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SchiefkSrper mit endlichem Zentrum

Von

KARL!~EINZ BAUMGARTNER 0)

0. Es ist bekannt, dab jede algebraische Divisionsalgebra fiber einem Galois-Feld kommuta t iv istl). Also enth/~lt ein (niehtkommutativex) Schiefk6rper K mit end- liehem Zentrum ZK (kurz : S. m. e. Z.) wenigstens ein fiber ZK transzendentes Element.

1. {Jber die Existenz yon S.m.e .Z. Es set M ein K6rper der Charakteristik p, ferner a ein Automorphismus yon M und K ~-- M (a, t) der Hilbertsehe Sehiefk6rper der formalen Potenzreihen der Form ~ ad ~, wobei n e i n e ganze Zahl, at e M und t

i > n

eine Unbest immte ist. Die Addition solcher Potenzreihen wird wie fiblieh, die Multi- plikation mittels der Regel ta = a"t definiert.

Lemma. Der Schie/k6rper K - = M (a, t) besitzt genau dann ein endliches ZentruCa ZK, wenn ~ unendliche Ordnung und einen endlichen Fixk6rper H in M besitzt. Ist diese Bedingung er/iillt, so ist H-- - -ZK und M ein maximaler kommutativer Unter- k6rper yon K .

Bewei s . Es sei z = ~ a t t t e i n Element aus ZK. Aus tz ~ zt folgt at = a~, w/ih- rend aus bz ~ zb, mit b ~ M, die Glelchung bat ~ atb"' folgt. H a t also a unend" liche 0rdnung, so ist ffir i :~ 0 at = 0. Somit ist Zg gleich dem Fixk5rper H yon in M und mi t diesem endlich. Umgekehr t ist wegen H C ZK die Endliehkeit yon H notwendig. H/itte schlieBlieh a die Ordnung i, so wKre t t ~ZK und somit auch t 2~, t a t . . . . ~ZK. Also w/~re ZK nieht endlich. Liegt y ~ ~ a ~ t t im Zentralisator C -con M in K, so gilt f/Jr jedes b E M die Gleiehung ba~ ~ a~b" und da a unendliche Ord- nung hat somit a~ = 0 ffir i ~: 0. Also ist C ---- M und daher M ein maximaler kom" mutat iver Unterk5rper yon K.

2. Konstruktion yon S.m.e .Z. Da die Automorphismengruppe und somit jeder Automorphismus sines Galois-Feldes endliehe Ordnung hat, miissen wir M als uu- endlichen K5rper der Charakteristik p w/~hlen. Die obige Bedingung ist erffillbar, wenn man M als vollkommenen (unendlichen) KSrper w/ihlt. (Zum Beispiel sei M ein unendlieher algebraischer ErweiterungskSrper des PrimkSrpers der Charakte" ristik p.) Genau dann hat bekanntlich jedes a aus M eine p-te Wurzel in M. Also ist ffir jede natfirliche Zahl r die Zuordnung m -~ m v~ ein Automorphismus a der vet" langten Art. Somit hat K = M(~, t) das Galois-Feld GF(pr) als Zentrum.

0) Der Autor ist HcMBOLDT-Stipendiat. 1) Siehe etwa N. JACOBSOS, Structure of rings. New Haven 1956.

%1. XX, 1969 SchiefkSrper mit endlichem Zentrum 135

3. Nun beweisen wir den folgenden

Satz. Es sei K ein S. m.e.Z, und L eine K6rpererweiterung yon K. Dann und nur dann ist L ein S .m.e .Z. , wenn die Linksrtinge (K(a) : K)t liar alle a E ZL ein endliches Maximum besitzen.

Beweis . Es bezeichne K(x) den Ring der Ore-Polynome. Gleiehheit und Addition sind in K(x) wie iiblich, die Multiplikation dutch atx ~ �9 alx] = a~alx *+j (fiir at, aj aus K) definiert. K(x) ist dann ein (Links- und Rechts-)Hauptidealring. Nun gibt es eiri yon a E ZL unabhi~ngiges N mit (K (a) : K)t < N. Somit ist a Nullstelle eines l~olynoms aus K(x) . S/~mtliehe Polynome, die a als Nullstelle besitzen, bilden ein taaximales Ideal A, welches yon dem unzerlegbaren (milfimalen) Polynom ] (x) ---- -~ xm + .. . b lx -'k bo des Grades m < N erzeugt wird. Nun ist A auch als halb- seitiges Ideal maximal. Also hat K (x)/A keine nichttrivialen halbseitigen Ideale und ist daher dem Schiefk6rper K ' = K(a) mit K C K ' C L isomorph. Offenbar ist (1, a, a 2 . . . . . a m-1 ) eine Basis yon K ' = K(a) fiber K. Ein k ' = ~ k z a , yon K' |iegt genau dann im Zentrum ZK., wenn die k u im Zentrum ZK liegen. M_it a liegt auch a u in ZK'. Daher ist /(x) sogar ein (irreduzibles) Polynom aus ZK (x), also die ba (/z = 0, 1, 2 . . . . . m -- 1) aus ZK. Da somit jedes a aus ZL Nullstelle eines irre- duziblen Polynoms hSehstens (N--1) - ten Grades aus ZK (x) ist und da es nur end- lich viele derartige Polynome gibt, folgt, dab ZL endhch ist. Besteht umgekehrt ZL aus N Elementen, so gilt ffir jedes a , 0 aus ZL die Gleiehung a 2v-i -- 1 = 0. Also ist (/t'(a} : K)t < N.

I~orollar 1. Ein (links-)endlicher Erweiterungsschie]kSrper eines S .m.e .Z . ist wieder ein S .m.e .Z.

])a ein a ~ ZL, welches in bezug auf K (links-)algebraisch ist, sogar einer Gleichung rait Koeffizienten aus ZK genfigt, ergibt sieh

Korollar 2. Es sei K ein S.m.e. Z,, der einen das Zentrum ZK um/assenden kommuta- Ii~e~ alf]ebraisch abgeschlossenen K6rper M enthdlt. Dann hat ~ede (nicht notwendig endliche) algebraische Erweiterung L v o n K ein endliches Zentrum ZL C ZK2).

/)er obige Satz l~Bt es als wfinschenswert erseheinen, die S,m.e.Z. ohne echte Unter-S.m.e.Z. anzugeben. Solehe gibt es aus folgendem Grunde nicht. Es sei K ein S.m.e.Z. und t ein bez/ig//eh des Zentrums ZK transzendentes Element. ])ann betrachte man K als Erweiterung ZK (t) (S), wobei S eine passende Adjunktionsmenge bezeichne. Nun is$ ZK (t 2) (S) ein zu K isomorpher eehter Unter-S. m. e. Z.

Eingegangen am 13.3. 1968

Anschrift des Autors: ttarlheinz Baumgartner Mathematisches Institut der Universit~t GieBen ~3 Giel]en, Arndtstral]e 2

2) Jeder algebraisch abgeschlossene KSrper der Charakteristik p ist ein unendlicher, voll- Ommener KSrper M. Daher ist die Existenz solcher S.m.e.Z. nach 2. gesichert.