cualquiera de las superficies dela familia ¡2 + I : (2 - 4a)y1 + az2 en el punto de intersección (1, -1,2).

Escribi.ndo las ecuacioncs de las dos suDerficies co le fb¡'la

F = t -zuz+u'-1= O., , y c = l f ¡ t+¡ \ - \2-4d. ly. - az,Entonccs.

iF = zri + @u'-z.ti - zuk, rio = zri - 2e - aa\Ui - zazk

tóó APLICACTONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES

De nro¡lo que las norm¿lcs a las dos superficies en (1, -1,2) esLán d¿das Por

[cAP. tr

N, = 2i- t+2k,¿ ñ, = z i + U-_AN'-

4ak

Como Nr - N¡ - l2ll2l - 212 - 4al - (2X&) = 0. s€ sigue que Nl N.9;l¡'F.Fndicularcs p.ra cu¡lquierr¡. con lo qu€ se t¡coe el resuhado pcdido.

4. La ecuación de una superñcie es en coordenadas esféricas Ft, e, ó) = 0, supuesta ¡ continuamen- 'te difercnciable. (a) Hallar la ecuación del plano tangente a la superfcie en el punto (¡o, 0o, óo).(á) Hallar fa ecuación det plano tangent€ a la superñcie ¡ = 4 cos 0 cn cl punto (212, 'ttl4, 3ttl4).(c) Halla¡ un conjunto de ecuacioncs d€ la r€cta oo¡mal a la superfcie de (á) en el punto qüe s€indica. I(rr) El gr¡dientc de O €n coordcn¿d¿s cu ilineas ortoSonales es

vo = *!9., + !rf f ," ' +

dond€ "=i#, .=**1, .

Y--(w'€\

(veansc Éginas l4l. 142).En coordenadas esfér icas nt = t . u, :0, ur= 0. h = l . h2- r . l ¡ " - ¡sen0yr=¡ i+r i+

3l = r s€n 0 cos ó¡ + ¡ sen 0 sen dl + r cos rk.

E¡lonccs.

lG¡ = scnrco3di +scnrsanúi + col tL

{ c ' = corecoeéi + cosrscnÉj - sentk (r)

t . ¡ = -s€ndl + co3Cj

vr '= #.* |$",*o*- '#.Como cn ¡a Égina 16l, la ecu¿ckln pcdida cs (r -.o)'Vflr - 0.

Sustituyendo ahora (/) cn (2) s€ tienc

otL = {#1,*","-"r. + Juf,l,""",ocosc. -

1¿O

ldr

¿¡'t I,,I 'J t

* {#1,*","*"o. + r,fl,*","*no. . #,.'#lJ,* {#1,"*,. - *#1,*"'"}*

Dc¡olando las cxprcsioncs enl¡c llavcs por,l, 4 C, r€spactiv¡manle, con lo quc V4r - ,{¡ + ¿t + Ca,s€ ve quc la ccuación buscada es ,{(.r - .ro) + ,(, - }b} + C(z - zl - 0, qua ra pueda cscrib¡¡ cn coo¡-denad¿s esfé¡icas mcdiantc las tr¿nsformacionas gr¡¿ x, I t z cf¡ c3t¡s coordcr¡¡dag.

ló) Se t iene F= '-

4 cos 0= 0. Lu€go AF/ü= I, tF/00-4 s.n0, AFIN=0.

Como ro = ZJ1. O. = "¡e. óo = 3a14, * riene por ta pa.tc (¿) VFlp - .{¡ + 4 + Ct = -¡ + J.

Por las .cuacio¡t s de transfo¡m¿ción cl pünto d.do t¡.nc coordcr¡ad$ cañGsia¡?6 t-Ji, Jl, Z¡ y

cntonccs ¡ -,o = U + JIN + V - rtú + k - 2fr,.L¿ ecu¿ción b¡¡sc¡da d€l plano es, püca, -tx+Jil+g-Jrl-O o¡-r- 2.r/2. En coorde-

nadas csféricss sc convierla €n r sen 0 sen ó - ¡ san 0 cos ó = U2.Encoorda¡adascancsian¡¡¡¡ccuaciónr-4cos0seco¡viertcG¡¡¡+f+lz-2F-4ycldsno

langentc s€ puedc detcrminar a partir d€ aqüi coño er cl Problcm¡ l. En otro6 c$or. en crmb¡o, pucdc qucno se¿ lrn fácil obtcncr la ccuación q¿rtcsiat¡a y cnto¡cls es m& aancillo ut¡liz¡r cl método dc la poate (¿).

o t+V =0, z=0

lf,rCTA TANGENTE Y PLANO NORMAL A UNA CURYA T,I Hallgr las ecuaciones (¿) d€ la tangehte y (ó)del plano normal a la curva ¡ :-r'- cosr,/ :i3 + sen2l,

z =¡l+ cos 3, en el punto en quJ r : tz.

- r ( , ,cAP sl ', r,

i- ApLlcAcroNEs DE LAS DERTvADAS pARcrALEs 16'l. )L)

(c) Las ecuaciones de la normal se pueden dar en la forma

+="P=+donde el miembro de la derecha significa que la recta está en el plano z = 2. Asi qu€ la recta buscada vienedada por

(d) El vector del origcn O (Fi8.8-2, página 162)aun punro de la curva CesR = (¡ - cos ¿)¡ + (3 + sen 2¡)j+ (l + cos 3¡)L. Entonc€s un v€ctor tangent€ g_Q¡n cl punto en quc t = +a es ./

El vcctor dc O al punto en que I = la es r¡ = lrl + 3j + t.El vcctor de O a un punto (¡,/, z) de la recta tangente es t = ¡l + t + zI.Entonccsr-ro=(¡- i ¡ ) i+(y-3I+(z- l )&cscol i r icalconTo,demodoquelaecuaciónbus-

cada esi¡k

r -y v-s . - r2-23

y ¡as ccr¡acio¡es pedidas son 3li1 = v-=3 = '; I o,cn forma paramétrica ¡ = 2t + rr, t = 1- 2t,

z=3t+1. ¿ -z 3 J

(á) Sea r : n + ),¡ + z¡ cl vcclor dc O a un punlo (¡, /, z) dcl plano normal. El vec¡or de O al punto cn que¡=|nes16=¡r l+3J+k.Elv.ctor.-ro:(¡- l Í ) l+0-1)t+(z- l )kcatáenclplanonormaly,portanto,esp.rpe¡dicularaTo.Lu€Solaccuaciónpédidaes(t-ro) 'To=Qo2(¡- lz)-20- l )+ l (z - l ) :0.

Halfar las ecuacion€s (¿) de la tangentc y (ó) del plano no¡mal a la curva 3x2y 1 y|z = -2,2xz - x2y = 3 en cl pünto (1, -1, 1).

(¿) Las ecuacion€s d€ las suparñcies quc se coíar¡ cn la curva son

F = Sttu+a'z+2 = O, G = 2rz-r1u-g = o

lás noíüales a c¡da supcrñcic cn el punto P(1,-l, l) son, rcspcctivamcnte,

N' = VFl. = 6rui + l : , r '+zvzl i + ytk = -6i+i+kt /N, = Vcl . = lzz-Zxa\í- ' r i+2Ek = 4i- i+2k V

Asi quc un vector tanggnte a la curva !n P es

x+{E-=-

( r - rD) X To = 0, o sca.

Ti = N,xN! = (-6i+j+k) x (ai-¡ +2k) =

Luego, como en €l Problema 5(d), la taígente cstá dada por

3i+l6j+2k

, = l+gt , A = 16t- l , z = 2¿+L

(r-¡o)xTo = 0 o ((r- l ) i + (y+1)¡ + (z- l )k lx (3i+r6i+2k) = 0

"- l u+l z-1es decrr. --l- = =ii

-= -Z

_

(á) CorÍo en el Problcma 5(r) cl plano norm¡l eslá dado ftor

(r-r . ) 'To = 0 o ((r- l ) i+ (s+1) j + (z- l )k) . {3 i+16j+2k} = 0

es decir . 3(¿- l ) + 161r+1) +2(¿- l ) = O o 3r+76a+22 = -11 ' '

Los r.sultados c¡¡ (¿) y en (r) sc pucden obtencr también mcdiante las ecu¡cioncs (7) y (r0), rcsp€ctivaríctrte, cn la pÁgir¡a 162.

168 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES lcAP. 8

7. Demostrar la ecuación (10), p{gina 162.

Su!óngase la curva defiÍida por la intersección de dos supcrficics dc ecu¿ciones F(_\. ,, z) = 0' 6(x, )' :) = 0'

sidrdo fy C co¡¡tir¡uat¡ente difercnciablcs.

Las nornáhs a las supcrfrci6 en cl plinlo P esüir dadas por N¡ = 9f]¡ y N, = vclr. raspactivamc¡¡e,

y cntonc€s cl vector tangenle a la curva cn P cs To - N¡ x Nt - vFl¡ x VClr' con lo que la ccuación dcl pla_

no normal será (¡ - ¡o)'To = 0. Como

. Tó = v¡l .xvcl, = {(F, i + ¡ ' i + F.k) x (c. i + dl j + G.k)) L

¡a ccuación buscade es,

( ' - r . ) . vFl ' = 0

i I k lr ,&¿l=c, c, c, l,

pues,

¡ ,¿1.n, o l , ' *

f . F, l .o' n'1, ' * F. F, I .

o n' 1,"

i ; ,X:|.,-^. I i : i :Lru-ro + l | ' .?,1.o-"., = ,

ENVOLVENTESt. Demostrar que la €nvolventc de la familia ó(x, y,d\ = 0, 5i existe, puede obtencrse resolviendo

els istemad:0Yd"=0.

Suponiendo la envolvente en forma ¡raramétrica .r : /(a), ¡ - 8(d) cs cntonces O(/(a), 8(d), a) = 0 idcn-tic¿me;E. y entonces difererciando con respecto a d [suponicrdo qua Ó, / y I tien€n derivadas contir¡u¡s] srtrcnc

o.f ld, + ú,s'(al +t" = 0 (I)

La pcnd¡e'n¡c de un clemento dc la f¡milia ó(¡, /, d) - 0 en (¡. /) ücn deda pot Q, dx + $, dy = 0, o

,.".4 = -9... L¡ Dend¡ente dc ra. dv dvldu c'ldl

qx @.. .nvolvente en k. y) es

dx- ':-drtñ =

TGj LueSo en todo punto en que

la envolvente y una curva de la f¡milia son tángentes, se h¡ dc tcner

-*, = o,i!'! o ó,t't"t + e,r.(c) = o6, t'\al

Comparando (2) con (r) * vc que {. = 0 y resuha lo añ¡¡h¡do.

(2')

9. (¿) Halla¡ la envolve¡te de la familia -r s€n d + / cos d = l.

(¿) Ilustra¡ geométricameote los resultados.

(a) Por cl Problema 8, la envolvcntc. c¿so de existir. se obtieoe resol-viendo el sistema de ecuaciones ó(¡, /, a) - .y sen ¡ + / s€n d -| -0

y 0,6.y.r) =.r cos d - r 'scn a = 0. A part ir de.stasacuacioncs se obtiene ¡ = san c. J' = cos r o bien ¡¿ + ),¡ = ¡,

(ó) La familia dada es una familia de rcctas, algunos de cuyos elc-mcntos se r€n en la Fig. t-3. La cnvolvcnte es el c¡rculo -* + )'z- l.

Halla¡ la envolventc de la famitia de supe¡ficies z :2ax - q2y.

Por ¡¡na gcncralización del Problcma 8. la envolvente buscada, si cxistc, scoc ccuacioncs

l¡r. t.t

obtiene resolüando cl sistema

l t ) É=z^r-a,u-z=0 y lz) é"=2r-2a! = 0

Sagún (r). d =,yt. y, sustituyendo en (,/). s€ tieDe .r'z= /2. que cs la e¡volvente bu¡cada,

10.

:{P. 8l APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES tó9tl. Haffar fa cnvolven¿e de la fañilia de superficies de dos parámet¡os z = ax + fly _ dp.

l¡ eovolvcnte dc la familia ¡1.r. ),.:. d, ,) = O, si cx¡ste. sc obticne por climinacún dc d y, cnt¡a las ecua-ciones F - 0, F. - 0. Fo = 0 (Probtcma 43). Como

F= z-ax-BU+^p= 0, F"= -x*B =0, Ntr=_u+a=O

Entonces. p=¡, d=a y * t ie e z=ra.

Df,TWADAS DIRECCIONALES O11 Haffar la der ivada direccional de F: x2y¿t a lo largo dc la curva x=e-",y=2sena.+1,

z = u - cos u en el punto P en quc ¡.¡ = 0.El punto P que corresponde a u = 0 es (1, l, _t). Luego

9F = zr ' . t i+r .z ' i+Bx'uz'k = -¿i- j + eUe¡p,- /

Un vector langenle a la curva es

rl. ¿

d¡¿: =

dn{.- ' i + (2senÍ + l ) i + (r¿-cos?¡)k}

= -e-" i+ 2cosüi + (r+senr)k = - i+2j+kcnP

y el vcctor tangentc unitario eD esta dirección cs To = -i+zi+k,

V6Luego

D€rivada direccional ( -2 i - ,+sk).( : ! l l i l ! ) = *

=; ' /8 '

t3.

Como es positiva. f aumentá en esta dirccción_

ElvectordePaCes

Demostrar que la máxima variación de F, es decir, la máxima derivada direccional, se verificaeri la dirección dcl vector V¡ y tiene su magni(ud.

dF&*A,VF dsa

lá proyccción d€ VFen la drrección f Esta proycccr<in es máxtma st VF y ¿ll¿j riencn la

misma dir€cción. Entoncts cl valor máximo de dFl¿ ocurre en la d¡rección de gF y la mag¡ilud cs lVFj.

(¿) Hallar la derivada direccional de Lt:2xty - 3yzz en p(1,2, -l l cn una di¡ección haciaP(3' - l' 5). (á) ¿En qué dirección a parrir de p cs m¿xima ta ierrvada'dircccionar? (c) ¿cuál esIa magnitud de la derivada di¡.eccional máxima?

(c) VU = 6r'ui + (2r1- 6!z)i - gu,k = 12i + 14j - 12k en p.

ta.

= (3- l ) ¡ + (-r -2) j + [5-(- l ) ]k = 2i _ 3j { 6k.

El vector unirar io de PaQes = T = 2i-3i+6k - 2¡-3i+6k

Lueso l(ztfl:5t+l6F 1

Dcrivada dircccionat en p = u2i+14¡-12k). /¿¡-gi+ek) - -go\?/7

o sea. quc U decrcce en eta dirección.

(ó) Po. el Probl.r¡a t3. la derivada dire.lional cs máx¡ma cn la dir€cción t2i + 14¡ _ t2t.

(c) Por el Problcña t3. el vator dc la derivada direccional máximá cs l t2i + l4j _ t2kl =uQaj ¡96 | 1a = 22.

t70 APL¡CACIONES DE LAS DERÍVADAS PARC¡ALES lcAP. 8

DENTVACTON &I,TO EL S¡GNO TNTEGRALll Dcmostrar la regla dc Leibnitz ¡nra dcrivar bajo el signo integ¡al

sea t(a) = | .f(2, ") dr. Lucgo

A, = r(d+aa) - c(o) = f" ' " ' " '^" ,"** l* - (" ' " ' ¡ ¡" , " ¡a"

= J.,,.,

^",1(' ' "

* o") & + J,,., tt" '"+eld" +

J., ' ,",, tk,a+^at.t

- f"'"'¡r' '"¡a"/ \r t tql= J.,',"-, tta, " + t", -

^., at) dE * t'"',),-'"' n". ". u * - !.",','",'

*',, " * o"t *

Por ¿l teorema dcl valor rúcd¡o,

f , r to,

J.,,., ltt"' "* o"t - tt", d)l d' = a" ).,,., t"t",oa"

a¡¡ rd +¡a)

J,,", ltr, s+ ^artt '

= l({¡,a+&)[,¿¡(a+a4] _ ¡,(a)l

a¡, ro +ra,

J.,,", l(x, a+ ^altt

=

^t,,

a+ aa)[ü,(a + a¿) - i.|(d)l

donde { csüá cntrc d y d+ Aa, {r rnt.c ulo) y ut(d. + Ln, y f2 csrá erür u2@)y u2la + l!'r.Enloncfs.

tr = J,,;,, t,(",t.14 + ¡1¡,"+l,¡ff - /{t,,"+4"1f;

Pasando al limitc pa'-e ^d

* e y cn la suposición da quc l¡s furcio¡es tien€n dcri das cor¡tinuas. rr tiana

+ = t"'"'t"t,,"t¿, + l[,¿,(c),alaa J, t td,

16. si ó(d) = Í**n:! dt, haltar ó,(¿) con d + o.

Por la regla de Leibn¡tz.

(r)

(r)

(o

¡lü'E - . . . ,úr l

- ^ut \a) ,útE

Lueso I"" G=*;¡ =

GrSF der cuar Í"'

ttt 2"E=""",f- =

s/5'

INTEGRACTON BAJO EL SIGNO TNTEGRAL

lE. Demostrar (/8) págioa ló3, para intcgración bajo el sig¡¡o integral.

considcr¡rr (r) *, = l:"{l' tp,a*ln,

Por la reqla d€ Leibnil¿' " ;; = l:'*{I" ra,aol* = t"",,'ta'aa" = ot"tEntoncrs. por inlegr¡ción. (r)

'rld =

J^ c(a) dd + c

Comoú(a)-0por( , ¡ ) ,set ienec:0en(2).As¡,pu's.apaf i rdc(1)y(2)conc=0sccncucnt¡aque

f,'!." ̂ ",',").. = Í." {J'.',,'n.",0.\0"

Y haciendo d = ó resulta la igualdad-

cAP. El API ICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES l7 l

re. Dcmostrarque J'r(H).' = "r(*Fr)si o,r>r.

por cr Probrem¿ 62. capirulo 5. ( -+- = -:-!-, .> tJo a-cost

' ,1" ' - t

lntcS¡ando ef primer miembro rcspocto de d. f,¡tlre a y b,

t." 1.f"" --*]*

= J'ur" --""r1", = J"'(,_L;;;)'"Integ¡s¡do el seSundo miembro resp€cto de d entr€ ¿ y ó,

( -"1- = ,r, ' r"*y' ; t- rr l" = .rn(o *Fr . {a '_r I " \a+y'c ' - r

de donda se sigue e¡ resullado.

MAXIMOS Y MINMOSm. Demostra¡ que una condición uecesaria para que /(¡,l) tenga ün extremo relativo (máximo o

minimo cn (¡o, /o) es que /-(rq, ¡6) : 0, ,6(xo, yo) = 0.

Si/(-r6, ¡¡) ha de scr un valor extremo de/I¡, r), debe ser un valor cxtrcmo t¡nro del(¿ /o) como def¡o, )).Pero una condición neces¿ri¿ par¡ que éstas tetgan valores ext¡cmos cn t = xoy y

- yo, rtspoctivamcntc, cs

que l,(xo, /o) = 0, f,(xo, yo\ - 0 (por lo visto para funciones €n una va¡iablc).

21. Sea /(x, y) continua con derivadas parciales continuas de segundo ordcn al menos en ciena re-gión { que incluya el punto (¡o, yo). Demostrar que una condición sufciente para quc /(xo, /o)sea un máximo relativo es que L = 1,,(xs, ys\fr(xo, yd - Í,(xo, yJ > 0 y l,(xo, y6) < 0.

Poi el tcorcma de Taylor (ÉEra I09), coÍ /,(¡o,)o) - 0, r(¡o,.vo) - 0, se tien.

¡lro+h,u.+h\ - llxo,yol = !lh'|,, + 2hkf4 + El.) (r)

en qu€ fas segundas derivadas del segundo miembro se han c¡k1¡lado en ¡o + 0¡r, ro + 0r(con0 < 0 < l. Corn-ple{a¡do el cuadrado de la derecha en (/) se encucntr¡ que

ttz.+h,vo+kt - Ítt",u"t = +¡,,Í ¡ *L.*\' + (t"t'*- f\k'\ (r)' ' t \ I - / \ , t ' / )

172

TL

23.

APLTCACIONES DE LAS DERryADAS PANCIALES [cAP. 8

Pcro, por hipótcsis, .¡isre un cntorno dé (¡o, ro) tal qucÁ < 0 y ls €xprliióo.ltrc ll¡vcs d.bc acr positiv¡,N6 fJ, - 13, > 0 lor hipót6is. Ali F¡cn s. dcduc. quc

feo + h' Yo + kl S f6o, Yo)ps.a , y t ¡üfcic¡tcocntc pcquc'n¡s, lo quc sigDifca qr¡r "/(¡o, ro) 6 un ñárir¡o Elativo.

A¡¡álog¡maútc ¡c puadcn dcúos!Íar condicioncs ¡ufcie¡tca pa¡s mloiDo rcl¿tivo,

Halfa¡ los márimos y mínimos ¡elaüvos & llx, yl : f + y3 - 3x - l2y + N.

-. [ -=3f -3=0ps¡!¡- Xt,Ir=3f -12:Opd!¡a,t- 12. l ,o! pu!1o6 cdticos.oa puc', P{1,2),

c(-1,2I ¡0, -2), s(-1, -2).f- - 6x, ln - 6y, Í,¡ = 0. Lucgo

^=lJ.-!1=36xy.En P(l' 2), A > 0 y l- (o trl > o; lucto P .s un ñini¡¡o rclaüvo,En Qe\4, A < 0 y g no ca DáxiDo úi rnl¡imo.E¡ ¡(1, -2), A < 0 y X úo cs nÁxiño tri r¡t¡imo.E! S(-1,-21 A>Oyf- (oJrr)<0, cod lo quc Sca uD D¡l¡imo rd¡tivo.Arl, pu.!, cl nl¡ino ¡Él¿tivo d./(¡,,) co p c! 2, y cl márioo rclativo c! S .3 3t. Los puttos g y _R .o¡

Nrbt .b tllb.

Ula c4ja rcctangular sin taps ha de úener un volumcn dc 32 unidadcs q¡bicas. ¿C\¡á¡es hs¡ dc s€¡Ls diDcnsio¡cs para quc la superfcic total sea minim¿?

Si x, y ! z soú las ¿rista! (Fig. 84), .. tieda

(r) Vofuoco dc l. c{j¡ -

lt = ry1 - 32(2) Süpc¡fci. dc l¿ c¡ja - S: ,y + ztz + 2xz

o, por *¡ ¿ -

32ltf W¡ Qr,

S=ry ,64 6{ey

E = "-#

= o con (¡) 'rr=6{Divifiqdo l¡s Gsuacioncs (J) y (r) cntE rl sc ticne y = ¿ dc modo quc.t' -64 o x=y-4y z=2.

p.r¿c=r=., A = s-s,, - sl = (gxq) -t > 0 y so = 14 > o. Asr quc ra Írf.

¡i¡n¡ auFrficic se obticnc con I¡s dimc¡sionca 4 x 4 x 2.

irurrpuc.l¡or¡s DE r/\cnANGE IARA MAx¡Mos r MrNMos2¡L Considéresc .Fk, J,, z) sujeta ¿ la condició¡ rcst¡ictiva G(r, /, z) = 0. Demostra¡ que una con_

dición neccsaria para quc .F(.x, y, z) tcnga u¡ cxt¡cmo ei qi,. iq _ frC, = O. -

CoñoC(¡/,_.)=0,scpucd.comidcr¡¡rco¡nofu¡cióodc¡yr,os.¡,2=Jr6),).U¡acodició¡¡c-

Yú.e"o qu9 ¡t¡ ¡/(¡, /)] trnt¡ u¡ v¡to¡ Gxt¡.úo cs que lae dctiveaar pcrciolcs col rcrpocro a r y ¡ *ao!ul¡s. lo curl de

asa,

= 0 cori (t) ,r{=8¿,

(r) l. +f,:, = 0

Cono G(a¡:) - Q .G ti.roc tr$ti¿¡

(t) G. + G,:, = 0

6.1!-7

(21 \ * F.z, = ¡

(l Ci I G.z' = O

Dc (r)y (, sc tit¡r (J) !,c, - F,G,= o, y dc (2) y (t) 3c ücf¡c (d) 4c, - 4c, - 0. E¡tooccq por (5)y (ó)G.ull¡ F¡G, - Ff¡, = 0.

Loi ¡¡tc¡iorcs F¡Dltedos son válidos solo si 4 + 0, c, + 0.

c^P. 8l APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES

lL En el problema anterio¡, most¡ar quc la condición enurcisd¿ equivalc a las cordiciones {, = 0,dr = 0, donde ó = F + LG, siendo l" una consta¡te.

Si {. = g, ¡ * fG, = 0. Si ór = 0, .¡1, + lG, = 0. Elirninando I entr€ .!tes .cuacio¡6, sc tie¡. ¡,C, -Fp, - o.

El Dultiplic¡dor I ca el ,mitlplicaúr de Lag¡añge. Si s. quidr pucdc considcr¡rsc t¡nbiér ó = l]F + ccon Ó¡:q Ó,-0.

2ó. Averiguar la Etuima distancia del o¡igen a la hipérbola x2 + lxy + 7y2 :225, z:0.Sc ha dc hall¡¡ cl v¡lor rültrimo dc .t' + I (cl cu.drado dc ls dbt¿ncia dcl origpn s un pur¡to curlquicr¡

del pla¡o r/) sutrtoe a la c¡údición .t' + lxy + 7f - 225.Scg¡iú cl ñétodo de lor Dultipücsdor€s d. t¡g¡ong., s ó = I +8x! +7!2 -nS + L(x, + fl.

E¡toDccs.

t73

i

+Q. = 2t+ E, + 2lr = 0 0

, , = 8r+ 1¿r+2v = 0 o(r) (r+l)t + 4y = 0(r) ,1, + (r+4r = 0

Por (r) y (2), sicndo (¡,r) + (0,0), sc ricDe

l r+1 4 l_ "I n ^*r l=

o ' " '¿"" i t ' f+8r-9=o

o r = 1 ' -o

catu t i l - l .Por(r)o (21,r- -2yy susti tuFndo cnl + t .r¡ +1r? = 225 da -5,,2 = 225, qüc ca-'rcca de roh¡cióo rcal.

C6o 2t ,. = -9. Por (r) o (2\ | - 2r., quc q¡stitüid¡ cn ¡¡ + t¡/ + b| = 225 da 45* - 225. Lr.8of

-5,f =4x' =20 y asl rf +f =25.Dc modo qu. l¡ distamia ¡nl¡ irn¡ buscada csv6- 5.

27. (¿) Hallar los valores mrüimo y rnlnimo de x2 + y2 + I sqietos a las condbioncs f/4 + yt/S +22/25 = | y z: x + y, (b) Dar u¡a intcrp¡Etación geométrica dcl anterior r€sultado c¡ (¿).

(¿) H¡y qüc hall¡¡ tos extrenos dc F - ¡2 + /2 + I sujctos a las condicion sdr = +

- +. *-

t -oy02=t+y-z=0.Enestac¡soscuti l iz¿ndostdulüpl ic¿do¡Esd€Lagrangclr,¡zysaconsidcralafunción

c = r+ r ,c, + \c, = ¿ + u ' +, ' + ^,( f ,+*+#-r)+ ^,(+v-,)

To¡nsDdo las derivsdas parcia¡es dc C con ¡lspocto a ¡,/,2, c igualándol¿s a ccro, sc lienc

c. = z,+ ¡ iu*" = o, G, = zt+!+\ = o,c. = z,¡zf f -x,= o (r)

Dcspcjando dc 6trs cci¡acioúc¡ ¿/,2 se ticoe

r =iL, r=

De¡as6gund¡condiciói, Í+y-z=0,srobüa¡epordivbiónporLsupucstodifar€¡tcdccaro0oq¡alastá justificado po¡quc de ot¡o modo ra tendda x = 0, y = 0, z = 0, que no satisfa¡la lá primc¡a co¡rdició¡),

2526-I-;F4 - ZI;TiO - z¡,-+-56- = u

Mttltipücaado ¡¡lbos micmbros po¡ 2(L + 4xlr + 5Xl¡ + 25) y simpliñcaado da

1?{+216r,+?60 = 0 o (r¡+10x17}. t+?6) = 0

dc dotrdc lr : -lO o -15117.

(4

174 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES lcAP. 8

Caro ,: l ¡ = -10.Dc (z). ¡-lf¡, y-$r, z - l),¿. sustituycndo c¡ l¡ primcr¡ co¡dbió¡ x2l4 ¡ f/5 + ?n5= | d^

li = fto/fg o \, = tq¡3¡tl, to quc da los dos puntos cíticos

(z'/-6t1s,s{í|ft ,6\/-6trst,(-2llÑ,4\/l¡ú,-6\tdñ]-

Elvalordc, l+ l t+ztqu.corrÉspotrdG¡cstospul toscr l r icos6(m+45+!25)/19=10.

caso 2t \= -75¡17.De (.?),'x = $¡,, - -+''r, t = i7L2. Susl¡tuycndo en la prim€ra condició¡ rrl4 + f/5 + 2'125 - l,

de L, - +l40lll71@), quc d¡ tos punlos c¡iticos

$ot{&,-s6lt/6&,61{-u6r,{-4ot\/il¡:s16,86t1añ,,-6tl-61s1

Ef valor dc i +f +? qüc coÍlspond. ¡ ésto¡ cs (1600 + 1225 + zsll(fi:75/17

Así quc cl valor má¡imo bu¡c¿do Gs l0 y.l v¡lor mlnimo es 75/17.

(á) Co¡¡o .t' + /r + z2 rlp¡lscnlá .¡ cr¡¡dr¿do dc l. dista¡ri¿ de (¡, t, z) al oritÉr (0, 0, 0), cl problc¡¡¡¡ Gqui-valc s daaeamin¡¡ t¿s di¡tdncia! n¡xir¡s y Í¡inim! dcl origcn a l¡ ourv¡ dc i¡tarscccióú dcl clipioidct l4+)?/5*22125=tco¡clpl¡noz=t+t .Comoest¡curv¡esunael ipse,s€t iencLi¡ terpreta '

ción dc quc .¿ñ6j 1ñlifr son lss tongiludcs dc lo¡ semicjos m.yo. y Ír.nor dc este clipse.

El quc los vslo¡es m¿ximo y núniúo saa¡ d¡dos por -1,, cl amboc Cs:os I y 2 no as mcra coircidcñi¡.En efccto, al ñultiplicsr l¡s ccurcioncr (¡) po¡ t, t y z sucesiv¿me¡te, y su¡nar, s€ obtierc

2¿+++\,+2r '++d+ ^u+2z'+S-r. ,2 = o

rrrrccir . , , +, t + ¿+ ^,(" t '+f+$)*

¡¡( ,+r- ' ) = 0

Y ar¡toocas, ¡plicando las condigioocs, sc tic¡G .t' + f + I = -LrPar¡ ura gcncralizacón dc asrc protrlcr¡r¡, v¿a¡a Problq¡a ?ó.

API¡CACIONES A ENNORES

2& Et Friodo r de un ¡Éndulo simplc dc longitud I csrá dado pr T = 2xJfu. Hallar (a) el crror¡bsoluto y (r) cl crror r€lativo al c¿lcular lcon, = 2 pies y I = 32 piels2 si los valo¡es vc¡d¡-deros cr¡n I = 1,95 pies y e = 32,2 pies/st.

(e\ f = 2"180-t', É.rrtonc.s

dr = (*sa\l{u' dt't + l2rt'all-rc-'" dt = ftdt- '

Ertol en ¿ = a9 = ¿g = +0,2i elror en ¿ = At = dl = -opb

ElcrroacnlesAl,quecncstcc¡soesaProximad¡mcntcigualadfAsí 'pucs'por( ' ) '

Effof cnT = ¿¡ = -;i (-o,orl -'ffir*o.rl = -& = -0'025 s l¡pro¡')v(2xs2)

El valor dc r para l=2, o --gt es Í -

zrfi,f;t =; = t.571 s (¡p'oximadamcnte)

Con lo quc el v¡lor coÍegido de f es t,571 - 0.025 - I,546 o 1,55 s.

¿T -fr/128 0.02J(óf Error rcf¡r ivo qtT-

T= "E-

= -Llf l = - l ' )o/o.

Oto réúdo: como lí f = h 2a + | ln | - t ln g,

;(-#)-l(*u) = -0"

^{!a'

+ = rli-ry =como antes. Ob6érvrsc que (2) se pucde cscribir

Etror relalivo en T = * Er¡or ¡elativo en , - * Error rÉl¡tivo Gn t

c^P. 8l APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES t75

INOBI,DMAS VARIOS/ .1 a-1

19. C¿lcular I i-: do.Jo tnt

Para c¡lcula. csta integml sc apcla ¡l proccdimianio siguier¡tc. Dcfinssc

'(') = f' ' i#.'¡ ¿>o

Entonces. por ls ¡egla d€ l¡ibnitz.

^" / ""- r \ . r ' ¡ " ln¡ó,(a) = | ..i{ -r- l¿" = | ---:_

¿¡ = | x" at = |! rú dd\rn.r / ¿o tnt J. c+r

l ¡ lcgrandoconrespecioad,0(d)=h(d+l)+c.Pcrocomo0(0)=0,c-0y,cntor¡c ls,d(d)=ln {d + l) .

Así que el valor de la integral es óll) = ln 2.Sc pucde justificar aquí l¡ ¡plicación dc la rcgla de Leibnitz po¡quc si se dcfinc F(.r, {) = {¡, - t )/ln ¡,

0 < n < I, f(0, d) - 0, F(l,d) = d, cntonces F(.r, d) es continua cn ¡ y cn d ln¡a 0 5 ¡:! I y todo valorfinito d > 0,

l). Hallar constantes a y ó para las cuales

F(a, b) =Í"' {senn - (a* + be\J2 ilr

es un mrntmoJ

[ás condiciones necrsari¿s p¡ra un mínimo son ?FFa - 0, tF/eb = 0. H¡ciendo astas derivaciones. sctienc

¿F

¿F

De dondc

l'#,*"' - (cc'* ór))'rrz

.f"*,*", - (¿,t + ¿'¡)t'd,

= -,.f,"= - , Í ""

rr {s€n, - (or'+ ür}} d" = 0

r (sen, - (dr. + ó¡)) dc = O

! " .f."I ' f "

+ bJ6 x ' ¿t

+ ¡ J. ¡'d.r

5'4-

-¡- * -E- =

= | r ¡senrda

= | rsen."¿r

Dcspcjando ¿ y ó s€ cncuentaa quc

20 320"

= F-; : = _010005, ó = ?_i - r ,z¿zu¡

Se pueda demostrar que para cstos valores. F(a, á) es efcctivamente un m¡nimo aplicando las condicionessuficicntcs de la página ló4.

Sc dicc quc cl pofinomio o.r2 + üx es una orylirndción Nr mínimos da&ados de scn ¡ cn el intervllo]0. r[. ks ideas que aqui sc toca¡ son d€ g]an importancia cn muchas ramas de las metcr¡üitios y sus aplica-ciones.

176 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARC¡ALES [cAP. I

hoblein¡s pro¡rcstos

PI,ANO TANGEI{TE Y RECTA NONM.AI A UNA SUPERTTCIE

31. Haffar las ccu¿ciond dc (¿) cl plano tanSrote y (ó) l¡ r€cta norúa¡ a la supcrfcie I + y2 = 42 ¿n

(2,-{.6). &'t . In.,- ly-z = a, Otf = + = +,3a Si z = /(¡, rr), dcmost¡er que las ccuscioncs del plano tangc¡lte y de la no¡mal en €l punto P(¡0, /0, ¿o) son,

Q'' ff=tr==?33. Datt¡ostr¡r quc cl ¡ngulo agudo I a¡¡t¡! cl cjc z y la nofm¡l s l¡ supe.fcic f(¡, ). z) = 0 co u¡t ¡[nto cu¡lqüiera

cstá dado por w y = Jrt +fii7i4r,1.

3{ [¿ ccuación dc una suFrñcic cstá dadá en coordenad¡s cillndricas por f(p, ó, ¿] = 0, con ¡ continuamer¡te difcrcnci¡ble. DerÍostrar que l¿s €cuacioncs (¿) del plano tsnScnte y (á) de la normal cn €l punto P(po, ó0, zo) están

rcspectivamcnte,

(ol z - ¿o = Í. \ .(r- r ' l + ¡, | . tu-ul y

dad¡s! acspectiv¡mcr¡tc, por

A(t-'.1+ B(I-f 'ot + c(2- al = o

dondc ,. = po cot óo, ,o = po scn to y

¿ = Fr l ,cos+o - jF6l 'scno' , B= ¡'elnsenÉo + |rr¡,-"+",

c = F¡,

36. Mdiantc el P.oblcmr 34, hsll¿¡ ls ccuación dcl plano tantcntc a la suFrñcic m = pó cn el punto c¡ quc p = 2,ó: *i2. z: l. Par¡ comprobar la respucsta hág¡sc cl problcr¡a cn coordcoadas &cta4ula¡as.Sol. 2x - ty + zaz = 0

RF,CTA TANGE¡¡TE Y PIANO NORMA"L A UNA CTJNVA

36. H¡lla¡ I¡s ccuacioocs dc (a) la ¡ects ts¡g€ntc y (¿) el plaoo rormal a la curv¿ ¡latrcada ¡ - 6 sa¡ l, / = 4 cos 3¡,z = 2 *n 5t cn cl pu¡to cn qr¡a t = rd4.

^, . .x-c, , / i t+¡r l i z+JzSo¿ (¿l

-::-:

= :-+:- (ü) 8r-At -6. = 26{2.

37 L¡s suFrficics x+ ! +z=3y x'- yt +2¿ -2 * corian cn una curva alsbeada. H¿¡lar l¡s ecuacion€sd. (a) Ia Écia t¡ngrnte, (ó) del plano riofmal ¡ cst¡ curva alabeada en cl punto (1, I, l).

so¿ (a)= = f =t , Ql 3,-x-2. = o

ENVOLVENIES¡3t Hsll¡r la eovolvantc de las siguie cs familias de curvas dcl plano ¡y. Constaui¡ un grafp en cada c¿so

(al t=or-o ' , 1¿¡4a.r1- = 1.

So¡. (o) , '={r; (bl x*y = +l, r-! = rl

Hallar l¡ cnvolvc¡¡lr dc una familia dc Ect¡s que tiere¡l l¿ prop¡cdad da quc l¡ longítud del sEgmhto quc d€tcr-minsn lss intan€cciones coú los cjas x y / cs ura con8tantc ¿. Sol. x2tt + y2tt

- a2tt

Hallar l¡ crvolvcntc dc l¡ familia da cl¡rulos que tiend lus cant¡os ao l¡ parábols r, : ¡2 y pqsa! por su véfice.[Sug¿r€¡ci¿: Sce (c,ct] un punto dc l¡ p¡rábola.] Sol. ]: -ftlef + ll

H¡ll¿r la c¡volvcntc dc las ¡oam¿16 (llari¡da ewtu¿) 8 la pañ¡bola ¡ = |r' y construir m ¿.sfo.So¿ 8Cy - l)! = 27¡'

v +=+=+

3'

¡ll.

at.

CAP E] APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES

4¿ Hallaa le envolvcntc de l¡3 familias de suDcrfici€s:

(,,

(a\ a(x- ! l -a 'z = L, lb l ( , -dt+y'= 2ú.sot. (ot 42 = (r- l) t , (ó) y' = U +2r..

Dcmostr¡¡ quc la cnvolvcnte de la f¡milia de süperficies dc dos parámelros ¡(x, ),, z, a, ,) = 0, si cxiste. sc ob-tienc alimi¡rando d y /9 cn las ecu¡ciones F = 0. F. = 0, F, - 0.

Hal f ¡ r faenvofvcntcdelasfami l ¡a idedospanimetros(o)z=er+fy-a ' -p,y(blxcosd+ycosd+z cos y

- ¿, donde cos2 ¡ + cos2 l+cos22=ly¿esunaconstante.Sol. lal 4z = x2 + y2, (b) x7 + y2 + :2 = a'

&

t7'l

DERIVADAS DIRECCIONALES¡ftt (a) Haflar la deriv¡da di¡cccional dc U= ztf - ¿ c¡12, -1, l)cn una dirce¡ón h¡c¡a (3, l, -l). (ó)¿Enqué

direcció¡ es mAxima la dcrivada dircccional'l (.) ¿Cuál cs €l v¡lor de esc máximo?so¿ (¿) Io/3. lbl -2i + 4l - zl., (cl zuG

16. L¿ rcmpemtlra e¡ ur punto (x, )J dcl pl¡rio ¡/ está d¡da por f = lmx/(l + l). (a) H¡llar t¡ dÍiv¡d¡ dircc-cional en el punto (2, l) én una dirccción quc forma ángulo de 60o con cl .jc positivo dc las.r. (ó) ¿E¡ qu¿dirección a partir de (2. l) s€rá ñáxima la derivada? (.) ¿Cuál cs cl valor dc este máximo?Sot. lol l2.u6 - ó; (r) cr¡ uÍa d¡r..cc¡ón que forma ur¡ ¿ngulo d. r - rg- r 2 con el cjc po6irivo dc l¡¡ ¡, o .n

la dir€ccióri -l + 21. k) t2\fr

47. DemostÉr quc si F(p, d, :) cs continual¡eota difcret¡ciablc, la dcrivada dircocio¡al mÁxima dc F c¡ uo p¡nto

cualquierá estÁ dada por ^ I /¿FY r /aF\¡ /¿F\rV \¿, /

* ; r \¿r l * \o, /

DERWACION BAJO EL SIGNO TNTBCRÁL

{& si c(o) = {"".""¡" '*.n, 'r.#. .-

s,t. -t*,,*naea, -}"*l-#"*,,,t9, k¡J Si r(") =

I re-' I¿", ¡ul¡a. # por la regta de Leibn¡rz. (á) Comprob¿r et resuhado .n l¿l por

inlegr¿ción dirccta Srrl. (a) 2a tg-¡ a - + ln (di + f)

$. Dado J r 'do = J-, p>-r. Demosrrar cue.f" o,(tn,)^d, = ff f i , rnr=r,2,s,. . . .

sr. J.,no,r,o. qu" J'tn rr + " "o" ') a" = " *(t *

fT), r"r . t.

52" Demosrrar que J" tn it - z"

"o" " + "., ,' =

{;,t"'fii1. Discutir el caso ldl=r.

i3. Mosrrar que J"

-=1;,

= ,*-e"

|NTEGNAC¡ON &{JO EL S¡GNO INIECRAT

- t ( - ' \ ¡ . ( ¡ t \

i¡.. comprobarquc J, tJ, .'-t,o'1* = J, tJ, b'-',\dúldx

llt Particrdo dcl rcsultado J'"

f" - *n.l ar = 2;r, dc¡nos¡r¿r quc pera clalcsquira co¡rst¡ntca ¿ y á,

.f'" tta - ,.n "f

- (¿ - s€n ¡)'l d' = 2Áb' - atl

178

56, Mediunte el resultado

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES

d>l demoslrar que

lcAP. E

6t.

62.

6.

J-'(*i+*+),' = '"'"(3)' , ,

(¿) Mediante cl res"f"o" J"'t=*"", =

# 0 É c < 1 mostrar que par¡ 0=@<1, osü<l

1"".*""(H**#)d' = +{(co.-'¿)' - (co.-¡ó)'¡)

(¿tf Mostrar que -[ 't"""r,n,t

+ lcosx)tu = $.

MAXII{OS Y MINIMOS. MULTTPTICADORES DE IJIGRANGE

5t. Hallar 106 máximo6 y ¡rinimos de fl¡. ), :) = .r:y':3 sujetos a las condicioÍ¡es ¡ + t + : : 6, ¡ > O, )' > O,:>0. So¿ valor márimo = 108 en r= l , f =2, t -3

59. ¿Cuál as el vólumen dcl mtá¡imo paralelepiFdo r€ctángulo quc sc pucda iriscribir en cl clipsoidc .y,/9.+ /,/16+ zz 136 = t1 Sol. 64.,ñ

60. (¿) H¡lf¡r los valores máximo y mínimo de .r2 + 12 con la condición 3.yt + 4.r/ + 6y2 = t4O. (ó) Dar una in-Ierprct¡ción gcométr¡ca de los resultados anteriores. 5ol máximo = 70. mínimo = 20

Resolver cl Problema 23 mcdiante multiplicadores dc Lagratgp.

Demostrar qüc cn un irü¡gülo ,{rC hay un punto P tal quc t¡ + 7F + Fi¡ cs mi¡imo y que p es la ¡n¡e(-s€cción de las medianas.

la) Dcmo6rra¡ que cl máximo y el minimo & l6.yl: -t' +.ry +¡¡ m el cuadr¿do unidad 0=.yS I,0 5 / 5 I son I y 0 .cspccrivahente. (ó) ¿Pued€ obtcncrsc elrcsultado d€ (¿) igu¿lando a cero las derivadaE par-ciales dc /(-!, /) con rcspecro a ¡ y /? Explicar.

(¿) H¡ffar los cxtÍemos de ; sobre la superficie L\2 + 312 + zz - l2xy + 4xz = 3s..Sor. máximo = 5, minimo = -5

65' Demostrar cl método de los multipticadores dc Lagrante en el c¡so da que s€ quieran hallar los extremos deF(x,,. :) condicionados por 6(¡..I. :) = 0. ¡/(,t.y,:) = 0.

6ó. Demostrar quc la minima distancia del origen ¡ la curva de iDtersección dc las supcrficies x/? = ¿ y "y = á,r, con

¿ > o, á > o, cs tJi@i1yú.

6?. Haflar cl volumen dcl clipsoidc ll.y2 + 9Ir + l5:, - 4.y) + lO),: - 20xz - E0. Sot. O4x1trZ¡l

APLICACIONES Y ERRORES

6t. E¡ diámcrro dc un cilindro circul¿¡ r€cto cs 6,0 I 0,03 cm y su altur¡ es dc 4,0 I 0,02 cm seg¡n las medidas to-madas. ¿Cuál cs €l máximo (d) error absolulo y {á} error rclativo al calcular cl voluñcn?Sr¿ (¿) 1,70 cm!. {ó) l ,5i¡

69, Los l¿dos de ur trián8ulo según medidas son 12.0 y 15.0 p¡es y .l ángulo qu€ forman es de 60'. Si las lo¡8i¡udesse pueden medir con uns precisión del | 1,, y el ángulo con una pracisión d€l 2:,;, hallar los errores máximos ab-soluto y relativo al calcular (a) cl ár€a y {á) cl lado opücsto del ¡rián8ulo.so¿ (¿) 2,501 pies,,3,21,,4: (á) o.2t? pies. 2.08"n

PIOBLEI}IAS VAT¡OS

70. Si py Ó son coordenadas cilindr¡cas. ¿ y ¿ constantes positivas y,| un número natural, deDostrar que las si¡per-f iciesy's€n¡r0-aytcostl¿-ósonortogonslcs(pcrpendicularesentresi lalolargodesuscurvasdcinter-scccrón.

¡tt- ¡

¡<t

c^P.8l

73,

APLICACTONES DE LAS DERIVADAS PARCIALESt79

"' ,":'ilr'=H:;"::;:"¿:r:';i:iTi::i:J"loL,il:,ff.',-"t a ra srrper'cic 8,0ó - ,¡ren er punto en que

F#=;+,x+8r+Ca+D=Oes

lA(+Bb+Cc+Dll \lz;¡;;¡A I

(ó) Haflar fa minima distar¡cia de (t ,2, _l) at plaño 2r _ 3r+62_20.El Forenciar z d€bido a u¡¿ carg¿ distribuida es an coordenadas €sféricas

Sot. (a) ax - G'+ Atla + l4r _ ,,rz

(o) Demostr¿r quc la mínima dista¡ci¿r d€

= -",1i, t¿t 3- =

punto (a, á, c) al plano

y = ¿19!_!

Sot. (b) 6

b,0.0),

'n6stendo p u¡a constante, D€ñostEf que la má¡ima dcrivada direccioDa¡ es en todo punto

p\G;--+-'?;F;

?4 Dcmosrrar quc ( ' r ' -n r- - , - / r ,+f \Jo Ih¡ "_ _

' ," \r+T/ sr n¡>0, ?>0. ¿puedc gicncrarizarsc csle fesurtado ar caso,rr > _1, n> _1,!

75.

76.

El,il.il;1ff"? il ''nro;,;.i" t"o"J:j'1",,. ::,",Iárea de ra eripse ar, + bx, + c!2 =::::::l::l::'t"*:;,;;;"":riT;r:.T;:$":.::,;t,::?;,i"i.:,,i,es2.¡uQ_|?TXT lT i":tÍ;T,.T'l'f"J iSl:;i.::f.,:*.:T:y::terseccion.aennaa por x ,/o, + r,tb2+ :2/c2 = | y .r.' * ¡,; i C,l'ri",j illlll" ff1."#fl":;:":HT:L:,ffj:,:;

;r=F + F.:? + É:d¡7?. Demos(rar qu€ la últ¡.a."u""¡á ¿ei c'-dz

1:T:ler..a Tos¡antes r!a,"" ". "",* ,lilbj"rl"urliff# j:::"":":o:-Í" sotucrones reares df y dj para cua-fesqü¡era cons¡antes aa* ". ""i*

,ii, ,'""'o P¡q¡:qcnle lrcnc sieDpre dos soluciones reales d] y d! para cua_ef s¡gnificado geométrico. --_- -' "' L v cualesquGra const¡ntes r€al€s A, B, c llo tod". ;;lo;).' ;;c;

?r.: : ,1 Deñosrrarque/¡ = Í""@% = *,*-,

"u+¡ff¡¡,¡(ót Averiguar Iim ,|r, Eslo se puedc denolar por f- . d,

r.r e, ri.4.f'"*T = ¿,,s1"$,'"'*"tvr.

irl"l,"lg:f det paraboloidc z = -,2 + v2 que erá más próri¡no ar punto (3, -ó, 4).

Hi:t'i:'1fr,1'i1* v mí¡imoi de /(r, )J = (x2 - 2.t + 4v' - 8vf .m.

u. (a) Dcmosrrar *" J""--:s r-e- = ,?Éili _ ;+i(ó) con t¿) demosrra¡ (tue

f ",,:_Sgga:_ _ Br + 5 _ 8In 2n L,\ ú^n-- Jo t2cosr + señlF = _-_#

(a) Hallar corrdicione. .un"¡*i., *a olu, Esruomr 'l. -

y¿ r ).) + z2 _ (,.,. 'l::.:t,:. illl* rclarivos de ur = fE. t. zl.Í3i,".'.1**;l-;;l],:1 : r:-r,.., ;iii:",;,ryiffi ;:llHT i:"i.";

["":::'fi':'"1":#;,;:,á,oí*n"i{"i',]l^¡*,#'J,,Hii"#ilT;ulT'E;i +2Ddrr+2Edr+2Ff.,>oADDR

ADFDBEFEC

t2.

A>o, >0, ¡ o l

Considérese

Integrales múltiples

INTECNAI¡SI TX)D[.ES

Sea ¡(¡, y) definid¿ en una región cerrada ft del plano ¡/(Fig.9-l). Subdiüd¡se { en n subregiones AR¡ de árra A,{¡,k = 1,2,..., r. Sea ((",4.) ün punto cualquiera de

^qt¡. For-

maDdo ls suma

¡> F(¡.,?¡)aA¡ (t)

nm ár(f*,r¡)AÁ¡, (2)

tom¿ndo el límitc de modo que el nr¡mero ¡ de subdivisioncsaumentc indcñnidametrte y que la máxina dimensión lineal dec¿da AR¡ úenda a ce¡o. S¡ cste límitc cxisie se le denota por

afll F(r,v\ ¡lA (t)

.t,t

y s€ ll¿ma integrul doble deF(¡,/) sobre la regiónq.Pucde d€mostrars€ qu€ cl llmite existe si ¡(.x, /) es coritinua (o casicotrünua) en 9t.

INTBCN,AT¡S REITERADAS

Si qt es tal que toda paralela al ejc y encuenua el contor¡¡o de R en dos puntos a Io más (lo qucsc verifca en la Fig. 9-l), sc pueden escribir entonccs las ecuacioDes dc las curvas ,lC, y lDB, que limi-tan 9( como y : /¡l.jr\ y ), = ¿(¡), resp€ctivament€, siendo ,(x) y /r(x) uniformes y co¡tinuas eDa ! x ! b. En cste caso s. puedc calcular la doblc integral (3) tomando como rcgio¡cs AA¡ los rcc-tánguloE que sc forma¡r trazando una fcd de paralelas a los ejcs x y ¡, siendo M¡ las áreas correspoo-dientes. Eotonc€s (J) se puede escribir

f.h ,.tr<t,

l l F(r ,y)dxds = | | F(r ,y l r lsdrq e r- ."=t t<. t

/.b I ^t¿Gt

I= | 1 l F(r ,y\dylda

v ¡=. Lvy=r¡(¡) )

donde la integral entre llavcs s€ ha de calcular primero (mantenicndo ¡ constantc) para integrar ñnal-mcnte con respecto a x eÍÍe a y b, La fó¡mula (4) indica cómo se pucdc calcular una iotegral doble ex-presándola por do6 ü¡tegrales simples rcirerudos,

Capítulo 9

ns.$r

(¡)

180

cr.9l INTEGRALES MULT¡PLES tEl

(6)

Si R es tal que toda po¡alela al ejc x encuentra su contorno en dos puntos a lo más (como en IaEg.9-l),entonccssepuedenescribirlasecuacionesdelascurvasC,{DyCBDcoñox=grll lyx=grh)1,rrsp€€tivamcnte, y s€ encuentra de manefa parecida

^.r /.t\rr,

l l F@,u¡aray = 1 | F(x,üd' tdy" i

¿, : .v '=c ' ( | ,

¡d Í no,r"¡ I= | 1l F(r,s\ i txl i ts, y=c

[er=s,(¡) )

S cxiste la integral doble, (4) y (J) dan el mismo valo¡. (véas€, no obstante, €l P¡oblema 17.) Al escú-lú utra integral doble, pucde utilizars€ cualquicra de las formas (l) o (J), según cuÁl s€a la más ap¡o-¡iada. La una intercambio el otden de inlegración de la otra.

En caso dc quc { no es del tipo que !e v€ en la ñgu¡a anterio¡, s€ ¡a puede subdividi¡ en¡cocral co rcgiones Rr,9t¡, ...que s€an de es€ tipo, Entonces la integ¡al doble sobre { sc ercuen-Ea tomando la suma dc las inlegrales dobles sob¡e 9tt, 1", ..,.

NTBCNAI¡S TUPI.ES

Los resultados ante¡ior€s se generalizan fácilmentc a region$ c€r¡adas en t¡€s dime¡siones. Porcjli¡¡plo, considéres€ urla función F(x, y, zl deñ'¡id,a en una región cer¡ada tridimcnsional {. Subdi-viliendo la ¡egión en r subregiones de volume¡ AV¡, k : 1,2, . .., ¡, sca (6¡, 4¡, (¡) u¡ punto cual.quiera en cada subrsgión. Si se fo¡ma cntonces

.rm *> f'(t&, r", ¿*) AY. (0)

donde cl número t' de suMivisiories tiende a infinito, de modo que la máxima dimcnsión linsal de cadaobregión ticnda a cero, est€ límite, si existe, s€ denota por

))) r@,s,zld.v (r)q

y *llama integal triple de F(.r, y, z) sobre { , El llmitc cxiste si 'F(¡, /, z) Gn cotrtinua (o casico¡tinua) en t .Si se construye una red con planos paralclos a los planos x¡ , yz, xz, la rcgjór¡ f qucda subdividi-

da cn subregiones quc so! ahora paralelepípedos rectángulos. En i¿l caso sc puede cxprcsar la intcgraltriple sobre R dada por (7) como htegrul rcileroda de lL tofma

f" f"" f'"''"' F1r,1¡,"¡aedad.z = f' If'"' { f""'" r6,y,"¡arlay]a, p¡e t=.¿y=trr t rv.=l t ( r ,yt v ¡- .L"=r¡(" [vr=t¡(r , r , . l J

(dcbiéndos€ calcula¡ primero la i¡tegral intcrior) o como suma dc iDtegfalcs s€mejantes. La integraciónpucde hacerse también en cualquie¡ otro orden para obtener un resultado equivalente.

Soo posibles también generalizaciones a un mayor nrlmero dc dimensiones,

TIANSF1ORMACIONES DE INIIGNALES MULTIPLFS

Al c¿lcul¿r una integral mrtltipls sobre una región 9(, es con frecuencia más cómodo emplear coor-denadas disüntas a las cartcsianas ¡€ctangularts, como, por cjemplo, las coordeoadas curvillneas con-sidcradas e¡ los Capítulos 6 y 7.

182 INTEGRALES MULTIPLES lcAP. e

Si (rr, ,) son coordenadas curvilíneas de puntos de un plafio habrá unas ecüaciores de tB¡¡sfolna-ció¡ x : f(u, u), y = gfu, t)l que translbrman los puntos (x, y) del plano x/ en los puntos (¡.¿, u) delplano ,0. Entonces la regiónt del plano,ry se ransforma en la región 9('del plano ¡¡0. Se tiene asi:

lJ r¡a,y¡arau = !J'ea,olffila"a,rt

G(u,ol = Flf (u,o'), s(u,1')\ Y

(e)

donde

a\a'a! =A(u,1t)

(¡0)

es el jacobiano de x y / con ¡especto a ¡¡ y u (Capitulo 6).Análogamente, si z, u, ro son coordenadas curvilineas €f¡ tres dimeosiones habrá unas ecuacio¡es

de transformació¡ x = f(u, D, u), y : g(u, a, wl, z = h(u, v, w) y se puede escribir

dr 3adu d!au du¡11¿ tt7,

Ae Ax AiAu Ao AroAU Ay aUAu Aa aw¿E Az AzA1t Aa Aw

(111

(b)

lft 16,,,"¡a,a,o" = jÍ[ c@,',.\l##:#laua,a"odonde G(u,tt,wl = F(l(u,o,wl, g(u,1),to\, h(u,o,w\) y

es el jacobiano de x, y y z coo rcspecto a u, ú y w,Las fórmulas (9) y (,f.¡ ) corresponden al cambio de variables en i¡¡t€grales dobles y triples.Se gen€raliza fácilment€ a mayor oúmero de dimensio¡es.

Problemas r€$¡eltur

INTEGRALES DOBLES

f. (¿) Dibujar la región { del plano -t¡ l imitada po¡ y = x2, x:2, v = l.

(ól Da¡ una inrerprelación rrrico u !! \r'+ u2ldrd.a.Í.

(c) Calcular la integral doble €n (ó).

t¿ región 9t es la sombreada en la Figure 9-2.Como .x2 + /2 es cl cuadrado de la distanci¡ dc un punto (r, /) al (0,0), sa puedc corNidcrar la integral do-b¡e como el momento d¿ inercía respecio al onge[ de la rcgión t (suponiendo qua la dcnsidad sca umr

se puede considerar tamb¡én la in¡egral doble como la m¿r¿ d€ la rcgión 9t suponicndo que ls dcE-dad vaíe con r '?+ ¡t .

cAP 9l INTEGRALES MULTIPLES

Ayuda p¡ra establecer esta itrteg¡al obscrvar que z d/ dr correspoode al volumcn de una columna como laquc sÉ vc destac¡d¡ cn la ngura. Manteniendo ¡ constanlc c integrando con ¡€specto á / dcsde ), = 0 ay = $:7 .quitrle a sumar los volúmenes dc todas esas columnas ¡rara rrunirlos en una reb6nada paralclaal plano /2, con lo quc sc ticnc así el volumcn dc csa rebanada. Por último, integ¡ando con ¡espcctb a ¡ dc ¡ : 0a ¡ : ¿ se hacr l¡ adición dc los voh¡mcnes de todas las rcbanadas somejantas de la región, con lo que s€ ti€neasí el volumer¡ buscado.

183

Fi&g., Fis.g.l

(c) Méiodo li La integral doblc sc puade €xprcsar por la inleg¡¡l reilcrada

a .¿ ^.

( ,-r I /* .,¡tr') | t ,+v ' t¿v¿, = | 1f t r '+v ' tdvldz = | " 'y + { l ax

, ,=r rv!=r ü 1, . ,

_ C, / . z. r \ . 1006

r¡_, \ , '+3 -¡ '

l )ar - - - -

La integ¡ación con rcspcclo. a / (manteniendo x conslante) da, = I a, = ¡2 corresponde e üna sumácncolummvefical(vé¡s€Fig.9-2).LaintcS¡"¿ciónqucsigueconr.spcctoa¡de¡-I¿r:2,coúca.ponde a la adición de todas csas column¡s verticalcs cntre x = I y ¡ - 2.

Mérodo 2: I¿ integral doblc se pucde también cxpr€ssr por le intcS¡al rcitcrada

f.,f-,r'**n"* = f,-,{f..",td+t,d'}dv = Í,-,* * *1:,.=-,= ((1*r¡-*- , - )au = rooo

J,. , \3 - 3 - / ' 106

E¡l cste caso la coluhna vclic¡l dc la rcSión 9t en la Fig. 9-2 se cambia por una faja horizont¿l comoen lá Fig.9-3. Ento¡c€s la intaS¡ecióri con rcspecto á ¡ (manteniendo / const¡nte) dc ¡ =\15 a x - 2a-r¡csporidc a la surra en cstas fajas horizoútalcs La iÍtegración quc viene en scguida con r€sFcto ¿ / dcsdc,= I hasta /- 4 co¡rcsponde a la adición de tales fajas horizontalcs entta y=1y y=4.

¿ Hallar cl volumen de la región comrln a los cilind¡os x2 ! y2 = az y x2 + z2 : a2,

Volumcn büscedo: 8 veces el volumen dc la región e¡ la Figura 9-

¡n nffi= tJ.- .J,- . zdvda

,{ ^'ñ=n= 8l | '/ l=7 av a"

ln i e-t= 8J.." G'-")d ' = r i

t82 INTECRALES MULTIPLES [cAP. 9

Si (a, u) rcn coordenadas curvillne{s dc pu¡tos de un plano hab¡á unrs ccuaciooes de transforma-ei6a ¡ = f(u, ol, y = g(u, ol quc transforman los puntos (x, y) dcl plano ¡/ cn los pultos (¡¿, u) delplano ,u. Entonces la región <( del plano ¡/ se transforma en la rcgión fl'dcl plano ¡u. Se tiene asf:

f f

)) F(r,Y\dxdY =a

donde G(u,a) = Flf@,a), s(u,!')\ Y

(e)

a@,vl _ñÁ-

du AiluÑau ev&u ¿n

A, di 0ratÑdw?vaaAL Ao dp¿z Az AzA1t to Aut

es el jacobiano de x y.y con rcspocto a n y u (Capítulo 6).Aoálogamerrle, si u, u, o son coo¡dcnadas curvilineas en t¡es dimensiones hab¡á unas ecuaciones

de tfansformación ¡: f(u, o, wl, y = g(u,u,wl, z = h(u, a, wl y se puede escribir

[!f rp,,,"¡a,a'u" = $! c@,u,w\lWffilaua,a",ta,

donde G(u,a,ul = Flf(u,o,u:), g(u,u,wJ, h(u,o,w)j y

a@'v,z) -@nñ -

Lá rcgión t es la somb¡c¡d¡ cn la Figura 9-2.Como ¡2 + f es cl cuadrsdo dc la dist¿ncia dc un punto (¡,,) .l (0, O), sc pucdc considcr¿¡ la iDle8r¡t dclJL cof'¡o d monaúo ale ¿ra¡a¡a r!3pccto al origer de la agión { (suponiando qüG la dc¡sidad sca uoo}

Sc pücdc corsidcrar t¿mb¡én l¡ i¡ragaal doble como la ,¡¿¡¿ dc l¡ rcgióo a q¡po¡lic¡do quc l¡ dc8;dad varle con .r¡ + ¡¡.

(111

es cl jacobiano de x, y y z con r€sp€cto a u, D y u.Las fó¡mulas (9) y (,1,¡) co¡responden al cambio de va¡iablcs en integralcs dobles y triples.Se generaliz¿ fácilmentc a mayor nrlmero de dimensiones.

hoblem¡s reselúos

INTBCNAI.DS IX)ADS

l, (¿) Dibujar la región gt dcl plano .ry limitada po¡ y = x2, x = 2, y = l,

(á) Dar una inrerpretación flsica a JJ @2 + y2\ d, du.a

(c) Calcu¡ar la integral doble €n (ó).

l¿){ó)

tl ew,,tlff!,nla"a,

cAP. 9l INTEGRALES MULTIPLES

f¡8.9-, Fi8.9.l

Méüdo t: La intcgral doble se pucde expresar por la integral .eiterada

183

(.)

' ' / . . i ' 1\ . 1006= J.=,(" +T-, ' - i)d¡ = ff i

La int€gración con respccto a/ (manteniendo.x constarite) dc / = I ay = xr "oar"a*nda

a una sumaencolumnavefical(veascFiB.9-2).Laintegraciónqüesigueconrc'sfrcctoa¡dc¡- la¡=2,co¡¡es-ponde a la adición de todas esas columnas verticales entre ¡: I y r = 2.

Mffodo 2: La inrcgral dobL se püede también exprcsar por la integral reitcrada

Í-,t=,o'*n o"* = t_,{f.,",{",+vta,}av = f,=,+ * *'1i,.-,ou= f (p+zo'-{-,", \¿u = !! !s.

J,. , \3 - 3 ' / ' 106

Eo este caso la columra vertic¡l de la región t en la Fig. 9-2 se c¡mbia por u¡la faja horizor¡tal comoen la Fig. 9-3. Entonccs la integ¡ación con respecto a x (mant€niendo / constantc) de ¡ = ufi a x - 2 co-r.esponde a la su¡ná €n estas fajas horizontales. La integ¡ación quc ücn€ e¡¡ seSuida con respecto a / dcsd€.y=!hasta,y:4correspondealaadic ióndetelesfajashor izontalcsentre/=ly) ,=4.

2. Halla¡ ef volumcn de la región comrifi a los cilind¡os ¡2 * yt : a' y x2 + z2 = a2,

Voluñen buscado= 8 vec€s el volumen de la región cn la Figura 9'

/' ^'/;t== ,J.=,J,-" .dada

¡ ^6=V= ,J._"J,_" .'/F:7av¿,

= ef " t"'-"'ra" = $

Ayuda pam cstableccr esta integral observar que z d¡ dr corresponde al volu¡ne¡ de una columná coDo laqueseved€stacadaenlañgura.Manteniendo¡constanteeintegrandoconrespectoa/desde/=0ay

- uE -7

eqúvale a sumar los volúmenes d€ todas esas columoas para rcunirlos en uoa rebanad¿ paralelaal plano ),2, con lo que sr ticne asi el volumen dc esa retrar¡ada. Por último, ir¡tegra¡do con rcspectb a ¡ de x = 0a ¡ = a se hace Ia adición de los volúmcnes de todas las rebanadas s€mejant€s de la región, con lo que se tie¡easi cl vo¡umen buscado.

184

3.

INTEGRALES MULTIPLES

Hallar el volumen de la región limitada por

z = t + lJ, 2=6, a=O, U =0, 2=0volum€n buscado = volumcn de la rcgión de la FiSu¡a 9-5

= l . - , Í , " ' " -o+aldyd,

= f,-,tu-,tr- +dl:=,*

= J' .+te - 'l'a,

= eo

[cAP. e

nt 9.5

En cstc c¿so, cl volumd¡ dc ur¡a colüo¡a tlÉc¡ oortro ld qüc !c dcatac¡ cr l¡ igura corrspoodc a {6 -(¡ - /)) d) d¡. Los ltni¡.s de inteSrsció¡ sc obticncí ürto¡ccs intcg¡aÍdo sobrc 18 ¡cgión t dc ls ñgura. Coo ¡co¡sta¡Ecintcgmndocon¡espectoa/dcy=0a¡=ó-r lquaraobt ieDcndez-6yz=x+))sesuñatrtodas l¿! co¡umn¿s dc uoa rÉb¡¡ada par¡Lla al plaoo /r. Por último, iúÉgra¡do co¡ rrspacto a ¡ dr ¡ = 0ax = 6sc haca I¡ adición dc los vollimcncs dc las reban¡da¡ y ¡sí ¡rs¡lt¡ al volumc¡ burc¡do.

TNANSÚ'ONMACION DE INTEGNALES DOBLES

4. Justifica¡ la ecuación (9), pagtoa lE2, para cl cam-bio de variables cn una integral doble.

Eú coorder¡das c¿rtcsiatras, la i¡tcgr¿l dobla dc¡(¡,r) rob¡c la rcgión { (sombr.sd¿ cn la Fig, 9l) 6

| | Flr,y'tdtd!. Sc pu€dc c¡lcular taúbién .sta i¡tcg¿lJJadoblc considcraDdo una rcd form¡da por u¡a f¡milia dccurvas coo¡dcn¡das curvilíncas r y u oonstruidas sobtt l¡región lt como s€ vc cn la figura.

Sc¡ P un pu¡to da coorder¡adas (¡, r) o (¡¡, ,), sicodox= l fu,Dly / =g(¡¡ , r ) . Er¡ toncrs c l vccto¡rdcO¡P6 t - xl + )i - f@, o[ + S(r, o)¡. l,o3 vectorcs tr!8.o-tes ¡ fas cufv¡s coordcr¡¿das ¡¡ - cl y D : cr, @n cr y c2constant€¡, son ,r/ro y Ar/¿r resp€ctiv¡¡nar¡te. Luego cl árcade la r.giór Aft cn la Fig. 9-6 üc¡c dada ¿proximada-

,'*t no, lfi x j|la"a".Pcro rJ

aE Ay0u ¿t

¿r-dr _

asi qua lár ¿r lla;

x ¡tlau al' = -{94lou ou

La i¡tlgral doblc cs cl ümitc dc la suea

k

0

d,Ai¿

ñ

ár lñ1.dvl¿; l

I

W,"! r9¿o

lf !r,*,r' o,*.rrl##1..sieDdo t' la región del plano ¡D en l¡ cual !e trar¡doma lo rcgión 9t por la tmnsfofm.ción ¡ = /(¡ , t)1, y : g(u, ol

Ot¡o método pára justificar el cambio dc variablcs aoterior es cl quc utiliza lss intcSral€s qrrvillnc¡s y el t o-rcm¿ dc Grccn e¡ cl pl.no (v€¿se Capitulo 10, Problcma 32).

> r{/{t, t), c{2, r,)} lffilau atrtomada sobrc toda la ¡agión R. Este ¡lñite ¡esulta sar

CAP.9] INTEGRALES MULTIPLES

L Si a = *-1t2 y v=2t!1, hallar é\r,al/a(u,o) en términos de r y r.

a(u,, , ) = lu." , l - lzr -zyl - " , . .áct) - I ,. "; |

= lz, z" |

= 4(¡r+v')

D€ fa ide¡tid¿d (ú'+ un)" = (r¿ - at)' + (2ry)! se riene

(¡¡ + yr) ' = u!.r- 1, ' y f ;r + a' = lnlT

Enlonccs. por el P¡oblema 45. Capítulo 6.

Oúo némdo: DesÉjcnse ¡ y, en función de¡t y Ú en las ccuacioocs dadas y avcrigiies€ dir€ctámen& al ja-cobiano,

Hallarel momento frolar de inercia de Ia región del plano ,rJ, limitada por.t2 - f2 = I,xt - y2 = 9,xy = 2, xy : 4 suponiendo la densidad unitaria.

Fig.9-7

Por la transformación ,' - y' - ,,2¡l - r, ta rce¡ón 9t del plano .r/ lsoñbreada cn la Fig. 9-7(a)] se

t.ansforma en la región t' del plano ¡¡¡r [sombreada cn ta Fig. 9-7(r)]. Lücgo,

Momcnro Dolar dc inercia - f ( u,*na,¿, = ,f.f a'* tllffila"n,' J . /

t t ''" t";":"- dttdl¿ 1 fr f'= l l vrru - : = -r I a '¿d, = E., , . , 4{¡ ' * l ' 4 J"=,J,_,

utilizando los resultados dal Problema 5.

Nótesa q¡¡e los llmiter de int€g¡¡ción pare la regiór tt' se pücdcn construir dircctamcntc a patir de la ac-gión R del plano ¡y sin construir efcctivamente la región t'. En es€ csso sa d¡p¡es utla r€d como en cl Prob¡e-ma 4. l¿s coordcnad¿s (¡¡, o) son coordenadas curvilincas, que en este caso son las llamadas coodeudos h¡peúó-

f f -Calcular JJ \/a|+azdnda, siendo 9( la región dcl plano ry limitada por x2 + y2 = 4 yt

x2+yt=9.

Laprcsenciade.r' l+/¡sugicreelemplaodecoordenedaspo¡ares(p.O,,"onr=pcosó,/-ps€nO(Pro-blcma 38, C¿pltulo 6). Po¡ csta transformsción la región ft [Fig. 9-8(a)] s€ trensforma €n Ia rcgión R' [Fig.9-8(ó)].

185

7.

l8ó INTECRALES MULTTPLES [cAP. 9

(c)

pu".ro que #41 = ,,o\o,ct

FL.9-8

sr siguc que

(ü)

lJ,/;wo"o, = $t"*lWfilaoa

= lf o.oanao

= f"="!).r"", = "r;="$1." = f="ii" = YTambien se pucden cscribir cn scguida los limites de intcgración para 3'obseriando la rcgión 9t, pues pa¡¿

Oñjo,p'ta' t i^dep-2ap=3dcntrodclscctordibujadocontrazoscolaFig.9-8(¿). Intcgra¡do eñtooces coD¡€sp€cto a Ó desde ó = 0 ¡ Ó - 2r¡ s€ ticnen todos los s¿ctores sumados. GeométricaDente p dpdÓ reqe*nt^el árca ¿,{ como se ve en la Figura 9-8(a).

8. Halla¡ el á¡ea dc la región del plano xy ence-rrada por la lemniscata p2 = a2 cos 2ó.

La curva está diÍcctamente dada cn coordcnadaspolares (p, 0). Dando dilercntcs v¡lorcs a ó y hallandolos correspondientos valo¡es dc p sa obticne al grofo dcIa Fig. 9-9. El á¡ea busc¡da (haciendo uso de la sime-trial es

^"^ ^,Jan'ú ^r4 ..$or\6

¿l I pdpdo = ¿l * l doJ6-o.ro-o ¿o-o. lo¿¡

"""" -..-,=",/ñ4

tht= z I a' coszú do = d'sen zcl = a'

JO-o lo- t

INTEGNAI,ES TRIPLES

9. (c) Dibujar la región tridim€Nional R limitada po¡x+y +z= a (a>01, ¡= 0, l ,= 0, ?=0.(ó) Dar una interpretación fisica d€

f?f

J)J @" + u" + 2'') dr da d.t

(c) Calcula¡ la intcgral triple en (ó).

(¿) tá rcgión t cs |a dc la Fig. 9-10. Fi&$10

(ó) Como ¡: + I + I es cl ci¡¡dr¡do dc la dista¡ci. dc un punto qralquicra (¡, J¡, z) al (O O 0), sc pucdc e

(¡P. el TNTECRALES MULTIPLES

sid€ra. fa integ¡al triplc como el moñento ¿? in¿¡¿id con respecto al ori8en de la región t (suponiendo lade¡sidad unitaria).

También puede considerars€ la inlegral triple como la m¿rr de la rcgión si la densidad vaÍla comox1 +f + 22.

(c) La i¡tegral triple se puede exp¡esar por la integral reiterada

187

= f-,J,_"'* * o," * ll".'"'ooo"

f-"f:="'1"r"-, -,,a + @-r,u'- v'*@-;d\aoo,

f -"*r-ru -f;- ¡t" -au" -t -"-t;;^'1,='"*

= Í" '{n"-"r '-, '(a: ' \ ' 1(o:¡f - '#*9#}",_ ¡" [, ' t"- ¡ ' , (c - ¡). l , . _ a,- J" l - , ' a l "

= n

Lainteg¡aciónconrespectoaz(dejaúdo¡y/constartcs)dez=0az=a-x- lcorrespond€¡la sum¡ de ¡os rúotr¡entos polar€o de iDe¡cia (o masas) de cada cübo de um column¡ v€rtical. La integ¡a-ciónsiguienterespectoa/der,=Oay:a-a(r iar¡teDicndoahom¡consla¡telcor¡Ésponde¿laadi-ción de todas las column¿s vcrticsles conte¡idas er¡ u¡¡ rebenada paralcl¡ al plano lz. Por último, la inte-gmciónconrespcctoa¡de¡-0a¡-aesl¿adicióndetod¡sla!rebanadaspa¡alelasalplanolz.

Si bien la integració¡ anterior s€ ha r€álizado €o cl ordetr z,r, ¡ es posib¡a evide cmeüe cualqüic¡ouo orden y el resultado final seúa el Disrho.

10, Hallar (a) €l volumetr y (r) el centro de masa de ta región t limitada por el cilindro parabólicoz:4- ly losplanos¡=0,/=0,y=6,2=0suponiendoladensidadconstanteeigualao.

Í."1,.=,' Í..,-' "

. lt + z', dz ds dx

La r€gióD qR s€ ve en la Fig. 9-ll.

(d) volum€n buscado = l l l ) - ) - ) -JJJ - ' " ' *

=l l

= 1.,¡"'="J.-""*,"*(4 - *') da dE

= | tr '-z\ul d,

= f"_, rzr-er')ax = sz

/n ,t ^t-¡¡(ó) Masa tolal = I I I o d¿ dy tlx = 32d por ¡a parte (¿), puesto qr¡c r cs const.üte. Lucgo

r ,=oJ r=o J.-6

J.=,J",,J... ""0'0,o.Mase totqt

-24o_392o I

- Momento totál rcspeclo al plano t';Mase total

188 INTEGRALES MULTIPLES [cAP. 9

- Momeoto total respeclo al plano rz/ = ---M"."

tolul -

- Momento total respecto al Plano x),

" =

M"r"].rl.tt' ). ^

oz az au ax_ 256dtÉ

32o

96o

I6Masa tolal

Las coordenadas del centro de masa son. pues, 1314,3,8/5).

obúrvese que el valor de i podrla haberse p.evisto por la simetria.

TRANSFORMACION DE INTEGRALES TRIPLES

ll. Justiñcar l¿ ecuación (.¡?), página 182, para el cambio de variables en un¿ integral triple.

Fis.9.12

Por analogia coo el Problema 4, se construye una red de süperficies coordenadas curvilíneas que subdivi(kla región t en subregiones, de las cuales una tipica es la df( en la Figura 9-12.

El vector r del origen O al punto P es

,' = ,:i + ai + zk = f\¡',r, u))i + s(11,1.), ll,)j -t- ¡(ü, ?, r,)k

li las ecuaciones de transformación son x - ^¡¡,

u, ür), y: g(u, D, ü) y z = hlu,a,ú).Vectores tangentes a las curvas coordenadas intersección de cada dos sup€rfrcies coordenadas se obtienet

con Atldu, A¡IAL,, ¿rldw. Lüego el volumen de la región dt de la Fig. 9-12 viene dado aproximadamente por

l#'#' *ql --^* = la,t44la" ^, t*

La integral triple de Flx. y, z) sobre la región es el límite de la suma

> r(/(,,, ¡,, ¡¿), sr,., ¡,, ¡¿), J¡(/. ¡,. ¡f ) i | :.r/ v'' l I r, r? r.,,ld(¿r, , , n ' t I

Este límite resulta ser

![ l, ua,,,.t, a",,, "o, na,,, *n lffiSla" a, a*

donde R' es la región del espacio ruu en que se transforma la rcgión R mediante la transfo¡mación dada.Otro r,étodo para justifrcar el cambio de variables anterior en las integ¡ales triples. apela al teorema d.

Stokes (véase Problema 84, Capitulo l0).

c¡P. 9l INTEGRALES MULTIPLES 189

a f 'al¿ Expresar

))) F$,U,2\drd¡rdz en coordenadas (a) cil indricas y (ó) esféricas.

t

(a) Las ecuaciones de transformación en ci l indricas son x:p cos ó. y: p seí Q,z-2.Como en el Problema 39, Capitulo 6. AQ, y, z)/dlp, ó. zJ : p. Enronces, por el problema n, la intc_

gral triple se conüertc en la

J.)J Gtr. ó,zt e dp,trdz

donde9t 'esiaregióndelespaciop,ó,zcorrespondienteataRydondeG(p,ó,4=F(pcosó.pe e,z) .

{ó) Las ecuaciones de transformació¡ en coordenadas esféricas son ¡ : ¡ sen d cos ó, / : r sen 0 sen {, z :r cos d,

Pof ef Problema 103, Capítülo 6, AG,y, z)/o(i,0,01 = r2 s€n 0. Luego, por el p¡obleña ll, la inregraltriple se vuelve

J.fI n,,.'.,, rlse^ a ¿, do ¿e

donde 9t' es la región del espacio ¡, 0, ó correspondiente a la 9t y dond€ ¡/(f, d, ó) = F(¡ sen B cos ó,¡ sen 0 sen ó, ¡ cos d).

13. Hallar el volumen de la región encima del plano x), limitada por el paraboloide z: x2 + y2 yel ciliridro x2 + y2 : a2.

El volumen se halla de la mar¡era más sencil¡a encoordenadas cilindricas, en las que las ecuaciones del pa-raboloide y del cilindro son, resp€ctivamente, z: p2 yp = ¿. De modo que

Volumen pedido= 4 veces volumen indicado en la Fig. 9-13.

- 4 l | | oa"ara6

- 4l I p" do,ro

Fis.9-lglai¡te$ació[conrespectoar(manteniendopyóconstantes)dez=0az=p2correspr¡ndealasuma-

ción de los prismas ¿t/ cn una columna venical que va del plano t, hasta el paraboloide. La integ¡ación que üe-neeosr:guidaconrcsp€ctop(manteniendoóconstante)dep:0ap:a"o.r" .*nd"" laadic ióndelosvo-lúmenes de todas las columnas de la c¡rña s€ñalada en Ia figura. Por tilfño, Ia integración con respccto ¿ ó co-[esponde a Ia adición de los vohimenes de todas esas cuñas.

La integración también se puede realiz¿r en otro orden para llega¡ al mismo resultado.Tambien se puede establecer la integral determinando la región 9t' en el espacio p, d, z en que se transforma

t por la transformación a coordenadas cilindricas.

(¿) Hallar el momento de inefcia con respecto al eje z de la región del Problema 13, suponieodoque la densidad es la constante o. (ó) Hallar el ¡adio de giro.

(¿) El momento de inercia respecto del eje z es

,. = ' J:.'"f,."Í.f oo,.

.oiLzctcdó

14.

= *1,_"!,-",'+r, = *l:.',t],=!, = +

188 INTEGRALES MULTIPLES

- Momenro roraf resp€cro at plano¡z ), .".1",), . , *o'o'u.

- 96d -t = ......_.. f"f"," a,¡ M"* t.l"l

- s% -

[cAP. e

- Momento total respecto al Plano -rl

- Masa total

266016- 32o

Las coordenadas del centro dc masa so¡, pues, (314.3,815).

Obs€rvese que el valor de i pod¡ia haberse previsto po¡ la simetrl¿.

TNANSF1ORMACION DE INTEGMLES TRIPLF.S

l¡. Justiñc¡¡ la ecüació¡ (,11), página 182, para el cambio de variables en una integral triple.

¡i8.9.12

Por analogia con el Prob¡cma 4, sc construye una red dc supcrficies coo¡denadas curvilíneas quc suMivi&la rcgión 9t en subrcgiones, dc las cuales una tipica es la

^R en la Figu¡a 9-12.

El vcctor ¡ del orige¡ O al punto P es

" = r i+yi+zk = l lu,1' ,u\ i + s(11,1,,r,)¡ - f i (¡¡, l , ,n)k

!i hs ccuaciones de transformación son ¡ = /1r, r, 'r), v=glu,ü,w)y z: hlu,t),w).

VactorEs tange¡¡les a la! cufvas coorderadas inters€cción de cada dos superficies coordenadas se obtieÉcon A.lAu, hftt, etlów, Ltego el volumen de la región

^R de la F¡g. 9-12 viene dado ¿proxim¿d¿mente p..

r¿! ¿r á!, ú) ^u

lg¡.v.4.1aü au Arul¿"

' á, ^ ár l " , . ' t , r r ,u, wt l

L¿ integral triple de F(¡, ),, z) sobrc l¡ r€gióD es el ¡ímite dc l. suma

> Fltht,v, l .ct, e(¡r, r , , r ,) , i (r , u, nJ I l3 ' ,?'4 lsr, .ro r ' ,t(,{¡r,1r, ü! |

Estc limite r€sulta ser

?? ?

J I J n n,,,. *t,,(,¡,,,, ¡¿]. ¡{!,",, r) } l¿H+* | ri¡¿.r,,.r,"<R'

dondc t' es Ia región del esp¡cio aD¡1 en que s€ transforma la regió¡ ft mediante Ia transformación dada.Otro método para justificar el cañbio de variables antcrior cn las inteSrales triples. apela al teoren¡¡ ü

Stokca (véase Problema 84, Capltulo lO).

_8| | ] ozdzrtyt t t

Mav" tolal

crt 9l INTECRALES MULTIPLES 189

???lL Expresar )J) f@,U,zldtdydz en coorde¡¡adas (d) cilíndric¿s y (á) esféricas.

.¡.

(a) [ás ecuaciones de transformación en cilindricas son r=p cos O. y= p sen 0, z-2.Como en cl Problema 39, Capitnlo 6, A$, r, zrlA@, Q. z) = p. Entonces, por cl Problema I I, la inte-

gral tripl€ se convi€rte en la

))) cto, o,zt o ao a+ az

dondct'cs l¡ rcgión del €spacio p,0, z c¡rrespondicnte s bA y donde Clp,O,z) = F\p ccJs 0, psr'n O,zl.

(á) l,as ecuaciones de transformación e.ft coordenadas esféricas soo x - tsen0cosó,r: r sen 0 sen f, z =¡ cos 0.

Por el Problema 103, Capítulo 6, ¿(.x, /, zl/Alr,0, Q) - I sen 0. Luego, por el Problcrha 11, la integraltnpl€ s€ vuelve

(f ( uo' t ,* , r*r th ' t r

de ¿' tJ. ' JÍ.

donde t' cs la rcgión del espacio r, 0, O correspondientc a Ia tt y donde Hlr,o, Q) = f(¡' sen d cos 0,r sen 0 sen d, r cos 0).

tI Hallar el volumen de la región encima del plano x¡ limitada por el paraboloide z = f + y" y

el cili¡dro x2 + yz = a2.

E¡ volu¡¡ren s€ hál¡a de la manera más sencill¿ encoordcnladas cilinddcqs, cn las que las ecuaciones dcl pa-raboloide y del citi¡dro son, r€spectivamcnte, z = p2 yp : a. De modo que

Volum€n pedido

- 4 vcces volumen indicado en la Fig. 9-13,

r f"""f "e"oaonf" ' '11 ar =

= 4l I l 'ea 'aeao

Fi8.9.13

I¡ i¡ tcg¡¡ciónconrespccto¡z(mantct¡ i€ndopyóconstantes)dez=0az-p2concspondcalasuma_ció¡ dc los prismas dtl en una columna verücal que va del plano ry hasts el paraboloide. L¡ integración que üc-¡a en seguida con respecto p (ña enicndo Ó constante) de p = 0 a p = a correspo¡¡de ¡ la ¿dición de los vo_lúmeoes de todas las columuas de la cuña scñal¡da eo la figura. Por último, la intsgfació¡ c,on respccto € Ó co-rresponde a la ¡dición dc los volúmen€s d€ todas es¡s cuñas.

l,a integr¿ción tar¡biéú sc puedc re¿liza¡ eri otro orden p¿¡a llegar al ftr¡mo resultado.También se pued€ establecer la integ¡al determina¡do Ia región ft' en cl espscio p, d, z en que s€ transformo

9t por la transformación a coordenadas cilindricas.

K (¿) Hallar el momento de inercia con respecto al €je z de la región del P¡oblema 13, suponiendoque la densidad es la aonstante o. (ó) Hallar el radio de giro.

(¿) El momento de inercia respecto d€l cje r €s

,. = ^ !:_""f"=.1.*nt.oo,I"dcd$

= *!:."!:=,r,,,, = *l:.',*l!, = +

190 INTEGRALES MULTIPLES [CAP.9

Estc ¡€sultado se puedc c¡prcs¡rr por la masa M d€ la regió4 pucs por el Problerria 13,

/u-vofumenxdensidad = ic ' " asi oue L=+=4'#=?"*

Obúrvese que al plantcsr la integral para /, rc pucda considenr op dz dp d0 c¡,rno la masa dcl clc-mento dc volumen, p2 . op dz dp dQ como el ñomento de inercia de esta masa con rcsp€cto al eje z y

) J J e' ' 'e dz de dó como el momento de inercia total con respecto al eje z. Los llmites de i¡lcSraciótr

n

se dct€rminan corno en el Problcma 13,

(ó) El radio dc giro es e¡ valor K tal quc Mk-lM¿, cs dccir, Á¿ = 15at o K- aJZp-El significado fisico de K es el siguiente: si toda la masa ¡t estuviera cónceútr¡de en una delgada capa

cilind¡ica de r¿dio (, el moñento de inercia de esta c¿pa co¡ resp@to al ejc dcl cili¡dro s€rla t,.

15. (¿) Haltar el volumen de la rcgión cncerrada por la esfera x2 + y2 + 22 = c2 y el cono 22 s€n2 d =(r + },.)cos'a,siendoc una constarre tal qüe 0 = d 5 rr. (ó) A partir del resultado de (al hallarel volumcn de una esfe¡a de radio ¿.

En coordcnadas esféricas, l¡ dcuación de la esfe¡a es r - a y Iá del co¡o cr I : d, lo cual se puedc vardirectamentc o bien ap¡icando las ecuaciones de transformáción -¡ = ¡sendcosó,.y - ¡sen0senÓ,2: ¡cor0,Por ejemplo, z2 sent a = (r': + ,2) cos' d s€ corüerta, coÍ estas ecuacioncs, €n

es decir,I cosz d scn2 c -

(l senl 0 cos'! { + I scn2 d s€n¡ O) cos2 d¡: cos2 0 sen2 a = ¡¡ sc¡2 d cos2 a

dedondetg0= +t8dyesi0= ao0=t- d. Basta con considerar Dna de cst¡s, co¡no 0: a, por ejcmplo.

(a) Volumen buscsdo= 4 vaces el volumen indicado en la Fic. 9-14.

= ^ I:_',t=,[, r*¡c ¿rrtodo

4l I

tJ,="J,.

;sen rl d, dc

se¡ c ¿lo ¿6

= {[""-*"1" ao- . 'ó=o l r=t

= Tit---"4

Laintegraciónconrespcctoa¡(con0y{constantes)der:0ar=dcoEesPond€¿lasumacióndalos volúmenes (de los el€ñentos /l/ indicados) en una columna que va dc ¡ = 0 t í = a. La integración qtrsigucconrespectoa0(conóconstante)de0=0a0=r/4correspondcalasumacióndelosvohlmen6de todas l¿s columnas en la región de forma de cuña. Por {¡ltimo, la intcg¡ación con respecto a ó corrcs.ponde a la adición de los volúmenes d€ todas las cuñ¡s.

{r) Haciendo d = rr, el volumen de la esfera obtenido asi es

2ta' . - 4 .- ¡ - l t -cosrr =

s- 'a"

CAP,9] INTECRALES MULTIPLES

16. (a) Hallar el centro de masa de la región del Problema 15.(ó) Con el ¡esultado de (a) hallar el centro de masa de una semicsfe¡a.

(a) El c€ntro dc masa (t, i, Z), debido a la .ifn.rría. ..uí dado por ; - ¡ = 0 y

_ Momento total respccto al pl^no xy lll z o dVMasa total

Como z - ¡ cos 0 y r es constante, el Dumcrado¡ es

IIJ o dv

I9I

* Í,=:" !,=" Í.". ",

*s, .,' s€n,,rr,!o,t6 = * Í,".., 1"" "i1,.:^ e cos c .rc dó

fnlz ao=

"a ' | | s€nrcosdd¿d,

= "" f".+f dc - rsg::e!:-g. t6.r ¿ ts.o 4

- El dcnominador. quc se obtiene multiplicando por d el rcsultado del problema 15(¿), cs Jrúo¿!(l - cos d).

Luego

= $oir + co" "1.

(ó) Con a= n/2,2=la.

PROBLEMAS VAruOS

17. DemQsrra¡que at ¡,'{f,'ffi*}d, =;, ,r f'{f' ffia,lo, = _}

@) f"' {f"' ffidu},. = Í"' {1"' ++#t",¡,.r ' ( r ' t o- . \ )= | I | ( / - - : - - ; ; : : i r )d l / ld,

vo (r 'o \ t - , / , . ' ' ' / )

_ f , / _, -

1\1, ,_J" \ t I=uI-rr Y/1, . ' " "r '¿, _r l ' 1=

J"1"¡¡¡ : = ; - t - i l . = á

(ó) sc deducc inmediaramentc permutendo x y t cn la) conlo quc se oblicne f' { f' :+r,"orlo, = ,=y luego muhipl icando ambos mrembros por -1. \"o t ' rvr ) - z

_ Este ajeDplo mues[¡ que el cambio dc ordcn de integración puede no dar siemprc rrsultados iguales.Una condición sufcientc para qr¡e sc pueda cambiar el oideo cs lue Ia inta$ai doblc sobre l..agi-On co-

respondient. exista. En rat *"" J^J ffia, aa, donde Et es la rcgión O = x = t, O S / = I no

c¡iste dcbido a la disco¡rtinuidad del iotcgrando cr¡ cl origcn. l¡ integral cs cn realidad una intega¡l dobleimpropia (vérsc Capltulo l2).

18. D€mostrarque Í""{Í,'

,*ro"\0, =

r ' ( ? ' ) . .sea r(r) = J. {J,

r,,rru¡d,, rt,) = J"

(¡-,.)F(,{)d¡r. Enronces.

16¡ = t'r¡aa*. t'1"¡ = f, r..,¡o*

Por la regla d€ L.ibnirz, página 163. Así, pu€s, /'(¡) - .¡,(.r) y ento¡ccs (x) - {¡) - c, una constante, Como40) = J(0) - 0, .

- 0 y, por r.nto, ,(¡) = .¡(r).

!" @-u)F(u)du.

192 INTEGRALES MULÍPLES

El rcsulrado se sucle cacribir cn la foñra

lt /t

I I ¡ ' ( ¡ )d. ' ' = I ( ¡ - , ' )F(x)drr¿o Jn

pu€de ge¡eralizar (Problema l) para obtcncr

TMNSFONMAOON DE INTECRALF,S DOBIJS

a? _2ó Calcular | | Vr' -r ri'ar as, doDdc R es la región .t' + I < ¿'1.

JJr(

Zt Si R cs ls región def Problcma 26. ar;úat lt e-,t,t,atau-

t2t. Apficando la transformación x + y - u, t = ¡¡o, mostr¡r quc

lcAP. e o

I

t

L

ta

koblem¡¡ propu€stos

INTECRALES¡ TX)DI.ES

19. (a) Traz¡. ¡¡ región ft del plaoo r/ lin¡itsda por I = 2x y y : r. 16¡ ¡¡"¡"r .l áres d€ R. (.) Hallar el momen-to polar de incrcia de R suponiendo densidad d constante.So¿ (ó) l; (c),18ol35 = 72M135, sic,¡tóo M la r¡¿sa de t.

aL Hallar cl cq|trc de masa de l¡ ¡egión dcl problema pr€cedeate. Sot t = I, i = I

23. Hallar cf voluñen del tetracdro limitado p¡ x/a + y/b + zlc: I y los plsr¡or coo¡dcnados.Sol. abcl6

2i . Hal l ¡ ¡c lvolumendclarcgiór¡ l imi tsdagotz=f+¡?,2:0,x--a,x=a,t=-a, ! :a.Sol ,8aal3

25. Halla. (¿) cl Eomento de ir¡.rci¡ nspccto dcl cjc z y (¿) cl ccDtro dc masa d. l¡ flgió¡ d.l P¡oblcma 24 süponicndol¡ dcr¡sidad 6 co¡rstante-Sol. (al l ¡aóo: #M¿, dondc r l= m¿¡a; (ó) i- i :0, r: i t¡

I

t

II

t

I

I

I

^t ^9.- t21. Dada | | l"+úa"av. (¿) Dibuj¡¡ l¡ rcgión y dar urla posibte int rp¡lt¡ció¡ lisic¡ de la irtegral dG

bh. lr) C¡mbar el ordcn de intcg¡ació¡. (.) C¡lcular la inrcg¡al doblc.

f t / r t¿sot. (ó)J.

, ) ,_"1"+u)dudr, (c) 24r/60

z¿. Mosusrque. !._,f,=.*"froro. . f ,.[=**" f i ava, =

Sol. lat

So/. ,(1- ¿-¡)

!...,Í,:-:c-'" ""* = e- l

c^P. 9l INTECRALES MULTIPLES t93

t Hallar cl áre¿ de la regió¡ limitada por ,x, = 4, -¡r, = 8, ¡yr - 5, xy3 = 15. lSugerencia: Sean ¡] = ¡r, .|}! : 0.]So¿ 2ln 3

I Mostrar qlrc el volumen generado por revolución dc la ¡egión del primer cu¡dranie limitada por las parábolasy'z - )r, f = Ex, x2 : y,.* = 8/ en torno sl eje x es 2191t/2. [sugerenciat S€an ], = ¿.r. ¡, : ;/.]

3l. Hallar cl ¿rea dc la región del primcr cued€nte limitada pot y = xt,y = 4¡3, ¡ = /!. ¡ = 4/t. Sot ¡

3¿ qo { la región l im¡uda po¡ x+y= I, r=0, /:0. Mostrar que [f -"(i-4)rr

a, =*"'[Sugerencia: Sean x - y = u, x + y = Lf ',i \¡-v,/

|NTDGNALES TRIPI,ES

S. 1a) Cacutar | | | _ xyzclzctyctt {ó) Dar uria interprctación gcométrica de la iniegral antcrior.So¿ (a) * " ""

* '=' " '=",r+!r

34. Hallar (¿) el volumcn y (r) cl ce¡t¡o de m¡sa de la rcdón dcl prime¡ octaDre limitada por ¡/¿ + ylb + zlc : |,donde ¿,ó,r son positivos. Sol, lal abc/6; (b) , = al4, i = bl4, z = c/4

:l5. Hallar (a) cl momcnto d. inercia y (¿) el radio de giro con rcsFcto ¡l cje z dc la región del Problüna 34.sot. ta) Mta' + b\/10, (ó) y'G' + ó-tn¡

36. H¡llar la masa de la región coÍBpondientc ¡f + )¿ + r'¡ = 4, ¡ ¿ 0,), > 0, z= 0, si la densidad es igual

^ xyz, Sol. 413

37 Ha¡la¡ cl volumc¡ de I. r.gión limitada pr z=f +¡? y z=2x- Sol. nl2

INA¡TS¡I)NMAC¡ON DE INTEGNALES TUPI,ES

3t. Hallar el volumcn de la región limitada pot z = 4 - x2 - y2 y cl pla¡¡o ry. So/. En

t Hsller el ccr¡tro dc ma¡a dc la r€gión dcl Problcrna 38 suponiendo constante la dc¡¡sidad d.Sol . t= i -0,2=*

,3. (¿) calcufsr ))J

,/z'+u'+z'a, d/d', siendo lR la Ggión limitada por el plano ?=3 y cl conorR

" - Jf + y'- (ó) Dar un¡ intcrprctación ñsica d€ la integral cr (¿). lsügcrcncia: Hágase l¡ integ¡ación encoordenadas cifíndricas en cl orden p. z. {.1 S'of. 21ft141r. - l)/2

Mostrar que ef volumcn dc la rEgión l¡mitad¿ por cl cono z = JifTl¡ y.l paraboloide := x2+f esr.i6.

Hali¿r el momento de i¡crcia de un cilind¡o circu¡ár recto de radio d y eltu¡^ b coí respccto a su cja si ¡adcr¡sidad cs p.opolcional ¡ su dist¿ncia al cje. Sol. 1Ma2

,Í3. (a) calcular llÍ @+##F,siendo t' la rcsiór limitada por las esfcras -* +)¡ + z'=a'v x2 +v7

n+ j - b2, dondc a > b > 0. lb) Dar una interprctación fisic¿ de la integ¡al antenor.Sol. @) aft. b (albt

(¿)Haffa¡r lvo¡umcndelarcgiónl imi ladapor laesferat-2acos0yelconod=d,dondc0<r<ft12.(D) Discuti¡ cl caso a: ¡2. So/. f¡¿11 - cos' ¿)

Hallar el cantro dc masa de una cr¡pula hemisférica de radio exterior ¿ y radio interior á si la densidad es(¿) const¡¡te, (ó) proporcional al cuadrado de la dbtancia a la base. Discutir el caso ¿ = á.'.So¿ TomaÍdo cf c je: como eje de simetr ia: la l t= i -0,2=t la ' - F ' ¡ l@' -ár) : (á) i =t=O,z-t loo-b"t / (o"-bt)

al.

42.

45.

t94

PROBLEMAS VA}IOS

INTEGRALES MULTIPLES [cAP. e

6.

o.

,18.

6.

$.

Hallar la masa de un cilindro circula. ¡ecto dc r¡dio ¿ y altura ó si la densidad es proporcional a¡ c¡¡adradode la distaricia a un punto d€ la circürferencia dc la basr.Sol. tnzh*|ga'z + 2i2), dondc /t = constant€ dc proporcionalidad.

Haflar(¿)clvotumeny(ó)elcenlrodcmasadetar€giónl imitadaarribaporlaesferax¡+y2+22-a1yaújopor ef plano z - b a¡ a > ú > 0, suponiendo Ia densidad coNtante.sol. lal ! 2a3 - 3a2b + bt l ; (ó) i=t-0,2=?:la+ b) ' lQq + bl

Uria esfcaa de radio a tiene un hu€co cilind¡ico de radio ¿ cüyo ejc coincide con uri diámctro de la csfcra. Mos-trar que el vofumen de la esfe¡a qr¡c ¡esta es t{at - to' - O'¡"r'1-

Una curva sirnpla cerrada de un p¡ano se hace Sirar en tomo a un ejc del plano que no la corta. Demostrar queel volumen generado cs igua¡ al área encerrada por la curva multiplicada por ls distarci¿ que recorre el ceritrode masa del A¡ea, (teorena de Pappud,

Aplic¿r ef Probleria 49 para hallar el volumcD gcncrado por revolución dclcl¡culo ¡2 + 0, - á)' - a1,b > a> Oen tomo al ejc ¡. Sol- 2ú'o2b

Hallar el volümcn dc la región limitada por Ios cilindros hipe¡hilicos )cy = l, x! = 9, xz = 4, xz - 36,yz = 25. yz = 49. lSugcrencia: Sean .r] = rr, x: = t. !: = to.J Sol. (A

Calcufar .r.r., \,/1 - lrita' + u'tb'+ ,'/c') d,' dü dz, siendo 9t lá región interior al e¡ipsoióe i/a' + flb' +a

z':/¿'1 = 1 . [Sugerencia : Sean -r = rr, | = bn, z = a¡o. Utilicens€ luego coorderadas esféric¡s.]Sol. lnlabc

Si t es fa región r '+ru+u' = 1, demosrrar que ff "-,",--, ' ,a,au = \t"-t l .'c' vü

lsug€rencia:Scao¡=lcosc-rsenc,/=¡¡send+Dcosdyel¡aseddcmodoqueseel imineel términoen¡rencl integrándo. Tómcsc lucgo ¡¡ = ¿p cos ó, 0 - óp san ó cos d y, convedentemente €legidos.]

t ' ? 'Dcmorrar que t | | F( ' l¿x^ =, ; j - | {c-r) . - 'F( \d]¿paraú,=l ,z,A,. . (vcr prob. 18).

J^ \+ L ' ; ¿o

52.

53.

Capítulo 10

t"eP,v¡a, + Q(x,v) dlt o

(4)

Integrales curvilíneas, integrales de superficiey teoremas integrales

INTEGRALES CURVILINEAS

Sea C una curva del plano x¡r que une los puntosA(ab b tl y B(a2, b.) (Fig. l0-l ). Sean P(x, y) y Q(.t, ¡)funciones uniformes deñnidas en todo punto de C.Subdividase C en ¡ partes eligiendo (n - l) puntosde la misña dados por \x¡yt) , (xz,yzl , . . . , ( ¡"- , ,/"-r). Denótese A.)úr = ,r¡ - xr-r y^/ft : yr - yr-bk : I,2, .. ., /¡, siendo (¿r, ór) = go, y), (ar, br) =(¡", ),,) y tómense puntos ((¡,4r)de C situados entrelos (&,r,1¡ ,) y (¡*, /.). Fórmese la suma

j 1116*,r*¡or* + O(€e, ?r) ag¡.) (i)

Si existe el límit€ de esta suma para n + co de modoque todos los

^¡-¡, ̂ J,r tiendan a cero, tal limite se

llama integral curaílínea a lo largo de C y se denota

Fis,l0.l

I Pdr + Qdu (2)

El límite existe si P y p son continuas (o casicontinuas) en todo punto de C. El valor de la integraldepende en general de P, Q, la cutva C y de los limites (ar, ár ) y (¿r, br).

De manera completamente análoga se puede definir una integral curvilínea a lo largo de una curvaC en el espacio tridimensional como

lt-$ ¡¿.¡¡ - ¡

= f e,a, + Azdy.t Asd.z

siendo lr, 12 y 13 funciones de x, y y z.Se pueden deñnir otros tipos de integrales curvilineas que dependan de curvas particulares, por

ejemplo, si ^J¡

denota el arco de curva Cde la l igura'anterior entre los puntos (-rr. ta) y (¡¡+r,.},¡*IIentonces

rimj u14*,0.¡as^ = !,up,y¡a,se llama integral curvilinea de U(x, y) a lo largo de la curva C. Son posibles generalizaciones a tres omás dimensiones.

r95

I!'ó INTECRALES CURV¡LINEAS, INTEGRALES DE SUPERFICIE Y TEOREMAS INTEGRALES [CAP. IO

NOTACXON VECTORIAL DE LAS INTBCRAI,ES CUTVILINEAS

A meludo es conveniente expresar una integral curvilínea en forma vcctorial bien para tener unailustración fisica o geométrica, bien por brevedad en la notacióD. Por ejemplo, s€ puede expresa¡ lai[tegral curvilinea (3) en la forma

f f

) . l ,ax + Azt ly 4 Atd.z = )c@ti

+ A, i + Ark) ' (d¡ i +dvi +dzk) (4

= ) .e, . ar

con A=lr i +A;+4hyth=dxl+. ly i+dzk. La integral curvi l ínca (2) es un caso especialde ésta para z = 0.

Si a cada punto (x, y, a) se asocia una fuerza F que actúa sobre un objeto (o sea, si se define uncanpo de fuerzas), entorces

f r .a, (6)

¡epresenta fisicamente el trabajo total cfcctuado al mover el objcto a lo lalgo de la curva C.

CAI.CTJI,o DE INTDGRAI,ES CURVIIINEAS

Si la ecuación de una curva C del plano z = 0 viene dada como )., = ./(¡), la integral curvilinea (2)se puede calcular haciendo ¡r = /(x), tly : f'(x) tlx er €l integrando pera obtener la integr¿l deñoidaordinaria

Í , , ' , , ' 'o ' f ""o ' + Qg'Í(4Jf '@\dt (7)

que se calcula como siernprc.Ariálogamentc, si c está dada como ¡ = g(r), entonces dx = s'O)dy y la integral curvilínea se

conviert€ eú la

Pls(lr),tti s'Qrl dlr 'r Qis(n't,a) du (8)

Si C está dada en forma paramétrica ¡ : ó(t), y : ¡y'(r), la integral curvilínea es entonces igual a la

¡1h

J,. p{ó(ú),,r(¿)} ó,(f)d¿ + e [ó(¿), p(¿) ] 9,(r) d¿ (r)

donde rr y ¡2 denotan los valores de ! que corresponden a los puntos ,{ y I, resp€cüvameote.En los cálculos se pueden utiliza¡ combinaciones de los métodos anteriorcs,Métodos parecidos s€ usan para calcular integrales curvilíneas a lo l¿rgo de curvas alabeadas.

PROPIEDADES DE LAS INTDCRALES CT,JRVILINEAS

Las integrales curvilíneas tienen propiedades análogas a las d€ las integrales ordinarias. Porejemplo:

l "?/ .r. I P(t,sldx + Q(x,v\ du = | P(r,s'tdr t I Q(t,u)dy

.,rc .Jc .tc

/.ro¡.h)2. I Pdr + Qd! = - l Pdx I Qda

r ' r¿ ' ,ür) ¿(.r ,br ,

('

De modo quc al invertir el c¿mino de integ¡ación se cambia cl signo de la integral cürvilinca.

c.AP. IO] INTEGRALES CURVILINEAS, INTEGRALES DE SUPERFICIE Y TEOREMAS INTEGRALES 't97

t t,.:.,':,' "* + edy = 1,,,",",,",,,' ,u, + edy + f"'.'''",' ra, * oaa

siendo (d3,ó3) olro punto de C.Propiedades parecidas se veriñcan para las integrales curvilíneas en ei espacio-

CURVAS SIMPLES CERRADAS. REGIONES SIMPLE Y MULTIPLEMENTE CONEXAS

Curaa símple ce¡rada es una curva cerrada que no se corta a si misma en ningúo punto. Matemá-l¡camente. una curva del plano está defrnida por las ecuaciones par¿métricas x = ó(t), y : lllt),siendo { y ry' funciones uri i formes y continuas en un intervalo t,5 | = t2. Si d(lr): d(¿r) yúlt t) : I 'U2) la curva se dice cerrada. Si ó(¡) : d(¡) y { ' lu) : ú(,r) solo si ¡ : u (menos en el casoespecial en que ¿¡ = t ly 1) : t2), la curva es cerrada y no se corta a si misma, de modo que es una curvasimple cerrada. Se supondrá también, si no se dice otra cosa, que S y ry' son casidiferenciables entt=t=t2.

Si una región plana tiene la propiedad de que toda curva cerrada de la región se puede reducir aun punto sin salir de fa región, se dice que la regrón es s¡mplemente conexo, si no,9üe es múltiplementecone)ia (véase página 102, Capitulo 6).

Af variar el parámetro t de t I a t2,Ia curva plana queda descri ta en un cierto sentido o di¡ección.Para cuftas del pla¡o rl se escoge como positit)a o hegatlü¿¡ esta dirección, según que al recor¡erlas conla cabeza indicando la dirección z positiva la región encerrada por la curva quede a la izquierda o a laderecha respectivamenle. Para una curva simple cerrada del plano x.l,r esto equivale a decir que ¡eco¡rerla curva en el sentido contrario a las ¿rgujas del reloj es recorrerla en sentido positivo y recorrerla en sen-tido de las agüjas del reloj es recorrerla en sentido negativo.

TEOREMA DE GREEN EN EL PLANO

Sean P, Q, API?1, ?Qlóx, uniformes y continuas en una región simplementc conexa e cuyocontorno es una curva simple cerrada C. Entonces,

f ,ea, , "* =

[ Í (yr_#)^*(10)

uti l izando cl sínrbolo $^ para señalar que C es cerrada y que se describe en sentido positivo.

EI teorema es también cierto para regiones Ii i tadas por dos o más curvas cerradas (o sea, regio-nes múlt¡plemente conexas). Véase Problerna 10.

CONDTCIONES PARA QUE UNA INTEGRAL CURVILINEA SEA INDEPENDIENTEDEL CAMINO

T€ofemr l.

Una condición necesaria y suficiente para qu" f ea, + Qdy sea independientc del camino C

que une dos puntos dados cualesquiera en una región { es que en ftaP = !Q_¿A 0r

donde se supone quc eslas derivadas parcialcs son continuas cn {-

(11\

I98 TNTECRALES CURVILTNEAS, INTEGRALES DE SUPERFICIE Y TEoREMAS INTEGRALES [cAP. IO

La coftdición (r.¡ ) es también la condición para que P dx + Q dy ea diferencial exacta, es deci¡,para que exista una función d(¡, /) tal que P dx + Q dy = dd. En ese caso, si los puntos extremos dcla curva C son (¡r, /r) y ftr, yrl, el valor de la integral curvilínea está dado por

/ . t r t , t t ) / . r , t ,ur ,

I Pdr + Qd.y = | dO = ó@,,u2l. - +(rt,ut\ Ge)

En particular, si (,1,1) se veriñca y C es cerrada se tienc xr = xz, lt : lz !

f " 'n '*Qdv = I ('')

Para demostraciones y teoremas relacionados, véanse Problemas ll-13.Los rcsultados del Teorema I se pueden generalizar a integrales cu¡vilíneas en el espacio. Asl se

tiene el

Teqrür 2.

U¡a condición necesaria y suficient€ para W, f..lra" * Azd,g * Ardz sea independiente

dcl camino C quc une dos puntos cualesquiera en uná región { es que en 9(

lAt 6As AAt 64z lAsór ' At Az' Az W

suponietrdo que cstas derivadas parciales seaa contiDuas eo 9(.Estos teo¡emas se pueden erpresa¡ de mane¡a co¡cisa con vectores. Si A : ,{rl + A2l + 4t,

la i¡tegraf curvillnca se puede escribir t"l.a, ,la coDdición (.t4) es €qüval€nte a la condición

V x A = 0. Si A represe¡ta un campo de fuerzas F que actr¡an sob¡e un objeto, el cnu¡ciado del teore-ma cquivalc a dccir que el trabajo hecho al mover el objeto de un puoto a otro es iodependiente del ca-mino que une los dos puntos si, y solo si, V x A = 0. Un campo de fuerzas de este tipo se llama con-señ)oltw.

La condición Qa\ lo la condición equivalente V x A = 0] es t¿mbié¡ la condición para queAtdx + A2dy l A3dz lo A.dr] sea diferencial exact¡r, es decir, de que exista una funciótó(x, y, z\t^lqtre At dx + A2dy + A3dz : 4. En este caso, si los cxt¡emos de la C\rve C son (rr, /r, zr)! (xz, fz, z), el valor de la integral cuwilínea está dado por

(14)aAlólJ

urlf,.)").,' "." =

Í:.":"":":' * = 6(rz,vz,zz\ - {(a,,u,'z)

Si C es cerada y V x A = 0, se tiene

INTEGNAI.ES DE SUPERFICIE

Sea S una superfcie biláte¡a cuya pro-yección sobre €l plano ry es { como en laFig. l0-2 adjunta. SuE5ngase que una ecua-ción de s sea z = Ik, yl, donde / es uni-forme y continua para todo x y y de Q.Dividiendo { en r subregiones de árba Mo,p:1,2, . . . , n y levantando una columnasobre cada una de estas subregiones hastaque co¡te¡ a S donde deteminan un áre¿AS' y si @(x, ¡, z) es unifome y continua eDtodo punto de S. ¡t!l¡,

:T' IO] INTEGRALES CURVILINEAS, INTEGRALES DE SUPERFICIE Y TEOREMAS INTEGRALES I99

Fórmese la suma

X o(i,, ,r,, (,) rs, (17)

sÉ'do (1e,4r. (r) un punto de ^Se.

Si existe el límite de esta suma para t'¡ --t co de modo que cada

-!5, - o,-se dicé que ese limite es la íategrul de supedicie de {(x' ¡' z) sobre S y se la designa Por

JJ +(.r ' v':tds

Como ^S,

: lsec yrl A,{, aproximadamente, siendo 1, el ángulo que forma la normal a S cort el

¡e positivo z, el límite de la suma (17) se puede escribir

tf +@,a,"\ lse"t1dzin.

(re)

donde lsecTl está dada Por

1_ln, 'k l

Suponiendo entonces que z: .f(x, y\ tiene de¡ivadas cootinuas o casicontinuas en Q, (.19) puede es-

--:rbi¡se e¡ forma cartesiana como .

J! to,u,"tt

Si la ecuación de S está dada en la forma F(x,y'z)= 0, (2.¡ ) se puede escribir también

.r ''.4Al,llFJ'- (F.F .)) +{ ' 'u 'aL}:- : : - ü--drd1r @2\a.

[¿s expresiones (21J o (22) se pueden utilizar para el cá¡culo de (18).En lo que precede se ha supuesto que S es tal que toda paralela al eje z corta,S en solo un punto'

En caso de que S no sea de este tipo se puede, por lo general, subdividir S e¡ superfrcies St, St, ,que son de ese tipo. Entonces la integral de superfrcie sobre S se deñne como la suma de las integralesde superñcie sobre Sr, Sr, ....

Los resultados enunciados valen cuando S se ployecta sobre una región { del plaoo rg'. En algu-nos casos es mejor proyectar S sobre el plano yz o el xz. Para talcs casos (18) se Puede calcular modi-ficando en forma apropiada (21'l y (221.

TEOREMA DE LA DWERGENCIA

Sea S una superficie ccrrada que encierra una ¡egión de volumen ,/. Tómes€ como dirección po'

JiriD¿ la de la normal exte¡io¡ a la sup€rfrcie y sea¡ a, F, ? los ángulos que esta normal hace con los

ejes positivos x, y y z, r€spectivamente. si Ab A2 y ,43 son continuas y tienen derivadas parciales con-

tinuas en la región, entooces

- . . / . r . , \ ??

f f f l **{ . ' t+\dv - )J @'cosrrArcosp+A,cos7)dsJJJ \dx dy d", / s

(28t

que también se puede escribi¡

(f8)

(21)

(20\'.(#).(#

,.(#).(r;,,,,

CC( /aA' , ¿4, , dÁ3\, , , - t ! e,aua" i Azd.zd.s.r Asdr i ty

JJJ \ar - u -E)" ' s(24)

Í,.,,"),,' ".* =

Í,":"":,1' * = i@2,u2,22:) - +(t,,u,,z,\

Si C es cerrada y V x A = 0, se ticne

TNTEGXAI^ES DE SUPEXFICIE

Sea S una superficie b¡látera cuya p¡o_yec4ión sobre el plano -r1, es g( como en laFig. 10-2 adjunta. Supóngase que una ecua-ción de S sea z = f(x, y), donde / es uni-torme y continua para todo x y y de \.Dividiendo ft en a subregiones de área M'p = 1,2, -. ., r¡ y levantando una columnasobre cada una de cstas sübregiones hastaque co¡ten a S donde determinan un áreaAS' y si {(x, /, z) es uniforme y continua entodo puoto de S.

En particular, si (1,1) se verifica y C es ce¡¡ada se tiene xr = xz, lt: lz !

f", o' * Q¡tv = o

I98 IMTEGI.ALES CURVILINEAS, INTEGRALES DE SUPERFTCIE Y TEoREMAS INTEGRALES [cAP. Io

La condicióo (11) es también la condición para qu¡e p dx + e dy sea diferctcial exacta, es decir.pa¡a que exista una función d(¡, /) tal qrre P dx + Q dy = dó. Eo ese caso, si los puntos cxt¡emos d€Ia curva C son (¡r, /r) y Qr, y), el valor de la integral curvilínea está dado por

Í,.::.":' ,* + edy = ¡,.', ',,, '"

= 6@2.y,\ - +(e,,u,\ {12)

(rr)

64, i tA. AA3 6A, 6Az lAau=7,¡ 'ar=E'E=ay (11)

Para demostracioncs y teo¡emas relacionados, véanse problemas ll-13.Los resultados del reorema I se pueden generalizar a integrales curvilíneas en el €spacio. Así se

tiene el

Teo¡cDr 2.

Una coodición necesaria y suficiente para qu" f"

era, + AzdU +,4rd, s€a i¡dependie¡tedel cami¡o C que une dos puntos cualesquiera en una región ft es que en {

suponiendo qu€ estas derivadas parciales sean continuas en jR.Estos teorcmas se pueden expresar de mane¡a concisa con vectores. Si A = ,4rt + A; + Ark,

la integ¡al curvililea s€ puede escribir I e'a. y la condición (ll) es equivale¡te a Ia condiciónV x A : 0. Si A ¡cpresenta uu campo dlfuerzas F que actúan sobrc un objeto, el enunciado del teore-ma equivale a decir que el trabajo hecho al mover el objeto de un puoto a otro es indelrendi€nte del ca-mino quc un€ los dos puntos si, y solo si, V x A : 0. Un campo de fuer¿as de est€ tipo se llama coz-sefvattuo,

. .La co¡dición (14) [o la cond_ición eqüivalente V x A = 0] es tambié! la condición para queAtú( + A2dy-t Asdz lo A.á] sea dife¡cncial exacta, €s deci¡, de que exista uni foo"ióoó(x,y,zltalq\eALdx+A2dy+A5dz: dd. En este caso, si los ext¡emos de l; Curva Cson (rr,),r, zr)! (xz,lz, z), el valor de la intcgfal curvilínea está dado por

(15)

(1d)

Ft¡.lll

CAP. IO] INTEGRALES CURVIIINEAS. INTECRALES DE SUPERF'CIE Y TEOREMAS INTEGRALES I99

Fó¡mese la suma

s - , .,¿ +, . , , _ . : , \ aS, ( t t \

E¡do (Éo. r,, (ol un punto de AS,. Si er¡te el linile de esla suma para n + ó de modo qu€ cadars, r 0, se dice que ese limire es la íntesrcl de tupetficp de d(r, /, :) sobre s y se la d€signa por

.J.J +lr ', ¿t irs (f8)

como ^s¡

= lsec t 4,1! aproxinadameíte. sie¡do l! el ángulo que Ibrma la nornal a s @n el+ positivo z, el limile de la suma (.17) se puede esüibir

donde secll esrá dada por

*"./1 = Fiil =

supoúiendo enlonces que ; : ¡¡,/) ricne d.rivadas continuas o casiconlinuas en q, (.¡9) puede esúibirse en forna cartesiana coño .

Si la ecuació¡ de ,s está dada en la fo¡I)la ¡(I, t, z) : 0, (?/) se pu€de es¡ibir tambiéD

l!,a,u,a{ry$f@o,oul¡s erpresiones l2tj o l22J sE pueden utilizar para el cálculo de {18).

En lo que precede se ha supxesto qu€ J es 1¿l que tod¿ p¡ralela ¿l eje z corta S e! solo un purto.Etr c¿so de que S no sea de ere tipo se pu€de, po¡ lo general, suHividir 5 en superficies ,S1, Sz. . .que son de ese tipo. Ento¡@s la integral de superficie sob.e S se define cono la suma de las inregralesde suporficie sobre .t1, Sz. . . ..

Los resullados enu¡ci¡dos v¿len cuando S s€ proyecta sobre rna Egión R del pla¡o ¡/. Er algu-nos casos es mejor proy€ctar s sobre el plano t: o el rz. Para tales casos (1d) se puede calcular r¡odi-ficando eú forña aprcp;^da (21) y 1221.

TEOREMA DE L{ DIYERGENCIA

S€a ,S una superficie ceúada que encierra um regiód de volunen ,'. Tómese @no dtección po-s¡lira la de la úormal exterior a la superficie y seaú d, P, ) los á¡gulos que est¿ nomal hace con losejes posirivos x. I y z, respectilamente. Si ,41, ,12 y ,43 son co¡tinu¿s y tieoen derivadas p¿¡ciales coD-ti¡u¡s en la reeión, enionces

(fc t¿A, éA, óA,\ . . . f .f l l l ; - ; ' , r+ ldv tJ r .a 'c"s" ' .4:cos! A¡¡osv)ds (et)

" ;" \ -" ' " " /oue tanbién rc Duede escribir

tÍ +a,s,¿t*", a'a (1e)

l21J

(20\

122)

'.(#).(#

Í[f (+.'#.'#)o' : lJ n'aua" '

a'dzd') + a'd'da \24)

200 TNTEGRALES cuRvILrNEAs. TNTEGRALES DE suPERFlcrE y TEoREMAS INTEGRALES lcap r0

Eo foma veclorial. cor, A : Ai + A; + A3l y n = cos dl + cos r¡ + cos }k, se pueder esc¡ibnesias ecuaciones simD¡omente como

I t t , ."o, = lJa "as \25)

Este reorema, llahado ,¿,rena .le lo dh,eryeacia o teotena ,le Gteen en el espa.io, dice que la integralde superficie de la componenie normal de un vector A exicrdida a una superncie ce¡rada es igual a lainlegral de l¿ diverge¡cia de A exlendida al lolume¡ que enciera la superñcie.

TEO¡EMA DE STOXF.S

Sea S una superficie abierta bllá1e.a cuyo co¡rorno wa uDa cu¡va cerrada C que no se corta á simisma (curva sirnple cerrad¿). Co¡sid¿rese una recia noñal á ,S como posiliva si está eü un l¿do dela superficie ,S y negativa si erá al otro ¡ado de S. La el€cción de¡ lado positivo es a¡bi.ra.ia, pero d€b.hace¡* de anteñano. Tómese como sentido positivo sobrc C el que d€ja ¡a superncie a la izquierda deu¡ observ¡do. que va re¿o¡riendo el contoúo de S cor su cabeza dirigida en el s€ntido de la ¡ormrlposiliva. Ertonces, si ,.lt.lr, ,-13 son uDifomes, co¡linuas y lienen prime¡as de.iv¿d¿s parciales cotr-tiDxas eD Dna regiótr del espacio a la cuat sea interior S, s tiene

ÍcA,,tr+A.(t!,+A"t" = ij(#

,fJ""-"

J'(2I ' r 2.0 rr = V3

*(* i?)""",.¡* #)"*'1,"loqueerfomavedo¡ ia lcoiA: l , i+,4r j+,43tyn=cos¿i+cosr¡+coslk,seexpresaseF

f a.a ' = f f rv a¡. ' as \27)

Este teorema, llamado de .t/rk¿r, dice. pues, que la iútegral cudili¡e¡ de Ia componente langencidde un vslor A al.ededo. de una curva simple @rada C es igu¿l a la inegr¿l de superficie de la coFponent€ normal del rotor de A exrendida a toda supe¡ficie ,S que Gnga a C por contomo. Obséñ*que si V r A:0 en (?7), se obtiene el resultailo (ló).

Pmbl€mas reseltos

INTEGTAI¡,S CUIVILINf,AS

,. calol¡r I ( r : - l l )d. . + (r ,+¡)d, a Io la¡so (¿) de una r€cta de (0. l )a0,2),(¿)deh

.ecras de (0, l) ¡ (1, l) y lueso de (1, l) a (1. 2), (c) de la parábota j : t y - t2 + 1.

(¿) t iecuacióndeI¿r€cl¿quepasapor(0, l )y(1,2)enelplánoiycsy=|+LE¡tones,d/ :¿¡t l ¡i¡teg¡ál curyiline¿ es isuál a

. f ' " i " ' - t ,* r , l r , * 1(¡+ t ) !+ r i¿¡ =

É,t!¡&

-& (a)

fb)

(AP ¡O] INTECRALES CURVILINEAS. INTEORALFS DE SUPERFICIE Y TEOREMAS INTEGRALTS 2Ilr) A ¡o lárgo de ta rcra de (0. t)a (1, t). ) _ I

f '",;.,,;""; ;;:",;,'7:lll::-:"'="T" " *''A lo targo de ta rela de {¡, I I a 11.2), r

': , ' ,'"' ' j:

-,0

"1";"''e'"'*'r*"'

Ie'"r 'Luego el vato¡ büscado es = 2/3 + loij = slr

Coño,¡=0 en (O_t) y ¡= t e¡ (1.2). t¿ integml onrt jhea es iguat a

. l t r , r t ¡ . t t . i r . | , , t tzt¿t t ',

?, 4t .2, ¿t t ¿r

"""ur". J e. a. a. (0.0. 0) a {1, l , l ) a¡a¡go de los si8uienres caminos C:x=t, !=t1,2=t3.

f:jffff#tT""l? ?"'1,:J%i;'hi Ílto ', a (0, ,, 1) v de (0, ,, 1) a 0, ,, ,)f .^ * =

J,1(B: ' - 6r : ) i . ! (2/ i 3rz) j + 11-4¡, : )k j . ( t ¡ r i+¿aj+.d:k l

= I" , " r -o*r* + t2!+Br. t¿! + \ r -4. t rz,)¿t

(¿) s i r : r ' , = ¡ : ;= 7r, rospl ' ros(0,0,0)v( l , l , r ,cofespood'¡¡= oy,= r resper ivahenlc. En-

J a.a. = . /"" ra, ,- e f t )( t1)| ¿r + 12{ + 3tt) t r) i t ¡ (r , ) + j r _ d()(r ,(¡ l ! }¿(r

- . f ' " t ru-""1* + (4, i+6.1¿¡ + r , t? 72t, ) .1r _ 2

*1, ]" . '1 ' , i ' * , i i : . Í ' , " ; ¡ ' r ) ¡+{2r+r/) i+(r-41)rv.=¡ i+r, j+ur-r i+, : j+¡¡ .

J"" n" - [" 'or,- u,"]dr r (d¡.1 6¡1¿1 + (sr-r::r, ! ,¿¿ =:.?.r¿r A lo hrs. dc ñerenro de m(ra de r0.0.0, a ,o o

_ , , , , . r _0.r O.d, -O.dr.odc 0 a r. Asi que rá i¡Es¡ar

"" ;.i; ;;;;"-ü;#;; ."

J=, tr,or,-"r"ro + {2(o)+3(oxr}0 + rr - 4(0)(0)(.)l rr: =.1..,r. _,

"""iiJiTt*ffi[,:;inii:,1'.;¿:JlglJ; "'= ,, ¿, = 0, ¿z = 0. hic¡lrasque,

J', *,or .ouru,,o + i2!+3(oxr))d, + {r-4(ox,xr)!ro = .1,, "rr,,o

_ ,

".:i":': "i',::ffi ::,::fi1,'llq:.11 i11.^i.-11:1,. z =,. u,, - 0. 2¡: - o, Eienlras que rvaria de 0 a L r_r"g. l" tn"gor "n

*ü';.;A'"mfi;

. f '" {. ' ' qrx|;, , , + t2O)+3¡0))o + {1-r¡(r l(r)r)0 -, . f . '" , . , . ,- , , , , , , -suna¡do .1." . , =, . , -" =

t

202 ¡NIEGR,{LES CURVILINEAS. INTEGRAI-ES DE SU¡ERFICIE Y TEoREMAS INITGRAI,ES [cAP. I!

(.) La E1¡ que pN por (0.0, o) y (¡, l, t) ésiá dadá .¡ ¡oma paúúélrica po¡ t _ r, ,r _ ,i z = ¡, LEBo

).^.dt - J, atet , .nt , t¿¡ f t2, .13, , t ¡1! _ t ! 4f tdt 6,6

3. Hal lar e l t rabajo hecho at mover una p¿r iota una veTen lomoa ta et ipse Cdet ptano)rs iet

;"í"';';l:' i':l'l,T'H"fi:';:fiff#'J"iTX';*" o "

respectivaminre o'no s

F = l3r-4y+22)i + (4x +2!t B,')i + l2rz 4s, + *)kFn. lphno2-0.F -r l j 4¡ l - r4r | 2, t1 . 4! , r y ú =

d + dr, cm ro qk .t tdbajo es

9r.d. =

)ctsr-4s1i- ,4r 2t , j 4ui \1. ,¿,1¿dui l

= f on-ooroo * Lo"*rulnoTóhqs coho aeio¡.c p¿rm¿hss <te l¿ .trps r _ 4 cos ¡,

,r;JT íJ,TX-.'*""

r, (Fis. r0.r¡. E¡rone\ ra,¡r.8frr oF

J* tr tn *" 4 - ar*.4;1-4*¡ r) dr + {4(4 c ') + 2(3*i r)){3 co,rd,

- J- to. - ,o*n, -"¡,1,

= (¿sr lsei"r l Í- = e6"

*:rryxF,rjrrffi a::.ff¡ei'"1-j:r.h:t'"J'{.5*.tr..,;áx",ffi ¡iit*a. catcúzr [ .ads a ¡o tarso de ta cuúa c dad¡ po, ¡ qf i a" t . 3 a x .24.

coño do = \/¿¡77F = \/t¡Gld¿ = .v/iTitd", e ricn.

1.,a" = [" "t;'tt¡ma" = zJ"tr;*,* =fr,*u*1" = ,u.

TDOTIMA D¡ GR¡IN EN f,L PLANO

52,'D€mosr¡a¡ el reo¡eDa de c¡@n en el plaúo si C es ura,/72 cuFa cemda qüe solo es @rt¿da en dos pu¡ros a lo

- ms por una @ra paratel¿ a uD eje d€ coordenadas.Sanr- y, t ¡ r t / . . y,r r r Ia: aaiom de ¡¿s cuns

AEB \ ,¡FB (FiE. t0-4 ¡djDu,. Espeliv@dc. $ ,R es ¡arcgloo ü@frda por C s tierc

{f E** = I"."tJ"l"',.,8*k"f,"=" P(au)1tr{Í:,,,d, = .f"' ¡ea,v,t

- t"" e6,t,10. - Í," "r,ruo" =

Fi&r}¡

¡ir.r|¡¡

Anárosménté, san r - ,r¡(,) y r _ ¿(r) t¿s rcspetivas eceions <te tas @es ¿r¡ y ¿r¡_

A':",,, J..,.1Í'". ',."f,*l* Í.,o,""",- o,*,,u,0,

Comproba. €l teorema de cen en et plano para

f" e,o - "1a, + @+u\da

,:l"i ! i"'1';1 *"'" que ümita ra resión enre

. .l¿s cuMs p¡@sv = r: yl =r s cona¡ d (0,0J y

'1,l). L¿ d,@'óo po\iuk r hdis fl tÁ Fisür¿ r;-jA lo lú8o de /: r,, ta i¡tcsrat curyit¡¡ea €s

l . ' . , " t 'z"t ' t ¡ ' )d¡ { i r rr ' r ' r d ' , ' ' -A ¡o la¡so de ,,¡ = ¡ la itrt¿g¿t cunitinq B

J'=, t",ut r, - *tt otu't + ry'+{Jdy = !," rnn-rr,*"nr* =

h¿go l¿ itrte8Et cuútinea büMda es _ Z6 l7l15 = r/y).

INTEGRA¡,ES CUNVI¡-¡NEAS, ¡NTECTALES DE SUPE¡f|CIE Y TEOREMA, ¡NTEGR ¡,ES m3

o S'* = tffia"o"

= l, 'ot '"otoo *

et $oo, =

), aq'u)dy = 9adu

[f #^*sea,*qo, = f {@_E)**.

lzx'+ rL+211¡1, = l/d,

-t7/t6

Y queda conprcbado el reorma de Gee¡.

Genemü7ar h demost.ación det teoreDa de c,eeDoe¡ p¡ano qR se do en et probt.ma 5 a las cury¿s (.T- q*T" *, cofa.ras por pardterss a ¡o, eies enu¿s d€ (los pü¡ros.

¡^ -Co¡ldétu úm cu^a erEd¡ C kt que pued¡ r¡ om-u m¡m¿(de.dDs pmrG por p,.,reru, o ro. i;a. o.o .. r

::..j:.111 ,,ió ¿dru.n'a r3¿ndo ra rq,a (¡ú rceión cue¡aHlH" :]""$,:,f:l T i": nl;: : :; s';'*::;,;

riI

¡l! r0-5

f!(# #)** = f{{*o"n -fit*-*¡}*o,

tir. rH

M4 INTECRAIES CURVILINEAS, INTECRALES DE SUPERFIC¡E Y TEOREMAS INTEGRA¡,ES ICA¿ '

q f rú + ad! lf ("^,. "{,)*., ,", f ra, ' q¿, lf (a, -+\*",

,í-

süna.do 16 p.irú$ nienbros de (/)y f2) s riene, omi¡i€ndo.l ¡¡legmndo P¿{ + g d}r er qda q

I r l I l - l+ l - | r l = |

S¡n¡ndo los egundc hi.mbros de (/, y (?1, omili€ndo el i¡bsnndo,,t la r.8ió¡ lomad¿ por tas Rr y tRx.

-.ierdo,{ el áEa busda. Asi qü. Á =

9. Hlallar el á¡@ de Ia elipse ¡: ¿ cos 0, | : b sen 0.

"""" = +{'* "", - +t:' = *J*¿t"*" * *n'o ¿' =

*e",1 ea' o^' l l( 'n lP)a,au rar-*."*u:a-e-,a.

Uú Esió¡ 9R tal @mo la que ¡qüi se coEid€¡a o l¿ dcl Problda 5, pa6 ¡s qu€ toda €üvapenefsient€ a { se pu€d. redücn @¡druaherie ¿ u punlo d,a d.j^r \, se rtaña rcsi¿ñ lihpt m,!¿Um Esiól qu€ ¡o es sibplde¡tÉ.o.ex e l]Dm ñútuiplúur¿ .,,¿¡¿. Se ha vnb que et reorña decn ¿l p¡aúo s !pü.a ¡ Egjor.s sinpleDe¡le conexas meradas por €üras effadas, Er el Probl€na tO e6lia €l reorcba a Égid6 núlüpl€merr€ conexas-

Púa Esion ! sinp¡eM& @Md nís complisdas püed.ó er n@ias n{s ¡etas cono h Sr

Most¡¿¡ q¡e el árc¿ limit¿da por ura oNa simple cernda ésli dada por

En el lo l t@ d€ O@q @n p= , ,0-¡

f f . l f = . f Í

+ f"nau s&

{""* ,o. = $(*,', ftt a)a,a = 2t[aan ='ze

* S.,av - s a".

+J"""*a' .

Demoslrar que e¡ 1eorcDa de cr€en en el pl¡no se apli,ca también ¿ regiones múltiplemente cone",.as como lat de la Fieura 10-7.

La ¡€sión $Dbrcada 9t, que e ve ñ ta ñgura, es nútli-pienen¡e conm, pues no to<ia cuna cemda interioi a q spüede ¡educn a u¿ pun.o sin d¿jar n, cono s plede obenarco¡soer¿ndo üna cürva que ró<te el cohlómó rt¡CD. El conromo de t. qüc consiste e¡ et conlomo exreior,{rJKLa y er

'nteDor D¿¡6D s ha de Fco¡¡€r eh diEcción posnrla, d€ nodo

qle sñpE quede ¡a Egión ¿ ta i¿quierda. Se w qüe tas d,R-c'ones po$l'!as sn ta indicadas m h nsura adjunl¿.

Pard denorra¡ el leo¡ena. hices una reta. lal €ono ta ,{D, que se dirá m .¿¡¡¿, qu€ üm Iosextnor e inr€rior. La rgión de co¡ro¡¡o ADEFCDALKJEA es simpteñ68 mn@ y s ¡pti.a I

Fis.rG?

i¿orema de cEen. Lueso

O] INTEGRALES CURVILÍNEAS. INTECRALES DE SUPERFICIE Y TEOREMAS 'NTECRALES

6 Pt" adt l l l "Y ' i :1," ' ,

Iúo lá i¡leg¡al del pnner ñieñbro, apafe el i¡teenndo, es

Lf +l+l

p.*'t. q".1, = J,.

I"*e. "i

c, * r" **,,lLKrHA,c1est^ cúrv¡ DEF;Dy ceserconromode

t ro¡nado por c, y c, (reco'idas ¿n seniidó po,it."i *."*, .1 ,

+ J" =

J , *' "*..

f ea" + aa, - Í^f (# g¡*,

205

=l+l

DEL CAMINO Df, INIEGRACION

San P(r. r, y O(r, r) iuncioúes continuas con primeras derivadas parciales condnuas en bdopunro de una resión simplemente conexá n. Demostrar qDe um condición üecesaria y sufici€D-

te para que lD Pdr + Qdu : 0 e¡ tomo a cualquier camino cerr¿do c en t e. que

¿PlAr' = ¿lQl¿r idéntic¿merre eD t.

Cadicióú sd.ienle. SupóDgas ¡Pl¡r = ,q/¡r. Luego pór .l t or.na de G@n.

$,* ' q. l l ( "e.-" ,P\a, r ' o

J J, t \4, oÚ /

siendo tR Ia región que liñita C.

Codici¡óo rdsrit.

Supó.sas 0 Pdr + Qdrl = oen ro¡no a cualquie¡ canino Érado C eq R y qu. ¿Pl¿/ + ,9/¿I.n

aleúr punto de Rl sea. po¡ ejeñFlo, ¿Pl¿! AO|AÍ > O .. (xo, ro)-Po¡ bipótcsis, ¡Pl¿r, t ¿9l¡; $n onti¡u¡s e¡ tt. de nodo que debe h¿be¡ una EBión r a b cual s

i¡rerio¡ (rd,yo)para la clal ¿Pli - ¡Cl¡r > 0. Si r 6 ¿l conlorno d¿ r, .nlonces por e¡ teo¡em de GIfrr at /"o aP\

QPd.+Q¿! = |" . t . t \ . a; . r , . ,v

_ ,

co¡úa ¡a hipó¡es¡ de que ó p ¿, + Q ¿, = 0 p¡r¡ toda curva srada de R. Asi, pu6, ¿Ql¿t APIAr aopúede se¡ posiliva.

De ma¡€¡¡ análosa se püed€ denor¡ar que ¿0l¡r ¡Pl¿/ no Duede sr neg¡tiv¿ y que. por 1a¡ró, 1i.n€quc scr idé.ticancnre fula. o sea, que s time idé¡ticanerle ¿Pl?r = AQI¿\ q q.

n Sean P y 0 definidas coúo en el Problema 11. Demostr¿r que una condición üecesaria y $6cien-

teparrque I c, . t r FSrysea,ndependrenLrdel .áminoqueunelo 'punros 4yrentesque

en fR se tens¿ idé'ric¡nente APIA| = aQftr.codició¡ $ñcienr€. si ¡PlÜ - ¡0l¡¡, eotó¡crs, por el P¡oblema I I,

I P¿r+Q.4, = 0 A

{véa* Fig. I0-3). Dc donde. abFviando las integt¿les porsupEsióndelincgÉndo PÁ + C/L, s liene

' , , . , = ' ^[,

= ,,1 - ̂ ,[ '^' J',= J'"¿s d¿cn, h iótegrál .s indcp.ndieme del c¿niho.

2M INTÉCRALES CURVILINEAS, INTECRALES DE SUPERFIC¡€ Y TEOREMAS INTEGRALES [CAP. I'

Si la irtesEl 6 ihd.tendiente det cdino, .ntor@s p6s @atequiera @ninos Cr y Cr de R e ti€rc

I " . f I - | ' [ =o^í. ,í,

De donde e deduc qu¿ ¡a inresml .urvill@ €r torno a @tquier csmino a@do rte R ¿c nuta y, po¡ !a¡lo.por el Probrtm lt. qÉ AP/ó, - AQ|A..

s€a¡ P y 0 como en el Problem¿ 11.(¿) Demoskar qüe uüa condició¡ necesaria y suficiente para qu€ p d, + g ¿), ea difere¡ci¡¡

ex&ta de una fuücióD ó(¡, r,) es qu€ Aryay = aAlAx.

rD, Mortr& que m raresoJa pd¿ +ed! - J^a+

= O<sl _ C(.{) dobde,.1 y,

son dos puntos cualesquie¡a.(¿) Codlci{. 46¡i.

st Pdr + QtIu = da = ; id ' +:ardv,

diLeno¡l ermra..nronces t/) ¿ól¿r = p.(2)¡ól¿J : O. Denv¿ndo dtonÉs (/)y t.¡t @;resD{ro ¿ rr y \. 6pecüv¿@k, ¿pñ! = Ael¿xpoaí¿ supush @oúruidad de tas derivadas paF

¡ s.gú¡ .¡ Pñblena t2, si AplAy = AA/¿r.

J P¿' + Q ¿, es iideFndi€fte d.l <e¡¡o qüe

lne ios dos punto! En p¿rriotar, sn l¿,¿tylr../) lN dos punros y detitre

ób,1t) = | p&+ed1,

Ét +^x,uJ - a@.y) = J," . , ,

p* t Aoo - J," , , ro" * Soo

= J,,.,, eoo * Qou

Como la úlr rma InksÉt 6 ind.pend,erk det súúo qu. lne r¡, vt y (¡ I ^J.

, ,. * puede etesi úc¿m'no er fsnenró de da en¡r 6to, punro\ (tés Fjg. t0-9, de modo que dv . ul en¡on*:,, p-¿leorna dcl valor ncdio paÉ inLgrat6,

et ' I ar .ut - ot¡ ,yt -

+. f"-" ' ro, = pG_a^r,at o!d<1AJ A¡ J..,I

Tonando .¡ ¡ímile pan A.Jo, s tie.e ,ó,/¡j = /.

Aúálosedl pucde deDor¡a$ qte Aip, = A.sc deduce. pus. que c a, _ qas . !a, , t#on = or.

{ól Sed r ú,. y,). s (r:.),r. De Ia p¿de t¿).

e@,vl = J," , , Pd' + adu

E.torccs, omnisndo el iotegnndo p¿¡ + O¿t, se üeDe

f" -- r""" = f "' ' - r"' =r , J. . , ¡ , J," . , . J, . . , , - ot" v) - o l ¡"vn - +@t olal

I

1P IO] INTEGRA!ES CURVILINEAS, INTECRALES DE SUPERFICIE Y TEOREMAS INTEGRALES 207

¡{ (¿) Deñost¡ar que J,,., 16.u" - ndÍ + (6,,?/ 3u !') ¿¿y es iDdependiente ¡ler caniúo de

(1, 2) a 13.4). (ó) Calcula¡ ra intcsral.

'' '"'"1.i'i;i,i*n; f i;.'#:" H':ffii"" - t2xr - 3r = ¿Qtó' v po¡ e, p¡obrda 12 ra

como ta rnksrat cdrv,hned ¡\ ndeñrdiede^det -amr o. et;i"e .u¿tquic. .dñ,no de ,¡.2r a (1. ¿J,

üT"';#:"irH :"irr:'ó:i;il:J.'t: i:.:lii:l1,¿i '*r" rr¿" "ói,'l'li'j''" i;l;

J", ,Qan-q)¿' + J"," \1au surdu = 80 + 156 = 236

Mérodo2: .ómoj i | "***" , , , 1:-"- , - , , u, f_- ." : , , , .

"-^-: :1-1l l - t : l " r ' " r t+Ía).De(2) 'ó-tx l | , 'z-x"+s(¡) .p¡nqueenasex'Esiones.reóiillill"' '-" *" *'...t'r = g(¡) = ¿ um constan,c Lucso , .,'',' - 'i,' * "lliüilii iJ

!,,,,",' a*" - rt * . (6!'! -sr!') rtu = I,,-.,' "*n"

- *, ..

= 3""u" -"u" + "ti:;:i = 2,,6

obsúeseq* ar haÉr ste circuro e puede onilü ¡a consta¡re a¡bii.,ia c. véase lhbid.r probrha 16,Tmbi¿¡ * bubi€n podido obsewar que

(6'!!-,)¿' + (6r'v sxu\dv

-

t:;::fr:":;:,y) =,,",::;:"{;,,

de donde es cláro que ó = 3r:r, - 4,r + ..

L' . L¿rcul¿¡ j l r . rcos,+2rysenr-r ,¿\ . lx+(,2wn,_2re-) . renlomoalahipocic lor

de x'z13 + !'zl. a2t3.P = r:), cos ¡ + 2xl só r r1¿, e: x2 *\ x - 2r¿,

E¡to¡c€s, ¿pl¿), : r, cos r + 2r sn : _ 2]¿en tomo a cualquier tuino c"..,""

"..".,,"i.=r:,?u:'¡;n¡dorqxe'

po¡ el Prcbleña ¡r.la intes¡¿l

L\'TEGRALES Df, SIIPERFICIElC Si ? es el ánplo que fo¡man ta normal en un

z, dem.sr¡ar que pü¡to (J' l' t) de una süpc¡ncie s v el eje positivo

'se¡ 71 v\+, , YF.Ta-E.e8ün que ta ecuación de .S sed .- n, , , . - r , , .

" =, .

-Si Ia ecuación de Ses ¡(r,r,:) = 0, una ¡onat a r eó (j,r,:) 6 vF=.¡,i + 4j + ¡"k. L¡eeo

vF.k = v¡ . i ( lcos7 o ¿ = v@E?lE"o" rde donde */ = vE-

cono se buscaba

-

En 6G a$ r¡ eorción cs: - /t¡ l):sj !l9de escribir¡(r.r,z) = z 1t',r) = o, de ¡tonde F, = 2,,r,- 2,, F, = 1 y s hala lse '

= "fiV_z

208 INTECRAL¡S CURV¡LINEAS, ¡NTEGRALES DE SUPERFICIE Y TEOREMAS INTECRALES [CA?. IO

,(t1l carcurarJJ ur¡.r,¿){s siendo s ta superfici€ de¡ paraboroide z = 2 _ (¡, + /) sob.c erprano:r? y U(¡, r,. z) isuat a (a) t, (bj x, + y,, (c) 32. D^r u'a inrerp¡€r.ación fisic¿ para cada .*.

lE.

L¿ inteSn¡ p€dida 6 iguat a

f f

-D ut¡ .u.¡ \ / r+ z.+, idrdl t t t )

dond€ 9t 6lá p.oyÉción d€ S sb¡e et ,l¿no;v d6d3Oútt+y'=2.2:0,

Cono r, = 4ii z, = -2r $ pü.de esibn (.¡)

.tJ L,k,u,¿\/1, + ax + au, d,d¡r te)(¿l si {/(¿),,2)= t. (r) qu.da

af-J)

\ ' tL+ 4¿' + 4L'd ' ¿!

P@ c¡lc!¡a¡ csl¡ jnresrat páses¿ a @ordeD¿dasporar.s (/, ó). tui Ia ides¡¿l sr @nvieÍe m la

l:_" Í,.' "\ñF.¡,d,d, = !'" "$o*

a*1"-"", = fF¡si@dte podria ¡e!¡es¡ra¡ el á@ d€ ta supe¡ñcie So l¿ oe de S supu6t! uno ¡e d€midad_

tb) s¡ vt',u,.t = r,+r', (r) queda ll @, + u\,/tTatT¡¡ d,ds o eo coordenadas porcet

li." J,. ",,,rrt +. ", ", _,*

a do¡de h__i¡resra.ión.@¡ rspelo a p e Hliz¡ c@ r¿ sustilüción JaJF _ !.

"".'':Tfl;' ff:: ',f*# ü'#i:"fft'::,fd."'i f"-*¡: ], .¡" , !,p.i*¿. q* r" ¿*Q) Si Ult,1!,¿

- 3.,le) q\da

ff_. l ) rzvt .at ' , av'd,¿, . l l s,2. \ , , _ u,, t . / l - - iF :ñ, d, . t t

o ctr coord..ad¡s po¡aB.

J ) " t,* "ut' -,'t w,aara6 = !f;

,",,"T::"::kfrT;*,#fjfr;'i.1; " *"-'** """ dmsid¡d - 3:. o bi.n pod.ia sd

Hallar el á¡ea de I¿ superhcie de un¿ semiesfeÉ de ¡¿d¡o¿ qu€!uedá dotro del ci¡indfo que riene esre ¡¡dio por

Las ecu&ion.s de la @i€st¿¡¿ y rt€l citird,o (Fis. to-rr)J¿ - F:VI

\ l^ - ot2t, + ', - ¿,14 to,l + I = ü). '

, - ñ. .

Fts,lo-ü

!ü] INTECRALES CURVTLINEAS. ¡NTEGRALES DE SUPERF¡CIE Y TEOREMAS INTEGRAIE5

. f f _tuo busada 2. t 'J t t z l r idrda _ z l l _;==!:_ a,au

^!vat ,tlay dos ñélodos para *re c¿lculo.

Véltrdo l: Utiliado c@¡de¡adas ,ola¡es.Como r, + ,, = d cn oórdenadas potües es ? - ¿ cos d, t¿ integral se conüerte er la

I t , fúdó -').."), " ffi"ú¿' "J,.. c-),-" ̂

= z^' 1""'' 1r- *ota4 = L, zvMéüdo 2j La i¡rcsrál es igldt ¿

2W

r ¡ri;:i2 | | a::_:¿, dr =

Hadúdo r - , rgz d, .sta i¡leg¡al se @nv'erte en

,a I si , '-l%-¡ d,

rd'- t'1,="

&J" *"- , { ;+-d,

| ^" ,4d¡J{ a ,E ds* ' ,d ' a, ' j t , ,s¡ , rJ. _ lJ" ,2,"a,}

- z. lo 's ' t i ' - f " ' , "* , , - r ra, ]

- 2dy/1 _ ttc , _ ,)t:,. j = \"_2t,,Obs¿ñese que las integ.áles a¡teriores son r,p¡o?¡¿s m reatidád y debdan rr¿tase Do¡ proediñifr¡ojde llhrre adecuado, tp¡obtem¿ 78, caDnuto S. yiu.U,* Cupir"r. r.:¡.

L Halle el @nro de masa de la superficie del probld¡ lZ.

IJ zds It ,l¡;77¡ar'¿, dvrorrñe,ra¡=r:o r ¡_ i¡7s i¡ l ; ; ;¡¡¿

Numendor y <tenoninador e pü¿den oblfter d€ los Brúados de ¡os p¡ohlhas t7G) y l7(¿), Ésp@d%_ne¡te. y s liene er,omes, - +# = H

:r ca*r".lJ a.nds,dondeA: ¡?i, r,t + (x + z)k, s es la parte dél pláno 2r + 2r, + z = 6que queda eú el prime¡ @i¡nte, y n es u¡ vector norD¿l unitario a ,S.

Unanormal¿J$ 9.2, . 2u, .6) =2i z j , Lya" n =$='z i+l j+t ' . ¡n,on*, .

v2'+2t+1!a,ñ = rrr¡ _ rr j + (¡ + : )kJ . {" , - : , - " )

- zxy 2t\+ \r +.)3

2ru zzt+tr+6 2r-2r,_ ' -_.-

- zru -2rz . -2x + 6

:I¡ ¡niegd de superñcle busada 6, pn4,

+I

.:r

i21.

INTEGRALES CURVIIINEAS, INTEORALES DE SUPERFICIE Y TEOREMAS INTECTALES [CA}. T

af / r - , r ] -

r , , r4\ -= #

(-j.-- )! L' + 2' + 2' dl dt!

= 1,," l,-,' *" z'" ' - z! + 6\ ¿! d'

= !.-"ar ' *u 'y u,+6úli 'dt = 21t4

Al tmtar de integrales de supe¡ficie solo se han consjderado slperficies cor dos ca¡as. Dar un ei¡-plo de una superficie qle Do üede dos c¿¡as_

iwry;que ld puntós ,4 y , coincidan .on los D y C ¡6p¿e AD

lJiliili;,ill',Iil il,ll"'ÉX: i:'ilr":":,"J* T*que al ñó\e r $ore la superficre llega o'rá \r ¿ P 7 \"con *nudo opuero al que rflh ¿nrel dtti Sr r qui- I

".. "o,o,.ur u,,.u'u ¿. l" supemcre otmenre,.e \ i

,lea¿rl¡ r renerla rod¿ coloread; I ra \¡.r'hne, tta- t\ |nzd¿ büda dP ua"btu,

-\*fudláte¡a qü¿, pó¡ lanto, sne¡e llanare supe¡dci€ "o¿/i¿n.a¿le. En dnbio una süp€rñcie bitátera es rr¡¿¿- Fia.lo,ls

EL TEOf,EMA DE LA DIYERGENCIA22. Demost¡ar el leoreM de la div€rgen€ia.

F¡&10.1¡

Se¡ S üm superfrcie ce@da l¡l qüe u.a pa¡ateta a ün.je d. @odenadas cofa a S en dos punros ¿ bSupónsas que l¡s ecüacions de lás rbrciones inferior y sup¿rior S, y S: so¡ z = r(r, r,) y z :r(¡,/)Ílivmote, Denó1* la proy*ió de tá süpÚncje sobre et plano ¡r, po( q. Sea entones

f{Í+* - f!Í#*","' = .$1ti.".",#*)**J I ro"t",,, r"t ai,, y, Í )t ¿! d¿= ll o"<",",al'"

,, "jfli '"

*" '"*"' ",'

¡tt d' = @ h d& = k 12 dsz, pu6lá noñal ni a s: foma ánsúo.ü

CÁ' TO] INTEGR¡LES C:IJRVILINEAS. INTEORALES DE SUPERF¡CIE Y TEOREMAS INTEARALES 21I

Para ¡a parle inf.¡ior, S', dr & - -@s tr dsr : -k.úr d,t,, pu6 la nomal ¡r a Sr foña á.C!lo oU

J.t A,(r.v.t, ,dud! = .r. , , ,r¡. ' ¡ds¡n5'

)J a^',v.t, tda¿' - . f . f ,4.tr.n dsvt

JJ a"r."" as, * .fl e.",.",os,

. f [ * . "as

(4 l l l +,¡y = l l . { ,k.nds

Análog¡Bdle, por p¡o'@ió¡ d. S lobE los otros plaúos de @rd6adai

at Jl! lav = Jf a, r.' as

@ !Íl Vdv = .fl e.:."0s

l l a"o,o,r,toua' - ll o"6.u.¡¡u,o, =iR

tJ. , e. ^

dv , .1 A'" rs

El tcoroa se pled€ setr€Eliza. " **,rr.. ,"" *"

-;6 er más d€ dos purtos por paralelas ¿ l@

.jé .oordo¡dos. P¡R dmost¡ar 6ta geneúlizsc'ór. sübdividas la rcsió¡ enc€Eada por s cn subrcCioú6cuyas superñcies cübplan la @odición del leorcna. El piocediDimro es áúAoso al ülitizado par¿ el teolw

Comsoba¡ el leor€n¿ de la divers€nci¡ para A = {2¡ z)l + ¡1],¡ - xzzk €¡tendida ¡ la re-gió¡ f in i tada por r = 0, x:1, !=0, !=l , z=0, z=1.

Prine¡o $ @lcu¡¿ .ff o." rs,'-u. s t -*-

6cie d€l cnbó de la Fignm 10-15,

C¿r¿ Dt¡C: ¡=i , ,= l Entones,

J,, a.n¿s = J, J" rz ar+j- , .*r . iara.

= )" J, tz-ztdud, = stz

Ca¡¿ ÁaCO: n=- i , ¡=0. Entonc.s,

f fn' .* = f ' f ' , - , , .r- ' rr"o.Ídi;

= J, J" z¿ud. = )t2

Í$ (# --#. #)* = fJr-n'i+e'r+'r"tr'"as

Fla,lGl¡

212 TNTEGRALE-S cuRvrL¡NEAs. tNTEoRALEs DE supERF¡cIE y TEoREMAS ¡NTECR,{TES [c/

Caru ABEF: ¡= i, V =l- Entoacesf r

. , j ,1 n. , r" J. J. r , r r , , i I t , i r i r . . i¿,d¿ ) , J."0,* r /3

Catu OoDC: n= i, /=0, Lüeso

f f o. . ^

f ( ' , , , q ' . ̂ n t . , ¡ , " '0, o

;;};

Coru BCDE ¡=k, z=r. LúeEú

J[^. '^ J" ' ! , 'uu " , , r , ! j , , , i . t^d¡av l . ' t " ' r , t r . rv . t ]2

C¿ta AFGO: ¡- k, ,=0, Lueso

f fo. ' rs - f ' ( 'p, t - ¡n: ; - , u '0,n" ot : ;

súm¿ndo .rJ A.¡ds . i . I { r0 { 0 ! . pu*roqu.

!.lJ o'oo, I,' I"' !,'" " z'rarautz = 1l

El loffia d. dilereencia e vcn6€ en esr. m$.

calcular J.J r.¡ ds, sendo s una superfic¡e cerada.

Por el teoreM de diverse.cia.

l l . .""s = (f f o ,a,

- ( l ( ( : ' ,9¡ ' '- ( t((": .v."1)", - " l l | , , Bv

JJr \dt du

donde /cs el voluñen ¡odeado por S.

catculat . )J lz 'zdud. l ¡ '1 l t ¿xtd¿d.( e¡ ! -y|¿tdr i l | dondesesrods la superf ic i

de ¡a resión semiesférica limirdda por z = Ji, =,,- ¡ t: 0 r¿, po. et reo,eñ' de ravergencia lleo¡ema de C'ern en el e.pac'o). lr, direcramente.

(¿) Coño. l rdu -¿,5cos d, dtdx:dScos Í ,d: . r=dS @s1, ¡a ihtcsrál pued¿ er

r | { / ¡ .* . - " ' ¡ , - " , , ¡s - t . t a. .ds

dond. ^

.rzzi + (;l - zl! + t2$ + r¿:)k y r=cos di+ cos pj + cos rk, €s et @or noñ¿

Lücaó, po. el r.orem¿ de la divc¡gencia, ta irlegEl es

f f f " .^* f i f l , - , - , , "1.- ,- . . \ : .e¡p- ! , {r¿v ((( u, .¡ u,o," í" ) r . , , r

donde / es lá rcgión limilada por l. sni*fera y .¡ ptano l',.

'O] INTECRAI,ES CURVILINEAS, INTEGRALES DE SUPERFICIE Y TEOREMAS INTECRALES 2I3

E¡ coodenadas estéricas. cono m el pmr,Jma 15, Capítüio 9, esla int€sÉl cs iguat ¡

4l | | " , *" ,

"¿, , ¡" 2-a '

(ó) Si sr 6 la süFrdcie conveM de ta Egión s@iesÉnca y s1 es ta base (z = 0), eúton6

$ *'** - J"' "Í:..{r-=*, _ ["..!.Y- z"\/a' t, - z, ¿zd,

1."\té-7-- !) ¿zd.

J.= "J.-^

| " \ ta"-r ' -2,

z!dz¿t

.J.J (r 'a- ¡)dz¿x = o,

JJ t2, t Ao' tdtd¿ = l l " ' o¡= ¡ "!= !ri., i

J! a",-,¡n,o' =

.ff L"u*,o¡n"on =

.ff *,u,n" = o,

lf e,,*o',t,,-uo -

t.: " Í.*

¿ -.1Í-71J,"J," ¿vr= u"- , , d,o, ,

"J- ." ! . ' " , ' , " , / ;=t=, , , t |d,P

"4=+ 41 | v, t t j ?-¡au¿,

Coño po¡ siner¡ia todas 6tas inle8¡¿les so. igu¡tes, e¡ Büjtado, utiüzando mordenada potar¿s. es¡'

-!E-12 J.-" J, "

u"1"" -i4 ¿s d" -

TMREMA DE STOKES¡ó. Demoslra¡ el teorema de Stokes.

- So S um Ípcrñoe ht que !u proy¿(ron 5obre

c pran6 ! f J: y u son resion¿s hñúado! Dor. Í r_E sinpies ceÍad¿s. coho se ,.di"u o tu rd. rcro.*ponsas qú€.tse¿ : = / i r . / l ó r _p(r , : r o ¡ _tr,:), s'endo ¡a./¡ unfomes. conrhuas v ditsenÉbl¿s Hav que demolmr que

n( ' ' " f " , ' * . , " ¡aa"d,d. = L!

,tl

Iil

i

ti

tI

= . f . , [v. ( r , i+¡"J+á"t . l l .hds

;- J. a. dr

.¡o¡de C es el co¡tórno de S.

L.nnd¿nr p, im?,ó . l . f o,r¡ , ' r . .¿s

Fis. rGfi

2t4 INTEGRALES CURV¡L¡NEAS, INTECRALES DE SUPERFTCIE Y TEOREMAS INTEGRALES TCA¿ I

i jk

¿,¿ua. -*¡ .

rv^( .4,r , r .nds _ (* , . ,_ , ; | , " _)^

siz: / ( ¡ . r )s laecnación.tes,et le lor tocatdeünpürbdeSesr=¡¡+},J+?tr-r¡+/ j+/(¡r l

"o*. l l , - Í jk - j r¿/r , . r . . j_: *- *o-""g".r .asr. po, ranb. Frp€nd,cura, ¿r.

de modo que

" 'ur4 = " . ; +f t" .* = o o " j=-#"Í

[vx(¡ , i ) ] 'nds =

Ahonsb¡..t .4,(r,r,') = 1,lx,a,tlx,u\ = e@,'t; ,".¿"

lv ¿(¡ . i ) l .nds = :1n.Lds

lln 'o,'t."0" - .fÍ 1-*tlindo rr ra prorq,óñ $bF e, ;;. , ,.,

" ,..,.." .".:"

"" ", ,,- o ,,,." .**, * **.

t F ¿z dohde f 6 el conlo¡no d. E. Cono m €da pu¡to (¡, )) d. r el valor d. F es et miso qü. .l ¿

,' en úda punlo (¡r,2) de c y cóno ¿¡ es .t misño púá ambas üras, dene qüe ser

g,.F ¿, _ 9 A,d,

rfJJ v. , / , ¡ i .n,¡s

, A.d,

Asimisno. po¡ proyeeión sob. ,i, *-. on*, o. -.-,**l

fl v"o"ttt'"os = f e,an, l fn"o"r¡ ."ns = $ e,a"

JJ ro ' or." ,s = f" .o '

:*:1"1,i*,ülirr_i,i ri:fl ffix,Iii.i::."J;:,:J3:l:: :Tj *:jr¿.fr:H,?jt::T".?;: jillr;*J :,]:Fi.'tWi::ff Hi;ii"ti.Ía,"Ji*.:n*ri;ii.',:*rl,i.,;',:*

(#"',-f" -)* =(-',4ff"'. -'#"'-)*

-(#.#'ú)"**

¿y'Eau=

= *a!' a" au

$ r{e)eo"t :

rioas en rorno a c,. c,,.... q, ru rr"¿.r q*.,urru ", ¡;-;i.;;;;;;;#;;H;'á

¡E] INTEGRALES CURVIUNEAS, IÑTECRALES DE SUPERFICIE Y TEOREMAS INTEGRALES 215

trTY';' i'j:Hi:jj.fi: ',": i,=;,,,, "J"'i.,.,p'?k, siendo ,s ¡¿ süFrrci€ der pa¡¿bo-

EI contómó C de S es ún circúto de eúrciod¿s ¡, + rr = q-- . 2 y_de.cutrrom, parúérf ica\ I

- lcóq¡. I 2*rr . : _ ) ,

tu 0 5, = 2r Lueso

t A.d. = 93,d¡ - r ,¿u + uz'e

- f r tz * '41-z *n4a, - (2 cG t(2x2 cos0d¡

= J'irz**r + e -",oar

= zo"

t jk

Ar¿uk= (zr+r) i - (z + S)t

¡t ro.rt

I A.d" = . l . l (v ar. ,4s

- V(r¡+rr-2z) ¡ i+ r j k" - |v=Cr+t:Eil '!,c_+r+,

lJro"or."* = l l w "at ." i1:ddt = l ! uo*tn.*" to"oo

= fl1"(t+"1. '"

+'";u" + sj&duo bim ñ coordenadas rÉlarcs_

!)-"f "r, -"rrr,rt

+ p'co"ó+ p2/2 + slpdp.to = zor

,'"%:T1*':""T,:Tii:;'¿ffifi?:'""' jT":T: ** '* $. a" a, = 0 en toda cuna cera-Cddidú¡ sftieré. Supó.sase V x A = 0. Erto¡.es, po¡ el leolma d. Srotes,

suprlnsse1f e.ar = o en tomo a todo camino @@do c y qü. v x A + 0 en dsh punro p. suDG

ITi:;]l:LT.:ff":lj;Tüff 11:X"'*t'",::"::oa' q-P erio ñ qG v < a .0 sq s

¡e¡r.i r ¡:o.sien¿o¿u¡¡ñ;üü;;:;;.¿T:#,ji,11:Jl'=li#ü""1TT,l1i"1llli,j;.?

f"" '* - . f l to,ot ' "ns = " . fJ ' . "as ' o

ro que con¡Éd,ce ta h'póreqs d€ oue 6 o.o. = ^ "

.J. lenubh qkv! a=o

Se sieue, pues, que V x A = O es ldb¡é¡ um coúdición úasariá y suncjenle pa¡¿ qüe !¡a integÉl cür_

srinaJ,, A.dr s ind.pc¡d'dE dct ÉDino quc ure ¡os punro\ p, y p:.

216

29.

INTECRALES CURVILINEAS. INTEGRALES DE SUPERFICIE Y TEOREMAS INTEORALES ICAP

DemostÉr qu€ una co¡dición necesaria y suñcienb para que V x A = 0 es rat que A = qco¡di¡fi s6ciqte. si a = vó. enronces I x A = v ¡ vó = o po¡ et probrema 80, capítuto 7, ¡{aim rrl

r' si v x A = 0, entohcts por ¿t probteft 2s., a.dr = o en romo ¡ cuatqui€r qñino er¡ado y

J. A ' d¡ s i¡dep.idienc del canino que ü¡a dos punos (¿, ó. !) y t¡ _r, :). D¿t¡¡e

E orcs ot¿.y,n =

Í',"',' ^. ¿, =

.f:.:..,' ^*

+ a,d! + A1¿.

o\ ' r l r . ! , , t . * , " " f

' - " t ,a, -¿,dy. , A,a,

. Como ta úllima inresrates i¡d¿pendienle det canin¡mino un sesnen,o de ;," ""i;;;,i;;;;,;;;.;.;."ili|;']ii,"i.^iL,¿ílLüy"'*--*

r ( r+ar. / . , -é(¡ . r .¿ f f " . ' " . , ,

¿, s,J. , , , , a. t¿t er , .v, . \ o<d<laplicándo et r.o¡ena dei va¡o¡ medio inles¡at.

Toñardo tímnes de ánbos mienbrG pan Ar r O, se riehe ¿dl¡¡ : ,,tr.Anárogahenle e puede deñostm¡ qü. A,p, = A,. d,/Az: 4.Luc8o A ¡ , i . ,a, j - , r , [ = 1oi . dJt L,é- J¡ aYr ¿¡ k V9'

- # ftH$if ñffi,":T.:"fx'r":r1:"TiT": r,:.\",,^;,ii ^2 d, + A3 dz :

C¡ltilfi ||..sri.. Si^d,+A,dy+A,dz

= aa = u#¿,+*¿u+E¿",

o ¿*=A, \ , aá= A, Lst f =a"

Derivando cnron$ se rjen€, si ¡as deiivadas pa¡c,ar6 so¡ ontinüas.

+=+. 94r = !4! '!: ="i"q¡e cs juransnre t¿ ondición V x A = 0.

Olm né¡odo: Si A,& + A,.tu + A,dz = do,

A = ¡¡ i+rr j+.4r* = f t t+af i t+f f* = vode donde VxA=VXVÉ=0,

coütici& {t iqrc. Si v x ^

= o, por €t prob¡ha 2e. ^

: Vd y

A,d, + A,4! + A1d. - Ard¡ = v9.¿r =

r¿) De la par ie (¿t at" ,o,4 = t" , " , ' , '

¡ ,d, + A,¿! + A,dz.

fia, +fii" +,f a"

l,'",'" ,"" e,a, , r"a, , o,* = J'.-,"""' u = ó(r,,s,,',) _ +(s,,s,,

Lh.5fl

IO] INTEGRALES CURVILINEAS, INTECRALES DE SUPERFICIE Y T€OREMAS TNTEGRALES

Y sin ¿scribn el in¡ecJa¡¿o,11¿\ + A2¿r + Atdz se rie.e

2t7

| | | ó.¡2.a, . , ¡ a ' , . .u, .zn

f¿) Demostra¡ que F= (zr :3 +6y! i+\6x-2tzn+ ex,z, _ rz¡y es un canpo de rueF

4\ coD*n¡ l ivo. rár Catcutar J. F.dr r iendo C cuatqu,er camino de ¡¡ . ¡ . I , a t2, t . _ t ) .

l.) Dar u¡a inte¡prehción fisi@ de los resultados.

¡¿, I n compo d. tleu, F e. consauvo $ t" ¡nleeratcunrlnea Jc

F.d¡ es independienr. det can,nó aqüe une dos pünros cualesquieú det nismo. Uóa condición neceen¿ y $ñciente para qu¿ F sea o.*Flat ivo6qu¿VxF-0.

Cono ¡quí VxF =

i jk

¿¿a" au a,

2.¿+ 6! Ax 2uz 3.t.t - U'

Sesin et P¡ohl.na 30, F.¿t = (2rzt +q)¿x+(6! 2r2jdy + l3a2z1 r:)¡r: €s urá dia€E,c,atexacta ¿?dj siendo ó r¿l qüe

(O = = 2¡z'+ 6r

De donde e obtiene, fspútivamcnte.

t = t" t ,+6¿v+f ' \u,z) 4 - 6"u-a\+ hl t ,4 a - á.¿-u",+ h| , ,u)que,$n.onpdl ib l6! , rLr . : ) . - ,1, ¡ . t , t \ z\- o. ! ) ¡ _. jencurocsoo!

l ! qn qú., nor el probtena 10.

J,, , , , ".0. = . '1 + 6ru - r '¿ + ¿¡l j ' t ,- : l = 15

O l¡mbién * puede obscrar que

r.¿r = l2t?!dr + B.'¿d.) + l6|tu + 6"dd l2u,drr + 1t,dz)= d\r'¿) + dlÉt|J - d\v1.J

- d\..2. + 6.! _ v'z + .l

Como la ihregol es indepadi€nie det qnino¡ s puede etesi¡ @alquicr cañi¡o p3rá catolarta; lenando el lbm¡do po¡ los ssme¡los de (r. t, t)a(2. - 1, 1). d. ate al (2, t,l)yluesodeésleat(2.1, _r),resuha

I t2¡ 6)dr + | \ I2-zetd! / I J ' ¡ l lz '2r_lrd¿

i ¡s

dorde ¡d primera 'nree¡d,

{ obrEne de ta cunihne¿ ha.mdo I r. . _ t. t'j _ 0, r'7 O. to srund¿hacendo. , , . : -Ld\ O.¿2. O.r rd rcrce,r ,nreCrat romando r_,2,) - - t .d,_O;ü i .

r l FnÉ¿ñtuk J

F. . / rRpE*nr"et t r"bdjoh{hoa mo.er unobJelod.r t . | | | ¿ ¡2. t . _ | I a to taryóde c Eh ú mDpo de tuezd co¡s¡várivo .l úab¿jo hecho es indeFndie.te det camiho C que uh.6iós

= 0, F es conk¡v{tilo

et ufi = e'-ztt" tq # =

) VARIOS

(a) sj r = /(,, D), ) = s(,, D), def'é una tnnsfomacjó¡ que aptic¿ u¡¡ .esión R det plá¡o ¡ren úna región t det p¡ano ,r. demos!¡ar oue

2I8' INTECRALES CURVILINEAS. INTECRALES f)E SUPERFICIE Y TEOREMAS INTEGRALES [CAP. |.

fl,,* _ $l*4r8t""",

(á) lnlerprerar eeonét.icanente ej .esutt¡do a¡ler¡o¡.ra) 5. a rque .e .upone cLnJ .,np¡. ce,r¿d¿l e. e¡ !o, Iomo de ,t, mlonces. sesú¡ €l probreña 8,

|f,,,, = + 6,' t¿ - ' ' 'du ' udr 6

Po¡ la k,nsiomacióo dada ta inrese¡ d¿i ssundo menD.o de (./l e convierre e¿tf /au2r, ' \ ; ír ' ' ; í*) '(; : , ,"-31*) = LÍ,(, i l ,{,r" (,!":,_"3,,)* *iffif'

l" "ct"-'u' a. c

". cJ pra¡o r, (súpüera de ,a, nodo que c.sa ranbié¡ una cnpa si.*

"" "o.

,u"o-u * o**, ,' t , es ta Eeión det p¡a¡o rr ,le conrorno c,, et sesundo hiebbro de (?l

+ $l*G,#-",;)

En g€óeral. se puede dcnór.a. lvÉase probltu 83) que

denadas cartesian¡s, ta egu¡da en coordenadas curyillneas.33' seaF =

ffi. or carcürar vxF. 1a¡ c"r*ru. ¡[' r.a,

"n romo a u¡cerado cualquiera y exptica. los resultados

fJ "''^o'o' = ÍÍ'ua,').,(.,.)¡lWBl*^\h) J J ¿' ¿v t Íl l#?31d" d, Eprse¡ra er árq de ra r€sión {, ra prine.a exp¡€sadá en

I I i , . lv^F = I ¿ ¿ ¿ |

l , au a; i 0 en.ua,qu,e es,on que e\ ! rdy¿,0.0,

l ;#. iF " I$ r .a, = $ -uaa+,a,

"-;

".r" '

= psen '

vendo ¡' a) 'oo'dñsda' por"^

-" - _panrdé+Jpcosc,. l t = pco.ódi+dps.no

t

t{ !

h

-;

E"* ' - - t#f ;4=*="(*" ' "1)CD,lvéa* Fis. to-18(¿)l euc r@fr €t o¡iCe¡. d = Oen,4 y ó = Lpues de u¡a luctta comp¡era vorvi.ñdo a ,i. En e..€ casó ta in,"_.",

",_;," : ;;

"i*; : dri¡i

o@de { h¿n pu6,o ram. de,¿lo, ab.o,u,o p¡¡a ases"- - -

=, $ l::,#,l," ",

.l.l o,oo. - P-" ""du'a¡ qrc ei

'es¡rr¿do e\ nó n.sc¡tro lono b¿

!01

-

219INTECRAf,ES CURVILINEAS. INTECRALES DE SUPER¡ICIE Y TEOREMAS INTEGRALES

(ó)

'=" '*

la-

Fra. r0-¡8

Pa¡a una curv¡ cerrada porisp lvéase Fis. lo"t8(¿]lqü.no rodee cr orjÉen, ó = óocn py ó _ó¡rcs una vu¿lk cónplera votvichdo á p. En esre casoc¡ho F = A + si. v , F:. ."".",",,",,. . ,i;"_:'-;)r.;';:i"":;?:: ;6:Í il.ercont¡adrc. iónon¡o.detprobt.n¿|Lp.ronóhaJ@rrradR:onp:eroqter__-t2_"¿.

,_

; : " iH:Í ,**,-"*^.n.oda un¿ Reion qu.\onren., " , r . . , . , . "" . , , ] . r : . , " , ; , "" : J": ]

I Si div A denota la divergencia .le un campo vecror,¡l A e, un punto p, mos(rar que

lJ A.,r dsdivA = ln¡ ^"."-; a-

:[d;,1'"" '*'." -*rado por ra supe,hc* a-r y donde er Inire \e obr¡ene ,educ,endo a¡.

Por el Éorh¿ d. ta o,"**; ffl',,.,q- . - . JJJ ln^dv _

J.J a.¡ds

po¡ et teoreb¡ det váto¡ nedio inree,al, €l priee¡ nienb¡ó s puedc esr¡bir

¿i , ^ . tJ) dv _ dNÁ

^vsi¿ndo i¡l;^ ur valor inlemedio 61re.1ñáximo y el eínino de div A e¡

^r,, Enronces,

{A.hdsdjv A - i:

^vTomando er xnlLr Fra ^,2?

o de nodo qu€ ¡ slé siemp.e d.¡tro de ^4

¿ñ; ftnde á div A en pj luego

lJ A.n dSdir A - l ih g

AV

Esulr¿do que s pod^¿ bhtr @no punLo de pmda mrua B:rróp,€dadeq ¡crusóer k*.., *, **,**.. ,'.j:lntr l¿ dne¡smct de a v dedFr del n^mo ro-

epro de d^e,senoa a ,'',"'", .. ;;;;;;?;i:i;t'an.'en s pdeJc Úiri'¿' 6'0 par' gcne¡0,'7a¡ crñn'an<iJr¿: r !éa\ . EC,1d t42 |

Fi ' rcañmE ( l l I a.ñds)/ay*"- . - , " . * .7,

. ¡rp¡cr , er nuJo dd Kror A que ,u,ge por unrdad de \otuhen ¡rrav6 de una superficie AS Sj drv A e5 porüv¡ en .l enkui r A ponrvo y dr i sr¿ nn"," * , , "^,- . . .*_.- - l l -

d ' un rr oPel lo isn.ñcoque.rñujo:sher¡e:i,ff:.'$[:,JJ':,T:l:T2:::!:::-::i::;;;;;;,J {i:ji: ;:l'":::,I,'j.'"":i::i,j:Jii:.;:li:f H,:#"f :"ÍT':r,"-:."dj,¡;"¡i¡r;_yi,;,:ffi,;;;:j";: t?:1fi.T,;,":lj;,""ff,.{ni sunid€ros. div a _ o y se ¿". q,. ¡

"í,,-*ilp. *::i:;í.::iñil;

220 INTEGRALES cuRv¡LtNEAs, TNTEGRALES DE supERFtcrE y TEoREMAS TNTEGRALES [cAp |.

Problem¡s propuestosINTEGRALES CURVILINEAS

X ,^nr*J,,.,, {¡+r)dr+(, r).r, a ro t¿rso (¿J d€ ¡a pa.ábola ,¡ _ ¡, (á) de üna reta, (.) de los seBn+

f,f iji.l),i li; ill,li,1l:'lo;,y¡',," 0"" ""*', = 2!1 +, + t, r -,1 + I

7 c^.\t¡

I \2. - u + 4) d' + (6y + 3¡ - 6) d, ñ bno at rriá¡gulo del prano 4, de vóri.6 (0, o). (3, o). (r,rsorrido er se¡tido posirivo. Sol. 12

y'zl:r""^ in¡eear cuRrrinea der pobrena anrrio¡ e¡ tomo a un c,rcuro de radio 4 de cenbo 0,0).

..ra d st |

- tr'¿ - t'1 ú +.r,.i. cstcuta,

J r. d, a to tar8o de la luM adet ptano \y dad¿ por / - .: r

de el pun'o (t.or at r).7,. ró¡ tnrerpEt¿cioo fieq det ertlaoo ob¡enido Sat b) t74 t.

S/ca*t^, l"e"+ O a", si¿nrlo c ta ora der p¡ano e dado po. ¡? +'/r : 25 y s er arco como pa¡áD¿topünro (3,4) ¡¡ (4 3l por et €oino nás ñ¡1o. s¿¿ t5

' . ./K siF=(3x-2tJt+(v +2zI ¡?r. . c¡rcura¡ JcF'dr de (o,o,ol a {1,I , t ) , dode cs !n cañi¡o que

i"li,}5"i;!lié,;ii,¡,1i'"id';,(íl?:"iffi:í""Ti:i1l:",;iT".li,t"t1::.t?T*sot. (a) xttts, (b) s/3, G) 0, td\ tlt3o6\

I si r q et verór l¡nseile ü¡jta¡D á un¡ cwva c (p a¡ o at¿beda) y F 6 ün tupo de rü€¡zas d¡do, der¡dqüeeno¡dic io¡esapiopiadsJF,¿r=Jr.rausi-aorau-"onopáránerro.rnrerprcr*

ca y sconetntu€¡re este ¡es!h.do,

IEIOT¡JMA DE CNEEN EN EL PL{NO. INDEPENDENCIA DEL CAMINO

jtf conp¡oba¡ e¡ reomá d" o.*, * a or",o p"- 1[ t,,-.u\ax + tu,-2,x)du si¿ndo c un cuadrar¡,

tüu6 i0.0r, (2.01 12.2, . (0.2, . .su/ . v, tormmún__B

)lta .Cat ú^r tas intís¡^hs cuNiü¡@s {,) dcl prob¡eñ5 36 y (¿) de¡ probltu 37, por el tco¡€ma d€ crm.

. . l . r S* C *" -*" "mpte

erada que ,mrl¡un¿Éaró¡de¿Ro,. t .Demo{. , rqdey¿,.¿: .d, ¿, .ó, .q

$ L,* * *o * ^l

o" + tb& + b,s + b) du = o, - L,ta

_,21ó), , . Fn qkondhóft \srá nu¡a ta,nresr¿tLuni t rne¿ en rorno a cuatql ie, dm,ño ( l S¿¿ t¿r¿:_

l. Hallar el áG ñei¡ad. por ta hrpqctoide )¿ \ . ,,: r, i.Lsu8eEnoa: Las ecuacDnes parsnéx¡ca: en \ - .¿cor,¡ . r ¿Fn,¡ O. ¡< ,2¡ l sot Jna,B

i t ts t ' , *" . ,=p*no.deño{¡a¡que t í 'on ,* - 1J, , , . . . " ,0**, .

/t. comp¡o6a¡ ¿r teoma d¿ crem ei €¡ eta¡o em"

t (/ .,u\ d, +.!2d!,sie¡do ce¡.ontoúo de ra ¡E

/ coñún a los ci.olos ¡'+/ =4 y r, +r, - 16 ,t"¿ Vator conú. _ ¡20¡

/ . . . '/8

(¿) Demorúr que ),,^, tz,y ¡.+gd9+6, 4,/)d? es indep.¡diare del camino de (t,o)aC,

(¿) Calcular slá irteenl. s,¡ {ó) 5

'E¡¡ IO] INTECRALES CURVILINEAS. INTEGRALES DE SUPERFICIE Y TEOREMAS INTECRALES 221

F : : : t . I

Qd 1".n¿x)d¿ + (r-2!en.+3,, ! , ) , tu ¿ ro rargo de ra parábora 2¡ - z)¿ dedetyDJ a \r12. t). sat. r2t4

I calculú ta inrcg€t cüNitinea del p¡obtena a¡re¡io¡ e¡ tomo a ün pa¡aletog¡ano¿e vértices (0, O), (1, O). (s,2).

a l¿r Demdtrar qk u ,2 i . r , r 2r : ,J, { r ¡ r ¡ 2, , } r 'v nó e, d,rercn( iat . \d-r¿ r¿, Demorrdr our1;Í.:":rj:, i l"::* ',"drr'Iaro'.H"r'a,un¿<orucio"*,*-*"¡.",.-. ' i , i ; i ' i ' , : ' i j , l¿.so¿ (ó) ú - ¿r'(r: + 2_rJ,)+ ., t) ¡i + 2¡, + ¿e "- = O

ñ.TEGRAI,ES DE SUPERFÍ CIE

aZ k,c. tútúJJ,¡¡ , r . ¡ds, \ ierdost¿\dper i íed.rcono.._l , ! / - . . ,enrÉ¿._o),_¡ l r ) tn, . , .

L

9.

pretación ñíc¿ de este Esuttado, "t¿/. 1¿) 9¡

i"l:TTL'á'.'" "' l:T" il i, l,f ; ",,.n"0"o.',,) j = o. r = q ¡ - 2,,. = 3, (ó) I = 0,, = o

-

n"'"' ' ,ir" 'l l"

supe¡hcie del pa'aboroide 22 = ;? + t? que q!€da ruea dcl c.'. '

= v"=t.

É H:l¡dr d arc, de tJ .LperñcE det úno,: Lr- _ urr ,,ñrtad, por.t p¿Ebotoid. ¡ _ ¿ /r.

s. Harlár er áfta d€ ra süpe.n i. co.ú" ¿ r.. dri"drcüJEi-r"laa_1j sot. t6a1

' ;l lfl;l#.:f:ifi:T::::fiil :1 j,J.'.: ::" ¿¡ dmr' de'-.¡o',e d "/;' r,'. 0 .' - ¡ :* r h-e, reü.u@ de ,J, \e ,,ene rd ,uperñc,e ,'J;,:f,T'l:,.TJ*"n- "'

Erpr'@'¡ pú' qu¿ há!'endo.ó. dr. t¿) 2n¿l \onrde¡c,. el tinne p¿ú d . tr 2l

P;::TJH#T::f.f ":":::.|;.',;

:1"*"':1;,ff:,i::"fi* ;:';H* " * pun,. de r¿ sup€r-¿ iup€rñc,e 6tp,,ca .i + Jr _:: _ ,¡ con,enrd¿ en .t cono ¿ ls

" _

V,ir ir,

";'

,:,'i:,,':' :.:";::',:::sr r'urhdó obkm' er úd'o de m¿s de ¡¿ 'uperhc,. d. un h.mtr,c¡o

E T¡OI!M,! DE LA Df!'ERGf,NCIA

a, V¿¡l f imr el roMa de t¿ dive4€ncia paÉ A:(24 +¿) i+r:J-( t+3/,k e¡ tá Esión hm¡ada Do¡2, )u - : . b " . n. u. 0. - _ O So/. V¿tó. lomun _ 2,rr . cur-r , . f f r . " as. dondc F = (zr-¡) i - vf r 3:A ) .S e\ Ir .upc-rlie de lo ¡egón hmÍada poJ

z -4- ) '1))=t) ¡=3velplanóir ' . , to/ . rócr c"t-t,.

JJ A,¡ds, do.de A= (zr+tz)i - \,2+1!)i+ (?,+2,)k y s es ra supe¡6ci¿ de la esfer-

o"..nro ir, , , ,r l",uo,o r. s¿/. ros¡63, {kf ieu¡¡e\¿túde.r)¡¿u.tz+r¿zdr+¿d¿d?,don, les6lasuÉrfrc iedc¡a¡esió¡t in i tadaporet

c i l indrctr '+/=gyiosplanos:=Oyj=3,f¿)ut i l iz ,ñdo€rreoEñadetadiwrsenci ! . t¿)djEtamenr¿

222 TNTEcRAf,Es cuRvtLtNEAs. INTECRAI_ES DE supERF¡cjE y TEoREMAS INTEGRALES [cAp ¡

ó¿. r¿l .Lkr JJ Ar,dt tdz ,2d.d, . y¿drdr, .Rnoo \ L \upe¡nc,c det cúe ro¡m¿do por, -0.J=(

z = O.,r =sl.I - t. : - l, l¿) düedanenle, {¿) por et reo¡ema de C¡ee¡ en et €spacio (reo.ema de l¡ diFeenc¡a). sot. )12

rv . A, .n ds - o p¿B .r¿tquFr \Jpf fncie ñ¡rdd¿ s

;.h. kmo'¡d qkJJ nds - o¡ i.ndo , ,¿ Trtu, er.erior a úne .upcrficie er¿d, !L¿tqu¡e,. s.

67 si ¡ 6 el @to. n:fta¡ lnita¡io exte¡ior ¡ una süpernoe eúada cüarqürr¿ ., qü€ tinira ¡a ¡esión y, demosrtu c

lJl u*"au = s

TF¡REMA DE STOI(ES

* ::'T;Ti,1'l"l', t :j'*¿:f..^

= 1j

,i";.:.:.,il¡'do-s ,a pü& sp€no. de ,a sup€rñcie 6ri,i¿

69. Cóep¡obú el leorena de Stokcs pa¡a A = Lr + :)¡

;:ljlT*:ii j* :'$;-:i =""yJ ;]:;ií ;li-;,:::t.iji :;Tft:..; : !":i:ii":,H

.J¿¿ El válor onún es (¿l _6. fó) _9. l.) ¡8

C¿kula. J_J v.Ar.¡dS.. icndo Ar{r ¿r i l ( r , t r¿, i j ,v 'k, s e\ ta .úperhlre aet com:_

z 'Gdl "noru

a"r ¡uno,¡. so¡. t2r

s, /e\ dn¿,ea,ónimr¿aa po, Ln¿ ruperrr .F erad, s) a v { 0. ." . . , , , "*JJu.,^=n

la) Deñornr que F = (2D^+ l)¡ + (xtr , 4rj - 4)k es u. c".Oo O. t"*, -*.*",,""o.

(¿) Ha¡tdrdtque r -vó ( l cr¡cul¿'

J F.d, . " .ndo . cudtqLier \¿mrno de ,1. . , , - )a r , ) j L.tor. (ó) C - ;' - 4),: + lJ + corstah¡e. (.) ó

Sea C cualquier cañino que üóe un pn¡to de la esfe¡a rr + _ftr + :1 - ,, a ün punto de ta esfer¿ r, .,¡:+¡': = ó'. M6ttu¡ qu¿ si F = 5¡r. dondé r = \t + ri +,r, e***,

J r. a. = a, _ ",.

en a r.ou..u r -'"ur- J

F . dr si ¡ - /(,)r, do.de lr) se supone cominua.

' ' J" 'nnn'A\eh€uar \ i e\bre r ,¿ f lncon @ r¿t qLe f , v@,o1.

l;1. ; :l; .,''i.i' ,,lu.'j ,'. *"'1.... "., n",,"..

lbt @ -- \ 'p- , 1

l , i" ' l- i lLT:' i iS'T'"jr rj i t 4r,^+16r ^1),t,

+ t3,22 +t)¿z=o

PROALEMAS VARIOS

77. Derónr¿.queLld.old, .onn*.di¿\ .uñc,en.ep,,aq,"{ !" :1, t , . ! ! , d, " , , , . " , " , .^ ." , ,a"

nnprc cetra'ro ce¡ un¿ resió¡ rt Giendó ucontinua v rañbi¿n sus deivadas p¿rciares de of,re¡ dos J. , q, . {-4q _ ^

71,

?8. ConD¡obar el reoreh2 de c¡cen para u¡a resión núttiplene.re conexa con dos (huecoe, (prcblero rür

# " #) (# , *) ''**, '*'*.

rP t0] INTECRALESCURvtLtNEAS. tNTECRAT.€S DE SUpERFtCt¡ y TEOREMAS t \TECRALES 221

' . 5 iP¿\+!drnoesdi te 'encjalexxcr¿. lEro/1p^+q¿)4drencialcr¡cra.s i¿ndo/rc ierafuncióndei y r, se,1'e quc /r es un /¿¿ r,r r¡¿s¿"n,. t¿r)Dcnor¡a¡ quc st F y C son funciobcs de r sot,nenle. cnroncs5rFr.+ C)¿'l + 4r tEn¿ un fador inresranre r. qu¿ es una fu¡ción de r sotanenle y halar r,. ¿eué deb¿ su;o.n¿^e para f y 6? (ót Medianre (.,) h¡ttai solu.ia¡es dc r" ecuación dii¿remiaj r'r,= 2i; jfsol lal | - lrútd l¿) r = .i \. dónde . es u¡a co¡r¡nre cuarquE¡a

l . H" l¿ .d

: re" d0 lJ .uDn torJbotode:_, . ! .

¡- s, /1/l es un¿ füódón con!ñlame.t¿ djfercnciabt¿ de . = v{- + r: + j, demosrrar que

,t.t / "r ñ,s .t.,.t ,. , dv

E ueror 'd qL. l l v . @n. rs 0 aonde ó. . Lnd rL. . .ó1 e.cd¿rop punro rLdtol ,era -of l ja,dmel c ú

*.n"iuo*. "

n i, ,r r-,o. no¡mat unnaio exrerór a una süpcrficie €üad¡ s.

É Denormr ja rcuación lJ). Probt¿ma 32, ü¡|z¡¡do el reo¡em! dc creen cn el pta¡olsusscn.ú: S€¿ ta resión e¡r¡da R dcl pta¡o ry dc conro¡- c y *p,:nsu* quJ p_ tu bansfornac,ón r =ltu.r)- ! = s\u.t:) se f¡nsforma¡ en t, y c, dei ptanó ¿¡ ¡espccrivancnre Denorfa¡ pridero qu¿

l lFtr . r \ t ¡¿¿ la, . r ,d, ' . .d" ,eü. Ft , .ú. . tu.so demór!¡ , qre. :¿ho et n8no. e. ,a-c' "'

. f r¿oaolur. inu n,o! , , r e, isu r , .1. a l , , , , . , , , .11; ; , , . "" . r ,1.no,himo. "pr,d er ,eorcn¿ d. c.eer

par¿ ransiorñar óra en .fl ,vt,,t, ¡-¿tlf$ltuú.

' t Sr\- / (u. f , ! ) .y=s(, . r . ! ) . - -=¡( ! .¿,uJdenneünát¡ . ¡sfórmaciónqueapt ic¡un¿¡esióntdelesDacir': c¡ una reeió¡ n del cspacro !r!. denoslra¡ con el t"o*.u ¿" Srot*.,.

.ffJ' N,,,,"t o, o, o" - lll na,".tlfffi ̂,^ ̂donde C(!, f. r)= ¡U1¡,... !), sl!. r. o). /¡(u, r, ! )1. Erabtee¡.on,iicio¡cs suficientes para la validez de escrcsulrado. Véas¿ Probten! 8:l

¡É l¿) DemdrBr qr. m senera¡. I¿ ecu¡ción r = r(,. fr ¡ep¡esen¿a scomeúrcam¿nre una supericE. (ó) Estudrar14, ic1 h.Jr ior s"omd'r .x de, , . . . . . . .Endo,,y, , .of . ,an?.¡ , Dc.or¡¿rqJt et e. . , " , , . ; . . . , "

&'= Edr '+ zF¿ud! + c dr,

-* . c. l ' .9 ' F. : ' .q ' .

¡, r¡,)Refinéndosc ar Ptublena 3s, denror¡ár qu€ etetencnro de superficie efá dado po¡ ¿S =,,¡EE-- r, au ^,'ar D{L,r de , queet.rcddt L1¿

'pc,r . , . r¡ tu t tes

. l . l tEG, F'údl

¡s"g*-c",.rnr"- frxS] =

rrax B). (c x D) = (a. c¡B. D) - (a. D)(8. c) .

Í:3:T::tiH:,;,i"'"J!:ffilJ::'ilfi,!,:;T.ll,...i"',="J;*: j"=".11:$:::.::;:1**

;t";j i;,"- ", n-""." ,4 obt¿ne¡ di! a ¿n (¿)coordenadas.itindricas y (ó)coordcnadas cr¡¡icas. v¿r\e

I

Capítulo 11

SeriesCONVETGENCIA Y DIVf,RGENC]A DE SERIf,S

$".

y con¡ideres€ l¿ sucesióü de r¡,M p¿lc¡ia¡€r de la s€rie "s¡,.s¿, sr, . . _ con

el Capitulo 3, p{ísiDa 43). Suel€ ab¡eviarse la *rie {¡)escribiendo ¿¡, y el úúbo¡o !, es et

+.or.,, .i*! = j + j + "!

+ . . . . aq¡ s, = sum de los p¡ime¡d u téminos = I ;Ea 25, c¡piruro 3). Entú6..*" .rit (t - *)

= 1, ra sie ¿s coorrsenl€ y ti¿n

Eisdo r : > (*1)"- '= 1-I+1-1+ . , Aqul S, = O ó ¡ , seún qu€ , s par o impql

¡in S, m qiste y l¿ erie 6 divqsenle.

PROPIEDADXS I1JNDAMENTAIIS DE LAS SERIES1. Si:¡{ orve.se, lin e" = 0 (véase P¡ob. 26, Cap. 3). Pero la recip¡oca no es

creí¿, o s€a, que si lim ¡r,.= 0, :r, puede s¡ o no coDvergente. S€ deduce qu6 si et¿-ésimo de üüa s.ie tu tiende a ce.o, la s.ie es divergente.

2. L¡ ñultiplicacióü de cad¿ témiro de una seri€ por una const¿dte dislini¡ de c€ro rola cotrrcrSdcia o div€rgencia.

Sr=t¿,, S! = q+u' , S'=ú+u'+n' , . . . , S, = u\+u'+. . .+uL

Si esla sucesióD es convergente, €sto es, si existe u¡ número S tal que lin & : S, la serie l/l scohve¡sente y S * tlama sMa de dicha srie. Si no eriste tim S", ta serie-ls aierseare. lCompar¿r

3. La supresiór (o adición) dc un núm€ro/ü¡lo de témi¡os en uDa s€¡ie no areta sucia o diverSeocia.

SEDfis ESPTCIAI.E¡¡

r. Seri€ ¡coo¡úic¡.

" =

¡i" I'l < I y diversc si l¡l ¿ r. t¿ suna de los, p.ime¡o. ,a.i'* o s, = r$(Probletu¡ 25, Capirulo 3).

' 224

225

L Lt e. ie D. S1= r*r .Lr

verge para 2 5 l. La se.ie con t: I es la Uamad¿ Mie arnónica.

DE CONYERGENCIA Y DIVERGENCIA DE SERIES DE CONSTiNTT;Sl. C'rlterio de co¡rp¡.¡ción p.ra series de términos no .egativos.

(d) Conwryen.ia. Sea ," : 0 para rodo ¿ > ¡r' y supóngase que !!L conversc. tntonces,si 0S

",S r" pa.a ¡odo n > 1r', &" también co¡verge. Nórese qDe¡ > N sisniñca /e

un .ioto téMino .k ¿¿.lante. A nenudo es N = L

Ejdúr¡o: coño ,i = i ¡' )*! -**s"

)¡S r".ua" -**g"

(b) Diüetseacia. Sea ¡; ¿ 0 para iodo ¡ > /V y supongase que ¡r. es dive¡genre. Enron-ces. si ," : .. pa.a todo ¡ > N, >,, rambién es dive.gente.

Ei6pro: como , ,1, . I , >- l anoe" ! ,nr , , rdm\,er drve,ee

2. Crilerlo del c@¡mle para wies de térninos no neg¿rjvos.

(¿) Si ," ¿0yu"¿ 0ysi Ina=,.{ + 0 o ó, enlonces ¿¿, y ! , , , o ambos conversen oamoos o¡ve¡gen.

{á) Si ,4 = 0 en (¿) y >," converse. ¿,, co¡verse.(.) Si I = .o en {¿) y L, d'verge, :,, dive¡se.

Ete c¡ite¡io se ¡elacioú¿ con el de @mpa.ación y €s un sutirulo muy útit del misúo conIiecuencia. En paficular, tomando r, : l/¿. se tieúe, por lo que se sabe de la serie p. que

tdd¡ l. Sa lim ¡'!, = /. Entonces,

(¡) l¡" conve.s€ si p > I y ,.1 es finito(¡1) t , , d iverse sipSry A+o ( , -1 puede ser inñúiro).

t¡o¡o, r. >t!, -"re's€

pu6to que ;* ".0,"

_ rL =

i.

z. ) !1 ¿n",¡" p""ro, . - In '

3. Cltredo lnt¡gnl p¡r¡ s€ries de téminos no ¡egalivos.

si /(¡) es positiva, @útiúua y monóbna decrecienle para r ¿ N y ral qI€ /(,) = u,,

¡=?{,^/+ l , ¡ r '+2, . . . . ! , , es coúverseüle o dive.setrre sesún s* J- l i " fA, =

j'jl J, l(r)d" *" c.*"¡gente o diversente. En particula. * puedo rener ¡r' = 1 cono süe-

Ej".p'., .:lt mnv.rs.prsroque Ja J'* =

4. Crlúerio por¡ si6 ¡ltm. Sei¿ ¿h¿na es ¿quell¿ cuyos téminos son aliernativamenrepositivos y negativos-

;* ( t f ) ""r""

i

i

{,il

:

tiliril

;

iI

t

i

226

Una se.ie atiernaconverge sisecumple¡ tas dos coúdiciones sisuienres lvéaseproblema lj{

ta) u¡+\l = l¿"1 pa.a ¿ = 1O) l imu, - 0 (o t im,. _0)

Ejemplo: P¿r¿ l¿ \ene I l r l . l , r Sr-L-. ' . " , , """ . ,

" . ; , , h: i . I ueso p¿,, tJTbr.n t im a. , _ o.D€ do¡de la e¡ie corve¡sc.

EI e¡ro.lum¿¡jco qDe se conete al omitir en una serie altcma convergeDre qLre cumple las (MEc,ones tu ' ) 'ór lo\ rem,nor que i8uen a un d¿do e. menor qu. r t t¿tó, absotu,u d"¡ , " ; , ""

" ,s_r;

Ejdg¡o: si s coía la srie.n el cuáró Émino en la *¡ie I + + I _ .1 + j _ . et qm¡ oE-6 ñeno¡ qüe j : 0,2.

r C:nerctr:á ¡b¡otut¡ y onre¡soc¡{ co¡rr¡cio¡¡1. La serie :3, se drce abs"rutfucapl : . :L: , : - : :

.1" e\con,ef8(nre srr¡" .onrer8e.pero>r/" d iverge.1¿ r !" \e dR,o¿.1¿

,^ . Sr I l4 l . ,on\üge L, . .on\erge. Es de,r . que Lna ser ie ab.ot , ramenre conrergente e\ cor¡e t !ease p¡obtema t7).

Ejm¡'o r: i + i i ;. +. á ... es absoruranente conlereen,e y. po.a¡to. ¿s

cente. ya que ra serie de varo*, "b,.,,,., ;

.* + ' + * ; . .

""""..*".ti.n'" r'

'-l*j j* . --..g.. *-, * j r j * I * . . . 0..*. o,r, **. r j

I

¡ + . es condicioóatme¡ie conle¡sente.

, -- Cxalqurm.de ¡os üite.ios utilizados para se¡jes de Éminos ¡o negarivos se pued.Irza¡ para estudia. ta conversencia absolura.

6. cdtedo det cocie¡fe. sea ],jli * 1= "

Entonces ra serje:r"

7.

l¿) converge (absoturame¡lel si ¿ < I(ó) dive.se si ¿ > t.

Si ¿= le l c. i ler io fa l l¿.

Crire¡io de h r¡iz e¿sib¡. se" ti^1 i ,,t . /. Inron.e\ t¿ \.,re L,,i¿) co¡verge (¿bsotutamenle) si ¿ < I(ó) diverge si ¿ > Is i ¿- l et q¡rer io fa l la.

Criterio de R.¡be. sea l¡m ¡ll rr'' ) - ¿. Enro-ce. L rrie r,,. - , \ t t /r¿r con\e gf rab\olurahfn¡e) . . / . I(á) diverge o conve¡ge condicionatmeúre si ¿ < L

E.

SERIES

Si ¿= I el c¡iterio falla.Este üiterio se suele utilizar cüando talla el cnrelo der coc¡ente.

221

t c l teío de C¡us s i ! - l = t - ! . : t , . , con lc" l < p pa,a rodo a _ ^.

enronces ra

t¿) converg€ (absolutaneDr€) si ¿ > I(ó) djve¡se o conve¡ge condicionatne¡re si ¿ S L

Este cr¡erio se suete nsa¡ cuando fafla el de Raabe.

il":H'i[1ffiT"] 3JlT"",j:"':i,"i,:;T;*',j";iln,e conve.cen,es s ¿b$,u,amúb con

Y SERIES DE FUNCIONESL}¡IFORME

{

ü

Íl;il

I

Sea {a, ixr l . ¡ = t , 2, l . . . . una suceron de nE8Ér hdc,a ¡rrr o que r ie*

" | | . , , . ¡ , , * l , ' l l 'oner

d€f in ida\ en L¿ ól |á 'ur \ iónsed' .e con-en,,arunN, o,iq*,,.,;, _ 1,,,, .':;j;;íH',':"*T".,: ;,:.1;:*,;..iÍÍ|i: rli;E ¡úme.o /V puede o no depender de j at riemr

I ',"¡ry" ;;;: ki';,;X::;:: ::,:":-:,::",1f.:";ff :"'iiH"i';:[Hf"li.¿# ::"]*,

h

La se¡ie de funciones

¿ r^(¡) = "L(r)

+ , : ( r ) + ¡¡r(r) + . . .

I,Xii"iil5Tl':.T,11;11 ":l i:"t""::l i: :'-'r rrciares rs'G)], ¡ -= 1, 2, 3,, con s.(x) =se s(r) es la r¿u¿ de la serie.

(r)

-,":"";fi",'f i'i:: ü.1::':"ii;i.s?fl,rÍ.¿r''

p"r::f:: - 0, cáda. de r¿.,r \e puede"'T: : l?."L¡mo ür) - s"lr) = rR"(rj es er resro desoui

;:l*lil;5;::i:1J,TJ1¿f'j--.x,"i{:",'::?i,:t;: ll"Í; fil:.':}i::.',i:i}J;

228SER¡ES

."',fft:iTÍ: tr"1" "tas denniciones par¡ incrui¡ o'os iDrervaros disü¡to. d"r . s " s:^;,". i:[:t::i::""']il'jfign"'ltf"",,Tf,i;",."itilffHffi"o,Ju,,.deva,o¡es¡,ef,p6o

CRTIERJOS ESPEqATES PARA CONVEXGI, fiffi.1".","_-ffi;,:;:ff:1tr .'' .T:ff:"::;:m",,,,n= 1,2,8, . . .

eDtones :u"(rr s Ddforme y absotur¿menE cLEj".¡'.,

.á q.oo ". "",,.*" , "-.;;Dve's€nte

en er inrervaio

:* --*c"

"/€¡seire en [0 2'] püsto q* lq+l = i

",:-Tff *.::1jry:rj.ry#:*ffi ;":,xiff ifi :".;:ffi ;:ffi rx f :'¡ri[#s;:dml a¡¡p¡ff ;;: ir;],iui# ii"diE:ffi " ":''.:sffii:ií:;Í,ilt$tit;fiitJllth"it"tÍllT;niif. C.tte¡io de Dt¡icUer Supó¡gase qüe

-' iiJtrl:: i:l e" monóronaie*eciente. eendo sus ,émioos consLaD,e\ posided

(á) e¡isre una coBranre p rat que paE ¿ S ¡ = ,

Iuj (r) + ú,(r) + ... + u,\, I < p pa¡a todo r¿ > ¡t.EDtonces ta s€.ie

a\u\ \x) + a,u,(x) +. . . = 2, . , " ,a¡es unifor¡neDente convergente en ¿S¡Só.

*"":.1l1A: :_"T "*rDs

uNrFoxMEMENrtr CoNVERGENTTS*#,"ji"::: Í;"'";.l;::::;ff.'3':"TT"#"f:,1::Tilj: Íi:"¿.g". o",".

","0 *"*

',-",'""íl:ili_{r;i "1;fu;, ;i"l::""1ffi.?"l",r1ltjsi :a(}) c.¡rerse ünirormenen,€

\a) p"(x)l = M,(ó) :M. converse

¿*,i;,,tn:.*i***X:*t+n,******l',,*,:',,.:;

Ed pa¡licular, si ¡0 esrá e¡ [4,¿], el teo.ema dice qDe

lT" ¡ ' ' , . > r im r ' ( r ) -de ha,r er ¡ ,ñ, ,e d , o"**" , L; , ;"

" , ." , , . ,

7.

229

:4k")

punto ¡o es un ert.emo de [¿. ¿]

f l ' { (xt j , ,=1,2, l .

' s l r) en [d,¿], enronces

son coDrinuas en [¿, á] y si :,"(¡) conve¡se unifomeménre bacia la

{'"r"r* = áÍ"'{2,^a¡* =

Í """

t it4)

= :'1úk)

= i .¿. . , - ,tl)

(6)

t5)

Hi,,Íl"iffilji;*" rrie uniror¡¡€hedle converge¡le de runcio¡es conrinuas k puede inte.

liíl'J¿i;,l"ij;;;,;:¿i:tfi lix:J.[T,: :ilI*ff::i'i::;;:"hlk, :,,i;l?r *s'(c)

.*li*r"¡J

"=Ií:!i"$n{kxilr**i* #,::.ff"j".ililj:r,i:,"J:fri::' {."(.,,lr{'""r'r" = Í"'¡¡a''o'o'

F es el aDálogo det Teo¡ena 7.

I¡IES DE POTENCTAS. Una *¡ie de Ia fo¡¡,a

(8)

I d r . . . \ ' - . r'' ""

\9)

ffi"í;,i; b ;; ,i'l",i,ll'tan'e, e ttaña ¡4k ae po¡e,.¡i6 de ¡ Es a menudo conve,ieDle abft-

*,.'; "Tffifi:,'."1ffi.:,::fi:;:".::":'::.t it,,:, | #,,,::r r"* ,rl . R {f¡do ,d con_r|,n,e^áro'rr < R o . n .', - ; ;;;;,."#;;r;r,;i"il;1",:::jH::ffT,::r::l:qi:i¡lili ¡'.?i i: T::""1:::riii:.:"r"-;;# :r;:;l:);t]il¿:"firr.";';;:;

S:li:f i"*,,*q*lir$+"tirfi :xntm:*.th,;:*x..:"r,,*+;i;,i,. ",j':";o;'

**."""'.""s varen p¿¡a u¡a serie de pote¡cias de ra rorm¿ (e), donde x se camb¡a

I

2.10

T[ORf,NtAS SOBRE Sf,RIES DE POTENCIAS ICAP !I

.-.. .yl1 *": o. poLenLr¿\

'onverse unrrorhche,' """ , r" d.

-" ,* ; ; , ; ; ; . ^" \ i re ) Ldmbi¿n ¿b\orurameore en rodo ,n,ervcio,F

Teoer.a rt. T.ataú d¿ Ab¿t.

,",.::T1;:[:"'.:::ii],,'.T""::::1',:"'J:l:ff:",;fi:.:*iÍ:;",J::ilil:.f.:.,:T:5;i:];;!Teo.ema t2. T@tcna d.t lihite .te Abet.

si ,i

c"a" es mnvergente en ¡ = ¡o, qDe puede ser un pu¡ro inre.ior o u¿ exremo deloe conve¡gencia, entoqces

rs,{á"4 = á[i ,,J = ¿,,,',';l'f

:' J:Jil::-' "Y que escribir ¡' ¡o+

...,""'::,¡; trJ;::T"::'""U:';a'a de, , eo¡eña r ro b'en r + ¡o_ eD {/0), ses¡in que ¡o seay del Teorema 6 sob¡e Ia conünuidad de

OPERACIONES CON SERIES DE MTINCIAS

. ,,f,J.1n".,".* *",'ruen se supone que ródas ras senes de porencias son conve.se¡tes e¡

, ,,:;1"'.1fi,':::';ff:"¿"T"pueden suhtr o resd rerm'¡o a témino pa.a cada va,or de ¡

Do, ,ene, de porencids. por eiemoto i "re.e

; . . ¡ . .J; ' - "

"" ' srnpro ¿ a¡¡ ! r . l ar ' * pueden mLrr ipr i@r @

c" - aob"+atb" 1+0.,b,_,+. . . + d_bo.esunado que es válido para rodo x.tel inte.vato comun de @nve.gencia_

si ta eDe de porenc,a, : o, , r , ,se drvide por I,e .e puede e.c,,bir (omo \* .. ;"";:,;;":;"J"'.'e

de po'en(ias:á.e s'endo óo = 0. errgente para vatores de ¡ suficientemeDre E

DE FT]\CIOI\ES E\ SERIES DE POTENCIAS

2l l

ló.

-. :. su(rtu)endo r . , )"ó,r . * pDeden obrener Io\ coef icrenre.4 en runc,on

h6 ¿,. proceso que < \uele ll¡ñsr ¡atcaian ¿e ta s?ae

supónsase que /k) l¡ sus deriladqs /'(I), /"{¡), . . ., /,,(r) son continuas en el inrerv¡lo cerra.<¡=óyqu€/ '+ ' , ( ¡ )q isteener i ¡ iervaloabiero¿<r<r.E¡ronces,comoyasvioenca-

precedentes {véanse págin¿s 61 y 95).

t@ = t( .a)+f , (d)(r-a¡t f fp-oy+.. . a { lp1¡;- . ¡ , +n"i,, el resb. está dada en ün¿ de las formas

112)

(r.e)

\1.4)

re"=ff i(,-") '- ,n" r''lil¿) l,- a"o-o¡ {rorma de cauchy)

t(r) = ^a)

+ r(a)(, _ a) *¡'li)a_4" *!t!!a_.r n ... \15)é )A ttatuda Ni. o desaftol¿ de Taytot de tá tuncjófl fl¡)_ En caso de que ¿ : 0, se la suete lla_eie o daaftouó de Ma.t@t¡¿ de la funciótr /(r). p¿ra p.olt"-u, ,.r.i

".lo, a"."...rror, ,e"."

Se podria c¡eer que si existen rodas las de.ivadas de /(!) en ¡ : a, el desar¡ot¡o (.¡J) sri¿ siemD¡e::j::::.lg::1:'*:,"""ñenre

asi. pxes si bien puede obf'e*etomalhatetis;;i,"ú:de (¿J), la s€¡i€ rcsxaute puede no converge¡ hacja /(il. p"- *

"¡.pr" ¿" *i.

"?,r"Ias .ondrciones pFirss baro las cr¡ales conlrrge Ia serE hacia ¡\, se obrienen del me¡o, modoproceo'DÉnlos de t¿ teoria de firncioner de rariabte @mpteja. Védse Cáprluto ¡7.

¡éb Capitulo 6.

SERIES DE POTENCTAS IMPORTAMES

En ¡a prácti@ s.urilizan frecueDtemente las se¡ies siguiñlesj que convergen hacia ta función in_

2.

= ,- f i * { - f i . - .cu* ' f f i r . . - -<,<-

e' - t t , . " r t - j l +. . . , f i , ,+. -6<r<úrn/ l+ ' t = , - t**- t* . . . t r t - ,T*. . . -1<¿=1l r l i+ l = ," t*€* l* . . * f f in . . -1<,<,ts-¡ , =,-$*€-I* . . r , ,#*. _1=,=1

4.

7. (1+") , = 1+?r + e@;)a" + . +p(p 1). . : ( r . ) -n+r) r , +

232

Esra es t6 sdie bn1ónie.

f1l !j p * * núme.o nalurat o ero, ra *rie rermina y es un potinomio.{ó) Si p > 0, p.ro no entero, ta se.ie cu.' s' r - l.o r,,",l;:;ü;;n"'i '. '":I¡u¡¿nenrerp¿'a I :: \ s It¿) st p -= t . l¿ *nr con\erge pdm .r - . \ / lParn todo p la serie cooverge cienamente si _l < r: t.

TEMAS ESPECL{I,ES

l. F|¡|cio$ d.foid¡¡ por sies son (d fKEmB úrrte, en tár apli(dciones y suet.n ¡F(o¡ucione( dc erudcione\ diferenc,ates. po, q".p¡.l r" i"".¡á,i ¿"i"¡i" ñ

, , - '_ ' ,1. , ."" ' " ' 2 t1 ' 2¿L -2 ' ' 2.4tzp -z; tzp. i )É (-ry(n/2)"'h"-a n!(n+pll

s úa sruc'óD dr la (k.¡on d¡f¿rctuútde A?Íel ,¿r _ rr ' , r r , _,?ru .0 v."pot .ro Ju"ctü dc Benct de arden p. Véanse p,obte;¿\ 4ó. t0ó-109 ' '

De ld mi,ma manera. ta tun ion hipc,Ecun¿Íno

Fta,biqr) = r +fi, ++;+Hrrdc * ..esünasolucióndefáe.,4c¡ó, .1 i Í?rcnciardecaussx(t_4r, ,+lc_ld+b+t,Lt l r ,_ab,

Estas funciones üenen Dúchas impo.tanies propEdades.

2. Scíe. de tédhc onplejo6, y en ¿sp€cial se¡jes de poEncias de ru r.*" j,,r,,d,

í":.L,1, ?"í,*. **"

", "omprejo, pDeden rrata*e d" .""".u

""ar.g" u ".Á;." h"",

Esr ¿r r¡es de polenc,as con vereen para lu I < rR.o,e

lj " .::;; ::ll:,::i: l-;i;::';::xlíJ""*":;il ::.ill: ["i,ff ;ffÍ:ft ";íff1f::_d.'::-!":."' *9i. d: *ry*g"*á ¡ ii "..?i,r ili'"".üñffi,,: ::,áT:ii:J:i:áil,"f.fl'lill.ll1l'"1:-'jir-conro.r¡o d€ €sc ci¡curo, eiro e, para ¡ = ¡,1" *¡#depend.endo de, ,"r . , p, ,u*r, i . .

- -- ' - - '

,- ,"'l::.::_qj: !11' , = 0 er. cuoro de con\e,8fnc,¿ se reduce ar inrenaro d. coóÍ:,1ilr"?ji.::J,::;:fi i.:"ih"ysii*:f; r::::*"1"il"#fiHi.:: ¡:"'r#

l. Seri¿6 de fucloes de d@ (o mís),¡ri,bles, tales com. ru iu"1,,y1* pueden tr¡r¡

i::i::.1":T"'j:.^"-! 1" ,, *ries en una-lariabr€. En pa¡r;cr¡Lli se puede estudiar er c¿¡l¿s s€ries de porencias ""

,, y r, ;; ; f";;

aú|fu.¡ ! 'oüt t - to¿D!._ ar. . t_do.!) | . - .

üi iüi:$l"i;",tr:lii:'i'i l.;:i;[i"..,*ti:l",:ij"rj Ítit"ri:fl":

](L '

:tr:i".:hi:;r"["r1r,",,Íi¡i#d,l#;";',"?:i,1';.:,,"¡H

' I '] SER¡ES

{ Series dobl€. Considérese el oadro de núme¡os (o fi¡üciones)

": ": ":

S€a S." = > > ¿,{ ¡a suma de los el€mentos de tas pri¡ncns ¡r filas y primdd ¡ cotum-

Das de ste cuad¡o. Si exist€ un ¡úme¡o S tat qr¡e lim S-" : S s€ dice qu€ la sri€ doble

Z > u¿1.úúerse hacia la ü!fu S: ri m. que ¿@¡g?.

Lás definiciones y teo¡emas para s€¡i€s dobl€s son muy pa¡eidos a los d€ tas sries ya

213

Pñtucto€ lr tui to$ Sea p,= ( l +¡¡Xt +,,X1+,3). . . ( t + ! , )

do¡de s€ supo¡e qü€ ¡r + - l! /< : l, 2, 3, . . .. Si exist€ un

denotado por JI (1+?4)

número P+0 lal q!€

(te)

Si n(t + l4l) converse se dice que et producto iDfi¡iro tr(r + ur) es ahtututamqte con_!e¡A¿¿¡e. Se pu.de demostre que un prodücro intuito absolutamenr; conv€rgeürc conv€rgesiempre y que los facto¡es !¿ pu€den e¡ronc€s rcasnpar sid afecra¡ el reslttado.

Los teoremas aerca de los productos infiÍitos puedd a mcnudo (ton¡ndo loganmos)hac€rse d€p€¡rdq de los teorem¡s sobr€ serier. Asi, por ej€nplo, s tiene el

T6r!o¡, Una @ndiciór neces¿ria y sñciente paE que n(l + ¿¡) converja aholutancn-te es que :¡r co¡vedá ¡bsolur¡mñt€.

6. $n¡ttlid¡d. Sean sr,,t , .S:, . . . las sunas pa¡ciates de una sene divercenre >¡". Si ta sü,

cesión S,, :r--:-= , (que se forma roDando tas media\ ¿rihélic¿s de tosprimeros n términos d. .sr, &, S3, . . .) converse hacia s se dice quc la s¿¡ie ¿+ es wál¿en wtao de Ces¿rc, o C-\ wable bacia S (véase probte¡n¿ 5r).

Si ¡a, corverge haci¿ S. el mérodo de C€sáro da r¡mbiéb et resr¡trado S. por esro se die

,ImP,: ?, se dice que el p¡od"¿to i"filtito (1 +

"rxl + ¿,Xl

úebre n(l + ¡r) co¡vú8e hacia P; si no es asl, qüe diverse.

+ !3). . . = f I (1+"¡) ,obrew-

que ef método de C€s¡ro €s rD mérodo t.sutar de sumabitidad.Si el límite de Cesá¡o no existe pu€de apti@rs€ ta .¡nisma ¡ecnica a ta sucesióí Sl, 9=9,Sr +S¿

s,+&+s35r et rm¡te c-¡ dc csia süce3rón er¡sre y es igual a .t se dice que :a¡ @n-

verS€ hacia .t en el s€ntido de C-2. El p¡G€so se pu€6e coútinüar indefinidañe¡te.

S.ri.! drtódcr* CoNidérÉrs l¿s scri6

s(r) = a" + f, + f f + . . . * 3 * . . .

'an

i:

¡

son l¿s sumas parciales de esta seri€.

1L= O,1,2. . (20)

234SERIES

Si &(r) : /(r) - s,(r) con f¡) dada es rat quc para ¡ooo ,

lim r'fi,tr) = 0

_,ti}::ili::i i1l.J:Í,"::i,;Í:.,i; 1;J;:i:1"Jil:: ::ilii.t :.1J1;,,J.;:",;:jilTl 'j:T,1.*.

en quf ro. rem,no. comienzan . c,eer pueae ourenene una apo-

,". "Tjj"t::'T,::;'iliü:;,rll*l,T :Tfii# :lt"?,:n:.:""",ir,r,?;:":,Tl;i:* -

p¡oblem¿s ¡€s|teltos

CONI'ERGENCIA Y DIVERCENCIA DE SERI¡]S DE CONSTANTf,S

l. r¿, Demosrrdr que _-l- - . I I- _ € I

r .ü J.5 5.2 ' ?, !zn=j t ¡ tn,r) converce y tórh¿th

"" = e;-;*-+n = iffi ;¡ .',-*.s" = ! ,+¡ ,+ +t . =;(+_rJ_+(+ á). _;("=-rh)

= ;( i-á.:-*.;- ."=-l;; i) = ;( _,__-,1como .¡n,s. =: i :á(,_; ; = j . r ,* . i """**g.y*.u."*4.

0.. S;'i" *a" u,t"* ,"r","aric¿ ya quc los remihos de .t, d¡rintd de¡ pnne¡o y er úlrinó, se ..É.

2. (¿) Demost.ar que ¡ + (jF + (+)s + .. = ,! 1¡¡ _n*,g" y 1a; ha a¡ su suma.

s. = I + (*)¡+ (r) !+. . . + ( i fAs, = (* f +( i ) ¡+. . .+( i f +(?), i ,

s. = z l t_( i r")

como "liB

s. - ,tiñ

2{1 - (i),) = 2, h si€ conv.¡ee y su süna.s 2.

Otu h¿lodo: Sea¿. r . ¡ . lenetp,obteno).detCrprutoJ: tasúndAentoncerr , t r r - ; ¡ t - l ,=¡

3. Demor¡ar que ra Fr ie i+?+l+++ . .= Éf i a i ,*o.

"\ * =

:g;h = t- Lueao po¡ el probtena 2ó. capitu¡o 3, ¡á Frie es div.¡g€¡!e.

1=*

l+* = ¡+l = *

235

g¡,iÉL

Mosrnr.qre ta serie de térntno rcsmo a" = v4T r _ v4 es dilr.eeme, au¡qu€ lim 4 = 0.Que ilim

q = 0 * dedüe det probtcma t4(.), C¡p¡rü¡o 3.

Ahon s. -

q+,¡+.. .+q = ( la_\/ j )+ ( l t_f4+.. . + (v6Ti _ú) = ú+1_y' i .:l:-8: lr,*n*h inden¡iddnnrc y ra E.jc d,E,sr.sr. p¡obtema muestB qu. t¡m !" : O cs (ondrió;

¿4 vqr rambh p¡obtm, 6 ñPc':ari. Frc ao tulúP"te Par¡ la @n€rsoci¿ d'

OITEB.IO DE COMPÁIACTON Y CTIIERIO DEL COCIENTEL Si 0 S !" S u". , = t ,2. J, . . . y s i >, , conre

oemosrrar er cri,erio de co'p¿Eción *," ',

t;"*t:'"'::1.0* t" ta'biéD converse res decir.

:1" : . : ' ' ' " , ! ' .7.-r ' r ,J+ {r ,(omo ¿,,6¡Kry€, dnh 4 qhr. y es,gu¿t a r p", c j . .pro. y cono u. : ,0. ¡ .S r

L¡e3o S, = rr + a, +. . . + r , S r , + ¡1+,, .+ r , S ?. o O = S. S r

_ asi, pues, s,6 u¡a sqión ño,óroro c¡*jenle

¿4 .onusc. v acotad' v' por t¡¡to lic¡e l¡mit {capltu¡o 3I o s, q!€

f. Mediante ei c.iterio d< comp€ración demost.ar que tr ¡ +| r . . . = t :

lrz

.z

, ¿r I F*.+ = ¡r ¡ { ár ¿: +ú1ó tsr i+. . .+* > ¿ - , l +, t+. . . - r t18réminoe- j

.rere'a. De modo qle (uatqujera que s et numcrc d. rémin6,

r+ (*++)+ (*+*+*++)+.. . ¿ 1+r+++.. .Cono eleE!¡do mihbrc s pucd. he¡ nayor ou€ a¡¿ $i. d¡d¿ div.¡ee

r-_ Jsq¡¡r nohero pmi¡no romando sufi.iftks émhos,

Por úérodos parcddd ¿l aqur ur¡l¡ado s pü€dc d.oosrmr qrc .j .1, icn¿o ¡ u¡¡ coosta¡r¡, diw¡sÉ ¡i

p é | y conw.s! si ? > I. Ello raobién * pwde rt€ñostrr de ors ña¡.ms [v&s prcbl@a 1](¿)1.

7. Exminar la convergEncia o diversedcia de S lnz3,ñ-1.

: , , - t4 =;="tcono rn¡ < ¡ r ¡; \=$, *,"*

Ento¡6 la s¡i. dad¡ @n!e¡sc, y. q," .j + ".""".e..

SeaD ¡, y ,, posjrivos mbos. Si lim S = constar*',, ;;" ;;

',;; ;;;1.-' ':l 4 - *^-"t" 'r + 0' demornr que ¿¡' convqse o

'rivose

, = llltilfT:.tlll " t s puede .¡csj¡ u¡ d1ero /v,ar o* l!.- el<. e*, t.ao, > ¿ Lu.so p¡.a.<5 ¿<.,, ,o n,. \ q < r,{ !.)u.

Sün¡ndo de r+ r a @ (nás phime¡te, d€.v+ I a r14, y ha€iendo t@so n 3ó).

' , g

(r)

(r)

236

:.r:Tt+:¡:T:*ii:1;,.;f,:#i.;ff-..'rj?ft;:fl "t ;it::;J:[:T.;: lf]i::i* "jEs,udi¿r ra conversencia 0., a¡ E,n"*ái". ot ),fi!r, (") á#

oro ¡¿iodo: r ih " /4h'-

r+3\ _ , , . -- - - -* i l ' : " \ ; - - , , / -4. Lmso eo'el r .oEm¿ r. p jerna 27j . ta *n.6 d,vsl*

" ! Er¿) P¿r¡ ¿ 8Ende. a - ,i t,

- "0,.t,."0,..",, ," - ii, - -r,,

""' .t::X f = 1 v >,, = i>* **.'*. , *.. """ , = 2), ra si€ dada @"EL

"- *-"' ,¡¡i "(#*)

= + E .^.. e.. ", ,eorcn¿ r, Ésina 225. ra eri. ñ¡ve.!¿

k) rj' n"(n;jF3I = lji *('1,!) lll'H 0 ,por ra EBr¿ d. L H¿piEJ u oro

Lúgo por .l Teorn¡ I con ? = 3,/2 ta sie co.vcrs€,

*. 3fiT,,j# , .t*. ,€¡ probhña 6k) da 11+ < + : ,1, oero uda e rucae concruir

r0. Erudia. la conversencia de f,t á-", O, >,*"1;¡(¿) Il¡ l¿ " = O po¡ ¡a Ésl¿ de L,Hópit.l u oro ñdodo). Lüego pór et Teo@ I conp=2b

(ól Pan ¡ S¡ande, h (t/,) .s ap¡oxinadmente t/,. rjsto ev¿ a conside¡ar

¡ , . , , . "1 ' ) = ¡ ,_ f . .nf l r , ' , ,\,/ l l : i 1--lz-J = I

de donde * dedue, po¡ et T€orema I con ? = l, que t. e¡i. d¡da conlc.se.

CRITERIO INTEGRAL

ll. Demost.a¡ el crile¡io iDteg¡al (véase págiDa 225).Se¡fru*rn ¡quí bmmdo ,{ _ ¡ Se haen fácrtm.nk hod,ñaoonq !i

^/> lpor já monoronia de /(r, * tjoe

a+¡ = . / ( ¡+1) t

^x)

= l (n) = x. n=r,z,a, . - .hr€sla.do d. r =, a j =, + t, por I¡ propiedad ?, Égina 81,

. . , , = !^""nto. =, . n=r,z,s, . . .

x.+u,+. . .+uy = ) i l r )d. = ¡r+e+.. .+r!- r ( ¡ )

Si /lJ) .s csdctañenre de¡{ie¡te s pleden on¡j¡ ¡os sisnos de jBüatdad €n (¡1,

s i l in J, tk) ¿, dú|eysis la¡as,sevepo¡radesisüaldaddel¡ izquierd¿eo(/)qü.!r + ¡r +. . .

+ ,/ €s nono¡ona cBr.nre y rcotad¿ sup€riomente o mayorada por .r, de modo quc ¿," conlersÉ.

si lin J, t(,) d¿ no es acolado, 6e ve po¡ la desis@tr¡.d de td dereb¿ cn (?) qüe ¿!, direrse.

Qüeda compleb la dehorració¡.

|a I¡ust¡¿r geométri@ente l¿ demosración en

Ooñ¿L.icamenLe r: + ,r + .. + !r es el¿rs total de los recdnsulos 5omb¡eado5 en ta Frelro r r . l . mteíú\ que ,r + IeJ ár€r tokl de los rect ngutos smb€doe y no

E¡ área b¿jo Ia curva r:/(¡) de x = I a¡= M tiene un valor inrmedio olre l¡s dosá¡¿as a¡lerio¡es, ló que i¡ust¡a et resulrado (.¡) del

¡3. Fsrud,ar la conlersrncia de. ra) :+, p = consrante (o).i nP -

ld.) >ne-n.,¿, (onlderd¡

| : . , ( , " ,b

=: : : " , y ' ' , -1J, 1- p l t 1-p

",,=,, f , '*= !,"*=^" ,

si p < 1, lin ¡ll-:1 = €, cóh lo que ta in¡esr¿l y, po¡ ranlo, h sne diverger.

si e > r, ;:- !{1

= -.1-, de módo que ta inresrár y, por ranro, ta sie co¡Éreo.

Jim lnM = a, y la lnlesrat y, por con,súenle. ta s

¡dt rr-l

É711; r,l ifr;

Así. pües, ¡a srie ñ¡ve¡se si r' > I y r¡iverge si p 5 I

t"t )t:!t,;+ = rin +r¡k.+l)t i = Jj¡¡rtrr"1¿,*r, - +rn2) = . y ra srie dive¡se

J. ' | ¡ lJ . ; ; , = lm ¡nrtnr) , , ! = l in t ln{r¡ tú) - ¡ ¡ , r ¡2)} = - } t¿\enediv.¡se

),* J, *"* = L¡. _'-11" = Jltl {}¿-, - }¿-r} = }¿-, yra $.É onw.s..

, , Ob$n* qLe q ,¿ ler¡e -onverse et \rtor de ta ,rrecrat €,r\pondren,e no F et n,,mo ,.n eene¡drl

,tr. pe¡o t¿ \uma ap¡óun¿d¿ de ma *m * prcae ouo*, mmiao o.üqanre aproxrm,oón med'anre nree¡ate\. \é¿y prcbtmo 70.

234

t4,

SERIES

Demosrrarque í. 2 i ' ' . i*í.D.l P¡oblena ll s sigüe qu€

Jn .¿ ;rr ' Jt:- f ," #i . ls. :] ;rr*a*i".!¡;{1 . i. .-:,;i, d"d.d" ; < .i,;fi **"*0"*0".

.*.¿rFi < Í, F obr¡de. $medo * " ""a, r"a". .3;11 < |+f .

con Io qu. qued¡ ddorlrado et lNttado !Éd¡do.

s¡ ¡¡If'q ^L!TaNAS15. Dada fa s€¡ie altemt at - d, + a, - 44 + ... con 0 S ¿,+, S ¿, y üm a, : 0.

que (¿) l¡ s¿¡ie conie¡se, (r) el error @Delido at co¡ia.t" en "n

te,mino""i,iqui".. no e"qu€ cl valor absoluto del término siguien&.

(a) k slm de la *rie hasra 2¡¿ t¿miros .,s = (q-, . )+{¿¡-q)+._.+\d^ , )

= a, - (d,_ ¿t - (q_ G) _ ... _ (","_, _ ","_J

_ d_

Como ¡G vator6 4trc paiot6is no sn dcsativd se ú..e

,sr E 0, sr=,s¡=sr=&É.. .=&¡<¿,Pü r¿nro, {s¡,} 6 um sasión mo¡ótom @ie¡t. y &otad¡ y t¡fle c¡ro¡c6 ltmite ,r.

Tanb'en.S¡rr , - Srr , , : / - , .Como trm s.x - . t ' t ,m ¿r, , , . 0( !orh,pokrn, hn a _

ssakque l in s, /*¡ =Jr jX s, ,+ t¡n ¿,rr1 : . r+o:s.

De nodo que ls sums p.rciatB de I¿ sie üendú ar linir¿ .i y l¡ srie conwrge,

(ó) El e¡¡o. @net¡do al @.iar la süma .o 2¡l lefrinos .s

{¿*+!-¿*+J + (q¡+,-dt"+) +. . . = ¿_+. _ (dú,, _ " , .*J

_. . .

y *, pües, no ncg¡tivo y ncnor o isüal qüe ¿,,+r. p¡im.¡ Émino oñilido.

AsnNno, et er¡o¡ oñetido ronando 2¡r' + I rm,nos es

- ' ¡ { r r+ (¿¡{r , -¿:xr)+. . . = -(¿,"+.-g"+J (q,"* , -¿."* , ) _. ._quc 6 ¡o poltjvo y ñayo¡ que ¿,,+:.

ró. (¿) Demosr¡ar que ¡a s".r" ,! ffi -***. 1á) Hafl¿r er má¡imo e¡.or qu€ se coneie

rmando l¡ .uma por to. primeros 8 rérminos y por tos prime¡os 9 téminos de ta s€rie. (c)ros réminos de ¡¡ serie se nesi$n para obLener uo.ror que no exceda de o,(rut en vato¡ at

'¿ ' r¿\enee\ r - t ,+ {+l- . . o ," ,#+, ruesó o. ; r" t _¿"t_r, * , ,=

""il =

¡*. c".. *|-i = f; r c*,," q".,r- r!,

= o, s sisuc po..¡ proud

239

r¿l U' lr¡nf, Io: resúfddo, det p,obtema irró¡ Lo\ p, mero. 8 r m,nos d,n e¡ronce. I _ . I _ i¿ - : r Á - , . J el e ' ¡ó ' comer 'do e. pon"Ló rn exced.r

asin$ño, ros pr imüos e 1é¡minG '

_*++_++¡ É+ * t +*yet e¡¡or es neqar ivoy nato¡ o iaual que ¿, es decn, que el e..or nú cxcede de * e. vato. ab;ótulo.

(.) Er valor¡bsolutodcl eÍor @nctido suspe¡di.rdó ta sunac¡ ¡' Lérminosesm.¡or que I t\2M + |. patuobrencrddp¡or ' rocóndecdd¿hdde.er.^eL2v,J| :o.oot.oedondeM¿;oc.r .Demodoq;.* ¡@sil¡. por Io nenos s00 lé¡ni¡os

q)NVf,RGENCIA ABSOLUTA Y CONYERCENCIA CONDICIONALf. Demostrar que una *rie absolutamenie convúrscnrc cs convergente.

Dado que t ,,1 conveqe, hay qüe demóstra¡ qüe :!, co.v€¡se.

sea s¡ - ¿1+z' +, , ,+,r y f '= l ¡ ,1+1,,1+.. .+¿¡.' s¡ + r ! = (zr+l¿¡) + (r ,+izd) + . .

= 2q + 2n, + . . . + 2 x, lcóno t u, conve¡ec y puero que 4¡ + 4l= O, pa¡a,: t,2,l,..., s siCle S, + r, es üna suasión

ñónótona c.*ientc !@tada ! qw q¡re. pü tanro, Im (5/ + r{).

Y. asimiMo, puesto que exift lim r, lya qE la si€ es absolütañúle convereo& por hiEjl.sis),

I im S! = l in (S¡+fr- I ¡ ) = tim (Sr+?¡) - lih ?¡

tiene que existi. l¡nbién y queda deñor¡ado lo dicho

SERIES

!. Estudiar la convergencia de ',

.".," SF*rlt .e" \,6

2MrAn-. . .

ai++;' ruesó4'1=4 Pra rodo0. Luego por.l Problema t5la seric converae.

Coño cada ré¡ni.o ¿s en vatoi abrctuto ñe¡or o ielat que et ré¡mino coftspondi.nle de Ia serE

1ñ + i¿ + á, + . . ,, qm conve.se. e sicüe que ta sei€ dada es absorul¿neme conve¡cenrc y que! po¡ ¡an-

to, es conver8ent¿ por to visro en el probtema t7.

t Estudia. la conlersencia y converge¡cia absorDta de:

io i r { l t . - ' . ,b, i { : l " / . , ; r - ! ' 2 '1. nzt l ' , Í ,ntn,P , , *

bs $ ">

+ qm a dNúgenre sesún el p.obleda t3(ó). Luegó ta s.rie dadano €s ¡ósorüramente converae¡re.

Pe¡oia.=ic=-:-

n = r. y 'añb'en

tim o. = ljn -l-

Como la serie co¡ve¡ge, pero óo es absoturañenrc convergen.e. es enro¡ces ünd¡c¡andlnente tunD.L

\¿róEs ab$luFs 6 ">

:_.

I

Por el c¡ne¡io inrcgrat era s¡ie convÚsc o dive¡se s¿eún *. ;ff: 1"",3"; *.,

" -

240

si ¡ = in¡, l- -:q- =

-4' Jyl J, iñ; =

[cAP. r!

___L¿"

= : y t¡ inre&?¡ cx¡sr.. Lu.Bo t¡ $¡ic @¡E.!¿

SERIES

!# = -i.. =r:n(#-#)

cono ülr f i tk Fi i=;+- v . l i l ;# o, seisu..poret prcbkn, rs{¿LqE

Ia sr¡. ¿tr.tu <l¡d¡ .onlersE. p¡¡¿ .xdinar su conEg6@ ¿bso¡ül¿ r¡¿y q@ p¡@d.. 6no s¡L

rcr como ri' ,, + o, ".. -

= tll] ,.* st dad¿ no puede *r @rwrg6le, pu¡ m6trú F

. t in/ .+0b¡r t ¡@trmosrÉrq* lg1l , , l=t , : , ]4+o, l .cuatepu¿rtehaerpo¡ra&et¿deLr¡ ta iu or¡o D¿1odo ¿propi¿do [v@* problma 2l(r)].

CTITDRIO DEL COCTENIE20. Demost¡a¡ et c.it€¡io de co¡rrrgencia det coodre.

Co¡sidérep¡¡hero¡¡e. ie!r+¿,+, ,+, . .cnque€adar.m,rc6trones¡ l ivo.H¿yqued@@

cE si ,¡ñ ?: ¿ < l, dron6 14 conrcrse neand.¡re.

Por hipl resis, püed. etc8i6e un enrero ¡y ra¡ qüe p¿ra rodo ¿ Z N, (r,,/r.) < r.o¡ L < | <1.Lq,

u\+,<raF-\<r 'üN

rx+¡<'¿x+|<'J¿n

!n+¡ +¿ñr, +. , . < ¡"( ,+rr+/+. . . )y o¡ones l¿ si€ dada co¡wrA. *glln €¡ oileno de cuúp¡cc,on pu6to que O < , < l_

Si la se¡ie li.¡e réhinos de si8nos diter€¡res * @¡deDoslrucúnan,úio¡y€rprobn ",,, *,n**""- ¡{-i"l'i: f],:J:i;J üfitr

Aiá¡o8¡m.¡te f, pued. dmo.*, c," rr l::X l,;::l = ¿ > r r, *ne ¡4 d,vc¡ee. rrro s. rio l:,

-- ¿ = I .l hreno det @cicn¡e ra¡t. fhq prcb¡em¿ 7t{.ú.

I'l']l,l *,":": .e td 2,n, r¡, (ó) i{:!):,", (4 ¿S#.{¿} Aqui es u, = ¡.¿_t. Lu€co

¡:: l l?' i = ln, ' j l=r: j l - jr l , , , , i?-::--"= tn(#) ' "* '= ¡ i1(-#) ' tn"-a ' ! : , .0 = o

Cono 0 < t, l¿ si. @ñvers..

rtn "ú - E!l\ = h ,L - /a1!\'1 _._- \ * t / j : . :^ I . - \ r i , r /J = |Pe.o haci.¡<to la div¡¡ón,

+l = (#+)'='-**#i#] i

241

(¡) ^qui

¿. = !-+:4. En'one3,

.'el*l = .sl*# c+'l = :::.?; = ,Cono 2 > I,l¡ s¡ic divcrs.. Codpan¡ @n.t prob¡@¡ te(.).

r.) Aqui c = Éi. Eddes.

r i . l t . r l . " - ¡ t - t ¡ t ' . ' t l .

n ' , ¡

' , ._(nlrx,r+lr. - - i 'ñ ¡r{ r ( r l ! ¡ ¡ l j_, : { ¡ r - -2-n t r , I

= I

y ct c¡te.io del @iente fa¡t¿. Ulitizan<to oircs crilerios lvÉe prcbt¿@ l9(¿0, ta e¡]e rcsütra s @n-

ortos CnITEXTOS

Aqüi ¡o .s ap¡iobl€ .l critc¡io a"r "*r""r", o.*

ll+l= z¡,1 o *l,l eeú¡ qne ¿ e¡ inpe o par

Pe¡o utitiando el cnlenó de la .¿iz ,+sim s riñe

vñr=lVrF|=iaH e,s i .pdt i l ; i - Ft si ' .spar

Eotdcs ,rin i.l;¡ = hl (ya quc.rim 2fr = 1)

asi si l¡l < 1 ta Érie mryrsq y si l¡l > I ¡¿ srie d¡wrse.Lleso F sne €onw¡s¿ en ¡os @ss (¿l y {¿) y dirc¡ee.¡ c¡ qa k}.

B. E,rüdiar¡acoDve¡eencr"+ (^t)" * /r:rJ . l=:t, .. . /¡. ¿. r... ig, _zr\ _\3, / \8.6/ \3.6.s/ . . . .

\_r_:g- i ¡n| / "r criteño der c*ien,e far¿. p*.

H n I =

ln(:}]j)' _ r. pero por er dibo d. Raab..

rü' "/r - ¡:i. '¡1 - ,,- "J, - /c" , rYl 1.-- \ " . ) / , : Í ' : "1, - \ r ; .3/ J = ,> ¡

y ¡a sene convc¡ge,

i

tde nodo qu. ¡a e.je dive€e s¿g,i, el crildio d. C¡us

SERIES

SERIES DE FUNCIONES25. ¿Para qué valo.es de r co¡vergen tas series siguientes?

r"r iS, r¿r i ( - | ' - ' | r ' , , - , \ . .1-t zn- t , : , -a l"-ar, td '2: . ( . : - l : .

,=,2_t; jn t l .,¿¡ 4 -¡ . r . suponiendo " . o \ , , _ 0la \ . r ie (on\erse/.e uene

.'s l;ll = :* lar¡i¡--.;+ I = lr.h*,)¿,r = g¡ - reorue,e"o*e,¡" . ¡ l t l . , "or**" , , ! , , . . ,$_r.csde.n,er=t j ,erc¡ i re¡ iorarra

5., _¡ 'a.ene.e.on,eic .> ¡ ," , j . i j * .^"*

si t = 3rae¡ie$convied. .¿c# =

i_>,CF ",.".",.,_..Y et ¡.t¿nvlo .¡e .om¿ry¿nc¡a es -l : x < 3. t_a srie diverge fue¡a dc 6re inlervaio.

. ontu*'* n *to t**ac absoluknftre para r < J < i. pa¡a

^- : l Ia erie onverse cüL

(,) procédae como en ra pan" 1"¡ -,

u =\S=$i. eno*s.

:*1,#l = :::ltii# Éi=?:l= :*ffi,= ,* r",-¡ff#=¡¡r = l* d*r,,l = o

1;;..,i ¡'" -**" o*.,u,¡hen,e) pa¡a rodo \j ú: o{i¡. e, mervaro de .onve¡sencia {absorua.=

l:xl'4###l = ",in(z+,) r-¿r.

Enlonc¿s l¡ srie converge so¡o para ¡.= ¿

(d) 4 = ;'iF'¡l,,l''", = o,!..Jfr"11¡ u",."*,

"r-l_l =,r-lr,+,._rq#+-11 = l+l = 1;1L" ' ' : : ' l l ' : ' ' : : :"*" * 'a 1r-r l <2 v di!*se púa F- rr> 2L' cr,re¡,o r¡ti¡ pam r _ tl = 2. cs decir, r - I = 12 o r = :t y ¡ _ L

Patu | = I la serie c( "i ,\.

q"" a.*g" p,.". que crrt¡mino,+siño no riende a cefo

", . , , _, , * . "

" , j

la ' . fT, que knbién o,versc porque er ié¡mino ¿+simo no r iende a lE

Ar. pues. ta sene conr€¡se solame¡re p¿¡, l r | <r .esdeci . , -2<¡ t<2o_l<r<f

"" _ , , r, "r", ¡11 ]_a¡l =Este linir¿ es jnfinno si ¡ * ¿

SERIES243

¿¡ara qué varo¡cs de ¡ convers.n r"" *.t- (,) j-_L(€) .ro .á¡;*_#;_,

'{d '=*=(#J" '"""¡1x|?l - ¡s#+l-?i = lat3l "t,*t,-,.

. Luego ra s¡ie @nw¡s€ si f,¿lf | < r,ar"-* ,r l#+l ' ', r a *i,".t" r"rr. ,i lf{l = ,.*

Si ¡= I ta sié d¡ErEe.Si r = -2 l¿ seria 6¡w€€.

si , = -1 ra *ne *.i f$ b cu¡r @nyüee.

Asi, pu6, ¡¡ e¡E @n*ac/É* l-il . ,, ,=-* y ¡ = -2, cs deir paÉ ¡ s *.

Er üirdiode¡ @ic c rarh, É".A H:l = 1, 6¡ ¡" =

Glr#*i, pcrc ob*úan-(¿)

OONVIXKCENCIA UNIFORMEzr Hallar et dominio de conve¡sencia de (1

Süh¿ de ¡os p¡imeú ¿ Émi¡6 = S,i,) =

- . f )+¡( l - ¡ ) + ¡ , ( l _¡)+.

c-¿) + , (1-r) +, , ( r_c) +7-r+x-r '+*_. ,+. .

Si l ¡ l< r , l ih S.(¡) = r im {1 , . r - l

si l,l > 1, ,¡iñ. ó..(,) ro qúle

sir=1,s.( ' )=o y ]g is,k) = o.si r - - r , S.(¡) = I - / - ¡ ) .

' t ¡n S.(r) no€r¡sre.

Lueco l¿ kre @¡versE p¡r¿ | a < t y r . r . o s. pam - | < , < I

M¿rod. 2, po¡ ct @tedo d.t di.nk.l¿ qje @nrrses¡ ¡ r .s j r f ry, , - r , \ r , , . . r ronec l jn, I . ,J = l in tJt .L4so_l¡ *¡e @nkry. sj kl < ,. div€,e€ $ kl > l Et cr- - ¡ B kñ. dr*Ec. a¡¡ . ,

ne' io l t l las ' r ' - rs iY- l la*neconrerg.!i ¡- -¡ ra en. di*;. /isi ."" t#;;.il*;,*":'i:.J:="ll

244 sFxrrs

2& Erudi¿r h snwr8enci¿ unrtonne de lar r¡ies dr¡ probtema 2? rn et inrenato r¿rIr i - i s x 5 l . l . ) -0.0q _s ( < 0,99. tdt . | < x < t . ( fJ 0 5 I < 2.

- j<x<i

,,, ijiil,lil"',',j.'i"rl:"t,', , -*sr,r=.,i* s.(¡)= r si -{<r<+i rueeo,as¡ie.¿¡¡?¡s¿d

Rero d4pü¿s dc, iétuiros - ^,{r)

- s(r) .r.(¡) - I _ (l ¡") = )¿

Lr *de cs úifotMúte a"@tzenk ñ et in6^de d. .. Fro no d. i t"r q* r¡.r,)r . . p*" ¡Jl': i"fffil?i::,: ' ' **e un & que dera

l4(¡) l= l i l :kr<. - -a"

, r" ¡1 . r" . " , , f f iprcs a¡ dividn por l¡ lrl tq¡e es

'eearivo pusro que rl < j)c¿mbia et $nüdo de la d6isu¡ldad.

. púo r i t \ t< I , rnr\ , <¡n,J, , , , , . ,111, , i l " , i ,_ .{ A\ i . pue.. .omo \ es,ndepend*n,. d. !

la se¡¡e B un¡fómcmcnk @n,*s"ne .n "t

,nl.^ato

th) En de { 'o l ¡ l : i . In Fl s r"r t , r , , ,L l , , rn, ' - , t . , . , qu. r" **." kmb,. ' unirome@In |¡l ro (i,on@9fl ' . o _i5 \ =!

y_1-1T"úi"..lo e"bido "t "n&rio¡.

con qe €n ve dc j nueffa que ta srie es u¡i¡omenenre crergenle etr .¡ i¡l.¡v¿lo 0.99 = r = O,99.

(d) Los ¡azon¿ni.rros anterioB fa¡lan .¡ ere ca ln €b. eus t¡Tl Fuede ¡aere ñayor qüe oatqüi.r nl|Ú

p-ñl¡v.o !n m¡s qüe et€e¡r rl $dcienleñenr prcx rmo ¿ r Asj, pEs, no ex6¡. , s d¿due que la *¡i _6 unÍomoenr. conkr8mre en _t . r< ¡(¿) Coño Ia *¡i¿ no B conlergenle ñ rodo pümo de esre inrrato ¡o puede @n!e¡sÉ¡ u¡ifo@mflte a a

29. Discurir la conrinu¡dad de la fDnción sum¿ Iu s, s t .

; r r l - l iD s i l ¡ r del P.oblems 27 para et Inrery-

s¡ os,<t, s(,) =. l in.s"k) = r im o-,") = 1.s,¿=r, s. l r )=o J¡ s( / ) ,0.Asr que s(r) = Jr r o=t<r, . r" ! " .

?0 j ,=r J o, . 'E!dÉlon¡ inuaen¡ - t . pr ,o conl inua er rodó, tos d*

pu¡tosd¿0S¡<t.

En .l Eoblema J4 * d.mu."rE qLc , una !e,ie.s urromemsre convergcnre en ui inr.rvato tailT."rr.,]*I :i_":1,:1,. .n er de,bro. s. deduce qú. s, ¡" r,*¡¡" *."

- - .-,i"", ."

"" I

i: :;:?:d::l'.:'.::'g¿T"'-*e"*"' i;;;i;; ;;;il üiff*";":T ::'itu'ffi

Jt). Esrud€' la conve¡g.nco unifome de ¡, _ r'_ , _/'

i+?-r t+r i ¡ ' - +(r+lTi 'supong¡s r + 0. La srie.s enloncs eoméln( aoruro Jr .

LadeE/ónl i l ' r ' r v sú suñ¿ 6 t redr Probl@ 4

sr,r =

-{}-

= r+, ,

SERIES245

::::,:i:::".:l,:i*s,,émiros s s¡(.r: o,¡u.go5(o) _ rin q.o)= oco'o

l,l? st'i: t + stot, st ) 6 djronri¡uá en r =.ihthñ¿n!¿ conwt,."b " -¿-,,-

,-. 0 Luego por

'l Problena 3d lu e¡¡ no puedeY,#::':T:i;:::::,í:i:;:""::",it'J,::T,i":[.J::"]j,",,""-"- ;',";J:, ;:,]:,H:jTji.,¡iffí.:n¡mjiq!tr dsva¡o N. .h""." ; ;l;;:;:;;1fi il;; :""-l'ü*;lT:i;1.fi1li

E3to t@bién se pucdc mos¡er die¡anen& (vé€se proo¡em¡ s9).

IEIITERIO ¡' DE WEIf,TSTIASS

' i""?t"Tffii ñ,:11f j:J";:""iffi ,Bj:¿Éí;;,i";l;","* ¡ ;1iif,t##i:.**:E¡ cro d. l¡ sdic >r,(¡) dcspués d. , réñinos 6

ra'(,)r = r,.,,(,) + a,*{,, -

., =,,.,,o,, 1', L-,:;, ']- *:T,,

- ;,:.

l"',i.ft.ii"Í::,1 ""..1i.*l"TTi;.T.TliÍ"..:t.::.,.>,

puaro que !,,,. conqs. cóno.r

'''*H$T::'"'; ;:.:,ilTn ;lhi:ri:li.l*iii : í" ?,i'.l,""ri,ik lrrfl;t;ti,lr' -o*.g"n"¡. .r*,u" * aliü ;il;f#1.,:,T,J; J ihf"T#.1

3¿ Estr¡dia¡ la conv€.gencia unifo¡me de:

t,rátts=. orjg. r"i , t"¡8,,¡#{', l!'q+¿J - ,!. = ,r". cono:¿, one¡,. (/ qe

'ü¡ah4L) €on€cente pa¡¡ rr" , *, o -n*,l"rll'

= 4 > ¡)' rá sri' d uni.omehot (y abe-

{¿l Po¡ d cnlerio de¡ c@ienre, ta eris con!€4e er er,nt Na¡o -¡ s ¡ 5 ¡, o s, p,6 I,l 5 ¡.Pah 'odo

I de 6F hknaro, l#l =

S = "+,¡r : ;-;:.Et¡giodo paE ¡r.

-,,1,. * *c* :v._"-

üf;j*.i *-*. ** -^.".,*o.i**" *. , ., = , _ .,X'^i.* ).,., I ;J-.1,1::t1.*"" - ; ". ;;; ;;"". ; ";" i"j'_lly;" ".", ".$ p¡.dao¡c¡un d¡úes @d¡ $b; b onv€¡sfrcia un'om.

-"',," :,";;;;;_*::

(¿l l -L1.1 y !r1l convergc. btme por el cnre¡io ,/ t¡ er¡e dad¡ €oorcrgc r¡jfo¡nñnte

I :l""xni:iilT'::i"rii.J"li"ñ*,11l:".: .,:rrfar,que converse ,a, abso¡u,amen.'e en er n,eñaro ¡ . ""¡r,ai "",i"i.i,fiir";="".:; ff[i.jjl]i:i...ilj f:

,il,l,:11:i{¿) ctuo &"rt co¡v.rse.

,,1p,"li = ov*.*, * o".de haer k"¡¡l< I erigiooo ¡ jo süjcjolcme eera¡dq €sro 6. ial < I,i

p&a , > a Enb 6,

(r)

:d:

26 sERrEs [cer_ n

Coñolaúlntuf f icd(/rmnv€¡eep¿Élrr / ' !o.sed.d¡cemvirüddelcr i ¡ .nod..ónDotui&que E pnm.ra he .r .onEr8e¡re, o *¿. que h he d¿d¡ es absotuhol

r . l ¡Etrronces, rnr convers.. pueío qE l¡r I < llol. cono en ¡¿ pa ne la), tc;¿) < M, E'rt

lrl S lrrl, de nodo que por €¡ cnt€ o rl de weic¡6tm$, r,r, 6 ünifom€ñ.nie conwccnc.s. dedM, pues, qüe ü@ *¡je d. poIencias e, unifomcñe¡re @¡re¡a.¡re én bdo irrerab n ¡¿_a su inredálo d. conw¡súci¡.

TEOXEMAS SOxnE CoI,!.I'ERGENCIA UNIFoRME34. Demostra¡ el Teorena 6, página 228.

Hay que nct¡¡ que s(r) es continla €n to, ¿1.

Ahon bien s(,) = s.(r)+¡,(") , asique s(,+¡r) -s"( ,+¡)+&,(z+¡) y. por ta¡ to.,l12+/¿) Sl,i = S,(¿+/¡) - s,(r) + ¡,(r+¡) - s"(,) {¡¡

d6der*h¿@gidodeDodoqüeJyr+¿quedñe¡[¿,ó]Gi¡ :¿,porei¿Dplo,cstoqigina¡<¡

coño qG) es ü¡a suro dc un n,¡Dao finiroÉ > 0 e puede na¡l¡r ¡ rat qE

de tu¡ciores conti¡B' 's

t¡mb¡é! coftiúu¿ Lu€go ó&

is,( ,+¡)_s,( , ) l < . /3 s¡mpÉ qu. l / ¡ l<ó lsCoño k en€ po¡ nipóteús .s ünitóhebole conwre€nt pucde el€sine ¡V d. nodo que

la,(x)) < 43 rEnto@r po. (/), (2) y (r),

la"( ,+¡r) l < r /3 !e! '>N

is( '+¡1)-s(,) : s,( ,+¡)-s"( ,) l+ l?,(r+r) + l l?"( ,) < !pea l¡l < ,, y qüe¡a dqostmrra ta co¡linuidad.

35. Demosr.ar €t Teo¡ena 7, Etgina 229.si u¡a füncjón * co¡rinüa en [¿, ¿] su inresÉ¡ ñjsre. Lueso, cono s(¡), s,(;) y ¡,(,) s¡ .ontjnu:

J" s(') = J" s,(r)¿, + J^ E,(¡) d,

Pa,¡ dmsna¡ .t Leorru bay que mdxs¡ que

lJ, s,.'dr J, s.r/,d,| rt. n*ta,)p_üed€ naere arbira¡i¡neúrs peqüeno rona¡do ¡ 8u6qúenúre .Énd.. pero eslo s ded@ ,¡neddt--olHoi":; i?::: '#:"*'romeder¿*r¡epledchace* r¿.i. '¡ ..,¿-, 'p,'",-, ' l '" i .-E

J'"o, r' = ri. J"s.r,ra, ' ] l lJ'"'o," - J"tri- s.r,la,

l l l sERrEs

Demofrar el Teoreña 8. p{Eio 229.

se r(¡) = ">

¿'" k)- como. por hipót.sn, esta serie co¡ve¡ce unjfo¡nenenrc en [d, ¿] se ta puede in-

Esrar t¿m'no a rémino Gegin €l Probtema 35) y oblener

I stqd' > l r ; r4d' = > { , . ( ¡ r - , G, l

= i ,"t ' l - S,,tot = "1,,

- ",",

püe\ pó¡ hrporñ{. hdci4 S,¡r . r t¿.¡- .

Demandó ¿mbo. mÉnb'o de I s¡r ,dJ Srr , -sf ' r ,evemron.esques,. t -sr . , , tocuatde.

Sea s,(-9 = ¡r¿-" . ' , n = 1,2, 3, . . . . 0 S rS 1

(¿) Ave.iguar si lin I s"(r)d, = | Iim s"(c)d,.

{ó) Explier el .esu¡tado ánrdor_

{a) | s, ' r ,d¡ , | "* - .d, -1. . - . , l , r ¿-1. rn¡one\.

I in I s,r , , r ¡ = l iñ lü-s 1 -

I

sk) = .lim

s,(') = ,]j]: *"_* = 0, saque ¿=o o¡ 0<,=1. E¡ronces.

I s{') d' = 0

5. .Cle que-lin I S.'rdr - | ljh s.trrdr. e" ¿(t. que no r. pucde roror et trm{e bdjo

(r) La ¡azón p¿o esto 6 que si bien tá suesión S,l¡) @¡ve¡se hacia O, ¡ó Io nace u¡r¡u¿heite. p^ra \erero. obstuese qüe ta ru¡cjón a¿ *. tjene ün máxino sn ¡ : t/vñ; (por tas rcslas srienles det c¡lcu-to a.oorot¡, qu" *le .r@ "

,,,. Lueco al l¿nder ¡ + ó. S,(¡) no puedc bae¡se ¿rbirra¡iañe¡te Eque-no püa to.lo \ y así .o p\ede co¡yels]¿¡ ulommqte nrcia 0, ' '

sea fr) = >s:l¡. o"mo,r,",q*J t!4d¡ _ 2¿,¿¡:jr.

s" d"* l+:! I

= +. Lks. po. €r fit€no M de wé,e6lr¿ss, ra F,i. es unifomnenrc co¡verge.r. páratodo ¡, .n particüla¡ pa¡a 0 S r = ,, y pü¿de intesrárs té!ñino á téñi¡o. Asi q@

J""oa* = f"(.i+=¡* =.!,J"+",,= .¿' #"* = ,(¡*;.¿. ) - ,.¿u"i'

248

SERTES DE FOTENCTASJ9. Demonrar que tanro ta kne de polenc,as S - _ ra *rie cooespond¡flre de delr

oas ¡¿nr¿!¡, ' lienen et mismo rddio de conver8enc¡a.

Sea ¡ > 0 €¡ ndio de co¡wrSencia de &r¡, Sea O <o. ¡o@,v d. nodo que k,l. ¡

" p"o,, rv.

: i¡01< ^

E¡tons como 4 '¡

Prob¡tu 33, s F'

Así qne ros ré@inos de r¿ *ri!3 i_.._,t _ ¡,1¿,émiúos cor¡€spoodift,es de ¡a ;; ; ;k ; J":''

o''-' e"n " > r* p¡¿¡¿o ¡*...

'-o*. q* ¡

Lueso t'¿r-I convers! ¿bs.,",",*"J ;; ;:'-' *' ¿r crit€rio d'¡ ceidr¿ para l¡l < ftol <

'púo n ,,, . n r,m ,." - ,, ;;-; ;:punro

ro rpor ce'no que 6,¿ rr'r d. ,tr.

De ñodo qk R s er *a. * -^*o"J,i"

,-,,r -'0 @n lo que ¡,¿r' 'I úo 6^úse

Nóres. q@ ta e¡ie de d€rjBdas pued. o no onv.¡se¡ par¿ ubEs d. ¡ ¡¡ls qu€ lrl = .R.

¿r0. Iusrm. el p¡obrema je median¡e ia "* ,¿d+.

lr:xl'#l = .'s ld-"*--L",,'+cl = ¡::lmf¡rq = S"t"lyJ":[3T:1::T'¡É

]:l < 3. E¡ ] = t:j,¡s¡ie r¡nbié¡6nwrs€, denodoqu¿er i¡¡cr*b¡La s¡i¿ dc d.¡ivadas 6

S * ' - €¡ 'Por tl Prcbhna 25(¿t €dd nene po¡ inrerv¿to d¿ ."",

u.*r o. &" **, ri*_ .r *,.; ;;. il,ffl'..fl .l Í,.1 í.il.,;.,,,.,.,",.*," * **""ii:i*T,:.:H,J:iÍ..*1":::':ffi,:::i:f¿,:"x"Í:"1"#i:flf...":::gt*ii:f:il:"":;=

41. Demost¡ar que en todo inre¡va¡o ¡r¡¿¡¡bl a s):1 ::1.:."1," una f,oc¡óú conünua íx)

u intervaro de converge¡cja una serie de poi<-

; ; i""ili:':,.::ñ'flli[ : l:l,l,n ffi ::;:n,:"IJ::.i ::ili;,se¿ I¿ Érie d. potfrci¿s !¿,¡", aunque lo n¡sDo vate pa¡a ,¿"(] r ¿)¡.

;l :,j:n:"::::..:lTs 3r.y 34 y dc s¡ turcióa @nrinüa @d¡,¿nino 4¡"dc r. sri''' ff;:.fint' o-,"""."0,"'^,r r rrr"-",""";;;;;;;;ff :T'::"ffi:,::n*-

'lt##{{:rr::fr '*";*":::ni.J";it:rn::,#; j,F".i#.#"_*:....:: üi ;¿l';f 'il:i1":i:i:ff: il."$;:ff )il$:,ff:tu-do d"

-*.e.,u" o r*o.

249

3H";':T::j:"ü},ii:::;.jj:":ff;r".:;T"'#:,:.t""1i;n:t::i":":,T#::"*:0",, ,..

-":::"::":::l:"*lruuón

j upom qm h {rc d' p""""'"" .i d.r¡ con ev*no de "L n,c'

;:::"TH'f;:t "j, : _1."";ff::,.H..1H:"#:::J";;i,Jil** ;" . L' Hay que den.!

¡"( , ) = ¿"2, + ¿"+,. , r , + d, , ¡¿"+¡ +. , . , R.=a^+¿_.,+o., ,+. . ,

tlti"::g¡;;1,3 1..19 jy,}T:fr :fj#::i.: ;j,(¡, _ ¡",,)¡" + (E"ir - ¡,rr¿"'¡ + (s"-¡ A",r¡,., +*." ' *

" , , , , , " , , " ) + ¡¿"a,(¡"r¡_¡"a,) + . .

, ' {¿. - (1 ¿XE",r+8",¡z+¡. , . , "+. . ) }

l ,B,(¡) l s la" +(1- 'XlF" l , l+ R_,, .+ n* l . r+. . . ) ( r )Como ta¡ (onverge por hrpóLees, * $su. oue d¿dpara roao I J , ¿"'il;

'"i,-, '. .i.ilt"l'ili.' - 0 ru"4' e"gi'* ¡ de tar modo quc & < ¿ 2

re.( , ) l =. ;+o-,)( i+ i"+|x+ )

=; . ; =, e):oDo

11')(r+r+r '+c3+.. ) - 1 (s i o=¿<1)¡onorc¡. para ¡-1, l ¡ , tz) l=La, l<r ea¡a ¿>r.

", "1,,,,,"!1t[;;:". "*¡

>,v. siendo ¡f i¡dep€ndidr¿ der varorde]e¡ o = ¡ s r, co¡ ro qüe se d.heS. gen.¡alüa ¡ácitnenle a olras F¡ies de pole¡cis

DeDostr¿r el reo.eh¿ dei limire de Abet (páeina 230).Coúo ó et prcbl¿ná 42, sñnc¡se que ¡a serie de pole¡cns * .5" *¿, coo"¿¡se pan O 5 x S 1.

'tay que rósrar pü6. que,h

^i *, =

,i*Es¡o se dedúce de,nned,¿ro det probieñ¿ 4t. ade m

u : , i I y dd Prob¡ema l¡. O* .*". *. ,,,, * -,

y ellcnde eio r¿c'tmenre a or¿s *ft. de pokn.i¿!

k) Denostra. que.ts-', = ,-+tg f+ ."".0" r" sv,e .";rormemente conve.senrc

en-1=r51.

Demosr¡ar que á = r -*ti i . ,Por el Problem 25 det Capitulo 3. con ¡: _¡r y ¿ = r, se ¡eoe

+., r ¡ . r / ,_r IInt€em¡do de O a ¡ @r -? <r < t, se rioe

(b)

(1)

-.,"::11i.:ñ:".::f:::Í.t#l;?i',i,1,,,11y¡.'*.;il;".",ir-riT,.il"ili',Lil""jil,","(ól Por el P¡obleDa 43 y Ia Farre l¿) * tiene

f" '#- = '" '" -utiliando los prcb¡enas l3 y 15.

, - f*+-+.

. i11. l ir ,e ,, = ,¡1(, ' +*t '-"4. )

250SERJES

__," . - , J" - ; ._a. con J de. jm¿h\ eracro¡

.:,e&#*,"-l3;t=

se ¡ene ¿, = r+.+S+$+f+$+.. , -@<z<e.

. , " , . , : "=-: . , " _ r- , ,+g-g+; i_#*, _- . , . - .Lksó l : { = ,_f i_#_É.#-

" ""::::,*"i:";H;:r,ffifÍ",i¿, g;¡-". * *.'"",a. conwrce uniroñeaen¡e pa¡a o é ; s ¿

r ' t - " uJ" - j -d ' , ,uL. , u{ , _á, .n*_ I=

I rrrr . r . r-r_¡+$_.. . '

= I _ 0,16666 + 0,O33BB .

,"" )ffii.r*il.:::i:*r**i,, r** ,";#;" ::. ,b¡na es bePROBLEMAS YARIOS.16. DeDos¡¡ar que) = J,(¡) definid¿ por (1ó), p¿

"- * *' * ,,\"'l"ol latisrace

ra rcüacióD diterenciar de B.",d

,"_k ste de./,t rtonkree p¡a lodó . ¡pr^rr-^r-". " n,m¡"á ¿or ii'.:;"üi.'Ji::"]:iry.:n:ir; Ll[.;T ;;. o. *,."","" ,.

","0. o"_" - + t l r ' " -*- _

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Fr)'(pl}¡eJ 2, _ r)¡,-.2'ar ¡ t t ¡ +; '

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á;;;..:"rHH#f .i-tztes|rye_u::e r-rF-r- ,+h

-2=-i" T,lü-'ñt¡ .'i ¡=#ffi-.i4"-"g;; -.i,-r#ffi=T

rrl SERTES

E¡aminar la convdse¡cia de ra serie de potencias comereja,ir#.

r +|+|+i+. . . +f i

251

.* .'gffl -.':j'tl6r+*.',$i = ¡y.uoi-ro, =$, ,"*i"-o*.g"*-$. r, * a*i" l'l < 3, y di*se e¿r¿ zl > 3.

pá6 lzl = 3, ¡a en de wroes.*"r.,., * .i ;l$_m!€ryenre y, po¡ ranro! c w¡sDle eaú lzl= j.

= .i $ a"

-oao q* u *a" 6 sbsorür.e6r.

A$. p¡ec, la sdi. convüs. d61ro del c¡Mlo lzl _ 3 y o su bo¡de.

Süponi€ndo que Ia *¡ie de potmcias de d es látida para n(¡Deros comptcjo3, d€¡nosr¡r que¿,- = cosc+is€n,

A¡¿loaeenrq c..-: cd ¡ - i *n '.

El Esuttado s naDa id¿|t¡.ta¿ d¿ Eub.

D€mor¡ar qüe lt( ' . | *f * |. ..

Haciéndo /{¡) - l/¡ @ U), p¡ob¡€m 11, $ hal¡a

j+]+]* . . . +f = r ,ar =dc donde Impl¡ando ¡/ por ¡

.1 \

1= r+j+]+|+. . .+! too = r

e. iqu.r¡swsión s. = r+]+J+]+. . .+t_h, 6a@rad¿ poroy ¡ .

^""":':T:;'".-i ;;;+-'(*J Por i¡tes¡a.¡óú. ¡a {res¡suardad -J- É1=1 @D

-1-sr" f r l ! )<1\ ¡ - l t -+-- l= i - . '_,"e*1)Éo

o $a, qüe "t,|¡ - S, S 0, de modo qü. S, €s no¡ó|on¡ {rc@t€.

-.-_Cimó S. s monótom dec@imt. y acorads lene,r..,ti2t' . . , e

^aM .Mtú" ," u.,,.

^. * ***,jfl',.1" f'f :|.]j:.:T ; f* *,

'. * ¡c,,"r

"

Demosimr que €l producro infinno É(r+r¡),@n ¡r >0, conr€rs€ si

¿u. **".g..?or t¿ d¡€iór (1) det p¡oblma 28, Capi tuto 4, I+,S¿p6r¡r>O,deDo<toqu.

¿ =,io+*l = (r + ¿¡Xl + rt . . . (1 + ¿.,

Cono u, + z: +....onrcrge, * sisle qu. p_ B rpo, k'ro. u¡ tüDl.. 6¡ r" q*";i á.ii*,;" j tii,ffj tads v que ti€¡..

252

51. Deñosrar que la ser ic I -1+ I - I+1 I + es C- 1sum¿blchacia 1/2.

La suenón de sünas parciales es 1.0. 1,0. 1,0..

En,otrc. s, : r , srs ' r -o=l ¡ : "= ' 3 ' ' 3.conrinuando asi s óbriene Ia $esiói l.i.l i,i.j. , e¡ la quc cl té¡nino ¡-ésimo

?"- l l2^ r"ee/ Arr im./- ii ¡ r4 |s,es rmp¿¡

52. (¿) Demosba¡ que si ¡>0yp>0,

no = !.'fta"" . ,Jt

p L ptp t ' - , - , , - r r ¡ I , ,¿"¡- l r l'

l r , , " , ' ' ' . )

(-1)". 'p(p + 1)...(p +¿) Í," ní:^(¿) Media¡te {a) dcmosrrar que

nn - f " ' . )n, - " , { ! p.- ! ! t : .1 ' - . . . i - . , , ,' I

o seá, que la ser¡e de la de.echa es un desa.rollo asintótico de la iuúción del priúer miemtr¡.

(¿) InreBrandó po¡ panes, sc liene

'" - J,';^ :: J." " '" """_ , , .J, t ¡ ¡¿ r

"- ' \ -¿*xt 11" - J' (-" 'J\ eu'"- ' jdrj

. . t " ' , ',1. : 1 ," o, oJ. n.* l. f ' ,

, " PJ ; , ,at

A¡ároaanenr t ¡ . , = *- (p+r)¡" , , ¿e mo¡o que

r . = ' , , . ,1Í" ' , , , ' , , , " . . ¡ - , , : - " i : - ¡ ,p, , . ¡p.

Y sigliendo asi s Uesa al Esulrado p€dido.

l . -' ¡ l s .¿ s. l ' , =

-1*- , : 'o ' .1, , ' l - { i , . ,er t j ' } ' " ' ' ' } .

Entobes, ¡.(¿) = ,{,) - s,(,) = ( 1)+,e(e+1)...(p+,) J"*a,. ar,o* ri*

t¡"( ') l = !(r+1)...(p+nt !- ¡f-"a" = ele+\...tp+.) [. #dú= ¡¿l ll l!lr)

0,..,.0," J"" 'a, = J-" .a" ,. , ** " ' '

3E

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ara

D

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rGO

SERIES

.r.m ¡'Á. ¡\ - Lh Pr! 11-f!J,) . o

y s siaue qüc r¡im

¡,rR,(r) = l]. Lueso qulda demostrado tó dic¡o.

253

6 y ra ene divefae pa¡¡ todo r scgún et c¡ilério de¡ c@iente.

Problemas propüestos

Y DIVEIGENCIA Df, SE¡IES DE CONSTANTES(¿) Deñost¡a¡ que ra serie # * * * ¡.lul + ... =

"->- *.+¡"*5 ****,

D.nor¡a¡que la convcrgencia o divers¿ncia de una serieba comanre no nura. (,) quiran.ró (o añadie¡do) un ffj:,:'T:iy,":*'*if.::" *,a ,émino por Ia nis-

si :," y t,, cohve¡ac¡ h¡cia , y a, respe.tilancóte, oehosrar que >{!, + ,,) conrc¡ge haci¿ ,4 + ,.Denósr¡ar que ta * e:+ l i l +( i f+ .= ! ( j r d iverge.

Descnbl i r la fataciaiseas = I l+t_t+t t+ys:¡-r1f ¡ l t *1 i - i ¡*1-- i . ' ¡ - , " i " ' r -órntdess-r-(r I ) ( r r ) : r

*u'".. *" --.lii] = l,if+i!#i;;l= if, ",_"pan,odo ¡njo.

DE COMPA¡ACTON Y CXITERTO D¿L COC]ENTEEstudia¡ ¡a co¡!€rcenci! de

r ' r : , - , (ó) : -

-;;, tl) ":>- rh. to) "i,, _iffiu, "á;;5, r¡ ":i,",ft;ii-o.!i|, r"r

DcnoÚar el cnterio de cóñparación pa¡a dive¡sencia

Denof¡a¡ medrnte et critcno de conpar&ión que

.i{*In\Ftia¿r ra cónvereenc,a a. t.r "),fifff -so/. l¿) conv., (¿) dLv,

r"r.! j -**¿" 'i ?>1 y div€¡se si e=r, p¡

,j, Je1 o**g., 1"¡,j4

""",",*"Denorrar tos ¡esuttados (¡) y (¿) del c¡iterio del cocieóE, pasha 22s

Exani.ar la coóve¡sencia d.:

r'r .5 9r. or .i v^* ' r-v¿, k) ¿ *#?i, (,,) j, , sn"(l/")..to/. (¿) co¡v., (t) di¿, (') div., (¿) div.

254 sERrEs

CTII1ETIO INTEGRTTL

66. Exditu ra @rv.rs€ncia d", (") ,>,,'$, o) ,>,;¡}¡, G) .á+, {d)

o,-S"# s¿¿ (¿) div., (¿) co¡v., (¿) co¡v., (d) conv., G) div., (/) div.

si &, onwrse, d@orr¡¡ qu. ,li* ,o _ o.

(¿) E aDinai la @nkrscnciá.! ;rl-. Ol." .*p,*o

" 1.1¿co¡tBdice to enuncjado sob.e la senc r lLL

páai¡¿ 225 d. qn 21/ap únvery¿ paa p > t? ó¡r. (¿l div.

3 e-5

67. Denqtn. que ": -J-,

<ro¡de, es !m coml¿¡le. (al conye¡ce si ? > I y (¿) diverse si ? = i.6& Dcnoer¿rque

3. .É,* . :

' Hl-.fi,f -*""*' "._i,#.?0.

l : l : r j ¡Grrú qle i ,u , I f \ r { v2,

' / j F _. , f1, , , ,

" , ,_ i

::: ::l:": ,:lfT *,1,, er nror de w | . ,t> , ,fr * loo. a-a. *r *,o, *i-i¿) Mosú¿r cómo * pu.de n¡.., r" **iiba .i ,r,,

;.;"lll'iil;iii'r'i ;':"J; : 1"lT"l"l:1ilfi::';r;xT:.'".f1": *":. "srPrF.

^I¡TErY S

7¡. E minar ra conwrst¡cia d", (.) .¿(_;): , or .É;ff_. r"r ,iH,r¿; .it ¡¡*o'i, r"l

"!ff .ror. (¿) coñ¡, (ó) conv., (¿) {riv., (¿) conv., (¿) dn.

" Í?'':Tif;"LT?üH"'jJ,'bsorü1o,qr€e@nd'¡prcxituaor" *-" a"r" *.i".s ffi r.r

de Émi¡@ qü. h& de ronEe ¡aa qü e t€¡gln 3 d{ih¡les ex&r6?

?3. (¿) Deñorrar q¡e s = f +$+$+... = á(+_t."._ .¡

!?'iü:?:ff;'il;,i:jffi;derss!.domidb.oh¿bniqu.bea¡p¿.¡a¡cü*.,con6driñ2,6

COI\\¿ETIGEI¡C¡AS ABSOLUIA Y CONDICTONAL7¡. Eianinar ¡a conversocia ¿betü1a o co¡dicion¿l <re:

(d.¿*; n,.á# r"r.!ff i*"r

il:'?-3 '4 '¿#:s ,.á?+.s¿/. (¿) áb¡. co¡v., (ó) cond. córv., (o) co . conv., (d) div., (¿) ¡b!. co¡v., 1,, sbs. corv.

7r Deñouü que.:9Sg .onEse ¿bs¡lredé psr¡ c!¡l€squjera rcj1.s ¡ y ¿.

255

l ' I . l ¡_, ._,-^.r3 "( demoJ'¿' que r¿ rre,e"Btupddd I - . j ,¿- . l { " , , ,

lsuSn¡n. d: lomef.en,¿pnmer¿f¡eJe.clMj l¿en¡¡ toñ.0 :_ ()_. o | ¿ , . . , .úT. in, lot¿uegorermrlo¿,ermrno. i r tdprrr ' ¡ { reOb".re.eque\ -¡n2..umo+deru.r ,deletp¡obhcoó

Deno$ar que los réminos de u¡a s¡ie absóturamenr¿ curvúrsúnr se püeden Eag.upar srempre sin alrerar la

(IIIDRIO DEL COCIENTE

¡. Esrudia¡ la conre¡eencia de:

" .> I ;i ' :,,,.'o"l , - á;; '" ¿ -:#". ,, .t, f=s,/. {,) conv (absl. (¿) con!., td div. (d)co¡v. (¡bs.J. k) di!.

Morra¡ quc el c¡ite¡io del cocic¡re no se puede utiliar p¡ra crab¡ecer ta convergenci¿ condicio¡at dc una scrie.

. ) , ; i corLe'ce r ,6 ' ] i ' . . 0.

OTROS C¡TTERIOS

al. Erabbc¿¡ la latidez del c¡nedo de ta ¡aiz ,¿sima de ta pásim 226.

r¿ ^plica¡

cl crilerio de ta raiz,ésina c¡ los p¡obtenas 7S(¿l (¿1. (dt y k).

13. Dedost¡ar que j + (3)1 + (j),+ (l)" + rj).+ (3)" -

... -**g.

t { Fr ' . ' r l L. n,e,Bcr. f , de a/ : :1 l -1t .*2 z '5 2s.3s", r , , " , . i¿ i i . , ' - ' r 3 b 3 '6 'e " ' t ¿:r¿'¡ . i i . i5 '

15. Si ¿. ¿ y / so¡ núne.os positivos y ó > ¿. demos¡ar ¡rue

o ata + ¡) a lu + dla+2dli - btb+,r ; - t lh=+ ¿t6+2,t t +

cohverse si ¿ -¿>¿ y diÉrse si ¿ z=¿

WTES DE F¡:'NCIONES1ú. HaUa¡ el doninio de conversenci¿ dc tas F¡ies:

, " , i4 , , , <t l ) " t r l f . . € r" : ,n " f ,z jn t , ' ' '? , . , ,5,1 lot - t

' t , ,0, - t r . 3. ,a, ¡udo I u,

¡

I

id) >¡ ' { r ¿L

Í'. D¿mos,ra¡ q¡e "¿ +*"#. convers¿ pa.a _r=,<1.

CPNI'ERGENCT,{ TJNIFORME

34. Enpl€a.do ta deti¡ición, invesligar ¡a conve¡Cencia untome de I! s¡ie

i r"-1f l + (r - Ol lB +u, l

lsusere¡cia : Desónpo.ci et térnino ,-ésino en f¡a

^ | \c one. pdr%te. y roj , r r a le ta / - . na . , ñ" pah ¿t, .

l+,r '.t ¿ Nó €s u¡ilomemcme on!Úge¡r en ¡insú¡ imewato que i.ctuya et r = 0i unifomemenrc co¡vers.nle

en cuarquE¡ órro i¡tcr!¡lo.

_l

l5ó

Hácer dBraqente el p.obteoa 30 oblehiendo p¡imero ¡,tx).

Inver,ga¡ por cüalquie. nérodo la co¡ve¡ge.cia y convc¡gencn lnúoñe de tas eriesj

" ' .>, / í t - , 'É+i , " , 1, , . ' , " , , o

'' li :ii,l i.1'"1 fh l.'1':""i#;l;'"1#ñ'; 9) uit oN püa'iodo ¡ k) oN pam r : *

l. si aq.1 = ,!,:{31, ¿*o.,.". ou.

(,)¡(r)es continua paG iodo r. (¿) l,jl ¡,k) = o, k) F1¿) =

"i slrJl * o.ri"u * r.a. p*ro.

e2. Deno*arqüe I'(:+'t+.S+* )", = o

e3 DenorÉr qu¿ ar'l = "i ffi r;"* a"nvadas de todo orden plr¿ ro{jo ftal r.

e¿. Estudia¡ si ta sucesión ¿,t"t = r *l¡, "=r,2,a,..., es unifod€ne¡le cónve¡senre.

9s. Demoi i r rqú. t rh f ' - dL = , _.¡ -G Jo (r+ ¡¡¿i

SE¡¡AS T'E POT¡NCIAS

eú. (¿) D.noúar que r , ( r+,) = , - ; :+5_f +. . . .rá l Demoj i¿r qúe t¡ ¿ I I I l_

fsrsoen. i" {ptrú.c*, . - ' , . r , , , , ¡ . . ,nrgz, l

e. Deno*a. lue * "=, . ; f l - ; . : f * , .L+j f * . . , -1=¡=1.98. carcut¡ ' (¿r f . 'a, . , ¡ , f L! ! : -1,- "J, " J, "

- "' .on I d(imle. Jusr'bc¿qdo tó) pá,oc

sbr (¿) 0,¿6t, (r) 0,486

* gi''ü, trT: ¿i; 111!N) 65'', k) rc r2' o' 3 drinars qrctos

l0ll, Cohp¡oba¡ ros desaüo¡los 4. 5 y 6 de ta página 231.

l0l. Mulriplicando t¿ prie po¡ en i y cos ¡j cohp.obar que 2 sn ¡ cos :: só 2¡.

t03. Obrener ¡os desa(olos

(¿) reh¡ = "+!+t+f ;+. _r<,<lo) r¡(¡+vr+r) =, _ i ! . i¿r :_ i i¿t ' * - ,=.=,

¡ ro -""- ,

_ l . - , ' , ' -o) 0 r= 0 Demorfa¡ quc e\i\E

" . " ," , . * ; .""* " ; * i " , . . ; ; l ; ; " ; ;" : : , : : : rmrd.r¿vlo' mbror, . oquecor¡+

lsLse,tr .d v¿¿j p, .b, . . , r i . ¿; ; j ; : l ' i ' ' " 'qsod pdr¿ 0in8ún , , o.

89.

90.

i

251

EOALEMAS VAR¡OS

f. Demostrar que la e¡ie J¡(r)conv{se (,) p¡m todo r, (ó) absolula y üniromenc¡r¿ en cuarqu'ú ,¡rervaro

r. DToJ' . 'qúe ,o ' : . iJ" ' / I J- , r , . tb,d. , , !Jp.rn fJ, ú) ,

G) J ' ' , \ r ) = ar ' \ . ) - r"- ' t , )

r Supo¡ iendo que el ¡esül tadó del Problena t07(¿) cs váüdo para?=0, l . -2, . . . ,doños!¡a¡que(¿) J 1(¡) = . r ' ( , ) , (d) r

' ( ' ) = r¿(¡) , ( ' ) J , ( ' ) = (-ur,( r ) , r=7,2,3, . . . .

D- Denor¡¡¡ que .*4¡n' = 3 r,@p. r

lsuse¡encú: Esc¡ibn el princr niemb¡o cobo ¿,r,e ,/,,, desaüolla¡ y aptiar.t problemá IO8.]

tr D...,,.. q," : :l,if es aúorúr¿ y un rnmene¡ie convefsc¡re e¡ todo pumo <re¡ círcuro l;l = I y de

Ul, t,rSi ")

d"¡' = .>

D, ¡' pac rodo I en el rnreryalo conún dc cohvcrgcncia lrl < R con R > o. demofra¡

qued,:4 pa¡a, = 0,1,2, . . l¿)Apl iar(¿)paranor¡arquesieldesa¡.ol lodeTaytordeunafunciónexi :le, el desaÍollo cs rt¡ico.

I l¿ \uponeá.e qJe Im\7L,. - ¡ . Denorrar qr" : , " con\r 'gr o di .e Be.eA¿n que / lo/ L5 ¿ ¡

lB. Demorrar que el radio de convcracócia de l¡ serie t¿,¡¡ se puede dete.ninar ñcdiame los timiles sieuienre..

.u 'ndo ev{en. } dd¡ ejdplo. ( , , Lm - ' , \b/ , . . . l , , , , i . -1

.' - .v , - . r ' , , .Il,¡. Usar el P¡obl€ma 113 para hall¿r el radio de conv€¡Eencia de la se¡ie del P¡oblema 22

lrs. (¿) Denostrar qrc üm condición ¡*esaia y su6ciente para quc la serie t," sea converyenr¿ es quei dado un€> 0, exnta ün ¡¿> 0 que depende de É ral quc Sq-, t? < É siempc quep> ¡¿y q> N, con S{= rr r

rór Ul r¿ar rar o¿' , , lenó..rur qk l , , - ( i

' ¡ l ¡ como !e podld ap. icd¡ r¿, p¿r¿ demoira ' ou" J ." ' " S . , , , " ._-_* ' . : r_ 'É

lsüscrencia: Aplicar el crite¡io de convcrsencra de Cauchy, pásina 4].1

116. Demor¡ar que la sie hipcrgeonérica (pásina 212) (¿)es absolutanonle cónr€¡se¡re p,¡a lrl < r, (ó) ¡tivtr_Bmle p¿r¿ xl> t. k) ábsolur¡me.le coóversente pa¡a r - 1si,+ó . < o. (d) etsircJ la {u;ción d,-feE¡ciar f(r - rD + {¿ la + b + 1)xlf abt : o.

l ¡7, SrFtJ.¿. , . r , . . la lun. 'ó 'hrperseorer ' .¿deñn.dap¡r t¿q,.detJp¡Eina)¡2demo,.¿,que\r , ¡ r , . , ,i . , l ' r . . tb) \n . t

' , . tn ' t - . , . r . ' / '1. j i . r r l r l , . , ,

ll8. Halrar ra suna de la serc sk) = " + #a + a+- + .

[Sugerencia : Mor¡a¡ que .t (¡) : I + r S(r) y ¡esol!Í éra ] s,l. ¿iI

(1 ' ' t " ' . { '+ i+i) /(, ,- )T . (, ';. ;)"; _

f"i

I

258

, / - l r r r \' r . . r , ¡ .s i . ¡ .s,r ' t ' \ ' , . r ' 2; :ElrE - 2 ' . 1, . . 7 1 , . ,0-g )

120. Estabiecer el útuno de Dnicbler de la rásina 22

l2l , Detro.r ' " ' r , . ">, ""

. rn ' .o¡menenre lor \ . ' tsen.e er róJ ¡ r l renalo qLe no r . tu\¿ O. _tr . . 2tr . .

lsuse¡encia: Aplicd el cnreno de Dnichlei, pásina 228, y el P¡obtena 94, Capitulo i l

l¿. Deúóf¡¿¡ ¡os resültados 'le la páAina 212 sob¡e ¡a serie binómica.

lslge¡encia: Erudiar las lo¡nas de Lagnnge, de Cnuchy para et rcro e¡ el &o.ena de Taytor.]

r.do ,. fEro no ab,olr'¿ren.e

r24. Demo.. ,d qJ- ' l . l , ' , ^ . . l ' " '

3,/3

lzs. si , - á. deñóJ'r, qre u .> ;.l:t

12ó. Demost¡a¡ que la euación ¿ r = ?. I liene solo uóa úiz real dada por

^ = I +

" : ( -1) ' l " ' ' " -"

¡2t . Sea, _r I B, "r , ' " . , i . ' , ' Monnr aue lo, nu' cro. a. l ldmddo., !a¿,a ¿ b. .,@r¡, slisfacen la fóúula de ¡ecurenc,¡ (a + l)" A = 0, donde d se romplaa fomatnente por 4(b-pués de desaÍólla¡, (ó) Mediaóie (¿), o de ¿lsuna otra mnera, d¿redi¡ar tr,.. . , 16sot. tb) B\ : t , B, :¿, Dt=0. Ba- +, 4 =o, 86= +

l¿& /d) Demorr¿' q le ¿ "

; , t .n; t ) . ¡órrv eiproórñ¿, ' - r tdpéne,¿¡pdtumoq a que a,-¡=0parak:1.2.3. . . .

¡r. Deducr los desa¡rollos en sriel

ta. .o,h, ' 1_t : . . B+?:r . .

rür 'ot¡

= 1 t ' t ' t | \ "& t2r- \r 1 45 \2,t_

, . , ,s, =, , , ; i l,d .óñ, = i í , rJo, . , . ' . - ' ' , ' ' ,u: , f . " ' '[Sdsercn,B PaÍ¿ ra,r ' , t , /sr e. p.ó emd t23 pdrd,¿r. .nbre.e¡ | . , . ien,¿.Dd,al¡ .TDterre:=

Pam {d) ú\e!. co\e- , cor . - .6 , 2.

' ! . ucm¡nr i fqúc

l l , (1+; l .m\ú! ,

r r . Apru, r¿ deñn,cion nar¿ oenor ¿, " , .

ñ / t , ', . ; ) , ' . , "

132. Denostmr que ñ, (1-i,,), dondc O <,, < I, conve¡ae $, y sóto r, ),¡ co.!crg¿.

¡rr . rJr kñorrc¡ que l l \ r . L\orf lee pdm r ¡ó)Cr l .LLr eL prodr.ro t rñr r . en' , r ron 2de ñ¿t6+

tos y conpara¡ co¡ el valor exacro

134. Denostrar que la ser ie I +0 t+1+0 l+t+l)-1+ .esC I sünabl¿ hacia e¡o.

135. Dhost¡a! que el nétodo de sunrabilidad dc Ces¡ro es resular. lsúCÚ¿ncia: Véase p¡obleña 28. Captü¡o]:¡

259D@osrrar qüe r¿ s ie | +2x+3r2 + 4t t +. . . + nr-r +. . .ónve¡s€ baci¡ t Í ¡ iF pára l r l< l .

t"l .á t Of"+ rl 6 sumabre €n.t enrido de Ab.t hau,a I c y

O) ,>" C! {=q4aa ¿s sumbre en er scmidd de Aber trici¿ | 3

Doostn¡ qúe l¡ sie dobte 3 ,i,r, *,*!,-.r -**",

6nw¡g€ o d,rcrse saún qüc p > t o p s r,

(¿l Demorra. que t,"T* = i-.a*#-#* .(-1f t@: 1).1 +(¿r Me¡,¿nr€ r¡, d€muér.s q * Í.'T* - i - *. # -# *

l1) .nrJ, i -dr .

{¡. si /(¡) riñe ün d€srolo 6irrótico dado por j_ ,. ,-,, denosrrar qü. f" ¡ir¡ a, ti"o" .r a",u.olo uri ,-Lóuco i

e¡ ' - ' .

Capitulo 72

Integrales irnpropias

DEFINICION DE INTDGRAL IMPROPIA

La intecral J" Í@) d.x se die inpnpia si

\ t ) a = -úoh: ¡ oambos, esdecir , s iunodelos t imi tesde inregración o losdosse hac€n inf in i tG(2) ¡r)no es acorada en uno o lnás punrós de ¿ S x < A. puntq, qi" * la."n ,,i,8"1o;il.,1"; d" ft .I¿( lnre8r¡ le 'delo.ca.o\ | | 'J ,2r .e dm¿n mprcüas ¡1, pt ,qctd /dps"Ahda?.p, ,p.rcsÉ.livdmenre Lcj que pre\enrcn dmh"\ cond,c,one. , | | y ,i t t dicen inregut,i np,o¡io, ¿, :,:;;;;:-;;.

L j .nelo l : ,1^ { i r ¡ d/ ' Is ' , t r , r ,o. . , J. n,r , . .J e ne.,c.

Ljmelo 2: J ,Y'u n-era . r p

-¡ . ' Je.ep r rc, :o.r .

Ej?ñDto r, l'- " , ¿,

J" t ,

FhmDlo ¡ , J.

' , . " 'a, . - n. , , , . , - . . jT .

] . ,

fhrJe (¿pr,ulo.c dan.¡ i ter iu\ de con\ergcnc a pbrr nte8r¿te. .mp¡op.¿. y,e \erá que l¿ter ccnor ! L\ dcmo\tr¿rrone\ de lo, teoreñ¿.

" oue d"n tugdr e\ t ,n cn e, t re.hd dnatosrd con to, cr , t6&

oc conve.ge¡cra y ros leoreñas correspondientes para *ries (véase Capitulo ll).

INTEGRAL¿S IMPROPIAS Df, PRIMERA ESPECIE

Sea /(r) acolada e i¡Lee¡able en un inrervato liDito ¿ S r S ¿. Se deine enloncesf -

)" foJdr = I*:)" naa, ÉrLa i¡resral del p.lmer miembro se dice ¿!¡f¿rg¿,¡. o ¿¡i,.rcerr., según que exista o no et tinite det Fsundo Djembro. obséNcse que

I l(,) .t, es pe.fcdañenre análo8a a ra serje i ""

_" ,, : ¡n*s '"nro,r-eJ / / r rd. .o e.pondrota. . .T¿.pj .Lr lh.deev,e,e Suctee\¡b rMen€¿E

Atrálogamcnre s deti.e

260

INTEGRALES IMPROPIAS

!se dice que la iotegral del p.inrer bieúb¡o es c;¡.to mrembro exista o no.

1ve¡ge¡re o drlergente kgú¡ que el limite del según_

261

{3)

E&mplo, : . f S = ] r . l , "Y - , ] l1( ; ) = 1 asi+ej-qñNrsc,ba,

rjmplo 2: I' cos ¿ d¡ = rim l '-",

¿. -- ' - - ' J

-*" : - " :1-J¿ wútrq,

- . j ! - r*"" senú). cono ene r imre nó exNc

J _.6' d¡ s div4cnre

De parecida mane.a se deñne

l_-n¡0, = J'" rota' n J.'tota,eú(ro ro un número rca], y se dice que ta inregrat e\ co¡vereenre o divergenre se8ún que coDle.jan o¡o la\ lnrcsr¿le. del ieBundo ñi .mbro. como en ta, der intr iones l ) \ e) .

INTEGRALES IMPROPTAS ESPECIALES DE PRTVERA ESPECTE

f. | r resr¡ t smmésie o e¡pde¡c¡át 1,"" ,"a, ," . "

¡ constante conve¡se¡te para ¡>0,

:I:.:"1: *- , s 0. Nórese ra aialosía con ra se.ie seomérrica de r = e ,de modo sue

2. t¡ integr¡t ¡ de priDera BDecie f-yn¡ o constaúle y a> 0j convergetrle !i p>t

y orvergenle s 2 < l Conpárese con la se¡ie ,

CRITI]RTOS DE CONYERGENCIA PARA INTEGRALES IMPf,OPIAS DE PRIMI]RA ESPECIE

. Los c.ilerios que sigue¡ se dan para casos en que un limne de i¡re8¡dcro¡ es ú. Hay cnredos sr-me'n re. cuddo dn^r im,re de Inregnr,on e\ _ ó ,con et c¿mb,o de !¿r,ab¡e r , ; i l i . ; ; ; ; , ; i - -

fltiit,HÍi il,,i'j?'ir. Criúe.io de onp¡.rción para integrates .te inlegrando no n€gativo_

tr t Co ery.n, ;o. Sea er. , - 0 pdr¿ ,odo J ¿ ¿. ) . {ponsse s*J"o, , ,ar"on*,s".

Enronces si 0 < /(r) S s(xl para lodo r ¿ a J^ l(,) dc también converse.

Ljcbplo: cono , . r

. "

. J" "

, , t , , - . . . "" J" , , " i , ,arb,én conve,ce.

(b) D¡@tso.ia : Sea s(r) > 0 pa.a todo ¡ : a y süpongase qe J' o(c) d.' djverge_ Enron_

ces si f'l ¿ s(r) o*^ ,oa. , Z " J,- rcld, lambién diverse.

¿rop,o: ! , .morr .* . ,

. r "J. " ,J,4,se,mkgmr/corp- iLJ ra mnbién ú,see

262INTECRALES IMPROPIAS

C.lteiio del coc¡e e pa¡a integrales de inte8¡an<to ¡o ¡ega¡¡vo.

^ t'r!^

i ) e,¡i 0. y ,, I'l ri,7r, o.0 o -. rueso f'n,,0, "

J. cr l 'd l con\ereen smbA o drwr8m anb4.

(á) si 4=0 en (d " I,- rt|dx converse. ruego l" talo, ***n.

(¿) si á=6 * tq . J"'st ),tx djve.ee. ruego f"'tt lu, or"n".

,",::1T::1." ;,j;':'ilj"::: ;iÍ: :nffiT'j: l"T#:"üf"ffi :::: ilj: j:,,.Ti.fjl *ToM¡ r. Sea iim r, /(¡ = .4. Enronces(i,

J" l@dr converse si ? > 1 y A es iinlo

Gi¡ l- ¡p¡¿, divers€ si ?=r y á+0 (pu€de s€¡ ¡ori¡iro).u¡'¡" ,' f -##

-"*o" ̂". ",]n , .¡;+E = :.Ej"'pr.,' J ffi- ,ri'úse.e*s ,rin '.t;É- = 1.

Se puedeD oblene¡ c¡jle.ios parecidos con A(¡) = e *.

3. ctiie¡to rre ¡¡ srte para iDlesrates con integ¡andos no nesarivos. J,- n l o, **",* .d¡ve¡se segúr que >ui, con ," = ¡¿) converja o dive¡a.

4. coIre¡E!¡cis .b$tql¡ y codicjoMt. J,- fu¡|,

", di,je ab,otutan p .ahvrypnk j

1. rt'' a' -"*.e..

s, J rr"r a, ".**g" p.. J' ¡rr¡ ar alersÉ. entone.

-l- 7rr¡ d.

se drce coadi.ionotaeñte .oiú.rgehte,

,** t t"" ttt.lla, ***g", J"" Xa a, converee. es d@¡. qüe una inles.ar abso¡urarn@_

te coúverSent€ es conle.g€nre.

E €opro r, f-++,r,$ absorutame¡le co.versúle y, p..,"*.. "."*.g."t. pu*J"|,*,*r¡o.

J" ;+, . J. ,,'i , .,.,."r¡*¡" u.

¡[-er ¿, ..""c¡ee (réae prcb. ll), F- f "l!sjld"

- -¡rc¡8e (téas¿ prcb. ur

er q* ;f".:sl-l¿o *..u,cio,.rncúcc.nrc¡lc¡rc.

Cualquiera de los c¡irerios urilizados Dár¡ id.o'o cnreno d€ *^".8"; ;;;ül *'" 'xÉs'ares de jnq'ando no nesativo se puede emp¡.-

Si / i r t no es acorada

INTECRALES IMPROPIAS

DE SEGUNDA ESPECTEso¡ame¡le en et extremo ¡ = a

263

del inte.valo aSrS¿. se def ine

IMPROPIAS

:AIOR PRINCIPAL DE CAUCHY

= ¡:l J."..x,ta"

f,SPECfE

(d)

t t(x) drtl)

i lT'::ÍÍ i ;: ' l ' , :::Hli, l i , i '* ' '"*.*'," 'd,n,esm,de,pnme,m,emb,oes onD"rB4!e:Anátogamenre. j / rUnoelacouda,oioen

et e¡rremo r __ ádel in le^ato ¿ < r - ¿. sedef inr

J," nao. - ,ti¡; J"' ' n"ta,i"',",T:',]: :::','#i';","'#:'|

mreñbro de ,(, 'e o,cr con,ersenre o d,le¡sen,e $BUn que exi.,a ob¡";J ' i r '

rc $ eor¿d¿ 'oramenre.n un punro inre,,or r . ro der rorerv¿ro ¿: r 1¿. 5e dehoe

f"'tato, = .,,!,!, !,'" "noo.* .]!+. J)..,x,.¡0,

(5)

ii:ff;l"d"r p'r'n- .t".b.o de (6) converse o diverge sesún que exist¿n o no ios rimites del sesun_

'::il:i": qTg* *"s denniciones al caso eü que r(x) no sea acorada en dos o nás punros

lt"j:.'¿j*:!.1::,,:Ttf :$:::f, ilff "Titji: i:,!11 :i;T[: ::ii: :i J""t(c)d¿ = .rim $'"-'not" * J",,noo,| e\:?:"ü';:'if :j,:il'¡ j:i ;::*"*:ni:: +::l ;,*::que".,e va10r,imj¿e es e,,¿,¿,p¿,.¡?¿,

i.TEGRALES IMPROPIAS ESPf,CIAI,ES DE SEGUNDA

' J, ,;:^. coherse si p / ¡ y d,\er8e ri

" f" @!rF converse si p<r y orverge si p=r.

- F Esras s pueden llarrat ¡nteerutet p.!. ksfuda espe.¿. Nólese que sip S 0las integ¡ates ya no son

GITERIOS DE CONT,EXCENCIA PARA INT

*,^i::-"j::i, rt* .r*Y"" * r- o-" o *- ","t*alr^s

IMPR'PIAS DE SEGUNDA f,sp'cr.

lÍ"1'l;"¡;. ' -= ¡ u"v- "r,.'p,*i.'J',liiJi.llJ.',lil,",l11i,ii,:j"X11.=.;;fl_r.j

2&

l .

INTF(;RALES IMPROPIAS [cAF- C

C.ile.io de co¡rp¡r¡ció¡ para integr¡les .te inleg.anoo no ¡egaúvo.

\ .1\ co|ets.útr¿: sea s{x):0 con a<.r=ó y supónsase ,r* J 'ot ,r ;ar -**!¿Enronces si 0 S /(r) S s(, púa ¿ < \: á.

Jblk)d' también converge.

:tj*'b,

É.É pa..r> r. Enbnces como

_[ fr "."""o. ,-"r.n , -"

, = ,.

e=irJ 'V*u.bi¿"o**c".

\ Dneryan.¡¿: sea s(¡) ¿ 0 con ¿ < r <¿,y Npóúcase o. !.' o1r¡a, or",r".

tonces si /(*): s(¡) para ¿ < ¡ S á. J" /(c) a, u-uten oiue.g..

ttrut", iil¡ ' ui¡ r*" ., :. e.-*, *.. J'G_3¡g divúse (int€srar ? .on ¿ = 1

a = +. J'o!fua, u.uie" a.*ee.

2. Critelo del cocierte para jnregr¡les de inleg¡amo no ¡esauvo.

(o) si 6l(r)=0

y s(¡)=0 púa a<t=b, y ' , l ' ¡x r(4@

= á+0 o -,

lueso

)" l@ax " J" o{r) ar conrerem ambas o dive.sen ambas

(ó) si á=0 en id), " J"rr"i* converse. rueso !"" tala. *"*,*.

(c) si ,{=- ú lar, e f" s@)d.r dive¡ge. rüeso !"'rola, a***.

. F.re crre o \e retacion" con et de.ompdracion y e. un ur¡¡ su\r i luro det mFmo. En Erar. ¡oDando srrr = I ( r ¿p { üene po¡ Ia\ conocid¿s propied¿de, de la rnregralpi

r@reln¡ 3. sea,ti? (-y ¿l'l(r):,r. Entonces,

(i) J" l(c) dr conrerse si p < I y ,4 es nniro.

( i i l )^ I t r tdr d: 'ergqsrp> t t 4 - o tA puederer Inf iniror.Si /rl no es acotada solamenle €n el limire superior se remplazan estas condiciones por b

T@reo¡ 4. Sea _lim {á r)e/G) = r. Enronces,

(n J^ lr,x\ (t. converse si p < I y r es nniro.

( i i , )" l ( t )dr diverse si /> t y B+o (B puede rcr inñni1o).

" j -pr" ' , J 'É conversc.pue, r in,( ,-1)- # 'F=,Ir . i= =;.

EjmDro t : f - 4: : - dn B .ue. , im ,3 ¡ , .¿D t i ' \ ! t ' 3_ r) \ t tv- :1 Vro

CI" '']

¡NTEGRALES IMPROPIAS 265

I CoN.r8*i¡3 ¡hdollr¡ y co'¡dleio¡¡I I ll¡)tu v die absotutünente .otu¿¡8cnte si

I /(¡)dr conterse. s' I tr¡r d¡ conue¡ee pe¡o | ./(¡) d¡ di"ersc. enrone. | /(¡) d,

k dice co¿diciüalnente conaersente.

S' I lllfl dr convcrge. I ftr¡dr con\ers<. Es deir. que una inresrat absotur'herre coi

Ege¡te es cofvergente,

El." l ' l 'o . comol#l =9}; " f :# onverse(!r ,es.¡ ,or¿=tr ,p: j ) ,e

',c* | l":'" ld, cor"erse y asi | ,Pa ¿, -"*,s.

r¿bsrubm.nre¡

Cualqüiera de los c.iterios que se aplican a inreg¡ales de inlegrando ¡o re€arjvo s¿ poede utitiar.oro c.iterio de conve¡s€ncia absoluta.

NTDGRT{IES IMPROPIAS DE TERCERA ESPECIE

L¿s integales impropias de tercera esp€cic se pueden €xprcsar po¡ las d€ prime¡a y segünda 6pe-.¡5 y entonces el problema de sü corvergenciá se resüelve medianr€ lo ya visto.

B¡IEGR¡LES IMPROPIAS DEPENDIENTES DE UN PARAMETRO. CONVERGENCIAU¡{TFO¡ME

+@ = J" n",aa' (8)

Eea integral es ¿náloga a una serie de funcio¡es. Para esrudiar ¡as condicio¡res bajo tas cuales s€ ,u€de¡f.rivar o intes.a¡ d(d)con resp@to a d es conveniente inrroducir el concepto de .o¿úeryen io wilornF¡a ¡Dtegrales en analosia con l¡ de las series.

. _ Se supo¡drá que Ia intesral (d) converse pan \ < d = a,, o se¡, brcveménte en er intcfv?-

D.f¡¡ciór.

La i¡lesral (8) * dice s¡¡rmemhte .onoersqte e¡ ld,, d,l si para rodo € > 0 existe ur Dúme_'rc 1r' que depende de é, pe.o tro de d ral que

ó,ni I t ' ' . .a"1. . p¿r¿rodoe>Ny'ododdetd, .d¡ l

Lo cuar se pu€de enurciar de orra nanera observando q* lot"r - f"ri.,"ta. = lf" n,,¿u,lque corrc(ponde en una seri€ Infin'ra al vato¡ absoluro Jer *'. í"io,,, o. r,"*,1,í,.

Lá definrc¡ón snlenor y las propiedades de ta convergencia un,tor." qu" ,esrtrun ,e roñDtrn aqulFra integrales imp.opias de p.imer! esp€.ie. Pero ¡os resuttados son a¡álogos a los que se pueden fomu-b¡ para inteSrales impropias de segunda y tercera especies.

266 INTECRALES IMPROPIAS

CTITERIOS ESPECIALES Df, CONVERGENCIA UNIFORME DE TNIEGRALf,Sl. Criterio M de We¡eBrr¡s. S, r\h,e un¿ run(ió¡ Mr,, j 0 rdt que

(o) t ( ¡ , " ) l = Mlx) at=a=a2, r>q

(ó) t- M(')d¡ @Nqse.

.t-*';f'lf",Oa" es uniror,¡e y absoruramenre coDversente eD d, < d < dz.

fj.Dpfo: comó ll... i, ;_ , J"' ,!,, ,. Í" t:,_

es unifome y absotu¡anenre co¡ve¡aúre pam ¡odo valo¡ ¡ear d,

.^ .CoDo s,etcdrc d. t¿. \eri.\. e, porbte que una ¡nreg¡at ¡ea un¡ro¡ñementeIe rn \er,o absolurameDte , vjceler;_

2. Ciite.io de Dtricbler. Supón8ase que(¿l V/(r) es üDa funcióo pos¡iva monótotra o@rec¡enre que hende

l? 't t ' ' lJ . I ' ¡4¡1 ' l Ppd,d,odor ' 'o ] " . ¿ " . .

Í , ' ¡ t , ,¿otao,es uniformemeDte convergerte para d¡ S d S d,.

TEORTMAS SOBRE TNTEGRALES UNIFORMEIÍDNIE CONYERGENTES

si ¡r, d) es continua par¡ -y = ava, S a S ",,ysiJ /(,,a).rc es u¡iformemeúre conl€!

ii." ", = ,:

". enbices r,G) =

J'rr","ta"* "oi,ti,ua en d, s ds ¿,. r, o-¡".*-

jll,"c(") = J,t,j," ¡t,,¿* = J"lit"n",ro"Si do es uno de tos extremos, se aplica el IjDi

To¡e¡¡¡ ?. re a Ia derecha o el timile a ta jzquie.da.

En I¿s cóndiciones det TcoreDa ó F pue.le integrar ó(d) con ¡especro ¿ d de d, a a, ¡Er¡

. f " r" ,0" - Í " tJ. ' , , " . " , , , ]*que co(esponde a un cámbio de ord€D de integmcrón.

= I"'lf"; o.,",,"]".

s{(-'. n) e. con,.* y tieo" una dmvada pa¡ciat con resp<lo a d continua pa.a r: ¿ y a¡ = r=v.r J"fl a"-**e",,n-^".+ * " =;=;,.;;:;.",_.;i'".'='=

# = J.'H*

es un punto de ,, S a S d,, se puó¿ ercribn

Si¿ depe¡de de d este resultado se modiñca fácitne¡re tvease ¡egla de Leibnitz, pági¡a t6l!

¡NITGRA¡ I S IVPROPIAS

DE INTf,CRALT^S DEFINIDAS

fl cálculo de inleeraleq deñnrda\ impropias * puede reah/ar de !arias maner¿s. UDá lécnicá úlrl'sle en

'nrro,Jucrr Dn párametro en forma ade.u¿da en tá nregrat y tufeo denv¿r o inleSGr con

a¡ pá.á¡retro, aplicando las propiedades anteriores de la conve.gencia uniforme.

267

NTEGRALES MULTIPLIS IMPROPIAS

Las deñ¡iciones y .esultados obtenidos para iñteg¡¿les sncillas impropias se pueden g.neraliza.¡ as múltiples impropias.

f (31 = ¿lF(¡)r = ( e--Flr \dr ú2\JN

! -

aná¡oga á una serie de polencias como se veú reñplaaf e " por I de modo que e-r¡ = ¡..Nrchas propiedades de las series de polen€ja¡ s¿E:ier tanbién a las fansformadas de Laplace.Lr breve tabla adjunta de l¡ansfomadas de Laplaceé úuy úlil. ¿ es una constante real,

Una aplic¿ción útil de las tr¿nsform¡drs d€::place es su empleo para la solución de ecuacio-c diferenciales {ve3se P¡oblemas 3a,16).

Problemas resueltos

DE LAPLACE

Se define la transfomada de Laplace de una9

'n

FÍ; s>o

;+; s>or-L

'{tr.(z) - Y(0)

c<{Y(,D - . Y(0) - y,(o)

ñTEGRALES IMPROPIAS

l- Clasificar segln la especie las integ.ales impropias:

k) J ,nr-;*r)r¿r f-- ?t-

@ Í""(i% @ Í""' #Eed,o) !-.FÍ#¡

,t 8ada ¿sl¿.¡¿ (inteerando no acorado en r : 0 y r = r¡rae¡a d¡¿¡¿ kl l¡mire de inreefdció. es inñnno y el inregrá¡do no es áotado pan tc r = _ r).to es iñpropia lel int.srando no €s acórado en x - 2j ¡Ero est. punto

",ra¡,",, áet int.:.uuro a. int"g,a_

ciónl5r: !10).ld) Pri¡Ero ¿s?ec¡? {los limnes de inles¡¡ción son in6nilos y el intecnndo es acoladó).

{¿) rv, es inp¡opia lpms.ü¡r !-41: = f aplic¡¡do la recl¡ de L HóD¡¿t).

26E

2.

tNrEcRAr_Fs rMPROPtas [cAP c

MonÉ' c¡imo se iGnsro,ma ra inrrsrat ,mp.opi¿ de EBrn¿" *p."" f':L, * r,l ie.gral inpropia de primera especre. {ór Inre8,¿t prop,¿.

¿t Vtl2- ¡J

(¿) co¡srd.& J t#cono < é < r. por ejopro. s.¡2 - ¡ = l. E¡rones h in.esnr É

"*iF-

" * u 1,"' ffi

. Y*. É i o+, s w qüe.r erüdio d. la ihrce¡a¡ dáda .s equivat.¡re er & L

f'ffi *" * * 0".*" **".tb) E^.iendo 2 ¡ = ¿r e¡ h iniesÉr de (,), s

-**" * rJ

,j;. " r.due, p!6. a @nsidd

zJ';fi; *. * i,.e-r o-o._- ,Por

loant.ñq* w-qk uñ¿ rrlcSÉt imp¡op,¿ d€ prñer¿ apfci. p!.& ú¿ñ,forma,ie en una i"'111!":ry." t Kip¡qmcn¡e r.os que {.'¡p.? * puede h¿cerr

s. ve, aí6isno. qu. ue inr.s6l iDproph F úede r;nsro@¿r e; prcpia. pe¡o so¡o ¿ @..r

INTEGTAIJS TMPROPIAS DE PRIMERA TSPECIE3. Demorra¡ el c¡iiüio de coñparació¡ (página 261) pa¡a inr%.ates impropias de p¡imera

Cono 0 5/(¡): j(j) pa¡á ¡ ¿ ¿, se ti.re, uritiando ta propi¿dad 7, Aisina Ot,

o = J"Ar)d" = J" et":a, = J- oat a"Pcrc, por hi!ól6is, ta ú¡tiña ibteerat cnft. Ai, purs,

E !"' ¡t¿0, *^..y.¡.,,-. J"¡1,¡a" ..*.g"

4. De¡dosr¡¿¡ el criterio del cociente (aJ de ta Wgna 262.

pd ni¡,r6is, rm /e _,r > o. Dado, p!6, un . > o .xisr. x ta¡ qe l-li4

_ ¿l <. si ¡ =,rquepa.a¡¿xset j .ne

No É picrd. Cbenlidad eligjendo ,{ _ € > 0.

si J. r(r) d' co¡vcrec, ¡ü.so por ra d6isukr¡d dc ¡¿ deBha €¡ {/),

rim , /t,)d¡A^k\ N puc5 | l(r) d¡ con,crr.

si J. cl.)d. div.rse, tucso por ra d.nguatdad d.la izqu¡erda en l/),

. t iñ, I tdd, -

. r"" . ¡u- .1 / , , rdr dtr . ,_!c-J.Para los €asos €¡ que,r

- O y,l = @ úe probLna ar.

e-,=!9=t+, o ta-¿s(d =

ot-aJ'oaa, = !'rLao, = ro*¿Í,"0

(ono !. ye.n el p¡obtema ar¡e¡ior h¡y.n q.¡cral ur*'re\ v p"ra r¡¡es¡ate,,oD¡obú\ r¿ ¡olable 5eneJam 4r' las dfrcr¿.E

c¡. rrl INTEGRALES IMPROPTAS 269

7.

r Fs,udi¿, lacon,r .senciade.," , Í , "" f#4. tbt . f " +_L.dr.

,a, v.rodo r: p¿E, srandc. er,**-r . . , , ; . , , ; " ." . ." . , , Í ' - l r : :c.." 3..+*+t = #, , *I'5 onvc¡se (i¡recrar p.o¡ r': 3), e sjsre po..¡ c¡i-

'erió de rcñpaRc¡dn qü

J-",+# 1 tanbién coNefse.

-^|f;,n"' '

*:". * .studia¡ el irresrando p¡'a r crevádo es obtcner u@ irresrát ap¡op¡¡da p¡ra

M¿rodo ¡: _s.a ," . 3'- É,-_, ,, _ j,. c"-" n,íi1l I , f-,n*!h!ede.

. , ¡ ' 'dr tdñb,en Lñn\. fge t rcun.tcnr. od. , !o! ,_re

*0.30;il'f; l;;":1. * t*'ón de conparació¡ sl¡) se na dscarlado €r .acto¡ 1, p€ro desde ru.co s re

M¿'!d" 3, r i - , ' (3;r #, r ) j r*¡ .p*o roem, r . p¿s¡a 2ó2. ra inr .s i¿rrEdds con.

(ó) Mérodo l: p¡ra ¡ srand., et inbsrándo es ¡p.oxiñadañdle ¡,/!F: tAc-"=2,

ffi = i.1. ."." il""+ d"*8. Í"'#,""",anbiéndiveee.

: i : ' ' r ) : : . j : l # "" i r*e. ,*" :* i :x, . ! . ' aaa.o \ur- !e.

J, tkrd: r :mbren d, \ergc

M&odo 3r como ¡* "(;ffi) = r, r¡ i¡rcg,arped,d¡ ¡iv€¡s. po. ctreo¡emar. pásina 2ór.

::d,;!*i.:É::liiüii:Í;"":1t",,.ff:i$H,"1¿T",jJ:j::á:",i,::,:i"1i"1;'::1,*1pa¡ación. Pero tos Mébdos 2 y I no qigen estú.

o..-"* c* J', .'d,r conuerge.

lim r:¿ ¡ : 0 (po¡ la resla de L,Hópnal o de or,ra intes¡ar dad¡ converee. .".***

-. , **,..:T;',]**il";f"**^' "on A - o'p - 2.

Estudiar la conve.sencia de:

t4 Í," Pád. con ¿ posiriva consra'b or .["r ":"r r,.t.l ri.

' *i:- o. oo¡de por etTeoFn¡ t, pású¿ 262, co¡ a = q,p=¡, ¡a inres.at dada dilerye.

,,, J-r:g",,. l.',;,,, , !,", _;"t*La p¡ihera inq¡d del egu.do mienb¡o 6 €(

c".. rix,,.(r +!r) = .,,,,.-,"",,,.J:": :,:::"":::: :::1,," ".","._" _,,,el Teo¡ema t, página 262, con .1 = O y p = 3/2.

A$ qü¿ la i¡resrat dada 6 convergent..

270 INTECRALES IMPROPIAS

E. Estudiar ra conversencia de: @ I 'íd', @ t .{*ryrd..

rn) se¿ , - , L¡ mre,r t s.óNrr. m J. -dr .

Mérodo r : {<¿'¡rau>t.

que ¡a inleBral dada convere€.

M¿rodo !: l,h ,'14\= r¡-r -* \ , / r - i

Págna 262i @n A-0y p=2.

(á) E{ribase ra i¡resrar a"a^['_ffia" * !""ffi",. Haciendo ¡: ],€n rá priñeÉ i

¿<k * lonlieú en t¿ - J, r+t4du. y. q,. lr

y'(i,li )

: r. rd mr€cmr onv.BÉ

-*]r : , , ( ; _;) i 1. r . r r , t rdr [1f ,Jr , .n\crr ic

Luego la inreenl dada co.verse.

CONVERGENCIAS AXSIOLUTA Y CONDICIONAL DE TNTEGRALf,S IMPROPTASDE PRIMIRA FSPECIE

f -?e. D€mortrar que

J. /'/rdr onerse s

J" r/r¡' dJ conlerge o se.. que una

absolutamente conve.Sente es conve.gente.

se tierc -tk)lÉlk)< l/(r), o sa.0 5/kr + rk)ls 2lr(r)1. Enrorc6,

o = f . " ¡ t . t *¡r" t1a, = " t . ' roa,

s, J'- rt,ita, onve,ec, * a.a*" q* J'lir"l * t(,) d, mnlerce. De donde, por

J" uar ., oo" ".""".*., * * o* J.' x¿ o. .o,*,""

ro. Demosrr¡¡que l-ry* -*-r".

l f f l= ] r," "='. r**o. por erc¡ne¡io de @mpa¡¿c'.. * * *"J-4

-**o,

I i"",' ld¡ rc$dce. * d(n. I rG,¡ dr co qee ab.oturanenr. y. po¡ knro. conwrse *sü¡ d

o*" ]rx ' '1Yl =, 'nlf f l = o, se sisü€ Po¡er r@ema 1. Éai¡ 262,@nA=o!r=

r"*"* -.. J','a, -**s" J-{¿, -"*,s.,

,¿ ' - 0. Lü€so la inteSÉl dada co.yerse. se8ún.l Tú

*" I-l?l* -*** ". *.,*.. J"rya"

INTECRA¡ES IMPROPIAS

271

-- = r) ¡o hal hás que

rr. Demor*. que J"ffa" _**e".

cot" J" 'e: : :d¿ co¡ 'e¡se' |pue\ rn '

* "on""," -

n. . -

¡ ,4..-r.. q*

J. :{.1",, oavae

Mérodo t: I¡teCEndó po. la¡les

f"Y* = -yll. i, ':obienromandorosr i 'nesena.r. , , , " . ; , " , ." , , , , ; t -"_,_ " : l Y * I ," t :+* ( j )

--

,u,uM__ y re¡ien<¡o co cüe¡la que l;. lga-^

J +'" , = ." , r , f - : ._¡ ,a, H-" M -"

coho l¡ hke¡¿t de {ehdo rFmbr¡ dé , ), ̂ ^-. rr)

",*"'ji"'""'-",*- ".' ".',.: ;;;:;',*T:T.:liÍ:ji,T;J;i.;.i.ij,il:l-; i:.11,7

f'+.* = f':{J,- - r''..,' . '¿ ' , . ( ' .n ' .| - -o, '= i f ""'x¡:.,-

H¿crcndó , .=, r "" , , ,d: í ; . . " , ; . .

"""!,r-rr"J';'ffia, = f"j.. - f".y;. _ Í"" #+^ _que e! un¿ ,eñe atrern¡ c.r. _L

- I

, , _ , ; _ i ; r \en r <oen [0. t r1. f aeüc,rL.

f"#*, = J",_ü*.i;-

"#;;:*ii ;'#txT: :.rtuei,*a.e**or a,* u'a f' e \ po'dnlo'" ;;';;;:"J:,1;J."' o' o-* *" n.,'i""i il,l"l ;i::1.:T,fii,'ájff,j":l

12 Demorm. *"J"Tr, conve¡ge co¡dic,onarmeDb.Cohó po¡ c¡ pbbteea

1] la inGgal dadaco¡ve

"'" *, c""

J"lu:]a, ai,..e"

Jrse hav que Dosthr qüe no es absorura'enre conve*en,e,

CoDo eo ej probleDa ]I, Mérodo 2, F ¡ie¡e

J"ly* = son,"",,-

", *,"{ = 1, i ,r",". , =, = ". "; .{ : . . ' l* l* =,¡"

f " ; :*,

c*- j ?_ d:,.'Br. t¿ .eic aet rcrndó n".0,. i ,,, o^**. _,

," ,eJ .¡ierio de conlraración

f",'+- = a#f"(? + r)¡ , " 'dDd, =

P- "*q .í"/Yrld, d-"¡se , se ¡enc er resurladó pcd,do.

272 TNTEcRAL¡is rMpRop¡as

NT'CT]|J,f,S TMPTOPIAS DE SECTJ.¡{DA ESPECIL YAIOf, PRINCPAL DErJ. r¿¡ uemostrar cu€ I _.:1 @Dverse y ró) ha¡lar su va¡or.J_t Vr+l

El i¡¡cgEndo no .s ¿@Ldo .¡ ¡ = -1. & de,i& €¡ioMs la irtesr¡l Dor

:$'.Í.,..#, = .lnk+:r| ,. = .us(.-;"¡ = "lo quc Dü6tra qE Ia i¡tesr¡l conv..ec h&i¡ 6.

¡a ooe-ioa' si J_,6I!- conlrrse ra) en et sentido co¡riente, (ó) en el s¿¡.ido del valor p¡._qpai de Cauchy.

{¿) Po. d.6nició!

(" ,t, ¡, ,, d.J ,ñ-r¡ .l:'t J., #; -.1* J . "ri= .rll.(¡-+) . .trT.(+-+)y @ño tos l¡hics no exbt ¡, Ia inrce¡¡l úú @rrc¡ge €, e¡ st¡do coriate_

' ' . f f ' g , ( ' -ú ' , . f , , | , r, :r, tJ , ,¿- r,. J.., ,=rf I . ! f .{á _-2,, _

r., _ i !} = 3,r

¡¡ int g¡al d¡te d €¡ stido d.l va¡or p¡i@ip¡¡ dc C¡uchy. EI wlo¡ pri¡cipot 6 3/32_ i

Iúvestige Ia conve.gEncia de:

o Í""F¡*4¡, e)bt Í""ryd" @)

at t""'"ffi,">r.

h) 'ür' k-z)"''r,+F = .y,i("t*=)""= ¡ft."". ,"*o, , ,n,"*-, "--.es'¡¡ c¡ TcoFh¿ 3(ü pÁsi¡a 264.

(¿) .ün t . !9!3 = t. Asi quc tá intesr¿t dilerse sesú¡ el Teorcna :ltri) de ta Ojginr 164

r(r E*-ríbar¡¿i¡,esrar.¡¡¿fo* J',-fu _ 1,ffi,r

cono 'rt-'

(" - 1)4 ' 7#--

= : ' ¡a p'imer' ¡ ee¡ar converse

coño ,nn (5-,),".

'G=#=-

= +, k eeunda inr8rar convcree.

cdn lo qú. ti inr!:Aet ddda.órrcree_

, , ,u1. n-r 'S = 2"¿. y ¡¿ i ¡resrdt divc¡ lr .

[cAP r?

CAUCHY

|:t.

torr' vG=;Ir-| :- dx

CAP 12] INTEGRALES IMPROPIAS

-. - > : e | ," oryrsc De modo qLe l¿ 'n'.tr¿ldrdd

drers"J,t_1

Luego ll inreEral cor\erCe.

f l16. Sju v"son realer. demostrcr que | ¡ ' r { l t ) ' - tdr l¿)convergesiu >0}r>0,sinuF

táúeameüte, y (ó) diverge e¡ cualquie¡ ol¡o caso.

ldl Pan n ¿ | y ¡ ¿ 1. sinuháne¡m€nle, la inleS¡al mnverge pücro que .l in¡egddo es conrinuo cn0 < ¡ S l. E$ribiñdo I¿ i.lee¡al como

Í"' ' ' *' 'u ,*'0, , 1,"*-',' o*'0,Si0<r<ly0<¿<1, la D¡ iner¡ integ.al @nv€¡g€, pu6,, l in I ' " i " '0 J)"- '=

¿pri€ndo €l'Ieoma 3(t, págitu 264, eú p= | hy a=0.ADálogm.nte,la sesunda irle8¡¿l conwry¿ pu.slo qu.,lim 0 -!)' "/-¡0 ¡).-t - I, apl,-

@ndo el Teorcña a(4, Égi¡a 264, ú¡ p=r ñy b -1.Asi, pües, la inleg¡al dada mnv€¡ge si r > 0 y r>0 simuliáneamente.

(¡) Siá50,,Iih '.¡'_'(1

¡)" -' - ó. Con lo que la p¡ine¡¿ intcsral .n (.¡) div.rse, s c¡al fu€¡e c!

valo¡ de ,, Fgrtn el Teol@ 3(¡t, Éeim 264, con ! = I y ¿ = 0.Asiñ¡no, la segun ta integml divere€ si' l 0 s cual füe¡e el v¿lo¡ de u y F dedüÉ ¿l ¡.süIládo

En el Capfulo ll * tala de al8nms propiedades inportanles de esta irlcgúI, lláúad¿ ¡'¡¿s.¿l ¿¿¡¿o f"n íón beta.

17. Demoitra¡ ",.

f" r.

'."

I d/ cor\rpe .ondnon¿tmenre..

J^t

con r lr, la ¡nksral 5e conqer. en Ia f'""Y¿y I * ¿"¿u." "r 'e,Jhddo

p€<ldo po' el Pro-

INTECNALES IMPROPIAS DE TERCf,RA ESPECIE

IE. Si ñe\real , demosrÉr que | ¡" t . d¡ rar convetge si ¿ . 0 y (ó) divetge s, ¿<0.

( f )

Esribas¿ la ihtegúl d I¿ fotm

! " 'o ' " .* * 1,"* ' " ' * u)(¿) Si r = 1, ¡a p;meú inregml .h (.¡) co¡ler8e porque el inlesla¡do es corn.uo en 05j51.

Si 0 < "

< t, la pnnera integnl ¿n (.¡) cs imp¡opi¡ de s¿$oda esFcie cn ¡ = 0. Comol in ¡ t -"r '_ '¿-¡=l j lanr&gr¿lñnve4eeglnelTcoEna3(¡) ,págin¡2al .co¡?: l - ,y¿-0.

De ñodo qne h pnm.¡a rrle8ml converye p¿r¿ , > 0.Si ¿ > O, Ia sesud¿ integ.¡r ñ {l) es inpropi¡ de p¡ine¡a esptrie. Cono lim .¿ f-'¿-- = 0 (por

la rcsla de L'Hópit¡l u otro nétodo cu¡lquic¡a), esta intqral onverse *sún el T@ÉM l(,), páana 2ó2.

Asi, pues. ¡¡ seeurda inESml lanüiñ corverse pan , > 0, y. por ta.tó. la integ.ál dad¡ co.vergt

¡

274INTEGRALES IMPROPIAS

(ál si , ,< 0. l¡ pnner¿ incs¿t de U) dñüse puesto que ,xm,

r , f, . ¿ ¡ = € lT€o¡€na 3(¡¡, página 26.{l\ 4._0.td ¡ tsrrdd,nreA ¿ d. , / , "Jnrc,Be pu

,i l; ;tl' ::;:::r:' ;' ";" 1'1" ;"1'";"- . ;"1":j'":T: ii; fi :'::'il"-- j , l

" ' 'ou,a '1 " r 'a. de ¡ ,an, . p l ¡Dieo¿de. In¡er.¿n,e, de crJ inksr, t . lamadd /u¿.6

CON}'ERGENCIA UNIFORME DE INTEGRAI-f,S IMPROPIAS

re. r¿) calcurá. ot"t = J-*-*a" -" "ro.

l i : P:T**, que r¿..nres,ar en ,dr converge un,rormemenre hácid I par¿ d \ x, _ 0.{ . , E(prc¿¡ por q"¿ t¿ in.rgr¿t no.onrerce ulr torrmenre h¿cra I piru c _ 0.

,

r"r , r . r = ; -J ' -" ,0. =

" , t i_" " , j .=" =

;*1 ¿_d¡ = I s i r>0.An que la inregrat co¡veree h¡cia I paú tódo ü > O

(¿) Mórodo t, por ¡a defúición

tl ioresral co¡ve¡se uniformcdenr¿ há.,a I en d > cr > o si pqr¿ Lodo € > 0cr¡re un,vdep€ndr+re de É ¡Ero no de, . , r * . l , - f "-. o " ¿r) . r . , , . ¡ , .J. . , , \

"^" - . .T l l -J, o¿a.dt = r- Í -e. . ) t = ¿-- = ¿ q. < " pa¡¿ , > 1ro1 =_..on ro i túe s¡ ob!.ñt¡ t resútr¿¡o " , .

Mérodo 2j uliriza¡do el crnerio ü de wdeaftsscomo th C. k-- _ o pda,: ü, > 0. e puede elesi¡ l,¿

_l . _1r"-, *n""*.._r.g*

de.. : .op. , r .err to lom"ndov,. ,_. , . ¡or .e, ,an,roq,ef"1í__.e. \ededr.eoLebÉ

, : : . i | j ' , . ' L | i |o.nenq' . rcn!*gen e

" ' . - ' " " , " " - . ^ 1;"

_ 0. et nuDero /v en eI pfiner h'"-' ". *.¡. .* ,"n",...:; :'i;iHl::";:.:"J1i*en,' i¡de,inidañenre. de modo que r¡ E

20. sió(¿) = J" l(a,")d¡ es u¡ifomemeúte c

esrc inlervato. o¡ve¡gente para d, S d S a¿, demorra¡ que arJ

s* aL"¡ = J"tr , ,"ra, + 4(a,,) , ( ,ñ ¡( ,¿,") =

. [ ," t ,a*.r i la. 's r(a+¡) - f te,"+]t) , t r+Rta,.+r) |

n, , . n," . . " to* o ' -ool =

J. l Í lzd+h)-^! 'o l l&+Rtu,a+h)- E(u,e)

lóG+¡)-é{,) t = f ""

t tA, , * o, , , , " , a d¡+ st , ,a+ñ) l+ a(¡ . ,o) r iComo tr Inr*i¿l A un tomcm

Inoepcnd,.r e de , , " " , . , . , ; ; - . ^ .

" . "

lRtú,d+h) <4cono/1! ü)es conr i ¡ua. , " o,r" n"u", , , l

E(¡r '¿) l < t3 , , l

! . " n, .* , , , " . , ; ; . ; " ' " . : ; : , " ' " ' - '

c{P. l2l INTEGRA¡-ES IMPROP¡AS 275

uewndo (2) y (Jia (¡), e ve qüe lC(d + ¡) - d(d) |< É para lr¡l < r. con lo qüe d(d)es continusNótese q¡e €n €sra d€n6t.acióq* " " ;,. ;;; ;;;;;:;; ; :";il.*;#"i"i;'j;'jlt"ff:'*"*", d : "

De fodoNorese l¡sb'étr ta rnatogi, de ej¿ <teno\r¡ac,on co¡ d ar¡to8la p¿rá tas *,F\D. tun¿ra pa¡eida e pueden den6t¡¿¡ olras p¡opiedade, aJi,¿s.a", ,"iü".*r"

-**g*r*

I t . {¿t Moqrrar que l tm f- .e--¿" , f ' l \r . ( . r jT, "?_. JdI. rór Lxpt ica. et re.Ltrado de ,Jl

" . \ . /

(¿) "'jT, J" @*. =

",jT, r = 1 poretp¡obrenja 1e(o).

l- f"t¡X'. **1* = f'oo.

= o. y se heneer.esurr¡do p.di,ro.

c" o oc¡ = f-

*-" a. "o

as unifonenen& co.k.senrc para d : o {vqs p¡obtema te), no haysgu¡id¡d de que didj Fa cootinüa p¡ra d ¿ 0. Asi qE

.lin C{d) puede no sr ieu¿l a ó(o)

o.n*"- q." ;f'" ", .ost, d.r :7j7 na.a n > o I cu"rqüie¡ varo¡ ¡€¿t de ,.

.tiT?T'.T"¡,|f"tfl,A1a) @nveree uniiüme v absorüt¿mente para ¿ < d < ó, sien-

l¿) Po¡ la fómül¡ de in¡esnció. j4, Éeiú 84, se lGn€

)':! Í"".*..","0, = 14 -*

(' $:f;rj:!:rc]" =

";(á) Eslo e dedüe im€di¿$neote por el c¡ile¡io ,'r' de \¡

= ' *"*" ; [ " - - t .**o.

- - ' /e 'e6'¡as para 'n lesrares'

no'¿ndo qk Ie *c6r¡ I

CALCT]LO DE INTEGRALES DEI'INTDAS

A. uemosrrar que J0 rnsen/d/ _ - ; ¡nz.

La itrte8ra¡ dada corv€r8c lprcbtna a2(r]. con , = r,¿ ].

tL (a)

(b)

r =. f" ' i "*" ,a" = !"""r^- .sau = ! . " , ,n-""d"zr = f" , rn, .n" - rn "o",¡a, f -" , " / t . r , . ,

rD J. . , . i

) " ,

- f""''r"*"2' a, - t,"''r""o, = J"''"r.*,2.a. it^z

*J"u*",a" = +U"'i."",,", L,*".]1""''r"*"2" a, == 4(¡+J) = ¡ rh¿cjcndo,=, ¿

con ló que l . ¡ )se cónvicrc cf 2r = r - t1"2 o r = -+t^2.

1r)

276

24

¡N¡EGRALES IMPROP¡AS

uemosrr¡r que | ¡ lnsen¡d¡ = - I r"er t 2--Sea r = z - I. Enlo¡es, ap¡ica¡do ¡o! re$l¡ad6 dej p.obtcme elerior,

t ' e- an*,-u,

"1"" t"*,,"d" _ 1""

Démostrar quec(() = l"'J+ es unirormen¡cn.e conve¡s€nte pa.a ( > 1.

Mosrar q'e ó(") = +. (.) car*ra. J tr+rr_.Demos¡ra¡que

f"@#- - Jo"'¿ c'*"ed. = t+i;W;

(¿) se dcdüc de¡ crjt(io de wciesrras, puato q6 _]_ 5 _l_ o*u "

¿ I

[c^P e

= . f"r"-"rrT *" 'a"

r = j " , r ,*""a" =

-

1l

2s. (a)

tb)

(d)

y | =_correE

2\G

G) Pd O), f '-!a

= -+. Deriundo anbos mienbros rcspeto de ¿, se liene

Í " ' * ( i * )*= f" '#¿= t"-rsültado que jüíúca el reorna s, pásiia 266. ,a qk

J- (,*F es unjfómenenre onlersúte t.z

'¿ ' to,* cl;=i;J¡¡ " f-afr¡ -***

", ff"i :::::,';;"#: l;::' ::: :::::::.f .-"' ='

H'r a r_,,.f-6ji_ = clx-tc;) c.#);-_.,_lo que s jusrúa coho .¡ la part. (¿). con d_ r+, es

i*T'";;;'^"'" , : ,* q ¡a inresrar se tmn;roma c¡ ¡" i["'i*., ¿,

-, r. q* * u"g. a *

Demostra.que J'5;#* =i^## co¡ o,ó>0.

Por el Probtetu 22 y et Teor€ma 7, págira 266, se ti6e

26.

INTECRALES IMPROP¡AS

1." "{Í)... - ** ̂ ¡"" = 1..{f." ""

277

Por .¡ P.obl€Da 22 y et TeoEro 7, página 266, se li.¡c

I.' {f.". -*- *¡* = ["" $"'.- *.. ".]""o b,en l- "-,,\!Jr¿, = ('

"" i¡o'

rntes¡a¡do olr¿ @ co¡ Épecto ¡ ¡ de O ¿ ¡ se d.nr

te_' !

t"'"*' :;"* o, = !"' n ,i* = " ,,_,i _ á¡.i¿+¡rpo¡ inber&ión por part€s. EI rcsuh¿do pedido se obric¡e na.¡cndo | = 1

2& Demosrrar que f ' l - l * r¿, =:

c. . . " . t . " ," : l -Lg!:p, ,o":0.. ,0 . J-t

-_+-r, @nkrse lv¿¡* prcbk-

na?(r)1,ssisüeporelc¡ i rea.a"w"t"^r. ,e*J-," , ! : r9:3¿,""¡orom*o$srv¿igñr. ,

flfr]5 ;::r';trj9:::'T#"de d pará d ¿ 0 (Teortfu 6. pá8i¡a 266). Hacie¡do ¿rroúcas d _ 0+. ü1!

. r j * l - .* t - r : "" ,a, = J" l ; :osr. . , = ln{o,

'. Demor.a.que

t"'\:* = Í,"y* = ;¡nr.g¿¡do por p¿fes.

' ' .To'r . - ( - l ) , , - -"¿1" f ' * r '¿. . , - - -3o"1_, ' l . r . 'ToDa¡do ¡ioilc p¿ra .

- O+ y ,¡/ a ó 6ulla qü.

*- ; ' . ' * ' , ) =;

' #" * !"Y*

-'* .f"1."+",=

iI

274

Y¡. Demorrar que I

¡NTECRATTS IMPROPTAS

td ' r=-.

= \- r-,/ = ( , ) r -3k+)r( . -L)+3(¿¡) t¿ ")r - ( . . )1(rt-

r / ""-¿ " \ 3¿" | - \4\ 2¡ / 4\ 2 i 73

4.1. r *

1^

J-ri- _ =

PROBLEMAS VARIOS

rf. DemosLr¿r que Jt

e-rdr = \/;/2.

Por cl Problema 6, ¡a i¡tegra¡ conve¡s€. Sá

h- l . "dr_ l . rdv \ { , , r ,ñ/r ¡ .

el valor de l. iotes¡al. Enton6,

! ; = ( f " " "d, Í f "" rd, \,/

= J" J" "-"'-"'a'o'=

')'J ' "" a' ¿u

cie¡do tv el turdr¡do o, tC¿de tado v lvadse r , !u-n 12-l). Coño el intesraodo es posnivo. se li€n

arsiendo q I y a: Ias ¡esion€s de¡ priner cuadnnl€ tinitadd

E¡ coordenadas poláres (1) da

!Í " *,^0,"" = t"" = .ff .,".u,a"an

por lós ci¡cn!ós de rádios n1 y a"6 ca

Fig.l¿1

NÍf

J,".'." l.: "'.,** = t:' = !-'" !"é " *"**

ic-" ' " ) = ¡ : , = io-s-w1 |Y 1oña¡do cr lrmite pa¡a M- ú en (r) s rÉre ln r1: r' = n/4 . r = {f12.

32. calcurar l"- "-, *"*0,.

t"" n, = f "

, eosc, ¿¿. ¡ntesrardo po¡ p¿des y rohando r,n¡tes adelad¿heote.

H = Í"--* ' ' " "" ' , " , - +¿-"sndr; - +"f , - " , "^"*a, = - i tLa denvación bajo er sisno i.lecral lá jüri6@ €t Teoreña 8. Ési",Ne,y

"t s".h.f,"," r sn G&-

uhi¡ormeme¡re conwrgente pa¡a todo d (pues, por el cnbio de Weie6t¡as, r¿-, * d | = -:

nj-*-,a,

--*e.l

Á

INTECRALES IMPROPIAS

3. l " ' Demo{tur que t¡ t - (" " - , -""

¿¡ -. Jt r

(¿) sc ri¿ic lG) = z .f,- u" *-'tr ,r.ta,.

Por el Problena l1 y e. vista de latonr.sencia n¡ilome y Ia consiguiente co¡ri¡uidad dé ¡a intesral d¿da(p*sto qw l¿

/cosdrl5 ¿ "¿ J" e ," d' conv¿rse, có¡ toque e apliq cl c¡ne¡io de weieNl¡as) se ¡ie,

¡e (0) - l'4 .¡G) = lJ¡.

Deseera¡, io # = jr-" " ""nai" io'

r1or = f

,Énathrd)=Jt¿¿F.

279

t"',/;2 (ó) calcular

k denv&ión 6 válida. pnes el intesr¿ndo p.rnan*e ácorado at render ¡ + 0+ y para , süncidt.-

e-1, q, , \ r -a/ , \ = ¿-, 'e -d^ ' O - c/ , : ) = ¿De-J

d.modoque/r l i ror \ . 'gruni tomemencp¿r¿d>0poretcn,er iodeweie, , r^ i rq""J " , r ,

t 'o, 21 . ""d¡-" . .1^-, , ' , ' o

como F v€ bacie¡do d/j - ',

en Ia segunda in&snt. Asj qne ¡(d) : ¿, üm constante. pe. deteminar ¿,hásase d i 0+ en la inleeral busada y utiliÉs el Problena 31 pam oblerer ¿ - va¡p.

ot e* 6, .f"' " - --'d' = .[-.

t,' ¿a\o';1)¿, = "'" J,- "

t",¿;\d, =

Lweo J-"

{"" ."" " t , , " = *"-- . Hacre¡do d=r.

Í " - . r , ' . " ' )d, = {ns- '

\C2

tí, (d) <{€"'} = - |, s>o; (b) <{cos¿¡) =;ri;,"t0.

"r- t - (""-" a, - . . ,^ f "" ' . .

=;: l#=- s i e>d

J" ¿ "os4¿, = -'j- ¡o¡ elProblem¿ 22

Ot¡o Délúdo, eñple¡ndo nún€ros €omFlejos.

sesún ra prdc (¿), "{,-)

= J;. cáñbiesc ¿ po, di Enron.¡s.

Igua¡ando paJtes real6 ¿ inaeindús: {{cosa¡) = -+-,

{{*.d)

El nétodo r¡r"/ ame¡ior F pue¡e jusrifi€r por hélodos d€t Capitulo

280 lNrEcRA

35. Demorrar que (4) t1r,1,,¡ = ""r","n

"o"'^t IcaP c

balo condrcrones "d;;i",'ñ*i;;."'

v(o)' tb) 1{v'\r)} = s'?"cf r(¡)} - rv(g) - r.Íl

{¿) Po¡ dcfinic'ói.

<ty'@t - Í"' , - vto a" = r. !," , - y14 ¿,

. . 1= ,l: i l f-*vt. ' ]. " "J. , "vt"d¿l=

" I," "--trr* - y(o) = ,{{y(,D - r(o)slponiendo r ¡¿r {ruc jil: ,-_¡tr¡l = o.

{ó) sq u(¿) = y'('). Lkgo sesún (¿), <{u,f,)} : .{{U(¿D _ u(o). con ,o quc4{y. t ,ü ,1tv\¡ ,1 _ y, ,or = , ls<ty{ , r ) _ y lo, _ y10,_ r ,<tyrr)) _,y{Or_y1o) , ,

36. Reso¡ver ta ecüación diferencial y,,lr) + y\x, = x, rel = O, y,l[) = 2.probTónñ

lá r¡&sad¡Eda de Lap¡ace de añbos ni@brcs dc ta @aqiór di&¡@iál dada. Enron6, pú .i1\Y"(') + y(xt) = 1I¿\, 1{v,,(¿t\ + <tyt )) = vr,."{{y(¿D _, r{0) _ r,(o) + (y(.lt = r/.,

DdFjando <{1(r)} áptjcando ts @ndicions c¡q6,

<{r.") = #++) = i."h ."por dc$ohpGic¡ór e, f,aeio¡€s Daiat6.(omo

i ¡{r¡ r " ,_j¡ .

¿i*n,1. r deduR cue ,r , *¡ l , _ at,**"¿.Lueso por (4. { lyUJi =?lr+*""r r .

-r,¡"" ..;. i. püi .jiip.{r

+ rn q, d€ dood¿ e p!.de dcdücn que r(}) = ¡ + q ¡ que 6 _

si {lFr rr] = /lrr,/r,te lana rraÉformdápo¡clp¡ob,.m¿ 7r. , ,,,,",11,,,,"1-r!, 'íí,| l l:;*" ^. '.**"b./(., -{-'{rrn

vt" ' = , ,J1 r I l , l^ ) ; , , ,_, . " ,1"1i . " ,1", i_J . ,_*,

E¡ la Ta6ta d€ i¡ p:ie,¡¿ 2;? * p,"ai lé. tan,t maa* inv€tras de Laprac.

problemas prcpüestos¡N¡EG¡TAIES TMPROPLAS DE PRIMENA ESPECEJ/, r{ddrr, t¡ r,,nvcrsencE

ot !,'tia"o¡ f- -:!=

k) r'-g.',¿ (¿) conv., (r) div.,

,l::het J"-tffy*a J."##

(.) co¡v., (d) conv.i {.) .on,.,

'J"it++-Fat t,"!1!o: f-'$"'

(, div., (r) cone, (¡) diy" c.l @ny. a

I2I INTECRALES IMPROPIAS 2AI

r Dmoslra¡ que Í_"rr*r" = 7fu

.'0, "¡.I Esrüdiar r¿ onw,se&i¿ de b) Í ," " , .1",d, , f t ) f , "- , r^<t+.. t¿", at ! . 'u,*.nta,.

I¡IIG¡¡I,ES IMPROPIAS DE SEGUNDA ESPEC¡E!4. Est¡dia¡ la @nv€rsenci¿ d.:

ot ( -- i:: r¿r f -4¿,JD (¡+ 1)V1-rr J! V3- ¡¡

so¿ (¿) onv., (¿) conv., (¿) di!.

Estudiar r¡ @nve4¿nc¡a i¡dicando, do¡de É¿ posibre, i el alsorula o condicio.al: al t"" ffia",

e¡ l '_"-"¿*,¿.a", cona.rco¡ran,esposi,, las: k) Í""#+d"t @) Í""ff iü,k)

J-ffid- s,¿ k) ¿b3. donv., (ó) ¿bs. conv., (,).ó¡d..onv., {d) div., (.) ¿b3. co¡v.

DeDostr¡¡ los cnrerios d€l @cient€ i¿) y (c) de ta página 2ó2.

o) J"#ot !"'ryo, u¡ f' _L

o 1"""t""", a"

ts) ) .1 j :dd"

wt t"'+-':*" o"

L"t !"'lffi*. or.,.t¿¿ (¿) co¡v., (r) div., (¿) div., (¿) 6¡v., (r) conv., (, con¿, (r) div., (¡) div., (i @¡v., (t) @ny.

4*, d^.rge en el hudo u:uat. pero que co\e,ge e¡ et {n,do d.t wlor pnn.ipal

de C¿uc¡y. (¿) IIa¡lá¡ cl %tor pn cipat de C¡ucny de lá inr€gst en (¿) y dar uha i.t rp.€tació¡ geoñélri€.sol. (¿) l¡ a

Estudiár ¡¿ onvergencia ind¡6do sj ¿s ¿bsolula o @ndicio@I, dordc ea poíbte:

to J *"(i)a,, o, J j-"(|)*, ro J',r"*(i)a,s¿/. (d) sb!. .onv., o) .o¡d. conv., k) div.

¡a DemorrJr quc l" ' '1¡ , ' , . "1 - ," . . r \ r , - szuEJ. \ ' ' . ' ' * , ) -" - i

I{TTCRAI¡,S ¡MPROPTAS T'E IERCEIA T4SP¡C¡E

{ l 'nJd'dr l¿ !ón\e,sencia d. 1"¡ f - - , r , .a, , 6) ( - . ' tu . !^ t f ' . ' 'dr, / ; Í ; t , + t , r , V;(3 2snr)s¿/ {o) 6nv., (ü) div., (¿) .o¡v.

. . Fqud,dr la.onve,senc,, d, , . , f ' . :_, u f - - / l !_,">o.,o v.Pn1(¿¡J

sú¿ (¿) con!., (á) conv. si a > 2, div. si o < ¿ S 2.

Denosrar qu. J"

---i""dr onv{s. ,i 0 < t¿ < , y div.rse ci r¿t ¿ ¡.

Eslltli¿r la corvds€¡.ia irdicando, .üardo s Dosibt¿, si 6 ¿bsoluta o condiciora¡:

t¿) J, ; ;d¡ , " ,J" - ;* .

su/ (d, .o¡d. cohv.. {ór sb* conv.

¡..

a.

282 INTECRALÉS IMPROPIAS

CONVERG¡NCTÁ UNIFORTUE DD INTEGITAIF TMPROP¡ASs0. l¿) D.normr aue ó¡"1 = f'rsryr- ".,,,. -.¡tomeñenre !;nve¡gen,e pdá todo d

ró) Denojrr qre o¡, t e\ lonunúa pdra rodo d. r , r Hd dr t rm obr. S¿/. , . . ¡2

" ' * r , ' ' - -J" r ( ' ,q)d/ . .on t r ' ' .dr ar¡ . - ¡ . , , ,Moí,arqueó,d,no.,únrnu¿en,_0,o:

que¡in J{

¡k,dd. * J.

rin .k,")d'. (¿) Exptica¡ et resüttado en (¿).

52. Her.t P¡obreM 51 s¡ ¡(j,d)=lr¿ -s3. Si ¡¡) es acotada y conti¡ua pa.a _ó < ¡ < ó y

v,, .u i f .Yf ' r r rd¡ .

d.ndr,¡r qG r .h rrr , , - ¡ r , , r ' ' ! ¡ | lx ¡ l t

54 DenostBr (¿) et Tcore@ Z y fr) et Teor€oa 8 de ta pas,na 266.

55. D.ooslrá. et .dlcrio ,r1 de Wei¿6t¡a$ para la co¡!¿reenc¡a ündom. de i¡res¡a¡es56. Dmosrrar que f nt.t a, .o",.*. t""- f-

¡" 0 " ,F(, ,d, .on, . ,s uniromeñenlt pa¡¡ n > O.

r. umorEr que G) o{,) = J"

¿ -sry d¡ @nv€¡s. üniromenenre p¿ra d = o, (¿) d(d} _; _ !s-,..

c) J"

: ' dr ; rcomp¿F* con .o. pmbknA rr2a,

5& Erunciar la defrnición .re converSencia u.ifom¿ de ,nleemt.s ¡Dpropias de seSu¡da espei€.s9. Enunciar y d@6t¡¡r un teoEna correspondienle al T€oroa 8. pási¡a 26ó, s¡ ¿ * ru¡ción dif@naabte & r

C,{LCT'IÍ' DE TNTDGNALFS DEF¡NIDASveriñca¡ los Esuttados siguie¡tes. Jusliñ@. €h eda caso todm t6 pass.

*. Í " - . '=* - h(6/új , a,b>o

" . f -#r , = re,(ó/ , ) - tE, ta/ , ) , L,o,r>n

.. 1"" *-i:a* - ;Í_{.). ,>oó]. J- ' -+ryr" =.,

^. . f" '"##* = 5".. , , . ,2065, . ¡ . Demo{,J,q,c

/" , " (wr"*, ; , , ; r ( : : .1) , . ", ¡ r v¿héndo.e de rrr . demonr, , a le f"a""- a"ó", . , - / r \

[lo' resuh.dos de ró]ye¡p,obr.md o0 sn q\o(speEle\d. r.""-,))rl*,^,. f" Fhr,- F,b^¿- _{F(0l-F(. | ) Ih( ; ) ,qU.Bwhd¡@nl|ge¡a\E$( ia|ons5ÓbEF]

o^a" l"- "

*'a" = *Eh, "> o. Demónftr que páa r' = r. 2_ l. . ..

t ' *" .*a" =, . i . r . .+#_

:¡P ¡'] INTECRALES IMPROPIAS

{r. s ' d>0., .0. drmvlr"r que f-" , - - " . " ,¿, { ,b ,"G;.'J .

. D.norrar que I""

Q ' t"/")::, e ' @/6t d"

t Denrorrar quc Í-¡F+* = +. lsusúocri Apriquescr probremá:r8.1

calc'lar (a) <{Vy';}, (ó) 4{cósh o,), (¿) {(sci,rzr.s,,t td \m,s>o (¿) ¿¡. ">i. r"r u ,(j), ",..rr') si -c{¡(2)} = /('), d.nosrrar quc <{¿* ¡(,)) =l(._¿I (ó) catcurars,i 01

-,fi ". "'.

1. (¿) si {{¡(it =/(r), deñostrd que {{¡" ¡(r)} = (_r)il.)(r), da¡do ¡€srri€jon€s adhadas ps¡a ¡(¡)_(¿) calc!¡ar {{'cos'}. sd (6) (,++, ,ro

Daostrar qü¿ { ' [(') + sG)} = { -' |¡G, + { - , {sfs)}, aürciando cüarequiera Eslri6ion6 óeq¡ijas.Rsolve¡. nedj¿nre traBtom¡da, de Laptace, tas siguienles tuadon6 difeMci¡¡B $jeras a I¡s condicioúcs

(úl Y"( , ) + 3Y l ! ) + 2y(.) = oi r ¡ (o)=3, y10)=0\b) Y"(r ' ) - y '1.) = r i y(o)=2, y1o)=_g

k) v"( , )+2Y'(x)+2r( , ) = , r i y(o)-0, y,(0)=0s¿1 (¿)v(r)=6.. Be-", lb)yt t t=4-2¿.- l ¡ , , t , G) r(¡) = I _. ,Gen¿ + cor¡)

283

=;( : )

E

r D.horrar que {{¡(i)} .rrte si ¡(r) s casicontiru¿;;;;;;.;/;;',;Í";^:'"x:ilflT:'lliT,ir#::;tr,:Ti,ij:.:r:Áí'.'i üi:"T,¿:::;

284INTECRA¿ES IMPROPIAS

¡r ' r r ) s{ . ) = {16'r ' r , dhor¡a¡ que /r ! ,3, ! , . { , r r r , , , $endo

s@ = Í ," Ftu)e@

')dxse ttañ cúDotu.ióh de F y e, y se esc¡ibe ¡¡c.f - . ",Jus, \ r ib¿\e r , , ,s,s, tx)¡1, , ""_",¡¡¡^" . .

" , , , . , , ,! : " ¡" 1"" , " ' . : , : : , , , "" , . , , . : . , . . , . , f82. r , , r H¿l¿r

"- ,J t l . , -ic

" I ¡ ñ$trr f ú) , yt , t _ 4¡¡ , . r / .0, .y.(oJ- o.

r¿1 Rcsorver la ecu¿crón inreEAt yl.t = ! + J"

y<,,,*nt,_u¡¿,, [sus.: aphc¿¡ ¡tprobtcma!r]r" / (d) * l ,cn¡ - rco¡r) , lbt yt ! ) = f . R

J' t ' t t ' ' -

'¿ " l t t t ' t ' /6ú. sean/li). su¡ y s lrt connnu¿s cn bdo,n.eryal.

ui.. qu" ,,{,; = J r(,1a,

"s aco.u<r¡ p¡6 ld

s ó v supóqase qüe s'(}l s o. su¡jnse i-,

,., Dem.rrarcüe f"- rca"to. =, r;;;;:-",*

*'="

(¿J Dehosir¿r que ra i¡res.at 0., ."*unoo ,,1,i.,ci qüe e' ¡as co¡dicion* dad¡s ..r."r,,,

" "ol ?:"],'1"'l.

ra d¿¡ p'iDero' B conv'rse e Er ¡'suJEb

de Ab¿t ), J" fl.),(c) d, co.wt} y es et ltabado ctitetio intqt

lsu8€eciaj paÉ k), consi,l¿re" "r1- J'ir,r A, * *" *hplazarlf, por ¡,1,) . i¡resÉndo po¡ p€cPár¿ lá), deDuéslree prim.¡o qu€ si lÁ(¡)l < ¡1 (un¡

v ¡ueeo háaa* tender á i 6., ''n'oo'o'

-..**i /'''r"r 't'l *

I = Hbtd) - s(.,*

&i Apri* cr Probldá B3 pa6 deeor¡a¡ qDe at !""

tlzn. y (¡) J s,,¿", !>r, ..D!.¡".

rs. 1,) o"oo qu" J-,-,, a, =

!"" "** a" = j f t,-* r_ur"." ,u y 68(¿), capir!¡o r3l. er*.

f"' J"" *"a'tn't*o,

!?]f¡' o- o"t o .o"0. der p¡obrema 3r ¡o r pude udizar para c¡rcürar ra inreerar húrtipre a ¡...

I

Funciones gamma y betaIUNCION GAMMA

La función ealnma, que se dendta fl¿), se detiD€ por

rtn\ = f" ¡" ' e-' dx

{oe *_onre,geore, p¿r¿ ¿ > 0 rvé¿\e probtema t8. Cap UIo t2).uDa rormlt¿ de ¡eur,enc¡¡ pa¡a td funcrón Eamms es

r(¿+ 1) = rr(r4 t2)üi]il;';i'3'iJ::'T1,:1,,:::'.'-f i':l*r":decarcurarpa¡atodo, > 0siseco¡o€enrosv6-'a$ pára ¡ É, < 2 r0 en cua¡quier

" ' ; ; ; " ; ; ; " - ' - ' " ' ' " ' " '

"¿ 'a rooo' > u$5eco¡o{en rosvn-

tu parucular, I ¿ es narx,¿t lon8lIDd unid¿d¡ {\é.se rsbta mas adelanrer.tu par¡cular. s ¿ es DaÍurat,

¡ i¿+ r) = ¿l n=1,2,3, . . .:zó¡ por la cuat flh) s\ele |amd:se fw.íó, factoriat.

Ej.n|¡¡6: r(2) = 1! = 1, r(6) = 6t = r2o,

se puede demost.ar (problema 4) que

¡(+) = /;La relación rerurenre (?te, una ecuacion ¡le dite¡¡ uenn,c¡oD de I r¿r Da,a, ,

" . " " , , " , " - - - - -^, ._: i . las,que

nee por solk ión { / ¡ . tomando ( / )¡mo deÍnició¡ de r(¡) pa* , , o, * p."¿" e".üri"". ü"rffiffi#"T1J.:T: i j"l[:li: g j

r1r'1 = !!1111Este proceso se llañ? ptobnga.ióh a@títica_

T.{ALA DE YALORES Y GRA¡O DE LA FUNCION GAMMA

(4J

-y-

Capítulo 13

(r)

(r)

i6t=t=rz '

l€se P¡oblema ?, por eJempro.

r.00I , t01.20t,30

1,601,701,80r.902,00

r(¡)1,0000

0,9182

0,88710,88620.39350,90360,91140,96t3

¡¡

285

¡la.ttl

FUNCIONES GAMMA Y BETA lc*

FORMULA ASINTOTICA PARA f(r)

5i ¿ es elevado saltan a Ia vista lar diñcult¡des de cálculo de f(r). La fórnüla siguiente dc I

r (n + r l = \ /ú11n" e-" eüac+ D 0<d<1

pues en los más de los casos prácticos el último facror, que para r grande s aproxiña nucbo . Lpuede omilir. Si ¿ es ertero, puede escribnÉ

nt - {%nn,e ,

donde - sienifica (es aproximad¡údte igu¿l ¡ pam ¡ 8rande,. Est¡ es l¿ llamada fórnu¡a detuc¡ón Ia.toial d¿ Stnlins o Iómula asiúótica para nl

AI,GUNAS RELACIONES EN QUE ENTRA LA FUNCION GAMMA

r ' ( ¡ ) r11- r) = I 0<¡<1E¡¡ parlicr¡la¡ si ¡ = j. r(i) = v4.

2L '¡(¡)r(¿++) = \/ ;r lza)

Esta e\ la llamad¡ /o¡u¡l¿ dc duph¿.¡ón de Ia funoón gamm¿.

/ 1\ / o\ ,_ ' \, r ¡ ) r f F ) . t - ;J . f '=; ' ) = f t4 ̂ ¡ rz, t4 "¿rrñ¡)(9) cs un @so espeial d€ ( /0) con n:2.

| - f l " \ I

' , , , " ' l r 1l ' '#r" "Jque es un¡ represenlación de la funcióD eamma como prodüclo infiÍito. L¿ consránte t, es lade E¡l¿l (véak Problema 49, Capitulo ll).

"k*tl = l'.:l i,;rrx, #i¡, r,oL,t' = rim r(,, *)

siendo [(¡, &) t^ ttarn d^ fuación n de Ga6.

r@ +t) = \/ri r' e.{r.u}, rrr*.a - rr# r }

que se Uama se¡ie arirrdrü¿ de Sr¡r/¡rs para la función gamña. l¿ serie entre xaves es una se¡ielica (vé¿se Problema 20).

"1t¡ =

J"- "¡ lnrd¡ = 7 s iendoi taco,¡ ' r¿nt.¿¿Euto.

,!3 = -".(+-r..(; ':). '(;--+=).IUNCION BETA denoirda por B(m,r) se de6n€ por

81,¡ , r ) = | ¡ . 1(1 ¡) ' 1d,

es cónvergente para a > 0, , > 0. Véase p.oblem¿ 16. Capiluto 12.

FUNCIONES GAMMA Y BETA

Las funcioúes bcra y ganma se relacionan úedia¡te la isualdad

B(D, '4 = IIILIII

Muchas integrales se pueden calcular valié¡dose de l¿s funciones beta o eanma. Sotr úriles los dos

J" *' ,""" 1drl, = 1B(,,,,) = ##H;lido para h > 0 y' > 0 lproblemas eal y 1j)l y

.J,, r '*. d, = r1p) f(1 - ¡) =

Q/)

(r8)

l1! )

AIIEGRALES DE DIRICHLI]T

si ¡/ cs ra región ce.ada der primer @rante tiñirada po. ra superncie lt)"" 1g\"_\" \ , /

i ) = t r ar planos coor.tenados, enlo¡ces, r rodas las constanres son poslrivas,

¿"¿"". f ( : ) ¡() r ( : ). fJJ ," ' r " ' . ' r1r '1td¿ "

r ) , , ¡ . i t¿_'1

. I ¿s i -egr¿l$ de sle r inae t t¿nan ur.úJ¿a /p Drr . / ¡ / r ' / J se eñp.ean d menLoo pa,¿ caLut¿rInreg¡arer m! l t ptes (vease et probleó¿ 2t)

Probl€mss r€süeltos

T.UNCION GAMMA

L Dcmosrrar: (¿) r . ( ,¿+ t) = rr . (4, r>0; (¿) r(?¿+1) = nt , n=7,2,2, . . . .

(¿) r(¿+1) = .r" "¿ .d'

- J¡i J" ¡"" ,o,| , . , I= J:i {t, 'rt-" ') 1;' .t" ( " )(,r )d"}

= r ' . { - r , , "n, f" , " l

"" , , - ,o,1 = , r . ( , , s¡2>0

r¿r r /1r - J ?,d, = t : .J { .dr J l j i , , . " ,

H¿srsc ¿ = 1,2,3, _. . cñ r ln+ 1) =,r( , )_ Enronc.\ .r (2)=1¡0)=1, r l3) = 2f(2) = 2. | = 2\ , r . (4)=3¡(3)=3,2r=31

T ¡ rJ. , . r ' " - l ' : r : i ,c . .1?,opo.r , \ ¡

\20)

" ' , ,+,e = # = *i#= iG) afi# = a¡.4,,,rurr,,i*ffif,oo -

" ,H$=+#a=+3. Calcular las integraies.

<"t l"-.". 'a" = r(4) - 3r = 6

Ol t"- ¿."*. con 2r = v. ta , eeRr se conv,erc en

J" li) "! - ;'t^ n" '" L'l i:

4 Dcnorrar que r(+) = V;.

'Q =

Í,'" ¡,c.r,rr vucrle

z J. . r du , ("; ) = V, ¿pr(rndo crprohtema r,. ¡ ápiruro r.:.

5. Calclla¡ las integ¡¿¡es.

al .f," a-, on. cóó f É r. r¿ inrccrar s v!.rve

)" !¿',{..tr,-tsd" = +)" {*"-,d" = *¡r*r = y

( r ) J! 3s ' /¿ J0¡, ' ¡ r& - J. " -" ' . r . se¿,41n5tr¡ / . . ,nr , . rue ¿,nq

f - " '^(--- t = - j - f ' , . , . .¿, = , -L . ! : -2\/a t .3 J ' 2v{ ln3 ay' tn3

" ' IU" ' r , s.¿ tnJ , . Luegor e-. s, ¿ I , r 0, n ¡ o.ur€. tdtr ,eeÉ

*convictucn J"" " i^ =

-f" '" '-" '" ' = r\t /2) = \G

ó. calcular Jo

r- e-*' dr co¡ n. n. a consrantes posirivas,

con ¿/ - r.lá intes¡ol * lue¡ve

f ' r l ¡ \ ' ' } , - 'o. l /c\ ' ' l t - r '' ' , . ¿) t \o , , " . " .J" / ' " ' ' '

" - , " : - ' , ' \ - . t )

7. calcura. (¿) r(-tl21, (U) t( 5/z).

Ap¡i@¡do I¿ senenli&ió. a vatoÉs neeativos d.tinida por,1.(', = ¡el-l].

288

2. Ca lcula¡:

r,r ,*s = jfi =

FUNCIONES GAMMA Y BETA

t.-2 - ""

315

¡

FUNC¡ONES GAMMA Y B€TA

t( !4 = \1f) = 2G.

t\,8/2) = !e]@ = ff - ff, ^ot;*"a" L"¡

289

Lúclo ri s/2i 1t-:!:) !\l-.

& Demo.r la l que I r r ln/ , r r . ¡ . - , j ; , - "

n n¿tutat y n . - t .

Hacieturo r = ¿,, ta inleeral s. convierre fl la ( 1,r 1" u"l--,',¿!. si (u +1)s=ü,eraúkima

iht€e¡al e l.ansfo¡na ch

' - ' ¡ f '41¡"- ' ,* 'q = .*,*4f"*" ' t = ##.¡r 'r"+rr =

Conpi¡ese ú¡ el Prob¡ena 50, Capitulo 8, página t77.

9. Una paficula es abaida hacia Dn punlo njo O coú ü¡a fue¡za inveremenle DroDo¡cional a sudNranJi¿ in!¿n' lnea a p¿¡t , r de O Sr td paf l i .utd \e deja l ibre de\de e reooso. hi a, et r ,empoen qüe llesa ¿ O.

E¡€lr impor:0supó¡saelapa¡r iculasobEelejererr-¿>Oysaoelonsen.Enló¡es,por la

dzr k

srcndo á Ia ñae de la particulc y ¿ > 0 uha consra¡te de p¡oporcionali¡lad

s€a 1- | ! ,ercd¡d de la Ddrnta. Enrón€. {r d' d d'dr ' dt -

^ 2 _^tn¡1.

despud dc ibtegia¡. Como D = 0 ú r = ¿, se ri.ne ¿ : k ln a. Luego

4 =^r ' , ,=* = -* \ ¡4 (r)

\11

tomándose e¡ signo nesativo porqüe ¡ deú* a¡ aunenla¡ ¡. Asi s encuotra que ¿l tienDo ¡ que la paniculaiólierte Dara ir de ¡ = ¿ a i = 0 está dado Dor

f^ .' dtr v;, I' - J" , /C.U

Hacmdo In ¿A = "

o bi€n ¡ -¿e' ,

, = "^{#Í"""* , ' , " =.r /#n+, = "rB

RJNCTON BETA

fo. Demor¡¡¡ que (al B(n,n) - B(n,n), (ó) B(m,?¿) = z t""'" *"^ 'e "o"^ , e a/,.

(¿) Con la kansfomació¡ r= I |sliené

" , - , " , ' = . f j " ' ' ( t - . r ' \¿, = J 'u- , r ' , . ' " , - Í " ' " ' ,o u)^ ' '¿u = Rt i ,ñ)

(ó) Con la ran¡fomación x = Fnr , se tiene

aa,a = !" ' ,^

ro ¿)"-r¿¿ = . f ""r*"o- ' r"*"o ' '12e¡,cos,d,

= , t""'i,,"" '' """" " o'

( - l ) 'n!

(r)

,

-,

y vr se convFd€ m

(r)

t

290 FUNCIONES CAMMA Y BETA

Demorrarque s1*,"¡ = f;ft$ *,"> o.

Haciendoz =¡¡, e üene r(n) = J" ' .^, " , d, =,

! ," , ,^, " * a.

Anárós¡neme. 1 (¿) = zJ-r ' ' " - 'ar. sr-*".

,r^t"t"t =,(.1"',^, " ""1(,Í"" o. " ". "4=

'1i" ' ! " * .Yú 'e a' t ! ' )drdu

TÓ¡.fumando I pota e. . / - p.ó" p, - p rn d

"r^, ,r" t =

" J i"" J," "e! .a. , ' ,

¿-e,cos:- .1 o\enh ! c r ,p do

= ,(J " *" '. ",.)(I.i-*'0""'. ,od4

= , "1-

* ,a J ' ' " -*"

, c sna ¡ódl = r(¿+n)B(a,n)

= r . (h+r)B(f t ,2)

po¡ los resull¿dos d€l Probleña 10. De aqüi * oblien€ et iesultado büscado.El rázo¡aoimlo anrerio¡ se plede na@¡ eás isu¡osó ülitizando u prcces de timile cono en el pr.riF

na 31, Capitulo 12.

Calcul¿! las sigr¡ientes integ¡ales I

- , f r ¡ , r " , ¡ ,s.¿, r5r{

ro r(9) 3: 230

a¡ l'" 4!:- . (on , = 2,. ra,n,eer¿r se luehe¿. vz r

a ' , /2 l_ - , . ' ' d, - a¡zf "" t " , 'a, 4V2s3,t , a\ / i r \3tr '1t2\

f1712)

t t \ J" t ' ld-u 'dt

,01 . a.obe, , , , i . , ,n"g, , " .o". , "

a".r" d"a _n4 d¿ = ¿.815/2,3/2\

13. Mcrrur cre -f""

sn

Esto s dedue innediatammre de los problems t0 y rl

t4. .ar.uta, ror | , "n"0 ¿0, r¿r l * . .ecossada. t . t J. cos,ddd.

la) Sea2ñ- 1-6,2,- l -0, o sea, h= 12, , : t /2, cón et p¡obtcna 13.

Enronces Ia integ¡ar buscada tiere er uro. r(?á,i10/a = !¡.

u.

t2.

= 61la

C¡P '4

FuNcIoNEs oAMMA Y BETA

(D) H¡cicndo 2n _ I - 4, 2¡ _ I = s, Ia i¡tesral p€dida d€n. po¡ mlo.

(.) La iúresrát dad¿ = 2 J^

ús,e da.

rE. carcura, f iv-.Jn r+4.s.a ,.

- x. Enrone ta ¡nrea,¿t r,Bñrotu ñ I f-b¡eha 17 @n, -- j 4 J"' Tañbié¡ * puede obtene¡ et resullado ón r, = rg 0.

291

r-(5/2)fÍ9)zr,1liri = --!-315

y rncieúdo 2u I =0,2¡ r =4@ er p¡obl€ña t], et va¡or es ,nt/W = +.

rs. Demosrrar !""'" n*eae = !,"'" *uuou = t"J

lffi; si p es un ente¡o

positivo pa¡ (¿) ai# " o * un entero posirivo impa¡.

Según el Próblen¿ tr . co¡ 2¿ . t . - / ¿n | -0,

{e rrcne

("" ** ' * = rt*(P+ 1)lr(+)"' zrIlfd. + 2))

(a) Si p = 2¡ I¡ integÉl .s ¡cual a

(b) Si/ = 2r + I,Ia imég¡al es

ry##=,.-#!ri- ñ=Fi+i#re,

".t, **,J"" **, a, =

f" -", ", -* " * h^.ieri¿o e =,t2 - ó.

t6. carcürar (o) J""' ' **eae, p¡ f""'" * "u"*",ar, kt J"""n"eao.(¿) Po¡ €r Probrda 15, ra ¡ es¡¡r es iclar ¡ #41{ i = $ ¡"o.pá** _" a r-oo. r+1,¡.

J""*",aa-*,,o¿ = !"" '"*"""*- Í- '"","* = &-¿*TaDbién * pucde apli@ el Détodo det probtema t4ló).

(¿) L¿i¡teerardarr¿6isuar, of"" *",a, = (#,+{,

ñ D"d" J 1+d" = - l , mostm.qw ¡(p)r(1-¡,) = sü; siendo 0<?<r.

o r 1?' ra,nie8rur f co ErP en

J"u- ' t t -n¡-* = B(p, t - r ) - r (p)r(1-r) y Ésulra lo dicho.

=!

_ 64.

I

292 FUNCIONIS CAMMA Y BETA

te. Mostrar que I rffi:;ar = 11.,¡ 9\/zH¿ciendo rr = 8),, o sca" ¡ = 2)r,r, l¡ inegrat 6

J"2t t ' , Ve.L ' \ .4¿" 'd! :J" ¿ ' , ,1 , , 'd¿ lB{3,1,

. : l i l l ' , ' = ln¡ , . , ¡ , = ! .¿- ro '3 l r2 l I a ¡ ' , I .en, ,3 ,vE

¡OIMIJI-A DE STIRLING

m. Demost.a¡ qüe pa¡a " srande, ,t : 15-,t "

, aproxii¡¡adameor€.

"r"+rr = J"o, 'a" = f"" "*

.a,l-s fünción,ln ¡ - ¡ ticné un náxino Etatiyo psa ¡ - ¡, cono F ve fácitnc¡t._ Esto susicÉ ta srE

lucDn a =, +]r con ¡a cnal f1) F conli¿rt. o

f(a-r) a c J,¿'" . , - ,d!

= ""J. . . , " . - . , , , , .

, r , t ,

=t ' . -"J"e 'he!h ' 'dv

Hbk el momenro. el da'AB 6 n8uro.o Lor p¿sos s,gú,enks. .n tos cuates se prcFde dc mmera h

;tr ::ffi i*j"]1T#il .sx,c. ñédüde p's*s de bnre ¿dtuuad* p€'¡o's demdi.o;6 ?

Ed (2) utiliesc et rcsullado

n¡.n - , t ' . , r ' .

co¡ ¡ : r¡. Entones, haciñdo I _ lru e trene

rt"+rt = "^r, J",;*b,,tsr- du =

"."^aJ _"-"" ' , , ,* .^ i&

Pa¡a , elev¿do. üna ¿próIimrción büúa es

t(n+r) = ^"€-f i Í " .a-éA dx = v6; i " . - . {5

btemEs i¡lees¡te kr qE a pani¡ de (¿) se puede ob¡ener rañbiér el rcsulrado U3) de la Ésin¿ 28ó. Véas prF

INTDGMLES DE DIRICHLET

2f. ( -¿lcula¡ / l l l ¡ " )u8. . z, tdt¿ad¿

siendo t/ la región iel p¡mer ocrante limr@sapor la esfe¡a ¡tr + .r, + ?, = I y los planos coor_

Sean, '=r, ? '=¿, z¡=¿. Enronccs.

r t . . , d ' d¿-!u, i " z\ /n 2\G z\ u

= i , ) . lJ " , , 1ús, , , . . , - dJú du \1

donde E es k rcgión det espacio !ú¿ tinitada por er pBroü r , Lu I , lo. ptano\ ! , , ru y , ¡ como\e\een l ¡ FiB. l l2. A' , pucs F¡& 13-¡

I

, - 1 rlq/2)rltl2+n4y rltg + rt/2 + tl

=;iff i##

FUNCIONES OAMMA Y BETA

' - A J, ."J, ." J- a to ' ' 'n ' \ 'u^ ' ' -dun"¿u

= . '= J. . . J. . .

uq'"Dst ' t I -v- t r tadtda

| ?t- .i, J. "_". , 1J..,'"", ,,, _ " ...,^]*

, ¡ t - ' ¡ r - ü-ur,du r { r - r r , . , f ' u- ,LL_tt ,at

= Q - nYa'¡" r(!/z)r(tt¿ + t)rLG+l) /2 + 1l

291

(2)

t.::".

t,' "''"'"-' t' ",'* "" n,

t(dz) rl(p + ryz + r) = ¡+ffi+Bffi(r)

pu.qo que (r/2)r1'/2) = r(7/2 + r).

lá inte3at ¿qui c¡lculada cs un es ¿sD€ial (se plede c¿t.!!¡r de Da¡eú ,-eianle.

¡e I¿ intcg¡al de Dnich¡'r (,ú)' pósi@ ¡? E¡ aso Sene.l

22. Hallü la masa de la región limitada por 11 + .),u + z, : ¿? si Ia densidad es o = x,y,z2.

ri me blsdda : B JJJ

,!,", ¿" ¿v ¿., .¡e,¿¡ r/ la resió¡ det prjner @¿a e liñ¡r¡da !b¡ l¿ 6f€¡a¡'? + y' + I = ¿, y tos puios coo¡¿oa¿os.

" , J, : i r f ' f f i . t 'J '** ' r2 ' ) p¿gim 2s7, sh ¿ =. : a p=q=|:2vd=p=|:3.co.roqü¿

PROBI-EMAS VANIOS* *"::.-:,{"ff:;.ii#

DerrosrraI la lóñata .te tupticac¡ón

n""i",a. r = J""*n",a,, .r

Enrones, ¡ = {B(p+t,+) =

l ! " ' r ' t -*ay = f9r.,"r,Por er Probr€ma 17, 6a p = V4, rtt/4)r(3/4) = 4r'e

-. . q* s llq.

"r Bulra.lo büedo.

"'9i+iHH+##6 = #

2" trlp)r(p + tl = \/;\2p).= 1""" *".2"a"

__t

u,

294 FUNC¡ONES GAMMA Y AETA

Haci.ndo2r=¿shal la

r = +Í"e¡" ,ud. =

Pero t =, 1,"'' 1z *". c*"y, a,

_ zb,B(p+tr ,p+r l =

J,"'"*,,,"a" = t

= z- f,"'" "*, " *o " a"

Mo"rÍ , r oñ | aQ. Jo v,,i + se¡, d

t= l - ! := lcómo en el P¡oblemá 21.

¡(p++)rGzpflp) zert2q)

_ lrlr/4)|,

*B(1,+)=f f=q91

e*. t=l ' " ! :=( ' "\1""r c/2= *;e t2

I

!

!

I

l

I

t

I

t

t

a

H&Fndo \ 2 \ .n02 - en d er ¡a, l r in ' m¡eeBr ecb * co^¡. ,1. -

y 'z f "4-" loque e Í€ne el resulr¡do. J" v1- +Én'ó

26. Demoiror que f"cos-¡d¡ - - ,

'z I t.t cos-\P'/z) o' P < I

se,Ére -a = $J'.

,"--a". r,*"

L", , . " . * = ,kÍ"" Í . "_,?.^rcs¡du¿r=

* iJ," ' *"- t ( r !

h¿biendN In\.rudo et orden de,nre&¡cion y aptiedo.t Plobtma ,. Capituto t2.úlimá inkgat se trme por et probtema t7,

Í,"#"^ = ii""#* = ,n;i$n = r-ka €rsusúuyendo (?l en (.¡) s tjene €l Ésuttado busc¡do.

27. catcula. J"- *"c a,.

c- , -" . r . , " .c.r* ]J-H", _ l ( , " . r""_,^) = t \ .G/2po,cr probr.ñ¿2á

Era ir&gFl y t¡ cotrespondientc pad et seno lvéa& p¡¡bl.@ 6S(¿[ s ltafta. ¡trr¿gr¿l?r ¿¿ rPr€¿

a

a

a

a

caP. lrl FUNCIONES GAMMA Y BETA

Problem¡s propüestos

ÍUNCTON GAMMA

e ("hur¿, kl ---114 . , {ó, IM!9¿2). ,,, r I t2, |,r/2) r\514.2 r(4)r(3) r(9/2) ,

J¿¿ (¿) 90, (¿) 16á05, (c) *¡¡¡

ca*u, ot !"'"'u'a,, @ J" ' " "d,, @ !" .'" *d, so¡ (ú)

,r*;g*, (,¡ J -" a,. 6 !"' ,e " .^, G\ J, y"" 'r dy.

sú¡. (¿) * ¡(*), ot{!, r"r ljp

M**,q," J-?;& = r8,",,Demorúrquer¡r) - J ' (")"* " ' "

c"r",r- 1"¡ J'¡.,r.a'. p¡ !.' 6r,"yo,, G) [" ltíu-)a,.sol (o) ¿¿, (r) -91123, (¿) +r(*)

carcurá¡ {o) r(-?/2), (ü) r(-v3). 5r. (!) (16\r"y1oó, o) I r{2/3)

Denolrar que l im r(r) - @ con n 0,1,2,a, . . .

295

:9,

L

:i,

Deñosrar que si u es entero positilo , r(-,'r+¿) = "-#l%#-

%, (¿) #,

t=0,511215.. .1^úN-

5, \.) 2"1\E

@4

]5

!a

Denostr¿. que r'(1) = .J. .-" ln r d, 6 ün nrihero .esarivó (6 islar a l, co¡

hnte de Eulet, coño ñ el Prcblena 49. Capilülo ¡,).

IUNCION BETA

r. carcurar (¿) B(3,5, lbl BlBl2,2), l.l BlIl3,2/1,.

i . AwneJ.¡(d,J" r |L-r tdr . tü J" \ / i l - ; i ; dt .

so|. (a) r/60, lb) rt2, l.l3r

¡. c¡.uru, rol f ' ,",.-,t-a,, o) fg.r' J6'- ¿¡ r Demorro¡ aue I-4L=f¡ ] l l ) lr, 17- 4",1ü

4. carcuhr (¿) J" **r*¡ ,0, ,(¡)J, .o".0¿,.

G. carcura¡ (¿) J" sn', dr, (ú)J" cos¡rsn¡,dr.

{ D.morr¡rqu. J. I tc odc = at tz.

G. Demoqr¿rqüe ut f','!'= = "_, o f3V3

s¿r. (a) 1/106, (b) ¿/1

sot (úJ r2r, tbJ r

(¿) 16/1ó,

(h) tutg

o) 3/106

r + y. 2rE'

296 FUNCIONES GAMMA Y BETA

4ó. Dem6, '¿ ' quc f^ ^-¿' ,0, - .2 ' donde d,o>0.3y'3o¡r¿'r

{7. Deñorf¡f qúc | ;*d, = +

[Sug.: De.ivar con Esp(io a ó e¡ el P¡oblma 46.]

.l& Aplicar el mélodo del Problda 31, Capilulo 12, para jusdncar el procediñierro urilizdo en cl Probttu r:

INTEGR{I-ES DE DIR¡CHLFT

.¡9. H¿llá' l¿ ra.¿ de ld recron del pl.no ¡/ hmrkda por r I y l.r- 0. y. O y la den.i<tad s d - \ =sol

' _¿

so. sarrar ra nasa de r¿ rsión limnada por e¡ elipsoidJ 4 + ;

- :

: ' '' ',

0."''""0 '."d

proporcionat@

a .uo'¿dó d. l¡ d^tanua a, lenko "a.

'*l^ ,' , ¿: .:r t - cotutanre de DoDorc'on r*.

51, Ha¡lar el volünñ de ¡a regó¡ linilada pó. ¡tr'r +),r/r +z"r= l. Sot,4n135

52. Hallar el cftl¡o de masa dc la región del prine¡ dl¡rle fmitadá po¡ ¡ilr + rr¡ + 16 LSo¿ i=i=:-2V128

s3. Mórrar que e¡ volun n d. la resión liniláda pat )! + f + ¿' - ¿, siódo ¿ > 0, 6tá d¿do F

3;fu¡3/¡r d'

s4 Mostrar qü¿ el ent¡o de Ms d€ lá ngió¡ del priner octa¡re liúilada por ¡¡ + l- + I = a6, siendo ñ > I

PROBLEMAS VARIOS

55. Demorrar que J. @-4) ' (b- ' t "d.c = (ó-d) '+d¡B(p+1¡q+1) donde ?> 1,q> 1y ¡>c

[sú8.: Hága*,-¿ = (ü,@)?/. ]

5ó c¿l.LL' r¿) Í' ==+=: rol f' ¡r '¡' - r¡ a'. 5¿¡ r') ". {ü, ?-lM-a'r'r ' ¡ Vrr r r /3- r l r , 3\ /"57. Morrar {\1t,3).Y = GW

10/6) ,,/a '

5& Den6t,úqüB(ñ,r) = iJ" ' t ;#;d" c.¡ m,,>0.Lsuc.: Hásase, = , / (1+,) ,1

sr. si 0 < p < r a".*"* 0." J"" ,"" o' = i*"7.ó0. Deñorrarque f'## = F##'' ".,.,,,,.".ra.Fsposnivas.

lsug.: Háeas¿ = (/+ 1)r/(, + r),1

6¡. D..**,q".J""ü#;iH;;ffi Bg.9 oi ñ,n>0.[Sus.: Hágas ] = e¡: l) en et problema 60 y et¡ae ¡ adeüadam.hrc.l

ó2. Dcnórr¡r quc f '* =

"t*;* i*.. .

FUNCIONES GAMM Y BEIA 297

6

Ddtrodtu qüe pan r = 2,3, ¿,. . .

*;*** t . . .s( ' ;1) ' = +[S!s@cia: UK h fom¡ t¿doriada ¡. , 1 - {¡.n.ñbrc3 po¡ ¡- r y o¡sirrd.*

", u¡li,. *-,-,.1t".

- dJ(¡ - dr) (¡ - d,-r), diüd¡@ mbos

Ddrcrrü qN 1,""

n*". a" = -,/2r¡z apric¿ndocr prcb¡ma 61.

lsus.reeis: Tóne¡F log¡rid¡os dct rcsu¡t¡do d.l problderini4a.J

cn¡ ó3 v esrlbase el lioite Para ' -

Ó cmo nrt.gr¡l

lsus.Eúci¿: ElÉks al cuadúdo.r priDd m,tubro, uutie* et probt@ ó1y ts d¡ción (SL p¿sjm 2S6.Io".o,o- q." J'r' "1'¡

,, = 4 r,1r¿.lsüBercncia: Trtntue tog¿nhos rtet r.sü¡tado de¡ prc

r,, o"-*'..*"j'1;3* l,;;;":?::,1*"'" -'{¿) Discüli¡ 16 caesr' = 0yr, = I_

c. c"r"or". 1"¡ J'*o,'ú, et t'"c.s¿d". s,/. (,) +\A-q (ú);Gi;6

6. Dfros'üqu. J" , ' i ; ' : , d4 = - , , .@pn@tp.o<p<t.

i. Mor¡arqüe Í."*+* = -4P

a sq r'k) = .f.#figfi, üm gñerariación de ra función Besr (¡ó), pégi@ ¿2, ar eso cn qüe,

pucde no s .¡terc posit¡vo. tld¡oslrd qü¿ ,¡,(r) erisf¿@ ta m¿ción I,r,,, + ¡r, + {l _ /1, = O_

^ f,'**H lJ;i.'*-'i.;i;if;X[:;"i,'í],i':1;'; rJa"e*'^(b)L,¿\.: "ññcos ¡. (.) rd c

'¡ Si ¿ > 0, ¿ > O y ¡l¿. > ¿¡. denostnr qus

l l ._é.6.4,dldy=-4.!4@-Ú

Obtenei t/Jr d. ¡a r,¿sin{ 2¡6 d€l Ésu¡bdo (r) det p¡obleha 20.Liu8É1ftis: Ds¡óll* a'1',o { ft sÚi. de poL.trB y cámbÉs.¡ tjnn. úfñor de ra mr€sEt por _ 6.1

ObtcDtr .¡ mültado (.¡J) de l¿ págim 2S6,

1

Capítulo 14Series de Fourier

FUNCIONES PX.RIODICAS

,,- ,sed_¡eqkú¿fumión/$t t . ienepc¡ ib¿oToqueesp iódi .ade p?i¿¿o T si paatodo x, Aj I h=.¡l¡r. renoo / un¿ con,ranle posil¡va. Ft mjnih.r rato¡ de r > 0; am^ p*a¿r.a¡i" o'r,^pt*

E eor¡o 1: rá funció_n sn r liene pe¡iodos 2,,4¡,ót._... p¡€s1o q@ s¡ f¡ + 2¡), sn (; - &¡.se. (' + 6n), .. . son todos isühs a h r. perc 2,.s el ¿iim p",i"a",. í^, i i**)"

Ej.¡lp¡o 2: EI p€¡iodo de h a o de cos tu s,enoo r ú núoero narü¡at, es 2rl,.EiúDro 3. EI p€riodo de ts , es ,.f,ldplo 4: U@ onr¡nre tien€ .uatqlier 1üE¡u p6úvo @Do p€nodo.

Eh las Fisn¡¡s 14t(¿). (¿) y (c) s. ven olros ejmplos dc tu¡ciones perió¿ics.

r.¡ (ü) pr

rt rrl

SERIES DE FOIJ'RIf,R

Se¡ / l r r defnida s et in leNalo I ¿.¿f v fuéjru¡jngase que /,j, ,iene pe;;"d:; n ¿;;,; ):;';.:e

esre,Dreruaro por /l I + 2¿) = /rjr' er..¡'oünet o de¡a auo de Fout¡p¡ de ¡ r) se d€to F

i l ' i l , . - " ' Í a*"3 ' )- ' ' \do¡de los .oe¡ici.ntes de Foúiet a, y b, so¡

a" - i l na cos, l d,1. 1 rL n 0,r ,2. . . .I b" . L)_, Í@,en.td¡

Si /(r) tiene periodo 2¿, los co€ficjenbs ¿, y 4 se pueden determinar, asi¡niMo. po.

, "" . l rJ. , " ,na*"\ ,a,

) - " '|

' - ,+21, " _;J. r r . r*" i*a,ndo . ur núme.o real cuatqui¿m. En el caso especial ¿ = ¿. (J) p convjerre en (?).

298

ülr

¡

a

Il

CAP '4]

SER,Es Dh ¡OURIER

Para dete¡ñi¡ar ¿o o (.¡) se rriliza (?) o (J) con ¡=0. po¡ ejempr(). de

299

a. iJ . l ¡ t d r .obeérvese qúe er rermino @nsranre $ i / r es,pu, J oo =

, t rJ" ,nna".s*a et rnoúedio de f(t) en e¡ periodo.

- Si ¿ =,¡, la se.ie (./) y los coeficientes (2) y (J) son esp€tialmente sencillos. La funcióú en erc casu

CONDICIONES Df, DIRICHLET

{1) /(¡) está d€finida y es unifome excepio posibtsnente en uú ¡¡rne¡o finiio de punros de l_¿, ¿[.(2) /(Í) es perjódica fue¡a de l-¿,¿[ con p€.iodo 2¿_

13) lG) y I'lr) son casicoDtinuas en I ¿, ¿[.Enronces la se¡ie (1) con c@ficientes (?) o (J) corve¡8e hacia

(¿) "t(r) si x es ü¡ punto de continuidad

lár hác,a "/fx + o) + /1} 0J2

_ s, ¡ es punro de d¡ronrinuidad.

/(¡ + 0)y/(x - 0) son los limires a la derecha y a ra izquierda de /(¡) eú x y .ep¡esrtan lim /(¡ + É)r lqX* /k - 4, respectivamente. Pa¡a demosrración,veanse problemas 18-23.

Las,@ndicioms 0). e) y (3) inpuestas a /(¡) son r¡rc¡idr¿s, pero no neesarias, y 6 ta D.áctrc.¿s cumpren po.lo seneral. No se con@eb rodavia coñd,cio¡es ne;s¿rias y suficien,., í"," r"1",*._sencia de lar serie, de Fourier y e. inrereqnre que ts conrinu,dad de ¡ rr;rs ;o,";';;,I;;;;;';;_g!¡ar l¡ convergercia d€ ura se¡ie de Fourier

FUNCIONES IMPARIS Y PARES

_.---U¡a fwión /G) se dice inpar si f( x) : -li¡). Asi. rtr. ¡5 _ 3r3 + 2¡. rc¡ ¡. ts 3r son fun-

Una funció¡ l(r) se dice por si l x): fcl. Asi 14,2¡ó _4¡, + 5,cos,, ¿.+ ?-¡ son rún_

.- Las fi¡nciones rcp¡esenradas gnificamente en las Figs. l4-t(¿)y l4-1(¿) son iDpá. y paf, resp€c_tivamente, p€ro la de la Fig. l4-l(.) ro es par ü ,mpar.

, -En l¿ srne de Fourier para un¿ funcüjn impar $to pueden ap¿reer rémho( en *noi en Ia seneoe roüner pan una tuncrón par jolo puede haber rémrño\ en co\eno ry probabtemenre una conrdrncque se considera.á @l¡o témi¡o en cos.no)_

SfPÚ'S DE IOÜIIER EN SENOS O EN COSENOSCuando se desea rener u¡a seDe de senos o de cosenos. t¿ tunción a que coresponde cs¿i oor ro

eeneral definida en el i¡teralo 10, ¿[ (mitad del inrervaro ] _ ¿, ¿[, razon o¡ t i;"]; ü;"-;""

300

la *.ie ü óe tudio ittaaaro) v, siendo además impar o pari queoa c¡a¡ahdre deririda e¡ ra or.a miraddel inteúalo, I ¿,0[. En ese caso se tiene

¿¡-0. b, , = i )" tvt*. ' f a" patu una . ü. ¿, .ato ,M\

2r- Q)LJa fr¡) c$:l- d¿ paÁ utu :ü4 ¡1. ,ota .oseaos

IDf,NTIDAD DE PAtSf,yAL Es Ia

L Íl.,ta¡"* = ! * f,¡"2*a¡

¿'' = cosd + i seD r, ¿-,. = cos, _ isen dP.oblema 48. Cap. lr, página 251), ¡a s€¡ie d€ Fou¡ier

(5t

eo ¡a que ror ¿, ) 4 lon ros coehc¡entes de Fourie¡ para /r¡r. que se supoDe sar*fscen rar condioÉde Di¡rchlel

DER¡YACION E INTEGRACION DE SERIES DE FOURIERSe pleden jüsritic¿r m€dianre ¡os reoremas de las páginas 228 y 229 que valeú para toda s¡i€ ageneral. Pero hay que hace¡ nolar que esos reord

!r teor€ma sisuiente es esp€.iarmen* ru ** ,L","?,'jlÍl"t'nes suncientes v no son n@sa¡i¡-

l¿ *rie d. Fou¡ie¡ de /1¡) se puede integ¡a¡ témino a término de a a ¡, y la rcrie que .!s¡bcoDverge uni for¡neDénle hacia I l t ¡ td¡ s iemnrequeJtr¡*ac¿sconr¡nuaen _¿lxS ¿y¿r,esrén €n €l intervalo.

NOTACION COMPLEJA PARA SETTES DE TOURIER

M€dia¡te las iderridadg de Eule¡

co' ¡=v,ai (véast

^a)

= .)-c"eu*a

^ - ,LJ " l@e-n*Ld'

L¡ isuald¡d (7) supone que tas condiciones de Diúcfler se cumpten y además que /(r) es di_

cr

tl

en r. si /(r) es disconri'ua en ¡, el p¡imer miemb¡o de 121." r," a6 "".6¡u" oo. l("+ 0)

!k:!

PROBLEMAS DE CONTORNO

-..^ ^Los-prob¡€¡r¡6 de contorno burca¡ dereÍniDar s en dedvadas pdrt¡que cumpran cÉr1as condiciones pre$riras t¡amada

m¿i re pucden ,".or,., po, *"!, ," ';,;;;ñ;;r13'íííí'

¿' ao'¡¿¡¿¿ Ar8¡¡nos de Lares Fü.

FUNCIONES ORMGONALES

l0l

:,,J"j::ilili,i"Ti'1 l.f ,íil5iT.;T?';.i,1 ;* : j""1,i"í,jiJ,,¿í;";

r,,"i"$f:::;:'J1"i't":"¿i$::,:i:1".'i:11:3..11"ii::x*l;,1##::;],,"{i,,ij\.sto es, ün úectot de iaf¡nit$ ¡t¡hers¡on s) en oú;;;;:,*; il;í; j;;i:í"JiH, 1[T"::::,",i1n5:ff"::li [1,1ii ::f : i:::;;,j::A\r)B(r)d.x = 0

,, jt rT:H#:tff*¿T##i{'::"r';:.T^,il{Krili:ffi11'i:*iti:i;ii",T":;i. ir ;Í . ' ,oo,r 'o ' - ,

Í"' (e)

Por lo ¿nrerior €s claro que se puede consjder¿r un conjuntode funciones {d¡ft)), e _ 1,2.j,..

{¡¡)

112)

Y,enro¡es.@da elemñto del co¡junto es ofogonal a todos ios demás y esrá ¿sin¡mo normlizado.un @nJünlo senejante de funciones s. |amaú con¡ltfto oúaaortut.'Las ecu¿ciones (.i.ll y (1?) k pueden ¡esunir escribieodo

?o

)- ú'"1')4'Q) d¡ = 6-"

donde ¿.", la llamada /¿/r¿.t Krorecket, se d¿f,ne como 0 si n + sy como ! siú: n.

,,-1'l ::1".,: *.1..^' .n I dimensiones se puede expresar po. un co¡jünro de vectores u ra¡ios

ma I = ,,¡ r .r' r .,[. se puede con"iderar r¡nbrér Ia polbi¡idad de e\.prera¡ un¿ , lncron /hj por un,onrunro de iuncroner r f lonojñátf . , o.ea.

^,¡ = i , ""+^(,) a= t=b

t"'r-atr,alo' = o m*n

!, ' o^t>"0, =, m=\,2,8, . . .

110)

(r3)

\1r)Tales sries, qñ gúúal;an las de Fourte¡, son de gran inierés y utjtidad e¡ la teo¡ia y en las aplica_

302 SERIES DE FOURIER

Problem¡s ¡eqeltos

[cAP l¿

SERJES DE TOUruERl. Hacer el grafo d€ ld funciores

tat^r)- l : : - ' : : P*,odo= loi -ú

Í\' j

I

¡k. ra-t

Cono el Friodo d l0,l¡ parte del sralo e¡ 5 < x < 5 (indica<t¡ 6 t¡@ grusoil ¡a Fig t+:is d¡ierdc psiódi@múte fuer¡ dc 6t€ i¡I¿na¡o (.¡ t@ot. NóteÉ qüe/{¡) ro erá d¿ñ¡¡da ñ ¡ = (5, . 5, 10. -r0, 15, 15, ¿tc. Es16 !a¡o6.soa las dkuht¡ttuid¿¿a 4.llxl.

r¿) r{') = I!éi' oÉ"i" p*ro¿o= z,tu

Fit ¡

Ref€dñ ¿ la Fig 14.3. Nóles que /{r) .!ú d.ñnidá pan lodo } y qü. * @¡tiúü¿ d rodo É

[0 0=,<2(c) t(r) = {1 2=,<4 Pef iodó= 6

l0 4=r<6

¡i!.ra-a

. R.&rie a la FiB. 14-4. Nótee que /(r) stá de6nüa pa¡a rodo ¡ y que 6 dieontinüa n ¡ - jt

14 : t8. 110. 114, . . .

2. Demosrrar !1,""** = Í" . """Y0, = o s ik=1.2.2, . . . .

J.^Y*J,.*Y*

LL-

LL.

i. Demor¡a.(o) J_."*tf"*ry* = Í_"*rf""ry*ot Jl"*"r1t*"ryn, = o

oonde n y ¿ p¡eden tomar bdos los valores 1,2.3. . . .

' ' ' : " ' , ' , l 'T; l i """ cos ' ' r cos s: i {cos (A- sr+cos tA+ B)}. h.4 e¡ r=i{cós ( , -r)-

Lueso si ¿ + ¿, por e¡ prcbttu 2,

I

SERIES D€ FOUR¡FR 303

"..\ñ+p2j¿, = o

"""(-+l)¡gla, = o

I-,-.+-"ry* - ,f ( ,"."+!\d, L^r

' r r \ L /

J_.. i l -qyd¡ = i f , ( *"u;)* = "

k; 1*i)

ObséNese qle si, =, = O esras irlegraies $, isu¡s a 2¿ y q rcspe.tivúente.(r) se riene sn , @s 3 = j{sen (,{ - 3) + seni:;;:;;' li:j"" ;,":""'.:,;..;:'= " "

t,-ry-4:* = t,Í:,-,Tt* _ "^.

.t:flY:i:;:;,*"#f (¿r v (') so¡ vá¡idos au¡quc los rimires de intcsm.ión ¿, ¿ * canbier

{. si ra se¡ie á *,i (, """ ? * r. "" ?) ".,*"" *".-"-ente ¡¿cia/(¡) en j-¿, ¿t,

mos¡ra. que pa.a n = 1.2,3, . . .

at^=!f .no*"f fa, , o¡r" = ! J'.no"",ffa.a¡"=t .

I

t r ) = A+ "É(*_"T.r*T)n*

"* f " .eg,,"a" a" a , a. ,ui'énoo* 0", ,,nb,".o :r. ,. ,,"n"

J ,^") -"7! d. = A Í ,.*"!f *

. 2!.f"*'r-"rya. + t.J",

(r)

= qL si h,¿ O

^ = i f ,no*, tyrb s i m=r.2,8. .

IÍ

__.J

*"ryz"tY a, \\2)

104

s. (¿)

(¿) Mu¡tipliendo t) por ser?. ¡nr"eo,¿o ¿" _¿ a ¿ ¡til¡ado el probtcma 3, s rioe

f-,no*"ry* = t !-.",2y".

I .i{-I.*ry*+ *. uÍ.*,ry*.T"+= b-L

Asjque. o^ = l f_1"r*" f fd. , s im=r.2,8. . . . .(.) La idt.CEcióú dc (.¡l d. _¿ ¡ ¿, ap¡icando ct p¡obrm 2, da

f-.tr',* = "o" " e = fi!:,rcta

H&ie.do z = O co .t rcs¡ll¡do de t¡ pa.¡e (¿) É e@uenl.¿ que

* = if ' .naa- y teso a-a.Lc &tcriores Bultados t¿mbi¿n sd É¡ido. (ebia

f.gft i#gü$$#mi#,r{H#:"##ffi fr:},ffiH¡llar ¡os coencientes de Fou.ier p¡ra la füDciótr

iro = i3

-31ílf per,odo=,o

;:ii'ii*ítr{i}=it.'ii::f'i'lTl"; = 0, ' = 5 pa.a que ,a serie de F.u.ie¡ o¡-El 8.afo d€ /(¡) s v€ en ta Fisum 145.

I@l

f.,¡& r¡.,k) Pdiorlo = 2¿ = lOy¿= 5. Tónee et interhlo ¿ a ¿ + 2a"o.oO._r,r,"o,aOu". _ _5. E¡¡6q

^ = iJ rr , r -" tF ¿, = 1f '= ;1J, ,0*3d, , ! . ' "* t ; t* | 3f ,"_+,,=;(-¡*")1,=o si¿*o

iJ"'*si¡=0, c=_=*J'*ya,=

ca? t4l305

t = t, t.""' l"t *"ff a,= *{f". ,""g*.= ;c**Tx =

t¡ cotrespondienrc serie de Fourie¡ es

++:G.-"++¿.*"¡ : : )" L/

= i t " , ta*"y*l"'ot".\z*j - *f'*g*3{1 - 6r r?)

i 30 - cqat s.lgs

a¡r.l¡-aP¿tlodo=2L=2, y ¿=", Et iBic¡do r =osel , . re

^ = i l r@co.+!d, L ( ' ,_" , ,a,

L " .k

-

= !{r,,)f:$sr_ rr,,f -_!e!r¿ \ , "/:q-\1.-" t \ , . / - - ' \ n ' / ' ' \ - ; . / l l "s,n=0. & = ! f ' " ¡¿, = !d

3

D. = LJ, l^*n;d, 'J , , ,*r*¿,

{¿) cono/(}) Ét¡¡ace ¡as .ondi.iones d€ Diricbt¿ilo de conr¡hüid¿d y a t(¡ + 0)

I l(t - o) en ¡r

e p¡€d' deon que ¡¡ eie @nwr8' h&iál(t) en lodo pun_

¿ , Inro\ dedi \únLúuid,d. En x _ _j .Orr .qrcsonpun¡osoe o6co¡rhurd¡d. ra erie c@wree hacj¿ r.] + o)/2 = 3,¿, coño se w a c¡ s¡aro. si F defne/(r) Ducvs-Dñe/.ono sc!e,

I 2t2 ¡ : _5| 0 .5<¡. o

IlJ) I tt2 , :o penodñ= r0I 3 0<,<5| 3/2 a=s

¡¿ ene conk¡ae dbn6 hacia /{¡) pan _s S, = 5.

. . 3f ipX"r,r=n,o<¡<2'enser ie.reFoü¡ iers i (¿)etpenodoes2r,(ó)etpe¡ iodo¡ose(¿) El gnfo de /(r) coo p.riodo 2, se ve en Ia rlgura t4{.

= :{,"(;f) oo(-y). r,r(wr, ;1¡"Lueso r(¿) = '=

S*" i (" .*--** . ,

=:&

l0ó

Esto es !álido paia lJ < r < 2tr. E¡ r = 0 y r = 2r la e¡ie .onve,se hacia 2¡r.(¡) Si ¿l pe¡iodo no erá esp*ificado. ¡a *¡ie de Foürie¡ ro está deteni.ada u.iv@m.¡re .¡ eEneú¡.

7. ( on lo\ resul,¡do, ¡ ier p,obrema ó demor¡¿r que i , _ ) . l ,

_ _ ;

E¡ j = 0 la se¡ie de Foünq da r-ur"., r " -a,* " f +,j 1.

SeBú¡ las condiciones dc Dnichlel la F¡ie converee en r = o hacia lto + 4r1) _ 2r1

r,". 'J: - .>. ,1" *, , .,*" "¿ j, ;

IUNCIONES IMPARES Y PARES. SERIES DE FOURIER EN SENOS O EN COSENOS8. Clasincar las funciones siguieútes e¡ clanro a la pa.,da.r:

, " , , , - , - t 2 o<¡<32 _3. ¡ .0 re[odo 6

Fn la f ,g 14. .e re que/¡ , r , _,r^ de módo oue ta.rñ.ron e. ,npc!.

tcG¡ 0<¡<"] o

'<¡<2. P(r iodo= 2-

Eo la F&. l4-8 sc ve que ¡a tu¡ción ¡o es par ni ,npar

(¿)

k)Fig, it_3

. ¡ t r) = ¡(10 ¡) , 0<r<10, periodo= 10.Eú la Fig. t49 se ve que I¡ función es pa¡.

307

9. Mostrar que una fu¡ción p¡. no pu€d€ tener rér¡njDos en s€no en su desarrollo de Fourie..

No h¿y 1émi¡6 en sro sj 4 = 0, ¿ - r, 2, 1,... Pam ier 6to €s¿¡ibase

1|úb" - L J ,r,n *r"t tu t J ,^n ""'T d, ;, J" n,,*"'i ' ,t, {')Si e hae l¡ traGfomión

' = -! €r l¡ prime¡a inlegrat del ssündó ni€nb.o d. l/) s obtiene

i¡..n,*";.* iJ" n ,, *(- ';r)- = it"" r, ,*"7," ,2)= i!.' n^^"7"", _ _i!", r,,,"^"y a,

do¡de s iá ápli@do qüe pao u¡a furció¡ parl(-lj = Í¡) y en .! t¡hino páso que !, l¡ vai¡bte muda .le¡.teerrció¡, f€ puedc canhia !ú¡ @alqüierá otra, @no !. Asi, de (l), emptoa¡do f2), s de@

n. -il"' r*,*t;,a, _ 1"t"' r,,t*.f* _ o/

M¿rodo2: sJp¡ jnea\e f i ¡ ) ? ¿(*-"T' ' r*" ; !

En'on*, / ( - r , = ?-áQ.*T-, . . . "?)si /irls par..fi f) = /1\r. De dondc

y no hay Éni¡o! .n sno.De lffiúá erejan€ s püede ñolrr¿r que üm fu@i@ inp¡r no tim téúino! ñ €oso (o rémino có.s,

tant ) d su d€sollo de Foü.id,

? *. i G-"3.,"."3) = ?. " i ( .*"-áu*Y - o, osa. r( , ) = t .2^*7

r0. s i ^yr

<\ Dar, mosrrar qúe r¿r d" = ? (" , ' ' * , ,L. tn I \ ¡ t cos L ot

(a) q = l f ' l r : )$Tl¡d¡ - Jr ' .' "J

, - " ' L - ' LJ ' r t4coz

L o¿

Háciendo , = -r,

! l"^4c@!!rdr = I. f"¡-,) -"/=':*),, -\ ! _/

pues pordcd¡ición de aünción pór.n ,)=/{,). Luceo

^ i f no"-ryia" - | l 'n..*. t1'a' =r¿l E$o se obliene por.l Matodo

' det P.obtem¡ a.

(ó) b" = 0.

+ I l"' na *'ff a"

! l 'nq*'Y:.o"

z( '

rr. DesaÜolla¡ /(x) = rcn r. 0 < ,r < u, e¡ !€ri€ de Fourier de cosenos.

U¡a súie de Foürier que mlo te¡8a cose¡os diste solammE para füncio¡es paB_ Por tanto. hay qle p.o-lonsar l¿ deñnició¡ d. /fr) d. no<to que so p¿r {porción d¿ lrazos de l¡ Fis. 14-t0). Cón esra plolonsrciór,/ l t )ed€frn.nto¡@se¡únint€Nalodelonglud2r.Tomandoel¡er iodocónó2zsl iene2L-2r,c.r tó

IL

308

Fta.ll.10

Por€¡ Probtcha tO.4 = (] y

. . = ?f 'x" ,*" t=n, = ?("*^-^.LJd "L- ' - - ) . r ' r rc" tudr

= * J' u** * '", + *¡ (r zr)) dr

= *-+grt-*,':-+.r]

P^'¿n=l , ^=?Í,"*"* ,"* =:* ] : =

P!r¿n- ' . ^=i1,"* ,"" =i"-"r | , = i

Luelo

^,

= : -

=:- l#*.H*i :** )

12. Desa¡¡ollar J.(r) = r. 0 < ¡ < 2, e¡ serie (¿] de senos. (ó) de cosnos.

^ I:i##:':"Itr"¿^;,:,; F"*:::;:',:'l'j:1' 4 quc se ve eú '¡a

Fis ,4'11 Es,a es ,a ,¡¿e-

¡i& ¡¿-llAsque./r = 0y - \

o. = lJ" ' i la""f fa" = 2f"",*T*= {,(#*+)- ",(#-"-*.}f =Lueso r") =

"¿#-"**"?

!

t3,

= j (""r - ;*+. á*? - )

(b)

309

;,":ryt ,l,",H::lR: j¡ tuújn ps' d. pdiodo 4 qrc e vc €n rá Fis. r42. E3ra 6 rs ¿¡¿lo,s@¡i,¡

i !"" ao*"ry * = ? f"' ".*"f*{,(*.*ry) - ,(,'=*ry}|",1/at"*,. - tt si n*o

/ s; "=o, ^ = f'"a" = z.

' Lucgo r(,) = 1 + "i. $r.**

_ ,t -.g

=,_ j ("* f -" t ,_.3+r, _t"*u: :* . . )f \ z 5 ' - -2 J

.se¡ le¡vs¡áqüerarurci@d¡dal(x) :¿o<;<2qued¿k@/@,r¿r€p¡cEnr¡daDo¡lasdos*ri6 difüqks .a \a) r ñ lbl

IDENTIDAD Df, PARSEVAL

13. Supo¡i€ndo que h s¡ie de Foxri€. de /(r) convers€ unifome¡neDr€ h¡cia /(x) en I _ ¿, ¿[, de¡nos_trar Ia identid¿d dé Pareva¡

! ll"'¡a¡"0'suponieDdo que la integra¡ *iste.

s, /(¡, ? . .?(. -"Y . ,, *"-j),.*"..". nü¡,ipr@ndo por Í r) e ,n¡ce,¿ndo ú-

mno ¡ rémino de -¿ a ¿ {cosa lesitiña, p!6la s.rie 6 u¡ifomd€,r. @nErg61e) s obliene

t".vatt,o" = f !'_.aa* *.S,{^l"rr,r"*E* *,"¡'"xa*,ry*}.r t ' l + z.! t"i+o)

hábiéúdo* ülilizado los Nlrados

!!,n "*ry"" = r."". !'.na*,ffa" = 'u.. !'.tL.t* =

"^otenrdor a p¡'|n dc tos ñeñcientes d. Founer.

El Esultado.Fdido se deduce dividie¡do aEbos Dieñbros de (r) por ¿. tá idórlid.d de paevál 6 válidacon htros ÉsIn@¡oNs qüe la aquí iDpü¿sr¿s,

dI= t+ >(4 + b:)

(¡)

t10

t4, {¿) Escribi. l¿ id€nridad de peseval que co¡responde ¡ ta srie de Fourier del probtena l2(ó!(ó) Determina. a parir de (¿) ra suma,r de la wi" |+$+o1+ .***. .(a) Aqni L = 2, aa = 2, a,:3,-, t"* ," tt,, + u, r": u

Erlonces la identidad de parev¿t e conviere ro

! f - ,uor"o" = i ! , ,* = g + iSr"**-rr. f = z+$(.1+]+, i .

) , .* f +g+or+.. . =9.o) s = i+rr+*+ = ( , . !*$*$*.) . ( ; . i_; ,_ )

= (i*i*"1* ) + ,1'(+++.'+.' )= #* *q, a.ao"a" s=u{

Demost¡ar que para rodo ente¡o posirivo M,

f *irerr:r = !f".ua¡"a,:::lÍ:f J,'l li.T[l*'tes de Fox¡ier cor€spondients a /(r) v suponiendo que /(¡) es €F

se¡ ',a,

= ?. "á (*-"T - "*"ry) ir,

Pamstl: 1,2,3, . . . ésl¡ es I¿ su6ióú de sMas paEi¡les de la s.ie de Foüri€. dc /(¡).

J_, $t") - s"(.)t, dr z opuero quc el inregnndo no €s neg¿tivo. Desr¡o¡t¡ftto ésre,

, l ' , ra s"eto ' - J," :u,r- =

",o]lültioüoodo -Oo. -i..bros

de (1) por 2l¡) e i¡lesn¡¿o ¿c ¿ ¡ ¿, or¡r¡ao¿o l* *uliloo*

15.

. f " , " ;o,* = , {** "Sr. ;*u:r} s i

iT#:á'Jii ji* flj"l'l';;j.¡;,j,ru,,,J,jn"',::::1ado q@ e busaba

t' * ,i r,, r ,,r = ! !,'. ut"r.a" F,*';,:1.':'J":,s,;ffjiiÍJ;T,,il.:j1i,.1..",1va''p¡ob¡ema il,

l,' r;'l itrullk. ru.:#*.r,i"."ri::r;.;i,Í;:l.lliffi ",.lilii;:l{#Htsros rBultrdos 5e rerdionah co¡ t¿ Áe¿ de Dtentu¿

*-f ,*rffir¡;-;..5ff "h"iff *i:r#i,#t*ft :if "s;;tr#

Asinis@o, .levando l¡) al cuadndo e i¡leEmnrlo de ¿ a ¿. ¿hpt€rdo et probtda 3, se rjen€

" t""n' ts"r . to" = ,r{ t ' * 5",nur}

111DERIYACION E INTEGRÁCION DE SERIES DE FOURTERló. (¿) Hat la¡unaser iedeFoune¡par¿/( , )=r, ,0<x<2, integEúdolap¡ iedelp¡obrelnat2(¿r.

(ó) valene de (¿) para c¿torar ra se.te i Lq_.r¿, Po¡ et Prabtema tz{,),

11)Inlegnndo aDb6 mimb¡q <te O ¿ r (áptjanrto el t¿oEha d¿ Ia págim 3m) y nulriplicando por 2

, = c_5(:*f,_+*,"+.+"*+_ ) (,)a. 'u. c - ' ! ( - r , , - ,1, j , )

''' ;":,'11:i#rí*J."a n"* rót€se qú P) repr€senra Ia erie de Fourid eh @qos para r cr

/ " = T = ! | " ru¡*.. ,*r/*, n,. ' . , . . .

- ; , : , ." .3 1::rl

17. Mostmr que no es vílid¿ ta de¡jvacjón témino a término de la serie del p¡oblema r2(a).r¿ deri%ción É@i¡o a !qñi* a z(*! _.*! +*? _

)Cobo el !émino ,_ésimo rte .ra seri. no rieftl€ a 0, t¿ *rie .o es @úwrgñle pa¡¿ ¡insÍn ¡_

CONYERGENCTA Itf, SEnIES DE FOURIERtE Demosrrar rar I !cosr I cos2t | . . . r cos¡1¿ sen(¡t ' i l t

2 sen +¿,0, I f "* ! tq+i, 1. r f ,* lq j_úui, , /t¿d z*nl t z. , r t Z,en| t " ,

(a) se tiae m ,r eh ;¡ =;{sd l, + +), *o (,_;)/iHaciendo Ia süna de, = I a n:r,

sni¡{@s¡ + cd2¡ + .+ cs¡r '4 = Genr, _ shi , + (s¡r , _ en}4

=n",. ' .*, ]-* ir i i 'M +' - ea(M - ' ' )

Djvidi€ndo por M 1¡ y sünando + * d€¡e .r Buua<ro dicho.(ó) I¡tée¡* et Esuttado er (¿) rt€ _, a O y de 0didos v¿ que 16 inrccráres de

-", ú.;;fu'"n1',*"htq

con ro qw * d€@ Ios resrtart* pe-

u. r..*o- q* rlm J" ftr) ennx dÍ = 1y2 J-, tt l "**,

a¡ = 0 si /F) €s casicon_tinu¡.

,_ Fno F_ded(e^de im€dúro det probj@ t5. pu6 n ¡d

Esta ig!¡ldad süete l¿@rue red¿ha d¿ RiM.

= i f ' "* = I

_1- r '

Fde;+,¿ (¿t + ü) és coúwrg¿¡re,

312 SERIES DE FOURIER

Demo\rrdr que I¡m I l{rl *n {,ry | l,rd.¡ = 0 si t(¡) er ca\iconrinua.2r0.

sa,r - j/ n,+,rffifl a, + 1J"ro+ari!fr|arMultip¡úando las inkgr¿lcs dc¡ problema tst¡)lDr /ix _ o)y/lr + 0) espediv¿rcire

ret%@ = il"a"-oifiga, + rJ" rr,+orrp."*,' a,Rstando (2)de (/t s obti€n .¡ Buludo,.dido.

.*J'(l{!-1gg:n)*"r"*n.

I

Í' ,^.) *n\M + tt. ¿¿ = !_-rr, *' 1, *"*' a" + !"¡n"t cos ¡"t *"a, a,

Entonces üriliundo.l ¡esültado dcl Probleña 19, @¡ /(¡) Enpluda porÍ'J s¿n il y/(¡l.os 1¡ rse.civ¿menle, que s¡ casicon¡iñus, si lo 6 /(¡) É dene la dmostnció¡.

Tañbié¡ se habria podido d€most¿r 6to @n liniles de i.tcs@ió¡ ¿ y ¿ .n @ de Is -r y r.

21. Suponiendo que ¿ = r, es decir, que la s€rie de Fourier de /(¡) ticne p€riodo 2L = 2n, de.É

"i t 5a"*"", + ó.sen',) = t; t_, nr*offiffo,Aplica¡do las lómul¡s {¡€ los ccnciertec d€ Fou¡ier or ¿ = r $ tje¡e

¿. c*'f, + ü. sen z, = () Í' " ̂ ", ""."",1 """- . (il_r, ","" ""¡ -"*= :f l^,(**-.* + *"-*",)d,= 1; J" 1at "*,r"

_ ,t o.

t = *Í_.n *sa,l, = ? +

"5 r""ce¡¿ + ¡.*¡"¿

= * !_,¡i",^ t 15,!",aa.*a. aa,= '. (' n-{i ' i "*^,-o}*= lJ'r*r--u{fi" a,

po¡ .l Probl.na 18. gaciñdo , - r: r * tjoe

.ún rM +¡trsr{ ' , ]J. . / / , 4:#,} , -sd¡

Cono el int€s¡ando lie¡e periodo 2¡ F pü.d. sürnüir el i¡tcNato r ',

¡ - ¡ por cudqui¿r oED ;t oalo de lonsitud 2¡. mño et ¡, u. Asi * obriene e¡ Gutlado p€dido_

s"{-) - l¿qiSqJq-0r\ - r r'l¡r '¡ ¡-¡¡'-nr\7 "J-" \ f f )*n\M+t) tdt

3. si lr) y /'{¡) son

SERIES DE FOUR¡ER

caiconüDüas en l-2,¡[, demos.'ar qu€

313

;'¡:s"(,) = 4t%-l{l:9Ld tutuún r / r¿rrn¡r l0r 6 ceonl inua en 0. r s ¡ pu.sro que ¡r , ec caiconu¡u.

Ad".ás,ü- ¿1113I:AslE = ,ün t(¿ +,) : lk + 0) . , .fo; - ü- tr+,):f"+o)

pü6, por biÉt$h, / (r) es casi@rrinua de nodo que existe ta d€rimda á ¡a d€r.cna de /(I) ñ todo,.

jg! s.(¡) = @%l::-lr

PROBLEMAS DE CONTORNO

24. Halla¡ uD¿ solución U{,, r) d.l problena de con¡orno

dU .A,U t> 0,0 <c <2

ul | . t t = o, u\z, t )=0 ¿>0O<r<2

Un mélodo .Itre e €mpl€ e¡ le pitctie es supors la ex¡t€rcja de nm sotnciór de la ecuaci& ft ddiva_das parciarq que tiene la rotus pa¡riota. v(r,4 - r(¡) r(tr sierdo r(r) y r(r) fü¡ciones {¡e r y r, respsri-vm@te, que s lrata¡ de deremina¡. Por esla rázó¡, elhétodo suete lrmase m¿rodo de s¿p.rución d. M abt¿s.

Sustitu,€¡do en la eoació¡ dife¡enc¡l,

t1) i txf\ = 3 "/txr) o ,t ' x "; - 3r f f i€scribien<lo ¡. y f ú vez de XlxJ y T().

La *ución (?) e Püede esibn conó

3r¡; = tdd

CoDoünñienbrod€pendeslode¡yelot¡oslode¿yconoly¡sonvan¡bLsind€p€ndie¡res,esclaroqle cada úienbro ha d€ sr co¡stante.

En el P¡o61eb¡ 47 É ve que si . = 0 .o pnede qtsti¡ sotüción que @npla las @ndiciones de conlomo d¡da.sxpóneas, pü8, que . es üna cóBranle rcaativa que e *ribi.á -¡.?. E¡lo¡es lor (jl s obtie¡er dos

{üadon6 difemci¡les orditrias

It sr.r o. :i r I,x _ ocurts solnciones sI' rcsperivanente,

r - C,¿- l r \ , X = 14¡cosr, + A,snxr

Um soluciór la da €l prodüclo de ,r y T que se pucde erjbi¡

u(',¿) = o-o1(a '*r' + ¿ *nr')siúdolytconstanr¡s.

(r)

(4)

3t4

Se trala r¡orá de deteminar,4 y , de ñodo que (ó) cuDpta las @ndicjorcs d. 6n!o,no dad¡s. paF *tisrae¡ Ia co¡diciór tlo. ¡r - 0 debe t nerse

de nodo qü€ {ó) * welveü(" = a¿ *1 se¡ ¡'

Pam cuñp¡n la condicjón U(2,, - 0 s ha de tenú

a¿_d¡¡ En2r - u

Cono , - 0 anula idoricaneDte la stución (81 s ¿via tal €toión y s. loma er qnbio

sn2l = 0, ose¿.21=r¡ , ó@n u = 0, 1t , 12, .

Sustihyeodo ch (t) se liñe qué una so¡ució¡ que stistace ¡as.tos prinens coúdicions de cohrom q

Ab' - B-'hhq! en !!'! gn

do¡d. s ba Mpl¿zdo , po¡ a!. indi@ndo qrc s¿ pueden usa¡ co.sta¡tes difemiB psra vatoes .tisri¡tos (LrSj* tEl¿ ahon d. cunpft lá rtlrin¿ co.dición de conroño V(r,0) _ ¡,0 < , < 2, * ve qüe 6 iprr*

on (tr). Pero e¡ üsta de quc n ¿r de solucio¡es de ta ro@a (./.¡) ra-tie. *. *ru"io.* 1¡o. !r I"r"Jo[.ipio de tuperposi.ión), * Itega a I¡ posibte sotüción

v6,¿ = )e^¡_+".* , ry c+por rá @ndición u(',o):", o ., . r, ;; at ba@r , - o que (/.?) e onvierte en

/ - ->,8.{n"Ji

o<¡<2 gr

Pere.sro €quiv¡lc a1 probtcna de dsrot¡¡¡ t¿ tu@ióú /(r) = ¡ !áF O < r < 2.n se¡ie de e¡os. l¡ t¿ción e da.n et Prcbtema r2(¿), d€ la que 6ülta que ,. -

1@s m, <re nodo que (r?) s onvisE¡

ur".o = -!,C*3-"-) "**. *rf

9ú. es unt tutu.i¿n Ionot pam omprobar qu. tra)si es ü@ stu€ió¡ hay que m6tú¡ qü¿ etisf@ !a @_m o€¡rm6 p¿¡.,¿ jB y rú cmdiciones de contomo_ La prucba c@sisle €n jBtifrca¡ t¡ deriEciór t¿dF.témi& y er.r eDF¡eo de pr@ss de rñne dc $ries y se püea. *ri-. poi _er.ao, oa c"otrui.ii. '

Et prcbleña d..o.1oño aqui consider¿do liene una i;lerpret*¡¿, ",i

¡" ,*¡" ¿" l" tl,i"*J¿n ¿¿ *

sobÉ el eje \.nke \ - O y t - ¿ si t¿ \lperññe det dmbre 6uá ast¡da de m{do quqet stor no pued¡_niepú. Uk. ¡re! la kmpeÉtur. en un punlo r d. L hriua.d.t rjeDpo, r" L"*_" ¡ _ x/,, E

r M¡or c\pp.t ra y p ., t^ dnidod det mFndl @nd u.tor, e trdm ¿;éAus cono'oones d€ onbño U¡0, ¡) _ 0 y U(¿.,, _ 0 indsn qu€ ¡as renper¿tu¡s de ds e¡hn6 de hGruB s nannnú á ere uDdades par¿ ¡odo Impo ¡ > 0.4 E¡ro que uu,0rrndie L remp€mllE idEclarq¡¡ú puro r de h v¡rila. E¡ er€ problm la tonsnud d. ta variüa 6 ¿ = 2 u¡jd¡d.s; l" ¿i"d"il;

FUNCTONIS ORTOGONAIES

25. (¿) Most.ar que el conjunro d€ funciones

I, *T. "*+, ""T, "*+, *?, *Y,orlosona¡ en el imena¡o l-¿, 4.

315g',"?T?':i',l};r:fli:.*""i:irl1l'l *."*"dd¡entes a,conju¡to de (¿) de '"a'€.ra que ei conjunro

"" *.__,r ;'r ¿. ii.

(¿) Esro e dedüce inDediatamcnle de tos ¡esuhados d. tos probtemas 2 y 3.(r) Por el ftobtema 3,

f*'f'*t h* "*'t*"f ' ,i¡*+' . .PROBLf,MAS YARIOS26. Hal lar una se¡ ie de Fou¡ ier pa¡a / ( r ) = cos a¡, _25 xS z,donded+ 0. 1r . t2, : t3. . .

Tooando coDo pe.iodo 2¡ de ñanen qúe 2L = 2a. L _ t, cooo Ia fü¡ción €s pa¡, 4 = 0 y

^ = l!"'tt"t-"*n" = ?J". "*"""""""""=

i/" r"*i"- "r" * cosG+,),)d,

¿, = ?-:!L-

1 ¡*T* = '. !,"-.'í: *

@¡.¡ = :!-!: + Ssjlg < -"-

= -;*( :- .5*" + f , .""*2" - '_os**

Demos*arque ."', = "(-",nX,_ÉrX,_ó)sea ¡ = r o l¿ srje d¿ Fourier obbnida en et p¡obteDa . EútohB,

= +*(: * ot:¡ + 74¡ * o5 * .).coi ." - ¡ = -2., a,j,, - ?-, ,

",+ -rúIeRot ¡€!!¡l¡do que epEebla ü. deero¡to d. ¡¡ @Bn8.n|e d fraeion s pe.iaLs.

+)

27.

tt)

3t6tcaP. r.

" l?'"1:."1. Y oj we¡sk¡*. r¿ *¡ie der sesundo mEmbro de r¡, convers. unirorm.mtuk Faos,dr: k l < I v el Diñer miembro d. r / r t iende¿erocond , o. ,oro f Le ¿phcanoo ta ÉBla de t :$,prlar. Je prd.n, pd6. rnreerdr úbo. niembr6 de ,/, enú.0 ) r pdrd óbreñel

J" (- "- ),. I"'"*,'. ' J"'",'o".n.. r"i 'ggg) l' ," ¿ i'\

. , , / r _\

r ! ' ( ' ; )

Dem6ró,qre ;

=

sea j = 12 en ta €cnación (2) <tel p¡oblema 27. Eútonces,

2 -

( , , , . . r , . ! r . / r .q, , . .q,1.r \"

- \ ' F ' F" ' e) \z.r) \ ,a.a) t j .6)Tonando los inve6os de dbos njenbros e obrtene el re$l1ado peli.to, qu. es el U¿mdo ?¡¿.tu r¿ 4

C¡Dbiardo ¡ por tr se d€nc

/ - 'sn" = " l r -a\ / ' ¡ r \- f r,/t (r_),r rú

qv es Dn yadycto inlin¡to toto r€¿ ¡, yálido pe¿ todo ¡, @r¡o pueqe aeño$.a6ej es ün resültado de iúi¡,pu€s dpr* q ¡ e¡ fo¡na racbriada anátoganen& a cono s tacto.ia u¡ poli.onio,

- - r t - I

sr. (¿) +.: r-!$n?r¡+Demor¡r¡ qtrc 0=¡= / ,

.t¿d6 de las funciones paB e impares eando wn aphcables.

(.) r.) = l-; ::;:i p",,.,j,,1

\c) ^.)

= 4. ,0<¡<10, Pcnodo t0

s.r. 1"¡ f "j a-srd

",, rr

r.r m 19 i !,",, *

o, ' ra

= l l

-á: ; : : P. , ' .d.s

rü ^¿

= Il" -!l'il n..r.a"oo) , - - ! " : . t r -Tlr¿-"T

3,, Pra cada pafe det problena 29, decn dónde er;n hs disonlinuidades de/(;l y cüál es el vator haciá el oarconve¡se cada serie en cras disontinüidades.

. \ó1. (d) '=o, !2, ! \_. . i o (ü) no hry d^con¡nurd¡des

{.) ¡ = 0,*10,+20,. . . i 20 (d) ¡ = r3, i9,116,. , , . 3

l ¡ . De,JrorrJr t r ¡ r = i2_¡ a<!-a "^." ,l r -6 4¿r s cr c¡cd( l - ur 'e

' l D.nroó

-, l i 1""'; . l-"=, , -"';. - ]32, (¿) Desarona¡ /(¡) = cos r, 0 < r < r e¡ senc de Fnós de Fou¡je¡.

{ól ¿cóoo deb€ defrnie/(}l m ¡ - 0 y r: r pa¡¡ qüe ta s¡ie @nve¡a ha.ial(j)para O S; S,?-,

.3 ¿ I rn2,r"" F)

"¿, 4;r_ I rár r(0) = /tn) = 0

3L (¿) Desarot¡a¡ en *¡ie de Fourier /1r) = cos ;. o <e-ur*". r:, *pri*,a. L,-;";;:,;;;;;il '"J""'",]#l:do es f ' v o) soeaar con er ¡esurrado delque m et Próblema r2

¡o. o. , , - ,u, . ¡r , , = . Í I o. '< 4 ." , , ,ls-r a / 3 ' r ' " \1 i 'J

36. Mediante el probtena anteriór norrar que

, - ,+L , . . €r- j ) " ' , '- Í , ¡ c " Í ; r

,; ¿ l.-:+ ' .*:1. - c"f,ir *';:l

c, r_! :(

/o. , , msrr .ALj¡ \6 \ r '

r

"

+ 3 +

,3r \nJ .en3r {nJ. \; \ l -+ 3-* 5-* )

, r+ $- $- | +,1 +fr-

€ ( 1r" ,"- , a ' , 1r = 3,

' = 3l \ñ

3t8

DERTVAC¡ON E I]\'TECRÁCION DE SDRTIS DE T.'OUR,EI33. (,) Morrar qus para ¿ < r < ¡,

, = , (" i=_+r. tp_ )

iál rnreg¡ando el ftsültado de (z) F riene pará , : r ! n,

, = g_,(+_$p.=+_ )

k) Intesr¡ndo et resutrado d" i¿l * u"n" pu,u _n:, s o,

r( , -¡ , ( ,+r) = "(y

up.{#_ )

39. (¿l Mostra¡ que p¿¡¡ -, < j < tr,

1*," * r(fr ,- . -u|*"s, + _** _ )(á) Uitiar l¿) pa¡a mosh¡ que p6ra -, = ::,.

, ,¿, , = 1_ *"*" _,(S?_+*. :+_ ).10. De¡ivando el .esutrado dct prob¡ena 35(ól d.mcrrdr que pan o :: r S ¡,

" = ;-:(ry- '*.=ts* )IDFJNTIDA¡I DE PA¡SEVAT

¡¡. Con €l P¡obtcoa 35 y ¡a idenlidad de pa$ela¡ ñosr.ar qüe

, ¡2. Morr¡raue ¡!* l r* Fh+.. . = s: :Q. [sus.: Apt icar er p,obrúa l . ]

€. Mor,a¡que r,r,5 ¿;!¡ = fii, or "! ¡¡;¡

= ¡_¿¡H Mo!¡rr quc

¡.i-¡ . ,-.."1-¡ * ¡-+-.- * = l3;jg

PROELEMAS DE CONTORNO

ls. t.t ^

n*"t*, f; = z S co¡ tas coodicioncs u(0, 4 = 0, .(a. d : 0, u(j, o) = 3 e. ú _ 2 s¡ jn, ¿r_de0<r<4,r>0.(órl D"' -".Pi'ib1:"1:::ii:'i::il;':i"9.";1'*"' *'.,""'u'

a6 n*"r*'$ = ff -" r$ condicions u(0, t = o, u(6, ¿ = o,

e InGrp¡ela¡ ffrcane¡te.

r,/ urr.r) = jzf ' -",-¿q1. -,.,nt"*3

47. Mosrar que si cá¡ja hieob¡o de la ecuación /r ^¡_^"

1!r -- .;,"ü;1i',,HHIffH,:: ra sulció¡ (r), Ésim 13, es uha omlanle ¿ sn . : 0, úo hay so¡ücnj¡ qE

k) .á;i = # o) ._>.+ = #

¿8.:r" : : -c_u:1! : l * l9ederúei ludfs!árenpradañmñokedrerospunros¡=oy¡:rdereFrcoosuseÁ-renos ¡jos en esós Duntos. puera en vibÉció¡ trsnseba Je poa 4ptlud, et despl¿am"."

.yt,. , r ¡"1

"," .

e l un ornlo " r e l in ia l re / e,D dsdo ód ' ' I - " , , t r -^" ,

t a.r_ t?nnón. t ) . mupor¡,d"dde lonC'rud{¿) Hallar @ $iución de sla eu,ción (llanáda ¿&¡¿, i1¿ ld ¿¡¿) con ¿, = 4 que slstasa lás co.dE,ones. I r0.1l :9

y¡1^ .0. r r . or . o-r rn , , u.or .en 4, l i r ¡ 0r _0p¿ra0t, . " . i .0.

- . .,¡' Inr^'¡rr¡c, I'nkmen'. l¿. condrcione. de -oñ,ó,no n ,¿r J t, .otucón.s,¿ (¿) n*,0 = 0.t eo ¡ cos 2¡ + 0,Ol sen 4, cos 8¡

¡e. f¿) Resolvcr el p¡obt€na de co¡rómo S = s $

-" r",

"*a.r"nes ,(0, 4 = o, y(2, 4 = o, y(I, o)

0,05r{2 - r), y¡(x, 0) = O, donde (] < r < 2, ¡ > O. (¡l Inte¡p¡erar fisicaoente.

s¿¡ (dt vtr,o = 5"i a5",e;Ucos3(2,-4

5,. R6dkr er piobrema de odono 1! = +, u\,r) = r, a\",r.) = 3, vl",o) = z.lsüge¡encia : HáEasc ¿,1r, ¡) :

'/l¡, ,) + ¡(¡) y erias f(r) de nodo que F ínpli6quen la euacióh dire¡encialy l¿s co.dicioncs de contoño para y{¡.4.1

s¡ u(, ,ü = r+]+ j {" , "#",* ,*" ."

D¡¡ u¡a inrerp¡et¡ció¡ ffsica a¡ p¡ob¡ena 50.

Rc.or. ' e l Problrma 40..n ta. úndtrrone, de úoroho par¿ yrr .0¡ \ y,rr , | ) r in,erumbiada.esdair .Lonr ' .0) - 0. y¡r¡ .0, 0,05\ ' ¡ - . r . J a¿, un¡ .n.erpre.a.on ¡ , .¿

s¡ v, . , 12{1 .¿,2 r :*"-

-

'er ._2

Cooprobar que et Ptobtem de conlomo 24 iiene. efecdvme¡re. ta solución Ul\ páeina 3t4.

l l9

PROEI,EMAS VA¡IOS

L Si - '<¿<, I ¿*0,11,:2, . . . , denosrr¿, quÉ

s." - ?11-& -Zs

= 1, . "

_ , , r +

55. Si , <¿ <r, d.nonrar que

k) ;."*-!# = #í, - ##. *T#(ó) ;# i# = *- f f i+rer3

s6. Demolra 'qúe," ' "" =,( . ix1.#)0.#)

s7. Dcñs,mrq* *" = (,_+x,-Éix,_#)Lsue.r cos r = (sen 2rr12 sen rl

s8. Moifa'qne r.r f, = ;¡f;4444;

)

3, -,

4.4 '4.4.12.72, 16.16O) "V, = .¡(

320

59.

SEfuEs DE FOURIER

{¿lDeñósrr¡r qucsic+ 0, a1, a2,. , . ,

L - I L" __L_ 2"_,o¿1'ot2t4t-3¡

(¿) Demosrnrqü€ si0 <c<r,

I i ,=¿' - l ' " ' l - ' " a,J' t+ !

=:-#F*f7- ls*(¿J Por (a), (ó) y et Prcb¡ena 17, C¡pi¡no 13, coñplét e ra denostr&jór de quc

r(¿) ¡(1-¿) = -L, o<o<¡

lsls.@ci!:,Paú k) uritizár et probt@ ,2ó. pan t¡) *nbu Ia ,nresra¡ dada @mó sum, <re ta, ¡¡cEate, &ua r yd. Ia ó yhásaÉ, _ rv.nr¿ ótr in, ¡ ;E&dl sí obk;da. r** ,p¡** i*

. "* ." ' . *

f r=r ,+",- , "+. . . .1Sea r u¡ Elor ddimensionat cüatqujüa, Mosr¡¿r qü.

( . ) ( . , t ) ,+(. .J), = {r)" (ó) (r . D' + (r . j ) , + (¡ .k¡ = ¡y discrlta¡e 6n r€speto a la <tsiSla¡dad de BésÉl y a I¿ jddtid¡d de pa(evat.

Sr {o.¡rr ' . ,= r .2.1, . . c. oronomal en t , , t . iád,ño \ i - . , . . . , . _. ."*r" , q*.1, r l ra ! " .o. , , r t ,¿, * * - i

¿' = J" fl') o'@dr

Disurir 6t Érutbdo cñ Rtaaón @o las srec d€ Founer.

dt.

)

Capítulo 15

Integrales de Fourier

L"{ INTf,GRAL DE EOURIER

Supóne¡¡se las condiciones sigüientes para /(¡)ll. t(¡) satisface las co¡diciones de Dnichlet (pásina 299) en rodo iot€rvato ñniro l,¿, ¿[.

2. J _-ll{!)ld.x coúve¡ge, es deü, /(¡) es absolütam€nte i¡tesrable d I co, @t.

El teórcna de lo intesrcl de Foúiet esrablece e¡lonc€s quo

l i ' t : J'ror.t*""' + B(d) se'd,) d4

t¿t"r = ] f " ¡Pt"***i ,-;:I Br.) =

;J _/ l ¡ )*no¡d¡(./) es válido si x es un punto de continuidad de /{i). Si x €s punro de dis.ontiNidad hay que cambnr

Jt\l pot t'' 't :1\' -t como en el caso de las se.ies de Fou.ie¡. Nórese que las condiciones a¡_teriores son sulicietrres, pero ¡o necesarias,

La s€mejanza de {./) y (2) coú los resullados correspondientes para las Éries do Fourier es bi!trpateúre- El ssundo miemb¡o de (1) É suel€ llamar ¿¿r4'¡¿ o de f(x) ea íntesat de Fóutiet.

IORMAS EQUIVALENTf,S Df,L TEOREMA DE LA INTf,GTAL DE FOU¡IEREl teore¡na de la integral de Fou¡ie. se puede €sribi. también er l¡s forus

flrJ =

f(.)

1r ' f "= ;J "J - f@)eki

"dud'a

donde se ha de ente¡der que si /(') no es conrinua en ¡. el sesundo miembro s renplaz¿ porl (x+0)+/(r-0)--) '

Eros resultados se puede¡ snndifrca¡ un tanto si /1¡) os iunción impar o p¡.. y se riene

rot = lt.'"*",u" J""no*"""o" si r(r)espar (r)

f i r t : I rn"rd. I t tv\cn"¿d" \ i / ( ¡ )e!mp¿,

321

(r)

\2)

: Í: "

í."= - ^u)

cos ^tx -

u) ¡tu dd

= *Í ." -.a" f"_no"-"a"

(r)

l/')

(6)

IN ECRALES DE FOURIER322

TRANSFORMADAS DE FOURIERDe (l) s dedu€ que si

rr.) = + f" 4,¡o^a,

rct = j ; Í .rat" *a"

, i-a fDrció¡ ¡{d) $ xama tunslamada rtz Fauiet de l(r) y se suele escribi. F \") = J lflr)}.La fünció! /(i) es ra ¡antormda ¡kúüsa .le Fo*,t, a" r1nf y ."

"...ru. n.1 =' r i$1,1¡'N,ra: Las constanres que preceden at simo i

1r'6, p".. ¡r." p,"i"" J;";r'r,"::::i:J'*ra1 en (7r v eú (8) se hai lohado ¡qui isu¿r6 !

ta ttamada fatha sih¿tñca. r¡es no n¡rlas siempre que sü prodúcto sea l/2tr t¡

si l1r) es p¡., ra eu¿ción (J) da

y se d'ce que ¡"(d) y /(r) so¡ ja. ttunfo.na¡tos de Fout¡er e, bseh¿s !¡a d. oúa.si /(¡) es impar, ta ecuación (ó) da

y se d,@ que 4(¿) y /(¡)

1c.-

F,(") = 1;J, f tü),. ,ddu

t; "-f (ü = \+)^ F"(a)sen0¡ d¿

ttd4foüa.lat de Foat¡ü eh se¡¿r una de orra.

IDENTIDAI'ES DE PA]ISEYAL PARA LAS INTEGRALI]S DE TOURIERsi 4(dl y c"(d) son traisfor¡n¿das de Fourie. en se¡os de /{,) y s(x), respectivamente, e¡rüE

J, ¿,G)c,(")d" = )" r?loata,Análosamenre, si 4tr) y c.(d) son bánsfo.madas de ¡ou.ief e¡ coseDos de /(x) y s(r). entonc-

a-J" r6e.61a" = J"- tanalo, :!rr

En el caso especial ei que /(¡) = s(rl, ( t t ) y ( t 2 ) se convie.ten, ¡especlivamenre. en

f"'e"an"o" = ["'aoro,Jo {¡'.("rl:d. =

J" t^¡ttd,

t; .-I

F.(,) = 1;J" ^d)

cos^u dü1 t;

-"I / ( ¡ = V:J ' F h)cosord¿

{¡¡!,

Lql

ras rel¿clones anrertore\ son )as d¿atúudes tr! , " ,d rrdnsro,md¡rds senerJte. de foune, Aj . . / - f . i " ' | ' lou ' ' 'n ' "e ' t " 'ReiJcore'p¿recid¿.r¡G¡,s ' . '

' " .p"" ' , , " . "n ' i . . . p, .¿" j """r , , . ,

" , "

¡ r ' r lL¡4 'uo rr¿n' i 'mada' de I oL¡e¡ d. . i r q

caP. rtINTECRALES DE FOURIER

l--"a,"a*" = J_-roaao,i|.[ffi"j¡_

.re,m* ,ue se r¿ta de ra compreja coDjusada obte¡idá canbiando ¡ por

Tf,OREMA DE CONYOLUCIONSi a(d) y c(d) son t¡ansfor.aadas de Founer de /(r) y s(r). resperiva¡nenie, entonces

J'-r6¡c1"¡u""a, = J""tt*t ot, _,¡0, t1s)Si se deñre el ptudrcr¿ .te .ónDotución. de¡oraoo J . s, de las funciones / y I como

rs I r"y2. ) " r (u\ot

-uta" e7)e¡lonces (.¡ó) puede escribi¡se cono

Ítf* sj = it.t) Ítst;"T:i.::".::jT:"i:T1t::,i::iil,h,:.:.:":.,.ifjz:zin;:;:n:::::::),*:;*x:.,;;

problemas ¡esueltosINITGRAL DE FOURIER Y TRANSFORMADAS DE FOURIERr. f¿) Hajlar ra ¡ransform¿da de Fourier de l(¡) _ [1 b].o

(¿) Represenrar /(r) y su r.ansfornada de ,."r.. f1,", ; : :(¿l L¡ bansaotu¡da <re Foürie¡ de l¡) es

' ' " ¡ = -= |

^")* d" = - l - f ' . .y2'¿. r ; t t \?o-du

= !fr:r_rr\ - -E*"..v2"\ b / - \ , ; - ; ¿,0Pan d = o se obt:Ene F(dl = Jrh a.

\E; i " l "

I-os e6fos de /(j) y ¡(dl pan a _ 3 e veD en tas Figs. lrlyt5_2,espetivanmr

¡i& l5lFi& l6-t

324 ¡NTEGRALES DE FOURIER

Vaiiéndose del resutrado det probtena r calcular f"

^" J"

ucducrr r¡ \¿lor Lle | :r- dd.

Po¡ el leorema de la intcgral dc Fou.ie¡. si

: t rJ."J" ¡Fdo

Enlo¡es, po. €l p¡obtem¡ I,

1 f ' l r . "" ,^: , ; , \ / -= ' '¿ ' tz 4 ' .

t0 l ¡ >oEl prine¡ Diemb¡o de (1) e! isuat a

lf "*"';*-. iJ""-gr-"", ,rilj1tt"""'o'

u" t **"oa i.tes¡ar de (r)es impar v, po¡ ra¡to, ra inrearar cs cero. Enron.es, pó¡ rr¡

2. (a)

\b)

I--*+*'(ó) Si r = 0 , ¿ = I có et resuhado de (¿l s licóe

'[+' = "pues er r¡leara¡do es p¡¡.

S' /(r) es funció¡ par mosrar que:

kr 11"¡ = \P ( to¡-',,d".

¡ ' r . ) | f ' , , r " , , ,

Resorver la ecuación ;."c.r J

'¡1,t

-. ". a,

*" f J-l r -**.o

= .G) I róncse ¡,(")

rct = ..EJ,""1"¡"""""," -= ? f ' , , , , - " - , " =

Jr-r t 0: :d=l

lvEE Lt d o="=tI . ¿>r ' rueso ¡or. Prñb ¡

.1, 1; i ' ¿ -"-

¿"

J"Y,"=;

3.

tb)

4.

(ü) r(¡) = \f3J-¡G)c,"*d".=

ft Í.--n -"",,,,, * j;!"-na*,-,*, tr.' 'il':l :.11 #:*n:: :: x1,'"lJg,:ü.i' "

t'e"' ^'r "uc

ra *sunda iú¿s¡a, de, s¿sundo niém6¡o ¡!

,r, = k.l"- nr-"".*, - 1p.f' tr,,t-"^,u,

Ii.:j ¿i. 3 ;*iix:"fii*qú ¡G) s fürción pai En,óóes. nediame üna dehor¡ació¡ ¿üros

oo, tn^tooo *."¡*" * !álido pa.a tünciones inpa¡es y s te puedc obte¡e¡ renptaz¡¡do co5o

t;

2(1 cosr)

CAP. I5] INTEGRALES DE FOURTER

s. ut izar.l p¡obrema 4 pr.a.*"- *" f 'Tl"a" =

Cono se obtuvo e¡ el P.obl€na 4,

2 f r - : " { .o"" .d, - Jt '

o-aar¡ . l0 ot

Toma¡do el ljmile para d -

0+ se encuenua que

6.

f - l cos¡,.1" " ' " "=2

Pero. i¿ inrecnl { puede e"cnb,, | ' -# ¿' quee'u. 'e I'J ,

con lo qüe se liene ol €slltado p€dido.

Morrrar que |

-da - -¿

. . ¡=0.

Sea /(rl - e 'm el lmEma de la jó1ee¡¡l de Foüner.

t\') = '9; t,' *"* d, !"" no "*^ a"

:[ '*"*^ 1""""". ' ,"n" = .- '

ri

325

t '

Pero por e¡ probleña 22, capitulo 12. s tie.e t"'"""**""

= ,*r-!. enro*..,

i I""tr#* =". . J, '**#" = í. .IDENTIDAD DE PARSEVAL

7. Verificar la identidad de Parsev¿t para las integrales de Fourie. en l¿s t¡ansforu<tas de Fouri.r

Hay que host.a. que

J"-'n ro, = t';4lyo"doñ.c t , - - t , to

) . : , , , " { :y,

Ero eqúiv¡le !

J""<Ta. = I -?t--*

J -t!'* = ,J"-*ed. = ""

r" ien'"d .J^ ,"'" = z

llaciendo d¿ - ¡ y aplica¡do ei P¡oblena 5 se ve qüe €sto úllino es @r¡eto. Et m¿todo lmbú¡ se puede

aplie¡ lsr¿ ¡¿tlar f '!+ d', d"-ra.*e.

I

I

326 tNTEcRALEs DE FouRrER ., tc¡r r

DEMOSITACION DEL TEOREMA DE LA TNTEGRAL DE FOIJ,RTERE Dar u¡a demort.ación heu¡isti.a del Gorña de la iúreg¡at de Fou;;r utitiz¡ndo una form d.limire de la Frie de Foü.iq.

("-"?. '*T)= it,no".ry,".

Enlores. por surnución (vée ftob¡@ 21, Cápituto t4),

t , ¡ , LJ,^ " . L¿f , ¡"_"! ; tu_^d, rr

-

lt,) dir tunlerge. et pDmd rmrnodetle$ndo ñiflbrode r.?)rjeod.a m!¡

¿ r ó, o t nlo q@ la p¡rre ¡€sta,r¿ pá¡@ rendr a

,,- .L < f",,".,,1. :h. ¿ ,¿ J _,,r ' -s?,x- ' 'dr f ,EsL ¡tldno paso ¡o €s riguros y por e I¿ d¿nostr@ó¡ es heü¡jstj€.

Umndo ^d:

r/¿, (J) s puede esibn

^, t = !+ j ,

a."a" ' ,=|J ' i r " ;*"yd. y h,

^.) _

¡G) =

Perc cl llnjte (?) €s isüa¡ a

x') = J^ F\,)d"

qE es la tó¡m¡la inresr¿t de Fouri€¡

Ji, ,-), o" .1" o.r

) f-"tr"t -"*"- "t n"

= |.f"' o. J-.na -.a"- a a"

-. ofi,"d:"''*"t' 't."" '.la@te

para 6Iableer un Bultqdo posibre. p@ H risurM nay qE qD

. J. ¿,

J _tptq.c\u-adry eshdia. ¡¡ conyúgocia. Esle nérodo F onsider¿ o ¡os tstobLnas 912.

e. Demotuarque: (") l,yXJ'=4d, = t, ot ¡y1f".ryo, =;

(ó) sea¿¿=,,. '_*e. ,,*J"*?-a, - ::tf'ryr, = I""y* =por elP¡oblem¿ ?9. Capfuto 12.

(á) sea "o= , . .** ;4 1, . . ; " , , = )y- Í"" 'y" , _,

10. EI teoreúa de Riemann dic€ que si r(¡) es casicondnu¡ en l¿,¡[,

t im J" ¡.1,)sn(,,d¡ = 0

con u¡ ¡esülrado parecido para et cos€ro (v&$ p¡obte¡na 3l). Utniza¡ elro p¡m desl'Ú

2

INT¡GRALES DE FOURIER

at lygJ'ra+,¡rt:ttu - ite + o)

ir,r ;'¡4f,¡1,+asle h = ;1, o)donde /(¡) y /,(r) * suponeú casiconünuas en 10, ¿t y l_¿,01. ¡especrivamente.{¿) Apticando ¿l probleñ¿ 9(¿) se ve {tue üna denostn ión det Éñltado que e da.qüivale a demor¿¡ qü.

lgiJ" tit' + a - ¡o u on ier a' = ¡

Lo qn€ se dodue inmedi¡t¿nmte {te¡ 1eortu de tuenann, pB ¡(") = "¡1,+,): l("+0) s €s!conti¡u e¡ 10, ¿[ ,a que ensle

,lib 4,) y /(r] es casicoñriiua.

(¿) La denos!Éción de cro es aD oga a ta de ra p.fe f¿) haci.hdo uso det p¡obtema 9{¿),

l l . s i , r , rsaudae ta condicrdn ¿dic¡oDat " .* 1, , , . ,d¡ cooverge. demosrrá¡ qu€

(a, I im J" r¡ .ur " l j ,¿¿ . i t " -ot , r t t ¡y1 f" -n. ,

, , : t f ta, _ [nr ot .

327

J-tt '*a=tto,

f"- tt' + o¡':t:t o'

- t"" n"*¿"t-0, + J," rt,+.¡xts:¿,= Í"" ''

* o' *- o' + !," tL' + oPt:t ¿'

t" cu+.t -_t1' + o¡lutt: do t,

= j"'s"*,1-¡q,*o¡¡ri{a, + J"n"+artr a, ['n +o¡uy¿,De&tandól¿si¡ tesalesen(J)por¿/1,1,e¡r .espat imne.Ljsr ioe/ :4+,¡¿+4@nloqüe

11 = l¡, + ,,i + l¡,1 0)Ahora bien. v"t = l""ll.* q rt:tla" = !!,"va+,1a,Asimismo.

, ,r = tr(,r.o)t Jf'=*r"l

c... J-tir"¡a, .

J"=oa, @nveryer c¡noó se pudc lomar ¿ ro suñcie¡ltu nre 3Éúdc

ñ;n:iii#:líüffi?*ilx."l;:i]{i;tdl:,ir,ff ::TBp'r(?)e'lio't2. Demosra¡ la fórmuta iút€gral de Fourier si

sma r2t l(¡) satisface las condiciorcs eDu¡ciadas en la pá_

328

se Je¿' ó ew, po¡el Prcbtm rr, queta i¡regr¿t dar¡¿ onve¡se hacia l(,+0) l l("_O) lal dj

PROEI,EMAS YARIOS

13. Resolver '# = # *n" a ras condicioües u(0,¿)= 0, u(r,o) =

es acorada pa¡a i > 0, ¡ > 0.{ t

o": l ,oou

:::{ii*üi:ü:ir"iH"lru#;i:Ti:i1,ff . I fi:###ii.*,i: }:¿ili,ttr i:.Ltd.,one\.de rc¡romo no p*.ben v¿rorc, d.¡em.nadc pam ^.

dc modo qu. hay que ,1dre, eue iod;;v¿ro'es de Lsn pdibtes. poranatoEr¿ @d ¡quetDrobten¿@r.sponde a u@ inlegreión * *" **, u*"

" o HiiJaoso¡re

todo ¡os ulo* posib¡B de ¡" ro F

r,, , . , , - f" r, , , . ' , *n r, andond€ a(l) ¿slá indererminada. po¡ tá egundá cotrdjció!,

l " - r , ,*^, ,a. = l l . . : t i = n",

de dond€ ¡€su¡ta t¿ fó@da in¡esnt de Fd¡ie.

sor = iJ"rr¿*"*¿, =: Í , ' ***de no'io que, al benos fo¡natnenle, ¡a sorüción esli rláda po.

u(,,4 = ¿J-(! jr!r)"-.*"^,0"

Mostrar qre e-¡rl2 es sD p.opi¿ rra¡sformada de ¡ourier.

como ¿ "/: €s pár. sn ttusromcda d¿ Foünér viene dada por ve, I"' "-.* ".""" *.

Haciendo r = !ár y uril¿ando et probleú¡ 32, capftu¡o 12, ¡a intesral s co¡viefe e¡

l ;1" ' . ' *"<"tzaa" = h+""" = "" ' .que denüestra el resühado p.<rido.

Resolver la ecuación integ¡al

gt

- 2(1 cosr)

t4,

l r t ¡ t l t l t , f " u,u,"r"- u¡a*siendo strt y ¡(,) iunc,ones dáda.

;,$,',f#*..tk#i:n:',.#ri$*.:::::i;it:*|i.,i:\t *H:ttfl Jg\ff :gYG\ -

cG)t - \/ü ntd,

caP, lll INTEGRALES DE FOURIaR

*, =''f¡g-l = *¡:-H^"".*329

hobl€n¡s ptrlrlestof

INTEO¡AL DE FOU&IR Y Tf,ANSI¡t)¡I\,frU,AS Df, ¡OUNIRró. f¿) Err¡ar r¡ rn¡sfma& dc Foün r d€ 1¿ = !r/2, l,)=,

(¿) o",cniúa.r r'nc d.6r¡,.*r"-"* *_ jjr.

?'i*,,n o *,_..t¿¿ {d) + 1!::. (ó,-L

'¡2' "' \f2;

17. (¿) tr¡rai ¡. rs¡rom<ta d. Fo¡¡iq.!. l(,) = lr;" /l;irar c"r",,r* f-l '"*'; "n ' i"^. ",-,a \ , . ) - - -2 ' - .

s,¿ (d) ,1!(e:e!-s;s!3), o) *

r r q. , /_\ _ l t 08,<r_-. -. ,,-, _

l0 ¡ - I naxe (¿) r¡ r.¡$fo@¡da ¡,e Foúid { so. ró, ra rB¡sroúad¡ dc Fouoc¡ c!.¡e¡o d. ¡¡| ¡r¡g @ qds .¡$ cl Bdfo d. /(¡, y @ a F¡.sro@d¡.

s,¿ c) 1;(=-), (ü) {:+.19. k) H.lltu ta rturomld¿ <r. Fou.id d &no d.

" ., r: 0.

O) M*itu qucf-,t44¡ d, = i.--, n>o.p¡iq¡do.r @r¡do o (¿).

,1i1" fiXf'_-5d" o *". oc üs¡. d.t tco@ dc i¡ ¡úelr¡r d. Fou¡i.r por qu¿ cr @rr¡do c¡ (ó) ro 6 d_

sFtuado que cúra ta ¡¡&gnl,

sot. t¿).tE¡nta¡|| + ¿)l

4. D-F}tr r(, 6 ¡¿ aució¡ iúegBl

Í" v(') *n'r a'y.:@Eprcta t¡ ¡oteión pd ,ustirwió. diFr¡..9¿ r r(¡) = 12 + 2 6s ¡ _ 4 * 2ry¡r

IDE\¡T¡D¡¡' ¡tE ¡A¡SDYAI,

4 qku¡ar r¿) J" r'fr ot J. i:#; apnando h ,d.rr¡dád d. pa*ur.

lsurlqc¡: us ls r¡.Brofr¿¡rar d. Fouriá ó e¡oy @sro d..-,, ¡> o.l so¡. (a) r/4,lbl n/4

330 TNTEGRALES Dri IouRrER

¿. u,iliz¡¡ er p¡obr*a 13 paú m6tmr que bt t" (!_:!ta)'d"

¡ . Mcttu cre J[-k&s";sn')"d, - ¡ r" .

- i 'ru-f-{3a,

2&

D.

PROBLh{AS VARTOS

24 rr ' ) Resorve¡ ! ! -2f f , up,o=0, u(. ,0)-e", !>o, u(¡ , ¿) esdcor¿daplra,>0, ¿>o-.

(rl Dar u¡a interpreración ñsica.

sot u\,,r) = 3J' * i;;",, - "

n*.r* . $=# , ,a.ro,r=0, u(¡ . o) = l í "=: : i , u(¿,4 es,corad¡p¿ra ¿>0, ¿>0.

s¡t v(.,1) = 3f (+--" i ,- ' ; .- :*^,,^

{¿) Mosúr que ¡a s¡üción del p.obtúa Ú s püede eenbn

uk.¡ _ _2-1", " "o, _ ,= ( '

. ' ¡ _uo,

l1 J. ' , . ' ¡

(¡) D.oosr¡tu diÉr¡nole que lá rüncióó en {¿) srisface a f;

= $j I "

r". -"ai"i.*,

r¡€l p¡obr@ !

2z veriocar er reo.ha de @nvorüció. !¡¡a rár fuociones rd = ,(,1 = {¿ ]]j: I

Dem6tn¡ la euació¡ (r), página 321, a p¡rtjr de ¡a *uadfi (J), Ésiia 321.

Dcn6tru (rd), pd¡in¿ j23.

[sü&: si ¡G) = f,ol-"rw*,o" ,

Ft") eb) = *J'"1'-*-.. ^!)s(aldedoHáe¡s a6on ¡a tmtuformación ! + D : r.l

30. (¿l si ¡ld) y c{d) so. las t¡aósio¡@das de Fo!.ier de /(i) y s(r), rsp€úivabdlc, demor¡tu qE

Í "rrr"a * = !"-n aao.

doode et lezo indica la cobptgtá conjug¡da.(¿l A padü dc f¿) obtc¡er tos resuhados (|)11r. ra|tna 322.

3r. Dcnoítu cl reo¡ena de Riemaon (!éase probtema l0).

cr.r = { f* e1,¡ a- a,,

Capítulo 16

Integrales eüpticas

LA INTECRAL ELIPIICA INCOMPLETA DIj pR¡MElA f,SpECtE se defre por

1t = r(k '+t = f" '#f f i o<k<r (r)

ffxiÍi:yjt&:í!*.t; ñ::2i.="#, ::#;: r#i:;::X:"; ̂*. La in,eg¡a, s,"J' ? # Jtii'tri,"',",ir:ff#i,f,:,"T i":,fi:.trffiiJ:."iil" p.r &k¡. simp,e.

I/r INTEGXAL EL|PTICA INCOMPIJIA DE SEGUNDA E¡¡PDCIE se d€fine úr

n6,a¡ = J,',1¡-a;¡¡.to o<k<r*'iÍ;

:Tfl'Jflft,íí,!"i,T';,tr; :f,I::'^ ctipha dc saeuda espccic

:,u:llilxil"{lr;;,;;,"#r":iff:;:t:,:::;,i:"r::*"::.;::!,H:::::,tufl:ftij

LA INTEGRAL ErIPT¡CA TNCOMPIJTA DE TERCERA ESpECn se def¡€ Do¡

n1n,",6¡ = !,' 11+rsen,3)yt_¡ 'qn),0<¿<t

r^rnbiéi llar¡ada foúd .te Les.¡.be .te ta inkzrutq* ¡ ll.T.19 ¡¡ur¿ ya que.$

" - o. u;*' Í!!,li! ^*u'i.¡"¡¿

6Pp( p Aqú es tr r¡na cons,dn,e

-.t a =

^i/ t¡ lnresmr * ¡rama ¡ihEtut etbti\.a,ohptetn dc ercpn p:p..ie.

FORMAS DE JACOBI Df, LAS F¡TECRAI¡S ELIPAICASSi la rransformación , : seD 0 se ;nt¡oduce €

an@¡ores se obriener ¡as sisu,e¡r€s intesrares ".:

?'i"#? " t***e de ras intesates elipticas

\2)

(r)

r" , i r . . ¡= f -4"o v(r _ ,¿)(1_ ft?r1 t4)

= 1,"¿"( i . ¡ ) .11-k o, d,

331

(5)

_t

llat@d^s foñds de Jacobi .le l¿s iateg¡ales elipti@s de prime.a, segu¡da y tercera especies! respecl¡,vañente. Si ¡ = I son i¡tegrales elípticas coúpleras.

INTBGI¡IIÍI Rf,DUCIBL¡S A T¡PO ELIPTICOSi ¡(x; /) $ una fudción racional algebr¿ica de ¡ y t, o sea, que es el cocienre de dos polinoDi!

332 ¡NTECRALES ELIPTICAS lcAP. lr

, tk.n.4 : J" ( r+nr,)y{r-r l r - r"r)

! n1.,o¡ a. lr'se puede calcule por l¡s funciones elementales usu¡les (algebmi@s, t igoúomélricas, rrigonomét¡l-rec|pro.¡s exponeDcr¿r y toear i tmrca) {)r=V¿r.bov- Jax. +ó¡, ( . s i rndo ¿.á. . cod.

si y = 1GF + t': + ""

* "

y = J*, + b¿ l;;r¡ d' + "

conranks dadas (z) * F\.d€ cBlcular por i¡teeüles eüpticas de primeÉ, segunita o te¡cera especie o, e¡ casos especiates, po¡ frE-

sr I = JP(¡), siendo P(r) un polinomio de s¡ado superior ál cuarro {Z) se plede inreeEñefi^rte fu¡ciones hipe rclíp I i.6.

IUNCIONTS f,L¡PTIC¡S DE JACOBI

El limite sup€rior ¡ en l¿ forro de J&obi de la i¡tegr¡l elipfca de prime.a especie se rel&io¡a cftelliñite superior d en la foma de r¡s€ndre por ¡ = s¿n d. Corno ó : am r, s sisue que¡ = sn (aú¡¡Lo que lleva a d€finir las ru¡ciones elificas

¡ = s¡ (¿n u)

\,f- l = cos (arn ¿)

\f EF = vf -arstFa

l&

lt

UA

(1ú

que tieífl muchas propiedad€s importatries análogas a las de las funcion€s trigonométricas ¡rlos problemas.

Es támbiétr posible defr¡ir Íün.iotus elípticas rc.iptoctt pot ejemplo, si ! = sú ¡. €ntotrc .r¿ = sr_'r. Nótese que , dep€¡de de f. Para hacer resalt& esla dependencia se escribe a E¿ = sn '(¡.L) o bied ¿ = sn I (x), mod k.

TRANSIORMACION DE LANDEN

M€diarto la tra¡sfomación

raó =- o / r*né =sen(2e,-o)

ll^m da t¡arslom.ión d¿ bnden, s. puede demorra¡ quc( 'dó2p,

¿o vL_ k, en, ó(véas Problema 6¡). S€ puede escribir

v.,i=1fiil'9'donde k,=#

rp,a¡ = ,firp,,6,¡

Ftt¡ .ó, . \ ¡k,^. \ , . . . ( ' d0 _ - t ik*- . . . /_ * \nendn r" t/t- x;'t - V -- F- h te

(¡ r ;) u5)

"=# "- i* , , r"=*, y ,=i i ró" '

, ,u,-Resülr¿do

media¡re el cuat se puede c¿tcular nt,ud sorameD,e """ "-, ","";, ;; ffi;:i ¿ f", ;1,jil[i""Ta.es

posjbre ¡os*r baran,e exa.ti_

INTf,GRAI"f,S EIJPIICAS

l. D€mostrar que si 0 <k< t ,

K\k) = ("' doJo V'ii-- t,-s-?

Pof et reorena det binoñio.(1.' ¡)-'z - 1+ l-Uz)( a) + ( l/2+y\Fn,

+ er/z)l_B!2)(_6/2) ..,, + .. __ r+| ,+f i t * f f i l *

.,..'::;:" t"iÍ ";J;':Ts.

debido a I¿ conve¡sma ün,,ómc de ra sie, s puedc i¡,egrÁ. iérhino a ," -

l"-ñ+ñ; = I:."{,.}c*"", + jj*,**o *};}t'"**, * }0,= ;{' . (;)'" . (;:'.J; .1;i";;" ., 1 )

ürilizando el probt.n¡ t5, Capttu¡o 13.

z. ca"":^, J,"'" -!t con 3 deimales exp¡esa¡do p¡irnero ta inresral cotro integmt eliptica.

= ;{'.(})".(;j)-.(;,?+)*. }

Problemas re$eltos

!'¡"" vSe¿ co\ I =.u. : , Enronles. -scnJ,! / r=

d¿ = 2custr*nrrz _ pcos¡*n, , r -

vr.;-, ffiiffi;o. r . "a. f " ' '$ = , f " '_- !L"" vG*! -J, r',- = ,Í""¿+-, aI'".,,___^-+=__

= repo,! , , t2¡ . *Extr ,¡ - v1 _ Írn¡z

Co¡ ¡ = v4 e¡ et resuhádo de¡ p¡obteo! I r xcne ct vator 16¿ para ta inlesr¿l.

I

caP. 16l¡NTEGRAI-ES ¡¡IPTICAS

315ó. Demos&e qüe

J v6=gos,- es .€ducib¡e a inreg¡ales eiipric¿s.

2 . ' .c* r=z_ 1"* ' ,p *a, ¡p j=3 - 2@s2,f2 y 1a in¡esBt dada s pü¿d€.s. ibn

f tr-#;ñ = hf i#ññ

,"._J,,"';:-"___*_'= ju;ff -,","^iJt#*;"*."","-

& Ar€.igua¡ ta longitud del arco oe arv¿ / = se¡¡, 0 < ¡< rLonsitudderar@ =

!"".ltaaa;fa" = !""rn*]Ñ"o" = z!,"",1.+an;a= z !,",' a:aa; a" = z¡z !"",, ¡r=7*¡; o" = 2,,.,/'(\r+)

H¡ffa¡ l¿ lonsitud dcr a¡co de etip* ¡ = ¿senó, y: bc}só, a> b > 0.Loncirüd rr€¡ árco = a J""" ,A+ + Wr- = n /",, uti *5;¡6;5 *

= n !,"" ¡a=6 :4;v¡ * = a" 1""" ur- a;a-, aEr E$rrado $ pkde enbú ," Er;.;p;. ;';\;:':

r"p.",".J'-,--Stffi Por intesrales elipticas

s€ & eo d: rs ¿. Asi, ¿ c6 ódó _ w1 ,da y

Í"'/¡-q *t

' f'#=,* f' --iq-, d, - f'¿,.rúsú . t" ¡¡ ; .7¡"-- - J.

"o V*: - (k '+1)rn ' r

¿ coP¡@diodo ¿¡on @Do o er rrobro s, *a IrTi *o ¡ = ¿ *o r. ¡¡rones,.rEll q ¡ ¿¡ =

r - o__1J";¡ . :=fu=#"t#),,/

vorviqdo sobre tos pasc e obsfra q@ el ,mrc supenq r en.ra utum ¡nr.gmr e rel¡€iom.on e¡ ¡itu,.!upe'o' ó en ¡d i¡ksr¿r q,sinar por, = _ (ff]'*",.$)

336

ll.

INTEGRALES ELIPTICAS

C¡lcd¡r po¡ intcgralcs ellpti.¿s:

(¿) | _g. H¿ocndo\ - 2enú. la inrcsr¡ l*convÉrre.nJo /(4 _, 'X0 _¡)

(- _=4: _ + f" __jL_ = lrets.,rzt" .V9-{gn'dor ' !v l - Íenl ,

(ú) f 4. Haciendo x - ¡s0 1. In¡.sr¡r *conr.ne.nro V(r + ¡'Xr +z¡")

(") | -+-. sa V;-3rr o ¡- 3+v' . Ai iqu. la in¡es¡. | * .on\ iet ¡c en¿. t@_rt\ ,_2J@_3) a6

-J, y'(",_r,(,¡+ D

Hacic.do ¡ - 1g ¿. .ra irtesral e $clte

, f -===!- , , f " '=J- = r t l " 'Jr¡r V2 e. ' ' + nr, J. . V2-sm"

= \/, \F(lñ,rts:) - Ft'/úr,"t4l)

e¡ gacnl, f Á- ¿""¿. ¡t¡,6 u poü¡odio de r.Ér s¡¡do s e¡os ¡ar*. s pu.de rr.Ér VP'L\

toúr d ircg¡l clipti.¿ por cl nétodo qputo. P¡ocdimimtc ridilarcs sd aplic¡blo 3i a¡8¡¡¡os eGm cdplcjd t¿$. Prcblm l2).

r:. Carcur* J y'(".ru(,¡'+ES.a ¡ - s 0 y l¡ i.l.gnl * co¡ticr..n

r.n F' u . ¿, (-' .ter . V{krr - I ) (hrr , S) r . Vi-3@"

( ' ' ' eo o' - ¡- 'J" ,h + ts:Ta,/t .t+ zE . J' vid', + , s',

f'" d,

= L (,,,_____L12 J" ,/-\ - , "*'

e

Con , = r¿ - d..st¿ última inr.8r¿l.s

ftottEd, ,rzt - r<lvz, aut

J, J4 - 3^ 'c

= ;F\,,13t2,f/2¡

==:(*=-zJ. vr_*sn,,

13. Most.ar cóno s. c.roub J C#ñÁpor i¡rcsrar€s crípricas.

rQáse tr t/üftuntn b@t l*nr*., r -?!!!".oi.E ¿, á, ¿, ddc nodo qu. r - 1,2,3 cl,Épo!ü ¡ ¡

- 0, l, 6. aF.cti!¡¡m¿.

iK(,,t3tE

ciaP. t6l ¡NTECR^LES ELTPTICAS

F,l.o tb!"' | = 2, 2 = Ll:, 3 -

a-, óe ¿@de ¿ = u, b :4 . = 4 6¡ ro qrc r _ l_i.l.

uriütudo 6rs rÉtr¡foDació¡. h jn¡.srar .l¿d¿ e @¡ú.ñ. * ,, f +_ .

Ert@. r , = 1. * obr ide r f .==!! :

" v4'-1r l r -3 '

- v1,'-r¡,'+oi v 'l

oétodo dcl ErcbLñ' ¡2 e pu'dc lpliÉr'

u. *"*, J;fi;, a""a. ".(¡)

d uñ pori¡onio oe @ano &!do @ú er6 M¡¿s, $ pucd. ransro..M n i¡r.sE¡ ctt't¡É po¡ et !¡érodo quc k ¡¡diE. H¡vd6 tu @pr.j;(vé; r,rob'* i.l; ;i;;riihi',ffi-;l'ñ":'jffi;,H'#.#rffijr. -

r{ caro¡rar Jr iiffi P'r intes¿l€s ellptic¡s

., Áqú .t polirújo úd@do dl* de crcs E¡tes. (b,ffi ,, se p,b.cd. de,¿ ñe* "s*;;;ü ;:l :,:Í".:HHJf.^",H jffH:jL*

¡=Jf f iE¡úae d d. dodo qu. td É.ñj¡c @sr,.¡rB dc cad¡

¡u= r { dr 7 o d - 1. Enro¡as, '

úitrdjo q¡ 'gu¡16.6

dq. ¡e¡ qrc d) - 2c l

,=r4" vltl+gltt' r3u Ls)

Háee / = p4 @¡ , @lslanüc poliriE. E¡ro¡@¡,

/="f-r"-: Y6"r'+ si@"ii-!i-di

Eligiñdo p de Dodo qú et @frccnr¿ d. ¡y' s i!ü¡l ¡o , = r, E ü6.

d Ér¡iú rctui.m. .. @d¡ Fi¡mio. do .r. ,: = 9

=( d"J Vru¡+lñr+;1r

I - ,/, f ==J:r ! ( t '+1)\ f+3,

ruürkón r - te , @ño d ¿l Prcbl@ 1¡(¿).

I

rs. r"p-o. J @=r;r6d,F=ññ como inles¡ar errprica.

Si e hae ¡ :/ + dooo en.l probr.h¡ l¿. s ¡t.

lryli;{,my#*Xiülilli li;f"li.""i.i,"i*f#i:; i"";,1; f ,;T,#;Tf¿v

J ,tG L ettt¡ Lsi

qüe 6 ¡qrucible. fo¡m ¡oma¡ ldiodo / = v4 e a

318

ró. c¿rarar J[ (3ú' + \)v4J1, )(x, +q'Con , = s ¡r. ta iórcgr¿l s ransfó¡na en la

Í ; " r . .3 cds' , f i :3 cG,, --

(4 (3 + coetr) l

(3 + cG'r) y'iF¡;ñ;

i1."" =4_= - 9 f'"- - - -4_-- r 'o vr l \ .nt , ' . t " r - l *"" , .Ñ= IF\\E/z, _12) , t \(,/itp, r/a,,/zt

donde la egu¡da inlesñt es la inleg¡al etiptia conp¡el¡ oe e¡e.a espe.ie.

Aprsndo ra nisña rransfotuación der ftobrena ,r. r, .",."r * / .o *jffiu .

= 3Jm*ffi . *J(3"'+ 1) v(; -tE;+lj

INTECRAIES ETIPIICAS

= -",# = *. vr="*'; = ",,u,,

= *noa4= -sr \ , /1 &\e.¡o = ü4d¡&

; ;=Vr-k¡ \eniú=dng'

ruego prdeja* como en to. prootema, t¿ y to

Oao nélodo: Con j - I = lr, ta ihtesral s herr

- | -_ _ js_J \/,1. ,tt) ._ú;l:i;)

¡ ta que e puede aptiar e¡ d¿lódo de¡ p,obttu rr(¿).

¡UNCIOMS ELIPTICAS

f! . r remonrdl i¿r i rsn,r . " . " ¿^ , . , , . . d' ' " ""v ' tu¡ aütcn¿) -

¡o¡ dehl( 'on' \ , ' I"o yt { r *n¡,

t'r fr""a =

(o) *a 1.n,¡ =

pu., 4g = rde Vi: ¡rsn¡ ó

;; (cos 4)

¡¡|t ,ri CAP. ¡6] TNTECRALTJS ELIPTICAS

re. Demosra¡ f ro"" t = -* ,"" , .339

fru.a =

t¡; 'G""r áG" 'a =, ; ; ; .2sn¿c¡¿dn,

= |a-r .* , , r -$r-*"* ,a

2{. Demoshtr(o) sn( &)=-sn¿, (ó) cn(_¿) = cn?¿, (¿) dn(_¿)=dn?r¡(d)r¡ . ' -?.)=_tnu., , r sc¿ ü ( ' o, " ._r"¿, t/i: ]"Ji¡,0, " J. FF*f

.

E¡rones, sb r_h C, cn,=en (-d)= _sn ó _ !n z.Haciendo ¡hora 0 = _¡y' en ra seeund¿ inree¡¿r ¿3 = _

f. _-_jt_ = _"Asi. prci. sn r' ,r

- -sn r J" Vt -Á\ú-

(ó) cono cn¿ = v/ i=-¡ ' i , , d( ¡ )=Vi-s.(_-zj=\ ,4=;_=cnr.

(c) coño d¡ ¿ = \,4--e, sn" ¿-",4 dn(-¿) = vf=F;;rFii = v/i -/'.jn,,_ = d¡¡.(¿) rn(-¡) =;:i# = _#;= _t,"

2r. Mostmr que "t

x - J"""\a,) sn(u+2K) =,snu, tbt c¡ tu a 2K, - cn , , i . ) dn (¿ r 2Xl _ dn ¡r , Id, tn lu + 2K) =

G) c@sidé& lr"" f"#- ' I"'"#ñrá prinffi int sn¡ der ecudo midbro =

" f"" _ otr" E--ñ =

'zr'n@.bdod= trr ú. ta esunda,nresr¿t de¡ mi.no m,em6,o e lu. tve L f . __L

! y, . / r , ¡en,úLueao

| --'- = u+2K oJ" Vl - &'rn, ; añ u ) 2Kt aJ r

y sn/ .u+zh = $¡(é+,) = _shé _ _sn¿

cn(,+2& = cG(r+?) = có6c = -c¡¡dn (¿ + s¡O = v5=i.iirGf¡Fj = \A_F;¡, ¿ = di ,*, , , zx, = _e{1j9. :u =, , ,mL,izÁ) qx

22 Denoslfa¡ qüe sD ¿ v cn a tieúú p€riodos 4K, eú laúro qu€ dn ! y tn, tienen periodos 2r.Rmpt&ando , por ! + 2Í o el pro6tena 21,.n(¡+¡¡o : -3n(r .+24 = _( sna) = sn¿c¡( ,+4t4 = - .n(u +2¡o = -( cn¿) = c.¿

co. lo que tá dñGrnció¡ queda €@p¡et¿.

(ó)

(d)

340 INÍEGRALES EIIPTICAS

Por el Poblma 2lt.) s v. qu. dn ! '

h ! u.m periodo 2f.s. püedc d.m6rúrquc la tunc'oñ6 .tjpüc¡s ú.m 016 p.r'odd. que s¡ conplejos. po, ejmpro, s!¡

lice los p€riodos 4X y 2,r, 6 ! ri€ne pdiodG 4ry 2r + 2rr. d¡ I tjene pe.iod6 2ry ar<,, ;.;o

k' - ("" 4:. k'= {r:Ero \/r - k4 en' t

Po¡ Bto las fünc¡on6 elipli@ * ¿i@¡ Íuci@s dab¡enüt¿ lerió.ti.as.

23. Demoshar que t.r f i- '1",t¡ =

Drlerminar e¡ p€nodo r de un péndulo rrmpte de Io¡_

Un péndulo limpte @n\b'e m um maca z lu.Dmdda deun hr l . r ¡e idoOPde m¿qdesp(ciabtcyd. tonsirúd/rr ,s ro-t , .r el l,rio c8iá susFndido de un pDnlo ñro O ta quacron drrereeial d.l hovimiénto de la me á .s

-.|tt . ,F = i *",¡r*""¡o *=

". {! = !2 = ¿J 4! = ^dJd0dt "da

l¿quación.. l :^ - -1*" , . Inr .aando

td¡ f. ' -9*

= sn r(',t) = r(¿.sen',).¿r v0_!,xr_kD,)k) seescr ibná$-r lc¡Edes¡1(¡ , ¡ )sbrerteidiéndostadcpeñdc¡ciar€cpalo{¡etmódulo¿.pord

Poblda ¡8. si j = sn a dro¡ces

\ni -4í=É4

v1- ' ¡ v l - ¡ : ' ¡ ' = vo ¿1( l_*!¡ ! )

=l

}4j{')(1_¡i;¡

2 r(l)P.rc, lbr ¿¡ Problena 2, esra i"r"¿nt e" isuut a u6. 4f,y2.

"¡z), @n io que s dene el rcsutiado p.iti|."

d i =

¿¡Gn{) = cnadnr =

Lueso + = 3,",- ' , ,

{ó) Iot€8nn<to. t 6ütado d (¿) de 0¡¡Ft idc, pcloqüe,:sn ó @n d=m!,

f ' -.-:+^.

' 'n' 'r - F(& ér F{* sñ-'¡)r'! V(1 d)tl _ r¿r)

_ ñór* la eD¿ja.a con et r$ltado p¡¡¿ furciones t¡i8onoñÉrricas (que @rcsponde ¿ ¡ _ qE

J" /*,, *-,, ta funoonB et'pre"

"on seneÉ¡¿acioncs de tas ú,8ónoñfl,i6.

PROBLf,MAS VARIOS

- - -l l . D.mosrrar que rtu\ n, ¿2, - t^.11'( l).z\ 2rQ)

Po¡ l¿. propiedades d. l¡ función B¡Dma.

f" +: = t'" ,,^ "",, I'(*)r(+) _ 16r(¿)2r(*)

Fia.16-r

INTEGRALES ELIPTICAS 341

Si. lÉndulotohaünd¡sutoO=do>0enet ihsra¡te¡:( ]ysetesüe¡ra,esroesp=tr . r¿r=lJ j i0_ú0.enlones . = -(s/) cos ,o. Se riere asi

¿0,t, - \/rc ,/ú;. .úe"

- -::l{19:l:Id:.d = ,.0 a

' : 0 lro que or6ponde a un cuarto de p€riodo. o ¡/4). r'rl¡r es neBaliva,por ro qüc ento¡e clilase el signo . LüeEo

-\ la I dd- ' r , { v.oq 4 - cosr¡ r,6ñreq

" = oE f" -::--, vo v.ós, cos r¡- f tr,,

= r \i: l ----, IL_v ¿a \¡ , " r 'er /2 *n 'ct2

Hacieodo m dP - c¡ ,0/2 en !, esta integrut e convierc en

¡ {1; | __j1_. * +q,.2v . t / , &r.en.r

Si k : O, 7'- 2r!t i, que es et rÉriodo ap¡oxinado p¿n os anon6 p.quen¿s.

2ó. Denor l rar qr¡e sn{xIur - snr 'cnDdn' cn'snudn¿

' ' I _7.y,¡ ,Mru

sa ! + , - d una cosra¡te. Enlonces, dDldr - -1. D.{i¡as U: sú !, ,/ = sn u. Se deduce que

dU ¡, dV t dvdudu u - c^rdn,.

d¡ v

Z"; ; " ¡Jdnu

oenobhdo por pünt6 ¡a denución ún Éspeto a !. Llego

U' - 0 A\O k'L)\ y -t, = tr v")lr kV\Derilando y sinpliñcando, * encuenl¡a que

,r t ü -- zk,u ' - I t¿,u t t , i i . . zkv\ _ n kz)vMultip¡ica¡do l/) por ¡/' f.?) po¡ U y rsl¿ndo sc ti¿ur

üv Uí = 2k,Uvl¡" - v"ls¿ pued€ conp¡obar que (véas¿ p.obteñ¿ 53)

\1 k,u,v\lv, a,)

úv utr' (1 k"u'v")ll'- a)úv + ul,

Dividi..do las ecuaciones (J) y (J) e tiene

Perc Üv vi = *lúv un) y zk"uv\úv + L¡h = fto -eu"v'¡,

\," ).Ta=

r:

UV-UVUV UV

4!u-::!!) ¿\\ , t¿fr'v')

(r)

\4)

úv - ai,

342IMEGRALtrS ELIPIICAS

!n, 'oreg.",an

¿u úY ¿ú -

sxcnl dh_r l - .cn { $, dn !

;,'ffi'Ji#:hr,#;"":1'iTt'1,"'"'"'ffi#:*" eüe , + , : a cs una so,ució. r¡ dos soruio

s{T=+*+#;!ll = ¡,*,)Hacichdo, = o e ve cüe/{c) _ sn ¿Aí /(, + ,) - sn (! + ,), @n ¡o que s fiene et res,nradó p.dido.

Prcblem{s propu€stos

4,

¡NIECRA¿FS EI,IPTICAS

2Z (¿) Medianle el teorema del

' ' *(* r ' donde ó=sen' '

v**,q^ f" 'g =-" Vt+2se¡,

1/ i l=¡

bi¡oñio debosl¡á. que sj lrJ < i,

;-(#-(;+)+-(#FJ+.(¿) si l¿l < r, d¿Dormr qls

z1t,"rzy = 1""" t/i - a_:"a"

= ;{' - (})',' -(ii)f _(#+J'f _ i';y'¿'il:,*{. ü {tr¿,,:l;,{.1:i.r/2), t r)sEto,r. r¿) x.rt DlM !É¡ que (¿) ¿lr, ó) = h d. pl ¡0, d) : ¡n (ñ o + rs ó) = ld q @/4 + ót2l

l1'T:lf;T*'1o ''*-, + .,? - r. [sü8e'cj¿ j róne,e ras @a€io¡€s !Erú¿r.i6 ] : 3 en..

c"¡."r". J* G#:_- po¡ i¡rec'¡B erip,ic¿s.

E"".","' J'7¡s- en inresÉ¡s etipliq.v2 \,'J2 /

a,

l¡).

3¡ .

"@\2 _" ,\4)

r,+1)r,+odl¡tl¡

"ffi",.f.#s¿¿ (¿) +r(*I (ó) +r(1), (é) vt¡(rar,

IMIEORALES ELIPTICAS

- ! . vrn. / , . r _/ . , - . l r r /

,5. qabura, J, $_. *,. l:{"(.,11 ,

:.r. c"r*r",/t'

3Z Exprcqr por inteErates etipricasj

@L'

i)J

a: t,'{s.-ga.r r , f S

-o Vl¡ '+ 16)rr '+ 26)

sot. ta) Fl\E/2, ts ' \Eh, $) *rfr",r, -:;r:i¡;;:",;;:,,:;,

c"r*r", 1,r J', f f i 'o) - f - -q-" r/i-:tG_ dxr _ 6=_--

rq Morrarque Í"

ffi#ffir{'6F,t."(4,;}

FUNCTO¡\'IS ELIPTICAS

42. Mor¡ar que (¿) so = o, (r) cno = 1, 1.1 dnr.o. D.nonrar que,", "",, ; ;; ;- ;'i,;;":l '.;l:"1? 1'

=.', ... =.

¡l¿, Deñonr¿r qúe donde ¿, = vT=_,

'¡s Denorrarqu¿ (")s,¿ = ;ji+, o; !F = :ue...6 -n,rr- {"),/*G",",,, ,r,r"i,.i.

'r+*'?" - -;-'

¡4 (¿l k¡ :¿-sn!2)dr¿¡ (¿) -3É,dn,zsn"cn¿

tt. uat^, 1.¡ {6.n,¡, (¿) d+*"h ,(¿sn"). s¿ r,) H,4|. con¡roba¡ los ¡csurrados at J' _

" a" =

; _"_,(d,,) + ",

o. Mor¡arque Í" ' """ , " ,

= i t " - ,Lr ,^^,y.

o) ltll

- f ¿,,r" , . r ; = r^(- i | f i )+.

* l:l:"'i" "l ¡-+r- i"'Y ,)l \úc. ¡ r+r '+1 = 1¡ '+¡ t l ) l { : ¡+rr . l

H]:J;H:::ffii'., o; -,"o*,= *#, r", a.r"o4=-!_ 0""0. o,

344 ¡NTEGtrALE5 EuPTICA5

5r. D.noluúqc r '-:4L = ," , , .' '¿l = ¡.rk' ¡g r r) dond'

biÉ t¡-r {¡, ¿) ¡bFiadM¿¡G @úo rn-r ¡, sbMte¡dié¡d@ ct hódu¡o &.

52. Deñ6r6 qE J ,6Trn = ;-(#,+)

PtoaLEMAa V¡¡¡OS

5-r D.h6ka¡ que J. s", , ,d, = í

.2, /ae(t . ;1 , , / rF(. t- , ; \ .\vz ' / \ \ /2 . , /

5¡¡. Sc er.lt¡ ú É¡dulo d. to¡gitud 2 pics h uD posicióo o qu. fom. ú Á,U!to de ó0. @¡ la v.riet. Deb.m¡ú p€nqlo de @lació¡ suporqdo ta chr&ió¡ d. lá snvdad = s _ l2 pi.s/sg¡..s¿¿ 1.686 s¡urdd

t5. M6ttu qE .¡ cu¡lquicr nondro ¡ .t á¡eülo 0 del pé¡d¡to d.l probl.Ú ¡ 6ií dado por

e^elz = *¡ oJz án $G¡i,si.¡do , cl tidpo B.dido a peú d.t inr. . .ú qüe al hilo 6rÁ v..ric¡t.

[cAP. ló.\

¿' = y'i:-¡¿1 swL cFi-

lsu&: s¡, + @, = \ /5*ne+a]!) .)

t. ObrcM .t d@m¡lo

tr + ¡t S + tr + r¡¿,+ ¿.t4 - {r + 136&r + 136t! + ¿.)# + ...Vdi¡q lá g:Wió¡ (r) d!¡ prcbte@ 26.5&

ó0.

{¿) o(¿+,) = gll

{ü) dnr¡+ rr - dn r d¡ ! ' - f : s_n s9 mr úu

a:"r.\tú (') Fif2/2,"tt), lbl ¡(0,j,,/4), urirüatrdo l¡ rñ¡ról¡@ión d. k¡d.¡.sot. la) 1,t4u, (l\ o.w4

Vdin€r e¡ Bültado (u), pág¡¡¡ 332, nedidlc la tmBfomtuióo de ládd.

D€ñosrrü quc ri ¿. = iii-.l, .üD

/r, = r. vdi6w @roúG t/J,. pÁgim 3ll.

I

¡'UNCIONES

Ejeqlol .Sede6úet- t+z

4t-a '

Capítulo 17

Funcio¡es de variable compleja

,.,*T."#i1"}Til',:"J:jy*:T"ff#'f,:;Tli.,::,::^i:::.*,:,:.,"*ondeu¡oo¡násE.::-:":.1::::!,:: y:,tt",o.pt"a ,. ,.='j,). u ac^pi,u.io r ya se ha r¡atado de r". ú;";ñ;;ffiffi;:; *y"'Tí"::!y#;,;;

Una función es h¡l¿.u¿ si a cada vator de 2.ñr.rtfitotm¿. Lb pé^?t^t v ^¡¿- -.^-tt.- ,.

\Ponde solo uno d€ D: en orro caso la funcióne.s m'hloñ¿. Eú eeaenl se pue¿e escri¡u . = ¡l:"ÉPqqe ruro qro qe u: en oro caso la rurción

ue x yl,. :r = ¿(r.ll+ ¡ú(¡,r). siendo ¡ y r funcior¡es rcales

Ei6 o ¡ : , - , / - - t . . i , t , r_r , - ,2, \ ) , t x,_t , . , t " . , ) -_2, , .L.r!\ {n tas tjam¿da\ p¿¡,¿ ¡-r "

pou" i,""g,*,," Á" , l. ,.,;*,,;.;;. , _ ,

Si no se orce olla cosa se supone que /(2tes r,ar como un conJunb dc fuDc¡one( uniforñes rn¡forme Lnd r,nción nulrirorme se puede conside-

LII\dTFS Y CONTINUIDAD

i:il:$1Tx"i"1".¿'ffii'^Tli"'i.'::*:':-:1*fles¡e ada %riab,e compreja son aná,osasa aquél lás para una r¿nab¡e *r . ' ¡ . i ; r , t ""

J,J[n '¿¡raDre compE¡a $n ¿nálo '¿\ural .n. , r , , - , {et tñt tpt .at |eñdqz¿zor.dadocuátqurer€;0,"-''"^-T^á-^:9-.Tr !": ¡¡,r -.r. . 0,." ii. ,. _ -'. ;

r/(")i,i¿:ii':':i::,#:;j/9 ::r?:1?í;ti*;il."i::l*:1,: ;j::tx ,t,,=,ijÍ ,""DERIVA])AS

si /(2) €s uDito¡D€ eD cie¡r¿ rcsón dd pt^ao z, ta deiúadade /(:), que se dñola /,(,), se defi,e por

t.m lk+ az) - f(rl!mpre que el timire extsla independieDremenre de Ia mz = zo, |tzt*drcean¿t¡,i.h.",

", ", ,,_,.^ ̂ ..,_.li lanera

coDo a,J 0. sielljfnne (./) existe para,z +Ú . l tzt * doe a\at i t "* ," s i . rr imi"." i - - u.r¡ fr lmrrer/rex¡rreóar¿

" re pars rooo z de uná resont.. n4.e di.E a@ii!,.o",i3..f*0,.""*"u., n'i¡"¿"*i,"i.-"ü:i,,,",i,,""i"i"liÍ"T*'rl,.X;llí::'":HÍÍ:Íí1

. Se defi¡en füncioDes eleneDbtes de una va.i¿c¡ones correspond'eDres de

-, *,or^ *r.

"."T1'TmPreja

por generari¿ación narumlde las fun-res. /ty,. se püede usa, com" d"n"il; ;;;;;"/":

exF¡en deqrorro5 e1 r"ie para funcione*ea'snes comp¡eja( r,

" u"

-rJ","i" ."

"i iiii,'"ii"1,' '"'o*"0' "o'

? La con'lersrnci¿ de 'arej

*o-t , t t

' '. EDlonces se puede denornr qu¿ ¿ _ ¿.+,, = ¿,lcos.r, + ¡$n/). cono lan

i

_t345

346

Ejcoplo 2; s¿ de6¡€ ¿¡ @no ¿ü" au¡ con ¿ y ¿ conplejos. Cono ¿'?¡r¡ = l, se sisue qu¿ ¿i: ¿o+1tn,e deñ¡e l. : = l.(pea) = ln p + ¡(d + zrr). Asi, pues. l¡ z 6 un¡ fu¡ción ñu¡liforme. Ladistintas füncion6 üniformes de que s onpoóe esl4 función multiaooe se dien f¿ras oE

Las rcglas pam dériva¡ fu¡ciones de variable .oñplej¡ son en un lodo análogas a las de las f¡¡cio-

nes de v.ñables reales. As : , : . r . - r . ¡ | ¡enz' _ cosr. e l ,c.dz dz

ECUACIONES DE CAUCIIY-RIEMANN

Una co¡dición ¡eces¿¡ia para que b = l@ = ulx, y) + i'(x, y) sea a¡aürica €n uúa resión R6 que , y ú s¿risf¿g¿n lzs e%ciones de Cau.hy-RieúM

(véa!É &oblem. 7) Si ld den\ada\ pdrcrales en r2, sor conündas .¡ t. las ecuacio¡e5 ron condicio_rB suficienles pa¡a que /(z) s¡ amliü@ en 3.

Si lassegundasder ivadasdiryrconrespectoary),exis lenysoncodüDD¿qseencuenr.ader i -

a'zu *u ^ &1r a,oi7* iF:

FUNC¡ONES DE VAR¡ABLE COMPLUA

Au A, A¿ ArtuA!AU¿¡ (2)

(r)

De modo que las partes real e imaginaria satisfacen la ecuacióo de Laplace e¡ dos dimensiones. Iaft¡nciones que satisfacen la ecuación de Laplace se llañan amü¡c6.

INTEGRALES

. Si/kl eráiennida,.es unrformc y rc¡rinua m un¿ Esión rt, se defi¡e la ¡¡resr¿l defz) a Io la¡so

en n desde el punto 7, ál punto rr. con zt = tt -

¡!t. /, = (2 + i!2

t.n¿ o" = Ji,'","','t* * ao" n uart = f ta i

I utu rdu + i l rdx+ud!

defi¡ición nediante la cual la integral de ura función de va¡iable comp¡eja s puede ha€r dep€ndadc iútegmles curyilineas de luúciones reales, ya conside¡adA en et CaDitulo 10. Ot¡a defi¡ició; b@,da en el üDile de una sum, como para funcioÍes de variabte (eat, Fmbién se Duede formular v rcsnhequi\alenre a la anreño..

L¿s rcglas pa.a iDtegr¿ción compl€ja son similares ¿ las de Ias integrales reales. Un ¡esltádo in_

f f

lJ.h^dzl - J. /,¿) d¡l - M)"ds = ML (r)

si€ddo ¡, uD myorante de l,rk)l sobrc c, q.o es llz) S M, y ¿ r¡ loDsirud d€l cmino c.

TEORXMA DE CAUCHY

sea crn¿ o¡va simple @¡¡ada. Si /(!) * an¿¡irica en la E8ión eoe¡rad¡ por cy sob¡e C, s€ ticúronces et teotúa de Cauchv

Í .n"¡0"=$"n0"=odord€ la se8unda inte8¡al indica que C es una curva simple cenada.

(4

FUNC¡ONI]S DE VARIABLE COMPLEJA347

Erprcsddo Jc orl. manera. rjr equi\ale st en r"

.r¡cnte dat runha de:t¡ :). Ta¡e\ rnregmre, se Du

roeo oe qG J ,

f?r/2 riene un valot ¡ndcpe,'

::;;".,:,lf¿;: ;';;;l;"1;t;,'.:":;'t;ü.?:ff"":i;1,,1*l[:'*,íñ,]":T*,jJi:, #iEjdplo: Cono /(2i = 22 6 ¡¡¿tirica eo todo oun¡o. s renc par¿ cualqujer cu¡v¡ sinp¡e erad¡ C

Sz,a. = o

¡;,' "* =

ll,. - t1+* - e¡), = 2¡ + 4

¡ORMULAS INTDGRALIS DE CAUCIIY

',,"r:./:í:fi,1*"J?:jiinte'ior

de ra cu*¡ simpre csrad¿ c v sob.e c misma y si¿ es un pünro

tr"t = fif,fla".*"T11,1:" er snrido posjrirc rconLru tas aeurar der Eroj).Asro'smo. ra ,+{D, derivada de y',I ú ¿-= ¿ $t2 (ráda por

r.at = fi9,65,*-_

Estas so¡ jas llañ¿das/¿ rnulas úreatuhs tu c¿rif,TTrt"s:í ifrí# i',rr'# ;i:lí#:d*¡r{'"'-."x1';{:}li:::.:"J:iil:i,lro¿",,*t"¡ü¿u. á..JJ;ñ;";i1lb:il:'*:",ff"",i'l,"lH51""1lilj,iiilLTfflH;,iili

SERIE DE TAYLORSe¿ fzt anatirica en et i,rerior d. un c¡¡culopam 'odo

punro z der d,c,l;:-;d;"il;;:#¿?lT"',1 llT?;"#ii,"l"** ¿ = a Enronces

f(,) = ^q)

+ t,(a¡k _ ú) * #a_"¡" * r|!p-,1" *

-PUNTOS S|NGUT,|RES

.¡unro sinSutar de um función /(zl es un vá

;r¿:n :iti;;i,;i,f ;;il;#lü: H':i fiT."l":],'J: Í,i:: i;ñ":T,1,?;"':,*.H:Elo¡lor si .aG) =

{: +, z = 3 es ue ¡nsu¡a¡idad aistáda de /lz).

{6)

\7)

!

(8)

FOI,oS

s¡ lt,)ffi, A"t"o, donde d(?) es a¡alfica en rodo punto de una resión, iÍcluso

T,",',:.? Tij]:,""""j::T /(4 liene un¿ singur¡¡idad a¡r¿da on ¿ _ 4 que s€ rrama¡. si ¡ = 1. ef poro se dice wri í_pi". s:¡ "-='i""

," poto .!obte, et .

348 FUNcroNFs DF vaRTABLE coMplEra ,, ¡.^". ,,Ejenplo ¡: l(:) =

1,i"¡,1,*u u-. a*..sutariddes: un poto d. o¡dcn z o pqio ¿o¡re en:_¡.y u¡ polo de orden I o poto sihpte en : _ L

Ejmpló 2: /12) = 1-1 = !: L2, ;_=1,

.Ene do ooto\ !mpe. (n. . . ) r

Una funcióD puedeteüe.otros ljpos de sinsularjdades ¿demásdetos polos. po¡ ejen plo,lG) = "trtie¡e ú¡ pünta múhipte er

' = 0 (véase p.obrema 37). La fu¡ció¡ Í:) = tsll lene una smsuleidad

en : = 0. Pero ** !f Y * 6nito, se dice que una snsulari.rad semejanle es .,raól¿.

SERTE DE LAUREN TSr

^z) r iene ún po o de nrden ¿ en : = a. Drc¡.uoc¿ea¡ o¿te¡on;".:,r;,:;;;.";fii;i'#jI;:::iii":;i":i::-:l;.T:1.i",ff",¿

y l rene un¿ 5er ie de !¿)tor en roao ¿ _ ¿ tar que

r¿ d).+afH +..+= r .ao + ¿,{¿-¿) + at lz q, I . . ls l

:::i,::11..!:ry: '-' ' Lúudnt p¿la t\). La parrc ¿o + ¿,{: a) + a,(z - ¿)1+ . . se lla¡Epar¡e dnahita. en tarto qre er ,esto, que con\j\¡e en ros i"**, o-" r". pámiá, a" , _ )

" r^,i_')Z,.

/,¿!rp¿l. Más sc¡e¡athenle. t. rre,i-o (¿ a)^ es u¡a *rie de Laurent e! que los rérminos cort

- u conrrrulen ld pa"te pnncrpa¡ | n¿ ¡uncion que r , ¿¡dt rc¿ yn Lna reerón I ,m ada po¡ do.. i rc-ro\ con(tntrcos de ce¡rro: = a sremp¡e se ouede (proDrem¿ e2J.

re\arolare.unaser iedrLaurenrJeereLrporvéa

D^. Sepueden dennf,vdrc\ I po. de lnert¿nd¿de. de u¡¿ tLn( ion / , I d p¿ rr de ,L ,eDe de La ,m,rü ejmpro. crando l¿ párLc nnncipdt de un¿ r ie de I áuren, u"* *

"¡r .o n". , " ¿. , ._,"" i .a i ! u. m,enrra( que ¿ son rodos nuro\

"^,"., "- - ; -: , : -^i_",l."

.:1f ,,,-',a pirlrprircpa,üe;e inho,,;.,;;.*.:;;fiJlL'i:,ililliii,i^í.:;1,'.l#il",.o",j,:.;:;,j

qiúDro: La run!,ón , = r+1+2|_,1_+ r iene un¿ \ngut¿nd¿d ernl ,a l cn : = ( ]

RESIDUOS

Los coeÍcrenres de t9l k obrienen d. ta ma,d ..ne de r¿y,o -,,..p""",.",i ," r :',ir:il; il:.,:T::11:.:l:l':ix..:,,,ff:"j. ::l;tr¡ , r /¿,¿ dc /1-r en ct poto¡.a.e.oeimpo,r inciacon.o","r i " .s. t .p*0"r,-rr" i -" ; ; i , ; i ; ; i "*

' ' = r's#rfi r,-art\.)) e4d¡ndeTsael üden del poto. para polos simples et célculo det residuo es paricDlamente sncillo. Fs

at = t in a a) lQ)

TEORI;MA DEL RESIDUO

^_ Si / i : resámliraenunal tc¡ónR*ceproenunpolodeorden¿en?=¿ysiCescualq¡¡e¡d,Ñ

i :Te; : : r¿d¿ den c eco**"a

" , i " r .* . , i - ' ' . " " ' " , " ' - ; ' ; , r ; , ;B; ; ; ; l ; i ; i ; i#

(ve* P¡oblema l3), se sigue que

FUNCIONES DE VARIAALE CoMPLEJA

f"#ú = {3", J;:l

f rr"ta" = "",o-,

349

(12)

(13)

(14)

li'l,ii;11,'lf-.'i',XiJ '''n tomo a un camino cr¡ra¡io que encierc er poro simpre de/rz) es 2¡¡veccsMds gener¿rme¡re. se ene et sreuren,e e mpo"tanLe

T"orer¡L S, /,t es amtJtrca denrro y en er conroroe po,o! ¿ ó . den,ro de ft .;" ;,;;;."3.:1 ,;.:l:1:",1#fi";""1"1"Jiil::: "*

f "n¿L" = zai(a t+t)- t+c \+. . . )

g'fr*##*T#jtJ'"-1fr ',1lüff .i""'¿:t""'ii::'"1Í:,$J:;,:::: :::"":::i:ff .,i

CALCULO DE I\']'EGR,{LES DEFINIDAS

;r'#vq.";li"r i:::fi :+::i*.{l?r*':#*'il]::.#r{. :,;,lll''i1i:""1,'ff',:rir::;;t J,'r1,¡a,, ..(¡) fünción par.

co¡sjdéresef ¡,(z)d¿a to raigo de u

É:[mt; iJl I ::',,""*;'.;" ;" .'il;" ;*ff .,;:":z.

J""" eb,- , . ,"ouüao,c es una runción rac¡onat de sen0 y cosp.

-. Haciendoz=¿ú.e,""a=,; i , ,_,a= zl l t az = ie, ae, o sea, d0 = dzt iz.

,,"TJT::,";":;lll"nr" ".f' r1,1 a, ..,ao c e, ci¡curo uddad de ce¡rro eD er o.iseD

" -[i<'r {;"""";;}",. ¡(¡) iunción ¡a.¡ona,

Aqu! 1e considera fnp¡"-_ar.onca-,blem¿ 14. J que en el l ,po L véar pro-

en que entrán contorros párrcu,a¡e\ . !edn5e probtehds r) , t8

150 FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

Problemas rcsreltos

II'NC'IONT,S, LIMITEg CONTTNUIDAI'

l, Detemina¡ el conjunlo que reprMt¡n \

(aJ l , -2)=3, (b) , 2=lz+a, { . ) z 3l+ z+31 = 10.

(¿) Mé¡odo r¡ lz-21= x+i , -2:) , -z+¡yl- . t4 i z¡" + l : 3 o lJ - 2)1 + l : e, un c im-lo cor 6¡10 er (2,0) y ¡adio l.

M¿¡odo 2: ¿ - 2ls la disl¿ncia enre los ¡rrmercs conpl¿jN z -: + i y 2 + 0i. Si €sr¿ dist ¡cia e-simFt 3, e¡ €onjünto * n¡ circulo de ¡adio 3 de cenro 2 + 0, ó (2,0).

(¿) M.do 1: l¡+¡)-21= l¡+r+41 o J¡; -¡f +7 = t\;¡¡i;T. EGv¡ndo ar €Bdr¿do,

Matorro 2: EI conjunro €s tal qüe Is disl¡ncid de.¡ punro dcl m¡mo a {2.0)y ( 4,0) str isüales. D€ñodo que e¡ coójunto 6 l¿ Dedülriz del scnetrro quc uúe 12,0) a (-4 0), o ; - -l-

(.) Máodo r: Er corjunto 6 d¡rro pú JG -,f¡V + Jt¿ +-3f i7 =ro o /-(r 3)¡+l-=l0-J-c+rF+7:Hdsdoa¡cúdúdoysinpl i66do,25+3'=sv/ i -y+3f +l- .Elev¡¡doalcDdndoy sinpliñendo ot¡s wz* tÉne; +

í; = ¡, q@ 6 wa etip&des¡je nayo.5 y sGje ñoora

Maiodo l: El conjunto es t¡l q@ l¡ sl@ de ¡¿s d¡¡ancias de un pu¡1o d.l nismo a {3. 0l y ( 3, 0) s 10El €orjünlo ¿s. pue!, ¡na elips de fd6 6 (-3.0) y 0,0) y cúyo eje @yor ti€ne longi[d r0.

2. Determinar la ¡egión del plano z ¡ep¡esentada po¡

la l lz l < 1.I¡te.ior de u €inló de radio L FBün l?-t(¿).

Ib) t<1.+2i =2.

lz + 2il cs la dist¡rcia dc z a -2¡, de nodó qu. z + 24 = r.s ür ciEülo dc radio r de ce¡tro€¡ ¡,osa,en{0, -2) j y z+ 2i l= 2 es ! r c l r .u lo de.¡dio 2.oú @1rc €¡ -2t Eútol@,| < 2+2i l=7epreúta la Esióú e'rer¡o. a lz + 2i1 = l, Éqo inteüü . o toüe z +2i : 2. yéae Figt6 l1-r(b).

l¿) nla = atqz = r/2.Nól* qúe egz = C, cónz : p/. ti egión 6la inñrir¡ d€¡iñit¡<la po. ¡as re.t4 d,= r/3 y O = rP

inclüidas .stas .éta, Fi8¡r¡ tA(c).

3.

Fis.lt-l (¿) Fig,r?-r (ó) Fi&rt-t (c)

Expresar cada fu¡ción en la fo¡ma ¿(j,r,) + ¡u(¡, ),), con u y , reales:

(ai ,¡, (b) 1/(1 z), lc) eú, (d) tnz.

lt\ b = z1 = 1¡+ür = ¡" + 3a'(ir) + 3r(irl¡+ (ir)r = ¡r + 3ir¡¡/ 3r?r - ir¡= r¡ - 3r!¡ + i(3r!, ,)

Luclo r(¡,!) = r' 3.!',, n@,!) = 3t'11- !",

-

151

tqu=.L

FUNCIONES DE VARTABLE COMPLEJA

111-¿_iu 1 ,+iv -

"t/.l i = r:# u", ,\..ü = o_#+{.¿!¿¡! = er.(cos3! + i scn3r) y ¡ = ¿! 'cos3r, r = e&sen3/

Obsrvs que tn: es um runciór muttifomqürf múrt,prod;22 E,e1,rp,rt;ilil;#:,LTi"l#,:,f#:lü:'."#j:*"J$'1;:,?:i;it^ma tM ptjr¿iryt de tn ,_

4. Demoslrar (¿) sn G + t) = k¡¡cosh.'¡ + ¡cosrsenhr{r) cos (¡ + i) : cos r cosh I - r sen ¡ senh .r.

Apl icando las retacions 1 ' -cos z+ ise¡: , ¿ , .=cos: isen: se t iedc

, ." , ' . :1]

2

lrron-e. . fn/2, 2.

2, ! {¿-,(@s' + isn,) ¿r{cos, - isen¡)} =

snr cosb ?/ + ¡cos¡snh,r"..r(q9 * 'r*,r(e ::)

cos¡coshg - i 9¡ , snh,

Anátoaanentc. .os: = cos (¡ + is)

= J ic.r+¿ n-, = jGakos,+isenz)/¿ ¿"' " " ' \ r " ' \ - , ,

DERIYADAS. ECUACIONES DE CAUCHY.RIIMANN

s. Demosta¡ q," j:. .i""ao ? er conjüsado oe z, no exisre e¡ todo pün!o.

Po¡ deñniúón *t(u)

= :ll"

&# s este rieite *¡te inde¡€ndienrcnente de la mane¡a cono

^:.-- Ar + ¡^, tie.da a @ro. Entonms.

= lñ¿ r ,+ar ra/ ( ¡ i r ti i : ;

s¡ ¡r: o, ir..r.,r. * ,ljl"# = L

si ^,

= o, er ri;F N Jl"# = ,.

, -F-J.dó,po. 'h i+¿prc, ,da! .one.¿,trm.remuer,dlqree\.oependóüe¿ndre,J!oh.&..o"ño, joqüe ¿ dcn.d' jJ ole : , ¡ c, r ,4¿, i , r ¡ , ,úJo pr ro

"rt" J-i;t

I

352

6, (a\

FUNCIONAS DE VARIAALE COM¡IE'A

= ii=t sieúpE quc : + r, i¡<rcFndicrtebel¿ de la ña,e¡a conó

"Y*|'o, ii :*."**",",

ce¡as usüares.je denv&ión sieDprc que : + r. Asi qu. por ra Edá ¡e de-

t -¿*r+¿ - t r*¿*o ¿ o zxu (1+r(-1) i= ---ii:"t-..* = ii:t

"' l."Tffia:'":i,'r * bdo phto exepto er z - r, en que ¡o en6t€ r¡ de¡ivad¡; sto s. ¡a runcióD ¡o

lll" -'--- ¿1¿ = riñ! tr(¡+Á¡ ,+a/i

" ^" "t),la#@ +.{ree.rL=:rr.zri =

Si tE d. disrir ta ddivad4 6tos dos üñir6 deb.n &. l8uar6, .sto 6

cño du = !,¿x + u,d! = o, ! = -\.

AsiDjqo, pu6ro quc dr : ,, ¿. * +¿, _ O, *

=

7. Demos¡rar que una condición necesa¡ia pañ gte u = f(,J = u(x, !) + ,r(x, /) sea aDaüticá cDtrna rcgjóD es que las ecuacio¡es de C¡uchy_Ri.ma"" du aú 6uregó¡. -' -" ór

= a!r' d!,

= rase cumPlan €n *

cono l(.) = t@+it!) = n(!, ¡/) + í,(,,!), etiene

Lü.so ^ '+A2) = f l '+^a+i(1t+^u) l = {@+^.,1/+^ü + í ! ( ,+^r,1¡+^.1)

#n,#

¡q{, ¿,íav ¿t

**,* = i ,#. , ; = ,#*#t r .nodoquc¡¿detenfe

*=,# , " ;= #.

-""H:":Trff :#;.*ij"Jffi"g:ffñ.t#tr :::1*i#J,,,*:,:K$:.,,/ff

' ¡:g q¡"*' ltl,i'g'¿l T "i:', ;l;"j.";T.T';:ilh.:HüT':::,¿j,iiy"tr"tttrt''

ff"T1;T,*' o*""'os detcminados d. es¡6 iám¡ria!, (¡ )) = %, ur:,r)

-,0 qu€ e co.1a¡ o d

-: .

- "b'9i*q&.g1¡¿L'k qD

caP. l7l FUNCIONES DE VARIAALE COMPLEA 153

Ca¡@l¡da .. {¡o, ro) ásLs ¡€p¡esdl¡r,¡.sp€crivdcnr., la Fndi4t6 de Is d6 cur-% 6.1 punto dé i a'!@ión.

Por lú eüaciones de Caehy-R¡d¡n¡,!¡ = ,,, !, = -,,, s ri.ne que el prod¡cro del¡¡ p.ndi616 a .l punb (¡0,r0) s

I t \ l * )= ,\ '",/ \

¡,,/d€ ñodo que dos .lmenros cüa¡¿squ¡d¡ de t¡sr6petiEs fmili6 son orrogonates y si lasdos fmilia en ofogonat6.

(bJ si Jlzl = /, 4 u = Í - f, "

= 2Jr. rasgÉfs d. nri6 elenhlG dc r: - /: : C,,24r - Cr e v€¡ 6 lá FigüÉ 1?-2.

EDae¡odinámicaym€cár icadeffuidos, lasfu¡cionesdyúqf( , )=ó+1tr . .oni@arr] l r i .a,* llafmsn potacial .le belocida.l y lúción de coftia¡¿, rcspedtvamente. Si C = ¡r + q¡ _ rr + f¡,(¿) h¡rrar ¡y' y lb) tutt''t IQl.

(¿) Por la! ewion6 de c¿uchy-pjm¡ún

Í t Y = 2r+4

M¡rodo l: I¡rrgñddo (t,. ú = L\t - 4t . F\\,.I¡r.eú¡rto (r), V - 2xr - 2r + ctr)

Esl¿s- sor idént¡qs si ¡(¡)= -2r+¿, cj):4r+c.on c €@st nF @¡ satqu¡fr_ At, pu.s.ú=2ry+4!-U+c.

--_Intet@no (r), ú = 2¡) + 4r, + ¡(¡). LeCo at sritun €¡ e), 2y + F bl = ly _ 2 o F, \,) = - 2y F(x) = -2x + c. De dú\4e .l' = 2xr + 4, - 2t + c.

ló) Pór fal, tln = 6+i$ - ., + 1c - y2 + 2y + il2a + 1u - 2. + ct= (z ' -y¡ +zi t t ) + a@ + íul - zí l t+ is) + ia = ¿+L-2iz+c\

donde .r cs ¡m co¡sla¡I¿ iDagiúia pur¿.

tro bhbi¿n s puede hrer obsero¡do cu.: !¿i . : - r - i dc modo Cue r - z,+ ' l

,, = ;.

EI qulrado e obticne €rron€ pq susriiuc¡ótr; lc 1¿diú6 etr r s .lininar.

NüEGXAI¡S, TEORET{,{ DE CAUCI{Y, IONMULAS INTEGRALES

l t ' - t '+2i .u)@t+idu)

l,-u\d¿ 2'u!r! * it''.,'.,'z.ua, + a',"ta"

Aó Ar Att ;=d,,a,=-, ,Lu.8o

\ , * = zu-¿

154 FUNC¡ONES DE VARIABLE COMPLE'A

", *:i"j*:11,.11,;"-1,:ffispo¡den a I = I y r = 2i ¡especrivanenle. cob ro qüe rhs inr¿cúres cuR!

J., l t r" r t¿t 2() l t \2t nr, + tJ, t2l t t l t " t dr + t¿.- tJ\2t)dt) - :+ u'

(¿) El egñe.ro de (t, t) á (2,4) csrá sob.e ta ¡edo de c.ua.- , , = ,! j

"S. encüenka aí

J' , , t o.-r , ,* 2¡(3r - 2)rdrr \

+ i . t . , l ra3, 2)d¡ + f , . (3r , ) . j3¿r) = -E . :(d) Dc 1+i a 2.r i lde( l , l ) a (2,1)1, ,=1,¿r.0 J,*r iene

l . ' , " ' - I ' , " ' I , ,De 2+i t2+4i Lde(2, I t a (2, . r )J, r 2,¿.r-0 y se r iene

I ' 0, , , , l " 'n , ro, , , 30 e '

Sumando. (4+3ü I ( t0 9i) -

g -6i .

. Por los nÉlodos del Capituto tl) se ve que las integrates onirjn¿¡s so¡ indepe¡die¡les del cann(

an que 60 erpka que s oblengab tos ñisos laroEs en (¿), (¡) y k) .¡ to que pr@de. En ldcaso la inGcnl e prcde €tcula¡ dneclamenle, ono pa¡a las va¡iables reates,;n; sisuej

J,. . , , , i l , ' . , ' j ' - : T .rr. {a) Demostrar el l€o¡ema- de Cauchy : Si /(z) es analilica sobre una cu¡va snnple ceffada C r.'

en su inlerio¡. *ro*", f ¡1,¡a, = o.rrr r -n €rac cond'c ioDe.. d. ." . t , ' , q""

J, . , r , . ,d: e. independrenre drt .¿m,nodep sp-

Por e¡ teorema de Creen (Captüro l()),

! ' , , " , l l ' : . i ; : : . \ , . , . . 6 ' " , , l : ' . , . ,' JJ\ '

sichdo t ta rcsión Ginpteme¡te coneM) delimrada por..

Pksto qk /(, s üahica, :,!

= ,!r ,

jJ = - ,i4 e-rr"., z), y. por r¡nro, las inrearar.s anteria_

:on nulr . . Cnron.e, . { r , a, o. ."p,ni .nooq.e ¡¡ . r t ) por.ól isrer\ . ré. o. , , tÁ, la\ p¿.. , . .

(¿) Considémse dos añms cualesquiÚa ent¡e los purtos pl y ¿(véas Fic. t7l). por el ¡eorem ¡ie Cauchy,

.l x't a' = o

Lúe3ñ ) t ( , td, +

| |zt ¡ l? = o

. *^.J la a, -. f rc, u, - I no,"e-o_e¡_L, inrgrdl¿toL'Aode.p,4p ,-rnrno.r ,1reg.a ¿totar8odep,rp ,crn.no2ry po.rr, , nresnr e. Inrepeú'elre d- c¿n,ro qÉ une p, y p-

r .ú-r . ¡o. oet probthá t0. pr io qr¡ / , : . . r e. an"t . r ,c¿

FUNCTONES DE VARIABLE COMPLE'A

I¡k lt-a

355rL Si flz) es analític¿ $br€ ei conromo y eD e, ¡n@no¡

;'.:"i.f i;"ii#f*"!o¡edos eúas oerad^ c,

S",taa" = f,.n,ta"^. . - . f "1. I

u, ' * . r" 4. c^neuyáe e, cone ra \ r r une dni;H":: íi,

_" uno de c/. po¡ .r ¿corenJ de cahhy

.J pn,=o

p¡ero que /(:) €s an¡lítjq en l¡ Esión sómb¡ea¿a y taoDrn en e¡ contotno. E¡rones.f

.J t r¿r¿ J

t , "" , - J, ,4, - 1, , , ,d, 0- -;,

( r )

- -J n; ta" = I r . la,

f.,to* = 5,,^au,Obséd* qüe /,) no rien€ qüe s¡ analtrica ¿,ro de r¿ cuFa C:

(¿) Demosmr ou¿ [ -!L - l21i \ |' J, t , ot , r o . , , . . ] . r ,0 s,eido c una cuua jmpre ce¡,¿-

:"", cl:.:'¡"'.'- un¡ reg,ót €n cuyo inrerior queoa : - ,' , ' u\ua¡ $ et vato, de ta jnlegrat n ¡ .0. _1. _2. _ l , .(",

:::":',:" _*rj" u: '"gio . de hi¡o : : ¿ (Fie r7 5).f.^ k - o "* ¡n,r,r's .; ;i;;;",;:";,1; ;:.,¿ RA'on en.en¿d¿ po, cJ ( ,. e r,en.. po, et É,otr"., ,:.

f---¡' = {-+-

Par¿ c¡,alar e\ra útlina In,eg¡a, nóre.e que ,ob¡e

i.¡;.i '", i,*.' ' ¿¿' É¿3@ t¿ ñ

- Í" ' . :) ' : i Í . ' ' ," ' ,- ; ;si ,= I se t ,ene , f" ' " u, = r , , .

''' ll'?"h"Tl : ,1;;;:::t:$Í::; l.Í;,1;%;l;, ; ,i";:tXlTff: .* pü¡,. i¡le¡iór a

r¿ carcuh f, *L" ** c €s (¿) er circulo l2t = r. (ó) el circulo lz + ¡ : a.

{d) Coñoz=l e6nler iora lz _ t , ra i ¡&sr¿¡ €s ¡süar a ero p.obteDa l r ){¿) cono z=3 es intenq a lz+ ¡ =a, h int€éEr es suat a 2¡¡ (p¡obtema lr).

Pú. J ted" = -f rc*.

J taa"

t3.

¡ta. t?-5

356FUNC,ONES DE V

ta ( , r , . . -_ RtaB¡ | covPLEJA

' ' :1." i ""#,TI ; , : . r reundcu,v¿simprecerádac)ensujn,r¡ ior . ) . , . , , " . "" , . : : : ,

t rc) = L í :^42r; J, -od(e¡ntrdó{e aJ ¡-oó¡em" 12 J c lc hSura de,problcnd Jl \e Lehe

9," :" . 6. . , .t-*'" -'=,,ÍJ::JJ#

''"'^' * 'u'*'/'"¡r" * "¿'e.ra.pqo 6ho /k) $.iarir€a, s o¡,t^.if," 'rr.+,",,*

- ,I.),::o" * -,")¿a = i !,", t(")da = 2"i ")coo lo quc sé ricnc c¡ .esutado pedido.

Ió. .d,Lur. , , , d; ,ovr, , . . f e, J . , , . . r , . r s iendo a et crrcu,o l . t , B.

ldr como : = quc!¿ d.nr¡, de c, L Flg' 2- | 'ü=- Lueso ó j ! : l / .

- ^

1t,t ,{. r . ; J .ó I .1, g , , dr_ .po, e, probeh. ,<. nre\ . 0 \ . . . .

" " . : .

"

l7- c" t - - t - - . ( 5z ' -32+c-- . - - , - ,

J E. t ,_- . , : jendo C und cun¿ , imptr ,e,radd que roJe" a : . L

Métoito I por ta rómu¡a imeg¡at de Caucny. ¡,"(",s i r=2 v l r_) = 5: i - r : r 9, es / , ,0) =

, = #.1"q-;,-r,.M¿rodo 2: ( ¡ - , -

- . I LeSo

A 5: ' r " +,1-, . r , . JDr

' ' l , ' - , . . .

'9 .=, '1.n5

#.í"/_o,,_,"

!.í=¡,. = ,.,",

- ¡ó- rL : 5(2,¡ + ?(o) i {(o)

FUNC¡ONES DE VARJAALE COMPLEJA35/

SERIES Y SINGUI.AIIDADES

18, ¿Pa¡a qué valores de z cor¡verge cada se.ie?

*, ¡ ",

r *. * _ ,.... ,. ^,,n.

r *s.

.,*ii:l = .-:lia-,,,_ _=l = Bc¡irJ;:

rr crrlerro der cocie¡re, ra erie co¡verc€ si l;l<2 y divúce si i:i>2 si kl_2 iana €r

u i" '- l l l* ' ¿ {¡e d- r¿b'|F "b{rLb",É;-r. l ' i ; ,1 lm,occ \ i , : , -2. pk.¡o q(

"¿ - conkrge

. inff:,":;;ffi:" _"*"" labsorutanenr) para lzl < 2. 6to s. e¡ rodo puoro der cncuro lzl _ 2

< ( r f - ' r . - ¡-_, , r"=l , j ' , i : i r se, ,ere

Srl : , = l enronce! ¡ _ I = r¿,¡ ! L .rrnu ,-!no no ue¡de a cero "on

, - -.

'"i" '" "on"i"'t. "n .i "'-, qüe dive8e puero que er rér

La serc. pues, converee denkó det crcuro lz ¡ = l. ¡Eró no en et conrorno

19. Si>o,,2" es absoturamente conversente para lzl S.r, mosr.ar que es uniforrnenente conve¡-genre para eslos valo.es de ,.

*."i:,::iff:::"' *** v denor¡acjo¡es pü¿ senes de réftinos conp¡cjos so¡ a¡¿¡os¡s a aq!ér¡s

En 6re ca$ s rÉre l¿,z"i = k,l¡" = ¡r',. cooo po¡ hi¡jr€sis, .i ,r. conv¿¡ge. s sisue ssú¡ er c¡terio

de ó.den I lpotos tjnptet.

. ,¿. t " , . o. coño . . .2 ¡ ,u",uo- 2: ¡ t l la 2)¿lpúede *rbf ¿:- L 7-tz. t - l

L¡ aünción tiene dos polós si-'n,, . =' , * , "-,'!t

jrt' n

' n' * t * ,t

(¿)

TJ

20. Siru¡. en el plano finiro z rodas las sjngutaridades, si tas ¡ubiere. rle cada función y nomb.arla!.(') ,f,ñ. : = 1 es un poto de oiden r.

(ó) rc-¡'ffi#l-T-t - : = 4 es un poró de o¡den 2 iporo dob¡e): : = ¡ y : = r _2i$nporos

358 ¡jUNcIoNE.s DE VARIABLE CoMPLEJA

id.rd P.'o .oño lin bG' -td) -;"-

. ¡ 0 pJ'er i' rr ¿ .inauial

suhndad evilabl€.

Oro Eórod.:

6 sihsnlari¡iad eritable.

Esta es una Frie dc Laür..tfl que la parte pri¡cipal tiehc uh ¡úmerc itnnito Ce témi6 no nul6.Entoo6, z = l $ ¿n !¡nqdarida¿ ¿s."cial,

Era función.á(e dc si¡e¡laridads ñ.itas. Sir mb¡ryo, hacie¡do z = 1/¡ e obdoe ¿'!, qc li4eüna si¡sDlaridad esencial er a : 0, Se deduc¿, pu.s. q!. z = ó es una sirCllárüad .sncial d. ¿,

En g€ne¡¿I, pm a6ku¿r la nalur¡l* de üna posible sine!¡ditrad de ,¡k) €¡ z : ó, s he z * ¡/úy lüceo s. !mi@ .l conpondi.nlo d¿ la ruela fünción par. ! = 0,

i { ' - ( " - i -# ' ' ) } = *- i . ,

21, Si ¡z) es ¿ralltici en todo punto inte¡io¡ de ur circulo de r¡dio n y ceútro ¿, y si ¿ + , es u¡punio cualquiera interior a C, demosl¡a¡ el ¡eorcma .le Tatlorl

l (a+,¡r - ha) . nro, f ; ' , ! * , ' $rrO '

.Por l¿ lóñnla int.gFl dc Cauchy (P¡obl¿na 15) F licne

t t " ' , l=:6t t ' td ' '2, iJ. :_d_h

____L = r___\z a)t l - h4.- a) l

= -r f r , -Á.r--L-

¡ ! r i+ ' I- { ' af - c{ 'k--¿_Át

Sust¡lüyendo (2) en (1) y utilizo.do las fómul¡s inlesnles d. Caüchy s li€¡€

n t¡ , = ! -6t 'ud' - ! .6 ! ' , 'd, . h ' r h: ldz' 2 ' i Y ' '¿-d, ' ' ' r r '

= t\a) + h t '\a) + S|ot + * f ir.t"r *..

-" = !'# {,É=i9#;=6

Ahora bl.n. s' -eia \obml-, , ,-l , ) t ¿ R.dr modo que por r.). Ésira l¡ló, *

tiñe. pu$to que 2rÉ cs l¿ lo¡gin¡d de C,

¡n, I th l ' l 'M ,2-¡

Con ¡ -

D. l&l' 0. ErIon6, n, + 0 y se tiene €l auha,lo p€d¡dó.

Si /k)6anal i t icaenun¿qióna¡n¡arr=lz-¿lS¡, .$puol .epncnl ia¡ l¿Fr iedeT¿ylorsrúerü de Lau¡€nt (Prob¡ema 92). En cierios caios, cono * e pó¡ el Probleñá 22, l¿ s.rie d¿ láur€nt s puéd.obreE¡ uliliza¡do sri6 d¿ Taylor orcidls.

(r)

al

22. Hallar series de Laurcnt en lorno a Ia singularid¿d qu€ se indica pea cada una de las füncionessigui€ntes. Nómb@ la siúgúlaridad en cada caso y dése la ¡egióú de convergencia para c¿da

FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEIA J59

Sea z 1=¿. LueAoz=1+¿ y

" ' " t , I" '1 ' - ' - ' ' 'sr

- r t J¿(:- i ) ¿(: - 1) '

(z-1)r z 1 21 31 4l

z = | es un pola de or¿¿h 2. o pola doble.La sn converg€ p¿rá todo lalor d¿ ; + l.

z = o es ta^ sinaulai¿a¿ esücial.l¿ serie cónvergc p{a lodo valor de z + 0.

/- | I ¡ \ -= zt - z! ; r ¡ i7- 6 i ¡ - 7111

- 2l2 1121 6t . '

(¿) M; z=.. con2-"=¿. es

!!!¿ _ sn (¿+ ¡) _ r l d xt \= - ; \¿ t+t /. . tz- t)1 (z r)\ ,

- ' - B! s! -= -1 +#-#+ . =

z = r es on sitsularidrd etndbte.La e¡ie conlereÉ para lodo valo¡ de z.

\d) rz+r; \ ,+q' 'z= r ' Se¿ z+1= ü. Enronlcs.

-3--L = 1-16 ¿+' ' -a.+2¡- . . )(z ' tx¿ f 2) , (¿+r)

- = - f ,+z 2L + 2L'- zta +

= -)- + 2 2\z+ r) + 2tz + \)a -

z = -r es nr polo d¿ ot¿¿n t, o pola sinple.La erie @nverBe paú valoÉs de , tahs qüe 0 < l: + ll < L

k) 2k+2f- i :=o_2

Cdo /, :: 0. Por €l toena del binomio,

= ,¡+rt = or{r + t r(,:) . .'}ir(;)'+ (-3x;lx-o(;)'+ }

1 3 3 6^3: 16 16- 32 -

z = 0 es ú poto ¿¿ o ld t. o poh sinple,La Fde co¡Er8e para 0 < lzl < 2.

3ó0 FUNCIONES DE VARIABLE COMPIE¡A lcAP. 17

.'(r'.(t'..1Caso 2, . = -2. Sea ;+ 2 = r, E¡loúcós.

11t -^r = ( / . - r ) r - = =t¡r ; ¡ ,

1111= 2r ' - 4v ' 3¿ 16 g2^

11= -rd+ú - a€rA dE+6t - -2 es 0n polo rL odq 3.

La sr ie co¡versÉ Ps¡a 0<1,+2 <2

_*{'.;-'(9'- S - $r .+a

RESTDUOS Y EL TEOTEMA DEL R,f,|liII)UO

2¡. Si /(z) €s analitica eÍ todo punto interior a una cürva simple ce¡.ads C.xcepto €n z,= ¿ y sobr.la cu¡va ñisa, ú z = ¿ 6 urr polo de ode¡ ¡ tal qu€

l (z) - (z i ,^ * 1 i l ¡ ' , r " +n0ro, l¿ o) - d ' (¿-d) r"

cotr ¿-. + 0, demosl¡ar que

(a) 0 / (¿)dz = 2=td I

(¿rd' = l im- ' , , ;=- , { (z o) f ( r l .- - , l r - ¡ ) : oz-

{¿) Por inbgráción, s 1G¡c, hple¡rdo el P¡obLña 13,

6¡un, 6-: . . . . , - '

6: . ¿, 6r"-"u, qta&-ar- t¿r

Cono slmotc el émi¡o en que .ntm ¿ r ¡o e cliniña, s dice que "

r s el ¡et¡?le d./(2) o d

(ó) Muhiplieldo por (z ¿)¡ * doe b sne de Tay¡or

l , - d) ' ¡ ( , ) -

¡ - + ¡- .1 ' ( : -¿) + ,+ ¿- ' (z- ! )"" +

Tomando (n - l}+siúa <lerivada d. ¿nbos nienb¡os y h&iendo zJ¿, e tl.n

( i¡ r)r¿-, = r i . Ftt" o"it¿l

con lo qü¿ Bdta ¡o ali@do.

24. Detemin¿r los residuos de cada furción en 1o3 polos que se iDdican.

@ A #+t) : i= z, i , - r Eslos po¡q son sinples, E¡rotres,

'.o ,{a¿-r",J = á

'- o o{n=5if¡¿=¡} =

.'¡-,o.'{¿-ffie--J =a- rrr,r -

?:J-ii=i

7-2i1o

I +2i

o)

FUNCIONES DE VARIABLE C'OMPLE'A

IaG¡tF: . = 0, -2. z=0 es un poto sinpte. : = _2 es un po¡o dé onjen 3. E¡roncesj

Residuo er :=O es l ih z. _L 1t_o 4z _2)z 3

R6duo en : _2 es ¡ ,_ ^r , { - f , , , , , " . -_L t, - -z,n¡ I _ - , , , r " ¿r, l

en ras series de ráurcot ¡esp.c,r",, i;e"* íñi,i"ir"¡;".;:.: )"":.^::,-1I:.*l 'mbih * pueden obkne, ¿ p¿,rnde k

i ,$( l )=¡." i ( i )=-*de tos coefrcienres de t/z y l/lz + 2)

3

G-sft z=3, un pot. de o¡deo 2 o po¡o dóbh E,¡oncrs:

Err idüos r im - Í 1, , . , , . - ' i

_ ,' i_" rt. '. '' E=,,1 = Jrjt; k1 l::l ,.,, _ ,"r= ¿e + Brcr

z = 5", h poto d. orden I. Enrorcesr

Fr rclduo es tim ,, - 6.r .*$: I rr. . _!lY*",7(Jrs '" ') ' (.'* -l;)' ' '

[[i';j"'" *r'aa" u *t" oe L'¡rbpirar, quc, @no s demuer¡a, cs apricábre a rünciohes de v¡rjab*

25 Si/l¿)eranatírica sobre un¿ cürva sjDD¡ece&c, demos¡m. que

ade c v en su inte¡io' ercepto en un Dúme¡o de Polos

9"llr) d. = znr {suma de ¡esiduos defz)en ¡os poros¿, ¿, c, etc.lReferi¡se a ta Figura 17-6.

".,::#.'r.xrF :"fl .¿:"11 :;:i,fr #"*.$ na" = $ n"to, + $" x"t a, * ...

PaÉ el poto,.

rat = 6!¡+. .+,* ,s+o+", , , - , , l - l t "d€ nodo que. cono o er p¡obt.@,.f",^¿d. = z"_ia ,.

Aná¡oc¡nenre, pa.a et poro ó, /k) = S * . . * f; + b, + b,\2, b) + ...

de modo que f"1at o" =

"- u ,

Sisü'endo .¡ ta nisma to¡ma * ve qüe

$ x, to. = , ,4"- , * r t+. . . ) = z¡ i (suña de ¡os Esiduo,

-L

362 FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA lcAP. r7

2ó. carcurár f.€:#tú'""". c dad^ po. ta) l, = 3t2, th)l,l = 10.

r¿ ' lResiduo e¡ el Dolo r inok :=j c\ l iú 1(: 1). - l '¿

, ¡¿-3,¡J

Residuo en el póló doble ; - I es

df " d I' ' l - 'd.1 ' ' ' ' " - r . .

3rJ ' l ' , - ' . r ¡

(,) Cono 1= r/2 encictra sólo el polo ? - l.

Ij

Il

rd ln,ee,arque*¡equicÉes ='" ' ( i ) = +

(ó) Como l: = 10 dcierm ambos polos z = I y z = 3,

CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS

n. St l t tTt l ' : . D¿É ¡ Rp". donde Á > I \ V.on conv

lanle: . demo\I ,¿, aue l im I l ( ¡ ,d¿ 0 : iendo r e l

arco sernicircular de ¡ádio X que se ve en la Figura 1?-7.

Por el resultado (t). Fágin¡ 346,

M,uI t ' , d, I t '¿ ta¿ ; . 'F ; : ,

" r L

ya que la loneitud del arco ¿ : rR. Lueco

;* ]J" i r* l =. v¿si ) 'y f "Md, = rr

v7Mo:rrar q-e paa ¿-R¿8. Í . t l '4 ' " . f r - l r i l r " r :¿.

s, ¿-R" ' . " ¡ ,= i , , l , * -" , i , -o, ' ¡ "1

,Áe \unl*n,emenk sr¿nde 'o

ea, n > 2, por ejemplo) de h.dó gúe M - 2, k = 4.

obsé¡vese que se ha utilizado la desisüald¡d :1 + tr = z, z) con ,t = R+¿ú y a - L

c¡,,r* f- j{=.

cm.id¿H9,._j t . iendoael lonlomo(n¿dodelProbleñ¿77.qrco1.!"erel*smcrode R

a R y del eñicitculo r. r*orido e¡ el senddo positivo (conlra.io a las agujas del Éloj).

Como tra + I - 0 cuando :: ¿ir4. ¿!r4, ¿tr¿¡ ¿ai', éslos soo polos siúples de l/(z'+ I). solam€ú-te los polos e"'r¿ y ¿r"/¡ quedan de¡l¡o d. C. Enton6, ltilizardo Iá ECla de L Hópilal,

28.

29.

CAP. 17] FUNCTONES DE VARIABLE COMPLDA

Renduo ¿n.¡ , , _ ¡ , . f ( , _ . , , , ,¿, lJ

= .:y.*+. - i.*"Residlo en e¡r,¡ = ,,- 1o o"*, Ll, - ¡¿^ | . . . +r l

= Iih -!

= 1' -'r

.9.- l ' ' = ," , t ' " ' l , - ' l

l^ jh- l ,*- = +u)

r e*Totundo ,i'ites de aúbs ni@b.d <te €) par¿ ¡

' o v áprú¡do ros reslrrados der prob¡@a 28, se

.* J-r.- - rf""fh ra inrsrarbu$ada vare

ra/"# = Í:_ji = "\/t2

"\/t

30. Mo\,¡dr que f' . "

,,:"!" - 7,.

¿. t r - r t t t ' r . .z¡1z) 50.

, , :'j :1 :T"H*- 'ne¡¡arros derto de'j @n'1omo c de, prcb.na 27 soo z = ¡ dé o¡den

Er rcsidüo en 2 =' es I'll * t" - n" *-¡e--iá-*t, l

=

-#?E¡ ¡esidüo en z=-i+ies ,_rlT,,(z+ r _,) {, ,T 1rc1+ r(,+ r+ir_ =

Entoo* f,@4\#tr+6 =

'"'{e! r?*-#} = *

'" J::::1';:il:f T#,¿- € v obs¡vando que ¡a Esunda intesrar tiftde a e¡o, esún er prcb¡ma 27,

rf. c¿rcurar f" '= qur 'o ¡+3.enr '

sea z=¿o. Lueso t#, d.=tr , le =i ,de de ñndo 9!e( . dtJ,ud?", = 9, ;Éf _ f . . , i Í -

.donde c es er címro u.idad d" ".",.., ", ..,r",, ..:"i'.1* o .,r_. ,r-,.

"122

(s)

364 FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEIA

Lo' polo. de :--j-- lon lo\ poio5 impl..

_, - loi*V ioo-J;;' - - - - - -

_ -10ir 3 i6

= -3í, -i/3.

Solo el t3 qüedá denro de

"\ . .2ReJduó eñ '/3

I'm | : : ){ =-=-^r - - ¡ r \ ¡ / \J: ' - 'u,¡-r l

¡ - ,o:- ,u '

tn'oN6. O :-:-=;:-- ' 2.iI : | :. .r v¡.o, buqdo\4r /

lcAF. r7

¡¡rrt.8

4i.! por Ia rcch d. L Hópital

f ' ' d3, , "

a'eit+e ar zr+z-1

= $ l¿ + '''vz a,r . - . t ¡ + 2-t \ i .

" " \ , I= - i9.¡ f f i *

slendo C el conlomo del Prob¡ma ll.

El integrando trcne un polo de oden 3 en : * 0 y un polo simple z - j denro de C.

l : rr. ,endJóel ¡_0.\ l$¿+;.r i . . .78;_ rr._r: i j = ;I

- t -1 I 4rEr ' . . iduó en ¿: I . . , , j1 tr.

- l , . ¡",- ,". .z,J

;; .

rn,on.e" i,f .*,1;,i, ,,* - -;,,'"{? !$

tt, si 114 5 ff p*^ z : i¿d, siendo r > 0 y M coDsla¡te, demostrar que

]y"Í'"-'¡t4¿" = o

siendo f 6t a¡co semicircular del conbrno del Problema 27 y n una consra¡re posiriva.

J,r^'noo, = !"" *:" rwat iaa" ao

t2

4(-"

lf"' "-:" ¡R.'',R." dal : !"' o-:" tLne'n ;n," ae

= l" l"-"-'- -"'"rro*,ttl "J" ¿ ---, tr(¡c,) ¡,ra

u{-J"-**," =

FUNC¡ONES DE VARIABLE COMPLE A

. n,llfi"o'"" *"

' =

', oara o s o s '/2 fProbcma 7r, capiruro.r). Lkso ta úkim inreúal es oe¡o¡

#[""'r^*"¿i = #u ,_,Albnde¡¡r€,¿s'udendeae¡o.pues¿v¿sorposrfvosvset, .neerBürr¿doquespediadenost¡a¡

14 Mo\,r¿,que J""#+d, = ;e. . ú\0.

(ü,.oer{ J, ¿;_ I

¿ con i ei conromo de. p.obt.ña t7.

El intesmndo liene po¡os simp¡es eo , = a¡l pero so¡o ,: ¡ queda d.nr¡o dc c'

RA,ddóe¡: . iA ¡ ' .d.- , , - : :_ l - . :, ._,r¿_nl 2 i .

{ . i ; " .=*,( ; )=*-f . i - " , , Í ,#," = ""^

I . f f i * - ,J^F#**!"#*=..^' Í " ' " : : í* - f , . : . ,0. . , ,

" ".::TX1il'":1lKi":"1 ó v apricando e¡ p.obreña 3r pam mosrmr que ra intecmr e¡ ,omó a r tiñde

165

Fia 1?-9

Mofr¿r qLe Jo =:d,

= ;

, E¡ m€'odo det probtema 14 leva a consde¡a¡

;"il'i;1' "11í l#. : :'3""::1,"T;:: :1,:;:.t mleeretón y omo no se puede InteAn, e0 unarnsuh¡d¿d. r módifc el cónrornn me ando el e.mmo en : :0, comó se w en ta Frg. t7-9 qucddn.

c a AEDEFGHJAConó r - 0 es extúio¡ a C, se li€¡e

Remp¡azando r po. -r e¡ ta prioera inieg¡at y coobinando coó ta rcc¡¿ iniegral, se ha a q¡e

I. '""1"-"* * Íto" ' .f t* = ,

I t " Í ' i *

3ó6 FTJNCIONES DE VARIA¡LE CoMPLE'A lcAP. 17

se¡. '0yx-ó.Po¡elPrcblema13,Iaseu.daintcsr, ld¿ta. teÉhat iend¿¿ero.Lapr ime¡ainte-s¡ál del sesündo nitubro ridde a

,:.f',;;*"" - L,¡¡f-',, - ' 'pü6 r pu.de tonw et ¡imir bajo ei si8¡o i¡Esmr.

n uJ,"r;z* = ,i osea. l,-t::* = ;

PROBLEMAS YARIOS

Jó. Se¿ u . r: rlna rÉhfom¿ción det ptano z $tano r),r eú et ptdo ú (plaoo úr. Con$dérek unInangü¡o del ptaoo r de vénices /f2. ¡). a(4, I r. cr4. lt, tat Mo\t.at que l^ iha|eñ o ¡pprcvanrü¡ de esre lriárgulo es un r.iángulo cunilineo det pia¡o ¡". (¿) Hdh; los á¡gulos de este t.iángulo curvillneo y compar¡rlos con los del hiárguio ongiDal.(¿) Como o:;, s dáe ¡ = S - ,1,, = 2,r @ñoff'uion* dc rÉ¡sfolmcióñ. Asi qüe€¡ punto,l(2, tl

del pldo ry F rÉ6foña o et pürto,t (lj 4) det ptam !, (v&* ngo- ua¡,it"] e"i-t-o, Io. poot*¿ y C s kansfoman en los j, y C,, Esp€clivm.ntc. Lc ÉslMt6 AC, BC, as ¿et úrwtrto ÁRC et.¿úsfoman, ÉspetiEndt¿, ¿n 16 ÉsMlós paab6tic6 AC,B,C,A,B, det rriáDsuio cudi¡itrs/?c'de euacio¡es como e ¿nolar cn ts Fisur¿s l?JO(¿) y (ó).

!,1

l.i!. rua (¿)

(¿) ta pe¡dj¿n& de la r¡neñle ! ¡¡ cuna ,'

Flt lt-10 (ü)

= ¡(1+¿) en (3,4) 6 ^, = *1.., = ?1,,, =

r, p.rdinle de r¿ r¡nserl¿ a la cud, ¿! = 2'+r ñ f3,4).s e = X1,,.,

= "

= "

Lueco el ¿¡snlo 0.nrÉ las dos cuos ñ ,t, 6t¡ d¡do por

3-¡B"- i lnt&- l ' , ¡ r , ¡ , - t \ e-- ta

" ^.alal1e'T.ntc eule,jemo',* o* n r*i *,* ,, y ac .q ,.4. y qúe et á0guró de ,,r.¡l !

-ó( a¡ r. r,or @NiBlEnk. ta rasutc d.t rrisn8u.o oRit.- on,g,ul*

" to,

-*"poo¿"o* ¿i¡nangü¡o dddo. rn B.¡erat. \:

' - lzr I h¿ rmn\tomalióh tu que /(,,.r anatí,i€, et áuuto de.rGcury¡s del o|mo z. qú * m'!n en : . ?0. ¡ene ,eut masní¡ y ,!",,¿" r.*.**r 0,. J¿"g,1" n-rcman b\ Inágens de 16 dos cui\6. lienpÉ que /1/oj _ 0. | \l! propi.drd es tu llrno¿u pi*

con¡om¿ de rc! runuone\ ,n¿tnicd, ) por era ruon Ia k¡¡s|ofmcón u Jrzr* ,uete tj¿¡Ú ,;e.mah o reüewtución co^J¿me.

2'

FUNCIONTS DE VARIABLE COMPLEJA 36737. S€a.la-lrarsformación det pla¡o

" e¡ el pta¡o_o defi¡ida pú e = 16. UD punto se mrcve en

üi:";""::'ü'.',,i,] i:','#l:;';:i:i? #,;, "*" r'' ! MGrrai qk'u;do h; . ;;i; ; .-ü *a. p"l ."e,-d"';;.;iñi""fi["i,1:,"':t;'i.li,il ffif;.9, *-",. ",""..,",:i";:', ifi::#";.**- "Í;Y"1 ;l;l;tT f;j i¿i*ed;de ",a e*ició. de e"r'" Lú-

-*rhH::1i.TilFl;':."'l,il,llálT'";,11'=' "- u = ¿4 = ¿'¡ - -,.demdocü¿e, pünto

.":"#ii ;;"i:i'tr.:$ ,;'lH1H:1,"5ft:

ii'" o z o 4n. z -, v u -, 1' ¡ -- pa' -,. deSe siBu€ de lo ant.riorque e no .s uro funcioh unifc

;"=.;t,f i]:Ír, j*:;iÍ*":ru;:ti**::trii r*=.,ó.,-;.;: iñf j:,,;,1i,,1,....,1".;0..",.,",.",," *..,i-i,",i#;;;;;'#;;;':;i ;Tff h';lTl :TTT; i'#".:i::illT::1"?',i"':':Jl'i:"'#,ffii'if,iÍ^;3i,?,ii*p""¡'***q,"¡i'r'-¿**i.*"

3& v*",,q* f-jl¿, o<p<1.

cóFidfetr , 1' ¿

d¿ como ¿ -. o e. un puoro mút-r ip le.c l iüs p¿E Celc@bnodr t ¡ l ,g r7-t2.enque rry 6Hcorncrden con et cF r. p.o e h¿m \er s.par¿dúff,.

EI irresmndo tifte ct polo , = _l i.terior ¡ e.El Esidüó er z = -t - en es

l iñ k + r , i_

En,on(es. ó¿::ú = 2", . , , "

o bien. oniriendo et ;orgm¡do,

J *J n J * . t = 21i¿'- i

¡ia. l?"rr (r)

li'*H$;::iil;rÉ:"psrá r¿ jnlesEr a ro r¡reodc 6¡r. pu6 er alcunenro de, se¿uncrt¡ en 2f

366 FUNCIONES DE VARIABLP COM:PLE'A icAP. 17

Ssr '0y¡-o.Po¡elP¡oblená33.¡aFsüft¡¡ inteer¡ ld€lad¿Ebat iende¡cro.Lapnñ¿ráinle_s¡al del ssundo mienb¡o ú6de a

t i - l ' " ' " . "" ¿c - ,^ t " " ' " o"

pü.s s puedc tonú el limile bajo el sb¡ó incgnl.

,¿' L¿ p.ndd,. de ra ransente a ra cú.v' ,' 4{r I r) en /3.4) e, -, - Í11,., = :1,,. . i

Lr p€dden,e de ra mñg.nre a ra cufra ¡ ! 2 ' - r d i3.4,6 *-*1, . .=,- t

Lu€so cl ángulo , fllE las dos cüflas .¿ ,,f está dado por

t¡e - ,6:- ! ! =, j -L - r . ) ' q.4

- r+h,n¡ r+(r)(¡)

Análosanerr¿ plede demor¡asc que el áne¡¡lo ot¡e ,r'C y BC' es ¡/4, , que el ánsülo de.{ A' yt'C' es ¡r4. Por.onsiEui€nle, ¡os ¿ngu¡os del lriársulo cuÍilinco sn isüalcs a los cor¡espo¡dienies delrriángu¡o da.lo. En s.ne¿I, si u = /(zJ 6 u¡a t¡anslomación 6 que /(z) cs analitj@, el ánsulo de dos.¡o¡s del Dlano z, qne e co¡tan cn z - zo, ti.he ig@l nagúnud y slido (o.ie¡l¿ción) qne.l Ánsrlo qü€fotun las imáscnés de las dos cn¡v6, sieñp¡e qle /(:o) + O. Eslá prcpiedad d tá llaha<t¡ propiedad@ óm¿ de l4 füncion¿s ¿¡¡lilias y po¡ e$a mzjn l¿ l¡rNlbmacjó¡ u = /(:) se suele llaúar r¿¡sr.tuc¡ón o repr¿sütu.ión @nlow_

Í"'"|:* = i

PROBLEMAS YARIOS

3ó. Sea ú = z1 una tmnsformación del plano z (pl¿no ¡),) en el plano o blano @). Co¡¡sidérese u¡triángulo del pfaúo z de vórtices A(2,l), B(4,l), C(4,3). la) Mosrrat qte la iwsen o rcptesento-¿ó¿ de est€ trü¡gulo es un tiángulo ()wili¡eo del plano ¿!. (r) Halla. los áÍeulos de este lrián-gulo curvill¡eo y compara¡los con los del r¡iángulo o¡igin¿I.

(¿) Cono o - r:, etiene!:.f - ,¡, , : 2rr @ño @ueo¡¿s d. tm¡sloñaciór. Asiqueel punto,l(2,1)del pla¡o ¡r se túnsfom .n el purio ,!'(3,4) del plano ,r (!ée 6gura adjnrita). Asiñisno, los puntos, y C se lr¿¡sfolmn 6 16 ,' y C', resp..livam¿rle. Los esmcntos ,4C. ¡C,,,1¡ del t.iánello ,rrc setn$aom¡n, ftsp€clivrn@te, er ¡os sg¡n€dtG paabóL@E A'c',Rc',A'B del triáneulo anilineo,r'¿'C'de @u&io¡es coúo e ¿¡otqn m ld FiC!6 l7l0lo) y (¿).

FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEIA

3?. Sea la transfo¡mación del plano z e¡ el Dlan

;*,"**.':'ff 'tr ;*:i"%'* ]*rnTj:i?i:i:Y..'r,"Í,,":"1,,'rri""#i,:: gi," *a. p,i,. *g*¿""#,.;i,'ñ.:,,i#,,ffT.l ;Jlr:: t i.iil:* fffiJ:",::-*

-.,Y";:1 i't!'J:J#;t;""T,Y"1 ;:;lJ"Jli,'jmponde a h p$ición de párida L*-

--,:._:1il:: n:"*" *" :"vorlciones conprehs en er práao z,8:4t,2 _ t y u = ¿dl? _ /¡rnodo que et punlo

'n¡sen há res¡€sado po. D¡ine.a vu.

Hl#*iki'*ri;rti¡iii:'.rli T=-ji,ffi 4fr#j;r,j'd,x:il1':;1tj'#,iJ:ff l';;"tr f ;y'í;::in'i#H: ̂*" **** *. /i')': "-, ;;;"

38. - - f - t 'M6ri¿, q( J, r : ,d. , , .ü" , o. p. r .

t f . rdd4e.9 , ¿d,. .omo 2. .0 r . un punro nr l

, 'ph. e l i ¡¿{ p¿rá ( e l .ontomódr ta } ,g t7- t2,enque 48yC¡lr. pe,o e ha+n \er rp¿r¿dden,e

El imesmndo tifte et poto , = _l intcrior a c.E¡ Esiduó eD : = -t - e'i es

rm r .+r l j -

! . i+,. ' t ' = 2. ' " ' ' ' 'o bien. oñiriendo el integmndo,

f " : : , ' , + (* B¿,P ' ¡R¿¡da l ' \ ,¿, )"- ' t " t ,¿r\ , - , r "o¿"J"t -*"" '

J - -ñ 2! ' . "P 'n

í+! , l+J

li,#d;es::;:i::x1l;,É1'¡ para r¿ inlee¡ar a ro rarcode c/'. pues er a¡sDre¡ro de; se aunenta en 2,

rr.- a-" t f" fia" = 2.ic,,-n ,

L"#* = ##:; =Fi*;=; =

p¡oblem¡s proIÜestos¡uNcroN¿s, ¡,n nrs, coNT¡NuD¡¡,* glll i f i,T:lT':"'¿'| '2, r. ' r¡r - 5. tbt i r 2t. 2r,. r,. h, J, i, -,: . r, = ó.

-" l í ; :- l f i f l i ' 2rr- ú rrr---25. @,ro i-2. ' ,r mdio j

r"r n"," a. tip.,6a" ',, n _ ,i]i,i=,i:?;jlli . ,,r,, DdeniD.¡ ra r&ó¡ det pao z repreFD¿ad¿ !Dr:

; ; . :" lJ Hi.::"kr.oÉ aryzr ; r( ' | ' : -, ' ,z- 3, - ro

¡ det cietó h _ ,r

lll ffif i: 1""zu'*;;:"iil;'; ;i,'.'o' r i ; .: ej. r v ,á Ea ¡ -- r.r

1T,".."." fudción .n ¡s fo(@ zk.r,, + r,r¡..)r. r.ndo , }, reor6.

' e,' ¿: :' =' :.':':,; :),:' l': Íl;11l-"ittt"=

"!!;rn ' =t.-uiI-'--'":" = "' ' ' *";,'- ' -- """"1i"-"'"(d, ¡ = *¡n {o+,) ,+ s¡} , , = ,e ,

r+"_L+zt"n, k=0,! ! , !2, . . .{2. Denorh¡ que k) lih zj = l, (ó) Íz) = ,, s andrla e¡ z = zo di@tuenr€ d€ ¡a dd,nición.*

;¡i i¡*¡pl' :',"-:';"1,'i'I"-'i ' "'"!ú4 qE,.rds ,¡s r¡ies \.n , @ ú,.a,.-.,., ueDeE¡rar t6 r6utrad4 ¿. ,,,,l¿, "1"

**..n " - ,.

DEXIVADAS, ECUAC¡ONES DE CAUCHY.ruEMANN.fa. {¿J $,= r ,u_ -

| __ d-,.,, . _ ;

,.,", ¿

d,Ei¡nenle de ¡¡ d.6oKióD

'11 ';,-i'li ):'l:,T'ii¿. '1. * "n¿u¡o ¡,r

44,

tll PUNCIONFI DE VARIAILE COMPLEJA 169

Dadalafü¡cióñ¿-z¡,(¿)r I ¡Uárfuncion6sles!yútat6qle.=¿+i, , (¿)M.stúrquetasf tuacionesde c¿üchy-Rim¡¡¡ e Eriñ€n e. lodo punto d¿l pla¡o frnlo :. (¿) D.mor@ qüe ¡ y D son aurcioés amóni-. s. (d) cat@tat ¿a/¿2. sot. lo) u = r'-6i!z + f. ú= 4a3y - 4xr1 (¿) 423

Denoslrar qüe /(zJ : z lz no es analiri€ 6 ri¡$tn púnto.

Deñor¡ar que /12) - 2 2 .s aDrlit.¿ en roda reeiótr que no rnLluy, el punro ¿ = 2,

Si ¡¿ part iba8i¡aria de uúa función ¡¡¿liti€a ss ,11 - ,), oete¡mi.ü (¿) Ia pare reat, (¿) Ia fDnc¡ó¡,fú| . la)

' ' ' - x ' -2r +. . (b)2iz-21 +¿,donnec6ral

49. Conúun u¡a fu¡ción aóálilie /lz) cuy¿ pa¡t€ Eal ¿ ¡(rcosrr + ',sen/)

y p¡¡a €¡

Denostrar que ¡o hay lüncion€s an¿riü6 de ps¡1e inasina.ia I - 2),.

51. H^ttü f l , l t^ t q\ . fC)=42 3yl(1 +i) : - l i Sat. Í1,)-221 32+3-4i

INT¡G¡ALES, TEOTEMA DE CAIJC'IIY, !'ORMULAS TNTTGIAI,ES DE CAUCTÍY

52. czt atat J, -,,\22 + 3) d,:

f¿) ¿ lo la¡go del cani¡o ¡ : 2t + r, , = 4tz | 2 0= | =1.(á) a lo largo del segñenb de ! 2¡ a 3 + ¡.(c) a Io la¡go de los seementos de 1-2¡ a I + i y de aqúi á I + ¡-S¿1. 17 + 19¡ en todos ¡os @ss

53. caro,rr f r t -" rz)d¿. re¡do a er semrimto qppno, de ¡ l= | cohdo m snrdo posr ivo.

54. Calol , r 9 rr 5. nendo a el cí¡culo ú\ z l -2. tbt 4-7. s, l . r¿)0. ró)qlr2

ss. c ' ¡ . ! |a 6 --+=,, ,

d. . smdo c '¿r

L¡ cusd'ado o¿ wr, .e\ - r ¡ . - t r . l+, , . l ¡ . lá) e l

cleulo lz + rl = 3r (.) el ciEülo z : v4. sot. (a) 8r?1 (b) 2ii kl2ri/3

5ó. c ' ln lú { , r { : : : : : ¿", , ¡ ' 6 " ' , ' ,d. * . . , "* .uPa.unpre

erada que encEr€: IJ. G_1)sat_ (a) 2ai (b) nietl

5t. Deñ6tÉ¡ I5 aó¡mnlas inregr¿l€s de C¿uchy.[SüCeÉncia: Apliqü* ¡¿ d€ñnición de d€riv¿da y lueso I¿ indüeión maremálica.]

SER¡¡S Y SINGULA¡IDAI'TS

58, ¿Pa¡a qué v¿lor.s de ? conversE cada sene?

,", 3 lii?ll ,a, 3 r1=_!r ,-, i ,' - , .¿ rr - ' : , " t r .

, . ' -¿\ .1) ' / : ' r2:12)t ,

. t ¿ (¿)todo z (¿),- i <1 1.) ,=-1r i

D€úcrre qw l¡ $.ie .: -+-

6 (¿) absolurabñr. @nwreeire, f¿) ünifomemerle co¡vere€nte p¿r¡ lzl s 1.

Denord que k sie i '3;l @nve'E ¡nfommenre denrro d. oatquiú dbto de rado Á rat quez+i l<R<2.

&,

370 FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

Situa¡ e. el plano 6nito : todas las siósul¡idades, si las hay. de cada aurción y óombmrlas:

, , "" .1 ," , * j , . ¡ .3 . ¡ r .os¿

S¿¿ {") : = i, polo de orden 4 (¿1) z = (], singüla¡idad esencial(ó) :: I, polo simplei ;= -2, polo dobte (¿) :: ¡/1, sjnsularidad evtabte(.1 Polos s inples: = l i t (/l : - 1r,. polos dóbles

Ha l¿' ..ner de I au'enr en 'omo

a ta \in8r,¿no¿d que { ind,€ paE cada un¿ dr ta. fun!,one! jpienre! norb'¿ndo en úd¿ !d{ la qngl landad. t .d.dr td reSiór oe.onvereenc,¿ de ccdd.ere

t6t ta_ú.: ¿=0 ( . ) ( . _ l ¡ i . s)r ._ r

s,r ¡,r - -L * ¡:-¡ - ! gl: , k:rt -2t 4l- | 6,-- . polo. iñple, pdr¿ todo,, ¿

¡b) "

- z ; ri" - o'',t - u,'; rnsrla dsd ernc'¿l pd,d,odo 0

, . I 7 I th-1)rc) ¡ i=]T

I ror . - r r f á -"2¡u- poodobe0 ¿ I 4

RESIDUOS Y IEONf,MA DEL Rf,SIDUO

63. Deteminar los reiduos de cad¡ aunción en sus polos:

.zr)J , ¿ 3¿iT6,, . r . r ;

E, , (d i

( , , ; r l .sol . ldJ z=2,1/1, z=-2. , r /4

\h) z=ot a125, z=-6t Blzs 1,1) 2=i :0, z- i i 0

ó4. Halla. el ¡esiduo d€ ¿:rtgz d et púto sinple: - jrl2. Sot. -.14¿

;fftj, siendo . Jna .ún¿ !ñpte er¿d¿ que encrem ¡odo\ toq poto\.

6ó. Si C es uno cuna sinp¡e ccreda qüe encie¡a a : = r¡, !,or¡a¡ que

0.

- .

dz

67. si Ílz) - P¡Z)/AC). dorde p(:) y q(:) son polinmios ral6 qle el g¡ado de p(r) es al n€n6 inae¡ior en dos atd. qrzt d¡mo!¡cr qre I /¡ad, 0, ,.endo rodó! to. poto! de /(,/.n.e ores ¿ a.

CAT¡T¡O DE INÍDGRAIES DEFINIDAS

lnte8ra¡do a lo la¡Co de u¡ cobromo comp¡oba¡ tas in.sEr¿rcs:

''f....e.#;qt¿. 1""

-!L =

" J."'d.=rd =

N. l"- fi^ud'

".f'".rr*,;;' =

=¡

2!

l"yE9

-!L2tE

^. ! , ' " ¡=tr##+d = f$, n=o,t ,2, t , . . . , o<"<r

z J- 1, * *.-rs = $ffi. ",ot

er. t"'ffia,82 J" r';iiF d¡

e Jo *E; ¿r

PROELEMAS VAXIOS

81. s iz=p¿oyf(z) :u l ! ,d)+¡ulp,ól ,scndopydc@rdñadaspoláes,d€nosú¿.qüelas(u¡cio.6deCauchy-Ri€m¡nn son

!1 = t i l y= ! t !ap p¿ó ap pao

33. si D : /(z) @¡ /(z) ú¡¡itica, deñn€ una lr¿.sfo¡mrciótr del plaro : e. el plano o, con z = ¡ + ¡, y o : , + ¡,,denostÉr que el j&obisno de l¿ t¡ansaoñació¡ es

f f i= tq"89. s€a a(r, ),) qne se tiansfoma e¡ c(,, u) por Ia traúsfom&ió¡ D : /(z). Moslrd q¡e si

.n lodu\ ro\ punros en que /'(:)É0. :+ + --: .- 0.

90, Msúa ¡ qñ,por ü rf mrtr ma.ún bth¿pat , = 'l:!,aona. oa - O. + O,los ci¡cutos det plano: et¡ane

foñan en cimlos d.l pláño ¿

9r. Si /(r) es anallüca sobre y denlro d¿l circülo z - ¿l : ^,

d€morr¿r la dd¡rz¿ lda¿ de Ctuch),

l ' 'k)l : +gdondc l¡z)l: ¡t sobre ¿l c¡Éulo. tsuse¡encia: Uliliza¡ ¡as rómúas iúteg¡al6 de cáuchy.l

9!, Sean Cr y C: ci¡cülos oñcÉntd@s de cnirc ¿ y ¡adios ¡r y ü, ¡€sr.ctiv¿m¿nte, coó ¡r < /,. Si ¿ + ¿ es un punrode la re8ió¡ á¡ular de¡initada po. Cr y C¿ y /(z) €s á¡¿rilica ¿n esta Égión, demorra¡ el ¡e,M r!¿ rnutal

/(¿ + r) = > G¡"

"" = .'1 6 r!ri4!-ztt Jc \, _ df'

si.ndo C cüalqüier atr¿ cer¿da de lá EBióh aoulár que enciera a Cr.

rsueerenc,¿ Bmba,e/, .+/¡ , = +$ - ! ' i - ' : , 1t nad' I

oc oos mnerrs drertrres I

rI

FUNCIONES DE VARIABIE COMPLEJA 311

!:::

3

83. Í"'#+¡*Í"'+"" -J.'** =

t

Zi;;F;Zi. lsu8elfria:.óñcidére I "o;\-.t¿. donde c.. un RLnculo de \e .

(^,0), f¡,r). ( ¡,r). Ento.€s háe¡sc n-ó.1

tI

372

94

[c{P. ¡7

t¡a¡lá¡ u dee¡¡ouo eü serie de r2üM1 Dam l¿ runción ,(,) = ET¡r--ri qü. oN.!¿ e¿r¿ 1 < lzl < 2

y dive¡j¿ e¡ cualqüiér otro pünto.

[suc.. Es.rb*e rrrDrifa = ;i * *u = u*-rl-;¡ . ,-f,¿ ]s, i . . . - i+ i - i+ i - ! + r - l ¡ + f , - ! +. . .

seaj-r'¡(¿)d¿ = t(s) do¡de /(r) es um ru¡c¡ón 6cro.ar dad¡ oyo ¡uberador 6 d€ sado infe.jor at <lel

denoninado¡. Si C es una @w¿ siñple e.¡ada que mc¡era rodos los potos de /fr), so puede dmosrra que

r1t¡ = {rf e¡a¡a, = su@ de ros Esiduos de ¿f,)en süs poros

FUNCIONES D€ VARIABI-E COMPLE¡A

Enpléese ere r6üttado pan na¡r¿¡ ¡(, si /(r) 6 (¿) __j_, o) ;'T+fT,comptuéb¿rse los res!¡tados €n c¿d¿ aso.

G) ,ul+, (a i;+jr- y

f"::fE,li".'1'1,::':ilTfffif#:"#"':iÍiLff Fk)6tatan'toma¿aúM6adzr'pta@detg)

s,¿ (¿)@s r , (ó) i¿-,s2¡, \cJl+|k"+i¿, , (d) jGú ¡ r rcs4

INDICE

A l¿ dercha, contiñüid¿d, 25

Ab.l. c¡itcfio i¡|gral de, 284

en coordenad* cilindn6 y es-

nomal y lánSencial (coñpo¡en

A@l¿das, funciones, 20-21srcsio¡es, 42, 4?-49

Acumuleión, punto de. 6. 102(,¿d¿ t¿r¿¡Ir Linnes, pu¡tot

<te núneros conplejos. 6. 12

lómulas par¿ funcion6 eliplicas.141, 142, 7¿A \Eos¿ tMbi¿ñFünciones, ¿liptios rsiprúat

ley aseialiB d¿ la, 2. 7ley @nnutativ¡ de la. 2

Aislada, si¡gühnd¡d, 34?

Aleebrá. de .úmeros coúplejos, 6,12, t)

de vetors, ¡34, 135, l4ll45teo¡eñ¿ tlndmotal dcl. 21

de inleerales ellpticas, 331

Aproxinaciorcs (,es¿ ¡¿¿ó¡¡, Nu

de números irEcio.al€s. 8nedia¡L difdencial*, Ipo¡ el bé1o<to de N4ron, 79Por.l teoEn¿ de Tsylor, ?0. 85,

9lpo. miniños cuadúdos, l?5Por sunas pa¡ciales d. üna se¡i.

co. intes¡al o¡vifn€a, 204de !¡ paralelog@o, t37, 148

AM, e¡enoto de, 142, 143. l5l

A¡nónicas. auncion s. 3,16

Base oatural de los lo8¡¡itnos. 3BesL d6igla¡dad de. ll0, 120

mación difeE¡cial de. 212, 250l¡ncion s, 212, 250. 25?, 297

Deta, funció¡, 2?1, 286, 237. 239-292relació! con la fumión canB4

247,29OBilineal, l.ánsfodación, l?l l,¿6e

i¿á¿¡¿¡ TÉrsfo¡mació¡ f¡aeic

Bi¡óñi€, e¡i¿, ¡r. ¡2Bi¡ónicos. c@licienres, 13Binonio, teoÉna del, 18Bolaño-W¿i.nlras. d¿nost¡a€ió¡

t€oremd de, 5, ll, 12,42,43, 50,t02

Bonrei l@ltm del válor medio de.82

Briss. sisleM de losarilnG de, 3

Cadena, ¡egla d¿, 59, 106páÉ jacobi¿nos, I03

Cálculo int sral, Lo¡da funda-

Calor, m¿ción de la rransmisión

so¡lció¡ d€, por sries de Fourier,313, l l4

slüció. d.. por intc3¡al6 de

canpo, eléclrico, Btor, I59

Ca¡dinal, d€ orlinüo, 4

Casidiaee¡ciábilidad, 57

Caehy, criterio de €onsrg.ncia

loma del ¡.sto er el t orcna deTaylor de. ó1,95.23r

fómülas int€s¡a¡* de, 34?, 351-35ó

lercma 8€¡eÉlüado del valor

valor prircipal de, 263, 2?2Caú€hy-Ri€o¡rtr. ¿cua.io¡es de,

3¡ló, 351-353s folm pol¿r, 3?1derivación de las, 352

Cenuipeta, aeld¡ció¡, 156

C€@do a, conjunlo, 5, lt, ¡2, 102

cesáro, sumabilidad en senrido d.,213,2s2

Cilindri€s. mrde¡adas, 142, 153,

el€mcnto de ¿rco €r. 142,eleñdb d. vollnetr €4

t53

i¡t¿8¡ales múltiples o, 189lap¡aciano .n, 142. 154

Circulo de co¡8gociá, 232Cla*, ¡ (,.,6¿ ¡¿r¿,¿r Co¡jurtotClausu¡á, l€y o pfopiedad de, 1

r53142,

314

Cociúle, cnteno del, paro integra-

para eies, ,5, 215, 23óCólección, I (Pde /¿,¿r'J, Con,

ComparacióD, c¡ile¡io de, pa.a in-regrales, 261. 264, 268

pa¡a series, 225. 235, 236

Complejos. núne¡os,6, 12, tl

cóno paEs order¿dos de n¡j,

Ioñ¿ polar de los, 6, 7, 13fundanenlos diomários de

operaciones co¡. 6j 12, 13parcs Éal e iñagina¡ia de los, 6

Complencntano, módüló, 343Componenre, nomat de la acete€,

tange.ciali de la rcldación, 15óConpo¡e¡les, de u. v@ror, 136Conpüer¿s, füncioc, 25

de¡ivación de, 59, 106, 1,óJt9

conduclividad rémia, 314co.qo a, cónjunro, 102

C¡nfome, representación o ra¡s,

(,¿¿r¿ r¿n¿l¿, T¡a¡sfohacionetco¡lug¿dos, cobplejos. 6

de dos dimensiones. totde uóa dim€ósióo,4

dchsos e¡ todas pares. 2

cóunenbles (¡¿¿r¿ Enune¡able.

de lr suma vetorial, t35. t4lder p¡oducro escalar, 136

C¡mcnalivo, cdpo. 198

Cominu¡nen¡c difere.ciables, fun,

Continuidad, 20,40, 103. 104, lll,l l2,345,350,35t

a la deEcha y á la izquie¡da, 25a úozos o casicorlinuidad.26de funcion¿s de va¡iabl. cohple-

ja,345,350,15¡de auncioóes v€torial¿s, I39de nreg¡ales, 89, 266de una sei€ de funciones, 223,

229,246

r¿orrus sobrcj 25,26

y difeEnciabilidad, 57, ó3, 64,t05, 3

C¡nrinuo, @di¡¿l del,4Contorno, co¡dicion€s d¿, 100

Conwrgencia, absolul¿, dc integ¡a-\es, 262, 265, 210. 21r

de *rj6, 221, 233. 239, 240leormas sob.€, 22?! 23q

óndicional, de inr4¡¿1€s, 262.265,210. t1

úit€no de Cauchy,43. J0de freio.es corli¡Das, 52, 5lde int€smles de Fou.ier (,¿¿r¿

Fou¡ie., leoma de la i¡t4ml )de inieg.¿16 inpropid {,¿¿r¿ In-

de F¡i6 de co¡staóles, 234, 235de s¡ies de Fourie¡. 299, 3l l -l I l

tr¡irome (E¿s¿ Uniloúq con-

Convolución, teoEM de de t6ns,fomads d. Folriú, 232

de transloúadas de hplace,244

Coodenadas, caresiatus r*t¡.Aü-

cilindricd, 142, 153, 154

esftncas. 143. l5l, 154

Corcspond¿ncia, 2. 10,20,4t, tot,

Cor¡ienle, ru¡ción de, 153

corta<tur¿ (E¿r, Ded¿ti¡d, corl¿-

Cr€ientes, lüncio¡es, 21, 2ó6t¡ictmente, 21¡ 26

suce$on6, monoronas y 6trcta

C¡iterio del c@iente, 226, :40, 241denostmció¡ del, 240

Cüadrátie, slucióh de lá ecüa

sinple cemd4 102, 197, 204cxnaluú, Fdio de. 15ó. r59Cuúiü¡€as. cmrd¿na<¡ls, 109

esp€ciálesi 142, 143inLeúls ñúltipl¿s @, 181,

182,211.2r8ja€obianos t, 141, 142

.otor, dlvcrgencia sEdiñte ylaplaciano el, 142

lrósrodadorcs x 123, 124,

vecloB y, 141, 142inle8r¿les, 195-198, 200 202

indepe¡dencia del cmiho, l9?,r93.205,207,215

notació¡ vecloriál, 197p¡opied¡d.s, 196, 197rcl¿ción co¡ ¡as funciona de

vaiab¡e conpleja, 14ó

De MoivÉ, leorcna de, 7. 13DúiD¿I, ¡€p¡€smlación, de un ¡r1-

Deimales, penódicos, ID.leiertes, fürciones, 21, 26

esdcraDal.,21,26

suenon€s ñonoroms y est.El¡

Dedekind, coraduÉs, 4, 15

De¡so o todas parl¿s, 2Dependienre, van¿bb, 20, totDerivación, b¿jo el sis¡o inreEnl,

163,.110,26de en6 d€ Foün€¡, 300, ll 1

Deiv¡das, 57 79, l0rl33¿ la de.sha y á lá i¿quierda, 57,

64,65

co¡li¡u.idad y. 57, ó3, 64, r05, I l3de funciones de wiable coúple-

ja,345,351-353

l l

Deriladas, de lünciores138-340

de fürciones €sp€ci¿l€s,68

Dieond¡uid¿des, ¿ütables. 34, 104

del p.oduclo cscala¡, 136dcl prodüclo vsto¡. 13?

de integrales inpropias, 260-265er coordemdas cilindricas, 154en coordchadas curyilinqs, 142teo¡ema de la, 199. 200, 210-213

Diverge.les, intesf ales. 260-265

de númercs coñplEos, 7, 12

Doblenc¡te penódicas. lu¡cio¡es.

Donióio, de conversencia, 228de una función, 20, 101

dcnostúci ón de la ir¡acio¡ alidad

Ecuaciones, al8chraicas, 5, 2Ide ditern.ia, 56, 285dire¡erciales (,¿¿s¿ ¡¿r¡i¿, Dife-

i¡l¿e¡ales, 321, 128, 129

Eleclromag¡élica. teoria, 159Elcmonlo neut¡o, con nsF€.ro a la

a<lició¡ y la Dültiplicación, 2Elemenlos de u¡ co¡ju.to, I

lonsilud del arcó de, 135Elipticas. fü¡ciones, 312, 318-340

deiv¿das d€ ld, ll8 l.l0tómulas de adición de las, l.1l ,

142,344

p.¡'odos de las, 339, 340

comdeb e inconplera. lll

']e pnme¡¿especie, ll1 ll8

de segu¡da especie, l3l-338de leEe¡a especie. 331, ll2, 333fo¡mas de Jacobi de las. lll,

332lofrasde tf,gendEdelas, 331nódulo cobFlcme¡tario de las,

t¡amfofr¿ción de Land€n dclas, ll2, ll3

375

Enqje de intervalos, 43,.50Enl€¡os. positivos y ¡eeativos. I

Eólolve.tes, 162, 168, t69E¡üncábilidad, 4, 10, tt

de los núnerós álcebraicósj 12de los núneros ¡acionales, l0. tl

E¡umerable, conjünto, 4, 10, 11nedida de ü¡, 31, 87

Equipotencialcs, clrvas y sup€rti,

E¡ror ni.imo cüad¡átio, 3t0EroEs, al c¡lcul¡¡ süñ¿s de e¡ies

arlernas, 226, 238,239aplicáciones a lós, l@, 174Por ni0bos cuadndos. ll0

l¡¡ple p¡oducto, tl7, lt8Escalonada, lunción, 28Esféricas, oorde¡adas, t4l, 153,

ereñento de aro e¡. 141 153elemehto de volüne¡ en. t43i

t53, 154ihteg.ales ñúhipl6 en. 189

lapladano e., l4l, 158

Euler, constanre de, 251. 286, 295fómnlas o idenlidades, 7, 25tleo¡ena sobre tunciones hoDo,

Elilable, discontinuidad. 14, 104sinsularidad, 3.|¡. 158

Exaclas, difeEnciales, 106, l¡5, rt6

(r¿¿re ¡¿u ór1¿, Dite¡enciatetExplicitas, fünciones, 10?Expo¡encial, función. 22

E{lr€mo. de un !e.ror, r34

de una succsión,42,41, 49

de sueroftsj 42,43, 49

Facto¡ial, fun.ióo (r'¿¿s¿ Funcion€s

de funciones veto¡iáles, 139, 150,t51

de orded sup.rio¡, 60, 105de series de funcio.s, 229, 247deñnición de las. 57, 104

i.terp¡elación gráñca de Ia, 58parciales (rl¿r? Parciales. der!

¡egls d€ cad€m de ¡s, 59, 106reCl6 de cálculo de, 59. 66 68

Desarol¡o de fünciones, en *nesde Foü.ier (D¿dc Fon¡ier, se

e¡ eúe de polehcias, 2llDesarollos (,fd¿ serietDesisnaidad, de Bemoulli, 14

Deternlnanle, del producto v€to-

del l¡lple produclo esalar. ll7jaobia.o (u¿¿r¿ Jacobianos)

Dire.enciablidad, 57, 105a tiozos o @$conti.üa, 5?y coniiouid¿d,57, 105

Difé¡encial, *@ción, de BesFl,232,250

solución de una, por tr¿nsfor-madas de Laplaco, 267.280

Difcenci¿les, 53, 59, ó5. 66, l(]5,r 14t16

aproximación po¡. 65j 66, tt5de auó.iones dc üna vaiablc. 5ds lunciones de v¡.i¡s va.iabtes,

105de fü¡ciones vetonáks, 139exactas. ¡06, l l5, 116. r93¡nlerp¡etació¡ géonél¡ica, 59

Dile¡encüs. eu¿.io¡es de, 56, 235

Dirmroral6, derivadas, ló1, 1ó9Diricnlet, co.diciones de, 299

crleno de, pa¡a integ¡ales,266l[ra senes.228, 253

i¡tegúles de, 287,292, 293Dúigidos, segñentos, 134Disonlinuidades, 25, i04

376

Fibo¡acci, slesión, 53, 55Fluid6, nsán¡a de ¡os, 353Foma polar de lós nr¡n.ros mn-

Fomas cuadráti@s, l?9Fónul¿ de <tüplica€ión de la fu¡-

ción g.nñ¡. 286, 293. 294Fómulas intesnles de Cauchy, 34?,

353-356FoürieJ. ceñcierls de, 298

solncióo de FrobleÍas de €on,

condiciones de Dirichlet FErao¡Esñda de, 299

onv¿rgmcia rlc las, 299, 3u-313

derivació¡ e inleg.aciór de,30o, l t l

ef coenos o eD Fn6i 29. 300.306-309

id€ idád de Paey¿l de Ie.3@,309,310

ootac'ón onplEa de las, 300solüció¡ de p.ob¡emas d. cor-

tomo For,300, l1 l ,314l€olma de la i¡tegral de, 126

d.nostiaciór del, 326-328denostración neuristica del.

326l¡a¡sfomadas de, 322-325

roná simétrica d. las, 322idmtidad€s <te PaM¿l de las,

leorcma de convolució¡ d¿ la,323

Fr¿aiond @nrinu¿s, 52, sl, 55,56@nvergercia d., 52, 53

FErel-Se¡el, rómulas. 159FEs¡el, i¡tegÉ16 d€, 294

Frullani. irt¿Bnl de, 282

Ftr¡cio@I. deleminante. 107; 120lrézre tMbi¿n l^@b\ano,

Fu¡cioncs, 20-40, l0l, 107, 345

b€la (,¿d¿ Bel¡, fünción)

cmpuesls (o¿¿r¿ Conpü6tas.

@tinuidad de 186¿ Continu!

INDICE

Fu¡ciores, mientes! 21, 26d¿ Bes*|, 232, 250, 251 , 291de fürción (,¿¿J¿ Compus|ai

de variable complejá, 34s-372

Ca!.hy-Rienatrn, ecu&ior¿sde, y (,¿¿s¿ cauchy.Rie,n¿¡¡. *@c'orcs)

condnuidad de, 345, 351-3s3

denvada de, 345, 15l-353eleñerl¿les. 345, 1,16in1€sml6 de. 146, 152,356int€gú16 cl*il¡neas y, 3,16

fnitesdeIas, 345. 150, 351

pafe inasina¡ja d. ld, 345,352, 353

pdle r€al de las,345, 352, 353polos de las, 34?. 348pünlos singula6 rle las, 34?e.i6 d€, 34?, 357-360teorena d.l 6iduo ¿e las (,¿¿-

s Residuo, leoMa del)iB¡sfom¡d6 de lápl@ y.

t72

de va¡ia variabl6, 101, r10. 11l

doblden¡e periódicas, 340€llptiG Eipr@s, 132

rransfolmdá d¿ Fourier, 322(,¿6e ¡@ri¿r Foun€r, lnns

tnnsfomadd d¿ Laplace, 280,312 (n¿@ tMb¡¿r Ltplace,

explLitas e inp¡iciLs, l0?8¡nná (,1¿r¿ cmña, fhción)

nip€r36eé1¡ids, 232. 257 .

Iimites de (P¿¡? L¡ñit6 rle fün-

náf,inos y niniúos de (Dl¿r¿Máximc y ninibos)

ñültifomes (,¿a¿ Multifome,

ofoSomles, 301, 314, 3¡ 5

Futuion6, Edpro* (e¡as Reci-

sücesionesi y eries de, 22'7! 228.232, 242, 243

rr¡@ndent4 er@úta¡es, 22, 23unifomes, 20, 101. 345

BtoEs (D¿6e v*torial€s, tu¡-

Fündrdenbción axioDática, d€ losnúmer6 co6plejos, 6de los ¡úDeros É¿les, ldel arálisis wtoriáI, ll8

Fundan ntal. lmrm4 del álsebra,2l

del cilcúo iriesml, 82, 88,89

Catlrm, fu¡ci@, 2?5, 28s-297róñula de düplica.ión de ¡a,

286,293,294aóñüla de ÉcurE¡ciá d¿ la,

x5,241fómül¡s asintóti* pan la.

286lómulas de StirlinS y s¡ies

asi órias pa¡a la, 286, 292p¡oducto i¡ñnito pa¡¡ laj 236p¡olon8a.ió¡ ¡r¡¡itia <te I¡,

285ubla y snfo de la, 285

G¿us, crnúio de, 227, 24rrurción dif¿rcmial de. 232

Ceonél¡ia, i¡legrat, 261

Girc, Fdio d¿, t39, 190G¡adi€rl¿, r40, l5l, 152

ñ coor<te@ds oniliúeas, 142Grado, de um 4üación ¿lscbmi-

dc ü¡a fu¡ció¡ honosón€a. 106Cralo, de !ná función de dos Eria-

de üm lü¡.ión de üm variable, 20Gra¡, teomá de, en ¿l 6pacio

{úf¿s¿ Diversencia, teo¡€ma

m €l plano, 19?, 202,205

H'p€rbó1i6, @orde¡ad6, 185

Hipe¡boloid€ d€ üna noja, I I IHipediplicas. auncion6, 332

Hip€rsemé¡ñcr. func,ó¡ o r¡le

qipe¡süperñcic, tO1

_,ára enerad¿ por Is ?20HoDoAénea, tunciúnes j leorenade

lglaldad, de búmúos coDplejós. 6

Im8tn o tnnsfomadóq lO8, 3661ña8roe1a, pa.lej d€ fünciones d.

va¡abte conpteja, 345, 352_

de u¡ numero comDtero. ¡u¡ idad,7

¡Dp¡fts, füncio¡es, 299, jOG3o9hpÍcitas, tu¡ciones. tO7

yJacobi¡nos, 119123rnprop'a, ,nreSEts 85, 9ó. 99.

260-234@Dleryúcia unifo@e de. 265.

2Á6,214.275conv€B€rcias absotuta v con

¿icioa,l de. 262, 264, 2.10.211

cn&m de conpdación Dara.26r,264.268

cnteno det cocrenle Dam_ 262264,268

c.ite.io ¡' de Weierr6 Dda.264.274t79

de p¡inoa espaie, 260-262_268-271)

oe se8!úá cspeie, 260, 263_265, 261, 272. 273

de r€¡cúa especi€, 2an. 2ó5.2J3.274

dcpend'entcs de un p¿r¿m€rro_?65

iódel¡ida¡, i¡res¡ates, s2 l&¡¿,¿

¡trdepe.denci¿ dc¡ qñinó, t9?. 193205-201.215

Iódependiente, vanable, 2q totrnd€tmrmd4, toñas, lt, 62, 7l

L Hópita¡, Belas de (u¡¿r¿ L,H¡_

" toÉh¿ de Tay¡or y, 62, 72 74

rnouccron Dárenátia. 7, t4

inñnilas dinensiones. v*to.es con.

INDICE

hnnitó, intervalo. iotproducto,233.25l ,2 js

pa¡a I¡ fuóció¡ sahn4 2s6par¡ *o r, l¡5. ltó

ihnección, punlo dc. 79

hleg¡ación, apliclciones de la. 86_,

e].N tvae hnbpn t¡rc$zt¿\)D¿toler rSno Inrecr¿t. t6l. 164.

d¿ fu¡cioncs especiates. 3j, 84de se¡es de Fou¡ic¡.31Iinlercanbio det orde¡, l8l

ñáodos .s¡Eciales, 84, 85, s9-92por f¡aeiones parciales, 84, 9t. 95

Integ¡al, crirerio. 225, 2j6-238hte8¡ales, 80loi),

'80 223, 260,

291, 321_344. 346, 347, r49.3s3-3s6, 3@-36A e¿Ne tM-

c¿]cuto d.,26J,ZJ s 2.t8,1a9 362-

co¡ve¡Cñcia u¡ifomc de. 265266,274,215

curúllMs le'¿,€ Cu¡viti¡ea, in-

de tundorcs de va¡iable conDte-Ja, 34ó, 35t. 356

de funcio¡6 es!€ciales, 83, 8.tde se¡es de fü¡cio¡es. 229. 246<leihidas, 80, 8t, 86. 87

.anbio de va¡iabre eh bs, 83,

dc limrLes vd¡i¿btes, Br. l6t.l70 ¿66

{iennición de tas, 30, 8tmcrodós nunéricos pa¡a e¡

cátolo de. 85, 92. 93propiedades de t¡s, 31, 37, 83t.o¡ema de €xisre.cia do tas, 81¡eoÉMs de valor medio para.

31,82,88de$glajdad de schwafz Da¡4. 94Dü/ch|et ,237,292.201

cuaco¡es, 124, 323, 129dipücas (&!¿F Etipdcas, i¡reg¡a

rDpropias ('¿¿F Impropiás, inle-

ñúltiples l,é¿r¿ MúltipJes, inie-

317

I¡leg¡a¡es, rcite¡¡das, 180, t8t

tcó¡eha det ralo¡ medro etu31,82

rmnlom¿cidndc, 8r, 89 92. t8 lr83ls l

Imell*tó¡ de conjunlos, I Irn¡e4*oon$ con ros ejeq 1t0Int€nalo. de inreSúció¡. 80

htervaios. abie.to. 4

dc conve¡gencia, 6l

I¡van¿ncia, retaciones de, lj9, t6(]rnva¡'ame, esa¡a¡. 160rnvesión de senes. 23t¡nEso en ¡a eulripticació¡, 2r¡&@ates, a¡seb.aes, t¡nciones!

dé !4 denosrracióú. 8

aproxin&ióo de tos,8dennicjón, | (¡¿6e tmbién D.-

. d€kind, conadu¡atrzq¡sdai continuidad a ta,2,

denvada á ¡¡. 57, 64, 65

lacobi. forb6 de ¡¡s integmhs etip-l rcas de,33t.312

níúulas d. adición, 341. 142, 3.i4,

runoo¡s eltpli6. ll2DoDr¿nos, 107. |19-121. t4t ,142,

c,,ordenad6 .u^ lne6 y_ l4tt4)

de r¡a8roeacioDs, t08, 142oenvad¿s parcia¡es ñedianlq t07rü.clon dc mnabte oñpleja y!

funcbnes inplicils y, 119-123

'oreg¡ates núhiptes y, tslme¡pretacún rctorjal, t4lfts¡as de cade¡a. lO8

K¡oneci{er, síhboto de. 3Ot

I-ssrange, hútripticadoEs, 16.1, ¡ 72

rsto de, en la serie de Tayló¡. 6l .95,23t

l¡nden. r¡¿Nfo¡nációó de, i:]2

3?8

Laplace. aplilzción a tas ecu¿cionesdiaercnci¡les. 267, 230

suación dc. ll3 if¿¿r. ¡¿nóri,,Lapl¿ciano. ope.¡do,

relació¡ con tu¡cioncs de vaia-bte conptejá.172

reo¡4a de convotución. 284tra¡lórmdas, 267. 279, 280, 234,

312hplaciano. en cdorle¡adas cilin_

e¡ coo¡úenadas corvitincas. i,12en coorde¡adas esféricas. t43op.rádot, 111 lt¿ap ¡ahbi¿n La

Lalret, *¡i¿ de, 3.18, 359, 360

Lese¡dre, formas de ta jnleg¡alos

t¡ibnitz. ¡ótuula de la derivzda,-ésimá de un producto, 79

¡egl¡ de, pa¡a deivar bajo etsje¡o inregrat, 163. I70.26ó

p¿ra v*rores. ll5, !4:lL',Hópiial. reela de.62. ?t-?4

dcnostmcionesde ta. 7t, 72

Linites. de fun.iones, 20 40. t02,l0 l , I I t , l l2, 345, 350. l5t

a la deEha y¿ ta izquierda,23d¿ variablc conptcja, 34s, 150.

35t

dcoorración de los teo¡enas

'le li¡n.iones vectoriales. t:t9

de suerones. 4t, .44, 45. ,7

tco¡en¿ de Botzano-W¿ieFfrass (¡r,¿r¿ Bolzano Wéierffa$. rco¡enx del

Línea de ramificación, 167Lincal,dependéncia.deveclfles, t60

lrdúciona¡ia. transformación. ti6(¿.¿¿s¿ r@ói{t T.ansfornacio

Lineales. translomadones. lllf¡acdonarj¡s tf ¿ai¿ Tr¡nslnF

mac'o¡es, i.acciónarias ti-

Lisa, fu.ción (¡,¿dr¿ casidúeEnciá

Loga¡ i rmos,3, ¡0, l5 lbasc ¡re un sisreña de, 3coúd r¡ncion¿s nultifomes. 15t

Longirud. dc un vector, ll4

Macl¡u¡ in. €r ie de. 61,2l tMagn¿rico, v*ro¡ camlJo, 159Magónud ¡je u¡ vffro¡, t34Máximo y miniñq. 2t. 6t. 6:t, 74.

mérod. de ios nurtipti€dores deL¿grarge, 161. 1J2-1 14

t¿orema de Taylor yj 74, 75, 171,t12

Maxwcll, eu¡ciones de. t59

Mayo¡a¡tes, mi¡órantes. 5, l¡, t2

Métódo de asrupació¡ pá.a difcreó

Míninos cuadrados. aproxiúácio-

Móduló, compleñhla¡io, 3.1:ldc

'nlegralcs eliptic¡s, 331

de un núne¡o comptejo. 6Moebius, banda de.2l0

Monólonas, fu¡c,ones. 2l

leorcúd fundam¿¡tal sobfe, 42Mulrifome, función (ú¿,re Funcio-

Multiforñeñente có¡ex¿sj reao,

Multiformcs, lun.ioncs, 20. 2t. lOt,

rog¡nt0os cono,351Múhiples, inicsrales. t30-194

on @orden¿d¿scilindricas, t89e¡ coorde¡¿das cu¡v,lineae, 18.

t32,2¡7,213en coo¡denadas esaó¡icas, 199

Múltiples, jacobianos e, t3rtnnslomacio¡es de. l3 t. I82

dc números conplclós, 7, t2

n-enña. crnd¡o de ta, 226

en ¡otor, grad$nte y dive¡gencia.

fómulas e. que e¡re, 14t

Nepcriano, sisteñi de logarirmos. jNewlor, nérodo de, 79Normal, a !¡a süpe¡6cie, 140, 152,

t6t . 165-167c.uaciones Érama¡icas. ¡61

a unacuNa alabéada, t55, t59Nomaliados, vsto¡es y funciones.

30t

Nunéricos,nétodos(¡.¿¿.r?¡m¿¡?,ADroxinaoiones)

pao ailcllo de DreAráles de-f i ¡ idas,81,92,93

enünerabilidad de los. 12conplelos (,üzs? Complejos, nú,

trrac'onal6 (¡ú¿.v lractonates,

ope¡aciones con,2,6-8, l?. 13

r{'ona¡es (,/¿re R¿cionales. ¡ú,

¡ealcs (!.é¿r¿ Reálcr, núDerot

Ond¿. *uaciones de la, ll9Ope¡aciones, con núñeros conple

jos,6. 12, t3con números ¡ealdj 2, 7. 3con s¡es de pore¡c1as, 230. 231

Orientablc, su¡¿rficic, 210Origc¡. de ún shrema de coordena-

Orogo.ales. cóó¡dendd¡s curvili-ncas (¡l¿scCu¡vilíneas. coorde-

l¡n.io¡cs, l0l. ll4, ll5Oro¡om¿les. fu¡ciones. l0l

Pappus, tcom¡ de. ¡94

Parabólicas, coorde¡ad¡s cilíndi-

Paralelcpipedo- rolume. del, 137,

Patalelog¡amo, ár€a del, l3?, 148rcgl¡ del, 13, 134, l,t4

Param¿ticas. (uaciones. de la .or-

de uba cuN¿ alabead¡, 139Pa¡ciales, denv¡dss. 101-103

aplicaciones,ló1179cálolo dc las, l12 l14de ordcn supedo¡, 10J

nolacrones d¿ las. 104ordo <le d€ vació., 105porlacobianos. 107

Pares. fü¡cioóes, 299, 306-109ordenados de .úmúos reales. 6

P¡seval, id€ntidad de, r¿.á i.teg¡a-les ¡le Folrier,322.323, r25

pára series de Fouri€rj 300. 301,I0

P¡Il e, a.alilica, de una s¡ied. Liu

de ü¡a *rie <le L¡urcnt. 143

Péndllo, periodo del. 140, 341

Pe¡iodo de üna fu¡ció¡, 298de annciones elipticas, 339,1,10

Engente a ü.a süperñcie 1,@s¿

P¡enitud, de u anju¡lo o¡tonoF

d¿6.idós por una seric dc Lau

Posiiiva. dclinida. fúma cuadrári

Potencial. de rel@1dad. l5lPolencias, cohvc¡genc,a u¡ifo¡¡e.

210deerolló de fuociones c¡. 2ll

openciones con, 210. 2:11radio dc conve.gencia, 229scriesde. 61, 229, 248-250reorema de Abel sbrc, 2:r0

Próbleñas de contorno. e ,nrcgrá

en la l¡a¡mÁión de¡ calor. lll.l t4, :123

en las cue¡d¿s vibrantes. rl9método de eparación de va¡ia-

bles para resolrcr,3lly s¡ies de Foüri€r. lll,314.328

derivada ,-ésinn dc un. 79esálar. 136, 137. 145. 14ó

ley connutariva del, 136Iey distributiva del. ll6

Prolong¡ción analilica de l¿ función

Proysción de un velor, 195Punlo, de @müladón. 5, 102 tü¿s¿

¡¿áá¡?¡ Unitcs, puntotdc ramilicacióó, 28. 148. ló7

linile (L¡ds Limites. pu¡totnúllip¡c o de raniñcación, 28.

148, 3ó7sinsula¡ {¡'¿aP Sinsulares, pu¡

Rabe, drcnode, 226, 227, 24rRaJionales, de algébraicás, fu¡cio-

379

R¿cionales. enún¿rabilidad de los,10, 1t

Radio, de conve¡genc,¡. 229. 232d€ cuBalurá, ¡5ó, 159

Raices, de ecr¿ciones, 2l

nérodóde Newro¡ para halla¡.

dc núme¡os conplejos. 7, 13¡1e núncros ¡eales,3, I0

R2na p¡incipal. de un loga.ilmo,

[ ]51Ramas d. u¡a tu¡ción,21

ParLe. de funcioncs de lanable

de un nrlnero coúplejo. 3Realcs, ¡úñe.os. | (Léos¿ tahbi¿n

desisualdades e.re (,¿ds¿ De$

fundane¡losaxiomáticosdel- lno enümer¡bilidad. llop€¡acio¡es con. 2. 7, 8Pares y ternas orde.ádos d.. 6

138

¡epn*¡lación decinal, IrePÉsentación geon¿t¡ica, 2

R*ip¡ocas, .o¡tinuidcd de, 26

Rehngular. ento¡¡o, 102rcgla de intesració., 35

Rstansnl¿res. coodenadas q¡te-

vccrofes c¡npo¡emes. I 16Reducido. mtórno. t. 102

múltiplencnte cone¡a, 102simpl¿ñenleconeu, 102. 197. 20!

Regular, sunabilidad. 213. 258Reileradas, i¡tegÉles. 180. l8l

Rel¡tividad, teoria d.la. 160Repres¡tació¡, 108 (,¿¿s. ¡¿u ¡¡?r

cálculo de inre8rales po¡. 349, 3ó2-166

r

380

Residüos, dmosrr&ióa del l@E-

t ot€na, 348, 349. 360-362R.su¡Enre de E toG. ¡14, ¡44R¡emann, i¡regrabte e¡ se¡ri<lo de.

reoremad., l l r .126.327 ¡¡ lRolle. d.molrreó¡, óil

o @o¡dqaddcwili¡eas, 142

S.hwa¡¿ dsjsna¡dad d., para iú_

pará úúDe¡os E¡t€s! 9, t6s€ptuacióú de mriabt€s, e peble_

M de ontor¡o. 3t3

crit€¡io pa¡a inregraj4, 262de Fo¡¡io, (,¿6, Foüiq, s-

de f!¡cio.B de vdiable conbte-jt. 351-360

<¡e t¡urcn¡, l4B, 359, t6O,l7rd. Mactaun¡,61, 2llde polencias l,16¿ pore¡cis, s-

d. Tay¡oi (,¿¿r¿ Tayto., sen€ deldob¡q 233

P,225

suas p€t¡at6 de üna, 4j, 224

atrú@, 225, 226, 23a, h9c¡terio de cowc€€¡ci¿ Das_

223,226error ñ cáto¡os coú, . ¡8.

239conqgc@ia abso¡ura rt€. 226.

213,239. t44convúg€¡oa ondicion¿l! 2¿6conw.gtuia ünjfome 22?, 22s

(!¿¿s¿ ¡@ó¡, unifome, coh_

crlldio de onpa@ió¡, 225. ¡5.236

4reno {rc cau$. 227, 241dit.rio de I¿ raiz .ésin¿, 226cnr.rio .te kaab.,226, 22.1, 24tcnte¡io det @i.nté, 225. 226. 24!.

241dile.io ill¿sral, E!5, 216, 218cnteno ¡r', de \veid!tra$. 228.

245.24

INDICE

Se¡ies, c¡ile|ios de co¡re¡ee¡cia225-221

de Í\rcioneq U7 , 22s, 232. 242.u1

de tétuinos conptejos, 232

turcioües deonid¿s po¡,?32odes¡rott6anLónco\, 2ll. 214.

252,251.259pan td fuhción saoma. 2s6.

292¡e¡8tup¡c'ól de tos Éminos de

sMas P¡rcial*, 43, 224

Simple c@d¡, cürvs. tO2, t97, 204smptemflF co¡é{o, ¡ePión. lo2.

t97, 2M

SiDp6@, r.e¡a de, 8j, 92. 9lSirsu¡aÉ, püntos, aislados, l4i

d€n¡idos por eri6 d. l¡uh1.

€socqles. 348, 358evitabtB, 34¡, 358o eúsutaddad$, I24,260. 347.

Singlldidad esenci¿I, 148, 358sisteE¡, bina¡io fk'¿r¿ Biüio. s¡-

de coo.dqadas ddtroe. t35.l3rí

Sole¡oidátes. enpos velo.iates.219

S1i.ü8, fóúül¡ asint&ie v eried.,286.292

Slot6, dúGtndóD det, 213, 214leoem de,200 213-2t7

Su€¡ó¡. de Frbonae. 5t. 5i

¡cotada8, no¡ólD¡as, 42, 47 49onvúBqcia unifome d€, 227clv4ent s y div€.8€nres,41,

tiñí6, 4t, 221 k¿ak hnbi¿,LiDnes de sücsio¡6)

Sunabilidad, 233, 252, 258

suDábilidád. Egutar, 233. 258SüDA parcia¡a de súies, 41, 224

inteenles d€. ¡98, t99,207-2tOnomd a una {,f¿re Nomd a um

plano tangent€ á uDa (&¡d? Tan-

SulErposrcio¡. p¡¡crpio dé. 3t4

de ¡úmeñs cónplcjos, t2

Ta¡&rl., a uú cun¿, j8,162, t67,163

a ü¡a cün¡ @¡denada, l4ten coordoadas cuNilheas, 166.

pla¡o, 161, 165 t67

Taylor, erie de, d. funciones d€ va¡iabte .onpteja, 34?

ñ vá.i¡s veiab¡es, tO9en ha vdsb¡e,61,231 (*j¿r¿

tMbién V^tót ñdio, ¡eor._ma de Taytor del)

uúicidad de la, 25?@rma oe. aproxiE&io¡es ne-

del va¡o¡ nedio, 6t, 109. 124.125

dmoú&ión del, 70, 125,158en la jnlegreión aproinada.

35.93foúas i¡det€mibadas y, 62.

para funciones de va¡ias varia-6les, 109, 124, 125

pan lünciones de üm uiia-

Bto e¡,61,95i 23t

Teorch¡ det varo. nedio. 26Téúi€, coDducdvidad. 314Téúino, de ¡m se¡ie, 224

Temas ordenad¡s de núneros M,

To1ár, diaerrci¡I, tO5 l"é6¿ tM-

T¡abajo, @no inr.s¡at cupiün€a.t96

T¡ahslo¡ma.ión*, t08, 123, 124bili.ea¡es o i!a..ionarias line¡ies.

316, t7t

de rnteg¡atesj 81, 89-92, lUl. t82.t38-191

Jacobianos de, 103, 142

y coordenadas curv ineas. t2l,t24,141

Tra¡sfo¡na¡jas (r¿¿r¿ Lapt!ce,

Tnscendentes, etcne.tales, de va-mble conp¡eja. 145, 34ó

Tn¿¡, sobre un pta.o, lltT¡ieo¡ónélricas, dc.ivadas de las,

jnte8rales de tás. 81, 84

T¡iple producto esc¡lar, ll?, 138

T¡iples, integrales. t81, 136-t88t¡a¡s¡omrció¡ de. t32, tsg l9t

Unifome. convergeocia, 227. 228,243-245

crf¿rio ¡' de Weieblr¡ss pa¡a(,¿¿r? Wei€ist¡ass, crite,

ciierio para intesiales, 2ó6c¡jtenos pa¡a senes, 23de ¡ntee¡ates, 265, 266 ! 274. 2?5

de re.ies de poto¡cias, 230

Leo¡eeas pa¡a rnrg.ates, 266Eorénas para se¡ies. 228.:29,

u6.247

t¡óción,20, lot,145

Jnron de conjuniosjUnn¡rio, lector raneemc. t39Unnarios. de i¡ñ tas dine¡srones.

301oroeona¡es, tl5. t36vecroies, 135, l16,30l

de núneros comple.jos. 6ñedio, denósl¡acrón det, ó8

p!¡a de¡iradas. ó1.63 71. tl)9.124. t25

pa¡a integrales. 8t, 82. 38.94@o¡ena generahado det. 61,

69p¡incipal, de funciones, 21, ,

de lunc'ones hipe¡bóhcas rsi

de fu¡ciones l.igonohét cás

de irtegrales (u¿¿r¿ Cluchy, va-

cambio de. en ta dÚiveió¡, 59.t0ó

cahbro de. en la i¡teg¡actón. 33,39-92, l8 l . l32

complcja, 145 (!vs¿ ¡¿dó¡¿, Fün-ciones dc va¡iabte conpleja)

¡iependi€¡te e indepEndiente, 20.t0t

liñites dc inrearació., 83, l6j,t70.266

rongirüd o nagnifud. t34

núne¡os co6ptelos cono. t8

¡esül¡anre o süña d._ 11,1. l¡4

Lntra¡ros. t:15. Bó..301Vsro.ial.álgebra. tt,t.lt5. I4:] 1,15

anális¡ t.¿dJ¿ Vsro¡esl

vdronales. iu¡crones_ t3Brmnes_ con¡nuidad y deivadas

Vibranre. ruación de tacuerda. ilg

dcl pa¡alelepip¿do. 87, I48, 149eleDe¡tode.142. t.11. l5l. t54

Wal lÉ, p¡odu.b de,3t6weie^úas. c¡irerio ¡/ de. para i¡

teqrttes. 226.774279para se¡ies. 228,24J, 24ó

álgebn dc. 134, t35, t43r45

coo¡denadas curvili¡tus y.t42

de inn¡f as dinensiones. :l()lf¡.danenlos axiomáticos de

138

lacoda¡os úterp¡erados pó¡.